Теги: религии дальнего востока здравоохранение медицинские науки
ISBN: 978-5-9221-1121-8
Текст
К. Мю • •
f
К. Мюррей, С. Дермотт
ДИНАМИКА
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Перевод с английского под редакцией
д. ф.-м. н. И. И. Шевченко
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2010
SOLAR SYSTEM DYNAMICS
CARL D. MURRAY
Queen Mary and Westfield College,
University of London
STANLEY F. DERMOTT
University of Florida, Gainesville
Cambridge
UNIVERSITY PRESS
Acht chena is alaind cech nderg,
is gel each nua,
is cam cech ard, is serb cech gnath.
Caid cech n-ecmais, is faill cech n-aichnid
со festar cech n-eolas.
All that is red is beautiful,
and all that is new is bright,
all that is high is lovely, all that is familiar is bitter.
The unknown is honoured, the known is neglected,
until all knowledge is known.
Anonymous, Irish, ninth century, The Sick-Bed of Си Chulainn
Все красное красиво,
все новое ярко,
все высокое влечет, все знакомое горько.
Неизвестное чтут, познанным пренебрегают,
пока есть неизвестное.
Аноним (Ирландия, IX век), Болезнь Кухулина
Памяти
Франка Мюррея
Он человек был, человек во всем;
Ему подобных мне уже не встретить.
Уильям Шекспир, Гамлет, принц датский,
акт I, сцена 2
(пер. М. Лозинского)
и
Джеральдины Мерфи
В конце мы решили идти всю ночь,
Спали урывками,
И голоса напевали нам в уши,
Что все это безрассудство.
Т. С. Элиот, Паломничество волхвов
(пер. А. Сергеева)
УДК 22.65
ББК 521, 523.1
М98
Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы / Пер.
с англ. под ред. И. И. Шевченко. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 588 с. -
ISBN 978-5-9221-1121-8.
Книга известных специалистов в области небесной механики К. Мюррея
(Великобритания) и С.Дермотта (США) посвящена важнейшему разделу небесной
механики — динамике тел Солнечной системы. Сегодня эта наука преобразилась благодаря
исследованиям Солнечной системы с помощью космических аппаратов, невероятному
развитию наземных и космических средств наблюдательной астрономии, прогрессу
вычислительной техники и программных средств, скачку в развитии теории. Книга
представляет собой современную научную монографию, весьма полно описывающую
различные аспекты проблем динамики тел Солнечной системы. По полноте и
современному уровню изложения предмета она не имеет аналогов на русском языке.
Монография предназначена научным работникам, специализирующимся в
области небесной механики и динамики тел Солнечной системы, теоретической
механики, нелинейной динамики и теории динамического хаоса, а также студентам
и аспирантам университетов.
Научное издание
МЮРРЕЙ Карл
ДЕРМОТТ Стэнли
ДИНАМИКА СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Редактор Е.Ю. Меренкова
Редактор-организатор Т.Ю. Давидовская
Оригинал-макет: И.Г. Андреева
Оформление переплета: Д.Б. Белуха
Подписано в печать 27.05.09. Формат 70x100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 47,8. Уч.-изд. л. 47,7. Тираж 500 экз. Заказ № К-1756.
Издательская фирма «Физико-математическая литература
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано в ГУП
«ИПК Чувашия», 428019
г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13
© ФИЗМАТЛИТ, 2009, 2010
ISBN 978-5-9221-1121-8 © К. Мюррей, С. Дермотт, 2009, 2010
ISBN 978-5-9221-1121-8
9,,785922"111218'
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 13
Предисловие к русскому изданию 16
Предисловие 17
Глава 1. Строение Солнечной системы 20
1.1. Введение 20
1.2. Вера в число 21
1.3. Кеплеровы законы движения планет 22
1.4. Закон всемирного тяготения Ньютона 23
1.5. «Закон» Тициуса-Боде 24
1.6. Резонансы в Солнечной системе 28
1.6.1. Планетная система (29). 1.6.2. Система Юпитера (29). 1.6.3.
Система Сатурна (30). 1.6.4. Система Урана (31). 1.6.5. Система
Нептуна (32). 1.6.6. Система Плутона (32). 1.6.7. Пояс астероидов (32).
1.6.8. Кометы, метеороиды и пыль (33).
1.7. Тенденция к соизмеримости 33
1.8. Последние достижения 36
Контрольные упражнения 38
Глава 2. Задача двух тел 41
2.1. Введение 41
2.2. Уравнения движения 41
2.3. Положение и скорость на орбите 44
2.4. Средняя и эксцентрическая аномалии 49
2.5. Разложения в эллиптическом движении 56
2.6. Приближение ведущего центра 60
2.7. Барицентрические орбиты 63
2.8. Орбита в пространстве 66
8 Оглавление
2.9. Возмущенные орбиты 71
2.10. Гамильтонова формулировка 75
Контрольные упражнения 78
Глава 3. Ограниченная задача трех тел 80
3.1. Введение 80
3.2. Уравнения движения 81
3.3. Интеграл Якоби 84
3.4. Соотношение Тиссерана 88
3.5. Лагранжевы точки либрации 90
3.6. Положение точек либрации 93
3.7. Устойчивость точек либрации 99
3.7.1. Коллинеарные точки (105). 3.7.2. Треугольные точки (107).
3.8. Движение вблизи L± и L$ 110
3.9. Орбиты типа «головастик» и «подкова» 112
3.10. Кривые нулевой скорости и орбиты 116
3.11. Астероиды-троянцы и спутники-троянцы 121
3.12. Янус и Эпиметей 124
3.13. Уравнения Хилла 129
3.14. Эффекты сопротивления 134
3.14.1. Анализ константы Якоби (136). 3.14.2. Линейная устойчивость
точек L^ и L5 (137). 3.14.3. Инерционные силы сопротивления (139).
Контрольные упражнения 141
Глава 4. Приливы, вращение и форма 143
4.1. Введение 143
4.2. Приливный горб 144
4.3. Теория потенциала 148
4.4. Приливная деформация 153
4.5. Вращательная деформация 161
4.6. Соотношение Дарвина-Радо 165
4.7. Фигура и внутреннее строение спутников 167
4.8. Зона Роша 170
4.9. Приливные моменты сил 172
4.10. Спутниковые приливы 179
4.11. Приливный разогрев Ио 186
Оглавление 9
4.12. Приливы на Титане 188
4.13. Приливная эволюция 191
4.14. Двойное синхронное состояние 196
Контрольные упражнения 199
Глава 5. Спин-орбитальное взаимодействие 202
5.1. Введение 202
5.2. Приливное замедление вращения 202
5.3. Постоянный квадрупольный момент 207
5.4. Спин-орбитальный резонанс 213
5.5. Захват в резонанс 222
5.6. Вынужденные либрации 228
5.7. Поверхность сечения 229
Контрольные упражнения 234
Глава 6. Возмущающая функция 237
6.1. Введение 237
6.2. Возмущающая функция 238
6.3. Разложение по многочленам Лежандра 240
6.4. Буквенное разложение по элементам орбиты 245
6.5. Буквенное разложение второго порядка 249
6.6. Члены, ассоциированные с заданным аргументом 258
6.7. Применение возмущающей функции 261
6.8. Планетные уравнения Лагранжа 263
6.9. Классификация аргументов в возмущающей функции 265
6.9.1. Вековые члены (266). 6.9.2. Резонансные члены (269). 6.9.3. Ко-
роткопериодические и низкоамплитудные члены (272).
6.10. Примеры вычисления усредненной возмущающей функции 273
6.10.1. Члены, соответствующие соизмеримости 3: 1 (273). 6.10.2. Члены,
соответствующие соизмеримости 18:7 (275).
6.11. Эффект сжатия планеты 277
Контрольные упражнения 282
Глава 7. Вековые возмущения 286
7.1. Введение 286
7.2. Вековые возмущения в случае двух планет 286
7.3. Юпитер и Сатурн 292
10
Оглавление
7.4. Свободные и вынужденные элементы 295
7.5. Юпитер, Сатурн и пробная частица 301
7.6. Метод усреднения Гаусса 305
7.7. Вековые возмущения в более общем случае 310
7.8. Вековая теория для Солнечной системы 313
7.9. Обобщенные свободные и вынужденные элементы 317
7.10. Семейства Хираямы и пылевые комплексы IRAS 320
7.11. Вековой резонанс 324
7.12. Вековая теория высоких порядков 327
Контрольные упражнения 327
Глава 8. Резонансные возмущения 330
8.1. Введение 330
8.2. Геометрия резонанса 330
8.3. Физика резонанса 335
8.4. Изменения элементов орбиты 337
8.5. Резонанс в круговой ограниченной задаче трех тел 340
8.6. Модель маятника 343
8.7. Ширина зоны либрации 346
8.8. Гамильтонов подход 350
8.8.1. е-резонанс и е'-резонанс (357). 8.8.2. е2-, е/2-, I2- и //2-резонан-
сы (364). 8.8.3. е3-резонанс и е' -резонанс (366). 8.8.4. ее'-резонанс и
//'-резонанс (368).
8.9. Резонанс 2:1 373
8.9.1. Точный резонанс (374). 8.9.2. Либрация с умеренной
амплитудой (374). 8.9.3. Либрация с большой амплитудой (376). 8.9.4. Апо-
центрическая либрация (376). 8.9.5. Внутренняя циркуляция (377).
8.9.6. Внешняя циркуляция (377). 8.9.7. Другие типы движения (377).
8.9.8. Сопоставление с аналитической теорией (378).
8.10. Резонансы 3: 1 и 7:4 379
8.11. Дополнительные резонансы и расщепление резонансов 381
8.12. Прохождение через резонансы 383
8.12.1. Столкновения с резонансами первого порядка (384). 8.12.2.
Столкновения с резонансами второго порядка (390).
8.13. Динамика захвата в резонанс и эволюция в резонансе 392
8.14. Двухтельные резонансы в Солнечной системе 395
8.14.1. Резонанс в системе Титан-Гиперион (395). 8.14.2. Резонанс в
системе Мимас-Тефия (396).
Оглавление
11
8.15. Столкновения с резонансами в спутниковых системах 398
8.16. Трехтельный резонанс 401
8.17. Резонанс Лапласа 403
8.18. Вековые и резонансные движения 407
8.19. LONGSTOP Uranus 410
8.20. Планеты у пульсаров 412
Контрольные упражнения 414
Глава 9. Хаос и долговременная эволюция 416
9.1. Введение 416
9.2. Существенная зависимость от начальных условий 417
9.3. Регулярные и хаотические орбиты 420
9.3.1. Сечение Пуанкаре (420). 9.3.2. Регулярные орбиты (422).
9.3.3. Хаотические орбиты (423). 9.3.4. Характеристические показатели
Ляпунова (424).
9.4. Хаос в круговой ограниченной задаче трех тел 427
9.5. Алгебраические отображения 432
9.5.1. Стандартное отображение (433). 9.5.2. Резонансные
отображения (435). 9.5.3. Столкновительные отображения (441). 9.5.4.
Отображения в задаче N тел (445).
9.6. Сепаратрисы и перекрытие резонансов 453
9.7. Вращение Гипериона 457
9.8. Люки Кирквуда 460
9.8.1. Резонансная структура главного пояса астероидов (461). 9.8.2.
Резонанс 3:1 (465). 9.8.3. Другие резонансы (469).
9.9. Система Нептун-Плутон 471
9.10. Устойчивость Солнечной системы 473
Контрольные упражнения 475
Глава 10. Кольца планет 478
10.1. Введение 478
10.2. Системы колец планет 479
10.2.1. Кольца Юпитера (479). 10.2.2. Кольца Сатурна (481).
10.2.3. Кольца Урана (483). 10.2.4. Кольца Нептуна (484). 10.2.5. Кольца
и спутники (484).
10.3. Резонансы в кольцах 485
10.3.1. Возмущения большой полуоси и коротационные резонансы (486).
10.3.2. Возмущения эксцентриситета и резонансы Линдблада (488).
10.3.3. Возмущения наклонения и вертикальные резонансы (491).
10.3.4. Расположение резонансов (492).
12
Оглавление
10.4. Волны плотности и изгибные волны 493
10.5. Узкие кольца и резкие края 497
10.5.1. Характерные времена размывания (497). 10.5.2. Локальные
эффекты спутниковых возмущений (500). 10.5.3. Спутники-пастухи и
радиальный конфайнмент (506). 10.5.4. Эксцентрические и наклонные
кольца (508). 10.5.5. Спутники в кольцах и подковообразные орбиты (512).
10.6. Люк Энке и спутник Пан 514
10.7. Кольцо F Сатурна 517
10.8. Кольцо Адамса Нептуна 520
10.9. Эволюция колец 521
10.10. Пылевое кольцо Земли 523
Контрольные упражнения 525
Приложение А 527
Приложение Б 538
Литература 559
Предметный указатель 581
Предисловие редактора перевода
Книга известных специалистов в области небесной механики К. Мюррея
(Великобритания) и С.Дермотта (США), перевод которой предлагается
вниманию читателя, посвящена бурно развивающемуся разделу небесной
механики — науке о динамике тел Солнечной системы. Фундаментальное значение
этой науки, в развитие которой внесли вклад Ньютон, Эйлер, Лаплас и другие
величайшие ученые, невозможно переоценить. Совершенно новый импульс
ее развитию в наше время дали исследования Солнечной системы с
помощью космических аппаратов, невероятное развитие наземных и
космических средств наблюдательной астрономии, прогресс вычислительной техники
и программных средств, в частности, появление и широкое распространение
систем аналитических вычислений. Компьютерный прогресс обусловил скачок
в развитии теории. В нелинейной динамике, лежащей в основе современной
небесной механики, появилась новая фундаментальная область
исследований — динамический хаос.
Наука о динамике тел Солнечной системы — важнейшая часть небесной
механики. В прошлом столетии был издан целый ряд русских переводов
западных книг по небесной механике, при этом пик изданий пришелся на 60-е
и 70-е годы по очевидной причине «космического бума» в то время. Все же из
монографий, перечисленных К. Мюрреем и С. Дермоттом во введении к этой
книге как «классические тексты», была переведена только книга Д. Брауэра
и Дж. Клеменса (год английского издания 1961, русского [1] — 1964), а книги
Г.Пламмера (1918), Э.Брауна и К. Шука (1933), Дж.Дэнби (1962, 1988),
многотомник Ю.Хагихары (1970-1976) до сих пор не переведены. В 1981 г.
был издан русский перевод [2] книги А. Роя «Движение по орбитам» (1978) —
наиболее близкой по стилю изложения к книге К. Мюррея и С. Дермотта.
Книга К. Мюррея и С. Дермотта «Динамика Солнечной системы»
представляет собой современную научную монографию, весьма полно
описывающую различные аспекты проблем динамики тел Солнечной системы. По
полноте и современному уровню изложения предмета она не имеет аналогов на
русском языке. О достоинствах книги весьма удачно говорят отзывы
известных ученых, почерпнутые с сайта книги: «Эта книга замечательным образом
перекидывает мост от старой небесной механики к новой ...» (Б.Марсден).
«Если Вы хотите знать (буквально), что и как "колеблется и крутится" в
Солнечной системе, то эта книга для Вас ..., — освежающе ясная и понятная»
(К.Порко).
Здесь нет необходимости останавливаться на целях, задачах и содержании
книги; все эти вопросы освещают авторы в своем предисловии. Однако
подчеркнем, что эта книга является введением в предмет, а не обзором
последних достижений. Последние результаты можно найти в
энциклопедии [3], содержащей разнообразные современные сведения как о динамике,
14
Предисловие редактора перевода
так и о физических свойствах тел Солнечной системы. Кстати, одним из
авторов статей энциклопедии является К.Мюррей.
Книга К. Мюррея и С. Дермотта не является популярной и при активном
чтении требует серьезной работы. Такая работа невозможна без обращения
к классическим текстам и современным обзорам, а поскольку список
литературы в книге К. Мюррея и С. Дермотта ориентирован на англоязычного
читателя, представляется необходимым и уместным привести здесь краткий
список близкой по тематике литературы на русском языке. Тематика этого
списка следующая. Монографии [1-2, 4-13] содержат базовый материал по
основным разделам небесной механики. В книге [14] описаны важнейшие
аспекты динамики и физики планетных колец. Статьи и обзоры [15-17]
посвящены теоретическим моделям резонансного и хаотического движения тел,
составляющих Солнечную систему. В обзоре [18] читатель найдет подробное
описание теоретических методов и численно-экспериментальных результатов
современных исследований орбитальной динамики больших планет.
В заключение хотелось бы подчеркнуть, что теперь, когда перевод
«Динамики Солнечной системы» опубликован, российский читатель имеет не только
реальную возможность прочитать эту чрезвычайно интересную и полезную
книгу, но к тому же в его распоряжении имеется даже более информативный
текст по сравнению с тем, который есть у англоязычного читателя.
Действительно, при переводе учтен 20-страничный список исправлений, приведенный
на сайте книги; исправлен также ряд опечаток и неточностей, обнаруженных
в процессе перевода и редактирования, — все эти исправления согласованы
с авторами.
Перевод книги осуществлен В.В.Куприяновым (гл. 1, 2, 3, разделы 4.1-
4.8, 10.5-10.10), И.А.Верещагиной и В.В.Куприяновым (разделы 4.9-4.14,
гл.5, 6, разделы 7.1-7.8), А.В.Мельниковым (разделы 7.9-7.12, гл.8, разделы
9.1-9.5, приложения А и Б) и Е. Ю. Алешкиной (разделы 9.6-9.10, 10.1-10.4).
К.Мюррей и С.Дермотт поддержали идею перевода книги на русский
язык. Перевод осуществлен в творческом контакте с авторами. Редактор
перевода глубоко благодарен К. Мюррею и С. Дермотту за помощь и
сотрудничество при подготовке русского издания.
Редактор перевода искренне признателен В. К. Абалакину, В.Н.Жаркову,
К. В. Холшевникову, Ю.Д.Медведеву и В.В.Орлову за ценные замечания.
Участники проекта по переводу и изданию книги выражают благодарность
Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку проекта.
И. И. Шевченко
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики / Пер. с англ. под ред.
Г.А.Чеботарева. — М.: Мир, 1964. — 516 с.
2. Рой А. Движение по орбитам / Пер. с англ. под ред. В. А. Сарычева. — М.:
Мир, 1981. - 544 с.
3. Encyclopedia of the Solar System. 2nd edition / Ed. by L.-A. McFadden et al. —
Amsterdam: Academic Press, 2007. — 1025 p.
Предисловие редактора перевода
15
4. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. — М.: Наука, 1968. —
800 с.
5. Дубошин Т.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука,
1975. - 800 с.
6. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А.
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. — М.: Наука,
1976. - 864 с.
7. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в
гравитационном поле. - М.: МГУ, 1975. - 308 с.
8. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. — М.:
Наука, 1978. - 312 с.
9. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел / Пер. с англ. под ред.
Г. Н.Дубошина. - М.: Наука, 1982. - 656 с.
10. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. —
М.: Наука, 1990. - 296 с.
11. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты
классической и небесной механики. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. — 416 с.
12. Холшевников К.В., Питьев Н.П., Титов В. Б. Притяжение небесных тел. —
СПб.: СПбГУ, 2005. - 108 с.
13. Холшевников К.В., Титов В. Б. Задача двух тел. — СПб.: СПбГУ, 2007. —
180 с.
14. Горькавый Н.Н., Фридман A.M. Физика планетных колец. — М.: Наука,
1994. - 348 с.
15. Приливы и резонансы в Солнечной системе. Сборник статей / Пер. с англ. под
ред. В.Н.Жаркова. - М.: Мир, 1975. - 288 с.
16. Резонансы в небесной механике. Сборник статей / Пер. с англ. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. — 316 с.
17. Шевченко И. И. Резонансы и хаос в динамике тел Солнечной системы //
В книге: Орлов В. В. и др. Астрономия: традиции, настоящее, будущее.
Сборник обзоров. - СПб.: СПбГУ, 2007. - С. 284-314.
18. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции
больших планет Солнечной системы // Астрон. вестник. 2007. Т. 41 (4). —
С.291-329.
Предисловие к русскому изданию
Нас искренне восхищает, что в результате большой работы коллектива
переводчиков и благодаря щедрой помощи Российского фонда
фундаментальных исследований выходит в свет русское издание нашей книги.
В последние годы мы были свидетелями замечательного прогресса в
исследованиях нашего предмета и в родственной науке о динамике экзопланет-
ных систем. Нас особенно радует, что ученые в разных областях
естествознания, судя по отзывам, находят книгу полезной в своих исследованиях.
В своем первоначальном предисловии мы подчеркнули, что хотели
написать книгу, которую сами желали бы прочитать, когда только начинали свою
работу как ученые. Надеемся, что русское издание послужит полезным
проводником для многих студентов и исследователей в постоянно развивающейся
и захватывающей науке о динамике Солнечной системы.
Карл Мюррей
Стэн Дермотт
Предисловие
Что человек, когда он занят только
Сном и едой? Животное, не больше.
Тот, кто нас создал с мыслью столь обширной,
Глядящей и вперед и вспять, вложил в нас
Не для того богоподобный разум,
Чтоб праздно плесневел он ...
Уильям Шекспир, Гамлет, принц датский,
акт IV, сцена 4
(пер. М. Лозинского)
Мы живем в новую эпоху открытий. Полеты межпланетных космических
аппаратов, «открывшие» нам Солнечную систему, подобны великим
географическим экспедициям пятнадцатого и шестнадцатого столетий.
Результаты этих полетов вместе с данными наземных наблюдений показали нам
Солнечную систему как нечто большее, чем просто совокупность планет,
спутников, астероидов, комет и пыли, расположенных некоторым
произвольным образом, — оказалось, что эта система обладает сложной динамической
структурой, понять которую в значительной мере можно с помощью
описывающего взаимодействие простого закона обратных квадратов, примененного
к составляющим ее телам. Таким образом, чтобы постичь динамическую
структуру и эволюцию Солнечной системы, мы должны понять качественно
и количественно действие закона всемирного тяготения.
Понятие динамики Солнечной системы как области исследований мы
формулируем как применение методов небесной механики к решению
реальных задач в исследованиях Солнечной системы. Имеется ряд классических
монографий по небесной механике, и многие используются до сих пор. Это
книги Пламмера (1918), Брауна и Шука (1933), Брауэра и Клеменса (1961) и,
более современная, Дэнби (1988). Книги Хагихары (1970, 1972 а,б, 1974 а,б,
1975 а,б, 1976 а,б) являются авторитетными справочными трудами, но мало
дают для наглядного понимания предмета. Наша работа является во многих
отношениях развитием книги Роя (1988), и поэтому ее стоит, возможно,
изучать в сочетании с этой книгой, хотя мы и пытались сделать нашу книгу
настолько самодостаточной, насколько это возможно. Хотя большинство
освещенных здесь тем обсуждается в современной научной литературе, их нельзя
найти все вместе в каком-нибудь одном источнике в удобном для прочтения
и понимания виде. Поэтому нашей первостепенной задачей было написать
такую книгу, которую нам самим хотелось бы прочесть, если бы мы только
начинали свою научную деятельность.
В этой книге мы сделали попытку дать всесторонний очерк основных
методов небесной механики и их приложений к реальным задачам. Данная
2 К. Д. Мюррей, С. Ф. Дермотт
18
Предисловие
область, как и сама Солнечная система, находится в постоянном развитии,
так что эту книгу нужно рассматривать как наш собственный взгляд на
важные в настоящее время принципы и области исследования; выбор тем
и примеров в значительной степени определился областями, в которых мы
сами работали. Поэтому такие темы, как теория Луны, геофизика и состояния
Кассини, в настоящем издании не освещены. Несмотря на это, мы убеждены,
что наш выбор тем дает достаточно представительный обзор по теме книги.
В конце каждой главы мы приводим контрольные упражнения.
Подчеркнем, что для ответа на некоторые из них понадобятся доступ к компьютеру
и некоторые навыки программирования. Эта необходимость введена нами
намеренно и отражает тот факт, что многие последние достижения в динамике
Солнечной системы неразрывно связаны с использованием компьютеров.
В процессе работы над книгой мы разработали немало программ в
системе компьютерной алгебры Mathematica. Для повышения эффективности
работы с книгой исходные тексты этих программ и некоторые
видеоролики, иллюстрирующие динамические явления в Солнечной системе, можно
загрузить с сайта http://uk.cambridge.org/physics/catalogue/0521575974/ или
http\//ssdbook.maths.qmw.ac.uk/. На сайте публикуется также список
замеченных ошибок в тексте 0. Читателям книги рекомендуется регулярно
обращаться к этому сайту.
Окончательная цель науки о динамике Солнечной системы — понять
динамическое происхождение, эволюцию и устойчивость тел, окружающих
нас в космическом пространстве. Даже если бы не было новых
наблюдений, остается еще много проблем, ждущих решения, но специалисты по
динамике Солнечной системы убеждены, что сейчас они понимают основные
механизмы, определившие структуру и нашей, и других планетных систем.
Несомненно, будущие полеты межпланетных космических аппаратов откроют
новые явления, которые потребуют своего объяснения от нового поколения
ученых. Мы надеемся, что, когда придет такое время, эта книга сохранит
свое значение как полезный источник информации и методов.
Благодарности
Эта книга была подготовлена по материалам курсов лекций, прочитанных
нами в учебных заведениях, где мы работали, и предназначена для аспирантов
и исследователей, для которых данная область является новой. Мы
благодарны многим студентам и коллегам за исправления и замечания к черновым
текстам, писавшимся в течение ряда лет. В особенности мы хотели бы
поблагодарить Апостолоса Кристу, Кирен Эллис, Мича Гордона, Шона Гривса, Тома
Key, Елену Морэ и Отона Уинтера за их помощь и важный вклад. Дуг
Гамильтон и Каролин Порко высказали свое мнение о прочитанных ими первых
черновиках текста, а Фил Николсон предоставил часть материала для глав 4
и 6 и разрешил использовать упражнения из своего курса лекций. Сумита
{) В русский перевод внесены все исправления ошибок из этого списка по его состоянию
на 7 июня 2007 г. — Прим. ред.
Предисловие
19
Джаяраман и Джер-Чиай Лиу предоставили данные и вычислительные
результаты своих исследований. Фати Намуни сформулировал конструктивные
замечания по всем аспектам книги. Мы благодарны ему также за важные
исправления, в особенности в главах 8 и 10. Мы благодарны издательствам
Faber & Faber Limited и Harcourt, Inc. за разрешение использовать отрывок из
стихотворения «Паломничество волхвов» Т. С. Элиота и Доналу О'Каллаху
за помощь в переводе ирландского источника девятого века. И, наконец, мы
благодарим Ким и Маргарет за их терпение и понимание в течение многих
лет, потребовавшихся для создания этой книги.
Глава 1
СТРОЕНИЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
...Взгляни, как небосвод
Весь выложен кружками золотыми;
И самый малый, если посмотреть,
Поет в своем движенье, точно ангел,
И вторит юнооким херувимам.
Гармония подобная живет
В бессмертных душах...
Уильям Шекспиру Венецианский купец,
акт V, сцена 1
(пер. Т. Щепкиной-Куперник)
1.1. Введение
Достойно похвалы человеческое стремление постичь порядок в видимой
случайности природы; наука, в конце концов, это лишь попытка сделать
понятным окружающий нас мир. Строгий порядок в движении Луны и планет
на фоне «неподвижных» звезд настоятельно требовал динамического
объяснения.
История астрономии — это история растущего осознания (или наоборот,
непонимания) нашего положения во Вселенной. Наблюдения, исследования
и, в конечном итоге, понимание нашей Солнечной системы — это первый
шаг к пониманию всей остальной Вселенной. Ключевым открытием в этом
процессе была формулировка Ньютоном закона всемирного тяготения. Этот
закон сделал понятными орбиты планет, спутников и комет и позволил
предсказывать их будущее движение: вселенная Ньютона была
детерминированной системой. Миссии «Вояджеров» многократно увеличили наше знание
о внешних областях Солнечной системы, но они были бы невозможны без
знания законов Ньютона и их следствий. Однако современный прогресс
в математике и компьютерной технологии показал, что даже если система
является детерминированной *), она необязательно предсказуема.
Исследования в области нелинейной динамики показали, что Солнечная система имеет
намного более сложную структуру, чем мог себе представить Ньютон.
В этой главе мы рассматриваем некоторые из наблюдений, которые
послужили толчком к поиску надлежащего понимания динамической структуры
Солнечной системы.
О В смысле подчинения динамическим законам и отсутствия случайных воздействий. —
Прим. ред.
1.2. Вера в число
21
1.2. Вера в число
Желание постичь порядок в распределении объектов Солнечной системы
прослеживается до времен ранней Греции, хотя, возможно, корни его лежат
еще в астрономии Вавилона. Анаксимандр Милетский (611-547 до н. э.)
утверждал, что расстояния от Земли до звезд, Луны и Солнца находятся
в отношении 1:2:3 (Бернал, 1969). Важность целых чисел для философов
Пифагорейской школы привела их к представлению о том, что расстояния
от Земли до небесных тел соответствуют последовательности музыкальных
тонов (нот), что дало начало концепции «гармонии небесных сфер». Это
представление, в свою очередь, повлияло на Платона (427-347 до н. э.),
трудам которого предстояло оказать большое воздействие на Иоганна Кеплера
почти две тысячи лет спустя (Филд, 1988).
Кеплер был поглощен верой в то, что числа и геометрия могут быть
использованы для объяснения расположения планетных орбит. Он твердо верил
в систему мира Коперника, а не Птолемея, но его взгляды в отношении орбит
планет основывались на нумерологии и астрологии (Филд, 1988), а не на
научном методе. В первом издании своей книги "Mysterium Cosmographicum"
(«Тайна космографии») Кеплер (1596) описал модель Солнечной системы,
включающую шесть известных в то время планет (Меркурий, Венеру, Землю,
Марс, Юпитер и Сатурн). Движение планет в этой модели происходило
внутри сферических оболочек определенной толщины, внутренние и внешние
поверхности которых располагались на точных расстояниях друг от друга,
определяемых радиусами описанных и вписанных сфер для пяти правильных
многогранников — куба, тетраэдра, додекаэдра, икосаэдра и октаэдра. Кеплер
полагал, что толщина этих оболочек определяется эксцентриситетами орбит.
Для внешней части Солнечной системы эта модель представлена на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Кеплерова геометрическая модель относительных расстояний от планет до
Солнца. Каждая планета движется в пределах сферической оболочки с внутренним и
внешним радиусами, определяемыми ограничивающими сферами правильных
многогранников. Во внешней части Солнечной системы орбиты Сатурна, Юпитера и Марса
лежат на сферах, отделенных друг от друга кубом, тетраэдром и додекаэдром
22
Гл. 1. Строение Солнечной системы
Он также разработал похожую теорию для объяснения относительного
расположения орбит открытых при его жизни спутников Юпитера (Кеплер, 1610).
В период времени между первым и вторым изданиями «Тайны космографии»
Кеплер (1609) эмпирически вывел первые два из своих законов движения
планет, и примечания, сопровождающие второе издание (Кеплер, 1621), с
очевидностью указывают на то, что его вера в астрологию стала ослабевать
(Филд, 1988). Хотя маловероятно, что он буквально верил в музыкальные
тона, исходящие от планет, Кеплер упорно продолжал искать гармонические
соотношения между орбитами.
Несмотря на свое метафизическое происхождение, геометрическая модель
Кеплера удивительно хорошо удовлетворяла имеющимся тогда данным
наблюдений (Филд, 1988). Хотя Кеплер и не достиг успеха в поиске простых
числовых соотношений между радиусами планетных орбит, именно увлечение
числами в конечном счете привело его к открытию третьего закона движения
планет, который связывает орбитальный период планеты с ее средним
расстоянием от Солнца. 15 мая 1618 г. он пришел к убеждению, что «совершенно
достоверно и совершенно точно, что пропорция между периодами любых двух
планет составляет ровно три вторых пропорции их средних расстояний».
Главным наследием Кеплера стала не его замысловатая геометрическая модель
расположения планет, а эмпирически выведенные им законы их движения.
1.3. Кеплеровы законы движения планет
Кеплер (1609, 1619) вывел свои три закона движения планет, используя
эмпирический подход. Из наблюдений, включающих наблюдения Тихо Браге,
он сделал следующие выводы.
1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится
Солнце.
2. Радиус-вектор Солнце-планета заметает равные площади за равные
промежутки времени.
3. Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой
полуоси ее орбиты.
Геометрический смысл первых двух законов проиллюстрирован на
рис. 1.2. Эллипс имеет два фокуса, и, согласно первому закону, Солнце
находится в одном из них, в то время как другой свободен (рис. 1.2 а).
На рис. 1.2 6 заштрихованные области представляют площади, заметаемые
радиус-вектором Солнце-планета за равные промежутки времени. Второй
закон гласит, что эти площади равны. Геометрические свойства эллипса будут
рассмотрены ниже в главе 2.
Половина длины большой оси эллипса называется большой полуосью и
обозначается а (рис. 1.2а). Третий закон Кеплера дает соотношение между
а и периодом Г обращения планеты. Кеплер вывел, что Г2 ос а3; так что,
если две планеты имеют большие полуоси а\ и а2 и периоды Т\ и Г2, то
Т\/Т2 — (а\/а2)3/2, что согласуется с первоначальной формулировкой им этого
закона.
1.4. Закон всемирного тяготения Ньютона
23
Рис. 1.2. Геометрия движения планеты в соответствии с первыми двумя законами
Кеплера для эксцентриситета, равного 0.5: а) Солнце занимает один из двух фокусов
эллиптической орбиты планеты, второй фокус свободен; б) области Ль ^ и А$
имеют равные площади, заметаемые радиус-вектором за равные промежутки времени
Важно помнить, что законы Кеплера были полностью эмпирическими.
У Кеплера не было физического понимания, почему планеты подчиняются
этим законам, хотя он и предложил для объяснения планетных орбит некий
«магнитный вихрь».
1.4. Закон всемирного тяготения Ньютона
В XVII в. Исаак Ньютон (1687) доказал, что движения в Солнечной
системе подчиняются простому закону обратных квадратов для силы. Есть
убедительные свидетельства того, что Роберт Гук, современник и соперник
Ньютона, предложил закон обратных квадратов для силы раньше Ньютона
(Уэстфолл, 1980), однако великое достижение Ньютона состояло в том, что
он показал, что кеплеровские законы движения являются естественным
следствием действия этой силы, и что результирующее движение описывается
коническим сечением.
Предложенное Ньютоном выражение для силы F, действующей между
любыми двумя массами во Вселенной, т\ и т2, находящимися на
расстоянии d друг от друга, записывается в скалярном виде как
ут\гп2
(l.i)
где Q — постоянная всемирного тяготения.
В своих "Principia" («Началах») Ньютон (1687) также выдвинул свои три
закона движения.
1. Тела остаются в состоянии покоя или равномерного движения по прямой
линии, если только на них не действует сила.
2. Сила, действующая на тело, равна скорости изменения его количества
движения.
3. Каждому действию есть равное и противоположное ему по направлению
противодействие.
Объединению этих законов с законом всемирного тяготения суждено
было оказать глубочайшее воздействие на наше понимание Вселенной. Хотя
24
Гл. 1. Строение Солнечной системы
Ньютон «стоял на плечах гигантов» — таких, как Коперник, Кеплер и
Галилей, — его открытия революционизировали науку в целом и динамическую
астрономию в частности. Применение закона тяготения Ньютона к большему,
чем два, числу тел показало, что взаимодействие планет приводит к
эллиптическим орбитам, которые более не являются неподвижными. Орбиты планет
медленно вращаются — «прецессируют» — в пространстве на временных
масштабах порядка 105 лет. Например, из вычислений, основанных на
ньютоновской теории тяготения, следует, что орбита Меркурия должна в настоящее
время прецессировать со скоростью 531" в столетие.
Однако наблюдения свидетельствуют, что орбита Меркурия прецессирует
со скоростью на 43" в столетие большей, чем предсказывает ньютоновская
теория тяготения. Как мы знаем теперь, закон всемирного тяготения
Ньютона — только приближение, хотя и очень хорошее, а более точную модель
тяготения дает общая теория относительности Эйнштейна. Применительно
к прецессии перигелия Меркурия эта теория предсказывает дополнительный
вклад величиной в 43" в столетие. Учет релятивистской поправки к
ньютоновской теории дает согласие с наблюдениями в пределах их современной
точности (Роузвир, 1982).
1.5. «Закон» Тициуса-Боде
Иоганн Тициус в 1766 году выразил регулярный характер расположения
орбит планет вокруг Солнца в виде простого мнемонического правила (Нието,
1972). Он показал, что среднее расстояние d в астрономических единицах
(а.е.) от Солнца до каждой из шести известных тогда планет хорошо
аппроксимируется формулой
d = 0.4 + 0.3 • 2\ где г = -ос, 0, 1, 2,4,5. (1.2)
Вскоре этот «закон», благодаря популярным работам Иоганна Боде, стал
широко известен, и теперь он часто называется законом Боде. Хотя этот
«закон» не имел физического обоснования, Боде предположил, что на месте,
отвечающем г = 3, находится орбита неоткрытой планеты. Последовавшее
в 1781 г. открытие планеты Уран на расстоянии в 19.18 а.е. (г = 6), а затем
и открытие в 1801 г. первого астероида, 1 Церера, на расстоянии в 2.77 а.е.
(г = 3) рассматривались как триумф «закона» (см. табл. 1.1 и Нието, 1972).
Успех закона Тициуса-Боде был таков, что Джон Коуч Адаме (1847)
и Урбен Леверье (1847) принимали его за основу в своих вычислениях
предсказываемой орбиты восьмой планеты (Гроссер, 1979). «Закон» для г — 7
в (1.2) дает значение большой полуоси, равное 38.8 а.е. Планета Нептун
была обнаружена в 1846 г., однако большая полуось ее орбиты оказалась
равной 30.1 а.е. Завершающий удар по «закону» был нанесен открытием
Плутона в 1929 г. на расстоянии в 39.4 а.е. вместо расстояния в 77.2 а.е.,
предсказываемого для г — 8. Конечно, можно было бы привести довод, что
Плутон слишком мал, чтобы считать его планетой, и поэтому он должен быть
1.5. «Закон» Тициуса-Боде
25
исключен из вычисления х). Однако, если использовать все возможные
значения г, то следует ожидать наличия бесконечного числа планет на орбитах
между Меркурием и Венерой!
Таблица 1.1. Сравнение больших полуосей орбит планет, включая малую планету
Цереру, со значениями, предсказываемыми законом Тициуса-Боде
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Церера
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
i
—оо
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Большая
полуось (а.е.)
0.39
0.72
1.00
1.52
2.77
5.20
9.54
19.18
30.06
39.44
Закон
Тициуса-Боде (а.е.)
0.4
0.7
1.0
1.6
2.8
5.2
10.0
19.6
38.8
77.2
Некоторые из регулярных спутниковых систем внешних планет,
по-видимому, имеют неслучайное распределение орбит, так как существует ряд
простых численных соотношений между их периодами (см. разделы 1.6
и 1.7). В попытке включить орбитальные резонансы в «закон» Тициуса-Боде,
Дермотт (1972, 1973) обсудил правдоподобие модифицированного закона,
представляющего собой двухпараметрическую геометрическую прогрессию
периодов обращения вместо радиусов орбит. Записав
Тг = Т0А\ (1.3)
где спутники пронумерованы в порядке возрастания периода, Т{ —
предсказываемый орбитальный период г-го спутника, а Го и А — произвольные
постоянные, Дермотт указал, что, если возможность «свободных орбит» исключена,
то данное соотношение может выполняться только для регулярных спутников
Урана. Логарифмируя обе части уравнения (1.3), получаем:
]gTi = lgr0 + zlgA (1.4)
Наблюдательные данные могут быть затем описаны этой моделью при помощи
стандартного метода линейной регрессии, оценкой точности приближения
в котором служит среднеквадратичное значение невязок, обозначаемое х- Оно
дается соотношением
X^-JTilgTi-lgTo-ilgA)2, (1.5)
1) Согласно решению XXVI Генеральной Ассамблеи MAC (Прага, 2006 г.) Плутон более не
считается планетой в строгом смысле этого термина, а отнесен к новому классу
планет-карликов. Основанием для данного решения стало открытие ряда объектов этого класса в поясе
Эджворта-Койпера. — Прим. ред.
26
Гл. 1. Строение Солнечной системы
где Тг на этот раз следует понимать как наблюдаемый орбитальный период.
Сравнение предсказываемых значений с наблюдательными данными,
представленное в табл. 1.2 и на рис. 1.3, демонстрирует удивительно хорошее
согласие. Используя вычисленные с помощью регрессии значения параметров
Го = 0.7919, А = 1.777, получаем \ = 0.0247. Однако одного только
впечатления от, по-видимому, прекрасного соответствия недостаточно. Необходимо
подвергнуть данные статистическому анализу и выяснить, действительно ли
значение х достаточно мало, чтобы быть статистически значимым. Для этого
можно использовать метод Монте-Карло.
Таблица 1.2. Сравнение наблюдаемых орбитальных периодов (в сутках) больших
спутников Урана со значениями, вычисленными с использованием геометрической
прогрессии в форме (1.3)
Спутник
Миранда
Ариэль
Умбриэль
Титания
Оберон
г
1
2
3
4
5
Тг (набл.)
1.413
2.520
4.144
8.706
13.46
Ti (ВЫЧ.)
1.407
2.500
4.442
7.893
14.02
Используя метод, аналогичный методу Дермотта (1972, 1973), мы
сгенерировали множество наборов из пяти спутников при некоторых ограничениях на
распределение орбитальных периодов. Период обращения самого внутреннего
спутника всегда выбирался равным периоду обращения Миранды. Остальные
периоды вычислялись по формуле
*±±L = L + Xi(U-L) (г= 1,2,3,4), (1.6)
где Хг является случайным числом в диапазоне 0 ^ Х{ ^ 1, a L и U (> L)
представляют собой фиксированные нижний и верхний пределы отношения
последовательных орбитальных периодов в системе. В итоге для каждой
такой системы из пяти спутников определяются параметры lgTo и lg^ и
среднеквадратичное отклонение х-
Выбор L и U до некоторой степени произволен. Для указанных пяти
спутников Урана наблюдаемые значения составляют L — 1.546 и U — 2.101.
Сгенерировав 105 наборов из пяти спутников с периодами, задаваемыми формулой
(1.6), мы можем определить число наборов с х < 0.0247 для этих значений
L и U. Отсюда мы приходим к оценке вероятности того, что наблюдаемая
конфигурация возникла случайно. Она оказалась равной 0.79. Таким образом,
несмотря на видимость впечатляющего согласия, представленного в табл. 1.2
и на рис. 1.3, почти любое распределение периодов, подчиняющееся таким
же ограничениям на L и [/, могло бы быть аппроксимировано «законом»
Тициуса-Боде столь же хорошо.
Мы исследовали чувствительность этой оценки к изменению значений
L и С/, повторив описанную процедуру для L = 1.0, 1.2, 1.4 и 1.6 с
использованием значений U в диапазоне 1.2 < U < 5. Для всех значений L
1.5. «Закон» Тициуса-Боде 27
1.2
0.8
0.4
1 2 3 4 5 г
Рис. 1.3. Линейная аппроксимация методом наименьших квадратов орбитальных
периодов Ti пяти главных спутников Урана
и U мы вычислили значения \ для каждого множества из 105 систем из
пяти спутников. В каждом случае мы нашли количество N систем, для
которых х < 0.0247, и оценили отсюда вероятность Р(х < 0.0247) = 10-5iV
для заданных значений L и U. Результаты показаны на рис. 1.4. Очевидно, что
Р —> 1 при U —> L, когда отношения последовательных периодов почти равны.
Однако Р становится малым (Р < 0.01) только для больших значений С/,
соответствующих случаю далеко отстоящих друг от друга спутников.
Эти результаты свидетельствуют о том, что кажущаяся регулярность
в последовательности орбитальных периодов, представленной в табл. 1.2,
недостоверна. Не существует убедительного доказательства того, что система
спутников Урана подчиняется какому-либо соотношению, подобному «закону»
Тициуса-Боде, которое нельзя было бы считать случайным. Это приводит
нас к предположению, что «закон» не является достоверным и в применении
к другим системам, включая непосредственно сами планеты. Однако, хотя
и нет никаких оснований для веры в «закон» Тициуса-Боде, в движении
самых различных тел Солнечной системы действительно обнаруживаются
1
0.8
о,
5 0.6
о
ас
I 0.4
Он
PQ
0.2
~1 2 3 4 5
Верхний предел U
Рис. 1.4. Вероятность Р того, что вычисленное значение среднеквадратичного
отклонения х меньше, чем наблюдаемая величина 0.0247, как функция верхнего предела U
для нескольких значений нижнего предела L = 1.0, 1.2, 1.4, 1.6. Крестиком отмечено
действительное положение на графике системы Урана
Оберон^-
Титанияс
^Умбриэль
^Ариэль
''Миранда
I •"! I I I I I I I I I I ■ 1 I I I I I I I I
28
Гл. 1. Строение Солнечной системы
некоторые замечательные численные соотношения, и можно показать, что они
динамически значимы.
1.6. Резонансы в Солнечной системе
Объем наших знаний о Солнечной системе резко увеличился в последние
годы. Хотя с 1930 г. не было обнаружено ни одной новой планеты,
серьезные успехи были достигнуты в изучении малых тел Солнечной системы.
К началу двадцатого века было открыто 22 спутника планет, а сегодня их
известно уже более 60 (см. приложение А) 0. Также получены косвенные
свидетельства о существовании еще не открытых спутников. Кроме того,
к настоящему времени каталогизированы более 10000 орбит астероидов и
надежно определены более 500 орбит комет2). Многочисленные объекты
обнаружены на орбитах за Плутоном в поясе Эджворта-Койпера. Согласно
некоторым оценкам, в этой области могут присутствовать до 2 • 108 объектов
с размерами (радиусами) порядка 10 км (Кохран и др., 1995). Наблюдения
со спутника IRAS ("Infra-Red Astronomical Satellite") привели к открытию
пылевых комплексов в поясе астероидов и пылевых хвостов комет. В изучении
планетных колец также произошли радикальные перемены; вплоть до 1977 г.
Сатурн считался единственной планетой, окруженной кольцом, — теперь
же мы знаем, что все планеты-гиганты обладают кольцевыми системами,
и у каждой свои уникальные характеристики.
Лавина наблюдательных данных о Солнечной системе в последние годы
предоставила поразительное подтверждение того, что наша Солнечная
система действительно является тонко структурированной совокупностью
обращающихся тел, но эта структура не столь проста, как геометрическая модель
Кеплера, и не столь груба, как модель, описываемая «законом» Тициуса-Боде.
Здесь «работают» законы Ньютона, а тонким гравитационным эффектом,
определяющим динамическую структуру нашей Солнечной системы, служит
явление резонанса.
В общих словах, резонанс может возникать, когда существует простое
численное соотношениеч между частотами или периодами. Такими периодами
могут быть вращательнщи и орбитальный периоды одного отдельно взятого
объекта, как в случае спин-орбитального взаимодействия, или же,
например, орбитальные периоды двух или более тел, как в случае орбитального
взаимодействия. Возможны и другие, более сложные резонансные
взаимосвязи. Как мы знаем теперь, эволюционными процессами в Солнечной
системе управляют диссипативные силы, и именно им обязаны происхождением
некоторые из этих резонансов.
Наиболее очевидный пример спин-орбитального резонанса — это Луна,
орбитальный период которой равен периоду ее вращения; поэтому Луна
всегда повернута к Земле одной своей стороной. Большинство крупных
естественных спутников в Солнечной системе находятся в спин-орбитальном
1) К 2008 г. известно 165 спутников с надежно определенными орбитами, исключая
3 спутника Плутона (см. прим. ред. на с. 25). — Прим. ред.
2) К 2008 г. открыто более 170000 астероидов и более 3300 комет. — Прим. ред.
1.6. Резонансы в Солнечной системе
29
резонансе 1:1, или, как обычно говорят, в синхронном спин-орбитальном
резонансе. Однако возможны и другие спин-орбитальные состояния.
Например, радиолокационные наблюдения Меркурия, проведенные Петтенджилом
и Дайсом (1965), показали, что Меркурий находится в спин-орбитальном
резонансе 3:2.
В последующих разделах мы обсудим каждую из подсистем Солнечной
системы.
1.6.1. Планетная система. Элементы орбит Юпитера и Сатурна
испытывают колебания с периодичностью порядка 900 лет из-за наличия почти
точного резонанса 5:2 между их орбитальными периодами, который был
назван французскими астрономами "la grande inegalite" («большое
неравенство»). Хотя эти две планеты в действительности не находятся в резонансе
5:2, они близки к нему в достаточной степени, чтобы резонанс вызывал
значительные возмущения в движении обоих тел.
Планеты Нептун и Плутон находятся в специфическом орбитальном
резонансе 3: 2, который максимизирует расстояние между этими двумя планетами
в соединении; поэтому они избегают тесного сближения друг с другом.
Сложность резонанса Нептун-Плутон была обнаружена и изучена не в результате
длительных наблюдений, а путем прямого численного интегрирования
соответствующих уравнений движения. Это единственно возможный в данном
случае метод, поскольку полное время наблюдений Плутона охватывает менее
трети орбитального периода этой планеты.
Помимо резонансов между периодами обращения, некоторые планеты
находятся также в долговременных, или вековых, резонансах, связанных
с прецессией их орбит в пространстве.
1.6.2. Система Юпитера. Возможно, самым впечатляющим примером
орбитального резонанса служит резонанс в движении трех (из четырех)
галилеевых спутников Юпитера (рис. 1.5): Ио находится в резонансе 2:1
с Европой, которая сама в свою очередь находится в резонансе 2:1с Гани-
медом; в результате имеется резонансная конфигурация из трех спутников,
известная как резонанс Лапласа. Средняя орбитальная угловая скорость,
или среднее движение п (°/сут), определяется как п = 360°/Г, где Т —
орбитальный период небесного тела в сутках. Средние движения Ио, Европы
и Ганимеда таковы:
щ = 203.488992435 °/сут, (1.7)
пЕ = 101.374761672°/сут, (1.8)
nG = 50.317646290 °/сут. (1.9)
Следовательно,
и
или
— -2.007294411
пЕ
— -2.014696018,
nG
^ = 1(1 -0.007294411)
пЕ 2V ;
(1.10)
(1.11)
(1.12)
30
Гл. 1. Строение Солнечной системы
Рис. 1.5. Коллаж из изображений галилеевых спутников Юпитера, показывающий
их относительные размеры. Спутники (слева направо): Ио, Европа, Ганимед и Кал-
листо. Ганимед имеет средний радиус 2634 км и является крупнейшим спутником
в Солнечной системе. Изображения получены с космического аппарата «Галилео».
{Изображения предоставлены NASA/JPL.)
Из этого следует, что в пределах наблюдательной ошибки (составляющей
1(Г97сут)
ni-3nE + 2nG = 0. (1.13)
Это соотношение, известное как соотношение Лапласа, не допускает тройные
соединения этих трех спутников. Геометрия резонанса гарантирует, что когда
имеет место соединение между любой парой спутников, третий спутник
всегда находится на угловом расстоянии по крайней мере в 60° от них. Резонанс
2:1 между Ио и Европой непосредственно ответственен за активные
вулканические процессы на Ио. Вулканизм на Ио впервые наблюдался с космического
аппарата «Вояджер-1» в 1979 г. — через три недели после опубликования
статьи Пила и др. (1979), в которой это явление было предсказано.
У Юпитера есть тонкое кольцо, структура которого, как полагают,
порождена резонансами; в этом случае резонансы представляют собой
соизмеримости между частотами движения пылевых частиц в гравитационном поле
Юпитера и частотой вращения магнитного поля планеты (Берне и др., 1984).
1.6.3. Система Сатурна. Система Сатурна (рис. 1.6) отличается,
вероятно, наибольшим разнообразием резонансных явлений. Например, спутники
Мимас и Тефия находятся в орбитальном резонансе 4:2, и отношение их
средних движений
— =2.003139. (1.14)
ПТе
Энцелад и Диона находятся в орбитальном резонансе 2:1, и отношение их
средних движений
— - 1.997431. (1.15)
Аналогично, Титан и Гиперион находятся в орбитальном резонансе 4 : 3, и
отношение их средних движений
— = 1.334342. (1.16)
пи
1.6. Резонансы в Солнечной системе
3.
Участвуя в резонансах с другими крупными спутниками, Диона и Тефия
к тому же удерживают меньшие объекты на своих орбитах посредством
орбитального резонанса 1:1. Спутники Янус и Эпиметей движутся по так
называемым орбитам типа «подкова», при этом их радиальное положение
периодически изменяется (становясь то ближе к Сатурну, то лялыне от него)
благодаря их орбитальному резонансу 1:1.
Рис. 1.6. Коллаж из изображений, полученных с «Вояджера-1»: натуры, сис^
его колец и шесть спутников — Диона, Титан, Мимас, Тефия, Рея и Энц_
(Изображения предоставлены NASA/JPL.)
Резонансные возмущения со стороны Мимаса с отношением частот
порождают люк — щель Кассини — между кольцами Сатурна А и В. В то
время основные структурные особенности кольца А могут быть объясн
резонансными возмущениями со стороны малых спутников — Пандоры, i
метея и Януса, находящихся на орбитах сразу за пределами главной систе
колец. Радиальная протяженность щели Энке в кольце А также может бь
объяснена гравитационным воздействием небольшого спутника, которое обе
печивает расчистку люка. Ярким подтверждением такого механизма стг
открытие Шоуолтером (1991) Пана, восемнадцатого спутника Сатурна,
основе предсказания Куцци и Скаргла (1985).
1.6.4. Система Урана. В системе колец Урана наблюдается целый г.
резонансных явлений, хотя ни одно из них не связано с каким-либо из т
его больших спутников. Однако среди малых спутников обнаруживается, *
Розалинда и Корделия близки к резонансу 5:3 (Мюррей и Томпсон, 19^
а Корделия и Офелия ограничивают узкое кольцо е посредством резонанс
24:25 и 14:13 с его внутренним и внешним краями (Порко и Голдра*.
1987). Корделия также вовлечена в резонанс с краями другого кольца. Ее
также убедительные свидетельства существования других малых спутник'
в главной системе колец, основанные на наблюдаемой резонансной структу:
колец (Мюррей и Томпсон, 1990).
Разительный контраст с системами Юпитера и Сатурна состоит в тоь
что в настоящее время резонансы между большими спутниками Урана otcv-
32 Гл. 1. Строение Солнечной системы
ствуют. Однако некоторые свойства системы Урана — в частности, аномально
большое наклонение орбиты Миранды — настоятельно свидетельствуют, что
резонансы, возможно, существовали в прошлом и, возможно, были
ответственны за реструктурирование поверхности ряда спутников Урана (Дермотт,
1984; Дермотт и др., 1988; Титтемор и Уиздом, 1988, 1989, 1990).
1.6.5. Система Нептуна. Хотя своеобразная система колец Нептуна
полностью пока не объяснена, вполне вероятно, что объяснение «дуг»,
образуемых оптически более толстым веществом в самом внешнем кольце — кольце
Адамса, будет основываться на учете резонансных эффектов со стороны
малых спутников. В частности, спутник Галатея может являться «спутником-
пастухом» и осуществлять азимутальный конфайнмент вещества в кольце
Адамса (Порко, 1991).
1.6.6. Система Плутона. И Плутон, и Харон — каждый находится
в состоянии синхронного вращения; как говорят, система Плутон-Харон
достигла состояния полного приливного замедления вращения составляющих
ее тел. В конце процесса приливного замедления вращения и планета, и
спутник оказываются все время обращенными друг к другу одной и той же
стороной. Следовательно, при наблюдении с Плутона Харон сохраняет почти
одно и то же видимое положение прямо над некоторой фиксированной точкой
поверхности Плутона.
1.6.7. Пояс астероидов. Пояс астероидов также имеет резонансную
структуру. Объяснение люков в радиальном распределении орбит астероидов
остается важной проблемой динамики Солнечной системы. Исследуя выборку
из менее чем 100 астероидов, Кирквуд (1867) был первым, кто обнаружил
люки в поясе астероидов, соответствующие некоторым важным резонансам
с Юпитером. Распределение всех астероидов, открытых со времен Кирквуда,
имеет целый ряд люков, причем наиболее заметные из них соответствуют
резонансам 4:1, 3:1, 5:2 и 2:1 с Юпитером; но в концентрации астероидов
есть и сгущения, отвечающие резонансам 3:2 и 1:1 (рис. 1.7).
К
о
£200
03
о
^ 100
2 3 4 5
Большая полуось, а.е.
Рис. 1.7. Гистограмма, показывающая распределение каталогизированных астероидов
по значениям больших полуосей их орбит (в расчете на интервал в 0.02 а.е.).
Отмечены положения основных резонансов с Юпитером
1.7. Тенденция к соизмеримости
33
Люки Кирквуда не вполне свободны от астероидов; внутри них известно
небольшое количество объектов, находящихся в резонансах с Юпитером.
Кроме того, численные исследования выявили несколько астероидов, которые
были или будут захвачены в резонансы с Юпитером.
1.6.8. Кометы, метеороиды и пыль. Численное интегрирование орбит
комет и метеороидов показало, что в соответствующих системах могут
присутствовать резонансные явления, хотя их и трудно исследовать аналитически
из-за больших эксцентриситетов орбит.
Существование пояса комет во внешней части Солнечной системы было
предсказано Эджвортом (1943) и независимо Койпером (1951) из
космогонических соображений. Проведенное не так давно Дунканом, Квинном
и Тремейном (1987) численное моделирование свидетельствует, что пояс
Эджворта-Койпера является более вероятным источником короткоперио-
дических комет семейства Юпитера, чем более удаленное облако Оорта.
Объекты пояса Эджворта-Койпера были впервые обнаружены в 1992 г.;
сейчас известно более шестидесяти таких объектов х). Интересно отметить,
что, согласно данным об орбитах этих объектов, почти треть из них может
быть вовлечена в орбитальный резонанс 3:2 с Нептуном. Это может
свидетельствовать об эволюции планетных орбит в ранней Солнечной системе
(Мальхотра, 1995).
Имеются также косвенные признаки существования люков в
распределении больших полуосей метеорных потоков (Мюррей, 1996) — потоков
пылевых частиц, обычно ассоциированных с орбитами комет.
Открытие нескольких пылевых комплексов в Солнечной системе (Лоу
и др., 1984) с последующим обнаружением их тесной связи с группами
астероидов (Дермотт и др., 1984) выдвинули на первый план изучение эффектов
вековых возмущений орбит частиц межпланетной пыли в Солнечной
системе. Сегодня мы знаем, что Земля погружена в пылевое кольцо, состоящее
из астероидных частиц, временно захваченных в ряд сильных орбитальных
резонансов (Дермотт и др., 1994).
1.7. Тенденция к соизмеримости
В разделе 1.6 мы убедились, что в Солнечной системе существует
большое количество резонансных явлений, связанных с точными численными
соотношениями между различными периодами. Является ли число таких
соотношений большим или меньшим относительно ожидаемого при случайном
распределении объектов? Эту проблему впервые исследовали Рой и Овен-
ден (1954) и впоследствии Голдрайх (1965) 2). Эти авторы рассматривали
соизмеримости вида
^*А 0.17)
П2 12
1) К 2008 г. их открыто уже более 1100. — Прим. ред.
2) Значительный вклад в исследование этой проблемы внес A.M. Молчанов, выдвинувший
в 1968 г. гипотезу полной резонансности Солнечной системы (Icarus 8, 203). — Прим. ред.
3 К. Д. Мюррей, С. Ф. Дермотт
34
Гл. 1. Строение Солнечной системы
где п\ и П2 — средние движения (средние угловые скорости) двух объектов
(щ < П2), целые числа гь г2 G {1, 2,... ,гтах}, при этом г\ < г2, гтах = 7,
а случай zi = г2 = 1 (соизмеримость 1:1) был исключен. Однако все близкие
к точным соизмеримости, наблюдаемые в Солнечной системе, имеют вид
*--Ъ. 0.18)
П2 р+ 1
где р — целое число 0. Соответствующая менее общая проблема тенденции
отношений средних движений в Солнечной системе быть близкими к дробям
вида р/(р+ 1) была изучена Дермоттом (1973); мы воспроизводим здесь его
результаты.
Пусть р/(р+ 1) и р'/(р' + 1), где р и р' — целые числа, являются двумя
дробями, которые ограничивают п\/п2 наиболее точно сверху и снизу.
Определим
n.M-pv^+i) (119)
если а^ 1/2, (1.20)
если а> 1/2, (1.21)
2тг(а-Ь). (1.22)
{":
Таким образом, —7г ^ с ^ +7г, и тенденция к близкой соизмеримости
возрастает при стремлении с к нулю. Если бы средние движения были распределены
случайным образом, тогда распределение с было бы прямоугольным. Примем
также, что в случае, когда 1/3 < п\/п2 < 1/2, в качестве р /{р' + 1) в формулу
(1.19) подставляем значение 1/3.
Если определить, что Солнечная система состоит из девяти больших
планет и всех регулярных (Голдрайх, 1965) спутников диаметром более 150 км,
входящих в системы Юпитера, Сатурна и Урана (это большие регулярные
спутники, открытые еще до исследования внешней Солнечной системы
космическими аппаратами «Вояджер»), то имеется девятнадцать независимых
отношений средних движений.
Распределение \с\ показано на рис. 1.8 а. Если сравнить его с
распределением точек на окружности, то, рассматривая каждое значение с как
единичный вектор с^ = (cos q, sin ci) и сравнивая абсолютное значение суммы
этих единичных векторов, |^Cj|, с x/TV, где N — число векторов или
отношений, мы найдем, что \^2ci\/y/N — 1.01, что не настолько велико, чтобы
представлять интерес (поскольку для значимости «на уровне За» требуется,
чтобы \"£ci\/y/N >3).
Можно отметить, однако, что шесть значений \с\ на рис. 1.8 а особенно
близки к нулю. Этот участок показан в увеличенном масштабе на рис. 1.8 6.
Мы имеем шесть отношений с \с\ < 0.15, и вероятность их случайного при-
') Согласно определенной и принятой ниже модели Солнечной системы, астероиды, кометы
и малые спутники планет исключены здесь из анализа. Если же их включить, то, напротив,
будут безусловно преобладать резонансы высоких порядков. — Прим. ред.
1.7. Тенденция к соизмеримости
35
АВ С
D
Е F
О
0.15
Рис. 1.8. а) Распределение \с\ для девятнадцати пар соизмеримостей. б)
Распределение шести наименьших значений \с\. Метки соответствуют следующим соизмери-
мостям: (А) 2:1 Энцелад-Диона, (В) 2:1 Мимас-Тефия, (С) 4:3 Титан-Гиперион,
(D) 2: 1 Ио-Европа, (Е) 2: 1 Европа-Ганимед и (F) 3:2 Нептун-Плутон
сутствия в выборке из девятнадцати отношений составляет 0.00017. Данный
результат может иметь некоторую статистическую значимость.
Тем не менее, статистические аргументы сами по себе не всегда
убедительны. В Солнечной системе есть много любопытных близких к резонансным
соотношений между средними движениями. Например, средние движения
спутников Урана Миранды, Ариэля и Умбриэля равны
пм - 254.6906654 °/сут,
пА= 142.8356540 °/сут
(1.23)
(1.24)
отсюда
пи = 86.8688800 °/сут,
пм - ЗпА + 2пи = -0.0785 °/сут,
(1.25)
(1.26)
и, следовательно, спутники очень близки к резонансу лапласова типа.
Уравнение (1.26) может быть записано через отношение взаимных средних
движений:
' пи - пд
^м - па
= 0.50035
]_
2'
(1.27)
Другие примеры близких к точным резонансов среди троек средних движений
в Солнечной системе приведены в табл. 1.3.
Дермотт (1973) показал, что среди троек средних движений (или пар
относительных средних движений) в Солнечной системе есть тенденция
к соизмеримости, и что вероятность того, что это является случайным совпа-
Таблица 1.3. Примеры близких к точным резонансов среди троек средних
движений в Солнечной системе
Тройка (1, 2, 3)
Миранда, Ариэль, Умбриэль
Венера, Земля, Марс
Мимас, Энцелад, Титан
|(п3 -п2)/(щ -п2)\
0.50035
0.74865
0.49661
P/(P+1)
1/2
3/4
1/2
36
Гл. 1. Строение Солнечной системы
дением, равна всего лишь 0.006. Тем не менее, нет свидетельств того, что эти
частные приблизительные соизмеримости имеют какой-либо динамический
смысл. Это разительно контрастирует с приближенными соизмеримостями,
наблюдаемыми среди пар средних движений, показанных на рис. 1.8 6.
Средние движения, приведенные на этом рисунке, не просто почти
соизмеримы, но входят в другие соотношения, являющиеся точными и имеющие
реальный динамический смысл. Например, средние движения Титана и
Гипериона, пт\ и пн, участвуют в резонансе вида
3nTi - 4пн + Й7Н =0, (1.28)
где шн — средняя скорость прецессии линии апсид орбиты Гипериона.
Именно это соотношение имеет динамический смысл; тот факт, что 3nxi « 4пн,
просто является следствием того, что скорости прецессии малы и шн <С пн-
1.8. Последние достижения
Развитие динамики Солнечной системы как науки определяли и
направляли наблюдения и непрерывный поиск аномалий. Наблюдения отклонений
в движении планет, в частности Марса, от предсказанных орбит привели
к открытию законов Кеплера, закона всемирного тяготения, к открытию
новых планет, и в конечном итоге общей теории относительности.
Имеется ряд интригующих проблем, касающихся динамики тел
Солнечной системы. Например, почему большинству главных резонансов с
Юпитером в поясе астероидов соответствуют люки, а резонансу 3:2 отвечает,
наоборот, скопление астероидов? Откуда появляются короткопериодические
кометы? Почему элементы орбит в некоторых группах астероидов имеют
одни и те же значения? Почему так много резонансов в системах спутников
Юпитера и Сатурна, но ни одного в системе Урана? Почему эксцентриситеты
и наклонения орбит некоторых спутников слишком велики, чтобы
согласовываться с современным пониманием приливной эволюции? Что стало причиной
возникновения щели Кассини в кольцах Сатурна? Что поддерживает
существование узких колец, несмотря на размывающее действие столкновений
и сил сопротивления? Представляют ли кольца планет временное явление,
или они могут существовать миллиарды лет? В последние годы получены
удовлетворительные объяснения большинства этих аномалий, но каждое новое
поколение наблюдательных инструментов и космических аппаратов приводит
к открытию очередных загадочных явлений, поисками объяснения которых
занимается новое поколение небесных механиков. Динамика Солнечной
системы — это дисциплина, движущей силой которой служит потребность
в объяснении аномалий.
По мнению многих астрономов, небесная механика достигла своей
вершины с успешным предсказанием Адамсом и Леверье открытия планеты
Нептун. Вплоть до недавнего времени было широко распространено мнение,
что в небесной механике уже нечего больше открывать, что все важные
проблемы уже решены. Но в последние годы эти взгляды пришлось
пересмотреть благодаря компьютерам и развитию приложений нелинейной динамики.
1.8. Последние достижения
37
В течение нескольких веков прогресс в понимании динамики Солнечной
системы сдерживался — но не из-за недостатка в знании основных уравнений,
описывающих движение тел, а из-за невозможности получить решения этих
уравнений кроме как на очень коротких интервалах времени. С широким
распространением компьютеров в 1970-х годах стало возможным проводить
численные исследования динамической эволюции тел Солнечной системы
на реалистичных шкалах времени. Большинство работ было посвящено
эволюции внешней Солнечной системы. Один из наиболее длительных полных
численных расчетов к настоящему времени выполнен Зюссманом и Уиз-
домом (1988), использовавшими специально сконструированный компьютер,
«Цифровой Планетарий», для интегрирования орбит пяти внешних планет на
интервале в 845 миллионов лет, что составляет 20% от возраста Солнечной
системы.
Аналитическая теория возмущений требует проведения объемных
алгебраических выкладок. Например, разложение в ряд Фурье стандартного
возмущающего потенциала, испытываемого одним движущимся по орбите телом
со стороны другого, до четвертого порядка по эксцентриситету и
наклонению содержит 79 различных аргументов косинусов и 144 члена (см.
приложение Б). Поэтому применение систем компьютерной алгебры значительно
повысило скорость и надежность алгебраических расчетов. Одним из первых
успехов в применении таких программных средств стало открытие Депри
и др. (1971) незначительных ошибок в теории движения Луны Делоне.
Последняя революция в исследованиях динамики Солнечной системы
произошла в 1980-х годах, когда стало понятно, что важную роль в динамической
эволюции Солнечной системы играет хаос (см., напр., Уиздом, 1987а,б). Тот
факт, что детерминированные системы нелинейных уравнений могут иметь
непредсказуемые, хаотические решения, был известен еще Пуанкаре (1892,
1893, 1899), но следствия из его трудов не были в должной мере оценены
вплоть до второй половины прошлого столетия. Лишь в конце 20 века «новые
методы небесной механики» были полностью восприняты исследователями
динамики Солнечной системы. Важнейшие успехи этого нового подхода
включают предварительное объяснение таких разнообразных явлений, как
люки Кирквуда в поясе астероидов и необычное вращение спутника Сатурна
Гипериона. Недавние исследования дают свидетельства того, что даже
орбитальное движение Земли может быть хаотическим. Одним из результатов
этой исследовательской активности стала разработка ряда новых
численных методов для изучения движения в Солнечной системе на длительных
интервалах времени. В частности, сейчас часто используют алгебраические
отображения, дающие значительный выигрыш в скорости по сравнению со
стандартными численными методами.
Интересный факт состоит в том, что в девятнадцатом веке Пуанкаре,
которого многие считают основателем теории динамических систем, сделал
первые шаги в решении важной практической задачи гравитационного
взаимодействия в системе трех тел (задачи трех тел). Во многом благодаря
новым методам, которые он разработал, теория динамических систем стала
равноправной ветвью математики с предметом исследований, в значительной
38
Гл. 1. Строение Солнечной системы
мере отдалившимся от своего прародителя, небесной механики. Поэтому
представляется вполне закономерным, что результаты нелинейной динамики
нашли успешное применение в задачах о движении тел Солнечной системы —
«блудный сын» триумфально вернулся.
В течение веков понимание динамики Солнечной системы проэволюцио-
нировало от представленной Ньютоном и Лапласом детерминистской модели
движения планет до хаотической модели, открытой в современных
численных и аналитических исследованиях. Этот прогресс, однако, заставил нас
осознать, что и сама Солнечная система эволюционирует на нескольких
временных шкалах. Например, наблюдаемые в настоящее время орбиты планет
и спутников могут существенно отличаться от тех, которые имели место
4.5 миллиарда лет назад, вскоре после образования Солнечной системы.
Сейчас мы знаем, что действие взаимных возмущений и диссипативных
сил может приводить к существенной эволюции орбит, и что эта эволюция
продолжается и сегодня. Хотя наше знание этих процессов далеко не полно,
теперь мы, по крайней мере, осознаем, что лучшее понимание орбитальной
эволюции тех астероидов, комет и пылевых частиц, которые могут
сталкиваться с Землей, могло бы иметь важные последствия для представлений об
эволюции и возможном исчезновении жизни на нашей планете (Саган, 1994).
Контрольные упражнения
1.1. В упрощенной геометрической модели планетных расстояний
Кеплера (рис. 1.1 и раздел 1.2) вписанные и описанные сферы пяти Платоновых тел
определяют расстояния между планетами, причем пять промежутков между
орбитами Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна отделены
друг от друга октаэдром, икосаэдром, додекаэдром, тетраэдром и кубом,
соответственно. Отношение радиусов вписанной и описанной сфер для икосаэдра
и додекаэдра равно у 15 — 6л/5 , для октаэдра и куба оно равно л/3, а для
тетраэдра равно 3. а) Примите в качестве наблюдаемых значений больших
полуосей а планет значения, которыми пользовался Кеплер: 0.38806, 0.72414,
1, 1.52350, 5.2 и 9.51 а.е. Начните с большой полуоси Земли и в модели
Кеплера вычислите теоретические значения больших полуосей Меркурия,
Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна. Покажите, что среднеквадратичное
отклонение (СКО) наблюдаемых значений от теоретических равно 1.350 а.е.
б) Вычислите СКО для каждой из оставшихся 29 возможных перестановок
пяти отношений (только три из которых единственны) и отсюда найдите
такой порядок следования тел, который дает наибольшее и наименьшее СКО.
Изменятся ли ответы на задачи а и б, если заменить кеплеровы значения
больших полуосей значениями, приведенными в табл. А.2 на эпоху J2000?
1.2. Геометрическая модель, фактически применявшаяся Кеплером,
включала также эксцентриситеты орбит, а) Используя кеплеровы значения
наблюдаемых больших полуосей, приведенные в упражнении 1.1, и
соответствующие значения эксцентриситетов е: 0.21001, 0.00692, 0.01800, 0.09265, 0.04822
и 0.05700, вычислите наблюдаемые афелийные расстояния а{\ + е) Меркурия,
Венеры и Земли и перигелийные расстояния а(1 — е) Mapca, Юпитера и Са-
Контрольные упражнения
39
турна. б) Вычислите те же шесть величин, используя фактическую модель
Кеплера, начав с наблюдаемого афелийного расстояния Земли. Для Марса,
Юпитера и Сатурна умножьте афелийное расстояние на соответствующее
отношение радиусов сфер, чтобы вычислить теоретическое перигелийное
расстояние следующей планеты; затем используйте кеплерово значение
эксцентриситета для вычисления афелийного расстояния этой планеты. Для Венеры
и Меркурия разделите перигелийное расстояние на соответствующее
отношение радиусов сфер, чтобы вычислить афелийное расстояние следующей
планеты; затем используйте кеплерово значение эксцентриситета для
вычисления соответствующего перигелийного расстояния. Отсюда покажите, что
СКО наблюдаемых значений от теоретических равно 0.151 а.е. в) Вычислите
СКО для всех оставшихся 29 возможных последовательностей расположения
тел и покажите отсюда, что с точностью до перестановки тел с одинаковым
отношением радиусов вписанной и описанной сфер, кеплеров выбор
последовательности расположения тел дает наименьшее значение СКО (то есть
лучше всего согласуется с наблюдениями). Найдите порядок расположения
тел, дающий наибольшее значение СКО. Изменятся ли ответы на задачи б
и в, если заменить кеплеровы значения больших полуосей и эксцентриситетов
значениями, приведенными в табл. А.2 на эпоху J2000?
1.3. Используя формулу (1.6) с Ti- 1.413 сут, L = 1.546, U = 2.101
и г — 1,2, сгенерируйте большое число (~ 105) случайных наборов
орбитальных периодов для модельной спутниковой системы наподобие системы
трех внутренних спутников Урана. Для каждого набора из трех
периодов вычислите среднее движение щ = 360°/Т* каждого спутника и
величину 6п — \п\ — 3ri2 + 2пз|. Отсюда покажите, что вероятность того, что
6п ^ О.Г/сут, равна - 0.3%.
1.4. Взяв значения орбитальных периодов, приведенные в табл. А.9, за
исключением значений для Эпиметея, Телесто, Калипсо и Елены, и используя
критерии из раздела 1.7, покажите, что в системе Сатурна присутствует 28
отношений средних движений для анализа. С помощью формул (1.19)—(1.22)
вычислите наиболее близкое отношение р/(р+ 1) и значение \с\ для каждой
пары средних движений и покажите отсюда, что, наряду с соизмеримостями
Энцелад-Диона, Мимас-Тефия и Титан-Гиперион (рис. 1.8 6), имеется еще
одна пара с \с\ < 0.15.
1.5. Периоды (в годах) шести планет, движущихся вокруг звезды,
равны Тх = 0.984027, Г2 = 1.83248, Г3 = 5.80493, Г4 - 6.76471, Г5 = 13.9359
и Гб — 19.6679. Рассматривая пятнадцать возможных отношений Ti/Tj
(г < j) орбитальных периодов и десять соизмеримостей первого порядка вида
р/(р+ 1), где 1 ^ р ^ 10 — целое число, выявите пару планет с такими
орбитальными периодами, что \{Ti/Tj) —p/(p+ 1)| < 0.001 для некоторого
значения р. Как вы оцените вероятность случайного возникновения такого
соотношения, если предположить, что шесть орбитальных периодов
распределены случайно на интервале 0 ^ Г ^ 20 лет?
1.6. Рассмотрим подход Роя и Овендена (см. раздел 1.7) к исследованию
тенденции к соизмеримости в Солнечной системе. Из пар целых чисел г\
40
Гл. 1. Строение Солнечной системы
г
и 22, г\ <%2 < ^тах, можно сгенерировать 7Vr рациональных чисел вида i\/i2-
а) Каково соотношение между 7Vr и гтах? б) Пусть £тах по определению
равно половине расстояния между двумя ближайшими друг к другу из ЛГ,
указанных рациональных чисел. Как £тах выражается через гтах? в) Любое
отношение орбитальных периодов Т\/Т2 (Т\ < Т2), лежащее в допустимом
интервале rmin - £max ^ T\jT2 ^ rmax + £max (где rmin и rmax —
соответственно наименьшее и наибольшее из 7Vr рациональных чисел), отличается
на величину е = \Т\/Т2 — j/k\ от ближайшего рационального числа j/k,
принадлежащего этому множеству. Покажите, что вероятность р того, что
отношение Т\/Т2 соизмеримо (то есть для него е < £тах), равна
р =
2f N
l^max ^J/^max
+ 2e
г) Пусть обнаружено, что 7VP пар орбитальных периодов в системе лежат
внутри допустимого интервала, и для 7V0bs из них наблюдается соизмеримость
с точностью етах; покажите, что вероятность этого как случайного события
равна
р — lib: nNob*(\ - r)\N^~Nobs
(Np-Nohs)\Nohs\P [ P)
д) Используя данные приложения А, найдите отношения периодов во всех
возможных парах планет, а также спутников Марса, Юпитера, Сатурна,
Урана и Нептуна с прямым движением *) и размерами (средними радиусами)
> 100 км, имеющих эксцентриситеты орбит < 0.15. Приняв гтах = 7,
покажите, что 30 пар объектов имеют отношения орбитальных периодов в пределах
окрестности £тах допустимой соизмеримости. Какова вероятность того, что
такое число пар имеет случайное происхождение, согласно приведенной
выше теории? Каков был бы возможный эффект включения в выборку также
и малых спутников?
) Определение прямого и обратного орбитальных движений см. на с. 67. — Прим. ред.
Глава 2
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
. ..Мы росли
Двояшкой-вишнею, хотя по виду
Разделены, но в сущности одно:
Две ягоды на стебельке одном,
Два тела, но одна душа в обеих ...
Уильям Шекспир, Сон в летнюю ночь,
акт III, сцена 2
(пер. Т. Щепкиной-Куперник)
2.1. Введение
Задача двух тел — это, возможно, самая простая, интегрируемая задача
в динамике Солнечной системы. Она описывает взаимодействие двух
точечных масс, движущихся под действием взаимного гравитационного
притяжения в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона
(уравнение (1.1)). Благодаря огромному разнообразию масс в Солнечной системе,
орбиты большинства планет и спутников можно считать приближенно
соответствующими движению в задаче двух тел, где меньшее тело движется
вокруг много большего центрального тела. Влияние других тел обычно можно
рассматривать как возмущение движения в системе двух тел. Например,
траектория Юпитера (имеющего массу raj — 1.9 • 1027 кг) вокруг Солнца
(т$и — 2.0- 1030кг = lOOOraj) является, по существу, эллипсом, при этом
основные возмущения исходят от других планет, главным образом Сатурна
(га8а = 5.7.1026 кг).
В первом томе своих "Principia" («Начал») Исаак Ньютон (1687) показал,
что только два типа центральной силы могут порождать наблюдаемое
эллиптическое движение планет. Первый из них — линейная сила, направленная
к центру эллипса; второй — сила, действующая по закону обратных
квадратов и направленная к одному из фокусов эллипса. Однако, только второй
тип силы приводит к эмпирическим законам планетных движений Кеплера
(см. раздел 1.3). В этой главе мы выведем основные уравнения движения
планет, решим задачу двух тел и выясним происхождение законов Кеплера.
2.2. Уравнения движения
Рассмотрим движение двух масс т\ и гп2 с радиус-векторами i*i и Г2,
исходящими из начала О некоторой инерциальной системы координат в
пространстве (рис. 2.1).
42
Гл. 2. Задача двух тел
г2
Вектор г = Г2 — п обозначает
положение массы Ш2 по отношению к т\. Силы
^Г тяготения и вызываемые ими ускорения,
испытываемые двумя массами, равны
Рис. 2.1. Векторная диаграмма г6
сил, действующих на две мае- и (2.1)
сы гп\ и Ш2 с радиус-векторами гпхгпо
ri и r2 F2 = —£ з—r = Ш2Г2
соответственно, где Q — 6.67260 • 10-11 Н • м2/кг2 — постоянная всемирного
тяготения. Следовательно,
mifi +Ш2Г2 = 0, (2.2)
и, проинтегрировав дважды, имеем
ТП\Т\ + Ш2Г2 — а И Vfl\V\ + 7712Г2 = Sit + Ь, (2.3)
где а и b — постоянные векторы. Пусть R = (rairi + Ш2Г2)/'(т\ + гп2)
обозначает вектор положения центра масс; тогда уравнения (2.3) могут быть
записаны как
R= и R- . (2.4)
ГП\ + 7712 ГП\ + 7712
Это означает, что центр масс либо неподвижен (если а = 0), либо движется
по прямой с постоянной скоростью по отношению к началу координат О.
Заметим, что этот результат не зависит от предположения о законе обратных
квадратов для силы.
Теперь рассмотрим движение гп2 по отношению к тп\. Это позволяет
упростить задачу, не теряя существенных ее свойств. В разделе 2.7 мы вернемся
к движению в системе центра масс. Записав г = Г2 — гь из уравнений (2.1)
находим
d г г
S* + M-o. (2.5)
где II — Q(m\ + тг). Это — уравнение относительного движения. Для того
чтобы решить его и найти траекторию ?П2 относительно т\у нам вначале
нужно найти несколько постоянных движения.
Векторное умножение г на уравнение (2.5) дает г х г — 0, что может быть
непосредственно проинтегрировано и дает
rxr = h, (2.6)
где h — постоянный вектор, перпендикулярный к г и г. Следовательно,
движение Ш2 относительно т\ лежит в плоскости, перпендикулярной
направлению, задаваемому h. Это также означает, что векторы положения и
скорости всегда лежат в этой плоскости (рис. 2.2). Уравнение (2.6) обычно на-
2.2. Уравнения движения
43
зывают интегралом момента количества движения. Однако, хотя величина
h — |h| для систем с т^ <^С т\ приблизительно равна орбитальному моменту
количества движения в расчете на единицу массы тела т^, она не является
истинным моментом количества движения в инерциальной системе координат,
поскольку последний вычисляется для векторов положения и скорости
относительно центра масс системы. Более детально мы рассмотрим этот вопрос в
разделе 2.7.
t = Si
f = 0
Рис. 2.2. Движение тг относительно
mi определяет плоскость орбиты
(заштрихована), поскольку г х г есть
постоянный вектор момента количества
движения h и он всегда ортогонален
плоскости орбиты
Рис. 2.3. Площадь 5А,
заметаемая за время St радиус-вектором,
поворачивающимся на угол 59
Поскольку гиг всегда лежат в одной плоскости {плоскости
орбиты), естественно ограничиться рассмотрением движения в этой плоскости.
Движению в произвольной системе отсчета посвящен раздел 2.8. Перейдем
теперь к полярной системе координат (г, в) с началом в mi и произвольной
осью, соответствующей в = 0. Хотя центр масс mi и гп2 может двигаться
относительно инерциалышх систем координат, направление этой оси остается
постоянным. Пусть г и в обозначают единичные векторы, направленные вдоль
радиус-вектора и перпендикулярно ему, соответственно; тогда векторы
положения, скорости и ускорения могут быть записаны в полярных координатах
как
тт, г — гт + гвв, г — (г — гв )т +
rdt
(гЧ)
в.
(2.7)
Подстановка выражения для г в уравнение (2.6) дает h — r26z, где z —
единичный вектор, ортогональный плоскости орбиты и составляющий правую
тройку сгиб. Отсюда имеем
h - г2в. (2.8)
Рассмотрим движение тела тп2 в течение времени St (рис. 2.3). В момент
t — 0 полярные координаты этого тела равны (г, в), а в момент t + 5t они
становятся равными (г + 5г, в + 56). Площадь, заметаемая радиус-вектором
за время 5ty равна
5А « -г(г + 5r) siiiSO « -^rz56,
(2.9)
44
Гл. 2. Задача двух тел
где мы пренебрегли членами второго и более высоких порядков малости.
Отсюда, разделив обе части выражения на St и перейдя к пределу при St —> О,
мы получаем
dt 2 dt 2 v ;
Поскольку h — константа, это означает, что за равные промежутки времени
заметаются равные площади, и, следовательно, уравнение (2.10)
математически выражает второй закон движения планет Кеплера (см. раздел 1.3).
Заметим, что этот результат не зависит от предположения о законе обратных
квадратов для силы; требуется только, чтобы сила была направлена вдоль
прямой, соединяющей две массы.
2.3. Положение и скорость на орбите
Получим скалярное уравнение относительного движения, подставив
выражение для г из формулы (2.7) в формулу (2.5). Выделив компоненты ?,
находим
г-г02 = -4- (2.11)
Чтобы решить это уравнение и найти г как функцию 0, надо сделать
подстановку и = \/г и исключить время, используя константу h = г2в.
Дифференцируя г по времени, получаем
1 du- du .. ,<32^Л 2 2<12и /ою\
и, следовательно, уравнение (2.11) можно записать как
£+«=£• <2лз>
Это есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с общим
решением
u = £[l +ecos(0-tu)], (2.14)
hz
где е (амплитуда) и -со (фаза) — две постоянные интегрирования. Возвращаясь
от и к г, имеем
г=7- Р~тЙ у (2.15)
1 + ecos{6 — W)
что является общей формулой для конического сечения в полярных
координатах, где е — эксцентриситет, ар — semilatus rectum l):
p = h2/fi. (2.16)
О В буквальном переводе с латинского: половина прямой стороны. В отечественной
литературе принято название фокальный параметр конического сечения. — Прим. ред.
2.3. Положение и скорость на орбите
45
Возможных конических сечений всего четыре:
окружность:
эллипс:
парабола:
гипербола:
е = 0,
0<е< 1,
е=1,
е > 1,
р = а\
р = а(1-
P = 2q\
р — а(е2
-е2);
-1).
(2.17)
Эллипс Окружность
ираоола
где постоянная а — большая
полуось конического сечения. В
вырожденном случае параболы величина р
выражается через q — расстояние до
центрального тела при наибольшем
сближении. Название «конические
сечения» происходит от кривых,
образуемых пересечениями плоскостей
с поверхностью конуса (рис. 2.4).
Тип конического сечения
определяется углом, образуемым секущей
и горизонтальной плоскостями.
Если секущая плоскость
горизонтальна, то есть ортогональна оси
симметрии конуса, то результирующая
кривая является окружностью. Если
указанный угол меньше угла
наклона образующей конуса, получается
эллипс; если же секущая плоскость
параллельна образующей,
получается парабола. Гипербола возникает,
когда наклон секущей плоскости к
горизонтальной лежит в интервале
между наклоном образующей конуса
и вертикалью.
В контексте задачи двух тел траектория планеты вокруг Солнца
является эллиптической и замкнута в инерциальндй системе отсчета (рис. 2.5), и
поэтому первый закон движения планет Кеплера (см. раздел 1.3) является
следствием закона обратных квадратов для силы. Заметим, что тело т\
располагается в одном из фокусов эллипса; другой фокус свободен.
В отличие от комет, многие из которых имеют орбиты с е^1,
большинство постоянных членов Солнечной системы имеют орбиты с е« 1.
Заметными исключениями среди планет являются Плутон 0 (е = 0.25) и
Меркурий (е = 0.21), тогда как Нереида (е = 0.75), спутник Нептуна, имеет
наибольший эксцентриситет среди известных естественных спутников.
Поэтому вполне закономерно, что в данной книге мы рассматриваем главным
Рис. 2.4. Пересечения плоскостей с
поверхностью конуса под различными
углами образуют семейство кривых,
известных как конические сечения
О См. прим. ред. на с. 25. — Прим. ред.
46
Гл. 2. Задача двух тел
Апоцентр
f+ъо
Перицентр
0 = 0
Опорное
направление
Рис. 2.5. Геометрия эллипса с большой полуосью а, малой полуосью 6,
эксцентриситетом е и долготой перицентра w
образом эллиптическое движение. В этом случае р — а(1 — е2), а величины а
и е связаны уравнением
Ь2 = а2(\ -е2), (2.18)
где b — малая полуось эллипса (рис. 2.5); также имеем
а(1 -е2)
(2.19)
1 + ecos(0 — vo)'
В небесной механике принято использовать термин «долгота» для
любого угла, отсчитываемого от прямой, покоящейся в инерциальнои системе
координат. Угол в называется истинной долготой. Из выражения (2.19) мы
видим, что наименьшее и наибольшее расстояния г, равные гр — а(1 — е)
и га = а(1 + е), достигаются при в — vo и в = ш + 7г, соответственно. Эти
точки орбиты называются перицентром и апоцентром (или периапсом
и апоапсом), соответственно, хотя в случаях конкретных систем используют
и другие названия (например, перигелий, перийовий, периселений). Отметим,
что расстояние от любого из фокусов до центра эллипса равно ае.
Угол vj (произносится «пи с завитком»; англ. "curly pi") называется
долготой перицентра. В задаче двух тел он постоянен, но может меняться со
временем, когда есть дополнительные возмущения (см. главы 3, 6-8). Обычно
удобно отсчитывать угловую координату от направления на перицентр, а не
от произвольной координатной прямой. С этой целью вводится угол f — 9 — vo
(рис. 2.5), называемый истинной аномалией. Поскольку vo постоянен,
траектория замкнута и угловое положение задается 27г-периодическими
переменными / или в. Таким образом, выражение (2.19) может быть переписано как
г = ^4- (2-20)
1 + е cos /
В декартовой системе координат с началом в центральном теле и осью ж,
направленной на перицентр (рис. 2.5), компоненты радиус-вектора равны
x — rcosf и y = rsin/. (2.21)
2.3. Положение и скорость на орбите
47
Площадь, заметаемая радиус-вектором за один орбитальный период Г,
есть площадь эллипса А = nab. В соответствии с (2.10) эта площадь равна
hT/2. Тогда, учитывая, что h2 — ра(\ — е2), имеем
rjil
4тг2
<
(2.22)
что соответствует третьему закону Кеплера (см. раздел 1.3). Заметим, что
период обращения не зависит от е, являясь лишь функцией р и а.
Рассмотрим случай двух объектов с массами га и га', обращающихся
вокруг центрального тела с массой гас. Пусть большие полуоси их орбит
равны а и а', а периоды — Г и Г'. Уравнение (2.22) дает
гас + га
гас + га'
' \а') \Т )
(2.23)
В случае планет, обращающихся вокруг Солнца, имеем га, га' <С mc, и,
следовательно, (а/а')3 « (Г/Г')2. Таким образом, если а и Г обозначают большую
полуось орбиты Земли и период ее обращения, а единицей длины выбрана
астрономическая единица а.е. (1 а.е. равна приблизительно большой
полуоси орбиты Земли) и единицей времени — год (приблизительно равный
периоду обращения Земли вокруг Солнца), имеем Г' ' « а' ' .
Для любого тела Солнечной системы (например, астероида или кометы),
имеющего малый естественный или искусственный спутник, наблюдения
радиуса и периода орбиты спутника могут быть использованы для оценки массы
этого тела при помощи третьего
закона Кеплера. Рассмотрим
уравнение (2.22) в применении к
системам Солнце-объект и
объект-спутник. Пусть гас, га и га' теперь
обозначают массы Солнца, объекта и
спутника, соответственно;
обозначения больших полуосей и периодов
обращения аналогичны. Это дает
га + га'
га
ГПс
гас + га
(2.24)
где мы воспользовались условиями
га' <^С га и га <^С гас. Это означает,
что масса объекта может быть
оценена из орбитальных характеристик
его спутника.
На рис. 2.6 приведен снимок
астероида 243 Ида и его спутника Дактиля, полученный с космического
аппарата «Галилео» на его пути к Юпитеру. Известно, что непосредственные
оценки масс астероидов крайне затруднены из-за малых размеров этих тел
Рис. 2.6. Изображение астероида 243
Ида и его спутника Дактиля,
полученное с космического аппарата «Галилео»
28 августа 1993 г. Ида имеет размеры
приблизительно 56 х 24 х 21 км, а ее
спутник Дактиль — около 1.4 км.
(Изображение предоставлено NASA/JPL.)
48
Гл. 2. Задача двух тел
(крупнейший астероид, 1 Церера, имеет диаметр 913 км) и, следовательно,
их малого воздействия на другие тела. Хотя анализ данных «Викингов»
(Стэндиш и Хеллингс, 1989) и позволил определить массы крупных объектов
по вызываемым ими непосредственным возмущениям орбиты Марса, похожие
расчеты для астероидов меньших размеров практически невозможны. Однако
наблюдения движения Дактиля по изображениям, полученным с
космического аппарата «Галилео», привели к оценке плотности в 2.6 ±0.5 г/см3 (Белтон
и др., 1995).
Поскольку угол в покрывает 27г радиан за один орбитальный период, мы
можем определить «среднюю» угловую скорость, или среднее движение п,
как
п = ^г (2-25)
и можем записать
/х = п2а3 и h = na2y/l -е2 = у/ца(1 - е2). (2.26)
Хотя среднее движение в задаче двух тел постоянно, истинная угловая
скорость / движения тела на орбите является функцией долготы.
Мы можем выявить еще одну постоянную движения, взяв скалярное
произведение г с уравнением (2.5) и использовав выражения (2.7) для гиг.
Это приводит к скалярному уравнению
г.г + /х-^ = 0, (2.27)
которое после интегрирования дает
£«* - - = С. (2.28)
2 г
где v2 — г • г — квадрат скорости, а С — постоянная движения.
Выражение (2.28), называемое иногда интегралом живой силы (интегралом vis
viva), показывает, что орбитальная энергия в расчете на единицу массы
сохраняется. Таким образом, задача двух тел имеет четыре постоянных
движения: интеграл энергии С и три компоненты интеграла момента количества
движения h. Отметим, что можно записать эти постоянные и по-другому —
через элементы орбиты или такие величины, как эксцентриситетныи вектор
(см. задачу 2.4).
Используя другое выражение для v2, мы можем вывести выражение
для С. Поскольку vj постоянно, имеем в — d(/ + vj)/dt = /; подстановка г
по формуле (2.7) дает
v2 = г • г = г2 + г2/2- (2.29)
Дифференцируя уравнение (2.20), имеем
. _ r/esm/
1 + е cos /
2.4. Средняя и эксцентрическая аномалии
49
Используя соотношение г2/ = h = па2л/1 — е2 , мы можем записать
r= nQ esin/ (2.31)
и r/ = _^L_(1+ecos/)) (2.32)
так что уравнение (2.29) может быть записано как
2 2 2 2
n a /in j* 2ч п а
g 1 + 2ecos / + е1) = *
1 — ez 1 — ez
Отсюда /9 1Ч
у2 =" (* "«)' (2'34)
Следовательно, скорость обращающегося тела максимальна в перицентре
(/ = 0) и минимальна в апоцентре (/ = 7г). Соответствующие значения равны
2 n2ft2 /in j* 2ч n2ft2 /2а(1-е2) 9ч \ /п ооч
v2 - z к(\ + 2ecos/ + e2) = * —^ '- - (\ - е2) ) . (2.33)
vp — па\/ и vai = na\/——. (2.35)
'1+е /1
— и ^а = па^г+е
Мы можем найти также ж- и у-компоненты вектора скорости, взяв
производные по времени от выражений (2.21) для х и у и подставив в них
выражения (2.31) и (2.32) для г и г/. Это дает нам
па .
х = . sin/,
л/1 _ Р2 ■*
Va (2.36)
^7T^(e + cos/)'
Сравнивая уравнения (2.34) и (2.28), мы видим, что постоянная энергии
может быть записана как
°—&• <2-з7)
и, следовательно, интеграл энергии для эллиптической орбиты является
функцией только ее большой полуоси и не зависит от эксцентриситета.
Аналогичные величины могут быть определены для параболической и
гиперболической орбит. Можно показать, что
Срага = 0 И Chyper = W~- (2.38)
2.4. Средняя и эксцентрическая аномалии
В предыдущем разделе мы показали, что для заданного значения истинной
аномалии / можно рассчитать орбитальное расстояние и скорость тела, если
известны эксцентриситет и большая полуось его орбиты. Однако на практике
обычно необходимо вычислить положение тела в заданный момент времени,
а наше решение (2.20) задачи двух тел не содержит времени явно. Хотя /
50
Гл. 2. Задача двух тел
и г — функции t, мы не выявили еще характера этих зависимостей, хотя и
очевидно, что они нелинейны при е ^ 0.
В идеале мы хотели бы использовать угловую переменную, которая не
только 27г-периодична, но и является линейной функцией времени. Это будет
особенно полезно ниже, когда нам потребуется вычислять средние по времени
от различных величин. Используя наше определение (2.25) среднего
движения п, определим среднюю аномалию М как
M = n(t-r), (2.39)
где постоянная т есть момент прохождения через перицентр. Хотя величина
М имеет размерность угла и линейно возрастает со временем с постоянной
скоростью, равной среднему движению, для нее не существует простой
геометрической интерпретации. Тем не менее, из нашего определения М и
уравнения (2.20) ясно, что при t = г (прохождение перицентра) М = / = 0, а при
t = т + Г/2 (прохождение апоцентра) М — f = 7г; аналогичные соотношения
выполняются для моментов времени, отличающихся от этих двух на целое
число периодов обращения Г.
Хотя М и не имеет простой геометрической интерпретации, ее можно
связать с углом, который имеет такую интерпретацию. Рассмотрим
окружность радиусом а, описанную вокруг эллиптической орбиты с большой
полуосью а и эксцентриситетом е, концентрическую с эллипсом (рис. 2.7 а).
Продолжим прямую, перпендикулярную большой оси эллипса и проходящую
через некоторую точку орбиты, до пересечения с окружностью (рис. 2.7 б).
Определим эксцентрическую аномалию Е как угол между большой осью
эллипса и прямой, соединяющей центр и указанную точку пересечения на
описанной окружности. Тогда случай Е — 0 соответствует / = 0, а случай
Е — 7г соответствует / = 7г.
В прямоугольных координатах уравнение эллипса с центром в начале
системы отсчета имеет вид
©Ч')'-- (2-4о>
Рис. 2.7. а) Описанная вокруг эллипса и концентрическая с ним окружность имеет
радиус а, равный большой полуоси эллипса, б) Связь между истинной аномалией /
и эксцентрической аномалией Е
2.4. Средняя и эксцентрическая аномалии
51
Из рис. 2.7 следует, что х — acosE и, следовательно, у2 — ^sin2^, отсюда
с помощью уравнения (2.18) находим у = а\/1 — е2 sini?. Таким образом,
проекции г на горизонтальную и вертикальную оси равны
х — a(cosE — е) и у — ау\ — е2 sini? (2.41)
(ср. с формулами (2.21)). Сложив квадраты этих выражений и взяв
квадратный корень, получим
г = а(1 -есовЯ) (2.42)
и
cosE — е /Л ,ЛЧ
cos/-- -. (2.43)
1 — е cos £/
Мы можем вывести более простое соотношение между Е и /, записав
!-„,/- "У"'-"*), l+a,/-t1-,"('+<»g'. (2.44)
1 — е cos E 1-е cos £/
Используя известные тригонометрические соотношения для двойных углов,
мы можем записать эти уравнения в виде
2sin2 f- = _L±1_ 2sin2 f, 2cos2 L = , l~e 2cos2 f, (2.45)
2 l-ecos£ 2 2 l-ecos£ 2 v ;
откуда
Таким образом, зная Еу мы можем однозначно определить г и / из
выражений (2.42) и (2.43), поскольку Е и / всегда лежат в одной и той же половине
эллипса. Однако для определения положения тела на орбите в любой момент
времени t необходимо найти соотношение между М и Е.
Используя равенство v2 = г2 + (rf) и уравнения (2.32) и (2.34), имеем
f-nVfg-l')-"'^ ■,-«•). ,147,
\r aj rz
Отсюда
^ = ™ /а2е2 _ (г _ а)2 . (2.48)
at r v
Это выражение можно проинтегрировать после подстановки
г — а = -ае cos E, (2.49)
следующей из формулы (2.42). Тогда (2.48) запишется в виде
&Е _ п
dt 1-е cos E
(2.50)
52
Гл. 2. Задача двух тел
Это уравнение можно также вывести, найдя х и у дифференцированием урав-
нения (2.41), затем найдя вектор г х г и приравняв его длину h выражению
na2V\ — е2 . Легко интегрируя уравнение (2.50), получим
n(t-r) = E-es'mE, (2.51)
где величина г принята в качестве постоянной интегрирования и
использовано начальное условие Е = 0 при t — т. Следовательно, из (2.39) имеем
М = E-esmE. (2.52)
Мы получили уравнение Кеплера; поиск его решения лежит в основе
проблемы нахождения положения тела на орбите в заданный момент времени.
Для некоторого момента t мы можем: 1) найти М из (2.39), 2) решить
уравнение (2.52) относительно Е и 3) использовать выражения (2.43) и (2.42)
либо (2.20) для нахождения /иг.
Ранее мы дали определения истинной долготы 0, истинной аномалии /,
средней аномалии М, эксцентрической аномалии Е и долготы перицентра ш.
Для того чтобы сделать этот набор величин полным, определим среднюю
долготу А как
Л = М + vo. (2.53)
Отсюда следует, что Л — линейная функция времени и, поскольку она
выражена через М, она не имеет геометрической интерпретации, если исключить
частный случай круговой орбиты. Важно отметить, что все долготы (0, w, А)
определены по отношению к общему произвольно выбранному направлению
(рис. 2.5).
Колвелл (1993) отмечает, что работы, посвященные решению уравнения
Кеплера, публиковались практически каждое десятилетие, начиная с 1650 г.,
и его решали многие выдающиеся ученые. Уравнение Кеплера не имеет
простого решения, потому что оно трансцендентно по отношению к Е и,
следовательно, нельзя выразить Е в виде простой функции М, исключая
тривиальные решения Е — jn, когда М = jir для целых j. Мы кратко рассмотрим
два итеративных метода: один из них дает решение в виде ряда, а второй —
численное решение. В обоих случаях мы предполагаем, что М и Е выражены
в радианах.
Решение в виде ряда можно получить, используя итеративную процедуру
вида
Ei+\ = M+ esin£?i, г = 0, 1,..., (2.54)
где первым приближением служит Ео = М. Принимая во внимание формулу
sin(^ + В) — sin A cos В + cos Л sin В и тот факт, что sin х ^ х — -х3 + О (ж5)
2.4. Средняя и эксцентрическая аномалии
53
и cos ж « 1 — -ж2 + О (ж4) для малых ж, находим
^ = M + esinM,
£2 = М + е sin(M + e sin M) w М + е sin М + £е2 sin 2M,
* 2,
£3 = М + е sin ( М + е sin М + Х-е2 sin 2M J « (255^
« М + ( е - -е3 ) sin M + -е2 sin 2М + -е3 sin ЗМ
для первых трех шагов, где на каждом шаге мы добавляем только один
дополнительный член по е. Из этой процедуры ясно, что окончательный ряд
для величины Е — М будет иметь вид
оо
Е - М = J2 Ме) sin sM> (2-56)
s=\
где каждый коэффициент bs(e) содержит члены порядка 0(es) и выше. Вид
(2.56) свидетельствует о том, что мы выразили величину Е — М в виде ряда
Фурье по М. Более детально мы исследуем полезные разложения такого рода
для эллиптического движения в разделе 2.5, где получены выражения для
коэффициентов bs(e).
Важно отметить, что это решение уравнения Кеплера в виде ряда
расходится для значений е > 0.6627434 (детальное объяснение см. в книге Хагиха-
ры, 1970) 0. Это свойство не просто является фундаментальным
ограничением для вывода полезного решения уравнения Кеплера в виде ряда; оно также
имеет важные следствия для других рядов, использующих это решение,
таких, например, как планетная возмущающая функция (см. главу 6). Однако
численные решения уравнения Кеплера не подвержены этому ограничению.
Дэнби (1988) приводит разнообразные численные методы решения
уравнения Кеплера. Записав выражение (2.52) как
f(E) = E-esinE-M, (2.57)
мы можем найти корень нелинейного уравнения f(E) = 0 методом Нью-
тона-Рафсона. Схема итераций имеет вид
El+x=Ei-^- t = 0,l,2,..., (2.58)
где f'(Ei) = df(Ei)/dEi = 1 —ecosEi. Дэнби (1988) отмечает, что схема
Ньютона-Рафсона сходится квадратично, но что возможно также достичь
1) На самом деле ряд (2.56) сходится абсолютно и равномерно при О^е^ 1 и —оо < М <
< +оо. Предел Лапласа не имеет отношения к рядам Фурье. См. книгу К.В. Холшевникова
и В.Б.Титова «Задача двух тел» (СПб.: СПбГУ, 2007). — Прим. ред.
54
Гл. 2. Задача двух тел
сходимости четвертого порядка, модифицировав эту схему. В обозначениях
Дэнби, используя разложение в ряд Тейлора, можно записать
О = f(Ei + Si) = f(Et) + £if(Ei) + -ejf'iEi) + -ег3/'"(£;) + 0(е?). (2.59)
Пренебрегая членами высшего порядка по е^ запишем
О = к + Sift + \s\fl + У?/?', (2.60)
где fi = f(Ei), f! = f'(Ei) и т. д. Отсюда
£ _ fi
fl + fcfi+№fi"'
Это уравнение можно разрешить относительно Si, определив
(2.61)
с Ji с Ji г Ji /о со\
^ /г + 2^1 Л Л + 5д*2/г + 6<Wi
и используя затем итеративную схему
Ei+X =Ei + 6i3. (2.63)
Хотя число арифметических операций в расчете на одну итерацию в этом
методе больше, чем в приведенной выше стандартной схеме Ньютона-Раф-
сона, он более эффективен, поскольку а) может быть запрограммирован
с повторным использованием на каждой итерации уже полученных ранее
величин и б) быстрее сходится.
Важной проблемой в любой из данных численных схем является выбор
подходящего начального значения Eq. Очевидно, что при малых е имеем
Е « М, и поэтому использование Eq — М кажется уместным. Однако эта
оценка верна только в случае е — 0 или для значений М кратных 7г.
Дэнби (1988) отмечает, что если сначала привести М к диапазону 0 ^ М ^ 2тту
то начальное значение
Е0 = М + sign(sin M) ке, O^k^l (2.64)
имеет большую вероятность оказаться правильным и улучшает сходимость;
рекомендуемое значение к — 0.85. Более подробно этот и другие методы
обсуждаются в работах Дэнби и Беркардта (1983), Беркардта и Дэнби (1983)
и Дэнби (1987).
Нахождение Е для заданного значения М путем решения уравнения
Кеплера позволяет вычислить положение и скорость тела на эллиптической
орбите в любой момент времени t. Пусть вектор положения тела в момент
to равен го = г(*о), а вектор скорости vo = v(*o). Тогда процедуру можно
упростить, введя две специальные функции и их производные по времени.
2.4. Средняя и эксцентрическая аномалии
55
При условии, что начальные векторы го и vo не параллельны, вектор r(t)
может быть записан как
r(*) = /(*,*o)r0 + fl(*,*o)vo, (2-65)
где f(t,to) и g(t,to) кратко называются функциями fug.
Разделяя х- и у-компоненты, имеем
х = /(*, t0)x0 + g[t, t0)x0 и у = f(t, t0)yo + g(t, t0)yo, (2.66)
где го — (xo,yo) и vo = (#о»2/о)- Это приводит к системе двух линейных
уравнений, которую можно решить относительно / и д:
ЯШ= Х'°-У±0 и д(Ш= ™-™. (2.67)
хоУо - уохо х0уо - Уохо
Поскольку cos/ = х/r и sin/ = у /г, то можно переписать
уравнения (2.36) в терминах эксцентрической аномалии вместо истинной. Это дает
па л паVl — в2 л ,_ ^оч
ж = sin£/ и у= cos£/. (2.68)
г г
Подставляя (2.41) и (2.68) с соответствующими выражениями для хо, уо, хо
и уо и используя выражения (2.42) и (2.51), получим
/(Mo) = -[cos(£?-£b)-l] + l,
1
fl(«, t0) = (t - t0) + - [sin(£ - £b) - (E - Eo)].
n
(2.69)
Вектор скорости в момент времени t можно записать как
v(<) = /го + ^v0, (2.70)
где частные производные / и д по времени, fug, могут быть найдены из
(2.67) с использованием выражения (2.50) для Е. Тогда имеем
а2
/(Мо) = nsin(E-Eo),
rro (2.71)
g(t,t0) = -[cos(E-E0)-l} + l.
Г
Смысл использования функций / и д состоит в том, что, получив значение
Е из решения уравнения Кеплера, мы немедленно находим величины г и v.
Несмотря на то, что мы получили выражения для скалярных величин /, ду
fug, рассматривая движение в плоскости орбиты, эти формулы
применимы и в других системах отсчета. В частности, использование функций /
и д устраняет необходимость делать прямые и обратные преобразования от
координат в плоскости орбиты к координатам в более общей трехмерной
системе отсчета (см. раздел 2.8). Это приводит к значительной экономии
вычислительных ресурсов.
56
Гл. 2. Задача двух тел
2.5. Разложения в эллиптическом движении
Из-за того что в динамике Солнечной системы очень мало
интегрируемых задач, часто приходится на практике при решении конкретных задач
использовать приближения. Малыми величинами, присущими большинству
задач в исследованиях динамики Солнечной системы, являются
эксцентриситет и наклонение орбиты (угол, образуемый плоскостью орбиты с опорной
плоскостью). Например, в разделе 2.4 мы показали, каким образом
уравнение Кеплера можно решить при помощи рядов по степеням
эксцентриситета. В главе 6 мы рассмотрим разложение возмущающего потенциала,
воздействующего на планету или спутник со стороны другой планеты или
спутника. В этом случае разложение осуществляется по эксцентриситетам
и наклонениям орбит тел, участвующих во взаимодействии. Повсюду в этой
книге мы используем различные разложения. Чаще всего мы осуществляем
разложение, пренебрегаем членами высшего порядка по некоторой величине
и затем используем получившийся ряд в интересующей нас задаче. В данном
разделе мы выведем несколько фундаментальных разложений, которые нам
понадобятся ниже.
В предыдущем разделе мы видели, каким образом можно получить
простое решение в виде разложения Е по М. Теперь мы можем формализовать
полученный результат. Записав уравнение (2.52) как Е — М — esiiiE и
приняв во внимание, что величина Е — М является нечетной периодической
функцией, ее можно разложить в ряд Фурье по синусам:
S = £&e(e) sinsM,
(2.72)
s=\
где коэффициенты bs(e) выражаются как
Ь8(е) = -
7Г
е sin E sin sM dM
е sin E cos sM
S7T
7Г
0
+
2 1
S7T J
cossMd(esmE). (2.73)
Первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю. Записав
d(esinl?) = d(E — М) из уравнения Кеплера, имеем
ba(e) = —
S7T
cos sM dM H
S7T
cos sM &E.
(2.74)
Первый интеграл равен нулю. Снова используя уравнение Кеплера, получаем
2
bs{e) =
S7T
cos(sE — se sin E) dE.
(2.75)
2.5. Разложения в эллиптическом движении
57
Этот интеграл может быть выражен через специальную функцию,
называемую функцией Бесселя первого рода (см., напр., Боуман, 1958). Мы можем
записать
bs(e) = -Ja(8e), (2.76)
где
Js(se)
1Г
cos(sE — se sin Е) &E
(2.76)
есть функция Бесселя. Для положительных значений s можем записать
1 (х
*М-й(1)'В-'>
(3=0
(х/2)2?
0\(8+1)(8 + 2)...(8 + 0У
(2.78)
Этот ряд сходится абсолютно для всех значений х. Если ограничиться
членами до 0(х5) включительно, ряды для Js(x) при s — 1,...,5 записываются
как
J\(x
J2(x
Мх
J\{x
J5(x
1 3 1 х* + 0(х7),
:Х
48 768
384
(2.79)
:Х4 + 0(хе),
Теперь мы можем записать решение уравнения Кеплера в виде
Е = М + 2У^ -Js(se) sin sM =
i s
s=\
= M + e sin M + e2 ( - sin 2M J + e3 ( - sin 3M - - sin M J +
+ e4 hUin4M- -jrsin2Mj + 0(e5), (2.80)
что согласуется с нашим результатом, полученным в разделе 2.4. Важно
повторить уже высказанное в разделе 2.4 предупреждение, что хотя этот ряд
быстро сходится при малых значениях е, он расходится при е > 0.6627434 0.
0 На самом деле свойства сходимости первого и второго рядов в формуле (2.80)
совершенно разные. См. книгу К.В. Холшевникова и В.Б.Титова «Задача двух тел» (СПб.: СПбГУ,
2007). - Прим. ред.
58
Гл. 2. Задача двух тел
Это означает, что в данном разделе все ряды, основанные на этом ряде, также
расходятся при достаточно больших значениях е.
Помимо решения уравнения Кеплера в виде ряда нам также понадобится
несколько других разложений, каждое из которых может быть выражено
через функции Бесселя. В частности, нам понадобятся ряды для г/a, cosE,
(а/г)3, sin/, cos/ и / — М. Вывод приведенных ниже результатов дан в книге
Брауэра и Клеменса (1961).
Ряд для г/а имеет вид
19 .Aid
= 1 + -е2 - 2eY^ -х — Js(se) cos sM
a 2 ^—' s2 de
s=
e2 3e3
= 1 - ecosM + —(1 - cos2M) + -—(cosM - cos3M) +
2 8
e4
+ —(cos2M-cos4M) + 0(e5). (2.81)
Этот ряд используется в разделе 2.6 в методе приближения ведущего центра
и в разделах 6.3 и 6.5 в разложении в ряд планетной возмущающей функции.
Используя ряд для г/а и тот факт, что cosE — (1 —г/а)/е, мы можем
вывести ряд для cosE\ он имеет вид
1 °° 1 d
cosE — --е + 2^ -^ — Js(se) cos sM =
e 3e2
= cosM+ -(cos2M - 1) + -r-(cos3M - cosM) +
2 8
+ e3 [ - cos AM - - cos 2M J +
(5 45 125 \
— cosM - — cos3M + — cos5Mj + 0(e5). (2.82)
Мы можем также использовать ряд для г/а, чтобы вывести ряд
f-\ = 1 + 3ecosM + e2 ( - + -cos2M J + e3 ( — cosM + — cos3Mj +
— + - cos2M + — cos4M J + 0(e5). (2.83)
Этот ряд используется в разделе 6.3 в разложении в ряд планетной
возмущающей функции.
2.5. Разложения в эллиптическом движении
59
Ряды для sin/ и cos/ даются следующими выражениями
sin/ = 2\Л - е2 У^ - —Js(se)sinsM =
= sin М + е sin 2М + е2 ( - sin ЗМ - - sin М ) +
+ е*3 ( - sin 4М - - sin 2M ] +
+ ' 192
sinM-^sin3M + ff^sin5M)+<Э(е5) (2.84)
lzo 3o4 J
2(1-е2) ~
cos / = — е Н у. Js(se) cos sM
s=l
9e2
= cos M + e(cos 2M - 1) + -r- (cos 3M - cos M) +
8
4e3
+ —- (cos 4M - cos 2M) +
о
(ос; оос; дос; \
— cosM-—cos3M + —cos5Mj +0(e5). (2.85)
Эти ряды используются нами в разделе 5.4 при изучении спин-орбитального
резонанса и в разделе 6.5 как составляющая разложения в ряд планетной
возмущающей функции.
Мы можем вывести выражение в виде ряда для величины / — М, часто
называемое уравнением центра. Из выражений (2.20) и (2.32) имеем
г2/-па2(1-е2)1/2. (2.86)
Используя соотношения dM = ndty r — а{\ — ecosE) и уравнение Кеплера,
получаем
d/ = /1л/1~6' 9dM = /П^2 (^-] dM. (2.87)
J (\-ecosE)2 \dMj v ;
Используя решение уравнения Кеплера в виде ряда, это выражение можно
почленно проинтегрировать, что дает
/ - М = 2е sin М + -е2 sin 2M + е3 ( — sin ЗМ - - sin M J +
+ e4(^sin4M-^sin2M) + <Э(е5). (2.88)
60
Гл. 2. Задача двух тел
Этот ряд используется в разделе 2.6 при анализе приближения ведущего
центра и в разделе 5.2, где мы исследуем приливное замедление вращения
небесных тел.
Лагранж разработал полезный метод обращения рядов, который применим
в данном случае. Лагранж показал, что если переменная z может быть
выражена как функция переменной £ в виде
С = г + е0(С) (е<1), (2.89)
то С в свою очередь, может быть выражена как функция z посредством
соотношения
< = « + £?
е^ <Р"
j=i
j\ сЫ-1
[ф(г)у.
(2.90)
Например, для того чтобы получить выражение (2.88) для / через М, мы
исходим из второго закона Кеплера (2.8) и уравнения (2.26), которые дают
h = r2f = na2(l-e2)1/2. (2.91)
Интегрируя это уравнение и подставляя выражение (2.20) для г, находим
/
M = (l-ez)
2\3/2
d/
(1 + е cos /)2
(2.92)
Используя разложение в биномиальный ряд и интегрируя почленно, имеем
(2.93)
M = /-2esin/ + -e2sin2/ + 0(e3),
или
/ = М + е( 2sin/--esin2/ + ..
Тогда обратная теорема Лагранжа дает
/ = м+Е?
е? сУ'-1
i=i
j\dMi~l [
2 sin M - -еsin 2M +
4
(2.94)
(2.95)
что после разложения совпадает с (2.88). Мы будем часто использовать
метод Лагранжа в разделе 3.6, где найдем положения коллинеарных точек
равновесия в круговой ограниченной задаче трех тел.
2.6. Приближение ведущего центра
Во многих задачах динамики Солнечной системы эксцентриситет мал,
и полезными оказываются приближения, точные до первого порядка по е, —
в особенности для систем, анализ которых наиболее естественно проводить
во вращающейся системе координат. Это приближение также уместно при
исследовании таких задач, как задача о возмущенном движении в окрестности
точек равновесия (см. раздел 3.8), при анализе влияния сплюснутости планет
2.6. Приближение ведущего центра
61
на почти круговые и почти
экваториальные орбиты (см. раздел 6.11) и в его
приложениях к динамике планетных
колец (см. главу 10). Во всех этих
случаях полезно характеризовать степень
отклонения от кругового движения.
В приближении ведущего центра
движение частицы Р по
эллиптической орбите относительно фокуса F
(рис. 2.8) рассматривается в системе
отсчета с центром в точке G — ведущем
центре, вращающемся вокруг фокуса по
окружности радиусом а, равным
большой полуоси орбиты частицы, с угловой
скоростью, равной среднему движению
Рис. 2.8. Связь между истинной
аномалией / и средней аномалией М в
приближении ведущего центра; G —
ведущий центр, Р — частица, F —
фокус, F' — свободный фокус.
Ведущий центр движется по окружности
радиусом а с центром в точке F
п частицы.
Если перейти к прямоугольной системе координат с началом в точке G,
то координаты точки Р будут равны
х = rcos(/ — М)
у — rsin(/ — М).
(2.96)
Согласно (2.88), разложение величины / — М с точностью до первого порядка
по е имеет вид
/ -М ^2esinM. (2.97)
Отсюда
х « — ае cos М и у « 2ае sin M (2.98)
х"
+
У
1.
(2.99)
(ае)2 (2ае)2
Следовательно, в то время как точка G движется вокруг F по окружности
радиусом а со средним движением п и периодом 27г/п, точка Р движется
с тем же периодом 27г/п вокруг G в противоположном направлении по
эллипсу с отношением осей 2:1, большой полуосью 2ае и малой полуосью ае.
Движение Р относительно F описывается фигурой Лиссажу, получаемой
наложением двух гармонических движений с общей частотой п, разностью
фаз 7г/2 и отношением амплитуд 2:1.
На этом уровне приближения имеются еще две особенности движения,
заслуживающие упоминания. Расстояние R от центра эллипса до точки Р
(рис. 2.9) определяется из уравнения
R2 = г2 + (ае)2 + 2aer cos /.
Отсюда
R
1~е2 sin2/
l-ie2sin2M
(2.100)
(2.101)
62
Гл. 2. Задача двух тел
Рис. 2.9. Связь между истинной,
средней и эксцентрической аномалиями в
приближении ведущего центра.
Заметим, что рисунок утрирован, — на
самом деле эксцентриситет мал и точки
F и F' близки к точке О
косинусов к треугольнику FF'P, имеем
так как, согласно (2.97), f = М + 0(e).
Таким образом, с точностью до
первого порядка по е, траектория точки Р
есть окружность с центром в точке О.
Следовательно, траектория и
описанная окружность (рис. 2.9) совпадают,
и поэтому угол POF есть
эксцентрическая аномалия Е. Кроме того, как мы
покажем ниже, в данном приближении
угол PF'F, где F' — свободный
фокус, представляет собой среднюю
аномалию М.
Рассмотрим реальную
эллиптическую траекторию точки Р и обозначим
угол FF'P как д. Применяя теорему
г2 = (2а - г)2 + 4(ае) - 4ае(2а - г) cos д.
Отсюда
cosg
(1 -г/а) + е2
(2.102)
(2.103)
е(1 — г/а) + е
Здесь мы воспользовались тем фактом, что, поскольку F и F' — фокусы
эллипса, то FP + F'P = 2а. Из разложения г/а по формуле (2.81) получаем
1
г
а
е cos M
]-е2{\ - cos2M) - |e3(cosM - cos3M)
2 о
(2.104)
и, следовательно,
cosg « cosM - -e2(cosM - cos3M) +0(e3).
8
(2.105)
Так что с точностью до 0{е) мы имеем д — М. Следовательно, прямая,
соединяющая тело на орбите со свободным фокусом, должна вращаться с угловой
скоростью, равной среднему движению тела.
Этот результат, если применить его к движению спутника, период
вращения которого совпадает с его периодом обращения, то есть к синхронно
вращающемуся спутнику, имеет одно интересное следствие. Поскольку
прямая, проведенная от спутника к свободному фокусу, вращается с частотой п,
равной среднему движению, следует, что синхронно вращающийся спутник
вращается таким образом, что одна его сторона все время направлена на
свободный фокус его орбиты. Этот факт полезен для понимания природы
либрационного прилива на синхронно вращающихся спутниках — таких, как
Луна или Ио. Также легко доказать, что прямая, проведенная из ведущего
центра к центральному телу, параллельна прямой, соединяющей
обращающееся тело с свободным фокусом (рис. 2.10).
2.7. Барицентрические орбиты
63
tV^
в ^
Рис. 2.10. Иллюстрация приближения ведущего центра для эллипса с
эксцентриситетом е = 0.2. Положение обращающегося тела (маленький темный кружок) по
отношению к центральному телу (большой темный кружок) и свободному фокусу
(большой светлый кружок) показано через равные интервалы изменения средней
аномалии М: а) М = 0, б) М = тг/3, в) М = 2тг/3, г) М = тг, д) М = 4тг/3,
ё) М — 57г/3. Сплошная кривая обозначает кеплеровский эллипс, а штриховая
окружность с радиусом, равным большой полуоси эллипса, — траекторию ведущего
центра. Центр этой окружности находится в главном фокусе эллипса
Интересно заметить, что в птолемеевой модели движения Солнца
вокруг Земли Солнце двигалось по окружности с постоянной угловой
скоростью вокруг экванта, при этом Земля была смещена от центра
окружности. Если мы поместим Землю в фокус F и отождествим эквант с
точкой F\ то убедимся, что птолемеева модель точна до первого порядка
по е. Триумф Кеплера состоит в том, что его теория точна до второго
порядка по е (Хойл, 1974) 1).
2.7. Барицентрические орбиты
Нами уже было показано, что в
задаче двух тел движение тела гп2
относительно тела т\ описывает в
пространстве коническое сечение. Теперь
мы вернемся к формулировке задачи
двух тел, используя систему
координат с началом в центре масс системы
(точка 0\ рис. 2.11).
Как и ранее, пусть R обозначает
вектор положения центра масс О' по
отношению к фиксированному началу
Рис. 2.11. Векторы положения двух тел
по отношению к началу координат О и
центру масс О'
1) В задаче двух тел теория Кеплера точна абсолютно. — Прим. ред.
64
Гл. 2. Задача двух тел
координат О. Вектор R определяется уравнением
77111*1 + 7712Г2 - (mi + ?712)R
0.
(2.106)
Поскольку сумма коэффициентов в этом уравнении равна нулю, точки,
определяемые тремя радиус-векторами, лежат на одной прямой. Если записать
Ri =г,
R
R2 - r2 - R,
то из определения R следует, что
ТП\ Ri + 7712R2 — 0.
(2.107)
(2.108)
Это означает, что 1) вектор Ri все время направлен противоположно R2
и, следовательно, 2) центр масс всегда лежит на прямой, соединяющей т\
и Ш2] тогда можно записать R\ + R2 — г, где г — расстояние между т\
и гп2, и 3) расстояния от тел до центра масс системы связаны соотношением
m\R\ — 77i2i?2- Из этого следует, что
Rl = -^—r и R2 = ^—r. (2.109)
7711 + 7^2 m\ + m2
Следовательно, каким бы из конических сечений ни описывалось
относительное движение двух тел, каждое из тел также будет обращаться вокруг центра
масс системы по траектории, описываемой таким же коническим сечением,
но уменьшенным в m\/(m\ +7712) или rri2/(m\ + rri2) раз (рис. 2.12).
Система координат с началом в центре масс называется
барицентрической системой. В разделе 2.2 мы показали, что для траектории движения
7772 по отношению к mi существует постоянная h = г2в. Поскольку R\ и i?2
пропорциональны г, мы имеем
const — h\ — \ ) /г,
Wi+™2;2 (2110)
const = /г-2 = ( — I h
R\6
R29
ТП\ + 7712
I Опорное
направление
Рис. 2.12. а) Движение тела тг по отношению к телу т\ в задаче двух тел;
штриховая кривая обозначает эллиптическую траекторию центра масс О'. б)
Движение тел mi и Ш2 относительно центра масс О'. В обоих случаях отношение масс
rri2/m\ = 0.2, эксцентриситет равен 0.5
2.7. Барицентрические орбиты
65
и полный орбитальный момент количества движения системы равен
т\гп2
L* = m\h\ + 7712/12 —
Поэтому
+
ГП\
ГП2
ТП\ + 7712
L\
-h.
(2.111)
(2.112)
и отсюда, если гп2 <^ т\у то h « /12, а величина /г приблизительно равна
моменту количества движения системы в расчете на единицу массы тела т^.
Из сказанного выше и из рис. 2.12 ясно, что период обращения каждого
тела вокруг центра масс равен Г — периоду обращения тела Ш2 вокруг т\.
Следовательно, средние движения также равны друг другу: п\ = п^ — п,
хотя большие полуоси и различны. Анализ формул (2.109) в случае
круговых орбит подсказывает наличие следующих соотношений между большими
полуосями:
и а2 = а. (2.113)
ГП\ + 7712
В свою очередь, поскольку h — па
;vT^"
ТП\ + 7712
имеем
/ii
па
;VT
/i2 = 77,а2
2 Л
(2.114)
Поэтому, хотя mjai = m^a^, эксцентриситеты эллипсов одинаковы и все эти
эллипсы подобны друг другу. Каждое тело движется по своей собственной
эллиптической орбите относительно общего центра масс, при этом перицентры
их орбит повернуты друг относительно друга на угол, равный 7г (рис. 2.12 б).
Теперь рассмотрим полную энергию Е* системы, являющуюся суммой
кинетической энергии (в инерциальной барицентрической системе координат)
и потенциальной энергии:
™ 1
Е* = -miv\
1 2 Г'ГЩГП2
+ ^rn2v2 - G—^—
1
-ТП\
д? +
(R4
+ 2^2
Щ +
(я2/);
УГП\ГП2
(2.115)
Это выражение можно упростить, используя соотношения (2.109), что дает
Е*
m\m2
7711+7712
С
,77117712
2а '
(2.116)
где С — интеграл энергии (2.37). Следовательно, полная энергия системы
является функцией только большой полуоси орбиты гп2 по отношению к т\.
Заметим, что
С= (— + — W, (2.117)
\77li 7712/
и поэтому, если гп2 <С Ш|, то С w Е*/т2, то есть постоянная С
приблизительно равна полной энергии в расчете на единицу массы тела 7712.
66
Гл. 2. Задача двух тел
2.8. Орбита в пространстве
В разделе 2.2 мы показали, что векторы положения и скорости тела т^
относительно тела т\ всегда лежат в плоскости, ортогональной вектору
момента количества движения. Значения г = (х,у) иг= (ж, у) (либо г, в и г, в)
для тела т^ по отношению к телу т\ в любой момент времени однозначно
определяют орбиту и положение на этой орбите посредством трех постоянных
а, е и ш и переменной /. Затем мы исследовали движение в плоскости
орбиты. Однако движения в Солнечной системе не ограничиваются одной
единственной плоскостью, и сейчас мы рассмотрим трехмерное представление
орбиты в пространстве (рис. 2.13).
t z
Орбита/
'У / \
оу ^р Перицентр у^
\ //\^— Опорная
\^^^ плоскость
' Восходящий
узел
Рис. 2.13. Орбитальное движение по отношению к опорной плоскости в трехмерном
пространстве
Хотя, как показано нами, движение происходит в фиксированной
плоскости орбиты, рассмотрим трехмерную декартову систему координат, в которой
положение произвольной точки задается вектором г = (ж, у, z) — хх + уу + zz.
Примем, что ось х направлена вдоль большой оси эллипса к перицентру, ось у
перпендикулярна оси х и лежит в плоскости орбиты, а ось z перпендикулярна
осям х и у, так что все три оси образуют правую тройку.
Теперь следует задать ориентацию плоскости орбиты относительно
стандартной опорной плоскости. Направление опорной прямой в опорной
плоскости определяет ось X нашей стандартной системы координат. Ось Y лежит
в опорной плоскости под прямым углом к оси X, а ось Z перпендикулярна
обеим осям X и Y, дополняя их до правой тройки. Например, при
рассмотрении движения планет вокруг Солнца обыкновенно используется система
с началом в Солнце, называемая гелиоцентрической системой координат,
в которой опорной плоскостью служит плоскость орбиты Земли (эклиптика),
г опорная прямая направлена на точку весеннего равноденствия (vernal
equinox) вдоль линии пересечения плоскостей экватора Земли и эклиптики.
Следует отметить, что эта система отсчета меняется со временем из-за
возмущений со стороны других тел (подробное обсуждение систем координат
Опорное
направление
2.8. Орбита в пространстве
67
и систем отсчета можно найти, например, в работе Стэндиша и др. (1992),
а различные преобразования координат — в книге Монтенбрука (1989)).
Плоскость орбиты в общем случае наклонена к опорной плоскости под
углом /, называемым наклонением (или наклоном) орбиты. Линия
пересечения плоскости орбиты и опорной плоскости называется линией узлов. Точка,
принадлежащая обеим плоскостям, в которой орбита пересекает опорную
плоскость в направлении относительно нее снизу вверх, называется
восходящим узлом, а угол между опорной прямой и радиус-вектором восходящего
узла — долготой восходящего узла ft. Угол между тем же радиус-вектором
и перицентром орбиты называется аргументом перицентра ил
Наклонение всегда находится в интервале 0 ^ / ^ 180°. Если / < 90°,
движение считается прямым, а если / > 90° — обратным. В пределе I —> 0
плоскость орбиты совпадает с опорной плоскостью и мы имеем
ш-ft + uj, (2.118)
где vj — это долгота перицентра, введенная в разделе 2.3. Однако определение
vj в (2.118) используется также и в случае наклонной орбиты, несмотря на
то, что углы ft и и тогда лежат в различных плоскостях. Следовательно,
в общем случае vo является «ломаным» углом х).
На рис. 2.14 показано, как соотносятся между собой система координат,
связанная с плоскостью орбиты, и система координат, связанная с опорной
плоскостью. Ясно, что координаты в одной системе могут быть выражены
через координаты в другой системе с помощью трех последовательных
поворотов вокруг различных осей.
Для перехода от системы координат (xyy,z), связанной с плоскостью
орбиты, к системе (X, Y, Z) надо выполнить 1) поворот вокруг оси z на угол и
так, чтобы ось х совпала с линией узлов, 2) поворот вокруг оси х на угол /
так, чтобы две плоскости совпали, и, в конечном итоге, 3) поворот вокруг
оси z на угол ft (рис. 2.13 и 2.14).
Мы можем представить эти три преобразования тремя матрицами
вращения размерности 3x3, обозначаемыми Pi, Рг и Рз, соответственно. Они
имеют вид
^cos ш — sin и 0\ /10 0
Р! = ( sinu; cosu; О), Р2 = I 0 cos/ -sin/) (2.119)
0 0 1/ \0 sin/ cos/
(cos tt — sin Q 0\
sin ft cos ft 0 . (2.120)
0 0 1/
Следовательно,
(2.121)
l) В оригинале "'dogleg' angle" (угол «собачьей лапы»). — Прим. ред.
68
Гл. 2. Задача двух тел
Z, 2A
Рис. 2.14. Связь между единичными векторами х, у, z, X, Y, Z и углами си, I
и Q. а) Преобразование может быть произведено посредством трех
последовательных поворотов совпадающих вначале осей, б) Первый поворот осуществляется на
положительный угол си вокруг оси Z. в) Второй — на^положительный угол / вокруг
оси X. г) Последний поворот делается вокруг оси Z на положительный угол Г2
где PJ-1 — матрица, обратная Pi, и т. д. Поскольку все матрицы вращения
ортогональны, обратные матрицы получаются транспонированием.
Если ограничиться координатами, лежащими в плоскости орбиты, то мы
имеем
= РзР2Р1
^cos ft cos(u; + /) — sin J7 sin(u; + /) cos 7^
r | sin tt cos(u; + /) + cos Q sin(u; + /) cos J
sin(u; + /) sin I
(2.122)
Заметим, что значения а и е в этой новой системе координат остаются
прежними, поскольку преобразования вращения сохраняют длины отрезков.
В качестве примера использования этих формул рассмотрим задачу
определения положений планет на заданный момент времени — скажем, 17 час
32 мин британского летнего времени 25 сентября 1993 г. В приложении А
приведены формулы для вычисления на любой момент времени элементов
орбит планет по отношению к средним эклиптике и равноденствию на эпоху
полудня 1 января 2000 г., называемую эпохой 12000. Указанные формулы
2.8. Орбита в пространстве
69
дают поправки в функции величины Т — интервала в столетиях между
заданной датой и датой эпохи J2000. В этих расчетах удобно выражать
любую дату как юлианскую дату — число суток, отсчитываемых от полудня
1 января 4713 г. до н. э. Юлианское столетие, по определению, содержит
36 525 суток. Юлианская дата эпохи J2000 равна 2451545.0, а выбранной
нами даты — 2 449 256.189, так что в данном случае Г — —0.06266423.
Рассмотрим элементы орбиты некоторой планеты — скажем, Юпитера.
Формулы приложения А дают aj = 5.20332 а.е., ej = 0.0484007, /j = 1.30537°,
ftj = 100.535°, ш3 = 14.7392° hAj- 204.234°, где нижний индекс J
соответствует значениям для Юпитера. Отсюда Mj = Aj — zjj = 189.495°. Численное
решение уравнения Кеплера (см. раздел 2.4) дает Ej = 189.059°. Согласно
формулам (2.41), имеем
xj = -5.39027а.е. и Уз = -0.818277 а.е. (2.123)
Подставляя значения Jj, ttj и zjj в (2.119) и (2.120), получаем матрицу
преобразования:
/ 0.966839 -0.254401 0.0223971 \
Pj = Р3Р2Р1 = ( 0.254373 0.967097 0.00416519 I . (2.124)
V-0.0227198 0.00167014 0.99974 /
В итоге координаты Юпитера в системе отсчета J2000 равны
Х3 = -5.00336, Y3 = -2.16249, Zj = 0.121099. (2.125)
Эту же процедуру можно применить для определения положений других
планет. Результаты проиллюстрированы на рис. 2.15.
Рис. 2.15. Положения и орбиты планет 25 сентября 1993 г. в 17:32 британского
стандартного времени в проекции на эклиптику эпохи J2000: а) внутренняя
Солнечная система и положения Меркурия (Мер), Венеры (В), Земли (3) и Марса (М);
б) внешняя Солнечная система и положения Юпитера (Ю), Сатурна (С), Урана (У),
Нептуна (Н) и Плутона (П). Темные кружки обозначают положения планет; диаметр
кружков не масштабирован. Солнце обозначено крестиком. Отрезки прямых
показывают масштаб каждого рисунка
70
Гл. 2. Задача двух тел
Теперь мы можем резюмировать алгоритм преобразования положения
(X,Y,Z) и скорости (X,Y,Z) объекта на эллиптической орбите
относительно стандартной опорной плоскости на момент времени t в шесть элементов
орбиты а, е, J, П, а; и /, а также момент г прохождения через перицентр.
Пусть массы центрального и обращающегося объектов равны тп\ и Ш2,
соответственно. Имеем
#2 = X2 + F2 + Z2, (2.126)
F2 = X2 + r2 + Z2, (2.127)
RR = XX + YY + ZZ, (2.128)
h = (YZ - ZY, ZX - XZ, XY - YX\ (2.129)
R = ±]jvz-^1 (2.130)
где R — г теперь обозначает длину радиус-вектора, a R — скорость ее
изменения. Знак R берется равным знаку произведения R • R, поскольку R
всегда положительна. Проецируя h = {hx,hy,hz) на три оси, имеем
hcosI = hz, (2.131)
hsmlsinn = hx, (2.132)
h sin/ cos fi = —hy- (2.133)
Указанная процедура выглядит следующим образом.
1. Вычисляем а, используя (2.34), (2.126) и (2.127):
а=(--— -) . (2.134)
\R g(mi+m2)J
2. Вычисляем е, используя (2.26) и (2.134):
е = \1-г?—^:—г- (2Л35>
у у{тп\ + т2)а
3. Вычисляем /, используя (2.131):
/-arccos^") . (2.136)
4. Вычисляем $7, используя выражения для sin $7 и cos $7, вытекающие из
(2.132) и (2.133):
sin$7=-—:—- и cos^l — —-—:—-. (2.137)
h sin I h sin I
2.9. Возмущенные орбиты
71
5. Вычисляем величину и + / из выражений (2.122) для Z/R и X/R,
учитывая, что г — R:
Z
sm(uj + f) =
Rshi[x ч (2.138)
cos(u; + /) = sec Q f — + sin Q sin(u; + /) cos I
6. Вычисляем / и отсюда ш из выражений для sin/ и cos/, вытекающих
из (2.20) и (2.31), учитывая, что г — R:
, Ф -е2) . ,1 /а(1 -е2) \
8т/ = А__^ и cos/^-(-^-i-lj. (2.139)
7. Вычисляем т, вычислив вначале £ из (2.42) и используя затем
выражения (2.26) и (2.51):
r = t- E~^S=. (2.140)
y/G{rn\ +rri2)a 3
Эти уравнения задают корректную процедуру определения элементов
орбиты, однако для упрощения вычислений желательно исключить Q(m\ + 7712)
из уравнений и выбрать вместо СИ (или любой другой стандартной системы
единиц) систему, более удобную на практике. Этого можно достичь, умножив
независимую переменную t на коэффициент y/Jl = y/Q(m\ + m<i) и используя
новую переменную времени t, такую, что
^tdt^dt (2.141)
Из формулы (2.5) можно видеть, что эта замена имеет тот же эффект, как
если бы мы положили /л — 1. Если, кроме того, единица длины выбирается
так, что а = 1, то мы будем иметь дело с системой двух тел, в которой орбита
характеризуется единичным средним движением и орбитальным периодом,
равным 27г единиц времени. Эта система единиц обычно применяется при
анализе круговой ограниченной задачи трех тел (см. главу 3).
2.9. Возмущенные орбиты
В разделе 2.8 мы видели, что в задаче двух тел орбитальные элементы а,
е, /, и, $7 и т являются константами, однозначно определяемыми положением
и скоростью обращающегося тела. Даже если имеется возмущающая сила,
действующая на систему, любой заданный на данный момент времени набор
векторов положения и скорости всегда определяет набор из шести
орбитальных элементов, которые задают форму и ориентацию орбиты, по которой
следовало бы тело, если бы возмущающая сила исчезла в этот момент. Эти
элементы называются оскулирующими элементами, от латинского глагола
osculare, означающего «целовать». Мы рассмотрим возмущения орбит в
последующих разделах, а на данной стадии полезно исследовать некоторые
основные эффекты, которые возмущающие силы оказывают на орбиты.
72
Гл. 2. Задача двух тел
Берне (1976) показал, как можно непосредственно вывести уравнения для
производных по времени от а, е, J, а;, ft и т в рамках элементарной динамики.
Следуя этому подходу, рассмотрим малую возмущающую силу
dF = Яг + Тв + Ж, (2.142)
где RyT и N — модули радиальной, трансверсальной и нормальной компонент
этой силы, соответственно, а ?, в и z — стандартные единичные векторы,
введенные в разделе 2.2. Далее в этом разделе мы выведем выражения для
а, ё, /, ш, & и т как функций этих компонент и покажем, какие именно
составляющие силы вызывают изменения заданных элементов орбиты.
Мы можем приравнять производную по времени от интеграла энергии С
работе, совершаемой над обращающимся телом в расчете на единицу массы
в единицу времени, то есть
С = г • dF = г Д + гвТ. (2.143)
В то же время из формулы (2.37) следует
Й = &4. (2.144)
Отсюда и из выражений (2.31) и (2.32) для г и rf (=гв) получим
da а3/2 — -
— = 2-=== [Resin f + T(l +ecos/)] . (2.145)
ас VMi1 ~e )
Это означает, что лишь силы, действующие в плоскости орбиты, оказывают
влияние на ее большую полуось.
Используя формулы (2.135) и (2.37), можем записать
е = у/\ +2h2Cfi-2 , (2.146)
тогда
*L = ££.(2k/H + 6,c). (2.147,
Поскольку скорость изменения момента количества движения равна моменту
приложенной силы, имеем
^ =r xdF = rTz-r7W. (2.148)
at
Следовательно,
ft=rT, (2.149)
поскольку компонента —rNO изменяет направление h, но не его модуль.
Из формулы (2.42) для г и формул (2.37), (2.26), (2.144), (2.145) и (2.149)
для С, h, С, а и h имеем
de
df
yV~'(l -e2) [Rsin/ + r(cos/ + cosE)] . (2.150)
2.9. Возмущенные орбиты
73
Это означает, что эксцентриситет изменяют только силы, действующие в
плоскости орбиты.
Дифференцируя уравнение (2.131), находим
d/ = h/h - hz/hz ,2 151.
dt yj(h/hz)2 - 1
Мы можем выразить Х-, Y- и Z-компоненты h, используя соотношение
'hx\ /cos(uj + f) -sin(w + /) 0\ / 0 \
ЛУ = Р3Р2 sin(u; + /) cos(u; + /) 0 -rN , (2.152)
,w V о о 1/ v гт;
где матрицы Р2 и Рз определяются формулами (2.119) и (2.120). Тогда
/iX = r(Tsin/sinft + ]Vsin(u; + /) cos ft + ]Vcos(u; + /) cos /sin ft), (2.153)
/iy = r(-Tsin /cos ft + ]Vsin(u; + /)sinft - ~N cos(uj + /) cos/cos ft), (2.154)
hz = r(T cos I -1ST cos(u; + /) sin /) . (2.155)
Подставляя выражения (2.26), (2.131), (2.149) и (2.155) в (2.151), получим
d/ Уа/л-'(1-в2)1Усо8(а; + /^
dt 1 + е cos /
что можно также записать как
d/ = rJVcos(a, + /)>
dt /i
Поскольку dl/dt зависит только от 7V, то лишь силы, нормальные к плоскости
орбиты, могут изменять ее наклонение. Заметим, что rN cos(u; + /) является
компонентой момента сил, вращающего вектор момента количества движения
вокруг линии узлов.
Деление (2.132) на (2.133) дает
tgft = -hx/hy. (2.158)
Дифференцируя по времени, имеем
dft _ hxhy - hYhx /0 t -Qv
dt"" h*-h% • <2.159)
или
dft sin ft hy + cos ft hx /0 t cm
~Т~ = l—:—t • (z.lbU)
74
Гл. 2. Задача двух тел
Подстановка выражений (2.26), (2.20), (2.153) и (2.154) в уравнение (2.160)
дает
7Vsin(u; + /)
dft
—— = \/au l (1 — ez) ———
dt V р v ; sin JI
или
(1 + ecos/)'
(2.161)
(2.162)
dt h sin I
В этом уравнении WVsin(u; +/) является моментом силы, вызывающим
прецессию плоскости орбиты, a hsin/ есть компонента вектора момента
количества движения в направлении нормали к линии узлов в плоскости XY.
Чтобы вывести выражение для Со, необходимо вернуться к уравнению
эллипса (2.20) и использовать выражения (2.146) и (2.26) для ей h. Это дает
h2 = /xr [l + \/l + 2СЛ2/х"2 cos(0 - и)
(2.163)
где 9 — ш + f, и мы выбираем 9 как позиционный угол, отсчитываемый от
линии узлов. Если нас интересует изменение элементов орбиты под влиянием
мгновенного приложения возмущающей силы dF, то С, h и и изменяются,
а г остается постоянным. Дифференцирование уравнения (2.163) дает
= 2ЛЛ Ч^ - + 9 - -_Cctg(0 - u>).
e/2sm(9 - ой) ezfiz
dt
(2.164)
Подставляя (2.144) и (2.149) в уравнение (2.164), получим
du
dt
V^-Hl-*2)
-R cos / + T sin /—
1 + e cos /
ft cos J. (2.165)
Последний член соответствует члену 9 в уравнении (2.164), — действительно,
мгновенное изменение 9 обусловлено изменением долготы восходящего узла,
поскольку 9 отсчитывается от линии узлов (Берне, 1976).
Уравнение для f выводится посредством дифференцирования уравнения
Кеплера (2.51). Положив х — пг> имеем
dt С
3 (1 - в2)3/2 (2е - cos/ - еcos2 /) \ h{\-e2f'2
'2Ut+ 2e2sin/(l+ecos/) J ~h 72 Ctg/'
Учитывая, что x = nt + пт, получим
V^ „„:„ t , _2, -In „2>
dr
"dT
3(r-t)
+
3(r-t)
VMl-e2)
esinf+a /j, (1 - ez)
cos/
+
1 + e cos /
(2.166)
R +
VMl-e2)
(1 +ecos/) + aV_1(l -ez)
2, sin/(2 + ecos/)
e(l + ecos/)
Г.
(2.167)
2.10. Гамильтонова формулировка
75
Поэтому аналогично предшествующим результатам только силы,
действующие в плоскости орбиты, могут изменять момент прохождения через
перицентр.
Заметим, что в правых частях уравнений (2.166) и (2.167) присутствует
время t. Это приводит к практическим трудностям при использовании этих
производных, поскольку их модули растут со временем. Подобная проблема
возникает и с другими формами пертурбационных уравнений, что
обсуждается ниже в разделе 6.8.
2.10. Гамильтонова формулировка
Подход, принятый нами при формулировке и решении уравнений
движения в задаче двух тел и их возмущенного движения, не является единственно
возможным; альтернативные формулировки не просто возможны, но и
предпочтительны в некоторых ситуациях. Для большинства приложений,
обсуждаемых в этой книге, достаточен классический подход, однако имеется ряд
тем, среди которых отметим обсуждение резонансной динамики (раздел 8.8),
прохождения резонансов (раздел 8.12) и алгебраические отображения
(раздел 9.5), где требуется другой математический подход. По этой причине
в настоящем разделе мы приведем гамильтонову формулировку задачи двух
тел.
В разделе 2.2 мы записали уравнения движения в задаче двух тел (двух
объектов с массами т\ и rri2, движущихся под воздействием взаимного
гравитационного притяжения), выражая положение (хуу) и скорость (ж,у)
тела Ш2 относительно тела тп\ в декартовой системе координат, и вывели
дифференциальное уравнение
gf + /^ = 0, (2.168)
решением которого является коническое сечение. Ранее в наших
рассуждениях в качестве опорной плоскости мы выбрали плоскость орбиты. Однако
это векторное уравнение равным образом применимо к движению в трех
измерениях, при этом г — (ж, у, z) и г — (xty,z). В этом разделе мы будем
использовать переменные
г = гх\ + гу} + rzk и р = рх\ + pyj + р2к (2.169)
(обозначения несколько отличаются от принятых ранее), здесь г — вектор
относительного положения, р= [m\m2/{m\ + m2)]v представляет собой
количество движения системы и, как обычно, v = г есть скорость.
Теперь мы можем записать векторные уравнения движения в виде
Г = Vp^Kepler И р = -Vr^Kepler, (2.170)
где Vp и Vr — векторные дифференциальные операторы, определяемые как
Vp - i/- + j/- + к/- и Vr - i/- + j/- + k/- (2.171)
opx ору apz arx dry drz
76
Гл. 2. Задача двух тел
'ft Kepler = 2~Т • (2.172)
Здесь, как и раньше, /л = Q{m\ + 7722). Кроме того, р — |р| и г = |г|. Новая
величина
4 77117719 /Л „ „^ч
//* = i—^- (2.173)
7711 + ^2
называется приведенной массой системы. Величина ^Kepler называется га-
мильтонианом задачи Кеплера (то есть задачи двух тел). Таким образом,
мы перешли от системы трех дифференциальных уравнений второго порядка
к эквивалентной ей системе шести дифференциальных уравнений первого
порядка:
г = -5- и р = -^г. (2.174)
/X* Г6
Из сравнения выражений (2.172) и (2.28) очевидно, что ^Kepler = ц*С.
В нашей новой формулировке ^Kepler является суммой кинетической и
потенциальной энергий и поэтому равняется полной энергии — константе системы.
В общем случае, любая система уравнений, которую можно записать
в виде
dft дП dpi дП
d^ = flfc' ^ = "% ('=1.2.-.»). (2-175)
где Н = H(qi,pi,t), называется гамилыпоновой системой порядка 2п или,
что эквивалентно, гамильтоновой системой с п степенями свободы.
Функция Н называется гамильтонианом системы. Переменные qi (г = 1,2, ...,п)
называются координатами, а р* (г = 1,2,... ,п) — импульсами^ при этом pi
сопряжены qi. Хотя в приведенном выше случае ^ — это действительно
координаты тела, a pi — компоненты количества движения (импульса) системы,
в общем случае не требуется, чтобы название соответствовало истинной роли
переменной. Заметим, что Н определен с точностью до произвольной
аддитивной константы, поскольку Н + к, где к — константа, также удовлетворяет
уравнению (2.175).
Выражение уравнений движения в этой форме может, на первый взгляд,
показаться неестественным. Однако свойства таких систем облегчают
преобразования координат, что оказывается особенно полезным при исследовании
резонансных явлений. Кроме того, преобразования такого рода могут
упростить задачу и привести к ее решению. Строгое введение в теорию гамильто-
новых систем выходит за рамки данной книги; фактически для наших целей
понадобится всего несколько результатов. Элементы теории можно найти
в книгах Брауэра и Клеменса (1961) и Роя (1988).
Выше было продемонстрировано, что переменные г и р образуют
сопряженный набор переменных. К сожалению, как можно легко показать, для
связанных с ними элементов орбиты а, е, J, $7, ш и / это не так. Тем не
менее, определенные функции элементов орбиты могут образовывать наборы
сопряженных переменных. Здесь мы укажем два таких набора: переменные
Делоне и переменные Пуанкаре.
2.10. Гамилыпонова формулировка
77
Переменные Делоне определяются как
I = М, д = и, h = Q,
L = /jJ*y/JIaJ G = ц* у/ ца(\ — е2), Н = //* vVa( 1-е2) cos J,
(2.176)
где ly д и h — координаты, а L, G и Я - сопряженные им импульсы,
соответственно. Гамильтониан задачи двух тел, выраженный в переменных
Делоне, имеет вид
Н = -*£-• (2Л77)
Поскольку Н — функция только переменной L, переменные д и h являются
константами (что с очевидностью следует из раздела 2.8) 0; L, G и Н также
постоянны (это также ясно, поскольку L — L(a), G — момент количества
движения, а Н — вертикальная компонента вектора момента количества
движения).
Изменение / задается выражением
dl дП /xV /А*
2ff*3
Л-вЬ- L» "У»3' (2178)
как и следовало ожидать, поскольку dl/dt = d[n(t — r)]/dt = п.
Переменные Пуанкаре определяются как
A = M + u; + ft, Л = //*л//ш,
7 = -w - ft, Г = //♦^/Да (l - vT^2 ) , (2.179)
* = -П, Z = ii*y/iia{\ -e2)(l -cos/),
где Л, 7 и ^ ~ координаты, а Л, Г и Z — соответствующие сопряженные
им импульсы. Угол Л = М + vo есть средняя долгота. Переменные Пуанкаре
можно получить из переменных Делоне при помощи преобразования
*-f" „ Г=Ь~°: 2-°7И- (2,80)
Заметим, что выполняется следующее соотношение между переменными
этих двух наборов:
ЛЛ + Г7 + Zz = Ы + Gg + Я/г. (2.181)
Это — пример так называемого контактного преобразования (см., напр.,
Брауэр и Клеменс, 1961); преобразование такого рода сохраняет
каноничность уравнений, не меняя гамильтониана. Гамильтониан задачи двух тел,
выраженный в переменных Пуанкаре, имеет вид
и2 и*3
Н = -*£-. (2.182)
1) Это сразу следует из гамильтоновых уравнений движения (2.175). — Прим. ред.
78
Гл. 2. Задача двух тел
Новый набор переменных необязательно должен состоять из координат
и импульсов; возможны смешанные системы. Рассмотрим переменные
£ = V2Tcosj, r/ = >/2fsin7, p=V2Z cosz, q = V2Zsmz. (2.183)
Они дают еще один пример контактного преобразования. В данном случае
переменные £ и г) называются эксцентрическими переменными, а р и q —
наклонными переменными. Когда ей/ малы, эти переменные совпадает
с переменными /г, k, p и д, которые используются при обсуждении вековых
возмущений в главе 7.
Контрольные упражнения
2.1. Рассмотрите задачу двух тел, в которой сила притяжения
пропорциональна расстоянию между двумя телами (а не обратному квадрату этого
расстояния). Покажите, что траектория движения одного тела относительно
другого является эллипсом с центром во втором теле.
2.2. Используя значения больших полуосей, приведенные в табл. А.2,
определите средний интервал времени между соединениями Земли и Марса.
Покажите, что для фиксированных орбит минимальное расстояние между
Землей и Марсом меняется почти в два раза. Каков примерный интервал
между последовательными «очень близкими» противостояниями? Используя
значения ао, ео, voq и Ао, приведенные в табл. А.2 (но не скорости их
изменения, табл. А.З) и решая уравнение Кеплера численно, найдите орбитальные
движения Земли и Марса за период с 1985 до 2002 г. Пренебрегая взаимным
наклоном орбит Земли и Марса, покажите, что самое близкое противостояние
за этот период было в сентябре 1988 г., а самая далекое — в феврале 1995 г.,
и определите минимальные расстояния в эти моменты времени.
2.3. Пробная частица приближается к планете с массой М и радиусом R
из бесконечности со скоростью г^ и прицельным параметром (прицельным
расстоянием) р. Используя значения энергии и момента количества движения
частицы по отношению к планете, выведите выражения для большой полуоси
и эксцентриситета гиперболической орбиты, по которой движется пробная
частица относительно тела М, а также для расстояния в перицентре го.
Покажите, что эксцентриситет может быть записан как е = 1 + 2v^0/v^, где
щ — скорость ускользания х) на расстоянии го. Используя выражение для
истинной аномалии, соответствующее асимптоте гиперболы (г —> ос),
покажите, что результирующее отклонение ф траектории частицы после того, как
она покинет окрестность планеты, определяется выражением sin(^/2) — е-1.
Полагая, что го должно быть больше R, чтобы избежать физического
столкновения, вычислите наибольшие углы отклонения для 1) космического аппарата,
«касающегося» Юпитера, если г^ = 10 км/с, и 2) орбитального модуля «Кас-
сини», «касающегося» большого спутника Сатурна Титана, если г^ = 5 км/с.
О Также называемая скоростью убегания, параболической или второй космической
скоростью. — Прим. ред.
Контрольные упражнения
79
2.4. Рассмотрите задачу двух тел для относительного движения.
Объясните, почему вектор е = —(h x v)/[Q(m\ + rri2J\ — y лежит в плоскости
орбиты (h — момент количества движения в расчете на единицу массы,
v — скорость, г — единичный радиус-вектор). Покажите, что е является
векторной постоянной движения. Выразив скалярное произведение е • г (где
г — радиус-вектор) двумя различными способами, покажите, что орбита
является эллипсом с эксцентриситетом е = |е| и долготой перицентра -со,
определяемой как угол, образуемый е с направлением оси х.
2.5. В июле 1994 г. с космического аппарата «Галилео» на пути к
Юпитеру наблюдалось падение на Юпитер осколков кометы Шумейкер-Леви 9 0.
Падение первого осколка произошло 16 июля 1994 г., когда аппарат двигался
по гелиоцентрической орбите с почти нулевым наклонением и элементами
орбиты а = 3.137 а.е., е = 0.690 и vo — 82.2° (ш — долгота перигелия).
Средняя аномалия аппарата в эпоху за 322 суток до падения первого осколка
равнялась 45.7°. Найдите эксцентрическую аномалию аппарата, его истинную
аномалию, расстояние от Солнца и истинную долготу (в стандартной системе
отсчета) на 16 июля 1994 г. В момент падения первого осколка Юпитер имел
истинную долготу 225.4° и гелиоцентрическое расстояние 5.417 а.е.
Полагая, что наклонение орбиты Юпитера равно нулю, покажите, что видимая
с аппарата «Галилео» неосвещенная часть поверхности Юпитера, выраженная
через относительный интервал долгот на поверхности планеты, составляла
приблизительно 28%.
2.6. Выдвигались предположения, что комета Свифта-Туттля может
испытать тесное сближение с Землей в 2126 г. Земля была в перигелии
своей орбиты 4 января 1993 г. в 3h UT (всемирного времени). Полагая, что
наклонение орбиты Земли равно нулю, и принимая значения ее большой
полуоси, эксцентриситета и долготы перигелия постоянными и равными
соответственно 1 а.е., 0.0167 и 102.996°, вычислите вектор положения Земли
через 48 799.375 суток после этого момента, в полдень 14 августа 2126 г.
Согласно наблюдениям, комета Свифта-Туттля проходила перигелий своей
орбиты 12 декабря 1992 г. в 21h23m UT, имея следующие элементы орбиты:
а = 26.35441 а.е., е = 0.96362, / - 113.408°, ш = 152.979°, П = 139.430°, где
а — большая полуось, е — эксцентриситет, I — наклонение, и — аргумент
перигелия и Q — долгота восходящего узла. Вычислите вектор положения
кометы спустя 48 821.609 суток после этого момента, в полдень 14 августа
2126 г. Используя ответ на первое задание этого упражнения, вычислите
расстояние (в а.е.) между кометой и Землей на эту дату в будущем. Каковы
основные источники ошибки в определении этого расстояния?
1) Комета открыта в 1993 г. Каролин Шумейкер, Юджином Шумейкером и Дэвидом Леви.
Цифра 9 означает, что это была девятая комета, открытая ими совместно. — Прим. ред.
Глава 3
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Двое — компания, трое — толпа.
Пословица
3.1. Введение
В главе 2 мы показали, каким образом может быть аналитически решена
задача движения двух тел под воздействием взаимного гравитационного
притяжения, и что движение, получающееся в результате решения этой задачи,
всегда происходит по фиксированным траекториям, замкнутым в инерци-
альной системе отсчета. Теперь мы расширим сферу наших исследований и
рассмотрим гравитационное взаимодействие трех тел, особое внимание
уделяя задаче, в которой масса третьего тела пренебрежимо мала по сравнению
с массами двух других тел.
Простота постановки задачи трех тел и в то же время сложность
анализа этой задачи в ее разных формах привлекали внимание математиков на
протяжении столетий. Среди математических гениев, отдавших дань этой
задаче и внесших важный вклад в ее исследование, такие титаны, как
Эйлер, Лагранж, Лаплас, Якоби, Леверье, Гамильтон, Пуанкаре и Биркгоф.
В книгах Себехея (1967) и Маршаля (1990) содержатся авторитетные обзоры
литературы и вывод важнейших результатов. Сегодня задача трех тел не
менее загадочна чем раньше, и хотя было сделано много открытий, последние
достижения нелинейной динамики и лавина новых наблюдательных данных
о Солнечной системе дали сильный импульс возрождению интереса к этой
задаче и стимулировали появление новых результатов.
В случае, когда в задаче трех тел два тела движутся вокруг их центра
масс по круговым орбитам, а масса третьего тела столь мала, что не влияет
на движение двух первых тел, задача движения третьего тела
называется круговой ограниченной задачей трех тел. На первый взгляд может
показаться, что эта задача имеет малое отношение к реальной динамике
Солнечной системы. В самом деле, наблюдаемые орбиты тел Солнечной
системы не являются круговыми. Однако существование иерархии орбит
и масс в Солнечной системе (например: Солнце, планета, спутник, частица
планетного кольца) означает, что ограниченная задача трех тел является
для некоторых систем хорошим приближением, позволяющим качественно
понять их поведение сравнительно простым путем. Имея это в виду, мы
будем изучать системы в типичных задачах динамики Солнечной системы,
исключая такие экзотические варианты задачи трех тел, как копенгагенская
задача (в которой две большие массы равны), задача Пифагора (в которой
3.2. Уравнения движения
81
массы трех тел находятся в отношении 3:4:5, а их начальные положения —
в вершинах прямоугольного треугольника со сторонами, находящимися в том
же отношении) или тройные соударения (при которых тела могут пролетать
«друг сквозь друга»).
В этой главе мы опишем уравнения движения задачи трех тел и обсудим
расположение и устойчивость точек равновесия (точек либрации), в
особенности в связи с постоянной движения — интегралом Якоби — в круговом
ограниченном случае. Мы продемонстрируем связь между кривыми,
определяемыми интегралом Якоби, и орбитой частицы. Затем, чтобы изучить
движение частицы в окрестности одного из тел, мы выведем уравнения Хилла
и выявим общие свойства такой системы. В конце главы мы обсудим эффекты
сил сопротивления в задаче трех тел.
3.2. Уравнения движения
Рассмотрим движение частицы пренебрежимо малой массы под действием
тяготения двух тел массами т\ и rri2. Предположим, что эти два тела
движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс, и что они
оказывают гравитационное воздействие на частицу, тогда как частица на них
не влияет.
Рассмотрим оси £, 77, С инерциальной
системы отсчета, связанной с центром масс
системы (рис. 3.1). Пусть ось £
направлена вдоль прямой от т\ к Ш2 в момент
t = О, ось 77 перпендикулярна ей и лежит
в плоскости орбит этих двух тел, а ось
С ортогональна плоскости £77 и направлена
вдоль вектора момента количества
движения. Обозначим координаты двух тел в
данной системе как (£1,771, СО и (&,%,С2).
Два тела находятся на постоянном
расстоянии друг от друга и движутся с
постоянной угловой скоростью друг вокруг
друга и вокруг их общего центра масс.
Пусть единица массы выбрана так, что
\х = Q{m\ + 7712) = 1. Если мы положим
теперь, что mi > т2> и определим
Рис. 3.1. Связь между
сидерическими координатами (£,77» С)
и синодическими координатами
(х, у, z) частицы, находящейся
в точке Р. Начало координат О
расположено в центре масс двух
главных тел. Оси £ и z
совпадают с осью вращения; стрелка
указывает направление прямого
вращения
» =
7712
7711 + ™<2
то массы двух тел в этой системе единиц составят
ц\ — Qm\ — 1 — /I и ji2 — Qnrt2 — JL,
(3.1)
(3.2)
где ~р < 1/2. Единица длины выбирается так, что расстояние между телами
равно единице. Тогда среднее движение п, одинаковое для обоих тел, также
равно единице.
82
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Пусть координаты частицы в инерциальной (или сидерической) системе
координат равны (£,7/,С). Используя векторную форму закона обратных
квадратов, запишем уравнения движения частицы:
f = AH з \~ P2 —, (3.3)
ri = ,^ + ,2^, (3.4)
rf r-3
C = /xi^-^ + /x2^^, (3.5)
где, как следует из рис. 3.1,
rN(6-02 + (m-r/)2 + (Ci-C)2, (3.6)
4 = (Ь - О2 + (т - v)2 + (С2 - С)2- (3.7)
Отметим, что эти уравнения верны и в общей задаче трех тел, поскольку для
их вывода не нужны предположения о траекториях двух главных тел.
Если эти два тела движутся по круговым орбитам, то расстояние
между ними постоянно, и они обращаются вокруг их общего центра масс с
постоянной угловой скоростью, равной среднему движению п. В таких
обстоятельствах естественно рассматривать движение частицы во
вращающейся системе отсчета, в которой оба тела покоятся. Поэтому введем новую,
вращающуюся систему координат. Ее начало совпадает с началом системы
координат £,т/, и она вращается с постоянной скоростью п в положительном
направлении (рис. 3.1). Направление оси х выбирается так, чтобы оба тела
всегда находились на этой оси, имея координаты (жьуь^) — (—/^2,0,0) и
(^2»У2»^2) = (мьО,0). Из формул (3.2) и рис.3.1 имеем
г? = (* + м2)2 + у2 + *2, (3.8)
г! = (х-М!)2 + у2 + *2, (3.9)
где (x,y,z) — координаты частицы во вращающейся (или синодической)
системе. Эти координаты связаны с координатами в сидерической системе
простым поворотом
(cos nt — sin nt 0\ /x\
sinnt cos nt 0 J I 2/ 1 - (3.10)
ooi/ W
Хотя в нашей системе единиц п = 1, мы сохраним п в уравнениях движения,
чтобы подчеркнуть, что члены в уравнениях представляют соб.ой ускорения.
Если теперь продифференцировать каждую компоненту векторного
уравнения (3.10) два раза, то получим
(3.11)
3.2. Уравнения движения
83
^cos nt — sin nt 0\ Ix — 2ny — n2x^
s'mnt cos nt 0 \y + 2nx-n2y
0 0 1/ I z
(3.12)
Заметим, что переход к вращающейся системе отсчета привел к появлению
в уравнениях движения членов, пропорциональных пх и пу (отвечающих
ускорению Кориолиса) и п2х и п2у (отвечающих центробежному
ускорению). После подстановки выражений для £, т/, С> £> ^7 и С в уравнения (3.3),
(3.4) и (3.5) последние принимают вид
(х — 2пу — п х) cos nt — (у + 2пх — п у) sin nt —
Х\ — X X
Ml 4 1 М2
2 -Ж'
r3
r2 J
cos nt +
Г^1 + ^2
-r? r2-
у sinnt,
it + (у + 2пх — п2у) cos nt —
Xl — X X
Ml r> 1 M2
2 = —
2 -ж"
r3
r2 -J
sin nt —
M2~
r3
r2^
Z.
~Ml_ + M2~
у cos nt,
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Если умножить уравнение (3.13) на cos nt, a (3.14) на sinnt и сложить
результаты, а затем умножить уравнение (3.13) на —sinnt, a (3.14) на cosnt
и также сложить результаты, уравнения движения в синодической системе
примут вид
х — 2пу — п х
у + 2пх — п у
Х + Ц2 , X - Ц\
Ml о- + М2 з~~
Ml , М2'
З + зИ''
г3 г3
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Эти ускорения могут также быть выражены как градиент некоторой
скалярной функции U:
х-2пу=^,
у + 2пх = —,
ду
.. 0U
(3.19)
(3.20)
(3.21)
84
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
где U — U(xy у, z) дается выражением
и = 4(х2 + у2) + ^ + ^. (3.22)
В этом уравнении член, пропорциональный х2 + у2, является центробежным
потенциалом, а члены, пропорциональные \/г\ и 1/г2, — гравитационными
потенциалами; частные производные от них являются компонентами
центробежной и гравитационной сил.
Члены —2пу и +2пх в уравнениях (3.19) и (3.20) отвечают ускорению Ко-
риолиса; они зависят от скорости частицы во вращающейся системе отсчета.
Определяемая ими сила Кориолиса направлена под прямым углом к скорости
и поэтому не совершает работы.
Заметим, что в нашем определении величина U положительна. Однако
такое определение противоположно практике, принятой в физике, и является
специфичным для небесной механики соглашением. Мы могли бы положить
ее и отрицательной, скажем, введя U* = —U\ тогда уравнения движения
приняли бы вид
8U*
х-2ш/ = ——, (3.23)
ох
0U*
у + 2п± = - —, (3.24)
ду
5 = "^Г' (3'25)
Заметим также, что U не является истинным потенциалом, и лучше всего
относиться к нему просто как к скалярной функции, из которой могут
быть выведены некоторые (но не все) ускорения, испытываемые частицей во
вращающейся системе отсчета. Функцию U называют «псевдопотенциалом».
