/
Автор: Виноградов И.М.
Теги: математика дифференциальное исчисление аналитическая геометрия теория чисел высшая математика учебник для вузов
ISBN: 5-06-003611-1
Год: 1999
Текст
И.М.Виноградов
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
• Аналитическая геометрия
• Дифференциальное
исчисление
• Основы теории чисел
Рекомендовано Министерством общего
и профессионального образования Российской Федерации
в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений
Москва
«Высшая школа» 1999
УДК 51
ББК 22.1
В 49
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Рецензент — доктор физико-математических наук, профессор
Г. И. Архипов (МИАН им. В. А. Стеклова)
Виноградов И.М.
В 49 Элементы высшей математики. (Аналитическая
геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы
теории чисел). Учеб. для вузов. М.: Высш. шк.,
1999. —511с.
ISBN 5-06-003611-1
Книга отличается наглядностью и простотой изложения
основ аналитической геометрии, дифференциального исчисления
функций одной и нескольких переменных и теории чисел.
Содержатся примеры и упражнения, позволяющие глубоко
усвоить основные понятия и методы рассматриваемых областей
математики.
Для студентов вузов, *а также преподавателей втузов и
техникумов. Может быть полезно учителям средней школы и
школьникам старших классов.
ISBN 5-06-003611-1 © Издательство «Высшая школа», 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
В России исторически сложилось так, что
представление об образовании включает в себя органичное единство
школы как системы приобретения знании,
фундаментальной науки как показателя уровня подготовки
специалистов и гуманитарной культуры как основы духовного
единства народов, населяющих нашу страну.
Формулируя задачи образования, академик А. Н.
Крылов говорил: «Школа не может дать вполне
законченного знания; главная задача школы — дать общее
развитие, дать необходимые навыки, одним словом...
главная задача школы — научить учиться, и для того,
кто в школе научится учиться, практическая деятельность
всю его жизнь будет наилучшей школой».
Отметим, что особенность отечественной школы
состоит в сочетании четкости рассуждений с глубиной
содержания и простотой, доступностью, конкретностью
изложения материала, которые всегда предпочитаются
формальным конструкциям. Практическое воплощение
данных идей подразумевает наличие
высококвалифицированных и творчески мыслящих преподавателей.
Математическое образование и математическая
культура составляют стержень научного знания, и значение
математики как основы фундаментальных исследований
постоянно возрастает.
Для решения этих задач требуются учебники,
отражающие в определенной полноте современное состояние
исследований и мировоззренческие принципы данной
области науки.
Предлагаемые к публикации избранные учебники по
математике реализуют указанный выше подход. Они
написаны, в основном, профессорами Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Книга И. М. Виноградова «Элементы высшей
математики (Аналитическая геометрия. Дифференциальное
исчисление. Основы теории чисел)» написана на основе
лекций по высшей математике, которые автор читал
в Ленинградском политехническом институте, а также его
широко известного учебника по теории чисел.
Математика воспринимается автором этой книги как мощное
орудие для решения проблем естествознания. Поэтому он
стремится возможно быстрее дать в руки студентов это
орудие, на большом количестве простых, но
принципиально важных примеров научить пользоваться ими. При
этом он не делает различия, будет ли впоследствии оно
применяться в инженерной работе или в абстрактных
математических исследованиях. Часть, посвященная
теории чисел, является классическим учебником, который
стал настольной книгой специалистов в этой области.
Предполагается также издать учебники Г. И. Архипо-
ва, В. А. Садовничего, В. Н. Чубарикова «Лекции по
математическому анализу», И. И. Привалова «Введение
в теорию функций комплексного переменного», В. А.
Садовничего «Теория операторов», С. Б. Гашкова, В. Н.
Чубарикова «Арифметика. Алгоритмы. Сложность
вычислений» и др.
Надеюсь, что данные книги положат начало новой
серии базовых учебников по высшей математике для
вузов с повышенным уровнем математической
подготовки.
Кроме практической ценности эта серия призвана
подвести некоторые итоги работы российских ученых и
педагогов — математиков по созданию базовых учебников по
математике на рубеже второго и третьего тысячелетий.
Серия не ограничивается конечным числом изданий.
В дальнейшем предполагается продолжить отбор и
издание учебников как ныне здравствующих, так и ушедших
из жизни авторов, которые отвечают изложенной выше
концепции, не потеряли своей новизны и актуальности
и пользуются заслуженной популярностью и
авторитетом у студентов и педагогов.
Академик Российской Академии наук В. А. Садовничий
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1
ВЕКТОРЫ И УГЛЫ
§ 1. Ось
Пусть дана прямая PQ (рис. 1). По этой прямой точка
может двигаться по двум противоположным
направлениям. Одно из этих направлений принимается за
положительное, а другое за отрицательное. Без- -
различно, какое направление принять за ^L
положительное, но выбор мы должны
сделать так, чтобы он был наиболее удо- Рис. 1
бен. Прямая, на которой выбрано положи·
тельное направление, называется осью. Положительное
направление на оси отмечается стрелкой·
§ 2. Вектор
a. Очень часто приходится иметь дело с
направленными отрезками, у каждого из которых направление
указывается стрелкой, поставленной у его конца. Отрезок*
на котором дано направление, называется вектором.
Вектор обозначается обычно двумя буквами, сначала
пишется буква, указывающая начало^ а потом буква,
r Q указывающая конец ве-
! ι if tu м %~ ктора; например^ на
kb-4l рис.2 изображены
вектор АВ и вектор CD.
• Вместо того чтобы
писать перед буквами слово
«вектор», для краткости условились ставить над этими
буквами черту сверху так, что, например, вместо «вектор
АВь пишем АВ.
b. Мы будем предполагать, что каждый вектор
находится на оси, HanpHMept AB находится на оси PQ, Может
случиться, что на одной оси находятся несколько
векторов; они могут отличаться и направлением, и величиной.
Для того чтобы их лучше различать, условились, что те
5
векторы, у которых направление совпадает с.
направлением оси, имеют положительную величину, а те векторы,
у которых направление противоположно направлению
оси, имеют отрицательную величину.
Величину вектора мы будем обозначать так же, как
и сам вектор, но без черты сверху; например, вместо:
«величина А /У» пишем просто А В.
c. Если дана единица измерения, то величину мы
можем выразить числом, например,
АВ « +3, CD « -4.
Если у вектора начало сделать концом, а конец
началом, то он изменит свое направление на противоположное*
Нетрудно понять, что его величина изменит знак, так что
ВА « —АВ.
Если у величины вектора отбросить знак, то мы
получим προότο длину.
Длину условились записывать так же, как величину,
но слева и справа писать вертикальную черточкух
например,
\АВ | - Зг | CD 1 — 4.
d. Понятие о векторе имеет большое значение как, для
математических, так и для технических наук.
В технических науках все время приходится говорить
о силах. Известно, что силу нельзя выразить одним только
числом, так как сила имеет еще и направление. Поэтому
силу приходится изображать направленным отрезкомэ
т. е. вектором. Точно так же скорость, ускорение,
перемещение точки приходится изображать векторами,
§ 3. Направленные углы
а. Выше было сказано, что перемещение точки прихот
дится изображать направленным отрезком, т. е. вектором.
Подобно этому вращение оси приходится изображать
направленным углом.
Пусть даны две пересекающиеся оси L и М. Для
простоты обозначим каждую ось одной буквой (рис. 3). Одна
из осей является началом вращения, она называется на*
чалом угла; другая является концом вращения, она
называется концом угла.
Конец и начало угла называются его сторонами. На
рис.3 сторона L — начало, а. Л/ —конец* Углы будем
6
измерять в радианах. Если угол получен вращением
против часовой стрелки, то его величина считается
положительной, в противном случае его
величина считается отрицательной.
Направление угла отмечается (как на
рис. 3) стрелкой.
Указанное расположение сторон
может быть· получено бесконечным
числом вращений, а потому начало
и конец дают не один угол, а
бесконечное число положительных и
отрицательных углов.
b. Величина любого угла, образуемого сторонами*
L и Л/, обозначается условно так:
причем слева пишется начало, справа — конец.
Если обозначить через α величину наименьшего
положительного угла между данными сторонами, то величина
любого угла, образуемого теми же сторонами! может быть
получена из формулы
(LM) ^ а + 2як%
где к — любое целое положительное или отрицательное
число, в том числе и нуль, потому что оно обозначает
число полных оборотов.
Действительно| при к = О получается сам угол
(LM) - а.
Подставляя вместо к числа 1,2, 3f,,„ получим все
другие положительные углы» Если к = —1, мы получим
наименьший по абсолютной величине отрицательный угол
(LM) — α — 2л.
На рис. 3 этот угол отмечен пунктирной стрелкой»
Подставляя вместо к числа —1, —2, — 3S »· ·, получим
все другие отрицательные углы.
c. Если начало угла сделать концом, а конец началом,
то все углы изменят 8наки на обратные:
(ML) = —α — 2πΑ,
Положим к β — к1% тогда
(ML) = —α + 2лкг.
Очевидно, кг может принимать также все целые
значения — положительные! отрицательные и нуль»
7
d. Мы видели, что задание начала и конца угла не
определяет угол однозначно (т. е. определяет не один, а
много углов). Однако любая тригонометрическая функция
определяется вполне однозначно, например,
sin (LM) = sin (α + 2пк) = sin α.
Более того, чтобы вполне определить косинус,
достаточно задать только стороны, не указывая даже, какая
из них является началом и' какая концом. Действительно1
cos (LM) = cos (α + 2nk) = cos α,
cos (ML) = cos (—a 4- 2nfrt) = cos (—a) = cos ax
так что
cos (LM) = cos (ML) *).
§ 4. Проекция вектора с оси аа ось
а. Проекцией точки А на ось PQ (рис. 4) называется
основание а перпендикуляра, опущенпого из данной
точки на данную ось. Та ось, на которую мы проектируемг
называется осью проекций.
Ь» Пусть даны две оси и вектор АВ, указанные на
рис. 5. Вектор αδ, началом которого служит проекция
I
I
t 1 I
а
Рис. 4
начала и концом ~ проекция конца данного вектора,
называется проекцией вектора А В на ось PQ,
Записывается это так:
аЪ = nppQ AB*
Иногда указатель PQ внизу не пишется, это делается в
тех случаях, когда кроме PQ нет другой осиг на которую
можно было бы проектировать.
*) Разумеется, то же самое справедливо для секанса*
8
Рис. 5
с. Т е о р е м а I. Величины векторов, лежащих на
одной оси, относятся как величины их проекций на любую
ось.
Пусть даны оси и векторы, указанные на рис, 6, Из
подобия треугольников видно, что длины векторов относят*
ся, как длины их проекций, т> е,
М*1 _ \ab\ H
\CD\ ЩГ* У'
Так как Лекторы на чертеже
направлены в разные стороны, то
величины их имеют различный
8нак, следовательно»
АВ \АВ
Т2Гв
Очевидно* величины
знак:
(2)
проекций также
аЬ
cd
\ab\
\Щ
имеют различный
(3)
подставляя (2) а (3) в (1), получим
АВ
cd
(4)
Меняя знаки на обратные, получим
АВ аЬ
Если векторы будут одинаково направлены, то будут
одного направления и их проекции; в формулах (2) и (3)
знаков минус не будет.
Подставляя (2) и (3) в равенство (1),
мы сразу получим равенство (4)«
Итак, теорема доказана для всех
случаев.
d, Теорема II, Величина
проекции вектора на любую ось
равна величине вектора% умножен·
ной на косинус уела между осью
проекций и осью вектора.
Пусть даны оси и вектор АВ%
_^ как указано на рис» 7#
Построим вектор OKs одинаково направленный со своей
осью и отложенный, например, от точки пересечения осей»
Пусть длина его равна единице. Тогда и величина его
ОК « +1. (1)
Рис* 7
9
Очевидно, вектор Ок есть линия косинуса для угли а
между осями, следовательно, его величина
Ок = cos α. (2*)
Применяя теорему lt получим
аЬ _ A3 -
Ок ~~Ш~Щ W
Подставляя (1) и (2) в (3)t получим
ab ЛВ
cos а . + 1 *
Отсюда
ab =я А В cos α, (4)
§ 5. Векторные цена
a. Если несколько векторов расположены так, что
конец каждого вектора служит началом следующего, то
такую их совокупность будем называть векторной цепью
(см., например, рис. 14).
Вектор, соединяющий начало первого эвена цепи о
концом последнего, называется замыкающим вектором
для данной цепи. По характеру расположения векторов
мы можем подразделить цепи на пространственные,
плоские и прямолинейные. Пространственной мы будем
называть такую цепь, у которой все звенья не могут
уместиться в одной плоскости; если же все звенья цепи лежат
в одной плоскости, то цепь будет плоская; наконец, если
все звенья цепи лежат на одной прямой, то цепь будет
прямолинейной. Сначала мы будем говорить о
прямолинейных цепях, потом о плоских; пространственными
цепями мы будем заниматься много позднее.
b. Теорема Шаля. Алгебраическая сумма
величин, векторов прямолинейной цепи равна величине ее замы-
каюи{его вектора.
Пусть имеется сначала цепь из двух векторов.
Могут представиться несколько случаев. Разберем
сначала случаи, где точка Ь правее а#
Случай I. Даны векторы^ указанные на рис, 8
(с правее 6), Здесь очевидно, что
ab + be =* ас. (1)
Случай II. Векторы расположены так, как на
рис. 9 (с между а и Ь). Мы видим, что
ab = ас + с&#
10
Так как нам надо доказать (1), то переносим сЬ в
левую часть с обратным знаком: ab — сЬ = асу откуда
ввиду cb = —be имеем опять ab + be = ас*
Ра Ъ с в р <* ^ Ь ?
Рис. 8 Рис. 9
С л у ч а й III. Векторы расположены, как на рис. 10
(с левее о). Мы видим, что са + ab = cb9 откуда ab —
— сЪ = — са или, ввиду сЬ = — be и са = —-а£, имеем
afc + £>с = ас*
Остаются случаи, где b левее а, как на рис. И—13.
Ρ с δ а Ц
Ρ с
Ρ Ь
—ч*—
а
Рис. 10
с
>~*
* Q
^ Ϊ»
а Я
9 >
Рис. И
Ρ *
4Д.
Рис. 12 Рис, 13
Эти случаи рассматриваются аналогично первым трем,
а потому разбор их в виде упражнения предоставляем са·
мим учащимся.
Итак, всегда
ab + be = ас.
Таким образом, для двух векторов теорема Шаля
доказана.
Пусть теперь дана цепь, состоящая из любого числа
векторов, например, ab, be, cd, de, ef, . · ♦, kl *)#
Сложим алгебраически их величины и будем
постепенно применять теорему Шаля каждый раз для двух
векторов:
ab + be + cd + de + ef + .. · + kl =
= ас + cd + de + ef + ,. « + kl =*
« ad + de + ef + 9»* + kl —
~ ae 4- ef + .,, + kl =
= af + , . , + kl =
- αΛ + kl =*
= a?·
*) Мы умышленно ве приводим чертежа, так как вопрос ясен
в без вего,
11
Теперь теорема Шаля доказана для любого числа век*
торов.
с. Теорема о проекции векторной
цепи на любую ось. Пусть имеется какая-нибудь
цепь (рис. 14), все звенья которой лежат в одной
плоскости. Здесь вектор AL является замыкающим. Спроектируем
Л
цепь и ее замыкающий вектор на ось PQ. Нетрудно видеть,
что на оси PQ получится прямолинейная векторная цепь,
На основании теоремы Шаля имеем
аЪ + be + cd + de + ef + fg + gh + hk + kl = ah
Так как -
ab = np AB% be = пр ВС,..., kl = пр ЛХ, al = np ALy
то имеем
npHf + пр"ВС + пр ЙГ+ np DF+ nplf +
+ np"FG + np 'GH + np ~HK + αρΎΖ = nplT,
т. е. алгебраическая сумма величин проекций звеньев
векторной цепи на любую ось равна величине проекции
замыкающего вектора на ту же ось.
d. Понятие о цепи векторов имеет большое значение
для механики. Приведем примеры.
Представим себе, что точка делает несколько
последовательных перемещений. Например, как указано на
рис. 14, точка перемещается из положения А в
положение Вх затем из В в С и т. д., наконец, из положения К
в положение L. Очевидно, окончательное перемещение
точки будет изображаться вектором AL\ таким образом^
вамыкающий вектор заменяет собой всю цепь
перемещений,
12
То же самое можно сказать, если звенья ценя
изображают векторы, равные и параллельные силам,
приложенным к одной точке А. Замыкающий вектор AL
изображает тогда равнодействующую всех этих сил, действие
которой заменяет действие всех этих сил.
е. Поэтому замыкающий вектор называется также гесн
метрической суммой векторной цепи.
Записывается это так:
AB + WC + CD + ...+KL = AL,
Нужно только помнить, что плюсы, стоящие в левой
части, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают
не алгебраическое, а геометрическое сложение* Только в
том случае, когда все векторы лежат на одной прямойл
геометрическая сумма переходит в алгебраическую.
§ 6. Цепи углов
Подобно тому как точка может совершать несколько
последовательных перемещений, ось может совершать
•несколько последовательных вращений. Здесь мы
приходим к понятию цепи углов.
Цепью углов мы будем
называть совокупность углов,
расположенных так, что
конец каждого угла совпадает
с началом следующего.
Пусть, например, вокруг
точки О ось совершает
несколько вращений, которые
изображены на рис, 15
углами
(АВ), (ВС), , , ., (KL).
Очевидно, все эти вращения
можно заменить одним
вращением, изображаемым
углом (AL).
Для цепи углов также можно доказать теорему Шаля·
Метод доказательства тот же, что и для векторов;
(АВ) + (ВС) + (CD) + (DE) + (EF) + (FG) +
+ (GH) + (ИК) + (KL) ~ (AL),
13
т. е. алгебраическая сумма величин углов> образующих цепь,
равна величине угла% образуемого началом первого и концом
последнего угла цепи.
Ь. Как мы видимо направленные углы аналогичны
векторам,
§ 7. Проекции вектора
на две взаимно перпендикулярные оси
а. Пусть имеются две взаимно перпендикулярные
осп Ох и Оу (рис, 16).
Пусть еще имеется вектор Р, лежащий на оси OL
Обозначим через α наименьший по-
Ji$^^ ложительный угол (xl) и через β
" ^\ тот угол (/г/), который получается,,
L N если ось 01 сначала повернуть до оси
J ^-^Г Ох по часовой стрелке, а потом до
оси ординат против часовой стрелки,
Таким образом, всегда
Рис 16 β = -α + 90°. (1)
значим через X и Υ проекции вектора Ρ на оси.
X = Ρ со? α, Υ = Ρ cos β (2)
/
Χ ί if
Ш
или, так как
cos β == cos (—α + 90°) = cos (90° — α) = sin at
то '
Χ = Ρ cos α, Υ = Ρ sin α. (3)
Формулы (3) можно представить также в виде
γ £
sin α sss -p-, cosa = -jj-, (4)
откуда, разделив первую формулу на вторую, можно еще
найти
γ
tga = -j-. (5)
b*. Если направление вектора Ρ совпадает с
направлением оси 01 (что мы и имеем на чертеже), то величина
вектора равна его длине. Обозначая длину через г, получим
X =г cos a4 У = г sin a
J4
или в другом виде
sioOc =-
cos α
К
г
с· Нетрудно также получить формулу для вычисления
длины вектора. Если мы длины проекций вектора
обозначим, как обычно, | X | и | У |, то по теореме Пифагора
(рис. 16)
r = Y\x\*+\Y\*r
Так как при возведении в квадрат знак минус, если он
имеется; исчезаетх то
г = \ГХ*~+Т\
§ 8· Угол между двумя векторами. Условия
иараллельности и перпендикулярности
а. Пусть даны два вектора, указанные на рис. 17:
Рг с проекциями Х1п Yu лежащий на оси 01и и Рг с
проекциями Х2 и У2, лежащий на оси 0/2. Для простоты
предположим, > что направления
этих векторов совпадают с
направлениями их осей.
Обозначим углы
(xlx) = аи (х/г) = а2%
(к1г) β Φ·
Очевидно,
Рис. 17
а потому
sin φ =s sin (α2 — at) = sin a2 cos ax — cos a2 sin aL
cos φ = cos (a2 — <Xi) = cos a2 cos аг + sin a2 sin ax
В предыдущем параграфе было доказано, что
Υ Χ Υ Χ
sin αϊ = —- . cos αχ = —— f siua^ ——— ,созосз =——
γι rt r2 r8
' (t)
Подставляя (2) в (1), получим
X\Yt — XaV|
sin φ:
nrt
COS<p =
rtr%
(2)
(3)
15
b. Умножая обе части каждого равенства (3) на гхг21
получим еще
гЛ sin φ = ХгУш - X2YU (4)
rxr2 cos φ = ХгХ2 + ΥχΥ2- (5)
Обе эти формулы имеют большое применение в
механике.
Выражение ггг2 cos φ называется скалярным
произведением двух векторов.
Если раздели!ь первую из формул (3) на вторую, то
получим
c. Формулы этого и предыдущего параграфа выведены
в предположении, что векторы выходят из начала
координат. Однако они будут верны при любом
расположении векторов. Действительно, если какой-либо вектор
перенести параллельно самому себе, то ни длина его, ни
величины проекций не изменятся, не изменятся также и
углы с осями, и следовательно, никакого изменения в
формулах не произойдет.
Может случиться, что векторы параллельны. Тогда
φ ss 0° или φ = 180°, откуда sin φ == 0.
Формула (4) тогда превратится в
ΧΧΥ2 - Χ2Υ, - 0. (7)
Формула (7) называется условием параллельности двух
секторов; она нам позволяет узнать, когда векторы
параллельны. Очевидно^ (7) можно представить так:
Однако так писать возможно лишь в том случае, если
ни Х21 ни У2 не равны нулю, в противном случае
формула (8) теряет всякий смысл, ибо на нуль делить нельзя.
Если же Х2 = 0, то тогда (7) превратится в
Мы знаем, что произведение может, равняться нулю
только в том случае, когда хотя бы один из
сомножителей равен нулю* Следовательно, либо Хг = 0, либо У2 =■
β 0. Если У2 = 0, то второй вектор превращается в
точку, этот случай не представляет никакого интереса. Если
же Хг = 0й то формула (7) превращается в
0 = 0.
16
Но в этом случае нам не нужна никакая формулаА что?
бы узнать, параллельны ли векторы.
Действительно, если одновременно Хг = О, Xt = 0t
то оба вектора перпендикулярны оси Ох и, следовательно,
параллельны между собой.
Теперь рассмотрим перпендикулярность векторов,
Тогда φ = 90° или φ = 270°, откуда cos φ = 0.
Равенство (5) принимает вид
XtXt + YtY9 - β.
Формула (9) является условием перпендикулярности
двух векторов.
§ 9. Упражнения и контрольные вопросы
1а. Что такое ось?
lb. Дана прямая MN
Л //
Как отметить, что за положительное выбрано
направление справа налево?
2а. Что такое вектор?
?Ь. Какая разница между длиной вектора и его вели*
чиной?
2с. Как обозначается длина и как обозначается
величина вектора?
За. Имеется ось MN и на ней несколько векторов
фис. 18). Какие из этих векторовимеют положительные
величины и какие отрицательные?
Μ А В D С F Ε 6 Η Ν
Рис. 18
3b. Какая длина и какая величина у тех векторов,
которые изображены на рис. 18, если за единицу принят
сантиметр?
4а. Какие величины в природе изображаются
векторами?
4Ь. Можно ли сказать, что объем — векторная
величина?
4с. Является ли работа векторной величиной?
4d. Является ли вес величиной векторной; если да, то
куда эта величина направлена?
17
5а. При получении какого рода движения возникло
понятие о направленном угле?
5Ь. Что называется началом угла и что концом?
5с. Какие углы считаются положительными и какие
отрицательными?
6а. Определяется ли угол вполне своим началом и
концом? Если нет, то почему? Ответ: нет.
6Ь. Если наименьший положительный острый угол,
определяемый двумя сторонами угла., равен π/4, то как
записать общий гид всех других углов, определяющихся
теми же сторонами?
7а. Определяются ли тригонометрические функции^
если заданы стороны угла с указанием, какая сторона
является началом и какая концом, но пе указано
направление угла? Если да, то почему?
7Ь. Какая тригонометрическая функция вполне
определена, если 8адаиы только стороны угла без указания,
какая сторона является началом и какая концом?
ва. Что называется проекцией точки на ось?
8Ь„ Даны ось PQ и на ней точка А
PA Q
• >■
Найдите проекцию точки А на ось PQ.
9а·. Что называется проекцией вектора на ось?
9Ь. Даны ось PQ и вектор Ϊ42? (рис. 19). Какой вектор
является проекцией вектора АВ на ось PQ?
9с. Даны ось PQ и вектор CD на ней (см. рис. 19).
Какой вектор является проекцией вектора CD на ось PQ?
В
Ρ A^r~ \ffo\ G Л Q
β^- >ι ι » > >
G
Рис. 19
10a· Даны ось PQ и несколько векторов (рис. 20).
У каких векторов величины проекций положительны и у
каких отрицательны?
10b. Какую величину имеет проекция вектора на ось,
если сам вектор перпендикулярен этой оси?
11а. Может ли случиться, что длина проекции вектора
на некоторую ось больше длины самою .вектора?
18
lib. Может ли случиться, что длина проекции век то·
ра на некоторую ось равна длине самого вектора?
12. Вычислите величину проекции вектора на ось тхх,
если его величина А В = —6 и угол между осью LtL
Рис. 20
вектора и осью хлх проекций равен 4π/3 (рис. 21). Ответ:
ab = 3.
13а. Что называется векторной цепью?
13Ь. Какие бывают векторные цепи?
14а. В чем состоит теорема Шаля?
14Ь. Ртуть в термометре поднялась от 0° до 15°t затем
поднялась на 20Qt далее она спустилась на 39°, наконец
поднялась еще на 17°. Можно ли
сказать, что совокупность всех
перемещений ртути образует векторную цепь?
На какой высоте будет находиться
уровень ртути после всех этих
перемещений? Ответ: да; 13°.
14с. Паровоз маневрирует. Выходя
от станции, он прошел вправо 5/2 км,
затем сделал влево 4 км, потом влево
1/2 км, далее вправо 2 км, наконец ^
вправо 1 км. Если перемещение вправо '
считать положительным, а влево
отрицательным, то каково окончательное
перемещение относительно станции? Ответ: 1 км.
15а. Стрелка гальванометра отклонилась от нуля на
41° против часовой стрелки, потом на 22° по часовой
стрелке, затем на 13° по часовой стрелке, наконец отклонилась
на 14° против часовой стрелки. Является ли совокупность
всех этих поворотов цепью углов? Какой угол составляет
окончательное положение стрелки с начальным? Ответ:
да; 20°.
Рис. г\
19
о
Рис, 22
15b. На левую чашку весов брошен груз (рис. 22),
Стрелка весов от удара отклонилась против часовой
стрелки от нулевого положения на 16°, эатем весы начали
колебаться. После первого
отклонения последовало отклонение по
часовой стрелке на 1/3 от 16°, далее
на 1/9 от 16° против часовой стрелкиt
потом на 1/27 от 16° по часовой
стрелке и т. д. Теоретически говоря, эти
затухающие колебания будут
продолжаться вечно, но стрелка будет
стремиться к некоторому
предельному положению. Какой угол с
начальным положением составляет это предельное
положение? Ответ: 12°.
16а. Что такое эамыкающий вектор?
16Ь. Какое значение имеет для механики понятие о
замыкающем векторе?
17а. Векторная цепь состоит из двух векторов, длина
каждого из которых равна а. Эти векторы наклонены друг
к другу под углом 60° (рис. 23).
Постройте эамыкающий вектор. Какова его
длина? Ответ: а.
17Ь. Векторная день состоит из пяти
векторов, равных а, причем каждый из
них наклоней к следующему, под углом
120°. Цепь расположена так, как указано
на рис. 24. Какова длина замыкающего
вектора? Omeemi α.
18а. Вычислить длину проекции
замыкающего вектора на ось ххх цепи:
1. Вектор равен а и наклонен к оси под углом 45°,
2. Вектор равен 2а и наклонен к оси под углом 315°»
3. Вектор равен За и наклонен
к оси под углом (У\
4. Вектор равен |^3аи наклонен
к оси под углом 90°.
5. Вектор равен а и наклонен к
оси под углом 135°,
6. Вектор равен 2а и наклонен к
оси под углом 225°*
Ответ: За.
Указание. Когда не упоминается ось вектора,
нужно считать, что его ось имеет то же найравлениеа что
и сам вектор·
Рве. 23
Рис. 24
20
18b. Вычислить длину проекции замыкающего
вектора на ось цепи:
1. Вектор равен а, его наклон к оси хгх равен 60°.
2. Вектор равен <ц его наклон κ оси хгх ρ а йен 300°.
3. Вектор равен 6а, его наклон к оси ххх равен 30°.
4. Вектор равен 6а, его наклон к „.
оси ххх равен 150°. <£ ■
5. Вектор равен а, его наклон к >^
оси Х\Х равен 180°. *
Ответ: 0. аг
18с. Объяснить, почему в
предыдущей задаче получилось, что сум- Щ
ма проекций всех векторов цепи на
ось ххх оказалась равной нулю. Рис. 25
19а. Замкнутой векторной цепью
называется такая цеиь, где конец последнего вектора
совпадает с началом первого. Чему равен замыкающий
вектор такой цени?
19Ь. Чему равна сумма проекций векторов замкнутой
цепи на любую ось?
20а. Даны две взаимно перпендикулярные оси хлх и
УхУу расположенные, как указано на рис. 25. Вектор
имеед· длину г = 10 и наклонен к оси ххх под углом 135^.
Вычислить его проекции на оси. Ответ: X = —5 γ2%
У - 5 γ2.
20b. Длина вектора г = 18, а наклон его к оси ххх
равен 240°. Вычислить его проекции на оси хгх и уху.
Ответ: X « -9, У = -9 /3.
21а. Вычислить длину вектора и его наклон к осям,
если его проекции X = 3, У = ~4. Ответ: г = 5,
cos α == 3/5, sin α = —4/5.
21b. Вычислить длину вектора и наклон к осям, если
его проекции X = —2, У = -—2. Ответ: г = 2 γ2,
cos α = — |/2/2, sin α = - |/2/2, α = 225°.
22а. Даны два вектора своими проекциями на две
взаимно перпендикулярные оси!
проекции первого вектора Хг = |^3, У', = 1;"~
проекции второго вектора Ха = 0, Уа = И.
Вычислить косинус угла между этими векторами.
Ответ: cos φ = ί/2χ φ = 60°.
22b. То же, что и в задаче 22а, но векторы имеют
проекции Хх = —6, Yx = —8; Х% = 3, Уа = 4.
Ответ; cos φ = —1, φ =* 180°.
21
23а. Если вектор гг выражает силу, а вектор г2 — ее
перемещение, то доказать, что произведение этих векторов
выражает работу.
23Ь. Вычислить работу силы, цроекции которой на
оси Хл = 5, Yx = 7, если эта сила сделала перемещение»
проекции которого Х2 = 1, Υ2 = 5. Ответ: работа
равна 40.
24. Даны два вектора, проекции на оси у первого
равны А1% Вг и проекции на оси у второго равны Л2, /?2.
Вычислить тангенс угла между этими векторами. Ответ:
lg(p AiAt + bxBt ·
25а. Будут ли векторы параллельпы, если их проекции
на оси
Ха = _i, ^ = 5; Х2 = 0,125, У2 » -0,625?
Ответ: да.
25Ь. Будут ли векторы перпендикулярны, если их
проекции
Хг = Λ, Yi = β; *2 = _fit y2 = л?
Ответ: да.
26а. Дан вектор с проекциями Хг = 4, Yt = —2 и
дана только одна проекция второго вектора Х2 = 8.
Найти вторую проекцию, если известно, что векторы
параллельны. Ответ: У2 — —4.
26Ь. То же, если векторы перпендикулярны. Ответ:
У 2 « 16.
Гла$а 2
КООРДИНАТЫ
§ 1. Метод координат
Одпим из самых важных вопросов математики
является определение положения точки. Это можно сделать
многими способами.
На плоскости положение точки удобнее всего
определять относительно двух взаимно перпендикулярных
осей.
Оси должны быть заранее заданы и носят название
координатных осей; одна из них называется осью абсцисс
или осью иксов, другая осью ординат или осью игреков,
точка их пересечения
называется началом координат.
Начало координат обозначается
обычно буквой О, ось абсцисс
обозначается Ох, ось ординат
Оу. Координатные оси делят
1сю плоскость на четыре угла,
которые называются координат·
ными углами и которые мы будем
нумеровать в порядке,
указанном на рис. 26.
Положение любой точки вполне определяется, если мы
соединим начало координат с этой точкой и найдем
величины проекций полученного вектора на оси. Построенный
таким способом вектор имеет направление от начала
координат к точке и носит название радиус-вектора данной
точки, величина его проекции на ось абсцисс называется
абсциссой точки, величина его проекции на ось ординат
называется ординатой точки.
Заметим, что вообще числа, определяющие положение
точки, называются координатами этой точки.
Абсцисса и ордината являются именно такими
числами; поэтому их называют координатами точки на пло-
23
скости, причем добавляют слово прямоугольные*), так как
координатные оси перпендикулярны.
Абсциссу мы будем обозначать буквой я, ординату —
буквой у.
Мм знаем, что знак величины проекции вектора па
какую-либо ось будет положителен, когда ее направление
совпадает с направлением этой оси; в противном случае
знак будет отрицателен.
Рассматривая чертеж, можно убедиться, что в
различных координатных углах знаки координат точек будут
1акие:
1 /
1 л
1 ш
] ж
X
+
—
—
+
У
+
+
— 1
— 1
Условились, обозначая точкух писать рядом в скобках
ее координаты, причем на первом месте пишется абсцисса,
а на втором — ордината. Например, для точек Mt1 M2%
М31 Л/4, лежащих в различных углах (см. рис. 26), мы
будем иметь обозначения
Л/, (3;2), il/f(-3;2)f Л/3 (-3;-2), М4 (3; -2).
Очевидно, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ор·
дината равна нулю; если же она лежит на оси ординат*
ее абсцисса равна нулю. Например, координаты точек
A,BXC,D (см. рис. 26) таковы:
Λ (3; 0), В (-3, 0), С (0; 2), D (0; -2),
Для начала координат имеем обозначение
О (0; 0).
Произвольную точку плоскости обозначают так:
Μ (χ\ у).
*) Часто вместо названия «прямоугольные координаты»
употребляют название «декартовы координат» в честь знаменитого
французского математика а философа Декарта, который ввел их
в математику, .
24
Очевидно, каждой точке плоскости соответствует пара
чисел — ее координат — и, обратно, каждой
произвольной паре чисел соответствует точка плоскости. С помощью
координат мы производим учет всех точек плоскости.
Такой учет имеет огромное значение: он позволяет соединить
в одно единое целое геометрию и анализ. Анализ изучает
свойства чисел и взаимоотношения между ними, к нему
относятся, между прочим, арифметика и алгебра;
геометрия изучает свойства фигур, которые все зависят от
положения частей фигуры. Поэтому учет положения точек
с помощью чисел даст возможность использовать в
геометрии методы алгебраического анализа. При этом мы,
с одной стороны, получаем возможность алгебраически
решать чрезвычайно трудные геометрические задачи,
с другой стороньц геометрически пояснять теоремы анали-
за, которые приобретают от этого необычайную
наглядность.
Каждое понятие, каждая теорема могут быть
высказаны как бы на двух языках — на геометрическом и
аналитическом. Например, на языке анализа задать точку
означает задать ее координаты, найти точку — значит
вайти ее координаты.
Решение геометрических задач с помощью анализа и
составляет сущность метода координат, к изучению
которого мы теперь и приступаем.
§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат
а. Задача первая. Вычисление проекций
вектора по координатам его начала и конщ.
Пусть имеется вектор Л/,А/2, изображенный на рис. 27 f
причем его проекции на оси
будут УЬ
Ъ*%м*Ыг)
X = tfijWg, Υ == ηΎη2.
Согласно определению ОМ\
и ОМ2 — радиус-векторы
начала и конца данного
вектора, и их проекциями на оси
будут координаты точек Мх Рис 27
и А/2.
Ломаная линия ОМгМ2 есть цепь двух векторов ОМ\
и MkM2l причем вектор ОМ% замыкает цепь. Проектируя
т^ &
25
эту цепь на ось абсцисс и на ось ординат, иагдем
npj0Mt + прхЛ/\Д/2 === npxOMt%
iiPyOMi + upwMlMt = пруОЛ/,,.
Отсюда имеем агх + X = х% и ^ + У = £2. Перенося г
и Уг в правые частиА найдем
X = я2 — ζν Υ = у2 — yie
Таким образом, проекция вектора на ось абсцисс paima
абсциссе конца минус абсцисса начала, а проекция на
ось ординат равна ординате конца минус ордината начали.
Например, если имеется вектор с началом в точке
М1 (—5; 6) и концом в точке М2 (2; 8), то получим
χ = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7, У = 8 - 6 = 2.
Ь. Задача вторая. Вычисление длины вектора
по координатам его начала и конца.
Пусть требуется вычислить длину вектора ΜγΜ%
(рис. 27), если даны точки Мг(хг; у J и Л/2 (я2; у2)- Л·»*1
вычисления длины вектора по его проекциям X и У мы
>же раньше имели формулу
г - γΧ2 + Υ\
Для вычисления проекций мы также получили
формулы, поэтомуд заменяя X через.х2 -^йУ через у2 — у1%
найдем
r= /<*, - *ι)2 + (Уг - Ух)2-
Это равенство служит для вычисления длины вектора
непосредственно по координатам начала и конца; его
называют также формулой расстояния между двумя
точками.
Пусть, например, нужно найти расстояние между
точками Мх (2; 6) и ЛГ2 (— 1; 2), тогда получим
г - /<*, - Хг)2 + (У, - yxf « Υ 12-<-!)Ι* + <6-2)« =
β ^(2 + I)2 + 42 = 5.
с* Задача третья. Деление отрезка в данном
отношении.
Пусть дан вектор Л/,Л/2 с началом в точке МЛ (#,; yt)
и концом в точке Λί2 (χ%\ у2) (рис. 28).
Разделить отрезок в данном отношении — это значит
найти на нем такую ючку Λ/, которая делила бы его щ,.
26
две части МХМ и Л/Л/2, пропорциональные заранее
заданным числам» Например, если нужно разделить отрезок
в отношении 2:3, то MXN должно быть меньше ММ2
во столько раз, во
сколько 2 меньше 3.
Будем решать задачу в
общем виде. Пусть
требуется деление произвести в
отношении 1Х : 12.
Обозначим искомую
>точку Л/ (х\ у). По условию
должно быть
ЪрЛИг)
МХЫ
мм%
-τ- <!>
.Рис. 28
Раньше было доказано, что величины проекций
векторов, лежащих на одной оси, относятся, как величины са-
мих векторов, т. е. их1 = , поэтому
ММг
тт2
тгпъ
(2)
Далее, нам известно из задачи первой, что тхт =
= χ — х. и /ш.
X *"* Χ·\
откуда имеем
Х% — X
(3)
Выше было сказано, что задать точку значит задать
ее координаты; найти точку значит найти ее координаты»
Так как точки Л/, и А/2 даны, а точку Μ мы ищем, то
в уравпении (3) известно все, кроме хщ Решая это урав-
Так
xl% — хх1^
xl2 + χΙλ
* (h + у
X —s -
\х что
У = '
— х21х —
= хх12 +
= хл12 +
Χχί2 + *2*1
h + U
xlxt
xru
x2lu
•
(4)
(5)
В частности, если точка М делит вектор на две равные
части, то /, == /2, и тогда, заменяя 12 в формулах (4) и (5)
через llt вынесем 1Х за скобку и сократим на него.
27
Получим
*t-f *j
У — 2
(Of
(7)
Итак, абсцисса середины вектора рапна полусумме
абсцисс его начала и конца, а ордината середины вектора
равна полусумме ординат его начала и конца.
Пример 1. Имеется вектор, у коюрого начало
в точке Μ (—1; —3) и конец в точке А/2 (7; 13). Требуе1ся
разделить его в отношении 3 : 5.
Реш е н и е:
(_3).5+ 13-3
(-D-5 + 7-3
"""" 5+3
Пример 2.
- 2; ι, =
Решение:
(-D + 7
Найти середину
того же век юра.
2
= 3;
(- ■*) + 14
= 5.
площади
d. Задача четвертая. Вычисление
треугольника по координатам его вершин.
Пусть дан треугольник М0МгМг, изображенный на
рис. 29. Любопытно, что решение этой задачи зависит от
того порядка, в котором
расположены возрастающие номера
вершин. Для определенности
разместим возрастающие номера,
обходя периметр треугольникь против
часовой стрелки, как это и
показано на рис. 29.
Пусть координаты вершип
будут
Μ о (х0я* У oh М\ (*ιί ?ι). Μ г (*У. »«)·
Стороны треугольника M0Mt
и М0М2 можно рассматривать как векторы, имеющие
начало в точке М0.
Обозначим длины этих векторов и проекции их на
координатные оси соответственно через г,, Хг, У,; r2, Х2, Yt%
а их углы с осью абсцисс через аг и а2. Если обозначить
через φ угол между этими векторами, ю
φ = α2 — at. (1)
Раньше мы доказали такую формулу:
rxr2 sin φ = XxYf - X%Yt. (2)
28
V
lQ
9>-«2-«t ^4
(C
Рис. 29
Умножим обе части этого равенства на 1/2, тогда
волу чим
4" ΓιΓ*sin » ™ 4" <Xl72 - ХаКi). (3)
Из тригонометрии известно, что площадь 5
треугольника равна половине произведения длин двух его сторон,
умноженного на синус угла между этими сторонами.
Рассматривая левую, часть равенства (3), видим, что
она равна площади треугольника^ если только φ —
число положительное. Очевидно, угол φ положителен,
если а2 больше ах. Поэтому вместо
левой части равенства (3) можно #т
написать S, Если мы выберем
другой порядок нумерации,
размещая возрастающие номера вершин
при обходе периметра по часовой
стрелке, как на рис. 30, то угол
ос2 будет меньше., чем угол аг.
Поэтому угол φ будет отрицателен и ι #
левая часть уравнения (3) будет
равна площади треугольника 5, Ряс. 30
взятой со знаком минус. Вместо
левой части этого равенства мы должны будем
написать — S.
Оба случая мы можем объединить в одной формуле:
±S = ±(XiY,-XzVx). (4)
Необходимо помнить, что в левой части, а
следовательно, и в правой части этого равенства знак плюс появляется,
если, обходя вершины в порядке возрастающих номеров,
мы движемся против часовой стрелки1 в противном
случае появляется знак минус*
Мы знаем, что
Хг = хг — х0, Yx = уг — у0; Х2 = х2 — я0, ^2 = #2 "" Уо·
(5)
Подставляя (5) в (4), окончательно получим
\
it S α -ψ [(Xl — Х0)(у2 — Уо) — (Я2 — ЯоХ«/1 — у0)]. (6)
В частности, если вершина Μ находится в начале коор-
динаТд то х0 « 0 и уь = 0 и мы имеем
± S = -я- (х\Уг — Х:У\).
(7)
29
Пример» Вычислить площадь треугольника с
вершинами М0 (—3; 2), Мг (5; 6), Л/а (7; -10).
Решение: ±5 = -^-[(5-(- 3)).(— 10- £)-
-(7-(-3))·(6^2)] = 4-[8·(-12)-1°-4] = -68·
В правой части мы получили знак минус, а иотому и
в левой части необходимо взять минус. Следовательно»
если мы будем переходить от Л/0 к Мх и от Мг к Л/2, го
мы будем двигаться по часовой стрелке, в чем можно
убедиться непосредственно, построив эти точки. Ответ:
5 = 68.
§ 3. Упражнения
1. Построить на миллиметровой бумаге точки с
координатами:
ЛМ1;2), Л/2(0;6), А/3(-6;0), Л/4 (—1; —1,5),
М& (4; 0), М9 (-7; 0), М7 (-3; 9), Л/8 (2; -8).
2а. Вычислить проекции вектора, если координаты
его начала Мг (—1; —2), а координаты конца Л/2 (6; 7).
Ответ: X = 7, 7 = 9.
2Ь. Вычислить проекции вектора, если координаты его
начала Л/, (—6; —7), а конца Мг (0; 1). Ответ: X = (к
Υ = 8.
За. Заданы проекции вектора X = 3, Υ = 2 и
координаты его начала Л/ (1; —1). Вычислить координаты
конца. Ответ: Л/2 (4; 1).
ЗЬ. Заданы проекции вектора: X = —7, Υ = —2 и
координаты конца Мг (2; —3). Вычислить координаты
начала. Ответ: Л/, (9; —-1).
4а. Даны вершины треугольника (—22; 12), (34; 45)t
(—2; —3). Вычислить периметр. Ответ: 150.
41>. Вычислить периметр треугольника с вершинами
М, (0; 0), Л/2 (42; 56), Мъ (—21; 72). Ответ: 210.
4с. То же, если вершины имеют координаты Мх (2; 3),
Мг (05; 87), Л/3 (—12; 51). Ответ: 240.
4d. То же, если вершины имеют координаты Μγ(—3;
—5), Л/2 (69; 25), Л/3 (13; 58). Ответ: 208.
5а. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от
1Ч)чек Л/, (2; 8), Л/2 (7; 7). Ответ: (3; 0).
5Ь. На оси ординат найти такую точку, чтобы ее
расстояние до точки Мг (2; 12) было в пять раз больше2 чем
30
расстояние до точки М2{\\Ъ)% Ответ: две точки (0; 1)л
(0; 17/4).
6а. Найти в первом координатном угле точку такуюЛ
чтобы ее расстояния от осей координат и от точки (8; 9)
были равны между собой. Ответ: две точки (5; 5), (29; 29).
6Ь. Найти точкуг равноотстоящую от трех точек (—7;
4), (1; -8), (И; 16). Ответ: (6; 4).
7а. На оси абсцисс найти точку Μ так, чтобы угол
МгММ2, где Мх(\\ 2), Μ2 (6; 3), был прямой. Ответ:
(4; 0), (3; 0).
7Ь. Найти центр С и радиус г круга, описанного
вокруг треугольника с вершинами Мг (3; 9), Мг (4; 2)в
М3 (10; 10). Ответ: С (7; 6), г = 5,
8а. По координатам вершин треугольника (0; 2)%
(—4; 6), (8; 0) найти координаты середин его сторон.
Ответ: (-2; 4), (4; 1), (2; 3).
8Ь. По координатам середин сторон треугольника
(4; 3)t (5; 4), (7; 3) найти координаты его вершин. Ответ:
(2; 4), (6; 2), (8; 4).
8с. По координатам середин сторон треугольника
(4; 2), (3; 3), (2; 1) вычислить координаты его вершин»
Ответ:.(I; 2), (3; 0), (5; 4)..
9а. Найти точку, делящую отрезок Л/1Л/2, где Мг (—1;
—2), Μ2 (9; 3), в отношении 3 : 2. Ответ: (5; 1).
9Ь. Найти точку, делящую отрезок МХМ2, где Л/х(1;1)
и М% (10; 7), в отношении 1 : 2. Ответ: (4; 3). . .
10а. Из механики известно, что центр масс
однородного треугольника находится в точке пересечения.медиан
и делит каждую медиану в отношении 2 : 1 в направлении
от вер£дшш к основанию. Зная это, показать, что
координаты цеятра масс треугольника g вершинами Mv(xi; yL)$
мг ί*Υ> i/2), ^3 (**; Уз) СУТЬ
ху + Xt + xn __ ft + уг + Уз
10Ь. Найти координаты центра масс треугольника
с вершинами М1 (2; 3), Л/2 (1; 4), Л/3 (3; —4). Ответ:
(2; 1).
10с. Найти координаты середип сторон треугольника
и его центр масс, если вершины треугольника суть
Μγ (3; 2),, Л/2 (7; 3), М3 (8; 4). Ответ: (15/2; 7/2), (11/2;
3), (5; 5/2); центр масс в точке (6; 3).
И. Считая известным, что центр масс двух
материальных точек с массами т1 и т2 находится на отрезке, их
соединяющем, и делит этот отрезок на части, обратно
31
пропорциональные массам, доказать что центр масс τι
материальных точек (хг\ уг)х (х2\ у2)л · · ·» (ау УпУ с
массами ти т21· · м тп имеет координаты
ГП\Х\ + Ш2«2 + · · · + тпХП
— mi + шг + · · · + wn §
miyi + m2y2 + . . · + ту
* тх + та + · » · + wn
12, Даны координаты (3; 1) и (9; 9) концов диаметра
некоторого круга· Найти центр С и радиус г. Ответ!
С (6; 5), г = 5,
13а, Точка Л/j (1; 3) есть начало отрезка, точка Μ
(12; —14) — его середина* Найти конец М2 этого отрезка»
Ответ: М2 (23; —31).
13Ь* Задана точка· Мг (0; 1). Найти координаты точки
М2$ если известно, что точка Μ (4; 7) делит отрезок МХМ2
в отношении 2 : 1, Ответ: М2 (6; 10).
13с. По трем вершинам параллелограмма Мг (0; 1)*
Af2 (2j 2)4 Л/3 (3; 4) найти четвертую, если известно*
что она противоположна М2Ч Ответ: МА (1; 3),
14а, Дан центр масс (2; 2) треугольника и две его
вершины (2; 3) и (3; 1), Найти третью вершину» Ответ:
(1; 2).
14Ь. Точка (4; 5) есть середина отрезка, а точка (3;
3) делит его в отношении 1 : 3, Найти координаты концов»
Ответ: (2; 1) и (6; 9).
15а» Вычислить площадь S треугольника с вершинами
(—19; 17), (37; 50), (1; 2). Ответ: S = 750,
15Ь« Найти площадь треугольника с вершинами
Мг (0| 0)t М2 (1; 4), М9 (3; 2). Ответ: 5.
16, Узнать, лежат ли точки (1; —1), (3; 2)% (7; 8) на
одной прямойд или нет. Ответ: лежат.
17. Дан треугольник с вершинами Мг (2; ί)χΜ2 (6; 4),
Мд (3; 3), Вычислить высоту, опущенную из вершины
Мъ на сторону МгМ2. Ответ: высота равна 1.
18а. Внутри треугольника с вершинами (2; 1), (4; 2),
(3| 3) найти точку такую, чтобы прямые, соединяющие ее
с вершинами, делили площадь на три равные части.
Решите задачу, пользуясь полученной формулой для площади*
Проверить решение, замечая, что искомая точка есть центр
масс,
48Ь, Внутри треугольника с вершинами Мх (0; 0),
М% №\ 1)ι Мь (1; 3) найти такую точку Мх чтобы имело
32
место соотношение
(пл, Δ МХМ%М) ; (пл. 'Д Μ2ΜΖΜ) : (пл, ГД М^МгМ) =
= 2 ; 4 ; 5.
Ответ: Μ (2; 1),
19а. В треугольнике с вершинами (0; 0)f (63? 84)Λ
(—14; 48) найти радиус вписанного круга, Ответ: г =*
= 17,5.
19Ь. В треугольнике с вершинами (0; 0), (21j 0), (6; 8)
найти координаты центра вписанного круга. Ответ}
(7; 3,5), ι
19с. Дан треугольник с вершинами (0; 0), (3j 0), (3; 4),
Найти центр С и радиус г вписанного круга, Ответ; С (2; 1),
г « 1.
Глава 3
ФУНКЦИИ
§ 1. Переменные и постоянные
a. Все величины можно подразделить на переменные и
постоянные*
Примером постоянной величины может служить,! на*
пример, сумма углов любого треугольника; она всегдаj
как известно, равна 180°· Еще пример: в любой
окружности отношение ее длины к длине диаметра есть
величина постоянная.
Примером переменной величины может служить врет
м#, скорость свободно падающего тела, высота растущего
дерева и т. д.
b. Постоянная величина будет задана, если дано
число, ее измеряющее. Для того чтобы задать переменную
величину, нужно указать, как она изменяется.
c. Обычно величины, как известно, обозначаются бук·
вами. Всегда необходимо указывать, какую величину —
переменную или постоянную — обозначает та или иная
буква. Чаще всего, хотя и не всегда, постоянные величины
обозначаются первыми буквами латинского алфавита,
а переменные величины последними.
d. Всякую величину можно изобразить графически на
оси вектором, отсчитываемым от какой-либо неподвижной
данной точки.
Например, если ОР —· единица длины, то число 11/2
изобразится вектором ОА;
Если величина постоянна, то вектор, ее
изображающий, не будет изменяться; если же величина переменна,
то и вектор, ее изображающие будет также изменять
свою длину.
34
§ 2. Понятие о функциональной зависимости
a. При рассмотрении количественной стороны
различных процессов мы почти всегда наблюдаем, что
переменные величины зависят друг от друга; например, путь%
проходимый свободно падающим в пустоте телом? зависит
только от времени, давление в паровом котле зависит
только от температуры пара.
Глубина океана в одном пункте постоянна, но в
различных пунктах различна, она зависит только от двух
переменных — от географической долготы и
географической широты места.
Высота растущего дерева зависим от многих
переменных — от солнечного освещения, от влажности, от
количества питательных веществ в почве и т. д.
Мы видим, что некоторые переменные изменяются
независимо, они и называются независимыми переменными
или аргументами, другие же от них зависят^ их
называют функциями.
Сама зависимость называется функциональной. Между
прочим, функциональная зависимость представляет собой
одно из самых важных понятий математики.
b. Следует всегда различать, от какого числа
независимых переменных зависит функция. Проще всего
поддаются изучению функции одной переменной, ими мы
будем заниматься в первую очередь. Изучение функций
многих переменных сложнее, но так или иначе сводится
к изучению функций одной переменной.
c. Если мы желаем записать математически, что
переменная у зависит от х, то будем употреблять такое
обозначение:
у - / (*). (1)
Эта запись читается так:
«игрек есть функция от икс*. (2)
Не. следует думать, что буква / умножается на я, она
является лишь сокращением слова «функции», а вся за*
пись является сокращенной фразой (2).
Точно так же, если функция U зависит от двух
аргументов χ и ух то эта зависимость обозначается следующим
образом:
U = t(x;y}. (3)
Здесь буквы /, χ и у также не являются
сомножителями·
35
Совершенно ясно, как обозначается функция трехл
четырех и большего числа аргументов.
Вместо буквы / употребляют и другие буквы^ чаще
всего F, φ, ψ, Φ.
d. Записи типа (1) и (3) являются самыми общими обо-
вначениями функций, так как под ними можно понимать
какие угодно функции, а потому, имея в руках только
эти обозначения, мы ничего не сможем узнать о свойствах
этих функций.
Для того чтобы иметь возможность изучать функцию^
нужно ее задать.
e. Имеется много способов задать функцию, но все
они сводятся к трем основным типам:
1) функцию можно задать таблицей ее числовых
значений, соответствующих числовым значениям ее
аргумента;
2) функцию можно задать графически;
3) функцию можно задать математической формулой.
{. Приведем примеры. Известно, что при вращении
махового колеса возникают напряжения, которые
стремятся разорвать его обод. Если обод колеса сделан из
однородного материала, то напряжения зависят только от
скорости вращения. Обозначая скорость через ι>, а
напряжение в ободе через р, мы можем записатьд что
P = f(v). (4)
Теория сопротивления материалов дает такую таблицу
для значений функции (4), если обод сделан из литой стали:
Ι υ
uL
,25
500
50
2000
too
SOOO
!
150
/SOOO
200
32000
Ϊ00 |
/2SO00\
Здесь ν измеряется в метрах в секундуλ ρ — в ньютонах
на квадратный сантиметр.
Большим достоинством табличного способа задания
функции является то, что числа таблицы непосредственно
могут быть использованы для различных вычислений.
Недостатком является то, что всякая таблица дается не
для всех значений аргумента, а через некоторые
интервалы, так что, если каких-либо значений функции в
таблице нет, то нужно брать более подробную таблицу; если же
последней нет, то приходится подбирать нужное число
более или менее приблизительно2 сообразуясь с
характером изменения чисел таблицы,
36
g. Большим недостатком является также и то, что
если таблица содержит много чисел, то характер
изменения функции уловить трудно. Наконец, третьим
недостатком является то, что изучать свойства функции, заданной
таблицей, трудно; кроме того, полученные свойства будут
неточными.
h. От первых двух недостатков свободен графический
способ задания функции.
Чтобы пояснить графический способу рассмотрим
такой пример.
Если какой-либо материал подвергнуть растяжению,
то сила, необходимая для растягивания, будет зависеть
от того, какое растяжение необходимо сделать, т. е. сила
есть функция от удлинения. Бели удлинение в процентах
обозначить через λ, а растягивающую силу, которая обыч-
hq измеряется в ньютонах на квадратный сантиметр,
обозначить через р, то ρ = / (λ)»
Для различных материалов эта зависимость будет
различной. Возьмем координатные оси и будем считать λ за
абсциссу, а р за ординату, тогда для каждой пары их
значений получим точку на плоскости.
Все эти точки расположатся на некоторой кривой,
которая имеет различный вид для различных
материалов. Существуют приборы, которые такие кривые
чертят автоматически.
Для мягкой стали мы получим следующую кривую
(рис. 31):
sowm ι ι | L~w~j j
шок 1 χ\\ Ι}
3qouAX\ 1 ι ) I 1 j
2вв(ш 1 11 I j 1 11
ίθΰοΆ 111 1 11 11
Li—1—1—1—1—1—1 I »
О 2% 6% Ю% #% A
Рис. 31
k. Как мы видим, действительно графический способ
нагляден и дает значения функции для всех значений
аргумента. Но третий недостаток и здесь имеет место.
Изучать свойства функции заданной графически, все-
таки затруднительно,
37
1. Теперь покажем способ заданий функции формулой.
Возьмем такой пример. Площадь круга очевидно
зависит от радиуса. Если радиус обозначить через xt а
площадь через у, то, как известно из геометрии, у = na?t
где л — отношение длины окружности к длине диаметра·
Мы видим, что зависимость здесь задается математической
формулой, поэтому третий способ называется
математическим способом. Еще пример: длина гипотенузы
прямоугольного треугольника зависит от длин обоих катетов*
Если длину гипотенузы обозначить через L, а длины
катетов через χ и ух то по теореме Пифагора будем иметь
L = /** + у\
Так как оба катета мы можем изменять независимо
друг от друга, то мы имеем здесь пример функции двух
аргументов, заданной математически.
Можно привести еще много примеров функций, задан-
вых математически, из области различных наук.
т. Математический способ обладает огромным
преимуществом перед другими способами задания функций,
а именно: к изучению функций, заданных математически,
можно привлечь математический анализ.
Помимо того, если необходимо, всегда можно
математический способ превратить в табличный. Действительно,
мы вправе задать аргументам желательные нам числовые
значения и по формуле вычислить сколько угодно
значений функции. Таким образом, одна формула заменяет
всю таблицу.
п. Математический способ имеет только один
недостаток, а именно, формула не дает наглядного представления
об изменении функции. Однако этот недостаток мы всегда
можем восполнить, так как всегда математический способ
задания можно превратить в графический. Это делается так.
о. Если мы имеем функцию одной переменной, то
составляем таблицу и каждую пару значений аргумента (х)
и функции (у) принимаем за координаты, после этого
строим возможно большее число точек. Все полученные
точки расположатся на некоторой кривой линии, которая
и будет графиком функции. Если мы имеем функцию двух
или более аргументов, то и ее можно изобразить графи*
чески. Но это уже значительно сложнее, а потому этим
вопросов мы займемся несколько позднее.
р. Все сказанное свидетельствует о том, что
математический способ задания функций является наиболее выгод*
ным.
38
Поэтому всегда стремятся, если функция задана
таблицей или графиком, выразить ее формулой. Эта задача
обычно очень трудная, но чрезвычайно важная для
естествознания и технических наук. Без преувеличения можно
сказать, что все проблемы механики, естествознания и·
прикладных наук сводятся к установлению и изучению
функциональных зависимостей между теми переменными
величинами, с которыми эти дисциплины имеют дело. Если
удается эти функциональные зависимости выразить
формулами, то наука приобретает надежный рычаг для при*
ложения всей огромной мощи математического анализа
и далеко продвигается в своем развитии.
С другой стороны, математический анализ, получая эту
прекрасную пищу, сам растет и совершенствуется.
q* Ввиду того, что перевод на язык формул
функциональных зависимостей не является непосредственной
задачей математики, мы будем предполагать, что функции
уже выражены формулами. Таким образом, в дальнейшем
мы будем заниматься только функциями, заданными мате*
патически.
§ 3. Классификация математических функции
a. Если сказано, что
У - / <*) (1)
есть функция математическая, то правая часть равенства
(1) представляет собой формулу. Здесь буква / обозначает
те действия, которые нужно совершить над аргументом
для того, чтобы вычислить функцию. По характеру этих
действий мы и будем классифицировать функции.
b. Если в состав формулы входят только
алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень и извлечение корня, совершаемые
над аргументом в ограниченном количестве, то функция
называется алгебраической.
Все остальные функции называются
трансцендентными.
c. Например, функция
_ *»-|/"*+3
У~ (*-2)«
будет алгебраической.
Напротив, функция
у = sin χ
трансцендентная.
39
d. Алгебраические функции разделяются на
рациональные и иррациональные* Рациональной называется
такая функция, в которой ни разу над аргументом не
совершается извлечение корня или возведение в дробную
степень. В противном случае функция называется
иррациональной.
Например, функции
суть функции рациональные. Наоборот, функция,
приведенная в пункте с, иррациональная.
e. Иррациональные функции не подразделяются, а
рациональные подразделяются на целые и дробные.
Целыми функциями называются такие, где аргумент
ни разу не встречается в знаменателе, в противном
случае мы имеем дробную функцию.
Например, функци^
ρ = #8—. £* + # — 1, y = -g-sa --#-}-9
целые. Напротив, функции, приведенные в пункте d,
дробные.
f. В свою очередь целые функции еще подразделяюто
на порядки, причем порядком называется наибольшая
степень, в которую возводится аргумент. Общий вид функции
первого порядка:
у = ах + Ь,
где а и Ь — постоянные числа, а φ 0. Общий вид
функции второго порядка:
у = ах* + Ъх + с, а Ф 0*
и т. д.
Наконец, общий вид функции η-го порядка:
у = а<рп + аххп~1 + а2хп'2 + . . · + αη-ιΧ + ап, а0 Φ 0.
g. Дробные функции далее никак не подразделяются.
Общим видом любой дробной функции будет частное от
деления двух целых функций:
аох + βι*1*""1 + a<txn~2 + · · · + αη-ιχ + αη
У=Ьохт + Μ"*-1 + Mm*2 + · · . + Ь^* + Ьт *
h. Имеется очень большое число типов
трансцендентных функций. Мы будем здесь говорить только о тех,
40
с которыми мы встречаемся в элементарной математике·
К числу их относятся тригонометрические функции] 8а*
тем логарифмические функции
У — l©ge*j
далее, функции типа
У =■ <Л
называемые пок'азателъными\ наконец, так называемые
обратные тригонометрические функции, с которыми мы
познакомимся дальше.
Эти перечисленные функции называются элементар*
ними трансцендентными функциями.
к. Теперь проведем классификацию несколько по
другой линии. Мы еще будем подразделять функции на
явные и неявные. Все функции, q которых мы говорили
выше, называются яеными. Они характеризуются тем, что
зависимая переменная прямо дается формулой,
содержащей аргумент.
Но может оказаться, что функция задается уравнением,
где в одной части равенства находятся и зависимая
переменная, и независимая. Например, пусть дано уравнение
Ах + By + С - 0. (1)
Здесь, очевидно, у зависит от х, но непосредственно
выражением, содержащим х, не задается.
Такая функция называется неявной. Бе можно сделать
явной, если разрешить уравнение относительно у<
А С
*-—г*--т-
если обозначить — A IB =* а и — С IB = Ь, то мы
получим
у = ах + Ь.
Заметим попутно, что уравнение вида (1) всегда неявно
выражает функцию первого порядка.
1. Общий вид неявной функции одной переменной
будем записывать так:
/ (*, У) - 0·
т. Возьмем еще пример. Пусть дана неявная функция
у от х% определяемая уравнением
х% -f у* = г* (г достоянное)· (1)
41
Сделаем ее явной; для этого решим уравнение
относительно у:
у2 = г* — х*,
у - ± /гПГЗГ (2)
Мы здесь видим, что одному значению χ отвечает не
одно значение у, а два, так как мы можем брать перед корнем
как знак плюс, так и знак
ν\* м минус. Такая функция
называется двузначной.
Могут быть функции
трехзначные, четырехзначные и
т. д., вообще многозначные.
Чтобы лучше понять
последние случаи, покажем
на чертеже, как может
случиться, что функция
будет, например,
трехзначной.
Пусть функция задана
графически кривой линией
MB AN.
На рис. 32 мы видим, что каждому значению χ в
интервале от α до & соответствуют три значения у. '
п. Заметим, что изучение многозначных функций
сводится к изучению однозначных. Действительно, можно,
например, отдельно рассмотреть выражение (2) пункта га,
взяв в нем перед корнем знак плюс, а потом отдельно взять
знак минус. Следовательно, вместо одной двузначной
функции мы будем изучать две однозначные. Поэтому
в дальнейшем мы исключительно будем заниматься только
изучением однозначных функций.
о. Сделаем еще одно замечание по отношению к
неявным функциям.
Было бы ошибкой думать, что мы всегда можем
неявную функцию превратить в явную, практически это
сделать иногда нельзя.
Например, если мы пожелаем решить уравнение
у + ха*+" - О
относительно у, то этого сделать совершенно невозможно.
Следовательно, у здесь не может быть сделан явной
функцией х.
42
р. Все, что была сказано в этом параграфе
относительно классификации функций одной переменной,
можно без всяких оговорок повторить и для функций многих
переменных.
§ 4. Обзор и графическое изображение
простейших функций одного аргумента
а. Мы начнем с рассмотрения наиболее простых
функций.
Пусть мы имеем функцию первого порядка
у = кх + 6. (1)
Сначала разберем еще более простой случай
У - кх, (2)
т, е. тот частный случай, когда 6 = 0.
Составим таблицу, давая χ произвольные, например,
целые значения, и вычисляя соответствующие значения у.
