Текст
                    ЙЙ&ч
■	.*	«WSe#


СОВРЕМЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА Главный редактор: В. В. Козлов Научные редакторы серии: А. В. Борисов, И. С. Мамаев Научные консультанты серии: А. Албуи (Франция), Ф. Диаку (Канада), Ж. Ласкар (Франция), Р. МакГихи (США), Р. Мёкель (США), А. И. Нейштадт (Россия), К. Симо (Испания), А. Шенсине (Франция) Ответственный редактор: Ю. А. Сагдеева Готовятся к печати новые книги серии: Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация. Относительные равновесия и периодические решения в небесной механике Вышли в свет: Классическая динамика в неевклидовых пространствах (науч. ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев) К. Маршал «Задача трех тел»
РЕЗОНАНСЫ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ Москва + Ижевск 2006
УДК 531 Интернет-магазин • физика • математика • биология • нефтегазовые технологии http://shop.rcd.ru Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №05-01-14061. Резонансы в небесной механике / Сб. работ. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. — 316 с. В сборнике представлены статьи известных западных и российских специали¬ стов по проблемам долгоперисдической и вековой эволюции Солнечной системы. Список статей для перевода был предложен известным французским ученым в обла¬ сти небесной механики — Жаком Ласкаром (член-корр. Парижской академии наук). Хотя объем сборника невелик, в нем явно выделены достижения российской и фран¬ цузской школ небесной механики в проблеме исследования резонансов, захватов и других механизмов эволюции Солнечной системы. Учитывая то, что эго направле¬ ние небесной механики тесно связано с различными областями нелинейной физики, хаоса, теоретической и прикладной механики, этот сборник рассчитан на широкий круг специалистов из разных областей. ISBN 5-93972-491-4 © Институт компьютерных исследований, 2006 http://rcd.ru http://ics.org.,ru
Оглавление Предисловие 7 1 о Дж. Виздом. Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 9 2 о С.Дермотт, К. Мюррей. Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 53 3 о Дж. Виздом. Исследование движения вблизи резонанса 3/1 с помощью теории возмущений 69 4 о Т.Петроски. Хаос и кометные облака в Солнечной системе 103 5 о Б. В. Чирикову В. В. Вечеславов. Хаотическая динамика ко¬ меты Галлея 113 6 о Ж.Ласкар, К. Фрошле, А. Челлетти. Измерение хаоса с по¬ мощью численного анализа фундаментальных частот. Приложе¬ ние к стандартному отображению 137 I о М. Дж. Холман, Д. Виздом. Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе и источник короткопериодических комет 163 8 о Ж.Ласкар. Частотный анализ многомерных систем. Гло¬ бальная динамика и диффузия 189 9 о Ж. Ласкар, П. Робутелъ. Хаотическое изменение наклонений планет 229 10 о Ж.Ласкар. Крупномасштабный хаос и маргинальная устой¬ чивость в Солнечной системе 247 II о А. Коррейя, Ж.Ласкар. Четыре конечных положения оси вращения Венеры 305
Предисловие За последние двадцать лет наши взгляды на строение Солнечной систе¬ мы, движение планет и малых тел принципиально изменились. Если раньше Солнечная система описывалась не иначе как регулярная, то сейчас вряд ли кто-то рискнет сказать это. Скорее, верно обратное — нас окружает хаос, и то хрупкое равновесие, в котором пребывает наша система, может легко нарушиться. В конце 20 века произошло множество открытий — обнаружены новые небесные тела, выявлены хаотические свойства движения у тех или иных групп объектов, собрана большая база наблюдений. Во многом эти дости¬ жения связаны с мощным развитием вычислительной техники, однако не менее успешно идет разработка новых численных методов для изучения движения тел и обработки результатов наблюдений. Сборник представляет серию «Современная небесная механика» и со¬ ставлен из статей известных западных и российских специалистов по про¬ блемам долгопериодической и вековой эволюции Солнечной системы. Спи¬ сок статей для перевода был предложен известным французским ученым в области небесной механики — Жаком Ласкаром (член-корр. Парижской академии наук). Хотя объем сборника невелик, в нем явно выделены до¬ стижения российской и французской школ небесной механики в проблеме исследования резонансов, захватов и других механизмов эволюции Солнеч¬ ной системы. В сборник вошли работы, касающиеся исследования и происхождения люков Кирквуда, которые возникают в окрестности резонансов. Описаны возможные сценарии изменений наклонений планет. Особое внимание уде¬ ляется Венере — единственной планете Солнечной системы, которая вра¬ щается в «обратную» сторону. Указано на различие в поведении внутрен¬ них и внешних планет. Описан метод частотного анализа, позволяющий значительно уменьшить вычислительные затраты для описания развития Солнечной системы. Стоит отметить, что выводы, которые делают авторы работ, представ¬ ляются достаточно утешительными для нас — обычных землян. Несмотря на то, что движение Солнечной системы в общем хаотично, все же ее можно считать маргинально устойчивой в течение временного промежутка, срав¬ нимого с возрастом Солнечной системы. Поэтому при условии, что Луна по-прежнему останется на нашем небосклоне, серьезных изменений, свя¬ занных с астрономическими явлениями, в нашей жизни не произойдет.
1 Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/11 Дж. Виздом Явление неожиданного увеличения эксцентриситета орбит астерои¬ дов, обнаруженное Дж. Виздомом [21], воспроизведено с помощью численного интегрирования плоско-эллиптической ограниченной за¬ дачи трех тел. Таким образом подтверждено действительное существо¬ вание данного феномена. Максимальные значения характеристических показателей Ляпунова для траекторий вблизи резонанса 3/1 рассчита¬ ны как с помощью отображения, предложенного Виздомом [21], так и путем численного интегрирования плоско-эллиптической задачи. Во всех случаях результаты превосходно согласуются между собой, т. е. отображения точно отражают характер траектории: является ли она хаотической либо квазипериодической. Отображения использованы для построения хаотической зоны вблизи резонанса 3/1 как в плоско¬ эллиптической задаче, так и — в меньшей степени — в трехмерной эллиптической задаче. Внешняя граница хаотической зоны совпадает с границей люка Кирквуда 3/1 в действительном распределении асте¬ роидов в пределах точности определения элементов орбит астероидов. 1. Введение Давно известно, что люки Кирквуда в распределении больших полу¬ осей орбит астероидов связаны с резонансами среднего движения Юпите¬ ра [13]. Однако никому не удавалось объяснить, почему эти соразмерности 1 Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gap. Icarus. — 1983. — Vol. 56. — P. 51-74. Перевод с английского Л. Г. Московченко.
10 Дж. Виздом должны приводить к возникновению люков. Самым главным препятствием является то, что у нас нет понимания долговременной динамики вблизи резонансов в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Удовлетвори¬ тельной аналитической теории (такой, как для системы с круговым движе¬ нием) не существует, а численные исследования, несмотря на их большое количество, в действительности мало способствовали пониманию пробле¬ мы. Ограниченный успех численных исследований обусловлен главным об¬ разом тем, что проведение численных расчетов на промежутках времени, достаточно больших для того, чтобы получить характеристики движения, требует значительных затрат компьютерного времени. Эта трудность в зна¬ чительной степени была преодолена в работе [21], в которой был предложен новый метод изучения движения астероидов вблизи резонансов, оказавший¬ ся примерно в 1000 раз быстрее (и дешевле) предыдущих. А именно, бы¬ ли получены алгебраические отображения фазового пространства на само себя, они имеют такую же резонансную структуру низкого порядка, как и резонанс 3/1. Траектории получаются из этих преобразований с помощью итерационных расчетов. Новый метод помог обнаружить некоторые удиви¬ тельные свойства. Пробные астероиды, помещенные вблизи резонанса 3/1, на протяжении миллионов лет могут двигаться по орбитам с небольшим эксцентриситетом (е < 0.1), а затем скачком увеличивать эксцентриситет до больших значений (е > 0.3). Поскольку астероиды вблизи резонанса 3/1 с эксцентриситетами, большими ~ 0.3, могут пересекать орбиту Марса, было сделано предположение, что люк Кирквуда 3/1 обусловлен столкнове¬ ниями с Марсом. Для проверки этой гипотезы распределение 300 пробных астероидов вблизи резонанса было «проинтегрировано» с помощью отоб¬ ражения на интервале 2 млн лет. После удаления начальных условий тех пробных астероидов, которые стали пересекать орбиту Марса (е > 0.3) в течение данного временного интервала, в распределении начальных усло¬ вий обнаружилась щель, расположенная в надлежащем месте, но она была слишком узкой по сравнению с распределением известных нумерованных астероидов из списка TRIAD. Ситуация в некоторой степени улучшилась, когда были учтены наклонения и вековые вариации орбиты Юпитера, но предсказанная шель была все еще очень узкой. Затем было обнаружено, что орбита пробного астероида вблизи границы предсказанной щели скачком увеличивает эксцентриситет через 18 млн лет. Это указывало на то, что полная ширина щели могла быть достигнута по истечении больших проме¬ жутков времени. Я закончил статью осторожным замечанием, что данные результаты не могут считаться надежными, пока неожиданное увеличение эксцентриситета не будет подтверждено с помощью численного интегриро¬ вания либо объяснено в приближенной аналитической теории. В настоящей
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 11 работе приведены оба этих доказательства, а также разрешено противоречие между предсказанным и наблюдаемым распределениями. Принято считать, что каждый резонанс сопровождается хаотической зоной [7]. Хаотическая зона может быть большой либо микроскопиче¬ ски малой — это зависит от многих факторов. Известно, что в плоско- эллиптической ограниченной задаче трех тел хаотическое поведение имеет место вблизи резонансов. Применяя процедуру усреднения Шубарта и ме¬ тод сечений, Гиффен [10] нашел хаотическую зону вблизи резонанса 2/1. Вслед за Гиффеном Шолль и Фрошле [8, 16] обнаружили хаотические орби¬ ты вблизи резонанса 3/1, но не смогли найти их вблизи резонансов 5/2 и 7/3. Проверив ряд орбит вблизи резонансов 2/1 и 3/1, Шолль и Фрошле [8] при¬ шли к выводу, что «...изолирующие интегралы существуют в главной части фазового пространства. Эргодические орбиты встречаются редко.» Если астероиды действительно «диффундируют» сквозь фазовое пространство, пока не достигнут точки, в которой происходит резкое уве¬ личение эксцентриситета, то их траектории обязаны иметь хаотический ха¬ рактер [21]. Квазипериодические траектории не диффундируют, разве что из-за ошибок округления компьютера. Очевидно, важно понять, действи¬ тельно ли с помощью отображения можно определить характер траектории: будет ли она хаотической или квазипериодической, как это можно сделать путем численного интегрирования дифференциальных уравнений. В §2 при¬ водится качественный обзор вывода отображения. В §3 вводится понятие максимального значения характеристического показателя Ляпунова и объяс¬ няется важность его использования для определения характера траектории. В §4 приводятся результаты ряда расчетов максимума характеристическо¬ го показателя Ляпунова с использованием дифференциальных уравнений в неусредненной плоско-эллилтической ограниченной задаче трех тел, кото¬ рые затем сравниваются с аналогичными расчетами, выполненными с помо¬ щью отображения. Во всех случаях два метода дают согласующиеся резуль¬ таты относительно характера траектории. Заметим, что это более строгая проверка метода отображений, чем прямое сравнение орбит, выполненное в работе [21]. Орбиты могут выглядеть одинаково в течение некоторого про¬ межутка времени, но более длительное наблюдение выявляет их различный характер. Удивительным побочным результатом данных расчетов является то, что в некоторых случаях численные решения выявляют скачки эксцен¬ триситета совершенно аналогичные тем, которые получаются с помощью отображения. Как только было доказано, что отображения верно отражают харак¬ тер траектории, появилась возможность использовать их для определения границы хаотической зоны. Если эти неожиданные скачки эксцентриситета
12 ДЖ. ВИЗДОМ имеют отношение к возникновению люка Кирквуда 3/1, то хаотическое по¬ ведение должно быть обычным, а не редким, как заключили Шолль и Фро¬ нте [8]. Справедливость этого утверждения подтверждена в §5, где хаоти¬ ческие зоны построены для плоско-эллиптической задачи и — в меньшей степени — для трехмерной эллиптической задачи. Очевидно, Шолль и Фро¬ нте провели интегрирование на недостаточно большом интервале времени и не смогли обнаружить хаотическое поведение. Шолль и Фрошле показали, что дополнительный, неклассический, ин¬ теграл, полученный в плоско-эллиптической ограниченной задаче с помо¬ щью процедуры усреднения Шубарта, ограничивает хаотическую орбиту Гиффена эксцентриситетами, меньшими 0.18. Аналогичный квазиинтеграл существует и для резонанса 3/1; важно понять, до какой степени он огра¬ ничивает эти хаотические орбиты. Данная задача обсуждается в §4, где по¬ казано, что квазиинтеграл не препятствует тесным сближениям с Марсом. В трехмерной задаче квазиинтеграл накладывает еще менее строгие ограни¬ чения, и эксцентриситет орбиты может достигать очень больших значений. Возможно, квазиинтеграл не ограничивает существенно эксцентриситет ор¬ биты Гиффена также и в трехмерной задаче. Характер траекторий не меняется; квазипериодическая траектория не может стать хаотической. Тем не менее траектория на рис. 1 начинает¬ ся с протяженного участка, по-видимому, квазипериодического поведения, а затем неожиданно становится более хаотической. Возможный механизм такого особого поведения показан в §7 на примере простой двумерной си¬ стемы. Более важно то, что эта простая система также проявляет кажу¬ щиеся произвольными переходы между несколькими типами поведения; такие, к&жущиеся случайными, переходы от орбит с малым эксцентриси¬ тетом к орбитам с большим эксцентриситетом наблюдаются для пробных астероидов. Наконец, в §8 показано, что внешняя граница хаотической зоны вблизи резонанса 3/1 совпадает с наблюдаемой границей люка Кирквуда 3/1 в дей¬ ствительном распределении астероидов в пределах ошибок определения элементов орбит астероидов. Заключение и выводы представлены в §9. 2. Обзор метода Вообще говоря, изучение гамильтониана системы можно свести к ис¬ следованию отображения фазового пространства на само себя. Для этого нужно либо рассмотреть последовательные пересечения траектории с дан¬ ной поверхностью в фазовом пространстве, либо рассматривать систему стробоскопически, т. е. через определенные промежутки времени. Послед-
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 13 0.4 1 1 1 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4пах Рис. 1. График зависимости эксцентриситета от времени, полученный с по¬ мощью плоско-эллиптического отображения с начальными условиями: а = = а.з/1 ~ 0.48059aj, е = 0.055001, I = 7г и и = 0. Величина tmax есть 22 000 периодов Юпитера, Xj, или приблизительно 250 000 лет ний метод особенно полезен, когда гамильтониан зависит от времени пери¬ одически. Отображение описывает состояние системы на некотором пере¬ сечении через состояние этой системы на предыдущем пересечении. Если отображение явно выражено формулой, то параметры движения обычно можно рассчитать в 1000 раз быстрее, чем с помощью соответствующих дифференциальных уравнений [11]. Таким образом, при решении задачи очень полезно получить явное отображение. К сожалению, явные отоб¬ ражения для отдельных типов гамильтониана можно найти крайне редко. Обычно единственным способом точно определить, куда отображается точ¬ ка, является интегрирование уравнений движения до тех пор, пока пере¬ сечение не будет пройдено снова. Иногда это полезно, но такой метод не дает вычислительных преимуществ. Однако в некоторых случаях, когда точный явный вид отображения неизвестен, систему можно приближенно представить с помощью явного отображения. Хорошим примером являет¬ ся движение заряженной частицы в осесимметричной магнитной бутылке. Чириков [7] показал, что состояние данной системы при последовательных
14 Дж. Виздом пересечениях некоторой выделенной плоскости хорошо аппроксимируется отображением If = I + К sin т?' = т? +Г. Переменные определены в работе [7]; I связан с магнитным моментом, $ есть сопряженная фаза вращения. Чириков назвал это отображение стан¬ дартным отображением. Отображения, полученные в [21] для описания движения астероидов вблизи резонанса 3/1, являются прямым обобщением отображения Чирикова. В качестве простой иллюстрации того, как отобра¬ жения могут быть получены, я приведу вывод стандартного отображения, а затем кратко опишу, как его можно обобщить на случай движения астеро¬ ида. Рассмотрим гамильтониан, зависящий от времени Н = ^ + ^costi + Y^Kn(I)cos(d-nt), (2.1) пф О где I — импульс, а д — канонически сопряженная координата. Резонанс имеет место, когда аргумент одного из косинусов практически постоянен, т. е. когда 7/27Г « т? ~ п. Если Кп не очень велико, то, согласно принципу усреднения (см. [21]), когда 7 близко к нулю, система хорошо аппроксими¬ руется гамильтонианом маятника н-* = я + ёс“Л <22) Другие слагаемые можно сначала опустить, так как они являются быстро осциллирующими и, в общем, лишь привносят периодические осцилляции в движение, определяемое усредненным гамильтонианом. Важное исключе¬ ние имеет место для начальных условий вблизи траектории с бесконечным периодом, отделяющей периодические траектории от осциллирующих, так называемой сепаратрисы, которая замещается узкой хаотической зоной, ес¬ ли учитывать высокочастотные члены. Если, пренебрегая высокочастотными слагаемыми, можно получить хорошее приближение, то его можно получить и изменяя эти слагаемые. Именно это мы и сделали при выводе отображения. Рассмотрим гамильто¬ ниан Нм = £ + Цcos ^ cos^ -nt) ■> <2-3) пф 0
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 15 отличающийся от гамильтонианов (2.1) и (2.2) только выбором нерезонанс¬ ного члена. Поскольку этот гамильтониан содержит высокочастотные чле¬ ны, сепаратриса снова будет хаотической, как и в исходной системе. В этом отношении гамильтониан (2.3) лучше гамильтониана (2.2), который являет¬ ся полностью интегрируемым и не дает хаотического поведения. Гамильто¬ ниан (2.3) можно записать в виде Нм = ё + §cos cos(n*) = п = £ + Ко cos'd s(t - 2тгI) = I т2 = + Ко COS tfSoirit), где второе равенство получено с использованием хорошо известного пре- образования Фурье дельта-функции Дирака. Последнее равенство неявно определяет функцию 82тг как периодическую дельта-функцию с перио¬ дом 27г. Этот гамильтониан — «локально» интегрируемый. Уравнения дви¬ жения в области, содержащей дельта-функцию, записываются так: i = - = K0smti5{t), а _ дНм _ J_ 01 ~ 2тг’ Поскольку дельта-функция действует мгновенно, а I — конечен, то $ не изменяется. Изменение импульса есть AI — Kq sintf. Между дельта-функциями уравнения движения будут j = _dHu 0 дд а дНм _ J_ д1 2тг’ откуда изменение координаты между дельта-функциями равно Ад = I.
16 Дж. Виздом Состояние системы непосредственно перед какой-либо дельта-функцией, следовательно, может быть явно записано как функция состояния системы непосредственно перед предыдущей дельта-функцией: If = I + Ко sin'#, #' = # + А это и есть стандартное отображение. По существу, во всех работах, посвященных исследованию поведения астероидов вблизи резонансов на больших промежутках времени, исполь¬ зовались усредненные гамильтонианы, т. е. гамильтонианы, в которых вы¬ сокочастотные слагаемые были удалены либо аналитически (следуя [14]), либо численно (следуя [17]). Таким образом, ранее при изучении движения астероидов использовались в основном гамильтонианы, аналогичные (2.2). Теперь стандартное отображение получено путем добавления новых вы¬ сокочастотных членов к гамильтониану (2.2), так что система становится локально интегрируемой и позволяет получить аналитическое отображение фазового пространства на само себя. Отображения для случая движения астероидов вблизи резонансов могут быть получены совершенно аналогич¬ но. Гамильтониан в эллиптической ограниченной задаче трех тел может быть записан как Я = + Hsec(a,e,i.w,Q;aj,ej,ij,wj,Qj) + -т-Игез(а, е, г, 31 j — Z, а), П; aj, ej, zj, ubj, Qj) + +ЯЛ/(... -2/,-..), где a, e, z, /, Со и ft — большая полуось, эксцентриситет, наклонение, сред¬ няя долгота, долгота перигелия и долгота восходящего узла соответственно. Элементы орбиты Юпитера обозначены индексом J. Никаких приближений использовано не было, но все слагаемые были разделены на три группы. Ве¬ ковая часть гамильтониана, Нбес, содержит все те слагаемые возмущающей функции, которые не зависят от средних долгот; резонансная часть гамиль¬ тониана, Нге3ч включает слагаемые, содержащие резонансную комбинацию средних долгот (здесь 31 j — /); в высокочастотную часть гамильтониана H^f включенъ.г все остальные слагаемые, т. е. слагаемые с нерезонансными ком¬ бинациями средних долгот. Чтобы получить аналитическое отображение, я сначала удаляю все слагаемые как делают последователи Пуанка¬ ре и Шубарта, а затем добавляю новые высокочастотные члены, так что гамильтониан становится «локально» интегрируемым. Важно понять, что
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 17 это, в сущности, то же приближение, что было использовано Пуанкаре и Шубартом; в каждом из них используется гамильтониан, отличающийся от фактического высокочастотными членами. В символической записи Между дельта-функциями этот гамильтониан является аналитически интег¬ рируемым, если в Hsec пренебречь слагаемыми, содержащими эксцентри¬ ситеты и наклонения в четвертой и более высоких степенях. Если высо¬ кочастотные члены выбраны правильно, возможно также выразить анали¬ тически изменения элементов при пересечении дельта-функции. За исклю¬ чением некоторых технических трудностей, вывод полностью аналогичен изложенному выше. Результатом является аналитическое отображение фазо¬ вого пространства на само себя, которое приближенно описывает движение астероидов вблизи резонанса 3/1. Полные выводы и более подробное обсу¬ ждение используемых приближений приведено в работе [21]. Для полноты изложения и поскольку отображения, используемые в настоящей статье, ма¬ ло отличаются от рассмотренных в работе [21], я привожу их в приложении. 3. Максимальное значение характеристического показателя Ляпунова В хаотических областях фазового пространства две изначально близкие траектории со временем расходятся по приблизительно экспоненциально¬ му закону; в квазипериодических областях соседние траектории расходятся приблизительно линейно (см. [7]). Среднюю скорость расхождения можно определить как где d — обычное евклидово расстояние между двумя изначально близкими траекториями в их фазовом пространстве, индекс 0 обозначает начальные величины. Если траектории являются хаотическими, то d растет в среднем экспоненциально, и 72 (£) стремится к некоторой положительной константе. Если траектории квазипериодические, d растет в среднем линейно, и 72 (£) стремится к нулю как In{t)/t. Эти два случая наиболее ясно различимы на графике зависимости log(72 (£)) от log(t). Данный метод определения характера траектории очень удобен для практического применения, однако 72 (t) = -Т (3.1)
18 Дж. Виздом полезно сделать несколько уточнений. Наибольшая трудность применения метода состоит в том, что через некоторый промежуток времени (зависящий от характера траекторий) две траектории могут разойтись далеко, и локаль¬ ную скорость разделения, таким образом, определить будет невозможно. Существует два способа преодоления этой трудности. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений где х — точка в n-мерном пространстве, а индекс г обозначает компоненту. Соседние траектории удовлетворяют уравнению где d обозначает теперь малое ?г-мерное смещение. Если d — бесконечно малое смещение, оно удовлетворяет дифференциальному уравнению которое получено путем разложения правой части уравнения (3.3) в ряд Тейлора с сохранением лишь членов, линейных по d, и последующим вы¬ читанием уравнения (3.2). Напомним, что правая часть уравнения зависит от х9 это следует из уравнения (3.2). Заметим также, что поскольку урав¬ нение (3.4) теперь линейно по с/, то абсолютная величина d уже не важна. Новый вектор смещения d\ который первоначально связан с d соотношени¬ ем df = cd, где с — числовой масштабный множитель, всегда будет связан с d тем же соотношением: d' (t) = cd(t). Чтобы линейное приближение бы¬ ло справедливым, исходный вектор d должен быть бесконечно мал. Однако после линеаризации масштабный множитель с становится произвольным, и для удобства расчета d! может быть выбран порядка единицы. Аналогом уравнения (3.1) является Жх = Мх>' (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) Здесь ||d|| есть обычная евклидова длина d. Характер траектории определя¬ ется, как и раньше, из графика зависимости log(7(i)) от log(t).
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 19 Существует более простой, хотя несколько менее удовлетворительный способ преодоления трудности. Так как смещение между двумя соседними траекториями удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, то, если оно не слишком велико, его можно сохранить малым всегда. Для этого надо снова и снова начинать исследуемую траекторию вблизи опорной траектории, пока направление смещения остается неизменным. Пусть г/~ — отношение длины вектора d до и после такой перенормировки в момент времени tk, тогда Е 1п?> к=1 /л ^ График зависимости log(7/) от log(^) определяет характер опорной траек¬ тории. В некоторых случаях более удобно пользоваться данным методом. Чириков [7] показал, что оба метода дают практически одинаковые резуль¬ таты. Предел 7(£) при t, стремящемся к бесконечности, есть характеристи¬ ческая экспонента Ляпунова. Показано, что почти для всех начальных усло¬ вий этот предел может принимать не более п различных значений при изменении начального смещения, где п — размерность системы. В действи¬ тельности, за исключением множества меры нуль, все начальные смещения приводят к максимальному значению характеристического показателя Ляпу¬ нова. Поэтому данный метод определения характера траектории по графи¬ ку зависимости log(7) от log(t) обычно называется методом максимального значения характеристического показателя Ляпунова. Обзор математических результатов, касающихся характеристического показателя Ляпунова, приве¬ ден в [2, 3]. Как говорилось ранее, теоретически определить среднюю скорость экс¬ поненциального разделения близлежащих орбит труда не составляет, однако существует ряд чисто вычислительных трудностей. Наиболее серьезная из них — это влияние ошибки округления на хаотические траектории. Ошибка возникает каждый раз при определении координаты; в результате опреде¬ ляется не первоначальная траектория, а соседняя с ней. А так как сосед¬ ние траектории в хаотической области фазового пространства расходятся экспоненциально, то вычисляемая траектория экспоненциально расходится с первоначально определяемой. Кроме того, экспоненциальное расхожде¬ ние имеет место при каждом определении траектории, а не только в на¬ чале. Скорость экспоненциального расхождения определяется максималь¬ ным значением характеристического показателя Ляпунова. Например, по¬ ложим максимальное значение характеристического показателя Ляпунова
20 Дж. Виздом равным Л = 10_3'5/год. Это типичное значение для астероидов вблизи ре¬ зонанса 3/1. Если начальная ошибка составляет, скажем, 10-12, то ошибка в момент времени t будет равна 10-12еЛ*. Если конечная ошибка должна быть не более 1СГ2, то промежуток времени t ограничен значением 1п(Ю10) t = —-—- « 80 ООО лет. Л Если численное интегрирование необходимо выполнить на интерва¬ ле 1 млн лет, то вычисления необходимо проводить с более чем 100 значащи¬ ми цифрами! На самом деле это невозможно. Даже расчеты с 12 значащими цифрами баснословно дороги. Хаотические траектории трудно рассчитать точно. Тем не менее результаты расчетов хаотических траекторий часто по¬ являются в литературе. За несколькими исключениями (напр. [6]), на эту трудность численного определения хаотических орбит не обращают вни¬ мания и вычисления просто проводят с некоторой приемлемой точностью. Конечно, при этом авторы надеются, что рассчитанные траектории так или иначе отвечают действительности. Можно ли это подтвердить? Нет, пол¬ ностью нельзя, но некоторое понимание ситуации может быть достигнуто при помощи теоремы Аносова и Боуэна (см. [1]). Эта теорема доказывает¬ ся для очень узкого класса динамических систем, называемых системами Аносова. Она утверждает, что всегда возможно найти истинную траекто¬ рию, которая лежит вблизи рассчитанной траектории в течение всего рас¬ сматриваемого промежутка времени, если эта последняя рассчитана с до¬ статочной (хотя и не идеальной!) точностью. Требуемая точность зависит от того, как мы определяем понятие «вблизи». Это в высшей степени по¬ лезный результат для тех, кто намеревается численно исследовать системы Аносова. Он означает не только то, что траекторию можно рассчитать, не беспокоясь о точности вычислений, но и то, что статистические свойства рассчитанной траектории будут отвечать действительности. К сожалению, большинство гамильтоновых систем не являются системами Аносова. Тем не менее Бенеттин и др. [1] приводят ряд расчетов, которые дают сходные результаты для гамильтоновых систем и систем Аносова, и доказывают, что аналогичная теорема может быть справедлива для более общего случая га¬ мильтоновых систем. Наиболее важным для нашего исследования, однако, является следующее. В работах [2, 3] было обнаружено, что максимальное значение характеристического показателя Ляпунова не зависит от точности вычислений. Представляется наиболее вероятным, что, пока выдерживается определенная минимальная точность, максимальное значение характерис¬ тического показателя Ляпунова может быть точно подсчитано, даже если
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 21 нет возможности точно следовать определенной траектории в течение тре¬ буемого промежутка времени. Здесь же нам важно просто выяснить, будет ли траектория хаотической или квазипериодической; точное значение мак¬ симума характеристического показателя Ляпунова не играет никакой роли в обсуждении вопроса о происхождении люка Кирквуда 3/1. 4. Свойства траекторий Расчет характеристических показателей Ляпунова путем численного интегрирования дифференциальных уравнений ограниченной задачи трех тел требует больших затрат времени. Поэтому изучено очень мало слу¬ чаев, и для многих из них интерпретация результатов затруднена из-за того, что интегрирование выполнялось на ограниченном промежутке вре¬ мени (см. [9]). С другой стороны, использование отображений позволя¬ ет ускорить расчет движения астероидов вблизи резонанса 3/1 примерно в 1000 раз по сравнению с другими методами. Однако, прежде чем мы уверенно сможем использовать отображения для исследования фазового пространства на наличие хаотических зон, сначала необходимо устано¬ вить, можно ли по виду отображения точно определить характер траек¬ тории — хаотическая или квазипериодическая. Для этого нужно сравнить рассчитанные максимальные значения характеристических показателей Ля¬ пунова, т. е. 7(£), с использованием дифференциальных уравнений и с по¬ мощью соответствующего отображения. Поскольку использование отобра¬ жений сильно ускоряет расчеты, разумно будет воспользоваться ими на первом этапе, чтобы получить представление об ожидаемых результатах, а затем проверить характер траектории, решая дифференциальные урав¬ нения. В какой степени 7 зависит от выбора начального смещения? Как долго нужно интегрировать, чтобы определить, является ли траектория хаоти¬ ческой или квазипериодической? Насколько точно должна быть вычислена траектория? На все эти вопросы отвечает рис. 2. На рис. 2 показано несколь¬ ко результатов расчетов 7(t) для двух различных траекторий — хаотической и квазипериодической, при этом было использовано плоско-эллиптическое отображение и определение (3.5). Начальные условия для хаотической тра¬ ектории таковы: a/cij = 0.48, е = 0.15, I = тг и и> = 0. Долгота перигелия Юпитера принята за начало отсчета долгот. Масса Юпитера, отнесенная к сумме масс Юпитера и Солнца, принимается равной 1/1047.355, и экс¬ центриситет Юпитера имеет величину 0.048. Начальная средняя долгота Юпитера равна 0. Начальные условия квазипериодической траектории те же самые, за исключением а/aj = 0.4795. Для каждой траектории величи¬
22 Дж. Виздом -2 log](n 3 4 5 б bg10t Рис. 2. 16 примеров расчета максимального значения характеристического показате¬ ля ?1япунова при помощи плоско-эллиптического отображения для двух различных траекторий, хаотической и квазипериодической, показывают, что результаты нечув¬ ствительны к изменению вектора начального смещения d и к точности вычислений на у рассчитывается для четырех независимых значений начального смеще¬ ния d как с одинарной (7 цифр), так и с двойной (16 цифр) точностью; всего выполнено 16 расчетов 7. Оказалось, что все восемь значений 7 для хао¬ тической траектории стремятся к постоянной величине вблизи 10~3,5; все восемь значений 7 для квазипериодической траектории стремятся к нулю как In(t)/t. Во всех случаях поведение функций не зависит от начального смещения и от точности вычислений. Мы намеренно изобразили на рис. 2 сразу два типа качественно различных зависимостей, чтобы показать, что они начинаю г разделяться только по истечении примерно 60 ООО лет. Как согласуются эти результаты с решениями дифференциальных урав¬ нений? На рис. 3 приведены расчеты 7(t) для тех же двух траекторий, но с помощью дифференциальных уравнений плоско-эллиптической ограни¬ ченной задачи трех тел. Константы те же, что и раньше. При интегрирова¬ нии использованы координаты, взятые из работы [15], где истинная долгота Юпитера рассматривается как независимая переменная. Это удобно, по¬ скольку положение Юпитера в этих координатах задается явно, в то время как в других системах координатах, например во вращающихся или невра- щающихся декартовых координатах, где независимой переменной является
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 23 1о8ш^ Рис. 3. Результаты расчета максимального значения характеристического показателя Ляпунова для двух траекторий с рис. 2, полученные с использованием неусреднен- ных дифференциальных уравнений в плоско-эллиптической ограниченной задаче трех тел, подтверждают, что отображение точно отражает характер этих траекторий время, положение Юпитера необходимо вычислять. Интегрирование было выполнено по алгоритму [5]. Что касается представленного выше расчета с использованием отображения, то и в случае одинарной, и в случае двойной точности получены одни и те же результаты. Это говорит о том, что ми¬ нимальная точность, необходимая для правильного определения характера траектории, не больше 7 значащих цифр, — этот вопрос обсуждался в пре¬ дыдущей главе. Поэтому нами была принята относительная точность 10~8 на один шаг интегрирования, составляющий по порядку величины 1 год. Вычисления с использованием отображения показали, что при определе¬ нии характера траекторий интегрировать на интервале менее 60 ООО лет не имеет смысла. В данном случае численное интегрирование выполнено на временном интервале около 200 000 лет. При использовании отображения также было показано, что поведение траектории не зависит от начального смещения, поэтому его можно выбрать произвольным. Траектории, пред¬ ставленные на рис. 3 и на рис. 2, в общих чертах сходны между собой; в обоих случаях они ведут себя именно так, как и ожидалось, и даже, по- видимому, стремятся к одним и тем же величинам. Замечательным сопутствующим результатом этих расчетов является то, что хаотическая траектория обнаруживает внезапное возрастание экс¬ центриситета. В точности такое же резкое возрастание получено и при ис¬ пользовании плоско-эллиптического отображения. На рис. 4 показан график
24 Дж. Виздом t/t, пах Рис. 4. График зависимости эксцентриситета от времени, полученный с помощью неусредненных дифференциальных уравнений в плоско-эллиптической ограничен¬ ной задаче трех тел, для хаотической траектории с рис. 2 и 3, демонстрирует скачок эксцентриситета аналогичный тому, что наблюдается при использовании плоского отображения. Здесь, imax есть 16 OOOXj или приблизительно 200 ООО лет зависимости эксцентриситета от времени в случае хаотической траектории, рассчитанный с помощью дифференциальных уравнений. Здесь численное интегрирование было выполнено с довольно низкой точностью, только что¬ бы определить характер траектории, а не вычислять ее точно. Так как мак¬ симальное значение характеристического показателя Ляпунова находится около значения 10_3,5 и вычислено только 8 значащих цифр, то можно утверждать, что траектория достоверна лишь на отрезке около 50 ООО лет, хотя все же есть вероятность, что некоторая истинная траектория совпа¬ дает с данной, вычисленной на всем 200 000-летнем интервале. Тем не менее 50 000 лет достаточно, чтобы охватить и сам скачок, и переход от траектории с малым значением эксцентриситета. Чтобы еще раз убедиться в наличии этой особенности, 50 000-летний интервал, охватывающий об¬ ласть скачка, был пересчитан с относительной точностью 10“10 на один шаг интегрирования. Результаты оказались аналогичными. Скачок действи¬ тельно получается из решения дифференциальных уравнений, а не является артефактом отображения. Фрошле и Шолль [9] рассчитали максимальное значение характеристи¬ ческого показателя Ляпунова для двух траекторий вблизи резонанса 2/1. Они показали, что разница в поведении 7 для хаотической орбиты, рассчи¬ танной Гиффеном [10], и близлежащей квазипериодической траекторией со¬
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 25 всем невелика. Эти расчеты могут быть подвергнуты критике с двух точек зрения. Во-первых, они построили график зависимости log(7) от времени £, а не от log(t). Чаще всего в случае хаотической траектории 7 сначала стре¬ мится к нулю, как In(t)/t, так же как и для квазипериодической траектории, но затем приближается к своей предельной величине. Отличить такое при¬ ближение от поведения функции In(t)/t на графике линейной зависимости от времени очень трудно. Во-вторых, они рассчитали 7 на временном ин¬ тервале всего 20 000 лет. Нельзя сказать, на сколь большом промежутке времени им необходимо было проводить вычисления, чтобы однозначно увидеть разницу в поведении, но судя по трудностям в интерпретации, они выбрали недостаточно длинный интервал. Оказалось, что для орбиты Гиф- фена 7 приближается к значению вблизи 10~3. Это меньше, чем ожидали Фрошле и Шолль. Они заключили, что траектория Гиффена не может назы¬ ваться «эргодической» — термин, обычно использовавшийся в то время для описания хаотического поведения, и вместо этого изобрели для нее новый термин — «квазиэргодическая». Однако малая величина максимума характе¬ ристического показателя Ляпунова просто указывает на то, что необходимо рассмотреть траекторию на более длительном промежутке времени, чтобы убедиться в ее неинтегрируемости. Эта величина сравнима с найденной вы¬ ше, 10-3-5, для хаотической траектории вблизи резонанса 3/1. В этом случае четко определить характер траектории возможно только после 60 000 лет, но на временном масштабе порядка миллионов лет аналогичные траекто¬ рии несомненно оказываются хаотическими (ср. рис. 12). Однако данный временной масштаб все еще мал, когда рассматриваются движения, проис¬ ходящие в течение всего времени жизни Солнечной системы. Все расче¬ ты 7 (кроме одного) в данной статье выполнены на интервале по крайней мере 200 000 лет. Для двух траекторий было подтверждено: отображение точно отража¬ ет характер движения — хаотическое или квазипериодическое. Может ли плоско-эллиптическое отображение так же точно воспроизвести протяжен¬ ность хаотической зоны? Чтобы ответить на этот вопрос, снова необходимо сравнить расчеты 7, выполненные с использованием дифференциальных уравнений и с помощью соответствующего отображения. Как и прежде, сначала исследуем само отображение, чтобы посмотреть, какой диапазон начальных условий представляет интерес. Затем подтвердим полученный результат с помощью дифференциальных уравнений. Поскольку ширина хаотической зоны имеет первостепенную важность, для изучения нами бы¬ ло выбрано множество начальных условий на линии, пересекающей область резонанса. А именно, а изменяется так, чтобы покрыть область резонанса, тогда как е = 0.15,1 = тт и oj — 0. Данное значение эксцентриситета близко
26 Дж. Виздом a/dj Рис. 5. Результаты расчета максимального значения характеристического показа¬ теля Ляпунова для набора начальных условий, охватывающего люк Кирквуда 3/1. Точки, полученные с помощью дифференциальных уравнений, обозначены круж¬ ками (200 ООО лет); результаты отображения обозначены крестиками (200 ООО лет) и плюсами (1000 000 лет). Хаотическая зона хорошо заметна, и во всех случаях наблюдается превосходное согласие результатов, полученных разными методами. Таким образом, отображение точно отражает ширину хаотической зоны к среднему эксцентриситету астероидов вблизи резонанса 3/1. Причина, по которой для остальных двух координат были выбраны именно такие зна¬ чения, будет объяснена в следующей главе. На рис. 5 показаны результаты численных расчетов 7 с использованием определения (3.6), при этом длина начального смещения принималась равной 10“7, а перенормировка выпол¬ нялась каждые 100 лет. Значения log10(7) для t = 200 000 лет (крестики) и t = 1 000 000 лет (знаки плюс) отложены против начальных значений большой полуоси. Если траектория хаотическая, 7 стремится к константе, а в случае квазипериодической траектории — к нулю, как In(£)/£. Таким образом, по истечении достаточно большого промежутка времени два типа траекторий можно различить просто по величине 7. А именно, для хаоти¬ ческих траекторий величины 7 примерно одинаковы, а для квазипериоди- ческих меньше приблизительно на величину отношения времен. Эти осо¬ бенности можно видеть на рис. 5, где два типа поведения легко различимы. В хаотических зонах все значения 7 группируются вблизи величины 10-3 5;
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 27 в квазипериодических зонах 7 принимает меньшие значения, причем вели¬ чина отношения двух 7 для каждой большой полуоси приближенно равна отношению времен, т. е. 1/5, как и предполагалось. Несколько значений 7, рассчитанных с использованием дифферен¬ циальных уравнений и определения (3.5), также представлены на рис. 5 (кружки). Начальные условия те же, что и ранее, но в данном случае рассматриваются только восемь равноотстоящих значений большой по¬ луоси: 0.4795, 0.4800, 0.4805, ... и 0.4830. Подробности расчета не от¬ личаются от описанных ранее. В частности, каждое интегрирование вы¬ полнялось на промежутке около 200 000 лет. Исключение составляет слу¬ чай а = 0.4815, когда был взят промежуток 160 000 лет. Для обозначения точек здесь гораздо лучше подошли бы значки доллара (или фунта), а не кружки, так как в целом на расчет потребовалось 100 часов машинного времени — больше, чем на любой другой в данной статье. Во всех случаях отображение и дифференциальные уравнения дают согласующиеся резуль¬ таты относительно характера траекторий и величины 7. Присутствует даже узкая зона квазипериодичности при а = 0.4805aj. Согласие с результатами, полученными с использованием отображения, оказалось даже лучше, чем можно было ожидать. Ложные высокочастотные составляющие приводят к возникновению осцилляций большой полуоси порядка отношения массы Юпитера к массе Солнца. Таким образом, можно было ожидать, что при использовании отображения на границах хаотических зон появятся ошиб¬ ки порядка O.OOlaj. Замечу только, что при данном интегрировании было найдено еще несколько примеров скачков эксцентриситета. Плоско-эллиптическое отображение блестяще выдержало все провер¬ ки. Во всех рассмотренных случаях плоско-эллиптическое отображение и дифференциальные уравнения для плоско-эллиптической ограниченной задачи трех тел дают одинаковые характеристики 7 как качественно, так и количественно. Это позволяет использовать плоско-эллиптическое отоб¬ ражение как инструмент для исследования фазового пространства вблизи резонанса 3/1 на наличие хаотических зон. 5. Хаотическая зона вблизи резонанса 3/1 Теперь, когда мы показали, что отображения верно отражают характер траекторий, мы можем воспользоваться их преимуществами и подробно ис¬ следовать хаотическую зону вблизи резонанса 3/1. Однако сразу же возника¬ ет проблема. Пространство начальных условий для плоско-эллиптического отображения является четырехмерным. Нецелесообразно систематически исследовать такое пространство, а тем более надеяться представить резуль¬
28 Дж. Виздом таты исследования наглядно. К счастью, есть более простой способ. Если бы все траектории со временем пересекали некоторую особую двумерную плоскость, располагающуюся в фазовом пространстве, тогда систематиче¬ ское изучение начальных условий на этой плоскости было бы эквивалентно изучению всего четырехмерного пространства. Существует ли такая плос¬ кость для плоско-эллиптической задачи, и как ее можно найти? Необходимо учесть два факта. Во-первых, величина I + 2Со — 31 j может совершать либ¬ рации вблизи точки 7г. Таким образом, этот резонансный параметр избегает области вблизи нуля, но не вблизи п. Отсюда следует первое условие для ре¬ презентативной плоскости: I + 2d; — 31 j = 7г. Во-вторых, вдали от резонанса движение Со хорошо описывается вековой частью одного лишь гамильтони¬ ана. Решение этого гамильтониана тривиально (если пренебречь членами четвертого порядка) и может быть выражено через понятия возмущенного и свободного эксцентриситета, а именно: е COs(cD СО j ) — & forced, “Ь &free COs(.A(t ^о))э esin(d) — ujj) = efree sin(A(t — to)). Константы e forced и А определяются из уравнений движения, констан¬ ты е/гее и to — из начальных условий. Заметим, что если е/гее меньше, чем еforced, то Со —Со j не проходит через все величины. Однако для всех на¬ чальных условий Со — Cbj проходит через нуль. Это дает второе условие для репрезентативной плоскости: Со — Cbj — 0. Первое условие должно выпол¬ няться для траекторий, испытывающих либрацию; второе — для траекторий вдали от точного резонанса. Проще всего предположить, что репрезентатив¬ ная плоскость — это плоскость, которая однозначно определяется, если два указанных условия выполняются всюду. Опытным путем мы показали, что это действительно удачный выбор. Я проверил несколько сотен произволь¬ но выбранных в четырехмерном фазовом пространстве начальных условий, а также рассмотрел все нумерованные астероиды и астероиды Паломар- Лейденского обозрения с первым и вторым типами орбит. Во всех случаях траектории пересекали плоскость. Я сделал вывод, что если траектории, не пересекающие плоскость, и существуют, то они скорее являются исключе¬ нием. Существование репрезентативной плоскости значительно облегчает задачу систематического исследования фазового пространства. На рис. 6 представлены результаты одного из расчетов с использова¬ нием плоско-эллиптического отображения, ej = 0.048. Начальные условия выбраны на репрезентативной плоскости, I — 31 j = 7г и Со -- 0; за начало отсчета долгот снова принята долгота перигелия Юпитера. Длины больших
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 29 0.4 0.3 е 0.2 0.1 0 Рис. 6. Хаотическая зона вблизи резонанса 3/1, полученная с помощью плос¬ ко-эллиптического отображения при ej = 0.048. Начальные условия находятся на репрезентативной плоскости, и шаг по оси a/aj составляет 0.0001. Рассмотрено шесть значений эксцентриситета: 0.05, 0.10, ... и 0.30. Точки, в которых харак¬ теристический показатель Ляпунова проявляет хаотическое поведение, обозначены крестиками. Хаотическую зону легко интерполировать на другие значения эксцен¬ триситета полуосей, выраженные в единицах длины большой полуоси орбиты Юпите¬ ра, изменяются от 0.47 до 0.49 с шагом 0.0001. Эксцентриситеты принима¬ ют значения 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25 и 0.3. Величина 7(£) была рассчитана с двойной точностью по формуле (3.6) на временном промежутке 300 000 лет для каждой комбинации большой полуоси и эксцентриситета. Свойства каждой траектории устанавливаются затем на графике зависимости lg(7(£)) от lg(t). Каждая точка, где траектория имеет хаотический характер, на рис. 6 отмечена крестиком; области квазипериодичности не обозначаются. Рису¬ нок 6 необходимо интерполировать для остальных значений эксцентриси¬ тета. На графике мы видим хаотическую зону значительных размеров. Эта макроскопическая хаотическая зона присутствует в решении эллиптиче¬ ской ограниченной задачи; в задаче для круга, однако, следует ожидать лишь очень небольшой хаотической зоны вблизи границы области либ¬ рации [7]. Эксцентриситет орбиты Юпитера изменяется от примерно 0.03 1 I г I I I 0.470 0.480 0.490 а/а.
30 дж. Виздом a/dj Рис. 7. Tu же область, что на рис. 6, для значения ej = 0.06. Хаотическая зона более сплошная, но несколько уже до 0.06. Можно предположить, что хаотическая зона будет больше при ej = --- 0.06. На рис. 7 приведены результаты тех же расчетов, что и на рис. 6, но при ej = 0.06. Резких отличий мы не видим. Некоторые промежут¬ ки внутри хаотической зоны оказались заполнены, но общая ширина даже немного меньше. Чтобы дать представление о том, как хаотическая зона выглядит на других плоскостях фазового пространства, на рис. 8 мы изобразили хаоти¬ ческую зону для начальных условий на плоскости I — 31 j = 7г и = 7г. Как и ранее., крестиками обозначены точки, где траектория имеет хаотический характер. Точки, в которых траектория квазипериодична и может пересекать орбиту Марса (е > 0.3), обозначены здесь штрихами; ничем не обозначены точки, в которых орбита квазипериодична, но не пересекает орбиту Марса. Такой выбор плоскости начальных условий подчеркивает ширину области квазипериодической либрации, а также показывает, что большинство траек¬ торий, берущих начало в области либрации на этой плоскости, испытыва¬ ют достаточно большие изменения эксцентриситета и начинают пересекать орбиту Марса. Лишь небольшая область с начальным эксцентриситетом, равным 0.05, является безопасной; большинство же квазипериодических траекторий пересекает орбиту Марса. Этот вывод подтверждается изуче¬ нием случайного распределения 300 пробных астероидов. Несмотря на то,
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 31 0.4 0.3 е 0.2 0.1 0 Рис. 8. Хаотическая зона на плоскости I — 3lj = тг и ш = тг, которая позволяет подчеркнуть ширину зоны квазипериодических либраций. Крестиками снова обо¬ значена хаотическая траектория, штрихами — квазипериодическая траектория, дос¬ тигающая эксцентриситета больше 0.3, т. е. пересекающая орбиту Марса. Большин¬ ство астероидов, совершающих квазипериодические либрации, пересекают орбиту Марса что на рис. 8 области квазипериодической либрации представляются протя¬ женными, в фазовом пространстве они занимают намного меньший объем, нежели хаотическая зона. Из 300 пробных астероидов 89 двигались по ха¬ отическим, и только 11 — по квазипериодическим траекториям. Абсолютно все квазипериодические орбиты пересекали орбиту Марса. В своей работе [21] я упоминал о том, что, по-видимому, в трехмерной задаче, т. е. задаче, в которой рассматриваются и наклонения орбит, траек¬ тории имеют больше степеней свободы по сравнению с плоской задачей. Необходимо рассмотреть, как хаотическая зона зависит от наклонения г и от долготы узла Q. К сожалению, даже если мы воспользуемся репрезен¬ тативной плоскостью, эта задача останется четырехмерной. Я могу лишь дать представление о том, что происходит. Трехмерное отображение опи¬ сывается в приложении. Мы не сравнивали его с методом численного инте¬ грирования как в случае плоско-эллиптического отображения. Однако трех¬ мерное отображение является прямым обобщением плоско-эллиптического, поэтому если одно из них работает, то нет никакой причины считать, что I I I 0.470 0.480 0.490 а/ а}
32 Дж. Виздом другое работать не будет. Сначала я исследовал набор начальных условий, использованных при построении рис. 5, при нескольких различных значе¬ ниях наклонения и узла. Среднее наклонение орбит астероидов составляет около 5 градусов. Нами рассмотрены наклонения 5, 10 и 15 градусов и дол¬ готы узлов 0 и 90 градусов. При значении долготы узла 90 градусов получен любопытный результат: хаотическая зона такая же, как и в случае плоской задачи, и вид ее не зависит от наклонения. Результаты для г = 10° и Q = 0° представлены на рис. 9. Хаотическая зона здесь сплошная, и при малых значениях эксцентриситета она значительно шире, чем в плоской задаче. Итак, хаотическое поведение типично для плоско-эллиптической огра¬ ниченной задачи трех тел, и даже более типично для трехмерной задачи. Существует также небольшая область квазипериодической либрации, но большинство траекторий в этой области пересекают орбиту Марса. 6. Ограничения, накладываемые усредненным гамильтонианом Хаотическое поведение типично, но какое значение имеет этот факт? Никакого, если присутствуют другие факторы, ограничивающие движение небольшой областью фазового пространства. В плоско-эллиптической огра¬ ниченной задаче трех тел неизвестно никаких интегралов движения. Вбли¬ зи же резонанса 3/1 усредненный гамильтониан дает, однако, некоторый квазиинтеграл. Если в гамильтониане отбросить высокочастотную состав¬ ляющую и с помощью канонического преобразования убрать явную зависи¬ мость от времени в усредненном гамильтониане, то полученный гамильто¬ ниан будет точным интегралом движения. Если же включить высокочастот¬ ную составляющую то такой, зависящий от времени, вариант усред¬ ненного гамильтониана не будет больше точным интегралом, но обнаружи¬ вает периодические осцилляции. Тем не менее он приближенно сохраняется и накладывает ограничения на движение. Для удобства в дальнейшем я бу¬ ду называть не зависящий от времени вариант усредненного гамильтониана просто усредненным гамильтонианом. В какой степени хаотические траек¬ тории вблизи резонанса 3/1 ограничиваются усредненным гамильтонианом? Некоторое представление о диапазоне разрешенного движения можно получить, ограничиваясь рассмотрением репрезентативной плоскости. На рис. 10 показаны линии равного уровня усредненного гамильтониана на репрезентативной плоскости как функции a/aj и е. Здесь же изображены хаотические зоны, как они определены на рис. 6. Для многих значений усредненного гамильтониана существует по две линии, обозначенные од¬ ним и тем же числом. Предполагается, что каждый раз, когда траектория
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 33 а/ a,j Рис. 9. Хаотическая зона, полученная с помощью трехмерного отображения. На¬ чальные условия те же, что на рис. 6, г = 10° и П = 0°. С ростом наклонения хаотическая зона становится более широкой и сплошной пересекает данную плоскость, она должна пересекать ее вблизи линии, на которой эта траектория берет начало, или вблизи линии с тем же значе¬ нием усредненного гамильтониана. Далее, квазипериодические траектории отличаются от хаотических не только скоростью разделения, но также су¬ ществованием полного набора интегралов движения. В обычных условиях квазипериодические траектории могут пересекать некоторую выделенную плоскость только в конечном числе точек. Хаотические траектории, наобо¬ рот, ограничены только вследствие приближенного сохранения усреднен¬ ного гамильтониана; для них не существует дополнительных интегралов. Любая траектория, берущая начало в хаотической зоне, свободно блужда¬ ет, пересекая при этом репрезентативную плоскость вблизи одной из ли¬ ний постоянного уровня усредненного гамильтониана. Область возможных пересечений с репрезентативной плоскостью можно определить прямо из графика, если немного проинтерполировать хаотическую зону. Необходи¬ мо просто найти те места, где линии постоянного уровня усредненного гамильтониана находятся в пределах хаотической зоны. Можно ли охва¬ тить все такие точки? В частности, возможны ли скачки с одной линии постоянного уровня усредненного гамильтониана на другую с тем же зна¬ чением? Это зависит от свойств траекторий в четырехмерном фазовом про¬
34 Дж. Виздом а/ а, Рис. 10. Линии постоянного уровня усредненного гамильтониана на репрезентатив¬ ной плоскости и хаотическая зона, представленная на рис. 6. Траектории ограничены таким образом, что пересекают репрезентативную плоскость вблизи одной из линий с тем же значением усредненного гамильтониана, что и линия, на которой траектория начиналась. Линии с одинаковым значением усредненного гамильтониана помечены одинаковыми цифрами странстве. Возможна ситуация, когда траектория, начинающаяся на нижней кривой, отмеченной цифрой 3, будет всегда ограничена областью малого эксцентриситета, даже если верхняя кривая, имеющая номер 3, остается в хаотической зоне с очень большим эксцентриситетом. Это вопрос, кото¬ рый нужно решать экспериментальным путем. На рис. 11 я воспроизвел рис. 10 и изобразил на нем последовательные пересечения репрезентатив¬ ной плоскости двумя траекториями, для которых были построены кривые. Начальные условия следующие: а — 0.4806, е = 0.1 и а — 0.4822, е = 0.15. Изначально для обеих траекторий I = 7г и Со = 0. На самом деле ожидать точных пересечений с репрезентативной плоскостью не представляется воз¬ можным, поэтому а не откладывались, когда значения I — 31 j и Со попадали в область 5 градусов от репрезентативной плоскости. Результаты нечувстви¬ тельны к точному размеру этого окна. Во-первых, рис. 11 подтверждает, что усредненный гамильтониан приблизительно сохраняется для хаотических траекторий. Во-вторых, эти две траектории показывают, что скачки с одной кривой на другую действительно возможны, причем как между верхней
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 35 а/а, Рис. 11. Пересечения двух траекторий с репрезентативной плоскостью, представ¬ ленной на рис. 10. Траектории, начинающиеся в хаотической зоне, по-видимому, достигают всех точек, где их кривые постоянного уровня усредненного гамильтони¬ ана пересекают хаотическую зону. Все хаотические траектории со временем могут пересечь орбиту Марса и нижней кривой, так и между левой и правой кривой. Было исследовано несколько других траекторий, и во всех случаях, по-видимому, был изучен полный диапазон. Однако иногда представляется, что траектории неохотно меняют кривые. Например, первая из двух только что описанных траекто¬ рий проводит долгое время на нижней кривой, прежде чем появиться на верхней. Существование двух кривых с одним и тем же значением усред¬ ненного гамильтониана — первый ключ к пониманию того, как траектории, в течение долгого времени имеющие малый эксцентриситет, затем скачком его увеличивают. Экстраполировать результаты, представленные на рис. 6, на область эксцентриситетов, много больших 0.3, затруднительно, однако, оказывает¬ ся, что в плоской задаче все эти линии постоянного уровня усредненно¬ го гамильтониана со временем покидают хаотическую зону. Это означает, что для всех хаотических траекторий существует максимальный эксцен¬ триситет, который не может быть превзойден. При внимательном изучении рис. 11, однако, обнаруживаем, что этот максимальный эксцентриситет все¬ гда больше 0.3, т. е. эксцентриситета, при котором становится возможным
36 Дж. Виздом 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Рис. 12. График зависимости эксцентриситета от времени для типичной хаотической траектории вблизи резонанса 3/1. построенный с помощью гшоско-эллиптического отображения. Эксцентриситет, по-видимому, ограничен значениями, меньшими 0.4. Величина tmax есть 200 0U0'7j или приблизительно 2.4 млн лет пересечение орбиты Марса. Таким образом, даже в плоской задаче все ха¬ отические траектории могут пересекать орбиту Марса. Хаотическая зона присутствует и в трехмерной задаче и, по-видимому, даже расширяется с ростом наклонения орбиты. Усредненный гамильтони¬ ан также накладывает ограничения на движение, но теперь это только од¬ но ограничение в шестимерном фазовом пространстве. Доступное фазовое пространство в трехмерной задаче значительно больше. Этим объясняется свобода трехмерных траекторий. На рис. 12 показано типичное поведение тестового астероида на хаотической траектории в плоской задаче. Началь¬ ные условия таковы: а -- 0.4806, е = 0.098, I = 7г и Со = 0. В некоторые периоды времени траектория имеет малый эксцентриситет, в другие пери¬ оды — большой, причем переходы между этими двумя типами движения, по-р,идимому, случайны. На всем интервале в 2.4 млн лет эксцентриситет принимает значения, меньшие 0.4. Некоторые плоские траектории обнару¬ живают особенно интересные свойства (см. рис. 13). Начальные условия здесь: а — 0.4806, е = 0.05,1 = 7г и и; = 0. Здесь эксцентриситет совершает с качки к большим значениям лишь на короткое время и снова через произ¬ вольные промежутка! времени. Очевидно, траектория настолько ограничена, что путь к большим эксцентриситетам очень узок. Это явление представля¬ ется довольно редким, поскольку не наблюдалось ни на одном из пробных астероидов в случайном распределении. Оно, по-видимому, не происходит
Хаотическое поведение и происхождение дюка Кирквуда 3/1 37 0.4 0.3 в 0.2 0.1 0 Рис. 13. График зависимости эксцентриситета от времени для особо интересной ха¬ отической траектории в плоской задаче. Такое «перемежающееся» поведение пред¬ ставляется довольно редким; начальные условия выбраны произвольно и не поз¬ воляют его увидеть. Оно также, по-видимому, не встречается в трехмерной задаче. Значение t77iax то же, что на рис. 12, приблизительно 2.4 млн лет и в трехмерной задаче, где траектории менее ограничены. На рис. 14 по¬ казана типичная хаотическая траектория в трехмерной задаче. Начальные условия такие же, как и на рис. 13, при этом г = 10°иП = 0. Заметим, что масштаб по шкале эксцентриситетов выбран другой. При трехмерном отображении достигаются значительно большие значения эксцентрисите¬ та. (Наклонение, по-видимому, совершает случайные блуждания и также может достигать больших значений.) Конечно, когда эксцентриситет так велик, отображение больше не дает верных результатов, так как при его выводе были отброшены члены четвертого порядка по эксцентриситету. Таким образом, точно неизвестно, насколько сильно может вырасти экс¬ центриситет в реальной трехмерной задаче. Это жизненно важный вопрос, поскольку период полураспада астероида сильно зависит от его эксцентри¬ ситета. Типичное время жизни астероида, пересекающего орбиту Марса, порядка 200 млн лет [20]. Траектория, показанная на рис. 12, около 5% времени пересекает орбиту Марса. Таким образом, время жизни типичной хаотической траектории, рассчитанной в плоском приближении, имеет по¬ рядок возраста Солнечной системы. С другой стороны, типичная трехмер¬ ная траектория, представленная на рис. 14, достигает настолько больших эксцентриситетов, что может пересекать орбиту Земли (е > 0.6), а также пересекает орбиту Марса в течение гораздо большего времени (около 50%
38 0.8 0.6 е 0.4 0.2 0 Рис. 14. График зависимости эксцентриситета от времени для той же хаотической траектории, что па рис. 13, но рассчитанный с помощью трехмерного отображения с начальным наклонением 5 градусов. Обратите внимание на масштаб по оси экс¬ центриситетов; при использовании трехмерного отображения получаются гораздо большие вариации эксцентриситета. Значение £тах то же, что на рис. 12, приблизи¬ тельно 2.4 млн лет всего времени). Если астероид пересекает орбиту Земли, время его полурас¬ пада значительно меньше: приблизительно 10 млн лет [20]. Таким образом, оказывается, что столкновения или тесные сближения с Землей или Марсом вполне могут удалить все астероиды с хаотическими траекториями за время жизни Солнечной системы. Шолль и Фрошле [8] показали, что хаотическая траектория Гиффе- на ограничена усредненным гамильтонианом до эксцентриситетов, мень¬ ших 0.18. Вывод этих авторов таков: если исключить возможность того, что на протяжении очень больших промежутков времени траектории ухо¬ дят из ограниченной области за счет диффузии Арнольда, то хаотические свойства не имеют ничего общего с происхождением люков Кирквуда. Од¬ нако их вычисления выполнены для плоского случая. Приведенные выше расчеты показывают, что траектории вблизи резонанса 3/1 достигают го¬ раздо больших эксцентриситетов в трехмерной задаче, нежели в плоской. Я полагаю, что это справедливо и для траекторий вблизи резонанса 2/1; Дж. Виздом V 4пах
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 39 0 Рис. 15. 1000 последовательных итераций стандартного отображения при К — 0.96 для каждого из девяти различных начальных условий показывают уже знакомое деление фазового пространства, изначально полученное в [11] траектории ограничены в плоской задаче, но, возможно, не так сильно огра¬ ничены в трехмерной. Все хаотические траектории вблизи резонанса 3/1 могут пересекать орбиту Марса. В трехмерной задаче достигаются очень большие значения эксцентриситета, возможно, достаточно большие для того, чтобы астероиды могли пересекать орбиту Земли. Вероятность столкновений с Землей и Мар¬ сом оказывается достаточной, чтобы удалить все астероиды с хаотическими траекториями за время жизни Солнечной системы. 7. Явления скачков и «прилипаний» На первый взгляд, на рис. 1, 12 и 13 показаны весьма специфические случаи зависимости эксцентриситета от времени. Ведут ли себя другие га¬ мильтоновы динамические системы подобным образом, и при каких усло¬ виях можно ожидать аналогичные явления? Одной из наиболее интенсив¬ но изучаемых областей, сохраняющих отображения на плоскости, является стандартное отображение Чирикова, представленное в §2. Оно может про¬ являть аналогичные свойства.
40 7Г тт/2 I 0 —Tv/2 — Tv 0 500 1000 п Рис. 16. График зависимости I от числа итераций п для хаотической траектории, окружающей большую центральную область на рис. 15, показывает кажущиеся произвольными переходы между возможными режимами. Рисунок очень похож на рис. 12. Стандартное отображение, таким образом, дает модель поведения, получен¬ ного с помощью плоско-эллиптического отображения На рис. 15 показан ряд траекторий стандартного отображения, соот¬ ветствующих К = 0.96. Мы видим привычную смесь хаотического и ква- зипериодического поведения. Обратите внимание на хаотическую зону, окружающую большую центральную область. Последовательные итерации отображения проходят через эту область в нескольких различных режи¬ мах. В одном из режимов последовательные итерации появляются возле нижней границы хаотической зоны, причем угол д вращается в направле¬ нии отрицательных величин. В другом режиме траектория проходит вблизи верхней границы, и д вращается в направлении положительных величин. И наконец, траектория может вращаться вокруг большой центральной об¬ ласти, при этом д испытывает осцилляции. По мере эволюции траектория вступает в каждый из этих режимов; переход между режимами происхо¬ дит, по-видимому, через произвольные интервалы времени. На рис. 16 эти случайные переключения между режимами показаны на графике зависимо¬ сти I от числа итераций п. Для удобства последовательные итерации были соединены сплошной линией. Хаотическую зону можно рассматривать как результат расширения сепаратрисы осциллирующего гамильтониана за счет Дж. Виздом
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 41 вклада высокочастотной составляющей. В процессе осцилляций две ветви сепаратрисы пересекают область неустойчивого равновесия. Это неустой¬ чивое равновесие все еще присутствует в стандартном отображении и яв¬ ляется причиной резкой границы, разделяющей режимы. Траектории, при¬ ближающиеся к положению неустойчивого равновесия, затем постепенно отходят от него, но могут при этом двигаться в двух возможных направле¬ ниях. Останется ли траектория в том’ же самом режиме или войдет в новый, очень сильно зависит от характера самой траектории. На рис. 12 и 16 мы видим аналогичное поведение. Возможно, в обо¬ их случаях работают сходные процессы. Однако из-за высокой размерности плоско-эллиптической ограниченной трехмерной задачи показать точное со¬ ответствие затруднительно. Как описывалось выше, одной из существенных черт данного процесса является наличие неустойчивого равновесия. Если этот процесс имеет место и в трехмерной задаче, то должно существовать аналогичное положение неустойчивого равновесия, когда эксцентриситет равен приблизительно 0.1. На самом деле, возможно, существует два таких положения. Первое было обнаружено Хиллом [12] при значении эксцентри¬ ситета около 0.08, а другое — Синклером [18]. Неустойчивая орбита, найден¬ ная Синклером, показана на рис. 10 как седловая точка вблизи е = 0.11. Как и ожидалось, обе эти орбиты являются фиксированными точками плоско¬ эллиптического отображения. (Бьен [4] нашел третью периодическую орби¬ ту — устойчивую — с очень большим эксцентриситетом е = 0.79. Эта орбита не является фиксированной точкой плоско-эллиптического отображения, но это и неудивительно, так как при выводе отображения членами четвертого порядка по эксцентриситету пренебрегали.) Существование неустойчиво¬ го равновесия при значениях эксцентриситета, близких 0.1, подтверждает представление о том, что описанный выше процесс имеет место в ограни¬ ченной задаче. В любом случае данный пример стандартного преобразова¬ ния показывает, что такое поведение случается и в других динамических системах, даже если детали процесса отличаются. На рис. 1 видна еще одна необычная особенность. В начале траек¬ тория оказывается весьма регулярной, почти квазипериодической, а затем неожиданно становится менее регулярной. Однако квазипериодические тра¬ ектории не могут становиться хаотическими; тип траектории изменяться не может. Тем не менее хаотическая траектория может представляться квази¬ периодической в течение некоторого конечного промежутка времени. По мере эволюции хаотическая траектория постепенно подходит к границе ха¬ отической зоны и может оставаться там довольно долгое время. Она как бы «прилипает» к границе. Находясь вблизи границы, она проявляет свойства, аналогичные соседним квазипериодическим траекториям. Таким образом,
42 Дж. Виздом тт тт/2 I О —тт/2 — тт Рис. 17. Необычное поведение, представленное на рис. 1, имеет аналог для стан¬ дартного отображения. Сначала траектории «приклеены» к цепочке областей, что создает впечатление почти квазинериодической траектории. Постепенно траектория освобождается и начинает блуждать в пределах хаотической зоны временами хаотические траектории могут казаться квазипериодическими. На рис. 15 прямо под большим центральным островом видна цепочка из четырех меньших островов. Если траектория начинается очень близко к од¬ ной из этих областей, она может «прилипнуть» к ней на какое-то время, перед тем как отправиться в путешествие по хаотической зоне. На рис. 17 величина I представлена как функция числа итераций для такой траектории. Сходство с рис. 1 поразительно. Конечно, если траектория на рис. 1 «прилипает» к некоторой квазипе- риодической области, то она все время должна располагаться вблизи нее. На рис. 6 хаотическая зона не показана, и начальные условия для траектории на рис. 1 (а/а j = 0.48059 и е = 0.055001) действительно лежат вблизи гра¬ ницы хаотической и квазипериодической зон. Поскольку такое поведение характерно именно для границы хаотической зоны, а не для самой хаотиче¬ ской зоны, то начальные условия, выбранные произвольно, не должны вести себя подобным образом. Дело случая, что первая же траектория, которую я стал изучать с помощью плоско-эллиптического отображения, имела такие свойства. Из 600 произвольных начальных условий, рассмотренных в [21], только одно было «прилипающее». Все необычные свойства траекторий, найденные с помощью плоско¬ эллиптического отображения, имеют место и в рамках стандартного отоб¬ ражения. Возможно, в обоих случаях действуют сходные механизмы. 500
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 43 a/aj Рис. 18. Показаны внешние границы хаотических зон, представленных на рис. 6 (плоская задача) и на рис. 10 (наклонение 10 градусов), и точки пересечения ор¬ бит нумерованных астероидов (кружки) и PL-астероидов с первым и вторым типом орбит (плюсы) с репрезентативной плоскостью. Эти границы довольно точно отра¬ жают положение границ люка Кирквуда 3/1 8. Сравнение с истинным распределением астероидов На рис. 6-9 представлены свойства траекторий вблизи резонанса 3/1 на определенных плоскостях, находящихся в фазовом пространстве, в плос¬ кой и трехмерной эллиптической ограниченной задаче трех тел. Поскольку элементы орбит реальных астероидов, естественно, не лежат на этих плос¬ костях, прямое сравнение траекторий невозможно. Чтобы сделать сравне¬ ние возможным, необходимо проследить траектории реальных астероидов вплоть до их пересечения с подходящей плоскостью в фазовом простран¬ стве. На рис. 18 показаны большие полуоси и эксцентриситеты нумеро¬ ванных астероидов (кружки) и астероидов Паломар-Лейденского обозрения (PL-астероиды) с первым и вторым типом орбит (плюсы) при первом прохо¬ ждении в пределах 2 градусов от репрезентативной плоскости. Траектории исследовались с помощью трехмерного отображения. Одна из траекторий вблизи границы хаотической зоны с малым значением а также была иссле¬ дована с помощью дифференциальных уравнений. Совпадение с результа¬ тами отображения было хорошим; ошибка оказалась меньше, чем размер символов, обозначающих координаты. На рис. 18 также показана внеш¬
44 Дж. Виздом няя граница хаотической зоны, как она определена на рис. 6 и 9, т. е. для наклонения, равного 0 (плоская задача) и 10 градусам. Также была выпол¬ нена простая линейная интерполяция границ. Границы хаотической зоны соответствуют границам действительного люка Кирквуда 3/1 достаточно хорошо. Три реальных астероида не представлены на этом графике. Это 887 Алинда, 1915 Кетцалькоатль и PL 4917. Астероиды 887 Алинда и 1915 Кетцалькоатль оба совершают либрации вблизи резонанса 3/1 и име¬ ют слишком большие эксцентриситеты, выходящие за пределы графика. (Оба они пересекают орбиту Марса.) PL-астероид не обозначен по другой причине. Исследование с помощью трехмерного отображения показало, что этот астероид движется по хаотической траектории. При согласовании с на¬ блюдательными данными для PL 4917 получается особенно большая невяз¬ ка, при этом формальная ошибка в большой полуоси составляет 0.0246 а. е. (личная беседа, Марсден, 1982). Этого достаточно не только для то¬ го, чтобы астероид перешел в соседнюю квазипериодическую область (для этого хватило бы и 4-0.002 а. е.), но даже для того, чтобы перенести астеро¬ ид через люк Кирквуда в противоположную квазипериодическую область! Орбита PL 4917 слишком плохо известна, чтобы использовать ее для изуче¬ ния люков Кирквуда. Сравнивая величины этих ошибок с результатами на графике, необходимо помнить, что по оси абцисс всегда отложена величи¬ на ajaj, а не а., измеренная в астрономических единицах. Вообще, ошибка, ожидаемая для PL-астероидов с первым и вторым типом орбит, составляет всего 0.003 а.е. в большой полуоси [19]. Рисунок 19 аналогичен рис. 18, но на нем представлена другая секущая плоскость., та, которая была использована на рис. 8. В этом случае, однако, хаотическая зона была построена только для плоской задачи. На данной плоскости соответствие внешней границы хаотической зоны реальной гра¬ нице люка Кирквуда еще более значительно. Тем не менее эта плоскость не очень удобна, так как шесть астероидов с номерами 189, 292, 619, 799, 1722 и 2273 не пересекают ее. В работе [21] предсказанная ширина люка была намного меньше, чем в действительном распределении нумерованных астероидов. Это несоот¬ ветствие обусловлено сочетанием двух факторов. Во-первых, начальные условия пробных астероидов удалялись, если на интервале 2 млн лет их эксцентриситет становился больше 0.3. На больших промежутках времени, возможно, пришлось бы удалять больше астероидов. Эта трудность теперь преодолена, поскольку долговременное поведение возможно предсказать, если известен характер траектории. Если траектория квазипериодическая, диапазон изменения эксцентриситета можно определить довольно быстро.