3.3. Интеграл Якоби
Умножив (3.19) на х, (3.20) на у, (3.21) на z и сложив результаты,
получим
dU . dU . dU. dU /00£:ч
хх + уу + zz = — х + —у + —z = —. (3.26)
ох ду oz at
В проинтегрированном виде это дает
x2 + y2 + z2 = 2U-CJy (3.27)
где Cj является постоянной интегрирования. Поскольку сумма х2 + у2 + z2
равна v2 (квадрату скорости частицы во вращающейся системе отсчета),
имеем
v2 = 2U-C3. (3.28)
3.3. Интеграл Якоби
85
Учитывая (3.22), находим
С, = п2 [х2 + у2) + 2 (
Г\ Г2
•2 -2 -2
— X — у — Z .
(3.29)
Таким образом, величина 2U — v2 = Cj представляет собой постоянную
движения — интеграл Якоби (или константу Якоби), иногда называемую
также интегралом относительной энергии. Важно отметить, что это не
интеграл энергии, потому что в ограниченной задаче трех тел не сохраняются
ни энергия, ни момент количества движения. Интеграл Якоби —
единственный интеграл в круговой ограниченной задаче трех тел, и это означает, что
данная задача в общем случае не может быть решена в замкнутой форме.
Выражение для Cj может быть также записано через положение и
скорость частицы в невращающейся (сидерической) системе отсчета £, 77, С-
Используя уравнение (3.10), для вектора положения найдем
/х\ / cosnt smnt 0\ /£>
2/ 1 == I — sin nt cos nt 0 1 I 77
kzJ V 0 0 \j VO
(3.30)
Из (3.11) для вектора скорости найдем
cos nt sin nt 0
— sin nt cos nt 0
0 0 1
(3.31)
Однако
/x\ / sin nt
У I + n I cos nt
Kz) V 0
- cos nt 0
sin nt 0
0 0
(3.32)
поэтому
<x\ / cos nt smnt 0
у J = I — sin nt cos nt 0
kz] \ 0 0 1
'sinrii — cos?7i 0
n l cos nt s'mnt 0
0 0 0
(3.33)
Если положить
(cos nt sin nt 0>
— sin nt cos nt 0
0 0 1>
(sin nt — cos nt 0\
cos nt sin nt 0
0 0 0>
(3.34)
86
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
то из (3.33) следует
х2 + у2 + z2 = {х у z)
= (£ т) с)аТа
п
(ё г, с)атв
-n(£ »7 C)BTAU+n2(^ v C)BTBUJ =
= £2 + V2 + С2 + п2 (t2 + г)2) + 2n(tV - 7)0, (3.35)
где Ат и Вт обозначают транспонированные матрицы А и В. Так как А
и В — ортогональные матрицы, обратные им матрицы совпадают с
транспонированными. Поскольку вращение не меняет расстояний (в эквивалентной
формулировке — поскольку определитель ортогональной матрицы равен ±1),
имеем х2 + у2 + z2 = £2 + if + С2» что может быть также получено из
выражения (3.10). Итак,
CJ = 2(^ + ^)+2n(^-^)-e2-72-C2,
(3.36)
что и является выражением интеграла Якоби через сидерические координаты.
Его можно переписать в виде
(f + ^ + C2)-(ei + ^)=h.n-ICj. (3.37)
где п = (0,0, п), а левая часть представляет собой полную, или механическую,
энергию в расчете на единицу массы частицы. Поскольку hn не является
константой, это уравнение объясняет, почему в ограниченной задаче трех тел
энергия не сохраняется *).
Измерение положения и скорости частицы в любой из систем отсчета
дает значение константы Якоби, связанной с движением частицы.
Существование интегралов энергии и момента количества движения в задаче двух
тел позволило нам найти решение, описывающее движение одного тела по
отношению к другому (см. раздел 2.3). Константа Якоби — единственный
интеграл движения в ограниченной задаче трех тел. Ее нельзя использовать,
чтобы получить точное решение для движения по орбите, но с ее помощью
можно найти области, в которых движение частицы невозможно.
{) Подробно о причинах несохранения энергии и углового момента в ограниченной задаче
см. в книге В. Себехея «Теория орбит» (русский перевод: М., Наука, 1982). — Прим. ред.
3.3. Интеграл Якоби
87
Польза от константы Якоби станет очевидной, если рассмотреть
положения, в которых скорость частицы равна нулю. Тогда
2U = С3 (3.38)
или
п2(х2 + у2)+2^ + ^=С}. (3.39)
Уравнение (3.39) определяет семейство поверхностей для некоторого
значения Cj. Эти поверхности, известные как поверхности нулевой скорости,
играют важную роль в наложении ограничений на движение частицы. Для
простоты рассмотрим движение в плоскости ху. Тогда линии пересечения
поверхностей нулевой скорости с плоскостью ху образуют семейство кривых
нулевой скорости. Рисунок 3.2 демонстрирует примеры этих кривых для
112 — 0.2; среднее движение п принято равным единице. Из выражения (3.27)
для константы Якоби ясно, что всегда должно выполняться неравенство
2U ^ Cj, поскольку иначе скорость v была бы мнимым числом. Поэтому
уравнение (3.39) задает граничные кривые областей, в которых движение
частицы невозможно, — другими словами, запретных областей. Следовательно,
хотя ограниченная задача трех тел неинтегрируема (то есть невозможно
найти решение, описывающее движение частицы при произвольных начальных
условиях), наличие интеграла Якоби все же позволяет найти в пространстве
ху области, где частица не может находиться. Этот результат легко
обобщается на случай трех измерений.
На рис. 3.2 области, где движение невозможно, выделены серым цветом, и,
как, к примеру, легко видеть из рис. 3.2 а, если частица с таким значением Cj
находится на орбите в светлой области вокруг тела /л\, она никогда не сможет
попасть на орбиту вокруг тела /22 или покинуть систему, поскольку для этого
ей пришлось бы пересечь запретную область. Аналогично на рис. 3.2 б, если
частица обращается вокруг тела дц, то, возможно, со временем она попадет
на орбиту вокруг тела \i2\ но она никогда не покинет систему. В этом состоит
суть понятия устойчивости по Хиллу. Однако полезно помнить, что такого
Рис. 3.2. Кривые нулевой скорости для двух значений константы Якоби при ^ = 0.2:
a) Cj = 3.9; б) Cj = 3.7. Запретные области показаны серым цветом. (См. также
рис. 9.11 для случая /12 = 10~3.)
88
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
рода утверждения справедливы только при соблюдении предположений,
которые лежат в основе ограниченной задачи трех тел (два тела движутся по
круговым орбитам вокруг общего центра масс, а третье тело не оказывает
гравитационного влияния на первые два).
3.4. Соотношение Тиссерана
Рассмотрим движение кометы с начальными значениями большой
полуоси а, эксцентриситета е и наклонения I. После тесного сближения кометы
с Юпитером элементы ее орбиты становятся равными а!, е' и /'. Эти два
набора элементов можно связать друг с другом при помощи интеграла Якоби
и некоторых простых приближений. Интеграл Якоби Cj = 2U — v2 во время
и после сближения остается постоянным. В трехмерной инерциальной
системе координат вектор положения кометы г = (£,7/, С), а вектор ее скорости
г = (£,?), С). В этой системе, согласно формуле (3.36), можно записать
константу Якоби как
Cj = 2 (а + В) + 2п(*7 - п£) -i2-V2- С2, (3.40)
\r\ r2J
где г\ и Г2 — расстояния от кометы до Солнца и Юпитера, соответственно.
Единицы измерения выберем так, чтобы большая полуось орбиты Юпитера
и его среднее движение были равны единице. Тогда, поскольку масса
Юпитера и кометы много меньше массы Солнца,
Q (msun + mcomet) « g (msun + mJuP) = 1, (3.41)
где msun, ^Jup и mcomet — массы Солнца, Юпитера и кометы. Из интеграла
энергии задачи двух тел Солнце-комета (см. (2.34)) имеем
г а
где в соответствии с нашей системой единиц принято /л — 1, и где г\ « г,
поскольку массы кометы и Юпитера пренебрежимо малы по сравнению с массой
Солнца. Момент количества движения в расчете на единицу массы кометы
равен
h-rxr. (3.43)
("-компонента вектора момента количества движения выражается через
наклонение / орбиты кометы относительно плоскости орбиты Юпитера:
£fi-ri£ = hcosI, (3.44)
где h2 = а(\ — е2) в нашей системе единиц. Следовательно, выражение (3.40)
для интеграла Якоби приводит к соотношению
- - - - 2л/а(1 -е2) cos/ = - - 2/х2 (- - — ^ - Cj. (3.45)
га* г vf*2/
3.4. Соотношение Тиссерана
Если предположить, что комета находится не слишком близко к Юпитеру,
так что 1/г2 — всегда малая величина, и пренебречь членами с /22, то
-—Ь л/а(1 — е2) cos/ « const.
(3.46)
Поэтому приближенное соотношение между элементами орбиты кометы до
сближения с Юпитером и после него будет следующим:
^ + у/а(\ -е2) cos / = ^7 + </a'(l-e'2) cos Г. (3.47)
Это соотношение известно как соотношение Тиссерана (Тиссеран, 1896); его
можно использовать для того, чтобы выяснить, является ли вновь открытая
комета уже известным объектом, элементы орбиты которого изменились
благодаря тесному сближению с планетой.
Пример такого сближения для гипотетической кометы приведен на
рис. 3.3. Тесное сближение с Юпитером изменяет элементы орбиты кометы
так, что большая полуось возрастает почти на 6 а.е. Исходные значения
элементов орбиты кометы составляют а — 4.81 а.е. (= 0.924 в наших единицах),
е — 0.763 и I = 7.47°; а конечные их значения составляют а' = 10.8 а.е.,
е' = 0.731 и Г = 21.4°.
Тесное
сближение \
Л'
/ N /
Орбита
кометы
г-*— Орбита
Юпитера
Рис. 3.3. Изменение орбиты гипотетической кометы в результате тесного сближения
с Юпитером. Это сближение приводит к существенному изменению элементов
орбиты
Хотя соотношение Тиссерана и является всего лишь приближением для
константы Якоби и выведено в предположении, что орбита Юпитера является
круговой, величина 1/(2а) + л/а(1 — е2) cos/ приближенно остается
постоянной движения и в случае ненулевого эксцентриситета орбиты Юпитера. Этот
факт проиллюстрирован на рис. 3.4, где показано полученное численным
интегрированием изменение этой величины со временем для двух разных
случаев. В первом случае (нижняя кривая) Юпитер движется по круговой орбите,
а во втором использовано современное значение его эксцентриситета 0.048.
90
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
1.22
За исключением короткого промежутка времени вблизи наибольшего
сближения, когда используемое приближение не работает, значение константы
Тиссерана меняется менее чем на
1 % в первом случае и менее чем
на 2% во втором. Регулярные
вариации вдали от момента тесного
сближения имеют период, равный
орбитальному периоду Юпитера, то
есть 12 лет.
Отличие орбиты кометы после
тесного сближения с Юпитером от
орбиты до сближения, показанное
на рис. 3.3, является
иллюстрацией сильного влияния сближений
с планетами. Тот же эффект
применяется для коррекции орбит таких
космических аппаратов, как
«Вояджер», «Галилео» и «Кассини», на
их пути к внешним планетам Солнечной системы. Приведенный выше анализ
основан на круговой ограниченной задаче, в которой масса третьего тела
(кометы или космического аппарата) пренебрежимо мала, и поэтому энергия
не сохраняется. Однако в реальности энергия сохраняется, и тесное
сближение, приводящее к увеличению большой полуоси орбиты третьего тела,
приводит к уменьшению ее для возмущающего тела. Из-за того, что
отношение масс космического аппарата и планеты столь мало, влияние на планету
ненаблюдаемо. Однако в ранней Солнечной системе тесные сближения между
большими планетами и планетезималями привели к образованию кометного
облака Оорта, и совокупное влияние таких сближений на орбиты планет
было, вероятно, существенным (Фернандес, 1997).
20 25 30 35
Время, в годах
Рис. 3.4. Изменение константы Тиссерана
за время интегрирования в 35 лет для двух
орбит комет в случаях ejup = 0 и ejup =
= 0.048
3.5. Лагранжевы точки либрации
Нами уже было показано, что в случае, когда два тела т\ и m<i
движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс О, они покоятся
в системе, вращающейся с угловой скоростью, равной среднему движению п
каждого из тел. Мы введем понятие точек равновесия или либрации,
рассматривая задачу нахождения точек, в которые можно поместить частицу Р
с подходящей скоростью в инерциальной системе, чтобы частица продолжала
оставаться неподвижной во вращающейся системе. Важно помнить, что на
находящуюся в таком положении равновесия частицу продолжают
действовать приложенные к ней различные силы, и что она по-прежнему движется
по кеплеровому эллипсу в инерциальной системе отсчета.
Пусть a, b и с обозначают положения тела т\, центра масс О и тела гп2
по отношению к точке Р (рис. 3.5). Пусть Fi и F2 обозначают силы в расчете
на единицу массы частицы, действующие со стороны тел т\ и тг,
соответственно. Для того, чтобы точка Р оставалась в одном и том же положении во
3.5. Лагранжевы точки либрации
91
вращающейся системе, она должна находиться на постоянном расстоянии Ъ
от точки О, поскольку эта точка является единственной неподвижной точкой
в инерциальной системе. Поэтому Р испытывает центробежное ускорение
в направлении —Ь, уравновешиваемое векторной суммой
F-Fi +F2,
(3.48)
действующей в направлении b и проходящей через центр масс. Заметим, что
здесь не нужно принимать во внимание силу Кориолиса, поскольку частица
неподвижна во вращающейся системе.
Положение точки О дается выражением
Ь =
т\з. + ГП2С
ТП\ + 7712
или, после перегруппировки членов,
гп\ (а — Ь) — Ш2(Ь — с).
Векторно умножив Fi + F2 на это равенство, имеем
?7i2(Fi х с) + m\ (F2 х а) = 0.
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Поскольку угол между Fi и с равен взятому с обратным знаком углу между
F2 и а, уравнение (3.51) можно записать в скалярном виде:
rri2F\c = m\F2d.
(3.52)
Рис. 3.5. Силы гравитационного
притяжения, действующие на
пробную частицу Р со стороны двух тел
т\ и Ш2. Точка О обозначает
положение центра масс гп\ и гаг
Рис. 3.6. Геометрическая схема
баланса сил. Пробная частица Р
находится в точке либрации. Штриховой
прямой обозначен перпендикуляр к
отрезку mim2, делящий его пополам
В случае сил тяготения F\ = Qm\/a2 и F2 = Qmz/c2, и поэтому из (3.52)
следует, что а — с. Следовательно, треугольник, образуемый частицей и двумя
телами, должен быть равнобедренным. Это означает, что точки Р, для
которых F проходит через центр масс, расположены на перпендикуляре к отрезку
т\гп2, делящем этот отрезок пополам (штриховая прямая на рис. 3.6).
Условие равновесия центробежного ускорения точки Р и силы,
направленной к центру масс, в расчете на единицу массы имеет вид
п2Ь
F\ cos P + F2 cos 7,
(3.53)
92
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
где /3 — угол между Fi и b, а 7 - угол между F2 и b (рис. 3.6).
Следовательно,
2 G
п — —?>-?> (m\bcos(3 + m2frcos7)- (3.54)
Но, рассмотрев треугольники, образуемые О, Р и обоими телами, имеем
b cos P — а — g cos а,
b cos 7 — а — {d — g) cos а,
где d — расстояние между т\ и m2, g — между т\ и О,
(3.55)
cos а = —. (3.56)
2а
Кроме того, из определения центра масс имеем
9 — dy
ТП\ + 7712
А Ш1 А
d — g = а.
ГП\ +ГП2
(3.57)
Поэтому (3.54) принимает вид
Ь^2) [л2
(mi + m2)2
2 £(wm +^2)
п —
2 mi m2 ,2
а — гтт а
(3.58)
а3Ь2
По теореме косинусов
Ь2 = а2 + д2 - 2ад cos а = а2 + #2 - gd. (3.59)
Подставив сюда выражение для д из (3.57) и сделав перегруппировку членов,
получим
Ь2 = а2- mim\,d\ (3.60)
(mi +m2jz
так что (3.58) принимает вид
n2 = £(mi +m2)/a3. (3.61)
Но система отсчета вращается в инерциальной системе с угловой
скоростью га, определяемой, как следует из формулы (2.22), с помощью
соотношения
n2 = £(mi +m2)/d3, (3.62)
поэтому а — d. Этот же результат можно получить, уравновешивая силы
в произвольном направлении. Если же направление выбрано по нормали
к прямой, соединяющей mi и тг, то результат получается сразу.
Следовательно, если со стороны тел mi и т2 действуют силы тяготения,
точка либрации системы расположена в вершине равностороннего
треугольника, основанием которого служит отрезок, соединяющий два тела. Этот
3.6. Положение точек либрации
93
результат означает, что существует еще одна точка либрации, расположенная
ниже указанного отрезка и также лежащая в вершине равностороннего
треугольника. Эти две точки представляют собой лагранжевы точки либрации
Z/4 и ^5> соответственно. В классической задаче имеются еще три точки
либрации, L\, Z/2 и L3, лежащие на прямой, соединяющей два главных тела.
Хотя речь здесь шла только о силах тяготения, важно понимать, что
аналогичное рассуждение можно провести для любой не зависящей от времени
силы. Например, в присутствии сил сопротивления положение смещенных
точек либрации можно определить, пользуясь тем фактом, что
равнодействующая всех сил должна-быть направлена к центру масс системы; векторная
сумма всех ускорений должна быть равна по модулю и противоположна по
направлению центробежному ускорению во вращающейся системе.
3.6. Положение точек либрации
Хотя круговая ограниченная задача трех тел и не является
интегрируемой, можно найти ее некоторые специальные решения. Сделать это можно,
отыскав точки, где частица (тело пренебрежимо малой массы) имеет нулевые
скорость и ускорение во вращающейся системе. Такие точки называются
точками равновесия (либрации) системы (см. раздел 3.5). Далее мы
предполагаем, что движение всех трех тел системы происходит в плоскости ху. Кроме
того, в качестве единицы длины выберем постоянное расстояние между двумя
главными телами. Тогда п — 1. Ни одно из этих предположений не влияет на
суть динамики *) системы.
Чтобы провести вычисление положений точек либрации, последуем
примеру Брауэра и Клеменса (1961) и перепишем U в другом виде. Из определений
П и Г2 в уравнениях (3.8) и (3.9), используя тот факт, что р\ + р2 — 1> имеем
р\г\ + р2г2 = х2 + у2 + АМ//2, (3.63)
отсюда
[, = "'(^ + т)+"2(4 + ^)-^1№ <ЗИ)
Преимущество этого выражения для U в том, что из него исключена явная
зависимость от х и у, так что частные производные становятся проще.
Заметим, что г\ и Г2 в отличие от х и у всегда положительны.
Рассмотрим теперь уравнения движения (3.19) и (3.20) для х = у = х =
= у = 0. Чтобы найти положения точек либрации, надо решить систему
уравнений
&Ц__д\1_дт1 8U дг2
дх дг\ дх дг2 дх
&J__dU_dr^ dU дг2
ду дг\ ду дг2 ду
1) Это замечание авторов касается только задачи определения положений точек
либрации. — Прим. ред.
о,
о,
(3.65)
(3.66)
94
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
используя выражение (3.64) для U — U(r\,r2). Вычислив частные
производные, записываем уравнения для положений точек либрации в виде
А*1
1
2 +Г1
1
/*1
Х + [12 , / 1 \ X-fJ.1
+ /*2 I 2 + Г2
= о,
0.
Г1 V '2
Очевидно, что уравнения (3.65) и (3.66) имеют тривиальное решение
(3.67)
(3.68)
ди_
дг\
AM
1
+ п
0,
дЦ
дг2
= М2
1
+ г2 = 0,
(3.69)
что дает г\ = г%= \ в нашей системе единиц. С учетом формул (3.8) и (3.9)
получаем
Эти уравнения имеют два решения:
1
(ж-/х,Г + ^ = 1.
У = ±
V5
(3.70)
(3.71)
Поскольку п = Г2 = 1, каждая из двух точек с этими координатами образует
равносторонний треугольник с телами ц\ и //2- Эти точки называются
треугольными лагранжевыми точками либрации. Они обозначены в разделе 3.5
как Z/4 и ^5- По соглашению, ведущей треугольной точкой называют L4,
а ведомой — L5. Анализ, проведенный в разделе 3.5, показывает, что наличие
каких-либо иных внеосевых точек либрации исключено.
Из уравнения (3.68) видно, что у — 0 является тривиальным решением
уравнения (3.66). Это означает, что оставшиеся точки либрации лежат на
оси х и удовлетворяют уравнению (3.65). На самом деле есть три таких
решения, соответствующие коллинеарным лагранжевым точкам либрации.
Они обозначаются Li, L2 и Ь%. Точка L\ лежит между телами fi\ и /^2,
точка Z/2 расположена дальше тела /22, а точка L^ — на отрицательной
полуоси х. Определим теперь приблизительно положение каждой из коллинеарных
точек.
В точке L\ имеем
П+Г2=1» T\=X + fl2, Г2 = —Х + fJL\,
дг\
дх
Отсюда, делая подстановки в уравнение (3.67), находим
Mi
1
(1-г2)2
+ 1 -Г2
М2
1
+ Г2
дг2
дх
0,
= 1.
или
М2
Ml
= 3r§
1-Г2 + 4/3
(1 +Г2 + Г%) (1 -Г2)3"
(3.72)
(3.73)
(3.74)
3.6. Положение точек либрации
95
Если определить величину
/ \ 1/3
~&) •
то очевидно, что для малых г^ имеется решение, близкое к r<i = а. Ниже мы
увидим (см. раздел 3.13), что а является параметром, естественно
возникающим в уравнениях Хилла — приближении уравнений движения в окрестности
тела //2- Из выражения (3.74) имеем
а = r2 + V-4 + ir23 + ^r42 + О {4). (3.76)
Мы можем воспользоваться методом Лагранжа для обращения рядов (см.
раздел 2.5), чтобы выразить Г2 как функцию а. Сравнивая выражения (3.76)
и (2.89), можем записать
г2 = а + (-1/ЗМг2), (3.77)
где функция ф определяется как
53
275
Ф(г2) = 4 + 4 + о=г| + 0{4), (3.78)
и отсюда
[</>(a)]2 = a4 + 2a5 + 0(a6), (3.79)
4-[Ф(а)]2 = 4а3 + 10а4 + 0(а5), (3.80)
аа
[ф(а)]3 = а6 + 0(а7), (3.81)
^2 1Ф(<*)}3 = 30а4 + О (а5). (3.82)
Из формулы (2.90) и этих выражений следует
(_l/3)i d>~1 г^„ш- 1 2 1 з 23
>.--+Е'-^^{Ф(^ = --Г2-гг-г1-4+°(-ь)- (3.83)
В точке Z/2 имеем
Подставив ri в уравнение (3.67), находим
".(-(Тт^+1+^+*2(-;?+Г2)=0' <385)
96
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
ИЛИ
М2 = 3r3 l + Г2 + г1/3
Ml -(l+r2)2(l-r3)'
Используя определение (3.75) для а, имеем
а = г2 - -4 + -4 + — 4 + о {4),
1 2
гг = а + -а
1
-а
31_
81
с*4 + 0(а5).
В точке L3 имеем
Г2-Г1 = 1, Г\= -Х- Ц2, Г2 = -Х + Щ, — = — =
-1.
Подставив гг в уравнение (3.67), находим
1 \ Г 1
Ml о +Г1 +/х2
(l+n)2
+ 1+п
О,
ИЛИ
Положив г\
(1-гЗ)(1+п)2
гЗ (г2 + Зп + 3) '
1 + (3 (тогда гг = 2 + /3), найдем
М2
Mi
/Л 7 Р ^ 49 Р
/? =
1_
Т2
М2
Mi
+
М2
Ml
343
13223 /^2
,М
/?3 + о(/?4),
+ о
МгУ
Mi/
(3.86)
(3.87)
(3.88)
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3.92)
(3.93)
12 Vmi7 20736
Положения всех лагранжевых точек и кривых нулевой скорости для
трех критических значений константы Якоби при отношении масс Ц2 = 0.2
показаны на рис. 3.7. На рис. 3.8 для такого же отношения масс показана
поверхность, определяемая кривыми нулевой скорости.
На рис. 3.7 и 3.8 мы видим, что точка L\ характеризуется самым большим
значением константы Якоби (Cj = 3.805 для \i2 = 0.2) и является критической
точкой внутренней кривой. У этой кривой есть еще одна ветвь (примерно
круговая), проходящая за точкой L<i. Из сравнения с рис. 3.2 ясно видно, что
точка L\ отделяет траектории, на которых частица движется либо вокруг
первого тела, либо вокруг второго, от траекторий, на которых частица может
двигаться вокруг обоих главных тел. Точка L2 (Cj — 3.552 для ц2 = 0.2)
представляет собой еще одну седловую точку на кривой нулевой скорости.
Частица с Cj < Cl2 может находиться во внутренней и внешней указанных
областях плоскости. Две ветви кривых нулевой скорости встречаются также
в точке I/з (Cj = 3.197 для ц2 = 0.2). Треугольные точки либрации L\ и
Ь$ характеризуются наименьшим значением константы Якоби (Cj = 2.84 для
ц2 — 0.2); если у частицы константа Якоби Cj < Cl45, to на плоскости не
существует областей, где ее движение невозможно. Это не означает, что
3.6. Положение точек либрации
97
Рис. 3.7. Расположение лагранжевых
точек либрации (светлые кружки)
и связанных с ними кривых
нулевой скорости для /i2 = 0.2.
Показаны кривые нулевой скорости для
трех критических значений
константы Якоби (3.805, 3.552, 3.197),
проходящие через точки L\, L2 и L%
для данного значения /i2. Точка О
обозначает центр масс системы
Рис. 3.8. Поверхность,
определяемая условием Cj = 2/7, и
расположение лагранжевых точек
либрации при /i2 = 0.2 — том же самом
значении, которое используется на
рис. 3.7. Точки L\y L2 и Ьз — все
лежат в седловых точках поверхности.
Значение константы Якоби
увеличивается по вертикальной оси сверху
вниз
частица будет двигаться во всех доступных областях, — это означает лишь
то, что константа Якоби в данном случае не дает ограничений на движение.
В обозначениях лагранжевых точек либрации не существует
общепринятого правила упорядочивания, хотя обычно L\ и L$ называют ведущей
и ведомой треугольными точками, соответственно. Мы будем нумеровать
точки либрации в соответствии со значениями константы Якоби в них —
от наибольшего (в точке Li) до наименьшего (в точках L\ и L5). Мы
можем вычислить эти значения константы Якоби, используя разложение в ряд
выражения (3.39) (полагая п = 1) для соответствующих значений х и у или
И и Г2, как описано выше. С точностью до членов порядка 0(//2) в этом
разложении, имеем
CLx ^3 + 34/3М2/3-10//2/3,
CL2^3 + 34/3/i2/3-14//2/3,
Cl3 ~ 3 + //2,
CL4 «3-/X2,
Сь5 « 3 - 112.
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
(3.96)
Заметим, что уравнения (3.8), (3.9) и (3.39) не изменяются при замене у на
—у, поэтому кривые нулевой скорости симметричны относительно оси х (как
7 К. Д. Мюррей, С. Ф. Дермотт
98
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
это и видно из рис. 3.2 и 3.7), при этом значения константы Якоби в точках
L\ и Z/5 одинаковы.
Самое большое значение /22 = rri2/(m\ + гп2) в Солнечной системе
наблюдается в системе Плутон-Харон, для которой \i2 ~ Ю-1. Для системы
Земля-Луна ^ ~ Ю-2; для всех других пар планета-спутник и
Солнце-планета значения еще по крайней мере на порядок меньше. Поэтому, коль скоро
нас интересуют приложения в Солнечной системе, важно рассмотреть форму
кривых нулевой скорости и положение лагранжевых точек либрации при
малых значениях //2-
Из выражений (3.94) и (3.95) ясно, что Сь{ —► Сь2 ПРИ М2 —¥ 0. Кроме того,
из (3.83) и (3.88) следует, что при \i<i —> 0 можно пренебречь членами порядка
0(а2) и выше, и, таким образом, Ь\ и L^ становятся равноудаленными от
тела 112- Точка 1/з лежит на расстоянии 1 + /3 от центрального тела, где f3 (< 0)
дается выражением (3.93). Следовательно, при Ц2 —> 0 точка L$ приближается
к единичной окружности. А треугольные точки и так лежат на единичной
окружности с центром в ц\ и находятся на расстоянии г = (1 — //2 + м!) от
центра масс. Поскольку величина /Л2 равна расстоянию от /л\ до центра масс
системы, при //2 —> 0 единичная окружность с центром в /л\ приближается
к единичной окружности с центром в центре масс.
Рис. 3.9. Расположение лагранжевых Рис. 3.10. Расстояния от центра масс до
точек либрации (светлые кружки) и пяти лагранжевых точек либрации как
связанных с ними кривых нулевой функции lg/i2
скорости в случае ^ — 0.01.
Штриховой линией показана окружность
единичного радиуса с центром в теле /ii
На рис. 3.9 показано несколько кривых нулевой скорости и положения
лагранжевых точек либрации в случае //2 = 0.01, то есть для значения //2»
сравнимого со значением для системы Земля-Луна О. Отметим, что точки L\
и Z/2 практически равноудалены от тела Ц2, и что точка L$ находится близко
1) Для системы Земля-Луна р,2 ~ 0.0122. — Прим. ред.
3.7. Устойчивость точек либрации
99
к единичной окружности. Штриховой линией на рис. 3.9 показана единичная
окружность с центром в теле //ь но сдвиг этой окружности вправо всего на
1 % ее радиуса превратил бы ее в единичную окружность с центром в центре
масс.
Для иллюстрации степени симметрии относительно единичной
окружности при //2 —> 0 мы вычислили расстояния, разделяющие точки либрации
и центр масс системы, для значений //2 в интервале от 10-10 до 10-1
(рис. 3.10). Результаты расчетов демонстрируют приближение вначале L3, L$
и Z/5, а затем L\ и L<i к окружности единичного радиуса при \х^ —» 0. Это
свойство симметрии кривых нулевой скорости и точек либрации позволяет
вводить полезные аппроксимации при обсуждении движения пробной
частицы в системе с малым отношением главных масс.
3.7. Устойчивость точек либрации
Недостаточно просто знать, что в динамической системе имеется
некоторое число точек равновесия; необходимо также определить их устойчивость.
Когда в системе действуют потенциальные силы, сумма кинетической и
потенциальной энергий остается постоянной. В такой системе устойчивое
движение соответствует тем положениям равновесия, в которых потенциал
минимален. Тела, помещенные в эти точки, будучи слегка смещены, остаются
при движении в их окрестности. Это свойство можно продемонстрировать,
рассмотрев пробное тело, немного смещенное от положения равновесия в
минимуме потенциала. Поскольку потенциальная энергия возрастает при
удалении от минимума, кинетическая энергия уменьшается, пока не достигнет
нуля. Однако сумма этих двух видов энергии должна оставаться постоянной,
так что в этой предельной точке движение должно смениться на обратное,
и кинетическая энергия начнет возрастать, а потенциальная — уменьшаться.
При наличии диссипативной силы, препятствующей движению, частица
движется к положению равновесия. Отметим, однако, что в задаче двух тел такая
сила сопротивления в действительности ускоряет движущуюся по орбите
частицу, поскольку потеря энергии означает уменьшение радиуса орбиты и,
следовательно, увеличение орбитальной скорости.
Рассмотрим кривые нулевой скорости в окрестности одной из треугольных
точек либрации. Мы уже показали, что величина Cj = 2U — v2 минимальна
в точках Z/4 и Z/5. Если по соглашению перейти от положительной
функции U к отрицательной функции U* = —U (см. формулы (3.23) и (3.24)), то
величина Cj станет в треугольных точках максимальной. Однако значение
имеет прежде всего направление движения частицы, — а оно не определяется
соглашением. На рис. 3.11 показаны две кривые нулевой скорости в случае
[12 = 0.1. Мы воспользовались уравнениями (3.16) и (3.17) для вычисления
ускорения (х,у) частицы во вращающейся системе отсчета в различных
точках обеих кривых; хотя на кривых нулевой скорости х = у = 0, вектор
(ж, у) ненулевой и связан с начальным направлением скорости частицы.
Заметим, что этот вектор всегда перпендикулярен кривой нулевой скорости
100
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Рис. 3.11. Относительные величины и направления ускорений на двух кривых
нулевой скорости (Сj = 2.95 и Cj = 3.09) в окрестности точки L\ в случае ^ — 0.1
и на заданной кривой нулевой скорости он имеет наибольший модуль вблизи
треугольной точки.
Поскольку все векторы ускорений на рис. 3.11 направлены от точки L\
к областям с большими значениями Cj, было бы естественно предположить,
что эта точка либрации неустойчива. Однако видимость может быть
обманчива, и для того, чтобы провести надлежащее исследование устойчивости, надо
изучить поведение частицы, которой придано небольшое смещение
относительно положения равновесия. Это можно сделать, линеаризовав уравнения
движения и выполнив линейный анализ устойчивости.
Пусть положение точки либрации в круговой ограниченной задаче
обозначается (хо,уо); рассмотрим малое смещение (X,Y) от этой точки: х = хо + X
и у — уо + У- Тогда, делая подстановки в уравнениях (3.19) и (3.20) и
раскладывая в ряд Тейлора, имеем
\0*/o \дх\дх))о \ду\дх))0~
\дх2)0 \дхду)0
и
^-*-(f).-(sO.-(«(f)).-
\дхду)0 \ду2)0У
где нижний индекс 0 означает, что значения частных производных
берутся в точке либрации, и где мы воспользовались тем фактом, что
(dU/dx)o — (dU/dy)o = 0 (так как точки либрации определяются из
уравнений dU/dx = dU/dy = 0). Нас интересует только движение в
непосредственной окрестности точки либрации, поэтому допустимо пренебречь членами
высших порядков, — они будут малыми величинами при условии, что мы
3.7. Устойчивость точек либрации
101
рассматриваем малое начальное смещение от точки (жо>2/о)- Очевидно, что это
допущение несправедливо, если смещение слишком велико. Таким образом,
имея исходную систему нелинейных дифференциальных уравнений, мы
провели стандартную процедуру линеаризации уравнений движения. Ее
конечным результатом является система линейных дифференциальных уравнений
вида
X - 2Y = XUTT + YU
'ху>
У + 2Х = XUXV + YU,
ху
JW
где принято п -
V хх =
= 1, а величины
Ы0о' и**=
( д2и\
\дхду)0
с/,
уу
\ду2)о
(3.101)
(3.102)
постоянны. Эти уравнения можно решить каким-либо стандартным методом,
и поскольку похожие уравнения еще возникнут далее в этой книге в том или
ином контексте, имеет смысл рассмотреть способ их решения более подробно.
Эти уравнения можно записать в матричном виде:
(3.103)
сведя таким образом задачу к решению системы четырех дифференциальных
уравнений первого порядка вместо системы двух дифференциальных
уравнений второго порядка. Теперь уравнения принимают вид
/^
1 Y
X
\Yj
/0 0
1 ° °
1 U хх U ху
\Uxy Uyy
1 0\
0 1
0 2
-2 0/
(х
Y
X
\У
Х-АХ,
(3.104)
х =
А-
0
0
о
о
V хх U i
'ху
ху
УУ
1
о
о
где
(Х\
У
X
\*/
Прежде чем продолжить, рассмотрим
да (3.104), где А — постоянная матрица размерности п х п
вектор с элементами Х{ (г— 1,2,...,гг).
Если некоторый вектор х удовлетворяет уравнению
(3.105)
общее матричное уравнение ви-
а X — гг-мерный
Ах = Лх,
(3.106)
где Л — скалярная константа, то х называется собственным вектором
матрицы А, а Л — соответствующим ему собственным значением. Если
рассматривать А как матрицу преобразования, то результатом применения А
к некоторому вектору х, удовлетворяющему уравнению (3.106), будет вектор
с тем же направлением, что и х, но с другим модулем.
102
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Первым шагом в процедуре решения системы (3.104) является нахождение
собственных значений матрицы А. Перепишем (3.106) в виде
(А-А1)х = 0, (3.107)
где I — единичная матрица размерности п х п. Эта система п линейных
уравнений для п неизвестных (элементов х) имеет нетривиальные решения,
если определитель матрицы А — AI равен нулю. Таким образом, необходимо,
чтобы
det(A-AI) -0. (3.108)
Это характеристическое уравнение, являющееся полиномиальным
уравнением степени п относительно А, имеет п корней, вообще говоря
комплексных. Соответствующие п собственных векторов можно найти, подставляя
собственные значения А в уравнение (3.106) и решая его относительно
компонентов вектора х.
Вернемся теперь к дифференциальным уравнениям системы (3.104). Эти
уравнения связаны в том смысле, что уравнение для производной по времени
от некоторого элемента Х{ в общем случае зависит от различных элементов
вектора X. В нашей задаче, например, уравнение для изменения X во
времени зависит от X, Y и Y. Решение системы значительно упростилось бы,
если бы данную связь удалось устранить при помощи подходящего перехода
к новому набору п переменных, скажем Y{ (г — 1,2, ...,п), где Y{ является
функцией только Y{. Это можно сделать стандартным способом, известным
как преобразование подобия. Пусть преобразование от X к Y записано как
Y = BX, (3.109)
где постоянная матрица В пока неизвестна. Имеем
X = B_1Y и X = B_1Y, (3.110)
где В-1 — матрица, обратная В. Отсюда уравнение (3.104) может быть
записано в виде
B_1Y = AB_1Y, (3.111)
или, если умножить обе части слева на В,
Y = BB_1Y = BAB_1Y. (3.112)
Мы хотим, чтобы дифференциальные уравнения новой системы (3.112)
не были связанными. Этого можно достичь, если выбрать матрицу В таким
образом, чтобы
ВАВ1 -Л, (3.113)
где Л обозначает диагональную матрицу (то есть матрицу, все элементы
которой вне главной диагонали равны нулю). Как легко показать, если
в качестве столбцов матрицы В взяты п собственных векторов матрицы А,
3.7. Устойчивость точек либрации
103
то получающаяся матрица Л диагональна и состоит из собственных значений
матрицы А:
/А, 0 ... 0\
0 А2 ••• 0
\0 0 ••• Ап/
Преобразованная система уравнений теперь имеет вид
Y = AY
или
yi = Air< (t=l,2,...,n)
в записи по компонентам. Решение (3.116) легко находится:
Yi = Ciexp(Xit) (г = 1,2,... ,n),
(3.114)
(3.115)
(3.116)
(3.117)
где коэффициенты q представляют собой п констант интегрирования. Это
решение уравнений в переменных Yi выглядит довольно простым, но нам
необходимо сделать теперь обратное преобразование, чтобы получить
решение в исходных переменных Xi. Согласно (3.110), имеем
X = B"'Y = B
/ciexp(Ai<)\
f С2ехр(Аг£) j
\Сп exp(A„i)/
(3.118)
Все п констант интегрирования q можно найти из начальных условий, решая
систему п линейных уравнений (3.118).
Описанный метод можно применить в нашей задаче. В нашем случае
п = 4, и характеристическое уравнение имеет вид
det(A - AI) =
-А
0
0
-А
1
0
-А
-2
0
1
2
-А
= 0,
U хх Уху
Uxy Uyy
что сводится к полиномиальному уравнению
А4 + (4 - Uxx - Uyy)X2 + UxxUyy - U2xy - 0.
(3.119)
(3.120)
Это уравнение четвертого порядка по Л, но оно является биквадратным, или
квадратным по Л2. Поэтому его четыре корня находятся просто:
А
1,2
-^
\У XX т U yy v
Г 11/2 1 !/2
[(4 - Uxx - Uyyf - 4(UxxUyy - U2xy)\ j (3.121)
104
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
А3,4 = ±{ ^(Uxx + Uyy - 4) +
1 Г 1 1/2 ^1 '/2
+ ^-Uxx-Uyy)2-A{UxxUyy-U2xy)\ | . (3.122)
Хотя общее решение, приведенное в формуле (3.118), предполагает знание
четырех собственных векторов матрицы А, на практике этого не требуется.
Из (3.118) видно, что решение для X и X может быть записано как
4 4
X = /]cej exp(Aj£), X — /]cijXj exp(Aj£), (3.123)
j=\ j=\
где aj — константы. Аналогичным образом можно вывести выражения для Y
и Y с участием констант f3j. Имеем
4 4
У = ^^ехр(А^), Y = ^/^-А,ехр(А,*), (3.124)
з=\ з=\
где константы /?■ являются функциями оу, поскольку решение системы может
зависеть только от четырех констант. Связь между aj и (3j можно получить
из любого из уравнений (3.101). Подставив выражения для Ху Y, Y и X
в первое из них, найдем
4
Y, (Ч А* - Wj\j - Uxxaj - иХу0^ exp(Xjt) = 0. (3.125)
Из тривиального решения этого уравнения следует соотношение между aj
и/?,-:
Л • — U-гт
Pi = 2tnT4- (зл26)
Пусть начальные условия при t — 0 есть X — Xq, Y = Yq, X = Xq
и Y = Yq, тогда четыре значения aj (и определяемые ими значения /3j)
находятся из решения системы четырех линейных уравнений
4 4 4 4
5>, = х0, х>^ = *°, Е^ = г°, 1>д- = уь- (ЗЛ27)
.7=1 j=l j=l j=l
Хотя полное_ решение описывается уравнениями (3.123) и (3.124), где
константы aj и /3^ являются решениями уравнений (3.127), определить устой-
3.7. Устойчивость точек либрации
105
чивость точек либрации можно, рассматривая только собственные значения.
С целью исследования природы собственных значений определим величины
Mi
+
М2
И)о Н)
в = з
с = з
Ml
+
М2
tf)o H)oJ
Уо2.
Жо + М2 , «о
MI-TTn + М2
Ml
L>
Mr
(xp + /X2)2
2/0,
+ M2
И)о J
(x0 -Mi)2
(4\
Через эти константы мы можем записать
их
1-A + D,
Uvv = 1 - А + Б,
СЛ
ху
с.
(3.128)
(3.129)
(3.130)
(3.131)
(3.132)
(3.133)
(3.134)
Заметим, что все эти величины являются вещественными числами, и что
величины Ху Y, X и Y также должны быть вещественными, несмотря на то,
что собственные значения Xj и константы aj и /3 • могут быть комплексными.
Общий вид собственных значений, определяемых уравнениями (3.121)
и (3.122), следующий:
Ai,2 = ±(j\ + iki), Л3,4 = ±(j2 + ifc2),
(3.135)
где ji, fci, J2 и A:2 — вещественные числа; г = л/—Т. Поскольку общее решение
для компонент векторов положения и скорости относительно точки либрации
(см. выражения (3.123) и (3.124)) включает линейную комбинацию членов
вида exp(Xjt), это означает, что каждому из двух членов exp(+(j + ik)t)
сопутствует член ехр( — (j + ik)t). Если j — 0, решение будет периодическим,
потому что члены с exp(+ikt) и ехр(—iki) сведутся к синусам и косинусам
(поскольку ехр(±г#) = cos# ± г sin в). Однако, если значение j положительно,
то всегда имеет место экспоненциальный рост по крайней мере одной моды,
и поэтому возмущенное решение неустойчиво. Таким образом, точка
либрации устойчива, если все собственные значения являются чисто мнимыми.
Мы увидим, как это работает на практике, рассмотрев общий и частные
случаи.
3.7.1. Коллинеарные точки. Рассмотрим коллинеарные решения,
соответствующие лагранжевым точкам L\, L2 и L$. Для этих точек имеем уо = 0,
(г?)о = (хо + М2)2 и (г|)0 = (х0 - Mi)2, отсюда
их
1 + 2Л, Uyy=l- A,
иху = о.
(3.136)
106
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Характеристическое уравнение принимает вид
А4 + (2 - Л)Л2 + (1 + А - 2А2) = 0. (3.137)
В качестве примера рассмотрим устойчивость точки L\ в случае //2 = 0.01,
используя теорию, описанную в разделе 3.6. Согласно разделу 3.6, имеем
#о = 0.848 и уо = 0; возьмем начальное смещение Xq — Yq = 10~5 и примем
Хо — Yo = 0. Собственные значения pajBHbi ±2.90 и ±2.32г, поэтому эта точка
линейно неустойчива. Вычислив aj и /^, получим решение
X(t) = 6.99 • 10"6 ехр(-2.90«) + 4.96 • 10~6 exp(2.90t) +
+ 1.96- 10-6cos2.32* + 2.54- 10~6 sin 2.32 «,
(3.138)
Y(t) = 3.25 • 10-6exp(-2.90t) - 2.31 • 10-6exp(2.90£) +
+ 9.06 • 10"6 cos 2.321 + 6.96 • 10"6 sin 2.321.
Второй член в этих уравнениях становится со временем преобладающим,
приводя к экспоненциальному росту X и Y. Характерное время роста в данном
случае составляет 1/2.90 орбитального периода тела //2-
Ненулевые вещественные и мнимые части решений уравнения четвертого
порядка в случае точки L\ приведены на рис. 3.12 для значений /22 от 0.001
до 0.1. Заметим, что как и в приведенном выше частном случае, корни всегда
имеют вид ±j и ±ik, где j и к вещественны. Аналогичный график можно
построить и для точек L^ и L3, хотя численные значения будут, разумеется,
другими.
lg/*2
Рис. 3.12. Численные значения вещественных (сплошные кривые) и мнимых
(штриховые кривые) частей корней характеристического уравнения в случае лагранжевой
точки L\ в зависимости от /Х2
Из свойств полиномов известно, что произведение корней полинома
должно быть равно его свободному члену. Поэтому характеристическое уравнение
должно удовлетворять соотношению
(AiA2)(A3A4)= 1+Л-2Л2, (3.139)
где, согласно формулам (3.121) и (3.122), Ai = — A2 и Аз — — А4. Чтобы все
корни были чисто мнимыми (условие устойчивости), должны выполнять-
3.7. Устойчивость точек либрации
107
ся условия Л^ = \\ < 0 и Лз = А4 < 0. Это означает, что 1 + А — 2А =
= (1— А) (\+2А) > 0. Поэтому коллинеарные точки устойчивы при
условии —1/2 < А < 1. Однако подстановка значений г\ и т^ для коллинеарных
точек в формулу (3.128) показывает, что А > 1 (при заданном условии
/22 < 1/2) и, таким образом, коллинеарные точки неустойчивы для всех
значений //2- Решение всегда имеет вид (3.138), но собственные значения будут
тем меньше 0, чем меньше масса (рис. 3.12). С физической точки зрения
существование неустойчивых коллинеарных точек либрации можно понять,
если рассмотреть изменение гравитационного ускорения и центробежной
силы с положением на оси х. При удалении от обоих тел сила тяготения
уменьшается, а центробежное ускорение возрастает. Поэтому существует
в точности две точки либрации по обе стороны от гп\ и rri2. Аналогичное
рассуждение показывает, что между двумя телами существует только одна
точка либрации. Сила, действующая на частицу, находящуюся где-либо на
оси х вблизи коллинеарной точки либрации, направлена в противоположную
от нее сторону, поэтому все коллинеарные точки неустойчивы.
Однако, выбирая специальные начальные условия, вблизи коллинеарных
точек можно найти периодические орбиты (см., напр., Себехей, 1967).
Космический аппарат SOHO (Доминго и др., 1995) был помещен на такую орбиту
вблизи точки L\ системы Земля-Солнце, чтобы наблюдения Солнца с этого
аппарата можно было вести непрерывно.
3.7.2. Треугольные точки. Рассмотрим теперь движение в окрестности
Z/4 и ^5- В этом случае г\ — Т2 — 1, х — 1/2 — Ц2, У = =Ь\/3/2, и мы имеем
Uхх - 3/4, Uyy = 9/4, Uxy - ±3л/3 (1 - 2/х2)/4. (3.140)
Характеристическое уравнение принимает вид
А4 + А2 + ^//2(1-М2) = 0. (3.141)
Как и прежде, рассмотрим некоторый частный случай. Для точки L^ при
112 — 0.01 имеем #о — 0.49 и уо — л/3/2 при тех же начальных условиях, что
и раньше. Собственные значения в итоге равны ±0.963г и ±0.268г, то есть
точка линейно устойчива. Решением для возмущенного движения будет
X(t) - 3.45 • Ю-5 cos 0.268* - 2.45 • 10"5 cos 0.963* +
+ 3.07- 10-4sin0.268*-8.55- 10"5 sin 0.963*,
(3.142)
Y(t) - 5.20 • lO"5 cos 0.268* - 4.20 • 10"5 cos 0.963* -
- 1.76- 10-4sin0.268* + 4.90- 10"5 sin 0.963*.
Следовательно, решение имеет колебательный тип с фундаментальными
периодами, равными 1/0.268 и 1/0.963 орбитального периода обращающегося
тела.
1) Имеются в виду абсолютные значения мнимых и вещественных частей собственных
значений, а также модули собственных значений. — Прим. ред.
108
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Рис. 3.13 показывает, как собственные значения зависят от массы Ц2-
Видно, что собственные значения имеют вещественную часть, если //2 больше
некоторого критического значения (lg//2 ~ —1.4). В этом случае собственные
значения имеют вид ±j ± ik, так что всегда будет присутствовать
положительная вещественная часть. Однако, если масса достаточно мала,
собственные значения равны ±ik\ и ±г/с2, и возмущенное движение устойчиво.
■ i i i i i i i i i i i i Т ГТ T"i т г
-1.5
-2.5 . -3
lgM2
Рис. 3.13. Численные значения вещественных (сплошные кривые) и мнимых
(штриховые кривые) частей корней характеристического уравнения для лагранжевых
точек L\ и L5 в зависимости от /12. Обратите внимание на качественное изменение
характера кривых при lg/i2 « —1.4
Поведение, показанное на рис. 3.13, можно понять, рассмотрев
аналитические решения характеристического уравнения. Подставив выражения для
UXXj Uyy и Uxy в формулы (3.121) и (3.122), найдем
Ai,2 = ±
^_1 _ Л/ПГ27(1 - ах2)^2
л/2
(3.143)
Аз,4 - ±
v/-l + yT^27(l-/x2)M2
л/2
(3.144)
Следовательно, все собственные значения будут чисто мнимыми тогда и
только тогда, когда выполняется условие
1-27(1 -/i2)M2 >0.
Таким образом, условие линейной устойчивости сводится к неравенству
9-^69
М2 ^
18
0.0385.
(3.145)
Когда собственные значения являются чисто мнимыми, они образуют пары
вида Aif2 = ±.гк\ и Аз,4 — ±г/с2, где к\ и к^ — вещественные числа. Если за-
3.7. Устойчивость точек либрации
109
писать olj — dj + ibjy где clj и bj вещественны, то, согласно формулам (3.123),
решение для X(t) примет вид
X(t) — (а\ + ib\) exp(ik\t) + (щ + 262) exp(—ik\i) +
+ (аз + гбз) ехр(гА:2^) + (Щ + ib^ exp(—г/^), (3.146)
и аналогично для Y(t). Воспользовавшись уравнениями (3.127) и тем фактом,
что величины I, УД и У должны быть вещественными, можно показать,
что а\ = а,2 = а\, Щ = а4 = ач, Ъ\ — —b<i — Ъ\, &з = —Ь$ — &2 и коэффициенты
при экспонентах образуют пары комплексно сопряженных величин. Тогда
решение для X(t) можно записать в виде
X(t) — (а\ + ib\) exp(ik\t) + (а\ — гЪ\) ехр(—ik\t) +
+ (аг + г&2) ехр(гА:2^) + (аг — 262) ехр( —ik2t). (3.147)
Поскольку ехр(г#) = cos0 + zsin#, a коэффициенты комплексно сопряжены,
мы можем переписать (3.147) как
X(t) — 2а 1 cos k\t + 2a2Cos k^t — 2b\ sin k\t — 2&2 sin k2t. (3.148)
Следовательно, если собственные значения являются чисто мнимыми, то
частица, смещенная от точки либрации, будет совершать колебательные
движения; поэтому она будет оставаться в окрестности точки либрации и движение
устойчиво. Этим подтверждается описанный выше численный результат.
Если условие (3.145) не удовлетворяется, собственные значения будут
содержать вещественные части и иметь вид ±(j ± гк) (см. левую часть
рис. 3.13). В этом случае можно записать
X(t) = (а\ + гЬ\) exp((j + ik)i) + (а\ — ib\) exp((j — ik)t) +
+ (a2 + ib2) exp((-j + ik)t) + (a2 - ib2) exp((-j - ik)t), (3.149)
что сводится к выражению
X(t) = 2 (а\ exp(jt) + a2 exp(-jt)) cos kt — 2 (b\ exp(jt) + 62 exp(— jt)) sin kt.
(3.150)
Следовательно, переменная Х всегда будет демонстрировать
экспоненциальный рост, вызываемый двумя членами в данном выражении. То же верно
и для УД и У. Поэтому траектория уходит по спирали от точки либрации,
и о точке либрации говорят как о линейно неустойчивой.
Вернемся теперь к анализу устойчивого случая (//2 < 0.0385). Из
формул (3.143) и (3.144) мы видим, что для малых значений //2 собственные
значения можно записать как приближения
Ait2 «±i/-l + —//2, А3,4 ~±\/—Т-М2- (3.151)
по
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
В обоих случаях это чисто мнимые числа, если отношение масс мало, и выше
мы убедились численно и аналитически, что модули этих значений Л
являются парой частот движения частицы при ее колебаниях относительно
треугольной точки либрации. Присутствие этих двух частот в решении для
возмущенного движения около точек L$ и L$ приводит к следующей проблеме, которая
снижает общность условия (3.145): возможное наличие резонансов, то есть
простых численных соотношений между этими частотами, означает, что для
конечного числа специальных значений отношений масс треугольные точки
либрации на самом деле неустойчивы, хотя условие (3.145) и выполняется
(Депри и Депри-Бартоломе, 1967) 1).
3.8. Движение вблизи £4 и L5
Мы выбрали систему единиц, в которой среднее движение тела //2 равно
единице, а его орбитальный период равен 2тг. Периоды движения частицы
в этой системе равны 27г/|Л^2| и 27г/|Аз,4|. Таким образом, результирующее
движение частицы состоит из двух различных составляющих:
• короткопериодического движения с периодом 27r/|Ai2| ~ 27г (то есть
с периодом, близким к орбитальному периоду тела //2);
• накладывающегося на него долгопериодического движения
относительно точки равновесия с периодом 27г/|Аз,4|, известного как либрация
(отсюда и получили свое название точки либрации). _
Амплитуды этих двух составляющих определяются константами ctj и f3j,
которые, в свою очередь, определяются начальными условиями. В этом
контексте движение можно представить себе как долгопериодическое движение
эпицентра вокруг точки либрации при одновременном короткопериодическом
движении частицы вокруг эпицентра (рис. 3.14). Результирующее движение
частицы, описываемое численно решением (3.142), показано на рис. 3.15.
Характерный петляющий вид траектории, показанной на рис. 3.15,
возникает из этих двух различных типов движения, которые дают вклад в
возмущенную орбиту вокруг точки либрации. Структура этого движения станет
еще проще для восприятия, если повернуть систему координат вокруг точки
либрации на 30° (7г/6 радиан) по часовой стрелке, чтобы новая ось X' прошла
почти по касательной к единичной окружности. Новые координаты (Х',У)
даются преобразованием
ХЩ _ /cos 30° -sin30°\ fX(t)\
Y'{t)J ~ Vsin30° cos 30° ) \Y(t)J ' ( '
l) Наличие резонанса необязательно означает неустойчивость. Депри и Депри-Бартоломе
(1967) не исследовали резонансные случаи на устойчивость. Доказательство
неустойчивости для двух значений массового параметра, соответствующих резонансам 2:1 и 3:1, дал
А. П.Маркеев (1969, ПММ, т. 33, с. 112); этими значениями исчерпываются случаи
неустойчивости при выполнении условия (3.145). — Прим. ред.
3.8. Движение вблизи L\ и L5
111
Рис. 3.14. Эпициклическое
движение (малый эллипс) и движение
эпицентра (большой эллипс) для
решения (3.142). Эпицентр
обозначен светлым кружком. Крестик
обозначает положение точки
либрации Z/4- Траектория частицы
вокруг положения равновесия
является наложением эпициклического
движения и движения эпицентра
Рис. 3.15. Траектория частицы вокруг
лагранжевой точки либрации L\ во
вращающейся системе отсчета.
Траектория получена из аналитического
решения (3.142) задачи об устойчивости;
показано движение в течение 12.5
орбитальных периодов тела /i2. Штриховыми
линиями обозначены эпициклическое
движение и траектория эпицентра, показанные
на рис. 3.14
где X(t) и Y(t) вычисляются по формулам (3.142). Отсюда
X'(t) « 3.54 • 1(Г4 sin 0.268* - 9.85 • 10~5 sin 0.963*,
Y'[t) « 6.23- 10-5cos0.268*-4.86- 10~5 cos 0.963*.
(3.153)
Хотя в этих уравнениях значения констант (исключая частоты) зависят
от конкретных начальных условий, данный поворот системы координат
подчеркивает несколько дополнительных свойств решения. Разделив два типа
движения, мы видим, что каждое из них имеет вид (2.40), то есть
представляет собой эллипс с центром в начале координат. В случае движения эпицентра
траектория является вытянутым эллипсом. В разделе 3.10 мы покажем, что
размеры этого эллипса определяются размерами связанной с ним кривой
нулевой скорости и что отношение малой и большой полуосей эллипса равно
Ь/а = (3М2)1/2.
В эпициклическом движении вокруг эпицентра частица следует по
траектории, являющейся центрированным эллипсом с отношением полуосей,
приближенно равным 2:1. Во вращающейся системе координат это движение
идентично эпициклическому приближению (приближению ведущего центра)
в задаче двух тел, описанному в разделе 2.6. Следовательно, эпициклическое
движение можно считать обычным кеплеровским движением от перицентра
к апоцентру, производящим центрированный эллипс с полуосями длиной 2е
и е. В нашем частном случае это подразумевает, что е « 5 • 10~5. Однако
реальная ситуация не столь проста: следует рассматривать оскулирующий
эксцентриситет частицы, представляющий собой комбинацию
«вынужденного» эксцентриситета, обусловленного массой //2. (который, в частности,
находит отражение в изменяющейся форме вытянутого эллипса, по которому
движется эпицентр) и «свободного» эксцентриситета, дающего эпицикличе-
112
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
ское движение 2:1. Мы вернемся к этой концепции в главе 7, когда
рассмотрим вековые возмущения. Заметим, что посредством подходящего выбора
начальных условий можно отыскать решения, в которых эпициклическое
движение полностью подавлено и траектория частицы совпадает с траекторией
эпицентра.
3.9. Орбиты типа «головастик» и «подкова»
Важно помнить, что орбиты описанного типа, задаваемые решением
уравнений возмущенного движения вокруг точек либрации L^ и Ь$, имеют место
лишь вблизи этих точек и, соответственно, только для малых амплитуд
либрации. Это означает, что нельзя ничего сказать о решении при больших
смещениях от точек либрации. Однако всегда можно прибегнуть к
численному интегрированию полных уравнений движения частицы во вращающейся
системе отсчета (они были выведены в разделе 3.2, см. уравнения (3.16)
и (3.17)).
Ml ^2 Ml M2
Рис. 3.16. Два примера орбит типа «головастик», описывающих либрационное
движение вокруг точки L\ (отмеченной крестиком и расположенной в точке хо = 1/2 — /i2,
уо = \/3/2) в случае ^2 — 0.001. Тела fi\ и ^2 показаны темными кружками.
а) Начальные условия х = хо + 0.0065, у = уо + 0.0065, х = у = 0. Траектория
вычислена на интервале времени в 15 орбитальных периодов тела /i2. б) Начальные
условия х = хо + 0.008, у = уо + 0.008, х = у = 0. Траектория вычислена на интервале
времени в 15.5 орбитальных периодов тела /i2
На рис. 3.16 показаны две траектории, полученные интегрированием
полных уравнений движения для начальных условий в окрестности точки L\ при
fi2 = 0.001, то есть при значении //2, близком к отношению масс в системе
Солнце-Юпитер {). Для траектории, изображенной на рис. 3.16 а, начальная
точка выбрана несколько ближе к L4, чем для траектории на рис. 3.166.
Заметим, что в обоих случаях траектории сильнее вытянуты в направлении
прямого движения от точки L4, чем в обратном. Кроме того, на рис. 3.16 а
орбита в целом вытянута на 86°; тогда как орбита с начальной точкой,
расположенной дальше от Ь$ (рис. 3.166), — на 115°. Если вспомнить, что
два тела и точка L$ образуют равносторонний треугольник, сторона которого
служит единицей длины, из рис. 3.16 становится ясно, что обе орбиты
проходят близко к единичной окружности с центром в теле fi\ (ср. с рис. 3.9).
Говорят, что орбиты, изображенные на рис. 3.16, имеют тип «головастик», —
благодаря вытянутой форме этих орбит (и кривых нулевой скорости). Сход-
0 В системе Солнце-Юпитер /j,2 ~ 1/1049. — Прим. ред.
3.9. Орбиты типа «головастик» и «подкова»
113
ство проявляется еще резче, если рассмотреть орбиты с нулевым свободным
эксцентриситетом. Заметим, что частицы, движущиеся вокруг точки L5,
также описывают орбиты типа «головастик».
Теперь возникает вопрос, какого рода орбиты можно было бы ожидать,
если еще более увеличить начальное радиальное расстояние от L± или L$.
Ответ состоит в следующем: если начальное расстояние не слишком велико,
получающаяся орбита будет охватывать и L4, и L5. Такого рода траектории
называют подковообразными орбитами; два примера подобных орбит
приведены на рис. 3.17 для начальных условий, взятых из работы Тейлора (1981).
Заметим, что начальные условия для орбиты на рис. 3.17 6 таковы, что
эпициклическое движение практически отсутствует, и траектория имеет гладкий
вид.
Рис. 3.17. Два примера почти периодических подковообразных орбит, описывающих
либрационное движение вокруг точки L\, в случае ^2 = 0.000953875, по данным
работы Тейлора (1981). а) Начальные условия х = —0.97668, у = х = 0, у = —0.06118.
б) Начальные условия х = —1.02745, у = х = 0, у = 0.04032
Сравнение траекторий эпицентров, получающихся из графиков на
рис. 3.16 и 3.17, с формой кривых нулевой скорости на рис. 3.9, обнаруживает
их поразительное сходство. Однако важно отметить, что кривые нулевой
скорости не определяют орбит, хотя, как мы увидим в разделе 3.10, между
теми и другими имеется тесная связь, когда //2 мало. Заметим, что орбиты,
изображенные на рис. 3.16 и 3.17, имеют нулевую начальную скорость.
Поэтому с каждой из них связана кривая нулевой скорости (не показанная на
рисунках). Подобные кривые гарантируют только, что орбиты не подойдут
слишком близко к точкам L$ и Ь$. Они не говорят ничего о долговременной
устойчивости орбит. Напомним, однако, что если константа Якоби орбиты
меньше, чем ее значение для L^ и Ь$, то кривую нулевой скорости провести
невозможно и для такой орбиты не существует запретных областей.
Можно проиллюстрировать свойства подковообразных орбит и орбит типа
«головастик» для малых отношений масс на нескольких примерах,
полученных прямым численным интегрированием уравнений движения. На рис. 3.18
показаны три траектории (одна типа «подкова» и две типа «головастик»)
в случае \х^ — 10_3. Здесь 9 является углом, отсчитываемым вдоль
орбиты, причем 9 = 0 соответствует направлению от первого тела ко второму.
Начальное значение эксцентриситета е « 0 для всех орбит. Отметим, что
большая полуось заметно меняется вдоль траектории; наибольшее отклонение
от единичной окружности имеет место вблизи точек L$ и L$. «Подковы»
8 К. Д. Мюррей, С.Ф. Дермотт
114
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
100 150
200 250 300 350
0,°
Рис. 3.18. Зависимость большой полуоси а от угла 0, отсчитываемого вдоль
орбиты, для трех траекторий при ^2 = Ю-3. Начальные положения показаны темными
кружками, а точки либрации — светлыми кружками. Все траектории вычислены на
интервале времени в 100 орбитальных периодов второго тела. Стрелки указывают
направление движения
и «головастики» вблизи этих точек имеют максимальную ширину. Отметим
также, что траектории заметно асимметричны. Это проявляется в том, что
точка Z/з не лежит посередине между внутренней и внешней ветвями
«подковы» при в = 180°. На графике изображено, как вдоль траектории изменяется
величина а, а не г, но различие несущественно, поскольку мы выбрали е « 0.
По этой причине петли, видимые на рис. 3.16 и 3.17, в данном примере
отсутствуют.
Зависимости а и е от времени для подковообразной орбиты при \±2 — 10~3
приведены на рис. 3.19. Довольно резкие изменения а обязаны влиянию
сближений со вторым телом, в результате которых происходят скачки от
а > 1 к а < 1 и обратно (рис. 3.19 а). Если положить а = 1 + Аа и измерять
Аа в каждый момент, когда в — 180°, можно наблюдать интересное явление.
Здесь выбрано начальное значение Аа = 0.020. После сближения со вторым
телом Аа — —0.0143, но после второго, как показывают расчеты, Аа = 0.0198;
та же картина повторяется при последующих сближениях. Это показывает,
что асимметрия |Да| практически сводится на нет после одного полного
1.04
И
0.96
м
И
м
И
0 20 40 60 80 100
Время, в орбитальных периодах
0.015 Ь
0.010 Ь
0 20 40 60 80 100
Время, в орбитальных периодах
Рис. 3.19. Изменения а) большой полуоси а и б) эксцентриситета е со временем для
подковообразной орбиты, показанной на рис. 3.18 (//2 = Ю-3)
3.9. Орбиты типа «головастик» и «подкова
115
прохождения «подковы». Как мы увидим в разделе 3.15, это свойство может
быть существенным для удержания подковообразных орбит от «схлопыва-
ния», вызываемого диссипацией (Дермотт и др., 1980; Дермотт и Мюррей,
1981а). Из рис. 3.19 6 видно, что сближения со вторым телом сопровождаются
также резкими изменениями е; при этом эксцентриситет увеличивается на
порядок при приближении ко второму телу и падает при удалении от него.
Малые колебания эксцентриситета между сближениями (которые в согласии
с соотношением Тиссерана имеют наибольшую амплитуду в точках Ь$ и L5)
означают, что здесь могут быть существенными фазовые эффекты. Это
объясняет, почему амплитуды скачков эксцентриситета при сближениях меняются
со временем, а не следуют той же симметрии (после двух сближений), какая
видна в вариациях а.
Влияние уменьшения массового параметра демонстрируют рис. 3.20 и 3.21,
где представлены аналогичные графики для случая ^2 = Ю-6. По причине
меньшего значения \х^ мы выбрали начальное значение большой полуоси
а = 1.002 (то есть уменьшили на порядок значение Да). График зависимости
а от 9 демонстрирует, что, как и прежде, ширина траектории максимальна
при 9 — 60° и 9 = 300°, то есть там, где расположены точки L^ и L5.
Однако имеются два тонких отличия. Во-первых, степень симметрии больше —
точка 1/з теперь лежит приблизительно посередине между значениями а при
9 = 180°. Во-вторых, хотя обе эти орбиты типа «головастик» имеют начальные
точки при тех же значениях 9, что и раньше (135° и 45°), относительный
диапазон изменения а для них меньше, чем для аналогичных орбит при
Ii2 = Ю-3. Это означает, что радиальная ширина области «головастика»
относительно области «подковы» уменьшилась с уменьшением //2- Для орбиты
типа «головастик» мы приводим для сравнения ее кривую нулевой скорости.
Отметим, что радиальная ширина этой кривой всегда составляет половину
1.003
а
1.002
1.001
1.000
0.999
0.998
0 50 100 150 200 250 300 350
0,°
Рис. 3.20. Зависимость большой полуоси а от угла в вдоль траектории для орбит
типа «подкова» и «головастик» при /i2 = 10~6. Начальные положения обозначены
темными кружками, а точки либрации — светлыми кружками. Тонкая кривая ZVC
представляет собой кривую нулевой скорости для траектории типа «головастик». Обе
траектории вычислены на интервале времени в 1 000 орбитальных периодов второго
тела. Стрелки указывают направление движения
116
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
0.998 h
0.00002
0 200 400 600 800 1000
Время, в орбитальных периодах
0 200 400 600 800 1000
Время, в орбитальных периодах
Рис. 3.21. Изменения а) большой полуоси а и б) эксцентриситета е со временем для
подковообразной орбиты, показанной на рис. 3.20, для /i2 = 10~6
ширины области «головастика», что согласуется с результатом, полученным
нами аналитически.
Степень симметрии в случае малого значения ^2 ясно видна из рис. 3.21.
Интегрирование показывает, что, если изначально положить Аа = 0.00200,
то после одного сближения имеем Аа = —0.00199, а после двух сближений
снова Аа = 0.00200. Если долговременная устойчивость подковообразной
орбиты обусловлена близостью орбиты к некоторой симметричной
периодической траектории, то этот факт свидетельствует, что подковообразные орбиты
весьма устойчивы в случае малых //2- Анализ изменений е показывает, что
по-прежнему имеются скачки на порядок величины в моменты сближений, но
симметрия выражена гораздо сильнее, чем в случае больших //2-
Если выбраны начальные условия, соответствующие почти круговой
орбите внутри или снаружи единичной окружности, то ясно, что характер
результирующей орбиты зависит от ее начального радиального расстояния
от единичной окружности. Аналитически и численно нами показано, как
частицы, начавшие движение вблизи L\ или L$y совершают либрации малой
амплитуды вокруг точки равновесия. При увеличении указанного начального
расстояния орбита становится более вытянутой в направлении точки Ь$
(орбиты типа «головастик»). В конечном счете, частицы, начавшие движение
достаточно далеко от единичной окружности, будут совершать либрации
вокруг Z/4, Аз и ^5 (подковообразные орбиты). Однако слишком большое
удаление частицы от единичной окружности приведет к орбитам, для которых
смена направления движения эпицентра уже не имеет места; говорят, что
такие орбиты циркулируют внутри или снаружи единичной окружности. При
определенных значениях константы Якоби вероятно столкновение частицы
с телом //2-
3.10. Кривые нулевой скорости и орбиты
Кривая нулевой скорости, ограничивающая запретную область на
рис. 3.15, имеет вытянутую форму и наклонена под углом ~ 30° к
горизонтали. Удобно исследовать поведение кривых нулевой скорости в окрестности
треугольных точек либрации, произведя перенос начала координат, поворот
системы координат на 30° и разложение в ряд в окрестности нового начала
координат. Для точки L$, например, х — 1/2 — Ц2 и у — \/3/2. Перенос начала
3.10. Кривые нулевой скорости и орбиты
117
координат достигается подстановкой х —> (1/2 — //2) + х и у —> л/3/2 + у
в выражениях (3.8) и (3.9). Поворот системы на 30° вокруг нового начала
координат достигается подстановкой ж —> \/Ъх' /2 + у'/2 и у —> —х'/2 + \[by' J2,
где ж' и j/ представляют собой новые значения ж и у. Отсюда
г
- 1+2у' + аГ + 1Г, (3.154)
г§ = 1 -^/Зж' + у' + х^ + у'2. (3.155)
Из (3.22) находим, что уравнение, определяющее кривые нулевой скорости,
а именно Cj = 2[У, после преобразования принимает вид
Ci=\-ti2-Vbii2X+(2-ii2)y, + x,2 + y,2 + 2(—^ + ^У (3.1
V П г2 /
56)
где мы пренебрегли членами 0(/х|)« Раскладывая (3.156) в ряд в окрестности
нового начала координат, имеем
Cj « 3 - fi2 + |/i2^/2 + 3/. (3.157)
В этом разложении мы пренебрегли членами третьего и более высоких
порядков, а также членами, содержащими /хгз/. поскольку 1) //2» по
предположению, мало и 2) вид кривых нулевой скорости на рис. 3.9 свидетельствует, что
радиальная ширина областей, ограниченных кривыми, мала для малых //2-
Заметим, что член с ^х исчезает вне каких-либо аппроксимирующих
предположений. В действительности наше приближение означает, что мы
пренебрегаем кривизной результирующих кривых вдоль единичного радиуса. Если
положить
Cj = 3 + 7M2, (3.158)
где 7 — малая величина, равная —1 в точках L^ и L5 (см. формулы (3.97)
и (3.98)), то выражение (3.157) можно записать в виде
/2 /2
Х + 7—7^71 ч»1- (3.159)
(4/9)(1+7) (M2/3)(l+7)
Если сравнить (3.159) с (2.40), то можно убедиться, что результирующие
кривые нулевой скорости являются эллипсами с центрами в точке L4, имеющими
большую и малую полуоси а' — (2/3)^/1 + 7 и Ъ' — д/а*2/3>/1 + 7 • Поскольку
iZ/a' — (1/2)^/3/^2 , очевидно, что эти эллипсы становятся сильно вытянутыми
при ii2 —> 0. Заметим также, что Ъ'jo! в два раза больше значения,
приведенного нами в разделе 3.8 для движения ведущего центра. Это наводит на
мысль, что именно форма кривой нулевой скорости определяет траекторию
частицы. Исследуем теперь соотношение между кривыми нулевой скорости
1/2 1/3
и реальными орбитами, когда //2 <^ /V ^ Ы ^ *• Предположим, что
эксцентриситет орбиты частицы близок к нулю и поэтому эпициклическим
движением частицы вокруг ведущего центра можно пренебречь.
118
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Прежде всего заметим, что, согласно выражениям (3.94)-(3.98), кривые
нулевой скорости, имеющие форму «головастика», можно охарактеризовать
величиной 7» определенной в формуле (3.158), причем
-1 ^7^+1. (3.160)
Нижняя граница соответствует значению Cj в точках L\ и L$, а верхняя —
значению Cj в точке L^. В случае подковообразных кривых мы можем
записать
Cj = 3 + (f4;/3 + o(//2), (3.161)
где
0^С^34/3. (3.162)
В этом случае нижняя граница отвечает значению Cj (с точностью до О(1^2))
в точке 1/з, а верхняя — в точках L\ и L2. Следовательно, значения как 7, так
и С могут служить для параметризации кривых нулевой скорости в отношении
их формы («головастика» или «подковы»).
Из выражения (3.64) для функции U, положив п — 1, имеем
2U = 2^- + inr\ + 2^ + /х2г| - /Х1М2, (3.163)
7*1 Г2
где, согласно (3.28),
у2 = г2+(гв\ =2U-Cj. (3.164)
Благодаря тому, что рассматривается случай /х2 <^ 1, мы не делаем различия
между п и г.
Если мы теперь сосредоточим внимание на орбитах, близких к круговым
и лежащих вблизи единичной окружности, то можем положить
r= l+6r, (3.165)
где 5г <С 1. При таких обстоятельствах \г\ <С \гв\ всюду кроме точек поворота,
в которых в — 0, а г ф 0. Поэтому большую часть времени движение является
почти кеплеровским и
Уъгв = ~6г. (3.166)
Используя приближения такого же рода, мы можем упростить
выражение (3.163) для 2U. Оставляя члены до 0(//2), имеем
2U = 3 + 35г2 + /х2Я, (3.167)
где
Я = —+ rf-4. (3.168)
Г2
Отсюда, используя выражение (3.164), получаем
^Sr2 = 3 + 36г2 + /х2Я - Cj. (3.169)
3.10. Кривые нулевой скорости и орбиты
119
Для кривых нулевой скорости v2 — 0 и, следовательно, они определяются
уравнением
0 = 3 + 35rlv + /x2#zv - Cj, (3.170)
где нижний индекс "ZV" означает, что величина относится к кривой
нулевой скорости, а не к орбите. Поскольку Cj является константой,
уравнения (3.169) и (3.170) дают
5r2 = (2Srzy)2 + |ах2(Я2у " Я)- (3.171)
Для движения по орбитам обоих типов, как типа «головастик», так и типа
«подкова», Hzv — Н ~ 5г и ^бг <С 5г2. Отсюда для движения ведущего
центра
5r = 25rzy (3.172)
и радиальное смещение ведущего центра от единичной окружности
всегда равно удвоенному смещению соответствующей кривой нулевой скорости
(Дермотт и Мюррей, 1981а).
В случае подковообразных орбит применимы соотношения (3.161) и
(3.162). Поэтому
3 + -А5г2 + М2Я = 3 + С/4/3 + 0(ах2), (з.173)
3 + 35r|v + /x2#zv - 3 + С^2/3 + ОЫ-
Отсюда, поскольку /х2 » //2 Для малых //2, имеем
5r - 25rzv = 2(C/3)1/2//J/3. (3.174)
Для орбит типа «головастик» применимы соотношения (3.158) и (3.160).
Поэтому
3 + ^5г2 + /х2Я = 3 + 7М2, 3 + 35rlv + /x2#zv = 3 + 7М2- (3.175)
Отсюда
6r « 25rzv = 2[(7 - Я)/3]1/2^/2, (3.176)
и снова радиальная ширина орбиты равна удвоенной ширине области,
ограниченной соответствующей кривой нулевой скорости.
В разделе 3.8 мы уже видели, что для малых колебаний вокруг L\ или L$
малая полуось эллиптической траектории ведущего центра равна удвоенной
малой полуоси эллипса, описывающего кривую нулевой скорости,
отвечающую ведущему центру. Приведенное выше рассуждение наводит на мысль,
что, во-первых, движение частицы, численно описываемое формулами (3.153),
представимо в виде
X'(t) =asinA3(*-*3)-2esinAi(t-«i),
Y'(t) = (3//2)1/2acosA3(£-£3) - ecosAi(* - ti),
120
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
где Ai и Аз — две фундаментальные собственные частоты, а четыре
произвольные константы а, е, t\ и t% определяются начальными условиями -Х"'(0),
У(0), Х'(0) и Y'(0). Во-вторых, это рассуждение дает основание полагать,
что для малых е движение ведущего центра не зависит от е. И, в-третьих,
самое главное, оно подсказывает, что связь между траекторией ведущего
центра и соответствующей ей кривой нулевой скорости, обнаруженная нами
впервые, когда мы рассматривали малые колебания вокруг L± и L$, имеет
место и в общем случае: она применима к движению любой амплитуды,
включая и движение по подковообразным орбитам. Теперь мы используем
этот результат для вывода дальнейших характеристик движения.
Если рассмотреть движение вдали от точек Ь$ или L$, то обнаружим,
что орбиты начинают еще более походить на «головастиков», с «хвостами»,
вытянутыми в направлении L$. Мы можем вычислить наименьшую и
наибольшую угловые протяженности этих орбит с помощью константы Якоби.
Уравнения (3.173) и (3.175) можно представить в виде
3
-5r2 + fi2H(d) = const, (3.178)
где в есть угловое расстояние между частицей и вторым телом; согласно
свойствам равнобедренного треугольника, г2 — 2sin(0/2), поэтому
Н(в) = (sin | J - 2 cos в - 2, (3.179)
где Н есть та же самая функция, что и определенная формулой (3.168).
Константа в уравнении (3.178) равна 7М2 Для орбит типа «головастик» и С//2'
для орбит типа «подкова».
Рассмотрим две произвольные
точки (гг,6г) и {rj,9j) на
траектории частицы. Их полярные
координаты должны удовлетворять
соотношению
бг*-бг23 = -^2[н(ег)-н(е3)}
(3.180)
независимо от того, на какой орбите
находится частица, типа «головастик»
или типа «подкова». На рис. 3.22
показан график Н(9). Для орбит типа
«головастик» в крайних точках
траектории имеем 5г{ = Srj — 0,
поэтому H{9i) — H(9j). Два решения
этого уравнения, 0min и 0тах, дают
наименьшее и наибольшее угловые рас-
их разность, D = 0max — 0min, равна
амплитуде либрации. Форма кривой на рис. 3.22 позволяет объяснить наблю-
360 335 310 285 260 235 210 185
11 ■ ■ ■ ■ i 11 i 11 11 i 11 i i i 11 i i 11 ■ ■>*! |
Н(в)\ \ /
°*4 \ /
-0.5 \ \ /
0 25 50 75 100 125 150 175
Рис. 3.22. График функции Н(6),
определяемой формулой (3.179), для
орбит типа «головастик» вокруг точки L\
(нижняя горизонтальная ось графика) и
точки Z/5 (верхняя ось)
стояния частицы от второго тела, а
3.11. Астероиды-троянцы и спутники-троянцы
121
давшийся нами при численном интегрировании эффект, состоявший в том,
что орбиты типа «головастик» становятся более вытянутыми при увеличении
амплитуды (рис. 3.18 и 3.20).
Рассмотрим случай 0$ = 180° и 5ri = 0. Это критическая орбита типа
«головастик». Поскольку Я(180°) = 1, уравнение (3.180) дает
5г? = |/*2[1-Я(0,)]. (3-181)
а поскольку Н(в) ^ — 1, любая орбита типа «головастик» должна
удовлетворять соотношению
/8\ 1/2
Sr^6rcrit= l-\ /4/2. (3.182)
Следовательно, при условии, что значение /х2 известно, а эксцентриситет е
мал, одного измерения 5г (радиального расстояния частицы от второго тела)
достаточно, чтобы определить, находится или нет частица на орбите типа
«головастик».
Рассмотрим случай 0^ = 180° и 5гг — дг\$о ¥" 0- При условии, что £ ^ З4/3
(ср. условие (3.162)), частица движется по орбите типа «подкова». Точка
поворота ее траектории находится из условий 5rj = 0 и 0j = вт[п. Величины
5rj и 6j здесь связаны соотношением
^180 = |/*2 [H(9min) - 1], (3.183)
которое может быть использовано для определения расстояния наибольшего
сближения частицы со вторым телом. В случае орбиты типа «подкова»
измерение 0min можно использовать для определения массы /Х2- В случае орбиты
типа «головастик» 5r\so = 0, a 0min определяется из соотношения Н(втт) = 1,
откуда получаем, что 0min = 23.9° для всех /Х2-
3.11. Астероиды-троянцы и спутники-троянцы
Для любой пары Солнце-планета в Солнечной системе выполняется
условие (3.145). Это же условие выполняется и для любой пары планета-спутник
за исключением системы Плутон-Харон, в случае которой /Х2 ~0.1. Однако,
хотя поведение объектов, совершающих либрации вокруг устойчивых точек
равновесия, было известно уже Лагранжу, до XX века не было известно ни
одного такого объекта. В табл. 3.1 приведен список из нескольких
астероидов, движущихся по орбитам типа «головастик» вокруг треугольных точек
либрации системы Солнце-Юпитер. Они известны как астероиды-троянцы,
либрации первого из них, 588 Ахилла, вокруг точки L\ Юпитера были
открыты в 1906 г.
К концу 1998 г. открыто более 450 астероидов-троянцев, совершающих
либрации вокруг точек L\ и L^ Юпитера 0. Ведущую (относящуюся к L±)
х) К 2008 г. открыто более 2200 троянцев Юпитера; из них «1200 около точки La и « 1000
около точки 1/5- Кроме того, известно 4 троянца Марса и 6 троянцев Нептуна. — Прим. ред.
122
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Таблица 3.1. Орбитальные характеристики астероидов-троянцев в системе
Солнце-Юпитер с номерами меньше 2000, согласно Милани (1993). D — амплитуда
либрации; ерг и /рг — собственные эксцентриситет и наклонение. В последних
столбцах указано положение либрационной орбиты (вокруг точки L4 или вокруг
точки Ь$)
Астероид
588 Ахилл
617Патрокл
624 Гектор
659 Нестор
884 Приам
911 Агамемнон
1143 Одиссей
И 72 Эней
1173 Анхиз
1208 Троил
1404 Ая кс
1437 Диомед
1583Антилох
1647Менелай
1749Теламон
1867Деифоб
1868Терсит
1869Филоктет
1870 Главк
1871 Астианакс
1872 Гелен
1873 Агенор
D[°]
6.45
5.02
18.99
10.03
10.82
16.95
9.84
10.15
23.99
10.63
19.98
28.73
24.36
7.93
13.61
17.50
22.88
21.04
9.49
27.76
23.55
12.08
^рг
0.1032
0.1005
0.0543
0.1297
0.0883
0.0207
0.0521
0.0602
0.0914
0.0354
0.0761
0.0179
0.0183
0.0587
0.0686
0.0294
0.0979
0.0576
0.0169
0.0142
0.0148
0.1168
sin /pr
0.1967
0.3662
0.3259
0.0870
0.1739
0.3857
0.0689
0.3056
0.1404
0.5446
0.3270
0.3653
0.4858
0.1168
0.1185
0.4738
0.2906
0.0596
0.1114
0.1299
0.2538
0.3791
и
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
L5
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
группу обычно называют «греками», а ведомую (относящуюся к L$) —
«троянцами»; причем в качестве названий астероидов взяты имена персонажей
«Илиады» Гомера из соответствующих лагерей с учетом присутствия
вражеского шпиона в каждом из них.
Среднее значение амплитуды либрации (обозначенной D в табл. 3.1)
составляет 14°, при этом отдельные значения амплитуд превышают 30°.
В подобных случаях движение ведущего центра начинает напоминать
вытянутые кривые нулевой скорости, показанные на рис. 3.9. Физические и
динамические характеристики астероидов-троянцев сведены воедино в статье
Шумейкер и др. (1989).
На рис. 3.23 показано расположение астероидов-троянцев системы
Солнце-Юпитер в декабре 1997 г. Проекции положений астероидов на плоскость
эклиптики, а также орбита и положение Юпитера по отношению к Солнцу
приведены на рис. 3.23 а. Хотя оба скопления вокруг треугольных точек
четко выражены, ясно проявляются и большие амплитуды либрации. На
рис. 3.23 б показан вид в направлении Солнце-Юпитер, иллюстрирующий
протяженность групп троянцев в вертикальном (относительно эклиптики)
направлении.
Наличие астероидов-троянцев присуще не только системе
Солнце-Юпитер. Первый троянец системы Солнце-Марс, 5261 Эврика, был открыт в 1990 г.;
3.11. Астероиды-троянцы и спутники-троянцы
123
Рис. 3.23. а) Расположение астероидов в окрестности орбиты Юпитера 18 декабря
1997 г. в 0h UT (юлианская дата 2450800.5). Показаны положения астероидов
в проекции на плоскость эклиптики, б) Вертикальное (относительно эклиптики)
распределение тех же астероидов; вид в направлении Солнце-Юпитер. Штриховой
линией обозначена плоскость орбиты Юпитера
было показано, что он совершает либрации вокруг точки L$ Марса (Миккола
и др., 1994). Оказалось также, что астероид 3753 Кринье, первоначально
обозначенный как 1986ТО, совершает необычные подковообразные либрации
в системе Солнце-Земля (Вигерт и др., 1997). В работах Намуни (1999),
Кристу (2000) и Намуни и др. (1999) показано, что истинная природа
поведения астероида Кринье и динамически подобных ему астероидов может
быть понята в контексте общей теории коорбитального движения. Например,
Кринье и 3362 Куфу могут на время становится спутниками Земли с
обратным движением, a 1989VA участвует в различных коорбитальных режимах
движения с Венерой.
Астероиды-троянцы, принадлежащие Юпитеру и Марсу, являются
примерами либрационного движения вокруг точек L± и L$ в системе
Солнце-планета. Однако такая же динамическая ситуация имеет место, если рассмотреть
движение в окрестности треугольных точек системы планета-спутник. Такие
спутники обычно называют коорбитальными, хотя их называют и
спутниками-троянцами. Первые коорбитальные спутники были открыты в 1980 г.
в ходе наземных ПЗС-наблюдений системы Сатурна. Эти три объекта
находятся на орбитах Тефии и Дионы (табл. 3.2); изображения всех трех
с близкого расстояния были получены с космических аппаратов «Вояджер»
во время их пролета рядом с Сатурном в 1980 и 1981 гг.
Таблица 3.2. Известные коорбитальные спутники, тела, участвующие во
взаимодействии, и амплитуда либрации. В последнем столбце приведен диапазон движения
по отношению к точке L\ или L$
Спутник
Телесто
Калипсо
Елена
Первое тело
Сатурн
Сатурн
Сатурн
Второе тело
Тефия
Тефия
Диона
М2
1.34- 10"6
1.34- Ю-6
1.85- 10"6
и
•
•
Lb
•
Либрация [°]
от -2° до +2°
от -4° до +4°
от -13° до +17°
124
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Хотя термин коорбитальный был впервые использован для описания
орбитальной конфигурации Януса и Эпиметея (см. раздел 3.12), в настоящее
время он используется в отношении любых тел и частиц, находящихся на
той же орбите, что и более крупное возмущающее тело. Несмотря на то,
что коорбитальные спутники представляют собой обычное явление в системе
Сатурна, интересно отметить, что в системе Юпитера нет ни одного такого
спутника. Объяснение этого различия может быть связано с относительной
шириной областей «головастика» и «подковы».
Мы уже встречались с подобным явлением в разделе 3.9, где были
проведены численные исследования орбит типа «подкова» и «головастик» для двух
значений отношений масс. Сравнивая выражения (3.174) и (3.176), видим,
1/3
что ширина области «подковы» ~ /х2 , а ширина области «головастика»
~ /i2 • Следовательно, обратное отношение R этих ширин ~ /л2 , поэтому
R медленно уменьшается при убывании /Х2- Если /Х2 ~ Ю-3, то R « 0.3,
если же Д2 ~ 10~9, то R « 0.03. Это объясняет, почему подковообразные
орбиты более вероятны для меньших значений отношения масс. Отсутствие
коорбитальных спутников в системе Юпитера может быть обязано
большему значению отношения масс; предполагается, что подковообразные орбиты
имеют меньшее время жизни, чем орбиты типа «головастик», из-за более
тесных сближений с возмущающим спутником. Полагая, что эволюция
величины |Да| у частицы после двух сближений со вторым телом представляет
собой случайное блуждание, Дермотт и Мюррей (1981а) получили оценку
характерного времени Г ухода частицы из подковообразной конфигурации:
Г = Т//х2 , где Т — орбитальный период второго тела.
3.12. Янус и Эпиметей
Известно, что все астероиды-троянцы и упомянутые выше спутники
Сатурна движутся по орбитам типа «головастик». Однако, как показано выше,
возможен и другой тип движения, а именно либрации вокруг точек L\, L$
и Lq, когда траектория ведущего центра похожа на одну из кривых нулевой
скорости, приведенных на рис. 3.9. Это подковообразные орбиты; хотя их
существование было предсказано теоретически и исследовано в численных
экспериментах, до недавнего времени не было известно ни одного реального
примера такой орбиты в Солнечной системе.
В 1980 г. с космического аппарата «Вояджер-1» были получены
изображения двух спутников Сатурна, ныне известных как Янус и Эпиметей. В
момент наблюдений с «Вояджера-1» большая полуось орбиты Януса составляла
aj = 151 472 км, а большая полуось орбиты Эпиметея, меньшего из двух
спутников, составляла ав = 151 422 км; то есть расстояние между орбитами было
равно 50 км. Эти спутники имеют средние размеры (диаметры) примерно
равные 175 и 105 км, соответственно. Поскольку угловое расстояние между
ними в момент открытия в феврале 1980 г. составляло 180°, можно было бы
вывести простое умозаключение, что они столкнутся друг с другом в 1982 г.
Однако вскоре стало ясно, что их орбиты представляют собой разновидность
подковообразного решения в круговой ограниченной задаче. Принимая соот-
3.12. Янус и Эпиметей
125
ветствующие системе Янус-Эпиметей значения /Х2 = 5 • Ю-9 и 6г = 3 • Ю-4,
можно использовать условие (3.182) и показать, что 5r > 5rcrit « 17 км, тогда
как соотношение (3.174) дает С = 0.02 < 34//3. Следовательно, можно ожидать,
что Эпиметей движется по подковообразной орбите.
Однако изображения этих двух спутников с высоким разрешением
показали, что массой Эпиметея по сравнению с массой Януса нельзя пренебречь,
если спутники имеют сравнимую плотность (теперь известно, что отношение
их масс « 0.25), и потому при их сближениях существенны взаимные
возмущения орбит. На самом деле, как мы увидим, сближения спутников приводят
к простой модификации «подковы». В системе отсчета с началом в Сатурне,
вращающейся со скоростью, равной усредненному среднему движению
любого из двух спутников, Янус и Эпиметей совершают либрации каждый на
своей подковообразной орбите вокруг точек с долготами, различающимися
на 180°. Если среднюю ширину либрационной дуги спутника обозначить как
Wj и We для Януса и Эпиметея соответственно, то, считая орбиту каждого
из спутников круговой и учитывая
сохранение полного орбитального момен- т9
та количества движения, легко
показать, что
mjWj = шеИ^е-
(3.184)
Динамику системы можно изучить,
следуя подходу, аналогичному
принятому в разделе 3.5. Рассмотрим два
тела с массами т\ и Ш2 (гаг < mi),
движущихся по круговым орбитам
с незначительно различающимися
радиусами вокруг центрального тела гас
(рис. 3.24). Пусть С\ обозначает центр
масс гас и mi, а С — центр масс
системы. Заметим, что С\, С и Ш2 лежат
на одной прямой. Тело Ш2 испытывает
ускорение из-за притяжения тел гас и тп\. Это ускорение можно разделить на
радиальную компоненту с модулем i?2> направленную к С, и тангенциальную
компоненту с модулем Т2, перпендикулярную радиальной. В разделе 2.9 мы
уже видели (см. уравнение (2.149)), что только тангенциальная компонента
силы изменяет орбитальный момент количества движения. Используя
уравнение (2.145) и предполагая, что в2 = 0, с хорошей точностью имеем
Рис. 3.24. Геометрия
модифицированной подковообразной орбитальной
конфигурации для двух тел т\ и тг,
обращающихся вокруг центрального
тела гас. Здесь С\ — центр масс гас и гп\,
С — центр масс системы (ср. с рис. 3.6)
d2 = 2T2/n2,
(3.185)
где а2 и П2 обозначают соответственно большую полуось и среднее движение
тела Ш2. Подчеркнем, что нас интересует только движение ведущего центра
эпицикла, и мы предполагаем, что если свободный эксцентриситет мал, то
влияние эксцентриситета на движение ведущего центра незначительно.
Результаты численных экспериментов подтверждают эти предположения.
126
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Тангенциальное ускорение тела Ш2 включает вклады от тел тс и т\.
Из рис. 3.24 имеем
Т2 = ^-gmi/r^j sin7 + (£mc/r2) sin/?,
(3.186)
где, согласно определению С\ и предположению, что орбита Ш2 близка к
единичной окружности,
™ (3.187)
(3.188)
г
го
Шс + ГП\
тс
тс г
bill У — СОЬ
шс + т\ го
• /э_ Ш1 Г •
bill /J — bill
тс + mi r0
-1+4^Лпс + тЛ20-
mc \ тс у 2
0
2'
0
-1/2 ,
mc
(3.189)
Очевидно, что последнее предположение удовлетворяется лишь в том случае,
если в мало или т\ <С mc, но эта ошибка не влияет на наши результаты.
Следовательно,
T2 = -(gml/r2^H(6), (3.190)
где
(3.191)
ffW=TOf(l-sinfl,
4sin^(0/2)
при этом Н(в) = — (l/2)d#(0)/d0. Аналогичным образом можно найти
тангенциальное ускорение Т\ тела гп\\
Тх = (б?ш2/г2) Я (0).
(3.192)
Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить, как разность больших
полуосей движущихся по орбитам тел меняется с угловым расстоянием в между
ними. Для этой разности введем обозначение
s — CL2 — а\.
Тогда из (3.185) имеем
8 = Ods/dO = -2(Ti - T2)/n,
(3.193)
(3.194)
где п — усредненное среднее движение любого из двух тел. Из третьего
закона Кеплера следует, что в/п — — (3/2)s/a, где а — усредненная большая
полуось орбиты любого из тел. Решая получившееся уравнение относительно
ds/dO с граничными условиями (si,6i) и (sj,0j), находим
(3.195)
3.12. Янус и Эпиметей
127
Заметим, что, согласно уравнению (3.191), Н(в), а следовательно Т\ и T<i,
равны нулю при в = ±60°, и поэтому равновесная конфигурация
представляет собой равносторонний треугольник со сторонами г, причем все тела
неподвижны в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью, равной
среднему движению п. При этом
nV = G(mc + m{ +m2). (3.196)
Однако мы предположили, что г « а, и чтобы не было противоречия, надо
также предположить, что тпс + т\ + Ш2 ~ гас. Следовательно, выражение
(3.195) можно записать как
Заметим, что (3.197) сводится к (3.180), когда rri2 <^ m\. Эквивалентность
двух уравнений говорит об общем характере связи между орбитой и кривой
нулевой скорости. Аналогично, обобщенными версиями уравнений (3.182)
и (3.183) будут уравнения
(•) =(!У/2ЛМУ/2 (ЗЛ98,
Va/crit \3/ \ rnc J
/£i8042 = 4!ni±m2
V a / 3 mc
Теперь мы готовы к тому, чтобы применить полученные аналитические
результаты к системе Янус-Эпиметей. Когда эти спутники были открыты,
расстояние между их орбитами было равно Si = Дао = 50 км, а угловое
расстояние между спутниками составляло 0* = 180°. Подставляя эти значения
в (3.197) при гп2/т\ =0.25, находим зависимость s от в. Записав большие
полуоси орбит спутников в виде aj = а + Aaj и а^ — а + Acle и используя
равенство (3.184) и тот факт, что отношение длин орбитальных дуг равно
отношению масс, найдем изменения Aaj и Дав вдоль орбит во вращающейся
системе отсчета (рис. 3.25). Заметим, что меньшая дуга «подковы»
соответствует Янусу, большему из двух спутников. Как было отмечено выше,
существование треугольной равновесной конфигурации сохраняется и в
неограниченной задаче трех тел. В ограниченной задаче наибольшая радиальная
ширина орбит имеет место при угловом расстоянии пробной частицы от
второго тела, равном ±60° (рис. 3.18 и 3.20); точно так же и в более общем
случае мы видим, что ширина каждой траектории максимальна при угловом
расстоянии между спутниками, равном ±60°.
На рис. 3.26 показаны траектории спутников в системе отсчета,
вращающейся со скоростью, равной среднему движению спутников. Здесь мы
намеренно преувеличили радиальные изменения; в реальности полуширина
орбитальных дуг составляет для Януса и Эпиметея 10 и 40 км,
соответственно, а усредненная большая полуось каждой из орбит составляет 151432 км.
128
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Эпиметей
0.5
-0.5
-1
а
111111
Аап = 50 км
...I...
i i i i i i i i i i i
й
0 50 100 150
200 250 300 350
Долгота,0
Рис. 3.25. Зависимость Aaj/Aao и
Дав/Дао от долготы во вращающейся
системе отсчета в случае системы
Янус-Эпиметей. Здесь Дао = 50 км есть
разность больших полуосей двух орбит
в момент, когда спутники находятся
на угловом расстоянии 180° друг от
друга. Пунктиром обозначены долготы,
соответствующие наибольшей радиальной
ширине. Обратите внимание, что она
достигается при угловом расстоянии
между Янусом и Эпиметеем, равном ±60°
Рис. 3.26. Схема либрацион-
ного поведения коорбиталь-
ной системы Янус-Эпиметей
в системе отсчета,
вращающейся со скоростью
усредненного среднего движения
каждого из спутников. Радиальная
ширина либрационных дуг
намеренно преувеличена;
отношение ширин дуг равно
отношению масс Эпиметея и Януса
(« 0.25)
Из вида траекторий ясно, что спутники никогда не встречаются друг с
другом. Вместо этого каждые четыре года в результате взаимных
гравитационных возмущений происходит обмен моментом количества движения: спутник
на внешней орбите перемещается на внутреннюю, и наоборот.
Применяя описанную выше теорию, Дермотт и Мюррей (19816)
показали, как наблюдения движения Януса и Эпиметея можно использовать для
определения суммы их масс, а также отношения их масс. Это можно сделать
при помощи уравнения (3.199). На
рис. 3.27 показан график
зависимости минимального углового
расстояния между двумя ведущими
центрами от суммы масс спутников
при s\so/a = 3.32 • Ю-4. Хотя это
лишь приближение, Дермотт и
Мюррей (19816) посредством численного
интегрирования показали, что эти
результаты точны в пределах 0.001°. Ни-
колсон и др. (1992), используя
известные данные и свои наземные астромет-
рические наблюдения, получили новые,
уточненные орбиты. Они показали, что
Янус и Эпиметей могут сближаться
9 -8.5 -;
\g((m1 + m2)/mc
Рис. 3.27. Зависимость минимального
углового расстояния между двумя
телами от суммы их масс. Точкой
обозначено положение на кривой,
соответствующее системе Янус-Эпиметей
3.13. Уравнения Хилла
129
друг с другом вплоть до 5.64°, и что из получающихся значений масс следуют
значения плотностей 0.65 ± 0.08 и 0.63 ± 0.11 г/см3, соответственно.
Поскольку изображения, полученные с аппаратов «Вояджер», свидетельствуют, что
поверхности Януса и Эпиметея ледяные, столь низкие значения плотности
указывают на то, что малые спутники Сатурна, возможно, состоят из
пористого льда. Это заключение дает наглядную иллюстрацию, как знание
орбитальной динамики спутников накладывает непосредственные ограничения на
представления об их внутренних свойствах.
3.13. Уравнения Хилла
Наиболее сильные возмущения в своем движении по орбите вокруг це-
трального главного тела в круговой ограниченной задаче трех тел малая
частица испытывает во время сближений со вторым телом. Мы уже видели
примеры таких изменений орбит в численных экспериментах, описанных в
разделе 3.9. При этом основную часть времени частица проводит на
невозмущенной кеплеровской орбите. Следовательно, вместо того, чтобы работать с
полными уравнениями круговой ограниченной задачи трех тел, имеет смысл
использовать систему уравнений, описывающих движение частицы в
окрестности второго тела. Такую систему впервые вывел Хилл (1878). Мы
воспользуемся ею в разделе 9.5.3 при выводе столкновительного отображения и
в разделе 10.5.2 при изучении феномена «спутников-пастухов» узких колец
планет.
Такую систему приближенных уравнений можно вывести, сделав ряд
предположений и поместив начало системы координат во второе тело. Для
малых отношений масс имеем /j,\ « 1, и уравнения плоского движения (3.16)
и (3.17) принимают вид
х - 2у - х = -^ - /х2^Л (3.200)
у + 2х-у = -^-^Л. (3.201)
Перенесем систему координат вдоль оси х: х —> 1 + ж, и положим А = г2.
Поскольку рассматривается движение вблизи спутника (то есть в окрестности
точек L\ и L2), мы можем предполагать, что х, у и А являются малыми
величинами порядка 0(/х2 ). Пренебрегая более высокими степенями /i2,
имеем г\ « (1 + 2х){/2. Тогда уравнения (3.200) и (3.201) можно записать как
где
*-2y=(3-B)x=it>
/х2 диИ
-& + % и Д2 = х2 + У2.
(3.202)
(3.203)
(3.204)
9 К. Д. Мюррей, С.Ф. Дермотт
130
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Модифицированная константа Якоби Си дается выражением
Сн = Зх2 + 2^-х2- у2. (3.205)
Сравним это выражение с константой Якоби в полной задаче, положив п = 1
и пренебрегая в уравнении (3.29) движением по z. Это дает
Cj=xz + yz + 2l^ + ^)-x2-tf. (3.206)
\Г[ г2 )
Уравнения (3.202) и (3.203) называются уравнениями Хилла; впервые они
были получены Хиллом в его исследовании по теории движения Луны.
Уравнение (3.202) показывает, что радиальная компонента силы исчезает
при ЗА3 = /12, что выражает равновесие между приливной силой и взаимным
притяжением (см. раздел 4.6). Это приводит к определению сферы Хилла как
сферы радиусом
Аь
H=(f)1/3, (3.207)
окружающей второе тело (ср. уравнение (3.75)).
Полагая ± = у = х = у = 0 при ж^Ов уравнениях (3.202) и (3.203), мы
можем найти положения лагранжевых точек L\ и L2. Уравнение (3.202)
приводит к формуле Al12 — (/^2/3)1//3, а формула (3.205) дает соответствующее
значение модифицированной константы Якоби Си — 34//3/х2 , что согласуется
со значениями, полученными для случая предельной массы в разделе 3.6.
Заметим, что точки L\ и L2 лежат на сфере Хилла, определяемой
формулой (3.207). Если записать
сн = о4/2> (з-208)
то подковообразное движение возможно в области с С < 34//3. Форма
получающихся кривых нулевой скорости в окрестности точек L\ и L2 показана
на рис. 3.28.
Приведенные выше определения можно использовать для изучения связи
между подковообразными орбитами и соответствующими им кривыми
нулевой скорости в случае почти круговых орбит. Для кругового движения имеем
х = х = у = 0, а х я у являются константами, связанными соотношением
у2 = Зх2 - С/4/3> (3-209)
где мы использовали уравнения (3.205) и (3.208) и предположили, что А
велико. Пусть xzv обозначает значение х (полуширину) области, ограниченной
кривой нулевой скорости, соответствующей подковообразной орбите; полагая
у — 0, имеем
4v = lci4/3- (3-21°)
Но п2а? = 1, и поэтому у = — (3/2)ж, что дает
4
х2 = -(/1/3. (3.211)
3.13. Уравнения Хилла
131
-0.5
_1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I L
1 0 -1 у
Рис. 3.28. Кривые нулевой скорости, определяемые уравнением Си = 2£/н в
окрестности лагранжевых точек L\ и L<i для /i2 = 0.1. Обратите внимание, что в приближении
Хилла точки либрации находятся теперь на равных расстояниях от тела \хч (крестик
в начале координат)
Следовательно, х — 2xzv> и ширина
орбиты частицы равна удвоенной ширине
области, ограниченной соответствующей
кривой нулевой скорости, как мы уже
видели в случае полных уравнений (см.
раздел 3.10). Это схематически
проиллюстрировано на рис. 3.29.
Хотя эти результаты получены в
предположении почти круговой орбиты, они в
равной степени применимы и для вытянутой
орбиты, если считать ее представляющей
траекторию не самой частицы, а ведущего
центра. Более детально этот вопрос рассмотрен
в работах Дермотта и Мюррея (1981а,б).
Воспользовавшись критерием Тиссерана,
мы можем из приведенных выше
приближенных уравнений движения вывести
соотношение между элементами орбиты до и
после сближения. Запишем начальные значения элементов орбиты в виде
а\ — 1 + Аа\, е = Ае\, а конечные значения в виде а^ = 1 + Aa2, e = Ав2, где
все величины Аа\, Aa2, Aei и Ав2 малы. Критерий Тиссерана (см. раздел 3.4)
дает
Рис. 3.29. Схема,
демонстрирующая связь между почти круговой
орбитой частицы (сплошная
линия) и связанной с ней кривой
нулевой скорости (штриховая
линия) в приближении Хилла
+ 2(1 + Аа)х'2{\ - Ае2)1/2 « const,
1 + Да
что при разложении в биномиальный ряд дает
(3.212)
-Аа2 - Ае2
const,
или
Аа\
Ае, « 7Да2 ~~ Де2-
(3.213)
(3.214)
132
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Следовательно, если орбита симметрична относительно единичной большой
полуоси (то есть Аа\ « —Даг), то Aei « Дв2.
Это же соотношение можно вывести и из анализа уравнений Хилла. Если
А в уравнениях (3.202) и (3.203) велико, то находим
х-2у = 3ху (3.215)
у + 2£ = 0, (3.216)
где, в соответствии с формулами (3.205) и (3.208),
х2 + у2 = 3х2 -С/^2/3. (3.217)
Если использовать теперь приближение ведущего центра, то радиальные
колебания частицы будут гармоническими с частотой и — 1 и
амплитудой, равной эпициклическому эксцентриситету; поэтому можем записать
х — Да + esint, х — ecost и х — — esint. Тогда из уравнений (3.215) и (3.216)
имеем у — —2ecos£ и
у = --Aa-2esint. (3.218)
Первый член в правой части выражения (3.218) представляет собой
(постоянную) скорость ведущего центра, а второй — переменную скорость частицы
на эллиптической траектории вокруг ведущего центра. Используя эти
выражения для х, у и х, из (3.217) находим
/3 \2
е2 cos2 t + f -^Aa - 2esint J = 3(Да + esint)2 - См^, (3.219)
-Да2 - Ае2 = Cf4 , (3.220)
откуда легко получить
3Л„2 дл2_^..2/3
4
где правая часть постоянна.
Симметрия траектории частицы (или, в случае вытянутой орбиты,
траектории ведущего центра) относительно оси у позволяет нам найти выражение
для минимального расстояния Amin частицы от второго тела; расстояние
минимально, когда частица пересекает ось у (рис. 3.29). Рассмотрим частицу,
движущуюся вначале по круговой орбите радиусом 1 + Дао- В системе Хилла
начальное положение частицы есть (хо,уо), и выражение (3.218) дает
W =-|х0 = |доо- (3-221)
Отсюда, согласно (3.205),
|Аа0| =2(С/3)1/2^/3. (3.222)
Если предположить, что траектория частицы симметрична относительно
оси уу то при наиболее тесном сближении со вторым телом х — 0, у = 0,
3.13. Уравнения Хилла
133
х — ^min и у — Amin, где хтт — значение х в точке пересечения с осью у.
Формула (3.205) дает
**«*. = 2^- - С^/3- (3-223)
Практически i^in <c у$ (см. Дермотт и Мюррей, 1981а), и поэтому
или, выражая £ через Дао и /Х2,
о
2/min ~ « А«о№- (3.225)
Здесь мы воспользовались тем фактом, что ведущий центр эпициклической
траектории касается соответствующей ей кривой нулевой скорости в точке
пересечения с осью у. Напомним, что необходимо делать различие между
имеющей фундаментальное значение для определения траектории частицы
кривой нулевой скорости, связанной с движением ведущего центра, и кривой
нулевой скорости, характеризующей полное движение; последняя для наших
целей практически не важна.
Еще одно интересное свойство уравнений Хилла состоит в том, что они
1 /3
нормируются в масштабе /х2 . Действительно, если в уравнениях (3.202)
и (3.203) сделать масштабирующее преобразование х —> ^'(^/З)1/3,
у —> у'О^/З)1/3, А —> Д'(/Х2/3)1//3, то получим уравнения
x'-2y' = 3x'(l--^Y (3.226)
y' + 2x' = -3J^. (3.227)
Эти уравнения не содержат параметров, поэтому при условии /х2 » ^
траектории частицы масштабируются пропорционально /л2 . В нормированной
системе точки L\ и L^ находятся на единичных расстояниях от тела Д2-
Примеры либрирующих и циркулирующих траекторий для нормированных
уравнений показаны на рис. 3.30. Все траектории на этом рисунке начинаются
на круговых орбитах при больших положительных и отрицательных
значениях у'. Заметим, что все частицы с начальными положениями вблизи оси
у' (при \х'\ < 1.7) испытывают «отражение» и движутся по подковообразным
орбитам, хотя те из них, которые подходят слишком близко к возмущающему
телу, могут приобрести в результате сближения значительный
эксцентриситет. Однако при увеличении начального значения \х'\ появляется зона,
в которой могут возникать сильные возмущения, приводящие к тому, что
частицы приобретают большой эксцентриситет; большинство из них минует
возмущающее тело, но некоторые по-прежнему могут «отражаться» на
подковообразные орбиты. При более высоких значениях \х'\ частицы минуют
134
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
200 100 0 -100 , -200
У
Рис. 3.30. Траектории частиц, полученные в результате решения нормированных
уравнений Хилла. Возмущающее тело расположено в начале координат, а точки
либрации Ь\ и Z/2 имеют координаты у' = 0, х' = =Ы. Все частицы начинают
движение сх' = 0 (то есть на круговых орбитах) при у' = ±200. Стрелки указывают
направление движения частиц до сближения с возмущающим телом
возмущающее тело и движутся по циркулирующим орбитам. С увеличением
начального значения \х'\ приобретаемый при сближении эксцентриситет
становится пренебрежимо малым. Мы рассмотрим поведение такого типа далее
в разделе 10.5 в контексте динамики узких планетных колец.
3.14. Эффекты сопротивления
Открытие узких, с резкими краями, колец Урана (Эллиот и др., 1977)
выявило несколько серьезных динамических проблем (см. разделы 10.2.3
и 10.5.1). Одна из них заключается в том, что узкие кольца должны «схло-
пываться» по спирали к планете благодаря радиационному сопротивлению
(эффекту Пойнтинга-Робертсона; подробный обзор различных радиационных
сил, действующих на малые частицы в Солнечной системе, содержится в
работе Бернса и др., 1979). Эффект Пойнтинга-Робертсона обусловлен
переизлучением солнечного света, поглощаемого частицей. В результате частица
испытывает силу сопротивления, которая приводит к «схлопыванию» орбиты
со скоростью, зависящей от размера частицы. Эта сила наиболее ощутима для
частиц, имеющих размеры, сравнимые с длиной волны падающего излучения
(то есть ~ 10_6 м). В случае, когда источником излучения является
центральное тело, выражение для силы сопротивления Пойнтинга-Робертсона имеет
вид
где /3 есть отношение силы, обусловленной радиационным давлением, и силы
притяжения, тс — масса центрального тела, а — большая полуось
орбиты. Заметим, что значение /3 зависит от таких величин, как светимость
источника и эффективное сечение радиационного давления. Член err
в обеих компонентах силы (3.228) представляет собой доплеровское смещение
3.14. Эффекты сопротивления
135
падающего излучения, а второй член — сопротивление
Пойнтинга-Робертсона (Шоерман, 1980).
Дермотт и Голд (1977) предположили, что феномен узких колец у
Урана можно объяснить присутствием в каждом кольце небольшого спутника
(/Х2 < Ю-10), который поддерживает частицы кольца на подковообразных
орбитах. Эта теория была в дальнейшем распространена Дермоттом и др. (1980)
на узкие кольца Сатурна и Юпитера. Эффект Пойнтинга-Робертсона должен
заставлять частицы кольца двигаться по спирали к планете (Берне и др.,
1979). Однако в модели подковообразной орбиты «схлопывание» орбиты
частицы в одной половине подковы должно, в первом приближении,
компенсироваться ее «схлопыванием» во второй половине (рис. 3.31). Дальнейшее
обсуждение устойчивости колец планет
содержится в главе 10.
В литературе часто ссылаются на
тот факт, что L\ и Ь$ — точки
максимума потенциала, и некоторые
авторы делают предположение, что любая
диссипация приводит к движению,
направленному в сторону от этих точек,
независимо от вида силы
сопротивления. На самом деле, как мы покажем,
устойчивость треугольных точек
либрации при наличии заданной силы
сопротивления нельзя определить только
лишь из простых энергетических
соображений. Блитцер (1982) исследовал
проблему устойчивого движения в
точках максимума потенциала в общем
виде, а Йодер и др. (1983) указали на
опасность использования подобных
аргументов при анализе амплитуды
либрации в системе Янус-Эпиметей.
Динамику частицы редко можно
рассматривать в идеальной постановке ограниченной задачи трех тел. В
реальности любая малая частица помимо гравитационных возмущений
подвержена действию других внешних сил различной величины. Например,
в ряде работ исследованы эффекты радиационного давления в задаче трех
тел (см., напр., Коломбо и др., 1966; Шоерман и др., 1980; Симмонс и др.,
1985). Ниже мы рассмотрим динамическое воздействие сил сопротивления на
частицу, используя два разных подхода: 1) анализ поведения кривых нулевой
скорости и 2) анализ расположения и устойчивости лагранжевых точек
либрации. Эти подходы применялись Мюрреем (19946) при исследовании эффектов
сопротивления в круговой ограниченной задаче трех тел.
Далее мы рассмотрим движение частицы под действием гравитационного
притяжения тел fi\ и /Х2 и произвольной внешней силы F = (Fx,Fy), яв-
Рис. 3.31. Движение частицы на
подковообразной орбите при наличии
силы сопротивления (сплошная кривая)
в полярных координатах во
вращающейся системе отсчета в
сравнении с движением при отсутствии
сил сопротивления (штриховая
кривая). Эксцентриситет орбиты частицы
е « 0. Частица испытывает
сближение с возмущающим телом при г = 1,
0^0°, 360°
136
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
ляющейся функцией положения и скорости частицы. Предполагается, что
|F| = 0(к)у где к — малая величина.
3.14.1. Анализ константы Якоби. Согласно разделу 3.2, уравнения
движения частицы во вращающейся системе координат имеют вид
x-2y=^ + Fx, (3.229)
у + 2х = — + Fy. (3.230)
зи
ду
Если умножить (3.229) на х, а (3.230) на у и сложить, получим
±~дх + У~д~ ) = ±Fx + УРу' (3.231)
Поскольку константу Якоби в стандартной задаче можно записать как
Cj = 2С/ — х2 — у2у имеем
*£± = -2(xFx + yFy). (3.232)
Заметим, что ±FX + yFy является работой, совершаемой силой F за единицу
времени. Знак Cj противоположен знаку xFx + yFy. Из свойств кривых
нулевой скорости, изученных в разделе 3.3, мы знаем, что увеличение
значения Cj означает увеличение размера запретных областей, при этом области
возможного движения удаляются от точек L\ и Ь$. В качестве иллюстрации
рассмотрим два примера.
Если сила сопротивления пропорциональна скорости частицы во
вращающейся (синодической) системе, то F = kv — к(хуу) и
xFx + yFy = k (x2 + у2) < 0. (3.233)
Поэтому эта сила сопротивления, называемая иногда небулярным
сопротивлением, вызывает движение в сторону от точек Ь$ и L5, независимо от
траектории частицы. Этот результат был известен Джеффрису (1929).
Компонента силы радиационного давления, обусловленная эффектом
Пойнтинга-Робертсона, имеет вид
F = к(х - ?/, у + х)/г2, (3.234)
отсюда
±FX + yFy = k (x2 + у2) -к (ху - ух). (3.235)
Нельзя, однако, непосредственно определить знак этого выражения,
поскольку необходимо знать траекторию частицы, а найти ее в общем случае для
произвольных начальных условий невозможно. Таким образом, существуют
силы сопротивления, для которых анализ константы Якоби не позволяет
установить устойчивость.
3.14. Эффекты сопротивления
137
3.14.2. Линейная устойчивость точек L± и L$. Рассмотрим
теперь альтернативный подход, использующий линейный анализ устойчивости
лагранжевых точек либрации, чтобы выяснить характер локальной
динамики. Здесь мы рассматриваем треугольные точки, так как они линейно
устойчивы в отсутствие сил сопротивления. Наш подход основан на работе
Шоермана (1980); однако, следуя Мюррею (19946), мы обобщаем его для
произвольных сил сопротивления. Мюррей (19946) получил выражения для
смещений пяти лагранжевых точках либрации в зависимости от константы
сопротивления и затем показал, что с точностью до 0(/х2)
характеристическое уравнение для возмущенного движения вокруг L\ и L$ можно записать
как
А4 + а3Х6 + (1 + a2)Az + а{А + ( —д2 + а0 ) = 0,
(3.236)
где постоянные ai (г — 0, 1,2,3) имеют порядок О (к) и даются выражениями
3^3
_ 9 3
а° ~~ Z "^ 4 у'у ~^ 4
\^х,у "г" f£y,x)>
q о о П5
&\ ~ ~7^х,х i ~7г£у,у i ^\^х,у Ку,х) ~F Z \^x,y ' ^у,х)у
&2 ~ ^х,х 1^у,у ' ^\^х,у г£у,х)у
^3 — ^х,х 1^у,У'
(3.237)
(3.238)
(3.239)
(3.240)
Верхние и нижние знаки в формулах (3.237) и (3.238) относятся к точкам
L4 и L5, соответственно. В эти определения входят следующие частные
производные:
^х,х —
^х,у —
dFx
дх
dFx
к —
у ^У^Х —
L ду J0
> ку,у —
д¥±
дх
dFy_
L ду
у %Х,Х —
> ^х,у —
dFx
дх
dFx
> Ку,х —
Jo
L ду Jo
' ку,у
дх
дУ Jo'
(3.241)
где нижний индекс 0 означает, что частные производные вычисляются в
классическом положении равновесия хо — 1/2 — Д2, уо = \/3/2, а не в смещенном.
Это допустимо, поскольку все эти величины являются постоянными порядка
О [к), а смещения — величины одного порядка, о которых предполагается,
что они малы по сравнению схои у$.
Сравнение уравнений (3.236) и (3.141) показывает, что в случае нулевых
сил сопротивления они эквивалентны, поскольку в этом случае все щ равны
нулю, и с точностью до 0(/х2) уравнение (3.236) сводится к стандартному
биквадратному уравнению классической задачи. В отсутствие
сопротивления решения характеристического уравнения являются чисто мнимыми, если
выполняется обычное условие (3.145) для отношения масс. При наличии
сопротивления ситуация усложняется. Появляются четыре варианта,
проиллюстрированные на рис. 3.32.
138
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
Рис. 3.32. Схематическая иллюстрация различных типов колебаний в двух модах,
реализуемых для возмущенного движения вокруг Ь$ и Ь$. Сплошные линии
отвечают траекториям при отсутствии сопротивления, штриховые линии — спиральным
траекториям при наличии сопротивления, а) Все вещественные части собственных
значений отрицательны (асимптотическая устойчивость), б) Вещественные части
собственных значений, связанных с движением эпицентра, отрицательны, а
связанных с эпициклическим движением — положительны (неустойчивость), в)
Вещественные части собственных значений, связанных с движением эпицентра, положительны,
а связанных с эпициклическим движением — отрицательны (неустойчивость), г) Все
вещественные части собственных значений положительны (неустойчивость)
1. Вещественные части всех собственных значений отрицательны. Это
дает асимптотическую устойчивость.
2. Вещественные части собственных значений, связанных с долгоперио-
дическим движением эпицентра, отрицательны, а вещественные части
собственных значений, связанных с короткопериодическим движением,
положительны. Это означает линейную неустойчивость.
3. Вещественные части собственных значений, связанных с долгоперио-
дическим движением эпицентра, положительны, а связанных с
короткопериодическим движением — отрицательны. Это означает линейную
неустойчивость.
4. Вещественные части всех собственных значений положительны. Это
означает линейную неустойчивость.
Заметим, что даже если одна из мод затухает (как в случаях 2 и 3), это
не ведет к устойчивости, поскольку другая мода при этом экспоненциально
растет. Мюррей (19946) показал, что условия отрицательности вещественных
частей всех А и, следовательно, асимптотической устойчивости в пределе
112 —> 0 сводятся к неравенству
О < а{ < а3, (3.242)
где а\ и аз определены формулами (3.238) и (3.240). Отметим, что в нашем
приближении устойчивость не зависит от значений ао и а2, и поэтому
линейная устойчивость точек L\ и Ь$ не зависит от значений кХуХ и ку^у. Теперь
мы можем рассмотреть две силы сопротивления, изученные выше, с точки
зрения линейной устойчивости точек L\ и L$.
Если F = к(х,у), то единственными ненулевыми константами в
выражениях (3.241) будут
^х,х ~ fcy у,у ~ ' \o.Z*±o)
отсюда
а{ = 3/с, а3 = -2к. (3.244)
3.14. Эффекты сопротивления
139
Поскольку к < 0, имеем а\ < 0, поэтому условие (3.242) не выполняется
и треугольные точки либрации неустойчивы при наличии этой силы
сопротивления, что мы уже установили путем анализа константы Якоби.
В случае силы сопротивления Пойнтинга-Робертсона имеем F =
= к(х — у,у + х)/г2, и единственными необходимыми ненулевыми
константами в выражениях (3.241) будут
к
^х,х ~ ^у,у == 7)' я,У == у,х ~ fcy \o.Z*to)
отсюда
а{ = 3/с, а3 = -2к. (3.246)
Следовательно, при наличии силы сопротивления Пойнтинга-Робертсона
точки линейно неустойчивы.
Тем не менее, интересно отметить, что если рассмотреть силу вида F =
= к(х — у,у + ж), то единственными необходимыми ненулевыми константами
в выражениях (3.241) будут
^х,х ~ fcy,x ~ у,У ~ ' х,у ~ г£> \o.Z*ti )
откуда
ах = -/с, а3 = -2/с. (3.248)
В этом случае условие (3.242) удовлетворяется, и, следовательно,
треугольные точки либрации при наличии такой силы сопротивления асимптотически
устойчивы. Конечно, если орбиты имеют большую амплитуду, это не дает нам
никакой информации об устойчивости орбит типа «головастик» и «подкова»
вокруг этих точек либрации, поскольку наш анализ всегда предполагает, что
смещения относительно точки либрации малы.
3.14.3. Инерционные силы сопротивления. Мюррей (19946)
рассмотрел силу сопротивления (в расчете на единицу массы) общего вида
Fi = kVg(x,y,x,y), (3.249)
где к < О, V = (х — у, у + х) — скорость частицы в инерциальной системе
отсчета, а д(х, у, х, у) — скалярная функция положения и скорости частицы;
Мюррей (19946) назвал эту силу инерционным сопротивлением. Исключив
константу сопротивления к из уравнений движения, находим
r2r\r\ + №г\ (ji\x - г2\ - ц{г% (а2х + г2\ = 0 (3.250)
для траекторий, по которым должны двигаться пять точек либрации. На
рис. 3.33 а эти траектории приведены для случая /Х2 = 0.2.
Мюррей показал, что в пределе р,2 —> 0 точки Ь$, L$ и L$ движутся по
единичной окружности, а точки L\ и Ь2 — по окружностям, близким ко
второму телу. В тех случаях, когда д* — д(х,у,0у0) — д*(г), то есть является
140
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
к/^2
100
200 300
0,°
Рис. 3.33. а) Смещения лагранжевых точек либрации в присутствии инерционной
силы сопротивления общего вида (3.249) в случае \Х2 = 0.2. б) Зависимость к/'^
от смещенного позиционного угла в (в диапазоне от 30° до 330°) точек либрации
L3, L\ и L$ для инерционного сопротивления в случае малого отношения масс;
к — модифицированная константа сопротивления, определенная в тексте. На обоих
рисунках сплошные линии соответствуют случаю к < 0, а штриховые — случаю
к > 0. (Адаптировано из работы Мюррея, 19946.)
функцией только радиуса, угловые положения точек L\ и L$ при малых /12
могут быть определены из графика функции
= sin#
М2
1
(2-2 cos 0)3/2
1
(3.251)
где к = kg*(l). Эта функция показана на рис. 3.33_б. Ее минимум
&/7^2 = -0.7265 достигается при в = 108.4°, а максимум k//i2 = +0.7265 —
при в = 251.6°. Поэтому точки L$ и L\ могут смещаться от положений с
позиционными углами 180° и 60°, соответственно, к положению с позиционным
углом 108.4° и к/ii2 — —0.7265, прежде чем они исчезнут для всех значений
к/ii2 < -0.7265. Данное поведение не зависит от конкретного вида g*(r).
Наш результат показывает, что во всех системах, где д* является функцией
только г, существуют режимы, в которых точка L$ продолжает существовать,
хотя L\ уже исчезла.
Устойчивость смещенных точек L\ и L$ в случае инерционного
сопротивления можно проанализировать, используя методы, развитые в разделе 3.15.2.
Например, Мюррей (19946) рассмотрел инерционную силу сопротивления
вида
F. = kVVlrJy
(3.252)
где г и j представляют собой вещественные числа. Он показал, что
треугольные точки либрации асимптотически устойчивы при наличии этой силы, если
к < 0 и удовлетворяются условия
0 < 1 - г + 2j < 2 + г.
(3.253)
Если взять частный случай г — 0, j — п, то наличие данной силы ведет
к асимптотической устойчивости точек L\ и Ь$ при условии —1/2 < п < 1/2.
Это подчеркивает, что при анализе устойчивости треугольных точек либра-
Контрольные упражнения
141
ции каждую силу сопротивления необходимо рассматривать отдельно. Мюр-
рей (19946) показал также, что в случае большой силы сопротивления обе
точки Z/4 и ^5 могут быть неустойчивы, но при этом характерное время
разбегания близких траекторий для них различно. Он высказал
предположение, что это может объяснять возможную асимметрию в распределении
астероидов-троянцев. Максимальное смещение долготы точки L$ до в = 108.4°
наблюдалось Пилом (19936) в численных экспериментах.
Контрольные упражнения
3.1. В стандартной системе единиц для плоской круговой
ограниченной задачи трех тел уравнение кривых нулевой скорости имеет вид
Cj = х2 + у2 + 2(/л\/г\ + /42/^2 )> где Cj — значение константы Якоби,
а г\ — у/(х + ii2)2 + у2 и Г2 = у/(х — ii\)2 + у2 являются расстояниями до тел
ц\ и /Х2, соответственно. Критическая кривая нулевой скорости, проходящая
через точку либрации Ь$ (где Cj « 3 + /^2), состоит из двух ветвей. Используя
полярные координаты, покажите, что при малых отношениях масс каждая из
этих ветвей пересекает единичную большую полуось в точках, находящихся
на угловом расстоянии 23.9° от второго тела.
3.2. В круговой ограниченной задаче трех тел условие линейной
устойчивости для трех коллинеарных лагранжевых точек либрации имеет вид А > 1,
где А = ii\/r\ + Ц2/г\ и положительные величины г\ и г^ являются
расстояниями до тел ц\ и /Х2- Полагая а = [(1/3)/Х2/ач]1//3 и /3 = — (7/12)//2/мь гДе
М2 <^ Мь выведите выражения для Л, включая члены до О (а,/?), и
покажите, что условие Л > 1 удовлетворяется 1) для точки L\, где г\ « 1 — а,
Г2 « а, 2) для точки 1,2, где r\ « 1 + а, Г2 « а и 3) для точки L3, где
ri ~ 1 + /?, Г2 ~ 2 + /?. В случае точки L$ покажите, что вещественные корни
характеристического уравнения, то есть собственные значения, приводящие
к неустойчивости, приближенно равны ±y/(2l/8)fi2 •
3.3. Центр масс космического аппарата помещен с точностью 1 м во
внутреннюю лагранжеву точку либрации (L\) спутника Юпитера Ио.
Предполагая, что применимо аналитическое решение, основанное на линейном
анализе устойчивости, и используя данные приложения А, рассчитайте время,
за которое аппарат упадет на поверхность Ио.
3.4. Два спутника, имеющие массы т\ и Ш2, большие полуоси орбит а\
и а2 и эксцентриситеты орбит ej и е2, обращаются вокруг планеты с массой
тр (шр » т\, гп2) таким образом, что в моменты времени до и после их
наиболее тесного сближения, равноудаленные от этого момента, большие полуоси
их орбит равны а\ = ао± Аа\ и а2 — ао =F А^г. гДе ао есть среднее значение
больших полуосей орбит спутников; в результате сближения их
эксцентриситеты не изменяются. Выведите выражения для полного орбитального момента
количества движения системы до и после наиболее тесного сближения,
выполнив разложения в ряд до второго порядка по Aai/ao, Aa2/ao, e\ и е2-
Используя полученные выражения, покажите, что если полный орбитальный
момент количества движения сохраняется, то Аа\/Аа2 ~ rri2/m\.
142
Гл. 3. Ограниченная задача трех тел
3.5. Уравнения Хилла для движения пробной частицы в
окрестности второго тела записываются в свободной от параметров форме как
х - 2у = Зх(1 - 1/А3), у + 2х = -Зу/Д3, где А = \Jx2 + у2 — расстояние от
частицы до второго тела. В этой системе единиц координаты точек L\ и L^
равны у — 0, х = =pl. Написав компьютерную программу, численно решите
уравнения движения, используя начальные значения xq в интервале от 0.01
до 5 с шагом 0.01, полагая уо — 200, xq — 0 и уо = —(3/2)xq. Используя
результаты интегрирования, найдите 1) наибольшее значение xq, ниже которого
пробная частица всегда «отражается» вторым телом, 2) наименьшее
значение xq, выше которого частица всегда минует второе тело, и 3) значение xq,
приводящее к наибольшему значению \х\. Как вы охарактеризуете траектории
для значений xq из ответов на части 1 и 2 этого упражнения?
3.6. Пробная частица в круговой ограниченной задаче трех тел
испытывает силу сопротивления F = kvvlr\ где к < 0 является константой, г и j
представляют собой вещественные числа, а г = (ж, у) и v = (х — у, у + х) есть
векторы положения и скорости (оба в инерциальной системе) с модулями
г и v. Используя метод, описанный в разделе 3.14.2, покажите, что для
малых к наличие силы сопротивления приводит к асимптотической линейной
устойчивости точек L± и L5, если 0 < 1 — г + 2j < 2 + г.
Глава 4
ПРИЛИВЫ, ВРАЩЕНИЕ И ФОРМА
Смириться должно пред судьбы веленьем;
Борьба напрасна с ветром и теченьем.
Уильям Шекспир, Генрих VI, часть третья,
акт IV, сцена 3
(пер. Е. Бируковой)
4.1. Введение
До сих пор мы считали все объекты точечными массами, не
обладающими физическими размерами. Поскольку для реальных тел это, очевидно,
не так, необходимо применить закон всемирного тяготения к веществу, из
которого состоят тела Солнечной системы. Одно тело оказывает приливное
воздействие на другое в результате наличия градиента гравитационного
потенциала — иначе говоря, изменения силы гравитации внутри тела.
Например, в случае приливного воздействия на планету спутника, обращающегося
вокруг нее, сила, действующая на сторону планеты, обращенную к спутнику,
превышает силу, действующую на обратную сторону планеты. Поскольку
ни одно из тел, составляющих Солнечную систему, не является абсолютно
жестким, при этом возникает деформация, приводящая к возникновению
приливного горба.
Величина приливного горба на поверхности тела частично определяется
распределением плотности внутри тела, так что, в принципе, измерение
амплитуды приливов может способствовать определению внутренней структуры
тела. Измерения такого рода невозможны ни для одной из планет Солнечной
системы, кроме Земли. Однако потенциал деформации, связанный с
вращением планеты, действует подобно приливному потенциалу, и измерение
вращательной деформации планеты можно использовать для определения
распределения плотности внутри нее; полученные данные затем можно
использовать для оценки реакции планеты на приливный потенциал. Спутники
планет, находящиеся в состоянии синхронного вращения, испытывают и
вращательную, и приливную деформацию; измерение параметров их фигур как
трехосных эллипсоидов было использовано для выяснения их внутреннего
строения.
Реакция спутника на вызванный им прилив может стать причиной
динамической эволюции системы. Поскольку в той или иной степени всегда
присутствует трение, приливы являются диссипативным явлением, и
приливы, вызываемые на планете ее спутником, могут приводить к эволюции
орбиты спутника и к изменению скорости вращения планеты. Аналогично
144
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
тому, как спутник вызывает прилив на планете, так и планета вызывает
прилив на спутнике. Это может иметь особо важное значение для спутников
на вытянутых орбитах. В некоторых случаях приливная диссипация внутри
спутника может приводить к весьма впечатляющим последствиям, таким,
например, как неудержимый приливный разогрев спутника Юпитера Ио.
4.2. Приливный горб
Рассмотрим прилив, вызываемый спутником с массой ras на планете с
массой тр. Если представить оба тела как точечные массы, то закон тяготения
Ньютона дает среднюю величину (F) силы взаимного притяжения:
{F) = g!!^t (4.1)
где г — расстояние между центрами тел. Предположим, что тела движутся
по круговым орбитам вокруг их центра масс (рис. 4.1); тогда, как мы видели
в разделе 2.7, большие полуоси орбит связаны с массами соотношением
as/ap = rap/ras, (4.2)
при этом расстояние а — ар + as между телами постоянно. Траектория
движения частицы Pi, помещенной в центр планеты, по отношению к центру масс
С\ является окружностью радиусом ар. Если пренебречь вращением
планеты, траектория любой другой точки P<i внутри планеты представляет собой
окружность такого же радиуса, но с центром С^, смещенным относительно С\
настолько же, насколько точка P<i смещена относительно Pi (рис. 4.2).
Следовательно, составляющие планету частицы испытывают действие равных (по
величине и направлению) центробежных сил и неравных сил гравитации F.
Общая центробежная сила равна средней силе гравитации (F), то есть
(F) = центробежной силе ф F. (4.3)
Рис. 4.1. Движение планеты и спутника по круговым орбитам вокруг общего центра
масс. Большие полуоси (радиусы) орбит относительно центра масс обозначены через
ар и as; большая полуось (радиус) орбиты спутника вокруг планеты равна а = ap + as
4.2. Приливный горб
145
Планета" wr—'"
Рис. 4.2. Все частицы внутри планеты движутся по окружностям одного и того же
радиуса ар, но эти окружности имеют разные центры. Частицы Pi и Рг движутся по
окружностям с центрами С\ и Сг, соответственно
Сила Ftidab вызывающая прилив и таким образом деформирующая планету,
определяется как
Ftidai = F-(F). (4.4)
Силы, вызываемые вращением, также могут деформировать тело (см.
раздел 4.7), но если приливные и вращательные деформации малы, их можно
вычислить по отдельности и затем линейно сложить.
К задаче определения формы приливного горба планеты мы подойдем,
рассмотрев создаваемый спутником потенциал V в некоторой точке Р на
поверхности планеты. Спутник считаем точечной массой. Имеем
V—0^.
(4.5)
где А — расстояние от точки Р до центра спутника. Используя теорему
косинусов (рис. 4.3), получим
А = a
2( ^ )cos^ +
Rr
1 1/2
(4.6)
Спутник
F2 = const
Рис. 4.3. Связь между радиусом планеты Rp, большой полуосью орбиты
спутника а и расстоянием А от спутника до точки Р на поверхности
планеты. Штриховой линией обозначена плоскость — эквипотенциальная поверхность
V~2 = —G (ms/a2) Rp cos^ = const
10 К. Д. Мюррей, С.Ф. Дермотт
146
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
где угол ф отсчитывается от прямой, соединяющей центры двух тел. Для
большинства представляющих интерес случаев Rp/a <С 1. Например,
экваториальный радиус Земли равен 6 378 км, а большая полуось орбиты Луны
равна 384400 км (см. табл. А.4 и А.5). Раскладывая уравнение (4.6) в
биномиальный ряд, получим
а
i+(t)cos*+(^)2Hw^-i) +
iVi+V2 + V3,
(4.7)
где мы пренебрегли членами высоких порядков.
Первое слагаемое в (4.7), V\ — —Gms/a, постоянно и, поскольку
F/mp = — VV, оно не вносит вклада в силу, действующую на планету. Второе
слагаемое в формуле (4.7), V£ = — Q (ras/a2) Rpcosipy обеспечивает
действующую на частицу в точке Р силу, необходимую для движения по окружности.
Сила, создаваемая потенциалом в любой точке пространства, направлена
по градиенту потенциала и ортогональна эквипотенциальной поверхности,
проходящей через эту точку. В данном случае это плоскость, ортогональная
прямой, соединяющей центры гравитирующих тел, а градиент потенциала
РЗВеН т =д^=(11. (4.8)
9(i?pcos'0) а2 шр'
Потенциал на поверхности планеты, соответствующий третьему слагаемому
в (4.7), можно записать как
где
^(^ = -6-^^2(008^), (4.9)
-р2 (cost/0 = i (3cos2^- l) (4.10)
— многочлен Лежандра степени 2 по аргументу соъф (см. раздел 4.3).
шр шр шр шр
то прилив вызывает именно эта часть потенциала.
Мы также можем записать Уз(ф) как
Уз(ф) = -(дГ2(со8ф), (4.12)
где з
<_=■(&) Я,, (4.13)
тр \ а )
_ Gmp
(4.14)
— гравитационное ускорение на поверхности планеты. В этом случае
величину C^McosVO называют амплитудой равновесного прилива на поверхности
планеты при любом заданном значении ф. Заметим, что 'Рг (cos т/0 имеет
максимум при ф = 0 и 7г и минимум при ф — 7г/2 и 37г/2. Поскольку Земля
4.2. Приливный горб
147
совершает один оборот вокруг своей оси относительно звезд за 24 часа,
это объясняет, почему Луна вызывает два высоких и два низких прилива
приблизительно каждые сутки.
Механизм приливной деформации Земли на самом деле сложнее, потому
что 1) значительные приливы вызываются и Луной, и Солнцем, и 2) в
геоцентрической системе отсчета оба эти тела движутся вокруг Земли по орбитам
с ненулевыми эксцентриситетами и наклонениями к плоскости экватора
Земли. Если пренебречь эксцентриситетами орбит, то и Солнце, и Луна вызывают
на Земле по три основных прилива. На рис. 4.4 а ось симметрии приливной
деформации проходит через центры Земли и Луны, Земля вращается вокруг
оси z с угловой скоростью П, среднее движение Луны равно п, а наклонение
ее орбиты к плоскости экватора Земли равно /. На рис. 4.4 б приведены
полярный угол и долгота Луны (вм и фм) и точки Р на поверхности Земли
(вр и фр). Заметим, что долготы фм и фр отсчитываются от фиксированного
в пространстве направления, а не от направления, вращающегося вместе
с Землей.
Используя теорему косинусов, можно показать, что косинус угла ф между
векторами ОР и ОМ равен
cos ф = cos вр cos вм + sin вр sin вм соб(Фр — фм)- (4.15)
Отсюда
Х- (3cos2^ - l) = ^ (3cos20p - l) X- (Зсо820м - l) +
3 3
+ - sin 0psin #mcos2(0p — фм) + - sin20p sin 2^м cos(0p — фм)- (4.16)
Если широта точки на поверхности Земли постоянна, то амплитуда прилива
в точке Р зависит от фр, вм и фм- Изменение во времени первого слагае-
Рис. 4.4. Приливная деформация (показана сплошной линией), вызываемая членом
Уз{ф) гравитационного потенциала, в сравнении со случаем нулевой деформации
(штриховая окружность), а) Ось симметрии приливной деформации проходит через
центры Земли и Луны; Земля вращается вокруг оси z с угловой скоростью Q,
п — среднее движение Луны, / — наклонение ее орбиты по отношению к плоскости
экватора Земли, б) Полярный угол и долгота Луны (#м и фм) и точки Р на
поверхности Земли (вр и фр)
ю*
148
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
мого в правой части равенства (4.16) определяется изменением во времени
величины cos2вм = (1/2)(1 + cos20м)- Поэтому данное слагаемое совершает
колебания с частотой 2п, что приводит к двухнедельным приливам. Второе
слагаемое изменяется с частотой 2(П — п) « 20, что приводит к
полусуточным приливам, а третье — с частотой (ft — п) « ft, что вызывает суточные
приливы. Поскольку последнее слагаемое содержит коэффициент sin20м,
суточные приливы обладают заметной двухнедельной модуляцией. Остальные
приливные члены связаны с эксцентриситетом орбиты Луны.
Для Солнца соответствующие полугодовой, полусуточный и суточный
приливы имеют частоты 2nsUn> 2(П — nsun) ~ 20 и (ft — nsun) ~ О, где
^Sun — среднее движение Солнца (или Земли). Из уравнения (4.13) следует,
что отношение амплитуд соответствующих солнечных и лунных приливов
в каждом случае равно
raSun /«Moon ! _о.46. (4.17)
raMoon V aSui
Для лунных приливов на Земле £ — 0-36 м, тогда как для солнечных
приливов С = 0.16 м.
4.3. Теория потенциала
Прежде чем перейти к расчету приливных и вращательных
деформаций, полезно остановиться на некоторых результатах теории потенциала.
Гравитационный потенциал однородного сферического тела с плотностью 7
и радиусом С может быть найден, если рассмотреть внутренний и
внешний потенциалы тонкой сферической оболочки с радиусом г, толщиной 6г
и массой 6т (Рамсей, 1940). Снаружи оболочки потенциал в некоторой точке,
находящейся на расстоянии гг от центра, равен
V^xt г') = —, (4.18)
г
то есть выглядит так же, как если бы вся масса была сосредоточена в центре
оболочки (то есть в центре планеты). Отсюда следует, что внешний потенциал
на поверхности однородной сферы равен
WC7) =-^^ =-1^СЯ. (4.19)
Благодаря тому, что сила тяготения подчиняется закону обратных
квадратов, сила, действующая на частицу внутри оболочки, равна нулю. Поэтому
гравитационный потенциал внутри оболочки должен быть постоянен, и его
можно определить, вычисляя потенциал в любой точке внутренней области.
Для центра оболочки получим
Vlnt (г) = -б^6т = -4тг7£г5г. (4.20)
4.3. Теория потенциала
149
Следовательно, потенциал внутри однородной сферической оболочки с
внешним радиусом С и внутренним радиусом г равен
^nt(C,r) = -47T7e
rdr = -2тг7£ (С2 - г2\ . (4.21)
Таким образом, внутренний (г < С) и внешний (г > С) потенциалы
однородного сферического тела в некоторой точке на расстоянии г от его центра
равны
Vint (г) = -\iriGr2 - 2тг7е (С2 - г2) = -|тг76? (ЗС2 - г2) , (4.22)
Ve*t(r) =-U7G—. (4.23)
о г
Внутренний и внешний потенциалы деформированного тела можно
выразить через сферические гармоники. Последующее краткое описание
применения этих функций в теории потенциала основано на более подробных курсах
Рамсея (1940), Мак-Роберта (1967), Буллена (1975) и Блейкли (1995).
Гравитационный потенциал V в пустом пространстве удовлетворяет
уравнению Лапласа
VV = 0. (4.24)
Говорят, что функция V является однородной степени п, если она
удовлетворяет уравнению Эйлера
8V 8V 8V
Х1Г + У IT + ZJT = nV' (425)
ox oy oz
Однородные функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются
шаровыми гармониками. Они обладают тем важным свойством, что в
сферических координатах они имеют вид произведения трех сомножителей, каждый
из которых зависит лишь от одной из переменных г, в и ф. (Хорошее
изложение теории шаровых гармоник содержится в книге Блейкли (1995).)
Используя сферические координаты (г, 9,ф), где г — расстояние от центра
масс, в — угол, отсчитываемый от полярной оси, а ф — долгота,
отсчитываемая от некоторого произвольно фиксированного направления, мы можем
записать уравнение Лапласа в следующем виде
д ( 2dV\ д // 2\ dV\ 1 d2V л
где /л = cos0. Уравнение Лапласа можно решить, подставив в (4.26) пробное
решение V = гпЗп(^,ф), где Sn(/j,,4>) не зависит от г. Это дает
д ( 2dV
dr\rfr]=n{n+l)rnSn> (42?)
150
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
и (4.26) сводится к уравнению
!(('-«2)fb
1 cfiq
__Л+п(п+ОД, = а
(4.28)
Это уравнение называется уравнением Лежандра, а любая удовлетворяющая
ему функция Sn — сферической гармоникой степени п. Поскольку величина
п(п+ 1) не изменяется при замене п на — (п + 1), общее решение уравнения
Лапласа можно записать как
оо
(4.29)
п=0
Каждый член в этом уравнении называется шаровой гармоникой степени п
и — (п+ 1), соответственно (Рамсей, 1940).
Для обсуждаемых в этой главе приложений, в которых деформации,
как приливные, так и вращательные, обладают осевой симметрией, решение
уравнения Лежандра сводится к решению уравнения
О-')
2\д2Гп(») 0 dPn(fi)
v ~ ^~f;r+п{п+1)Гп (м) = 0>
где многочлен Лежандра Vn (/i) дается конечным отрезком ряда
(4.30)
Vn (а*) =
1 -3-5...(2п- 1)
п\
А*
или формулой Родрига
РпМ
п(п- 1) 2
2(2n-l)M +
n(n-l)(n-2)(n-3) „_4
2-4-(2п- 1)(2п-3)М
1 d-(,u2-l)n
2геп!
d/x*
(4.31)
(4.32)
причем полярный угол в отсчитывается от оси симметрии деформации.
Многочлены Лежандра представляют собой зональные гармоники; первые пять
из них имеют вид
V\ {ц) — ц — cos0,
P2(/x) = i(3/x2-l) = i(3cos20+l),
1 1 1
7>3(/*) = -(5ц3 -3/*) = -(5 cos 30+ 3 cos 0),
Z О
Р4 (а*) = 1 (35/ - 30^2 + 3) = -4 (35 cos 40 + 20 cos 20 + 9).
о 64
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
4.3. Теория потенциала
151
Сферические гармоники являются ортогональными функциями, и
двойные интегралы их произведений по поверхности сферы обладают
следующими полезными свойствами. Элемент площади поверхности единичной сферы
(г = 1) дается выражением sin0d0d</> = — d/xd</>; если Ут(/х, ф) и Бп(ц, ф) — две
сферические гармоники степеней шип, соответственно, причем т ф п, то
2тг 1
(/х, ф)8п(цу 0)d/xd0 = 0.
(4.38)
0 -1
Если две сферические гармоники имеют одинаковую степень п и одна из них
является зональной гармоникой 7^п(/х), то
2тг
Sn(/i,0)^n(/^)d/xd0 =
47Г
2п+ 1
Sn(l),
(4.39)
о -1
где 5П(1) — значение 5П(//, 0) в полюсе Рп (/л).
Рассмотрим две точки на единичной сфере: подвижную (в',фг) и
неподвижную (6,ф). Пусть ф — угол, образуемый двумя этими точками с
вершиной в центре сферы. Рассмотрим интеграл
2тг 1
Sn(e,9^)Vn(costl;)dfjL,d^.
(4.40)
о -1
Переопределим координатные оси для подвижной точки так, чтобы новая
полярная ось проходила через неподвижную точку (9,ф), и пусть новые угловые
координаты подвижной точки равны (6',Ф'), причем в' = ф. Запишем также
Sn(6fyfi) как Уп(в',Ф'). Тогда из (4.39) получим
2тг 1
47Г
¥п(в',Ф')Гп(со8в')<1(со8в')с1Ф' = ——-Уп(1). (4.41)
2п+ 1
Но
поэтому
Уп(1) = 5п(М).
2тг 1
Sn^i', ф')Гп (cosф)<111,<1ф,=
47Г
2п+ 1
5п(//,0),
(4.42)
(4.43)
0 -1
где Бп(ц,ф) — такая же функция переменных (/х, ф), как и Sn (//,<£') —
функция переменных (//,</>') (Мак-Роберт, 1967).
152
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Рассмотрим теперь потенциал однородного почти сферического тела
в некоторой фиксированной точке Р\ пусть поверхность тела задана
уравнением
Я(0') = С [1 + e2V2 (cos0')] , (4.44)
где 82 (<С 1) — постоянная, а С обозначает здесь средний радиус. Точка Р
может быть либо внутренней (г < С), либо внешней (г > С); ее сферические
координаты равны (г,/х,ф), где /х = cos#, а полярный угол в отсчитывается от
оси симметрии приливного горба (рис. 4.5). Полный гравитационный потенци-
Р(г, М, ф)
ЛР'(г', /л', Ф')
Спутник
Рис. 4.5. Потенциал деформированной планеты в точке Р создается сферическим
телом, имеющим средний радиус С, и веществом, распределенным в приливном горбе
ал в точке Р является суммой двух частей. Первая из них, соответствующая
сферическому телу, приведена в формулах (4.22) и (4.23), а вторая
«нецентральная» часть определяется распределением вещества в тонком слое между
поверхностью деформированного тела и средней сферой. Радиальная толщина
тонкого слоя вещества в некоторой точке Р'(г',//,<7У) равна S2CV2 (//)» а
элемент объема в этой точке равен ^С3^ (аО d//d<//. Потенциал, создаваемый
элементарной массой в точке Р, определяется расстоянием РР' — А, причем
и
C2 + r2-2Crcos
ф)
г < С, то
1 1
д ~ с
>НЬ)'МЬ
-1/2
-1/2
(4.45)
(4.46)
Выполнив разложение в биномиальный ряд и упорядочив члены по степеням
г/С, получим
А
С
1 +
(£)"+(£
1 3 2
"2 + 2"
+
(hf(-l
5 з
+ ..
(4.47)
при этом анализ выражений (4.33)-(4.37) показывает, что (4.47) можно
записать как
1 1
п=0
(4.48)
4.4. Приливная деформация
153
Следовательно, «нецентральный» вклад в полный потенциал в точке Р дается
выражением
Kcint = -lQC2e2 £ (£) ?2 И Vn (cos ф) d//d<//. (4.49)
Из (4.43) имеем
47Г / Г \ 2
Ё(£Г k2(/x')^n(cos^)d^d^ = -^(^) P2(cos0). (4.50)
71=0
Поэтому внутренний «нецентральный» вклад в потенциал в точке Р дается
выражением
Л^<п-(—а\ (4.51)
47Г
Kc,int = -у7^£2^2 (COS0) ,
а полный внутренний потенциал в точке Р равен сумме этого члена и вклада,
определяемого выражением (4.22), то есть
Vint(r,0) = -g7rC370
Аналогично, если г > С, то
Зс2 _ г2 з г2
2С3 +5C3g2P2(cosg)
1 1 °° /Г\п
д=-Е 7 ^(cosV0 + O(e2)
n=0 V У
и полный внешний потенциал дается выражением
уе^(гув) = --тгс61д
1 зс2 ^ , Л;
- + F^T^2^2(cos(9)
г 5 rj
(4.52)
(4.53)
(4.54)
4.4. Приливная деформация
Пусть /i(^) — локальная высота эквипотенциальной поверхности;
тогда, поскольку приливный потенциал на поверхности планеты равен
—(gV2 (cos ф), полный потенциал имеет вид
УЬоы(г,ф) =
рГПр
В
+ дк(ф) - (gV2 (cos ф),
(4.55)
где В — средний радиус планеты. На эквипотенциальной поверхности
Kotai(r>^) не зависит от фу поэтому должно выполняться равенство
Н(ф) = £р2(соБф); при этом подразумевается, что угол ф отсчитывается от
оси симметрии приливного горба. Равновесный прилив задает форму мелкого
океана нулевой плотности, покрывающего жесткую сферическую планету.
В действительности, разумеется, ни одна из жидкостей не обладает нулевой
плотностью и ни одно твердое тело не является абсолютно жестким. Поэтому
нам необходимо вычислить приливную деформацию реального твердого или
жидкого тела.
Чтобы показать, какие факторы существенны, рассмотрим простую двух-
компонентную модель планеты со средним радиусом В. Согласно ей, планету
154
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
образуют однородный несжимаемый
жидкий океан с плотностью а и однородное
несжимаемое твердое ядро со средним
радиусом А, плотностью р и модулем сдвига р
(Стрит, 1925; Дермотт, 1979а; см. также
рис. 4.6). Модуль сдвига р является мерой
силы, необходимой для деформации
упругого тела.
Равновесный прилив представляет
собой сферическую гармонику второго
порядка, описывающую эквипотенциальную
поверхность, которая существовала бы вблизи
абсолютно жесткой сферической лишенной
океанов планеты, вокруг которой
обращается удаленный единственный спутник. Если
планета не является абсолютно жесткой и
покрыта океаном, то поверхность океана и
поверхность равновесного прилива не будут
совпадать, даже если мы пренебрежем эффектами кинетической энергии
океанских течений. Для того чтобы вычислить реакцию океана и ядра на
гравитационное поле спутника, надо принять во внимание действие
гравитационного поля самого приливного горба (то есть самогравитацию) и действие
упругих сил внутри него. Кроме того, надо учесть также упругую реакцию
ядра на все силы, действующие на ядро и на океан; иными словами, надо
принимать во внимание потенциалы деформированного ядра и океанического
прилива, а также «нагружающие» эффекты приливов в различных частях
планеты (Стрит, 1925).
Поскольку приливообразующий потенциал представляет собой шаровую
гармонику второй степени, деформация планеты должна описываться этой же
гармонической функцией (Ляв, 1911). Если было бы иначе, то поверхность
океана не могла бы, например, быть эквипотенциальной поверхностью. В
разделе 4.2 мы уже видели, что приливный потенциал зависит от единственного
угла ф, что означает осевую симметрию относительно прямой, соединяющей
центры двух тел. Поэтому деформированные фигуры границы ядра и
поверхности океана можно описать функциями
Rcb = A[l+S2V2(cos<iP)} (4.56)
и
Дов = В[1+Г2р2(со8^)], (4.57)
где S2 и Т2 — константы. Их значения мы определим 1) из того факта,
что поверхность статического океана должна быть эквипотенциальной, и
2) рассмотрев равновесие всех сил, действующих на среднюю границу ядра.
Потенциал У0(г,ф) внутри океана состоит из трех компонент: 1)
приливного спутникового потенциала
У3(г,ф) = ~^r2V2 (cos i/O = -С9 (^)2^2 (cos</0 (4.58)
Рис. 4.6. Модельная планета,
состоящая из деформированного
ядра (со средним радиусом А и
плотностью р), окруженного
деформированным океаном со
средним радиусом В и плотностью а.
Штриховыми линиями показаны
окружности с радиусами А и В
4.4. Приливная деформация
155
(это выражение является обобщением формул (4.9) и (4.12)), 2) потенциала
Hnt(»~. Ф) океана и 3) потенциала Veyit(r, ф) ядра. Таким образом, полный
потенциал внутри океана дается выражением
У0(г,ф) = -Сд(^)2Г2(со8ф) - ^ттВ3ад (
ЗВ2 -г2 3 г
2£3 5 Б3
+ -ШТ2-Р2 (cos ф) -
- ^тгЛ3(р - a)G (± + \^S2V2 (cos^)) • (4.59)
Здесь вклады океана и ядра найдены следующим способом. Прежде всего
был вычислен внутренний потенциал планеты, целиком состоящей из океана,
а затем к нему добавлен внешний потенциал твердого ядра плотности р — а,
равной разнице плотностей ядра и океана.
Для вычисления потенциала Vos(r,ip) на поверхности океана мы
подставим уравнение поверхности г = B[l + T2V2 (сояф)] в формулу (4.59) и
выполним разложение получившегося выражения в ряд, пренебрегая членами
второго и более высоких порядков по С,/В, S2 и Т2. Это дает
Уов(г,ф) = -(gV2 (cos V) - ^тг£2а£ (1 - \t2V2 (созф)
^^(p-a)gll-T2V2(cos^) + ^l^) 32Г2(со8ф)). (4.60)
В этом выражении члены, не зависящие от ф, описывают только силы сжатия;
так как мы предположили, что ядро и океан несжимаемы, эти члены не
играют роли в определении формы планеты и их можно не учитывать. Поскольку
задано, что поверхность океана является эквипотенциальной, сумма членов,
зависящих от ф, должна равняться нулю. Поэтому имеем
3 V 5
4 А3, ч / ~~ , ., 3 (А
А
2а (А\6(Л а
T2-U^\ (l--)S2. (4.61)
5 \В
Здесь мы ввели величину
<,-^(±)\ (4.62)
mc\al
(4.63)
где гас — масса ядра. Гравитационное ускорение на поверхности ядра
_ Qmc
9с~ А* '
Величина Сс является амплитудой «равновесного прилива», который возникал
бы на поверхности ядра, если бы отсутствовал океан; она связана с величиной
С в (4.13) соотношением
(дА2 = (с9сВ2. (4.64)
156
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Уравнение (4.61) дает нам первое из соотношений между S2 и Т2. Второе
соотношение получается, если рассмотреть условие равновесия всех сил,
действующих на среднюю границу ядра.
Деформирующий потенциал Ус(г,ф) внутри твердого ядра является
суммой приливного спутникового потенциала У$(гуф) и внутренних потенциалов
океана и ядра. Таким образом,
/Г\2 4 о (ЪВ2 — т2 3 г2 \
Vc(r,tl>) = -Сс9с (j) V2 (соьф) - д7гВ3<70 ( —2дз— + 5 ВЗТ2^2 {с°8ф)) "
4 /Ч42 — г2 Ъ г2 \
- -тгЛ3(р - а)9 { 2АЗ + s^S2V2 (cos^)J . (4.65)
Рассмотрим сферу внутри ядра, центр которой совпадает с центром
планеты. При фиксированном значении г эффективный потенциал деформации
складывается только из тех членов в Ус(г,ф), которые зависят от 7^2 (cosф).
Остальные члены описывают силы сжатия и их можно не учитывать.
Ус(г,ф) = -Zr2V2 (собФ) , (4.66)
где
г = з(;И^-*> + §*)- (4-67>
Кри (1896а) показал, что податливость ядра под воздействием порождаемой
этим деформирующим потенциалом силы такая же, как и под воздействием
силы (в расчете на единицу площади), равной pZA2V2 (собФ) и приложенной
наружу по нормали к средней границе ядра г = А.
На этой границе давление имеет также составляющие другой природы.
Это нагрузочные составляющие, порожденные гидростатическим давлением
в океане и приливом в твердом ядре. Например, в случае мелкого океана
с (В — А) <С В и постоянным значением д внутри океана они возникают
благодаря изменению 1) глубины океана и 2) расстояния от поверхности ядра
до центра планеты при изменении ф. Эти компоненты давления определяются
произведением ускорения силы тяжести на поверхности, плотности среды
и высоты прилива:
Р0(ф) = даВ(Т2 - S2)V2 (cos ф), (4.68)
Рс(Ф) = 9cpAS2V2 (созф). (4.69)
В случае глубокого океана величину д нельзя считать постоянной, и хотя
член, отвечающий нагрузке за счет прилива в ядре, остается прежним,
угловое изменение гидростатического давления на ядро определяется уже не
только высотой океанического прилива. Необходимо принимать во внимание
также угловую зависимость силы тяжести в океане.
4.4. Приливная деформация
157
В общем случае глубокого океана давление океана на границе ядра дается
выражением
°о(Ф) = J <Т{Г)
дУ0{гуф)
dr, (4.70)
дт
где пределами интегрирования являются радиусы поверхностей ядра и океана.
Поскольку океан в нашей модели предполагается несжимаемым и имеющим
постоянную плотность, выражение (4.70) приводится к виду
Р0(ф) = a[V0(Ros, ф) - V0(Rcb, ф)]. (4.71)
Далее, поскольку в силы деформации может вносить вклад только
переменная часть потенциала (мы пренебрегаем сжатием) и поскольку поверхность
океана является эквипотенциальной, величина У0(Я08,ф) является константой
и ею можно пренебречь.
Потенциал Усъ(Ф) на границе ядра можно вывести, подставив выражение
для границы ядра 7?сь = A[l + S2V2 (cosф)} в формулу (4.60) или (4.65) и
выполнив разложение получившегося выражения в ряд, пренебрегая при этом
членами второго и более высоких порядков по С/В, 52 и Г2. Это дает
УсЪ(ф) = const - Agc (^ + |-(Г2 - S2) - ^S2) V2 (созф), (4.72)
где зависимость от ф содержится во втором члене правой части уравнения.
Этот член вносит вклад в переменную часть Р0(ф)ф давления на границе
ядра:
Р0(ф)ф = аА9с 0: + |^(Т2 - S2) - |s2) V2 (совф). (4.73)
Полная эффективная сила в расчете на единицу площади, направленная
наружу по нормали к средней границе ядра, складывается из сил упругости
внутри ядра и нагрузочных членов за счет океана и приливов в ядре. Мы
запишем эту силу в виде ХТ>2 (соБф), где
X = pA2Z - Р0(ф)ф - pgcAS2 = \pgcA (\ - -^j (J| - S2 + ~(Г2 - S2)
(4.74)
Заметим, что при а —> р имеем X —> 0, что и должно иметь место для океана
в гидростатическом равновесии.
Ляв (1944) показал, что радиальное смещение границы твердого ядра,
вызываемое этим деформирующим давлением, равно
А11(ф) = ^-ХГ2(со8ф), (4.75)
что должно равняться AS2V2 (собФ). Это дает нам второе соотношение между
* = = ('-?) (о" * + В(т'-*>)-
158
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
где безразмерная величина р — эффективный модуль сдвига для твердого
ядра, определяемый формулой
"=2^4- (4J7)
Он является мерой отношения сил упругости и гравитации, действующих на
границе ядра.
Если Д «с 1, то ядро реагирует подобно жидкости, а при р » 1 в ядре
преобладают силы упругости. Заметим, что при а = р имеем ^2 = 0, и упругое
ядро не деформируется. Для планеты, лишенной океана, а = О и из (4.76)
следует, что амплитуда прилива на изолированном ядре равна
AS2=(ll^. (4.78)
1 + р
В общем случае
AS2 = F^^ и £Т2 = #|о (4.79)
1 + р 2
где безразмерная величина F является мерой влияния океана на амплитуду
прилива в ядре, а Н — мера влияния внутренней структуры на внешнюю
форму планеты. Исключая Т% из уравнений (4.61) и (4.76), имеем
F= (1+/х)(1-*/р)(1+3/2а)
1 + Д - a/p + (3a/2p)(1 - а/р) - (9/4a)(Л/£)5 (1 - a/p)2 V ' ;
2{p) (l+fi + (3/2)(A/B)*F6\
5a V (1+Д)(<5 + 2а/5р) ,/' V ' '
где
а (p) — средняя плотность. Если планета целиком жидкая, или если в
результате тепловой ползучести ядро релаксировало к состоянию гидростатического
равновесия (это предположение может быть применимым в случае приливных
горбов на спутниках, вращающихся синхронно с орбитальным движением),
то р = 0 и гидростатическое значение Н дается формулой
Н = Ш ( Х + (Ю/57)(А/В)2 \ (,
h Ъа \S + 2a/5p-(96a/25jp)(A/B)2J ' V' ;
где 2 За
7=- + - (4.84)
(Дермотт, 1979а).
4.4. Приливная деформация
159
Теперь мы можем, используя эти результаты, определить приливные
амплитуды в предельном случае планеты с тонкой однородной океанической
оболочкой. Если А = В, £с = £ и (р) — р, то условие (4.61)
эквипотенциальное™ поверхности океана принимает вид
i = lS2+('-K?)№-S2)- (485)
Частично исключая члены, содержащие S<i, из уравнений (4.61) и (4.76),
находим следующее выражение для амплитуды океанического прилива:
^-*>=1-,/,, + Я1-з,/ад- (486>
что согласуется с формулой, полученной впервые Кри (18966). Можно
заметить, что А(Т2 — 5г) —> 0 при Д —> 0. Кроме того, если а = р, то
А(Т2 - 52) = |с, (4-87)
то есть амплитуда не зависит от р. Следовательно, в случае, когда ядро
и океан имеют одинаковую плотность, ядро не деформируется, а амплитуда
океанического прилива в 5/2 раза больше, чем амплитуда (4.13)
«равновесного» прилива.
Амплитуду твердотельного прилива в случае тонкого океана можно найти,
подставив выражение (4.86) для T<i — S<i в (4.61). Это дает
л* = §<1-,/Ди71з,/ад- (4'88)
Для планеты без океана а — 0, поэтому
AS2 = М£ (4.89)
1 + Р
что находится в согласии с выражением, впервые найденным лордом
Кельвином (Томсон, 1863). Кельвин применил этот результат к наблюдениям
двухнедельного прилива, для которого AS2 ~ 0.6£, и вычислил, что модуль сдвига
для Земли составляет « 1.2 • 1011 Н/м2, то есть он на ^50% больше модуля
сдвига для непрокатанной стали. Это был неожиданный результат, поскольку
тогда считалось, что Земля находится преимущественно в расплавленном
состоянии (Буллен, 1975).
В применении к Земле, возможно, более реалистичной была бы модель
планеты, состоящей из твердого ядра с плотностью р и модулем сдвига р,
покрытого тонкой океанической оболочкой с плотностью а. В этом случае
амплитуды приливов для океана и ядра даются формулами (4.86) и (4.88).
Однако эти формулы были получены в предположении, что океан находится
в гидростатическом равновесии и, следовательно, приливные течения в нем
160
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Рис. 4.7. Приливная волна в канале неизменного профиля глубиной d вдоль
экватора, ограниченном по широте двумя параллелями. Приливный горб неподвижен
во вращающейся синхронно с Луной системе отсчета с началом в центре Земли.
Скорость горба относительно твердотельной Земли равна U. Однако содержимое
приливного горба представляет собой поток, текущий со скоростью и на данной
долготе однородно по всей толще океана
не играют роли в определении формы поверхности океана. В случае Земли
это приближение неудовлетворительно.
Влияние течений в океане зависит от собственной частоты колебаний
бассейна океана, которая, в свою очередь, определяется размерами, формой
и глубиной бассейна. Последуем эвристическому подходу Праудмана (1952) и
рассмотрим канал неизменного профиля глубиной d вдоль экватора,
ограниченный по широте двумя параллелями. Приливный горб покоится в системе
отсчета, вращающейся со скоростью, равной среднему движению Луны, с
началом в центре Земли. Поэтому скорость горба относительно поверхности
Земли равна U — 2тгА/Те ~ 500 м/с, где Те — период вращения Земли.
Однако величина U не совпадает со скоростью приливного течения в океане.
Содержимое приливного горба представляет собой поток, текущий со
скоростью и на данной долготе однородно по всей толще океана (рис. 4.7). Если
через С обозначить высоту поверхности относительно дна океана на некоторой
долготе, то из уравнения неразрывности имеем
(U-u)(d + C) = Ud. (4.90)
Если С <^ dy то
u=^U. (4.91)
d
Средняя глубина океана на Земле составляет « 4 км, так что и « 0.1 м/с.
По теореме Бернулли, связывающей работу гидростатического давления с
кинетической и потенциальной энергией жидкости в ламинарном потоке, имеем
-(U - и)2 + д( + Ф = const, (4.92)
где Ф — приливный потенциал. Если предположить, что на поверхности
канала Ф = — #£, то, поскольку величина U2 постоянна и и2 <С uUy получим
Uu = g(C-Q. (4.93)
Подставляя и из формулы (4.91), найдем
< = та*- (494>
4.5. Вращательная деформация
161
В случае Земли, в экваториальном канале глубиной dres — U2/g « 22 км
возник бы резонанс, и, поскольку средняя глубина океана меньше dres, можно
было бы ожидать, что приливы будут инвертированными. Это рассуждение
нельзя применить к Земле в целом, поскольку в условиях почти
глобального океана нельзя полагать, что полный приливный потенциал не связан
с приливными течениями. Однако формула (4.94) дает ясно понять, что
при моделировании формы земных океанов необходимо учитывать эффекты
океанических течений и возможность резонанса в различных океанических
бассейнах.