ух
\L·
-J
-Зк
-2
-2к
-1
-н
О
О
1
Η
2
2к
3
Зк
··· 1
*·· 1
Примем теперь пары значений χ и у 8а координаты
точек и будем наносить на бумагу эти точки. Предположим
спачала, что число к положительно и что оно
изображается отрезком ЛГ:, а единица длины — отрезком OR; тогда,
соединяя все точки, получим прямую АВ, изображенную
па рис. 33.
В таблице даны семь пар значений χ τι у, эти пары нам
дали семь точек.
Но, очевидно, и любая пара значений χ и у,
полученная из уравнения (2), дает точку, лежащую на той же
прямой. Обратно, любая точка Μ (χ; у) этой прямой имеет
координаты, удовлетворяющие уравнению (2). Это следует
непосредственно из подобия треугольников ОД Г и ONxMu
Действительно,
т. е.
откуда
ух - кхх.
(4)
(5)
43
Из равенства (4) мы усматриваем, что
к = tg α,
где α есть угол наклона прямой к положительному на
правлению оси абсцисс.
Если к — число отрицательное, то для положительных
значений χ мы получим отрицательные значения у и об·
ратно. Теперь мы получим прямую GD, которая проходит
Рис. 33 '
также через начало координат, но из второго угла в
четвертый, а следовательно, наклонена к оси абсцисс под
тупым углом ах.
Нетрудно видеть, что
-^ = tg (180° - αϊ) = - tg <xi,
откуда
Уг β *2 tg «ι.
Таким образом, и здесь
к = tg ях.
Итак, графиком функции (2) всегда будет прямая
линия, проходящая через начало координат и составляющая
с положительным направлением оси абсцисс угол, тангенс
которого равен коэффициенту при х. Этот коэффициент
определяет собой наклон прямой к оси абсцисс. Если ов
положителен, то прямая проходит из первого
координатного угла в третий, если же он отрицателен, то прямая
44
проходит из второго угла в четвертый. Поэтому число к
называется угловым коэффициентом прямой*
b. Возьмем теперь прямую АВ
У = кх (2)
и подпимем ее вверх на расстояние Ь так, чтобы она за*
няла положение EF (см. рис. 33). Тогда все ординаты
прямой А В увеличатся на одно и то же положительное число bf
и мы получим уравнение
у = кх + Ь. (1)
Если число b будет отрицательно, то мы получим
прямую СМ, сдвинутую вниз. Следовательно, уравнение (1)
выражает прямую, не проходящую через начало
координат, но отсекающую на оси ординат отрезок, равный bf
и имеющую угловой коэффициент к. При различных b и к
мы можем получить все прямые плоскости (кроме прямых,
параллельных оси Оу).
Итак, графиком функции первого порядка всегда
является прямая, поэтому уравнение (1) называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
c. В частности, если к = 0, то получим прямую PQ
(см. рис. 33), параллельную оси абсцисс, отстоящую от
нее на расстояние, равное | b |. Уравнение ее примет вид
У = Ь,
т. е. функция первого порядка выродилась в постоянное
число.
В дальнейшем постоянное число мы будем
рассматривать как такую переменную величину, у которой все
числовые значения равны. Поэтому можно сказать, что
график постоянного числа есть прямая, параллельная оси
абсцисс, отстоящая от нее на расстояние, равное этому
постоянному числу, взятому по абсолютной величине.
d. Функции первого порядка очень часто встречаются
в науке. Нередко зависимость, выраженную функцией
первого порядка, называют линейным законом. Приведем
конкретный пример: мы знаем, что если тело движется
равномерно ускоренно, то, обозначая через v0 начальную
скорость, через g ускорение, через t время и через υ
скорость, мы будем иметь формулу:
ν = *>о + gt,
Таким образом, изменение скорости в равномерно ус*
коренном движении подчиняется линейному закону.
45
е. Частным случаем линейного закона будет
зависимость
у = кх (при Ь = 0). (2)
Мы замечаем, что если χ увеличить в несколько раз,
то численная величина у также увеличится во столько же
раз; если χ уменьшится в некоторое число раз, то
численная величина у уменьшится во столько же раз.
Такая функциональная зависимость называется
прямой пропорциональностью. Общим математическим
выражением прямой пропорциональности является
уравнение (2), причем число к носит название коэффициента
пропорциональности.
Если начальная скорость ι>0 = 0, то зависимость
скорости или времени в равномерно ускоренном движении
выразится так:
ν « gt.
Коэффициентом пропорциональности здесь является
постоянное ускорение g.
t. Теперь займемся графическим изображением
функций второго порядка.
Мы рассмотрим лишь частный случай
у «■ ах*. (6)
Пусть для определенности сначала а = 1/4, т. е.
If—Τ*1·
Составляем таблицу
1х
\у
-ч
4
"3
4
-2
1
-1
JL
4
О
О
г
4
г
1
3
J_
Ъттшшшшт
■ммЬа
··· 1
Построим по этой таблице точки. По нанесенным
точкам схематически обрисовывается контур кривой Л, изо*
Сраженной на рис. 34.
Полученпая кривая называется параболой второго
порядка, точка О называется ее вершиной. Мы здесь
пользовались так называемым способом построения кривой
πj точкам. Это наиболее употребительный и простой
способ вычерчивания графиков функций. Заметим, что чем
подробнее мы составим таблицу, т. е. чем меньше
промежутки будем брать для'последовательных значений
аргумента, тем точнее мы построим кривую·
46
Пусть теперь а » 1/2, т. е.
Мы получим кривую В с более крутым подъемом. Для
функции
т. е. для α =» 1/8, получим более пологую кривую С.
ДалееА для отрицательных значений коэффициента^ на*
Рис. 34
пример, для α ■■ —1/44 α «= —l/2t α ■■ —1/8» т. е. для
функций
мм получим кривые, изображенные пунктиром. Если бы
ось абсцисс обладала свойством зеркала, то кривые АХх
#ι, С\ были бы зеркальными отражениями кривых А%
#, С. Заметим, что для всех значений коэффициента а
мы получим аналогичные графики. Все кривые типа (6)
называются также параболами второю порядка, все они
имеют вершину в начале координат, все они будут
симметричны относительно оси ординат. Очевидно, форма
параболы зависит только от числового значения
коэффициента а.
47
Если мы пожелаем вычерчивать графики функции
второго порядка общего типа
у = ах2 + Ьх + с% (7)
то получим также параболы, но вершины их не будут
находиться в начале координат; это будет строго доказано
позднее.
д. Функции второго порядка в науке встречаются
часто. Когда мы говорим о табличном задании функций*
то приводим пример зависимости напряжений в ободе
махового колеса от скорости его вращения. Эта
зависимость может быть очень точно выражена формулой
Ρ - ρν%,
где ρ — пло'/ность материала колеса.
Еще пример: при равномерно ускоренном движении
путь зависит от времени, и эта зависимость выражается
формулой
где g _ ускорение силы тяжести, υ0 — начальная
скорость, S0 — начальный путь, S — путь, пройденный за
время t.
h. Теперь займемся дробными функциями. Для
простоты мы рассмотрим только один частныйл но очень
важный случай
При построении графиков дробных функций мы нередко
встречаемся с одной характерной особенностью, которая
отлично видна даже на этом простом примере, а именно,
при составлении таблицы для данной функции мы
аргументу можем задавать любые значения, за исключением
х = 0, так как на нуль делить нельзя. Таким образом,
при χ = 0 наша функция не существует. Последнее
обстоятельство вынуждает нас осмотреть окрестности нуля.
Для этого мы будем задавать аргументу численно
уменьшающиеся положительные и отрицательные значения,
осторожно подходя к нулю справа и слева, например, так>
как это показано в нижеследующей таблице, где для
определенности мы взяли к = 3.
Lp
\JL
-s
Л'
s
-<β
3
-J
-/
-tf
1
-7
-J
1
"l
-0
1
-9
1
~ 4
42
...
■. *
4
η
t
τ
9
2
6
f
3
2
Jtl
3
1
*
il
s
s\
48
Рис. 35
Построим тецерь график нашей функции (рис. 35).
Мы изобразили график функции сплошной линией·
При рассмотрении ею нетрудно заметить, что кривая
состоит из двух ветвей,
совершенно отделенных друг от
друга координатными осями,
так что одна ветвь
расположена в первом координатном
углу, а другая — в третьем.
Если мы проследим ход
кривой, безгранично удаляясь ·—--*
от начала координат в обе
стороны по горизонтальному
и по вертикальному
направлениям, то убедимся, что
каждая ветвь неограниченно
приближается к
координатным осям, но никогда их
не достигает. Заметим, что,
вообще, если мы
встречаемся с какой-либо кривой, которая неограничен-
но стремится к некоторой прямой, то такая прямая
называется асимптотой кривой. Таким образом, изображенная
на чертеже кривая имеет две асимптоты, одной является
ось абсцисс, другой ось ординат.
Если мы возьмем к = —3, то получим кривую,
изображенную на чертеже пунктиром; она является
зеркальным отражением первой кривой относительно оси
абсцисс, а также и относительно оси ординат.
Для других значений к мы получим аналогичные
кривые. Все кривые типа (1) называются равнобочными
гиперболами, все они имеют своими асимптотами
координатные оси, все они состоят из двух отдельных ветвей^
причем при положительных к ветви будут расположены
в первом и третьем координатных углах, а при
отрицательных к ветви будут расположены во втором и четвертом
координатных углах.
к. Уравнение (1) показывает, что если величину
аргумента χ увеличить в несколько раз, то численная
величина функции у уменьшается во столько же раз, и
обратно: при уменьшении аргумента в несколько раз чис-
л енное значение функции во столько же раз увеличивается.
Такая зависимость называется обратной пропорции
налъностью, и уравнение (8) выражает математически
в общем виде закон обра iной пропорциональности.
49
Приведем конкретный пример на закон обратной
пропорциональности.
Из физики известно, что при постоянных массе газа
и температуре произведение величины объема газа на
величину его давления есть величина постоянная.
Если обозначить объем через υ, а давление через pt
то можем написать vp =* сл или же ν = с/р, где с —
постоянная величина.
§ 5· Обратные функции
а. Возьмем какую-либо функцию
У - / (*>
(1)
и вычертим ее график (па рис. 36 он изображен кривой
А В).
Далее построим биссектрису CD первого и третьего
координатных углов и повернем весь чертеж на 180° так,
чтобы прямая CD была осью
вращения. Тогда наша кривая
А В перейдет в новое положение ¥
и мы получим вторую кривую
ΑχΒχ. Обе кривые, первая и
вторая, будут очевидно взаимно
симметричны или, выражаясь
иначе, зеркальны относительно
биссектрисы CD.
Если мы проследим за тем,
что произошло с координатами
точек первой кривой, то увидим,
что при переходе на новое место
абсциссы, не меняя своей вези-
ординаты точек второй кривой,
а ординаты превратились в абсциссы.
Например, абсцисса т точки Μ переходит в ординату
т% точки A/lf а ордината переходит в абсциссу.
Таким образом, уравнепие второй кривой будет
х - / (У). (2)
Если решить уравнение (2) относительно у4 то получим
новую функции^ которую обозначим^ например, так:
У β Φ (*>. (3)
Очевидно, зависимость, задаваемая уравнениями (1.)
в (3)д одна и та же; разница только в том» что зависимая.
Рис. 36
чины, превратились в
50
переменная функции. (1) является независимой для
функции (3) и обозначается уже не через у, а через х. Обратно,
независимая переменная функции (1) является зависимой
для функции (3) и обозначается уже не через х% а через у.
Ь, Пусть имеется функция
У — Тх
(4)
Обратную функцию получаем, заменяя у на х, а х ца у
решая нолучешше уравнение относительно у:
1
χ = ■
Уг, y = ±2Y'*f
(5)
так что для степенной функции обратная функция
является иррациональной.
На рис. 37 функция (4) изображена сплошной липиой^
тогда как функция (5) пунктиром. Полученные кривые^
как мы видим, являются параболами^ расположенными
симмотричпо относительно
биссектрисы CD.
с. В качестве второго
примера мы рассмотрим
показательную функцию
У - а\ (6)
Заменяя у на χ и χ па у,
имеем
χ = й*.
Решить это уравнение
относительно у можно только
с помощью логарифмической
функции
У = l<>ga*- (7)
Рис. 37
Таким образом, логарифмическая функция обратна
показательной.
Согласно тому, что было сказано выше, нам достаточно
построить график только для показательной функции, так
как график для логарифмической функции будет л ишь
его зеркальным отражением относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.
Для простоты пусть а = 2; составляя таблицу и
вычерчивая графики, получим кривые, изображенные на рис. 38,
Нетрудно видеть, что кривая, изображающая функцию
51
у = 2я, имеет своей асимптотой ось абсциссу напротив,
кривая, изображающая функцию у = log2 #, имеет
асимптотой ось ординат.
Учащемуся самому рекомендуется вычертить графики
функций (6) и (7) при других значениях основания а.
(I. Теперь рассмотрим
функцию
у = sin χ. (8)
Сделаем теперь зависимую
переменную независимой, тогда
независимая переменная станет
зависимой.
В соответствии с этим переме-
пим названия: у заменим на х, а
χ на у. Тогда получим уравнение
χ = sin у. (9)
Рис.38
Это уравнение нам дает функцию, обратную для синуса^
но дает неявно.
Чтобы выразить у через χ явно* нужно решить
уравнение (9) относительно у. Однако этого сделать нельзя,
имея в руках только те обозначения, которые нам дает
алгебра и тригонометрия. Нужно вводить новый символ·
Прежде всего заметим, что уравнение (2) можно прочитать
так:
чу есть такая дуга, синус которой равен х». (10)
Условимся эту фразу записывать сокращенно так:
у = arcs in x. (11)
Это и есть необходимое нам обозначение для функции,
обратной синусу; последняя функция называется
арксинусом.
Нужно всегда помнить, что теперь χ — это синус и,
следовательно, не может быть численно больше единицы,
а у — это дуга; кроме того, нельзя забывать, что знак
arcsin
есть просто сокращенная фраза (10) и, следовательно^
отрывать arc от sin никогда нельзя.
Вычертим теперь график синуса, попутно мы получим
и график арксинуса. Таблицу мы здесь составлять не
станем, а воспользуемся геометрическим приемоМд который
хорошо виден на рис. 39·
52
Мы строим с центром где-либо на оси абсцисс
окружность радиуса, равного единице. Далее, разделяя
окружность на равные части, на оси абсцисс откладываем длины
Рис. 39
этих дуг. (Практически мыд конечно, просто отложим
отрезок, равный 2π = 6,28. . ., и разделим его на такое же
число равных частей, как и окружность.)
Полученные отрезки нам дадут абсциссы;
соответствующие же ординаты получим, проводя из точек деления
окружности прямые параллельно оси абсцисс.
Нетрудно видеть,, что графиком синуса является
волнообразная кривая, неограниченно уходящая вправо и
влево. Периодичность синуса отражается в правильном
повторении волн.
Кривая называется синусоидой. Вместе с тем путем
отражения от биссектрисы CD мы получим такую же
синусоиду около оси ординат, которая будет графиком
арксинуса.
Нетрудно заметить, что каждой абсциссе последней
кривой (которая, конечно, численно никогда не больше
единицы) соответствует бесконечное множество ординат.
Это, разумеется* происходит потому, что каждому синусу
отвечает не одна, а бесчисленное множество дуг. Такая
многозначность^ как мы уже говорили в § 3 главы 3,
весьма неудобна, а потому мы ограничим область измене-
гия арксинуса так:
— π/2 <; arcsin x < π/2.
53
От такого ограничения мы ничего не теряем, так как
ври изменении дуги в этих пределах синус успевает йро*
бежать все возможные для него значения от —1 до 1,
На рис. 39 это соответствует тому, что мы
рассматриваем не всю кривую арксинуса, а только ее дугу Αβ^
изображенную сплошной линией (остальная часть
отмечена пунктиром). Подобным же образом мы введем
функцию, обратную косинусу.
Если имеем
у — cosx,
то обратную функцию будем обозначать
у = arccos χ
в вызывать арккосинусом.
Последний ввиду его многозначности мы тоже
ограничим, но не границами от —π/2 до +π/2, а границами
О < arccos χ «ζ π.
Это вызывается тем, что именно при изменении дуги от О
до π косинус успевает пробежать все свои значения от
—1 до +1. Чтобы построить график косинуса, а
следовательно, и арккосинуса, заметим, что
cos x = sin (я + ~т)·
Следовательно, косинус есть просто синус, запоздавший
на четверть окружности. Поэтому график косинуса
получится,' если график синуса
сдвинуть влево на π/2.
После этого, отразив
график относительно
биссектрисы CD, получим график
арккосинуса. Учащимся
самим рекомендуется построить
эти графики и найти, какую
именпо дугу арккосинуса
мы оставляем.
Аналогично мы ввелим
функции, обратные другим
тригонометрическим
функциям.
Для нас важны в дальнейшем лить арктангенс и
арккотангенс. Ввиду многозначности первый мы
ограничиваем подобно сипусу пределами:
— л/2 < arctg χ < π/2Α
*>"'
-■""j
/I
-/ι
Ρ, il,
--*
~~ι
-1*1/
—
"" I
7^"
.
1
Рис.40
54
а второй ограничиваем подобно косинусу:
О < arcctg χ < π.
Мы здесь приводим только графики тапгенса и
арктангенса (рис. 40), рекомендуя учащимся самим в нем.ра*
зобраться, а также рекомендуем учащимся самим
построить график котангенса и арккотангенса.
§ 6. Понятие об уравнении линии
a. В настоящей главе мы занимались построением
графиков различных функций, пользуясь уравнением,
связывающим функцию у с аргументом х. Всякому уравнению
между у и χ отвечает своя линия — график уравнения.
Бели уравнение было явное
У - / (*),
то график мы строим непосредственно но нему. График
неявного уравнения
*<*·¥)-0 '
тоже можно построить, обратив его сначала в явпое (т. е.
решив относительно у).
График уравнения является не чем ипым, как
собранием (или, как говорят, геометрическим местом) всех
точек, удовлетворяющих этому уравнению. Если бы мы
построили не все точки, удовлетворяющие уравнению, то
получили бы не весь график, а только его часть. Полным
графиком уравнения может считаться только такая линия*
которой исчерпываются все точки, удовлетворяющие
уравнению, и, следовательно, вне которой таких точек
уже нет.
b. В дальнейшем мы будем решать задачу, обратную
построению графика. А именно, по данной линии мы
будем отыскивать то уравнение, графиком которого эта
линия является. При этом особенно следует следить за темг
чтобы, ваша линия была полным графиком найденного
уравнения. Иными словами, уравнение должно
1° удовлетворяться всеми точками линии,
2° не удовлетворяться точками, посторонними линии*
Уравнение,^ подобранное согласно требованиям 1Q и
2°, и называется уравнением данной линии. .
c. Конечно, чем сложнее линия, тем, вообще говоря,
сложнее будет и ее уравнение. Особенно просто выводится
уравнение линиид обладающей каким-либо простым гео-
55
Метрическим свойством, общим ал я всех точек этой линии
й вполне ее определяющим. Вывод уравнения такой
линии будет простым переводом этого геометрического
свойства на язык анализа.
d. Напротив, если таким свойством линия не
обладает, примером чего может служить линия, начерченная
совершенно произвольно от руки, то подобрать для . нее
уравнение можно только приближенно. Но такими
линиями ввиду сложности этого вопроса мы заниматься не
будем.
e. Дальнейшие две главы будут посвящены
разысканию уравнений и исследованию на основании этих
уравнений простейших линий, характерных своими
замечательно простыми геометрическими свойствами. Именно, в
главе 4 мы разберем прямую, а в главе 5 окружность и
некоторые другие важные кривые,
f. Составление уравнений линий и исследование
свойств линий по их уравнениям методами алгебры
является одной из важнейших задач отдела высшей
математики, называемого аналилгической геометрией^
§ 7. Упражнения
1. Построить графики функций:
у — χ; у *■ — *; у ■* 2х; у *=» 2х + 3;
у β Зя' — 4; у = —4л — 1; у » 0,5х — 0,75,
2. Построить графики функций:
у «- х* + 2; у = х* — 2; у « х% — 4х;
у ■* ** + 4т; у ·■■ — хг — 4ж; у = ~хг + 4л?,
ye'ai + i + l; у = —χ2 — * — 1.
3. Построить графики функций:
у=г^; у —±^; у «А;
12 1 *-2
y = _S увттг; 0-т+г;
1 * ι
^ β *» · " β "" "3" · '""!+**·
4« Построить графики функций:
1 1
* sin ж ' * соа ж '
у И A cos (ft* + Ь) (где А « 2; ft = 0,5; ό - л/3).
56
5. Из жестяного прямоугольного листа с основанием ё
и высотой Ь вырезаны по углам квадраты со стороной х\
из оставшейся части согнута коробка (рис. 41). Найти
объем коробки как функцию от х. Ответ: у = (а — 2х) (Ь —
— 2х) х.
6. В прямоугольном треугольнике с.постоянной
гипотенузой 1 и переменным катетом χ выразить другой катет
у как функцию от х. Ответ: у = |/*1 — х2.
7. В шар радиуса R вписан цилиндр (рис. 42). Найти
объем V этого цилиндра как функцию радиуса χ его
основания. Omtetn: V = 2πα2γΗ2 — χ2.
*ι
ν
Рис. 41
^
Рис. 42
Рис. 43
8. Выразить тот же объем как функцию угла α (см,
предыдущую задачу). Ответ: V = 2лЛ8 cos2 a sin α.
9. В круг радиуса В вписан прямоугольник (рис. 43)·
Выразить площадь S этого круга как функцию его осно-
вания х. Ответ: S = χ ]/"4Λ2 — χ2.
10. Выразить ту же (смотри предыдущую задачу)
площадь как функцию угла а. Ответ: S = 2JR2 sin 2а.
11. В прямоугольном треугольнике с постоянным
катетом а и переменной гипотенузой выразить последнюю
как функцию другого катета х. Ответ: у = γ α2 + Λ
12с На стене висит плакат Л5, на расстоянии χ от
стены находится глаз наблюдателя; верхний конец В
плаката выше глаза на bi а нижний конец А выше глаза на а
(рис. 44). Выразить угол зрения как функцию от х. Ответ:
а = arctg arctg — .
13. Миноносец находится в точке А на расстоянии а
от берега. На расстоянии Ь от ближайшей к миноносцу
точки берега в точке С находится военный лагерь. Гонец
плывет в шлюпке до точки Вх а потом идет пешком расстоя-
57
ние ВС = χ (рис. 45). Выразить время Г, необходимое,
чтобы проплыть и пройти расстояние, как функцию от хг
в \-*-^
'№,
/
/
\
¥
\ \
■ψ
с
ι ι
ι ι
ι/
Рис. 44 Рис. 45
если скорость шлюпки vx, а скорость пешехода иг. Ответ:
«Ί
■ +
*>*
14. Доказать, что для любого χ (разумеется, численно
меньшего единицы) имеет место тождество
arccos χ + arcsiu χ = π/2.
15. Доказать, что для любого χ имеет место тождество
arctg χ + arcctg χ = π/2.
16. Доказать тождества:
arcsirfx = arccos ]f\ — x%;
arctg χ = arcctg —;
a res iu χ = arctg
1
^П~
arctg χ = arcsin
17. Доказать тождества:
arcsin χ J; arcsin у = arcsin (x 1^1 — y2 + у }/Ч — x2);
arccos χ ± arccos у = arccos (xy + γ (I — x2) (t — y*));
arctg χ ± arctg у = arctg *£y
' ι »
58
18· Доказать тождества:
2 arcsin χ « arcsin 2x γ\ — χ2;
2 arccos χ = arccos (2x* — 1);
2arctg χ = arctg t J^ ·
19. Доказать тождества:
arcsin (~я) = —arcsin τ;
arccos (—я) = π — arccos x;
arctg (—χ) = —arctg x;
arcctg (—л:) = л — arcctg хё
Глава 4
ПРЯМАЯ
§ 1. Уравнение прямой, проходящем
через данную точку
Положение прямой вполне определено, если па ней
дана какая-либо точка М1 (.г,; уг) и дано направление
прямой. Последнее известно, если известно направление
вектора PQ, перпендикулярного прямой. Такой вектор
назовем направляющим вектором. Он может быть
произвольной длины и с началом в любой точке плоскости; от
него требуется только, чтобы он
был перпендикулярен прямой.
Направляющий вектор будем задавать
величинами его проекций А и В на
оси координат (рис. 46). Итак, будем
считать известными
1) точку Мх (хх\ ух) прямой;
2) величины проекций А и β нап-
Рис. 46 равляющего вектора PQ на оси
координат.
Имея эти данные, постараемся вывести уравнение
прямой. Пусть Μ (χ; у) — произвольная точка прямой. Где
бы она на прямой ни находилась, вектор МУМ
перпендикулярен PQ. Так как величины проекций вектора PQ
суть А и #, а величины проекций вектора МХМ равны
разностям χ — х1У у — у\ абсцисс и ординат его конца и
начала1 то условие перпендикулярности обоих векторов
дает
А (х - хг) + В (у - ух) « 0· (1)
Это условие не выполняется, если точка Μ не лежит
на прямой, потому что тогда указанные векторы не
перпендикулярны.
Итак, уравнение (1) выполняется для всех точек
прямой и не выполняется для ючек1 на прямой не лежащих.
60
ОвОд следовательно, в является уравнением нашей
прямой,
Например, уравнение прямой, проходящей через
точку (1; 2), с направляющим вектором, имеющим проекции 2
и — 4а будет
3 (* _ 1) - 4 (у - 2) = 0.
§ 2. Общее уравнение прямой
а» Раскрывая скобки в уравнепии (1) § 1, получим
Ах + By + i-Ax^ByJ^O.
Обозначая
—Αχλ — Вул = С,
мы можем это уравнение переписать в виде
Ах + By + С = 0. (1)
Таким образом, уравпение всякой прямой можно
написать в виде (1), где А и В одновременно не равны нулю
(в противном случае длина направляющего вектора была
бы равна нулю)»
b. Обратно, можно показать, что всякое уравпение
вида (1), где А и В одновременно не равны нулю, всегда
изображает прямую. Действительно, всегда найдутся
числа xu yu удовлетворяющие условию
Ахг + Вуг + С = 0 (2)
(например, при Вг не равном нулю, мы хл выбираем
произвольно; соответствующее же ему ух выбираем из
условия (2)). Вычитая тогда равенство (2) из уравнения (1)а
мы приведем последнее к виду
А (х - хг) + В (у - уг) = 0.
А это как раз и есть уравнение прямой, проходящей через
точку (χΰ У ι) г с направляющим вектором, имеющим
проекции А и В.
c. Ввиду доказанного в пунктах а и b уравнению (1)%
где А и В одновременно не равны нулю* присвоено
название общего уравнения прямой.
Например, общее уравнение прямой,, рассмотренной
в конце § 1д будет
Ъх - 3 - ку + 8 = 0Л или Зя — 4у + 5 = 0,
61
§ 3. Частные случаи
В некоторых частных случаях общее уравнение
прямой значительно упрощается. А именно:
а. Для прямой, параллельной оси абсцисс, направляю·
щий вектор перпендикулярен этой оси. Следовательно, его
проекция А па эту ось равна нулю. Уравнение нрямой
принимает вид
By + С = О
или, если решить его относительно ул
С
Полагая же — -g = Ь3 приведем наше уравнение к виду
У = Ъ.
Последнее уравнение отмечает собою не что иное, как
тот фактг что все ординаты прямой, параллельной оси
абсцисс, равпы между собою, так как
^т . - равны одному и юму же постоян-
\ ному числу Ь. Это число 6, очевидно,
представляет собою величину отрезка
ОВ, который прямая отсекает на оси
' ординат (рис. 47).
В частности, при 6 = 0 получаем
~£* уравнение самой оси абсцисс:
У = 0.
Рис 47
* Оно выражает тот факт, что ординаты
всех точек оси абсцисс равны нулю,
Ь. Рассуждая подобным же образом, убедимся, что
для примой, параллельной оси ординат, 6 = 0.
Уравнение прямой имеет вид
Ах + С = 0г
или, обозначая ^- «* а, получии
х = а*
где а есть величина отрезка ОАх который прямая
отсекает на оси абсцисс (рис. 48)»
В частности^ уравнение самой оси ординат будет
•62
ή
0_
\—.·<
Ι α
Ρ_
■■Α
-*$
■«J^B*
с. Если прямая проходит через начало координат то
общему уравнению
Ах + By + С = О
такой прямой должны удовлетворять координаты (0; 0)
начала координат, т. е, должно быть Л'О + В'О + С8»
*= 0, или С « 0. Итак, общее
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, должно иметь вид
Ах + By — 0.'
Примеры. Прямая 2у — 7 = 0f
или у = 7/2, параллельна оои абсцисс
и отсекает на.оси ординат отрезок вели- Рис, 48
чиной 6 = 7/2.
Прямая χ + 2 = 0, или ж ■= —2, параллельна оси
ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок величиной
α = -2.
Наконец, прямая χ + у = 0 проходит через начало
координат.
§ 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом
В частности, если В не равно нулюА то общее
уравнение прямой
Ах + By + С « 0
можно привести к виду, разобранному в § 4 предыдущей
главы* Действительноt решая относительно yt получим
А С
*--тг*—г·
-А1В=*к% ~С/В = ЬШ
Обозначая
будем иметь
у = кх + Ь*
А это как раз уравнение прямой с угловым
коэффициентом к и начальной ординатой 6.
Пример, Пусть дана прямая
2х — ку — 7 = 0.
Имеем
1 7
4у = 2;г — 7, у =_*__.
Значит, для надпей прямой к = 1/2, 6 == ~7/4,
63
§ 5. Построение прямой
Прямая линия вполне определяется двумя точками·
Поэтому для построения прямой достаточно анать две ее
точки» В исключительных н& случаях прямую можно
построить и проще.
a, Пусть требуется построить прямую
2х - Зу + 4 » 0. (1)
Чтобы найти две точки этой прямой, мы абсциссы этих
точек выберем произвольно, например, 0 для первой точки
и 1 для второй. Соответствующие ординаты найдутся из
уравнения (1), Именно, подставляя χ = 04 получим
-Зу + 4 = 0, у - 4/3.
Подставляя же χ = 1, получим
2 - Ъу + 4 » 0, у - 2,
Итак, имеем две точки β (0; 4/3), С (1; 2)д которыми и
воспользуемся для построения прямой (рис» 49)·
b. Построим еще прямую
2х — Зу — 0,
Здесь свободный член равен нулю и потому прямая
проходит через начало координат. Таким образомд одна
Рис. 49 Рис, 50
точка прямой (начало координат) известна* Для
построения прямой достаточно знать еще только одну точку· За
абсциссу этой последней точки возьмем, например^ χ = 3.
Тогда ордината найдется иэ уравнения 2·3 — Ъу = 0Л
у = 2Л и, следовательног для построения прямой, кроме
начала координат, имеем еще одну точку Μа (3; 2)*(рис, 50).
с, Построим прямую
2ί/-3 = 0.
64
Здесь, решая относительно у, имеем
у « 3/2.
Следовательно, прямая, параллельна оси абсцисс и
отсекает на оси ординат отрезок Ь = 3/2 (рис. 51).
d. Наконец построим прямую
Ах + 7 = 0.
Решая относительно х, имеем (рис. 52)
χ = -7/4.
Следовательно, прямая параллельна оси ординат и
отсекает на оси абсцисс отрезок а = —7/4.
e. Прямую пункта а
2х ■ — Зу + 4 « 0
можно было бы построить и проще. Действительно^ эта
1 у>
0
к
Л?
^J
г?
ι
а>
Рис, 51 Рис. 52
прямая не параллельна ни одной из осей (ни А ни В не
равны нулю) и не проходит через начало координат (С не
равно нулю). Она очевидно пересекает оси Ох и Оу в двух
различных точках А и В. И для построения прямой самое
простое найти именно эти ее точки. Если обозначим О А =
= а и ОВ = b отрезки% отсекаемые прямой на осях, то
координаты точек А и В будут (рис, 49)
А (а; 0)г В (0; Ь).
Точки Ли/? лежат на прямой, следовательно % их
координаты удовлетворяют уравнению прямой, т, е.
2а + 4 = 0, а = -2; -3& + 4 = 0, Ь « 4/3,
Итакг прямая отсекает на осях координат отрезки
а а- — 2А δ = 4/3. Это дает возможность построить точки
А и /?х а по ним и прямую·
65
§ 6. Определение угла между двумя прямыми
a. Пусть даны две прямые / и //· Эти прямые^ как
было указано в главе 1, образуют различные положительные
и отрицательные углы, которые при этом могут быть как
острыми, так и тупыми. Зная один из этих угловд мы легко
найдем какой-либо другой.
Между прочим, у всех этих углов численная величина
тангенса одна и та же, различие может быть только в знаке»
b, Пусть
Α,χ + Β^ + ^^0, Ι
А2х + В2у+Съ = 0 II
— уравнения прямых. Числа Αν Вг и А2у В2 суть
проекции направляющих векторов первой и второй прямой* Угол
между этими векторами равен одному из углов2
образуемых прямыми линиями. Поэтому задача сводится к
определению угла между векторами, Мы получим
tg(P= АгЛг + ЬгВ, ' <*)
Для простоты можно условиться под углом φ между
двумя прямыми понимать острый положительный угол
(как, например, на рис. 53)·
Тогда тангенс этого угла
будет всегда положительным»
Таким образом, если в
правой части формулы (4)
получится знак минус, то мы
его должны отбросить, т. е»
сохранить только абсолютную
величину.
Π ρ и м е р. Определить
угол между прямыми
Рис. 53 2х — Зу + 7 = О,
4г — 8у + 9 = 0.
По формуле (1) имеем
2.(-8)-(-3)-4 | _ | -4| _ J_
t|rtr_[ 2-(—8) —(—3)-4 I _ |-4|
с. Если будет указано, какая из сторон угла является
его началом и какая концом, то, отсчитывая всегда
направление угла против часовой стрелки, мы можем иэ
формулы (1) извлечь нечто большее. Как нетрудно
убедиться из рис. 534 знаКд получающийся в правой части фор-
66
мулы (1), будет указывать^ какой именно — острый или
тупой — угол образует вторая прямая с первой.
(Действительно, из рис» 53 мы усматриваем, что угол между
первым и вторым направляющими векторами или равен
искомому углу между прямым^ или отличается от него на
±180°.)
d. Если прямые параллельны^ то параллельны и их
направляющие векторы» Применяя условие
параллельности двух векторов^ получим!
AJA% - Вг/В2. (2)
Это есть условиеЛ необходимое и достаточное для
параллельности двух прямых.
Пример. Прямые
2х - Ьу + 1 « 0, —* + 2у + 3 =* 0
параллельны, так как
2/-1 » _4/2.
e. Если прямые перпендикулярны^ то их
направляющие векторы тоже перпендикулярны· Применяя условие
перпендикулярности двух векторовл мы получим условие
перпендикулярности двух прямых^ а именно
А,Ай + ВгВ2 = 0. (3)
Пример. Прямые
2я - 4у + 7 = 0, 2х + у — 3 = 0
перпендикулярны ввиду того, что
2-2 + (-4).1 =0.
В связи с условиями цараллельности и
перпендикулярности решим следующие две задачи.
f. Через точку (хх\ уг) провести прямую
параллельно данной прямой
Ах + By + С = 0.
Решение проводится так. Так как искомая прямая
параллельна данной, то за ее направляющий вектор
можно взять тот же самый, что и у данной прямой, т. е« вектор
с проекциями А и В. А тогда уравнение искомой прямой
напишется в форме (§ 1)
А (х - хг) + В (у - уг) - 0.
67
Пример. Уравнение прямойа проходящей через
точку (1; 3) параллельно прямой
2х - 7 у + 2 - 0Л
будет следующее!
2 (χ - 1) - 7 (у - 3) м О·
g· Через точку (а^; #г) провести прямую
перпендикулярно данпой прямой
Ах + By + С =*0,
Здесь ва направляющий вектор уже не годится брать
вектор с проекциями А и Вл а надо взять вектор, ему
перпендикулярный. Проекции Аг и Вх этого вектора должны
быть выбраны, следовательно, согласно условию
перпендикулярности обоих векторов, т, е. согласно условию
ААг + ВВг = О,
Выполнить же это условие можно бесчисленным
множеством способов^ так как вдесь одно уравнение с двумя
неизвестными At и В1% Но проще всего взять Аг = В;
Вг = —4 или же Аг β —/?; Ζ?χ а 4* Тогда уравнение
искомой прямой напишется в форме
В (х - *,) - А (у - й) - О
или
-5 (х — хг) + А (у - Pl) - 0.
Пример* Уравнение прямой, проходящей через
точку (—7; 2) и перпендикулярной прямой
4х - Ъу + 9 - 04
будет следующее (по второй формуле)!
.3 (* + 7) + 4 (у — 2) « 0.
h, В том случае» когда прямые заданы уравнениями
вида
у = кхх + Ьи у = к2х + b2t
переписывая эти уравнения иначе, имеем
*ι* — У + Ьг «- 0й Μ — у + 62 = 0«
гак что
68
Применяя формулы (1) — (3), для тангенса угла
между прямыми получим выражение
Для условия параллельности имеем кх1к2 = —1/—1,
т* е*
кг = кг. (2*)
Наконец, для условия перпендикулярности имеем
кгкг + 1 = 0 или же
кг = —1/*,ё. (3*)
к· Как нам о том говорит формула (2*), условие
параллельности двух прямых в атом случае заключается в
том, -что угловые коэффициенты прямых равны.
Формула (3*) говорит о том, что условие
перпендикулярности заключается в том/ что угловые коэффициенты
прямых обратны друг другу и противоположны по знаку»
Примеры, Угол между прямыми
у = 4*-71у=-Зя + 2
дается формулой
4-3 (
^Ф= 4.3 + 1 =ТГ-
Прямые
у = 2х + 3Л у = 2х + 1
параллельны*
Прямые
у = 4* — 2, у = —0,25л: + 1
перпендикулярны ввиду того, что — 0А25 = —1/4#
§ 7. Условие совпадения прямых
Выясним теперь, при каком условии уравнения
Агх + В1У + Сг = 09 Агх + Вгу + Съ = а (1)
определяют одну и ту же прямую.
Очевидно, совпадение двух прямых есть частный
случай параллельности. Поэтому должно быть
АХ1А% = Вг/В„ (2)
Обозначая общую, величину обоих отношений через tt
имеем
ΑΧΙΑ>% = 1г Вх/В, = 1Л (3)
, 69
откуда
Αλ = A2U B\ = В J.
Тогда верхнее уравнепие системы (t) примет вид
A2tx + B2ty + Сг = 04
или же
А2х+В2у + ^ = 0. (4)
Если уравнения (1) изображают одну и ту же прямую,
то одни и те же координаты з, у удовлетворяют как
уравнению (4), так и второму уравнению системы (1). Поэтому,
если вычтем из уравнения (4) второе уравнение (1), то
получим СгН — С2 = 0, или Сх = Сгг% или же СХ1С% = U
Сопоставляя это с (3), находим
АХ1А% = В1/В2 « Сг/С„
Это и есть условие совпадения двух прямых, которое
говорит нам о том, что коэффициенты совпадающих
прямых пропорциональны, т. е. одно уравнение получается
из второго путем умножения на некоторое постоянное
число (число t Φ 0).
Пример. Прямые
2х - 1у + 1 = 0, ίΟχ - 35у + 5 я 0
совпадают, так как имеет место равенство
2/10 « -7/-35 = 1/5.
Здесь первое уравнение получается из второго
умножением на постоянное число t = 1/5,
§ 8. Пересечение прямых
Точка пересечения прямых
Агх + Bty + Ct = 0, Л2а + Я2у + С2 « 0 (1)
есть общая точка обоих прямых. Она, следовательно,
должна одновременно удовлетворять уравнениям обеих
прямых, т, е* системе (1),
Обратно1 если точка удовлетворяет системе (1), то тем
самым она удовлетворяет каждому уравнению системы
в отдельности· Следовательно, она лежит на каждой из
данных прямых, т, е,ч является точкой их пересечения·
Итак, координаты точки пересечения обеих прямых
получаются совместным решением уравнений (1) этих
прямых.
70
Однако следует помнить, что пересекаются в одной
точке только непараллельные прямые, т. е. прямые* для
которых
AJA% не равно ВХ1В2.
Пример 1. Найдем точку пересечения прямых
х- 2^-1,= 0, 2я+ у-2 = 0. (2)
Здесь 1/2 не равно —2/lt следовательно, прямые
пересекаются в одной тачке. Для разыскания координат (х\ у)
этой точки решаем уравнения (2) совместно. Умножая
второе на 2 и складывая с первым^ получим
а: _ 2у — 1 = 0
+ 4* + 2y-4as0
Ъх —5 «0, *«5.
Далее, из второго уравнения получим
у «. 2 — 2х — 2 — 10 = —8,
Итак, прямые перескаются в точбе (5; —8),
Пример 2, Прямые
2х + у — 2 = Од 4лг + 2у + 1 = 0
параллельны, но не совпадают ввиду того, что 2/4 = 1/2,
но не равно —2/1. Точек пересечения, следовательно} нет.
Пример 3. Прямые
2х - у + 2 » 0, Ах — 2у + 4 — 0
сливаются в одну ввиду того, что
2/4 = -1/-2 = 2/4.
Можно сказать, что эти прямые имеют бесчисленное
множество точек 'пересечения, так как все точки обеих
прямых являются общими»
§ 9. Расстояние от точки до прямой
а. Найдем расстояние d от точки Мг (хг; уг) до прямой
Ах + By + С — О,
Известно, что расстоянием от точки до прямой
называется длина перпендикуляра, ощущенного из точки на
прямую. Пусть Μ (χ; у) — основание этого
перпендикуляра. Тогда длина вектора ММХ и будет искомым
расстоянием*
71
Рассмотрев* скалярное произведение направляющего
вектора PQ и вектора ММг (рис. 54),
Так как эти векторы параллельны, то, смотря по тому,
будут ли они направлены в одну или же в
противоположные стороны (что тоже может случиться), их скалярное
произведение будет rd cos 0е =* rd
Р/'/4 или же rd cos f80p = — rd.
i/ С другой стороны, то же самое
> HjjPnyd скалярное произведение равно сум-
d{f ме произведений проекций А и В
fyfr&/ вектора PQ на соответствующие про-
^ екции хг — χ и уг — у вектора ММи
Рис 54 &* = А (*г-*) +В (Уг ~У) =
- Ахх + Вуг + С- (Ах + Ву + С),
Но так как точка Μ (χ\ у) лежит на пашей прямойд то
Ах + By + С - 0,
и потому
±rd = Ахх + Вуг + С.
Отсюда, замечая, что г = γ А2 + й2, и помня, что d$
как расстояние^ должно быть положительным, имеем
Va* + в*
Ь. В частности расстояние d от начала координат до
прямой
Ах + By + С = 0
получим, если возьмем Мг (0; 0),
Будем иметь
"К/Р + я*
с* Примеры, Расстояние от точки (1; 2) до
прямой
Sx — 4# - 10 = 0
будет
л_ |3^1 —4>2—10| 15 Q
Расстояние от начала координат до прямой
Ъх + i2y + 26 = 0
72
будет
d=
1261
26
/5*4-122 13
= 2.
§ 10. Другой подход к выводу уравнения прямой
а. К выводу уравнения прямой можно подойти
несколько иначе, а именно, задавая направляющий вектор
не перпендикулярно прямой, а параллельно ей.
Пусть дана точка Mt (хх\ уг) и вектор с проекциями /
и т, параллельный данной прямой.
Этот вектор будем также называть направляющим*
В частности, он может находиться на самой прямой. На
рис. 55 этот вектор лежит
именно на той прямой,
которую он должен направлять.
Возьмем на прямой
произвольную точку Μ (х\ у). Где бы
эта точка на прямой ни
находилась, вектор М{М будет
параллелен направляющему
вектору (или будет с ним Рис. 55
совпадать). Поэтому проекции
χ — хг и у — уг этого вектора будут всегда
пропорциональны проекциям 1шт направляющего вектора.
Ш*ХУг)
Следовательно^ будем иметь уравнение
*1 _ У — У1
J
го
<!>■
которое будет выполняться для любой точки, лежащей на
прямой, и не будет выполняться для точек, на ней не
лежащих, Таким образом, полученное равенство (1) есть
искомое уравнение прямой.
Ь. Уравнение (1)'можно представить также в таком
виде:
у— yi=* -j- (я — яО*
Нетрудно видеть, что
т/1 «я tg α,
где α есть угол наклона прямой линии к «си абсцисс* так
что т/1 равно угловому коэффициенту орямойд который
мы ранее условились обозначат^ через &,
73
Следовательно, уравнение (1) можно написать в виде
if — 01 «= * (* — *ι). (2)
Эта форма уравнения называется уравнением прямой^
проходящей через заданную точку, с заданным угловым
коэффициентом.
с. Если мы точку Мг (хг; уг) будем считать
неподвижной, а угловой коэффициент к переменным, то паша
прямая будет вращаться вокруг точки М.
Если к пробежит все числовые значения от —-оо до
+ эо, то наша прямая сделает полйый оборот вокруг
точки Mv
Таким образом, при произвольном к уравнение (2)
выражает любую прямую, проходящую через точку Mt
(кроме прямой, параллельной оси ординат; ее уравнение
± = хг). Поэтому при произвольном к уравнение (2) носит
название
«уравнение пучка прямых с центром в точке Мг (х1\ уг)»>
Если числу к задать числовое значение, то- мы из пучка
выхватываем ту прямую^ угловой коэффициент которой
равен данному числу*
§11. Прямая, проходящая через две точки
Как известно, прямая вполне определяется двумя свои·
ми точками. Поэтому если задать две ее точки Мг (хх\ у J
и М2 (х2\ y2)i то прямая вполне определена (см. рис. 55).
Нетрудно понять, что вектор МХМ2 можно принять за
направляющий для данной прямой· Тогда будем иметь
I = х2 — хи т = у2 — ух.
Подставляя эти выражения в уравнение (1)д получим
уравнение
ж — si _ v — Vi
х2 — хх у2 — У ι *
которое называется уравнением прямой, проходящей
через две точки.
Пример 1. Написать уравнение прямой,
проходящей через точки Мх (1; 3) и Мг (—2; 5),
Применяя уравнение (1), получим
, 2*-2 = — Зу + 9,.
0.
74
χ _ 1 у — 3
—2—1 5—3 »
χ— 1 у — 3
2х + 3у— 11 =
Пример 2. Написать уравнение прямой, проходя·
щей через точки Мг (2; 1) и Л/2 (4; 1).
Поступая, как в предыдущем примере, получим
т — 2 у — 1 а? —2 _ у — 1
4 — 2 β 1 — 1 f 2 ~ 0 ·
Последний результат кажется нелепым, так как на
нуль делить нельзя, тем не менее здесь мы имеем верный
результат.
Действительно, если мы обратим внпмапие на
ординаты данных точек, то сразу сообразим, что наша прямая
параллельна оси абсцисс, так как ординаты обоих точек
равны. А если так, то и у всех других точек этой прямой
независимо от их абсцисс ординаты равны.
Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид у = 1, или у — 1 =
= 0. Однако то же самое мы получим, упростив последнее
полученное уравнение:
(х - 2)-0 = 2 (у - 1), у - 1 = 0.
§ 12. Уравнение прямой в отрезках на осях
a. В предыдущем параграфе мы получили уравнение
прямой, проходящей через две данные точки.
Особенно интересный вид получится для уравнения
прямой, если эти точки даны на .координатных осях.
Пусть имеем такие две точки: Мг (а; 0), М2 (0; Ь). Тогда
χ — а у — 0 χ — а и
мы получим 0_ «=» * Q> или —— «■ -у, откуда
хЬ —· ab — —ьу* xb -\- ay ~ ab.
Или, разделив обе части уравнения на аЪ, окончательно
получим
Числа а и Ъ суть не что иное, как величины отрезков,
которые прямая отсекает на координатных осях. Поэтому
уравнение (1) называется уравнением прямой в отрезка»
на осях.
b. Если уравнение прямой задано в общей форме
Ах + By + С = 0
и нам было бы желательно его иметь в форме с отрезками
на осях, то мы можем просто найти величины этих отрез-
75
ков так; как это указано в пункте е § 5, а затем
подставить в уравнение (1) § 10.
Пример. Привести уравнение
2χ — Зу — 5 = 0
к виду с отрезками на осях.
Находим а и Ь. Очевидно,
а = 5/2, Ь = -5/3.
Следовательно, искомое уравнение будет
-1-4- -Л— — 1
V· +-6/а '
§ 13. Задачи на прямую линяю
1а. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку АГ (1; —3), если известно, что перпендикулярный
к прямой направляющий вектор имеет проекции Л = 2,
В — 7. Ответ: 2х + 7у + 19 = 0.
lb. Написать уравнение прямой, если известно, что
она проходит через начало координат, а ее направляющий
вектор имеет проекции А =0,1, В — — 0,3. Ответ!
х _ Зу = 0.
2а. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку Μ (0; 5), если известно, что проекция направляю·
щего вектора на ось абсцисс в три раза больше его
проекции на ось ординат. Ответ* Зх + у — 5 = 0.
2Ь. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку Μ (1; 1), если ее направляющий вектор является
биссектрисой второго координатного угла. Ответ:
- χ + у = 0.
За. Каковы проекции направляющего вектора для
прямой
8аг — 15у — 1=0
и какова длина этого вектора? Ответ: длина вектора
равна 17.
ЗЬ. Что произойдет с направляющим вектором прямой
Ах + By + С = 0,
если обе части уравнения умножить на какое-либо поло·
жительное число N7 Ответ: направляющий вектор
изменит свою длину в N раз, но направление его не изменится.
4а. Проверить, лежит ли точка (5; 7) на прямой
2я + Зу — 31 = 0. Ответ: лежит.
76
4b. На прямой 16# — у + I = О найти точку, у
которой абсцисса χ = 1. Ответ: (1; 17).
5а. Найти на прямой χ — Ъу + 4 = 0 такую точку,
у которой абсцисса равна ординате. Ответ', (lj 1).
5b. На прямой χ — у — 81 — 0 найти такую точку,
у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Ответа
(90; 9).
6а. На прямой χ — 2у = 0 найти точку, у которой
абсцисса на 4 больше ординаты. Ответ: (8; 4).
6Ь. На прямой χ — ку — 6=0 найти точку, у
которой ордината у = 5. Ответ: (26; 5).
7а. На прямой 2х — Ъу + 3 = 0 найти точку,
равноудаленную от то^ек (1; 4) о (2; 1). Ответ: (3; 3).
7Ь. На прямой 2аг — у — 1 =0 найти точку,
равноотстоящую от точек (1; 1) и (4; 2). Ответ: (2; 3),
8а. Построить прямые:
* — 3 - 0{ у = 2\ 2х + 1 = 0j
4j/ - 8 = 0? Ъу + 10 = 0; 13 - у - 0.
8b. Построить прямые:
5х — 6у - 0| 2х + 7у = 0; 2я + Ъу = 0.
9а. Какая прямая имеет уравнение χ = 0?
9b. Какая прямая имеет уравнение 6у = 0?
10а. Построить прямые:
χ + 2у — 4 я 0j 2*.+ Зу + 5 = О; χ — 2у — 7 = 0|
я _ 2у — 8 = 0,
10Ь. Построить прямые:
у = 2х + 3} у = За: — 2j у = — χ — lj
у + χ =s 0j J/ — Χ = 0»
На. Вычислить тангенс острого угла между прямыми
Ъх — 2у + 1 =* 0, 2а-+ 5у — 2 = 0. Ответ: tg φ = 19/4·
lib. Вычислить тангенс острого угла между прямыми
χ + у ± 2 = 0, 2я — Ъу + 1 = 0. Ответ: tg φ = 5·
12а. Найти острый угол между прямыми 2х + у +
+ 7=0, χ + Ъу — 4 = 0. Ответ: φ = 45°·
12b. Найти острый угол между прямыми у — χ Υ% +
+ 9=0, у + χ /3 + 5 — 0. 0m**m: φ = 60°.
13а. Привести к виду с угловым коэффициентом
уравнения прямых:
2х + 2у — 1 ** 0j 2х + Зу + 9 =* 0j 4* - 2у + 5 =0.
77
13Ь. Найти острый угол между прямыми χ = О, χ +
+ у + 2 = 0. Ответ: φ = 45°.
14а. Вычислить тангенс острого угда между прямыми
у = 2х + 1, у = 3# + 5. Ответ: tg φ = 1/7.
14b. Вычислить тангенс острого угла между прямыми
Ответ: tg φ = 3.
14с. Вычислить тангенс угла между прямыми Зд? — 2у +
+ 1=0, 2* + Ъу - 2 = 0. Ответ: tg φ = -19/4.
15а. Будут ли параллельны прямые Ъх — 9,5у + 5=0,
-7,5* + 14,25г/ + 1=0?
15Ь. Будут ли параллельны прямые у = Зя + 6lt
у = Зя + 62?
16а. Будут ли перпендикулярны прямые
2х - 7у + 6 = 0, 14* + 4# + 3 = 0?
16Ь. Будут ли перпендикулярны прямые
у = 4* + 3, у = — 0,25s + 17?
17а. Даны прямые:
1)2*- у + 7 = 0; 2) *-1у + 1 = 0;
3) Зх — 4у + 1 = 0; 4) 4* + Зу - 1 = 0.
Какие из них параллельны и какие перпендикулярны?
17Ь. Почему следует считать, что прямые
Ах + By + С = 0, 4 (х - xj + Я (у - ft) = 0
параллельны?
17с. Почему следует считать, что прямые
Ах + By + С - 0, β (* - α^) - Л (у - ft) = О
перпендикулярны?
18а. Через точку (5; 2) провести прямую параллельно
прямой Ъх — 2у + 5 = 0. Ответ: Ъх — 2у — И = 0.
18Ь. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку (4; —1) параллельно прямой 2х — Ъу + 1 = 0,
Ответ: 2х — Ъу — 11 = 0.
19а. Через точку (1; 2) провести прямую
перпендикулярно прямой кх — у + 2 = 0. Ответ: χ + 4г/ — 9 = 0.
19Ь. Через точку (1; 2) провести прямую
перпендикулярно прямой 2х + ку — 1 =0. Ответ: 2х — у = 0.
20а. Через точку (1; 3) провести прямую параллельно
прямой у = 2# + 7. Ответ: у = 2х +1,
78
20b. Через точку (3; —1) провести прямую
перпендикулярно прямой у = Ъх — 1. Ответ: \} = —χβ.
21а. Через точку (2| —1) провести прямую под углом
45° к прямой χ — 2у — 1 = 0. Ответ: Зх — у — 7 = 0.
21Ь. Через точку (lj 2) провести прямую под углом 45°
к прямой у = χ + 3. Ответ: χ - 1 я 0.
22а. Через точку (1; 2) провести прямую, наклоненную
к прямой Ъх — 2у + 6 = 0 под углом, тангенс которого
равен 5. Ответ: χ + у — 3 = 0.
, 22Ь. Через точку (3; —4) провести прямую,
наклоненную к прямой у = — 2х + 1 под углом, тангенс которого
равен 2. Ответ: Ту — χ + 31 == 0.
23а. Совпадают ли прямые 0,25# + 0,875# — 0,125 =
= 0, χ + 3,5у — 0,5 — 0? Ответ: совпадают.
23Ь. Совпадают ли прямые 1х — ЪЪу + 42 = 0,
За — 15у + 17 = 0? Ответ: не совпадают.
24а. Найти точку пересечения прямых 2х — 3jy + 1 =
= 0, 7s + Ьу - 12 = 0. Ответ: (1; 1).
24Ь." Найти точку пересечения прямых ах + by = 1»
Л — Ь2у = α. Ответ: (1/α; 0).
25а. Пересекаются ли прямые Ах + By + Сх — 0,
Ля + By + С2 — 0, (72 =5^ Ct? Если нет, то почему?
25Ь. Можно ли сказать, что совпадающие прямые
пересекаются? Если да, то сколько точек пересечения имеют
совпадающие прямые?
26а. Найти координаты вершин треугольника, если
стороны заданы уравнениями χ — 2у + 3 = 0, 2х — у —
~ 3 =^ 0, χ + ί/ - 3 = 0. Ответ: (1; 2)," (2; 1), (3J 3).
26Ь. Найти вершины треугольника, если его стороны
заданы уравнениями 2х — 1 == 0, 2г/ — 1 = 0, χ + у = 0.
Ответ: (1/2; 1/2), (1/2; -1/2), (-1/2; 1/2).
27а. Через точку пересечения прямых χ = у + 1 = 0,
х -f- у s= 0 провести прямую параллельно примой я +
+ 2у + 3 = 0. Ояштп: 2я + 4у — 1 = 0.
27Ь. Через точку пересечения прямых χ — у + 1 =0,
ж + у = 0 провести прямую перпендикулярно прямой
χ + 2у + 3 = 0. Ответ- Ах — 2# + 3 = 0.
28а. Написать уравнение высоты треугольника,
образованного прямыми χ + у — 1 = 0, я — // + 1 = 0,
аг + 2|/ + 5 = 0, если известно, что высота опущена из
точки пересечения первых двух прямых па третью.
Ответ: 2х — у + 1 β 0.
28b. Через точку пересечения прямых χ — j/ = 0,
# + У + 1 = 0 провести прямую параллельно прямой
2х + Чу — С = 0. 0/ш?<?т: 4я + бу + 5 = 0.
79
29· Через точку пересечения прямых у = 2х — I,
Ъх — 2у =f 0 провести прямую перпендикулярно прямой
6я — 7 — 0. Ответ: у — 3 « 0.
30а, Найти расстояние от точки (1; 1) до прямой
Ъх — Ау + 6 = 0. Ответ: d = 1.
30b· Доказать, что расстояния от точки (2;. 1) до
прямых Ъх — Ау + 8 ~ 0 и 5я — 12у + 28 « 0 одинаковы
(равны 2)·
31а. Доказать, что расстояние между двумя параллель*
ными прямыми Ах + By + Сл ■= 0, Ах + Zfy + Са β СГ
выражается формулой L «■ ' 1, !·.
31Ь. Найти расстояние между параллельными
прямыми Ъх + \2у — 12 = 0, 5а: + 12у + 1 « 0. Ответ: L «* 1.
31с. Найти расстояние между параллельными пря-
мыми Ъх — \Ьу + 14 == 0, 8л; — 15# — 20 « 0. Ответ!
L = 2.
32а. Написать уравнение прямой, параллельной
прямым 2# — Зу + 7«0и2д: — Зу + 5 = 0 и проходящей
посередине между ними. Ответ: 2х — Ъу + 6 « 0.
32Ь. Написать уравнение прямой, параллельной
прямым 4г — Зу + 16 «■ 0, 4з — Зу + 7 = 0 и делящей
расстояние между ними в отношении 2 : 1 в направлении
от первой прямой ко второй. Ответ: Ах — Ъу + 10 ■■ 0·
32с. Провести прямую параллельно прямым
χ — 2у + 6 — 0, 2я — 4у + 9 — 0,
расположенную между ними так, чтобы расстояние ее до
первой прямой было в два раза больше расстояния до
второй прямой. Ответ: χ — 2у + 5 -* 0.
33. Проследить за тем, какой знак имеет выражение
/ (х, у) =Ах + Ву + С
для различных точек плоскости:
a) Для точек, лежащих выше прямой Ах + By +
+ С — 0. Ответ: + при В > 0, — при В < 0.
b) Для точек, лежащих ниже этой прямой. Ответ: —
при. 15 > 0, + при В < 0.
c) Для точек, Лежащих справа от этой прямой·
Ответ: + при Л > 0, — при А < 0.
, d) Для точек, лежащих слева от этой прямой*
Ответ: — при А > 0, + при 4 < 0.
е) Для точек, лежащих по ту же сторону от прямой,
что и начало координат. Ответ: + при С > 0*, — при
С<0.
80
f) Для точек, лежащих по другую сторону от начала
координат относительно этой прямой. Ответ: — при
С> О, + при С < 0.
34а. Узнать» лежит ли точка (1; 2) выше или ниже
прямой χ + у — 2 =* 0· Ответ: выше.
34Ь. То же для точки (1) 3) относительно прямой
4я — 2у + 1 β 0. Ответ: выше.
34с. Лежит ли точка (3; 7) справа или слева от
прямой 4дг — Ъу + 9 =» 0? Ответ: слева.
35а. Лежат ли точка (1; 1) и начало координат по одну
сторону или по разные стороны относительно прямой
χ — Ъу + 4 » 0? Ответ: по одну сторону.
35Ь. Лежат ли точки (1; 2) и (3; 4) но одну или по
разные стороны от прямой χ + 2у — 6 = 0? Ответ: по
разные стороны.
36. Доказать, что точка (2; 2) находится внутри
треугольника, заданного уравнениями сторон χ· + 2у — 5 ■■
— 0, ж — 2у + 3 — 0, 3* - 2у - 7 ~ 0.
37а· Доказать, что если даны прямые Αλχ + #^ +
+ С?! » 0 и 42я + Вгу + С2 β 0, то уравнения обеих
биссектрис двух смежных углов, образованных этими
прямыми, будут
Va\ + *\ Ϋ4 + *1
37b. Написать уравнение биссектрисы того угла
между прямыми Ах — Зу + 3 « 0, 3# — 4у + 2 « 0, в
котором лежит точка (1; 2). Ответ: 1х — Ту + 5 — 0.
38. Через точку (1; 1) провести прямую,
равноудаленную от точек (6; 1) я (2; 5) и проходящую между ними·
Ответ: 2х — &у + 1 =* 0.
39а. Вывести формулу для вычисления расстояния от
точки до прямой, исходя из тех соображений, что удвоен·
ная площадь треугольника ΜιΛί2Μ8, вершинами которого
служат точки Мг и А/3 пересечения прямой с осями и дан·
ная точка Ми выражается произведением искомого рас*
стояния на длину МгМ9.
39b., Доказать, что расстояние ρ от начала координат
до прямой — + — «=» 1 выражается формулой
тп
рв fm* -f л* *
81
40. Написать уравнение прямой,, проходящей через
точку (1; —1) и отстоящей от точки (4; 0) на расстояние 1.
Ответ: две прямые у + 1 = 0, Яг — ку — 7=0.
41. Через точку (lj 0) провести прямую, проходящую
над точкой (10; 3) на расстоянии 3 единиц от последней»
Ответ: Зх -^ ку — 3 = 0.
42. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
Зх - ку + 5 = 0
и отстоящей от нее на расстояние 2 единиц. Ответ: две
прямые Зх — ку + 15 = 0, За; — ку — 5 = 0.
43а. Найти отражение точки (1; 8) относительно
прямой Зх — ку + 4 = 0, как в зеркале. Ответ: (7, 0).
Указание. Отражением точки Μ относительно
прямой РХР называется точка Ми лежащая на продолжении
перпендикуляра, опущенного на прямую из точки Л/,
причем прямая делит расстояние между Μ и Мх пополам.
43Ь. Найти отражение точки (3; 3) относительно
прямой Зу — 2х = 16. Ответ: (—1; 9).
44а. Написать уравнения сторон треугольника с
вершинами (1; —1), (2; 0), (5; 1). Ответ: χ — у — 2 = 0,
χ - 2у - 3 = 0, χ - Зу - 2 = 0.
44Ь. Написать уравнения сторон треугольника,
заданного вериаинами (1; Я), (2; 4), (—1; 2). Ответ!
х _ у -f. 2 = 0, 2х - Зг, 4- 8 = 0, я - 2у + 5 = 0.
45а. Провести прямую через точку (1; 2) и через точку
пересечения прямых Ъх — у + 1 = 0, χ — 2у + 5 = 0.
Ответ: 7х + у — 9 = 0.
45Ь. Провести прямую через точку (1; 1)и точку
пересечения прямых я — (/ + 1=0, а: + г/=0· Ответ:
х _ Зу + 2 = 0.
45с. Через точку пересечения прямых ж — у = 0,
# — ку + 1 =0 провести прямую так, чтобы ее
начальная ордината (отрезок на оси ординат) равнялась 1»
Ответ: 2х + у —. 1 = 0.
46. Даны вершины треугольника Мх (1; 2), Л/2 (2; 3),
Af3.(3; 1). Написать уравнение высоты, опущенной из
точки А/|. Ответ: χ — 2у — 3 = 0.
47. Найти площадь треугольника по координатам его
вершин Мх (хг\ ух), Л/2 (#2; Уг)> Л^з (хз\ Уз)» вычисляя
длину стороны и опущенного на нее перпендикуляра. Ответ}
S = + [-J- (*? — *ι) (ί/з — У\) — (Уг — У\) (*з — ^i)J ♦
82
48а. Привести к виду в отрезках на осях уравнение
2х — Ъу — 15* = 0 и построить эту прямую. Ответ*
7,5 + -3 1β
48b. Привести к виду в отрезках на осях, а затем
построить прямые:
Qx + Ъу - 30 = 0, 2х + Ъу + 6 = 0,
у = 4х + 8, За; - 4у — 60 = 0.
49. Отрезки, отсекаемые прямой на осях, суть а =
=* —2, Ь = 1# Написать уравнение прямой в форме
с угловым коэффициентом. Ответ: у=-^-х + ί.
50. Написать уравнение прямо.й в форме в отрезках на
осях, если дано, что она наклонена к оси абсцисс под
углом 45° и отсекает на оси ординат отрезок длиной 1·
Ответ: —γ -f- ηρ= 1.
51а. Через точку (2} 1) провести прямую так, чтобы
она отсекала от первого координатного угла площадь,
равную 4. Ответ: χ + 2у — 4 = 0.
51b. Написать уравнение прямой, параллельной
прямой 2х + Ъу — 1 я 0 и отсекающей от первого
координатного угла площадь, равную 5. Ответ: 2х + Ъу — 10 = 0;
52. Даны уравнения сторон треугольника МхМгМ^
{М,Мг) χ + Ъу - 5 =0, (M2Af3)x + ^ — 5 = 0, (MJfJte —
- 3.v + 5 = 0.
a) Найти вершины. Ответ: Мх (—1; 1), М2 (Ъ\ 0),
М3 (2; 3).
b) Найти центр масс. Ответ: (2; 4/3).
c) Найти уравнения медиан. Ответ: χ — 9у + 10 = 0f
4я Н- 9у — 20 = 0, χ — 2 = 0.
d) Найти уравнения высот. Ответ: χ — у + 2 = 0,
3* + 2у - 15 « 0, бд: — у — 9 = 0.
e) Найти прямые, проходящие через вершины
параллельно сторонам. Ответ: χ + у =» 0, 2# — Зу — 10 = 0,
я + 6у — 20 = 0.
f) Вычислить периметр. Ответ: периметр равен
/37 + /18 + /13. _ .
g) Вычислить длины рысот. Ответ: hx = 5//2, h% =>
« 15//13, Л8 - 15//37.
h) Вычислить площадь этого треугольника. Ответ:
15/2.