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 45 а/ а7 Рис. 19. Показаны внешние границы хаотических зон и точки пересечения орбит нумерованных астероидов (кружки) и PL астероидов (плюсы) с плоскостью, пред¬ ставленной па рис. 8. Точное соответствие между границами хаотической зоны и границами люка Кирквуда еще более заметно на данной плоскости Этот диапазон всегда фиксирован. Если же траектория хаотическая, она пос¬ тепенно достигает больших значений эксцентриситета, хотя этого не может произойти в первые 2 млн лет. Таким образом, те пробные астероиды, ор¬ биты которых хаотичны, но не пересекают орбиту Марса, необходимо было удалить так же, как и те, которые пересекают орбиту Марса. Второй фактор более важен и касается статистики. Если исследуется слишком мало объ¬ ектов, ширина действительного люка может оказаться искусственно завы¬ шенной. Эту трудность можно преодолеть, увеличивая выборку, а именно, включая PL-астероиды с первым и вторым типом орбит наряду с нумеро¬ ванными астероидами. Мы повторили расчет трехмерного распределения, полученного в ра¬ боте [21]. Как и ранее, было рассмотрено 300 астероидов. Большие полуоси, эксцентриситеты и наклонения были теми же, что и в статье [21]; долготам были даны новые произвольные значения. Теперь каждый пробный асте¬ роид рассматривался на промежутке всего 1 млн лет, но для определения характера траектории вычислялся максимум характеристического показате¬ ля Ляпунова. Было найдено, что из 300 пробных астероидов в произвольном распределении 89 имеют хаотические орбиты, и только 11 — квазиперио- дические. Все хаотические траектории, за исключением пяти, стали пере-
46 Дж. Виздом а/ cij Рис. 20. Усредененная по времени гистограмма реальных астероидов (пунктирная линия) и тех пробных астероидов, орбиты которых не являются хаотическими и не пересекают орбиту Марса. Гистограмма нормирована на число астероидов. Пред¬ сказанный промежуток снова хорошо согласуется с действительным промежутком в поясе астероидов секать орбиту Марса на интервале 300 ООО лет, и только один астероид не достиг эксцентриситета 0.3 за 1 млн лет. Все 11 астероидов, совершающих квазипериодические либрации, могли пересекать орбиту Марса. На рис. 20 показана усредненная по времени гистограмма больших полуосей тех проб¬ ных астероидов, орбиты которых были нехаотическими и не пересекали орбиту Марса (сплошная линия). Значения больших полуосей выбирались каждые 12 лет на временном интервале б 000 лет. Аналогичная гистограм¬ ма для нумерованных астероидов и PL-астероидов показана пунктирной линией. Гистограммы были нормированы и имеют равные площади. Пред¬ сказанная ширина люка теперь удовлетворительно согласуется с шириной люка в полном распределении реальных астероидов. Удаление астероидов, пересекающих орбиту Марса, и астероидов, име¬ ющих хаотические траектории, позволяет не только предсказать ширину люка Кирквуда 3/1, но и объяснить детальное распределение астероидов в фазовом пространстве. 9. Заключение Вычисление максимального значения характеристического показателя Ляпунова показало, что отображения для движения астероидов вблизи ре¬ зонанса 3/1, представленные в работе [21], точно отражают свойства тра¬
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 47 ектории: будет ли она хаотической или квазипериодической; этот результат получен путем численного интегрирования соответствующих дифферен¬ циальных уравнений. Неожиданное быстрое возрастание эксцентриситета, впервые обнаруженное при использовании отображения, затем было полу¬ чено и в процессе численного интегрирования дифференциальных урав¬ нений. Этот особый тип поведения, следовательно, не является артефак¬ том отображения, а характерен для реальных астероидов вблизи резонанса 3/1. Аналогичные явления происходят в других динамических системах, данный тип поведения не является необычным, как может показаться на первый взгляд. Систематическое изучение характера траекторий выявило три основных класса траекторий: хаотические траектории, квазипериоди- ческие траектории внутри хаотической зоны и квазипериодические траек¬ тории вне резонансной области, определяемой хаотической зоной. Вопре¬ ки заключению из [8], можно сделать вывод, что хаотическое поведение является обычным. В плоско-эллиптической задаче существует квазиин¬ теграл, ограничивающий возможные движения, однако он не запрещает траектории, пересекающие орбиту Марса. В трехмерной задаче траектории проявляют большую свободу и достигают очень больших эксцентрисите¬ тов, возможно, достаточно больших, чтобы пересекать орбиту Земли. Ве¬ роятность столкновения с Землей и Марсом оказывается достаточной для удаления астероидов с хаотическими траекториями за время жизни Сол¬ нечной системы. Эксцентриситеты большинства астероидов, совершающих квазипериодические либрации, изменяются в достаточно больших преде¬ лах, и эти астероиды регулярно пересекают орбиту Марса. (На рис. 8 так¬ же показано, что некоторые квазипериодические траектории вне области резонанса могут со временем пересечь орбиту Марса, а именно траекто¬ рии с эксцентриситетами е ^ 0.25. Причиной этого процесса являются главным образом вековые вариации.) Для того чтобы быть в абсолютной безопасности, астероиды должны находиться в квазипериодической обла¬ сти вне хаотической зоны. На рис. 18 и 19 можно видеть, что внешняя граница хаотической зоны практически точно соответствует границе люка Кирквуда 3/1 в пределах экспериментальной и теоретической погрешности. Это совпадение весьма впечатляет. Рисунок 20 подтверждает данное соот¬ ветствие для усредненного по времени распределения больших полуосей. Вопреки доказательствам, представленным на рис. 18-20, нельзя не при¬ нять во внимание важную роль хаотического поведения в формировании люка. Для получения точного размера и формы люка Кирквуда 3/1 необ¬ ходимо решить трехмерную эллиптическую ограниченную задачу трех тел, учитывая присутствие Марса. Никакие дополнительные гипотезы при этом не нужны.
48 ДЖ. ВИЗДОМ Приложение В работе [21] трехмерное отображение не было приведено в явном виде. Для полноты изложения, а также из-за того, что отображение, исполь¬ зуемое в настоящей статье, имеет одно незначительное отличие от приме¬ нявшегося ранее, мы приводим его здесь. В статье [21] мы раскладывали гамильтониан по Ф в окрестности резонансной точки Фя, сохраняя при этом только квадратичный член. Это приближение было вполне удовлетво¬ рительным, но здесь оно не применяется за ненадобностью. Единицы выбраны таким образом, чтобы aj = 1 и lj = t (время). Период обращения Юпитера равен, таким образом, 27г. Отношение мас¬ сы Юпитера к массе Солнца плюс масса Юпитера есть ц, а ц\ = 1 — /я Перигелий орбиты Юпитера принимается за начало отсчета долгот, накло¬ нения измеряются относительно плоскости орбиты Юпитера. Отображение выражается через переменные: xi — (/iia)1/4[2(l — (1 — е2)1/2)]1/2 cosa) « ecosa), yi = -(/iia)1//4[2(l — (1 — e2)1/2)]1/2 sinuj « -esina), X2 = — e2)]1//4[2(l - cos?)]1/2 cosH « i cosH, У2 — — [fia(l — e2)]1/4[2(l — cos?;)]1/2 sin П « — г sinH, Ф = (tiia)1/2, if = / - 31 j. Вначале элементы орбиты равны х\°\ у[°\ Ф^ и Трехмерное отобра¬ жение состоит из четырех шагов. Шаг 1. х^ — х^ ch(47rCi cosf^) - уР sh(47rCi cos if^), Ур = vP (*h(47rCi cos<£(0)) — x^ sh(47rCi cos<^°)) — 2jrDiej cosp°\ X^P = Xo0) ch(47rC2 COS (f^ ) — yP sh(47rC2 COS(/?(°)), уР = уР ch(47rC2 cos<p(0>) — xP sh(47rC2 cos(p^0^), ф(1) = ф(0) _ (CiKx^)2 - (^0))2] + Dtejxi1^ +Exe2j + C2[(a40))2 - (y^0))2])27rsin^(0), (Д1) = (pC°) #
Хаотическое поведение и происхождение люка Кирквуда 3/1 49 Шаг 2. Х^ = Х^ COSTri7! — y{^ sill7rFi — (1 — COSTrFi), — x^ sinjrFi + y[^ costtFi + sin7nFi, 2b\ X^ = X^ COS 7Г F2 — у 2^ sin7rF2, = X^ Sin7rF2 + y^ COS 7Г F2, ф(2) _ ф(1)^ ^(2) = ^(1) + _WL.. _ 37Г 2(ф(1))3 2 ’ Шаг 3. x^ — x^ exp(47rCi sin(p^2^) + 2nDiej sincp(2\ Уi3) = Уi2) exp(-47rCi sin(p(2)), x^ = x^ exp(47rC2 sin(p^2^), Уо3) = 2/22) exp(-47rC2sin(p(2)), ф(3) _ ф(2) _|_ (2Cix^?/p^ 4- Diejy^ + ЗСгх^у^)^0015^2^» Шаг 4. x ^ = х^ совЗл-^! — y^ sin 3ttFi — ^-(1 — cos37i\Fi) 2xi = x^ sin 37г^1 + y[3^ cos 37г^1 + sin ЗлчРх, 2xi X^ = x^ COS 37Гi^2 — y^ Sin37rF2, У<2^ = x^ sin 371-^2 + у 2^ COS 37ri*2, ф(4) = ф(3)? ^(4) = ^(3) + 37Г^1 9тг 2(ф(3)) з 2 ■
50 Дж. Виздом Константы равны F\ = —0.2050694/i, F\ — 0.1987054/i, F2 = 0.2050694/i, Ci = 0.8631579/i, Di = -2.656407/i, Ex = 0.3629536/i и C2 = 0.1193545/i. Эти четыре шага составляют одну итерацию трехмерного отображения. В результате выполнения процедуры получаем элементы орбиты, выра¬ женные через элементы во время предыдущего витка Юпитера. Плоско¬ эллиптическое отображение можно получить, полагая все переменные с ин¬ дексом 2 равными нулю. Мне приятно поблагодарить С. Дж. Пила за постоянные обсуждения и поддержку проекта. Благодарю также Брайана Марсдена за оценку фор¬ мальных ошибок для орбит нескольких астероидов. Большинство числен¬ ных расчетов были выполнены в Королевской Гринвичской обсерватории. Это стало возможным благодаря великодушию Д. Б. Тейлора. Некоторые предварительные вычисления были выполнены в Centre d’Etudes et de Recherches Geodynamiques et Astronomicues (Франция), благодаря добро¬ те Франсуазы Миньяр, и в Обсерватории Ниццы благодаря Клоду Фрошле. Иорг Валдфогель предложил использовать координаты Шейбнериана для ускорения численного интегрирования. Дж. Шубарт предоставил ссылки на известные периодические орбиты. Я благодарен Карлу Мюррею за то, что он указал на ошибки в предыдущей версии статьи. Литература [1] Benettin G., Casartelli М., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. On the reliability of numerical studies of stochasticity. Nouvo Cimento. — 1978. — Vol. 44. P. 183-195. [2] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponent for smooth dynamic systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory. Meccanica. — March 1980. -P. 9-20. [3] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponent for smooth dynamic systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 2: Numerical application. Meccanica. — March 1980. — P. 21-30. [4] Bien R. Stationary solution in simplified resonance cases of the restricted three-body problem. Celest. Mech. — 1980. — Vol. 21. — P. 157-161. [5] Bulirsch R., Stoer J. Numerical treatment of ordinary differential equations by extrapolation methods. Numerische Math. — 1966. — Vol. 8. — P. 1.
Литература 51 [6] Channon S. R., Lebowitz J. L. Numerical experiments in stochasticity and homoclinic oscillation. In: Heilman R. (Ed.) Nonlinear dynamics, New York: New York Academy of Sciences, 1980. — R 108-118. [7] Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillation systems. Phys. Rep. — 1979. — Vol. 52. — P. 263-379. [8] Froeschle C., Scholl H. On the dynamical topology of the Kirkwood gaps. Astron. Astrophys. — 1976. — Vol. 48. — P. 389-393. [9] Froeschle C., Scholl H. The stochasticity of peculiar orbits in the 2/1 Kirkwood gap. Astron. Astrophys. — 1981. — Vol. 93. — P. 62-66. [10] Giffen R. A study of commensurable motion in the asteroid belt. Astron. Astrophys. - 1973. - Vol. 23. - P. 387-403. [11] Henon М., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. Astron. J. — 1964. — Vol. 69. — P. 73-79. [12] Hill G. W. Illustrations of periodic solutions in the problem of three bodies. Astron. J. - 1902. - Vol. 22. - P. 117. [13] Kirkwood D. Meteoric Astronomy. — Philadelphia: Lippincott, 1867. [14] Poincare H. Sur les planetes du type d’Hecube. Bull. Astron. — 1902. — Vol. 19. - P. 289-310. [15] Scheibner W. Satz aus der storungstheorie. J. Reine Angew. Math. — 1866.-Vol. 65.-P. 291-301. [16] Scholl H., Froeschle C. Asteroidal motion at the 3/1 commensurability. Astron. Astrophys. — 1974. — Vol. 33. — P. 455-458. [17] Schubart J. Long-period effects in nearly commensurable cases of the restricted three-body problem. In: Smithsonian Astrophys. Obs. Spec. Rep. — 1964.-№149. [18] Sinclair A. T. Periodic solutions close to commensurabilities in the three- body problem. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. — 1970. — Vol. 148. — P. 325- 351. [19] van Houten C. J., van Houten-Groeneveld I., Herget P., Gehrels T. The Palpmar-Leiden survey of faint minor planets. Astron. Astrophys. Suppl. — 1970.-Vol. 2.-P. 339-448.
52 дж. виздом [20] Wetherill G. W. Late heavy bombardment of the moon and terrestrial planets. Proc. Lunar Sci. Conf. 6th. — 1975. — P. 1539-1561. [21] Wisdom J. The origin of the Kirkwood gaps: A mapping for asteroidal motion near the 3/1 commensurability. Astron. J. — 1982. — Vol. 87. — P. 577-593. Jack Wisdom Address: 11 massachusetts avenue, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, ma 02139-4307, email: wisdom@mit.edu
2 Природа люков Кирквуда в поясе астероидов1 С.Дермотт, К. Мюррей Распределение эксцентриситетов е и наклонений I орбит вблизи ре¬ зонансов с Юпитером в поясе астероидов показывает, что наблюдаемые люки Кирквуда в распределении больших полуосей были сформированы после рассеяния астероидов из почти компланарного диска, в котором они находились. Люки в распределении больших полуосей орбит астероидов в точках резонансов с Юпитером были открыты Кирквудом [1] в 1867 году, когда была известна только 91 астероидная орбита. С тех пор было описано бо¬ лее 2000 достоверных орбит и было предложено много теорий, объясняю¬ щих формирование люков [2], однако единого мнения выработано не было. Формирование люков Кирквуда остается одним из основных вопросов пла¬ нетарной динамики. Различные теории о формировании люков были разделены Гринбер¬ гом и Шоллем [2] на четыре класса: (1) космогонические гипотезы (люки представляют собой области, в которых астероиды не сформировались на ранней стадии истории Солнечной системы); (2) статистические гипотезы (предположения о том, что астероиды либрируют вокруг люков и вслед¬ ствие этого редко оказываются в точности на резонансных расстояниях); (3) гипотезы столкновений (гравитационное действие Юпитера увеличи¬ вает частоту столкновений в пределах люков, вызывая изнашивание или удаление материи); (4) гравитационные гипотезы (возникновение люков вы¬ зывается исключительно гравитационным взаимодействием с Юпитером). 1 Dermott S. R, Murray С. ГЭ. Nature of the Kirkwood gaps in the asteroid belt. Nature. — 1983. — Vol. 301. — P. 201-205. Перевод с английского E. А. Гонимар.
54 С. Дермотт, К. Мюррей Для целей данной работы необходимо разделить последний класс на тео¬ рии, в которых Юпитер воздействовал на астероиды, движущиеся в почти компланарном диске (эти теории могут быть также отнесены к классу (1)), и теории, в которых Юпитер воздействует на текущее распределение орби¬ тальных элементов. Не возникает сомнений в том, что все эти гипотезы могут объяснить формирование люков в некоторой идеальной системе, но для того, чтобы решить, могут ли они объяснить наличие люков в реальном поясе асте¬ роидов, необходимо обратиться к наблюдениям. Основатели астероидной динамики [3, 4], понимая, что люки могут представлять собой не просто области с низкой плотностью числа астероидов, делали попытки определить наблюдаемые характеристики люков. Определив среднее значение эксцен¬ триситета 10 астероидов с обеих сторон каждого люка, Хираяма [4] подтвер¬ дил утверждение Брауна [3] о том, что эксцентриситеты астероидов вблизи люков Кирквуда ниже среднего эксцентриситета всех астероидов. Однако Хираяме не удалось придать полученному результату статистической зна¬ чимости. Тем не менее открытиям Брауна и Хираямы было уделено мало внимания, что привело к возникновению слишком большого разнообразия гипотез, не учитывающих данные наблюдений. Позже Зелнер и Боуэлл [5] утверждали, что существует тенденция из¬ бегания люков астероидами большой массы, в то время как Чепмен [6] заявил, что распределение астероидов в некоторой степени определяет¬ ся местоположением люков Кирквуда. Чтобы определить свойства люков Кирквуда и таким образом обеспечить наблюдательную основу для тео¬ рий, исследующих их происхождение, нами [7] были применены стати¬ стические методики к орбитальным элементам, содержащимся в базе дан¬ ных TRIAD. Изучив данные, не зависящие от влияния выбора наблюде¬ ний, мы пришли к заключению, что существует значительная тенденция вблизи люков Кирквуда не только к более низким эксцентриситетам асте¬ роидов, но и к более низким наклонениям орбит. Мы продемонстрировали необходимость изучения данных, не подверженных влиянию выбора на¬ блюдений, показав, что «эффект массы», обнаруженный Зелнером и Бо- уэллом [5], явился результатом избытка в наблюдениях объектов малых масс с малыми наклонениями орбит. Этот избыток является следствием тенденции к обнаружению астероидов в области эклиптики [8]. В дан¬ ной работе тдриведены новые доводы в пользу нашей гипотезы с помощью исследований свойств отдельных люков Кирквуда и связи наблюдаемого распределения орбитальных элементов с результатами традиционной ре¬ зонансной теории. Мы также исследуем крупномасштабное распределение эксцентрис ят ето в.
Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 55 1. Резонанс Величины и фазы возмущений околокеплеровских орбит астероидов определяются [9] возмущающим потенциалом U Юпитера. Этот потенциал можно представить в виде бесконечной суммы одночленов (ряда Фурье) в форме [10, 11] U — ^2 & с°£> ф. (1.1) где для самого низкого порядка эксцентриситета и наклонения 5 = {Gm'/a'){-l)qf(ci)em(sm U)9“m, (1.2) а аргумент ф имеет вид Ф — {Р + — рА — тй) + (т — q)Q, (1.3) где га, р и q — целые числа, а — большая полуось, е — эксцентриситет, I — наклонение, А — средняя долгота, Cj — аргумент перицентра, Q — дол¬ гота восходящего узла, а = а/а' и /(а) — функция, которую необходимо вычислить для каждого резонанса. Орбитальные элементы Юпитера обо¬ значены штрихами, а его гравитационная масса через Grm!. Астероид попадает в резонанс, если аргумент ф — резонансный аргу¬ мент — либрирует, а не вращается [12]. Целое число q, порядок резонанса, в значительной степени определяет интенсивность резонанса S: при воз¬ растании \q\ с целым шагом, \S\ уменьшается с шагом ~ е или ~ sin \l. Расположение и интенсивность всех резонансов порядка q ^ 11 между ре¬ зонансом 3 : 1 при 2.50 а. е. и резонансом 4 : 3 при 4.29 а. е. показаны на рис. 1. Если резонансный аргумент ф либрирует, то орбита астероида явля¬ ется близкой к периодической, а орбитальные элементы колеблются около средних значений с одинаковым периодом. Если амплитуда либрации ф максимальна, то диапазон колебаний большой полуоси также максимален. Назовем этот диапазон шириной либрации W. Если и и Q пренебрежимо малы по сравнению с (р + q)nr — рп, то, используя планетарные уравнения Лагранжа [9], можно показать, что уравнение движения для ф имеет вид (1.4) где верхняя половина скобок соответствует случаю S < 0, а нижняя — слу¬ чаю S > 0. Определив интеграл энергии для максимальной либрации
56 С. Дермотт, К. Мюррей о з 5:2 2 1 3.2 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Большая полуось (а.е.) Рис. 1. Резонансы возникают при п /п = р/(р + q), где п /п — отношение средних движений Юпитера и астероида, р и q — целые числа. Большую полуось, соот¬ ветствующую конкретному резонансному значению п, можно определить по пере¬ сечению соответствующих кривых р и q; например, резонанс 8 : 3(= р 4- q : р) находится на пересечении кривых р = 3 и q — 5 при 2.70 а. е. Ордината показывает интенсивность резонанса, то есть старший член по эксцентриситету в разложении возмущающей функции. Показаны все резонансы порядка q ^ 11 между резонан¬ сом 3 : 1 при 2.50 а. е. и резонансом 4 : 3 при 4.29 а. е. и их интенсивности S в безразмерных единицах для случая е = 0.1. Промежутки между резонансами групп р/(2р -I- 1), р/(2р — 1) и 2р/(3р -I- 1) уменьшаются при возрастании р, и нами обнаружено, что эти резонансы перекрываются при умеренных значениях е(^ 0.3) и сравнив его с производной по времени уравнения (1.3), находим мак¬ симальное отклонение среднего движения от значения по, задаваемого ра¬ венством (р + q)n' = рпо : Следовательно, из третьего закона Кеплера, для ширины либрации име¬ ем (ср. с [13]) (1.5) (1.6)
Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 57 Если си и Й не являются пренебрежимо малыми величинами по срав¬ нению с (р + q)n' — рп, тогда равенство (1.5) следует изменить. Находим, что экстремальные значения 5п определяются уравнением 5п = — 3\s\ 3 рпа2 12|5| 1/2 1 + 21р2п2а2 1/2 где 9 = ^ т(т — q) (га — q)2 2 4 sin2 т (1.7) (1.8) Первое слагаемое в правой части уравнения (1.7) представляет собой сдвиг местоположения резонанса, который должен появиться, если значения (Со) или (tl^ не равны нулю. Второе слагаемое определяет максимум возмож¬ ных колебаний п и таким образом дает скорректированную ширину либра¬ ции. Для всех резонансов, за исключением резонанса 2 : 1 и всех резонансов первого порядка, сдвиг положения точного резонанса и изменения W явля¬ ются малыми, и равенство (1.6) применимо для целей нашей работы. В данном анализе мы предполагаем, что при интегрировании ф в урав¬ нении (1.4) S можно считать постоянной величиной. Это равносильно пред¬ положению о том, что возмущенные эксцентриситеты и наклонения пренеб¬ режимо малы по сравнению с их невозмущенными значениями — хорошее приближение для большинства астероидов, особенно в случае резонансов высоких порядков. С учетом этого приближения можно утверждать, что, если большая полуось орбиты астероида не находится в диапазоне, ограни¬ ченном W, резонанс невозможен, и соответствующий аргумент ф должен вращаться. Сейчас обсудим связь W с шириной наблюдаемых люков. 2. Ширина люков Нашей целью является выявление связи результатов теории резонансов с наблюдаемым распределением астероидов в пространстве а — е и про¬ странстве а — sin |/. Однако, поскольку интенсивность резонанса является сложной функцией переменных ей/, для успешного продолжения работы следует сделать несколько приближений. Поскольку Со и Й <С п, п'/п ~ р/{р + q), и примерное местопо¬ ложение резонанса определяется только значениями р и q. Для каждой пары значений р и q существует бесконечное число возможных резо¬ нансов, однако большинство этих резонансов являются очень слабыми.
58 С. Дермотт, К. Мюррей Таблица 1. Интенсивность членов низших порядков. Резонанс а (а. е.) Р Q 771 q — m Да) 2:1 3.2776 1 1 1 0 1.1905 3:1 2.5012 1 2 2 0 0.5988 1 2 0 2 0.3312 5:2 2.8245 2 3 3 0 1.1329 2 3 1 2 1.2888 13:6 3.1072 6 7 7 0 21.2753 6 7 5 2 80.1896 6 7 3 4 70.7032 6 7 1 6 12.3861 Несколько примеров этих возможных резонансов и соответствующих зна¬ чений /(а) приведены в таблице 1. Для астероидов в главном поясе на¬ блюдаем, что (е) /(sin ^7} = 1.32, следовательно, существует тенденция, особенно при больших значениях q, к малым (если не равным нулю) значе¬ ниям q — m для самых сильных резонансов. Для резонанса эксцентриситетов или резонанса е-типа [11], q — га равно нулю, и старший член в разложе¬ нии U не зависит от 7 (см. уравнение (1.2)); члены более высоких порядков зависят от J, однако они, как правило, малы, если только е или 7 не имеют больших значений. Если q четное, то возможен резонанс наклонения, или резонанс 7-типа [11], где т равно нулю, а старший член в разложении U не зависит от е. Соответственно можно сравнить распределение астероидов в пространстве а — е с шириной либрации, связанной со старшим членом разложения U для резонанса е-типа (q — т = 0), а для резонансов с четным порядком — сравнить распределение астероидов в пространстве а — sin ^7 с шириной либрации, связанной со старшим членом разложения U для ре¬ зонансов 7-типа (т = 0). Распределение астероидов в пространстве а — е вблизи резонанса 3 : 1 на расстоянии 2.50 а. е. показано на рис. 2а. Также показаны границы об¬ ласти либрации в этой плоскости. Данных этого рисунка достаточно для исключения двух типов гипотез о формировании люков. Для подтвержде¬ ния статистической гипотезы большинство астероидов вблизи люка долж¬ ны являться либраторами (librator). Однако мы наблюдаем, что та область пространства а — е, в которой возможны либрации, практически лишена астероидов, таким образом, наблюдаемый люк Кирквуда не может быть статистическим явлением: это подтверждает выводы ряда других авто-
Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 59 Рис. 2. а) Распределение оскулирующих эксцентриситетов всех астероидов с 2.35 < а < 2.65 а. е., перечисленных в каталоге TRIAD. Пунктирные линии ограничивают ширину либрации, связанную со старшим членом по эксцентрисите¬ ту в разложении возмущающей функции. Астероиды с высокими эксцентриситетами пересекают орбиту Марса и могут быть удалены при тесном сближении с плане¬ той. Ъ) Графики плотности среднего числа астероидов (астероиды/а. е.), среднего собственного эксцентриситета е и средних значений sin ^ /, где I — собственное наклонение, для всех несемейных астероидов с 2.35 < а < 2.65 а. е. из каталога TRIAD. Графики получены с помощью метода рабочей зоны [19] для 242 астерои¬ дов в выбранной популяции, которые были упорядочены по возрастанию большой полуоси а. Рабочая зона и, следовательно, каждая выборка содержала 20 астеро¬ идов и перемещалась по популяции с шагом в один астероид. Уровни а справа соответствуют распределению средних значений для выборок и были оценены по отклонениям в популяции в целом [19]. Заштрихованные области охватывают вели¬ чину ошибки в 1сг для выборок, которая оценивалась по отклонениям для каждой выборки. Пунктирные линии представляют ширину либрации, связанную со стар¬ шим членом по эксцентриситету (график (е)) и со старшим членом по наклонению (график (sin \ l)) в разложении возмущающей функции ров [14, 15, 16, 17]. Заметим, что некоторые из немногих оставшихся в обла¬ сти либрации астероидов имеют исключительно высокие эксцентриситеты, достаточно большие для того, чтобы астероиды пересекали орбиту Марса. Это соответствует предположению Циммермана и Уэзерилла [18] о том, что эксцентриситеты астероидов, в настоящее время находящихся в пределах люков, возрастают вследствие воздействия со стороны Юпитера до значе¬ ний, достаточно больших для того, чтобы астероиды, в конце концов, удаля¬ лись в результате тесных сближений с планетами. Значительный прогресс в изучении динамики этого процесса, который может относиться не только
60 С. Дермотт, К. Мюррей к формированию люков Кирквуда, но также и к перемещению метеоритов из пояса астероидов к Земле, был недавно достигнут Виздомом [17]. Распределение орбитальных элементов вне областей либрации также представляет интерес. На рис. 26 показаны колебания плотности среднего числа астероидов, среднего эксцентриситета и среднего наклонения несе¬ мейных астероидов вблизи резонанса 3 : 1 (при построении этих графиков были использованы только данные о несемейных астероидах для того, что¬ бы избежать проблем, связанных с неслучайным распределением орбиталь¬ ных элементов семейных астероидов [7]). Рис. 26 является свидетельством того, что вблизи сильных резонансов эксцентриситеты и наклонения ор¬ бит имеют преимущественно низкие значения [7]. Этот результат отчасти предсказуем благодаря исследованию формы областей либрации в плоско¬ стях а —ей a —sin ^ /. Однако из рассмотрения рис. 2 6 очевидно, что ширина областей либрации намного меньше ширины наблюдаемых люков. Кривые, показанные на рис. 26, были получены с использованием рабочей зоны [19], содержащей 20 астероидов. Мы подтвердили, что изменение и, в частно¬ сти, уменьшение числа астероидов в зоне оказывает малое воздействие на наблюдаемую ширину люков: несоответствие между этой шириной и ши¬ риной областей либрации наблюдается в действительности и не связано с использованием статистического метода. Наиболее важным заключением, которое можно сделать из рассмотре¬ ния рис. 2а, 26, является то, что местоположение резонансов в поясе асте¬ роидов обнаруживается в текущем распределении эксцентриситетов и на¬ клонений. Следовательно, наблюдаемые в настоящее время люки Кирквуда должны были сформироваться после того, как астероиды были рассеяны из околокомпланарного диска, в котором они были аккумулированы. Данное наблюдение исключает космогоническую гипотезу о формировании люков. Мы не отрицаем, что люки могли быть сформированы в аккреционном дис¬ ке, а лишь утверждаем, что это не имеет отношения к наблюдаемой струк¬ туре пространства астероидов а — е, которая должна была сформироваться позднее. 3. Распределение эксцентриситетов Наиболее сильные тенденции, существующие в базе данных TRIAD, например уменьшение средней звездной величины при возрастании боль¬ ших полуосей, являются результатом выбора наблюдений. Однако, хотя та¬ кие следствия выбора легко распознать и понять, их трудно предусмотреть. Мы считаем [7], что действительная структура пояса астероидов наилуч¬ шим образом демонстрируется группой астероидов, для которой влияние
Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 61 2.70 2.85 3.0 3.15 3 30 Большая полуось (а.е.) Рис. 3 .а) Изменение среднего собственного эксцентриситета е при изменении сред¬ ней собственной большой полуоси а для 236 астероидов из нашего свободного от ошибок множества. Рабочая зона содержит 40 астероидов. Ь) Изменение статистиче¬ ской значимости t (в стандартных отклонениях а) линейной корреляции между ей а для астероидов в свободном от ошибок наборе при а > 2.7 а. е. при возрастании а выбора наблюдений можно учесть и для которой не требуется коррекция систематических ошибок: эти астероиды являются самыми яркими. Как и в предыдущей работе [7], мы рассматриваем только астероиды с абсо¬ лютной величиной Б(1.0) < 9.68 и только самого крупного члена каждого семейства. В диапазоне 2.2 < а < 3.27 а.е. в эту категорию попадает 236 астероидов: эти астероиды составляют основу свободного от ошибок множества. Изменение среднего собственного эксцентриситета при изменении средней собственной большой полуоси для выбранных астероидов пока¬ зано на рис. За. Кривая была получена с использованием метода рабо¬ чей зоны [19], содержащей 40 астероидов, достаточно большой для того, чтобы сгладить изменения, связанные с индивидуальными резонансами. Величина (е) возрастает от 0.135 при (а) = 2.40 а.е. до максимального значения 0.160 при (а) = 2.80 а.е. Эта умеренная тенденция может быть связана с гравитационным выметанием астероидов на орбиты с высоким эксцентриситетом под воздействием Марса и Земли (см. рис. 4). Однако гравитационное выметание не может объяснить отмеченное уменьшение (е), наблюдаемое за (а) = 2.80 а. е. Гравитационное выметание под влияни¬ ем Юпитера может воздействовать только на астероиды с сильно вытяну¬ тыми орбитами. Изменение значимости t (статистика Стъюдента [21] при стандартных отклонениях а ), коэффициента линейной корреляции, при воз-
62 С. Дермотт, К. Мюррей Большая полуось (а.е.) Рис. 4. Орбитальные эксцентриситеты, необходимые для пересечения орбит Земли, Марса и Юпитера растании большой оси астероидов в диапазоне 2.7 < а < 3.3 а.е. показано на рис. 3h. Мы считаем, что эта тенденция уменьшения среднего эксцен¬ триситета при увеличении большой полуоси, особенно при уровне > Зсг, вызвана перекрытием резонансов и является еще одним доказательством постобразующей орбитальной эволюции в поясе астероидов. 4. Перекрытие резонансов Распределение астероидов в пространстве а — ев диапазоне 2.4 < а < < 4.0 а. е. и ширина либраций самых сильных резонансов в этом диапазоне пока заны на рис. 5. Самые сильные резонансы — резонансы в сериях п'/п = = р/(2р + 1), р/{2р — 1.) и 2р/(3р + 1) (см. рис. 1). Единственный сильный резонанс, не входящий в эти серии, но показанный на рис. 5, — это резо¬ нанс 8 : 3 при а. — 2.70 а. е. Из рис. 1 видно, что интенсивности резонансов в сериях р/(2р + + 1), р/(2р --- 1) и 2р/(3р -Ь 1) уменьшаются при возрастании р. Однако также очевидно и то, что расстояния между резонансами также уменьша¬ ются. Мы обнаружили, что это уменьшение настолько значительно, что области либрации перекрываются при средних значениях е, а в случае се¬ рии р/(2р л- 1), лежащей между резонансом 3 : 1 при 2.50 а.е. и резонан-
Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 63 Большая полуось (а.е.) Рис. 5. Распределение оскулирующих эксцентриситетов всех астероидов с 2.4 < а < 4.0 а. е., занесенных в каталог TRIAD. Сплошные линии представляют ширину либрации, связанную со старшим членом по эксцентриситету в разложе¬ нии возмущающей функции. Показаны все резонансы серий p/(2p-f 1), р/(2р — 1) и 2р/(Зр-f 1), а также резонанс 8 : 3 при 2.70 а. е. В местах соприкосновения сплош¬ ных линий наблюдается перекрытие резонансов. В области перекрытия пунктирны¬ ми линиями показана ширина либрации резонанса 2 : 1 при 3.3 а. е. и резонанса 3 : 2 при 4.0 а. е. сом 2 : 1 при 3.27 а.е., перекрытие наблюдается при все меньших значе¬ ниях е при возрастании р и а. Достоверность данного явления и эффек¬ тивность использованной нами в процессе вычисления ширины либрации приближений была подтверждена анализом, основанным на разложении U до девятнадцатого порядка. На рис. 5 видно, что при перекрытии областей либрации люки Кир¬ квуда более не локализуются и значительные области пространства а — е оказываются лишенными астероидов. Огибающая точек, в которых сосед¬ ние люки впервые перекрываются, указывает верхнюю границу эксцентри¬ ситетов астероидов, а форма этой огибающей отвечает обнаруженной нами тенденции для средних эксцентриситетов. Рисунок 5 является также подтверждением того, что резонанс 3 : 1 является типичным в том смысле, что области, ограниченные шириной либрации, являются запретными зонами. Резонанс 2 : 1 при 3.3 а.е. осо¬
64 С. Дермотт, К. Мюррей бенно ярок. Нами также отмечено, что в случае резонанса 3 : 1 для тех немногих астероидов, которые остаются в центре области либрации, су¬ ществует тенденция к значительно большим эксцентриситетам, по срав¬ нению со средними значениями их непосредственных соседей. Мы также обнаружили, используя определения Уильямса [22] для семейств, что от¬ ношение плотности числа семейных и несемейных астероидов уменьша¬ ется при приближении к границам области либрации и что большинство астероидов в областях либрации являются несемейными. Это может быть связано с тем фактом, что не было сделано допущений для резонансных возмущений при выводе собственных орбитальных элементов астероидов и, следовательно, некоторые члены семейств, по существу, не были распо¬ знаны. Эта возможность, которая имеет отношение к существованию люков Кирквуда в семействах Хираямы [7], требует проведения дальнейших ис¬ следований. Возможно, больший интерес представляет возможность того, что резонансные возмущения рассеивали собственные элементы членов се¬ мейств; в этом случае наблюдаемый избыток несемейных астероидов может стать еще одним подтверждением постобразующей орбитальной эволюции. Орбитальная эволюция может выражаться в непрерывном выбросе астеро¬ идов всех размеров к внутренней границе областей либрации 2:1, откуда они с течением времени удаляются с помощью механизма, ответственного за очистку люков Кирквуда. Это может относиться к астероидам, находя¬ щимся непосредственно у внутренней границы области либрации 2:1. 5. Заключение Мы доказали, что люки Кирквуда являются не просто областями с низ¬ кой плотностью числа астероидов, а областями в пространстве а — е — sin |/, в которых возможна либрация некоторого аргумента ф . Мы привели до¬ воды, что ни статистическая, ни космогоническая гипотезы о формирова¬ нии люков не отвечают этим новым наблюдениям. Шолль [23] представил несколько сильных аргументов против гипотезы столкновений. Мы показа¬ ли (подробные результаты будут опубликованы), что текущее распределе¬ ние больших полуосей орбит астероидов можно использовать для вывода текущего значения большой полуоси Юпитера с точностью 1/5000. Таким образом, орбитальный период Юпитера претерпел очень малые изменения со времени формирования существующих люков. Это наблюдение исключа¬ ет предположение Торбетта и Смолуховского [24] о том, что наблюдаемые люки были сформированы резонансным выметанием во время рассеива¬ ния аккреционного диска. Таким образом, мы заключаем, что люки были сформированы под гравитационным воздействием Юпитера на отдельные
Природа люков Кирквуда в поясе астероидов 65 астероиды и что формирование люков, вероятно, продолжалось в течение времени существования Солнечной системы. Различие структур люков 3 : 1 и 2 : 1 свидетельствует о том, что может существовать несколько динамических процессов, ответственных за формирование люков. В обоих случаях в областях либрации астероиды практически отсутствуют. Однако в случае резонанса 3:1, что не наблюда¬ ется для резонанса 2:1, бреши в графиках плотности числа астероидов ((e) и (sin \l) в зависимости от (а)) гораздо больше ширины либрации (подроб¬ ная информация о графиках для резонансов 2 : 1 и для других резонансов будет опубликована в других работах). Похоже, что некоторые астероиды с циркулирующими резонансными аргументами были удалены из окрест¬ ностей резонанса 3:1. В работе [25] показано, что область в поясе астероидов, где перекры¬ ваются резонансы первого порядка, является областью орбитальной неста¬ бильности: в этой области не могут существовать квазипериодические ор¬ биты. Эта область лежит непосредственно за орбитами астероидов группы Гильды в резонансе 3 : 2 и практически свободна от астероидов. Однако возможно, что эта область была истощена в результате приливных сил со стороны Юпитера в первичном аккреционном диске и что астероиды в этой области не сформировались [26]. Обнаруженная нами область перекрытия резонансов лежит в главном поясе, и кажется достоверным предположение о том, что область пространства а — е, соответствующая области перекры¬ тия резонансов и в настоящее время практически свободная ог астероидов, была первоначально так же населена, как и другие области главного пояса. Таким образом, наблюдаемое истощение и соответствующая наблюдаемая тенденция для средних эксцентриситетов являются веским доказательством постобразующей орбитальной эволюции в поясе астероидов. Голдрайх [27] заметил, что вблизи каждого резонансного отношения средних движений существует несколько возможных точных резонансов (см. таблицу 1 и ур. (1.3)). В поясе астероидов скорости движения перицен¬ тров и узлов Со и Й определяются сравнительно слабым гравитационным притяжением со стороны Юпитера и других планет и являются очень малы¬ ми (~ 2 х 10_4радгод -1). Следовательно, в поясе астероидов эти точные резонансы перекрываются, что может привести к хаотической орбиталь¬ ной эволюции и формированию люков. Однако для спутников, движущихся вокруг сильно сжатой у полюсов планеты, Со и (l могут быть значитель¬ но выше, и если эксцентриситеты и наклонения орбит низки, а отношение масс спутника и планеты мало, то точные резонансы могут быть хорошо отделены. Мы вычислили, что такое разделение четко наблюдается только в системе спутников Сатурна. Примечательно, что система Сатурна фак¬
66 С. Дермотт, К. Мюррей тически насыщена точными резонансами первого порядка. Для системы Урана, свободной от точных резонансов всех видов, выяснилось, что дина¬ мическое сжатие J2 столь мало, а спутники настолько удалены от планеты, что при наблюдаемых орбитальных эксцентриситетах точные резонансы низких порядков должны перекрываться. Добавим, что Q и Й орбит планет также очень малы и что точные резонансы низких порядков также должны перекрываться. По этой причине мы не ожидаем долговременной устойчи¬ вости любых резонансов низких порядков среди планет. Литература [1] Kirkwood D. Meteoric Astronomy. — Philadelphia: Lippincott, 1867. [2] Greenberg R., Scoll H. // In: Gehrels T. (Ed.) Asteroids. — University of Arizona Press. — 1979. — P. 310-333. [3] Brown E. W. // Science. - 1911. - Vol. 33. - P. 79-93. [4] Hirayama K. J. // Coll. Sci. Tokyo Imp. Univ., 41, №3 (1918). [5] Zellner B., Bowell E. // In: Delsemme A. H. (Ed.) Comets, Asteroids, Meteorites: Interrelations, Evolution and Origins. — University of Toledo Press. - 1977.-P. 185-197. [6] Chapman C. R. // In: Gehrels T. (Ed.) Asteroids. — University of Arizona Press, 1979.-P. 25-60. [7] Dermott S. F., Murray C. D. // Nature. - 1981. - Vol. 290. - P. 664-668. [8] Kiang T. // Icarus. - 1966. - Vol. 5. - P. 437-449. [9] Brouwer D., Clemence G. M. Methods of Celestial Mechanics. New York: Academic, 1961. [10] Kaula W. M. // Astr. J. - 1962. - Vol. 67. - P. 300-303. [11] Allan R. R. // Astr. J. - 1969. - Vol. 74. - P. 497-506. [12] Greenberg R. // In: Burns J. A. (Ed.) Planetaiy Satellites. — University of Arizona Press. — 1977. — P. 157-168. [13] Goldreich P., Nicholson P. // Nature. - 1977. - Vol. 269. - P. 783-785. [14] Sinclair A. T. // Mon. Not. R. astr. Soc. - 1969. - Vol. 142. - P. 289-294.
Литература 67 [15] Schweizer F. // Astr. J. - 1969. - Vol. 74. - P. 779-788. [16] Weisel W. E. // Cel. Mech. - 1976. - Vol. 13. - P. 3-37. [17] Wisdom J. // Astr. J. - 1982. - Vol. 87. - P. 577-593. [18] Zimmerman P. D., Wetherill G. W. // Science. - 1973. - Vol. 182. - P. 51- 53. [19] Dermott S.F., Murray C.D. //Nature. - 1982. - Vol.296. - P.418-421. [20] Williams J. G. // Thesis. — Univ. California, 1969. [21 ] Fisher R. A. Statistical Methods for Research Workers (12th edn). — Darien: Hafner, 1970. [22] Williams J. G. // In: Gehrels T. (Ed.) Asteroids. — University of Arizona Press. - 1979. - P. 1040-1063. [23] Scholl H. // In: Duncombe R. L. (Ed.) Dynamics of the Solar System. — Reidel. - 1979. - P. 217-222. [24] Torbett М., Smoluchowski R. // Astr. Astrophys. — 1982. — Vol. 110. — P. 43^19. [25] Wisdom J. // Astr. J. - 1980. - Vol. 85. - P.i 122-1133. [26] Goldreich P., Tremaine S. // Asrophys. J. — 1980. — 241. — P. 425^141. [27] Goldreich P. // In: Terzian Y., Bilson E. M. (Eds.) Cosmology and Astrophysics (Essays in Honor of Thomas Gold), Ithaka: Cornell University Press. - 1982.-P. 121-129. Stan Dermott Address: 211 Space Science Res. Bldg., P.O. Box 112055, University of Florida, Gainsville, FL 32611-2055,USA email: dennott@astro.ufl.edu Carl D. Murray Address: Queen Mary, University of London, Mile End Road, London El 4NS email: C.D.Murray@qmul.ac.uk
3 Исследование движения вблизи резонанса 3/1 с помощью теории возмущений1 Дж. Виздом Полуаналитическая теория возмущений была применена для изучения движения вблизи резонанса 3/1 в плоско-эллиптической ограниченной задаче трех тел. Предсказания теории находятся в хорошем согласии со свойствами движения, обнаруженными с помощью рассчитанных численными методами поверхностей сечения; достигнуто общее по¬ нимание структуры фазового пространства. Необычные свойства дви¬ жения, обнаруженные в [21, 22] получили объяснение. Найдена при¬ чина появления протяженной хаотической зоны вблизи резонанса 3/1, и получен новый критерий существования крупномасштабного хаоти¬ ческого поведения. 1. Введение Щели в распределении астероидов вблизи резонансов среднего движе¬ ния с Юпитером были открыты в прошлом столетии, однако до сих пор нет общепринятого объяснения причин их возникновения. Существенным препятствием является то, что долговременное поведение траекторий вбли¬ зи резонансов не может быть понято в рамках эллиптической ограничен¬ ной задачи трех тел. Аналитической теории этого движения не существует, а численные эксперименты весьма ограничены затратами на вычисления Wisdom J. A perturbative treatment of motion near the 3/1 commensurability. — Icarus. — 1985. — Vol. 63. — 272-289. Перевод с английского Л. Г. Московченко.
70 Дж. Виздом и не дают достаточного понимания. Недостатки численных методов были в основном преодолены с помощью нового метода «отображений», разра¬ ботанного нами для изучения долговременного поведения вблизи резонан¬ са 3/1. Этот метод примерно в 1000 раз быстрее применявшихся ранее [21]. Рассчитанные с помощью метода отображений траектории вблизи резо¬ нанса 3/1 демонстрируют весьма любопытное поведение, а именно: они могут в течение миллиона лет иметь эксцентриситет, меньший 0.1, а затем неожиданно скачком увеличивать его до значений, больших 0.3. Если бы такое поведение было обычным, люк Кирквуда 3/1 мог бы быть расчищен тесными сближениями и столкновениями с Марсом. Я показал, что такое поведение на самом деле является обычным и характерно для траекторий в протяженной хаотической зоне вблизи резонанса 3/1. Если исключить эф¬ фекты смешения фаз, граница люка Кирквуда 3/1 становится резкой и точно соответствует границе хаотической зоны 3/1, в пределах ошибок определе¬ ния элементов орбит астероидов. Кроме того, основные черты этой картины были подтверждены обычным численным интегрированием точных урав¬ нений движения. Такими чертами являются необычное поведение эксцен¬ триситета и существование хаотической зоны, а также ее ширина. Таким образом, возможность того, что указанные свойства являются артефакта¬ ми метода отображения, исключается [22]. Поскольку характерное время удаления вещества с данных траекторий невелико по сравнению с возрас¬ том Солнечной системы [17], существование люка Кирквуда 3/1 полностью объясняется описанным механизмом. Позже с помощью прямого числен¬ ного интегрирования я показал, что хаотические траектории действительно могут иметь настолько большие эксцентриситеты, что астероиды начинают пересекать орбиту Земли, так же как и орбиту Марса [24]. То есть данная ха¬ отическая зона объясняет не только возникновение люка Кирквуда 3/1, но и, возможно, тот давно отыскиваемый путь, по которому метеорное вещество попадает из пояса астероидов к Земле [23, 24, 18]. Хотя существование важной протяженной хаотической зоны вблизи резонанса 3/1 уже доказано, вызывает неудовольствие тот факт, что ана¬ литической теории, описывающей хаотическое поведение, до сих пор нет. Все еще остается много вопросов, на которые нет ответов. Почему хаоти¬ ческая зона имеет именно такую форму? Почему хаотические траектории имеют режим с большим эксцентриситетом и режим с малым эксцентри¬ ситетом? Почему квазипериодические либрации приводят к таким боль¬ шим изменениям эксцентриситета? Почему на репрезентативной плоскости появляются три отдельные зоны квазиперодических либраций (ср. рис. 6 в статье [22] и рис. 4 в статье [12])? Что влияет на предел роста эксцентри¬ ситета в плоско-эллиптической задаче? Почему вообще существует хаоти¬
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 71 ческая зона? Возникает ли она из-за наличия короткопериодических членов в возмущающей функции, либо перекрытия резонансов второго порядка, либо по каким-то другим, более сложным причинам? Все еще открытым остается вопрос, играет ли роль хаотическое поведение в формировании других люков Кирквуда. Однако перед тем, как приняться за изучение бо¬ лее сложной динамики этих резонансов, разумно, по-видимому, попытаться внимательнее разобраться в динамике резонанса 3/1 и ответить на эти давно поставленные вопросы. Это и является целью настоящей статьи. В большинстве примеров численного интегрирования в данной рабо¬ те используется отображение. Было достоверно показано, что результаты, полученные с помощью отображения, хорошо согласуются с решениями точных дифференциальных уравнений [22, 12]. Нашей целью не являет¬ ся дальнейшая демонстрация этого факта. Нам необходимо понять очень сложное поведение траекторий. В следующем параграфе я привожу обзор некоторых основных характеристик длительного движения вблизи резонан¬ са 3/1. В §3 описан метод теории возмущений, использованный в данной статье, который включает выделение двух временных масштабов в долго¬ периодической задаче и аналитическое решение для движения на более коротком из этих двух временных масштабов. Еще более долговремен¬ ное поведение рассчитывается в §4 в предположении, что действие для движения на более коротком временном масштабе адиабатически сохра¬ няется. В §5 полученные решения сравниваются с численно рассчитанны¬ ми поверхностями сечения, а также описываются некоторые качественные особенности решений. Главная причина хаотического поведения опреде¬ лена в §6. Здесь же представлен новый простой критерий существования крупномасштабного хаотического поведения. Ограничения приближений, использованных в настоящей работе, обсуждаются в §7. Выводы представ¬ лены в §8. 2. Качественный обзор хаотического поведения В традиционном описании явления либрации основную роль играет резонансный аргумент а = pi + qd) — (р + q)lj. Здесь I — средняя долго¬ та, Со — долгота перигелия, pnq — целые числа. Индекс J относится к Юпи¬ теру. Вблизи резонанса аргумент а изменяется медленно по сравнению со средними движениями астероида и Юпитера. Те члены возмущающей функ¬ ции, которые содержат сг, оказывают большое влияние на движение, в отли¬ чие от короткопериодических членов, вклад которых в среднем стремится к нулю. Хорошее приближение достигается, если в возмущающей функ¬ ции учитывать только те слагаемые, которые содержат а. Данный подход
72 Дж. Виздом i Рис. 1. График зависимости резонансного аргумента а = I + 2сэ — 31 j от времени (в тысячах лет) для типичной хаотической траектории. Для этой траектории АН = = -4.22 • !0"6 был предложен Пуанкаре [13]. Для круговой ограниченной задачи результи¬ рующая система уравнений является интегрируемой, и можно определить дополнительный интеграл движения. Несколько траекторий с одинаковы¬ ми значениями этого дополнительного интеграла обычно наносят на один график в полярных координатах е и <т. Такие графики в координатах е и а часто называют диаграммами Пуанкаре. Хотя графики в §6 напоминают диаграммы Пуанкаре, важно помнить, что они на самом деле не имеют к последним никакого отношения. В эллиптической ограниченной задаче, которая рассматривается в данной работе, использование диаграмм Пуанка¬ ре не всегда удобно. В усредненной круговой задаче вблизи резонанса 3/1 ст либо совершает либрации, либо вращательные движения около точки 7г; это зависит от начальных условий. В неусредненной круговой задаче появляется небольшая дополнительная хаотическая зона, когда траектория с бесконеч¬ ным периодом отделяет либрации от вращательных движений [3, 21, 22]. Поведение в эллиптической задаче гораздо более сложно. Пример та¬ кого поведения для типичной хаотической траектории показан на рис. 1. Временами аргумент а совершает вращательные движения, временами — либрапии. Иногда он совершает либрации относительно медленно смеща¬ ющегося центра. На рис. 2 представлен график зависимости эксцентриситета от вре¬ мени для той же хаотической траектории. На нем виден переход от ре¬ жима с малым эксцентриситетом к режиму с большим эксцентриситетом.
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 73 t Рис. 2. График зависимости эксцентриситета от времени (в тысячах лет) для траек¬ тории, представленной на рис. 1 На графиках типичных хаотических траекторий наблюдаются всплески, от¬ ражающие движение с малым эксцентриситетом, и всплески, соответству¬ ющие большим значениям эксцентриситета. Кажется, что каждый из этих режимов имеет произвольную продолжительность от менее чем нескольких тысяч лет до нескольких миллионов лет. Поведение эксцентриситета свя¬ зано с поведением резонансного аргумента а. Во время режима с малым эксцентриситетом резонансный аргумент совершает вращательные движе¬ ния или либрации, но, по-видимому, не особенно согласуется с поведением эксцентриситета. С другой стороны, во время пиков большого эксцентриси¬ тета аргумент а совершает либрации около медленно движущегося центра, проходящего через 7г, когда е достигает максимума. Зависимость длины большой полуоси от времени представлена на рис. 3. Поведение большой полуоси также связано с резонансным аргументом. Когда эксцентриситет велик, длина большой полуоси колеблется внутри резонансной зоны. Во время режима с малым эксцентриситетом большая полуось иногда пересекает резонансный центр, а иногда остается только на одной стороне в течение некоторого промежутка времени. В те периоды, когда большая полуось остается по одну сторону от резонанса, резонансный аргумент сг совершает вращательные движения. Таким образом, численное интегрирование на небольшом отрезке времени (меньше 10 ООО лет) опре¬ деляет траекторию как нерезонансную, причем а совершает вращательные движения.
74 2. Г) 2 2.51 ft 2.50 2.49 2 48 0 100 200 800 t Рис. 3. График зависимости длины большой полуоси (в а. с.) от времени (в тысячах лет) для траектории, представленной на рис. 1 и 2 3. Решение на временном масштабе либраций Рассмотрим три естественных временных масштаба. Наименьший вре¬ менной масштаб — это орбитальный период (несколько лет). Промежуточ¬ ный временной масштаб — это масштаб либраций резонансного аргумента (обычно несколько сотен лет). Этот временной масштаб соответствует наи¬ более быстрым осцилляциям на рис. 1-3. Наиболее крупный временной масштаб связан со смещением долготы перигелия (обычно несколько тысяч лет). Это временной масштаб медленной эволюции «ведущих центров» а и е. Существование нескольких хорошо разделенных временных масштабов позволяет упростить аналитические выводы, особенно если более быстрые осцилляции можно приближенно описать аналитически. В этом случае бо¬ лее долгопериодические вариации могут быть найдены с помощью усредне¬ ния уравнений движения по более быстрым осцилляциям, и, в свою очередь, изменения в решении для быстрых осцилляций можно найти в предполо¬ жении, что действие для быстрых осцилляций адиабатически сохраняется во время медленной эволюции. К сожалению, два последних временных масштаба не всегда возможно разделить. Тем не менее в данном параграфе я предполагаю, что либрации резонансного аргумента быстрее изменений эксцентриситета и долготы перигелия, и получаю аналитическое прибли¬ женное описание движения на временном масштабе либраций. Ситуации, когда такое предположение неверно, рассматриваются в следующих пара¬ графах. Дж. Виздом
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 75 Резонансный гамильтониан для плоско-эллиптической ограниченной задачи трех тел есть [21] Н = — 2 — M-^sec(P? — уЯге5(7/, /, р, Cj), ZJu где Я5ес есть вековая часть функции распределения, Rres — резонансная часть функции распределения, pi = 1 — у и у = 1/1047.355 — масса Юпи¬ тера. Единицы измерения выбраны таким образом, чтобы aj = 1 и lj = t. В этих единицах период обращения Юпитера равен 2тг. Импульсы L и р можно выразить через обычные осциллирующие параметры эллипса: L = = у/№а и Р — - (1 — е2)1/2], где а — большая полуось и е — эксцентриситет. Сопряженными координатами будут соответственно сред¬ няя долгота I и долгота перигелия uj, взятая с обратным знаком. Функции возмущения есть Rsec = —2pF — ejGyf2p cos uj и Rres = 2pCcos(l -2lu — 31j)-\- ejDy/2pcos(l — lj — 31 j) + e2Ecos(l — 3lj). Здесь члены выше второго порядка по эксцентриситету опущены. Величи¬ ны коэффициентов найдены для резонансного значения большой полуоси и равны F = -0.2050694, G = 0.1987054, С = 0.8631579, D = -2.656407 и Е = 0.3629536. Эксцентриситет Юпитера принят равным его текущей ве¬ личине и составляет ej = 0.048. Данный гамильтониан хорошо описывает динамику вблизи резонанса 3/1. Аналитический вывод значительно упрощается, если для описания движения на временном масштабе либраций использовать разность сред¬ них долгот ф = I — 31 j, а не а. Конечно, ф и сг суть одно и то же, когда ио не изменяется. Импульс, сопряженный с ф, есть Ф = L. В то же время удобно перейти к импульсу Пуанкаре х = у/2р cos lj и его сопряженной координа¬ те у = ^J2p sin uj. В этих переменных гамильтониан выглядит следующим образом: 2 Я = - ЗФ + pF(x2 + у2) + ejpGx- —р[С(х2 — у2) + ejDx + е2Е] cos ф— —р[С2ху + ejDy] ътф.
76 Дж. Виздом t Рис. 4. График зависимости отклонения угла ф = I — 31 j от ведущей фазы Р(х,у) от времени (в тысячах лет) для траектории, представленной на рис. 1-3. Медленный дрейф был удален, и на графике ф — Р(х, у) совершает вращательные движения или либрации с изменяющейся частотой и амплитудой около точки тт Это выражение можно записать в следующей эквивалентной форме: 2 Я= ~2Ф2 + yF{x2+у2) + ejyGx- ^ ^ -цА{х, у) cos(ф - Р(х, у)), где А(х, У) = [{С{х2 - у2) + ejDx + e2jE)2 + (2хуС + ejDy)2}1/2 tg-P(.T, у) = 2ХУф * ^^У 2F- С(х — у ) -j- ejDx -\- сjE В такой форме записи «ведущий центр» либрации ф становится явным. Это показано на рис. 4, где представлен график ф — Р(х, у) для траектории с рис. 1. Здесь больше нет медленного дрейфа, а лишь циркуляция или осцилляция переменной амплитуды и частоты вокруг значения 7г. С этого момента я буду предполагать, что координаты х и у «заморо¬ жены» и, таким образом, с ними можно обращаться просто как с парамет¬ рами в уравнениях движения. Определим координату Л = ф — Р(х,у) — тт и, в этом приближении, сопряженный к ней импульс Л = Ф — Фге5,
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 77 где Фге8 = (д?/3)1/3 есть центр резонанса, определяемый из выраже¬ ния дН/дФ = 0. Разлагая Н в ряд вблизи Фгез и сохраняя только квад¬ ратичные члены, гамильтониан, определяющий изменение А и А, можно записать как Н — — аА -|- цА cos А. Это обычный гамильтониан маятника. Полезно запомнить, что коэффициент при квадратичном члене а = —3^/Ф^е5 = —12.98851 отрицателен. Вид решения зависит от величины Н'\ при Н' < —А угол А цирку¬ лирует, при —А<Н'<А угол А совершает либрации вокруг нуля и на сепаратрисе Н' — —А. Аналитическое решение для маятника хорошо из¬ вестно, поэтому я не привожу его вывод. В случае либраций ~ sin(2n — 1)сot x = 4z2 71—1 (2п — 1) ch[(n — 1/2)кКг/К\1 где К (к) и Kf(k) — полные эллиптические интегралы первого рода с моду¬ лем кь = ({цА — H^^fiA)1/2, и си = тгсио/(2К). Частота низкоамплитуд¬ ных осцилляций есть сио — (—О-цА)1?2. Период этих низкоамплитудных ос¬ цилляций зависит от эксцентриситета и долготы перигелия посредством А и имеет порядок, равный 150 годам. Движение сепаратрисы описывается выражением А = 4 tg_1(e_a;ot) — 7г. Если движение круговое, то ^ sin(ncjt) ^ ^ п сЦптгК'/К) ’ где со = тгсис/К и со с — (—а(цА — Н')/2)1//2. В каждом из этих случаев поведение Л можно определить из соотношения dX/dt = а А. А именно: в случае либраций Л 2сиокь ( .ч Л = —-— cn(cj0t) и, в случае вращательного движения, Л = ‘^~dn(UJct), где сп и dn — эллиптические функции Якоби. Модули эллиптических инте¬ гралов были приведены выше. Для вращательного движения независимое решение можно получить, умножая А и Л на —1.