4.5. Вращательная деформация
В разделе 4.4 мы показали, как прилив, вызываемый обращающимся
вокруг планеты спутником, влияет на форму поверхности планеты.
Используя модель планеты как тела, состоящего из ядра и мантии, мы вывели
выражения для деформации каждого из компонентов. Важнейшим
результатом можно считать то, что фигуру деформированной планеты (рис. 4.6)
можно аппроксимировать сплюснутым сфероидом с большой полуосью а,
направленной по прямой планета-спутник, и малыми полуосями b = с, так
что сечение фигуры планеты плоскостью, ортогональной оси симметрии
(прямой планета-спутник), является кругом. Сфероид моделируется функцией
^(cost/O (многочленом Лежандра степени 2),
где угол ф отсчитывается от оси симметрии.
В этом разделе мы покажем, что многие из
аналитических результатов, полученных для
приливной деформации, могут быть
непосредственно использованы в случае вращательной
деформации.
Рассмотрим сферическую жесткую планету,
вращающуюся с угловой скоростью Q (рис. 4.8).
Точка Р на ее поверхности испытывает
центробежное ускорение acfx = $l2rsin#x, или,
поскольку, х — г sin в, э.с^х — Л2жх. Из
симметрии следует, что аналогичная точка,
расположенная на поверхности в плоскости yzy
испытывает ускорение acfy = П2уу. Вращение
планеты не создает ускорения вдоль оси вращения.
Следовательно, произвольная точка (ж,ууz) на
поверхности испытывает ускорение
acf = Q, (жх,уу).
(4.95)
Рис. 4.8. Ускорение,
испытываемое в точке Р (в
плоскости xz) на поверхности
планеты, вращающейся со
скоростью ft. Угол в
отсчитывается от оси z (оси
вращения), г — расстояние от
точки до центра планеты
Данное центробежное ускорение мы можем выразить через центробежный
потенциал Vcf. acf = — VVcf» гДе
1
>2 2
Vrf(rf0) = --fiVsin'0
(4.96)
в полярных координатах.
11 К. Д. Мюррей, С.Ф. Дермотт
162
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Рассмотрим теперь океан, покрывающий поверхность планеты. Жидкость
находится под воздействием полного потенциала
Kota.(r,0) = -^ + Vc{(r,9). (4.97)
Г
Нам известно, что в состоянии равновесия поверхность жидкости должна
совпадать с эквипотенциальной поверхностью, которая локально ортогональна
гравитационному и центробежному ускорениям. Предполагая, что отклонение
поверхности океана от сферы мало, запишем
Госеап = а + дг(в), (4.98)
где а — экваториальный радиус планеты. Следовательно, потенциал,
определяющий поверхность, является константой
KotalfaCe) « -~ + ^Г6Г " ^V 81П2 ° " "^ 81П2 в 6Г- (4-99)
Для большинства планет Q2a <C Gmp/a2 (см. ниже), и поэтому можно
пренебречь последним членом в (4.99). Отсюда
П2а4 9
6r « const + — siir в. (4.100)
2£гар
Таким образом, влияние вращения, как и следовало ожидать, состоит в
сжатии с полюсов. Степень деформации можно количественно охарактеризовать,
определив сплюснутость планеты или ее сжатие с полюсов как
f _ requat ~ ^pole ,^ jqjx
^equat
где reqUat и rpoie — экваториальный и полярный радиусы планеты,
соответственно. Из нашего рассуждения следует, что для планет можно ожидать
/ « д/2, где
,= §^ (4.102)
— безразмерная величина, равная отношению центробежного ускорения на
экваторе к ускорению силы тяжести. Правда, мы пренебрегли эффектом
обратной связи со стороны вращательной деформации на гравитационное поле
планеты, — ведь планета не является более сферической.
Прежде чем учесть влияние деформации, имеет смысл рассмотреть
экстремальный случай q —> 1, что позволит нам установить верхнюю границу
скорости вращения планеты. Формула (4.102) дает
«тах« (^) ^2(6?(р))1/2, (4.103)
4.5. Вращательная деформация
163
где (р) — средняя плотность планеты. Для Земли (р) = 5.52 г/см3, так что
f^max «1.2- 10_3 рад/с, что соответствует периоду вращения Pmin = 1.4 ч.
Для Юпитера Pmin ~ 2.9 ч, тогда как его современный период вращения
составляет 9.9 ч.
Благодаря вращательному сжатию, большинство планет (но не спутников)
можно считать, с хорошей точностью, сплюснутыми сфероидами (то есть
трехосными эллипсоидами с двумя равными друг другу большими полуосями
а = b и малой полуосью с). Фундаментальным результатом теории потенциала
является тот факт, что внешний гравитационный потенциал любого тела,
обладающего осью симметрии, может быть записан в виде
Vgravity(r,0) =
00 / В\п
l-5>n(-J Vn(cos9)
(4.104)
n=2
где т — полная масса, R — экваториальный радиус (R = а в случае
вращательной деформации), Jn — безразмерные константы и, как и ранее (см.
раздел 4.3), Vn (cos#) — многочлены Лежандра степени п. Заметим, что член
с и — 1 отсутствует в силу того, что начало координат выбрано в центре
масс тела. Коэффициенты Jn характеризуют распределение массы в теле. Для
планет они определяются эмпирически. Среди них, безусловно, важнейшим
является коэффициент J2, имеющий простую физическую интерпретацию
в терминах трех моментов инерции Л, В и С относительно главных осей.
В силу теоремы Мак-Каллага (см. формулу (5.36) и ее вывод, принадлежащий
Куку (1973)) мы можем записать (Кук, 1980)
C-Ua + В) с-А
J2 = 2—5 * ?, (4-105)
maz maz
где приближение выполняется, если Л « В, что имеет место в случае
вращательной деформации. В общем случае Jn определяется интегралом
R 1
j - 1
mRn
rnVn (p) p(r, p)27rr2dpdr, (4.106)
0 -1
где p = cos6, а р(г,рь) — распределение внутренней плотности. Поскольку
Vn (p) — нечетная функция для нечетных п, то для планет с симметричными
северным и южным полушариями имеем J$ = J5 = J7 = ... = 0. В
действительности только для Луны, Земли, Марса и Венеры известны измеренные
ненулевые значения J3. Можно показать, что если q мало, то Jn ос qn/2y
причем константа пропорциональности обычно порядка единицы. Следовательно,
поскольку, как правило, q <£С 1, коэффициенты Jn при возрастании порядка п
быстро становятся малыми. Для планеты с однородной плотностью можно
показать, что J2 = q/2. Значения J<i и J$ для планет приведены в табл. А.4.
Теперь мы можем вернуться к задаче вычисления сплюснутости
вращающейся планеты. Запишем центробежный потенциал (4.96) как
Vci=l-n2r2[P2(»)-l}. (4.107)
164
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Здесь можно пренебречь членом, не зависящим от /х, так что Vc{ имеет ту
же угловую зависимость, что и член J^ в выражении для гравитационного
поля планеты. Полный потенциал, воздействующий на океан на поверхности
планеты, приводится теперь к виду
tWr,«0 = -^ +
ampe2j2 + W
г
3 -z ■ з^
Р2(/л), (4.108)
где мы пренебрегли J4, Je и т. д. Как и ранее, мы требуем, чтобы поверхность
являлась эквипотенциальной, и полагаем г = R + 5r(6). Делая подстановки
в формуле (4.108) и выполняя разложения, имеем
8r = const
' 1
J2 + p
RV2{n). (4.109)
Используя определение (4.101) для / и выражение (4.109) для 6г, получим
/ = |j2 + ig, (4.110)
что уточняет наш предыдущий результат / « q/2. Используя данные Йо-
дера (1995), можно сравнить вычисленные по этой формуле значения fC3\c
с наблюдаемыми /0bs. Для Земли /caic = 0.003349, тогда как /0ь8 = 0.003353.
Для Юпитера fca\c = 0.06670, тогда как /Qbs = 0.06487. Это значение
достаточно велико, чтобы сжатие с полюсов было заметно на изображениях
видимого диска Юпитера. Из этих сопоставлений видно, что формула (4.110)
дает хорошее приближение для сплюснутости.
Тот факт, что и приливные, и вращательные деформации описываются
поверхностью, моделируемой многочленом Лежандра степени 2, означает, что
теория приливной деформации планеты с ядром и мантией, развитая в
разделе 4.4, непосредственно применима к случаю вращательной деформации.
В обоих случаях измерение степени деформации позволяет получить
информацию о внутреннем строении планеты. Разумеется, эта теория в равной
степени применима и к случаю спутника, деформированного 1) приливами,
вызываемыми на нем планетой, и 2) собственным вращением спутника. В
разделе 4.7 мы исследуем частный случай деформации спутника, находящегося
в состоянии синхронного вращения.
Параметр 3% планеты изменяет гравитационное поле, в котором движутся
обращающиеся вокруг планеты спутник или частица кольца; главным
следствием является вращение в пространстве {прецессия) эллиптической орбиты
такого объекта. Динамические следствия подробно обсуждаются в
разделах 6.11, 7.7, 7.9 и 8.11. Для наших целей достаточно знать, что
прецессионный эффект J2 можно непосредственно наблюдать, исследуя орбиты
спутников и узких эксцентрических колец. Следовательно, J<± является наблюдаемой
величиной, а формула (4.105) позволяет связать ее с разностью С — Л двух
главных моментов инерции.
Тем не менее, для нахождения каждого из моментов инерции в
отдельности и, тем самым, для извлечения информации о внутреннем строении,
4.6. Соотношение Дарвина-Радо
165
необходимо найти еще одно соотношение между С и Л. Один из позволяющих
это сделать методов, применимых к Земле, заключается в наблюдении
проявлений крутящего момента, создаваемого Солнцем и Луной у Земли,
сплюснутой за счет ее собственного вращения. Этот момент вызывает прецессию оси
вращения Земли вокруг нормали к плоскости ее орбиты с частотой,
пропорциональной (С — Л)/С (Кук, 1980); данный эффект называется лунно-солнечной
прецессией. Пока что описанный метод определения С и Л применим только
к системе Земля-Луна. Для остальных планет требуется иной подход.
4.6. Соотношение Дарвина-Радо
Соотношение Дарвина-Радо (см., напр., Кук, 1980) является
приближенным уравнением, связывающим приведенный момент инерции C/mR2 (где
т — масса объекта, a R — его средний радиус) с величинами q, / и J<i для
планеты или спутника. Это соотношение было впервые получено Радо (1885)
на основе работы Клеро (1743); вклад в анализ этой задачи принадлежит
также Дарвину (1899). В основе вывода соотношения лежит предположение,
что рассматриваемое тело находится в гидростатическом равновесии.
Соотношение может быть выражено по-разному; здесь мы следуем Куку (1980).
Согласно ему,
га
R2
b\2f
1/2'
(4.112)
Если определить приведенный момент инерции С как безразмерную величину
С
С =
т
В?
(4.113)
и воспользоваться соотношением (4.110) между J2, q и /, то соотношение
Дарвина-Радо (4.112) приводится к виду
/ " 10 + 2С 8 е"
(4.114)
Однако связь между С и J2//, определяемая этой формой соотношения
Дарвина-Радо, является лишь предельным случаем более общего результата,
который можно вывести, используя рассмотренную в разделе 4.4 модель
деформации для более реалистичной планеты. В указанной модели ядро-мантия
Дермотт (19796) нашел
ч
(р)Ч1 (р))\в
(4.115)
Этот результат можно получить элементарным путем, используя определение
момента инерции, известные размеры и деформацию ядра и мантии. Если
поверхность спутника и граница раздела ядра и мантии находятся в равновесии,
166
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
коэффициент Н равен его гидростатическому значению #ь (формула (4.83)).
Дермотт (19796) связывает значения J<i/ f и Н^ посредством уравнения
3Л
1
—V
(4.116)
Формулы для S и 7 позволяют связать J<i/ f с С для данного значения А/В.
В результате получим
_ о
J2_2 C ~ ^(А/в)2 8 - 20(А/В)5 + 10С[5(Л/Д)3- 2]
7 ~ 3 + 1 - (А/В)2 + 12[(Л/£)5- 1] + 15С[2 - 5(Л/В)3+ 3(Л/£)5]'
(4.117)
Рассмотрим два предельных случая этой формулы.
• В случае точечного ядра А/В ->0и
hlf - С.
• В случае модели (соотношения) Дарвина-Радо А/В —> 1 и
(4.118)
(4.119)
На рис. 4.9 показаны графики J2// как функции С в модели точечного
ядра, модели Дарвина-Радо и общей модели ядро-мантия с А/В — 0.5. Из-
0.4
о.з
0.2h
0.1b
I
I
■
г- Модель
j; точечного ядра
\ Л*'
г .•' /
С /
L /
г •*" '
Г ' i
L ' /
Г •' / /
Г.- / /
Г'| 1 1 1 1 1 1 /1 1 1 1 |/| 1
/
•' ^
ll ^-/
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
♦•/Земля
•* у
:~7/Юпитер
f Нептун
Сатурн, Уран
/\
Модель Дарвина-Радо
■ i 1 i 11 i i 1 i i i 1 1 i 1 i i i i 11 1 i
0.1 0.2 0.3
Приведенный момент инерции, С
0.4
Рис. 4.9. Величина J<ilf как функция приведенного момента инерции С: в модели
точечного ядра (пунктирная кривая); в модели с А/В = 0.5 (штриховая кривая);
в модели Дарвина-Радо (сплошная кривая). Отмечены значения J2// для Земли
и планет-гигантов
4.7. Фигура и внутреннее строение спутников
167
вестные значения J2// для Земли и планет-гигантов отмечены
горизонтальными отрезками в пределах значений С для каждой планеты. Заметим, что
диапазон значений С при заданном значении J2// сужается при увеличении
J2//. Ключевой момент заключается в том, что измерения J2// позволяют
наложить ограничения на величину приведенного момента инерции. Если
объединить эту информацию с оценками С — Л из соотношения (4.105), то
можно получить оценки для Л и С. Такие оценки накладывают ограничения
на детальные модели внутреннего строения планет.
4.7. Фигура и внутреннее строение спутников
Рассмотрим случай спутника, находящегося в гидростатическом
равновесии. Предположим, что спутник находится в состоянии синхронного
вращения, а его орбита лежит в экваториальной плоскости планеты и близка
к круговой. Спутник испытывает приливную деформацию под
воздействием планеты, а также деформацию, вызванную его собственным вращением.
Из развитой в предыдущих разделах теории и того факта, что среднее
движение спутника п равно частоте его вращения fi, следует, что фигурой
спутника должен быть трехосный эллипсоид. В самом деле, поскольку между
полуосями спутника в гидростатическом равновесии существуют
определенные соотношения, точные измерения формы спутника позволяют выяснить,
находится ли он в равновесии, и, с привлечением других данных, найти
характеристики внутреннего строения спутника.
Определяемый вращением спутника центробежный потенциал в точке
(г,в,ф) равен
Vrot = ^2r2V2(cose) (4.120)
(ср. с (4.107)), где в — угол между радиус-вектором и вертикальной осью,
a V2 (cos в) — (l/4)(3cos20 + 1) — многочлен Лежандра степени 2. Заметим,
что Kot не зависит от угла ф между проекцией радиус-вектора на плоскость
ху и осью х\ это отражает симметрию эквипотенциальной поверхности
относительно оси z. Приливный потенциал, создаваемый планетой в этой же
точке, равен
Kidal = -^V7>2(COSVO (4.121)
(ср. с (4.9)), где шр — масса планеты. Заметим, что Kidai не зависит от в
(угла между радиус-вектором и осью z)\ это приводит к симметрии
эквипотенциальной поверхности относительно оси х. Однако на основании третьего
закона Кеплера, учитывая, что п — П, мы можем записать
Kidai = -^2r2^2(cos^), (4.122)
и поэтому VTOt имеет в точности такой же функциональный вид, что и Vtidai.
отличаясь только по величине в 3 раза и обладая другой осью симметрии.
Это означает, что мы можем непосредственно применить теорию приливной
деформации, рассмотренную в разделе 4.4, к описанию вращательной де-
168
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
формации. На рис. 4.10 сопоставляются результирующие эквипотенциальные
поверхности для обоих типов деформации. Отметим, что в случае
вращательной деформации (рис. 4.10 а) поверхность симметрична относительно оси г,
тогда как в случае приливной деформации осью симметрии служит ось ж,
направленная вдоль прямой спутник-планета.
z A
a=b> с CJ3
/у
а> b= с
/у
Ш£.;Я-:-:>
ш.
b'^J
Вращательная деформация
Приливная деформация
Рис. 4.10. Примеры эквипотенциальных поверхностей, соответствующих а)
вращательной деформации при вращении вокруг оси гиб) приливной деформации.
(Создающее приливы тело находится на оси х.)
Используя задаваемую формулой (4.57) модель формы поверхности
мантии (то есть поверхности спутника), мы можем вычислить результирующую
фигуру для каждого из типов деформации, учитывая, что в случае вращения
необходимо ввести дополнительный множитель —1/3. Проще всего
определить форму через задание полуосей a, b и с (идущих вдоль осей х, у и z,
соответственно) трехосного эллипсоида общего вида. Каждая из них может
быть представлена как функция только В и Т2 посредством вычисления
многочлена Лежандра для соответствующих значений в и ф.
В случае вращательной деформации необходимо вычислить только
значения ^(cosfl) при в — 7г/2 (для определения а и Ь) и при в = 0 (для
определения с). Это дает
аг = В(1+ Г2/6), Ьг = В(1+ Т2/6), сг = В{\ - Т2/3).
(4.123)
В случае приливной деформации необходимо вычислить только значения
V2 (cos^) при ф = 0 (для определения а) и при ф = 7г/2 (для определения b
и с). Это дает
ot = 5(1 + Г2), bt = В{\ - Т2/2), ct = B(l- Г2/2).
(4.124)
Если предположить, что ось вращения ортогональна плоскости орбиты
и что вращательный и приливный вклады можно суммировать линейно, то
результирующая фигура будет трехосным эллипсоидом с полуосями
а = В(1 + 7Г2/6), Ъ = В{\- Т2/3), с = В{\ - 5Г2/6).
(4.125)
4.7. Фигура и внутреннее строение спутников
169
В частности, отсюда находим, что форма синхронно вращающегося спутника
в гидростатическом равновесии, испытывающего вращательную и приливную
деформации, такова, что
Ъ-c^Ua-c) (4.126)
(Дермотт, 19796). Приложение формулы (4.13) к случаю прилива,
создаваемого планетой на спутнике, и комбинирование ее с формулой (4.102) дают
С/В = Зд/4. Отсюда, используя определение (4.79) для ВТ2, получим
а-с = 2ВТ2 = ^-HhqB. (4.127)
Величины (а — с), В и q в этом равенстве могут быть определены из
изображений спутника достаточно высокого разрешения. При известной массе
спутника это дает его среднюю плотность (р). Из определения (4.83)
коэффициента Нь следует, что мы можем наложить ограничения на значения А/В (где
А — средний радиус ядра), аир (плотности ядра и мантии, соответственно).
Это служит основой метода, позволяющего выяснить внутреннее строение
спутников, в особенности находящихся близко к планете, где приливные и
вращательные деформации велики.
Дермотт (19796), применив рассмотренную здесь и в разделах 4.5 и 4.6
теорию, вывел заключение, что измерение путем наблюдений с космических
аппаратов а) гравитационных моментов таких спутников, как Ио, Гани-
мед и Титан, и б) формы таких спутников, как Мимас и Тефия, может
позволить выявить внутреннюю дифференциацию их структуры. Дермотт
и Томас (1988) использовали приближение второго порядка в теории
равновесной фигуры с малым параметром q при исследовании формы Мима-
са. Они проанализировали изображения высокого разрешения, полученные
с космического аппарата «Вояджер», и нашли, что форма Мимаса с
хорошей точностью аппроксимируется трехосным эллипсоидом с отношением
(Ь — с)/(а — с) — 0.27 ± 0.04, тогда как предсказываемое формулой (4.126)
отношение равно 0.25. Хорошее соответствие говорит о близости данного
спутника к гидростатическому равновесию. Дермотт и Томас из полученной ими
оценки среднего радиуса R = 198.8 км и значения массы Мимаса, найденного
Козаи (1957), определили среднюю плотность (р) = 1.137 ± 0.018г/см3. Они
показали, что (а — с) — 16.9 ±0.7 км, тогда как предсказываемое для
спутника с недифференцированной структурой значение составляет 20.3 ±0.3 км.
Более низкий по сравнению с ожидаемым приливный горб свидетельствует
о концентрации плотности к центру спутника. Одна из согласующихся с
этими наблюдениями моделей внутреннего строения спутника предсказывает
наличие каменного ядра (с относительными размерами А/В = 0.44 ± 0.09)
и ледяной мантии (с плотностью а = 0.96 ± 0.08 г/см3). Другая возможность
состоит в том, что Мимас покрыт глубоким реголитом из пористого (и
потому имеющего весьма низкую плотность) льда. Интересно отметить, что
наблюдения динамического взаимодействия Януса и Эпиметея, коорбиталь-
ных спутников Сатурна (см. раздел 3.12), указывают на то, что они имеют
пористый ледяной состав сравнимой с Мимасом скважности.
170
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Ио Европа Ганимед Каллисто
Рис. 4.11. Реалистичные модели внутреннего строения галилеевых спутников,
построенные по данным с космических аппаратов. Все спутники изображены в одном
масштабе. По данным работ Андерсона и др. (1996а,б, 1997а,б)
Космический аппарат «Галилео» при облете системы Юпитера
приближался менее чем на 1000 км к поверхности каждого из четырех
галилеевых спутников. Используя данные о траектории аппарата, Андерсон
и др. (1996а,б, 1997а) оценили приведенные моменты инерции для Ио
(С = 0.378 ± (Ш)7), Европы (С = 0.347 ± 0.014), Ганимеда (С = 0.311 ± 0.003)
и Каллисто (С = 0.406 ± 0.030). Напомним, что если спутник в
гидростатическом равновесии имеет однородную плотность, то ожидаемое значение
составляет С = 0.4. Следовательно, у Ио, Европы и Ганимеда масса
концентрируется к центру. У Ганимеда измеренное значение С является наименьшим
из всех известных в Солнечной системе. Однако в случае Каллисто
предварительные данные (Андерсон и др., 19976) указывали на то, что структура этого
спутника не является дифференцированной; данные последующих сближений
космического аппарата со спутником дали основания предположить
частичное разделение на каменную и ледяную составляющие (Андерсон и др., 1998).
После дополнения этих результатов данными о средней плотности спутников
стало возможно построить модели их внутренней структуры, схематически
показанные на рис. 4.11. Приливный разогрев Ио обсуждается в разделе 4.11;
здесь отметим один из наиболее интригующих результатов интерпретации
данных «Галилео» — вероятность того, что приливный разогрев Европы
привел к появлению океана жидкой воды под коркой водяного льда.
Мы предположили, что спутник находится на почти круговой орбите.
Если же орбита заметно вытянута, то форма спутника при движении по
орбите меняется с изменением приливного потенциала. При многократных
тесных сближениях космического аппарата со спутником, если при каждом
сближении определяются значения С и J2, можно получить исключительно
точные оценки моментов инерции и информацию о такой физической
характеристике спутника, как модуль сдвига. Многократные гравитационные
маневры космического аппарата «Кассини» вблизи спутника Сатурна Титана
способны дать уникальную информацию о внутреннем строении Титана (Рап-
папорт и др., 1997).
4.8. Зона Роша
Рассмотрим синхронно вращающийся малый спутник сферической формы
с массой ras и радиусом Дд, движущийся по орбите вокруг планеты с массой
шр и радиусом Rp. Обозначим большую полуось (радиус) круговой орбиты
спутника через а, а его среднее движение через п. В разделе 3.6 мы видели,
®@т
4.8. Зона Роша
171
что неустойчивые лагранжевы точки либрации L\ и L^ лежат на прямой,
проходящей через центры планеты и спутника, на расстоянии
db=(^AX'" a (4.128)
от спутника *). Константа Якоби, относящаяся к критической кривой нулевой
скорости, проходящей через эти точки, может быть найдена из уравнений
Хилла (см. раздел 3.13) и дается выражением Си — 9(ms/3mp) ' . Область,
ограниченная этой кривой, называется полостью Роша\ она имеет важный
физический смысл, обсуждаемый далее.
Рассмотрим устойчивость положения частицы, находящейся на
пересечении экватора спутника с прямой, проходящей через центры спутника и
планеты. Требуется найти значение большой полуоси аь, при котором частица
перестает быть гравитационно связанной со спутником. Для частицы в центре
спутника сила тяготения и центробежная сила уравновешены: Qmp/a2 = п2а.
Частица же, находящаяся на экваторе, будет испытывать 1) добавленную
гравитационную или центробежную силу в результате приливного сдвига,
2) центробежную силу за счет вращения спутника и 3) силу тяготения
спутника. Если частица находится в равновесии, то из условия баланса этих
сил имеем
3т±-1±1 (4.|30)
отсюда
ms \Rs
Таким образом, в случае малого сферического спутника предел Роша дается
выражением
^spherical) = /^р\ 1/3 ^ = /ЗрЛ 1/3 R^ (4 131)
где рр и ps — средние плотности планеты и спутника, соответственно.
Сравнив выражения (4.128) и (4.131), мы видим, что у предела Роша точки L\ и L^
касаются поверхности спутника. Если плотности приблизительно равны, то
предел Роша а^р enca^ « 1.44i?p; таким образом, он пропорционален радиусу
планеты.
Однако, если спутник находится в гидростатическом равновесии (или
является звездой), то у предела Роша он заполняет свою полость Роша.
Уравнение (4.129) требует тогда некоторой модификации. Приливные и
центробежные силы в этом случае больше, а сила тяготения со стороны спут-
1) Напомним, что это равенство приближенное, справедливое при ms <C тр. При этом же
условии справедливо утверждение о приблизительном равенстве расстояний точек L\ и L<i
от спутника. — Прим. ред.
172
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
ника, наоборот, меньше, и член, соответствующий силе тяготения в
уравнении (4.129), уже не является хорошим приближением. Подробный анализ
показывает, что a\j rostatlc) = 2.46i?p (Чандрасекар, 1987).
Все известные системы колец планет находятся в зонах Роша с размерами
(spherical) (hydrostatic) / лп л\ г*
между а^ и аь (рис. 10.1). Спутники с прямым движением,
движущиеся внутри стационарной орбиты, и с массами, превышающими
некоторый нижний предел, будут, благодаря приливному трению, постепенно
приближаться к планете на временах меньше возраста Солнечной системы
(см. раздел 4.9). Если такие спутники попадают в зону Роша и разрушаются
приливными силами, это дает механизм, объясняющий происхождение и
размеры колец планет. Единственной силой притяжения в уравнении (4.129)
является гравитационная, однако Аггарвал и Обербек (1974) показали, что
спутник с пределом прочности на разрыв
T>(8/57)7rgPpPsR2s (4.132)
может находиться на орбитах с радиусами вплоть до радиуса поверхности
планеты. Таким образом, ледяной спутник с радиусом до Rs « 200 км может
обращаться на орбите у поверхности Сатурна, если предел его прочности
Т ^ 106Н/м2. Однако спутники, находящиеся близко к планете-гиганту,
подвергаются интенсивной кометнои бомбардировке, что в случае малых
спутников вне зоны Роша приводит к их полному разрушению, за которым
следует реаккреция, а в случае малых спутников внутри зоны Роша — к их
полному разрушению, рассеянию и образованию колец (Смит и др., 1981).
4.9. Приливные моменты сил
Рассмотрим прилив, вызываемый на планете ее спутником,
обращающимся со средним движением и по круговой экваториальной орбите вокруг
планеты, имеющей угловую скорость вращения ft. Если ft ^ п, планета испытывает
приливные осцилляции. До сих пор мы предполагали, что энергия системы
сохраняется. Однако в действительности приливные осцилляции всегда
порождают трение, что приводит к потере энергии и сдвигу фазы приливной
реакции планеты.
Полезно сопоставить отклик планеты с откликом возмущенного
гармонического осциллятора. Уравнение движения последнего имеет вид
d х с\.х
т—-~ = —кх — /3——Ь Focosut, (4.133)
atz at
где х — смещение от положения равновесия, т — масса, кх —
восстанавливающая сила, к (> 0) — коэффициент восстанавливающей силы. Уравнение
движения можно также записать как
d2:r 2 1 dx Fo ^ ,л лпл\
—— = -uZx — Н cosut, (4.134)
dtz r at m
4.9. Приливные моменты сил
173
где uq — собственная частота осциллятора, г (> 0) — время затухания, а
Fo/m и и — амплитуда и частота внешней возмущающей силы. Подставив
пробное решение
х = Acos(ut + 6) (4.135)
в уравнение (4.134), можно показать, что реакция системы, соответствующая
стационарному состоянию, выражается формулой
A = {FQ/m)^(wl-L02)2 + (о>/т)2]
-1-1/2
(4.136)
где А — положительная амплитуда, а сдвиг фазы S дается выражением
sin S — —(ш/т)
(ul-j)2 + {u/rf
-1/2
(4.137)
Таким образом, сдвиг фазы 5 зависит от частоты возмущающей силы и,
но не зависит от ее амплитуды Fo/m. Поскольку демпфирующая сила всегда
направлена против движения, величина 6 не положительна (—7г < 6 ^ 0)
при любых значениях и, так что реакция системы всегда запаздывает по
отношению к возмущающей силе (Байерлейн, 1983; Фейнман и др., 1963).
Мы можем связать сдвиг фазы 6 с эффективной диссипативной
функцией Q осциллятора:
0=|f. (4,38)
где АЕ — энергия, рассеиваемая за один цикл, a Eq — максимальная
энергия, запасенная в течение цикла 0. Работа, совершаемая восстанавливающей
силой на смещении Sx равна kxSx. Следовательно, максимальная энергия,
запасенная осциллятором,
Е0 = kxdx = -ти^А2 = -и$-^ \(и% - и2)2 + (и/г)2
0
т
(4.139)
Работа, совершаемая силой сопротивления на смещении 5х за время St, равна
(Зхбх, поэтому скорость диссипации энергии составляет Ё = —fix2. Взяв
производную по времени от выражения (4.135), найдем среднюю скорость
диссипации энергии: (Ё) — (1/2)(3(Аи)2. Рассеиваемая за один цикл энергия
равна АЕ = (Ё)(2тг/и). Отсюда
АЕ = 7r(F02/m)(u>/r) [(wg - и2)2 + (^/т)2]"' . (4.140)
Если Uq » и2 » {и/т)2, то есть система далека от резонанса и затухание
слабо, то
sin5 = -l/Q. (4.141)
х) Эффективной диссипативной функцией также называют величину Q l. — Прим. ред.
174
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Используя в качестве модели возмущенный гармонический осциллятор,
покажем, что эффект приливного трения всегда должен вызывать
отрицательный сдвиг фазы 6 в приливном отклике планеты. Спутник на круговой орбите
вызывает на планете полусуточный прилив с частотой 2(П — п) (см.
раздел 4.2). Если Л > п (спутник находится выше стационарной орбиты), то
приливный горб на поверхности планеты будет опережать приливообразующий
спутник на угол е, где 2е = 6 — Q~x рад. Напротив, если Q < п (спутник
расположен ниже стационарной орбиты), а функция приливной диссипации
Q не зависит от амплитуды и частоты, то приливный горб будет отставать
от приливообразующего тела на тот же самый угол е (Мак-Дональд, 1964).
Таким образом, из-за приливного трения ось приливного горба не совпадает
с прямой, соединяющей центры планеты и спутника. Из-за этого возникает
приливный момент сил и происходит обмен энергией и моментом количества
движения между планетой и спутником.
Момент сил Г, приложенный к спутнику, определяется градиентом
внешнего потенциала V^xt планеты в точке г (где находится спутник) и дается
выражением
Г-rxF, (4.142)
где
F = -msWext. (4.143)
Только составляющая силы, перпендикулярная прямой, соединяющей центры
планеты и спутника, F^ — —(т8/г)(дУе^/дф), вносит вклад в данный момент
сил, и только нецентральная часть VJiC,ext потенциала планеты вносит вклад
в данную составляющую силы. Следовательно, момент сил, приложенный
к спутнику, равен
Г = -т8^, (4.144)
дф
и, как следует из законов движения Ньютона, равный по величине и
противоположный по направлению момент силы действует на планету.
Если спутник расположен выше стационарной орбиты (Л > п), то
приливный горб опережает спутник (рис. 4.12 а) и работа момента сил приводит
к увеличению орбитальной энергии системы со скоростью Гп. В то же
время равный по величине и противоположный по направлению момент сил
совершает работу, уменьшающую вращательную энергию планеты со
скоростью ГЛ. Поскольку fi^n' эти величины не равны между собой, и полная
механическая энергия системы Е уменьшается со скоростью
Ё = -Г(П-п) <0. (4.145)
Наоборот, если спутник движется ниже стационарной орбиты (ft < n), то
приливный горб отстает от спутника (рис. 4.12 б) и знаки моментов сил
изменяются на противоположные. В этом случае орбитальная энергия
системы уменьшается, в то время как вращательная энергия планеты растет.
Однако полная механическая энергия системы по-прежнему уменьшается со
скоростью
Ё = Г(П-п) <0. (4.146)
4.9. Приливные моменты сил
175
/ П > п
П < п
! Шн i
Рис. 4.12. Эффект приливного трения должен всегда приводить к отрицательному
сдвигу фазы S в приливном отклике планеты. Изображен спутник на круговой
орбите, который вызывает на планете полусуточный прилив с частотой 2(П — п).
а) Если Q > п, то спутник находится выше стационарной орбиты (штриховая
окружность) и приливный горб на поверхности планеты опережает приливообразующий
спутник на угол е, где 2е = S = Q~{. б) Если Г2 < п, то спутник расположен ниже
стационарной орбиты и приливный горб отстает от приливообразующего тела на тот
же самый угол е
В обоих случаях энергия рассеивается, превращаясь в тепло планетного
вещества, и именно скорость диссипации энергии определяет скорость
орбитальной эволюции.
Полная энергия системы равна сумме вращательной энергии планеты
-Л12, где I — момент инерции планеты, и орбитальной энергии системы
—Gmpms/2a (см. раздел 2.7). Следовательно, скорость изменения полной
энергии равна
Е =
dt
2 2а
= юп + д^^а.
2az
(4.147)
Используя третий закон Кеплера, G(mp + ms) — п2а6у находим
2 (mp + ms)
п аа.
(4.148)
Однако, в то время как часть механической энергии превращается в тепло,
полный момент количества движения системы
т го I mPms 2
L = Iil + т га п
(шр + ms)
(4.149)
сохраняется. Таким образом, L — 0 и
1 гапга,
т =
p"*s
2 (mp + ms)
паа.
(4.150)
176
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Подставляя это выражение для Ш в уравнение (4.148), имеем
Ё = -1 ШрШ5 naa(Q - п), (4.151)
2(mp + ms) v }
и, поскольку Ё < О,
sign(d) = — sign(fi) = sign(fi — n). (4.152)
Следовательно, если ft > п, то большая полуось орбиты спутника
увеличивается, в то время как частота вращения планеты уменьшается. Так
происходит в случае системы Земля-Луна, где Луна медленно удаляется от
Земли, в то время как период вращения Земли постепенно возрастает, что
означает постепенное увеличение продолжительности суток. В обратной
ситуации, если ft < n, большая полуось орбиты спутника уменьшается, а частота
вращения планеты растет. Так происходит в случае спутника Марса Фобоса,
который медленно, по спирали, приближается к планете. Чтобы вычислить
характерный временной масштаб орбитальной эволюции, необходимо выразить
величину приливного момента сил Г через угол приливного запаздывания.
Если однородная планета деформируется приливным потенциалом
Уз(Ф) = —CgV2{cos^) (формула (4.12)), то нецентральная часть внешнего
потенциала деформированной планеты в некоторой точке Р(ф) дается
выражением (4.54) и может быть записана как
Vnc^ = ~Се2д (^\ Г2(со8ф). (4.153)
Мы показали, что в случае однородного твердого тела возвышение планетной
поверхности дается выражением
*,-£££ (4,54)
1 +/Х
(см. (4.89)). В общем случае мы обозначаем это возвышение как /i2£, и
нецентральная часть внешнего потенциала записывается как
Kcext = -k2Cg (^) V2(cosiP). (4.155)
Коэффициенты h2 и к2 были введены Лявом и известны как числа Лява. Они
используются, главным образом, в качестве удобного средства для
маскировки нашего незнания внутренней структуры тела.
С другой стороны, если внутренняя структура планеты известна, то числа
Лява можно определить. Для простого случая однородного твердого тела
имеем
h2 = ^ и b = -?£=. (4.156)
1 +// 1 +/х
4.9. Приливные моменты сил
177
Для любого другого тела, внешняя поверхность которого находится в
гидростатическом равновесии, внешний потенциал полностью определяется
потенциалом на поверхности. В точке Р(гуф) на поверхности полный потенциал
равен сумме трех потенциалов: центрального, нецентрального (задаваемого
выражением (4.155) с С = г) и приливного. Поскольку поверхность
эквипотенциальна, имеем
Qmp
k2CgV2(costp) — (gV2(cos ip) — const. (4.157)
Подставляя уравнение поверхности г = С(\ + £2^2(cos^)) в уравнение (4.157)
и исключая зависимость от Т>2(собФ)у получим
k2 = (Ce2/Q-l. (4.158)
5
Для модели планеты, описанной в разделе 4.4, имеем Сег/С — *Н (см-
выражение (4.79)), где 2/5 ^ Я ^ 1, и отсюда к2 = (5/2)# - 1.
Из выражений (4.144), (4.155) и (4.13), поскольку дТ>2{соъф)/дф =
= —-sin2^, получим
r = ^2^C5sin2£, (4.159)
где е — угол приливного запаздывания. Следовательно, из выражений (4.145),
(4.146), (4 151) и (4.159) имеем
5
а = sign(fip - п)^^ (^А па, (4.160)
QP тр \ a J
где нижний индекс р введен, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с
приливом, возникающим на планете, и параметры $lp,/c2P>Qp и Ср относятся
к планете.
Если /р = артрСр (где ар ^ -), то
3/С2Р ml /Ср\3 2
Пр = -signup -п)—^ —JL- -^ п\ (4.161)
2apQpmp(mp + ms) \ а )
Аналогично тому, как спутник вызывает прилив на планете, планета,
в свою очередь, вызывает прилив на спутнике. С помощью аналогичного
рассуждения можно показать, что в случае такого прилива
v3k2smp fCs
а = sign(fi8 - и)—--^ ( — ) па (4.162)
Qs ms \ а
5
,2 / п \ 3
3fc2s m£ [Cs
Sls = -sign^ - п) " *» -^ п*. (4.163)
2asQs ms(mp + ms) \ a '
178
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Тот факт, что уравнения (4.162) и (4.163) могут быть получены из уравнений
(4.160) и (4.161) простой заменой нижнего индекса, является следствием
фундаментальной симметрии в движении двух тел относительно их общего
центра масс. Однако следует заметить, что в случае ras <С гар (к которому
относятся, например, приливы, вызываемые Луной на Земле, и приливы,
вызываемые Землей на Солнце)
3/с2р ( ms\ fCp\ 2
"-=-*■<"'--«UtJ \-f)" (4,64)
и з
a = -sign(a -n)^f- (H<) (°l) n\ (4.165)
2asQs \msJ \ a )
Если ms ^> rap, что выполняется для приливов, вызываемых Солнцем на
Земле, то
^ = -^<^">2^(^)(т)3"2- <4166»
Все сказанное выше справедливо в предположении, что направление
вращения планеты совпадает с направлением движения спутника по орбите.
Важным исключением из этого правила является почти круговая орбита
Тритона. Она наклонена к экватору Нептуна на 156.834° и, таким образом,
является обратной относительно вращения планеты. В этом случае мы можем
найти направление орбитальной эволюции, изменив на рис. 4.12 а
направление движения спутника (Голдрайх и Сотер, 1966). Тогда мы увидим, что
прилив на планете замедляет как скорость вращения планеты, так и орбитальное
движение спутника; в итоге, независимо от положения стационарной орбиты,
спутник постепенно приближается к планете, причем скорость «схлопывания»
орбиты равна
3/с2р ras /Cp\5
а = — —— —- an. (4.167)
Qp mp \ a J
Таким образом, скорость орбитальной эволюции системы зависит от
нескольких констант. Однако, хотя a, ms, i?p, mp и даже к^
определяются довольно хорошо, функции приливной диссипации Q планет известны
с весьма низкой точностью (см. раздел 4.13). В табл. 4.1 для некоторых тел
Солнечной системы приведены оценки характерного времени замедления
вращения вследствие приливов при начальном периоде вращения, положенном
равным 10 ч.
Кроме того, спутники на вытянутых и наклонных орбитах вызывают на
планете приливы с различными частотами и амплитудами, поэтому
необходимо учитывать амплитудную и частотную зависимости величины Q.
Эксперименты по лазерной локации Луны с использованием уголковых
отражателей, установленных при выполнении космических программ
«Аполлон» и «Луноход», показали, что Луна удаляется от Земли с текущей
скоростью а « 10~9 м/с. Это согласуется с независимыми измерениями замедления
скорости вращения Земли.
4.10. Спутниковые приливы
179
Таблица 4.1. Время г приливного замедления вращения для избранных планет
и спутников. Данные в скобках значения к2 и Q оценивались, исходя из значений
среднего модуля сдвига (/i) = 5 • 10ю Н/м2 для тел из камня и (//) = 4 • 109 Н/м2
для тел из льда. Все остальные значения даны согласно работе Йодера (1995)
Тело
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Земля
Луна
Фобос
Ио
Европа
Гиперион
Миранда
Ариэль
Тритон
Харон
Плутон
Тип
камень
камень
камень
камень
камень
камень
камень
камень
камень
лед
лед
лед
лед
лед
лед
Возмущающее
тело
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Луна
Земля
Марс
Юпитер
Юпитер
Сатурн
Уран
Уран
Нептун
Плутон
Харон
к2
"(0Л)
0.25
0.299
0.14
0.299
0.030
(0.0000004)
(0.03)
(0.02)
(0.0003)
(0.0009)
(0.10)
(0.086)
(0.006)
(0.06)
Q
(ЮО)
(100)
12
86
12
27
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
(ЮО)
г (лет)
4- 109
6
5
7
1
2
3
2
4
1
8
1
4
6
10ю
1010
1012
10ю
107
ю5
103
104
ю9
103
ю4
104
ю5
1- 107
4.10. Спутниковые приливы
До сих пор мы предполагали, что спутники движутся по круговым
орбитам, лежащим в плоскости экватора планеты. Такая модель хорошо подходит
для оценивания временных масштабов замедления вращения вследствие
приливов. Результаты, приведенные в табл. 4.1, говорят о том, что для спутников,
близких к главным телам (планетам), эти времена значительно меньше
возраста Солнечной системы. Однако если орбита спутника является вытянутой,
то приливная эволюция не завершается при достижении спутником
синхронного вращения (при fts — п). Приливная диссипация внутри спутника,
вызванная приливным воздействием со стороны планеты, может приводить как к
нагреву спутника, так и к «циркуляризации» (уменьшению эксцентриситета)
его орбиты. В некоторых случаях это стало причиной глобального плавления
и наиболее впечатляющих примеров вулканической активности в Солнечной
системе.
Характерное время уменьшения эксцентриситета орбиты спутника может
быть оценено из скорости диссипации полной энергии Е, которая
по-прежнему дается выражением Е — —Qmvms/2a < 0. В данном случае планету можно
рассматривать как материальную точку, и полный момент количества
движения L системы будет суммой орбитального момента количества движения
^orbital и момента количества движения, отвечающего вращению синхронного
спутника, то есть
L = WPWs 2n(1 _ е2)1/2 + С2П> (4 168)
(тр + т8)
180
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Однако если а2 » С2, то момент количества движения и энергия, связанные
с вращением спутника, пренебрежимо малы, и мы можем записать
e2=l + 2£;lrbital(Wp + m^ (4-169)
yz (mpms)6
Поскольку момент количества движения сохраняется, имеем Lorbitai — 0,
отсюда
ё = - Д;(1 - е2) ~ -^. (4.170)
2еЕу } 2еЕ v '
Так как все приливные колебания диссипативны, Ё < 0, и поэтому приливы
на спутнике всегда уменьшают эксцентриситет и большую полуось его
орбиты, увеличивая при этом среднее движение.
Изучим теперь природу приливного взаимодействия между планетой и
спутником, рассматривая приливный потенциал, действующий на синхронный
спутник на вытянутой орбите. В системе отсчета с началом в центре планеты
спутник движется по эллиптической орбите с одним из фокусов в центре
планеты (рис.4.13а). Мы будем предполагать, что ось вращения спутника
ортогональна плоскости орбиты. Используя результаты, полученные в
разделе 2.5, находим, что радиус орбиты спутника в момент времени t после
прохождения перицентра составляет
г — а{\ — ecosE) « а(1 — еcosnt). (4.171)
Обозначим через <р угол между радиус-вектором и линией, соединяющей
спутник со свободным фокусом (рис.4.13а); по теореме синусов
sin (p sin /
(4.172)
2ае 2а — г'
где / — истинная аномалия. Поэтому
су . .
sinip = -—sin/ « 2esinnt + О (е2) . (4.173)
1 + (1 — r J a) \ J
Мы показали в разделе 2.6, что если пренебречь членами порядка О (е2)
и выше, то спутник, находящийся в синхронном вращении, всегда будет
обращен одной стороной к свободному фокусу своей орбиты (рис.4.13а).
Если мы рассмотрим ту же самую систему, но будем исследовать траекторию
планеты во вращающейся вместе со спутником системе координат с началом
в центре спутника, то конфигурация будет иметь вид, изображенный на
рис. 4.13 б. С этой точки зрения планета оказывается движущейся по эллипсу
с большой полуосью 2ае и малой полуосью ае в экваториальной плоскости
спутника. В этом состоит приближение ведущего центра (см. раздел 2.6).
Используя сферическую полярную систему координат с началом в центре
спутника (рис. 4.14), вычислим потенциал в некоторой точке Р на
поверхности спутника со сферическими полярными координатами (Cs,0,</>), где в —
4.10. Спутниковые приливы
181
Рис. 4.13. а) Траектория спутника на эллиптической орбите в системе координат
с началом в центре планеты. Спутник всегда обращен одной стороной (отмеченной
стрелкой) к свободному фокусу своей орбиты, б) Траектория планеты во
вращающейся вместе со спутником системе координат с началом в центре спутника. При
малых значениях е планета движется вокруг своего ведущего центра G по эллипсу
с большой и малой полуосями, относящимися как 2: 1
полярный угол, отсчитываемый от оси вращения спутника, а ф — долгота,
измеряемая от оси ОХ, соединяющей центр спутника с ведущим центром G
орбиты планеты. Обозначим через а угол между радиус-вектором Р и линией
спутник-планета, а через А — расстояние между Р и планетой. Угол ф между
проекцией радиус-вектора Р на плоскость XY и линией спутник-планета
равен ф — <р — ф — 2esinn£, где ф — долгота точки Р (рис. 4.14). Углы а, в
и ф связаны соотношением
cos а — sin в cos ф ^ sin#cos(</> — 2esinn£). (4.174)
Отсюда
cos a ^ sin#(cos</> + 2esin</>sinn£). (4.175)
Теперь мы можем получить выражение для потенциала в точке Р и
извлечь из него те члены, которые вызывают приливные силы на спутнике.
Рис. 4.14. Геометрическая схема, используемая для вычисления приливов на
синхронном спутнике, движущемся по вытянутой орбите. Система координат имеет
начало в центре спутника и вращается вместе с ним, а траектория планеты
представляет собой эллипс в экваториальной (и орбитальной) плоскости спутника
182
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Потенциал дается выражением
V = -
Gmp
(4.176)
Из рис. 4.14, используя теорему косинусов и выражение (4.171), имеем
Д2 = d + г2 - 2rCs cos а = С2 + а2( 1 - 2е cos nt) - 2aCs( 1 - е cos nt) cos a,
или
(4.177)
A = a
1 — 2e cos ni + [ — ) — 2 f —- ) (1 — e cos ni) cos a
n 1/2
Если мы запишем А как
где
является малой величиной, то
х — 2е cos nt — ( —- ) +2
А = а(1-ж)1/2,
(1-е cos nt) cos a
1 1 Л 1 3
A aV1 + 2*+8* +T6* +->-
(4.178)
(4.179)
(4.180)
(4.181)
Вычислив выражения для ж2 и ж3 в пренебрежении членами,
пропорциональными е2 и (Cs/a)3, и подставив полученные выражения в формулу (4.181),
получим
А~ а
1 + е cos ni + ( —- ] sin 0[cos ф + 2е cos(</> — nt)} +
+ ( — J -(3 sin2 (9 cos2 0- l) + 3e ( — ) sin2 (9 sin 20sin ni +
Cs\z 1
+ 3e ( — I - (3 sin в cos ф — 1) cos ni
. (4.182)
Первые два члена в формуле (4.182) не зависят от положения точки Р
и поэтому не дают никакого вклада в силу. Используя аргументацию,
аналогичную приведенной в разделе 4.2, мы можем показать, что член с Cs/a
обеспечивает среднюю силу, необходимую для движения по эллипсу, в то
время как члены с (Cs/a)2 обеспечивают приливные силы. Если записать
cos Р — sin в cos ф,
(4.183)
4.10. Спутниковые приливы
183
где /3 — угол между радиус-вектором Р и осью X (прямой, соединяющей
центр спутника с ведущим центром), то потенциал может быть выражен
в виде
Vs = -д7^- ( — ) \Т>2 (cos (3) + 3e^2(cos/3)cosnt + 3esin2(9 sin 20 sin nil.
a \ a J
(4.184)
Первый член в выражении (4.184) не зависит от времени и эквивалентен
приливному потенциалу в случае круговой орбиты. Этот член обеспечивает
неподвижный приливный горб с осью симметрии, направленной на ведущий
центр орбиты планеты. Остальные члены в выражении (4.184) зависят от
времени; они обязаны происхождением ненулевому эксцентриситету орбиты.
Второй член вызывает изменение амплитуды первого члена со временем и
отвечает радиальному приливу. Третий член отвечает либрационному
приливу. Радиальный прилив на спутнике, очевидно, возникает вследствие
изменения расстояния от спутника до планеты. Не менее важный либрационный
прилив возникает вследствие того факта, что, в то время как спутник при
вращении всегда обращен одной стороной к свободному фокусу своей орбиты,
ось приливного горба на спутнике всегда направлена на планету, так что
в итоге приливный горб осциллирует (либрирует) по поверхности спутника.
Оба эти прилива способствуют диссипации энергии спутника со скоростями,
определяемыми амплитудами приливов.
Поворачивая опорную ось на 45°, введем новую долготу Ф = ф — 7г/4;
введем также новый угол /3' (угол между радиус-вектором точки Р и новой
опорной осью). Тогда мы можем записать потенциал в виде
ran /C<
2
Vs = -Q—- ( — ) [Р2(cos /3) + 3e^2(cos /3) cos nt +
+ 4e7>2(cos /?') sin nt - e (3sin2 в - 2) sin nt\ . (4.185)
Из (4.185) видно, что в действительности имеются три прилива: радиальный
прилив с амплитудой Зе, либрационный прилив с амплитудой 4е и осью
симметрии, смещенной на 45° относительно оси симметрии радиального
прилива, и третий прилив, симметричный относительно оси вращения спутника
(Лонге-Хиггинс, 1950). Последние два прилива совпадают по фазе, и поэтому
их следует рассматривать как один либрационный прилив. Однако заметим,
что между временными изменениями либрационного и радиального приливов
есть сдвиг фазы, равный 7г/2. Временные изменения этих приливных
деформаций в экваториальной плоскости спутника показаны на рис. 4.15.
Как скорость нагрева спутника, так и характерное время уменьшения его
орбитального эксцентриситета полностью определяются величиной Е —
скоростью уменьшения орбитальной энергии вследствие приливной диссипации
внутри спутника. Однако дальнейшее продвижение в анализе данной
задачи возможно лишь при некоторых предположениях о механизме приливной
диссипации. Если мы предположим, что функция приливной диссипации Qs
спутника не зависит от амплитуды и частоты (что может иметь место, если,
184
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Радиальный прилив
Либрационный прилив
Рис. 4.15. Ориентация эквипотенциальных поверхностей в экваториальной плоскости
(в = 7г/2) в экстремальных случаях а) радиального прилива и б) либрационного
прилива, возникающих на спутнике благодаря эксцентриситету его орбиты. В каждом
случае стрелки указывают направление на планету
например, источник диссипации — слабое трение внутри твердотельного
спутника), то приливные колебания спутника будут линейными и эффекты
радиальных и либрационных приливов могут быть рассчитаны независимо и
затем просто сложены друг с другом.
Таким образом, наш первый подход к оцениванию величины Ёу
справедливый только в случае линейной задачи, заключается в определении энергии,
запасенной радиальными и либрационными приливами, и затем в вычислении
Ё из определения Qs. Этот подход также хорош, когда природа механизма
диссипации неизвестна и вся неопределенность относительно приливного
механизма диссипации скрыта в оценке Qs. Из выражения (4.138) имеем
Е
пАЕ пЕ0
2тг
Qs
(4.186)
где в данном случае приливная частота равна среднему движению п. Для
твердотельных спутников в Солнечной системе, состоящих либо из льда
(с \х = 4 • 109 Н/м2 и плотностью р « 1 г/см3), либо из камня (с /х = 5 х
х 1010 Н/м2 и плотностью р « 3 г/см3), отношение силы упругости к силе
тяготения Jls « (104 km/Cs)2 » 1. Таким образом, энергия, запасенная
приливной деформацией, обусловлена, главным образом, упругостью, а
гравитационной составляющей можно пренебречь. Если мы рассмотрим деформацию,
связанную только с радиальным приливом, и запишем
R((3) = Cs[l+eV2(cos(3)l
(4.187)
где eV2{cos(3) является мерой деформации, то сила в расчете на единицу
площади поверхности спутника, необходимая для поддержания этой
деформации, будет равна (19/5)/x5,P2(cos/?) (см. выражение (4.75)). Работа (в расчете
на единицу площади), совершаемая против сил упругости для увеличения
деформации от нуля до некоторого максимального значения £тах, дается
выражением
£тах
W =
1Q 1Q
-»eCs[V2(cosp)}2de = ^LxCsPMcos/?)]2. (4.188)
4.10. Спутниковые приливы
185
Отсюда, максимальная запасенная энергия, связанная с радиальным
приливом, равна
1Q Г
Sradial = ^^LxCs j [P2(cOS /?)]2(L4, (4.189)
где интеграл берется по сфере. Поскольку радиальный прилив имеет ось
симметрии, элемент площади dA может быть записан как
dA = 27rCs2sin/?d/3. (4.190)
Отсюда
7Г
19 Г 57
^radial = у ^LxTrC's J PMcOS (3)f sin (3d(3 = ^^LxVe, (4.191)
0
где Vs = (4/3)7rQ? — объем спутника. Хотя спутник и является
твердотельным, мы предполагаем, что, благодаря либо процессу формирования, либо
релаксации из-за твердотельной ползучести, деформация, связанная со
средним радиальным приливом, полностью отсутствует, а имеющаяся деформация
вызывается колебаниями фигуры спутника относительно его средней фигуры.
Тогда из выражений (4.13), (4.77), (4.89) и (4.185) находим
£тах = 3е2^. (4.192)
Подставив это выражение в (4.191), имеем
^-^(^^. (4..93,
4/xs \ а ) а
Энергия, связанная с либрационным приливом, ЕцъТ, вычисляется таким
же способом. Из выражений (4.184) и (4.189) следует, что
И) 2
|лМетах^8
[sin20sin20]2cL4, (4.194)
^libr — Tn^maxCs
где в данном случае элемент площади dA = C2sin0d0d</>. Отсюда
19 Г
£iibr = wjA^maxCs [sin2 0 sin 20]2 sin0d0d0 =
19,,c-2 О^Г»3
TQ/x£maxZ7ros
тг/2
sin5^=-^LxVs, (4.195)
0
и, как следует из выражения (4.192),
^.ЩЬ)'**. ,4,96)
ц8 \ a J a
186
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Таблица 4.2. Скорости приливной диссипации и характерное время уменьшения
эксцентриситета для некоторых спутников. Значения Д8 и Qs, данные в скобках,
вычислены с использованием значений из табл. 4.1. Значения для Луны взяты из
статьи Йодера (1995)
Спутник
Луна
Ио
Европа
Мимас
Энцелад
Титан
Миранда
Ариэль
Тритон
Тип
камень
камень
камень
лед
лед
камень/лед
лед
лед
лед
Ms
50
(40)
(80)
(2700)
(2000)
(9)
(1700)
(1500)
(20)
<2s
27
(100)
(100)
(100)
(100)
(100)
(100)
(100)
(100)
е
0.0549
0.0043
0.0101
0.0202
0.0045
0.0289
0.0027
0.0034
0.0000
Я (Вт)
3- 108
3
1
3
1
4
3
2
1012
10й
10«
107
1010
106
10''
0
те (лет)
2 1010
6
3
3
7
2
3
6
106
108
108
108
109
108
10''
9- 107
Если механизм приливной диссипации является линейным, то полная
максимальная энергия Е$у запасенная приливной деформацией, равна сумме
радиального и либрационного компонентов. Поэтому
d£ 63e2n /Cs\5^m
dt 4^SQS
(4.197)
Подставляя (4.197) в уравнение (4.170), находим, что характерное время
уменьшения эксцентриситета равно
4 ms
63 гап
/^sVs
П
(4.198)
(Йодер и Пил, 1981). Оценки скорости диссипации энергии и характерного
времени уменьшения эксцентриситета для различных спутников в Солнечной
системе приведены в табл. 4.2.
Помимо изменения большой полуоси орбиты спутника прилив на планете,
вызываемый спутником, также увеличивает эксцентриситет его орбиты.
Однако Джеффрис (1961) показал, что этот прирост пренебрежимо мал.
4.11. Приливный разогрев Ио
Хотя все значения функции приливной диссипации Qs, приведенные
в табл. 4.2, за исключением лунного, являются всего лишь оценками, вполне
реально, что характерные времена уменьшения эксцентриситета некоторых
спутников много меньше возраста Солнечной системы. Тем не менее,
наблюдаемые эксцентриситеты их орбит далеки от нулевых. Это несоответствие
мотивировало ряд недавних исследований динамической эволюции спутниковых
систем Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Галилеев спутник Юпитера Ио
представляет особый интерес. Пил и др. (1979) были первыми, кто сделал все
необходимые выводы из воспроизведенных выше вычислений. Они указали,
4.11. Приливный разогрев Ио
187
что, если Qs « 100, то интенсивность (скорость) приливного нагрева Ио
составит « 3 • 1012 Вт, что, вероятно, в три раза больше, чем интенсивность
радиогенного нагрева Луны. Более того, нагрев не является однородным
внутри спутника: в центре он втрое выше среднего значения. Поскольку
сейсмические исследования Луны показали, что глубоко внутри нее температура
находится вблизи точки плавления (Накамура и др., 1976), Пил и др. (1979)
предположили, что приливный нагрев мог расплавить внутренность Ио, что
привело бы к дальнейшему увеличению интенсивности нагрева и
неудержимому расплавлению большей части внутренности спутника.
Чтобы лучше понять этот процесс, рассмотрим выражение (4.191).
Запасенная упругая энергия увеличивается вместе с модулем сдвига /л и
площадью деформации. Однако деформация увеличивается с уменьшением /л.
Следовательно, пока /Is > 1 и запасенная энергия обусловлена в основном
упругостью, эта энергия должна также увеличиваться с уменьшением //.
Таким образом, чем слабее порода, составляющая спутник, тем больше
интенсивность нагрева. Пил и др. (1979) показали, что внутреннее плавление
эффективно ослабляет спутник. Даже если /х и Qs постоянны, внутреннее
плавление увеличивает деформацию остатка твердой мантии. Это приводит
к увеличению полной интенсивности нагрева, вызывая таким образом
дальнейшее плавление. Равновесие достигается, когда теплопроводность твердой
мантии становится достаточной для удаления тепла, выделяемого в ней и
ниже нее. Пил и др. (1979) оценили, что твердая мантия должна иметь среднюю
толщину « 18 км, и на этом
основании предсказали, что Ио
«возможно, в настоящее время
является самым сильно нагреваемым
телом земного типа в Солнечной
системе», и что «на его поверхности
может быть широко распространена
рекуррентная вулканическая
активность». Прогнозы из их статьи,
опубликованной в журнале Science 2
марта 1979 г., самым впечатляющим
образом были подтверждены несколько
недель спустя, когда Линда Мораби-
то, сотрудник группы оптической
навигации миссии «Вояджер-1», изучая
изображение Ио и двух звезд фона,
полученное с «Вояджера-1» для
навигационных целей 8 марта 1979 г.,
обнаружила два бросающихся в глаза
вулканических «султана» на поверхности спутника (Морабито и др., 1979).
В течение первого сближения с «Вояджера-1» наблюдалось в общей
сложности девять вулканических извержений, причем в ходе некоторых из них
вещество выбрасывалось со скоростью 1 км/с на высоту 250 км (Смит и др.,
1979). На рис. 4.16 показано полученное «Вояджером-1» изображение извер-
Рис. 4.16. Увеличенная деталь снимка
поверхности Ио, сделанного с
«Вояджера- 1». На лимбе виден «султан»
извергающегося вулкана Прометей.
Султан достигает высоты « 50 км, а его
радиальный разброс « 150 км.
(Изображение предоставлено NASA/JPL.)
188
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
гающегося вулкана Прометей на поверхности Ио. Оценки скорости изменения
поверхности вследствие вулканизма находятся в пределах от 1 до 10 см/год
(Шпон, 1997). Если представить в обратной временной перспективе, что
такая скорость поддерживалась до сих пор на протяжении всего времени
существования Солнечной системы, то кратерами вулканов Ио за это время
было переработано вещество, по объему превышающее современный объем
спутника в 102-103 раз!
Наземные наблюдения Ио в инфракрасном диапазоне показали, что
истинная светимость спутника составляет 2.5 Вт/м2, что дает полную мощность
1014 Вт (Ведер и др., 1994). Умножая ее на возраст Солнечной системы
(что, конечно же, требует некоторого обоснования), находим полное значение
потери энергии 1.4 • 1031 Дж, что сопоставимо по величине с нынешней
орбитальной энергией спутника, равной Qmpms/2a = 1.34 • 1031 Дж.
4.12. Приливы на Титане
В разделе 4.11 мы вычислили Ёу используя оценку Qs. Однако если
механизм приливной диссипации известен, то становится возможным оценить
Е элементарным путем. Например, это можно сделать в случае диссипации
вследствие приливных океанических течений, что может иметь приложения
к Титану. Метан был обнаружен в атмосфере этого спутника Сатурна еще
Койпером (1944) из анализа спектров. Наблюдения с «Вояджера-1»
показали, что температура поверхности Титана « 95 К, что находится между
точкой плавления (90.6 К) и точкой кипения (118 К) метана при полном
поверхностном давлении 1.6 бар (Ханел и др., 1981). Таким образом, на
поверхности спутника метан и высшие углеводороды могут существовать в
жидком состоянии, и это вызвало ряд вопросов о действии приливов в
предположительно существующих океанах (см. обзор Лунина, 1993). Проблемой
здесь является то обстоятельство, что орбита Титана имеет большой
эксцентриситет, поскольку это приводит к оценке Qs > 200 (табл. 4.2). У другого
единственного известного объекта, у которого есть близкий к глобальному
океан (Земли), Qs « 12 (табл. 4.1). Однако скорость диссипации зависит от
толщи глобального океана (Саган и Дермотт, 1982; Дермотт и Саган, 1995).
Скорость приливной диссипации может быть определена путем
вычисления средней скорости приливного течения во всех точках дна океана.
Течение возникает из-за периодических изменений высоты прилива. Если мы
рассматриваем только радиальный прилив, то изменение со временем высоты
прилива в некоторой точке Р на поверхности спутника (рис. 4.17) дается
выражением
С = SehV2 (cos 0) cos nt, (4.199)
где h — средняя амплитуда океанического прилива, вычисляемая по формуле
h = (ms/m )(С/а)ЗС ^
[\-{2,а/ЪР)\ + [\-а/Р]/ц5
Здесь мы предполагаем, что океан в основном состоит из метана с
плотностью а = 0.65 г/см3 (см. формулу (4.86)). Поскольку нас интересуют только
4.12. Приливы на Титане
189
Рис. 4.17. Приливное течение, вызванное радиальным приливом. Стрелки указывают
направление приливного течения, вызываемого одним только радиальным приливом
при движении спутника от апоцентра к перицентру; при этом движении амплитуда
приливной деформации увеличивается. Приливное течение симметрично
относительно прямой, соединяющей центр спутника и ведущий центр орбиты планеты. Точка
Р лежит на поверхности конуса с образующим углом /3. Потоки сквозь плоскость,
проходящую через полюса и перпендикулярную линии центров, как и сквозь
экваториальную плоскость спутника, всегда равны нулю
вызванные изменением эксцентриситета колебания фигуры спутника
относительно его средней фигуры, эта формула для h применима даже в том случае,
когда твердотельный спутник релаксировал к гидростатическому равновесию.
Рассмотрим изменение высоты прилива за время движения спутника от
апоцентра к перицентру (рис. 4.17). Увеличение высоты прилива за время dt
в точке Р равно
dC = -3e/iP2(cos (3)n sin ntdt. (4.201)
Так как приращение площади равно
dA = 27rCs2sin/3d/3, (4.202)
увеличение объема океана, охватывающего те части поверхности, которые
находятся внутри конуса с образующим углом /3, составит
AV — —3ehnsmntdt27rCs V2(cos /3) sin /3d/? = 3e/i7rCgnsinn£cos/3sin (3dt.
(4.203)
Если приливное течение возникает в океане глубиной D, то
AV = 2тгС8 sin 0Dvdt, (4.204)
где v — скорость приливного течения в точке Р. Следовательно, из сравнения
выражений (4.203) и (4.204) имеем
v = -nCs ( -^- ) sin 2/3 sin nt. (4.205)
190
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
Скорость диссипации энергии в расчете на единицу площади вследствие
турбулентности в пограничном слое равна
Е = fav\
(4.206)
где безразмерная константа / « 0.003 (Сире, 1995) представляет собой
коэффициент трения в пограничном слое (Голдрайх и Сотер, 1966). Чтобы найти
среднее значение Ё, надо выражение (4.205) для v усреднить по времени
и пространству (взяв вес в соответствии с площадью). Поскольку
(|sin3nt|)
Зтг
(4.207)
тг/2
(sin3 2(3) = - f sin3 2(3 sin /3d/? =
32
35^'
(4.208)
имеем
(V3)
105тг2
nCs
3eh
~D~
(4.209)
и скорость диссипации, вызванной исключительно радиальным приливом,
равна
Radial = 4тгС82/а(г;3}. (4.210)
Нам нужно определить полную интенсивность диссипации энергии; она
может быть записана как
^total — Я^гасНаЬ
(4.211)
где х — неизвестный постоянный множитель. Если бы механизм приливной
диссипации был линейным, мы могли бы записать
^total — ^radial + ^libr,
(4.212)
и тогда из выражений (4.191) и (4.195) следует, что х = 7/3. Однако если
механизм приливной диссипации обусловлен турбулентностью в пограничном
слое и пропорционален г>3, то он нелинеен и уравнение (4.212) неприменимо.
Используя численное гидродинамическое моделирование, Сире (1995)
определил, что х « 6, а Дермотт и Саган (1995), используя эту оценку, показали,
что современное высокое значение эксцентриситета орбиты Титана (е = 0.029)
может быть объяснено только наличием глобального углеводородного океана
глубиной более 0.6 км или, в том случае, если океан занимает не всю
поверхность, наличием несвязанных друг с другом морей или кратерных озер
из жидких углеводородов.
4.13. Приливная эволюция
191
4.13. Приливная эволюция
Рассмотрим орбитальную эволюцию спутника под воздействием прилива,
вызываемого им на планете. Обозначим через ai и ао начальное и текущее
значения большой полуоси орбиты, соответственно, а через At —
соответствующий интервал времени; интегрирование уравнения (4.160) дает
^ 13/2
Тза°
1 - К/ао)13/21 = ^ (-^-)l/2C5pmsAt. (4.213)
Здесь мы предположили, что механизм приливной диссипации линеен и,
таким образом, функция приливной диссипации Qp не зависит от амплитуды
и частоты. Из этого следует, что если система содержит несколько спутников,
то орбитальную эволюцию любого из них можно рассматривать без учета
приливов, вызванных остальными спутниками на планете. Если механизм
приливной диссипации линеен, то спутник имеет почти постоянную фазу по
отношению к его собственному приливу (малые периодические изменения
фазы могут иметь место, если орбита вытянута или наклонена к экватору),
и это приводит к систематическому обмену энергией и моментом количества
движения между вращением планеты и орбитальным движением приливо-
образующего спутника. Однако фазы такого спутника относительно
приливов, вызываемых на планете другими спутниками, периодически меняют
знак. Следовательно, эффекты этих косвенных приливных взаимодействий на
сравнительно коротких шкалах времени усредняются и обращаются в нуль.
Последнее утверждение требует некоторой проверки, если выполняется
резонансное соотношение между средними движениями пары спутников, что,
конечно, наблюдается довольно часто. Однако это слабые эффекты, и здесь
мы ими пренебрегаем.
Если текущая большая полуось орбиты существенно отличается от
начального значения, то есть (a^/ao)13//2 «С 1, то вторым членом в левой части
уравнения (4.213) можно пренебречь и мы можем записать
13/2 _ 3/с2р / J? ч
13^° " Qp \m
^ "ТгЧ^ C>sAt, (4.214)
то есть
lnao = — In ras + const. (4.215)
1 о
Таким образом, если приливная эволюция спутниковой системы завершена
и Qp не зависит от амплитуды и частоты, то следует ожидать наличия
линейной зависимости между lnao и lnms с наклоном 2/13 (Аллан, 1969;
Дермотт, 1972). Соответствующие графики для внутренних спутниковых
систем Сатурна и Урана показаны на рис. 4.18 . Полагая ai — async, где async —
радиус стационарной орбиты, мы построили также кривые, определяемые
полным уравнением (4.213). Так как значения Qp неизвестны, мы выбрали
кривые так, чтобы они проходили через точки, соответствующие Мимасу и
Ариэлю, так как каждый из этих спутников имеет максимальное значение
192
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
10
о 5
а
О
Диона»
Тефия^
Энцелад*
Мимас>
Синхронная орбита
10
1016 1018 1020 1022
Масса спутника, кг
Оберон»
Титания*
Умбриэль-
Ариэль,
Миранда
Пак,
=Л^- Синхронная орбита
ю16 ю18 ю20 ю22
Масса спутника, кг
Рис. 4.18. Распределение масс во внутренних областях спутниковых систем а)
Сатурна и б) Урана. Если приливная эволюция была существенной, то сплошная кривая
налагает ограничения на распределение спутников. Массы малых спутников были
оценены исходя из их размеров в предположении, что плотности спутников равны
1.1 г/см3 для системы Сатурна и 1.6 г/см3 для системы Урана. Наклон линейных
участков сплошных кривых равен 2/13
ras/a13/2 в своей системе. Если орбиты Мимаса и Ариэля отвечают
завершившейся приливной эволюции, то спутники выше стационарной орбиты могут
находиться над или вблизи данной кривой, но не ниже ее. Если орбита
спутника находится ниже стационарной орбиты, как в случае девяти малых
спутников Урана, открытых с «Вояджера-2», то кривая дает значение ai для
спутника, который упал бы на планету в течение времени At. Если функция
приливной диссипации изменяется со временем, то сказанное выше остается
в силе, но Qp в уравнении (4.214) нужно заменить на среднее значение, (Qp),
определяемое соотношением
At = (Qp)
dt
Qp(t)'
(4.216)
Распределение спутников Сатурна и Урана, показанное на рис. 4.18,
свидетельствует в пользу гипотезы, что орбиты самых близких спутников этих
планет уже завершили свою приливную эволюцию. Единственный спутник,
являющийся исключением, — спутник Урана Пак. Однако этот спутник очень
близок к стационарной орбите, и если Qp зависит от приливной частоты
2(f) — п), то можно ожидать, что эти эффекты более ощутимы для спутников
с ft « п. Некоторые другие особенности спутниковых систем также
подтверждают приливную гипотезу. К ним относятся: существование устойчивых
орбитальных резонансов, аномально высокие эксцентриситеты и наклоны орбит,
а также наличие спутников, которые явно испытали вулканизм и плавление
поверхности после их формирования.
Очевидно, что приливные силы способны изменять отношение средних
движений в паре спутников. Обозначим отношение средних движений в паре
4.13. Приливная эволюция
193
через N — nf/ny тогда
Nun
Для завершивших приливную эволюцию спутников с (а^/ао)13/2 <С 1 имеем
£«*«--JL, (4.218)
n' n 13 At
и отсюда .Л/ « 0. Это действительно может иметь место в настоящее время
в случаях Миранды и Ариэля (рис. 4.186). Однако возможно, что на ранних
стадиях орбитальной эволюции N существенно изменялось и пары спутников
могли оказаться в резонансах, при которых отношения средних движений
равны отношениям двух малых целых чисел, то есть
- « -£-, (4.219)
п р + q
где целое число q — порядок резонанса. Динамика орбитальных резонансов
обсуждается в главе 8; в разделе 8.15 мы подробно рассмотрим убедительные
свидетельства прохождений через резонансы в спутниковых системах.
Хотя сейчас есть все основания полагать, что орбитальная эволюция
спутников, вызванная приливной диссипацией внутри больших планет,
действительно имела место, вычисление Qp по-прежнему остается проблемой.
Мы можем оценить Qsatum и Quranus, рассматривая текущие значения
элементов орбит соответственно Мимаса и Ариэля. Из уравнения (4.214) имеем
п ъ 39*- ( б У'* Др д. 39 /Др\5т82тгД*
Q^Yh{^-J ^1372-sAf = Yk2 {-j — — , (4.220)
где Т — период обращения спутника.
Для Мимаса a/Rp = 3.075, ms/mp = 6.6 • 10~8, Т = 0.942 сут, к2 = 0.35,
а временной интервал примем равным возрасту Солнечной системы, то есть
At = 4.5 • 109 лет. Тогда
Qsaturn^ 1.8 -104. (4.221)
Для Ариэля а/Яр = 7.30, ms/mp = 1.7 • 10~5, Т = 2.520 сут, к2 = 0.32,
и снова временной интервал принят равным At — 4.5 • 109 лет. Это дает
Quranus>2.0104. (4.222)
В работе Титтемора и Уиздома (1990), посвященной вероятному
прохождению спутников Урана через некоторые орбитальные резонансы, предлагаются
оценки верхнего и нижнего пределов для значения Q Урана:
11 000 < Quranus < 39 000. (4.223)
В случае Юпитера ситуация усложнена существованием соотношения
Лапласа между тремя галилеевыми спутниками: Ио, Европой и Ганимедом
194
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
(см. разделы 1.6.2 и 8.17). Тем не менее, динамика этой системы дает важные
сведения относительно приливной диссипации как внутри Юпитера, так и Ио.
Эта система подробно рассматривается в разделе 8.17.
Проблема оценивания значений Qp для тел Солнечной системы в общей
постановке была впервые сформулирована Голдрайхом и Сотером (1966).
В случае Земли приливная диссипация происходит благодаря трению
между вызванными приливами течениями и океаническим дном и имеет место
главным образом в мелких морях. Измерения положения Луны с помощью
лазерной локации ("lunar laser ranging", сокращенно LLR) показывают, что
движение Луны замедляется, при этом замедление движения по средней
долготе А равно
^4 = п = -25.3 ± 1.2 "/век2, (4.224)
dtz
что эквивалентно формуле а = — (2а/3п)п = 3.74 см/год. Подставив значение
а в уравнение (4.160), получим
QEarth « 12. (4.225)
Эта оценка подтверждается анализом времен происходивших в древности
затмений и вычислениями интенсивности диссипации энергии в океанах (Берне,
1986). Однако столь низкое значение Qp ставит следующую проблему: при
его использовании для оценки времени орбитальной эволюции (с помощью
соотношения (4.214)) имеем At « 1.6 • 109 лет, что намного меньше возраста
системы Земля-Луна. Эта проблема аналогична проблеме с орбитальной
эволюцией Ио. Еще раз подчеркнем, что при использовании LLR-измерений а
для оценки возраста Луны получается довольно удовлетворительный
результат, хотя и заниженный примерно в 3 раза. Очевидно, это дает основание для
предположения, что интенсивность диссипации изменяется на геологической
шкале времени. Последнее вполне вероятно, поскольку конфигурация океанов
на поверхности планеты значительно изменяется за время ~ 108 лет
благодаря дрейфу континентов. Уэбб (1982) показал, что современные приливные
колебания земных океанов близки к резонансным, что объясняет высокую
интенсивность диссипации в настоящее время. В прошлом, когда период
вращения Земли был короче, океаны были дальше от резонанса и интенсивность
диссипации была соответственно ниже.
В случае больших планет механизм диссипации неизвестен, хотя мы
и можем делать оценки Qp, предполагая, что орбиты некоторых внутренних
спутников завершили свою приливную эволюцию, или, в случае Юпитера,
измеряя интенсивность выделения тепла спутником Юпитера Ио.
Турбулентная вязкость в жидких внешних слоях планет не обеспечивает нужную
интенсивность диссипации, при этом расхождение составляет несколько
порядков величины (Голдрайх и Николсон, 1977а). Дермотт (1979а) показал,
что твердотельное трение в каменном ядре могло бы обеспечить подходящий
источник диссипации. Поле тяготения океанического прилива увеличивает
прилив в ядре примерно в два раза, то есть F в уравнении (4.80) в этом
случае примерно равно 2, и, поскольку упругая энергия, запасенная в твердом
ядре, увеличивается с ростом F как F2, в ядре накапливается в « 4 раза
4.13. Приливная эволюция
195
больше энергии по сравнению с тем, что было бы в отсутствие покрывающего
океана. Если для ядра QCore ~ 40, что может соответствовать близкой к точке
плавления каменной породе, то в случаях Юпитера и Урана ядро, по всей
вероятности, имело бы объем вдвое больше, чем у Земли, а в случае Сатурна
объем ядра был бы примерно в восемь раз больше, чем у Земли. Полные
объемы Юпитера, Сатурна и Урана составляют 1316, 763 и 63 объема Земли,
соответственно. Существуют ли небольшие каменные ядра в твердом
состоянии в центрах этих планет-гигантов, пока неизвестно. Стивенсон (1983)
высказал гипотезу, что механизм приливной диссипации внутри Юпитера
может определяться эффектом гистерезиса при фазовых переходах в водо-
родно-гелиевой среде.
Наши заключительные замечания в этой главе касаются размеров
спутниковых систем и приливной эволюции малых тел Солнечной системы. В
спутниковой задаче трех тел расстояние от центра второго тела, в пределах
которого можно ожидать наличия спутников на устойчивых орбитах, определяется
положением внутренних точек Лагранжа, L\ и 1,2. Мы можем записать
аь=(У^У 3asec (4.226)
(см. формулу (3.75)). Если вторым телом является планета или астероид, то
aL=(^f)' a&ecCsec' (4227)
где pSec и Csec — его плотность и радиус, а М$ — масса Солнца. Таким
образом, значение аь прямо пропорционально расстоянию от второго тела до
Солнца и его размерам. Несложно подсчитать, что, например, для астероида
с плотностью psec = 3 г/см3
aL « 200asecCSec, (4.228)
где asec измеряется в а.е. Таким образом, аь/С8ес » 1, и ограничения снизу
на размеры астероида, который мог бы иметь спутник на устойчивой орбите,
не существует. Действительно, как мы знаем теперь, у астероида 243 Ида,
средний радиус которого равен 15 км, есть спутник Дактиль со средним
радиусом 0.7 км (рис. 2.6).
Если применить соотношение (4.226) к спутникам планет, то можно
записать {,3
-=Ш кс- (4229)
Таким образом, значение аь прямо пропорционально радиусу спутника и
расстоянию от спутника до планеты. Для спутников, расположенных чуть
дальше предела Роша (см. раздел 4.8), отношение аь/С8 близко к единице.
Для более удаленных спутников, таких как Ио или Титан, отношение a^/Cs
увеличивается до 5.7 и 19.7, соответственно. Таким образом, вблизи этих
тел могут существовать малые, не обнаруженные пока спутники. Однако
действие приливных сил, вероятно, было вполне достаточным, чтобы обеспечить
196
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
отсутствие у этих тел любых спутников, кроме совсем небольших, которые,
возможно, были разрушены в результате столкновений с кометами (Смит
и др., 1982).
Приливные силы обычно связывают с большими телами, но возможно,
что эти силы играли роль в спин-орбитальной эволюции некоторых
спутников и астероидов неожиданно малых размеров. Знак орбитальной эволюции
определяется положением спутника относительно стационарной орбиты. Для
стационарной орбиты планеты или астероида мы можем записать
async — I qq2 ) ^sec» (4.260)
где ttsec — частота вращения второго тела, в данном случае планеты или
астероида. Если предположить, что все астероиды, независимо от их размеров,
имеют периоды вращения приблизительно 8 ч (Альфвен, 1964) и плотность
psec = 3 г/см3, то значение async будет прямо пропорционально радиусу тела,
и cisync/Csec ~ 2.6. Для планет, чье вращение существенно замедлилось в
результате приливной эволюции и которые имеют поэтому большие периоды
вращения, отношения async/Csec могут быть много больше, чем 2.6.
Примечательно, что у Меркурия и Венеры, единственных не имеющих спутников
планет в Солнечной системе, собственное вращение почти окончательно
замедлено солнечными приливами. Для Меркурия async/Csec «130, а для
Венеры async/Csec ~ 253. Берне (1973) и Вард и Райд (1973) привели
аргументы в пользу того, что, поскольку торможение вращения этих планет
солнечными приливами привело к увеличению радиусов стационарных орбит,
последующее приливное «схлопывание» орбит субстационарных спутников
могло привести к утрате таких спутников.
Этот механизм, возможно, также играл роль в потере объектов,
обращающихся вокруг спутников, то есть спутников спутников (Райд, 1973).
Для спутников, вращение которых замедлено приливами до синхронного
состояния, радиус стационарной орбиты дается выражением
/^ftV/3Ce. (4.231)
sync " V Зп2
Из (4.227) и (4.231) тогда имеем
async/aL = 31/3. (4.232)
Таким образом, возможными устойчивыми орбитами спутников тех
спутников, вращение которых замедлено приливами до синхронного состояния,
являются только субстационарные орбиты.
4.14. Двойное синхронное состояние
Весьма вероятно, что орбита Луны и вращательное состояние Земли
значительно изменились за время существования Солнечной системы, в
частности под воздействием полусуточного прилива, вызываемого Луной на Земле
4.14. Двойное синхронное состояние
197
(см. обзор Бернса, 1986). Большая часть момента количества движения
системы в настоящее время отвечает орбите Луны, тогда как при формировании
спутника, вероятно, имела место противоположная ситуация, и большая часть
момента количества движения отвечала вращению Земли. По нашей оценке,
максимальная частота вращения fimax, которую могла иметь Земля, находится
из соотношения
аШрСрЛщах ~ msa n + агарСр$1, (4.233)
где ft — современная частота вращения Земли; соответствующий
минимальный период вращения Земли мог составлять всего лишь «4 ч. Однако
первоначальная конфигурация системы неизвестна и не может быть определена
из современных измерений.
Если из эвристических соображений положить, что орбита Луны является
экваториальной, и пренебречь влиянием солнечных приливов, то полный
момент количества движения системы, Ltot, будет суммой орбитального момента
количества движения, L0rb> и момента количества движения, связанного
с вращением Земли, Lspin. Величина Ltot сохраняется; разделив выражение
для суммы Lorb и LSpin на Ltot, получим
1=0-832(бО4) +ОЛ68(тО' (4234)
где а — большая полуось лунной орбиты (в радиусах Земли), а Т — период
вращения Земли (в часах). Предположим, что в среднем функция приливной
диссипации Земли QEarth ~ 34; тогда мы можем, используя соотношение
(4.234), графически представить значения большой полуоси орбиты Луны
и соответствующие им значения периода вращения Земли в зависимости от
времени эволюции системы (рис. 4.19). Здесь мы предполагаем, что Луна
эволюционировала к своей нынешней орбите в течение 4.5 • 109 лет. Если
функция приливной диссипации QEarth остается все время равной ^ 34, то
через ^ 5 • 1010 лет эволюции передача момента количества движения от
вращения Земли к орбитальному движению Луны будет почти завершена,
и система придет к двойному синхронному состоянию, в котором периоды
вращения Земли и Луны будут одинаковы и равны периоду обращения
Луны вокруг Земли. Это состояние будет достигнуто, когда большая полуось
орбиты Луны достигнет значения, равного ^ 87 радиусам Земли, а период
вращения Земли составит ^ 47 сут. На этой стадии солнечными приливами,
тормозящими вращение Земли, уже нельзя пренебречь. Либрации в любом
спин-орбитальном резонансе (см. главу 5) будут расти по амплитуде;
таким образом, система выйдет из любого спин-орбитального резонанса (Пил,
1986). Стационарная орбита вокруг Земли расширится за пределы орбиты
Луны, и поэтому полусуточный прилив, вызываемый Луной на Земле, будет
уменьшать большую полуось орбиты Луны. По прошествии последующих
« 5 • 1010 лет эволюции Луна приблизится к Земле и, разрушившись
благодаря приливным возмущениям, сформирует массивную кольцевую систему
(Джеффрис, 1970).
Условие того, что система достигнет двойного синхронного состояния за
время, меньшее возраста Солнечной системы, может быть найдено в пред-
198
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
20 40 60 80
а, в радиусах Земли
Рис. 4.19. Обмен моментом количества движения между орбитальным движением
Луны и вращением Земли; Lorb показан штриховой кривой, a LSpin — сплошной
кривой. Светлые кружки и числа на кривой для Ьотъ обозначают расстояния от
Луны до Земли, выраженные в радиусах Земли. Темные кружки и числа на кривой
для LSpin обозначают соответствующие периоды вращения Земли. Значения времени
в годах, указанные для этих пар чисел, представляют собой времена орбитальной
эволюции системы, рассчитанные в предположении, что существующая в настоящий
момент конфигурация является результатом эволюции в течение 4.5 • 109 лет. При
ряде предположений двойное синхронное состояние системы Земля-Луна будет
достигнуто через 5- 10ю лет, когда период вращения Земли и орбитальный период
Луны будут оба равны 47 сут, а большая полуось Луны будет равна « 87 радиусам
Земли
положении, что Ltot — LSpin и Ltot — L0rb в начальный и конечный моменты
времени, соответственно. В таком случае финальное значение большой
полуоси щ связано с начальной частотой вращения Qi (= 2n/Ti) соотношением
ms(H)1/2fl!/2 = cwipCjfV (4.235)
Отсюда
При подстановке в уравнение (4.214) находим, что двойное синхронное
состояние достижимо при условии, что отношение масс спутника и планеты
больше следующего критического значения
(гпЛ = / 2Qp \ '/" / _3^_Ч ^ 27Г
Wp/crit V39afc2pfiiA<y/ \^GppJ Ti'
Эта величина в значительной степени определяется начальным периодом
вращения планеты и очень слабо зависит от любых других свойств системы,
включая размеры планеты (главного тела). Если для системы Земля-Луна
положить Ti « 4 ч, то (ms/mp)crit ~ 0.0147, что немного больше наблюдаемого
отношения 0.0123.
Контрольные упражнения
199
Системой с наибольшим отношением масс в Солнечной системе
является система Плутон-Харон. Наблюдения с HST («Космического телескопа
им. Э.Хаббла») «качаний» Плутона относительно барицентра системы, дают
отношение масс 0.0837 ± 0.0147 (Налл и др., 1993). Это значение много
больше критической величины. В настоящее время Плутон и Харон
представляют собой единственные известные тела, находящиеся в двойном
синхронном состоянии, но возможно, что во вращении, окончательно замедленном
приливами, находятся и ненаблюдаемые сейчас небольшие пары астероидов.
Если применить соотношение (4.237) к малому каменному телу (астероиду)
с плотностью « 3 г/см3, модулем сдвига /х « 5 • 1010 Н/м2 и Qp« 100
(ни одно из этих значений не является необычным) и принять начальный
период вращения равным «8 ч (Альфвен, 1964), то критическое отношение
масс для астероида радиусом « 100 км составит 0.034 и увеличится всего
лишь до 0.065 для астероида радиусом 10 м. Таким образом, множество
малых тел Солнечной системы может находиться во вращении, окончательно
замедленном приливами.
Контрольные упражнения
4.1. В общем случае n-ая гармоника гравитационного поля планеты
дается интегралом
R 1
j 27Г
MRn
,п+2
0 -1
^n(/x)rn+2p(r,M)d/xdr,
где Vn — полином Лежандра степени п, /х = cos#, Ми й- масса и
средний радиус планеты, р(г,/х) — внутреннее распределение плотности.
Рассмотрим планету с однородным распределением плотности и сплюснутостью
е — (а — Ь)/а, где а и b — экваториальный и полярный радиусы. Разделив
планету на шар радиусом b и окружающую его тонкую оболочку переменной
толщины h(6) — sRsin2 ву вычислите данный интеграл отдельно для каждой
части и покажите, что J^ ~ 2е/Ъ в пределе £ <£С 1. Почему эта процедура не
работает в случае планеты с радиальным градиентом плотности? Для планеты
в гидростатическом равновесии справедлива формула е — (3/2)J<i + q/2, где
величина q связана с числом Лява /с2 соотношением /с2 = 3«Тг/д. Используйте
данное выше выражение для J2, чтобы показать, что /с2 = 3/2 для планеты
с однородным распределением плотности.
4.2. Момент инерции планеты, С, и ее средняя плотность, р, совместно
накладывают сильные ограничения на распределение плотности внутри
планеты. Рассмотрим сферическую планету с центральным ядром с радиусом Rc
и однородной плотностью рс; ядро окружено оболочкой («мантией») с
плотностью рт и внешним радиусом R. Модель, таким образом, имеет четыре
свободных параметра, значения которых могут быть подобраны (не
единственным образом) так, чтобы она соответствовала наблюдаемым значениям R, р и
С /(MR2) (обратите внимание, что полная масса М — (4/3)7гр7?3 зависит от R
200
Гл. 4. Приливы, вращение и форма
и р). а) Выведите аналитические выражения для относительной величины
радиуса ядра, х — Rc/R, и плотности ядра рс в данной модели через р,
рт и а = C/(MR2). Сделайте эскизы графиков х и рс как функций рт
и наглядно продемонстрируйте, что есть два предельных случая,
соответствующих 1) рс —> оо и х —> 0 и 2) рт —> 0. Используя эти предельные случаи,
определите максимальную плотность мантии, минимальную плотность ядра
и максимальный радиус ядра, совместимые с заданными значениями р и а.
б) В случае Земли р — 5.52 г/см3, а = 0.332 и R = 6 371 км. Каковы
диапазоны значений плотности ядра, плотности мантии и радиуса ядра,
допустимых для Земли в данной двухслойной модели? Сейсмологические
данные показывают, что радиус ядра Rc — 3480 км. Используя это значение,
найдите средние плотности ядра и мантии, в) В случае Марса р — 3.95 г/см3
и а « 0.375. Каковы диапазоны значений плотности ядра, плотности мантии
и радиуса ядра, допустимых для Марса в данной двухслойной модели?
Реалистичное значение плотности мантии составляет 3.5 г/см3; каковы в таком
случае относительная величина радиуса ядра и плотность?
4.3. Рассмотрим простой гармонический осциллятор с затуханием как
одномерный аналог приливного воздействия на планету:
х + (Зх + u0x — Fex.p(iut)y
где х — смещение, /3 — коэффициент вязкого затухания, ljq — частота
собственных колебаний, а правая часть представляет собой внешнее
периодическое возмущение, моделирующее приливный потенциал, а) Покажите, что
асимптотическое решение данного дифференциального уравнения имеет вид
x(t) = Aexp [i(ut — е)) и получите выражения для амплитуды А и фазовой
задержки е через и>о, и;, (3 и F. Сделайте эскизы графиков А{ш) и е\и) для
и>о = 1 и (3 — 0.1 на интервале 0.1 ^ u ^ 10. б) Интегрируя аналитически,
покажите, что работа демпфирующей силы —/Зх за один полный период
колебаний равна W = it(3uAl. в) Вычислите максимальную потенциальную
энергию £тах, запасаемую в течение периода колебаний благодаря работе,
совершаемой против восстанавливающей силы — и$х, и, объединив эти
выражения, получите выражение для Q — 27rEmSiX/W. Покажите, что tg£ « Q~l
для и <^С uq.
4.4. Напишите компьютерную программу для вычисления изменений
большой полуоси лунной орбиты а и скорости вращения Земли и со временем
при совместном воздействии лунных и солнечных приливов на Землю.
(Пренебрегите приливным воздействием Земли на Луну и Солнце и положите, что
орбиты Земли и Луны являются компланарными и круговыми.) а) Примените
эту программу, чтобы проинтегрировать лунную орбиту обратно по времени,
начиная с t = 0 при современных начальных условиях (а = 3.84 • 105 км,
Р = 2тг/и; = 24 ч) и значениях констант к2 = 0.29, Q = 12 и С /(MR2) = 0.334
для Земли. Продолжите интегрирование вплоть до достижения и — п (то есть
до Ts = 0). В какой момент времени в прошлом имела место такая синхронная
конфигурация, и каковы тогда были значения a/R и периода вращения
Земли Р? б) Затем проинтегрируйте лунную орбиту вперед по времени (начиная
Контрольные упражнения
201
с t = 0 при тех же начальных условиях, что и в части а)) до момента,
когда снова будет достигнуто синхронное состояние. Ответьте на те же самые
три вопроса, что и в части а), в) Повторите интегрирование в части б),
«отключив» солнечные приливы, и рассмотрите, как изменятся результаты.
4.5. Рассмотрите случай спутника на круговой наклонной орбите.
Используя законы сохранения энергии и момента количества движения,
покажите, что спутниковые приливы будут приводить к асимптотическому
изменению наклона орбиты до нуля или до 180° в зависимости от начального
наклона. Выведите выражение для характерного времени изменения наклона
орбиты спутника в синхронном вращении *). Следует ли ожидать, что
характерное время изменения наклона будет сопоставимо или много больше
времени затухания эксцентриситета для типичных спутников?
4.6. Поскольку приливы, вызываемые спутниками на главных телах
(планетах), обычно приводят к расширению орбит, расположенных выше
стационарной орбиты, присутствие массивного спутника на близкой к планете
орбите накладывает ограничение сверху либо на возраст спутника, либо на
функцию приливной диссипации планеты Q. Используя значения радиусов
орбит и масс Деймоса, Ио, Мимаса, Ариэля и Протея, найдите нижние
границы для значений Q для Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Почему
более крупный спутник Тритон не подходит для аналогичного вычисления
в случае Нептуна?
1) В своем списке "Известных ошибок в «Динамике Солнечной системы»", помещенном
на интернет-сайте книги, авторы указывают: «Чтобы вывести выражение для характерного
времени изменения наклона, необходимо использовать результат Пила и др. (1979),
заключающийся в том, что в случае синхронно вращающегося спутника, находящегося на круговой
наклонной орбите, интенсивность приливной диссипации энергии внутри спутника равна
Ё = — (5mpi?sn/a6)(/c2/<5)s(3/2)sin2£, где тр — масса планеты, Rs — радиус спутника, е —
наклон оси вращения спутника.» — Прим. ред.
Глава 5
СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
... Толпа
На водоросль блуждающий похожа,
Что по воде плывет вперед, назад,
Куда его теченье увлекает,
Сгнивая от движенья своего.
Уильям Шекспир, Антоний и Клеопатра,
акт I, сцена 4
(пер. Д. Михаловского)
5.1. Введение
В предыдущей главе мы рассмотрели влияние приливов, возникающих
на спутнике под воздействием планеты, в предположении, что спутник
находится в синхронном вращении (то есть период вращения спутника равен
его периоду обращения вокруг планеты). Как упоминалось в разделе 1.6,
большинство крупных естественных спутников планет Солнечной системы,
согласно наблюдениям, находятся в синхронном вращении. Как эта ситуация
возникла, и что определяет спин-орбитальное состояние спутника или
планеты? В начале этой главы мы продолжаем исследование влияния приливного
момента сил на вращение спутника. Этот анализ показывает, например,
почему для сохранения состояния синхронного вращения Луна должна иметь
постоянный квадрупольный момент. Далее исследуется воздействие этого
дополнительного момента сил на систему, что в итоге дает общий подход
к концепции спин-орбитального резонанса в Солнечной системе. Также
обсуждаются происхождение и устойчивость спин-орбитальных резонансов.
5.2. Приливное замедление вращения
Рассмотрим спутник, обращающийся вокруг планеты по эллиптической
орбите. На рис. 5.1а отмечены участки орбиты, где частота собственного
вращения спутника, равная fj + n, меньше (или больше) его угловой
скорости движения по орбите (скорости / изменения его истинной аномалии).
Если перейти к вращающейся (со скоростью, равной среднему движению
спутника п) системе координат с центром в спутнике, то в этой системе
координат планета будет двигаться вокруг своего ведущего центра по эллипсу
с соотношением осей 2 : 1 (см. раздел 4.10), как показано на рис. 5.1 б. Частота
5.2. Приливное замедление вращения
203
Рис. 5.1. а) Траектория вращающегося спутника в инерциальной системе координат
с началом в центре планеты. Светлая область соответствует тому участку орбиты,
на котором частота вращения спутника в инерциальной системе отсчета rj + n>f.
Штриховой прямой обозначена ось приливного горба, б) Траектория планеты во
вращающейся (со скоростью, равной среднему движению спутника п) системе координат
с центром в спутнике. Светлая область соответствует диапазону значений истинной
аномалии, для которого rj > ф
вращения спутника во вращающейся системе координат равна т), при этом
случай (77) — 0 соответствует синхронному спин-орбитальному состоянию.
Для малых значений эксцентриситета орбиты спутника е угол <р,
указанный на рис. 5.1 б, дается формулой
(р « 2esinn£. (5.1)
Таким образом, ф является функцией времени и меняет знак при движении
планеты по эллипсу 2:1. Если г\ < 2еп, то, когда спутник находится вблизи
перицентра, возможно выполнение неравенства ф > rj. Угловой сектор, где
это неравенство выполняется при определенных значениях 7), на рис. 5.2 а
выделен серым цветом. Внутри этой области прилив, вызванный планетой на
спутнике, отстает от линии спутник-планета (ср. с рис. 4.6) и действующий
на спутник момент пары сил увеличивает т), то есть скорость вращения
спутника (рис. 5.2 а). В светлой области, где ф < rj, ситуация обратная,
и прилив на спутнике опережает линию спутник-планета (ср. с рис. 4.6).
В этом случае результирующий момент пары сил тормозит вращение спутника
и уменьшает rj (рис. 5.2 б).
204
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Рис. 5.2. а) На участке траектории, где ф > fj (этот участок соответствует серой
области), прилив, вызываемый на спутнике планетой, отстает от линии
спутник-планета (штриховой прямой обозначена ось приливного горба), и положительный момент
пары сил, приложенный к спутнику, увеличивает его скорость вращения, б) На всех
других участках ф < fj и приливный горб опережает линию спутник-планета, при
этом вращение спутника тормозится
По аналогии с ситуацией, рассмотренной в разделе 4.3, приливный момент
сил, изменяющий скорость вращения спутника, определяется формулой
Ns = -D(±y^(f,-<p), (5.2)
где величина
является положительной константой, a Qs, k^ и Rs — функция приливной
диссипации, число Лява и радиус спутника, соответственно. Положительный
момент сил будет увеличивать скорость вращения спутника г\. Чтобы найти
средний момент сил (Ns), необходимо усреднить Ns на периоде обращения
спутника вокруг планеты. Возьмем частный случай, когда спутник находится
в синхронном вращении (rj — 0). В этом случае момент сил будет положителен
на ближней части эллипса и отрицателен на обратной стороне (рис. 5.3 а).
Планета проходит каждую половину эллипса 2: 1 за равные промежутки
времени. Однако, так как расстояние до ближней стороны меньше, то
средний момент сил будет положителен и будет увеличивать скорость вращения
спутника. Чтобы имело место равновесие и средний момент сил был
нулевым, необходимо выполнение неравенства rj > 0. Тогда знак момента сил не
меняется на противоположный в средних точках эллипса 2: 1, и равновесие
достигается, так как момент сил, действующий на участке траектории,
соответствующем серой области, хотя и больше по абсолютной величине, чем на
участке, соответствующем светлой области, но действует на более коротком
промежутке времени (рис. 5.3 6).
5.2. Приливное замедление вращения
205
NH < 0
Рис. 5.3. а) Если fj = О, то приливный момент сил положителен и больше по
абсолютной величине на ближней стороне траектории планеты, а на обратной стороне
он отрицателен и меньше по абсолютной величине. Таким образом,
результирующий полный момент сил, приложенный к спутнику, положителен; поэтому скорость
его вращения увеличивается, б) В случае равновесия fj > 0 и приливный момент
сил, приложенный к спутнику, меняет знак в точке более близкой к перицентру,
чем к апоцентру. Больший по абсолютной величине положительный момент сил
(на участке, соответствующем серой области) теперь действует в течение меньшего
промежутка времени, чем более слабый отрицательный момент сил
Это рассуждение приводит нас к предположению, что синхронное
состояние неустойчиво и ведет к ускорению вращения спутника. Если дело обстоит
именно так, то почему, согласно наблюдениям, так много спутников находится
в синхронном вращении? Ответ состоит в том, что есть и другие моменты сил.
Действительно, подобно Луне большинство спутников являются твердыми
телами (если не полностью, то частично) и имеют постоянные квадрупольные
моменты, то есть постоянные горбы (отклонения от сферичности). Прежде
чем изучить влияние квадрупольного момента, вычислим равновесную
скорость вращения в отсутствие постоянной деформации, следуя работе Голд-
райха (1966).
Изменение знака в выражении (5.2) на противоположный происходит
в тех двух точках орбиты, где rj — ф, то есть
f = V + n. (5.4)
Пусть t — 0 — момент прохождения перицентра, а перемена знака происходит
при t — ±Т, тогда, поскольку
5
/ ~ nt + 2e sin nt + —e sin 2nt, (5.5)
перемена знака происходит, если
rj = 2еп cos пТ + -е2п cos 2nT. (5.6)
206
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
В момент перемены знака пусть
/-±(5-*)- <5-7>
Тогда
sin 6 = cos / « cos(nT + 2е sin nT) « cos nT — 2e sin2 nT. (5.8)
Из уравнения (5.6) следует, что
cos nT = -У- - -е cos 2nT. (5.9)
2еп 4
Отсюда с точностью 0(e) имеем
sin 6 = -^ -е + -е sin2 nT. (5.10)
2еп 4 2 v '
Средний приливный момент сил, действующий на спутник, дается
выражением
о о
С учетом перемены знака оно приводится к виду
(тг/2)-* тг
W = 7 | (l+4ecos/)d/-^ | (l+4ecos/)d/ =
0 (тг/2)-<5
= — (4ecos5-5). (5.12)
7Г
Чтобы имело место равновесие, необходимо выполнение условия (Ns) = 0,
а для этого требуется, чтобы
5 = 4ecos5^4e(l ~ U2) ~ 4е. (5.13)
Из выражений (5.5), (5.7) и (5.13) следует соотношение
sin nT « sin/ « sin[±(7r/2 - 6)] = cos 6 « cos4e « 1 - 8e2 « 1.
Подставляя его в выражение (5.10), в итоге имеем
fj = —e2n. (5.14)
Таким образом, в отсутствие постоянного квадрупольного момента скорость
вращения Луны, например, была бы приблизительно на 3% больше наблю-
5.3. Постоянный квадрупольный момент
207
даемого синхронного значения и приблизительно через 2.6 года мы могли бы
увидеть обе ее стороны.
В заключение этого вводного раздела подчеркнем, что в выражении (5.2)
мы определили влияние приливного сопротивления, следуя модели Мак-
Дональда (1964), которая предполагает постоянство угла запаздывания
приливного горба. Если бы мы выбрали альтернативную модель Дарвина (1908),
в которой приливный потенциал раскладывается во временной ряд Фурье
и каждой компоненте прилива придается некоторое постоянное запаздывание
по фазе, то наши выводы были бы существенно другими. Подробно этот
вопрос обсуждается в работе Голдрайха и Пила (1966).
5.3. Постоянный квадрупольный момент
Чтобы вычислить внешнее поле тяготения спутника с постоянными
деформациями на любом расстоянии от его центра масс, требуется знать
распределение массы внутри спутника. На очень больших расстояниях поле хорошо
представимо полем точечной массы (материальной точки). На меньших, но
все еще значительных, расстояниях достаточно иметь информацию о главных
моментах инерции спутника. Аналитические выкладки, который мы далее
приводим, в основном следуют выкладкам Мак-Миллана (1936) и Рамсея
(1937, 1940).
Рассмотрим элемент массы в точке Р внутри тела и обозначим радиус-
вектор этого элемента относительно произвольного начала О системы отсчета
как р = (x,y,z) (рис. 5.4). Определим моменты инерции относительно осей
координат:
A = J26m(y2 + z2)> (5-15)
B = ^5m(z2 + x2), (5.16)
C = J2Sm(x2+V2), (5.17)
Рис. 5.4. Элемент массы 6т в точке Р внутри тела с радиус-вектором р = (x,y,z);
OL — произвольная прямая, исходящая из начала координат О; PQ —
перпендикуляр, опущенный из точки Р в точку Q с радиус-вектором q = (x',y',z') на
прямой OL. Произвольная точка R с радиус-вектором г = {х",у", z") также лежит
на прямой OL
208
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
а также центробежные моменты инерции
v = J25mvz> (5-18)
£ = J2$rnzxy (5.19)
JT = ^2бтху. (5.20)
Момент инерции /^ относительно произвольной прямой OL может быть
выражен через А, В, С, V, £ и Т и направляющие косинусы /, m и п прямой
OL относительно осей х, у и г. Пусть PQ — перпендикуляр, опущенный
из точки Р(х, у, z) на прямую OL, где радиус-вектор точки Q равен q =
= (xf,yf,zf). Отсюда OP = р и OQ = q (р и q — модули векторов р и q).
Поскольку PQ перпендикулярен OL, имеем
pq = <?2- (5-21)
Однако
р • q = хх' + уу + zz' = x(lq) + y(mq) + z(nq) = q(lx + my + nz), (5.22)
откуда
q = Ix + my + nz. (5.23)
Момент инерции 1^ дается выражением
Il = J2 6m(PQ)2 = J26m И + У2 + г2 ~ (lx + my + nz)2] . (5.24)
Поскольку I2 + m2 + n2 = 1, можем записать
Jl = J^5m [(x2 + y2 + z2)(/2 + m2 + n2) - (lx + my + nz)2] , (5.25)
отсюда после раскрытия скобок и перегруппировки членов имеем
IL = l2^T дт(у2 + z2) +m2^2 $т(г2 + x<1) + ™2 ^2 6т(х2 + У2) ~
— 2тп 2^ 5т У* — 2п/ 2_, 5m zx — 2/m Y^ 5m xy, (5.26)
что может быть записано в виде
IL = Al2 + Вт2 + Си2 - 2£>mn - 2£nl - 2Пт. (5.27)
Рассмотрим теперь произвольную точку R(x",y",z") на прямой OL, на
расстоянии г от точки О, и запишем
1ь = ^, (5.28)
5.3. Постоянный квадруполъный момент
209
где ras = ^2 6т — полная масса деформированного тела, а Л — произвольная
длина. Так как х" = lr,y" = mr,z" — пгу уравнение (5.27) преобразуется
к виду
msA4 = Ах"2 + By"2 + Cz"2 - 2Vy"z" - 2£z"x" - 2Tx"y", (5.29)
что является общим уравнением трехосного эллипсоида. Если оси координат
выбраны совпадающими с осями симметрии эллипсоида, то центробежные
моменты инерции V, £ и Т относительно новых осей обращаются в нуль,
и уравнение (5.29) приводится к виду
msA4 = Ах"2 + By"2 + Cz"2. (5.30)
Эти новые оси представляют собой главные оси инерции тела,
определенные относительно точки О. Уравнение (5.30) определяет эллипсоид инерции
(детали приведенных здесь выкладок см. в работе Коши, 1827). Уравнение
(5.30) является инвариантом тела. Оно не зависит от ориентации осей,
но зависит от положения начала системы отсчета О. Если начало О лежит
в центре масс, то эллипсоид инерции называют центральным эллипсоидом
инерции. Согласно свойствам этого эллипсоида, каждое тело, независимо от
его формы, обладает тремя взаимно перпендикулярными осями, такими что
момент инерции относительно одной из этих осей максимален, относительно
другой — минимален, относительно третьей — принимает промежуточное
значение, либо равен одному из двух остальных. Выведем выражение для
внешнего поля тяготения постоянно деформированного спутника через его
главные моменты инерции Л, В и С, определенные относительно центра масс.
В нашей новой системе (рис. 5.5) выберем точку О лежащей в центре масс
спутника. Пусть Р — точка на расстоянии г от О. Предположим, что г много
больше среднего радиуса спутника. Выберем систему координат так, чтобы
ее оси х, у и z совпадали с главными осями инерции спутника (рис. 5.5).
Пусть 6т — малая элементарная масса в точке Q, находящейся на
расстоянии R от О. Тогда потенциал спутника в точке Р дается выражением
s-^дбт ^ G6m
А. д 2^^r2 + R2_2rR cos 0)1/2' V'*l)
Рис. 5.5. Система координат с началом в центре масс О спутника и с осями,
совпадающими с его главными осями инерции. Точка Р находится на расстоянии г
от начала О. Малый элемент массы 8т в точке Q расположен на расстоянии R от О,
а в — угол между прямыми ОР и OQ
210
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
где в — угол между ОР и OQ. Суммирование производится по всем
элементарным массам. Раскладывая выражение (5.31) в биномиальный ряд и
пренебрегая членами высоких порядков (поскольку г » R для всех Q),
находим
т/ Gms ^ gSmR cos в 2 £ Q6mR2 - 3 £ g Jm fl2 sin2 0
где, как и раньше, ms = ^ 5m — масса спутника. Начало О лежит в центре
масс спутника, поэтому
J2SmRcose = °- (5-33)
Также имеем
2j26mR2 = 2j26m(x2 + y2 + ^2)=
= ]Г Sm(v2 + z2) + J2 6т(*2 + *2) + £ 6m(x2 +У2)=А + В + С. (5.34)
Обозначим момент инерции тела относительно прямой ОР через I. Тогда
J = ^5mi?2sin20, (5.35)
и в пределах точности приближения (5.32) имеем
у=_вш,_9(А + В + С-Ы)
г 2г6
Эта формула носит имя Мак-Каллага (Мак-Каллаг, 1844а,б; Отон, 1855).
Пусть х, у и z обозначают координаты точки Р, тогда х/r, у/г и z/r будут
направляющими косинусами точки Р относительно главных осей инерции.
Из уравнения (5.27) имеем
/ = (Ах2 + By2 + Cz2)/r2. (5.37)
Подставив это выражение для I в формулу Мак-Каллага, находим
V = _^£ _ JLf(A,B,C,x,y,z), (5.38)
г 2гъ
где
/(Ли,С,ж,у, г) = (В + С -2А)х2 + (С + А-2В)у2 + (А + В -2C)z2. (5.39)
Градиент этого потенциала дает компоненты силы тяготения в расчете на
единицу массы в точке Р:
F- ~% = -в-Т + в[В + Сг:2А)Х - ^ЯЛВ.Сх,^. (5.40,
5.3. Постоянный квадрупольный момент
211
Г.~%"^ + в{С+АгГ2ВЬ - g/(A*C.,.».,). «,4.,
F. = -fz __^£ + ем±^)£_ |£/(ЛВ,с, w). (542)
Они создают момент сил, приложенный к единичной массе в точке Р. Равный
по модулю и противоположный по направлению момент сил действует на
деформированное тело относительно его центра инерции; он имеет компоненты
Nx = zFy - yFz = 3G(C - B)yz/r\ (5.43)
Ny = xFz - zFx = 3G(A - C)zx/r5, (5.44)
Nz = yFx - xFy = 3G(B - А)ху/гъ. (5.45)
Полные уравнения Эйлера записываются в виде
Аих -(В- C)uyuz = ЛГХ, (5.46)
Buoy - (С - А)игих = Ny, (5.47)
Cuz -(A- B)uxuy = NZy (5.48)
где их, иу и ujz — проекции вектора угловой скорости на главные оси инерции.
В нашей задаче необходимо вычислить вращательное движение спутника,
обусловленное моментом сил, действующим на квадрупольный момент
спутника со стороны удаленной планеты. Мы предполагаем, что ось вращения
спутника ортогональна его орбитальной плоскости, а их и иу равны нулю.
Обозначим теперь направляющие косинусы планеты относительно осей х и у
через х/г — cosф и у/г = sinip, соответственно (рис. 5.6). В этом случае
уравнения Эйлера сводятся к единственному уравнению (5.48), которое может
быть записано в виде
Св -Ьв-А) Щ^ sin 2ф = 0, (5.49)
2 г6
где угол в измеряется относительно фиксированного направления в инерци-
альной системе координат 1). Заметим, что в некоторых других формах записи
данного уравнения, например в форме, предложенной Дэнби (1988), знак
в отрицателен, а не положителен. Это различие возникает из-за того, что
в выбранной Дэнби системе координат uz = —в.
Мы можем провести простую эвристическую проверку справедливости
уравнения (5.49) следующим образом. Представим спутник с постоянным
квадрупольным моментом в виде сферического спутника с двумя жестко
х) Уравнение (5.49) называют уравнением плоских колебаний спутника на эллиптической
орбите, или уравнением Белецкого. В. В. Белецкий вывел это уравнение в конце 50-х годов
прошлого века. Заметим, что ни энергия, ни момент количества движения системы в данной
«ограниченной постановке» задачи не сохраняются, аналогично ситуации в ограниченной
задаче трех тел. — Прим. ред.
212
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Рис. 5.6. Вращение спутника относительно оси, ортогональной орбитальной
плоскости; ф — угол между линией планета-спутник и главной осью Л, ассоциированной
с минимальным моментом инерции спутника. Угол в измеряется относительно
фиксированного направления в инерциальной системе координат
связанными с ним одинаковыми точечными массами га, размещенными
диаметрально противоположно друг другу в экваториальной (и орбитальной)
плоскости спутника (рис. 5.7). Пусть расстояния от этих малых масс до
планеты равны г\ и Г2, соответственно, и пусть г обозначает расстояние между
центром спутника и центром планеты. Прямая, соединяющая центры планеты
и спутника, образует угол ф с главной осью, ассоциированной с минимальным
моментом инерции спутника Л, то есть с прямой, соединяющей две малые
массы.
Пусть jRg — средний радиус спутника; тогда действующий на спутник
момент сил, обусловленный гравитационным взаимодействием между планетой
и двумя малыми массами, равен сумме N\ +Л^, где
N1=g1^-Reama, N2 =-Q^^R, sin (3. (5.50)
Рис. 5.7. Модель спутника с квадрупольным моментом в виде сферического тела
с двумя присоединенными диаметрально противоположно малыми массами. Диаметр,
соединяющий эти две массы, определяет ось, соответствующую минимальному
моменту инерции, и образует угол ф с линией спутник-планета (ср. с рис. 5.6)
5.4. Спин-орбитальный резонанс
213
г г
sin а = — sin яр, sin j3 — — sin ф
Г\ Г2
Углы а и /3 определены на рис. 5.7; знак N\ положителен, так как эта
компонента момента сил увеличивает в. Применяя теоремы косинусов и синусов,
находим
'Г' Чт
(5.51)
(5.52)
(5.53)
1
1
г2
^i
1
1
3 (ВЛ
^«^ 1 -
-)
3 (ЯЛ'
Rs
— - I — I + 3— cos -ф
,^s
— 3— cos^
г
2 V г J
В итоге уравнение движения для в приводится к виду
Св-
(2mR2s)
Grrir
sin 2ф = 0,
(5.54)
и, поскольку В — Л = 2mi?g, мы приходим к полной аналогии с
уравнением (5.49).
5.4. Спин-орбитальный резонанс
Гравитационное взаимодействие между движущейся по орбите планетой
и квадрупольным моментом ее спутника приводит к малым короткопериоди-
ческим колебаниям скорости вращения спутника, которые часто не имеют
большого значения. Однако в некоторых случаях дело обстоит не так:
например, когда имеется простое целочисленное или почти целочисленное
соотношение между периодом вращения спутника и его периодом обращения вокруг
планеты. Тогда спин-орбитальное взаимодействие может быть значительным.
Дальнейший анализ основан на пионерских работах Голдрайха и Пила (1966,
1968), Уиздома, Пила и Миньяра (1984) и Уиздома (1987а,б).
Рассмотрим движение малого спутника, ось вращения которого
ортогональна плоскости его фиксированной эллиптической орбиты. Пусть
наибольшая ось фигуры спутника образует угол в с осью инерциальной системы
координат (рис. 5.8). В качестве такой оси в данной кеплеровской системе
двух тел возьмем большую ось орбиты спутника. Наибольшая ось фигуры
спутника составляет угол ф с прямой, соединяющей центры спутника и
планеты. Тогда
Ф = !-о,
(5.55)
где / — истинная аномалия. В отсутствие приливных моментов сил уравнение
движения для в имеет вид
СО
£(B-.A)^sin2^ = 0.
(5.56)
(см. уравнение (5.49)). Поскольку г и ф зависят от истинной аномалии /,
которая является нелинейной функцией времени, это уравнение неинтегри-
214
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Планета
Перицентр
Рис. 5.8. Наибольшая ось фигуры спутника образует угол в с осью инерциальной
системы координат; в качестве такой оси выбрана большая ось фиксированной
орбиты спутника
руемо. Однако в представляющих для нас интерес случаях, когда угловая
скорость в соизмерима со средним движением п, мы можем вывести хотя
и приближенное, но полезное и интегрируемое уравнение движения.
Поскольку нас интересуют те случаи, в которых отношение в к среднему
движению п является рациональным числом, введем новую переменную
7 = в-рМ, (5.57)
где р — некоторое рациональное число, М — средняя аномалия. Так как п —
константа, имеем в — 7, и уравнение движения для 7 принимает вид
Л /ялЗ
.. 3 2В
(-)3sin(27 + 2pM-2/)=0.
(5.58)
(ср. с уравнением (5.56)). Это уравнение может быть разложено в ряд
Пуассона (обобщение ряда Фурье) по е и М с помощью стандартных выражений
для (a/r)3, sin/ и cos/ (см. раздел 2.5).
Учитывая все члены с точностью О (е2), имеем
sin / = ( 1 - -е2 J sin М + е sin 2М + -е2 sin ЗМ,
9 \ 9
cos / = ( 1 - -е2 J cos M + e(cos 2M - 1) + -е2 cos ЗМ
8
8
(5.59)
(5.60)
(-\ = l+3ecosM+|e2(l+3cos2M). (5.61)
Мы можем записать
sin(27 + 2рМ - 2/) = sin 27(cos 2pM cos 2/ + sin 2pM sin 2/) +
+ cos 27(sin 2pM cos 2/ - cos 2pM sin 2/). (5.62)
5.4. Спин-орбитальный резонанс
215
Отсюда
(-) sin(27 + 2рМ - 2/) = [5, + S2] sin 27 + [53 - 54] cos 27, (5.63)
ГДе з з
Sx = (-) cos2pMcos2/, S2=(-) sin2pMsin2/,
(5.64)
Sz=(-) sin2pMcos2/, ^4=(-) cos2pMsin2/.
С точностью О (e2) выражения для S, записываются в виде
Si = - [cos 2(1 -p)M + cos2(l+p)M] +
+ -е [7cos(3 + 2р)М + 7cos(3 - 2р)М - cos(l + 2р)М - cos(l - 2р)М] +
+ -e2[-5cos2(l + p)M-5cos2(l -p)M +
+ 17cos2(2 + p)M+ 17cos2(2-p)M], (5.65)
52 = -[cos2(l -p)M-cos2(l +p)M} +
+ -e[-7cos(3 + 2p)M + 7cos(3 - 2p)M - cos(l - 2p)M + cos(l + 2p)M] +
+ -e2[5cos2(l + p)M-5cos2(l - p)M -
- 17cos2(2+p)M + 17cos2(2-p)M], (5.66)
53 = - [sin 2( 1 + p)M - sin 2( 1 - p)M] + -e[7 sin(3 + 2p)M - 7 sin(3 - 2p)M +
+ sin(l - 2p)M - sin(l + 2p)Af] +
+ -e2[-5sin2(l + p)M + 5sin2(l -p)M +
+ 17sin2(2+p)M- 17sin2(2-p)M], (5.67)
54 = ~ [sin 2(1 +P)M + sin 2(1 -p)M] + ie[7sin(3 + 2p)M + 7sin(3 - 2p)M -
- sin(l - 2p)M - sin(l + 2p)M] +
+ -e2[-5sin2(l + p)M-5sin2(l -p)M +
+ 17sin2(2 + p)M+ 17sin2(2-p)Af]. (5.68)
216
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Таким образом, уравнение движения (5.58) для 7 может быть записано как
7 + Y^^n2 i\S\ + S2] sin27 + [S3 - S4] cos 27) = 0. (5.69)
Заметим, что S\ и S2 содержат только косинусы, тогда как S3 и S$ содержат
только синусы. Уравнение (5.69) является точным, но Si — бесконечные ряды
по е и М, и поэтому уравнение все еще нельзя проинтегрировать. По этой
причине, чтобы продвинуться дальше, мы должны прибегнуть к
приближениям.
Если угловая скорость вращения спутника близка к спин-орбитальному
резонансу, то в « рп и 7 изменяется медленно, то есть j <С п. Тогда мы
можем получить приближенное уравнение движения, усредняя коэффициенты
членов в уравнении (5.69) на периоде обращения спутника вокруг планеты,
положив, что 7 постоянно. Имеем
7+ |^^п2([(5.) + <S2)]sin27 + [<53> - (54)]cos27) = 0, (5.70)
где 2п
<*> = Y,
SidMy г =1,2,3,4, (5.71)
о
и подразумевается, что угол 7 отсчитывается от его среднего значения.
Значения Si должны вычисляться для конкретного рационального числа ру
соответствующего заданному спин-орбитальному резонансу. Поскольку
косинусы и синусы с аргументами, являющимися целыми кратными М, на
орбитальном периоде спутника усредняются до нуля, то единственными членами
в Si, которые вносят отличный от нуля вклад в уравнение движения, будут
косинусы с нулевыми аргументами. Например, в синхронном случае (р = 1),
только косинусы с аргументами, содержащими р — I в качестве сомножителя,
вносят вклад в уравнение движения. Из выражений (5.65)-(5.68) находим,
что с точностью О (е2) в этом случае
([(S{) + (52)]sin27+ [<53> - (S4))cos27)p={ = (l - |е2) sin27. (5.72)
Если осуществить данную процедуру для других значений р, то, анализируя
эти же выражения (или содержащие члены более высокого порядка по е),
можно убедиться, что только значения р кратные 1/2 могут вносить вклад
в усредненное уравнение движения. В таких случаях мы можем записать
7 + \п2{В~сЛ)Н{р, е) sin 27 = 0, (5.73)
где, если ограничиться, например, точностью О (е4),
Н(-1,е) = ±е\ (5.74)
Я(-1/2,е) = ^е3, (5.75)
5.4. Спин-орбитальный резонанс
217
Я(0,е)=0, (5.76)
Н(+\/2,е) = -1-е + ±е\ (5.77)
Я(+1)е) = 1-|е2 + ||е4) (5.78)
7 12S
Я(+3/2,е) = -е-—е3, (5.79)
Я(+2,е) = уе2-^е4, (5.80)
Я(+5/2,е)=~е3, (5.81)
Я(+3,е) = ^е4. (5.82)
Сравнивая с введенной Каулой (1966) функцией эксцентриситета, Gipq(e),
видим, что
H(p,e)=G20{2P-2)(e) (5.83)
и Н(р,е) — О (е21р_11) (исключая случай р — 0).
Таким образом, в некотором приближении мы свели полное уравнение
движения (5.56) к уравнению движения маятника
7 = -[signff(p,e)]-^sin27, (5.84)
где
Г (В - Л) 11/2
"0 = п \3^—^\Н(р9е)\1
(5.85)
является частотой либрации. При наличии приливного момента сил,
тормозящего вращение спутника, следует добавить в усредненное уравнение
движения член (iVs), представляющий собой средний приливный момент сил
(приливный момент сил, усредненный на орбитальном периоде). Имеем
7 = -[signff(p,e)]^o2sin27 + (Ns)/C. (5.86)
Если
\(NS)\/C < l-ul (5.87)
то знак 7 периодически меняется и, таким образом, спутник может быть
захвачен в спин-орбитальный резонанс с (в) — рп. Если критерий силы
(неравенство (5.87)) выполняется, то средний момент сил, обусловленный
резонансным взаимодействием между планетой и квадрупольным моментом
спутника, компенсирует средний приливный момент сил, изменяющий период
218
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
вращения спутника, (7) = 0 и угол 7 либрирует относительно равновесного
значения 70» определяемого из формулы
1 .
7о = 2 sin
Равновесная ориентация спутника и знак 70 определяются знаком Н(р,е).
При малых смещениях 7 относительно 70 знак 7 должен быть таким, чтобы j
возвращалось к равновесному значению 70- Если средний приливный момент
сил мал по сравнению с резонансным моментом сил, иначе говоря, если
|(iVs)|/C«^, (5.89)
то при условии Н(р, е) > 0 имеем 70 ~ 0 или 7г, то есть наибольшая ось
фигуры спутника при прохождении спутника через перицентр будет
направлена к планете. При обратном условии Н(р,е) < 0 имеем 70 ~ тг/2 или 37г/2,
то есть наибольшая ось фигуры спутника при прохождении спутника через
перицентр будет перпендикулярна линии спутник-планета.
Рассмотрим теперь вращение Меркурия и дадим простую физическую
интерпретацию усредненного уравнения движения. Случай Меркурия особенно
интересен, потому что динамика спин-орбитальных резонансов впервые стала
изучаться лишь после того, как из радарных наблюдений выяснилось, что
эта планета находится в спин-орбитальном резонансе 3:2 с Солнцем, а не
в синхронном состоянии 1:1, как ожидалось. Подробное описание истории
этого открытия дано Голдрайхом и Пилом (1968). Вращение и орбитальное
движение Меркурия в инерциальной системе координат проиллюстрировано
на рис. 5.9.
Период вращения этой планеты равен 58.65 сут, а период ее обращения
на орбите равен 87.97 = 1.5 • 58.65 сут. Таким образом, Меркурий делает три
полных оборота вокруг своей оси в течение двух полных орбитальных обо-
Рис. 5.9. В инерциальной системе координат с центром в Солнце Меркурий делает
3/2 оборота вокруг собственной оси за один оборот на орбите вокруг Солнца
2(NS)
[sign#(p, e)lu;2C
(5.88)
5.4. Спин-орбитальный резонанс
219
ротов вокруг Солнца; в моменты последовательных прохождений Меркурия
через перигелий к Солнцу обращены попеременно противоположные стороны
планеты. Физический смысл угла 7 состоит в том, что он описывает
ориентацию наибольшей оси фигуры спутника при его прохождении через перицентр,
то есть это стробоскопический угол, значение которого определяется при
М — 0. Поскольку Н(р, е) ^ (7/2)е > 0, следует ожидать, что 7 ~ 0, то есть
в перигелии наибольшая ось Меркурия направлена к Солнцу (рис. 5.10).
Однако угол 7 может совершать либрации относительно равновесного значения
с амплитудой ^ 7г/2. Если бы Меркурий был захвачен в резонанс р = +1/2
(тогда Н(руе) < 0), следовало бы ожидать такой ориентации планеты, как
показано на рис. 5.11.
Рис. 5.10 а иллюстрирует движение Солнца во вращающейся (со средней
резонансной скоростью вращения Меркурия, (3/2)п, где п — среднее
движение Меркурия) системе координат с центром в Меркурии. Точки на
петлеобразной траектории отмечают положение Солнца через равные промежутки
времени. Траектория Солнца в этой вращающейся системе координат
замкнута только потому, что имеет место спин-орбитальный резонанс. Именно это
обстоятельство оправдывает использование метода усреднения. Можно
смоделировать среднее гравитационное взаимодействие между квадрупольным
моментом планеты и Солнцем, «размазав» массу Солнца вдоль этой
замкнутой траектории таким образом, чтобы локальная одномерная плотность была
прямо пропорциональна времени, проводимому Солнцем на элементарном
участке траектории. Эта одномерная плотность обратно пропорциональна
расстояниям между точками, отмеченными на рис. 5.10 а. Угол 7 можно теперь
Рис. 5.10. а) Движение Солнца, представленное во вращающейся (со скоростью
вращения, равной резонансной частоте вращения Меркурия (3/2)п, где п —
среднее движение Меркурия) системе координат с центром в Меркурии.
Гравитационное взаимодействие между квадрупольным моментом Меркурия и Солнцем
можно смоделировать, «размазав» массу Солнца вдоль этой замкнутой траектории
таким образом, чтобы локальная одномерная плотность была прямо пропорциональна
времени, проводимому Солнцем на элементарном участке траектории (точки на
этой замкнутой траектории показывают последовательные положения Солнца через
равные промежутки времени), или же 6) введя две точечные массы, /rasun (где
/ = (1/2)Я(3/2,е)), расположенные, как показано на схеме
220
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
а Планета б
Рис. 5.11. Ориентация спутника, захваченного в резонанс р = +1/2, является
аномальной: при прохождении спутника через перицентр наибольшая ось его фигуры
перпендикулярна линии планета-спутник. Траектория планеты во вращающейся
системе координат с центром в спутнике: а) в случае малого эксцентриситета орбиты,
б) в случае большого эксцентриситета
интерпретировать как отклонение наибольшей оси планеты от направления
планета-перигелий во вращающейся системе координат (рис. 5.10 а). Из
симметрии этого рисунка следует, что данное гравитационное взаимодействие
можно смоделировать путем замены описанного распределения массы
Солнца на круговое распределение массы с постоянной одномерной плотностью
(не дающее вклада в момент силы) плюс две (расположенные, как показано
на рис. 5.10 б) точечные массы, /msun, где
f=l-H(p,e)*7-e, (5.90)
a rasun — масса Солнца.
Замыкание траектории во вращающейся системе координат, показанное на
рис. 5.11, является необходимым, но недостаточным условием для
спин-орбитального взаимодействия. Формула (5.65) и уравнение (5.56) показывают, что,
кроме того, р должно быть кратным 1/2; это условие определяется двойной
симметрией гравитационного потенциала спутника. Рассмотрим, почему
другие значения р не вносят вклада в резонансные взаимодействия. Рисунок 5.12
иллюстрирует движение планеты во вращающейся (со средней скоростью
вращения спутника, в данном случае (4/3)п, где п — среднее движение
спутника) системе координат с началом в спутнике. Из формы замкнутой
траектории на рис. 5.12 а мы можем заключить, что в данном случае средняя
сила тяготения планеты может быть смоделирована путем замены
петлеобразной траектории на круговое распределение массы плюс три равные точечные
массы (рис. 5.12 6). Теперь сравним конфигурацию на рис. 5.10 б с
конфигурацией на рис. 5.12 6. Согласно рис. 5.10 б, так как N sin 27 — момент сил,
приложенный к спутнику со стороны одной из точечных масс, то полный
момент сил, действующий, чтобы восстановить равновесную конфигурацию,
равен 27Vsin27. Однако в случае, изображенном на рис. 5.12 б, (р = 4/3)
полный момент сил, изменяющий 7, определяется соотношением
7Vsin27 + ATsin2^+7) -Nsm2(^ - 7) = 0, (5.91)
и система находится в нейтральном равновесии.
5.4. Спин-орбитальный резонанс
221
а ^ Планета
б /тР
Рис. 5.12. а) Траектория планеты во вращающейся (со средней скоростью вращения
спутника, в данном случае (4/3)п, где п — среднее движение спутника) системе
координат с центром в спутнике, б) Усредненный приложенный к планете
гравитационный момент сил, создаваемый квадрупольным моментом спутника, можно
смоделировать путем замены петлеобразной траектории планеты во вращающейся
системе координат на кольцеобразное распределение массы плюс три точечные массы,
расположенные, как показано на схеме
Особый случай р = 0 проиллюстрирован на рис. 5.13. Момент сил 5N,
приложенный к спутнику со стороны элементарной массы 6ту равен
2 г6
Из кеплеровского закона площадей следует, что
г 6ф
(5.92)
5т —
2тга2(1-е2у/2'
(5.93)
Поэтому полный момент сил, приложенный к спутнику, дается формулой
N =
ЦВ - A)G
4тга3(1-е2)3/2
2тг
[1 +ecos(V> + 0)] sin 2ф6ф,
(5.94)
а поскольку спутник не вращается в инерциальной системе координат,
значение в постоянно и интеграл равен нулю.
Чтобы спутник мог быть захвачен в спин-орбитальный резонанс, момент
сил, приложенный к спутнику благодаря этому резонансу, должен превышать
момент сил, обусловленный приливным торможением. Из «критерия силы»
(5.87) и (5.2) находим, что отношение {В — Л)/С должно превышать
критическую величину, составляющую
В-Л
crit
5^2
2Q
Rs
а
mr
1
ms |#(p,e)|'
(5.95)
где mp — масса главного тела (планеты) и мы предположили, что
С « (2/5)msR2. Критические значения (В — Л)/С для ряда спин-орбитальных
222
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Рис. 5.13. Траектория планеты в инерциальной системе координат с началом в
спутнике. Если р = 0, то ориентация спутника неизменна в инерциальной системе
и какое-либо резонансное взаимодействие с планетой отсутствует
Таблица 5.1. Критические значения (В —Л)/С для Меркурия и Луны. Для
Меркурия полагаем /сг ~ 0.1 и Q = 100, а для Луны k<i « 0.03 и Q = 27 (Йодер, 1995)
р
+3
+5/2
+2
+3/2
+ 1
Меркурий
(В - Л)/С
2- Ю-8
7 Ю-9
3 - Ю-9
2 • Ю-9
Ю-9
Луна
(В - Л) /С
7■ Ю-5
7 ■ Ю-6
8 • Ю-7
ю-7
2- Ю-8
резонансов в случаях систем Солнце-Меркурий и Земля-Луна приведены
в табл. 5.1. Эксцентриситеты орбит Луны и Меркурия равны 0.0549 и 0.206,
соответственно. При этом в случае Луны {В — Л)/С « 2.28 • Ю-4 (Йодер,
1995); естественно предположить, что значение (В — Л)/С для Меркурия
примерно такое же. Из табл. 5.1 видно, что в объяснении устойчивости
современных спин-орбитальных состояний Меркурия и Луны, безусловно,
достигнута полная ясность. Однако, если мы полагаем, что вращение обоих
тел было замедлено приливами и начальные периоды их вращения были малы,
тогда требуется объяснить не только то, как эти тела оказались захвачены
в современные спин-орбитальные состояния, но также и то, как они смогли
пройти в ходе эволюции через многие другие резонансы, избежав захвата
в них.
5.5. Захват в резонанс
В том, что объяснение захвата в резонанс представляет собой
серьезную задачу, можно убедиться, наблюдая за изменением скорости вращения
спутника, когда спутник в ходе динамической эволюции сталкивается со
спин-орбитальным резонансом. Предположим, что первоначально в > рп,
и что вращение спутника замедляется приливами. Таким образом,
первоначально 7 > 0» то есть приближение к резонансу (рис. 5.14) происходит
5.5. Захват в резонанс
223
7 7
Рис. 5.14. а) Зависимость величины (1/2)72 от резонансного аргумента 7- б)
Разделение зависимости (1/2)72 от 7 на две компоненты: синусоидально меняющуюся
с изменением 7 (она отвечает потенциальному члену) и уменьшающуюся линейно
с увеличением 7 (она отвечает члену, обусловленному приливным моментом сил).
В анализе, данном в тексте, величина (1/2)72 представляет собой разность этих
двух слагаемых
сверху. Уравнение движения для резонансного аргумента j при наличии силы
сопротивления имеет вид
С7 + |(Я - А)п2Н(р, е) sin 27 = (Ns). (5.96)
Интегрируя по времени, получаем интеграл энергии
\-Ctf - Ьв - Л)п2Н(ру е) cos 27 = Е, (5.97)
где полная энергия Е дается выражением
Е = (AQ7 + Е0, (5.98)
а Ео — константа, определяемая начальными условиями. Чтобы уравнение
энергии (5.97) имело физически осмысленные решения (j1 > 0), должно
выполняться условие
Е^~(В-А)п2\Н(р,е)\. (5.99)
Если Е > (3/4)(# — А)п2\Н(р,е)|, то знак 7 не изменяется и движение 7
является циркуляцией (вращением). Однако, поскольку (Ns) < 0, приливные
силы уменьшают Е, и, когда 7 достигает нуля, происходит столкновение
с резонансом *).
На рис. 5.14 а показана результирующая зависимость 72 от 7\ на
рис. 5.14 б она разделена на две компоненты, одна из которых обусловлена
потенциальным слагаемым и изменяется синусоидально с изменением 7»
а другая — слагаемым, отвечающим сопротивлению, и линейно уменьшается
1) Под столкновением с резонансом понимается пересечение сепаратрисы резонанса, когда
вращение резонансной фазы сменяется либрацией. За столкновением с резонансом следует
либо захват в резонанс, либо прохождение резонанса без захвата. — Прим. ред.
224
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
с увеличением 7 вплоть до столкновения с резонансом, а с уменьшением 7
после столкновения линейно растет. В выражении (5.97) зависимость 72 от 7
дается разностью этих двух слагаемых. Если значение (Ns) постоянно, то
уравнение движения полностью обратимо: знак 7 ПРИ столкновении с
резонансом изменяется, но траектория системы в пространстве (7>т) после
столкновения дублирует траекторию до столкновения, и захват в резонанс не
может произойти.
Голдрайх и Пил (1968) объясняют такое прохождение через резонанс без
захвата с помощью следующей аналогии «маятника». Когда маятник
вращается, действует постоянный момент сил, тормозящий его вращение. Поэтому
через некоторое время маятник пройдет над точкой подвеса в последний раз
(в исходном направлении, для которого 7 > 0)» и ег0 скорость вращения
достигнет нуля. Затем направление вращения маятника меняется на
противоположное. Однако и величина и знак момента сил остаются неизменными,
и поэтому теперь момент сил увеличивает скорость вращения маятника.
Какая бы энергия не была изъята у маятника до его остановки, теперь
она сообщается ему снова, маятник проходит назад над точкой подвеса,
и скорость его вращения (уже при 7 < 0) продолжает расти.
Поскольку амплитуда синусоидального потенциального члена в уравнении
энергии постоянна, для захвата в резонанс требуется выполнение
следующих условий: a) (Ns) должно так или иначе зависеть от % б) в течение
последнего качания маятника, когда меняется знак 7> уменьшение Е перед
столкновением с резонансом (7 = 0) должно быть больше увеличения Е после
столкновения, чтобы не дать маятнику пройти назад над точкой подвеса.
Как уже было отмечено, учет диссипации энергии в приливной теории
во многих отношениях еще недостаточно хорошо развит теоретически. Тем
не менее Голдрайх и Пил (1966, 1968) приводят несколько реалистичных
моделей приливной диссипации, допускающих изменение (Ns) с 7- Они ис_
пользовали эти модели для оценки вероятности захвата в резонанс. Мы
опишем две из этих моделей (обе основаны на модели Дарвина (1908)), но
вначале нам необходимо оценить значения слагаемых в уравнении энергии.
Приливные силы в Солнечной системе чрезвычайно слабы и вызывают
заметные изменения в скоростях вращения и орбитальных периодах
некоторых тел только благодаря тому, что они действуют в течение миллиардов
лет. Используя приведенные в табл. 5.2 значения &2, О и т. д., находим,
что если начальные периоды вращения (27r/0initiai) Меркурия и Луны были
равны, например, 9 ч, то время, необходимое для торможение вращения,
составляет 5 • 109 и 3 • 107 лет, соответственно; таким образом,
спин-орбитальный резонанс в системе Солнце-Меркурий может быть сравнительно
молодым. Углы запаздывания 70» определяемые из (5.88), составляют
всего лишь несколько угловых секунд. Обозначим амплитуду потенциального
слагаемого (3/4)(В — А)п2Н(р,е) cos 2j в уравнении энергии через U,
тогда (Ns)7r/U <С 1. Заметим также, что периоды либрации Titration = 27г/о;о
(см. (5.85)) больше, чем орбитальные периоды, но не многократно.
Используя метод Дарвина для вычисления приливного момента сил,
приложенного к спутнику со стороны планеты, разложим приливный потенциал
5.5. Захват в резонанс
225
Таблица 5.2. Физические и орбитальные параметры Меркурия и Луны
Параметр
к2
Q
е
(В - Л)/С
Н(р,е)
J- libration
7о
2тг/в
initial
J- despin
{Ns)n/U
Меркурий
0.1
100
0.206
10"4
0.65
17 лет
2"
9ч
5• 109 лет
ю-4
Луна
0.03
27
0.0549
2.28 • 10"4
0.99
2.88 лет
9.6"
9ч
3• 107 лет
6 • Ю-4
в ряд Фурье по времени и предположим, что каждый член разложения
вызывает равновесный прилив на спутнике. Влияние приливной диссипации
моделируем затем путем присвоения каждому слагаемому такого сдвига фазы,
чтобы оно либо опережало по фазе соответствующий член потенциала, либо
запаздывало по отношению к нему. В нашей первой модели предполагаем, что
абсолютные значения (но не знаки) сдвигов фаз независимы от приливных
частот. В этом случае средний приливный момент сил дается выражением
(Ns) = -D J2 [H(Ke)]2sign(e - /m),
(5.100)
где h — полуцелое число, D — положительная константа (5.3). Мы
предположили, что ось вращения спутника ортогональна его орбитальной плоскости.
В случае захвата в резонанс р имеем в — рп — 7, отсюда
где
(Ns) = -W- Zsign(7),
W = D ]Г[#(/г, e)]2sign(p - h)
Скорость изменения энергии
Z = D[H(p,e)}2.
Щ-м.
поэтому энергия изменяется с изменением 7 согласно соотношению
72
dE =
<JVs)d7.
71
(5.101)
(5.102)
(5.103)
(5.104)
(5.105)
Так как 7r(iVs) <с (3/4)(В — Л)п2Н(р, е), углы наклона прямых на рис. 5.15
незначительны, и везде при интегрировании можно положить 72 — 71 — к.
226
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Рис. 5.15. Захват в резонанс зависит от абсолютного значения и знака SE, а также
значения 7 в точке Р, где (1/2)72 впервые обращается в нуль. Положения точки Р
указывают столкновения с резонансом: а) без захвата и б) с захватом. Вероятность
захвата равна \6Е/АЕ\. Захват гарантированно произойдет, если 6Е<0 и |££|>|Д£|
Поскольку начальные условия не определены, энергия в точке Р, где 7
впервые достигает нуля (рис. 5.15), может быть какой угодно в пределах от
Е'0 до Е'0 + Д£, где
АЕ = (W + Z)tt. (5.106)
При столкновении с резонансом р знак члена с h = р в (5.101) меняется.
До столкновения 7 > 0 и
(Ns) = -W-Z, (5.107)
а после столкновения 7 < 0 и
(Na) = -W + Z.
(5.108)
Таким образом, при прохождении через резонанс абсолютная величина (Ns)
уменьшается на 2Z. Из этого следует, что уменьшение Е за один период
колебаний равно
6E = 2Ztt, (5.109)
а вероятность захвата в резонанс р равна
^р~ Z + W
2[Я(р,е)]5
[#(Р, в)]2 + £Л#Р[#(Л, e)]2sign(p - К)'
(5.110)
В данном случае вероятность захвата не зависит ни от {В — Л)/С, ни от
величины приливного сопротивления (в предположении, что критерий силы (5.87)
выполняется), то есть от D. Вероятность определяется только значениями
р и е.
Вероятности захвата Меркурия в резонанс р, вычисленные Голдрайхом и
Пилом (1968) при е = 0.2 и параметре Q, не зависящем от частоты,
приведены в табл. 5.3. Частотно-независимая модель дает хорошее объяснение как
захвату в резонанс р — +3/2, так и избеганию захвата в резонансы более
высоких порядков. Однако она не объясняет затухания амплитуды либрации.
В случае Н(руе) > 0 угол j колеблется относительно 70 ^ 0 с амплитудой
5.5. Захват в резонанс
227
Таблица 5.3. Вероятность Рр захвата Меркурия в резонанс р при е = 0.2
р
+5/2
+2
+3/2
+ 1
(1/<5 ~ константе)
0.03
0.15
0.73
1
РР
(l/Q ~ частоте)
0.007
0.016
0.067
0
7тах, которая находится из решения уравнения (5.97) при 7 = 0. Пренебрегая
малым смещением 70 от нуля, находим
iax ~ p
И
2Е
/'max
1 2
-u0 cos 27n
Cuq sin 27n
(5.111)
(5.112)
Чтобы амплитуда либрации затухала, необходимо, чтобы Ё < 0. Однако
E = (Ns)j (5.113)
и если (Ns) не зависит от % то (7) = (Ё) = 0 и либрации не затухают.
Во второй модели, рассмотренной Голдрайхом и Пилом (1968), функция
приливной диссипации зависит от частоты. В этом случае они предположили,
что
оо
(ivs) = -к' y^ iH(h< е)¥ (о -hn) • (5-114)
где К' — положительная константа. Вблизи резонанса в — рп + 7. и мы
можем записать
7
(iVs) = -# у +
п
где
K = K'nY^[H(h,e)f
(5.115)
(5.116)
V =
Ел(р-Л)[Я(Л,е)]2
(5.117)
Вероятность захвата в резонанс р равна
4(а;0/п) /сця\
Рр = т/ . о^—ГТ- (5.118)
7TV/ + 2(ио/п)
В частотно-зависимом случае вероятность зависит от относительной частоты
малых колебаний uq/п и от эксцентриситета е. Вероятности, приведенные
в табл. 5.3, малы, но они не пренебрежимо малы. Именно зависимость (Ns)
от 7 приводит в этом случае к появлению в выражении для Ё слагаемого,
пропорционального 72- Это слагаемое не усредняется до нуля, и поэтому
либрации затухают.
228
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
5.6. Вынужденные либрации
Для спутника, захваченного в спин-орбитальный резонанс, например
в синхронный резонанс 1:1, анализ усредненного уравнения движения,
содержащего член, отвечающий силе сопротивления, показывает, что любое
колебание относительно равновесной конфигурации демпфируется до нуля.
Затем спутник вращается стационарно, при этом в моменты прохождения
спутника через перицентр его наибольшая ось всегда направлена точно на
планету. Однако полное уравнение движения содержит короткопериодические
члены, поэтому на вращательное движение спутника накладываются
короткопериодические колебания.
Рис. 5.16. Вращение спутника в системе координат с началом в его центре,
вращающейся со скоростью, равной его среднему движению. Планета движется по эллипсу
2: 1 вокруг ведущего центра, который в этой системе координат неподвижен
Рассмотрим вращение спутника в системе координат с началом в
центре спутника, вращающейся со скоростью, равной его среднему движению
(рис. 5.16). Гравитационный момент сил, приложенный к спутнику со стороны
планеты, определяется углом ф, который в этом случае равен
ф — (р — 7 ~ 2е sin nt — 7 (5.119)
с точностью О(е). Полное уравнение движения (5.56) записывается как
Cl-^{B-A)n2(-\ sin(4esinn£-27) = 0. (5.120)
При малых отклонениях от равновесной конфигурации, коль скоро вклад
от изменения расстояния г равен (а/г)3 ^ 1 +3ecosn£, уравнение (5.120)
приводится к виду
С7 = -|(S - Л)п2(27 - 4esinnt), (5.121)
или
7 = —ujqJ + 2uQesmnty (5.122)
5.7. Поверхность сечения
229
где и>о — частота либрации (см. формулу (5.85)). Подставляя 7 = 7osinn£
в это уравнение и решая его относительно амплитуды вынужденной
либрации 7о> в итоге имеем
7 = ^o^sinnt. (5.123)
П1 — LJq
Заметим, что изменения г не вносят вклада в это выражение. Если частота п
вынуждающего воздействия меньше собственной частоты и>о> то либрации
совпадают по фазе с действующей силой. Однако, если п > ио, то либрации
и сила различаются по фазе на 180°.
Период либрации Луны равен 2.86 года, а амплитуда ее вынужденной
либрации « 15" и, таким образом, она слишком мала, чтобы быть
наблюдаемой. Однако в случае Фобоса — отличающегося неправильной формой
внутреннего спутника Марса — Даксбери и Каллахан (1982), используя сеть
из девяноста восьми кратеров на сорока трех изображениях Фобоса, снятых
с космического аппарата «Викинг Орбитер», получили для амплитуды
вынужденной либрации значение 0.8° (±0.2°). Если предположить, что спутник
имеет однородное распределение плотности, то из наблюдаемого значения 70
следует приблизительное равенство (В — Л)/С « 0.1. Однако, если спутник
однороден, то из наблюдаемой формы Фобоса следует, что (В — Л)/С « 0.2.
Весьма существенное различие между этими двумя значениями (В - Л)/С
может объясняться тем, что спутник неоднороден и имеет плотное ядро,
окруженное глубоким реголитом низкой плотности (Томас и др., 1986).
5.7. Поверхность сечения
Согласно представленному в разделе 5.4 методу, при в « рп движение
в окрестности резонанса может быть описано с помощью медленно
изменяющегося резонансного аргумента j = в — рМ (уравнение (5.73)). На рис. 5.17 а
показаны аналитические решения для в/п в зависимости от в. Значения в
получены из интеграла энергии для 7- Последний имеет вид
^72 - \[signH(p,e)]u;20cos21 = ^, (5.124)
где Eq — константа, определяемая начальными условиями. Аналитические
решения показаны для резонансов р — +1/2, +1, +3/2 и нерезонансного случая
р — 0. В случаях р — +1, +3/2, для которых Н(р,е) > 0, точки устойчивого
равновесия существуют при в = 0 и 7г, тогда как в случае р — +1/2, для
которого Н(р,е) < 0, точка устойчивого равновесия существует при в = 7г/2.
Во всех случаях условием выполнения равенства 7 = 0в точках устойчивого
равновесия будет
Ео = ~иЪС, (5.125)
и Eq является локальным (напомним, что ljq зависит от р) минимумом в этих
точках. При значениях Eq в пределах
--^С ^ Е0 < -JqC (5.126)
230
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
Рис. 5.17. а) Аналитические кривые в/п в зависимости от в на сепаратрисах ре-
зонансов р = +1/2, +1, +3/2 (и в либрационной области резонанса р = +1) при
а = у/3(В — Л)/С =0.2 и е = 0.1. б) Поверхность сечения для пяти траекторий
в фазовом пространстве (в, в/п) при тех же самых значениях а и е. Значения в и в/п
отображаются при каждом прохождении спутника через перицентр
угол 7 колеблется относительно положения равновесия с амплитудой,
определяемой Eq. Значение Ео на сепаратрисе, отделяющей область колебаний
от областей вращений, дается формулой
^о = ^и0С.
(5.127)
При движении по сепаратрисе максимальное значение |7| дает полуширину
резонанса; оно равно
|7max|=u;o. (5Л28)
На рис. 5.17 а показаны сепаратрисы различных резонансов при е = 0.1
и а = (3(13 — Л)/С)1/2 = 0.2. Заметим, что при малых амплитудах либрации
период либрации равен 27г/о;о, тогда как период либрации на сепаратрисе
бесконечен.
Чтобы выяснить, насколько удовлетворительна эта аппроксимация, мы
можем численно проинтегрировать полное уравнение движения (5.56) при
фиксированных значениях е и параметра несферичности а. Однако мы не
будем пытаться получить полные зависимости в и в/п от времени, а построим
поверхность сечения данного движения, которая проясняет
фундаментальные свойства каждого решения. Процедура построения состоит в численном
решении полного уравнения движения (5.56) и нанесении на график значений
в и в/п каждый раз, когда спутник проходит через перицентр. Перицентр
выбран произвольно, но здесь этот выбор является естественным, так как
в перицентре М — 0, и поверхность сечения поэтому эквивалентна графику
7 в зависимости от j/n.
На рис. 5.17 6 изображены поверхности сечения для набора начальных
условий (в, в/п), соответствующих значениям Eq/C, которые использовались
для построения аналитических кривых на рис. 5.17 а. В обоих случаях е = 0.1
и а = 0.2. Выбор относительно больших значений е и а помогает
проиллюстрировать размеры резонансных областей. Ширина резонансов в
данном случае велика; например, в случае резонанса р — +1 имеем ио = 0.2.
5.7. Поверхность сечения
231
Поэтому неясно, удовлетворяют ли аналитические решения со столь
высокими амплитудами либрации нашему требованию, чтобы траектории находились
в «окрестности» резонанса и в & рп. Метод поверхностей сечения позволяет
выяснить пределы применимости нашей аналитической теории.
а б
i I I I I I М I 1 I I I I M 1 i M I i ! 1 I 1
О в тг О О ж
Рис. 5.18. а) Аналитические кривые в/п в зависимости от в на сепаратрисах
и в либрационных областях резонансов р = + 1, +3/2 при а = у/3(В — Л)/С = 0.3
и е = 0.15. б) Поверхность сечения для трех траекторий в фазовом пространстве
(в, в/п) при тех же значениях а и е. Значения вив отображаются при каждом
прохождении спутника через перицентр
Численные эксперименты показывают, что в центральной части каждой
резонансной области, вблизи точки устойчивого равновесия, где амплитуда
либрации угла в мала, траектории на поверхности сечения в пространстве
(в, в/п) повторяют аналитические кривые с той поправкой, что присутствует
смещение, обусловленное вынужденной либрацией. Например, в случае
резонанса р = +1 вклад вынужденной либрации в величину j/n составляет
—0.0083 (см. (5.115)). Это малое отрицательное смещение едва заметно
на рис. 5.17 б, как и малые положительные смещения резонансов р = +1/2
и р — +3/2 (они более очевидны на рис. 5.18 б, где взяты еще большие
значения е и а). Если амплитуда либрации мала, последовательные точки
траектории на поверхности сечения следуют друг за другом в регулярной
последовательности, и траектория замыкается за время, равное периоду
колебаний. Однако, как видно из рис. 5.17 6, движение по сепаратрисе обладает
еще одним свойством, особенно явно проявляющимся в случае сильного
резонанса р = +1. Движение по сепаратрисе 0 при интегрировании полного
уравнения движения является хаотическим в том смысле, что изменение в
со временем непредсказуемо и фазовая точка блуждает в некоторых конечных
по в/п пределах, хотя изменение в подчиняется детерминированным законам.
Присутствие хаоса объясняет видимый «размытый» характер движения
вблизи сепаратрис резонансов р — +1 и р = +3/2.
Траектории на рис. 5.17 6 находятся в очень хорошем согласии с
аналитическими кривыми на рис. 5.17 а, несмотря на принятое нами предположение,
что каждый резонанс можно изучать независимо и усредненное влияние
всех других резонансов и вынужденных либрации сводится к нулю. Однако
■ i 11 11' i 11 i i '' 11 i i
1) Точнее, в окрестности сепаратрисы. — Прим. ред.
232
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
очевидно, что с увеличением ширины резонансов рано или поздно это
предположение перестает быть верным. На рис. 5.18 а показаны аналитические
решения для в при е = 0.15 и а — 0.3. В этом случае сепаратрисы резонансов
р = +\ и р = +3/2 перекрываются вблизи в — 0 и в — 7г. Перекрытие
подразумевает либрацию одновременно в двух разных спин-орбитальных состояниях,
что невозможно. Критерий перекрытия резонансов Чирикова утверждает, что,
если сумма невозмущенных полуширин двух резонансов больше расстояния
между их центрами, может иметь место крупномасштабный хаос (Чириков,
1979) *). В спин-орбитальной проблеме критерий перекрытия двух самых
сильных резонансов, р = +1 и р = +3/2, записывается как
^о(р=+1)+^о(р=+3/2)^| (5.129)
и приводится к виду
а^ 1-== (5.130)
2 + VTte
(Уиздом и др., 1984).
Чириков (1979) оценил также полуширину хаотического слоя2),
определенную им через относительные хаотические изменения интеграла энергии:
Е0
4теАс*ехр(-7гА/2), (5.131)
где е есть отношение коэффициента при ближайшем возмущающем
высокочастотном члене к коэффициенту при возмущаемом члене 3), а параметр
А (= AQ/u>q) равен отношению разности АЛ частот возмущающего и
ведущего резонансов к частоте uq малых фазовых колебаний на ведущем резонансе
(резонансе, соответствующем возмущаемому члену). В случае синхронного
спин-орбитального состояния, возмущаемого резонансом р — +3/2, имеем
е = #(+3/2,е)/#(+1,е) = 7е/2 и А = АП/и0 = п/па = 1/а; в итоге
АЕ0 14тге
-— « —з-ехр(-тг/2а) (5.132)
(Уиздом и др., 1984).
Ширина хаотического слоя зависит от эксцентриситета е линейно, а от
параметра несферичности а — экспоненциально, так что малое увеличение
а приводит к впечатляющему росту ширины хаотического слоя 4). Величина
1) Б. В. Чириков открыл критерий перекрытия резонансов в конце 50-х годов (1959,
Атомная энергия, т. 6, с. 630). Это исторически первый физический критерий хаоса в
детерминированных динамических системах. — Прим. ред.
2) Оценка (5.131) полуширины хаотического слоя относится к случаю высокочастотного
возмущения Л » 1 (взаимодействующие резонансы существенно разделены). — Прим. ред.
3) Иначе говоря, е есть отношение амплитуд возмущающего и ведущего резонансов. —
Прим. ред.
4) Если сама величина а достаточно мала. Легко видеть, что при а > 0.523... ширина,
наоборот, уменьшается. — Прим. ред.
5.7. Поверхность сечения
233
АЕо/Ео чрезвычайно мала для тел почти сферической формы, подобных
Меркурию и Луне, но для тел неправильной формы, подобных Гипериону, она
порядка единицы. Она может быть довольно заметной даже для таких тел,
как Мимас, который имеет правильную форму, но испытывает значительные
постоянные деформации (табл. 5.4).
Таблица 5.4. Ширина резонансов
Тело
Меркурий
Луна
Гиперион
Мимас
(В - Л)/С
0.0001
0.000228
0.26
0.06*
е
0.2
0.055
0.1
0.02
Р
+3/2
+ 1
+ 1/2
+3/2
+ 1
+ 1/2
+3/2
+ 1
+ 1/2
+3/2
+ 1
+ 1/2
Н(р,е)
0.64
0.90
-0.10
0.19
0.99
-0.03
0.34
0.97
-0.05
0.07
1.00
-0.01
соо/п
0.014
0.016
0.006
0.011
0.026
0.005
0.515
0.870
0.198
0.112
0.424
0.042
АЕо/Ео
10-зз
ю-21
1.1
0.28
AEtides/Eo
ю-6
ю-5
ю-9
ю-6
* Значение (В — Л)/С для Мимаса взято из работы Дермотта и Томаса (1988).
Хаотические слои около сепаратрис могли играть роль в эволюции
частоты вращения и ориентации некоторых спутников (Уиздом, 1987а,б).
Уменьшение величины интеграла энергии при столкновении с резонансом,
вызывающее захват в него, зависит от конкретного резонанса и от природы
механизма приливной диссипации (см. раздел 5.5). Однако захват в резонанс
идет по сценарию, описанному в разделе 5.5, только в том случае, если
убывание энергии под воздействием приливных сил за один либрационный цикл
значительно больше ширины хаотического слоя. Поэтому полезно сравнить
изменение энергии
6Etides ~ тг(Лд ~ Л^Я1 (5.133)
с шириной 2AEq хаотического слоя. Оценки этих величин в синхронном
случае приведены в табл. 5.4. Обратите внимание на резкий контраст ширины
хаотического слоя у Меркурия и Луны, с одной стороны, и у Гипериона
и Мимаса, с другой.
Уиздом (1987а,б) показал, что синхронные резонансы у всех малых
спутников неправильной формы в Солнечной системе, даже у находящихся,
подобно Деймосу (а — 0.8, е = 0.0005), на почти круговых орбитах, имеют
заметные хаотические слои. Кроме того, исследования Уиздома и др. (1984)
и Уиздома (1987а,б) устойчивости вращения относительно наклона оси
вращения (мы предполагаем в этой главе, что ось вращения всегда ортогональна
орбитальной плоскости) показали, что внутри хаотического слоя синхронное
состояние неустойчиво относительно наклона оси вращения. Когда спутник
находится в хаотическом слое синхронного резонанса, малейшее отклонение
оси вращения от нормали к орбите экспоненциально увеличивается на весьма
234
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
коротких шкалах времени и спутник начинает хаотически «кувыркаться»
в трех измерениях. Все синхронно вращающиеся спутники неправильной
формы в Солнечной системе, вероятно, провели период времени, сравнимый
по длительности со временем приливного замедления вращения, в состоянии
хаотического кувыркания, прежде чем в результате вращательной эволюции
спутники вышли из хаотической зоны. Уиздом (1987а,б) проанализировал,
как может отразиться длительный период кувыркания на физических
свойствах спутника х). Особенно интересно то обстоятельство, что состояние
кувыркания приводит к существенному повышению интенсивности приливной
диссипации по сравнению с ее уровнем при регулярном синхронном
вращении. Причина заключается в том, что в случае кувыркания амплитуда
прилива зависит от времени. Выражение для интенсивности приливного нагрева не
содержит множителя е2 (присутствующего в случае регулярного синхронного
вращения, см. раздел 4.10); при этом характерное время затухания
эксцентриситета меньше в е2 раз. В работах Уиздома (1987а,б) содержится интересное
обсуждение возможной роли хаотического кувыркания в нагреве Миранды
и в подавлении эксцентриситета орбиты Деймоса.
Контрольные упражнения
5.1. Используя при необходимости данные приложения А, ответьте на
следующие вопросы, а) Оцените величину а — с для спутника Юпитера Ио,
учитывая совместное влияние вращения и приливной деформации. (Выразите
ответ в километрах и в долях среднего радиуса; распределение плотности
положите однородным.) б) Повторите то же для Луны на ее современной
орбите, в) На ранней стадии существования системы Земля-Луна расстояние
до Луны составляло, вероятно, всего лишь 10 радиусов Земли, а период
вращения Земли был равен « 10 ч. Оцените сплюснутость е и параметр
J2 Земли в тот период, а также величину а — с для Луны, г) Меркурий
вращается с периодом 58.65 сут, что составляет 2/3 его орбитального периода,
равного 88 сут. Вычислите его гидростатическое сжатие, полагая, что число
Лява /с2 = 3/2. Возможно ли, по Вашему мнению, измерить е с помощью
современных методов наблюдений? Есть ли другой практический способ оценки
момента инерции планеты? д) Плутон и его спутник Харон, как полагают, оба
находятся в состоянии синхронного вращения. Оцените величину а — с для
обоих тел в предположении, что они имеют одинаковые плотности. (Вначале
необходимо оценить плотность, используя третий закон Кеплера.)
5.2. Текущее значение большой полуоси орбиты Харона составляет
19636 км, а его орбитальный период (и период вращения Плутона) равен
6.3872 сут. Радиус Плутона « 1 137 км, а радиус Харона « 600 км.
Предполагается, что Харон тоже вращается синхронно, так что в своей приливной
эволюции система достигла конечного устойчивого состояния, а) Вычислите
полную массу системы и среднюю плотность обоих тел. Какие измерения
1) См. также Wisdom, J. (1987) Astron. J. 94, 1350. В обзорах Уиздома (1987а,б) эти
вопросы рассмотрены лишь кратко. — Прим. ред.
Контрольные упражнения
235
необходимы, чтобы установить индивидуальные массы и плотности Плутона
и Харона? б) Покажите, что время, необходимое приливам на Плутоне для
синхронизации его вращения, равно
_ 27pQp mp(mp + mc) / a \ up
где 7 — C/mR2, первоначальный период вращения Плутона равен 2-к/ир,
а нижние индексы Р и С обозначают Плутон и Харон. Оцените тр, принимая
реалистичные значения для неизвестных физических параметров Q, 7 и &2 и
полагая 2-к/ир = 10 ч. в) По аналогии с приведенным здесь выражением для
тр выпишите выражение для времени тс замедления вращения Харона и
покажите, что тс/тр « (Rc/Rp) — 1/50. г) Каковы были исходные значения
большой полуоси и орбитального периода системы, если и Плутон, и Харон
первоначально вращались с периодом 10 ч?
5.3. Покажите элементарным путем, что приближенное значение
потенциала V в точке Р на расстоянии г от центра масс О тела массой га дается
формулой Мак-Каллага
V = _^ _ б(л + в + с-31)
г 2г3
где Л, В и С — главные моменты инерции тела относительно точки О, а / —
момент инерции тела относительно прямой ОР.
5.4. Рассмотрим вращение спутника при его движении по экваториальной
орбите вокруг планеты. Радиус, большую полуось, эксцентриситет орбиты,
среднюю аномалию и истинную аномалию обозначим через г, а, е, М и /,
соответственно. Аналитический подход к исследованию спин-орбитального
резонанса, в котором скорость вращения приблизительно в р раз больше
среднего движения, требует усреднения выражения (а/г)ъ sin(27 + 2рМ - 2/)
на орбитальном периоде (см. раздел 5.4); здесь 7 — угол ориентации.
Используя приведенные в разделе 2.5 разложения четвертого порядка для величин
(a/ry, cos/ и sin/, найдите выражения (с точностью до четвертого порядка
по эксцентриситету е) для величин S\, ^2, S3 и S4 в уравнении
(-) sin(27 + 2рМ - 2/) = (Si + S2) sin 27 + (S3 - й) cos 27.
Найдя усредненные по времени значения (Si) = (1/27г) J0n SidM, покажите,
что
(-) sin(27 + 2рМ - 2/)\ =Я(р,е) sin27,
и проверьте выражения (5.74)-(5.82) для Н(р,е). Учитывая, что величина
Н(р,е) связана с силой спин-орбитального резонанса, найдите наименьшее
значение е, при котором резонанс р — +1 слабее резонанса р = +3/2.
236
Гл. 5. Спин-орбитальное взаимодействие
5.5. Наибольшая ось малого эллипсоидального спутника составляет
угол в с направлением планета-перицентр. Дифференциальное уравнение
для в имеет вид
СО - Ьв - Л)^^- sin2^ = О,
1 г6
где Л, В и С — (постоянные) моменты инерции относительно различных осей,
шр — масса планеты, г — расстояние от спутника до планеты, а ф = / — 0,
где / — истинная аномалия спутника. С точки зрения теории, максимальная
амплитуда изменения в для спутника, захваченного в спин-орбитальный
резонанс 1: 1, составляет ±90° (рис. 5.17а). Однако влияние других резонансов
уменьшает эту амплитуду. Предполагая, что спутник находится на
фиксированной орбите, так что расстояние г может быть вычислено на любой момент
времени с помощью решения уравнения Кеплера, напишите компьютерную
программу для численного решения этого дифференциального уравнения.
Полагая (3(В — А)/С){/2 — 0.25 и е = 0.2, задайте в качестве начальных условий
положение спутника в перицентре и в — 0. Используя различные начальные
значения в/п (где п — среднее движение спутника), найдите максимальную
амплитуду изменения угла в в спин-орбитальном резонансе 1:1.
5.6. Используя аналитическую теорию, описанную в разделе 5.7,
выведите выражения для минимальных и максимальных значений в/п на
поверхности сечения в случае обратного вращения спутника, захваченного
в спин-орбитальные резонансы р — —1/2 и р=-1. Полагая
эксцентриситет е орбиты спутника фиксированным, выведите формулу для значения
а = (3(6 — Л)/С)1/2, при котором либрационные области этих двух
резонансов перекрываются. Аналогично, фиксируя параметр а, выведите формулу
для значения е, при котором происходит перекрытие. Используя программу
из упражнения 5.5 и полагая а = 0.25 и е = 0.15, постройте для
спин-орбитальных резонансов р=-1/2 и р=-1 поверхность сечения с наглядными
примерами либрации, циркуляции и движения вблизи сепаратрис.
Глава 6
ВОЗМУЩАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
Блестящая игрушка! Золотая
Виновница заботы! ...
Уильям Шекспир, Генрих IV,
часть вторая, акт IV, сцена 5
(пер. П. Каншина)
6.1. Введение
В главе 3 мы рассмотрели оганиченную задачу трех тел с точки зрения
расположения и устойчивости точек равновесия. Мы не пытались, однако,
решить более общую задачу движения третьего тела в гравитационном поле
двух других тел для произвольных начальных условий. Эта задача неинтегри-
руема, но мы можем продвинуться в ее исследовании, проведя анализ
ускорений, испытываемых тремя телами. Если в динамике доминирует центральное
(или «первое») тело, то орбиты остальных двух тел будут коническими
сечениями с малыми отклонениями, вызванными их взаимными гравитационными
возмущениями. В этой главе мы покажем, как эти отклонения могут быть
рассчитаны путем определения и
анализа возмущающей функции.