83
к) Найти центр и радиус описанного круга. Ответ
центр (19/10i -Ш0), R = /9,62.
1) Вычислить тангенсы углов этого треугольника»
Ответ*, tg £ Мг = 15/16, tg ^ М2 = 5/7,tg ^/ Л/3 =-5.
53. Световой луч, падая из точки (—3,; 4) и отражаясь
от прямой у — χ = 0, проходит затем через точку (—2;
5). Написать уравнение луча падающего и луча
отраженного. Ответу Ъх + Ау — 7 = 0, Ах + Зу — 7 = 0.
54. Доказать, что в равностороннем треугольнике
сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон
постоянна, а именно равна стороне, умноженной на
* + Кз
2 '
55. Даны две точки Мг (1\ 2), М2 (6; 3). На оси
абсцисс найти точку Μ так, чтобы угол МХММ2 был прямой.
(Решить: а) не пользуясь уравнением прямой, Ь)
пользуясь им.) Ответ: (4; 0).
56а. Основание равнобедренного треугольника имеет
уравнение χ + Ту — 21 =0. Одна из боковых сторон
имеет уравнение Ах + Ъу — 34 = 0. Найти уравнение
другой боковой стороны, если известно, что она проходит
через точку (8; 9). Ответ: 3# — Ау + 12 = 0.
56Ь. Даны уравнения боковых сторон
равнобедренного треугольника χ — у — 3 = 0, χ — 7у + 3 = 0 и
точка (1; 2) на его основании. Написать уравнение
основания. Ответ: χ — 2у + 3 = 0.
57. Написать уравнение прямой, равноудаленной от
точек Мх (хг\ у J, Л/2 (х2; .г/г). Отвьт: {х* — х\) х + (Уг — У\)У +
, «? + »!-«2-4 А
+ 2 ~ϋ·
Глава 5
ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ. ИРЕОБРАЗОВАНИЕ
КООРДИНАТ
§ 1. Окружность
a. В качестве следующего примера отыскания
уравнения геометрического места точек мы· рассмотрим
окружность. Очевидно, окружность будет вполне определена,
если дан ее центр С (т; п) и радиус а.
Пусть Μ (х\ у) — какая-либо точка плоскости
(рис. 56); квадрат расстояния от нее до центра С (т; п)
окружности выражается величиной
(х - mY + (у - п)К
Эта величина будет равна а* (квадрату радиуса),
если тоня* Μ лежит на окружности, она будет меньше
а\ если точка Μ расположена
внутри окружности, и будет
больше а8, если точка Μ расположена
вне окружности. Таким образом,
для всех точек окружности имеем
уравнение
(х — т)2 + (у — η)* = а*.
Для точек же, не лежащих на ок»
ружности, оно не будет верно. #1 &
Таким обрааом, это уравнение
и есть уравнение окружности. Рис 56
Например, уравнение
окружности радиуса 3 с центром в точке (2; 4), изображенной на
рис. 56, будет
(х - 2)* + (у - 4)а = 9.
b. В частности, если центр окружности совпадает
с началом координат, то т = 0 и η = 0. Уравнение
окружности принимает вид
хг + У2 = а\
85
Это уравнение иногда полезно представить и в явной
форме:
У — ± γα2 — х\
Наличие двух знаков в правой части уравнения
говорит о том, что каждой абсциссе
отвечают две точки окружности Мх и Af2»
у которых ординаты равпы по длине,
по имеют различные знаки. Поэтому
данная окружность симметрична
относительно оси абсцисс.
Например, уравнение
окружности, изображенной на рис. 57 (а =5
= 2), будет
' я2 + У2 = 4,
Рис. 57
или в явной форме у— ± γ А — я2.
§ 2. Эллипс· Построение посредством нити·
Зависимость между полуосями и полуфокусным
расстоянием
а. Эллипсом называется геометрическое место точек,
для каждой из которых Сумма расстояний до двух данных
точек Fx и F2> называемых его фокусами, есть величина
постоянная·
Γ,+ψ2α
Рис. 58
Постоянную сумму расстояний обозпачим через 2а,
так что для любой точки Μ эллипса имеем (рис. 58).
гх + га - 2а. (1)
Ь. Построение эллипса можно осуществить
посредством нити длиной 2а, закрепленной концами в фокусах·
86
Зацепив нить острием карандаша и двигая его так, чтобы
нить зсе время была в натянутом состоянии, мы заставим
острие вычертить эллипс.
Действительно, при любом положении острия
карандаша сумма расстояний его до фокусов равна длине нити,
т, е. 2а.
Середина расстояния между фокусами называется
центром эллипса, так как относительно этой точки эллипс
симметричен.
Длина FXF2 называется фокусным расстоянием,
обозначил! его через 2с; а половина этого расстояния называется
полуфокусным расстоянием, оно равно с.
Весьма удобно центр эллипса принять за начало
координат, а за ось абсцисс принять прямую, проходящую
через фокусы (как на рис. 58). Тогда координаты фокусов
будут Ft (-с; 0), F2 fo 0).
Всякий отрезок, соединяющий две точки эллипса, если
он проходит через центр, называется диаметром эллипса.
Рассматривая форму эллипса, мы видпм, что наибольший
диаметр проходит через фокусы. Этот диаметр АХА2
называется большой осью эллипса.
Нетрудно показать, что длина большой оси эллипса
равна 2а.
В самом деле, основное свойство эллипса (1),
справедливое для всех его точек, применимо, между прочим, и
для точек Аг и А2. Поэтому
FXA2 + F2A2=* 2a. (2)
Но из рис. 58 видно, что
FXA2 — ОА2 + с, F2A2 — ОА2 — с.
Ввиду этого из равенства (2) получаем 20А2 = 2а или
ОА% =* а. Ясно, что и АхО = а, так что
АХА2 = 2а.
Число а называется большой полуосью. Мы видим
также, что наименьший дпаметр эллипса перпендикулярен
наибольшему, его называют малой осью эллипса и
обозначают через 26, так что ВХВ2 =* 26.
Число'6 называется малой полуосью. Концы осей, т. е.
точки Ах> А 2, Ви Z?2» называются вершинами эллипса.
Очевидно, основное свойство эллипса применимо и
для вершин Вх и В2. Применяя его, например, к вершине
Вг, получим FXB2 + F2B2 = 2α, а так как FXB2 = F2B2,
то 2Рф2 = 2а, или F2B2 = а.
87
После этого из прямоугольного треугольника OF^Bz
найдем очень важное соотношение между полуосями и
полуфокусным расстоянием эллипса;
Ь» + с* - аа,
или же
Ъ* =*а*~ А
Нетрудно понять, что эллипсы могут быть различной
формы, причем при заданной длине нити форма эллипса
зависит только от расстояния между фокусами, т. е. при
заданном а форма зависит только от с. Проследим эту
зависимость.
Допустим, что фокусы сближаются и, наконец, ели*
ваются с началом координат, тогда эллипс постепенно
обратится в окружность, так как отрезки FXM и F%M будут
стремиться совпасть, и когда они совпадут, нить, при
помощи которой чертится эллипс, будет действовать
наподобие циркуля.
Наоборот, если фокусы отодвигаются от начала
координат, то эллипс постепенно сплющивается, и когда фокусы
совпадут с концами большой оси, нить совпадет с осью
абсцисс и острие будет двигаться только по отрезку
А\АЪ так что эллипс вырождается в прямолинейный
отрезок АхАг>
Степень сжатия эллипса принято характеризовать
дробью
е — с/а.
Эта дробь называется эксцентриситетом эллипса. Из
вышесказанного следует, что он может изменяться от нуля
до единицы, причем для окружности эксцентриситет
в шш о/а «■ О,
а для эллипса, выродившегося в прямолинейный отрезок,
е ■■ а/а ■■ 1.
§ 3. Построение эллипса по точкам
Данное выше построение эллипса посредством нити
имеет свои неудобства. Поэтому мы дадим еще способ
построения эллипса по точкам.
Согласно определению эллипса сумма расстояний rt
ш г2 для всех его точек должна быть одна и та же. Значит,
если мы, желая перейти от одной точки эллипса к другой,
увеличиваем или уменьшаем г1} то г2, наоборот, должно
88
уменьшиться или увеличиться и притом на такую же ве·
личину.
Основываясь на этом, построение эллипса можно осу·
шест вить так (рис* 59).
Сначала строим точки Ах и Аг+ Мы видим, что А2 есть
точка касания двух окружностей, из которых одна имеет
Рис 59
центр в фокусе Fx и радиус, равный FxA2i а другая —
центр в фокусе Рг и радиус F%A2.
Дальнейшие точки эллипса иол учим уже пересечением
пар окружностей с центрами в фокусах Fx и F2 и
радиусами гх и г2, соответственно равными
гх = Fxa2, г2 = F2&zl
т. е. каждое новое значение г2 больше, а новое значение rt
меньше предыдущего на одну и. ту же величину·
Разумеется, чем ближе друг к другу точки
СС2, <Χχ, А 2, β'ι, β2>
тем точпее наше построение.
Левая половина эллипса строится таким же путем,
причем здесь мы будем начинать от точки Ах. Учащимся
рекомендуется самим построить этим способом эллипс
по данным: a = 5, с = 4.
89
§ 4. Уравнение эллипса
а. Для любой точки Л/ (х; у) эллийса (рис, 60) мы
должны иметь
гг + г2 = 2а. (1)
Очевидно, гг есть расстояние между точками Рг (-— с\ 0)
и Μ (х\ у)% точно так же г2
есть расстояние между
точками F2 (c\ 0) и Μ (х\ у).
Поэтому по формуле рас*
стояния между двумя
точками получим
гг - Y(x + с)2 + у\
Рис, 60
rz = Y(x-.c)2 + y\
Подставляя эти выражения в равенство (1), получим
VWTWT7+ V(x - of + у* = 2а. (2)
Это и есть уравнение эллипса, но оно имеет довольно
сложный вид, а потому мы постараемся его упростить·
А именно, перенося первый радикал в правую часть, мы
возведем в квадрат обе части уравнения, благодаря чему
освободимся от одного радикала:
Ϋ(χ - с)2 + у2 = 2а - γ(χ + с)2 + у2",
(х - с)2 + у2 = 4а2 - 4а / (я + с)2.+ у2 + (х + с)2 +
+ У*.
Раскрывая скобки в левой и правой части и вычеркивая
из обеих частей равенства одинаковые члены, получим
** - 2хс + с* + у* — 4а2 — 4а γ{χ + е)г + у* + х* +
+ 2*е-Ь с8 + у8,
-2л» = 4а* - 4а /(а? + с)* + V* + 2а».
Теперь уединим оставшийся радикал и, сократив обе
части уравнения на 4а, получим
4а f(x + с)2 + уг = 4а2 + 4 же,
^ (* + с)2 + У« - а + -£-*.
(3)
Последнее равенство понадобится нам в дальнейшем,
но сейчас мы еще раз возведем в квадрат обе его части, чем
90
избавимся от последнего радикала:
(а; + cf + уа - α* + 2сх + -J «·,
ж» -Ь 2а:с + с* + »а » аа + 2сх + -J· ж2,
или, приводя- подобные члены, имеем
*>(1-£) + Уг = **-с*. "^-^ У* = а*-сК
Разделив обе части равенства на а2 — с2, получим
-ία*
Вспоминая теперь, что а2 — с1 = Ь2, получим
уравнение эллипса в простейшем виде
V + -S-1· (5)
Последнее уравнение получено путем упрощения ос-
вовного уравнения (2), поэтому координаты каждой точки
эллипса ему удовлетворяют. Следует, впрочем, заметить,
что, производя упрощения, мы два раза позволили себе
возводить обе части уравнения в квадрат. Это
обстоятельство имеет немаловажное значение, так как из алгебры
мы знаем, что при возведении уравнений в квадрат могут
появиться посторонние решения, а потому не исключена
возможность, что уравнению (3) удовлетворяют
координаты каких-либо точек, не принадлежащих эллипсу.
Однако в данном случае эти опасения не оправдываются. Мы
сейчас покажем, что никакие точки,4 же принадлежащие
эллипсу, не удовлетворяют уравнению (4). Для этого
решим уравнение (4) относительно у. Тогда будем иметь
ν~±±γ*τ=τ*. (6)
b. Рассматривая полученное уравнение, мы видим, что,
во-первых, абсциссы не могут по численной величине
.превосходить число а, так как иначе правая часть равенства
(6) будет мнимой.
Во-вторых, каждой абсциссе соответствуют численно
равные и противоположные по знаку ординаты. Но то же
самое мы наблюдаем и на чертеже эллипса, сделанном
посредством нити. Поэтому уравнение (5) вполне
соответствует чертежу и, следовательно, не может
удовлетворяться никакими точками, кроме точек эллипса»
91
§ 5. Связь эллипса с окружностью
a. К эллипсу можно подойти еще с другой точки
зрения, чем мы это делали до сих пор. Мы покажем сейчас,
что эллипс с полуосями а и Ь можно получить из
окружности радиуса а, центр которой, как и у эллипса, нахо*
дится в начале координат, путем умножения длин всех
ординат на одну и ту же дробь b/α. Действительно, если
через у\ и у обозначим соответственно ординаты
окружности и эллипса, отвечающие одной и той же абсциссе χ
(рис. 61), то
Сравнивая эти уравнепия, получим равенство
6
которое и доказывает паше утверждение.
b. Указанное изменение ординат окружности с целью
подучить из них ординаты эллипса можно сделать чисто
Рис, 61 Рис. 62
геометрически, и тогда мы получим другой способ
построения эллипса.
Для этого строим две концентрические окружности с
радиусами а и Ь и центром в начале координат.
Если теперь мы возьмем какую-либо точку Мг на
внешней окружности^ то путем построения, указанного на
рис, 62, мы немедленно получим соответствующую точку
Μ эллипса. (Строим радиус ОМг и ординату КМи тогда
прямая, проведенная через точку L параллельно оси
абсцисс, пересекаясь с ординатой КМи и дает искомую точку
Μ эллипса.)
92
Действительно! имея в виду теорему о
пропорциональности отредковд отсекаемых параллельными прямыми на
сторонах угла1 имеем
т« е. КМ получается из ординаты окружности путем
умножения ее на bjat а следоватадьно1 КМ и «есть ордината
эллипса*
§ 6. Директрисы эллипса
а. В § 4 нами получена формула (3)· Как мы видиму
ее левая часть выражает расстояние от точки Μ (χ; у)
эллипса до левого фокуса. Следовательно, формула (3)
может быть переписана так:
гг = а — ех (е = с/а)* (1)
Если вынесем в правой части эксцентриситет е за скоб-
кул то получим
•(■f-)·
b* Выражению в скобках можно дать простое
геометрическое толкование. Для этой цели строим прямую PQ%
параллельную оси Оу и задаваемую уравнением χ =
=ί —ale (рис, 63) (так как е <11 то она не принадлежит
Ρ
й
L" ЗГ^
С#
\'
χ Ι \
χ
Рис. 63
эллипсу). Эту прямую назовем директрисой левого
фокуса; если мы рассмотрим расстояние dt от точки Μ (χ; у)
до директрисы, то увидим, что оно как раз равняется
выражению в скобках.
Поэтому формулу (1) можно переписать так: rt = edlf
или гг/ах = е%
93
§ 7. Гипербола· Построение посредством вита
а# Гиперболой называется геометрическое место точекЛ
для каждой из которых разность расстояний до двух
данных точек Ft и F2y называемых ее фокусами; есть величина
постоянная.
Постоянную разность расстояний обозначим через 2а,
так что для любой точки Μ гиперболы имеем (рис. 64)
г±-г2 = ±2а (1)
(знак + берем, если гг > г2, и знак — берем, если гг <
Ь. Построение гиперболы можно осуществить
посредством нити и чертящего острия с малым кольцом около
него. Согнув нить вдвое (в точке Ν) с тем расчетом2 чтобы
Рис. 64
разность длин -полученных частей нити равнялась 2а%
закрепим затем концы нити в фокусах Fx и F2, согнутый
же вдвое конец нити проденем через кольцо.
Если теперь, взяв нить за согнутый конец N, мы будем
поддерживать ее в натянутом состояпии и одновременно
другой рукой будем двигать чертящее острие, то. и
получим гиперболу. Действительно, при любом положении
чертящего острия разность расстояний его до фокусов
будет оставаться неизменной (насколько увеличится или
уменьшится ги настолько же увеличится или уменьшится
и г2).
с. Середина расстояния между фокусами называется
центром гиперболы у так как относительно этой точки
гипербола симметрична,
94
Длина FxFt называется фокусным расстоянием. Мы
ее обозначим через 2с4 а половина этого расстояния на*
зывается полуфокусным расстоянием^ она равна с.
Весьма удобно центр гиперболы принять за начало
координат, а за ось абсцисс принять прямую,
проходящую через фокусы (как на рис. 64). Тогда координаты
фокусов будут
Fi(-c;0)% F%(c;0).
d. Всякий отрезок, соединяющий две точки гиперболы,
если он проходит через центр, называется диаметром
гиперболы. Рассматривая форму гиперболы, мы видим,
что наименьший диаметр лежит на оси абсцисс; этот
диаметр АгА2 называется действительной осью гиперболы*
Нетрудно показать, что длина действительной оси
гиперболы равна 2а.
В самом деле, основное, свойство гиперболы (1),
справедливое для всех ее точек^ справедливо и для точек At
и Аа. Поэтому
FXA2 - F2A2 = 2α« (2)
Но из чертежа видно, что
FXA2 = с + ОА2, F2A% = с — ОА2*
Ввиду этого равенство (2).дает 20A t = 2а% или ОАг = а*
Ясно, что и Л^ = аг так что АгАг~ 2а.
Число а называется действительной полуосью. Концы
действительной оси, т. е. точки Аг и Л2, называются
вершинами гиперболы.
e. Совершенно ясно далее, что для гиперболы 2а <
<2<г.
Действительно (рис. 64), разность двух сторон
треугольника меньше или равна третьей и потому из
треугольника FtMF2 имеем
F,M -F2M<FtF2% Г1-г<2с, 2а < 2с, а < с.
Поэтому также будем иметь а2 ^ с2, и выражение аг — с*
для гиперболы будет уже отрицательным (а не
положительным, как у эллипса). Это выражение мы обозначаем
теперь уже через —б8:
а* - с* = -ft2.
Геометрический смысл величины Ь выяснится дальше·
95
Отношение с/а = е для гиперболы тоже носит назва-
ние эксцентриситета» Но здесь ввиду а < с имеем
тогда как для эллипса
е<1.
§ 8. Построение гиперболы по точкам
Данное выше построение гиперболы посредством нити
имеет свои неудобства. Поэтому мы дадим еще один
способ построения гиперболы по точкам.
Согласно определению гиперболы разность
расстояний Γχ и га для всех ее точек должна быть одна и та же»
Значит, если мы, желая перейти от одной точки
гиперболы к другойд увеличиваем или уменьшаем г1х то га тоже
должно увеличиться или
уменьшиться, и притом на такую же
величину.
Основываясь на этом, пост-
роение гиперболы можно
осуществить так (рис, 65).
Строим сначала точки Аг и
А2. Мы видим, что А 2 есть
точка касания двух окружностей,
из которых одна имеет центр в
фокусе /^ирадиус, равныйFxA2t
а другая имеет центр в фокусе
F2 и радиус, равный F2A2.
Рис, 65 Дальнейшие точки
гиперболы получим уже
пересечением пар окружностей с центрами в фокусах Fx и F2 и
радиусами гг и г2х соответственно равными
ri = Fxa1% r2 = F2$lx
Гг = Ftix2( г2 = F2$2i
rt = /^оьз, га = /?2β8ι
т. е, каждые новые значения rt и г2 больше предыдущих
на одну и ту же длину.
Чем ближе точки..., α8, α2, аи Аг βχ, β2, β31 , . η тем
точнеег конечно1 наше поетроение,
96
§ 9. Уравнение гиперболы
а. Для любой точки Μ {х\ у) гиперболы (рис. 66)
fj — г2 = ±2а.
Рассматривая же гг как расстояние между точками
Fx (—с; 0) и Μ (х\ у), а г2 как расстояние между точками
F2 (с; 0) и Μ (х\ у)х имеем
отсюда
Ϋ (х + of +Ύ-
- У(я-с)2 + 3/2 « ±2а.
(1)
Это и есть уравнение ги-
перболыа но оно имеет
довольно сложный вид, а
потому мы постараемся его
упростить.
А именно, перенеся
первый радикал в нравую
часть, мы возведем обе
части уравнения в квадрат
с
Рис. 66
целью освободиться от одного из радикалов:
- γ(χ - cf + у* « ±2а - γ(χ + с)* + у\
Однако, сравнивая это уравнение с соответствующим
уравнением для эллипса, мы видим, что эти уравнения
отличаются друг от друга только знаком^ стоящим перед
радикалом в левой части.
По возведении же в квадрат это различие пропадет,
а потому дальнейшие преобразования будут такие же
точно, как и у эллипса, вплоть до уравнения (4) § 42 т, <е мы
придем к уравнению
β* ^ а* — с2
Но тогда как у эллипса было
а2 - сг = Ъ\
здесь мы должны положить
а*-с* = -*%
а потому уравнение (2) примет вид
(2)
(3)
97
b. Далее, как и у эллипса, здесь не лишним будет
проверить, не будут ли уравнению (3) удовлетворять какие·
либо точки, не принадлежащие гиперболе.
Но4 решая уравнение относительно у% имеем
y = ±±YW=lP. (4)
Мы видим, что, во-первых, абсциссы по абсолютной вели·
чине могут быть только больше или равны а (а? > а2)
(иначе правая часть уравнения (4) будет мнимой).
Во-вторых, каждой абсциссе отвечают численно равные
и противоположные по знаку ординаты. Но то же самое
мы наблюдаем и на чертеже гиперболы, сделанном
посредством нити.
§ 10. Асимптоты. Геометрическое значение Ь
a. Явному уравнению (4) § 9 гиперболы можно при*
дать следующий вид (беря пока только знак +):
Эта форма уравнения гиперболы позволит нам
исследовать, что будет, когда точка Μ гиперболы удаляется
в бесконечности т. е. когда абсцисса χ точки Μ
бесконечно возрастает.
Если χ бесконечно возрастает^ то выражение под
знаком радикала, а следовательно, и сам радикал
приближается к 1 (потому что дробь α/χ, имея бесконечно
возрастающий знаменатель, приближается к нулю).
b. Попробуем поэтому заменить этот радикал
единицей и посмотрим, что тогда сделается с у. Будем иметь
У1--Г*· (2)
т. е. у обратится в ординату прямой с угловым
коэффициентом bfa, проходящей через начало координат.
c. Так как отброшенный радикал меньше 1, то уг^> у%
т. е. любая ордината прямой больше соответствующей
ординаты гиперболы (2). Следовательно, прямая лежит
выше гиперболы.
d. Изучим разность d =* уг — у между обеими
ординатами (на рис. 67 d = МХМ)Ш Имеем
98
α Τ/ α* τ/ α3 з
(потому что отброшенный знаменатель больше 1), Итак
d<^ . Но при бесконечном возрастании χ эта дробь
стремится к нулю и^ следовательно, к нулю стремится и d*
Ряс, 67
Итак, при бесконечном возрастании χ разность d =э
=. У\ "· У между ординатами прямой и гиперболы
приближается к нулю.
Иными словами, при бесконечном возрастании χ
гипербола приближается к прямой ON. Эта прямая, таким
образом, является асимптотой гиперболы.
e. Ввиду симметрии нижний конец правой ветви
гиперболы будет иметь асимптотой прямую у = х\ эти
же асимптоты
Ь ь
y= — xt y = -—x
будут служить и асимптотами концов левой ветви
гиперболы.
f. Теперь нетрудно установить и геометрическое
значение Ьл
99
Действительно, рассмотрим ординату у ** АВ
асимптоты, восставленную из вершины А, Ее абсцисса χ ■■
«= ОА = аА и потому, имея в виду( что координаты точки
В должны удовлетворять уравнению (2) асимптоты^
получим
а
Итакг Ъ « Л2?, т. е. равно ординате асимптоты^
восставленной из вершины гиперболы.
g, Заметим еще, что из треугольника ОАВ ввиду ОА «*
» ал АВ = 6 имеем
| ОВ | « /а2 + Ь2 « в.
Этим обстоятельством удобно пользоваться для
построения фокуса» Построив точку В по данным а и Ь1
откладываем далее OF = ОВ на оси Ох.
§ Ц. Директрисы гиперболы
а, В § 9 нами было сказано, что, начиная с известного
местад вывод уравнения гиперболы будет совпадать с
Рис. 68
таковым для эллипса. Следовательно, и для гиперболы
будем иметь равенство
гг = а + ех (е = с/а).
Если теперь вынесем в правой части эксцентриситет е
за скобку2 то получим
n-e(-f + ,). (1)
b* Выражению в скобках можно дать простое
геометрическое истолкование (рис, 68), Для этой цели строим
100
прямую РгР с уравнением
χ = — ale.
Тогда расстояние dx = DM от точки Μ до этой прямой
будет
dt = DDi + ОгМ = ^ + ху
т. е. как раз равно выражению в скобках. Формула (1)
принимает вид
Γχ = edi, или -^- = е.
с. Нетрудно показать далее, что правому фокусу F%
будет отвечать и правая директриса Р0Р' с уравнением
χ = а/е. Подставляя гх = а + ех в равенство гх —· г = 2а,
получим
г = а + м? — 2а = ех — 2 = е (х ~ ).
Мы видимх что выражение в скобках равно как раз
расстоянию
dz = D9M = DiM - Ζ>!Α> = х — -j-,
или
1Γ = '. (2)
Прямая РХР называется директрисой* отвечающей
фокусу F±. Формула (2) показывает, что отношение
расстояний любой точки гиперболы до фокуса и до директрисы
есть величина постоянная, равная эксцентриситету е
гиперболы.
§ 12. Парабола. Построение по точкам
а. Выше мы показали, что как эллипс, так и
гиперболу можно рассматривать как геометрическое место точек»
отношение расстояний которых до фокуса и до
директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету е:
г
Т=е'
На рис. 69 мы умышленно взяли для эллипса левые
фокус и директрису, а для гиперболы — правые.
Разница между эллипсом и гиперболой, однако,
состоит в том, что для эллипса с/а = е < 1, тогда как для
гиперболы с/а = е> 1_. Естественно возникает вопрос:
101
посмотреть, нет ли кривой, у которой всегда е = 1.
Кривая, отвечающая этому случаю^ не будет ни эллипсрм4
Рис,
ни гиперболой· Это будет новая кривая — ее называют
параболой.
Таким образом2 для любой точки параболы
rid =* 1, г « dx
ff« е* расстояния от нее до фокуса и до директрисы равны·
Ь, Парабола есть геометрическое место точек, равно*
удаленных от фокуса и от
директрисы.
Директрису PQ ш фокус
F располагают, какукаэа-
но на рис. 70. Середина О
отрезка KF
(перпендикулярного к директрисе)
принадлежит параболе, так
как равноудалена от
фокуса и директрисы. Ее мы
принимаем за начало ко·
орДинатг направляя ось
абсцисс по KF.
Точка О называется
вершиной параболых форма
параболы, очевидно,
зависит только от расстояния
KF* Это расстояние
обозначается буквою ρ и назы-
рис 7q вается параметром
параболы*
ИмеемА очевидно1 равенство
KO = OF « р/2.
Координаты фокуса F будут (р/2; оу.
102
с. Чтобы выяснить, какую форму имеет парабола,
покажем, как ее можно построить по точкам. Согласно
определению расстояния г и d от любой точки параболы до
фокуса и до директрисы должны быть равны. Поэтому,
если мы, желая перейти от одной точки параболы к
другой, увеличиваем или уменьшаем г, то d должно тоже
увеличиться или уменьшиться и притом на такую
же.величину.
Основываясь на этом, построение параболы можно
осуществить так.
Сначала строим вершину О. Мы видим, что О есть
точка касания окружности с центром в F и радиусом FO
с осью Оу.
Дальнейшие точки параболы получим уже
пересечением прямых, параллельных Оу, и окружностей с центром
в /?, причем расстояния d прямых от директрисы и
радиусы окружностей берутся соответственно равными:
г = Fau d = K$l%
г = Fa2i d = K$2t
r = Fa3, d = #β3,
так что каждые новые г и d больше предыдущих и притом
на одну и ту же величину*
§ 13. Уравнение параболы
a, Для каждой точки параболы имеем
г = d. (1)
Но г можно рассматривать как расстояние между точками
F (р/2; 0) и Μ (χ; у) (рис. 71), и потому
Далее имеем * |
d = DiM = DiD + DM = ^ + х.
Поэтому равенство (1) принимает вид
b. Однако найденное уравнение следует ещё
упростить. Возводя в квадрат и раскрывая скобкиА имеем
& — рх + -£· + у2 = -j- + Ρχ + *■ ·
103
Приводя подобные члены1 мы и получим простейшее
уравнение параболы
У* = 2рдг. (2)
с. Решая это уравнение относительно у% имеем
у - ± γ2$χ.
Отсюда видим, что χ может принимать только
положительные значения (и нуль)* иначе у будет мнимым. При этом
каждому положительному χ отвечают
два значения у* Итак, форма парабо-
лы<( получаемая согласно уравнению
(2)f в точности соответствует
чертежу 4 сделанному выше.
d. Связь с параболой у =* ахК
Наша цель — показать, что
рассмотренные нами раньше параболы
у = ах2
F(P№
те же самыеА что и рассматриваемые
сейчас.
Рис· 7* Действительно, поступим с
графиком параболы у* = 2рх так, как
мы это делали в начале книги при рассмотрении обрат*
ных функций. Повернем плоскость чертежа вокруг
оси (биссектрисы первого координатного угла) на
180° (рис, 72). Тогда ось Ох
совпадет с Оу и ось Оу совпадет с Ох.
Парабола займет новое положение.
Ее новое уравнение получим из
старого, переставив в нем у на
место χ и χ на место у% Оно теперь
будет
я* = 2ру,
или
Из этого
имеем
У=-2Г*Я-
уравнения, употребляя
-2f = a>
Рис, 72
обозначение
у = ах£
104
§ 14. Преобразование координат
а. При решении какого-либо вопроса методами
аналитической геометрии (например, при изучении свойств
кривых линий) весьма важно бывает целесообразным
образом выбрать координатные оси.
Может оказаться, что при одном выборе осей
координаты некоторых интересующих нас точек или уравнения
интересующих нас линий выглядят сложно.
Тогда возникает вопрос о замене выбранных осей
новыми, относительно которых можно предполагать, что
интересующие ндс координаты или уравнения получаются в
более простом виде.
Но когда новые координатные оси намечены, возникает
вопрос, как, зная старые координаты точек или
уравнения линии, найти новые координаты или уравнения.
Для решения поставленных задач служат так
называемые формулы перехода, связывающие старые координаты
точки с новыми ее координатами.
Именно, эти формулы дают
выражения старых координат (х\ у)
точки через новые координаты (хх; уг).
1). Начнем с простейшего
случая, когда новые оси имеют новое
начало координат, но старое
направление, т. е. когда они
параллельны старым.
Пусть (а; Ь) — старые
координаты нового начала Ог и Оххх, Охух — новые оси.
Рассмотрим векторную цепь ООхМ и ее замыкающий
вектор ОМ (рис. 73).
Проектируя на старую ось абсцисс, имеем
ηροχΟΜ = ηροχΟΟχ + προ*#ιΛ/,
откуда, ввиду того что
ΏροχΟΜ = хх иро^0О1 =* а$ ηροχΟχΜ = up0ixfiiM = zi,
получим
χ = а + хг<
Аналогично, проектируя на старую ось ординат,
получим
105
Итак, имеем формулы ,
χ = а + хи у =* Ъ + yt
перехода при параллельном переносе осей.
с. Π ρ и Mj3 p. Пусть дан треугольник о_
вершинами LJ1 + Ϋ3; 2 - /2); М<(2 + /3; 3 - /2); N (3 +
+ У^З; — Υ2). Попробуем перенести оси, поместив
новое начало в вершину L. Тогда а == 1 + γ3 и δ =ч 2 —
— ]/г21 и наши формулы для данного случая примут вид
х = 1 + /3 + xit у = 2-\Г2 + уи
или жех выражая новые координаты (ях; г/χ) через старыеЛ
имеем
Χχ = ж _ 1 _ /3, У1 - у - 2 + /2.
Подставляя теперь сюда вместо χ η у последовательно
старые координаты вершин нашего треугольника, получим
следующие новые координаты этих вершин: L (0Х 0)л
Μ (1; 1), N (2; -2).
Таким образом, треугольник имел весьма сложные
старые координаты вершин, новые же координаты очень
простые. Разумеется, это сильно упростит решение всех
задач1 связанных с этим треугольником,
§ 15. Пример на упрощение уравнения кривой
путем параллельного переноса осей
Пусть имеем уравнение кривой относительно старых
осей Ох и Оу. Тогда, подставляя в это уравнение вместо
χ и у равные им их выражения на основании формул
перехода, получим уравнение, связывающее новые
координаты (х; у) любой точки нашей линии^ т. е. новое
уравнение линии.
Удачным выбором новых осей можно достигнуть того§
что новое уравнение линии будет проще старого.
В качестве примера рассмотрим кривую^ заданную
относительно старых осей уравнением
y = -Lx* — 2x + 3.
Что это за кривая, сразу по внешнему виду уравнения
определить трудно. Во всяком случае4 такой кривой мы
еще не рассматривали.
С целью упростить уравнение нашей кривой перенесем
начало координат в точку (а\ Ъ)г координаты которой вро-
106
менно оставляем неопределенными — из дальнейшего
будет видно, как их выбрать наиболее целесообразно.
Вводя в данное нам уравнение вместо χ и у их
выражения по формулам перехода
х = а + хи у = Ь + уи
мы получим новое уравнение нашей линии
1
или
Ь + j/i=* -4-(α + Χι)2 -2(α + хг) + 3,
b + yi = -j- α* 2Γ α xi + Τ"χ* ~ 2α — 2jci + 3'
или, наконец, собирая члены с одинаковыми степенями
уг и х1У имеем
Получив теперь новое уравнение нашей кривой, мы
можем задать себе вопрос, как же
надо выбрать а и Ь, чтобы это новое
уравнение выглядело наиболее просто.
К ответу на этот вопрос можно
подойти так: у нас имеются две буквы α и
Ь, которым мы можем по желанию
придать какие угодно числовые значения.
Эти буквы мы можем выбрать из тех
соображений, чтобы выполнялись ка- q
кие-либо два условия. В качестве этих
условий мы потребуем, чтобы оба по- Рис· 74
следние коэффициенты нового уравнения были нулями,
т, е. чтобы
\а — 2 = 0, -Ι~α* — 2α +3 — 6 = 0,
откуда находим
а = 4, ^-.16—2.4 + 3 — 6 = 0, Ь = — 1.
Итак, если перенести начало координат в точку (4; —1)„
ίο последние два члена уравнения пропадут, и мы будем
иметь новое уравнение нашей кривой в форме
Ух = -у- *ι·
107
А это, как мы видим, уравнение параболы. Расположение
старых осей, новых осей и параболы указано на
рис, 74,
§ 16. Поворот осей
Теперь рассмотрим второй важный случай
преобразования координат, при котором новые оси имеют старое на·
чало координат^ но новые на*
правления»
л^ Пусть новые оси будут Охи
Оуи причем дается угол хОхг =*
Зг/· ss а, которым определяется
положение новых осей
относительно старых и который
называется углом поворота
If* (рио. 75). Рассмотрим вектор-
* ную цепь ОКМ и ее замыкаю-
Рис, 75 щий вектор см.
Проектируя их на старую ось абсцисс, имеем
ηροχΟΜ = ир0хОК + прохЮ/,
откуда ввиду того, что
прохОМ = χ% τιροχΟΚ—x^os а%
ηροχΚΜ = уг cos (α + 90°) =- — уг sin аЛ
получим
χ = хг cos α — уг sin α.
Теперь спроектируем на старую ось ординат:
ироуОМ = прогДйГ+ ъроуКМ,
откуда ввиду того, что
ироуОМ = у, ироуОК = хх sin α,
npoyKM = уг sin (α + 90°) = уг cos α,
получим
у = хх sin α + ^i cos α.
Пример. Упростим уравнение так называемой
равнобочной гиперболы (т. е, гиперболы2 у которой а «- Ъ)
α3 α2 Χ· <υ
108
Ввиду а *= Ъ асимптоты такой гиперболы взаимно
перпендикулярны, и их можно принять за новые оси. Эти
новые оси обозначим, как указано на рис. 76. Мы видим*
что здесь новая ось абсцисс
получается из старой поворотом на
угол α = —45% а потому
формулы перехода будут
х = χι cos (— 45°) — у\ sin (— 45°) =*
= #i cos 45° +у sin 45°= ^J-,
у = х{ sin (— 45°) + уг cos (— 45°) =
= —xi sin 45°+i/i cos 45° = ^pL.
Вводя это
в уравнение
(ДЧ + У1)а— (Iff
2α
(1),
-£ΐϋ-ι
Рис, 76
имеем
откуда
или, полагая для краткости
а2/2 - fc,
имеем новое уравнение нашей гиперболы в виде
*\У\ ?=К У1 = Мхг,
т. е. в том виде, как в начале
нащей книги.
§ 17. Общий случай
а. В общем случае новые
оси будут иметь и новое
начало и новые направления·
Пусть (а\ Ъ) — координаты
нового начала относительно
старых осей и α — угол
наклона новой оси абсцисс к старой (рис. 77). Чтобы вывести
формулы перехода* введем еще вспомогательную систему
осей Охх\ Огу\ у которых новое начало и старые
направления. Координаты точки К относительно
вспомогательных осей назовем {х'\ у')ч
Рис, 77
109
b. Так как оси Огх\ Оху- получаются из осей Ох, Оу
переносом начала в точку Ог (а; Ь), то
χ = а + х\ у = Ь + у\ (1)
Так какА далее, новые оси Otx, Огу получаются из
вспомогательных поворотом на угол а, то
х' = хг cos а — у1 sin а, у' = хг sin а + уг cos а. (2)
Подставляя (2) в (1)Л найдем выражения старых
координат через новые:
χ = а + Χγ cos α — уг sin α, у = 6 + хг sin α + yx cos α.
§ 18. Полярные координаты
а. Кроме прямоугольной (или декартовой) системы
координат, для определения положения точек на
плоскости очень часто пользуются полярными координатами.
Именно, положение какой-либо точки Μ плоскости
определяется расстоянием г от точки Μ до неподвижной
точки О — полярным радиусом и углом φ, который вектор
ОМ образует с неподвижной осью (λτ,—· полярным углом.
Эти г и φ называются полярными координатами точки М,
То обстоятельство, что Μ имеет
координаты г и φ, записывают так:
Μ (г; φ).
Точка О называется полюсом %
прямая Ох —· полярной осью.
Ь. Задание г и φ вполне
определяет положение точки А/, при
этом угол φ может быть любым
числом интервала (— оо, оо),
величина г неотрицательна.
Например, на рис. 78 точка с координатами (9; π/6)
есть точка Μlf а точка с координатами (2; —π/З) есть
точка Мг.
c. Однако обратная задача — нахождение координат
г и φ по заданной точке — Задача неопределенная.
Действительно, если за полярные координаты точки Μ можно
взять (г; φ), то с таким же успехом можно взять и (г; φ —
— 2π) и вообще угол φ можно изменять на любое кратное
2π;
d. Но эту обратную Задачу можно сделать
определенной, ограничив возможность выбора г и φ некоторымр
добавочными условиями, например, потребовав^ чтобы φ
находилось в интервале 0 < φ < 2π,
ПО
§ 19· Спираль Архимеда
a. Всякое уравнение, содержащее г и φ (или только
одну из этих величин), если г и φ рассматривать как
полярные координаты на плоскости, изобразит, вообще
говоря, некоторую линию. Эту линию можно
приближенно построить по точкам. Для этой цели принимаем φ
за аргумент, а г — за функцию. Давая φ ряд значений и
вычисляя согласно данному уравнению соответствующие
значения г, получим ряд точек (г; φ). Геометрическим
местом этих точек будет, вообще говоря, некоторая линия.
b. В качестве первого примера построим график
функции г == αφ.
Для построения углу φ придаем только
положительные значения, отстоящие друг от друга на π/8. (Для
более точного построения вместо π/8 можно было бы
взять π/16, π/32 и т. д.)
Соответствующие значения г вычисляем по следующей
таблице:
Г7"
1 **
о
О
л
3
*-f=b
2ψ
a-2-f=2h
*f
a-3-f=jh
* · ♦ ι
• ·# 1
Таким образом, все построение сводится к
последовательному отложению на сторонах углов 0, π/8, 2·π/8,
3·π/$ι . . . возрастающих длин 0, fe, 2h, 3ft, . . . (рис. 79).
Рис. 79
с. Заметим, что α (φ0 + 2π) = αφ0 + 2πα. Но α (φ0 +
-f 2π) — это полярный радиус, отвечающий
полярному углу φ = φ<>+ 2π;3Ηβ4Ητ, когда полярный угол
φ увеличивается на 2π, полярный радиус увеличивается
на нострянную величину 2 π α.
111
§ 20. Логарифмическая спираль
В качестве второго примера построим график функции
где полярному углу φ придаем все значения от — оо до
оо (рис. 80).
Рис, 80
Беря опять значения φ отстоящими друг от друга на
л/8, составим таблицу соответствующих значений г:
Г
1 г
...
...
-9.*
* в
<Г**=/Г'
Л
«*-Д-'
О
1
π
В
ж
Η
β*·?=Λ*
Ί
a'hh'
•••Ι
• ·· ι
А так как
то все треугольники OKLf образованные двумя
последовательными полярными радиусами и хордой KLf стяги*
вающей их концы, подобны. Угол θ для всех таких углов,
следовательно, будет один и тот же.
§ 21. Примеры на составление полярных уравнений
кривых
а. В качестве примера выведем полярные уравнения
эллипса, гиперболы или параболы. Эти кривые имеют
общее полярное уравнение, которое получим, если будем
исходить из общего свойства этих кривых по отношению
к фокусу и директрисе. Саму кривую располагаем, как
112
показано на рис. 81, помещая директрису справа от
кривой. (Для эллипса А будет правой вершиной, для
гиперболы — вершиной левой ветви, *„
так что для гиперболы рассматриваем
только левую ветвь; наконец,
параболу для вывода полярного уравнения
приходится повернуть на 180°.) Полюс О р*
берем в фокусе F, полярную ось
направляем из полюса F к вершине кривой.
Ь. Обозначим эксцентриситет
кривой буквой е и буквой ρ — ординату,
восставленную из фокуса. Для любой
точки Μ имеем
точ-
Рис. 81
— г cos φ, после
rid - е. (1)
В частности, это верно и для
ки S, т. е. plOD -■ е9 OD = р/е.
Далее, имеем d = ND ■> OD — ОМ
чего уравнение (1) дает
—- ее, г = p — ereosφ, r=s А . р ,
Ρ · г τι 1 -4- е cos φ
-j- — г cos φ -τ τ
Это и есть искомое полярное уравнение.
с. Предлагается самим доказать для эллипса и
гиперболы равенство
ρ - bVa
(рассматривая ρ как ординату, восставленную из фокуса)·
§ 22. Выражение прямоугольных координат
через полярные
Одновременно с полярной системой координат
рассмотрим прямоугольную, у которой начало координат
совпадает с полюсом и ось абсцисс — с полярной осью (рис. 82)·
Если (х\ у)—прямоугольные и (г\ <р) —
полярные координаты точки М, то,
замечая, что χ и у. суть проекции
вектора ОМ на оси Ох и Оуу
.находим
χ ■■ г cos φ, у « г sin φ·
Это формулы перехода от
прямоугольных координат к полярным·
из
§ 23. Уравнение лемнискаты
a. В качестве примера, где найденные формулы
приносят пользу, выведем полярное уравнение лемнискаты·
Эта кривая есть геометрическое место точек,
произведение расстояний которых до двух данных точек Fx и F2
есть постоянная величина а2, где 2а — расстояние F^F^
Таким образом, для любой точки Л/ (х; у) лемнискаты
будем иметь
гхг2 — а2. (1)
b. Приступая к выводу уравнения, мы оси координат
располагаем, как показано на рис* 83. Координаты точек
Fx и Fz тогда будут Рг (—а; 0), F2 (а; 0).
Рис, 83
Рассматривая гг как расстояние между точками
^i (—я; 0) и Μ (х\ у) и г2 как расстояние между точками
F2 (а; 0) и Μ (х\ у), из (1) получим
V(x + а)2 + У* V{x - а)1 + у2 = a\
(χ2 + α2 + у* + 2ах) (χ2 + а2 + у2 - 2ах) « а4,
(*2 +У + а2)2 — Аи2х2 = а4,
(х» + у«)» + 2а2 {χ2 + у2) — 4яV « 0,
Это и есть уравнение лемнискаты в прямоугольных
координатах.
. с. Однако гораздо, проще будет выглядеть уравнение
лемнискаты, отнесенное к полярным координатам (полюс
в О, полярная ось Ох). Его получим, если в уравнение (2)
заменим χ я у тих выражениями, получаемыми из формул
перехода
χ =5 г cos φ, у = г sin φ.
If*
Тогда уравнение (2) примет вид
lr2 (cos2 φ + sin2 φ)] = 2a2r2 (cos2 φ — sin2 φ),
или
г2 = 2α2 cos 2φ,
или, извлекая корень и оставляя только знак +,
г = αγ2 Υ cos 2φ.
d. В заключение дадим краткое исследование формы
лемнискаты согласно найденному уравнению. Ход
изменения г с изменением φ ясен из нижеследующей таблицы:
Возрастает от 0° до
45°
Возрастает от 45° до
135°
Возрастает от 135Q
fa
Возрастает от 0° до 90°
Возрастает от 90° до 270°
Возрастает от 270° до
360°
Убывает от Л =
= а\[1 до 0
Мнимое
Возрастает от 0
до h
до 180*
При дальнейшем изменении от 180° до 360° все указанные
изменения г повторится в той же последовательности.
Эта таблица подтверждает форму лемнискаты,
изображенную на рис. 83.
§ 24. Параметрическое задание линий
а· Очень часто при изучении функциональной
зависимости между χ и у обе эти переменные рассматриваются
не как функция одна другой, а как функции некоторой
третьей переменной t:
я = φ (<). У β Ψ (0·
(i)
Эта третья переменная теперь является аргументом,
а х и у — функциями от нее.
Этот новый аргумент t обыкновенно называют
параметром, а само представление функциональной
зависимости в форме (1) — параметрическим.
Ь. Два параметрические уравнения (1) связывают три
переменные ΐ, χ, у. Если бы мы из этих уравнений
исключили t, то получили бы одно уравнение, уже непосред-
115
ственно связывающее χ и у, т. е. обычное уравнение между
χ и у.
Однако такое исключение t может или оказаться
невозможным, или же если и возможно, то привести к
сложному уравнению.
Но мы увидим далее, что в таком исключении нет
большой надобности — можно изучить зависимость между χ
и у и, в частности, построить график этой зависимости,
основываясь непосредственно на уравнениях (1).
§ 25. Построение графика
а. Для построения графика придаем аргументу t
ряд значений и по уравнениям (1) § 24 находим ряд гоот-
ветствующих пар значений χ и у, которые принимаем за
координаты точки на
плоскости. Соединяя эти точки
плавной линией, мы и получим
график зависимости между
χ и у.
Ь. В качестве примера
построим график функции,
заданной следующими
параметрическими уравнениями:
χ =а a cos5* i, y=a sin8 t, (1)
полагая для простоты α=8·
Имеем таблицу (нами
взяты только те значения t,
для которых cos t и sin t
вычисляются просто, вычисления проведены с точностью до
0,1):
t
1 х
1 У
0
8
0
я/rt
)/*ТГ^ь,г
1
Я/4
Vr8"^2,8
2,8 !
π/3
1
5,2
η/2
0
8
Мы остановились на t = π/2, так как при дальнейшем
изменении t в интервалах (π/2, π), (π, 3π/2), (3π/2, 2π)
получатся участки кривой» подобные построенному.
Чтобы знать, какая точка какому значению параметра
отвечает, около точки мы ставим соответствующее
значение параметра (рис. 84),
Рис. 84
116
Построенная кривая называется астроидой. Чтобы
получить обыкновенное уравнение астроиды, исключаем
t из уравнений (1). Имеем
{-г)1,' = ™<> (-ff=si^
откуда, возводя в квадрат и складывая, найдем
Φ"·+(-9"·=ι
или, наконец,
§ 26. Циклоида
Циклоидой называется кривая, описываемая какой-
либо точкой Μ окружности, катящейся по прямой.
За начало координат О возьмем то положение точки Μt
когда она является точкой касания окружности и прямой·
Построение циклоиды можно осуществить посредством
линейки и катящегося по ней круга с прикрепленным на
его ободе чертящим острием Μ (конечно, круг катится
по линейке в плоскости чертежа).
Чтобы вывести параметрические уравнения циклоиды,
возьмем за параметр t угол NCM (рис. 85; положительным
ΘΈΑΝ ОТЗр
Рис, 85
здесь приходится считать вращение по часовой стрелке)»
Так как круг катится без скольжения, то
ON = NM = at.
Далее, находим
х = ОА =5 ON — AN = at — a sin t = a (t — sin t)t
у — AM — NB = NC — £C = a — л cos t —
= л (1 — cos f).
Итак, параметрические уравнения циклоиды будут;
χ = α (J — sin i)» у = α (t — cos ί).
117
§ 27. Упражнения
1. Наиисагь уравнение окружности радиуса 2 с цен-
X 2") +(^ + "2") =^#
2. Найти общее уравнение той же окружности.
Указание. Общим уравнением окружности называется
уравнение, получаемое раскрытием скобок и приведением
подобных членов. Ответ: 2х2 + 2у2 — Ьх + Юу + 9 =
= 0.
3. Какое геометрическое значение имеют уравнения:
a) х2 + у2 - Ах - 6у - 3 = 0,
b) . х2 + у2 - Ах - 6^ + 13 - 0,
С) х2 + уг _ 4х — 6у + 17 = 0?
Ответ: а) окружность (я — 2)2 + (у — З)2 = 42; Ь)
точка (2; 3); с) уравнение не изображает никакой кривой.
4. Написать уравнение окружности радиуса а с
центром (а; 0) и построить ее, полагая а = 2. Ответ: х2 +
+ ι/2 - lax = 0.
5. Какой вид имеет общее уравнение окружности,
прозе одящей через начало координат? Ответ: х2 + у2 +
•f Ax + By = 0.
, 6. В каком виде может быть написано общее
уравнение окружности, концентрической по отношению к
окружности х2 + у2 + Ах + By + С = 0? Ответ: х2 +
+ у2 + Ах + By + Сг = 0.
7. Привести к виду (х — т)2 + (у — л)2 = а2 и
построить следующие окружности:
a) х2 + у2 - Ах - 6у - 12 = 0,
b) я2 + у2 - 2* - 1у = 0,
c) З*2 + Ъу2 + 6* - 1у - 2 = 0,
d) χ2 + у2 + χ = 0,
e) *■ + у2 + 2у - 8 = 0,
f) х2 + у2 + 2х + 1у + 1 = 0.
0me<?m: а) (я — 2)2 + (у - З)2 = 52, Ь) (лг — I)2 + (у — I)2 =
-ί/ϊ)\β)(χ+ν+(,4ΗτΓ. d)(-+4-)2+
+ *2 = (τ)2 ·е)х* + {у + *>■-*■f) (* + *)*+(у+i)2=i2.
8. Найти уравнение окружности, для которой точки
(2; 2) (8; 10) являются концами одного из диаметров.
Ответ: х2 + у2 - ίΟχ — i2y + 36 = 0.
118
9. Найти уравнение окружности, проходящей череэ
точки (1; —1), (2; 6), (9; 5). Ответ: х2 + у* — ίΟχ —
_ Ау + 4 = 0.
10· Найти уравнение окружности, проходящей черев
точки (1; 1), (0;2), (2; 3). Ответ: Зх2 + Зу2 - 7х —
— 13у + 14 = 0.
Указание. Написать уравнение окружности в
общем виде х2 + у2 + Ах + By + С = 0, а затем
определять коэффициенты из тех соображений, что координаты
точек должны удовлетворять уравнению.
11. Найти точки пересечения окружности х2 + у2 —
— 2х — 2у — 3=0 с прямой χ + у — 1 = 0. Ответа
Мх (2| -1), М2 (-1; 2).
12. Найти точки пересечения окружности х2 + у2 —
— 5 = 0 с прямой я — у — 1 = 0. Ответ: (2; 1), (—lj
-2).
13. Найти точки пересечения окружности х2 + у2 —
— 2х — Зу = 0 с прямой ж + у — 4 = 0. Ответ: (2; 2).
14. Найти точки пересечения окружности х2 + у2 = 1
с прямой χ + у — 4 = 0. Ответ: не пересекаются.
15. Доказать, что уравнение любой окружности,
проходящей через точки пересечения окружности х2 + у2 +
+ 4# + Ву+С = 0 с прямой Lx + My + Ν = 0, может
быть написано в виде
т (х2 + у2 + Ах + By + С) + n(Lx + My + Ν) = 0.
16. Найти точки пересечения окружностей
х2 + У2 + 2х + 2у - 3 = 0, х2 + у2 - kx - 2у + 3 = 0.
0/шгст: (1; 0), (9/13; 6/13).
17. Найти уравнение окружности, проходящей черев
точки пересечения окружности х2 + у2 + 2х — 2у + 1 ч
= 0 с прямой χ — у + 3 = 0 и через точку (1; 1). От·
вет: х2 + у2 + χ — у — 2 = 0.
18. Показать, что общее уравнение окружности,
проходящей через точки пересечения окружностей
х2 + у2 + Ах + By + С « 0, х2 + у2 + Агх +
+ Вгу + Сг = 0,
можно представить в виде
т (х2 + у2 + Ах + By + С) +
+ п(х2 + у2 + Ахх + В# + Сх) - 0.
119
19. В частности, показать, что уравнение предыдущей
задачи при η = —т изображает прямую, проходящую
через точку пересечения обеих окружностей.
20. Дан эллипс
"W "·" 25 ~~ 1#
Найти а, Ь, с, *, уравнения директрис. Построить
этот эллипс по точкам обоими изложенными в курсе
способами. Ответ: уравнение директрис ζ = ±169/12.
21. Выразить длину диаметра МхМг эллипса как
функцию абсциссы его конца Μ (χ; у) и, исследуя найденное
выражение, еще раз убедиться, что наименьшим
диаметром будет ΒιΒ2 = 2ft, а наибольшим А{А% = 2а.
22. Написать уравнение эллипса, если известно, что
он расположен относительно осей обычным способом и
проходит через точки (2 γ2\ γ2)% (2; /3). Ответ}
' 23. Найти точки пересечения эллипса
и окружности
хг + у* - 25·
Ответ: четыре точки (±4; ±3).
24. Составить уравнение окружности, проходящей
через точки (6; 5) и (—1| 4), если известно, что ее центр
лежит на эллипсе
Ответ: (х — 3)f + (у — I)8 — 25.
25. Если каждая ордината эллипса
α* + *» α
получается умножением ординаты окружности
2s + У1 - в1
яа постоянное число ft/a, то каким способом получается
из площади круга площадь S эллипса и чему она равна?
Ответ: S *= nab.
26. Дана гипербола
"555" 5Г = 1·
120
Найти α, Ь, с, ι, уравнения директрис. Построить эту
гиперболу по точкам. Ответ: уравнение директрис χ —
~ ±225/17.
27. Найти точки пересечения эллипса и гиперболы,
если известно, что они имеют общие фокусы, причем
с = 1\ для эллипса эксцентриситет е = 5/13, а для
гиперболы е = 5/4. Ответ: четыре точки (±52; ±36).
28. Найти длину общей хорды парабол
у2 = 5-тх, ί/ = τΛ
Ответ: 5.
29. Привести к простейшему виду уравнение у =!
= 0,25ха — χ +■ 2. Ответ: у = 0,25#г; начало координат
надо перенести в точку (2? 1).
30. Доказать параллельным переносом осей, что
уравнение
у = Ах2 + Вх + С, А ф 0,
выражает параболу, и найти общее выражение для коорди-
ват вершины. Ответ: вершина в точкеί тгт-; т-а J.
31. Решить эадачу 3 этого параграфа путем
параллельного переноса осей.
32. Доказать переносом осей, что уравнение
*а + у2 + Ах + By + С = 0
всегда или изображает окружность или точку или ничего
не изображает*
33. Переносом осей доказать, что уравнение у = ^Т^ ι
ad Φ be, выражает равнобочную гиперболу.
34. Упростить уравнение у = я3 + Зх2 + Ъх + 7.
Ответ: у = я?, перенос в точку (—1; 6).
35. Доказать, что при повороте осей на любой угол
уравнение окружности х2 + у2 =* а2 не меняется.
36. Упростить путем поворота осей на 45Q уравнение
ХЧ. ,μ ylit as axl\ Ответ: парабола у2 = а γ2χ—~-с
вершиной в точке (a \f2/4; 0) (точнее, часть этой параболы).
37. II утем поворота осей на 30° упростить уравнение бх2 +
г— х2 Vs 1
+ 1у% — 2 γ 3 ху — 4 = 0. Ответ: эллипс -у- -f- -у- = -у,
38. Найти полярные координаты вершин правильного
шестиугольника со стороной ах расположенного* как на
121
рис, 86. Ответ: (0; 0), (α; 0), (α УЪ\ π/6), (2α; π/3), (α 1^3;
π/2), (α; 2π/3).
39. Объяснить, почему уравнение φ = φ0, где φ0 —
постоянная, изображает луч, проходящий через полюс и
наклоненный к полярной оси под
углом φ0.
40, Объяснить, почему уравнение
г = ич где α > 0 — постоянная,
изображает окружность радиуса α с
центром в полюсе·
41. Даны полярные координаты точек
Мг (а |/2>2; π/4),Μ2 (α γ2Ι2± 3π/4),
Λί3(α|^2/2; 5π/4), Μ (α γ2Ι2\ 7π/4)*
Вычислить их декартовы координаты (оси расположены
обычно). Ответ: Мх (а; а), М2 (—а; а), Мъ (—а; — а),
Μ4 (а; —а). _
42. Даны декартовы координаты точек Мг (Ь/2; b }^3/2),
Мг (—6/2; b j/^3/2), Μз (0; —6). Вычислить полярные
координаты, взяв наименьшие положительные полярные углы
(полярная ось расположена обычно). Ответ: Мг (Ь; л/3),
М% (6; 2π/3), Μ3 (6; Зл/2).
43. Дано уравнение гиперболической спирали в
декартовых координатах
y = xtg
jf *2 + Ь*
Выразить его в полярных координатах и начертить эту
спираль. Ответ: г = α/φ.
44. Дано уравнение г = 2а cos φ. Доказать путем
перехода от полярных координат к декартовым, что это
уравнение окружности. Ответ: (х — а)2 + у2 = а2.
45. Вывести полярное уравнение прямой, считая
данными:
1) длину ρ перпендикуляра, опущенного на нее из
полюса;
2) угол α наклона его к полярной оси.
Ответ: г = ——т~ г -
cos (φ — α)
46. Вывести отсюда уравнение прямой в
прямоугольных координатах. Ответ: χ cos α + у sin α — ρ = 0.
47. Начертить следующие кривые:
1) г = α (1 + cos φ) (кардиоида) %
2) г = α (1 + cos 4φ).
122
48. Дана кривая параметрическими уравнениями
Найти ее уравнение. Ответу х* + у* — Ъаху = 0.
49· Дана кривая параметрическими уравнениями
χ = a cos tu у = a sin t.
Найти ее уравнение, Ответ: ^ + ^=1.
50. Материальная точка движется в плоскости так,
что ее координаты выражаются такими функциями
времени: χ = v0tt у = gt2/2. Написать уравнение траектории.
Ответ: парабола у = -—- ж2.
2vo
ла координат. Ответ: окрз^шость х2 + у2 —
52. Дана парабола у2 = 2/>#; найти геометр
51. Дана окружность ж2 + у2 — 2ая = 0. Найти
геометрическое место середин ее хорд, проведенных из
начала; = 0·
геометрическое
место середин хорд, проведенных из начала координат.
Ответ: парабола у2 = рхщ
53. Дан эллипс —+ -|г=1· Найти геометрическое
место точек, делящих расстояние от центра до любой
точки эллипса в отношении 2:1. Ответ: эллипс с
полуосями, равными 2а/3 и 2δ/3.
54. Найти геометрическое место точек, каждая из
которых отстоит от точки (—4; 0) на расстояние, вдвое боль-
шеел чем от точки (—1;0). Ответ:
а2 +у2 = 4.
55. Прямолинейный стержень АВ
скользит 'по координатным осям так,
что длина его АВ = а + Ь
постоянна. Найти, какую кривую описывает
точка С, отстоящая от конца В на
расстояние а% а от конца А — на
расстояние Ъ (рис. 87), Ответ: Рмс-87
эллипс:—5· + -тт = 1.
Указание. Проще всего найти сначала
параметрическое уравнение, взяв, напримерг за параметр угол t%
а затем параметр исключить. Подобный метод полезен во
многих случаях.
56а. Даны точки Мг (—2; 0)» М% (4; 0). Найти
геометрическое место таких точек Мх для которых угол МХММ%
123
вдвое больше угла ММ2МХ. Ответ: гипербола
56b. Дана точка Мг (—а; 0), Найти геометрическое
место таких точек Л/, для которых угол хОМ вдвое больше
х* уъ
угла хМхМш Ответ: ηρ + -jp=l.
57. Даны точки Мг (—1; 0) и Л/2 (1; 0) и прямая у —
в* —1. По этой прямой скользит точка М, Найти
геометрическое место точек пересечения высот треугольника
МгММ*. Ответ: парабола
у = я* — 1,
58. Доказать, что
построение параболы у = ах2, если
дана хотя бы одна ее точка Л/4
kmf
1 У
1^
/
/>
/ /
/
/
/ *
/
/
//
,
/
/
/Ί
' И
Μ
/1
'Ι
—W
о
т к
Рис, 6δ
Рис.
можно осуществить способом, указанным на рис. 88. (Для
большей точности делений можно взять больше.) Приме·
нить этот результат к построению параболы у= -г-х*.
59. Найти геометрическое место точек, для каждой
из которых произведение расстояний до двух данных
точек Fx (—с; 0) и F (с; 0) есть величина постоянная| равная
Л Omeemt (χ2 + у2)2 — 2с2 (х2 — у2) = а4 — с4 (овалы
Кассини; в частности^ при а = с получается лемниската),
60. Дана прямая х^о, Через начало координат
проводятся различно наклоненные прямые. От точек N
пересечения их с прямой χ = а на них откладываются
одинаковые отрезки Ь (рис. 89). Найти геометрическое место
концов Μ этих~ отрезков. Ответ: (х2 + у2) (х — а)2 »
«»я*6а (конхоида Никомеда),
Глава 6
ВЕКТОРЫ, ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Рис. 90
§ 1. Оси, векторы, углы
Так же, как и на плоскости, будем рассматривать оси
и векторы в пространстве. Здесь только следует заметить,
что две оси в пространстве могут и не пересекаться. Одна*
ко, если одну из них передвинем параллельно самой себе
с тем расчетом, чтобы в новом
своем'положении она пересекла
вторую ось, то, каким бы путем
это перемещение ни
совершили, угрл между новыми
положениями осей получится один
и тот же. Этот угол мы и
принимаем за угол между осями
(рис. 90).
Этот угол α будем теперь рассматривать только как
положительный. Он, следовательно, может быть или
острым, или тупым в зависимости от расположения стрелок
ва осях»
§ 2. Проекции
а. Проекцией точки Μ на ось PQ будем называть
точку Μ γ пересечения с этой осью плоскости,
перпендикулярной PQ и проходящей черев#
точку М.
b. Проекцией еектора ΜΝ на
ось PQ называется такой вектор
MtNu лежащий на оси, начало
которого есть проекция начала, а
конец — проекция конца вектора
MN (рис. 91).
c. Так же, как и на плоскости,
величина проекции не изменится,
вектор в новое положение
нарядили же если переместим парал-
Рис, 91
если мы передвинем
лельно самому себе
лельно самой себе ось проекций.
125
Кроме того, очевидно, что пр А В = —пр ВА.
d. Далее, рассмотрим проектирование векторов с
одной оси на другую. Если переместим первую ось вместе
с вектором, в ней лежащим, в новое положение, в
котором бы эта ось пересекла ось проекций, то величина
проекции от этого не изменится (рис. 92). Но тогда мы можем
Рис. 92
применить теоремы* доказанные нами для плоскости
(потому что теперь обе оси лежат в одной плоскости), т. е»
и для пространства справедливы следующие теоремы:
e. Величины векторов относятся как величины
проекций этих векторов на какую-либо ось»
f. При проектировании вектора с одной оси на другую
величина проекции равна величине проектируемого вектораь
умноженной на косинус угла между осямиу и, в частности,
если направление оси одинаково с направлением вектора^
то величина проекции вектора равна его длине>
умноженной на% косинус угла между вектором и осью.
Далее, легко доказывается для пространства теорема^
относящаяся к проекции векторной цепи.
g. Алгебраическая сумма величин проекций отдельных
Звеньев цепи равна величине проекции замыьаюгцего вектора
/рис. 93). Доказательство одинаково с тем* которое было
Рис. 93
для плоскости, с той лишь разницей, что здесь
проектирование точек на ось осуществляется посредством
плоскостей, перпендикулярных оси, а не прямых. Это
доказательство β виде упражнения рекомендуем проделать самим
учащимся.
126
§ 3. Проекции на трв взаимно перпендикулярные оси.