78 Дж. Виздом В последующих параграфах мы воспользуемся и такими свойствами осциллятора. Для либраций cos А — 1 — 2к\ sn2(coot) и sin А = 2кь sn(tuot)(l — k2L sn2(cJo^))1//2, тогда как для вращательного движения cos А = cn2(t0ct) — SU2(iOct) и sin А = 2 sn(wct) cn(u;ct), где sn — еще одна функция Якоби. Действие определяется интегралом IshjKdx В случае либрации действие равно 1/2 1=% 7Г liA а \Е{кь) - (1 - ki)K(kL)}, в случае вращательного движения I = w \iA а 1/2 Е(кс) кс где Е(к) — полный эллиптический интеграл второго рода. 4. Усреднение и долговременная эволюция Полную систему уравнений движения можно записать, используя га¬ мильтониан (3.2):
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 79 §=§ = ^sinA- Так как и dx/dt, и dy/dt пропорционально р, то характерный промежуток времени, на котором происходит заметная эволюция х и у, пропорциона¬ лен 1/ц. Это много по сравнению с периодом низкоамплитудных осцил¬ ляций Л, которые пропорциональны рГ1!2. Интуитивно ясно, что только усредненное действие быстро осциллирующих членов, содержащих cos Л и sin Л, будет влиять на долговременные изменения х и у. Это дает воз¬ можность предположить, что если представить х и у в виде суммы дол¬ гопериодической и короткопериодической частей, х = х + £ и у = у rj, то долгопериодические изменения можно определить из уравнений ^ = -2fj,Fy - (cos Л) - fj,A(x, у) dPf-~~- (sin А) И ^ = 2yFx + ejjxG + ^ (cos А) + у) ^Р^~~ (sin А), где угловые скобки обозначают усреднение по одному периоду колебаний А. Эти средние равны / w 1 f \ л 2E(kL) \СОйЛ/ = j: J С0ЙА^ ~ О и т (sin А) = ^ У sin A dt = О о для либраций и И т (sin А) = ^ У sin A dt = О о
80 Дж. Виздом 0.3 У 0.0 -0.3 -0.2 0.0 0.2 0.4 х Рис. 5. Ведущие траектории в плоскости ж, у при АН = —1.21 • 10-5. Заштрихован¬ ная область — это «зона неопределенности», в которой действие для осцилляций Л больше не сохраняется. Величина Л совершает вращательные движения для ведущих траекторий, находящихся в зоне неопределенности, и либрации около значения тг для всех остальных траекторий для вращательного движения. Для оценки этих выражений удобно восполь¬ зоваться таблицей интегралов от квадратов эллиптических функций Якоби, составленной в [1]. Уравнения движения для х и у тогда есть Для этих уравнений выполняется, конечно, следующее ограничение. По ме¬ ре того как х и у меняются, модули эллиптических интегралов в выражениях для (cos А) и (sin Л) выбираются таким образом, что соответствующее дей¬ ствие остается неизменным. Альтернативный, более строгий, вывод данных уравнений приводится в приложении. Преимущество диаграммы Пуанкаре в том, что она с первого взгляда дает полное представление о движении при любой заданной величине до¬ полнительного интеграла движения. В круговой ограниченной задаче таким f — -j~ = 2/t Fx + nGej + fs {cos Л). (4.1)
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 81 х Рис. 6. Ведущие траектории при АН = —4.22 • 10_6. Зона неопределенности снова заштрихована и почти разделена на две отдельные области. Л совершает вращатель¬ ные движения для ведущих траекторий внутри каждой петли зоны неопределенно¬ сти и либрации около значения 7г для всех остальных траекторий дополнительным интегралом является гамильтониан, из всех слагаемых ко¬ торого а исключена путем усреднения. Этот гамильтониан имеет только одну степень свободы. В неусредненной круговой задаче такой «интеграл» обнаруживает короткопериодические вариации. Однако он по-прежнему де¬ лает движение ограниченным и во многих случаях, возможно, является первым приближением к истинному интегралу движения. Я называю такие величины «квазиинтегралами». Гамильтониан (3.2) является аналогичным квазиинтегралом в эллиптической ограниченной задаче. Этот гамильтониан имеет две степени свободы и уже не является интегрируемым. Простота диаграммы Пуанкаре, таким образом, теряется. С другой стороны, суще¬ ствование двух временных масштабов обычно позволяет сохранить эту про¬ стоту. Уравнения движения для хну являются двумерными и должны, по крайней мере приближенно, сохранять величину Н. (Закон сохранения не выполняется точно, так как мы использовали адиабатическое приближение и удалили осцилляции на временном масштабе либраций.) Таким образом, можно построить ряд траекторий в координатах х и у с (приближенно) тем же самым значением Н, чтобы получить общее представление о приро¬ де таких траекторий. Поскольку все траектории соответствуют одной и той же величине резонансного гамильтониана, построенный график аналогичен
82 дж. Виздом Рис. 7. Ведущие траектории при АН = -3.04-10“6. Зона неопределенности теперь разделена на две отдельные области. По-прежнему Л совершает вращательные дви¬ жения для веду щих траекторий внутри каждой зоны неопределенности и либрации около значения д для всех остальных траекторий диаграмме Пуанкаре. Необходимо помнить, однако, что период осцилляций на диаграмме Пуанкаре есть период либраций, в то время как на нашем гра¬ фике временной масштаб либраций был удален путем усреднения, чтобы выявите долгопериодическое движение. Примеры графиков зависимости у от х для заданных значений Н при¬ ведены на рис. 5-7. Они соответствуют кривым 3-5, показанным на рис. 10 в работе [22]. Когда Л = 0, численные значения Н и Н' отличаются на величину постоянного члена, который был опущен в записи Н'. Эта кон¬ станта равна Д = —Зб/3/г^3/2. Определим АН = Н — Д, тогда на рис. 5, 6 и 7 АН = -1.21 • 1(Г5, АН = -4.22 • 10“6 иДЯ- -3.04 • 1(Г6 соот¬ ветственно. Каждая траектория, полученная простым численным интегри¬ рованием уравнений движения х и у, приведенных выше, подчиняется сле¬ дую щему ограничению. Действие для движения сепаратрисы Л сохраняет свое начальное значение. При выполнении интегрирования был использо¬ вав , алгоритм Булирша-Штера с относительной точностью е = 10-11. Далее, предположение об адиабатической инвариантности действия справедливо, только если период либраций мал по сравнению с периодами изменения х и у. Очевидно, это предположение становится неверным, когда амплитуда осцилляций А близка к 7г, так как в этом случае период осцил¬ ляций стремится к бесконечности. Другими словами, бесконечный период имеет место, когда модули эллиптических интегралов к = 1. Это условие можно разрешить в явном виде для линии бесконечного периода Уоо(х) для любой заданной величины Н. Имеем к = 1 при Нг = —уА. Подставляя
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 83 Рис. 8. Вид хаотической траектории, представленной на рис. 1-4, в плоскости х. у в это выражение Н' = АН — yF(x2 + у2) — yGejx и возводя обе части ра¬ венства в квадрат, получим квадратичное уравнение для у^. Решения этого уравнения показаны линиями в середине заштрихованных областей. Ясно, что наше приближение также становится неверным в некоторой окрестно¬ сти данных кривых. Заштрихованные области отображают эту окрестность, но ее действительная протяженность остается неопределенной. Данная об¬ ласть называется «зоной неопределенности». Именно в этой зоне действи¬ тельные траектории больше нельзя определить методом усреднения. Зона неопределенности разделяет области, где значение Л осциллирует, от обла¬ стей, где оно совершает вращательные движения. Величина Л всегда осцил¬ лирует вне зоны неопределенности и совершает вращательные движения внутри зоны. Траектории следуют за ведущей траекторией до тех пор, пока не достигнут зоны неопределенности, где они совершают некоторые слож¬ ные движения, а затем, наконец, снова появляются на некоторой соседней ведущей траектории (с другим значением действия), и процесс повторяется. Пример действительного появления хаотической траектории на плос¬ кости х, у показан на рис. 8. Это та же траектория, что и на рис. 1-4. Однако график получается сложным и соответствие с ведущей траектори¬ ей (в частности, с рис. 6) неочевидно. Ясно, что необходимо использовать другой метод сравнения. 5. Поверхности сечения То, что гамильтониан (3.2) имеет две степени свободы, сразу же дает возможность предположить, что его можно исследовать с помощью по¬ верхностей сечения (см. [10]). Однако сразу не ясно, какими должны быть
84 ДЖ. ВИЗДОМ условия сечения. Один из вариантов — построить график зависимости у от х при Ф = Фг-es (т. е. а = ares), но я показал, что Ф не принимает таких значе¬ ний во время режима движения с малым эксцентриситетом. Другая возмож¬ ность — построить график зависимости у от х для некоторой определенной величины а или ф однако из рис. 1 видно, что нельзя подобрать а таким образом, чтобы правильно описать пики с большим значением эксцентриси¬ тета. Гиффен [8] построил график зависимости а и а от е, когда а принимает максимальное значение. Шолль и Фрошле [14, 15, 5, 6, 7], следуя Гиффену, выбрали этот же способ. Данный выбор приемлем в том отношении, что а регулярно проходит через максимум как в течение режима с малым эксцен¬ триситетом, так и в течение режима с высоким эксцентриситетом. Однако две особенности делают его неудовлетворительным. Во-первых, точка на такой поверхности сечения не определяет траекторию, которой она принад¬ лежит, однозначным образом. Как следствие, инвариантные кривые могут пересекаться! В этом можно убедиться, взглянув на рис. 2 в работе [5]. Две инвариантные кривые с начальными эксцентриситетами 0.18 и 0.20 принадлежат к семейству подобных инвариантных кривых, однако витки, которые они образуют на поверхности сечения, не являются концентриче¬ скими. Две инвариантные кривые с даже еще более близкими начальными эксцентриситетами будут пересекаться. Эта поверхность сечения также не разделяет долгопериодическую эволюцию с эволюцией на временном мас¬ штабе либраций. Долгопериодная эволюция не видна на таком графике. Гораздо лучше было бы построить графики зависимости долгопериодиче¬ ских переменных х и у (или ей и) для каждого максимума или минимума а. Это сечение аналогично сечению I, использованному в данной статье. Рисунок 4 показывает, что ф регулярно пересекает ведущий центр Р(х,у) + 7г. Чтобы получить поверхность сечения, я наношу на график канонически сопряженные долгопериодические переменные х и у всякий раз, когда ф — Р(х,у) пересекает 7г в положительном направлении. Это се¬ чение позволяет избавиться от переменной либрации ф и ее канонического импульса Ф. Точки на полученной таким образом поверхности сечения на¬ ходятся во взаимно однозначном соответствии с траекториями, пронизыва¬ ющими сечение. Анализ возмущений показывает, что такое условие выбора сечения аналогично тому, что а проходит через минимум. Для численных расчетов я использовал отображение. Строго говоря, отображение отлича¬ ется от гамильтониана (3.2) наличием коротко периодических членов и име¬ ет слишком много степеней свободы, чтобы с его помощью можно было получить поверхность сечения. Однако оно также справедливо для плоско¬ эллиптической задачи. В этом смысле отображение ближе к исходной за¬ даче, чем усредненный гамильтониан, и, в любом случае, короткоперио-
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 85 0.3 У 0.0 -0.3 -0.2 0.0 0.2 0.4 х Рис. 9. Поверхность сечения для АН = —1.21 ■ 10-5. Точки, полученные путем интерполяции, наносятся на график, когда ф пересекает Р(х, у)+ тг в положительном направлении. Данный рисунок соответствует рис. 5 дические члены несущественны. Экономия же вычислительных ресурсов требует использования отображения. Типичная длина «интегрирований», необходимых для получения представленных ниже поверхностей сечений, равна 107 лет на одну хаотическую траекторию. Это весьма долгое время даже для численного интегрирования усредненного гамильтониана (3.2). Поверхности сечения для трех значений АН, использованных в преды¬ дущем параграфе, показаны на рис. 9-11. Так как отображение не является непрерывным во времени, я нанес на график проинтерполированные ве¬ личины х и у для каждого пересечения. Общее соответствие результатам, полученным методом возмущений, теперь очевидно. Два набора графиков не совпадают полностью, поскольку х и у не равны х и у, когда ф пере¬ секает Р + 7г. Разница между этими двумя наборами переменных показана в приложении. Кривые на рис. 12 соответствуют ведущим траекториям на рис. 6, но в этом случае была выполнена поправка на переход от х и у кх иу при ф = Р + 7г. Структура графиков теперь аналогична. В двух других слу¬ чаях соответствие также превосходно, хотя кривые начинают искажаться, если они подходят слишком близко к точкам, где А = 0 (см. приложение). Квазипериодические траектории хорошо описываются с помощью адиа¬ батического приближения. Это также верно для хаотических траекторий, когда они не находятся вблизи зоны неопределенности. Хаотические зоны заполнены главным образом длинными дугообразными скоплениями точек, повторяющими линии, аналогичные рассчитанным в §4. Такое поведение наиболее хорошо просматривается на рис. 9, соответствующем рис. 5.
86 Дж. Виздом 0.2 ,:..i "• -""/г у о.о -0.1 0.1 -0.2 ! I 'Г ■ ■ _1 : -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 х Рис. 10. Поверхность сечения для АН = —4.22 • 10_6. Данный рисунок соответ¬ ствует рис. 6 На графиках представлено несколько качественно различных типов квазипериодических траекторий. На всех рисунках а совершает либрации, а Со — вращательные движения на наиболее удаленных инвариантных кри¬ вых, обе величины совершают вращательные движения на инвариантных кривых вблизи начала координат. На рис. 9 и 11 справа от квазипериоди- ческой зоны, в начале координат видны другие зоны квазипериодичности. В этих квазипериодических зонах как <т, так и Со совершают либрации (вбли¬ зи 7г и 0 соответственно). Наконец, на рис. 10 и 11 слева от начала координат наблюдаем небольшие острова; здесь снова и а, и О совершают либрации (вблизи 7г). Существование этих островов объясняет появление нескольких зон квазипериодической либрации на рис. 6 в работе [22]. Все эти особен¬ ности предсказаны при помощи анализа теории возмущений. В работе [22] предполагалось, что начальные значения углов ф — тг и Со — Cbj = 0 представляют фазовое пространство в том смысле, что почти все траектории с течением времени достигают этих значений. Ин¬ тересно было бы проверить, является ли это предположение верным для данных трех поверхностей сечения. Все квазипериодические траектории лежат внутри инвариантных кривых, пересекающих ось ж, и все они, кроме тех, что находятся в небольшом островке слева от начала координат, пе¬ ресекают положительное направление оси х. Когда ф совершает либрации, ведущая фаза на этой оси также совершает либрации либо вблизи 0, либо вблизи 7г. Для значений х в промежутке от ej(—D — л/D2 — АСЕ)/(2С) = = 0.01 до ej(—D 4- yD2 — АСЕ)/(2С) = 0.14 ведущая фаза заставляет ф
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 87 0.2 0.1 У 0.0 -0.1 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 х Рис. 11. Поверхность сечения для АН = -3.04-10_6. Рисунок соответствует рис. 7. Данному значению АН соответствует две протяженные хаотические зоны. Траек¬ тория из хаотической зоны, окружающей начало координат, вступает в узкую часть хаотической зоны, которая простирается до больших значений эксцентриситета че¬ рез неравномерные промежутки находиться вблизи 0, если значения у близки к 0; однако вне этой области, вблизи у = 0, ф совершает либрации около тг. Далее рассмотрим внешние инвариантные кривые. Все эти кривые пересекают положительное направ¬ ление оси х (а) = 0), при этом ф совершает либрации около 7г. Поскольку частота либраций в общем случае несоразмерна с частотой прецессии, ре¬ презентативные фазы сближаются на произвольно малое расстояние. Вну¬ тренние инвариантные кривые также все пересекают положительное на¬ правление оси х, но в этом случае ф совершает вращательные движения. И снова из-за несоразмерных в общем случае частот постепенно достига¬ ются репрезентативные углы. К тому же самому заключению мы приходим и в случае квазипериодической зоны справа от начала координат на рис. 9 и И, только на рис. 9 можно видеть два репрезентативных пересечения. (То, что это иногда случается, было замечено в [22].) Ясно, что небольшая квазипериодическая зона слева от начала координат никогда не достигнет репрезентативных углов, но также очевидно, что это очень небольшая часть фазового пространства. В том случае, если репрезентативная плоскость яв¬ ляется почти, но не вполне репрезентативной, то две плоскости начальных условий, представленные в [22], образуют комплементарные пары и являют¬ ся репрезентативными в том смысле, что почти все траектории пересекают по крайней мере одну из них.
88 Дж. Виздом 0.2 0.1 У 0.0 -0.1 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 х Рис. 12. Траектории на поверхности сечения, рассчитанные с помощью теории возмущений. Для этих кривых АН = —4.22 • 10-6. Они соответствуют рис. 6 и 10. Область, в которой ведущие траектории завершаются в зоне неопределенно¬ сти (к > 0.99), затенена Теперь становится возможным описать загадочный процесс, посред¬ ством которого траектории на рис. 11 и 12 в статье [22] переходят с нижних кривых на верхние. Рисунок 10 соответствует кривой 4 в той статье. По ме¬ ре того, как хаотическая траектория на рис. 10 эволюционирует, она может проводить некоторое время вблизи внутренних инвариантных кривых. В те¬ чение этого времени точки появляются на нижней части кривой 4. Когда данная траектория вслед за ведущей траекторией (Л совершает либрации) переходит к большему эксцентриситету, точки появляются на верхней части кривой 4. Заметим однако, что на рис. 6 присутствует небольшая область между двумя зонами неопределенности, где Л совершает либрации. В этой зоне, вблизи значения у = 0, ф совершает либрации около 0 и избегает окрестности точки 7г. Таким образом, на репрезентативной плоскости не появляется никаких точек. То есть на репрезентативной плоскости суще¬ ствует запрещенная область, а на поверхности сечения хаотическая зона непрерывна. Наконец, рис. 11 объясняет странное «перемежающееся» поведение траектории, представленной на рис. 3 в [22]. Эта траектория принадлежит хаотической зоне, окружающей начало координат. В упомянутой работе дано качественное описание хаотической зоны; она состоит из двух ча¬ стей: зона с малым эксцентриситетом и «узкая дорожка к области большого эксцентриситета». Блуждая по хаотической зоне, траектория постепенно
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 89 вступает на эту узкую дорожку. В общем случае наблюдалось два режима поведения хаотической траектории: режим с малым эксцентриситетом и ре¬ жим с большим эксцентриситетом. Эти два режима соответствуют различ¬ ным областям хаотической зоны. В низкоэксцентриситетном режиме точки появляются вокруг квазипериодической зоны, окружающей начало коорди¬ нат. В режиме с большим эксцентриситетом точки появляются на больших дугах справа. Зона неопределенности разделяет эти два режима поведения. Каждый раз, когда траектория появляется из этой зоны, она обладает новым значением действия Л. Иногда это значение действия помещает траекторию в область режима, с малым эксцентриситетом, иногда — в область с большим эксцентриситетом. (Необходимо отдельно отметить, что на рис. 11 присут¬ ствуют две несвязанные хаотические зоны, в одной из которых возможен только режим с большим эксцентриситетом.) 6. Причина хаотического поведения Одним из наиболее полезных критериев, используемых для предсказа¬ ния появления крупномасштабного хаотического поведения, является кри¬ терий перекрытия резонансов [3]. Согласно этому критерию, положение и ширина резонансов низкого порядка, рассчитанные аналитически, срав¬ ниваются между собой; когда расстояние между двумя резонансами меньше суммы их полуширин, можно ожидать появления протяженной зоны хаоти¬ ческого поведения. Данный критерий идеально подходит для решения неко¬ торых задач. Например, хаотическое вращение Гипериона было предсказано с помощью этого критерия до того, как было доказано вычислениями [25]. Критерий резонансного перекрытия так же был использован Чириковым [3] для определения ширины хаотической сепаратрисы в присутствии высоко¬ частотных возмущений. В других случаях возможность применения данно¬ го критерия не ясна, и он не приносит много пользы. Один из примеров такого рода — исходная задача Хенона и Хейлеса [10]. Другой случай — за¬ дача, рассматриваемая в данной статье! В [20] я показал, что хаотическое поведение имеет место, когда резонансы, соответствующие различным со¬ размерностям среднего движения, перекрываются. На первый взгляд, задача о движении вблизи соразмерности 3/1 кажется вполне аналогичной [9, 4]. В этом случае имеется протяженная хаотическая зона и, в то же время, три резонанса среднего движения, которые сильно перекрываются. Однако очень важно то, что резонансы принадлежат одной и той же соразмерности. В данном параграфе я показываю, что хаотическая зона вблизи соразмерно¬ сти 3/1 не является следствием перекрытия этих трех резонансов среднего движения.
90 Дж. Виздом В плоско-эллиптической задаче наиболее важный источник хаотическо¬ го поведения вблизи резонанса 3/1, по-видимому, связан с зоной неопреде¬ ленности. Сравнение рис. 5-7 с рис. 9-11 показывает, что близкое соответ¬ ствие между хаотическими зонами и ведущими траекториями заканчивается вблизи зоны неопределенности. (Траектории оканчиваются при к > 0.99.) Различия в рис. 6 и рис. 10 явно представлены на рис. 12. Траектории на поверхности сечения при АН = —4.22 • 10_6 были рассчитаны с исполь¬ зованием поправки перехода от х9 у к х, у для ф = Р + 7г, полученной в приложении; ведущие траектории, находящиеся в затененной области, за¬ канчиваются в зоне неопределенности. Очевидно, таким способом можно довольно точно предсказать протяженность и форму хаотической зоны. Почему же вхождение в зоны неопределенности является причиной хаотического поведения? Вдали от этих зон действие представляет собой приближенный интеграл движения, и траектории ведут себя предсказуе¬ мо. Вблизи зон неопределенности действие больше не сохраняется, так как периоды уже недостаточно различны. Однако отсутствие приближен¬ ного интеграла само по себе не является достаточной причиной хаотиче¬ ского поведения. Когда траектории входят в зону неопределенности, дви¬ жение Л происходит вблизи своей сепаратрисы, а движение вблизи сепа¬ ратрисы обычно является хаотическим. Возможно, эти временные сдвиги к хаотической сепаратрисе Л отвечают за возникновение крупномасштаб¬ ного хаотического поведения. Сепаратриса Л могла бы стать хаотической либо в результате наличия короткопериодических членов в возмущающей функции, либо вследствие долговременной эволюции ведущих траекторий. В первом случае хаотическое поведение можно рассматривать как результат перекрытия резонансов высокого порядка между короткопериодическими членами и гораздо более долгим периодом осцилляций Л вблизи сепара¬ трисы (см. [3]). Во втором случае, по мере того как период осцилляций Л растет вблизи сепаратрисы, в некоторый момент времени он становится сравним с периодами, связанными с движением х, у. Интенсивность ре¬ зонансов между этими двумя степенями свободы возрастает, по мере того как периоды становятся сравнимы между собой, и в некоторой точке резо¬ нансы начинают перекрываться. Последний механизм, без сомнения, более важен, но для его правильного описания теорию возмущений, изложен¬ ную в приложении, необходимо было бы развить дальше. Переменные х9 у ну жно было бы перевести в переменные действие-угол, а затем уже проана¬ лизировать резонансную структуру на предмет резонансного перекрытия. С помощью такого рода анализа можно было бы предсказать критическое значение /с, выше которого движение становится хаотическим. Конечно, л юбые ведущие траектории, которые завершаются, проходят через все зна¬
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 91 чения /с, таким образом, действительное критическое значение к для них не важно. В первом приближении наблюдаемые зоны хаотического пове¬ дения совпадают с этими ведущими траекториями. На рис. 12 затененная область соответствует тем ведущим траекториям, которые достигают значе¬ ния к > 0.99. Выбор данного значения был произвольным. Действительное критическое значение /с, по-видимому, должно быть ближе к 0.9. Для этой величины все рассчитанные хаотические зоны находятся в довольно точ¬ ном соответствии с поверхностями сечения. На рис. 12 различие между двумя критическими значениями к невелико, но при к > 0.9 предсказанная хаотическая зона окружает небольшой островок в левой части графика, как и на рис. 10. Хотя я и не показываю с помощью резонансного перекрытия точную причину данного явления, факт остается фактом: хаотическое по¬ ведение, по-видимому, имеет место всегда, когда траектории входят в зону неопределенности, и это является следствием адиабатической инвариант¬ ности действия. Желательно поэтому определить те свойства траекторий, которые при¬ водят к пересечению зоны неопределенности. То, что это не является пря¬ мым и необходимым следствием перекрытия резонансов среднего движе¬ ния, можно показать, исследуя отбрасывание вековых членов. В полученной задаче по-прежнему присутствуют три сильно перекрывающихся резонанса среднего движения, но траектории больше не пересекают зону неопреде¬ ленности. Это можно понять, рассматривая уравнения (4.1), в которых F = Поскольку (cos А) зависит только от А и некоторых постоянных, эти урав¬ нения можно вывести из гамильтониана Н = Н(а), где Н[а) определяется из соотношения dH/dA = ^(cosA). Таким образом, А(х, у), а следователь¬ но, и модуль эллиптического интеграла, являются постоянными ведущего движения. Это означает, что пока движение остается инвариантным, ампли¬ туда движений А не меняется и А никогда не пересекает свою сепаратрису. То есть протяженной хаотической зоны, связанной с траекториями, входя¬ щими в зону неопределенности, в данном случае не существует. Я показал это, изучая поверхность сечения для АН = —1.0 • 10-5 при F = G = 0. Зона неопределенности по-прежнему существует, и с ней связана неболь¬ = G = 0: и
92 Дж. Виздом шая хаотическая зона, но эта зона настолько мала, что она практически невидима в масштабе рис. 9-11. Если траектории больше не входят в зо¬ ну неопределенности, протяженной хаотической зоны нет. Я не обнаружил хаотических зон вблизи положений неустойчивого равновесия ведущих тра¬ екторий, но, я думаю, при достаточном увеличении это можно сделать. Од¬ нако настолько малые хаотические зоны для нас не важны. Данный пример не только демонстрирует важность вхождения в зону неопределенности, но также показывает, что расширенная ведущая сепаратриса не является важ¬ ным источником хаотического поведения. (Ширина ведущей хаотической сепаратрисы очень мала, так как отношение частоты либраций к часто¬ те низкоамплитудных осцилляций х, у велико, а ширина зависит от этого множителя экспоненциально.) Было показано, что вековые члены играют важную роль в возникно¬ вении крупномасштабного хаотического поведения. Далее я представлю доказательства того, что в действительности несколько перекрывающихся резонансных членов, напротив, не важны. Рассмотрим сначала круговое движение, т. е. положим ej = 0. Гамильтониан (3.1) тогда содержит член, пропорциональный F, и резонансный член, пропорциональный С. В этом случае А = С(х2 + у2). Поскольку вековая часть гамильтониана пропор¬ циональна А, доказательство, аналогичное приведенному в предыдущем абзаце, показывает, что А является постоянной движения и зона неопре¬ деленности не пересекается. Однако это пересечение может быть вызвано путем добавления дополнительного векового члена. Чтобы показать это, рассмотрим гамильтониан (3.1) при D = E = 0nej= 0.5. Имеем толь¬ ко один резонансный член, но два вековых члена. То, что вековая часть гамильтониана пропорциональна А, больше не справедливо. Следователь¬ но, А больше не является постоянной движения, и многие ведущие тра¬ ектории теперь заканчиваются в зоне неопределенности. На поверхности сечения этой задачи при АН = —1.0 • 10“5 видна протяженная хаотиче¬ ская зона. Перекрытие резонансов среднего движения является усложняю¬ щим фактором, но не причиной хаотического поведения. Самым важным свойством движения, порождающим хаотическое поведение, является пе¬ ресечение зоны неопределенности. Для этого необходимо, чтобы вековая часть гамильтониана и А были независимы друг от друга. Нетрудно по¬ казать, что: записанное с помощью скобок Пуассона, это условие возник¬ новения крупномасштабного хаотического поведения выглядит следующим образом: [i?sec, А] Ф 0. Перекрытие резонансов среднего движения не является причиной по¬ явления хаотической зоны 3/1. Хаотическая зона возникает вследствие того, что траектории входят в зону неопределенности.
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 93 7. Обсуждение Наиболее серьезным недостатком гамильтониана (3.1) при использова¬ нии его в формулировке плоско-эллиптической ограниченной задачи трех тел является ограничение возмущающей функции членами порядка е2. Это исключает из рассмотрения слагаемые порядка е4. Для движений с больши¬ ми эксцентриситетами теория возмущений, представленная в данной статье, является количественно неверной. Однако сравнение с результатами обыч¬ ного численного интегрирования показывает, что она работает достаточно надежно даже при эксцентриситетах, достигающих 0.4 [22, 12]. При бо¬ лее высоких эксцентриситетах различия становятся более существенными, и, возможно, носят также качественный характер. В настоящее время эти области возможно исследовать только численно. Как модель движения астероидов, плоско-эллиптическая задача обла¬ дает двумя недостатками. В ней не учитываются наклонения орбит, а также долгопериодические вариации элементов орбиты Юпитера. Метод возму¬ щений, представленный в данной статье, может компенсировать оба этих недостатка. Самый короткий из собственных периодов Солнечной системы равен 46 000 лег [2]. Очевидно, что усреднение на временном масштабе либраций все еще справедливо. Усложняет дело тот факт, что ведущие тра¬ ектории нельзя больше представить на двумерном графике, так как сами они могут быть хаотическими. Учитывая, что характерный временной мас¬ штаб прецессии перигелия меньше 20 000 лет, вековые вариации Солнечной системы, возможно, не оказывают какого-либо значительного влияния. (На¬ помним, однако, что в задаче, учитывающей наклонения орбит, «вековой резонанс», связанный с этим 46 000-летним периодом, приближает резо¬ нанс 3/1 к «собственному» наклонению около 15°зависит от смешанных членов четвертого порядка в вековой возмущающей функции, т. е. от чле¬ нов порядка е2г.) Возможно, наиболее серьезным недостатком является ограничение плоскостью. Мной было показано, что хаотические траекто¬ рии демонстрируют более свободное поведение в трехмерной ограниченной задаче (достигают больших эксцентриситетов) и что хаотическая зона рас¬ ширяется по мере роста наклонения по отношению к плоскости орбиты Юпитера [22]. Выполнить усреднение для трехмерной задачи не составляет труда, но тогда усредненные уравнения будут иметь две степени свободы. Таким образом, сами ведущие траектории снова могут быть хаотическими. Тогда может существовать несколько хаотических зон, причем некоторые из них будут связаны с зоной неопределенности, а некоторые — с хаотиче¬ скими ведущими траекториями. Возможно, правильное понимание влияния наклонений орбит и изменений элементов орбиты Юпитера будет достиг¬
94 Дж. Виздом нуто, если для описания этих эффектов использовать явление диффузии Арнольда (см. [3]). 8. Заключение Общая картина движения вблизи резонанса 3/1 в плоско-эллиптической ограниченной задаче трех тел, представленная в данной статье, такова. Большую часть времени существует три отдельных временных масштаба. Изменения в масштабе орбитального движения в общем случае не учиты¬ ваются. Временной масштаб либраций обычно настолько мал по сравне¬ нию с временным масштабом прецессии, что изменения на этом масштабе могут быть приближенно описаны аналитически. Влияние долгопериоди¬ ческой эволюции на амплитуду либраций можно определить, предполагая, что действие в процессе либраций адиабатически сохраняется. В свою оче¬ редь, изменения на временном масштабе либраций можно аналитически усреднить, чтобы определить их влияние на долгопериодическую эволю¬ цию эксцентриситета и долготы перигелия. Однако, вследствие сохранения действия, амплитуда либраций иногда достигает значения 7г, где период либраций становится больше. В данной точке временной масштаб либра¬ ций выделить нельзя, и действие больше не сохраняется. В этой «зоне неопределенности» аналитическое приближение нельзя использовать для предсказания характера движения. После пребывания в зоне неопределен¬ ности в течение некоторого короткого промежутка времени траектория по¬ является снова, при этом действие принимает новое значение, которое со¬ храняется до тех пор, пока траектория снова не достигнет зоны неопре¬ деленности. Такая картина движения представляется вполне удачной. Она точно предсказывает «ведущие центры» а и е, так же как и многочислен¬ ные особенности поверхностей сечения. В частности, положение и форма хаотических зон могут быть точно предсказаны путем отождествления хао¬ тических траекторий с теми ведущими траекториями, которые входят в зону неопределенности. То, что многие траектории входят в зону неопределенно¬ сти, признается наиболее существенной причиной хаотического поведения вблизи резонанса 3/1 в плоско-эллиптической задаче. Это условие можно записать е удивительно простом виде: [Rsec,A\ ф 0. Я не знаю более про¬ стого критерия для крупномасштабного хаотического поведения. В последнее время некоторыми авторами (напр. [16, 11]) были предло¬ жены космогонические теории, объясняющие существование люков Кирк¬ вуда. Конечно, помимо того, что данная задача интересна сама по себе как классическая задача небесной механики, важнейшей целью изучения рас¬ пределения астероидов является более полное понимание процессов фор¬
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 95 мирования Солнечной системы, с тем чтобы наложить ограничения на кос¬ могонические теории. Ясно, однако, что, прежде чем данная цель может быть достигнута, необходимо правильно понять динамические механизмы, которые могли изменять распределение астероидов на протяжении милли¬ ардов лет. В [21, 22] было показано, что на самом деле существуют важные динамические механизмы изменения распределения астероидов, на которые ранее не обращали внимания либо игнорировали [14]. В частности, резо¬ нанс 3/1 сопровождается протяженной хаотической зоной, и траектории в пределах этой хаотической зоны пересекают орбиты планет. Существо¬ вание и протяженность этой хаотической зоны, а также факт пересечения орбит планет были подтверждены с помощью обычного численного инте¬ грирования [22, 24]. Точный размер и форму люка Кирквуда 3/1 можно объ¬ яснить, если удалить хаотические и квазипериодические траектории, пере¬ секающие орбиты планет. Для этого не требуется никаких космогонических механизмов. В данной статье представлен один из способов объяснения су¬ ществования хаотической зоны и предсказания ее общей структуры, по крайней мере в плоско-эллиптическом приближении. Общий метод также будет работать, если учесть наклонения и вековые вариации орбит планет, однако детальное исследование следствий выходит за рамки данной статьи. Привнесут ли наклонения и вековые вариации важные качественные изме¬ нения (такие как диффузия Арнольда) в динамику или нет, количественно они важны; с учетом этих факторов, траектории в хаотической зоне 3/1 пересекают орбиту Земли, тогда как в плоско-эллиптическом приближении они пересекают только орбиту Марса. Метод, представленный в настоящей статье, должен хорошо работать и для других основных резонансов в той степени, в которой их динамика представляется усеченной возмущающей функцией. По-видимому, мы уже близки к правильному пониманию долго¬ временной эволюции траекторий вблизи резонансов в Солнечной системе. Скоро станет возможным отыскать ключи к космогоническим проблемам, спрятанным ныне в распределении астероидов. Приложение В данном приложении представлен альтернативный вывод уравне¬ ния (4.1) с использованием канонической теории возмущений. Во-первых, чтобы перейти к приближению маятника, выполним каноническое преоб¬ разование переменных ф' = ф и Ф' = Ф — Фгез и оставим в Ф' только квадратичные члены. Так как Ф' порядка д1/2, то в данном приближении мы пренебрегаем членами порядка д3/2. Следующим шагом является пре¬ образование переменных ф' и Ф' к переменным действие-угол. Для этого
96 Дж. Виздом решим уравнение Гамильтона-Якоби для осциллятора ф, = !г = ±{^[я'+Мсо5(0,~р)] 1/2 и получим производящую функцию ' -1/2 F = ± Р+7Г I ||[Я' + МС08(^-Р)]| Величина if' считается функцией действия. К счастью, явного обратного преобразования от 1(Н',А) к Н'(1,А) можно избежать. Нижний предел интегрирования выбран таким образом, что угол, сопряженный с /, равен нулю, когда ф' = Р 4- 7г. Этот интеграл можно оценить с помощью эллип¬ тических интегралов, но этого делать не требуется. Производящая функция для полной задачи выбирается таким образом: 1/2 F = - I <! f [НуАсов(ф - Р)\ } <1ф + ху. - j {§[tf + Mcos(4>-P)]} Р + 7Г Здесь добавлено тождественное преобразование от х и у к х и у\ Н', Д(х, ?/) и Р(х,у) были заменены значениями Й(1,А) = Н\1,А), А(х,у) = А(х,у) И Р(я,27) = Р(ж,2/) соответственно. Знак минус выбран для того, чтобы производная с1ф'/dt была положительна, когда ф' = Р 4- 7г. Так как производящая функция не зависит от времени, то новый гамильтониан равен старому, выраженному через новые переменные. Эти новые переменные получаются как производ¬ ные F: - OF „ , М (дЯдАт , дАт \ , х = = X Н —— —Y—Ii + — i2 + Ф (ф ду (-цаА)1/2 \дА ду ду ) ду И _ 9F _ - , _V__ (дЙдАг , дАт V ,,,дР У дх У+ (_маА)!/2 9х 1 + V + {Ф)дх'
Исследование движения вблизи резонанса 3/1 Два интеграла в этих выражениях имеют вид: 97 h ' р+тг {§ [Н + ^Acos((j) — Р)] | и h р+7Г 11 [Я + М cos(0 - Р)] | 7 Л = F(%kL) 12 = Р(ъкь)-2Е(Ъкь), В случае либраций и где F(7, £7,) и £*(7, Ат,) — эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, 7 = sin~1{fiA[l 4- cos(фг — Р)\/(/лА — Н)} и кь — ((^А — — Н)/{2(iA))1^2. Эти интегралы имеют аналогичный вид и для вращатель¬ ного движения. Производная дЙ/дА определяется в данном случае путем дифференцирования выражения для действия по А. Для либраций Здесь Е(к) и К (к) — полные эллиптические интегралы, предполагается, что их модули выражаются через I и А(х, у). Собирая слагаемые, получим дЩ1,А) = 2Е{кь) дА К{кь) и для вращательного движения дН(йА) = 2 Е{кс) 1 2 дА к2сК(кс) к2с и только для либраций.
98 дж. Виздом Скобки, содержащие эллиптические функции, по порядку величины равны единице; Ф' есть величина порядка у}/2; то по порядку величины равно e\ix!2\ А — порядка в2; производные А — порядка е. Производные Р есть величины порядка е/А. Таким образом, два набора переменных, по- видимому, отличаются слагаемыми порядка у1!2, как и предполагалось. Однако каждая поправка содержит некоторую степень А в знаменателе, и, хотя обычно величина А имеет порядок е2, вблизи (х, у)9 равных (0.01,0) или (0.14,0), она имеет меньшее значение. Обозначая расстояние на плос¬ кости х, у до этих критических точек через 5, видим, что метод возмуще¬ ний перестает работать, когда 8 становится меньше, чем величина поряд¬ ка ец1/2. Это ограничение оказывается не слишком серьезным. Его мож¬ но было ожидать и на интуитивном уровне. В обычной круговой задаче при больших значениях эксцентриситета механизм либрации задействует в первую очередь средние долготы. С другой стороны, при очень малых значениях эксцентриситета механизм либрации определяется главным об¬ разом движением перигелия. Приближение, использованное здесь, больше похоже на первый случай, когда мы считаем, что именно вариации средних долгот влияют на движение на временном масштабе либраций. При этом можно ожидать существования областей, в которых это предположение не выполняется. Удивительно, однако, что здесь мы имеем две критические точки, одна при малом значении эксцентриситета, а другая при умеренном значении эксцентриситета (х = 0.14). До значений порядка еу}!2/8 соотношения между координатами можно найти, заменяя Я, А и Р на Н', А(х, у) и Р(х, у) соответственно, в выраже¬ ниях, приведенных выше. Явное преобразование от х и у к поверхностям сечения имеет вид а (Я' - цА) 1/2 у = у- 1/2 дР ду дР дх' Наконец, новый гамильтониан имеет вид Я = Я'(/, А(х, у)) + iiF(x2 + у2) + ejjiGx + о(еу3/2/8). Поскольку угол, сопряженный с /, здесь не появляется, I является инва¬ риантом до этого порядка. Уравнения движения для х и у выглядят тогда следующим образом: dx dt Ш =-2uFv - ду ^ У дА ду
Литература 99 dV дН о. ^ ^ , дН' дА й "2^1 + е"‘6 + ЖW Так как выражения для дН'/дА, вычисленные ранее, равны выражениям для (cos А), найденным в §4, то данные уравнения аналогичны уравнени¬ ям (4Л). Основная идея данной статьи — разделение временных масштабов и ис¬ пользование адиабатической инвариантности действия для приближенно го описания движения на временном масштабе либраций была предложена Питером Голдрайхом. Литература [1] Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1970. [2] Brouwer D., van Woerkom J. J. The secular variations of the orbital elements of the principal planets. Astronomical paper of the American ephemeris XII, II. [3] Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillation systems. Phys. Rep. — 1989. — Vol. 52. — P. 263-379. [4] Dermott S. F., Murray C. D. Nature of the Kirkwood gaps in the asteroid belt. Nature. — 1983. — Vol. 301. — P. 201-205. (См. работу 2 этого сбор¬ ника.) [5] Froeschle С., Scholl H. On the dynamical topology of the Kirkwood gaps. Astron. Astrophys. — 1976. — Vol. 48. — P. 389-393. [6] Froeschle C., Scholl H. The qualitative comparison between the circular and elliptic Sun-Jupiter-asteroid problem at commensurabilities. Astron. Astrophys. - 1977. - Vol. 57. - P. 33-39. [7] Froeschle C., Scholl H. The stochasticity of peculiar orbits in the 2/1 Kirkwood gap. Astron. Astrophys. — 1981. — Vol. 93. — P. 62-66. [8] Giffen R. A study of commensurable motion in the asteroid belt. Astron. Astrophys. - 1973. - Vol. 23. - P. 387-403.
100 дж. Виздом [9] Goldreich P. Cosmology and astrophysics. (Essay in Honor of Thomas Gold), N.Y.: Cornell Univ. Press., Ithaca. — 1982. — p. 121. [10] Henon М., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. Astron. J. — 1964. — Vol. 69. — P. 73-79. [11] Henrard М., Lemaitre A. A mechanism offormation for the Kirkwood gaps. Icarus. - 1983. - Vol. 55. - P. 482-494. [12] Murray C. D., Fox K. Structure of the 3:1 Jovian resonance: A comparison of numerical methods. Icarus. — 1984. — Vol. 59. — P. 221-233. [13] Poincare H. Sur les planetes du type d’Hecube. Bull. Astron. — 1902. — Vol. 19.-P.289-310. [14] Scholl H., Froeschle C. Asteroidal motion at the 3/1 commensurability. Astron. Astrophys. — 1974. — Vol. 33. — P. 455-458. [15] Scholl H., Froeschle C. Asteroidal motion at the 5/2, 7/3, and 2/1 commensurability. Astron. Astrophys. — 1975. — Vol. 42. — P.457-463. [16] Torbett М., Smoluchowski R. Motion of the Jovian commensurability resonances and the character of celestial mechanics in the asteroid zone: Implication for kinematics and structure. Astron. Astrophys. — 1982. — Vol. 110.-P.43-49. [17] Wetherill G. W. Late heavy bombardment of the moon and terrestrial planets. Proc. Lunar Sci. Conf. 6th. — 1975. — P. 1539-1561. [18] Wetherill G. W. Asteroidal source of ordinary chondrites. Meteoritics. — 1985.-Vol. 18.-P. 1-22. [19] Williams J. G., Faulkner J. The position of secular resonance surfaces. Icarus. - 1981. - Vol. 46. - P. 390-399. [20] Wisdom J. The resonance overlap criterion and the onset of stochastic behavior in the restricted three-body problem. Astron. J. — 1980. — Vol. 85.-P. 1122-1133. [21] Wisdom J. The origin of the Kirkwood gaps: A mapping for asteroidal motion near the 3/1 commensurability. Astron. J. — 1982. — Vol. 87. — P. 577-593.
Литература 101 [22] Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the Kirkwood gap. Icarus. — 1983. — Vol. 56. — P. 51-74. (См. работу 1 этого сборника.) [23] Wisdom J. Chaotic behavior near the 3/1 commensurability as a source of Earth crossing asteroids and meteorites. Meteoritics. — 1983. — Vol. 18. — P. 422-423. [24] Wisdom J. Meteorites may follow a chaotic route to Earth. Nature. — 1985. - Vol. 315. - P. 731-733. [25] Wisdom J., Peale S.J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion. Icarus. - 1984. - Vol. 58. - P. 137-152. Jack Wisdom Address: 77 massachusetts avenue, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, ma 02139-4307, email: wisdom@mit.edu
4 Хаос и кометные облака в Солнечной системе1 Т\ Петроски Предсказывается хаотическое движение комет на почти параболиче¬ ских орбитах. Физическое присутствие хаотического движения пони¬ мается как существование кометного облака, окружающего Солнеч¬ ную систему. Формирование кометного облака происходит вследствие эффекта сильного резонанса между периодом Юпитера и движением комет. Описывается динамическая структура облака. Задача о захвате кометы в Солнечной системе вследствие воздействия Юпитера — это одна из интереснейших и не решенных пока задач в небес¬ ной механике. Трудность этой задачи заключается в том, что процесс обна¬ ружения происходит посредством эффекта сильного резонанса между пери¬ одом Юпитера и движением кометы. Обычный анализ по теории возмуще¬ ний не работает в точке резонанса вследствие наличия «малого знаменате¬ ля». Однако если характеристическая шкала времени системы очень велика — например, период кометы при почти параболическом движении — то в этом случае, чтобы преодолеть проблему малого знаменателя, мы исполь¬ зуем замечание из [1]: класс инвариантов движения может быть расширен для случая непрерывного спектра Фурье. Это означает, что в этом случае «неинтегрируемая система» может стать интегрируемой посредством введе¬ ния малого знаменателя в аналитическую функцию с помощью подходящего аналитического продолжения. 1 Petrosky Т. Y. Chaos and cometary clouds in the solar system. Physics Letters A. — 1986. — Vol. 117. — №7. — P. 328-332. Перевод с английского Ю. А. Сагдеевой.
104 Т.Пегроски Мы используем этот подход для решения ограниченной задачи трех тел в случае почти параболического движения третьего тела. После этого стро¬ ится двумерное каноническое отображение, которое описывает динамику движения кометы. Это отображение, которое мы называем «кеплеровским отображением», показывает, что существует кометное облако, которое свя¬ зано с каждой параболической орбитой. Движение кометы в облаке является хаотическим. Само кометное облако вращается вокруг Солнца с динамичес¬ кой структурой. Типичный масштаб облака составляет ~ 103 — 104 а. е. Будем рассматривать двумерную круговую ограниченную задачу. Обоб¬ щение на трехмерный случай проводится аналогично. Во вращающейся по¬ лярной системе координат (г, $), связанной с центром масс Солнца и Юпи¬ тера, гамильтониан кометы, определенный в [2], имеет вид Н=\ (р' + З) -ОРО-^ТГ-Ъ’ W где 7*1 = [г2 -■ 2fir cos'd + At2]1//2, ^2 = [г2 4- 2(1 -- fi)r cosd + (1 — fi)2}1/2. (2) Здесь расстояние между двумя основными планетами, их общая масса и их угловая скорость нормированы и равны единице. В выбранных единицах измерения масса Юпитера равна /х = 0.95х10_3,а равенство а = ±1 озна¬ чает равноправие направлений вращения кометы. Чтобы работать с почти параболическим движением кометы, мы вводим новые канонические пере¬ менные (Q,P) и (g,G), которые связаны с переменными (г,рг) и через каноническое преобразование: Pr = ±(-G2/r2+ 2/г + Р)1/2, pv = G, Q -• (l/2P3/2)(esh « — и), д — d — arccos[e-1(G"/r — 1)], где и = д/2(е — 1)т. Здесь е = (1 + PG2)1/2 — эксцентриситет для слу¬ чая задачи двух тел и а = 1/Р — большая полуось конического движения; неравенства Р > 0, Р = 0, Р < 0 соответствуют гиперболическому, парабо¬ лическому и эллиптическому движению соответственно. Вспомогательные переменные и и т связаны с г через соотношение г = a(echu — 1). На¬ ши новые переменные тесно связаны с переменными Делоне [2]. Однако
Хаос и кометные облака в солнечной системе 105 в противоположность переменным Делоне наши переменные вполне опре¬ делены и непрерывны в окрестности параболического движения при Р = 0 и е = 1. Более точно параболический случай соответствует предельному слу¬ чаю, и тогда \Р\ ^ 0 и е 1, a g = а(е — 1) — конечно, где q — это расстояние до перигелия кометы. В предельном случае вышеуказанные со¬ отношения становятся проще, т. к. Q —> (q*/2)1/2 (т + т3/3) иг —> д(1 + т2). Для простоты рассмотрим случай q > 1. Для пространственного дви¬ жения введенное ограничение можно легко отбросить и не учитывать воз¬ можности столкновения кометы и Юпитера. При этом предположении мы можем разложить потенциальную часть гамильтониана (1) в ряд по 1/г с помощью полиномов Лежандра. В новых переменных гамильтониан бу¬ дет иметь вид: H = \P-aG + pV, (4) где /.iV = fj,Aк X] vkuk2(P,G) х exp[i(kiQ + к2д)} + 0(р2) к 1 ,/С2 = д&к + fci \ Здесь к\ — пАк, где п — целое и изменяется от —оо до +оо, э, к2 — целое число. Для эллиптического случая А к = 2 (—Р)3/2, а спектр Фурье — дискретный. Для параболического и гиперболического случаев А к —> 0, а спектр непрерывен. Используя стандартный анализ теории возмущений для построения ре¬ шения системы с гамильтонианом (4), мы получим Р(£), например, в при¬ ближении первого порядка: P(t) = Ро- цАк Y ^ х ехР{ilhQit) + fc2g(t)]}. (6) ki,k2 Здесь oj1 = 1/2, oj2 = o’, Q(t) = u>i(t - 10) и g{t) = u)2(t — to) + go- Отметим, что для случая дискретного спектра Фурье решение (6) не име¬ ет смысла, вследствие малого знаменателя k\uj\ + к2со2. Однако, т.к. нас интересует случай почти параболического движения (т. е. Р —> 0), спектр Фурье будет непрерывным, а ряды Фурье в уравнении (6) сводятся к инте¬ гралу Фурье относительно к\. Получающийся в результате интеграл будет Y(VZ cosM + vki sinJ5) J exp(ifciQ) + 0(fi2). (5)
106 Т. Петроски интегралом Коши, вычисленным на действительной оси к\. Следователь¬ но, интеграл будет ограниченной, двузначной функцией, определенной на действительной оси [3]. Чтобы избавиться от такой вырожденности, мы накладываем граничное условие P(t) —> Ро для t —> — оо . В этом слу¬ чае малый знаменатель распадается на две составляющие — главную часть и часть 5-функции m5(k\uj\ + В течение достаточно долгих проме¬ жутков времени вклад вносит только значение /сцх?] + /C2CJ2 = 0. Это озна¬ чает, что асимптотический вклад вносит только точка резонанса. Явные формы составляющей ряда Фурье Т4Ь^2 могут быть вычислены с использованием соотношения Q — (д3/2)1//2(т + т3/3) для почти па¬ раболической орбиты. Выражения, получающиеся в результате, являются достаточно сложными рядами, использующими видоизмененную функцию Бесселя и неполную гамма-функцию. Ввиду краткости изложения, мы по¬ кажем здесь только результат интегрирования соотношения (6). Подробный вывод нижеприведенного результата можно найти в [4]. В пределе (t —> 00) P(t) стремится к оо P(t) -> Р0 + 2сгд^ Aj sin jg0, (7) 3 = 1 где Aj = 2тTj(v?/aj — Отметим, что P(t) асимптотически не зависит от времени. Для умеренно большого q и, например, для <т = 1 мы имеем: v& = [2x/4>/irg-1/4 + 0{q~1)} X ехр[—4g3^2/3v/2], (8) a — iv2а и v2aj ~ v2aj ~ ехр(—4jq3/2/3\/2) <С 1. Поэтому мы можем отбросить вклад, вносимый слагаемыми с j > 2. Угол до — это фазовый угол Юпитера, измеренный от направления невозмущенного перигелия кометы, когда комета проходит через перигелий (см. рис. 1). На рис. 2 показана зависимость [P(t) — Pq]/2 от go для q = 5, в обоих случаях теоретический и численный результаты основывались на методе интегрирования Рунге-Кутта, выполненном для исходных прямоугольных координат. Для того чтобы улучшить точность, мы усилили влияние, ис¬ пользуя {I = 10-2 вместо fjb = 0.95 х 10_3. Результаты отличаются между собой примерно на 1%. Если приближенное значение P(t) отрицательно, то орбита становится эллиптической. Ее период, согласно третьему закону Кеплера, приближен¬ но равен 27г/(—Р)3//2. Следовательно, можно вычислить новый фазовый узел Юпитера. Комбинируя данный результат с соотношением (7), полу¬ чим отображение, описывающее динамику кометы, которое мы называем
Хаос и кометные облака в солнечной системе 107 Рис. 1. Угол до — фазовый угол Юпитера, когда комета проходит через перигелий q «кеплеровским отображением»: Рп+1 = Рп + 2а^Ах sin дп, fjn+1 = 9п~ 27TCr/(-Pn+i)3/2. С помощью той же самой операции вывода (7) легко показать, что рас¬ стояние до перигелия q меняется при каждом рассеянии порядка /iAi(<?o)> где (/о — начальное значение q. Поэтому в соответствии с нашим прибли¬ жением — отбрасывание влияния порядка jjlAj для j ^ 2 — мы можем положить Ai(q) в соотношении (9) равным Ai(qo). Благодаря нашему приближению, кеплеровское отображение (9) дейст¬ вительно для достаточно малых \Рп \ и умеренно больших q > 1. Достаточно малые Рп соответствуют почти параболическому движению, a q > 1, когда комета проходит вне орбиты Юпитера. Для данного начального условия (до, Pq), если Рп становится положи¬ тельным (означает гиперболическое движение) для определенного п, то ко¬ мета покидает Солнечную систему. Отметим, что кеплеровское отображение имеет структуру, аналогич¬ ную «усатому отображению», которое строится для описания хаотического движения нелинейного маятника вблизи сепаратрисы [5]. Однако в уравне¬ нии относительно дп+1 для кеплеровского отображения сингулярное слага¬ емое (—Рп+1)3//2 быстро расходится по степенному закону вместо логариф¬ мического закона при Pn+i = 0, как в случае усатого преобразования. Это означает, что движение вблизи параболической траектории намного более хаотично, чем движение вблизи сепаратрисы. На рис. 3 показано распределение точек в пространстве (д,Р), полу¬ чаемое с помощью итерирования кеплеровского отображения (9). Хаоти¬ ческая область отделена от нижележащей области КАМ-тором. Пороговое
108 Т. Петроски -10' 10" -7 Рис. 2. Зависимость [P(t) — Ро]/2 от угла до для больших t (а = 1, /х = = 0.01). ( ): теоретический результат, (•): численный результат. Амплитуды рав¬ ны 1.23 х 10-7 для численного результата и 1.22 х 10-7 — для теоретического значение Р* хаотической области в P-пространстве оценивается с помо¬ щью привидения кеплеровского отображения к стандартному отображению вблизи неподвижных решений уравнения (9) и оценки порогового значе¬ ния стандартного отображения в ситуации глобального хаоса [5]. В итоге имеем Р* = — (G7r/iAi//ic)2//5, где Кс — это критическое значение па¬ раметра в стандартном отображении, равное Кс = 0.9716 [6]. Поскольку на рис. 3 нет случайного потока комет по направлению Р < 0 при Р = = 0, плотность в точках, близких к Р = 0, меньше чем в других частях хаотических областей. Как и в случае усатого отображения, хаотическая область в Р-пространстве ограничена очень узкой областью. Однако, по¬ скольку большая полуось при коническом движении пропорциональна ве¬ личине, обратной энергии Р, область в пространстве энергии соответству¬ ет астрономической шкале в реальном пространстве. Например, масштаб большой полуоси \а*\ ~ 103 а.е. для q = 4 и |а*| ~ 104 а.е. для q = 6, До сих пор мы изучали движение единичной кометы. Рассмотрим те¬ перь динамику группы комет и изложим физические следствия наших ре¬ зультатов. Так как масса кометы очень мала по сравнению с массой Юпи¬ тера, мы можем отбросить взаимодействие между кометами в группе. По¬ этому динамику каждой кометы в группе еще можно описать с помощью кеплеровского отображения (9). Рассмотрим ситуацию, когда несколько комет случайным образом вхо¬ дят в Солнечную систему. Некоторые кометы могут быть захвачены в резо¬ нанс с Юпитером. В этом случае они начинают формировать облако комет где а* = 1/Р*.
ХАОС' И КОМЕТНЫЕ ОБЛАКА В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ 109 Рис. 3. Распределение точек в пространстве (д,Р), полученном с помощью итери¬ рования кеплеровского отображения (9), с несколькими начальными условиями для случая fjiAi = 0.01. Верхняя линия означает границу захвата кометы, т. е. Р = 0. Величина Р* -- это нижний предел хаотического движения, соответствующий раз¬ рушению инвариантной КАМ кривой. Для меньших значений цAi структура облака подобна, но островки (белые пустоты) становятся вытянутыми, и их число растет вокруг Солнца. Некоторые кометы в облаке могут уходить вследствие вли¬ яния Юпитера. Если поток комет не уменьшается, то распределение комет вокруг Солнца становится относительно устойчивым. Эту ситуацию мож¬ но легко промоделировать повторяя процесс итерирования кеплеровского отображения на компьютере. Источником комет может служить «облако Оорта» [7], окружающее нашу Солнечную систему. Возмущение облака Оорта при прохождении мимо звезд может способствовать образованию потока. Наша теория может объяснить существование и структуру самого облака Оорта. Мы надеемся исследовать эту задачу в следующих публика¬ циях. На рис. 4 показан набросок кометного облака, связанного с параболи¬ ческой орбитой на плоскости орбиты в инерциальной системе. На плоскости это облако имеет динамическую структуру. Пустоты в облаке вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите. Вследствие того, что каждая параболическая орбита соответствует некоторому кометному облаку, реальное облако в Солнечной системе — это на самом деле суперпозиция каждого облака, показанного на рис. 4. Можно показать, что формирование кометного облака — это результат эффекта резонанса, который не может рассматриваться обычной теорией возмущений или КАМ теорией [8]. Наш метод аналитического продол-
110 Т. Петроски Рис. 4. Динамическая структура кометного облака в плоскости орбиты для инер- циальной системы. Несколько островков на плоскости орбиты соответствуют од¬ ной области в пространстве (д,Р). Острова, представленные здесь, соответствуют наибольшему острову в пространстве (д,Р). Размер данной области на плоскости орбиты изменяется от минимума в точке перигелия до максимума в афелии жения делает возможным изучение эффекта резонанса. Более подробное изложение эффекта резонанса читатель может найти в [4]. Автор хотел бы поблагодарить профессора И.Пригожина за неосла¬ бевающий интерес, поддержку и полезные предложения во время работы, а также профессоров Р. Бруке, Р. Смолуховского и В. Себехея за многочис¬ ленные и плодотворные обсуждения. Литература [1] Resibois P., Prigogine I. // Bull. Cl. Sci. Acad. R. Belg. — 1960. — Vol. 46. — P. 53. Prigogine I. Nonequilibrium statistical mechanics. — New York: Interscience, 1962. Prigogine I., Grecos A., George Cl. // Celest. Mech. — 1977. — Vol. 16. — P. 489. [2] Szebehely V. Theory of orbits. — New York: Academic Press, 1967. — Pyc. перевод: Себехей В. Теория орбит. — М.: Наука, 1982. [3] Balescu R. Statistical mechanics of charged particles. — New York: Interscience, 1966. [4] Petrosky Т., Broucke R. Chaotic motion of comets in nearly parabolic orbits in the solaiy system. Preprint.
Литература 111 [5] Chirikov В. V. // Phys. Rep. - 1979. - Vol. 52. - P. 263. [6] Greene J. M. J. // Math. Phys. - 1980. - Vol. 20. - P. 1183. [7] Oort J. H. // Bull. Astron. Inst. Neth. - 1950. - Vol. 11. - P. 91. [8] Колмогоров A. H. // Докл. Акад. Наук. — 1954. — Т. 98. — С. 527. Moser J. /7 Nachr. Akad. Wiss. Goettingen Math. Phys., Kl. 2 1. — 1962. — P. 1. Арнольд В. И. // Успехи Мат. Наук. — 1963. — Т. 18. -- С. 9. Tomio Petrosky Address: 1 University Station С1200, University of Austin, Austin, Texas, USA 78712 email: petrosky@physics.utexas.edu
5 Хаотическая динамика кометы Галлея1 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов Разработана простая модель динамики кометы Галлея и показано, что ее движение хаотично вследствие возмущений, оказываемых Юпите¬ ром. Получены оценки роста погрешности при экстраполяции траек¬ тории кометы, которые частично объясняют большое различие экс¬ траполяций орбиты кометы Галлея, полученных ранее. Рассмотрены различные механизмы, ограничивающие полное время пребывания ко¬ меты в Солнечной системе. Сюда относятся — диффузия орбиты под действием возмущений Юпитера и Сатурна, сдвиг орбиты вследствие слабых негравитационных сил, а также быстрый выброс кометы за пределы Солнечной системы при сближении с Юпитером на очень малые расстояния. Предполагаемое время пребывания кометы Галлея в Солнечной системе (t ~ 10 мегалет) сравнивается с периодом пред¬ положительных кометных дождей с облака Оорта, который составляет около 30 мегалет. 1. Введение Небесная механика, а именно динамика Солнечной системы, всегда была прекрасным примером правильного, детерминированного движения, которое допускает долговременное предсказание с очень высокой степе¬ нью точности. Все же, как в почти любой другой многомерной нелинейной колебательной системе, здесь возможно движение, имеющее качественно другую природу. Мы имеем в виду так называемый динамический хаос, 'Chirikov B.V., Vecheslavov V. V. Chaotic dynamics of comet Hailey. Astronomy and Astrophysics. - 1989. — Vol221. — P. 146-154. Перевод с английского Ю. А. Сагдеевой.
114 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов когда траектория становится случайной, т. е. очень нерегулярной и непред¬ сказуемой, независимо от шума (см., например, [16] и [24]). Более того, согласно гипотезе Арнольда [1], которая была подтверждена численными экспериментами [16, 4], присутствие хаотических компонентов движения для определенных начальных условий положительной меры — это обычное явление в нелинейных колебаниях. Основа хаоса лежит в окрестности про¬ извольной сепаратрисы — траектории с нулевой частотой невозмущенного движения. В небесной механике простейшим примером сепаратрисы может слу¬ жить параболическая траектория в задаче двух тел, которая разделяет ограниченные и неограниченные движения. Как теперь хорошо известно [16, 24, 4], в этом случае любое возмущение, особенно регулярное, рав¬ номерно вращающегося третьего тела, например, создает конечный хаоти¬ ческий слой на границе невозмущенных эллиптических траекторий. Этот факт был подробно описан в [18] для частного случая плоской круговой ограниченной задачи трех тел. Орбиты, близкие к параболическим, т. е. обладающие большим эксцен¬ триситетом е —> 1(0< 1 — £ 1), типичны для комет — «пробных частиц» небесной механики. Наиболее подробные данные наблюдений для кометы Галлея существуют благодаря различным историческим записям, датируе¬ мым эпохой до нашей эры (240 год д. н. э.). Анализ этих данных позволяет нам заключить, что движение кометы Галлея — хаотическое. Мы представ¬ ляем некоторые ее статистические характеристики, в частности, скорость диффузии энергии, оценки для времени жизни кометы в Солнечной систе¬ ме, увеличение ее локальной неустойчивости движения, которое определяет пределы для экстраполяции траектории кометы в обоих направлениях вре¬ мени. Наше исследование основывается на создании простой двумерной мо¬ дели (отображения) для динамики кометы и на последовательном изучении этой модели средствами современной теории динамических систем. Движение кометы Галлея — это новый пример динамического хао¬ са в небесной механике. Для знакомства с ранними исследованиями ха¬ оса в небесной механике читатель может обратиться к таким работам, как [8, 21, 9, 22]. Общее обсуждение динамики комет, включая хаос, пред¬ ставлено в работе [19]. Интересные данные о необычном движении тре¬ тьего советского космического корабля описаны в [10]; движение представ¬ ляется очень нерегулярным и, по-видимому, также является хаотическим. Всесторонние численные моделирования динамики кометы Галлея [23, 12, 15] являются замечательной иллюстрацией трудностей и ограничений при предсказании хаотического движения (см. ниже §4).
Хаотическая динамика кометы Галлея 115 2. Модель Сильная неустойчивость хаотической траектории ограничивает воз¬ можности экстраполяции до относительно малого интервала времени, не зависящего от точности моделирования. С другой стороны, для изучения статистических свойств движения можно использовать относительно про¬ стую модель, которая включает существенную часть динамики реальной системы. В рассматриваемой задаче мы предполагаем, что это будет ди¬ намика фазы возмущений кометы под воздействием Юпитера. В качестве сопряженной величины удобно выбрать некоторую величину, пропорцио¬ нальную энергии кометы, которая определяет период ее движения и, следо¬ вательно, изменение в фазе возмущения. При создании модели мы использовали в качестве начальных входных данных 46 значений tn, время прохода перигелия кометой, которые пред¬ ставлены в [23] и воспроизведены в таблице 1 (величины t\ взяты из [12]). Величины tn охватывают достаточно большой интервал времени от 1986 го¬ да до -1403 года. Отметим, что только 27 значений (п = 2 — 28) соответ¬ ствуют наблюдениям, в то время как оставшиеся 18 (п = 29 — 46) были предсказаны с помощью численного моделирования орбиты кометы [23]. Определим общую фазу возмущения с помощью положения Юпитера относительно орбиты кометы в момент прохода через перигелий: и будем считать, что Х\ — 0 (таблица 1). Предполагается, что Юпитер двигается равномерно по круговой орбите с эффективным периодом Pj = = 4332.653 дня. На самом деле период Pj учитывает различные возму¬ щения, в частности прецессию орбит кометы и Юпитера. Вышеуказанная величина Pj была подтверждена эмпирически из наилучшего соответствия в начальных данных tn (см. ниже). Будучи измеренным в годах, период Pj близок по величине к отношению средних движений Земли и Юпитера. Период кометы равен Рп = tn — tn-\. Определим величину где Еп — общая энергия кометы, удаленной от Юпитера, на интервале (£n_i,£n). Будем считать, что скорость Юпитера и радиус орбиты равны единице, а его масса (ij — 9.54 х 10-4 в солнечных единицах являет¬ ся малым параметром возмущения. В этом случае единица времени рав¬ на Pj/2n = 689.563 дней = 1.888 лет. Pj (2.1) р \ £4 = (*п - Хп-хГ2/3 «-2£, (2.2)
Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов Таблица ]. Динамика кометы Галлея: время прохода перигелия (согласно [23]). Эффективный период для Юпитера 4332.653; для Сатурна 10759.362 (дня) п Год Проход перигелия, tn (JD) Фаза Сатурна Yn Фаза Юпитера Хп 1 1986 2446470.95182 0. 0. 2 1910 2418781.6777 6.39083584 2.57350511 3 1835 2391598.9387 12.6647606 5.09993167 4 1759 2363592.5608 19.1287858 7.70290915 5 1682 2335655.7807 25.5767473 10.2994180 6 1607 2308304.0406 31.8896785 12.8415519 7 1531 2280492.7385 38.3086791 15.4263986 8 1456 2253022.1326 44.6490451 17.9795802 9 1378 2224686.1872 51.1891362 20.6131884 10 1301 2196546.0819 57.6840264 23.2285948 11 1222 2167664.3229 64.3500942 25.9129322 12 1145 2139377.0609 70.8789490 28.5420157 13 1066 2110493.4340 77.5454480 31.2265267 14 989 2082538.1876 83.9976717 33.8247519 15 912 2054365.1743 90.5001572 36.4432169 16 837 2026830.7700 96.8552482 39.0023280 17 760 1998788.1713 103.327633 41.6086720 18 684 1971164.2668 109.703382 44.1761014 19 607 1942837.9758 116.241244 46.8088124 20 530 1914909.6300 122.687259 49.4045374 21 451 1885963.7491 129.368127 52.0948344 22 374 1857707.8424 135.889745 54.7210039 23 295 1828915.8984 142.535083 57.3969935 Изменение величины w (на период кометы) зависит от фазы возмуще¬ ния х = Х( mod 1). Учитывая уравнение (2.2), получаем каноническое отображение плоскости (w,x) (ср. [18]) 3/2 Wn-\-l = VJn "Г ^п+1 = хп -Г Wn_j_^ . (2-3) По-видимому, это — самая простая модель (хотя и очень ограниченная) динамики кометы (для движения в обратном времени). 2 согласно работе [12]
Хаотическая динамика кометы Галлея 117 Таблица 1. (Продолжение) п Год Проход перигелия, tn (JD) Фаза Юпитера Хп Фаза Сатурна Уп 24 218 1800819.2235 149.019949 60.0083634 25 141 1772638.9340 155.524114 62.6275046 26 66 1745189.4601 161.859602 65.1787221 27 -11 1717323.3485 168.291253 67.7686629 28 -86 1689863.9617 174.629030 70.3208017 29 -163 1661838.0660 181.097560 72.9255932 30 -239 1633907.6180 187.544060 75.5215136 31 -314 1606620.0237 193.842186 78.0576857 32 -390 1578866.8690 200.247766 80.6371280 33 -465 1551414.7388 206.583867 83.1885924 34 -539 1524318.3270 212.837867 85.7069955 35 -615 1496638.0035 219.226637 88.2796687 36 -689 1469421.7792 225.508291 90.8092075 37 -762 1442954.0301 231.617192 93.2691812 38 -835 1416202.8066 237.791521 95.7555018 39 -910 1388819.7203 244.111687 98.3005491 40 -985 1361622.0640 250.389054 100.828362 41 -1058 1334960.1638 256.542767 103.306381 42 -1128 1309149.3447 262.500045 105.705298 43 -1197 1283983.7325 268.308406 108.044248 44 -1265 1259263.8959 274.013879 110.341767 45 -1333 1234416.0059 279.748908 112.651187 46 -1403 1208900.1811 285.638100 115.022687 Неизвестная функция возмущений F(x) может быть непосредственно найдена по начальным данным tn (таблица 1) с использованием того же уравнения (2.3). Результат представлен на рис. 1. Оказалось, что рассеяние точек вызвано возмущением, оказываемым Сатурном. Два возмущения могут быть разделены следующим образом: будем аппроксимировать зависимость на рис. 1 с помощью рядов Фурье Fj(x) и изобразим разность F(xn) — Fj{xn) в зависимости от фазы Сатур¬ на у -- У (mod 1), где У = rsX (таблица 1) и rs = 0.4026868 — это ча-
118 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов 1 1 ■ ■■ ■ ■ S л я ■ ■ X 0 1 ■ т \ 1 ■ ■ .. и ■ Юпитер 1.0 Рис. 1. Полное возмущение кометы Галлея в зависимости от фазы Юпитера стота вращения Сатурна. Последняя величина также была найдена эмпири¬ чески, и оказалось, что она равна отношению средних движений Сатурна и Юпитера. Разность F — Fj как функция у вновь была аппроксимиро¬ вана другими рядами Фурье Fs{y), и вся процедура была повторена для функции F(xn) — Fs{yn) вместо начальной функции F(xn). После около десяти таких последовательных аппроксимаций было получено следующее разложение общего возмущения, производимого Юпитером и Сатурном (рис. 2): F(x) = Fj(x) + Fs(y) + Fr(z). (2.4) Конечный спектр Фурье для возмущения представлен в таблице 2, где Fj{x) — cos(27rmx) + Ьш зт(2тг??тх)] т для Юпитера и аналогично для Сатурна. Средние значения (F) = ао = О были взяты равными нулю для обеих планет, т. к. гамильтониан системы яв¬ ляется периодической функцией для всех фаз. Отметим, что в присутствии возмущения Сатурна следует использовать или общую фазу Xn(Yn — rsXn) в отображении (2.3). как делали это мы, или добавить уравнение уп+\ — -3/2 = Уп + rswn+\ . На рис. 2с также представлено остаточное возмущение Fr(z) в за¬ висимости от фазы Земли z — Z (mod 1), где Z = геХ и ге — — Р? (годы)=-_ 11.86241 — это частота Земли в принятых единицах. Мы не
Хаотическая динамика кометы Галлея Таблица 2. Спектр Фурье возмущения в модели (2.3) 119 Юпитер т С'777. X 10- Ъш х 102 Vam + bm Х 102 0 0 0 0 1 -0.240980 0.390305 0.458704 2 0.182350 -0.060684 0.192182 3 -0.120144 -0.025157 0.122749 4 0.053170 0.062750 0.082247 5 -0.002350 -0.051279 0.051333 6 -0.019543 0.033955 0.039178 7 0.019810 -0.006757 0.020931 8 -0.016521 -0.005454 0.017398 9 0.003908 0.009710 0.010467 10 -0.001400 -0.005662 0.005833 Сатурн т &т X 10 Ьт X Ю3 \Ат + Ьш Х Ю3 0 0 0 0 1 0.539282 0.402058 0.672663 2 -0.365971 0.094560 0.377990 3 0.055456 -0.195876 0.203575 4 0.087232 0.145022 0.169236 5 -0.076651 0.043299 0.088035 6 -0.019011 -0.032018 0.037237 7 -0.010290 0.049478 0.050537 8 -0.067932 0.063112 0.092724 9 -0.000503 0.012022 0.012033 10 0.013116 0.013741 0.018996 смогли найти простую динамическую интерпретацию для Fr, которая ха¬ рактеризует точность нашей модели (2.3): « 0.030; ^ 7 « 3.5 х 1<Г4; {(At,)2)1/2 « 14 дней. (2.5) Здесь At — это погрешность «предсказания» следующего (предыдущего) времени прохода перигелия.