Рассмотрим тело массой га^,
обращающееся вокруг первого тела массой тс
по эллиптической орбите. Как мы
убедились в главе 2, эта задача интегрируема
и элементы орбиты а^, е*, /*, wi и П$
тела rrii постоянны, если поле тяготения
центрального тела можно рассматривать
как поле точечной массы. Если теперь
ввести третье тело rrij, то взаимная
сила тяготения между телами rrii и rrij
обусловит новые ускорения в дополнение
к ускорениям задачи двух тел,
вызываемым массой тс (рис. 6.1). Эти дополнительные ускорения второго и третьего
тел относительно первого могут быть получены из градиента возмущающего
потенциала, называемого также возмущающей функцией.
Эта глава посвящена математическому исследованию свойств разложения
возмущающей функции в ряд Фурье. Мы покажем, каким образом
специфические задачи динамики Солнечной системы могут быть исследованы
путем выделения подходящих членов в разложении возмущающей функции,
Рис. 6.1. Радиус-векторы г^ и г, двух
тел rrii и rrij относительно
центрального тела гас. Радиус-векторы Rb Rj
и Rc трех тел заданы относительно
произвольно выбранного
фиксированного начала О системы отсчета
238
Гл. 6. Возмущающая функция
в предположении, что усредненными по времени вкладами всех остальных
членов в уравнения движения можно пренебречь. Понимание свойств
возмущающей функции является ключевым для объяснения резонансных и других
долгопериодических движений в Солнечной системе.
6.2. Возмущающая функция
Обозначим радиус-векторы трех тел (масс) гас, mi и щ относительно
неподвижного начала О системы отсчета через Rc, R^ и Rj, соответственно.
Пусть Ti и Tj обозначают радиус-векторы второго и третьего тел, га; и га^,
относительно первого, причем
N = П = (х2 + у2 + z2) , |r,| = rj = (х2 + у2 + z2) (6.1)
и
|г, - Ti\ = \{Xj - Xi)2 + (yj - yi)2 + (Zj - ^)2] , (6.2)
а первое тело служит началом новой системы координат (рис. 6.1).
Из ньютоновых законов движения и закона всемирного тяготения
получаем уравнения движения этих трех тел в инерциальной системе отсчета:
Г' Г '
racRc = Qmcrrii-^ + Отпсщ-^у (6.3)
ri rj
rriiTli — Qrriimj—^- \~ — Ятгтпс-\, (6.4)
r7 — тЛ6 г*
\ J ь I %
ra7R7- = Qrrijmi-—^ ^ — <?га7гас-4. (6.5)
Гг - Г7 Р И
I г j\ э
Ускорения второго и третьего тел относительно первого определяются
выражениями
fi = Ki - Rc, (6.6)
rj = Rj - Rc. (6.7)
Подставляя в (6.7) выражения (6.3)-(6.5) для Rc, R^ и Rj, имеем
fz + Q{mc + гщ)Ц = Grrij I ^~\ -Ц), (6.8)
Г- y\Tj Гг|
Yj + G(mc + тп,)Ц = Gnu ( rijrj3 - ^ ) • (6.9)
rj \1Гг rjl Ti
Эти относительные ускорения могут быть записаны как градиенты
скалярных функций, а именно
гг = Vi(Ui + Пг) = (\^- + j А +£^ (Ui + Tli) (6.10)
6.2. Возмущающая функция
239
Ь = v,(v, + и,) = (т£ + j£ + ££) w + я,,. (6.1 о
где
Ui=gl^L2^1 И и5=д"~* ' ""J (6.12)
,гас + гаг _rmc + rrij
являются центральными, или двухтельными, частями полного потенциала.
Нижний индекс г или j при операторе V указывает, что градиент берется
относительно координат тела гаг или rrij. Член TZ в потенциале называется
возмущающей функцией. Он представляет собой потенциал, создаваемый
другой вторичной массой. Поскольку гг- не зависит otxj, yj и zj, a г?- — от Xi,
Уг и Zi, мы можем записать
Яг = 1 —7 ~ Qmj ^-, (6.13)
I 3 г\ э
Tin = 7 — ymi—^. (6.14)
r,- — r7- r-
I * J i 'г
Первые члены в этих выражениях называют главными или прямыми
членами, а вторые, появление которых обусловлено выбором начала системы
координат, — косвенными членами. Если бы начало системы координат
располагалось в центре масс, то косвенных членов не было бы.
Данный анализ можно распространить на любое число тел. Кроме того,
ускорения, связанные с возмущающей функцией, могут иметь любой
источник, а не только силы тяготения точечных масс. Они могут, например,
определяться потенциалом, обусловленным сплюснутостью центрального тела
(см. раздел 6.11). Однако далее в этой главе мы сосредоточимся главным
образом на случае двух спутников — точечных масс га и га' с радиус-векторами
гиг' относительно центрального тела, причем положим, что всегда г < г'.
В принятых обозначениях уравнение движения внутреннего спутника имеет
вид
г + G(mc + га)^ = Gm' (, Г. ~* - -^ J , (6.15)
Г6 \\Г — Г\6 г' J
а его возмущающая функция записывается в виде
где // = Qmf. Соответствующая опорная орбита имеет оскулирующие
элементы, связанные соотношением п2а? — G(mc + га). Аналогичные уравнения
можно выписать для внешнего спутника:
г' + д(тс + т')^ =9т С^к ~ ^) • <617)
240
Гл. 6. Возмущающая функция
Возмущающая функция для внешнего спутника равна
тг' =
М
Г • Г
(6.18)
где \i = Qm. Соответствующая опорная орбита имеет оскулирующие
элементы, связанные соотношением пг о! — Q{mc + га').
Использованный здесь способ вывода выражений для TZ и VJ логически
наиболее естественный, но необходимо отметить, что этот способ, как и
полученные выражения, не уникален. Например, можно добавить слагаемое
Gmrf/rf в левую и правую части уравнения (6.17) движения тела га', что
приведет к появлению дополнительного члена — /х/г' в выражении для VJ\
однако при этом соответствующая опорная орбита для га' будет иметь
оскулирующие элементы, связанные соотношением п' о! — Q(mc + га + га').
6.3. Разложение по многочленам Лежандра
Пусть имеется конфигурация, представленная на рис. 6.2, где через гиг'
обозначены радиус-векторы тел га и га'. Обозначим через ф угол между
этими двумя радиус-векторами. Из
теоремы косинусов имеем
т2+т'2
2rr'cosV>, (6.19)
или
Рис. 6.2. Раиус-векторы гиг' двух
тел га и га' относительно
центрального тела гас. Угол между
радиус-векторами обозначен через ф
1
1
г' — г
1-1/2
(6.20)
Это выражение можно разложить по
многочленам Лежандра, что дает
1 _°°. ;
= ^£(£) ^(cos^),
1=0
(6.21)
где ^(cos^) = 1, Pi (cos ^) = cos?/', Т>2(соБф) — (1/2) (Зсоэ2^ — 1) и т.д.
(см. раздел 4.2).
Поскольку г • г' = rr'cosф — rr'7:>i(cos'0), возмущающая функция для
внутреннего спутника записывается как
^=7£©^(cosV,)'
1=2
(6.22)
где слагаемое То(со&ф) опущено, поскольку оно не зависит от г; кроме
того, в конечном счете нас интересует только градиент П по координатам
6.3. Разложение по многочленам Лежандра
241
внутреннего спутника. Аналогично возмущающая функция для внешнего
спутника записывается как
^' = ^E(^) ^(cosV) + ^+/x-^cosV>-/x^cosV>. <6-23)
1=2
Таким образом, если отвлечься от трех дополнительных слагаемых (которые
в действительности не важны для обсуждаемых в нашей книге приложений),
выражения для 1Z и VJ очень похожи.
В данной главе мы рассматриваем разложения возмущающих функций
TZ и VJ в ряды по элементам орбит (в противоположность разложениям по
декартовым координатам) тел га и га'. Мы используем стандартные элементы
а, е, /, w, Q и А, обозначающие, соответственно, большую полуось,
эксцентриситет, наклонение, долготу перицентра, долготу восходящего узла и
среднюю долготу тела га; те же величины для тела га' отметим штрихом.
Покажем, что разложение TZ имеет вид
П = ц' ^2 s(a> a'> е> е'> 7> 7') cos Ч>- (6.24)
Здесь ip — допустимая линейная комбинация общего вида
Ч> = 3\ А; + h A + jW + к™ + к®! + Э&, (6.25)
где ji(i = 1,2,..., 6) — целые числа, причем
б
5>=0. (6.26)
г=\
Это свойство вытекает из азимутальной инвариантности потенциала первого
тела. Зная явный вид функции S и допустимые комбинации углов в
выражении для с/?, мы можем выявить те члены, которые вносят основной вклад
в уравнения движения и, наоборот, те члены, которыми можно пренебречь.
Для иллюстрации характера этого разложения рассмотрим частный
случай, когда орбиты двух тел т и т! лежат в одной плоскости и поэтому
можно исключить члены, обусловленные наклоном орбит. В этом случае угол
ф записывается как разность истинных долгот:
^ = (/, + ш/)-(/ + ш), (6.27)
где через / и /' обозначены истинные аномалии тел т и т1'. Тогда
cos ф = (cos f cos vj1 — sin f sin vo') (cos / cos w — sin / sin w) +
+ (sin f cos w1 + cos/'since') (sin/cos се + cos/ sin w). (6.28)
Мы уже привели разложения для cos/ и sin/ в разделе 2.5; аналогичные
ряды для cos/' и sin/' можно получить, заменяя М на М' и е на е'.
242
Гл. 6. Возмущающая функция
Раскладывая в ряд до второго порядка по эксцентриситетам е и е', имеем
cos^ = (1 - е2 - е'2) cos[M — М' + w — w'\ —
- е cos[M' -w + w']-e' cos[M + vo - vo'] +
+ ecos[2M - M' + vo - vo'} + e' cos[M - 2M' + vo — vo \ —
- -e2 cos[M + M' - vo + vo'} - -e'2 cos[M + M' + vo - vo'} +
о о
+ f e2 cos[3M - M' + w - w'\ + f e'2 cos[M -3M' + ro- c/] +
8 8
+ ее' cos[zu - vo'\ + ее' cos[2M - 2M' + vo -vo'\-
- ee'cos[2M + vo - vo'} - ее'cos[2M' - vo + vo']. (6.29)
Уже на данном этапе становятся очевидными некоторые свойства
выражения для cos^. Видно, что степень эксцентриситета в коэффициенте при
любом из косинусов больше или равна модулю суммы коэффициентов
средних аномалий в аргументе этого косинуса. Еще одно свойство выявляется,
если выразить углы не через средние аномалии, а через средние долготы,
используя подстановки М = А — vo и М' = А' — vo'. Это дает
cos ф = (1 — е2 — е' ) cos[A — А'] — е cos[A' — vo] — ef cos[A — vo'] +
+ ecos[2A - A7 - vo] + e' cos[A - 2A' + vo'] -
- \e2 cos[A + A' - 2zu] - ^e'2 cos[A + A' - 2tu'] +
8 8
+ f e2 cos[3A - A' - 2m] + f e'2 cos[A - ЗА' + 2w'} +
8 8
+ ее' cos[vo — vo'] + ее' cos [2 A — 2 A' — vo + vo'] —
— ее cos[2A — vo — vo'] — ее cos[2A' — vo — vo']. (6.30)
При таком выборе углов видно, что сумма целочисленных коэффициентов
всех долгот в аргументе любого из косинусов равна нулю. Это специфическое
свойство выполняется и в окончательном разложении, когда углы выражены
через долготы. Это позволяет определить допустимые аргументы.
Если теперь обратиться к частям возмущающей функции (6.22),
зависящим от радиуса, то можно записать
^х>'(^) (Э7*00^)' (б-31)
ГД6 а = ± < 1 (6.32)
а'
является отношением больших полуосей орбит т и га'.
6.3. Разложение по многочленам Лежандра
243
Если рассмотреть члены с I = 2, то разложение в ряд для г /а, приведенное
в разделе 2.5, дает
(-) « 1 -2ecosM + -e2(3-cos2M), (6.33)
\а/ 2
(^) ~ ! + 3e'cosM' + |e'2(l + 3cos2M') (6.34)
©'(?):
О О 1
1 + -е2 + -е'2 - 2е cos М + Зе' cos М' - -е2 cos 2M +
+ |е'2 cos 2M' - Зее' cos[M - М'] - Зее' cos[M + М']. (6.35)
Поскольку Р2(*) = (1/2)(Зж2 - 1), Р3(ж) = (1/2)(5ж3 - Зх) и т. д., для
вычисления Vi{cosip) требуются значительные усилия (ввиду сложности
нашего выражения для собФ). В случае / = 2 имеется четырнадцать разных
аргументов, а в случае / = 3 их уже тридцать шесть. Однако, поскольку
аргументы косинусов в разложении {r/a)l{a!/r')l+x в ряд содержат только суммы
и разности средних аномалий, произведение этого ряда на члены разложения
Vi(cosip) сохраняет свойство равенства нулю суммы коэффициентов долгот
в аргументе любого косинуса.
Даже на этом простом примере видно, что разложение возмущающей
функции представляет собой нетривиальную задачу, которую лучше всего
решать при помощи систем компьютерной алгебры. Конечным результатом
является ряд по а с большим числом различных аргументов. Прежде чем
рассмотреть, как лучше всего работать с этим рядом, нам необходимо обобщить
разложение на трехмерный случай, введя в рассмотрение наклоны и узлы
двух орбит.
Возмущающая функция 1Z может быть разложена по стандартным
элементам орбит с помощью метода Каулы (1961, 1962). В этом методе
возмущающая функция для внутреннего спутника раскладывается в бесконечный ряд
по оскулирующим (то есть мгновенным) элементам эллиптического
движения, отнесенным к плоскости экватора главного тела. Выражение (6.16) для
TZ принимает вид
1=2 т=0 v J
I оо
p,p'=0 q,q'=—oo
x cos [(/ - 2p' + q')\' -{l-2p + q)\ - q'vo' + qvo +
+(m - I + 2p')Q' -(m-l + 2p)Q] , (6.36)
244
Гл. 6. Возмущающая функция
где а = а/а\ А и А' — средние долготы, w и w1 — долготы перицентров,
а хо = 1 и хт = 2 в случае га / 0.
Функции Fimp{I) — функции наклонения, определяемые как
^(l + m)!v k(2l-2p\( 2p \
J3Z-m-2p-2A; _m-Z+2p+2A;
(6.37)
где г = л/^Т, 5 = sin(J/2) и с = cos(J/2). Суммирование по А: производится
от /с = тах(0,1 — т — 2р) до А: = min(/ — т,21 — 2р).
Величины Х^ъ{е) называются коэффициентами Ганзена; их можно
определить как
оо
ХаЛе) = е^ £ Kt,«+0e2a- (6-38)
Здесь а = max(0, c — b), /3 = max(0, b — с). Величины X^d называются
операторами Нъюкома. Их можно определить рекурсивно по формулам
*$=1' (6-39)
Х^ = Ь-а/2 (6.40)
и
4сХсаЬ6 = 2(26 - а)Х^ + (Ь - а)Х^, (6.41)
если d = 0, или
4dXcaj = -2(26 + a)X#li - (Ь + a)Xca;^22 - (с - 5d + 4 + 46 + a)X^ld_{ +
+2(С - d+6) х:(-1у (3fWVi- <6-42>
j^2 V ^ У
если d ^ 0. Кроме того, Х^ = 0, если с < 0 или d < 0. Если d > с, то
■ya,6 -ya,—6
Дополнительные сведения о коэффициентах Ганзена и операторах Ньюко-
ма можно найти в книге Пламмера (1918) и статье Хьюза (1981). В частности,
Хьюз (1981) описывает свойства коэффициентов Ганзена и их рекуррентные
соотношения.
Нам следует также рассмотреть разложение VJ. Довольно курьезно, что
это разложение отсутствует в литературе. Можно предположить, что,
поскольку данная форма разложения была изобретена для расчетов орбит
искусственных спутников Земли при возмущениях со стороны Луны и Солнца,
находящихся на внешних орбитах, потребность в аналогичном разложении
для VJ никогда прежде не возникала.
6.4. Буквенное разложение по элементам орбиты
245
Выражение для VJ имеет вид
п' = ^Е«' Е ^feSi Е W')W'') х
l=\ m=0 V J'р,р'=0
ОО
х Е ^2P2:9(e)^;^"2p'(e/)cos[('-2^+^)A'-
q,q' = — oo
- (Z - 2p + g)A - g'ro' + qw + (m - I + 2p')Q' - (m - I + 2p)Q] -
~ "J E Xmd+m)! E Flmp(-0*WCO X
m=0 V '* p,p'=0
oo
x E X-^{e)x\^Xql{e')cos[{\-2P' + q')\'-
q,q'=—oo
- (1 - 2p + q)\ - q'vo' + qm + (m - I + 2p')Sl' - (m - 1 + 2p)fi]. (6.43)
6.4. Буквенное разложение по элементам орбиты
Ввиду важного значения возмущающей функции в исследованиях
динамики Солнечной системы, ряд авторов получили ее разложения высоких
порядков. Пирс (1849) вывел разложение шестого порядка по
эксцентриситетам и взаимным наклонениям. Одним из важнейших разложений
возмущающей функции и одним из наиболее часто используемых, мы обязаны
Леверье (1855), который опубликовал разложение седьмого порядка. Боке
(1889) продолжил разложение Леверье до восьмого порядка. Разложение
Леверье содержит ряд тривиальных ошибок, по большей части
исправленных в последующих изданиях «Анналов Парижской обсерватории»;
единственная нетривиальная ошибка была обнаружена Мюрреем (1985). Среди
других разложений следует отметить буквенное разложение шестого
порядка, полученное Ньюкомом (1895), и разложения низких порядков Брауна
и Шука (1933) и Брауэра и Клеменса (1961). Хотя все эти разложения были
выполнены по индивидуальным эксцентриситетам и долготам перицентров
двух обращающихся тел, во всех них использовались взаимное наклонение
и взаимный восходящий узел. Вероятно, причиной этому была потребность
сократить объем необходимых вычислений, но в эпоху компьютерной алгебры
подобные ограничения уже не актуальны. В разделе 6.5 мы выводим
разложение до второго порядка включительно по индивидуальным эксцентриситетам
и наклонениям. В приложении Б приведено буквенное разложение до
четвертого порядка включительно. Оба разложения получены описываемым ниже
методом.
Ввиду сложности разложения, принято различать главную и косвенную
части возмущающей функции. Используя определения (6.16) и (6.18), мы
можем записать / /
П = ^-TZD + ^аТгЕ, (6.44)
а' а'
246
Гл. 6. Возмущающая функция
П' = ^Пц + ^П1, (6.45)
a' a' az
где а'
KD = г (6.46)
|г — г|
и
^e=_(D (?)со8ф' (647)
ni=~(rp) {^Усо8ф- (б-48)
В этих выражениях величина 1Z& представляет главную часть возмущающей
функции, 7£е — косвенную часть, обусловленную внешним возмущающим
телом, и 1Z\ — косвенную часть для внутреннего возмущающего тела. Из
выражений (6.44)-(6.46) очевидно, что разложение 7£d можно использовать для
вывода главной части как 1Z, так и VJ.
Чтобы выделить нужные члены в возмущающей функции в любой частной
задаче динамики Солнечной системы, необходимо получить разложение 1Z
или 11' в ряд по индивидуальным элементам орбит двух обращающихся тел.
Это требует отдельного вывода разложений главной части 7£d, определяемой
формулой (6.46), и косвенных частей 7£е и Hi, определяемых формулами
(6.47) и (6.48). Аргументы косинусов в разложении, приведенном в
приложении Б, отмечены буквами D, Е или I в соответствии с частью возмущающей
функции, из которой они происходят.
Используя (6.19), запишем
1-1/2
2rr costJjI , (6.49)
где А = |г; — г| — расстояние между двумя телами, ф — угол между двумя
радиус-векторами (рис. 6.2). Поскольку г • г7 = rr' cos ф, мы можем записать
хх' + уу1 + zz'
соБф = . (6.50)
гг
Из выражения (2.122) имеем
х
- = cosficos(o; + /) — sinfisin(o; + /)cos/, (6.51)
г
У
- = sin fi cos(o; + /) + cos fi sin(o; + /) cos J, (6.52)
r
- = sin(o; + /) sin Г (6.53)
r
и аналогичные выражения для xf/r1\ yf/rf и zf/rf.
Каждое из приведенных выше выражений может быть разложено в ряд по
М и М' с использованием разложений для cos/ и sin/, данных в разделе 2.5;
отсюда можно вывести разложение для соъф. Определим
Ф = cos ф - cos(0 - 0'). (6.54)
1 Пв
= =
А а'
Г 2 , /2
г■ + г
6.4. Буквенное разложение по элементам орбиты
247
где в = w + / и в' = vc' + f — истинные долготы внутреннего и внешнего
тел, соответственно. Как мы позже убедимся, результирующий ряд для Ф
является разложением второго порядка по sin/ и sin/', а выражение для Д-1
может быть разложено в ряд Тейлора по Ф. Имеем
_1_
А
г2 + г'2 - 2rr' (cos(0 - в') + Ф)
1 ,.1 3, ,,тл2 1
-1/2
(2<)!
_+г/ф_ + _Кф) _ + ... = gi_^.^j __
где
Пусть
До"
Ро
./2
г2 + г'-2rr'cos(e - в')
/л!"1/2
_/2
а2 + а' - 2аа' cos(0 - в')
1/2
Используя разложение в ряд Тейлора по ро, мы можем записать
1
A2i+1
Ро
1 . ,9 1
2i+l + (Г ~ й^
/ч д
да \ p2i+i
+ (r'-«'te
1
да' \ p2i+l
+
Пусть Dm<n обозначает дифференциальный оператор
г-) т >п
Um.n — а а
ят+п
датда'п'
и также пусть
е' = -.-\.
(6.55)
(6.56)
(6.57)
(6.58)
(6.59)
(6.60)
е = --1,
а а'
Из разложения (2.81) для г/а видно, что е имеет порядок О(е), а е' имеет
порядок О(е'). Отсюда
A2i+1
1 + e£>i,o + е'Д),1 + - (e2L>2,0 + 2ee'Z>i,i + е'^о.г) + •••
1
Однако, согласно (6.57),
_L-L2^/2
Pli+l
^P2o+r
(6.61)
= [а2 + а'2 - 2аа! cos(0 - 0')] ^'^
= а
/-(2г+1)
[l+a2-2acos(0-0')]
-,-(*+1/2)
= а
/-(2i+l) l
о Е ^.(a)cosj(e-n (6.62)
3 = -оо
lU)
где величины Й■ (а) называются коэффициентами Лапласа, каждый из
которых может быть представлен в виде равномерно сходящегося ряда по а при
248
Гл. 6. Возмущающая функция
всех а < 1. Поскольку операторы Dmn действуют только на коэффициенты
Лапласа, мы можем определить функции AijiTn<n как
Aij,m,n = Dm,n (а'-(2*+1)6г(+1/2И) = am°'
/n дт+п / ,-{2г+\)ф)
датда'п V i+1/2
(«))
(6.63)
и можем теперь записать
1 1 °°
-Гй+Г = о XI IAj'AO + еЛмЛ,о + £'Ai,jA\ + ■■■] cosj(e - в'). (6.64)
и з——oo
Если обобщить это выражение, получим
1 1 °°
Е
д2г+1 2
^0 j=-oo il=0 " k=0
tvto^"-^.^
cosj{6-6'). (6.65)
При вычислении частных производных Aijxi-k по а и а' следует быть
внимательным, поскольку а и а' также содержатся неявно в коэффициентах
Лапласа br^{,2(a/a').
Подставив (6.65) в (6.55), имеем
*>=££
(2г)! /lrr'Va'a
г=0
х ;Ф
(г!)2 \2аа'
г „t_/*+l
Е
2
j=-oo U=0 fc=0
eV"fc,
*i,j,k,l—k
cosj(6-e'). (6.66)
Стоит заметить, что в выражении (6.66) наклонения I к Г содержатся только
в величине Ф, а эксцентриситеты содержатся только в членах с величинами
е и е'.
Разложения косвенных частей 7£е и TZ\ получаются более
непосредственно при использовании разложения (6.50) для cos^ и рядов из раздела 2.5.
Отметим, что разложение этих членов не содержит коэффициентов Лапласа.
Буквенное разложение использует коэффициенты Лапласа, являющиеся
явными функциями от а, а не индивидуальные коэффициенты, являющиеся
степенями а, с которыми мы имели дело в разложении Каулы. Коэффициенты
Лапласа и?К,2{а) в выражении (6.62) определяются как
itf'w = h
2тт
cos jil>&ijj
(1 — 2a cos ф + a2)s '
(6.67)
6.5. Буквенное разложение второго порядка
249
где 5 = г+1/2 — полуцелое число (то есть s = 1/2, 3/2, 5/2,...) и а = а/а'.
Мы можем записать это выражение в виде ряда
\ъ«\а) =
8(8+l)...(s+j-l)
1-2-3.. .j
w
\ , s(s + j) 2 ,
l-2(j+l)(i + 2)
. (6.68)
В случае j = О множитель перед квадратными скобками равен единице.
Можно показать, что этот ряд, определяющий коэффициенты Лапласа, всегда
сходится при а < 1.
Полезные соотношения между коэффициентами Лапласа и их
производными приведены Брауэром и Клеменсом (1961). В частности,
b(-j) = bU)t
DbP = 8(b<tf-2ab%l+bW),
(6.69)
(6.70)
Dnb^ = 8(D»-\b(J-i) _ 2aDn-xb%{ + Dn~xb%X) - 2(n - \)Dn~2bf+{)
(6.71)
an (рЧ® - £>пьУ-2>) = -(j + n - l)an-lDn~lbiJ) -
-(j-n- l)an-]Dn-lbii-V + 20* ~ О [апЯп_,"#-1> +
+ (n-l)»"-1!)71-2^-1)
(6.72)
где в последних двух соотношениях п ^ 2, a D = d/da — дифференциальный
оператор.
6.5. Буквенное разложение второго порядка
В качестве иллюстрации описанной в разделе 6.4 методики выведем
теперь разложение возмущающей функции в ряд до второго порядка
включительно по эксцентриситетам и наклонениям.
Чтобы получить разложение в ряд для cosip, необходимо вначале
использовать разложения (2.84) и (2.85) для sin/ и cos/ по средней аномалии М.
До второго порядка имеем
sin / = sin М + е sin 2М + е2 ( - sin ЗМ - - sin М ) ,
8
8
cos / = cos M + е (cos 2М - 1) + е2 ( - cos ЗМ - - cos М I .
8
8
(6.73)
(6.74)
250
Гл. 6. Возмущающая функция
Отсюда
cos[cj + /] = cos ш cos / — sinш sin / « cos[cj + M] + e (cos[u; + 2M] — cos ш) +
2 / r . _ 1 r _ 9
+ ez ( - cos[u; + M] - - cos[cj - M] + - cos[cj + 3M] 1 (6.75)
и
sin [a; + /] = sin cj cos/ + cos и sin/ « sin[u; + M] + e (sin [a; + 2M] — sin a;) +
+ e2 ( - sin[a; + M] - i sin[cj - M] + | sin[a; + 3M] J . (6.76)
Следуя некоторым предыдущим разложениям (включая разложение Кау-
лы, которое обсуждалось в разделе 6.3), нам требуется выразить
возмущающую функцию через степени величин sin(J/2) и sin(J;/2), а не синусов
и косинусов наклонений. Поэтому мы используем соотношения
cos Г= 1 - 2 sin2 \l=l~ 2s2 (6.77)
и
sin/ - 2sin i/ Л - sin2 M = 25 + О (V3) , (6.78)
где s = sin(J/2). Подстановка этих выражений и наших разложений для
cos[cj + /] и sin [о; + /] в (6.51)-(6.53) дает
х
- « cos[cj + ft + М] + е (cos[cj + ft + 2М] - cos [a; + ft]) +
г
2/9 Р _ _ 1
+ е2 ( - cos[cj + ft + ЗМ] - - cos[cj + ft - М] - cos[cj + ft + M] J +
+ ^ (cos[cj - ft + M] - cos[cj + ft + M]), (6.79)
- w sin [a; + ft + M] + e (sin[cj + ft + 2M] - sin [a; + ft]) +
2/9 . r _ _ 1
+ ez - sin[cj + ft + 3M] - - sin[cj + ft - M] - sin[cj + ft + M]
\o о
- s2 (sin[a; - ft + M] + sin[cj + ft + M]) (6.80)
и z
- « 2s sin [a; + Ml + 2es (sin [a; + 2M] - sin a;). (6.81)
r
Аналогичные выражения могут быть получены и для х'/г\ у'/г' и z'/r'
путем замены в приведенных выше выражениях нештрихованных величин
6.5. Буквенное разложение второго порядка
251
штрихованными. Отсюда, используя (6.50), находим выражение для соБф.
В то же время, используя формулы М = X — т и и = т — ft, мы можем
выразить разложение через долготы. Имеем
cos ф « (1 - е2 - е'2 - s2 - s'2) cos[A - А'] + ее7 cos[2A - 2А' - т + т] +
+ ее' cos[m - т'] + 2ss' cos[A - A7 - ft + ft7] + e cos[2A - A7 - ш] -
- e cos[A7 - m] + e7 cos[A - 2A7 + zu7] - e7 cos[A - zu7] +
9 1
+ -e2 cos[3A - A7 - 2m] - -e2 cos[A + A7 - 2m] +
о о
+ f e'2 cos[A - ЗА' + 2w'} - \e'2 cos[A + A' - 2zu'} -
О О
- ее cos [2 A - zu - m'] - ее' cos [2 A7 - m - m'] + s2 cos [A + A7 - 2ft] +
+ s'2 cos[A + A7 - 2ft7] - 2ss' cos[A + A7 - ft - ft7]. (6.82)
Поскольку в = и + ft + /, имеем
cos[0 — в'] = (cos ft cos[u; + /] — sin ft sin[cj + /]) x
x (cos ft7 cos[u/ + f] - sin ft7 sin[u/ + /7]) +
+ (sin ft cos[cj + /] + cos ft sin[cj + /]) x
x (sin ft7 cos[cj7 + f] + cos ft7 sin[cj7 + /7]). (6.83)
Сравнивая результат с (6.51)-(6.53), видим, что данное разложение для
cos [в — в'] может быть получено из разложения для cos^, если положить
/ = V = 0. Поскольку Ф = cos^ — cos[0 — 07], из разложения cos^ видно, что
Ф является частью соъф, зависящей от наклонения, и
Ф = s2 (cos[A + А7 - 2ft] - cos[A - А7]) +
+ 2ssf (cos[A - А7 - ft + ft7] - cos[A + A7 - ft - ft7]) +
+ s'2 (cos[A + A7 - 2ft7] - cos[A - A7]) . (6.84)
Заметим, что Ф является величиной второго порядка относительно
наклонений.
Поскольку г/а = 1 + О(е) и г'/а! = 1 +0(е7), ясно, что с точностью
до второго порядка относительно эксцентриситетов и наклонений мы можем
записать
1-!1ф = -L2 (Cos[A + А7 - 2ft] - cosfA - А7]) +
1 а о! 1
+ SS* (cos[A - А7 - ft + ft7] - cos[A + А7 - ft - ft7]) +
+\s'2 (cos[A + A7 - 2ft7] - cos[A - A7]). (6.85)
252
Гл. 6. Возмущающая функция
Это выражение не зависит от е для разложения данного порядка. Так как нас
интересует только разложение второго порядка, а величина Ф уже второго
порядка, вторыми и более высокими степенями Ф можно пренебречь.
Таким образом, нами получен первый из двух основных членов, требуемых
в разложении для 7£d (cm. (6.66)). Теперь нам следует вывести выражение
для cos j[0 — 07], где j — произвольное целое число. Прежде всего заметим,
что
cos j[9 - в'} = cos j[lj + Q + f] cos j[u>' + ft' + /'] +
+ sin j[u + Q + f] sin j [a/ + ^ + /'] • (6.86)
Из (2.88) имеем
/ - M + 2e sin M + |e2 sin 2M + О (e3) . (6.87)
Если подставить это выражение в cos j[u> + Q + f] и sin j[lj + Q + /], перейти
затем, как и ранее, к долготам и разложить результат в ряд Тейлора, то
получим
cos jO « (1 - j2e2) cos[jA] + Q/e2 - |je2) cos[(2 - j)X - 2w] +
+ ( o/e2 + q^2 ) cosI(2 + -?)A " 2zxJ] ~ Зес°Ф ~ ЯА - H +
8"
+ jecos[(l + j)X-m] (6.88)
■2Л2\ -_гЛ-\1 i I ^ аЛ l &Л
sin j0 « (1 - jV)sin[jA] + ( -je2 - -jVJ sin[(2 - j)X - 2m] +
+ Uje2 + -j2e2j sin[(2 + j)X - 2w] + jesin[(l - j)A - ш] +
+ jesin[(l +j)X-m]. (6.89)
Заменяя нештрихованные величины на штрихованные, мы можем легко
получить аналогичные выражения для cos j6f и sin j6f. В итоге выражение для
cos j[6 —6'} принимает вид
cos j[0 - в'} « (1 - j2e2 - jV2) cos[j(A - A')] +
+ (Jje2 + ±j2e2) cos[(2 + j)X - j\' - 2w\ +
+ QjV - | je2) cos[(2 - j)X + j A' - 2ш] +
+ jecos[(l +j)A-jV-ш] - jecos[(l - j)A + jA' - m} +
6.5. Буквенное разложение второго порядка
253
+ Q/e'2 - |je'2) cos[jA + (2 - j)\' - <lw'\ +
+ fye'2 + ±j2e'2) cosb'A - (2 + j)A' + 2*/] -
- jef cos[jA + (1 - j)\' - w'] + je' cos[jA - (1 + j)\' + tu'] -
-j2ee'cos[(l + j)\ + {\ -j'JA'- tu - tu'] -
- /ее' cos[(l - j)A + (1 + j)V -w-w') +
+ j2ee;cos[(l +j)X- (1 +j)A/-zu + zx7/] +
+ j2ee'cos[(l -j)A-(l - j)\f - w + w'}. (6.90)
Хотя в формуле (6.66) суммирование по индексу j производится по всем
его возможным значениям, на практике в этом нет необходимости (пример
приведен в разделе 6.9).
Из (6.60) и (2.81) имеем
г 1
е= 1 « -ecosM + ~е2(1 -cos2M) =
= -ecos[A -w] + -е2 (1 - cos[2A - 2w)). (6.91)
Отсюда
e2 « X-e2 + X-e2 cos 2M = ^e2 + ]-e2 cos[2A - 2ш], (6.92)
при этом выражения для е' и е' аналогичны. В этом разложении не
требуются степени выше второй, поскольку е имеет порядок 0(e).
Наконец, перед выполнением суммирования в формуле (6.66) надо
вычислить производные коэффициентов Лапласа в выражении для функции
Ai,j,m,n- Задача может быть упрощена, если заметить, что для данного
значения г при суммировании требуется вычислить
aV*+1 А^,т,п = a*+-a'i+n+I ^^ (a'-<^'>ft?+>I/2(a/a')) • (6-93)
В результате дифференцирования остается функция только отношения а/а'.
В нашем случае требуемые значения А^>т<п даются выражениями
а*а*+1 Aijflfi = аЧ(+1/2И' (6-94)
aVi+4,j,i.o = a*+lDb^/2(a), (6.95)
aVi+4,;,o,i = -ai+1Db%1/2(a) - (2г + 1)а'Ь^1/2(а), (6.96)
aVi+I Aid,2,o = ai+2D2b^l/2(a), (6.97)
a«a,i+4j,i.i = -<*i+2D2b%l/2(a) - 2ai+l(i + l)Db^l/2(a) (6.98)
254
Гл. 6. Возмущающая функция
aV*+4.,0,2 = ai+2D2b^{/2(a) + 4ai+l(i + l)Db<£l/2(a) +
+ 2а*(2г2 + Зг + 1)Ь^1/2(а), (6.99)
где г принимает значения 0 и 1; большие значения можно не брать в расчет
из-за присутствия Фг в формуле (6.66).
Теперь мы готовы к тому, чтобы произвести суммирование по индексу г.
С точностью до второго порядка относительно эксцентриситета и наклонения
имеем
^D = I к [a'A),jA0 + ea'-Aoj.i.o + e'a'Aoj.o.i + о^ a'Aoj^.o +
+ ee'a'AotiXl + ^,2а%^д2] + Ц^ф) аа/2АиД0 ) cos j[0 - 0']. (6.100)
Используя ряды, выведенные нами выше для присутствующих в этой
формуле величин, получаем разложение с двадцатью тремя аргументами
косинусов. Они могут быть классифицированы по порядку аргумента, который
является просто суммой коэффициентов при А и А'. Если записать разложение
второго порядка в виде
nD = п^ + п£> + п%\ (6.Ю1)
где П^ обозначает часть разложения, содержащую аргументы порядка г, то
+ Qee' [2j + 4/ - 2a£> - a2Z)2] 6(^Л cos[(l + j)X - (1 + j)A' - w + vo'\ +
+ Qee' [-2j + 4j2 - 2aD - a2D2] Ь$Л cos[(l - j)A - (1 - j)A' - ш + w'} +
+ (}(*2 +s'2) [~Фт) cosUl +^')A - 0 +^)A'] +
+ (j(*2 + ^2)[-«]^2) cos[(l -j)A-(l- j)\'} +
+ Qes'[a]b^) cos[(l +j)X - (1 + j)A' - П + Of] +
+ (ys'[a]b^ cos[(l -i)A-(l -j)A'-« + «'], (6.102)
6.5. Буквенное разложение второго порядка
255
тг(1)-
-e[2j - aD]btyA cos[(l + j)X - jX' -w} +
+ Qe[-2j - aD]b\%^j cos[(l - j)A + jX' -w] +
+ (^е'[1 + 2j + а£>]6$Л cos[jX - (1 + j)X' + w'} +
+ Qe'[l - 2j + aD]b{i]A cos[jX + (1 - j)X' - m'},
(6.103)
7г(2)-
+ ,T6e'
+ |'l /lo, .,2
6% I X
*?A •x
(l^e2 l5j + 4j2 ~~ 2aD ~~ 4jaD + a2£)2} 6i/0 x
x cos[(2 + j)X - jX' - 2vo\ +
\-5j + 4j2 - 2aD + 4jaD + a2D2
x cos[(2 - j)X + jX' - 2w] +
x cos[(l + j)X + (l - j)X' - w - w'\ +
+ (~ee' [-2j - 4j2 - 2aD - 4jaD - a2D2] b{fy)
x cos[(l - j)X + (1 + j)X' -w -w'] +
+ (^e'2 [4 + 9j + 4f + 6aD + 4jaD + a2Z)2] bfy
x cos[jX - (2 + j)X' + 2w'\ +
+ (-^e'2 [4 - 9j + 4j2 + 6aD - 4jaD + a2D2} btyA
x cos[jA + (2 - j)X' - 2vo'\ +
+ (\s2[a]b$A cos[(l -j)X + (1 +j)\'-2Q] +
+ ( J*2 («I b3/2) cost( 1 + i)A + (1 - j)A' - 2Q] +
+ Qss' [-а] &$Л cos[(l - j)A + (1 + i)A' - П - П'} +
256
Гл. 6. Возмущающая функция
+ (***' [-<*] Ь{3%) cos[(l +j)X + (1 - j)\' - П - П'} +
+ (\s'2 [а] Ь$Л сов[(1 - j)A + (1 + j)A' - 2П;] +
+ (У2 [а] Ь$Л cos[(l +j)X + (1 - j)A' - 2П;]. (6.104)
Форма аргументов в этом разложении повторяется, поэтому можно
провести дальнейшее упрощение. Это видно из сравнения членов разложения:
за исключением первого члена в Щ^ все они образуют пары слагаемых,
имеющих схожий вид. Поскольку суммирование по индексу j в формуле (6.66)
производится по всем значениям этого индекса, всегда можно выполнить
преобразование j вида j —> ±j + /с, где к — целое число, при условии, что
преобразование применяется и к аргументу, и к соответствующему
коэффициенту. Кроме того, поскольку в разложении присутствуют только косинусы,
мы всегда можем поменять знак у аргумента. Эти процедуры можно
использовать, чтобы привести аргументы в разложении к некоторому произвольному
стандартному виду. В нашем случае мы решили сделать так, чтобы индекс j
стал коэффициентом при А' в каждом аргументе.
В качестве примера рассмотрим два члена с ее' в Щ> . Аргументы
косинусов в них могут быть преобразованы к одному и тому же виду
j\' -j\ + vo' -vo, (6.105)
путем замены j на — j в первом из них и затем преобразования j —► j + 1
в обоих. В итоге член с таким аргументом будет иметь вид
^ее' [2 + 6j + 4j2 - 2aD - a2L>2] b[j^l). (6.106)
Аналогичные процедуры могут быть выполнены и для других аргументов,
и таким путем полное число аргументов можно уменьшить с двадцати трех
до одиннадцати. В этих преобразованиях мы использовали равенство (6.69):
bs = Й- Также подчеркнем, что даже при том, что мы решили выражать
все аргументы в такой форме, чтобы коэффициентом при А' был индекс j,
итоговый вид нашего разложения не является единственно возможным:
преобразования вида j —> —j, сопровождаемые обращением знака аргумента,
дают аргументы в другой форме.
Наше окончательное разложение второго порядка для главной части имеет
вид
*d = Qb% + I (в2 + е'2) [-4f + 2aD + a*D*\ Ь$2 +
6.5. Буквенное разложение второго порядка
257
+ Qee' [2 + 6j + 4j2 - 2aD - a2D2] ь\^А cos[j\' - jX + w' - vo] +
+ (ss' [a] b^+1}) cos[jA' - jX + Qf-Q] +
+ Qe [-2j - aD] b\j^ cos[j\' + (l-j)X-w} +
+ fie' [-1 + 2j + aD] b[j-lA cosb'A' + (1 - j)X - w'} +
+ (~e2 \-bj + 4j2 - 2aD + 4jaD + a2D2] bfy] cos[jX' + (2 - j)X - 2vo\ +
+ l^ee' [-2 + 6j - 4/ + 2aD - 4jaD - a2D2} &{*"° J x
x cos[jX' + (2 - j)X - w' - w] +
+ Qe'2 [2 - 7j + 4j2 - 2aD + 4jaD + a2D2} Ь^~2Л х
x cos[jX' + (2 - j)X - 2vo'} +
+ ( ^s2 [a] Ь$~1) } cos[jX' + (2 - j)X - 2Щ +
+ (ss' [-a] b{3j~1}) cosb'A' + (2 - j)X -П'-П} +
+ Us'2 [a] b$-lA cos[jX' + (2 - j)X - 2П']. (6.107)
Вывод косвенных частей возмущающей функции, определенных
выражениями (6.47) и (6.48), относительно прост, поскольку мы уже вывели
выражение для cosip. Выражения для г/а и (а*/г')2 могут быть получены
из эллиптических разложений, приведенных в разделе 2.5. С точностью до
второго порядка имеем
г 1
- = 1 - ecos[A -w} + -е2(1 - cos[2A - 2w\)
(6.108)
(^\ = 1 + 2e,cos[A/ - w'\ + X-e'2 (l + 5cos[2A; - 2w']) .
(6.109)
258
Гл. 6. Возмущающая функция
Отсюда
7гЕ = -Г- (^) cos^ ~ (-1 + \е2 + \е* + s2 + а'Л cos[A' - A] -
- ее' cos[2A' - 2А - с/ + vo] - 2ss'cos[A' - A - Of + Щ -
1 3
- -ecos[A' - 2A + w] + -ecos[A' -w\- 2e'cos[2A' - A - w'\ -
3 1
- -e2 cos[A' - ЗА + 2ет] - -= e2 cos[A' + A - 2ш] +
О О
+ Ъеё cos[2A' - с/ - w] - \e'2 cos [A' + A - 2c/] -
8
97
- — e'2 cos[3A' - A - 2c/] - s2 cos[A' + A - 2ft] +
О
+ 2ss'cos[A' + A - П' - Q] - 5/2cos[A; + A - 2ft'], (6.110)
где в некоторых случаях мы изменили знак аргумента, чтобы выполнялось
единое соглашение, принятое при выводе 7£d-
Аналогичные методы можно использовать для вывода выражения для Hi,
или же можно просто заменить штрихованные величины на нештрихованные
и наоборот в выражении для Не- Тогда имеем
Hi = -Г- (^)2cosф « (-1 + Ie2 + l-e'2 + s2 + s'2\ cos[A' - А] -
- ее' cos[2A' - 2А - с/ + су] - 2ss' cos[A' - А - ft' + ft] -
3 1
- 2еcos[A' - 2А + w] + -е' cos[A - vo'\ - -е' cos[2A' - А - с/] -
- ^е2 cos[A' - ЗА + 2ет] - ^е2 cos[A' + А - 2ет] +
О О
+ Зее' cos [2 А - w' - vo] - -е'2 cos [У + А - 2w\ -
о
о
- -е'2 cos[3A' - А - 2с/] - s2 cos[A' + A - 20] +
О
+ 2ee'cos[A' + А - П' - Щ - s'2 cos[A' + А - 2П']. (6.111)
6.6. Члены, ассоциированные с заданным аргументом
Описанный в разделе 6.5 метод позволяет вычислить полное разложение
планетной возмущающей функции до любого заданного порядка по
эксцентриситетам и наклонениям. Главный его недостаток заключается в том, что
для нахождения членов, ассоциированных с определенным аргументом, при-
6.6. Члены, ассоциированные с заданным аргументом
259
ходится выполнять полное разложение до порядка этого аргумента. Однако,
как показано в разделе 6.3, явные преимущества в этом отношении имеет
использование разложения в форме Каулы. При этом главной недостаток
формул Каулы состоит в отсутствии в них коэффициентов Лапласа.
Эллис и Мюррей (2000) модифицировали разложение Каулы, объединив
лучшие свойства обоих подходов. Кроме того, они нашли явные формулы
для конечного ряда (с заданным порядком разложения), ассоциированного
с заданным аргументом. Пусть аргумент имеет вид
Ч> = 3\* + .72 А + jzwf + j4^7 + j5Q' + j6Q, (6.112)
a A^max — максимальный порядок разложения. Эллис и Мюррей показали,
что выражение для 1Zd, ассоциированной с <р, имеет вид
г=0
-А ^х (25 - 4п + 1)(а - п)! s^ (s - 2п - ш)!
Х ^ ^ 22"n!(2s-2n+l)! ^Xm(s-2n + m)\X
s=smin n=0 v ' m=0 v '
x (—1)S_ n~mFs-2n,m,p(I) Fs-2n,m.,p'{l') / J ~— _ .\i,i x
/=o K% s >
xE^E (l) (-1) W^bg)1/2(a)^ ---(e) jtf^-'-'+V) x
^=0 ' k=0 V J
X COS [ji A' + j2A + few' + j4^ + J5^ + ЗбЩ , (6-1 13)
где, как и прежде, хо = 1 и хт = 2, если т / 0.
В течение всей процедуры вычисления справедливы соотношения
9 = J4, (6.114)
</ = -J3, (6.115)
^тах = Л^тах ~ Ы ~ Ш , (6.1 16)
Pmin = -Об + Je)/2, Pmin = 0, если j5 + J6 < 0, (6.117)
Pmin = 0, p'min = (j5 + je)/2, если J5 + j6 ^ 0, (6.118)
Smin = max (pmin, p'min, j6 + 2pmin, -j5 + 2p'min) , (6.119)
W = [(^max " \J3 I " IJ41) /2] , (6.120)
где квадратные скобки в выражении (6.120) обозначают целую часть.
При проведении суммирования мы используем промежуточные определения,
а именно:
Птах = [(S ~ Smin) /2] , (6.121)
260
Гл. 6. Возмущающая функция
^min = 0, если s и J5 °ба четные или оба нечетные, (6.122)
^min — 1, если s и J5 имеют разную четность, (6.123)
р = (— J6 — т + s — 2п)/2, причем р ^ s — 2п и р ^ ртт, (6.124)
р' = (h ~ т + s - 2п)/2, причем р' ^ s - 2п и р' ^ p'min, (6.125)
j = |j2 + i_2Z-2n-2p + g|. (6.126)
Заметим, что q к qf определяются непосредственно из вида ip и фиксированы
при вычислении всех сумм. Однако р и р1 изменяются с изменением s, n и га,
но при этом соотношения (6.124) и (6.125) всегда остаются в силе.
Эллис и Мюррей (2000) показали, что для функций эксцентриситета и
наклонения в формуле (6.113) суммирование, содержащееся в их определениях,
требуется проводить лишь до конечного порядка не выше 7Vmax.
Коэффициент Ганзена, зависящий от е, должен включать члены лишь до порядка
Nmax — \js\ — \js\ — Ьб| по е\ аналогично, коэффициент Ганзена, зависящий
от е', должен включать члены лишь до порядка 7Vmax — \j±\ — \j$\ — \fc\ no e'.
Функция F, зависящая от наклонения /, должна включать члены лишь до
порядка Nmax — \j$\ — IJ41 — 1.751 по 1\ аналогично, функция F, зависящая от
наклонения /', должна включать члены лишь до порядка 7Vmax — \j$\ — 1.741 — 1.761
по Г.
Для косвенных частей имеем
(1+ш)!
х cos [ji A' + J2A + hw' + jAw + jbQ! + j6Q] (6.127)
Ui=-^{bp^Fi'm'pWFi^^(r)xi*"*"i4(e)^1«,i,+j8(e,) x
x cos [ji X' + j2X + jW + j4w + j5n' + j6«] , (6.128)
где каждая из величин р, р' и т должна быть целым числом, равным 0 или 1.
Если эти условия не выполняются, то заданный аргумент не появляется в
разложении косвенной части. Как и в случае TZd, можно сократить длину
разложений в ряды по степеням эксцентриситета и наклонения; здесь
применимы аналогичные модификации. Анализ целых чисел, задействованных
в разложении косвенной части, дает следующие соотношения:
q = J4, (6.129)
q' = -h, (6.130)
P=(h + J4 + l)/2, (6.131)
p' = -C/i+J3-l)/2, (6.132)
m = j5-2p'+l. (6.133)
6.7. Применение возмущающей функции
261
6.7. Применение возмущающей функции
Полные разложения для И^, TZe и IZi содержат бесконечное число
аргументов косинусов. Однако на практике нас интересуют только некоторые
из них и мы можем пренебречь остальными. В основе такого подхода лежит
принцип усреднения. Он состоит в предположении (имеющем некоторое
обоснование), что все несущественные члены имеют короткие периоды, и
поэтому при движении на более длительных интервалах времени их влияние
усредняется до нуля. Эта концепция проиллюстрирована в разделе 6.9. Здесь
для нас важно только то, что принцип усреднения позволяет выделить те
члены в разложении возмущающей функции, которые нужны в конкретной
задаче, и пренебречь бесконечным числом остальных членов. Фактически
в нашем анализе мы переходим от бесконечного разложения в ряд полной
возмущающей функции 71 к конечному отрезку разложения усредненной
возмущающей функции (71). Этот базовый подход лежит в основе анализа
вековых возмущений в главе 7, резонансных возмущений в главе 8 и их
приложений к хаотической динамике в главе 9 и динамике планетных колец
в главе 10. Такой подход к использованию планетной возмущающей функции
позволяет нам выполнять аналитические исследования, когда мы выходим из
рамок простой задачи двух тел.
Процедура выявления в возмущающей функции нужного в конкретной
задаче члена, (71) или (71'), состоит в следующем.
1. Решаем, какая комбинация углов ц> относится к поставленной задаче.
Это требует знания физической сути проблемы и будет обсуждаться
в разделе 6.9.
2. Определяем «порядок» N аргумента. Он равен абсолютной величине
суммы коэффициентов при А и А' в аргументе (р.
3. Рассмотрев члены нужного порядка в разложении 7£d> определяем
значение целого индекса j, согласующееся с нужным аргументом ц>.
4. Вычисляем алгебраическую комбинацию коэффициентов Лапласа для
этого значения j и находим в результате явный вид интересующего нас
члена, например (7£d)-
5. Из постановки задачи определяем, какое возмущение — внешнее или
внутреннее — будет рассматриваться.
6. Если возмущение внешнее, среди членов нужного порядка в
разложении косвенной части 7£е находим член с нужным аргументом (если он
существует) и выписываем соответствующий косвенный член (7£е)-
7. Если возмущение внутреннее, среди членов нужного порядка в
разложении косвенной части 71\ находим член с нужным аргументом (если
он существует) и выписываем соответствующий косвенный член (И\).
8. Если возмущение внешнее, то
(К) = ^ {{По) + а{ПЕ)) . (6.134)
9. Если возмущение внутреннее, то
{П') = ^(а{Пв) + -{П1)\. (6.135)
а \ a J
262
Гл. 6. Возмущающая функция
Можно избежать использования явного разложения косвенной части на
стадиях 6 и 7, так как усредненная косвенная часть возмущающей функции,
(Т^е) или (T^i), может быть получена из усредненной главной части (7£d)-
Процедура заключается в следующем. Находим (7£е) путем замены величины
anDnA\ (n = 0, 1) при каждом ее появлении в (7£d) на —1 и замены величины
anDnBo(n = О,1) при каждом ее появлении в (Ив) на —2, а всеми
остальными членами пренебрегаем. Затем находим (IZi) путем замены величины
anDnA\ (п = О,1,2,...) при каждом ее появлении в (Ив) на (—1)п+1(п+ 1)!
и замены величины anDnBo (п = 0, 1, 2,...) при каждом ее появлении в (TZb)
на (—1)п+1(2п + 2)п!, а всеми остальными членами пренебрегаем.
Наш анализ везде предполагал, что г' > г (то есть орбиты не
пересекаются). Сходимость результирующего ряда будет, следовательно, зависеть
от того, насколько орбиты близки к пересечению. Очевидно, если орбиты
пересекаются, то имеет место особенность, потому что на некоторой долготе
имеем г = г' и первое слагаемое в выражении (6.16) или (6.18) становится
неопределенным. Отсюда имеем приблизительное условие сходимости:
а(1+е) <а'(1 -е'), (6.136)
то есть апоцентрический радиус внутренней орбиты должен быть меньше,
чем перицентрический радиус внешней орбиты.
Другое преимущество разложения (6.113) (лежандрова типа) состоит
в том, что оно позволяет легко определить вид членов низшего порядка
в разложении. Мы уже указали в разделе 6.3 (и продемонстрировали в
разделе 6.5), что потенциал, возмущающий орбиту тела га со стороны тела га',
может быть записан в виде
11 = rf^Scosip, (6.137)
где S — функция больших полуосей, эксцентриситетов и наклонений тел га
и га'. Из определений средней долготы, долгот перицентра и восходящего
узла следует, что в общем виде аргумент <р можно записать как
<р = (I - 2р' + q')\' - (I - 2р + q)X - qfvof + qw +
+ (m-l + 2p')Q' -(m-l + 2p)fi, (6.138)
где /, m, p, p', q и q' в данном случае являются целыми числами. Правильные
значения аргумента можно вычислить, используя известное свойство
аргумента, заключающееся в том, что сумма целочисленных коэффициентов при
угловых переменных в аргументе всегда равна нулю. Если записать аргумент
в общем виде
Ч> = JiA; + J2A + jW + j№ + ЗьП' + лА (6.139)
то наше условие для коэффициентов сведется к равенству
б
Х>=°- (6.140)
г=\
6.8. Планетные уравнения Лагранжа
263
Это равенство называется соотношением Даламбера. Оно неприменимо при
произвольном выборе углов, так как должны использоваться только углы,
отнесенные к фиксированному направлению (то есть долготы, а не аномалии).
Подходящий набор углов образуют долготы А, А', т, т', ft и Q'. В статье
Гамильтона (1994) дан обзор правил Даламбера, определяющих подобные
соотношения.
Теперь рассмотрим выражение для «силы» S отдельного члена. Используя
свойства XfJ^P и Fimp(I), можно вычислить члены низших порядков
относительно эксцентриситетов и наклонений. Из выражений (6.37)-(6.42) имеем
Flmp(I) = 0(Jm-l+W), Flmpl{I') = 0(s'^-1+2p\ (6.142)
где s = sin(//2) и s' = sin(/'/2). Поэтому можем записать
S « l^Le\4\e'W\s\m-l+2P\s,\rn-l+2p'\ = ttP±e\ji\e,\h\a\j6\a,\ib\t (6Л43)
а' а'
где величина f(a) выражается через коэффициенты Лапласа. Поэтому
низший порядок по е, например, в заданном члене больше или равен
абсолютному значению коэффициента при т. Аналогично, низшие порядки по е',
sin(J/2) и sin(J7/2) больше или равны абсолютным значениям коэффициентов
при w', fi и £У (соответственно) в аргументе <р. Это свойство ясно проявляется
в разложении второго порядка, приведенном в разделе 6.5, и в разложении
четвертого порядка в приложении Б.
6.8. Планетные уравнения Лагранжа
Разложение возмущающей функции дает зависимость возмущающего
потенциала от элементов орбиты. Теперь нам необходимо количественно
определить изменения орбиты под влиянием возмущений. Для этого мы
используем планетные уравнения Лагранжа. Их легче всего получить, используя
гамильтонову формулировку (см. раздел 2.10). Здесь мы ограничимся тем,
что приведем уравнения в окончательном виде. Полный вывод можно найти
в книгах Брауэра и Клеменса (1961) и Роя (1988).
Обращение к уравнениям Лагранжа требует введения дополнительного
угла. Если записать
А = М + vo = n(t - г) + vo = nt + e, (6.144)
где А — средняя долгота, М — средняя аномалия, w — долгота перицентра,
t — время и т — время прохождения перицентра, то новый угол е обозначает
среднюю долготу в эпоху (то есть среднюю долготу тела т в момент
времени, принятый в качестве начального). Уравнения Лагранжа, описывающие
изменения элементов орбиты, имеют вид
-77 = —"а-. (6.145)
at па ое
264
Гл. 6. Возмущающая функция
de _
dt ~ "
____2_дП
VT
па2е
(1
de
dt
дП у/1 - е2 дК
па2е
па да
па2е
де
+
д-со'
tg(J/2) дП
2 дГ
dt
na2\/T— e
na
2vT
е2 sin
d/
dt
dm
~dl =
-tg(//2)
na2e de
Ж дП
de dm
+
па
1дГ
tg(J/2) &R
2,/]—^ or
1
атг
(6.146)
(6.147)
(6.148)
(6.149)
(6.150)
naVl -е2 V ^ ' ^^У naVl - е2 sin/ дП '
При анализе выражения для ё (6.147) становится очевидной следующая
проблема (см., напр., Брауэр и Клеменс, 1961). Так как правая часть
уравнения содержит множитель dlZ/da, следует учитывать, что большая полуось
содержится явно в коэффициентах Лапласа возмущающей функции и неявно
в аргументах косинусов через среднее движение, поскольку А = nt + е.
Поэтому при взятии частной производной появляется время в качестве множителя.
Эту проблему можно преодолеть, если определить новую среднюю долготу
в эпоху, е*, посредством соотношения
Отсюда
de de dn
—r- = -r + t—.
dt dt dt
dX de*
A =
ndt + e*,
или в эквивалентном виде
А = р + е*,
где
или
dp
dt
= n,
d2p
dt2
dn
"dT
3 nda
2adt'
(6.151)
(6.152)
(6.153)
(6.154)
(6.155)
(6.156)
d2p _ 3 дП
dt2 ~ a2 de'
В данном случае все производные д/де (встречающиеся в выражениях для
а, ё и /) следует считать эквивалентными д/дХ. На практике изменением е*
обычно можно пренебречь, так как оно невелико.
Изменения элементов орбиты тела т! можно определить с помощью
уравнений, аналогичных уравнениям (6.145)—(6.150), с заменой V, на И', а всех
нештрихованных переменных на штрихованные. Вывод планетных
уравнений Лагранжа не предполагает, что 1Z определяется лишь возмущениями
6.9. Классификация аргументов
265
от точечных масс. Поэтому мы можем с равным успехом использовать эти
уравнения для исследования возмущений движения тела га, обусловленных,
например, несферичностью центрального тела. Эта задача будет рассмотрена
в разделе 6.11. Аналогичным образом эти уравнения применимы и в случае
использования усредненных возмущающих функций (1Z) и (V/).
Как мы уже видели в разделе 2.9, производные элементов орбиты по
времени могут быть определены через радиальные, тангенциальные и
ортогональные силы, действующие на движущийся по орбите объект. Уравнения
Лагранжа также позволяют нам найти эти изменения, но исходя из
рассмотренного в этой главе разложения возмущающей функции в ряд Фурье.
В этом качестве уравнения Лагранжа обеспечивают основу для большей
части описываемых далее расчетов возмущенного движения.
6.9. Классификация аргументов в возмущающей функции
Теперь мы обсудим физический смысл разложения возмущающей
функции. До сих пор мы выражали возмущающий потенциал в виде ряда с
бесконечным числом допустимых комбинаций углов в аргументах. Но какие углы
представляют интерес в каждой конкретной задаче? Иными словами, какие
члены из бесконечного их числа в разложении являются важными, а какими
можно пренебречь? В существенной степени ответы на эти вопросы зависят от
величины большой полуоси возмущенной орбиты. Мы можем
классифицировать все аргументы, рассматривая частоты или периоды изменения аргументов
косинусов в разложении.
Каждый аргумент косинуса содержит линейную комбинацию углов А', А,
тл77, w, Q' и fi. Мы знаем, что в невозмущенной задаче средние долготы
А' и А увеличиваются линейно со скоростями п1 и п, соответственно. Все
другие углы в невозмущенной задаче, напротив, постоянны. Поэтому, когда
мы рассматриваем возмущенную задачу, А' и А представляют собой быстро
изменяющиеся величины, тогда как изменения все других углов являются
медленными. Следовательно, любые допустимые аргументы, не включающие
средние долготы, изменяются медленно. Они ассоциированы с секулярными
членами 0, от латинского saeculum — столетие или длительный период
времени. Это не означает, что все остальные аргументы имеют короткие периоды.
Рассмотрим аргумент общего вида <р = j\\' + j2X + fam' + j^vo + j^fl' + j^ft,
где
\' ttrit + e' и A « nt + e (6.157)
(cm. (6.144)). Поэтому j\\f + J2A ~ (j\nf + J2n)t + const. Следовательно, если
большие полуоси таковы, что
j\ri+j2n&0, (6.158)
то этот аргумент также имеет период, больший любого из орбитальных
периодов. Условие (6.158) выполняется, когда есть соизмеримость между
') В отечественной литературе их также называют вековыми. — Прим. ред.
266
Гл. 6. Возмущающая функция
двумя средними движениями или орбитальными периодами (см. раздел 1.7).
Мы классифицируем такие аргументы как ассоциированные с резонансными
членами в разложении. Если перейти к большим полуосям, эквивалентным
условием будет
a«(tf2|/L7i|)2/V. (6.159)
Благодаря зависимости от большой полуоси резонансные члены проявляются
локально. При одном значении большой полуоси возмущенной орбиты частная
комбинация углов может изменяться медленно, а при другом ее значении та
же самая комбинация изменяется быстро. Вековые члены, напротив, можно
считать в этом смысле глобальными.
Любые аргументы, не являющиеся ни вековыми, ни резонансными,
ассоциированы с короткопериодическими членами. На практике применение
принципа усреднения (кратко описанного в разделе 6.7) позволяет нам
пренебречь бесконечным числом короткопериодических членов в разложении
и постулировать, что динамика определяется подходящими вековыми и
резонансными членами.
Ниже мы дадим прогноз характера движения под воздействием вековых
и резонансных членов в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел
при малом наклонении и сопоставим наши предсказания с результатами
численного интегрирования. Мы предполагаем, что масса га пренебрежимо мала,
а орбита тела га' является фиксированным эллипсом в опорной плоскости.
Исходно мы используем систему уравнений Лагранжа низшего порядка для
а, ё, w и U; они выводятся из (6.145), (6.146), (6.149), (6.148) и имеют вид
da _ 2 д(П)
dt па дХ
de_ 1 д(П)
dt па2е dvo
dm _ 1 д(П)
dt па2е де
(Ш _ 1 д(П)
dt па2 sin I дГ
(6.160)
(6.161)
(6.162)
(6.163)
где (1Z) — усредненная часть возмущающей функции в случае внешнего
возмущающего тела.
6.9.1. Вековые члены. Вековые члены ассоциированы с аргументами,
не содержащими средних долгот. Если взглянуть на главную часть
разложения второго порядка (6.107), то можно убедиться, что вековые члены
получаются подстановкой j = 0 в аргументы косинусов, содержащие jXf — j\.
Это дает
(UD) = С0 + Ci(e2 + е/2) + C2s2 + C3ee'cos(^' - w\ (6.164)
6.9. Классификация аргументов
267
где
с0 =
Сх =
С2 =
Съ =
J*
1
8
!>)■
2aD + a2D2
b(0)
--ab(^2(a),
1
4
2 - 2aD - 6t
>D2-
(«).
ьО)
*%(*)•
(6.165)
(6.166)
(6.167)
(6.168)
Заметим, что в (72-d) нет членов, содержащих ss' и s' , потому что мы
полагаем s' равным нулю, а Со зависящим только от а. Кроме того, из вида
членов в TZe (6.110) ясно, что все аргументы содержат по крайней мере одну
среднюю долготу, поэтому вековые вклады от косвенной части возмущающей
функции отсутствуют. В результате уравнения Лагранжа низкого порядка
принимают вид
-г) =0-
(I),
сксЛ
= па(т' /тс)Сзе' sm(w — w'),
— na(mf/тс)[2С\ + С${е'/е) cos{vo — vo')],
= na(m7mc)(C2/2),
(6.169)
(6.170)
(6.171)
(6.172)
где мы использовали тот факт, что \J — Qm! « п2а3(т'/тс) (тс — масса
центрального тела). Если положить, что е » е', то приближенные решения
этих уравнений будут следующими:
(6.173)
па,
a = ao,
е = ео — (т'/тс)Сзе'[cos то — cosw],
w = wq + na{m!/mc)2C\t,
П = П0 + па(т7тс)(С2/2)«,
(6.174)
(6.175)
(6.176)
где нижним индексом 0 обозначены элементы в начальный момент времени
(t = 0) и положено w1 = 0. Из этих решений вытекает, что большая полуось a
не имеет вековых изменений, эксцентриситет е изменяется синусоидально
с амплитудой
(Ae)sec = \(na/w)(m'/mc)C3e'\ , (6.177)
а w и fi увеличиваются или уменьшаются линейно со временем в зависимости
от знаков С\ и С2.
268
Гл. 6. Возмущающая функция
На рис.6.3а-г показаны результаты численного интегрирования полных
уравнений движения в эллиптической ограниченной задаче трех тел при
а' = 1, е' — 0.048, w1 = 0, V — 0, mf/mc — 1/1047.355 и начальных условиях
а0 = 0.192, е0 = 0.1, w0 = 130°, ft0 = 200°, А0 = 300° и А' - 0°.
Подстановка а = а/а' = 0.192 в формулы (6.166)-(6.168) дает С\ = 0.0148335,
С2 = -0.0593339 и С3 = -0.00708688; заметим, что 2С{ = -С2/2. Принятое
отношение масс отвечает системе Солнце-Юпитер, то есть наше
интегрирование описывает движение астероида, возмущаемого Юпитером; соответственно
на графиках время выражено в орбитальных периодах Юпитера. Начальное
значение большой полуоси преднамеренно выбрано таким образом, чтобы
объект находился далеко от Юпитера, с целью избежать близости к сильным
резонансам. В таких условиях учет только вековых возмущений должен
обеспечивать хорошую аппроксимацию движения.
Результаты интегрирования на интервале времени в 20000 орбитальных
периодов Юпитера превосходно согласуются с теорией. Присутствуют
вариации а, но они чрезвычайно малы; обратите внимание, что на рис. 6.3 а
увеличено разрешение по вертикали. Тот факт, что большая полуось почти
постоянна, оправдывает вычисление коэффициентов Лапласа при
фиксированном значении а. Эксцентриситет изменяется в соответствии с прогнозом;
w растет линейно со временем (поскольку С\ > 0), тогда как fi уменьшается
линейно с такой же скоростью (поскольку 2С\ = — Сг/2, см. формулы (6.175)
и (6.176)). Прямое движение перицентра (или узла) называется прецессией,
а обратное движение — регрессией. Такое поведение w и fi является
естественным следствием присутствия вековых членов в возмущающей функции.
Время, в периодах обращения Юпитера
Рис. 6.3. Сопоставление результатов полного численного интегрирования (жирная
кривая) с прогнозом аналитической теории (тонкая кривая) для изменений: а)
большой полуоси, б) эксцентриситета, в) долготы перигелия и г) долготы восходящего
узла орбиты пробной частицы при доминировании вековых возмущений со стороны
Юпитера
6.9. Классификация аргументов
269
Из-за того, что мы
пренебрегли бесконечным числом короткопе-
риодических членов в
возмущающей функции, между результатами
полного численного интегрирования
и прогнозом нашей аналитической
теории должны быть различия. Мы
можем видеть их уже на рис. 6.3 а,
где они хотя и малы, но заметны
в форме короткопериодических
колебаний большой полуоси
относительно постоянного значения,
предсказанного теорией. На рис. 6.4
показана разность «наблюдаемого» (то
есть найденного путем
численного интегрирования)
эксцентриситета и его теоретического значения в
зависимости от времени на начальном интервале времени в 1000 орбитальных
периодов Юпитера. Здесь снова можно видеть влияние короткопериодических
членов — неотъемлемый ингредиент результатов любого полного численного
интегрирования.
6.9.2. Резонансные члены. Теперь в качестве примера предположим,
что нам необходимо изучить движение астероида на расстоянии 3.27 а.е.
от Солнца при возмущающем воздействии Юпитера. Большая полуось
орбиты Юпитера равна 5.20 а.е.; отсюда, используя третий закон Кеплера,
находим, что отношение периодов обращения астероида и Юпитера равно
(3.27/5.20)3/2 « 0.499. Таким образом, имеется соотношение 2п' « п, и
следует ожидать, что резонансные члены играют важную роль. Поэтому в
дополнение к рассмотренным выше вековым членам нам следует учесть вблизи
резонанса 2: 1 те члены в разложении возмущающей функции, которые
содержат 2А' — А, то есть нужно рассмотреть резонансные члены для данного
положения объекта.
Из (6.107) видно, что в разложении (Иъ)/а! второго порядка
присутствуют два члена с аргументами косинусов, содержащими 2А' — А для
некоторых значений j. Соответствующая главная часть усредненной возмущающей
функции имеет вид
(Пв) = С0 + Сх (е2 + е'2) + C2(s2 + s'2) + С3ее' cos(^ - w') +
+ C4ecos(2A' -\-w) + C5e'cos(2A' - A - tu;), (6.178)
где новые константы С\ и С$ равны
C4 = ^[-4-aD]bf/2(a), (6.179)
C5 = ^[3 + aD]bty2(a). (6.180)
0 200 400 600 800 1000
Время, в периодах обращения Юпитера
Рис. 6.4. Разность «наблюдаемого» и
теоретического значений эксцентриситета
орбиты пробной частицы в зависимости от
времени. Данные нанесены с шагом в один
орбитальный период Юпитера; видны ко-
роткопериодические колебания е
270
Гл. 6. Возмущающая функция
Второй из двух резонансных аргументов не имеет ассоциированных с ним
членов в выражениях для ё, го и &, но присутствует в выражении для а.
Анализ формулы (6.110) показывает, что имеется также вклад — 2ае' от
косвенной части, соответствующий этому же аргументу.
Применение уравнений Лагранжа в приближенном виде дает следующие
формулы:
(— 1 = 2naa(mf /mc)C4esm(2\' — А — го) +
d*/res
+ 2naa(rri/mc) (C5 - 2a) e'sin(2A' - A - ro'), (6.181)
(^] = na(m7mc)C4 sin(2A; - A - ro), (6.182)
\d*/res
(^Л - na(m7mc)(C4/e)cos(2A/ - A - ro), (6.183)
Vd*/res
(§L-
для изменений a, e, го и fi под влиянием резонанса 2:1. Приближенные
решения этих резонансных уравнений имеют вид
——)—' с\ cos2А' - А - го - cos A0 + о;0 -
2тг — п — го L J
2паа(т'/тс)(С5 - 2а)е' г , , -, /Л10КЧ
[cos(2A - А - го ) - cos Aoj , (6.185)
(6.186)
a = ao
2ri-n
naim!} 1тЛС\ r /riW ч /л ч1
e = eo + -^—;— 4— [cos(zA — A — ro) — cos(Aq + ljq)\ »
ro = roo +
2n' — n — ro
na(mf/mc)(C^/e)
2n' — n — ro
[sin(2A/ — A — ro) + sin(Ao + cjq)] »
(6.187)
(6.188)
При выводе этих формул мы предположили, что единственные зависящие
от времени величины в правых частях выражений для а, ё и го содержатся
в аргументах косинусов, а го увеличивается линейно со временем с
постоянной скоростью го, определяемой вековой теорией. Из полученных решений
видно, что a, e и го испытывают синусоидальные колебания с максимальными
амплитудами
(Aa)res = 2паа{т!/тс)
па{т!/тс)С±
С4е
2п' — п — го
+
(Ae)res -
(Aro)res =
2nf — п — го
па{т!' /тс){С^/е)
2п' — п — го
(С5 - 2а)е'
2п'-п
)•
(6.189)
(6.190)
(6.191)
6.9. Классификация аргументов
271
I I I I I I
180 г-
160 V
4
1201 1 1 1 i
0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50
Время, в периодах обращения Юпитера
Рис. 6.5. Сопоставление результатов полного численного интегрирования (точки
и жирные кривые) с прогнозом аналитической теории (тонкие кривые) для
изменений: а) большой полуоси, б) эксцентриситета, в) долготы перигелия и г) долготы
восходящего узла орбиты пробной частицы вблизи резонанса 2:1 с Юпитером,
испытывающей резонансные и вековые возмущения со стороны Юпитера
Эти формулы являются лишь некоторым приближением, наиболее грубым
в случае большой полуоси, где мы просто суммировали амплитуды членов,
ассоциированных с двумя резонансными аргументами.
На рис.6.5а-г показаны результаты полного численного интегрирования
уравнений движения в сопоставлении с прогнозом описанной выше
объединенной вековой и резонансной теории. При вычислениях взяты те же самые
начальные условия, что и в разделе 6.9.1, для всех элементов кроме а: здесь
положено а = 0.6, чтобы поместить пробную частицу близко к резонансу 2: 1
с Юпитером (но не точно в резонанс). Константы здесь имеют следующие
значения: С\ = 0.314001, С2 = -1.25600, С3 = -0.447005, С4 - -1.04332
и С$ = 1.55230. Обратите внимание, что по абсолютной величине С\ и C<i
увеличились примерно в 20 раз по сравнению с нашим примером для векового
случая, где а = 0.192. Это произошло потому, что расстояние до Юпитера
уменьшилось и вследствие этого увеличились вековые эффекты. Рисунок 6.5
свидетельствует о том, что имеется хорошее согласие между прогнозом и
результатами численного интегрирования. Амплитуды и частоты изменений
элементов а, е и w близки к их предсказанным значениям. Можно было
бы ожидать некоторых различий, частично по той причине, что мы взяли
уравнения Лагранжа в приближенном виде, а частично потому, что при
интегрировании дифференциальных уравнений мы положили а и е в правых
частях уравнений (6.181)—(6.183) постоянными, хотя ясно, что они
изменяются благодаря резонансу.
Заметим, что из (6.189)—(6.191) следует, что все амплитуды содержат
делитель вида 2п' — n — w (производную по времени от резонансного аргумента
272
Гл. 6. Возмущающая функция
2Xf — А — w). Это означает, что амплитуды увеличиваются при приближении
к точному резонансу. Однако именно при таких обстоятельствах теряют силу
предположения нашей простой аналитической модели. Более полная модель
резонанса будет рассмотрена в главе 8.
6.9.3. Короткопериодические и низкоамплитудные члены. Знание
разложения возмущающей функции позволяет отождествить те допустимые
вековые и резонансные аргументы, которые предположительно играют в
динамике наиболее важную роль. Мы предполагаем, таким образом, что
изменения всех остальных членов, аргументы которых содержат средние долготы,
являются короткопериодическими и их влияние при усреднении сводится
к нулю; в этом заключается принцип усреднения. Из нашего сопоставления
аналитической теории с результатами полного интегрирования (рис. 6.4 и 6.5)
видно, что данное приближение удовлетворительно. Таким образом, несмотря
на присутствие короткопериодических членов, влияние их оказывается
незначительным, по крайней мере в приведенных нами примерах.
В разделе 6.9.2 мы показали, что для выявления членов,
доминирующих в возмущенном движении астероида, необходимо найти те члены, для
которых j\nf + J2n ~ 0 (где j\ и J2 — целые числа), так как из-за них
появляются малые знаменатели в выражения (6.189)—(6.191). Поэтому для
движения вблизи 3.27 а.е. доминирующими членами должны быть члены
с j\ = ±2 и J2 = =р1> поскольку тогда 2п' — п « 0. Однако это подразумевает,
что нам следует также рассмотреть члены с j\ = ±4, ±6,... и J2 = т2, тЗ,
поскольку они также приводят к появлению малых знаменателей. Может
ли число таких членов, влияющих на движение вблизи данного резонанса,
быть бесконечным? Из элементарной теории простых чисел известно, что
отношение двух вещественных чисел (в нашем случае — двух средних
движений) всегда можно аппроксимировать рациональным числом с любой
заданной точностью. Не может ли количество резонансов, соответствующих
высокоамплитудным членам возмущающей функции, быть бесконечным —
при любом значении большой полуоси?
Эти парадоксы можно разрешить, если обратиться к нашему
выражению для S — «силы» возмущающей функции (см. (6.143)). Рассмотрим для
простоты случай почти соизмеримых средних движений в плоской круговой
ограниченной задаче трех тел. Пусть резонансный аргумент равен
<p=(j + k)X' - jX - kvo, (6.192)
а близкая к точной соизмеримость такова, что
(j + к)п' - jn « 0, (6.193)
где j и к — целые числа. Поэтому аргументы, содержащие комбинации
вида (j + k)Xf — j\ — kw, могут изменяться медленно и производить долго-
периодические возмущения с большими амплитудами. Например, в случае
резонанса 2:1 имеем j = ±1, ±2, ±3,... и к = ±1, ±2, ±3,.... Однако, хотя
существует бесконечно много возможных резонансов для каждой пары j
и /с, в большинстве своем они являются слабыми. Это объясняется тем, что
6.10. Примеры вычисления
273
S ос e'fcl (см. (6.143)), а е < 1. Поэтому с увеличением к «сила» уменьшается.
Таким образом, другие резонансные члены существуют, но имеют малую
амплитуду. Путем подобного же рассуждения можно преодолеть и трудность,
связанную с обязательным наличием резонансов в произвольной близости
к движению. Например, резонанс 21: 10 близок к резонансу 2: 1, но для него
S ос е11, и поэтому он слаб. Следовательно, «почти резонансными» членами,
отвечающими более высоким порядкам эксцентриситетов и наклонений,
можно пренебречь так же, как и всеми другими короткопериодическими членами.
Порядок к резонансного члена в возмущающей функции идентичен
порядку N = \j\ +J2I аргумента. Таким образом, если требуется найти все
аргументы, которые могли бы внести вклад в заданный резонанс второго
порядка, то нам следует рассмотреть аргументы, обозначенные D2 и Е2
(или 12) в разложении возмущающей функции, приведенном в
приложении Б. Возможно, потребуется рассмотреть и другие аргументы, так как при
необходимости получить разложение четвертого порядка в элементах орбиты
надо рассмотреть также аргументы D4 и Е4 (или 14). Аналогичным образом,
поскольку вековые члены не содержат средних долгот, следует рассматривать
только аргументы, обозначенные в приложении Б через DO.
6.10. Примеры вычисления
усредненной возмущающей функции
Здесь мы вычисляем необходимые члены возмущающей функции для
двух заданных соизмеримостей. В первом случае, отвечающем соизмеримости
второго порядка, мы используем буквенное разложение, приведенное в
приложении Б. Во втором случае соизмеримость имеет одиннадцатый порядок,
и мы обращаемся к форме разложения для явных аргументов, полученной
Эллис и Мюрреем (2000) и приведенной в разделе 6.6.
6.10.1. Члены, соответствующие соизмеримости 3:1. Здесь мы
выводим выражения для членов, необходимые для изучения движения астероида
на расстоянии 2.50 а.е. от Солнца, то есть вблизи соизмеримости 3:1с
Юпитером. Это пригодится нам при исследовании резонанса 3: 1 в разделе 9.5.2.
Если предположить, что масса астероида пренебрежимо мала (га <С га'), а
эксцентриситет и наклонение его орбиты достаточно малы, чтобы можно было
использовать разложение возмущающей функции второго порядка (то есть
пренебречь членами более высоких порядков в разложении четвертого
порядка, приведенном в приложении Б), то необходимыми нам вековыми членами
в разложении будут 4D0.1, 4D0.2 и 4D0.3 с индексом j = 0, а резонансными
членами будут 4D2.1, 4D2.2, 4D2.3, 4D2.4, 4D2.5, 4D2.6 с индексом j = 3
и 4Е2.5. Это дает следующее выражение для усредненной возмущающей
функции:
а'
— (Я) = А0 + А\е2 + A2s2 + Asee'cosfa' - w) + AAss'cos(?t' - ft) +
+ A5e2 cos(3A/ - A - 2m) + A6ee' cos(3A/ - A - w1 - w) +
274
Гл. 6. Возмущающая функция
+ А7е'2 cos(3A/ - А - 2w') + Ass2 cos(3A/ - А - 2Q) +
+ A9ss'cos(3A/ - A - ft' - Q) + Ai0s/2 cos(3A' - A - 2ft'), (6.194)
где Л^ (г = 0,1,..., 10) обозначают теперь комбинации коэффициентов
Лапласа и их производных. Заметим, что в вековой части разложения есть и другие
члены, содержащие выражения второго порядка по е' и s'. Но поскольку нас
интересует движение астероида, а не Юпитера, элементы орбиты Юпитера
можно считать фиксированными, и поэтому эти члены фактически будут
константами. Выпишем константы А{ в явном виде:
Ао=-2Ь
*-ъ
i>).
2а£ + а2Я2]ь5°/2(а),
А2=1-[-а]Ь^2(а),
Аз = т [2 - 2aD - a2D2
Oa>«
A4 = [a}b{^2(a),
*-i
2H-10a£> + a2I>2]b($(a),
A6 = i [-20 - lOaD - a2D2] bf}2(a),
A7 = i [l7 + WaD + a2£>2] 6^ (a) -
As = ±[a]bf/2(a),
A9 = [-a)bf/2(a),
Aio = ^[
a] ^2)2(a).
27
(6.195)
(6.196)
(6.197)
(6.198)
(6.199)
(6.200)
(6.201)
(6.202)
(6.203)
(6.204)
(6.205)
Обратите внимание, что по указанным выше причинам мы исключили
те члены из 4D0.1, которые содержат только штрихованные величины. Член
—(27/8)а в A-j происходит из косвенного члена 4Е2.5.
Если задано отношение больших полуосей а, мы можем вычислить
значения всех приведенных выше величин А{. Принято фиксировать резонансное
значение а, если астероид находится в достаточной близости от резонанса,
и поэтому резонансные члены в разложении доминируют. Это приближение
вполне удовлетворительно, особенно в том случае, когда астероид движется
6.10. Примеры вычисления
275
внутри резонанса. Значение а для номинального положения резонанса
находится по формуле
аз,1 = -1 = (Г)2/3(^Ьу/3- (6,об)
а' \о) \тс + т' J
где тс и га' — массы Солнца и Юпитера, соответственно. Следователь-
НО, Q-3 • 1 ~
0.480597. Значения констант Ai для данного случая приведены
в табл. 6.1.
Таблица 6.1. Значения констант Ai для случая соизмеримости 3:1с Юпитером
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ai
1.06671
0.142097
-0.568387
-0.165406
1.13677
0.598100
-2.21124
0.362954
0.330812
-0.661625
0.330812
При фиксации а и а' член Aq в выражении для (1Z) становится фактически
константой и им можно пренебречь, так как в конечном счете от (1Z) берутся
частные производные.
6.10.2. Члены, соответствующие соизмеримости 18:7. Рассмотрим
один из членов возмущающей функции, играющий важную роль в динамике
малой планеты 2 Паллада. Пусть п' и п обозначают средние движения
Юпитера и Паллады, соответственно. Из наблюдений известно, что
18п' -7п = -0.45°/год. (6.207)
Таким образом, Юпитер и Паллада близки к резонансу 18:7. В разложении
возмущающей функции одиннадцатого порядка имеется 182 аргумента,
соответствующих этому резонансу. Мы последуем примеру Эллис и Мюррея
(2000) и найдем члены, ассоциированные с одним из этих аргументов, а
именно с аргументом
Ч> = 18А' - 7А - 5т - 6ft. (6.208)
Используя определения (6.114)—(6.120), получаем: q = —5, q' — 0, /max = 5,
Pmin = 3, p'min = 0, smin = 3 и imax = 3. Поскольку 5min - гтах, вклад
будут давать только индексы г = s = 3, отсюда / = 0. Аналогично, поскольку
nmax = [(s — 3)/2] = 0, то п = 0. Поэтому, согласно (6.124), единственным
допустимым значением р будет р — 3; тогда т = 3, и, согласно (6.125),
276
Гл. 6. Возмущающая функция
р' = 0; также имеем j = 15. Мы можем теперь записать выражение (6.113)
в упрощенном виде
<*■>>+ = Т^Е^Г-Е (^(-l)W415)(a)F3A3(/)F3Ao(i') х
е=о ' к=о ^ ' 2
х X73+fc' 12(е) Л78(4+л)' 18(е;) cos [18А' - 7А - 5zu - 6fi] . (6.209)
Чтобы завершить это вычисление, необходимо исследовать возможность
присутствия членов, ассоциированных с аргументом, противоположным по
знаку нашему исходному аргументу, то есть с аргументом <р = — (18А7 — 7А —
— 5ш — 60). Согласно (6.114)—(6.126), таких членов нет, то есть (7£d)- — О-
Нам нужно вычислить только два значения функции наклонения и
двенадцать значений коэффициентов Ганзена. Наше разложение имеет
одиннадцатый порядок, но, согласно оценкам (6.141)—(6.142), функция .Рздз(^) имеет
порядок малости 0(/6), а Х7+к%х (е) имеет порядок малости 0(е5). Таким
образом, при вычислении нас интересуют только члены самых низких
порядков. Следовательно, можно пренебречь членами высоких порядков в формулах
F3,3,o(/') = 15 + 0(i/2) и Jtu(4+As)'18(e') = 1+0(е/2) для к = О, 1,..., 5. Имеем
*з.з.з(/
Х7 (е
74Л2(е
5,12
х
х.
\е
Х7 (е
Х7 (в.
Х7 (е
В итоге находим выражение для
№>> = -
= 15s6,
1577149 5
1280 е '
1473703 5
960-е '
7280077 5
3840 е '
1486337 5
640 е '
10842187 .
3840 е"
409031 5
е
120 '
(6.210)
(6.211)
(6.212)
(6.213)
(6.214)
(6.215)
(6.216)
тг0):
e5s6 Г
4731447а3 + 1163365a4 D + 110950a5 D2 + 5130а6 D3 +
6^5)(а) cos [18А' - 7А - 5т - Ш] . (6.217)
12288
+ 115a7L>4 + a8L>5
Применение описанного в разделе 6.6 алгоритма для косвенных частей
возмущающей функции показывает, что таковых здесь нет; кроме того, в слу-
6.11. Эффект сжатия планеты
277
чае этого резонанса полностью отсутствуют косвенные члены,
ассоциированные с любым из 182 возможных аргументов до одиннадцатого порядка.
Поэтому усредненная часть возмущающей функции, ассоциированная с этим
аргументом, равна (1Z) = {Qm!/а')(Иъ).
6.11. Эффект сжатия планеты
Возмущающая функция была введена нами в разделе 6.2 в контексте
анализа возмущающего потенциала, действующего на движущееся по орбите
тело со стороны другого тела. В более широком смысле ее можно
рассматривать как все те члены в потенциале, которые возникают сверх обусловленных
членом 1/г, соответствующим модели центрального тела как точечной массы.
Поэтому уравнения Лагранжа справедливы и в тех случаях, когда
возмущающая функция обусловлена несферичностью, или сплюснутостью (сжатием),
центрального тела. В этом разделе мы покажем, как присутствие подобных
дополнительных членов ведет к изменению кеплеровой эллиптической орбиты
задачи двух тел. Это особенно важно для изучения динамики спутников
планет (см. разделы 7.7, 7.9 и 8.11) и их меньших «родственников» — частиц
планетных колец (см. главу 10).
Только абсолютно твердая планета может иметь идеально сферическую
форму, поэтому любое исследование движения спутников планет должно
учитывать члены в потенциале планеты,
возникающие благодаря ее несферичности. Рассмотрим
спутник, обращающийся вокруг планеты с массой
шр и средним радиусом Rp. В системе отсчета
с началом в центре планеты заданы координаты
спутника (г,ф, а), где г — радиальное
расстояние, ф — долгота, а а обозначает здесь широту
спутника (рис. 6.6). Значение а = 0 соответствует
положению в экваториальной плоскости планеты,
а ф = 0 — положению на нулевой долготе (то есть
в плоскости начального меридиана) планеты. Из
теории потенциала известно, что гравитационный
потенциал, действующий на спутник, может быть
записан в виде
V = -
Gmc
Рис. 6.6. Связь радиального
расстояния г, долготы ф и
широты а со
стандартными декартовыми
координатами объекта,
обращающегося вокруг тела тр
l-J2MRp/rmsma)
г=2
(6.218)
где Vi(sina) — многочлен Лежандра степени г
по sin a, Ji — безразмерные коэффициенты,
характеризующие вклад несферических компонент потенциала. Величины Ji
называют зональными гармониками. Известные значения J^ и J± для
планет приведены в табл. А.4. Обозначение J принято в честь английского
геофизика сэра Гарольда Джеффриса (1891-1989). Обратите внимание, что,
согласно нашему предположению, V является функцией только г и а, и что
278
Гл. 6. Возмущающая функция
здесь мы придерживаемся стандартной практики определения потенциала как
отрицательной величины. Отсутствие ф среди аргументов V означает, что
потенциал планеты полагается осесимметричным. Это приближение является
удовлетворительным, так как несферичность планеты обусловлена главным
образом ее сжатием вдоль оси вращения.
В принятой системе координат скорость спутника равна
v = гт + г act + r cos афф, (6.219)
где г, а и ф — стандартные взаимно ортогональные единичные векторы.
Уравнения движения можно вывести, обобщая формулы (2.7). Сравнивая
покомпонентно, находим
АТ7-
г-га2 -г cos2 аф2 + — = 0, (6.220)
дг
4- (г2а) + г2 sin a cos аф2 + -^ = 0, (6.221)
at \ / да
|- (г2 cos2 аф} = 0. (6.222)
Заметим, что последнее уравнение означает, что вертикальная составляющая
момента количества движения сохраняется, и мы можем записать
Ф= 2 \ , (6.223)
rz cosz a
где /г — константа. Тогда уравнения (6.220) и (6.221) могут быть
представлены в виде
г-га2- з о + тг = °. <6-224)
г*3 cos^ а аг
h2 sin а , 5У
+ -д о h ^— = 0. (Ь.225)
rz cos0 а аа
Мы можем линеаризовать эти дифференциальные уравнения,
предполагая, что отличия от круговой экваториальной орбиты малы. Таким образом,
полагаем, что г = а{\ + е) (где а — большая полуось орбиты спутника), а е
и а малы, так что членами второго и более высоких порядков по е и а можно
пренебречь. Тогда уравнения движения принимают вид
h2 dV
аё - -^(1 - Зе) + ^г- = 0, (6.226)
a6 or
h2 l dV
аа + -^а+-^- = 0. (6.227)
а6 а да
Разложение dV/dr и dV/da в ряд Тейлора в окрестности г = а и а = 0 дает
^(г, а) « а(А + Ве + Са), (6.228)
АТГ
тг-(г,а)«а2(£> + £;е + ^а), (6.229)
d /2Л
-г г &
dt\ )
6.11. Эффект сжатия планеты
279
Ддг/о' \дг2)0' а\дгда)0
а2 \да ) 0 ' а \ дгда ) 0 ' а2 \ да2 ) 0
являются константами, а нижний индекс 0 указывает, что частные
производные вычисляются при г = а и а = 0. Поэтому линеаризованные уравнения
движения могут быть записаны в виде
ё + 3(h2/a4)e + Ве + Са = (h2/a4) - А, (6.232)
а + (h2/a4)a + Ее + Fa = -D. (6.233)
Чтобы упростить задачу, предположим, что все коэффициенты J3, J$
и т. д. равны нулю. Они являются малыми величинами, и, за исключением
случаев нескольких планет, их трудно измерить. Если в формуле (6.218)
учитывать только члены с четными значениями г, то, как легко показать,
(d2V/drda)0 = 0. Отсюда С = Е = 0, и уравнения движения для е и а
разделяются. Если предположить, что усредненное по времени радиальное
смещение равно нулю (то есть (е) = 0), то уравнение (6.232) дает А = h2/a4,
и тогда изменение в радиальном направлении дается уравнением
ё + (ЗА + В)е = 0 (6.234)
с решением
€ = ecosxt, (6.235)
где к2 = ЗА + В, а е, как мы знаем из задачи двух тел, — эксцентриситет
орбиты. Аналогично, вертикальное изменение дается уравнением
a + (A + F)a = -D (6.236)
с решением
а = - ° + /cos(i/t + 5), (6.237)
где v2 — А + F, а /, как мы знаем из задачи двух тел, — наклонение
орбиты. Наконец, мы можем вернуться к уравнению (6.223) и рассмотреть
изменение ф. Используя все те же принятые выше приближения, получаем
уравнение
ф& (h/a2)(\ -2е) = (h/a2){\ -2ecosxt) (6.238)
с решением
ф = Ax'2t - {2Ax'2/x)esm>ct. (6.239)
Заметим, что среднее движение спутника равно среднему значению ф\
поэтому
п2 = (ф)2 = А. (6.240)
280
Гл. 6. Возмущающая функция
Полученные решения показывают, что движение под воздействием
потенциала точечной массы и членов 3<ц характеризуется тремя частотами: средним
движением п, радиальной частотой х и вертикальной частотой и. Согласно
нашей теории первого порядка по е и /, они даются выражениями
п2 =
1
х2 =
дул
дг)0'
dv\
V = —
а
8V\
\дг2 JQ
+
(d2v\
(6.241)
(6.242)
(6.243)
дг ) 0 ' а2 \ да2 ) 0 '
Как уже было отмечено выше, радиальные и вертикальные движения
разделены. Также отметим, что синусоидальная компонента движения по ф
отличается по фазе от движения по е на -к/2 и имеет приблизительно вдвое
большую амплитуду, если п яз х. Выражения для частот в виде рядов по 3<ц
и (Яр/а)2г могут быть получены посредством вычисления частных
производных. Ограничиваясь членами до 3\ включительно, находим
2 , с / п \ 41
2 GmP
п = —г51
, 3 т /ДрУ 15 т
1 + 2J2Vf) -Tj4
Rid
2 _ GmP
к'
v2 =
i*
Gm,
Rr
Re
45
9
1 + 9 J2 v n
Z \ a
+ tMv
8 V a
(6.244)
(6.245)
(6.246)
Заметим, что в случае J2 = J\ — 0 имеем n2 = х2 = v1 = п^ где по =
— (^^р/а3)1^2 — кеплерово среднее движение спутника вокруг планеты,
рассматриваемой как точечная масса. В случае среднего движения п учет
дополнительных членов означает, что спутник будет двигаться быстрее, чем
при чисто кеплеровом движении с таким же значением большой полуоси.
Наблюдаемой величиной для спутника обычно является п. Большая полуось
не будет определяться здесь третьим законом Кеплера; чтобы ее найти,
необходимо решить уравнение (6.244), нелинейное относительно а.
Главным геометрическим следствием учета членов 3<ц и, соответственно,
появления малых различий трех частот друг от друга является то, что
орбита перестает быть замкнутой, или, другими словами, возникает движение
перицентра и узлов. В этом можно убедиться, если заметить, что отличия
скоростей радиальных и вертикальных движений (относящихся к
эксцентриситету и наклонению, соответственно) от п равны скоростям движения
перицентра и узлов:
w = п - х, (6.247)
U = п - и, (6.248)
6.11. Эффект сжатия планеты
281
и, с точностью до 0(Rp/a)4, имеем
W = По
§*®'-"*(*)'
Ct = —щ
И*)'-!-*®4
»
-£*|
(6.249)
(6.250)
Описанный здесь подход используется далее в разделе 10.3 при
обсуждении динамики планетных колец. Заметим, что аналогичные результаты можно
получить также с помощью уравнений Лагранжа; Рой (1988) использовал
такой метод при исследовании задачи о движении вокруг сплюснутой планеты
с учетом эффектов от гармоник J2i+\-
Последуем подходу Роя (1988), но ограничимся анализом долговременного
влияния J<i и J4, учитывая члены до второго порядка по е и /. Возмущающую
функцию записываем в виде
П = -
Qmr
J<2
Rr
V2{s\na) + J4 ( —E ) P4(sina)
(6.251)
(cm. (6.218)), где
V2{sma) = (l/2)(3sin2a- 1)
(6.252)
V\ (sin a) = (1/8) (35 sin4 a — 30sin2a + 3).
(6.253)
Согласно рис. 6.6 и формуле (2.122), мы можем связать широту а с
наклонением I, истинной аномалией / и аргументом перицентра ш посредством
уравнения
sin a = sin I sin(/ + ш). (6.254)
Отсюда, используя формулу г = а{\ — е2)/(1 + ecos/), выписываем
соответствующие усредненные члены вЯс точностью до второго порядка:
(К) = ^V
2J4V
2 2
:п а
I*
Г2
R,
R,
"У"72
Rr
4 \ а
15 7
-TJ4
е2-
Дг
sin2/. (6.255)
При выводе (6.255) мы использовали формулы из раздела 2.5,
представляющие sin/ и cos/ в виде степенных рядов по средней аномалии М, и
усреднили результирующий ряд на интервале от М = 0 до М = 27г, пренебрегая
постоянными членами. В дальнейшем мы воспользуемся этой формулой для
учета сжатия планеты в теории вековых возмущений в разделе 7.7.
282
Гл. 6. Возмущающая функция
Теперь мы можем использовать уравнения Лагранжа для вывода формул
для w и U. С точностью до второго порядка по е и / имеем
w = п
О. = —п
-л
R,
:Л
R,
15
J4
R,
н%
27
~8~
т2 ( R*l
V а
---J2[^) -Ч-М
]Ъ
4
(*
(6.256)
(6.257)
Поскольку мы выразили w и tl через п, а не через по, эти формулы
отличаются от (6.249) и (6.250). Перейти от одной формы к другой позволяет
соотношение (6.244). Как отметил Гринберг (1981), при использовании
формул для vo и tl следует аккуратно учитывать различие между оскулирующими
и средними элементами (см. статью Эллиота и Николсона (1984), где
обсуждается этот вопрос).
Контрольные упражнения
6.1. Астероид 3805 Голдрайх находится на орбите вблизи резонанса
8:3 с Юпитером. В декабре 1997 г. орбита Голдрайха имела большую
полуось а = 2.68463 а.е., а большая полуось орбиты Юпитера была равна
а1 = 5.20335 а.е. Вычислите выраженные в °/сут средние движения астероида
(п) и Юпитера (п;) и отсюда величину 8п' — Зп (то есть выраженную в °/сут
удаленность астероида от номинального положения резонанса 8:3).
Используя правила Даламбера, выпишите все двадцать восемь возможных
аргументов, отвечающих этому резонансу в разложении возмущающей функции,
до пятого порядка относительно эксцентриситетов и наклонений обоих тел.
Для каждого аргумента определите степени эксцентриситетов и наклонений
в ассоциированном члене. Используя описанный в разделе 6.6 метод, найдите
явное выражение для члена, ассоциированного с резонансным аргументом
8А' — ЗА — w1 — 2vo — ft' — ft; ответ должен включать члены до пятого порядка
относительно эксцентриситетов и наклонений. Положив а = а/а', вычислите
коэффициенты Лапласа. Найдите наименьшие значения положительных
целых чисел р и q > 5, таких что \(р + q)nf — рп\ < \8п' — Зп|.
6.2. (Задача от Маркуса Анзорга.) Коэффициент Лапласа bg
выражается через гипергеометрический ряд следующим образом О
Ыр = ф+')-(*+j-i)aJF(a2)>
2 " Г.
где а = а/а' < 1 — отношение больших полуосей, а
F(a2) = 1 +
s(s + j) 2^s(s+l)(s+j)(s + j + l)
l!(i+l)
a' +
2!(j+l)(.7 + 2)
a4 +
l) Здесь и далее авторы используют сокращенную форму записи аргументов
гипергеометрической функции: F(a ) = F(s,s + j,j + 1,а2). — Прим. ред.
Контрольные упражнения
283
При а —» 1 ряд сходится медленно, что затрудняет вычисления. Однако
сходимость может быть улучшена путем специально подобранной замены
переменных. Известно, что F есть решение обыкновенного дифференциального
уравнения
ф " 1}ё?+ ^[{2s+j + 1)х" и +1)] + ф+j)F = а
где в нашем случае х = а2. Сделав замены у = 1 — ж, G(y) = F(l — у) = F(x),
выведите дифференциальное уравнение для G и путем прямой подстановки
покажите, что это уравнение имеет решение
сю сю
G(y) = Y,Aiyl~2s+x +\пу^В1У1,
1=0 1=0
где А\ и В\ — константы. Полагая s = 3/2, выведите формулы для А\ и В\.
Напишите программу для вычисления коэффициентов Лапласа, используя
1) приведенный выше ряд для F(a2) (пригодный для использования при
малых а) и 2) ряд
F(a2) = Y, Ml ~ a2)'-2s+1 + Ь(1 - a2) J2 Bi{\ - a2)1.
1=0 1=0
Используя эти две программы, сравните, сколько времени требуется для
вычисления by2(0.999) каждым методом с точностью в семь значащих цифр.
6.3. Скорость вызываемой Юпитером прецессии орбиты Сатурна
можно примерно оценить, аппроксимируя усредненное по времени воздействие
Юпитера притяжением кольца (или тора) с массой mj и радиусом aj и
постулируя, что это кольцо создает эффективное J^ Солнца. Можно показать,
что J|ff = (С — A)/(MR2), где С и А — полярный и экваториальный
моменты инерции кольца, а М и R — масса и радиус Солнца. Покажите, что
J|ff = mja2/(2MR2). Выведите формулы для скоростей прецессии перицентра
и узлов орбиты Сатурна с помощью формул из раздела 6.11. (При решении
можно использовать тот факт, что эксцентриситет и наклонение орбиты
Сатурна малы.) Оцените период прецессии перицентра Сатурна в годах.
6.4. Гравитационное поле Земли (массой ше) имеет небольшую
обусловленную асимметрией между северным и южным полушариями третью
гармонику:
Д3 = -^^- cos 0(5 cos2 в - 3),
где /i = QrriE, а в — полярный угол (дополнение географической широты,
или ко-широта). Вычислите среднее по средней аномалии М значение R$
и покажите, что
<Дз) = 2а4 (1-в2)5/28т/^48т /-1»slncJ'
284
Гл. 6. Возмущающая функция
где ш — аргумент перицентра. Обратите внимание, что наличие прецессии и,
вызванной гармоникой J2, подразумевает, что долговременное среднее равно
нулю при любых значениях ей/. Кроме того, наличие зависимости (R^)
от ш означает, что, в отличие от случая с J2, теперь имеются и возмущения
элементов ей/. Используя уравнения возмущенного движения Лагранжа,
выведите формулу для d//dt. Объедините ее с формулой для скорости dcj/dt,
обусловленной J2, и покажите, что наклонение связано с аргументом
перицентра и уравнением
d/ J3R e
^"2J^(T3^)C°S/COSa;'
где предполагается, что J3 <С ^2- Используя это уравнение, найдите
приблизительно изменение / за один период прецессии и, предполагая, что это
изменение / невелико.
6.5. Эффект общей теории относительности (ОТО) низшего порядка для
планетной орбиты состоит в прецессии перицентра дополнительно к
прецессии, вызываемой возмущениями со стороны других планет. Этот эффект
максимален в случае Меркурия. Его подтверждение стало одной из первых
успешных проверок справедливости ОТО. Основные эффекты ОТО можно
смоделировать, добавив к гравитационному потенциалу Солнца
дополнительное слагаемое
GMh2
VGR
c2r3
где М — масса Солнца, с — скорость света, г — расстояние от Солнца до
планеты, находящейся на орбите с большой полуосью а и эксцентриситетом е.
Величина h = г2в = [QMa{\ — е2)]1/2 представляет собой орбитальный момент
количества движения планеты в расчете на единицу массы, а) Используя
эпициклическую модель из раздела 6.11, вычислите возмущенное среднее
движение п и эпициклическую частоту к для почти круговой орбиты
среднего радиуса а. Покажите, что
6тг£М 2
^GR ~ 2f~ ~ 3{УотЪ/с) П,
где Т = 27т/п — период обращения, а г>огь — средняя скорость движения
по орбите, б) Вычислите w для Меркурия и Земли и сравните скорости
релятивистской прецессии со скоростями прецессии из-за вековых планетных
возмущений. Последние имеют порядок 10/;/год (~ 1.5- 10~12 рад/с).
6.6. Простое описание относительной роли составляющих прецессии,
вызываемых планетными и солнечными возмущениями в динамике
спутников, можно получить, сравнивая скорости прецессии, а) Скорость прецессии
узлов, вызываемой солнечными возмущениями, определяется по формуле
3
*Xolar = - J (n2/n) COS/3,
Контрольные упражнения
285
где /3 — наклонение орбиты спутника относительно плоскости орбиты
планеты, пр — среднее движение планеты по орбите вокруг Солнца.
Сравнивая эту скорость со скоростью (l прецессии узлов, вызываемой J^ планеты
(см. раздел 6.11), покажите, что существует критическое значение большой
полуоси ас, для которого эти две скорости равны, и выведите выражение
для ас через Mp/Msun, R, %>, J2 и /3. б) Вычислите ас для Земли,
Сатурна и Урана (в единицах радиусов планет) в случае почти экваториальных
орбит (/ <С 7г/2) и для каждой из этих планет определите, какие спутники
находятся вне ас (если таковые есть). Обратите внимание, что в случае
Урана /3 = 98°. в) Качественно опишите прецессию узлов спутников с а « ас
и а ^ ас. Можете ли Вы объяснить отсутствие экваториальных (/ « 0)
спутников с а > ас? г) Вычислите значения & и соответствующие периоды
прецессии (в годах) орбит Луны, Мимаса, Титана, Миранды и Оберона.
Глава 7
ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
О дух людской! Что будет иль что было —
Желанно всем, а что теперь — не мило.
Уильям Шекспир, Генрих IV,
часть вторая, акт I, сцена 3
(пер. Е. Бируковой)
7.1. Введение
В предыдущей главе мы показали, что возмущающая функция может
быть разложена в бесконечный ряд, члены которого подразделяются, согласно
решаемой задаче, на вековые, резонансные и короткопериодические. Как
отмечено нами в главе 3, задача N тел в случае N ^ 3 неинтегрируема.
Однако далее в настоящей главе мы покажем, как с помощью подходящих
приближений можно найти аналитическое решение частной задачи N тел,
пригодное для описания движения тел Солнечной системы. Это можно
сделать, принимая во внимание только вековые члены возмущающей функции
для системы из N — 1 тел, обращающихся вокруг центрального тела. Такую
теорию можно применить к спутникам, обращающимся вокруг планеты, или
к планетам, обращающимся вокруг Солнца, а также использовать для
изучения движения малых объектов в любой из этих систем. Все это составляет
предмет теории вековых возмущений.
7.2. Вековые возмущения в случае двух планет
Рассмотрим движение двух планет с массами т\ и Ш2 под действием их
взаимного гравитационного притяжения и притяжения точечного
центрального тела с массой гас, причем mi « тс и шг « wic- Пусть TZ\ и 1^2 —
возмущающие функции, описывающие возмущения орбит тел тп\ и Ш2,
соответственно, причем 1Z\ и 7^2 являются функциями стандартных оскулирующих
элементов орбит этих тел. Оскулирующие элементы (от латинского глагола
«osculare», означающего в переводе «целовать») — это «мгновенные»
элементы, значения которых определяются текущими положениями и скоростями
объекта, если предположить, что он находится на невозмущенной кеплеро-
вой орбите. Возмущения элементов орбиты даются уравнениями Лагранжа
(6.145)-(6.150).
Если средние движения двух тел несоизмеримы, вековые возмущения,
обусловленные взаимными гравитационными возмущениями тел гп\, Ш2 и гас,
находятся путем отождествления членов возмущающей функции, независи-
7.2. Вековые возмущения в случае двух планет
287
мых от средних долгот. Мы можем также исключить все члены, зависящие
только от большой полуоси, поскольку, согласно уравнению (6.145), они не
вносят никакого вклада в вековую эволюцию. С точностью до второго порядка
относительно эксцентриситетов и наклонений (и первого порядка
относительно масс), единственными членами в разложении возмущающей функции,
не содержащими средних долгот, как следует из формул приложения Б,
являются 4D0.1, 4D0.2 и 4D0.3 с j = 0. Следовательно, усредненная вековая
прямая часть возмущающей функции имеет общий вид
<C) = I [2al2D + a\2D>] 6$ (в? + в|) - \aX2b%{s\ + 4) +
+ - 2 - 2a\2D - ol\2D2\ b\J2e\e2cos{zo\ - w2) +
+ ai2&3/25l52COs(^i -ft2)> (7.1)
где нижние индексы 1 и 2 относятся к внутреннему и внешнему телам,
соответственно, а а\2 = ai/a2> причем а\ < а2. Косвенная часть отсутствует;
в самом деле, как следует из формул приложения Б, все косвенные члены
содержат по крайней мере одну среднюю долготу, поэтому чисто вековых
косвенных членов не бывает (см. Брауэр и Клеменс, 1961).
При вычислении *R,\ и *R,2 из 72,^' необходимо принять во внимание,
что 7^1 описывает внешнее возмущение со стороны тела т2, г 1Z2 —
внутреннее возмущение со стороны тела т\. Отсюда, согласно формулам (6.134)
и (6.135), 1Z\ и 1Z2 могут быть записаны в виде
гт, $тЪгг,(sec) Gm2 ^(sec) ,- 0ч
П\ = Я^ = апЩ> \ (7.2)
0>2 &\
Ъ ^Ш1 ij(sec) G™>\ ^(sec) n ~ч
a\ u a2
Используя следующие соотношения между коэффициентами Лапласа и их
производными
db{0) d2b(0)
Za da +a da2 -aV' (/A)
db{l) d2b{l)
0,(1) 0 a0\/2 2 1/2 ,(2) ,7гч
а также приближения £rac « n2^ « ^a2' мы можем записать
^ 2 2 m2
8a1263/2el " 8а12Ь3/2^ "
mc + m\
2 b(2)__,_. _^xIJ ,(1)
Ta12fe3/2ele2cos(^l _ ^2) + 7^12^3/2^1 ^2 COs(^i - ft2)
(7.6)
288
Гл. 7. Вековые возмущения
ъ 2 2 т1
7с2 = ща^
тс + га2
1
1 ьО) 2 х Л1) г2
-а12Ц/2е2 - gai2^/2/2 -
b(2)__/_ __,Л_ь * ьО)
-7a\2b\)i2e\e2Cos{w\ - w^) + -ai2b;^2/i/2cos(fti ~~ ^2)
(7.7)
где предполагается, что 1\ и /2 достаточно малы, так что справедливы
приближения 5i = sin(i"i/2) tt I\/2 w S2 = sin(J2/2) « /2/2.
Выражения (7.6) и (7.7) для 7£i и 7£2 можно записать в общем виде
Щ = пэа)
-Ajje* + Ajke\e2 cos(zui - zu2) +
+ -Bjjl* + SiJb/i/2 cos(fti - Q2)
, (7.8)
где j-1,2; k = 2, 1 О/А:), и
/l 1 m^ - 1,(2) / \
Ajk = ~nJA^ _l^ Oii2^\20y2{ai2),
4 rac + m^
^ = -n4^-^ai2ai2b3/2^12)^
Ъ'А:
4 mc + rrij
ai2ai2by2(ai2),
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
где a\2 = ai2, если j = 1 (в случае внешнего возмущающего тела), и ai2 = 1,
если j = 2 (в случае внутреннего возмущающего тела). Согласно определению
коэффициентов Лапласа, приведенному в разделе 6.4,
2тг
U3/2
«■И
cos ф dip
ь£%(«) = г
^3/2
О
2тг
(1 — 2а cos^ + a2)3/2'
cos 2^ d^
(1 — 2ol cos ^ + a2)3/2
(7.13)
(7.14)
Обратите внимание, что в данном случае В\\ = —В\2 и £?2i = — £?22.
Однако ситуация будет иной, если необходимо учитывать члены, обусловленные
сжатием центрального тела (см. раздел 7.7). Все эти величины представляют
7.2. Вековые возмущения в случае двух планет
289
собой частоты, которые можно рассматривать как постоянные элементы двух
матриц
А=^'!^ и Ъ=(В"ВА. (7 15)
М\ M2J \В2\ #22
Заметим, что элементы этих матриц зависят только от масс и
(фиксированных) больших полуосей орбит двух тел, а строки (как и столбцы) матрицы В
не являются линейно независимыми.
Ограничиваясь в уравнениях (6.146), (6.148), (6.149) и (6.150) членами
самого низкого порядка по е и /, можно легко вывести уравнения Лагранжа
для вычисления изменений элементов орбиты в приближенном виде:
*._ __!_«*t A.__!_«*i (7.16)
3 nja<jej dwi' J nja<jej ®ез '
/. = L_^t u=-^^l. (7.17)
3 n>jQ%Ij 9ftj 3 rijO^Ij dlj
Записав уравнения в данной форме, удобно определить вертикальные и
горизонтальные компоненты «векторов» эксцентриситета и наклонения
следующим образом:
hj = ej sin voj , kj = ej cos Wj (7.18)
и
Pj — Ij sin flj, qj = Ij cos flj. (7.19)
Эти переменные имеют то преимущество, что они позволяют избавиться от
особенностей, возникающих в уравнениях (7.16) и (7.17) при малых ей/.
Вековая часть возмущающей функции в общем виде теперь записывается как
Kj = ща)
^Ajjih] + k]) + Ajk(hjhk + kjkk) +
+ ?Bjj(Pj + 9?) + Bjk(PjPk + qj4k)
(7.20)
Обратим внимание, что нижний индекс к принимает значения только 1 или 2,
обозначая внутреннее или внешнее тело, соответственно; эти обозначения не
следует путать с обозначением через к горизонтальной компоненты вектора
эксцентриситета.
Поскольку каждая из величин hj, kj, pj и qj является функцией двух
переменных, можем записать
dhj _ dhj dej dhj dvjj dkj dkjdej dkj dvoj
dt dej dt dvjj dt ' dt dej dt dwj dt
&Pj_ = dpj_dIj_ др^Щ dqj_^dqj_dlj_ д^Щ_
dt dlj dt dflj dt ' dt dlj dt dftj dt' K ' }
290
Гл. 7. Вековые возмущения
где, согласно данным выше определениям, частные производные равны
dhj hj dkj kj
dpj_ _pj_ dqj _ qj
dij J/ dij J/
Путем несложных выкладок можно
движения записываются в виде
• 1 dTZj
3 rija2- dkj '
1 атг7
Т) * — —
3 rijaj dqj '
dwj 3' dwj 3
dpj dqj
щ qj' dtij Pj-
(7.23)
(7.24)
показать, что уравнения возмущенного
• 1 dUj
3 TijOj dhj '
1 dKj
rijaj dpj
(7.25)
(7.26)
где TZj дается выражением (7.20).
Полная система уравнения для hj, kj, pj и qj (j =1,2) записывается тогда
в виде
h\ = A\\k\ + A\2k2, k\ — —A\\h\ - A\2h2,
h2 = A2\k\ + A22k2, k2 = -^21^1 - ^22^2,
(7.27)
P\ = B\\q\ + Bx2q2, q\ = -Вцр\ - B\2p2,
p2 = B2xqx + B22q2, q2 = -B2\P\ - B22p2.
Таким образом, в приближении самого низкого порядка, уравнения для
{hj,kj} отделяются от уравнений для {pj,qj}. Кроме того, данные уравнения
представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами, и поэтому проблема вековых возмущений сводится к двум
задачам на собственные значения. Их решения имеют вид
2 2
hj = ^2 e3i sin(ft* + А)> kj = ]Р eji cos(git + pi), (7.28)
i=\ i=\
2 2
Pj = ^2 !ji sin(/i* + 7i)> Qj = Yl IJi cos(/** + 7i). (7-29)
i=l i=l
где частоты ^ {i — 1,2) представляют собой собственные значения матрицы
A, eji — компоненты двух соответствующих собственных векторов;
аналогично, fi (г = 1,2) — собственные значения матрицы В, /^ — компоненты
соответствующих собственных векторов. Фазы /% и 7г» как и модули
собственных векторов, определяются начальными условиями. Последние находятся
из наблюдательных данных об оскулирующих эксцентриситетах и наклонени-
7.2. Вековые возмущения в случае двух планет
291
ях на некоторый момент времени. Решение (7.28)-(7.29) представляет собой
классическое вековое решение Лапласа-Лагранжа для вековой задачи.
При использовании решений задачи на собственные значения величины,
относящиеся к орбитам двух тел, легко можно перепутать с величинами,
относящимися к двум собственным модам системы. Нами принято, что нижний
индекс j всегда обозначает номер планеты, тогда как нижний индекс г всегда
обозначает номер моды.
Интересно, что в нашем случае характеристическое уравнение для В
имеет вид
\В\\ - f В\2
I #21 #22 -/|
что сводится к уравнению
= 0, (7.30)
/[/-(#ii+#22)]=0, (7.31)
поскольку В\\В22 — #i2#2i = 0 (как следует из определений (7.11) и (7.12)).
Таким образом, один из корней характеристического уравнения f\ = 0, что
соответствует вырожденной задаче. Этим определяется тонкое различие между
решениями {h,k} и {р, q}. В случае вытянутой орбиты имеются асимметрия
и опорное направление, а сферическое или точечное центральное тело не
обладает никакой естественной опорной плоскостью. С физической точки
зрения имеет значение только взаимное наклонение, и, следовательно, выбор
опорной плоскости произволен. Например, принято относить орбиты
спутников к экваториальной плоскости планеты (то есть к плоскости, ортогональной
оси ее вращения). Однако, как мы вскоре увидим, учет несферичности
планеты вносит дополнительные члены в диагональные элементы матрицы В
и снимает вырождение.
Еще одно свойство нашего решения состоит в том, что оно не зависит
от средних долгот, поскольку они были преднамеренно исключены из
усредненной части возмущающей функции. Таким образом, мы в состоянии
предсказывать изменения эксцентриситетов, наклонений, долгот перицентров
и узлов орбит, но о положениях тел на орбитах ничего сказать нельзя.
Решение (7.28)-(7.29) подразумевает, что результирующее движение всех
тел устойчиво. Однако важно помнить о предположениях, при которых был
получен этот результат: 1) отсутствие соизмеримостей средних движений,
2) ri < Г2 и 3) эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, так что
для описания движения достаточно взять разложение возмущающей функции
второго порядка. Но, например, амплитуды собственных векторов
эксцентриситета могут быть на самом деле достаточно велики, чтобы привести
к пересечению орбит, и это нарушило бы условия 2) и 3). Далее мы увидим,
что могут быть и такие ситуации, когда соизмеримости средних движений
отсутствуют, но члены с «малыми знаменателями» тем не менее важны.
Построенная нами теория справедлива с точностью только до первого порядка
относительно масс, и надо иметь в виду, что теория второго порядка может
дать существенные поправки.
292
Гл. 7. Вековые возмущения
7.3. Юпитер и Сатурн
Применим теперь построенную теорию к Юпитеру (массой mi) и Сатурну
(массой т2), обращающимся вокруг Солнца (массой тс). В 1983 г. эта
система имела следующие параметры:
пц/тпс = 9.54786- 1(Г4,
oi = 5.202545 а.е.,
щ = 30.3374°/год,
ei = 0.0474622,
wx = 13.983865°,
/i = 1.30667°,
Hi = 100.0381°,
m2/mc = 2.85837 • Ю"4,
a2 = 9.554841 а.е.,
n2 = 12.1890°/год,
e2 = 0.0575481,
w2 = 88.719425°,
h = 2.48795°,
Q2 = 113.1334°.
(7.32)
Поскольку а = a\/a2 = 0.544493, из определений (7.13) и (7.14) для
коэффициентов Лапласа получаем
6^ = 3.17296,
ьз/2 = 2.07110.
(7.33)
Используя определения (7.9)—(7.12) для матричных элементов, имеем
/ 0.00203738 -0.001329874
1-0.00328007 0.00502513 J /ГОД ( '
В =
-0.00203738 0.00203738\
0.00502513 -0.00502513 J
7год.
(7.35)
Мы можем теперь найти собственные значения матриц А и В, решая
соответствующие характеристические уравнения
М\ М2~9
= 9-(Ап+ А22) д + (АпА22 - А21А12) = 0 (7.36)
В\\ - f В\2
В2\ В22 - f
= Г-(Вп+ В22) f + (ВпВ22 - В21В12) = 0. (7.37)
Решая эти квадратные уравнения, получаем
дх = 9.63435 • 1(Г4 °/год, 92 = 6.09908 • 10"3 °/год
и
(7.38)
(7.39)
/i=0, /2 = -7.06251. 10-3о/год.
Собственными векторами матриц А и В будут четыре вектора хь хг, yi
и у2, удовлетворяющие уравнениям
-А-Хг — 9г^-г
ВУг = /гУг (г =1,2).
(7.40)
7.3. Юпитер и Сатурн
293
Однако, как видно из этих определений, если х^ является собственным
вектором матрицы А, то и вектор сх^, где с — константа, тоже является
собственным вектором этой матрицы. Таким образом, любой собственный вектор
определен срочностью до некоторого постоянного масштабного множителя.
Пусть eji и Iji — компоненты этих ненормированных собственных векторов,
a Si и Ti — масштабные множители; тогда
Sieji = е^ и Tjji = Iji (г = 1,2). (7.41)
Значения eji и Iji получаются посредством решения четырех систем
уравнений, каждая из которых состоит из двух линейных уравнений относительно
двух неизвестных; в результате имеем четыре (ненормированных)
собственных вектора
eiЛ _ /-0.77799А (ёХ2\ _ ( 0.332842\
ё2\) " V-0.628275y ' \e22J " V -1.01657 ) '
(7.42)
In\ _ /^0.707107\ (1Х2\ _ /-0.40797\
Ъ\) " V0707107/ ' \W ~ V 1-00624у *
Масштабные множители Si и Т* определяются из начальных условий.
В момент времени t = 0 имеем
h{ = 0.0114692, h2 = 0.0575337, к{ = 0.0460556, к2 = 0.00128611 (7.43)
и
рх = 0.0224566, р2 = 0.0399314, qx = -0.00397510, g2 =-0.0170597, (7.44)
где мы перевели значения наклонений из градусов в радианы. Подставляя
t = 0B наше общее решение (7.28) и (7.29), имеем
hj = S\ej\ sin/3\ + 52ё^2 sin/З2, kj = S\ej\ cos/?i + S2ej2Cos(32 (7.45)
и
Pj = T\ lj 1 sin 71 + T2/J2 sin 72, qj = T\ Ij \ cos 71 + T27j2 cos 72, (7.46)
где нижний индекс j (= 1,2) обозначает планету (Юпитер или Сатурн). Эти
соотношения можно рассматривать как четыре системы уравнений, каждая
из которых состоит из двух линейных уравнений с восемью неизвестными
S;sin/?;, Si cos Pi, Ti sin 7^ и T^cos7^ для i = 1,2. В нашем случае решения
таковы:
Si sin A \ _ /-0.0308089\ fS{ cos (ЗЛ _ /-0.0472469\
52sin/32y ~ ^-0.0375549,1 ' ^cos^y ~ ^ 0.027935 ) '
(7.47)
risin7A _ /0.0388876\ /Ticos7i\ _ /-0.0109598 \
T2sin72y ~ ^0.0123566y ' VT2cos72y ~ ^-0.00925221 у '
294
Гл. 7. Вековые возмущения
Отсюда
/?i = -146.892°, fo = -53.3565°, 71 = 105.74°, 72 = 126.825° (7.48)
и
5i-0.0564044, S2 = 0.0468053, Ti = 0.0404025, Г2 - 0.0154366. (7.49)
В итоге нормированные собственные векторы равны
0.0155788\
-0.047581 ) '
(7.50)
-0.0062976б\
0.015533 ) '
где Iji выражены в радианах.
Теперь нам известны все константы в выражениях (7.28) и (7.29). Поэтому
мы можем определить h, k, р и q для Юпитера и Сатурна на любой момент
времени t. Решение имеет вид
hj = ejX sin(5i* + 0\) + ej2 sm(g2 t + fo),
kj = ejX cos(g\t + A) + ej2 cos(g2 t + /32),
(7.51)
Pj = J^i sin(/i* + 71) + Ij2 sin(/2 t + 72),
^ = Iji cos(/i* + 71) + ^2 cos(/2 t + 72),
где j = 1 для Юпитера и j = 2 для Сатурна. Из этих решений мы можем
определить элементы орбит указаных двух планет на любой момент
времени t. Например, по формуле ej(t) = (Щ + Щ)х/2 вычисляем эксцентриситет
орбиты планеты j. Используя наши результаты, имеем
ei(t) = v/0.00217 - 0.00137 cos(93.5° + 0.005141),
(7.52)
e2(t) = ^/0.00352 + 0.00337cos(93.5° + 0.005141),
где фазы измеряются в градусах, а частоты — в градусах в год. Таким
образом, изменение эксцентриситета орбиты каждой из двух планет является
периодическим с периодом ~ 70 100 лет. Рис. 7.1 а показывает определяемую
нашим вековым решением эволюцию эксцентриситетов орбит обеих планет
в течение 200000 лет; периодичность очевидна. Разные знаки коэффициентов
перед косинусами подразумевают, что максимумы изменений эксцентриситета
орбиты Юпитера совпадает с минимумами изменений эксцентриситета орбиты
Сатурна, и наоборот.
еп\ _ /-0.043882А (е12
е2\) ~ 1^-0.0354375; ' 1^е22
/ц\ _ /0.0285689\ (112
Г2{) ~ 1^0.0285689; ' 1^22
7.4. Свободные и вынужденные элементы
295
-100 000 0 100 000
Время, в годах
-100 000 0 100 000
Время, в годах
Рис. 7.1. а) Эксцентриситеты и б) наклонения орбит Юпитера и Сатурна, найденные
из вековой теории на интервале времени в 200000 лет; t = 0 соответствует 1983 г.
Аналогично, по формуле Ij = (р2 + с/?)1/2 вычисляем наклонение орбиты
планеты j на любой момент времени t. Согласно нашим результатам,
Ix{t) = ^0.000856 - 0.00360cos(21.1° - 0.007061) рад,
hit) = у^О.ОО 106 + 0.000888 cos(21.1 ° - 0.007061) рад.
(7.53)
Здесь период векового изменения для каждой из двух планет ~ 51000 лет;
так как f\ = 0, этот период равен просто 360°//2. Зависимости наклонения
орбит от времени для обеих планет показаны на рис. 7.1 б.
Вековое решение, полученное нами для Юпитера и Сатурна, является
только приближением к реальным изменениям их элементов орбит. В
действительности значительное влияние на их орбиты оказывают возмущения со
стороны Урана и Нептуна. Еще одна сложность состоит в том, что орбиты
Юпитера и Сатурна близки к соизмеримости 5:2. Это вносит дополнительные
возмущения на шкалах времени более коротких, чем периоды, связанные
с вековыми изменениями.
7.4. Свободные и вынужденные элементы
Мы показали, что при некоторых условиях можно построить вековое
решение для двух тел, обращающихся вокруг центрального тела и
испытывающих взаимное гравитационное притяжение; на любой момент времени
мы можем определить эксцентриситеты, наклонения, долготы перицентра
и восходящего узла орбит обоих тел. Это решение можно использовать для
изучения движения еще одного тела пренебрежимо малой массы (пробной
частицы) под влиянием центрального тела и возмущений со стороны двух
других тел.
Согласно приведенному в разделе 7.2 примеру вековой теории для двух
тел, возмущающая функция TZ для пробной частицы с элементами орбиты а,
п, е, J, w и fi имеет вид
TZ = па2
II2 2 1
-Ае2 + -^BI2 + Y^ Ajeej cos(tt7 - wj) + V^ BjIIj cos(fi - ttj) ,
(7.54)
296
Гл. 7. Вековые возмущения
где
3=1
i = nlE^V3/2(ai)
,(1)
Inij _ (2) , ,
Аз = ~п1[^азазЬзМаз)<
4тс
2
в = "«4 Е ^«^з/гК)-
J=l
lm^- (i)
1/ZI/o ill)/ \
BJ=n4^raJaJ'63/2(aJ')
_ Г a,/a,
aj ~ \ o/oj,
= ( '■
I a/aj,
(7.55)
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
(7.60)
если cij < a,
если dj > a,
если dj < a,
если aj > a.
Перейдем теперь к новому набору переменных h, k, p к q для пробной
частицы и /ij, kj, pj и gj (j = 1,2) для каждого возмущающего тела, где
h = es'mw, k = ecosw (7.61)
р = I sin fi, g = I cos fi, (7.62)
а другие элементы уже определены выражениями (7.18) и (7.19); тогда имеем
TZ — ridz
l-A(h* + k*) + l-B(p2 + g2) +
+ ])Г Aj(hhj + kkj) + ]P Bjippj + qqj)
Уравнения движения записываются как
1 dTZ
h =
па2 дк '
1 дК
к =
1 дП
паг oq
Подставив в них 1Z из (7.63), переписываем их в виде
па2 dh '
. \_&Я
3 па2 др '
h = Ak + y^Ajkj,
3=1
2
p = Bq + Y^Bjqj,
А; = — Ah — Y^ Ajhj,
3 = 1
2
q= -Bp-^BjPj,
3 = 1
(7.63)
(7.64)
(7.65)
(7.66)
(7.67)
7А. Свободные и вынужденные элементы
297
где величины hj, kj, pj и qj определяются вековым решением (7.28) и (7.29).
Сделав подстановки согласно (7.28) и (7.29), получим
2 2
h = Ak + ^2Aj^2 eji cos(git + #), (7.68)
2 2
A: = -Ah - ^2 Aj Yl eJ* sin(3i* + A). (7.69)
j=\ i=\
2 2
p = Bq + J^ B, Y, hi cos(/*« + 7i), (7.70)
J'=l i=l
2 2
^-Bp-J^BjJ^Ijismifit + ^i). (7.71)
Взяв еще раз производную по времени от обеих частей каждого уравнения
и снова применив (7.26), находим
h = -A2h - J2 МА + 9i) sin(p»« + A), (7.72)
i=\
2
fc = -A2k - Y "i(A + 9i) cosigit + A), (7.73)
i=\
2
p = -в2р - J2 Vi{B + fi) sin(/i« + 7i), (7.74)
i=l
2
9 = -£2<j - ^ ^(B + /0 cos(/it + 70^ (7.75)
i=\
где
2 2
^г = Yl АЭеЭ* И ^ = Yl BJI3i' (776)
Решения дифференциальных уравнений (7.72)-(7.75) (независимых друг от
друга) имеют вид
h = efree sm(At + /3) + /io(£), & = ^free cos(A£ + /3) + ko(t),
(7.77)
p = /free Sin(Bt + 7) + Po(*)> 9 = ^free COs(££ + 7) + q0(t),
где efree, /free» /3 и 7 — константы, определяемые из начальных условий, и
2
М*) = - У) т^ sin(#* + А)- (778)
298
Гл. 7. Вековые возмущения
2
Щ
**(*) = " Е ТЗ- СОБ^Ь + #)• (7-79)
i=i
Ро
-А-Л
(') = - Е тггт:sin(/^ + 7г)* (7-80)
=1 я-Л
2
«>(*) = -Е вЗТсов(Л' + ^)- (7.81)
г=1
Обратите внимание, что /го, &о> Ро и <7о являются функциями только
(постоянной) большой полуоси орбиты частицы и, таким образом, не зависят от
других элементов орбиты. Но, так как значения /го, fco, Ро и Qo зависят еще
и от векового решения для двух возмущающих тел, они будут изменяться со
временем.
Если ввести величины
^forced = у hi + Щ , /forced = уРо + ^0 ' (7'82)
то решениям (7.77) можно дать простую геометрическую интерпретацию
(рис. 7.2 и 7.3). В случае решения {/г, к} значения к и /г для частицы
определяют точку на плоскости {к, К). Радиус-вектор этой точки имеет модуль е
и образует угол w с осью к. В контексте приведенного выше решения этот
вектор можно рассматривать как сумму двух векторов: первый соединяет
начало отсчета с точкой (/со,/го) (он имеет модуль eforCed и образует угол
^forced с осью к), а второй соединяет точки (ко, ho) и (к, К) (он имеет модуль
efree и образует угол cc7free = At + (3 с осью к). Таким образом, движение
частицы можно рассматривать как движение с постоянной угловой
скоростью А по окружности с центром в точке (ко, ho), которая перемещается
по довольно сложной траектории, определяемой вековым решением для двух
возмущающих тел. Это проиллюстрировано на рис. 7.2. Величины eforCed
и ^forced определяются значениями /го и ко и называются вынужденным
эксцентриситетом и вынужденной долготой перицентра орбиты частицы.
Их значения определяются только большой полуосью орбиты частицы и
вековым решением для двух возмущающих тел. Напротив, efree и ccw, свободный
эксцентриситет и свободная долгота перицентра орбиты частицы,
определяются начальными условиями и являются фундаментальными орбитальными
параметрами частицы. Их называют также собственным эксцентриситетом
и собственной долготой перицентра.
Важно отметить, что окружность, показанная на рис. 7.2, необязательно
охватывает начало отсчета. Если значение efree достаточно мало или значение
eforced достаточно велико при заданном значении большой полуоси орбиты
частицы, то движение частицы по окружности может быть таким, что vo или fi
(оскулирующие долготы перицентра и восходящего узла) будут изменяться
в некотором фиксированном интервале.
Решение {р, q} графически представлено на рис. 7.3, где /forced» Jfree, ^forced
и fifree — вынужденные и свободные наклонения и вынужденные и свободные
7А. Свободные и вынужденные элементы
299
/sin Q, к
Рис. 7.2. Геометрическая связь
между оскулирующими, свободными и
вынужденными эксцентриситетами
и долготами перицентра в случае
^free •^> ^forced
/cosQ
Рис. 7.3. Геометрическая связь между
оскулирующими, свободными и
вынужденными наклонениями и долготами
восходящего узла в случае 7free < /forced
долготы восходящего узла частицы. Здесь показана ситуация, когда
вынужденное наклонение больше свободного, и поэтому окружность не охватывает
начало отсчета. Как отмечено выше, это определяется начальными условиями.
Так как в выражения (7.82) для eforCed и /forced входят /го, &о> Ро и Яо>
определяемые формулами (7.78)—(7.81), ясно, что eforCed или ^forced может быть
велико, если выполняется условие А — gi « 0 или В — fi « 0. Величины gi и fi
представляют собой собственные частоты системы двух взаимодействующих
тел, тогда как, согласно формулам (7.55) и (7.57), Aw В являются функциями
большой полуоси орбиты пробной частицы. Таким образом, при некоторых
значениях большой полуоси вынужденный эксцентриситет или вынужденное
наклонение будет иметь особенность. Конкретный пример мы рассмотрим
в разделе 7.5.
Еще одно важное замечание касается предельных значений eforced и /forced
при приближении к орбите одного из двух возмущающих тел. Поскольку
формулы (7.55)-(7.58) для A, Aj, В и Bj, как и определения (7.76) для щ
и fii, содержат коэффициенты Лапласа b^L(aj) и b^L(aj), стремящиеся к
бесконечности при aj —» 1, совсем не очевидно, что при приближении к орбитам
возмущающих тел существуют конечные пределы eforCed и /forced- Рассмотрим
поведение eforCed ПРИ движении вблизи возмущающего тела с индексом j = I.
В этом случае
Ь3/2(а*) ~* °° И Ь3/2(а/) ~* °° ПРИ ОЦ-^\.
(7.83)
Вблизи орбиты возмущающего тела А » д± (г = 1,2), а также А\ » Aiy где
j ф I. Поэтому
А А 1 mi _ ,(П / \
А - gi « А « 7nZT^a^3/2^a^
4 7Пс
(7.84)
(7.85)
300
Гл. 7. Вековые возмущения
Таким образом,
м*) ~ - Е ^r sin^*+&) = тгг1^ Е с«sin^*+^)- (7-86)
г=1 "- ^(ttj)
Коэффициенты Лапласа, определяемые формулой (6.67) или (6.68), можно
выразить через стандартную гипергеометрическую функцию F(a,b,c;d):
lbU){a) = s{s+l)-\s+j-l)^F(s,s + j,j+l;a2). (7.87)
Из свойств гипергеометрических рядов и их связи с эллиптическими
интегралами находим
г ьз/2(а*) г
lim -rfr = lim
5 F(3/2,7/2,3,af)
-г ai
4 'F(3/2,5/2,2,af)J
(7.88)
поэтому
Аналогично
2
lim ko(t) = Y] en sin(#* + A) = hh (7.89)
г=1
2
lim fc0(*) = У2 e« cos(s«* + A) = ^- (7.90)
г=1 <
Следовательно, при приближении к орбите возмущающего тела / имеется
предел
eforced = у ^ + kl -> у /i^ + kf = е/. (7.91)
Таким образом, вынужденные значения эксцентриситета и долготы
перицентра при движении вблизи орбиты возмущающего тела равны оскулиру-
ющим значениям соответствующих элементов орбиты возмущающего тела.
Аналогичный результат для вынужденных значений наклонения и долготы
восходящего узла можно получить таким же методом. Однако следует быть
осторожным и не делать чрезмерных обобщений относительно характера
орбиты частицы вблизи орбиты возмущающего тела. Как мы уже видели на
рис. 3.30, вблизи точек L\ и L<i частицы приобретают орбитальный
эксцентриситет из-за сближения со спутником, несмотря на то, что спутник движется
по круговой орбите. Поэтому наш результат относительно вынужденного
эксцентриситета и наклонения справедлив только для орбит частиц, далеких
от L\ и Z/2 и имеющих малые значения ей/.
7.5. Юпитер, Сатурн и пробная частица
301
7.5. Юпитер, Сатурн и пробная частица
Мы можем проиллюстрировать результаты раздела 7.4, вычислив
вынужденные элементы орбиты пробной частицы, испытывающей вековые
возмущения со стороны Юпитера и Сатурна. В разделе 7.3 нами было получено
вековое решение для системы Юпитер-Сатурн, и, таким образом, у нас есть
значения hj, kj, pj и qj (j = 1,2) на любой момент времени t. Это позволяет
нам вычислить вынужденные элементы орбиты пробной частицы при любом
ее расположении в Солнечной системе.
Однако прежде всего следует подчеркнуть, что наш анализ никак не
учитывает влияния резонансов средних движений. Мы уже видели выше
в разделе 6.9.2, что в определенных ситуациях частица испытывает
дополнительные возмущения, помимо обусловленных вековыми членами
возмущающей функции. Подробный анализ резонансных членов дан в главе 8. Здесь же
мы ограничимся только замечанием, что наши результаты для вынужденных
элементов не учитывают влияния резонансов средних движений.
Первый шаг построения вековой теории движения частицы состоит в
вычислении частоты А по формуле (7.55). Заметим, что в случае двух тел,
обращающихся вокруг сферического или точечного центрального тела,
выполняется равенство В = —А. Значение А зависит от 1) масс возмущающих
тел и 2) большой полуоси орбиты возмущаемой частицы.
На рис. 7.4 показано изменение А на интервале значений большой полуоси
от 0 до 30 а.е. Особенности вблизи 5 и 10 а.е. возникают потому, что
коэффициенты Лапласа стремятся к бесконечности при a j —» 1. Три отличные
от нуля собственные частоты отмечены на графике сплошными и штриховыми
горизонтальными прямыми. Две из этих частот, а именно д\ = 0.00096°/год
А, °/год
0.05 г 1 1—|—| 1
0.04Р W
о.оз F I I
0.02 Р / 1
o.oi h / V
Q вд I I I I I I I I I I I I I и I I ка-д^ва i I i i i =cd
5 10 15 20 25 30
Большая полуось, а.е.
Рис. 7.4. Изменение частоты А в зависимости от значения большой полуоси (согласно
формуле (7.55)) из-за возмущений со стороны Юпитера и Сатурна. Сплошными
горизонтальными прямыми отмечены значения двух собственных частот эксцентриситета
и долготы перицентра, А = д\ = 0.00096°/год и А = #2 = 0.0061°/год; штриховой
прямой отмечено отличное от нуля значение собственной частоты наклонения и
долготы узла А = —В = —J2 = 0.0071°/год. Особенности кривых отвечают большим
полуосям орбит Юпитера и Сатурна
302
Гл. 7. Вековые возмущения
и 92 — 0.0061°/год, являются собственными частотами эксцентриситета и
долготы перицентра, а третья, /2 = —0.0071°/год, является единственной
отличной от нуля собственной частотой наклонения и долготы узла.
Пересечения этих прямых с кривой изменения А определяют значения большой
полуоси, при которых можно ожидать высоких значений вынужденного
эксцентриситета или наклонения.
Поскольку А зависит только от больших полуосей орбит и масс планет
и частицы, а все эти величины постоянны (вспомним, что вековые изменения
в больших полуосях отсутствуют), величина А постоянна при любом
заданном значении большой полуоси.
Значения вынужденного эксцентриситета и вынужденной долготы
перицентра в зависимости от большой полуоси на любой заданный момент
времени могут быть вычислены с помощью формул (7.76) и (7.78)-(7.82); значения
eji и 1^ для подстановки в эти формулы приведены в разделе 7.3. На рис. 7.5
показано поведение е^отсе(\ и ^forced на интервале изменения большой полуоси
от 0 до 30 а.е. Заметим, что вблизи орбит Юпитера и Сатурна значения eforCed
и ^forced равны оскулирующим значениям соответствующих элементов орбит
этих двух планет на заданный момент времени. Это совпадение обсуждалось
в разделе 7.4. Важно подчеркнуть, что кривые на рис. 7.5 вычислены на один
определенный момент времени (t = 0). Поскольку оскулирующие элементы
орбит планет изменяются согласно вековому решению, то соответственно
будет изменяться и форма кривых.
Особенности на графике eforCed (рис. 7.5) вблизи 0.5, 2, 12.5 и 17.5 а.е.
вызваны малыми знаменателями в формулах (7.78) и (7.79). В каждой из
этих точек величина А равна одной из собственных частот д± возмущающей
системы. Для вынужденной долготы перигелия ^forced аналогичный эффект
проявляется в ее скачке на 180° (рис. 7.5 б). Хотя форма обеих кривых
изменяется со временем из-за изменений оскулирующих элементов орбит Юпитера
и Сатурна, особенности остаются на своих местах.
Аналогичные графики вынужденного наклонения и вынужденной долготы
восходящего узла показаны на рис. 7.6. Поскольку среди собственных частот
системы отлична от нуля только одна, кривые /forced и fiforCed имеют лишь
0.08
о
^0.04
п
НА
г
/1/1
1 i
а
L
10 20 30
Большая полуось, а.е.
300
О I
1 200 h
В 100
о
г]Л *\
П s)\
Г Li/ U
I V-Г I УГ I I I
10 20 30
Большая полуось, а.е.
Рис. 7.5. а) Вынужденный эксцентриситет и б) вынужденная долгота перигелия
в зависимости от большой полуоси на момент времени t = 0. Буквами J и S
отмечены оскулирующие значения для Юпитера и Сатурна в точках, соответствующих
большим полуосям их орбит. Особенности вблизи 0.5, 2, 12.5 и 17.5 а.е. вызваны
малыми знаменателями (А — gi) в формулах (7.78)-(7.79)
7.5. Юпитер, Сатурн и пробная частица
303
Y
10 20 30
Большая полуось, а.е.
ЗООк
о
-£200
d юо
ol
10 20 30
Большая полуось, а.е.
Рис. 7.6. а) Вынужденное наклонение и б) вынужденная долгота восходящего узла
в зависимости от большой полуоси на момент времени t = 0. Буквами J и S
отмечены оскулирующие значения для Юпитера и Сатурна в точках, соответствующих
большим полуосям их орбит. Особенности вблизи 2 и 12 а.е. вызваны малым
знаменателем (В — /2) в формулах (7.80) и (7.81)
две особенности (в данном случае вблизи 2 и 12 а.е.), соответствующие двум
точкам пересечения кривой А с штриховой прямой на рис. 7.4.
Дополнительную иллюстрацию к результатам раздела 7.4 можно дать,
рассматривая эволюцию орбит нескольких пробных частиц под действием
возмущений со стороны Юпитера и Сатурна. В следующем примере для
системы, состоящей из 250 пробных частиц, Юпитера и Сатурна, проведено
численное интегрирование полных уравнений движения. Планеты возмущают
движение друг друга и частиц, но массы последних мы полагаем
пренебрежимо малыми. Пробные частицы начинают движение, имея одинаковые
начальные значения большой полуоси (1.8 а.е.), свободного эксцентриситета (0.049)
и свободного наклонения (2.12°) и случайные начальные значения свободных
долгот перицентров и восходящих узлов. Такой выбор минимизирует
резонансные эффекты (см. раздел 6.9). Начальные оскулирующие значения е,
I, w и П для каждой частицы получены путем вычисления эквивалентных
вынужденных элементов с последующим векторным суммированием
вынужденных и свободных составляющих, как показано на рис. 7.2 и 7.3. Наш выбор
начальных условий равносилен введению кольца частиц в оскулирующей
плоскости (к, К). Центр этого кольца движется по траектории, определяемой
вековым решением для Юпитера и Сатурна.
На рис. 7.7 а нанесены значения (к, К) частиц в момент времени £ = 0
(соответствующий эпохе 1983.0) и через 30000 лет. В каждом случае ясно
различимо круговое кольцо. Прерывистой кривой представлена
предсказываемая траектория центра окружности в течение данного времени, а стрелки
указывают направления движения частиц по окружности и движения
центра окружности. Обратите внимание, что круг частиц на плоскости (к, К)
сохраняется в течение всего времени интегрирования, а предсказываемое
положение центра окружности находится в превосходном согласии с его
наблюдаемым положением. Таким образом, результаты численного
интегрирования согласуются с прогнозом теории вековых возмущений, а движение
пробной частицы может быть описано как равномерное вращение по
окружности, центр которой в свою очередь описывает некоторую хорошо известную
траекторию на плоскости {к, К). Как видно из рис. 7.7 а, частицы несколько
смещаются как вдоль окружности, так и в радиальном направлении. По-види-
304
Гл. 7. Вековые возмущения
мому, это объясняется влиянием короткопериодических членов, отброшенных
при вычислениях в рамках вековой теории.
Аналогичные результаты для координат (q,p) этих же частиц показаны
на рис. 7.7 б. Снова мы видим, что круг частиц сохраняется и что центр
окружности лежит близко к расчетному положению (qo,Po), определяемому из
теории вековых возмущений. Как и на рис. 7.7а, заметно некоторое смещение
частиц вдоль окружности и в радиальном направлении, вызванное действием
короткопериодических членов.
При непосредственном сравнении результатов теории вековых
возмущений и полного численного интегрирования необходимо учитывать также
следующую тонкость. Любое интегрирование полных уравнений движения
по необходимости включает бесконечное число всех короткопериодических
членов в разложении возмущающей функции. Однако описанная нами теория
вековых возмущений и вытекающая из нее теория свободных и вынужденных
элементов основаны на усечении разложения возмущающей функции и
принципе усреднения. Это различие приводит к проблеме определения начальных
значений элементов орбит Юпитера и Сатурна. Чтобы провести сравнение
наиболее точно, необходимо численно проинтегрировать орбиты Юпитера
и Сатурна, используя полные уравнения движения. Затем посредством фу-
рье-анализа результатов находим приближение к вековому решению при
t = 0. Полученные элементы орбиты следует использовать в вековой теории;
из нее определяются вынужденные элементы. Именно эта процедура была
осуществлена для сравнения результатов, представленного на рис. 7.7. Она
0.08
0.04
-0.04
у (ш1
v Ч Г"\—У /
ч&
ъ
£ = 30 000
-0.04 0 0.04 0.08
ecoszu
-3 -2-10 1
/cos ft, °
Рис. 7.7. Начальные и конечные положения а) на плоскости (/с, К) и б) на плоскости
(q,p) для 250 пробных частиц, начавших движение при одинаковых значениях
свободного эксцентриситета и свободного наклонения и случайно выбранных
значениях свободных долгот перигелия и восходящего узла. Орбиты частиц, Юпитера
и Сатурна получены численным интегрированием на интервале времени в 30000
лет. Точками Со и С\ отмечены координаты (ко, ho) (и (qo,po)) на моменты времени
t = 0 и t = 30000 лет, соответственно. Для каждой окружности показан отрезок
прямой (длина которого равна вынужденному эксцентриситету или наклонению),
соединяющий начало отсчета с центром окружности, а также отрезок прямой (длина
которого равна свободному эксцентриситету или наклонению), соединяющий центр
окружности с первой пробной частицей (светлым кружком)
7.6. Метод усреднения Гаусса
305
будет применяться также в примере из раздела 8.19, в котором необходимо
будет учитывать резонансные и вековые члены.
7.6. Метод усреднения Гаусса
Мы ввели понятие вековых возмущений с помощью математического
подхода, использующего возмущающую функцию для отождествления членов,
не зависящих от средних долгот. Однако существует более «физический»
подход, который дает те же самые результаты и обеспечивает более глубокое
понимание метода возмущающей функции и принципа усреднения.
Рассмотрим усредненное влияние внешнего возмущающего тела с
массой га', вызывающее прецессию перицентра орбиты внутреннего тела с
массой га. Пусть орбиты обоих объектов лежат в одной плоскости, а г, /, а, е и ш
обозначают, соответственно, радиус-вектор тела на орбите, истинную
аномалию, большую полуось, эксцентриситет (предполагаемый малым) и долготу
перицентра орбиты внутреннего тела. Аналогичные штрихованные величины
относятся к внешнему телу.
Из двух имеющихся здесь подходов первый состоит в том, чтобы
использовать уравнения Лагранжа и разложение возмущающей функции для
отождествления тех членов (вековых членов), которые будут в данном случае
существенными; этот метод мы уже рассматривали. При альтернативном
подходе используется предположение, что возмущающее действие внешнего тела
эквивалентно действию распределенной вдоль его орбиты массы вещества
(равной массе этого тела), так что внутреннее тело движется под действием
силы, создаваемой «кольцом» вещества. Если е' ф 0, то вдоль кольца
плотность неоднородна. Затем вычисляются радиальная и тангенциальная
компоненты возмущающей силы, и они используются совместно с уравнениями
возмущенного движения в форме Гаусса для определения скорости прецессии.
В этом заключается метод Гаусса. Как мы увидим далее, оба подхода дают
одинаковые результаты.
Из уравнений Лагранжа самого низкого порядка имеем
<*> = -!гТ (792>
naze oe
(ср. с (7.16)), где нужные нам части (1Z) определяются членами 4D0.1 и
4D0.2 с j = 0. Косвенные члены отсутствуют. Пренебрегая не зависящим от
эксцентриситетов членом в 4D0.1, имеем
<*> = ^
l-(e2 + e'2){2aD + a2D2)b^2 +
+
^ее' (2 - 2aD - o?D2\ bfy cos[w' - w]
(7.93)
306
Гл. 7. Вековые возмущения
Отсюда, полагая е ф 0, подставляя (7.93) в уравнение (7.92) и применяя
третий закон Кеплера, находим
/ • \ 1тп' 2
(w) = ——па
Агпс
(2D + aD2\ Ь'
,(°)
1/2
+
+
е' 1
- (2 - 2aD - a2D2\ 6^ cos(w' - w)
(7.94)
в общем случае возмущающего тела, движущегося по эллиптической орбите.
Здесь гас — масса центрального тела.
Согласно методу Гаусса, усредненное влияние возмущений со стороны
внешнего тела может быть найдено путем вычисления потенциала
распределенной вдоль орбиты массы возмущающего тела или соответствующей силы,
действующей на движущийся по орбите объект. В случае возмущающего
тела, движущегося по вытянутой орбите, вещество кольца распределяется
вдоль орбиты таким образом, что масса на каждом участке орбиты,
преодолеваемом за один и тот же фиксированный интервал времени, постоянна вдоль
орбиты. Поэтому линейная плотность кольца максимальна в апоцентре и
минимальна в перицентре. Согласно второму закону Кеплера, это эквивалентно
представлению линейной плотности
Элементарная кольца В виде
масса
рг'&ф
m'r'
2тга'Ьг
(7.95)
0/2
— малая полуось
где Ъ' = а'у\
кольца.
Пусть тело га находится в некоторой
точке с полярными координатами (г,/);
угол / отсчитывается от перицентра
орбиты тела. Рассмотрим линейный
элемент в точке (г', /') внешнего кольца
вещества. Масса этого элемента равна
рг'&ф, где
Опорное
направление
Рис. 7.8. Связь между координатами
тела га и координатами элементарной
массы «кольца» вещества,
разделенных расстоянием А. Центральное
тело расположено в точке С
4> = f + w'-f
W
(7.96)
есть угол между этими двумя радиус-
векторами (то есть разность двух
истинных долгот). Пусть А — расстояние
между телом га и элементом кольца;
тогда из простых тригонометрических
соотношений получаем
A sin в = г' sin ф и A cos в = г' cos ф — г.
(7.97)
Связь между углами показана на рис. 7.8.
7.6. Метод усреднения Гаусса
307
Элемент массы притягивает тело га, и эта сила притяжения может быть
разделена на компоненты, направленные по радиус-вектору от фокуса к
телу га и под прямым углом к этому радиус-вектору. Радиальная и
тангенциальная составляющие силы равны
cLR = ^- cos 6&ф и dT = Щг sin в&ф, (7.98)
где в — угол, который прямая, соединяющая га с элементом массы, образует
с радиус-вектором тела га. Обратите внимание, что элемент массы также
можно выразить в виде (pA/cos(0 — ф))&0 и проинтегрировать по 0, но
интегрирование по ф проще. Подставляя cos в и sin в в (7.97), имеем
сЖ^дрУ^-^ф и dT=g^3SinW (7.99)
Мы можем выразить А также через г, rf и ф. По теореме косинусов имеем
Д2 = г'2 + г2 - 2тт' cos ф. (7.100)
Отсюда
о /о
Д-3 = (V2 + г2 - 2rr' cos 0) . (7.101)
Записав
Д"3 = L'2 + а2 - 2аа'cosф)~ , (7.102)
мы можем разложить Д_3 в ряд Тейлора в окрестности г = а:
Д-3 « Д0"3 + (г - а)£- (Д0-3) + (/ - а')£ (Д0"3) . (7.103)
Кроме того, используя определение коэффициентов Лапласа из раздела 6.4,
мы можем записать
1 1 °°
а'3 2
3=-оо
Поскольку а = а/а\ имеем
d _ I d д _ а д
да а' да да' а' да
Поэтому
_3_/л_,л 1 1 ^ dbp)
да
3 = -оо
M=?2.SlfC^ <7Ш6»
3 = -оо
308
Гл. 7. Вековые возмущения
В случае движения по эллипсу
г =
а{\ -в2)
1 + е cos /'
отсюда
г — а « —aecosf + 0(е ).
Таким образом, с точностью до первого порядка по е
л-З И f
2 а'3
3 = -оо
db{j)
*3/2 ^ da
cos / + е' ( ЗЬ^2 + а
db
'3/2
da
cos/7
(7.108)
(7.109)
COS jф.
_ (7.110)
Чтобы вычислить величину полной радиальной силы R, действующей на
тело га, необходимо вычислить
2тг
Д = ф<Ш =
Gpr'(r'cos ф-г) А Зdф =
ф=0
2тг
Gpr'{r' cos[f + w' - f -w\- r)A"3d/', (7.111)
/'=0
где в формуле (7.110) для А-3 сделана подстановка ф = f + w1 — f — w,
а также подразумевается, что
г' « а{\ - e'cos/').
Модуль полной тангенциальной силы равен
2тг
-J'
0=0
/2 •
-3,
T = d)dT = £pr' sin0Д-<М0
./2
£pr'z sin[/' + w' - f - w]A~6df>
(7.112)
3jW
/'=0
(7.113)
Существенно, что после интегрирования по /' в формулах (7.111) и (7.113)
бесконечное суммирование в разложении А-3 в ряд сводится к конечному
суммированию. Например,
cos/'cos[j(/' + /?)] = i(cos[/' - j(p + f')] + coS[f' + JW + /')]), (7-114)
где угол /3 не зависит от /', и отсюда
2тг
cosfcos[j(f + (3)}df
,= Г 0,
если j / ±1,
cos/3, если j = ±1.
(7.115)
7.6. Метод усреднения Гаусса
309
Поэтому в сумме по j участвует лишь конечное число членов. Так как нам
нужны только члены первого порядка относительно эксцентриситета,
достаточно провести суммирование от j = —2 до j = 2. Для упрощения
окончательных выражений можно использовать равенство q^J' = bg.
Чтобы найти скорость прецессии из-за действия йиТ, используем
уравнения возмущенного движения в форме Гаусса. Из уравнения (2.165) имеем
1
w =
пае
2 + ecos/
-Rcosf + T— J-sinf
1 + е cos /
где мы пренебрегли членами О (е2).
Используя определение (7.95) для р, а также приближения
г'2 « а/2(1 - 2e'cos/') и г'3 « а/3(1 - 3e'cos/')>
(7.116)
(7.117)
имеем
R =
Qm!
2тга'Ь'
_/3
\о!\\ - 3e'cos/')cos[/' + w' - / - ш]
jt
-ra'z{\-2e'cosf')}A-sdf (7.118)
для радиальной компоненты силы и
т= бт'
2тг
2тга'Ь'
_/3
а/,5(1 - Зе' cos /') sin[/' + го' - / - го]Д-^/'
(7.119)
для тангенциальной компоненты. Здесь А 3 дается формулой (7.110) с ф =
= f' + w'-f-w. _
При вычислении йиТв сумму, определяющую_А 3, дают вклад только
члены с j — 0, ±1, ±2. В итоге выражения для ЙиТ принимают вид
R=Bm'
2а
/2
Ь(0 _аб(°) +ае Ь(0)
°3/2 "°3/2 + ae l °3/2
М
(1)
3/2
dbl
da
(2)
+ a-
3/2
da
cos/-
/m jdb^ !d6^ db^x
(7.120)
1 = ^-ae
,(2)
(0)
При их выводе мы учли равенство Ъ' — а' + О (е2). Заметим, что при е' — 0
тангенциальная составляющая силы отсутствует.
310
Гл. 7. Вековые возмущения
Подставляя (7.120) и (7.121) в (7.116), мы можем вычислить усредненные
по времени значения двух членов в (7.116), являющихся функциями от /.
Для этого запишем
2тг
{FU)) = h fW)dM« (7Л22)
где F(f) — некоторая функция от /, а М — истинная аномалия. Здесь мы
можем использовать выражения для cos/ и sin/ через М из раздела 2.5. Это
дает усредненную скорость прецессии в эксцентрическом случае:
1 га' 2
(ш) = -—па
4гаг
е' а
+ ~е2
3ab?l + 2bW
db
(0)
"3/2
3/2 da da
3/2
+
-3-
d&:
(0)
;£+<+*«
d&:
(о
'3/2
da
+ dbf/2\ , , ,
H p^— I cosyvo — vo)
da /
(7.123)
Чтобы сравнить этот результат с формулой (7.94), выведенной с
использованием возмущающей функции, нужно переписать коэффициенты Лапласа
в формуле (7.123) с учетом соотношений (6.70)-(6.72). Можно поступить
иначе, представляя каждую комбинацию коэффициентов Лапласа в виде ряда
по а. Применяя любой из этих двух способов, убеждаемся, что (7.123)
идентично (7.94). Таким образом, используя метод Гаусса, мы показали, что
вековое смещение перицентра, вызываемое внешним возмущающим телом
с массой, распределенной вдоль его орбиты, идентично смещению,
полученному при отбрасывании всех членов планетной возмущающей функции,
кроме наиболее важных вековых членов. Этот результат дает определенное
обоснование для применения принципа усреднения.
7.7. Вековые возмущения в более общем случае
Рассмотрим теперь более общий вариант вековой теории в приложении
к орбитам N тел, движущихся вокруг несферического центрального тела.
Эффект сжатия центрального тела можно учесть, добавляя в возмущающий
потенциал, действующий на объект j, член следующего вида
/^(obl)v 1 2 2 3 7 fRc\ 9 72 (Rc
&i ]) = 2ПЛ 2J2 \V5) ~ 8J2 \V3
1 2 2
- 2niai
3 T (RcY 27 2
2J2l^7J "TJ2
4 \aj
Rc
(7.124)
где Rc — радиус центрального тела, а J<i и J$ — коэффициенты зональных
гармоник (см. (6.255)).
7.7. Вековые возмущения в более общем случае
311
Заметим, что выражение (7.124) применимо только в том случае, если
и возмущающие, и возмущаемые тела являются изолированными одиночными
телами с хорошо определенными оскулирующими элементами орбит. В случае
планетных колец определяемой из наблюдений величиной обычно является
геометрическая большая полуось кольца (то есть эллипса, наилучшим
образом описывающего траектории частиц кольца). Здесь требуется модификация
определения среднего движения кольца, поскольку в данном случае большая
полуось — не то же самое, что величина а, используемая при определении
среднего движения в (6.244).
Движущееся по орбите тело испытывает обычные вековые возмущения
со стороны других обращающихся тел. Рассмотрим вековое воздействие тела
rrik на тело rrij. Запишем
(TZu(oijk)) = -najkb3/2e2j ~ j^jkb3/2ejekcos(wj - wk) -
~ 1^%^ + ^ajkb^ljlkcosiilj - Slk), (7.125)
где otjk — отношение больших полуосей орбит двух объектов. Тогда в случае
внешнего возмущения
{n^)) = Qrnk{nD{a,/ak)) ( <afc)> (7.126)
а в случае внутреннего возмущения
{n(sec)) = Gmkak{nD )} (7127)
Определенное неудобство здесь заключается в том, что необходимо
указывать, каким является возмущение, внутренним или внешним. Это можно
исправить, определив величины
_ J cLk/a>j, если a,j > dk (внутреннее возмущение), ,_ 19~ч
aik ~ [ dj/dk, если clj < dk (внешнее возмущение), * ' '
и
_ _ J 1, если a,j > dk (внутреннее возмущение), ,_ .^
ik ~ I dj/dk, если dj < dk (внешнее возмущение). ^ ' '
Эти определения ввели Дермотт и Николсон (1986) в своей теории
вековых возмущений для спутников Урана. Используя обычное приближение
Q « п*а^/тс, запишем вековую часть возмущающей функции для тела щ,
обусловленную всеми остальными N — 1 телами:
N
(sec)v _ 2 2 V4 тк
ФП-пИ £
k=x^jmc + mj
gajkajkb3/2ej gajkajkb3/2Ij
«,(2)<,.„. _/т._„Л^' ..я..10)
jOijkajkb3/2ejekcos(u7j - wk) + -ajkajkb3/2IjIkcos(Qj - Qk)
(7.130)
312
Гл. 7. Вековые возмущения
Объединяя члены выписываем выражение для
возмущающей функции для тела ту.
TZj = njaj
N
7)АПе) + TjBjjtf + ^2 AJkeJek COs(Wj - Wk) +
к=\,кфз
N
+ Y2 BJkIjIk COs(ftj - ftk)
(7.131)
где
Аэз ~ пз
3 7 ( Rc
oJ2
f2
*^_'Ь<(*У +
N
+ E
mk -. l7C. ,(1)
к=\,кфз 3
ajk(Xjkb3/2{ajk)
ijk = ~4mc + m ■ nJaJkaJkbfMaJk"> W ^ fc)'
■^jj — пз
о f Rc
2 \aj
27
Rc
^2 - -T^P "^4 - +
15 , /A
+
N
E
4
,(!)
rac + т
;<*jk<Xjkb3/2(<Xjk)
о 1 mk - ,(i) / ч / • / i\
ftfc = -njajkajkb3/2{ajk) [J ф к).
^jk
4 rac + mj
(7.132)
(7.133)
(7.134)
(7.135)
Величины Ajj, Ajk, Bjj и Bjk представимы как постоянные элементы двух
матриц А и В размерности N х N.
Переходя к новым переменным hj, kj, pj и qj по формулам (7.18) и (7.19),
получаем выражение (7.20) в более общем виде
(TZj) = rijdj
X-Ajj(h)^k))+X-Bj3(p23+q23) +
N N
+ ^2 Ajk(hjhk + kjkk)+ ^2 Bjk(PjPk + qjqk)
к=\,кфз к=\,кфэ
. (7.136)
Решение уравнений движения (7.25) и (7.26) имеет вид
N
N
hj = ^2 езг sin(#^ + Pi), kj = ^2 еЛ cos (ft* + pi),
(7.137)
г=1
г=1
7.8. Вековая теория для Солнечной системы
313
N
N
Pj = ^2 Iii sm(f^ + 7г), Qi = Yl Iii cos(/** + 7г).
(7.138)
г=1 i=l
где gi к fi — два набора TV собственных значений матриц А и В. Как
и прежде, фазы /%, 7г и модули собственных векторов е^ и /^ определяются
из начальных условий. На любой момент времени t квадраты эксцентриситета
и наклонения орбиты тела rrij находятся по формулам
•н
п-
' N I
_г=1
z
+
Г ЛГ I
^ejiCosfat + Pi)
_г=1
V N Л2 \ N 1
_г=1
+
_г=1 J
(7.139)
(7.140)
Аналогично, долгота перицентра и долгота восходящего узла орбиты тела щ
на любой момент времени могут быть найдены из величин hj, kj, pj и qj.
Важным новым явлением, возникающим при учете членов, обусловленных
сжатием центрального тела, является снятие вырождения в собственных
значениях наклонения и долготы восходящего узла. С математической точки
зрения это происходит потому, что при учете членов с J<i и J\ строки (как
и столбцы) матрицы В больше не являются линейно зависимыми, то есть В
имеет ранг, равный числу N строк или столбцов. С физической точки зрения
вырождение снимается потому, что из-за несферичности планеты появляется
выделенная опорная плоскость.
7.8. Вековая теория для Солнечной системы
Сплюснутость Солнца оказывает пренебрежимо малое влияние на
движение планет, хотя интересно отметить, что малые отклонения в скорости
прецессии орбиты Меркурия, давшие подтверждение общей теории
относительности, первоначально были отнесены на счет эффекта сжатия Солнца.
Первым приложением вековой теории Лапласа-Лагранжа было заявленное
Лапласом доказательство устойчивости Солнечной системы; хотя, как мы
видели, подобное доказательство не может быть проведено без более
детального исследования. Мы вернемся к обсуждению проблемы устойчивости
Солнечной системы в главе 9.
Для описания динамики планет на больших интервалах времени был
предложен ряд теорий. В 20 веке наиболее широко использовалась теория
Брауэра и ван Вуркома (1950). Брауэр и ван Вурком исследовали проблему
векового движения всех планет кроме Плутона, используя модифицированную
классическую теорию для учета близости к резонансу движений Юпитера
и Сатурна. Окончательная теория имеет десять, а не восемь собственных
частот (и фаз) для решения {е,т}. Найденные Брауэром и ван Вуркомом
значения собственных частот и фаз приведены в табл. 7.1. Две
дополнительные частоты порождены доминирующими членами в вековой теории более
314
Гл. 7. Вековые возмущения
Таблица 7.1. Собственные частоты gi и fi (в угловых секундах в год) и связанные
с ними фазы fa и 7г (в градусах), вычисленные Брауэром и ван Вуркомом (1950) для
планет Солнечной системы
г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9г С/ГОД)
5.46326
7.34474
17.32832
18.00233
4.29591
27.77406
2.71931
0.63332
-19.18225
51.25222
Л ("/год)
-5.20154
-6.57080
-18.74359
-17.63331
0.00000
-25.73355
-2.90266
-0.67752
—
—
А(°)
92.182
196.881
335.224
317.948
29.550
125.120
131.944
69.021
293.979
220.691
7i(°)
19.433
318.057
255.031
296.541
107.102
127.367
315.063
202.293
—
—
Таблица 7.2. Компоненты ец собственных векторов для решения {е,ш}, согласно
вековой теории Брауэра и ван Вуркома (1950) для планет Солнечной системы. Все
величины умножены на 105
к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
17454
-2550
154
-169
3571
96
43
1
-21
10
2
610
2094
-1255
1483
1909
6
42
1
-И
4
3
392
1634
1043
-1483
1834
283
44
1
-12
15
4
64
290
2972
7237
1861
1502
59
2
-20
64
5
-1
-1
0
0
4482
-1535
147
5
-16
-54
6
— 1
— 1
— 1
— 1
3291
4863
148
6
-49
202
7
0
0
0
0
-3188
-248
3043
143
20
-16
8
0
0
0
0
63
-11
-323
938
0
0
Таблица 7.3. Компоненты 1ц собственных векторов для решения {/, Г2},
полученного из вековой теории Брауэра и ван Вуркома (1950) для планет Солнечной системы.