Длина вектора через проекции
а* Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси
Oxt Оуг Oz> исходящие из общей точки Ож расположенные,
как указано на рис. 94. Наша цель — выяснить вопросы,
связанные с проектированием
векторов на указанные оси.
Ьл Пусть вектор АВ
длины г, лежащий на оси MNt
образует с осями углы а% β,
у и имеет проекции х, ytz*
Для большей отчетливости
перенесем вектор вместе с его
осью параллельно самому
себе в новое положение ОР о
тем расчетом» чтобы его
начало попало в точку О*
Указанные выше величины от
такого перенесения не
изменятся, Опуская из нового конца
Ρ вектора перпендикуляры
на плоскости хОу, $)ζχ Юх% строим параллелепипед^ как
показано на рис» 94* Вектор ОР является диагональю
этого параллелепипедаэ иА следовательно, квадрат его длины
равен сумме квадратов трех его измерений:
Рис. 94
но
\ОР р- \OAt\* + \OBt |2+ \ОСг
\ОР \~г% ОАг = х,
ОВг = у% ОСг~г%
и4 следовательно,
* - \х?+ \у ? + I* I2 = χ2 + у2 + z\
г« V*2 + U2 + z\ (1)
Длина вектора равна корню квадратному из суммы
квадратов его проекций.
. Например, длина вектораг имеющего проекции
χ = 2, у =я —3, ζ = 6*
будет
8 4. Простейшие зависимости, содержащие величину
вектора, проекции и направляющие косинусы
а* Косинусы cos a* cos β, cos γ углов* образуемых
осью вектора с осями Oxs Oy$ Ozf называются направляю*
щими косинусами% так как характеризуют направленно
вектора,
Ь. Согласно теореме о величине проекции вектора
проекции хх у% ζ вектора получатся умножением его величины
ρ на указанные направляющие косинусы:
χ » ρ cos as у = ρ cos βΛ ζ » ρ cos γ* (1)
с* В частности возьмем направление оси совпадающим
с направлением самого вектора; тогда ρ обратится в длину
г вектора и cos a% cos β, cos у — в направляющие
косинусы самого векторад и найденные формулы примут вид:
χ «в г cos аг у =» г cos β, ζ ·* г cos γ. (2)
d. Ив этих формул можно выразить направляющие
косинусы вектора через его проекции:
X X
cosa = —=
(3)
e. Геометрически ясно, далее1 что сами направляющие
косинусы не могут быть независимыми, потому что когда
известны два угла α и β, для UP возможно только самое
большее два направления^ (например4 на рис, 94, кроме
изображенного на нем, е'ще симметричное направление
ОРг ниже плоскости х0у)9
Мы выведем сейчас уравнение1 связывающее эти
направляющие косинусы. ДействительнОд возводя (2) в
квадрат и складывая, имеем
я2 + у2 + *- = г2 (cos2 a + cos2 β + cos2 γ)Λ
откуда^ деля обе части на г2 =s я2 + у2 + z2j получим
cos2 a + cos2 β + cos2 γ » 1. (4)
f. Например» найдем проекции хЛ уЛ ζ вектора длины
6А образующего с осями равные острые углы»
Здесь a « р - ^ и потому равенство
cos2 a + cos2 β + cos2 γ == 1
128
обращается в
3cos2a « 1, cos2 a - 1/3, cos a = 1/УХ
Берем знак плюс, потому что угол α по предположению
острый. Итак,
cos a = cos β = cos γ =* 1/У"3,
и следовательно» согласно формуле (2) ввиду >-6 по*
лучим
х » у » ζ - e-l/VT- 6//3"- 2 1^3.
Найдем еще направляющие косинусы вектора,
заданного проекциями χ « 1, у = —2, 2 = 2.
Указанные косинусы можно было бы вычислять
непосредственно по формулам (3) в окончательном виде,
Однако удобнее раньше вычислить г. Имеем
г _ /1» + (-2)* + 2* « 3,
иЛ следовательно, согласно формулам (3)
cos a «■ 1/3, cos β β —2/3, cos v в 2/3,
§ 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла
между двумя векторами. Скалярное
произведение векторов
а. Пусть вектор ОР задан своими проекциями я, у, г
на оси (рис. 95). Тогда решим такой вопрос. Какова
проекция этого вектора на ось ON,
заданную своими направляющими
косипусами cos ai, cos βΑ, cos yt
(мы опять берем вектор с
началом в О и цроектируем его на
ось, проходящую через О, но
как вектор, так и ось можно,
конечно, брать где угодно).
Как мы видели выше,
проекции я, у, ζ нашего вектора ОР
можно рассматривать как звенья
векторной цепи ОАКР,
замыкающим которой является сам
вектор ОР.
Согласно теореме о проекции векторной цепи имеем
пр"ОР ;= пр~0Л + пр АК + πρΖΡ.
129
Рис. ί)5
Но еслн φ — угол между вектором и осью и г —
длина вектора, то
пр ОР = г cos φ.
Далее, вектор ОА лежит в оси Ох} наклоненной к оси
ON под углом о^; следовательно,
пр ОА ев χ cos au
Вектор АК мы заменим вектором ОВг1 который
полулается параллельным переносом А К па ось 0у9 Так как ось
Оу образует с осью ON угол βι, то
пр АК = пр OBt = у cos β1#
Наконец, вектор КР заменим вектором ОСъ который но»
лучается параллельным переносом КР на ось Οζ, А так
как ось Οζ образует с осью ON угол у1% то
пр КР в ζ cos уг.
Итак, имеем двоякое выражение проекции вектора ОР:
пр ОР = г cos φ = χ cos αχ + у cos β2 + ζ cos γ1# (1)
Отсюда, деля на г и замечая, что ввиду (3) § 4
cos α в xlri cos β = y/rA cos γ » я/г,
имеем следующую формулу косинуса угла между двумя
осями (или векторами):
cos φ = cos α cos at + cos β cos β! + cos у cos γ1# (2)
b. Возьмем далее на оси ON вектор ОРг длиной г с па-
правлением, совпадающим с направлением оси. Его на*
правляющие косинусы будут одинаковы с таковыми для
оси ON, τ, е. будут cos alf cos βχ, cos уг; проекции же его
обозначим через xv yv zl9
Применяя формулу (3) § 4, имеем
cos ατ = хг/ги cos βχ = yj/rv cos уг = Ζχ/Гр
ввиду чего формула (1) дает
откуда
ΓΓλ cos φ в »2 + ^ + 23lf (3)
130
В левой части равенства стоит произведение длин
векторов на косинус угла между ними. Оно называется скаляр·
ним произведением векторов и имеет большое значение в
механике. Формула (3) показывает, что скалярное
произведение равно сумме произведений одноименных
проекций обоих векторов,
c. Формула (3), в частности, дает выражение для
cos φ — косинуса угла между двумя векторами. — через
их проекции:
что ввиду (1) § 3 можно переписать еще так:
coscp-, ** + т + ъ (4)
\f*% + y% + *Vx\ + y\ + z\
d. Выведем условие параллельности и условие
перпендикулярности векторов.
Если два вектора, один с проекциями х, у, ζ, другой —
с проекциями xlt yv zu параллельны, то при
параллельном переносе их с тем расчетом, чтобы начала их совпали
с точкой 0% эти векторы или
совпадут^ или составят про·
должение один другого.
Изображая тогда проек-
пии этих векторов ребрами
параллелепипедов по способу
§ 3, мы видим, что ввиду
подобия параллелепипедов
ребра хх у, ζ
параллелепипеда, диагональю которого
является вектор ОР* должны
быть пропорциональны
ребрам хъ уи ζΛ
параллелепипеда, диагональю
которого является вектор ΟΡλ
(рис. 96):
X
~Х\
У
У.
(5)
Рис, 96
Обратно, если имеет место эта пропорция, то
параллелепипеды подобны, а потому их диагонали, т, е. векторы
ОР и ОР1% совпадают. Значит, пропорция (5) и выражает
собою условие параллельности.
131
Нетрудно видеть, что условие (5) параллельпости
сохранит силу и в том случае,, если вектор ОР заменить ему
противоположным ОР', так как от такой вамены
проекции хи уъ гъ превратятся в — хи — уи —ги отчего
пропорция (5) не нарушится.
Замечание. Пропорция (5) есть прямое следствие
пункта е § 2. Действительно^ согласно ему все
отношения (5) должны равняться одному и тому же числу
\ОР \1\ОРх |. .
е. Особенно следует отметить случай* когда какая-
либо проекция одного из векторов равна нулю, например,
вусть χ «в 0> Это 8начит, что вектор ОР перпендикулярен
оси Ох. Но тогда для параллельности векторов
необходимо, чтобы и второй вектор был перпендикулярен оси Ох9
т* е. я, в О*
Итак, пропорцию (5) можно условно писать и в том
случае, когда какре-либо ее члены — нули. Но тогда
следует помнить, что при параллельности векторов члены,
составляющие одно отношение в пропорции (5), могут
обращаться в нуль только одновременно»
ί. Условие перпендикулярности векторов получим
непосредственно из формулы (3)t Именно^ должно быть φ »
■» 90\ cos φ ■» 0А и потому
«ι + VVi + zzi — 0j
это и есть условие перпендикулярности,
g. Примеры, В пункте £ § 4 нами был рассмотрен
вектор с направляющими косинусами 1/3; —2/3; 2/3.
Найдем проекции на направление этого вектора другого
вектора с проекциями 6а 3, 2,
Согласно формуле (1) эта проекция будет
6,Х + 3#(~Т")+2#Т"в2^2 + Хв"Г·
Найдем, далее4 угол между направлением, которое мы
только что рассмотрели^ т* е, с направляющими
косинусами 1/3, —2/3, 2/3, и направлением.,, образующим о осями
равные острые углы. Последнее, как следует из примера
в пункте f § 4А имеет направляющие косинусы 1/1^3,
МУ\ 1//3.
Поэтому согласно формуле (2)
1 It/ 2 \ 1 f
132
Найдем далее скалярное произведение векторов, из
которых один имеет проекции 2Х 6Л 3Л а другой —
проекции 6, 7А 6*
Имеем
rr, cos φ = 2·6 + 6-7 + 3·6 « 72.
Наконец^ найдем косинус угла между векторами о
проекциями 2, Ι, 2 и Зх 2% 6,
Имеем
2.3+1.2 + 2.6 20
COS CD =S ' * тттт _ц
\[1* + I2 + 2* /За + гз + б2 21 ·
h. Векторы с проекциями 2Л —6Л 5 и —1, 34 —2,5
параллельны ввиду того, что
2 ~6 5
Векторы о проекциями is 4Л 0 и 2, 8Л 0 параллельны
ввиду того, что
JL _L °
2 ™ 8 β 0 ·
Векторы с проекциями 14 0, 0 и 12Л Q* 0 параллельны
ввиду того, что
10 0
12 β 0 βΤΓ·
Векторы с проекциями 2г —1λ 4 и lt 4S 0*5
перпендикулярны ввиду того» что
2*1 + (-1)*4 + 4.045 = 0.
§ 6. Координаты
а, Переходим к определению положения точки в
пространстве. Для этой цели берем три взаимно
перпендикулярные оси Ох$ Oyt Oz% расположенные* как и раньше.
Положение какой-либо точки Μ пространства тогда
определится проекциями хх у$ ζ вектора ОМ на оси Ох% Оу, Oz.
Эти величины х% у% ζ называются координатами пинка
Μ; χ называется абсциссой; у — ординатой, наконец, ζ —
аппликатой* Геометрически они изобразятся векторами
χ =ч ОА% у =s ОВ$ ζ β ОС% или также звеньями векторной
цепи О А КМ (рис* 97). При этом замыкающим вектором
является сам вектор ОМ*
133
То обстоятельство, что точка Μ имеет координаты #,
у, 2, записываем так:
Μ (χ; у\ ζ),
Оси Ox, Оу, Oz называются осями координат* В частности^
Ох называется осью абсцисс, Оу — осью ординат, Oz —
осью аппликат* Точка О называется началом координат*
Мг
+-*
+-4-
А&
М,
jL
Τ
Рис. 97
ktU
Рис, 98
Ь, Для построения точки Μ по заданным ее
координатам (х\ ι/; ζ) самое лучшее — строить векторную депь
О А КМ.
На рис; 98 построены четыре точки:
il/j (4;-2; 3), М2 (-3; 3; 4), М3 (2; 0; 2), Л/4 (0; 2;-3).
§ 7. Выражение проекций вектора
черед координаты конца и начала
Пусть вектор МгМ2 задан координатами Мг fa; Vit*i)#
Л/8 (#2; j/2; г2) начала и конца» Найдем его проекции X, Yf
Ζ на оси координат.
Согласно известной теореме, проектируя векторную цепь
ΟΜΊΜ9 и вамъткающий ее вектор ОМ% на ось абсцисс,
имеем (рис. 99)
М2(*г>У2\гг) «Р ОМЛ + пр Μ,М2 = пр ОМг%
Но
пр ОМг = хъ
up МХМХ = X, пр 0Λί2 = я2,
π потому
134
Аналогичным образом найдем
Υ = Уг — уи Ζ = ζ2 — 2ίβ
Итак>
ЯГ а щ — χΐ9 Υ « у2 — Уъ Ζ = ζ2 —2и
т. е» проекция вектора на ось абсцисс равна разности
абсцисс его конца и начала, проекция на ось ординат —
разности их ординат, проекция „на ось аппликат — разности
их аппликат,
Например, вектор MiМ2% где Мг{\\ 3; 5)4 Мг (2\% 1; 2)л
имеет проекции X =* 2—1, Υ « 1—3А Ζ = 2—54 Tfc e#
X = lt у и _2, Ζ - -3,
§ 8. Выражение длины вектора через координаты
концов. Расстояние между двумя точками
a. Длина г вектораг рассмотренного в предыдущем
параграфе, согласно (1) § 3 равна
г« γ X2 + У2 + ΖΚ
Заменяя же Χ, Υ% Ζ их выражениями х2 — #ι»#2 — Ун
ζ2— 2ц получим
г = /(«, - *i)a + (У, - 0i)a + (г· - ЧУ*
В частности, расстояние от точки Μ (я, уг ζ) до начала
координат найдем отсюда как длину вектора,
соединяющего точки Μг (0; 0; 0) и М2 (х\ у\ ζ), и, следовательно*
это расстояние будет равно г.
b. Например1 вектор МХМ2, где Мг (4; 0; 3), М2 (2\
&\ 5), имеет длину
г « /(2-4)2 + (1-0)2 + (5-3)2 = ]/*4 + 1 + 4 = 3·
Можно сказать такжеа что расстояние между точками
Мг (4; 0; 3), М2 (2; 1; 5) равно 3.
Далее2 расстояние от точки (4; 4; 7) до начала
координат будет
г - у42 + 4а + 7а - 9,
§ 9· Деление отрезка в данном отношении
а* На отрезке4 соединяющем точки Mt (хг; уг;, гг)%
М2 (х2\ у2\ z2) (рис. 100), требуется найти точку Μ (χ; у;
ζ)χ делящую этот отрезок в данном отношении ~]~%
135
τ* е, надо найти такую точку М% чтобы
мм% = "*Г ·
Помня теорему о тома что величины секторов
пропорциональны их проекциям на любую ось и, о частности, на ось
Охх имеем
^0W м±м_ _ ал
мм2
Значит*
АуА
АА2
А так как
Л1Л "=гД/,—*"»*'t*
ТО
АЛ*
АА,
«2·· ·
17·
*β Ai+*a ·
Аналогичные выражения найдем для у и г,
Таким образомА окончательно будем иметь
ktx2 + ftggi А?!у2 + ^гУг &is2 + *Ш
*1 + *а * У *t+*2 · * &,+*2 ·
Ь» В частности, координаты середины отрезка (кх «я
■=Л2) бУДУт
fl?«= £ · ^β 2 * * 2 ·
с, Π ρ и м е ρ ы» 1. На отрезке МгМ2ч где Afx (1; 2j
6)А Λ/2 (6» 12; 21), найти точку Af, делящую отрезок в
отношении МгМ/ММ2 = 2/3.
Решение* Согласно формулам координаты точки
Μ будут
я =
2.6 + 3.1
2 + 3
15 Q
2.21 +3-6
2 + 3 "
2.12 + 3.2 30 η
2 + 3
5
12.
Итакл искомая точка Μ (3; 6; 12)»
2, Найти середину Μ отрезка МХМ21 где Л/х (1; 3; 8)j
М% (-3; 5; 16).
136
Решение. Согласно формуле имеем
1-3 4
Итак, искомая точка Μ (—1; 4; 12),
12.
§ 10. График уравнения с двумя нерешенными
а. Мы выясним 8десь, какое геометрическое значение
имеет уравнение, связывающее переменные
«ι У%ъ
(иногда все три, иногда и не все), если эти переменные
рассматривать как координаты точки в пространстве,
Уравнение! связывающее х9 у% г% мы предпололшм раз-
решенным относительно ъш Пусть
* — f(x> У).
(1)
Н(х;у;г)
Рис, 101
Чтобы построить какую-либо точку искомого
геометрического местад выберем значения двух переменных хшу
(независимых переменных)
произвольно» Соответствующее зна»
чение ζ тогда определим из фор*
мулы (1), Получим точку Μ (χι
у\ *), Выбрав для хжу другую
пару значений, иэ (1) получим
новое значение %ш т. е, новую
точку нашего геометрического
места; выбирая для χ л у новые
значения^ получим еще одну
точку и т« д.
Таким обраэом, мы можем построить сколько угодно
точек искомого геометрического места»
Ь* Для выяснения характера геометрического места
точек Μ рассмотрим одновременно с Μ еще проекцию ее
Λί, на плоскость хОу (рис. 101)· Эта точка М1х рассматри·
ваемая как точка плоскости хОу, имеет координаты
хну. Таким образомд задавая произвольно χ и ум
мы произвольно задаем некоторую точку Μι плоскости
хОуь Но тогда аппликата * ■■ ММХ уже не может быть
произвольной —> она определяется уравнением (1)«
Каждой точке Мг плоскости хОу будет отвечать своя
аппликата МХЛГД определяемая уравнением (1), Концы Μ
137
этих аппликат и образуют наше геометрическое место*
Оно, очевидно, является некоторой поверхностью.
Вид поверхности, конечно, зависит от вида
уравнения (1).
§ 11. Поверхность как след, образуемый перемещением
некоторой деформируемой плоской кривой
а. Построение поверхности по данному уравнению (1)
§ 10 можно осуществить следующим образом. Сначала
строим точки, отвечающие какому-либо определенному
значению у = у1ш Эти точки будут лежать в плоскости
параллельной плоскости xOz и отстоящей от нее на
расстояние у\. Они, следовательно, образуют линию
пересечения указанной плоскости с поверхностью (1) § 10.
Для всех точек кривой у одно и то же: у = уг.
Аппликата ζ для точек этой кривой зависит теперь от одного
только х. Выражение ее через χ получима заменив в
уравнении (1) § 10 у на постоянное уц
* — / (х\ Ух). (1)
По уравнению (1) мы можем эту кривую построить (рис.
102).
Ь, Изменяя немного уи мы изменим немного и само
уравнение кривой (уг является как· бы параметром,
определяющим форму кривой). Шлучим новую кривую,
138
немного измененную, расположенную в плоскости,
близкой к прежней и параллельной прежней. Меняя у еще раз,
получим еще новую кривую и т. д.
Таким образом, придавая переменной у ряд
поставленных значений, например* увеличивая ее все время на
одну и ту же малую величину hx мы получим ряд кривых,
расположенных на плоскостях, параллельных плоскости
txOzx которые и охарактеризуют рассматриваемую нами
поверхность. Конечно^ чем меньше возьмем расстояние h
между плоскостями, тем точнее эта поверхность будет
охарактеризована.
На рис. 102 изображена часть поверхности,
представляющей собою график функции
а ¥
При постоянном у = у1 это уравнение изображает эллине
с полуосями а и Ь *=* а — уг. На рис. 102 изображены
только эллипсы, отвечающие значениям
W-ΤΙΓ. *-0. 1,2, 3,4, 5, 6, 7. 8, 9. 10 (*-£).
Это будут эллипсы, у которых большая полуось —
постоянная, равная а. Малая же полуось Ь меняется вместе
. л к 10 — к
6 = a — yi«fl- т&а=* —io—а-
Итак, последовательные значения Ь на рис, 102 будут
такими:
Ь=™^±-а, A = 0al,2,...t10,
или
6—5-, /«=10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0.
§ 12. Цилиндрические поверхности
а. В частности рассмотрим тот особый случай4 когда
в уравнении из трех переменных отсутствует одна или две.
Например, пусть отсутствует у. Уравнение будет иметь
ви&
f № *) - 0» (1)
139
адесь, каково бы яи было у, уравнение сохраняет один и
тот же вид, так как у в уравнение не входит. Значит,
линии пересечения нашей
поверхности с плоскостями^
параллельными плоскости xOz,
будут одинаковы.
Поверхность будет
цилиндром с образующими,
параллельными оси Оу. Линия плоскости
xOz с уравнением (1) называется
направляющей (рис, 103).
Ь, НапримерА уравнение
α» ^ Ь2
изобразит эллиптический цилиндр^ называемый так
потому, что его направляющая — эллипс*
§ 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности
a. Так же, как и па плоскости, здесь можно поставить
в обратную задачу: по данной поверхности подобрать ее
уравнение, т. е. найти такое
уравнение между х% у, z4 которому удов- z%
летворяли бы все точки этой поверх- I
вости и не удовлетворяли бы точки, I
на поверхности не лежащие. I
Эта задача, конечно, очень слож- I
на, и чтобы ее разрешить, надо исхо- I
дить из какого-либо свойства, общего о\-
всем точкам поверхности. У^ &
b. Для примера выведем уравне- У У
ние шаровой поверхности радиуса a V*Q* 1№
с центром в точке С (т\ п; р)
(рис. 104)« Квадрат расстояния от какой-либо точки
Щх\ у\ ζ) пространства до центра С (т\ п\ р)
выражается формулой
\СМ |а » (х - mf + (у - η)2 + (ζ - р)\
Этот квадрат равен а*х если точка Μ лежит на
шаровой поверхности,
(х - mf + (j,- nf + {ζ- ρ)* - a\ (1)
и не равен а\ если точка лежит вне шаровой поверхности.
Поэтому уравнение (1) и является уравнением шаровой
поверхности*
Рис. 103
140
§ 14. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку
а. Приступим к выводу уравнения плоскости*
Положение плоскости определяется заданием точки Мг (хг\
yj ζΎ) па пей и направляющим вектором»
Под последним мы будем понимать вектор любой
длины с точкой приложения в любой точке пространства и
единственным условием,, чтобы он был перпендикулярен
плоскости,
Направляющий вектор PQ задается своими
проекциями А, #, С на оси координат (начало этого вектора может
помещаться в любой точке
пространства).
Если теперь Μ (х\ у\ ζ) —
любая точка пространства, то Л
вектор МгМ будет перпенди- /
куляреп направляющему век- / q\
тору или нет в зависимости от /
того, будет ли точка Μ лежать
на плоскости или нет (рис.
105),
ζ
/
-J* >«
А так как вектор МгМ име- *°*
ет проекции χ — х1Л у — у1г
ζ — zu то условие перпендикулярности его направляю·
щему вектору как вектору, имеющему проекции Ал Вл Сё
выразится формулой
А (х - хг) + В (у - уг) + С (ζ - zt) = 0. (1)
Таким образом* уравнение (1) выполняется^ если
Μ (χ; у\ ζ) лежит на плоскости^ и не выполняется, если Μ па
плоскости не лежит, Оно* следовательно* и является
уравнением плоскости»
Ь« Например, уравнение плоскости, проходящей через
точку (1) —2; 3) о направляющим вектором, имеющим
проекции 3j 2, 6Λ будет
3 (χ - 1) + 2 (у + 2) + 6 (ζ - 3) = 0.
§ 15. Общее уравнение плоскости
а. Раскрывая скобки в уравнении (1) § 14д получим
Ах + By + Cz + (—Ахг — Вуг - Czi) « 0·
Обозначая
—Ахг — Вух — Czx = Ьл
HI
приведем это уравнение к виду
Ах + By + Cz + D « О» (О
где As Bt С не равны 0 одновременно· Итак, уравнение
всякой плоскости может быть написано в форме (1)»
Обратно, легко покаватЬд что уравнение (1), где А, В, С
одновременно не равны 04 всегда изображает плоскость»
Действительно, всегда можно подобрать числа хъ уи
ги удовлетворяющие условию
Ащ + Byt + Czt + D =0 (2)
(например* при Сл не равном 04 хг и у^ выбираем произ-
вольно1 a г, находим из условия (2)), Вычитая тогда (2) из
уравнения (1)А приведем последнее к виду
А (х - хх) + В (у - yt) + С (ζ - zt) - 0·
А 9то4 как мы видим* есть уравнение плоскости1
проходящей через точку
Ввиду доказанного уравнению (1) присвоено название
общего уравнения плоскости*
Ь, Например, общее уравпение плоскости,
рассмотренной в § 14, будет
Ъх — 3 + 2j/ + 4 + 6z - 18 - ϋ|
Ъх + у + 6* — 17 « О,
§ 16. Частные случав
а. В ^астностиа плоскость может быть параллельна
одной из осей4 и тогда направляющий вектор будет пер·
пендикулярен этой оси. Проекции его на эту ось равна
нулю* ид значит^ в уравнении плоскости пропадет
соответствующая перемени а я*
Ь» Например* если плоскость параллельна оси Охш
то направляющий вектор перпендикулярен Qx> проекция
А его на Ох равна нулю1 уравнение (1) § 15 примет вид
By + Cz + D шш 0Ш (1)
Исследуем это уравнение подробнее. Ему» в частности,
удовлетворяют точки линии пересечения плоскости о
плоскостью yOz* Значит, это уравнение4 рассматриваемое
только в отношении точек плоскости yOz, изобразит в
ней прямую ВС пересечения нашей плоскости с плоско-
142
стыо yOz — след нашей плоскости на плоскости yOz (рис.
106).
c. Читателю предоставляется самому установить связь
рассматриваемого случая с тем, что было сказано в § 12
о цилиндрических поверхностях вообще.
d. В частности, построение нашей плоскости сводится
к иостроепию следа ее на плоскости yOz.
Рио. 106
Рис, 107
е. Отметим случай* когда плоскость, кроме оси Ох%
параллельна и другой оси, например* оси Оу. Тогда урав-
пепие плоскости (оно же уравнение следа плоскости на
плоскости yOz) примет вид
С ζ + D - 0
(след — прямая, параллельпая Оу)ш Решая
относительно г, приведем это уравнение к виду
f-"Cj (Сх = —D/C).
Последнее уравнение отмечает собою не что иное, как
тот факт, что все аппликаты плоскости, параллельной
плоскости хОу9 равны между собою — равны постоянной
СХт В частности, величине Сг равна, следовательно, и
аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz (рис. 107).
{. В частности, про С = 0 получаем уравнение самой
плоскости хОу в форме
s-0
(опо отмечает собою тот факт* что все аппликаты
плоскости хОу равны нулю).
Читатель сам сообразит далее, как будут выглядеть
уравнения плоскостей, параллельных другим
координатным осям или плоскостям.
g. В рассмотрении частных случаях обращались а
нуль коэффициенты АХВ> С. Теперь посмотрим, что будетл
если D = 0.
143
Тогда уравнение плоскости* можно написать в виде
Ах + By + Cz = 0.
Но* переписав его в форме
А (а - 0) + В (у - 0) + С (ζ - 0) - 0,
мы видим, что оно изображав плоскость^ проходящую че·
рез начало координат.
Ь. Например, уравнение
у + 2г — 1 - 0
изображает плоскость, парнллельнуго оси Ох; уравнение
2а + 3* — 6 « О
— плоскость, параллельную оси Оу; уравнение
4* - у + 2 — О
— плоскоотьд параллельную оси Οζ; наконец, уравпепие
«_у+s«0
— плоскость* проходящую через начало координат»
§ 17· Выяснение расположения плоскости
относительно осей
а. Положение плоскости выяснится, если будем внать
следы ее на координатных* плоскостях, т. е. прямые, по
которым она пересекает эти
плоскости. Достаточно при этом
знать только два следа, так как
плоскость вполне определится
двумя различными прямыми^
/ Ι Χ на ней лежащими.
/ \S b» Пусть, например,
-Jr За + у - 2а + 1 «О
— уравнение плоскости»
Рио* 108 Одед ее на плоскости xOz
получим» полагая в этом
уравнении χ т 0 (рис· 108). Получим уравнение следа в
/
/
форме
Ъх — 2z + 1 « 0.
Построив оба следа по правилам построения прямых,
мы сообразим по расположению следовд как расположена
плоскость,
144
с· В частности* построение плоскости» параллельной
хоть одной координатной оси» указано в предыдущем пара·
графе·
d. Для плоскости общего вида, не параллельной ни
одной из осей и не проходящей через начало координат»
мы укажем еще способ построения по отрезкам* отсекаемым
на осях.
Рис. 109 Рио. 110
Пусть ал bt с — величины этих отрезков (рио· 109)·
Тогда точки А% 5, С — пересечения нашей плоокооти о
осями — имеют координаты
Α (αι 0| 0)А В (0| Ъ\ 0)< С (О, 0| с).
А так как эти точки принадлежат плоскости, то они удов*
летворяют уравнению плоскости
Аа + D ш 0Ъ ВЬ + D -> 0, Со + D - О*
откуда найдем at bt c% и тогдаА зная ихл построим плоскость»
е. Построимд например, плоскость
2х + Зу — ζ — 12 - О·
Имеем
2а - 12 « 0« α - 6; ЪЬ — 12 - О, Ь — 4|
- с — 12 - 0, с ш —12.
Плоскость расположена^ как показано на рис, НО»
18. Угол между плоскостями· Условие параллельности,
словие перпеидикулярности
а. Угол между двумя плоскостями определяется по
косинусу* Вообще углов будет два — один оотрый^
другой — тупой (в частности^ оба могут быть прямые)· При
этом тупой угол дополняет острый до 180\ так что
косинусы обоих углов отличаются только знаком»
145
Легко видеть, что один иэ этих углов совпадает с углом
между направляющими векторами плоскостей. Значит,
чтобы найти косинусы обоих
углов, которые образуются
пересечением плоскостей,
надо найти косинус угла между
направляющими векторами и
, затем этому косинусу при-
а писать оба энака.
Но если
Ах + By + Cz + D - О,
Ap + Btf + dz + Dt-O
Pur Hi *»
гш" A1 — уравнения плоскостей, то
проекции их направляющих
векторов будут А% В% С; Аъ BuCtn поэтому (рис. ill)
cosq>«4- Ab + BRi + CO,
]fAi + & + G*YA\ + B\ + Cl
Условие параллельности^
A J5_ С
Условие перпендикулярности:
ΑΑΎ + ВВг + ССг - О,
Ь« Например^ угол между плоскостями
4х — ky + Ίζ — 1 « 0А χ + 2у + 2ζ — 2 — О
определится по формуле:
4.1 + (-4).2 + 7.2 , 10
"*- 1/ 4» + ( - 4)» + 7* |/1* + 23 + 2* -1- 27
Плоскости
а: — у + 2я — 1=0, —2л + 2у — 4ζ — 9 =* 0
параллельны ввиду тогог что
1 -1 2
Плоскости
2* — 3# + 4s — 2 = 0, 4s + 4j/ + г — 4 = 0
взаимно перпендикулярны ввиду того, что
2,4 + (—3). 4 + 4.1 =0.
146
с. Решим следующую задачу.
Через точку (х; у; ζ) провести плоскость^ параллельную
плоскости
Ах + By + Cz + D = 0.
Решение проводим так. Искомая плоскость должна
пройти через точку (х\ у; ζ); кроме тогог так как она
параллельна данной, за ее направляющий вектор можно взять
тот нее самый вектор^ что и у данной плоскости т. е.
вектор с проекциями А% В, С.
Тогда уравнение искомой плоскости напишется так)
А (х - хг) + В (у - У1) + C(z-z±)=* 0,
Например, уравнение плоскости, проходящей через
точку (1; 3; 2) и параллельной плоскости
4х — у + 2z — 3 «ι 0t
будет следующее:
4 (χ - 1) - (у - 3) + 2 (ζ - 2) = 0,
§ 19. Условие совпадения плоскостей
а. Выясним теперь, при каком условии плоскости
Ах + By +Cz + D=0t Atx + Bty + C^+D^O
(1)
совпадают, иными словами, корда оба уравнения
изображают одну и ту же плоскость.
Для решения этой задачи заметим, во-первых^ что
совпадение есть частный случай параллельности. Поэтому
должно быть
•я—*—ч" »
С другой стороны, ввиду совпадения плоскостей
координаты (х; у; ζ) в обоих уравнениях принимают одни
и те же значения·
Умножая уравнение
Ахх + Bty+ Cxz + О, -0
на общую величину отношений
А В С
4 ~ 01 *" С\ ·
имеем
Az + By + Cz + Οι -4- =0.
147
Вычитая отсюда
получим
Ах + By + Cz + D = О,
(3)
0i 4 #
Итак, пропорция (2) дополняется еще одним звеном и при*
нимает вид
А В С D
4 = Вг β Сг = Dx ·
Обратно, при соблюдении условий (3) уравнения (1)
действительно изображают одну и ту же плоскость, так как
первое получается из второго умножением на общую
величину отношений (3).
b. Например; уравнения
2χ _ Ъу + ζ — 4 = 0, — Ах + 6у — 2ζ + 8 « О
изображают одну и ту же плоскость^ так как
- 2 _ »-3 1 _ — 4
ТГ4"~ПГ"в "^Т^Т""·
§ 20· Расстояние от точки до плоскости
а. Найдем расстояние d от точки Мг (xt; уг; ζλ) до
плоскости
Ах + By + Cz + D β Ο,
Для вывода формулы рассмотрим два вектора (рис. 112)·
1, Направляющий вектор
Р#. Его проекции Ах Вг С
и длина
г = /Л2 + В2 + С\ (1)
Рис, 112
2· Вектор M0MV
перпендикулярный плоскости, с
началом в точке М0 плоскости
и концом в данной точке Ми
Его проекции хг — я0, уг —
— #о» ζι~~2ο· Длина же его
и есть искомое расстояние d от точки Мх до плоскости.
Рассмотрим скалярное произведение обоих векторов.
Оно равно произведению этих векторов на косинус угла
между ними2 т, е. rd cos φ. Но направления этих векто-
148
ров или совпадают, или противоположны^ значит, φ — 0^
или φ = 180°, т. е. cos φ = 1 или cos φ = —1*
Следовательно, искомое скалярное произведение ±rd должно
равняться сумме произведений одноименных проекций:
±rd = А {хх - х0) + В (у, - у0) + C(Zl- ζϋ) «
- Αχ, + By, -]- Cz, + D - (Ax0 + By0 + Cz0 + D0).
А так как
Ax0 + By0 + Cz0 + D0 - 0f
то ввиду (1)
± rd = Ax, + Byx + Czx + D
α
\fA*+B* + C*
b. Пример 1. Найдем расстояние от точки Μ (2|
1? 1) до плоскости
2χ — 6у + 3* — 8 — 0#
Имеем
й- /4 + 36+9 ~ 7 -*·
c. Π ρ а м е ρ 2, Найдем еще расстояние от плоскости
Ах + By + Cz + D = 0
до начала координат^ т» е* до точки (0; 0\ 0). Здесь
имеем
|v4-0-f-B-0 + C-0+ D|
= /^" + Яа + С* ™
_ 1D1
^« + ^ + 0» *
§ 21. Прямая как пересечение
двух плоскостей
Две плоскости в пространстве
(если они не параллельны), пере- $
секаясь» образуют прямую линию·
Пусть
Ах + By + Cz + D
Рио* 113
Q, Atx + Bty + C1* + D1
0 (4)
— уравнения этих плоскостей (рис. ИЗ).
Каждая точка прямой, как одновременно лежащая на
обеих пдовкоетях* удовлетворяет обоим уравнениям (1).
149
Точки же, не принадлежащие прямой^ не находятся на
обеих плоскостях одновременно и, следовательно, не
могут одновременно удовлетворять обоим уравнениям (1)·
Итак, системе (1) удовлетворяют все точки нашей
прямой и не удовлетворяют точки, не принадлежащие прямой.
Эту систему мы пазовем системой уравнений прямой*
§ 22. Прямая, проходящая через данную точку
a. Положение прямой вполне определено» если на пей
рапа какая-либо точка Мг (хг\ уг\ ζχ) и дано направление
прямой. Последнее определим, задав проекции 1й тл η не-
которого вектора, параллельного прямой^— направляю·
щего вектора. Этот направляющий вектор можно,
например, взять на самой прямой. Возьмем 8а такой вектор
Если точка Μ лежит на прямой, то проекции χ —- rr^
У — Ун ζ — *ι вектора МгМ будут пропорциональны проек·
циям (, тл η направляющего вектора:
* — *t _ у~ Ух ___ * — н |1N
Г" т ~ · {1)
Напротив, эта пропорциональность не имеет места, если
точка Μ пе лежит на прямой,, так как тогда указанные
векторы не параллельны. Поэтому пропорция (1) и дает
вам систему уравнений прямой.
b. Следует отметить, что! пропорция равносильна
системе двух уравнений, взятых из следующих трех:
* — *t ш У — П *~-*\ ^ <-»«ι у — у\ о t — t\
I т 9 Ι η · т в ·
потому что среди этих уравнений только два (например4
два первые) могут быть приняты 8а независимые· Третье
же является следствием их (две величины^ равные поровпь
третьей, равны между собою)·
c. Например, система уравнений прямой* проходящей
через точку (1) 3; 1), направляющий вектор которой имеет
проекции 2, 64 За будет следующая:
Эта пропорция может быть заменена равносильной
системой двух уравнений)
150
ИЛИ
6s - 6 = 2у - 6λ 3* - 3 = 2* - 2,
нлв1 наконец,
6χ - 2j/ = 0Λ За: — 2ζ - 1 = 0.
d. Система уравнений прямой, проходящей через точку
(2; 1; 1), направляющий вектор которой имеет проекция
0Л Од 2а будет следующая;
О β 0 " 2 ·
что может быть заменено равносильной системой,
а —2 г—1 у-1 г—1
или
U 2 ' · 0 2
2х - 4 » 04 2у - 2 - 0.
§ 23. Прямая, проходящая через две точки
а. В частности, положение прямой может быть
определено двумя^ точками Μг (хг; уг; ζ1)1 Μ2 (х2; у2; г^
(рис. 114).
Тогда прямую рассматриваем как проходящую
черев точку А/, (хг; ул\ ζχ) и имеющую направляющий
вектор МгЛ12. Но проекции
Λί,Λ/j суть
J - «ι — «и т β У% — Уи
П « £g — Z1|L
в. потому уравнение прямой
примет вид
χ
Х\
V~Vi
*—it
Рис, 114
«а — «ι 02 — Уг Η — *ι
b. Например, уравнение прямой* проходящей через
точки Мх (1; 4; 2), Л/2 (2; 5; 4), будет следующим:
*-1 у-4 ί-2
или
*-1
5~4
f-4
i-2 ·
1 — 1 — 2 ·
с« Уравнение прямой, проходящей через точки
Мх (1; 2; 3), Л/, (I; 5| 8),
151
f-3
£-3
"Τ"'
§ 24. Переход от системы уравнений прямой
в общем виде к системе в виде пропорций
Система уравнений прямой в виде пропорций имеет
особенно важноо вначение ввиду тогойчто туда входят проекции
направляющего вектора* Поэтому,, когда вадана система
уравнений прямой в общем виде, весьма важно ум#гь
привести эту систему к системе в виде пропорций. Способ,
которым это доотигаетоя& мы покажем вдесь на частном
примере,
Пусть требуется привести к такому виду систему
я —2#+ 31-4-0, 2« + 0 — « + 1-0. (1)
Польвуяоь этими уравнениями, мы сначала постареем·
ся найти две какие-либо точки Mt и М% нашей прямой·
Чтобы найти Ми мы придаем абсциссе χ какое-либо on·
ределенное вначеннев например, полагаем в — 0 (это
можно сделать* так как точка прямой должна удовлетворять
системе (1) двух уравнений о тремя неиввестнъиии, и# вин»
чит, одному не иеиввеотвых мы можем давать любое вна·
чение)|
Тогда для определения у и а можно пользоваться оно*
темой (1)| где положено я"- 0. Получим
-2у + 8i — 4«04y-c + l«0j
откуда
у ш 1# | - 2.
Итак, ваша прямая проходит черев точку
Д/, (Οι 1; 2).
Чтобы найти другую точку М%) можно было бы придать α
какое-либо другое ввачевие, напримерд ввять я ■* 1А и ян·
тем найтв соответствующие значении ν и ι согласно евсю·
ме (1)А во лучше делать не так, а иначе. Именно, для ра·
выскания Аг8 можно положить у ш 0 и ватем подобрать
еоответотвующие * и ι согласно системе (1)·
Итак* положив в уравнениях (1) у « 0* получим
а + Зх-4-0,21-1+1-0,
152
будет
или
следующим:
«-1
ΊΠΓΓ
*-1
—в-
-
-
рш
2
il
*
откуда
х = 1/7, ζ - 9/7.
Значит, паша прямая проходит также через точку АГа (1/7}
0; 9/7).
Поэтому систему уравнений нашей прямой* как
проходящей через две точки
Мг (0; 1| 2), М% (1/7? 0; 9/7),
можно написть в форме
2С — 0 _ у *- 1 2 — 2
1
•~0
0-1
ших умножая знаменатели на 7t
*-0 у-1
i-·
-2
1
-7
-5
Последняя же система пропорций, как известно,,
изображает прямую, проходящую через точку (0; 1) 2)j с
направляющим вектором, имеющим проекции
I в 1п т = —7, η = —5.
§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности.
Условие перпендикулярности
а. Прямые в пространстве образуют между собою два
угла, один из которых будет острым, другой — тупым (в
частном случае оба угла могут оказаться прямыми^ или же
один будет нулем, другой 180Q). Косинусы обоих углов
отличаются только знаком (в сумме
углы образуют 180°).
Легко видеть, что один из
углов совпадает с углом между
направляющими векторами
прямых.
Но если
Рис, 115
X — Χι
1
х-х*
У — У\
т
У— У'
_
г
ζ
— «1
п
-г'
ni\
П\
— системы уравнений прямых (как было показано в
предыдущем параграфе^ их к таком виду всегда можно при-
153
вести), то направляющие векторы прямых имеют
проекции /, т, л; 1и ти пх. Следовательно, косинус угла φ
между прямыми (рис. 115) будет
#1 4- тт\ 4- пп\
ь.
с.
WO
Условие
Условие
у[\г + щз + л К '? + ™ί
параллельности прямых:
1 т η
li tn\ tit
же перпендикулярности:
11г + ттг + ппг = 0,
+«;
d. Чтобы покончить β разбираемым вопросом, решим
следующую задачу.
Через ючку (хг\ ух\ ζχ) провести прямую параллельпо
прямой
g — af у — / > — /
I т η *
Искомая прямая должна пройти через точку (xt\ yx\ zt), a
так как она параллельна данной, то за направляющий
вектор ее можно взять вектор с теми же проекциями ί, т, п9
что и у данной прямой. Значит, уравнение искомой
прямой може1 быть написано в форме
I т η *
e. Примеры,
1. Угол между прямыми
1 _ у-2 _ г —3 ar — 1 __ у —1 ι*~ 2
2 ~* 2 ~ -1 · ^-2
определяется формулой
2.(-2) + 2.β + (^1).(-3) _ И
/2* + 2* + (- 1)' |Л- 2)' + И» + ι- З)4 Л
2. Прямые
х — 1 _. у —3 _ г» 5 ж —2 _ у —1 _ г—6
1 ~ 2 ^Т~» 0,5 — 1 ~ -2
параллельны ввиду того, что
_J L —zi
0,5 — 1 ~—2»
154
3. Прямые
-4 β -3 "" 1 · 1 — 1 — 7
взаимпо перпендикулярны ввиду того^ что —4·1 + (—3)х,
х1 +1-7 = 0.
4. Через точку (1; 2; 3) провести прямую параллельно
прямой
χ - у + г + 1 = 0, χ + 2у - ζ + 2 = 0. (1)
Чтобы решить эту задачу, сначала приведем систему (1)
к системе в виде пропорций» Полагая χ = 0А получим
-У + 2 + 1 - 0, 2у - г + 2 « о,
откуда
у «. -3, 2 — -4j
и, следовательно, прямая проходит через точку Мх (0|
—3} —4). Положив далее } = 0, получим
3 + 2+1=0, * — 2 + 2 ** О,
откуда
ж = -3/2, г - 1/2#
Следовательно, прямая проходит также череэ точку
Л/2 (—-3/2; 0; 1/2). Система уравнений этой прямой в фор·
ме пропорций будет
g —0 __ у + 3 _ g + 4
или (умножая знаменатели на 2)
ж-0__»+3_« + 4 s-0 _ у + 3 _ t + 4
-3 ~~ 6 ""~ 9 · -1 — 2 ~ 3 ·
Итак, задача свелась к следующей: через точку (1|
2; 3) провести прямую параллельно прямой
s — О _ у + 3 _ г —к
— 1 2 3
Решением этой задачи будет
ag — 1 у —2 _ 1-3
-1 β 2 ~ 3 *
Однако эту задачу можно решить и проще, хотя тогда ре*
шение и не получится в виде пропорций. Именно2 рассмот·
рим плоскости^ параллельные плоскостям
х-у + г + 1**0л x + 2y-z + 2=*0
155
в проходящие черев точку (U 2j 3). Уравнения эти* илоо*
костей будут
(в - 1) _ {у _ 2) + (ζ - 3) - 04 (а - 1) ψ
+ 2 (у - 2) - (ζ - 3) - 0. (2)
Прямая пересечения новых плоскостей будет параллель*
на прежней и пройдет черев точку (1) 2; 3). Следовательно,
прямая^ заданная системой (2)4 и будет той4 которая нам
требуется*
§ 26. Угол между прямой в плоскостью. Условие
параллельности и перпендикулярности
а» Углов между прямой и плоскостью будет два| один
острый^ который обозначим буквой <рл другой — тупой,
равный 180е — <р«
Точно так же два угла
будут и между прямой и
направляющим вектором
плоскости, Острый угол
обозначим буквой а4 тупой будет
равен 180е — α (рис· 116),
Очевидно,,
φ = 90Q — α4 si ο φ ■■ cos α4
Рис* 116 «
но cos α мы сейчас найдем·
Действительно, угол α как
раз совпадает с углом между направляющими векторами
прямой и плоскости или же дополняет этот угол до 180д.
Следовательно^ cos α от косинуса последнего угла может
отличаться только знаком.
Поэтому^ если
АХ + By + Cl + D ют 0
— уравнение плоскостиг
I m n
— система уравнений прямой, то
Al+Bm+Cn
COS α = ,. Τ ·
у/ а2 + В* + G< /Р+ »" + »*
Следовательно, так как sin φ = cos α, то
Μ + Вт + €η
sin φ β
}fA* + J3»+C» \f\* + w* + л*
156
b. В частности, прямая параллельна плоскости, если
направляющие векторы прямой и плоскости взаимно
перпендикулярны, и, наоборот, прямая
перпендикулярна плоскости, если она параллельна направляющему
вектору плоскости. Поэтому условием параллельности
прямой и плоскости будет
1А + тВ + пС = О
и условием перпендикулярности — пропорция
J т л
A W~1T·
c. В заключение решим задачу: через точку (х\; у$ ζι)
провести прямую, перпендикулярную плоскости
Ах + By + Cz + D » 0.
Направляющий вектор плоскости имеет проекции Л,
В, С. С такими проекциями можно взять и направляющий
вектор прямой, тогда прямая будет параллельна
направляющему вектору плоскости и, следовательно,
перпендикулярна плоскости. Значит, уравнение искомой прямой
напишется так;
А ~~ В — С '
d. Читатель далее сам убедится, что уравнение
плоскости, проходящей через точку (х\\ уг\ г^ и
перпендикулярной прямой
т — д0 ^_ у «. у0 _ г — г0
I т η 9
будет следующим:
I (х — Х\) + *» {У — У ι) + η {ζ — ζί) =t 0.
§ 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид
а. Из поверхностей мы рассмотрим только эллипсоид.
Уравнение эллипсоида подобно уравнению эллипса·
Оно имеет вид
i + ji +—-ι
α* Τ δ« Τ" C2 — Ь
где α, Ь, ί - положительные постоянные. Мы выясним
форму эллипсоида, рассекая его плоскостями, параллель*
ными осям координат (рис· 117).
157
Ь. Во-первых, находим сечение плоское!ью xOz.
Уравнение его получим, полагая у = О (уравнение эдесь
понимается условно — в
|2 смысле вависимости меж-
ду жиг, когда у —
постоянная). Это уравнение
будет
5-+-S--·. т
т. е. искомое сечение —
ел лине с полуосями а и с.
с. Далее, мы должны
рассмотреть еще уравнении
других сечений, парал-
яельпых плоскости xOz. Для этого положим теперь
У = Уг>0
(т. е. рассматриваем сечение плоскостью, параллельной
xOz и отстоящей от xOz на расстояние у « уг). Уравнение
сечения будет
fL + A + iL^i i + ilei_jL. (2)
α» \ Ь* ^ с* * α* ^ с» Ь» ν '
левая часть уравнения есть сумма квадратов и, 8начит,
> 0. Следовательно, выражение в правой части тоже
должно быть > 0.
Представляя это выражение в форме
и деля на него обе части найденного уравнения, получим
А это показывает, что найденное нами сечение.есть эллипс·
Полуоси этого эллипса будут
158
они получаются из полуосей а и с эллипса (1) умножением
на одно и то же число
С увеличением уг этот эллипс будет удаляться от
плоскости xOz, причем его полуоси (3) будут уменьшаться
(потому что уменьшается подкоренное выражение), пока,
наконец, обе полуоси обратятся в нули и эллипс
превратится в точку. Таким образом, часть эллипсоида, отвечающая
положительным у =* у19 получается перемещением неко-
аорого деформируемого эллипса параллельно плоскости
orOz. Центр О этого эллипса скользит по оси Оу, полуоси
же О А* = а\ и О'С = сх его все время уменьшаются,
пока не обратятся в нуль при ух » &.
d. Совершенно ясно далее, что от изменения знака
у ух уравнение (2) не изменится, т. е. отрицательным yt
будут отвечать такие же эллипсы, как и положительным.
Значит, часть эллипсоида, отвечающая отрицательным
уи будет симметрична той, которая отвечает
положительным ух.
e. Интересно далее выяснить, по каким кривым
скользит вершины А1 и С переменного эллипса, описывающего
эллипсоид?
Вершина А9 скользит по кривой пересечения
эллипсоида с плоскостью x()z. Ее получим, полагая ζ = 0.
Следовательно, ее уравнением будет
о* + Ь> ~ 1#
f. Точно таким же образом убедимся, что вершина
С скользит по эллипсу
лежащему в плоскости уОъ (х = 0).
g. Длины а, 6, с отрезков, отсекаемых эллипсоидом
па осях, называются полуосями.
h. В частности, при а = с ураънение^ эллидооида
будет
Jl + uL+ fl_ ι
α8 ~ b* ' α* """ ·
159
еллипсы будут кругами (аг «■ $г). Такой эллипсоид мо*
жет быть получен вращением вокруг оси Оу эллипса
α» τ δ' β1»
лежащего в плоскости огОг/, а поэтому называется эллип·
соидом вращения*
к. Если же α » 6 ~ *, то уравнение эллипсоида при*
нимает вид
5- + 5- + -3Γ-Ί. «*+»· + ι,-Λ
Эллипсоид обращается в шаровую поверхность»
§ 28· Другие простейшие поверхности
Читателю предлагается самому исследовать поверх·
ности (исследуя их сечеция плоскостями а =» const))
1» Эллиптический параболоид
* 2р + 2а ·
2А Однополостный гиперболоид
*" J. у*
.*-«.
3« Конус второго порядка
>0.
вз Τ* 6з ~ ^
4« Двуполостный гиперболоид
6*
е*
Puot 119
Рио4 120
5· Гиперболический параболоид
•"тг—яг·
160
Показать, что они имеют форму» указанную на рис. 118—
120.
В частности, для поверхностей 2, 3, 4 показать, что
при одних и тех же а, Ъ и о двуполостный гиперболоид
лежит внутри ковуса, а конус в свою очередь лежит
внутри однополостного гиперболоида»
§ 29* Кривая в пространстве как пересеченно
двух поверхностей
Линия в пространстве рассматривается как линия
пересечения двух поверхностей) н если
F (*; У\ ζ)=09Φ (χι т ζ) - 0 (1)
— уравнения этих поверхностей! то система (1) является
системой уравнений линии»
Действительно, всякая точка линии одновременно
лежит ва обеих поверхностях а, следовательно,
удовлетворяет системе (1). Точки же, не принадлежащие линии,
не могут одновременно лежать на обеих поверхностях и,
тем самым, не могут удовлетворять системе (1)#
§ 30. Параметрические уравнения
а· Однако описанный способ гадания линий имеет
свои неудобства· Гораздо чаще пользуются другим —
параметрическим способом задания линии· Именно» по*
добно тому, как мы делали в плоской аналитической
геометрии, рассматриваем текущие координаты (х\ у\ ζ)
точки линии как функции некоторой новой независимой
переменной t\
•-ft «У· V=h(t), z**f9(t)i (1)
ету новую переменную t называем параметром
(переменным), сами же уравнения (1) — параметрическими урав·
нениями кривой*
Ь. Так же как и в плоской геометрии, за параметр t
можно принимать любую переменную,
характеризующую положение точки на линии,— какой-либо отрезок,
ayryf угол.
§ 31. Винтовая линия
а· В качестве примера мы выведем параметрические
уравнения винтовой линии· Эту кривую можно получить
следующим образом·
161
Прямой круговой цилиндр с радиусом основания а
обертываем листом бумаги, как показано на рис· 121·
Рис. 121
Этот лист имеет форму треугольника с основанием АВ9
равным длине 2ла окружности основания цилиндра,
и высотой h (h — шаг винта). Сторона АС треугольника
и нарисует на цилиндре винтовую линию.
Ь. Выведем параметрические уравнения винтовой
линии, принимая за параметр t угол АОМх (считая эдесь
положительным то вращение, которое идет от оси Оъ
к оси Оу). Точка Λ/j является проекцией точки Л/ на
плоскость хОу. Абсцисса χ и ордината у точки М\ совпадают
с абсциссой и ординатой ючки Л/ — они суть проекции
вектора OML на оси Ох и Оу и равны
χ = a cos t, у — a sin U
Что касается аппликаты ζ точки Л/, то ее лучше всего
найдем из рассмотрения /\АВС в виде, еще не навернутом на
цилиндр. Здесь | АМ\ | — выпрямленная дуга в верх*
вей части рис. 121 и, следовательно!
\АМг\ - at
(дуга измеряется произведением радиуса на угол)· Имеем
пропорцию
\МУМ\ _ \АМХ\ __· at t__
2πα
\ЬС\
\ΑΒ\
2я
откуда
Итак,
будут
2л
ί = -7ΓΓ-*.
параметрическими уравнениями винтовой линии
я = α cos*, y = Qsint% z*
162
§ 32· Параметрические уравнения в механике
Материальная точка, перемещаясь в пространстве о
течением времени *, описывает некоторую кривую —
траекторию. Координаты х9 у, ζ этой точки Л/,
меняющиеся с изменением времени tf суть некоторые функции
времени. Движение можно считать известным, если эти
функции заданы:
* » Η (t), y = h (0, 2 - /3 (*)· (1)
так как тогда но этим формулам можно найти координаты
х, у, ζ точки Μ, а, следовательно, и ее положение в
любой наперед заданный момент t.
Уравнения (1) будут представлять собою не что иное,
как параметрическое уравнения траектории, причем
параметром здесь является само время t.
§ 33. Переход от параметрического представления
к общему и обратно
a. Параметрические уравнения содержат три
уравнения с четырьмя неизвестными х, у, z, t. Исключая
ив них tf получим два уравнения с тремя неизвестными
х, у% ζ, т. е. систему уравнений обычного типа.
Например, иэ параметрических уравнений винтовой
линии
χ ~ a cost, y = asinty г = -^-Ь
мы можем исключить параметр t следующим образом.
Из третьего уравнения находим
t = 2πζ/Λ.
Подставляя это в первые два уравнения, найдем
обыкновенную систему уравнений винтовой линии:
2т . 2яг
χ =* a cos -г—, y = asin—г—.
b. Обратно, обыкновенное представление кривой
Ρ (х\ У\ ι) - 0f Φ (χι у; ζ) - 0 (1)
можно свести к парамегрическому, взяв за параметр одну
из координат, например х.
Выражая из (2) у и ζ через х, имеем
У β h (*)· ζ β /'з (*)·
163
Присоединяя сюда тождество χ — х, имеем
я = я, У = h <*). 2 = /3 (я),]
т. е. все х9 у% ζ выражены через χ (/ι (χ) =* x)t
§ 34. Преобразование координат
а. Если даны координаты я, у, ζ какой-либо точки Μ
пространства относительно данной системы осей Ох>
Оу, ϋζ% то весьма важно бывает
знать связь этих координат с
координатами той же точки
относительно какой-либо новой стле-
_ мы осей.
%i h. Сначала рассмотрим слу-
-*~ чай параллельного переноса осей,
т. е. случай, когда новые оси
параллельны старым.
Рис* 122 Пусть a, by о — старые
координаты нового начала О (рис. 122).
Проектируя векторную цепь 00%М и замыкающий ее
вектор ОМ на старую ось Ох, имеем
пр ШГ^ пр IXTi + пр <Ш%
но
пр ОМ « х$ пр OOi = α, пр 0\М « х%
и потому
Аналогично этому, проектируя на ось Оу> получим
У — Ь + yh
Наконец, проектируя на ось Oz, найдем
Таким образом, будем иметь следующие формулы
перехода;
χ = а + хи у — Ъ + yif ζ = с + zu
которые выражают старые координаты точки через ее
новые координаты и так же, как в плоской геометрии,
носят название формул перехода.
164
с. Теперь рассмотрим случай, когда новые оеи имеют
старое начало, но новые направления (рис. 123)· Пола·
доение новых осей тогда определится углами, которые
новые оси координат образуют со
старыми осями.
Пусть эти углы даются
следующей таблицей:
Ι Οχι
I oyi
\ Огл
Ох
а
«1
«8
Оу
β
βι
β*
Οζ
Υ Ι
Υΐ Ι
J Y2
Обратно, легко видеть, что если принять 8а основную
не старую, а новую систему осей, то старые оси суть оси9
образующие с новыми следующие углы ι
с осью 0ж,— углы α, αί, а2,
о осью Оу — углы β, plf β2,
с осью Οζ — углы γ, γι, φ2·
Вектор ОМ имеет проекциями на новые оси числа Х\%
уи ζ\\ следовательно, его проекции ш, у, % на старые оси
как на оси, образующие с новыми осями указанные
выше углы, согласно (1) § 4 выразятся так!
χ ** щ cos a + yt cos Oj + zt cos Οζ*
у = xl cos β + yt cos βι + «i cos β8»
ζ = x\ cos у + yt cos yi + zx cos γ2·
Это формулы перехода для рассматриваемого случая·
d. Читателю предлагается самому показать по
аналогии с плоской геометрией, что в общем случае, когда новые
оси имеют и новое начало, и новые направления, формулы
перехода будут иметь вид
w « а + χι cos a + yt cos <%χ + Ζχ cos Oat
у ■· 6 + xi cos β + yi cos βϊ + %ι cos β2»
£ яв 0 + #i cos ν + V\ eos γι + zi cos γ*.
165
§ 35. Упражнения
1. Найти длину вектора, заданного проекциями χ *=*
*= 2, у = 3, 2 = 6. Ответ: г = 7.
2. Проверить, что векторная цепь, состоящая из трех
векторов с проекциями 2, —4, 4; —3, 2, —5; 1, 2, 2,
образует замкнутый треугольник, и затем вычислить
периметр этого треугольника. Ответ: периметр 16.
3. Найти направление вектора, заданного
проекциями 7; 4; —4. Ответ: cos ct=7/9, cos β= 4/9, cos γ= —4/9.
4. Три силы χ = 6, у = —6, ζ = 7, приложенные к
началу координат, направлепы по осям координат. Найти
длину и направление равнодействующей. Ответ: длина 11}
cos α =» 6/11, cos (J = —6/11, cos γ = 7/11.
5. Ребра параллелепипеда имеют длииы 2, 6, 9.
Найти проекции этих ребер на направление диагонали. От*
еет: 4/11, 36/11, 81/Н.
6. Три силы с проекциями —1, 2, 3? 1, 1, 1; 1, 1, 2
приложены к одной точке. Найти длину и направление
равнодействующей. Ответ: длина 9; cos α «■ 1/9, cos β *=»
- 4/9, cos γ = 8/9.
7. Вектор образует с осью Ох угол 60°, а с осью
Оу — угол 45°. Найти угол, образуемый этим вектором
с осью Ог. Ответ: уг « 6(Р, у^ *= 120°.
8. Точке, находящейся в начале координат, сообщены
три скорости 9, 8 и 5, каждая образует с осями равные
острые углы, но первая лежит в первом координатном
угле, вторая — в третьем, наконец, третья — в шестом.
Найти, по какому направлению и с какой скоростью
начнет двигаться точка. Ответ: скорость 14/^3, cos a =
» —2/7, cos β - 3/7, cos γ = 6/7.
9. Проекции вектора суть 6, 6, 7. Найти его проекции
на направление вектора из упражнения 3. Ответ: 38/У.
10. Проекции вектора суть 2, 3, 7. Найти его
проекцию на ось с направляющими косинусами 12/13; —3/13;
—4/13, проверив сначала, что такая ось существует.
Ответ: —1.
11. Найти проекцию силы величиной 4t
расположенной в плоскости хОу под углом 30° к оси Охх на
направление, образующее с осями равные острые углы (с
точностью до 0,01). Ответ: Зя15.
12. Найти скалярное произведение векторов с
проекциями 2, 6* 3 и Ι, 2, 2. Ответ: 20.
13. То же самое для векторов с проекциями 4А —5А
20 и —7, 42 4# Ответ: 32.
166
14. Найти косинvc угла между векторами из
упражнения 12. Ответ: 20/21.
15. Млйти косипус угла между векторами с
проекциями 4, 4, 2 и 14, 5, 2. Ответ: 8/9.
16. Найти проекцию первого вектора пз
упражнения 12 на направление вектора (1, 2, 2). Ответ: 20/3,
17. Будут ли параллельны векторы с проекциями
0,5; -0,7;±UOL в _ i,5; 2,1; 1 J ? Ответ: да.
18. Будут ли взаимно перпендикулярны векторы
с проекциями 1, 3, —4 и —2, 2, 1? Ответ: да.
19. Какой вид имеют формулы (1) § 3, (1)—(4) § 44
когда вектор 0/* лежит в плоскости #0#? Ответу
ос2 + у2 =* г2,х = ρ cos α, ί/ «я ρ sin α4 л = г cos α, # = г sin α,
casa** JL*s*—rrJ·—rr-» sina=» JL» y cos2a +
+ sin2 a» 1.
20. Во что обратятся формулы (1), (2), (3), (5) § 5,
когда оба направления лежат в плоскости хОу? Ответ
ор(?Р = г cos φ я ζ cos ai + у sin ai,
cos φ « cos a cos ai + sin a sin ai2
iTieos<p — xxi + yyi,
21. Во что обратится формула (2) § 5, когда φ =* 0?
Ответ: cos2 a + cos2 β + cos2 γ =* 1.
22. Найти периметр треугольника с вершинами
Мх(2; 4; 5)t Μ2 (3; 8; 13), М8(~1; 0; 5). Omeemi 26*
23. Найти периметр теругольника с вершинами Мх (0|
0; 0), Л/2 (—4,2; -5,6; 24). Ответ: 120.
24. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от
точек ilf t (в; 6; 6), М% (7; 4; 7), Л/8 (4; 4; 8). Ответ\
(3; 0; 0).
25. Найти центр и радиус шаровой поверхности,
проходящей через точки Μ χ (0; 0; 0)2 Л/2 (7; 1; — 2)х М9 (8j
6; —4), Ответ: центр (4; 7; 4), радиус 9,
26. На оси ординат найти такую точку М% чтобы угол
МХММ2 был прямым. При этом Mi (—6| 7; 7)х М2 (2|
40; —6), Ответ: (0; 1; 0).
27. Разделить отрезок МгМг. где Mi (lj 4j 8), Mt (8|
18; —20)* в отношении 2; 5, Omeemi Μ (3) 8; 0)#
167
28. Дано Мг (2; 2; 1). Найти Л/2, если известно, что
точка Μ (6; 4; 5) делит отрезок М\М% в отношении 2 : 3.
Ответ: М2 (12; 7; 11).
29. В треугольнике с вершинами М\ (4j 8; 8), Мг (16;
42; 4), Μз (0; 4; 8) середины сторон принимаем за
вершины нового треугольника. Найти середины сторон
этого нового треугольника» Ответ: (9; 9; 6), (5; 7; 7),
(6? 8; 7).
30» Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку (3} lj 0), если известно, что ее направляющий
вектор имеет проекции 2Х 6Д 3. Ответ: 2х + бу + 3z —
- 12 = 0.
31. Найти уравнение плоскости, если известно, что
она проходит через точку Л/, (3; 4; 1) и перпендикулярна
вектору ΜλΜ2ι где Мг (—4; 8; 2), Ответ: —2х + Ау +
+ ζ - 11 - О/
32. Найти уравнение плоскости, проходящей через
точки Мг (1\ 4; 2), М2 (2} 3; l)t M8 (1; 1; 2), Ответ: χ +
+ ζ-3 = 0.
33. Написать уравнение плоскости, проходящей
через точки Мг (1; 1; ί)% Μ2 (2; 3; 0) и отсекающей на оси
Οζ отрезок длиной 5t Ответ: 7х — Зу + ζ — 5 = 0,
—13s + 7у — ζ + 5 = 0,
34. Доказать, что уравнение плоскости отсекающей
на осях координат отрезки аг Ъ% сх будет
а + Ь + с ~1в
35. Найти точку пересечения плоскостей 2х — Ау +
+ Зг + 3 =* 04 ж — у -f г = 0t L я + 2# + ζ - 6 = 0β
Ответ: (1; 2; 1).