120 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов с Рис. 2. Возмущение кометы Галлея, оказываемое Юпитером (а), Сатурном (b) и остаточное возмущение (с). Сглаженные кривые являются аппроксимацией Фурье, прямые линии являются пилообразной аппроксимацией Во время последовательных аппроксимаций Fj, Fs параметры Pj и rs, так же как и число гармоник Фурье, были также оптимизированы с помо¬ щью минимизирования невязки (F^). Любопытно, что оптимизация очень чувствительна к значению Pj и эмпирическая погрешность для этого пара¬ метра модели составляет всего 0.01 дня, что примерно равно 15 минутам! Аналогично относительная погрешность эффективной частоты Сатурна rs имеет порядок ~ 10-6. Разработанная модель (2.3) вместе с эмпирическим возмущением (та¬ блица 2) — это не более чем физически значимая интерполяция начальных данных tn. Кроме аппроксимации возмущений с помощью рядов Фурье, была так¬ же использована более простая «пилообразная» аппроксимация, при кото¬ рой каждая из функций Fj(x), Fs{y) представляется двумя прямыми ли¬
Хаотическая динамика кометы Галлея 121 ниями, как показано на рис. 2. В качестве амплитуд и положений вершин были выбраны следующие значения: Aj = 6.35 х 10“3; ж+ = 0.552; = 0.640; 2dj = х- — х+ = 0.088; 2ds = у- — — 0.080. Естественно, что точность последней аппроксимации намного хуже (ср. с (2.5)): Следует упомянуть, что динамика двумерного отображения с «пилооб¬ разным» возмущением, аналогичным отображению (2.3), была ранее изуче¬ на в работах [5, 6], см. также [16, 4]. Неожиданно сильная фазовая зависимость возмущения (рис. 2) объ¬ ясняется относительно тесными сближениями кометы и планет вследствие малого угла наклонения орбиты кометы г (sin г « 0.3). Возможны два сбли¬ жения на малые расстояния за период, причем оба соответствуют прибли¬ зительно тем же самым фазам хну. Напомним, что мы определили фазу возмущения во время прохода перигелия, тогда как на самом деле само возмущение происходит в другой момент. Самое тесное сближение соот¬ ветствует некоторой «фазе сближения» хс « 0.60. Благодаря приближенной симметрии сближения величина Fj(xc) « 0. Фаза сближения Сатурна рав¬ на ус « 0.35. Предполагая, что Юпитер и комета движутся прямолинейно и рав¬ номерно под прямым углом друг к другу на очень близком расстоянии (sin г С < 1), можно показать, что внутри некоторой окрестности хс, включающей оба максимума \Fj\, выполняется следующее простое анали¬ тическое соотношение для возмущения: As = 1.05 х 10~3; у+ = 0.305; у- = 0.385; (2.6) 1.2 х 10~3; <(Д()2)1/2 и 50 дней.
122 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов Численные значения приведены для кометы Галлея. Они находятся в хо¬ рошем соответствии с уравнениями (2.6) и еще лучше согласуются с бо¬ лее точной аппроксимацией Фурье, представленной на рис. 2а, для кото¬ рой Aj « 0.0059, a dj « 0.062. Однако следует отметить, что эмпирическая функция Fj(x) немного асимметрична относительно фазы хс « 0.60. Для возмущения Сатурна в уравнении (2.7) меняются только значения фазы ус и амплитуды As, а именно: % = iSs = 0Л63' <2'8) где /is, as — это масса Сатурна и радиус его орбиты. Для данных на рис. 2 имеем As/Aj «0.175. Другие планеты, а также негравитационные силы (см. [23,15]) оказыва¬ ют возмущение, сравнимое с остаточным возмущением (5): ((F|)j(Fj))1/2 « 0.025 [7]. Последнее, конечно, включает в себя влияние некоторых аппроксимаций модели, в частности предположение о том, что орбиты Юпитера и Сатурна — круговые. При малых w возмущение F(x) почти не зависит от w (см. (2.7)), т. к. обмен энергией с Юпитером определяется «локальной» (оскулирующей) скоростью кометы г’2 « 2 ^ ги. Именно это определило выбор величины w в качестве динамической переменной нашей модели. 3. Локальная неустойчивость движения Сильная локальная неустойчивость движения — экспоненциальное раз- бегание близких траекторий — является, как хорошо известно, простейшим и самым надежным критерием для определения динамического хаоса, по крайней мере, в численных экспериментах [16, 24, 4]. Мы исследовали эту неустойчивость с помощью линеаризованных уравнений модели (2.3) (только для возмущения Юпитера): 6wn+i = 5wn + F'(x^)Sxn, (3 1) S Xji~\~\ — где (Xn’wn) ~ эт0 заданная траектория, a (5xn, Swn) — касательный вектор 1. Динамика вектора 1 определяется показателями Ляпунова (3-2)
Хаотическая динамика кометы Галлея ] 23 Для двумерного отображения энтропия Колмогорова-Синая равна А = h. Динамический хаос возникает при условиях, что h > 0 или А > 0. Собственные значения матрицы (3.1) удовлетворяют условию А1А2 = = 1. Обозначим наибольшее по модулю собственное значение через Ап; оно будет зависеть от порядкового номера итерации п. В этом случае, опуская нулевой верхний индекс для заданной траектории, имеем: In Ап = | In |1 - кп + \Д2 - 2fcn||; кп = | w-l{2F'(xn). (3.3) В случае пилообразной аппроксимации (2.6) имеем: кп. — ^ ; 0.552 <хп< 0.640, Wn 0.0104 5/2 Wn! для других значении. (3.4) Для значения wn = w 1 ~ 0.3 неустойчивость возникает только внутри фазо¬ вого интервала, определяемого первой строкой соотношения (3.4) в окрест¬ ности фазы сближения Хс « 0.60, где Ап « 6.2. Мы будем называть такие фазы неустойчивыми. Для других х значения An = 1. Используя соотноше¬ ния (3.3) и (3.4), мы приходим к выводу, что для wn < wcr w 0.12 (3.5) все фазы становятся неустойчивыми, т.к. |fcn| > 2. В этой фазовой обла¬ сти присутствует только настоящий хаотический компонент движения. На¬ оборот, при w > wcr большие области устойчивого движения появляются в окрестности неподвижных точек отображения (2.3): w = wm « 7П-2/3; х = Xf,Fj(xf) = 0, Fj(xf) > 0, где т — произвольное целое число (рис. За). Период колебаний около непо¬ движной точки равен Рт « 27гт1/6[(1 — 2dj)/3Aj}1/2 « 700 лет (для пило¬ образной аппроксимации). Остатки периодичности сохраняются в хаотиче¬ ской компоненте. Они были замечены и описаны в [23, 14]. В фазе хс (2.7) тоже есть неподвижные точки, хотя все они неустойчивы, т. к. Fj(xc) < 0. В области w > wcr неустойчивость движения растет только внутри уз¬ кого интервала неустойчивых фаз (3.4). Пусть p(w) — вероятность того, что
124 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов 0.35 Отображение Галлея 0.20 0.35 Отображение Галлея 0.20 ■sMfcfc?***! 1.0 Рис. 3. Фазовая траектория отображения (2.3) в пилообразной аппроксимации (2.6). Начальные условия (помечены крестиками) w\ = 0.29164; х\ — 0 (в 1986 году, см. таблицу 1): (а) возмущение только Юпитера, N = 1.5 х 105 итераций; (6) возмущения, оказываемые Юпитером и Сатурном, N = 4000 траектория проходит через неустойчивый фазовый интервал. Численное мо¬ делирование при w ~ 0.3 дает: h « 0.26 и р ^ 0.19. Следует отметить, что вероятность р значительно превышает ширину интервала 2dj = 0.088 (2.6). Это явление объясняется уменьшением в этой области хаотического компо¬ нента за пределами неустойчивого фазового интервала вследствие больших устойчивых областей, располагающихся там (рис. За). Движение кометы постепенно изменяется, если «включается» возму¬ щение Сатурна (рис. 36). Заметим, что при включении возмущения Сатурна, точка фазовой плоскости (х, w) не определяет больше траекторию полно¬ стью, т.к. теперь она также зависит от фазы Сатурна у. Другими слова¬ ми, плоскость на рис. 36 — это двумерная проекция трехмерного фазового пространства отображения (2.3) (см. §2). Поскольку возмущения Сатурна учтены, области устойчивости значительно уменьшаются, но продолжают существовать. Это приводит к уменьшению вероятности до р « 0.13, а еле-
Хаотическая динамика кометы Галлея 125 довательно, и энтропии до h « 0.16, в то время как неустойчивое соб¬ ственное число Л « 6.2 остается почти постоянным. Последнее свойство объясняется слабым влиянием Сатурна на параметр к в уравнении (3.3). В противоположность этому возмущение, вызванное Землей, будучи относительно слабым, тем не менее полностью преобладает при тесном сближении с кометой, т.к. возмущение сосредоточивается на очень уз¬ ком интервале фазы Земли г. Дестабилизирующее влияние тесных сбли¬ жений с Землей хорошо известны из численного моделирования траек¬ торий комет [23, 3, 15]. Однако вклад Земли в энтропию несуществе¬ нен [7]. Внутри областей устойчивости движение является квазипериодиче- ским, т. е. имеет дискретный спектр, и изменение w строго ограничено и ма¬ ло, а энтропия h = 0. Интересен тот факт, что текущее значение энергии кометы Галлея только на 3% больше энергии ближайшей области устой¬ чивости. Однако остаточные возмущения Fr делают существование таких областей сомнительным. 4. Оценка ошибки при численном моделировании хаотической траектории Локальная неустойчивость движения кометы Галлея является причиной ее хаотического поведения, в частности, по диффузии энергии (§§5,6). Кро¬ ме того, неустойчивость резко ограничивает возможности экстраполяции траектории кометы для движения как в будущем, так и в прошлом. Наибо¬ лее чувствительным к ошибкам является время перехода через перигелий tn или фаза возмущения хп. Обычно в работах по численному моделированию динамики комет описаны только ошибки для tn [23, 12, 3, 15]. С другой стороны, погрешности величины хп значительно меняют движение коме¬ ты, т. к. траектория может переходить из устойчивой фазы в неустойчивую и наоборот. Определим ошибку следующим образом: &Хг, 5хо (4.1) Данный показатель описывает рост фазовых ошибок в течение т оборотов движения кометы. Для т 1 средний показатель ошибки соотносится с энтропией сле¬ дующим образом (§3): /т » еНт. (4.2)
126 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов Предположим, что наибольшая допустимая ошибка \5хш\ имеет поря¬ док dj ~ 0.05, \5tm\ ~ 200 дней (половина неустойчивого фазового ин¬ тервала, см. (2.6)). В этом случае экстраполяция ограничивается значением Next « Jin ЛЦ « —6.31п|5х0| - 19. (4.3) h |да;о| Число растет только логарифмически вместе с точностью моделирова¬ ния |feo|. В (4.3) мы используем значение h = 0.16. Предполагая, что эффективная начальная ошибка |<$жо| ~ 5 х 10-4, \Sto\ ~ 2 дня (см. ниже), мы получаем Next ~ 29 оборотов. Полученная оценка — достаточно грубая вследствие больших колеба¬ ний в течение относительно малого времени, особенно из-за узкого интер¬ вала неустойчивых фаз. Более точная оценка для показателя ошибки может быть получена следующим образом. Рассмотрим линеаризованное отображение (3.1) на некотором интерва¬ ле (£n, tm), используя «истинную» орбиту (таблица 1) в качестве опорной траектории. В этом случае показатель ошибки может быть оценен внутри этого интервала как наибольшее собственное значение соответствующей трансфер-матрицы /п>т ~ АП)Ш. Величина (In Ап,т)/(т — = ^п,т опи¬ сывает «текущую» энтропию на этом интервале (tn,tm)- Например, /?4,4б — = 0.24, что значительно превышает среднее значение h = 0.16. Последнее достигается на более продолжительном интервале времени. Первое из двух значений может сравниваться с величиной h — 0.30, которая измерена с по¬ мощью отображений (2.3) и (3.1) для 50 оборотов кометы. Так как погрешности линеаризованного отображения также растут экс¬ поненциально, трансфер-матрица лучше оценивается с помощью перемно¬ жения матриц каждой итерации, а не численного итерирования отображе¬ ния (3.1). В качестве частного примера оценим точность экстраполяции для тра¬ ектории кометы Галлея в [23]. Главные параметры этой траектории были определены по моментам появлений кометы в 1759, 1682 и 1607 годах. Однако наиболее чувствительной к ошибкам величине tn было приписано значение, наблюдавшееся в 837 году (п = 16). Поэтому последнюю дату мы выбираем в качестве начала экстраполяции при оценке Ai6,m- Эти значения изображены на рис. 4 для т — 17 — 46 (крестики), что соответствует экстра¬ поляции назад до —1403 года в [23]. Особенной чертой этой зависимости является достаточно долгий интервал устойчивого движения (А = 1, т = = 17 — 29, исключая А] 6,25 = 1.89), за которым следует достаточно резкая неустойчивость. Следует отметить, что самые ранние надежные наблюде¬ ния кометы Галлея приходятся непосредственно на интервал устойчивости
Хаотическая динамика кометы Галлея 127 Рис. 4. Показатель ошибки / при экстраполяции хаотической траектории кометы Галлея (с 837 до —1403 года). Зависимость \n(\Strn\/Stin) = 1п/ от т = 17 — — 46 показана в соответствии с [23] (квадраты), [15] (ромбы); наша модель (2.3) (окружности) и lni6,m (крестики), (см. текст) (в —86 году, т — 28, [23]). Предыдущее наблюдение в —163 году (т = = 29), определенное с некоторой точностью в [20], располагается вблизи начала области неустойчивости (см. рис. 4). Другими словами, надлежа¬ щая экстраполяция, в отсутствии любых данных наблюдения, попадает на неустойчивую часть траектории. На конце экстраполяции ошибка составля¬ ет /i6,44 ~ ^16,44 ~ 700. Поскольку существует начальная ошибка, равная Stin, естественно предположить существование ненулевого среднеквадратического отклоне¬ ния вычисленных trn от соответствующих значений внутри интервала устойчивости т = 17 — 28. Используя данные таблицы 5 из [23], мы получаем, что Stin — 2.7 дней. На границе интервала экстраполяции ошибка |<5^441 « <ftm/i6,44 ~ 5 лет становится чрезмерно большой. По¬ этому экстраполяция сохраняется только вплоть до т = 35 (—615 год), здесь |^351 ~ 200 дней. Для проверки этих оценок мы провели подобную экстраполяцию с на¬ шей моделью (2.3) с помощью аппроксимации Фурье и с учетом возму¬ щения Сатурна. Мы слегка скорректировали значение для того чтобы уменьшить величину 5t2$ (в 141 году), так же как это было сделано в [23].
128 Б. В. Чириков, В. В. Вячеславов В действительности в упомянутой работе был исправлен эксцентриситет, но любопытно, что оба относительных изменения оказались очень близки¬ ми: |Д£|/(1 - е) « \Aw\/w « 2.2. х 10~4. Начальная ошибка для нашей модели, вычисленная тем же способом, что и ранее, Stin ~ 19 дней, на¬ ходится в разумном соответствии со среднеквадратической точностью (2.5) и только в 7 раз больше ошибки из [23]. Смоделированные значения ве¬ личины \n(\Stm\/Stin) представлены на рис. 4 окружностями, они хорошо показывают «внезапный взрыв» неустойчивости. Проведенный нами анализ объясняет удивительную сильную расходимость различных экстраполяций орбит кометы Галлея до --86 года, описанную недавно в [20] (см. рис. 2). Наконец, можно сравнить траекторию кометы в [23] с недавними вы¬ числениями в [15], например, таблица 8, пример I. Этот результат пока¬ зан на рис. 4 ромбами. Среднеквадратическая разность между обеими тра¬ екториями внутри области устойчивости составляет 8tin = 0.9 дней. На границе экстраполяции траектории в работе [15] показатель ошибки до¬ стигает значения /16,33 ~ ^16,зз ~ 30, и различие траекторий становит¬ ся \8tss\ ~ 27 дней. Почему для конечного варианта траектории кометы, представленного в таблице 9, в работе [15], различие траекторий составля¬ ет приблизительно один день — остается для нас загадкой. Так или иначе, все вышеуказанные данные определенно указывают на быстрый рост ошибок экстраполирования в рассматриваемом интервале времени. Это можно объяснить некоторыми трудностями в согласовании данных наблюдений в —465 и —617 годах с экстраполированными траекто¬ риями кометы Галлея, как было упомянуто в [15]. Следует подчеркнуть, что рост ошибки в нашей модели связан с воз¬ мущением, оказываемым только Юпитером (и Сатурном), без учета какого- либо вклада Земли, который увеличил бы погрешности еще больше. Упо¬ мянем, что неустойчивость движения и рост ошибки в простой модели трех тел были отмечены в [14] и явно следуют из результатов [18]. Для сравнения обратим внимание, что вычислительная точность для устойчивого (квазипериодического) движения планет Солнечной системы на том же самом интервале времени эквивалентна St ~ 1 день и слабо зависит от времени (см., например, таблицу 2 в [23]). В противоположность экстраполяции интерполяция хаотической тра¬ ектории дает намного более точные результаты. В частности, это демонст¬ рируется удивительно малыми ошибками нашей достаточно простой моде¬ ли (2.3). Как ни странно это может показаться на первый взгляд, интер¬ поляция тем проще (необходимы меньшие изменения начальных условий и/или параметров системы), чем сильнее локальная неустойчивость дви¬
Хаотическая динамика кометы Галлея 129 жения. Именно свойство структурной устойчивости хаотической динамики обеспечивает устойчивость статистического описания. Отметим, что большая абсолютная погрешность величины tn для вы¬ численной траектории кометы в [23] не мешает нам использовать эту тра¬ екторию для воссоздания возмущения F(x) в §2. Дело в том, что нам необ¬ ходимы только три последовательных значения tn, и точность воссоздания зависит от ошибок траектории на двух оборотах кометы. 5. Локальная скорость диффузии хаотического движения Будучи хаотической составляющей движения кометы, возмущение F(x) вызывает диффузию w. Если фазы возмущения хп были бы не только слу¬ чайными (которыми они являются вследствие локальной неустойчивости), но также статистически независимыми (которыми они в общем случае не являются, несмотря на случайность), то в этом случае скорость диффузии определялась бы просто с помощью среднеквадратического возмущения (см., например, [16, 24]): D = ((А^)2) = D0 = ((A F2(x)) 10-5. (5.1) Этот предельный случай сохраняется при w <С wcr, когда все фазы неустой¬ чивы (§3). Здесь вклад Сатурна пренебрежимо мал (А^/А2 « 0.03). С ростом w энтропия уменьшается (3.3), что приводит к корреляции по времени и замедлении диффузии. Это свойство становится особенно значимым для w > wcr вследствие формирования областей с регулярным движением (рис. 3). Таково положение дел для текущего значения w\ « 0.3. Мы численно измерили локальную (малое изменение w) скорость диффузии с помощью усреднения свыше 1024 траекторий на 46 итерациях, каждая их которых имела немного отличающиеся начальные условия. Для аппроксимации Фурье скорость равна D(w\) ~ 5.6 х 10_6, а для пилооб¬ разной апроксимации 6.0 х 10_6. Это приблизительно в два раза меньше, чем Do (5.1). «Выключение» возмущения Сатурна отчасти уменьшает диф¬ фузию (4.4 х 10~6) благодаря более сильной корреляции. Остаточное воз¬ мущение Fr (§2) в форме случайного шума с тем же среднеквадратическим отклонением не меняет скорости: 5.5 х 10_6 (аппроксимация Фурье). Наконец, мы непосредственно использовали данные таблицы 1 из [23], что эквивалентно одной траектории в предыдущем методе. В результате был получен сходный результат: 7.4 х 10~6.
130 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов Упомянем также, что для больших w скорость диффузии падает, на¬ пример, D(0.7) « 2.7 х 1СГ6. 6. Общая динамика кометы Галлея Простая модель (2.3) не учитывает никакие другие орбитальные пара¬ метры, кроме w, и поэтому ее прямое приложение ограничено относительно коротким интервалом времени. Наиболее значимое влияние, по-видимому, имеет периодическое пере¬ сечение орбит Юпитера и кометы вследствие прецессии перигелия с пери¬ одом Np « 440 оборотов кометы (см. [23]). Это приводит к значительному уменьшению минимального расстояния s между Юпитером и кометой по сравнению с текущим значением si = sin г « 0.3. Как результат, во время единственного сближения с Юпитером на очень малое расстояние может произойти быстрый выброс кометы за пределы Солнечной системы. Грубая оценка для средней продолжительности выброса кометы оказывается поразительно долгой и превышает продолжительность диффу¬ зии (см. ниже). Упомянем, что вероятность для кометы упасть на Юпитер остается все же примерно в 100 раз меньше. С другой стороны, скорость диффузии имеет тот же порядок, несмотря на пересечение орбит [7]. Другое упущенное влияние, которое является важным для общей динамики — это, очевидно, диффузия наклонения г, т.к. возмущение F(x) ос (sinг)-1 (2.7). Грубая оценка, полученная для данных в работе [23], таблица 4 (см. [7]), показывает, что, хотя диффузия г едва ли может быть полностью отброшена, по-видимому, она не меняет порядок величины для времени жизни кометы в Солнечной системе, особенно ввиду больших ко¬ лебаний последней (см. ниже). Для пилообразной аппроксимации соответствующая хаотическая ком¬ понента не ограничена для w вследствие медленного затухания гармо¬ ник Фурье-возмущения [4]-[6]. Для получения более гладкого возмуще¬ ния хаотическую компоненту ограничивают сверху: w < Wb. Все же это ограничение намного больше, чем w\ « 0.3, и поэтому здесь оно не так важно. Численное моделирование показывает, что по меньшей мере Wb > 0.6, Рь < 25.5 лет. Важно то, что хаотическая компонента распро¬ страняется вплоть до w = 0, т. е. комета уходит из Солнечной системы по гиперболической орбите. (6.1)
Хаотическая динамика кометы Галлея 131 При аппроксимации (5.1), не зависящей от фазы, продолжительность диффузии кометы была бы равна: ~ fr * (6-2) А> A2j что намного меньше, чем продолжительность выброса: No/Nej &2dj ^0.1. Отметим, что, хотя соотношение (6.1) для Nej указывает на «появление диффузии», оно не обязательно связано с каким-либо хаотическим движе¬ нием, и оно сохраняется также для регулярных траекторий при условии, что фаза х меняется на всем интервале, т. е. происходит вращение. Диффузия продолжается вплоть до wmin ~ Aj « 0.006, что соответ¬ ствует периоду кометы РШах ~ 2.6 х 104 года и афелию 2атах ~ 1700 а.е. Мы провели численные моделирования общей динамики, используя 40 траекторий отображения (2.3) с начальными условиями из таблицы 1. Вследствие локальной неустойчивости все эти траектории быстро расхо¬ дятся и показывают абсолютно разные значения времени жизни: 1374 ^ No < 105; 5.3 х 105 ^ ^(годы) < 2 х 107. Рассеяние происходит вследствие больших колебаний диффузии, особенно при w > wcr. Пример полной фазовой траектории, спроецированной на плоскость (х, w) представлен на рис. 5а. Средняя продолжительность диффузии кометы равна Nd « 1.8 х 104; to ~ 3.9 х 106лет, средний период равен Ро = to/Nd ~ 220 лет, а средняя скорость об¬ щей диффузии Dq & w\/No ~ 5 х 10-6. Последняя близка к локальной скорости диффузии (§5). Общая диффузия продолжается главным образом при уменьшении w из-за увеличения D(w) в этом направлении. Время жизни кометы, в отличие от локальной скорости диффузии, не¬ посредственно зависит от относительно слабого возмущения Сатурна. Если оно «выключено», время жизни достигает No ~ 6 х 105 (to ~ 6 х 107 лет), т. е. увеличивается примерно в 20 раз, вследствие долговременного «залипания» траектории на некоторых узких слоях w. При этих условиях даже слабое дополнительное возмущение может значительно изменить вре¬ мя жизни. Отметим, что средний период кометы Ро ~ 100 лет остается близким к начальному: Pi « 76 лет.
132 Б. В. Чириков, В. В. Вгчгславов 1.0 Отображение Галлея Рис. 5. Дна примера общей динамики кометы Галлея в модели (2.3), ЛД » 4.1 х 10 , /о ~ Го х 10° лет (а); е переменным негравшационным ускорением (6.3), F = = 3 х 10-5. =-- 10я, Nod ~ 3.1 х 105, lDd « 2.1 х 107 лег (Ь) Так кая диффузия распространяется симметрично в обоих направлени¬ ях времени, полное время пребывания в Солнечной системе в два раза боль¬ ше, т. с. равно 2 ЛД. Безусловно, действительное время жизни кометы может быть определено с помощью совсем других физических процессов, напри¬ мер, проело по ее испарению. Недавние данные в работе [2] указывают, что время испарения может соответствовать времени Nei) ~ 4000 оборотов. Однако не су лествуст подобных ограничений при движении в прошлом. Другой пажный эффект — это систематическое изменение w (дрейф). Физическая причина дрейфа — так называемое нормальное нсгравитаци- онное ускорение (сила), связанное с испарением вещества кометы вблизи Солнпа [I 7 ф Используя последние данные о параметрах негравитационных сил [1 2И 15 J, мы находим
Хаотическая динамика кометы Галлея 133 в обратном времени. Для движения в будущем условие F < 0 при¬ вело бы к тому, что комета покидает Солнечную систему после око¬ ло Nd « wi/F яз 104 оборотов, что немного быстрее, чем Nd ~ 1.8 х 104. Сочетание диффузии и дрейфа уменьшило бы время жизни еще больше; численно NdcL ~ 6600. Упомянем, что фазовый объем меняется (диссипативно) — это неизбеж¬ но связано с дрейфом — тем не менее намного меньше, так что можно пока¬ зать, что соответствующее время Ndls имеет порядок Ndls/Nd (■qw) 1 30, где q ~ 0.6 а. е. ~ 0.12 является расстоянием перигелия кометы. Следова¬ тельно, отображение (2.3) может рассматриваться как каноническое даже с учетом дрейфа. Влияния дрейфа намного сильнее для движения в прошлом (F > 0). В этом случае изменение w в конечном итоге определяется только дрейфом, т. е. w непрерывно растет по прошествии некоторого времени, потому что скорость диффузии резко уменьшается с ростом w (§5). Теперь учтем возможные изменения во времени негравитационных сил. Например, испарение могло бы быть причиной уменьшения массы кометы, что увеличивает негравитационное ускорение. Естественная шка¬ ла времени для этого процесса соответствовала бы времени испарения за Nev « 4000 оборотов кометы [2]. По этой причине мы изменили уравне¬ ние дрейфа следующим образом (обратное движение, F> 0): ^ ^— = F(ri). (6.3) dn i _L_ _Л_ v ' v ' Nev Уменьшение скорости дрейфа F с ростом п приводит постепенно к чисто диффузионному движению. Все же время жизни кометы значительно растет по сравнению с временем без учета дрейфа. Это происходит благодаря тому, что, хотя дрейф и уменьшается, тем не менее остается достаточно време¬ ни, чтобы комета перешла к большему значению w, при котором скорость диффузии резко падает (§5). В соответствии с результатами численного моделирования, время жиз¬ ни, полученное из уравнения (6.3), равно Nod ^ 6 х 105. Даже при умень¬ шении Nev до 103, среднее время жизни Nod ~ 1-4 х 105 все еще на¬ много больше, чем Nd ~ 1.8 х 104. Пример траектории последнего типа с NDd « 3.1 х 105 представлен на рис. 56. При таких условиях изменение наклонения г, так же как одиночный выброс кометы Юпитером (6.1), может играть важную роль. Даже хотя модели негравитационных сил, использо¬ ванные выше, особенно уравнение (6.3), остаются очень приблизительны¬ ми, из нашего численного моделирования совершенно ясно, что их влияние на общую динамику и время жизни кометы Галлея является существенным.
134 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов 7. Заключение Достаточно простая модель динамики кометы Галлея, предложенная в настоящей работе, позволяет изучать существенные характеристики ее кратковременной и долговременной эволюции для обоих направлений вре¬ мени. Численные исследования, а также аналитические вычисления пока¬ зывают, что движение кометы хаотическое, и позволяют нам оценить рост ошибки при экстраполяции траектории. Вновь необходимо подчеркнуть, что рост средней ошибки обусловлен главным образом возмущением Юпи¬ тера, а не сближениями кометы с Землей, как это общепринято (см., напри¬ мер, [23, 15]). Аналогично для каждой хаотической траектории рост средней ошибки во времени имеет экспоненциальный, но не степенной закон, как это иногда предполагается. Увеличение вычислительной точности помогает, следовательно, только на малом интервале времени, что легко проверяется небольшим изменением начальных условий или обращением времени. Хаотическая (не периодическая) природа движения является одной из важных характеристик, и мы предлагаем выделить для нее специальный символ X (например, Х/Галлей вместо П/Галлей) как предупреждение про¬ тив недооценки ошибок экстраполяции хаотической траектории. Поскольку хаотическое движение имеет непрерывный временной спектр, так называемый «циклический метод», т. е. поиск соизмеримостей в движении кометы, Юпитера и Сатурна [13] полностью здесь неприем¬ лем. Здесь на первый план выдвигается качественное отличие хаотического движения от регулярного (квазипериодического), как, например, движение планет, где этот метод успешно используется. Напомним читателю, что воз¬ мущение в нашей модели является регулярной (квазипериодической) функ¬ цией времени. Динамический хаос приводит к диффузии орбиты кометы в обоих на¬ правлениях времени, так что в конечном итоге комета может оказаться за пределами Солнечной системы. Численные моделирования показывают, что время пребывания кометы Г аллея в Солнечной системе значительно зависит от слабых негравитационных сил, действующих непосредственно на комету вблизи Солнца. Интересно, что повторяющиеся пересечения орбит планет и кометы лишь незначительно влияют на время жизни кометы. Вычислен¬ ное время пребывания кометы в Солнечной системе (N ~ 105; t ~ 10' лет) оказывается намного меньше, чем космологическая шкала времени, что ставит серьезную задачу, связанную с началом координат. В этой связи мы хотели бы привлечь внимание к тому факту, что вышеуказанное время имеет величину того же порядка, что и период предполагаемых кометных дождей из облака Оорта, предсказанных в [11].
Литература 135 Мы признательны за интересное обсуждение вопросов Ф. М. Израиле¬ ву и Д. Л. Шепелянскому, а также за полезные комментарии и замечания от М. Грувинга, С. Д. Мюррея и Д. К. Йеманса. Литература [1] Арнольд В. И. // Докл. Акад. Наук СССР. - 1964. - Т. 156. - С. 9. [2] Боярчук А. А., Гринин В. П., Зверева А. М., Петров П. П., Шейхет А. И. // Письма в астрономический журнал. — 1986. — Т. 12. — С. 696. [3] Brady J. L., Carpenter Е. // Astron. J. - 1971. - Vol. 76. - P. 728. [4] Chirikov В. V. // Phys. Reports. - 1979. - Vol. 52. - P. 263. [5] Chirikov В. V., Keil E., Sessler A.M. // J. Stat. Phys. - 1971. - Vol.3. - P. 307. [6] Chirikov В. V., Izrailev F. M. In: Collogues Intern, du CNRS, (Toulouse, 1973). - Paris. - 1976. - №229. - P. 409. [7] Чириков Б.В., Вечеславов В. В. // препринт INP 86-184. — Новоси¬ бирск, СССР, 1986. [8] Everhart Е. // In: Asteroids, Arizona, 1979. [9] Froeschle С., Scholl H. // Astron. Astrophys. — 1981. — Vol. 93. — P. 62. [10] Гонтковская В. Т., Чеботарев Г. А. // Астрономический журнал. — 1964. - Т. XXXVIII. - № 1. - С. 125. [11] Hut P., Alvarez W., et al. // Nature. - 1987. - Vol. 329. - P. 118. [12] Калюка Ю. Ф., Тарасов В. П., Тихонов В. Ф. // Письма в астрономиче¬ ский журнал. — 1985. — Т. 11. — С. 788. [13] Kamienski М. // Acta Astron. - 1962. - Vol. 12. - P. 227. [14] Kiang T. // In: Dynamics of the Solar System, IAU Symp. — 1979. — № 81. — Dordrecht, Holland. — P. 303. [15] Landgraf W. // Astron. Astrophys. - 1986. - Vol. 183. - P. 246.
136 Б. В. Чириков, В. В. Вечеславов [16] Lichtenberg A. J., Lieberman М. A. Regular and Stochastic Motion. — Berlin: Springer, New York: Heidelberg, 1983. Русский перевод: Лих- тенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1983. [17] Marsden B.C., Sekanina Z., Yeomans D.K. // Astron. J. — 1973. — Vol. 78. - P. 211. [18] Petrosky T. Y. // Phvs. Lett. - 1986. - Vol. A117. - P. 328. (См. работу 4 этого сборника) [19] Sagdeev R. Z., Zaslavsky G. M. // Nuovo Chimento. — 1987. — Vol. 97B. — №2.-P. 119. [20] Stephenson F. R., Yau К. К. C., Hunger H. // Nature. - 1985. - Vol. 314. - P. 587. [21] Wisdom J. // Astron. J. - 1980. - Voi. 85. - № 8. - P. 1122. [22] Wisdom J., Peale S., Mignard F. // Icams. — 1983. — Vol. 58. — P. 137. [23] Yeomans D. K., Kiang T. // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. — 1981. — Vol. 197. - P. 633. [24] Заславский Г.М. Cm охает ичностъ динамически, с систем. М.: Наука, 1984. Чириков Борис Валерианович Адрес: Институт ядерной физики, проспект академика Лаврентьева 11, 630090, Новосибирск, Россия email: B.V.Chirikov@inp.nsk.su Вечеславов Витольд Владимирович Адрес: Институт ядерной физики, проспект академика Лаврентьева 11, 630090, Новосибирск, Россия email: V.V.Vecheslavov@inp.nsk.su
6 Измерение хаоса с помощью численного анализа фундаментальных частот. Приложение к стандартному отображению1 Ж. Ласкар, К. Фрошле, А. Челлетти Метод исследования хаотического поведения динамической системы с помощью численного анализа фундаментальных частот разрабо¬ тан для изучения устойчивости Солнечной системы [5] и представ¬ лен здесь с приложением к стандартному отображению. Этот метод хорошо подходит к слабо хаотическому движению с любым числом степеней свободы и основан на анализе вариаций с течением време¬ ни фундаментальных частот гамильтоновой системы. Он позволяет получить аналитическое представление решения, когда оно является регулярным, позволяет определить, является ли орбита хаотической за более короткий промежуток времени, чем при использовании по¬ казателей Ляпунова, а также позволяет получить оценку размера зон хаоса в пространстве частот. Частотный анализ также позволяет по¬ лучить численный критерий для разрушения инвариантных кривых. Его приложение к стандартному отображению показывает, что «золо¬ тая» кривая перестает существовать при а = 0.9718, что очень близко и сравнимо со значением Грина ас = 0.971635. 'Laskar J.. Froeschle С., Celletti A. The measure of chaos by the numerical analysis of the fundamental frequencies. Application to the standard mapping. Physica D. — 1992. — Vol. 56. — P. 253-269. Перевод с английского А. Г. Арзамасцева.
138 Ж. JIаскар, К. Фрошле, А. Челлетти 1. Введение Для анализа хаотического движения Солнечной системы Ласкар [5] разработал новый метод для измерения хаоса, который очень хорошо под¬ ходит для слабо хаотического движения с большим числом степеней свобо¬ ды. Этот метод, основанный на анализе вариаций фундаментальных частот с течением времени, позволяет получить аналитическое представление ре¬ шения, когда оно регулярно, позволяет определить, является ли решение хаотическим за меньший промежуток времени, чем метод показателей Ля¬ пунова, и также позволяет получить оценку размера зон хаоса. Этот ме¬ тод впервые был применен для изучения векового движения Солнечной системы в течение более 200 миллионов лет, которая является очень слож¬ ной системой с 15 степенями свободы. Однако этот метод, который может быть применен к широкому кругу случаев, еще не был полностью описан. Все приложения метода в этой работе будут применены к стандартному отображению [1,4], которое имеет только две степени свободы, и мы пола¬ гаем, что этот простой пример позволит выявить всю мощь используемого метода. 2. Частотный анализ В этом параграфе описывается алгоритм, который используется для определения фундаментальных частот численных решений динамической системы. Реализация этого алгоритма на компьютере будет обозначаться в последующих параграфах через ЧАФЧ (численный анализ фундаменталь¬ ных частот). По сравнению с простым быстрым преобразованием Фурье на том же временном интервале этот алгоритм увеличивает точность опреде¬ ления фундаментальных частот на несколько порядков величины. Эта улуч¬ шенная точность будет иметь решающее значение при анализе поведения динамических систем (§3). 2.1. Анализ квазипериодического движения Начнем с очень простого случая периодической функции f(t)=aeil/\ (2.1) где а — комплексная амплитуда. Мы будем предполагать, что у нас есть таблица значений этой функции с размером шага h на временном интер¬ вале [ТЬТ2]. Мы также будем предполагать, что h настолько мало, что
Измерение хаоса 139 мы можем с большой точностью вычислять интегралы от /(£) на интер¬ вале [ТЬТ2]. То есть искажения функции не происходит, и мы можем ис¬ пользовать, к примеру, метод Харди для вычисления интегралов. Поэтому на интервале [Ti, Т2] функции будут рассматриваться как гладкие функции, а не как дискретные выборки. Задача заключается в нахождении аналитической формы /, зная только табличные данные и тот факт, что функция является квазипериодической. Мы можем сначала вычислить ее ряд Фурье. Простой заменой переменных мы получим более симметричное выражение без потери общности. Ряд Фурье функции /, который, таким образом, предполагается периодическим с периодом 2Т, задается формулой жденное ортогональными векторами (en(t) = e_m^7r/T^)nGz- Это обычное разложение Фурье-функции /. Это представление сильно отличается от ис¬ ходного выражения для /, если v отлично от целого кратного щ = тг/Т. Значения коэффициентов сп могут быть легко вычислены: T = ±(T2-Tl), t’ = t-±(T1+T2) (2.2) — оо где т (2.3) -т Обозначим обычное скалярное произведение через т (2.4) -т Функция / — ортогональная проекция / на векторное пространство, поро- Сп = a{eil,t,ein^/T)t) = а<е^-П7г/т>‘, 1) т. е. sin(^ — птг/Т)Т £'П ~ & 7~~ZZ (.v — пж/Т)Т (2.5)
140 Ж. Ласкар, К. Фрошле, А. Челлетти _ sin(27nr) Рис. 1. Функция f(x) = В общем случае ни один из этих коэффициентов не будет нулевым, и пос¬ кольку частота птг/Т соответствует максимальной амплитуде сп, то опре¬ деление фундаментальной частоты / позволит определить v лишь с точно¬ стью щ = к/Т. В действительности существует простой способ нахожде¬ ния точного значения и, который заключается в нахождении значения и, на котором достигает максимума амплитуда ф(и>) = </(*), е"‘) = а81П(1/~^Г (2.6) [и — и)Т и этот максимум достигается при и = и. (См. график f(x) = sin(27nr)/27nr на рис. 1.) Тогда комплексная амплитуда а равна ф(и>). Когда f(t) сведена к одному периодическому слагаемому, у нас есть метод нахождения точного значения амплитуды и частоты /. Этот пример, вероятно, слишком простой, и мы рассмотрим теперь более сложный пример, когда f(t) является суммой двух периодических слагаемых: /(£) = aielUlt -h а2еги2Ь, \ai\ > \а2\. Вычисление Ф(ш) = (№,е'”*) (2.7) по-прежнему дает нам много информации. Функция ф(и>) теперь является суммой двух функций, подобных предыдущим: ф(ч>) = фгП + ф2(и,) = а1(е™,еш) + а2<е^,0- (2.8)
Измерение хаоса 141 Мы хотели бы, как и в предыдущем примере, узнать частоты и комплексную амплитуду каждого из двух слагаемых. Но теперь существование второй функции 02 (ш) искажает форму кривой ф(щ), которая больше не имеет максимума при ш = v\. Тем не менее амплитуда побочных максимумов ф(ш) убывает как обратная величина к расстоянию ш — /л Поэтому если две частоты v\ и i/2 далеки друг от друга (на расстоянии по меньшей мере несколько щ друг от друга), искажение максимума будет малым (особенно из-за того, что первая частота, которая определена, связана с максимальным значением амплитуды), и мы по-прежнему сможем определить значение частоты v\ и связанной с ней амплитуды а\ с намного большей точностью, чем с помощью обычного преобразования Фурье. 2.2. Метод скользящего окна Существует классический метод для улучшения предыдущего вычис¬ ленного значения, который заключается в использовании окна для нашего интервала данных, что означает, что мы должны использовать новое ска¬ лярное произведение, заданное формулой 1 (f,9) = 2^ J f{t)g(t)x{t)dt, -Т (2.9) где x(t) — весовая функция, (положительная функция с нормой, равной 1). Для всех вычислений мы используем фильтр Хеннинга, т. е. x(t) = 1 + cos(7Tt/Т). (2.10) Значения ф(и) теперь другие, поскольку <e“V“> =(211) [у - со)Т (у - - 7Г что означает, что амплитуды побочных максимумов убывают как куб рас¬ стояния от одной частоты до другой. На рис. 2 построен график функции Недостатком этого метода является то, что ширина центрального пика те¬ перь удвоилась, но увеличение точности, произошедшее из-за исчезновения побочных максимумов, является более важным, поскольку обычно мы бу¬ дем искать частоты, которые значительно отделены друг от друга.
142 Ж. JT АС КАР, К. ФРОШЛЕ, А. ЧЕЛЛЕТТИ sin(27rx) 1 Рис. 2. Функция а(х) — 2тгх 4х — 1 2.3. Ортогонализация Грамма-Шмидта Предыдущий процесс показал нам, как мы можем определить значе¬ ние основной частоты, содержащейся в f(t). Мы предполагаем, что те¬ перь f(t) — бесконечный ряд периодических слагаемых с убывающими амплитудами, и мы пытаемся восстановить его вид. Действия будут про¬ исходить в виде итерационного процесса, следуя вышеприведенному опи¬ санию. Начнем с выполнения быстрого преобразования Фурье данных для того, чтобы приближенно определить максимум спектральной функции. За¬ тем в окрестности этого значения частоты мы ищем максимум амплитуды ф(и>) = (№,е™), используя процедуру квадратичной интерполяции. Это позволит найти пер¬ вую частоту v\ и первую функцию ex(t) = е™, на которую мы спроектируем /(£). Тогда вклад e\(t) будет вычтен из f(f) и процесс начнется сначала для определения следующей частоты v2. По¬ скольку две функции, е\(f) = eljyit и 62(f) = e2U2t, обычно не ортогональ¬ ны, нам придется выполнить ортогонализацию Грамма-Шмидта, для того чтобы теперь спроектировать функцию f(t) на векторное пространство, по¬ рожденное двумя функциями: б\(t) и 62(f). После этого выполняется еще одна итерация этого процесса.
Измерение хаоса 143 Процесс завершается либо когда достигнуто желаемое число слагае¬ мых или желаемая точность, либо когда последняя вычисленная частота находится в пределах основного пика любого из ранее определенных сла¬ гаемых. Мы также можем принять решение о прерывании процесса, когда полная норма функции невязки (подобно методу наименьших квадратов) не уменьшается значрггельно при добавлении нового слагаемого. 2.4. Оценка точности определения основной частоты Предыдущий процесс может использоваться просто с целью получения аппроксимирующей функции к /(£) с малым числом слагаемых, но очень часто необходимо, чтобы значения частот и амплитуд вычисленных сла¬ гаемых действительно совпадали (или были очень близкими) с частотами и амплитудами исходной функции. Это будет особенно важно в последую¬ щем, когда мы будем использовать этот метод для анализа динамических систем. Тогда нам потребуется оценка точности, с которой определяются частоты, и, в частности, основная частота. Чтобы оценить точность, мы построим новую функцию /', равную сум¬ ме ранее определенных слагаемых. Таким образом, эта функция /' очень близка к исходной функции /, но мы в точности знаем ее вид. Поэтому мож¬ но проанализировать ее тем же самым методом на том же самом интервале и получим в результате новое разложение /" для функции /' в квазипери- одическом виде. Затем считаем, что точность, с которой была определена основная частота /, почти такая же, как разность между основными часто¬ тами /' и которую можно легко вычислить. Это вычисление является очень важным, поскольку оно позволяет определить релевантность вычис¬ ленных вариаций основных частот. 3. Приложение к исследованию динамической системы Теперь покажем, как этот анализ может быть применен для изучения динамики консервативной системы. В качестве примера используем стан¬ дартное отображение, которое определяется формулой х' = х -h asin(.x + у) mod (2тг), \ У) v и (3 л) у' — х + у mod (27г), и все примеры будут приводиться при а — —1.3, что соответствует рис. 3. В более общем случае метод численного анализа фундаментальных частот может быть применен к любой гамильтоновой системе H(J,6).
144 Ж. Ласкар, К. Фрошле, А. Челлетги Стандартное отображение а=-1.3 х Рис. 3. Стандартное отображение, х — х + asin(x + у) mod (27г),у' = х + у mod (2тг) при а = —1.3 В случае интегрируемой системы с п степенями свободы после редук¬ ции к переменным действие-угол Jj, Oj гамильтониан зависит только от действий Jb J2,..., Jn: H(J,e) = H0(J), (3.2) где (J) используется для обозначения (Ji, J2,..., Jn), а (0) для (01,62, •.. ... вп). Таким образом, уравнения движения для всех j = 1,..., п имеют вид jj=0, = Д ; = Uj(J). (3.3) Движение в фазовом пространстве происходит на замечательных торах с по¬ стоянными радиусами Jj, с постоянной скоростью Если мы пост¬ роим графики действий (радиусы торов) по времени, мы получим прямые линии. Теперь предположим, что мы по-прежнему в интегрируемой систе¬ ме, но не в переменных действие-угол, хотя и близко к ним. Например, мы можем сделать замену переменных Zj = Jj exp iOj z'j = J' exp iO'j = = fj(zi, Z2,..., zn), где fj — аналитическая функция, близкая к тождествен¬ ной. Каждое движение происходит на торе, но проекции орбит на плоско¬ сти (J'j,0'j) выглядят не слишком круглыми. Если мы построим график пе¬ ременной типа действия J' относительно времени, мы получим кривую, ва-
Измерение хаоса 145 Таблица 1. Частоты и коэффициенты решения стандартного отображения (3.1) с на¬ чальными условиями хо — 0.2; уо = 0.2. Решение получено программой ЧАФЧ 10 в виде x(t)+iy(t) = f(t) = akell'kt; с ak — Акегфк. Все частоты vk очень легко fe=i определяются как комбинации фундаментальной частоты v и 1 в форме vk = Пк + + п'ки (столбцы 2 и 3) к rik + n!kv Vk(= Пк + n'kv) ■А к Фк 1 V 0.190840279484 0.412179155603 0.830595496110 2 — V -0.190840279484 0.129784483638 -2.189796233736 3 1 - 3v 0.427479161549 0.001667745027 2.526832983732 4 -1 + 3 v -0.427479161549 0.001385218026 2.820400284092 5 1 - bv 0.045798602581 0.000024301361 -2.528792083724 6 -1 + 5г/ -0.045798602581 0.000013572308 -0.523433768892 7 — 1 + 7// 0.335881956413 0.000000400893 1.127238258819 8 1 - 7v -0.335881956413 0.000000311439 -2.110424203409 9 2-9// 0.282437484887 0.000000019863 2.225256544247 10 — 2 + 9// -0.282437484887 0.000000010314 3.015827866571 риации которой не будут представлять собой вариации действия Jj, которые в действительности являются константами. Мы не находимся в правильных переменных и постоянство действий Jj не видно непосредственно на этих графиках. Но с другой стороны, анализ частот этой системы по-прежнему возможен. В случае невырожденной интегрируемой системы (т. е. с невырожден¬ ным гессианом \d2Ho/dJ2\ ^ 0 на исследуемой области) мы можем обра¬ тить соотношения (3.3) и использовать частоты системы в качестве пара¬ метров Jj = Fj(y\, is-2, ■ • •, Vn)- (3.4) Частоты являются константами на орбитах, и анализ Фурье z3{f) позво- лит нам непосредственно получить частоту Vj и, таким образом, посред¬ ством (3.4) эквивалентную характеристику действий. Основное преиму¬ щество этого метода заключается в том, что он остается действенным, если мы используем измененные переменные Jj,Ofj. Фурье-анализ zfj(t) по-прежнему позволит нам получить значения фундаментальных частот а тем самым и действий Jj, хотя мы не используем переменные действие- угол {uj остается фундаментальной частотой zfj(t)). Предположим теперь, что мы можем наблюдать за нашей системой в течение очень долгого временного интервала. Тогда мы можем разбить
146 Ж. JIackap, К. Фрошле, А. Челлетти этот временной интервал на несколько отрезков и выполнить по отдель¬ ности анализ Фурье г' на каждом из отрезков. В случае интегрируемой системы частоты Vj не будут изменяться, но если мы в зоне хаоса, то пе¬ ременные действие будут эволюционировать со временем и в ходе движе¬ ния переместятся в дополнение к инвариантному тору. Поэтому частоты будут медленно меняться с течением времени. Следовательно, мы можем определить размер зоны хаоса путем измерения вариации основных частот системы. Мы будем использовать частоты в качестве переменных вместо действий для параметризации размера хаотических областей. Изначально этот метод был разработан Ласкаром [5] для определе¬ ния размера хаотических зон при движении Солнечной системы. Далее мы представим несколько приложений метода для исследования стандартного отображения. В случае стандартного отображения одна из частот равна 1, а другая равна числу вращения v. При численном анализе фундаментальных частот мы фактически получаем очень точный способ вычисления числа враще¬ ния v, когда оно существует. Когда движение является хаотическим, число вращения будет не определено, но частотный анализ также выявит не квази- периодический вид решения и предоставит очень полезную информацию. Основное внимание мы будем уделять тем движениям, которые являются лишь слабо хаотическими, например движения, которые заключены между двумя инвариантными кривыми. В этом случае локально, на коротком вре¬ менном отрезке мы найдем фундаментальную частоту, но эта частота будет меняться с течением времени, когда мы будем сдвигать временной отрезок, и тем самым будет выявлено хаотическое движение. 3.1. Анализ регулярной области Начнем с изучения кривой в центральной области стандартного отоб¬ ражения, где, как считается, существует много инвариантных кривых. В ка¬ честве начальных условий выберем (#о = 0.2; у$ = 0.2) и выполним анализ на одном временном промежутке, состоящем из 12 516 итераций; резуль¬ тат частотного анализа табулированной функции f(t) = х + гу получен с помощью компьютерной программы ЧАФЧ (численный анализ фунда¬ ментальных частот) и представлен в таблице 1. Приближенное решение, полученное с помощью ЧАФЧ, является параметризацией решения стан¬ дартного отображения и задается формулой ю /(*) = ^2akeWkt, где ак = Акеьфк. (3.5) к—1
Измерение хаоса 147 Можно очень легко проверить, что частоты Vk являются комбинациями це¬ лого числа 1 и фундаментальной частоты и. Эти комбинации определяются в виде Vk = nk + n'kv и приводятся во втором столбце таблицы 1, а чис¬ ленные значения приводятся в третьем столбце. Точность вычисления г/, полученная при проверке ЧАФЧ, лучше чем 10“12, и этим объясняется точ¬ ность, с которой приводятся комбинации частот. Следует отметить, что при использовании обычного быстрого преобразования Фурье точность вычис¬ ления частот будет составлять только щ — 27т/12516 « 5 х 10-4. Ожидается, что точность вычисления частот уменьшается для слагаемых с малой ам¬ плитудой. Таким образом, мы получили не только представление решения, но и действительную параметризацию тора решения. Невязка при анализе на этом интервале меньше чем 0.15 х 10-8: ю № = Y,akei{nh+n'kV)t- (3-6) fc=3 Другими словами, зависящая от времени замена переменных, полученная обращением ю Z = ]Г afc exp^V^, (3.7) к=1 преобразует решение z(t) в круговое решение zf(t) = e%vt. Таким образом, этот метод является численным методом нахождения аппроксимации инвариантных торов в регулярной области. Точность реше¬ ния может быть определена вычислением невязок между /(£) и ее аппрок¬ симацией /(£). Это вычисление может быть выполнено на 12 516 итераци¬ онных точках, но более критической проверкой будет сравнение итераций отображения и аппроксимации решения на намного большем временном промежутке, который мы продолжили до 106 итераций, т. е. увеличили при¬ мерно в 100 раз. Невязки изображены на рис. 4 и отражают линейное воз¬ растание ошибки до 4 х 10"8 только за 106 итераций, что сравнимо с точ¬ ностью вычисления основной частоты и и может даже отражать некоторое накопление ошибки при итерациях. 3.2. Частотный анализ для хаотической орбиты Теперь мы собираемся показать наиболее интересную сторону частот¬ ного анализа, заключающуюся в информации, которую можно получить о слабо хаотической орбите. Для этого мы выберем нерегулярные орбиты, которые лежат вокруг резонанса g.
148 Ж. JTackap, К. Фрошле, А. Челлетти 3.5 1 I I 1 1 1 1 1 1 3 - - ' • ’ '■ - *_2.5 - . ‘ ‘ ■ ■ ■' - Д 2 г’--. - 1.5 ] 0.5 - ■ - ' • 0 1 £*.■>: "л. г • 1 1 ■ i • i • i I I ) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ] tx mb Рис. 4. Разность j/ — /| после 10 итераций между стандартным отображением / ю и параметризацией решения f(t)= &k?lUkt, полученной с помощью частотного к=1 анализа на интервале 12 516 итераций (таблица 1) Фундаментальная частота является характеристикой для числа враще¬ ния орбиты и считается квазипериодической на конечном временном ин¬ тервале. Для бесконечного временного интервала оба понятия аналогичны. Если решение является квазипериодическим, то частотный анализ на ко¬ нечном интервале времени позволяет выполнить очень точное измерение числа вращения, что было показано в предыдущем параграфе. Для нере¬ гулярной орбиты фундаментальная частота, определяемая частотным ана¬ лизом, дает мгновенную оценку числа вращения. Из частотного анализа также получаем оценку внутренней ошибки при определении этого зна¬ чения. Для квазипериодической орбиты фундаментальная частота, получен¬ ная на заданном временном интервале, не будет отличаться (с точностью до ошибки вычисления) от фундаментальной частоты, полученной на другом временном интервале. Таким образом, построив график значений фунда¬ ментальной частоты относительно времени, мы будем иметь представление о регулярности орбиты. Для этого примера мы выбрали начальные условия на оси у, расположенные на равных интервалах с шагом 0.001, от значе¬ ния у = —1.215 до у = —1.230. Частотный анализ выполняется на 516
Измерение хаоса 149 итерациях, и временные интервалы сдвигаются на 100 итераций от одного вычисления к другому. Начальные условия выбраны так, чтобы мы прохо¬ дили через зону хаоса, окружающую гиперболическую точку с частотой i, которая получена для у — 1.3 sin у = 0 (итерируя отображение, начиная с на¬ чальных условий (0,у), читатель убедится, что гиперболическая орбита i задается при у + a sin у = 0), т. е. у « —1.221496215. Результаты приводятся на рис. 5а. Для некоторых орбит мы получили прямые линии (по крайней мере вариации не видны на графике), но для некоторых других начальных условий фундаментальная частота меняется с течением времени, с вариациями которые значительны относительно точ¬ ности вычислений. Мы полагаем, что можно сделать заключение, что эти орбиты не лежат на КАМ-торе, хотя строгую теорию еще предстоит постро¬ ить. Рассмотрим более внимательно начальные условия вокруг резонанса g. Мы проходим через зону хаоса, которая окружает гиперболическую перио¬ дическую точку с периодом i. Видно, что эта зона отображается на графике как пустой промежуток среди фундаментальных частот. Решения остаются по обе стороны от этой зоны 1. Если внимательно рассмотреть решения в окрестности этой зоны, мы увидим, что вариации частоты становятся больше при приближении к гиперболической точке. Решения, находящиеся на обеих сторонах этой зоны, являются циркулирующими, но для некоторых начальных условий мы можем получить решение, центрированное около i, для которого частота сильно изменяется. Это решение может быть интер¬ претировано как решение в хаотической области, во временной либрации вокруг эллиптической периодической орбиты с периодом i. Решение, для которого частота будет меняться от циркуляции к либрации, будет очень легко обнаружено с помощью этого метода без необходимости поиска аргу¬ мента либрации. Изменение проявит себя как неожиданный скачок значе¬ ния частоты, и мы, таким образом, сможем сделать заключение, что орбита является хаотической. Это позволит обнаружить хаотическую орбиту на очень коротком временном интервале, в противоположность критерию по¬ казателя Ляпунова. Такая орбита приводится на рис. 56 и 5с. Мы сможем обнаружить даже более слабые проявления ввиду не квазипериодического поведения орбиты. Стандартное отображение является симплектическим диффеоморфиз¬ мом плоского круглого кольца с монотонным закручиванием. Таким обра¬ зом, КАМ кривые с иррациональными числами вращения являются графи-
150 Ж. JIackap, К. Фрошле, А. Челлетти tx 10' Рис. 5. Частотный анализ стандартного отображения. График эволюции фундамен¬ тальной частоты v относительно числа итераций (t) для различных начальных условий, расположенных регулярно на прямой х = 0. (а) уо = —1.215 до уо = = -1.230 с шагом 0.001. (b) у0 = -1.2214; -1.2216; -1.2218; -1.2220. (с) у0 = - — 1.2215; —1.2217; - 1.2219; —1.2221. Вычисление частот выполняется на интерва¬ лах 516 итераций. Вертикальные отрезки являются оценками точности вычисления частот, полученными при реконструкции решения и повторном анализе
Измерение хаоса 151 ЧАФЧ ?/=-]. 2210 -►-1.2225 £х103 Рис. 5. Продолжение ками S1 (теоретическое обсуждение и ссылки см. в [6, 8, стр. 54]). Поэтому радиус из начала координат, такой как прямая х — 0, будет пересекать эти кривые только в одной точке. Если две орбиты находятся на КАМ-торах, эти два тора являются различными и будут иметь различные числа вращения. Поэтому частотные кривые не могут пересекаться. Если мы обнаружили пересечение двух частотных кривых, которое является значительным отно¬ сительно точности вычисления частоты, мы можем сделать вывод, что эти орбиты не принадлежат КАМ-тору (рис. 56, 5с). Таким образом, мы полу¬ чили строгий критерий, который мы можем применять численным (нестро¬ гим) образом для того, чтобы обнаружить на очень коротком временном интервале, что орбита не лежит на КАМ-торе. При использовании частотного анализа можно получать не только ка¬ чественную, но и количественную информацию. Для любого решения вари¬ ация частоты дает оценку, насколько решение отдалено от квазипериодичес- кой орбиты. Для хаотической орбиты она указывает размеры хаотической зоны в частотной области. В данном примере ширина этой зоны по частоте примерно равна 0.002; это означает, что не существует инвариантных то¬ ров для иррациональных частот в интервале частоты от 0.1654 до 0.1672. Действительно, если такой тор с иррациональной частотой и существует, то он должен отделять орбиты с числом вращения больше чем и от орбит
152 Ж. Ласкар, К. Фрошле, А. Чел л етти 0.170 0.169 0.168 v 0.167 0.166 0.165 0.164 -1.2230 -1.2225 -1.2220 -1.2215 -1/2210 -1.2205 -1.2220 У Рис. 6. График фундаментальной частоты относительно у при пересечении гипер¬ болической периодической точки х = 0, у = —1.221496215 ... вдоль оси х = 0. Прямая линия соответствует частоте g периодической точки с числом вращения меньше чем и. Это невозможно из-за существования орбит, изменяющихся от циркуляции к либрации. Мы выбрали радиус, который пересекает хаотическую область через гиперболическую точку. Результаты будут другими, если пересечем ради¬ усом эллиптическую точку. В этом случае для всех начальных условий, которые попадают на остров устойчивости, число вращения равно 1, но из-за зоны хаоса, окружающей этот остров, у нас возникнет тот же самый пустой промежуток в частотах. На рис. 6 показано пересечение гиперболической периодической точ¬ ки (х = 0; у = —1.221496215 ...), где приводится график значений фунда¬ ментальной частоты для различных начальных условий, взятых на одном радиусе. В регулярной области частота меняется монотонно по начальным условиям, но в хаотической зоне, окружающей гиперболическую периоди¬ ческую точку, частота является немонотонной и меняется внезапно. Такого рода графики также могут обнаружить отсутствие КАМ-торов. Если суще¬ ствует значение частоты, которое соответствует двум или более различным значениям начальных условий, тогда либо эта частота рациональна (суще¬ ствование острова), либо не существует торов соответствующей частоты.
Измерение хаоса 1:53 Тем самым получен точный численный метод обнаружения исчезновения КАМ-торов для иррациональных чисел вращения (см. §3.4). 3.3. Сравнение с вычислением показателей Ляпунова Классический способ обнаружения хаотического движения заключа¬ ется в вычислении показателей Ляпунова. Мы утверждаем, что для слабо хаотических решений частотный анализ позволяет получить информацию более быстро и более точно. Причина этого в том, что при частотном ана¬ лизе производится мгновенное наблюдение фундаментальных частот, кото¬ рые являются существенными параметрами динамической системы, в то время как обычное вычисление показателей Ляпунова действует как усред¬ нение и требует очень большого временного промежутка для получения надежных результатов (ссылки и обсуждения показателей Ляпунова см. в [3, 12]). Рассмотрим два примера: первый с начальными условиями xq = О, уо = —1.2217; мы знаем из рис. 5, что эта орбита является хаотической, ввиду обнаружения изменений от либрации к циркуляции (или внезапных изменений частоты) за 20 ООО итераций. Вычисление показателей Ляпунова приводится на рис. 7а. Видно, что требуется более 106 итераций для того, чтобы убедиться, что орбита является хаотической. Вычисления были про¬ деланы на временном интервале 5 х 106 итераций, а частотный анализ также был выполнен на том же самом временном интервале (рис. 8а) и весьма яс¬ но продемонстрировал поведение орбиты, которая временами очень долго пребывала в режиме либрации. Можно отметить, что орбита остается либо в режиме, близком к либрации с частотой, близкой к |, либо в режиме цир¬ куляции с частотой, примерно равной 0.1653, но не остается надолго в дру¬ гих промежуточных состояниях. Время, проводимое в каждом из режимов, кажется достаточно непредсказуемым, что можно увидеть на другом экви¬ валентном графике на рис. 86 для начальных условий хо = 0; уо = —1.2218. Это ожидаемое поведение, но тот факт, что орбита предпочитает оставаться вблизи двух регулярных областей, которые соответствуют областям либ¬ рации и циркуляции, ясно виден на этих графиках. Показатели Ляпунова, соответствующие рис. 86, приводятся на рис. 76 и также показывают, что для ясного обнаружения хаотического движения необходимо 5 х 106 ите¬ раций, а при частотном анализе это уже было видно на рис. 5 для 20 ООО итераций. 3.4. Разрушение «золотой» окружности В этом параграфе рассмотрим приложение метода к несколько отлича¬ ющейся версии стандартного отображения, которая более часто использу-
154 Ж. JIackap, К. Фрошле, А. Челлетти Рис. 7. Вычисление максимального показателя Ляпунова для начальных условий (а) хо = 0;уо = —1.2217 и (Ь) хо = 0; уо = —1.2218. Оценка Lw(t) для показа¬ теля Ляпунова задается графиком log10((l/t) ^2 \og(di/do)) относительно log10(i), i где t — число итераций ется в этом контексте: xf = х — a sin у, xGl, п ^ yf — xf + у, mod (27г). ' Это отображение было введено Чириковым [1] для моделирования дви¬ жения заряженной частицы в осесимметричной магнитной бутылке. Это стандартное отображение, как и ранее использовавшееся, является поверх¬ ностью сечения гамильтониана Н = х2/47г — acosy82n(t)- (3.9) Численные эксперименты показывают, что в интервале [0, 1] последней ин¬ вариантной кривой, исчезающей при возрастании возмущающего парамет¬ ра а, является «золотая» кривая с числом вращения U= i(3 — л/5) «0.381966011 (3.10) (или, эквивалентно, симметричная кривая с числом вращения 1 — v). Золотое сечение в действительности является числом, которое наименее просто ап¬ проксимируется рациональными числами и для которого минимизированы малые знаменатели, возникающие в рядах теории возмущений. Эрман [7] доказал существование КАМ инвариантной «золотой» окружности для а < 1/34.5. Эта оценка снизу была затем увеличена в [2]
Измерение хаоса 155 Рис. 8. Эволюция с течением времени фундаментальной частоты, вычисленной с по¬ мощью ЧАФЧ за период 5 х 106 итераций для начальных условий (а) хо = 0; уо = = -1.2217 и (6) хо = 0;уо = -1.2218 до а < 0.838. С другой стороны, Мазер [10] показал, что при а > 4/3 инва- риантных кривых не существует. Эта оценка была улучшена до а > Ц « « 0.984375 Маккеем и Персивалем [9]. Используя эвристический критерий, Грин [4] обнаружил значение ас = 0.971635, при котором распадается золо¬ тая кривая. Критерий из [11], основанный на существовании гетероклиниче- ских точек, похоже подтверждает этот результат. Мы применим частотный анализ для получения численной оценки этого порогового значения в стан¬ дартном отображении. В этом параграфе мы будем рассматривать только те инвариантные кривые, которые окружают цилиндр. Далее мы вновь воспользуемся двумя фундаментальными результатами теории Биркгофа для КАМ кривых (кривых с иррациональными числами вращения) стандартного отображения ([6, 8, стр. 54]). (1) Вертикальная прямая у = 0 пересекает инвариантные КАМ кривые только один раз, поскольку они являются графиками некоторых непре¬ рывных функций. (2) Если два начальных условия х\ < Х2 на вертикальной прямой приводят к КАМ инвариантным кривым с числами вращения v\ и то zxi < zx2. Для каждого начального условия х на вертикали у — 0, итерируя отоб¬ ражение, мы получаем орбиту и частотный анализ этой орбиты с помо¬ щью программы ЧАФЧ на данном временном интервале дает частоту v(x). Мы сделаем нестрогое предположение, что v(x) ^ щ Для любой инвари¬ антной КАМ кривой 7ь с числом вращения щ9 которая расположена под 7Х, и что v{x) ^ va для любой инвариантной КАМ кривой 7а с числом вра¬
156 Ж. JlACKAP, К. Фрошле, А. Челлетти а^0.9710 о=0.9715 Рис. 9. (a)-(j) Вариации фундаментальной частоты и для стандартного отображе¬ ния (3.8) для различных значений параметра а в окрестности числа вращения ид, равного золотому сечению, которое соответствует нулевой точечной прямой. Нача¬ ло координат по х-шкале произвольным образом принято равным хо = 4.17655. Началом координат для частот является золотое сечение vg — (3 — y/b)/2. Единицы измерения для и и х равны 10~6. Если х\ < Х2 и v(x\) > v(x2), то мы можем сделать заключение, что не существует КАМ инвариантных кривых с иррациональ¬ ными числами вращения между и(х2) и v(xi). На (/г) мы видим, что инвариантная кривая золотого сечения перестает существовать при а = 0.9718 щения иа, которая расположена над 7Х. Если орбита 7х заключена между двумя КАМ кривыми с числами вращения иа и щ, мы тем самым получа¬ ем щ ^ v(x) ^ va и для КАМ кривой v(x) будет равно числу вращения с точностью до ошибки вычислений при определении v(x), которая оцени¬ вается путем разложения и реконструкции орбиты (§1.4). При выполнении этих идеальных предположений, графики значений и(х) вдоль вертикально прямой у = 0 дают критерий несуществования КАМ кривых.
Измерение хаоса 157 272 272.2 272.1 272.6 272 8 273 273 2 273-1 273 6 '.73 8 274 309 309 2 309.4 309 6 309.8 370 310.2 273 1 310.6 310.8 311 Рис. О. Продолжение Есл'и существуют два значения х < х' на вертикальной прямой У — 0, для которых v = и{х) > */ = тогда не существует ин¬ вариантных КАМ кривых с иррациональным числом вращения v,f таким, ЧГ/,0 I/' < у" < V.