Все величины умножены на 105. Результирующие наклонения планет приводятся
в радианах
к
1
2
3
4
5
6
7
8
1
12449
-3545
409
116
2757
28
-332
-145
2
1178
1004
-2680
-685
2757
12
-192
-132
3
849
810
2448
453
2757
281
-173
-130
4
180
180
-3589
5025
2757
965
-126
-123
5
-2
-1
0
0
2757
-631
-96
-117
6
-3
-2
0
-2
2757
1572
-78
-113
7
2
1
0
0
2757
-69
1760
ПО
8
0
0
0
0
2757
-8
-207
1175
высокого порядка относительно масс (см. раздел 7.11). Эти частоты равны
#9 = 2#5 — 96 и #ю = 2#е — 9ь- Компоненты всех собственных векторов
приведены в табл. 7.2 и 7.3. Величины gi и /% в табл. 7.1 обозначают собственные
частоты и фазы для решения {/г,/с}, a fa и 7г — частоты и фазы для решения
7.8. Вековая теория для Солнечной системы
315
{р, q). Время t = 0 соответствует эпохе 1900.0. Как и прежде, нижние
индексы i и j обозначают собственную моду и номер планеты, соответственно.
Согласно табл. 7.1, /5 « 0. Это объясняется вырождением решения {/, fi},
когда не учитывается сжатие центрального тела (см. раздел 7.3). Следует
отметить, что для нахождения изменений элементов орбиты планеты j
необходимо использовать формулы, подобные (7.139) и (7.140). Хотя и кажется
естественным связать каждый нижний индекс г с планетой, это было бы
неправильно. Единственное, что здесь можно сказать, — это то, что нижний
индекс г обозначает моду, в которой, вероятно, будет доминировать планета
j = г. Существование аналитических решений, подобных решению Брауэра
Время, млн лет Время, млн лет
Рис. 7.9. Эксцентриситет и наклонение (в градусах) орбит Меркурия, Венеры, Земли
и Марса в течение 10 млн лет согласно вековой теории Брауэра и ван Вуркома
(1950). Момент времени t = 0 соответствует эпохе 1900.0
316
Гл. 7. Вековые возмущения
и ван Вуркома (1950), позволяет исследовать долговременные изменения
элементов орбит планет, вызванные их гравитационным воздействием друг
на друга. Однако следует иметь в виду, что эти решения описывают реальное
поведение лишь приближенно.
На рис. 7.9 показаны кривые изменения во времени эксцентриситета и
наклонения орбит Меркурия, Венеры, Земли и Марса. Очевидно, что
изменения элементов орбит внутренних планет, вызванные вековыми
возмущениями, значительны. В случае Меркурия наблюдаются долгопериодические
изменения эксцентриситета и наклонения большой амплитуды. Заметим, что
в изменениях эксцентриситета орбиты Меркурия не проявляется видимой
0.014b
о.ообЬ
-2 0 2
Время, млн лет
-2024
Время, млн лет
Рис. 7.10. Эксцентриситет и наклонение (в градусах) орбит Юпитера, Сатурна, Урана
и Нептуна в течение 10 млн лет согласно вековой теории Брауэра и ван Вуркома
(1950). Момент времени t = 0 соответствует эпохе 1900.0
7.9. Обобщенные элементы
317
периодичности, и все же она должна быть, так как график получен из
периодического решения. Отметим также наглядное свидетельство взаимосвязи
Земли и Венеры, проявляющееся в схожих изменениях эксцентриситетов
и наклонений их орбит. Орбита Марса за время порядка 1 млн лет изменяется
от почти круговой до вытянутой с эксцентриситетом, равным 0.14.
На рис. 7.10 приведены аналогичные кривые для Юпитера, Сатурна, Урана
и Нептуна. Одной из бросающихся в глаза особенностей здесь является
высокая частота колебаний элементов ей/ орбит Юпитера и Сатурна. Как
мы видели выше в разделе 7.3, простая версия вековой теории для этих двух
планет предсказывает взаимосвязь с периодичностью ~ 51 000 лет. Эта
периодичность сохраняется и в полной вековой теории, хотя близость к резонансу
5:2 между этими двумя планетами приводит к появлению дополнительных
собственных частот в решении {e,w}. В этом можно убедиться, построив
кривые изменения е и I на том же интервале времени, что и на рис.7.1
(рис. 7.11). Кривые изменения наклонения хорошо согласуются друг с другом,
но период колебаний эксцентриситета изменился.
-юо ооо о юо ооо
Время, в годах
-100 000 0 100 000
Время, в годах
Рис. 7.11. Эксцентриситет и наклонение (в градусах) орбит Юпитера и Сатурна
в течение 200000 лет согласно вековой теории Брауэра и ван Вуркома (1950). Момент
времени t = 0 соответствует эпохе 1983.0
Значения, приведенные в табл. 7.1-7.3, можно сопоставить со значениями,
полученными путем интегрирования полных уравнений движения и
определения частот, фаз и амплитуд векового решения. Такая процедура называется
синтетической теорией вековых возмущений. Она часто используется для
анализа долговременной устойчивости. Еще раз подчеркнем, что
существование аналитических решений обсуждаемого здесь типа не означает, что
динамическая система устойчива на бесконечном интервале времени. Эту
проблему следует решать другими методами, обычно включающими
численное интегрирование уравнений движения.
7.9. Обобщенные свободные и вынужденные элементы
Для полноты картины рассмотрим, как строится теория для свободных
и вынужденных элементов орбиты пробной частицы, движущейся в системе
N тел, обращающихся вокруг сплюснутого центрального тела. В данном
случае мы предполагаем, что у нас уже есть вековая теория движения N
тел, построенная, как описано выше в разделе 7.7. Элементы орбиты частицы
обозначаем далее через а, е, /, w и fi.
318
Гл. 7. Вековые возмущения
Члены, порожденные сжатием центрального тела, и вековые члены
возмущающей функции даются формулами (7.124) и (7.130), где 1) индекс j
опущен и 2) индекс к заменен на j. Условие j ф к при суммировании более
не имеет силы.
Определим
А = п
hm-iH^
(Rc\ 1 \—"ч TUj _,({), ч
J4 [—) + 4 1. ^«Л/гЫ
4 7 i=i
Ь5 . /Д
Т
1 т7- _ (2) , .
В = -п
3 /Дс
2J2lT
27
8"J2 V a
15
Дг
Яс\ 1 v^ Wl,
1<J / ГЦ; \ 1 ^—\ IUJ (П . .
тс
3 = 1
1 ТПп _ (1)
j = 4^najajib3/2(ai)'
(7.18)
(7.141)
(7.142)
(7.19)
(7.143)
(7.144)
где aj и aj определены формулами (7.59) и (7.60). Перейдем к переменным
h, к, р и q и запишем полную возмущающую функцию в виде
К = па2
l-A(h2 + k2)+l-B(P* + q*) +
N N
. (7.145)
Окончательные уравнения возмущенного движения имеют вид (7.66) и (7.67)
с решением
h = efree sm(At + /3) + ho(t), к = efree cos(A£ + /3) + fco(t),
(7.146)
p = /free Sin(5t + /?) + po(*)» 9 = ^free COs(5t + /3) + g0(*)>
что по форме идентично (7.77), где efree, /free» /3 и 7 — константы,
определяемые из начальных условий, а
(7.147)
М*) = - ]С л _' sin(5i* + A),
г=1 Л ft
N
ко(*) = ~ Y1 л 1 cos(5i* + А)
i=\
A-gi
(7.148)
7.9. Обобщенные элементы
319
N
РО
(') = -£
i=\
B-fi
sin(/i* + 7i),
(7.149)
N
9о(*) = - 53 д -! /. cos(/t* + 7i)-
г=1
B-fi
(7.150)
Вынужденный эксцентриситет eforCed и вынужденное наклонение /forced
даются формулами (7.82).
Как мы уже отмечали в разделе 7.5, при определенных значениях большой
полуоси, когда величина А или В совпадает с одной из собственных частот
gi или fi системы, возникают особенности. Естественно, что влияние малых
знаменателей проявляется и при более полном анализе, включающем большее
число тел, а также эффекты сжатия центрального тела. На рис. 7.12 показана
кривая скорости прецессии собственных перицентра и узлов в зависимости
от большой полуоси во внутренней (рис. 7.12а) и внешней (рис. 7.126) частях
Солнечной системы (без учета сжатия); в этом случае А = —В. Нанесенные
на каждый график горизонтальные прямые отмечают значения собственных
частот дх и —fi по теории Брауэра и ван Вуркома (1950), подробно описанной
в разделе 7.8. В точках пересечения этих прямых и кривых следует ожидать
больших значений вынужденных элементов.
Присутствие указанных малых знаменателей связано с явлением векового
резонанса, который мы обсудим более подробно в разделе 7.11. Здесь мы
ограничимся замечанием, что между орбитами Марса и Юпитера (где
находится главный пояс астероидов) есть три значения большой полуоси, при
которых происходят такие пересечения: два из них близки к 2 а.е., где
скорость прецессии равна частотам д§ и —/б, а третье находится около 2.6 а.е.,
где скорость прецессии равна частоте дю. Точки пересечения отмечены на
рис. 7.12 кружками.
MeVE M
1 2 3
Большая полуось, а.е.
60
U
N
о
Л>ч
40 L
о
Он
о-
«
я
я
1 20
Он
а
0
I I и
- Л J
= ул / \
г т- 1 ^^г
10 20 30
Большая полуось, а.е.
40
Рис. 7.12. Скорость прецессии орбиты пробной частицы в зависимости от большой
полуоси а) во внутренней и б) во внешней частях Солнечной системы, согласно
теории Брауэра и ван Вуркома (1950). Сплошные и штриховые горизонтальные
прямые отмечают значения собственных частот системы gi и —fi из табл. 7.1. Точки
пересечения трех из этих прямых с кривой скорости прецессии в области главного
пояса астероидов обозначены кружками. Буквы над каждым из графиков отмечают
положения восьми планет и соответствующих особенностей
320
Гл. 7. Вековые возмущения
7.10. Семейства Хираямы и пылевые комплексы IRAS
Проведенный выше в разделах 7.4 и 7.9 анализ подразумевает, что оску-
лирующий эксцентриситет орбиты объекта малой массы (например, астероида
или пылинки), движущегося под действием притяжения планет, можно
представить в виде суммы двух компонентов: 1) свободного (собственного)
эксцентриситета, «непосредственно присущего» самому объекту, и 2) вынужденного
эксцентриситета, обусловленного текущим значением большой полуоси его
орбиты и относительным расположением возмущающих тел. То же относится
и к наклонению орбиты объекта. Таким образом, свободные (собственные)
элементы дают информацию о естественных, а не об обусловленных
внешними факторами элементах орбиты объекта.
Хираяма (1918) вычислил собственные элементы орбит для небольшого
числа известных в то время астероидов. Он показал, что некоторые астероиды
имеют тенденцию скапливаться в группы на плоскостях (а,е) и (а,/), и что
это «скучивание» проявляется более явно, когда при построении диаграмм
используются свободные, а не оскулирующие элементы. Он предположил, что
каждое такое скопление, или семейство, образуется объектами, имеющими
общее динамическое происхождение и являющимися остатками
разрушенного родительского тела. Каждое выявленное семейство принято называть по
имени наиболее крупного входящего в него объекта. В настоящее время, как
только надежно определяется орбита нового астероида, вычисляются и его
собственные элементы и таким образом выясняется его принадлежность к
семействам. К настоящему времени таким способом к семействам отнесена
почти половина всех астероидов.
На рис.7.13а для астероидов, отнесенных к семействам, показана
зависимость собственного эксцентриситета от большой полуоси орбиты.
Аналогичная диаграмма для собственного наклонения приведена на рис.7.13 6.
На диаграммах отчетливо проявляется несколько скоплений астероидов.
Важно иметь в виду, что астероиды группируются в трехмерном пространстве
(а, е, Г).
Выше уже было показано, что изменение элементов орбиты можно
представить как движение по окружности с центром, определяемым вынужденным
0.3
0.2
0.1
о
Д1иса
JJlopa
Л°2к #$ ^Эвномия лМ
Щ ^ **Гефион**
В#та «Мария ?<Эос
, ' Коронида
_| i I i I i
Фемида
2.2 2.6 3.0
Большая полуось, а.е.
3.4
20
2 15
о,
10
5
Мария
Эвномия*Эфр
Гефион
[ФлораВеста „ **
h К-\*Ь Дора
I
*Ниса ** "Г
, . Коронида ЯЩ
£емида
2.2 2.6 3.0 3.4
Большая полуось, а.е.
Рис. 7.13. а) Собственные (свободные) эксцентриситеты и б) собственные
наклонения орбит астероидов, отождествленных как члены семейств, в интервале
2.0^ а ^ 3.5 а.е.
7.10. Семейства Хираямы и пылевые комплексы IRAS
321
компонентом (рис. 7.2 и 7.3). На рис.7.14 мы иллюстрируем это на примере
оскулирующих значений k = ecoszu в зависимости от h = e sin cc, а также
оскулирующих значений q = /cosfi в зависимости от р = Jsinfi для членов
семейств в нашей выборке. В каждом случае на диаграмме очевидно
проявление кольцевых структур. Это означает, что члены каждого семейства на
самом деле имеют общий вынужденный эксцентриситет и общее
вынужденное наклонение (определяемые значением большой полуоси), а также общий
свободный эксцентриситет и общее свободное наклонение при случайных
свободных перицентрах и узлах. Отметим, что, как и предсказывается вековой
теорией, центры этих кругов не совпадают.
ecoszu /cos SI, °
Рис. 7.14. а) График оскулирующих значений к = ecostu и h = esmzu для всех
астероидов с рис. 7.13а. Отчетливо проявляется несколько «колец», б) График
оскулирующих значений q = Icosfl и р = /sinf2 для всех астероидов с рис.7.13 6.
Отчетливо проявляется несколько «колец»; но большинство их имеет малый радиус
(то есть отвечает малым наклонениям)
Таблица 7.4. Собственные и вынужденные элементы орбит семейств Корониды,
Эос и Фемиды
Семейство
Корониды
Эос
Фемиды
а (а.е.)
2.875
3.015
3.136
^proper
0.049
0.071
0.152
-* proper \ /
2.12
10.20
1.42
^forced
0.037
0.037
0.038
n7forced(°)
6.2
7.6
8.7
-* forced \ )
1.16
1.19
1.22
* ^forced \ )
96.1
97.1
97.8
Три из крупнейших скоплений на диаграммах отвечают семействам
Корониды, Эос и Фемиды. Как полагают, они состоят из фрагментов крупных
тел, перенесших катастрофические столкновения по меньшей мере 107 лет
назад. Собственные и вынужденные элементы орбит астероидов этих
семейств приведены в табл. 7.4. Данные для таблицы взяты из работы Дермотта
и др. (1985). Если эти семейства были сформированы путем ударного распада
крупного тела, тогда такое событие произвело бы большое количество
астероидной пыли. Впечатляющим доказательством ударной теории происхождения
семейств Хираямы стало открытие пылевых комплексов в Солнечной системе,
сделанное в результате наблюдений с космического аппарата (КА) IRAS
("Infra-Red Astronomical Satellite") (Лоу и др., 1984; Нойгебауэр и др., 1984).
322
ГЛ. 7. Вековые возмущения
-50 0 50
Эклиптическая широта,0
-20 -10 0 10 20
Эклиптическая широта,0
Рис. 7.15. а) Фоновый поток инфракрасного излучения, зарегистрированного с КА
IRAS на длине волны 25 мкм. Пики вблизи эклиптических широт —60° и +50°
вызваны вкладами источников в галактической плоскости, б) Сглаженная остаточная
(сплошная) кривая потока излучения, ассоциируемого с пылевыми комплексами,
и модельная (штриховая) кривая, вычисленная в предположении, что излучение идет
от пыли с тем же распределением орбит, что и у астероидных семейств Фемиды, Эос
и Корониды
КА IRAS выполнил полный обзор неба на длинах волн 12, 25, 60 и
100 мкм. Именно в этом диапазоне длин волн обзоры наиболее продуктивны
для обнаружения инфракрасного излучения пыли в Солнечной системе.
Фоновый поток, зарегистрированный с IRAS на длине волны 25 мкм, графически
представлен на рис. 7.15 а. На этом графике пылевые комплексы IRAS едва
обнаруживают себя через небольшие пики вблизи эклиптических широт 0°
и ±10°. Однако, если вычесть фоновую составляющую и построить
сглаженную остаточную кривую (рис. 7.156), то комплексы отчетливо проявляются:
есть центральный комплекс, который выглядит «расщепленным», и два
боковых комплекса при ±10°. Но каковы основания считать, что эти комплексы
образовались в результате столкновений, сформировавших главные
семейства? Ответ можно получить из анализа вековых возмущений и геометрии
орбит.
0.08
#
0.04
2 2.5 3 3.5 4
Большая полуось, а.е.
2 2.5 3 3.5 4
Большая полуось, а.е.
Рис. 7.16. Вынужденные элементы орбит в зависимости от большой полуоси, согласно
вековой теории Брауэра и ван Вуркома (1950). а) Вынужденный эксцентриситет
(сплошная кривая, левая вертикальная ось) и вынужденная долгота перигелия
(штриховая кривая, правая вертикальная ось), б) Вынужденное наклонение
(сплошная кривая, левая вертикальная ось) и вынужденная долгота восходящего узла
(штриховая кривая, правая вертикальная ось)
Выше мы отмечали, что вынужденные элементы орбиты пробной частицы
зависят только от большой полуоси ее орбиты. На рис. 7.16 графически
представлены вынужденные элементы орбит астероидов в области главного пояса,
согласно теории Брауэра и ван Вуркома (1950). Фрагменты разрушенного
7.10. Семейства Хираямы и пылевые комплексы IRAS
323
астероида имели бы приблизительно те же самые свободный эксцентриситет
и свободное наклонение орбиты, что и орбита родительского тела, но
свободные перицентры и узлы быстро приобрели бы случайные значения. Наличие
общего вынужденного наклонения означает, что фрагменты в своем
движении осциллируют относительно единой средней плоскости, определяемой
вынужденными наклонением и узлом. Поскольку вертикальная составляющая
их движения относительно этой плоскости имеет форму простой гармоники,
астероиды проводят большую часть времени вблизи экстремальных
положений, образуя скопления в их окрестности. В результате при наблюдении со
стороны Солнца астероиды будут видны расположенными в двух полосах,
разделенных по широте на 2/forCed (рис. 7.17).
Рис. 7.17. Вертикальный разрез распределения астероидов с одними и теми же
свободными и вынужденными наклонениями орбит, но со случайными значениями
свободных узлов. Радиальная протяженность сечения обусловлена эксцентриситетом
орбит астероидов
Рис. 7.18. Распределение в пространстве вытянутых орбит, имеющих одни и те же
большие полуоси а, вынужденные и свободные эксцентриситеты (eforced и ерг0рег)
и вынужденные долготы перицентра tUforCecb но случайные свободные долготы
перицентра. Буквой S обозначено положение Солнца, а буквой С — центр симметрии.
Выделена орбита с перицентром в точке Р и центром в точке D. Отрезки CS, DS
и DC имеют длины aeforCecb сье и aeproper, соответственно, где е — эксцентриситет
орбиты. Обратите внимание, что положение Солнца не совпадает с центром
симметрии
Кроме того, есть эффект, обусловленный эксцентриситетом. Он
проиллюстрирован на рис. 7.18. Орбиты с одними и теми же вынужденными
324
Гл. 7. Вековые возмущения
и свободными эксцентриситетами и вынужденными долготами перицентра,
но со случайными свободными долготами перицентра распределяются
симметрично относительно точки С, которая не совпадает с положением Солнца
(на рис. 7.18 Солнце находится в точке S). Если предположить, что
астероидная пыль движется по таким орбитам, то из-за наклона и
эксцентриситета орбит будет образовано облако вещества, расположенное асимметрично
относительно Солнца и эклиптики. Здесь есть дополнительная сложность,
вызванная тем, что наблюдаемая с КА картина геоцентрична. Поэтому вид
комплексов изменяется в зависимости от времени года (то есть от положения
Земли на орбите).
Результаты наблюдений изменяющегося вида пылевых комплексов и
вытекающие отсюда данные о вынужденных элементах орбит были использованы
Дермоттом и др. (1992) для моделирования распределения вещества в
комплексах. Включив в анализ источники пыли, связанные с семействами
Фемиды, Корониды, Эос, Нисы, Доры и Гефион, Дермотт и др. (1992) с помощью
итеративной процедуры построили модельный профиль (штриховая кривая
на рис. 7.156), превосходно согласующийся с наблюдениями. Таким образом,
предполагаемая связь наблюдаемой пыли со столкновениями,
сформировавшими главные семейства Хираямы, судя по всему, подтверждается.
7.11. Вековой резонанс
Изучая в разделе 7.9 теорию вековых возмущений для Солнечной системы
Брауэра и ван Вуркома (1950), мы отметили, что вычисление вынужденных
элементов орбит пробных частиц проблематично при определенных значениях
большой полуоси, когда любая из собственных скоростей (обозначаемых
через А и В) прецессии орбиты частицы равна одной из собственных частот
системы. Мы нашли, что в области главного пояса астероидов есть три
таких значения: два вблизи 2 а.е. и одно вблизи 2.6 а.е. Последнее из них
связано с очевидной особенностью в вычисленных кривых для вынужденных
эксцентриситета и долготы перицентра на рис.7.16а. Это дает нам пример
векового резонанса.
Резонанс возникает, когда два периода (или две частоты) находятся в
простом целочисленном соотношении. Мы уже приводили примеры резонанса
в разделе 5.4, где такими частотами служили угловые скорости
орбитального и вращательного движений спутника (или планеты). В случае
векового резонанса такими частотами являются скорость изменения собственной
долготы перицентра (А = Й7рГОрег) или собственной долготы восходящего
узла (В = fiproper) пробного тела (обычно астероида) и одна из собственных
частот системы возмущающих тел. К сожалению, методы анализа таких
резонансов не столь просты, как в спин-орбитальном случае. Вековая теория,
рассматриваемая в этой главе, основывается на разложении возмущающей
функции до второго порядка относительно эксцентриситетов и наклонений
и на использовании уравнений Лагранжа самого низкого порядка. Это
приводит к системе, в которой решение {e,w} не зависит от решения {/, fi}.
Хотя этого достаточно, чтобы предсказать, где расположены вековые резо-
7.11. Вековой резонанс
325
нансы, более полная теория требует учета членов более высокого порядка.
Кроме того, необходимо учитывать члены второго порядка относительно масс
(тогда как здесь мы ограничились теорией первого порядка). Это усложняет
задачу математически и связывает члены по эксцентриситету и наклонению.
Дальнейшие детали можно найти в обзорах Кнежевича и Милани (1994)
и Фрешле и Морбиделли (1994).
Уильяме (1969) разработал полуаналитическую вековую теорию без
использования разложения возмущающей функции. Выполненные им
вычисления собственных элементов и последующие отождествления семейств
астероидов (Уильяме, 1979) стали значительным продвижением в современных
исследованиях динамики астероидов. Из-за упомянутой связи членов
геометрическим местом точных вековых резонансов являются поверхности в
пространстве (а, е, /), а не изолированные значения большой полуоси. Для
главного пояса астероидов положение этих поверхностей было рассчитано
Уильямсом (1969) и Уильямсом и Фолкнером (1981). Они исследовали
вековые резонансы, для которых частоты А — д$, А — д^ и В — fa приблизительно
равны нулю. Эти резонансы относятся к линейным вековым резонансам. Как
мы уже отмечали выше, их существование предсказывается теорией вековых
возмущений, описываемой в этой главе. Указанные три резонанса называют
вековыми резонансами v$, ^6 и ^16, гДе нижний индекс указывает номер г
вовлеченной в резонанс собственной
частоты (щ=д\, ...,що = дю, щ\ =
= /b •••, ^18 = /в)-
На рис. 7.19 показано, как на
плоскости «собственная большая
полуось — собственное
наклонение» расположены линейные
вековые резонансы в главном поясе
астероидов, согласно расчетам
Милани и Кнежевича (1990) для
случая ерг0рег = 0.1. Теоретические
кривые наложены на фактическое
распределение собственных элементов
орбит астероидов главного пояса.
30
х 25
ас
<v
о 20
= 15
о
х 10
3: 1
I
/ \-*ШЛ • • •
"16"'; л*£^
2: 1
I
■:■ . =:..:i*fc-.'.
F /'^Ш^^^Ж!
В области sin/proper < 0.3 элемен-
i 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
Собственная большая полуось, а.е.
Рис. 7.19. Расположение важных
линейных вековых резонансов v$, щ и и\ь,
вычисленное для случая ергорег = 0.1, и
значения /proper орбит нумерованных
астероидов в зависимости от собственной
большой полуоси
ты вычислены Милани и Кнежеви-
чем (1990) с применением теории
Юасы (1973), а при больших
наклонениях использовались
элементы Леметр и Морбиделли (1994).
Отметим на рис.7.19 особенности
вблизи 2.5 и 3.3 а.е. Здесь расположены резонансы средних движений 3: 1
и 2: 1 (см. главу 8), при которых орбитальный период астероида равен простой
дроби от орбитального периода Юпитера. В окрестности этих значений
большой полуоси необходимо применять вековую теорию, учитывающую резонанс
средних движений. Еще одна особенность, расположенная вблизи 2 а.е.,
326
Гл. 7. Вековые возмущения
уже была упомянута нами (см. выше и рис. 7.12а). В целом распределение
астероидов носит явно неслучайный характер, частично из-за существования
люков Кирквуда при некоторых резонансах (см. рис. 1.7 и раздел 9.8). Также
очевидно, что внутренняя граница главного пояса астероидов на плоскости
(а,/) коррелирует с расположением векового резонанса щ при I < 15°. При
больших наклонениях проявляется группа, ограниченная тремя вековыми
резонансами и люком Кирквуда 3:1.
Помимо линейных, возможны и другие вековые резонансы,
подчиняющиеся условиям даламберова типа, налагаемым на допустимые комбинации
частот. Это нелинейные вековые резонансы, все они связаны с более
высокими степенями эксцентриситета и/или наклонения в уравнениях движения.
Девять из них, а именно А + В — д$ — /б, А + В — д^ — fa, А + В — д$ — /7,
А - 2д6 + fl5, А-296 + 9ъ А - Зд6 + 2дъ, В - /6 - дъ + <?6, 2A + В - 2д6 - /6
и ЗА + В - 3#6 — /б, проявляют себя как важные вековые резонансы в
главном поясе астероидов (Кнежевич и Милани, 1994).
Для малых объектов на сильно наклонных орбитах существует еще один
тип векового резонанса, не связанный, однако, с какой-либо собственной
частотой системы. Это резонанс Козаи. Он проявляется в случае Со — О,
где со — аргумент перицентра. Так как w — со + fi, условие резонанса
сводится к А = В. Заметим, что для орбит с малыми эксцентриситетами
и наклонениями в отсутствие сжатия центрального тела А и В равны по
абсолютной величине и противоположны по знаку. Условия, при которых
А = В, выполняются только для сильно наклонных орбит. Можно показать,
что задача о движении тела нулевой массы под действием притяжения планет
на компланарных круговых орбитах сводится к исследованию системы с одной
степенью свободы при условии, что резонансы средних движений отсутствуют
(см. главу 8). Козаи (1962) показал, что у орбиты астероида, возмущаемой
Юпитером, движущимся по круговой орбите, нет вековых изменений большой
полуоси, но эксцентриситет и наклонение могут испытывать изменения, при
которых
Нк = у/\ -е2 cos/ (7.151)
всегда остается постоянной. Заметим, что в случае постоянной большой
полуоси это просто один из способов формулировки утверждения, что третий
импульс Делоне Н постоянен (см. (2.176)). Здесь также имеется связь с
соотношением Тиссерана, обсуждавшимся в разделе 3.4. Из-за наличия константы
(7.151) эксцентриситет и наклонение орбиты малого тела связаны так, что е
максимален, когда / минимально, и наоборот.
Мишель и Томас (1995) обобщили теорию Козаи, включив в нее
четыре планеты-гиганта. Эта теория показывает, что при малых наклонениях
угол со может либрировать около устойчивых положений равновесия со = 0°
и lo = 180°. При наклонениях больше ~ 30° эти точки становятся
неустойчивыми и появляются новые устойчивые точки равновесия при и = 90°
и со = 270°. Томас и Морбиделли (1996) показали, что резонанс Козаи
может иметь место только в случае орбит с большими значениями ей/.
Кроме того, они подтвердили вывод Бейли и др. (1992), что резонанс Козаи
Контрольные упражнения
327
обеспечивает механизм, посредством которого некоторые долгопериодические
кометы становятся «сангрейзерами» 0 и падают на Солнце.
7.12. Вековая теория высоких порядков
В данной главе мы применили вековую теорию Брауэра и ван Вурко-
ма (1950) в качестве базовой теории для изучения долговременных изменений
орбит планет. Она основывается на линейной теории и в основном следует
методам раздела 7.7 в том отношении, что она точна только до первого
порядка относительно масс и основана на разложении возмущающей функции
до второго порядка относительно эксцентриситетов и наклонений. Используя
метод Хилла (1897), Брауэр и ван Вурком попытались построить теорию
более высокого порядка, учитывающую взаимодействие Юпитера и Сатурна.
Последнее порождает собственные частоты д§ и дю и связанные с ними
собственные векторы (см. табл. 7.1-7.3).
Учитывая члены высоких порядков по элементам орбит, Бретаньон (1974)
разработал вековую теорию для всех планет (за исключением Плутона) до
второго порядка относительно масс. В более позднюю версию его теории
были включены релятивистские эффекты и лунные возмущения (Бретаньон,
1982). На основе методов Дюрье (1979) новую вековую теорию разработал
Ласкар (1985, 1986а). В ней были учтены те же возмущения, что и в
поздней теории Бретаньона, но, кроме того, были включены члены даже более
высокого порядка относительно эксцентриситетов и наклонений. В рамках
этой теории Ласкар (1988) выполнил численное интегрирование орбит планет
на интервале времени в 30 млн лет и провел фурье-анализ результатов.
Примерно в это же время другие исследователи предприняли трудоемкие
численные эксперименты по интегрированию орбит внешних планет
Солнечной системы с целью изучения долговременной устойчивости (Киношита
и Накаи, 1984; Эпплгейт и др., 1986; Карпино и др., 1987). Также
проводились численные эксперименты по интегрированию орбит внутренних планет.
Например, Квинн и др. (1991) исследовали движение Земли на интервале
времени в 3 млн лет. Результаты этих расчетов, продолженных затем до 6 млн
лет, Ласкар и др. (1992) сопоставили с полуаналитической вековой теорией
Ласкара (1989) и нашли хорошее согласие. Все эти исследования обеспечили
глубокое понимание векового взаимодействия планет. Мы рассмотрим его
более подробно в разделе 9.10.
Контрольные упражнения
7.1. Рассмотрите вековое взаимодействие двух планет с
массами т\ и т2у обращающихся вокруг звезды с массой ras. Пусть fi\ —
= m\/(ms + га2), Ц2 = m2/{ms + mi), q = mx/m2, a = a\/a2, v = n2/nx =
= a3/2, (3 = by2(a)/b^L(a), где индексы 1 и 2 обозначают внутреннюю
и внешнюю планету, соответственно. Выписав явные выражения для четырех
1) Англ. "sungrazer", в буквальном переводе — «царапающий Солнце». — Прим. ред.
328
Гл. 7. Вековые возмущения
матричных коэффициентов Aij в вековой теории, покажите, что две
собственные эксцентриситетные частоты даются формулой
9± = (^/2) {
где а = (l/4)n\/j,\aby2(a). Покажите далее, что отношения амплитуд
собственных векторов равны
е2\ qa-g±/(T vp
e\J± qap v-g±/a'
Эти результаты принимают особенно простой вид, если а« 1. Используя
аппроксимации Ьу2(а) « За, bU2(a) « (15/4)а2, допустимые при а« 1,
покажите, что собственные эксцентриситетные частоты приблизительно равны
3 3
д+ « -^1Л2ЩО?, д- w -fiin2a2.
Покажите, что |(ei/e2)+| ^> 1 и {е\/в2)- <С 1. Сделайте эскиз траектории
каждого тела на плоскости (/г, к) и, исходя из него, покажите, что в моде
д+ доминирует прецессия перицентра внутренней планеты, а в моде д- —
прецессия перицентра внешней планеты.
7.2. Выведенные в упражнении 7.1 формулы весьма полезны во многих
задачах. Используя упрощенное выражение для #_, оцените период прецессии
перицентра орбиты Сатурна из-за возмущений со стороны Юпитера. Сравните
Ваш ответ с результатом упражнения 6.3. Используя упрощенное выражение
для д+, оцените скорость прецессии орбиты Венеры под влиянием Земли.
Ваши результаты будут правильны лишь в грубом приближении; можете
ли Вы указать две причины, почему это так? Упрощенное выражение для
д+ можно также использовать для вычисления скорости прецессии орбиты
спутника из-за солнечных возмущений, если считать Солнце очень далеким
внешним спутником планеты с отношением масс ji2 = MsUn/Mp, где Мр —
масса планеты. Покажите, что в этом случае скорость прецессии спутника
равна w « (3/4)rip/n, где пр — среднее движение планеты вокруг Солнца.
Используя этот результат, вычислите период (в годах) прецессии лунной орбиты
под влиянием Солнца. Сравните скорость прецессии, вызываемой Солнцем,
со скоростью прецессии из-за сжатия Земли, полагая J2 = 1.08 • 10_3. Какое
возмущение преобладает в случае лунной орбиты?
7.3. В распределении астероидов по долготе перигелия обнаруживается
«скучивание» в окрестности долготы перигелия Юпитера. Отождествив
соответствующие вековые члены самого низкого порядка в разложении
возмущающей функции и предположив, что орбита астероида лежит в
плоскости орбиты Юпитера (большая полуось которой равна 5.20 а.е.), выведите
формулу для w — скорости изменения долготы перигелия астероида,
обращающегося внутри орбиты Юпитера. Положив отношение масс Юпитера и
Контрольные упражнения
329
Солнца равным 10 , эксцентриситет орбиты Юпитера равным 0.048, а также
взяв значения а = 2.86 а.е. и е = 0.15 в качестве типичных для орбиты
астероида, вычислите значение w в единицах градус/век, 1) если долготы
перигелиев астероида и Юпитера совпадают, и 2) если они различаются на
180°. Используя полученные результаты, объясните наблюдаемое
распределение астероидов по долготе перигелия.
7.4. Используя данные табл. А.2 и А.З, вычислите большую полуось,
эксцентриситет, наклонение, долготу перигелия и долготу восходящего узла
орбит Юпитера и Сатурна на JD 2450800.5. Затем, используя описанную
в разделе 7.2 теорию двухпланетных вековых возмущений, найдите полное
вековое решение для изменений орбит Юпитера и Сатурна. Найдите
свободные и вынужденные элементы орбиты астероида 243 Ида при вековых
возмущениях со стороны Юпитера и Сатурна, используя данные табл. А. 16
и полученное вековое решение. Сравните Ваши результаты для Иды с
результатами вековой теории Брауэра и ван Вуркома для Солнечной системы
(см. раздел 7.8).
7.5. Наблюдения с космических аппаратов «Вояджер» в 1980 и 1981 гг.
позволили определить элементы орбит спутников Сатурна Прометея
(а\ = 139 377 км, щ = 587.2890°/сут, е{ = 0.0024, wx = 173°) и Пандоры
(а2 = 141 712 км, п2 = 572.7891°/сут, е2 = 0.0042, w2 = 22°), а также кольца
F (а3 = 140175 км, п3 = 582.27°/сут, е3 = 0.0026, т3 = 230°), где а -
большая полуось, п — среднее движение, е —эксцентриситет, w — долгота
перицентра; при этом наклонов орбит обнаружено не было. Постройте
вековую теорию взаимодействия этих трех тел, положив J2 Сатурна равным
0.0163, отношения масс Прометей/Сатурн и Пандора/Сатурн соответственно
равными 1.15- Ю-9 и 7.66- Ю-10, а массу кольца F взяв в пределах от
нуля до 3 масс Прометея с шагом 0.1. Для каждого из принятых значений
массы кольца F, определите, используя Ваше вековое решение, минимальное
расстояние между Прометеем и кольцом F на интервале времени в 20000 сут,
начиная с 23 августа 1981 г. (эпохи указанных значений элементов). Для
каких значений массы кольца F минимальное расстояние меньше 70 км —
наибольшего радиуса фигуры Прометея? Указанные массы этих двух
спутников основаны на предполагаемом значении плотности 1.2 г/см3. Однако
имеются свидетельства того, что плотность может быть меньше, до 0.6 г/см3.
Повторите вычисления, используя данную низкую оценку плотности.
Прокомментируйте, насколько теория вековых возмущений способна моделировать
взаимодействие между кольцом F и этими двумя спутниками.
7.6. Используя теорию из раздела 7.9 и данные табл. А.9, вычислите
собственные частоты д± (эксцентриситета/перицентра) и fa (наклонения/узла)
в единицах °/сут для системы Сатурна. Включите в модель все восемь
крупных ((R) > 100 км) спутников с прямым орбитальным движением. Модель
должна учитывать J2 и J\ Сатурна. Резонансными эффектами пренебрегите.
Вычислите все значения большой полуоси, при которых скорость А прецессии
перицентра или скорость В регрессии узлов соответственно равны gi или fa.
Глава 8
РЕЗОНАНСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
На небесах планеты и Земля
Законы подчиненья соблюдают,
Имеют центр, и ранг, и старшинство,
Обычай и порядок постоянный.
Уильям Шекспир, Троил и Крессида,
акт I, сцена 3
(пер. Т. Гнедич)
8.1. Введение
В главе 6 мы столкнулись с резонансными эффектами в связи с проблемой
малых знаменателей, когда рассматривали движение астероида, орбитальный
период которого составляет простую дробь от орбитального периода Юпитера.
Простой и безыскусный анализ показывает, что при приближении
отношения средних движений к точному резонансному значению соответствующий
малый знаменатель стремится к нулю, что приводит к высоким амплитудам
изменения элементов. В этой главе мы изучим теорию резонанса более
подробно. Вначале мы рассмотрим простые геометрические и физические
модели и покажем, при каких условиях простой подход перестает работать.
Чтобы разобраться в основах резонансной динамики, мы используем модель
маятника, которая хорошо подходит для описания резонансных явлений в
поясе астероидов. Затем, используя гамильтонов подход, мы дадим полную
и детальную модель резонанса. На протяжении всей главы мы развиваем
разнообразные методы для исследования проблемы орбитальных резонансов
в Солнечной системе и вне ее.
Хотя небесной механике посвящена обширная литература, лишь малая
ее часть касается теории резонанса. Полезные обзоры предмета, особенно
в контексте орбитальной эволюции при прохождении резонанса, принадлежат
Гринбергу (1977), Пилу (1986) и Мальхотре (1988).
8.2. Геометрия резонанса
Рассмотрим механизм резонанса с точки зрения геометрии. Пусть
астероид находится в резонансе 2:1с Юпитером. Для простоты мы предположим,
что орбита Юпитера круговая и астероид движется в плоскости орбиты
Юпитера. В этой ситуации мы пренебрегаем любыми возмущениями между
обоими телами, поскольку нас интересует только то, как резонансные со-
8.2. Геометрия резонанса
331
Рис. 8.1. Относительное расположение Юпитера (светлый кружок) и астероида
(маленький темный кружок) в устойчивой конфигурации. Орбитальные периоды
находятся в отношении 2:1. Пусть Tj — орбитальный период Юпитера; графики
соответствуют следующим моментам времени: a) t = О, б) t = -Tj, в) t = -Tj,
3 4 2
г) * = -Т3 и d) < = Tj
отношения приводят к повторяющимся сближениям «хорошего» и «плохого»
типов.
На рис. 8.1 показаны примеры относительного расположения астероида и
Юпитера. В некоторый момент времени t = О Юпитер и астероид находятся
в соединении и астероид проходит перигелий своей орбиты (рис. 8.1а).
Поскольку объекты находятся в резонансе 2:1, астероид совершает два оборота
по орбите в течение каждого орбитального оборота Юпитера. Шаг по времени
на графике принят равным одной четвертой орбитального периода Юпитера.
Если пренебречь взаимными возмущениями, то за время t = -Tj астероид
и Юпитер окажутся в конфигурации, показанной на рис. 8.16. Астероид
теперь находится в афелии своей орбиты, а Юпитер сделал 1/4 орбитального
оборота. Расстояние между двумя орбитами минимально в афелии орбиты
астероида, но, когда астероид проходит афелий, Юпитер отстоит далеко.
Аналогично, когда Юпитер достигает точки с минимальным расстоянием
между орбитами (в момент времени t = ~Tj), астероид проходит перигелий
3
(рис. 8.1 в). В момент времени t = -Tj астероид возвращается в «опасную»
точку, но Юпитера поблизости нет (рис. 8.1 г); в момент времени t = Tj
(рис. 8. Id) исходная конфигурация, показанная на рис. 8.1а, повторяется.
Таким образом, хотя и кажется, что тесные сближения тел и сильные
возмущения со стороны Юпитера в афелии орбиты астероида возможны, на
самом деле благодаря резонансному механизму таких сближений нет. Таким
образом, это пример устойчивой орбитальной конфигурации Солнце-Юпи-
тер-астероид.
Напротив, если выбрать начальные условия так, чтобы Юпитер и астероид
находились в соединении в афелии орбиты астероида (рис. 8.2), то
конфигурация соответствовала бы неустойчивому равновесию; при этом «опасные»
тесные сближения повторялись бы через каждый оборот Юпитера по орбите.
Исследуем геометрию резонанса в более общем случае. Сначала
рассмотрим движение двух спутников на круговых компланарных орбитах вокруг
центральной планеты. Пусть
п
п
Р
(8.1)
332
Гл. 8. Резонансные возмущения
Рис. 8.2. Относительное расположение Юпитера (светлый кружок) и астероида
(маленький темный кружок) в неустойчивой конфигурации. Орбитальные периоды
находятся в отношении 2:1. Пусть Tj — орбитальный период Юпитера; графики
соответствуют следующим моментам времени: a) t = О, б) t — -Tj, в) t = -Tj,
г) t
-Tj и д) t
Tj
где пип— средние движения внутреннего и внешнего спутников,
соответственно, а р и q — целые числа. Если спутники находятся в соединении
в момент времени t = О, то повторное соединение произойдет, когда
Tit — Tit — 27Г.
Период времени Тсоп между последовательными соединениями равен
2тг
J-cctn —
П — П'
Но р(п — п') = qn', и поэтому
Т —
Р— = Р-Т' = P + q
qn q q
где Т и Т' — орбитальные периоды спутников. Поэтому
qTcon = рГ = (р + q)T.
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(8.5)
Если q = 1, то между последовательными соединениями каждый спутник
совершает целое число орбитальных оборотов, и каждое соединение
происходит на одной и той же долготе в инерциальной системе отсчета. Если q = 2,
то только каждое второе соединение происходит на одной и той же долготе,
и т. д.
Теперь рассмотрим случай е = 0, е' ф 0 и w1 Ф 0, где е обозначает
эксцентриситет, a w — долготу перицентра. Пусть выполняется резонансное
соотношение
(р + q)n — рп — qvo' = 0. (8.6)
Перепишем его в виде
п
w
V
(8.7)
п — vo' p + q
Здесь п'-й'ип-ш' представляют собой относительные движения; их
можно рассматривать как средние движения в системе координат, вращающейся
8.2. Геометрия резонанса
333
вместе с перицентром внешнего спутника. Для наблюдателя в этой системе
координат орбита внешнего спутника является фиксированной
(стационарной).
Если q = 1, то каждое соединение происходит в одной и той же точке
орбиты внешнего спутника, но не на одной и той же долготе в инерциальной
системе отсчета. Если q = 2, то каждое второе соединение происходит в одной
и той же точке орбиты внешнего спутника, и т. д.
В случае резонансного соотношения (8.6) резонансный аргумент равен
4>={p + q)\l -p\-qjj. (8.8)
В соединении А = А'; отсюда
<р = g(A' - w') = q(X - wf). (8.9)
Таким образом, угол <р является мерой смещения долготы соединения от
перицентра орбиты внешнего спутника. Например, наблюдения спутников Сатурна
Титана и Гипериона показывают, что резонансный аргумент <р = 4А' — ЗА — w'
колеблется (либрирует) относительно апоцентра орбиты Гипериона с
амплитудой 14.0° и периодом 18.75 лет.
Здесь мы вернемся к концепции вращающейся системы координат,
применявшейся нами на протяжении всей главы 3 и упоминавшейся в контексте
спин-орбитального взаимодействия в главе 5. Рассмотрим орбиты астероида
и Юпитера в соизмеримости 2: 1 между периодами обращения. Пусть орбита
Юпитера круговая (рис. 8.3). Как и выше, мы пренебрегаем взаимными
возмущениями, поскольку нас интересует только относительная геометрия орбит.
Траектория во вращающейся системе координат (рис. 8.3 б) в случае
малого эксцентриситета кеплеровой орбиты аппроксимируется центрированным
эллипсом. Поскольку периоды обращения находятся в соизмеримости 2:1,
за один оборот Юпитера по орбите астероид совершает два орбитальных
Рис. 8.3. а) Случай резонанса 2:1. Положения астероида (маленькие темные кружки)
и Юпитера (светлые кружки) отмечены через постоянные интервалы времени, равные
1/16 орбитального периода Юпитера. Вид в невращающейся системе координат.
Каждая из отмеченных точек на одной орбите отвечает точке с такой же буквой
на другой орбите, б) Траектория астероида в системе координат, вращающейся со
скоростью, равной среднему движению Юпитера. Буквы обозначают те же точки,
что и указанные на рис. 8.3 а. Эксцентриситет орбиты астероида равен 0.2
334
Гл. 8. Резонансные возмущения
оборота. При каждом из двух последовательных прохождений астероидом
афелия (точки Е и М) Юпитер будет отстоять от него на ±90° по долготе.
В афелии угловая скорость астероида минимальна и приближается к угловой
скорости Юпитера, поэтому точки группируются ближе друг к другу. Это
хорошо видно во вращающейся системе координат. При достаточно
больших значениях эксцентриситета угловая скорость астероида в афелии будет
меньше постоянной угловой скорости Юпитера и поэтому для наблюдателя
во вращающейся системе координат астероид будет двигаться в обратном
направлении.
Поведение, показанное на рис. 8.3, можно проиллюстрировать на примерах
различных резонансов и значений эксцентриситета. На рис. 8.4 показаны
траектории частиц в различных резонансах во вращающейся системе
координат: внутреннем резонансе первого порядка, внутреннем резонансе второго
порядка, внешнем резонансе первого порядка и внешнем резонансе второго
порядка. Во всех случаях мы полагаем, что взаимные возмущения
отсутствуют.
Вид траекторий во вращающейся системе координат иллюстрирует связь
резонанса с частотой соединений с внутренним или внешним телом. Если
частица находится во внутреннем резонансе р + q : p с внешним телом, то
2: 1
3:2
4:3
1:2
2:3
3:4
е = 0.1
Ш
Щ
Щ
0.2
[ /"\
1 ' • 1
1 Ч-/' 1
щ
щ
0.3
1 А
• •
1 V
1 ~*~
<• ■
| ч
1 Q О
1 • '
| 6 Ь
е = 0.1 0.2 0.3
"01
ш
ш
Q
|И|
ш
(• i
■ • °i
1 ••■Q..,.../ |
e = 0.1 0.2
0.3
3: 1
5:3
7:5
'J)
e = 0.1 0.2
1:3
3:5
5:7
г.-
0'
i
Щ
Ш
Г0Г
* • :>
|W
0.3
0]
M
Ш
Ш
I ;'V:"V.
i • <:
0
0
Рис. 8.4. Траектории пробной частицы (во вращающейся системе координат) а) во
внутренних резонансах первого порядка 2 : 1, 3 : 2 и 4 : 3, б) во внутренних резонансах
второго порядка 3:1, 5:3 и 7:5, в) во внешних резонансах первого порядка 1:2,
2:3 и 3:4 и г) во внешних резонансах второго порядка 1:3, 3:5 и 5:7. Графики
приведены для трех значений эксцентриситета е = 0.1, 0.2 и 0.3. Положения частицы
вдоль каждой траектории отмечены через равные интервалы времени
8.3. Физика резонанса
335
конфигурация повторяется через каждые p + q орбитальных оборотов
частицы. Если же частица находится во внешнем резонансе р : р + q с внутренним
телом, то конфигурация повторяется через каждые р орбитальных оборотов
частицы.
Очевидной особенностью траекторий во вращающейся системе координат
(рис. 8.4) являются «петли». Они образуются всегда в апоцентре орбиты
внутренней частицы и в перицентре орбиты внешней частицы. Поскольку
для того, чтобы конфигурация в очередной раз повторилась, при внутреннем
резонансе р + q : р или внешнем резонансе р : р + q требуется р + q и р
орбитальных оборотов частицы, соответственно, можно ожидать, что число
петель будет равно, соответственно, р + q и р. При некотором (единственном)
критическом значении эксцентриситета орбиты частицы угловая скорость
частицы на орбите совпадает с постоянной угловой скоростью возмущающего
тела; в этом случае на траектории появляются «точки возврата» («точки
заострения»). При больших значениях эксцентриситета траектория частицы
на некотором ее участке образует обратную петлю (во вращающейся системе
координат). Легко показать, что точки возврата возникают при значениях е
и е', удовлетворяющих кубическим уравнениям
(l+ef = [(p + q)/p}2(l-e), (8.10)
(l-e'f = \p/(p + q)}2(l+e') (8.11)
для случаев внутренних и внешних орбит, соответственно. Например, решая
уравнение (8.10) для случаев внутренних резонансов 2 : 1, 3 : 2 и 4: 3, находим
критические значения е, равные 0.365, 0.211 и 0.148, соответственно. Эти
значения согласуются с поведением траекторий на рис. 8.4 а.
8.3. Физика резонанса
Чтобы разобраться в физическом механизме резонанса, последуем
примеру Пила (1976), Гринберга (1977) и Пила (1986). Пусть имеются два тела,
обращающихся вокруг третьего (центрального) тела; изучим эффект от их
повторяющихся соединений. Пусть тело на внутренней орбите имеет
пренебрежимо малую массу, а внешнее тело движется по круговой орбите в той
же плоскости, что и внутреннее. Объекты находятся в резонансе средних
движений, при этом соединения всегда происходят на одной и той же долготе.
Если соединения всегда происходят в точности в перицентре или
апоцентре, то тангенциальная сила, испытываемая частицей непосредственно
перед соединением, равна и противоположна по направлению тангенциальной
силе, испытываемой сразу после соединения. Таким образом, тангенциальная
сила в результате отсутствует. Из уравнений, выведенных в разделе 2.9, мы
знаем, что момент количества движения может изменяться только в
результате воздействия тангенциальной силы (см. уравнение (2.149)). Аналогично,
если соединения происходят в перицентре или апоцентре (то есть в
уравнении (2.145) / = 0 или / = 180°, соответственно), то для изменения большой
полуоси также требуется тангенциальная сила. Эта симметрия нарушается,
если соединения происходят в любой другой точке орбиты.
336
Гл. 8. Резонансные возмущения
Рис. 8.5. Две схемы, иллюстрирующие резонансные сближения тела пренебрежимой
массы на внутренней эллиптической орбите и массивного тела на внешней круговой
орбите, а) Геометрия сближений в четырех различных точках соединений А, В, С
и D. Пунктирной линией показана линия апсид орбиты внутреннего тела. Стрелки
обозначают направления, в которых должны смещаться соединения. Устойчивое
соединение находится в перицентре орбиты, б) Крупный план соединения А; показаны
радиальные силы (нижний индекс г) и тангенциальные силы (нижний индекс t),
действующие на внутреннее тело непосредственно перед соединением (обозначения
без штрихов) и сразу после соединения (обозначения со штрихами)
Эффекты других типов сближений можно исследовать, рассматривая
соединения в точках А, В, С и D на рис. 8.5 а. Здесь мы предполагаем, что
долгота перицентра внутреннего тела фиксирована и при имеющемся
резонансном соотношении соединения происходят в одной и той же точке, если
гравитационное взаимодействие между обращающимися телами отсутствует.
Если соединение происходит в точке А, близкой к перицентру внутреннего
тела, то тела удаляются друг от друга (рис. 8.5 б). Поэтому тангенциальная
сила Ft, испытываемая внутренним телом непосредственно перед
соединением, больше тангенциальной силы F/, испытываемой им сразу после
соединения. Кроме того, угловая скорость внутреннего тела ближе к постоянной
угловой скорости внешнего тела непосредственно перед соединением, чем сразу
после него. Поэтому большая тангенциальная сила в направлении движения
действует в течение более длительного времени по сравнению с меньшей
тангенциальной силой, действующей после соединения в противоположном
направлении. Следовательно, в результате сближения момент количества
движения внутреннего тела увеличивается, а его средняя угловая скорость
уменьшается; это означает, что последующие соединения происходят ближе
к перицентру.
Если соединение происходит после прохождения перицентра (например,
в точке В, рис. 8.5 а), то имеют место потеря момента количества движения
и увеличение средней угловой скорости; и снова в результате соединение
смещается ближе к перицентру. В случае соединений в точках С и D,
находящихся ближе к апоцентру орбиты внутреннего тела, также происходит
смещение точки соединения ближе к перицентру. Таким образом, в случае
любых асимметричных точек сближения имеет место один и тот же эффект —
8.4. Изменения элементов орбиты 337
смещение соединений к перицентру орбиты. Следовательно, соединение в
перицентре соответствует конфигурации системы в устойчивом равновесии,
а соединение в апоцентре — неустойчивой конфигурации. В разделе 8.6 мы
придем к этому же выводу, используя маятниковую модель резонанса.
Теперь рассмотрим случай, когда соединения происходят всегда в
перицентре. Поскольку в соединении радиальная сила, действующая со стороны
внешнего тела, всегда направлена по радиусу от центрального тела,
внутреннее тело будет приобретать ускорение в том же направлении, и поэтому
это тело будет перемещаться на орбиту несколько больших размеров по
сравнению с той, которую оно имело бы в отсутствие возмущения (см.
уравнение (2.145)). Это означает, что внутреннее тело достигнет перицентра своей
орбиты несколько позже, чем это произошло бы в отсутствие возмущения,
и поэтому долгота перицентра его орбиты сместится в прямом направлении
(см. уравнение (2.165)). Как известно, у многих естественных спутников
орбиты быстро прецессируют из-за сжатия планеты; из нашего рассуждения
следует, что у спутника, захваченного в резонанс с внешним спутником,
скорость прецессии орбиты увеличивается.
Если тело пренебрежимой массы находится на внешней вытянутой орбите
(этот случай был исследован Пилом (1976, 1986) и Гринбергом (1977)), то
можно легко показать, что устойчивой конфигурации соответствуют
соединения в апоцентре. Кроме того, резонансный механизм для тела пренебрежимой
массы на внешней орбите приводит к регрессии перицентра. В случае
спутниковых орбит, в особенности сильно удаленных от планеты, эффект регрессии
перицентра может быть преобладающим по сравнению с эффектом прецессии,
обусловленным J2 планеты. Например, спутник Сатурна Гиперион находится
во внешнем резонансе 3:4 с Титаном; этого достаточно для общей регрессии
орбиты Гипериона со скоростью 19°/год. Динамика этого резонанса еще
будет обсуждаться в настоящей главе.
8.4. Изменения элементов орбиты
В главе 6 мы вывели уравнения Лагранжа, определяющие изменения
орбитальных элементов при заданном возмущающем потенциале. Если
учитывать только члены низшего порядка по е и /, то уравнения (6.145)—(6.150)
записываются в следующем приближенном виде:
• - _А^
П ~ а2 д\ '
. 1_дК
па2е dw'
т- 1 дП
па2 sin I dQ '
• -_L^ sin(7/2) дП
na2e де па2 dl '
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(8.15)
338
Гл. 8. Резонансные возмущения
6 х дп (яш
М = —о . г^у, (8.16)
naz sin 1 ol
2naz oe
где, используя равенство h = (—3/2)па/а, мы предпочли выписать уравнение
для п вместо уравнения для а. Следуя обычной практике, мы заменили
частные производные по средней долготе в эпоху на частные производные по
средней долготе А (см. раздел 6.8). Заметим, что в случае ё мы пренебрегли
членами с частными производными по а; это эквивалентно предположению,
что коэффициенты Лапласа фиксированы.
Согласно (6.139), аргумент в разложении возмущающей функции
записывается в общем виде как
Ч> = Ji А; + J2A + hw' + ню + jbQ! + дА (8.18)
В свою очередь, общая формула для усредненного разложения с точностью
до членов низшего порядка записывается как
(П) = ^ [тг^' + e^le/W3'el*le/|i5l[/d(a) + /e(a)] сов V] , (8.19)
(П') - — [аП^ес) + e^e'lj2ls^s'lj5l[afd(a) + £(<*)] cos^] (8.20)
для случаев внутреннего и внешнего резонансов, соответственно; здесь s =
= sin(J/2), s' = sin(J;/2) и учтен вековой вклад
ftgec) - (е2 + е,2)/8Д(а) + ее'Д,2(а) cos^ - ш) +
+ (*2 + в/2)Дз(а) + **7s.4Coe(jy - П) (8.21)
(см. (7.1)). Для вывода выражений для /d(a), /e(a), /i(a) и /s,i(a) (г = 1,
2, 3, 4) можно использовать данные из приложения Б. В табл. 8.1-8.4 эти
выражения даны в удобном для применения явном виде.
Отметим, что вклад вековых членов (8.21) будет отсутствовать, если
ограничить наши разложения членами первого порядка относительно
эксцентриситетов и наклонений. Кроме того, в этих случаях не будет и вклада
членов с наклонениями, поскольку величины s и s' возникают только при
анализе второго порядка и выше.
Выписанные выше уравнения для орбитальных элементов требуются при
вычислении производной аргумента ф (формула (8.18)) по времени. Эта
производная дается выражением
Ф = 3\ (n; + ё') + j2{n + ё)+ j3m' + j4w + ]Ъй' + j6U = 0. (8.22)
Говорят, что возмущаемое тело находится в точном резонансе, если
производная ф по времени резонансного аргумента равна нулю 0. Это означает, что
') Точнее, должна быть равна нулю амплитуда фазовых колебаний на резонансе.
Производная аргумента в точном резонансе может быть периодической функцией времени, равняясь
нулю только в среднем. — Прим. ред.
8.4. Изменения элементов орбиты
339
Таблица 8.1. Главные члены в разложении возмущающей функции
3\
3
3
3
3
3
3
3
3
h
i-j
i-j
2-j
2-j
2-3
2-3
2-3
2-3
Зз
0
-1
0
-1
-2
0
0
0
34
-1
0
-2
-1
0
0
0
0
Зь
0
0
0
0
0
0
-1
-2
36
0
0
0
0
0
-2
-1
0
/d(«)
l[-2j-aD]b\%
l-{-l+2j + aD]b\)-])
^[-5j + 4j2 - 2aD+
+4jaD + a2D2)b\j}2
U-2 + bj-4j2 + 2aD-
-4jaD-a2D2]b[j-l)
^[2-7j+4j2-2aD+
+4jaD + a2D2}b[J-2)
-ab{j-])
-ab{j-])
2a03/2
Таблица 8.2. Косвенные члены в разложении возмущающей функции в случае
внешнего возмущающего тела
3\
2
3
31
-1
-1
33
-1
-2
J4
0
0
Зь
0
0
J6
0
0
Л(а)
-2а
27
-уа
Таблица 8.3. Косвенные члены в разложении возмущающей функции в случае
внутреннего возмущающего тела
3\
2
3
h
-1
-1
Зз
-1
-2
J4
0
0
Зъ
0
0
J6
0
0
/i(«)
1
~2^
3
~8а
существует некоторая линейная комбинация средних движений и скоростей
прецессии (то есть некоторый набор значений ji, J2,..., je), такой, что ф — 0.
Как видно из (8.22), если пренебречь изменением долгот, то «точный»
резонанс имеет место при
3\п' + 32П ^0.
(8.23)
Пусть j\ — р + q и J2 — —р, где р и q — положительные целые числа. Число
q называется порядком резонанса. Номинальное положение ап резонанса
340
Гл. 8. Резонансные возмущения
Таблица 8.4. Вековые члены в разложении возмущающей функции
г
1
2
3
4
/s.i(")
\{2aD + c?D*]bf)2
Х- [2 - 2aD - a2D2] b\)\
-2аЬз/2
ab3/2
p + q : p есть значение большой полуоси орбиты внутреннего тела,
определяемое формулой
2/3
ап = | — ) а'. (8.24)
P + Q
В случае внешних резонансов определение аналогично. Однако эта формула
дает положение резонанса только приблизительно. Когда скорости прецессий
велики, точные резонансы, соответствующие соизмеримости р + q : р,
разделены и отстоят друг от друга по большой полуоси орбиты. Например, как
отмечено в разделе 6.10.1, в теории второго порядка существует шесть
резонансных аргументов, соответствующих основной соизмеримости 3:1. Если
пренебречь изменениями средней долготы в эпоху, то шесть производных от
резонансных углов по времени даются выражениями
ф\ = Зп' — п — 2w, ф>2 — Зп7 — п — zu — w', ф% — Зп' — п — 2w',
ф\ — Зп' — п — 2Г2, 05 = Зп7 — п — (l — ГУ, 06 — Зп' — п — 2ГУ.
(8.25)
Если бы тела, вовлеченные в эти резонансы, обращались вокруг планеты
с экваториальным сжатием, то значения Й7, wf, Q и $У определялись бы
главным образом значением J<i планеты и расстоянием от соответствующего
спутника до планеты. Тогда можно ожидать, что \w\ > \т'\ и \Щ > |$Y|.
Кроме того, скорость прецессии узлов обычно противоположна по знаку
скорости прецессии перицентра. Все это в комбинации приводит к
«расщеплению» основного резонанса 3: 1 в некотором диапазоне по большой полуоси.
Различия относительной величины этого расщепления для разных планет,
как полагают, объясняют распространенность наблюдаемых соизмеримостей
средних движений в спутниковых системах Юпитера и Сатурна и их дефицит
в системе Урана. Мы обсудим эти эффекты далее в разделе 8.15.
8.5. Резонанс в круговой ограниченной задаче трех тел
Прежде чем продолжить исследование свойств резонансного поведения
в разнообразных ситуациях, полезно рассмотреть наиболее простой из
представляющих интерес случаев. Это плоская круговая ограниченная задача
трех тел, в которой внешнее тело возмущает внутреннее тело пренебрежимой
8.5. Резонанс в круговой ограниченной задаче
341
массы. Оба тела движутся в опорной плоскости системы координат. Общее
выражение для члена усредненного разложения возмущающей функции
приводится к виду
Qm!
(П) = Щ- [Лд(а)е2 + /d(a)e"*l сое у>"
(8.26)
где
^ = jiA' + i2A + j4ro. (8.27)
Соответствующие уравнения движения имеют вид
n = 3J2CrnelJ4lsin<^, (8.28)
ё= j^e^l-'siiK/?, (8.29)
w = 2CS + \j4 \CTe^~2 cos у, (8.30)
i = Cse2 + ^\j4\CTe^ cos<р, (8.31)
где константы из резонансной и вековой частей возмущающей функции равны
nnznf \ гп I
naza' \m<
Cs = -^;/s.i(a) = (—) па/зЛ(а), (8.33)
nazaf \mcJ
соответственно. Здесь тс — масса центрального тела, и мы использовали
равенство Q — п2а^/тс, следующее из третьего закона Кеплера. Заметим, что
/а берем из первой или третьей строки табл. 8.1, а /Sfl — из табл. 8.4.
Анализ уравнений (8.28)—(8.31) позволяет вывести некоторые основные
свойства производных орбитальных элементов. Поскольку \j^\ ^ 1, среднее
движение и большая полуось почти постоянны из-за присутствия
множителя е'-7'4! в правой части уравнения (8.28). Производная е пропорциональна
на единицу меньшей степени е (см. (8.29)), поэтому изменения е больше.
Уравнение для w показывает, что почти круговая орбита будет испытывать
быстрые изменения долготы перицентра, поскольку второй (резонансный)
член в правой части уравнения (8.30) преобладает над первым (вековым)
членом. Аналогично, в изменении е будет преобладать вклад резонансов
первого порядка, но вековой член будет сопоставим по амплитуде с резонансным
членом в случае резонансов второго порядка. Поскольку п = — (3/2)(n/a)a,
имеем
a = -2j2CTae^ sin <p, (8.34)
отсюда
^ = -2(J2/J4)ae. (8.35)
342
Гл. 8. Резонансные возмущения
Это уравнение означает, что изменения а и е всегда коррелированы. Если J2
и J4 имеют один и тот же знак (случай внутреннего резонанса), то da/de < О
и максимум а соответствуют минимуму е, и наоборот. Если же знаки J2
и J4 противоположны (случай внешнего резонанса), то da/de > О и а и е
максимальны или минимальны одновременно.
Интересно сравнить уравнение (8.35) с аналогичным уравнением,
следующим из соотношения Тиссерана. В разделе 3.4 мы показали, что в
ограниченной задаче трех тел
— + уа(1 - е2) cos/ =
const
(8.36)
при условии, что значения а, е и / вычисляются для объекта, находящегося
далеко от возмущающего тела. Напомним, что в этом выражении а
измеряется в единицах большой полуоси орбиты возмущающего тела. Полагая
в соотношении (8.36) / = 0и дифференцируя по е, имеем
da
~d~e
2a5/2e
a3/2 - 1
(8.37)
с точностью до членов низшего порядка по е. Поэтому для орбит внутри
орбиты возмущающего тела (то есть в случае a < 1 в наших единицах)
выполняется неравенство da/de < О, тогда как для внешних орбит da/de > 0.
Отсюда следует аналогичный результат относительно максимумов и
минимумов, как установлено выше для резонансного случая. В разделе 8.8 в рамках
гамильтонова подхода мы покажем еще раз, что соотношение Тиссерана
определяет константу движения.
Чтобы замкнуть систему резонансных уравнений движения, следует
вывести уравнение для резонансного аргумента (р. Напомним, что орбита внешнего
тела является фиксированной. Тогда
V?
Р = 3\п' + J2(n + ё)+ jAzu.
(8.38)
Таблица 8.5. Числовые значения а и коэффициентов а/8д(а) и af^(a) для
избранных внутренних резонансов р + q : р первого и второго порядков. Значение а
дает номинальное положение резонанса
p + q:p
2:1
3:2
4:3
5:4
6:5
3:1
5:3
7:5
9:7
11:9
а
0.629961
0.763143
0.825482
0.861774
0.885549
0.480750
0.711379
0.799064
0.845740
0.874782
a/s,i(a)
0.244190
0.879751
1.88147
3.24494
4.96857
0.0683812
0.515657
1.33523
2.51812
4.06179
a/d(«)
-0.749964
-1.54553
-2.34472
-3.14515
-3.94613
0.287852
2.32892
6.28903
12.1673
19.9639
8.6. Модель маятника
343
В табл. 8.5 приведены значения а = а/а1, afSj\(a) и af^(a) для ряда
внутренних резонансов р + q : р первого и второго порядков. Значения а
соответствуют номинальным положениям резонансов. Использованы формулы
из табл. 8.1 и 8.4. Обратите внимание, что а/8д(а) и af^(a) с увеличением
а возрастают по абсолютной величине.
Система уравнений (8.28)—(8.31) и (8.38) описывает изменения
орбитальных элементов в окрестности резонанса в плоской круговой ограниченной
задаче трех тел. Она легко может быть обобщена для описания изменений
орбитальных элементов в других случаях. Например, если рассматривать
движение на круговых наклонных орбитах, то в поведении наклонения и
узлов обнаруживается аналогия с описанным выше поведением эксцентриситета
и перицентра.
8.6. Модель маятника
Исследуем теперь аналогию между описанной выше простой резонансной
моделью и движением маятника. Рассмотрим вторую производную по времени
от аргумента <^, определяемого формулой (8.27). Поскольку мы полагаем
п' = О, дифференцирование уравнения (8.38) по времени дает
Ф = 32П + J2€ + J4ZD. (8.39)
Запишем
i = Cse2 + |j4|CrF(e)cos</>, (8.40)
w = 2CS + | j4 \CTG(e) cos </?, (8.41)
где
F{e) = -e^\ и G(e) - e^l"2; (8.42)
тогда вторые производные от е и vo по времени равны
ё = 2Csee + |j4|Cr f ^ecosy?- F(e)<^sin<^ J , (8.43)
w = \J4\CT ( ^ecosc^ - G(e)(psin(p J . (8.44)
Напомним, что константы СТ и Cs содержат множитель m'/mc, который
обычно является малой величиной. Присутствие ё и ф вносит еще один
множитель тп'/гпс в правые части (8.43) и (8.44), поэтому вкладом ё и w в
ф во многих задачах можно пренебречь. Однако из (8.44) ясно, что в случае
резонансов первого порядка (в нашей модели это резонансы с |j4| = 1)
прецессия долготы перицентра vo может быть велика, так как G(e) = 1/е, а е
является малой величиной. В таких условиях w может давать существенный
вклад в ф. Обратите внимание, что в любом случае вклад от вековой части
возмущающей функции отсутствует.
344
Гл. 8. Резонансные возмущения
Если пренебречь вкладами ё и w и использовать выражение (8.28) для п,
то уравнение для ф примет вид
ф = З^Стпем sirup. (8.45)
Согласно данным в последнем столбце табл. 8.5, постоянная Ст отрицательна,
когда порядок q резонанса нечетный, и положительна, когда он четный. Если
ограничиться резонансами нечетного порядка, то уравнение для ф запишется
в виде
ф = —cjQsinc^, (8.46)
где
cj2 = -3j$cTne\M (8.47)
и сделано предположение, что п, e и, следовательно, ljq приблизительно
постоянны. Отметим, что cjq всегда больше нуля. Поэтому в случае резонансов
нечетного порядка уравнение для ф идентично уравнению математического
маятника, движение которого устойчиво в окрестности точки (р = 0.
В случае резонансов четного порядка движение также описывается
уравнением математического маятника, но в этом случае движение устойчиво
в окрестности точки ip = 7г, а не ip = 0. Это легко доказать, сделав замену
(р' = (р + 7г в уравнении (8.46), что дает ф' = cosine//. В дальнейшем при
обсуждении либрации во всех резонансах мы будем ссылаться на уравнение
(8.46) как на уравнение математического маятника, хотя в случае резонансов
четного порядка есть небольшое техническое отличие. Обратите внимание,
что когда угол ip мал, это дифференциальное уравнение можно записать в
виде ф = — ujQip, решением которого является простое гармоническое колебание
с периодом, не зависящим от амплитуды.
Дифференциальное уравнение (8.46) имеет несколько хорошо известных
свойств. Его решением является либо вращение, либо колебание аргумента <р;
причем тип движения зависит от энергии системы и, следовательно, от
начальных условий. Полная энергия системы Е является суммой кинетической
энергии в расчете на единицу массы (Т = 1>ф2) и потенциальной энергии
в расчете на единицу массы (U = 2cjQsin2 ^ф)\
£7=i^2 + 2o;gsin2^. (8.48)
Типы движения можно классифицировать, рассматривая разные значения
энергии Е. Это проиллюстрировано на рис. 8.6 а, где построен график
потенциальной энергии в зависимости от ip и отмечены три значения полной
энергии, каждое из которых соответствует определенному типу поведения
угла ip.
1) Если Е > Ег (случай Е = Е\), то движение (р не ограничено, что
соответствует циркуляциям (вращениям) угла ip. В случае маятника груз
вращается вокруг точки подвеса.
2) Если Е < Е$ (случай Е = Е2), то движение ip ограничено, что
соответствует колебаниям (либрациям) угла ip. В случае маятника груз колеблется
(либрирует) относительно положения равновесия.
8.6. Модель маятника
345
3) В особом случае Е — Е% движение происходит по сепаратрисе, которая
отделяет режим вращения от режима колебаний. Этот режим соответствует
зависанию груза маятника в верхнем вертикальном положении.
Примеры траекторий показаны на рис. 8.6 6. В случае Е = Е\ производная
ф изменяется с изменением угла <р, но ф никогда не обращается в нуль.
Однако в случае Е = E<i величина ф обращается в нуль, когда угол (р принимает
наибольшие по модулю значения. В частном случае Е = Ез (энергия равна
ее значению на сепаратрисе) имеем необычный тип движения с бесконечным
периодом.
Как видно из рис. 8.6 б, существуют две особые точки с ф = 0. Первая
расположена в начале координат. Это эллиптическая неподвижная точка,
устойчивая по отношению к малым смещениям относительно нее. У
второй точки координата (р = ±7г. Это гиперболическая неподвижная точка,
неустойчивая по отношению к малым смещениям. Приведенное здесь
обсуждение подводит математическую базу под физическое описание устойчивых
и неустойчивых резонансных конфигураций, которое мы дали в разделе 8.3.
а
/\
i i Ч^
-7Г
Е
Е2/^ \
/
^S i i
0 7Г
Ег
U
Рис. 8.6. а) Потенциальная энергия U в зависимости от (р. Отмечены три уровня
Е\, Е2 и Е$ полной энергии Е. б) Траектории маятника на плоскости ((/?, ф),
соответствующие значениям полной энергии, отмеченным на рис. 8.6 а
Время, за которое угол <р изменяется от нуля до некоторого значения (ро,
равно
Ф
-Г
(8.49)
Пусть ф = 0 при <р = (ро, тогда период колебаний равен
^0
Tub = 4
dip
(8.50)
Так как Е = 2шк sin2 tpo/2, находим
2тг
т,
ib со J (1 -
d0
-±к
(l-{E/2u%)sm2ey/2 ш0
Е
(8.51)
346
Гл. 8. Резонансные возмущения
где мы положили sin(</?/2) = sin((^o/2)sin0. Функция К(х) называется
полным эллиптическим интегралом первого рода; как известно, К(0) = -к/2.
Поэтому, когда энергия Е мала (что соответствует малым колебаниям
относительно точки равновесия), имеем
lim Гиь = —. (8.52)
Эта аппроксимация эквивалентна предположению sin</? « (р. Уравнение
маятника в этом случае сводится к уравнению простого гармонического движения,
ф = —ш$(р, с периодом колебаний, не зависящим от амплитуды. В общем
случае период колебаний зависит от амплитуды, причем поведение функции
К(х) таково, что Тць —» ос при приближении к сепаратрисе.
8.7. Ширина зоны либрации
Главный результат построения аналитической модели резонанса состоит
в том, что эта модель дает возможность оценить изменения орбитальных
параметров, вызываемые резонансами. В контексте динамики тел Солнечной
системы наиболее важной из подобных оценок является оценка ширины зоны
либрации по большой полуоси (или по среднему движению) для объекта
в резонансе. Имея эту оценку, мы можем попытаться сопоставить ее с
наблюдательными данными, например, с шириной структурной особенности
в планетном кольце или с шириной люка в распределении астероидов. Это
можно сделать, используя нашу модель математического маятника с разного
рода модификациями, включая учет дополнительных членов в случае низко-
эксцентриситетных орбит вблизи резонансов первого порядка.
Рассмотрим соотношение (8.48) между кинетической и потенциальной
энергиями в модели математического маятника. Из рис. 8.6 очевидно, что
энергия колебательного движения с максимально возможной амплитудой
колебаний 0 отвечает траекториям с ф = 0 при <р = ±7г. Она равна
£?max = -6j|Crne^l. (8.53)
Положим теперь значение Е равным ^тах и рассмотрим изменения угла (р.
Они определяются уравнением
ф = ±j2(12|Cr|ne^l)1/2cos * # (8>54)
Мы можем связать производную от ц> с производной от п посредством
уравнения (8.28). Учитывая также (8.54), имеем
dn = 3j2CTne^S^diP = ±(3|Cr|ne^l)1/2sin^d(^. (8.55)
ф 2
1) Эта энергия есть не что иное как энергия на сепаратрисе. — Прим. ред.
8.7. Ширина зоны либрации
347
Интегрируя, находим
п = щ ± {12\Ст\пе^у/2 cos \лр. (8.56)
Таким образом, максимальное изменение среднего движения равно
Snmax = ±{l2\CT\ne^){/2. (8.57)
Оно достигается при <р = 0. Из третьего закона Кеплера легко выводим
эквивалентное максимальное изменение большой полуоси:
6а^ = ±(™^е\*А а. (8.58)
При выводе уравнения маятника в разделе 8.6 мы отметили, что в
случае резонансов первого порядка (|j4| = 1) нельзя пренебрегать вкладом w
в общую величину ф. Рассмотрим этот вопрос более подробно и выясним,
как нужно в таком случае модифицировать выражение для ширины зоны
либрации. Полагая J4 = — 1, запишем аргумент резонанса первого порядка
в общем виде
V = JiA; + J2A-t47. (8.59)
Тогда
Ф = 3\п + j2n - zn, (8.60)
<p = j2n-zb, (8.61)
где, согласно (8.29) и (8.44),
С2 Ст
w — -у sin 2(р (j\ n! -\- j2n) sin ср. (8.62)
е2 " е
Это дает
Ч>
с,
3j2CTne + —{j\nl + j2n)
е
2
С
sin cp £- sin 2(p. (8.63)
е
Мы можем построить решение этого модифицированного уравнения
маятника, полагая, что решение имеет форму, аналогичную (8.56). Запишем
п = щ + к cos -</?, (8.64)
где по — среднее движение для случая номинального положения
резонанса, а к — константа, которую надо найти. Обратите внимание, что сумма
j\n' + j2no также является постоянной. Пренебрегая малым вековым
слагаемым в уравнении (8.31), мы можем теперь записать уравнение (8.60) в виде
1 Ст
3\ п' + j2no + j2k cos -<p = ф + — cos ср. (8.65)
2 е
348
Гл. 8. Резонансные возмущения
Полагая ф = 0 при ip = 7г, находим
Отсюда
3\п +32По
Ст
е
Э\п' +J2n = -— + J2kcos-(p,
е Z
и уравнение для ip принимает вид
2
С2
3joCrne к
с интегралом энергии
•2
Сг 1 С2
sin у? + J2k— cos -^ sin у? \ sin 2c^
(8.66)
(8.67)
(8.68)
^2 = 2
3j2Crne —
c2^
1 4 С 1С
sin2 -y> - xj2fc— cos3 -^-^ sin2 p + £. (8.69)
Как и раньше, находим Emayi, полагая ф = 0 и ip = ж. Полагая Е = Етах,
выводим формулу для ф при ip = 0:
Ч>
= -\2jlCTne + A%-\j2kCr
(8.70)
ly?=o "" ez 3*" е
Полагая ip = 0 в соотношениях (8.65) и (8.67) и возводя в квадрат
получающееся выражение для ф, имеем
Ф2\ n = 4%+j|l=-4j2fc—- (8-71)
Приравнивая правые части (8.70) и (8.71) друг другу, получаем квадратное
уравнение
4 1 г_
(8.72)
&2- ~—к+ 12СТпе = 0
3J2 е
относительно неизвестной константы к с решением
1 |С'^2
fc = |i^±(12|Cr|ne)1/2fl +
27j|eJ n
(8.73)
Здесь учтено, что для резонансов первого порядка Сг < 0. Подставляя ip = 0
в (8.64) и используя (8.66), находим
\СТ\
J26
Подставляя наше решение для fc, имеем
^_±(,2|<y„«)'/»(l+ ' Ш)
1/2
+
|Сг|
3J2e'
(8.74)
(8.75)
8.7. Ширина зоны либрации
349
Обратите внимание, что при умеренных значениях е эта формула согласуется
с аппроксимацией (8.57) при j$ = — 1. Эти формулы эквивалентны
выведенным Дермоттом и Мюрреем (1983). Перепишем (8.75), выразив среднее
движение через большую полуось:
Дашах = ± (1ЛШе) V2 Л + 1 \СА\ 1/2 _ J_l^ (8 76)
а \ 3 п J V 27j|e3 n ) 9J2e n
Далее в разделе 8.8.1, чтобы вывести аналогичное выражение для 5атах/а
в случае резонанса первого порядка, мы используем гамильтонов подход.
Наши результаты означают, что для резонансов первого порядка
максимальная ширина зоны либрации, выраженная через среднее движение или
большую полуось, уменьшается с уменьшением эксцентриситета до тех пор,
пока при достаточно низких значениях е ширина не начинает снова
возрастать. Мы иллюстрируем это поведение на рис. 8.7, где приведены кривые
максимальной ширины зоны либрации для внутренних резонансов 3:1, 2:1,
5:3, 3:2 и 4:3 с Юпитером. Кривые вычислены при т'/тс = 9.54- 10"4
и а' = 5.2033; значения \СТ\/п = (m'/mc)af<\(a) взяты из табл. 8.5.
Кривые на рис.8.7 следует использовать с некоторой долей
осторожности. Всегда следует помнить, что разложение возмущающей функции, на
котором они основаны, ограничено членами низшего порядка относительно
эксцентриситета. Поэтому формулы для ширины зоны либрации неточны при
больших значениях эксцентриситета. Кроме того, орбита с эксцентриситетом
больше 0.25 в случае резонанса 4:3 пересекает орбиту Юпитера, и поэтому
некоторые условия сходимости разложения возмущающей функции не
выполняются. Тем не менее, при низких значениях эксцентриситета графики
четко и адекватно демонстрируют различия между резонансами первого и
второго порядков. При е —> 0 для резонансов первого порядка усиливается
3:1 2:1 5:33:2 4:3
1 J
1 1 1 1 1 1 1 "Т 1 —
1
2.5 3 3.5 4 4.5
Большая полуось, а.е.
Рис. 8.7. Ширина либрационных зон в зависимости от большой полуоси и
эксцентриситета для избранных внутренних резонансов с Юпитером, вычисленная в
аналитической модели в круговой ограниченной задаче трех тел. Вверху отмечены
номинальные положения резонансов
н 0.25
Н
5 0.20
s
Си
I 0.15
сг> 0.10
0.05
350
Гл. 8. Резонансные возмущения
прецессионный эффект, увеличивающий ширину зоны либрации; но здесь
требуется некоторая осторожность в заключениях при теоретическом анализе,
см. обсуждение в разделе 8.9.
8.8. Гамильтонов подход
Ввиду подобия уравнения движения в резонансе и уравнения
математического маятника неудивительно, что многие ученые использовали
обобщенный гамильтониан маятника в качестве фундаментальной модели резонанса
в небесной механике. Этот подход был введен Пуанкаре (1902, 1905), его
применяли Месседж (1966), Йодер (1973), Пил (1976), Уиздом (1980), Анрар
и Леметр (1983); в итоге он сформировался в мощный новый гамильтонов
метод исследования резонансов. Особенно полезным он оказался при
анализе диссипативных систем (например, при анализе приливной эволюции
спутников), позволив в новом ключе объяснить явления захвата в резонанс
и прохождения через резонанс.
Описываемый ниже подход принадлежит Пилу (1986). Из определения
переменных Пуанкаре (см. раздел 2.10) следует, что в случае умеренных
эксцентриситетов е2 « 2Г/Л. Отсюда можно вывести гамильтониан нашей
системы, используя выражение (8.26) для возмущающей функции
(возмущающего потенциала в расчете на единицу массы). Рассмотрим сначала роль
члена с коэффициентом ек (где к = 1, 2, 3, ...), соответствующего одному
отдельно взятому резонансному аргументу к-го порядка. В переменных
Пуанкаре имеем
„ _ д2т2ст3 G2m2cm,Z Q2mQmm!Z , /2T\fc/2
Н~ 2Л2 2Л'2 Л'2 h\Aj X
х cos[ j\l + (к - j)X + ley] -
- Fwsec - ZQsec + AAsec - T'wfsec - Z'U'sec + Л%ес, (8.77)
где первые два члена представляют собой «двухтельные» составляющие
гамильтониана (см. (2.182)); третий член представляет собой резонансный
вклад аргумента, соответствующего члену с коэффициентом ек\ остальные
члены учитывают все вековые вклады (до второго порядка относительно
эксцентриситета и наклонения) в значения долготы перицентра, узлов и средней
долготы для каждого из объектов. Заметим, что рассматривается резонанс
вида j : (j — к); таким образом, к > 0 есть порядок резонанса. Это согласуется
с системой обозначений, принятой в таблицах членов разложения
возмущающей функции в приложении Б.
Число степеней свободы гамильтониана можно уменьшить с шести до
четырех, поскольку величины z = —ft и z' — —ft1 отсутствуют в Н. Поэтому
Z и Z' являются константами движения, — вследствие того, что мы рассмат-
8.8. Гамилыпонов подход
351
риваем резонансные возмущения при доминировании членов, отвечающих
плоской задаче. Введем набор из четырех новых переменных в^.
ei=j\' + (k-j)\ + k>y, (8.78)
02=jA' + (fc-j)A + fcY, (8.79)
03 = А, (8.80)
04 = А'. (8.81)
Соотношения между соответствующими им импульсами G^ и
первоначальными импульсами могут быть получены путем решения простой системы
уравнений
4
Y^ ®i<№i = AdA + A'dA' + Td7 + r'dV, (8.82)
i=i
что дает
(fc-j)(e1+e2) + e3 = A> (8.83)
Л01+02) + в4-Л/, (8.84)
кв{ = Г, (8.85)
кв2 = Г', (8.86)
где G2, G3 и G4 являются константами, поскольку величин #2, 6% и 64 в Н
больше нет. На этой стадии задача свелась к системе с одной степенью
свободы с переменными 6\ и Q\. Прежде чем продолжить, стоит подробно
проанализировать эти константы.
Из соотношений (8.83)-(8.86) находим
64 = Л; - j(Gi + 62) « rriy/G{mc + rri)a' (8.87)
с точностью до низшего порядка. Поэтому G4 определяется величиной а',
которая является константой, если возмущения со стороны тела т отсутствуют.
Далее из приведенных определений имеем
62 = Т = Х^(Шс + т)а/ О ~ ^Х~е'2) ~ 7^VG(mc + m)a'e'2. (8.88)
Таким образом, значение G2 определяется эксцентриситетом и большой
полуосью орбиты внешнего тела. Поскольку в ТС нет возмущений со стороны
внутреннего тела, значения е' и а' фиксированы и, следовательно, G2 должно
быть константой.
Выражение для третьей константы, вз, представляет собой одну из форм
записи соотношения Тиссерана (которое само выводится из выражения для
константы Якоби; см. раздел 3.4). Это можно показать с помощью (8.83),
записав
G3 = Л - (к - j)(6i + 62) = const. (8.89)
352
Гл. 8. Резонансные возмущения
Поскольку G2 — тоже константа, имеем
Г
A-{k-j)- = const, (8.90)
AC
отсюда
Л = ^Ц^Г. (8.91)
к
Будучи выраженным через а и е, предыдущее соотношение записывается
в виде
- = 2^^ае, (8.92)
е к
что эквивалентно прежнему результату (8.35).
Вернемся к формуле (8.91) для Л и найдем еще одно выражение для
(к - j)/k. При этом учтем, что вблизи резонанса j : (j — к) выполняется
соотношение jn' — (j — к)п « 0. Имеем
j + {k-j)m3A-3 ^0 (8.93)
при подходящем выборе системы единиц (таком, что п' = 1). Поэтому
к
к- j
и мы можем записать
7 = 1- т6А-6, (8.94)
га3
Л ^1 - дз J = Г, (8.95)
что после интегрирования дает
Г773
Л + 2Д2 = Г + const. (8.96)
При нашем выборе системы единиц это соотношение можно переписать
следующим образом:
Y + у/а(\ -г2) = const (8.97)
(см. (3.46) при I = 0).
В выражении через новые координаты и импульсы гамильтониан (8.77)
записывается в виде
д2т2ст3 д2т2т'3
2[03 + (fc-j)0i]2 2(04+j0i)2
д2тстт'3 {2к<Э\)к'2
r/dcos6»i
(e4+je1)2[03 + (fc-j)e1]fc/2-
k&iwsec + [0з + {к- i)©i]Asec - ke2w'sec + (i®i + @4)А;ес, (8.98)
8.8. Гамилыпонов подход
353
где значение 02 положено равным нулю или включено в 6з и 64 (где G2
присутствует в выражениях для Л и Л'); это мало влияет на динамику
резонанса. Гамильтониан (8.98) можно использовать для изучения динамики
при любых эксцентриситетах, включая произвольно большие (Уиздом, 1980).
Если же не рассматривать случай больших эксцентриситетов, то мы можем
законно использовать приводимые ниже разложения. Из наших определений
следует, что |0i| <6з и |0i| <C 04, поэтому справедливы аппроксимации
[e3 + (fc-j)e,]
-2
^_2№_Л|+3№_^|.
[e4 + jei]-
е*
2^ + 3/4,
(8.99)
(8.100)
где первый член в правой части каждого из уравнении является константой
и поэтому им можно пренебречь при подстановках обратно в Н. Аналогично
мы можем пренебречь вкладом 6i в знаменатель третьего члена в выражении
(8.98) для Н, поскольку в числителе этого члена есть малый множитель.
Полагая 6з « Л и 64 ~ Л' и подставляя определения для 0ь 62, Л и Л',
записываем приближенный гамильтониан в виде
П =
j(ri + X'sec) + (к - j)(n + Asec) - kws,
m'a'2
+
(k-j)
21
ma'
_(n2)l-fc/4
/d
а3 к т!
a1 mc
mi-*/2 (2r)fc/2cos^b (8.101)
где мы снова пренебрегли постоянными членами и использовали соотношения
п2 « Qmc/a3 и nf w Qmc/a' (то есть предположили, что шит' много
меньше гас).
Модифицируем теперь резонансную переменную в\\ введем в[ = в\/к\
штрих в дальнейшем опускаем. Основанием для этой модификации,
согласно Пилу (1986), является необходимость сохранить каноничность
переменных, когда к > 1. Одновременно мы обращаем знак гамильтониана, полагая
ЪО = —Н. Это дает гамильтониан в виде
где
ГС = аГ + (ЗТ2 + ё{2Т)к/2 cos кв\,
a = [U ~ к)п* ~ Зп'* + kwsec]/k,
Р =
2к2
U-к)2 j
о "I"
та'
т'а'2
ё={п^-^иа—
3 к т!
-т
-к/2
а' тс
(8.102)
(8.103)
(8.104)
(8.105)
354
Гл. 8. Резонансные возмущения
п* = п + Asec и га'* = п7 + Agec. Отметим, что величина а является мерой
близости к резонансу, причем а = 0 обозначает положение точного резонанса
(то есть точку, где производная резонансного аргумента по времени равна
нулю).
До сих пор в нашем анализе мы учитывали единственный доминирующий
резонансный член, соответствующий внутреннему резонансу к-го порядка
в ограниченной задаче трех тел. Наш анализ довольно легко обобщается и на
случай внешнего резонанса. В этом случае гамильтониан принимает вид
д2т2ст3 G2mlm* G2mcmm'\ f2Y^\k/2
П ~ 2Л2 2Л'2 Л'2 h\ Л' ) X
х cos[jA' + (к - j)\ + /г/] -
- Twsec - Ztisec + AAsec - T'm'sec - Z'U'sec + A'\'sec, (8.106)
который отличается от исходного Н лишь одним членом, а величина fa теперь
включает в себя вклады всех существенных косвенных членов.
Преобразованный гамильтониан есть
Н* = а'Т1 + ^'т'2 +ё\2Т1)к'2соъкв2, (8.107)
где
а' = [{j - к)п* - jn'* + kwsec]/k,
Р 2fc2 [ та* + m/a/2j P'
e' = (n'2)'-fc/4/da'2-fc—m"-fc/2.
mc
Обратите внимание, что Hf* по форме идентичен Н^. Поэтому мы можем
продолжить анализ случая внутреннего резонанса, зная, что этот анализ
применим также и к случаю внешнего резонанса, если несколько
модифицировать константы.
Мы повсюду неявно положили значение /d постоянным, хотя в
действительности /d зависит от а = а/а'. Однако можно легко показать, что
амплитуда слагаемого с косинусом в формуле (8.107) определяется главным
образом изменениями эксцентриситета, а не большой полуоси. Аналогично,
влияние изменений а на параметр /3 обычно незначительно (Пил, 1976). При
этом предположении можно еще более упростить гамильтониан (8.107) путем
масштабного преобразования, цель которого — ввести единственный
свободный параметр, связанный с а (мерой близости к резонансу). Нормируем
импульс по формуле
Ф = -, (8.111)
V
(8.108)
(8.109)
(8.110)
8.8. Гамильтонов подход
355
где г\ > О является константой; тогда гамильтониан принимает вид
U = ЩФ + /Зт/2Ф2 + Щк/2(2Ф)к'2 cos кф,
где координата, сопряженная с Ф, определяется как
Ф
Г 01 + 7Г,
если г > О,
если е < 0.
(8.112)
(8.113)
Обратите внимание, что определение 0 зависит от знака ё, который, в свою
очередь, зависит от знака /а — константы, включающей в себя коэффициенты
Лапласа. Можно показать, что значение /а положительно или отрицательно в
зависимости от того, какой порядок имеет резонанс — соответственно четный
или нечетный (см., напр., табл. 8.5).
Равенство коэффициентов двух последних членов в ТС выполняется при
условии
evk/2 = (-l)k2Prj2; (8.114)
отсюда для масштабного параметра получаем выражение
\-\)к2~р]
V
2
к-4
(8.115)
где множитель (— 1)к необходим для того, чтобы учесть возможность любого
знака величины ё. Нормировка Н на /Зг/1 дает
U = 6Ф + Ф2 + 2(- 1)*(2Ф)*/2 cos кф,
где новый параметр
х а -
о = =— = а
е2Р
2-к
(8.116)
(8.117)
Обратите внимание, что если в формуле (8.117) а = 0, то 5 = 0 и
возмущаемый объект находится в точном резонансе.
Теперь мы можем исследовать некоторые свойства точек равновесия
нового гамильтониана. Поскольку производные ф и Ф по времени получены
из частных производных Н по Ф и ф, точки равновесия являются просто
решениями уравнения дН/дф — дН/дФ — 0. В результате имеем систему
уравнений
6 + 2Ф + 2(-1)*А;(2Ф) V cos кф = 0,
2(-1)к+1к(2Ф)к/2 з'ткф = 0.
(8.118)
(8.119)
Если к ^ 2, то всегда есть точка равновесия сФ = 0 при 5 = 0. Если Ф ф 0, то
второе равенство выполняется лишь при кф = in, где г — целое число. Тогда
356
Гл. 8. Резонансные возмущения
значение Ф в точках равновесия определяется из первого уравнения, которое
принимает вид
5 + 2Ф + 2(-1)*+Чк(2Ф)*т* =0. (8.120)
Введем новую переменную R = \/2Ф, представляющую собой радиальное
положение точки равновесия; эта переменная всегда положительна. Тогда
уравнение (8.120) принимает вид
6 + R2 = (-l)k+i+{2kRk-2. (8.121)
Мы можем проиллюстрировать его решения, определив две функции
f(6,R)=6 + R2 и g(k,R) = (-l)k+i+l2kRk~2. (8.122)
Первая функция всегда описывает параболу с минимумом в точке (5, 0).
Характер второй функции зависит от значения к. Например, при к = 1 ее
графиком является пара гипербол; при к — 2 — пара прямых, параллельных
оси R; а при к = 3 — пара прямых, проходящих через начало координат
и имеющих равные по модулю, но противоположные по знаку углы наклона.
Значения R в точках пересечения кривых f(S, R) и д(к, R) дают положения
точек равновесия для заданного значения 5. Семейства данных кривых и их
точки пересечения для случаев к = 1, 2 и 3 показаны на рис. 8.8 0.
Рис. 8.8. Параболы f(S, R) для различных значений J (сплошные кривые) и д(к, R)
(штриховые кривые и прямые) для к = 1, 2 и 3. В каждом_случае парабола f(Sb,R)
показана в виде жирной кривой, а) Кривые для к = 1, 6 = —10, —7, 0, 5 и
бифуркационного значения 6ъ = —3. б) Кривые для к = 2, 6 = —10, —7, 0, 7 и двух
бифуркационных значений 6ъ = ±4. в) Кривые для к = 3, S = —10, —5, 0, 5, 15, 20
и бифуркационного значения £ь = 9
Из рис. 8.8 видно, что уравнение (8.121) имеет кратный корень,
соответствующий точке бифуркации, когда кривые двух функций касаются друг
О Обозначение вертикальной оси на рис. 8.8 через S может ввести в заблуждение. Следуя
отечественной практике, ее следовало бы обозначить «/, д». Это замечание относится также
к рис. 8.14 и 8.15. — Прим. ред.
8.8. Гамилыпонов подход
357
друга. Это имеет место, если /'(<$, R) = g'(k, R), где штрих обозначает частное
дифференцирование по R. Отсюда определяем бифуркационное значение R:
Rh =
{-1)*+г+[к(к-2)
(8.123)
Подстановка R = Rb в уравнение (8.121) и решение его относительно S дают
значение S в точке бифуркации:
*ъ = (4-*)(-!)
\А;+г+1
к
у-к(к
к-2
2)*=*.
(8.124)
С учетом знаков это уравнение дает 5ъ = —3, ±4, 9 для к = 1, 2, 3,
соответственно.
Прежде чем продолжить, рассмотрим введенную нами нормировку. После
такого количества преобразований легко потерять из виду связь между
текущим набором переменных и исходными орбитальными элементами; в этом
состоит одно из неудобств работы с каноническими элементами. Однако,
используя определения /3 и ё и аппроксимацию а « [(j — l)/j]2/3, следующую
из третьего закона Кеплера, можно выписать соотношение между R и е для
случая внешнего возмущающего тела:
М
з(-1)А
k2U
(,•_ ^4/3^2/3^ +.4/3(._fc)2/3^^
т! т! т!
Г
е.
(8.125)
Эквивалентное соотношение для случая внутреннего возмущающего тела
имеет вид
^ = iw!^-fc)4/3^2/3--+^-ir
L /cz/d L mm m J J
e'.
(8.126)
Отметим, что в том случае, когда масса возмущающего тела много больше
массы возмущаемого тела, можно выписать соответствующие аппроксимации.
Теперь, когда мы развили общую теорию для внутренних и внешних
резонансов /с-го порядка, можно перейти к анализу характера траекторий для
резонансов различного типа.
8.8.1. е-резонанс и е'-резонанс. Рассмотрим случай внутреннего
резонанса j : (j — 1) первого порядка. Резонансный аргумент равен
0 = j\' + (l-j)\-w.
(8.127)
Связанный с ним множитель /а приведен в первой строке табл. 8.1. Назовем
этот резонанс е-резонансом, поскольку соответствующий член в
возмущающей функции имеет порядок 0(e). Отвечающий ему однопараметрический
гамильтониан и значения констант 5, а, (3, ё легко получить подстановкой
к = 1 в выражения (8.116) и (8.103)—(8.105). Для гамильтониана в результате
имеем
Н\ = 6Ф + Ф1 - 2\/2Ф cos фч
(8.128)
358
Гл. 8. Резонансные возмущения
где ф дается формулой (8.113) при 9\ = в, и
4\j/3
Чтобы облегчить анализ движения разных типов, введем смешанное
каноническое преобразование (см. раздел 2.10) вида
х = \/2Фсовф и у = л/2Ф sinф, (8.130)
где л/2Ф — радиальное расстояние R от начала координат. Тогда
гамильтониан принимает вид
Hi(x,y) = \Ъ{х2 + у2) + 1-(х2 + у2)2 - 2х. (8.131)
Из формулы (8.125) находим приблизительное соотношение между йие:
R
./d ' J m'
1/3
е. (8.132)
Таким образом, радиальное расстояние от начала координат на плоскости
(х, у) представляет собой просто нормированное значение эксцентриситета
орбиты возмущаемого объекта.
Рассмотрим теперь случай внешнего резонанса j : (j — 1) первого порядка.
Резонансный аргумент равен
0=j\' + (l -j)\-wf. (8.133)
Связанный с ним множитель /^ приведен во второй строке табл. 8.1. Назовем
этот резонанс е'-резонансом, поскольку соответствующий ему член в
возмущающей функции имеет порядок О(е'). В частном случае j — 2 следует учесть
косвенный член fe (он приведен в первой строке табл. 8.3); это лучше всего
сделать, включив его вклад в /а. Как уже было отмечено, соответствующий
гамильтониан Ш по форме идентичен Н с незначительными модификациями
констант. В результате приблизительное соотношение между йие'в случае
т! <С m принимает вид
R
О .2тс i
-ГЗ
./d гп
ё. (8.134)
Поэтому теорию, развитую для е-резонанса, можно применить и к е'-резонан-
су при соответствующей замене резонансного аргумента и перенормировке.
В предыдущем разделе мы показали, как могут быть определены
радиальные положения точек равновесия системы в случае резонанса /с-го порядка.
Решая уравнения дН\/дх = 0 и дН\/ду = 0, легко найти, что точки
равновесия лежат на оси х и даются решением кубического уравнения
х
3 + 5х-2 = 0. (8.135)
8.8. Гамильтонов подход
359
-4-2 0 2x4
Рис. 8.9. График функции 6 = (2 — х3)/х, иллюстрирующий связь между значением
6 и положением на оси х точек равновесия в случаях е-резонанса и е'-резонанса.
Ветви А и В соответствуют точкам устойчивого равновесия, а ветвь С —_ точке
неустойчивого равновесия. Касание ветвей В и С и штриховой прямой <5 = -3
определяет положение точки бифуркации (обведена кружком); в этой точке
встречаются устойчивая и неустойчивая ветви. Точка пересечения, отвечающая точному
резонансу (при 6 = 0), также обведена кружком
Разумеется, здесь х может быть как положительным, так и отрицательным,
тогда как выше нас интересовало радиальное расстояние R до точек
равновесия. Корни этого кубического уравнения дают значения координат х точек
равновесия Н\ при заданном значении ~8. На рис. 8.9 показана величина ~5
в зависимости от х. Отметим, что при малых |ж| уравнение (8.135) принимает
вид 6х — 2 « 0, а при больших |ж| имеем х2 + 5 « 0. Решения уравнения
(8.135) даются формулами
Х\ =
-ЗУЗ^ + А2/3
32/ЗД1/3 '
^2,3 =
(31/з±з5/6г)5 + (-1±^Зг)А2/3
32/32Д1/3
где г
Д = 9 +
VsJ:
27 + S3
(8.136)
(8.137)
(8.138)
Подстановка к = 1 в формулу (8.124) дает 5ъ = — 3 в качестве значения 5,
при котором происходит бифуркация. Эта точка, как и точка равновесия,
соответствующая точному резонансу, на рис. 8.9 обведена кружком. Из
определения величины А видно, что при <$ > — 3 она всегда_вещественна и поэтому
всегда имеется один вещественный корень, х\. При 5^-3 всегда имеются
три вещественных корня, хотя А становится комплексной.
Мы можем проиллюстрировать зависимость от 5, построив кривые
постоянного значения гамильтониана при различных значениях ~8. Начальные
значения большой полуоси, эксцентриситета и (/>_определяют значение
гамильтониана (постоянную системы) и значение 5 для некоторой орбиты.
360
Гл. 8. Резонансные возмущения
Рис. 8.10. Кривые постоянного значения гамильтониана для е-резонанса и
е'-резонанса: a) £ = 15, Н\ = 1, 3, 10, 20, 50, 100; б) 5 = 0 (точный резонанс),
Н\ = -9/5, -3/2, -1, 0, 1, 2, 5,_10, 20; в) S = -3 (бифуркационное значение),
Н\ = -5, -4, -2, 0, 3/4, 2; г) J = -15, Wi - -63, -55, -48.57189, -20, -1
Орбита тогда все время лежит на одной и той же кривой заданного
значения гамильтониана. На рис. 8.10 положения устойчивого и неустойчивого
равновесия обозначены темными и светлыми кружками, соответственно. При
5=15 (то есть при большом положительном значении 5) есть только одна
точка равновесия, расположенная вблизи начала координат справа от него на
оси х (рис. 8.10 а). В этом случае для большинства значений эксцентриситета
существует только один тип движения (напомним, что радиальная координата
на рис. 8.10 является нормированным эксцентриситетом), хотя при очень
малых эксцентриситетах угол ф, непосредственно связанный с резонансным
аргументом, может испытывать либрации относительно точки устойчивого
равновесия с ф = 0.
Ситуация в случае точного резонанса (5 = 0) показана на рис. 8.10 6. Здесь
точка равновесия сильно смещена вправо от начала координат. Обратите
внимание, что хотя некоторые траектории на этом графике представляют
либрации в резонансе (то есть кривые не охватывают начала координат),
кривые постоянного Н\, имеющие достаточно большой диаметр, относятся
к циркуляционному, а не к либрационному типу движения.
В особом случае 5 = — 3 появляется точка возврата (рис. 8.10 в),
указывающая на присутствие кратного корня х = — 1 наряду с единственным поло-
8.8. Гамилыпонов подход
361
жительным корнем. Кружок с крестиком на рис. 8.10 в обозначает положение
точки бифуркации, где возникают устойчивая и неустойчивая ветви.
При дальнейшем уменьшении 6 существование трех точек равновесия
становится очевидным (рис. 8.Юг). Первая соответствует ветви С кривой
в левой части рис. 8.9 и_ всегда неустойчива, тогда как вторая
(приближающаяся при уменьшении 6 к началу координат) всегда устойчива. Третья точка,
которая существует при любом значении 5, теперь перемещается по оси х
в положительном направлении, а устойчивые орбиты вокруг нее описывают
характерные «бананообразные» кривые. Эти орбиты имеют большой
эксцентриситет и к тому же при высокоамплитудных либрациях демонстрируют
большие изменения эксцентриситета. На рис. 8.10 а и 8.10 г показаны
траектории для больших значений |5|, равноотстоящих от точного резонанса,
но, как важно отметить, эти два рисунка демонстрируют очень разные типы
резонансных явлений. Напомним, что радиальное расстояние на рис. 8.10
является нормированным эксцентриситетом, поэтому из радиального
положения точки устойчивого равновесия на этих диаграммах можно вычислить
значение вынужденного эксцентриситета в точке равновесия. Интересно, что
кривые постоянного значения гамильтониана, полученные непосредственно
из неразложенного в ряд гамильтониана (8.98), по форме идентичны кривым
на рис. 8.10. Однако в случае исходного гамильтониана (8.98) при большом
по модулю отрицательном значении 5 происходит новая бифуркация,
приводящая 1) к появлению близкой к началу координат точки неустойчивого
равновесия при в = 0 и 2) к исчезновению точки устойчивого равновесия при
в = 7г. Это бифуркация, обнаруженная Уиздомом (1980), относится к
динамике тел с большими эксцентриситетами орбит.
Наш анализ имеет непосредственные приложения в исследованиях
динамики планетных колец, где эксцентриситеты обычно очень малы (е ~ Ю-6).
Как ясно видно из рис. 8.10, форма кривых зависит от значения S. Хотя между
рис. 8.10 а и рис. 8.10 г есть фундаментальные различия, но есть и подобие
в окрестности начала координат. При малых х и больших \6\ членом хъ_
в уравнении (8.135) можно пренебречь. Поэтому при заданном значении ~8
координата х точки равновесия вблизи начала координат дается выражением
х « 2/5. На рис. 8.11 показан ряд дополнительных кривых постоянного
значения гамильтониана в случаях 6 = —15 (рис. 8. И а) и 5 = 15 (рис. 8. И б).
Обратите внимание, что на обоих графиках имеется один и тот же набор
концентрических окружностей, но смещенный в противоположные стороны
от начала координат. Центры окружностей в данном случае лежат в точках
х « =р2/15. Поэтому прохождение резонанса приводит к смещению на 180°
по фазе ф. Отметим, что вынужденный эксцентриситет является простой
функцией расстояния от резонанса. Проиллюстрированный на рис. 8.11
механизм и сдвиг фазы по обе стороны от точного резонанса являются основой
для объяснения эффектов резонансов Линдблада первого порядка в системах
планетных колец (см. раздел 10.3.2).
Те же самые резонансные уравнения, но в ином контексте, применимы
для изучения резонансной динамики астероидов, когда е « 0.1. Как будет
показано ниже, модель маятника обеспечивает надлежащее представление
362
Гл. 8. Резонансные возмущения
-0.5
-0.5
0.5 х 1
Рис. 8.11. Кривые постоянного значения гамильтониана для е- и е'-резонансов в
случае, когда_ эксцентриситет мал и система далека от точного резонанса (то есть
значение \8\ велико^ а) Кривые для 5 = —15 и Н\ = —4, —3, —2, —1, -0.5, -0.2, 0,
0.1. б) Кривые для 5 = 15 и Н\ = -0.1, 0, 0.2, 0.5, 1, 2, 3, 4, 5. Обратите внимание
на измененный масштаб по сравнению с рис.8.10а и рис.8.Юг
динамики в этом случае. Гамильтониан (8.128) для резонанса первого
порядка представим в виде суммы двух частей:
7^1 — 7^0 + 7^res>
(8.139)
где
П0 = 6Ф + Ф2
Hres = -2у2Ф cos0.
(8.140)
Здесь мы представили резонансный член H,res как возмущение главной
части Но- Изменения резонансного значения эксцентриситета в системе с
гамильтонианом Но малы. Значение Ф (и отсюда эксцентриситет) в точном
резонансе можно найти, решая уравнение при ф = 0. Полагая дН\/дФ = 0,
имеем
2
(5 + 2Фге5 cos 0 = 0. (8.141)
\/2Фге5
Однако мы предполагаем, что е велико, и поэтому можем пренебречь в этом
уравнении членом cos</>; таким образом, резонансное значение равно
Фг
im.
(8.142)
Поскольку резонансный член в гамильтониане слабо зависит от Ф, заменим
Ф в нем на резонансное значение Фге8. Это эквивалентно разложению в ряд
в окрестности Фге8. Заметим, что нас интересуют значения Ф только в случае
~$ < ^ь — —3, поэтому знак 8 не имеет значения.
Подставляя равновесное значение Ф в слагаемое с косинусом и пренебре-
гая постоянным слагаемым — 6 /4 в гамильтониане, имеем
П1 = (Ф + ^\д\
2 л/1*1 cos.
(8.143)
8.8. Гамилыпонов подход
363
Снова опускаем постоянное слагаемое и вводим новый нормированный
импульс. Это дает
Н\ = ^Ф2 -2Ксо$ф, (8.144)
где Ф = >/2(Ф + зЙ)» Ф = Ф, К — \1Щ . Этот гамильтониан имеет такую
же форму, что и гамильтониан математического маятника. Поэтому мы
можем использовать метод, описанный в разделе 8.6, чтобы вывести
выражение для изменения Ф, соответствующего максимальной либрации. Это
дает ДФтах = 2V2K, или, что эквивалентно, АФтах = 2у/К = 2(|£|)1/4. Но
эксцентриситет е связан с Ф соотношением
52е2 = 2Ф, (8.145)
где
1/3
S =
— (j- п4/3-2/3^£
(8.146)
Дифференцируя и полагая АФ равным его максимальному значению,
получаем _
2еДе = (4/52)|5|1/4. (8.147)
Масштабное соотношение (8.145) между е и Ф можно использовать, чтобы
связать \6\ с eres- Имеем
\/2Ф^ = Seres = ^. (8.148)
Подстановка \6\ в (8.147) дает
2еДе = 45"3/2 у/ё^. (8.149)
Из анализа связи между 9з и константой Якоби ранее мы нашли, что а и ё
связаны уравнением (8.92). Полагая к = 1 в этом уравнении (мы
рассматриваем резонансы только первого порядка), имеем
— =2(1 -ЛеДе, (8.150)
а
и отсюда
(1 О \П I \ 1/2
y^eresj a, (8.151)
где мы использовали формулы Ст = (га'/mc)naf<\ и а = [(j — l)/j]2^3.
Получающееся выражение для Аатах идентично формуле (8.58), при выводе которой
мы впервые применили модель маятника.
Модель маятника можно использовать для объяснения динамики
астероидов в резонансах. В контексте динамики планетных колец е'-резонанс
называют коротационным резонансом первого порядка (см. раздел 10.3.1),
тогда как е-резонанс называют резонансом Линдблада первого порядка (см.
раздел 10.3.2). Хотя мы ограничили наш анализ резонансами первого
порядка, модель маятника с незначительными модификациями применима равным
образом ко всем резонансам, обсуждаемым далее в этой главе.
364
Гл. 8. Резонансные возмущения
8.8.2. е2-, е'2-, J2- и 1"/2-резонансы. Рассмотрим случай внутреннего
резонанса j : (j — 2) второго порядка. Резонансный аргумент равен
0 = j\' + (2-j)\-2zu.
(8.152)
Связанный с ним множитель /^ приведен в третьей строке табл. 8.1. Назовем
этот резонанс е2-резонансом, поскольку соответствующий ему член в
возмущающей функции имеет порядок 0(е2). Согласно выражению (8.116) при
к — 2, гамильтониан данной системы имеет вид
П2 = 5Ф + Ф2 + 4Ф cos 20,
где ф дается формулой (8.113) с в\ = 0, а величина
6 = 2а/ё
(8.153)
(8.154)
является мерой близости к точному резонансу. Константы а и е определяются
выражениями (8.103) и (8.105). Обратите внимание, что в рассматриваемом
случае в формуле для 6 отсутствует (3. Переходя к переменным х и у (согласно
определению (8.130)), имеем
1
Н2 = ^б(х* + у') + -^ + у'Г + 2(z* - у%
(8.155)
Подстановка к = 2 в формулу (8.125) дает приблизительное масштабное
соотношение между R = л/2Ф и е в виде
R
4/d
(,_ 2)4/3^2/3
тс
т'
-.1/2
е.
(8.156)
Действуя таким же образом, как и в случае резонансов первого порядка,
мы можем рассмотреть внешний резонанс j : (j — 2) второго порядка.
Резонансный аргумент равен
0 = jA/ + (2-j)A-2tx7/.
(8.157)
Соответствующее выражение для fa дано в пятой строке табл. 8.1. Назовем
этот резонанс е' -резонансом, поскольку соответствующий ему член в
возмущающей функции имеет порядок 0(е' ). При j = 2 в /^ следует учесть
также косвенный член (приведенный во второй строке табл. 8.3). Масштабное
соотношение имеет вид
R
Lw
>тс
т
1/2
е'.
(8.158)
./2
Поэтому теория, развитая для е2-резонанса, применима и в случае е'^-резо-
нанса при подходящей замене резонансного аргумента и нормировке.
8.8. Гамилыпонов подход
365
До сих пор мы рассматривали только резонансы, связанные с
эксцентриситетами орбит взаимодействующих тел, но теперь мы можем расширить наш
анализ, включив в него резонансы, связанные с наклонениями. Поскольку
в разложении возмущающей функции присутствуют только четные степени
наклонений, понятия наклонного резонанса первого порядка относительно
наклонения не существует. Однако при анализе разложения до второго
порядка мы уже отмечали (см., напр., раздел 6.10.1), что есть три возможных
резонансных аргумента, включающих восходящие узлы. Два из них могут
быть исследованы с использованием гамильтоновой теории для е2- и е'
-резонансов.
Рассмотрим случай внутреннего резонанса j : (j — 2) второго порядка.
Резонансный аргумент равен
e = j\' + (2-j)\-2Q, (8.159)
а выражение для /^ дано в шестой строке табл. 8.1. Назовем этот резонанс
I2-резонансом. Из определения (2.176) переменных Пуанкаре имеем
Z = myjgmca(l -e2)(l - cos I) ^m^/QmQa2s2, (8.160)
где s = sin(J/2). Отсюда
I2~^-. (8.161)
Таким образом, гамильтониан имеет ту же самую форму, что и общий
гамильтониан (8.153), выведенный для чисто эксцентриситетных резонансов.
Следовательно, нормировка, найденная нами для эксцентриситетных резонансов
второго порядка в случае гамильтониана (8.153), применима и к /2-резонансу,
если в выражении (8.156) заменить е на / и положить, что константа /^
теперь соответствует члену в шестой строке табл. 8.1.
Другой наклонный резонанс, который можно рассмотреть в рамках этого
же метода, имеет аргумент
в = j\' + (2 - j)X - 2£У, (8.162)
а выражение для /^ приведено в восьмой строке табл. 8.1. Назовем его
V -резонансом. Нормировка задается выражением (8.158), где е' заменяется
на /', а в качестве /^ берется его значение в табл. 8.1, соответствующее V .
Теперь мы можем исследовать динамику е2-, е' -, I2- и V -резонансов.
Из уравнения (8.121) при к = 2 следует, что радиальные расстояния точек
равновесия (кроме находящейся в начале координат) имеют вещественные
положительные значения
R= у/±4-6, (8.163)
и что точки бифуркации появляются при 6 = ±4. Кривые постоянного
значения гамильтониана для шести различных значений ~6 изображены на рис. 8.12.
Как и на рис. 8.10, положения точек устойчивого и неустойчивого равновесия
366
Гл. 8. Резонансные возмущения
Рис. 8.12. Кривые постоянного значения гамильтониана для е2-, е' -, I2- и Г -резо-
нансов: а) ~5 = 7 и 7^2 = 0.05, 0.2, 1, 3, 6, 10; б) 5 = 4 (бифуркационное значение)
иН2 = 0.04, 0.2, 0.5, 1, 2, 3; в) S = 0 (точный резонанс) и%- -3.7, -3, -2, -1,
0.1, 3, 6, 1_0, 15; г) 5 = -4 (бифуркационное значение) и 7^2 = —15, -8, —3, 0, 2, 4,
10, 20; д)6 = -7 иН2 = -28, -20, -8, -3, -9/4, -1, 4, 10; е) S = -10 и Н2 = -48,
-40, -30, -20, -15, -9, -4, -1, 10
обозначены темными и светлыми кружками, соответственно. Точки
бифуркации обозначены кружками с крестиком.
При 5 > 4 (рис. 8.12 а) присутствует единственная точка устойчивого
равновесия; она лежит в начале координат. При уменьшении 5 овалы становятся
уже по горизонтали, пока при S = 4 не достигается первая точка
бифуркации (рис. 8.12 6). Бифуркация приводит к появлению точки неустойчивого
равновесия в начале координат и двух точек устойчивого равновесия,
равноотстоящих от начала координат вдоль оси у. Это проиллюстрировано на
рис. 8.12 в для случая точного резонанса. Следующая бифуркация происходит
при 6 = — 4 (рис. 8.12 г). На этой стадии начало координат становится
устойчивой точкой и две неустойчивые точки появляются на оси х. Это
проиллюстрировано на рис. 8.12 д для 5 = —7. Других бифуркаций нет, и дальнейшее
уменьшение 5 не изменяет фундаментального характера системы (рис. 8.12 ё).
8.8.3. е3-резонанс и е' -резонанс. Довольно легко обобщить наш
анализ на избранные резонансные члены третьего порядка. Здесь мы опишем
соответствующий метод для случаев двух аргументов третьего порядка. Для
е3- и е' -резонансов резонансные аргументы равны
в = j\f + (3 - j)\ -Зги и 0 = j\f + (3 - j)X - Зш', (8.164)
8.8. Гамильтонов подход
367
соответственно. В таблицах приложения Б они обозначены как 4D3.1 и 4D3.4.
Соответствующие множители /d можно вычислить, используя определения
/82 и /в5 из табл. Б. 12. Гамильтониан системы дается выражением
Нъ = 6Ф + Ф2 - 2(2Ф)3/2 cos30,
(8.165)
где
5 = Аа(3/ё2. (8.166)
В переменных х = л/2Ф cos<^> и у = л/2Ф sin</> гамильтониан имеет вид
2\2
n3 = -u6(xz + yz) + -(xz + yz)
2х(х2 - Зу2).
(8.167)
Приблизительные масштабные соотношения между R = у2Ф и эксцентриси
тетами е и е задаются как
1
R
3/а
0--3)4/3^/3^
т'
и R
— 1 .2тс
3/d m
е'.
(8.168)
Радиальные расстояния точек равновесия (кроме находящейся в начале
координат) имеют вещественные положительные значения
R = ±3 ± у/9 - 8
(8.169)
а точки бифуркации появляются при 6 = 0 и 9. Кривые постоянного значения
гамильтониана для шести различных значений 5 изображены на рис. 8.13.
Как и на рис. 8.10, положения точек устойчивого и неустойчивого равновесия
обозначены темными и светлыми кружками, соответственно. Точки
бифуркации обозначены кружками с крестиком.
При 5 > 9 (рис. 8.13 а) существует единственная точка устойчивого
равновесия в начале координат, при этом_кривые вокруг нее имеют примерно
треугольную форму. При уменьшении 6 стороны треугольника стягиваются
к центру — до тех пор, пока при 6 = 9 не появляются три точки бифуркации
(рис. 8.136). В результате бифуркации образуются три пары точек
устойчивого и неустойчивого равновесия на двух разных расстояниях от начала
координат (рис. 8.13); пары отстоят друг от друга на углы, равные 120°. При
уменьшении 5_неустойчивые точки смещаются к началу координат и
достигают его при 6 = 0. При этом значении 6 (отвечающем точному резонансу;
рис. 8.13 в) происходит следующая бифуркация. Начало координат остается
устойчивой точкой, но возникают три неустойчивых точки, отстоящие друг от
друга на углы, равные 120°. Это проиллюстрировано на рис. 8.13 d для ~8 = —7.
Обратите внимание, что маленькие «треугольники» около начала координат
являются выпуклыми при 6 > 0 и вогнутыми при 6 < 0; при этом
неустойчивая точка смещается по оси х, переходя от отрицательных к положительным
значениям. Других бифуркаций нет, и дальнейшее уменьшение 6 не изменяет
фундаментального характера системы (рис. 8.13 е).
368
Гл. 8. Резонансные возмущения
_i I i I —Ю' ' 1 ' 1 '—' ' ' ' "—'
-5 0 5 х -10 -5 0 5 х 10 -10 -5 0 5 10 ж
Рис. 8.13. Кривые постоянного значения гамильтониана для е3- и е' -резонансов:
а) ~6 = 15 и Нз = 1, 5, 10, 20, 40; б) ~6 = 9 (бифуркационное значение) и Нз_= 1,
4, 27/4, 15/2, 10, 15, 25, 40; в) S = 5 и Пз = -25, -10, 3/4, 10, 25, 50; г) S = 0
(значение, соответствующее точному резонансу и бифуркации) и Нз = —100, —50,
-10, 0, 20,_50, 100; (5)Ь-5и%- -200, -100, -30, -10, л/14 - 3, 50, 100;
е) Я = -10 и W3 = -300, -200, -50, -Ю, VT9 - 3, 100, 300, 500
8.8.4. ее'-резонанс и //'-резонанс. До сих пор мы не рассматривали
резонансы с аргументами, содержащими перицентры или узлы обоих тел.
Назовем резонансы с такими аргументами смешанными. Если ограничиться
резонансами второго порядка, то имеются всего два смешанных резонансных
аргумента. Один из них отвечает ее'-резонансу.
в = j\f + (2 - j)X - w' - w. (8.170)
Соответствующий множитель /d приведен в четвертой строке табл. 8.1.
Аргумент ГГ1 -резонанса равен
в = j\' + (2 - j)X - П' - П. (8.171)
Соответствующий множитель /^ приведен в седьмой строке табл. 8.1. Мы
дадим здесь набросок аналитической теории для описания движения в этих
резонансах и покажем, что ее можно рассматривать как простое обобщение
теории, развитой выше для е- и е'-резонансов первого порядка. Как будет
ясно из дальнейшего, обобщение теории на ее! -, еке'-, ГГ' - и /^/'-резонансы
высокого порядка в действительности тривиально. В терминологии, принятой
в исследованиях динамики планетных колец, ее' -резонанс называют резо-
8.8. Гамильтонов подход
369
нансом Линдблада порядка к, а II' -резонанс — вертикальным резонансом
порядка к. Они обсуждаются далее в главе 10.
Рассмотрим случай //'-резонанса. Гамильтониан имеет вид
д2т2т3 g2m2m'3
П = --
2А2 2Л'2
д2тстт>\ (2Z\ х'2 (2Z'\ {'2
-и
/97Л 1/z /97f\ 1/z
к"
- Tmsec - Znsec + AAsec - I"t4 - Z'fi^. + A%ec (8.172)
(см. (8.77)), где г = — П и z' = —П'. Величины Г и Г' не присутствуют в Н,
поэтому в данном случае они (и, следовательно, е и е') являются постоянными
движения. Новый набор четырех переменных определяется формулами
ei=jX' + (2-j)X + z' + z, (8.173)
e2=jX' + (2-j)X + 2z', (8.174)
03 = А, (8.175)
04 = А'. (8.176)
Сопряженные импульсы в* можно найти путем решения уравнений для
коэффициентов в соотношении
4
J2 0г^г = AdA + A'dA' + Zdz + Z'dz', (8.177)
г=1
что дает
(2-j)(ei+e2) + e3 = A, (8.178)
i(e1+e2) + e4 = A/, (8.179)
01 =Z, (8.180)
ei+2e2 = z', (8.18I)
где Ог, вз и 84 являются константами, поскольку Q<i, 63 и в\ больше не
присутствуют в Л. Нас интересует константа
Q2 = ±(Z'-Z). (8.182)
Поскольку I2 « 2Z/A, существование константы G2 означает, что
нормированная разность наклонений является константой движения. Как легко
показать, приближенный гамильтониан можно теперь записать в виде
U = [j(ri + A'sec) + (2 - j)(n + Asec) - 2risec] Z -
-\\^ + ^^\Z* -nf^ (8.183)
2 [mfa/Z maz J mc
370
Гл. 8. Резонансные возмущения
где С = 4в2 является константой. Выполняя простое масштабное
преобразование а —> 2а и /3 —> 4/?, получаем
Н = £Ф + Ф2 + 2\/2Ф ^2Ф + с cos 0, (8.184)
где с = С/г) и ф = в\.
Из сравнения этого гамильтониана с гамильтонианом (8.116) видно, что
(8.184) похож как на гамильтониан резонанса второго порядка (та же
ведущая степень Ф в резонансном члене), так и на гамильтониан резонанса
первого порядка (резонансный аргумент равен ф, а не 2ф). Кроме того, наш
новый гамильтониан зависит от двух параметров: 5, являющегося мерой
расстояния до точного резонанса, и с, который определяется постоянной
разностью наклонений.
Данный анализ можно применить и к ее'-резонансу, если заменить Z, Z'',
z и z' на Г, Г', 7 и 7;» соответственно. В этом случае константой является
разность эксцентриситетов. Также заметим, что наш анализ можно легко
модифицировать для случая, когда фиксировано значение I или е, а не Г
или е''.
Завершающая часть нашего анализа гамильтониана (посвященная
определению положения точек равновесия и точек бифуркации) аналогична
анализу, выполненному нами выше для резонансов первого порядка. Полагая
R = \/2Ф, находим, что точки равновесия лежат на пересечении двух кривых
f(5, R) = 5 + R2 и g(R,c) =2(-l)
где г = 0, 1, 2, Аналогично, точки бифуркации возникают при f'(5,R) =
= g'(R,c). Если произвести замены х = л/2Ф cos0 и у = л/2Ф sin</>, то
гамильтониан запишется в виде
U = Х-{х2 + 2/2М + \(х2 + 2/2)2 + 2х(х2 + 2/2 + с)1/2. (8.186)
Точки равновесия лежат на оси х. Поскольку положение точек равновесия
зависит как от с, так и от 5, нам следует рассмотреть графики величины
S = - (-х3 - 2(х2 + с)'/2 - 2х2(х2 + с)"1/2) (8.187)
и кривые постоянного значения гамильтониана для отдельных значений с.
На рис. 8.14 показаны следующие графики: 1) f(6,R) и g(R,c), 2) 5 в
зависимости от координаты х точки равновесия (согласно уравнению (8.187))
и 3) избранные кривые постоянного значения гамильтониана для
бифуркационного значения 6. Каждый график построен для трех различных значений с.
Отметим общую аналогию с графиками на рис. 8.8, 8.9 и 8.10. При
увеличении с бифуркационное значение 6, будучи отрицательным, удаляется от
нуля (рис. 8.14 б, д, з), точки равновесия, как правило, смещаются дальше
^SWT>
R
+
R
VWT
, (8.185)
8.8. Гамилыпонов подход
371
а с=1 б с=1 в с=1
г с=10 д с=10 е с=10
ж с = 20 з с = 20 и с = 20
Рис. 8.14. Динамика смешанного резонанса в зависимости от с. Приняты те же
обозначения, что и на рис. 8.8, 8.9 и 8.10. а) Графики f(6,R) (параболы) и g{R,c)
(штриховые кривые) для с = 1. Жирная параболическая кр_ивая есть функция / для
бифуркационного значения 8 = —5.09017. б) Связь между 8 и координатами х точек
равновесия_для с= 1. в) Кривые постоянного значения гамильтониана на плоскости
{хуу) для 6 — —5.09017 и с— 1. г) Графики f(d,R) и g(R,c) для с= 10. Жирная
параболическая кривая есть функция / для бифуркационного значения ~5 = -7.70166.
д) Связь между 6 и координатами_х точек равновесия для с— 10. е) Кривые
постоянного значения гамильтониана для 8 = -7.70166 и с = 10. ж) Графики f(8, R) и g{R, с)
для с = 20. Жирная параболическая кривая есть функция / для бифуркационного
значения 8 = —9.1646. з) Связь между 8 и координатами х уточек равновесия для
с = 20. и) Кривые постоянного значения гамильтониана для 8 = —9.1646 и с = 20
от начала координат (рис. 8.14 б, д, з), а площадь, охватываемая кривыми
постоянного значения гамильтониана, увеличивается (рис. 8.14 в, е, и).
До сих пор мы рассматривали только положительные значения с. При
отрицательных значениях с имеет место интересное явление. Присутствие
члена yjx2 + у2 + с в гамильтониане (8.186) означает, что для отрицательных
372
Гл. 8. Резонансные возмущения
6
10
0
10
а
/\ / /
\у у
i // J
i // /
i // /
У^\/
' 1
11 1
(/.....
4 R 6
10
6
0
-10
-20
-30
-4-20246
х
Рис. 8.15. Динамика смешанного резонанса в случае с — —5. Приняты те же
обозначения, что и на рис. 8.14. а) Графики f(S,R) (параболы) и g(R,c) (штриховые
кривые). Жирная параболическая кривая есть функция / для бифуркационного
значения 5 = — 11.6098. Вертикальная штриховая прямая обозначает асимптоту R = у/Ъ .
б) Связь между 6 и координатами х точек равновесия. Вертикальные штриховые
прямые обозначают асимптоты^ = ±у/5. в) Кривые постоянного значения
гамильтониана на плоскости (хуу) для J = -11.6098. Область, изображенная серым цветом,
ограниченная окружностью х2 + у2 = 5, представляет собой запретную область
с должно выполняться условие R > у/^с. Это накладывает ограничения
на положение точек равновесия и траекторий, что проиллюстрировано на
рис. 8.15 для случая с = —5. Форма различных кривых здесь, в общем, та же
самая, что и на рис. 8.14, но точки равновесия и траектории в данном случае
физически не могут находиться внутри круга R ^ у/5.
Предшествующий анализ можно обобщить на случай ее'
eV-, 1Гк-
и /^/'-резонансов. Рассмотрим случай II' -резонанса. Угловые переменные
равны
0! = j\' + (к + 1 - j)X + kz' + г,
92=j\' + (k+l-j)X + (k+l)z',
#3 = А,
04 = V.
Сопряженные импульсы в; даются соотношениями
(fc+i-j)(e1+e2) + e3 = A,
Лв, + в2) + в4 = л',
в, = z,
@i + (k+i)e2 = z',
(8.188)
(8.189)
(8.190)
(8.191)
(8.192)
(8.193)
(8.194)
(8.195)
где новая интересующая нас константа
1
е2 =
к+ 1
(Z' - Z),
(8.196)
8.9. Резонанс 2:1
373
как и выше, зависит от разности наклонений. Гамильтониан в результате
принимает вид
Н = 6Ф + Ф2 + 2(-1)/с(2Ф)1/2(2Ф + c)*/2cos0, (8.197)
где ф = в\. Проведенный нами анализ для //'-резонанса можно очевидным
образом обобщить на случай ////с-резонансов и других смешанных резонан-
сов. Однако, если к нечетно, а с отрицательно, то всегда могут существовать
запретные области.
8.9. Резонанс 2 :1
Рассмотрим теперь численно-экспериментальные примеры,
иллюстрирующие некоторые из понятий, обсуждаемых в этой главе. Путем численного
интегрирования полных уравнений движения в плоской круговой
ограниченной задаче трех тел мы вычислили орбиты пробной частицы в окрестности
внутреннего резонанса 2: 1 при отношении масс т'/(тс + т') = 0.001.
Представленные здесь результаты основаны на работе Уинтера и Мюррея (1997).
При выбранных нами начальных условиях влиянием дополнительной точки
равновесия, найденной Уиздомом (1980) и обсуждавшейся нами в
разделе 8.8.1, можно пренебречь (см. также Коломбо и др., 1968).
Исследование в нашей модели можно считать аналогичным исследованию
движения астероидов вблизи 3.29 а.е., то есть вблизи сильного резонанса
первого порядка 2:1с Юпитером в поясе астероидов. В выбранной нами
системе единиц большая полуось орбиты Юпитера равна единице. Из табл. 8.5
находим
а = 0.629961, a/Sfl = 0.244190, afd = -0.749964, (8.198)
где значение а = a/af задает номинальное положение резонанса 2:1.
Рассматриваемый нами резонанс является внутренним резонансом первого порядка,
и формула (8.132) при j = 2 определяет соответствующее масштабное
соотношение для эксцентриситета. Имеем
>/2Ф =R= 15.874e, (8.199)
где е — эксцентриситет орбиты пробной частицы (астероида). Резонансный
аргумент равен
ф = 2А' - А - w. (8.200)
Для каждого из шести наборов начальных условий, приведенных в табл. 8.6,
нами проинтегрированы полные уравнения движения на интервале времени
в 100 орбитальных периодов Юпитера. Вычислены зависимости от времени
большой полуоси, эксцентриситета, долготы перицентра и резонансного
аргумента. Результаты показаны на рис. 8.16 с временным разрешением, равным
1/6 орбитального периода Юпитера. Обратите внимание, что на каждом из
графиков большой полуоси на рис. 8.16 горизонтальная штриховая прямая
374
Гл. 8. Резонансные возмущения
Таблица 8.6. Начальные значения большой полуоси (ао), эксцентриситета (ео)
и долготы перигелия (шо) для численного интегрирования, результаты которого
показаны на рис. 8.16 и 8.17. Значение Ао в каждом случае положено равным
нулю. Приведенные начальные значения орбитальных элементов вычислены исходя
из положения и скорости относительно начала координат, расположенного в центре
инерции системы
График
а
б
в
г
д
е
ао
0.625277
0.633424
0.637837
0.636705
0.638222
0.610592
ео
0.128386
0.0725011
0.0122862
0.060146
0.0184545
0.1975
ГОо
0°
0°
0°
180°
180°
0°
Описание
точный резонанс
либрация средней амплитуды
либрация большой амплитуды
апоцентрическая либрация
внутренняя циркуляция
внешняя циркуляция
обозначает положение номинального резонанса. Соответствующие графики
х = л/2Ф cos0 и у = л/2Ф Бтф показаны на рис. 8.17. Здесь точки также
нанесены через интервалы в 1/6 орбитального периода Юпитера. Отметим,
что начальные условия выбраны так, чтобы все орбиты имели одно и то же
значение константы Якоби Cj = 3.163.
Проанализируем теперь каждый из графиков подробно и прокомментируем
различные резонансные и околорезонансные явления, иллюстрируемые этими
графиками.
8.9.1. Точный резонанс. На рис. 8.16а и 8.17а показаны результаты
расчетов траектории пробной частицы с начальными условиями вблизи
точного резонанса. Из графика большой полуоси а в зависимости от времени
очевидно, что положение частицы остается близким к резонансному
значению; эксцентриситет также сохраняет примерно постоянное значение. Хотя
перицентр орбиты регрессирует с почти постоянной скоростью (благодаря
влиянию резонанса), резонансный аргумент фиксирован вблизи ф = 0.
Более четко это видно на рис. 8.17 а, где амплитуда либрации мала. Пробная
частица движется вблизи точного резонанса, но значение большой полуоси
0.625277 (приведенное в табл. 8.6) отличается от резонансного значения
0.629961, поскольку первое значение вычислено в системе координат с
началом в центре инерции, а второе — в гелиоцентрической системе координат.
8.9.2. Либрация с умеренной амплитудой. На рис. 8.166 и 8.176
показаны результаты расчетов траектории пробной частицы, испытывающей
либрацию с умеренной амплитудой относительно точного резонанса. Долго-
периодические колебания большой полуоси относительно резонансного
значения имеют амплитуду ^0.0068. Эксцентриситет также испытывает колебания
относительно среднего значения, близкого к значению в точном резонансе
(рис. 8.16 а). Обратите внимание, что изменения а и е, в соответствии с
уравнением (8.92), коррелированы: когда значение а максимально, значение е
минимально, и наоборот. Перицентр орбиты регрессирует с почти постоянной
скоростью, хотя, как и ожидалось, скорость регрессии наиболее велика,
когда е в минимуме. В среднем скорость регрессии меньше, чем в случае,
показанном на рис. 8.16 а. Резонансный аргумент испытывает синусоидальные
колебания, как и предсказывает приближение маятника.
8.9. Резонанс 2:1
375
а Ш#~^::~
I -'Нанта'" ^-ъя*^- ^к
'■^'■'Ъ — —:>**""— — '■и:(-/тг
%&■*&"
^ч Т^ч"
,/ \ /' "■
' 7*
Время
100
U* -Ai^-v '<**^ ^^ "*WM
X—7"~
V/ V/
^ч 7~
Время
100
Рис. 8.16. Изменение элементов орбит пробных частиц с начальными условиями
вблизи резонанса 2:1 с Юпитером. Интегрирование проведено на интервале
времени в 100 орбитальных периодов Юпитера. На графиках: а — большая полуось
(в диапазоне от 0.6 до 0.65), е — эксцентриситет (в диапазоне от 0 до 0.2), w —
долгота перигелия (в диапазоне от 0° до 360°), ф = 2А' — А — w есть резонансный
аргумент (в диапазоне от -180° до 180°). Начальные значения элементов приведены
в табл. 8.6. Графики иллюстрируют: а) точный резонанс, б) либрацию с умеренной
амплитудой, в) либрацию с большой амплитудой, г) апоцентрическую либрацию,
д) внутреннюю циркуляцию, е) внешнюю циркуляцию
376
Гл. 8. Резонансные возмущения
а
—i—i i
i i i
¥i
-4>—l
о
^
41 " i l_
/"
м
О 2x4
41 i i l_
0 2x4
Рис. 8.17. Изменение х = у2Ф совф и у = у2Ф sin0 для траекторий, показанных на
рис. 8.16. Величина >/2Ф определяется выражением (8.199); ф = 2А' - Л - w есть
резонансный аргумент. Графики иллюстрируют: а) точный резонанс, б) либрацию
с умеренной амплитудой, в) либрацию с большой амплитудой, г) апоцентрическую
либрацию, д) внутреннюю циркуляцию, е) внешнюю циркуляцию
8.9.3. Либрация с большой амплитудой. На рис. 8.16 в и 8.17 в
показаны результаты расчетов траектории пробной частицы, испытывающей
либрацию с большой амплитудой относительно точного резонанса. Либрация
близка по амплитуде к максимальной, поэтому и а, и е испытывают
колебания, близкие к максимально возможным. Несмотря на большие изменения е,
приближенная формула е2 « 2Г/Л при сопоставлении с нашими численными
результатами дает точность в пределах 20%. Обратите внимание, что w
колеблется около 0°. Резонансный аргумент ф колеблется в пределах от —146°
до +146°.
8.9.4. Апоцентрическая либрация. На рис. 8.16 г и 8.17 г показаны
результаты расчетов траектории пробной частицы, испытывающей
апоцентрическую либрацию. Из рис. 8.9 и 8.10 видно, что при 6 < — 3 на плоскости (ж, у)
имеется точка устойчивого равновесия слева от начала координат. Поэтому
орбиты с начальным значением ф = 180° и с достаточно низким начальным
значением е не замыкаются вокруг начала координат на плоскости (ж, у).
8.9. Резонанс 2:1
377
Обратите внимание, что в этом случае значение большой полуоси всегда
далеко от ее резонансного значения, а амплитуда колебаний е мала. Перицентр
имеет начальное значение долготы, равное 180°, и быстро прецессирует; это
объясняет, почему резонансный аргумент ф всегда остается близким к 180°, —
дело в том, что вклад w в величину ф является достаточно большим, чтобы
компенсировать то обстоятельство, что 2п' — п ф 0. Поскольку, согласно
нашему определению резонанса, резонансный аргумент должен либрировать,
а не вращаться, частица в апоцентрической либрации находится в резонансе.
Отметим, что подобная ситуация возникает также при достаточно малых
эксцентриситетах и больших положительных значениях 5; при таких
условиях всегда есть точка устойчивого равновесия справа от начала координат
(рис. 8. И иллюстрирует оба явления).
8.9.5. Внутренняя циркуляция. На рис.8.16д и 8.17д показаны
результаты расчетов траектории пробной частицы, испытывающей внутреннюю
циркуляцию. Из рис. 8.17 д очевидно, что траектория охватывает начало
координат, и, следовательно, резонансный аргумент циркулирует. Однако
траектория продолжает оставаться внутри критической кривой, проходящей
через точку неустойчивого равновесия вблизи (—1.5, 0). Обратите внимание,
что несмотря на циркулирующий характер движения колебания awe все
еще велики; их амплитуды сопоставимы с амплитудами при максимальной
либрации резонансного аргумента. Минимум а и максимум е достигаются
при 0 = 0°. Когда ф « 180°, траектория близка к апоцентрической либрации
и на некотором интервале времени графики становятся похожим на графики
на рис. 8.16г и 8.17г.
8.9.6. Внешняя циркуляция. На рис.8.16е и 8.17е показаны
результаты расчетов траектории пробной частицы, испытывающей внешнюю
циркуляцию. Из графика большой полуоси видно, что а почти всегда меньше
резонансного значения. Обратите внимание, что, хотя большая полуось орбиты
может принимать значения по обе стороны от ее резонансного значения, это
не означает, что частица находится в резонансе. Находится ли она в самом
деле в резонансе, следует выяснять с помощью других критериев, наиболее
важным из которых является поведение резонансного аргумента. Колебания
а и е много меньше колебаний этих элементов в случае внутренней
циркуляции, прежде всего потому, что частица при движении не делает «крюк» вокруг
точки апоцентрической либрации. Перицентр прецессирует, а резонансный
аргумент очевидным образом циркулирует.
8.9.7. Другие типы движения. Рассмотренные выше орбиты
иллюстрируют основные типы движения, которые можно обнаружить вблизи резонанса
2: 1 и других резонансов первого порядка. К другим режимам движения
относятся циркуляция вокруг единственной точки равновесия в случае больших
отрицательных значений 5 и циркуляция вокруг точки устойчивого
равновесия слева от начала координат в случае больших положительных значений 5
(рис. 8.11). Мы не обсуждаем здесь эти и другие типы орбит; их свойства
могут быть легко выведены из приведенных выше результатов.
378
Гл. 8. Резонансные возмущения
8.9.8. Сопоставление с аналитической теорией. Адекватность гамиль-
тонова подхода проиллюстрирована на рис. 8.18, где мы сравниваем
траектории, показанные на рис. 8.17, с полученными аналитически. Один из
недостатков гамильтонова подхода состоит в том, что величины типа 5 (меры
близости к точному резонансу) приходится определять визуально. Важно
иметь в виду, что аналитическая теория представляет собой лишь
аппроксимацию движения, хотя и достаточно точную при определенных
условиях. Численное интегрирование полных уравнений движения включает все
короткопериодические эффекты, и их влияние при численном
интегрировании отчетливо видно; в усредненной гамильтоновой теории, напротив, по
определению пренебрегается всеми короткопериодическими эффектами. Это
объясняет главные различия между рис. 8.18 а и 8.18 6. Каждая из траекторий
на рис. 8.17 пересекает прямую у = О в двух точках, х\ и х2, в которых 5 (как
и Н\) должно иметь одно и то же значение. Полагая_Н1(жьО) = Wi(x2,0)
в уравнении (8.131), находим приближенное значение 6 для траектории:
S = --(х2! + х22) + 4(х{ + х2У
(8.201)
Затем мы_можем найти Н\, вычисляя Н\(х\,0) или Н\(х2,0). Получающиеся
значения ~6 и Н\ приведены в табл. 8.7.
Обратите внимание, что соответствие между рис. 8.18 а и 8.18 6 ни в коем
случае не является точным. Имеются два заметных различия. Во-первых,
амплитуда либрации при ее промежуточных значениях в аналитической
теории недооценена. Во-вторых, результаты численного интегрирования в случае
внутренней циркуляции дают только одну ветвь траектории, тогда как
аналитическая теория предсказывает существование двух ветвей — одна отвечает
апоцентрической либрации, а другая — внешней циркуляции. Точного
соответствия теории и численного эксперимента и не следует ожидать, особенно
когда движение близко к критической кривой.
4
У
2
-4 -2 0 2x4
Рис. 8.18. Сравнение результатов численного интегрирования с аналитической
теорией, а) Траектории на плоскости (х,у) с графиков рис. 8.17, собранные вместе.
б) Эквивалентные кривые постоянного значения гамильтониана, полученные в
аналитической теории. Значения 6 и Н\ для каждой кривой даны в табл. 8.7. В случае
апоцентрической либрации не приведена внешняя_ветвь кривой Н\. Отметим, что все
траектории имеют разные значения 6 и Н\ (см. табл. 8.7)
а
■
^
: *******
"Ч-Ч1"-.
^
i
8.10. Резонансы 3:1 и 7:4
379
Таблица 8.7. Значения 6 и Н\, принятые при построении теоретических траекторий
на рис. 8.18 6. Буквы в колонке «График» соответствуют обозначениям графиков на
рис.8.17
График
а
б
в
г
д
е
6
-3.62568
-3.57917
-3.69155
-3.44688
-2.38857
-3.58826
Hi
-7.31775
-4.45861
-0.685164
0.562329
0.271609
0.692563
Описание
точный резонанс
либрация средней амплитуды
либрация большой амплитуды
апоцентрическая либрация
внутренняя циркуляция
внешняя циркуляция
8.10. Резонансы 3: 1 и 7:4
Чтобы дать представление о движении в других резонансах, мы провели
численное интегрирование движения в плоской круговой ограниченной задаче
трех тел вблизи резонансов 3 : 1 и 7 :4.
Ожидаемый резонансный аргумент для резонанса 3: 1 равен в = ЗУ —
— А — 2w. Если принять большую полуось орбиты возмущающего тела за
единицу, то номинальное положение резонанса ares = (1/3)2/3 = 0.48075. На
рис. 8.19 показаны результаты численного интегрирования уравнений
движения при некоторых начальных условиях, обеспечивающих либрацию на
резонансе. Гелиоцентрические начальные условия таковы: ао = 0.4809, ео = 0.13,
wo = 0 и Ао = 180° при Aq = 0 и /Х2 — 0.001. Значение ао чуть выше
номинального положения резонанса. Как видно из рис. 8.19 a, w всегда
уменьшается. Отрицательная скорость прецессии перицентра компенсируется тем, что
разность Зп' — п также отрицательна, поэтому комбинация в = Зп' — п — 2ш
близка к нулю. Как и предсказывает теория, устойчивая либрация имеет
место относительно в = 180°. При заданных начальных условиях амплитуда
либрации велика (« 130°).
При гамильтоновом подходе масштабный коэффициент R для е2-резонанса
дается выражением (8.156) с j = 3. Используя значение /а = 0.598756,
вычисленное из данных для резонанса 3:1 в табл. 8.5, имеем R = 51.044е.
График величин х = \[2R соБф и у = \[2R sin0 (где ф = 9/2) показан на
рис. 8.19 б. Он демонстрирует тип либрационного поведения, уже знакомого
нам по рис. 8.12 (см. графики для значений 6 < —4).
Для резонанса 7:4 в плоской круговой задаче трех тел, как можно
ожидать, либрирующим аргументом будет в = 7А' — 4А — Зти. Масштабное
соотношение дается первой из формул (8.168) с j = 5 и, согласно табл. Б. 12
и Б.14,
/d = 48 ["
1456 - 408а£> - 36а2 D2 - a3D3
}\/2
= -3.86673.
(8.202)
Полагая a = (4/7)2/3 = 0.688612, имеем R = 2003.0е. На рис. 8.20 показана
эволюция элементов орбиты пробной частицы и значений (х, у) для
либрационного движения в резонансе 7:4 при ^2 =0.001. Гелиоцентрические
380
Гл. 8. Резонансные возмущения
0.482,
а
0.479!
0.1651
е
0.1151
101
-180l
205i
155.
0 Время, в периодах
400
Рис. 8.19. Либрация пробной частицы в е2-резонансе 3: 1 в плоской круговой
ограниченной задаче трех тел. а) Графики большой полуоси а, эксцентриситета е,
долготы перицентра w и резонансного аргумента 9 = ЗА' — А — 2w в зависимости от
времени, б) График х = y/2R cos0 и у = y/2R sin0 (где ф = 9/2), согласно этому же
численному эксперименту, с двумя ветвями устойчивой либрации
0.694
0.680
0.228
У
400
о
400
-
\
':
':
i i i i I i i i
ft
U
■ i 1111 11 i i
^
■ ■I ii 111111 i
Время, в периодах
400
-400
400 х
Рис. 8.20. Либрация пробной частицы в е3-резонансе 7:4 в плоской круговой
ограниченной задаче трех тел. а) Графики большой полуоси а, эксцентриситета е, долготы
перицентра w и резонансного аргумента в = 7\' — 4А — 3w в зависимости от времени.
б) График х = y/2R cos0 и у = y/2R sin0 (где ф = 9/3 + 7г), согласно этому же
численному эксперименту, с тремя ветвями устойчивой либрации
начальные условия следующие: ао = 0.691249, ео = 0.204339, w$ = 0.0, Aq = 0
при Aq = 0. Из рис. 8.20 очевидно, что в изменениях орбитальных
элементах присутствуют дополнительные короткопериодические составляющие.
На рис. 8.206 есть три четких центра либрации, но наличие короткопериоди-
ческих членов вызывает существенные отклонения от ожидаемых траекторий,
показанных на рис. 8.13. Это вызвано тем обстоятельством, что данный
резонанс лежит между резонансами 2:1 и 3:2, где неизбежно присутствуют
возмущения со стороны других резонансов.
8.11. Расщепление резонансов
381
8.11. Дополнительные резонансы и расщепление резонансов
Во всех примерах результатов численного интегрирования, приведенных
в разделах 8.9 и 8.10, имелось хорошее согласие с теоретическими моделями,
полученными в рамках гамильтонова подхода, основанного на усеченном
разложении возмущающей функции. Это проиллюстрировано на рис. 8.18,
где сделано прямое сопоставление результатов. Неизбежное присутствие ко-
роткопериодических составляющих в численных экспериментах с полным
интегрированием (рис. 8.18 а) приводит к «размыванию» кривых (х, у) по
контрасту с кривыми постоянного значения гамильтониана (рис. 8.18 б), но если
не обращать на это внимание, то согласие является хорошим. Однако есть
ситуации, когда учитывать только один резонансный член в возмущающей
функции неправильно.
До сих пор мы рассматривали резонансы по отдельности, но, как следует
из основ теории чисел, на любом расстоянии по большой полуоси от
орбиты возмущающего тела относительное среднее движение всегда можно
аппроксимировать рациональным числом. Следовательно, возмущаемый объект
всегда движется вблизи какого-либо резонанса; хотя, как мы видели, сила
резонанса зависит от его порядка. Например, если ограничиться резонансами
первого порядка, то разделение по большой полуоси между номинальными
положениями последовательных резонансов р+1:рир + 2:р+1 равно
-U', (8.203)
р2
где а' — большая полуось орбиты возмущающего тела. Если увеличивать
значение р (при этом орбита внешнего возмущающего тела становится
ближе), то Аа уменьшается. Следовательно, когда орбита возмущаемого тела
находится близко к орбите возмущающего тела, рассматривать один резонанс
в отдельности может быть неправомерно. Поскольку каждый резонанс имеет
конечную ширину зоны либрации, смежные резонансы первого порядка, если
сближать орбиты, начинают перекрываться. Этот феномен обсуждается в
следующей главе. Заметим, что если есть дополнительные возмущающие тела,
то также может возникать необходимость учета дополнительных резонансов.
Рассмотрим теперь случай, когда эксцентриситет орбиты частицы
умеренный или высокий. Тогда следует использовать разложения высокого порядка
по е. Из-за связи между порядком разложения и порядком резонансного
аргумента учет членов высокого порядка влияет на количество необходимых
при анализе аргументов. Например, при анализе резонанса 2: 1 мы учитывали
единственный резонансный аргумент в\ = 2А' — А — w и соответствующий ему
член первого порядка по е. Существуют члены более высокого порядка по е
с этим аргументом (см. строку 4D1.1 в табл. Б.4), но если их включить, то
необходимо было бы учесть и аргументы второго и более высоких порядков,
такие как 02 = 4А' - 2А - 2ш, 93 = 6А' - ЗА - Зш и 04 = 8А' - 4А - 4ш, и
соответствующие им члены порядка 2, 3 и 4. Точные положения этих
резонансов определяются значениями больших полуосей, при которых производная по
времени от резонансного аргумента точно равна нулю. Поскольку углы #2> #з>
Аа =
р+ 1
Р + 2
2/3
Р
р+ 1
2/3 |
382
Гл. 8. Резонансные возмущения
и 04 являются простыми кратными угла 9\, точный резонанс имеет место при
одном и том же значении большой полуоси. Учет резонансов второго и более
высоких порядков сказывается на кривых постоянного значения
гамильтониана таким образом, что появляются дополнительные точки равновесия.
Дальнейшие усложнения возникают, если позволить возмущающему телу
двигаться по эллиптической орбите в плоскости, не совпадающей с
плоскостью орбиты возмущаемого тела. Тогда появляется много дополнительных
резонансных аргументов, при этом положение каждого точного резонанса
зависит от конкретной комбинации углов. Например, если мы проводим
анализ с точностью до второго порядка относительно орбитальных элементов,
то в случае резонанса 2: 1 необходимо учесть дополнительный аргумент
первого порядка 2А' — А — ш\ а также дополнительные аргументы второго
порядка 4А' - 2А - w' - w, 4А' - 2А - 2zu\ 4А' - 2А - 2ft, 4A' - 2A - Q' - П
и 4A' — 2A — 2£У. Поскольку точные положения этих резонансов зависят
от значений w, wf, U и ГУ, понятно, что резонансы могут быть
существенно разделены относительно друг друга там, где эти значения велики.
Этот феномен называется расщеплением резонансов. Он особенно важен
в спутниковых системах. Из-за него увеличивается количество резонансов,
которые необходимо учитывать при анализе; но если резонансы достаточно
хорошо разделены, то каждый из них можно рассматривать по отдельности,
пренебрегая возмущениями со стороны других резонансов.
121ГГ2 е'2ее'е2
I2 II" I"2 е"2 ее" е2
i i i i
141000 141500 142 000 142 500
Большая полуось, км
Рис. 8.21. Резонансы в системе Сатурна: расположение и расщепление по большой
полуоси точных резонансов 6:4 с Мимасом (положение обозначено отрезками
сплошных прямых) и 3: 1 с Тефией (отрезки штриховых прямых). Обозначения резонансов
(над и под отрезками) представляют собой соответствующие аргументам
коэффициенты резонансных членов, пропорциональные эксцентриситетам и наклонениям
Сплюснутость фигуры Сатурна гарантирует, что скорости прецессии
перицентра и регрессии узлов для объектов, обращающихся вблизи планеты,
велики. На рис. 8.21 показано расположение резонансов 6:4с Мимасом и 3: 1
с Тефией в системе Сатурна; ей/ обозначают эксцентриситет и наклонение
орбиты объекта, находящегося в резонансе с этими спутниками, а элементы с
одним или двумя штрихами относятся к Мимасу или Тефии, соответственно.
Положения резонансов вычислены с использованием формул из раздела 6.11
и значений w, Г2, w1 и ГУ, указанным в статье Харпера и Тейлора (1993).
По причинам, указанным выше, для объекта в резонансе 3:2с Мимасом
8.12. Прохождение через резонансы
383
е- и е'-резонансы совпадают по положению с е - и е' -резонансами. Обратите
внимание, что резонансы, отвечающие каждому из спутников, из-за
расщепления образуют группы по три резонанса в каждой. Скорости, с которыми
изменяются (из-за J<i планеты) долгота перицентра и долгота восходящего
узла, всегда имеют противоположные знаки; поэтому резонансы наклонного
типа всегда лежат ниже соответствующих резонансов эксцентриситетного
типа. Из-за того, что Тефия дальше от Сатурна, чем Мимас, скорость прецессии
ее орбиты примерно в пять раз меньше (« ±0.19°/сут против « ±1°/сут).
Также обратите внимание, что V -резонанс с Тефией практически совпадает
по положению с е' -резонансом с Мимасом, а е" -резонанс с Тефией —
с е2-резонансом с Мимасом. Причиной близости положений рассмотренных
резонансов у этих спутников является тот факт, что Мимас и Тефия
вовлечены в резонанс 4:2 друг с другом (см. раздел 8.14.2). Некоторые из
резонансов, показанных на рис. 8.21, могли играть роль в орбитальной эволюции
спутника Пандора (см. раздел 10.11).
8.12. Прохождение через резонансы
В главе 4 мы убедились, что приливы, вызываемые спутником на
планете, влекут увеличение большой полуоси орбиты спутника, если спутник
находится на орбите с прямым движением вне синхронного резонанса. Мы
также привели некоторые свидетельства того, что спутниковые системы
Сатурна и Урана испытали существенную приливную эволюцию за время
существования Солнечной системы. Полагают, что такая эволюция объясняет,
почему в системе спутников Сатурна так много резонансов средних движений
(Голдрайх, 1965); хотя в некоторых случаях более вероятно, что резонансы
существовали изначально. Тот факт, что в системе спутников Урана нет
известных резонансов, не означает, что в ней не было приливной эволюции,
поскольку это отсутствие можно объяснить фундаментальными различиями
в характере резонансов в системах Сатурна и Урана (см. главу 9). Есть и
другие проблемы; например, неизвестна скорость приливной эволюции, потому
что она зависит от функции приливной диссипации Q планеты, а значения Q
тел Солнечной системы в большинстве случаев плохо определены.
Если в спутниковых системах имела место существенная приливная
эволюция, то пары спутников должны были проходить в прошлом через
резонансы — то есть должны были происходить столкновения с резонансами. Такие
столкновения, по всей видимости, действительно привели к наблюдаемой
тенденции к соизмеримостям в некоторых системах. Не все столкновения
заканчиваются захватом в резонанс; но, как мы увидим, результатом всегда
является некоторое изменение элементов орбиты. В главе 4 мы привели
свидетельства того, что крупные спутники Сатурна и Урана в течение своей
динамической эволюции предположительно прошли через ряд резонансов
первого и второго порядков. Важно отметить, что, хотя все эти спутники
эволюционируют «наружу» (то есть большие полуоси их орбит увеличиваются),
в относительной шкале расстояний спутники в некоторых парах сближаются,
384
Гл. 8. Резонансные возмущения
а в других расходятся. Как мы увидим в дальнейшем, именно относительное
направление эволюции определяет, возможен захват в данной классической
задаче или нет.
Одно из главных преимуществ описанного в разделе 8.8 гамильтонова
подхода к анализу резонансов состоит в том, что он способствует пониманию
динамики столкновений с резонансами и обеспечивает единый подход к этой
проблеме. В рамках гамильтонова подхода для прогноза результата
столкновения с_резонансом можно использовать действие орбиты. При заданном
значении 6 действие орбиты определяется как
J = №d</> = toxdy. (8.204)
Таким образом, действие просто равно площади, ограниченной замкнутой
траекторией на плоскости (Ф, ф) или (ж, у). Если траектория расширяется
или сокращается достаточно медленно (то есть изменение 6 за один цикл
пренебрежимо мало), то действие является адиабатическим инвариантом
системы: его значение остается постоянным. Заметим, что кривые
постоянного значения гамильтониана (траектории), далекие от либрационной области,
в случае резонансов первого и второго порядков можно довольно точно
аппроксимировать окружностями с центром в начале координат (рис. 8.10
и 8.11). Начальное действие Jinjt равно площади такого круга, то есть
Jinit = Фмг + 2/init) = 2тгФ1пН, (8.205)
где Xinit, г/init и ФтН; — начальные значения х, у и Ф, связанные
соотношениями (8.130).
Однако условие адиабатичности не выполняется, если орбита
эволюционирует к положению, близкому к сепаратрисе резонанса (см., напр., Лихтенберг
и Либерман, 1983), потому что при приближении к сепаратрисе периоды
либрации и циркуляции стремятся к бесконечности. После пересечения
сепаратрисы результирующее действие может снова стать приближенным
адиабатическим инвариантом движения. Например, если объект оказался
захваченным в резонанс, то результирующее действие равно площади, ограниченной
сепаратрисой в момент ее пересечения. Зная эти свойства, можно предсказать
результаты столкновений с резонансами и, таким образом, понять историю
орбитальной эволюции (весьма существенной за прошедшие 4.6 • 109 лет)
многих естественных спутников и других тел Солнечной системы.
В рамках данного подхода удобно рассматривать столкновение резонанса
с орбитой, а не наоборот. Орбита и ограниченная ею площадь остаются
фиксированными, тогда как кривые постоянного значения гамильтониана вокруг
нее изменяются в соответствии с увеличением или уменьшением 8. Рано или
поздно сепаратриса пересекает орбиту; результат зависит от многих факторов.
В конечным счете изменяется характер орбиты, ее эксцентриситет и/или ее
либрационный или циркуляционный тип.
8.12.1. Столкновения с резонансами первого порядка. Чтобы понять,
каковы возможные результаты столкновений с резонансами, рассмотрим эво-
8.12. Прохождение через резонансы
385
люцию орбит в направлении к резонансу. Следуя Пилу (1986),
сконцентрируемся на столкновениях с резонансами первого порядка. Вместо
параметра 6 (нулевое значение которого соответствует точному резонансу) мы
будем использовать параметр 5; в случае резонансов первого порядка эти два
параметра связаны соотношением
S = -h-l, (8.206)
о
а значение 5 = 0 является бифуркационным. Здесь мы следуем обозначениям
Пила (1986). Если считать _орбиту внешнего тела фиксированной, то из
соотношения (8.117) между 6 и а следует, что при 6 < 0 большая полуось
орбиты внутреннего тела меньше ее резонансного значения. Аналогично,
условие 5 > 0 означает, что большая полуось орбиты внутреннего тела больше
ее резонансного значения. Увеличивается или уменьшается 5 со временем,
зависит от того, как быстро эволюционируют большие полуоси орбит каждого
из тел. Далее мы увидим, что ключевыми здесь являются начальное значение
5 и знак 5, то есть направление приближения двух тел к точному резонансу
(расположенному при 6 = 0) — сверху (5 > 0 и 5 < 0) или снизу (5 < 0
и 6>0).
На рис. 8.22 показана эволюция орбиты с большим по абсолютной
величине отрицательным значением 5 (то есть с большим положительным
значением 5) и относительно малым значением эксцентриситета, который,
как мы знаем, пропорционален радиальному расстоянию от начала
координат. Площадь, ограниченная траекторией, постоянна и равна
начальному действию (рис. 8.22 а, б). Мы видим, что при 5 = 0 (когда появляется
критическая кривая, рис. 8.22 в) эта площадь меньше площади критической
кривой (нанесенной для сравнения); это является условием для уверенного,
но плавного захвата в резонансную либрацию, что очевидным образом
зависит от начальной площади и, следовательно, от начального эксцентриситета
орбиты. Когда 5 становится больше нуля (рис. 8.22 г, д), орбита продолжает
эволюционировать, но теперь она уже захвачена внутри резонансной области.
В этом случае действие продолжает оставаться приблизительно равным его
начальному значению. Однако, поскольку точка устойчивого равновесия с
увеличением 6 смещается далее вправо (рис. 8.9), эксцентриситет захваченной
орбиты увеличивается. Из свойств кривых на рис. 8.10 г следует, что эта
эволюция сопровождается уменьшением амплитуды либрации.
Рис. 8.22. Столкновение с резонансом (при увеличении 5) траектории с начальным
эксцентриситетом меньше критического значения: а) 6 = —6; б) 5 = — 1; в) 6 = 0;
г) 6 = 1; д) S = 3. Сепаратриса показана при всех значениях 5 ^ 0
386
Гл. 8. Резонансные возмущения
захват
б
©
е
д
прохождение
Рис. 8.23. Столкновение с резонансом (при увеличении 5) траектории с начальным
эксцентриситетом больше критического значения: а) 6 = —6; б) 6 = 0; в), г) и е) 5 =
— 0.485584 (критическое значение, определяемое начальной площадью, ограниченной
траекторией); д) и ж) 6 = 4. Сепаратриса показана при всех значениях S ^ 0
На рис. 8.23 показана эволюция орбиты при увеличении 5, когда
начальная площадь, ограниченная орбитой, (рис. 8.23 а) больше площади,
ограниченной критической кривой при S = 0. У этой орбиты начальный
эксцентриситет больше, чем у орбиты на рис. 8.22. Снова действие остается постоянным,
но в этом случае, когда пересечение сепаратрисы происходит при S > 0, а
именно при S = 0.485584, действие терпит разрыв. Возможны два исхода;
вероятность каждого из них критически зависит от точных условий
пересечения сепаратрисы. При этом вероятность захвата меньше единицы. В первом
случае (рис. 8.23 г, д) происходит захват в резонанс и действие изменяется до
величины площади, ограниченной двумя ветвями пересеченной сепаратрисы
(рис. 8.23 г); никакого изменения в эксцентриситете, вызываемого процессом
захвата, нет. При дальнейшем увеличении 5 движение остается резонансным
и имеет место эволюция, показанная на рис. 8.23 г, д: сохранение величины
нового действия означает постепенное увеличение эксцентриситета и
соответствующее уменьшение амплитуды либрации.
Если на стадии эволюции, показанной на рис. 8.23 в, захват в резонанс
не произошел, то новое действие равно площади, ограниченной внутренней
ветвью сепаратрисы. Так как эта ветвь всегда окружает начало координат, то
всегда имеет место циркуляция. Однако, поскольку площадь, ограниченная
орбитой, меньше начальной площади, пересечение сепаратрисы мгновенно
уменьшает эксцентриситет орбиты. Таким образом, если захват в резонанс
при увеличении 5 не произошел, то эксцентриситет орбиты при пересечении
сепаратрисы всегда уменьшается (рис. 8.23 е). При дальнейшем увеличении 5
траектория продолжает циркулировать приблизительно по окружности вокруг
начала координат (рис. 8.23 ж).
На рис. 8.24 показан результат столкновения с резонансом при
уменьшении 5. Начальная орбита имеет относительно малый эксцентриситет и
окружает начало координат (рис. 8.24 а). При уменьшении 5 циркуляция
продолжается (рис. 8.24 б), вплоть до пересечения сепаратрисы резонанса
(рис. 8.24 в). При пересечении сепаратрисы площадь, ограниченная орбитой,
8.12. Прохождение через резонансы
387
д
Рис. 8.24. Столкновение с резонансом при уменьшении 5: а) 5 = 4; б) 5 = \\
в) и г) 6 = 0.581777 (критическое значение, определяемое начальной площадью,
ограниченной траекторией); д) 6 = 0. Сепаратриса показана при всех значениях J ^ 0
увеличивается, заполняя область, ограниченную внешней ветвью
сепаратрисы (рис. 8.24 г). В таких условиях захват в резонанс не может произойти.
Однако, поскольку результирующее действие больше начального значения,
такое столкновение всегда приводит к увеличению эксцентриситета. При
последующей эволюции действие остается постоянным, поэтому и новый
эксцентриситет сохраняет свое значение. Отметим, что в случае уменьшения
6 возможны также апоцентрические либрации (рис. 8.17 г).
Чтобы дать количественное описание приведенных эволюционных
сценариев, необходимо исследовать свойства кривых постоянного значения
гамильтониана. В частности, следует проанализировать поведение сепаратрис
в зависимости от 5 и характер критической кривой при 6 = 0.
В приведенном выше обсуждении гамильтонова подхода мы вывели
формулы (8.136)—(8.137), которые дают возможность вычислить положения точек
равновесия (в выражении через переменную Ф) для резонансов первого
порядка. Поскольку точка неустойчивого равновесия с координатой Фз (или хз)
лежит на критической кривой, ограничивающей резонансную область вокруг
точки устойчивого равновесия с координатой Фь можно использовать
информацию о координате Фз, чтобы найти площадь, ограниченную критической
кривой, формирующей сепаратрису резонанса при 6 = 0 (рис. 8.10 в).
Используя выражение (8.128) и преобразование к 5, находим уравнение критической
кривой при 6 = 0:
-ЗФ + Ф2 - 2У2Ф cos0 = -.
4
(8.207)
Согласно Пилу (1986) и Мальхотре (1988), площадь, ограниченная этой
кривой, может быть вычислена путем вывода выражения для &ф через Ф и
с1Ф и, соответственно, перехода от переменной интегрирования ф к Ф. Найдя
выражение для Аф из равенств d0/dr = дН\/дФ и с1Ф/с1т = —дН\/дф, где
т — нормированное время, можно вычислить действие на критической кривой:
«'crit — ^
9/2
Г фФ
J ~ф~
1/2
(ЗФ = 67Г = 27ГФ
crit)
(8.208)
где интегрирование проводится вдоль верхней ветви кривой и используется
симметрия кривой относительно оси х. Нижний и верхний пределы интеграла
являются значениями Ф на критической кривой при ф = 180° и 0 = 0°,
соответственно.