36. Найти косинус острого угла между плоскостями
12* — Зу + 4г — 8 = 04 4л + 8у + ζ — 1 = 0» От*
вет: 28/117.
37. Найти косинус угла между плоскостями χ + у +
+ ζ == 0, 2я — г = 0. Ответ: -j-l/]/T5.
38. Найти уравнение плоскости, проходящей через
точку (1; 3; 1) и параллельной плоскости 2х — Ау +
+ 3ζ — 1 = 0. Om^w: 2я — 4у + 3z + 7 = 0,
39. Найти уравнение плоскости, проходящей черев
точку (4; 2} 1) и перпендикулярной плоскостям χ +
+ l/ + 2 + l=0s я~# + 2;в — 2 = 0. Ответ: За —
— у - 2з — 16 = 0.
40. Найти расстояние от точки (2j 2; 3) до плоскости
8х — Ау + ζ — 38 =* 0. Ответ: 3»
168
41* Найти расстояние ос плоскости 2х — 2у + ζ —
— 0 = 0 до начала координат. Ответ: 2.
42а Написать уравнение прямой, проходящей через
аочку (3; 1; 4)Л если направляющий вектор прямой имеет
проекции 2в 3Л 6, Ответ: —γ— = -*Ц?— = —g— .
43. Найти уравнения сторон треугольника из упраж-
оо r\ z — 2 у — 4 ζ— 5 ж—3
непия 22, Ответ: —j— = -Z-^— = —g—, ^^ =
у — 8 г — 13 α? -j- 1 у ζ —5
β -8 ~ -8 f 3 ""1 0 ·
44* Написать в виде пропорций уравнения прямой
χ + у — 2 + 1=0, 2х — # + 2з — 3 = 0, Ответ}
χ у-1 «nL
τ355" — 4 β —з ·
45. Найти косинус острого угла между прямой Ах —
·— ι/ — ζ — 3 =* 0t у-г + 6 = 0и прямой 2х — 6у +
+ ζ « 0, Ах — Зу — ζ + 1 = 0. Ответ: 19/21.
46. Найти синус угла между первой прямой из
упражнения 45 и плоскостью 2х — 6у + 9ζ — 1 = 0. От-
еет; 8/33*
47. Через точку (2; 3; 6) провести плоскость
перпендикулярно второй прямой из упражнения 45. От*
еет: За + 2у + 6ζ — 48 — 0.
48. Через точку (3; 3; —1) провести прямую
перпендикулярно плоскости За? — ду + L· — 9 « 0, Omeemt
s — 3 _ у — 3 __ * + 1
~з ~=т~——г~;·
49. Через точку (1| 2; 1) провести плоскость параллельно
я — 1 у+ 2 ζ—3 x + i y — i ζ
прямым —|—« -s^-β-^—.^^rsJL—--™ — ·
Oma?m: За — 7у + 2z + 9 = 0.
50. Доказать, что уравнение
т (Ах + By + Cz + D) + η (Arx + Bry + Cxz + Dx) =* 0
при т и п% одновременно не равных нулю, изображает
плоскости проходящую через линию пересечения
плоскостей
Ах + By + Cz + D — 0S Агх + Bty + Cxz +DX = 0
(если4 конечно^ эти плоскости не параллельны),
51» Доказать* что уравнение плоскости, являющейся
биссектрисой двугранного угла между плоскостями
Лх + By + Cz + D mm 0Л Ахх + Вху + Cxz + Dx « 0,
169
будет следующим:
Ax+By+Cz+D Axx+Bxy+Cxz+Dx
Указание. Если преобразовать уравнения данных
плоскостей с тем, чтобы длины направляющих векторов
оказались равными (что проще всего сделать, приняв эти
длины равными 1), то направляющий вектор биссектрисы
явится геометрической суммой этих направляющих
векторов. Уравнение второй биссектрисы получим, заменив
один из направляющих векторов вектором, ему
противоположным.
52. Доказать, что уравнение биссектрисы угла,
образуемого пересекающимися прямыми
к I m '
х~Х\_У—У\_ъ-ъх
кх 1Х тх
будет следующим:
х-х\ У—У\_ ζ~ζι
к кх I lx m тх
г — гх г — гх г — гх
г^у/кЧР+т2, r=sjk\ + l\+m\
53. Посмотреть, что дает метод упражнений 51 и 52
в применении к плоской геометрии.
54. Найти расстояние от точки (1; 3; 5) до прямой
х-\ у-2 2-3
= = . Ответ: 1.
1 2 2
55. Вычислить объем тетраэдра с вершинами
Мх (0; 0; 0), М2 (1; 1; 1), Мъ (0; 1; 2) М4 (2; 0; 1). Ответ: 0,5.
170
56. Доказать, что поверхность эллипсоида
X2 У2 ζ2 л
S+a> + S = l
получается из шаровой поверхности
x2+y2+z2 = a,
если аппликату ζ каждой точки последней заменить на
ζи где
zjz = c/a.
57. Доказать, что поверхность эллипсоида
χ2 у2 ζ2 л
получается на поверхности эллипсоида
х2 У2 z2 t
если ординату каждой точки последней заменить на
Уъ где
yjy=b/a.
58. Пользуясь доказанным в упражнениях 56 и 57,
показать, что объем эллипсоида из упражнения 56 будет
4па2с/3, а объем эллипсоида из упражнения 57 будет
4паЬс/Ъ.
59. Найти точки пересечения поверхности эллипсоида
х2 у2 ζ2 ,
-+-+- = 1,
4 4 1
шаровой поверхности
x2+>>2+z2=2
171
в плоскости
х+у—=ζ-1=0.
у/2
Ответ: (-l;±±;±yl^ и (±-L; -1; + J\\
60. Найти точки пересечения шаровой поверхности
x2+y2+z2 = 121
и прямой
jc— 1 у—1 2—4
1 ~ 3 ~" 2
^ w ,Л Л ~ w / ^ 173 14б\
Ответ: Мг (2; 9; 6), М2 ί --; —; —1
61. На параболоиде ζ=χ2+^2 отыскать точку,
равноудаленную от точки Μ (6/5; 8/5; 1), от плоскости хОу и от
оси Οζ. Ответ: (3/5; 4/5; 1).
62. Найти уравнение проекций на плоскости хОу, yOzt
zOx линии пересечения шаровой поверхности х2 +
у2 ζ2
+y2+z2—4 и плоскости х=у. Ответ: х=у, -Ч—=1,
7 2 4
ί+ί-ι.
2 4
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1
ПРЕДЕЛЫ
§ 1. Бесконечно малые
a. Понятие бесконечно малой мы выясним на частных
примерах.
Рассмотрим переменную дробь
ι
у которой знаменатель неограниченно увеличивается
(например, пусть η принимает последовательно значения 1,
2^ 3, ...). Тогда переменная дробь α будет неограниченно
уменьшаться, все более и более приближаясь к нулю.
Такую переменную α назовем бесконечно малой *).
b. Вместо дроби α мы могли бы рассматривать
отрицательную дробь
1
1 η *
отличающуюся от α только знаком. При неограниченном
увеличении η эта дробь тоже неограниченно уменьшается,
но теперь уже не в алгебраическом смысле, а по своей
абсолютной величине. Переменную αλ мы тоже назовем
бесконечно малой:
c. Можно также рассматривать и дробь
о.-±±
с условием, что берется знак +, если η четное, и—,
если η нечетное. Переменная at также неограниченно
уменьшается по своей абсолютной величине; ее мы тоже
назовем бесконечно малой.
*) Истинному представлению о бесконечно малой более
соответствовало бы название не бесконечно малой, а бесконечно уменьшающейся
величины.
173
d. В качестве примеров бесконечно малых приведем
еще переменные α8, α4, α6, αβ, принимающие такие
последовательные значения:
— ι JL λ λ
α*~~ !» 4 ' 9 ' 16 · # ' β·
α -_ι _1 _± _1
,11 1
αδ — ι» 775 »
δ~1» 1-2» 1.2.3» L2.3.4» -■'»
αβ = 0,1; —0,01; 0,001; —0,0001; ...,
тоже неограниченно уменьшающиеся по своей абсолютной
величине.
е. Хорошим примером бесконечно малой может служить
также сторона правильного вписанного в круг
многоугольника при неограниченном увеличении числа
^L ν его СТ0Р0Н·
А 7 1 f. Наконец, возьмем такой пример. Упругая
/ стальная пружина MN закреплена одним кон-
/ цом Λί, другой же конец N остается свобод-
I ным (рис. I). Если мы отклоним конец N от
ι его начального положения, то пружина начнет
Ι ι колебаться, отклоняясь то вправо, то влево
|/ от своего начального положения ΜΝ, делая
при этом, ввиду сопротивления воздуха, все
меньшие и меньшие размахи (затухающее
колебание). Теоретически такое колебание будет
\Ш продолжаться бесконечно долго.
Рис. I Расстояние а = /С1Л^1 колеблющегося конца
от начального положения ΜΝ пружины,
которое считается положительным, если пружина отклонена
вправо от ΜΝ, и отрицательным, если пружина
отклонена влево от ΜΝ, очевидно, и будет величиною бесконечно
малой.
g. Основным свойством, характеризующим бесконечно
малую, является ее неудержимое стремление к нулю.
Никаких границ для такого стремления к нулю быть не
должно, и какое бы мы ни задали малое положительное
число ε, мы должны быть уверены в том, что в
изменении бесконечно малой α непременно наступит момент,
начиная с которого абсолютная величина |а| бесконечно
малой будет оставаться меньше ε.
Отмечая это характерное свойство бесконечно малой,
мы дадим ей такое определение.
/f
174-
Бесконечно малой мы называем такую переменную ос,
относительно которой мы уверены в следующем:
Какое бы малое положительное число ε мы ни задали,
в изменении а наступит момент, начиная с которого
абсолютная величина | а | переменной а будет оставаться
меньше г.
h. Считаем необходимым особенно подчеркнуть тот
факт, что свойство бесконечно малой начиная с
некоторого момента численно оставаться меньше ε должно
обнаруживаться при любом ε (какое бы малое ε ни было задано).
Именно, если в изменении бесконечно малой α уже
наступил момент, начиная с которого | α | остается меньше ε, то
при дальнейшем изменении α наступят также моменты,
начиная с которых | α | будет оставаться меньше и других
еще более мелких 8if ε2, ...
Например, после того как |<х| уже остается меньше ε,
при дальнейшем изменении а наступит момент, начиная
с которого | ос | < ε/2, а при дальнейшем изменении
α—моменты, начиная с которых | α | < ε/3, | α | < ε/4, | α | < ε/5,...
и вообще | α | < ε/η независимо от того, как велико выбрано
целое число л. Или, например, если а—бесконечно малая,
то при ее приближении к нулю последовательно наступят
моменты, начиная с которых | а| < 0,01, | а | < 0,001,
|а|< 0,0001 и т. д.
В приведенном выше примере пункта а (с. 7), т. е. при
<х= 1/л,
имеем
а<0,1 начиная с я—И,
а < 0,01 начиная с л=101,
<х<0,001 начиная с л = 1001.
§ 2. Понятие предела переменной величины
a. С понятием бесконечно малой величины тесно
связано понятие предела.
Если переменная χ приближается к постоянной а так,
что разность
χ—а
между обеими величинами есть бесконечно малая, то
говорят, что переменная χ стремится к пределу а.
b. Запись того, что переменная χ стремится к
пределу а, производится или в виде
175
I- limx — a (читается: предел χ равен a) (Um есть
сокращенное французское слово limite, что значит предел),
или же в виде
II- х—*а (читается: χ стремится к пределу а),
или же, наконец, обозначая бесконечно малую разность
χ—а буквою а, мы можем эту запись произвести в форме
χ—α = α,
или еще лучше в форме
III- лг = а + сс.
Последняя запись показывает, что переменная величинах
равна своему пределу а, сложенному с бесконечно малой а.
Записи I, II, III равносильны между собой.
с. Пример 1- Пусть переменная χ проходит
последовательно такие значения:
х-1,1; 1,01; 1,001; 1,0001; ...
Нетрудно видеть, что пределом этой переменной
является 1, то есть
limx = 1.
Действительно, разность χ—1 проходит
последовательно такие значения:
0,1; 0,01; 0,001; ...,
т. е. является величиною бесконечно малой.
Пример 2. Пусть переменная χ проходит
последовательно такие значения:
* = 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; ...
Нетрудно видеть, что и в этом случае
\\тх= 1.
Действительно, и здесь разность χ—1 является
величиною бесконечно малой, так как проходит последовательно
значения
—0,1; —0,01; —0,001; —0,0001; ...
Пример 3. Пусть имеется окружность. Впишем в
нее квадрат, затем удвоим число сторон, затем еще раз
удвоим и т. д. Получим переменный правильный
многоугольник с неограниченно возрастающим числом сторон
(рис. 2).
176
Если обозначим площадь этого многоугольника
буквою S, а площадь круга буквою /С, то при указанном
неограниченном увеличении числа сторон площадь S будет
неограниченно
приближаться к площади /С, и мы
можем написать
limS=s/C.
d. Можно сказать, что
бесконечно малая величина
стремится к пределу нуль.
Действительно, разность
а—О
между бесконечно малой и
нулем равна самой
бесконечно малой:
α—0 = α.
В связи с этим запись того, что α—бесконечно малая ι
можно производить одним из двух следукщих способов:
lim α ■» О
или же
а—* 0.
e. Можно сказать, что постоянная величина а
стремится, к пределу, равному ей самой*
lim a = а.
Действительно, разность а—а = 0, а нуль можно
рассматривать также как бесконечно малую, так как он всегда
остается меньше любого положительного числа ε, каким
бы малым последнее ни было задано.
§ 3. Понятие бесконечно большой
а. Вместе с понятием бесконечно малой нам потребуется
и понятие бесконечно большой величины. В то время как
для бесконечно малой нельзя поставить никаких границ
ее приближению к нулю, для бесконечно большой
величины, наоборот/нельзя поставить никаких границ ее
увеличению (по абсолютной величине). Называя какую-либо
величину η бесконечно большой, мы должны быть уверены
в том, что какое бы большое положительное число N мы
Рис. 2
177
ни задали, в изменении переменной η обязательно
наступит момент, начиная с которого абсолютная величина |л|
этой переменной будет оставаться больше ЛЛ
Отмечая это характерное свойство бесконечно большой,
мы дадим ей такое определение.
Бесконечно большой мы называем такую переменную η,
относительно которой мы уверены в следующем:
Какое бы большое положительное число N мы ни
задали, в изменении η наступит момент, начиная с кото-
рого абсолютная величина \п\ переменной η будет
оставаться больше N.
b. И здесь мы считаем необходимым особенно
подчеркнуть то, что свойство бесконечно большой начиная с
некоторого момента численно оставаться больше N должно
обнаруживаться при любом Ν, как бы велико N ни было
задано.
Например, после того как η по абсолютной величине
уже остается больше #, при дальнейшем изменении η
наступит момент, начиная с которого |л|>2#, и при
дальнейшем изменении η—моменты, начиная с которых
М>ЗЛГ, |п|>4ЛГ,...
Иначе, если п—бескрнечно большая, то при ее изменении
последовательно наступят моменты, начиная с которых
|л|> 10, |д|> 100, |л|> 1000, |л|> 10000,...
c. Относительно бесконечно большой величины часто
говорят также, что она стремится к бесконечности. В связи
с этим запись того, что η—бесконечно большая, можно
производить одним из двух следующих способов:
limn=5+ оо
или же
η—►<».
(Знак оо есть символ бесконечности.)
d. В частности, если начиная с некоторого момента
все значения бесконечно большой η положительны, пишут
limn«+oo.
e. Если же начиная с некоторого момента все значения
бесконечно большой η отрицательны, то пишут
Шпя = —оо.
f. Примерами бесконечно больших могут служить
переменные пи пг> nSy принимающие такие последовательные
178
значения:
Λι=1, 2, 3, 4, ...;
л2 =—1, —4, —9, —16, ...;
л3=1, —10, 100, —1000, ...
Относительно двух первых можно написать, в частности,
Нт пх = + оо; lim л2 = — оо,
тогда как относительно п9 можно лишь написать
lim|n8| = +oo.
g. Легко показать, что дробь
1
α
с бесконечно малым знаменателем а (не обращающимся
в нуль) будет.бесконечно большой.
Действительно, задав произвольно большое
положительное N и положив в = -дг» видим, что начиная с
момента, когда | ос | будет оставаться меньше в, будем иметь
Таким образом, какое бы большое положительное
число N мы ни задали, в изменении величины η наступит
момент, начиная с которого
\η\>Ν.
Значит, η—бесконечно большая,
h. Наоборот, дробь
ι
с бесконечно большим знаменателем η будет бесконечно
малой.
Задав произвольно малое положительное число ε и
положив # = —, видим, что начиная с момента, когда \п
будет оставаться больше Λί, будем иметь
if 1 ^ I
179
Таким образом, какое бы малое положительное число β
мы ни задали, наступит момент, начиная с которого
|α|<ε.
Значит, α—бесконечно малая.
i. Переменная х, абсолютная величина \х\ которой
остается не больше некоторой постоянной Л, т. е.
переменная х, которая всегда удовлетворяет условию
\х\<А9
называется ограниченной.
Например, ограниченной будет величина
# = sinx,
потому что всегда
|sinx|<l.
§ 4. Свойства бесконечно малых
a. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также
бесконечно малая.
Действительно, пусть аи сц, ..., ан—бесконечно
малые и
и***а1 + ай+ . ·. +ак
— их сумма. Назначим произвольно малое положительное
число ε. Чтобы показать, что начиная с некоторого
момента | и | будет оставаться меньше в, мы в изменении
слагаемых aif α2, ..., ак суммы и отметим не тот момент,
начиная с которого все |oti|, |α,|, ..., |αΛ| будут
оставаться меньше β, а более поздний, начиная с которого
все |cact|, |α,|, ..., \ak\ будут оставаться меньше г/k.
Начиная с такого момента будем иметь
|"ΗΙαί + <*,+ ..·+α*|<
<Ι<*ιΙ + Ια«Ι+ ... + |αΛ|<-|·.*«β.
Итак, начиная с некоторого момента имеем
\и\<г.
Значит, и—бесконечно малая.
b. Произведение ах бесконечно малой величины а на
ограниченную величину χ есть также бесконечно малая.
Так как χ ограниченная, то всегда имеем
\х\<А.
180
Назначив теперь произвольно малое положительное
число ε и отметив в изменении бесконечно малой α тот
ε
момент, начиная с которого | α |< ε, если А < 1, и | α К -. ,
если А > 1, получим, что начиная с некоторого момента
|α*|<ε.
Значит, ах—бесконечно малая.
с. Частное от деления бесконечно малой на величину,
стремящуюся к пределу, не равному нулю, есть тоже
бесконечно малая.
Пусть
α
— частное от деления бесконечно малой α на величину у,
стремящуюся к пределу я, не равному нулю. Перепишем
и в виде произведения:
Так как х—+а> то χ=*α + β,ΓΛββ—бесконечно малая,
и, следовательно, начиная с некоторого момента будем
иметь
ΐβΐ<|£|·
Но тогда начиная с этого момента
Μ = |α + β|>|α|-||| = |!|,
потому что самую малую абсолютную величину сумма а + β
будет иметь в том случае, когда β имеет знак,
противоположный а, и наибольшую возможную для β абсолютную
величину |а/2|. Значит, для разыскания наименьшей
абсолютной величины |α + β| надо от \а\ отнять |а/2|. Тем
самым
*|^|α/2|-15|·
т. е. начиная с некоторого момента 1/дс будет величиною
ограниченной.
Но тогда произведение
будет бесконечно малым, как произведение бесконечно
малой на ограниченную величину.
181
§ 5. Основные свойства пределов
a. Сейчас мы докажем две теоремы, позволяющие
предугадать некоторые свойства пределов по поведению
переменных, которые к этим пределам стремятся.
b. Равные переменные не могут стремиться к двум
разным пределам. Иначе говоря, одна и та же переменная
не может стремиться к двум разным пределам.
Действительно, допустив одновременно
limx — a, Нт# = й,
мы имели бы
лг — α+α, *«&+β,
где α и β—бесконечно малые. Но отсюда
α + α = ί> + β,
а—6 = α—β,
|α-6|-|α-β|.
Последнее равенство при а—й, не равной нулю,
заключает в себе противоречие, так как в правой его части
стоит бесконечно малая |β—α|, которая начиная с
некоторого момента будет оставаться меньше любого
положительного ε и, в частности, меньше ε = |α—b\.
c. Если χ и у стремятся к некоторым пределам, при-
чем постоянно
то и
lim χ > lim у.
Пусть
limx = af limy = &.
Тогда
χ = α+α, # = & + β,
где α и β—бесконечно малые. Отсюда ввиду неравенства
х^у имеем
α + α>ί>+β,
α—β>&—α.
182
Последнее неравенство при Ъ > а будет заключать
в себе противоречие, так как разность α—β бесконечно
мала и, следовательно, начиная с некоторого момента
должна оставаться по абсолютной величине меньше любого
положительного ε и, в частности, меньше ε = 6—α.
Значит, остается предположить, что 6<α, τ. е.
limy^limx.
§ в. Предел непрерывной функции
a. Наиболее часто в теории пределов приходится
решать вопрос о пределе функции: если дана какая-либо
функция f(x) и аргумент χ стремится к пределу а, то
необходимо знать, стремится ли функция к какому-либо
пределу, а если стремится, то к какому именно.
Если с приближением χ к пределу а функция f(x)
стремится к пределу 6, то это записывается так:
lim f(x)—b.
Например, можно писать
lim (I— x+x*) = U lim tgx=oo,
х-+0 χ -► π/2
Нт-5- = + оо, lira 4" = °·
b. Для большего уточнения понятия предела функции
заметим, что при'конечном а приближение χ к пределу а
можно вести двумя способами:
1) со стороны значений х<а (т. е. приближать л: к а,
увеличивая х);
2) со стороны значений χ > а (т. е. приближать χ κ α,
уменьшая х).
Равенство (1) без оговорок можно писать только тогда,
когда f(x) приближается к пределу Ь при обоих
указанных способах приближения χ к а одновременно.
c. В самом деле, бывают случаи, когда в зависимости
от способа приближения χ к a f(x) приближается к
разным пределам.
Например, если будем приближать χ κ π/2 со
стороны значений χ < π/2, то получим
lim tg*= -f oo.
Приближая же χ κ π/2 со стороны значений χ > π/2,
получим
lim tgjt=— oo.
183
В этих случаях, чтобы отметить способ приближения χ
к пределу, запись производится так:
lim tgx=-foo,
lim tg л:=—oo.
d. В отношении тех функций, которые мы имеем
в виду рассматривать в дальнейшем, указанный вопрос
о пределе функции оказывается вообще весьма простым.
Причиною этого является особое свойство этих функций—
их непрерывность.
Непрерывной мы назовем всякую функцию f(x)f
обладающую следующими двумя свойствами:
1. Каждому значению χ отвечает одно определенное
конечное значение функции f(x).
2. Каково бы ни было выбрано х, имеем
Hm f(l) — f(x) (ξ читается «кси»),
причем это равенство справедливо независимо от того,
стремится ли\кхсо стороны значений, меньших я (ξ < х),
или о/се со стороны значений, больших х(%>х).
e. Часто речь может идти не обо всех значениях
аргумента х, а лишь о тех, которые расположены на
определенном отрезке [а, Ь] *). Если для всех значений х,
лежащих на отрезке [а, 6], f(x) удовлетворяет обоим
условиям непрерывности, то говорят, что функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь].
f. Бывает, что нас интересует какое-либо одно
значение х. Если по отношению к этому значению выполнены
оба условия непрерывности, то говорят, что при данном
значении χ функция f (x) непрерывна.
Если же при каком-либо χ не выполняется хоть одно
из условий непрерывности, то говорим, что при данном
значении χ функция f(x) терпит разрыв (непрерывности).
*) Отрезком [а, Ь] называется совокупность всех чисел,
удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь, т. е. совокупность всех чисел*
которые не меньше α и не больше Ь. При а < χ < b говорят, что χ
лежит в интервале (а, 6). В связи с общим понятием интервала
совокупность чисел, больших а, называют интервалом (а, + оо), а
совокупность чисел, меньших bt — интервалом (— оо, Ь),
184
g. Сейчас мы исследуем с точки зрения непрерывности
простейшие функции
хп при n>0, a*, logex, sinx, cos χ, tgx, ctg*, arcsin*,
arccosx, arctgx, arcctgx.
Для простоты исследуем сначала непрерывность
функции f(x) = x*.
1. Каждому конечному значению χ отвечает
определенный его квадрат х%% т. е. одно определенное конечное
значение функции f(x) = x*. Таким образом, для этой
функции первое условие непрерывности выполнено для
всех конечных х.
2. Чтобы проверить второе условие непрерывности,
т. е. выяснить, будет ли стремиться /(ξ) = ξ2 к /(*)=* я2,
когда ξ неограниченно приближается к х, мы представим
ξ в форме
где h—бесконечно малая. Тогда имеем
lim ξ2=* lim (x+h)2=* lim (χ2 + 2xh + A2)« x*
ξ->* h -+0 ft-*0
(потому что два последние слагаемые в скобках
бесконечно малы при бесконечно малом А). Таким образом,
действительно
!im£2 = x2, (1)
причем этот результат не зависит от того, считали ли мы
h при его приближении к нулю отрицательным или же
положительным, т. е. считали ли мы l=*x + h при его
приближении к χ числом, большим х, или же числом,
меньшим х. Равенство (1) показывает, что для / (х) = х2
выполнено и второе условие непрерывности. Таким образом, можно
сказать, что функция f(x) — x2 непрерывна для всех
конечных х.
Подобным же путем можно убедиться, что и всякая
степенная функция хп, где η—целое положительное, будет
непрерывной для всех конечных χ (предлагаем это сделать
самим учащимся, пользуясь биномом Ньютона).
При η нецелом и η > 0 мы рассмотрим функцию хп
лишь для положительных значений х. Не производя
подробного исследования, мы и здесь можем считать
^очевидным, что хп непрерывна для всех положительных
конечных значений х.
Функция а* непрерывна для всех конечных значений х.
185
О функции loga* мы можем говорить, лишь когда χ
положительно, так как отрицательные числа не имеют
логарифмов. При всяком х>0 для loga* выполнены оба
условия непрерывности. Поэтому мы можем сказать, что
loga* непрерывен для всех положительных конечных
значений х.
Из геометрических соображений ясно, что функции
sin* и cosjc непрерывны для всех конечных значений х.
В отношении функции tgx оба условия непрерывности,
очевидно, выполняются для всех конечных значений х,
кроме значений вида
где k целое. Для этих последних tgx обращается в оо
и, таким образом, не удовлетворяет уже первому условию
непрерывности, требующему, в частности, чтобы все
значения функции были конечными.
Мы можем сказать поэтому, что tgx вообще
непрерывен для конечных значений ху кроме значений χ вида
#= .— -f-fot, где он терпит разрывы непрерывности.
Точно так же можно убедиться, что ctgx вообще
непрерывен для конечных значений х, кроме значений
χ вида x — kn, где он терпит разрывы непрерывности.
Что касается функций arcsin* и arccos* (главные
значения), то - о них можно говорить, только когда χ
изменяется на отрезке [—1, 1], так как аргумент х>
изображая для первой функции синус, а для второй —
косинус, не может по абсолютной величине превосходить 1.
В отношении же отрезка [—1, 1] и для этих функций,
очевидно, выполнены оба условия непрерывности.
Следовательно, мы можем сказать, что функции arcsinx и arccos x
непрерывны на отрезке [—1, 1].
Функции arctg* и arcctgx непрерывны для всех
конечных значений х.
h. Непрерывными будут и сложные функции, т. е.
функции вида
/(Ф(*)).
Здесь функция зависит от аргумента χ через
посредство некоторой функции φ (дг). Именно,
φ (χ) выражается непосредственно через х,
а уже ί(ψ(χ)) выражается через <р(х).
186
Функция φ (χ) носит название посредствующей функции
или же сложного аргумента.
Например, сложной функцией будет
logesinx,
причем посредствующей функцией здесь является sin x.
Докажем в качестве примера непрерывность logtfsin*
в интервале (0, π).
1. Каждому значению χ в интервале (0, π) отвечает
одно определенное положительное (конечное) значение sin x.
Каждому же положительному значению sin* отвечает
одно определенное конечное значение log^sinjc.
Таким образом, первое условие непрерывности для
функции logaSinx выполнено.
2. Если β стремится к пределу х, то (ввиду
непрерывности sin x) sin ξ стремится κ sin x. Но тогда (ввиду
непрерывности логарифма) и logesin£ будет стремиться
к logaSin*, то есть
lim loge sin ξ = log,, sin x.
Значит, выполнено и второе условие непрерывности.
i. Относительно непрерывности функций,
представляющих собой сумму, произведение или частное других
непрерывных функций, будет сказано дальше.
}. Изучение непрерывных функций в математике важно
потому, что к непрерывным функциям мы обычно
приходим и при изучении явлений природы. Например, высота
и толщина дерева суть непрерывные функции его
возраста; температура охлаждающегося тела—непрерывная
функция времени; длина стержня—непрерывная функция
температуры и т. д.
к. Переписав второе условие непрерывности в
обозначениях пункта «а» (т. е. заменив χ на а и ξ на х)% имеем
Нш/(*)-/(а),
х-+а
т. е. предел непрерывной функции находится простор,
заменой аргумента χ этой функции тем пределом а, к
которому он стремится.
Например,
lim х8-2s-8,
lim arcsin V~x=* arcsin У 1/4 = arcsin -s- = £.
k-+ 1/4 * °
187
§ 7. Геометрическое истолкование непрерывности
а. Нетрудно выяснить, что графиком непрерывной
функции f(x) будет и непрерывна! (сплошная)*) линия.
1. Действительно, согласно первому условию
непрерывности все ординаты графика будут конечными.
2. Согласно второму условию должно быть
Шп/©-/(*). (1)
Положим y = f(x), η = /(ξ) (η читается «эта») (на рис. 3
х — ОА, у = АМ, l~Oa, t\~am). Условие (1)
перепишется така
limr\ = y. (2)
1-*·χ
Известно, что разность между переменной и ее
пределом есть бесконечно малая. Поэтому равенство (2) можно
прочесть так: если
ξ—χ—бесконечно малая, то и η—у —
бесконечно малая.
На рис. 3 разности ξ—χ и
η—у изображаются отрезками
ξ—х = Аа'=МК, г\—у = Кт;
они суть не что иное, как те
количества, которые надо
приду Л а я дать абсциссе х^ОА и орди-
рИСш з нате у==*АМ точки М, чтобы
из них получить абсциссу \ — Оа
и ординату η = am точки т. Эти разности обозначается
особыми символами
ξ—χ — Δχ (дельта от х, или дельта х)9
η—у = &у (дельта у)
и называются: первая—приращением х,
вторая—приращением у.
В этих новых обозначениях равенство (2) можно
прочесть таю
если Δ*—бесконечно малая,
то и Δ#—бесконечно малая.
/Это можно записать и в виде lim Δ# = 0.\
V δ*-* о /
*) Сплошною можно назвать ту линию, которую на бумаге можно
вычертить непрерывным движением острия карандаша, не отрывая
его от бумаги·
188
Таким образом, второе условие непрерывности можно
читать так:
Бесконечно малому приращению Δ* аргумента
отвечает и бесконечно малое приращение функции.
Ь. Но если Δ* и Δ# одновременно бесконечно малы,
то бесконечно мала и хорда
\Мт\=УЩчЛЬу)\
т. е. точка т бесконечно близка к точке М.
Мы приближали ξ к χ со стороны значений ξ > χ.
Тот же результат мы получим и в том случае, если будем
приближать ξ κ χ со стороны значений ξ<*(ξ = Οα1,
η = α1/η1, Δχ = ΜΚι отрицательное; Ьу^КхЩ тоже
отрицательное). В этом последнем случае мы найдем, что и
слева от точки Μ имеется точка ти бесконечно близкая
к точке Λί. Итак, каждая точка Μ графика непрерывной
функции имеет справа и слева от себя сколько угодно
близкие точки т и тх того же графика. Отсюда и видно,
что график непрерывной функции может быть только
сплошной линией.
§ 8. Свойство непрерывной функции
а. Если значения f(a)uf (b)t которые непрерывная
функция f(x) принимает на концах отрезка [а, 6], имеют
разные знаки, то в интервале (а, Ь) имеется хоть один
корень этой функции (т. е.
хоть один корень уравнения У\
А*) = 0).
Действительно, пусть,
например (рис. 4),
f(a)<0, f(b)>0.
Тогда точка А с абсциссой
х — Оа будет ниже, а точка β
с абсциссой х = ОЬ—выше оси абсцисс. А так как
функция непрерывна, то график ее есть сплошная линия. Эта
линия, идя из точки А в точку В, неминуемо пересечет
ось абсцисс в некоторой точке, абсцисса которой на нашем
чертеже обозначена буквою х0. Ордината этой точки равна
нулю, то есть
/(*о) = 0.
189
Например, пусть
[(х)=зХ*—х—2.
Рассматривая интервал (1, 2), имеем
/(!)= 1 — 1—2 = — 2 < 0. /(2) = 8—2—2 = 4 > 0.
Значения /(1) и /(2), которые получает наша функция
на концах отрезка [1, 2], имеют разные знаки. Поэтому
в интервале (1, 2) должен заключаться хоть один корень
уравнения
х3 —х—2=*0.
Иными словами, между 1 и 2 должно существовать
такое х*=*х0, что
4—Хо—2«0.
§ 9. Предел функции, зависящей от нескольких
переменных
a. Вопрос о пределе функции можно поставить и для
функции f(u, v) нескольких переменных*).
Если при одновременном приближении и, υ к
некоторым пределам а, Ь соответственно функция /(α, υ)
стремится к пределу k, то это записываем таю
lim f(uf ϋ) = Λ.
и -+а
O-*-b
Мы рассмотрим лишь случаи, когда f(u, υ) ест ь сумма
произведение или отношение переменных α, υ.
Во всех этих случаях окажется, что
lim /(и, ϋ) = /(α, 6),
т. е. предел функции находится простой заменой в
выражении функции переменных и, υ пределами а, Ь, к
которым они стремятся.
Этими случаями мы сейчас и займемся.
b. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме
пределов этих слагаемых:
lim (u + v) = a+b(=limu+limv).
ό -+b
*) Для простоты мы ограничимся двумя переменными.
190
Действительно, если и, υ стремятся к пределам а, 6, то
а«=а + а, ι>=6+β,
где α, β—бесконечно малые.
Но тогда
α + ϋ = (α+α) + (6+β) = (α + 6) + (α+β).
Второе слагаемое последней суммы, как сумма
конечного числа бесконечно малых, будет само бесконечно
малым. Следовательно, u + v стремится к сумме
а + Ь,
т. е. к сумме пределов переменных.
Например,
c. Предел произведения конечного числа сомножителей
равен произведению пределов этих сомножителей:
lim uv = ab=*limu-limu.
и-*- а
Ό -*Ь
Как и раньше, имеем
где а и β—бесконечно малые. Следовательно,
ш> = (а+ а) (Ь + β) = α& + (аЬ + ф + αβ).
Но второе слагаемое последней суммы, как сумма трех
бесконечно малых, будет само бесконечно малым.
Следовательно, uv стремится к произведению
ab,
т. е. к произведению пределов переменных.
Например,
lim ш> = 2-5=*10.
и-* 2
ν -*■ δ
d. Предел отношения двух переменных равен
отношению пределов этих переменных, если только предел
знаменателя не равен нулю.
191
Это значит, что при ЬфО
и^а ν Ь \ lim v) w
Ό -+Ь
Опять имеем
где α и β—бесконечно малые.
Рассмотрим разность
£ а __ fl+a а___ (a + a)b—a(b + $) _ ab—$a
υ b ~~ 6+β fr"" (6+β)& -~(6 + β)&#
Мы видим, что числитель ab—βα последней дроби, как
сумма двух бесконечно малых об и βα, тоже бесконечно
мал, знаменатель же стремится к пределу b-b = b2, по
предположению не равному нулю. Значит, вся дробь
(см. пункт «с» § 4) бесконечно мала. Вместе с тем
бесконечно мала и разность
и а
т. е. действительно имеет место равенство (1).
Например,
lim |=1 = 2.
Ό-* 2
е. Доказанные теоремы, будучи применены к случаю,
когда переменные ut vt... суть функции одного
аргумента jc, покажут, что сумма, произведение и отношение
(со знаменателем, не обращающимся в нуль) непрерывных
функций будут тоже функциями непрерывными.
Ограничиваясь для простоты случаем двух непрерывных функций
φ(χ) и i|?(Jt), мы видим, что:
1. Каждому значению χ отвечают определенные
конечные значения функций φ(χ) и ψ(χ) и, следовательно,
определенные конечные значения функций
Φ W + Ψ (*), Φ (*) Ψ (*), ■$§ (если ψ (χ) Φ 0); (2)
тем самым функции (2) удовлетворяют первому условию
непрерывности.
192
2. Имеем
lim (φ (Ι) + ψ (ξ)) - Hm φ (ξ) + Um ψ (ξ) - φ (χ) + ф (χ),
Hm φ (ξ) ψ (|) - lim φ (ξ) lim ψ (ξ) = φ (*) ψ (χ),
{-»■* 1·+* S-+X
откуда видим, что функции (2) удовлетворяют и второму
условию непрерывности.
Это позволяет нам расширить правило вычисления
пределов непрерывных функций на случай, когда
функция есть сумма, произведение или отношение (со
знаменателем, не стремящимся к нулю) непрерывных функций.
Например,
Hm (sin χ + cos я) = sin-?· + cos£=-t*=H—7^=^*2,
Hm xlog8* = 91og89 = 9-2=18,
цт 2* _ 24 q
х-+4 γ χ у 4
§ 10. Особые случаи разыскания предела
a. Чтобы пользоваться правилом
lim/(*W<a), (1)
надо быть уверенным в том, что функция f(x) непрерывна
при х = а.
b. Однако непрерывность функций мы выяснили только
для конечных значений х, поэтому в стороне от правила (1)
остаются пределы вида
Hm f(x)% lim /(*}, lim f(x),
X-+CD *-*+» *-*<-»
где а = 00, +00, или —oo. Пределы такого типа имеют
весьма важные приложения, а потому мы покажем здесь
на частных примерах некоторые общие приемы их
вычисления.
Пример 1. Найти предел
6** + 2*+1
J™. 2**+*+з ·
193
Если в написанном выражении мы будем беспредельно
увеличивать аргумент х, то как числитель, так и
знаменатель будут беспредельно расти (условно говорят, что
при х«=оо выражение обращается в неопределенность
вида 5)·
Поэтому раньше чем разыскивать предел, мы поста-
роемся преобразовать функцию, предел которой
разыскиваем, к другому виду, по которому этот предел
разыскивать было бы проще. В данном случае делим числитель
и знаменатель на х%. Имеем
Здесь можно применить теорему о пределе отношения
(предел знаменателя не нуль), и наш предел окажется
равным
д (β+1+jr) 6 ^
."■(f+r+i) 2
Пример 2. В разобранном выше примере, независимо
от того, стремится ли χ к —оо или к +оо, предел
получается один и тот же. Однако бывают случаи, когда
величина предела зависит от знака бесконечности.
Например, если χ стремится к —- оо, то (полагая х=*—хг) имеем
*-*
lim ι , лj ■■ lim -——τs "~
Если же χ стремится к +оо, то имеем
lim _i_«о
*-► +0D
1+2*"
(знаменатель стремится к + оо).
Пример 3. Найти предел
lim (VH*+2x—x)
(неопределенность вида +оо—оо). Умножим и разделим
разность, стоящую в скобках, на сумму тех же величин
194
и получим
lim (KF+Я-*)- Ига (УЖЕ=ШШ*±!й =
к-**· *-»■+· VJp + Tx+x
2»
- Hm ..J lim . ' 4-1.
Очевидно,
*-*+·
с. Бывает, что аргумент χ стремится к конечному
пределу а, но при этом оказывается, что функция f(x) как
раз при χ — α терпит разрыв непрерывности. Тогда
правилом (1) пользоваться нельзя.
Чаще всего f(x) не удовлетворяет при χ—α первому
условию непрерывности. Это бывает, когда формула,
определяющая /(я), теряет смысл при χ «α, Пределы
последнего типа имеют, однако, первостепенное значение для
всего анализа бесконечно малых. Поэтому мы покажем
здесь на частных примерах некоторые общие приемы
вычисления и таких пределов.
Пример 1. Найдем предел
Здесь при χ — 2 функция теряет смысл, так как обращается в
2«—2—2 О
[неопределенность вида -^ J. Однако при ближайшем
рассмотрении оказывается, что о приближением χ к 2 наша
функция все же будет приближаться к вполне
определенному пределу.
Для этой цели, когда χ приближается к 2 (и,
следовательно, не равно 2), преобразуем нашу дробь в другую,
равную ей при всех х, отличных от 2, но предел которой
будет легко разыскать.
Именно, замечая, что корни уравнения
х%—х—2«0
суть —1 и 2, имеем
ха—х—2 = {х+ 1)(х—2).
195
Замечая же, что корни уравнения
х%—Зх+2 = 0
суть 1 и 2, имеем
л:2—Злг+2 = (х— 1)(х—2).
Поэтому
л?»—л?—2 _(*+!)(*--2)
*«-3*+2 ~"(*—1) (*—!?)"
Сокращая на χ—2 (что мы вправе делать, когда χ не.
равно 2), мы приведем нашу дробь к виду
Так как с приближением χ к 2 последняя дробь
стремится к пределу (предел знаменателя теперь не нуль)
то к тому же пределу стремится и заданная дробь (так
как она равна преобразованной все время, когда χ не
равно 2), то есть
Ά *»-3*+2 ~3'
Пример 2. Найти предел
ντ-ν~.
а
иш г * : («>о)
*-*α *—α
(неопределенность -дЛ. Преобразуем нашу дробь,
умножая числитель и знаменатель на сумму Vlc+Va. Получим
- Hm *~- , - lim-^-1 '
Пример 3. Найдем еще предел
lim.fe±!f=£
(неопределенность -g-j. Здесь χ считаем постоянным, а А
переменным и бесконечно малым, так что вся дробь--»
функция аргумента А.
196
Имеем
Ь-»0 n ft-*0 h
= Hm 2xh+h* = Hm (2*+A)=:2*.
л-> о
Пример 4. В трех разобранных примерах предел
получается один и тот же независимо от способа
приближения аргумента к его пределу. Бывают, однако, случаи,
когда величина предела зависит от различия в способе
такого приближения.
Например, если будем приближать χ к нулю со
стороны отрицательных χ (л:<0), то получим (полагая х=*
= -*ι)
Если же будем приближать χ к нулю со стороны
положительных jc(x>0), то получим
Hm —1_ = —1-.==0
( см. также пример 2 пункта «а»).
§11. Замечательный тригонометрический предел*)
а. Пусть имеется выпуклая кривая АВ (на рис. 5
кривая обращена выпуклостью вверх).
Допустим, что в каждой точке этой кривой можно
провести касательную и что при беспредельном сближении
двух точек а и β кривой угол φ между касательными,
проведенными в этих точках, будет стремиться к нулю.
Тогда будем иметь
и да. хорды^αβ
да. ^αβ ·
т. е. отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги
стремится к пределу 1.
Чтобы доказать это, построим равнобедренный Д αΛΙβ
с углом φ при основании; Д αΝβ будет, очевидно, лежать
внутри него (потому что угол φ, как внешний для Д αΝ$9
больше каждого из углов при его основании αβ).
*) В настоящем и следующем параграфах мы приводим несколько
более упрощенные рассуждения, чем в предыдущих.
197
Основываясь на известном свойстве выпуклых линий,
соединяющих две данные точки, согласно которому объем*
лющая линия длиннее объемлемой, можем написать
(полагая αΛί=«/, ν*χβ=*5, хорда αβ = 6)
2/ > s > k.
Ho k равно удвоенной проекции αΛί на αβ. Поэтому
fc«2/cos<p, 2Ь *
cos φ
Итак, имеем
S*?>*>*·
55?>Т>>·
COS<p< — <l.
При неограниченном сближении точек α и β угол φ
согласно предположению стремится к нулю. Значит, cos φ
Рис. 5
Рис 6
приближается к 1. Но тогда к 1 должно приближаться и
отношение —, как промежуточное между 1 и cos φ, стремя-
щимся к 1, то есть
lim — = 1.
5
b. Пусть, в частности, дуга оф = 2л: принадлежит
окружности радиуса 1. В этом случае, очевидно (рис. 6),
<р = 2дс; длина хорды c# = 2sin*f
и мы имеем согласно пункту «а»
lim -
*-* +о
= 1; Hm =f«i.
198
Для полноты результата покажем, что тот же предел 1
мы получаем и при х—»— 0.
Действительно, если χ отрицательное, то, полагая
х« — хи имеем
Urn S£- Ни !ULi=£i>= Um JEU-i.
Теперь мы можем написать
IimS2i-l.
§ 12. Признак существования предела
a. Часто характер изменения функции с приближением
аргумента к какому-либо пределу настолько сложен, что
может возникнуть сомнение в самом существовании предела.
b. То обстоятельство, что с приближением аргумента
к какому-либо пределу функция может и не иметь
предела, покажет хотя бы следующий простой пример:
lim sin at. (1)
По мере увеличения χ функция sin x принимает
периодически все возможные для нее значения от —1 до +1 и,
таким образом, ни к
какому определенному
пределу не приближается.
c. Укажем здесь один
простой признак, который
в интересующих нас
случаях позволит узнать,
стремится ли функция к
какому-либо пределу или нет.
Чтобы лучше понять,
в чем этот признак
состоит, вспомним, как мы
в элементарной геометрии
подходили к вычислению
площади круга. Послед- рис# 7
нюю мы рассматривали
там как общий предел площадей вписанных и
описанных правильных многоугольников (получаемых, например,
последовательным удвоением числа сторон).
Именно, при беспредельном увеличении числа η сторон
происходит следующее (рис. 7):
199
1. Площадь Рп вписанного многоугольника возрастает.
2. Площадь Qn описанного многоугольника убывает.
3. Разность Qn—Рп между обеими площадями
стремится к нулю.
Ввиду 1, 2 и 3 мы считаем очевидным, что обе
площади Рп и Qn стремятся к некоторому общему пределу
(который и принимаем за площадь круга).
d. Другой пример возьмем из алгебры. Извлекая по
известным правилам К2, получим
К2= 1,4142...
Если рассмотреть два набора чисел Plf P%f >..,Р„,... и
Qu Q2» · · ·. Qn>- · ·» принимающих такие последовательные
значения:
1 1,4 1,41 1,414 1,4142 ...
Q.
2 1,5 1,42 1,415 1,4143
(числа Рп суть так называемые приближенные
значения V 2 с недостатком, а числа Qn—приближенные
значения V2 с избытком), то увидим, что:
1) Рп возрастает;
2) Qn убывает;
3) разность Qn—Рп стремится к нулю.
Мы опять считаем очевидным, что Рп и Qn стремятся
к некоторому общему пределу (который и принимаем
за V2).
е. И вообще, если:
1) переменная Рп возрастает (Рг<Р%<Рш <.·.)]
2) переменная Qn убывает (Qx > Qa > Q8 > · · ·)ί
3) разность Qn—Pn стремится к нулю (Pn<Qn),
то считаем очевидным, что переменные Рп и Qn стремятся
к некоторому вполне определенному общему пределу.
Это утверждение принимаем как аксиому, т. е. как
очевидную истину, не требующую доказательства.
§ 13. Сходимость бесконечных рядов
а. Только что сформулированный нами признак
существования предела мы применим к исследованию весьма
важного вопроса о сходимости бесконечных
рядов—особого рода сумм вида
Дг + <*! + α· +* · · · >
200
содержащих деограниченно большое число слагаемых —
членов ряда (образованных по какому-либо общему для
всех членов ряда закону).
Примерами бесконечных рядов могут служить
выражения вида
а + aq + aq2 + aqz + ...,
1 ι Γ ι 2 ι 1 1
ι^ 1.2 ^ L2.3 ^ 1.2.3-4 ^ *··
Ь. Члены ряда следует складывать слева направо в том
порядке, как они написаны. Если окажется, что сумма
все большего и большего числа η членов ряда
Sn=ai + a2 + a8+ ... +ап
приближается к определенному' конечному пределу S,
то есть
limSn = S,
то S называется суммою ряда. Ряд, имеющий конечную
сумму, называется сходящимся.
Запись того, что S является суммою ряда,
производится так:
S = a1 + a2 + as+ ...
Примером сходящегося ряда может служить бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия
a + aq+aq*+...,
знаменатель которой q по абсолютной величине меньше 1.
Сумма η первых членов этой прогрессии равна
о «-ι aqn — a a—aqn a aqn
Но при неограниченном увеличении η qn стремится к
нулю, потому что \q\ < 1. Поэтому в последней разности
предел вычитаемого есть нуль, т. е.
5= lim Sn^^-t
и мы можем, следовательно, написать
a + aq + aq%+...^~^.
201
с. Может оказаться, что, суммируя все большее и
большее число членов ряда, мы будем убеждаться, что
их сумма будет неограниченно возрастать. В этом случае
ряд называется расходящимся.
Например, расходящимся будет ряд
Действительно, члены этого ряда будут не меньше
соответствующих членов такого ряда:
1+Ι+Τ+Τ + Τ+Τ+Ι + Τ+··· (2)
Поэтому, если, суммируя члены второго ряда, мы получим
неограниченно растущую сумму, то тем более это будет
относиться к первому ряду.
Суммирование членов второго ряда можно
производить в следующем порядке:
1 +
+Т+
+ Т + Т +
+1+1+1+1+
^ 8^ 8^ 8^ 8^
где сумма членов каждой строки, кроме первой, равна 1/2.
А так как строк будет бесконечно много, то ясно, что,
складывая члены ряда (2), мы получим неограниченно
растущую сумму. Значит, ряд (1) будет расходящимся.
d. Наконец, может оказаться, что, суммируя все большее
и большее число членов ряда, мы ни к какому пределу
приближаться не будем. В этом случае ряд также
назовем расходящимся.
Примером такого ряда может служить ряд
1_1_1+1+1+1+1_
1 2 2^4^4^4^4
8 8 8 8 8 8 8~ 8+ ·"
Действительно, обозначая, как всегда, через S сумму η
первых членов ряда, имеем
Si«l· S,=:0, S7 = l, S« = 0;..., ·
откуда видим, что Sn ни к какому пределу стремиться
не может·
202
§ 14. Простейшие признаки сходимости
a. Для сходящегося ряда
βι + βι + β»+ ···
должно выполняться
Нтал=*=0.
Если ряд сходится, то, складывая все большее и
большее количество его членов, мы будем приближаться к его
сумме S. Но если п—большое число, то п— 1— тоже
большое число, и, значит, начиная с некоторого момента
/какое бы малое β мы ни выбрали), не только
3,, = ^ + ^+ ··· +а„,
но и
будут отличаться от S на величину, меньшую е/2, где
е—произвольное положительное число. Но тогда начиная
с этого момента Sn и Snmmi между собою будут разниться
на величину, меньшую τ^ + γ — β, то есть
l«nl-|S,-S,_f|<e.
Это и доказывает, что ап стремится к нулю при
неограниченном возрастании л.
b. Однако пример ряда
рассмотренный в пункте «с» § 13, показывает, что
выполнения условия
Итая = 0
еще не достаточно для того, чтобы ряд был сходящимся,
У этого ряда
а„ = 1; НтаЛ = 0.
Тем не менее в пункте «с» § 13 мы убедились, что этот
ряд расходящийся.
Мы укажем далее такие признаки, которые давали бы
полную уверенность в сходимости ряда.
201
с. Ряд
at + a% Ί-α8+..., (1)
среди членов которого нет отрицательных, сходится,
если его члены не больше соответствующих членов какого-
либо сходящегося ряда
Ьг+Ьг+Ь9+... (2)
Действительно', если при любом η an^.bn, то, полагая
Ап = а1 + а%+ ... +а„,
вя=ь1 + ь%+...+ьп, w
lim βη = β
П-*· се
(предел существует ввиду сходимости ряда (2)), составим
два набора чисел
rn = Ai, Л2, ···» Ап\
Qn = B-(Bx-Ax), ...,B-(Bn-An).
Мы видим, что:
1. Переменная Рп возрастает.
2. Переменная Qn убывает (потому что
Вп-Ап = (Ь1-а1) + (Ь2-а2)+ ... + (Ьп—ап)
возрастает с возрастанием п).
3. Разность
Qn-Pn = B-(Bn-An)-An = B-Bn
стремится к нулю (ввиду (3)).
Поэтому согласно признаку существования предела,
указанному в§ 12, переменная Рп^Ап должна стремиться
к некоторому пределу А:
\imAn = A.
Следовательно, ряд (1) сходящийся.
Например, члены ряда
1+ТТ + ТГ2Т"^ 1-2.3.4 ^
не превосходят членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
1+γ + -2^Γ+ 2·2·2 *^~ "··
относительно которой известно, что она сходится (пункт «bi
§ 13). Значит, сходящимся будет и ряд (4).
204
d. Чем больше членов сходящегося ряда мы сложим,
тем ближе подойдем к его сумме S. Обозначая бесконечно
малую разность между S и Sn символом /?„, мы можем
написать
S = Sn + Rn.
Rn называется остатком ряда. Очевидно, он обозначает
сумму всех членов ряда, остающихся после того, как мы
отбросим первые η членов.
e. Сумму S можно вычислить приближенно с любой
степенью точности, если сложить достаточно большое
число η членов ряда.
Пример. Вычислим сумму ряда
S=1 + TT + T3T + 1.2.3.4 + ···
Обозначая члены этого ряда символами аи а8, а3, а4, ... f
имеем
а,=
а»-
at-.
аь·-
а,--
а,--
а,=
а,=
Ой'
аи·
аи-
аи
ι °1
=Та*
βτα«
= ja,
= Ja*
ι
1
-у*
= 7°»
=τα·
= Ί5α·
ΒΠαί·
=ТЗ°»
= 13fl"
= 1
= 0,5
-=0,166666667
= 0,041666667
= 0,008333333
= 0,001388889
= 0,000198413
= 0,000024802
= 0,000002756
= 0,000000276
= 0,000000025
=0,000000002
= 0,000000000
1,718281830;
отбрасывая две последние цифры, как не очень надеж·
ные, мы получаем следующее приближенное выражение
суммы нашего ряда:
S« 1,7182818...
f. Ряд
<*t + а% + а* + · · · ι (δ)
среди членов которого есть отрицательные, будет
сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных
величин его членов,
Ι«ιΙ+|β·Ι + Ι«·Ι+··· (6)
Положим
<*„>0, (7)
Рп>0,
причем β„«=0 при ап положительном» аал-0 при ап
отрицательном (так что α„«α„ или αΛ — —βη в
зависимости от знака ап).
Ряды
0Ь| + ae + а, + ...,
Ρΐ+β| + β|+ ···
не имеют отрицательных членов и очевидно сходятся» так
как их члены не превосходят соответствующих элементов
ряда (6). Значит, существуют пределы
lim («! + «,+·... +сд-Д,
Hm(p1 + pl+...+PJ«fl.
Но тогда ввиду (7)
lim (at + a,+ ... + a„)-Hm [(04—βι)+... +(α„-β„)]-ι
- lim (α, + α,+ ...+aJ—Ηηι(β1 + Ρ,+ ...4·β„)-Λ-τβ,
т. е. и ряд (δ) является сходящимся.
Например, ввиду выясненной выше сходимости ряда
1 + ТТ+ТЗТ + ТПГЗйТ + · ·»
206
сходящимся будет ряд
1 ' 4-—J— J ) -
1 — ΊΤ"1" 1.2-3 1.2.3-4 "Г"··'
g. Нетрудно показать, что при условии
ая>0, Итая = 0, α,>αβ>α*> .. ·>α„> . ...
сходящимся будет так называемый знакопеременный ряд
аг—at + a9—α4+...
Рассмотрим сумму S2n четного числа 2п первых
членов и сумму S2n+1 нечетного числа 2я + 1 первых членов
этого ряда. Имеем
Stn=*(a1—at)+(a9—aA)+ ... +(atn^i—atn),
St„+i = ai—(at~a8)—(a4~ab)—...—(ain—ain+i)f
S*n+i~Stn=*u9n+i.
Мы видим, что S%n возрастает, Sin+i убывает, а
разность между ними стремится к нулю. Значит, S2n и S\n+i
стремятся к некоторому общему пределу S.
Таким образом, сумма как четного, так и нечетного
числа первых членов ряда (8) стремится к 5.
Следовательно, ряд (8) сходится.
Пример. Рассмотрим ряд
ι 1 л. 1 1 л.1 1 .
1—Т+Т-Т+Т~Т·'··
здесь
1>т>т>-« 2?А~°·'
следовательно, данный ряд сходится.
§ 15· Основание натуральных логарифмов
а. Применим предыдущее к исследованию весьма
важного предела
207
Положим сначала, что η—целое положительное.
Применяя бином Ньютона, имеем
s._(,+i)-_1+i.i+^4+
, я(я--1)(я--2) 1 . , п(п— 1)(я — 2)«,..·3·2·1 \_
^ Ь2ТЗ ' л» + ··· τ Ь2.3.....(я-2)(я-1)я ' Л" **
i Л"""* л я —1 я—2
, я # я * я ,
ί+τ+^
2 ^ 1.2-3
я я —1 я —2 3 2 1
I I ■
' · — · <
, Я Я Я П П П _
•·,+ Ь2.3.....(я-2)(я-1)я ~
,_± (ι_!Λ(ι-2)
, ('-ί)('-4)·-(-¥)('-¥)
··" i Ь2.3...(я-2)(я-1)л
Так как числители всех слагаемых полученной суммы
меньше 1, то эти слагаемые не превосходят членов ряда
(см. пункт «с» § 14)
5-1+1 +TF + TF3 + ··· = 2,7182818... (2)
Нетрудно сообразить, что
lim sn — S.
Действительно, представляя S в форме
S = S, + /?„ (3)
a sn в форме
s„ = s*+r*, (4)
ввиду сходимости ,ряда (2) можно указать настолько
большое k, что
Rk < ε/2. (5)
Тогда ввиду rk < /?* имеем
0<Як—гк<г/2. (6)
Далее, сохраняя выбранное k неизменным, мы в
изменении η отметим момент, начиная с которого sH будет
отличаться от Sh на величину, меньшую ε/2, что несом-
208
ненно наступит, так как указанная сумма приближается
к Sk при неограниченном увеличении η (число k постоянное).
Таким образом, начиная с некоторого момента имеем
\Sk-sk\<*/2.
Вычитая же из равенства (3) равенство (4), получим
(беря абсолютные величины)
Отсюда и заключаем, что
lim srt= lim (l+lY*«S»2f7182818...
Этот предел обозначается обыкновенно буквою е, так
что
lim (ΐ+-Μη = *==2,7182818,..
Ввиду особых удобств число е принимается за
основание так называемых натуральных логарифмов.
b. При этом логарифм при основании е мы будем просто
обозначать символом In (часто его обозначают также
символом log).
Например, для обозначения натуральных логарифмов
чисел 2, 3, 4, ... будем писать
In 2, 1пЗ, In 4 или log 2, log3, log 4.
Логарифмы при каком-либо другом основании а будем
обозначать символом log„, указывая внизу основание.
Например, для обозначения логарифмов по основанию 5
чисел 2, 3, 4, ... пишем
log52, log53, log, 4, ...
c. Нетрудно показать далее, что тот же предел е мы
получим и в том случае, если не будем ограничивать
значения η только целыми числами. Действительно, если
η дробное, то всегда найдутся целые N и N +1 такие,
что
N<n<N+lt
209
и тогда, очевидно,
(, , 1 У*+»
Ч=^--('+тНт)"<(>ЧУ<
<('4Γ-(ι4ί·('+7)·
А так как о возрастанием η растут и числа N и
N+ 1,то имеем
«η (■+*)-'= .ч-Л'+тпт)-1;
и потому крайние числа последних неравенств будут
стремиться к е.
Вместе с тем к пределу ε будет стремиться и
выражение
ыу.
постоянно заключенное между ними·
d. Наконец, покажем, что число е будет пределом и
в том случае, когда η отрицательное и я—* — оо. Пусть
η =5 — пи где nt > 0. Имеем
Шп (1+1)"- Шп (l-f Г1-
- Hm (*=Μ"*-. Шп МЦЛ\
Полагая далее пх— \=п%, приведем этот предел к виду
Таким образом, независимо от того, стремится ли η
к +оо или к —оо, предел получается один и тот же, и
мы можем, следовательно, написать вообще
210
§ 16. Порядок бесконечно малых
a. Если а—бесконечно малая и β—другая
бесконечно малая, причем
где С—постоянная» не равная нулю, то говорим, что
β—бесконечно малая порядка, одинакового с а.
b. Если
Urn 1—0,
то говорим, что β—бесконечно малая порядка, высшего
чем а.
c. Если, наконец,
lim £ — oof
то говорим, что β—бесконечно малая порядка, низшего
чем а.
d. Очень часто при одновременном рассмотрении
нескольких бесконечно малых одну из них, а, принимают
за основную, тогда а* называют бесконечно малой
величиной порядка т, как и всякую бесконечно малую
величину β порядка, одинакового с ам, для которой lim ^г —С,
С*0.
Нетрудно сообразить, что большему т отвечает и
высший порядок малости (в смысле пункта «Ь»)· В самом
деле, при т>т% имеем
lim -2-r-* Hmaw-m*-0
a-*oami α-* ο
ввиду того, что m—mt > 0.
e. Для лучшего уяснения понятия порядка бесконечно
малой заметим вообще, что если β—бесконечно малая
порядка выше а, то из
Ит^чО
06
следует
« г>
где γ—бесконечно малая. Отсюда
211
Значит, β является бесконечно малой частью от бес*
конечно малой а, так как умножить α на γ—значит взять
от нее такую же часть, какую γ составляет от 1, т. е.
бесконечно малую часть.
И наоборот, если
β = αγ,
т. е. β есть бесконечно малая часть бесконечно малой а,
то
|шТ# lim|-0,
т. е. β—бесконечно малая порядка, высшего чем а.
{. Если
Um-f — 1Р
то бесконечно малые величины α и β называются
эквивалентными.
Пример U Ввиду
lim^-l
X-+Q *
мы можем сказать, что синуо бесконечно малого угла
эквиваленте^ этрму углу.
Пример 2. При условиях пункта «а» § 11 ввиду
дл. ναρ
мы можем сказать, что хорда эквивалентна стягивающей
ее бесконечно малой дуге.
g. Нетрудно видеть, что сумма
α + β + γ+... +6
нескольких бесконечно малых, расположенных по
возрастанию их порядка, эквивалентна а.
Действительно,
||ш«+И+Т+-»+»,||ш(1+| + Х+„.+4)-,Ь
потому что β, γ» · · м в—бесконечно малые порядка,
высшего чем а.
Например, если а—бесконечно малая, то
2а8 + а4—6а* эквивалентно 2α·,
Κα—α эквивалентно Κα.
212
h. Если α эквивалентно β, то
lim«?-=51,
откуда следует, что
Τ
α-1+γ,
где γ—бесконечно малая, отсюда
α=β(1 + γ) = β + βγ,
т. е. бесконечно малая α равна эквивалентной ей β,
сложенной с бесконечно малой βγ высшего порядка.
Обратно, из
α = β + βγ
ввиду пункта <cg» следует, что α эквивалентна β.
i. При вычислении предела отношения бесконечно ма<-
лых каждую из них можно заменить величиной, ей
эквивалентной.
Если
α эквивалентна аи
β эквивалентна βχ,
то имеем (пункт <ch»)
α-cMl-Y), β = Μ1 + δ),
где γ и δ—бесконечно малые. Следовательно,
α αχ Ι+Υ
и если ψ- стремится к какому-либо пределу, то ввиду
"-ЙН
к тому же самому пределу будет стремиться и 2-, то есть
limj^lim-SL,
Например, ввиду того, что sin* эквивалентен χ и
х+х2 эквивалентно х> имеем
х^о х-\~хщ χ
213
Учащимся самим рекомендуется обобщить теорему на
случай, когда и в числителе, и в знаменателе дроби
имеется несколько бесконечно малых сомножителей.
§ 17. Упражнения
1. Доказать, что
lira In sin χ β— In 2,
Hm 2**-2,
*-*Я/4
Hm arctg*»-ji/4.
2. Доказать, что на отрезке [—1, 0] уравнение
2*· + * + 2-0
имеет вещественный корень.
3. Доказать, что на отрезке [2, 3] уравнение
*» + 4**-12х-9-0
имеет вещественный корень.
4. Доказать, что при а>0
Hm (a# + bx% + cx+d)** +oo,
Hm (ax* + btf + cx+d)** — оо.
Указание. Вынести ах? за скобки и посмотреть,
какой знак будет иметь при больших χ выражение ах? и
выражение, оставшееся в скобках.
5. Доказать, что при а > О
lim (ax* + bxb + cx% + dx + e) — + oo.
*-* ·
6. Как заключить из решения упражнения 4, что
уравнение
ах* + Ьх? + сх+аш*0
всегда имеет хоть один вещественный корень?
7. Доказать, что
214
8. При каких значениях χ функция
терпит разрывы непрерывности? Ответ: при д:= 1 и я=2.
9. Доказать, что
1+2+3+. .. + я_ 1
Л?. »« 2 '
10. Доказать, что
Hm (jc — j/'jnf^o5) — О,
Х~+ *
lim (Ух*+2х + 3— KFTT)=1,
lim (KF+lF+l-KF+l)-—1.
11. Доказать, что
hm г = л, lim ' «лх" *
(здесь χ рассматривае1ся как постоянная, а Л—как
переменная),
1™ Ж2_5х+6 ~6'
X
*24-1
12. Доказать, что функция -jszt имеет разрывы rte-
прерывности только при * = —1 и х== 1, причем
lim ^l±i = + oo, lim ^±i«_oo;
lim Ίπ~-°°' Иш/5=τβ+°°·
13. Доказать, что функция ^ ^ терпит разрывы
непрерывности только при х=0 и *= 1, причем
Ига х1х1-1\шл+С0· Нт ΤΤΓΖΠΤ^—°°
χ-+-0*\Χ—4 x-t+QXKX—I)
t-ri-o*l* Ч «-м + о* I* Ч
215
14. Почему
HrnS^-l, llm^-l. lim «sln±-1?