158 Ж. JlACKAP, К. Фрошле, А. Челлетти Действительно, пусть в условиях предыдущей гипотезы 7" — КАМ инвариантная кривая с иррациональным числом вращения г/'. Эта кривая пересекает вертикальную прямую у — 0 в х". Тогда х" < X < х' => и" < //, X < х' ^ х" => и" ^ и и последняя возможность х^х"^ х' не существует, поскольку из этого будет следовать одновременно v" ^ г/ и v" ^ и. Число вращения и" не может принадлежать открытому интервалу ]г/, v[. Мы, таким образом, получили очень простой способ узнать, существу¬ ют КАМ кривые или нет, изучая графики и(х) относительно х. На рис. 9а- 9j мы действительно видим разрушение золотой кривой с числом враще¬ ния iyg = 1(3 - л/Е). На всех графиках при различных значениях парамет¬ ра а рассматривается область [v(x) — vg] х 106 на (х — xq) х 106, где xq9 исходя из ирактаческих соображений, произвольным образом присвоено значение 4.17655. Все графики получены с помощью программы частот¬ ного анализа ЧАФЧ, используя интервал в 12 516 итераций для каждого вычисления частоты, что позволяет выполнять вычисления с достаточной точностью. Для каждого графика при изменении параметра выполняется сдвиг к значению д, соответствующему золотой кривой. На первом графи¬ ке (рис. 9а) при а = 0.971 частотная кривая выглядит почти как гладкая возрастающая кривая в окрестности золотого значения числа вращения. При возрастании значения а частотная кривая начинает искажаться и каж¬ дый раз, когда частотная кривая убывает, предыдущий критерий позволяет нам исключить целый отрезок значений чисел вращения, где КАМ кривые не могут существовать. Увеличения (рис. 9д (а = 0.9717) и рис. 9h (а — = 0.9718)) показывают исчезновение золотой кривой: при а = 0.9717 мы не можем сделать заключение, а при а = 0.9718 частотная кривая убывает в окрестности золотого значения и мы можем сделать вывод, что золо¬ тая кривая больше не существует. Это значение очень близко и согласу¬ ется со значением ас = 0.971635, полученным Грином. При а = 0.972 рис. 9/ показывает, что ни одна КАМ кривая не может выжить, посколь¬ ку все запрещающие интервалы частот перекрываются. Следует отметить, что мы можем исключить интервалы значений для чисел вращения КАМ кривых, но мы не можем считать, что только они являются исключенны¬ ми. Начальные условия, взятые вдоль другой вертикали, могут привести к исключению большего количества интервалов чисел вращения, и тем самым метод может быть улучшен, но численные значения, которые мы
Измерение хаоса 159 получили с единственной вертикальной прямой, уже являются весьма обе¬ щающими. На рис. 9г и 9j мы видим большую часть частотных кривых. Та часть кривой, которая беспорядочно осциллирует, соответствует большой хаоти¬ ческой зоне, а горизонтальные постоянные части кривой являются остро¬ вами устойчивости, соответствующими рациональным аппроксимациям зо¬ лотого сечения. Следует отметить, что всегда необходимо выбирать интервал, на ко¬ тором будет производиться частотный анализ. Для квазипериодического решения точность вычислений увеличивается совместно с длиной интер¬ вала, но в случае хаотической орбиты, возможно, лучше использовать не слишком большой интервал, на котором решение будет казаться ведущим себя вполне регулярным образом. Точность вычислений всегда можно кон¬ тролировать с помощью внутренней проверки, заключающейся в рекон¬ струкции решения (§1.4). Основное требование заключается в том, чтобы неопределенность при вычислении частот была намного меньше амплиту¬ ды явления, поиском которого мы занимаемся. В качестве примера: при вычислении порога разрушения золотой окружности выбранное число ите¬ раций равно 12 516, и для него оценка ошибки вычислений приближенно равна 10“12 в регулярных областях, а искомые свойства имеют амплиту¬ ду примерно 1СГ8. Для сравнения: простое быстрое преобразование Фурье обеспечивает точность вычисления частот только 5 х 10-4 на том же самом интервале, что сделало бы невозможным обнаружение наблюдаемых малых свойств частотных кривых. 4. Заключение Мы представили в этой работе приложения частотного анализа к очень хорошо известной задаче с двумя степенями свободы, но этот метод был разработан для изучения задачи с 15 степенями свободы, возникающей при исследовании устойчивости Солнечной системы [5]. Целью этой работы является демонстрация преимуществ этого метода. Метод легко обобща¬ ется на задачи со многими степенями свободы, но при этом нам нужно будет следить за эволюцией многих частот вместо одной частоты, как в за¬ даче с двумя степенями свободы. Частотный анализ позволит выявить су¬ ществование интеграла или квазиинтеграла движения на рассматриваемом временном интервале как связанного с частотами, которые не будут значи¬ тельно меняться во всем интервале. Этот метод может оказаться мощным численным инструментом для изучения диффузии действий в динамичес¬
160 Ж. JlACKAP, К. Фрошле. А. Челлеп и кой системе, измеряемой путем вычисления диффузии фундаментальных частот. Этому методу нужен намного меньший временной интервал, чем методу вычисления показателя Ляпунова, для того чтобы выявить нерегу¬ лярное поведение орбиты. Более того, ему нужна только одна орбита для выполнения вычислений. Частотный анализ показывает, насколько движение далеко от квази- периодического движения. В регулярной области, когда движение очень близко к квазипериодическому движению, частотный анализ позволяет по¬ лучить квазипериодическое представление движения, которое может рас¬ сматриваться как численная параметризация инвариантного тора, описыва¬ емого решением. В случае хаотической орбиты мы получаем оценку размера хаотической зоны в области частот, к которой принадлежит решение. Вну¬ тренняя проверка при выполнении анализа реконструированных решений позволяет получить оценку неточности численного определения фундамен¬ тальных частот. Этот метод является новым и, разумеется, нуждается в до¬ полнительных теоретических разработках, но мы убеждены в его полезно¬ сти для широкого круга приложений. Подобно вычислению максимального показателя Ляпунова, этот метод является полностью численным и поэтому очень легко применим к различным задачам без больших усилий, связан¬ ных с программированием. В представленной работе выполнено приложе¬ ние метода к изучению решения стандартного отображения, которое имеет только две степени свободы и для которого вычисления на больших вре¬ менных интервалах являются очень простыми. Использование частотного анализа будет еще более эффективным в гамильтоновых системах со многи¬ ми степенями свободы, когда численное интегрирование системы является затратной по времени процедурой, что мешает вычислениям для продолжи¬ тельных временных интервалов, необходимых для вычисления показателей Ляпунова. Частотный анализ также является мощным численным инструментом для изучения исчезновения КАМ кривых. Он предоставляет очень точное описание процесса разрушения КАМ кривых при увеличении параметра возмущения. Мы обнаружили с помощью частотного анализа, что золотая кривая перестает существовать при а = 0.9718, что очень близко и согласу¬ ется с результатом Грина ас = 0.971635. Преимуществом представленного метода служит также то, что он является чисто численным, что позволяет использовать его для широкого круга задач (отображений или гамильтоно¬ вых систем) без больших усилий на программирование. Ж. Ласкар благодарит А. Шенсине за множество полезных обсуждений, которые привели к существенному улучшению этой работы.
Литература 161 Литература [1] Chirikov В. V. A universal instability of many dimensional oscillator systems. Phys. Rep. — Vol. 52. — 1979. — P. 263. [2] Celletti A., Chierchia L. Invariant curves for area-preserving twist maps far from integrable. J. Stat. Phys. — 1991. [3] Froeschle C. The Lyapunov characteristic exponents. Applications to celestial mechanics. Cel. Mech., Vol. 34. — 1984. — P. 95-115. [4] Greene J. M. A method for determining stochastic transitions. J. Math. Phys. - Vol. 20. - 1979. - P. 1183. [5] Laskar J. The chaotic behaviour of the solar system: A numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus. — Vol. 88. — 1990. — P. 266-291. [6] Herman M. R. Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes de Tanneau. Asterisque. — 1988. — Vol. 1. — P. 103-104. [7] Herman M. R. Sur les courbes invariantes par les d iffeo m о ip h ism es de Гаппеаи. Asterisque. — 1986. — Vol. 2. — P. 144. [8] Herman M.R. Inegalites a priori pour des tores lagrangiens invariants par des diffeomorphismes symplectiques. Publ. Math. IHES. — 1989. — Vol. 70. - P. 47-101. [9] MacKay R. S., Percival I. C. Converse KAM: theory and practice. Commun. Math. Phys. - 1985. - Vol. 98. - P. 469-512. [10] Mather J. N. Nonexistence of invariant circles. Ergod. Theory Dynam. Syst. - 1984. - Vol. 4. - P. 301. [11] Olvera A., Simo C. An obstruction for the destruction of invariant curves. Physica D, 1987. - Vol. 26. - P. 181-192. [12] Paladin G., Vulpiani V. Anomalous scaling laws in multifractal objects. Phys. Rep. - 1987. - Vol. 156. - P. 4. Jacques Laskar Address: Astronomie et Systemes Dynamiques IMCCE, Observatoire de Paris, 77 Avenue Denfert-Rochereau 75014 Paris email: laskar@imcce.fr
162 Ж. JlACKAP, К. Фрошле, А. Челлетти Claude Froeschle Address: Astronome lere classe a l’Observatoire de la Cote d’Azur 10, Chemin du Malgarach, Route de la Paillos Col des 4 Chemins 06300 NICE email: claude@obs-nice.fr Alessandra Celletti Address: Dipartimento di Matematica Universita’ di Roma "Tor Vergata", Via della Ricerca Scientifica 1, 1-00133 Roma, Italy email: celletti@mat.uniroma2. it
7 Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе и источник короткопериодических комет1 М. Дж. Холман, Дж. Виздом Исследуется устойчивость пробных частиц во внешней Солнечной си¬ стеме. Проведено численное интегрирование примерно для 7000 проб¬ ных частиц на интервалах времени от 20 до 800 миллионов лет. На¬ чальные условия для пробных частиц разделены на две категории: (1) орбиты, первоначально близкие к лагранжевым точкам L4 и L5 планет группы Юпитера, и (2) круговые орбиты в инвариантной плос¬ кости с большими полуосями 5-50 а.е. Скопления пробных частиц вблизи тройных лагранжевых точек Юпитера, Сатурна, Урана и Неп¬ туна сохраняются в течение всего периода интегрирования. Однако из областей устойчивости возле точек L4 и L5 Сатурна исключаются сами лагранжевы точки. В течение периода интегрирования практиче¬ ски все частицы между внешними планетами удаляются в результате сближения с планетами. Множество пробных частиц между Нептуном и 43 а. е. удаляются в процессе сближения с Нептуном, некоторые из этих частиц — на достаточно поздних стадиях интегрирования. Части¬ цы, которые сближаются с Нептуном на поздних стадиях интегриро¬ вания, достигают его по траекториям, для которых примерно сохраня- 1 Holman М., Wisdom J. Dynamical stability in the outer solar system and the delivery> of short period comets. The Aslron. Journal. — 1993, Vol. 105. — №5. — P. 1987-1999. Перевод с английского E. А. Гонимар.
164 М. Дж. Холман и Д. Виздом ются большие полуоси, в то время как эксцентриситет беспорядочно изменяется. Из распределения времен до сближений с планетами сле¬ дует, что промежуток времени до первого сближения может достигать нескольких миллиардов лет. Количество новых сближений медлен¬ но уменьшается, примерно обратно пропорционально времени. Это позволяет иначе взглянуть на динамику пополнения коротко периоди¬ ческих комет из предполагаемого пояса Койпера. Приводится оценка массы пояса Койпера. 1. Введение Существовали ли первоначально астероиды за Юпитером? Существу¬ ют ли области между планетами-гигантами, в которых малые тела оста¬ ются устойчивыми, не сближаясь с планетами за все время существования Солнечной системы? Имеются ли у Юпитера, Урана и Нептуна астероиды- троянцы? Устойчивы ли планетезимали в предполагаемом поясе Койпера относительно сближений с планетами в течение времени существования Солнечной системы, или эта область уже истощена? В течение каких про¬ межутков времени материя удаляется из различных областей Солнечной системы? Эти вопросы послужили основой нашего исследования долговре¬ менной устойчивости малых тел во внешней Солнечной системе. В данной работе мы изучаем устойчивость пробных частиц в областях между внеш¬ ними планетами и за Нептуном. В §2 дается обзор поисков медленных объектов во внешней Солнеч¬ ной системе в процессе наблюдений. В §3 представлен обзор предыду¬ щих исследований с использованием пробных частиц. В §4 описывается метод данного исследования. В §5 представлена информация об исследо¬ вании и его результаты для областей вблизи треугольных точек Лагранжа Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. В §6 приводятся результаты изучения инвариантной плоскости. В §7 подводятся итоги данной работы. 2. Поиски в процессе наблюдений Был проведен ряд исследований по обнаружению медленно движу¬ щихся объектов во внешней Солнечной системе: Томбо [38], Коваль [24], Лу и Джевитт [30], Левисон и Дункан [28]. При обзоре этих работ рассмат¬ ривается, в каких областях в каждом случае можно было бы обнаружить 624 Гектор — яркий астероид-троянец Юпитера. При Н = 7.49 астеро¬ ид 624 Гектор имел бы звездную величину, равную приблизительно V =
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 165 = 17, V = 20 и F = 22, если бы он находился на расстоянии Сатурна, Урана или Нептуна соответственно [21]. Томбо исследовал область эклиптики в поиске медленно движущихся объектов с звездной величиной до трд = 17. Хотя им и были изучены точ¬ ки Лагранжа Сатурна, предполагаемый яркий троянец на этом расстоянии в его работе, возможно, был просто пропущен. Кроме открытия Плуто¬ на в 1930 году, другие тела во внешней Солнечной системе обнаружены не были. Коваль сфотографировал примерно 6400 град2 области эклиптики, до величины V = 20, в поиске медленно движущихся объектов. Был об¬ наружен только один объект за орбитой Сатурна: астероид 2060 Хирон. При звездной величине V = 17 и расстоянии 17 а. е. от Солнца в момент открытия Хирон был на 3 единицы больше предела обнаружения исследо¬ вания Коваля. Хирон является крупным объектом (100 км) и представляет собой астероид-комету [32]. Его орбита пересекает орбиту планеты, силь¬ но вытянута и наклонена. Нами пока не определено, исследовал ли Коваль треугольные точки Лагранжа, однако, если такая работа проводилась, дейс¬ твительно существовала возможность обнаружения Гектора на расстоянии Сатурна и, возможно, Урана. Лу и Джевитт [30] исследовали 297 град2 вблизи эклиптики до ве¬ личины V « 20, используя пластины Шмидта, и 0.34 град2 до R « 24 с помощью ПЗС-камеры. Так же как и в работе Коваля, в их исследовании с помощью пластин можно было обнаружить 624 Гектор на расстоянии Са¬ турна и, возможно, Урана. С помощью ПЗС-камеры они могли обнаружить пробный объект даже на расстоянии Нептуна. Во время наблюдений Лу и Джевитта с февраля по июнь 1987 года Сатурн, Уран и Нептун распола¬ гались довольно близко друг от друга. В действительности точки L5 этих трех планет были вблизи противостояния. Следовательно, центры около двух третей полей, которые наблюдали Лу и Джевитт, находились в пре¬ делах 30° (вдоль эклиптики) от точек L5 Сатурна, Урана и Нептуна. Это соответствует наблюдениям примерно 200 град2 вблизи точек L^jxoV « 20. Некоторые из полей довольно близки к точкам L5. Рассматривая диапазон либрации, наблюдаемый для устойчивых пробных частиц в нашем исследо¬ вании, данный выбор полей подходит для обнаружения объектов в точках Лагранжа. Однако медленно движущихся объектов обнаружено не было. Недавно Лу и Джевитт [31] сообщили об открытии медленно движущего¬ ся объекта за орбитой Нептуна, 1992 QB1. Хотя параметры орбиты это¬ го объекта на данный момент плохо изучены, одно из возможных реше¬ ний дает значение большой полуоси в 41 а. е. Однако возможно также, что этот объект находится на параболической или почти параболической орбите.
166 М. Дж. Холман и Д. Виздом Наконец, Левисон и Дункан [28] изучили 4.9 град2 эклиптики, ограни¬ чив свое исследование поиском медленно движущихся объектов в диапазоне 25-60 а.е. Предел обнаружения составлял V « 22.5. Астероид 624 Гектор на расстоянии Нептуна находился вблизи предела обнаружения. Не обна¬ ружив никаких объектов, они сообщили, что с вероятностью 99 процентов между 25 и 60 а. е. на град2 приходится менее одного объекта ярче V ~ 22.5. Из 26 изученных полей 8 лежит не далее 30° от точек L4 и L5 Нептуна. Это соответствует наблюдению порядка 1.5 град2 возле треугольных точек Лагранжа Нептуна. Еще несколько полей находится в пределах 45°, остава¬ ясь в диапазоне самых широких либраторов (librator). Даже в этом случае это не составляет значительной части области, относящейся к диапазону либраций. Если подвести итог, в исследованиях Томбо, Коваля и Луи и Джевитта можно было обнаружить яркие троянцы Сатурна. В некоторых наблюде¬ ниях, включая работы Левисона и Дункана, можно было обнаружить яркие объекты на расстоянии Нептуна. На сегодняшний день был обнаружен толь¬ ко один объект, предположительно малое тело, на почти круговой орбите во внешней Солнечной системе, однако параметры его орбиты еще не опреде¬ лены. 3. Предыдущие исследования пробных частиц Проводились исследования пробных частиц как для точек Лагранжа внешних планет, так и для областей между внешними планетами и за ни¬ ми. Астероиды-троянцы занимают области возле точек Лагранжа Юпитера. Аналогичные конфигурации наблюдались в спутниковых системах, а асте¬ роид 1990 MB, по всей видимости, является троянцем Марса [20, 2, 3, 22]. Однако устойчивы ли точки L4 и L5 других планет? Может ли материя, помещенная вблизи этих точек, оставаться там на протяжении времени су¬ ществования Солнечной системы, или возмущения со стороны других пла¬ нет приводят к ее удалению? Аналитические методы не могут дать ответы на эти вопросы. Для изучения долговременной устойчивости необходимо положиться на численные исследования с использованием реалистических моделей. Левисон и др. [29] изучали поле устойчивости троянцев Юпите¬ ра. Они провели численное моделирование для 110 пробных частиц в поле Солнца и четырех планет группы Юпитера с помощью симплектического интегратора четвертого порядка. Они исследовали двумерную сетку соб¬ ственных эксцентриситета и амплитуды либрации (см. [9, 10, 35]). Их ин¬ тегрирование распространялось на 150000 периодов Юпитера или около 1.8 млн лет. Занг и Иннанен [47, 48, 49] и Иннанен и Миккола [21] ис¬
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 167 следовали устойчивость треугольных точек Лагранжа всех планет группы Юпитера. Они изучили эволюцию нескольких пробных частиц на интер¬ вале 10 млн лег под влиянием возмущений со стороны четырех планет группы Юпитера. Было обнаружено, что пробные частицы, помещенные в треугольные точки Лагранжа Юпитера, Урана и Нептуна, не испытывают тесных сближений с планетами на протяжении 10 млн лет. Однако пробные частицы, помещенные в точки L4 и L5 Сатурна, сближались с Сатурном на коротких интервалах времени; тогда как частицы, первоначально помещен¬ ные на небольшом расстоянии от точек Лагранжа, либрировали без тесного сближения с планетой. Недавно Миккола и Иннанен [33] представили по¬ дробное описание эволюции ряда орбит в течение 20 млн лет. В контексте нашей модели мы основывались на работах [21, 33]. Ранее был проведен ряд исследований устойчивости пробных частиц между внешними планетами, большая часть которых была сфокусирована на области между Юпитером и Сатурном [25, 13, 36, 39, 8, 15]. Для изучения этой области использовались различные модели. Эти модели по сложности колебались от планарных моделей, включающих Юпитер и Сатурн, движу¬ щиеся по круговым орбитам, до трехмерных моделей, в которых допуска¬ лось полное взаимодействие между Юпитером и Сатурном. По мере того как модели становились более реалистическими, для этой области было до¬ стигнуто совпадение результатов в целом. Было обнаружено, что большин¬ ство пробных частиц следовали траекториям, пересекающим орбиты пла¬ нет или близко подходящим к Юпитеру и Сатурну, в течение 104 - 105 лет; некоторые пробные частицы существовали дольше, 106 лет. Наше исследо¬ вание — первое, в котором изучается область Юпитер-Сатурн, включая все четыре планеты-гиганта, в самосогласованном численном интегрировании задачи п тел. В некоторых работах изучалась устойчивость пробных частиц в об¬ ласти между другими внешними планетами. В [8] изучалась устойчивость пробных частиц в области 0.6-34 а. е. с использованием упрощенного подхо¬ да отображения для двух планет. С помощью этого метода были исследова¬ ны области между каждой парой соседних планет, включая в качестве источ¬ ников возмущений только эти две планеты и учитывая влияние на пробные частицы как импульсы в каждом соединении. Численное интегрирование проводршось на интервале 4.5 млрд лет. Кроме рассмотрения в качестве источников возмущения только двух соседних планет, были использованы следующие приближения: (1) планеты и пробные частицы являются ком¬ планарными; (2) планеты движутся по стационарным круговым орбитам; (3) эксцентррюитеты пробных частиц являются малыми. В модели [8] мно¬ гие почти круговые орбиты в областях между Сатурном и Ураном и между
168 М. Дж. Холман и Д. Виздом Ураном и Нептуном сохранялись на протяжении времени существования Солнечной системы. В исследовании [15] изучалась инвариантная плос¬ кость от 3 до 40 а. е. с помощью прямого численного интегрирования трех¬ мерных уравнений движения n-тел, используя симплектический интегратор четвертого порядка [4, 12]. Для пробных частиц за орбитой Сатурна в каче¬ стве источников возмущений были включены все четыре планеты-гиганта. В [15] интегрирование было проведено примерно для тысячи пробных ча¬ стиц на интервале времени до 22.5 млн лет, причем из интегрирования удалялись пробные частицы, сблизившиеся с планетой или покинувшие систему. В [15] был достигнут результат, значительно отличающийся от результата [8]. Гак было получено, что практически все пробные частицы с траекториями между планетами неустойчивы по отношению к тесным сближениям с планетами на интервале времени около 10 млн лет. Таким образом, в [15] сообщалось, что в исследовании [8] время до сближения с планетами было в значительной степени переоценено. В нашей работе результаты [15] расширяются и уточняются. Устойчивости пробных частиц в области за Нептуном было уделено еще меньше внимания. Дункан [7] и Куинн [34] обнаружили, что распреде¬ ление траекторий короткопериодических комет в наибольшей степени со¬ гласуется с представлением о происхождении комет в предполагаемом поясе Койпера, лежащим за Нептуном, чем с представлением о происхождении в изотропном облаке Оорта. Однако в модели, из которой такой результат следует, имеется спорный момент: для того, чтобы сделать исследование до¬ ступным для численной обработки, массы планет были существенным обра¬ зе м увеличены. Такое приближение можно использовать для демонстрации того, что короткопериодические кометы с большей вероятностью посту¬ пают из области с малым наклонением за Нептуном, но, конечно, оно не подходит для оценки динамики, предшествующей сближению с планетами. В работах [8] и [15] проводилось численное интегрирование для небольшого числа пробных частиц, первоначально находившихся за Нептуном, с помо¬ щью моделей, в которых не допускалось увеличение масс планет. Однако в обоих исследованиях сообщалось, что на протяжении интегрирования для пробных частиц, за исключением находящихся довольно близко к Нептуну, сохранялись практически круговые орбиты. Торбетт и Смолуховский [37] более глубоко изучили эволюцию пробных частиц за Нептуном, используя стандартное численное интегрирование. Однако в их модели внешние пла¬ неты двигались по стационарным эллиптическим орбитам. Была изучена эволюция на интервале времени 10 млн лет около 200 пробных частиц, 40 из которых были первоначально размещены на почти круговых орбитах. В [37] была обнаружена область хаоса за орбитой Нептуна, которая при¬
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 169 мерно соответствует орбитам с перигелием между 30 и 45 а. е. Пересечение орбиты Нептуна было обнаружено только для пробных частиц с перигели¬ ем, близким к орбите Нептуна - до 2 а. е. Было замечено, что некоторые пробные частицы случайным образом движутся по пространству а — е вдоль линий с постоянным перигелием. Исследователи утверждали, что область хаоса замкнута и что орбиты проходят сквозь нее, сохраняя почти посто¬ янный перигелий. Они предположили, что часть этой области с большей полуосью представляет собой хранилище для короткопериодических комет, которые первоначально формировались при малом эксцентриситете. Диф¬ фузия комет на траектории, пересекающей орбиту Нептуна, предполагает экспоненциальное уменьшение числа комет, находящихся в области хаоса. Очевидно, что динамика пояса Койпера заслуживает тщательного изучения с помощью более реалистических моделей. 4. Метод Наш подход является простым и прямым. Проводится численное инте¬ грирование движения пробных частиц в поле Солнца и массивных внешних планет, от Юпитера до Нептуна, с использованием метода симплектиче- ского отображения Виздома и Холмана [44]. Солнце, планеты и пробные частицы взаимодействуют в смысле трехмерной задачи п тел. Пробные частицы имеют бесконечно малую массу; они подвергаются воздействию со стороны массивных планет, но не оказывают обратного воздействия. На¬ чальное положение и скорости планет и Солнца взяты у Коена [5]. Точность и устойчивость метода симплектического отображения проанализированы и обсуждались в работе [45]. В процессе интегрирования через каждый временной шаг изучается возможность тесного сближения пробных частиц с планетами; те проб¬ ные частицы, которые попадают в сферу влияния планеты, исключаются из дальнейшего рассмотрения. Сфера влияния или сфера активности опреде¬ ляется расстоянием от планеты, на котором становится более приемлемым рассматривать пробную частицу, движущуюся вокруг планеты по орбите, испытывающей возмущения со стороны Солнца, а не по орбите вокруг Солнца с возмущением со стороны планеты (см. [6]). Радиус сферы влия¬ ния определяется как г3 = ац2/5, (4.1) где а — начальная большая полуось планеты, а \± — отношение массы пла¬ неты к массе Солнца. Этот критерий немного отличается от того, который
170 М. Дж. Холман и Д. Виздом был использован в работе [15]: гs = а(2д)2/5 « 1.32ад2/5. (4.2) Мы не считаем, что точный размер сферы влияния важен для получения качественных результатов. Хотя планетезималь может испытать сближение с планетой без катастрофы, орбитальные элементы частицы подвергнут¬ ся радикальным изменениям. Кроме сближений с планетами, мы проверя¬ ем наличие у пробных частиц параболических и гиперболических орбит. В процессе интегрирования перед сближением с планетами у пробных ча¬ стиц не было обнаружено никаких неэллиптических орбит. 5. Изучение точек Лагранжа внешних планет В этой части нашего исследования мы изучаем эволюцию (на интер¬ валах времени до 20 млн лет) около 4000 пробных частиц, распределенных вблизи точек Лагранжа внешних планет. Для пробных частиц задается такой же эксцентриситет, наклонение, долгота восходящего узла и средняя анома¬ лия, как у одной из планет группы Юпитера. Аргумент перицентра отклонен от аргумента планеты на угол из широкого диапазона значений. Начальные большие полуоси пробных частиц равны большой полуоси планеты, умно¬ женной на «множитель большой полуоси», находящийся в пределах от 0.96 до 1.04. В первоначальном исследовании аргумент перицентра изменялся от 0° до 360° с шагом в 5°; множитель большой полуоси изменялся от 0.96 до 1.04 с шагом в 0.01. Для подробного изучения наиболее интересных областей были использованы дополнительные начальные условия. Выбор начальных условий первоначально помещает пробные частицы в плоскость соответствующей планеты. Идея изменения начального значения большой полуоси принадлежит Иннанену и Миккола [21], которые впервые исполь¬ зовали эту методику для изучения устойчивости пробных частиц в треуголь¬ ных точках Лагранжа Сатурна. Частицы с таким же начальным значением большой полуоси, как и у планеты (множитель большой полуоси равен 1.0), и отклонением аргумента перицентра от 60° до —60° могут сохранять эту конфигурацию, если пренебречь возмущением со стороны всех планет, кроме рассматриваемой. Пробные частицы, попадающие в сферу влияния планеты или движущиеся по неэллиптическим орбитам, отбрасываются. Используется временной шаг, равный 1 году, мы записываем диапазон от¬ клонений в средней долготе каждой частицы от соответствующей планеты, а также диапазон значений большой полуоси, эксцентриситета и наклоне¬ ния. Эти статистические данные обновляются через каждые 10 временных шагов.
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 171 Для того чтобы определить, не являются ли временной интервал и ин¬ тервал между обновлениями диапазона элементов слишком длинными, мы повторили одно из исследований для троянцев Юпитера с временным ша¬ гом 0.5 года и 5 временными шагами между обновлениями статистических данных. Результаты оказались качественно аналогичными тем, которые бы¬ ли получены с использованием временного шага в 1 год и 10 временными шагами между обновлениями статистических данных. На рис. 1 мы нанесли точку для каждой пробной частицы, сохранив¬ шейся в течение всего интегрирования (на протяжении 20 млн лет). По осям отложены отклонение аргумента перигелия от планеты в качестве начальной долготы и множитель большой полуоси. Области устойчивости окружают треугольные точки Лагранжа каждой из внешних планет. Ранее Иннанен и Миккола [21] обнаружили, что пробные частицы, помещенные вблизи треугольных точек Лагранжа Сатурна, Урана и Нептуна, могут выдержать интегрирование на протяжении 10 млн лет, но теперь у нас имеется дву¬ мерное представление начальных условий для пробных частиц, которые выдерживают интегрирование на протяжении 20 млн лет без сближений с планетами. Ряд устойчивых начальных условий окружает каждую треугольную точку Лагранжа, однако это не означает, что пробные частицы ограниче¬ ны в этих областях. В действительности в процессе интегрирования дол¬ гота даже помещенных первоначально в точки L4 и L5 пробных частиц может изменяться в широком диапазоне по отношению к соответствующей планете, например. 35° для точки L4 Нептуна. Для частиц, помещенных первоначально дальше от точек Лагранжа, долгота может изменяться даже в большем диапазоне, в некоторых случаях 100°! Анализ рис. 1 немедленно вызывает ряд вопросов. Чем определяется очертание областей устойчивости? Почему области устойчивости точек L4 и L5 Сатурна имеют промежутки в центре, в то время как другие — нет? Иннанен и Миккола [21] рассматривали резонанс между Юпитером и Сатур¬ ном, близкий к 5:2, в качестве возможной причины неустойчивости вблизи треугольных точек Лагранжа Сатурна. Что является причиной очевидной асимметрии областей Li и Ьъ Нептуна? Хотя мы и не ожидаем полной симметрии областей устойчивости в силу асимметрии планетарных фаз, в случае Нептуна асимметрия является ярко выраженной. Можно ли оце¬ нить фазовый объем области устойчивости с целью предсказания возмож¬ ности наблюдения материи в этих точках? Является ли устойчивость этих областей только кажущейся, и не исчезнут ли области при дальнейшем интегрировании? Очевидно, необходимы дальнейшие исследования, однако на данный момент было установлено, что для довольно значительного диа¬
172 М. дж. Холман и Д. Виздом пазона начальных условий пробные частицы возле точек L4 и L5 Сатурна, Урана и Нептуна, т акже как для Юпитера, могут выдержать интегрирование без сближения с планетами на интервалах времени до 20 млн лет. 6. Исследование инвариантной плоскости В этой части исследования мы разместили 3000 пробных частиц на ге¬ лиоцентрических круговых орбитах в инвариантной плоскости [5]. Началь¬ ная долгота каждой из пробных частиц имела одно из следующих значений: 0, 37г/10, 7 тг/10,11тг/10, 157Г/10 и 197г/10 радиан, отложенных от оси х си¬ стемы координат [5]. Вдоль каждого из шести значений мы равномерно распределили 500 пробных частиц в диапазоне от 5 до 50 а. е. В описан¬ ном выше методе симплектического отображения каждая пробная частица эволюционирует в поле Солнца и планет группы Юпитера. Внутри орби¬ ты Нептуна интегрирование было расширено на интервал до 800 млн лет, а вне орбиты Нептуна — до 200 млн лет. Временной шаг интегрирования составляет 1 год. В процессе интегрирования минимальное и максималь¬ ное значения большой полуоси, эксцентриситета и наклонения для каждой пробной частицы обновлялись через каждые 100 временных шагов. На рис. 2 и в таблице 1 представлены результаты интегрирования для инвариантной плоскости. На рис. 2 время жизни каждой пробной частицы представлено как функция начальных значений больших полуосей для всего диапазона изученных значений. Как указывалось выше, каждый столбец на большой полуоси соответствует шести пробным частицам, первоначально имеющим различную долготу на инвариантной плоскости. Столбцы отмеча¬ ют наименьшие из шести значений времени до удаления частицы. Времена существования оставшихся 5 пробных частиц отмечены небольшими точ¬ ками. Точки наверху представляют пробные частицы, просуществовавшие на протяжении всего интервала интегрирования. Следует обратить внимание на несколько особенностей рис. 2. Пи¬ ки при значениях больших полуосей планет 5.2, 9.5, 19.2 и 30.1 а. е. со¬ ответствуют пробным частицам, либрирующим около треугольных точек Лагранжа. Вокруг каждого из этих пиков располагается ряд значений боль¬ ших полуосей, при которых пробные частицы быстро сближаются с одной из планет. Ширина этих областей хорошо соответствует диапазону значе¬ ний больших полуосей возле планеты, в котором пробная частица должна испытывать сильное хаотическое движение в силу перекрытия резонансов средних движений [8]. Полуширина примерно равна Да ~ 1.5а/х2/7, (6.1)
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 173 Области устойчивости для точек Лагранжа Юпитера 20 млн. лет 120 180 240 Начальная долгота (град.) Области устойчивости для точек Лагранжа Сатурна 360 Начальная долгота (град.) Рис. 1. Нанесены точки для каждой пробной частицы, сохранившейся в течение всего интегрирования, на протяжении 20 млн лет. По осям отложены: начальное отклонение по долготе от соответствующей планеты и множитель, который следует применить к большой полуоси планеты для получения начальной большой полуоси пробной частицы. Вблизи треугольных точек Лагранжа каждой из рассмотренных планет лежат двумерные области устойчивости
Множитель большой полуоси Множитель большой полуоси 174 М. Дж. Холман и Д. Виздом 1.04 1.03 1.02 1.01 0.99 0.98 0.97 0.96 О 60 120 180 240 300 360 Начальная долгота (град.) 1.04 1.03 1.02 1.01 1 0.99 0.98 0.97 0.96 0 60 120 180 240 300 360 Начальная долгота (град.) Области устойчивости для точек Лагранжа Нептуна 20 млн. лет Области устойчивости для точек Лагранжа Урана 20 млн. лет Т 1 1 1 ■ 1 ■ 1 ■ ■ Рис. 1. Продолжение
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 175 Начальная большая полуось (а.е.) Рис. 2. Представлено время жизни каждой пробной частицы как функция началь¬ ного значения большой полуоси. Каждый столбец диаграммы на большой полуоси соответствует 6 пробным частицам, первоначально имеющим различную долготу. Высота вертикального столбца отмечает наименьшее из шести значений времени до удаления частицы. Времена существования оставшихся 5 пробных частиц отмечены небольшими точками. Разброс точек дает представление о диапазоне времен уда¬ ления частиц для любой заданной большой полуоси. Точки наверху представляют пробные частицы, просуществовавшие на протяжении всего интервала интегри¬ рования. Пики при значениях больших полуосей планет 5.2, 9.5, 19.2 и 30.1 а.е. соответствуют пробным частицам, либрирующим по орбите троянцев или подко¬ вообразной орбите перед тесным сближением с планетой; внутри орбиты Нептуна интегрирование было расширено на интервал до 800 млн лет, а вне орбиты Неп¬ туна — до 200 млн лет. За 43 а. е. все пробные частицы выдержали весь период интегрирования
176 М. Дж. ХОЛМАН и Д. Виздом Таблица 1. Число частиц в каждом диапазоне значений большой полуоси. В табли¬ це представлено число сближений с каждой из планет, число оставшихся частиц и общее число частиц в каждом диапазоне значений большой полуоси ^min Я max Юпи Сат Ура Неп ост. всего Юпитер 5.00 - 6.35 75 3 1 1 10 90 Юпитер-Сагурн 6.35 - 8.24 33 92 1 0 0 126 Сатурн 8.24 - 10.94 2 176 2 0 0 180 Сатурн-Уран 10.94-17.60 1 164 272 7 0 444 Уран 17.60 - 20.93 0 0 214 5 3 222 Уран-Нептун 20.93 - 27.50 0 0 194 238 6 438 Нептун 27.50- 32.81 0 0 4 345 5 354 за орбитой Нептуна 32.81 - 50.00 0 0 0 266 880 1146 где а — значение большой полуоси планеты, (i — отношение масс планеты и Солнца. В [15] получено выражение для диапазона значений больших полуосей в ограниченной задаче трех тел, в которой значение постоянной Якоби допускает превращение первоначально круговых орбит в орбиты пересечения. Выражение для полуширины в этом исследовании имеет вид А а « 2.1 а/х1/3. (6.2) Оба выражения достаточно хорошо предсказывают область быстрого уда¬ ления частиц, хотя оценка, основанная на рассмотрении области хаоса, в общем случае более верна по двум причинам. Во-первых, одно только значение постоянной Якоби не определяет, являются ли определенные ор¬ биты квазипериодическими или хаотическими. Для ограниченной задачи трех тел имеется обычное разделенное фазовое пространство с хаотиче¬ скими и квазипериодическими орбитами для каждого значения постоянной Якоби [17]. Орбиты обычно не занимают все фазовое пространство, разре¬ шенное значением постоянной Якоби. В действительности достоверность вычислений области пересечения основывается на том, что область хаоса обширнее области пересечения, подразумевая, что орбиты, которые рас¬ сматриваются при вычислении зоны пересечения, являются хаотическими и могут проходить через все фазовое пространство, в которое включены ор¬ биты пересечения. Во-вторых, при рассмотрении возмущений со стороны всех планет постоянной Якоби не существует, и вычисления не допускают строгого обобщения. Единственное возможное обобщение — по аналогии.
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 177 С другой стороны, оценка размера хаотической области перекрытия резо¬ нансов все еще справедлива в более широком смысле. Более того, оцен¬ ку можно вычислить с большей точностью, рассматривая резонансы более высоких порядков, выбирая в качестве источников возмущений планеты. В исследовании [15] было принято решение не исследовать области пе¬ ресечения планет. В нашей работе пробные частицы были размещены на расстояниях от 5 до 50 а. е. без всяких промежутков. На самом деле это не слишком дорогостоящее решение, поскольку пробные частицы из этих областей быстро удаляются из процесса интегрирования. Затратив немного больше усилий, мы получили законченную картину. Как видно на рис. 2, большинство пробных частиц, находившихся пер¬ воначально между Юпитером и Сатурном, сближались с планетами на ин¬ тервале времени от 104 до 105 лет. На интервале до 106 лет из области Юпитер-Сатурн были удалены все пробные частицы; большая часть этих частиц испытала сближение с Юпитером и Сатурном; некоторые из частиц сблизились с Ураном или Нептуном. Впервые область между Юпитером и Сатурном была исследована в процессе численного моделирования за¬ дачи п тел, включающей в качестве источников возмущения все планеты- гиганты. Несмотря на добавление в качестве источников возмущения Урана и Нептуна, наши результаты качественно подобны результатам ряда дру¬ гих исследований устойчивости пробных частиц в области Юпитер-Сатурн с применением иных моделей и методов. В исследовании [15] было установлено, что удаление пробных частиц со средними значениями начальных наклонений орбит в области Юпитер- Сатурн в результате сближений с планетами начиналось позже, чем для ча¬ стиц, первоначально размещенных в плоскости, однако далее этот процесс происходил быстрее. В конечном итоге оказалось, что по истечении 105 лет число сохранившихся пробных частиц примерно такое же, независимо от начального наклонения орбит. Это доказывает, что ограничение начальных условий для пробных частиц инвариантной плоскостью не должно исказить результаты всего моделирования, хотя для подтверждения этого предполо¬ жения следует изучить большую часть фазового пространства. По истечении 800 млн лет не остается ни одной пробной частицы, пер¬ воначально помещенной в область между Сатурном и Ураном; на протяже¬ нии всего процесса интегрирования сохранилось только 6 пробных частиц между Ураном и Нептуном. На рисунке видно, что большая часть проб¬ ных частиц в областях Сатурн-Уран и Уран-Нептун удаляется из процесса моделирования на интервале 107 лет. За исключением нескольких проб¬ ных частиц, либрирующих около треугольных точек Лагранжа Нептуна, область, окружающая Нептун, быстро истощается, что примерно соответ¬
178 М. Дж. Холман и Д. Виздом ствует размеру зоны хаоса, описанной выше. В области, находящейся далее за Нептуном, многочисленные частицы сближаются с планетами на интер¬ вале 200 млн лет. Таким образом, доказывается истощение гораздо более обширной области, чем ранее при рассмотрении более коротких интервалов времени. В исследовании [37] для частиц с начальным перигелием на расстоя¬ нии до 2 а.е. от Нептуна в течение 10 млн лет наблюдалось пересечение с орбитой Нептуна. В работе [15] проводилось численное интегрирование 20 пробных частиц, равномерно распределенных на расстояниях от 32.8 до 40 а. е., на интервале 22.5 млн лет. Три пробные частицы между 32.8 и 33.7 а.е. сблизились с Нептуном, однако орбиты остальных пробных ча¬ стиц с большими полуосями от 33.7 до 40 а. е. оставались почти круговыми на протяжении всего интегрирования — 22.5 млн лет. Для сравнения, мы на¬ блюдали, что 42 из 60 пробных частиц в интервале 32.8-33.7 а. е. испытали сближение с планетами на интервале 22.5 млн лет. Также было получено, что только 23 из 420 пробных частиц с начальными значениями больших полуосей от 33.7 до 40 а. е. сблизились с планетами в течение 22.5 млн лет. Если следовать результатам исследования [15], должно наблюдаться 2-3 сближения для частиц из интервала 32.8-33.7 а.е. и менее одного — для частиц с осью, большей 33.7 а.е. Более того, нами не наблюдалось тес¬ ных сближений с планетами для пробных частиц далее 39 а. е. до 22.5 млн лет. Таким образом, полученные нами результаты согласуются с ре¬ зультатами [15] и [37]; истощение областей до 32 а.е., наблюдаемое нами, начинается позже. Заметим, что области, полученные в [15] и в [37], в которых происходит пересечение с орбитой Нептуна схожи и приближенно соответствуют обла¬ сти хаоса вокруг Нептуна, предсказанной перекрытием резонансов первого порядка средних движений (см. (6.1)). За данной областью в этих двух ис¬ следованиях для пробных частиц, имеющих первоначально почти круговые орбиты, сближение с Нептуном не наблюдалось. В нашей работе показано, что интегрирование на интервалах в 10-20 млн лет недостаточно для наблю¬ дения существенного истощения области за 33 а.е. В [15] предполагается, что может существовать медленное поверхностное разрушение пояса Кой- пера. Отметим, что происходит не просто разрушение внутренней границы диска, а скорее, весь диск испытывает более интенсивное неравномерное истощение. В связи с удалением пробных частиц с большими полуосями от 40 до 42 а. е. на рис. 3 и 4 обнаруживается скачок максимальных значений эксцентриситета и наклонения для пробных частиц. Без более тщательного
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 179 Рис. 3. Нанесены максимальные значения эксцентриситета для каждой пробной ча¬ стицы в зависимости от начальной большой полуоси. Вертикальные линии отмечают наименьшие из шести значений. Заметны особенности вблизи 41 а.е. и 48 а.е. изучения динамики заметен резонанс 3 : 2 средних движений с Нептуном около 40 а.е. и вековой резонанс около 41 а.е. [18, 23]. Замечен также резонанс 2 : 1 средних движений с Нептуном около 48 а. е. Мы наблюдали явление, описанное в [37], при котором во многих слу¬ чаях орбиты случайным образом перемещались в пространстве больших по¬ луосей и эксцентриситетов примерно вдоль линий постоянного перигелия. Однако подобный характер движения не обнаруживается в более обширной зоне хаоса из [37]. Нами было получено, что для частиц обычно сохраняет¬ ся значение большой полуоси, близкое к первоначальному, в то время как эксцентриситет беспорядочно растет. Только в том случае, если перигелий оказывается вблизи Нептуна, частицы начинают случайным образом следо¬ вать вдоль линий постоянного перигелия. Обычно вслед за этим они быстро сближаются с Нептуном. Реже частицы начинают следовать по другому пути с почти постоянной большой полуосью и меняющимся эксцентриси-
180 25 М. дж. Холман и Д. Виздом 20- Начальная большая полуось (а.е.) Рис. 4. Нанесены максимальные значения наклонения для каждой пробной части¬ цы в зависимости от начальной большой полуоси. Вертикальные линии отмечают наименьшие из шести значений. Также заметны особенности вблизи 41 а. е. и 48 а. е. тетом. Существует два типа траекторий: с почти постоянным перигелием и почти постоянной большой полуосью. Пути с постоянным перигелием чаще ведут к сближению с планетой, однако иногда также соединяют пути с сохраняющимися большими полуосями. Процесс напоминает диффузию Арнольда, где частицы следуют вдоль зон хаоса, связанных с разными ре¬ зонансами [1]. Типичный процесс эволюции представлен на рис. 5. На этом рисунке линии постоянных больших полуосей изображены по диагонали, а постоянных перигелиев — по вертикали. Диагональная часть траектории довольно узкая. На рис. 6 показана зависимость эксцентриситета от вре¬ мени для этой траектории. Таким образом, наше моделирование дает иной механизм сохранения короткопериодических комет, чем исследование [37]. Что касается интервала в 200 млн лет, частицы, сближающиеся с Нептуном на поздних этапах интегрирования, приходят из области за 32 а. е,, находясь перед этим в одной из областей хаоса с сохраняющимися большими полу¬ осями. Нами не наблюдалось сохранения частиц на протяжении длительных
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 181 Перигелий (а.е.) Рис. 5. Нанесены значения эксцентриситета в зависимости от перигелия для типич¬ ной траектории. Линии постоянных больших полуосей изображены по диагонали, а постоянных перигелиев — по вертикали интервалов времени в хаотических областях постоянного перигелия. Таким образом, динамика пополнения короткопериодических комет оказывается более похожей на динамику появления метеоритов из резонансов среднего движения и вековых резонансов в поясе астероидов [40, 43, 14, 41]. Эксцен¬ триситет хаотически возрастает, в то время как большая полуось остается относительно неизменной. Заметим также, что возможна эволюция, противоположная видимой на рис. 5. Малое тело вблизи Нептуна, возможно оторвавшийся спутник, может эволюционировать вдоль пути с почти постоянным перигелием и впослед¬ ствии перейти на один из путей с постоянной большой полуосью, в конеч¬ ном итоге эволюционируя на орбиту с малым эксцентриситетом и большим значением большой полуоси. Сценарий заманчивый, хотя не обязательно имеет практическое значение. В работе [33] недавно было замечено, что при некоторых определенных начальных условиях пробные частицы, по¬ мещенные вблизи треугольных точек Лагранжа Нептуна, перед выбросом следуют по орбитам, похожим на орбиту Плутона.
182 М. Дж. Холман и Д. Виздом Время (млн. лет) Рис. 6. Построена зависимость эксцентриситета от времени для траектории, рас¬ смотренной на рис. 5 Особенно примечательным является то, что времена существования частиц между соседними планетами могут различаться по величине бо¬ лее чем на два порядка. Профиль достаточно неровный. Профиль времен существования за Нептуном очевидным образом ограничен временем ин¬ тегрирования; из его изучения следует, что мы только начинаем наблюдать истощение этой области и что разброс времен существования частиц будет также велик. Таким образом, вероятно, что частицы, находящиеся первона¬ чально на круговых орбитах, сближаются с Нептуном в широком диапазоне времен от примерно 10 млн лет до, скажем, 10 млрд лет. Диапазон вре¬ мен жизни частиц, возможно, захватывает время существования Солнечной системы. Примечателен график зависимости числа оставшихся частиц от вре¬ мени (рис. 7). Количество частиц не уменьшается экспоненциально, как можно было бы предположить. Не обнаруживается также и степенная за¬ висимость. Наилучшим образом уменьшение числа частиц описывается логарифмически! Таким образом, одинаковое число частиц впервые при-
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 183 Время (годы) Рис. 7. Представлен график зависимости числа оставшихся за орбитой Нептуна частиц от времени. Заметно медленное (логарифмическое) убывание ближается к Нептуну за равные интервалы логарифма времени. Не было оснований для предположений о существовании какого-либо определенно¬ го закона убывания числа частиц; каждая частица имеет индивидуальную детерминированную динамику. Логарифмический закон представляет собой просто усредненное описание динамики большого числа частиц. Интересно отметить, что убывание числа частиц по логарифмическому закону подра¬ зумевает максимальное время жизни; это время, по истечении которого все частицы, которые должны встретиться с планетой, уже испытали эти сбли¬ жения. Логарифмическое убывание заметно также и на рис. 2; очевидно, что на этом рисунке примерно одинаковое число точек соответствует рав¬ ным интервалам логарифма времени существования. Иначе говоря, поток новых сближений с Нептуном ослабевает как 1/t, где t — время, прошедшее с момента создания. Если эта тенденция сохранится, можно ожидать, что, например, поток короткопериодических комет 3 млрд лет назад был всего лишь в четыре раза интенсивнее современного. Можно продолжить наши рассуждения и оценить, сколько комет долж¬ но было находиться первоначально в области между 30 и 50 а. е. для созда¬ ния наблюдаемого потока новых короткопериодических комет. Предполагая
Время Ляпунова (годы) Рис. 8. Время до тесных сближений связано со временем Ляпунова для пробных частиц, первоначально находящихся на круговых орбитах в инвариантной плоскости этот поток равным примерно 0.01 в год [11, 7], а также что 0.17 числа ко¬ мет, приблизившихся к Нептуну, становится видимыми [7], мы нашли, что первоначально в этой области существовало порядка 9 х 109 комет и что примерно половина этих комет все еще должна там оставаться. Предпола¬ гая среднюю массу кометы равной 10145 кг [7], текущая масса пояса от 30 до 50 а. е. сравнима с верхним пределом в примерно 0.2 массы Земли, которая помещалась на место пояса Койпера при моделировании возму¬ щений орбиты кометы Галлея [16, 19]. Наша оценка, конечно, является довольно грубой; например, экстраполированный поток может отличать¬ ся от действительного в несколько раз, и в нашем исследовании рассмат¬ риваются только первоначально круговые орбиты в инвариантной плос¬ кости. Оценку можно улучшить посредством более длительного интегри¬ рования.
Динамическая устойчивость во внешней Солнечной системе 185 В работах [26, 27] была обнаружена интересная взаимосвязь между максимумом экспоненты Ляпунова и временем пересечения орбиты плане¬ ты для пробных частиц во внешнем поясе астероидов и в области между Юпитером и Сатурном. Сообщалось о найденном степенном соотношении между этими величинами. В экспериментах наилучшим показателем степе¬ ни в соотношении между временем сближения и временем Ляпунова являл¬ ся показатель 1.8. На рис. 8 показана связь времени Ляпунова (величина, обратная максимуму экспоненты Ляпунова) и времени тесного сближения с планетой для пробных частиц в нашем исследовании. Мы нашли, что время до тесного сближения с большей вероятностью почти прямо пропор¬ ционально времени Ляпунова, а именно пропорционально с показателем степени до 1.4. Для оценки времени до сближения для объектов, оста¬ ющихся в области за орбитой Нептуна, может быть использовано строгое соотношение, основанное на измеряемых временах Ляпунова, что приводит к другой оценке потока из этой области. Однако времена удаления частиц колеблются по величине в диапазоне более двух порядков для любого задан¬ ного значения времени Ляпунова, ограничивая ожидаемые значения времен до тесного сближения примерным диапазоном значений. Более прямым под¬ ходом для улучшения оценки потока является расширение интегрирования на интервал времени до 4.6 млн лет. 7. Заключение На интервалах времени до 20 млн лет нами не было найдено под¬ тверждений того, что у Сатурна, Урана и Нептуна не могло сохраниться астероидов-троянцев. Пробные частицы в плоскости орбиты Сатурна и рас¬ положенные вблизи точек L4 и L5 сближаются с планетами на коротких ин¬ тервалах времени, однако частицы, находящиеся дальше от точек Лагранжа, сохраняются в течение всего периода интегрирования. В нашем исследовании пробных частиц было подтверждено, что пробные частицы на первоначально круговых орбитах между Юпитером и Сатурном испытывают тесное сближение с планетами на интервалах в 104-105 лет и удаляются даже при включении в качестве источников возмущений всех четырех планет-гигантов. Нами также обнаружено, что большинство пробных частиц в областях Сатурн-Уран и Уран-Нептун уда¬ ляются из процесса интегрирования на интервале в 10 млн лет, за исклю¬ чением маленьких областей между Ураном и Нептуном, в которых неко¬ торые пробные частицы выдержали полное интегрирование на интервале 800 млн лет.
186 М. Дж. Холман и Д. Виздом Наши результаты дают новое понимание гипотетического пояса комет Койпера за орбитой Нептуна, который, как предполагается, сохранился со времени формирования Солнечной системы. Впервые путем прямого инте¬ грирования было показано, что орбиты малых тел с первоначально малым наклонением и эксцентриситетом, находящихся даже на удалении в 42 а. е., могут эволюционировать в орбиты с эксцентриситетом, достаточно боль¬ шим для сближения с Нептуном на интервале от 10 до 100 млн лет. Когда пробные частицы перемещаются на орбиты, пересекающие сферу влияния Нептуна, значение больших полуосей для них почти не меняется, а эксцен¬ триситет хаотически возрастает. Если малые тела формировались в поясе Койпера, имея почти круговые орбиты, распределение времен до сближения с планетами показывает, что попасть на орбиты с большим эксцентрисите¬ том они могли только сейчас, а следовательно, и быть выброшенными во внутреннюю Солнечную систему под влиянием Нептуна только сейчас. Мы благодарим М. Дейли за помощь в проведении данного исследова¬ ния. Мы также благодарны Г. Дж. Суссману и Дж. Тума за полезное и дру¬ жеское обсуждение. А также хотим поблагодарить К. Иннанена, Г. Куинлэна и С. Тримэйна за полезные советы. Литература [1] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974. [2] Bowell Е. // IAU Circ. No. 5047, 1990. [3] Bowell Е. // IAU Circ. No. 5067, 1990. [4] Candy J., Rozmus W. // preprint, 1990. [5] Cohen C. J., Hubbard E. C., Oesterwinter C. // A. Papers Amer. Ephemeris. - 1973. - Vol. XXII. - Part 1. [6] Danby J. M. A. Fundamental of Celestial Mechanics. — Richmond: Willman-Bell, 1988. [7] Duncan М., Quinn Т., Tremaine S. // ApJ. — 1988. — Vol. 328. — P. L69. [8] Duncan М., Quinn Т., Tremaine S. // Icarus. — 1989. — Vol. 82. — P. 402. [9] Erdi B. // Celest. Mech. - 1978. - Vol. 18. - P. 141. [10] Erdi B. /7 Celest. Mech. - 1979. - Vol. 20. - P. 59.
Литература 187 [11] Fernandez J. A. // Icarus. - 1985. - Vol. 64. - P. 308. [12] Franklin F., Lecar М., Soper P. // Icarus. — 1989. — Vol. 79. — P. 223. [13] Forest E., Ruth R. D. // Physica D. - 1990. - Vol. 43. - P. 105. [14] Froeschle Ch., Scholl H. // AA. - 1986. - Vol. 166. - P. 326. [15] Gladman B., Duncan M. // AJ. - 1990. - Vol. 100. - P. 1680. [16] Hanid S.E., Marsden B.G., Whipple F.L. // AJ. - 1968. - Vol. 73. - P. 727. [17] Henon M. // Bull. Astron. — 1966. — Vol. 1. — № 3. — P. 57. [18] Heppenheimer T. A. // Celest. Mech. — 1979. — Vol. 20. — P. 231. [19] Hogg D.W., Quinlan G.D., Tremaine S. // AJ. - 1991. - Vol. 101. - P. 2274. [20] Holt H. E., Levy D. // IAU Circ. No. 5045, 1990. [21] Innanen K. A., Mikkola S. // AJ. - 1989. - Vol. 97. - P. 900. [22] Kinoshita H. // IAU Circ. No. 5075, 1990. [23] Knezevic Z., Milani A., Farinella P., Froeschle Ch., Froeschle Cl. // Icarus. — 1991. — Vol.93. — P.316. [24] Kowal С. T. // Icarus. - 1989. - Vol. 77. - P. 118. [25] Lecar М., Franklin F. A. // Icarus. — 1973. — Vol. 20. — P. 422. [26] Lecar М., Franklin F. A., Murison M. // AJ. — 1992. — Vol. 104. — P. 1230. [27] Lecar М., Franklin F. A., Soper P. // Icarus. — 1992. — Vol. 96. — P. 234. [28] Levison H., Duncan M. // AJ. - 1990. - Vol. 100. - P. 1669. [29] Levison H. F., Shoemaker E. М., Wolfe R. F. // Lunar Planet. Sci. — 1991. — Vol. XXII. — P. 803. [30] Luu J. X., Jewitt D. // AJ. - 1988. - Vol. 95. - P. 1266. [31] Luu J.X., Jewitt D. // IAU Circ. No. 5611, 1992. [32] Meech K., Belton M. J. S. // AJ. - 1990. - Vol. 100. - P. 1323.
188 М. Дж. Холман и Д. Виздом [33] Mikkola S., Innanen К. // AJ. - 1992. - Vol. 194. - P. 1641. [34] Quinn Т., Tremaine S., Duncan M. // ApJ. — 1990. — Vol. 355. — P. 667. [35] Shoemaker E.M., Shoemaker C. S., Wolfe R. F. In: Binzel R.P., Gehrels Т., Matthews M. S. (Eds.) Asteroids II. — Tucson: University of Arizona Press. - 1989. -P.487-523. [36] Soper P., Franklin F., Lecar М. // Icarus. — 1990. — Vol. 87. — P. 265. [37] Torbett М. V., Smoluchovski A. R. // Nature. — 1990. — Vol. 345. — P. 49. [38] Tombaugh C. W. // In: Kuiper G. P., Middlehurst В. M. (Eds.) Planets and Satellites. — University of Chicago Press. — 1961. — P. 12-30. [39] Weibel W. М., Kaula W. М., Newman W. I. // Icarus. - 1990. - Vol. 83. - P. 382. [40] Wetherill G. W. // Science. - 1968. - Vol. 139. - P. 79. [41] Wetherill G. W. // Phil. Trans. R. Soc. London A, 1987, Vol. 323, p. 323. [42] Wisdom J. // AJ. - 1980. - Vol. 85. - P. 1122. [43] Wisdom J. // Nature. - 1985. - Vol. 315. - P. 731. [44] Wisdom J., Holman M. // AJ. - 1991. - Vol. 102. - P. 1528. [45] Wisdom J., Holman M. // AJ. - 1992. - Vol. 104. - P. 2022. [46] Yoshida H. // Phys. Lett. A. - 1991. - Vol. 150. - P. 262. [47] Zhang S.-Р., Innanen K. A. // AJ. - 1988. - Vol. 96. - P. 1983. [48] Zhang S.-Р., Innanen K. A. // AJ. - 1988. - Vol. 96. - P. 1989. [49] Zhang S.-Р., Innanen K. A. // AJ. - 1988. - Vol. 96. - P. 1995. Matthew Holman Address: Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics 60 Garden St. , MS 18 Cambridge, MA 02138 Office: A-213, email: mholman@cfa.harvard.edu Jack Wisdom Address: 11 massachusetts avenue, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, ma 02139-4307, email: wisdom@mit.edu
8 Частотный анализ многомерных систем. Глобальная динамика и диффузия 1 Ж. Ласкар Частотный анализ — это новый метод исследования устойчивости ор¬ бит консервативной динамической системы. Изначально он был разра¬ ботан для исследования устойчивости Солнечной системы [11], а затем применен к двумерному стандартному отображению [12]. Это мощный метод для изучения слабо хаотического движения в гамильтоновых системах или симплектических отображений. Для регулярного дви¬ жения с его помощью можно получить аналитическое представление решения. Анализ регулярности частотного отображения относительно пространства действий и их вариаций относительно времени приводит к двум критериям регулярности движения, которые являются верны¬ ми для многомерных систем. Для четырехмерного симплектического отображения построение графиков частотного отображения в плос¬ кости частот позволяет получить ясное представление о глобальной динамике и показывает, что резонансы высокого порядка имеют боль¬ шое значение для понимания диффузии нерегулярных орбит через ин¬ вариантные торы. В частности, для нескольких примеров оказывается, что диффузия вдоль резонансных прямых (диффузия Арнольда) имеет меньшее значение, чем диффузия сквозь резонансные прямые, кото¬ рая может привести к большой диффузии из-за явления перекрытия хаоти¬ 1 Laskar J. Frequency analysis for multi-dimensional systems. Global dynamics and diffusion. Physica D. — 1993. - Vol. 67. — P. 257 -281. Перевод с английского А. Г. Арзамасцева.
190 Ж. Ласкар ческих слоев, относящихся к резонансам высокого порядка. Многие свойства динамики также проясняются с помощью частотного анали¬ за, что потребует дополнительных теоретических исследований для лучшего понимания. 1. Частотный анализ Метод численного анализа фундаментальных частот является мощным численным инструментом для изучения консервативных систем. Он был разработан при исследовании устойчивости Солнечной системы, которая моделировалась с помощью редуцированной (но тем не менее сложной) системы с 15 степенями свободы [11]. В этом случае частотный анализ позволил сделать численные оценки размеров хаотических зон во всех на¬ правлениях 15 степеней свободы и показал, что для внутренних планет (от Меркурия до Марса) хаотические зоны были сравнительно большими, в то время как для внешних планет (от Юпитера до Нептуна) эти зоны были намного меньше. Недавно метод частотного анализа был адаптирован для изучения бо¬ лее общих консервативных динамических систем с несколькими степеня¬ ми свободы. Для демонстрации возможностей этого нового метода с его помощью было проведено исследование хорошо известного стандартного отображения, которое может быть интерпретировано как поверхность сече¬ ния гамильтониана с двумя степенями свободы [12]. Для этого монотонного закручивающего отображения удалось вывести простой критерий для несу¬ ществования инвариантных торов с иррациональными числами вращения. При приложении этого критерия для изучении разрушения золотой окруж¬ ности оказалось, что она перестает существовать, когда параметр отображе¬ ния достигает значения 0.9718, что очень близко и согласуется со значением, полученным Грином [7] (ас = 0.971635). Эта работа, по существу, является описательной и посвящена прило¬ жениям метода частотного анализа к системам с несколькими степенями свободы (больше двух степеней свободы) и, в частности, консервативным системам с тремя степенями свободы. Частотный анализ выявляет много ранее неизвестных свойств и поднимает много новых вопросов. Для облегчения компьютерных экспериментов мы будем рассматривать здесь только четырехмерные симплектические отображения, которые могут рассматриваться как отображение Пуанкаре гамильтоновой системы с тремя степенями свободы. Мы увидим, что в этом случае частотный анализ поз¬ воляет получить квазипериодические аппроксимации регулярных решений и в общем случае описывает глобальную динамику системы чрезвычайно
Частотный анализ многомерных систем 191 экономичным образом. Частотный анализ также позволяет очень точным образом изучить диффузию орбит и в некотором смысле визуализировать очень сложную структуру определенных инвариантных множеств. 1.1. Метод частотного анализа Пусть оо m = Y,akeiVki к=1 — квазипериодическая функция времени t со значениями в комплексной области, где амплитуды убывают при росте к. Частотный анализ — это метод для получения аппроксимации /'(*) = Еа*еЧ‘ к=1 с заданным числом слагаемых N, основанный на знании численных значе¬ ний f(t) на конечном временном интервале [—Т, Т] [10, 11, 12]. Частоты vk и комплексные амплитуды а'к вычисляются с помощью ите¬ рационной схемы. Работы, приведенные в ссылках, полностью описывают этот метод, и здесь мы набросаем его лишь в общих чертах. Для определе¬ ния первой частоты ищется максимум амплитуды Ф{°) = (/(*),ега‘)> (1-1) где скалярное произведение (f(t),g(t)) определяется формулой т = J f(t)g(t)x(t)dt, (1.2) -т т где x(t) — весовая функция, т. е. положительная функция с (1/2Т) Jx(t) dt = -т = 1. Для всех вычислений мы используем фильтр окна Хеннинга, т. е. x{t) = 1 + cos(7r£/T), (1.3) хотя могут быть использованы и другие весовые функции. После того как найден первый периодический член elVlf\ его комплексная амплитуда о!х
192 Ж. Ласкар находится с помощью ортогональной проекции и процесс вновь начинается на оставшейся части функции fi(t) = f(t) — а,1егу^г. Поскольку все различ¬ ные функции elUkt не являются ортогональными, необходимо ортогонали- зировать множество функций (elUkt)k при итерационном проектировании / на ег,/к*. Этот численный метод также связан с некоторыми простыми средства¬ ми контроля точности аппроксимации. Действительно, если f'(t) — хорошая аппроксимация /(£), то при повторном частотном анализе /'(£) получим но¬ вую аппроксимацию /'(£) вида /"(*) = к=1 Величины Sak = \ак — о!к\ и $1Ук = Wk — vk\ позволяют безошибочно опре¬ делить точность вычисления амплитуд а'к и частот i/k функции /'(£), полу¬ чаемых при применении алгоритма частотного анализа. Если f(t) близко к /'(£), то те же самые величины могут рассматриваться как оценки точно¬ сти вычисления амплитуд и частот ик исходной функции /(£). Когда коэффициенты быстро убывают, алгоритм частотного анализа позволяет выполнить очень точное вычисление старших частот, на несколь¬ ко порядков величины лучше, чем при использовании обычного быстрого преобразования Фурье. В частности, использование окна данных Хеннин¬ га гарантирует, что для квазипериодических функций точность вычисления основных частот будет пропорциональна 1/Т3, а для обычного метода бы¬ строго преобразования Фурье точность вычисления основных частот будет пропорциональна только 1/Т, что подчеркивает преимущество нового ме¬ тода. 1.2. Частотный анализ интегрируемой гамильтоновой системы В случае интегрируемой системы с п степенями свободы после све¬ дения к переменным действие-угол Jj, 6j гамильтониан зависит только от действий J\, Jo,..., Jr7: H(J, в) = Ho(J), (1.4) где (J) используется для обозначения (Ji, J2, • • •, Jn) и (#) — Для ($ъ $2, • • • ...,вп). Таким образом, уравнения движения для всех j = 1,..., п имеют вид jj= О, = ^(J). (1.5)
Частотный анализ многомерных систем 193 Движение в фазовом пространстве происходит по соответствующим то¬ рам, произведениям окружностей с постоянными радиусами Jj, которые описываются с постоянной скоростью Теперь предположим, что мы по-прежнему рассматриваем интегрируемую систему, но наши переменные лишь близки к переменным действие-угол. Например, мы можем сделать замену переменных (zj)j i—> (z'-)j где Zj — Jj exp(z0j), a z^ = Jj exp(z0j) = = где fj — аналитическая функция, близкая к тожде¬ ственной. Все движения остаются на торах, но проекции орбит на плос¬ кости (Jj,0j) больше не являются правильными окружностями. Если мы построим график переменной типа действие Jj относительно времени, мы получим кривую, вариации которой не будут представлять собой вариации действия J3, которое в действительности является константой. Мы не ис¬ пользуем надлежащие переменные, и постоянство действий Jj не видно непосредственно на этих графиках. Но с другой стороны, анализ частот этой системы по-прежнему возможен. В случае невырожденной интегрируемой системы (т. е. с ненулевым гессианом \d2Ho/dJ2\ Ф 0 на исследуемой области) мы можем обратить соотношения (1.5) и использовать частоты системы в качестве параметров Частоты являются константами на орбитах, и частотный анализ Zj(t) поз¬ волит нам непосредственно получить частоту uj и, таким образом, посред¬ ством (1.6) эквивалентную характеристику действий. Основное преиму¬ щество этого метода заключается в том, что он будет действенным, если мы используем измененные переменные Jj,0j. Частотный анализ z'j(t) по- прежнему позволит нам получить значения фундаментальных частот Vj, а тем самым и действий Jj, хотя мы не используем переменные действие- угол, поскольку Uj остается фундаментальной частотой Zj(t). 1.3. Частотная кривая для маятника В этом параграфе мы изучим частотное отображение для простого маятника, другими словами, приложение, которое связывает вещественное число вращения с каждым значением переменной типа действие. Гамиль¬ тониан маятника имеет вид Jj = Fj{v1,v2, .. .,vn). (1.6) Н = ф2 — a cos q. (1.7) Пусть Н — значение энергии. Нас интересует пересечение орбит с вер¬ тикальной прямой, т. е. с прямой, где q постоянно (рис. 1а). Для данного
194 Ж.Ласкар значения Н гамильтониана пусть рогс — значение р при q = 0 и р^н — значение р при q = тт. Тогда W — а = + а’> (1-Ю энергия сепаратрисы TLS = а. Ввиду симметрии мы можем рассматривать только половину фазового пространства ср^Оиа^О. Период орбиты вращения равен Т(П) = V2 [ ■■■■ dq J л/Н 4- a cos q (1.9) с соответствующей частотой 2тг/Т(Н)9 а частота (вращения) орбит либра¬ ции равна нулю. Рассмотрим вертикальную прямую, проходящую через гиперболиче¬ скую точку q — 7г. В этом случае Н = 4- а и период относительно р равен 1Цр) = —==1С (4/-2ХГ , (1-10) \Jр 4- 4а \у Р 4- 4а у где /С(/с) — эллиптическая функция 7Г/2 ВД = / deb V (1.11) \/l — к2 sin2 ф Когда /с —> 1 , функция /C(fc) ~ 1п(4/(1 — /с2)1/2) (см. к приме¬ ру [13, стр. 27]) и мы получаем асимптотическое выражение для часто¬ ты гуп(р) = 2тг/Т7Г(р): ^(Р)И_7Г1^’ Р~*°+’ (1.12) р^+ОО. График частотной кривой щ(р), соответствующей вертикальной пря- мой 9 = 0, также приводится на рис. 1. Частота тождественно равна нулю при р2 < 4а и щ(р) = vnг(\/р2 — 4а) в противном случае.