25*
388
Гл. 8. Резонансные возмущения
Таким образом, если Jinit ^ Jcrit (то есть Ф^ ^ Фсг^ = 3), то при
увеличении 5 орбита будет захвачена в резонанс. При помощи формулы (8.132) это
условие сводится к неравенству e-m\t ^ ecrit, где einit — начальный
эксцентриситет орбиты внутреннего объекта (мы полагаем, что его масса пренебрежимо
мала), а
-crit
= V6
L/d
(1-^/3^2/3
ГПг
га'
1-1/3
(8.209)
В случае внешнего объекта (пренебрежимо малой массы) используем
формулу (8.134). Тогда искомым условием будет неравенство e(nit ^ e'CTiv где
^crit
= Ve
3 оШс
/d m
1-1/3
(8.210)
Заметим, что с помощью формул (8.125) и (8.126) при к = 1 можно
модифицировать значения ecrit и efcriv если требуется рассмотреть общий случай,
когда ни одна из масс не является пренебрежимо малой.
Чтобы вычислить изменение эксцентриситета при столкновении с
резонансом, следует вычислить изменение действия, соответствующее площади,
ограниченной внешней и внутренней ветвями сепаратрисы, исходящими из
точки неустойчивого равновесия с координатой Фз. Выше мы описали
процедуру, которую надо применять в случае критической кривой при 5 = 0; теперь
необходимо обобщить ее на случай произвольных положительных значений 5.
Чтобы взять этот интеграл, следует использовать формулу для Фз в
зависимости от 5 (она выводится из (8.137)), а затем вычислить два других
значения Ф, при которых сепаратриса пересекается с осью ф = 0. Мальхот-
ра (1988) вывела точные формулы для координат Фтт и Фтах этих двух точек
пересечения и для площадей |ДПпег| и |A>uter|» ограниченных внутренней и
внешней ветвями сепаратрисы. В наших обозначениях эти формулы имеют
вид ,,.
Фтт = Ц6 + 1) - Фз - 2(2Ф3)1/4, (8.21 1)
= 3(5+1)-Ф3 + 2(2Ф3)1/4,
Фг
А
[Фтах + Фтт + 2Ф3 - 2(5 + 1)] (| - 7) -
А
outer
= -з
- \/(Фтах - Фз)(Фз - Фтт)
;[Фтах + Фтт + 2Ф3 - 2(6 + 1)] (| + 7) +
+ \/(Фтах-Фз)(Фз -Ф minj
(8.212)
(8.213)
, (8.214)
где
7 = sin
-1
Фг
+ Фг
Фг,
Фг,
2Фз\
п /
(8.215)
8.12. Прохождение через резонансы
389
Выражения для Anner и -Aouter имеют довольно сложный вид, но можно
показать (см., напр., Пил, 1986), что их сумма дается более простым выражением
Дппег + Amter = 67r(5t + 1), (8.216)
где St — значение 5^0, соответствующее переходу.
Если 1) значение St известно и 2) начальные и конечные траектории
приближенно представляют собой окружности с центром в начале координат на
плоскости (х,у), то выполняется следующее соотношение между начальным
и конечным значениями Ф:
*init + *final = 3(5t+l). (8.217)
Отсюда следует, что начальное и конечное значения эксцентриситета связаны
соотношением
Cinit + efinal = 6(<5t + 1)
для внутренних резонансов и соотношением
3 ,, .,лп .ОПГПп
/d m'
-1-2/3
су су I .Л _ пт I '
e'init + efinal = 6((5t + 1)
3 .2ГПс
/d rn
(8.218)
(8.219)
для внешних резонансов.
Область применимости этих формул включает также случай, когда захват
не происходит — либо из-за того, что величина 5 все время уменьшается
(и, таким образом, захват невозможен), либо в ситуации, когда 8 все время
увеличивается, но начальный эксцентриситет больше критического значения,
и захват в резонанс (имеющий в таких условиях вероятностный характер) не
происходит.
Ожидаемые изменения Ф при отсутствии захвата можно количественно
описать путем построения графиков величин |^inner|/27r и |.Aouter|/27r в
зависимости от 6t. Они показаны на рис. 8.25. Когда значение Ф-тц известно,
из графика можно найти ФАпа1 в случае отсутствия захвата в резонанс. Так
может быть в двух случаях. Первый имеет место, когда 6 увеличивается
и Фт'и > Фа-it (рис. 8.23). Тогда находим |Лои1ег|/27г = <I>init и считываем
с графика соответствующее значение |Дппег|/27г = ФдпаЬ Во втором случае
5 уменьшается (рис. 8.24). Тогда находим \А-тпег\/2тг = Ф-тц и считываем
соответствующее значение |j4outer|/27r = ФдпаЬ В каждом случае с помощью
масштабных соотношений (8.132) и (8.134) можно вычислить изменение
эксцентриситета.
Как отмечено выше, в случае уменьшения 6 (то есть в случае
расходящихся орбит) вероятность захвата в резонанс равна нулю. В случае
увеличения 5 (то есть в случае сходящихся орбит) захват в резонанс неизбежен,
если Ф[п[1 ^ Фс-it = 3. В ситуациях, когда Ф^ > ФСпь вероятность Рсар
захвата в резонанс можно найти по формулам, первоначально выведенным
Анраром (1982) и впоследствии существенно упрощенным Бордери и Голд-
390
Гл. 8. Резонансные возмущения
А/277
15
10
5
;-|"г т-г-|—1- 1 1 1 | 1
г внешняя
'■*<1>i i i i i i i i i
внутренняя ■
1
0.8
0.6
0.4
0.2
о
6
10
Рис. 8.25. Нормированное действие А/2тт
для внутренней и внешней ветвей
сепаратрисы в зависимости от 6t (значения 5,
соответствующего переходу) в случае
резонансов первого порядка
0
Рис. 8.26. Вероятность захвата в
резонанс в зависимости от 6t
(значения S, соответствующего переходу)
в случае резонансов первого
порядка
райхом (1984). Введя понятие «баланса интегралов энергии», эти авторы
показали, что
47
Р —
7Г + Z7
(8.220)
где величина 7> определяемая выражением (8.215), вычисляется при 6 = St.
На рис. 8.26 показано значение Рсар в зависимости от St.
8.12.2. Столкновения с резонансами второго порядка. Для
резонансов второго порядка анализ подобен анализу для резонансов первого порядка,
описанному выше. Если 5 = 0, то, как и прежде, есть критическая
сепаратриса и (как легко показать) есть пять точек равновесия: при <3>i = 4 (две точки
с координатами х = 0, у = ±у/8) и Ф2 = Фз = 0 (три точки, совпадающие
с началом координат). Поэтому критическая кривая проходит через начало
координат; как и все кривые на плоскости (х,у) в случае резонансов второго
порядка, критическая кривая симметрична относительно каждой из осей х
и у. Она дается уравнением
Ф2-4Ф(1 -cos 20) =0.
(8.221)
Площадь, ограниченная этой кривой (критическое действие), равна
„;♦ =4 [ ^НФ = 8тг =
Jcrit = 4 ~ф" ёФ
о
8тг = 2тгФ
crit)
(8.222)
где нижний и верхний пределы интеграла найдены из значений Ф на
критической кривой при ф = 0 и ф = 7г/2.
Как и выше, нас прежде всего интересует случай постоянного
увеличения 6, поскольку в этом случае возможен захват, если Ф^ меньше
критического значения. Таким образом, в случае резонанса второго порядка,
если Jinit < Jcrit (то есть Ф^ < Фсгн = 4), то орбита при увеличении 6
8.12. Прохождение через резонансы
391
будет захвачена в резонанс. С помощью формул (8.156) и (8.158) условие
обязательного захвата сводится к неравенству einit < ecrit, где
ecrit —
32/с
.(2_,-)4/з^/з
тс
т'
-1/2
в случае внутренних резонансов и
ecrit
3j2 mc
32/d m J
-1/2
(8.223)
(8.224)
в случае внешних резонансов. Когда два тела сопоставимы по массе, вместо
формул (8.156) и (8.158) можно использовать более точные масштабные
соотношения (8.125) и (8.126).
Чтобы найти результат столкновения с резонансом, необходимо вычислить
площади, ограниченные внутренней и внешней ветвями сепаратрисы с точкой
неустойчивого равновесия при Фз, что соответствует х = О, у = ±л/Ь\» гДе
St ^ 0 есть значение 5, при котором происходит переход. Мальхотра (1988)
вывела формулы для минимальных и максимальных значений Ф на
сепаратрисе и для площадей, ограниченных внутренней и внешней ветвями
сепаратрисы. Эти формулы имеют вид
Фтт = gO + 6) ~ 2^^ '
Фтах= -(l+5) + -VTT25,
(8.225)
(8.226)
А —9
dinner — ^
2 [фтах + Фтт + 2Фз] (| ~ 7) ~ \/(Фтах ~ Фз)(Фз ~ Фтт)
(8.227)
^outer — ^
2 [Фта^с + Фт1п + 2Ф3] (| + т) + \/(Фтах ~ Фз)(Фз ~ Фтт)
где, как и выше,
В этом случае
. -1 /Фтах + *тт-2Фз\
7 = sin .
V Фтах - Фтт /
dinner + Pouter = 7г(1 + 25t).
(8.228)
(8.229)
(8.230)
Если начальная и конечная траектории, далекие от резонанса, приближенно
представляют собой окружности на плоскости (х,у), то
Ф|пи + Фйпа1= gO+^t)-
(8.231)
392
Гл. 8. Резонансные возмущения
Следовательно, начальное и конечное значения эксцентриситета связаны
соотношением
eL + 4iai = 0+2*t)
L32/c
■(2-j)4/3J2/3!^
-i
в случае внутренних резонансов и соотношением
etit + 4nai = (l+25t)
3j2 m(
32/d m J
-, -l
(8.232)
(8.233)
в случае внешних резонансов.
cap
Рис. 8.27. Нормированное действие А/2-к на
внутренней и внешней ветвях сепаратрисы
в зависимости от 6t (значения 6,
соответствующего переходу) в случае резонансов
второго порядка
8 10
Рис. 8.28. Вероятность захвата в
резонанс в зависимости от St
(значения 6, соответствующего
переходу) в случае резонансов второго
порядка
Аналогично примеру, приведенному выше для случая резонансов первого
порядка, можно построить графики величины Л/27Г для внутренней и
внешней ветвей сепаратрисы в зависимости от St (значения 5, соответствующего
переходу). Они показаны на рис. 8.27. Формула для вероятности Рсар захвата
в резонанс второго порядка при увеличении S идентична формуле (8.220), где
Фз = 5/2, а значения Фт1П и Фтах определяются формулами (8.225) и (8.226).
На рис. 8.28 показан график вычисленной вероятности в зависимости от 5t.
8.13. Динамика захвата в резонанс и эволюция в резонансе
Выше мы уже обсудили динамику захвата в случае спин-орбитального
резонанса (см. раздел 5.5); в случае орбитального резонанса она во многом
аналогична. Чтобы захват в резонанс произошел, в системе должна
присутствовать диссипация. В разделе 8.12 при анализе эффектов столкновений
с резонансами мы использовали факт постоянства действия. Мы отметили,
что захват в классической системе невозможен, если приближение к
резонансу происходит «сверху», то есть при уменьшении 6. При приближении
снизу захват неизбежен, если начальный эксцентриситет меньше
критического значения; при больших начальных значениях эксцентриситета захват
носит вероятностный характер.
8.13. Динамика захвата в резонанс
393
Чтобы проиллюстрировать динамику захвата и последующую эволюцию,
рассмотрим случай двух спутников с массами га и га/, орбиты которых
эволюционируют благодаря приливам. Полагаем, что спутники находятся на
орбитах с прямым движением выше синхронной орбиты. Используя третий
закон Кеплера и уравнение (4.160), находим скорость приливного изменения
среднего движения:
9п2 га /Др\5
п* = -о7Гк2— ' (8.234)
2Qp гар \ а )
где а — большая полуось орбиты спутника, п — его среднее движение; /с2,
гар и Qp обозначают число Лява, массу планеты и ее функцию приливной
диссипации, соответственно. Аналогичное выражение для п[ получается, если
га, п и а заменить на га7, п' и а!. Здесь величины без штрихов и со штрихами
относятся ко внутреннему и внешнему спутнику, соответственно.
Рассмотрим влияние резонанса. Пусть резонансный аргумент имеет общий
вид
Ч> = 3\ А7 + h A + j3tx7; + j4w + jsQ' + j6n, (8.235)
и пусть усредненные возмущающие функции для внутреннего и внешнего
спутников равны
И = ц'S cos у?, 72/ = //£ cos у?, (8.236)
где /х = Qm, // = ^га7 и, согласно даламберовым свойствам,
5 = е'^еШ8'^8шМ^. (8.237)
а7
Здесь s = sin(J/2), 57 = sin(///2), где / — наклонение, a /d(a) обозначает
вклад главной части возмущающей функции в виде комбинации
коэффициентов Лапласа, где а = а/а! (см. раздел. 6.7).
Из уравнения Лагранжа низшего порядка для п (см. (8.12)) находим
выражение для второй производной от ср по времени в виде
</5 = 3ffSsin<p + F, (8.238)
где
•2 -2 /
Я = Щ + Щг и F = jlh[+j2nt. (8.239)
a,z az
Здесь мы пренебрегли вкладами, которые вносят в величину ф вторые
производные по времени от долгот перицентров и долгот в эпоху. Обратите
внимание, что в стандартном резонансном аргументе коэффициенты j\ и J2
имеют противоположные знаки. Полагая а, а!, е, е', s и sf в выражении для S
постоянными, уравнение (8.238) можно проинтегрировать; в результате имеем
уравнение сохранения энергии
-ф2 + SgS cos (p = Е + F(p . (8.240)
394
Гл. 8. Резонансные возмущения
Аллан (1969) заметил, что динамика этой системы идентична динамике
частицы, движущейся со скоростью ф в поле одномерного потенциала,
зависящего только от (р. Как и в случае спин-орбитального резонанса, 1) зависи-
мость величины -ф от (р можно представить в виде суммы синусоидальной
и линейной составляющих (рис. 5.14), и 2) захват в резонанс зависит от
величины и знака изменения энергии за один цикл (рис. 5.15).
После того как захват двух спутников в резонанс произошел, среднее
значение (ф) второй производной аргумента <р становится равным нулю.
Отсюда
(S sirup) = —f . (8.241)
Аллан (1969) показал, что после захвата оба спутника будут продолжать
двигаться в резонансе, несмотря на то, что орбита каждого из них будет
продолжать увеличиваться в ходе эволюции. Соотношение (8.241) и
уравнения Лагранжа низшего порядка (8.12)—(8.17) можно использовать, чтобы
получить выражения для усредненных по времени производных от элементов
орбит спутников, движущихся в резонансе. В случае эксцентриситетов они
имеют вид
(ё) и т' F (ё') J3 гп , , F
— = --о гьа—9 —- = -к па—. (Ь.242)
е ez тр 6д е е' тр 6д
В случае наклонений выражения имеют аналогичный вид.
Дермотт и др. (1988) указали, что приливный момент, приложенный
к внутреннему спутнику, обычно больше момента, приложенного к внешнему
спутнику, так как зависимость приливного момента от большой полуоси
орбиты очень сильна. Однако, поскольку в гравитационном взаимодействии
спутников доминирует возмущение орбиты внутреннего спутника со стороны
внешнего, обычно можно пренебречь первыми членами в выражениях для д
и F. Используя третий закон Кеплера, находим производную от е:
^ = ДпГ- (") • (8-243)
е ez2j2 \ajt
Так как J2 и з\ имеют один и тот же знак, это соотношение означает,
что при эволюционном расширении орбиты эксцентриситет будет постоянно
расти. В случае наклонения результат аналогичен; однако, если имеется
существенное расщепление резонансов, то спутник захватывается в резонанс
наклонного типа в другой момент времени. Эти эффекты были описаны
аналитически и исследованы численно Дермоттом и др. (1988). Дермотт и др.
отметили, что в тех случаях, когда резонансы, соответствующие заданной
соизмеримости, не разделены достаточным образом, эволюция в пределах
заданного резонанса может привести к необходимости учета влияния соседнего
резонанса (см. раздел 9.6).
8.14. Двухтельные резонансы в Солнечной системе
395
8.14. Двухтельные резонансы в Солнечной системе
В Солнечной системе имеется немало примеров, когда два тела,
обращающиеся вокруг третьего (центрального) тела, вовлечены в резонанс средних
движений. Назовем такие резонансы двухтельными резонансами. В каждом
таком случае один из аргументов (или их некоторое число) в разложении
возмущающей функции либрирует. В главе 3 мы обсудили частный случай —
случай объектов, либрирующих в резонансе 1 : 1 (к которым относятся
астероиды-троянцы и коорбитальные спутники Сатурна). В табл. 8.8 приведены
примеры известных двухтельных резонансов первого и второго порядков
среди планет и спутников Солнечной системы. В добавление к резонансам,
перечисленным в табл. 8.8, известно некоторое число астероидов, вовлеченных
в резонансы средних движений с Юпитером. Среди них 279 Туле, 153 Гильда,
1362 Гриква и 887 Алинда, находящиеся в резонансах 4:3, 3:2, 2:1 и 3:1,
соответственно (см. работу Йошикавы (1989), где исследована динамика ряда
таких резонансов). В системах колец Сатурна, Урана и Нептуна имеется
немало резонансных структурных особенностей, порожденных возмущениями
со стороны спутников; мы обсудим их в главе 10. Резонансы, в которые
вовлечены три гравитационно взаимодействующих тела, обращающихся вокруг
центрального тела, обсуждаются далее в разделе 8.15.
Таблица 8.8. Известные резонансы средних движений первого и второго порядков
среди планет и спутников Солнечной системы. Величины без штрихов относятся
к внутреннему телу, а со штрихами — к внешнему
Система
Планеты
Нептун-Плутон
Юпитер
Ио-Европа
Ио-Европа
Европа-Ганимед
Сатурн
Мимас-Тефия
Энцелад-Диона
Титан-Гиперион
Резонансный аргумент
ЗА' -2X-w'
2Х' - X - w
2А' - А - ш'
2А' - А - w
4А' - 2А - Q' - О
2А' - А - w
4Х' - ЗА - ш'
Амплитуда
76°
1°
3°
3°
43.6°
0.297°
36.0°
Период (в годах)
19 670
-
71.8
11.1
1.75
Чтобы получить некоторое представление о резонансных механизмах, мы
изучим два из указанных в табл. 8.8 спутниковых резонансов. Резонанс
Нептун-Плутон обсуждается в разделе 9.9.
8.14.1. Резонанс в системе Титан-Гиперион. Титан (е = 0.0292,
/ = 0.33°) и Гиперион (е' = 0.1042, Г = 0.43°) захвачены в резонанс 4:3.
Масса Гипериона пренебрежимо мала по сравнению с массой Титана, поэтому
данный резонанс можно рассматривать в рамках плоской круговой
ограниченной задачи трех тел; при этом Гиперион находится во внешнем резонансе
396
Гл. 8. Резонансные возмущения
3:4 с Титаном. Согласно наблюдениям, аргумент
<р = 4А' - ЗА - w' (8.244)
колеблется около 180°, то есть соединение двух спутников колеблется
относительно апоцентра Гипериона. Из значений орбитальных периодов,
приведенных в табл. А.9 приложения А, находим
4п' - Зп = -18.679 °/год. (8.245)
Скорость наблюдаемой регрессии перицентра орбиты Гипериона равна
w' = -18.663 °/год. (8.246)
Напомним, что сжатие Сатурна (эффект J2) должно вызывать прецессию
перицентра орбиты Гипериона в прямом направлении (см. раздел 6.11), поэтому
наблюдаемая регрессия должна быть отнесена на счет влияния Титана. При
указанных численных значениях (они являются усредненными) имеем
An' - Зп - w' « 0 (8.247)
в пределах наблюдательной ошибки.
Динамика этого резонанса трудна для изучения, потому что большой
эксцентриситет орбиты Гипериона означает наличие проблемы сходимости,
если использовать стандартные разложения возмущающей функции.
Альтернативный метод, разработанный Волтьером (1928) и применявшийся Мессе-
джем (1989, 1993), состоит в определении положения периодической орбиты,
отвечающей точному резонансу, и в исследовании возмущенного движения
в ее окрестности.
Маловероятно, что резонанс в системе Титан-Гиперион возник
благодаря приливной эволюции, даже если учесть, что орбиты этих спутников
приближались друг к другу при удалении их от Сатурна. Синклер (1972)
показал, что критический эксцентриситет, ниже которого захват Гипериона
был гарантирован, равен е' = 0.068, что означает существенную эволюцию
е' в пределах резонанса до достижения современного значения е'. Однако
в отсутствие действия резонансного механизма, позволяющего избежать
опасных соединений, Гиперион, прежде чем быть захваченным в резонанс 4:3,
по всей видимости, подошел бы близко к орбите Титана (Синклер, 1972).
Гиперион вполне может представлять собой последний пример из множества
объектов, которые однажды находились на орбитах вблизи Титана. Не имея
резонансной «защиты», другие спутники были рассеяны Титаном. Если
Гиперион действительно единственный «выживший» объект из такой группы, то
резонанс существовал изначально.
8.14.2. Резонанс в системе Мимас-Тефия. Мимас (е = 0.02,
I = 1.53°) и Тефия (е' = 0.0, V — 1.09°) захвачены в резонанс 4:2. Имея
второй порядок, этот резонанс может затрагивать как наклонения, так и
эксцентриситеты орбит. Из указанных в табл. 8.8 резонансов среди планет
8.14. Двухтельные резонансы в Солнечной системе
397
и спутников он единственный дает пример резонанса второго порядка.
Согласно наблюдениям, либрирующий аргумент равен
ip = 4А' - 2А - ft' - ft. (8.248)
Это означает, что соединение двух спутников колеблется относительно точки,
находящейся посередине между восходящими узлами орбит. Наблюдаемая
амплитуда либрации равна 43.6°. Согласно свойствам возмущающей
функции, у члена с аргументом ср коэффициент пропорционален IV и некоторой
комбинации коэффициентов Лапласа. Однако аргумент (8.248) является лишь
одним из трех возможных в случае соизмеримости 4:2 аргументов для резо-
нансов наклонного типа; остальные два соответствуют членам с множителями
I2 и Г . Кроме того, с этой же соизмеримостью связаны и эксцентриситетные
члены. Таким образом, соизмеримости 4:2 в системе Мимас-Тефия
соответствуют шесть возможных резонансных членов:
<?г>1 = /1e2cos(4A/ - 2А - 2ги), (П)2 = /2ee'cos(4A' - 2А - w' - w),
(Тг)3 = he'2 cos(4A; - 2A - 2ш'), (П)А = fd2 cos(4A' - 2A - 2ft),
(Тг>5 = fall' cos(4A' - 2A - ft' - ft), (Тг)б = /6I'2 cos(4A; - 2A - 2ft'),
(8.249)
где fi = fi(a) — комбинации коэффициентов Лапласа, которые можно найти
из нашего разложения возмущающей функции. У каждого резонанса свое
положение на большой полуоси, определяемое значениями средних движений,
скоростей перицентров и узлов (рис. 8.21).
На вопрос, почему система Мимас-Тефия либрирует сейчас в
//'-резонансе, а не в каком-либо другом, можно ответить только рассмотрев
происхождение подобных резонансов и их связь с приливной эволюцией
спутниковых систем. Аллан (1969), Синклер (1972) и Гринберг (1973) подробно
исследовали этот вопрос. Наш анализ механизма резонансного захвата
показывает, что при удалении орбит спутников от планеты в результате действия
приливов они должны приближаться друг к другу. Поэтому вполне вероятно,
что сначала система сталкивается с /2-резонансом, а затем с //'-резонансом
(рис. 8.21). Однако Синклер (1972) показал, что вероятность захвата в любой
из этих резонансов была весьма низкой (0.07 и 0.04, соответственно).
Здесь стоит сделать сопоставление с резонансами в поясе астероидов.
В случае последних приливы не играют роли. Если астероид захвачен в
резонанс, то либрирующим обычно является аргумент, соответствующий члену
с наибольшим коэффициентом, то есть астероид либрирует в самом сильном
резонансе. Например, если мы рассматриваем резонанс первого порядка 3:2
(как в случае астероидов группы Гильды), то резонансный астероид может
двигаться либо в е-резонансе с аргументом ЗА7 — 2А — w, либо в е'-резонансе
с аргументом ЗА7 — 2А — т1'. Однако эксцентриситет орбиты Юпитера (равный
0.048) меньше среднего эксцентриситета орбит астероидов (равного 0.15).
Поэтому, поскольку обычно е'<е, а коэффициенты Лапласа сравнимы по
величине, е-резонанс будет сильнее (хотя здесь также важно учитывать
относительные массы объектов).
398
Гл. 8. Резонансные возмущения
8.15. Столкновения с резонансами в спутниковых системах
Приливная эволюция обеспечивает механизм, посредством которого
пара спутников сталкивается с резонансом. Рассмотрим спутник массой га
на орбите с большой полуосью а и с прямым движением вокруг планеты.
В разделе 4.9 мы показали, что приливы, вызываемые на планете спутником,
заставляют значение а изменяться со скоростью
«1 = !МАУ% ™ (8.250)
<2р \тр; ра"/2
(см. (4.160)), где шр, i?p, Qp и /с2 — масса, радиус, функция приливной
диссипации и число Лява планеты, соответственно. Если физические свойства
планеты не зависят от времени, то величина at зависит только от а и т.
Поэтому, если имеется второй спутник массой га/ на внешней орбите с большой
полуосью а', то орбиты спутников будут приближаться друг к другу, если
в некоторое заданное время отношение
a/af = (т/т')(а'/а)п/2 (8.251)
больше единицы. Введя обозначение N = п'/п, мы можем выразить условие
захвата через средние движения следующим образом: N = d(n'/n)/dt > 1.
Решая уравнение (8.250), находим
a(t) =
13 l2/13
ао - YKm^ ~~ to">
(8.252)
где ао = a(to) — текущее значение а, а величина К, полагаемая не зависящей
от времени, зависит от гар, i?p, Qp и к^. Значения гар и Rp хорошо известны
(см. табл. А.4), но трудно оценить Qp и &2, не говоря уже об их начальных
значениях (см. раздел 4.13). Тем не менее, из третьего закона Кеплера и того
факта, что большие полуоси спутников изменяются со временем, очевидно,
что столкновения с резонансами возможны.
Для захвата в резонанс спутников на орбитах выше синхронной
необходимо, чтобы орбита внутреннего спутника расширялась быстрее орбиты
внешнего спутника; иначе говоря, необходимо, чтобы спутники обращались
на сходящихся орбитах (Дермотт и др., 1988). При захвате в устойчивый
орбитальный резонанс имеем Jsf « 0, то есть орбиты спутников расширяются
с одной и той же скоростью. Вращающаяся планета теряет момент количества
движения с той же скоростью, как и перед столкновением с резонансом,
но теперь сила взаимного притяжения спутников благодаря резонансу
способствует передаче момента количества движения от внутреннего спутника
к внешнему, что позволяет их орбитам расширяться совместно, поддерживая
таким образом резонанс и сохраняя N приближенно равным нулю. Но эти
же резонансные взаимодействия способствуют росту эксцентриситетов или
наклонений орбит, вовлеченных в резонанс, со скоростями, определяемыми
8.15. Столкновения с резонансами
399
резонансным аргументом (см. раздел 8.13). Именно эти изменения
свидетельствуют о наличии орбитальной эволюции.
Например, спутники Мимас и Тефия захвачены, как мы видели выше,
в резонанс наклонного типа, для которого
An' - 2п - П' - П = 0, (8.253)
где величины со штрихами относятся к Тефии, а без штрихов — к Мимасу.
В хорошем приближении имеем
и
Г ~47':
(8.255)
tides
Таким образом, характерное время увеличения наклонений много меньше
характерного времени увеличения больших полуосей. В настоящее время
наклонения орбит Мимаса и Тефии равны 1.53° и 1.09°, соответственно.
Они значительно больше, чем у соседних спутников. Аллан (1969) показал,
что эти аномально высокие значения свидетельствуют о существенной
орбитальной эволюции. Кроме того, если параметр Qp не зависит от амплитуды
и частоты, то условие устойчивости N > 1 удовлетворяется в случае этого
резонанса лишь на пределе. Для Мимаса имеем га/а13/2 = 2.19 • Ю-38, тогда
как для Тефии т'/а,х ' = 1.75 • Ю-38 в единицах СГС. Из этого следует,
что резонанс, по-видимому, молодой и можно ожидать все еще высокой
амплитуды либрации. Это действительно так; наблюдаемая амплитуда либрации
резонансного аргумента равна 97.040°. Отсюда Аллан (1969) вычислил, что
резонанс образовался 2.4 • 108 лет назад, то есть его возраст равен лишь 5%
возраста Солнечной системы. Исследование, начатое Алланом (1969), недавно
получило продолжение в работах Шампенуа и Виенна (1999а, б), получивших
интересные результаты.
Наклонения орбит крупных спутников Урана (см. табл. А.11),
представляют особенный интерес. Аномально высокое наклонение орбиты Миранды
(4.22°) явно указывает на резонансный эффект. Однако в отличие от
спутниковых систем Юпитера и Сатурна, насыщенных орбитальными резонансами,
система Урана не содержит ни одного резонанса с участием какого-либо
из пяти крупных спутников (Миранды, Ариэля, Умбриэля, Титании или
Оберона). Дермотт (1984) предположил, что это различие возникло из-за
того, что динамическое сжатие J^ Урана мало, и поэтому любые орбитальные
резонансы в системе Урана были бы хаотическими и неустойчивыми. Таким
образом, хотя спутниковая система Урана и лишена резонансов в
настоящее время, спутники этой системы, возможно, были захвачены в резонансы
некогда в прошлом, и резонансы могли вызвать существенные изменения как
орбитальных наклонений, так и эксцентриситетов. Эту проблему
рассматривали Дермотт и др. (1988) в приложении к спутникам Урана и Сатурна,
400
Гл. 8. Резонансные возмущения
Пил (1988) — в приложении к спутникам Урана, а наиболее подробно Титте-
мор и Уиздом (1988, 1989, 1990) — также в приложении к спутникам Урана.
Используя формулу (8.252) с подходящими значениями К, можно дать
примеры возможных эволюционных сценариев, описывающих изменение
большой полуоси орбиты каждого из спутников в зависимости от времени
на одном и том же фиксированном интервале времени. Здесь мы
следуем примеру Дермотта и др. (1988), исследовавших приливную эволюцию
в спутниковых системах Сатурна и Урана; обе, как полагают, испытали
существенную приливную эволюцию. На рис. 8.29 показаны возможные
относительные изменения больших полуосей в зависимости от времени для обеих
систем. На этих графиках время следует рассматривать как некий интеграл,
возникающий при усреднении Qp (Дермотт и др., 1988). Поэтому нулевую
точку на оси времени не следует считать фиксированной.
0.4 0.6
Время
0.4 0.6
Время
Рис. 8.29. Примеры изменений больших полуосей (в км) орбит спутников а) в
системе Сатурна и б) в системе Урана. На графиках отмечены некоторые резонансы
первого и второго порядков
Как известно, в системе Сатурна (рис. 8.29 а) в настоящее время есть два
резонанса: Мимас-Тефия 4:2 и Энцелад-Диона 2:1. Графики на рис. 8.29а
показывают, что сейчас орбиты спутников в каждой паре расширяются с
приблизительно одной и той же скоростью, хотя в прошлом они с большей
скоростью сближались. Следовательно, в каждом случае выполняется
необходимое условие для захвата. Напротив, орбиты Энцелада и Тефии всегда
эволюционировали в расходящихся направлениях и могли пройти через ряд
резонансов первого порядка без захвата. Любопытно, что орбиты Мимаса
и Энцелада эволюционируют в явно сходящихся направлениях, но, тем не
менее, сумели избежать захвата в резонанс.
В системе спутников Урана нет наблюдаемых резонансов, и все же,
как следует из графиков на рис. 8.29 б, орбиты спутников в парах Ми-
ранда-Умбриэль и Ариэль-Умбриэль находятся на сходящихся
эволюционных направлениях. В частности, если принять разумные значения Qp, то
представляется вероятным, что Миранда и Умбриэль однажды столкнулись
с резонансом 3: 1 при эволюции в направлении, разрешающем захват. В этой
связи естественно задать вопрос: почему резонансные пары возникли в си-
8.16. Трехтельный резонднс 401
стеме Сатурна, но не Урана? По-видимому, объяснение заключается в том,
что, поскольку J2 у Урана в десять раз меньше чем у Сатурна, резонансы
в системе Урана не так хорошо разделены, как в системе Сатурна. Поэтому
для резонансов примерно одинаковой силы (то есть имеющих примерно
одинаковую ширину по большой полуоси) перекрытие смежных резонансов будет
иметь место при более низких значениях эксцентриситета и наклонения.
Кроме того, резонансы при перекрытии не могут рассматриваться по отдельности.
Поскольку перекрытие резонансов является причиной хаотического движения
(см. раздел 9.6), в случае спутников Урана при прохождении ими резонансов
можно было бы ожидать более выраженных проявлений хаотического
поведения и меньшего соответствия процесса захвата его классической модели, чем
в случае спутников Юпитера или Сатурна.
8.16. Трехтельный резонанс
Выше мы исследовали динамику двухтельного резонанса, при котором
имеется простое численное соотношение между средними движениями двух
обращающихся по орбитам тел (см. соотношение (8.1)). Трехтельный
резонанс имеет место, когда есть простое соотношение, связывающее три
обращающихся тела.
Обозначим через п\, п^ и щ средние движения трех тел с массами т\, т^
и газ, находящихся на почти круговых и почти компланарных орбитах вокруг
центрального тела с массой гас. Положим, что п\ > п^ > щ, то есть первое
тело имеет наименьшую большую полуось орбиты, а третье — наибольшую.
Говорят, что для орбит трех тел выполняется соотношение Лапласа, если
справедливо условие
qn\ — (р + q)ri2 + рпз ~ 0, (8.256)
где р и q — положительные целые числа. Соотношение Лапласа дает частный
пример трехтельного резонанса. Пусть Тгер — время между
последовательными повторениями начальной конфигурации. Имеем
-2— и _<L_ и ±±JL „ ?k (8.257)
П\ — 712 п2 — п3 п\ — п3 27Г
где средние движения измеряются в радианах в единицу времени. Важно
отметить, что выполнение соотношения Лапласа для орбит трех спутников
необязательно означает наличие резонансного соотношения (такого, как (8.1))
для каких-либо двух из них.
Для исследования динамики трехтельных резонансов необходимо
выделить в возмущающей функции все аргументы, в которые входит резонансная
комбинация средних долгот
(р = q\{ - (p + q)X2 +pA3.
(8.258)
402
Гл. 8. Резонансные возмущения
Обратите внимание, что в эту комбинацию не входят долготы перицентров
трех тел. Когда все соответствующие члены отождествлены, следует найти
выражения для трех слагаемых в правой части выражения
d2Ai , 4d2A2 d2A3 /оос„ч
В результате можно показать, что (р удовлетворяет уравнению маятника
<£ = csin<p, (8.260)
где с — функция целых чисел р, q, а также масс, больших полуосей и средних
движений трех тел, вовлеченных в резонанс.
Исследование Акснеса (1988) по этому предмету является наиболее
всесторонним за последние годы. Он вывел формулы для коэффициента с в
уравнении (8.260) и применил теорию трехтельных резонансов к галилеевым
спутникам Юпитера и спутникам Урана. Ниже мы приводим краткое изложение
метода Акснеса.
Исходный пункт теории трехтельных резонансов состоит в наблюдении,
что резонансные аргументы вида (8.258) возникают как некоторые
комбинации аргументов вида Д — щ (г = 1, 2, 3), где щ и Д имеют вид
а[к) = (p + q)\2-(p + q-k)\l - kwu (8.261)
(3[к) = рХ3 -(р-к)Х{- ктх, (8.262)
а{2к) = (q + к)Х2 - qXi - km2, (8.263)
(3{2к) = рХ3 - (р - к)Х2 - кш2, (8.264)
а{к) = (q + k)X3 - qX{ - fctu3, (8.265)
Рзк) = (P + Q + k)X3 - (р + q)X2 - кш3, (8.266)
где гоь Ш2 и шз - долготы перицентров трех тел и
fc = 0, ±1, ±2, ±3 и т. д. (8.267)
Используя свойства возмущающей функции (см. главу 6 и приложение Б),
находим, что \к\ есть просто порядок аргумента. Акснес (1988) показал, как
выводятся выражения для членов с к = 0 (членов нулевого порядка) и к = ±1
(членов первого порядка). Полный вклад членов нулевого и первого порядков
равен
с = с{0) +с(1), (8.268)
где каждое из двух слагаемых в правой части дает «тройной» вклад в ф\
с<°> = ci0)+40)+40), с0> = с;1}+4°+4°. (8-269)
8.17. Резонанс Лапласа
403
где в обеих суммах первое слагаемое обязано своим происхождением
слагаемому q\\, второе — слагаемому — (р + д)А2, а третье — слагаемому рАз
в формуле (8.259). Явные выражения для каждого из этих членов даны
Акснесом (1988).
Рассматривая уравнение маятника (8.260) и используя методы, описанные
в разделах 8.6 и 8.7, можно вычислить период либрации резонансного
аргумента и ширину зоны либрации в трехтельном резонансе. Это дает
Гиь = %, (8.270)
4а
6am^ = —V^. (8.271)
on
Единственным известным примером трехтельного резонанса в Солнечной
системе является резонанс Лапласа между тремя из четырех галилеевых
спутников Юпитера 0. Важно отметить, что трехтельный резонанс может
существовать даже в том случае, когда отдельные двухтельные резонансы
не существуют. Например, ранее считалось, что спутники Урана Миранда,
Ариэль и Умбриэль вовлечены в резонанс Лапласа (Гринберг, 1975, 1976),
хотя резонансных пар они не образуют. Однако, когда определения элементов
орбит этих спутников Урана были улучшены, оказалось, что резонансный
аргумент циркулирует, а не либрирует.
Дермотт и Голд (1977) привлекли теорию трехтельных резонансов для
объяснения результатов первых наблюдений узких колец Урана. Они
высказали гипотезу, что наблюдаемые дуги могут поддерживаться на
определенных орбитах в трехтельных резонансах с парами спутников Урана. Однако
Голдрайх и Николсон (19776) показали, что даже если этот механизм
работает, то трехтельные резонансы, включающие Миранду (самый маленький
из классических спутников Урана), сильнее рассмотренных Дермоттом и
Голдом. В статье Голдрайха и Николсона приведены выражения для силы
этих трехтельных резонансов.
8.17. Резонанс Лапласа
Самое известное соотношение Лапласа объединяет три из четырех
галилеевых спутников Юпитера. Ио, Европа и Ганимед вовлечены в самый
удивительный «клубок» резонансов в Солнечной системе. Если индексами 1,
2 и 3 обозначить Ио, Европу и Ганимед, соответственно, то выполняются
соотношения
Ai-2А2 + Ш1 =0, Ai -2А2 + ш2 = 180°, А2 - 2А3 + w2 = 0,
(8.272)
П\ — 2ri2 + W\ = 0, П\ — 2П2 + Ш2 = 0, П2 — 2щ + W2 = 0
1) Известны астероиды в трехтельных резонансах с Юпитером и Сатурном, например 490
Веритас (Nesvorny, D. and Morbidelli, A. (1998) Astron. J. 116, 3029). - Прим. ред.
404
Гл. 8. Резонансные возмущения
Рис. 8.30. Последовательность соединений галилеевых спутников. Конфигурации
в моменты времени: a) t = 0; б) t — Trep/6; в) t = Trep/4; г) t = Trep/2; d) t = 3Trep/4;
e) t = 5Trep/6. Буквы J, I, E и G обозначают Юпитер, Ио, Европу и Ганимед,
соответственно
и, наконец, соотношение Лапласа
фь = \х -ЗА2 + 2А3 = 180°,
(8.273)
П\ — 3712 + 2пз = 0.
Соотношение между средними движениями является точным, но резонансный
аргумент ф^ либрирует около 180° с амплитудой 0.064° и периодом 2071 сут
(Лиске, 1998). Из условия ф^ = 180° следует, что тройное соединение всех
трех спутников, вовлеченных в резонанс, невозможно.
Последовательность возможных соединений изображена на рис. 8.30, где
положения трех спутников отслеживаются на интервале времени Тгер (см.
выражение (8.257)), то есть на временном интервале повторения цикла
соединений. Начальная конфигурация соответствует соединению Европы и Ганимеда;
в этот момент времени Ио отстоит от них на 180° (рис. 8.30а). Когда Ио
и Ганимед впервые оказываются в соединении, Европа отстоит от них на
60° (рис. 8.30 б). Ганимед отстает от Ио на 90°, когда происходит первое
соединение Ио и Европы (рис. 8.30в). При двух последующих соединениях
спутник вне соединения отстоит от спутников в соединении на 180° и 90°
(рис. 8.30г, д). Когда происходит третье соединение Ио и Ганимеда, Европа
отстает от них на 60° (рис. 8.30е).
В целом динамика этого резонанса слишком сложна, чтобы ее можно было
описать здесь полностью; более полный анализ читатель может найти в статье
Йодера и Пила (1981). Однако, поскольку ее исследование дает уникальные
сведения о приливной диссипации как внутри Юпитера, так и внутри Ио,
сформулируем некоторые из наиболее важных результатов.
Йодер и Пил (1981) убедительно показали, что наблюдаемую почти
нулевую амплитуду либрации резонансного аргумента ф^ можно объяснить,
если эта система из трех спутников находится сейчас почти в равновес-
8.17. Резонанс Лапласа
405
ном состоянии, в котором эффекты приливной диссипации внутри Юпитера
в основном сбалансированы эффектами приливной диссипации внутри Ио.
Главным управляющим параметром в этом процессе служит скорость
приливной диссипации внутри Ио. Подставляя в четвертое из соотношений (8.272)
данные из табл. 8.9, находим скорость изменения долготы перицентра Ио:
w\ = 2п2 -т = -0.7396°/сут.
(8.274)
Сжатие Юпитера вносит в скорость прецессии вековой вклад, а
гравитационное взаимодействие Ио и Европы — резонансный вклад:
ТЯ\ — ^sec + Й?г.
Вековой вклад дается выражением
*™ = \nxJ2№-) =0.1290°/сут.
(8.275)
(8.276)
Эксцентриситет орбиты Ио — исключительно вынужденный. Он обусловлен
резонансным взаимодействием Ио и Европы. Его значение определяет
скорость прецессии перицентра wres. В главе 6 мы показали, что
wres = ^^aFia) = -0.8686 °/сут,
где а = cl\/cl2 = 0.630 и
F(a) = 2
-4 - а—
аа
Ь^ (а) = -1.19049,
(8.277)
(8.278)
где b\L(a) — коэффициент Лапласа (см. (6.179)). Данный анализ приводит
к выводу, что ожидаемым является значение е\ = 0.0044. Фактически это
близко к наблюдаемому значению 0.0041 (см. табл. 8.9).
Таблица 8.9. Физические и орбитальные параметры спутников Юпитера,
вовлеченных в резонанс Лапласа. Масса, большая полуось орбиты, среднее движение,
орбитальный период и эксцентриситет орбиты г-го спутника обозначены через тг,
а*, щ, Тг и е», соответственно
Спутник
Ио
Европа
Ганимед
i
1
2
3
гщ (1023 г)
893.3
479.7
1482
ui (103 КМ)
421.67
670.9
1070
щ (°/сут)
203.4890
101.3747
50.3176
Тг (сут)
1.769137
3.551182
7.154554
et
0.0041
0.0101
0.0006
Пока значение е\ поддерживается на этом уровне благодаря резонансу
Ио-Европа, спутник нагревается со скоростью
<\Е . | 21 к2\ 2
dt
= _/ TQTeini
9±
9т\
(8.279)
406
Гл. 8. Резонансные возмущения
где выражение в фигурных скобках применимо к полностью твердотельному
Ио (см. (4.197)), — в этом случае число Лява дается формулой /c2i = 3/2Дь
Коэффициент / учитывает увеличение нагрева из-за того, что внутренность
Ио расплавлена (Пил и др., 1979). Энергия, рассеянная в виде тепла внутри
Ио, изымается из орбитальной энергии спутника, что приводит к росту
среднего движения со скоростью
^ = ||. (8.280)
п\ 2 Е
где Е — —Qmpm\/2a\ (см. раздел 4.10). Учет равновесия между приливной
диссипацией внутри Юпитера, которая уменьшает п\, и приливной
диссипацией внутри Ио, которая, наоборот, увеличивает п\, позволил Йодеру и
Пилу (1981) вывести соотношение
&2Р Vmi/ \СР/ Q\ 13ef
где /с2р — число Лява для Юпитера. В этом соотношении несколько
неизвестных. Однако энергия, рассеянная внутри Ио, излучается в пространство
с интенсивностью Е, которую можно измерить при наблюдениях с Земли.
Выделяя в (8.279) и (8.281) относящийся к Ио общий множитель e\fk2\/Q\,
находим
йм и^сл'^ (8.282)
26 Qp \а\ ) а\
Эта формула показывает, что скорость диссипации энергии внутри Ио
определяется скоростью диссипации приливной энергии внутри Юпитера. Таким
образом, приливная диссипативная функция Qp Юпитера может быть
определена из измерений Ё. Из величины динамического сжатия 3<± Юпитера
следует оценка к^р ~ 0.53; тогда по формуле (8.282) находим
Я- 1018
Е « \^— Вт. (8.283)
Qp
Посредством наземных наблюдений Ио в инфракрасном диапазоне Ведер
и др. (1994) получили оценку Е = 1014 Вт; следовательно, Qp « 3 • 104.
Этот результат замечательно близок к независимой оценке Qp ^ 8 • 104,
полученной Голдрайхом и Сотером (1966) с помощью формулы (8.252) в
предположении, что у резонанса Лапласа возраст такой же, как у Солнечной
системы. (При этом предположении масса Ио в формуле (8.252) полагается
уменьшенной в 4.2 раза, чтобы принять в расчет передачу момента
количества движения от орбиты Ио к орбитам Европы и Ганимеда.) В том, что
первая приведенная выше оценка Qp меньше нижней границы, найденной
Голдрайхом и Сотером, имеется очевидное несоответствие, но оно может
лишь означать, что либо оценка Ведера и др. для Ё примерно в 3 раза
превышает реальное значение Ё, либо скорости приливной диссипации внутри
8.18. Вековые и резонансные движения
407
Ио или Юпитера (или внутри их обоих) изменились за время существования
Солнечной системы.
По формуле (8.279), положив Ё « 1014 Вт и /c2i ~ 0.03, находим Q\ « 2/,
и, поскольку / вряд ли превышает ~ 10 (Пил и др., 1979), Q\ ^ 20. Это очень
низкое значение для верхней границы Q\\ из него следует, что оценка Ведера
и др. для Е, по-видимому, завышена.
8.18. Вековые и резонансные движения
В главе 7 мы показали, как динамическая эволюция орбит N
гравитационно взаимодействующих тел может быть смоделирована с помощью теории
вековых возмущений. Одним из главных предположений в этой теории
является предположение об отсутствии резонансов средних движений. Однако
стандартную теорию вековых возмущений можно модифицировать так, чтобы
она учитывала усредненное влияние резонансов или близости к резонансам.
Такой подход основывается на том, что три временных масштаба в движении
тела — орбитальный период, резонансный период (или период циркуляции)
и период прецессии — обычно сильно различаются; это позволяет сделать
некоторые приближения в теоретическом анализе. Данную технику
разделения временных масштабов впервые применил Уиздом (1985а) в своем
исследовании хаотического движения астероидов вблизи резонанса 3:1с
Юпитером (см. главу 9). Впоследствии эта техника была использована Мальхотрой
и др. (1989) в исследовании динамики спутниковой системы Урана. В этом
разделе мы разовьем теорию векового и резонансного движений в рамках
задачи о движении двух тел вокруг сжатого центрального тела. Затем эту
теорию мы объединим с полной вековой теорией, развитой в главе 7.
Рассмотрим два тела с массами га и га/, обращающиеся вокруг сжатого
центрального тела с массой гас. Эти два тела испытывают воздействие
гравитационного потенциала несферического центрального тела, а также взаимных
возмущений. Мы предполагаем, что эти два тела движутся вблизи резонанса
средних движений j : j — 1 первого порядка. С точностью до членов низшего
порядка соответствующие вековые и резонансные члены возмущающей
функции равны
^=^TJ2(f) +^(^(10/)2+CeCOS^-^]+C'e'COS^-^/])' (8-284)
К' = ^J2 (^\ + ^ {\bf)2+ Cecos[0 - w] + Се'cos[0 - w']\ (8.285)
для внутреннего и внешнего тела, соответственно. Здесь R — радиус
центрального тела, и
0 = jA' + (l-j)A, (8.286)
C=l-[-2j-aD]btf2> (8.287)
С = l-[-l + 2j + aD}b\j-l) - J^-,2 , (8.288)
408
Гл. 8. Резонансные возмущения
где а = а/а!, 5 — дельта-функция Кронекера. Первые члены в К и К'
учитывают сжатие центрального тела. Выражения для остальных членов
находятся из разложения возмущающей функции в приложении Б. Слагаемое
-frjA представляет собой составляющую низшего порядка в вековом члене
из 4D0.1 (j = 0). Члены в С и С" выводятся из составляющих 4D1.1, 4D1.2
и 411.3 низшего порядка. Обратите внимание, что, поскольку мы
ограничились членами низшего порядка, в формулах нет наклонений орбит.
Мальхотра и др. (1989) вывели уравнение маятника, описывающее
поведение вблизи резонанса. Вывод этого уравнения включает вывод выражений
для j\f и (1 — j)X. Пренебрегая резонансным вкладом от изменения средней
долготы в эпоху, имеем
X = п
Х' = п'
1+3J2
1 +3J2
R
а
R
г.1
т
тс da l/2
-а
+
т
тг
1 + а±) Ь(0)
da/
1/2
Дифференцируя по времени еще раз, получаем
А = Fn + F'n',
\' = Gn + G'n',
(8.289)
(8.290)
(8.291)
(8.292)
где
m
+ —a
F=l+7J2
, 2 m' i /9 / d о d2
F' = ---—a"1/2 2a— + a2-^
Smc \ da daz
G = --—a3/2 2a— + a2—^
3mc V da daz
\_ _d_ 2 2 d2
3 da 3 da2
1,(0)
^1/2»
G'=l + 7 J2
R
m
+ —a
mc
?l/2'
d
?l/2'
7 _d_ 2 2 d2
3 da 3 da2
l(0)
^1/2-
(8.293)
(8.294)
(8.295)
(8.296)
Применив метод разделения временных масштабов, Мальхотра и др.
(1989) показали, что величины cos# и sin 9, усредненные на одном периоде
вращения, равны
(cos0)r = е(Ск + С'к') + 0{е2),
(sin0)r = e(Ch + C'h!) + 0(e2),
(8.297)
(8.298)
где
_ 3nf_
£~ 2ш2
2 г
т
т
U - 1) — [U - \)F-jG]a-2+j — [jG' - (j - l)F'}
т(
ГПс
(8.299)
8.18. Вековые и резонансные движения
409
где ш — частота вращения (Мальхотра и др. 1989) и приняты стандартные
обозначения h = esintu, k = ecoszu, Ы = e' sinw' и k' = e' cosw' (см. главу 7).
Можно показать, что усредненные производные h и тг' равны нулю и
поэтому вековые изменения а или а' из-за резонансных возмущений
отсутствуют. Таким образом, в наших уравнениях возмущенного движения можно
положить а = (а) и a' = {af).
Резонансные вклады в уравнения возмущенного движения (7.25) и (7.26)
имеют вид
L т' а п а и т' а п • а
а = —п—С cosfl, к = п—С sint^,
тс а тс а'
771 . 771
Ы = —п'С cos в, к' = -—п'С sin в.
тг тс
(8.300)
Усредняя правые и левые части, имеем
771 П • 771 П
(h) = —п-Се(Ск + С'к'), (к) = n-Ce(Ch + C'ti),
тс а' тс а'
771 • 771
(h') = —n'C's(Ck + С'к'), (к') = n'C'e(Ch + C'h').
(8.301)
Изменяя обозначения и опуская символы усреднения, можно адаптировать
стандартные уравнения теории вековых возмущений, чтобы эта теория
учитывала эффекты близких резонансов в любой паре среди N гравитационно
взаимодействующих тел. Это дает
N N
hj = ^2(Ajk + sAjk)kk, kj = - ^T(Ajk + eAjk)hk, (8.302)
k=\ k=\
где Ajk определяются выражениями (7.132) и (7.133), a
Ал = nj^ajiCjCi (8.303)
7Tlc
в случае близости к резонансу между телами щ и т\. Во всех других
случаях Ajk = 0. Также имеем
5,к = (а*/а*' eaiHj<fc, (8304)
JK у 1, если к < j, v 7
где предполагается, что а\ < а^ < аз < В новых обозначениях Cj = С,
С/ = С, если j < Z, и Cj = С', С\ — С, если j > I. Для других величин,
относящихся к вовлеченным в близкий резонанс телам, определения аналогичны.
Из вида уравнений (8.302) ясно, что влияние близости к какому-либо
резонансу в каждом случае сводится к модификации одного или нескольких
недиагональных элементов матрицы Ajk. Это означает, что качественный
характер векового решения, полученного в разделе 7.7, сохраняется; близость
к резонансу влияет только на количественные аспекты решения.
410
Гл. 8. Резонансные возмущения
8.19. LONGSTOP Uranus
Непосредственно перед сближением «Вояджера-2» с Ураном в январе
1986 г. Дермотт и Николсон (1986) показали, что прежние оценки масс
известных тогда пяти спутников Урана были, по-видимому, неправильными,
поскольку они были сделаны без надлежащего учета вековых возмущений.
Чтобы проверить справедливость вековой теории в приложении к
спутникам Урана, был проведен численный эксперимент по долговременному
интегрированию полных уравнений движения на ЭВМ Cray IS, установленной
в компьютерном центре Лондонского университета. Этот эксперимент стал
дополнением к проекту LONGSTOP (LONG-term Gravitational Stability Test
of the Outer Planets — «долговременный тест гравитационной устойчивости
внешних планет»), заключавшемуся в численном интегрировании движения
пяти внешних планет на интервале времени в 108 лет (см. Рой и др. (1988)
и главу 9). Приложение к спутникам Урана (LONGSTOP Uranus) подробно
описано в работе Мальхотры и др. (1989).
Таблица 8.10. Начальные условия в численном эксперименте LONGSTOP Uranus
3
1
2
3
4
5
Спутник
Миранда
Ариэль
Умбриэль
Титания
Оберон
rrij /mc
(хЮ5)
0.1
1.8
1.1
3.2
3.4
аз
(км)
129 775
190822
265 832
436035
583117
Ч
0.0027
0.0034
0.0050
0.0022
0.0008
Wj
(°)
111
120
193
147
212
h
(°)
4.22
0.31
0.36
0.142
0.101
О,-
(°)
21
263
279
311
234
Начальные условия численного интегрирования в эксперименте
LONGSTOP Uranus даны в табл. 8.10; кроме того, приняты значения
Gmc = 5.784184 • 106км3/с2, J2 = 3.3450 • 10~3, J4 = -3.21 • 10~5 и
Rc = 26200 км. Полные уравнения движения были проинтегрированы
на интервале времени в 3 790 лет (приблизительно 980000 орбитальных
периодов Миранды).
Посредством фурье-анализа временных рядов h и р в эксперименте были
найдены приблизительные частоты, амплитуды и фазы для доминирующих
спектральных линий для каждого из спутников. Предварительные
отождествления фундаментальных мод были затем использованы в качестве входных
данных для программы, которая с помощью метода наименьших квадратов
выполняла аппроксимацию данных {/&, к} или {p,q} для всех спутников
одновременно. Это обеспечило наилучшие оценки частот {/ь <7г} и фаз {/?ь7г}
фундаментальных мод. В табл. 8.11 и 8.12 дано сопоставление частот,
полученных в этом численном эксперименте, с частотами, вычисленными в рамках
классической теории Лапласа-Лагранжа. Из численно-экспериментальных
оценок частот и фаз с помощью этой программы были также определены
амплитуды Ej и /• компонент всех мод, отождествленных по данным для
каждого из спутников. Эта техника известна как синтетическая теория
вековых возмущений.
8.19. LONGSTOP Uranus
411
Таблица 8.11. Сравнение вековых частот эксцентриситетов/перицентров,^ (7Г°Д)
Мода,
г
1
2
3
4
5
Численное
интегр.
20.299
6.000
2.909
1.924
0.367
Классич.
теория
20.589
5.965
2.856
1.608
0.352
Ошибка
+ 1.4%
-0.6%
-1.8%
-16.4%
-4.1%
Модиф.
теория
20.289
5.965
2.874
1.874
0.367
Ошибка
-0.05%
-0.6%
-1.2%
-2.6%
-0.0%
Таблица 8.12. Сравнение вековых частот наклонений/узлов, fi (°/год)
Мода,
i
1
2
3
4
5
Численное
интегр.
-20.495
-6.013
-2.815
-1.676
-0.248
Классич.
теория
-20.587
-6.018
-2.819
-1.693
-0.249
Ошибка
-0.4%
-0.1%
-0.1%
-1.0%
-0.2%
Модиф.
теория
-20.524
Ошибка
-0.1%
Прежде чем сравнивать численно-экспериментальные оценки с
найденными из классической теории, необходимо получить набор «усредненных»
начальных условий, поскольку при численном интегрировании использовались
оскулирующие элементы орбит, а в классической вековой теории
используются усредненные элементы. Чтобы получить начальный набор {hj, kj, pj, qj},
не зависящий от короткопериодических эффектов, на момент времени t — 0
было вычислено синтетическое решение с использованием
численно-экспериментальных значений fi9 giy fa, 7ь Ej и Iy (г, j = 1, 2, 3, 4, 5).
Наиболее поразительное согласие между результатами численного
эксперимента и классической теории наблюдается для собственных частот I-Q
(табл. 8.12). Если считать результаты численного эксперимента «истинными»
значениями, то наибольшая ошибка теоретического значения частоты равна
1% (в случае /4). Это замечательное согласие означает, что стандартная
вековая теория, основанная на разложении возмущающей функции второго
порядка (по е и /), дает совершенно адекватную теорию долговременной
динамики спутниковой системы Урана.
Из сопоставления собственных частот e-w (табл. 8.11) очевидно, что
результаты довольно сильно различаются. Действительно, наименьшая ошибка
в собственных частотах e-w сравнима с наибольшей ошибкой в
собственных частотах J-fi, при этом наибольшая ошибка для e-w превышает 15%.
Наибольшее несоответствие наблюдается в случае д\, но ошибки для д$ (4%)
и #з (2%) также превышают «приемлемые» значения, примеры которых дает
сравнение частот /$. Поэтому очевидно, что полное численное интегрирование
включает эффекты, которые не учитываются классической теорией. Главным
источником расхождений служит влияние близких к резонансным
взаимодействий в парах спутников.
Анализ доминирующих периодических членов в {/i, /с}-теории для Умбри-
эля, Титании и Оберона в рамках теории движения спутников Урана, при-
412
Гл. 8. Резонансные возмущения
надлежащей Ласкару (Ласкар, 19866), выявляет существенные вклады по-
чти-резонансов 3:2 Титания-Оберон и 2: 1 Умбриэль-Титания с периодами
144.9 и 86.4 сут, соответственно. Таким образом, почти-резонансы оказывают
косвенное влияние на само вековое решение. Поскольку каждый из
указанных почти-резонансов имеет вид j : j — 1 (то есть является почти-резонан-
сом первого порядка), то, исходя из вида возмущающей функции, следует
ожидать, что должны быть затронуты эксцентриситеты, но не наклонения.
Это согласуется с приведенными выше численными результатами. Как мы
убедились в предыдущем разделе, вековое влияние этих почти-резонансных
членов можно вычислить из аналитической теории, а модификации, которые
они вносят в вековое решение для эксцентриситетов и перицентров, можно
записать в аналитическом виде. Мальхотра и др. (1989) внесли малую
поправку в решение «наклонение/узел», учитывающую члены высокого порядка
в наклонении орбиты Миранды.
Сопоставление столбцов с ошибками в табл. 8.11 показывает, что
модифицированная вековая теория дает для собственных частот значения
существенно более точные, чем определяемые из классической теории Лапласа-Лагран-
жа: отклонения собственных частот эксцентриситета составляют максимум
2% в сравнении с отклонениями 16% и 4% для д\ и 05» соответственно,
в классической теории. Таким образом, модифицированная вековая теория
превосходно согласуется с результатами численного интегрирования полных
уравнений движения.
Кристу и Мюррей (1997) на основе теории вековых возмущений более
высокого порядка (относительно масс) разработали уточненную версию
метода, предложенного Мальхотрой и др. (1989) для эксперимента LONGSTOP
Uranus. Кристу и Мюррей учли влияние большего числа почти-резонансов
и провели сопоставление своей теории высокого порядка с результатами
численного интегрирования. В улучшенной теории максимальная ошибка
уменьшена до значения < 0.5%.
8.20. Планеты у пульсаров
Пульсаром называется быстро вращающаяся нейтронная звезда,
регулярно излучающая «импульсы» в радиодиапазоне. Пульсары определенного
типа — миллисекундные пульсары — вращаются быстрее других; как
полагают, они являются «старыми» пульсарами, «раскрученными» в результате
аккреции вещества звезды-компаньона.
Пульсар PSR1257+12 излучает импульсы радиоволн, регистрируемые
каждые 6.2 мс. Он был открыт в феврале 1990 г. Мониторинг его
радиоимпульсов более года проводился на радиотелескопах Аресибо и VLA ("Very
Large Array" — «очень большая матрица»). Волщан и Фрейл (1992)
обнаружили явные периодичности в задержках времени прихода импульсов; они
объяснили эти периодичности влиянием двух обращающихся вокруг пульсара
объектов с размерами планет. Периодичности в задержках возникают в этом
случае вследствие движения нейтронной звезды вокруг общего центра масс
системы.
8.20. Планеты у пульсаров
413
В разделе 2.7 мы описали замкнутую систему двух тел, обращающихся
по эллипсам вокруг центра масс. Добавление третьей массы делает движение
всех трех тел намного более сложным, но легко показать, что центр масс
системы будет и в этом случае двигаться прямолинейно и равномерно (или
будет неподвижен), а центральное тело (большой массы) будет обращаться
вокруг него. Тогда система должна иметь два очевидных периода, связанных
с двумя обращающимися телами.
Анализируя данные наблюдений пульсара, Волщан и Фрейл (1992)
вычислили приблизительные значения элементов орбит двух планет и получили
оценки их масс. Были обнаружены также некоторые свидетельства
существования третьей планеты. Результаты анализа из статьи Волщана и Фрейла
приведены в их исходном виде в табл. 8.13. Поскольку элементы орбит
определены из чисто временных измерений, какая-либо информация о
наклонениях и узлах орбит отсутствует. Это учитывается путем введения в некоторые
из орбитальных параметров в табл. 8.13 единого фактора проекции sin/.
Таблица 8.13. Параметры двух планет в системе пульсара, согласно Волщану и
Фрейлу (1992); т — масса в единицах массы Земли, a sin/ — проекция большой
полуоси, / — (неизвестное) наклонение, е — эксцентриситет, Т — время прохождения
перицентра, Р — орбитальный период, и — аргумент перицентра
Параметр
m (ME)
as'ml (св. мс)
е
T(JD)
Р(с)
"(°)
Планета 1
3.4/sin/
1.31 ±0.01
0.022 ± 0.007
2448105.3 ± 1.0
5751011.0 ±800.0
252 ± 20
Планета 2
2.8/ sin/
1.41 ±0.01
0.020 ± 0.006
2447998.6 ±1.0
8487388.0 ±1800.0
107 ±20
Волщан и Фрейл (1992) отметили, что орбиты предполагаемых планет
близки к резонансу 3:2 и что из-за вековых возмущений следует ожидать
различия ~ 180° положений их перицентров. Расио и др. (1992) показали,
что вековые и резонансные взаимные возмущения планет должны вызывать
долговременные изменения элементов их орбит (аналогично эффекту,
описанному в разделе 8.17), что дает способ проверки справедливости
первоначальной интерпретации Волщана и Фрейла (1992).
Динамика предполагаемой планетной системы была впоследствии
исследована рядом других авторов, включая Мальхотру и др. (1992) и
Пила (1993а). Обработав данные трехлетнего мониторинга на
радиотелескопе Аресибо, Волщан (1994) объявил о подтверждении существования
у этого миллисекундного пульсара (впоследствии переименованного в PSR
В1257+12) трех планет 1).
Однако остаются вопросы о происхождении такой резонансной
конфигурации. Привела ли эволюция орбит планет к резонансу еще до взрыва
сверхновой, образовавшего пульсар, или резонанс возник из-за сопротивления
1) Планеты системы PSR В1257+12 — первые открытые планеты вне Солнечной системы.
К настоящему времени открыто более 300 планет во «внесолнечных» планетных системах. —
Прим. ред.
414
Гл. 8. Резонансные возмущения
(какого-либо вида) среды, возникшей после взрыва? Дальнейший прогресс
в объяснении первого планетного резонанса, открытого вне Солнечной
системы, может потребовать развития как теории эволюции звезд, так и науки
о динамике диссипативных систем.
Контрольные упражнения
8.1 До осуществления межпланетных космических миссий массы
спутников планет можно было определять лишь из наблюдений их гравитационных
взаимодействий, в частности при наличии резонансов. Энцелад и Диона, два
спутника Сатурна, вовлечены в резонанс 2: 1 средних движений.
Наблюдаемые средние движения Энцелада (внутренний и менее массивный спутник)
и Дионы равны соответственно пе = 262.732°/сут и по — 131.535 °/сут;
эксцентриситет орбиты Энцелада равен е = 0.0048. Резонансная переменная
ф = 2Ad — Ае — я7е» согласно наблюдениям, либрирует с амплитудой 0.297°
относительно равновесного нулевого значения. Полагая вековую скорость
прецессии перицентра Энцелада равной ше = 0.415°/сут (при доминирующем
вкладе в нее эффекта J^ Сатурна), с помощью теории, описанной в
разделе 8.8, выведите выражения для S и R в зависимости от mo/msaturn
в случае данного резонанса. В предположении, что эксцентриситет е является
вынужденным из-за резонанса, с помощью соотношения между 6 и R в точке
равновесия вычислите значение mo/msaturn и отсюда найдите численные
значения 5 и R в случае данного резонанса. Полагая радиус Дионы равным
560 км, а массу Сатурна равной 5.685 • 1029 г, используйте полученное Вами
значение массы для оценки средней плотности Дионы. Является ли Ваш
результат физически правдоподобным?
8.2 В этой задаче результаты долговременного численного
интегрирования движения трех малых спутников (имеющих равные массы, малые
эксцентриситеты (~ 0.001) и малые наклонения орбит) вокруг сферической
планеты сопоставляются с аналитическим решением в классической теории
Лапласа-Лагранжа. Большие полуоси орбит спутников равны 7.31, 9.31 и 11.60
радиуса планеты. Сравнение вековых решений «эксцентриситет/перицентр»,
полученных для первого и третьего спутников из интегрирования, с одной
стороны, и из теории, с другой, выявляет сильное несоответствие.
Однако сравнение решений «наклонение/узел» показывает превосходное согласие
обоих методов для всех спутников. Выведите выражения для
приблизительных амплитуд изменений эксцентриситета из-за возможного влияния
резонанса 2:1 в каждой паре спутников (то есть внутреннего резонанса
2:1 и внешнего резонанса 1:2 в парах (1, 2), (1, 3), (2, 3)) и используйте
Ваши результаты, чтобы объяснить указанные несоответствия вековой теории
и результатов численного интегрирования.
8.3 Применяя третий закон Кеплера, вычислите значение большой
полуоси орбиты (в а.е.) для номинального положения каждого из внутренних
резонансов средних движений с Юпитером первого и второго порядков в
интервале от 2.0 до 4.5 а.е. Области перекрытия резонансов являются областями
хаотического поведения (см. раздел 9.6). Используя модель маятника для
резонансного движения в плоской круговой ограниченной задаче трех тел
Контрольные упражнения
415
и пренебрегая вкладом w, вычислите приблизительную ширину каждого
из этих резонансов по большой полуоси, полагая типичный эксцентриситет
орбиты астероида равным 0.15, а отношение масс Юпитера и Солнца равным
9.54 • Ю-4. Отождествите интервалы значений большой полуоси, где
происходит перекрытие каких-либо из указанных резонансов.
8.4 В области Солнечной системы с радиусом от 5.9 до 8.8 а.е. по примеру
предыдущей задачи найдите номинальные положения всех внешних
резонансов средних движений с Юпитером первого и второго порядков и вычислите
ширину каждого, используя значения параметров из предыдущей задачи.
Затем найдите положение и ширину каждого из внутренних резонансов
средних движений с Сатурном первого и второго порядков в этой же области,
полагая отношение масс Сатурна и Солнца равным 2.86 • Ю-4. Отождествите
интервалы значений большой полуоси, где происходит перекрытие каких-либо
из указанных резонансов, и прокомментируйте, какие выводы относительно
долговременной устойчивости движения объектов в области между этими
двумя планетами можно извлечь из Ваших результатов.
8.5 Пусть круговая орбита спутника с прямым движением вокруг планеты
испытывает приливную эволюцию. При увеличении большой полуоси орбиты
спутника пробная частица на компланарной внутренней орбите проходит без
захвата через последовательность резонансов со спутником первого и второго
порядков, что приводит к дискретному возрастанию эксцентриситета
орбиты частицы. Отношение масс спутника и планеты равно Ю-6, начальные
значения большой полуоси орбиты спутника и его орбитального периода
равны о! — 1.5 • 105 км и Р' = 17 час. Большая полуось а' увеличивается
с постоянной скоростью о! — 3 • Ю-4 км/год. Полагая, что большая полуось
орбиты пробной частицы постоянна, а ее начальный орбитальный период
равен 14.4 час, в рамках теории, описанной в разделе 8.12, предскажите
приблизительные моменты времени, когда орбита частицы столкнется с каждым
из е- и е2-резонансов средних движений; сжатием планеты можно пренебречь.
Полагая начальный эксцентриситет орбиты частицы равным нулю, вычислите
прогнозируемое изменение эксцентриситета орбиты частицы при прохождении
каждого резонанса.
8.6 В 1991 г. на основе результатов анализа временного ряда
радиоимпульсов от пульсара PSR 1257+12 было высказано предположение, что
вокруг него обращаются по меньшей мере две планеты. Из наблюдений также
следовало, что эти планеты должны быть близки к резонансу средних
движений 3:2. Для элементов орбит были определены следующие значения: а\ =
= 0.36 а.е., а2 = 0.47 а.е., ех = 0.022, е2 = 0.020, w{ = 252°, ш2 = 107°, Р{ =
= 66.563 сут и Р2 = 98.234 сут, где а, е, w и Р — большая полуось,
эксцентриситет, долгота перицентра и орбитальный период, соответственно. Для
отношений масс были найдены значения т\/М = 7.1 • Ю-6 и т2/М = 5.9 • 10_6,
где т — масса планеты, М — масса пульсара. Существование планет было
подтверждено наблюдениями изменений орбитальных элементов. Используя
приведенные здесь данные, вычислите амплитуду и период колебаний е и ш
из-за близости орбит планет к резонансу 3:2. Какие еще эффекты могут
влиять на кратковременные и долговременные изменения элементов орбит?
Глава 9
ХАОС И ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
Забыв почтенье, мы ослабим струны —
И сразу дисгармония возникнет.
Уильям Шекспир, Троил и Крессида,
акт I, сцена 3
(пер. Т. Гнедич)
9.1. Введение
Чтобы исследовать вращательное и орбитальное движение тел Солнечной
системы, мы вывели в этой книге немало уравнений движения. Эти
уравнения описывают как консервативные системы, например в задачах двух или
трех тел, так и диссипативные системы, возникающие при учете приливной
эволюции или динамических эффектов сил сопротивления. Однако все эти
уравнения имеют одно общее свойство: они описывают системы, являющиеся
детерминированными. Это означает, что знание текущего состояния системы
позволяет нам вычислить ее состояния в прошлом и будущем, если нам
известны все действующие силы. В задаче двух тел нам удалось решить
уравнения движения и тем самым определить поведение системы на любой
момент прошлого или будущего. В задаче трех тел найти полное
аналитическое решение оказалось невозможным; поэтому для выяснения
орбитального поведения пробной частицы нам приходилось полагаться на численные
методы. Однако неявно предполагалось, что, зная начальное состояние
системы, мы можем вычислить ее состояние в будущем, решив
уравнения движения. К сожалению, для некоторых систем, исследованных нами,
это предположение неверно; причиной этому служит феномен, называемый
хаосом.
Исходя из простых предположений теории вековых возмущений, в
главе 7 мы смогли получить аналитическое решение задачи о гравитационном
взаимодействии N тел. Это не дало информации об угловых положениях
тел на их орбитах, но, тем не менее, мы могли вычислять на любой момент
прошлого или будущего другие орбитальные элементы, зная их текущие
значения. Решение Лапласом вековой задачи позволило ему утвердиться
в представлении о долговременной устойчивости Солнечной системы. Лаплас
верил в детерминированную Вселенную, в которой полное знание о поведении
системы, если законы природы известны, есть лишь вопрос знания всех
начальных условий и решения соответствующих уравнений. Теперь мы знаем,
что это представление неверно.
9.2. Существенная зависимость от начальных условий
417
В конце XIX в. Анри Пуанкаре, признанный основатель науки о
нелинейной динамике, приступил к математическому исследованию задачи трех
тел. Его основополагающие результаты, изданные в книге Les Methodes
Nouvelles de la Mecanique Celeste («Новые методы небесной механики»;
Пуанкаре 1892, 1893, 1899), дали указания на чрезвычайно сложную природу
движения, которая может проявляться в решениях этой задачи. Пуанкаре
понял, что при определенных начальных условиях траектории носят весьма
необычный характер, и заложил математический фундамент для дальнейших
исследований хаоса.
Важнейшим недостатком численных исследований во времена Пуанкаре
было отсутствие эффективных средств для вычисления решений уравнений
движения. С появлением компьютеров и ростом их производительности в
исследованиях нелинейной динамики в целом и динамики Солнечной системы
в частности возник новый — численно-экспериментальный — подход. К
настоящему времени численные результаты, вместе с новыми наблюдательными
данными и теоретическими достижениями, выявили важнейшую роль,
которую хаос играл в формировании динамической структуры Солнечной системы
и ее эволюции.
Общепринятого определения хаоса до сих пор нет, хотя он проявляется
в самых разных динамических системах. Однако для наших целей мы можем
принять следующее определение: тело Солнечной системы движется
хаотически, если его финальное динамическое состояние существенным образом
зависит от его начального динамического состояния. Поскольку результат
измерения любой физической величины всегда содержит неизбежную ошибку,
недостаток точности в начальных условиях преобразуется в неопределенность
финального состояния. В этой главе мы изучим природу и последствия
проявлений хаоса в долговременной динамической эволюции. Обзор основных
результатов в этой области дан в статье Мюррея (1998).
9.2. Существенная зависимость от начальных условий
Рассмотрим задачу о движении пробной частицы в окрестности планеты,
обращающейся вокруг Солнца; если орбита планеты круговая, то это пример
круговой ограниченной задачи трех тел. В плоской задаче компоненты
векторов положения и скорости частицы на заданный момент времени
представляют собой четыре величины ж, у, х и у, однозначно определяющие
«положение» частицы в четырехмерном пространстве, называемом фазовым
пространством. Частица движется по некоторой траектории в фазовом
пространстве, как и по траектории в обычном конфигурационном пространстве
(в плоскости (ж, у)). Если бы частица испытывала только притяжение Солнца,
то ее движение было бы совершенно предсказуемо. Однако из-за возмущений
со стороны планеты определенные области фазового пространства становятся
хаотическими: орбитальная эволюция пробных частиц, помещенных в эти
области, протекает непредсказуемым образом.
На рис. 9.1 данный феномен проиллюстрирован на примере движения
пробной частицы, испытывающей возмущения со стороны Юпитера, в плос-
418
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Рис. 9.1. Траектории двух пробных частиц с одними и теми же начальными
значениями большой полуоси (ао = 0.8), эксцентриситета (ео = 0.4) и долготы
перицентра (wo = 295°), но с чуть различными начальными значениями средней долготы
(Ло = 293° и Ао = 293.3°). Орбита Юпитера изображена в виде штриховой
окружности; начальная долгота Юпитера положена равной нулю. Численное интегрирование
проведено на интервале времени в один орбитальный период Юпитера
кой круговой ограниченной задаче трех тел. Показаны орбиты с двумя
близкими начальными условиями. Обе орбиты доставляют пробную частицу
в окрестность Юпитера, но различия всего в 0.3° в значении начальной
долготы оказывается достаточным, чтобы привести к совершенно разным
конечным результатам. В этом состоит пример так называемого «эффекта
бабочки». Впервые он стал обсуждаться в контексте хаотических систем,
описывающих изменение погоды: было высказано предположение, что при
подходящих условиях совершенный где-либо хлопок крыльев бабочки может
в конечном счете вызвать ураган в другой части света. В контексте динамики
Солнечной системы пробную частицу можно представить себе как
космический аппарат, осуществляющий гравитационный маневр рядом с Юпитером.
В подобных примерах хаотического поведения малая вариация начальных
условий изменяет геометрию сближения и, следовательно, величину
непосредственного возмущения, испытываемого со стороны планеты.
Кометы и астероиды, имеющие достаточно большие эксцентриситеты
орбит, могут пересекать орбиты планет. При большой полуоси а — 13.75 а.е.
и эксцентриситете е = 0.385 орбита астероида 2060 Хирон (см. табл. А. 17)
имеет перигелий, лежащий внутри орбиты Сатурна, и афелий, близкий к
орбите Урана. Используя наилучшие доступные определения элементов орбиты
Хирона, Оикава и Эверхарт (1979) выполнили несколько численных
экспериментов по интегрированию его орбиты, при этом начальные условия брались
близкими к общепринятым в случае этого объекта. Эксперименты показали,
что Хирон испытает в будущем несколько тесных сближений с планетами.
Разные начальные условия привели к существенно разным результатам, что
является признаком хаотического поведения; поэтому Оикаве и Эверхарту
удалось дать лишь вероятностную оценку окончательной судьбы Хирона.
Шанс, что Сатурн перебросит Хирон на гиперболическую орбиту, уводящую
Хирон из Солнечной системы, они оценили как 1 из 8. Вероятность, что
сближения Хирона с Сатурном заставят его орбиту эволюционировать в направ-
9.2. Существенная зависимость от начальных условий
419
лении внутренней части Солнечной системы (где он попал бы под действие
гравитационных возмущений со стороны Юпитера), больше (7 шансов из 8).
Астероидная природа Хирона сейчас ставится под сомнение в связи с
открытием сильных нерегулярных изменений его яркости (Толен и др., 1988)
и обнаружением у него комы (Мич и Белтон, 1989). Хирон относят теперь
к классу кентавров — гигантских сближающихся с планетами объектов,
похожих на кометы; по-видимому, они представляют собой объекты пояса
Эджворта-Койпера, эволюционирующие к стадии короткопериодических
комет (см., напр., Лю, 1994).
Другой пример эффекта бабочки в динамике Солнечной системы дает
орбитальная история кометы Шумейкер-Леви 9. Численные эксперименты по
интегрированию орбиты этой кометы показывают, что еще до падения на
Юпитер в июле 1994 г. она разрушилась на части при сближении с Юпитером
в 1992 г. Согласно Шода и Иомансу (1996), есть основания полагать, что
комета первоначально была захвачена на орбиту вокруг Юпитера в 1929 ± 9 г.
До захвата ее орбита, по-видимому, была подобна орбитам многих других
комет семейства Юпитера: она имела малый эксцентриситет и, по всей
вероятности, лежала внутри орбиты Юпитера. Более полную информацию об
орбитальной эволюции этой кометы получить нельзя, поскольку 1)
траектория является хаотической и 2) исключены дальнейшие астрометрические
наблюдения, которые позволили бы улучшить известную орбиту.
Проявления хаоса могут быть более тонкими. На рис. 9.2 показаны
результаты двух численных экспериментов по интегрированию уравнений движения
в круговой ограниченной задаче трех тел. Здесь эволюция двух орбит почти
одна и та же в течение интервала времени, равного примерно 150
орбитальным периодам Юпитера, а затем орбиты начинают постепенно расходиться.
Очевидной причины для этого дрейфа нет (например, на интервале времени
интегрирования отсутствуют сближения с Юпитером), но, тем не менее, здесь
опять проявляется характерное свойство хаоса: орбиты существенно зависят
от начальных условий.
0.64" ■ ' > ' ■ ■ 1
0 100 200 300 0 100 200 300
Время, в периодах обращения Юпитера
Рис. 9.2. Изменения больших полуосей орбит двух пробных частиц, испытывающих
возмущения со стороны Юпитера (//2 = 0.001) в плоской круговой ограниченной
задаче трех тел. В качестве начальных условий движения частиц взяты одни и те же
значения большой полуоси (ао = 0.6984), эксцентриситета (ео = 0.1967) и долготы
перицентра (w = 0°), но чуть различающиеся значения средней долготы: а) Ао = 0°
и б) Ао = 10_6°. Начальное значение долготы Юпитера положено равным нулю
27*
420
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Этот тип хаотического поведения совсем не похож на впечатляющий
пример, приведенный выше на рис. 9.1, однако они оба дают иллюстрации хаоса
в круговой ограниченной задаче трех тел.
9.3. Регулярные и хаотические орбиты
Как показано в главе 2, задача двух тел интегрируема, тогда как задача
трех тел, как видно из главы 3, неинтегрируема. В действительности
хаотические решения ограниченной задачи трех тел имеют место при определенных
начальных условиях, но до сих пор мы преднамеренно избегали их
обсуждения. Более полное исследование хаоса в рамках круговой ограниченной
задачи трех тел мы проведем в разделе 9.4. Перед тем как продолжить
обсуждение примеров хаотического движения в Солнечной системе, мы
продемонстрируем различия между регулярным (то есть нехаотическим) и
хаотическим типами движения, рассмотрев их свойства и способы количественного
описания этих свойств.
9.3.1. Сечение Пуанкаре. Понятие поверхности сечения введено нами
в разделе 5.4 при обсуждении спин-орбитального резонанса. С его помощью
мы представили решение нелинейного дифференциального уравнения второго
порядка, описывающего изменения угла ориентации в несферического
спутника. На рис. 5.17 6 и 5.18 6 мы нанесли точки, отображающие значения в/п
и в при каждом прохождении спутником перицентра орбиты (п — среднее
движение спутника).
В плоской круговой ограниченной задаче трех тел ситуация сложнее.
Уравнения движения (3.16) и (3.17) представляют собой систему двух
нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Для удобства
выпишем их еще раз:
X — Any — П X = —Ц\ 7Z 112 о , W-1)
y + 2nx-n2y = -(^ + ^Jy, (9.2)
где /xi = т\/(т\ + шг), ^2 = ^/(rai + тг),
r\ = (x + ^f + y\ (9.3)
ri = (x-Ax1)2 + i/2f (9.4)
где п и Г2 — расстояния пробной частицы от тел тп\ и Ш2, соответственно.
Решение представляет собой набор значений ж, у, £ и у, обозначающих
компоненты векторов положения и скорости во вращающейся системе
координат, в последовательные моменты времени. Напомним, что если исключить
специальные начальные условия, то ограниченная задача трех тел
неинтегрируема и поэтому приходится обращаться к численным методам решения
уравнений движения.
9.3. Регулярные и хаотические орбиты
421
В главе 3 мы показали, что существует постоянная движения — константа
Якоби
Cj = тГ (xz + yL) + 2 h —
•2 -2
Ж - J/ .
(9.5)
Набор переменных ж, у, £ и у в любой заданный момент времени
определяет единственную точку в четырехмерном фазовом пространстве. Поскольку
в круговой ограниченной задаче трех тел есть константа Якоби, траектория
частицы в фазовом пространстве лежит на некоторой трехмерной поверхности
(рис. 9.3 а). Поэтому при фиксированном значении константы Якоби нужны
только три из указанных четырех переменных, чтобы однозначно определить
оскулирующую орбиту. Четвертую переменную можно найти (по абсолютной
величине) из уравнения, определяющего константу Якоби. Например, если
в качестве трех таких переменных взять ж, у и £, то четвертая переменная
у находится из уравнения (9.5) (рис. 9.3 б), если значение константы Якоби
известно (например, вычислено на момент времени t = 0). В получившемся
трехмерном пространстве определим плоскость, например у = 0, и всякий
раз, когда координата у частицы становится равной 0, будем отмечать точку
с координатами частицы ж и ж на этой плоскости (рис. 9.3 в). Чтобы избежать
проблемы со знаком у, будем брать в расчет только те пересечения, при
которых знак у совпадает с заранее выбранным. В этом и заключается
метод сечения Пуанкаре, или отображения Пуанкаре. Мы уже использовали
его выше для иллюстрации областей регулярного и хаотического движений
в круговой ограниченной задаче трех тел. Таким образом, сечение получается
путем фиксации некоторой плоскости в фазовом пространстве и определения
точек, в которых траектория пересекает эту плоскость в заданном
направлении. Обратите внимание, что в результате последовательные точки на
поверхности сечения необязательно соответствуют равноотстоящим друг от
друга моментам времени, так как пересечения траектории с поверхностью
необязательно следуют через одинаковые временные интервалы.
На первый взгляд может показаться, что мы теряем или, по меньшей
мере, скрываем большую часть информации об орбите. Однако главное пре-
С\ ■■■■■ const
/ ^
У
Рис. 9.3. Построение сечения Пуанкаре, а) Положение и скорость пробной частицы
определяют точку в четырехмерном фазовом пространстве в любой заданный
момент времени. Существование константы Якоби означает, что траектория частицы
лежит на некоторой трехмерной поверхности в этом пространстве, б) Достаточно
рассматривать значения только ж, у и х, поскольку значение у всегда определяется
(с точностью до знака) из уравнения (9.5). Пунктирной кривой показаны участки
траектории, где у < 0. в) Точку отмечаем всякий раз, когда у = 0 при у > 0.
В результате имеем последовательность точек в двумерном пространстве
422
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
имущество метода сечения Пуанкаре как раз и заключается в дискретности.
Вместо того, чтобы наносить траекторию на плоскость (ж,у) и изучать ее
многочисленные витки (которые обычно со временем изменяются очень
мало), методом сечения Пуанкаре мы получаем глобальную картину изменений
орбиты. Вся информация об орбите содержится в этом множестве точек (хотя
для ее извлечения могут потребоваться некоторые усилия). У метода есть
и другие полезные свойства.
В данном случае мы можем использовать этот метод потому, что
рассматриваем круговую плоскую ограниченную задачу трех тел. Но если
предположить, что эксцентриситет орбиты второго тела отличен от нуля, то метод
сечения Пуанкаре становится неприменимым. Однако мы можем использовать
принцип усреднения и оставить в разложении возмущающей функции только
доминирующие члены. При некоторых условиях можно получить
аналитические решения усредненной системы; в предыдущей главе мы использовали
этот подход, наряду с другими, при изучении резонансных возмущений.
Рассмотрим решения нашей системы уравнений, полученные численным
интегрированием при //2 = Ю-3, то есть при значении //2> примерно равном
отношению масс Юпитера и Солнца.
9.3.2. Регулярные орбиты. Рассмотрим траекторию пробной частицы
с начальными условиями хо = 0.55, уо = 0 и ±о = 0; значение уо (> 0)
определяется из решения уравнения (9.5) с Cj = 3.07. Мы можем перевести
эти условия в соответствующие начальные значения большой полуоси а и
эксцентриситета е, используя формулы из главы 2. Это дает начальные
значения ао = 0.6944 и ео = 0.2065. В системе Солнце-Юпитер данное значение
clq соответствует нахождению пробной частицы на расстоянии 3.612 а.е. от
Солнца, то есть далеко за пределами главного пояса астероидов.
На рис. 9.4 а показана зависимость е от времени. На интервале времени
интегрирования колебания эксцентриситета остаются в пределах 0.206-0.248
и в общем выглядят регулярными, при этом очевидны некоторые отклонения
от периодичности. На этом расстоянии от Солнца можно было бы ожидать
присутствия резонансных возмущений, поскольку (a/aj)3/2 = 0.564 « 4/7,
то есть орбита пробной частицы находится вблизи резонанса 7:4с Юпитером.
Соответствующий график изменения большой полуоси показан на рис. 9.4 б.
Обратите внимание, что изменения а коррелируют с изменениями е, — этого
J 00 200 300 0 100 200
Время, в орбитальных периодах
1
If
1
fi
300
Рис. 9.4. Изменения во времени а) эксцентриситета е и б) большой полуоси а при
начальных условиях ао = 0.6944 и ео = 0.2065. Графики демонстрируют поведение,
характерное для регулярных орбит. (Согласно Мюррею, 1998.)
9.3. Регулярные и хаотические орбиты
423
и следовало ожидать, исходя из некоторых простых соотношений,
обсуждавшихся в разделе 8.5. Значение а, очевидно, колеблется относительно
номинального положения резонанса а = (4/7)2/3 « 0.689. На рис. 9.4 приведены
графики только для е и а. Полное описание траектории должно включать
также графики w и еще одного угла, например средней долготы А.
На рис. 9.5 показана эта же
траектория на поверхности сечения, полученного
путем нанесения точек с координатами х
и х всякий раз, когда у = 0 при у > 0.
На сечении проявляется структура,
состоящая из трех «островов». При
представлении движения на поверхности сечения
присутствие подобных островов говорит о
резонансном характере соответствующих "" 0.5 0.6 0.7 0.8 х 0.9
им траекторий. Резонанс средних движе- ~ п с п „
„ v v v Рис. 9.5. Сечение Пуанкаре для
нии р + q : р, где р и q - целые числа, регуЛярной траектории, показанной
проявляется в виде q островов. В нашем на рис.9.4. Точки отмечены всякий
случае р = 4, q = 3 и имеются три ост- раз, когда у = 0 при у > 0. (Соглас-
рова. Важно уяснить, каким образом эти но Мюррею, 1998.)
острова проявляются на сечении, если
отслеживать отдельную траекторию: последовательные точки не очерчивают
один остров, затем другой и т. д., а «перескакивают» с острова на остров,
пока те не примут форму трех гладких замкнутых кривых.
Если выбрать начальное значение xq в центре острова, размещенного на
прямой х = 0, то траектория будет иметь вид повторяющейся
последовательности из трех точек — центров трех островов. Так происходит потому, что
центр каждого острова соответствует начальному условию, помещающему
пробную частицу в центр резонанса. Этот тип резонансной орбиты
проиллюстрирован на рис. 8.17 а в случае резонанса 2:1. Такие точки называются
периодическими точками отображения Пуанкаре, потому что система
оказывается в одной и той же точке при каждом третьем попадании на поверхность
сечения. Если смещать исходную точку орбиты от центра острова, то
проявляющиеся острова станут больше, что соответствует большим изменениям е и а.
В конце концов начальные условия перестанут отвечать траекториям внутри
резонанса, и траектория на сечении перестанет иметь островную структуру.
9.3.3. Хаотические орбиты. На рис. 9.6 показаны графики е и а в
зависимости от времени для орбиты пробной частицы с начальными условиями
хо = 0.56, ?/о = 0 и ±о = 0; значение у определяется из уравнения (9.5)
с Cj = 3.07, то есть с тем же самым значением, что использовалось
выше в примере регулярной траектории. Значения соответствующих элементов
орбиты равны ао = 0.6984 и ео = 0.1967. Отметим, что, хотя эти
значения совсем мало отличаются от используемых выше, наблюдаемый характер
изменений е и а совсем другой. Эксцентриситет испытывает нерегулярные
колебания в пределах от 0.188 до 0.328, а значение а не находится все время
вблизи резонансного значения. Эта траектория относится к хаотическим,
в случае которых изменения элементов орбиты не следуют какому-либо оче-
424
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
100 200 300 0 100
Время, в орбитальных периодах
200
300
х
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0.5
0.6 0.7 0.8 х 0.9
Рис. 9.6. Изменения а) эксцентриситета е и б) большой полуоси а при начальных
условиях ао = 0.6984 и ео = 0.1967. Подобное поведение характерно для хаотических
орбит. (Согласно Мюррею, 1998.)
видному образцу, — однако само по себе это не означает, что орбита является
хаотической. Например, вековое решение задачи N тел может иметь сложное
поведение, схожее с хаотическим, и все же мы знаем, что оно выводится
аналитически и соответствующее число частот конечно.
Хаотический характер данной орбиты становится очевидным из анализа
ее сечения Пуанкаре (рис. 9.7). Обратите внимание, что орбита охватывает
большую область фазового пространства, по сравнению с регулярной орбитой
(рис. 9.5). Далее, вместо того, чтобы
располагаться на одномерной гладкой кривой,
точки заполняют двумерную область
фазового пространства. Отметим также, что
многие точки имеют тенденцию к
«прилипанию» к границам островов,
соответствующих резонансу 7:4 и другим резонан-
сам; при этом в распределении точек
хаотической траектории на сечении
проявляются несколько свободных от точек областей,
связанных с резонансами. Наличие
феномена прилипания означает, что на некоторых
интервалах времени траектория может
выглядеть регулярной. Это еще одно важное
свойство хаотического поведения — оно
может производить впечатление регулярного
на длительных интервалах времени, что при определенных обстоятельствах
может делать хаос трудным для выявления.
Хаотическая орбита на рис. 9.7 покрывает на плоскости (х,±) участок
значительной площади, однако границы у этого участка все же определенно
есть. Таким образом, эта орбита дает пример феномена ограниченного хаоса.
Мы обсудим это явление в разделе 9.4.
9.3.4. Характеристические показатели Ляпунова. Важнейшим
свойством хаотических орбит является их существенная зависимость от
начальных условий. Это проиллюстрировано на рис. 9.8, где приведен фрагмент
зависимости эксцентриситета е от времени для двух первоначально близких
хаотических траекторий. Первая из этих траекторий показана на рис. 9.6 и 9.7,
и для нее xq = 0.56, а для второй xq = 0.56001 и начальное значение у подо-
Рис. 9.7. Сечение Пуанкаре для
хаотической траектории,
показанной на рис. 9.6. Точки траектории
отображены на сечении при у = 0
и у > 0; масштаб по осям
такой же, как на рис. 9.5. (Согласно
Мюррею, 1998.)
9.3. Регулярные и хаотические орбиты
425
0.28
xq = 0.56001
afo = 0.56
брано таким образом, чтобы у нее было такое же значение Cj, как и у первой.
Очевидно, что по прошествии 60 орбитальных периодов траектории
расходятся. Если выполнить аналогичный эксперимент со смещением начальных
данных в случае регулярной орбиты, то
обнаружились бы лишь некоторые малые
изменения расстояния между орбитами,
но не такой сильный дрейф.
Анализируя расходимость,
проиллюстрированную на рис. 9.8, мы можем
вычислить максимальный
характеристический показатель Ляпунова (МХПЛ)
динамической системы. Он дает
количественную меру скорости расхождения
близких траекторий (см., напр., Лихтен-
берг и Либерман, 1983). В динамических
системах, подобных задаче трех тел,
характеристических показателей Ляпунова
несколько. Можно показать, что при
произвольных начальных условиях для
близкой траектории измерение локальной
расходимости дает оценку наибольшего из
показателей.
Рассмотрим две пробные частицы, которые в некоторый момент времени to
находятся друг от друга на расстоянии do в фазовом пространстве (рис. 9.9 а).
Пусть d — расстояние между ними в момент времени t. Орбита является
хаотической, если зависимость d от времени приблизительно описывается
формулой
(9.6)
50 54 58 62
Время, в орбитальных периодах
Рис. 9.8. Зависимость
эксцентриситета от времени (фрагмент) для
двух близких орбит в хаотической
области фазового пространства.
Начальные значения х различаются на
0.00001; расхождение орбит
очевидно по прошествии « 60
орбитальных периодов. (Согласно Мюррею,
1998.)
d = d0exp (j(t -t0)).
Здесь 7 — максимальный характеристический показатель Ляпунова.
Отметим, что должно выполняться неравенство 7 > 0, поскольку иначе траектории
с увеличением t приближались бы друг к другу. Оценить значение 7 можно,
найдя из результатов численного интегрирования на интервале времени t
Рис. 9.9. Вычисление максимального характеристического показателя Ляпунова
путем измерения расходимости близких траекторий, а) Подход, заключающийся в
непосредственном вычислении начального и конечного расстояний между фазовыми
точками, б) Метод перенормировки, в котором фазовая точка теневой траектории
сдвигается по вектору, разделяющему фазовые точки, обратно к первоначальному
значению модуля смещения
426
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
величину
Тогда
In «2
7
do-
lim
-О, t-
x(t).
(9.7a)
(9.76)
Зависимость величины \ от времени в логарифмических координатах
выявляет разительное различие регулярных и хаотических траекторий. Для
регулярных орбит и начальные, и конечные смещения близки друг к другу
(d « do), и поэтому зависимость в логарифмических координатах имеет
наклон — 1. Если же орбита является хаотической, то х стремится к некоторому
постоянному положительному значению. Когда теневая траектория уходит
слишком далеко от ведущей, величина х больше не является мерой локальной
расходимости орбит. Поэтому следует проводить перенормировку вектора
смещения на каждом шаге At по времени (рис. 9.9 б). Если сделано п шагов,
то оценка х дается модифицированной формулой
г=\
1 Ь^
nAt
d0
(9.8)
ig х
-0.5
-1.0
Хаотическая орбита
где t = nAt. На рис. 9.10 показана величина lgx в зависимости от Igt для
приведенных выше примеров регулярной и хаотической орбит. Из графика
находим оценку максимального характеристического показателя Ляпунова
хаотической орбиты: 7 = 10~0-77
(орбитальных периодов)-1. Соответствующее ляпу-
новское время (время, за которое смещение
увеличивается ве^ 2.7 раз) равно
отношению 1/7- В данном случае оно равно « 6
орбитальным периодам. Поэтому
хаотический характер орбиты быстро становится
очевидным, по крайней мере при
выбранных начальных условиях. Это согласуется
с характером графиков на рис. 9.8.
Для относительно простых
динамических систем иногда можно найти все
характеристические показатели Ляпунова
аналитически. Однако в динамике Солнечной
системы это можно сделать лишь в
исключительных случаях. Кроме того, численные
эксперименты, в которых отслеживаются
две близкие орбиты, не всегда бывают успешными, поскольку значение
МХПЛ 7 определено лишь в пределе t —■> 00 или п —■> оо. Например, феномен
прилипания некоторых хаотических орбит к границам резонансных островов
означает, что хаотическая траектория может вести себя долгое время как
регулярная. Таким образом, природу хаотической орбиты можно относительно
легко выявить, но, по-видимому, никогда нельзя доказать численными
методами, что регулярная орбита действительно регулярна.
Рис. 9.10. Графики логарифма \
в зависимости от логарифма
времени для регулярной и
хаотической траекторий. (Согласно Мюр-
рею, 1998.)
9.4. Хаос в круговой ограниченной задаче трех тел
427
9.4. Хаос в круговой ограниченной задаче трех тел
Плоская круговая ограниченная задача трех тел является, возможно,
наиболее простой динамической моделью, используемой для аппроксимации
движения реальных тел Солнечной системы, и тем не менее, как мы видели,
у нее есть решения удивительной степени сложности. В предыдущем разделе
в малой выборке орбит мы нашли как регулярные, так и хаотические
орбиты. До сих пор в структуре фазового пространства круговой ограниченной
задачи трех тел нет полной ясности. В этом разделе, следуя работам Уинтера
и Мюррея (1994а, б), мы рассмотрим некоторые из свойств ограниченной
задачи при конкретном отношении масс //2 = Ю-3. Заметим, что при данном
значении //2 результаты вычисления движения пробных частиц моделируют
движение астероидов, возмущаемое Юпитером, орбита которого полагается
компланарной и круговой.
Известно несколько численных исследований круговой ограниченной
задачи трех тел (см., напр., Хенон, 1969, Джеффрис, 1971). В исчерпывающем
обзоре Уинтера и Мюррея (1994а, б) построено несколько сотен сечений
Пуанкаре для ряда значений константы Якоби и исследованы орбиты как
внутренние, так и внешние по отношению к орбите возмущающего тела. Из этих
сечений можно определить такие свойства, как расположение и размеры
регулярных и хаотических областей и максимальную амплитуду резонансных
либрации.
Напомним, что в ограниченной задаче трех тел ни орбитальная энергия,
ни момент количества движения не сохраняются, поскольку потенциал,
воздействующий на частицу, явно зависит от времени. Однако эта динамическая
система сохраняет некий интеграл движения — константу Якоби, которая
дается выражением (9.5). Как мы видели в главе 3, если в определении
Cj положить х = у = О, то придем к уравнению, описывающему кривые
нулевой скорости для заданного значения Cj. Эти кривые определяют
границы запретных областей в физическом пространстве, поскольку частицы
с таким значением Cj не могут находиться внутри этих областей. На рис. 9.11
показаны кривые нулевой скорости и соответствующие им запретные области
для избранных значений Cj.
При малых значениях Cj запретные области ограничены окрестностями
лагранжевых точек L\ и L$, находящихся на угловом расстоянии в 60°
впереди и позади возмущающего тела. Для больших значений Cj эти зоны
сливаются и охватывают точку Ь$. Однако остается еще неохваченная
область вблизи положения возмущающего тела. При увеличении Cj запретная
область расширяется и приближается к возмущающему телу, в конце
концов окружая его; орбиты частиц, первоначально внутренние по отношению
к возмущающему телу, все время остаются внутренними; аналогично, орбиты,
первоначально внешние по отношению к возмущающему телу, все время
остаются внешними. При некоторых значениях константы Якоби (напр.,
Cj = 3.050) существует малая область возможного движения в окрестности
возмущающего тела. В таких случаях пробная частица, обращающаяся
вокруг возмущающего тела, не может перейти на орбиту вокруг центрального
тела или покинуть орбиту вокруг возмущающего тела иным способом. Для
428
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Рис. 9.11. Кривые нулевой скорости и ограниченные ими запретные области
(показаны серым цветом) для значений константы Якоби, равных а) 3, б) 3.001, в) 3.002,
г) 3.01, д) 3.02, е) 3.03, ж) 3.039, з) 3.04, и) 3.05. Точками отмечены положения
двух основных тел
больших значений Cj эта область уменьшается, а радиальная протяженность
запретной области растет.
Из рис. 9.11 видно, что при значениях Cj ^ 3.040 частица, первоначально
находящаяся на орбите вокруг центрального тела, не может подойти к
возмущающему телу ближе некоторого предела, который определяется
протяженностью запретной области. На рис. 9.12 показан график минимально возможного
расстояния dmm между частицей и возмущающим телом в зависимости от
значения константы Якоби Cj.
В вычислениях Уинтера и Мюррея начальные условия выбраны в
основном следующим образом. При каждом значении Cj значения х берутся
при у = х = 0иу>0, при этом Юпитер находится на оси х в соединении
с частицей. Таким образом, начальный момент интегрирования соответствует
нахождению частицы в перицентре или апоцентре орбиты. В нескольких
случаях начальные условия взяты при х ф 0. Это необходимо, чтобы
получить сечения Пуанкаре для регулярных областей, соответствующих главным
резонансам четного порядка.
Поверхность сечения всегда можно задать произвольно. Уинтер и Мюррей
в своем исследовании задают ее так, что значения х и х вычисляются всякий
раз, когда траектория пересекает плоскость у — 0 при у > 0. В предыдущем
разделе мы убедились, что метод сечений Пуанкаре удобен для демонстрации
регулярного или хаотического характера траекторий. Если на сечении
имеются четкие острова, то соответствующие им траектории являются
регулярными, а острова соответствуют либрациям относительно точного резонанса
средних движений возмущающего тела и частицы; обычно число островов
соответствует порядку резонанса. К исключениям из этого правила
относятся орбиты пробной частицы с почти нулевым эксцентриситетом и класс
вытянутых орбит в резонансе 1:1с возмущающим телом. «Размытое»
распределение точек на сечении означает, что траектория является хаотической.
Сечения Пуанкаре также полезны для определения пределов движения части-
9.4. Хаос в круговой ограниченной задаче трех тел
429
цы в фазовом пространстве. В этом разделе мы приводим представительную
выборку орбит и их сечения Пуанкаре. Периодическим орбитам на сечениях
соответствуют неподвижные точки — центры островов устойчивости.
Острова состоят, главным образом, из квазипериодических либрационных орбит
в окрестности точного резонанса.
Рис. 9.12. Минимально возможное
расстояние dm[n между частицей и
возмущающим телом в зависимости от
значения константы Якоби Cj.
(Согласно Уинтеру и Мюррею, 1994а.)
0.9 х0
Рис. 9.13. Зависимость константы
Якоби Cj от начального значения хо
(при хо = 0) для периодических
орбит первого рода. (Согласно Уинтеру
и Мюррею, 1994а.)
Для заданной точки (х, х) на поверхности сечения значение константы
Якоби, условие у = 0 и уравнение (9.5) определяют значение у. Поэтому все
четыре величины известны. Большая полуось и эксцентриситет вычисляются
по формулам
а =
mi
-i
е = W1-
fiya
(9.9)
(9.10)
где V2 = х2 + (у + х + //г)2 и h = (х + /i2)(y + х + //г)- Используя эти
формулы, можно определить исходные значения средних движений,
соответствующие точкам на сечении, а затем отождествить резонансы, связанные
с наблюдаемыми островами устойчивости, учитывая, что среднее движение
возмущающего тела равно единице и что число островов обычно равно
порядку резонанса.
Периодические орбиты в плоской круговой ограниченной задаче трех
тел можно разделить на два типа. Периодические орбиты первого рода
имеют место, если движение пробной частицы начинается на круговой
орбите (ео = 0). На рис. 9.13 показаны значения Cj в зависимости от хо для
начальных условий с хо = 0, приводящих к периодическим орбитам первого
рода. Этот график можно применять, в дополнение к сечениям Пуанкаре, для
отождествления островов, соответствующих таким периодическим орбитам.
То, что он имеет минимум при Cj = 3.027, означает, что при константе Якоби
меньше этого значения не существуют начальных условий xq, отвечающих
430
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
периодическим орбитам первого рода. Периодические орбиты второго рода
имеют место, если движение частицы отвечает центру некоторого
резонанса — первичного или вторичного (см. ниже).
Структура фазового пространства плоской круговой ограниченной задачи
трех тел определяется в основном резонансами (см. главу 8). При резонансе
имеется соизмеримость средних движений частицы и возмущающей массы,
то есть выполняется соотношение вида (р + q)n' ~ рп, где р и q — целые
числа, п и п' — средние движения пробной частицы и возмущающего тела,
соответственно; q называется порядком резонанса. Положения точек
устойчивого и неустойчивого равновесия, отвечающих резонансам, и сила резонансов
определяют положение и размеры регулярных и хаотических областей. Резо-
нансы подразделяются, в частности, на первичные и вторичные. Первичные
резонансы соответствуют соизмеримостям средних движений возмущающего
тела и пробной частицы. Вторичные резонансы в ограниченной задаче
возникают, когда частота либрации на первичном резонансе соизмерима с частотой
циркуляции на первичном резонансе более высокого порядка 0.
На рис. 9.14 а показаны три острова, образуемые одной траекторией
с Сj = 3.02, хо = 0.205 и ±о = 0, что соответствует ао = 0.521 и ео = 0.606.
Эта траектория либрирует около первичного резонанса 5:2. Скопления
островов, окружающие острова в цепочке более простой конфигурации,
представляют собой сечение траектории, либрирующей на вторичном резонансе.
На рис. 9.14 6 показано сечение траектории, либрирующей на вторичном
резонансе 8:1, который, в свою очередь, возникает при либрации на первичном
резонансе 5:2.
- ~ - - б
' i
i i
х •
0.2 0.3 0.4 0.5 х 0.2 0.3 0.4 0.5 х
Рис. 9.14. Две квазипериодические орбиты на сечениях Пуанкаре с одним и тем
значением константы Якоби, Cj = 3.02. а) Траектория с хо = 0.205 описывает 3 острова,
что соответствует либрации на первичном резонансе 5:2. б) Траектория с хо = 0.23
описывает 24 острова, что соответствует либрации на вторичном резонансе 8:1.
(Согласно Уинтеру и Мюррею, 1994а.)
Хаотическое движение связано с точками неустойчивого равновесия
и связанными с ними сепаратрисами. Хаос в движении не означает, что
траектория неограничена. Например, как видно из рис. 9.11, при
определенных значениях константы Якоби орбиты всегда ограничены.
Хаотические траектории могут быть локализованы, либо могут покрывать большие
области плоскости (х, х). Два крайних примера приведены на рис. 9.15.
х) Или более низкого порядка. — Прим. ред.
9.4. Хаос в круговой ограниченной задаче трех тел 431
0.5 /
Oh ;;
0.2 0.4 0.6 .г 0.8 0.4 0.6 0.8 .г
Рис. 9.15. Сечения Пуанкаре для двух хаотических орбит, а) При Cj = 3.111 и
хо = 0.23 траектория близка к сепаратрисе резонанса 8:3 и движение происходит
в узких границах, б) При Cj = 3.051 и хо = 0.445 хаотическая траектория покрывает
на плоскости (х, х) большую площадь; обратите внимание, как она «очерчивает»
положение регулярных областей. (Согласно Уинтеру и Мюррею, 1994а.)
Первый демонстрирует траекторию вблизи сепаратрис с малым расщеплением
(рис. 9.15 а), а второй (рис. 9.15 б) — образуемое в другом случае хаотическое
«море» большой площади. Можно видеть, что хаотические траектории
«очерчивают» регулярные области в фазовом пространстве, выявляя тем самым их
расположение.
Анализ сечений Пуанкаре на следующих рисунках явно указывает на
увеличение размеров областей хаоса при уменьшении Cj. Это связано с
изменением вида кривых нулевой скорости (рис. 9. И), из-за которого сближения
частицы и возмущающего тела при уменьшении значения константы Якоби
становятся более тесными. Как следует из уравнения (9.5), если точка (х,х)
является точкой некоторой траектории на поверхности сечения, то точка
(х, —х) принадлежит этой же траектории. Это объясняет наблюдаемую
симметрию сечений Пуанкаре относительно оси х.
Вообще говоря, при тех начальных условиях, которые задавали Уинтер
и Мюррей (1994а, б), орбиты являются первоначально орбитами с прямым
движением в инерциальной и вращающейся системах координат.
Большинство орбит с прямым движением во вращающейся системе координат
пересекает поверхность сечения только при положительных значениях х. Однако
точки с отрицательными значениями х также могут также появляться на
поверхности сечения благодаря наличию регулярных орбит, у которых апо-
центрические расстояния больше единицы. Хаотические траектории могут
приобретать средние движения меньше среднего движения возмущающего
тела или даже становиться обратными в инерциальной системе координат.
В обоих случаях результирующие орбиты являются обратными во
вращающейся системе координат и на поверхности сечения отображаются в виде
точек с отрицательными значениями х. На представленных здесь сечениях
такие точки преднамеренно исключены.
Протяженность областей хаоса в фазовом пространстве системы зависит
от ряда факторов. В круговой ограниченной задаче трех тел ключевыми
величинами являются Cj и //2- На рис. 9.16 и 9.17 показано несколько
траекторий для двух различных значений константы Якоби, но для одного и
того же значения //2- В первом случае (рис. 9.16) Cj = 3.07 (как и в случае
рис.9.5 и 9.7), а во втором случае (рис.9.17) Cj = 3.13. Очевидно, что
432
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
х 1
0.5
{)
0.5
1
0
Г,:2>
- ■ 0: ;2:1
5:2' ■'-
1
0.4
0.6
0.8 ж
Рис. 9.16. Сечение Пуанкаре
для нескольких траекторий при
Cj = 3.07. Для некоторых
островов указаны
соответствующие им резонансы. (Согласно
Уинтеру и Мюррею, 1998.)
0.8 х
Рис. 9.17. Сечение Пуанкаре
для различных траекторий при
С j =3.13. Для некоторых
островов указаны соответствующие им
резонансы. (Согласно Уинтеру и
Мюррею, 1998.)
протяженность хаоса на рис. 9.17 меньше. Как мы уже убедились из рис. 9.11,
значение Cj определяет, насколько близко пробная частица может подойти
к возмущающему телу. Действительно, в случае //2 = 0.001 и Cj > 3.04 их
орбиты уже не могут пересекаться, хотя возмущения все еще могут быть
существенными. Поведение траекторий на рис. 9.16 и 9.17 можно
интерпретировать следующим образом: когда Cj уменьшается, ширина хаотических
слоев вблизи сепаратрис резонансов растет, в конце концов регулярные
кривые, разделяющие смежные резонансы, разрушаются, и соседние области
хаоса сливаются друг с другом. Этот феномен можно интерпретировать как
вызывающее хаос перекрытие смежных резонансов (см. обсуждение ниже
в разделе 9.6). Именно перекрытие позволяет хаотическим орбитам проникать
в области фазового пространства, недоступные для регулярных орбит. В
приложении к задаче Солнце-Юпитер-астероид это означает, что у некоторых
астероидов могут сильно изменяться элементы орбит.
9.5. Алгебраические отображения
Мы уже видели, как траектории пробной частицы в таких системах,
как ограниченная задача трех тел, можно найти путем численного
интегрирования уравнений движения. Численное интегрирование позволяет найти
положение частицы в фазовом пространстве в некоторый момент времени £,
исходя из начальных условий в некоторый момент времени to. Любой
численный метод, позволяющий это сделать (например, стандартный алгоритм
Рунге-Кутты четвертого порядка), состоит из последовательности
алгебраических инструкций, имеющей на входе хо, Уо> ^о> 2/о> а на выходе ж, у, х, у.
Любой такой численный метод дает пример алгебраического отображения,
посредством которого можно проследить эволюцию системы от начального до
конечного состояния.
В этом разделе мы рассмотрим несколько алгебраических отображений,
сыгравших ключевую роль в объяснении динамической эволюции тел
Солнечной системы. Мы не будем касаться здесь новых численных методов как
таковых. Рассматриваемые отображения представляют собой инструменты,
позволяющие исследовать орбитальную эволюцию на много больших интерва-
9.5. Алгебраические отображения
433
лах времени по сравнению с традиционными численными методами. Однако,
как и все такие методы, они дают только аппроксимацию движения.
Поскольку хаос в движении иногда становится явным только после длительного
интегрирования, разработка и приложения этих новых эффективных методов
анализа орбитальной эволюции сыграли важную роль в исследованиях
динамики Солнечной системы.
9.5.1. Стандартное отображение. Прежде всего рассмотрим
стандартное отображение (Чириков, 1979). Чириков вывел его с целью
приближенного описания движения заряженных частиц в ускорителях. Оно
неприменимо напрямую к описанию движения тел Солнечной системы; но,
тем не менее, оно соответствует модели возмущенного маятника, а мы уже
видели, что движение около резонанса можно приближенно описать
уравнением маятника (см. раздел 8.6). Кроме того, вывод и свойства стандартного
отображения дают простой и при этом полезный ключ к пониманию
аналогичных отображений, имеющих более широкую область применения. Сложность
траекторий, наблюдаемая уже в такой простой системе, дает предварительное
представление об ожидаемом поведении других отображений.
При соответствующей нормировке координат гамильтониан
математического маятника записывается в виде
Н = — + /cos0, (9.11)
47Г Z7T
где I и 9 — переменные действие-угол, определяемые из исходных
переменных — углового положения и импульса ((р и ф в нашей исходной модели
маятника (8.48)). Детали преобразований переменных мы не приводим, поскольку
нас здесь интересуют только свойства системы. Предположим теперь, что
точка подвеса маятника испытывает колебания, которые можно представить
бесконечным числом высокочастотных членов, то есть гамильтониан имеет
вид /2 l. °°
Н= — + ^ cos 0 + V kn(I) cos(0 - nt). (9.12)
47Г Z7T ^—'
n=\
Поскольку приходится иметь дело с бесконечным числом короткоперио-
дических членов, данная задача является трудной для анализа. Однако
в некотором приближении мы можем использовать это бесконечное число
членов, чтобы определить в системе дискретные «толчки». Фактически мы
рассмотрим новую систему, в которой слагаемое с косинусом действует через
дискретные интервалы времени. Результирующая система аппроксимируется
алгебраическим отображением. Если положить
, оо , оо
-^-cos0 + y"fcn(/)cos(0-n£)« ^Vcos^-ni), (9.13)
п=1 п=0
то, согласно свойствам 5-функции Дирака, имеем
I2
П^ —+ к0 cos9 62ж(1), (9.14)
47Г
где 527r(t) — 27г-периодическая 5-функция.
434
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Уравнения движения принимают вид
<527r(*)dt = fcosin0, (9.17)
/ = -^ = Л08шей27Г(*). (9.15)
'-£-=■
Интегрируя (9.15), имеем
Г' -Г = k0sm9
а интегрирование (9.16) дает
2тг
0'-0= [ ^-dt« J7. (9.18)
о
Таким образом, мы можем записать наше приближенное решение уравнений
движения в виде отображения с шагом 2тт по времени. Это отображение
преобразует (/, в) к (/', в'). Оно называется стандартным отображением
и записывается в виде
/' = / + /c0sin(9,
(9.19)
в' = в + Г.
Стандартное отображение дискретным образом аппроксимирует движение
возмущенного маятника и представляет собой полностью детерминированную
систему: для любого числа итераций мы можем, в принципе, установить,
какими будут значения I и в.
Если переменные I и в всегда брать по модулю 2п (следуя нашей
исходной нормировке), то движение возмущенного маятника представимо как
движение на тороидальной поверхности; при этом каждому значению ко
соответствует свой характер движения на торе. Параметр ко можно рассматривать
как величину возмущения маятника {).
На рис. 9.18 показаны 36 траекторий при двух значениях параметра ко.
При обоих значениях ко начальные условия одни и те же. В обоих случаях
имеется остров с центром в точке (0, тт). Эта точка устойчивого равновесия
исходного невозмущенного маятника, которая существует и при короткопе-
риодических возмущениях. Однако можно видеть, что даже при ко = 0.8
есть много островов, образующих цепочки. Как и в круговой ограниченной
задаче трех тел, они соответствуют различным резонансам, в данном случае
между частотой невозмущенного маятника и бесконечным числом высоких
1) Параметр ко характеризует не относительную амплитуду возмущения (она неизменна),
а относительную частоту возмущения, которая уменьшается с увеличением ко. — Прим. ред.
9.5. Алгебраические отображения 435
а б
""'-■•■". Л.
'"■'v-\%
^■л.\,
У ' :;•.: .-
."-'■ '.'.. \ " '..
\ ^ Ч К. .'.•■
\'Л
у 1
. • ) .
(■' / '■ .-'
. ( • •'.-
./ U'i / ':-■{ С
\. >:•:.".
\:\УУ^
\ \ "■
'. гх \ \- -:;-
Рис. 9.18. Поведение 36 траекторий стандартного отображения при некоторых
значениях ко: а) ко = 0.8, б) ко = 1.2
частот возмущения. Аналогично, число островов в цепочке соответствует
порядку резонанса. При ко = 1.2 становится очевидным необычное поведение
орбит у границ резонансных островов — хаотическое движение вблизи
сепаратрис. С увеличением ко острова уменьшаются, а площадь, охватываемая
«размытым» движением около сепаратрис, растет. При ко = 1.2 островов
уже немного, траектории нерегулярного движения начинают доминировать,
и это движение почти ничем не ограничено. Обратите внимание, как четко
проступают острова, хотя хаотическая траектория очерчивает их на коротких
интервалах времени. Подобные явления уже наблюдались нами при изучении
сечений Пуанкаре в круговой ограниченной задаче трех тел, но здесь они
проявляются в поведении гораздо более простой системы.
9.5.2. Резонансные отображения. Резонансные отображения выводят
из усредненной возмущающей функции с целью моделирования динамики
пробной частицы вблизи заданного резонанса. Их вывод основывается на
том, что уравнения движения при учете только вековой части возмущающей
функции можно решить аналитически (см. раздел 7.9), тогда как резонансные
члены можно приближенно представить в виде последовательности
дискретных «толчков» во времени. Преобразование резонансных членов к таким
толчкам осуществляется методом, предложенным Чириковым (1979) при выводе
стандартного отображения.
Уиздом (1982) впервые применил этот метод в небесной механике,
получив алгебраическое отображение, описывающее орбитальную динамику
пробных частиц в главном поясе астероидов вблизи резонанса 3:1с
Юпитером. В частности, он хотел объяснить происхождение известного люка
в распределении астероидов, связанного с этим резонансом. Первоначально
отображение Уиздома включало изменения наклонения и учитывало вековую
эволюцию орбиты Юпитера согласно теории Брауэра и ван Вуркома (1950).
В своей следующей статье Уиздом (1983) представил модифицированную
версию этого отображения для плоской задачи и фиксированных значений
эксцентриситета и долготы перицентра орбиты Юпитера {). Здесь мы по-
1) Отображение Уиздома (1983) было выведено не для плоского, а для пространственного
случая. — Прим. ред.
У 'J>;-
Р Г/.
'"у Л-.
*'•*.'.
т.
./'.
&
%'%:'.
■>."'.
.-
'/'С;
/
>
436
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
кажем, как выводится отображение Уиздома 1) в плоской задаче; примеры
его использования для объяснения структуры люка 3: 1 приведены ниже
в разделе 9.8.2.
В качестве отправного пункта Уиздом взял разложение возмущающей
функции второго порядка. Это разложение содержит вековые и резонансные
члены. Он преобразовал стандартные орбитальные элементы к элементам
Пуанкаре. Последние определяются формулами
Ь = ^ца, (9.20)
2
р = v№ (l-\/l-e2) « v№y. (9-21)
где ц\ = 1 — /х; сопряженными элементами являются А и w, соответственно.
Затем он перешел к резонансной переменной ср = А — ЗА7 и сделал замены
и = — w, х = у/2р cos и; и у = у/2р sin и;. Тогда получается гамильтониан
а2 —
Н = -^ " ЗФ + Л7 + ^(х2 + у2) + Fie;x -
- [Сх{х2 - у2) + Ае'ж + Ехе'2] cosc^ + [Ci2xj/ + D\e'y] sin<p, (9.22)
где Л7 — переменная, сопряженная А7, а F\, F\, C\, D\ и Е\ — постоянные,
выражающиеся через коэффициенты Лапласа. Здесь е' — эксцентриситет
орбиты Юпитера, который можно либо рассматривать как постоянную, либо
находить из известного векового решения для планет. Применяя процедуру,
аналогичную выводу стандартного отображения, Уиздом добавил
высокочастотные члены к членам с синусами и косинусами в Л. Поскольку при выводе
усредненной возмущающей функции фактически пренебрегается
бесконечным числом высокочастотных членов, добавление бесконечного числа
подобных им высокочастотных членов вполне оправдано, если при этом не меняется
характер задачи. В данном случае это позволило вывести отображение для
описания движения.
Гамильтониан принимает вид
а2 —
Н = -^2 " Зф + л' + Fi (*2 + У2) + F^x -
оо оо
- Y, C,i(x2-y2)cos[(^-i(i-Ci)]+ J2 Die'xcos[ip-i{t-C2)} +
г=—оо г=—оо
оо оо
+ ^2 Е{е'2 cos[<^ - i(t - Сз)] + 53 Cl2xycos[tp-i(t-'n)-Tr/2} +
г=—оо г——оо
оо
+ 53 £>ie'ycos[^-i(i-72)-7r/2], (9.23)
О Далее авторы выводят отображение (в версии для плоского случая) согласно работе
Уиздома (1982). Заметим, что отображение Уиздома (1983) имеет гораздо более простой вид, —
в частности, каждая итерация состоит не из семи, а из четырех шагов. — Прим. ред.
9.5. Алгебраические отображения
437
где Сь С2> Сз> 71 и 72 — произвольные постоянные. Каждая сумма в (9.23)
выражается через сумму 5-функций Дирака. Например,
оо оо
^2 cos[(p-i(t-C\)]=cos(p ^2 cos[i(t-Ci)] =
i=—оо г=—оо
оо
= cosv? ^2 27г61(* - СО - 2тгг] = cosv?27r<52^(* - Ci), (9.24)
i=—oo
где, как и при выводе стандартного отображения, через е$2тг обозначена
27г-периодическая 5-функция.
Усредненный гамильтониан плоской задачи тогда принимает вид
а2 —
П = -^2 " Зф + Л' + F^x2 + У2) + F^x - C^x<1 - У2) cos<p2n627r(t - Cl) -
— D\ef x cos ip2n 82^ — С2) — E\ef cos(p2n 82n(t — Сз) +
+ C[2xysm(p27r527r(t — 7i) + D\efysin(p27r82n{t — 72)- (9.25)
Уиздом положил Ci = C2 = Сз — О И 71 — 72 = тг/2; тогда «толчок» воздействует
два раза на интервале времени в один период обращения Юпитера.
Рассмотрим вековую часть гамильтониана
H<sec) = -i - ЗФ + Л' + F{(х2 + у2) + Fxe'x. (9.26)
Соответствующие уравнения движения, определяющие вековую эволюцию,
имеют вид
(9.27)
Q1-/(sec) . <W(sec)
± = -^jr- = -2^12/, Ф = ~—~ = О,
ay dip
. dft^c) ^(sec) 3
Решения для Ф и ip находятся тривиально:
Ф = Ф(*<>) = Фо, Ч> = ( р - 3 j (t - t0) + w, 0.28)
а для ж и у они записываются как
х = x(t0) cos[2F! (t - t0)} - y(t0) sin[2F! (t - t0)} - -£- [1 - cos[2F, (t - t0)}},
у = x{t0)sm[2Fi{t - t0)} + y(t0)coe[2Fi(t - t0)} + -£-Sm[2Fi{t - to)].
(9.29)
438
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Таким образом, мы убедились (как и выше в главе 7), что для движения,
испытывающего только вековые возмущения, существует аналитическое
решение.
Рассмотрим теперь учет резонансных членов. Если учитывать только
первый из них, то гамильтониан принимает вид
Н
(res) _ 27rCj_ 2 _„,2
А
(х - у ) cos (р9
где
S(t - U)
шо {!/Л-
если ti ^ t < U + А ,
при других значениях t.
Соответствующие уравнения движения имеют вид
(9.30)
(9.31)
дП
(res)
X =
дП
ду
>es)
—£—ycosip = --д-уь
4тгС1
-R,
Ф = —
дх
дП
(res)
А -жсов<р = —т-х\,
А ^ А
2тгС\ 2 2\ ■
Т—(Ж -у jSlIKy?,
(f =
дФ
= 0,
(9.32)
(9.33)
(9.34)
(9.35)
где Ri =47rCicos<£ и является к тому же константой, поскольку в случае
данного гамильтониана ф = 0. Находим решение для ж и у:
х = x{t\) ch
у = y(*i)ch
[^i(t-ti)"
"i2i(t-ti)"
A
-J/(*i)sh
— x{t\)sh.
'Ri(t-t{y
A
'iJi(t-ti)"
A
(9.36)
(9.37)
Положим теперь £ = £i+AhA—>0. Соответствующие приращения
переменных x и у выразятся формулами
Ах = x(ti)(ch[47rCi cosф\ — 1) — y(£i)sh[47rCi cos<p],
Ay = y(t\)(ch[47rC\ cosф\ — 1) — x(£i) sh[47rCi cos ф\.
Аналогично находим
АФ = -2тгС, ([x(*,)]2 - [y(i,)]2) sin</>(*,).
(9.38)
(9.39)
(9.40)
9.5. Алгебраические отображения
439
Такую же процедуру можно повторить для каждого из четырех других
резонансных членов, задаваемых гамильтонианами
Н
(res) 2ttD\ ,
е х cos ip,
(res) 2ttE{ ,2
/Хз ' — —е cos (p,
(res) 47rCi
Щ = —^-xysirnp,
(res) 2ttD{ , .
H\ = —— eysirap.
(9.41)
(9.42)
(9.43)
(9.44)
Для каждого из этих гамильтонианов можно вывести мгновенные изменения
элементов орбиты точно так же, как и в случае Hj .
Зададим начальные условия х@\ у(°\ Ф^ и <р(°) при t = 0. Первый шаг
итерации отображения применяется к переменным при t = 0 (это
определяется значением константы d); тогда из формул (9.38)-(9.40) имеем
x(,)=x(°)ch
y(D=y(0)ch
АжС\ cos v?'0'
4ттС\ cos ip^
ф(1)=ф(0)_27гС1 ([*«»'
<p(l)=<p(°).
—
v(0).
sh
-Ah
2
yo)"
47rCi cos v?^
4irC{ cos v?^
2")sin^°),
(9.45)
(9.46)
(9.47)
(9.48)
res)
/(res)
Используя аналогичные процедуры для Ji\ ; и Ji\ \ причем оба раза при
t = 0, находим второй и третий шаги итерации отображения:
х^=х^,
Л2)
= у(1) -27rDie'coey?(1),
ф(2)=ф(1)_2^1е'ж(1)81п(р(1)
^)=^),
(9.49)
(9.50)
(9.51)
(9.52)
у(3)=у(2))
ф(3) = ф(2)_27г£1е/2д1п^(2)>
^(3) = <^(2).
(9.53)
(9.54)
(9.55)
(9.56)
440
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Остающиеся два резонансных толчка прилагаются в момент времени t = п/2.
Чтобы перейти к этой точке, используем аналитическое решение для вековой
части. Так как t — to = тг/2, из формул (9.28) и (9.29) имеем
~F е'
х(4) =x(3)COS7rjPl -^sinTrF! -тпт-(1 -costtFi), (9.57)
у(4) = х(3) sin nF{ + y(3) cos nF{ + i_ sin nF{ ^ (9.58)
2F\
ф(4) = $(3)f (959)
i(.
2
^-^,+Hi^"3i (M0>
в качестве четвертого шага итерации отображения. Теперь можно перейти
к толчкам, отвечающим Н\ и Н5 . Это дает
ж(5) = ж(4) eXp[+47rCi sin^4)], (9.61)
j,(5) = yW ехр[-4тгС1 siny><4>], (9.62)
ф(5) = ф(4) + ATrCix^yW cos <^4\ (9-63)
^ = </>(4) (9.64)
X(V = x<5' + 2тг£»! е' sin <^5>, (9.65)
y(6)=y(5). (9.66)
ф(б) = ф(5) + 27г£»! е'у(5) cos tp^, (9.67)
<pW=<pW. (9.68)
Наконец, используем решение для вековой части, чтобы перейти от
t = 7г/2 к t = 27г и тем самым создать условия для следующего приложения
7ц — начала следующего цикла отображения. В результате находим
завершающий шаг итерации отображения:
~F e'
х(7) = Х(6) cosSttFi - у(6) sin37rFi - -^-(1 - cos3ttFi), (9.69)
2F\
y(7) = Ж(6) sin 3nF{ + y(6) CQS 37ri?] + 1_ sin 3?rFi f (9 70)
2F\
ф(7) = ф(б)> (9.71)
^> = ^,(6) + ^ (-Л- _ Л (9 72)
2 ^[ф(б)]3 у
9.5. Алгебраические отображения
441
Вывод отображения Уиздома основывается 1) на том факте, что вековая
задача интегрируема при малых эксцентриситетах и наклонениях
(напомним, что вековые члены порядка выше второго отбрасываются), и 2) замене
резонансных членов в возмущающей функции на «толчки», прилагаемые
в определенные моменты времени. Это объясняет высокое быстродействие
отображения, которое, согласно оценке Уиздома (1982), в 103 раз выше
скорости численного интегрирования полных уравнений движения. Мюррей и Фокс
(1984) сравнили результаты применения отображения Уиздома с результатами
численного интегрирования усредненных уравнений движения (из которых
выведено отображение) и с результатами численного интегрирования полных
уравнений движения. Они показали, что поведение отображения превосходно
согласуется с поведением усредненной системы, а от поведения полной
системы оно отличается лишь количественно, но не качественно; в частности,
отображение можно использовать для предсказания регулярного или
хаотического характера истинной орбиты. Быстродействие отображения сделало
его мощным инструментом изучения хаотических орбит в главном поясе
астероидов.
Так как резонанс 3: 1 является резонансом второго порядка, в
возмущающей функции требуется учитывать члены по меньшей мере до второго
порядка. Заметим, что вековые члены, вносящие вклад в прецессию,
появляются только во втором порядке и выше. Если с помощью отображения
требуется исследовать резонансы первого порядка, то необходимо учитывать
резонансные члены по меньшей мере до второго порядка, — для соответствия
с вековым вкладом. Учитывая это, Мюррей (1986) применил метод Уиздома
для вывода отображений для резонансов 2:1 и 3:2. Наряду с резонансными
аргументами, содержащими 2А' — А (и ЗА7 — 2А), для согласованности он учел
также аргументы второго порядка, содержащие 4А7 — 2А (и 6А7 — 4А). Шид-
лиховски и Мелендо (1986) вывели аналогичное отображение для резонанса
5:2 в поясе астероидов. Хотя они имели дело с резонансом третьего порядка
и использовали при выводе вековые члены второго порядка, согласованность
не была нарушена, так как вековые члены более высокого порядка
появляются только в четвертом порядке и выше. Заметим, что общей проблемой
здесь является проблема сходимости разложения возмущающей функции при
больших значениях а = a/af (см. обсуждение в разделе 9.8.3).
9.5.3. Столкновительные отображения. Вывод резонансных
отображений основывается на использовании разложения возмущающей функции
для вычисления усредненного по времени влияния возмущений. Так
называемые столкновительные отображения, напротив, аппроксимируют
непосредственное воздействие на пробную частицу ее сближения с возмущающим
телом. Этот метод применили Дункан и др. (1989) при выводе отображения
для изучения долговременной эволюции орбит во внешней части Солнечной
системы. Поскольку описывается возмущенное движение пробной частицы
вблизи возмущающего тела, естественно выбрать систему координат с
центром в возмущающем теле. При этом мы можем использовать уравнения
Хилла (см. раздел 3.13).
442
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
•щ\
ХА
/
/
/
/
\Р/
~^Чч"ч-^_
У '
v^yoo \
S /
^
Рис. 9.19. Геометрическая схема
соединения пробной частицы Р
на почти круговой внутренней
орбите и возмущающего тела на
круговой орбите
Рассмотрим движение пробной частицы,
обращающейся вокруг центрального тела
с массой т\. Частица подвержена
возмущениям со стороны планеты с массой Ш2 <^С т\
на круговой компланарной орбите с большой
полуосью а''. В системе координат с центром
в теле Ш2, осью ж, направленной по радиусу
от гп\ к Ш2, и осью у, направленной по
вектору скорости тела Ш2 и составляющей
угол 90° с осью х (рис. 9.19), приближенные
уравнения движения имеют вид
х — 2п2У — Зп2х = —
у + 2п2Х = -
Qvri2X
(х2 + 2/2)3/2'
рГП2У
(х2 + 2/2)3/2'
(9.73)
(9.74)
где П2 — среднее движение тела Ш2; гг| = Qm\/a\. (Сравните эти уравнения
с уравнениями (3.202) и (3.203).) Существует интеграл движения,
эквивалентный интегралу Якоби (3.205) в ограниченной задаче трех тел:
2„2
Сн = Згг2х — х
у2 +
2Qm,2
(ж2 + у2)3/2 •
(9.75)
Хенон и Пти (1986) показали, что в пределе Ш2
решение
х = D\ cosri2t + D2smri2t + £>з,
0 уравнения Хилла имеют
у = —2D\ s\nri2t + 2D2Cosri2t — -zD$ri2t + D±,
(9.76)
(9.77)
где D\, D2, D% и D\ — константы интегрирования. Подстановка этих
значений х и у в выражение для Сн при Ш2 —> 0 дает предельное значение
Сн = 4 (3-Di -D\- D\
(9.78)
Константу D\ можно положить равной нулю, выбрав за начало отсчета
времени каждое из соединений, а для Дз имеем
£>з = а - а2,
(9.79)
где а — большая полуось орбиты частицы. Хенон и Пти (1986) показали, что
с точностью до низшего порядка относительно \а — а2\/а2 значения D\ и L>2
связаны с эксцентриситетом е и долготой перицентра w соотношением
D\ +1D2 = — <222exp(—гЛс),
(9.80)
9.5. Алгебраические отображения
443
где Ас — долгота тела Ш2 в соединении, а величина
z = еехр(гш) (9.81)
— комплексный эксцентриситет.
Теперь нам необходимо вычислить изменения значений D\, D^ и D$
в результате соединения. Дункан и др. (1989) нашли их, следуя работам
Джулиана и Томре (1966) и Хенона и Пти (1986). Если начальный
эксцентриситет мал, то эти изменения равны
AD{ = О, (9.82)
з
AD2 = -ffsign(D3) —^, (9.83)
AL>3 = 0, (9.84)
где
д = -[2К0(2/3) + #i(2/3)] = 2.239566674, (9.85)
Ко и К[ — модифицированные функции Бесселя второго рода. Таким
образом, в результате соединения комплексный эксцентриситет изменяется на
г#ехр(гАс) . га2
Az = ^ sign(e) —, (9.86)
где е — относительная разность больших полуосей орбит:
е=±^. (9.87)
^2
Дункан и др. подчеркнули, что этот же результат можно получить из
уравнений Гаусса или уравнений Лагранжа, не используя уравнения Хилла.
Тот факт, что ДДз с точностью до членов низшего порядка равно нулю,
означает, что изменение большой полуоси отсутствует. Однако с помощью
модифицированного выражения (9.78) для константы Якоби можно оценить это
изменение более точно. Пусть а' и zf = z + Аг представляют собой значения
большой полуоси и комплексного эксцентриситета сразу после соединения;
е1 — (о! — 0.2)1 а<1- Из формулы для Си имеем
e'2 = e2 + ±(\z'\2-\z\2). (9.88)
По формулам (9.86) и (9.88) можно, зная а и г, вычислить а' и zf.
Предположим, что новые значения остаются постоянными до следующего соединения.
Интервал времени между последовательными соединениями (синодический
период) равен
Tg= 2тг ^ 2тг|^з/2
ГС2 - ГС ГС2
/02
(9.89)
444
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Отсюда следующее значение долготы в соединении равно
\fc = \c + 2nf(e'), (9.90)
где
f(e) = \(l+e)-3/2-l\ . (9.91)
Пусть Лп — долгота гг-го соединения, a zn и еп — значения комплексного
эксцентриситета и относительной большой полуоси непосредственно перед
гг-ым соединением. Объединяя три выведенных выражения для приращений,
запишем полное отображение в виде, полученном Дунканом и др. (1989):
г#ехр(гАп) . га2 ,
zn+x = zn + £ signal) —, (9.92)
^.-«Jl + 4("»tl^rl-l'). (9.93)
An+1 =Ап + 2тт/(5п+1). (9.94)
Обратите внимание, что в уравнении (9.92) фигурирует е\, а не еп. Это
исправление, практически не влияющее на точность отображения, было сделано
Дунканом и др. для того, чтобы отображение сохраняло площадь.
Дункан и др. (1989) вывели ряд альтернативных представлений для этого
отображения, каждое из которых иллюстрирует конкретное свойство
системы. Пусть Аеп = еп — е\, где е\ > 0. Разлагая правые части уравнений (9.93)
и (9.94) в ряд, имеем
гп+1=гп + !£^!М^, (9.95)
A£n+l = 5 ' (9.9b)
An+1=An + ±L-^±i. (9.97)
Дункан и др. вывели также модифицированное отображение для случая
возмущающего тела, находящегося на эллиптической орбите. Для этого
требуется лишь заменить первоначальное определение z на
z = еехр(гш) — в2ехр(гш2), (9.98)
где в2 и W2 — эксцентриситет и долгота перицентра орбиты возмущающего
тела. Все прочее остается неизменным. Дункан и др. показали также, каким
образом можно модифицировать отображение, чтобы учесть влияние
возмущений со стороны двух планет на круговых орбитах.
Намуни и др. (1996) учли в разложении члены более высокого порядка
относительно эксцентриситета и наклонения и вывели улучшенный вариант
9.5. Алгебраические отображения
445
столкновительного отображения в приближении Хилла. Для всех версий
столкновительного отображения, как и для резонансных отображений, секрет
быстродействия состоит в свойстве мгновенно «перескакивать» от
возмущения к возмущению при посредстве аналитического решения. Мы обсудим
приложения столкновительного отображения в разделе 9.6.
9.5.4. Отображения в задаче N тел. Добавление бесконечного числа
высокочастотных членов к гамильтониану является необходимой составляющей
вывода резонансных отображений. Кроме того, этот вывод основывается на
использовании усеченных разложений планетной возмущающей функции, что
влечет свойственные этим разложениям проблемы. Уиздом и Хольман (1991)
вывели отображение в задаче N тел, использующее прием с 5-функцией
Дирака, но не требующее разложений в ряд по орбитальным элементам.
Отображение Уиздома и Хольмана является важным вычислительным
инструментом, благодаря его 1) быстродействию и 2) свойству симплектичности,
которое влечет отсутствие вековых изменений энергии системы. Это
отображение сыграло большую роль в исследованиях долговременной устойчивости
Солнечной системы. Поэтому стоит детально ознакомиться с его выводом.
Исходным объектом для вывода отображения в задаче N тел является
гамильтониан задачи N тел. В этой задаче требуется найти решение для
системы N гравитационно взаимодействующих тел. Пусть г-тое тело имеет
массу ть импульс Рг = m^v* и находится от j-ro тела на расстоянии г^ —
= \rj — Ti\. Гамильтониан системы имеет вид
N-\ 9 N-2 7V-1 п
3=0 3 j=0 k=j+\ ЗК
(см. (2.170)). Чтобы вывести отображение в задаче N тел, этот
гамильтониан следует представить в виде суммы «кеплеровой части» и «части,
ответственной за взаимодействие» (Уиздом и Хольман, 1991). Гамильтониан
определяется как «кеплеров» (см. раздел 2.10), если его можно записать как
р2 QMm
П = £--- (9.100)
2m r
или представить в виде суммы подобных гамильтонианов. Чтобы добиться
представления гамильтониана в искомом разделенном на компоненты виде,
необходимо перейти к новым переменным — так называемым координатам
Якоби (см., напр., Пламмер, 1918).
Рассмотрим N — 1 тел с массами т\, rri2, ..., m^v-i, обращающихся
вокруг центрального тела с массой то- Относительно неподвижного начала
координат в точке О эти N тел имеют радиус-векторы го, п, ..., r^v—i
(рис. 9.20а, где N = 4). Пусть Rq — радиус-вектор центра масс системы,
состоящей лишь из центрального тела (то есть Rq = ro); Ri — радиус-вектор
центра масс системы, состоящей из тел то и т\, и т. д. Следовательно, R;
446
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
есть радиус-вектор центра масс всех тел с индексами от 0 до г включительно
(рис. 9.206). Это определение можно записать в виде формулы
FL
^S
mjYj,
(9.101)
где
щ = ^т,. (9.102)
j=o
Первый якобиев радиус-вектор ?о (тильда обозначает здесь принадлежность
к системе координат Якоби) является радиус-вектором центра масс системы
в целом, то есть
Fo = Rtv-i (9.103)
для нашей системы N тел, состоящей из N — 1 тел, обращающихся вокруг
центрального тела. Все остальные якобиевы радиус-векторы определяются
формулой
ri = ri-Ri_1. (9.104)
Следовательно, ?i есть радиус-вектор т\ относительно то, ?2 —
радиус-вектор Ш2 относительно центра масс то и mi, и т. д. (рис. 9.20б).
В системе координат Якоби векторы импульса, сопряженные с векторами
положений ?j, равны
Pi = rhiVi, (9.105)
где Vj = г*, а гщ определяются формулой
( (r)i-\/Vi)mi, если 0 < г < N,
7?7v-i = Mtotab если i = 0,
ГГЦ =
(9.106)
где Mtotai — полная масса системы. Выражения для якобиевых векторов
импульса через декартовы векторы импульса можно найти, дифференцируя
Рис. 9.20. Система координат Якоби для задачи четырех тел, где положение г-го
тела отнесено к центру масс системы г — 1 тел с меньшими значениями
индекса г. а) Радиус-векторы г$ четырех тел относительно начала координат в точке О.
б) Радиус-векторы R^ центров масс подсистем (обозначенных светлыми кружками)
и радиус-векторы г$ в системе координат Якоби относительно центров масс в этой
системе. Точка С — центр масс системы
9.5. Алгебраические отображения
447
выражения (9.103) и (9.104) и умножая их на то и т;, соответственно. Это
дает полный импульс системы
7V-1
Ро= 5^Pj> (9.107)
j=o
&=(—)&-(—) Y,Pi (0<KN) (9.108)
V Vi J \Vi / j=Q
(см. Саха и Тремейн, 1994).
Чтобы выразить Н через якобиевы координаты и импульсы, необходимо
найти соответствующие соотношения, связывающие стандартную декартову
систему с системой Якоби. Выписывая выражения для векторов г$, умножая
каждое из них на ?7г i и вычитая из каждого получающегося последующего
уравнения предыдущее, можно показать (Т. Key, частное сообщение), что
стандартные координаты записываются как
го=7о-Е(^)^ (9Л09)
r. = r0+(^i-W V №)Ъ (0<i<N-l), (9.110)
rN_l=r0+(?^)rN_l. (9.111)
Из этих формул получаются следующие выражения для относительных
радиус-векторов:
г-1
Гг0 = Гг-£](^Н (0<i<N), (9.112)
= (!Ь=1\Ь- £ (^)vk-vj (0<i<j<N). (9.113)
.7=1
/ Vi-\ \ ~
rij
k=i+\
Дифференцируя выражения (9.109)—(9.Ill) по времени и умножая их на
mo, mi и m^v-i, соответственно, выводим формулы для импульсов:
\VN-lJ j^[ \Vj-lJ
Pi=(J^)to + Pi-f] (—)pj (0<i<N-l), (9.115)
Рлг-i = ( N~l ) po + Pjv-i- (9.116)
448
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Используя эти формулы, кинетическую энергию в гамильтониане (9.99)
можно представить в виде
Пламмер (1918) вывел это выражение альтернативным путем — без
привлечения промежуточных выражений для векторов импульса. В координатах Якоби
полный гамильтониан имеет вид
~о N-\ -2 N-2 7V-1 -
j = l J .7=0 k=j + \ J
Поскольку величины гц не зависят от ?о (радиус-вектора центра масс),
полный якобиев импульс ро является интегралом движения. Это просто
одна из формулировок хорошо известного результата, что в гравитационной
системе N тел в отсутствие внешних сил центр масс либо покоится, либо
движется прямолинейно с постоянной скоростью. Следовательно, первый член
в гамильтониане (9.118) можно отбросить. Прибавляя и вычитая величину
Ylf=\l Gmorrij/rj в правой части (9.118), мы можем представить гамильтониан
в виде суммы:
*Н = ^Kepler + ^interaction, (9.1 19)
где
^Кер.ег= >^(^--^РЧ, (9Л20)
^interaction — £ > ~ / > / > " * (9.121)
3 =
В формуле для 7^кер1ег мы выразили величину Х^Л* От^т^г^ через якобие-
вы массы rhi и Mi = {щ/щ-х)гао при 0 < г < N. Теперь в гамильтониане Н мы
можем по отдельности рассмотреть кеплерову часть и часть, ответственную
за взаимодействие.
Обратите внимание, что гамильтониан Нкер1ег зависит от г} и р?, но не
от r-jfc. Как нам и требовалось, мы выразили ^Kepler в виДе суммы N — 1
гамильтонианов отдельных задач двух тел. Обобщая (2.170), находим
уравнения для эволюции якобиевых векторов положения и импульса в системе
с гамильтонианом 7^кер1ег-
М„ , =VP^Kepler, (Pi)v , = -Vp.WKepler. (9.122)
\ / KeDler \ / Kepler
(h) = £-, fe) =~^ru (9.123)
V /KeDler mi V /KeDler r?
9.5. Алгебраические отображения
449
О < г < N (см. (2.174)). Уравнения (9.123) при каждом значении г можно
объединить в одно уравнение движения г-той якобиевой массы гаг в системе
С ГаМИЛЬТОНИаНОМ ^Kepler^
§ + ff. = 0, «9,24,
О < г < N (см. (2.168)). Это уравнение можно интерпретировать j<aK
уравнение движения тела относительно неподвижного тела с массой Мг,
расположенного в центре масс Rz_i предыдущих г — 1 тел. Также его можно
интерпретировать как уравнение относительного движения двух тел, имеющих
суммарную массу Mi и разделенных вектором ?;.
Что касается гамильтониана ^interaction, T0 следует отметить, во-первых,
что ^interaction не зависит ни от р^, ни от р^; поэтому из гамильтоновых
уравнений следует, что величины rj и ?j в системе с ^interaction являются
константами движения. Во-вторых, гамильтониан ^interaction можно в свою
очередь выразить в виде суммы:
^interaction = ft Jacobian + ^Cartesian» yuAZO)
где
7V-1 G N-2 N-\ G
^Jacobian = / ^ ~ » ^Cartesian = — / v / v • (9.126)
j=l J j=0 k=j+\ Jk
Поэтому
Рг = -V^Hjacobian ~ ^r{^Cartesian = ( Рг ) + ( Рг ) > (9.127)
\ / Jacobian \ / Cartesian
где, как легко показать,
(й)
Jacobian г
0mom*ri. (9.128)
Чтобы вычислить Рг под воздействием декартовой части гамильтониана,
вначале найдем рг в системе с таким гамильтонианом, а затем подставим
получившееся выражение в производную от (9.108) по времени. Имеем
(Pi)cartesian = ~ Vr^Cartesian = - ]Р \ Г*Ь (9Л29)
fc=0 ik
450
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
отсюда
(&)
Cartesian
х N-\ п / ч г-1 N-\ n
2^^з— r^+ (— LL —^-r^' (9131)
%
fc=0 г/с
\Vi
7=0 ^=0 jfc
OjC i < N. Объединяя (9.128) и (9.131), деля на шг- и используя соотношение
мг = (Vi/Vi-\)mo> имеем
н
interaction Г-
7V-1
, г-1 7V-1 п
+ A. T^rifc + ^~7^ 2^ ~z—г^* (9Л32)
0тк
к=0 Tik
(k^i)
Можно показать (Т. Key, частное сообщение), что многие члены в правой
части выражения (9.132) сокращаются, в результате оно упрощается и
принимает вид
(*0
interaction
= GMi
г? rli
г-1 п
77г-1 /^ Г?
%
7V-1
j=l ^
-1 7V-
W-1 ^ 1 г-1 YV-1 -
V> 6?ГП, , 1 V- V- Gm3mk„ /Q1QQ4
+ 1. T^"r^ + ^~T 2^ 2^ "is—r^- (9133)
j=z+l U
Следует соблюдать осторожность при вычислениях значений выражения
в квадратных скобках из-за опасности численных ошибок при вычитании
почти равных величин. Заключительный шаг в процедуре учета гамильтониана,
ответственного за взаимодействие, — самый простой. За время At якобиев
вектор скорости г-го тела изменяется на
Av,
\ / i
interaction
(0 < г < N),
(9.134)
тогда как все гг и гг остаются неизменными.
Быстродействие отображения является следствием использования
интегрируемости (или некоторого интегрируемого приближения) внутри
системы. В случае резонансных отображений такую роль играет интегрируемость
всегда присутствующих вековых возмущений, при этом резонансные
возмущения заменяются толчками. В случае столкновительного отображения
предполагается, что движение является невозмущенным между
последовательными толчками в соединениях. В отображении Уиздома и Хольмана
в задаче N тел используется существенно кеплеров характер орбиты. Мы
уже привели гамильтониан к виду, подходящему для введения 5-функции
и последующего вывода отображения. Это можно осуществить способом,
аналогичным обсуждавшемуся для резонансных отображений в разделе 9.5.2.
9.5. Алгебраические отображения
451
Основой для построения отображения N тел Уиздома и Хольмана является
замена гамильтониана (9.119) на
W = ^Kepler + 27Г($2тг (fi^)^interaction. (9.135)
где ($2тг(^*) ~~ 27г-периодическая 5-функция Дирака, Q — частота
отображения. Здесь использование 5-функции аналогично ее использованию в
разделе 9.5.2 в случае резонансных отображений (но в том случае ft = 1).
Еще раз отметим, что, поскольку ^interaction не зависит от импульсов, при
«толчке» координаты остаются постоянными, а изменяются только импульсы.
Толчки соответствуют эволюции системы согласно (9.134) под воздействием
^interaction- На интервалах времени между этими порождаемыми 5-функцией
толчками эволюция системы, определяющая ее состояние к моменту
следующего скачка, вычисляется с помощью рядов / и д (что соответствует
эволюции, согласно (9.124), под воздействием Нкер1ег)- Этот шаг основан
на принципе, что в любой момент времени to радиус-вектор г и вектор
скорости v определяют орбитальную плоскость и, таким образом, значения г
и v в момент времени t можно записать в виде линейных комбинаций
r(t) = №r(to) + g(t)v(to) (9.136)
и (как следует из (9.136))
v(t) = f(t)r{to)+g(t)v(to)- (9-137)
Функции /, д, f и д определяются формулами (2.69) и (2.71), каждая из
которых содержит разность эксцентрических аномалий АЕ — Е — Eq.
Уравнение Кеплера в разностной форме записывается как
пAt = АЕ-е cos E0 sin АЕ + е sin Е0( 1 - cos AE). (9.138)
Чтобы найти состояние системы к моменту следующего толчка, это уравнение
надо решить для каждого из тел. При использовании функций / и д кеплеров
шаг и шаг взаимодействия могут быть выполнены в декартовых
координатах, что, как указывают Уиздом и Хольман, позволяет избежать затратных
с вычислительной точки зрения преобразований координат от шага к шагу
(Уиздом и Хольман, 1991). Методы решения уравнения Кеплера обсуждаются
в разделе 2.4.
Уиздом и Хольман показали, что имеется два варианта оптимизации
отображения. Можно выбрать либо оптимальное согласие гамильтониана
отображения и истинного гамильтониана, либо оптимальное согласие решения
(в виде ряда Тейлора) истинной системы и отображения на одном шаге по
времени. Пусть гамильтониан отображения имеет вид
^Мар = ^Kepler + Ф (^^interaction, (9.139)
где НкеР1ег ^ ^interaction (так как масса центрального тела обычно много
больше массы возмущающего тела) и
fc-i
Ф(«) = 27T^2ai527r(t - 27Tdi). (9.140)
г=0
452
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Это означает, что на каждом периоде отображения 5-функция применяется
к раз. Амплитуды и фазы 5-функции равны соответственно ai и di (0<di< 1).
Используя разложения в ряд Фурье, находим
fc-i
г=0
ф(г) = ^2аг ]Г cos[n(t - 2ndi)] = (9.141)
=—оо
оо оо
= ]Г Ancos(nt) + ^2 Bnsin(nt), (9.142)
где
к-\ к-\
Ап = 2_"o>i cos(27rndi), Bn = 2_" ai sm(2nndi). (9.143)
г=0 г=0
Если требуется наилучшее согласие между двумя гамильтонианами, то
при заданном значении к (порядке отображения) следует найти значения
коэффициентов щ и di (число которых равно 2/с), оптимизирующие согласие
с истинным гамильтонианом. Это можно сделать, налагая условия на Ai и Д.
Так как гамильтониан отображения, усредненный на периоде отображения,
должен быть равен истинному гамильтониану, находим
fc-i
А0 = ^аг= 1. (9.144)
Аналогичным путем находим, что для наилучшего согласия двух
гамильтонианов также требуется, чтобы
fc-i fc-i
Ап = У_"щ cos(2imdi) = 0, Bn = V^ Щ s'm(27rndi) = 0 (9.145)
г=0 г=0
при п ф 0. Уиздом и Хольман нашли, что подходящими решениями этих
уравнений при заданном порядке к являются значения а^ = 1//с, при этом фазы
di должны быть отделены друг от друга равными интервалами. Отметим,
что на значение абсолютной фазы ограничений нет; требуется лишь, чтобы
в последовательности фаз интервал между любыми соседними фазами был
одним и тем же.
Альтернативный подход состоит в оптимизации согласия решений в
виде рядов. Однако Уиздом и Хольман показали, что этого можно добиться
для отображения второго порядка (точность которого равна 0(Д£3)), если
положить ао = 1 при do = 1/2 и d\ = 1, что одновременно удовлетворяет
условию согласия гамильтонианов. Пусть At = 2n/ft — интервал времени,
отвечающий циклу отображения. В предложенном Уиздомом и Хольманом
методе обобщенного «лип-фрога» все тела в системе на интервале времени
At/2 движутся по независимым кеплеровым орбитам задачи двух тел. Затем
следуют «толчки» со стороны возмущающих планет, изменяющие якобиевы
9.6. Сепаратрисы и перекрытие резонансов
453
^Keple
'Mnt.prartin
►< 1 ►< 1 +Z< *
У Чч I У Чч I У "ч
У V . у Чч ; ^> V
- ► !- ► I- £
Д* Д* А*
Рис. 9.21. Схема метода обобщенного «лип-фрога» на трех равных интервалах
времени At в случае к — \. Сплошные линии показывают эволюцию под воздействием
заданного гамильтониана, а штриховые линии — последовательность переходов
векторы скорости Av^ согласно (9.134). Потом вновь следует движение всех
тел по независимым кеплеровым орбитам в течение оставшегося времени
At/2, что завершает цикл отображения.
На рис. 9.21 показана схема применения этого алгоритма в случае к = 1.
Обратите внимание, что шагам '"^interaction" (то есть шагам, на которых
применяется 5-функция) всегда соответствуют полные интервалы времени
(одной и той же длины), а шаги "Hxepier" всегда начинаются и завершаются
на 1/2 интервала. Отображение, построенное Уиздомом и Хольманом,
оптимально — потому, что удовлетворяется условие ^аг — 1» a пики 5-функции
равномерно разделены по фазам; кроме того, использование абсолютной фазы
позволяет представить решение с точностью до второго порядка. Можно
показать, что фактически отображение точно представляет динамику некоторого
суррогатного гамильтониана, который отличается от Н членами 0(At2). Это
гарантирует отсутствие векового изменения энергии системы (Саха и Тре-
мейн, 1994).
Использование симплектических интеграторов, подобных разработанному
Уиздомом и Хольманом, стало сейчас широко распространенным.
Разработаны методы более высокого порядка (см., напр., Киношита и др., 1991);
предложены и другие улучшения, например, уменьшены ошибки
долговременных расчетов (Саха и Тремейн, 1992), для разных тел введены разные шаги
по времени (Саха и Тремейн, 1994), разработан симплектический алгоритм,
учитывающий тесные сближения тел (Левисон и Дункан, 1994), а также
симплектический алгоритм с учетом диссипации (Мальхотра, 1994).
9.6. Сепаратрисы и перекрытие резонансов
В разделе 8.6 мы уже сталкивались с понятием сепаратрисы, когда при
специальном выборе значения энергии в модели маятника мы обнаружили
тип движения с бесконечным периодом. При более низких значениях энергии
имеют место либрации, а при более высоких — циркуляции (рис. 8.6 6). Также
мы убедились, что модель маятника является хорошим приближением для
описания движения вблизи резонанса в усредненной задаче. В обоих случаях
задача интегрируема. Однако добавление к гамильтониану маятника корот-
копериодических членов, ведущее к стандартному отображению,
продемонстрировало возможность хаотического поведения. Подобный тип поведения
можно видеть на сечениях Пуанкаре плоской ограниченной задачи трех тел.
В обоих случаях хаос проявляется при движении около сепаратрисы. Орбиты,
находящиеся глубоко внутри сепаратрисных ячеек и образующие «острова
454
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
устойчивости», являются регулярными. Хаотические орбиты
непредсказуемы, хотя это орбиты детерминированной системы. Почему движение вблизи
сепаратрисы возмущенной системы является хаотическим? Чтобы ответить
на этот вопрос, рассмотрим возмущенный вариант сепаратрисной ячейки;
в невозмущенном виде (то есть в случае невозмущенного маятника) она
показана на рис. 8.6 6.
На рис. 9.22 показано несколько кривых постоянного значения
возмущенного гамильтониана. Точку неустойчивого равновесия можно представить
себе как точку пересечения ветвей сепаратрисы. На ветвях Н+ движение
происходит в направлении к точке неустойчивого равновесия, а на Н~ —
в обратном направлении. Комбинация этих двух ветвей обусловливает почти
гиперболическое движение вблизи точки неустойчивого равновесия. Однако
левая неустойчивая точка совпадает с правой неустойчивой точкой (так как
угловая координата — 27г-периодическая), поэтому ветвь Н~, исходящая из
левой точки в конечном счете должна пересечь ветвь 7Y+, входящую в
правую точку. В невозмущенном случае ветви при встрече совпадают, однако
в возмущенном случае ситуация иная.
Ф |
Рис. 9.22. Устойчивая (W+) и неустойчивая (Н~) ветви сепаратрисы
пересекаются, приводя к хаотическому движению вблизи сепаратрис возмущенного маятника.
Точки равновесия обозначены светлыми кружками. (Согласно Лихтенбергу и Либер-
ману, 1983.)
Пусть пересечение ветвей сепаратрисы происходит в точке х.
Рассмотрим движение возмущенной системы, используя некоторое отображение F,
например обсуждавшееся выше стандартное отображение. Тогда после одной
итерации отображения мы имеем новое значение х1 = F(x), после двух
итераций имеем хп = F(xf) = F2(x) и т. д. Следовательно, если х
находится на ветви 7Y+, то неустойчивая точка определяется как lim Fn(x), где
п—»оо
Fn(x) обозначает п-ю итерацию отображения F. Поскольку рассматривается
движение по сепаратрисе, то можно ожидать, что при п —> ос точки будут
располагаться все ближе и ближе друг к другу. Однако неустойчивую точку
можно определить и как lim T~nx (в случае движения по ветви Н~).
п—>оо
Поскольку мы имеем дело с двумерной гамильтоновой системой, отображение
сохраняет площадь. Поэтому области, ограниченные дугами пересекающихся
9.6. Сепаратрисы и перекрытие резонансов
455
ветвей (серые области на рис. 9.22), должны иметь одну и ту же площадь. Но,
чтобы привести это свойство в соответствие с тем фактом, что при
последовательных итерациях отображения точки пересечения становятся все ближе
и ближе друг к другу, ветвь Н~ должна колебаться все с большей и большей
амплитудой (как это показано на рис. 9.22). В результате при приближении к
неустойчивой точке колебания будут происходить почти параллельно кривым
Н~, исходящим из неустойчивой точки.
Вспомним теперь, что период невозмущенного движения при
приближении к сепаратрисе стремится к бесконечности, а частота — к нулю. Это
приводит к многочисленным соизмеримостям с другими частотами.
Например, на рис. 9.14 мы видели, как высокоамплитудные либрации на резонансе
5:2, имея частоту, соизмеримую с частотой возмущения, образуют восемь
вторичных островов около каждого из трех главных островов. Разумеется,
каждый из этих вторичных островов окружают расщепленные сепаратрисы
его собственной сепаратрисной ячейки. Именно этот механизм в комбинации
со сложным поведением инвариантных кривых порождает хаос в движении
вблизи сепаратрис. Протяженность хаотической области вблизи сепаратрис
заданного резонанса может быть определена с помощью метода Мельникова
(1963) (см., напр., Лихтенберг и Либерман, 1983; Гукенхаймер и Холмс,
1983).
При обсуждении рис. 9.18 мы отметили, что помимо хаотических орбит,
наблюдаемых вблизи сепаратрис, здесь существуют и регулярные орбиты,
но с увеличением /со их становится все меньше и меньше. Аналогичным
свойством обладают и сечения Пуанкаре в ограниченной круговой задаче
трех тел (рис. 9.16 и 9.17). На рис. 9.22 регулярные орбиты расположены на
«КАМ-кривых» (названных так в честь Колмогорова, Арнольда и Мозера,
доказавших важный результат о сохранении регулярных орбит, когда
интегрируемая система подвергается малым возмущениям).
Хаотическое движение также можно рассматривать как результат
перекрытия смежных резонансов. Рассмотрим случай ограниченной круговой
задачи трех тел. Если рассматривать задачу, усредненную в окрестности
резонанса, то, согласно теории, представленной нами в главе 8, сепаратриса
и ширина резонанса четко определены. В качестве первого приближения мы
можем рассматривать фазовое пространство как совокупность таких
резонансов, каждый из которых независим от других, при этом нет короткопериодиче-
ских членов, влияющих на сепаратрису. Очевидный пример дает совокупность
внутренних резонансов первого порядка вида р + I : р. В разделе 8.7 мы
вывели выражения для ширины либрационной области у таких резонансов
в предположении, что они не взаимодействуют. Каждый из резонансов имеет
четко определенную ширину по большой полуоси и, поскольку расстояние
между соседними резонансами уменьшается при приближении к
возмущающему телу, в конце концов они перекрываются. Уиздом (1980) показал, что
в ограниченной круговой задаче трех тел в случае малого эксцентриситета
орбиты частицы (е < 0.15) этот момент достигается, когда
Poverlap ~ 0.51/^2
(9.146)
456
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
где ii2 = rri2/(m[ + гп2) — масса возмущающего спутника в безразмерных
единицах. Используя третий закон Кеплера, находим, что это значение р
соответствует разделению по большой полуоси
2/7 /
AflWriap ~ l.3fi2 а , (9.147)
где а' — большая полуось орбиты возмущающего тела. Следовательно, можно
ожидать, что частицы в области af ± Aaoveriap находятся на хаотических
орбитах. Они испытывают тесные сближения с возмущающим телом и поэтому
выводятся из этой области. Обратите внимание, что AaoveriaP масштабируется
как массовый параметр системы в степени две седьмых.
Дункан и др. (1989) дали простой эвристический вывод этого результата
из свойств столкновительного отображения (обсуждавшегося выше в
разделе 9.5.3). Они отметили, что в рассмотренной ими системе хаос возникает,
когда возмущение большой полуоси при отдельном сближении достаточно
велико, чтобы изменить возмущение орбитальной фазы на тт перед очередным
сближением. В этом случае корреляция между изменениями долгот в
последовательных соединениях отсутствует. Это означает, что система «забывает»
предыдущее значение долготы и движение является хаотическим. В
выражении через величины, используемые в (9.95)-(9.97), условие хаоса имеет вид
^±i>^ (9-148)
ИЛИ
\Ае\>-е1 (9.149)
где, как и прежде, е — относительная разность больших полуосей орбит
частицы и возмущающего тела. Положим начальный эксцентриситет равным
нулю и применим условие (9.149) после первого сближения, предполагая,
что возрастание \Ае\ ведет к увеличению \z\ = е; тогда \z\\ = 0 и, согласно
уравнению (9.95),
\Z2\ = -n- —. (9.150)
е\т\
Согласно (9.96),
еДе=||г2|2, (9.151)
поэтому условие хаоса сводится к неравенству
ьу/7л^2/7
*ni»V UJ ' (9,52)
Подставляя значение g и используя соответствующее критическому случаю
равенство е\ = Aaoveriap/'a'', в итоге находим
^^overlap ~ I.z4/i2 & -
(9.153)
9.7. Вращение Гипериона
457
Этот результат хорошо согласуется с
формулой, впервые выведенной Уиздомом
(1980) другим способом.
Мы проверили справедливость этого
результата в численном эксперименте,
аналогичном выполненному Дунканом и др.
(1989). В этом эксперименте начальные
круговые орбиты пробных частиц
отделены по большой полуоси различными
относительными расстояниями Аа/а! от
круговой орбиты возмущающего тела. Затем
в широком диапазоне значений //2
определяется последнее значение Да/а', при
котором орбита не достигает
эксцентриситета е > Аа/а' на интервале времени в 103
сближений. Результаты представлены на
рис. 9.23. Сплошной прямой показано
наилучшее приближение, описываемое
формулой Аа/а! — 1.57//2'286- Штриховой прямой
показано соотношение Уиздома. Хотя
наклоны этих двух прямых хорошо согласуются, численно-экспериментальные
значения Аа/а' несколько выше теоретических. Зависимость Уиздома, как
можно заключить из графика, служит нижней границей для численных
результатов.
9.7. Вращение Гипериона
Впервые понятие резонанса было введено нами в контексте
спин-орбитального взаимодействия между спутником и планетой. В разделе 5.4 мы
обсудили уравнение для ориентации спутника и показали, как при
некоторых условиях можно получить приблизительное аналитическое решение.
На рис. 5.17 6 показано сечение Пуанкаре (в/п, в) (где в — угол
ориентации, 9 — его производная по времени, п — среднее движение) для разных
начальных условий движения слегка несферического спутника на орбите
с эксцентриситетом е = 0.1. В комментарии к рисунку мы отметили разброс
точек вблизи сепаратрис. Теперь мы можем объяснить это как свидетельство
наличия узкого хаотического слоя. Нам удалось найти приближенные
аналитические решения, описывающие результаты численного интегрирования
(рис. 5.17 а) за исключением хаоса.