15. Доказать, что
Иш!йЙ-2, limSS^-m, lim|£^=^.
16. Доказать, что
нш if5-1- Ишта-т·
17. Доказать, что
,. 1 — cos χ 1 n tgx—sin* 1
limft—3Γ— βτ» llmn ?—я7·
18. Доказать, что
,. С08(* + Л) — COS*
hm —v ^ =*—sin*.
ft-*0 Λ
19. Доказать, что
lim tg(*+/Q—tgs_ 1 .. ctg(*+ft)-ctgs_ 1
Λο * 555^' *™o S "δ15*7*
20. Доказать сходимость ряда
*+— + "χ + ~ +···
для всех j*| < 1.
21. Доказать сходимость ряда
1+Т+ТТ5+ТТ2Тз+#··
при любом заданном х.
22. Доказать сходимость рядов
Х—Г^ТЗ"1" 1.2-3.4.5 *··· 1— та"*"Ь2.3.4—··"
при |х|< 1.
23. Доказать сходимость ряда
1-1+1-1+
1 3^5 7+в
216
24. Доказать, что, полагая
будем иметь
1+]72 + Т72Гз " ·■—^ft+^fe»
0<Rk<TbTmTk·
25. Почему
26. Доказать, что
Нт (1 + x)i/* = e.
27. Доказать, что
lim η1η(ΐ+.1Λ = 1.
28. Доказать, что
«-('+*)■-'· «?. (*£**-)**-
29. Доказать, что при бесконечно малом χ
tgx эквивалентен χ,
ln(l + x) эквивалентен х.
30. Доказать, что если аг эквивалентно βχ; α2
эквивалентно β2, ..., α* эквивалентно βΛ, то и α^.,.α^
эквивалентно βχβ3. . -Pft.
31. Доказать, что
sln(^--4^+^)_i ,. In (1+2*) Λ
32. Доказать, что
*-+0 K*tg* ж-о (l-cos*)x»
Глава 2
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная как угловой коэффициент касательной
a. Основная задача, которую мы теперь ставим,—это
исследование хода изменения функции
У-fix)
с изменением {увеличением) аргумента.
Поставим себе такой вопрос! как узнать, возрастает
ли функция, убывает ли она, и с какой быстротой.
b. Обращаясь к графику функции (рис. 8), легко
усмотреть связь этого вопроса с углом α наклона
касательной к оси абсцисс. На участках возрастания
функции (например, в точке Мх) угол α положителен, на
участках убывания функции
(например, в точке Λί2) он
отрицателен. При этом чем
быстрее изменяется функция
(возрастает или убывает),
тем больше угол а. В
точках Ми Λ18, Λί4 функция не
возрастает и не убывает; в
этих точках а=0.
Ввиду указанной связи
угол α и можно было бы
принять за меру скорости изменения функции, причем знак
угла α указывал бы тогда сам характер изменения
(возрастание или убывание).
c. Однако за такую меру скорости удобнее принимать
не сам угол а, а его тангенс, т. е. угловой коэффициент
касательной.
Этот угловой коэффициент касательной
а= tgoc
для каждой точки Μ будет свой—он будет зависеть от
положения точки Μ на кривой и будет меняться с пере-
Рис. 8
218
мещением точки Μ. А так как положение точки Μ
определяется ее абсциссой *, то выходит, что a=*tga есть
некоторая функция абсциссы х.
Эту функцию мы называем производной функцией
функции y = f(x). Обозначим ее одним из символов
у' или /'(*).
т. е. так же, как и саму функцию, но со значком вверху
(читается: у штрих или / штрих от х).
Итак, наряду с каждой функцией y = f(x) мы вводим
в рассмотрение производную функцию
a = tga = i// = r(x),
выражающую обою угловой коэффициент касательной к
графику функции y = f(x).
Нашей ближайшей задачей является разыскание
математического выражения этой функции.
§ 2. Производная как предел
а. Касательную в точке Μ можно рассматривать как
предельное полошние секущей Mm, проходящей через
точку Μ и через бесконечно близкую к ней точку т
(точка Μ остается неподвижной, а точка т к ней
неограниченно приближается; рис. 9). Соответственно этому угол а
наклона касательной к оси
абсцисс можно рассматривать
как предел переменного угла
α наклона секущей Mm к
оси абсцисс. Из /\МКт
имеем (МК = Δχ, Km = Δ#,
i//CMm=a1)
ΔίΓ
Поэтому
tga= Iimtgal5= lim Й, (1)
Δ*-*0
Рис. 9
или ввиду того, что tga=f'(x) и &y = f(x + bx)—f(x\
(действительно, by=am—AM, где am = /(x-f-Ajc), AM=*
= f(x))> имеем
1 Δ*-Μ> Δ* Δ*-Η> Δ* W
219
Ь. Эта формула и будет в дальнейшем служить для
разыскания математического выражения производной,
когда известно математическое выражение первоначальной
функции f(x). Словами ее можно сформулировать так:
Производная есть предел отношения приращения Ау
функции к вызвавшему его бесконечно малому приращению
Δχ аргумента (при стремлении последнего к нулю).
При разыскании этого предела следует твердо помнить,
что χ остается постоянным (как абсцисса неподвижной
точки Λί). Переменным является Δχ (стремящееся к нулю
ввиду неограниченного приближения точки т к М).
Следует также помнить, что предел должен быть один и тот
же, независимо от знака Δχ, τ. е.. независимо от того,
приближается ли точка m к Μ с правой стороны или же
с левой.
§ 3. Пояснение общей теории на примере.
Уравнения касательной и нормали
а. Для пояснения того, как при помощи формулы (2)
пункта «а» § 2 можно найти математическое выражение
производной, рассмотрим функцию
Производная y' = f'(x) этой функции равна пределу
но здесь
/М-Т*» /(* + Δχ)~|-(* + Δ*)\
и, следовательно,
*<«+Δ*)·~jx -jх*+\ *Δ*+(Δ*)* --Lχ*
y- lira i τ- - ton - - τ- *
j*A*+(A*)«
■Aim — τ- = lim ( Τχ+Δχ ) = 4-*.
Итак,
/-γ*·
220
b. В то время как значение самой функции
1 ,
отвечающее какому-либо значению х, изображается
ординатой соответствующей точки графика (параболы),
соответствующее тому же значению χ значение производной
•-±*
изображается угловым коэффициентом касательной.
На прилагаемой таблице
Л!_4 М_, М-, Л!_, М0 М, Мг Λί, Λί4 ·,
'Τ*
_4 —3 -2
-4 —9/4 —1
tga=/«i.* ... —2 —3/2 —1
-10 1 2 3 4
-1/4 0 1/4 1 9/4 4
—1/2 0 1/2 1 3/2 2
даны ординаты и угловые коэффициенты касательной
нашей параболы для точек ..., Λί_4, Λί_3, M_Q, Af.lf M0
Mu М2, М9, Л/4, ... с
абсциссами ..., —4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, 4, ... (первая
строка таблицы указывает
наименование точек,
вторая—абсциссы этих
точек, третья — ординаты,
наконец, четвертая—
у гловые коэффициенты
касательных).
Учащиеся легко
проверят, что
вычисленные нами значения
у' = tg a совпадают с
теми, которые имеются на
рис. 10. (Например, в точке Μ имеем y'=stga = 0, и,
действительно, здесь касательная совпадает с осью
абсцисс. В точке М2 имеем #';=tga=l, и, действительно,
рис. 10 показывает, что касательная в точке М2
наклонена к оси абсцисс под углом as=45Q и т. д.)
221
c. Зная угловой коэффициент касательной» нетрудно
написать уравнение касательной. Например, найдем
уравнение касательной в точке Л1Я. Здесь (см. таблицу) *»3,
у в 9/4, tga = 3/2. Значит, уравнение касательной в
точке Λί8, как уравнение прямой, проходящей через точку
Λί,(3;9/4) и имеющей угловой коэффициент 3/2, будет
,9 о у ον 9 3 9
0—Т-у(*—8>· У— Тв7*~Т'
4у—9 = 6*—18, 6jc—4у—9 = 0.
d. Найдем еще уравнение нормали в точке Λί8. Нормалью
называется прямая, проходящая через точку касания и
перпендикулярная касательной. Угловой коэффициент at
нормали найдем из условия перпендикулярности ее к
касательной!
где а—угловой коэффициент касательной в точке Λίβ,
равный, как мы видели выше, 3/2. Следовательно,
1 2
Итак, уравнение нормали, как уравнение прямой,
проходящей через точку Λί8(3; 9/4) и имеющей угловой
коэффициент а, = —2/3, будет
У-i 1(*-3), y-j у*+2,
12у—27 = — 8х + 24, 8дгЧ- 12у—51 = 0.
§ 4. Механическое значение производной
a. Рассмотрим прямолинейное движение материальной
точки. Путь s, пройденный этой точкой за время /,
протекшее от начала движения, будет зависеть от t. Он
будет некоторой функцией U
Что касается скорости υ движения, то она будет тоже
меняться с изменением t и тоже, как и s, будет
некоторой функцией t. Мы постараемся сейчас найти
математическое выражение этой функции, предполагая, что
математическое выражение функции s**f(t) известно.
b. Для этой цели выберем какой-либо определенный
момент ί и рассмотрим движение точки за бесконечно
222
малый промежуток времени /, протекший от момента t
до бесконечно близкого к нему момента / + Δ/. Так как
скорость можно рассматривать как непрерывную функцию
(времени), то ввиду бесконечной малости промежутка
времени Δί ее можно принять в течение этого промежутка
за постоянную и, следовательно, само движение—за
равномерное.
Обозначая через As путь, пройденный точкой за
указанный бесконечно малый промежуток времени, для
скорости в течение этого промежутка будем иметь
приближенное выражение
As
Δ*
(потому что скорость равномерного движения выражается
отношением пути к времени, за которое этот путь пройден).
Замечая же, что к моменту t путь был
а к моменту t + &t он стал
s + As = f(t + M)t
имеем для As следующее выражение:
Δβ-/(ί + Δί)-/(/).
Следовательно, приближенное выражение скорости
будет
Δ5_/(/ + Δ/)-/(0
Δ/ Δ? · I1)
Наши рассуждения будут тем ближе к действитель·
ности, чем меньше Δ/. Поэтому за истинную скорость в
момент t принимаем предел отношения (1) при Δ/—*0,
то есть
о- lim g- Hm tV+V-M
Для лучшего уяснения вопроса можно .рассуждать так. Считая
очевидным, что скорость υ есть непрерывно меняющаяся величина,
имеющая в каждый момент времени свое определенное численное
значение, допустим, что Οχ—наименьшая и ι*—наибольшая скорость в
течение всего рассматриваемого промежутка (например» для движения
с возрастающей скоростью ^—-скорость к моменту t и t>t—скорость
к моменту f-f*A0· Если бы точка двигалась равномерно с наименьшей
скоростью Pi, то она, конечно, прошла бы и меньший! чем As, путь
223
vxM. Наоборот, двигаясь равномерно с наибольшей скоростью vit
точка прошла бы больший, чем As, путь v2At. Итак,
Vi At < As < υ% At,
откуда
As ^
vi <д7 < v2.
В пределе, когда / + Δ/ сольется с/, то и v% сольется с υχ, причем
получившаяся в результате их совпадения скорость ν будет
относиться уже к моменту / (с которым слилось t+At). И эта предельная
скорость ν будет, очевидно, равна пределу отношения
As
АГ
так как, находясь постоянно между ό± и vtl это отношение, очевидно,
должно приближаться к тому же пределу ν, к которому стремятся
Vi и &9.
А это (§ 2) как раз совпадает с производной функции
/(/)· Итак, можно написать
σ» lim J?-«'-/'(<)·
Следовательно, скорость есть производная пути по
времени, т. е. производная функции f(t)t которая
выражает путь s через время t.
с. Для примера рассмотрим равноускоренное движение
материальной точки, считая, что известен путь s как
функция времени]
• -7^-/(0
(я_ускорение). Согласно изложенному скорость ν к
моменту / будет
,-ИтЙ-Ит,(Н-А?-/(°-
-J-atf + AO1 —§-α/2 atAt+ja(Ai)*
=» lim τι =» lim
ΔΙ-И» Δ' Δ<-*0 Δ<
lim (αί + τΓαΔί )=*at.
Δ/-*0
Таким образом, мы получили известное выражение
скорости ν равноускоренного движения как функции
времени U
υ —at.
224
Здесь, следовательно,
§ 5. Производные трех простейших функций.
a. Как увидим далее, разыскание производных многих
функций сводится к разысканию производных так
называемых простейших функций
хп, a*, lnx, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx,
arctgAT, arcctg*,
Математические выражения этих производных
выводятся раз навсегда, и их учащиеся должны помнить
наизусть.
b. Первой выведем производную функции
0 —/(*)■-*".
где η—целое положительное. Здесь (аналогично будем
поступать и дальше для обозначения производных других
функций) наряду с обозначениями уг и /' (х) можно
пользоваться и таким обозначением производной:
Имеем
/- lim £- Urn /(*+**>-/(*) . цд-О+у-ж",
χΡ+-γ х»-1&х+п(п~21)х»-> (Ьх)>+ ... 4-(Δχ)»-χ*
- Urn :—τ- «
&Х-+0 ах
ηχη-lbx Jfl^zH ж»-* (Д*)»+... + (Д*)«
= lim '
Дд~0 Δ*
- lira fnxB-l+2fc^*"-,Aje+... + (Ax)»-lWnx»-i.
Итак, имеем при целом положительном η
[*»]' = я*»-1.
Например, [*»]' = 2х; [дс»]' = 3лг*; [хш]' = ЮОх·· и т.д.
В частности, [дс]' = [дс1]'=Ьдс1-1 = л°=1.
Итак,
Μ'-ι.
225
Этот результат можно было предвидеть и из
геометрических соображений. Действительно, график функции у=х
есть прямая линия. А так как касательная в любой точке
прямой линии, очевидно, совпадает с самой прямой
линией, то угловой коэффициент касательной тот же, что и
у прямой у = х, т. е. 1.
с. Найдем производную функции
y=*f(x) = lnx
/предполагая χ положительным). Здесь имеем
г ЬУ и /(*+Δ*) —/(*)
/= hm т| - lim A' -
Δχ->0Δ* Ьх-+0 Δ*
lni±^f ln[
ln(*+A*)-ln*__ ,.m -^_x ,.„ "У+т)
β Hm »н*-г^—u* = ,ira ..^.^ Ига
Отношение
Δ*-*0 Δ* Δ*-*0 Δ* Δ*-*0 Δ*
Δ*
χ
бесконечно мало (ввиду бесконечно малого числителя) и
потому может быть представлено в виде дроби
с бесконечно большим знаменателем п. Из (1) находим
и выражение для у' перепишется такг
Ιη(ΐ+-!Λ л in ( 1+±) Infl+-V
у> = lira AZjlL -, Hm V"'-Hm AJjlL ,
Λ
откуда ввиду lim ( 1+--)=£, \ne=*\ (натуральный"ло-
гарифм) получим, наконец,
\пе 1
Итак,
^ χ " χ
М'-т·
226
d. Найдем производную функции
y = f(x) = smx.
Здесь, применяя формулу разности синусов, имеем
, ij /(х+А*) — fix) _^ jim sin(x + bx) — stnx _
У Ах *.. . Л Ах
2coe^+T smT sin
= lim -—·— = limcosi^ + Tc- —
Δ*
2
2
= cosa;· 1 = cos*·
Итак,
[sin*]'= cos χ.
§ 6. Производная постоянного и суммы. Вынесение
постоянного множителя за знак производной
a. Постоянное число С также можно рассматривать
как функцию х. Только эта функция, в отличие от
прочих, все время сохраняет одно и то же значение. Поэтому
для функции
имеем
f(x) = C, f(x + Ax) = C
и потому
>.Um'fr+*5>-'H.. lim £p£- Hm^-limO-O.
Игак,
[CJ' = 0,
т. е. производная постоянного равна нулю.
b. Геометрически этот результат сделается ясным, если
вспомним, что график функции
У=С
есть прямая, параллельная оси Ох. А так как
касательная в любой точке прямой линии совпадает с этой
прямой линией и в рассматриваемом случае параллельна оси
абсцисс (рис. 11), то угловой коэффициент tga
касательной равен нулю.
227
c. Пусть у является суммой двух или нескольких
функций χι
y = u + v + w (1)
(например, y=x!*+\nx+smx). Если мы аргументу χ
дадим бесконечно малое приращение Δχ, то и, v, w
получат свои приращения Δμ, Δυ, Δυυ и перейдут в и + Δα, ν+ Δι>,
У к w+Δυυ. Изменение и, vt w вызо-
I м вет изменение и у, которое полу-
/1 Г чит свое приращение Δ# и
перейди дет в у + Ау. Таким образом, пос-
\ ле замены χ на χ + Δχ равенство
\] (1) перейдет в такое:
о ^
Рис.11 y+by=*u + bu + O+&v+w+bw.
Вычитая из него равенство (1), получим
&у «ш Δη + Δϋ + Δα;,
откуда, деля на Аде, имеем
Ау _ Δα | Др . Aw
Ах -" Ах + Αχ + Δ*
и, переходя к пределу при Δχ —► 0, получаем
y'z=u' + v' + w'.
Заменяя у его выражением (1), окончательно можно
написать
[u + u+w]' = u' + u' + w',
т. е. производная суммы равна сумме производных ела-
гаемых.
Например,
[х2 + In χ + sin χ]' = [х2]' + [In x]' + [sin x\ = 2x + -i + cos x.
d. Пусть
y = au, (2)
где α—постоянное и и—функция х. Рассуждая подобно
предыдущему, имеем
у + Ау'=а(и + Δα) — аи + а&и.
Вычитая отсюда (2), находим
Ау*=*аАи,
228
откуда, деля на Δχ, получаем
by _ Дц
и, переходя к пределу при Δχ—*0, имеем
у' = аи'.
Заменяя у его выражением (2), окончательно можно
написать
[аи]' = аи\
т. е. постоянный сомножитель можно выносить за знак
производной.
Например, [2 sin χ]' = 2 [sin x]' = 2 cos χ.
е. Доказанное в пунктах «а», «Ь», «с», «d» позволяет
находить производные более обширного класса функций.
Например,
[4х'_8х-7]' = [4х*]' + [— 8x]'-f[-7]' =
= 4 [χ2]'—8[х]'+[-7]'=4.2х—8.1 + 0 = 8х—8,
[Ιβχ3 — 10х* + 2х— 1]' = 48х2—20х+2;
[4 In χ + 2 sin x]' = -i + 2 cos χ,
[(x—l)(*+2)]' = [jc2 + x-2y = 2x+l,
[^l_2^ + ^]/==4.6^-2.5^ + 4.4^c=:
= 10{x*—x* + x3).
§ 7. Производная сложной функции
а. Чтобы еще более расширить круг функций,
производные которых мы можем отыскивать, рассмотрим
производную сложной функции
y=f(<P(x)) (1)
(пункт «h» § 6 гл. 1). Обозначая сложный аргументу φ (χ)
через и, имеем
y = f(u)t w = q>(x). (2)
Производную сложной функции легко найти, если известны
выражения производных обеих функций (2).
Действительно,
у' = Нш &- Нт 4£· £- lim *£. lim £L\
. Δ*-*0Δ* Δ*-+0 Δα Δ* Δα-*0Δ" Δ*-+0 Δ*
229
Ввиду y = f(u) получаем
Δα-* 0 "**
а ввиду и = <р(х) получаем
Urn я?-Ф'М.
Итак, можем написать
/-ΠΌφ'Μ.
что ввиду (1) и (2) можно переписать в двух следующих
формах (ιι'=*φι(χ))ι
0<ф«)]^ЧфМ)ф'(*)·). ,а
Значит, производная сложной функции равна
произведению двух сомножителей. Первый есть
Пт (*)>-/'<«)- Um 45"'
m. б. производная у по и; для его составления берем
производную у t рассматривая всю функцию φ {χ) = и как один
аргумент.
Второй сомножитель
Δ*-*0 Δ*
является производной этого посредствующего аргумента
по х.
*) Здесь весьма важно не запутаться в обозначениях. Именно,
через у' = [/(«)]' обозначают производные в предположении, что
аргументом является х, так что
Δ*-ο Δχ δ*-ο Аде δ*-ο Δ*
Желая это особенно подчеркнуть, часто вместо у1 и и' пишут у'х
И иХ.
В отличие от этого производную функции
вычисленную в предположении, что аргументом является и,
обозначают через у'и = /'(")> так что
230
Например,
[In (sin *)]' =^ [sin x]' = ^ · cos χ=ctg x,
[(4x*—7*+9)100]' = 100 (4x«—7x+9)M[4x* —7x+ 9]' =
- 100 (4x8—7x H- 9)" (8л:—7),
[In sin (8*»-4x+5)]'=*sin (8jc,.l4,.+5) [sin (8*» -4**+5)]'=
= 81п(8ж»-4х»+5)-С08^-4^ + 5)<24^-8^ =
= (24л*—8*) ctg (8χ·—4χ* + 5).
b. Прежде чем вычислять производные по формуле (3)t
иногда переписывают ее в соответствии с видом
функции f(u).
Например,
[и*]'— ли"-1 и',
[1п«]' = 1.«' = £,
[sin α]' = cos w· α'.
Следуя второй из написанных формул, можно сразу
писать
c. В виде приложения выведем производную функции
У =а COS X.
Имеем
[сов*]'-[в1п(^-*)]'-оов(^-*)[^-ж]'-
~cosf~—x\'(— 1)=5 — sin*,
Итак,
[cos*]'» — sin*.
§ 8. Разыскание производных путем логарифмирования.
Производные функции х" при любом η и функции а*
а. Пусть требуется найти производную функции
(*-2)*(*-3) з
У- (*+2)10* *Х>0* U'
Логарифмируя, имеем
1п0 = 21п(х—2) + 1п(х—3)—ln(x + 2)—χ In 10.
231
Берем производные обеих частей равенства и, имея
в виду, что у есть функция χ и, следовательно, \пу —
сложная функция я, так что
EM'-f.
получим
£--* + -L-—' -ΐηΐο,
у х—2^ ж—3 х+2 '
откуда ввиду (1) имеем
, (*-2)«(*-3W 2 ' 1 I talQ\
У (*+2)10* V*_2^*-3 х+2 miuJ-
Найдем еще производную функции
y = (sinx)*\
Здесь имеем (см. пункт «а» § 9)!
lny=x4nsinx, i£ = 2;dnsin* + **-^,
у' = (sin χ)*1 (2χ In sin χ+χ* ctg x).
Подобный путь разыскания производных называется
способом логарифмирования.
Кроме пользы, которую он может принести при
непосредственном вычислении производных, он поможет нам
вывести несколько новых формул.
Ь. Прежде всего применим способ логарифмирования
к выводу производной функции
У**хп, (2)
причем η может быть теперь любым постоянным (дробным
и даже отрицательным). Имеем
\ПУ=П\ПХ, £--J, /»|,.i-*.i-ltt.
Итак,
т. е. имеет место та же самая формула, как и при целом
положительном л.
232
Например,
' = [χ-*]' = _ 2х-*~1 = — 2х-* = —J ,
' = [*-*}' «—* -ртг.
Эту последнюю формулу
"2/"
не лишне тоже запомнить, так как ею приходится
пользоваться довольно часто.
c. Найдем, наконец, производную функции
Имеем
\ny=*xlna9 ^- = lna, y' = ylna=ax\na.*
Итак,
[a*]'-4sMna.
В частности, если а =£=2,7182818..., то lna«ln*«l9
и мы получим
Например,
[10* + 2* + е*]#-10«1п10+2*1п2 + Л
d. Выведем еще формулу для производной
[It*.*]'.
Если
то
Итак,
233
§ 9. Производные произведения и частного.
Производные tg jc и ctgx
a. Пусть #—произведение нескольких функций х:
y=zUVW.
Имеем
1п#=1пи+ lnu+lno;,
[\пу]' = [\пи]' + [\ηυ]' + [\nw]\
у' и' . υ' . w'
У ~~~ U ~Т~ Ό ~*~ W 9
•-»(v+-f+£·)—(4+4+*)-
== u'vw + uv'w + uvw'.
Итак,
[аш/]' = u'vw + wu'w + ышЛ
В частности,
[uo]'=*u'o+uu'.
Например,
[χ1 sin χ cos χ]'α*
= [χ*]' sin χ cos χ + x* [sin x]' cos χ + χ* sin χ [cos χ]' =*
= 2x sin χ cos χ + x* cos χ cos χ + χ* sin χ (— sin χ) β
= 2л: sin л: cos χ + χ1 (cos2 χ—sin* χ) = χ sin 2л: + дс» cos 2х,
[xlnx]' = [x]4nx+x[lnx]'»Mnx+x~==lnx + I.
b. Пусть
и
— отношение двух функций х. Имеем
У ~~ и υ ·
, Μ / JU^ j/_ \ и' ш/_ и'Ό—UP'
У ~~ν\ΊΓ ~)~~~ о· "" у*
In и = 1η α—In и,
Ό * у и υ
Итак,
[и ]' u'v—uv'
Например,
[sin*]'*2—sin*f*2)' _
cos*·*2—sin*.2* *cos *«--2 sin *
234
m'=!
с. Найденную формулу производной отношения мы
применим к разысканию производных tgx и ctgx. Имеем
гх у __ f*sinx V _ cos χ·cos л—sin *(— sin л) _
cos*
cos'χ + sin2 χ _ 1
~"~ cos2* """cos2* '
t^T-isr-b^
— sin x) sin * — cos x· cos χ
sin2*
— (sin2 * + cos2 *)
sin2* sin1* *
Итак,
[**]'-ss«7i Ив*Г—air·)·
§ 10. Производные обратных тригонометрических
функций
а. Пусть
I/ = aicsin χ.
Это означает, что
sin# = x, (1)
откуда, беря производные обеих частей и замечая, что
sin #—сложная функция х, получим
cosy-y'=l9 у' = ——.
ν * * & cos у
Однако найденный результат выражен через у, тогда как
все производные у нас принято выражать через х.
Последнее сделать нетрудно: cosy можно выразить через siny9
а этот последний ввиду равенства (1) можно заменить на х.
Получим
,= ι i
У Vl-sln^y VT=x* '
Перед корнем берем знак + ввиду того, что за у =
«=arcsinx мы принимаем главное значение арксинуса,
т. е. у есть угол, лежащий а интервале (—π/2, π/2), и
потому cos у > 0.
*) Вывод формул путем логарифмирования, которым мы с таким
успехом пользовались, нехорош, когда приходится брать логарифм
выражения, способного принимать и отрицательные значения. Однако
и тогда формулы также оказываются верными. Мы не приводим
подробного разбора и обоснования таких случаев.
235
Итак,
[arcsinx]' = ^=L^-.
b. Пусть
#=*arccos*.
Имеем
cosy=*x9 0<у<п,
Итак,
[arccos*V=*-V|.^ -
c. Пусть
#=arctg*.
Имеем
tgy = *,
1 , - _ 1 1 1
Итак,
[arctgxJ^-j-jLy.
d. Пусть
i/ = arcctgx.
Имеем
ctgj^x,
1 „,ι f/ L____J !_
sin2y#y"'l, * β l/sln*y~" l+ctg*y"~ 1 + жа'
Итак,
[arcctgx]' = -T:i-i.
§ 11. Сводка основных формул
Соберем теперь вместе все выведенные нами формулы;
1. М'-«-»; W'-l; [Kir-j^-.
2. [1п*]'-±. [Ιοβ.*]'-7ΗΪ·
3. Γα*]'-β* In α, [β*]'-·".
4. [sin ж]' = cos x.
236
5. [cosxj'ss — sin*.
6. [tg*y=
cos* χ'
1
sin**'
1
7. [ctgx]' =
8. [atcsinx]'^--^L·:
9: [arccos#]' =
10. [aictg*]'-,^.
11. [aicctg*]'-^.
12. [C]'=*0.
13.
14.
15.
μ + ϋ + ... + w]' = α' + υ' + ... + w'.
aw]' = a[w]', α = const.
.'шлю]' = u'vw + uv'w + uvw\ [uv]' =* u'v + uv\
1иЛ' u'v—uo'
4*y
16
17. {f\tj\' = f'(u)'U\ или У(фМ)]'-П»М)ф'М.
§ 12. Дифференциал
а. Понятие производной дает возможность составить
особого рода приближенное выражение для приращения
Ау функции, отвечающего бесконечно малому приращению
Δ* аргумента. Чтобы
составить такое приближенное
выражение, опять обратимся к
графику функции y=*f(x)-
Если Μ и т—две
бесконечно близкие точки графика,
первая с абсциссой х, вторая
с абсциссой х + Ах (рис. 12),
то МК = Ах и Кт=Ау суть
бесконечно малые
приращения, которые получают
абсцисса и ордината, когда
точка Μ кривой
переместится в точку /л.
Приближенное выражение
Ау мы получим, если, ввиду
малости дуги Mm, заменим эту дугу отрезком ML
касательной.
Тогда приращения МК и KL, которые теперь полу-
чат х и у, следуя yotce не по* кривой, а по касательной,
237
обозначаются через dx и dyi
dx = MK, dy^KL·
и называются dx—дифференциалом аргумента,
dy—дифференциалом функции.
Мы видим, что dx = Ax, т. е. дифференциал аргумента
в точности совпадает с бесконечно малым приращением
аргумента.
Что же касается дифференциала dy функции, то он,
вообще говоря, не совпадает с истинным приращением
функции (равным /Cm), а является лишь приближенным
выражением Ду, тем лучшим, чем меньше Δχ.
b. Из ДМ/Ст имеем
dy^tga-dx,
а так как
tg* = yW(*),
то
dy = y'dx = f'(x)dxt
т. е. дифференциал функции равен произведению ее проиэ·
водной на дифференциал аргумента.
c. Выясним теперь разницу между истинным
приращением Δ# функции и ее дифференциалом dy. Из
определения производной имеем
Следовательно,
где а—бесконечно малая,
у=(у'+а)Ах9 (1)
&y = y'dx + adx (ввиду Δχ*=άχ).
Мы видим отсюда, что истинное приращение Δ#
функции состоит из двух слагаемых. Первое из них
y'dx
есть бесконечно малая того же порядка, что и dx (за
исключением случаев, когда у' — 0). Оно как раз и
совпадает с dy.
Второе же слагаемое
adx
238
есть бесконечно малая порядка, высшего чем dx, так как
равно произведению dx на бесконечно малую а. Оно
является разностью между Лу и dy=*y' dx. Геометрически
оно .изображается отрезком Lm.
ι Итак, истинное приращение функции равно
дифференциалу функции, сложенному с бесконечно малой adx по-
рядка, высшего чем dx.
d. В приложениях &у часто можно заменять на dy.
e. Можно высказать утверждение, до известной степени
обратное равенству (1):
Если мы каким-либо образом выразим &у через Δχ = άχ
в форме
Δ# = φ (х) dx + adx, (2)
где а—бесконечно малая, то непременно
Φ (*) = #'» <p{x)dx = dy.
Действительно, из (2) имеем (dx=Ax)
£Μ- = φ(χ) + α, Ит|| = ф*(х),
У' = Φ (*). dy = у' dx = φ (*) dx.
Например, если у = яа, το из
&y = (x + dx)2—x* = x* + 2xdx+{dx)2—x2 = 2xdx+(dx)*
мы можем теперь сразу заключить, что
у' = 2х, dy=2xdx,
потому что (dx)% есть бесконечно малая порядка, высшего
чем dx.
§ 13. Основные формулы для дифференциалов
а. Дифференциал функции получается умножением про·
изводной на дифференциал аргумента:
dy = у' dx.
Отсюда имеем следующие формулы:
1. ά(χη) = ηχη-*άχ, dVx--$=-.
2. dln, = ^ dioga*=-£_.
3. da* = a* In adx, de* = exdx.
4. dsinx=^cosxdx.
239
5. dcos;c = — sinxdx.
8. darcsinx=
9. darccosx = —-7==-.
V 1— x%
10. darctg^j^jj..
11. darcctgx= — -~^.
12. dC-0.
13. d(tf + i>+w) = dw + dt; + dw.
14. d(au)=*adu.
15. d(uv)*=*vdu + udv.
,/ч . α vdu—udv
Ю- d7re—i?—·
17. df(u)~f (u)du, или # (φ (*)) = f (φ (x)) Ар (х).
Вывод последних пяти формул (13)—(17) достигается
тем, что после умножения соответствующих производных
на dx используются равенства
u'dx*=du, v'dx^dv, w'dx — dw, <p'(x)dx=d<p(x).
b. В частности, последняя формула (17) имеет особенно
важное значение. Она показывает, что дифференциал
сложной функции выглядит так же, как если бы и = <р (х) было
аргументом.
c. Заметим, что в сложных случаях (где в выражении
функции участвуют сложение, умножение и деление)
дифференциал удобнее находить не по выведенным здесь
формулам, а находя сначала производную и умножая ее
затем на dx.
Формула (17) представляет значительные практические
удобства.
Например, применяя формулу (17), получим
—2xdx —xdx
** 2(2-**) VT^xl· "" (2—χ1) У Ι-** '
d. Из формулы
dy = y'dx
240
находим новое выражение производной:
и9 — *У
которым очень часто пользуются для обозначения
производной.
\ Например, производную функции
j/=*/(*)=* sin*
можно обозначать одним из следующих способов]
dy df(x) dsinx d.„
Этот способ обозначения применяется, когда функция,
производную которой мы вычисляем, имеет очень
сложное математическое выражение.
е. Ввиду того, что чаще всего приходится пользоваться
обозначениями не производных, а дифференциалов, раздел
математики, содержащий учение о производных и
дифференциалах, а равным образом различные приложения
производных и дифференциалов, носит название
дифференциального исчисления.
I. По той же причине разыскание производной или
дифференциала*) данной функции называется
дифференцированием.
§ 14. Высшие производные
а. Производная y' = f'(x) функции y~f(x) в свою
очередь есть тоже функция х. Можно также находить ее
производную, которай носит название второй производной
функции y=*f(x) и обозначается символом
(Геометрически она представится угловым коэффициентом
касательной к графику первой производной #'«=/'(*)f
т. е. к графику, где ординатой является уже не у =*/(*),
ay' = f'(x).)
Производная второй . производной называется третьей
производной функции у— fix) и обозначается символом
*) Разыскание производной и дифференциала—задачи,
равносильные по трудности, так как, зная одну величину, тотчас находим
и другую,
241
и т. д. Только в отношении производных выше третьего
порядка обозначения у"'\ у""\ ... делаются уже
неудобными и потому четвертую, и пятую... и вообще я-ю
производные обыкновенно обозначают так:
{/<*> = Г5,<*).
Пример. Для у = х* имеем
у' —Mf —4*·, /-[4*·]'« 12**,
y"' = [12*Y = 24x9 ^u> = [24^]' = 24.
b. Производные порядка п больше 1 обыкновенно
приходится находить последовательно. Сначала находим у\
затем у*~\у'\\ затем #'" = [#"]' и т. д. (см. предыдущий
пример). И только в некоторых, самых простых, случаях
/1-ю производную можно написать сразу. Вот эти случаи*
U у «Xя·
у'*=вПХп~Х1
у" = п{п— 1)х«-*,
у'" = п(п—\)(п—2)х»-*,
и если η—целое положительное, то
#<я> = /1(л—1).... .3-2.1,
£<» + *>==; О,
2. #=1пх, 3. у*=е**, у = е*>
^«_χ-*, y" = k4**% y"=e*%
y'"^\*2x~*% y'" = k*e**, y'"=e*%
#<4> = —1.2-Злг4, i/(4) = AV*, */(4) = e*,
4. #=sinx, 5. #=cos*,
jy' = cos л:, у' s= — sin x,
y" = — sin x9 y" se — cos я,
#'" = — cos at, #'" = sin x,
242
В случаях 4 и 5 выражения производных
периодически повторяются через 4. Например, в случае 5 имеем
у' = У{ь) — Уш *=...« — sin χ.
с. В некоторых случаях вычисление высших
производных облегчается применением трех общих формул,
которые мы сейчас отметим.
1. Пусть
y=u+v+... +w.
Последовательно находим
у' = «' + о'+...+ш'.
u" = u" + v" + ...+w"
и вообще
у(п) = иШ + vin) 4- . . . + W{n\
т. е. п-я производная суммы равна сумме п-х производных
слагаемых.
Например,
[jc3 + е2х]ш = [χ8]"-* + [β*ψ}« О + 2 V* « 32***.
2. Пусть
# = аи,
где а—постоянное. Последовательно находим
у'=аи\
у" = аи'9
и вообще
у{п) = аи1п\
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак
п-й производной.
Например,
[4е*](я) = 4[^](и) = 4г*.
3. Пусть
y = uv,
где и и ϋ—функции х. Имеем
у' = u'v + uv'.
243
(1)
Далее находим у":
if=u0O+ и V + и'υ' + uowy
tf= u"v + 2u'v' + wf%
что похоже на
Далее находим
у'" » α"4> + 2ιΛ' + 11V+ dV + 2aV + ю'",
у"' = и'"и + 3wV + 3a V+ш;"\
что опять-таки похоже на
(a +1>)8 «= и9 + 3u*v+ Зш? + Л
Аналогичная формула
. ^α<»>ϋ+ £ ιι«ι·-υ^+ί^ΐΰ a<«-«V+.... + uv{n\
похожая на формулу
может быть установлена и в случае любого целого
положительного п\ она называется формулой Лейбница.
Выводить ее мы не будем.
Пример. Пусть требуется найти
[Л·*]".
Применяя здесь формулу (1), имеем
[#**]"'« [*■]'" <** + 3 [**]" [е**]' +
+ з [χ*γ ~[(**у+*· [*«*]'" «
^0e** + 3-2-2ew + 3-2*-4ea* + xa-&?s*=*
*=***( 12+ 24*+ 8**).
§ 15. Высшие дифференциалы
а. Вводим обозначения (условно)
d*y = y'"dx*t (1)
244
где под dxn понимаем (dx)n, т. е. dx, возведенное в л-ю
степень. Эти выражения
d*y, d*y, ..., dny
называем вторым, третьим» ..., л-м дифференциалами у.
Их не надо смешивать с
(dy)\ (dy)\ .... (dy)-.
Например, если у = е**, то
b. Введенные нами высшие дифференциалы можно
рассматривать как последовательные дифференциалы функции
dy=y*dx>
только при дифференцировании условимся считать dx
постоянным. Действительно, тогда имеем
d*y=d(dy) = d(y' dx) = dx.dy' =*dx-t/* dx^tf dx*9
d*y = d(d*y) = d(y"dx*)^dx*dt/' = dx*-y'"dx=*y"'d&,
с. Из формул (1) получаем следующие
общеупотребительные обозначения высших производных!
У м*
У -да·
§ 16. Дифференцирование неявных функций
а. Очень часто приходится разыскивать производные
функций, заданных неявно.
Пусть, например, функция задана неявно уравнением
У*=*2х. (1)
Здесь у есть функция х. Если решим уравнение
относительно у, то получим
ϋ = γψχ=\Γ2.\Ττ (2)
/для простоты берем только знак +) и тогда
У 2 Vic VT*'
245
Это один из возможных путей разыскания
производной. Однако эту производную можно найти и иначе
(ср. §§ 3 и 10).
Именно, так как левая часть равенства (1) равна
правой, то производная левой части равна производной
правой части. Но левая часть есть сложная функция (у—
сложный аргумент), а правая часть—простая.
Поэтому
Здесь производная выражена через у, но ее можно
выразить и через х. Ввиду равенства (2) находим
Этот результат вполне совпадает с найденным раньше
первым путем.
Ь. Возьмем другой пример:
х* + ху + у* = 0. (3)
Приравнивая опять производные обеих частей
равенства (нуль—постояннее и, следовательно, производная
нуля—тоже нуль), получим
2х+у+ху' + 2уу' = 0,
у'(2у + х) + 2х+у = 0, (4)
.,_ 2х+у
У
2у+х
с. Подобным же путем можно находить и высшие произ<
водные функций, заданных неявно. Найдем, например,
вторую производную функции, заданной уравнением (3).
Первую производную у мы уже нашли, она определяется
равенством (4), и чтобы найти у", мы приравняем производные
обеих частей равенства (4). Получим
„»_ \2х+уУ __ (2 + 1/) (2у+х)-(2х+у)(2у'+1)
У I2y+*J "" &У+Х)2
Отсюда, заменяя у' на основании равенств (4), имеем
(г-§±г)<^>-(^)(-»|±-;+.)
У ~ (2у+х)%
246
Аналогичным путем можно найти и у"\ уи\ ...
d. Очень часто дифференцирование неявных функций
выполняют, беря не производные, а дифференциалы обеих
частей равенства. Это дает то преимущество, что формулы
получаются верными независимо от того, какая переменная
у нас служит аргументом. Для пояснения рассмотрим
опять пример пункта «Ь»
х2 + ху + у* = 0.
Приравнивая дифференциал левой части дифференциалу
правой и пользуясь формулами § 13 относительно
вычисления дифференциалов, имеем
2xdx + ydx + xdy + 2ydy = 0. (5)
Здесь не следует заботиться, какая переменная у нас
считается аргументом: ввиду пункта «Ь» § 13, например,
имеем
d(y*) = 2ydy
независимо от того, будет ли в выражении у2 переменная у
аргументом или же функцией другой переменной χ или
еще какой-либо совершенно новой переменной /. Надо
только помнить, что этот аргумент должен быть общим
для всех членов равенства.
Из равенства (5) имеем далее
dy Ηί+ί, * Ц+.
Ό х+2у · dx x+2y
§ 17. Дифференцирование функций, заданных
параметрическим способом
а. Пусть
*=Ф(0, У-*(0 (1)
— параметрическое задание функции. Конечно, исключая
из этих уравнений tt можно было бы получить и
обыкновенное уравнение, связывающее χ и уу и, пользуясь им,
найти
'{'-Я.*}
Однако такой способ иногда очень затруднителен
(например, если уравнения (1) изображают циклоиду), и
247
потому мы постараемся найти
Ду
/- Иш % (2)
непосредственно на основании уравнений (1).
Ь. Пусть Δ/, Δχ, Ay—бесконечно малые приращения
переменных t, χ, у (например, для циклоиды Δ/, Δ*, Δι/
можно рассматривать как бесконечно малые приращения,
которые получат угол t и координаты (х; у) точки Aff
когда эта точка переместится в бесконечно близкое
положение т). Если t—время и (*; у)—координаты некоторой
точки М, движущейся в плоскости хОу, то Δ/, Δ*, Δ^
обозначают бесконечно малые приращения времени t и
этих координат, когда точка Μ перемещается в бесконечно
близкое положение т. Деля числитель и знаменатель на
Δ/, имеем из (2)
у'=* цт -&—*-■* (3)
Но пределы
Иш 4т > Иш 4?
мы легко найдем, так как нам известны выражения (1)
у я χ через t.
Ввиду того, что
имеем
А ввиду равенства
имеем
Δ/
J»ft-*«.
Urn 4f=φ'<0.
Тогда формула (3) принимает вид
У VW' К '
248
c. Еще раз напомним, что в этой формуле у'
обозначает производную у по *, т. е.
и желая это особенно подчеркнуть, мы можем обозначать
эту производную символом у'х, так что у' = у'х — lim -т^.
Эту производную ни в коем случае не следует
смешивать с производной у по t, которую можно обозначать
символом у'и так что у\=* lim -τ|. = ψ'(ί).
d. Формулу (4) можно переписать и в другой форме,
более удобной для запоминания. Умножая числитель и
знаменатель на dt, имеем
Но tf(f)dt и <p'(f)di суть не что иное, как
дифференциалы функций y = ty(t) и x=*q>(t), вычисленные в
предположении, что аргументом является it
ψ' (t) dt = dyp {t) = dy, φ' (f) df = dq> (f) «= dx,
и, следовательно, формулу (4) можно записать еще и так!
(5)
,_dy_d^(t)
d*
Производная функции, заданной параметрическим
способом (1), выражается отношением дифференциалов, как
и при обычном задании функции, но с тою разницей, что
теперь, при вычислении дифференциалов dy и dx, обе пере-
менные у и χ рассматриваются как функции аргумента U
е. Для примера найдем угловой коэффициент
касательной к циклоиде
x=a(t—sin f) —Φ С), # = α(1 — cosf) = ty(f)
в точке M(t) (рис. 13). Здесь у' можно находить или по
формуле (4), или же по формуле (5). Пользуясь, например,
249
формулой (5), имеем
, __dy d\a(\ — cos/)] _ aslntdt
У ~~ dx~~ d[a(t—sin t)] ~~ a (I —cost) dt
2sinTcosT
2sin*T
B точке Λί(0) имеем
tga=i// = ctgO = oo, α = -τρ
Следовательно, касательная к циклоиде в начале
координат перпендикулярна оси абсцисс.
*- В точке Μ (π) имеем
y' = ctg(ji/2)=0,
и, действительно, в этой точке касательная параллельна
оси абсцисс.
f. В качестве упражнения решим следующую задачу:
на циклоиде найти точку, в которой касательная
наклонена к оси абсцисс под углом π/4.
Пусть t—неизвестное значение параметра. Так как по
условию должно быть
tga«tg(ai/4)=:lf
то, следовательно, t найдется из уравнения
ctgy=l, 4 = π/4' / = π/2'
Значит, искомая точка есть Μ (π/2). Ее координатами
будут
*=a(!_sin£) = a(-J—l) *α·0,5709,
у = а( 1—cosy j=a.
g. Чтобы вычислить вторую производную if функции
у по х, заметим, что yf есть производная \f по х, т. е.
/- Нт £,
Ьх -+ 0 *Х
и, следовательно, ввиду равенств
250
выражающих χ к у' через /, ее можно представить в форме
А V (0 У(0фу(О-»у(0ф'(0^.
,f-W - У('> - to'tOP - ^
* d* — d<p(/) φ' (О at
WW3 ·
h. Далее, имея выражения у" и χ через /, мы можем
найти
и т. д.
i. Пример. На основании равенств
х=a (t—sin /), у = а (1 —cos t)
выше мы нашли
Теперь на основании равенств
x=a{t—sin 0, / = ctg-g·
легко найдем
1
dctgi sin2l
* ~d(a(/—sin/)) a (I — cos/)
1 1
? / / *
2 sin* j.fl.2 sin* -g· 4α sin4-j
А на основании равенств
χ=α(ί—sin/), */"= — -—ί—^
легко найдем
4α sin4 γ
/ 1
-4cosy.T
'( -4asin44-) 4«'
11°'= —- : _ = : -
* d(a(/ —sin/)) a(l — cos/)
sin4
/ /
COS -j COS -j
2a sin6 4·α·2 sin2 γ 4a2sin7-^-
251
§ 18. Преобразование дифференциалов к новой
переменной
a. Весьма часто бывает, что известен дифференциал
некоторой функции y = f(x),
dy^f(x)dx,
и требуется найти дифференциал той же функции, когда
аргументом является уже не х, а некоторая новая
переменная t. При этом дается уравнение, связывающее χ
с этой новой переменной.
b. Если зависимость представлена в явной форме
то задача решается просто (пункт b § 13). А именно,
если заменим χ на φ (ί)» то функция f(x) обратится в
сложную функцию /[ф(0] переменной t. Внешний вид
дифференциала не изменится, он будет
dy = f'(x)dx,
но теперь вместо χ надо ставить φ(ί), τ. е. надо в
выражении f'(x) заменить χ на φ(ί), а вместо ах написать
d<p (f) = q/(*)<#, так что теперь будет
dy = f'№(t)]d<p(t).
Пример. Пусть
у*=\пх.
Имеем
Пусть теперь требуется найти дифференциал нашей
функции, считая аргументом не дс, а новую переменную /,
о которой χ связано соотношением
*=tgT (так что 0=lntgi-). (2)
Теперь в формуле (1) χ необходимо заменить его
выражением (2). Получим новое выражение дифференциала
в следующей форме*
dt
252
dt4 2cos4 dt dt
tgj tg^ 2slnTcosT
с. Очень важно отметить, что для решения
поставленной задачи совершенно не требуется знания самой функции,
важно знать только выражение ее дифференциала (считая
аргументом х). Это обстоятельство будет весьма важно
в дальнейшем.
Пример. Пусть дифференциал некоторой функции у
аргумента χ равен
ty=—z=
„ ***,- /'так что у' = Цт=\
Найти дифференциал той же самой функции, считая
аргументом tt через которое χ выражается так:
x^t\
Имеем
d. Часто зависимость ^ от ί дается в неявной форме.
Пример 1. Пусть
dy~(ax + b)ndx.
Найти dy, считая аргументом /, о которым χ связано
уравнением
ax + b=t. (3)
Здесь даже не нужно выражать χ через ί, так как
ввиду (3) имеем прямо (считая аргументом t)
(ax + b)n=t», adx = dt, dx=^,
и, следовательно, новое выражение для dy будет таким:
dy = tn — = ±tndt.
Ό α α
Пример 2. Пусть
dy = x*(\ + 2x*yi*dx,
причем
l + 2jt2=f.
Имеем (считая аргументом t)
4xdx = dt9 dx~-r-.
9 4χ
(4)
(5)
253
Следовало бы, конечно, подставить сюда выражение χ
через t, предварительно найдя его из (5), и подставить
то же выражение в
χ*(1 + 2χψ'*.
Но мы сделаем это пока только частично, написав в
выражении dy только t вместо 1 + 2х*. Получим
dy - X*t»K £ = -J ХЧ»'* dt.
Заменим теперь х на /. Из (5) имеем
* —" 2 '
и потому новое выражение для дифференциала будет таким:
dy=j ^=~ t*'* df=-J- (f — 1) t*· dt
е. Весьма важно отметить, что новое выражение
дифференциала может получиться более простым, чем старое
(см. разобранные примеры).
§ 19. Упражнения
Доказать, что:
[*·—у x'+j х*—| л*]' = 8(*'—х* + х*—х*).
х* + 2х+2]' = 2(х+1).
^-,,5^+3,-7 у =xt_x+h
[(χ— l)(x* + x+l)]' = 3x\
fTZr]' = 4je8+3je, + 2je+1·
[(*— 1)»Г = 3(лг— 1)».
Цх* + х+ 3) (х*+ 1)]' = 4*» + Зх* + 8х+ 1.
[lncos*J' = — tgx.
9. [\Mx*-4x* + x-i)]' = J*-!x_+xlr
10. [In (0,25л4—0,87*s +0,11*4- 1,37)]' =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
0,25**—О.вТ^+О.Ил+иЗ?
и. [(in *)»]'. =ϋ!^.
12. [(sin *)']' = sin 2x, [(cosx)*]' = — sin2*.
254
13. [{χ*—2χ' + 3χ>—4х* + 5х—6)*]' —
= 4 (хь—2х* + 3**—4*8 + 5*—6)»·(5л4—8х8 + 9л:»—8*+5).
14. [lncos(l,5^—12д: + 9)]' =
tg (1,5л;*— 12л: + 9) (Зх—12)
15. [1п(лг*+J)—In (л:*— 1)]'= 4х
16. [ln(a + bx + c^)]'^^^%.
17. [x'V~x]=^x*V~x.
18. [хУ*]=\Ух-\
19
• I Ίϊδ-J ~ 7·
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
ι_
/
ι у з
20. [У!]' =-J-=
lK J з£/«»
тГ-
х3 + жа + л+1
χ*—3*3 + 2*2 + *"|'
J х2 *» · .
^]'-"-*(M*+»+i>
(^1)2У-3Кх ! !—
^ χ J 2 |/*1 2* \Г1с *
- jr ==l_x-e/3_x-.6/i#
[β» (χ8—Зл;2 + 6л;—6)]' — х8<?*.
:£((1пл:)2-1 1пх+-5-)]' = ^(1пх)»·
л: In л:—х]' = 1пх.
30. [jca.2*sin2x]' =
= 2х (2х sin 2л; + х2 In 2 sin 2л; + 2л;2 cos 2л;).
\пхУ _ 1 —in*
χ J " *2 #
l + lntgs/T Intg*
tg* J sin2* *
sin*—*cos*V *2
31.
32.
33
L*sin*+cos*J (*sln*-fcos x)* *
34. [tgx—ctgjc]' = , 2 1 c, .
1 a & J sin2*cos2*
255
35. [arcsin Vx\' =* л ~—==·.
36. ^arctg^)]'--^.
37. [хЧпх—£]'-a*tax.
38. [4 (sin x—2 sin* χ) cos χ]'= 4 cos 4x.
β*(ι?·+·έ·+έ)] -**(έ—?■)·
In sin χ—з—xctgx =xctg*x.
[у tg»x+lncosx]'=tg»x. .
—yctg*x—lnsinxl =ctg*x.
2x V 2
40.
41.
42.
43.
44.
45.
arcsin
arcsin
r 5*^ J
W—«*) (*»r-i*)'
46. [InU+Kl + ^r-y^·
47.
48.
49.
50.
51.
[y Va%—x* + у arcsin £]' = VeF^J?.
arete iOT -—O—
62. d?ii±£^I=(<**_e-«)dx, dsin(4x + B)=»
•=Acos(i4x+B)dx, dcos(.4x+5) =—Лз1п(Лх+В)<**,
dtgU+a)^ fL d(B-^x)»=»
W ' Tcos»(-f+aj
·= — An(B—Ax\»-ldx й*гст<ц+Ю... Р
лп(а ах) ах, щ ; yi-(a+jW)· ·
j-arctg(a+P0 = 1+(gP+^.
256
53. Под каким углом наклонена к оси абсцисс
касательная к синусоиде в начале координат? Ответ: а»45е.
54. Тот же вопрос в отношении тангенсоиды. Ответ:
α «45°.
55. Написать уравнения касательной и нормали к
кривой у ««я8—3** + 9 в точке с абсциссой —1, Ответ:
9х—у+Н=*0, х+9у—44«0.
56. На кривой У**— найти точку, где касательная
наклонена к оси абсцисс под углом а) —-30°; Ь) —45°;
с) —60°/Ответ: а) (у/Ъ\ -ψξ\ и (—№i —щ)'
Ь)(1; 1)и(—1;—l^c)?-^; Vt\ и (-fa -^Y
57. На кривой у«*»_2ха + 2х— 1 найти точку:
a) в которой угловой коэффициент касательной равен 2;
b) в которой касательная наклонена к оси абсцисс под
углом 45°. Ответ: а) (0; —1)
и (4/3; 13/27); Ь) (1/3; —14/27)
1м и (1; 0).
Рис. 14
Рис. 15
58. К той же кривой провести касательную параллельно
прямой # = 6х + 3. Ответ: у = 6*+^ и у = 6;с—9.
59. К кривой у = 3х* провести касательную под углом
45° к оси абсцисс. Ответ: 9х—9у—2 = 0.
60. К той же кривой провести касательную так, чтобы
она прошла через точку (2; 12). Ответ: 9х—у—6=*0.
61. К параболе £/ = yg jc* провести нормаль параллельно
прямой #2 = 2лг+3. Ответ: у = 2х + 9.
62. Доказать, что касательная к параболе у=*ах!* (рис. 14),
проведенная в точке Λί с ординатою у0, отсекает на от-
257
рицательной оси Оу отрезок длиною, равной ординате
точки касания.
63. Для равнобочной гиперболы y — k/x показать, что
отрезок касательной, заключенный между осями, делится
точкой касания на две равные части.
64. Точка Μ равномерно движется по окружности
радиуса R (рис. 15). Полный оборот она делает за Τ
секунд. Найти закон движения точки Мг—проекции Μ на
ось Ох (найти χ как функцию t) и определить скорость ν
движения точки Mi% если известно, что в начале
движения (т. е. при * —0) точка Μ находилась в Λί0, причем
^хОМ0=*а. Ответх *=*/?cosf-2- + a J, v = x' =
2nR . /2π/ , \
sin^ + aj.
Τ
65. Найти \f если у=* V 1-х*. Ответ: у'^ — т^^ГШ* ·
66. Найти у"\ если #=tgx. Ответ: у'" =
2cos2*+3sin**
COS**
67. Найти у'", если у = х*1пх (поформуле Лейбница).
Ответх у'" « х* (47 + 60 In x).
68. Найти уи\ если # = e~2*sin*. Ответ: уш =
=в""** (7 sin *—40 cos x).
69. Найти у{*\ если # = χ cos дс. Ответ: у{9) =
=*cosx+8sinx.
70. Найти у' и {Λ если у* = 2рх. Ответ: y' = pfy;
\f — P*ly\
71. Найти угловой коэффициент касательной в точке
с координатами (х\ у): а) для эллипса *^2+-|а = 1;
Ь) для гиперболы -——ff =1. Ответх а) #'= — -^ ;
Ь) •-$·
72. Найти у' и ^, если л#+х + #+2 = 0. Ответ:
i/-_£±i. ,/-2J2±i>
У - х+г у ~~ {х+\)% ·
73. Доказать, что уравнение касательной к параболе
у%~2рх в точке (*; у) можно представить в форме
y+Y~p(x+X),
где χ и у—постоянные координаты точки касания, а X
и F—текущие координаты касательной (т. е. координаты
любой точки касательной—то, что мы в отношении линии
обычно обозначаем буквами хну).
258
74. Доказать, что уравнение касательной к эллипсу
^τ+τΓ—Ι в точке (*; у) можно представить в форме
75. Доказать, что уравнение касательной к гиперболе
4—-р = 1 в точке (х; у) можно представить в форме
76. Доказать, что касательная к параболе */а = 2рх,
проведенная в точке Λί, образует равные острые углы с
прямой MF (f—фокус параболы) и прямой МТ,
параллельной оси абсцисс.
77. Доказать, что для эллипса расстояния от фокусов
до касательной пропорциональны расстояниям от фокусов
до точки касания. Отсюда вывести, что касательная в
точке Μ образует равные острые углы с прямыми MFt
и MF (Ft и, F—фокусы эллипса).
78. Для гиперболы доказать, что касательная в точке Μ
делит пополам угол FtMF (Ft и F—фокусы гиперболы).
79. Доказать, что уравнение касательной к
равнобочной гиперболе xy=k в точке (х; у) можно представить
так!
yX + xY = 2k.
80. Доказать, что уравнение касательной к окружности
(дс—т)а + ({/—я)8 — а* в точке (х; у) можно представить
в форме
(х—ш) (Х—т) + (у—п) (Υ—η) = а\
81· Найти уравнение касательной к окружности
(х—2)* +(у—3)2 = 5 в точке с абсциссой χ = 4. Ответ:
2х+у—12 = 0, 2х—г/ + 6 = 0.
82. Провести касательную к окружности х2 + #а = 2
параллельно прямой х—у = 4. Ответ: χ—у—2 = 0,
х—у+2 = 0.
83. Из точки (—1; 3) провести касательную к
окружности х* + у* = 2. Ответ: х+у—2 = 0, 7х—#+10 = 0.
84. Найти у' и у*,, если x = acosf, y=*bsint. Ответ:
У' -jctg/;/ зда..
259
85. Найти угловой коэффициент касательной к кривой,
заданной параметрическими уравнениями
_ За/ _ За/*
2/ /4
в точке, отвечающей значению t. Ответ: у = ι 2/8 '
86. Найти у\ если лг= cosί + ίsinir y = sint—icost.
Ответ: y' = tgt.
3 — / /O A»
87. Найти y'f если x= —j— , y= v <a ' . Ответ: у' =
__ (2^/)» (4+/)
3? *
88. Найти y\ если x~acos9tt y=*bsin*t. Ответ: у' =
89. На циклоиде найти точку, в которой
касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°. Ответг
(°(τ--9=<·(>-1^))·
90. Составить общее уравнение касательной к
циклоиде x**a(t—sin<)t У~а(1—cosf)B точке, отвечающей
значению t параметра. Ответг Y—a(t—cosf)=ctgyX
X(X—a(t—sint)).
91. Дифференциал некоторой функции равен
х\пх *
найти дифференциал той же функции, считая аргументом t9
0 которым χ связано уравнением х=е*. Ответ: dy=-r~.
92. Дано dy= . , а. Найти новое выражение dy, если
1 + хя = ί + jc. Указания сначала выразить χ через t.
Ответ: dy = -j~.
93. То же самое, если
* у 4-jc-jcI *
Ответ: dy=* <t , i .
260
94. То же самое, если
Л - —2/* at
Ответ: ay— βΐ—щ *
95. To же самое, если
Ответ: dy= ^~ dt.
96. То же самое, если
« __ d* ΐσ ϋ. — /
α#~ 2sln*+3cos* » lg2~''
Глава 3
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Непрерывность первой производной
a. Как уже было сказано в главе 2 (§ 1), исследование
хода изменения функции # = /(*) тесно связано с
изучением знака и величины производной этой функции у' =
b. Эту производную мы будем считать непрерывной
функцией х. Но если y' — f'{x) с изменением χ меняется
Рис. 16 Рис. 17
непрерывно, то это значит, что непрерывно изменяется
угловой коэффициент tga касательной, а следовательно,
непрерывно изменяется и сам угол а наклона касательной
к оси абсцисс, т. е. при движении точки Μ по кривой
направление касательной изменяется непрерывно. На
рис. 16 угол α плавно уменьшается при движении точки Μ
вправо.
Таким образом, непрерывному изменению первой
производной отвечает непрерывное изменение направления
касательной.
с. Пример разрыва первой производной дает функция,
график которой изображен на рис. 17. Здесь, когда
точка движется по кривой АО, угол α непрерывно
уменьшается от 0 до —45°. Следовательно, и #' = tga
непрерывно уменьшается от 0 до —1. Когда же точка Μ προ-
262
ходит через начало координат, угол α делает скачок
на +90°, изменяясь сразу от —45° до 45°. Значит, у9 =
= tga делает скачок от —1 до +1. При дальнейшем
движении точки Μ по кривой ОВ угол α непрерывно
уменьшается от 45° до 0. Следовательно, #'=tga
непрерывно уменьшается от 1 до 0.
Таким образом, мы видим, что производная y' = tga
функции, изображенной на рис. 17, при х = 0 терпит
разрыв непрерывности, не имея для этого χ никакого
определенного значения, и, кроме того, предел, к
которому стремится у' с приближением χ к нулю, будет
разный (—1 или +1) в зависимости от того, приближается
ли χ к нулю со стороны отрицательных значений или же
со стороны положительных значений.
d. График функции
y = V\—cos**
похож на график функции, изображенной на рис. 17
(перед корнем знак плюс). Действительно, ввиду sin'x-H
+ cos2*=l имеем 1—cos8 x = sin2 x. Эта функция по
абсолютной величине совпадает с sin*. При χ
положительном (0<*^π/2) sin* положителен и, следовательно,
V\—cos2x = sin x.
Наоборот, при * отрицательном (— π/2^ χ < 0) sin *
отрицателен и
V1 —cos2 * = —sin x.
§ 2. Возрастание и убывание функций.
Максимум и минимум
а. В § 1 гл. 2 нами была выяснена связь, которая
существует между возрастанием и убыванием функции
y=f{*)
и знаком ее первой производной
• -/'<*).'
Именно:
β интервалах возрастания функции
в интервалах убывания функции
y'~f'{x)<0.
263
Например, функция, график которой изображен на
рис. 18, возрастает в интервалах (α, Χι), ,(дс8, хА), (хъ, *«),
Λι· χ·ι)> (*β> Ь) и убывает в интервалах (хи *а). {х%* х*),
/*4» Хъ)* \Х1* Х*)'
At
Рис. 18
В первых пяти интервалах #' = tg α положителен, в
четырех последних у' β tg α отрицателен.
b. Особенно следует отметить точки
Ми Mt, Mt, Л14, Λί6, Λίβ, Λί7, Λίβ
нашего графика, отвечающие абсциссам
xi* xi> xz* xi* хь* хл* χί* χ%·
Во всех, этих точках касательная параллельна оси абсцисс
и, следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю,
то есть
tga = i/' = n*) = 0 при х = хи х* х*> *4»*5. *в.*7> *β·
c. В частности, когда х, возрастая, проходит значение
* = *ι. функция f(x) переходит от возрастания к
убыванию. При x = Xi f(x) имеет максимум. Нетрудно видеть,
что, кроме χ = χί9 наша функция имеет максимумы и при
X == ХА, Ху ·
d. Когда х, возрастая, проходит значение х = х3,
f(x) переходит от убывания к возрастанию. При х—хъ
f(x) имеет минимум. Нетрудно видеть, что, кроме x=x3f
наша функция имеет минимумы и при х~хЬ9 хъ.
e. Когда х„ возрастая, проходит значение х~х2,
функция f(x) переходит от убывания к убыванию. Мы видим,
что при х = х9 происходит лишь некоторое замедление
в убывании функции.
f(x) имеет точку замедления при х = хг (точки
замедления— частный вид точек перегиба, о которых будет
сказано позднее).
264
Точно так же / (х) имеет точку замедления и при х=х9,
только при Jt = jt6 f(x) переходит от возрастания к
возрастанию.
f. Пример. Для функции
(рис. 19) имеем
У — **
у' = 2х.
Производная у' отрицательна при отрицательных χ и
положительна при положительных х. Значит,
рассматриваемая функция (график ее—парабола) убывает, когда χ
У*
τ
1
Рис. 20
пробегает отрицательные значения, и возрастает, когда χ
пробегает положительные значения.
При х«0 имеем y'=*Qt причем функция переходит
от убывания к возрастанию, т. е. при х~0 наша
функция имеет минимум.
g. Пример. Для функции
у =**
имеем
у'^Ъх*.
Мы видим, что у' все время положительна (как при
отрицательных, так и при положительных значениях х),
кроме значения х = 0, когда она равна нулю. Значит,
рассматриваемая функция все время возрастает и только
при х=*0 имеет точку замедления (рис. 20).
§ 3. Приложение к построению графиков
а. Если требуется построить график функции y=f(x)
на данном отрезке [а, 6], то для уяснения формы графика,
очевидно! достаточно построить лишь точки» отвечающие
265
значениям *=α, х=Ъ и, кроме того, тем значениям χ
из интервала (а, Ь)9 для которых
Следовательно, кроме начальной и конечной точки
графика надо построить еще ее точки максимума, минимума
и замедления» т. е. все точки графика, в которых
касательная параллельна оси абсцисс (см. рис. 18).
Ь. Для пояснения построим график функции
у = 0,15*» — χ8
на отрезке [—3, 3]. Здесь первая производная равна
у9 = 0,75**—3** - 0,75** {х*—4).