Частотный анализ многомерных систем 195 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -4 -2 0 2 4 Р 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 ■!■■■! -4 -2 0 2 4 Р Рис. 1. (а) Фазовое пространство простого маятника И = р2 — cos q. (b) Частотные кривые Vtt(p) и ^о(р), задающие частоту вращения как функцию от р при q = л и q = 0. (с) Численная оценка производной второго порядка от ZAr(p) и ио(р), полученная при шаге h = 0.01 и 66и(р) = и(р) — 2и(р — а) + и(р — 2К) Эти две кривые играют важную роль, поскольку они описывают общее поведение частотных кривых при наличии резонанса. Кривая щ (р) описы¬ вает поведение при прохождении через гиперболическую точку, a vo(p) — поведение на эллиптическом острове. Следует отметить, что ввиду логариф¬ мической сингулярности кривые, соответствующие интервалам действия порядка 0(е~1^), соответствуют интервалам частоты порядка О (у/е) в окрестности гиперболической точки. Таким образом, существование ха¬ отической области будет намного более заметным в области частот, чем в области действий.
196 Ж. JTACKAP 1.4. Неинтегрируемые системы В случае неиитегрируемых систем, например возмущенного маятни¬ ка, не все решения являются квазипериодическими, но при определенных условиях, например при выполнении условий КАМ теорем, по-прежнему существует много таких квазипериодических решений. Для этих решений, применяя частотный анализ, мы будем получать такие же результаты, что и для интегрируемых систем. Мы можем предположить, что с точностью до погрешностей при вычислении решений частотный анализ позволяет получить вектор частот для решения и его представление в виде квазипе- риодического разложения. В этом случае, как и раньше, точность представ¬ ления должна увеличиваться при использовании более долгих временных интервалов [О, Г]. Для начальных условий, которые не приводят к квазипериодическим решениям, вышеприведенные соображения больше не являются верными, однако частотный анализ по-прежнему будет давать нам полезную ин¬ формацию. Даже если орбита не является регулярной (не квазипериоди- ческая), в случае почти интегрируемых систем решение будет выглядеть очень регулярным на конечном временном интервале. Более точно, это будет происходить, если временной интервал меньше, чем характеристи¬ ческое время расхождения близких орбит. В этом случае с помощью ча¬ стотного анализа можно получить квазипериодическое приближение к ре¬ шению, которое будет верным лишь локально по времени. Другими сло¬ вами, мы получим вектор частот щ{\t) для каждого значения t9 применяя алгоритм частотного анализа на временном интервале [t,t + Т]. В слу¬ чае квазипериодического решения щ{€) не зависит от t9 а для нерегу¬ лярных решений иг(т) будет изменяться с течением времени, показывая диффузию орбиты в фазовом пространстве. Частоты используются здесь вместо переменных действия для более точного слежения за диффузи¬ ей орбиты.. 1.5. Двумерное закручивающее отображение Сначала рассмотрим случай симплектического закручивающего отоб¬ ражения на R2. Во многих случаях исследование гамильтониана с двумя степенями свободы можно свести к этой задаче, используя поверхность сечения. В качестве примера рассмотрим широко изучаемое стандартное отображение: х' = X - о sin у, mod (27Г). г/ = х' + у, mod (2п).
Частотный анализ многомерных систем 197 Это отображение было введено Чириковым [3] для моделирования дви¬ жения заряженной частицы в осесимметричной магнитной бутылке. Рас¬ сматриваемое как динамическая система, оно не является интегрируемым и приводит к обычным проявлениям консервативной динамики с инвари¬ антными кривыми, хаотическими областями и эллиптическими островами. В [12] с помощью частотного анализа такого монотонного закручивающего отображения был получен простой критерий исчезновения иррациональных кривых. Критерий основан на двух следующих фундаментальных результа¬ тах теории Биркгофа для КАМ кривых (кривых с иррациональным числом вращения) стандартного отображения [8, 9, стр. 54]. (1) Вертикальная прямая у — 0 пересекает инвариантные КАМ кривые только один раз, поскольку они являются графиками непрерывных функций. (2) Если два начальных условия х\ < Х2 на вертикальной прямой при¬ водят к КАМ инвариантным кривым с числами вращения v\ и 7/2, тогда 7/i < т/2 (положительное кручение). Для каждого начального условия х на вертикальной прямой у = 0 обо¬ значим через 7Ж орбиту, полученную с помощью итераций отображения, а через + и (ус) частоту, получаемую путем частотного анализа этой орбиты на данном временном интервале. Мы сделаем нестрогое предполо¬ жение, что 7/(х) ^ щ для любой инвариантной КАМ кривой 7ь с числом вращения 7/5, которая расположена ниже 7Х, и что т/(х) ^ va для любой инвариантной КАМ кривой уа с числом вращения иа, которая расположена выше 7Х. Если орбита ух заключена между двумя КАМ кривыми с числами вращения т/а и щ, мы тем самым получаем щ ^ v(x) ^ va и для КАМ кривой частота v(x) будет равна числу вращения с точностью до ошибки вычислений при определении т/(х), которая оценивается путем разложе¬ ния и повторного построения орбиты. При выполнении этих идеальных предположений графики значений 7/(х), вычерчиваемые поочередно вдоль вертикальной прямой у = 0, дают критерий несуществования КАМ кривых. Если существуют два значения х < xf на вертикальной прямой у = = 0, для которых v = v(x) > т/ = v(xr), тогда не существует инва¬ риантных КАМ кривых с иррациональным числом вращения vn таким, что и' < и" < v. Благодаря этому критерию мы получаем очень простой способ узнать, продолжают существовать КАМ кривые или нет путем изучения графиков частотного отображения т/(х), построенных на заданном временном интер¬ вале [О, Т} (рис. 2). На рис. 26, полученном при Г = 12 516, показано исчез¬
198 Ж. JIac кар новение золотой кривой при значении а = 0.9718 параметра отображения, что очень близко и согласуется со значением ас = 0.971635, полученным Грином [7]. 1.6. Размерности большего порядка Предыдущий критерий является очень точным, но сильно зависит от того факта, что система имеет только две степени свободы. В этом случае иррациональные инвариантные кривые разделяют цилиндр на две области и критерий зависит от порядка расположения чисел вращения. Частотное отображение из действий в частоты, определяемое алгоритмом частотно¬ го анализа, задается в точности на канторовом множестве инвариантных торов. Его можно рассматривать как диффеоморфизм на этом множестве, который может быть продолжен в некотором смысле до диффеоморфизма на R2 (см. [14]). Таким образом, хаотические зоны возникают при поте¬ ре регулярности частотного отображения. Это можно ясно увидеть при изучении графиков вблизи золотой кривой для двумерного стандартного отображения (рис. 2с, 2d). При увеличении параметра возникают неко¬ торые искажения частотных кривых. Ввиду вышеприведенного критерия эти искажения позволяют делать утверждения о несуществовании КАМ торов, но эти искажения также в конечном итоге приводят к полной по¬ тере регулярности частотного отображения, что может использоваться как признак хаотического движения. Более того, эта потеря регулярности ча¬ стотного отображения может быть обобщена на более высокие размер¬ ности. Тем самым мы приходим к определению нового индикатора существо¬ вания хаотической области, основанного на регулярности частотного отоб¬ ражения. Мы рассмотрим случай симплектического отображения на М2п, записанного в координатах (х, у), которые близки к переменным действие- угол; это, в сущности, означает, что локально подпространство постоянного угла хо трансверсально инвариантным торам, которые таким образом хоро¬ шо параметризуются переменными типа действие у. Будем считать, что переменные типа угол хо являются фиксированны¬ ми в оставшейся части статьи. Если мы возьмем некоторые начальные усло¬ вия у, то можем провести частотный анализ для орбит, соответствующих начальным условиям (х0, у) (при t = 0) на временном промежутке [t,t + T]. Таким образом, мы определяем отображение FT : R71 х R —> R71 (y,t) -> f(y,t). (1.14)
Частотный анализ многомерных систем 199 OIU охи.О 0X1 С ^а-) 10” (х-х,) 10° Рис. 2. Вариации фундаментальной частоты v для стандартного отображения (1.13) для различных значений параметра а в окрестности золотого числа вращения vq, которое соответствует нулевой пунктирной линии. Начало координат по шкале х произвольным образом принято равным хо = 4.17655. Началом координат для частот является золотое сечение vg — 4(3 — VE). Шаг для и и х равен 10-6. О Если ад < ж2 ч v(x\) > v{0*2), то мы можем сделать заключение, что не существует КАМ инвариантных кривых с иррациональными числами вращения между гДад) и и(х\). На (Ь) мы видим, что инвариантная кривая золотого сечения перестает существовать при а = 0.9718 Анализ частотного отображения Fт необходим для понимания дина¬ мики отображения. Сначала рассмотрим несколько свойств этого отображе¬ ния. Для заданного значения t обозначим через сужение Ft на Жп х и пусть А — множество ^-значений, которые соответствуют инвариантным торам размерности п. (a) Если у 6 А, то F^ постоянна на R (с точностью до погрешностей при вычислении частот). (b) В случае п — 1 для монотонного закручивающего отображения pi для данного значения t отображение Fт : v4 —>• К „ 25) у - f(y,t) (1Л5) является монотонным.
200 Ж. Ласкар (с) Более обще, для заданного t отображение Fт : Л —> Мп у -ЛМ). <1Л6) является регулярным в некотором смысле [14] и является диффеомор¬ физмом в случае невырожденности. Эти три свойства будут использоваться для обнаружения неустойчи¬ вого движения. Свойство (а) уже использовалось при исследовании устой¬ чивости Солнечной системы [11]; (Ь) использовалось при изучении раз¬ рушения золотых торов для двумерного стандартного отображения [12]. Для многомерных систем можно использовать только свойства (а) и (с), и нам следует также рассмотреть их возможные зависимости. 1.7, Регулярность частотного отображения Частотное отображение Fj. должно быть регулярно на множестве Л действий, соответствующих регулярному движению. Для численного иссле¬ дования этого отображения мы выполним частотный анализ орбит при t = 0 (т. е. на временном интервале [0,Т]) для различных начальных условий у. Для простоты опустим верхний индекс и часто будем использовать обозна¬ чение Fт (или даже F) вместо F^ или F^.. В случае двумерного отобра¬ жения (и — 1) основные свойства задачи можно определить из частотной кривой (рис. 2). На рис. 2с, 2d, соответствующих стандартному отображе¬ нию, хаотические области — это те области, где частотное отображение больше не является регулярным (и больше не является диффеоморфизмом). Принимая во внимание исследование частотной кривой маятника, можно также заметить существование островов или пересечений гиперболических точек. Непосредственный анализ частотной кривой также может быть улуч¬ шен путем численного вычисления производных частотной функции. Ча¬ стотная функция F(у) должна быть класса С°° на Л. В действительности, поскольку мы выполняем численное исследование, это означает лишь, что существует несколько производных. Из этого также следует, что эти про¬ изводные являются ограниченными и мы будем предполагать, что все они порядка единицы. Оценка первой производной F(у) может быть вычислена, используя формулу SF(y) = F{y) - F(y -h) = KF'(S) при £ € [у - 2h,y], (1.17)
Частотный анализ многомерных систем 201 и оценка второй производной численно задается формулой 66F(y) = F(y)-2F(y-h)+F(y-2h) = h2F"(ti)npKli£ [у~Ку\- 0-18) Предположим, что ошибка при вычислении F(у) равна е. В этом случае ошибка при вычислении SF(y) равна 2б и ошибка при вычислении SSF(y) равна 4б. Поскольку мы предположили, что первая и вторая производные поряд¬ ка единицы в регулярной области, то для получения релевантного результата нужно, чтобы 2е < h при вычислении первой производной и 4е < h2 при вычислении второй производной. В действительности мы попытаемся добиться того, чтобы регулярное поведение частотной функции находилось на том же уровне, что и шум, возникающий из-за ошибки при вычислении F(г/), поэтому уровень регу¬ лярного поведения будет равен нулю. Если, к примеру, точность вычислений равна 10“8, то наилучший способ вычисления второй производной заклю¬ чается в использовании шага h порядка 10-4. При использовании первой производной было бы необходимо использовать шаг 10-8, который часто является слишком маленьким. На рис. 1с показано численное вычисление второй производной для маятника, а на рис. 3 приводится пример этих вычислений для сечения четырехмерного стандартного отображения (см. §2). На рис. За показана частотная кривая. Можно увидеть некоторые нерегулярности отображения, но их уровень намного меньше, чем изменения частоты отображения. Чис¬ ленная оценка первой производной 5F приводится на (6). Этот график явно показывает нерегулярности отображения, но здесь регулярными измене¬ ниями нельзя пренебречь. График <S<SF приведен на (с). Здесь регулярная структура находится на том же уровне, что и ошибка вычислений, которая, таким образом, может быть приравнена к нулю. В действительности мы вы¬ берем уровень усечения равным, к примеру, бс = 10-7 и примем решение, что все, что меньше еС9 приравнивается к нулю и, таким образом, считается регулярным. Тем самым этот анализ позволяет нам разглядеть нерегулярности ча¬ стотного отображения, и мы будем использовать численную оценку второй производной, полученной этим способом, в качестве индикатора хаотиче¬ ского поведения орбит. В случае большой размерности необходима оценка нормы дифференциала второго порядка, но я обнаружил, что предпочти¬ тельнее использовать норму лапласиана в качестве индикатора нерегулярного поведения частотного отображения.
202 Ж. ЛАСКАР log(//+l.d-10) Уг У2 logCfZ+i.d-io) уг Рис. 3. Анализ регулярности частотного приложения для четырехмерного стандарт¬ ного отображения. Параметры равны а\ = —1.21; аг = —1.01; 6 = 0.01. Начальные условия: х\ = 0\у\ — —\\хъ = 0 и последняя переменная у2 варьируется от 0 до —1.7. На (а) приводится частотная кривая /2. Можно увидеть некоторые нере¬ гулярности отображения, но их уровень намного меньше, чем изменения частоты отображения. Численная оценка первой производной 6F приводится на (6). Этот график явно показывает нерегулярности отображения, но здесь регулярными изме¬ нениями нельзя пренебречь. График приведен на (с). Здесь регулярная структу¬ ра находится на том же уровне, что и ошибка вычислений, которая, таким образом, может быть приравнена к нулю 1.8. Оценка диффузии Частотное отображение Fr(y,t) также может использоваться для ис¬ следования диффузии переменных действия с течением времени. Более точ¬ но, для всех t и если у £ Л переменные действия у связаны с частотами
Частотный анализ многомерных сисгем 203 в области регулярности Л посредством частотного отображения: ш = (FT)i{y,t). (1.19) Вне Л переменные действия в действительности не определены и moivt быть получены лишь с помощью интерполяции действий, определенных на Л. Использование частотного приложения позволит нам избежать этой проблемы: вместо использования переменных действия мы воспользуем¬ ся частотами, заданными частотным отображением. На области регулярно¬ сти Л они однозначно связаны с действиями посредством частотного отоб¬ ражения в любой заданный момент времени t. Для других начальных усло¬ вий, которые соответствуют неустойчивым орбитам, частоты могут быть определены только локально на заданном временном интервале [t,t + Т] и функция t Fт(у,Ъ) будет индикатором диффузии орбиты в фазовом пространстве. Тем самым это измерение диффузии выполняется относи¬ тельно частот, и для невырожденных систем она может быть связана с диф¬ фузией в переменных типа действие. Основное преимущество использования частоты вместо переменных действия заключается в том, что при помощи простого численного алго¬ ритма эти частоты могут быть вычислены очень точно без необходимо¬ сти в замене переменных (см. §1.2). Более того, частотное отображение по-прежнему вполне определено, когда начальные условия не принадле¬ жат Л, пока мы ограничиваемся конечным интервалом [t,t -f Т]. Частоты всегда будут определены с заданной точностью, которая зависит от решения и от длины временного интервала Т, но эта неопределенность также мо¬ жет контролироваться путем реконструкции решения и повторного анализа. Измеряемые изменения частоты должны быть больше, чем эта точность вы¬ числений, чтобы их можно было заметить. Диффузия основных частот с течением времени сначала использова¬ лась для того, чтобы оценить размер хаотической зоны для Солнечной си¬ стемы, и позволила обнаружить, что для вековых частот, связанных с вну¬ тренними планетами, этот размер является большим, что показывает суще¬ ствование крупномасштабного хаотического движения. Здесь мы проведем другое исследование и оценим мгновенную ско¬ рость диффузии в заданный момент времени t, вычислив численную оценку для производной д¥т dt ' Эта оценка получается при вычислении разности F т(у, t + T) — Ft (у, t) для заданного временного сдвига Т. Практически удобно использовать Т = Т,
204 Ж. Ласкар -у 2 -у\ Рис. 4. Сравнение двух индикаторов нерегулярного движения для связанного стан¬ дартного отображения (а\ = ач — —1.3; Ъ — 0.01). Начальные условия: х\ — Х2 — = 0; 2/г = — \/(Ъ4 и последняя переменная у2 варьируется от нуля до внешней хаотической зоны. Численное вычисление обеих частот f\ и /2 второй производ¬ ной относительно действия 6д/г при h = 0.002, а также диффузии с течением времени Stfi чри Т — 1026. Схожесть кривых свидетельствует, что в хаотических областях движение находится в процессе диффузии что дает для диффузии за время Т оценку 5г¥т(у) = Fт(у, £+Т) — F^y, t). Следует отметить, что сдвиг Т должен быть достаточно большим, для того чтобы величина 5tFт{у) стала достаточно заметной относительно точно¬ сти вычисления Ft [у Л), которую можно оценить, используя повторный частотный анализ (см. §1.1). 14а рис. 4 выполнен анализ для случая четырехмерного стандартного отображения (см. §2) для большого числа начальных условий у. Началь¬ ные условия взяты для различных значений у2 для фиксированных значе¬ ний у\ — — у/ОЛ и х\ = Х2 — 0 и для значений параметров а\=а2 = —1.3; 6 - 0.01. Поезроен график сглаженной оценки \d2fi \ду$ при i = 1, 2, выявляющий нерегулярности частотного отображения относи¬ тельно пространства, и на том же самом графике приводится соответствую¬ щая кривая для оценок диффузии частот с течением времени. Рисунок явно демонстрирует похожесть четырех кривых, что является сильным аргумен¬ том в пользу того, что частотное отображение удовлетворяет уравнению
Частотный анализ многомерных систем Стандартное отображение а=-1.3 205 Рис. 5. Двумерное стандартное отображение Г х\ = х\ + asinfxi 4- У\) mod (2тг), < , , v ’ j /с\ V при значении параметра а \ у[ = xi + 2/i mod (2тг) F н н = -1.3 вида з2л Зг/1 = а d_U dt (1.20) которое является характеристическим для процесса диффузии. Фактически столь же поразительным является то, что кривые, соот¬ ветствующие частоте /ь которые определяются только через взаимодей¬ ствие, очень похожи на кривые, соответствующие частоте /2, которые непосредственно изменяются из-за варьирования начальных условий т/2- В частности, во внешней хаотической зоне > 3.6), в которой проис¬ ходит крупномасштабное хаотическое движение (см. рис. 5), мы видим, что SSfi « Stfi ~ bS6f2 ~ bStf29 где b — параметр связи. Следует отметить, что эти графики соответствуют h = 0.002 и Т = 1026. Шкала является ло¬ гарифмической, и следует особо подчеркнуть, что уровни меньше 10-6 для диффузии соответствуют изменению в 10-9 за итерацию и, таким образом, должны рассматриваться как очень регулярные. На этой стадии можно сделать несколько выводов. Нерегулярный ас¬ пект динамики может быть изучен в многомерных задачах путем исследо¬ вания либо регулярности частотного отображения Ft в пространственной области (относительно действий), либо диффузии частот относительно вре¬ мени. Оба подхода (предполагая подходящий размер шага h и сдвига Т),
206 Ж. JlACKAP по-видимому, дают согласующиеся результаты, что можно считать отли¬ чительной чертой процесса диффузии. Более того, возможная диффузия частот, которая происходит из-за непосредственного изменения начальных условий, аналогична изменению частоты, происходящему только из-за взаи¬ модействия. Когда одна степень свободы соответствует крупномасштабной хаотической зоне, диффузия для этой степени свободы — порядка единицы, а диффузия для другой частоты — порядка параметра связи. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Поскольку два индикатора дают приближенно один и тот же ре¬ зультат, то при использовании они могут быть взаимозаменяемы. При вычислении производных второго порядка (описывающих регулярность отображения) обычно необходимо использовать очень малый размер шага h, а вычисление диффузии с те¬ чением времени требует большего числа итераций. 2. Приложение к четырехмерному стандартному отображению В этой второй части мы будем использовать частотный анализ для ис¬ следования глобальной динамики четырехмерного симплектического отоб¬ ражения: =х1 + а1 sin(xi+^i) + 6sin[i(xi+^i+^2 + y2)] mod (2тг), y[=xi+yi mod (2тг), x'2=X2 + ci2 sin(£2 + 2/2) + &sin[i(:£i +У1+Х2 + У2)} mod (27г), у'2 = Х2 + У2 mod (2тг). (2.1) Этот пример выбран, поскольку он может быть реализован на компью¬ тере намного быстрее, чем произвольная гамильтонова система с тремя степенями свободы, но последующий анализ также может быть проведен и в непрерывном случае. Другое приложение четырехмерного симплектиче¬ ского отображения обсуждается в [4], где описывается глобальная динамика модели простого ускорителя частиц. Аналогичное отображение впервые изучалось Фрошле с использовани¬ ем различных методов из [5, 6], где были получены свидетельства диффу¬ зии орбит. Более современные исследования аналогичных задач выполнены Чириковым [3], Лихтенбергом и Либерманом [13], Теннисоном и др. [15], Вудом и др. [17]. С темой нашего обсуждения также связана работа по динамике ускорителей частиц Варнока и Рута [16]. В большинстве только что упомянутых работ основные усилия скон¬ центрированы на исследованиях диффузии орбит. Но основная сложность
Частотный анализ многомерных систем 207 заключается в нахождении хоронлего набора переменных, которые будут точно отражать состояние орбиты. Обычно исследователи пытаются опре¬ делить приближенные действия и затем проследить за эволюцией этих псев¬ додействий с течением времени. К сожалению, за исключением тех случа¬ ев, когда для определения этих переменных действия используется сложная процедура, как в [16], этот анализ может быть только очень грубым и про¬ пускает большую часть более тонких свойств динамики. В частности, ни в одной из работ не приводится подробного описания медленной диффузии орбит. Я утверждаю, что метод частотного анализа, описанный в этой работе, может использоваться в качестве очень простого и эффективного способа исследования глобальной динамики таких динамических систем. 2.1. Частотный анализ отображения Если в (2.1) мы выберем а\ = а<2, то плоскость х\ — Х2, уг = У2 является инвариантной и отображение на этой плоскости задается формулой Г х[ = ,г< (а\ + Ъ) sin(xi + у\) mod (27т), I Ух =■ xi 4 уг mod (2тт), что является стандартным отображением на М2 с параметром а\ + Ь. Та¬ ким образом, существует инвариантная плоскость, являющаяся резонанс¬ ной в этом отображении. Изменение параметров приведет к изменению расположения этого инвариантного множества и изменению расположения резонанса 1:1, но, по-видимохму, предпочтительней иметь возможность простого установления месторасположения этого множества. Таким обра¬ зом, мы выберем а\ — ci2 а. Сначала мы выполним частотный анализ для значения параметра а = = —1.11. График двумерного стандартного отображения при этом значении параметра приводится на рис. 5. Поведение этого отображения является типичным для динамической системы в окрестности эллиптической непо¬ движной точки: в окрестности начала координат существует множество ин¬ вариантных кривых, а при удалении от начала координат возникает крупно¬ масштабная хаотическая область. Четырехмерное отображение представля¬ ет собой всего лишь два таких отображения, связанных с помощью малого параметра Ь. Рассмотрим орбиты с начальными условиями на плоскости х\ = Х2 — 0 и изучим сужение частотного отображения FT : М2 х Ж —» М2 п -> (Jl{y,t),f2(y,t))
208 Ж. Ласкар при t — 0 и при у\ — 2/ю = — \/б74, что соответствует очень регулярной области для двумерного отображения. На рис. 6a-6d построены графики двух кривых 2/2 —> /1(2/10,2/2,0) и 2/2 —> /2(2/10, 2/2,0) при различных значениях параметра связи Ь. Первый рисунок (рис. 6а) соответствует отсутствию взаимодействия. В этом случае частота /1 является константой, а частота /2 меняется при изменении 2/2 как в двумерном отображении на рис. 5. На этой кривой можно ясно уви¬ деть пересечение гиперболической точки периода ^ (точное положение этой периодической точки получается при 2/2 + a sin 2/2 = 0). Поведение частот¬ ной кривой в окрестности гиперболической точки аналогично частотной кривой, полученной для маятника (рис. 1). Масштаб приведенного здесь рисунка недостаточен для обнаружения проявлений неинтегрируемости во¬ круг гиперболической точки [12], но можно увидеть, что частотная кривая становится нерегулярной, когда она подходит близко к внешней хаотиче¬ ской зоне, где частоты начинают очень быстро и беспорядочно меняться. Следующие рисунки (рис. 6b-6d) соответствуют возрастающим значе¬ ниям параметра связи b от 0.0001 до 0.01. Можно легко увидеть появление резонанса 1 : 1 на пересечении двух кривых /1 и /2, который вносит искажения в частотные кривые. Частотная кривая /2 имеет примерно тот же вид, но мы можем заметить разительное возрастание размера действия хаотических зон, которое особенно заметно вокруг ^ для b = 0.01. На этих графиках можно увидеть, что присутствие дополнительной степени свободы, даже когда параметр связи достаточно мал (0.01), полностью меняет динамику задачи и значительно увеличивает размер хаотических зон. Другим важным свойством является тот факт, что частотная кривая /1 больше не является константой, а также демонстрирует значительные иска¬ жения, которые связаны с присутствием хаотических областей для другой степени свободы (^2- 2/2)- Последний рисунок (рис. 6d) соответствует тем же значениям параметров, что и рис. 4. На рис. 4, соответствующем анализу диффузии в обеих степенях свободы, мы уже видели, что когда (хг, 2/2) соот¬ ветствует внешней хаотической зоне двумерного отображения, существует диффузия в /i величиной порядка параметра связи Ь. Это вновь явление того же самого типа, которое может быть замечено на других рисунках, и оно аналогично тому, что наблюдал Фрошле [5] в своих экспериментах с этим отображением. Теперь визуализируем полное частотное отображение F^. Это отобра¬ жение из R2 в R2, но в регулярных областях поведение является не слишком беспорядочным, и можно будет визуализировать отображения, начертив об-
Частотный анализ многомерных систем 209 Рис. 6. Частоты fi (почти горизонтальная кривая) и /2 (диагональная кривая) относи¬ тельно у2 для четырехмерного связанного стандартного отображения (2.1) для ai = = <22 = —1.3; 2/1 = — л/0.4 и различных значений параметра связи Ъ. Можно заме¬ тить, что размер действия хаотического слоя, связанного с резонансом /2 = очень быстро увеличивается при возрастании параметра связи Ь. Существование взаимо¬ действия также приводит к диффузии частоты fi, которая также увеличивается при росте параметра связи Ъ разы прямых с начальными условиями R х 2/2 для различных значений 2/2 • Получившееся в результате изображение приводится на рис. 7 для а\ — — <22 = —1.3 и различных значений параметра связи Ь. Для получения кри¬ вых, которые располагаются на почти равных расстояниях друг от друга, начальные условия взяты для расположенных на равных интервалах значе¬ ний у2 вместо расположенных на равных интервалах значений у. Выбраны 120 линий, содержащих 1200 начальных значений для у\. Это означает, что шаг для начальных значений в десять раз больше по у\, чем по 2/1, что позволяет визуализировать отображение Fт- Для каждого начального усло¬ вия (2/1,2/2) основные частоты /1 и /2 орбиты определяются с помощью
210 Ж. JIackap частотного анализа за 516 итераций и точка с координатами (Д, Д) отмеча¬ ется на графике. В регулярной области образ прямой выглядит как гладкая кривая, чего не происходит в хаотических областях. На этом рисунке, который может рассматриваться как паутина Арноль¬ да отображения, можно ясно увидеть несколько свойств. Диагональная зона соответствует резонансу 1:1. Таюке можно ясно распознать несколько других резонансов. Самым большим из них являет¬ ся резонанс Д = g, выглядящий на этом рисунке как вертикальная полоса, в которой точки расположены нерегулярно, что соответствует хаотическому движению в этой области. Аналогичная горизонтальная резонансная поло¬ са Д = ~ не имеет в точности того же вида из-за асимметрии выборки начальных условий. Частотная картина должна быть симметричной отно¬ сительно диагонали, а здесь некоторые свойства могут быть более заметны в одном направлении, чем в другом. Таюке можно определить другие вер- 1 с о о тикальные резонансные прямые: это соответственно Помимо основных резонансов, как только параметр связи b становится ненулевым, из-за взаимодействия возникают многочисленные резонансные прямые ви¬ да аД + ДД (гДе <+ — целые числа). Эти резонансные пря¬ мые в основном сосредоточены в окрестности наибольших основных ре¬ зонансов, таких как Д = g и Д = но удивительно то, что они часто имеют очень высокий порядок. Они выглядят как прямые, начинающие¬ ся из точки с рациональными координатами, из них наиболее заметны на рис. 7 с Q - (20’7Ч))' Фактически на рисунке изображена па¬ утина Арнольда отображения с описанием фактической силы, связанной с каждой из резонансных прямых. Резонансные прямые существуют на плеч ном множестве частот, но большинство из них имеет пренебрежимо мал ое воздействие и не видны здесь. На этих графиках возникают различные области. Первыми из них яв¬ ляются регулярные зоны с очень гладкими, неискаженными частотными кривыми. Движение в этих областях, вероятно, будет очень регулярным. Затем существует несколько резонансных областей таких, как верхушка зоны Д = i, где точки расположены с равными интервалами по Д, но более беспорядочно по Д. Это, по-видимому, соответствует произве¬ дению хаотического движения по Д на более регулярное движение по Д. В этих зонах, вероятно, возможна диффузия Арнольда. На картинах так¬ же существуют зоны, где точки кажутся беспорядочно распределенными во всех направлениях, что должно соответствовать полностью хаотиче¬
Частотный анализ многомерных систем 211 0.18 /* °'16 0.И 0.12 0 Рис. 7. Визуализация частотной плоскости (/i, /2) частотного приложения при ai = = a2 = —1.3 и различных значениях параметра связи Ъ скому движению. Это происходит, к примеру, во внешней зоне при ма¬ лых /1 и /2, что соответствует крупномасштабному хаотическому движе¬ нию, где большинство торов разрушены даже в задаче без взаимодействия (рис. 7а).
212 Ж. Ласкар Можно заметить, что все резонансные прямые, начинающиеся из А = прямые расположены слишком близко друг к другу, должно существовать явление перекрытия резонансов, которое приводит к появлению наблюдае¬ мой большой хаотической зоны. Теперь мы можем увеличить параметр связи Ь. На рис. Id он равен b = = 0.01, Хаотические зоны, связанные с основными резонансами, увели¬ чились в размере, и резонансные линии, которые не были видны, теперь ясно проявились, начинаясь из Л = нижней левой части графика (с центром в (0.15;0.15)) все резонансные зоны взаимно перекрываются, что приводит к появлению большой хаотической зоны, которую по-прежнему вполне можно отличить от внешней зоны, где существуют крупномасштаб¬ ные хаотические движения (эта зона намного белее на графике). Следует отметить, что даже в хаотических зонах частотный анализ выявляет резо¬ нансные прямые, которые, таким образом, могут быть отчетливо распозна¬ ны. Если мы увеличим параметр связи Ь = 0.1, то хаотическая область станет еще больше и останется только малая область регулярных орбит (рис. 7е). Наоборот, если мы уменьшим параметр связи до 6 = 0.0001, то раз¬ меры хаотических областей уменьшатся и резонансы, возникающие из-за взаимодействия, станут менее заметными. Диагональный резонанс 1 : 1 также менее заметен, хотя его размер не слишком сократился. Также сле¬ дует заметить, что размер основной вертикальной хаотической зоны, воз¬ никающей при fi = по-прежнему намного больше, чем в случае без взаимодействия. 2.2. Регулярность частотного приложения Представление частотного отображения на плоскости частот /ь/2 позволяет выполнить визуализацию глобальных свойств динамики задачи. Массивы точек позволяют связать начальные условия (yi, 2/2) с частота¬ ми (/1, /2)? но можно также визуализировать динамику непосредственно в плоскости начальных условий. Для этого мы будем использовать два «ха¬ отических индикатора», которые были определены в § 1. Первый из них — это мера нерегулярности частотного отображения, задаваемая вычислением нормы второй производной частотного отображения относительно началь¬ ных условий в пространстве. На практике, поскольку размер шага сильно различается в зависимости от направления и благодаря симметрии рассматриваемого отображения, мы имеют связанную с ними резонансную ширину, и, когда эти
Частотный анализ многомерных систем 213 будем вычислять только d2fi ду\ или, более точно, Е <WF(у) = \ fx (у) - 2/i (у - h) + /1 {у - 2h)\ + \f2(y) - 2f2(y - h) + /2(у - 2h)\. Наилучшим способом действия было бы присвоение различных цве¬ тов различным значениям этого индикатора, но такой возможности не бы¬ ло, и цветные графики не так легко воспроизводятся. Был выбран подход, заключающийся в увеличении ординат графиков пропорционально лога¬ рифму индикатора SSF(y). Полученный результат приведен на рис. 8 при значении параметра связи b = 0.01. На этом рисунке ясно видны зоны, которые возникли на рис. Id, кроме того, можно связать точки рис. Id с точками рис. 8. В частности, резонанс¬ ная диагональ видна на рис. 8 как тонкая прямая линия. Все резонансные прямые также видны на рис. 8, на котором они отображаются в виде кри¬ вых. В действительности этот индикатор усиливает некоторые из малых свойств, которые фактически более заметны на рис. 8. Также можно пока¬ зать этот индикатор на частотной плоскости, на которой будет видно меньше резонансных прямых, чем при непосредственном отображении. Из сравнения рис. 7 и рис. 8 также можно извлечь некоторую ин¬ формацию о топотогии резонансов. Действительно, резонансная прямая, соответствующая гиперболическим точкам, появляется на рис. 8 как очень тонкая кривая, а при наличии островов устойчивости эта тонкая кривая разделяется на две кривые, ограничивающие остров. Некоторые большие острова устойчивости также заметны слева и в нижних углах рис. 8. В об¬ щем случае аналогичная информация также может быть замечена на частот¬ ной плоскости, поскольку существование острова устойчивости приводит к появлению прямой внутри резонансной зоны в точном месте располо¬ жения резонанса. На практике видимость и интерпретация этих свойств очень сильно зависят от масштабов и размера шага на рисунке, и для точного исследования резонансов обычно необходим улучшенный локаль¬ ный анализ. Диффузия частоты с течением времени также может быть вычисле¬ на и отображена на рисунках тем же самым способом. Численная оценка диффузии д¥ т dt
-4 -3 -2> -1 О sgn(y)V Рис. 8. Визуализация на плоскости действий (271,2/2) (на рисунке у = у-\ и I = 2/2) нерегулярности частотного приложения путем вычисления производной второго по¬ рядка относительно действий. Можно легко увидеть связь этой картины с рис. Id, который соответствует тем же значениям параметров: а\ = ао = —1.3; b = 0.01 задается формулой Fг {у Л + Т) — Fт('УЛ)- Мы тем самым получаем гло¬ бальную характеристику для скорости диффузии для большого множества начальных условий. Это вновь дает очень ясную картину регулярных обла¬ стей и областей, где резонансы играют важную роль. Эта точная характе¬ ристика может использоваться в очень регулярных системах для получения информации о диффузии на очень больших временных промежутках, как, например, в динамике ускорителей частиц [4] или при исследовании устой¬ чивости планетарных систем [11]. 2.3. Диффузия орбит Предыдущий анализ позволяет получить картину глобальной динамики этого отображения, показывающую фактическую сеть резонансных и хаоти¬ ческих зон с указанием их силы. Теперь мы будем изучать индивидуальные орбиты и посмотрим, как они эволюционируют в фазовом пространстве с течением времени. Начальные условия (271,2/2) теперь фиксированы (как
Частотный анализ многомерных систем 215 Рис. 9. Диффузия через резонансные прямые. (a) Произведение хаотического слоя вокруг изолированных резонансов на регуляр¬ ную область. В этом случае существует быстрая, но ограниченная диффузия через резонансную прямую (диффузия Арнольда будет очень медленной диффузией вдоль резонансной прямой). (b) В случае многих резонансных прямых, исходящих из одной рациональной точ¬ ки, хаотические слои могут перекрываться, что приводит к продолжительной и бы¬ строй диффузии через эти резонансные прямые. В этом случае даже резонансы высокого порядка могут иметь важное значение. (c) Когда резонансные прямые существуют во многих направлениях, диффузия может происходить в продолжении поверхности частотной плоскости и раньше, х\ — Х2 = 0), и мы рассматриваем сужение частотного отобра¬ жения R —> R2 Графики получающихся в результате орбит строятся на плоскости ча¬ стот. Если начальные условия (2/1,2/2) соответствуют регулярному реше¬ нию ((2/1, У2) £ Л), то орбита на частотной плоскости является единствен¬ ной точкой, что может быть проверено с точностью до ошибок при вы¬ числении частот с помощью численной программы. Для нерегулярного ре¬ шения орбита, соответствующая заданным начальным условиям (2/1, уг)» будет кривой в частотной плоскости, которая покажет диффузию факти¬ ческой орбиты между инвариантными торами. Приведенный здесь точный численный метод позволяет фактически следить за орбитой в этом процессе диффузии среди инвариантных торов. Рассмотрим различные возможные случаи диффузии орбит. Первый случай возникает, когда, в сущности, мы имеем дело с произведением хао¬ тической области, окружающей резонанс (например, резонанс i), на очень
216 Ж. JIackap регулярную область в другом направлении. В этом случае при слабом вза¬ имодействии частота /1 будет меняться в хаотической области вокруг i, а частота fo практически фиксирована (рис. 9а). В более общем случае это будет происходить для любой изолированной резонансной прямой и, таким образом, диффузия в частотной плоскости будет выглядеть как движение перпендикулярно частотной прямой. Также две частотные линии могут быть столь близкими, что их соответ¬ ствующие хаотические зоны перекрываются. В этом случае орбита может перепрыгивать из одной хаотической зоны в хаотическую зону смежной резонансной прямой посредством некоторого механизма гетероклиническо- го пересечения и цепочки переноса (см. [2]). Если несколько резонансных линий исходят из одной и той же рациональной точки на плоскости (/ь /2), то хаотические зоны могут перекрываться и диффузия, являясь почти пер¬ пендикулярной к каждой из этих резонансных прямых, будет выглядеть как окружность с центром в рациональной точке. Эта диффузия является быстрой и может перевести орбиту в расширенную хаотическую зону, что происходит с кривой 2 на рис. 10а, где орбита переводится в большую хаотическую зону, окружающую диагональный резонанс 1:1. Сделаем еще несколько комментариев по рис. 10. Этот рисунок постро¬ ен при значениях параметров а\ = —1.21; а2 = —1.01; 6 = 0.01. На рис. 10а глобальная картина динамики получена тем же самым образом, что и на рис. 7. Она представлена как фон рис. 10а и выражает регулярность ча¬ стотного приложения относительно начальных условий. Ясно виден резо¬ нанс 1 : 1, а таюке вертикальная резонансная зона /1 = i. Горизонтальная резонансная зона /2 = ^ не достигается при этих значениях параметров, но должна располагаться непосредственно над представленной картиной. Много резонансных прямых, возникающих из-за взаимодействия и начина¬ ющихся в рациональной точке также ясно видны на рисунке. Для определения этих резонансных прямых на рис. 106 мы построили графики всех рациональных резонансных прямых линий afi + /З/2 + 7 = 0 для |а| + + \Р\ + Ы ^ 20. Таким образом, можно легко распознать, что резонансные прямые, которые возникают на рис. 10а, в точности соответствуют этим рациональным прямым линиям. Более того, на рис. 10а даже есть несколь¬ ко прямых, которые отсутствуют на рис. 106, и поэтому соответствуют резонансам более высокого порядка. С другой стороны, несколько раци¬ ональных прямых, показанных на рис. 106, кажется, не имеют реального значения для динамики отображения, что видно на рис. 10а. При изучении
Частотный анализ многомерных систем 217 0.17 0.16 0.15 0.14 ^=-1.21; а;=-1.01; 6=0.01 0.17 0.16 0.15 0.14 0.15 0.16 0.17 Рис. 10. Примеры диффузии орбит и действительная паутина Арнольда для четы¬ рехмерного стандартного отображения (2.1) при а\ = —1.21; а2 = —1.01; 6 = 0.01. На (6) построены графики резонансных линий a/i+/3/2+7 = 0 для |а|+|/3|+|7| ^ 20. На (а) в фоне представлено частотное приложение, а на переднем плане три орбиты (01,0-2,0з), которые прослеживаются на протяжении 107 итераций. Резонансные прямые из (а) ясно видны и в точности соответствуют прямым, приводимым в (6), некоторые резонансные прямые из (а) даже не видны на (6), что означает, что они даже более высокого порядка, чем 20. Наоборот, несколько прямых на (6), кажет¬ ся, не имеют почти никакого значения для реальной динамики системы, и на (а) можно наблюдать регулярные области. Ясно видно, что диффузия орбит Oi,02 перпендикулярна всем частотным резонансным прямым, исходящим из рациональ- (рис. 96). Орбита Оз — пример диффузии, аналогичной рис. 9с ной точки 1 1 6’ 6 этих двух рисунков можно понять преимущество частотного анализа. Ри¬ сунок 106 представляет собой паутину Арнольда, как ее часто изображают для задачи с тремя степенями свободы, но она не дает никакого указания о фактической силе резонансных линий и поэтому не позволяет определить, перекрываются ли соответствующие хаотические зоны, чтобы образовать большие хаотические зоны. Напротив, рис. 10а можно считать настоящей паутиной Арнольда, указывающей реальную силу резонанса и соответству¬ ющей хаотической зоны. На рис. 10а также показаны три различные орбиты на протяжении длинного временного интервала. Для этих орбит начальные условия (уi, у2) фиксированы и представлена эволюция частотного вектора с течением вре¬ мени, что показывает диффузию орбит в частотной плоскости (/1, /2). Эти
218 Ж. JlACKAP три орбиты начинаются вблизи резонансной прямой i и затем просле¬ живаются на протяжении более чем 107 итераций. Поведение орбиты 2 в точности соответствует описанному выше: диффузия орбиты всегда пер¬ пендикулярна резонансным прямым, пока она не достигает большого резо¬ нанса 1:1. Поразительно, что диффузия почти следует по кривой и поэтому является почти однохмерным процессом на частотной плоскости. Можно так¬ же заметить, что орбита ограничена справа зоной, которая выглядит более регулярной, то же самое происходит и с орбитой 1. Следующий случай возникает при наличии резонансных прямых с пе¬ рекрывающимися хаотическими зонами в двух различных направлениях. В этом случае (рис. 9с) диффузия орбиты будет происходить в двух на¬ правлениях, очевидно заполняя целую часть плоскости. Этому случаю со¬ ответствует орбита 3 рис. 10а. Происходит диффузия в обоих направлениях, вероятно, из-за наличия резонансных прямых линий низкого порядка, близ¬ ких к горизонтали, которые исходят из рациональной точки Все эти различные примеры не являются примерами диффузии вдоль резонансной линии, которая показана Арнольдом в [1], но они, вероятно, больше относятся к локальному существованию явления наложения ре¬ зонансов, который, в сущности, является механизмом с двумя степенями свободы, задействующим цепочки переноса, относящиеся к различным ре¬ зонансным прямым. Основная польза от представленного здесь частотного анализа заключается в возможности наблюдения за этой диффузией с высо¬ кой точностью, что также обнаруживает прямые управляющего резонанса. Я полагаю, что следующий из демонстрируемых мной примеров более тесно связан с диффузией Арнольда. Этот пример был проанализирован при значениях параметров а\ = —1.31; 0,2 = —1.71; 6 = 0.01 и начальных условий xi == 0: г/i = —1.2218; Х2 = 0,2/2 = —1.071. Таким образом, реше¬ ние оказывается в окрестности рациональной точки (^, ^ (рис. 11а-11с), и мы можем наблюдать увеличенную хаотическую зону, по сути, соответ¬ ствующую произведению двух резонансных зон, относящихся к каждому из резонансов (~ в направлении f\ и ^ в направлении /2). Эти две резонанс¬ ные прямые ясно видны на рисунке, как и две близлежащие резонансные прямые, возникающие из-за взаимодействия, которые легко определяются как 11 /-( (~ /2 — 2 — 0 и — 7/i + /2 — 1 = 0. В этой области движение соответ¬ ствует вышеописанному движению для нескольких резонансов в различных направлениях. Но через некоторое время орбиты уходят из этой зоны и на¬ чинают продвигаться только вдоль резонанса /2 = !■. Если мы посмотрим о
Частотный анализ многомерных систем 219 на эволюцию Д в этот момент, то увидим, что Д изменяется очень мед¬ ленно, достигая значений, которые были невозможны с хаотической зоной, окружающей резонанс Д = i (рис. 116). Это можно интерпретировать как орбиту, уходящую через инвариантный торы, которые окружают хаотиче¬ скую зону, вдоль управляющего резонанса Д = . Движение Д может быть интерпретировано как некоторого рода стохастическое блуждание вдоль ин¬ вариантных торов. Через некоторое время орбита входит в большую хаоти¬ ческую зону, связанную с резонансом Д = 1. 2.4. Другие примеры диффузии В этом последнем параграфе я представлю некоторые другие примеры диффузии орбит в частотной плоскости. Все примеры будут приведены для ai = —1.3; 02 = —1.3; 6 = 0.01. Эти примеры помогут при возможной интерпретации динамики, заданной рис. Id. Для более подробного анализа я представил на рис. 12 увеличение верхнего правого угла рис. Id с большим числом деталей. Сначала, если мы возьмем начальные условия в хаотической зоне Д = = i для больших значений Д, где движение в направлении Д кажется достаточно регулярным, то получим диффузию по Д, но очень малую диф¬ фузию по Д (рис. 13а), что схоже с вышеупомянутым примером рис. 9а. При более тщательном рассмотрении двух упомянутых орбит в течение 107 итераций мы обнаруживаем очень сложную структуру (рис. 136 и 13с). Одним из поразительных свойств является тот факт, что проекция орби¬ ты на плоскость Д, Д, похоже, имеет очень острые углы, что указывает на эффективные ограничения. Ограничение не может быть совершенно непро¬ ницаемым, но на конечном временном интервале действует так, как будто является таковым. Вдоль резонансной прямой диффузия, похоже, происхо¬ дит более легко, но едва ли орбита отклонится очень сильно. В этой стадии нам следует сравнить этот пример с рис. 11. В преды¬ дущем примере мы видели очень отчетливо диффузию вдоль резонансной прямой Д = 1/5, которая может быть уподоблена диффузии Арнольда. В рассматриваемом случае (рис. 13а) диффузия вдоль резонанса выглядит намного более непонятной. Объяснение может заключаться в том, что в слу¬ чае рис. 11 мы находимся рядом с резонансной прямой —7Д + Д — 1 = 0, что наводит на мысль, что близость этой прямой могла вызвать разруше¬ ние некоторых из близлежащих торов и облегчить диффузию орбиты среди оставшихся торов. При отсутствии такого усиливающего фактора диффу-
220 Ж. JlACKAP 0.164 0.16О 0.168 0.17 0.172 0.171 /. 0 2x10 4x10 6x10 8x10 10 Рис. 11. (а) Пример диффузии Арнольда, наблюдаемый на частотной плоскости, (6) и (с) вычисление частот Д и Д относительно числа итераций соответственно зия вдоль резонанса кажется таким явлением, которое довольно сложно наблюдать практически. Следующее из рассмотренных начальных условий взято при другом значении Д. В этом случае мы входим в область, где существует некоторое наложение хаотических зон, связанное с резонансными прямыми, исходя¬ щими из рациональной точки ^. Представленный пример вычислялся на протяжении более чем 107 итераций. Во время первых б х 106 итераций орбита очень похожа на предыдущие, за тем единственным исключением, когда она, по-видимому, стремится уйти вправо (рис. 14а), но неожиданно она находит маршрут для ухода и в течение всего лишь 10е итераций пол¬ ностью заполняет область, которая является симметричной, и продолжается от хаотической зоны Д = i до зоны Д = i, описывая большую четверть окружности в частотной плоскости (рис. 146). После этого вид орбиты не
Частотный анализ многомерных систем 221 а\ = 0-2—-1.3; 6=0.01 О Л 65 0.17 0.175 0.18 /. Рис. 12. Увеличение верхнего правого угла рис. Id меняется в течение более чем 107 итераций, и похоже, что орбита прак¬ тически заключена в этой очень тонкой области. Вновь диффузия вдоль этой дуги намного быстрее, чем диффузия через дугу, которая выглядит пренебрежительно малой. При приближении к резонансной рациональной точке ^ хаотиче¬ ские зоны перекрываются еще больше и диффузия происходит более бы¬ стро. На рис. 15 показан пример такой орбиты в течение 107 итераций, и мы вновь получаем очень сложный и симметричный вид, который можно рассматривать как инвариантное множество для четырехмерного отображе¬ ния. Следует отметить, что две предыдущие орбиты смешаны между собой, и некоторые их части являются одними и теми же. Это возможно, поскольку частотное отображение является диффеоморфизмом только на регулярной области или, более точно, на регулярном множестве начальных условий Л и не является таковым на нерегулярной или хаотической области. Я по¬ лагаю, что эти рисунки отчасти показывают сложность динамики задачи
222 Ж. JlACKAP Oj—-1.3. dj—-1.3, 6—0 001. у,—1.1832. <—0.8 я, —1.3, а,—1.3; Ь—0.001; ?/с—1.1832: t--l Рис. 13. Диффузия двух орбит в частотной плоскости. На (а) две орбиты представ¬ лены в том же самом масштабе, что и на рис. 12; (Ъ) и (с) — два увеличения этих орбит вблизи точки ^ и их конфигурация согласуется с тем, что можно про¬ гнозировать из простого изучения полных рис. Id и 12. Например, можно увидеть, что орбиты практически останавливаются областями, которые являются регулярными на рис. 12, и диффузия наиболее часто происходит перпендикулярно резонансным направлениям, которые выявляются с помощью частотного анализа. Исходя из этого делаем вывод, что, по-видимому, орбиты, начинающи¬ еся в верхнем правом углу на рис. Id, даже при совершении диффузии как на рис. 14 или 15 не смогут уйти в большую внешнюю хаотическую зону. Напротив, орбита, подобная изображенной на рис. 16, которая начинается в левом нижнем квадранте, где похоже перекрываются все резонансные зо¬ ны, не ограничивается регулярными областями и довольно быстро уходит в большую хаотическую зону. На этом рисунке начальное условие отмечено звездой; сначала эволюция орбиты отмечается точками вплоть до 850000 итераций, а последующая ее эволюция в течение более 50000 итераций
Частотный анализ многомерных систем 223 Рис. 14. (а)-(с). Диффузия орбиты. Вначале орбита расположена в хаотическом слое /1 = | и мы наблюдаем быструю диффузию через резонансную прямую f\ = 1 в = -. Орбита ограничена в течение 6 х 10 итераций, лишь справа виден небольшой хвост (а). Неожиданно орбита находит маршрут для ухода и заполняет намного большую часть частотной плоскости в течение всего лишь 106 итераций (Ь). Затем орбита остается заключенной в этой области на протяжении оставшихся 3 х 106 итераций представлена линиями, что ясно показывает очень быстрый уход орбиты во внешнюю крупномасштабную хаотическую область. 3. Заключение Представленный здесь метод частотного анализа был разработан для анализа устойчивости Солнечной системы [11], но стал важным численным
224 Ж. JlACKAP 0, = ^—-1.3: 6=0.01; </„=-1; /,,— 1.1 0.175 I, 0.17 0.165 0.165 0.17 0.175 /, Рис. 15. Другие примеры диффузии, относящиеся к рис. 12. Мы можем наблюдать очень сложный вид этой проекции орбиты, полученной в течение 1(У итераций а, =-1.3: й2=-1.3: 5=0.01; </=-1.3; /=-1.1 I Рис. 16. Диффузия орбиты с теми же самыми параметрами, что и на рис. Id. На¬ чальные условия отмечены звездой и находятся в нижнем левом квадранте рис. Id; сначала эволюция орбиты отмечается точками вплоть до 850 000 итераций, а по¬ следующая ее эволюция в течение более 50000 итераций представлена линиями, что ясно показывает очень быстрый уход орбиты во внешнюю крупномасштабную хаотическую область
Частотный анализ миогомнрных систем 225 инструментом для исследования многих видов консервативных динамиче¬ ских систем. Частотный анализ ранее использовался для задания критерия разрушения инвариантных торов для двумерных монотонных закручива¬ ющих отображений [12]. В регулярной области частотный анализ также позволяет получить квазипериодическое представление решений. Мы опре¬ делили два индикатора для анализа нерегулярного поведения орбит. Первый из них заключается в численном нахождении производной второго порядка частотного отображения относительно начального условия типа действие, а второй из них — мгновенная скорость диффузии, подсчитанная как чис¬ ленная производная по времени частотного вектора. На примере было отме¬ чено, что эти два индикатора ведут себя очень схожим образом, что наводит на мысль, что движение в пространстве частот аналогично процессу диф¬ фузии. Представленный здесь анализ регулярности частотного приложения позволяет получить глобальную картину в двух измерениях динамики че¬ тырехмерного симплектического отображения или гамильтоновой системы с тремя степенями свободы. Не говоря об их эстетическом аспекте, эти картины, выполненные в частотной области, можно рассматривать как фак¬ тическую паутину Арнольда для этих систем. Они ясно показывают, что даже когда взаимодействие очень мало, четырехмерное симплектическое отображение ведет себя совершенно отличным образом от произведения двух двумерных отображений. При использовании частотного анализа диффузию орбит можно изу¬ чить с очень высокой точностью, и нами приводится несколько примеров медленной диффузии. Описаны два различных вида диффузии: диффузия вдоль резонансной прямой, которая связана с диффузией Арнольда, и диф¬ фузия через резонансную прямую, которая может быть сведена к диффузии в хаотическом слое двумерной системы. Первая диффузия кажется очень медленной, но можно привести пример на рис. 11, когда близость другой резонансной прямой ускоряет эту диффузию. Наоборот, диффузия через резонансную прямую является намного более быстрой и может быть по¬ казана на многих примерах, приведенных здесь и в работе [12]. В двумер¬ ном симплектическом отображении продолжение этой диффузии ограни¬ чено окружающими инвариантными кривыми. Напротив, в четырехмерном отображении может существовать большое число резонансных прямых со связанными с ними хаотическими слоями, которые могут перекрываться, что позволяет орбите уйти от одного резонанса к другому близлежащему резонансу. Такой пример приводится на рис. 11, когда наличие резонансов высокого порядка позволяет орбите совершить достаточно быструю диф¬ фузию по круговому пути в частотной области перпендикулярно резонанс¬ ным прямым, исходящим из некоторой рациональной точки. Этот механизм
226 Ж. JlACKAP диффузии, г/о-видимому, является весьма общим в многомерных системах и может приводить к быстрой диффузии орбит. Когда перекрытие хаотиче¬ ских слоев существует в нескольких направлениях, тогда все они сливаются в увеличенную область, где диффузия является быстрой и происходит во многих направлениях, очевидно заполняя целую область в частотном про¬ странстве. Особо следует указать, что во всех приводимых здесь примерах диф¬ фузия через резонансы кажется более важным процессом для понимания долговременной динамики, чем диффузия вдоль резонансов. Таюке следует отметить, что при отсутствии средства, позволяющего проследить за эволю¬ цией орбит в двумерной частотной плоскости четырехмерного отображения, было бы чрезвычайно сложно отличить друг от друга эти два процесса. В этой статье невозможно дать объяснения всем очень сложным явле¬ ниям, открытым с помощью частотного анализа. Частотный анализ концеп¬ туально является довольно простым методом, который открывает тонкие детали в поведении орбит сложных систем, и он был бы очень полезен как помощь в более теоретических исследованиях многомерных систем. Я благодарю А. Шенсине и С. Дюма за множество улучшений в стиле и содержании этой работы. Литература [1] Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. Докл. Акад. Наук СССР. — 1964. — Т. 156. — С. 9- 12. [2] Arnold V. I., Avez A. Problemes ergodiques de la Mecanique Classique. — Paris: Gauthier-Villars, 1967. Рус. перевод: Арнольд В. И., Авец А. Эр- годичесжие проблемы классической механики. — Ижевск: НИЦ «Регу¬ лярная и хаотическая динамика», 1999. [3] Chirikov B.V. A universal instability of many dimensional oscillator systems. Phys. Rep. — 1979. — Vol. 52. — P. 263. [4] Dumas S., Laskar J. Global dynamics and long-time stability in Hamiltonian systems via numerical frequency analysis. Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70. - P. 2975-2979. [5] Froeschle C. On the number of isolating integrals in systems with three degrees of freedom. Astrophys. Space Sci. — 1971. — Vol. 14. — P. 110- 117. [6] Froeschle C. Numerical study of a four-dimensional mapping. Astron. Astrophys. - 1972. - Vol. 16. - P. 172-189.
Литература 221 [7] Greene J. М. A method for determining stochastic transitions. J. Math. Phys. - 1979.-Vol. 20. - P. 1183. [8] Herman M. R. Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes dc Vanneau. Asterisque. — 1988. — Vol. 1. — P. 103-104. [9] Herman M. R. Inegalites a priori pour des tores lagrangiens invariants par des diffeomorphismes symplectiques. Publ. Math. IHES. — 1989. — Vol. 70. - P. 47-101. [10] Laskar J. Secular evolution of the solar system over 10 million years. Astron. Astrophys. - 1988. - Vol. 198. - № 1-2. - P. 341-362. [11] Laskar J. The chaotic behaviour of the solar system: A numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus. — 1990. — Vol. 88. — P. 266-291. [12] Laskar J., Froeschle C., Celletti A. The measure of chaos by the numerical analysis of the fundamental frequencies. Application to the standard mapping. Physica D. — 1992. — Vol. 56. — P. 253-269. (См. работу 6 этого сборника.) [13] Lichtenberg A. J., Liberman M. A. Regular and stochastic motion. — New York: Springer, 1983. Русский перевод: Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1983. [14] Poschel J. // Commun. Pure Appl. Math. — 1982. — Vol. 35. — P. 653. [15] Tennyson J. L., Lichtenberg A. J., Liberman M. A. Nonlinear dynamic and the beam-beam interaction. AIP Conf. Proc. — 1979. — Vol. 57. — P. 272. [16] Warnock R. L., Ruth R. D. Long-term bounds on nonlinear Hamiltonian motion. Physica D. — 1992. — Vol. 56. — P. 188-215. [17] Wood B.P., Lichtenberg A. J., Liberman M. A. Arnold diffusion in weakly coupled standard maps. Phys. Rev. A. — 1990. — Vol. 42. — p. 5885-5893. Jacques Laskar Address: Astronomie et Systemes Dynamiques IMCCE, Observatoire de Paris, 77 Avenue Denfert-Rochereau 75014 Paris email: laskar@imcce.fr
9 Хаотическое изменение наклонений планет1 Ж. Ласкар, П. Робутель Численное исследование устойчивости ориентации осей вращения (наклонения) планет в зависимости от вековых орбитальных возмуще¬ ний показывает, что планеты земной группы в прошлом могли испы¬ тывать значительные хаотические изменения наклонений. Наклонение Марса до настоящего времени находится в широкой хаотической зоне, простирающейся от 0° до 60°. Меркурий и Венера были стабилизиро¬ ваны приливной диссипацией, а Земля, возможно, — захватом Луны. Следовательно, величины наклонений планет земной группы нельзя считать первичными. Проблема происхождения наклонений (т. е. наклонов осей враще¬ ния) планет является важной, так как, если сохранились начальные значения наклонений, это могло наложить некоторые динамические ограничения на формирование Солнечной системы [1]-[4]. Мы иссле¬ довали, как долговременные возмущения со стороны других планет влияют на наклонения и скорости прецессии всех главных планет Солнечной системы, и показали, что ни одна из внутренних планет (Меркурий, Венера, Земля и Марс), очевидно, не имеет первичных наклонений. Каждая из этих планет могла вначале иметь наклонение, близкое к нулю, и вращаться в направлении своего движения по ор¬ бите; а затем хаотическое поведение осей вращения могло привести их к современным состояниям. Если изначальные скорости вращения 'Laskar J., Robutel P. The chaotic obliquity of the planets. Nature. — 1993. — Vol. 361. — P. 608-612. Перевод с английского Л. Г. Московченко.
230 Ж. JlACKAP, П. Робутель Меркурия и Венеры были достаточно высоки, величины наклонений этих планет могли претерпеть хаотические изменения в широком диа¬ пазоне от 0° до ~ 90°, прежде чем диссипативные эффекты, в конце концов, не привели их к современным значениям. Нынешнее значение наклонения Земли могло быть достигнуто в течение периода хаотиче¬ ского поведения, перед тем как Земля захватила Луну [5]. Наклонение Марса ведет себя хаотически и в настоящее время, причем возможны изменения от 0° до ~ 60°. Наклонения внешних планет постоянны, но, возможно, и они подвергались аналогичному процессу на ранних этапах формирования Солнечной системы. Рис. 1. Основные плоскости для определения прецессии.Здесь Eqt и Ect — средний экватор и эклиптика в момент времени t. Величина Есо — фиксированная эклиптика в 2000 г. по юлианскому календарю с точкой равноденствия 70. Общая прецессия по долготе ф определяется как ф = А — Q, 70 определяется из выражения 70 N = = 70 TV = Q; г* — наклонение орбиты 1. Методы исследования Если бы движения в Солнечной системе были квазипериодическими, прецессию можно было бы описать уравнениями (3) и (5) из приложения 1. Таким образом, чтобы оценить, будет ли прецессионное движение хаотиче¬ ским либо останется регулярным, можно использовать аргумент резонанс¬ ного перекрытия [6]. Это может быть сделано для внешних планет, но для получения более точных результатов мы провели прямое интегрирование уравнений прецессии (уравнения (3) и (4)) и выполнили частотный ана¬ лиз (приложение 2) прецессионного решения. Так как динамическая эллип-
Хаотическое изменение наклонений планет 231 Частота (м год1) -40 -20 0 20 40 -40 -20 0 20 40 Рис. 2. Спектр Фурье (с фильтром Хе ннинга) планетного возмущающего члена с на¬ клонением л(1) + iB(t). Логарифм амплитуды коэффициентов Фурье представлен как функция частоты ("год-1) точность (С — А) /С пропорциональна v2 [7], то постоянная прецессии а пропорциональна скорости враьщения планеты и. Зафиксировав значение а, мы численно проинтегрировали уравнения прецессии для всех значений на¬ чального наклонения с шагом 0.1°. При этом орбитальное решение La90 [8] было принято в качестве исходного. В большинстве случаев интегрирова¬ ние было проведено за периоц более 18 млн лет с шагом около 200 лет. Частотный анализ был выполнен нами для получения графика частоты, регулярность которого говорыт о регулярности прецессии и наклонения. Мы также нанесли на график максимальные и минимальные значения на¬ клонения, достигаемые в процессе интегрирования (рис. 3, рис. 4). Первоначальные значения скорости вращения Меркурия, Венеры и Земли точно неизвестны. Таким образом, чтобы получить общее пред¬ ставление о том, как менялось наклонение этих планет с течением времени,
232 Ж. Ласкар, П. Робутель мы выполнили описанный выше анализ для широкого диапазона значе¬ ний а (рис. 5). На рис. 5 регулярное движение представлено маленькими точками, а зоны хаотического движения — более крупными черными точка¬ ми. Зоны хаотического движения могли быть даже больше, если бы мы учли хаотическую диффузию орбитального решения на протяжении миллиардов лет [8]. 2. Значения наклонений в прошлом и в настоящее время Меркурий Скорость вращения Меркурия сейчас очень низка и, очевидно, по¬ падает в спин-орбитальный резонанс (2:3). Скорее всего, первоначальная скорость вращения планеты была гораздо больше, а затем вращение было замедлено солнечными приливами. Путем экстраполяции известной зави¬ симости кинетического момента от массы найдено, что первоначальный пе¬ риод вращения Меркурия равнялся 19 ч [10], откуда была найдена частота прецессии, равная ~ 127" год-1. Приливная диссипация и взаимодействие между ядром и мантией уменьшают эту частоту [11, 12, 32]. Если пери¬ од вращения меньше 100 ч, при малых углах наклонения еще возможно регулярное движение, но, если скорость вращения планеты уменьшается, при а « 20" год-1 величина наклонения вступает в очень широкую зону хаотического поведения, простирающуюся от 0° до 100° (рис. 3, рис. 5а). В пределах этой зоны, до тех пор пока приливная диссипация не привела Меркурий к нынешнему состоянию, ориентация его оси подвергалась ха¬ отическим изменениям в широком диапазоне от 0° до 100° за несколько миллионов лет. Например, при а = 10" год-1 (рис. 3) наклонение варьиру¬ ется от 0° до более чем 90° за несколько миллионов лет, и это имеет место для любой величины начального наклонения из этого диапазона. В случае, если первоначальный период вращения Меркурия был мень¬ ше 300 ч (рис. 5), за свою историю планета, должно быть, претерпела крупномасштабные хаотические изменения наклонения оси. В некоторый момент ее ориентация, возможно, очень сильно отличалась от нынешней (полюс был направлен на Солнце), и это могло оставить некоторые следы на поверхности планеты. Венера Ориентация полюса Венеры (178°) — одно из самых загадочных яв¬ лений в Солнечной системе [1, 13, 14]. Диссипативные эффекты взаимо¬
Хаотическое изменение наклонений планет 233 действия между ядром и мантией и атмосферные приливы могут быть причиной некоторого изменения ориентации оси вращения, но, очевидно, только от 90° до нынешнего значения [13, 14]. Поэтому обычно полага¬ ют, что направление вращения Венеры было изначально противоположно направлению ее обращения по орбите, что является одним из аргумен¬ тов в поддержку стохастического механизма аккреции для планет земной группы. Как и для Меркурия, мы исследовали общую динамику прецессии и на¬ клонения Венеры с помощью частотного анализа. Согласно Голдрайху [10], начальный период вращения Венеры был ~ 13 ч, откуда следует, что по¬ стоянная прецессии равна 31" год-1. Мы начали исследование с частот¬ ной постоянной 40" год-1. Было обнаружено существование регулярно¬ го поведения при малых наклонениях орбит и широкая хаотическая зона от 50° до 90°. Приливная диссипация, обусловленная Солнцем, уменьшает скорость вращения планеты и, следовательно, ее постоянную прецессии. Когда постоянная прецессии достигает 20" год-1, что соответствует пе¬ риоду ~ 20 ч, хаотическая зона простирается от 0° и почти до 90° (рис. 3). На рис. 3 можно видеть несколько хорошо очерченных хаотических зон, но частотный анализ показывает, что инвариантная поверхность не ограничи¬ вает движение; таким образом, за несколько миллионов лет орбита может распространиться от 0° почти до 90°. По мере того как частота прецессии продолжает уменьшаться, форма хаотической зоны изменяется (рис. 5). Ес¬ ли бы наклонение Венеры достигло ~ 90°, оно могло бы стабилизироваться около этого значения и выйти из хаотической зоны. Диссипативные эффекты могли затем, по мере того как вращение планеты продолжало замедляться, привести ось вращения к ее нынешнему положению 178°. Следовательно, обратное вращение Венеры не может быть первичным. Если за время су¬ ществования планеты ориентация ее оси подвергалась крупномасштабным хаотическим изменениям, то в течение продолжительных периодов полюс Венеры мог быть направлен к Солнцу, что, возможно, вызывало значитель¬ ные изменения климата и атмосферной циркуляции. Марс Для Марса возможен прямой анализ, поскольку скорость его вращения можно считать первичной. Марс находится далеко от Солнца, и у него нет крупного спутника, приливное взаимодействие с которым могло бы суще¬ ственно замедлить вращение планеты. Уорд [15] показал, что вековые пла¬ нетные возмущения могли привести к тому, что наклонение Марса, в отли¬ чие от наклонения Земли, претерпело значительные изменения ±10° около
234 Ж. Ласкар, П. Робутель Меркурий (а=20” год ') 50 100 £0 (градусы) Рис. 3. Частотный анализ величины наклонения на интервале 18 млн лет для Мер¬ курия (а, Ь) при а = 10" год-1 (период вращения ~ 255 ч) и Венеры (с, d) при а = = 20" год-1 (период вращения ~ 20 ч). Частота прецессии представлена как функ¬ ция начального наклонения. Для Меркурия хаотическая зона простирается от 0° до 100° и для Венеры от 0° почти до 90°. Максимальное, среднее и минимальное за 18 млн лет значения наклонения показаны на рис. bud среднего значения 25°. Постоянная прецессии Марса [16, 17] (8.26" год-1) близка к некоторым вековым частотам планеты, и вопрос о возможном резонансе поднимался несколько раз [15, 17]. Однако без знания точных начальных условий определенного вывода сделать нельзя. Данный вопрос исследовался нами другим способом, с точки зрения общей динамики. Сначала мы выполнили частотный анализ наклонения Марса на промежутке более 45 млн лет. В результате была обнаружена широкая хаотическая зона, простирающаяся от ~ 0° до 60°. На рис. 4а и 45 движение выглядит регулярным для небольших значений начально¬ го наклонения. Однако движение внутренних планет является хаотиче¬ ским [8, 18], и информация о фазах вековых планетарных членов утрачива¬ ется после ~ 100 млн лет. Таким образом, можно решать задачу, не учитывая
Хаотическое изменение наклонений планет 235 £0 (градусы) Рис. 4. Частотный анализ величины наклонения Марса на интервале 45 млн лет. При построении рис. а и 6 использовано планетарное решение с начальными условия¬ ми, совпадающими с современными значениями. Видна широкая хаотическая зона, простирающаяся от 0° до 60°. Если фазу начального решения сдвинуть примерно на —3 млн лет, эта хаотическая зона становится еще более заметной (с, d). Макси¬ мальное, среднее и минимальное за 45 млн лет значения наклонения показаны на рис. bud фазы. На рис. 4с, 4d представлены результаты расчетов, при этом начальная дата орбитального решения была незначительно изменена (на ~ — 3 млн лет по сравнению с результатами на рис. 4а, 4Ь). Это должно убедить читателя в том, что хаотическая зона простирается приблизительно от 0° до 60°. Из рис. 4d, видно, что в некоторых случаях положение орбиты резко меняется менее чем за 45 млн лет. Из этого заключаем, что наклонение Марса ведет себя хаотически, причем возможны изменения в пределах примерно от 0° до ~ 60°. Так же был вычислен показатель Ляпунова наклонения Марса для начальных усло¬ вий, совпадающих с современными значениями [19], найденная величина близка к истинному показателю планеты [18], ~ 1/5 млн лет. То, что эта величина указывает на истинно хаотическое поведение наклонения Марса, мы проверили, повторив вычисления с «регулярным» значением постоян¬ ной прецессии (50" год-1). Все же мы считаем, что частотный анализ более показателен, поскольку позволяет найти протяженность хаотической зоны.