Как было отмечено в главе 5, большинство естественных спутников в
Солнечной системе находится в синхронном вращении: к планете обращена все
время одна и та же сторона спутника. Характерное время 7despin> необходимое
большинству спутников, чтобы достичь этого состояния, значительно меньше
возраста Солнечной системы (согласно табл. 5.2, 7deSpin для Луны равно
3 • 107 лет). Но, как показано в разделе 5.5, 7despin обратно
пропорционально приливному моменту Ns, который сильно зависит от радиуса спутника
^ 11
-2| j*r
—2 о ■■■■'■■'■'■■ ■ i ■ ■. ■ I
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
Рис. 9.23. Результаты численных
экспериментов по определению
величины Aaoveriap/^ с
использованием столкновительного
отображения Дункана и др. (1989).
Также показаны: зависимость,
наилучшим образом
приближающая численно-экспериментальные
данные (сплошная прямая), и
теоретическая зависимость Уиздома
(1980) (штриховая прямая)
458
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
и обратно пропорционален шестой степени расстояния от спутника до
планеты (см. формулу (5.2)). Поэтому ясно, что малые спутники на далеких от
центральной планеты орбитах, скорее
всего, не имели достаточно времени,
чтобы проэволюционировать к состоянию
синхронного резонанса. Спутник
Сатурна Гиперион имеет необычную форму
(рис. 9.24). Его радиальные размеры
приближенно равны 175 х 120 х 100 км.
Эксцентриситет орбиты Гипериона равен
0.1 О, а радиус орбиты равен 24.5
радиусов Сатурна, что делает его одним из
самых далеких спутников Сатурна. Поэтому
можно ожидать, что столь малый объект
на столь дальнем расстоянии от планеты
п11Л о ой u.nnonwn.Mon лч™*,о г. имеет большое значение Tdesnin-
Рис. У.24. Неправильная форма 1 и- aespm
периона, одного из спутников Са- Д° посещении «Вояджерами» системы
турна, на изображении, получен- Сатурна в 1980 и 1981 гг. предполагалось,
ном с «Вояджера-2». Наибольший что, согласно оценкам времени приливного
диаметр спутника « 350 км замедления вращения, Гиперион,
по-видимому, не имел достаточно времени для
замедления вращения до синхронного. Первые кривые блеска Гипериона,
построенные Томасом и др. (1984) по данным наблюдений с «Вояджера-1»
и «Вояджера-2», лучше всего соответствовали периоду вращения 13 сут.
Поскольку орбитальный период Гипериона равен 21.3 сут, это означало, что
вращение несинхронно. Данные с «Вояджеров» также указывали на то, что
ось вращения спутника лежала в орбитальной плоскости. При определении
периода вращения Томас и др. (1984) предположили, что скорость вращения
спутника на интервале времени наблюдений с «Вояджера-2» (при его пролете
вблизи спутника), равном 61 сут, была постоянной. Они также сделали
заключение, что найденный ими период был в согласии с данными наблюдений
с «Вояджера-1», проведенными приблизительно на 220 сут раньше.
Однако Уиздом, Пил и Миньяр (1984) предложили более необычный
сценарий. Они провели численные и аналитические исследования
дифференциального уравнения (5.56), описывающего изменения в. Наблюдения
необычной формы Гипериона с «Вояджеров» обеспечили новую, более надежную
оценку и>о (см. (5.85)) при условии однородной плотности: ио = 0.89 ± 0.22.
Из этой оценки и большого эксцентриситета орбиты (е = 0.1) следовало,
что Гиперион не только не был захвачен в синхронный резонанс, но что
его вращение является хаотическим и испытывает существенные случайные
(но в то же время детерминированные) вариации. Поскольку метод
усреднения в случае Гипериона неприменим, необходимо провести численное
интегрирование. На рис. 9.25 показано сечение фазового пространства в случае
е = 0.1 и uq = 0.89 (то есть для значений, соответствующих Гипериону). Это
1) Изменяется в пределах 0.08-0.12. — Прим. ред.
9.7. Вращение Гипериона
459
результат интегрирования одной траектории на интервале времени в 20000
орбитальных периодов. Если только вращение Гипериона не было захвачено
в один из резонансных островов, данное косвенное свидетельство в пользу
хаотического вращения представляется убедительным. Обратите внимание,
что, наблюдая эволюцию одиночной хаотической траектории, мы можем
найти расположение регулярных областей, которые она очерчивает; подобную
методику мы использовали при построении рис. 9.15 б в случае совершенно
другой системы. Этот результат можно сравнить с рис. 5.17 б, где показаны
пять разных траекторий и преобладает регулярное движение.
Рис. 9.25. Сечение фазового
пространства (в, в/п) для одной
траектории при ш — 0.89 и е = 0.1.
Начальные условия: в = 0.0 и
в/п = 0.28. Траектория
вычислена на интервале времени в 20000
орбитальных периодов. (Согласно
Мюррею, 1998.)
20 40 60
Время, сут
Рис. 9.26. Кривая блеска
Гипериона по данным наземных
наблюдений (Клаветтер, 1989).
Хотя амплитуда изменений блеска
велика, очевидной периодичности
нет, что указывает на
хаотическое вращение спутника
Сечение фазового пространства на рис. 9.25 по своему виду аналогично
построенному Уиздомом и др. (1984). Видно, что состояния р = 1/2 и р = 2
окружены протяженной областью хаоса и что либрации в состоянии р = 3/2
невозможны. Кроме того, Уиздом и др. показали, что вращение спутника
с высокой долей вероятности неустойчиво относительно наклона оси
вращения; поэтому он «кувыркается» в пространстве. Наземные наблюдения,
проведенные Клаветтером (1989), по-видимому, подтверждают эти
теоретические выводы (рис. 9.26).
Интересно отметить, что хаос во вращении Гипериона есть следствие как
его необычной формы, так и большого эксцентриситета его орбиты; но прежде
всего он обусловлен именно его формой. Мы уже видели, что приливы,
вызываемые планетой на спутнике, уменьшают эксцентриситет его орбиты.
Однако в случае Гипериона эксцентриситет орбиты не может уменьшаться
из-за приливов, так как он представляет собой вынужденный эксцентриситет,
порождаемый орбитальным резонансом 4:3с близким массивным спутником
Титаном. Поэтому орбита Гипериона, по всей видимости, устойчива из-за
резонанса 4:3 с Титаном, но его вращение является хаотическим из-за
взаимодействия спин-орбитальных резонансов.
460
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Однако вопрос о характере вращения Гипериона пока еще нельзя считать
решенным окончательно. Согласно работе Блэка и др. (1995), основанной
на улучшенных моделях формы и вращательной динамики Гипериона, его
вращение может создавать впечатление регулярного в течение длительных
интервалов времени, хотя состояние вращения может быть формально
хаотическим.
Вполне вероятно, что и другие спутники неправильной формы
испытывали хаотическое вращение в определенные периоды своей динамической
эволюции (Уиздом, 1987а, б). Действительно, чтобы спутник мог быть
захвачен в спин-орбитальный резонанс, он должен пересечь хаотические слои
в окрестностях сепаратрис, а это неизбежно приводит к эпизодам
хаотического вращения. Такие эпизоды могут иметь место, кроме того, в результате
ударных явлений, изменяющих вращательные свойства спутника. Эпизоды
хаотического вращения могли вызывать существенный внутренний разогрев
и изменение структуры поверхности некоторых спутников. Такие процессы,
по-видимому, испытали спутник Марса Фобос и спутник Урана Миранда
(Уиздом, 1987а, б; Дермотт и др., 1988).
Даже планеты не застрахованы от возможности хаотического вращения.
Ласкар и Робутель (1993) показали, что наклон оси вращения каждой из
планет земного типа мог в прошлом хаотически колебаться. В случае Марса
амплитуда таких колебаний могла доходить до нескольких десятков градусов
(Ласкар и Робутель, 1993; Тума и Уиздом, 1993).
9.8. Люки Кирквуда
Известно более 10000 астероидов с надежно определенными орбитами О,
и у большинства из них большие полуоси орбит находятся в интервале между
2 и 4 а.е. — при среднем значении (а) = 2.74 ±0.616 а.е. Суммарная масса
астероидов главном пояса составляет ~ Ю-9 массы Солнца, при этом ~ 80%
массы сосредоточено в трех самых больших объектах: Церере, Палладе и
Весте. Средний эксцентриситет астероидов главного пояса (е) = 0.148 ± 0.086,
среднее наклонение (I) = 8.58° ± 6.62°. Более удобной для сравнения
величиной является синус наклонения; в случае главного пояса астероидов
(sin J) = 0.148 ± 0.111. Таким образом, и у эксцентриситета, и у синуса
наклонения среднее значение и среднеквадратичный разброс сопоставимы по
величине. Поскольку астероиды невелики по размерам, многочисленны и
испытывают сильное гравитационное воздействие одного основного
возмущающего тела (Юпитера) и нескольких менее существенных, они в совокупности
представляют собой естественную «лабораторию» для изучения динамических
процессов в Солнечной системе. В разделах 7.10 и 7.11 мы уже видели, что
есть убедительные свидетельства ударной эволюции внутри главного пояса
астероидов. Это неудивительно, так как типичные скорости столкновений
астероидов друг с другом составляют « 5 км/сек — слишком много, чтобы
была возможной аккреция.
1) См. прим. ред. на с. 28. — Прим. ред.
9.8. Люки Кирквуда
461
Первый астероид был открыт Джузеппе Пиацци в первые сутки
девятнадцатого столетия. Когда Дэниел Кирквуд исследовал распределение больших
полуосей орбит астероидов (Кирквуд, 1867), в его распоряжении были данные
уже о девяносто одном объекте. Кирквуд упорядочил известные орбиты
астероидов по значениям их больших полуосей и заметил, что три наиболее
широкие свободные от астероидов области располагаются в окрестностях
резонансов 9:4, 5:2 и 3:1 с Юпитером; он также вычислил положения
резонансов 7 : 2, 7 : 3 и 2 : 1, но не связывал их определенно с люками. Кирквуд
первым установил, что распределение астероидов не является случайным,
и что, по всей вероятности, на него влияют возмущения со стороны Юпитера:
по его словам, «как и в случае возмущения кольца Сатурна внутренними
спутниками, тенденция влияния Юпитера заключалась бы в формировании
люков, или провалов, в первичном кольце» (Кирквуд, 1867). Очевидно, что
Кирквуда в его исследовании вдохновило соответствие щели Кассини в
кольцах Сатурна резонансу 2:1с Мимасом. Предложенный Кирквудом механизм
основывался на воздействии повторяющихся соединений. Он полагал, что это
воздействие приводило бы к увеличению эксцентриситета орбит, влекущему
за собой столкновения и слияния с близкими объектами, что вызвало бы
недостаток вещества вблизи резонансов.
Относительно истории открытия люков заметим, что, согласно Копалу
(1972), их существование впервые обнаружил пражский астроном К. Хорн-
стайн еще до открытия Кирквуда. Мы не нашли документальных
свидетельств в пользу утверждения Копала.
9.8.1. Резонансная структура главного пояса астероидов. Со времен
Кирквуда объем наблюдательных данных о поясе астероидов вырос более чем
на порядок. Сейчас известно более 10000 астероидов с надежно
определенными орбитами *). В дополнение к орбитальным данным имеется обширная
информация о цвете, форме, вращательной динамике и, в случае астероида
243 Ида, о спутниках 2) (рис. 2.6). Всю эту информацию можно использовать
в исследованиях, обеспечивающих лучшее понимание динамической
эволюции главного пояса астероидов.
На рис. 9.27 а показано расположение астероидов в проекции на плоскость
(х9у) (плоскость эклиптики) в 12h UTC (Universal Time Coordinated —
всемирного координированного времени) 18 декабря 1997 г. Вне границ этого
графика остались астероиды с радиусами орбит более « 4 а.е. (например,
объекты в области резонансов 4:3 и 1:1 с Юпитером), но для нас важно,
что он дает явное свидетельство существования хорошо очерченного
кольца вещества. Это кольцо можно выявить еще более четко, если построить
аналогичную диаграмму, на которой радиальной и угловой координатами
являются большая полуось и долгота перигелия, соответственно. На рис. 9.27 б
хорошо видна резонансная структура главного пояса — несколько свободных
от астероидов «круговых аллей» — главных люков Кирквуда. Внутренняя и
внешняя границы пояса резко выражены. Они связаны с резонансами 4:1
1) См. прим. ред. на с. 28. — Прим. ред.
2) Сейчас известно уже более 160 кратных астероидов. — Прим. ред.
462
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
я> а-е- a cos ш7 а.е,
Рис. 9.27. а) Распределение известных астероидов на плоскости (хуу) 18 декабря
1997 г. б) Распределение известных астероидов на плоскости (acosm, as'mw)
(использованы те же орбитальные данные, что и в случае а). Обратите внимание на
четко проявляющееся кольцо вещества, соответствующее главному поясу астероидов
и 2: 1, соответственно (рис. 1.7). Четко видно скопление астероидов в области
резонанса 3:2 (группа Гильды). График демонстрирует еще одну особенность
главного пояса астероидов — очевидную асимметрию углового
распределения. Так как угловая координата каждой из точек есть долгота перигелия,
из диаграммы следует, что у долгот перигелиев орбит астероидов есть явная
тенденция группироваться у значения долготы перигелия Юпитера (последнее
указано стрелкой). Это просто следствие того факта, что скорость прецессии
астероида, на которую более всего влияют возмущения со стороны Юпитера,
является минимальной, когда перицентры астероида и Юпитера совпадают по
долготе, и максимальной, когда они различаются на 180° (см. формулу (7.94)).
Важной особенностью распределения астероидов является падение их
концентрации за пределами резонанса 3:2 (3.97 а.е.), если не считать
небольшого числа объектов вблизи резонанса 4:3 (4.29 а.е.). Этот дефицит астероидов
является также резонансным эффектом: он вызван перекрытием резонансов
первого порядка в окрестности орбиты Юпитера. Из результатов применения
Уиздомом (1980) критерия перекрытия резонансов, обсуждавшихся в
разделе 9.6, следует, что в случае Солнца и Юпитера p0veriaP ~ 4, что соответствует
области хаоса, простирающейся на 0.9 а.е. внутрь орбиты Юпитера. Поэтому
можно ожидать существования зоны, свободной от астероидов, на
расстояниях от Солнца больше 4.3 а.е., что хорошо согласуется с наблюдениями
(рис. 9.28).
За время, прошедшее после открытия Кирквуда, был выдвинут целый ряд
гипотез о происхождении резонансных люков. Следует подчеркнуть, что
любая жизнеспособная теория должна объяснять не только люки, наблюдаемые
при одних резонансах, но также и скопления астероидов при других. Гринберг
и Шолл (1979) разделили предложенные теории на четыре основные группы.
• Статистическая гипотеза. Это гипотеза заключается в том, что люки
являются лишь видимостью. Динамические уравнения, описывающие
динамику объектов вблизи резонансов, подобны уравнению маятника,
поэтому, если астероид движется вблизи резонанса, он будет большую
часть времени находиться в экстремальных положениях на своей
орбите: в любой заданный момент времени статистически наиболее вероятно,
9.8. Люки Кирквуда
463
4:35:4 6:5
3.5 4 4.5 5
Большая полуось, а.е.
Рис. 9.28. Перекрытие смежных резонансов первого порядка во внешней части
главного пояса астероидов. Кривые показывают максимальную ширину либрации на
плоскости (а, е) для всех резонансов первого порядка в интервале между 3 и 5 а.е.
Точки обозначают положение астероидов с орбитами в этом интервале.
Номинальные положения центров резонансов указаны для резонансов 2:1, 3:2, 4:3, 5:4
и 6:5. Области перекрытия резонансов показаны серым цветом. Обратите внимание
на широкий люк, связанный с резонансом 2:1, и скопление объектов, связанное
с резонансом 3:2
что астероид находится в крайних положениях своего либрационного
движения (то есть у границ резонанса, а не в его центре). С появлением
компьютеров стало возможным исследовать эту гипотезу с
использованием численного интегрирования уравнений движения известных
астероидов вблизи люков Кирквуда. Если не считать нескольких объектов
с обнаруженными либрациями, каких-либо указаний на «иллюзорность»
люков не найдено.
• «Столкновительная» гипотеза. Впервые предложена Кирквудом.
Согласно ей, резонансные возмущения орбит астероидов приводят к их
столкновениям с близкими объектами. Это может приводить либо к
аккреции объектов при их нахождении вне люков (что маловероятно, так
как относительные скорости были бы слишком велики), либо к их
полному разрушению при соударениях. Последнее может быть проверено
путем поиска проявлений эффекта «массы», в соответствии с которым
средняя масса объектов, как и их концентрация в пространстве,
уменьшается при приближении к резонансу.
• Космогоническая гипотеза. В космогонических теориях
предполагается, что либо люки представляют собой области, где астероиды не
смогли сформироваться, либо люки связаны с процессами, которые
шли на ранних стадиях формирования Солнечной системы, но сейчас
прекратились. Например, одна из идей состоит в том, что в начале
расширения орбиты Юпитера (возможно, при его обращении вокруг
менее массивной солнечной туманности) произошла очистка
резонансов. Такой механизм может быть исследован с использованием модели
резонанса, рассмотренной в главе 8. Возможно, он в состоянии
объяснить формирование некоторых люков, но не таких феноменов, как
различие между резонансами 2:1 и 3:2. Его эффективность зависит
от неизвестных параметров — например, параметров, характеризующих
масштабы орбитальных изменений в ранней Солнечной системе.
464
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
• Гравитационная гипотеза. Согласно этой гипотезе, люки можно
объяснить в рамках задачи трех тел Солнце-Юпитер-астероид.
Исследования, проведенные за последние два десятилетия, показали, что
это объяснение происхождения люков наиболее правдоподобно и что
важную роль здесь играет динамический хаос. Однако детали этого
механизма пока полностью не выяснены.
Как показали Дермотт и Мюррей (1983), если построить распределение
орбит астероидов на плоскости (а, е) и наложить на него кривые,
ограничивающие зоны либрации в сильных резонансах, то наблюдается хорошее
согласие между шириной люков и шириной зон либрации (рис. 9.29). Обратите
внимание, что присутствие астероида в пределах зоны либрации какого-либо
резонанса необязательно означает, что этот астероид либрирует на резонансе,
поскольку все данные для астероидов взяты на одну и ту же эпоху. Более
корректное сравнение должно включать для каждого из резонансов
интегрирование орбиты астероида до тех пор, пока резонансный аргумент не достигнет
значения, соответствующего максимуму отклонения по а. Дермотт и Мюррей
не предложили какого-либо механизма удаления астероидов из люков, но они
заключили, что гравитационная гипотеза наиболее правдоподобна.
Если для объяснения люков достаточно рамок ограниченной задачи трех
тел Солнце-Юпитер-астероид, то прямое численное интегрирование
уравнений движения на длительных интервалах времени должно прояснить
механизм удаления астероидов из люков. Выше мы уже исследовали эту задачу
численно путем построения сечений фазового пространства круговой
ограниченной задачи трех тел в случае отношения масс Ю-3 (см. раздел 9.4) и
обнаружили хаотическое движение. Однако центральные области всех основных
резонансов (острова на сечениях фазового пространства) имели регулярный
вид. Это дает основание предположить, что люки Кирквуда нельзя объяснить
в рамках плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
Интегрирование на больших временах в более сложных моделях (таких
как эллиптическая и пространственная задачи) было практически невозможно
осуществить до тех пор, пока не появились быстродействующие (и
недорогие) компьютеры. Проводившиеся первоначально численные эксперименты по
Рис. 9.29. Кривые максимальной ширины зон либрации на плоскости (а, е) для
сильных резонансов с Юпитером, наложенные на распределение астероидов в главном
поясе. Обратите внимание на согласие между шириной люков и шириной резонансов
9.8. Люки Кирке уда
465
интегрированию орбит были ограничены по времени и не выявили сильных
изменений в движении гипотетических астероидов в резонансах 0. Прорыв
произошел, когда Уиздом (1982) вывел свое алгебраическое отображение для
исследования движения астероидов вблизи резонанса 3: 1 (см. раздел 9.5.2).
9.8.2. Резонанс 3:1. Уиздом в цикле статей (1982, 1983, 1985а)
убедительно продемонстрировал роль хаоса в формировании люка Кирквуда 3:1.
Используя для расчетов отображение (Уиздом, 1982), он показал, что при
некоторых начальных условиях орбита пробной частицы вблизи резонанса
3: 1 может вести себя как регулярная в течение сотен тысяч лет, а затем
испытывать сильный скачок эксцентриситета. Расположение этого резонанса
(а « 2.5 а.е.) позволяет астероиду при таких скачках эксцентриситета
пересекать орбиту Марса, что, в конечном счете, может привести к его выбросу из
люка под воздействием сближений с Марсом. Уиздом выдвинул гипотезу, что
именно Марс «удаляет» астероид, хотя хаос в движении астероида вызван
Юпитером. Пример хаотической орбиты пробной частицы вблизи резонанса
3: 1 показан на рис. 9.30. Она вычислена с помощью отображения Уиздома.
_| i !_1
2.45 2.50 2.55
Большая полуось, а.е.
1.31. Расположение асте-
в вблизи резонанса 3:1
ницы области хаоса. (Со-
ласно Уиздому, 1983.)
В первой статье упомянутого цикла Уиздом (1982) учитывал вековые
возмущения орбиты Юпитера и рассматривал пространственный случай.
Во второй статье (Уиздом, 1983) он показал, что наблюдаемый хаос не связан
с вековыми изменениями орбиты Юпитера и что он существует и в плоском
случае. Однако отличие орбиты Юпитера от круговой играет ключевую роль.
Мюррей и Фокс (1984) установили, что хаос не является артефактом
отображения, а представляет собой реальный тип поведения, свойственный как
1) Хотя сильных изменений околорезонансных орбит астероидов в этих первых численных
экспериментах не было обнаружено, но методом сечений Пуанкаре были открыты хаотические
орбиты астероидов — вблизи резонансов с Юпитером 2: 1 (Giffen, R. (1973) Astron. Astrophys.
23, 387) и 3: 1 (Scholl, H. and Froeschle, С. (1974) Astron. Astrophys. 33, 455). - Прим. ред.
2000 4000 6000 8000 10000
Время, в периодах обращения Юпитера
Рис. 9.30. Эксцентриситет орбиты пробной
частицы вблизи резонанса 3:1 в зависимости
от времени. График иллюстрирует хаотическую
природу орбиты и эпизоды пересечения
орбиты Марса. Начальные данные а^/а' — 0.481,
ео = 0.15, wo - w1 = 0, ЗА' - Ао = 7г
принадлежат хаотической области на «представительной»
плоскости начальных данных, определенной Уиз-
домом (1982). (Согласно Мюррею, 1998.)
К
сх,
н
DC
<D
о
U.4:1
0.3
0.2
0.1
0.0
Рис. J
роидо
и гра
г
30 К. Д. Мюррей, С. Ф. Дермотт
466
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
усредненным, так и полным уравнениям движения. Имеется превосходное
согласие размеров области хаоса и наблюдаемого люка (рис. 9.31).
В третьей работе цикла Уиздом (1985а) дал убедительное теоретическое
объяснение наблюдаемого хаоса в движении вблизи резонанса 3:1. При
анализе он использовал гамильтониан усредненной плоской ограниченной
задачи трех тел вблизи резонанса 3: 1 в стандартном виде
П = -
2Ф2
- ЗФ + fiF(x2 + у2) + e'liGx-
-»
./2;
С(х2 - у2) + e'Dx + e'zE\ cos ф-fi(C2xy + e'Dy) sin0, (9.154)
где ф = A — ЗА7, а С, D, E и F — константы; остальные величины
определяются так же, как и выше. Этот гамильтониан можно записать как
Н = -
JtL
2Ф2
ЗФ + fiF(x2 + у2) + e;/iGx-/ii4(x, у) cos[0 - P(x, у)], (9.155)
где
"|2
А(х, у) = \ \ С(х2 -у2) + e'Dx + е,2Е + (2хуС + e'D?/)2
(9.156)
tgP(x,y)
2хуС + e;Dj/
(9.157)
С(х2 -у2) + e'Dx + ef2E'
Уиздом предположил, что значения х и у можно «заморозить» и
рассматривать как параметры уравнений движения, — исходя из того, что х и у
зависят от элементов а, е и го, которые изменяются весьма медленно (их
изменения проявляются на резонансной шкале времени). Он определил новую
переменную А = ф — Р(х,у) — тт и сопряженный с ней импульс Л = Ф — Фге8,
где Фге8 = (/^/З)1/3 есть номинальное положение центра резонанса,
определяемое из уравнения дН/дФ = 0. Раскладывая Н в ряд в окрестности Фге8
и ограничиваясь квадратичными членами, находим гамильтониан Н\ который
определяет изменения переменных А и Л:
Н' = ^аЛ2 + fiAcosi
(9.158)
где а = — 3//2/ф4ез < о. Это гамильтониан математического маятника (см.
раздел 8.6) в новой форме записи. Тип решения зависит от значения Н\ а оно,
в свою очередь, зависит от начальных условий. Возможны три случая: 1) если
Ti! < —А, то угол А вращается, 2) если — А < 7if < А, то А колеблется
относительно нуля, 3) если Hf = А, то имеет место движение по сепаратрисе.
В случае колебаний решение для А имеет вид
> = 4£
sin(2n — l)wt
п=\
(2n- l)ch[(n- \/2)ттК'/К]'
(9.159)
9.8. Люки Кирквуда
467
где К (к) и К'{к) — полные эллиптические интегралы первого рода,
определяемые формулами
тг/2
(1 -fcsin20)-1/2d0 (9.160)
K{k) =
о
тг/2
К'(к)=К(1-к)= [ [l -(1 -к) sin2 в
-1/2
d9 (9.161)
о
с модулем к = к^ = у/(цА — Н')/2цА, и = пио/2К, где шо — частота малых
колебаний, определяемая формулой ио = у/—a/iA.
В случае вращения решение для А имеет вид
^v^ sinned
А = out + 2 V — 7777777* (9-162)
п= 1
где о; = пис/К, uoq = [—a(/iA — Н')/2]х/2. В этом случае эллиптический
модуль к = кс = [2цА/(цА - Н')]х/2.
Соответствующие гамильтониану (9.155) уравнения движения
записываются как
dx Л л <ЭЛ Л . <ЭР . л /л 1/%оч
—- = —zuFy — u-pr- cos А — иА-р— sin A, (9.1оЗ)
dt cfy a?/
d?y <ЭЛ <ЭР
-^ = 2//Fx W//G +//—cosA + //^—sinA, (9.164)
dt ох ох
dA = аЛ _ aP dx _ dP^dy
dt дх dt ду dt '
^ =/ii4sinA. (9.166)
dt
Согласно уравнениям (9.163) и (9.164), характерное время существенных
изменений х и у пропорционально /х-1. В известном смысле лишь
усредненный эффект быстро осциллирующих слагаемых, содержащих cos А и sin А,
будет вносить вклад в существенные изменения х и у. Уиздом предложил
разделить каждую из переменных х и у на долгопериодическую и короткопе-
риодическую составляющие, записав
х = х + £ (9.167)
и
y = V + V- (9.168)
468
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Уравнения движения тогда принимают вид
— = -2fiFy - fi К'У) cos Л - iiA(x,y)— sin A , (9.169)
at о у о у
^ = 2/xFx + e'liG + fJLdA^_l^ (cos A) + М(ж, y)^(sin A), (9.170)
at ax ax
где угловые скобки обозначают усреднение на полупериоде колебания или
периоде вращения угла А. Эти средние значения равны
т
(cos A) = i jcosAd* = Щ^- - 1, (9.171)
о
т
(sinA) = I- [sinAd£ = 0 (9.172)
о
в случае колебаний и
т
(cosA) = ijcosAd*=||^ + l 2 (9л73)
к2сК(кс)
т
(sinA) = ^ [sinAdi = 0 (9.174)
о
в случае вращений; здесь Е(к) — полный эллиптический интеграл второго
рода, определяемый формулой
тг/2
Е(к) =
(l-ksin2e)l/2de. (9.175)
Уравнения движения для х и у принимают вид
— = -2fj,Fy- ц———(cos А), (9.176)
^ = 2fiF х + e'fiG + /x 9AflV) (cos A). (9.177)
at ax
Фактически эти уравнения описывают движение ведущего центра
траекторий вблизи резонанса 3:1. Уиздом использовал графики траекторий
на плоскости (х,у) для выяснения происхождения хаотического движения
вблизи этого резонанса. В частности, он показал, что при определенных
начальных условиях, задаваемых вблизи сепаратрис, движение может казаться
регулярным в течение длительного времени до тех пор, пока не происходит
внезапный скачок эксцентриситета.
9.8. Люки Кирквуда
469
Считается, что метеориты представляют собой осколки астероидов —
результат столкновений в главном поясе. Действительно, существует хорошее
соответствие между спектрами астероидов и образцов метеоритного вещества.
Время, за которое метеорит достиг Земли, можно оценить по его
экспозиционному возрасту — времени воздействия фоновых космических лучей
в Солнечной системе на данный образец. До публикации работы Уиздо-
ма (19856) существовала проблема согласования известных значений
экспозиционного возраста (~ 20- 106 лет) метеоритов наиболее распространенного
класса (хондритов) с эффективностью механизмов доставки, порождаемой
планетными возмущениями. Уиздом (19856) показал, что резонанс 3: 1
обеспечивает наиболее вероятный источник метеоритов. Он установил, что при
учете возмущений со стороны других планет (в дополнение к возмущениям
со стороны Юпитера) орбиты объектов вблизи резонанса 3: 1 могут достигать
эксцентриситетов до 0.6, при которых они могут пересекать орбиту Земли.
В том же году Уэзерилл (1985) показал, что должен существовать источник
обыкновенных хондритов на орбитах с радиусом около 2.5 а.е.
9.8.3. Другие резонансы. Наряду с численными и аналитическими
методами, отображения использовались для изучения структуры фазового
пространства ряда других резонансов с Юпитером. Мюррей (1986) вывел
отображение для резонансов первого порядка и использовал его для изучения
резонансов 2:1 и 3:2 с Юпитером. Однако в случае этих резонансов
существует серьезная проблема сходимости возмущающей функции для
большинства значений е (кроме весьма малых). Результаты применения отображения
Мюррея соответствовали истине лишь при малых е в случае резонанса 2: 1
и, по-видимому, были неправильными в случае резонанса 3:2. Как бы то
ни было, Мюррей не смог выявить какого-либо фундаментального различия
между двумя этими резонансами, которое могло бы объяснить скопление
объектов вблизи резонанса 3:2 и, напротив, их отсутствие вблизи
резонанса 2: 1. Однако Уиздом (1987а), используя «Цифровой Планетарий»
(компьютер, созданный специально для исследования динамики Солнечной системы),
показал, что здесь снова ключевую роль играет хаос. Из результатов
численного интегрирования он нашел обширную хаотическую область вокруг центра
резонанса 2: 1 и установил отсутствие таковой в случае резонанса 3:2.
Важно подчеркнуть, что орбитальный хаос не всегда означает
полномасштабную неустойчивость, приводящую к пересечениям орбит планет.
Исследование динамики астероида 522 Хельга, проведенное Милани и
Нобили (1992), показало, что орбита этого астероида имеет довольно большой
показатель Ляпунова 1/6600 год-1; однако из численного интегрирования
никак не следовало, что этот астероид сближается с Юпитером или с
какой-либо другой планетой. Таким образом, динамика Хельги дает пример
«ограниченного» хаоса, упомянутого в разделе 9.3.3. Здесь хаос может быть
связан с близостью орбиты Хельги к резонансу 12:7 с Юпитером. Мюррей
и Хольман (1997) показали, что орбитальная эволюция Хельги описывается
случайным блужданием 0.
1) По эксцентриситету (главным образом) и большой полуоси орбиты. — Прим. ред.
470
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Динамическая структура главного пояса астероидов, по всей видимости,
была сформирована возмущениями со стороны планет, наиболее
существенными со стороны Юпитера. Поэтому современная проэволюционировавшая
часть популяции астероидов должна представлять собой те объекты из
первоначальной совокупности, которые сохранились на орбитах, несмотря на
объединенное воздействие хаоса и столкновений за все время существования
Солнечной системы.
Общее исследование динамической эволюции астероидов, пересекающих
орбиты планет, было предпринято Милани и др. (1989). Они выполнили
численное интегрирование траекторий 410 астероидов на интервале времени
в 2 • 105 лет, учитывая гравитационные возмущения со стороны всех планет
кроме Меркурия и Плутона. Оказалось, что движение некоторых астероидов
на больших интервалах времени является весьма сложным. Например, из
вычисленной кривой изменения большой полуоси орбиты сближающегося
с Землей астероида 1620 Географ следует, что он в течение своей хаотической
эволюции временно захватывается в резонансы высокого порядка с Землей
(рис. 9.32). Изучение резонансов средних движений высоких порядков с
Юпитером во внешнем поясе астероидов (Хольман и Мюррей, 1996) показало,
что даже со слабыми резонансами могут быть связаны существенные области
хаоса.
Прогресс в разработке
быстродействующих недорогих
компьютеров и в применении отображений
привел к ряду достижений в
изучении движения астероидов и
комет под влиянием планетных
возмущений на длительных
интервалах времени. Представление о том,
что в эволюции подобных
объектов доминирует влияние одной
планеты (Юпитера в случае
астероидов) или даже единственного
резонанса, теперь представляется
чересчур упрощенным. Еще Уиз-
дом (19856) показал, что
эксцентриситеты орбит объектов вблизи резонанса 3:1с Юпитером под влиянием
возмущений со стороны других планет могут достигать значений более 0.6,
то есть такие объекты могут пересекать орбиту Земли. Из этого со всей
вероятностью следовало, что на долговременную устойчивость влияют вековые
взаимодействия между планетами. Результаты ряда современных численных
экспериментов по интегрированию орбит показали, что основную
возмущающую роль могут играть вековые резонансы (см. раздел 7. И и рис. 7.19), а не
резонансы средних движений (см., напр., Мунс и Морбиделли, 1995; Фрешле
и др., 1995). Как показано в работе Глэдмана и др. (1997), динамическая
эволюция объектов, исходно помещенных в резонансы средних движений,
может быть чрезвычайно сложной.
1.2бЬ
1.24U
1.22b
1.20
1
13:18-jbfcU
— J- 11:15
-■p-f-14:19
i
1 1
ГЦрм
T 8:11-4-
ll:15->
1 I
-100 000
о
Время, в годах
100 000
Рис. 9.32. Эволюция большой полуоси
орбиты астероида 1620 Географ. (Согласно
Милани и др., 1989.)
9.9. Система Нептун-Плутон
471
9.9. Система Нептун-Плутон
Среди орбит планет орбита Плутона имеет наибольший эксцентриситет
(е = 0.25) и на схеме орбит Плутона и Нептуна видимым образом пересекает
орбиту последнего (рис. 2.15 б). Однако график проекции орбиты Плутона на
плоскость эклиптики не дает представления о роли наклонения. На рис. 9.33
показаны орбиты и положения Нептуна и Плутона в 1989 г., когда Плутон
был в перигелии. Штриховыми кривыми показаны участки орбит, лежащие
ниже плоскости эклиптики; сплошными прямыми — линии узлов орбит этих
планет. Нептун движется по почти круговой орбите с наклонением < 2°
(табл. А.2), при этом он всегда находится на расстоянии менее 1 а.е. от
эклиптики. Напротив, у Плутона орбита вытянутая и имеет большое
наклонение (< 17°), то есть Плутон может существенно удаляться от эклиптики.
Кроме того, Нептун и Плутон находятся в резонансе 3:2. В сумме эти
обстоятельства означают, что Нептун и Плутон избегают тесного сближения
в соединениях.
На рис. 9.34 показано расстояние (в а.е.) между Нептуном и Плутоном
на интервале времени примерно в 1 000 лет; середина интервала приходится
на 1989 г. График показывает, что хотя орбиты и кажутся пересекающимися,
на самом деле планеты никогда не подходят друг к другу ближе чем на
« 20 а.е. Это много больше, чем можно было бы подумать, глядя на рис. 9.33.
Заметим, что кривая на рис. 9.34 найдена из решений двух независимых задач
двух тел; взаимные возмущения не учитывались. Тем не менее, эта кривая
служит хорошей иллюстрацией того, насколько важна геометрия орбит для
определения расстояния между планетами при их наиболее тесных
сближениях.
Плутон был открыт Клайдом Томбо в 1930 г. Он имеет период обращения
248 лет. Открытие пояса Эджворта-Койпера (см., напр., Лю и Джуитт, 1996)
// \\ ч> >
I/ \ \ * •
и \ \ \ |
[ ^\ Солнце i *
\\ \\ ' '
\\ \ х i '
\\ \ N. ' /
\Ч Плутон \ \ / /
^ч \ У У
Х^. НептунХх^4 ^''
Рис. 9.33. Орбиты Нептуна и Плутона
в 1989 г., когда Плутон был в перигелии.
Сплошными прямыми показаны их линии
узлов. Штриховыми кривыми показаны
участки орбит, лежащие ниже плоскости
эклиптики
80 с—уг ^ 1
§40|/ \ / \
S20| V V
О, |
° 1600 1800 2000 2200 2400
Год
Рис. 9.34. Расстояние между
Нептуном и Плутоном в
зависимости от времени, найденное из
решений независимых задач двух
тел для систем Солнце-Нептун и
Солнце-Плутон
472
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
показало, что Плутон является лишь представителем целого класса объектов,
населяющих эту область Солнечной системы. Как известно, некоторые из
этих объектов (называемые плутино, см. Джуитт и Лю, 1996) находятся
в резонансе 3:2 с Нептуном. Однако ни один из них не наблюдался до сих
пор в течение полного периода обращения. Это означает, что исследования их
динамики вблизи резонансов можно проводить только путем численного
интегрирования. Впервые подобный численный эксперимент по интегрированию
орбиты Плутона был предпринят Коэном и Хаббардом (1965). Интегрируя
обратно по времени на интервале в 120000 лет, они нашли, что Плутон
и Нептун вовлечены в резонанс с аргументом ср = ЗА' — 2А — w', где А
и А' — средние долготы Нептуна и Плутона, соответственно, a w' — долгота
перигелия Плутона. Коэн и Хаббард показали, что в системе Нептун-Плутон
угол (р либрирует около 180° с амплитудой « 76° и периодом 19 670 лет.
На рис. 9.35 приближенно показана траектория Плутона в системе координат,
вращающейся вместе с радиус-вектором Нептуна.
Рис. 9.35. Траектория Плутона (Р) в системе
координат, вращающейся вместе с радиус-
вектором Нептуна (N). Точки вдоль
траектории нанесены через равные промежутки
времени. Дугой показана амплитуда
(равная 76°) колебаний угла </? относительно
значения 180°
Рис. 9.36. Величина \g\ для
Плутона в зависимости от lg£; t —
время в годах, \ ~~ текущее
значение вычисленного максимального
показателя Ляпунова
Зюссман и Уиздом (1988), используя «Цифровой Планетарий», выполнили
интегрирование орбит внешних планет на интервале времени в 845 млн лет
и показали, что движение Плутона является хаотическим. В предыдущем
численном эксперименте, охватывавшем 200 млн лет, Эпплгейт и др. (1986)
нашли, что изменения аргумента перигелия Плутона имеют колебательную
составляющую с периодом 34 млн лет, а величина Ы = e'sintu'
демонстрирует заметные долгопериодические колебания с периодом 137 млн лет. Эти
колебания Ы вызваны близкой соизмеримостью между частотой циркуляции
долготы восходящего узла орбиты Плутона и одной из собственных частот
системы. Более длительное интегрирование, проведенное Зюссманом и Уиз-
домом (1988), подтвердило существование этих периодов, а также указало на
наличие составляющей с периодом ~ 600 млн лет. Зюссман и Уиздом
вычислили также максимальный показатель Ляпунова 7 системы; оказалось, что
7:
10 73 лет 1, то есть характерное время экспоненциальной расходимости
траекторий составило ~ 20 млн лет. На рис. 9.36 (ср. с рис. 9.10) показаны
9.10. Устойчивость Солнечной системы
473
результаты аналогичного численного интегрирования на интервале времени
более 109 лет. Обратите внимание, что наклон зависимости остается равным
« — 1 на интервале времени ~ 1075 лет, прежде чем \ достигает постоянного
значения (в данном случае больше найденного Зюссманом и Уиздомом).
Таким образом, хаотическая орбита может выглядеть как регулярная на
больших интервалах времени, прежде чем ее хаотическая природа становится
очевидной 0. Несмотря на наличие хаоса в движении Плутона, свидетельств
того, что он когда-либо покинет резонанс с Нептуном, не найдено даже при
интегрировании на временах, сравнимых с возрастом Солнечной системы
(Киношита и Накаи, 1996). Происхождение этого очевидно устойчивого (и в то
же время хаотического) резонанса может быть связано с миграцией орбиты
Нептуна на ранней стадии эволюции Солнечной системы (Мальхотра, 1993).
9.10. Устойчивость Солнечной системы
При обсуждении теории вековых возмущений мы показали, что, согласно
теории Лапласа-Лагранжа, Солнечная система устойчива. Действительно,
наши упрощающие предположения позволили нам вывести аналитическое
решение для вековых изменений орбит N планет. Однако в то же время мы
подчеркнули, что эти предположения (близость е и I к нулю, отсутствие резо-
нансов средних движений и влияния короткопериодических членов) в случае
планет, строго говоря, не выполняются. Например, известно, что Юпитер
и Сатурн движутся вблизи резонанса 5:2. Иногда можно учесть подобные
эффекты, модифицировав вековую теорию, но важно уяснить, что при таком
аналитическом подходе можно проглядеть некоторые потенциально важные
взаимодействия между планетами. Если же учитывать и возможность
близких резонансов между вековыми частотами системы, то задача становится
еще труднее.
В последние годы использовались два разных подхода к этой задаче,
оба численные. С появлением быстродействующих недорогих компьютеров
стало возможным проводить численное интегрирование полных уравнений
движения планет на временах, приближающихся к возрасту Солнечной
системы. Ряд таких проектов был выполнен в 80-х годах, причем в большинстве
численных экспериментов учитывались только внешние планеты (Юпитер,
Сатурн, Уран, Нептун и Плутон). К этим проектам относятся работы
Киношиты и Накаи (1984), Эпплгейта и др. (1986) и Роя и др. (1988). Причина,
по которой в первую очередь были исследованы орбиты внешних планет,
заключалась в проблеме шкал времени. Любое численное интегрирование
динамики Солнечной системы в целом должно использовать шаг по времени,
подходящий для одновременного вычисления орбит Меркурия и Плутона.
Величина этого шага определяется периодом обращения самого внутреннего
(то есть самого быстрого) объекта. Кроме того, есть трудности, связанные
с погрешностями численных методов и накоплением ошибок округления.
О Заметим, что описанный вычислительный эффект не следует смешивать с эффектом
«мимикрии» хаотической орбиты под регулярную из-за прилипания орбиты к границам
хаотической области. — Прим. ред.
474
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
Некоторые из них можно облегчить путем выбора подходящего шага по
времени (Зюссман и Уиздом, 1988). В качестве теста для своего симплекти-
ческого отображения Уиздом и Хольман (1991) заново провели вычисления
Зюссмана и Уиздома (1988) и увеличили время интегрирования внешней
части Солнечной системы до 1 млрд лет.
Альтернативный подход к интегрированию движения тел Солнечной
системы (с использованием отображений или без него) состоит в выводе
системы усредненных уравнений с учетом соответствующих членов возмущающей
функции. Такая система уравнений является аппроксимацией реальной
системы. Ее вывод требует проведения объемных аналитических выкладок (обычно
выполняемых на компьютере), прежде чем можно приступать к численному
интегрированию. Однако полученные уравнения можно интегрировать с
гораздо большим шагом по времени, поскольку короткопериодические эффекты
усреднены. Например, при интегрировании орбит внешних планет типичный
шаг в полной задаче равен 40 сут, а в случае усредненной системы он равен
500 лет. В своем исследовании динамики всех планет Солнечной системы
на интервале времени более 10 млн лет Ласкар (1988) провел численное
интегрирование усредненных уравнений движения. В результате он показал,
что внутренние планеты движутся хаотически; при этом максимальный
показатель Ляпунова ~ Ю-6,7 год-1, а время экспоненциальной расходимости
траекторий ~ 5 млн лет. Схожее значение (4 млн лет) было найдено Зюссма-
ном и Уиздомом (1992), которые выполнили интегрирование в полной задаче
для всех планет на интервале времени в 100 млн лет. Они показали также,
что орбиты четырех планет-гигантов являются хаотическими.
Результаты описанных численных экспериментов по интегрированию
согласуются в том, что планеты движутся по хаотическим орбитам.
Однако ни в одном из них не было найдено указаний на крупномасштабную
неустойчивость даже при интегрировании на временах, сопоставимых с
возрастом Солнечной системы. Планеты движутся по хаотическим орбитам, но
этот хаос незаметен. Его существование означает, что наша способность
предсказывать положения планет на больших интервалах времени
ограничена фундаментальным пределом. Если бы мы знали начальные положения
и скорости планет абсолютно точно и использовали идеальный интегратор,
то могли бы абсолютно точно вычислять положения планет на орбитах в
будущем или прошлом. Однако, поскольку любое физическое измерение имеет
конечную точность, при вычислениях всегда есть изначально «встроенная»
ошибка. В хаотической системе эта погрешность будет расти по экспоненте.
В случае планет, например Земли, это означает, что предсказать положение
Земли на орбите в отдаленном будущем невозможно. Например, величина
максимального показателя Ляпунова Ю-67 год-1 означает, что погрешность
определения координат Земли, сегодня равная, скажем, 1 см, будет возрастать
так, что оказывается невозможным предсказать положение Земли в будущем,
отстоящем от нас более чем на 200 млн лет.
Ласкар (1994) увеличил временной масштаб своего численного
эксперимента по интегрированию орбит планет до 10 млрд лет в прошлом
и 15 млрд лет в будущем. Результаты интегрирования показали тесную
Контрольные упражнения
475
взаимосвязь орбит Земли и Венеры в изменениях эксцентриситетов и
наклонений. Также были выявлены сильные хаотические изменения орбиты
Меркурия (0.1 < е < 0.5, 8° < / < 21°) и орбиты Марса (0.1 < е < 0.2,
4° < I < 10°). Эксцентриситет орбиты, равный 0.5, недостаточен для того,
чтобы Меркурий мог пересекать орбиту Венеры, но полученные результаты
подсказали направление для новых численных экспериментов. Ласкар (1994)
сместил начальное положение Земли на 150 м, и в некоторых экспериментах
эксцентриситет орбиты Меркурия стал достигать значений « 1 (то есть стал
почти гиперболическим) через 3.5 млрд лет в будущем и, при интегрировании
назад, в прошлом, отстоящем от нас на 6.6 млрд лет. Однако при оценке
значимости этих результатов важно помнить, что на таких шкалах времени
физическая модель точечной (постоянной) массы в консервативной системе
может быть неприменима.
Все численные эксперименты по интегрированию орбит показывают, что
на интервалах времени в миллиард лет и более все планеты (за возможным
исключением Меркурия, см. выше) сохраняют свои орбиты близкими к
нынешним, хотя формально орбиты являются хаотическими. В этом смысле
Солнечная система устойчива, и представляется вполне вероятным, что движение
планет дает еще один пример ограниченного хаоса. К настоящему времени не
существует аналитического доказательства устойчивости Солнечной системы
или объяснения происхождения хаоса. Что касается исследований
устойчивости других планетных систем, то они только начинаются (см., напр., Хольман
и др., 1997).
Контрольные упражнения
9.1. Напишите компьютерную программу для численного решения
уравнений движения в плоской круговой ограниченной задаче трех тел во
вращающейся декартовой системе координат (уравнения (3.16) и (3.17)). На входе
программа должна считывать начальные значения элементов орбиты, затем
преобразовывать их в положения и скорости в декартовой вращающейся
системе координат (примите средние движения первого и второго тела за
единицу), путем решения уравнений движения находить новые положения и
скорости на заданных интервалах времени, преобразовывать найденные
положения и скорости в элементы орбиты и выводить последние в качестве
результата. Рассмотрите движение пробной частицы в системе Солнце-Юпитер
(//2 = Ю-3). Начальное значение долготы Юпитера положите равным нулю,
а за единицу расстояния примите радиус орбиты Юпитера. Элементы орбиты
частицы имеют следующие начальные значения: большая полуось ао = 0.8,
эксцентриситет ео = 0.4 и долгота перигелия wo = 295°. Два раза
проинтегрируйте численно уравнения движения в течение одного орбитального
периода Юпитера, положив начальные значения средней долготы частицы Ао
равными 293° и 293.3° (рис. 9.1). В каждом случае выведите разности между
начальным и конечным значениями а, е и w. Дискретно изменяя величину Ао
с шагом 0.1°, найдите значение Ао, которое обеспечивает 1) максимальный
476
Гл. 9. Хаос и долговременная эволюция
рост большой полуоси и 2) ее максимальное уменьшение. Объясните Ваши
результаты с точки зрения геометрии сближений с Юпитером.
9.2. Напишите компьютерную программу для численного решения
уравнений движения в плоской круговой ограниченной задаче трех тел во
вращающейся декартовой системе координат (уравнения (3.16) и (3.17)); эта
программа должна последовательно выводить пары значений х и х при
выполнении условий у = 0 и у > 0. Примените Вашу программу при //2 = Ю-3
и начальных условиях х = 0, 0.2 ^ х ^ 0.8 (с шагом 0.01) для построения
сечения Пуанкаре для внутренних орбит с прямым движением и константой
Якоби Cj = 3.03. Вычисление в каждом случае следует продолжать до тех
пор, пока не будет выведено 500 точек или пока расстояние до второго тела
не станет меньше а = (/i2/3) ^3 ~ 0.07 или радиальное расстояние не станет
больше 3. Отождествите все резонансные «острова» на построенном сечении.
9.3. Используя приведенное в разделе 9.5.2 резонансное отображение
Уиздома для плоской задачи трех тел, напишите компьютерную программу
для изучения движения пробных частиц (астероидов) вблизи резонанса 3: 1
с Юпитером. На входе программа должна считывать начальные значения
большой полуоси а, эксцентриситета е, долготы перигелия w и средней
долготы А астероида и начальные значения а', е', w' и А' Юпитера;
вычислять начальные значения переменных ж, у, Ф и ср, определенных в
разделе 9.5.2; вычислять конечные значения этих величин после семи шагов цикла
отображения; выводить новые значения элементов орбиты астероида через
один период обращения Юпитера, считая орбиту Юпитера фиксированной.
Используя начальные условия а/а' = 0.481, е = 0.15, е' = 0.048, w = w1 = 0,
Л = 180° и А' = 0, постройте с помощью этой программы кривую изменения
эксцентриситета орбиты астероида на интервале времени в 104 орбитальных
периодов Юпитера (рис. 9.30). Повторите расчеты при тех же начальных
значениях а, о!, е', w, w\ А, А' и при начальном значении е, равном 0.1500001;
снова постройте зависимость е от времени и прокомментируйте различие
между двумя графиками. Постройте график разности полученных в этих двух
расчетах значений эксцентриситетов в зависимости от времени и используйте
его для оценки максимального характеристического показателя Ляпунова.
9.4. Компьютерную программу из задания 9.3 можно использовать в
исследованиях движения астероидов вблизи резонанса 3:1с Юпитером.
Определите сетку начальных данных на «представительной» плоскости, положив
0.47 ^ а/а' ^ 0.49 (с шагом 0.001), 0 ^ е ^ 0.3 (с шагом 0.01) при w = w' = 0,
ЗА7 — А = 180° и е' = 0.048, где е' и wf считаем постоянными. Вычислите
траектории с начальными данными на этой сетке и отметьте на плоскости (а,е)
начальные данные для орбит, достигающих е > 0.3 (то есть, приближенно,
орбит, пересекающих орбиту Марса) на интервале времени в 104 орбитальных
периодов Юпитера.
9.5. Используя столкновительное отображение Дункана и др.
(9.92)-(9.94), напишите компьютерную программу для изучения орбитальной
эволюции пробных частиц, обусловленной последовательными соединениями
с Юпитером; орбита Юпитера полагается круговой (с радиусом а' = 1),
Контрольные упражнения
477
а отношение масс т2/т\ = 9.545 • 10 . Исходно орбита пробной частицы
круговая и объекты находятся в соединении. Для каждого начального
значения большой полуоси а частицы, начиная с а = 0.7 и с шагом 0.001,
вычислите при помощи программы движение частицы на интервале времени
в 104 сближений. Каково последнее из начальных значений Да = а' — а, при
котором начальные условия не приводят к увеличению эксцентриситета до
е > Аа/а! на интервале времени в 104 сближений, и как это соотносится со
значением, предсказываемым из критерия перекрытия резонансов?
9.6. Напишите компьютерную программу, реализующую отображение
Уиздома и Хольмана для N тел (обсуждавшееся в разделе 9.5.4). Используя
ее, проинтегрируйте орбиты планет на интервале времени 50 лет с шагом
отображения At = 5 сут, начиная с эпохи J2000 (JD 2451545.0). Используйте
данные табл. А.2 и значения масс из табл. А.4. Используя формулу (А. 14)
и табл. А.З, вычислите среднюю долготу каждой из планет на интервале
времени 50 лет с шагом 100 сут. Сравните найденные значения с
получающимися при использовании этого отображения с шагом (а) 1 сут и (б) 10 сут;
найдите максимальное различие на 50-летнем интервале в каждом из этих
двух случаев.
Глава 10
КОЛЬЦА ПЛАНЕТ
Знаешь ли ты толк в философии, пастух?
Уильям Шекспир, Как вам это понравится,
акт III, сцена 2
(пер. Т. Щепкиной-Куперник)
10.1. Введение
Первая наблюдаемая кольцевая система была обнаружена Галилео
Галилеем в 1610 г. вокруг Сатурна. Еще не зная природы обнаруженного
им явления, Галилей первоначально интерпретировал выступающие «ушки»
кольца как два спутника, по одному с каждой стороны планеты. В латинской
анаграмме, посланной своим коллегам ученым, он объявил: «Я наблюдал,
что самая удаленная планета имеет тройную форму». Галилей был удивлен,
обнаружив, что к 1612 г. обнаруженный им феномен пропал, но вскоре вновь
появился. Гюйгенс (1659) правильно объяснил эти изменения различиями
в наблюдаемой проекции тонкого диска вещества, окружающего Сатурн.
Максвелл (1859) дал математическое доказательство того, что кольца не
могут быть сплошными, а должны состоять из отдельных частиц,
обращающихся вокруг планеты.
Кольца Урана были случайно обнаружены в марте 1977 г. астрономами,
наблюдавшими покрытие звезды Ураном. С космического аппарата «Вояджер»
было открыто бледное кольцо вокруг Юпитера (Смит и др., 1979а), а
наблюдения покрытия звезд Нептуном привели к открытию кольцевых дуг
Нептуна, впоследствии оказавшихся оптически более толстыми частями слабо
выраженной кольцевой системы. Облеты внешних планет космическими
аппаратами «Вояджер» и продолжающиеся наземные и космические наблюдения
кольцевых систем позволили выявить самые разнообразные динамические
явления, представляющие собой идеальное поле приложения для некоторых
теорий, описываемых в этой книге.
В этой главе мы не будем пытаться дать полный обзор сведений о
планетных кольцах и даже кратко изложить представления о динамике кольцевых
систем, а сосредоточим внимание на тех вопросах динамики колец, которые
объясняют резонансные явления и могут быть поняты с использованием
простых обобщений методов, обсуждавшихся в предыдущих главах. Однако
важно иметь в виду, что многие свойства кольцевых систем планет могут
быть поняты только в рамках гидродинамического подхода. Главы из книги
Гринберга и Браика (1984) содержат подробное описание исследований в этой
10.2. Системы колец планет
479
области до 1984 г.; Николсон и Доунс (1991) дают более современный обзор
наблюдений и исследований колец 0.
10.2. Системы колец планет
Сведения о планетных кольцах приведены в приложении А.
Относительные размеры и расположение кольцевых систем показаны на рис. 10.1
в единой шкале радиусов планет, согласно Николсону и Доунсу (1991).
На рис. 10.1 также показано радиальное расположение спутников,
обращающихся в окрестности колец. Для каждой планеты штриховой линией
обозначена синхронная орбита; она имеет важное динамическое значение, поскольку
под действием приливных сил все спутники на прямых орбитах выше нее
удаляются от планеты, а те, что расположены ниже, приближаются к планете,
и, в конечном счете, разрушаются. Типичные изображения кольцевых систем
внешних планет, полученные с «Вояджеров», представлены на рис. 10.2.
Рис. 10.1. Кольцевые системы внешних планет и близкие к этим системам
спутники, представленные на диаграмме в единой шкале радиусов планет. Положение
синхронной орбиты для каждой планеты обозначено штриховой линией. (Согласно
Николсону и Доунсу, 1991.)
10.2.1. Кольца Юпитера. Оптически тонкая (с оптической толщиной
т < 3 • 10~6) кольцевая система Юпитера была обнаружена с КА «Вояджер-1»
в марте 1979 г.; последующие изображения были получены с «Вояджера-2»
в том же году (Смит и др., 1979а, б). Двадцать пять полученных с
«Вояджеров» изображений были подробно изучены Шоуолтером (1985) и Шоуолтером
и др. (1987). Кольцо было обнаружено также при наземных наблюдениях
(Николсон и Мэттьюз, 1991). Главное кольцо имеет ширину ~ 7000 км. Радиус
его срединной окружности равен 129130 км. Оно обладает четкой внешней
границей и связано с простирающимся далее за пределы орбиты Тебы
бледным «паутинным» кольцом. На внутренней границе имеется тороидальное
1) Наиболее современный обзор по этой тематике, принадлежащий К. Порко и Д.
Гамильтону, см. в книге Encyclopedia of the Solar System, L.-A. McFadden et al. (eds.), Elsevier, 2007. —
Прим. ред.
480
Гл. 10. Кольца планет
Рис. 10.2. Типичные изображения кольцевых систем внешних планет, полученные
с «Вояджеров»: а) гало, простирающееся над внутренней частью главного кольца
Юпитера, б) главные кольца (со «спицами») Сатурна, в) шесть из известных
узких колец Урана, г) азимутальная структурная особенность в наиболее удаленном
кольце Нептуна. Масштабы изображений разные. (Изображения предоставлены
NASA/]PL.)
гало, более яркое вблизи главного кольца; вероятно, оно простирается более
чем на половину расстояния до планеты. Симметричная вертикальная
структура простирается, по-видимому, на расстояния до 10000 км выше и ниже
экваториальной плоскости. Схема кольцевой системы показана на рис. 10.3.
Наблюдаемые характеристики прямого рассеяния излучения в оптическом
диапазоне указывают на наличие большой массы микронных пылевых частиц.
Пыль в окрестности Юпитера подвергается существенным
негравитационным возмущениям, из-за которых время жизни пылинок составляет всего
103±1 лет, что подразумевает постоянное присутствие источника вещества
(Берне и др., 1984). Два малых спутника, Метида (с радиусом ~ 20 км)
и Адрастея (с радиусом ~ 10 км), обращаются во внешней части
кольца. Столкновения метеороидов с ними и другими объектами еще меньших
размеров, как полагают, и производят большую часть кольцевого вещества.
Наблюдения паутинного кольца с КА «Галилео» выявили два отдельных пояса
вещества, берущих свое начало на орбитах Тебы и Амальтеи. Структура этих
поясов поразительно похожа на структуру зодиакальных пылевых
комплексов (рис. 7.17). Есть явные указания на то, что Теба и Амальтея являются
источниками этой юпитерианской пыли (Окерт-Белл и др., 1999; Берне и др.,
1999).
Консолманьо (1983) и Берне и др. (1985) предположили, что сила
Лоренца, действующая на заряженные пылевые частицы, может быть ответственной
10.2. Системы колец планет
481
Паутинное
кольцо
Резонанс
Лоренца
fc = 3
мл
Юпитер
t
Гало
Главное
кольцо
Рис. 10.3. а) Изображение главного кольца Юпитера, полученное с КА «Галилео».
(Изображение предоставлено NASA/JPL.) Схемы кольцевой системы: б) главный
компонент с гало и паутинным кольцом, в) расположение Метиды (М), Адрастеи (А)
и особенности, предположительно порождаемой лоренцевым резонансом (к = 3),
вблизи внутренней границы главного кольца
за некоторые структурные особенности кольцевой системы Юпитера. В
частности, соизмеримости между орбитальным периодом пылинки и периодом
изменения электромагнитной силы порождают так называемые резонансы
Лоренца (Берне и др., 1985) при значениях большой полуоси, равных
о>к =
кт 1
2/3
к = 1,2,... ,оо,
(ЮЛ)
где rs — радиус синхронной орбиты. Внутренний резонанс Лоренца
(к = 3) находится вблизи точки перехода от главного кольца к гало (Шеффер
и Берне, 1987).
10.2.2. Кольца Сатурна. Главная кольцевая система Сатурна (рис. 10.1
и 10.2 6) состоит из широких колец А и В, разделенных люком Кассини,
и оптически более тонких колец С и D. Выше этих главных колец лежит
узкое «скрученное» кольцо F и более широкие диффузные кольца G и Е.
Важно отметить, что реальных люков в главной кольцевой системе немного;
большинство особенностей профиля покрытия (рис. 10.4) отражают
флуктуации поверхностной плотности колец. Однако узкие люки реально существуют
в кольце С, у внутренней границы люка Кассини и во внешней части
кольца А. Люки в кольце С и люк Кассини содержат узкие эксцентрические
кольца (Порко, 1990), два из которых, как полагают, подвержены
вынужденной прецессии из-за резонансов со спутниками (Порко, 1983; Николсон
и Порко, 1988). Этот механизм обсуждается ниже в разделе 10.5.4.
482
Гл. 10. Кольца планет
3 5
I §
1к
^А
Кольцо С
L=±JmmL
Ш№
Кольцо В
80 000 90 000 100 000
Радиальное растояние, км
110 000 120 000 130 000
Радиальное растояние, км
140 000
Рис. 10.4. Профили оптической толщины кольцевой системы Сатурна по данным
фотополяриметрических наблюдений с «Вояджеров» (Лейн и др., 1982)
Люк
Килера
Рис. 10.5. Внешняя часть кольца А Сатурна. Указано расположение резонансов с
сопровождающими кольцо F спутниками Пандорой (пунктирные отрезки) и Прометеем
(сплошные отрезки). Также указаны положения и направления распространения
спиральной изгибной волны (BW) и спиральной волны плотности (DW), порождаемых
резонансом 8:5с Мимасом. (Изображение предоставлено NASA/JPL.)
Большинство структурных особенностей кольца А Сатурна (рис. 10.4)
объясняется резонансами с малыми спутниками Сатурна. На рис. 10.5
показан фрагмент полученного с «Вояджера-2» изображения внешней части
кольца А с метками, указывающими положения всех присутствующих в пределах
этой области резонансов вида р + 1 : р с Пандорой и Прометеем.
Структурные особенности кольца обусловлены плотно закрученными, неразрешенными
на снимке спиральными волнами плотности, распространяющимися от мест
10.2. Системы колец планет
483
положения резонансов (см. раздел 10.4). Имеются также две особенности,
связанные с резонансом 8:5с Мимасом. Внешняя производит спиральную
волну плотности, распространяющуюся наружу, а внутренняя — спиральную
изгибную волну, распространяющуюся внутрь. Структура кольца В все еще
малопонятна; зато имеется некоторый прогресс в объяснении части структуры
кольца С в рамках модели резонансов с планетными колебаниями (Марли,
1990; Марли и Порко, 1993). Гамильтон и Берне (1994) попытались объяснить
свойства протяженного кольца Е путем учета влияния негравитационных сил
на микронные пылевые частицы.
10.2.3. Кольца Урана. Еще за
несколько лет до того, как «Вояд-
жер-2» в 1986 г. прибыл в
систему Урана, из наземных наблюдений
покрытий звезд были обнаружены
девять узких (с типичной шириной
< 10 км) колец вокруг этой
планеты. Изображения в обратно
рассеянных световых лучах,
полученные с «Вояджера», подтвердили
существование этих колец; на них
также было обнаружено кольцо Л,
обращающееся между кольцами 5 и е,
и 1986U2R, простирающееся ниже
кольца 6. Посредством 96-секундной
экспозиции в прямо рассеянных
световых лучах было выявлено
присутствие многочисленных пылевых
колец (рис. 10.6). Френч и др. (1991)
представили обзор наблюдений и динамических моделей кольцевой системы
Урана.
Модель сопровождения узких колец спутниками-«пастухами» (Голдрайх
и Тремейн, 1979а; см. также раздел 10.5.3) оказалась весьма успешной для
объяснения «конфайнмента» (удерживания) кольца е спутниками Корделия
и Офелия, обращающимися у внутренней и внешней сторон этого кольца.
Корделия движется во внешнем эксцентрическом резонансе 24:25 с
внутренним краем кольца е, а Офелия — во внутреннем эксцентрическом резонансе
14:13 с внешним краем этого кольца (Порко и Голдрайх, 1987). Однако,
несмотря на тщательные поиски, каких-либо других спутников в главной
кольцевой системе не было найдено, хотя и есть некоторые свидетельства их
существования (Мюррей и Томпсон, 1990) *).
1) Еще до облета Урана «Вояджером-2» Н.Н. Горькавый и А.М.Фридман теоретически
обосновали невозможность формирования спутников в зоне колец Урана и предсказали
существование еще не открытых спутников за внешней границей колец. Наблюдения с «Во-
яджера-2» подтвердили этот вывод и предсказанные положения новых спутников. См. книгу
Н.Н. Горькавого и А.М.Фридмана «Физика планетных колец» (М.: Наука, 1994) и ссылки
в ней. — Прим. ред.
е X 6 ir) 0 а 45 6
I I I II I I III
Рис. 10.6. Полученное с «Вояджера-2»
изображение колец Урана в прямо
рассеянных световых лучах. Видны
многочисленные пылевые кольца, включая
девять колец, обнаруженных из наземных
наблюдений покрытий звезд.
(Изображение предоставлено NASA/JPL.)
484
Гл. 10. Кольца планет
Кольцо е — одно из нескольких в системе Урана, имеющих переменную
ширину. Данные покрытий звезд указывают на то, что каждое из этих колец
можно описать двумя выровненными по осям эллипсами, имеющими разные
значения больших полуосей и эксцентриситетов. Эти эллипсы равномерно
прецессируют под действием зональных гравитационных гармоник со
скоростью, определяемой центральной эллиптической орбитой. Для объяснения
этого поведения было предложено две модели; обе не предполагают
присутствия невидимых спутников, а основываются либо на самогравитации кольца
(Голдрайх и Тремейн, 19796), либо на эффективности «пинч»-механизма
(см. раздел 10.5.4) внутри кольца (Дермотт и Мюррей, 1980).
Предсказание на основе модели самогравитации среднего радиуса частиц, равного
20-30 см, противоречит наблюдениям с «Вояджера-2» частиц с размерами
больше 70 см.
10.2.4. Кольца Нептуна. Вслед за открытием в 1977 г. колец Урана,
сделанным из наземных наблюдений покрытий звезд, были предприняты
многочисленные попытки обнаружения кольцевой системы Нептуна с
использованием аналогичных наблюдательных методов. Хаббард и др. (1986) дали
первое убедительное свидетельство существования кольцевого вещества. Однако
лишь в ~ 10% случаев подобные наблюдения указывали на его присутствие,
причем оно обнаруживалось только с одной стороны планеты. Это привело к
предположению, что Нептун имеет систему «дуг» кольцевого вещества,
простирающихся на ~ 10° по долготе. Изображения, полученные с «Вояджера-2»
(см., напр., рис. 10.2 г), демонстрируют, что Нептун имеет по меньшей мере
три хорошо выраженных кольца (кольца Галле, Леверье и Адамса), а дуги
просто являются оптически наиболее толстыми участками (г « 0.04)
внешнего кольца Адамса (Смит и др., 1989). Имеются и другие кольца; среди
них кольцо Ласселя, простирающееся выше кольца Леверье. Оно ограничено
кольцом Араго и безымянным кольцом, которое, по-видимому, находится на
одной орбите со спутником Галатея. Три главные дуги в кольце Адамса были
названы Liberte, Egalite и Fraternite (Свобода, Равенство и Братство); теперь
известно, что в нем есть еще по меньшей мере две дуги, Egalite 2 и Courage
(Мужество) (см. обзор Порко и др., 1995).
10.2.5. Кольца и спутники. Из рис. 10.1 ясно, что существует тесная
связь между расположением кольцевых систем и расположением орбит малых
спутников. С другой стороны, из нашего исследования приливной эволюции
спутников мы знаем, что радиусы прямых орбит спутников внутри
синхронной орбиты уменьшаются под влиянием приливов, которые эти спутники
вызывают на планете. Мы также знаем, что зона Роша у каждой планеты
имеет радиус, равный 1.44-2.24 радиуса планеты. Поэтому можно ожидать,
что такие спутники будут разрушаться по мере приближения к планете. Тогда
эти спутники становятся для колец источником вещества. Однако кольца
испытывают гравитационные возмущения со стороны остатков спутников.
Последние могут осуществлять конфайнмент некоторых колец, при этом
рассеивая вещество других колец. Роль этих процессов в динамике узких
колец обсуждается ниже в разделе 10.5. Во всех подобных случаях важно
учитывать влияние резонансов на формирование структуры колец.
10.3. Резонансы в кольцах
485
10.3. Резонансы в кольцах
Тесное соседство колец и спутников в каждой из кольцевых систем
(рис. 10.1) дает основание предположить, что существуют значительные
взаимные гравитационные возмущения. В случае колец Сатурна, например,
структуру кольца А практически полностью можно объяснить как
формируемую резонансами между частицами кольца и обращающимися поблизости
спутниками (рис. 10.5). В других кольцевых системах также есть
резонансные особенности. Поэтому, чтобы объяснить наблюдаемые структуры, важно
изучить природу этих резонансных взаимодействий.
В разделе 2.6 мы показали, что эллиптическое движение с малым
эксцентриситетом вокруг сферического центрального тела можно рассматривать
как движение вокруг эпицентра, который, в свою очередь, движется вокруг
центрального тела с постоянной скоростью, равной среднему движению га.
Второе тело движется по центрированному эллипсу вокруг ведущего центра.
В разделе 6.11 мы рассмотрели движение тела вокруг сплюснутой планеты
с осесимметричным потенциалом. Наряду со стандартным потенциалом 1/г
частица испытывает действие зональных гармоник J2, J\ и т. д. Мы
показали, что эти члены вызывают прецессию орбиты в пространстве, порождая
появление трех разных частот га, к и v (см. формулы (6.244)-(6.246)); это
модифицированное среднее движение, эпициклическая частота и
вертикальная частота, соответственно.
Рассмотрим теперь возмущающее влияние спутника с большой полуосью
орбиты а'. Спутник имеет свой собственный набор частот п',х' и i/,
задаваемых формулами (6.244)-(6.246), где а следует заменить на а'. Потенциал
спутника может быть разложен в ряд Фурье (см. главу 6). Для каждого
аргумента в этом разложении паттерн-частота Qp определяется как угловая
частота вращения системы координат, в которой этот аргумент стационарен.
Она зависит от конкретной рассматриваемой комбинации частот, что пред-
ставимо в виде соотношения
rafip = тп' + Ы' +pv', (Ю.2)
или, поскольку ус1 — га' — zu' и v1 — га' — $У,
mftp = (m + k + p)n' - kw' -pft\ (10.3)
где га, к и р — целые числа, причем га ^ 0. Самые сильные резонансы
имеют место тогда, когда целое кратное разности га и Г2Р равно либо нулю
(при коротационных резонансах), либо собственной частоте радиальных или
вертикальных колебаний кольцевой частицы (соответственно при
эксцентрических резонансах (резонансах Линдблада) и вертикальных резонансах).
Эти новые термины заимствованы из динамики галактик, а не Солнечной
системы. Далее на конкретных примерах мы увидим, каким образом эти
резонансы связаны с резонансами, описанными в главе 8. Общая сводка
результатов дана в статье Мюррея (1999).
486
Гл. 10. Кольца планет
10.3.1. Возмущения большой полуоси и коротационные резонансы.
Коротационный резонанс имеет место, если паттерн-частота возмущающего
потенциала согласована с орбитальной частотой частицы. Тогда
т(п-Пр) = 0. (10.4)
Согласно определению Пр, это означает, что условие резонанса имеет вид
(m + k+p)n' -mn- kzu' - ptl' = 0. (10.5)
Если пренебречь изменением средней долготы в эпоху, то это условие, в свою
очередь, сводится к фсг = 0, где резонансный аргумент по определению равен
(рСТ = (га + /с + р)А' - гаА - kw' -pQ'. (10.6)
Если принять нашу обычную систему записи, в которой коэффициент при Л'
в резонансном аргументе всегда положен равным j (см. главу 6 и
приложение Б), то
<рсг = j\' + (к + р - j)X - kvo' - pQ\ (10.7)
где j = m + к + p. Легко убедиться, что этот аргумент удовлетворяет
соотношению Даламбера, и, как мы знаем, число р должно быть четным; причина
последнего заключается в том, что наклонения всегда присутствуют только
в четной степени и поэтому сумма коэффициентов при долготах узлов должна
быть четной. Этот аргумент отвечает резонансу порядка \к +р\. Член самого
низкого порядка с этим резонансным аргументом пропорционален О(е^Г^)
(см. раздел 6.7 и приложение Б). Очевидно, что резонанс 1 : 1 (для которого
р = к — 0) представляет собой частный случай коротационного резонанса.
Ни долгота перицентра, ни долгота восходящего узла кольцевой частицы
не входит в резонансный аргумент </?сг коротационного резонанса. Согласно
уравнениям Лагранжа, это означает, что коротационный резонанс оказывает
влияние только на большую полуось орбиты кольцевой частицы.
Соответствующая часть возмущающей функции (см. (8.26)) выражается
как f
П= ^fd(a)e'Ws'M cos^cr, (10.8)
где (fcr задается формулой (10.7). Форма /d(a) зависит от рассматриваемого
резонанса (см. табл. 8.1). Согласно определению коротационного резонанса,
резонансный аргумент может быть записан в виде
ipCT = —m(X — Qpt) + const, (10.9)
и поэтому в системе координат, вращающейся с паттерн-частотой Г2р,
существует т точек равновесия, относительно которых возможна либрация.
На рис. 10.7 представлена геометрия простого коротационного резонанса
3:2 при j = 3, т = 2, к = 1, р = 0 и е! — 0.25. Поскольку т = 2,
существуют две возможные точки либрации в системе координат, вращающейся
с паттерн-частотой возмущающего спутника. В этой системе координат тра-
10.3. Резонансы в кольцах
487
ектория спутника (внешняя кривая на рис. 10.7) замкнута (см. рис. 5.10 и
рис. 8.4 в для резонанса 2:3). Поскольку частица находится вблизи
резонанса, но не точно в нем (то есть она не находится в какой-либо из этих двух
точек равновесия), она будет либрировать около точки равновесия. Мы уже
обсуждали этот тип поведения в главе 8.
Максимальную ширину коротационного резонанса можно вычислить,
используя модель маятника, описанную в главе 8. Например, в случае резонанса
3:2 имеем к = 1 и р = 0, что соответствует аргументу 4D1.2 при j = 3.
Выбирая максимальный член в нашем предыдущем выражении в качестве
соответствующего максимальному изменению большой полуоси при либрации
на резонансе (формула (8.58)), находим для коротационного резонанса общего
вида его ширину
/ №| ч 1/2
^сг = 8(^-1) а> (ШЛО)
что согласуется с выражениями, выведенными Голдрайхом и Тремейном
(1981) и Дермоттом (1984).
Траектория возмущающего
спутника во вращающейся
Рис. 10.7. Геометрия коротационного резонанса 3 :2 (j = 3, т = 2, к = 1, р = 0) в
случае е' = 0.25. В системе координат, вращающейся с паттерн-частотой возмущающего
спутника (fip = п' + к'/2), есть две точки равновесия, отвечающие этому резонансу.
Кольцевая частица, расположенная вблизи одной из этих точек, будет либрировать
около значения долготы, постоянного во вращающейся системе координат (сплошная
траектория). Либрация возможна и около другой точки равновесия (штриховая
траектория)
В кольцах Сатурна наблюдалась структурная деталь, связанная с корота-
ционным резонансом 2:1с Мимасом (Молнар и Данн, 1995). Коротационные
резонансы также привлекались для объяснения подавления эксцентриситетов
узких колец (Голдрайх и Тремейн, 1981) и взаимного «отталкивания» колец
и спутников (Голдрайх и Тремейн, 1980).
Хотя выведенные здесь выражения отвечают случаю, когда спутник
является внешним возмущающим телом, следует отметить, что эта теория может
488
Гл. 10. Кольца планет
применяться и при движении спутника ниже кольца, если сделать некоторые
замены в обозначениях. Мы увидим, что внешний коротационный резонанс,
как сейчас полагают, отвечает за азимутальный конфайнмент дуг в кольце
Адамса Нептуна (см. раздел 10.8).
10.3.2. Возмущения эксцентриситета и резонансы Линдблада.
Резонанс Линдблада имеет место, если паттерн-частота возмущающего
потенциала согласована с радиальной частотой частицы. Тогда
т(п-Пр) = ±х, (10.11)
где знаки "+" и "-" относятся соответственно ко внутреннему (ILR) и
внешнему (OLR) резонансам Линдблада. Использование знака "±" позволяет нам
рассматривать кольцевую частицу, которая движется внутри или вне орбиты
возмущающего спутника. Условие резонанса можно записать также в виде
(m=F l)n±w-mftp = 0, (10.12)
или
(m + k+p)ri - (m=F 1)га - kzu' =f vj - ptl' = 0. (10.13)
Резонансный аргумент равен
ipLr = (ra + /c+p)A' - (m=F 1)A - kvo' ^w - pft1'. (10.14)
В нашей стандартной системе обозначений он записывается как
<Plt =j\' + (k+p±\ - j)\-kvo' т^ -р&>', (10.15)
где, как и выше, j = т + к + р. Заметим, что этот резонансный аргумент
имеет порядок \к +р± 1|. Кроме того, поскольку сумма коэффициентов при ft
и $1' должна быть четной, число р должно быть четным для всех резонансов
Линдблада. Член самого низкого порядка с аргументом (р^Т
пропорционален CKee'^/'W).
Чтобы объяснить механизм резонанса Линдблада введем понятие линии
тока, с помощью которого рассматривается движение группы частиц,
имеющих одни и те же большие полуоси и эксцентриситеты орбит. С точностью
до членов самого низкого порядка по е уравнение эллипса можно записать
в виде
г = а[1 -ecos(0-G7)], (10.16)
где в — истинная долгота. Однако мы знаем, что в = пиш = п — я. Поэтому
условие (10.11) можно записать как
mfL(в - ад = ±±(о - w). (Ю.17)
at at
Интегрируя это уравнение, находим, что при заданных значениях большой
полуоси и эксцентриситета долгота частиц (вс = в — Qpt) в системе координат,
вращающейся с частотой, равной паттерн-частоте, дается соотношением
твс = в — w + const.
(10.18)
10.3. Резонансы в кольцах
489
Следовательно, траектории (линии тока) описываются уравнением
г = а[\ — ecos(m6c — const)]. (10.19)
На рис. 10.8 показаны результирующие линии тока в случаях т — 0
(окружность), т = 1 (кеплеров эллипс), т = 2 (центрированный эллипс) и т — 7
(7-лепестковая кривая). В каждом случае мы полагали фазовую
постоянную равной нулю. Обратите внимание, что в случае кеплерова эллипса
(рис. 10.8 6) траектория выглядит как окружность. Причина в том, что с
точностью до О(е) кеплеров эллипс является просто окружностью со смещенным
центром (см. формулу (2.101) и обсуждение в разделе 2.6). Понятно, что
линии тока всегда формируют га-лепестковую структуру. Обратите
внимание на сходство с показанными на рис. 8.4 а траекториями во вращающейся
системе координат для внутренних резонансов первого порядка. Поскольку
резонансы Линдблада связаны только с членами, пропорциональными первой
степени эксцентриситета орбиты кольцевой частицы, линии тока никогда не
самопересекаются.
т = 0 т = 1 т = 2 т = 7
г
L
а
J
г\
\\
б
\)
л
\\
в
\)
Рис. 10.8. Линии тока, вычисленные при а) т = 0, 0,р = кх', б) ra=l, Qp = n' + kx',
в) т = 2, ftp = п' + {к/2)яг, г) т = 7, Пр = п' + (к/7)я'. Принято одно и то же
значение большой полуоси; в случаях а, в и г эксцентриситет е = 0.08; в случае б
эксцентриситет е = 0.2
При анализе резких границ структурных особенностей вблизи
резонансов в планетных кольцах важно определить физическую ширину резонанса
Линдблада. Резонанс Линдблада порождает вынужденный эксцентриситет
орбит кольцевых частиц таким образом, что при заданном значении большой
полуоси они движутся по линии тока. Как мы уже отмечали, возникающая
структура во вращающейся системе координат имеет вид волнообразного
m-лепесткового кольца. Величина вынужденного эксцентриситета
уменьшается с расстоянием от точного резонанса; при этом фаза на противоположных
сторонах резонанса отличается на 180°. Это явление проиллюстрировано на
рис. 8.11. Ширина резонанса определяется удалением от точного резонанса,
на котором значение вынужденного эксцентриситета становится достаточным,
чтобы внешняя линия тока могла касаться внутренней. Этот механизм
обсуждается в работе Порко и Николсона (1987). Результирующие траектории
показаны на рис. 10.9 для случая резонанса Линдблада 7:6 с к = р = 0
(то есть ftp = п').
В разделе 8.8.1 мы проанализировали положение точек либрации в
случае больших значений 5, что соответствует движению вдали от резонанса
490
Гл. 10. Кольца планет
(рис. 8.11). Там мы отметили, что соответствующая е-резонансу часть
возмущающей функции равна
пэ Gm' t ( \
к* = —r-/d(a)ecos(/PLr,
а'
(10.20)
где ifLr = jX' - (j -\)\-w и /d = (l/2)[-2j - aD}b\J/2 (см. табл. 8.1).
Согласно нашей новой терминологии, это резонанс Линдблада с к — р — 0.
Положением точки либрации
определяется значение нормированного
вынужденного эксцентриситета; оно равно 2/6,
где 6 — мера близости к резонансу.
Используя соотношение (8.132) и
определения (8.103)—(8.105) для величин а, (3
и ё для резонансов первого порядка,
выводим формулу для вынужденного
эксцентриситета:
ef =
na(m'/mp)fd
[jri - (j - l)n]
(10.21)
Рис. 10.9. Схема линий тока для
резонанса Линдблада 7:6 (j = 7, т = 1,
к = 0, р = 0) с Qp = 77/. Сплошными
кривыми показаны линии тока орбит
частиц по обе стороны от положения
точного резонанса (штриховая
окружность). Амплитуда линии тока
является линейной функцией
вынужденного эксцентриситета. Ширина
резонанса определяется расстояниями от
точного резонанса, на которых линии
тока на противоположных сторонах
резонанса касаются друг друга
Если большую полуось частицы
представить как а = ares + Aa (где
Да <^С ares), то мы можем, используя
третий закон Кеплера и разложение в
ряд по Aa/ares, выписать следующее
выражение для амплитуды
возникающей вынужденной волны:
ав{
2aa2(m'/mp)\fd\
3(j - l)|a-ares|
(10.22)
в рассматриваемом случае к = р = 0.
При критическом значении большой
полуоси (acrit) амплитуда кольцевой
волны равна удалению по большой полуоси
от точного резонанса. Тогда полная
ширина резонанса Линдблада с к = р = 0
дается выражением
Wlf.o = 4a
2a(rri/mp)\fd\
30- 1)
1/2
(10.23)
Значения a = а/о! и соответствующих коэффициентов Лапласа в
определении /^ можно вычислить для любого значения j. На рис. 10.10 представлен
график величины 2аfd/(j — 1) в зависимости от j для резонансов от 2: 1
до 50:49 включительно (что соответствует изменению j от 2 до 50). Этот
10.3. Резонансы в кольцах
491
гн 150
i
< 1.58
f 1.56
1.54
1.52
1.50
0.90
0.95 0.96
0.97
а
рисунок показывает, что при
достаточно больших значениях j
величина 2a/d/(j — 1) ~ 1.6; отсюда по
нашей формуле для И^г,о находим
Wir,o « 2.9(т'/тР)1/2а. (10.24)
Это дает нам полезное выражение
для ширины ILR к = р = 0 в общем
случае. Отметим, что эта шири- 0 10 20 30 40 7 50
на приблизительно одинакова для
всех резонансов первого порядка. Рис. 10.10. График величины 2a\fd\/(j - 1)
Как полагают, резонансы Линд- в зависимости от j (шкала внизу) и а (шка-
^ ла вверху) для всех ILR i: i—\ck = v = i)
блада играют ключевую роль в (от 2 • 1 до 50 49)
конфайнменте узких колец.
Например, наблюдения показали, что внешний и внутренний края кольца е
Урана находятся в ILR 14:13 с Офелией и OLR 24:25 с Корделией. Также
известно, что резонансы Линдблада в кольцах Сатурна с такими
спутниками, как Мимас, Янус, Пандора и Прометей, порождают волны плотности
в непосредственной близости от резонансов. Это явление обсуждается ниже
в разделе 10.4. Используя результаты раздела 8.8, описанную здесь теорию
для резонансов первого порядка легко распространить на резонансы более
высоких порядков.
10.3.3. Возмущения наклонения и вертикальные резонансы.
Вертикальный резонанс имеет место, если паттерн-частота возмущающего
потенциала согласована с вертикальной частотой частицы. Тогда
ra(n-ftp) = ±v, (10.25)
где знаки "+" и "-" отвечают внутреннему (IVR) и внешнему (OVR)
вертикальным резонансам, соответственно. Условие резонанса можно записать
также в виде
(тт1)п±Й- тПр = 0, (10.26)
или
{т + к + р)п -(mTl)n-km' Т&-Р& = 0. (10.27)
Резонансный аргумент равен
<pvr = (m + fc + p)A;- (гат 1)\-кш'тП-рП'- (10.28)
В нашей стандартной системе обозначений он записывается как
^vr = jA' + (fc+p± l -j)\-kw'-pSl'Tto, (10.29)
где, как и выше, j = т + к + р. Заметим, что этот резонансный аргумент
имеет порядок \к+р± 1|. Кроме того, поскольку сумма коэффициентов при
finfi' должна быть четной, р должно быть нечетным для всех вертикальных
492
Гл. 10. Кольца планет
резонансов. С точностью до членов самого низкого порядка член с аргументом
(Руг пропорционален 0(e/lfel///lpl).
Рассмотрим случай сильного вертикального резонанса с к = О, р = 1.
Этот резонанс эквивалентен //'-резонансу, обсуждавшемуся в разделе 8.8.4.
Соответствующая часть возмущающей функции равна
1Z = ——/d(a)55/cos(/pVr, (10.30)
а'
где s = sin(//2), s' = sin(J'/2), ^vr = jX' - (j - 2)A - П' - ft и /d = -ab{3j~l)
(см. табл. 8.1). Аналогично тому, как резонанс Линдблада связан с
вынужденным эксцентриситетом, вертикальный резонанс связан с вынужденным
наклонением. Аналогично имеется сдвиг фазы, равный 180°, в долготе восходящего
узла при переходе с одной стороны вертикального резонанса на другую, как
и в долготе перицентра в случае резонанса Линдблада. Положение точки
равновесия в зависимости от 5 (расстояния от точного резонанса), а
отсюда и значение нормированного вынужденного наклонения, определяется из
уравнения (8.187). При больших значениях S оно дает значение, равное 2с/5.
С помощью стандартных масштабных соотношений находим вынужденное
наклонение:
I гш(г77//гар) sin /'/d I
it =
(10.31)
4\jn'- {j - l)n]
Результирующая амплитуда вынужденной вертикальной волны может быть
записана как
^ = ааНт'/т) sin I'\U\
6{j - 2)\а- ares|
Для нахождения ширины вертикального резонанса может показаться
заманчивым использовать аналогию с резонансом Линдблада, но в
действительности такой подход не имеет смысла, в частности потому, что смежные линии
тока никогда не пересекаются.
Как полагают, OVR с Галатеей играет роль в радиальном конфайнменте
кольца Адамса Нептуна. Известно также, что внутренние вертикальные ре-
зонансы с Мимасом в кольцах Сатурна (/' « 1.5°) вызывают изгибные волны
в областях снизу от резонансов. Это явление обсуждается в разделе 10.4.
10.3.4. Расположение резонансов. В соответствии с третьим законом
Кеплера значение большой полуоси для внутреннего резонанса р + q : р
приблизительно равно а = [р/(р + q)]2^3a\ где а' — большая полуось орбиты
возмущающего тела. Однако, как мы видели в главе 8, значение большой
полуоси для точного резонанса зависит от вида резонансного аргумента.
Рассмотрим резонансный аргумент в общем виде
Ч>
= Ji A7 + j2A + js^' + J4^ + Js^' + J6^- (10.33)
Этот аргумент соответствует резонансу |ji| : \j^\ общего вида. Если
пренебречь изменением средней долготы в эпоху, положение точного резонанса
10.4. Волны плотности и изгибные волны
493
определяется значением большой полуоси орбиты, которое удовлетворяет
уравнению
j\ri + j2n + j3w' + j4w + j5(l' + jeU = 0. (10.34)
В случае резонансов с планетами (например, резонансов с Юпитером
в поясе астероидов) доминирующий вклад в слагаемые с w и ft дают вековые
возмущения со стороны возмущающего тела, и этот доминирующий вклад
сам по себе обычно мал. Это означает, что положения точных резонансов,
соответствующих разным резонансным аргументам, близки друг к другу.
Однако в случае резонансов со спутниками планет сжатие планеты неизменно
доминирует во влиянии на движение перицентра и узлов орбиты
возмущаемого объекта, особенно в близких к планете областях. Это вызывает
расщепление резонансов (обсуждавшееся выше в разделе 8.11); из-за него
положения точных резонансов в заданной соизмеримости разделяются. Кроме
того, поскольку ш и ft приблизительно равны по абсолютной величине, но
противоположны по знаку (ш прецессирует, a ft регрессирует), резонансы,
связанные только с перицентром, и резонансы, связанные только с узлами,
равноотстоят (с внешней и внутренней сторон, соответственно) от
номинального положения резонанса, задаваемого формулой а = \J2/j\ |2//3а' (точнее,
формулой п = \J2/j\\n'). К сожалению, n, w и ft зависят от а нелинейно,
и поэтому, чтобы найти положение точного резонанса для заданного
аргумента, приходится применять численные методы.
В качестве примера в табл. 10.1 представлены результаты подобных
вычислений для резонансов 3:1, 2:1, 4:2, 5:3 и 8:5 с Мимасом в кольцах
Сатурна. Для вычисления положения этих резонансов мы приняли
следующие значения среднего движения Мимаса, скорости прецессии
перицентра и скорости прецессии узлов его орбиты: 381.9945°/сут, 1.0008°/сут и
—0.9995°/сут, соответственно (Харпер и Тейлор, 1993). Для Сатурна мы
положили Qmp = 3.79312- 107км3/с2. При вычислениях мы учли вековые
возмущения со стороны Мимаса, хотя последние незначительны. В табл. 10.1
указаны тип резонанса, согласно терминологии, описанной в главе 8, и
классификация резонанса, согласно терминологии, принятой в исследованиях
динамики колец. Сжатие планеты вызывает расщепление резонансов,
соответствующих данной соизмеримости, увеличивая интервал, охватываемый ими
по большой полуоси. Обратите внимание, что две пары резонансов (пара,
состоящая из е-резонанса и е2-резонанса, и пара, состоящая из е'-резонанса
и е/2-резонанса) расположены одинаково, поскольку аргументы резонанса 4:2
являются просто удвоенными аргументами резонанса 2: 1, и поэтому
уравнение для положения точного резонанса для них одно и то же. Обратите также
внимание, что в классификации, принятой в динамике колец, ряд резонансов
никак не обозначен.
10.4. Волны плотности и изгибные волны
Спутниковый резонанс в кольце с достаточно высокой поверхностной
плотностью вызывает азимутальное изменение гравитационного потенциала.
Например, как мы уже видели, внутренний резонанс Линдблада j : j — 1 фор-
494 Гл. 10. Кольца планет
Таблица 10.1. Тип, классификация и параметры резонансов 3:1, 2:1, 4:2, 5:3
и 8:5 с Мимасом в кольцах Сатурна
Резонансный
аргумент у
ЗА' - Л - 2ft
ЗА' - А - ft' - ft
ЗА' - А - 2ft'
ЗА'-А-2го'
ЗА'-А-го'-го
ЗА' - А - 2го
4А' - 2А - 2ft
4А' - 2А - 0' - 0
4А' - 2А - 2ft'
4А'-2А-2го'
2А'-А-го'
4А'-2А-го'-го
4А' - 2А - 2го
2А' - А - го
5А' - ЗА - 2ft
5А' - ЗА - ft' - ft
5А' - ЗА - 2ft'
5А'-ЗА-2го'
5А'-ЗА-го'-го
5А' - ЗА - 2го
8A'-5A-ro'-2ft
8A'-5A-ro'-ft'-ft
8А' - 5А - го - 2ft
8A'-5A-ro'-2ft'
8А' - 5А - го - ft' - ft
8A' - 5A - го - 2ft'
8A'-5A-3ro'
8A'-5A-2ro'-ro
8А'-5А-го'-2го
8А' - 5А - Зго
Тип
/2
II'
I'2
е'2
ее'
е2
/2
II'
I'2
е'2
е'
ее'
е2
е
J2
II'
Г2
е'2
ее'
е2
е'12
е'1Г
el'2
е'1'2
е1Г
el'2
е'3
ее'2
е2е'
е3
Классификация
—
IVR
CIR
CER
ILR
—
IVR
CIR
CER
CER
ILR
—
ILR
IVR
CIR
CER
ILR
—
IVR
—
—
—
ILR
CER
ILR
—
—
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
2
4
4
2
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
т
—
2
1
1
2
—
3
2
2
1
3
—
2
4
3
3
4
—
6
—
—
—
6
5
6
—
—
к
—
0
0
2
1
—
0
0
2
1
1
—
0
0
0
2
1
—
1
—
—
—
0
3
2
—
—
Р
—
1
2
0
0
—
1
2
0
0
0
—
0
1
2
0
0
—
1
—
—
—
2
0
0
—
—
а (км)
88029
88 705
89 356
89562
90193
90 802
116512
116725
116935
117138
117138
117346
117552
117552
131 793
131900
132007
132 191
132 298
132 404
135 582
135 642
135 642
135 701
135 702
135 761
135 820
135 879
135 938
135 998
Структурная
особенность
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Примечание. В колонке «Классификация» аббревиатуры ILR, IVR, CER и CIR
обозначают внутренний резонанс Линдблада, внутренний вертикальный резонанс,
коротационный эксцентриситетный резонанс и коротационный наклонный резонанс,
соответственно. Присутствие символа «•» в последней колонке означает, что в
кольцах Сатурна в этом месте есть структурная особенность.
10.4. Волны плотности и изгибные волны
495
Рис. 10.11. Компланарные траектории частиц, образующие сбегающие спиральные
волны плотности вблизи резонанса с внешним спутником, а) Двухрукавная
спиральная волна плотности, порождаемая внутренним резонансом Линдблада 2: 1
(га = 2). б) Семирукавная волна плотности, порождаемая внутренним резонансом
Линдблада 7:6 (га = 7). Спиральный узор вращается с угловой скоростью спутника
и простирается наружу от положения точного резонанса (обозначенного штриховой
окружностью)
мирует j-лепестковую структуру в линиях тока траекторий частиц в
окрестности резонанса (рис. 10.9). В общем случае значение га, а не j, определяет
число лепестков, но для ILR первого порядка j = га (табл. 10.1). При
увеличении расстояния от точного резонанса вне пределов резонансной зоны каждая
линия тока сдвигается по азимуту, но структура в целом во вращающейся
системе координат остается неизменной. Это создает спиральный узор с га
спиральными рукавами (рис. 10.11), хотя каждая отдельно взятая
частица движется по кеплерову эллипсу. Эта структура называется спиральной
волной плотности. Поскольку результирующий гравитационный потенциал
изменяется с периодом, равным периоду обращения спутника, спиральная
структура усиливается. На практике эта спираль очень сильно закручена,
причем радиальный профиль всегда демонстрирует характерное уменьшение
длины волны (расстояния от максимума до максимума или от минимума до
минимума) с увеличением расстояния от точного резонанса.
Существует аналогичное явление, вызываемое вертикальными резонанса-
ми. В этом случае вынужденные колебания происходят в вертикальном, а не
в радиальном направлении (то есть существует вынужденное наклонение),
и систематические сдвиги по азимуту ведут к формированию спиральных
изгибных волн. В случае внутреннего вертикального резонанса в результате
возникают сбегающие изгибные волны, распространяющиеся внутрь от
положения точного резонанса (рис. 10.12).
Основы теории волн плотности первоначально были разработаны с
целью объяснения спиральной структуры некоторых галактик, но Голдрайх
и Тремейн (19786) адаптировали эту теорию для объяснения формирования
люка Кассини в кольцах Сатурна. В последующие годы в этой теории были
достигнуты существенные успехи (см., напр., обзор Шу, 1984 и работу Розе-
на, 1989).
496
Гл. 10. Кольца планет
Рис. 10.12. Трехмерные траектории частиц (вид под углом), образующие сбегающие
спиральные изгибные волны вблизи резонанса с внешним спутником, а) Двухрукав-
ная спиральная изгибная волна, порождаемая внутренним вертикальным резонансом
3:1 (га = 2). б) Четырехрукавная изгибная волна, порождаемая внутренним
вертикальным резонансом 5:3 (га = 4). Спиральный узор вращается с угловой скоростью
спутника и простирается внутрь от положения точного резонанса (обозначенного
штриховой окружностью)
К настоящему времени обнаружено много примеров спиральных волн
плотности и изгибных волн в кольцах Сатурна (Хольберг и др., 1982; Лейн
и др., 1982; Шу и др., 1983). В табл. 10.1 представлены некоторые
примеры резонансов с Мимасом в кольцах Сатурна. Поскольку Мимас имеет
заметное наклонение орбиты (1.5°), его вертикальные резонансы сопоставимы
по силе с его резонансами Линдблада. Когда сильные резонансы имеют
место в кольцах с достаточно высокой поверхностной плотностью, их влияние
можно непосредственно наблюдать. На рис. 10.13 показана часть полученного
с «Вояджера-2» изображения кольца А Сатурна в окрестности соизмеримости
5:3с Мимасом, а также профиль покрытия, полученный при фотополяримет-
Радиальное расстояние, км
Рис. 10.13. Изображение, полученное с КА «Вояджер», и соответствующий ему
фотополяриметрический профиль покрытия. Видны спиральные волны плотности
(слева) и спиральные изгибные волны (справа), порождаемые в кольце А Сатурна
резонансом 5:3с Мимасом. Волны плотности и изгибные волны распространяются
соответственно наружу и внутрь от положения точного резонанса. (Изображение
предоставлено NASA/JPL. Данные фотополяриметрического сканирования
предоставлены NASA PDS Rings node.)
10.5. Узкие кольца и резкие края
497
рическом сканировании с «Вояджера». Здесь ILR расположен на 398 км выше
IVR (см. табл. 10.1). В левой части изображения (что соответствует большим
значениям радиуса) видна спиральная волна плотности, порождаемая ILR
5:3; она распространяется наружу, при этом имеет место характерное
уменьшение длины волны при увеличении расстояния от резонанса. В правой части
изображения видна спиральная изгибная волна, порождаемая IVR 5:3 и
распространяющаяся внутрь. Еще одна радиальная особенность, расположенная
чуть ниже волны плотности резонанса 5:3, связана с ILR с Прометеем.
Заметим, что в отличие от волны плотности, которая вызывает повышения
плотности в плоскости кольца, изгибная волна «гофрирует» кольцо, вынося
частицы из плоскости кольца. Это объясняет разный вид двух спиральных
волн на рис. 10.13. Усиленный контраст изображения в случае изгибной
волны вызван чередованием света и тени от вертикально смещенного вещества,
так как Солнце во время съемки находилось лишь на 8° выше плоскости
кольца.
Другие примеры волн плотности и изгибных волн показаны на рис. 10.5.
Хотя изображение имеет недостаточно высокое радиальное разрешение,
чтобы можно было различить отдельные максимумы и минимумы, ясно видны
эффекты волн плотности, порождаемых ILR с Прометеем и Пандорой около
внешней части кольца А. Кроме того, четко видны волны плотности и изгиб-
ные волны, соответствующие соизмеримости 8:5 с Мимасом.
10.5. Узкие кольца и резкие края
До открытия колец Урана в 1977 г. единственной известной кольцевой
системой была система, принадлежащая Сатурну. Наземные наблюдения
показали, что Сатурн имеет широкую кольцевую систему, тогда как данные
покрытий звезд Ураном указывали на наличие системы узких колец с резкими
краями. Некоторые из колец Урана оказались очевидно эксцентрическими;
кроме того, были получены свидетельства ненулевого наклонения. Эти
наблюдения поставили перед исследователями колец первую из последовавших
затем многих задач динамики, поскольку узкие, эксцентрические, наклонные
кольца должны размываться на временах, значительно меньших, чем возраст
Солнечной системы. Тот факт, что эти кольца наблюдаются, означает либо то,
что мы живем в особую эпоху, когда подобные кольца существуют, либо то,
что есть некоторый механизм удержания (конфайнмента), который сохраняет
свойства колец неизменными на длительных интервалах времени. В данном
разделе мы исследуем эту проблему времени жизни колец и покажем, как для
объяснения необычных наблюдательных данных были привлечены
динамические эффекты малых спутников, обращающихся на орбитах вблизи колец.
10.5.1. Характерные времена размывания. Размывание ничем не
удерживаемых узких колец должно происходить из-за ряда разных эффектов:
1) взаимных столкновений частиц кольца, 2) эффекта Пойнтинга-Роберт-
сона, 3) сопротивления плазмы, 4) дифференциальной прецессии (Голдрайх
и Тремейн, 1979а, 1982). Здесь мы проанализируем эти процессы в приведен-
498
Гл. 10. Кольца планет
ном порядке и выведем формулы для временных шкал, порождаемых каждым
из них.
Рассмотрим случай узкого кольца однородной поверхностной плотности,
имеющего массу га, орбитальный радиус г и радиальную ширину W (причем
W <С г). Браик (1977) показал, что при фиксированном моменте количества
движения энергия Е кольца записывается как
gmpmW2 /1лосч
Е = ^г-з Ь const, (10.35)
где шр — масса планеты. Для фиксированного г имеем Е ос — W, и,
следовательно, Е максимальна, когда W минимальна. Поэтому любая потеря
энергии, вызываемая столкновениями, должна приводить к размыванию
кольца на характерном интервале времени
W mn2W2
*coii = — = :—» (10.36)
W 16E
где п — среднее движение (средняя угловая скорость) кольца. Голдрайх и
Тремейн (1982) показали, что Е связана с частотой столкновений частиц и
соотношением
E = -3v2muj(l -e2), (10.37)
где v — одномерная случайная скорость частиц, а е — коэффициент
восстановления.
Если рассматривать кольцо как дифференциально вращающуюся
жидкость с плотностью р, то напряжение сдвига S в кольце можно записать как
г\г)
S = Pvr—, (10.38)
dr
где v — эффективная кинематическая вязкость. Это напряжение создает
момент сил, который переносит момент количества движения в направлении
и со скоростью, определяемыми градиентом угловой скорости, то есть
величиной dn/dr (Сафронов, 1972; Линден-Белл и Прингл, 1974). В этом случае
Е представляет собой работу, совершаемую этим моментом сил, и v может
быть записана как
п (1 + rz)
где г — безразмерная величина, называемая оптической толщиной кольца
(Кук и Франклин, 1964; Голдрайх и Тремейн, 1978а). Пусть d — характерный
радиус частиц, составляющих кольцо. Энергетический подход, как и подход
с использованием напряжения сдвига, дают одинаковый результат: tco\\
приблизительно равно времени, которое требуется частице, чтобы в процессе
своего случайного блуждания пересечь кольцо по радиусу (Браик, 1977;
Голдрайх и Тремейн, 1978а). Оно дается выражением
1 fW\2
tcoii» — (-г) • (Ю.40)
rn \ a J
10.5. Узкие кольца и резкие края
499
Второй эффект — световое сопротивление Пойнтинга-Робертсона. Оно
вызывается анизотропным переизлучением света, падающего на движущуюся
частицу (см., напр., Берне и др., 1979). Этот эффект особенно важен для
частиц с размерами, сравнимыми с длиной волны падающего излучения, то
есть с размерами в несколько мкм. Он вызывает постепенное «схлопывание»
орбиты. При обращении частицы вокруг Солнца эффект
Пойнтинга-Робертсона заставляет мелкие частицы смещаться по спирали к Солнцу, а при
обращении вокруг планеты — к планете. Характерное время «схлопывания»
околопланетной орбиты с большой полуосью а и наклонением I для частицы
с радиусом d и плотностью р из-за эффекта Пойнтинга-Робертсона
приблизительно равно
8pdc2
3(L/47ra2)QPR(5 + cos2 I)'
где L — светимость Солнца, с — скорость света, а Qpr — коэффициент,
задаваемый формулой
^decay ~ о/г /л__9\^ /с , ___9 гч > (10.41)
Qpr = Qabs + Qsca(l - (cosa», (10.42)
где Qabs> Qsca и а соответственно обозначают коэффициент
поглощения, коэффициент рассеяния (оба безразмерные) и угол рассеяния (Берне
и др., 1979). Для заданной орбиты величина ^decay является линейной
функцией размера частиц d. Поэтому орбиты маленьких частиц будут схлопы-
ваться быстрее, чем орбиты больших. Однако столкновения частиц должны
усреднять эти скорости. Если поверхностная плотность кольца неоднородна,
то можно ожидать, что кольцо размоется за время
*PR~*decay (у) (Ю.43)
(Дермотт, 1984).
Из формул для характерных времен размывания из-за
столкновений (10.40) и из-за эффекта Пойнтинга-Робертсона (10.43) для кольца
заданной ширины и оптической толщины имеем tco\\ ос d~2 и tpR ос d, где d —
радиус частицы. Поэтому уменьшение размера частиц увеличивает время
размывания из-за столкновений, но уменьшает время размывания из-за эффекта
Пойнтинга-Робертсона. Увеличение размера частиц имеет противоположный
эффект. Для колец с параметрами узких колец Урана максимальное время
существования всего лишь ~ ю7 лет (0.2% возраста Солнечной системы).
В этом состоит сущность проблемы узких колец. Для ее решения было
предложено несколько механизмов конфайнмента.
Известно, что у Сатурна и Урана есть магнитосферы, каждая из которых
находится в коротации, поддерживаемой магнитным полем планеты. В этих
обстоятельствах абсорбция плазмы кольцевыми частицами приводит к
размыванию за характерное время
plasma ~ ^~ 1 ^ТТ' (10.44)
500
Гл. 10. Кольца планет
где ftp — угловая скорость вращения планеты, рр — плотность плазмы
(Берне и др., 1980). Сопротивление плазмы действует аналогично приливному
торможению, уводя кольцевые частицы от синхронной орбиты (Грюн и др.,
1984), так как планета является источником момента количества движения.
Поэтому внутри синхронной орбиты сопротивление плазмы действует так же,
как и сопротивление Пойнтинга-Робертсона, а выше синхронной орбиты эти
две силы сопротивления противодействуют друг другу.
Сжатие планеты заставляет вытянутую орбиту прецессировать со
скоростью, приблизительно равной
^ф (^)2«, (10.45)
где J2 — первая зональная гармоника, Rp — радиус планеты, п — среднее
движение объекта, гар — масса планеты (см. (6.256)). Поэтому разность
значений w для внутреннего и внешнего краев эксцентрического кольца
с шириной 5а по большой полуоси задается формулой
6т ^--т—. (10.46)
2 а
Следовательно, должна существовать дифференциальная прецессия,
поскольку внутренний край должен прецессировать быстрее, чем внешний. Кольцо
должно размываться за характерное время 27г/\5ш\ (где w измеряется в
радианах). Например, окружающее Уран эксцентрическое кольцо шириной в 10 км
размылось бы в течение ~ 2500 лет. Поэтому, если только не действует
еще какой-либо иной механизм, эксцентрические кольца должны иметь
короткое время жизни. В случае наклонных колец с помощью аналогичного
рассуждения можно показать, что к размыванию приводит дифференциальная
регрессия узлов.
10.5.2. Локальные эффекты спутниковых возмущений. В
разделе 3.13 мы провели численное исследование траекторий пробных частиц
на круговых орбитах, возмущаемых близлежащим спутником. Результат
(рис. 3.30) ясно показывает, что для частиц на относительно больших
радиальных расстояниях от спутника сближение приводит к появлению волны
на траектории частицы. Этот процесс довольно легко понять. Поскольку все
частицы, сближающиеся со спутником, движутся первоначально по круговым
орбитам, орбиты всех частиц с заданным значением большой полуоси
приобретут благодаря возмущающему спутнику одинаковый эксцентриситет. Кроме
того, поскольку возмущение действует на весьма коротком интервале
времени, орбиты частиц после сближения представляют собой невозмущенные
кеплеровы эллипсы с одинаковыми а и е, но с систематическими различиями
по фазе. Во вращающейся системе координат траектория отдельной частицы,
движущейся по эллиптической орбите, напоминает синусоидальную кривую.
Следующая частица, как и все последующие, будет двигаться по той же
самой траектории. В результате во вращающейся системе координат спутник
создает подобие стоячей волны на крае кольца. Эта волна распространяется
10.5. Узкие кольца и резкие края
501
«вверх по течению» в случае внутренних частиц и «вниз по течению» в случае
внешних частиц (рис. 3.30). В невращающейся системе координат
наблюдаемая скорость волны будет равна среднему движению спутника. Поскольку эту
волну порождает приобретенный орбитами частиц эксцентриситет,
амплитуда А волны равна половине разности апоцентрического и перицентрического
расстояний, то есть 2А = а(\ + е) — а(1 — е) = 2ае. Для вычисления значения
е можно использовать соотношение Тиссерана и простую теорию возмущений.
Пусть а и а1 — большие полуоси орбит частицы и спутника,
соответственно, причем а! > а, а значение а' полагаем фиксированным. Через га/
и гар обозначим массы спутника и планеты, соответственно, причем га/ <^С гар.
Предположим, что спутник движется по круговой орбите, внешней
относительно частицы (находящейся, таким образом, в нижней части рис. 3.30).
В соответствии с третьим законом Кеплера, частица будет иметь большую
угловую скорость и поэтому догонит и, в конечном счете, перегонит спутник.
Поскольку масса спутника мала, частица не испытывает влияния спутника,
пока не происходит сближение. В соединении частица получает «толчок» со
стороны спутника, и это приводит к изменению элементов ее орбиты. Здесь
мы можем пренебречь влиянием частицы на спутник.
В задаче двух тел момент количества движения в расчете на единицу
массы частицы дается выражением
h= yjgmpa(l -e2), (10.47)
и, следовательно, изменения элементов орбиты связаны с изменением момента
количества движения соотношением
2^ = ^_2е2, (10.48)
h a
где мы положили 5е = е, поскольку орбита является первоначально круговой.
Хотя еа » 5а, можно показать (см. (10.52)), что 5а/а » е2, и,
следовательно, значение 5h определяется значением 5а. Однако отношение 5а/а
пропорционально 0(га//гар)2 и может быть вычислено, если найти 5е
(величину, пропорциональную 0(га//гар)) из константы Якоби или соотношения
Тиссерана (см. раздел 3.4) для системы планета-спутник-частица. Если не
полагать большую полуось орбиты возмущающего тела равной единице, то
в случае нулевого наклонения уравнение (3.46) записывается в виде
^ + 2f^)1/2(l-e2)1/2 = a (10.49)
а \а! J
где С — постоянная с точностью до 0(га//гар). Заметим, что пока мы
рассматриваем не эффект сближения, а лишь зависимость между элементами орбит
возмущающего тела и частицы. Обозначим через Аа = а — а' малую разность
больших полуосей в нашей модели и разложим левую часть уравнения (10.49)
в ряд; тогда имеем
\(^)2 -el^C-Ъ, (10.50)
502
Гл. 10. Кольца планет
где мы обобщили уравнение: переменные Аап и еп являются значениями
Аа и е после n-го сближения со спутником (Дермотт и Мюррей, 1981а).
Обратите внимание, что в уравнении (10.50) нет линейных членов по Аап.
Аналогичное уравнение выведено в разделе 3.13, где обсуждаются уравнения
Хилла (см. (3.213)).
Из уравнения (10.50) очевидно, что увеличение е (являющееся
неизбежным, поскольку первоначально частица находится на круговой орбите)
всегда вызывает увеличение разделения |Да| по большой полуоси между
частицей и спутником. Чтобы получить численные оценки, введем величину
5а — Аа\ — Дао и сделаем подстановку в уравнении (10.50). Это дает
**(¥)'-*(*¥*)'-*■ <1051>
где мы использовали равенство Аа\ = 5а Л- Дао- Записав а! — а — Дао и
выполнив биномиальное разложение в предположении, что 5а <С Дао (изменение
большой полуоси частицы, вызываемое сближением, пренебрежимо мало по
сравнению с расстоянием до спутника), имеем
- = !тг-е2- (1052)
а 6 Дао
Так как а/Дао мало, 5а/а » е2, и мы можем пренебречь членом,
пропорциональным е2, в приведенной выше формуле для 5h/h.
Остается только вычислить эксцентриситет, приобретаемый орбитой
частицы. Это можно сделать с помощью уравнений возмущенного движения,
выведенных в разделе 2.9. В случае малых эксцентриситетов скорость
изменения е равна
de 1 — —
— ^— (Rsmf + 2Tcosf), (10.53)
at na
где R и Т обозначают радиальную и тангенциальную составляющие
возмущающей силы (в расчете на единицу массы), / — истинная аномалия частицы
(см. (2.150)). Если взаимодействие частицы со спутником рассматривать
как радиальный «толчок» продолжительностью в At, то, согласно (10.53),
приобретаемый эксцентриситет
е^ — RAts'mf. (10.54)
па
Следуя Дермотту (1984), мы полагаем, что импульс длится в течение At «
« 0.2Р, где Р = 27г/п — орбитальный период частицы. Согласно третьему
закону Кеплера, угловая скорость частицы относительно спутника равна
U = l-Aa0, (10.55)
2 а
отсюда
Д««^. (10.56)
иа
10.5. Узкие кольца и резкие края
503
Если положить, что истинная аномалия частицы / « 7г/2 (то есть частица
находится вблизи квадратуры), то sin/ « 1, и приобретаемый эксцентриситет
4го' ' " : (10.57)
3 гар \ Дао
(см. статью Лин и Папалойцу, 1979). В действительности коэффициент в этом
уравнении равен 2.24, а не 4/3 (Джулиан и Томре, 1966), так как в нашем
выводе мы пренебрегли тангенциальной силой, действующей на частицу.
Среднее движение частицы равно п, а среднее движение спутника равно
n + U. Поэтому число орбитальных витков между сближениями равно n/U.
За это время частица покроет расстояние 27га относительно спутника.
Следовательно, длина волны равна
£= Ъш =37гАа^ (Ш58)
n/U
Заметим, что амплитуда волны является функцией от Дао и га/, тогда как
длина волны является функцией только от Дао. Поэтому наблюдения краевой
волны позволяют определить массу и радиальное расстояние до спутника,
который вызывает эту волну, даже если сам спутник непосредственно не
наблюдается.
Изменения А и £ с изменением Дао порождают еще один феномен в
близлежащем кольцевом веществе — формирование спутного следа. Это явление
проиллюстрировано на рис. 10.14 для случая внешнего спутника. Хотя
каждая волна имеет фиксированную длину волны, наличие последовательности
волн с уменьшающейся длиной волны приводит к тому, что гребни и впадины
расположены вдоль квазипараллельных линий, которые не выровнены по
среднему краю кольца. Существование спутного следа обеспечивает еще один
способ косвенного обнаружения спутника, особенно удобный при
использовании данных наблюдений покрытий звезд.
В определенных обстоятельствах может возникать еще одно явление —
ударные волны в кольцах. Рассмотрим два кольца внутри орбиты спутника
на постоянном расстоянии W друг от друга (рис. 10.15); это могут быть
отдельные кольца или просто внутренний и внешний края одного узкого
кольца. Движущийся спутник вызовет волны в кольцах, причем длины волн
будут слегка различаться из-за различия расстояний.
Спутник
Рис. 10.14. Схема, показывающая, как изменение амплитуды и длины волны с
расстоянием от спутника вызывает образование спутного следа в близлежащем
веществе кольца «вверх по течению» относительно внешнего спутника. Нижняя
стрелка указывает направление движения частиц относительно спутника
504
Гл. 10. Кольца планет
Спутник
Рис. 10.15. Схема образования в возмущенном кольце ударной волны из-за
пересечения линий тока (согласно Дермотту, 1984). а) Волны приблизительно одинаковой
амплитуды, но различной длины, порождаемые сближением со спутником;
подавление эксцентриситета считается отсутствующим, б) Радиальная ширина колец в
зависимости от расстояния D; ширина обращается в нуль (и возникает ударная
волна) в месте пересечения колец (обозначенном светлым кружком на оси D)
Пусть г\ и г2 — радиусы колец. До сближения г\ = а\ и г2 = а2, где а\
и а2 — постоянные большие полуоси колец. После сближения с внутренним
спутником имеем
ri(D) =a{- Asm(27rD/el)1 (10.59)
r2{D) = а2- Asm(2irD/£2), (10.60)
где D — расстояние от спутника вдоль орбиты; длины двух волн равны
£\ = 37г(Да + W/2), £2 = 37г(Да - W/2). Здесь мы предполагаем, что обе
волны имеют одинаковую амплитуду А. Решая эти уравнения при п = г2,
получаем
л«^ (10-61)
для расстояния, на котором волны пересекаются и образуется ударная волна.
Таким образом, ударные волны просуществуют до следующего сближения
при условии D < 27га, или, если использовать модифицированное выражение
для А, при условии
ш^1/4
Аа< 1.75[ —
тпг
а.
(10.62)
Мы уже отметили выше, что внутренний и внешний края кольца е
Урана находятся в резонансах Линдблада с малыми спутниками. Эти края
исключительно резкие. На профилях покрытий из-за резкости границ даже
присутствуют дифракционные явления (см., напр., Эллиот и Николсон, 1984).
Бордери и др. (1989) показали, что резкость границ некоторых колец (как
широких, так и узких) является следствием наличия подобных резонан-
сов. Выше в разделе 10.3.2 мы обсудили механизм резонанса Линдблада
и продемонстрировали, как пересечение линий тока благодаря вынужденному
эксцентриситету определяет ширину резонанса в системе без затухания.
10.5. Узкие кольца и резкие края
505
Симметрия конфигурации (рис. 10.9) обеспечивает отсутствие
результирующего момента сил в системе. Если в кольце происходят столкновения, то
действие диссипации аналогично его действию при приливных
взаимодействиях: появляется угловое запаздывание и результирующий момент сил
пропорционален величине
запаздывания.
На рис. 10.16 показана схема
линий тока в окрестности резонанса
Линдблада 2:1с Мимасом в кольцах
Сатурна. Резонанс находится у
резкого внешнего края кольца В (рис. 10.4).
Из вида траекторий частиц во
вращающейся системе отсчета мы знаем, что
линии тока являются
центрированными эллипсами. Вдали от точного
резонанса (на внутренней линии тока)
вынужденный эксцентриситет
пренебрежимо мал и траектория является
круговой с равномерным потоком
момента количества движения наружу.
При приближении к резонансу
(средняя линия тока) траектория
приобретает эксцентриситет, придающий ей
вид центрированного эллипса во
вращающейся системе отсчета. Отметим,
что малые оси этого и других
эллипсов отстают от линии Сатурн-Мимас
из-за эффекта столкновений частиц.
Для этой и следующих (в направлении
наружу) линий тока поток момента
количества движения неравномерен. Эта
конкретная линия тока является
критической, поскольку на ней есть две точки (отмеченные светлыми кружками),
где поток обращается в нуль. Внешняя линия тока обладает большим
вынужденным эксцентриситетом (поскольку она ближе к точному резонансу);
поток изменяется вдоль траектории и может иметь как положительный, так
и отрицательный знак. На этой линии тока мы отметили четыре точки
(обозначенных буквами А, Б, В и Г), где поток равен нулю. Если поток момента
количества движения наружу между точками А и Б и между точками В и
Г равен потоку внутрь между точками А и Г и между точками Б и В, то
полный поток через линию тока равен нулю. Согласно Бордери и др. (1989),
линия тока, для которой выполняется это условие, определяет край кольца,
формируя резкую границу.
Внешний край кольца В Сатурна имеет радиус, равный 1.95 радиуса
Сатурна; край кольца А с радиусом, равным 2.27 радиуса Сатурна, также
является резким. В обоих случаях поблизости имеется спутниковый резонанс.
Мимас
Рис. 10.16. Три линии тока во
внутреннем резонансе Линдблада 2:1с
Мимасом; резонанс расположен на
внешней границе кольца В Сатурна.
Структура асимметрична относительно
линии Сатурн-Мимас из-за диссипатив-
ного запаздывания малой оси
симметрии. Стрелки указывают направление
потока момента количества движения,
определяемого градиентом локальной
угловой скорости. Характер этого
потока обсуждается в тексте. (Из работы
Дермотта, 1984; первоначальный
вариант принадлежит П. Голдрайху, частное
сообщение.)
506
Гл. 10. Кольца планет
Порко и др. (1984а) показали, что край кольца В имеет «двухлепестковую
структуру радиальных колебаний» (то есть форму центрированного эллипса),
согласующуюся с эффектом резонанса 2:1с Мимасом. Аналогично, край
кольца А расположен вблизи внутреннего резонанса Линдблада 7:6с Янусом
(одним из коорбитальных спутников), поэтому здесь следует ожидать
наличия 7-лепестковой структуры. Хотя этот резонанс слабее из-за меньшей по
сравнению с Мимасом массы Януса, структура, наблюдавшаяся Порко и др.
(1984а), согласуется с 7-лепестковой формой.
10.5.3. Спутники-пастухи и радиальный конфайнмент. Теория
спутников-пастухов была предложена Голдрайхом и Тремейном (1979а) для
объяснения феномена узких колец Урана, открытых при наземных наблюдениях
покрытий звезд. Они предположили, что каждое узкое кольцо
поддерживается парой малых спутников, «пасущих» края колец посредством приложения
векового момента сил, уравновешивающего вязкое кручение колец (см. ниже).
Изображения узкого кольца F Сатурна и кольца е Урана, полученные позже
с «Вояджеров» (рис. 10.17), наглядно подтверждают их теорию.
Рис. 10.17. Полученные с «Вояджеров» изображения спутников, «пасущих» узкие
кольца, а) Полученное с «Вояджера-2» изображение (с низким разрешением)
кольца F Сатурна с Пандорой и Прометеем по разные стороны от него, б) Полученное
с «Вояджера-2» изображение (с длительной экспозицией) узких колец Урана.
Внешнее кольцо £ «пасут» спутники Офелия и Корделия (треки в кружках). (Изображения
предоставлены NASA/JPL.)
Основы механизма воздействия спутников-пастухов можно понять,
проанализировав еще раз нашу модель сближения одиночного спутника и
частицы кольца, находящейся первоначально на круговой орбите. Выше мы
вычислили эксцентриситет, приобретаемый орбитой частицы при сближении,
и отметили при этом, что большая полуось орбиты частицы при сближении ее
с внешним спутником уменьшается, что выглядит как «отталкивание»
внешним спутником орбиты внутреннего кольца. При сближении с внутренним
спутником большая полуось орбиты частицы, наоборот, увеличивается.
Таким образом, комбинированное воздействие спутников у обоих краев кольца
приводит к конфайнменту кольца по большой полуоси (рис. 10.18).
При построении схемы на рис. 10.18 мы предположили, что
эксцентриситет, порождаемый сближением, подавляется в конечном счете до нуля из-за
10.5. Узкие кольца и резкие края
507
Внешний
* спутник
Рис. 10.18. Схема механизма воздействия спутников-пастухов (согласно Дермотту,
1984). Узкое кольцо (серая полоса) поддерживается двумя спутниками по разные
стороны от него
столкновений с другими частицами кольца. Это приводит к затуханию волны,
поэтому частица будет вновь на круговой орбите, когда она в очередной раз
сблизится со спутником спустя время 2n/U. Затухает ли волна в
действительности или нет, зависит, очевидно, от свойств кольца. Если волна затухает,
можно оценить момент сил Г, испытываемый кольцом со стороны спутника,
вычислив скорость изменения орбитального момента количества движения
L = mh (где га — масса кольца). Имеем
Выше мы показали, что
г т 6h
F = L=2^Jum-
^5h 5a 2 а 9
h a 3 Дао
следовательно, момент сил
Г - 0.399
Qw!
пАоц
га.
(10.63)
(10.64)
(10.65)
Эффект от взаимных столкновений частиц моделируется с помощью
вязкого момента кручения, который стремится размыть кольцо в радиальном
направлении. Первоначальный вариант механизма воздействия спутников-
пастухов, принадлежащий Голдрайху и Тремейну (1979а), основывался на
равновесии между вязким и спутниковым моментами кручения. Картина,
однако, является более сложной, поскольку можно показать, что спутники-
пастухи сообщают энергию, достаточную для разрушения кольца (Бордери,
1984). Более полная модель была разработана Бордери и др. (1989); согласно
этой модели, в радиальный конфайнмент вносят вклад и спутниковый, и
вязкий момент кручения в возмущенных областях на краях кольца.
Голдрайх и Тремейн (1979а) предложили свою теорию спутников-пастухов
в попытке решить проблему малого времени жизни узких колец Урана. Когда
в январе 1986 г. космический аппарат «Вояджер-2» достиг окрестностей
Урана, вблизи каждой из сторон внешнего кольца е планеты было обнаружено
по малому спутнику — Корделия и Офелия. Анализ их орбит показал, что
внешний край кольца е находится во внутреннем резонансе Линдблада 14: 13
с внешним спутником Офелией, а внутренний край — во внешнем резонансе
Линдблада 24:25 с внутренним спутником Корделией (Порко и Голдрайх,
508
Гл. 10. Кольца планет
1987). Интенсивные поиски других спутников-пастухов в пространстве между
узкими кольцами Урана ничего не дали, несмотря на то, что для орбит
гипотетических спутников известно несколько предпочтительных положений
в резонансах с Корделией (Мюррей и Томпсон, 1990). Вблизи кольца F
Сатурна есть два спутника — Прометей и Пандора, расположенные по разные
стороны от него. Возможно, это еще один пример спутников-пастухов, хотя
здесь ситуация не так очевидна (см. раздел 10.7).
10.5.4. Эксцентрические и наклонные кольца. Хотя теоретически
кеплерова орбита может быть круговой, в Солнечной системе все орбиты,
ограниченные в пространстве, являются эллиптическими. Поэтому
существование узких эксцентрических колец, на первый взгляд, не должно вызывать
удивления. Уже первые наблюдения узких колец Урана в 1977 г. и открытия
в системе Сатурна, сделанные с КА «Вояджер-2» в 1980 и 1981 гг., дали
свидетельства того, что несколько узких колец обладают эксцентриситетом
и, что еще интереснее, равномерно прецессируют.
Рассмотрим эксцентрическое узкое кольцо, ограниченное внутренним
и внешним эллипсами. Пусть середина кольца имеет большую полуось а
и эксцентриситет е, разность больших полуосей внутреннего и внешнего
краев равна 5а, а разность эксцентриситетов равна бе. Если записать уравнение
эллипса в виде г = а(1 — ecos/), где / — истинная аномалия, и
предположить, что ограничивающие эллипсы имеют одинаковую долготу перицентра,
то радиальная ширина кольца в зависимости от / будет задаваться
выражением
W = 6a[l -(# + e)cos/], (10.66)
где д — градиент эксцентриситета поперек кольца:
9 = а^. (10.67)
да
Уравнение (10.66) для W имеет такую же форму (но другие константы), что
и уравнение для г. Следовательно, изменения W и г совпадают по фазе и W
является линейной функцией от г. Эта линейная связь была непосредственно
выявлена у нескольких узких колец из результатов наблюдений покрытий.
Орбитальные параметры колец а, /3 и е Урана, включая вычисленные
значения наименьшей и наибольшей ширины, приведены в качестве примера
в табл. 10.2. Все эти кольца хорошо моделируются в предположении
выровненных перицентров внутреннего и внешнего краев.
Голдрайх и Тремейн (1979а, б) предположили, что наблюдаемое
выравнивание перицентров поддерживается самогравитацией кольца. Согласно этой
модели, масса вещества, содержащаяся в кольце, самораспределяется таким
образом, что масса у внутреннего края вызывает уменьшение скорости
прецессии, а масса у внешнего края вызывает ее увеличение. Результатом
является прецессия с постоянной скоростью, равной скорости прецессии середины
кольца. Следует отметить, что модель самогравитации для эксцентрических
колец обособлена от моделей, предложенных Голдрайхом и Тремейном для
объяснения радиального конфайнмента узких колец. Если механизм само-
10.5. Узкие кольца и резкие края
509
гравитации работает, то градиент эксцентриситета должен быть связан со
средней шириной (W) соотношением
g^2.3e(W)J2 (^) ^, (10.68)
где рр — плотность планеты, а а — поверхностная плотность кольца
(Дермотт, 1984). Это означает, что все эксцентрические кольца должны иметь
положительный градиент эксцентриситета. Для эксцентрических колец в
системе Сатурна вычисленные значения поверхностной плотности согласуются
со значениями, полученными независимо из анализа данных наблюдений
покрытий. Однако в случае кольца е Урана модель предсказывает для
характерного радиуса частицы значения 20-30 см, тогда как значение,
определяемое из наблюдений, равно по меньшей мере 50 см и может даже доходить
до нескольких метров (Николсон и Доунс, 1991). Таким образом, кольцо е
может оказаться слишком массивным для того, чтобы данный механизм мог
работать.
Таблица 10.2. Орбитальные параметры трех эксцентрических колец Урана.
(Согласно Эллиоту и Николсону, 1984.)
Кольцо
а (км)
8а (км)
е
бе
9
Макс, ширина (км)
Мин. ширина (км)
а
44578
7.5 ±0.2
7.8 • Ю-4
5.8- 10~5
0.35 ± 0.03
10.1
4.9
Р
45701
7.8 ±0.3
4.3- 10"4
6.0- 10"5
0.35 ± 0.05
10.6
5.0
£
51188
58.0 ±0.4
7.94 • Ю-3
7.4- 10"4
0.65 ±0.01
96.3
19.8
Данные табл. 10.2 показывают, что значения д для всех эксцентрических
колец Урана порядка единицы. Это верно и для большинства эксцентрических
колец системы Сатурна. Однако параметр д должен быть функцией трех
предположительно независимых друг от друга величин е, (W) и а. Дермотт
и Мюррей (1980) привели доводы в пользу того, что такие кольца могут быть
«плотноупакованы» вблизи перицентров (иметь там более высокую
концентрацию частиц), что предотвращало бы дифференциальную прецессию. Они
предложили модель прецессионного пинча (сужения) для эксцентрических
колец (рис. 10.19, на котором механизм представлен эвристическим образом).
Данная модель предполагает, что самогравитация, взаимные столкновения
частиц и «плотная упаковка» в перицентре, действуя совместно, преобразуют
узкое эксцентрическое кольцо равномерной ширины в кольцо с большим
значением д и выровненными перицентрами. Если же a, (W) и а являются
зависимыми величинами, то в механизме прецессионного пинча, по-видимому,
нет необходимости. Из работы Бордери и др. (1983) следует, что между этими
параметрами, возможно, имеется некоторая связь, причем их окончательные
значения устанавливаются только в тот момент, когда «плотная упаковка»
частиц вблизи перицентра останавливает рост среднего эксцентриситета.
Кольцо е Урана продолжает оставаться серьезной динамической проблемой.
510
Гл. 10. Кольца планет
Рис. 10.19. Модель прецессионного пинча для равномерной прецессии узких
эксцентрических колец (согласно Дермотту и Мюррею, 1984). На всех диаграммах
перицентры обозначены темными кружками, кроме перицентра центрального
эллипса, который обозначен светлым кружком, а) Исходно у кольца выровненные
перицентры и равномерная ширина, б) Дифференциальная прецессия делает ширину
неравномерной, и при / « —7г/2 формируется «пинч». в) Благодаря самогравитации
кольца увеличивается градиент д эксцентриситета (радиальные стрелки), и пинч
смещается, г) Устойчивой равновесной конфигурации соответствует положение пинча
в перицентре и выравнивание орбит
Малая ширина и высокая поверхностная плотность колец Урана
порождают явление нормальных мод. Из-за самогравитации колец образуются волны
плотности с произвольными значениями га (Бордери и др., 1985); эти волны
становятся неустойчивыми, однако наличие резких краев может обеспечить
их самоподдерживание и даже наблюдаемость. Поведение данных мод
идентично описанному в разделе 10.3.2 для линий тока во внутренних резонансах
Линдблада, причем моды га = 0, га = 1 и га = 2 соответствуют линиям тока,
имеющим форму окружности, кеплерова эллипса и центрированного эллипса,
соответственно. Паттерн-частота для этих мод дается соотношением
raftp = (га - 1)га + G7, (10.69)
что идентично соотношению (10.12) для внутреннего резонанса Линдблада.
Однако в случае нормальных мод возмущающий спутник отсутствует, хотя
и вводится паттерн-частота. Эксцентрическое, равномерно прецессирующее
кольцо, поддерживаемое самогравитацией или механизмом модели
прецессионного пинча, соответствует моде га = 1; искажений с га ф 1 следует ожидать
только у самых узких и плотных колец (Френч и др., 1991). Сейчас имеются
убедительные свидетельства, что у кольца 6 Урана есть искажение га = 2
с амплитудой ае = 3.11 км, накладывающееся на моду га = 1. Кроме того,
у кольца 7 проявляется мода га = 0 с амплитудой 5.15 км (Френч и др.,
1988, 1991).
В системе колец Сатурна есть по меньшей мере семь примеров
эксцентрических колец. Возможно, наиболее необычным из них является «титаново
колечко» с радиусом 1.2908i?s (life = 60330 км) во внутренней части
кольца С (Порко и др., 19846). Это кольцо, лежащее во внешней части широкого
184-километрового люка, является, как показывают наблюдения, равномерно
прецессирующим кеплеровым эллипсом с 5а = 25 ± 3 км и бе = (1.4 ± 0.4) х
х Ю-4. Наблюдаемая скорость прецессии равна w = (22.57 ±0.06)°/сут, что
10.5. Узкие кольца и резкие края
511
близко к среднему движению Титана (22.57698°/сут). Это дает необычный
резонансный аргумент
(p = \'-w, (10.70)
который выводится из 4D1.1 при j — 1 (см. приложение Б); здесь Л' —
средняя долгота Титана. Наблюдения показывают, что перицентр колечка
опережает Титан по средней долготе на 13° ± 5°, что может быть следствием
диссипации энергии (см. обсуждение выше в разделе 10.5.3). Поскольку
кольцо расположено так близко к Сатурну, оно чрезвычайно чувствительно
к влиянию зональных гармоник планеты. Это свойство было использовано
Николсоном и Порко (1988), чтобы получить новые значения J2, J\ и Je
и ограничения на Js, J10, J\2, J\\ и ^16- Эксцентриситет кольца согласуется
с вынужденным значением, обусловленным резонансом 1:0 с Титаном.
В кольце С Сатурна имеются еще три эксцентрических кольца: колечко
Максвелла с радиусом 1.45i?s (Порко и др., 19846) и два кольца с радиусами
1.470i?s и 1.495i?s (рис. 10.20). В каждом случае кольцо расположено внутри
четкого люка в окружающем веществе кольца. Колечко Максвелла имеет
ширину « 64 км и лежит в 268-километровом люке Максвелла. Кольцо свободно
прецессирует и не находится в известных резонансах со спутниками. Кольцо
с радиусом 1.470i?s имеет среднюю ширину « 16 км и лежит в люке шириной
всего лишь « 30 км. Аналогично, кольцо с радиусом 1.495i?s имеет среднюю
ширину « 61 км, а люк на его внешнем крае — всего лишь « 15 км (Порко
и Николсон, 1987). Характеристики колец приведены в табл. 10.3.
Люк Люк Люк
Рис. 10.20. Изображение части кольца С Сатурна, полученное с «Вояджера-2».
Указано расположение трех люков и эксцентрических колец. {Изображение
предоставлено NASA/JPL.)
Таблица 10.3. Орбитальные параметры четырех эксцентрических колец в кольце С
Сатурна. (Согласно Порко и др., 19846, и Порко и Николсону, 1987.)
Кольцо
а (км)
5а (км)
е
бе
9
Макс, ширина (км)
Мин. ширина (км)
Титаново
77871
25
2.6- 10~4
1.4- 10"4
0.44
37
13
Максвелла
87491
64
3.4 • 10"4
3.4- 10"4
0.46
88
40
\A70Rs
88716
16
2.3- Ю-5
4.4- К)"5
0.24
20
18
1.495fls
90171
61
3.1 • Ю-5
0.9- 10"5
0.01
62
60
Все три остальных известных эксцентрических кольца расположены
внутри люка Кассини. Среди них наиболее интересно колечко Гюйгенса с
радиусом 1.95i?s; хотя, как полагают, оно свободно прецессирует, его поведение до
512
Гл. 10. Кольца планет
сих пор ставит серьезные динамические проблемы (Порко, 1983). Ни одно из
семи эксцентрических колец Сатурна, насколько известно, не имеет границ,
поддерживаемых спутниками-пастухами.
10.5.5. Спутники в кольцах и подковообразные орбиты. Открытие
Эллиотом и др. (1977) узких колец Урана дало толчок развитию
нескольких теорий конфайнмента колец, проявляющегося вопреки действию
столкновений частиц и эффекту Пойнтинга-Робертсона. Обсуждавшийся выше
механизм спутников-пастухов стал наиболее правдоподобным объяснением
устойчивости узких колец, в особенности после наблюдений с «Вояджера-2»
Корделии и Офелии, обращающихся у двух сторон кольца е Урана.
Дермотт и Голд (1977) первоначально предположили, что кольца Урана
находятся в трехтельных резонансах с известными спутниками. Однако Голд-
райх и Николсон (19776) указали на то, что Дермотт и Голд пренебрегли
трехтельными резонансами с Мирандой; хотя Миранда и меньше четырех
других главных спутников, она ближе к кольцам и порождает более сильные
резонансы.
Новая теория колец Урана была предложена Дермоттом и др. (1979) и
позднее распространена на другие системы колец (Дермотт и др., 1980). Они
предположили, что каждое из узких колец поддерживается малым спутником
(га'/гар < Ю-9), движущимся в кольце таким образом, что кольцевые
частицы испытывают подковообразные либрации в резонансе 1 : 1 (см. раздел 3.8).
Из-за крайне малых отношений масс орбиты имеют высокую степень
симметрии относительно орбиты спутника (см. ниже), поэтому изменение орбит
частиц из-за эффекта Пойнтинга-Робертсона на внешней части траекторий
почти полностью компенсируется изменением на внутренней части (рис. 3.31).
К сожалению, как было показано в разделе 3.14.6, точки либрации L^
и Ь$ неустойчивы при наличии сил сопротивления данного вида, хотя время
«схлопывания» может значительно превышать время, определяемое формулой
(10.41), поскольку последнее получено без учета резонанса. Однако в
конечном счете вещество будет уходить по спирали из области подковообразных
орбит. Долговременная динамика частиц на орбитах типа «подкова» и
«головастик», даже в отсутствие сил сопротивления, еще недостаточно хорошо
изучена. Наличие константы Якоби и запретных областей в круговой
ограниченной задаче может дать некоторые ограничения на движение частицы, но,
как правило, не на ее долговременную эволюцию 0.
Некоторые из перечисленных свойств можно объяснить, если вернуться
к нашему обсуждению в рамках задачи трех тел. В главе 3 мы показали, что
при малых отношениях масс критическая кривая нулевой скорости, связанная
с подковообразными орбитами, проходит через точки либрации L\ и L^.
Поэтому для движения на орбите типа «подкова» мы можем записать выражение
для константы Якоби в виде
/т'\2/3
С = 3 + а( —] , (10.71)
х) Имеется в виду ситуация при учете возмущений. — Прим. ред.
10.5. Узкие кольца и резкие края
513
где а ^ З4/3 — константа (см. (3.94) и (3.95)). Дермотт и Мюррей (1981а)
показали, что величину |Аа| = \а! — а\ можно выразить как
а наиболее тесное сближение ведущего центра частицы со спутником
происходит на расстоянии
dmin = -(— 1 а. (10.73)
а \тр/
Параметр а аналогичен прицельному параметру. Если значение а велико
(а > 1), частица или столкнется со спутником, или пройдет достаточно
близко, чтобы быть рассеянной. При малых значениях (а < 1) имеется очевидное
«отталкивание» частицы спутником при наиболее тесных сближениях. Чем
меньше значение а, тем симметричнее будет траектория ведущего центра
относительно большой полуоси орбиты спутника. Для движения в окрестности
спутника эта зависимость хорошо проиллюстрирована на рис. 3.30. Степень
симметрии оценили Дермотт и др. (1980) и Дермотт и Мюррей (1981а).
Записав
Аа0
а'
—
Aaj
а'
т'
= ± — , (Ю.74)
где нижний индекс j — число последовательных сближений частицы со
спутником, путем численного интегрирования они нашли, что при малых
значениях а орбиты после двух сближений проявляют почти периодический
характер, причем г « 1. Следовательно, Дао и Да2 различаются на величину
О (ra'/rrip), что означает высокую степень симметрии при малых отношениях
масс. В этом случае силы сопротивления будут мало влиять на реальную
динамику при сближениях. Результирующее поведение будет схожим с
показанным на рис. 3.31.
Дермотт и др. (1980) предположили, что эволюция подковообразных
орбит описывается случайными блужданиями по |Дао| — |Даг|- Если в
соотношении (10.74) г = 1, то кольцевые частицы (или малые спутники) покинут
подковообразную орбиту за характерное время
Г
-^escape ~ ~( ~, ГН"^"' (10.75)
\т! /тру*'6
где Г — орбитальный период возмущающего спутника. Следовательно,
именно малые спутники с наибольшей вероятностью могут сопровождаться коор-
битальным веществом. Дермотт (1984) отметил, что для спутников, у которых
предположительно или действительно есть коорбитальные компаньоны (это
спутники Сатурна Янус и Мимас), Tescape > 5 • 109 лет.
Любая система, прошедшая через столкновительную эволюцию, обладает
характерным распределением размеров — с малым числом крупных тел и
большим числом малых тел. Возникает вопрос: как крупные тела
воздействуют на тела меньших размеров внутри диска вещества — такого, как
514
Гл. 10. Кольца планет
протяженная кольцевая система? Выше мы описали механизм «отталкивания»
спутником кольцевых частиц, приближающихся к нему по почти круговым
орбитам. Следовательно, вероятный результат помещения спутника в
однородное кольцо мелких частиц состоит в «расталкивании» вещества с орбит
непосредственно внутри и снаружи его орбиты. В этом состоит
естественный результат воздействия механизма спутников-пастухов. Однако на орбите
спутника может оставаться вещество, сохраняющееся на траекториях типа
«подкова» или «головастик». Это вещество необязательно сформировалось на
своих орбитах одновременно со спутником; например, оно может происходить
из ударных выбросов со спутника или с других более мелких спутников,
коорбитальных с ним. В любом случае, исходя из проведенного выше анализа,
можно ожидать, что это вещество связано с малыми, а не с крупными
спутниками. В настоящее время имеются хорошие свидетельства того, что
по меньшей мере один спутник (спутник Сатурна Пан) связан с веществом
кольца, удерживаемым в резонансе 1:1.
10.6. Люк Энке и спутник Пан
Наблюдения люка Энке в кольце А Сатурна с КА «Вояджер» показали
наличие в его центре узкого неровного кольца или дуги (рис. 10.21 а). Люк
Энке шириной 325 км имеет чрезвычайно резкие края; тем не менее, он
не отождествлен ни с каким из сильных спутниковых резонансов. Путем
перепроецирования изображений краев люка удалось зарегистрировать
краевые волны; на некоторых изображениях были обнаружены спутные следы,
выявленные также и по данным наблюдений покрытий звезд (Куцци и Скаргл,
1985; Шоуолтер и др., 1986). Хотя наблюдения с «Вояджера» не обеспечили
полного обзора люка по долготе, исследование Куцци и Скаргла (1985)
показало, что амплитуда волны, когда ее можно было измерить, изменялась
вдоль люка. Все указывало на существование малого (радиусом ~ 10 км)
спутника, движущегося внутри люка. По-видимому, люк был сформирован
этим спутником-пастухом, а сближения спутника с частицами кольца на
внутреннем и внешнем краях люка вызвали волны соответственно «вверх
и вниз по течению» относительно спутника.
Рис. 10.21 иллюстрирует явления этого типа, обнаруживаемые на
снимках с «Вояджера». Общий вид люка Энке в большом масштабе показан
на рис. 10.21а. Снимок сделан из точки над плоскостью кольца; долгота
возрастает от угла снимка вверху справа в направлении к углу снимка внизу
слева. Остальная радиальная структурированность в этой части кольца А
вызвана резонансами со спутниками, обращающимися выше колец.
Выделенная на рис. 10.21 а область у внутреннего края люка перепроецирована и
воспроизведена на рис. 10.21 б и в с применением двух различных способов
усиления деталей изображения. На рис. 10.21 б очевидно присутствие краевой
волны, тогда как другой способ обработки этого же изображения выявляет
присутствие спутного следа в окружающем веществе (рис. 10.21 в). Длина
наблюдаемой волны ^0.7°, что по формуле (10.58) соответствует расстоянию
до спутника « 170 км. Заметим, что гребни и впадины спутного следа
10.6. Люк Энке и спутник Пан
515
Рис. 10.21. Три изображения люка Энке в кольцевой системе Сатурна, а)
Изображение, полученное с «Вояджера-2» в августе 1981 г. Виден 325-километровый
люк и узкое кольцо вблизи его центра. {Изображение предоставлено NASA/JPL.)
б) Перепроецированное изображение выделенного участка шириной 400 км по
радиусу. Видна волна на внутреннем крае люка, в) Этот же участок, но изображение
обработано таким образом, чтобы выявить спутный след в области, внутренней по
отношению к краевой волне. Изображение охватывает 3.4° по долготе, при этом
длина наблюдаемой волны « 0.7°. Обнаружение краевой волны и спутного следа
указывает на присутствие малого спутника, движущегося внутри люка Энке
Рис. 10.22. Два снимка с «Вояджера-2» из серии, на которой был открыт спутник
Пан. Показано, как Пан движется внутри люка Энке в кольце А. Интервал
последовательной съемки 5 мин. (Изображения предоставлены NASA/J PL.)
не параллельны ни краю кольца, ни резонансной детали, видимой ближе
к планете; именно этого следует ожидать для спутного следа, порождаемого
спутником (рис. 10.14).
Прямое свидетельство существования этого предполагаемого спутника,
впоследствии названного Паном по имени древнегреческого бога пастухов,
было в конце концов обнаружено Шоуолтером (1991) на изображениях,
полученных с «Вояджеров» (рис. 10.22). Для большой полуоси его орбиты
Шоуолтер определил значение 133 582.8 ±0.8 км. Снимки, использованные
Шоуолтером, имели низкое разрешение: типичная ширина люка Энке на
снимках составляла два или три элемента (пиксела) изображения. Тем не
менее, камере «Вояджера» удалось обнаружить спутник, хотя и не
разрешить его (см. врезки на рис. 10.22). Поэтому удалось определить точное
значение среднего движения Пана, отслеживая его неразрешенные точечные
33*
516
Гл. 10. Кольца планет
изображения по мере того, как спутник двигался по орбите; это, в свою
очередь, позволило точно определить значение большой полуоси орбиты с
помощью третьего закона Кеплера, модифицированного с учетом влияния
сплюснутости Сатурна (см. (6.244)).
Как уже было отмечено выше, внутри люка Энке есть также неполное
кольцо, похожее в некотором отношении на дуги, обнаруженные в кольце
Адамса Нептуна (см. раздел 10.8).
Совпадение орбиты этого кольца с орбитой Пана (Шоуолтер, 1991) дает
основание полагать, что Пан удерживает вещество кольца на орбитах типа
«подкова» и «головастик», согласно схеме, предложенной Дермоттом и др.
(1979) для колец Урана. Максимальная радиальная ширина кольца (« 20 км)
согласуется с максимальной радиальной протяженностью области
подковообразных орбит (30 км) для этого спутника (Дермотт и Мюррей, 1981а).
Если указанная схема здесь в самом деле работает, то система люка Энке
проявляет черты, характерные для обеих моделей конфайнмента колец —
модели спутников-пастухов и модели подковообразных орбит. Схематически это
проиллюстрировано на рис. 10.23. Заметим, что спутник Нептуна Галатея, как
оказывается, тоже движется по общей орбите со слабым кольцом (Шоуолтер
и Куцци, 1992); здесь могут действовать схожие механизмы.
Рис. 10.23. Схема возбуждения Паном краевых волн при формировании им (в
качестве спутника-пастуха) люка Энке. При этом Пан удерживает коорбитальное
вещество на подковообразных орбитах
Посредством анализа полученных с «Вояджеров» изображений Кук (1991)
обнаружил свидетельство переменности ширины 35-километрового люка Ки-
лера с радиусом 136488 км, расположенного вблизи внешнего края кольца А
Сатурна. Во многих отношениях люк Килера даже более загадочен, чем люк
Энке. Если этот люк сформирован спутником внутри кольца, то последний
должен быть небольшим; однако амплитуда волновых структур,
обнаруженных Куком, говорит о присутствии довольно крупного и, следовательно, легко
обнаружимого спутника. Амплитуда краевых волн изменяется вдоль кольца,
что, по-видимому, означает присутствие не одного, а большего числа
спутников. Кук (1991) отметил, что вблизи имеется несколько сильных внутренних
резонансов Линдблада: резонанс 18: 17 с Пандорой (радиус 136457 км) и
резонанс 32:31 с Прометеем (радиус 136481 км) (рис. 10.5). Однако в целом
механизм, ответственный за наблюдаемые явления в люке Килера, остается
неясным.
10.7. Кольцо F Сатурна
517
10.7. Кольцо F Сатурна
Кольцо F Сатурна было впервые обнаружено на изображениях с низким
разрешением, полученных с КА «Пионер-11» (Герелс и др., 1980).
Последующие наблюдения с «Вояджеров» (Смит и др., 1981, 1982) дали более
детальные изображения этого узкого кольца, лежащего на 3400 км выше края
кольца А. На рис. 10.24 приведено три изображения кольца F. На некоторых
изображениях, полученных с «Вояджера-1» в ноябре 1980 г., (см., напр.,
рис. 10.24 а) были обнаружены кратные «пряди» и четко видимый «жгут» из
двух взаимодействующих прядей. С «Вояджера-1» наблюдались также и
другие разнообразные структурные особенности, включая явные разрывы и
«комки» вещества, движущиеся с кеплеровыми скоростями. На изображениях,
полученных девять месяцев спустя с «Вояджера-2», пряди уже параллельны
друг другу (см., напр., рис. 10.24 6, в), а подобие «жгута» присутствует только
на одном из них.
Рис. 10.24. Изображения узкого кольца F Сатурна, полученные с «Вояджеров».
Контраст искусственно увеличен, а) Изображение, полученное с «Вояджера-1» в ноябре
1980 г. Виден «жгут» из по меньшей мере двух компонент кольца, а также слабая
внутренняя компонента, б) и в) Два изображения, полученные с «Вояджера-2»
в августе 1981 г. Видны кратные «пряди» в кольце F, простирающиеся по долготе
примерно на 45°. В правой части изображения в видна Пандора. Радиальная ширина
прядей « 300 км. (Изображения предоставлены NASA/JPL.)
При прохождении плоскости колец Сатурна через точку положения Земли
в 1995 г. с HST («Космического телескопа им. Э.Хаббла») было обнаружено
несколько новых деталей кольца F. Некоторые из этих деталей были поначалу
приняты за новые спутники, но, как полагают сейчас, все эти детали являлись
комками вещества или временными явлениями в кольце F и вблизи него (Бош
и Ривкин, 1996; Николсон и др., 1996). Таким образом, структура кольца F
меняется на шкале времени порядка нескольких месяцев.
По-видимому, в конфайнменте кольца F важную роль играют спутники
Прометей и Пандора, и они же формируют по меньшей мере некоторые из
наблюдаемых структур. Расстояния от Прометея и Пандоры до кольца F
по большой полуоси равны « 800 км и « 1 540 км, соответственно. Если
каждый из спутников имеет плотность 1.2 г/см3, то отношение масс Прометея
и Сатурна равно 1.15- Ю-9, а отношение масс Пандоры и Сатурна равно
7.66 • 10-10. Используя данные из табл. А.9 и формулы из раздела 10.5.2,
находим, что ожидаемые амплитуды волн, вызываемых Прометеем и
Пандорой, равны « 10 км и « 2 км, соответственно. В действительности амплитуда
518
Гл. 10. Кольца планет
волны существенно зависит от долготы соединения, поскольку и кольцо,
и спутники находятся на вытянутых орбитах. Согласно условию (10.62),
можно ожидать, что ударные волны в кольце F, образуемые благодаря соединению
с Прометеем, сохраняются до очередного сближения.
Структура, видимая на снимках с «Вояджера-2», простирается на
« 300 км в радиальном направлении и, по-видимому, на « 45° по долготе. Она
состоит из равномерно прецессирующих, почти одинаково ориентированных
и не пересекающихся друг с другом эллиптических прядей (табл. 10.4).
Мюррей и др. (1997) предположили, что малые смещения перицентров
сформировали «пинч» (сужение) и пересечения прядей только на том интервале
долгот, который был охвачен наблюдениями с «Вояджера-1», тогда как на
других долготах пряди должны были бы выглядеть параллельными. Это,
возможно, объясняет различия на снимках с «Вояджера-1» и «Вояджера-2».
Массивное ядро кольца F (прядь F-7, согласно обозначениям Мюррея и др.,
1997), по-видимому, в состоянии поддерживать выравнивание окружающих
прядей, но радиальную структуру нельзя объяснить резонансами с
известными спутниками (Мюррей и др., 1997). В окрестности кольца F резонансы
с Прометеем перекрываются; резонансы с Пандорой слабее и расположены
дальше друг от друга, но четкая корреляция между краями кольца и
резонансами отсутствует. Расположение резонансов Линдблада и коротационных
резонансов для спутников-пастухов почти идентично. Наиболее сильными
резонансами в этой области являются резонансы с коорбитальными
спутниками Янусом и Эпиметеем. Они могут играть некоторую роль в определении
положения самой внутренней пряди а. Однако ситуацию усложняет обмен
орбитами у коорбитальных спутников, происходящий каждые четыре года.
Одно из объяснений структуры кольца F состоит в том, что в этой области
кольцевой системы, возможно, есть несколько малых спутников (с радиусами
~ 5 км), которые рассеяли вещество вблизи своих орбит таким же
образом, как Пан расчистил люк Энке. Наблюдательные данные о заряженных
частицах дают независимое свидетельство в пользу существования пояса
малых спутников в окрестности кольца F (Куцци и Берне, 1988). Кроме того,
посредством фурье-анализа азимутальной структуры Колворд и др. (1990)
выявили присутствие спутника, обращающегося на радиальном расстоянии
1 180 км от кольца F.
На рис. 10.25 показано взаимное расположение кольца F и
спутников-пастухов в августе 1981 г., то есть во время близкого пролета «Вояджера-2».
Таблица 10.4. Орбитальные параметры прядей кольца F, их удаленность Аа от
центральной пряди F-7 и приблизительная радиальная ширина W. Формальные
ошибки определения эксцентриситета во всех случаях меньше 0.0001. (Согласно
Мюррею и др., 1997.)
Прядь
F-a
F-/3
F-7
F-S
а (км)
140089 ±13
140 176 ± 14
140219±4
140366 ±24
е
0.00268
0.00282
0.00279
0.00266
w(°)
242 ±3
238 ±2
235 ±1
240 ±3
Да (км)
-130
-43
149
W (км)
53 ±5
48 ±5
50 ±5
55 ±5
10.7. Кольцо F Сатурна
519
Радиус, км
142 000
141 000 £
140 000
139 000
i i i i l i i i i l i i i i I i i i i Г i i i i l i i i i l i i i i I
Из этого графика видно, что даже если бы эксцентриситеты орбит
были постоянными, тот факт, что апоцентрический радиус орбиты Прометея
близок к перицентрическому радиусу
внутреннего края кольца F,
означает, что дифференциальная прецессия в
состоянии вызвать пересечение орбит
с испытывающим значительные
возмущения кольцом F. Впервые это было
отмечено Синноттом и др. (1983) и
обсуждалось позже Бордери и др. (1983).
Скорости прецессии орбит на этом
расстоянии от Сатурна сами по себе
велики (^ 3°/сут), но относительные
скорости прецессии в « 50 раз меньше.
Наблюдения 1995 г. при
прохождении плоскости кольца показали, что
Прометей запаздывает на « 19°
относительно своего ожидаемого
положения на орбите. Это несоответствие
подтолкнуло Мюррея и Джулиатти Уин-
тера (1996) провести более детальный
анализ вековых взаимодействий в
системе. В результате они пришли к выводу, что Прометей может погружаться
в кольцо F каждые 19 лет (период относительной прецессии), что находится
в хорошем согласии с более ранними результатами Бордери и др. (1983).
Кроме того, пересечения орбит можно избежать только в том случае, если
масса кольца F больше 25% массы Прометея. Маловероятно, чтобы
одиночное погружение могло полностью объяснить наблюдаемое запаздывание
Прометея, но здесь могут действовать и другие факторы 0.
100 200
Долгота,0
Рис. 10.25. Зависимость
орбитального радиуса от долготы для Прометея,
Пандоры и прядей кольца F во время
близкого пролета «Вояджера-2» в
августе 1981 г. Горизонтальные отрезки
у каждой кривой обозначают величину
1<т-погрешности определения долготы
перицентра каждой из орбит.
(Согласно Мюррею, 1994а.)
•• Прометей
1000 км
Рис. 10.26. Результаты численного моделирования эффектов сближения Прометея
с кольцом F. Штриховой эллипс — траектория Прометея в системе отсчета,
вращающейся со скоростью, равной его среднему движению. Большая стрелка указывает
направление движения частиц во вращающейся системе отсчета. (Согласно Мюррею,
1994а.)
Джулиатти Уинтер (1994) исследовал влияние повторяющихся сближений
частиц кольца F с Прометеем. Типичный результат вычислений приведен на
рис. 10.26. Приближаясь к кольцу, Прометей создает люк, рассеивая
кольцевые частицы.
!) К настоящему времени установлено, что Прометей и Пандора движутся по хаотическим
орбитам. Именно этим объясняется описанное запаздывание в движении Прометея (см., напр.,
Farmer, A. J. and Goldreich, P. (2006) Icarus 180, 403, и ссылки в этой статье). — Прим. ред.
520
Гл. 10. Кольца планет
Кольцо F остается одним из наиболее интригующих узких колец, многие
особенности которого до сих пор не объяснены. Весьма вероятно, что в
формирование наблюдаемой структуры вносят вклад малые невидимые с Земли
спутники (некоторые из которых, возможно, погружены в отдельные пряди).
Более полного понимания этой системы, по-видимому, удастся достичь не
ранее прибытия к Сатурну космического аппарата «Кассини» в 2004 г. 0. Как
отмечено Мюрреем и Джулиатти Уинтером (1996), последняя серия
сближений Прометея с кольцом F произошла в 1994 г., а следующая, к сожалению,
ожидается только в 2013 г. Поэтому «Кассини» прибудет к Сатурну, по-
видимому, слишком рано, чтобы можно было наблюдать эффекты очередных
сближений.
10.8. Кольцо Адамса Нептуна
Наземные наблюдения, проводившиеся с целью обнаружения колец
Нептуна, дали загадочные результаты: более или менее уверенная регистрация
имела место при покрытиях, составлявших только 10% от общего числа. Это
указывало на присутствие одной или нескольких узких и коротких кольцевых
дуг. Поэтому требовалось найти механизм, который обеспечил бы как
азимутальный, так и радиальный конфайнмент. Лиссауэр (1985) предположил,
что дуги расположены у точек либрации L\ и L$ малого спутника, что
обеспечивает азимутальный конфайнмент, а подходящие резонансы с еще
одним спутником удерживают кольцо от размывания в радиальном
направлении. Голдрайх и др. (1986) предположили, что дуги поддерживаются парой
резонансов: коротационным резонансом, порождающим некоторое число
точек либрации, и резонансом Линдблада, который порождает вынужденные
эксцентриситеты орбит частиц и обеспечивает систему энергией для
противодействия размыванию в результате столкновений.
В 1989 г. снимки системы колец Нептуна с «Вояджера-2» показали, что
Нептун обладает протяженной и богатой пылью системой колец.
Гипотетические кольцевые дуги оказались оптически толстыми участками кольца,
называемого теперь кольцом Адамса (рис. 10.27 а). Кроме того, был обнаружен
спутник Галатея, обращающийся на орбите на « 980 км ниже кольца. Порко
(1991) предположила, что существование дуг объясняется резонансами с Га-
латеей. Кольцо Адамса лежит вблизи соизмеримости 42:43 с Галатеей. Порко
высказала гипотезу, что дуги расположены вблизи некоторых из 86 точек
равновесия коротационного наклонного резонанса 42:43. Вблизи таких точек
резонансный аргумент ip = 86А' — 84А — 2Q (где А' и А — средняя долгота
кольцевой частицы и Галатеи, соответственно; ft — долгота восходящего узла
Галатеи) колеблется, причем длина либрационной ячейки вдоль орбиты равна
360°/86 = 4.2°, а радиальная ширина — 0.6 км. Однако кольцевое вещество
присутствует вблизи лишь некоторых из этих точек равновесия, и лишь
немногие ячейки в действительности заполнены. Радиальный конфайнмент
!) Принадлежащий К. Порко и Д. Гамильтону современный обзор наблюдений системы
Сатурна, включая данные с «Кассини», см. в книге Encyclopedia of the Solar System,
L.-A. McFadden et al. (eds.), Elsevier, 2007. — Прим. ред.
10.9. Эволюция колец
521
а б 42:43
^^^fT^S^^. 42:43 CTR
Рис. 10.27. Схематический вид колец Нептуна со стороны южного полюса, а)
Расположение и названия основных колец, б) Иллюстрация к принадлежащей Порко
(1991) теории дуг в кольце Адамса как заполненных кольцевым веществом либраци-
онных ячеек резонанса 42:43 с Галатеей. (Согласно Мюррею, 1994а.)
обеспечивается внешним резонансом Линдблада 42:43, расположенным на
1.5 км ниже кольца Адамса. Порко вычислила, что вынужденный
эксцентриситет, порождаемый этим резонансом, вызывает радиальное искажение
дуг с амплитудой 29.6 км и характерной азимутальной длиной волны « 9°.
Эта модель подтверждается снимками дуг (Порко, 1991; Порко и др., 1995).
Хораньи и Порко (1993) показали, что при вычислении положения резонансов
важно учитывать изменение средней долготы в эпоху.
10.9. Эволюция колец
В разделе 10.5.1 мы обсудили проблему малого времени жизни узких
колец из-за их размывания и как анализ этой проблемы привел к теориям
конфайнмента колец. Мы отметили, что оптически тонкие кольца (такие как
система колец Юпитера) имеют время жизни всего лишь порядка 103 лет
из-за сопротивления плазмы и газа, что подразумевает пополнение вещества
из некоторого источника. Аналогичным образом протяженная водородная
атмосфера Урана (Бродфут и др., 1986) вызывает коллапс кольцевой системы,
если только эффектам сопротивления газа и взаимных столкновений
кольцевых частиц не противодействуют спутники-пастухи.
Время жизни колец Сатурна представляет собой серьезную динамическую
проблему (Бордери и др., 1984; Николсон и Доунс, 1991). Выше мы
описали, каким образом малые спутники, движущиеся у границ главных колец,
возбуждают спиральные волны плотности и изгибные волны. Сближение
пробной частицы и внешнего спутника на почти круговых орбитах приводит
к эффективному отталкиванию, уменьшающему большую полуось орбиты
частицы (см. раздел 10.5.2). В рамках круговой ограниченной задачи трех
522
Гл. 10. Кольца планет
тел безмассовая (точнее, почти безмассовая) кольцевая частица испытывает
максимальное воздействие, но в полной задаче момент количества движения
сохраняется и поэтому большая полуось орбиты спутника увеличивается,
пусть и совсем незначительно. Однако кольцевых частиц очень много: масса
колец Сатурна сопоставима с массой спутника радиусом 200 км.
Следовательно, даже если пренебречь прочими эффектами, долговременным последствием
сближений кольца и спутника будет коллапс всей кольцевой системы. Даже
если система Прометей-кольцо F-Пандора достигла равновесия в результате
эффективного действия механизма спутников-пастухов, радиус этой системы
в целом все же будет постепенно увеличиваться благодаря волнам плотности,
возбуждаемым Прометеем и Пандорой в кольце А; даже самая оптимистичная
оценка времени размывания внешней части кольца А до внутреннего края
составляет ~ 108 лет (Николсон и Доунс, 1991).
Бордери и др. (1984) показали, что полного «схлопывания» колец можно
было бы избежать, если бы Пандора находилась в резонансе 3:2 с Мимасом.
Такой механизм кажется весьма обещающим, поскольку в настоящее время
резонанс 3:2 расположен всего на « 60 км выше значения большой полуоси
орбиты Пандоры, то есть на расстоянии, сравнимом с наибольшим радиусом
фигуры спутника. Если бы Пандора и Мимас находились в резонансе, то мог
бы осуществляться обмен моментом количества движения, причем Мимас
играл бы роль стока для момента, приобретаемого Пандорой, а резонанс между
Мимасом и Тефией увеличивал бы устойчивость орбиты Пандоры. Бордери
и др. (1984) предположили, что если бы Пандора была достаточно близка
к хаотическому слою вблизи сепаратрис этого резонанса, то это могло бы
вызвать нерегулярный перенос момента количества движения и предотвратить
коллапс колец за время, меньшее возраста Солнечной системы (4.5 • 109 лет).
Интересно отметить, что Пандора находится внутри мультиплета из шести
резонансов второго порядка, связанных с соизмеримостью 6:4с Мимасом
(рис. 10.28). Поэтому, коль скоро и Пандора, и Мимас постепенно удаляются
0.1
0.06 |
0.04 о
х
н
0.02 ч
141400 141600 141800
Большая полуось, км
Рис. 10.28. Расположение и ширина шести резонансов второго порядка,
ассоциированных с резонансом 6:4 с Мимасом, и положение орбиты Пандоры (штриховая
линия). Заметим, что точные е- и е'-резонансы 3:2 с Мимасом (на графике не
показаны) по положению совпадают с е2- и е' -резонансами
10.10. Пылевое кольцо Земли
523
от Сатурна, прохождение через резонанс, по-видимому, уже произошло или
произойдет в будущем в некоторый момент их динамической эволюции.
В принципе, эволюция орбит малых спутников поддается
наблюдательной оценке. Например, для ускорения Прометея было определено значение
—5.4 • 10~20 с-2 (Лиссауэр и др., 1985), что означает, что большая полуось
его орбиты должна увеличиться на ^ 3 м за время четырехгодичного полета
к Сатурну КА «Кассини». Хотя само по себе столь малое увеличение а
обнаружить невозможно, оно приведет к запаздыванию Прометея
относительно ожидаемого положения на « 0.02° через четыре года. Поскольку
все испытываемые спутником возмущения, включая возмущения со стороны
крупных спутников и любых тел в кольце F, можно смоделировать,
измерения запаздывания позволят определить скорость расширения орбиты и,
тем самым, характерное время коллапса колец. Однако при наблюдениях
Прометея во время пересечений плоскости колец в 1995 г. было обнаружено,
что его запаздывание на самом деле на два порядка больше теоретически
предсказанной величины; кроме того, запаздывание не увеличивалось на
интервалах времени между пересечениями плоскости колец в мае, августе
и ноябре 1995 г. (Бош и Ривкин, 1996; Николсон и др., 1996). Мюррей
и Джулиатти Уинтер (1996) предположили, что причиной такого поведения
могут быть погружения в кольцо F или взаимодействия с коорбитальным
спутником; однако к настоящему времени наблюдения налагают жесткие
ограничения на любой из этих механизмов.
10.10. Пылевое кольцо Земли
Во многих отношениях пояс астероидов можно уподобить поясу малых
спутников Солнца. Выше мы показали, что столкновения в поясе
астероидов, по всей вероятности, породили семейства Хираямы, соответствующие
группированию значений собственных элементов (см. раздел 7.10). Та часть
пыли, которая сохранилась после этих столкновений, тоже обнаружена —
в виде пылевых полос, наблюдавшихся с КА IRAS; (см. раздел 7.11). Любая
пыль, образуемая в поясе астероидов, будет двигаться по спирали к Солнцу
благодаря эффекту Пойнтинга-Робертсона. Дермотт и др. (1994)
исследовали орбитальную эволюцию 12-микронной пыли и показали, что она может
оказаться временно захваченной в несколько внешних резонансов первого
порядка с Землей (рис. 10.29).