Чтобы найти точки максимума, минимума и
замедления нашего графика, надо найти все те значения х} при
которых
у' = 0,75ха(*а—4) = 0.
Это будет при *=0, Ь также при
**_4 = 0, *» = 4, jc=±2.
Итак, все значения χ из интервала (—3, 3), при которых
у' = 0, суть
х=*—2; 0; 2.
Согласно высказанному в пункте fa» общему правилу
строим точки графика, отвечающие значениям
*=*— 3; —2; 0; 2; 3.
Соответствующие ординаты таковы:
/(-3)^0,15. (_3)5-(-3)»«-9,45, f(2)=*-3,2,
/(—2) = 0,15·(—2)5—(—2)8«3,2, /(3)=,9,45,
/(G) -0.
Мы можем построить все интересующие нас точки
графика соответственно следующей таблице:
м
X
У -
м,
—3
-9,45
Mt
—2
3,2
0
0
0
Αί,
2
-3.2
М4
3
9,45
266
В промежутках между каждыми двумя соседними из
этих точек наша функция может или только возрастать
или только убывать (функция не может изменить
возрастание на убывание или обратно, не достигнув
максимума или минимума, т. е. без того, чтобы у' не
обратилась в нуль, а у нас собраны все
точки (Af2, 0, Λί8), где у' = 0).
Поэтому часть графика,
соединяющая две соседние из точек
М19 М» О, Мг, Λί4,
должна идти все время в одном
направлении: или все время
подымаясь вверх, или же все время
опускаясь вниз.
Имея это в виду и заботясь о
том, чтобы касательные в точках Л19,
О, М, были параллельны оси
абсцисс, мы получим график,
изображенный на рис. 21.
Ко всему сказанному нужно еще
добавить, что линию надо стараться
вести возможно более плавно. При
этом для более точного построения,
кроме точек М19 Λί2, Ο, Λί„ Mi9
можно строить и другие точки
графика (например, можно было бы
построить еще точки с абсциссами Рис. 21
х = — 2,5; —1; 1; 2,5).
с. Бывают случаи, когда один или оба конца
интервала (a, b)t бесконечно велики (а = — оо, или ft=;-foo,
или одновременно а = —оо, b = +<»). В таких случаях
важно знать, что делается с функцией при приближении
X К —ОО ИЛИ К + ОО.
Мы отметим только два главных случая:
1) когда при неограниченном возрастании χ (χ —*—оо
или χ -* + оо) функция / (х) тоже неограниченно
возрастает;
2) когда при неограниченном возрастании χ функция
f(x) стремится к конечному пределу.
Эти случаи мы разберем лишь на примерах, причем
первый случай только в отношении целой функции f(x).
Пример 1. Построить график функции
У^
ш\
\\\г
тгг
1
1
ш_
i
1 1 }М+
о\ 1г1
Л *
Мл
Чн
-ни
I—Xs—1,5х*+1
267
на всем интервале (—-оо, + оо). Имеем
у'ш*3&—Зх.
Приравнивая χ нулю, находим
За:»—3^=0, х2—х=0, х(х—1) = 0,
jci==0, *2=1.
Для построения графика надо построить точки,
отвечающие абсциссам
—оо, 0, 1, +оо.
(Конечно, точек с абсциссами лг = —оо и лг=+оо мы
построить не можем, но мы проследим, куда идет кривая
при приближении χ к —оо или же к +оо.)
Чтобы найти /(—оо), преобразуем нашу функцию
такз
»-*('-£+*■)· (D
Мы видим, что при неограниченном возрастании χ
множитель в скобках приближается к 1. Первый же
множитель неограниченно возрастает, приближаясь к +оо,
когда χ стремится к +оо, и приближаясь к — оо, когда
χ стремится к —оо. Отсюда, очевидно,
/(+оо) = +оо, т. е. lim /(л:) = +оо;
/(—оо) = —оо, т. е. lim f(x)=*— oo.
Далее, находим
/(0)=1, /(1)= 1 — 1,5+ 1 = 0,5
и получаем следующую таблицу:
м
X
У
Мг
00
— 00
м.
0
1
м.
1
1/2
м4
+ 00
+ СО
На рис. 22 построены точки Мг и М3: обозначение Mt
указывает только приблизительное направление, в
котором перемещается точка Μ при х—*— оо (влево и вниз),
268
а обозначение Λί4—направление, в котором перемещается
точка Μ при jc—*-+оо (вправо и вверх).
Участки МгМ2 и M9Mt построены весьма крутыми.
Действительно, равенство (1) показывает, что при
больших χ функция возрастает приблизительно как л?
(ввиду близости второго множителя к 1),
т. е. как бесконечность третьего порядка
по сравнению с χ (например, когда
х=;100, то *»=*1003= 1000000).
Пример 2. Построить график
функции
_ 1
У" х«+1
на всем интервале (—оо, +<х>). Эта
функция, очевидно, непрерывна, так
как знаменатель ее х* + 1 никогда не
обращается в нуль. Находим
2х
У** (х*+1)* ·
Рис. 22
Это выражение равно нулю, лишь когда числитель равен
нулю, т. е. когда 2х«=0, откуда х=*0.
Здесь
/(-оо)-
1
=-Le0
(—00)2+1 00
ί(+оо).
1
оо* + 1
Далее, находим
--L-o
( Нт Дх)-оу
\х -*■ + а» /
/(0)·
ι
— 1.
График нашей функции (рис. 23) строим согласно
следующей таблице:
Μ
X
У
Мг
—00
0
Λί.
0
1
м,
оо
0
269
d. Заметим еще раз, что все сказанное нами
относилось исключительно к случаю, когда в рассматриваемом
интервале как сама функция, так и ее производная
являются непрерывными функциями х.
УЬ
О
я
Рис. 23
Более детальное исследование как в отношении
уточнения построения графика, так и в отношении возможности
построения функций, разрывных или с разрывными
производными, будет дано дальше.
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции
а. Обращаясь снова к рис. 18 (или к рис. 20, а для
случая бесконечного интервала к рис. 21, 22, 23), мы
видим, что для отрезков
[α, *ι], [*ι. *8]. [*2. *]э [*»· χλ ix*> **]»
[*5, *·]. I>6» *»]. [*7. *·]. [*» Ь]
наибольшее и наименьшее значения функции достигаются
на их границах. Например, для первого из указанных
отрезков наибольшим значением функции будет /to, a
наименьшим f(a). Так как из этих отрезков состоит и
весь отрезок [а, &], то наибольшее и наименьшее
значения функции на всем отрезке [а, Ь] должны совпадать
с наибольшим и наименьшим из чисел
/(я), /to, /to, /to, /to, /to, /to,
/to, /to, /(*)·
Отсюда получаем правило:
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения какой-
либо функции f(x) на отрезке [а, Ь], надо, во-первых,
найти все точки
χ ^ х^9 #2» · · ·» Хп
этого отрезка, обращающие в нуль первую производную,
а затем вычислить ординаты
/(*), /to, /to, ···> /to» /(*)· (i)
270
Тогда наибольшее из чисел (1) будет наибольшим, а
наименьшее—наименьшим значением нашей функции на
отрезке [а, 6].
Пример. Найдем наибольшее и наименьшее
значения функции
у=*х*—0$х*—0,25
на отрезке [0, 1].
Приравнивая у' нулю, имеем
у'«4л*—#=0, Ах{х%—0,25)«=0, ^«0, x2t8 — =fc0,6.
Из этих значений χ только +0,5 лежит на отрезке
[0, 1] (конечно, на этом отрезке лежит и нуль, но он все
оавно будет принят во внимание как левый конец отрезка),
оначит, согласно общему правилу мы должны вычислить
ДО), /(0,5), /(1).
Имеем
/(0) --0,25,
/(0,5) = 0,0625—0,125—0,25 = — 0,3125,
/(1) «. 1—0,5—0,25 «0,25.
Мы видим, что наибольшее из этих чисел
f(l) = 0,25,
а наименьшее
/(0,5) «—0,3125.
Это, следовательно, и будут наибольшее и наименьшее
значения нашей функции на отрезке [0, 1].
Ь. В приложениях очень часто встречается случай,
когда производная у9 обращается в нуль внутри
интервала (а, Ь) только при некотором одном х=х^ Тогда
наибольшее значение функции есть наибольшее из чисел
/(a), f(xi), f(b), a наименьшее—наименьшее из этих чисел.
В двух наиболее распространенных случаях можно
сразу сказать, что ответом на вопрос является f (xx). Эю
следующие случаи:
1. Когда разыскивается наибольшее значение функции
f(x), относительно которой известно, что на концах
отрезка она обращается в нуль:
271
а внутри отрезка положительна. (Тогда самым большим
из чисел /(a), f(xx)> f(b) будет f(xx), потому что оно
положительно, a f(a) и f(b)—нули.)
2. /Согда разыскивается наименьшее значение функции
/(*), относительно которой известно, что на концах
отрезка она обращается в +оо:
а внутри отрезка конечна. (Тогда самым малым из чисел
/(а), дхЛ, /(b) будет f(xt)9 потому что оно конечно, a
/(а) и f(&) равны +°о.)
Пример 1. Найдем наибольшее значение функции
ν**χ(χ—\)* = χ—2x* + xl·
на отрезке [09 1].
Приравнивая у' нулю, имеем
у'*$х*-4х+\«О, *= 2±ζΤ^5 „i|i.;X8al;jCg.^>
Внутри отрезка [0, 1] лежит только *== 1/3. На концах
отрезка [0, 1] наша функция обращается в нулы
f(0)-/(l)-0;
внутри этого отрезка она положительна.
Значит, мы имеем дело со случаем 1. Следовательно,
наибольшим значением нашей функции на отрезке [0, 1]
будет /(1/3)-4/9.
Пример 2. Найдем наименьшее значение функции
j/ = x» + *+i
на интервале (—оо, +оо).
Здесь, приравнивая у нулю, имеем
/«2*+1 = 0, *«-у.
Внутри интервала (—оо, +оо) у' = 0 только пои
х«—1/2.
Мы видим, что на границах интервала (—oot -j-ooj
наша функция
обращается в
f(-oo) = f(+oo)=+oot
внутри же интервала (—oot +oo) она конечна.
272
Значит, мы имеем дело со случаем 2. Следовательно*
даименьшим значением нашей функции в интервале
(_оо, +оо) будет /(-1/2)-3/4.
с. Иногда весьма полезным оказывается тот очевидный
факт, что функция у =*/(*), принимающая на отрезке [а, Ь]
только положительные значения, достигает наибольшего
значения тогда, когда его достигает уг или другая
положительная возрастающая функция у (например, tgj/).
Пример. Найти наибольшее значение функции
y = xV\\— χ*
на отрезке [О, 1],
Имея в виду, что на указанном отрезке у>0, мы
будем разыскивать наибольшее значение не самого у% а
его квадрата. Имеем
у* = х*—*4,
[у*]'~2х-№ = *х^-х%)>
что обращается в нуль при х = 0, — -», -=. Так как
из этих значений χ внутри отрезка [О, 1] лежит только
• _ ι
на концах отрезка у* = 0, а внутри отрезка у%>0> то
при х« 1/К2 мы и будем иметь наибольшее значение у*,
а следовательно, и самого у. Итак, наибольшее значение у
на отрезке [Q, 1] будет
$ 5. Прикладные задачи на наибольшее
и наименьшее значения
а. Теория наибольших и наименьших значений широко
применяется при решении различных задач, выдвигаемых
практикой.
Пример. Из деревянного шара требуется вырезать
цилиндр наибольшего объема (рис. 24).
Решение проводим так.
1. Сначала условимся, что мы будем считать
аргументом, В данном случае аргументом естественно считать
радиус χ основания цилиндра.
273
2. Посмотрим, в каком интервале может изменяться
этот аргумент χ соответственно смыслу нашей задачи.
Ответ на вопрос весьма прост, так как, во-первых,
χ не может быть отрицательным, а во-вторых, χ не может
быть больше радиуса R шара. Итак,
выбранный аргумент χ изменяется
на отрезке [О, R].
3. Постараемся интересующую
нас переменную — объем V
цилиндра—выразить как функцию
выбранного аргумента х. Имеем
(объем цилиндра)
По теореме Пифагора (из
прямоугольного треугольника ABC)
Рис 24 А = К4#»-4х»;
8начит, объем цилиндра
V = nx%V4R*—4*2.
4. Итак, задача свелась к разысканию наибольшего
значения функции
V = nx* К4Л1—4*·
на отрезке [О, Я], т. е. к задаче, решать которую мы уж*
умеем.
Согласно пункту «с» § 4 мы можем здесь разыскивать
наибольшее значение не самого V, а
νΓ* = 4π*(#ν—χ*).
Приравнивая [V*]' нулю, имеем
4π» (4/?*jcs—6jcS) = 0, (2#«—3jc2)a^^0, x = 0,
Из найденных значений χ внутри отрезка [О, R] лежит
только одно, именно *= у у/?. А так как на концах
отрезка функция I^ — O^a внутри отрезка она
положительна, то при #= у jR мы и будем иметь наибольшее
значение F2, а следовательно, и самого V. Само наиболь-
274
шее значение будет
Μ/τ«)'/«·-«(/τ«)'-
b. Разобранную задачу можно было бы решать и иначе,
беря за аргумент не х, а что-нибудь другое.
1. Например, возьмем за аргумент угол φ (рис. 24).
2. Совершенно ясно, что угол φ может изменяться
от 0 до π/2, т. е. на отрезке [0, π/2].
3. Выразим V как функцию φ. Имеем
S=nx% 2x = 2/?cosq>, x = /?cos<p, ft = 2/?sin<p,
V s= 2π#8 cos* φ sin φ.
4. Итак, задача свелась к разысканию наибольшего
значения функции
V = 2π/?8 cos* φ sin φ = / (φ)
на отрезке [0, π/2].
Приравнивая V нулю (К' = V^, так как теперь
аргументом является φ), имеем
V = 2π#8 (—2 cos φ sin*<p + cos8 φ)« 0,
cos φ — 0, —2 sin2 φ + cos φ — 0.
Решение cos<p = 0 дает χ = π/2, что лежит на границе
отрезка [0, π/2] и, следовательно, должно быть
отброшено. Далее, из
— 2 sin1 φ + cos* φ = О
следует
—2 sin* φ+1—sin* φ = О, 1— 3sin*<p = 0, 3ΐηφ=>±-^=.
V 3
Годится только положительный угол, т. е.
Замечая, что на концах отрезка имеем V=sO, а внутри
этого отрезка V > 0, мы опять убеждаемся, что
наибольшее значение нашей функции будет, если угол φ таков,
что
275
Это наибольшее значение равно
Пример. Требуется огородить забором
прямоугольную площадку площадью 36 м2 (рис. 25).
Какую форму должна иметь
площадка, чтобы расход материала был
наименьшим?
1. За аргумент берем здесь основа-
Л ние χ площадки.
2. χ изменяется, очевидно, от 0 до
+ оо, т. е. в интервале (0, оо).
3. Выразим длину L забора (периметр
прямоугольника) как функцию х. Имеем
Рнс 25 L«2(x+ft).
Но лгЛ = 36, значит, Л=~, и мы имеем
4. Таким образом, мы должны найти наименьшее
значение функции
1-2*+Э-/(*)
в интервале (0, — оо).
Приравнивая V нулю, находим
L#-2—jr-O; **—86 = 0; *-±6.
Из найденных значений χ в интервале (О, оо) лежит
только χ — 6. Замечая же, что на концах интервала (0, оо)
наша функция равна + ооз
/(0) = оо; /(+оо)-+ оо,
а внутри конечна, мы убеждаемся, что при χ= 6 она
будет достигать своего наименьшего значения.
Следовательно, наиболее выгодной в смысле затраты материала
(меньше всего материала) оказывается квадратная
площадка со стороною 6 (6?«36).
276
»/f*
§ β. Направление выпуклости,, точки перегиба
a. Обращаясь к прилагаемому рис. 26, мы видим, что
изображенная на нем кривая может быть разбита на
участки двух типов, а именно участки А В и Си, выпуклые
вверх (в сторону положительных ординат), и участки ВО
и DE, выпуклые вниз (в сторону отрицательных ординат).
b. Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем
перемещать точку Μ по участку А В кривой, выпуклому
вверх, то угол α будет уменьшаться (например, в
точках А, М19 М2, М3, Л44, В значения угла на нашем
чертеже будут приблизительно такие: 75°, 60°, 30°, 0°,
—45°, —75°). Одновременно с убыванием а будет убывать
и tga, т. е. у'.
Итак, участки графика, выпуклые вверх, отвечают
интервалам убывания #' = /'(*)·
c. Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем
перемещать точку Μ по участку ВС кривой, выпуклому
вниз, то угол α будет увеличиваться (например, в
точках В, Ni9 Afa, Vz, С значения угла α на рис. 26 будут
приблизительно такие: —75°, —45°, 0°, 30°, 75°).
Одновременно с возрастанием α будет возрастать и tg α, т. е. у\
Итак, участки графика, выпуклые вниз, отвечают
интервалам возрастания у'=/'(*)..
d. Точки, отделяющие участки, выпуклые вверх, от
участков, выпуклых вниз, носят название точек перегиба
(на рис. 26 это будут точки В, С и D).
Нетрудно видеть, что если до точки перегиба был
участок, выпуклый вниз, а потом стал участок, выпуклый
вверх (как, например, для точки С), то такая точка
соответствует максимуму у9, потому что здесь у'
перехолит от возрастания к убыванию. Наоборот, две другие
277
точки перегиба В и D соответствуют минимумам у', потому
что здесь у9 переходит от убывания к возрастанию.
Таким образом, точки перегиба происходят от того,
что у* имеет максимумы и минимумы. Посмотрим, как
будут влиять на вид графика точки замедления у9.
Очевидно, особенного влияния не будет, так как если,
например, до точки замедления у9 эта функция возрастала, то
она будет возрастать и после. Угол α будет в общем все
время возрастать, лишь на одно мгновение останавливаясь
в своем росте при значении х, отвечающем точке
замедления у9.
е. Замечая, что производной у9 является у"\
(на графике, ординатой которого является у', угловым
коэффициентом касательной будет служить tgP»^), из
пункта «Ь» заключаем, что:
на участках графика, выпуклых вверх, имеем
/<0;
на участках графика, выпуклых вниз, имеем
/>0.
В точках перегиба (точках замедления у9)
/-0.
Пример. Для параболы у = ах* имеем #* = 2а>0
(если а > 0). Поэтому парабола обращена выпуклостью
вниз.
§ 7. Приложение к построению графиков
a. Выше нами был указан способ выяснения общей
формы графика путем построения точек, где у' = 0. Этими
точками мы Делили наш график на участки, в каждом
из которых у или только увеличивается, или только
уменьшается (как говорят, у изменяется монотонно).
b. Теперь мы можем выяснить форму графика более
детально, строя те его точки, для которых равна нулю
вторая производная
Этими точками наш график разделится на участки,
которые уже не могут содержать точек перегиба, и потому
они будут обращены выпуклостью или только вниз, или
278
же только вверх. Для этих участков, следовательно,
у9 или только возрастает, или только убывает, и чтобы
знать, что именно происходит—возрастание у9 или
убывание,— мы, естественно, должны вычислить (и построить
тоже) значения у' на границах участков (т. е. в тех
точках, где У = 0). Действительно, если участок идет от
большего значения у9 к меньшему, то его, очевидно,
нужно чертить выпуклым вверх; если же он идет от
меньшего значения у' к большему, то его следует чертить
выпуклым вниз.
Итак, для более детального построения графика мы
строим еще те его точки, в которых
у" = 0;
кроме того, строим касательные в этих точках и в точ*
ках, отвечающих началу и концу отрезка [а, Ь].
с. Для примера построим график функции
y = jx*—x%— 3*+!=/(*)
на отрезке [—2, 4].
Имеем
#' = х«—2х—3, у" = 2х—2.
Приравнивая нулю у9, получим
х*—2х—3 = 0, * = — 1, х=3.
Приравнивая же нулю у\ имеем
2**-2 = 0, х—1.
Следовательно, мы должны построить ординаты точек
с абсциссами
-2, -1, 1, 3, 4;
кроме того, во всех этих точках мы должны провести
касательные (у'«0 в точках о абсциссами —1 и 3, и
279
потому касательные параллельны оси абсцисс). Имеем
/(-2)-|~4 + б + 1-|,
f(-l)'
—1+3+1
f(l) '_1_3+1— -I,
/(3).|-9-9+1 — 8,
/(4)=|-16-12+1 — Ц,
П_2)-4 + 4-3-5,
Г (1)-1-2-3 4,
П4)- 16—8—3-5.
Таким образом, имеем следующую таблицу:
Μ
X
У
V'
Mi
-2
1/3
5
м,
-1
2/3
0
м,
I
8/3
-4
м4
3
-8
0
м,
4
-17/3
5
в соответствии с
ш
η
I
которой и строим график нашей функции
(рис. 27). Касательные изображены
пунктирными линиями.
d. Заметим, что если бы мы
желали построить весь график функции
пункта «с», то вычисления мало бы
изменились. Вместо точек с абсциссами
г —2 и 4 пришлось бы исследовать
значения /(*) и /'(*) при *--* —оо и
*--* + оо, и мы получили бы
/(— оо)«_оо,
/'(-00)-+ 00,
/(+оо)«+оо;
П+оо) «+оо.
Рис. 27.
Последние два равенства показывают,
что при неограниченном увеличении
χ угол α наклона касательной к оси
абсцисс неограниченно приближается
к 90°.
280
§ 8. Построение графиков разрывных функций
a. Для построения графика разрывной функции или же
функции с разрывной первой производной следует весь
промежуток, на котором мы строим график, сначала
разбить на отдельные отрезки, беря границами делений
как раз те значения х, для которых f(x) или /'(*) терпит
разрыв непрерывности.
Когда мы приближаем χ к концам таких отрезков,
надо тщательно следить за тем, что делается с функцией
и ее производной.
b. Пример. Построим график функции
*-:з=т-М·
1
Здесь функция терпит разрыв, когда х*—1=0, т.е.
при *s=—1 и при *«1. При этом, если χ приближается
к —1 со стороны значений, меньших —1, τοχ% > 1 и потому
^с»— 1 > 0.
Поэтому, очевидно,
/(-1-0)=+ со.
Точно так же найдем
/(-1 + 0)= оо,
/(1-0) —оо,
/(1 + 0)- +оо.
Далее, исследуем наш график с точки зрения
максимумов и минимумов. Имеем
,_ --2л
и мы видим, что y'tsO только при л; = 0, причем тогда
„,--1.
Далее,
„__ о(х*— 1)»—х-2(*»—1).2* — 2 (л8— 1)+8х» 6х*+2
У ~~~~г (**— I)4 ~~ (*»-1)* — (jc«— li* ·
Приравнивая if нулю, получаем
6ха + 2=:0.
Это уравнение не имеет вещественных решений. Значит,
никаких точек перегиба нет.
Наконец, исследуем, что будет при х—*—оо и х—*> + оо.
Имеем
ί(-οο)^0, /(+оо)«0.
281
Итак, для построения кривой имеем таблицу
X
У
— 00
0
-1-0
+ 0О
-1 + 0
— 00
0
—I
0
1-0
— 00
1 + 0
+ оо
— φ
0
которую для большей отчетливости дополним такойз
*
У
У'
-2
L/3
4/9
2
1/3
—4/9
График функции изображен на рис. 28.
Рис. 28
§ 9. Признак максимума и минимума, основанный
на исследовании знака первой производной
а. Мы знаем, что если при некотором x=^xt
производная y'=*f'(x) функции y = f(x) обращается в нуль,
то при x=*Xt эта функция достигает максимума, минимума
или же имеет точку замедления. Часто бывает полезно
узнать, какой именно из этих трех случаев имеет место.
Вот самый простой признак.
Если при x=xt функция f(x) достигает максимума,
то f'(x), обращаясь в нуль, меняет знак с + на —.
282
Действительно, тогда x = xt отделяет интервал возрастания
функции f(x) от интервала убывания.
Точно так же можно убедиться в верности двух
других правил.
Если при x=Xi функция f(x) достигает минимума,
то γ (χ), обращаясь в нуль, меняет знак с — на +.
Если при х = хг функция f(x) имеет точку замедления,
то Г (х), обращаясь в нуль, знака своего не изменяет.
Ь. В применении этих правил очень часто исследование
знака производной f (х) бывает очевидным.
В частности, если f (х)—многочлен, то перед тем, как
исследовать знак при χ < хг и при χ > хи надо /' (х)
разложить на множители.
Пример. Пусть
у = я8—Зх.
Приравнивая у' нулю, имеем
у' = 3х*—3 = 0, jc2— 1 = 0, **=1, *=±1.
Пусть, например, требуется узнать, что именно будет
при я = + 1· Разлагая у' на множители, имеем
у' = 3(х-1)(х+1).
Мы видим, что при х, немного меньших 1, будет
х— 1 < 0, х+ 1 > 0 и, следовательно, у' < 0.
Если же χ немного больше 1, то
х— 1 > 0, х+ 1 > 0 и, следовательно, у' > 0.
Таким образом, при лг=1 производная f'(x) нашей
функции меняет знак с — на + , т. е. (согласно пункту «а»)
при х= 1 мы имеем минимум нашей функции.
§ 10. Признак максимума и минимума, основанный
на исследовании знака второй и высших производных
а. Для решения той же самой задачи, которую мы
только что разобрали, можно указать еще другой, довольно
удобный признак. Этот признак основан на исследовании
знака тех численных значений, которые принимают высшие
производные при x = xt.
Пусть /'(*ι) = 0· Рассмотрим f (хг). Если и.Пх^ — О,
то рассматриваем f" {хг) и т. д. до тех пор, пока не
дойдем до неравного нулю числа. Именно: пусть первым
283
неравным нулю числом в последовательности
Π*ι). Π*ι). ...
будет /(Л) (xj.
Примем во внимание графики всех функций /'(*),
Г(х)> ..., /(л~2)(*). Так как каждая из них, например
/(Л)(*)> имеет своей производной производную порядка
f{k+l)(x), на единицу большего, и, следовательно,
обращающуюся в нуль при х = Хи то при x=^Xi каждая
из этих функций имеет максимум, минимум или точку
замедления.
b. Пусть сначала η четное и f{n) (хг) > 0. Тогда график
функции /(л~2) (х) в рассматриваемой точке обращен
выпуклостью вниз (так как f{n)(x) положительна при x = xit то
в силу своей непрерывности f{n)(x) положительна и при
значениях х, близких к хг), и, значит, при x = xt
функция /(η~2)(*ι) имеет минимум, равный нулю! /(Л"2)(^1) = 0.
При значениях х, близких к xit имеем
/(я-а) (х) > 0.
Но тогда таким же путем убедимся, что минимум при
х — Xi будет иметь и функция /(n~4)(*), и функция f{n"e)(x)
и т. д., пока наконец не дойдем до / (х) (только здесь
уже минимум, вообще говоря, нулю не равен). Итак, при
x = xt функция f(x) имеет минимум.
c. Пусть опять η четное, но /(Λ)(*ι)<°· Тогда,
применяя те же самые рассуждения, что и в пункте «Ь»,
можно убедиться, что при x = xt функция f(x) имеет
максимум.
d. Наконец, рассматривая случай нечетного η и
предполагая /<я)(*)>0> убедимся, что минимум при x = Xi
будут иметь производные нечетного порядка: f{n~2)(x),
/(я"4)(л:), ..., /"'(х) и, наконец, /'(х), причем ввиду
/' (лгх) = 0 вблизи х = хг имеем f (х) > 0 (как для значений
χ < хи так и для значений χ > хх), значит, /' (х) при
x=xt знака не меняет и потому f(x) имеет при x=xt
точку замедления.
Тот же результат учащиеся найдут, предположив η
нечетным и f{n) fa) < 0.
Итак, имеем правило:
Если f'(x) = 0t причем первая не обращающаяся в нуль
при χ — Χι производная в последовательности
есть fin)(x)> mo
284
если п четное и /(η)(*ι)>0» то функция f(x) имеет
минимум при x = Xi\
если η четное и f{n) (хх) < 0, то функция f (x) имеет
максимум при х=хг;
если η нечетное, то при х = х1 функция f(x) имеет
точку замедления.
Пример 1. Пусть f(x)=*x*~-Зх2 + 3лг—4. Имеем
/'(*) = 3х«-6х + 3, f"(x) = 6x-6; /"'(*) = 6.
Здесь f (x) равна нулю при дс=1, но
Г(1) = 0; ////(1)>0.
Значит, п=*3 нечетно и при х== 1 имеем точку замедления.
Пример 2. Пусть f(x) = 4xz—6х2. Имеем
/' (х) = 12*2— 12*; f (χ) - 24*—12.
Здесь f'(x) равна нулю при х=0 и лг=1. Тогда
Г(0) = —12;
п = 2 четно, причем /"(0)<0. Значит, при х = 0 имеем
максимум.
Далее,
ГОН 12.
Здесь л ==2 четно, причем /*(1)>0. Значит, при *=1
имеем минимум.
§11. Асимптоты
a. Очень часто ветвь кривой, удаляясь в бесконечность,
неограниченно приближается к некоторой прямой линии.
Эту прямую называют
асимптотой по отношению к
данной ветви.
b. Пусть
*/ = /(*)
— уравнение данной кривой и
у = ах + Ь
— уравнение асимптоты (рис. -?
29). Тогда разность "' л? *'
MxM~f{x)—(ax + b) Рис. 29
285
между соответствующими ординатами кривой и асимптоты
должна быть бесконечно мала при бесконечно большом χι
f(x)—ax—b = r\t где
η—бесконечно малая.
с. Отсюда нетрудно найти,
чему равно а:
- /(*) ь η
X X X *
и, переходя к пределу, получим,
что
>
\А
f*
■ II
II
\
А
м
у
А
I
ι Ι ι
М_
I
\s
V
У
yi
ν
t
у!\
χ
a = lim ^— lira -— lira -ϋ
X X
«-►CP *
Рис. 30
Итак,
a-lim ψ.
d. Зная α, легко найти b:
b*=f(x)—ax—t),
ft=lim [/ (χ)—αχ]—lim η = lim [/ {χ)-г ах].
Χ-*·0Ο Jf-*0O
Итак,
b = \\m[f(x)—ax].
Пример. Найти асимптоты кривой
х2
У-
х+
Г = /(*).
Имеем
dim-^= lim-^^lim —V^it
6=limtf(jt)—α*]*= limf-^r-— x] =
r X
-ton ^Г^Иш.^
x-1
1.
Следовательно, α=1, 6=—1, и уравнение асимптоты
имеет вид
# = *— 1.
е. Зная асимптоту, можно получить более отчетливое
представление о самой кривой.
286
Построив асимптоту, остальное построение делаем по
общим правилам. На рис. 30 приведен график функции
Асимптоты обозначены пунктирными линиями.
Детали построения предлагается выполнить
самостоятельно.
§ 12. Дифференциал дуги
а. Если кривая задана уравнением
то длина s дуги М0М этой кривой, отсчитываемая от
неподвижной точки М0 до
подвижной точки Μ (рис. 31),
зависит от положения этой
последней точки: она является
некоторой функцией абсциссы χ точки
Λί, или же функцией параметра
/, определяющего положение
точки М, если кривая задана
параметрическим способом.
Во многих вопросах весьма
важно знать производную и
дифференциал этой функции.
Для этой цели дадим абсциссе χ точки Μ бесконечно
малое приращение Ддс. Тогда точка Μ передвинется
в бесконечно близкое положение т, а дуга s получит
бесконечно малое приращение Δδ=^Λί/η. Получим
e'~lim ■£*-.
Так как дуга Mm эквивалентна хорде Mm, то
, .. дл. хорды Mm
Рис. 31
Δ*-»0
Δ*
b. Что бы мы ни брали за аргумент (х или какой-
либо параметр t, если кривая задана параметрически),
287
всегда
,-=£ ".Μ
■■ г-*
Δ*-*·0
Поэтому имеем (все дифференциалы должны быть
выражены через одну переменную)
Пример 1. Для параболы у*=ахг имеем
ds ш V1 + (2а*)а dx = Vl+ 4aW dx.
Пример 2. Для циклоиды
j/«a(l—cosf)
имеем
ds=*K[a(l — cosQdq1—(asinfdi)1**
«a/2—2cos/d/ = 2asin-ydi.
§ 13. Направляющие косинусы касательной
а. Весьма часто полезно знать не угловой
коэффициент tga касательной, а направляющие косинус и синус
(cos α и sin α) касательной.
Рис. 32
Рассматривая угол α как предел угла at наклона
секущей Mm к оси абсцисс, имеем (рис. 32)
288
Μ К
cos α =i lim cos a< = lim .,—
1 дл. хорды Mm
=llm 15ГЗШГ -lim -sr=-ar·
sin α = lira sin ax = lim ·
дл. хорды Mm
дл- wMm As as
b. Итак,
dx du
cosa=^-, sma—£.
Пример 1. Для параболы у = ах2 имеем
dx l
cos a = —. — и — -,
^1 + 4^*? d* ?Ί + 4α2χ2·
2a* d* 2a*
sina — ^ —= A ==r.
V^l + 4a2^2rfx γ\ + ΑαΗΙ
Пример 2. Для циклоиды
# = a(/_sinf)t
y = a(l—cosi)
имеем
cosa=— τ-*— = sin-5-,
2asin-«d/
aslntdt t
sina= j = cos γ.
2astay<tt
§ 14. Радиус кривизны, центр кривизны
а. Две нормали, проведенные в точках Мит
окружности, всегда пересекутся в центре К окружности, причем
длина Mk нормали от точки касания до центра К будет
равна радиусу окружности.
Если мы рассматриваем не окружность, а какую-либо
другую кривую, то малый участок Mm этой кривой до
известной степени тоже можно уподобить дуге
окружности и с тем большим правом, чем этот участок меньше.
(Подобная приближенная замена малых участков дугами
окружностей часто делается при вычерчивании различных
кривых.)
289
Нормали, проведенные в точках Мит (рис. 33),
и здесь пересекутся в некоторой точке fc, причем по мере
приближения к Μ точка к не будет оставаться
неподвижной (как у окружности), а будет перемещаться по линии
Λί/C. Предельное положение /С, к которому приближается
при этом точка fe,
называется центром кривизны^
отвечающим точке М.
Отрезок МК (МК =
=limAf&) называется
радиусом кривизны, отвечающим
точке М.
Ь. Величину R=*MK
радиуса кривизны найти нетрудно.
Для этой цели
одновременно с дугою ks^Mm будем
рассматривать дугу Mh
окружности радиуса Mk с
центром k. Эта дуга, очевидно,
эквивалентна Mm.
Далее, нам потребуется
угол Μ km. Этот угол,
очевидно, равен углу Δα между касательными в точках т
и Μ (Δα—приращение, которое получает угод α при
переходе точки Μ в положение т\ именно: углы наклона
касательных к оси абсцисс в точках Μ и т суть α и
α + Δα).
Радиус Mk численно равен отношению длины дуги
к величине угла!
Рис. 33
Л*£ =
дл. ^Mh
Δα
Отсюда, переходя к пределу, получим
/? = ΛΙ/C = lim Mk = lim
дл. ^Mh
Δα-*0
Δα-*0
Δα
ι;«η ДД- ^Mm «. As ds
= "Π* τ— = hm -τ- = -згт.
Δα-*0
Δα1
Δα->»ϋ
Δα da
Но нами было показано, что
ds = VT+Wfdx
(считаем аргументом х). Далее,
tga^y', a^arctgt/, da··
dy'
y"dx
1 + Ю* ~ 1 + Ю2
290
Поэтому
n„ ds __ \Г\+(у')*ах
* ~~ da ~~ ifdx
i+(y')2
Г1 + (У')2)8/а
с. На рис. 33 кривая выпукла вниз и потому Δα
положительно (угол α возрастает). Однако может
оказаться, что Δα отрицательно (когда α убывает), и тогда
мы должны взять
«-■".(-£)--*·
"da
потому что R всегда считается величиною положительной.
Мы видим, что как в том, так и в другом случае (как
для кривой, выпуклой вниз, так и для кривой, выпуклой
вверх) за R мы можем принимать абсолютное значение
Пример 1. Найдем радиус кривизны параболы у=ах%.
Имеем
у'*=2ах, / = 2а,
п | (1 +4*4)4* | __ (1 +4а*х*)*'*
К —| 25 |"" 2а *
Пример 2. Найдем радиус кривизны циклоиды
x=a(t—sin/),
f/ = a (1 — cos/).
Здесь
V
a sin/
' dx a(l — cos/)
-ctgi.
<#
/-
4/
actgT
2sln^
dx d[a(t—s\nf)\ a(l — cos /)<// 4asln4JL'
(■+«ЧГ
4a sin4 -y
(1 л 3/2
4a sin4-5-
= 4a sin -j.
d. Проводя нормали в близких точках Μό, Ми М29 ...
..., Мп кривой, получим некоторую ломаную kjij^.. .k,
291
Точки k0> ki9 k%, ... являются приближениями к центрам
кривизны точек Λί0, Ailf Mt, ..., Mn. Поэтому в пределе
ломаная k0ki...kn обратится
в некоторую кривую,
представляющую собою не что
иное, как геометрическое
место центров кривизны. Такую
кривую называют эволютой
данной кривой.
Сама же кривая по
отношению к своей эволюте
называется эвольвентой. Из всего
сказанного выше ясно, что
нормаль в какой-либо точке
Μ к эвольвенте является
касательной к эволюте, причем длина участка нормали
от точки Μ до точки касания с эволютой является
радиусом кривизны в точке Μ (точка касания с эволютой —
центр кривизны точки М).
Приближенное представление об эволюте можно
составить по ломаной kjkxkt...k, (рис. 34).
§ 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы
касательной для кривой в пространстве
а. Рассматривая две бесконечно близкие точки Μ
(χ; у\ г) и т(х + Ьх; у + ку; г + Δζ) (рис. 35), можно
Рис. 35
убедиться, что для пространства справедливы формулы
ds^Vdxt + dyt + dz*, cosa=-gp cosp»·^·, cosv==-~·
(Δχ9 Δί/, Δζ—проекции хорды Mm% As эквивалентно
хорде Mm).
292
§ 16. Упражнения
1. Доказать, что tgx постоянно возрастает, причем
угол наклона касательной к оси абсцисс приближается
к прямому по мере приближения χ к * "о ' ^ = ^»
±1· .··
2. Доказать, что у=1/х постоянно убывает, причем
с приближением χ к нулю угол α приближается к
прямому, а при неограниченном возрастании χ угол α
стремится к нулю.
3. Показать, что у = хг—Здс + 2 убывает в интервале
(—оо, 3/2) и возрастает в интервале (3/2, + оо) (тем
самым имеет минимум при χ=3/2).
4. Показать, что вершина параболы у^х1—6*+ 5
Находится в точке (3; —4).
5. Доказать, что у, заданная как функция χ
параметрическими уравнениями
x=za(t—sin/),
y = a(l— cost)
(циклоида), возрастает в интервале (0, π) и убывает в
интервале (π, 2π).
6. Доказать, что у = х?—Зх возрастает в интервале
(—оо, —1), убывает в интервале (—1, 1), наконец, снова
возрастает в интервале (1, + «>).
7. Доказать, что функция у=*х* + х* + х при изменении
χ от —оо до +0О все время возрастает.
Доказать, что при χ > 2 всегда
JL<±
2* ^ 2 ·
9. Построить график функции у=-тгх*—χ2 в
интервале (— оо, + оо).
10. Построить график функции
у=х8—6*а + 9х+1
на отрезке [0, 4].
11. Построить график функции
у » 0,25**—х* + 0,25
на отрезке [—1, 4].
12. Построить график функции
у=е-*Ч*
в интервале (— оо, + оо).
293
13. Построить график функции
у= £. (е*/* + β-*η (а = 2)
в интервале (— оо, + оо) (ответы к задачам 9, 10, 11, 12
и 13 даны на рис. 48).
14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
^ = 3^—4xs = /(jc)
на отрезке [—2, 1]. Ответ: наибольшее значение
/(—2) = 80, наименьшее значение f(l)=*—1
15. То же самое для функции
0= 1,2*5—4,5*4 + 4х8—0,9
на отрезке [—1, 2]. Ответ: наибольшее значение f(0)=*
= —0,9, наименьшее значение /(—1)^=—10,6.
16. То же самое для функции
у =2*»—За*
на отрезке [—1; 1,5]. Ответ: наибольшее значение/(0)=»
= Д1э5) = 0, наименьшее значение /(—1) = —5.
17. То же самое для функции
^ = а^~ 18х* + 96х
на отрезке [3, 9]. Ответ: наибольшее значение /(4)= 160,
наименьшее значение /(8)= 128.
18. То же самое для функции
у = х* + 5х
на отрезке [1,2]. Ответ: наибольшее значение /(2) = 42,
наименьшее значение /(1) = 6.
19. Требуется огородить каменной стеной
прямоугольную площадку, причем известно, что материала хватит
только в том случае, если общая длина стен будет не
больше а м. Как сделать, чтобы огороженная площадь
была возможно больше? Ответ: площадка должна иметь
форму квадрата.
20. Имеется жестяной лист, имеющий форму квадрата
со стороною α см. Из него по углам вырезаны и удалены
малые квадраты со стороною дс. Каково должно быть х,
чтобы вместимость коробки, которую получим, перегнув
оставшуюся часть листа по линиям, отмеченным
пунктиром, была наибольшей (рис. 36)? Ответх χ=.α/6 см.
294
21. Та же самая задача, но для листа, имеющего
форму прямоугольника с основанием 48 см и высотою 18 см
(рис. 37). Ответ: х=4см.
22. То же самое, если основание 8 см и высота 5 см.
Ответ: х= 1см.
23. Требуется построить пятистенку с наибольшей
полезной площадью. При этом известно, что сумма длин
ш
m
Μ Μ
[ ι ι I
m
n
Рис. 36
Рис. 37
стен этой пятистенки должна равняться Л м. Найти, каковы
должны быть длины стен (рис. 38). Ответ: длина малой
стены Л/6, длина большой стены Л/4.
24. Ту же, по существу, задачу можно поставить
иначе. Требуется построить пятистенку с данной полезной
ЙСЕ
рт шшшгш/шшш
У.А////\ ЪШШШЛ У/ЯШ
Рис. 38
Рис. 39
площадью /См*. Какой формы должна быть пятистенка,
чтобы количество затраченного на нее материала (стены)
было наименьшим? Ответ: длина малой стены Υ2βΚ%
длина большой стены КЗ/2/С (по существу, это прежний
ответ, так как отношение длин большой и малой стен
и здесь равно 3/2, как и в задаче 23).
25. В сегмент параболы у2 = 2рх, где ОК = /п, вписать
прямоугольник наибольшей площади (рис. 39). Ответх
х=*т/3.
295
26. В эллипс
вписать прямоугольник наибольшей площади (стороны
параллельны координатным осям). Ответ: основание
а у 2, высота bVl.
27. Из листа жести, имеющего форму круга радиуса
R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув, получить
Рио. 40 Рис. 41
воронку наибольшей вместимости (рис. 40). Ответ}
φ = 2π/2/3.
28. В точке Μ на вертикальной стене висит
электрическая лампочка, которая может передвигаться по стене
вверх и вниз (рис. 41). Спрашивается, как надо подвесить
эту лампочку, чтобы получить наилучшее освещение
в точке N (например, Ν—место на краю стола, где лежит
чертеж или книга). Ответх А = а/К2.
Указание. Освещенность / выражается формулой
где с—постоянная.
29. Из пунктов А и В, расположенных на берегу
озера, одновременно выходят два судна (рис. 42), которые
плывут по взаимно перпендикулярным направлениям AM
и BN. Указать момент наибольшей близости обоих судов,
если известно, что АО=* 110 км, MN— 134 км и что пер*
вое судно плывет со скоростью 8 км/ч, а второе со
скоростью 15 км/ч. Omeemi через 10 ч после отплытия.
296
30. Около данного цилиндра описать конус
наименьшего объема. Ответ: радиус основания конуса в 3/2 раза
больше радиуса основания цилиндра.
31. Из круглой балки надо выпилить балку формы,
указанной на рис. 43 пунктиром. При каких условиях
Рис, 42
Рис. 43
эта балка будет иметь наибольшее поперечное сечение?
Ответ: tg<p = 2.
32. Точка перемещается в среде I со скоростью vt
и в среде II со скоростью щ (рис. 44). Как она должна
it
^•^я
до
№=-
-Ч:-..
Рис. 44
Щ
Рис. 45
"жил.
двигаться, чтобы, идя из точки Mit достигнуть точки М%
в наикратчайший срок? Ответ: ~^· ==—.
33. Имеется высокая башня и некоторый предмет
длиною а, лежащий на земле в одной плоскости с башней
(рис. 45). На какую высоту надо подняться, чтобы видеть
предмет под наибольшим углом зрения? Ответх χ =
297
34. Требуется сделать жестяное корыто формы,
указанной на рис. 46 (основание—полукруг). Какими должны
быть размеры этого корыта, чтобы при одном и том же
количестве материала вместимость его была наибольшей?
Рис. 46 Рис. 47
35. Какими должны быть размеры кастрюли (рис. 47),
чтобы при одном и том же количестве материала,
затраченного на ее изготовление, она имела наибольшую
вместимость? Ответ: радиус г дна должен равняться высоте Л.
36^ Доказать, что кривая
у = ах, а>09
выпукла вниз.
37. Доказать, что· кривая
j/=ln#
выпукла вверх.
38. Доказать, что кривая
ι
у=-
при положительных χ выпукла вниз, а при
отрицательных χ выпукла вверх.
39. Доказать, что тангенсоида
y=tgx
при отрицательных χ выпукла вверх, а при
положительных выпукла вниз (так что при х = 0 имеется "точка
перегиба).
40. Доказать, что синусоида в интервале (0, я) выпукла
вверх, а в интервале (π, 2π) выпукла вниз.
41. Построить кривую у = х8/8 для всего интервала
(— оо, +оо).
42. Построить кривую у~х*1\Ь для всего интервала
(_ оо, +оо}·
298
43. Дать более детальное построение кривой задачи 9.
44. То же для задачи 10.
45. То же для задачи 11.
46. То же для задачи 12.
47. То же для задачи 13.
Ответы к задачам 41—47 см. на рис. 48.
Рис. 48
48. Исследуя знак первой производной, найти
максимумы и точки замедления функции y = -jX*—л;2 (задача 9).
49. То же для функции у = ;с3—6х2 + 9х+ 1 (задача 10)·
50. То же для функции # = 0,25**—х* + 0,25
(задача 11).
51. То же для функции у = ех*1г (задача. 12).
52. То же для функции у = γ (ё*1й + e*/fl) (задача 13).
53. Задачу 48 решить исследованием знака высших
производных.
54. То же для задачи 49.
55. То же для задачи 50.
56. То же для задачи 51.
57. То же для задачи 52.
58. Подобным же путем произвести исследование в
задаче 41.
59. То же сделать для задачи 42.
60. Построить график функции уя^^ . Ответ см.
на рис. 49.
299
61. Построить график функции */=£/**. Ответ см.
на рис. 50.
62. Найти дифференциал дуги и направляющие косинуо
и синус касательной для эллипса
** . у*
+•21=» 1
afi'r Ь*
в точке с абсциссою х. Ответ: ds=^ у l+^ζάχ; cosa=
а*у ~-Ь2х
63. То же самое для астроиды ;t = acos8/, у = a sin3?.
Omeemi ώ = 3a sin f cos id/; cosa = —cosi, sina = sin/.
64. Найти выражение
радиуса кривизны эллипса
65. To же самое для
астроиды χ == a cos3 *,*/=* a sin3*.
Ответ: /? = 4-sin2/.
Рис. 49
66. Проекции радиуса кривизны МК в точке Μ на
оси координат можно выразить двумя способами! через
координаты конца и начала, а также как произведения
длины R радиуса кривизны на его направляющие косинуо
Рис. 50
и синус. Вывести отсюда выражения для координат
К (ξ; η) центра кривизны:
300
67. Выражая в этих уравнениях правые части через χ
(или через параметр /, когда кривая задана
параметрически) и затем исключая χ (или /), получим уравнение,
связывающее ξ и η, τ. е. уравнение эволюты. Найти урав-
(1 \* 27
η—55) в"4"д£*·
68. Найти параметрические уравнения эволюты
циклоиды и показать, что, вводя вместо / новый параметр tt
уравнением
и затем перенося начало координат в новую точку
(an; —2α),
мы приведем уравнение эволюты к виду
х=*а(1г— sin/j),
у*=а(1— cos/i)
(т.е. эволюта циклоиды—тоже циклоида).
Глава 4
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функции многих переменных. Область
определения. Непрерывность
а. В предыдущих главах мы занимались изучением
функций только одной переменной. Мы уже успели
убедиться в том, что теория этих функций дает мощное
орудие технике и естествознанию для достижения тех
целей, которые перед собой эти науки ставят. Но теперь
мы должны напомнить, что большинство величин, с
которыми приходится иметь дело естествоиспытателю и
инженеру, зависят не от одной переменной, а чаще всего от
двух или даже большего числа переменных. Приведем
примеры.
1. Объем V газа зависит от температуры / и давления
р, так что
у-/(р. 0.
2. Представим себе систему, состоящую из η веществ
различного химического состава. Каждое вещество,
входящее в систему, химики называют компонентой системы.
Очевидно, состояние системы зависит от масс всех η
компонент. Но оказывается, что здесь имеют значения не
абсолютные величины масс, а отношения всех м^сс к одной,
последних "будет на единицу меньше, чем компонент, т.е.
их будет η—1. Так как состояние системы зависит еще
от давления и температуры системы, то состояние системы
следует рассматривать как функцию от η + 1 независимой
переменной. Можно привести еще много примеров, но мы
ограничимся только этими. Как видно, изучение функций
многих переменных есть вопрос, чрезвычайно важный
для естествознания и техники. В дальнейшем мы будем
вести рассуждения только для функций двух переменных;
все сказанное о них будет справедливо и для функций
многих переменных.
302
b. Как известно, функция г двух независимых
переменных χ η у записывается так:
««/(*, У)· 0)
Иногда функция г дается уравнением
F(x. у, г)=0. (2)
Тогда мы называем ее неявной. Но если решить это
уравнение относительно 2, то мы приведем ее к явному виду (1).
Например, если имеем уравнение
х24-у8+га—/?2 = 0, (3)
то, определяя из него г, найдем такую явную функцию:
г = ± Yw — x*—y*. (4)
c. Напомним, что если х, у, г принять за координаты
точки в пространстве, то функция (1) или (2) двух
переменных изобразится некоторой поверхностью.
Например, функция (4) или же (3) изображается
сферой радиуса R с центром в начале координат.
d. Очень часто довольствуются тем, что изображают
графически только независимые переменные χ и у, а саму
функцию г не изображают. Получится такая картина:
если мы будем как-нибудь менять χ и у, то получим точку,
движущуюся в плоскости; сама функция ζ наглядно
изображена не будет, но для каждого положения точки она
будет иметь определенное числовое значение. Для
краткости мы будем говорить в таких случаях, что г есть
функция точки (х\ у) плоскости.
e. Рассмотрим более внимательно функцию (4). Мы
видим, что хотя χ и у являются независимыми переменными,
мы не можем им задавать совершенно произвольные
значения, так как необходимо, чтобы было
#а—х2~ у*>0.
В противном случае мы получим для ζ мнимое значение,
т. е. функция не будет определена. Нетрудно понять, что
наша функция (4) определена для каждой точки внутри
и на контуре окружности радиуса R (рис. 51) и не
определена вне этой окружности.
Совокупность точек, для которых функция определена,
называется областью определения (или существования).
Таким образом, для функции (4) областью
определения является круг радиуса R.
зоз
Для различных функций область определения имеет
разный вид. Иногда этой областью является вся плоскость.
Например, функция
г = ах + Ьу + с
определена для каждой точки плоскости.
f. Переходим теперь к вопросу о непрерывности и
разрыве. Выясним эти понятия на примере.
Рассмотрим такую функциюз
2ху
-х*+у*'
(5)
Для каждой точки (х\ у) плоскости, кроме точки (0; 0),
мы можем вычислить одно определенное конечное значение
Риа. 51
Рис. 52
функции. Для точки (0; 0) мы получим не имеющее
определенного смысла значение
-t-
Таким образом, функция задана уравнением (5) для всех
точек плоскости, кроме точки (0; 0). Это пустое место
можно было бы заполнить, задавая в точке (0; 0) для
функции какое-нибудь желательное для нас значение.
Однако последнее совершенно бесполезно ввиду того,
что данная функция в точке (0; 0) имеет еще одну
особенность. Действительно, пусть из начала координат
выходит кривая под углом а к оси абсцисс (рис. 52).
Представим теперь себе, что точка М(х\ у)
неограниченно _, приближается к началу координат по этой кривой.
Тогда, если обозначить tga = a, то при неограниченном
уменьшении χ и у отношение —■ будет приближаться к а,
304
так что
Iim У- = α.
x-+Q x
У-+0
Основываясь на этом, мы можем найти предел, к которому
стремится наша функция, когда χ и у приближается
к нулю по тому закону, который дает выбранная кривая*
2Ϊ
,. ,. 2ху ,. χ 2а
urn г = urn . . . = iim > ,л ч9 = , , »
*-*0 X-+0* ТУ *
Очевидно, точка Λί (х; у) может подходить к началу
координат по самым разнообразным кривым, поэтому а
может принимать любое значение. Таким образом, наша
функция не имеет какого-нибудь определенного предела
при неограниченном уменьшении χ и у до нуля, так как
этот предел зависит от того закона, по которому
стремятся к нулю χ и у. Теперь мы видим, что какое бы
значение для функции в точке (0; 0) мы ни задали, оно
не может равняться пределу, к которому стремится
функция при неограниченном уменьшении χ и у до нуля,
просто потому, что в этой точке функция не имеет
определенного предела. Нетрудно видеть, что только в начале
координат наша функция обладает таким странным
свойством. Во всякой другой точке наша функция имеет вполне
определенное значение, причем оно совпадает с пределом,
к которому стремится функция, независимо от того,, как
мы будем подходить к этой точке." Мы будем говорить,
что начало координат для нашей функции является точкой
разрыва. Точно так же будем говорить, что в других
точках наша функция непрерывна.
Теперь дадим общее определение непрерывности и
разрыва функций двух независимых переменных.
Функция f(xy у) называется непрерывной в области ее
определения, если выполняются следующие два условия:
1. Для каждой точки Μ (χ; у) в этой области функция
имеет одно определенное конечное значение.
2. Для каждой точки Μ (χ; у) в этой области имеем
Iim f{x + Ax, y + Ay) = f(x, у),
Δχ-*0
no какому бы закону ни приближались к нулю Ах и Ay.
Если мы теперь припомним, что переменная величина,
имеющая предел, отличается от своего предела на беско-
305
нечно малую величину, то второе условие можно
представить в таком виде:
/(χ+Δχ, y + by) = f(x, у)+а9 (6)
где α—бесконечно малая величина, независимо от того,
по какому закону приближаются к нулю Δχ и Δ#.
Те точки, для которых не выполняются наши условия,
мы будем называть точками разрыва. Очевидно, в точках
разрыва равенство (6) неприменимо.
§ 2. Частные производные и полный дифференциал
а. Наиболее важным вопросом в теории функций
является изучение характера изменения функции.
Займемся функцией двух переменных
*-/(*. У)· 0)
Пусть поверхность на рис. 53 изображает эту функцию·
Если необходимо исследовать поведение функции (1)
около какой-либо точки Μ (х; у), то наилучшим и
простейшим способом является
пересечение поверхности
несколькими плоскостями, проходящими
через эту точку.
Рассматривая все кривые,
получившиеся на поверхности
от этих сечений, мы можем
изучить окрестность данной
точки и притом тем точнее, чем
больше сечений мы сделаем.
Впрочем, для наших целей
достаточно сделать только два
сечения: плоскостями,
проходящие. 53 щими через данную точку и
параллельными вертикальным
координатным плоскостям хОг и yOz. При этом
получаются кривая МА (назовем ее первой) и кривая MB
(назовем ее второй).
Если точка .будет двигаться по первой кривой, то у нее
будут изменяться только χ и г, а у будет постоянным
числом ввиду того, что вся первая кривая лежит в
плоскости, параллельной плоскости хОг. Поэтому можно
получить уравнение первой кривой из уравнения поверхности,
если, выходя из точки Λί, остановить у, а менять только х,
так что г будет функцией только х.
/V
306
Тским образом, уравнение первой кривой будет
г = /(л:, у) при постоянном у. (2)
Дадим теперь χ приращение Δ#. Тогда функция г
получит приращение, которое на рис. 53 изображено
отрезком α j Л.
Это приращение называется частным приращением
функции г по χ и обозначается так:
Δχ2 = /(χ + Δχ, у)—f(x, у). (3)
b. Найдем теперь предел отношения этого приращения
к Δ* при Δλ;—-► Ο. Если этот предел существует, то он
называется частной производной функции г по χ и
обозначается так:
u /и+д*;У)-/(х, у) дг
Нетрудно видеть, что частная производная г по χ
равна тангенсу угла наклона касательной первой кривой,
который эта касательная составляет с осью Ох.
Совершенно так же уравнение второй кривой будет
z = f(xt у) при постоянном х. (5)
Аналогично придем к понятию частного приращения
функции ζ по у:
Д,*«/(х, У+&У)—/(*, у) (6)
и к понятию частной производной ζ по у\
и~ f(*> y+&y)—lix, у) „_ дг
Й> гу "*' (7)
Ясно, что последняя равна тангенсу угла β наклона
касательной второй кривой к оси Оу. Для частных
производных имеются еще такие обозначения:
c. Если мы умножим частные производные на
приращения соответствующих переменных, то получим
произведения, называемые частными дифференциалами функции ζ
307
и обозначаемые так:
3χ2»^Δχ» -sfcdx—частный дифференциал г по х,
fy~^ ty***£dy—частый ДиФФеРеН1*иал г по У*
(9)
Если χ и у являются независимыми переменными,
различия между Δ*, Ау и ах, dy мы не делаем.
На рис· 53
дхг изображается приращением ага по касательной
к первой кривой,
дуг изображается приращением bxb по касательной ко
второй кривой.
Ясно, что частные дифференциалы отличаются от
соответствующих частных приращений функции г на бесконечно
малые высшего порядка по сравнению с Ах и Ау.
d. Важную роль в математике и прикладных науках
играет сумма всех частных дифференциалов функции. Эта
сумма называется полным дифференциалом функции и
обозначается так же, как дифференциал функции одной
переменной:
*f £
б
1
г уь\
Ь 1
о
dz~dxz + d„z·
■.°Ldx+%dy.(W)
И
е. Полный дифференциал имеет
простое геометрическое
истолкование, которое мы сейчас покажем.
Допустим, что мы даем
переменным хну одновременно приращения
Ах и Ау. Тогда функция ζ получит
приращение, которое называется
ее полным приращением и
обозначается просто Αζ без знаков снизу.
Это приращение равно
Рио. 54
Az**f(x + Ax, y + Ay)~~f(x, у).
(11)
Ниже на рис. 64 поверхность обозначена буквами
M^NB, так что AfjAf »г, NtN*=z + Az и, следовательно,
C\N*=Az. Построим плоскость, проходящую через
касательные Ма и Mb к первой и второй кривым.
308
Эта плоскость называется касательной плоскостью
к поверхности в точке М.
Последняя пересекается с продолжением боковой
поверхности параллелепипеда с ребрами Δχ, Δ# и МХМ так,
что образуется параллелограмм МасЬ. Проведем еще
прямую ah параллельно ахсх.
Треугольник kac равен треугольнику ЬгМЬ ввиду того,
что ЬМ и ас равны и параллельны как противоположные
стороны параллелограмма, ЬХЬ параллельна kc и ЬХМ
параллельна ka.
Из равенства треугольников следует, что ck~bxb и
cxk = αλα.
Следовательно,
сгс в cxk + kc = α,α + Ъф « Зхг + дуг «■ Л.
Таким образом, полный дифференциал представляет
собой приращение функции г, но взятое не по поверхности,
а по ее касательной плоскости.
f. Обозначим буквами X, У, Ζ координаты точки с,
Тогда
dx=*X—x, dy=Y—y, dz=*Z-~z. (12)
Подставляя эти разности в полный дифференциал,
получим
Z-z~£(X-x) + ^(Y-y). (13)
Это уравнение пригодно для любых численных
значений dx% dy, dz, иными словами, оно остается верным,
где бы на касательной плоскости ни находилась точка с.
Поэтому X, У, Ζ можно рассматривать как текущие
координаты касательной плоскости. Следовательно,
уравнение (13) есть уравнение касательной плоскости, причем
*» У* z суть координаты точки касания.
Итак, полный дифференциал представляет собой в
замаскированном виде уравнение касательной плоскости·
g. Обратимся опять к чертежу. Мы видим, что
приращение функции bz=*cxN отличается от полного
дифференциала dz=*cxc на величину cN. Чрезвычайно важным
является то, что эта разность между ними представляет
собой бесконечно малую высшего порядка. Доказать
геометрически это нельзя. Поэтому сейчас мы будем вести
чисто аналитические рассуждения.
h. Допустим, что функция
*«/(*! У)
309
непрерывна и имеет непрерывные частные производные
/Л*. «О. П(х. УУ 04)
Если мы дадим какой-либо переменной, например,
у бесконечно малре приращение, то ввиду непрерывности
каждая из частных производных получит также
бесконечно малое приращение. Вместо f'x(xt у) будем иметь f'x(x,
у + Ау)9 но разность между ними будет бесконечно мала.
Обозначим эту разность через а. Тогда получим
Гж(* *+*»)-#(* 0 + «- Об)
i. Займемся теперь исследованием полного приращения
функции г, которое имеет вид
Az^f(x+Ax9 y+Ay)—f(xt у). (16)
Проделаем нижеследующие очевидные преобразования:
b2**f(x+Ax9y+Ay)—f{x9y + Ay) + f(x,y+Ay)—f{x,y)9
Az _ Г/(*+Д*, y+*y)-f(x> у+ьуП Δχ +
+ [Цх'1+М-*ЬЛ]&У (17)
и рассмотрим те выражения, которые находятся в
скобках, отдельно.
Возьмем сначала вторую дробь. Если бы мы устремили
Ау к нулю, то зга дробь имела бы своим пределом f'y {x, у).
Но мы знаем, что если какая-либо величина имеет предел,
то она отливается от своего предела на бесконечно малую
величину. Обозначим эту бесконечно малую разность между
нашей дробью и ее пределом через αί9 тогда
/(*>У+^-/(*'У)=№ й + о* (18)
Точно так же найдем, что
/(х+Ах, у+М^^у+Ьу)^.^ у+Ау) + аг (19)
Подставляя (18) и (19) в (17), получим
&z**[f'x(x> #+Δ#) + α2]Δ*+[/;(*, у) + а1]Ау. (20)
Пользуясь еще равенством (15), найдем, что
Δ*«[#(*. y) + a + a*]&x+[f'y(x, y) + al]Ay.
310
Обозначая а + оса — е^ αι = ε2 и раскрывая скобки,
получим
&***&{** y)bx + fy(x> у)&у+г£Ьх + ггку
или, иначе,
Δ* - (£ Δ* + -£ Ау ) + (βί Δ*+ ε, Δ*/). (21)
j. Выражение, находящееся в первых скобках, есть
не что иное, как полный дифференциал dz9 а сумма,
стоящая во вторых скобках, по сравнению с Δ* и Ну есть
бесконечно малая высшего порядка ввиду того, что et
и ε,—бесконечно малые. Обозначая
ъ±Ьх+г2Ьу=*у%
получим
Δζ = <ίζ + γ. (22)
Итак, доказано, что полное приращение функции
отличается от ее полного дифференциала на бесконечно малую
высшего порядка.
к. Основываясь на этом, можно приближенно заменять
приращение функции ее полным дифференциалом и обратно,
если, разумеется, Δ* и Ну будут малыми величинами: при
этом ошибка будет мала даже по сравнению с Δα: и Δ*/.
1. Аналогичные рассуждения приведут нас к понятию
частных производных и полного дифференциала функции
трех и большего числа переменных. Но нужно помнить,
что для функции, зависящей от более чем двух
переменных, уместны только аналитические рассуждения, потому
что такие функции не могут быть так хорошо и просто,
как функции двух переменных, истолкованы геометрически.
т. Дадим определение частных производных и полного
дифференциала для функций любого числа переменных.
Пусть имеется функция U η переменных χί9 лга, хг,..., хп?
U » / (Xff х%, х9, ..., х„).
Частным приращением функции многих переменных по
какой-либо переменной называется то приращение,
которое получит функция, если мы дадим приращение этой
переменной, принимая все остальные переменные за
постоянные.
Например, частное приращение функции U по xt будет
311
Частной производной функции многих переменных по
какой-либо переменной называется предел {если он
существует) отношения частного приращения функции по этой
переменной к приращению этой переменной при условии,
что последнее стремится к нулю.
Например, частная производная V по xt определяется
так:
&Xlu ди д
es fxt \xi* xa · · · > *η)·
Частным дифференциалом функции многих переменных
по какой-либо переменной называется произведение частной
производной по этой переменной на бесконечно малое
приращение этой переменной. Последнее называется
дифференциалом этой независимой переменной.
Например, частный дифференциал U по хх
определяется так]
дхи = дх{(хи х%, ...9xn) = ^Axx=^dXi.
Заметим, что для независимых переменных мы считаем
равносильными обозначения
bxx = dxu Δχ,βώί, и т. д.
Очевидно, частный дифференциал отличается от
частного приращения на бесконечно малую высшего порядка.
Полным приращением функции многих переменных
называется то ее приращение, которое она получит, когда
мы всем независимым переменным дадим приращения, то
есть
Δη —/(*i + Axif χ2 + Δχ%, ...,хп + Ьхп)— fi*u Ъ> ···,*„)·
Полным дифференциалом функции многих переменных
называется сумма всех ее частных дифференциалов, то есть
du-£dxi+g;;dxE+...+$Ldxlt.
Так же как для функции двух переменных, можно
доказать, что полный дифференциал отличается от полного
ее приращения на бесконечно малую высшего порядка.
п. Частные производные и полный дифференциал часто
встречаются в термодинамике, а так как современная
физическая химия основана главным образом на термодина-
312
где R—постоянная, τ—абсолютная температура, V—объем,
ρ—давление.