236 Ж. JlACKAP, П. РОБУТЕЛЬ Меркурий й Венера Наклонение (град.) Рис. 5. Зона крупномасштабного хаотического поведения величины наклонения Меркурия (а), Венеры (Ъ), Земли (без Луны) (с) и Mapca (d) в широком диапа¬ зоне изменения скорости вращения планеты. Постоянная прецессии а в угловых секундах в год обозначена слева, соответствующая ей оценка периода вращения планеты (в часах) — справа. Регулярные решения представлены маленькими точка¬ ми; решения, описывающие крупномасштабное хаотическое поведение, обозначены большими черными точками. Хаотическое движение оценивается по степени размы¬ вания частоты прецессии, полученной с помощью численного частотного анализа на интервале 36 млн лет. Для каждой пары начальных условий (е, а) соответствующая точка сдвинута по вертикали пропорционально степени диффузии орбиты. В види¬ мых здесь хаотических зонах хаотическая диффузия имеет месю на горизонтальных линиях (а фиксировано), и величина наклонения планеты может проходить всю зо¬ ну, обозначенную черными точками, в горизонтальном направлении за несколько миллионов лет. Протяженность хаотической зоны будет даже больше, если рас¬ сматривать диффузию на большем интервале времени. При наличии Луны можно считать, что состояние Земли в настоящее время грубо может быть представлено на рис. с точкой е = 23°, а = 55" год-1, которая попадает в середину зоны регу¬ лярного движения. Если бы Луны не было, го для периода вращения в пределах от 12 ч до 48 ч наклонение Земли подверглось бы очень значительным хаотическим изменениям Кроме того, с помощью частотного анализа, который дает общую картину динамики, можно показать, что малые изменения начальных условий или незначительные изменения модели не оказывают существенного влияния на результат. Хаотическое поведение ориентации оси Марса могло играть важную роль в процессе его эволюции, так как в отдельные периоды наклонение
Хаотическое изменение наклонений планет 237 Рис. 5. Продолжение могло достигать 60°. Современное значение наклонения Марса нельзя счи¬ тать существующим изначально; планета также могла образоваться с лю¬ бым наклонением от 0° до 60°, и нынешнее значение наклонения мо¬ жет быть обусловлено исключительно влиянием вековых планетных возму¬ щений. Земля Уравнения прецессии для Земли усложняются из-за наличия Луны. Вопрос об устойчивости наклонения Земли рассматривается в статье [5]. Отклонения наклонения [20] от среднего значения 23.3° в настоящее вре¬ мя составляют только 3=1.3°, однако в отсутствие Луны вращающий мо¬ мент Земли был бы меньше; полагая, что первоначальный период враще¬ ния Земли был равен 15 ч, мы показали, что величина ее наклонения тогда изменялась бы в широких пределах и хаотическая зона простиралась бы приблизительно от 0° до 85° [5]. Величина первоначальной скорости вращения является пока предметом дискуссий, поэтому было решено изучить общую устойчивость наклонения для широкого диапазона значений периода вращения (рис. 5с). Для пери¬ ода вращения, равного 8 ч, увеличение экваториальной выпуклости Земли компенсировало бы отсутствие Луны [21], но для более общепринятых зна¬ чений периода от 12 до 48 ч большинство начальных значений наклонения приводит к крупномасштабным хаотическим изменениям, во многих слу¬ чаях достигающим 80 — 90° (см. рис. 5). Наклонение Земли, как и других планет земной группы, нельзя считать первичным. Земля могла сформироваться в широкой хаотической зоне, а за¬
238 Ж. Ласкар, П. Робутелъ хват Луны привел к стабилизации величины наклонения в его современном значении. Внешние планеты Нами также рассмотрен вопрос об общей устойчивости наклонений внешних планет (Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна). Орбитальное ре¬ шение этих планет значительно отличается от решения внутренних планет. Как видно из рис. 2, различные спектры A(t) + iB(t) состоят из изолиро¬ ванных линий. Значительное перекрытие различных резонансных членов, характерное для внутренних планет, отсутствует, и решение является, по существу, регулярным. Оценки постоянных прецессии для внешних планет не точны, так как плохо известна внутренняя структура этих планет. Счи¬ тается, что постоянные прецессии много меньше 5" год-1 [22]. Поскольку мы получили общую картину динамики, мы исследовали также поведение наклонений для немного отличающихся значений этой константы. В сущ¬ ности говоря, нарушить устойчивость наклонений этих планет трудно, пока значение постоянной прецессии не достигнет 26" год-1 и не войдет в резо¬ нанс с вековой частотой sq [8]. Но даже в этом случае, поскольку резонанс изолирован, движение будет представлять собой широкие, но регулярные колебания. Следовательно, мы можем сказать, что наклонения внешних пла¬ нет вполне стабильны, так же как устойчиво и их орбитальное движение; и величина наклонения может считаться первичной. Термин первичный означает здесь то, что наклонения не изменялись с того времени, как Солнечная система находилась на заключительной ста¬ дии формирования, в состоянии, близком к современному (по крайней мере внешние планеты). Если же на одной из предыдущих стадий она была более массивной, чем сейчас, неустойчивости, аналогичные действующим на внутренние планеты, могли привести наклонения внешних планет к их нынешним значениям. Выводы Наклонения внутренних планет (Меркурия, Венеры, Земли и Марса) нельзя считать первичными, все эти планеты в момент образования могли иметь наклонения близкие к нулю. Наклонения этих планет могли испы¬ тывать крупномасштабные хаотические изменения в отдельные периоды их существования. Меркурий и Венера были стабилизированы приливными эффектами; Землю, возможно, стабилизировал захват Луны; Марс до на¬ стоящего времени находится в широкой хаотической зоне, простирающейся от 0° до 60°.
Хаотическое изменение наклонений планет 239 Следует также заметить, что планеты с обратным вращением должны быть гораздо более устойчивы, чем планеты, вращающиеся в направлении своего движения по орбите, так как основные частоты возмущающей силы в наклонении отрицательны (рис. 2). Наклонения внешних планет (Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна) вполне стабильны и, следовательно, могут считаться первичными, т. е. име¬ ющими то значение, которое они приняли на заключительном этапе фор¬ мирования Солнечной системы. Однако хаотическое поведение наклонений под действием планетных возмущений могло иметь место на более ранних стадиях формирования Солнечной системы, когда она могла иметь большую массу; в этот вопрос следует внести ясность дальнейшими исследованиями. Хаотическое орбитальное движение внутренних планет [8, 18] приво¬ дит к крупномасштабному хаотическому изменению наклонений для боль¬ шинства начальных условий. Устойчивость климата Земли, таким образом, зависит от наличия Луны, которая придает устойчивость земной орбите [5], а это, в свою очередь, предотвращает изменения количества солнечного из¬ лучения, попадающего на земную поверхность. Эти соображения следует принять во внимание, оценивая вероятность вблизи одной из ближайших звезд найти планету, сходную с Землей по устойчивости климата. Приложение 1. Прецессия и наклонение Пусть А - В < С — главные моменты инерции планеты. Мы пола¬ гаем, что ось вращения планеты совпадает с осью максимального момента инерции С. Спиновый кинетический момент определяется как Н = НН, где Н — единичный вектор, а Н - КтЛ2и = CV, где К — коэффициент, зависящей от внутренней струкгуры планеты (К = 2/5 для однородной сферы), Л - экваториальный радиус планеты, т — ее масса и v — ее угловая скорость вращения. Пусть г — единичный вектор в направлении на Солнце и г — расстояние до Солнца. Для вращающего момента, обу¬ словленного Солнцем, ограничиваясь слагаемыми первого порядка по Л/г, имеем IJ=3GWfxJf> (1) г6 где I — тензор инерции [23, 24], G — гравитационная постоянная, М — масса Солнца. Прецесс тонное движение планеты описывается форму¬ лой dH./dt -- L. Усредняя по времени (а следовательно, по средней анома¬ лии), получаем уравнение п рецессии, т. е. векового движения оси вращения
240 Ж. JIАСКАР, П. РОБУТЕЛЬ планеты j=tt(l-e2)'3/2{H.z)ftxZ, (2) где Z — единичный вектор в направлении орбитального кинетического мо¬ мента, е — эксцентриситет. Коэффициент _ 3GM С - А 2a3iy С ’ где а — большая полуось орбиты планеты, назовем постоянной прецес¬ сии. Пусть Есо — плоскость орбиты в начальный момент времени с точкой равноденствия 70, Ect — плоскость орбиты в момент времени i с точкой равноденствия 7 (рис. 1) и N — точка пересечения Есо и Ect. Прецес¬ сия по долготе определяется как ф = А — П, где П = 70N — долгота узла и А = 7N. Пусть 7о — точка на Ect такая, что 7'0N = П. Координаты Н в си¬ стеме отсчета Ect с началом в точке У0 есть (sin?/; sine, собФ sine, cose), где е — наклонение к плоскости орбиты (угол между плоскостью эква¬ тора (Eqt) и плоскостью орбиты (Ect) в момент времени t). После ряда преобразований с использованием переменной действия X = cose и обо¬ значений р = sin(z*/2) sinH, q = sin(i*/2) cosH, где г* — наклонение Ect к Есо, получим уравнения прецессии = &H.dx = _т п. dt дХ' dt &ф' () связанные с гамильтонианом H(X,ip,t) = ^ (1 -e(t)2y3/2 X2+\/l—X2 (A(t) sinф + B{t) cost*»), (4) где A(t) = 2(q +p(qp-pq))/у/l-p2 - q2, B(t) =2 (jp- q(qp - pq))/'sfl-p2 - q2, C(t) = (qp-pq)■ Выражение A(t) 4- iB(t) и эксцентриситет e(t) описывают орбитальное движение планеты и могут быть получены из решения La90 Ласкара [8]. Поскольку орбитальные движения планет, и особенно внутренних планет, являются хаотическими [8, 18, 25, 26, 27], то квазипериодическое прибли¬ жение A(t) + iB(t) непригодно для получения точного решения на проме¬ жутке в несколько миллионов лет. Это отражено в фильтрованном Фурье- спектре A(t) + iB(t) внутренних планет (рис. 2), где только главные пики
Хаотическое изменение наклонений планет 241 могут быть отождествлены с комбинациями фундаментальных вековых пла¬ нетных частот. Квазипериодическое приближение A(t) + iB(t) вида N A(t) + iB(t) « Х+*+(!"‘<+<Ы к=1 все же может быть использовано при описании внешних планет или, что бо¬ лее важно, при качественном исследовании решения. В этом приближении гамильтониан имеет вид Я = | (1 - е(г)2)~3/2 X2 + Vl-X2x N (5) х X] ак sin (vkt + ф + фк). к= 1 Это есть гамильтониан осциллятора с частотой аХ, возмущенного внешни¬ ми квазипериодическими колебаниями с частотами Vk- Резонанс наступает, если ф « аХ = a cos е равно одной из частот Vk с противоположным знаком {—ик)- Ограничиваясь одним периодическим членом и принимая e(t) = Cte, этот гамильтониан можно привести к интегрируемому виду, который часто называют волчком Коломбо [28]. Положения равновесия называются тогда состояниями Кассини [29]. Однако в данном случае в e(t) и учи¬ тываются вековые возмущения всей Солнечной системы, которая моделиру¬ ется системой с 15 степенями свободы, и гамильтониан имеет 1+15 степеней свободы. Его решение эволюционирует в фазовом пространстве размерно¬ сти 2+30 (2 относятся к переменным X). Фактически орбитальное реше¬ ние La90 не связано с переменными прецессии и поэтому не будет изменять¬ ся. Гамильтониан, таким образом, рассматривается как зависящий от време¬ ни, но непериодически. Обычные средства, такие как поверхность сечений Пуанкаре, нельзя использовать для изучения его динамики, и мы будем опираться на метод частотного анализа Ласкара [8, 30, 31] (приложение 2). Приложение 2. Частотный анализ Численный анализ фундаментальных частот выполнен по методу, из¬ ложенному в [8]. В этом случае частотный анализ показывает, что для вну¬ тренних планет (от Меркурия до Марса) хаотическая зона относительно широка, в то время как для внешних планет (от Юпитера до Нептуна) эта зона намного меньше. Вообще говоря, метод, кратко здесь изложенный,
242 Ж. JlACKAP, П. РОБУТЕЛЬ можно использовать для исследования устойчивости решений консерватив¬ ной динамической системы. Метод основан на усовершенствованном ал¬ горитме численного поиска квазипериодического приближения ее решений на ограниченном интервале времени [8, 30, 31]. Если f(t) — функция со значениями в комплексной области, полученными численно на ограничен¬ ном промежутке времени [—Т, Т], алгоритм частотного анализа заключается в поиске квазипериодического приближения функции f(t) конечным чис¬ лом периодических членов вида N к=1 Частоты dk и комплексные амплитуды находятся методом итера¬ ций. Для определения первой частоты од находят максимальную ам¬ плитуду ф(а) — (/(£), ег(ТкЬ), где скалярное произведение двух функ¬ ций {f(t).g(t)) определяется как т -Т Здесь x{t) — весовая функция, которая представляет собой положительную функцию с нормировкой 1/2Т = 1, и д — функция, комплекс¬ но сопряженная с д. После того как найден первый периодический член el(Tlt, его комплексную амплитуду а\ можно получить путем ортогонально¬ го проектирования, затем процесс повторяется снова для оставшейся части функции fi(t) — f(t) — aielcrit. Для оценки точности проводится допол¬ нительный анализ. В случае интегрируемой гамильтоновой системы с п степенями свободы частотный анализ дает их квазипериодическое разло¬ жение и, в частности, определяет вектор (щ)г=i,n фундаментальных частот системы. Если орбита не является регулярной (квазипериодической), то в случае почти интегрируемой системы частотный анализ дает квазипериодическое приближение решения, существующего только локально во времени. Дру¬ гими словами, он дает нам вектор частот (щ(Ь))г для каждого значения получен ного применением алгоритма частотного анализа на временном ин¬ тервале ГМ -Ь Т]. Выполняя анализ прецессии и наклонения, найдем только частоту прецессии р, которая связана с угловой переменной и переменной действия ф, X. Начальная фаза фо фиксирована. Приняв некоторые началь¬ ные условия для X, мы можем выполнить частотный анализ для орбит,
Литература 243 соответствующих начальным условиям (фо,Х) (при t — 0), на временном интервале [0,Т]. Таким образом, получаем частотное отображение Ft • R —- R х-+р. Регулярность прецессии и наклонения можно проанализировать очень точ¬ но, исследуя регулярность частотного отображения этой задачи с п + 1 степенью свободы. Искажения частотного отображения указывают на то, что инвариантные поверхности, которые могут ограничивать изменения на¬ клонения, не существуют [30, 31]. Возрастая, эти искажения становятся причиной полной потери регулярности частотного отображения, что слу¬ жит признаком хаотического движения [31]. Благодарим П. Барга, А. Шенсине, С. Дюма, Д. Готье, М. Эрмана, Ф.Жутеля, П. И. Лонгаретти, С. Пила и Б. Сикарди за обсуждения, а так¬ же Ж. Маршан за техническую помощь. Литература [1] Harris A.W., Ward W.R. // A. Rev. planet. Sci. - 1982. - Vol. 10. - R 61-108. [2] Tremaine S. // Icarus. - 1991. - Vol. 89. - P. 85-92. [3] Dones L., Tremaine S. // Science. - 1993. - Vol. 259. - R 350-354. [4] Сафронов В. С. Эволюция протопланетного облака и формирование Земли и планет — М: Наука, 1969. [5] Laskar J., Joutel F., Robutel P. // Nature. - 1993. - Vol. 361. - P. 615-617. [6] Chirikov В. V. // Phys. Rep. - 1979. - Vol. 52. - P. 263. [7] Lambek K. The Earths Variable Rotation: Geophysical Causes and Consequences. — Cambridge Univ. Press, 1980. [8] Laskar J. // Icarus. - 1990. - Vol. 88. - P. 266-291. [9] MacDonald G. J. F. // Rev. Geophys. - 1964. - Vol. 2. - P. 467-541. [10] Goldreich P., Soter S. // Icarus. - 1966. - Vol. 5. - P. 375-389. [11] Bums J. A. // Icarus. — 1976. — Vol. 28. — P. 453^-58. [12] Peale S. J. // Icarus. - 1976. - Vol. 28. - P. 459^167.
Ж. JlACKAP, П. РОБУТЕЛЬ Goldreich Р., Peale S. J. // Astr. J. - 1970. - Vol. 75. - P. 273-284. Dobrovolskis A.R. // Icarus. — 1980. — Vol. 41. — P. 18-35. Ward W. R. // J. Geophys. Res. - 1974. - Vol. 79. - P. 3375-3386. Hilton J. L. // Astr.J. - 1991. - Vol. 102. - P. 1510-1527. Ward W. R., Rudy D. J. // Icarus. - 1991. - Vol. 94. - P. 160-164. Laskar J. // Nature. - 1989. - Vol. 338. - P. 237-238. Davies М. E. et. al. // Celest. Mech. - 1992. - Vol. 53. - P. 377-379. Laskar J., Joutel R, Boudin R // Astr. Astrophys. — 1993. — Vol. 270. — P. 522-533. Ward W. R. // Icarus. - 1982. - Vol. 50. - P. 444-448. Korycansky D. G., Bodenheimer P., Pollack J. B. // Icarus. — 1991. — Vol. 92. - P. 234-251. Goldreich P. // Rev. Geophys. — 1966. — Vol. 4. — P. 411-439. Murray S. A. Vectorial Astrometry. — Bristol: Hilger, 1983. Laskar J. // In: Ferraz-Mello S. (Ed.) Chaos, Resonance and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System. — Dordrecht: Kluwer, 1992. — P. 1-16. Laskar J., Quinn Т., Tremaine S. // Icarus. — 1992. — Vol. 95. — P. 148-152. Sussman G., Wisdom J. // Science. — 1992. — Vol. 257. - P. 56-62. Colombo G. // Astr.J. - 1966. - Vol. 71. - P. 891-86. Henrard J., Murigande C. // Celest. Mech. — 1987. — Vol. 40. — P. 345-366. Laskar J., Froeschle C., Celetti A. // Physica D. — 1992. — Vol. 56. — P. 253-269. (См. работу 6 этого сборника.) Laskar J. // Physica D. - 1993. - Vol. 67. - P. 257-281. (См. работу 8 этого сборника.) Peale S. J. // Astr.J. - 1974. - Vol. 79. - P. 722-744.
Литература 245 Jacques Laskar Address: Astronomie et Systemes Dynamiques IMCCE, Observatoirc de Paris, 77 Avenue Denfert-Rochereau 75014 Paris email: laskar@imcce.fr Philippe Robutel Address: Astronomie et Systmes Dynamiques, IMG, CNRS EP1825, 77 Av. Denfert-Rochereau, 75014 Paris, France email: robutel@bdl.fr
10 Крупномасштабный хаос и маргинальная устойчивость в Солнечной системе1 Ж. Ласкар Крупномасштабный хаос присутствует во всей Солнечной системе. Он играет главную роль в образовании пояса астероидов и диффузии ко¬ мет из внешней области Солнечной системы. Все внутренние планеты в течение их жизненного цикла, вероятно, испытали крупномасштаб¬ ное хаотическое поведение своих наклонений. В настоящий момент наклонение Земли является устойчивым лишь вследствие присутствия Луны, а наклонение Марса подвергается большим хаотическим ва¬ риациям приблизительно от 0° до 60°. В масштабах миллионов лет орбиты планет имеют сильные хаотические вариации, которые могут привести к уходу Меркурия или к столкновению с Венерой меньше, чем через 3.5 гигагода. Таким образом, организация планет в Солнеч¬ ной системе, по-видимому, сильно связана с хаотической эволюцией, всегда достигающей состояния маргинальной устойчивости, т. е. прак¬ тической устойчивости на временной шкале, сравнимой с возрастом Солнечной системы. 1, Введение Начиная с многогранной работы Пуанкаре [77] о неинтегрируемости задачи трех тел и существовании гетероклинических пересечений, которая 1 Lascar J. Large scale chaos and marginal stability in the solar system. Celestial Mechanics. — 1996. — Vol. 64. - P. 115-162. Перевод с английского H. В. Юговой.
248 Ж. JlACKAP была завершена результатами Колмогорова [40] и Арнольда [2, 3], извест¬ но, что в общем случае динамики небесных тел, кроме квазипериодиче¬ ских орбит, расположенных на инвариантных торах в фазовом простран¬ стве, возникает множество нерегулярных движений. На практике положи¬ тельные показатели Ляпунова, отражающие экспоненциальное расхожде¬ ние близлежащих орбит, будут обнаружены во время длительного числен¬ ного интегрирования этих нерегулярных орбит, лежащих в хаотических областях. Как результат экспоненциального расхождения возникает практиче¬ ский предел для возможности создания точных предположений о движе¬ нии небесных тел. Если этот предел будет намного больше, чем возраст Солнечной системы, то движение все еще очень хорошо может быть ап¬ проксимировано регулярным решением, а хаотическое поведение не будет заметным. С другой стороны, необходимо отбросить программу Лапласа, которая должна была с максимальной точностью определить движение всех небес¬ ных тел. Если хаотическая область, в которой блуждают движения, прак¬ тически расположена в узкой области в течение существования Солнечной системы, то в данном случае физических последствий нет. Например, для планеты это, возможно, лишь означает, что ориентация орбиты или ее по¬ ложение на этой орбите неизвестны. Намного более важными являются случаи расширенного хаоса, при котором диффузия переменных действия заметна в течение рассматриваемого периода. В этом случае орбита может находиться в большой части фазового пространства, и, возможно, возник¬ нут значительные физические изменения. Эти изменения могут коснуться большой полуоси, эксцентриситета или наклонения. Несмотря на пионерскую работу [34] в области галактической дина¬ мики, представление о крупномасштабном хаотическом поведении в ре¬ альной Солнечной системе является сравнительно недавним; здесь пред¬ ставлена большая часть работы, проделанная за последние несколько лет. Это приводит к совершенно новому видению небесной механики, которая в последнее десятилетие рассматривалась астрономией как старая и неин¬ тересная область, единственно занятая определением более точных путей для уже хорошо изученных объектов. Действительно, до недавнего времени большинство людей предполагало, что в Солнечной системе все регуляр¬ но и постоянно, а движение планет рассматривалось как образец регуляр¬ ности. На самом деле многие объекты в Солнечной системе имеют крупномас¬ штабное хаотическое поведение, анализ их возможной эволюции в течение
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 249 долгого периода времени основательно изменил понимание эволюции Сол¬ нечной системы и привел к введению новых элементов для осмысления ее образования. 2. Малые тела в Солнечной системе Солнечная система заполнена множеством малых объектов: астерои¬ дами, кометами, малыми спутниками. Предположительно многие из них яв.ляются остатками материи первичной Солнечной системы, которые не вошли в состав планет. Они представляют большой интерес для понима¬ ния образования Солнечной системы, так как их материя, возможно, слабо изменилась со времен первичного состояния Солнечной системы. В послед¬ ние годы это привело к многочисленным исследованиям их динамической эволюции с момента образования Солнечной системы. С практической точки зрения малые тела, как правило, можно иссле¬ довать, используя упрощенные модели. Очень малые массы не возмущают остальную часть Солнечной системы, поэтому мы больше заинтересованы в их коллективном поведении, чем в определенной орбите одного из них. С другой стороны, по той же самой причине в большой части фазового пространства, которое будет соответствовать многочисленным возможным начальным условиям этих малых тел, потребуется более глобальное изуче¬ ние рассматриваемой динамики. Помимо обзора Виздома [96], работы [25], [22] также являются описа¬ нием недавних достижений в изучении люков Кирквуда в поясе астероидов и попадания метеоритов на Землю. Динамические исследования о кометах были пересмотрены в работе [24]. 2.1. Хаотическое движение Гипериона Первый яркий пример хаотического поведения в Солнечной системе был задан хаотическим переворачиванием Гипериона, малого спутника Са¬ турна, странное вращательное поведение которого было обнаружено во вре¬ мя встречи космического аппарата «Вояджер» с Сатурном [97]. Этот при¬ мер, динамику которого можно свести к возмущенному мая г нику, дает про¬ стую иллюстрацию возникновения хаотического поведения в окрестности резонанса. В общем случае это исследование можно применить к любому спутнику нерегулярной формы в окрестности спин-орбита; шного резонан¬ са [95]. Уравнения движения для ориентации спутника S, вращающегося во¬ круг планеты Р на неподвижной эллиптической орбите большой полуоси а
250 Ж. JlACKAP 5 Рис. 1. Положение спутника S вокруг планеты Р определяется расстоянием г и уг¬ лом v от направления периапсиды (истинной аномалии). Угол х обусловливает ори¬ ентацию спутника и эксцентриситета е„ задаются гамильтонианом где r(t) — расстояние от планеты до спутника, х задает ориентацию спутни¬ ка по отношению к заданному направлению (в данном случае направлению периапсиды), у - dx/dt — ее сопряженная переменная, v — истинная ано¬ малия спутника, а А < В < С — главные моменты инерции спутника (рис. 1). Соответствующие уравнения движения имеют вид Выберем единицу времени таким образом, чтобы среднее движе¬ ние п = 1. Если разложить гамильтониан по отношению к эксцентриси¬ тету (е), который предположительно мал, и сохранить в эксцентриситете лишь члены первого порядка, то мы получаем з cos2(x — v(t)) dУ = _дН. dx дН dt дх dt ду ' где а = 3(В - А)/2С.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 251 2.5 -0.5 tv/4 tv/2 3ty/4 x-t 0 Рис. 2. Поверхность сечения в фазовом пространстве Деймоса, малого спутника Марса. Здесь х — t определяет ориентацию спутника, a dx/dt — его скорость вра- щения. Малая хаотическая область возникает в окрестности сепаратрисы невозму¬ щенной задачи (е = 0) [96] Если S имеет осевую симметрию, а = 0, то гамильтониан сводится к Hq = у2/2. Спутник вращается с постоянной скоростью dx/clt = уо. Если орбита является круговой, то задача также интегрируема, так как Но сводится к двум первым членам из уравнения (2.1): Это движение будет подобно простому движению маятника с вероятностью либрации спутника по направлению движения планеты (возникает спин- орбитальный резонанс) или круговому движению при больших значениях начальной угловой скорости вращения спутника. В общем случае ае Ф 0, а гамильтониан Но из (2.2) возмущен осталь¬ ными членами из (2.1). При переходе между либрационным движением и вращательным движением спутников возникает малая хаотическая об¬ ласть. Ее можно наблюдать на сечении портрета ориентации движения Фо¬ боса в фазовом пространстве при его вращении вокруг Марса (рис. 2). Если величина возмущения ае увеличивается, то области резонанса, соответствующие различным возможным резонансным членам cos 2 (x — t), (2.2)
252 Ж. JIACKAP Рис. 3. Поверхность сечения в фазовом пространстве Гипериона — внешнего спут¬ ника Сатурна. Если параметр возмущения ае является большим, как в случае Ги¬ периона, то многие из резонансов перекрываются, создавая большую хаотическую область нерегулярного движения [96] cos(2x — t), cos(2x — 3£), перекрываются [9], создавая крупномасштабное хаотическое движение. Как раз это происходит в случае Гипериона (рис. 3), где ас ~ 0.039. Полученный в результате эффект представляет собой нерегулярное враща¬ тельное движение Гипериона, в данном случае к его светлой кривой невоз¬ можно подогнать какую-либо периодическую или квазипериодическую мо¬ дель [39]. Рассмотрение этого хаотического движения было необходимым, чтобы объяснить наблюдения Гипериона; этот пример показал, что такая сложная хаотическая динамика может привести к существенным физиче¬ ским явлениям в Солнечной системе. Отметим, что модели, использованные в этих вычислениях, являются моделями двух степеней свободы. В этом случае, согласно КАМ теории, инвариантные торы второй размерности, возможно, существуют и будут разделять фазовое пространство. Таким образом, несмотря на то, что орби¬ та может быть хаотической, она может быть ограничена в любой момент времени этими инвариантными поверхностями [7, 8]. В завершенной моде¬ ли добавление дополнительных степеней свободы приводит к возможности диффузии, хотя последняя может быть крайне мала.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 253 2.2. Люки Кирквуда Распределение астероидов, малых планет, орбиты которых лежат в основном между Марсом и Юпитером, было непонятным астрономам в течение многих десятилетий, с момента наблюдения их Кирквудом в 1867 году, который установил, что они распределяются неслучайным образом. Действительно, если изобразить число астероидов в зависимости от вели¬ чины их большой полуоси, то можно наблюдать люки и скопления (рис. 4). Кирквуд отмечал, что эти люки соизмеримы со средним движением Юпи¬ тера, а их расширение — с областями либрации резонансов [13]. Таким образом, предполагалось, что люки являются результатом влияния резонан¬ сов, хотя первое численное интегрирование астероидов, расположенных внутри резонанса, привело к некоторому увеличению их эксцентрисите¬ тов [26]: однако удовлетворительного объяснения так и не было получено. Позднее, используя упрощенную модель двух степеней свободы (усреднен¬ ная плоская задача, в которой астероид единственно подчинен возмущению Юпитера, вращающегося на неподвижном эллипсе), Виздом [93, 94], вдох¬ новленный работой Чирикова [9]., сумел приблизительно проинтегрировать орбиты на длительном промежутке времени и показал, что в окрестности резонанса 3/1 существует хаотическая область, которую можно легко на- Рис. 4. Гистограмма числа астероидов в зависимости от величины их большой по¬ луоси, показывающая положение дюков и скоплений 1 1 у Г г йольшая полуось (а.е.)
254 Ж. JlACKAP блюдать на поверхности сечения траекторий Пуанкаре, соответствующих последовательным пересечениям с плоскостью фиксированного аргумен¬ та перигелия. Орбита, начинающаяся в хаотической области, может иметь умеренный эксцентриситет в течение большого периода времени, но за¬ тем может войти в такую часть хаотической области, которая приводит к большому увеличению эксцентриситета, достаточному для пересечения орбиты Марса. Тогда возможное сближение с другой планетой может вы¬ толкнуть астероид с его исходной орбиты. Положение и размер хаотической области, связанной с резонансом 3/1, хорошо согласуется с люком астеро¬ ида 3/1. Таким образом, понимание этой сложной динамики, сильно отли¬ чающейся от упорядоченного движения интегрируемых задач, позволило получить убедительное объяснение для одной знаменитой задачи небесной механики. Начиная с работы Виздома, в основном касающейся люка 3/1, в боль¬ шей части исследований проводился анализ возможного хаотического по¬ ведения в окрестности других резонансов астероидов, включающих более сложные взаимодействия и модели многих степеней свободы. В частности, в анализе резонансов 2/1 и 3/2 [67] необходимо было принять во внимание пространственную задачу и вековые резонансы вследствие медленной пре¬ цессии орбиты Юпитера при возмущениях планет. Более того, на основе той же самой модели в [67] показано, что перекрытие вековых резонансов 3/1 внутри области либрации обеспечивает более действенный механизм для уменьшения этого люка, чем механизм, первоначально предложенный Виз- домом. 2.3. Хаотическое движение комет и динамика пояса Койпера Не только астероиды являются малыми телами Солнечной системы, для которых возможны хаотические движения. Действительно, многие орбиты комет являются хаотическими. Когда в 1985 году комета Галлея приблизилась к Земле, было выпол¬ нено несколько численных интегрирований, чтобы проследить ее орбиту на всем протяжении наблюдений, т.е. после 163 г. до н.э. (дата самого древнего наблюдения этой кометы [85]). По прошествии длительного пе¬ риода времени все разные численные интегрирования показали различное поведение, и их точность оставалась под вопросом. В действительности позднее эти расхождения были объяснены анализом Чирикова и Вечеславо- ва [10], которые доказали, что движение кометы Галлея может быть хаотиче¬ ским и, таким образом, после 29 обращений практически непредсказуемым. Действительно, можно показать, что вследствие возмущения Юпитера су-
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 255 Начальная большая полуось (а.е.) Рис. 5. Время жизни каждой пробной частицы как функция начальной большой полуоси. Для каждой большой полуоси шесть пробных частиц первоначально бы¬ ли расположены на различных долготах. Вертикальные полосы отмечают минимум шести конечных времен. Пики в распределении больших полуосей планет (Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун) в 5.2, 9.5, 19.2 и 30.1 а.е. перед сближением соответствуют пробной частице в либрации троянца или подковообразных орбит. Во внутренней части Нептуна интегрирование расширяется до 800 мегалст; во внешней части Неп¬ туна — до 200 мегалет. На расстоянии около 43 а. е. все пробные частицы сохраня¬ ются в течение всего интегрирования [35] ществует большая хаотическая область для почти параболических орбит, простирающаяся до «облака Оорта» [76, 84, 69]. Позднее это хаотическое поведение кометы Г аллея было подтверждено прямым численным интегри¬ рованием [27]. Как правило, большинство долгопериодических комет имеет орбиты, хаотическое поведение которых является результатом повторных сближений с планетами. Существование «облака Оорта» может объяснить наблюдение долго¬ периодических комет, но распределение наклонения короткопериодических комет приводит к предположению о существовании других источников ко¬ мет, пояса Койпера, расположенного за пределами Нептуна вблизи плане¬ тарной плоскости [41, 23]. Для того чтобы исследовать эту гипотезу и ввиду того, что интегрирование внешней части Солнечной системы становится
256 Ж. JlАСКАР доступным для вычислений на очень больших интервалах времени, в по¬ следнее время было проведено много попыток для понимания динамики малых частиц во внешней части Солнечной системы. В результате этих исследований, которые в основном заключаются в численном интегриро¬ вании тысячи невесомых частиц во внешней части Солнечной системы, было обнаружено, что помимо некоторых особых положений (подобных троянцам, лагранжевым точкам Юпитера (рис. 4)) существуют практически неустойчивые орбиты, которые могут продолжаться среди внешних планет более чем 1 гигагод [19, 29, 35, 63]. И наоборот, существуют некоторые устойчивые орбиты около 40 а. е. и больше, на которых некоторые тела- планетезимали могут двигаться в течение долгого периода времени [63]. Вблизи от них существуют неустойчивые области, время от времени по¬ средством хаотической диффузии направляющие планетезималь, которая войдет глубже в Солнечную систему и в качестве короткопериодической орбиты может быть временно захвачена в резонанс [89]. Во время одного из последних наблюдений в предполагаемом поясе Койпера около 40 а. е. было замечено несколько из этих транснептунных объектов (см. [66] для обзора этого исследования). И снова в этом случае изучение нерегулярных орбит, которые могут заполнять большую часть Солнечной системы, дало некото¬ рое понимание наблюдаемого распределения короткопериодических комет. Эти открытия также прекрасно согласуются со сценарием образования Солнечной системы, включая фазу, в которой всюду присутствуют планете- зимали [83]. Действительно, как предсказывал Койпер, перемещение пла- нетезималей, не образовавших планеты, во внешней части Солнечной си¬ стемы можно объяснить гравитационными возмущениями больших планет, тогда как некоторые оставшиеся небесные тела действительно находятся в устойчивых областях внешней части Солнечной системы, в которой эти возмущения убывают. 3. Хаотическое движение планет Первые исследования хаотического движения в Солнечной системе ка¬ сались малых объектов, при этом использовались упрощенные динамиче¬ ские модели, которые можно было часто свести к двум степеням свобо¬ ды. Используя эти упрощения, можно было описать глобальную динамику объектов и исследовать их хаотические области, что привело к новому по¬ ниманию организации и эволюции Солнечной системы. Но хаотическое поведение не ограничивается малыми телами Солнечной системы, а отно¬ сится также к главным небесным телам — планетам. Несмотря на выда¬
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 257 ющуюся работу Пуанкаре, открытие нерегулярного поведения существу¬ ющих планет является сравнительно недавним, так как требовалась воз¬ можность исследования эволюции реальной Солнечной системы в течение очень долгого периода времени, что было достигнуто лишь в последние несколько лет. 3.1. Историческое введение С древних времен задача устойчивости Солнечной системы волно¬ вала астрономов и математиков; было обнаружено, что среди кажущихся неподвижными звезд также существуют «блуждающие звезды» — планеты. Вначале все усилия были направлены на обнаружение регулярности в дви¬ жении этих планет, поэтому их движение среди неподвижных звезд могло быть предсказано. Для Гиппарха и Птолемея идеальной моделью стала ком¬ бинация равномерных круговых движений, эпициклов, которые выверялись в течение столетий, чтобы соответствовать наблюдаемому движению пла¬ нет. Астрономия стала прогнозирующей, даже если ее модели постоянно нуждались в корректировке. С 1609 по 1618 гг. Кеплер зафиксировал траектории планет — усвоив уроки Коперника, он расположил Солнце в центре Вселенной и, основыва¬ ясь на наблюдениях Тихо Браге, показал, что планеты описывают эллипсы вокруг Солнца. Каждая планета в конце обращения возвращается в перво¬ начальное положение, откуда она начала движение, и таким образом возвра¬ щается на тот же эллипс. Притягательное в своем упрощении это виденье совершенно устойчивой Солнечной системы, в которой все орбиты были периодическими, не могло не оспариваться. В 1687 году Ньютон открыл закон всемирного притяжения. Ограничи¬ ваясь только взаимодействиями планет с Солнцем, мы получим феномено¬ логию Кеплера. Но закон Ньютона применяется ко всем взаимодействиям: Юпитер, как и Сатурн, притягивается Солнцем, но Юпитер и Сатурн так¬ же притягиваются друг к другу. Нет причины полагать, что орбиты планет являются неподвижными инвариантными эллипсами; прекрасная регуляр¬ ность Кеплера разрушается. С точки зрения Ньютона возмущения среди планет были достаточ¬ но сильными, чтобы разрушить устойчивость Солнечной системы, поэто¬ му время от времени для возвращения орбит на свои места требовалось вмешательство свыше. Более того, закон Ньютона еще не обладал своим настоящим положением, и астрономов интересовало, был ли он достаточ¬ но правильным для расчета наблюдаемых движений планет в Солнечной системе.
258 Ж. Ласкар Задача устойчивости Солнечной системы действительно требовала раз¬ решения, поскольку после Кеплера Галлей, анализируя наблюдения халде¬ ев, переданные Птолемеем, смог доказать, что Сатурн удаляется от Солнца, а Юпитер приближается к нему. Грубо экстраполируя эти наблюдения, он обнаруживает, что шесть миллионов лет назад Юпитер и Сатурн находи¬ лись на одинаковом расстоянии от Солнца. В 18 веке Лаплас рассмотрел одно из наблюдений, датированное 1 марта, 228 до н.э.: «в 4.23 утра, сред¬ нее время в Париже, Сатурн был замечен на расстоянии «двух пальцев» под Гаммой в созвездии Девы». Начиная с современных наблюдений, Лаплас надеялся произвести вычисления в обратном времени, используя уравнения Ньютона, чтобы получить наблюдения 2000-летней давности. Для того чтобы предсказать положения планет в небе при данных вари¬ ациях орбит планет, Лаланду потребовалось ввести ненастоящие «вековые» члены в его эфемеридные таблицы. Могут ли эти члены объясняться зако¬ ном Ньютона? Задача оставалась нерешенной до конца 18 столетия, когда Лагранж и Лаплас верно сформулировали уравнения движения. Лагранж начал с то¬ го, что движение планеты остается близким к кеплеровскому эллипсу в те¬ чение короткого периода времени, и поэтому он намеревался использо¬ вать этот эллипс в качестве основы для системы координат (рис. 6). Тогда Лагранж написал дифференциальные уравнения, определяющие вариации в этом эллиптическом движении под влиянием возмущений других планет, тем самым вводя методы классической небесной механики. Лаплас [43] и Лагранж [42], работы которых сходились в этом вопросе, вычислили ве¬ ковые вариации, т. е. длительные вариации в больших полуосях планет под влиянием возмущений других планет. Их вычисления показали, что для первого порядка масс планет эти вариации обращаются в нуль. Позднее Пуассон [78] и Аретю [31] показали, что этот результат остается справед¬ ливым относительно второго порядка по массам планет, но не до третьего. Казалось, что этот результат противоречит древним наблюдениям Пто¬ лемея, но Лаплас, изучая периодические возмущения между Юпитером и Сатурном, обнаружил в их долготах квазирезонансный член (2Аюпитер — — 5Асагурн)- Этот член имеет амплитуду 46'50" в долготе Сатурна и период приблизительно в 900 лет. Это объясняет, почему наблюдения, сделанные в 228г. до н.э., а затем в 1590 и 1650 годах, могли дать такое выражение для векового члена. Тогда Лаплас [45] вычислил множество других периодических членов и, в прекрасном согласовании с наблюдениями 18 века, создал теорию дви¬ жения Юпитера и Сатурна. Прежде всего, используя ту же самую теорию, он смог объяснить наблюдения Птолемея в пределах одной дуговой мину-
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 259 Рис. 6. Эллиптические элементы. В любое заданное время можно рассмотреть пла¬ нету (J), движущуюся на эллиптической орбите с большой полуосью а и экс¬ центриситетом е, с Солнцем в одном фокусе (О). Ориентация этого эллипса по отношению к фиксированной плоскости П и направлению координаты ОХ задается тремя углами: наклонением г, долготой угла О и долготой перигелия й = О, + ш, где ш — аргумент перигелия (Р). Положение планеты на этом эллипсе задается сред¬ ней долготой Л = М + ш, где М (средняя аномалия) — угол, пропорциональный площади OPJ (третий закон Кеплера) ты без дополнительных членов в вычислениях. Таким образом, он показал, что закон Ньютона был достаточным для объяснения движения планет на протяжении всей истории; этот факт, без сомнения, частично объясняет детерминизм Лапласа. Лаплас показал, что большие полуоси планет испытывают лишь малые колебания и не имеют вековых членов. В то же самое время эксцентриситет и наклонение траекторий планет также играют очень важную роль в устой¬ чивости Солнечной системы. Если эксцентриситет планеты подвергается значительным изменениям, то ее орбита может пересечь другую орбиту планеты, тем самым увеличивая шансы для близких встреч, которые могут вытолкнуть планету из Солнечной системы. В работе [44] Лаплас пересмотрел свои вычисления, учитывая в рядах возмущений лишь члены первого порядка, и показал, что система уравне-
260 Ж. Ласкар нии, описывающая средние движения эксцентриситета и наклонения в пла¬ нетной системе с к планетами, может быть сведена к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами А dt zi Zk Cl - Ск - = V—i Ак 0/с 0/с В}с Z1 Zk Cl Ск - (3.1) где z — еехр\/—С — sin(z/2)exp \/—Ш, Ak и Bk — матрицы (/с, к) с действительными коэффициентами, зависящими лишь от масс планет и большой полуоси; 0/с — нулевая матрица (/с, к). Используя инвариант¬ ность кинетического момента С *у7^аг(1 cos г* (3.2) сохраняя в эксцентриситете и наклонении лишь члены второй степени и утверждая, что эволюции эксцентриситета и наклонения разбиваются на линейные уравнения, Лаплас заключил, что величины к ГПг Саге2г, Е г=1 Tfii \ аг snr гг/2 могут быть постоянны; таким образом, полиномиальных или экспоненци¬ альных членов в решениях этих линейных уравнений быть не может. Поэто¬ му он пришел к заключению, что все собственные значения gi матрицы А и 5г матрицы В — действительны и определены, а решения этой линейной вековой системы представляют собой квазипериодические выражения вида к Zi - з=i к Ci = J2l3iieiS',t’ j=1
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 261 Наклонение Земли Рис. 7. Решения Лапласа для движения планет представляют собой комбинации кру¬ говых и равномерных движений с частотами прецессии gi и Si Солнечной системы (таблица 1). Эксцентриситет Земли ез задается OP, OQ — наклонение Земли по отношению к инвариантной плоскости Солнечной системы (гз) [53] где atj и 6tj — комплексные величины. Значения вековых частот дг и S{, вычисленных в более полном полуаналитическом решении Ласкара [51], даны в таблице 1. Таким образом, вариации в эксцентриситете сводятся к суперпозиции равномерных круговых движений (рис. 7) с частотами и s*. Поэтому наклонения и эксцентриситеты орбит подвержены лишь малым вариациям около их средних значений (на самом деле это было установлено Леве- рье для всей Солнечной системы). Следует отметить, что решения Лапласа сильно отличаются от решений Кеплера, так как орбиты больше не являют¬ ся неподвижными. Они подчиняются двойному прецессионному движению с периодами приблизительно от 45 ООО до нескольких миллионов лет (та¬ блица 1): прецессия перигелия, представляющая собой медленное вращение орбиты в ее плоскости, и прецессия узлов, представляющая собой вращение плоскости орбиты в пространстве. В своей работе Лаплас рассматривает лишь линейное приближение для векового движения планет. Выражаясь современным языком, можно сказать, что Лаплас доказал — началом координат (плоские и круговые дви¬ жения) в вековом фазовом пространстве, полученном после усреднения по средним долготам, является эллиптическая фиксированная точка. Позднее Леверье [62], известный своим открытием в 1846 году планеты Нептун по¬ средством вычислений, основанных на наблюдениях нерегулярностей в дви¬ жении Урана, принял вычисления Лапласа и рассмотрел эффекты членов в рядах высокого порядка. Он показал, что эти члены создают значительные
262 Ж. JlACKAP Таблица I. Основные частоты прецессионного движения Солнечной системы (ис¬ ключая Плутон). Эти значения взяты из последнего решения La90 в качестве сред¬ них значений на промежутке 20 миллионов лет. Со временем для внутренних планет вследствие хаотической диффузии частоты могут подвергаться значительным изме¬ нениям [51] v(" ГОД) период (года) 91 5.596 231 000 92 7.456 174 000 9s 17.365 74 600 94 17.916 72 300 9ъ 4.249 305 000 9е 28.221 45 900 97 3.089 419 000 9s 0.667 1 940 000 si -5.618 230 000 52 -7.080 183 000 S3 -18.851 68 700 54 -17.748 73 000 S5 0.000 S6 -26.330 49 200 S7 -3.005 431 000 S8 -0.692 1 870 000 поправки и что вычисления Лапласа и Лагранжа «не могут использовать¬ ся для неопределенного периода времени». Тогда от будущих математиков он потребовал точных решений, не допуская приближенный анализ. Труд¬ ность, поставленная «малыми делителями», показала, что сходимость рядов зависит от начальных условий; вопрос об устойчивости Солнечной системы оставался открытым. Но на вопрос Леверье Пуанкаре в работе [77] ответил отрицательно. Учитывая работу Якоби и Гамильтона, он заново продумал методы небес¬ ной механики. Пуанкаре показал, что невозможно проинтегрировать уравне¬ ния движения трех тел, подчиненных взаимному притяжению, и невозмож¬ но найти аналитическое решение, справедливое на бесконечном интервале времени, представляющее движение планет, поскольку ряды теории возму¬
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 263 щений, используемые астрономами для вычисления движения планет, не сходятся на открытом множестве начальных условий. Колмогоров [40] пересмотрел эту задачу и доказал, что в возмущен¬ ной невырожденной гамильтоновой системе среди нерегулярных решений, описанных Пуанкаре, существуют некоторые квазипериодические траек¬ тории, лежащие на изолированных торах в фазовом пространстве. Этот результат был дополнен Арнольдом [2], доказавшим, что для достаточно малого возмущения множество инвариантных торов, расслоенных квазипе- риодическими траекториями, является множеством строго положительной меры, приближающейся к единице, если возмущение убывает до нуля. Мо¬ зер в 1962 г. получил тот же самый результат при менее строгих условиях, не требующих аналитичности гамильтониана. В общем эти теоремы известны как КАМ теоремы, применяющиеся в различных областях. К сожалению, они неприменимы непосредственно к планетной задаче, в которой имеется собственное вырождение (невозмущенный гамильтониан зависит лишь от больших полуосей, а не от других переменных действия, связанных с экс центриситетом и наклонением). Арнольд, принимая во внимание это яв¬ ление собственного вырождения, расширяет доказательство существования инвариантных торов. Он непосредственно применил свою теорему к плос¬ кой системе двух планет с отношением большой полуоси, близкой к нулю, доказывая тем самым существование квазипериодических траекторий для достаточно малых значений масс планет и эксцентриситетов [3]. Недавно этот результат был расширен на более общие системы двух планет [82]. Результаты Арнольда послужили причиной возникновения множес?;ва дискуссий; действительно, так как квазипериодические КАМ-торы явля¬ ются изолированными, бесконечно малое изменение в начальных условиях может изменить решение из постоянно устойчивого в хаотическую орбнеу. Более тог о, так как планетная система является системой более чем двух с;г е- пеней свободы, ни один из КАМ-торов не разделяет фазовое пространстве.. позволяя хаотическим траекториям перемещаться на большие расстояния в фазовом пространстве. Фактически несколько последующих результатов продемонстрировали, что диффузия решений вблизи КАМ-торов является достаточно медленной [70, 28, 65, 68] и может быть пренебрежимо малой в течение очень долгого периода времени, такого в конечном счете, как возраст Вселенной. Несмотря на то, что действительные массы планет являются слишком большими, чтобы непосредственно применить выводы к Солнечной систе¬ ме, предполагалось, что граница этих математических результатов прости¬ рается намного дальше, чем их фактически доказанные пределы. И еще сравнительно недавно предполагалось, что Солнечная система была устой¬
264 Ж. Ласкар чивой в течение всего ее существования при «любом допустимом толкова¬ нии этого термина». За последние несколько лет задача устойчивости Солнечной систе¬ мы значительно продвинулась вперед во многом благодаря компьютерам, позволившим сделать обширные аналитические вычисления и численное интегрирование по модельной временной шкале, приближающейся к воз¬ расту Солнечной системы, но также и вследствие лучшего понимания основной динамики, благодаря расширению общей теории динамических систем. 3.2. Численное интегрирование Движение планет Солнечной системы имеет очень привилегированное положение; действительно, эта одна из самых моделируемых задач в физи¬ ке. Ее исследование практически можно свести к исследованию поведения решений ее пзавигационных уравнений (уравнение Ньютона, дополненное релятивистскими поправками для большинства внутренних планет), пре¬ небрегая рассеянием и рассматривая планеты в качестве точечных масс, за исключением случая Земли, где для более точных результатов следует учесть возмущение, обусловленное существованием Луны. С момента постановки этой задачи ее математическая сложность, несмотря на кажущуюся простоту, являлась вызовом математикам и астро¬ номам в течение трех столетий. Начиная с работы Пуанкаре, также из¬ вестно, что аналитические методы теории возмущений, использовавшиеся в планетных вычислениях приблизительно в течение двух веков, не могут обеспечивать хорошие аппроксимации для решений в течение бесконечно¬ го времени. Более того, как было уже изложено выше, результаты устой¬ чивости, полученные Арнольдом в [2, 3], неприменимы к существующим планетным системам. С введением компьютеров численное интегрирование планетных урав¬ нений явилось прямым способом преодолеть эту сложность решений, но до настоящего момента оно всегда ограничивалось возможностями компью¬ терной техники. Первоначально численные исследования Солнечной систе¬ мы на большом промежутке времени ограничивались движением внешних планет от Юпитера до Плутона [11, 38]. Действительно, чем быстрее ор¬ битальное движение планеты, тем труднее численно проинтегрировать ее движение. Для интегрирования орбиты Юпитера шаг в 40 дней будет доста¬ точным, тогда как для интегрирования движения всей Солнечной системы потребуется шаг в 0.5 дней при использовании условного многошагового интегратора.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 265 В проекте LONGSTOP [6, 73] для интегрирования системы внешних планет в течение ста миллионов лет использовался компьютер CRAY. По¬ чти в то же самое время были выполнены вычисления той же системы в Массачусетском технологическом институте на параллельном компьюте¬ ре, специально спроектированным для работы на еще более продолжитель¬ ных периодах времени, соответствующих 210 и 875 миллионам лет [1, 87]. Это последнее интегрирование при использовании времени Ляпунова (вели¬ чина, обратная показателю Ляпунова) в течение 20 миллионов лет показало, что движение Плутона является хаотическим. Но поскольку масса Плутона очень мала (1/130000000 массы Солнца), невозможно индуцировать мак¬ роскопическую неустойчивость в оставшейся части Солнечной системы, которая в ходе этих исследований казалась относительно устойчивой. 3.3. Хаос в Солнечной системе В результате численного интегрирования можно получить достаточ¬ но точные решения траекторий, но они ограничиваются коротким шагом, необходимым для интегрирования всей Солнечной системы. Следует отме¬ тить, что до 1991 года единственным доступным результатом численного интегрирования существующей модели всей Солнечной системы стали чис¬ ленно интегрированные эфемериды DE 102 [71] (полученные в Лаборатории реактивных двигателей), охватившие лишь 44 столетия. Эта задача требовала от меня разных подходов и в основном в духе аналитических работ Лапласа и Леверье. Действительно, после публикаций этих новаторских работ Бюро долгот2 традиционно стало местом разви¬ тия аналитических планетных теорий, основанных на классических рядах теории возмущений [5, 4, 20]. В ходе этих исследований безоговорочно полагается, что движение небесных тел является регулярным и квазипери- одическим. В основном использовались те же методы, какие использовал Леверье, и дополнительно применялись компьютеры для символических вычислений. Действительно, подобные методы могут обеспечить доста¬ точно удовлетворительные приближения для решений планет в течение нескольких тысяч лет, но они не могут ответить на вопрос об устойчи¬ вости Солнечной системы в течение времени, сравнимом с ее возрастом. Эта трудность, известная со времен Пуанкаре, является одной из причин, обусловливающих недавно упомянутое длительное прямое численное ин¬ тегрирование уравнений. 2Бюро долгот было основано 7-го мессидора Ш-го года (25 июня, 1795) для развития астро¬ номии и небесной механики. Среди ее основателей были Лаплас, Лагранж, Лаланд, Деламбер, Мешен, Кассини, Бугенвиль, Борда, Буаш, Кароше.
266 Ж. JlACKAP Однако теоретические результаты Арнольда [2, 3] подтвердили идею о том, что с помощью компьютерной алгебры можно значительно расши¬ рить границу классических аналитических планетных теорий. Но это оказа¬ лось невозможным при рассмотрении всей Солнечной системы, вследствие сложных проблем сходимости, встречающихся в нормализации Биркгофа для вековой системы внутренних планет [46]. Данная трудность, присущая этой усложненной системе, заставила меня действовать в два отдельных этапа: первый этап, чисто аналитический, включает усреднение уравнений движения по быстрым углам, т. е. движения планет по орбитам. Действи¬ тельно, исходя из всех достижений классической небесной механики, по¬ лученных с начала 19 века, можно было предугадать, что трудные задачи не возникнут в течение первого этапа, включающего лишь возможные ре¬ зонансы среди орбитального движения планет. Такой процесс усреднения был проведен очень детально с сохранением всех членов до второго порядка по массам и пятого порядка по эксцентри¬ ситету и наклонению и, получая усеченные вековые уравнения Солнечной системы в виде ^ = у/—Т(Ла + Фз(а, а) + Фб(о;, а)) (3.3) где а = (zi,..., zg, Съ • • •, Cs)> а Д — матрица, подобная линейной мат¬ рице Лапласа (3.1), Фз(а, а) и Фб(о;, а) образуют члены третьей и пятой степеней. Таким образом, полученная система уравнений содержит 150000 чле¬ нов, но ее можно рассматривать, как упрощенную систему, так как теперь ее основные частоты являются частотами прецессии орбит планет; она больше не содержит их орбитальных периодов. Таким образом, всю систему можно численно проинтегрировать с очень большим шагом приблизительно в 500 лет. Действие Луны и вклад, вносимый общей теорией относительности, добавляются без затруднения [47, 48]. Тогда второй этап (т. е. численное интегрирование) является достаточно эффективным благодаря симметричной форме вековой системы, и он был вычислен на промежутке 200 миллионов лет лишь за несколько часов на суперкомпьютере. Главные результаты этого интегрирования должны бы¬ ли показать, что вся Солнечная система, в частности ее внутренняя часть (Меркурий, Венера, Земля и Марс), является хаотической, используя вре¬ мя Ляпунова в течение 5 миллионов лет [50]. Погрешность в 15 метров в начальном положении Земли создала ошибку приблизительно в 150 мет¬ ров по прошествии 10 миллионов лет; но та же самая ошибка возрастает до 150 миллионов км по прошествии 100 миллионов лет. Таким образом,
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 267 2тт О -2тт -4тт -бтт -8тт -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Время (мегагода) ( —w°5) — (П*—Q°2) 8тт бтт 4тт 2тт 0 -2тт -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Время (мегагода) Рис. 8. Вековые резонансы 0 = 2(#4 — дз) — (s4 — S3) и а = (</i — </,=>) — (51 — — 52). Соответствующий аргумент меняется от —200 до +200 мегалет и показывает несколько переходов от либрации до вращения [52] можно построить эфемериды в течение 10 миллионов лет, но практиче¬ ски невозможно предугадать движение планет по прошествии 100 миллио¬ нов лет. Как правило, такое хаотическое поведение возникает при наличии двух вековых резонансов планет: в = 2(#4 — дз) — (54 — S3), что связано с Марсом и Землей, и а = {д\ — д$) — (st — S2), что связано с Меркурием, Венерой и Юпитером (здесь gi — вековые частоты, связанные с перигелиями планет, a Si — вековые частоты узлов (таблица 1)). Два соответствующих аргумента изменяются от либрации до вращения несколько раз в течение 200 миллио¬ нов лет, что также является свойством хаотического поведения (рис. 8). Сле¬ дует отметить, что эти две комбинации частот не выбираются случайным образом. Фактически частотный анализ [51] численных решений вековой системы показал, что комбинации возникают с большой амплитудой в са¬ —1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1— 1 1 1 1 1 ( 1 1 1 Г 1 1 1 1 1 1 1 - ' ■ • ' . / \л / 1 1 1 1 1 1 1. _1 1 1 1 1 L. —1 1 1 1 1 О—
268 Ж, JIackap Время (мегагода) Рис. 9. Эксцентриситет Земли (а) и Mapca (b) в течение 6 мегалет (текущий момент времени находится в центре). Сплошная линия представляет собой численное реше¬ ние QTD [81], а пунктирная линия — интегрирование La90 вековых уравнений [51]. Для ясности мы также изобразили разницу между двумя решениями (в соответствии С [57]) мых первых членах решений внутренних планет. Действительно, как только мы пойдем дальше, чем линейная модель, их необходимо будет принять во внимание. Когда результаты были опубликованы, их можно было сравнить только с 44 вековыми эфемеридами DE102, что дало уверенность в результатах при сравнении наклонений решений в начале координат [48, 51]. К тому моменту невозможно было получить аналогичные результаты, используя прямое численное интегрирование. Фактически частично вследствие до¬ вольно быстрого прогресса в компьютерной технике, и, в частности, благо¬
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 269 даря развитию рабочих станций, Куинн [81 ] лишь двумя годами позже смог опубликовать численное интегрирование всей Солнечной системы, вклю¬ чая эффекты общей теории относительности, и Луны, в прошлом охваты¬ вающие период в 3 миллиона лет (позднее дополненное интегрированием от —3 мегалет до -t-З мегалет). Сравнение с вековым решением Ласка- ра [51] показывает очень хорошее количественное согласование (рис. 9) и подтверждает существование вековых резонансов во внутренней части Солнечной системы [52]. Позднее, используя симплектический интегратор, непосредственно адаптированный к планетным вычислениям, позволившим использовать больший шаг в 7.2 дней, Суссман и Виздом [88] выполни¬ ли интегрирование Солнечной системы в течение 100 миллионов лет, что подтвердило существование вековых резонансов, а также то, что значение показателя Ляпунова равно приблизительно 1/5 мегагода для Солнечной системы. 3.4. Эволюция планет в течение мегалет Эксцентриситеты и наклонения планет представляют собой вариации, хорошо заметные в течение нескольких миллионов лет (рис. 9). В тече¬ ние 1 миллиона лет методы возмущений Лапласа и Леверье (см. §3.1) дадут хороший расчет этих вариаций, большая часть которых вследствие линейного связывания входит в вековые уравнения. Они включают пери¬ оды прецессии орбит, упорядоченные от 45 ООО лет до нескольких милли¬ онов лет (таблица 1). В течение нескольких сотен миллионов лет поведе¬ ние решений для внешних планет (Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна) было весьма аналогичным поведению в течение первых миллионов лет, а движение этих планет выглядит достаточно регулярным, что также было показано сравнительно недавно при учете результатов частотного анали¬ за [51]. Для Земли хаотический эффект в течение такого периода времени при¬ водит к потере предсказуемости орбиты. В результате хаотической диф¬ фузии дополнительное изменение эксцентриситета является умеренным и может оцениваться для Земли приблизительно в 0.01 [52, 53]. Самой возмущенной планетой является Меркурий, причем эффекты его хаоти¬ ческой динамики хорошо заметны в течение 400 миллионов лет [52, 53] (рис. 10). Следует отметить, что экспоненциальное расхождение орбит, выявлен¬ ное с помощью вычисления показателя Ляпунова, в большей части явля¬ ется результатом изменения резонансных углов прецессии от либрации до вращения, которые по прошествии некоторого времени приводят к общей
270 Ж. JlACKAP Меркурий -I I I I I I I I I I I I I I I I ! I I I I Q U I I I I 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I I I I l L -200 -100 0 100 200 Время (ме га год а) П—I—I—I—I—i—I—I—I—I—I—i—I—I—i—I—I—I—I—I—Ц 15 - -200 -100 0 100 200 Время (мегагода) Рис. 10. Вычисленная эволюция эксцентриситета и наклонения Меркурия по от¬ ношению ко времени от —200 до +200 миллионов лет. На каждой кривой вид¬ ны быстрые вариации с периодами приблизительно в 100 000 лег, которые могут соответствовать регулярной части решения, описанного Ласкаром, и медленная ва¬ риация, выявляющая диффузию в результате хаотической динамики (приведено из статьи [52]) неопределенности углов прецессии орбиты, т. е. се ориентации в простран¬ стве. Вследствие хаотической диффузии вариации эксцентриситета и накло¬ нения (которые являются переменными действия) являются гораздо менее быстрыми, и главным вопросом остается оценка их блуждания в течение существования Солнечной системы.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 271 3.5. Хаотическое наклонение планет В движении планет Солнечной системы обнаруживаются также и дру¬ гие типы неустойчивости. Это не орбитальные движения, а скорее, изме¬ нения ориентации осей вращения планет. Планеты вследствие их экватори¬ альной выпуклости и в результате сил притяжения их спутников и Солнца подчиняются вращающим моментам. Это является причиной прецессионно¬ го движения, имеющего в случае Земли период приблизительно в 26 ООО лет. Более того, наклонение каждой планеты — угол между экватором и орби¬ тальной плоскостью — не является фиксированным, но испытывает возму¬ щение вследствие векового движения орбиты планеты. В течение одного миллиона лет эта вариация составляла лишь ±1.3 градуса около среднего значения 23.3 градуса. Эта величина мала, но достаточна для индуцирова¬ ния вариаций около 20% в летнем излучении, полученном на 65 градусах се¬ верной широты (рис. 11). Согласно теории Миланковича (см. [36]), величи¬ на дополнительного тепла, полученного в течение лета в высоких широтах, является важным фактором в исследованиях климата, так как оно растапли¬ вает лед, образовавшийся в течение зимы, и препятствует распространению полярного льда. Если этого излучения недостаточно, то полярный лед рас¬ пространяется, приводя к общему охлаждению Земли и, в конечном счете, к ледниковому периоду. Поэтому слабые вариации в наклонении Земли яв¬ ляются определяющим фактором в регулировании климата Земли в течение нескольких последних миллионов лет. Четвертичные ледниковые периоды внесли значительные климатические изменения, но они не были столь су¬ ровы, чтобы навсегда изменить условия для жизни на поверхности Земли. Полные уравнения прецессии представлены в работах [54, 59]. Для того чтобы понят ь динамику задачи, можно пренебречь очень малыми чле¬ нами этих уравнений, несмотря на то, что они учитываются в численных расчетах. В следующих упрощенных уравнениях мы также пренебрегаем эксцентриситетом Земли и Луны и наклонением Луны, что обеспечит прос¬ тую, но реалистическую форму для уравнений прецессии; это позволит заинтересованному читателю непосредственно проверить большую часть вычислений. Используя переменную действия X = cose, где е — наклоне¬ ние, и угол прецессии гр, гамильтониан сводится к виду II{X, ф, I) = |аХ2 + VI - ^(A(i) sin ф + B{t) cos ф), (3.4) где 3 С — А 1 f 2 I 2 \ а = 2 q v (амтм +пош0). (3.5)
272 Ж. JlACKAP -1 ПОП -500 0 500 1000 время (1000 лет) Рис. И. Изменения в наклонении (а) и излучении на 6oN(\d = 120°) (6), вы¬ численные с у четом влияния Луны от —1 мегагода до 0 и для 1 мегагода при ее отсутствии при Ь = 0 [54] Здесь Л и С — моменты инерции планеты (предположим, что В = Л), v — ее угловая скорость вращения, пм и — средние движения Луны и Солнца (вокруг неподвижной Земли), тм и т0 — их массы. Выражение имеет вид где ^ -- sin г/2 e?s2 зависит лишь от изменения наклонения Земли по от¬ ношению к неподвижной плоскости и задается уже вычисленным реше¬ нием Солнечной системы [51]. Несмотря на то, что движение Солнечной системы является хаотическим, для качественного понимания поведения решения удобно использовать квазипериодическое приближение для этих величин на малом промежутке времени в несколько миллионов лет (таб-
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 273 Таблица 2. Квазипериодическое приближение А + гВ, полученное в результате частотного анализа решения орбиты Земли на промежутке 18 мегалет. Перечислены 12 главных членов, а также хорошо изолированный член, возникающий вследствие 13 возмущения Юпитера и Сатурна. Здесь А + Ш ~ t+ ] (ак выражены k=i в год-1) (приведено из статьи [55]). к vk ("/год) ак х 106 ФкП 1 S3 -18.8504 1.616070 151.724 2 S4 -17.7544 0.691588 199.002 о -18.3016 0.478868 176.641 4 S6 -26.3302 0.340738 37.294 5 Si -5.6128 0.274325 270.479 6 -19.3997 0.286930 305.514 7 S2 -7.0772 0.237068 9.899 8 -19.1251 0.165838 46.398 9 -6.9564 0.132989 199.316 10 -7.2037 0.112089 176.470 11 -6.8283 0.108391 233.037 12 -5.4892 0.080168 289.422 13 s6 — 9б + дъ -50.3021 0.001043 120.161 лица 2): N A{t)+iB{t) к^аке^+фк). к=1 Теперь, используя это приближение, гамильтониан имеет вид N Н = ±аХ2 + V/l- X2 Y, c*k sin(vkt + ф + фк) (3.6) к= 1 и является гамильтонианом осциллятора частоты аХо, возмущенной квази- периодическим внешним колебанием малой амплитуды (|а/с| <С 1). Таким образом, получим резонанс, если ф « аХо = acos^o = 50.47"/год будет противоположно одной из частот Если ограничиться одним членом (N = 1), то этот гамильтониан явля¬ ется интегрируемым [12]. Напротив, если (N > 1), то простое применение
274 Ж. JIackap критерия перекрытия Чирикова позволяет предугадать существование хао¬ тической области для наклонения. В разложении по частотам члена влияния планет A(t) 4 iB(t) суще¬ ствует периодический член малой амплитуды, связанной с возмущениями, вызванными Юпитером и Сатурном, и с возмущениями частоты sq — дq 4 4 £5 = — 50.30207"/ГОД, которая может войти в резонанс с частотой пре¬ цессии. Для того чтобы увидеть эффект этого резонанса, мы немного изменили значение динамической эллиптичности Земли (С — А/С), зафиксировав ее кинетический момент. Это может произойти, например, в течение леднико¬ вого периода, когда перераспределение льда слабо изменяет динамическую эллиптичность Земли. Интегрирование наклонения Земли в этом малом ре¬ зонансе показало увеличение максимального наклонения Земли приблизи¬ тельно на 0.5 градуса. Гаким образом, этот малый член может играть боль¬ шую роль при вычислении солнечного излучения Земли в прошлом [55]. Изучая эффект малого резонанса, мы исследовали глобальную дина¬ мику наклонения Земли при учете результатов анализа частотного отоб¬ ражения [51, 54, 57, 58, 17]. Для гамильтоновой системы с п степенями свободы, близкой к интегрируемой с гамильтонианом Н(J2, Oi) = Ho(Ji) 4 4- Oi), мы численно построим частотное отображение FT : Rn х R —► R (J,t) —> u{J,t), которое ставит в соответствие переменным действия (п и начальному времени г вектор частот (^г)г=1,п9 численно полученный с помощью улуч¬ шенного анализа Фурье-решения с начальными условиями (</*, 0го) в тече¬ ние конечного интервала времени [т, т 4 Т] (начальные фазы 0i( 0) = Oi о выбраны произвольно). Тогда регулярность траекторий можно проверить, используя анализ ча¬ стотною отображения (3.7), который также позволяет выполнить более точ¬ ные расчеты хаотической диффузии орбиты в фазовом пространстве. Дей¬ ствительно, частоты п можно полагать как «лучшие» переменные действия, ш слученные локально при заданных начальных условиях. В случае существующей задачи с 1 4 15 степенями свободы фикси¬ руем т = П, и так как орбитальное движение Солнечной системы не по¬ лагается возмущенным ориентацией планет, частотное отображение будет сводиться к отображению R —> R. Тогда регулярность движения будет непосредст венно исследоваться с учетом регулярности кривой частот, зада¬ ющей числ енно определенную частоту прецессии для различных значений начального наклонения.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 275 Этот анализ, выполненный для каждого 0.1° в наклонении в течение 18 миллионов лет, непосредственно показывает, что наклонение Земли в насто¬ ящий момент является устойчивым, а также выявляет существование очень большой хаотической области, простирающейся от 60° до 90° (рис. 12) [55]. Мы далеки от этой хаотической области; изменения в наклонении Зем¬ ли остаются незначительными (23.3° ± 1.3°), но если бы Луна отсутствова¬ ла, то значение постоянной прецессии а приблизительно делилось бы на 3 (так как для приливов океана подсчеты для Луны « 2/3 в а, а для Солн¬ ца « 1/3). Частота прецессии также будет делиться на 3 и будет входить в резонанс с возмущениями вследствие движения орбитальной плоскости Земли. Более того, многие резонансы перекрываются, создавая расширен¬ ную хаотическую область. Мы исследовали глобальную устойчивость прецессии Земли для мно¬ гих значений ее скорости вращения v (следует отметить, что динамическая эллиптичность С — А /С пропорциональна и2) и обнаружили, что для всего первоначального периода вращения, от 12 часов до около 48 часов, на¬ клонение Земли будет испытывать очень большие хаотические вариации приблизительно от 0° до 85° (рис. 13, 14), которые, возможно, приведут к огромным климатическим изменениям на ее поверхности [54, 55] (ти¬ пичные изменения приблизительно от 0° до около 60° могут возникнуть меньше чем через 2 мегагода, а для перехода к более высоким значениям наклонения потребуется намного больше времени). Как и в случае Земли, описанном выше, мы исследовали устойчи¬ вость ориентации осей всех главных планет Солнечной системы. Меркурий и Венера представляют собой особые случаи, поскольку, вследствие посто¬ янных солнечных приливов, их скорости вращения в настоящий момент очень медленны. Кроме того, Венера обладает особенностью, долгое время интриговавшей астрономов: она не вращается в направлении, свойственном другим планетам, другими словами, она перевернута вверх дном. Предполагалось, что Венера была образована вверх дном или, по край¬ ней мере, что ее ось вращения лежит в орбитальной плоскости, поскольку тогда диссипативные эффекты, возникающие вследствие солнечных прили¬ вов, взаимодействий между ядром и мантией или в результате атмосфер¬ ных приливных сил под действием Солнца, обусловливают ее положение вверх дном [30, 14]. Действительно, такое предположение рассматривалось как ограничение на модели образования Солнечной системы, что в конце процесса образования потребует «стохастической фазы», используя сред¬ нее число больших влияний крупных объектов для получения желаемой ориентации той планеты (например, [15]). Вместо этого мы показали, что даже если Венера первоначально обладала скоростью вращения, аналогич¬ ной скорости вращения Земли, и вращалась в том же самом направлении,
276 Ж. JlACKAP е0 (градусы) Рис. 12. Устойчивость оси вращения Земли в присутствии Луны. Другое численное интегрирование уравнений прецессии сделано в течение 18 мегалет для каждого значения начального наклонения Земли в пределах ог 0 до 125 градусов с ша¬ гом в 0.1 градус. Для каждого интегрирования сохраняются минимальные, средние и максимальные значения наклонения (6). Частотный анализ также выполняется для точного определения усредненной прецессии частоты Земли в течение промежутка времени в 18 мегалет. Регулярность частотного отображения (а) отражает регуляр¬ ность движения. В частности, расширенная хаотическая область хорошо заметна от 60° до 90° [54]
О 50 100 £0 (градусы) Рис. 13. При отсутствии Луны хаотическая область, выявленная в результате анализа частотного отображения, расширяется в течение 18 мегалет (а) от 0° до « 85° при периоде вращения Земли приблизительно в 20 часов [54] то присутствие большой хаотической области в ее наклонении могло по¬ служить причиной ее сильного наклона и привело к близости оси вращения к орбитальной плоскости. Тогда упомянутые диссипативные эффекты мог¬ ли обусловить ее нынешнее положение, в котором в конечном счете она может быть устойчивой ввиду ее дальнейшего замедленного вращения. Случай Меркурия немного отличается. Как и в случае Венеры, мы не знаем первоначального периода вращения Меркурия, но достаточно пред-
278 Ж. ЛЛСКАР Рис. 14. Область крупномасштабного хаотического повеления для наклонения Земли (при отсутствии Луны) для большого диапазона скоростей вращения. Постоянная прецессии а в дуювой секунде за год дана слева, а расчет соответствующего перио¬ да вращения планеты в часах — справа. Голубая область соответствуем устойчивым орбитам с умеренными вариациями наклонения, а оранжево-красная область яв¬ ляется хаотической. Действительно, хаотическое движение вычисляется величиной диффузии частоты прецессии, измеренной при каждом начальном условии (с, <т) посредством численного анализа частотного оюбражепия в течение 36 мегалет. Хаотическая диффузия возникнет в видимых больших хаотических областях па ю- ризонтальных линиях (а фиксировано), а наклонение планеты может находиться в любой точке горизонтали всей оранжево-красной области. Расширение хаотиче¬ ской области, возможно, даже будет больше, если рассматривать диффузии орбит на большей временной шкале. При наличии Луны увидим, что в нынешней ситу¬ ации Землю можно приблизительно представить в виде точки с координатами е = = 23°, а = оЬп/ю)\, которая располагается в середине большой области регулярно¬ го движения. При отсутствии Луны при периоде вращения, равном приблизительно от 12 часов до 48 часов, наклонение Земли будет испытывав очень большие хаоти¬ ческие вариации приблизительно от 0° до 85°. Этот рисунок суммирует результаты около 250 000 численных интегрирований вариаций наклонения Земли под влия¬ нием возмущений всей Солнечной системы при различных начальных условиях в течение 36 мегалет [59, 55]. (.Прим. Полноцветный рисунок доступен на сайте http://ics.org. г и.)