Динамический захват пыли во внешний резонанс нагляднее всего
рассматривать в системе, вращающейся со скоростью, равной среднему
движению возмущающего тела. На рис. 10.30 а проиллюстрирован случай захвата
пылевой частицы в резонанс 5:6с Землей в отсутствие эффекта
Пойнтинга-Робертсона. Обратите внимание на симметрию траектории частицы
относительно прямой Солнце-Земля. Если включить сопротивление, то
траектория во многих отношениях почти не изменится, но точки либрации
сместятся и симметрия траектории относительно прямой Солнце-Земля исчезнет
(рис. 10.30 6). Отметим, что петли траектории частицы, наблюдаемые в
области непосредственно следующей за Землей, говорят о замедлении движения
524
Гл. 10. Кольца планет
Время, в тыс. лет
Рис. 10.29. Результаты численного моделирования орбитальной эволюции
12-микронных пылевых частиц, движущихся по спирали к Солнцу. По мере приближения
к внешним резонансам с Землей (положения которых указаны справа) некоторые
частицы захватываются в резонанс, что прекращает «схлопывание» орбиты.
Большинство частиц затем испытывает сильные изменения эксцентриситетов орбит и по
этой причине покидает резонанс
частицы во вращающейся системе координат. Поэтому частицы в данном
резонансе будут иметь тенденцию скапливаться вблизи этого положения.
Л ! i I 1 1 I L
10 1 1 0 1
Рис. 10.30. Траектория частицы в системе, вращающейся со скоростью, равной
среднему движению Земли, для двух значений отношения /3 силы светового давления
к силе тяготения, а) Случай нулевого сопротивления (/3 = 0); траектория
симметрична относительно прямой Солнце-Земля, б) Случай ненулевого сопротивления
{(3 = 0.037); траектория стала асимметричной относительно прямой Солнце-Земля
Похожее поведение демонстрируют и частицы, захваченные в другие
внешние резонансы с Землей. В общем итоге должно иметь место повышение
пространственной плотности пыли в ведомой области (области на орбите
Земли, непосредственно следующей за Землей) и уменьшение ее в ведущей
области (области впереди Земли). Дермотт и др. (1994)
продемонстрировали этот эффект путем детального численного интегрирования траекторий
(рис. 10.31). Они также отметили, что независимое свидетельство
существования этого феномена дают результаты инфракрасных наблюдений с КА
IRAS: поток инфракрасного излучения из ведомой области на 3 или 4% выше,
Контрольные упражнения
525
чем из ведущей, независимо от наблюдаемой полосы частот и времени года.
Независимое подтверждение данного эффекта пришло с публикацией данных,
полученных с КА СОВЕ (Рич и др., 1995). Таким образом, было
подтверждено, что Земля движется
посередине пылевого кольца,
предположительно состоящего из вещества
астероидного происхождения.
В системе координат,
вращающейся со скоростью, равной среднему
движению Земли, траектория
Земли представляет собой небольшой
эллипс с осями длиной 2ае и 4ае, где
а — большая полуось, е —
эксцентриситет орбиты Земли. Поэтому вполне
вероятно, что Земля погружается в
ведомое пылевое облако во время
движения от афелия к перигелию (то
есть с июля по январь). Кроме того,
поскольку орбита Земли испытывает
возмущения со стороны других
планет, поток вещества, выпадающего в
атмосферу Земли, может быть
подвержен сезонным и вековым изменениям. Хотя роль астероидных и кометных
бомбардировок в эволюции жизни на Земле в настоящее время является
общепризнанной, влияние астероидной пыли почти не исследовано.
Контрольные упражнения
10.1. Полагая, что основную роль в прецессии орбиты пробной частицы
играет гармоника J2 Сатурна, вычислите большую полуось и радиальную
ширину (и то и другое в км) внутреннего резонанса Линдблада 7:6с
Янусом. Полагая средний радиус внешнего края кольца А Сатурна равным
136 774.4 км, вычислите амплитуду радиального искажения края кольца А,
вызываемого внутренним резонансом Линдблада 7:6 с Янусом.
10.2. На изображениях и профилях покрытий кольца А Сатурна,
полученных с «Вояджеров», обнаружена спиральная волна, проходящая на
расстоянии примерно 132 210 км от центра планеты (рис. 10.13). Отождествите
спутник и резонанс, порождающие эту волну.
10.3. Большая полуось орбиты спутника Сатурна Пана равна 133538 км,
что соответствует середине люка Энке (имеющего ширину 325 км). По-
видимому, Пан сформировал этот люк, рассеивая и сопровождая в качестве
спутника-пастуха близлежащее вещество кольца. Полагая радиус Пана
равным 10 км, а полуширину люка равной двум с половиной расстояниям от
спутника до его внутренней точки Лагранжа L\, определите массу и среднюю
плотность Пана. Используя найденное Вами значение массы и уравнение
(9.147), вычислите значение р, при котором происходит перекрытие смежных
Рис. 10.31. Асимметрия ведущей и
ведомой частей пылевого кольца Земли,
видимая в проекции со стороны
Солнца. Поверхностная яркость определяется
объемной плотностью пылевых частиц.
Светлые области слева и справа от
Земли — ведущая и ведомая компоненты ее
пылевого кольца
526
Гл. 10. Кольца планет
резонансов первого порядка. На каком расстоянии от Пана (в единицах
большой полуоси его орбиты) это происходит? На орбите Пана было обнаружено
узкое кольцо или дуга. Если кольцевые частицы удерживаются Паном на
подковообразных орбитах, какова максимальная радиальная ширина этого
кольца? Еще одно кольцо (или дуга) обнаружено в области между орбитой
Пана и внутренним краем люка Энке. Прокомментируйте возможность того,
что оно состоит из вещества, удерживаемого во внутреннем коротационном
резонансе.
10.4. Пусть WCY и И^ьг — соответственно ширина коротационного
резонанса (е'-резонанса) j : j — 1 и ширина внутреннего резонанса Линдблада
(е-резонанса) j : j — 1 спутника на орбите с эксцентриситетом е',
движущегося выше кольцевой системы. Используя определения максимальной ширины,
данные в разделе 10.3, и выражения для двух соответствующих членов
главной части /^ возмущающей функции, выведите формулу для WCY/W\,Y.
Отсюда, вычислив коэффициенты Лапласа с а = [(j — l)/j]2//3 для каждой
резонансной пары, покажите, что неравенство Wlt > WCT выполняется всегда,
кроме случая j ^ 0.5/е'.
10.5. Принято считать, что кольцо е Урана удерживается по радиусу
спутниками-пастухами Корделией и Офелией. Учитывая влияние прецессии и
используя физические и орбитальные данные из табл. А.4 и А.11, определите
расположение и ширину всех внешних резонансов Линдблада (OLR) первого
порядка с Корделией и внутренних резонансов Линдблада (ILR) с Офелией,
имеющих значения больших полуосей в интервале от 51 000 до 51 300 км. При
вычислениях положите плотность каждого из спутников равной 1.2 г/см3.
Полагая, что радиусы внутреннего и внешнего краев кольца е составляют
51 149 ± 29 км, покажите, что ближайшими к краям резонансами являются
OLR 24:25 с Корделией и ILR 14: 13 с Офелией. Исходя из значений
разностей положений этих резонансов и краев кольца, оцените амплитуду (в км)
радиальных искажений каждого из краев.
10.6. «Дуги» оптически толстого вещества в кольце Адамса Нептуна, как
полагают, удерживаются в радиальном и азимутальном направлениях
резонансами со спутником Нептуна Галатеей. а) Используя данные табл. А. 13,
вычислите значение большой полуоси точного коротационного наклонного
резонанса (CIR) 42:43 с резонансным аргументом 86А' — 84А — 2ft, где А', А
и Л — средняя долгота кольцевой частицы, средняя долгота Галатеи и долгота
восходящего узла орбиты Галатеи, соответственно, б) Какова максимальная
либрационная ширина CIR (в км)? в) Используя уравнения Лагранжа,
выведите приближенную формулу для смещения положения CIR из-за изменения
средней долготы в эпоху, г) Вычислите значение большой полуоси внешнего
резонанса Линдблада (OLR) 42 :43 с Галатеей. д) Полагая, что кольцо Адамса
расположено при том же значении большой полуоси, что и CIR (вычисленном
в задании а), найдите, какова амплитуда волны, порождаемой OLR на дугах.
е) Постройте схему дуг, иллюстрирующую воздействие обоих резонансов на
отдельном участке кольца. При вычислениях плотность Галатеи положите
равной 1.2 г/см3.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ДАННЫЕ О СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
And he that calls on thee, let him bring forth
Eternal numbers to outlive long date 0.
Уильям Шекспир, Сонет XXXVIII
A.I. Введение
Это приложение содержит таблицы важных астрономических констант,
информацию об использовании юлианской датировки, орбитальные данные
и физические параметры известных планет и спутников, а также краткие
данные о некоторых малых телах Солнечной системы.
Приведенные сведения почерпнуты из многих источников, включая The
Astronomical Almanac for the Year 1995 (HMSO, 1994), The Explanatory
Supplement to the Astronomical Almanac (Зайдельман, 1992), статью Йоде-
pa (1995) и ссылки, содержащиеся в этих трудах. Сведения из первого из этих
изданий воспроизведены с разрешения HMSO. Другие источники указаны
непосредственно в разделах данного приложения.
А.2. Астрономические постоянные
В 1976 г. Международный астрономический союз (MAC) определил
систему астрономических постоянных. Система MAC включает единицу длины
(астрономическая единица), массы (масса Солнца) и времени (сутки). Если за
единицы длины, массы и времени принять эти единицы, то астрономической
единицей (а.е.) длины будет такое значение длины, при котором
гравитационная постоянная Гаусса к равна 0.01720209895. Если гравитационную
постоянную Q выразить через астрономические единицы длины, массы и времени,
то к2 = Q. Некоторые из постоянных MAC 1976 г. приведены в табл. АЛ.
MAC также принял рекомендованные значения для других величин, таких
как отношения массы Солнца к массам планет, массы некоторых спутников
планет, радиусы планет и гармоники низких порядков полей тяготения планет
(HMSO, 1994). Если не указано иначе, именно эти значения приведены ниже
в таблицах.
]) К сожалению, в художественных переводах этих строк на русский язык неизбежно
утрачивается двойственность значения слова number (число/стих). Поэтому эпиграф приведен
в оригинале. Подстрочный перевод: «А тот, кто взывает к тебе, пусть создает вечные
стихи/числа, переживущие долгие времена». — Прим. ред.
528
Приложение А
Таблица АЛ. Астрономические постоянные
Константа
Скорость света
Гравитационная постоянная
Гаусса
Гравитационная постоянная
Астрономическая единица
длины
Масса Солнца
Радиус Солнца
Значение
с = 299792458 м/с
к = 0.01720209895 (а.е.^сут"1 (масса Солнца)"1/2
0 = 6.672- Ю-11 м3кг-!с-2
1 а.е. = 1.495978707- 10й м
MSun= 1.98911 • 1030 кг
#Sun = 6.960- 105 км
А.З. Юлианская дата
Чтобы вычислить положение какого-либо тела Солнечной системы на
заданный момент времени, необходимо использовать календарную систему,
основанную на сутках фиксированной продолжительности — юлианских
сутках, состоящих из 86400 секунд. Юлианский год состоит из 365.25
юлианских суток, а юлианское столетие состоит из 36 525 юлианских суток.
Юлианская дата (JD), по определению, есть число юлианских суток,
прошедших начиная с 12 ч всемирного времени (полдень в Гринвиче) 1 января
4713 г. до н. э. Юлианская дата может быть вычислена на любую
календарную дату с помощью алгоритма Монтенбрука (1989). Пусть У, М, D
и UT обозначают год, месяц, день и всемирное время. Первый шаг состоит
в определении вспомогательных величин у и га:
y = Y-l и m = M+ 12, если М < 2,
у = Y и га = М, если М > 2;
и величины В:
В = — 2 (до 4 октября 1582 г. включительно),
В = Int[y/400] - Int[y/100] (с 15 октября 1582 г. включительно), ^
где функция Int[x] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное х
(например, Int[3.4] = 3, Int[—3.4] = —4). Причинами необычного определения
В являются необходимость учета «потерянных суток» (в октябре 1582 г.,
когда григорианский календарь пришел в Европе на смену юлианскому
календарю) и введение суточного скачка в григорианском календаре. Юлианская
дата дается в итоге формулой
JD = Int[365.25y] + Int[30.6001(ra + 1)] + В + 1720996.5 + D + С/Г/24.
(А.З)
Отметим, что целая часть юлианской даты увеличивается в полдень. Как
подчеркнул Монтенбрук (1989), надо соблюдать осторожность при операциях
с датами, предшествующими 1 г. н.э. Астрономический год «—4712»
соответствует 4713 г. до н.э., а астрономический год «0» соответствует 1 г. до н.э.
Приложение А
529
В качестве примера рассмотрим вычисление юлианской даты,
соответствующей 10 ч 24 мин 4 февраля 1946 г. В этом случае Y = 1946, М — 2, D = 4
и UT = 10.4. Вспомогательные величины равны у = 1945, m = 14 и В = —15,
что дает JD 2431855.933.
Обратная процедура (вычисление календарной даты по заданной
юлианской дате) может быть осуществлена с помощью обратного алгоритма
Монтенбрука (1989). Если определить вспомогательные величины
a = Int[JD + 0.5], (A.4)
с = 1524, если а < 2299161, (А.5)
Ъ = Int[(a - 1867216.25)/36524.25], если а > 2299161, (А.6)
с = а + Ъ- bit[6/4] + 1525, если а ^ 2299161, (А.7)
d = Int[(c - 122.1)/365.25], (А.8)
e = Int[365.25d], (A.9)
/ = Int[(c-e)/30.6001], (АЛО)
то календарная дата дается выражением
D = c-e- Int[30.6001/] + Frac[J£> + 0.5], (АЛ 1)
М = f - 1 - 12Int[//14], (A.12)
Y = d- 4715 - Int[(7 + M)/10], (A.13)
где функция Prac[x] обозначает дробную часть х. Например, Ргас[3.4] = 0.4,
Ргас[-3.4] = -0.4.
В качестве примера рассмотрим вычисление календарной даты,
соответствующей JD 2434903.75. Вспомогательные величины равны а = 2434904,
Ъ = 15, с = 2436441, d = 6670, е = 2436217 и / = 7, что дает D = 10.25,
М = 6 nY = 1954. Это соответствует 6 ч всемирного времени 10 июня 1954 г.
Поскольку экваториальная и орбитальная плоскости Земли не являются
неподвижными, положения тел Солнечной системы необходимо определять
в системе координат, отнесенной к средним равноденствию и эклиптике на
некоторую дату (эпоху). Одна из стандартных эпох обозначается J2000; она
отвечает системе координат на юлианскую дату JD 2451545.0 (12 ч
всемирного времени 1 января 2000 г.). До принятия эпохи J2000 было общепринято
использовать эпоху В1950, отвечающую системе координат на JD 2433282.423
(22 ч 9 мин всемирного времени 31 декабря 1949 г.).
530
Приложение А
А.4. Элементы орбит планет и их изменения
Элементы орбит планет изменяются со временем из-за взаимных
возмущений планет (см. главу 7). В табл. А.2 и А.З даны элементы орбит планет
и скорости их изменения на эпоху J2000 (JD 2451545.0) относительно
средних равноденствия и эклиптики J2000. Данные взяты из работы Стэндиша
и др. (1992).
Для вычисления приблизительных значений элементов в другие моменты
времени используются следующие формулы:
а = ао + at (а.е.), (А. 14)
е = ео + ё*, (А. 15)
J = Jo + (//3600)* (°), (А. 16)
w = zu0 + (w/3600)t (°), (A.17)
Q = По + (^/3600)* (°), (А.18)
Л = А0 + (Л/3600 + 3607Vr)t (°), (А. 19)
где t — время в юлианских столетиях, начиная с JD 2451545.0. Эти
приблизительные формулы на интервале времени 1800-2050 гг. имеют максимальную
ошибку 600" (Стэндиш и др., 1992).
Таблица А.2. Элементы орбит планет в эпоху J2000 (JD 2451545.0) относительно
средних эклиптики и равноденствия J2000. Через ао, ео, /о, О7о, ^о и Ао
обозначены большая полуось (а.е), эксцентриситет, наклонение, долгота перигелия, долгота
восходящего узла и средняя долгота, соответственно; угловые величины выражены
в градусах. В графе «Земля» приведены данные для барицентра системы Земля-Луна
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
ао (а.е.)
0.38709893
0.72333199
1.00000011
1.52366231
5.20336301
9.53707032
19.19126393
30.06896348
39.48168677
ео
0.20563069
0.00677323
0.01671022
0.09341233
0.04839266
0.05415060
0.04716771
0.00858587
0.24880766
/о(°)
7.00487
3.39471
0.00005
1.85061
1.30530
2.48446
0.76986
1.76917
17.14175
wo(°)
77.45645
131.53298
102.94719
336.04084
14.75385
92.43194
170.96424
44.97135
224.06676
fto (°)
48.33167
76.68069
348.73936
49.57854
100.55615
113.71504
74.22988
131.72169
110.30347
Ао(°)
252.25084
181.97973
100.46435
355.45332
34.40438
49.94432
313.23218
304.88003
238.92881
В качестве примера рассмотрим вычисление элементов орбиты Венеры
в системе координат J2000 в 11 ч британского летнего времени (на один час
опережающего гринвичское среднее время) 19 октября 1996 г.
Соответствующая юлианская дата есть JD 2450375.91667, что дает t = —0.03200775. Из
данных табл. А.2 и А.З и формул (А.14)-(А.19) имеем а = 0.723332 а.е.,
е = 0.00677481, / = 3.39474°, w = 131.534°, ft = 76.6896° и Л = 108.956°.
Обратите внимание, что табл. А.2 и А.З имеют ограниченную область
применения и не могут использоваться для вычисления элементов орбит
планет на отдаленные прошлые или будущие эпохи. Хаотичность движения
Приложение А
531
Таблица А.З. Скорости изменения элементов орбит планет в эпоху J2000
(JD 2451545.0) относительно средних эклиптики и равноденствия J2000. Через а,
ё, /, ш, tl и Л обозначены изменения за столетие большой полуоси (х108),
эксцентриситета (х108), наклонения, долготы перигелия, долготы восходящего узла и
средней долготы, соответственно; угловые скорости измеряются в угловых секундах
в столетие (1° = 3600"). Величина Nr используется для нахождения средней долготы
(см. формулу (А. 19)). В графе «Земля» приведены данные для барицентра системы
Земля-Луна
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
ао
66
92
-5
-7221
60737
-301530
152025
-125196
-76912
ёо
2527
-4938
-3804
11902
-12880
-36762
-19150
2514
6465
/о
-23.51
-2.86
-46.94
-25.47
-4.15
6.11
-2.09
-3.64
11.07
wo
573.57
-108.80
1198.28
1560.78
839.93
-1948.89
1312.56
-844.43
-132.25
По
-446.30
-996.89
-18228.25
-1020.19
1217.17
-1591.05
1681.40
-151.25
-37.33
Ао
261628.29
712136.06
1293740.63
217103.78
557078.35
513052.95
246547.79
786449.21
522747.90
Nr
415
162
99
53
8
3
1
0
0
(см. главу 9), в особенности внутренних планет, накладывает
фундаментальные ограничения на возможность предсказывать будущее состояние
Солнечной системы.
А.5. Планеты, спутники и кольца
В табл. А.4 приведены физические параметры каждой из планет. Данные
взяты из статьи Йодера (1995). Значения R в табл. А.4 являются
рекомендованными значениями для определения 3% и J\. Это те значения радиуса,
которые следует использовать при вычислении прецессии из-за сплюснутости
планет.
Таблица А.4. Физические параметры планет
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
тр (1024 кг)
0.3302
4.8685
5.9736
0.64185
1898.6
568.46
86.832
102.43
0.0127
R (км)
2 440
6052
6378
3394
71398
60330
26 200
25 225
1 137
Trot (час)
1407.51
-5832.444
23.93419
24.622962
9.92425
10.65622
-17.24
16.11
-153.29
(Р)
5.427
5.204
5.515
3.933
1.326
0.6873
1.318
1.638
2.06
е(°)
~0.1
177.3
23.45
25.19
3.12
26.73
97.86
29.56
112.52
Ji
60
4
1083
1960
14736
16298
3343
3411
Ja
2
-2
-19
-587
-915
-29
-35
Примечание. тр — масса планеты, R — ее рекомендованный радиус, Trot —
сидерический период вращения (то есть период вращения в неподвижной системе координат;
знак минус означает обратное вращение), (р) — средняя плотность (в г/см3), е —
сжатие, J<i (xlO-6) и J\ (xlO-6) — первые две четные гравитационные гармоники.
532
Приложение А
В табл. А.5-А.15 приведены данные о спутниках и кольцевой системе
(если она имеется) для каждой планеты. В этих таблицах а — большая
полуось, Г — сидерический период обращения (со знаком минус в случае
обратного орбитального движения), е — эксцентриситет, I — наклонение
орбиты спутника к экватору планеты (кроме специально отмеченных
случаев), (R) — средний радиус в км (префикс * означает, что спутник имеет
неправильную форму), т — масса спутника. Верхний индекс «f» перед
значением е или I указывает, что данное значение является вынужденным,
обычно из-за резонанса. Верхний индекс «е» перед значением I указывает, что
наклонение измеряется относительно эклиптики. Верхний индекс «с» после
названия спутника указывает, что это коорбитальный объект. Величина г
есть оптическая толщина кольца.
Большинство данных взято с незначительными исправлениями из таблиц,
содержащихся в статье Йодера (1995). Дополнительные источники данных
указаны в примечаниях к таблицам.
Таблица А.5. Спутник Земли
Спутник
Луна
а (км)
384400
Т (сут)
27.321661
е
0.054900
1(°)
5.15
(R) (км)
1737.53
т (1020 кг)
734.9
Примечание. Наклонение указано относительно плоскости эклиптики.
Таблица А.6. Спутники Марса
Спутник
Фобос
Деймос
а (км)
9377.2
23463.2
Т (сут)
0.318910
1.262441
е
0.0151
0.00033
1(°)
1.082
1.791
(R) (км)
•11
*6
тп (1015 кг)
10.8
1.8
Таблица А.7. Спутники Юпитера
Спутник
Метида
Адрастея
Амальтея
Теба
Ио
Европа
Ганимед
Каллисто
Леда
Гималия
Лиситея
Элара
Ананке
Карме
Пасифе
Синопе
а (км)
127960
128980
181300
221900
421600
670900
1070000
1883000
11094000
11480000
11720000
11737000
21200000
22 600000
23500000
23 700000
Т (сут)
0.294780
0.29826
0.498179
0.6745
1.769138
3.551810
7.154553
16.689018
238.72
250.5662
259.22
259.6528
-631
-692
-735
-758
е
< 0.004
~о
0.003
0.015
f 0.0041
f0.0101
f0.0015
0.007
0.148
0.163
0.107
0.207
0.169
0.207
0.378
0.275
in
~0
~0
0.40
0.8
0.040
0.470
0.195
0.281
27
25
29
28
147
163
148
153
(R) (km)
20
10
*86
50
1821
1565
2634
2403
5
85
12
40
10
15
18
14
m (1020кг)
893.3
479.7
1482
1076
Примечание. Значение большой полуоси орбиты Метиды взято из работы Николсона
и Мэттьюза (1991).
Приложение А
533
Таблица А.8. Система колец Юпитера
Кольцо
гало
основное
паутинное
Внутренний край (км)
89400
123000
128940
Внешний край (км)
123000
128940
242000
т
з • ю-6
5-10"6
1 • Ю-7
Таблица А.9. Спутники Сатурна
Спутник
Пан
Атлас
Прометей
Пандора
Эпиметейс
Янусс
Мимас
Энцелад
Тефия
Телестос
Калипсос
Диона
Еленас
Рея
Титан
Гиперион
Япет
Феба
а (км)
133 583
137 640
139350
141700
151422
151472
185 520
238020
294660
294660
294660
377400
377400
527 040
1221850
1481 100
3 561300
12952 000
Т (сут)
0.5750
0.6019
0.612986
0.628804
0.694590
0.694590
0.9424218
1.370218
1.887802
1.887802
1.887802
2.736915
2.736915
4.517500
15.945421
21.276609
79.330183
-550.48
е
~0
~ 0
0.0024
0.0042
0.009
0.007
0.0202
f0.0045
0.0000
~о
~о
f0.0022
0.005
f 0.0010
0.0292
f 0.1042
0.0283
0.163
m
~0
~0
0.0
0.0
0.34
0.14
f 1.53
0.02
f1.09
~o
~o
0.02
0.2
0.35
0.33
0.43
7.52
177.3
(R) (km)
10
*16
*50
*42
*59
*89
199
249
530
*11
♦10
560
•16
764
2 575
*143
718
110
m (1020 кг)
0.0014
0.0013
0.0055
0.0198
0.385
0.73
6.22
10.52
23.1
1345.5
0.143
15.9
Таблица АЛО. Система колец Сатурна
Кольцо
D (внутренний край)
С (внутренний край)
титаново колечко
колечко Максвелла
колечко 1.470 Rs
колечко 1.495 Rs
В (внутренний край)
В (внешний край)
колечко Гюйгенса
А (внутренний край)
колечко Энке
А (внешний край)
F (ядро)
G (внутренний край)
Е (внутренний край)
а (км)
66900
74658
77 871
87491
88716
90171
91975
117507
117825
122 340
133589
136780
140219
166 100
180000
W (км)
7 758
17317
25
64
16
61
25532
360
14440
20
50
7200
300000
е
0.00026
0.00034
0.000023
0.000031
0.00040
0.0028
т
0.05-0.35
0.4-2.5
0.4-1.0
0.1
1 • Ю-6
1.5- 10"5
Примечание. Дополнительные данные взяты из работ Порко и Николсона (1987)
и Мюррея и др. (1997).
534
Приложение А
Таблица А. 11. Спутники Урана
Спутник
Корделия
Офелия
Бианка
Крессида
Дездемона
Джульетта
Порция
Розалинда
Белинда
Пак
Миранда
Ариэль
Умбриэль
Титания
Оберон
Калибан
Сикоракса
а (км)
49 752
53 764
59165
61767
62 659
64 358
66097
69927
75 255
86004
129800
191200
266000
435 800
583600
7169000
12213000
Т (сут)
0.3350331
0.3764089
0.4345772
0.4635700
0.4736510
0.4930660
0.5131958
0.5584589
0.6235248
0.7618321
1.413
2.520
4.144
8.706
13.463
-580
-1289
е
0.000
0.010
0.001
0.000
0.000
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.0027
0.0034
0.0050
0.0022
0.0008
0.0823
0.5091
1П
0.1
0.1
0.2
0.0
0.2
0.1
0.1
0.3
0.0
0.3
4.22
0.31
0.36
0.10
0.10
е 139.67
е152.67
(R) (км)
13
16
22
33
29
42
55
29
34
77
*235
*579
585
789
761
40
80
т (1020 кг)
0.659
13.53
11.72
35.27
30.14
Примечание. Данные о Корделии, Офелии, Бианке, Крессиде, Дездемоне, Джульетте,
Порции, Розалинде, Белинде и Паке взяты из работы Оуэна и Синнотта (1987).
Данные о Калибане и Сикораксе взяты из работы Марсдена и Уильямса (1997).
Таблица А. 12. Система колец Урана
Кольцо
6
5
4
а
/3
V
1
5
А
£
а (км)
41837
42 234
42 571
44718
45661
47176
47627
48 300
50024
51 149
W (км)
- 1.5
-2
-2.5
4 -f 10
5^11
1.6
1 -» 4
3^7
-2
20 -» 96
е
0.00101
0.00190
0.00106
0.00076
0.00044
0.00109
0.00004
0.0
0.00794
/(°)
0.062
0.054
0.032
0.015
0.005
0.000
0.001
0.0
0.000
г
-0.3
-0.5
-0.3
-0.4
-0.3
^0.4
> 1.5
-0.5
-0.1
0.5-2.3
Примечание. Данные взяты из работы Френча и др. (1991). Заметим, что у колец
5 и 7 имеются дополнительные нормальные моды, влияющие на их форму (см.
раздел 10.5.4).
Таблица А. 13. Спутники Нептуна
Спутник
Наяда
Таласса
Деспина
Галатея
Ларисса
Протей
Тритон
Нереида
а (км)
48227
50075
52 526
61953
73548
117647
354 760
5513400
Т (сут)
0.294396
0.311485
0.334655
0.428745
0.554654
1.122315
-5.876854
360.13619
е
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.0004
0.7512
in
АЛА
0.21
0.07
0.05
0.20
0.55
156.834
7.23
(R) (км)
29
40
74
79
*94
*209
1353
170
тп (1020кг)
215
Примечание. Данные о Наяде, Талассе, Деспине, Галатее, Лариссе и Протее взяты
из работы Оуэна и др. (1991).
Приложение А
535
Таблица А. 14. Система колец Нептуна
Кольцо
Галле
Леверье
Лассель (внутренний край)
Араго
[Безымянное]
Адаме
а (км)
42 000
53 200
53 200
57 200
61953
62932.57
W (км)
2 000
< 100
4000
15
г
~ 1•10"4
0.01
~ 1•10"4
0.01-0.1
Примечание. Данные взяты из работы Порко и др. (1995).
Таблица А. 15. Спутник Плутона
Спутник
Харон
а (км)
19636
Т (сут)
6.387223
е
0.0076
1(°)
96.163
(R) (км)
593
m (1020 кг)
15
Примечание. Орбитальные данные взяты из работы Толена и Буйи (1997).
Наклонение указано относительно среднего экватора J2000.
А.6. Астероиды, кентавры, транснептунные объекты и кометы
Орбитальные и физические данные, приведенные в табл. А.16-А.18, взяты
из файлов Т. Боуэлла (ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb.html). Данные об
орбитах комет, приведенные в табл. А. 19, скомпилированы из данных JPL
(http://ssd.jpl.nasa.gov).
Таблица А. 16. Оскулирующие элементы орбит и диаметры некоторых астероидов
Астероид
(Г
(2
(4
(8
(24
(153]
(158'
(221;
(243]
(253]
(279;
(4зз;
(588
(617
(887;
(944
(951
(1362
(1566
(1620
(1862;
(1915
(2703;
(320о;
Церера
i Паллада
i Веста
i Флора
i Фемида
Гильда
i Коронида
Эос
1 Ида
Матильда
Туле
Эрос
i Ахилл
i Патрокл
Алинда
i Гидальго
i Гаспра
i Гриква
i Икар
i Географ
> Аполлон
i Кетцалькоатль
Родари
Фаэтон
а (а.е.)
2.7678
2.7739
2.3607
2.2013
3.1284
3.9791
2.8695
3.0140
2.8619
2.6455
4.2851
1.4583
5.1840
5.2300
2.4859
5.7613
2.2092
3.2264
1.0778
1.2455
1.4712
2.5373
2.1936
1.2714
е
0.0774
0.2323
0.0904
0.1561
0.1343
0.1435
0.0538
0.0978
0.0450
0.2661
0.0104
0.2230
0.1485
0.1390
0.5627
0.6587
0.1737
0.3681
0.8269
0.3354
0.5600
0.5739
0.0573
0.8900
1(°)
10.581
34.823
7.135
5.886
0.762
7.834
1.004
10.861
1.137
6.709
2.338
10.831
10.328
22.048
9.303
42.552
4.102
24.181
22.870
13.341
6.356
20.448
6.036
22.101
ш(°)
73.460
309.824
149.854
284.974
109.433
42.908
145.872
195.404
112.419
156.214
82.036
178.642
131.702
306.843
350.067
56.348
129.454
262.339
31.251
276.756
285.670
347.879
170.372
321.823
fi(°)
80.530
173.237
103.962
111.057
36.084
228.436
278.735
142.200
324.419
179.869
73.687
304.435
316.601
44.410
110.721
21.672
253.360
121.452
88.131
337.352
35.908
163.053
49.593
265.585
М (°)
207.082
194.832
138.500
1.473
45.687
281.451
71.881
222.137
92.511
55.377
346.609
0.987
309.872
279.573
27.106
175.102
232.902
193.286
170.730
180.595
236.685
61.568
258.351
350.681
D (км)
913
523
501
141
—
175
39.8
ПО
32.5
61
135
—
147
149
—
—
15.5
31.1
—
—
—
—
—
5.2
536
Приложение А
Таблица А. 16. Продолжение
Астероид
(3352) Мак-Олифф
(3647) Дермотт
(3753) Кринье
(3840) Мимиштробелль
(4660) Нерей
(5261) Эврика
(5598) Карлмюррей
а (а.е.)
1.8794
2.8005
0.9978
2.2491
1.4897
1.5234
2.1913
е
0.3689
0.1030
0.5149
0.0831
0.3603
0.0648
0.1129
I (°)
4.774
8.043
19.812
3.922
1.424
20.280
5.043
"(°)
15.710
218.687
43.651
167.440
157.908
95.467
173.374
П(°)
107.497
126.470
126.367
42.424
314.785
245.141
283.727
М (°)
198.128
322.421
336.711
193.648
273.058
286.094
237.967
D (км)
—
Примечание, а — большая полуось, е — эксцентриситет, / — наклонение, и —
аргумент перигелия, Q — долгота восходящего узла, М — средняя аномалия; D —
диаметр (в км, по данным IRAS). Элементы орбит приведены на эпоху JD 2450800.5
относительно эклиптики и равноденствия J2000.
Таблица А. 17. Оскулирующие элементы орбит некоторых кентавров. (Обозначения
и эпоха те же, что и в табл. А. 16.)
Кентавр
(2060) Хирон
(5145) Фол
(7066) Несс
1994ТА
1995DW2
1995GO
1997CU26
а (а.е.)
13.6481
20.2272
24.5932
16.8428
24.9156
18.0690
15.7234
е
0.3806
0.5714
0.5192
0.3036
0.2430
0.6215
0.1700
in
6.937
24.701
15.654
5.396
4.152
17.641
23.426
"(°)
339.483
354.537
170.628
154.724
6.271
290.171
242.537
П(°)
209.381
119.415
31.386
137.607
178.246
6.124
300.478
М (°)
13.177
24.718
17.304
68.837
7.492
338.421
324.766
Таблица А. 18. Оскулирующие элементы орбит некоторых транснептунных
объектов. (Обозначения и эпоха те же, что и в табл. А. 16.)
Объект
1992QB1
1994JQ1
1994ТВ
1995DC2
1995GJ
1995KJ1
1996KW1
1996RQ20
1996ТК66
1996TL66
1996TQ66
1996TS66
1997CQ29
1997CR29
1997CS29
1997СТ29
1997CU29
1997CW29
1997QH4
а (а.е.)
44.2978
43.9587
39.8452
43.8434
42.7874
39.1803
45.2482
44.2941
43.1408
84.4705
39.6471
44.1702
43.8550
40.9387
43.7232
45.0745
43.4318
40.1200
45.6913
е
0.0770
0.0494
0.3211
0.0704
0.0447
0.1389
0.0333
0.1149
0.0323
0.5849
0.1297
0.1354
0.0754
0.0327
0.0194
0.1611
0.0593
0.0579
0.1000
in
2.179
3.755
12.111
2.344
30.217
3.004
5.633
31.579
3.310
23.951
14.634
7.352
2.945
20.597
2.254
1.013
1.461
18.688
12.548
ш(°)
2.050
254.732
98.009
122.376
205.498
339.900
350.858
339.813
41.882
183.536
29.523
142.922
342.399
209.746
253.617
321.491
358.362
203.668
352.514
fi(°)
359.385
25.671
317.298
154.182
338.964
47.839
38.370
11.537
44.656
217.762
10.688
285.759
132.951
127.786
304.311
74.466
349.884
110.557
355.732
М (°)
5.044
298.729
330.327
246.905
340.334
210.605
187.775
17.195
283.179
358.610
350.959
336.117
35.570
157.828
279.437
80.113
119.567
164.015
6.230
Приложение А
537
Таблица А. 19. Элементы орбит некоторых комет
Комета
1Р/Галлей
2Р/Энке
4Р/Фай
бР/д'Аррест
7Р/Понс-Виннеке
8Р/Туттль
9Р/Темпель 1
ЮР/Темпель 2
14Р/Вольф
21 Р/Джакобини-
Циннер
22Р/Копфф
23Р/Брорзен-
Меткоф
26Р/Григг-
Шеллеруп
27Р/Кроммелин
28Р/Неуймин 1
ЗОР/Рейнмут 1
ЗбР/Уиппл
39Р/Отерма
43Р/Вольф-
Харрингтон
44Р/Рейнмут 2
46Р/Виртанен
49Р/Аренд-Риго
65Р/Ганн
68Р/Клемола
75Р/Когоутек
95Р/Хирон
96Р/Махгольц 1
107Р/Уилсон-
Харрингтон
109Р/Свифт-Туттль
т
1986
1997
1999
1995
1996
1994
2000
1999
2000
1998
1996
1989
1997
2011
2002
1995
1994
2002
1997
2001
1997
1998
1996
1998
2001
1996
1996
1996
1992
фев 9.5
май 23.6
май 6.1
июл 27.3
янв 2.5
июн 25.3
янв 2.6
сен 8.4
ноя 21.1
ноя 21.3
июл 2.2
сен 11.9
авг 30.3
авг 03.8
дек 27.4
сен 03.3
дек 22.4
дек 21.8
сен 29.2
фев 20.0
мар 14.2
июл 12.6
июл 24.4
май 1.7
фев 27.3
фев 12.9
окт 15.1
дек 6.4
дек 12.3
q (a.e.)
0.5871
0.3314
1.6570
1.3458
1.2559
0.9977
1.5000
1.4817
2.4126
1.0337
1.5796
0.4788
0.9968
0.7479
1.5521
1.8736
3.0939
5.4707
1.5818
1.8897
1.0638
1.3686
2.4619
1.7545
1.7873
8.4530
0.1247
1.0004
0.9582
е
0.9673
0.8500
0.5683
0.6140
0.6344
0.8241
0.5190
0.5228
0.4071
0.7065
0.5441
0.9720
0.6638
0.9187
0.7756
0.5025
0.2587
0.2446
0.5440
0.4645
0.6568
0.6115
0.3163
0.6413
0.4962
0.3806
0.9586
0.6217
0.9636
in
162.24
11.93
9.05
19.52
22.30
54.69
10.54
11.98
27.52
31.86
4.72
19.33
21.09
28.96
14.18
8.13
9.93
1.94
18.51
6.98
11.72
18.29
10.38
11.09
5.91
6.94
60.07
2.78
113.43
"(°)
111.87
186.27
204.97
178.05
172.31
206.70
178.91
195.02
162.36
172.54
162.84
129.61
359.33
195.98
346.92
13.29
201.87
56.36
187.13
46.10
356.34
330.56
196.82
154.54
175.69
339.48
14.59
90.92
153.00
fi(°)
58.86
334.72
199.34
138.99
93.43
270.55
68.97
118.21
204.12
195.40
120.91
311.59
213.31
250.64
347.03
119.74
182.50
331.59
254.76
296.07
82.21
121.73
68.52
175.54
269.68
209.38
94.53
270.95
139.44
Эпоха
46480
50600
51320
49920
50080
49520
51560
51440
51880
51120
50280
47800
50680
55760
52640
49960
49720
52640
50720
51960
50520
51000
50280
50920
51960
50800
50360
50800
48960
Примечание, т — время прохождения перигелия, q = а(\ — е) — перигелийное
расстояние (в а.е.), е — эксцентриситет, / — наклонение, и — аргумент перигелия, Q —
долгота восходящего узла; эпоха дается формулой (JD — 2400000.5). Приведенные
здесь данные об орбитах комет недостаточно точны для использования в численном
интегрировании. Заметим, что здесь объекты Хирон и Уилсон-Харрингтон отнесены
к кометам.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
В главе 6 мы описали методы разложения в ряд возмущающей функции TZ.
Здесь мы приводим буквенное разложение 1Zv, TZe и TZ\R (главной и
косвенных частей 11) до четвертой степени по эксцентриситетам и наклонениям
двух тел. Система обозначений та же, что и в главе 6. Кроме того, введены
обозначения
Aj=b\%(a), Б,-= Ь$2(а), Cj = b^2(a), (Б.1)
где bs (а) — коэффициент Лапласа в функции отношения больших полуосей
(см. раздел 6.4).
В приведенном ниже разложении каждый аргумент косинуса имеет
индекс, указывающий: 1) порядок разложения, 2) принадлежность члена к
главной (префикс D) или косвенной (префикс Е или I) части возмущающей
функции, 3) порядок аргумента (равный порядку резонанса, отвечающего
этому аргументу), 4) порядковый номер аргумента. Например, метка 4D2.11
обозначает одиннадцатый возможный аргумент главной части второго
порядка разложения четвертого порядка. В этом случае табл. Б.8 дает аргумент
j\' + (2 - j)X — 2vo — Q' + Q косинуса и коэффициент e2ss'fj2- Из табл Б.11
имеем
/72 = g [-2а - ja + 4j2a + 4ja2D + а3£>2] В^и (Б.2)
где D обозначает дифференциальный оператор d/da, а Bj-\ — коэффициент
Лапласа o^Z • Поэтому ассоциированный член записывается в виде
(-2. - ja + 4/a) ^" + W^ + °3^f\ «W *
X
cos [jX' + (2 - j)X -2w-Q' + Q]. (Б.З)
!) В оригинале "argument". — Прим. ред.
... Истинно велик,
Кто не встревожен малою причиной 0 ...
Уильям Шекспир, Гамлет, принц датский,
акт IV, сцена 4
(пер. М. Лозинского)
Приложение Б 539
Таблица Б.1. Аргументы нулевого порядка: главная часть
ID
4D0.1
4D0.2
4D0.3
4D0.4
4D0.5
4D0.6
4D0.7
4D0.8
4D0.9
4D0.10
4D0.11
4D0.12
4D0.13
4D0.14
4D0.15
4D0.16
Аргумент косинуса
jA'-jA
jXf — jX + vo' — vo
jXf - jA + ft' - ft
jX' - jX + 2w' - 2w
jX' - jX + 2vo - 2ft
j\' - jX + vo' + w - 2ft
jX' - jX + 2w' - 2ft
jX' - jA + 2ш - ft' - ft
jX' - jA + ш' - ш - ft' + ft
jX' - jA + ш' - ш + ft' - ft
jX' - jX + w1 + w - ft' - ft
jXf - jX + 2w' - ft' - ft
jXf - jX + 2w- 2ft'
jX' - jX + vo' + vo - 20!
jX' - jX + 2vo' - 2ft'
jA'-jA + 2ft'-2ft
Член
/. +(e2 + e'2)/2 + (S2 + s'2)/3+
+e4/4 + e2e'2/5 + е'4/б+
+ (e2s2 + e,2s2 + e2s/2 + e'2s'2)/7 +
+ (S4 + s'4)/8 + S2S/2f9
ee'/io + eV/,, + ee'3/i2+
+ee'{s2 + s'2)/13
ss'fl4 + ss'(e2 + e'2)/l5+
+ss'(s2 + s'2)/16
eV2/17
eV/i8
ee's2/i9
e'V/20
e2ss'f2\
ee'ss'f22
ее'ss'f23
ee'ss'f24
e'2sS'f25
eV2/,8
eeV2/l9
e'V2/20
sV2/26
540 Приложение Б
Таблица Б.2. Аргументы нулевого порядка: косвенная часть (внешнее и
внутреннее возмущающие тела)
ID
4Е0.1, 410.1
4Е0.2, 410.2
4Е0.3, 410.3
4Е0.4, 410.4
4Е0.5, 410.5
4Е0.6, 410.6
4Е0.7, 410.7
4Е0.8, 410.8
4Е0.9, 410.9
4Е0.10, 410.10
4Е0.11, 410.11
4Е0.12, 410.12
4Е0.13, 410.13
Аргумент косинуса
А'-А
2А' - 2А - w' + vo
А' - А - W + Q
А' - А - 2го' + 2о7
ЗА' - ЗА - 2ет' + 2ет
А' - А + 2го - 2П
А' - А - 2ет' + 2П
А' - А + 2го - О.' - Q
2А' - 2А - ш' + ш - П' + П
А' - А - 2ет' + П' + П
А' - А + 2ет - 2Q'
А' - А - 2w' + 2П'
А' - А - 21Г + 20
Член
-1 + 1(е2 + е'2) + ^(е4+е'4)-
* 2e/2 + s2_
4
-I(e2+e'2)(S2 + S/2) + s'2-sV2
-ее' + -eV + -ее'3 + ee's2 + ee's'2
4 4
-2ss' + e2ss' + e'2ss' + sV + ss'3
64
64
* 2 2
~8eS
1/2 2
1 2 ,
-e ss
4
-2ee'ss'
1 /2 /
-e ss
4
--eV2
--e,2s'2
86 S
-s2s'2
Приложение Б
541
Таблица Б.З. Аргументы нулевого порядка: функции большой полуоси
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
fj
2 3
^[-4j2 + 2aD + a2D2]Aj
-[-a}Bj_l+-[-a}Bj+l
-A [-9j2 + 16/ - 8j2aD - 8j2a2D2 + 4a3£>3 + a4D4] Aj
-!- [16/ + 4aD - \6j2aD + \4a2D2 - 8j2a2D2 + 8a3D3 + a4D4} Aj
-^ [-17/+ 16/+ 24a£» - 24j2aD + 36a2D2- 8j2a2D2 + \2a3D3 +
-^ [-2a + 4j2a - 4a2D - a3D2] (B,-_, + Bj+l)
A [q2] Ci_2 +1 И c, + A [a2j Ci+2
i [a] (Bj_, + B,+1) + | [a2] C,_2 + ^ [a2] C3 + | [a2] C>+2
1 [2 + 6j + 4/ - 2aD - a2D2} Aj+l
A [_6j - 26/ - 36/ - 16/ + 6jaD + \2j2aD - 4a2D2 +
+7ja2£>2 + 8/a2£>2 - 6a3 D3 - a4D4] Aj+l
A [4 + 2j - 22/ - 36/ - 16/ - 4a£> + 22jaD + 20/a£> -
-22a2£>2 + 7ja2£>2 + 8/a2£>2 - 10a3D3 - a4D4] Aj+]
^ [-6ja - 4/a + 4a2D + a3£>2] (B, + Bj+2)
И Bi+i
- [2a - 4j2a + 4a2D + a3D2] Bj+l
i[-a}Bj+i+3[-a2]Cj + l[-a2}CJ+2
a4D4} A,
542 Приложение Б
Таблица Б.З. Продолжение
г
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
ft
tJj [12 + 64j + 109j2 + 72 j3 + 16/ - l2aD - 28jaD - 16j2
64
+6a2D2 - \4ja2D2 - 8j2a2D2 + 8a3D3 + a4£>4] Aj+2
— [12a - 15ja + 4j2a + 8a2D - 4ja2D + a?D2} B,-_i
- [6ja - 4j2a - 4a2D + 4ja2D - a3D2] Bj
— [3ja + 4j2a - 4ja2D + a3D2] Bj+i
^ [-12a + 15ja - 4j2a - 8a2D + 4ja2D - a3£>2] B,-_,
| [6ja + 4j2a - 4a2D - a3D2] Bj
X- [6ja + 4j2a - 4a2D - a3D2] Bj+2
- [-6ja + 4j2a + 4a2£» - 4ja2D + c?D2\ Bj
- [-3ja - 4j2a + 4ja2D - a?D2] Bj+i
l-[a]B3+x+\[a2]C3 + \[a2]Cj+2
aD +
Таблица Б.4. Аргументы первого порядка: главная часть
ID
4D1.1
4D1.2
4D1.3
4D1.4
4D1.5
4D1.6
4D1.7
4D1.8
4D1.9
4D1.10
4D1.11
4D1.12
4D1.13
4D1.14
Аргумент косинуса
JA' + (
JA' + (
jA' + (
jA' + (
jA' + (
JA' + (
J'A' + (
jA' + (
JA' + (
jA' + (
jA' + (
JA' + (
JA' + (
JA' + (
1 - j)X - w
\-j)\-vo'
1 - j)X + w' -2w
1 - J)A - 2w' + w
1 -j)\+w- 29.
1 -j)\ + w' -29
1 - j)X-w-9' + 9
l-j)X-w + 9'-
1 - j)\ + vj - 9' -
9
9
1 - j)\ - w' - 9' + 9
1 - j)X -w' + 9' -
1 -j)X + w'-9'-
1 - j)X + w - 2ft'
1 - j)X + w' - 2П'
-9
-9
Член
e/27 + e3/28 + ee'2/29 + e(s2 + s'2)f30
e'hi + e2e'/32 + e'3/33 + e'(s2 + s'2)/34
eV/35
ee'2/36
es2/37
e's2f3S
ess'fa
ess'fw
ess'fи
e'ss' $42
e'ss'fw
e'ss'fu
es,2hi
e's'2hs
Приложение Б
543
Таблица Б.5. Аргументы первого порядка: косвенная часть (внешнее
возмущающее тело)
ID
4Е1.1
4Е1.2
4Е1.3
4Е1.4
4Е1.5
4Е1.6
4Е1.7
4Е1.8
4Е1.9
4Е1.10
4Е1.11
4Е1.12
Аргумент косинуса
Л' - 2Л + w
X' -ш
2А' - А - ет'
2А' - ЗА - ш' + 2ш
А' - 2а/ + vj
ЗА' -2\-2ш' +ш
\' + ш-2П
X' - 2А + ш - П' + П
\' -w-Q! + Q.
X' + w - Q' - П
2А' - А - ш' - П' + П
А' + ш - 2ГУ
Член
1 ^ Ч 1/9 1 9 '/9
-Г+8е +Ге +2eS +2eS
О О .о О п О ,<у
Г--ее --es --es
-2е' + е2е' + Ъ-е'ъ + 2e's2 + 2e's'2
3 2 /
3 /2
Тбее
27 /2
"16ее
3 2
2eS
—ess'
Зезз'
—3essf
-4e'ss'
3 /2
2eS
544 Приложение Б
Таблица Б.6. Аргументы первого порядка: косвенная часть (внутреннее
возмущающее тело)
ID
411.1
411.2
411.3
411.4
411.5
411.6
411.7
411.8
411.9
411.10
411.11
411.12
Аргумент косинуса
Л' - 2Л + т
Х-т'
2А' - А - т'
А + т' - 2т
2А' - ЗА - т' + 2т
ЗА' - 2А - 2т' + т
А + т' - 29,
X' - 2\ + т - 9' + 9
А - т' + 9' - 9
А + т' - 9' - 9
2А' - А - т' - 9' + 9
Х + т' - 20'
Член
-2е + |е3 + ее'2 + 2es2 + 2es'2
** i ^ 2 / ^ / 2 ** i /2
-e--ee--es --es
-r'+rv+r'3+r's2+r'
Т*"
27 2 ,
-Тбее
-fee"
3 / 2
2е S
—4ess'
3e'ss'
Se'ss'
-e'ss'
-e's'2
26S
s'2
Приложение Б
545
Таблица Б.7. Аргументы первого порядка: функции большой полуоси
i
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
и ;
l-[-2j-aD}Aj
-^ \2j - 10j2 + 8/ + 3aD - IjocD + Aj2aD - 2a2D2 - 2ja2D2
16
i [8j3 - 2aD - AjaD + Aj2aD - Aa2D2 - 2ja2D2 - a3D3] Aj
- [a + 2ja + a2D] (B,-_i + Bj+l)
l-[-l+2j + aD]Aj-l
i [4 - 16j + 20j2 - 8j3 - AaD + \2jaD - Aj2aD + 3a2D2 +
+2ja2D2 + a3D3]Aj_l
— \-2 -j+ 10/ - 8j3 + 2aD + 9jaD - Aj2aD + 5a2 D2 +
16
+2ja2D2+a3D3]Aj_l
I [_2ia _ a2D] (B,_2 + Bj)
-^ [1 - j - 10j2 - 8/ -aD- jaD - AfaD + 3a2 D2 + 2ja2D2
16
-^ [-8 + 32j - 30j2 + 8j3 + 8aD - 17jaD + 4j2a£> - Aa2D2 -
-2ja2D2 - a3D3] Aj.2
- [-5a + 2ja - a2D] Bj-i
l-[-2ja + a2D]Bj
-[-a-2ja-a2D]Bj-i
- [-a - 2ja - a2D] Bj+l
^[5a-2ja + a2D]Bj_l
^[2ja + a2D}Bj_2
l- [2ja + a2D] B3
l-[2ja-a2D]Bj
- a3D3] Aj
+ a3D3]AJ+]
546 Приложение Б
Таблица Б.8. Аргументы второго порядка: главная часть
ID
4D2.1
4D2.2
4D2.3
4D2.4
4D2.5
4D2.6
4D2.7
4D2.8
4D2.9
4D2.10
4D2.11
4D2.12
4D2.13
4D2.14
4D2.15
4D2.16
4D2.17
4D2.18
4D2.19
4D2.20
4D2.21
4D2.22
Аргумент косинуса
jX + (2 - j)X - 2т
jX + (2-j)X-m'-m
jX + (2-j)X-2m'
jA' + (2-j)A-2ft
jX + (2 - j)X - ft' - ft
jA' + (2-j)A-2ft'
jX + (2 - j)X + m' -3m
jX + (2 - j)X - 3m' + w
jX + (2 - j)X - m' + w - 2ft
jX + (2 - j)X + m' -vj-20.
jX + {2 - j)X - 2m - Q! + tt
jX + (2 - j)X - 2m + ft' - ft
jX + (2 - j)X - m' - m - ft' + ft
jX + (2 - j)A - a/ - ет + ft' - ft
jX + (2 - j)X - m' + m - ft' - ft
jX + (2 - j)A + ет' - ет - ft' - ft
jX + (2 - j)X - 2m' - ft' + ft
jX + (2 - j)X - 2^' + ft' - ft
jX + (2 - j)X + ft' - 3ft
jA' + (2-j)A-o7' + G7-2ft'
jX + (2 - j)X + m' - m - 2ft'
jX + (2 - j)X - 3ft' + ft
Член
e2/45 + e4/46 + eV2/47 + e2(s2 + s'2)/48
ee749 + e3e75o + ee'3/5i +
+ee'(s2 + s'2)/52
e'2/53+eV2/54 + e'4/55+
+e'2(S2 + S'2)/56
S2/57 + eV/58+e'V/59+
+s4/eo + sV2/6i
««7б2 + e2ss'/63 + e'2ss'/64+
+ sV/65 + 5«'3/б6
s'2/57 + eV2/58 + e'V2/59+
+sV2/67 + s'4/6o
e3e'/68
ee'3/69
ee's2/7o
ee's2f7i
e2ss'fn
e2ss'f73
ee'ss'fa
ee'ss'f75
ee'ss'fo
ее'ss'f77
e'2ss'f78
e'2ss'f7c,
s3s'f80
ee's'2f70
ee's'2f7l
ss'3f8i
Приложение Б 547
Таблица Б.9. Аргументы второго порядка: косвенная часть (внешнее
возмущающее тело)
ID
4Е2.1
4Е2.2
4Е2.3
4Е2.4
4Е2.5
4Е2.6
4Е2.7
4Е2.8
4Е2.9
4Е2.10
4Е2.11
4Е2.12
4Е2.13
4Е2.14
4Е2.15
4Е2.16
4Е2.17
4Е2.18
4Е2.19
Аргумент косинуса
Л' - ЗА + 2го
А' + Л - 2го
2Л' - го' - го
Л' + А - 2го'
ЗА' - А - 2т'
А' + А - 2ft
А' + А - ft' - ft
А' + А - 2ft'
2\' - 4А - го' + Зго
2А' - Ът' + т
4А' - 2А - Ът' + го
2А' - го' + т - 2ft
А' - ЗА + 2го - ft' + ft
А' + А - 2го - ft' + ft
2А' - го' - го - ft' + ft
2А' - го' + го - ft' - ft
А' + А - 2го' + ft' - ft
ЗА' - А - 2го' - ft' + ft
2А' - го' + го - 2ft'
Член
О о О л О о .о О о 9 *^ 9 /9
"Г +86 +Тбе6 +86S+8eV
1 2 1 4 , 1 2/2,^22,^2/2
"Г "и6 +Тбее +86S +86S
Зее' - ^ее'3 - 3ee's2 - See's12
4
--е'2 + —е2е'2 - —е'4 + -e'V + -e'V2
8 16 24 8 8
-ye'2 + ^е2е'2 + ye'4 + у e'V + ^е'У2
_s2 + ^e2s2 + ^2 + S2S,2
2ss' - e2ss' - e'2ss' - eV - ss'3
_s>2+l_e2s>2+l_e>2s>2+s2s>2
--e3e'
3
1 /3
— PP
4
--ее'3
3
3ee's2
3 2 /
--ess
4
1 2 ,
--ess
4
bee'ss'
—6ee'ss'
* /2 /
--e ss
4
27 ,2 /
—r^ ss
4
Zee's'2
548 Приложение Б
Таблица Б. 10. Аргументы второго порядка: косвенная часть (внутреннее
возмущающее тело)
ID
412.1
412.2
412.3
412.4
412.5
412.6
412.7
412.8
412.9
412.10
412.11
412.12
412.13
412.14
412.15
412.16
412.17
412.18
412.19
Аргумент косинуса
А' - ЗА + 2от
А' + А - 2от
2А - от' - от
А' + А - 2от'
ЗА' - А - 2от'
А' + А - 2Q
А' + А - О.' - О.
А' + А - 2П'
2А + от' - Зот
2А' - 4А - от' + Зот
4А' - 2А - Зот' + от
2А + от' - от - 2Q
А' - ЗА + 2от - Q' + П
А' + А - 2от - П' + П
2А - от' - от + П' - П
2А + от' - от - П' - П
А' + А - 2от' + П' - П
ЗА' - А - 2от' - П' + П
2А + от' - от - 20'
Член
А / о А1 л А1 о /О А / о о А / о /О
-Те +Те +Тбее +ТА +TeV
--е2 - —е4 + — е2е'2 + -eV + -eV2
8е 24е + 16е е +8 +8eS
Зее' - ?е3е' - 3ee's2 - 3eeV2
4
--е'2 + —е2е'2 - — е'4 + -e'V + -e'V2
8 + 16е 6 24е +8 +8
-^е'2 + 4е2е'2 + Iе'4 + Iе'2*2 + !e'V2
о 1о о о о
_s2 + ^2 + ^,2S2 + S2S,2
2ss' - e2ss' - e'2ss' - sV - ss'3
_s'2+J_e2s,2 + |e,2s,2+s2s,2
1 3 /
—ее
4
8 з ,
ее
3
2 ,з
ее
3
3ee's2
27 2 ,
—— e ss
4
1 2 ,
--ess
4
bee' ss'
—6ee'ss'
1 /2 /
— -e ss
4
3 /2 /
——e ss
4
3ee's'2
Приложение Б
549
Таблица Б. 11. Аргументы второго порядка: функции большой полуоси
и
J 45
46
47
48
49
I 50
51
52
53
I 54
55
56
57
58
- [-5j + 4/ - 2aD + 4jaD + a2D2] Aj
1
^+9ja2D2 + 4ja3D3 + a4£»4] A
1
+4a3D3 + 4ja3D3 + a4£>4] Aj
nc [22j - 64/ + 60/- 16/+ \6aD - 46jaD + 48j2aD - l6j3aD - \2a2D2 +
96
[20j3 - 16/ - 4aD - 2jaD + \6j2aD - l6j3aD - 2a2D2 + 1 lja2D2 +
[2a + jot — 4j2a - 4ja2D - a3D2] (Bj-i + Bj+{)
X- [-2 + 6j - 4j2 + 2aD - 4jaD - a2D2] A,-_i
-!- [20 - 86j + 126/ - 76/ + 16/ - 20aD + 74jaD - 64faD + \6j3aD +
+ l4a2D2 - \7ja2D2 - 2a3D3 - 4ja3D3 - a4£>4] Aj-\
^- [-4 + 2j + 22j2 - 36j3 + 16/ + 4aD + 6 jaD - 32j2aD + \6j3aD -
-2a2D2 - l9ja2D2 - 6a3D3 - 4ja3D3 - a4D4] Aj-\
- [-2ja + 4j2a + 4ja2D + a3D2] (Bj_2 + Bj)
i [2 - 7j + 4j2 - 2aD + 4jaD + a2D2] Aj_2
-^ [-32 + 144j - 184/ + 92/ - 16/ + 32aD - 102jaD + 80j2aD -
-l6j3aD - l6a2D2 + 25ja2D2 + 4a3D3 + 4ja3D3 + a4£>4] Aj-2
-^ [12 - 14j - 40j2 + 52j3 - 16/ - 12a£> - \0jaD + 48j2aD - 16j3aD +
Уо
+6a2D2 + 27ja2D2 + Sa3D3 + 4ja3D3 + a4D4] Л,-_2
— [3ja - 4j2a - 4ja2D - a3D2] (Bj-3 + Bj-i)
l^Bj-i
^ [-14a + 16ja - 4/a + 4a2D + a3D2] Bj-\
550 Приложение Б
Таблица Б. 11. Продолжение
г
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
fi
i [2а - 4j2a + 4а2D + a3D2] Bj-i
I [-a2] C,_, + | [-a2] Q
jl-alB^+lt-^C^ + ^t-a2]^
[-а]Б,_,
^ [14a - 16ja + 4j2a - 4a2D - a3D2] Bj-i
j [-2a + 4j2a - 4a2D - a3D2] Bj-i
1[а]Б,_1+3[а2]С,_2 + |[а2]С,-
1[а]^_,+|[а2]С,_2+3[а2]^
\[-«\В3-Х+^[-а2]С3-2 + \[-а2Щ
^r [4 - 2j - 26j2 - 4j3 + 16j4 - 4aD - 2jaD + \6faD + 6a2D2 - 3ja2D2
96
-2a3D3 - 4ja3D3 - a4D4] Aj+l
^ [36 - 186j + 238f - 108j3 + 16/ - 36a£> + 130ja£» - 96j2aD +
9o
+ 16j3a£> + 18a2D2 - S3ja2D2 - 6a3D3 - 4ja3£>3 - a4£»4] Д,_3
^ [- 14ja + 4/a - 8a2£> - a3D2] B,-2
О
1[-2^а + 4/а-а3£>2]Б,-
- [-2a - ja + 4j2a + 4ja2D + a3D2] B,-_i
- [-2a - ja + 4j2a + 4ja2D + a3D2} Bj+{
j [2ja - 4j2a - 4ja2D - a3D2] Bj-2
Приложение Б
551
г
75
76
77
78
79
80
81
Таблица Б. 11. Продолжение
и
- [2ja - Aj2a - Aja2D - a3D2] Bj
- [\Aja - Aj2a + 8a2D + a3D2} B3_2
- [2ja - Aj2a + a3D2] Bj
- [Sja + Aj2a + Aja2D + a3D2] Bj-3
- [Sja + Aj2a + Aja2D + a3D2] Bj-\
\ И c,
f И Cj-2
Таблица Б. 12. Аргументы третьего порядка: главная часть
ID
4D3.1
4D3.2
4D3.3
4D3.4
4D3.5
4D3.6
4D3.7
4D3.8
4D3.9
4D3.10
Аргумент косинуса
jX' + (3 - j)X - Зш
j\' + (3 - j)X -w' -2w
jX' + (3 - j)X -2w'-w
jX' + (3-j)X-Sw'
jX' + (3 - j)X -w-20,
jX' + (3 - j)X - zu' - 2Q
jX' + (3 - j)A - w - ft' - ft
jA' + (3 - j)A - a/ - 0' - ft
jX' + (3 - j)A - ет - 2ft'
jA' + (3 - j)A - w' - 20.'
Член
e3/82
eV/83
ee'2/84
e'3/85
es2/86
e's2/87
ess'/ss
e'ss'/gg
es'2/86
eV2/87
552
Приложение Б
Таблица Б. 13. Аргументы третьего порядка: косвенная часть (внешнее
возмущающее тело)
ID
4Е3.1
4Е3.2
4ЕЗ.З
4Е3.4
4Е3.5
4Е3.6
4Е3.7
4Е3.8
4Е3.9
4Е3.10
4Е3.11
4Е3.12
4Е3.13
Аргумент косинуса
Л' - 4Л + Зет
Л' + 2Л - Зет
2А' + Л - ет' - 2ет
Л' + 2А - 2т' - ет
ЗА — 2ет — ет
2А' + А - Зет'
4А' - А - Зет'
А' + 2А - ет - 20.
2А' + А - ет' - 2ft
А' + 2А - ет - О' - О
2А' + А - ет' - О' - О
А' + 2А - ет - 2Q'
2А' + А - ет' - 2Q'
Член
-У
-^
1 2 ,
"Г е
1 /2
-Тбее
£«-
-к
3
1 2
"2eS
-2e's2
ess'
4e'ss'
1 a
~2eS
-2e's'2
Приложение Б
553
Таблица Б. 14. Аргументы третьего порядка: косвенная часть (внутреннее
возмущающее тело)
ID
413.1
413.2
413.3
413.4
413.5
413.6
413.7
413.8
413.9
413.10
413.11
413.12
413.13
Аргумент косинуса
Л' - 4Л + Зет
Л' + 2Л - Зет
ЗА — ет — 2ет
2Л' + А - ет' - 2ет
А' + 2А - 2ет' - ет
2А' + А - Зет'
4А' - А - Зет'
А' + 2А - ет - 2Q.
2А' + А - ет' - 2П
А' + 2А - ет - П' - П
2А' + А - ет' - П' - Q
А' + 2А - ет - 2Q'
2А' + А - ет' - 2ft'
Член
-£■
-^
81 2 ,
Тбее
-±eV
16
1 а
-2V3
Ч'
-2es2
1 / 2
Aess'
e'ss'
-2es'2
--e's'2
2
554
Приложение Б
Таблица Б. 15. Аргументы третьего порядка: функции большой полуоси
%
82
83
84
85
86
87
88
89
и
^- [-26j + 30j2 - 8f - 9aD + 27jaD - \2j2aD +
+6a2D2 - 6ja2D2 - a3D3] A,-
-^ [-9 + 31 j - 30j2 + 8/ + 9aD - 25jaD + l2j2aD -
16
-5a2D2 + 6ja2D2 + a3D3] Л,_,
4r [8 - 32j + 30j2 - 8j3 - 8aD + 23jaD - \2j2aD +
16
+4a2D2 - 6ja2D2 - a3D3] Aj-2
-J- [-6 + 29j - 30j2 + 8j3 + 6aD - 21 jaD + \2j2aD -
-3a2D2 + 6ja2D2 + a3D3} Aj-3
^[3a-2ja-a2D}Bj-]
- [2ja + a2D] Bj-2
-[-3a + 2ja + a2D]Bj_l
l- [-2ja - a2D] Bj-2
Приложение Б
555
Таблица Б. 16. Аргументы четвертого порядка: главная часть
ID
4D4.1
4D4.2
4D4.3
4D4.4
4D4.5
4D4.6
4D4.7
4D4.8
4D4.9
4D4.10
4D4.11
4D4.12
4D4.13
4D4.14
4D4.15
4D4.16
4D4.17
4D4.18
4D4.19
Аргумент косинуса
jX' + {4-j)X-4zo
jX' + (4 - j)X - ет' - Зет
jX' + (4-j)X-2w' -2zv
jX' + (4 - j)X - Зет' - ет
jX' + (4 - j)X - 4ет'
jX' + (4 - j)X - 2ет - 20
jX' + (4 - j)X - ет' - ет - 20
jX' + (4 - j)X - 2ет' - 20
jX' + (4-j)X-40
jX' + (4 - j)X - 2ет - 0' - 0
jX' + (4-j)X-zv'-zv-0'-0
jX' + (4 - j)X - 2ет' - 0' - 0
jX' + (4 - j)X - 0' - 30
jX' + (4 - i)A - 2ет - 20'
jX' + (4 - j)A - ет' - ет - 20'
jA' + (4 - j)A - 2ет' - 20'
jA' + (4 - j)A - 20' - 20
jA' + (4 - j)A - 30' - 0
jX' + (4-j)X-40'
Член
е4/эо
e3e'/91
e2e'2/92
ее'3/эз
e'4/94
eV/95
ee's2/96
e'V/97
S4/98
e2ss'/99
ee'ss'fioo
e'2ss'fm
s3s'fm
eV2/95
eeV2/96
e'V2/97
*V2/.03
SS,3/l02
s'4/98
556
Приложение Б
Таблица Б. 17. Аргументы четвертого порядка: косвенная часть (внешнее
возмущающее тело)
m
4Е4.1
4Е4.2
4Е4.3
4Е4.4
4Е4.5
4Е4.6
4Е4.7
4Е4.8
4Е4.9
4Е4.10
4Е4.11
4Е4.12
4Е4.13
4Е4.14
4Е4.15
4Е4.16
4Е4.17
4Е4.18
Аргумент косинуса
А' - 5А + 4ет
А' + ЗА - 4ет
2А' + 2А - ет' - Зет
А' + ЗА - 2ет' - 2ет
ЗА' + А - 2ет' - 2ет
2А' + 2А - Зет' - ет
4А' - Зет' - ет
ЗА' + А - 4ет'
5А' - А - 4ет'
А' + ЗА - 2ет - 2ft
2А' + 2А - ет' - ет - 2ft
ЗА' + А - 2ет' - 2ft
А' + ЗА - 2ет - ft' - ft
2А' + 2А - ет' - ет - ft' - ft
ЗА' + А - 2ет' - ft' - ft
А' + ЗА - 2ет - 2ft'
2А' + 2А - ет' - ет - 2ft'
ЗА' + А - 2ет' - 2ft'
Член
l^
384 е
-— е4
128
--LeV
12
"2/2
64
-—е2е'2
64
--Lee'3
12
8ее'3
- 27 е'4
128
3125 /4
384 е
^22
-86S
/ 2
—ее s
-— e'V
8е S
-e2ss'
4
2ee'ss'
27 /2 /
—-е ss
4
--eV2
8
-ee's'2
_?Z^2 /2
86 S
Приложение Б
557
Таблица Б. 18. Аргументы четвертого порядка: косвенная часть (внутреннее
возмущающее тело)
ID
414.1
414.2
414.3
414.4
414.5
414.6
414.7
414.8
414.9
414.10
414.11
414.12
414.13
414.14
414.15
414.16
414.17
414.18
Аргумент косинуса
А' - 5А + 4ет
А' + ЗА - 4ет
4А - ет' - Зет
2А' + 2А - ет' - Зет
А' + ЗА - 2ет' - 2ет
ЗА' + А - 2ет' - 2ет
2А' + 2А - Зет' - ет
ЗА' + А - 4ет'
5А' - А - 4ет'
А' + ЗА - 2ет - 2П
2А' + 2А - ет' - ет - 29,
ЗА' + А - 2ет' - 2П
А' + ЗА - 2ет - О! - П
2А' + 2А - ет' - ет - Q' - П
ЗА' + А - 2ет' - Q' - Q
А' + ЗА - 2ет - 20.'
2А' + 2А - ет' - ет - 2П'
ЗА' + А - 2ет' - 2П'
Член
3125 4
384 е
128
8е3е'
12
-— е2е'2
64
-|reV2
64
--Lee*
12
3 г'4
128
_125 4
384
" 2 2
-~8es
1 2
—ees
--e'V
8
27 2 ,
—-е ss
4
2ee'ss'
^ /2 /
-e ss
4
-—eV2
8
-eeV2
_?^2 /2
86 *
558
Приложение Б
Таблица Б. 19. Аргументы четвертого порядка: функции большой полуоси
п
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1101
102
103
-^- [-206J + 283/- 120/ + 16/- 64aD + 236jaD - 168j2aD + 32j3aD +
384
+48a2D2 - 78ja2D2 + 24 j2a2D2 - \2a3D3 + 8ja3D3 + a4D4] Aj
^ [-64 + 238J-274/ +116/- 16j4 + 64oD-206ja£>+ 156/aD - 32/aD -
9b
-36a2D2 + 69ja2D2 - 24j2a2D2 + \0a3D3 - 8ja3D3 - a4D4} Л,-_,
^- [52-224J1 +259j2- 112j3+ 16/- 52aD+\76jaD- I44j2aD+ 32j3aD +
o4
+26a2D2 - 60ja2D2 + 24j2a2D2 - 8a3D3 + 8ja3D3 ± a4D4] Aj-2
-^ [-36+186J-238/ + 108/- 16/ +36aD~\46jaD+\32j2aD-32j3aD -
9b
-18a2D2 + 51 ja2D2 - 24j2a2D2 + 6a3D3 - 8ja3D3 - a4D4} Aj-3
щ [24- 146j + 211/- 104/+ 16/- 24aD+116jo£>- I20j2 aD+32 faD +
+ 12a2£>2 - 42ja2D2 + 24j2a2D2 - 4a3D3 + 8ja3D3 + a4D4] Aj_4
— [16a - 17ja + 4/a - 8a2D + 4ja2D + a3D2] Bj-{
I [lOja - 4j2a + 4a2D - 4ja2D - a3D2] Bj-2
16
— [-3ja + 4j2a + 4ja2D + a3D2] B^3
- [-16a + 17ja - 4/a + 8a2D - 4ja2D - a3D2] Я>_,
- [- lOja + 4/a - 4a2D + 4ja2D + a3D2] Bj-2
^ [3ja - 4/a - 4ja2D - a3D2} B,-_3
\ [-2] Cj-2
| [°2] Ci-2
Литература
Адаме (1847) Adams, J. С. (1847). An explanation of the observed irregularities in the
motion of Uranus, on the hypothesis of disturbances caused by a more distant planet;
with a determination of the mass, orbit, and position of the disturbing body, Mon. Not.
R. Astron. Soc. 7, 149-152.
Аггарвал, Обербек (1974) Aggarwal, H. R. and Oberbeck, V. R. (1974). Roche limit of
a solid body, Astrophys. J. 191, 577-588.
Акснес (1988) Aksnes, K. (1988). General formulas for three-body resonances, in Long-
Term Dynamical Behaviour of Natural and Artificial N-Body Systems, ed. A. E. Roy
(Kluwer, Dordrecht).
Аллан (1969) Allan, R. R. (1969). Evolution of the Mimas-Tethys commensurability,
Astron. J. 74, 497-506.
Альфвен (1964) Alfven, H. (1964). On the origin of asteroids, Icarus 3, 52-56.
Андерсон, Ло, Сьегрен, Шуберт, Myp (1996a) Anderson, J. D., Lau, E. L., Sjogren,
W. L., Schubert, G., and Moore, W. B. (1996a). Gravitational constraints on the internal
structure of Ganymede, Nature 384, 541-543.
Андерсон, Ло, Сьегрен, Шуберт, Мур (1997а) Anderson, J. D., Lau, E. L., Sjogren,
W. L., Schubert, G., and Moore, W. B. (1997a). Europa's differentiated internal structure:
Inferences from two Galileo experiments, Science 276, 1236-1239.
Андерсон, Ло, Сьегрен, Шуберт, Мур (19976) Anderson, J. D., Lau, E. L., Sjogren,
W. L., Schubert, G., and Moore, W. B. (1997b). Gravitational evidence for an
undifferentiated Callisto, Nature 387, 264-266.
Андерсон, Сьегрен, Шуберт (19966) Anderson, J. D., Sjogren, W. L., and Schubert, G.
(1996b). Galileo gravity results and the internal structure of Io, Science 272, 709-712.
Андерсон, Шуберт, Якобсон, Ло, Мур, Сьегрен (1998) Anderson, J. D., Schubert, G.,
Jacobson, R. A., Lau, E. L., Moore, W. В., and Sjogren, W. L. (1998). Distribution of
rock, metals, and ices in Callisto, Science 280, 1573-1576.
Анрар (1982) Henrard, J. (1982). Capture into resonance: An extension of the use of
adiabatic invariants, Celest. Mech. 27, 3-22.
Анрар, Леметр (1983) Henrard, J. and Lemaitre, A. (1983). A second fundamental
model of resonance, Celest. Mech. 30, 197-218.
Байерлайн (1983) Baierlein, R. (1983). Newtonian Dynamics (McGraw-Hill, New
York).
Бейли, Чемберс, Хан (1992) Bailey, M. E., Chambers, J. E., and Hahn, G. (1992).
Origin of sungrazers: a frequent cometary end-state, Astron. Astrophys. 257, 315-322.
Белтон, Чепмен, Томас, Девис, Гринберг, Класен, Бирнс, Д'Амарио, Синнотт,
Джонсон, Мак-Ивен, Мерлин, Девис, Пти, Сторс, Веверка, Целлнер (1995) Belton,
М. J. S., Chapman, С. R., Thomas, P. С, Davies, M. E., Greenberg, R., Klaasen, К.,
Byrnes, D., D'Amario, L., Synnott, S., Johnson, T. V., McEwen, A., Merline, W., Davis,
560
Литература
D. R., Petit, J.-M., Storrs, A., Veverka, J., and Zellner, B. (1995). Bulk density of
asteroid 243-Ida from the orbit of its satellite Dactyl, Nature 374, 785-788.
Беркардт, Дэнби (1983) Burkardt, Т. M. and Danby, J. M. A. (1983). The solution of
Kepler's equation, II, Celest. Mech. 31, 317-328.
Бернал (1969) Bernal, J. D. (1969). Science in History. Vol. 1. The Emergence of
Science (Pelican, Harmondsworth).
Берне (1973) Burns, J. A. (1973). Where are the satellites of the inner planets? Nature
Physical Science 242, 23-25.
Берне (1976) Burns, J. A. (1976). Elementary derivation of the perturbation equations
of celestial mechanics, Am. I. Phys. 44, 944-949.
Берне (1986) Burns, J. A. (1986). The evolution of satellite orbits, in Satellites, ed.
J. A. Burns and M. S. Matthews (University of Arizona Press, Tucson).
Берне, Леми, Сотер (1979) Burns, J. A., Lamy, P., and Soter, S. (1979). Radiation
forces on small particles in the solar system, Icarus 40, 1-48.
Берне, Шеффер, Гринберг, Шоуолтер (1985) Burns, J. A., Schaffer, L. E., Greenberg,
R. J., and Showalter, M. (1985). Lorentz resonances and the structure of the jovian ring,
Nature 316, 115-119.
Берне, Шоуолтер, Гамильтон, Николсон, де Патер, Окерт-Белл, Томас (1999)
Burns, J. A., Showalter, M. R., Hamilton, D. P., Nicholson, P. D., de Pater, I.,
Ockert-Bell, M. E., and Thomas, P. C. (1999). The formation of Jupiter's faint rings,
Science 284, 1146-1150.
Берне, Шоуолтер, Куцци, Поллак (1980) Burns, J. A., Showalter, M. R., Cuzzi, J. N.,
and Pollack, J. B. (1980). Physical processes in Jupiter's ring: Clues to its origin by
Jove! Icarus 44, 339-360.
Берне, Шоуолтер, Морфилл (1984) Burns, J. A., Showalter, M. R., and Morfill, G. E.
(1984). The ethereal rings of Jupiter and Saturn, in Planetary Rings, ed. R. Greenberg
and A. Brahic (University of Arizona Press, Tucson).
Блейкли (1995) Blakely, R. J. (1995). Potential Theory in Gravity and Magnetic
Applications (Cambridge University Press, Cambridge).
Блитцер (1982) Blitzer, L. (1982). Dynamical stability and potential energy, Am. J.
Phys. 50, 431-34.
Блэк, Николсон, Томас (1995) Black, G. J., Nicholson, P. D., and Thomas, P. С
(1995). Hyperion: Rotational dynamics, Icarus 117, 149-171.
Боке (1889) Boquet, F. (1889). Developpement de la fonction perturbatrice, calcul des
terms du huitieme ordre, Ann. Obs. Paris, Mem. 19, B1-B75.
Бордери, Голдрайх (1984) Borderies, N. and Goldreich, P. (1984). A simple derivation
of capture probabilities for the j + 1 : j and j + 2 : j orbit-orbit resonance problems,
Celest. Mech. 32, 127-136.
Бордери, Голдрайх, Тремейн (1983) Borderies, N., Goldreich, P., and Tremaine, S.
(1983). Perturbed particle disks, Icarus 55, 124-132.
Бордери, Голдрайх, Тремейн (1984) Borderies, N., Goldreich, P., and Tremaine,
S. (1984). Unsolved problems in planetary ring dynamics, in Planetary Rings, ed.
R. Greenberg and A. Brahic (University of Arizona Press, Tucson).
Литература
561
Бордери, Голдрайх, Тремейн (1985) Borderies, N., Goldreich, P., and Tremaine, S.
(1985). A granular flow model for dense planetary rings, Icarus 63, 406-420.
Бордери, Голдрайх, Тремейн (1989) Borderies, N., Goldreich, P., and Tremaine, S.
(1989). The formation of sharp edges in planetary rings by nearby satellites, Icarus 80,
344-360.
Боуман (1958) Bowman, F. (1958). Introduction to Bessel Functions (Dover, New
York).
Бош, Ривкин (1996) Bosh, A. and Rivkin, A. (1996). Observations of Saturn's inner
satellites during the May 1995 ring-plane crossing, Science 272, 518-521.
Браик (1977) Brahic, A. (1977). Systems of colliding bodies in a gravitational field.
I. Numerical simulation of the standard model, Astron. Astrophys. 54, 895-907.
Брауэр, ван Вурком (1950) Brouwer, D. and van Woerkom, A. J. J. (1950). The secular
variations of the orbital elements of the principal planets, Astron. Papers Amer. Ephem.
13, 81-107.
Брауэр, Клеменс (1961) Brouwer, D. and Clemence, G. M. (1961). Methods of Celestial
Mechanics (Academic Press, New York). [Имеется перевод: Брауэр Д., Клеменс Дж.
Методы небесной механики. — М.: Мир, 1964.]
Браун, Шок (1933) Brown, E. W. and Shook, С. А. (1933). Planetary Theory
(Cambridge University Press, Cambridge).
Брешаньон (1974) Bretagnon, P. (1974). Termes a longues periodes dans le systeme
solaire, Astron. Astrophys. 30, 141-154.
Брешаньон (1982) Bretagnon, P. (1982). Theorie du mouvement de l'ensemble des
planetes. Solution VSOP-82, Astron. Astrophys. 114, 278-288.
Бродфут (1986) Broadfoot, A. L. et al. (1986). Ultraviolet spectrometer observations
of Uranus, Science 233, 74-79.
Буллен (1975) Bullen, К. Е. (1975). The Earth's Density (Chapman and Hall, London).
Вард, Райд (1973) Ward, W. R. and Reid, M. J. (1973). Solar tidal friction and satellite
loss, Mon. Not. R. Astron. Soc. 164, 21-32.
Ведер, Мэтсон, Джонсон, Блэни, Гоген (1994) Veeder, G. J., Matson, D. L., Johnson,
T. V., Blaney, D. L., and Goguen, J. D. (1994). Io's heat flow from infrared radiometry:
1983-1993, /. Geophys. Res. 99, 17095-17162.
Волтьер (1928) Woltjer, J. (1928). The motion of Hyperion, Annalen van de
Sterrewacht te Leiden XVI, Pt. 3.
Волщан (1994) Wolszczan, A. (1994). Confirmation of Earth-mass planets orbiting the
millisecond pulsar PSR В1257+12, Science 264, 538-542.
Волщан, Фрейл (1992) Wolszczan, A. and Frail, D. A. (1992). A planetary system
around the millisecond pulsar PSR1257+12, Nature 355, 145-147.
Гамильтон (1994) Hamilton, D. P. (1994). A comparison of Lorentz, planetary
gravitational, and satellite gravitational resonances, Icarus 109, 221-240.
Гамильтон, Берне (1994) Hamilton, D. P. and Burns, J. A. (1994). Origin of Saturn's
E ring: Self-sustained, naturally, Science 264, 550-553.
Герелс (1980) Gehrels, T. et al. (1980). Imaging photopolarimeter on Pioneer Saturn,
Science 207, 434-439.
562
Литература
Глэдман, Мильорини, Морбиделли, Заппала, Мишель, Челлино, Фрешле, Левисон,
Бейли, Дункан (1997) Gladman, В. J., Migliorini, F., Morbidelli, A., Zappala, V.,
Michel, P., Cellino, A., Froeschle, C, Levison, H. E, Bailey, M., and Duncan, M.
(1997). Dynamical lifetimes of objects injected into asteroid belt resonances, Science
277, 197-201.
Голдрайх (1965) Goldreich, P. (1965). An explanation of the frequent occurrence of
commensurable mean motions in the solar system, Mon. Not. R. Astron. Soc. 130,
159-181. [Имеется перевод в сб.: Приливы и резонансы в Солнечной системе / Ред.
В. Н. Жарков. - М.: Мир, 1975, с. 217.]
Голдрайх (1966) Goldreich, P. (1966). Final spin states of planets and satellites,
Astron. J. 71, 1-7.
Голдрайх, Николсон (1977a) Goldreich, P. and Nicholson, P. D. (1977a). Turbulent
viscosity and Jupiter's tidal Q, Icarus 30, 301-304.
Голдрайх, Николсон (19776) Goldreich, P. and Nicholson, P. D. (1977b). The revenge
of tiny Miranda, Nature 269, 783-785.
Голдрайх, Пил (1966) Goldreich, P. and Peale, S. J. (1966). Spin-orbit coupling in the
solar system, Astron. J. 71, 425-38.
Голдрайх, Пил (1968) Goldreich, P. and Peale, S. J. (1968). Dynamics of planetary
rotations, Annu. Rev. Astron. Astrophys. 6, 287-320. [Имеется перевод в сб.: Приливы
и резонансы в Солнечной системе / Ред. В. Н. Жарков. — М.: Мир, 1975, с. 130.]
Голдрайх, Сотер (1966) Goldreich, P. and Soter, S. (1966). Q in the Solar system,
Icarus 5, 375-389. [Имеется перевод в сб.: Приливы и резонансы в Солнечной
системе / Ред. В. Н. Жарков. - М.: Мир, 1975, с. 248.]
Голдрайх, Тремейн (1978а) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1978a). The velocity
dispersion in Saturn's rings, Icarus 34, 227-239.
Голдрайх, Тремейн (19786) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1978b). The formation of
the Cassini Division in Saturn's rings, Icarus 34, 240-253.
Голдрайх, Тремейн (1979a) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1979a). Towards a theory
for the uranian rings, Nature 111, 97-99.
Голдрайх, Тремейн (19786) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1979b). Precession of the
e ring of Uranus, Astron. J. 84, 1638-1641.
Голдрайх, Тремейн (1980) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1980). Disk-satellite
interactions, Astrophys. J. 241, 425-41.
Голдрайх, Тремейн (1981) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1981). The origin of the
eccentricities of the rings of Uranus, Astrophys. J. 243, 1062-1075.
Голдрайх, Тремейн (1982) Goldreich, P. and Tremaine, S. (1982). The dynamics of
planetary rings, Annu. Rev. Astron. Astrophys. 20, 249-283.
Голдрайх, Тремейн, Бордери (1986) Goldreich, P., Tremaine, S., and Borderies, N.
(1986). Towards a theory for Neptune's arc rings, Astron. J. 92, 490-494.
Гринберг (1973) Greenberg, R. (1973). The inclination-type resonance of Mimas and
Tethys, Mon. Not. R. Astron. Soc. 165, 305-311.
Гринберг (1975) Greenberg, R. (1975). On the Laplace relation among the satellites of
Uranus, Mon. Not. R. Astron. Soc. 173, 121-129.
Литература
563
Гринберг (1976) Greenberg, R. (1976). The Laplace relation and the masses of Uranus'
satellites, Icarus 29, 427-433.
Гринберг (1977) Greenberg, R. (1977). Orbit-orbit resonances among natural satellites,
in Planetary Satellites, ed. J. A. Burns (University of Arizona Press, Tucson).
Гринберг (1981) Greenberg, R. (1981). Apsidal precession of orbits about an oblate
planet, Astron. I. 86, 912-914.
Гринберг, Браик (1984) Greenberg, R. and Brahic, A. (1984). Planetary Rings
(University of Arizona Press, Tucson).
Гринберг, Шолл (1979) Greenberg, R. and Scholl, H. (1979). Resonances in the asteroid
belt, in Asteroids, ed. T. Gehrels (University of Arizona Press, Tucson).
Гроссер (1979) Grosser, M. (1979). The Discovery of Neptune (Dover, New York).
Грюн, Морфилл, Мендис (1984) Grtin, E., Morfill, G. E., and Mendis, D. A. (1984).
Dust-magnetosphere interactions, in Planetary Rings, ed. R. Greenberg and A. Brahic
(University of Arizona Press, Tucson).
Гукенхаймер, Холмс (1983) Guckenheimer, J. and Holmes, P. (1983). Nonlinear
Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Springer-Verlag,
New York). [Имеется перевод: Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания,
динамические системы и бифуркации векторных полей. — Москва-Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2002.]
Гюйгенс (1659) Huygens, С. (1659). Systema Saturnium (The Hague).
Даксбери, Каллахан (1982) Duxbury, Т. С. and Callahan, J. (1982). Phobos and
Deimos cartography, Lunar Planet. Sci. XIII, 190 (abstract).
Дарвин (1899) Darwin, G. H. (1899). The theory of the figure of the Earth carried to
the second order in small quantities, Mon. Not. R. Astron. Soc. 60, 82-124.
Дарвин (1908) Darwin, G. H. (1908). Tidal friction and cosmogony, in Scientific Papers
2 (Cambridge University Press, Cambridge).
Депри, Анрар, Ром (1971) Deprit, A., Henrard, J., and Rom, A. (1971). Analytical
lunar ephemeris: Delaunay's theory, Astron. I. 76, 269-272.
Депри, Депри-Бартоломе (1967) Deprit, A. and Deprit-Bartholome, A. (1967). Stability
of the triangular Lagrangian points, Astron. I. 72, 173-179.
Дермотт (1972) Dermott, S. F. (1972). Bode's law and the preference for near-
commensurability among pairs of orbital periods in the Solar System, in The Origin of
the Solar System, ed. H. Reeves (CNRS, Paris).
Дермотт (1973) Dermott, S. F. (1973). Bode's law and the resonant structure of the
Solar System, Nature Physical Science 244, 18-21.
Дермотт (1979а) Dermott, S. F. (1979a). Tidal dissipation in the solid cores of the
major planets, Icarus 37, 310-321.
Дермотт (19796) Dermott, S. F. (1979b). Shapes and gravitational moments of
satellites and asteroids, Icarus 37, 576-586.
Дермотт (1984) Dermott, S. F. (1984). Dynamics of narrow rings, in Planetary Rings,
ed. R. Greenberg and A. Brahic (University of Arizona Press, Tucson).
Дермотт, Голд (1977) Dermott, S. F. and Gold, T. (1977). The rings of Uranus: Theory,
Nature 267, 590-593.
564
Литература
Дермотт, Голд, Синклер (1979) Dermott, S. F., Gold, Т., and Sinclair, A. T. (1979).
The rings of Uranus: Nature and origin, Astron. J. 84, 1225-1234.
Дермотт, Гомес, Дурда, Густафсон, Джайяраман, Хью, Николсон (1992) Dermott,
S. F., Gomes, R. S., Durda, D. D., Gustafson, B. A. S., Jayaraman, S., Xu, Y. L.,
and Nicholson, P. D. (1992). Dynamics of the zodiacal cloud, in Chaos, Resonance and
Collective Dynamical Phenomena in the Solar System, ed. S. Ferraz-Mello (Kluwer,
Dordrecht).
Дермотт, Джайяраман, Хью, Густафсон, Лиу (1994) Dermott, S. F., Jayaraman, S.,
Xu, Y. L., Gustafson, B. A. S., and Liou, J. C. (1994). A circumsolar ring of asteroidal
dust in resonant lock with the Earth, Nature 369, 719-723.
Дермотт, Мальхотра, Мюррей (1988) Dermott, S. F., Malhotra, R., and Murray,
C. D. (1988). Dynamics of the uranian and saturnian satellite systems: A chaotic route
to melting Miranda? Icarus 76, 295-334.
Дермотт, Мюррей (1980) Dermott, S. F. and Murray, C. D. (1980). Origin of the
eccentricity gradient and apse alignment of the e ring of Uranus, Icarus 43, 338-349.
Дермотт, Мюррей (1981a) Dermott, S. F. and Murray, C. D. (1981a). The dynamics
of tadpole and horseshoe orbits. I. Theory, Icarus 48, 1-11.
Дермотт, Мюррей (19816) Dermott, S. F. and Murray, C. D. (1981b). The dynamics
of tadpole and horseshoe orbits. II. The coorbital satellites of Saturn, Icarus 48, 12-22.
Дермотт, Мюррей (1983) Dermott, S. F. and Murray, C. D. (1983). Nature of the
Kirkwood gaps in the asteroid belt, Nature 301, 201-205. [Имеется перевод в сб.:
Резонансы в небесной механике. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2006, с. 53.]
Дермотт, Мюррей, Синклер (1980) Dermott, S. F., Murray, С. D., and Sinclair, A. T.
(1980). The narrow rings of Jupiter, Saturn and Uranus, Nature 284, 309-313.
Дермотт, Николсон (1986) Dermott, S. F. and Nicholson, P. D. (1986). Masses of the
satellites of Uranus, Nature 319, 115-120.
Дермотт, Николсон, Берне, Хаук (1984) Dermott, S. F., Nicholson, P. D., Burns,
J. A., and Houck, J. R. (1984). Origin of the Solar System dust bands discovered by
IRAS, Nature 312, 505-509.
Дермотт, Николсон, Берне, Хаук (1985) Dermott, S. F., Nicholson, P. D., Burns,
J. A., and Houck, J. R. (1985). An analysis of IRAS' Solar System dust bands, in
Properties and Interactions of Interplanetary Dust, ed. R. H. Giese and P. Lamy
(D. Reidel, Dordrecht).
Дермотт, Саган (1995) Dermott, S. F. and Sagan, С (1995). Tidal effects of
disconnected hydrocarbon seas on Titan, Nature 374, 238-240.
Дермотт, Томас (1988) Dermott, S. F. and Thomas, P. С (1988). The shape and
internal structure of Mimas, Icarus 73, 25-65.
Джеффрис (1971) Jefferys, W. H. (1971). An Atlas of Surfaces of Section for the
Restricted Problem of Three Bodies (University of Texas, Austin).
Джеффрис (1929) Jeffreys, H. (1929). The Earth, 2nd ed. (Cambridge University Press,
Cambridge).
Джеффрис (1961) Jeffreys, H. (1961). The effect of tidal friction on eccentricity and
inclination, Mon. Not. R. Astron. Soc. 122, 339-343.
Литература
565
Джеффрис (1970) Jeffreys, H. (1970). The Earth, 5th ed. (Cambridge University Press,
Cambridge).
Джуитт, Лю (1996) Jewitt, D. and Luu, J. (1996). The Plutinos, in Completing the
Inventory of the Solar System, ASP Conference Series, Vol. 107, ed. T. W. Rettig and
J. M. Hahn (Astronomical Society of the Pacific, San Francisco).
Джулиан, Томре (1966) Julian, W. H. and Toomre, A. (1966). Non-axisymmetric
responses of differentially rotating disks of stars, Astrophys. J. 146, 810-830.
Джулиатти Уинтер (1994) Giuliatti Winter, S. M. (1994). The dynamics of Saturn's
F ring, University of London PhD thesis.
Дожито, Флек, Поланд (1995) Domingo, V., Fleck, В., and Poland, A. I. (1995).
The SOHO mission — An overview, Solar Physics 162, 1-37.
Дункан, Квинн, Тремейн (1987) Duncan, M., Quinn, Т., and Tremaine, S. (1987).
The origin of short-period comets, Astrophys. J. 328, L69-73.
Дункан, Квинн, Тремейн (1989) Duncan, M., Quinn, Т., and Tremaine, S. (1989).
The long-term evolution of orbits in the solar system: A mapping approach, Icarus 82,
402-418.
Дэнби (1987) Danby, J. M. A. (1987). The solution of Kepler's equation, III, Celest.
Mech. 40, 303-312.
Дэнби (1988) Danby, J. M. A. (1988). Fundamentals of Celestial Mechanics, 2nd ed.
(Willmann-Bell, Richmond).
Дэнби, Беркардт (1983) Danby, J. M. A. and Burkardt, Т. М. (1983). The solution of
Kepler's equation, I, Celest. Mech. 31, 95-107.
Дюрье (1979) Duriez, L. (1979). Approche d'une theorie generale planetaire en variables
elliptiques heliocentriques, University of Lille PhD thesis.
Зайдельман (1992) Seidelmann, P. K. (1992) (ed.) Explanatory Supplement to the
Astronomical Almanac (University Science Books, Mill Valley, CA).
Зюссман, Уиздом (1988) Sussman, G. J. and Wisdom, J. (1988). Numerical evidence
that Pluto is chaotic, Science 241, 433-437.
Зюссман, Уиздом (1992) Sussman, G. J. and Wisdom, J. (1992). Chaotic evolution of
the solar system, Science 257, 56-62.
Йодер (1973) Yoder, C. F. (1973). On the establishment and evolution of orbit-orbit
resonances, University of California Santa Barbara PhD thesis.
Йодер (1995) Yoder, С F. (1995). Astrometric and geodetic properties of Earth and
the solar system, in Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants, ed.
T. Ahrens (American Geophysical Union, Washington).
Йодер, Коломбо, Синнотт, Йодер (1983) Yoder, С. F., Colombo, G., Synnott, S. P.,
and Yoder, K. A. (1983). Theory of motion of Saturn's coorbiting satellites, Icarus 53,
431-443.
Йодер, Пил (1981) Yoder, С. F. and Peale, S. J. (1981). The tides of Io, Icarus 47,
1-35.
Йошикава (1989) Yoshikawa, M. (1989). A survey of the motions of asteroids in the
commensurabilities with Jupiter, Astron. Astrophys. 213, 436-458.
566
Литература
Карпино, Милани, Нобили (1987) Carpino, M., Milani, A., Nobili, A. M. (1987).
Long-term numerical integrations and synthetic theories for the motion of the outer
planets, Astron. Astrophys. 181, 182-194.
Каула (1961) Kaula, W. M. (1961). Analysis of gravitational and geometric aspects of
geodetic utilization of satellites, Geophys. J. 5, 104-133.
Каула (1962) Kaula, W. M. (1962). Development of the lunar and solar disturbing
functions for a close satellite, Astron. J. 67, 300-303.
Каула (1966) Kaula, W. M. (1966). Theory of Satellite Geodesy (Blaisdell, Waltham,
MA.).
Квинн, Тремейн, Дункан (1991) Quinn, Т. R., Tremaine, S., and Duncan, M. (1991).
A three million year integration of the Earth's orbit, Astron. J. 101, 2287-2305.
Кеплер (1596) Kepler, J. (1596). Mysterium Cosmographicum, 1st ed. (Tubingen).
Кеплер (1609) Kepler, J. (1609). Astronomia Nova (Heidelberg).
Кеплер (1610) Kepler, J. (1610). Dissertatio cum Nuncio Sidereo (Prague).
Кеплер (1619) Kepler, J. (1619). Harmonices Mundi Libri V (Linz).
Кеплер (1621) Kepler, J. (1621). Mysterium Cosmographicum, 2nd ed. (Frankfurt).
Киношита, Йошида, Накаи (1991) Kinoshita, H., Yoshida, H., and Nakai, H. (1991).
Symplectic integrators and their application to dynamical astronomy, Celest. Mech. Dyn.
Astron. 50, 59-71.
Киношита, Накаи (1984) Kinoshita, H. and Nakai, H. (1984). The motions of the
perihelions of Neptune and Pluto, Celest. Mech. 34, 203-217.
Киношита, Накаи (1996) Kinoshita, H. and Nakai, H. (1996). Long-term behaviour of
the motion of Pluto over 5.5 billion years, Earth, Moon, and Planets 72, 165-173.
Кирквуд (1867) Kirkwood, D. (1867). Meteoric Astronomy (Lippincott, Philadelphia).
Клаветтер (1989) Klavetter, J. J. (1989). Rotation of Hyperion. I. Observations,
Astron. J. 97, 570-579.
Клеро (1743) Clairaut, A. C. (1743). Theorie de la Figure de la Terre, Tiree des
Principes de VHydrostatique (Durand, Paris).
Кнежевич, Милани (1994) Knezevic, Z. and Milani, A. (1994). Asteroid proper
elements: The big picture, in Asteroids, Comets, Meteors 1993, ed. A. Milani, M. di
Martino, and A. Cellino (Kluwer, Dordrecht).
Козаи (1957) Kozai, Y. (1957). On the astronomical constants of saturnian satellite
system, Ann. Tokyo Astron. Obs. 2nd Ser. 5, 73-106.
Козаи (1962) Kozai, Y. (1962). Secular perturbations of asteroids with high inclinations
and eccentricities, Astron. J. 67, 591-598.
Kounep (1944) Kuiper, G. (1944). Titan: A satellite with an atmosphere, Astrophys. J.
100, 378-383.
Kounep (1951) Kuiper, G. (1951). On the origin of the solar system, in Astrophysics:
A Topical Symposium, ed. J. A. Hynek (McGraw-Hill, New York), pp. 357-424.
Колвелл (1993) Colwell, P. (1993). Solving Kepler's Equation Over Three Centuries
(Willmann-Bell, Richmond).
Литература
567
Колворд, Берне, Шоуолтер (1990) Kolvoord, R. A., Burns, J. A., and Showalter, M. R.
(1990). Periodic features in Saturn's F ring, Nature 345, 695-697.
Коломбо, Лотман, Шапиро (1966) Colombo, G., Lautman, D. A., and Shapiro, I. I.
(1966). The Earth's dust belt: Fact or fiction? 2. Gravitational focussing and Jacobi
capture, /. Geophys. Res. 71, 5705-5717.
Коломбо, Франклин, Манфорд (1968) Colombo, G., Franklin, F. A., and Munford,
С. М. (1968). On a family of periodic orbits of the restricted three-body problem and the
question of the gaps in the asteroid belt and in Saturn's rings, Astron. J. 73, 111-123.
Консолманьо (1983) Consolmagno, G. J. (1983). Lorentz forces on the dust in Jupiter's
ring, /. Geophys. Res. 88, 5607-5612.
Копал (1972) Kopal, Z. (1972). The Solar System (Oxford University Press, London).
Кохран, Левисон, Стерн, Дункан (1995) Cochran, A. L., Levison, H. F., Stern, S. A.,
and Duncan, M. J. (1995). The discovery of Halley-sized Kuiper belt objects using the
Hubble Space Telescope, Astrophys. J. 455, 342-346.
Komu (1827) Cauchy, A. L. (1827). Sur les moments d'inertie, Exercises de
Mathematiques 2, 93-103.
Коэн, Хаббард (1965) Cohen, С. J. and Hubbard, E. С (1965). Libration of the close
approaches of Pluto to Neptune, Astron. J. 70, 10-13.
Kpu (1896a) Chree, С. (1896а). Forced vibrations in isotropic elastic solid spheres and
spherical shells, Cambridge Phil. Trans. 16, 14-57.
Kpu (18966) Chree, С (1896b). Tides, on the "equilibrium theory", Cambridge Phil.
Trans. 16, 133-151.
Kpucmy (2000) Christou, A. A. (2000). A numerical survey of transient co-orbitals of
the terrestrial planets, Icarus 144, 1-20.
Kpucmy, Мюррей (1997) Christou, A. A. and Murray, С D. (1997). A second order
Laplace-Lagrange theory applied to the uranian satellite system, Astron. Astrophys. 326,
416-427.
Кук (1973) Cook, A. H. (1973). Physics of the Earth and Planets (Macmillan, London).
Кук (1980) Cook, A. H. (1980). Interiors of the Planets (Cambridge University Press,
Cambridge).
Кук (1991) Cooke, M. L. (1991). Saturn's rings: Radial variation in the Keeler Gap and
С ring photometry, Cornell University PhD thesis.
Кук, Франклин (1964) Cook, A. F. and Franklin, F. A. (1964). Rediscussion of
Maxwell's Adams prize essay on the stability of Saturn's rings, Astron. J. 69, 173-200.
Куцци, Берне (1988) Cuzzi, J. N. and Burns, J. A. (1988). Charged particle depletion
surrounding Saturn's F ring: Evidence for a moonlet belt? Icarus 74, 284-324.
Куцци, Скаргл (1985) Cuzzi, J. N. and Scargle, J. D. (1985). Wavy edges suggest
moonlet in Encke's Gap, Astrophys. J. 292, 276-290.
Ласкар (1985) Laskar, J. (1985). Accurate methods in general planetary theory, Astron.
Astrophys. 144, 133-146.
Ласкар (1986a) Laskar, J. (1986a). Secular terms of classical planetary theories using
the results of general theory, Astron. Astrophys. 157, 59-70.
568
Литература
Ласкар (19866) Laskar, J. (1986b). A general theory for the uranian satellites, Astron.
Astrophys. 166, 349-358.
Ласкар (1988) Laskar, J. (1988). Secular evolution of the Solar System over 10 million
years, Astron. Astrophys. 198, 341-362.
Ласкар (1989) Laskar, J. (1989). A numerical experiment on the chaotic behaviour of
the Solar system, Nature 338, 237-238.
Ласкар (1994) Laskar, J. (1994). Large scale chaos in the Solar system, Astron.
Astrophys. 287, L9-12.
Ласкар, Квинн, Тремейн (1992) Laskar, J., Quinn, Т., and Tremaine, S. (1992).
Confirmation of resonant structure in the Solar system, Icarus 95, 148-152.
Ласкар, Робутель (1993) Laskar, J. and Robutel, P. (1993). The chaotic obliquity of
the planets, Nature 361, 608-612. [Имеется перевод в сб.: Резонансы в небесной
механике. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006, с. 229.]
Леверье (1847) Le Verrier, U. J.-J. (1847). Sur la planete qui produit les anomalies
observees dans le mouvement d'Uranus. Determination de sa masse, de son orbite et de
sa position actuelle, Comptes Rendus 23, 428-438, 657-659.
Леверье (1855) Le Verrier, U. J.-J. (1855). Developpement de la fonction qui sert de
base au calcul des perturbations des mouvements des planetes, Ann. Obs. Paris, Mem.
1, 258-331.
Левисон, Дункан (1994) Levison, H. F. and Duncan, M. J. (1994). The long-term
dynamical behavior of short-period comets, Icarus 108, 18-36.
Лейн, Хорд, Вест, Эспозито, Коффен, Сато, Симмонс, Помфри, Моррис (1982)
Lane, A. L., Hord, С. W., West, R. A., Esposito, L. W., Coffeen, D. L., Sato, M.,
Simmons, K. E., Pomphrey, R. В., and Morris, R. B. (1982). Photopolarimetry from
Voyager 2: Preliminary results on Saturn, Titan, and the rings, Science 215, 537-543.
Леметр, Морбиделли (1994) Lemaitre, A. and Morbidelli, A. (1994). Proper elements
for highly inclined asteroidal orbits, Celest. Mech. Dyn. Astron. 60, 29-56.
Лин, Папалойцу (1979) Lin, D. N. C. and Papaloizou, J. (1979). Tidal torques on
accretion discs in binary systems with extreme mass ratios, Mon. Not. R. Astron. Soc.
186, 799-812.
Линден-Белл, Прингл (1974) Lynden-Bell, D. and Pringle, J. E. (1974). The evolution
of viscous discs and the origin of the nebular variables, Mon. Not. R. Astron. Soc. 168,
603-637.
Лиске (1998) Lieske, J. H. (1998). Galilean satellite ephemerides E5, Astron. Astrophys.
Suppl. 129, 205-217.
Лиссауэр (1985) Lissauer, J. J. (1985). Shepherding model for Neptune's arc ring,
Nature 318, 544-545.
Лиссауэр, Голдрайх, Тремейн (1985) Lissauer, J. J., Goldreich, P., and Tremaine, S.
(1985). Evolution of the Janus-Epimetheus coorbital resonance due to torques from
Saturn's rings, Icarus 64, 425-434.
Лихтенберг, Либерман (1983) Lichtenberg, A. J. and Lieberman, M. A. (1983).
Regular and Stochastic Motion (Springer-Verlag, New York). [Имеется перевод:
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984.]
Литература
569
Лонге-Хиггинс (1950) Longuet-Higgins, M. S. (1950). A theory of the origin of
microseisms, Phil. Trans. R. Soc. London A 243, 1-35.
Лоу (1984) Low, F. J. et al. (1984). Infrared cirrus: New components of the extended
infrared emission, Astrophys. J. 278, LI9-22.
Лунин (1993) Lunine, J. I. (1993). Does Titan have an ocean? A review of current
understanding of Titan's surface, Rev. Geophys. 31, 133-149.
Лю (1994) Luu, J. (1994). The Kuiper belt, in Asteroids, Comets, Meteors 1993, ed.
A. Milani, M. Di Martino, and M. Cellino (Kluwer, Dordrecht).
Лю, Джуитт (1996) Luu, J., and Jewitt, D. (1996). Enlarging the solar system:
The Kuiper belt, in Completing the Inventory of the Solar System, ASP Conference
Series, Vol. 107, ed. T. W. Rettig and J. M. Hahn (Astronomical Society of the Pacific,
San Francisco).
Ляв (1911) Love, A. E. H. (1911). Some Problems of Geodynamics (Cambridge
University Press, Cambridge).
Ляв (1944) Love, A. E. H. (1944). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity,
4th ed. (Dover, New York).
Мак-Дональд (1964) MacDonald, G. J. F. (1964). Tidal friction, Rev. Geophys. 2,
467-541. [Имеется перевод в сб.: Приливы и резонансы в Солнечной системе / Ред.
B. Н. Жарков. - М.: Мир, 1975, с. 9.]
Мак-Каллаг (1844а) MacCullagh, J. (1844a). Proc. Royal Irish Academy 2, 520-526.
Мак-Каллаг (18446) MacCullagh, J. (1844b). Proc. Royal Irish Academy 2, 542-545.
Мак-Миллан (1936) MacMillan, W. D. (1936). Dynamics of Rigid Bodies (McGraw-
Hill, New York).
Мак-Роберт (1967) MacRobert, Т. М. (1967). Spherical Harmonics (Pergamon Press,
Oxford).
Максвелл (1859) Maxwell, J. С (1859). On the Stability of the Motions of Saturn's
Rings (MacMillan, London).
Мальхотра (1988) Malhotra, R. (1988). Some aspects of the dynamics of orbit-orbit
resonances in the uranian satellite system, Cornell University PhD thesis.
Мальхотра (1993) Malhotra, R. (1993). The origin of Pluto's peculiar orbit, Nature
365, 819-820.
Мальхотра (1994) Malhotra, R. (1994). A mapping method for the gravitational
few-body problem with dissipation, Celest. Mech. Dyn. Astron. 60, 373-385.
Мальхотра (1995) Malhotra, R. (1995). The origin of Pluto's orbit — Implications for
the solar system beyond Neptune, Astron. J. 110, 420-429.
Мальхотра, Блэк, Эк, Джексон (1992) Malhotra, R., Black, D., Eck, A., and Jackson,
A. (1992). Resonant orbital evolution in the putative planetary system of PSR1257+12,
Nature 356, 583-585.
Мальхотра, Фокс, Мюррей, Николсон (1989) Malhotra, R., Fox, К., Murray, С. D.,
and Nicholson, P. D. (1989). Secular perturbations of the uranian satellites: Theory and
practice, Astron. Astrophys. 221, 348-358.
Марли (1990) Marley, M. S. (1990). Nonradial oscillations of Saturn: Implications for
ring system structure, University of Arizona PhD thesis.
570
Литература
Марли, Порко (1993) Marley, M. S. and Porco, С. С. (1993). Planetary acoustic mode
seismology: Saturn's rings, Icarus 106, 508-524.
Марсден, Уильяме (1997) Marsden, В. G. and Williams, G. V. (1997). IAU Circular
6780.
Маршаль (1990) Marchal, С (1990). The Three-Body Problem (Elsevier, Amsterdam).
[Имеется перевод: Маршал К. Задача трех тел. — Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2004.]
Мельников (1963) Melnikov, V. К. (1963). On the stability of the center for time
periodic perturbations, Trans. Moscow Math. Soc. 12, 1-57. [Труды ММО, т. 12, с. 1.]
Месседж (1966) Message, P. J. (1966). On nearly-commensurable periods in the
restricted problem of f three bodies, with calculations of the long-period variations of the
interior 2:1 case, in The Theory of Orbits in the Solar System and in Stellar Systems,
IAU Symposium No. 25, ed. G. Contopoulos (Academic Press, London).
Месседж (1989) Message, P. J. (1989). The use of computer algorithms in the
construction of a theory of the long-period perturbations of Saturn's satellite Hyperion,
Celest. Mech. 45, 45-53.
Месседж (1993) Message, P. J. (1993). On the second order long-period motion of
Hyperion, Celest. Mech. Dyn. Astron. 56, 277-284.
Миккола, Иннанен, Муйнонен, Боуэлл (1994) Mikkola, S., Innanen, К. A., Muinonen,
K., and Bowell, E. (1994). A preliminary analysis of the orbit of the Mars trojan asteroid
(5261) Eureka, Celest. Mech. Dyn. Astron. 58, 53-64.
Милани (1993) Milani, A. (1993). The Trojan asteroid belt: Proper elements, stability,
chaos and families, Celest. Mech. 57, 59-94.
Милани, Карпино, Хан, Нобили (1989) Milani, A., Carpino, M., Hahn, G., and Nobili,
A. M. (1989). Dynamics of planet-crossing asteroids: Classes of orbital behaviour, Icarus
78, 212-269.
Милани, Кнежевич (1990) Milani, A. and KneZevic, Z. (1990). Secular perturbation
theory and computation of asteroid proper elements, Celest. Mech. 49, 347-11.
Милани, Нобили (1992) Milani, A. and Nobili, A. M. (1992). An example of stable
chaos in the Solar system, Nature 357, 569-571.
Мич, Белтон (1989) Meech, К. and Belton, M. (1989), IAU Circular 4770.
Мишель, Томас (1995) Michel, P. and Thomas, F. (1995). The Kozai resonance for
near-Earth asteroids with semimajor axes smaller than 2 AU, Astron. Astrophys. 307,
310-318.
Молнар, Данн (1995) Molnar, L. A. and Dunn, D. E. (1995). The Mimas 2: 1 eccentric
corotational resonance in Saturn's outer В ring, Icarus 116, 397-408.
Монтенбрук (1989) Montenbruck, O. (1989). Practical Ephemeris Calculations
(Springer-Verlag, Heidelberg).
Морабито, Синнотт, Купферман, Коллинз (1979) Morabito, L., Synnott, S. P.,
Kupferman, P. N., and Collins, S. A. (1979). Discovery of current active extraterrestrial
volcanism, Science 204, 972.
Мунс, Морбиделли (1995) Moons, M. and Morbidelli, A. (1995). Secular resonances
in mean motion commensurabilities — the 4/1, 3/1, 5/2, and 7/3 cases, Icarus 114,
33-50.
Литература
571
Мюррей (1985) Murray, С. D. (1985). A note on Le Verrier's expansion of the disturbing
function, Celest. Mech. 36, 163-164.
Мюррей (1986) Murray, С D. (1986). The structure of the 2:1 and 3:2 jovian
resonances, Icarus 65, 70-82.
Мюррей (1994a) Murray, С D. (1994a). Planetary ring dynamics, Phil. Trans. R. Soc.
London A 349, 335-344.
Мюррей (19946) Murray, С D. (1994b). The dynamical effects of drag in the circular
restricted three-body problem: I. The location and stability of the Lagrangian equilibrium
points, Icarus 112, 465-484.
Мюррей (1996) Murray, С D. (1996). Real and imaginary Kirkwood gaps, Mon. Not.
R. Astron. Soc. 279, 978-986.
Мюррей (1998) Murray, С D. (1998). Chaotic motion in the solar system, in
Encyclopedia of the Solar System, ed. T. Johnson, P. Weissman, and L. McFadden
(Academic Press, Orlando).
Мюррей (1999) Murray, С D. (1999). The dynamics of planetary rings and small
satellites, in Dynamics of Small Bodies in the Solar System: A Major Key to Solar
System Studies, ed. B. Steves and A. E. Roy (Kluwer, Dordrecht).
Мюррей, Гордон, Джулиатти Уинтер (1997) Murray, С. D., Gordon, M. К., and
Giuliatti Winter, S. M. (1997). Unraveling the strands of Saturn's F ring, Icarus 129,
304-316.
Мюррей, Джулиатти Уинтер (1996) Murray, С. D. and Giuliatti Winter, S. M.
(1996). Periodic collisions between the moon Prometheus and Saturn's F ring, Nature
380, 139-141.
Мюррей, Томпсон (1990) Murray, С. D. and Thompson, R. P. (1990). Orbits of shepherd
satellites deduced from structure of the rings of Uranus, Nature 348, 499-502.
Мюррей, Фокс (1984) Murray, С. D. and Fox, K. (1984). Structure of the 3: 1 jovian
resonance: A comparison of numerical methods, Icarus 59, 221-233.
Мюррей, Хольман (1997) Murray, N. and Holman, M. (1997). Diffusive chaos in the
outer asteroid belt, Astron. J. 114, 1246-1259.
Накамура, Латэм, Дорман, Дюннебир (1976) Nakamura, Y., Latham, G. V., Dorman,
H. J., and Duennebier, F. K. (1976). Seismic structure of the Moon: A summary of
current status, Proc. Lunar Sci. Conf. 7, 3113-3121.
Налл, Оуэн, Синнотт (1993) Null, G. W., Owen, W. M., and Synnott, S. P. (1993).
Masses and densities of Pluto and Charon, Astron. J. 105, 2319-2335.
Намуни (1999) Namouni, F. (1999). Secular interactions of coorbiting objects, Icarus
137, 293-314.
Намуни, Кристу, Мюррей (1999) Namouni, F., Christou, A. A., and Murray, С D.
(1999). New coorbital dynamics in the solar system, Astro-ph/9904016.
Намуни, Лучиани, Табачник, Пеллат (1996) Namouni, F., Luciani, J. F., Tabachnik,
S., and Pellat, R. (1996). A mapping approach to Hill's distant encounters, Astron.
Astrophys. 313, 979-992.
Huemo (1972) Nieto, M. M. (1972). The Titius-Bode Law of Planetary Distances: Its
History and Theory (Pergamon Press, Oxford). [Имеется перевод: Ньето М. М. Закон
Тициуса-Боде. История и теория. — М.: Мир, 1976.]
572
Литература
Николсон, Гамильтон, Мэттьюз, Йодер (1992) Nicholson, P. D., Hamilton, D. Р.,
Matthews, К., and Yoder, С. F. (1992). New observations of Saturn's coorbital satellites,
Icarus 100, 464-484.
Николсон, Доунс (1991) Nicholson, P. D. and Dones, L. (1991). Planetary rings, Rev.
Geophys., Suppl. 29, 313-327.
Николсон, Мэттьюз (1991) Nicholson, P. D. and Matthews, K. (1991). Near-infrared
observations of the jovian ring and small satellites, Icarus 93, 331-346.
Николсон, Порко (1988) Nicholson, P. D. and Porco, С. С. (1988). A new constraint
on Saturn's zonal gravity harmonics supplied by Voyager observations of an eccentric
ringlet, /. Geophys. Res. 93, 10209-10224.
Николсон, Шоуолтер, Доунс, Френч, Ларсон, Лиссауэр, Мак-Ги, Зайтцер, Сикар-
ди, Дениелсон (1996) Nicholson, P. D., Showalter, M. R., Dones, L., French, R. G.,
Larson, S. M., Lissauer, J. J., McGhee, C. A., Seitzer, P., Sicardy, В., and Danielson,
G. E. (1996). Observations of Saturn's ring-plane crossings in August and November
1995, Science 272, 509-515.
Нойеебауэр, Байхман, Сойфер, Ауман, Честер, Готье, Джиллет, Хаузер, Хаук,
Лонсдейл, Лоу, Яне (1984) Neugebauer, G., Beichmann, С. A., Soifer, В. Т., Aumann,
Н. Н., Chester, Т. J., Gautier, Т. N., Gillet, F. С., Hauser, M. G., Houck, J. R., Lonsdale,
С. J., Low, F. J., and Young, E. (1984). Early results from the Infrared Astronomical
Satellite, Science 224, 14-21.
Ньюком (1895) Newcomb, S. (1895). A development of the perturbative function in
cosines of multiples of the mean anomalies and of angles between the perihelia and
common node and in powers of the eccentricities and mutual inclination, Astron. Papers
Am. Ephem. 5, 5-48.
Ньютон (1687) Newton, I. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
(Royal Society, London). [Имеется перевод: Ньютон И. Математические начала
натуральной философии. Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.:
Наука, 1989.]
Оикава, Эверхарт (1979) Oikawa, S. and Everhart, E. (1979). Past and future orbit of
1977UB, Object Chiron, Astron. J. 84, 134-139.
Окерт-Белл, Берне, Даубар, Томас, Веверка, Белтон, Класен (1999) Ockert-Bell,
М. Е., Burns, J. A., Daubar, I. J., Thomas, P. C, Veverka, J., Belton, M. J. S., and
Klaasen, K. P. (1999). The structure of Jupiter's ring system as revealed by the Galileo
imaging experiment, Icarus 138, 188-213.
Отон (1855) Haughton, S. (1855). On the rotation of a solid body round a fixed point;
being an account of the late Professor MacCullagh's lectures on that subject, Trans.
Royal Irish Academy 22, 139-154.
Оуэн, Воан, Синнотт (1991) Owen, W. M, Vaughan, R. M., and Synnott, S. P. (1991).
Orbits of the six new satellites of Neptune, Astron. J. 101, 1511-1515.
Оуэн, Синнотт (1987) Owen, W. M. and Synnott, S. P. (1987). Orbits of the ten small
satellites of Uranus, Astron. J. 93, 1268-1271.
Петтенджилл, Дайс (1965) Pettengill, G. H. and Dyce, R. B. (1965). A radar
determination of the rotation of the planet Mercury, Nature 206, 1240.
Пил (1976) Peale, S. J. (1976). Orbital resonances in the solar system, Annu. Rev.
Astron. Astrophys. 14, 215-245.
Литература
573
Пил (1986) Peale, S. J. (1986). Orbital resonances, unusual configurations and exotic
rotation states among planetary satellites, in Satellites, ed. J. A. Burns and M. S.
Matthews (University of Arizona Press, Tucson).
Пил (1988) Peale, S. J. (1988). Speculative histories of the uranian satellite system,
Icarus 74, 153-171.
Пил (1993a) Peale, S. J. (1993a). On the verification of the planetary system around
PSR1257+12, Astron. J. 105, 1562-1570.
Пил (19936) Peale, S. J. (1993b). The effect of the nebula on the Trojan precursors,
Icarus 106, 308-322.
Пил, Кассен, Рейнольде (1979) Peale, S. J., Cassen, P., and Reynolds, R. T. (1979).
Melting of Io by tidal dissipation, Science 203, 892-894.
Пирс (1849) Peirce, B. (1849). Development of the perturbative function of planetary
motion, Astron. J. 1, 1-8, 31-36.
Пламмер (1918) Plummer, H. С (1918). An Introductory Treatise on Dynamical
Astronomy (Cambridge University Press, Cambridge).
Порко (1983) Porco, С. С. (1983). Voyager observations of Saturn's rings, California
Institute of Technology PhD thesis.
Порко (1990) Porco, С. С. (1990). Narrow rings: Observation and theory, Adv. Space
Res. 10, 221-229.
Порко (1991) Porco, С. С. (1991). An explanation for Neptune's ring arcs, Science 253,
995-1001.
Порко, Голдрайх (1987) Porco, С. С. and Goldreich, P. (1987). Shepherding of the
uranian rings. I. Kinematics, Astron. J. 93, 724-729.
Порко, Дениелсон, Голдрайх, Хольбере, Лейн (1984а) Porco, С. С, Danielson, G. Е.,
Goldreich, P., Holberg, J. В., and Lane, A. L. (1984a). Saturn's non-axisymmetric ring
edges at 1.95i?s and 2.27i?s, Icarus 60, 17-28.
Порко, Николсон (1987) Porco, С. С. and Nicholson, P. D. (1987). Eccentric features
in Saturn's outer С ring, Icarus 72, 437-467.
Порко, Николсон, Бордери, Дениелсон, Голдрайх, Хольбере, Лейн (19846) Porco,
С. С, Nicholson, P. D., Borderies, N., Danielson, G. E., Goldreich, P., Holberg, J. В.,
and Lane, A. L. (1984b). The eccentric saturnian ringlets at 1.29it!s and 1.45it!s, Icarus
60, 1-16.
Порко, Николсон, Куцци, Лиссауэр, Эспозито (1995) Porco, С. С, Nicholson, P. D.,
Cuzzi, J. N., Lissauer, J. J., and Esposito, L. W. (1995). Neptune's ring system,
in Neptune and Triton, ed. D. P. Cruikshank (University of Arizona Press, Tucson).
Праудман (1953) Proudman, J. (1953). Dynamical Oceanography (Methuen, London).
Пуанкаре (1892) Poincare, H. (1892). Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste
I (Gauthier-Villars, Paris). [Имеется перевод в кн.: Пуанкаре А. Избранные труды
в трех томах. Т. 1. — М.: Наука, 1971.]
Пуанкаре (1893) Poincare, H. (1893). Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste
II (Gauthier-Villars, Paris). [Имеется перевод в кн.: Пуанкаре А. Избранные труды
в трех томах. Т. 2. — М.: Наука, 1971.]
574
Литература
Пуанкаре {1899) Poincare, H. (1899). Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste
III (Gauthier-Villars, Paris). [Имеется перевод в кн.: Пуанкаре А. Избранные труды
в трех томах. Т. 3. — М.: Наука, 1972.]
Пуанкаре {1902) Poincare, H. (1902). Sur les planetes du type d'Hecube, Bulletin
Astronomique 19, 289-312.
Пуанкаре {1905) Poincare, H. (1905). Lemons de Mecanique Celeste I (Gauthier-Villars,
Paris). [Имеется перевод: Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. — М.: Наука,
1965.]
Радо {1885) Radau, R. (1885). Sur la loi des densites a l'interieur de la Terre, C.R.
Acad. Sci. Paris 100, 972-974.
Райд {1973) Reid, M. (1973). The tidal loss of satellite-orbiting objects and its
implication for the lunar surface, Icarus 20, 240-248.
Рамсей {1937) Ramsey, A. S. (1937). Dynamics. Part 2 (Cambridge University Press,
Cambridge).
Рамсей {1940) Ramsey, A. S. (1940). An Introduction to the Theory of Newtonian
Attraction (Cambridge University Press, Cambridge).
Раппапорт, Бертотти, Джиампьери, Андерсон {1997) Rappaport, N., Bertotti, В.,
Giampieri, G., and Anderson, J. D. (1997). Doppler measurements of the quadrupole
moments of Titan, Icarus 126, 313-323.
Pacuo, Николсон, Шапиро, Тюкольски {1992) Rasio, F. A., Nicholson, P. D., Shapiro,
S. L., and Teukolsky, S. A. (1992). An observational test for the existence of a planetary
system orbiting PSR1257+12, Nature 355, 325-326.
Рич, Франц, Вайланд, Хаузер, Келсалл, Райт, Роли, Стемведел, Списман {1995)
Reach, W. Т., Franz, В. A., Weiland, J. L., Hauser, M. G., Kelsall, Т. N., Wright, E. L.,
Rawley, G., Stemwedel, S. W., and Spiesman, W. J. (1995). Observational confirmation
of a circumsolar dust ring by the СОВЕ satellite, Nature 374, 521-523.
Розен {1989) Rosen, P. A. (1989). Waves in Saturn's rings probed by radio occultation,
Stanford University PhD thesis.
Рой {1988) Roy, A. E. (1988). Orbital Motion (Adam Hilger, Bristol). [Имеется перевод
первого издания: Рой А. Движение по орбитам. — М.: Мир, 1981.]
Рой, Овенден {1954) Roy, A. E. and Ovenden, M. W. (1954). On the occurrence of
commensurable mean motions in the solar system, Mon. Not. R. Astron. Soc. 114,
232-241.
Рой, Уолкер, Мак-Доналд, Уильяме, Фокс, Мюррей, Милани, Нобили, Месседж,
Синклер, Карпино {1988) Roy, A. E., Walker, I. W., Macdonald, A. J., Williams, I. P.,
Fox, K., Murray, С D., Milani, A., Nobili, A. M., Message, P. J., Sinclair, А. Т., and
Carpino, M. (1988). Project LONGSTOP, Vistas in Astronomy 32, 95-116.
Роузвир {1982) Roseveare, N. T. (1982). Mercury's Perihelion from Le Verrier to
Einstein (Clarendon Press, Oxford). [Имеется перевод: Роузвер Н. Т. Перигелий
Меркурия от Леверье до Эйнштейна. — М.: Мир, 1985.]
Саган {1994) Sagan, С. (1994). Pale Blue Dot (Random House, New York).
Саган, Дермотт {1982) Sagan, С. and Dermott, S. F. (1982). The tide in the seas of
Titan, Nature 300, 731-733.
Литература
575
Сафронов (1972) Safronov, V. S. (1972). Evolution of the Protoplanetary Cloud
and Formation of the Earth and Planets (Israel Program for Scientific Translation,
Jerusalem). [Перевод книги: Сафронов В. С. Эволюция допланетного облака и
образование Земли и планет. — М.: Наука, 1969.]
Саха, Тремейн (1992) Sana, P. and Tremaine, S. (1992). Symplectic integrators for
solar system dynamics, Astron. J. 104, 1633-1640.
Саха, Тремейн (1994) Saha, P. and Tremaine, S. (1994). Long-term planetary
integration with individual time steps, Astron. J. 108, 1962-1969.
Себехей (1967) Szebehely, V. (1967). The Theory of Orbits (Academic Press, New
York). [Имеется перевод: Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. —
М.: Наука, 1982.]
Симмонс, Мак-Доналд, Браун (1985) Simmons, J. F. L., McDonald, A. J. C, and
Brown, J. C. (1985). The restricted 3-body problem with radiation pressure, Celest.
Mech. 35, 145-187.
Синклер (1972) Sinclair, A. T. (1972). On the origin of the commensurabilities amongst
the satellites of Saturn, Mon. Not. R. Astron. Soc. 160, 169-187.
Синнотт, Террайл, Якобсон, Смит (1983) Synnott, S. P., Terrile, R. J., Jacobson,
R. A., and Smith, B. A. (1983). Orbits of Saturn's F-ring and its shepherding satellites,
Icarus 53, 156-158.
Cupc (1995) Sears, W. D. (1995). Tidal dissipation in oceans on Titan, Icarus 113,
39-56.
Смит и др. (1979a) Smith, В. A. et al. (1979a). The Jupiter system seen through the
eyes of Voyager 1, Science 204, 951-972.
Смит и др. (19796) Smith, В. A. et al. (1979b). The Galilean satellites and Jupiter:
Voyager 2 imaging science results, Science 206, 927-950.
Смит и др. (1981) Smith, В. A. et al. (1981). Encounter with Saturn: Voyager 1
imaging science results, Science 212, 163-191.
Смит и др. (1982) Smith, В. A. et al. (1982). A new look at the Saturn system:
The Voyager 2 images, Science 215, 504-537.
Смит и др. (1989) Smith, В. A. et al. (1989). Voyager 2 at Neptune: Imaging science
results, Science 246, 1422-1449.
Стивенсон (1983) Stevenson, D. J. (1983). Anomalous bulk viscosity of two-phase
fluids and implications for planetary interiors, /. Geophys. Res. 88, 2445-2455.
Cmpum (1925) Street, R. O. (1925). Oceanic tides as modified by a yielding Earth,
Mon. Not. R. Astron. Soc. Geophys. Suppl. 1, 292-306.
Стэндиш, Ньюхолл, Уильяме, Йоманс (1992) Standish, E. M., Newhall, X. X.,
Williams, J. G., and Yeomans, D. K. (1992). Orbital ephemerides of the Sun, Moon, and
planets, in Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, ed. P. K. Seidelmann
(University Science Books, Mill Valley, CA).
Стэндиш, Хеллингс (1989) Standish, E. M. and Hellings, R. W. (1989). A
determination of the masses of Ceres, Pallas, and Vesta from their perturbations upon the orbit of
Mars, Icarus 80, 326-333.
Тейлор (1981) Taylor, D. B. (1981). Horseshoe periodic orbits in the restricted problem
of three bodies for a Sun-Jupiter mass ratio, Astron. Astrophys. 103, 288-294.
576
Литература
Тиссеран (1896) Tisserand, F.-F. (1896). Traite de Mecanique Celeste IV (Gauthier-
Villars, Paris).
Титтемор, Уиздом (1988) Tittemore, W. C. and Wisdom, J. (1988). Tidal evolution of
the uranian satellites. I. Passage of Ariel and Umbriel through the 5:3 mean-motion
commensurability, Icarus 74, 172-230.
Титтемор, Уиздом (1989) Tittemore, W. C. and Wisdom, J. (1989). Tidal evolution
of the uranian satellites. II. An explanation of the anomalously high orbital inclination
of Miranda, Icarus 78, 63-89.
Титтемор, Уиздом (1990) Tittemore, W. C. and Wisdom, J. (1990). Tidal evolution of
the uranian satellites. III. Evolution through the Miranda-Umbriel 3:1, Miranda-Ariel
5:3 and Ariel-Umbriel 2: 1 mean-motion resonances, Icarus 85, 394-443.
Толен, Буйи (1997) Tholen, D. J. and Buie, M. W. (1997). The orbit of Charon. 1. New
Hubble Space Telescope observations, Icarus 125, 245-260.
Толен, Хартман, Крукшанк (1988) Tholen, D. J., Hartmann, W. K., and Cruikshank,
D. P. (1988). IAU Circular 4554.
Томас, Веверка, Дермотт (1986) Thomas, P., Veverka, J., and Dermott, S. F. (1986).
Small satellites, in Satellites, ed. J. A. Burns and M. S. Matthews (University of Arizona
Press, Tucson).
Томас, Веверка, Венкерт, Дениелсон, Девис (1984) Thomas, P., Veverka, J., Wenkert,
D., Danielson, G. E., and Davies, M. (1984). Hyperion: 13-day rotation from Voyager
data, Nature 307, 716-717.
Томас, Морбиделли (1996) Thomas, F. and Morbidelli, A. (1996). The Kozai resonance
in the outer solar system and the dynamics of long-period comets, Celest. Mech. Dyn.
Astron. 64, 209-229.
Томсон (Лорд Кельвин) (1863) Thomson, W. (Lord Kelvin) (1863). Dynamical problems
regarding elastic spheroidal shells; and On the rigidity of the Earth, Phil. Trans. R. Soc.
London 153, 573-616.
Тума, Уиздом (1993) Touma, J. and Wisdom, J. (1993). The chaotic obliquity of Mars,
Science 259, 1294-1297.
Уигерт, Иннанен, Миккола (1997) Wiegert, P. A., Innanen, K. A., and Mikkola, S.
(1997). An asteroidal companion to the Earth, Nature 387, 685-686.
Уиздом (1980) Wisdom, J. (1980). The resonance overlap criterion and the onset of
stochastic behavior in the restricted three-body problem, Astron. J. 85, 1122-1133.
Уиздом (1982) Wisdom, J. (1982). The origin of the Kirkwood gaps: A mapping
technique for asteroidal motion near the 3/1 commensurability, Astron. J. 87, 577-593.
Уиздом (1983) Wisdom, J. (1983). Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood
gap, Icarus 56, 51-74. [Имеется перевод в сб.: Резонансы в небесной механике. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006, с. 9.]
Уиздом (1985а) Wisdom, J. (1985a). A perturbative treatment of motion near the 3/1
commensurability, Icarus 63, 272-289. [Имеется перевод в сб.: Резонансы в небесной
механике. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006, с. 69.]
Уиздом (19856) Wisdom, J. (1985b). Meteorites may follow a chaotic route to Earth,
Nature 315, 731-733.
Литература
577
Уиздом {1987а) Wisdom, J. (1987a). Urey Prize Lecture: Chaotic dynamics in the solar
system, Icarus 72, 241-275.
Уиздом {19876) Wisdom, J. (1987b). Chaotic behaviour in the solar system, Proc. R.
Soc. London. A 413, 109-129.
Уиздом, Пил, Миньяр {1984) Wisdom, J., Peale, S. J., and Mignard, F. (1984). The
chaotic rotation of Hyperion, Icarus 58, 137-152.
Уиздом, Хольман {1991) Wisdom, J. and Holman, M. (1991). Symplectic maps for the
TV-body problem, Astron. J. 102, 1528-1538.
Уильяме {1969) Williams, J. G. (1969). Secular perturbations in the solar system,
University of California Los Angeles PhD thesis.
Уильяме {1979) Williams, J. G. (1979). Proper elements and family membership of the
asteroids, in Asteroids, ed. T. Gehrels (University of Arizona Press, Tucson).
Уильяме, Фолкнер {1981) Williams, J. G. and Faulkner, J. (1981). The positions of
secular resonance surfaces, Icarus 46, 390-399.
Уинтер, Мюррей {1994а) Winter, О. С and Murray, С D. (1994a). Atlas of the planar,
circular, restricted three-body problem. I. Internal orbits, QMW Maths Notes, No. 16,
Queen Mary and Westfield College, London.
Уинтер, Мюррей {19946) Winter, О. С. and Murray, С. D. (1994b). Atlas of the planar,
circular, restricted three-body problem. II. External orbits, QMW Maths Notes, No. 17,
Queen Mary and Westfield College, London.
Уинтер, Мюррей {1997) Winter, О. С. and Murray, С. D. (1997). Resonance and chaos.
I. First-order interior resonances, Astron. Astrophys. 319, 290-304.
Уэбб {1982) Webb, D. J. (1982). Tides and the evolution of the Earth-Moon system,
Geophys. J. R. Astron. Soc. 70, 261-271.
Уэзерилл {1985) Wetherill, G. W. (1985). Asteroidal source of ordinary chondrites,
Meteoritics 18, 1-22.
Уэстфолл {1980) Westfall, R. S. (1980). Never at Rest. A Biography of Isaac Newton
(Cambridge University Press, Cambridge).
Фейнман, Лейтон, Сэндс {1963) Feynman, R. P., Leighton, R. В., and Sands, M.
(1963). The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1 (Addison-Wesley, Reading, MA).
[Имеется перевод: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике. Т. 1. Современная наука о природе. Законы механики. — М.: Мир, 1967.]
Фернандес {1997) Fernandez, J. A. (1997). The formation of the Oort cloud and the
primitive galactic environment, Icarus 129, 106-119.
Филд {1988) Field, J. V. (1988). Kepler's Geometric Cosmology (Athlone Press,
London).
Френч, Николсон, Порко, Маруф {1991) French, R. G., Nicholson, P. D., Porco, С. С,
and Marouf, E. A. (1991). Dynamics and structure of the uranian rings, in Uranus,
ed. J. Bergstrahl et al. (University of Arizona Press, Tucson).
Френч, Эллиот, Френч, Канга, Мин, Ресслер, Буйи, Фрогель, Хольберг, Фенсалида,
Джой {1988) French, R. G., Elliot, J. L., French, L. M., Kangas, J. A., Meech, K. J.,
Ressler, M. E., Buie, M. W., Frogel, J. A., Holberg, J. В., Fuensalida, J. J., and Joy,
M. (1988). Uranian ring orbits from Earth-based and Voyager occultation experiments,
Icarus 73, 349-378.
578
Литература
Фрешле, Морбиделли {1994) Froeschle, Ch. and Morbidelli, A. (1994). The secular
resonances in the solar system, in Asteroids, Comets, Meteors 1993, ed. A. Milani,
M. di Martino, and A. Cellino (Kluwer, Dordrecht).
Фрешле, Хан, Гониц, Морбиделли, Фаринелла {1995) Froeschle, С, Hahn, G., Gonczi,
R., Morbidelli, A., and Farinella, P. (1995). Secular resonances and the dynamics of
Mars-crossing and near-Earth asteroids, Icarus 117, 45-61.
Хаббард, Браик, Сикарди, Элицер, Роке, Вила {1986) Hubbard, W. В., Brahic, A.,
Sicardy, В., Elicer, L.-R., Roques, E, and Vilas, F. (1986). Occultation detection of
a neptunian ring-like arc, Nature 319, 636-640.
Хагихара {1970) Hagihara, Y. (1970). Celestial Mechanics I. Dynamical Principles and
Transformation Theory (MIT Press, Cambridge).
Хагихара {1972а) Hagihara, Y. (1972a). Celestial Mechanics II, i. Perturbation Theory
(MIT Press, Cambridge).
Хагихара {19726) Hagihara, Y. (1972b). Celestial Mechanics II, ii. Perturbation Theory
(MIT Press, Cambridge).
Хагихара {1974а) Hagihara, Y. (1974a). Celestial Mechanics III, i. Differential
Equations in Celestial Mechanics (Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo).
Хагихара {19746) Hagihara, Y. (1974b). Celestial Mechanics III, ii. Differential
Equations in Celestial Mechanics (Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo).
Хагихара {1975а) Hagihara, Y. (1975a). Celestial Mechanics IV, i. Periodic and
Quasi-Periodic Solutions (Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo).
Хагихара {19756) Hagihara, Y. (1975b). Celestial Mechanics IV, ii. Periodic and
Quasi-Periodic Solutions (Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo).
Хагихара {1976a) Hagihara, Y. (1976a). Celestial Mechanics V, i. Topology of the
Three-Body Problem (Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo).
Хагихара {19766) Hagihara, Y. (1976b). Celestial Mechanics V, ii. Topology of the
Three-Body Problem (Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo).
Ханель и др. {1981) Hanel, R. et al. (1981). Infrared observations of the saturnian
system from Voyager 1, Science 212, 192-200.
Харпер, Тейлор {1993) Harper, D. and Taylor, D. B. (1993). The orbits of the major
satellites of Saturn, Astron. Astrophys. 268, 326-349.
Xenon {1969) Henon, M. (1969). Numerical exploration of the restricted problem.
V. Hill's case: Periodic orbits and their stability, Astron. Astrophys. 1, 223-238.
Xenon, Пти {1986) Henon, M. and Petit, J.-M. (1986). Series expansions for encounter-
type solutions of Hill's problem, Celest. Mech. 38, 67-100.
Хилл {1878) Hill, G. W. (1878). Researches in the lunar theory, Am. J. Math. 1, 5-26,
129-147, 245-261.
Хилл {1897) Hill, G. W. (1897). On the values of the eccentricities and longitudes of
the perihelia of Jupiter and Saturn for distant epochs, Astron. J. 17, 81-87.
Хираяма {1918) Hirayama, K. (1918). Groups of asteroid probably of common origin,
Astron. J. 31, 185-188.
Хойл {1974) Hoyle, F. (1974). The work of Nicolaus Copernicus, Proc. R. Soc.
London. A 336, 105-114.
Литература
579
Хольберг, Форрестер, Лиссауэр (1982) Holberg, J. В., Forrester, W. Т., and Lissauer,
J. J. (1982). Identification of resonance features within the rings of Saturn, Nature 297,
115-120.
Хольман, Мюррей (1996) Holman, M. J. and Murray, N. W. (1996). Chaos in high-order
mean motion resonances in the outer asteroid belt, Astron. J. 112, 1278-1293.
Хольман, Тума, Тремейн (1997) Holman, M. J., Touma, J., and Tremaine, S. (1997).
Chaotic variations in the eccentricity of the planet orbiting 16 Cygni B, Nature 386,
254-256.
Хораньи, Порко (1993) Horanyi, M. and Porco, С. С (1993). Where exactly are the
arcs of Neptune? Icarus 106, 525-535.
Хьюз (1981) Hughes, S. (1981). The computation of tables of Hansen coefficients,
Celest. Mech. 25, 101-107.
Чандрасекар (1987) Chandrasekhar, S. (1987). Ellipsoidal Figures of Equilibrium
(Dover, New York). [Имеется перевод первого издания: Чандрасекар С.
Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир, 1973.]
Чириков (1979) Chirikov, В. V. (1979). A universal instability of many-dimensional
oscillator systems, Phys. Rep. 52, 263-379.
Шампенуа, Виенн (1999а) Champenois, S. and Vienne, A. (1999a). Chaos and
secondary resonances in the Mimas-Tethys system, Celest. Mech. Dyn. Astron. 74,
111-146.
Шампенуа, Виенн (19996) Champenois, S. and Vienne, A. (1999b). The role of
secondary resonances in the evolution of the Mimas-Tethys system, Icarus 140,
106-121.
Шеффер, Берне (1987) Schaffer, L. E. and Burns, J. A. (1987). The dynamics of weakly
charged dust: Motion through Jupiter's gravitational and magnetic fields, /. Geophys.
Res. 92, 2264-2280.
Шидлиховски, Мелендо (1986) Sidlichovsky, M. and Melendo, B. (1986). Mapping for
the 5/2 asteroidal commensurability, Bull. Astron. Inst. Czech. 37, 65-80.
Шода, Йоманс (1996) Chodas, P. W. and Yeomans, D. K. (1996). The orbital motion
and impact circumstances of Comet Shoemaker-Levy 9, in The Collision of Comet
Shoemaker-Levy 9 and Jupiter, ed. K. S. Knoll, H. A. Weaver, and P. D. Feldman
(Cambridge University Press, Cambridge).
Шоуолтер (1985) Showalter, M. R. (1985). Jupiter's ring system resolved: Physical
properties inferred from the Voyager images, Cornell University PhD thesis.
Шоуолтер (1991) Showalter, M. R. (1991). Visual detection of 1981S13, Saturn's
eighteenth satellite, and its-role in the Encke gap, Nature 351, 709-713.
Шоуолтер, Берне, Куцци, Поллак (1987) Showalter, M. R., Burns, J. A., Cuzzi, J. N.,
and Pollack, J. B. (1987). Jupiter's ring system: New results on structure and particle
properties, Icarus 69, 458-498.
Шоуолтер, Куцци (1992) Showalter, M. R. and Cuzzi, J. N. (1992). Physical properties
of Neptune's ring system, Bull. Am. Astron. Soc. 24, 1029.
Шоуолтер, Куцци, Маруф, Эспозито (1986) Showalter, M. R., Cuzzi, J. N., Marouf,
E. A., and Esposito, L. W. (1986). Satellite wakes and the orbit of the Encke gap
moonlet, Icarus 66, 297-323.
580
Литература
Шпон (1997) Spohn, Т. (1997). Tides of Io, in Tidal Phenomena, ed. H. Wilhelm,
W. Zurn, and H.-G. Wenzel (Springer, Berlin).
Шу (1984) Shu, F. (1984). Waves in planetary rings, in Planetary Rings,
ed. R. Greenberg and A. Brahic (University of Arizona Press, Tucson).
Шу, Кущи, Лиссауэр (1983) Shu, F., Cuzzi, J. N., and Lissauer, J. J. (1983). Bending
waves in Saturn's rings, Icarus 53, 185-206.
Шумейкер, Шумейкер, Вольф (1989) Shoemaker, E. M., Shoemaker, C. S., and Wolfe,
R. F. (1989). Trojan asteroids: Populations, dynamical structure and origin of the L\
and L5 swarms, in Asteroids II, ed. R. P. Binzel, T. Gehrels, and M. S. Matthews
(University of Arizona Press, Tucson).
Шурман (1980) Schuerman, D. (1980). The restricted three-body problem including
radiation pressure, Astrophys. J. 238, 337-342.
Эджворт (1943) Edgeworth, К. Е. (1943). The evolution of our planetary system,
/. Brit. Astron. Assoc. 53, 181-188.
Эллиот, Данхем, Минк (1977) Elliot, J. L., Dunham, E. W., and Mink, D. J. (1977).
The rings of Uranus, Nature 267, 328-330.
Эллиот, Николсон (1984) Elliot, J. L. and Nicholson, P. D. (1984). The rings of Uranus,
in Planetary Rings, ed. R. Greenberg and A. Brahic (University of Arizona Press,
Tucson).
Эллис, Мюррей (2000) Ellis, К. М. and Murray, С. D. (2000). The disturbing function
in solar system dynamics, Icarus 147, 129-144.
Эпплгейт, Дуглас, Гирзел, Зюссман, Уиздом (1986) Applegate, J., Douglas, M. R.,
Gursel, Y., Sussman, G. J., and Wisdom, J. (1986). The outer Solar system for 200
million years, Astron. J. 92, 176-194.
Юаса (1973) Yuasa, M. (1973). Theory of secular perturbations of asteroids including
terms of higher order and higher degree, Publ. Astron. Soc. Japan 25, 399-445.
Her Majesty's Stationery Office (1994). Astronomical Almanac for the Year 1995
(HMSO, London).
Предметный указатель
Адиабатический инвариант 384
Адрастея 480
Апоцентр 46
Апоцентрическая либрация 375—379,
387
Аргумент перицентра 67
Ариэль 26, 35, 191, 193, 403
Астероид 1 Церера 48, 460
- 2 Паллада 275, 460
- 4 Веста 460
- 24 Фемида, семейство 321, 322, 324
- 44 Ниса, семейство 324
- 153 Гильда 395
- 153 Гильда, группа 397, 462
- 158 Коронида, семейство 321, 322,
324
- 221 Эос, семейство 321, 322, 324
-243 Ида 47, 195, 461
- 279 Туле 395
- 522 Хельга 469
- 588 Ахилл 121
- 668 Дора, семейство 324
- 887 Алинда 395
- 1272 Гефион, семейство 324
- 1362 Гриква 395
- 1620 Географ 470
-2060 Хирон 418, 419
- 3753 Кринье 123
- 5261 Эврика 122
- Дактиль 47, 195
Астероиды-троянцы 121-124, 141
Астероиды-греки 122
Астрономическая единица 47, 528
Бифуркация 356, 357, 359-361,
365-368, 370-372, 385
Большое неравенство 29
Ведущий центр 58, 60, 111, 117, 119,
122, 124, 125, 128, 131-133, 180,
181, 183, 189, 202, 228, 468, 485,
513
Вековой резонанс 324-326
Венера 25, 35, 69, 196, 530
— , вековая эволюция 314, 316
Возмущающая функция 53, 237,
239-241, 286, 287, 289, 291, 301,
304, 310-312, 324, 325, 327, 338,
349, 350, 357, 358, 364, 381, 393,
396, 397, 401, 402, 407, 411, 422,
435, 441, 445, 474, 486, 490, 492
, буквенное разложение 245
, вековые члены 265, 266, 268, 269,
273, 305, 317, 338, 341, 436, 441
, высокочастотные члены 436
, главная часть 245
, главные члены 239, 339
, допустимые аргументы 241, 242,
265
, классификация аргументов 265
, короткопериодические члены
266, 269, 272
, косвенная часть 245
, косвенные члены 239, 339
, порядок аргумента 273
, разложение 538
, разложение Боке 245
, разложение Брауна и Шука 245
, разложение Брауэра и Клеменса
245
, разложение Каулы 243, 248, 250,
259
, разложение Леверье 245
, разложение Ньюкома 245
, разложение Пирса 245
, резонансные аргументы 270-272
, резонансные члены 266, 269, 273,
305, 435, 436, 441
, сходимость 262, 349, 441, 469
усредненная 265, 269, 273, 277,
291, 338, 341, 435, 436
582
Предметный указатель
Возмущающая функция, функция
наклонения 243, 260, 276
Волны плотности 491
— спиральные 495
Восходящий узел 67
Вращательная деформация 143, 148,
161, 162, 168, 169
Вынужденные элементы 295, 301, 303,
304, 319, 321, 324
обобщенные 317
Галатея 32, 484, 492, 516, 520
Галилеевы спутники 29, 30, 193
Гамильтонова система 76
Ганимед 29, 30, 169, 193, 403, 404
Гармонический осциллятор 172, 174
Гидростатическое давление 156, 160
— равновесие 157-159, 165, 167,
169-171, 177, 189
Гиперболическая неподвижная точка
345
Гиперион 30, 36, 37, 233, 333, 337, 395,
396, 457-459
Главный пояс астероидов 319, 322,
324-326, 435, 441, 460-463, 469,
470
, резонансная структура 461
Гравитационная постоянная 527
Гаусса 527
Гравитационный потенциал 84
Деймос 233, 234
Действие 384-387, 390, 392, 433
Диона 30, 31, 123
Диссипация 115, 175, 179, 183, 186,
453, 505, 511
Долгота 46, 147, 149, 181
— перицентра 46, 67
вынужденная 298
Европа 30, 170, 193, 403, 404
Елена 123
Задача N тел 286, 445
Задача двух тел 41, 45, 63, 88, 420, 501
, момент количества движения
43
Задача двух тел, гамильтониан 76
, гамильтонова формулировка 75
, интеграл момента количества
движения 43, 48
, интеграл энергии 48
, полная энергия 65
, постоянная энергии 49
, среднее движение 65
Задача трех тел 37, 80-82, 88, 417, 419,
420, 425, 464, 512
, запретные области 87
круговая ограниченная 80, 90,
93, 272, 340, 343, 373, 379, 380, 417,
419, 420, 427, 429-432, 453, 455,
464, 512
, точки равновесия 512
эллиптическая ограниченная
268
, эффект радиационного
давления 135
, эффекты сопротивления 134
Закон Боде 24
— Тициуса-Боде 24, 25
— всемирного тяготения 20, 143, 238
— обратных квадратов 23, 41, 42, 44,
45, 82, 148
Законы движения Ньютона 20, 23, 174,
238
— Кеплера, второй закон 22, 306
, первый закон 22, 45
, третий закон 22, 47, 167, 175,
269, 306, 341, 347, 357, 393, 398,
456, 490, 492, 501, 502, 516
Запаздывание прилива 173, 176, 177,
203
Запретные области 87, 113, 427, 428
Земля 98, 143, 146-148, 159-161, 176,
188, 194, 196, 523, 524, 529
— , вековая эволюция 314-316, 327
— , вращение 178
— , пылевое кольцо 33, 523, 525
— , сплюснутость 164
— , хаотическая орбита 474
Зона Роша 170, 172, 484
Изгибные волны 482, 492, 493,
495-497, 521
— спиральные 495
Предметный указатель
583
Инерция, главные оси 209, 210
— , момент 163-165, 175, 207-210, 212
— , центральный эллипсоид 209
Интеграл Якоби 81, 85, 88, 442
— живых сил 48
— энергии 48, 85, 86, 223, 229, 232
Ио 30, 62, 144, 169, 170, 186, 193,
403-405
— , вулканизм 30, 187
— , приливный разогрев 144, 186
Истинная аномалия 46, 50, 61, 62
— долгота 46
КАМ-кривые 455
Калипсо 123
Калл исто 30, 170
Квадратура 503
Квадрупольный момент 202, 205, 207,
211-213, 217, 219, 221
Квазипериодическая орбита 429, 430
Кентавр 419
Колечко Гюйгенса 511
— Максвелла 511
— титаново 510
Кольца 172, 311, 361, 363, 478, 479,
484, 514
— , дуги 514, 520, 521
— , зона Роша 172
-, конфайнмент 483, 484, 488, 491,
492, 497, 499, 512, 516, 517, 521
— , краевые волны 514-516
— , люки 510
— , образование ударной волны 503,
504
— , происхождение 172
— , радиальный конфайнмент 506-508,
520
— , резонансы 485
— , спутные следы 514, 515
— , устойчивость 497
— эксцентрические 481, 497, 500,
508-511
Комета Шумейкер-Леви 9 79, 419
Кометы 45
— , «сангрейзеры» 327
— короткопериодические 36, 419
— , семейство Юпитера 419
Коническое сечение 23, 45, 63, 64, 237
Константа Тиссерана 90
-Якоби 85-87, 89, 96, 97, 130, 136,
171, 351, 363, 374, 421, 427-431,
443, 512
Контактное преобразование 77
Конфигурационное пространство 417
Коорбитальные спутники 123, 124, 506,
513, 518
Координаты Якоби 445, 446, 448
Корделия 31, 483, 491, 506, 507, 512
Коэффициенты Ганзена 244, 260
— Лапласа 247, 248, 253, 259, 261, 263,
264, 268, 274, 282, 287, 288, 292,
299-301, 307, 310, 338, 355, 393,
397, 436, 490, 538
Кривая нулевой скорости 87, 96-99,
111-113, 115-117, 119, 122, 130,
133, 171, 427, 428, 431
Критерий Тиссерана 131
— Чирикова 232
Лагранжевы точки либрации 93, 97
коллинеарные 94, 105, 107, 130,
171, 300
треугольные 94, 97, 107, 108,
137, 139, 427
, устойчивость 99, 100, 105-107,
109
Линеаризация уравнений движения
101, 278, 279
Линейная регрессия 25
Линии тока 488-490, 492, 495, 504,
505, 510
Линия узлов 67
Луна 62, 98, 146, 147, 160, 187, 194,
196, 222, 224, 225, 233, 457
— , квадрупольный момент 202, 205,
206
— , орбитальная эволюция 176, 178
Люк Кассини 31, 495, 511
— Килера 516
-Энке 514-516, 518
Люки Кирквуда 33, 37, 326, 460,
463-465
Ляпуновское время 426
Марс 25, 36, 69, 122, 229
— , вековая эволюция 314-316
584
Предметный указатель
Марс, хаотическая орбита 475
Меркурий 25, 45, 69, 196, 222, 224, 225,
233
— , вековая эволюция 314-316
— , вращение 29, 218
— , квадрупольный момент 219
— , прецессия орбиты 24, 313
— , хаотическая орбита 475
Метод усреднения 219, 238, 305
Метида 480
Мимас 30, 31, 35, 169, 191, 193, 233,
382, 383, 396, 399, 400, 491-493,
505, 506, 522
Миранда 26, 35, 234, 399, 400, 403, 410,
412, 460, 512
Многочлен Лежандра 146, 150, 161,
163, 164, 167, 240, 277
Модель маятника 224, 343-347, 350,
361, 363, 374, 403, 408, 433, 434,
453, 454, 462, 466, 487
Момент количества движения 43, 174,
175, 179, 278, 335, 336, 427, 498,
500, 501, 505, 507, 522
, интеграл 48, 86
орбитальный 65, 125, 179
Момент сил 498, 505-507
Наклонение 56
— вынужденное 298, 299, 300, 302, 319,
323, 492, 495
— оскулирующее 299
— свободное 299, 303, 304, 321, 323
Наклонные переменные 78
Нептун 25, 45, 69, 295, 471-473
— , вековая эволюция 316, 317
— , кольца 32, 480, 484, 520, 521
Нереида 45
Оберон 410, 411
Обратное движение 67
Операторы Ньюкома 244
Опорная плоскость 66, 291, 313
Орбиты типа «головастик» 112-116,
118-121, 124, 139, 512, 514, 516
«подкова» 31, 112-116, 118-120,
123-125, 130, 133, 135, 139,
512-514, 516
Оскулирующие элементы 71, 239, 282,
286, 290, 300, 302, 303, 320, 411
Отображение Пуанкаре 421, 423
— , сохраняющее площадь 444
— столкновительное 441, 445, 450, 456,
457
Офелия 31, 483, 491, 506, 507, 512
Пак 192
Пан 31, 514-516, 518
Пандора 31, 383, 482, 491, 497, 506,
508, 516-519, 522
— , орбитальная эволюция 383
Паттерн-частота 485-488, 491, 510
Переменные действие-угол 433
— Делоне 76, 77, 326
— Пуанкаре 76, 77, 350, 365
— сопряженные 76, 77
— эксцентрические 78
Периодическая орбита 396, 429
второго рода 430
первого рода 429
Перицентр 46
Плутино 472
Плутон 25, 32, 45, 69, 98, 121, 199,
470-472
— , хаотическое движение 472
Поверхность нулевой скорости 87
— сечения 229, 230, 420, 421, 423, 424,
428-431, 453, 455, 458, 464
Показатель Ляпунова 424-426, 469,
472, 474
Полость Роша 171
Постоянная всемирного тяготения 23,
42
— энергии 49, 65
Потенциал внешний 148, 149, 153, 155,
174, 176
— внутренний 148, 149, 153, 155, 156
— , градиент 146
— деформирующий 143, 156
— приливный 143, 153, 154, 156, 160,
176, 177, 180, 183, 207
— приливообразующий 146, 154
— центральный 177
Потенциальная энергия 65, 76, 99, 160,
344-346
Пояс астероидов 330, 373, 397, 493, 523
Предметный указатель
585
Пояс Эджворта-Койпера 28, 33, 419,
471
Прецессионный пинч 509, 510
Прецессия 24, 29, 164, 268, 305, 310,
319, 324, 337, 339, 340, 343, 377,
382, 441, 462, 481, 493, 500, 508,
510, 519, 531
— свободная 511
Прилив 143, 144
— двухнедельный 148, 159
— лунный 147
— полугодовой 148
— полусуточный 148, 174, 175
— равновесный 146, 153-155
— суточный 148
Приливная деформация 147, 153, 167,
168, 186
-диссипация 144, 179, 183, 186, 188,
194, 224, 225, 233, 234
-сила 143, 145, 172, 182, 479
— эволюция 191, 383, 396, 397, 484
Приливное замедление вращения 32,
178, 179, 202
— нагревание 183
Приливный горб 143-145, 152, 153,
158, 160, 174, 183, 203, 204, 207
Принцип усреднения 261, 266, 272, 304,
305, 310, 422
Прометей 31, 482, 491, 497, 506, 508,
516-520, 522, 523
Прямое движение 67
Псевдопотенциал 84
Радиационное давление 134
Регулярное движение 420, 421, 423-426
Резонанс 28, 324, 422, 481, 484, 488,
511
— Лапласа 29, 30, 403
-Линдблада 361, 363, 369, 485,
488-493, 495, 504, 516, 518, 520
— Козаи 326
— Лоренца 481
— вековой 319, 324, 325, 470
— вертикальный 369, 485, 491, 492,
495, 496
— внешний 335, 338
— внутренний 334, 338
— вторичный 430
Резонанс, гамильтонов подход 350
— двухтельный 395
— , захват 350, 383, 387, 388, 392
— , классификация 493, 494
— , кольцо-спутник 485
— коротационный 363, 485-487, 518,
520
— , либрация 344-346, 360, 363, 374,
376, 428, 430, 453, 466, 468, 486,
487
— , номинальное положение 275, 339,
347
— орбитальный 25
— первичный 430
— первого порядка 334, 343, 346-348,
441
— , перекрытие 381, 432, 453, 455, 462,
518
— , расщепление 340, 381-383, 493
— , сепаратриса 345, 346, 384, 386, 387,
430, 432, 435, 453, 455, 522
— синхронный спин-орбитальный 29
— , система Нептуна 32
— , система Плутона 32
— , система Сатурна 30
— , система Урана 31
— , система Юпитера 29
— смешанный 368, 371-373
— , тип 493, 494
— трехтельный 401-403, 512
Резонансный аргумент 333, 441
Резонансы средних движений 325
Рея 31
Розалинда 31
Самогравитация 154, 484, 508-510
Сатурн 25, 28, 69, 292, 294, 295, 493,
499, 520, 523
— , вековая эволюция 316, 317
— , кольца 480, 481, 485, 487, 491-495,
497, 508-510
— , орбитальная эволюция спутников
191
— , спутниковая система 382
Свободные элементы 295, 320
обобщенные 317
Семейства Хираямы 320, 321, 324, 523
Сепаратриса 230, 345, 346
586
Предметный указатель
Сила Кориолиса 84, 91
— Лоренца 480
Силы упругости 154, 157, 184
Симплектический интегратор 453
Симплектическое отображение 445, 474
Синодический период 443
Синхронная орбита 178, 196, 479, 481,
484, 500
Синхронное вращение 143, 158, 164,
167, 169, 170, 179, 180, 202, 204,
205, 207, 457
Система координат В1950 529
J2000 529, 530
барицентрическая 64
вращающаяся 332-334, 420, 431,
486, 487, 489, 495, 500, 505, 519,
524, 525
гелиоцентрическая 66
сидерическая 82
синодическая 82
Собственная мода 291, 314
Собственное значение 101, 102, 105,
107-109, 138, 290, 292, 313
Собственные частоты 120, 301, 302,
313, 314, 317, 319, 324-327, 411,
412, 472
— элементы 320, 321, 325, 523
Собственный вектор 290, 291, 293, 294,
313, 327
Соединение 29, 442-444
Солнечная система 37, 527
— , динамическая структура 20, 417
— , устойчивость 313, 327, 416, 473,
475
Соотношение Даламбера 263, 326, 486
— Дарвина-Радо 165, 166
-Лапласа 193, 401, 403
— Тиссерана 88, 89, 115, 326, 342, 351,
501
Сопротивление среды 173
— небулярное 136
Спин-орбитальное взаимодействие 213,
220
Спин-орбитальный резонанс 202, 213,
216-219, 221, 222, 228
,3:2, Меркурий 218, 219
, захват 222, 224, 226, 233
, сепаратриса 230, 231, 233
Спин-орбитальный резонанс
синхронный 228, 232, 233
Сплюснутость 162-165, 239, 277
Спутники-пастухи 506-508, 512, 514,
516
Спутники-троянцы 123
Среднее движение 29, 48, 65, 81, 279
Средняя аномалия 50, 61, 62
— долгота 52, 77
в эпоху 263, 338, 340, 486, 492
Стандартное отображение 433-437,
453, 454
Стационарная орбита 191, 192
Сфера Хилла 130
Сферическая гармоника 149, 150
Сферические координаты 149, 180
Телесто 123
Теорема Бернулли 160
Теория вековых возмущений 33, 286,
291, 301, 303, 304, 310, 311, 313,
317, 321, 324, 325, 407, 409, 465,
493, 519
Брауэра и ван Вуркома
313-317, 319, 322, 324, 327
Бретаньона 327
Лапласа-Лагранжа 313, 410,
473
Ласкара 327
синтетическая 317, 410
Теория потенциала 148, 277
Тефия 30, 31, 123, 169, 382, 383,
395-397, 399, 400, 522
Титан 30, 31, 35, 36, 169, 170, 188, 190,
333, 337, 395, 396, 459, 511
Титания 410, 411
Точка весеннего равноденствия 66
Точки равновесия 90, 93, 512
Трехосный эллипсоид 143, 163, 167,
168, 209
Тритон 178
Угол запаздывания 207, 505
Умбриэль 26, 35, 403, 411
Уравнение Гаусса 443
— Кеплера 52, 53, 57, 69, 74, 451
— Лапласа 149
— Лежандра 150
Предметный указатель
587
Уравнение маятника 217, 433
— характеристическое 102, 103, 106,
108, 137, 291, 292
— центра 59
— Эйлера 149, 211
Уравнения Лагранжа планетные
263-267, 270, 271, 277, 281, 282,
286, 289, 305, 324, 337, 393, 394,
443, 486
-Хилла 95, 129-133, 171, 441-443,
445, 502
Уран 25, 69, 295, 410, 499, 507
— , вековая эволюция 316, 317
— , кольца 403, 478, 483, 500, 506-509,
512, 516
— , спутники 26, 27, 191, 383
Ускорение Кориолиса 83
— силы тяжести на поверхности 146
Устойчивость по Хиллу 87
Фазовое пространство 417, 421, 424,
425, 427, 430, 431, 455
Фобос 229, 460
— , орбитальная эволюция 176
Формула Мак-Каллага 163, 210
— Родрига 150
Функции однородные 149
Функция Бесселя 57, 58, 443
— гипергеометрическая 300
— приливной диссипации 174, 178, 183,
186, 197, 204, 227, 383, 393, 398
Хаос 37, 231, 416, 417, 431, 433, 453,
456, 464, 465, 469, 473-475
— ограниченный 424, 469, 475
Хаотический слой 232, 233
Хаотическое вращение 458-460
-движение 231, 417-421, 423, 424,
426, 428, 431, 432, 435, 454-456,
464, 468, 474, 530
Харон 32, 98, 121, 199
Центробежная сила 107, 144, 171
Центробежное ускорение 83, 91, 161
Центробежный потенциал 84, 161, 163,
167
Численное интегрирование 29, 33, 112,
113, 121, 128, 141, 230, 266, 268,
269, 271, 303, 304, 317, 327, 373,
374, 378, 379, 381, 410-412, 419,
420, 422, 425, 432, 457, 458, 463,
464, 469, 470, 472-475, 513, 519,
524
Числа Лява 176, 204, 393, 398
Шаровая гармоника 149
Щель Кассини 31, 36
— Энке 31
Эквипотенциальная поверхность 145,
153-155, 157, 159, 162, 167, 168,
177
Эклиптика 66
Эксцентриситет 44, 46
-вынужденный 111, 298-300, 302,
304, 319-324, 361, 489, 490, 492,
504, 505, 520, 521
— оскулирующий 299, 320
— , подавление 487, 504, 507
-свободный 111, 113, 125, 298, 303,
304, 320, 323, 324
— , уменьшение 179, 183, 186, 234
Эксцентрическая аномалия 50, 62
Элементы орбиты 70, 263, 337
— Пуанкаре 436
Эллипс 41, 45
— , большая полуось 22, 45, 46
— кеплеров 489
— , малая полуось 46
— , уравнение в полярных координатах
46
— , уравнение с центром в начале
координат 50
— центрированный 111, 117, 333, 485,
489, 505, 506
— центрированный, 2:1 111, 203, 204,
228
Эллиптическая неподвижная точка 345
Эллиптический интеграл 300, 346, 467,
468
Энергия вращения 174, 175
Энцелад 30, 31, 35, 400
588
Предметный указатель
Эпиметей 31, 124, 125, 127, 128, 135,
169, 518
Эпицентр ПО, 111, 113, 116, 138, 485
Эпицикл 125
Эпициклическая частота 485
Эпициклическое движение 111, 113,
117, 138
Эффект «бабочки» 418, 419
— Пойнтинга-Робертсона 134, 497,
499, 512, 523
— прилипания 424, 426
Эффективная диссипативная функция
173
Юлианская дата 528, 530
Юлианский год 528
Юлианское столетие 528
Юпитер 25, 47, 69, 121, 122, 292, 294,
295, 418, 419, 460, 469, 470
— , вековая эволюция 316, 317, 435
- , гало 480, 481
- , кольца 30, 479, 481
— , сплюснутость 164
Янус 31, 124, 125, 127, 128, 135, 169,
491, 506, 518