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 279 положить, что он был короче, чем 300 часов, и быть уверенными в том, что Меркурий в течение жизненного цикла в несколько миллионов лет испытал сильные хаотические вариации наклонения в диапазоне от 0 до 90 граду¬ сов [59]. Как и в случае Венеры, непрерывные приливные эффекты могли замедлить вращение, заставить повернуться и, в конечном счете, привести к его нынешнему положению [74, 75]. Марс располагается на большом расстоянии от Солнца, а его спутники, Фобос и Деймос, имеют слишком малые массы, чтобы замедлить его враще¬ ние, поэтому его нынешний период вращения, равный 24 часам 37 минутам, близок к его первоначальному периоду вращения. Экватор Марса наклонен на 25 градусов к его орбитальной плоскости, а его скорость прецессии, 7.26 секунд за год, приближается к определенным частотам движения его орбиты [91, 92]. Более того, вариации в наклонении орбиты Марса значи¬ тельно сильнее, чем вариации в наклонении Земли. Отсюда следует, что в течение одного миллиона лет вариации в наклонении также были бо¬ лее сильные, чем вариации в наклонении Земли; Уорд обнаружил вариации в наклонении порядка ±10 градусов около среднего значения в 25 градусов. Эти вариации приводят к сильным климатическим изменениям на поверхно¬ сти Марса, а определенные структуры поверхности служат доказательством этих изменений. Наши вычисления [59] и численные результаты, полученные Тумой и Виздомом [90], подтверждают, что движение оси вращения Марса хао¬ тическое. Отсюда имеем два следствия. Во-первых, так как такое же по¬ ложение дел наблюдается для орбитального движения внутренних планет, невозможно предугадать ориентацию оси Марса для периодов длиннее чем в несколько миллионов лет. Но более важным является то, что наклонение Марса испытывает бо¬ лее сильные вариации, чем предсказанные Уордом, — приблизительно от 0 до 60 градусов за время меньшее чем 50 миллионов лет (рис. 15) [59]. Тогда необходимо пересмотреть модели прошлого климата Марса в соот¬ ветствии с этими новыми результатами. В частности, большое наклонение этой планеты приведет к более высокой температуре на ее поверхности и возможности перехода воды в жидкое состояние на поверхности [37]. На рис. 15, полученном с помощью анализа частотного отображения, видим, что размер хаотической области наклонения простирается от 0° до около 60°; в ходе численного интегрирования эти значения действительно достигаются в течение меньше чем 50 мегалет. Но мы можем также уви¬ деть, что хаотическая область делится на две главные части: одна главным образом связана вековыми резонансами с Венерой, другая — с Меркурием. Диффузия в каждой из этих частей является быстрой, тогда как прохожде-
280 Ж. JIackap наклонение • | Т'Ч Т~[~ I I I | I I I | I I I | \Ж I | 1 I llff Г 1*1 Ll -L-L 1._1—1— О 20 40 60 80 100 наклонение (°) -40 -20 О время (мегагода) Рис. 15. (а) Анализ частотного отображения наклонения Марса в течение 56 мегалет. В течение 56 мегалет было выполнено 1000 интегрирований наклонения Марса при различных начальных условиях. Мы видим большую хаотическую область, прости¬ рающуюся от 0° до 60°. (Ь) Спектральная функция члена влияния орбит А(£)-МВ(t) задается в логарифмической шкале и показывает соответствие хаотической области с основными частотами, связанными с Венерой и Меркурием, (с) Максимальные и минимальные значения наклонения, достигнутые в течение 56 мегалет. (d) Су¬ ществующие вариации наклонения для выбранной орбиты в течение 56 мегалет (приведено из [59]) ние от одной части к другой является более трудным. Это объясняет, почему Тума и Виздом [90], выполнившие лишь очень ограниченное число интегри¬ рований, не смогли увидеть этот переход и обнаружили лишь ограниченные вариации в наклонении Марса от 11° до 49°. Существование большой хаотической области в ориентации движения Марса также снимает некоторые ограничения с моделей образования Сол¬ нечной системы, поскольку наклонение Марса нельзя рассматривать как
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 281 первоначальное, а его нынешняя ориентация, весьма аналогичная ориента¬ ции Земли, чисто случайна. С другой стороны, наши исследования показали, что наклонения внеш¬ них планет, как правило, устойчивы. Следовательно, подобным образом невозможно объяснить очень большое наклонение Урана (98°), но необхо¬ димо исследовать, могло ли произойти хаотическое поведение, достаточное для изменения наклонения Урана на этапе образования Солнечной системы, когда он предположительно был более массивным. Эти результаты показывают, что случай Земли является очень частным. Наклонение всех планет земной группы испытало очень крупномасштабное хаотическое поведение, что в случае Земли и при отсутствии Луны могло бы воспрепятствовать возникновению эволюционных форм жизни. В насто¬ ящий момент трудно с точностью определить, каким будет климат на Земле через несколько миллионов лет при очень больших значениях наклонения, а тем более при сильных изменениях ориентации Земли, так как реальные модели, учитывающие новые результаты еще не построены. Но важно осо¬ знать, что до настоящего момента, как правило, предполагалось, что в пла¬ нетной системе, аналогичной нашей, планета, расположенная не слишком близко от Солнца (в этом случае может возникнуть парниковый эффект), но и недалеко от него для предотвращения стремительного оледенения [33], будет очень похожа на Землю. В результате нашего исследования мы дока¬ зали, что эта «здравая гипотеза» неверна и что в случае Земли мы имеем нашу относительную существующую устойчивость климата в исключитель¬ ном случае — при наличии Луны. Тогда как многие результаты, связанные с принятием гелиоцентризма, показывают, что наша Земля, возможно, яв¬ ляется общим случаем во Вселенной, современные открытия доказывают обратное. Более того, астрономы до сих пор озадачены присутствием такого боль¬ шого спутника Земли, как Луна, а принятая гипотеза о происхождении Луны не является типичной: большое тело величиной с Марс, сформированное в то же время, что и другие планеты, сталкивается с Землей, в результа¬ те последующего срастания обломков формируется Луна (см. обзор [86]). Действительно, если мы допускаем, что наше присутствие на Земле связа¬ но с существованием Луны, то задачи принятия невероятного сценария для образования Луны не существует, коль скоро она согласуется со всеми дру¬ гими физическими и химическими ограничениями. Кроме того, мы можем допустить даже более невероятные модели, если они прекрасно согласуются с современными наблюдениями. В результате этого возможно сокращение шансов обнаружения внеземных цивилизаций, аналогичных нашим, около близлежащих звезд.
282 Ж. JlACKAP 3.6. Эволюция планет на временной шкале в гигагодах Если бы движение Солнечной системы приближалось к квазиперио- дическому, т. е. к КАМ-торам в фазовом пространстве, то можно было бы предположить, что некоторое ограничение на возможную диффузию ор¬ биты в течение 5 гигалет является результатом теоремы Нехорошева (на¬ пример, [72]). На самом деле, как было показано в [51], несмотря на то, что систему, сведенную к внешним планетам, можно рассматривать как близкую к КАМ-торам, вся Солнечная система развивается далеко не как КАМ-торы, и может возникнуть диффузия переменных действия (эксцен¬ триситет и наклонение). Таким образом, естественный вопрос заключается в оценке этой диффузии. Напомним, что в отличие от систем с двумя сте¬ пенями свободы, в которых диффузия может быть ограничена, в системе со множеством степеней свободы (15 независимых степеней свободы для вековой системы) отсутствуют результаты о существовании инвариантного множества, которое будет ограничивать эволюцию системы на бесконечном промежутке времени. Заманчивым является интегрирование движения Солнечной системы на промежутке 5 гигалет, т. е. в течение ее предполагаемого жизненного цикла. Относительно прямого численного интегрирования это может рас¬ сматриваться как увлекательный вызов, так как современная компьютерная техника все еще бессильна в этом вопросе; но следует отметить, что ни коим образом это не должно рассматриваться как описание эволюции Солнечной системы в течение 5 гигалет. Действительно, вследствие экспоненциально¬ го расхождения во времени Ляпунова в 5 мегалет, вычисленное решение по прошествии 100 мегалет будет значительно отличаться от последующе¬ го действительного решения существующей Солнечной системы. Подобное решение все еще представляет некоторый интерес, так как дает одно из возможных поведений Солнечной системы, но гораздо более важным явля¬ ется получение некоторого описания хаотической области, которая имеется в Солнечной системе. В частности, больший интерес представляет оценка скорости диффузии в этой хаотической области. Для такой задачи одного ин¬ тегрирования Солнечной системы в течение 5 гигалет будет недостаточно. Удивительным является тот факт, что мы можем использовать интег¬ рирование в течение даже большего промежутка времени, которое будет подобно разведке, в результате которой мы можем исследовать эту хаотиче¬ скую область. Мы можем провести несколько таких исследований с очень близкими начальными условиями для получения большей части фазового пространства, которую может достигнуть Солнечная система через 5 ги¬ галет.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 283 При выполнении этого исследования, становится очевидным, что необ¬ ходимо очень быстрое интегрирование уравнений движения Солнечной си¬ стемы; в настоящей работе проанализированы результаты многих подоб¬ ных численных интегрирований, обобщая время интегрирования больше чем в 200 гигалет. Для выполнения этой работы потребовались вековые уравнения Сол¬ нечной системы после некоторых упрощений [56]. Действительно, началь¬ ная вековая системы состояла приблизительно из 150000 полиномов, но многие из них имеют очень малую амплитуду. Таким образом, их мож¬ но было отбросить и свести систему лишь к 50000 членам, сохраняя симметрии, данные в уравнении. В действительности в ходе этой рабо¬ ты необходимо вычислить лишь около 6000 членов в течение эволюции второй части уравнений, а вычисления могли быть выполнены на рабочей станции IBM RS6000/370 со скоростью 1 день процессорного времени на 1 гигагод расчетов без какой-либо значительной потери в точности. Более того, численное интегрирование вековой системы было усовершенствова¬ но, а шаг сократился до 250 лет, что позволило получить самую большую точность. Для того чтобы понять динамику вековой системы, необходимо выполнять интегрирование с предельной точностью. Вековая система пред¬ ставляет собой аппроксимацию действительных уравнений движения, но понимание глобального динамического поведения этой системы предоста¬ вит большое количество сведений о первоначальной системе. Несколько первых интегрирований были выполнены на интерва¬ ле 25 гигалет (от —10 гигалет до +15 гигалет) (рис. 16). Попытка проследить орбиту Солнечной системы в течение такого большого периода времени, большего чем возраст Вселенной, может показаться довольно странной, но она необходима для исследования хаотической области, которая существует в Солнечной системе и по прошествии 100 мегалет может лишь дать на¬ мек на то, что может произойти. С другой стороны, если по прошествии 10 гигалет произойдет внезапное увеличение эксцентриситета для одной планеты, то это указывает на тот факт, что подобное событие может про¬ изойти также за более короткий промежуток времени, к примеру, меньше чем через 5 гигалет. Это может произойти как в отрицательном времени, так и в положительном. Для того чтобы проследить диффузию орбит в хаотической области, необходимы величины типа переменных действия, т. е. величины, которые будут почти постоянны для регулярного (квазипериодического) решения системы. В данном случае такие величины задаются с помощью макси¬ мального эксцентриситета и наклонения, достигнутых каждой планетой на интервалах в 10 мегалет (рис. 16).
284 Ж. JIackap _ 20 .о 0 ГО \Г О- 10 го 1 ю □с о J0 0 Рис. 16. Численное интегрирование усредненных уравнений движения Солнечной системы на интервале от —10 гигалет до +15 гигалет. Для каждой планеты макси¬ мальное значение, полученное на интервалах в 10 мегалет для эксцентриситета (а) и наклонения (в градусах) от неподвижной эклиптики J2000 (b), показано в зави¬ симости от времени. Для ясности рисунков Меркурий, Венера и Земля изображе¬ ны отдельно от Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Поведение больших планет является настолько регулярным, что кривые максимальных эксцентрисите¬ та и наклонения выглядят как прямые линии. Напротив, соответствующие кривые внутренних планет показывают очень большие и нерегулярные вариации, свиде¬ тельствующие об их диффузии в хаотической области [56] 10 -5 0 5 10 1Г) Время (гигагода)
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 285 Поведение больших планет является настолько регулярным, что все соответствующие кривые выглядят как прямые линии (рис. 16). Напротив, максимальные эксцентриситет и наклонение внутренних планет показы¬ вают очень большие и нерегулярные вариации, свидетельствующие об их диффузии в хаотической области. Диффузия эксцентриситета Земли и Ве¬ неры является умеренной, но все еще составляет приблизительно 0.02 для каждой планеты. Диффузия эксцентриситета Марса является большой и до¬ стигает величины, большей 0.12. В этом случае эксцентриситет Марса пре¬ вышает значение 0.2. Хаотическая область для Меркурия является настоль¬ ко большой (больше чем 0.4), что в некоторое время достигает значений, больших 0.5. Поведение наклонения аналогично. На рис. 16 мы видим сильные корреляции между различными кривыми. Действительно, поскольку Солнечная система блуждает в хаотической обла¬ сти, над ней преобладает линейная связь среди собственных мод усреднен¬ ных уравнений (3.1), что приводит к весьма аналогичному поведению для максимального эксцентриситета и наклонения Венеры и Земли. Эта связь также заметна в решении Марса. С другой стороны, интеграл кинетиче¬ ского момента существует в усредненных уравнениях и объясняет причину увеличения максимального эксцентриситета и наклонения Меркурия при убывании подобных величин для Венеры, Земли и Марса. Таким образом, как мы видим, несмотря на малые значения масс внутренних планет, со¬ хранение кинетического момента играет решающую роль в ограничении их отклонений в хаотической области. И тот же самый аргумент, позво¬ ливший Лапласу «доказать» устойчивость Солнечной системы в линейном приближении (см. §3.1), по-видимому, является фундаментальным для огра¬ ничения блуждания орбиты Земли в хаотической области и, таким образом, для получения практической устойчивости в течение возраста Солнечной системы. 3.7. Уходящие планеты В некоторое время Меркурий испытывал сильное увеличение эксцен¬ триситета (рис. 16), возрастающее до 0.5. Но для пересечения орбиты Вене¬ ры этого недостаточно. Тогда возникает вопрос — может ли Меркурий уйти из Солнечной системы через период времени, сравнимый с ее возрастом. Первая попытка ответить на этот вопрос заключалась в слабом изменении начальных условий для планет. Действительно, вследствие хаотического поведения очень малые изменения в начальных условиях приводят к совер¬ шенно другим решениям по прошествии 100 мегалет. Учитывая этот факт, была изменена лишь одна координата в положении Земли, физическое изме¬
286 Ж. Ласкар нение составляло около 150 метров (10-9 в эксцентриситете). Вся система была проинтегрирована, учитывая несколько из этих измененных решений, но в результате мы получили аналогичные (хотя и другие) решения. На са¬ мом деле избавиться от Меркурия, по-видимому, не слишком просто, иначе было бы трудно объяснить его присутствие в Солнечной системе. Итак, я решил, что Меркурий должен уйти. Первый эксперимент был выполнен при отрицательном времени: для 2 гигалет решение оставалось неизменным, затем были вычислены 4 различных решения для 500 мегалет, в каждом из которых положение Земли сдвигалось на 150 метров в раз¬ личном направлении {вследствие экспоненциального расхождения это со¬ ответствовало изменению, менылему длины Планка в исходных начальных условиях). Решение, приводящее к максимальному значению эксцентриситета Меркурия, сохраняется до ближайшего полного мегагода, а затем проис¬ ходит возврат в начало. Меркурий через 18 таких шагов достигает значений эксцентриситета, близких к 1 на отметке около —6 гигалет, когда решение входит в область большего хаоса, учитывая время Ляпунова ~ 1 мегагод, создавая гораздо более сильные вариации орбитальных элементов внутрен¬ них планет. Второе решение было вычислено в положительном времени, причем изменение в начальных условиях составило лишь 15 метров вме¬ сто 150 метров. Как и ожидалось, это привело к аналогичному увеличению в эксцентриситете Меркурия лишь за 13 шагов приблизительно через 3.5 ги¬ гагода (рис. 17). В то время как эксцентриситет увеличивается, наклонение Меркурия может подвергнуться большим изменениям, но вычисление относительных положений пересечения орбит хМеркурия и Венеры с их линией узлов пока¬ зало, что орбиты эффективно пересекаются на отметке около 3.5 гигагода. В то же самое время две планеты могут сильно сблизиться, что может привести к уходу Меркурия или к столкновению [56]. При очень большом эксцентриситете Меркурия модель, использован¬ ная здесь, не дает достаточно хорошей аппроксимации для движения Мер¬ курия, но в существующей системе прибавление дополнительных степеней свободы, связанных с большими полуосями и долготами, возможно, при¬ ведет даже к более сильному хаотическому поведению, так как добавле¬ ние степеней свободы в общем случае увеличивает стохастичность движе¬ ния. Если рассматривать результаты прямого численного интегрирования астероидов в вековых резонансах (см., например, [20]), то довольно часто можно увидеть, что вначале оно способствует аналогичному увеличению в эксцентриситете вследствие векового резонанса, но по прошествии неко¬ торого времени, если значение эксцентриситета очень высоко, возмущения,
Крупномасштабный хаос в Солнвчной системе 287 Время (гигагода) О 15 7,^1». Ji ■ , , 1 , iihkk 10 г _Т] -6 -2 О Время (гигагода) Рис. 17. Орбита Солнечной системы, приводящая к очень большим значениям экс¬ центриситета Меркурия и вероятности ухода на отметке —6.6 гигалет и +3.5 ги¬ гагода. Величины, отмеченные на рисунке, являются теми же самыми, что и на рис. 16, за исключением Меркурия, для которого также изображены минимальный эксцентриситет и наклонение в течение 10 мегалет. В течение всего интегрирования движение больших планет является достаточно регулярным [56]
288 Ж. JIackap связанные с резонансами среднего движения, становятся весьма значитель¬ ными, и в результате перекрытия резонансов среднего движения возникает крупномасштабный хаос, связанный с резонансами среднего движения, что, в свою очередь, индуцирует большую диффузию большой полуоси. Вполне вероятно, что естественный сценарий для ухода Меркурия будет аналоги¬ чен этому, а при больших эксцентриситетах вся Солнечная система будет гораздо менее устойчивой, чем вековая система, в которой большая полуось является фиксированной. Аналогичные вычисления были выполнены для Марса и Земли, но до настоящего времени они не привели к решению ухода. Для Земли мак¬ симальное значение эксцентриситета по прошествии 5 гигалет достигло приблизительно 0.1, а для Марса по прошествии 5 гигалет — около 0.25. С таким большим эксцентриситетом Марс проходит достаточно близко от Земли; вероятно, при рассмотрении полных уравнений можно найти некото¬ рое решение ухода для Марса, но следует отметить, что исследование реше¬ ний ухода Марса в положительном времени однозначно требует около 100 численных интегрирований, каждое из которых выполняется в течение 500 мегалет. Очевидно, что это не в силах прямого численного интегрирования с имеющейся на данный момент компьютерной техникой, а смешанное ре¬ шение, в котором большая часть увеличения эксцентриситета выполняется посредством вековых уравнений, а последняя часть — посредством числен¬ ного интегрирования, надлежит рассмотрению. 3.8. Маргинальная устойчивость Солнечной системы Существование орбиты ухода для Меркурия не означает большой ве¬ роятности возникновения этого ухода. Фактически вычисленное решение, обусловившее уход, в данном случае было достаточно тщательно подо¬ брано посредством выбора в каждом шаге одного решения среди эквива¬ лентных четырех или пяти решений. Полученный результат является ре¬ зультатом существования уходящей орбиты, но не выявляет возможность для возникновения этого ухода. Для вычисления оценки этой вероятности, возможно, потребуется более полно проследить все исследуемые орбиты, а также для точности необходимо принять во внимание полные уравнения. Согласно этому вычислению, можно предположить, что вероятность ма¬ ла, но не равна нулю, что согласуется с действительным существованием Меркурия. Очень большая диффузия орбит внутренних планет, не говоря об ор¬ битах ухода, весьма поразительна. Даже после открытия хаотического по¬ ведения Солнечной системы, несмотря на результаты Ласкара [51], в кото¬
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 289 рых, учитывая значения частотного анализа, уже были вычислены оценки диффузии, большинство людей предполагало, что хаотическая диффузия в Солнечной системе очень мала. Здесь явно показано, что для внутренних планет это не так. Более того, для внутренних планет отклонение эксцентри¬ ситета и наклонения, по-видимому, существенно ограничено сохранением кинетического момента, что объясняет увеличение максимального значе¬ ния эксцентриситета Меркурия при убывании максимального значения экс¬ центриситета Венеры, Земли и Марса. Это удивительно, если учитывать, что большая часть кинетического момента связана с внешними планетами. Фактически система внешних планет достаточно регулярна, в частности, диффузия не происходит среди степеней свободы, связанных с внешними планетами. На рис. 16 мы видим, что планеты с наименьшей массой испытывают самые большие вариации эксцентриситета. При рассмотрении становится очевидным, что эти вариации главным образом ограничиваются сохранени¬ ем кинетического момента, пропорционального величине т>/а для каждой планеты, где т — масса планеты, и а — ее большая полуось. Если для каждой планеты мы рассматриваем максимальную диффузию эксцентриситета, наблюдаемую в течение 5 гигалет (рис. 18) в ходе подоб¬ ных численных экспериментов, что и для Меркурия, то обнаруживаем, что эксцентриситет Меркурия может быть достаточно высоким, чтобы позво¬ лить орбите Меркурия пересечь орбиту Венеры; эксцентриситет Венеры и Земли может достигать 0.1, а эксцентриситет Марса — 0.25. Вся внутрен¬ няя Солнечная система, кроме некоторой малой области между Венерой и Землей или Землей и Марсом, охватывается орбитами планет, а малые планеты (Меркурий и Марс) являются планетами с самыми большими от¬ клонениями. Практически можно сделать вывод, что внутренняя часть Сол¬ нечной системы является полной, т. е. здесь нет места для дополнительной планеты. Действительно, даже если существуют некоторые области, кото¬ рые, кажется, невозможно достигнуть через 5 гигалет, орбита дополнитель¬ ной планеты вполне вероятно пересечет орбиту уже имеющихся планет. Если добавить большую планету величиной с Землю или Венеру, ее ор¬ битальные элементы не смогут сильно варьироваться, однако это приведет к сильным короткопериодическим возмущениям. Напротив, малый объект будет испытывать большие вариации орбит, так как не будет сильно ограни¬ чиваться условием сохранения кинетического момента. В этом случае очень вероятны встречи с уже имеющимися планетами. Вариации, представленные на рис. 17, являются максимальными ва¬ риациями, наблюдаемыми в течение 5 гигалет, и не самыми вероятными, но добавление дополнительной планеты вполне вероятно сильно увели-
290 Ж. JlACKAP Рис. 18. Оценки областей, возможно занятых внутренними планетами Солнечной системы в течение 5 гигалет. Круговые орбиты соответствуют жирным линиям, а области, посещаемые каждой планетой в результате возможного увеличения экс¬ центриситета, заштрихованы. В случае Меркурия и Венеры эти заштрихованные области перекрываются. Марс может достигуть 1.9 а. е., что приблизительно соот¬ ветствует внутренней границе пояса астероидов чит диффузию посредством увеличения количества степеней свободы; эти возможные максимальные вариации можно рассматривать как прекрасные оценки вероятных вариаций в течение 5 гигалет при возможности добав¬ ления дополнительной планеты во внутреннюю часть Солнечной системы. Поэтому при рассмотрении Солнечной системы стоит поговорить о марги¬ нальной устойчивости. Возможно, что в начальной стадии образования Сол¬ нечной системы существовало несколько дополнительных планет, в частно¬ сти во внутренней части Солнечной системы, но это стало причиной такой большой неустойчивости, что одна из планет (возможно среди наименьших, величиной с Меркурий или Марс) имела близкую встречу или столкновение с другими планетами. В итоге это привело к уходу планеты, а оставшаяся система стала более устойчивой. Действительно, такое положение наблю¬ далось при исключении Меркурия в численном моделировании после пе¬ ресечения орбиты Венеры. Куинлан [79, 80] также наблюдал аналогичные результаты в экспериментах, проведенных на примерах планетных систем с полными уравнениями в течение более коротких временных масштабов. В этом случае на каждом этапе эволюции система может обладать устойчи¬ востью в течение времени, сравнимом с ее возрастом, который на данный момент является приблизительным при обнаружении, что уход одной из планет (Меркурия) может произойти через 5 гигалет.
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 291 4. Обсуждение 4.1. Устойчивость Солнечной системы Время Ляпунова в 5 мегалет для Солнечной системы [50], так же как и существование вековых резонансов большой амплитуды во внутренней части Солнечной системы доказывает, что движение Солнечной системы, является нерегулярным и не может быть аппроксимировано квазипериоди¬ ческой траекторией в течение более чем 10-20 мегалет. Более того, вслед¬ ствие экспоненциального расхождения орбит практически невозможно сде¬ лать любое точное предсказание для эволюции Солнечной системы по про¬ шествии 100 мегалет. Таким образом, мы далеки от регулярных решений, существование которых было объявлено Арнольдом. Тем не менее этот результат главным образом касается внутренних планет (Меркурия, Венеры, Земли и Марса). Несмотря на то, что внешние планеты (Юпитер, Сатурн, Уран и Непгун) гравитационно возмущаются внутренними планетами, это возмущение мало, а приведенный эффект их хаотического движения приведет лишь к малой диффузии их траекторий. Для планетной системы, ограниченной внешними планетами (главным об¬ разом даже для пары Юпитер и Сатурн), существует возможность получить строгую (в математическом смысле) устойчивость вдоль линий, описанных Арнольдом и Нехорошевым, хотя для этого потребуется специально при¬ способленный вариант теорем. Суссман и Виздом [88] при интегрировании системы внешних планет описали время Ляпунова от 3 до 30 мегалет. К этому результату следу¬ ет отнестись осторожно, так как он, по-видимому, сильно зависит от ме¬ тода вычисления, по которому были проинтегрированы уравнения. Более того, так как время Ляпунова вековой системы кажется намного больше, эта неустойчивость может быть связана не с медленной прецессией ор¬ бит, а с быстрым орбитальным движением планет. Возможно, она включает очень высокий порядок резонансов среднего движения, амплитуда которых будет очень мала, и мы не увидим никаких физических последствий. Орбиты внешних планет, возможно, заключены в достаточно узкие обла¬ сти на интервале времени, сравнимом с возрастом Солнечной системы.. Задача для вековой системы сильно отличается. Основные частоты име¬ ют порядок около 100 000 лет. Время Ляпунова в 5 мегалет (того же поряд¬ ка, что и либрационный период аналогичного основного векового резонан¬ са) равно лишь 50 фундаментальным периодам движения, что объясняет возникновение крупномасштабного хаотического поведения. Действитель¬ но, мы увидели, что все внутренние планеты испытывают значительную ха¬
292 Ж. JIACKAP отическую диффузию в масштабе миллионов лет, а существование орбиты ухода для Меркурия доказывает, что Солнечная система является неустой¬ чивой даже при рассмотрении самых сильных значений этого слова, т. е. ве¬ роятности ухода или столкновения планет. Однако, несмотря на то, что Солнечная система неустойчива, ее можно рассматривать как маргинально устойчивую, т. е. сильная неустойчивость (столкновение или уход) может возникнуть лишь на временной шкале, сравнимой с ее возрастом (т. е. приблизительно 5 гигалет). Мы рассмот¬ рели уходящую или столкновительную орбиту для Меркурия меньше чем через 3.5 гигагода [56]. Для Марса большая диффузия его орбиты может увеличить эксцентриситет приблизительно до величины 0.25, но это следу¬ ет еще проверить, используя полные уравнения движения для того, чтобы допустить вероятность неустойчивости, связанной со средним движением, либо она также может привести к столкновительной орбите с Землей. С другой стороны, орбиты Венеры и Земли вследствие их больших масс, их линейной связи и ограниченного условия сохранения кинетиче¬ ского момента, по-видимому, практически могут испытывать лишь малые отклонения от их настоящих траекторий. Таким образом, эти две планеты, несмотря на то, что их орбиты не приближаются к квазипериодическим, можно рассматривать как устойчивые в течение возраста Солнечной систе¬ мы, не учитывая вероятности столкновения с Меркурием или Марсом. 4.2. Ограничения на образование Солнечной системы Новое видение эволюции Солнечной системы в течение ее возраста также является причиной некоторых изменений в динамических ограниче¬ ниях для моделей образования Солнечной системы [32]. В частности, понимание того, что Солнечная система находится в со¬ стоянии маргинальной устойчивости, подразумевает, что организация пла¬ нет в Солнечной системе (часто цитируемая как закон Тициуса-Боде), и в особенности ее внутренняя часть, вполне вероятно зависит от ее дли¬ тельной орбитальной эволюции, а не только от быстрого процесса об¬ разования (меньше чем в 100 миллионов лет). Мы показали, что внут¬ ренняя часть Солнечной системы является полной от 0 а. е. до прибли¬ зительно 2 а.е., что совпадает с внутренней границей пояса астероидов. Возможно, некоторые дополнительные внутренние планеты существовали, тно тогда их существование привело к гораздо более неустойчивой систе¬ ме, обусловливая уход или столкновение одной из планет, причем остав¬ шаяся часть была намного более устойчивой. Действительно, это наблю¬ далось в наших численных расчетах после моделирования ухода Мерку¬
Крупномасштабный хаос в Солнечной системе 293 рия. В частности, они показывают, что малые тела во внутренней части Солнечной системы, возможно, не смогут сохраниться в течение долгого времени. Этот результат важен для понимания образования Солнечной си¬ стемы, так как он показывает, что Солнечная система в конце процесса ее образования, возможно, значительно отличалась от существующей на данный момент и вследствие гравитационной неустойчивости преобразо¬ валась до современной структуры. Интересно было бы исследовать этот вопрос, используя моделирование с добавлением дополнительной плане¬ ты, хотя многие особенности уже были выявлены благодаря современным вычислениям. С другой стороны, внешняя система очень устойчива, но последнее длительное численное интегрирование (см. §2.5) также показывает, что внешняя часть Солнечной системы является полной, т. е. большая часть объектов, находящихся в системе, уйдет за время, намного меньшее, чем 5 гигалет. Не считая некоторых особых положений, таких как лагранжевы точки Юпитера, устойчивые области начинаются лишь на расстоянии око¬ ло 40 а. е., где недавно было обнаружено несколько объектов. Более того, учитывая, что ни одно из наклонений внутренних планет не является первоначальным (см. §3.5), мы сняли одно ограничение на мо¬ дели образования Солнечной системы. Мы также доказали устойчивость наклонения внешних планет с того момента времени, с которого Солнеч¬ ная система находится в ее нынешнем состоянии, но неустойчивость могла существовать во время образования Солнечной системы, когда диск пла¬ неты предположительно был более массивным; исследование возможности такого сценария представляет большой интерес. Как было рассмотрено в §3.5, мы установили вероятность сильной кор¬ реляции между нашим существованием и существованием Луны. Эта связь допускает принятие невероятных гипотез о ее образовании, если гипоте¬ за объясняется чисто физическими и химическими наблюдениями. Таким образом, в этих рамках необходимо переоценить модели образования Луны. 4.3. Общие планетные системы Было бы любопытно теперь ответить на вопрос: «Какой будет общая планетная система»? Естественно, это деликатный вопрос после недавнего исследования устойчивости нашей Солнечной системы, но наблюдение, что наша Сол¬ нечная система находится в состоянии маргинальной устойчивости, т. е. практической устойчивости на временной шкале, сравнимой с ее возрас¬ том, может быть ключом к ответу на этот вопрос.
294 Ж. JlACKAP Действительно, я бы хотел полагать, что планетная система будет все¬ гда находиться в этом состоянии маргинальной устойчивости как результат внутренних гравитационных взаимодействий. В частности, планетную систему лишь с одной или двумя планетами следует исключить, так как тогда она будет слишком устойчивой3, или, ес¬ ли быть более точным, она бы существовала, но была бы всюду заполнена астероидами, первоначальными оставшимися планетезималями, не вытолк¬ нутыми планетными возмущениями. С другой стороны, если при процессе образования существуют некото¬ рые большие внешние планеты и некоторые малые внутренние планеты, то по прошествии 5 гигалет малые внутренние планеты все еще будут испы¬ тывать неустойчивость, аналогичную существующей в Солнечной системе, и, таким образом, неустойчивость будут испытывать и их наклонения. В самом деле следует отметить, что если планета развивается на рассто¬ янии около 1 а. е. от звезды типа Солнце, т. е. при благоприятных условиях (имеет воду в жидком состоянии на поверхности), то ее частота прецес¬ сии будет зависеть главным образом от ее периода вращения и поэтому будет аналогична частоте прецессии Земли при отсутствии Луны (рис. 14). Следовательно, если частоты прецессии планетной системы имеют тот же порядок, что и частоты нашей Солнечной системы, то эта планета вполне вероятно будет испытывать очень большие хаотические вариации наклоне¬ ния. Более того, для того чтобы иметь орбитальную устойчивость, сравни¬ мую с устойчивостью Земли, планета земной группы должна иметь доста¬ точно большую массу, иначе она будет испытывать орбитальные вариации, аналогичные вариациям Меркурия или Марса, что, возможно, индуцирует даже большие вариации для ее наклонения. Эти рассуждения показывают, что обнаружить около ближайшей звез¬ ды другую планету с аналогичной орбитальной и рациональной устойчи¬ востью, что и у Земли, находящейся на расстоянии от центральной звезды, допускающем существование воды в жидком состоянии, не так просто. 4.4. Заключение Многие основные задачи предстоит еще разрешить для того, чтобы прояснить возникшие здесь вопросы, касающиеся универсальности нашей Солнечной системы и орбитальной и рациональной устойчивости Земли. Некоторые вопросы касаются образования планетной системы, в частно¬ сти, понимание зарождения вращения планет [16, 64] является решающим 3Это является результатом работы с Робутелем.
Литература 295 моментом для анализа устойчивости их ориентаций. Возможные достиже¬ ния в понимании отклика атмосферного поведения планет под влиянием солнечного излучения будут очень важны. Непосредственное наблюдение другой планетной системы, которая может возникнуть в ближайшем буду¬ щем, также, возможно, предоставит важные элементы для ответа на эти во¬ просы, но следует отметить, что достижения современного теоретического познания глобальной динамики планетных систем также могут обеспечить очень важные ограничения на возможную организацию планетных систем. Большая часть результатов для орбит планет, представленных здесь, получена на основе анализа вековых уравнений Солнечной системы, а не полных уравнений. Эта была цена, которую пришлось заплатить за более глобальный подход к задаче устойчивости и длительной эволюции Сол¬ нечной системы. Некоторые интегрирования полных уравнений все еще приветствуются, но я сомневаюсь, что эти будущие интегрирования сильно изменят глобальную картину динамики Солнечной системы, представлен¬ ную в этой работе. Литература [1] Applegate J. Н., Douglas М. R.. Gursel Y., Sussman G. J., Wisdom J. The solar system for 200 million years. Astron. J. — 1986. — Vol. 92. — P. 1 Тб- 194. [2] Арнольд В. И. Доказательство теоремы Колмогорова о сохранении квази-периодических движений при малых возмущениях гамильтониа¬ на. Усп. Мат. Наук. - 1963. - Т. 18. - №6. - С. 9-36. [3] Арнольд В. И. Малые делители и задачи устойчивости движения в классической небесной механике. Успехи мат. наук. — 1963. — Т. 18. — №6.-С. 85-193. [4] Bretagnon P. Termes a longue periodes dans le systeme solaire. Astron. Astrophys. — 1974. — Vol. 30. — P. 341-362. [5] Brumberg V. A., Chapront J. Constmction of a general planetary theoty of the first order. Cel. Mech. — 1973. — Vol. 8. — P. 335-355. [6] Carpino М., Milani A., Nobili A. M. Long-term numerical integrations and synthetic theories for the motion of the outer planets. Astron. Astrophys. — 1987.-Vol. 181.-P. 182-194.
296 Ж. Ласкар [7] Celletti A. Analysis of resonances in the spin-orbit problem in celestial mechanics the synchronous resonance (Part I). J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). - 1990. - Vol. 41. - P. 174-204. [8] Celletti A. Analysis of resonance in the spin-orbit problem in celestial mechanics higher order resonances and some numerical experiments (Part II). J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). - 1990. - Vol. 41. - P. 453-479. [9] Chirikov В. V. An universal instability of many dimensional oscillator systems. Physics Reports. — 1979. — Vol. 52. — P. 263-379. [10] Chirikov B.V., Vecheslavov V. V. Chaotic dynamics of comet Hailey. Astron. Astrophys. — 1989. — Vol. 221. — P. 146-154. (См. работу 5 этого сборника.) [11] Cohen С. J., Hubbard E. С., Oesterwinter C. // Astron. Papers Am. Ephemeris. - 1973. - Vol. XXII. - P. 1. [12] Colombo G. // Astron. J. - 1966. - Vol. 71. - P. 891-896. [13] Dermott S. F.. Murray C. D. Nature of the Kirkwood gaps in the asteroidal belt. Nature. — Vol. 301. — P. 201-205. (См. работу 2 этого сборника.) [14] Dobrovolskis A. R. Atmospheric Tides and the Rotation of Venus II. Spin Evolution. Icarus. — 1980. — Vol. 41. — P. 18-35. [15] Dones L., Tremaine S. Why does the Earth spin forward? Science. — 1993. - Vol. 259. - P 350-354. [16] Dones L., Tremaine S. On the origin of planetary spins. Icarus. — 1993. — Vol. i03.-P.67-92. [17] Diumas H. S., Laskar J. Global Dynamics and Long-Time Stability in Hamiltonian Systems via Numerical Frequency Analysis. Phys. Rev. Lett. — 1993. - № 7(X _ p. 2975-2979. [18] Duncan М., Quinn Т., Tremaine S. The origin of short period comets. Astrophys. J. Lett. - 1988. - Vol. 328. - L69-L73. [19] Duncan М., Quinn Т., Tremaine S. The Long-Term evolution of orbits in the solar system a mapping approach. Icarus. — 1989. — Vol. 82. — P. 402-418.
Литература 297 [20] Duriez L. Approche d’une theorie generale planetaire en variable elliptiques helio-centriques. These Lille. — 1979. [21] Farinella P., Froeschle C., Gonczi R. Meteorites from the asteroid 6 Hebe. Cel. Mech. - 1993. - Vol. 56. - P. 287-305. [22] Farinella P., Froeschle C., Gonczi R. Meteorite deliveiy and transport. In: Milani A., Di Martino М., Cellino A. (Eds.) Symposium IAU 160. — Dordrecht: Kluwer. — 1994. — P. 205-222. [23] Fernandez J. A. On the existence of a comet belt beyond Neptune. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. - 1980. - Vol. 192. - P. 481^192. [24] Fernandez J. A. Dynamics of comets recent developments and new challenges. In: Milani A., Di Martino М., Cellino A. (Eds.) Symposium IAU 160. — Dordrecht: Kluwer, 1994. — P. 223-240. [25] Ferraz-Mello S. Kirkwood gaps and resonant groups. In: Milani A., Di Martino М., Cellino A. (Eds.) Symposium IAU 160. — Dordrecht: Kluwer, 1994.-P. 175-188. [26] Froeschle C., School H. A qualitative comparison between the circular and elliptic Sun-Jupiter-asteroid problem at commensurabilities. Astron. Astrophys. - 1977. - Vol. 57. - P. 33-59. [27] Froeschle C., Gonzci R. On the stochasticity of Hailey like comets. Celes. mech. - 1988. - Vol. 43. - P. 325-330. [28] Giorgilli A., Delshams A., Fontich E., Galgani L., Simo C. Effective stability for a hamiltonian system near an elliptic equilibrium point, with an application to the restricted three body problem. J. Diff. Equa. — 1989. — Vol. 77. - P. 167-198. [29] Gladman B., Duncan M. On the fates of minor bodies in the outer solar system. Astron. J. — 1990. — Vol. 100. — № 5. [30] Goldreich P., Peale S.J. The obliquity of Venus. Astron. J. — 1970. — Vol. 75.-P. 273-284. [31] Haretu S.C. Sur Dinvariabilite des grands axes des orbites planetaires. Ann. Obs. paris. - 1885. - Vol. XVIII. - 11-139.
298 Ж. JlACKAP [32] Harris A. L., Ward W. R. Dynamical constraints on the formation and evolution of planetary bodies. Ann. Rev. Earth planet Sci. — 1982. — Vol. 10.-P. 61-108. [33] Hart М. H. The evolution of the applicability of the Earth. Icarus. — 1978. — Vol. 33.-P. 23-39. [34] Henon М., Heiles C. The applicability of the third integral of motion some numerical experiment. Astron. J. — 1964. — Vol. 69. — P. 73-79. [35] Holman M. J., Wisdom J. Dynamical stability in the outer solar system and the delivery of short period comets. Astron. J. — 1993. — Vol. 105. — № 5. (См. работу 7 этого сборника.) [36] Imbrie J. Astronomical Theory of the Pleistocene ice ages a brief historical review. Icarus. — 1982. — Vol. 50. — P. 408-^-22. [37] Jakosky B.M., Henderson B. G., Mellon M.T. Chaotic obliquity and the nature of the Martian climate. Bull. Am. Astron. Soc. — 1993. — Vol. 25. — P. 1041. [38] Kinoshita H., Nakai H. Motions of the perihelion of Neptune and Pluto. Cel. Mech. - 1984. - Vol. 34. - P. 203. [39] Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. /. Observations. Astron. J. — 1989. — Vol. 97. - № 2. - P. 570-579. [40] Колмогоров A. H. О сохранении условно периодических движений при малом возмущении гамильтониана. Докл. Акад. Наук СССР. — 1954. — Т. 98. - С. 469. [41] Kuiper G. P. On the origin of the solar system. In: Hyneck J. A. (Ed.) Astrophysics. — New York: McGraw-Hill, 1951. — P. 357-^-27. [42] Lagrange J. L. Sur Dalteration des moyens mouvements des planetes. Mem. Acad. Sci. Berlin, 1776. Oeuvres completes, 1869, Vol. VI. — Paris: Gauthier-Villars. — P. 255. [43] Laplace P. S. Memoire sur les solutions particulieres des equations differentielles et sur les inegalites seculaires des planetes. 1772. Oeuvres completes, 1895. — Vol. 9. — Paris: Gauthier-Villars. — P. 325.
Литература 299 [44] Laplace Р. S. Memoire sur les inegalites seculaires des planetes et des satellites. Mem. Acad, royale des Sciences de Paris, 1784. — Oeuvres completes, 1985. — Vol. XI. — Paris: Gauthier-Villars. — P. 49. [45] Laplace P. S. Theorie de Jupiter et de Saturne. Mem. Acad, royale des Sciences de Paris, 1785. Oeuvres completes. — 1895. — Vol. XI. — Paris: Gautheir-Villars. — P. 164. [46] Laskar J. Thesis. Observatoire de Paris. — 1984. [47] Laskar J. Accurate methods in general planetary theory. Astron Astrophys. - 1985. - Vol. 144. - P. 133-146. [48] Laskar J. Secular terms of classical planetary theories using the results of general theory. Astron. Astrophys. — 1986. — Vol. 157. — P. 59-70. [49] Laskar J. Secular evolution of the solar sysytern over 10 million years. Astron. Astrophys. — 1988. — Vol. 198. — P. 341-362. [50] Laskar J. A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System. Nature. - 1989. - Vol. 338. - P. 237-238. [51] Laskar J. The chaotic motion of the solar system. A numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus. — 1990. — Vol. 88. — P. 266-291. [52] Laskar J. A few points on the stability of the solar system. In: Ferraz- Mello S. (Ed.) Chaos, Resonance and collective dynamical phenomena in the Solar System, Symposium IAU 152, Dordrecht: Kluwer. — 1992. — P. 1-16. [53] Laskar J. La stabilite du Systeme Solaire. In: A. Dahan et al. (Eds.) Chaos et Deteminisme. — Paris: Seuil, 1992. [54] Laskar J. Frequency analysis for multi-dimensional system. Global dynamics and diffusion. Physica D. — 1993. — Vol. 67. — P. 257-281 (Cm. работу 8 этого сборника.) [55] Laskar J. La Lune et borigine de Lhomme. Pour La Science. — 1993. — Vol. 186.
300 Ж. ЛАСКАР [56] Laskar J. Large scale chaos in the solar system. Astron. Astrophys. — 1994.-Vol. 187.-L9-L12. [57] Laskar J., Quinn Т., Tremaine S. Confirmation of Resonant Structure in the Solar System. Icarus. — 1992. — Vol. 95. — P. 148-152. [58] Laskar J., Froeschle C., Celletti A. The measure of chaos by the numerical analysis of the fundamental frequencies. Application to the standard mapping. Physica D. — 1992. — Vol. 56. — P. 253-269. (См. работу 6 этого сборника.) [59] Laskar J., Robutel P. The chaotic obliquity of the planets. Nature. — 1993. — Vol. 361. — P. 608-612. (См. работу 9 этого сборника.) [60] Laskar J., Joutel F., Robutel P. Stabilization of the Earths obliquity by the Moon. Nature. — 1993. — Vol. 361. — P. 615-617. [61] Laskar J., Joutel F., Boudin F. Orbital, precessional, and insolation quantities for the Earth from —20 Myr to +10 Myr. Astron. Astrophys. — 1993. - Vol. 270. - P. 522-533. [62] Le verrier 1J. J. J. Ann. Obs. Paris, II Mallet-Bachelet. — Paris, 1856. [63] Levison H. F., Duncan M. J. The gravitational sculpting of the Kuiper belt. Astrophys. J. Lett. - 1993. - Vol. 406. - L35-L38. [64] Lissauer J. J., Safronov V. S. The random component of planetary rotation. learns, 1991, Vol. 93, p. 228-297. [65] Lochak P. Hamiltonian perturbation theory periodic orbits, resonances and intermittency. Nonlinearity. — 1993. — Vol. 6. — P. 885-904. [66] Luu J. The Kuiper belt. In: Milani A., Di Martino М., Cellino A. (Eds.) Symposium IAU 160. — Dordrecht: Kluwer. — 1994. — P. 31-44. ['67] Morbidelli A., Moons M. Secular resonances in mean motion commensurabilities the 2/1 and 3/2 cases. Icarus. — 1993. — Vol. 102. — P. 1-17. [68] Morbidelli A., Giorgilli A. Superexponential stability of KAM tori. J. Stat. Phys. - 1995. - Vol. 78. - P. 1607-1617.
Литература 301 [69] Natenzon М.Y., Neishtadt A.I., Sagdeev R. Z., Seryakov G. K., Zaslavsky G. M. Chaos in the Kepler problem and long period comet dynamics. Phys. Lett. A. — 1990. — Vol. 145. — P. 255-263. [70] Нехорошее H.H. Экспоненциальные оценки времени устойчивости близких интегрируемых гамильтоновых систем. Успехи Мат. Наук. — 1977.-Т. 32. -С. 1-65. [71] Newhall X. X., Standish Е. М., Williams J. G. DE102 a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-forty centuries. Astron. Astrophys. — 1983. — Vol. 125. — P. 150-167. [72] Niederman L. Resonance et stabilite dans leproblemeplanetaire. — Thesis, Paris 6 Univ, 1994. [73] Nobili A. М., Milani A., Carpino M. Fundamental frequencies and small divisors in the orbits of the outer planets. Astron. Astrophys. — 1989. — Vol. 210. - P. 313-336. [74] Peale S. J. Possible History of the Obliquity of Mercury. Astron. J. — 1974. — Vol. 6. - P. 722-744. [75] Peale S. J. Inferences from the Dynamical History of Mercury’s Rotation Icarus. - 1976. - Vol. 28. - P. 459-467. [76] Petrosky T. Y. Chaos and cometaiy clouds in the solar system. Phys. Lett.A. — 1986. — Vol. 117. — P. 328-332. (См. работу 4 этого сборника.) [77] Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste, tomes I—III, Paris: Gauthier Villard, 1892-1899, reprinted by Blanchard, 1987. Имеет¬ ся русский перевод: Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Москва: Наука. — в 3 т. — 1972. [78] Poisson S.D. Sur les inegalites seculaires des moyens mounements des planetes. Journal de kEcole Polytchnique. — 1809. — Vol. VIII. — P. 1. [79] Quinlan G. D. Personal communication, 1993. [80] Quinlan G. D. Numerical experiments on the motion of the outer planets. In: Ferraz-Mello S. (Ed.) Chaos, resonance and collective dynamical
302 Ж. Ласкар phenomena in the solar system, Kluwer Acad. Publ. IAU Symposium 152. — 1992.-P. 25-32. [81] Quinn T. R., Tremaine S., Duncan M. A three million year integration of the Earths orbit. Astron. J. — 1991. — Vol. 101. — P.2287-2305. [82] Robutel P. Stability of the planetary three-body problem. II KAM theory and existence of quasiperiodic motions. Celes. Mech. — 1995. — Vol. 62. — P. 219-261. [83] Сафронов В. С. Эволюция протопланетного облака и формирование Зелши и других планет. — Наука: Москва. — 1969. [84] Sagdeev R. Z., Zaslavsky G. М. Stochasticity in the Kepler problem and a model of possible dynamics of comets in the Oort cloud. II Nuovo Cimento. - 1987. - Vol. 97B. - P. 119-130. [85] Stephenson F. R., Yau К. К. C., Hunger H. // Nature. — 1984. — Vol. 314. — P. 587. [86] Stevenson D. J. Origin of the Moon. The collision hypothesis. Ann. Rev. Earth Planet. Sci. - 1987. - Vol. 15. - P. 217-315. [87] Sussman G. J., Wisdom J. Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic. Science. - 1988. - Vol. 241. - P. 433^137. [88] Sussman G. J., Wisdom J. Chaotic evolution of the solar system. Science. — 1992.-Vol. 257.-P. 56-62. [89] Torbett М. V., Smoluchovski R. Chaotic motion in a primordial comet disk beyond Neptune and comet influx to the solar system. Nature. — 1990. — Vol. 345.-P. 49-51. [90] Touma J., Wisdom J. The chaotic obliquity of Mars. Science. — 1993. — Vol. 259. - P. 1294-1297. [91] Ward W.R. Climatic Variations on Mars 1. Astronomical Theory of Insolation. J. Geophys. Res. — 1974. — Vol. 79. — P. 3375-3386. [92] Ward W. R., Rudy D. J. Resonant Obliquity of Mars? Icarus. — 1991. — Vol. 94.-P. 160-164.
Литература 303 [93] Wisdom J. Chaotic behaviour and the origin of the 3/1 Kirkwood gap. Icarus. — 1983. — Vol. 56. — P. 51-74. (См. работу 1 этого сборника.) [94] Wisdom J. A perturbative treatment of motion near the 3/1 commensurability. Icarus. — 1985. — Vol. 63. — P. 272-289. (См. рабо¬ ту 3 этого сборника.) [95] Wisdom J. Rotational dynamics of irregularly shaped natural satellites. Astron. J. - 1987. - Vol. 94. - №5. - P. 1350-1360. [96] Wisdom J. Chaotic dynamics in the solar system. Icarus. — 1987. — Vol. 72. - P. 241-275. [971 Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Gyperion. Icarus, 1984, Vol. 58, p. 137-152. Jacques Laskar Address: Astronomie et Systemes Dynamiques IMCCE, Observatoire de Paris, 77 Avenue Denfert-Rochereau 75014 Paris email: laskar@imcce.fr
11 Четыре конечных положения оси вращения Венеры1 А. Коррейя, Ж Ласкар Венера очень медленно вращается вокруг собственной оси в обратном направлении, противоположно направлению вращения большинства других тел в Солнечной системе [1]. Чтобы объяснить такое необычное поведение, предполагают [2]—[6], что в прошлом ось вращения такого тела была повер¬ нута на 180° в результате трения ядра о мантию внутри планеты, а также в результате действия атмосферных приливов. Однако такое изменение, как предполагают, могло произойти только для большого начального наклоне¬ ния (угол между экватором планеты и плоскостью орбитального движения). Тем не менее при хаотической эволюции [7] допускается возможность пере¬ ворота оси вращения для большой совокупности начальных условий [6, 8]. В данной работе показывается, что независимо от погрешностей при ис¬ пользовании различных моделей планеты земной группы с плотной атмо¬ сферой, например Венера, могут эволюционировать только в одно из че¬ тырех возможных состояний вращения. Более того, мы обнаружили, что при большинстве начальных условий Венера стремится перейти к конфи¬ гурации, в которой она существует на сегодняшний день, хотя и проходя при этом через два совершенно различных эволюционных пути. Первый из путей — общепринятый, в нем ось вращения меняет свое направление на противоположное [2]-[6]. Однако мы также обнаружили, что Венера может начать вращаться в прямом направлении (том же, что и другие планеты), а уже затем происходит эволюция к обратному направлению. При этом на¬ клонение стремится к нулю [9], т. к. в данном случае вращения самой оси планеты не требуется. ’Correia A., Laskar J. The four final rotation states of Venus. Nature. - 2001. — Vol. 411. — P. 767-770. Перевод с английского В. Е. Порсев.
306 А. Коррейя, Ж. JTackap Консервативные уравнения для прецессионного движения выглядят следующим образом [7, 10]: б = Ait) cos ib — Bit) sin iIk (1) ip = a cos б — 2C(t) — [A(t) sin ip + B(t) cos ip\ ctg e. Здесь a = 3/2n2(l — e2)~3/2 Ed/co — постоянная прецессии, Ed, = [{kfRy)/{3GCy)\co2 + 5Ed — динамический коэффициент эллип¬ тичности, ip — общая прецессия по долготе, е — наклонение, со — скорость инерционного вращения, п — среднее движение, е — эксцентриситет, a G — гравитационная постоянная, Ry — радиус Венеры, Су > By > Ay — глав¬ ные моменты инерции Венеры, к/ — гидродинамическое число Лява, SEd — остаточный член [11]. Величины А, В и С зависят от секулярного (веково¬ го) движения орбиты Венеры [7]. Вклады приливных эффектов во вращение Венеры для первого порядка по е — это длительные эффекты следующего вида [3, 12, 13, 14]: со = —КТ Ьт(а)Ac,(cos б), (2) ё = cose). Здесь верхний индекс т относится либо к приливу, обусловленному грави¬ тацией (т = д), либо к атмосферному приливу (т = а). Функции Аа и 0<j — полиномы от cos б [13], а а — приливная частота (линейная комбинация со и п), Кт — положительные постоянные [3], Ьт(а) — коэффициенты, от¬ носящиеся к рассеянию энергии внутри планеты, они зависят от времени задержки AtT(cr) между положением максимального прилива и точкой, в ко¬ торой солнечные лучи перпендикулярны поверхности планеты, следующим образом [3, 13]: b9(cг) = k2 sin(crA^(cr)), ba(a) = — 5р(а) sin(crAta(cr)). Здесь к2 — второе потенциальное число Лява [6], а Sp(a) — квадратичная сферическая гармоническая компонента изменения давления на поверхно¬ сти [12]. Вклад трения ядра о мантию [10, 11, 15, 16, 17, 18] определяется уравнениями со = —соК^ (со, к,) sin2 б cos2 б, (4) б = — К?(со, к,) sin б cos3 б,
Четыре конечных положения оси вращения Венеры 307 Состояние 6 U0 Р(дней) К 0° и + L0S 76.83 Fo 0° п — 0JS -243.02 F+ h—1 00 о о —п — cus -76.83 F- н-1 00 о о -П + UJS 243.02 Рис. 1. Возможные конечные положения оси вращения Венеры. Существует два положения обратного вращения (F^ и F~) и два положения прямого вращения (Fq и F^)- При Ldobs = 27г/243.0185 дней и п = 27г/224.701 дней, синодический период соответствует lus = 27т/116.751 дней где К* — положительная функция относительно оо и я, к — параметр взаи¬ модействия, зависящий от модели трения. При быстрой скорости вращения (си п) член 5р(ег)9 соответству¬ ющий давлению на поверхности, мал, и поэтому вкладом атмосферных
308 А. Коррейя, Ж. JTackap приливов в скорость вращения можно пренебречь. Гравитационные прили¬ вы и трение ядра о мантию замедляют вращение планеты до тех пор, пока атмосферные приливы не уравновесят тормозящий эффект, после чего об¬ разуются устойчивые положения как скорости вращения, так и наклонения. Несмотря на то, что в диссипативных моделях остается много неизвестных параметров, можно показать [11, 16], что влияние трения ядра о мантию достаточно, чтобы привести наклонение в положение е = 0° или е = 180°. Это упрощает задачу, поскольку при данных значениях вклад в со, обуслов¬ ленный трением, исчезает и компонента, связанная с приливом, значительно упрощается. В результате остаются только члены сг = 2со — 2п для е = 0° и о = 2со + 2п для б = 180°: ш\0о = -[К9Ь9(2ио - 2п) + Kaba(2co - 2гг)]Л2ы_2п(0°), а^до0 = ~[КдЪа(2и) + 2 п) + КаЬа(2ш + 27г)]Л2ш+2п(180°), (5) где Л-2со—2п(0°) = Л2а,+2п(180°) = 3/2. Таким образом, в состоянии равно¬ весия при со = 0 получим }'{сО + ЦП) = — (6) где /(сг) = Ьа(2сг)/Ь9(2сг), \л — — 1 при е — 0°, а при е = 180° \х = +1. Инвариантность уравнений (2) при изменении со на —со и е на е + 7г го¬ ворит о том, что функция /(сг) является четной относительно ст. Для всех диссипативных моделей [2, 5, 19, 20] сужение / функции / при сг ^ 0 убы¬ вает при низких скоростях вращения. Таким образом, существует только четыре возможных значения для конечной скорости вращения Венеры cof, определяемые выражением И + Н = /_1(- = ws. (7) Полагая что наблюдаемое положение оси вращения Венеры соответству¬ ет устойчивому обратному вращению [11, 19, 21], единственными воз¬ можными значениями для данного конечного состояния являются 6 = 0° и Mobs = п — СОS либо б = 180°, И COobs = LOs — п. В обоих случаях tos = п + |co0bs | и поэтому мы можем определить все четыре конечных поло¬ жения оси вращения Венеры (рис. 1). Оба положения обратного вращения (Fq и F~) соответствуют действительному вращению Венеры с периодом 243.02 дней, тогда как положения прямого вращения (Fq~ и F+) имеют период вращения 76.83 дней. Заметим, что данные конечные состояния не
X иоложышя оси врлщышя В\ ИЬРЫ "1
Резонансы в механике
РЕЗОНАНСЫ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ В сборнике представлены статьи известных западных и российских специалистов по проблемам долгопери¬ одической и вековой эволюции Солнечной системы. Список статей для перевода был предложен извест¬ ным французским ученым в области небесной меха¬ ники — Жаком Ааскаром (член-корр. Парижской ака¬ демии наук). Хотя объем сборника невелик, в нем явно выделены достижения российской и французс¬ кой школ небесной механики в проблеме исследова¬ ния резонансов, захватов и других механизмов эво¬ люции Солнечной системы. Учитывая то, что это на¬ правление небесной механики тесно связано с раз¬ личными областями нелинейной физики, хаоса, тео¬ ретической и прикладной механики, этот сборник рассчитан на широкий круг специалистов из разных областей. RESONANCES IN CELESTIAL MECHANICS This book is a collection of works of eminent foreign and Russian specialists in the long-period and secular evolution of the solar system. The papers included were suggested by Professor Jacques Laskar, a corresponding member of the Paris Academy of Science. Though the book is moderate in size, it effectively shows achievements of the Russian and French schools of Celestial Mechanics in the study of reso¬ nances, captures and other mechanisms of the solar system evolution. Due to a deep connection between this part of Celestial Mechanics and different branches of nonlinear physics, chaos, theoretical and applied mechanics, we hope that the book will be interesting for a wide range of scientists. B. В. ВЕЧЕСЛАВОВ дж. ВИЗДОМ C. ДЕРМОТТ А. КОРРЕЙЯ Ж. ЛАСКАР К. МЮРРЕЙ Т. ПЕТРОСКИ П.РОБУТЕЛЬ К. ФРОШАЕ М. ДЖ. ХОЛМАН А. ЧЕЛАЕТТИ Б. В. ЧИРИКОВ A. CELLETTI B. CHIRIKOV A. CORREIA S. F. DERMOTT C. FROESCHLE М. HOLMAN J. LASKAR С. D. MURRAY Т. PETROSKY P. ROBUTEL V. VECHESLAVOV J. WISDOM