Найти увеличение давления, если температура
изменилась на небольшую величину dxf а объем увеличился на dV.
Здесь ρ является функцией двух независимых
переменных χ и V. Следовательно, нам нужно найти полное
приращение функции р.
Так как приращения dx и dV по условию малы, то
вместо полного приращения мы можем искать полный
дифференциал dpi ошибка будет малой высшего порядка, т. е.
по сравнению с dx и dV ею можно пренебречь. Итак, имеем
полный дифференциал, для чего сначала находим частные
производные
EL — ΑΓ^Σΐ — JL£.M — L·
дт ~~δτ[ V J~ V д-Д J— у»
dV ~~ dV I V J ~ n* dV [ V J ~~ *T dV LV J ~ K2 ·
Так как полный дифференциал имеет в данном случае
выражение
то, подставляя сюда найденные частные производные,
получим
dp=*Tdx—-ςάν^-γ- у-—prj.
Если необходимо, то, пользуясь начальным уравнением,
Rx
мы можем, заменяя у на р, упростить выражение для
полного дифференциала, так что будем иметь
*-4?-т]·
Пример 4. Идеальный газ имеет температуру т =
= 400 К и объем V = 30 м8 при давлении ρ «10е Па.
Вычислить, насколько увеличится давление, если температура
увеличится на 0,5 К, а объем уменьшится на 0,15 м8.
Очевидно, здесь <ίτ«=*0,5 и dV — — 0,15. (Мы берем знак минус
ввиду того, что объем не увеличился, а уменьшился.)
Подставляя все эти числа в выражение для полного
дифференциала, которое мы уже получили в предыдущей
314
задаче, будеял иметь
Итак, увеличение давления равно 6,25· 108 Па.
р. Очень удобно использовать полный дифференциал
в приближенных вычислениях для оценки погрешностей,
что имеет большое значение для опытных наук. Допустим,
что величины χ и у мы измеряем непосредственно в
результате эксперимента.
Пусть на основании этих величин мы должны вычислить
величину г по формуле
*-/(*. У)-
Мы знаем, что всякое измерение сопряжено с теми или
иными погрешностями. Поэтому и вычисленная величина г
также будет* неточной. Требуется оценить погрешность,
которая получается при вычислении г. Как мы уже выше
сказали, значения χ и у не являются точными. Обозначим
точные значения этих величин через
х + Ах, у + Ау\
тогда z + Аг =*f(x+Ax, y+&y) будет точным значением
вычисленной величины. Погрешность при вычислении г
будет выражаться полным приращением функции
Az = f(x + Ax, y + Ay)—f(x9 у).
Так как Ах и Ау представляют собой погрешности
измерения, а при хорошем эксперименте они должны быть
малы, то можно полное приращение приближенно заменить
полным дифференциалом:
(Здесь мы, как часто делают экспериментаторы,
приближенное равенство обозначим изогнутым знаком «.) Как
видно, для того чтобы найти гл нужно знать Ах и Ау.
Однако точные величины погрешностей известными нам
быть не могут. Кроме того, мы почти никогда не знаем,
в какую сторону мы ошиблись при измерении, в сторону
увеличения или в сторону уменьшения, иными словами,
нам неизвестны ни величины Ах и Ау, ни их знак. Нам
может быть известно только, что при том или ином
измерении мы делаем погрешность, не большую известной
величины, т. е. мы можем гарантировать только верхнюю
315
границу погрешности. Но этого вполне достаточно, так как
мы не ставим перед собой цель найти точную величину
погрешности величины ζ, а намерены заняться ее оценкой,
т. е. нахождением ее верхней границы. Допустим теперь,
что Δχ и Ау—как раз максимальные возможные
погрешности. Так как нам неизвестен знак погрешностей, то мы
должны рассчитывать на самое худшее, а именно будем
предполагать такой знак, чтобы величины -τ-Δ* и -j-Δ^
были положительны. Чтобы не задумываться над знаком
погрешностей, мы возьмем просто абсолютные величины
Таким образом, для вычисления верхней границы
погрешности величины г будем иметь формулу
|*к|тН+1-!Ч
В экспериментальных науках бывает важно знать также
относительную погрешность.
Относительной погрешностью называется отношение
погрешности какой-либо величины к самой величине.
Иногда относительную погрешность выражают в
процентах. Тогда, очевидно, относительную погрешность нужно
умножить на 100. В этом случае будем иметь формулу
|^Δ,|+|.|ΐΔί,|
lro-J^kioo-1* Η* '.
1*1 1*1
Таким же способом находится верхняя граница
погрешности, если иметь дело с функциями трех или большего
числа переменных.
Пример 1. Найти верхнюю границу погрешности
алгебраической суммы
и=х + у+ ... +ζ.
Так как полный дифференциал будег
du = Δχ + Ay + ... + Δζ,
то имеем
|ΔΗ|<|Δ*| + |Δί/|+... + |Δ*|,
т. е. погрешность суммы не больше суммы погрешностей
всех слагаемых.
316
мике, то является совершенно необходимым, чтобы лица,
имеющие дело с химией, в частности металлурги, могли
свободно обращаться с частными производными.
о. Техника нахождения частных производных ничем
не отличается от обычного дифференцирования, нужно
только помнить, что при дифференцировании функции по
какой-либо переменной все остальные переменные
принимаются за постоянные.
Покажем это на примерах.
Пример 1. Найти частную производную по χ функции
ζ = χ9 + Зах*у + ЗЬху* + у*.
Имеем
■§ =|М + £[*«·*]+£ptaifl +£bfJ.
Ввиду того, что у мы здесь считаем постоянной, ее так
же, как любую другую постоянную, можно выносить за
знак частной производной; по той же причине частная
производная у* по χ будет равна нулю.
Следовательно,
Окончательно
-^ = Зх* + 6аух + ЗЬу*.
Пример 2. Найти полный дифференциал той же
функции. Нам не хватает еще частной производной по у. Поэтому
находим ее:
= 3ахг + 6Ьху + ЪуК
Таким образом, полный дифференциал будет
dz = [Зл* + баху + ЗЬу*] ах + [За* 4- ЬЬху + Зу*] dy.
Пример 3. Известно, что уравнение состояния
идеального газа имеет вид
n-Rx
313
Π ρ и ме ρ 2. Найти верхнюю границу относительной
погрешности произведения
и = ху.. .г.
Так: как полный дифференциал будет
*«(¥+£+···+¥)·
то
|Δι*|^|Δ*| ΙΔΗ |Δ*|
hn<|—Ι+ΙτΙ+···+Ι~Ι'
т. е. относительная погрешность произведения не больше
суммы относительных погрешностей всех множителей.
Π ρ и мер 3. Вычислить верхнюю границу погрешности,
которая получается при вычислении площади треугольника
по формуле
S = yafcsina,
если при измерении сторон а = 10 см, 6=15 см
погрешность не превышает 0,5 мм, а при измерении угла α = 45е
погрешность не превышает 0,5°.
Так как
dS = у sin α Δα + j sin α Δ6 + -j cos α Δα,
то
| AS КI -j sin αΔα + у sin αΔ6 + \γ cos α Δα Ι.
Далее, Δα = 0,05 см, Δ& = 0,05 см, Δα = ^·0,5 (угол
нужно выразить в радианной мере). Следовательно,
I.SKf^.o.os+f^.o.os+^.ip.^.o.s.
|AS|<0f64K2.
Пример 4. Вычислить в процентах относительную
погрешность, сохраняя все данные предыдущей задачи.
Так как
о ab . 10-15 V"2 75 ./ту
317
то относительная погрешность будет
100.|^|<1,7°/о.
§ 3. Частные производные и полный дифференциал
сложной функции многих переменных
*
а. Пусть имеется функция
* = /(*. У)- (1)
Представим себе, что переменные χ и у не являются
независимыми, а представляют собой функции какой-либо
третьей переменной ы, которая и является независимой:
* = <Р(и), У = Ф(и). (2)
Таким образом, фактически ζ является функцией только
одной переменной и, но зависит от и через посредство χ
и у. Мы будем говорить, что ζ есть сложная функция ы.
Дадим и приращение Δη. Тогда χ и у получат
приращения Δχ и Δy.
Предположим, что функция ζ имеет непрерывные
частные производные по χ и по у: Тогда, повторяя
рассуждения пункта 4th» предыдущего параграфа, мы вновь получим
формулу
bz^bx + ^by + E^+E^y. (3)
Разделим обе части равенства на Дм:
Аг дг Ах.дг Ау „ Ах „ Ау .
^ = !Г*Ж+Ж'А£ + Ь15г + ЕаА£ (4)
и предположим, что χ и у имеют производные по и. Тогда
мы можем перейти к пределу, заставляя Διι стремиться
к нулю. Так как в пределе Ег и Еа обратятся в нуль, то
мы получим
dz __ дг_ dx*dz dy R
du ~~ дх * du'r dy * du I5)
Равенство (5). называется формулой для полной
производной сложной функции.
318
b. Умножим обе части равенства (5) на du, тогда
получим полный дифференциал сложной функции
dz-±dx + %dy. (6)
Итак, внешний вид полного дифференциала не зависит
от того9 являются лих и у независимыми переменными или
же являются функциями какой-либо третьей переменной.
Это важное свойство называется законом инвариантности
полного дифференциала.
c. Закон инвариантности имеет место даже и в том
случае, если χ и у являются функциями не одной, а двух
или большего числа переменных. Докажем это.
Пусть хну являются функциями двух независимых
переменных:
* = <Р(ы, ν), # = ψ(α, υ).
Дадим переменной и приращение Δη, a v оставим
постоянной. Тогда Δχ и Ау получат приращения Ах и Ау.
Повторяя все рассуждения пункта «h» предыдущего
параграфа, мы опять получим формулу (4). Однако теперь, когда
мы устремили Δη к нулю, в пределе мы должны будем
всюду написать не прямые d, а круглые д ввиду того,
что х, у и ζ зависят не только от и, но также еще и от ν,
и, следовательно, мы получим частные производные.
Таким образом, формула для полной частной
производной по и имеет вид
ди~~дх* ди^ду* ди* "'
Если мы дадим переменной приращение Αν, а и
оставим постоянной, то получим формулу для полной частной
производной по ν:
дг __дг дх , дг ду ,я.
fo~dx' dv^dji'di- (ό)
Далее, умножим равенство (7) на du, а равенство (8)
на do и сложим их почленно:
£*+«*-Κί*'+β*)+ί{ί*'+ϊ*)· (9)
Так как
£* + £*-*; &«ta + £ito-dr.
tjLdu + ^dv-dy, (10)
319
то, подставляя (10) в (9), получим
Если χ и у зависят от трех или большего числа
независимых переменных, закон инвариантности доказывается
так же.
d. Закон инвариантности полного дифференциала имеет
огромное значение как для математики, так и для
прикладных наук.
Опираясь на него, мы можем вычислять полный
дифференциал, не задумываясь над тем, являются ли χ и у
независимыми переменными или же функциями. Часто это
весьма важно, так как в прикладных науках нередко мы
не знаем, являются ли переменные, от которых зависит
функция, независимыми.
e. Докажем некоторые свойства полного
дифференциала, опираясь на закон инвариантности.
Пусть и является функцией η переменных хи х2,
Хъу . . ., Хп\
Вообразим временно, что xi$ х2У ..., хп суть функции
какой-либо новой переменной /. Тогда и и будет функцией
переменной t.
Из этого следует, что полный дифференциал совпадает
с простым дифференциалом, а потому к полному
дифференциалу можно применить все свойства простого
дифференциала. Применив какое-либо свойство, мы можем опять
забыть про t и считать переменные х19 х2, ..., хп
независимыми. Таким путем, например, найдем, что правила
дифференцирования суммы, произведения, дроби и т. д.
применимы и для полного дифференциала:
<*[/(*. У) + Р(х> y)] = dfi*> y) + dF(x, у),
d[f(x, y)F(x, y)] = F(x, y)df(x, y) + f(x9 y)dF(x% y),
.f(x,y) _F (x, y) df (x, y)-f(x, y) dF (x, y)
aF(x,y)- [F(x,y)]*
и т. д.
f. Последняя формула свидетельствует,о том, что
логарифмическое дифференцирование применимо и к
нахождению полного дифференциала. Все это может значительно
облегчить нахождение полного дифференциала.
320
Приведем примеры.
Пример 1. Найти полный дифференциал функции
А
и =
V х* + У2 + г* '
Воспользуемся логарифмическим дифференцированием!
In и = In А —j In (x* + у1 + г2),
1 d(x2)+d(y2) + d{z2) xdx + ydy + zdz
** 2 х*+у2 + г* ~~~ х2 + 1/а+г2 ·
откуда
Пример 2. Найти полный дифференциал функции
«•(а*0·
Имеем
ф, / *у \(*a+y»)d(*y)-*yrf(s»+y«)
~" \х*+У2) (хй+Уг)* ~~~
— ф' ( *У \(*i+y*)(xdy+ydx)-xy(2xdx+2ydy)
\х*+У2) (*2+Л* ~"
ы( ху \{x*y+y*-2x*y)dx + (x* + xy*—2xy*)dy .
§ 4. Дифференцирование неявных функций
а. Мы знаем, что часто функция одной или многих
переменных бывает задана неявно. Тогда для того, чтобы
найти производную или частные производные функции,
ее нужно привести к явному виду. Мы знаем также, что
для этого нужно решить относительно данной функции то
уравнение, которое ее определяет. Но не всякое
уравнение легко поддается решению. Многие уравнения, несмотря
на огромный прогресс математики за последнее время, мы
до сих пор решать не умеем.
Если не удается решить уравление, определяющее
функцию, то, казалось бы, вопрос нахождения производной
неявной функции также становится неразрешимым.
321
К счастью, имеется простой и легкий путь для
нахождения производных неявных функций без решения
уравнений. Мы приведем сейчас этот способ.
Ь. Пусть имеется уравнение
К*;у)-о. (О
Решив это уравнение относительно у, получим явную
функцию х. Обозначим ее
#«<Р(*). (2)
Подставим теперь (2) в (1). Получим тождество
f(*.<P<*))«0. (3)
Например, если
к* + У2—Я*=0,
то
Если мы произведем подстановку, то действительно
получаем тождество
*·+/?*—χ*— /?2 = 0,
0-0.
Но мы не будем решать уравнение (1), а только
вообразим, что оно решено и что результат подставлен обратно
в уравнение (1). Тогда уравнение
М*.0)-О (4)
можно рассматривать как сложную функцию *,
тождественно равную нулю. Если взять производную этой
функции по дс, то получим также тождественно равную нулю
производную. Применяя формулу для полной производной
и принимая χ за /, получим
dQ_dt dx 91 dy /ς|
т. е.
откуда
dy_ дх т
ду
322
Пример. Найти проивводную у по х, если
хг + У*—3аху = 0.
Решать это уравнение относительно у было бы
затруднительно, так как оно третьей степени относительно у.
Но этого и не нужно делать ввиду того, что у нас имеется
формула (7);
■g. = 3*»-3ai,, .| = 3^-3а*,
ау__ х2—ау
ах у2—ах'
с. Пусть теперь у нас имеется уравнение
!(х>У, z)~0. (8)
Можно также вообразить, что уравнение (8) решено
относительно ζ, получена функция двух независимых
переменных χ и у и результат подставлен обратно. Тогда
уравнение (7) можно рассматривать как тождественно равную
нулю сложную функцию двух независимых переменных
х и у.
Применяем формулу для полной частной производной,
принимая χ за и и у за т
дх~ дх ' дх~т~ ду * дх^ дг ' дх*
ду дх * ду + ду ' ду+ дг * ду'
Л дх л ди л ди л дх Л
Очевидно, — = 1, gZ= 1; кроме того, ^ = 0, g£ = 0
ввиду того, что хну являются независимыми переменными.
Поэтому мы получим
и ~ дх "1* дг ' дх'
п_ df df дг
Из этих уравнений находим искомые частные
производные
дх~~ Jf » ду~~~Ж' (Ьа)
дг дг
Таким же путем мы можем найти частные производные
неявной функции любого числа независимых переменных.
323
d. В пункте «f» второго параграфа этой главы мы нашли
уравнение касательной плоскости.
Это уравнение имеет вид
г-г = %(Х-х) + %(Г-у). (9)
Оно пригодно только для тех случаев, когда уравнение
поверхности задано в явном виде. Допустим теперь, что
поверхность задана неявным уравнением
f(*. if, *) = 0.
Пользуясь формулами (8а), мы можем, подставляя их в (9),
представить уравнение касательной плоскости в таком виде»
д1 Ё.
г-* = -%-(Х-х)-%(У-у).
дг дг
Сделав очевидное упрощение, будем иметь
(Х-х)| + (У-^)| + (2-г)| = 0. (10)
e. В различных вопросах математики, механики и
физики большое значение имеет прямая, проходящая через
точку касания перпендикулярно к касательной плоскости.
Эта прямая называется нормалью к поверхности в точке
Μ (х\ у\ ζ). Напишем ее уравнение.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение
прямой, проходящей через данную точку, имеет вид
Х-х _Y-y_z-z /ш
Т~ m "ΊΓ"· *u'
Здесь /, m, n—проекции направляющего вектора
прямой (11). Ввиду того, что за направляющий вектор
нормали можно принять направляющий вектор касательной
плоскости, мы можем положить
Следовательно, уравнения нормали будут такими:
дх ду дг
324
f. Пример 1. Написать уравнение касательной
плоскости в точке Αί(1; 2; 3) к сфере
x% + y% + z%—14 = 0.
Вычисляем частные производные для этой точки!
JL.to-2, 1 = 2^2-2 = 4, f = 2z»2.3 = 6.
Подставляя полученные числа в уравнение (10),
получим
(X— 1).1+(У—2)·4 + (Ζ—3)·6 = 0
или
X + 4F + 6Z—27 = 0.
Пример 2. Написать уравнение нормали в той же
точке к той же поверхности. Подставляя в уравнение (12)
найденные уже числовые значения частных производных,
получим
Х—1 _ Y—2 _Z—3
2 "~ 4 "~ 6 *
§ 5. Частные производные и полные дифференциалы
высшего порядка
а. Мы опять будем говорить лишь о функциях двух
переменных (но рассуждения пригодны и для функций
любого числа переменных).
Пусть имеем функцию
и Τ и Ш—^ частные производные. Последние, очевидно,
также являются функциями χ к у, а поэтому также можно
находить их частные производные по χ и по у.
Частная производная по χ частной производной по χ
. называется частной производной второго порядка по χ
и обозначается так:
щ_.
Аналогично определяем и частную производную
второго порядка по у:
ίίϋ-Λ-i/C* у)-П,Л'.У)- (2)
ду όιβ όιβ ' *~» *' 'W
325
Частная производная по у частной производной по χ
называется смешанной второй частной производной по χ
и по у:
aU)_ »« «L/te ιΛ-r te c) <3)
~Ty дЩ,-д7ГуИх' 0-'*И*· W·
Аналогично определяем вторую частную производную,
взятую сначала по уу а потом по χι
W-^wk-okf^y^r^y). (4)
Можно доказать, что для многих функций смешанная
производная не зависит от порядка дифференцирования,
то есть что
а** Л, „-,
дхду~~дудх* w;
Мы не будем приводить (ввиду сложности)
доказательства этого важного свойства, а продемонстрируем его на
каком-либо примере.
Пусть, например, дана функция
Дифференцируем ее сначала по х, а потом по μι
g = 3x« + 6<m/+3ty2,
Теперь продифференцируем эту функцию сначала по у,
а потом по χι
щ = За#+6Ьху+Зр9
Как мы видим, результат в обоих случаях получился
одинаковым.
Если мы будем брать частные производные по χ и по
у частных производных второго порядка, то получим
частные производные третьего порядка
Э*2 д*г &г д*г /ft.
дя* · дх*ду* дхду** fy*"' W
326
Аналогично определяем частные производные
четвертого, пятого порядков и т. д.
b. Подобно тому как мы брали частные производные
частных производных, мы можем брать полный
дифференциал полного дифференциала. Результат называется
вторым полным дифференциалом и обозначается так же, как
второй дифференциал функции одной переменной, т. е. так:
d(dz) = d*z. (7)
Третьим полным дифференциалом называется полный
дифференциал второго полного дифференциала и т. д.ι
d(d*z) = d% d(d*z)=*d'z
и т. д.
c. Покажем теперь, как выражается второй полный
дифференциал через частные производные второго порядка.
Для общности мы допустим, что χ и у могут зависеть от
каких-либо других переменных. Обозначим для краткости
ί?£ — η ^£ —
тогда
dz — pdx+q dy.
Чтобы найти второй полный дифференциал, мы должны
взять первый полный дифференциал первого полного
дифференциала. Замечая при этом, что, как показано в
пункте «е» § 3 этой главы, правило для дифференцирования
суммы и произведения применимо и к полному
дифференциалу, мы можем написать
d2z = d[dz] = d[pdx + qdy] = d[pdx] + d[qdy]=*
=.dp dx + pd [dx] + dqdy + qd [dy] =
= dpdx + dq dy + pd2x.+ qd2y.
Так как р и q сами являются функциями двух
переменных χ и у, то
Поэтому
327
Заметим, что
dp _д\Тх) ^&г др_д\дх) ^ д*г
дх дх дх%* ду ду дхду'
дд^Хду)^ д*г дд_д\ду) _д*г
дх дх дудх' ду ду ду*'
Подставляя их в последнюю формулу, после
раскрытия скобок окончательно получим
*-π*+2&**+φφ+κ**+%*ΐ'. <8)
Если χ и у являются независимыми переменными или
линейными функциями других каких-либо переменных, то
их вторые дифференциалы равны нулю:
<Рх=0, d*y = 0
и формула (8) упрощается?
d*z=^dx* + 2^Ldxdy+^dy\ (9)
Мы видим, что закон инвариантности применим ко
второму дифференциалу лишь с очень большими
ограничениями: он будет верен только в том случае, если χ и у
являются линейными функциями других переменных, во
всех остальных случаях он неприменим. Рассматривая
формулу (9), мы видим, что она очень напоминает
формулу квадрата суммы двух чисел. Эта аналогия навела
на мысль записывать второй дифференциал в
нижеследующей символической форме:
**-(ε<**+!<&)**. (Ι0)
Если мы «возведем в квадрат» сумму, стоящую в
скобках, «умножим» результат на г, приписывая его всегда
к д%, а затем будем считать показатели степени у
круглых д не за настоящие степени, а за указатели, то и
получим формулу (9) для второго полного дифференциала.
d. Аналогично мы найдем выражение для третьего
полного дифференциала через третьи частные
производные, затем найдем выражение для четвертого, пятого
дифференциалов и т. д. При этом если χ и у—независимые
переменные или линейные функции, то полученные
выражения будут аналогичны кубу суммы, четвертой степени
суммы двух слагаемых и вообще аналогичны биному
328
Ньютона. Применяя символическую запись, мы можем
выражение для /ι-го полного дифференциала представить
в таком виде:
d»z=(§-xdx + §-ydy)nz. (11)
Если и является функцией переменных хих2,х3,..., хт,
то п-й полный дифференциал символически запишется как
полином Ньютона:
dnu=^tel + ±dXi + ±dXa+...+£-dxm)''z.
Заметим, что последнее выражение также
предполагает, что xit х%, ..., хт являются независимыми
переменными или же линейными функциями каких-либо
других переменных, ввиду того, что закон инвариантности
имеет здесь те же ограничения, какие указаны для второго
полного дифференциала функции двух переменных.
§ 6. Упражнения
1. Указать, где находится точка разрыва функции
Ответ: в точке (1; 2).
2. Указать, где находится разрыв функции
* = 7 + * + #.
Ответ: функция имеет ось ординат линией разрыва.
3. Имеет ли функция и = χ%__ 2 разрыв? Ответ:
функция имеет две линии разрыва: прямые у = х, у =—л.
4. Имеет ли функция
Ах+Ву+С
разрыв? Ответ: функция имеет две линии разрыва: круг
х* + у*=1 и равнобочную гиперболу х2—у2=1.
5. Где находится разрыв функции
и= 3ху* ?
Ответ: в начале координат.
329
6. Где находится разрыв функции
и =
х2 + у2 + г2 + 2х+2у+2г+3
Ответ: в точке (—1; —1; —1).
7. Имеет ли функция
и-
х2+у2+г2—а2
разрывы? Ответ: функция имеет разрывы на шаре
x2 + y* + z% = a2.
8. Найти частные производные функции
z = Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx+2Ey + F.
Ответ: %-χ = 2(Αχ+By+ D), дЛ = 2(Вх + Су+Е).
9. Найти ~ и ■—· для функции и = ρ sin8 φ. Ответ:
ди . « ди о . „
^=sin3q>, ^ = 3/? sin2 φ cos φ.
дА дА
10. Найти дг и gr- для функции А=*аъ. Ответ:
да а $ дЬ а та·
11. Найти ^ Иг для функции г = у. Ответ:
дг__ j^ ^£_JL
σ* χ2. * ду χ'
12. Вычислить частные производные функции г=*
=£т|в точке <0: -3)· 0шет: й= !· 1=°·
13. Вычислить частные производные функции г=*
= , 125 в точке (—4; —3). Ответ: J = 4, J-3.
у^ж2+уа \ » / дх * ду
14. Путем частного дифференцирования по χ или по #
доказать, что формулы
sin(x+ y) = sin* cos i/+cos x sin у, cos(x + y) =
= cos x cos у—sin д: sin у
переходят друг в друга.
15. Доказать, что для функции
у^Ах+Ву+Сг
Ух2+у2+г2
имеет место соотношение
дх~* ду^* дг
330
ди . да . да А
16. Найти частные производные функции и =
~Ф(*» + ^ + г·). Ответ: g-Φ'(* + *· + *■) **, |=*
~Ф'(х2 + У*+г*)2у9 ^«=Ф'(х« + ^+г*)2*.
17. Доказать, что функция г*=у<р(х*—у2)
удовлетворяет уравнению е частными производными
* * §*ν у 55 β у2"
18. Доказать, что функция 2 = *# + χφ(-£·]
удовлетворяет уравнению
19. Доказать, что функция 2*=еР-ч>\уё&)
удовлетворяет уравнению
20. Проверить равенство
dw 4- ~ 4- — — 3
где u**\n(x* + y%+z2—3xyz).
21. Написать полный дифференциал функции
u-*xy+yt+zx.
Ответ: du«*(y+t)dx+(M + x)dy + (x + y)dz.
22. Написать полный дифференциал функции го=и*.
Ответ: d&**vuvwmldu + u*\nudv.
23. Вычислить полный дифференциал функции иш*ху2е7
в точке (1( 2( 0), если d* —у, ^""j"» ώ"υ· Ответ:
24. Доказать, что при равномерном нагревании
однородного прямоугольного параллелепипеда его объем
увеличивается на величину, равную произведению объема до
нагревания на сумму относительных удлинений его ребер,
если пренебречь малыми высшего порядка.
25. Вычислить, как увеличится объем конуса, у
которого радиус основания /?«3м, а высота #=*1 м, если
331
при нагревании радиус увеличивается на 3 мм, а высота
на 1 мм. Ответ: объем увеличится на 0,009π м3.
26. При вычислении высоты дерева по формуле
a=;6tgq> (рис. 65) измерили 6и<р:&=10 м и tgq>=r0,8.
Какую погрешность следует
ожидать при вычислении по
нашей формуле, если
погрешность при измерении Ь не
превышает 5 см, а
погрешность при измерении угла не
превышает 0,5°. Ответ:
погрешность не превышает 18,3
см.
Ъ ' 27. Найти полную
производную сложной функции ζ = φ
Рис· 55 (х, у), если x = acosf, # =
=a sin t. Ответ: ·~ = а
δφ
ду
cost-
■ΪΗ-
28. Найти полную производную сложной функции
г = <р(х, У, г),
если x=a(\ + at), y = b(l + at), z=c(l+at) при
постоянных а, Ь, с,а.Ответ: ^г. = а\а^- + Ь-Л-\-с-^-\.
29. Найти **{X,J' г) , если x=u* + v*, #=-£, z = uv.
Ответ: '& = 2и&—-,^ + А
ди дх и* ду ' дг
30. Основываясь на законе инвариантности, найти
сокращенным способом полный дифференциал функции Z =
=Ф[ху + φ (ху)]. Ответ: dz = Φ' [ху + φ (ху)] - [1 + φ' (ху)] -
-[(xdy + ydx)].
31. Так же найти полный дифференциал функции
м==/(^)*ф(7),<Ф^а + ^2)· 0твет:
du = u[(xdy + ydx)fj + x-l^^
32. Найти вторые частные производные функции
ы=1п(х* + у2). Ответ:
дУ^о У2—** а»ц_0 л8—у? а2**
4xy
dx2. (*2+02)2· dy« (J^+yV d*fy""" (*2+^2)v
33. Найти df£dz» где a = **v*. Omaem:
332
34. Найти d2u9 если и = х*у%. Ответ: d2u = 2 (у2 dx% +
+ 4ху dxdy + x2 dy%).
35. Найти d2u, если ti = e*v. Ответ: d2u = e*v[y2dx2+
+ 2(l+xy)dxdy + x2dy2].
36. Найти d3u, если u = xyz. Ответ: d*u = 6dxdydz.
37. Найти d4u, если и= sin(x + y+z). Ответ: d*u =
— u(dx + dy + dz)*.
38. Доказать, что функция
* = φ (у + ах) + ψ (у—ах)
удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными
д2г д2г
производными второго порядка вида -^^—а2 л^ = 0.
39. Доказать, что функция
ζ = л;<р (х + у) + уЦ (х + у)
удовлетворяет уравнению -^—2 _ + ^ = 0.
40. Доказать, что функция
-■*»(*)+♦(*)
удовлетворяет уравнению
* а2* 0 а2* , « a2z Л
41. Если и = ,- , , то доказать, что имеет
Vx2 + y2+22
место равенство
да + fyi + az1 и'
42. Найти производную неявной функции еу = хеу.
Ответ: g-^-
43. Вычислить производную gj неявной функции дс2+
+2ху + у2—4х + 2у—2 = 0 при *=1, f/=l. Ответ:
? = 0.
44. Найти gj и g- для неявной функции х3 + у3 + г3 —
_3д;|/г = 0. Ответ:
<h_ iizJE· д*_ у*— хг
дх~~ г2—ху* ду~~ г*—ху'
333
45. Доказать, что функция г переменных χ и у,
заданная неявно уравнением x+az = <p(y—bz),
удовлетворяет уравнению agj+^g-=l.
46. Доказать, что функция г переменных χ и у,
заданная неявно уравнением г = л:<р(—), удовлетворяет
уравнению у |+х|« г.
47. Написать уравнение касательной плоскости К
поверхности г=*хг—у* в точке (5; 4; 9). Ответ: 10*- 8у —
— г—9 = 0.
48. Написать уравнение нормали к той же
поверхности в той же точке. Ответ: ^-^~^^—\^
49. Написать уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности х% + у* + г*—ху—уг—хг—7 = 0
в точке (1; 2; —1). Ответ: касательная плоскость
л:+4у—5г—10 = 0, нормаль ^«^«£±р
50. Доказать, что уравнение касательной плоскости
к эллипсоиду ^ + |j + *jr== 1 в точке Mt (xx\ уг; гг)
эллипсоида имеет вид ■^ + i|r + -^rS!51-
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава 1
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
§ 1. Основные понятия и теоремы
a. Теория чисел занимается изучением свойств целых
чисел. Целыми мы будем называть не только числа
натурального ряда 1, 2, 3, ... (положительные целые), но
также нуль и отрицательные целые —1, —2, —3, ...
Так что, расположив целые числа в возрастающем
порядке, получим ряд, в котором разность между большим
и меньшим соседними членами везде будет равна единице.
Как правило, при изложении теоретического
материала мы будем обозначать буквами только целые числа.
Случаи, когда буквы могут обозначать и не целые числа,
если последнее не будет ясно само по себе, мы будем
особо оговаривать.
Сумма α+ft, разность a—ft и произведение ab двух
целых а и b являются также целыми. Но частное -у от
деления а на Ь (если b не равно нулю) может быть как
целым, так и не целым.
b. В случае, когда частное ~ от деления α на 6-
целое, обозначая его буквою qf имеем a—bq, т. е. а пред-
ставляется произведением b на целое. Мы говорим тогда,
что а делится на b или, что b делит а. При этом а
называем кратным числа b9 a b — делителем числа а.
То обстоятельство, что b является делителем числа а,
записывается так: Ь\а.
Примеры. Имеем
21 = 7-3, 0 = 9-0, — 85= 17(—5).
Поэтому можем сказать: 21 делится на 7, 0 делится
на 9, —85 делится на 17, или: 7 делит 21, 9 делит 0,
17 делит —85.
335
Имеют место две следующие теоремы:
1. Если а кратно /л, т кратно Ь, то а кратно b
Действительно, из а = таи т = Ьти следует а^Ьацп^.
Таким образом, а представляется произведением b на
целое число агтг и тем самым делится на Ь.
2. Если в равенстве вида k + l + · ..+n = p + q+ .. ,+s
относительно всех членов, кроме какого-либо одного,
известно, что они кратны Ь9 то и этот один член кратен Ь.
Действительно, пусть таким одним членом будет k.
Имеем
1 = Ыи ..., п = Ьпи p = bpuq = bql9 ..., s = telf
Л = р + ^+... +s—/—... —п=
= &(Ρΐ + <?1 + · ■ · +* — /*— · · · — Ό.
Таким образом, k представляется произведением b на
целое число Ρι + <7ι + · · · +«ι —1±— · · · —пг и тем самым
делится на Ь.
с. В заключение мы докажем еще одну теорему,
которая нам будет весьма нужна в дальнейшем (теорема
о делении с остатком).
Всякое целое а представляется единственным способом
с помощью положительного целого b равенством вида
a=bq + r\ 0<r<6.
Действительно, одно представление числа а равенством
такого вида получим, взяв bq равным наибольшему
кратному числа bt не превосходящему а. Допустив же
существование представления числа а еще одним равенством
того же вида: a^bqx + гц 0<rt<6, и вычитая почленно
это последнее равенство из предыдущего, получим
0«6fo-fc) + r-rx. (1)
Отсюда убедимся (2, Ь), что разность r—rt кратна Ь.
С другой стороны, легко видеть, что та же разность,
как разность двух неотрицательных чисел, меньших Ь,
сама будет численно меньше 6, числом же, кратным b и
численно меньшим Ь, является лишь число 0. Поэтому
г—гх = 0, а отсюда и из равенства (1) будет следовать,
что и q—qt = 0. Таким образом, второе представление
числа а тождественно первому.
336
Число q называется неполным частным, а число г —
остатком от деления а на Ь. Очевидно, что при г = 0
понятия «неполное частное» и «частное» совпадают.
Пр'имеры. Пусть 6=14. Имеем
177=14.12 + 9, 0<9<14,
—64= 14. (—5)+ 6, 0<6<14,
154=14.11+0, 0 = 0<14.
§ 2. Общий наибольший делитель
a. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь
положительные делители чисел. Всякое целое, делящее
одновременно целые а, Ь, ..., /, называется их общим
делителем. Наибольший из общих делителей называется
общим наибольшим делителем и обозначается символом
(а, 6, ..., /). Если (а, 6, ..., /)= 1» то а, &, ..., /
называются взаимно простыми. Если каждое из чисел
а, &,..., / взаимно просто с каждым другим из них,
то а, 6, ..., / называются попарно простыми. Очевидно,
числа попарно простые всегда и взаимно простые. В случае
же двух чисел понятия «попарно простые» и «взаимно
простые» совпадают.
Примеры. Числа 6, 10, 15, ввиду (6, 10, 15) = 1,—
взаимно простые. Числа 8, 13, 21, ввиду (8, 13) = (8, 21) =
= (13, 21)= 1,—попарно простые.
b. Далее займемся общими делителями двух чисел.
1. Если а кратно Ь% то совокупность общих
делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей
одного Ь\ в частности (а, &) = &.
Действительно, всякий общий делитель чисел а и Ь
является делителем и одного 6. Обратно, раз а кратно 6,
то (1, Ь, § 1) всякий делитель числа b является также
делителем числа а, т. е. является общим делителем
чисел Ъ и а. Таким образом, совокупность общих
делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей
одного Ь. А так как наибольший делитель числа b есть
само ft, то (a, b)=b.
2. Если
a=bq+c,
то совокупность общих делителей чисел aub совпадает с со-
вокупностью общих делителей чисел b и с; в частности
(а, &) = (&, с).
337
Действительно, написанное равенство показывает, что
всякий общий делитель чисел а и Ь делит также и с
(2, Ь, § 1) и, следовательно, является общим делителем
чисел b и с. Обратно, то же равенство показывает, что
всякий общий делитель чисел b и с делит а и,
следовательно, является общим делителем чисел а и Ь. Таким
образом, общие делители чисел а и b суть те же, что и
общие делители чисел b и с\ в частности, должны
совпадать и наибольшие из этих делителей, т. е. (а, &) = (Ь, с).
с. Для разыскания общего наибольшего делителя,
а также для вывода его важнейших свойств применяется
алгоритм Евклида. Он состоит в нижеследующем. Пусть
а и ft— положительные целые и а>Ь. Согласно с, § 1
находим ряд равенств
a = b9i + r2, 0<r2<&,
b = r2q2 + r3, 0<г8<г2,
rn.2 = rn_1qn_1^rn, 0<гя<гя.1|
заканчивающийся, когда получается некоторое гя+1 = 0.
Последнее неизбежно, так как ряд /?, г2, г3, ... как
ряд убывающих целых не может содержать более чем b
положительных.
d. Рассматривая равенства (1), идя сверху вниз,
убеждаемся (Ь), что общие делители чисел а и b одинаковы
с общими делителями чисел b и г2, далее одинаковы
с общими делителями чисел г2 и г3, чисел г3 и г4, ...,
чисел гп_х и гп, наконец (а), с делителями одного числа гЛ,
являющегося последним не равным нулю остатком
алгоритма Евклида. Одновременно с этим имеем
(а, Ь) = (Ь, r%) = (rtt r3) =... = (/·„_„ гп) = гп.
Мы приходим к следующим результатам.
1. Совокупность общих делителей чисел а и b
совпадает с совокупностью делителей их общего наибольшего
делителя.
2. Этот общий наибольший делитель равен последнему
не равному нулю остатку алгоритма Евклида.
338
5251
4621
231
189
63
42
63
3
42
1
Γ2Ϊ
2
Пример. Применим алгоритм Евклида к
отысканию (525, 231). Находим (вспомогательные вычисления
приведены слева)
]231_ 525=231-2+63,
2 231= 63-3+42,
63= 42-1+21,
42= 212.
42
42
»»
Здесь последний положительный остаток есть г4 = 21.
Значит, (525, 231) = 21.
e. 1. Обозначая буквою т любое положительное целое,
имеем (am, bm)=(a, b)m.
2. Обозначая буквою δ любой общий делитель чисел
а и Ь, имеем (4, -т)~ ■'. ; β частности, имеем
fe t j — it m. gt частные от деления двух чисел
на их общий наибольший делитель суть числа взаимно
простые.
Действительно, умножив соотношения (1) почленно
на т, получим новые соотношения, где вместо а, Ь,
ги · · ·» гя будут стоять am, Ьт, Поэтому
(am, bm) = rnm и, таким образом, верно утверждение 1.
Применяя утверждение 1, находим
<*·>-(*·· т»)-(т-т)»·
Отсюда следует утверждение 2.
f. 1. Если (а, b)=l, то (ас, b) = (c, b).
Действительно, (ас, Ь) делит ас и be, значит, (1, d)
оно делит и (ас, be) ввиду 1, е равное с. Но (ас\ Ь)
делит и Ь, поэтому оно делит и (с, Ь). Обратно, (с, Ь) делит
ас и Ь, поэтому оно делит и (ас, Ь). Таким образом,
(ас, Ь) и (с, Ь) взаимно делят друг друга и, следовательно,
равны между собою.
339
2. Если (а, Ь) = \ и ас делится наЬ,тос делится на Ь.
Действительно (1, Ь), при ас, делящемся на Ь9 имеем
{ас, Ь) = Ь и из 1 получаем Ь = (с, Ь). А этим (1, Ь) и
доказывается делимость с на Ь.
3. Если каждое α^ а,, ..., ат взаимно просто с кож-
дым Ьъ Ь29 ..., Ьп, то и произведение ага2.. мт взаимно
просто с произведением Ьф2.. .Ьп.
Действительно, согласно 1 находим
и далее, полагая ради краткости α^α,- · .ат = Л, точно
таким же путем выводим
ФАЬд...Ьп, A) = (btb9...bnf Л) =
§ 3. Общее наименьшее кратное
a. Всякое целое, кратное всех данных чисел,
называется их общим кратным. Наименьшее положительное
общее кратное называется общим наименьшим кратным.
Здесь мы будем рассматривать только общие кратные
двух положительных чисел.
b. Пусть (a, b) = d, α=άα^ b = db1 и, следовательно
(2, е, §( 2), (alt bj=l. Пусть Μ—какое-либо общее
кратное чисел а и &. Так как Μ кратно а, то M=ak,
где k—целое. Но Μ кратно иб. Поэтому
Μ __ ak _ ajk
должно быть целым и, следовательно (2, f, § 2), k должно
делиться на Ьх. Поэтому k = bxt, где /—целое, причем
для Μ получается формула
Обратно, очевидно, что М, представляемое формулой (1)
при любом целом /, будет общим кратным α и ft, и, таким
образом, формула (1) дает общий вид всех общих
кратных чисел а и Ь.
340
Наименьшее положительное из этих общих кратных,
т.е. общее наименьшее кратное, получаем при /«1.
Оно будет
Теперь формулу (1) можно переписать так!
M = mt. (3)
Формулы (3) и (2) приводят к теоремам.
1· Совокупность общих кратных двух чисел совпадает
с совокупностью кратных их общего наименьшего кратного.
2. Это общее наименьшее кратное двух чисел равно их
произведению, деленному на их общий наибольший делитель.
§ 4. Простые числа
a. *1исло 1 имеет только один положительный
делитель, именно L В этом отношении число 1 в ряде
натуральных чисел стоит совершенно особо.
Всякое целое, большее 1, имеет не менее двух
делителей, именно 1 и самого себя; если этими делителями
исчерпываются все положительные делители целого числа,
то оно называется простым. Целое, большее 1» имеющее
кроме 1 и самого себя другие положительные делители,
называется составным.
b. Наименьший отличный от единицы делитель
целого, большего единицы, есть число простое.
Действительно, пусть q—наименьший отличный от 1
делитель целого а, большего 1. Если бы q было бы
составным, то оно имело 6bi некоторый делитель qx с
условием 1 < цх < <7, причем число а, делясь на q, должно
(1, Ь, § 1) делиться на qt. А это противоречило бы
нашему предположению относительно числа q.
c. Наименьший отличный от единицы делитель
составного числа а (согласно Ь он будет простым) не
превосходит Va -
Действительно, пусть q—этот делитель, тогда a = qOi,
ai7^q, откуда, перемножая и сокращая на ^, получим
d. Простых чисел бесконечно много.
341
Справедливость этой теоремы следует из того, что
каковы бы ни были различные простые рь р2, ..., ph
можно получить новое простое, среди них не
находящееся. Таковым будет простой делитель суммы ргр2...
. ../Vf 1ι который деля всю сумму, не может совпадать
ни с одним из простых ри р2, ..., рк (2, Ь, § 1).
е. Для составления таблицы простых чисел, не
превосходящих данного целого N, существует простой
способ, называемый решетом Эратосфена. Он состоит в
следующем.
Выписываем числа
1, 2, .... N. . (1)
Первое большее 1 число этого ряда есть 2. Оно
делится только на 1 и на самого себя и, следовательно,
оно простое.
Вычеркиваем из ряда (1) (как составные) все числа,
кратные 2, кроме самого 2. Первое следующее за 2 не-
вычеркнутое число есть 3. Оно не делится на 2 (иначе
оно оказалось бы вычеркнутым). Следовательно, 3
делится только на 1 и на самого себя, а потому оно также
будет простым.
Вычеркиваем из ряда (1) все числа, кратные 3, кроме
самого 3. Первое следующее за 3 невычеркнутое число
есть 5. Оно не делится ни на 2, ни на 3 (иначе оно
оказалось бы вычеркнутым). Следовательно, 5 делится
только на 1 и на самого себя, а потому оно также будет
простым.
И т. д.
Когда указанным способом уже вычеркнуты все числа,,
кратные простых, меньших простого р, то все невычерк-
нутые, меньшие ра, будут простые. Действительно, всякое
составное а, меньшее р8, нами уже вычеркнуто, как
кратное его наименьшего простого делителя, который
<1/а<р. Отсюда следует:
1. Приступая κ вычеркиванию кратных простого р,
это вычеркивание следует начинать с р2.
2. Составление таблицы простых чисел, не
превосходящих Ν, закончено, как только вычеркнуты все
составные кратные простых, не превосходящих УЫ.
342
§ 5. Единственность разложения
на простые сомножители
a. .Всякое целое а или взаимно просто с данным
простым р, или же делится на р.
Действительно, (а, р), будучи делителем р, может
быть равно или 1, или р. В первом случае а взаимно
просто с р, во втором а делится на р.
b. Если произведение нескольких сомножителей делится
на данное простое р, то, по крайней мере, один из
сомножителей делится на р.
Действительно (а), каждый сомножитель или взаимно
прост с р, или же делится на р. Если бы все
сомножители были взаимно просты с р, то и их произведение
(3, f, § 2) было бы взаимно просто с р. Поэтому хоть
один сомножитель делится на р.
c. Всякое целое, большее единицы, разлагается на
произведение простых сомножителей и притом единственным
способом (если отвлечься от порядка следования
сомножителей).
Действительно, пусть а—целое, большее 1; обозначая
буквою рг его наименьший простой делитель, имеем
а = ргах. Если ах> 1, то, обозначая буквою р2 его
наименьший простой делитель, имеем аг = р2а2. Если а2> 1,
то подобно этому находим а2 = р3а3 и т.д., пока не
придем к какому-либо апУ равному 1. Тогда получим ая-1 = р„.
Перемножив все найденные равенства и произведя
сокращение, получим следующее разложение а на простые
сомножители:
Допустим, что для того же самого а существует и
второе разложение на простые сомножители a=q1q2q9.. .q4.
Тогда найдем
Правая часть этого равенства делится на qt.
Следовательно (Ь), по крайней мере один из сомножителей
левой части должен делиться на qv Пусть, например, рг
делится на qx (порядок следования сомножителей в
нашем распоряжении); тогда найдем Pi = <7i {Pi кроме 1
делится только на рх). Сократив обе части равенства на
Ρι = <7ι> получим ρ2ρ8· · ·Ρ„ = <72?з· · ·?*· Повторив прежние
343
рассуждения применительно к этому равенству, получим
Рз- ■ ·Рл = ^з· ··?* и т· Д·» пока» наконец, в одной части
равенства, например, в левой не сократятся все
сомножители. Но одновременно должны сократиться и все
сомножители правой части, так как равенство 1 = qn+1.. .qs
при qn+1, ..., qSf превосходящих 1, невозможно. Таким
образом, второе разложение на простые сомножители
тождественно первому.
d. В разложении числа а на простые сомножители
некоторые из них могут повторяться. Обозначая буквами
Ри р2> · · ■» Рк различные из них и буквами alt α2, ..., ak
кратности их вхождения в а, получим так называемое
каноническое разложение числа а на сомножители
Пример. Каноническое разложение числа 588000
будет: 588000 = 2*.3-58-78.
e. В заключение мы докажем несколько теорем,
касающихся делителей числа, а также общего наибольшего
делителя и общего наименьшего кратного нескольких
чисел.
1. Пусть а = р?!р?'... p%k—каноническое разложение
числа а. Тогда все делители числа суть все числа вида
d = p*M*...fi*\ (1)
0<β1<α1, 0<β2<α2, ..., 0·<β*<α*.
Действительно, пусть d делит α. Тогда (b, § 1) a = dq
и, следовательно, все простые делители числа d входят
в каноническое разложение числа а с показателями, не
меньшими тех, с которыми рни входят в каноническое
разложение числа d. Поэтому d имеет вид (П.
Обратно, всякое d вида (1) делит а.
Пример, Все делители числа 720 = 24 ■ З8 · 5 получим,
если в выражении 2^»ЗР»5ра заставим βχ, β2, β3 независимо
друг от друга пробегать значения β1==0, 1, 3, 4; β2 =
= 0, 1, 2; β8 = 0, 1. Поэтому указанные делители будут
1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144, 5, 10, 20,
40, 80, 15, 30, 60, 120, 240, 45, 90, 180, 360, 720.
2. Общий наибольший делитель нескольких чисел
является произведением степеней вида ра, еде р —общий
простой делитель всех этих чисел, а а—наименьший из
344
показателей, с которыми ρ входит в их канонические
разложения.
3. Совокупность общих делителей нескольких чисел
совпадает с совокупностью делителей их общего
наибольшего делителя.
Действительно, пусть d—общий делитель чисел а,..., /.
Тогда имеют место равенства вида a = dau ..., / = d/i,
которые показывают, что: а) всякий простой делитель ρ
числа d должен быть делителем и каждого из чисел
а, ...,/, а также что: Ь) этот делитель ρ должен
входить в каноническое разложение числа d с показателем,
не превосходящим наименьшего из тех, с которыми он
входит в канонические разложения чисел а, ..., /;
обратно, каждое d, подчиненное условиям а) и Ь), очевидно,
является общим делителем чисел а, ..., /.
Общим наибольшим делителем, т. е. наибольшим из
общих делителей (а, § 2) является тот из последних,
в каноническом разложении которого показатели
степеней простых чисел точно равны наименьшим из тех,
с какими эти простые числа входят в канонические
разложения чисел а, ..., /.
А всякий общий делитель, как имеющий в своем
каноническом разложении все показатели не
превосходящими соответствующих показателей в каноническом
разложении общего наибольшего делителя, будет делителем
последнего.
Пример. Общий наибольший делитель чисел
6 791400 = 23-32-52-73-11, 178500 = 2а-3-53-7-17, 27 720=
=23-3«.5.7.Ц равен 2*.3-5-7 = 420.
4. Общее наименьшее кратное нескольких чисел является
произведением степеней вида pat где ρ —простой делитель
по меньшей мере одного из этих чисел, а а—наибольший
из показателей, с которыми ρ входит в их канонические
разложения.
5. Общее наименьшее кратное нескольких попарно про-
стых чисел равно их произведению.
6. Совокупность общих кратных нескольких чисел
совпадает с совокупностью кратных их общего наименьшего
кратного.
Действительно, пусть М—общее кратное чисел а, ...,/.
Тогда имеют место равенства вида M=ad\ . ..,Л1 = //',
которые показывают, что: а) всякий простой делитель ρ
345
каждого из чисел а, ..., / должен быть делителем и
числа Λί, а также что: Ь) этот делитель ρ должен входить
в каноническое разложение числа Μ с показателем, не
меньшим наибольшего из тех, с которыми он входит
в канонические разложения чисел а, ...,/; обратно,
каждое Λί, подчиненное условиям а) и Ь), очевидно,
является общим кратным чисел а, ..., /.
Общим наименьшим кратным, т. е. наименьшим из
общих кратных (а, § 3), является то из последних,
в каноническом разложении которого показатели
степеней простых чисел точно равны наибольшим из тех,
с какими эти простые числа входят в канонические
разложения чисел а, ..., /.
В случае, когда а, ..., /—попарно простые и,
следовательно, каждый множитель вида ра канонического
разложения общего наименьшего кратного входит в
каноническое разложение одного и только одного из чисел
а, ..., /, общее наименьшее кратное последних, очевидно,
равно их произведению.
Всякое общее кратное, как имеющее в своем
каноническом разложении все показатели не меньшими
соответствующих показателей в каноническом разложении общего
наименьшего кратного, будет кратным последнего.
Пример. Общее наименьшее кратное чисел 1800 =
= 23-32·52, 3780 = 2*. З8· 5· ,7, 8910 = 2·34·5· И равно
23-34-5а-7-11 = 1247400.
§ б. Непрерывные дроби
и их связь с алгоритмом Евклида
а. Пусть а—любое вещественное число. Обозначим
буквою ql наибольшее целое число, не превосходящее а.
При нецелом а имеем a=zqx-\—; а2>1. Точно так
же при нецелых а2, ..., ах-1 имеем
<*2 = <7ι + —; а3>1,
ввиду чего получаем следующее разложение а в непре-
346
рывную дробь:
(О
Ь. Если а—иррациональное, то и всякое а!
—иррациональное (при рациональном а, ввиду (1)
рациональным оказалось бы и а) и указанный процесс может быть
неограниченно продолжен.
Если же а —рациональное и, следовательно, может
быть представлено рациональной несократимой дробью
а = -г с положительным знаменателем, то указанный
процесс будет конечен и может быть выполнен с помощью
алгоритма Евклида. Действительно, имеем:
а =
Ь =
= ^i + r2;
= Ί?ι + /Υ,
а
Т'
г2 '
= ?! +
= ?2 +
1
1
it
Η
ra-i = rttqn\ £y± = q„,
а . 1
ft+
<7s+··.
1
, ι
VI»
347
Числа qu qt, ..., участвующие в разложении числа α
в непрерывную дробь, называются неполными частными
(в случае рационального α это будут, согласно Ь, неполные
частные последовательных делений алгоритма Евклида),
дроби же
δι = <7ι, δ2 = <7ι + —, δ3 = <7 '
называются подходящими дробями.
с. Весьма простой закон вычисления подходящих дробей
получим, заметив, что 6,(5 > 1) получается из б,_!
заменой в буквенном выражении для δ,.! числа qgmml
числом <7,-i+—. Действительно, полагая ради единообра-
4s
зия Р0=1» Qo — Ο» мы можем последовательно
представить подходящие дроби в следующем виде (здесь равен-
А Ρ
ство -о^тг пишем, желая обозначить А символом Р9%
а В—символом Qs):
δ -il-^i
°3~' 1Ч ~<78Qa+Qi~Q3
(*+^)Qi+Q.
ит.д. и вообще при s > 1
л Qs "s-i 4· *i-a f\j /n\
Таким образом, числители и знаменатели подходящих
дробей мы можем последовательно вычислять по
формулам
Эти вычисления удобно делать по следующей схеме (два
348
последних столбца пишем лишь в случае, когда α —
несократимая дробь с положительным знаменателем: «=-r J ■
<7*
Ps
ι Qs
1
0
Й1
Яг
1
Яг
Ρ*
Qt
...
...
...
Pf-2
Qs-*
Ps-l
Qs-i
Ps
Qs
...
...
Яп-l
Pn-1
Qn-1
Яп
a
b
Пример. Разложим в непрерывную дробь
несократимую дробь -£g-. Здесь имеем
38
29
29
27
9
8
1
| 2
1051
761
29
1
9
3
2
4
38_
2
105_2 _1
38 ~г +
1 +
1
3 +
4+2-
»»
Поэтому указанная выше схема дает:
Яз
Ps
Qs
1
0
2
2
1
1
3
1
3
11
4
4
47
17
2
105
38
d.l. При s>0 имеем £,(?,_!—QA-i = (— 1)'·
2. При s> 1 «Λίβ^ί δ^—6^^!==-^--—.
349
Действительно, приняв обозначение Л# = Р^_! —
— Qsps-i> мы ПРИ s=l получим ft^ft-Ο—11 = — 1,
а при s> 1 с помощью равенств (3) найдем hs =—hs_x.
Отсюда получим А, = (— 1)*. Пользуясь же этим
равенством при $> 1, легко найдем
Л _fi -р* fi-i_ hs _ (-1)*
е. Пусть 1 < s, α егли а—рациональная несократимая
дробь а = -г с положительным знаменателем, то пусть
также s < п. ГоаЭа а лежит между δ5-1 α δ„ причем
ближе к б,, нежели к bs_t.
Действительно, заменив в равенстве (2) число ^
числом <75-| , получим
as+iPs+Ps-i
«,*A(a-^) + «.-.(-fe)-0.
откуда убеждаемся, что первая из разностей, стоящих
в скобках, и по знаку противоположна второй и
численно (ввиду Qs>Qs-i) меньше последней. А этим и
доказываются наши утверждения.
Вопросы к главе 1
1. Пусть а и Ь—целые, не равные одновременно нулю, и d =
= α*ο + &#ο—наименьшее положительное число вида αχ+by (х и у —
целые). Доказать, что d = (a, b). Отсюда вывести теорему 1, d, § 2
и теоремы е, § 2. Обобщить эти выводы, рассматривая числа вида
ax+by+...+fu.
2. Пусть ρ— простое число, а и 6—натуральные числа, ρ
делит ab. Методом математической индукции (индукцию вести по р)
доказать, что ρ делит либо я, либо Ь. Отсюда вывести Ь), с) § 5.
3. а. Пусть (с, § 6) 1 < s, а если а= -г— несократимая дробь,
о
то пусть также s < η (qn = b). Доказать, что α может приближаться
несократимой дробью -j более точно, чем дробью bs, лишь в случае
350
b. Пусть вещественное число α разложено в непрерывную дробь,
tf-гцелое положительное, k—число его десятичных знаков,
л—наибольшее целое с условием Qn^N. Доказать, что n<5fc-f 1. Для
доказательства выражения для Q2> Qs» Q4» ···* Qn следует сравнить
с теми, которые они имели бы, если бы все qs были равны 1, и
сравнить далее с числами 1, ξ, |2, ..., ξ»"1, где ξ—положительный
корень уравнения ξ2 = ξ+1·
4. Пусть τ^Ι. Ряд расположенных в порядке возрастания
рациональных несократимых дробей с положительными знаменателями,
не превосходящими τ, называется рядом Фарея, отвечающим τ.
а. Доказать, что часть ряда Фарея, отвечающего τ, содержащая
дроби α с условием 0<а<1, может быть получена следующим
способом: пишем дроби -ρ у . Если 2^τ, то между этими дробями
л 04-1 1 0 11
вставим еще дробь тНгТ=="о'» затем в полученном ряде -р у, -у
между каждыми двумя соседними дробями -£· и-^с ^ι + ^ι < τ
Όχ ύχ
вставим дробь , и т. д. до тех пор, пока это возможно.
Oi+Ui
Предварительно доказать, что для любой пары соседних дробей -т-
и -т ряда, получаемого указанным способом, имеем ad— bc= — l.
b. Рассматривая ряд Фарея, доказать теорему: пусть τ^ 1, тогда
всякое вещественное α можно представить в виде
α==ΐ+έ; 0<Q<T> (р'Ф=1> ΙΘΙ<1·
c. Теорему вопроса b доказать, пользуясь 2, d, § 6.
5, а. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 4т+3.
Ь. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 6т+5.
в. Доказать бесконечность числа простых чисел, подсчитывая
число чисел, не превосходящих N, в каноническое разложение
которых не входят простые числа, отличные от р%, р2, ..., ри-
7. Пусть ТС—-целое положительное. Доказать, что в ряде
натуральных чисел имеется бесчисленное множество последовательностей
Μ, At + l, ..:, Λί+ZC— 1, не содержащих простых чисел.
8. Доказать, что среди чисел, представляемых многочленом
α0χη + αιχη~1+... +ап, где η > 0, а0, аъ ..., ап—целые и а0 > 0,
имеется бесчисленное множество составных.
9. а. Доказать, что неопределенному уравнению
x2+y2 = z2t x>oty>Ot ζ>0, (χ, у, ζ)=1 (1)
удовлетворяют те и только те системы х, у, г, где одно из чисел χ
и у имеет вид 2uvt другое—вид и1 — у3, наконец, ζ имеет вид #2 + υ2,
при этом и > ν > 0, («, и) = 1, uv—четное.
Ь. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать неразрешимость в
целых положительных х, у, г уравнения x4+y4 = z2.
351
10. Доказать теорему: если уравнение хл+а\хп'ш1 + ...+α„=0,
где η > 0 и αϊ, ..., α„—целые, имеет рациональный корень, то этот
корень—целое число.
11. а. Пусть Sss-s"+τ+···Η—;Λ>1· Доказать, что S —
л О ft
не целое.
Ь. Пусть 5=-^+у+---+2д+1 ; л>0. Доказать, что S —
не целое.
12. Пусть п—целое, л > 0. Доказать, что все коэффициенты
разложения бинома Ньютона (α+6)η будут нечетными тогда и только
тогда, когда л имеет вид 2Л—1.
Численные примеры к главе 1
1,а. Применяя алгоритм Евклида, найти (6188, 4709).
Ь. Найти (81719, 52 003, 33649, 30107).
125
2, а. Разложив в непрерывную дробь а=-^- и составив таблицу
подходящих дробей (с, § 6), найти: а) б4, β) представление α в виде,
указанном в вопросе 4, Ь, считая τ = 20.
b. Разложив в непрерывную дробь а=™=н и составив таблицу
оЧ7о
подходящих дробей, найти: α) δβ, β) представление α в виде,
указанном в вопросе 4t b, считая τ =1000.
3. Составить ряд дробей Фарея (вопрос 4) от 0 до 1, исключая 1,
со знаменателями, не превосходящими 8.
4. Составить таблицу простых чисел, меньших 100.
5, а. Найти каноническое разложение числа 82 798 848.
Ь. Найти каноническое разложение числа 81057226 635 000.
Глава 2
ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 1. Функции [х] и {*}
а» В первую очередь мы рассмотрим две следующие
функции, определенные для всех вещественных значений х:
1. Целую часть от х, обозначаемую символом [х]9
представляющую собою наибольшее целое число, не
превосходящее х.
2. Дробную часть от х, обозначаемую символом {*},
представляющую собою разность х—[х] между χ и целой
частью от х.
Примеры.
[7] = 7, [2,3] = 2, [-4,75] = -5,
{7} = 0, {2,3} = 0,3, {-4,75} = 0,25.
Ь. Показатель, с которым данное простое ρ входит
в произведение л!, равен
Действительно, число сомножителей произведения п\9
кратных р, равно 1 — 1, среди них число кратных р%
равно 4 , среди последних число кратных р* равно
kHt и Т-Д- Сумма (1) и даст искомый показатель, так
как каждый сомножитель произведения ηϊ, кратный'ρ",
но не р*+\ нами сосчитан точно т раз, как кратный р,
р*, р8, ..., наконец, рт.
Пример. Показатель, с которым число 3 входит в
произведение 367!, равен
= 122 + 40+13+4+1 = 180.
353
§ 2. Мультипликативные функции
a. Функция θ (я) называется мультипликативной, если
она удовлетворяет двум следующим условиям:
1. Эта функция определена для всех целых положи-
тельных а и не равна нулю по меньшей мере при одном
таком а.
2. Для любых положительных взаимно простых аг и а%
имеем:
θ (од) = θ (α,) θ (о,).
Пример. Нетрудно видеть, что мультипликативной
является функция а1, где 5—любое вещественное или
комплексное число.
b. Для всякой мультипликативной функции θ (а) имеем
θ(1) = 1. Действительно, пусть θ(α0) не равно нулю.
Находим
θ(α0) = θ(α0.1) = θ(α0)θ(1), 1=0(1).
c. Свойство 2, а мультипликативной функции θ (α)
распространяется и на случай k > 2 попарно простых
чисел Оц а2, а8, ..., ан. Действительно, имеем:
θ (а&аь... аЛ) = θ (аг) θ (а2а^... ак) =
=θ(α1)θ(α2)θ(α8...αΛ)=...=θ(α1)θ(α2)θ(α8)...θ(αΛ).
В частности, находим
e(#pW...ρ2*)=θ(ρ?0θ(ρ?·)θ(ρ?·)...е(рМ. (1)
d. Обратно, мы всегда построим некоторую
мультипликативную функцию θ (α), если положив θ (1) = 1 и
назначив произвольно значения для θ(ρα), отвечающих
положительным степеням простых чисел, в общем случае
определим эту функцию равенством (1).
Действительно, если а = /??\. .р%к представлено в виде
произведения ага2 двух взаимно простых чисел аг и а2,
то справедливо тождество
θ(α) = θ(α1)θ(α2),
левая часть которого является произведением чисел
θ {ρ"ή, отвечающих всем сомножителям вида pfs числа а,
а правая часть является тем же произведением, но раз-
354.
битым на два взаимно простых произведения, одно из
которых В(аг) является произведением чисел θ(ρ?*),
отвечающих всем сомножителям вида рр числа а1э другое же
0(д2) является произведением чисел θ (рр), отвечающих
всем сомножителям вида рр числа а2.
Пример. Мультипликативную функцию можно
построить, взяв θ (1) = 1 и θ(ρα) = 2, если а>0. Тогда
при k>0 будем иметь θ(ρ?\..ρ?*) = 2*. В частности,
найдем:
θ(1)-1, θ(2) = 2, θ(3) = 2,
θ(4) = 2, θ(5) = 2, θ(6) = 4.
е. Произведение θ (а) = Qx (α) θ2 (а) двух
мультипликативных функций Qt (а) и θ2 (а) также является
мультипликативной функцией.
Действительно, имеем θ (1) = Qt (1) θ8 (1) = 1.
Кроме того, при (а19 а%) = 1 находим
θ {ауаг) = θχ (ага%) θ2 (оа) = θχ (о,) Ьг (а2) Θ, (аг) Θ, (а2) =
- θί (аг) θ2 (аг) θχ (α8) e/(aj = θ (α,) θ (α2).
Доказанная теорема обобщается и на случай любого
числа k>2 мультипликативных функций
М«). Мя). Мя), ···» М<*)·
Действительно, пользуясь ею последовательно,
убедимся в мультипликативности произведений:
θι (α) θ, (α) θ, (α) = (θχ (α) θ, (α)) Θ, (а),
9>(α) θ,(а).. Λ-ι(*) θ,(α) = (0,(^)9,(а).. \^(a))Qk(a).
f. Пусть θ (α)— мультипликативная функция иа =
= р?'.. -pakk — каноническое разложение числа а. Тогда,
обозначая символом 2 сумму, распространенную на все
355
делители d числа а, будем иметь
Σθ(4) = (-1+θ(ρ1)+θ(ρίΗ...+θ(ρ?1)).··
d\a
...(ι+β(ρ,)+θ(ρΐ)+...+θ(ρ;*)).
(В случае α= 1 правая часть считается равной 1.)
Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки в его
правой части. Тогда получим сумму всех (без пропусков
и повторений) слагаемых вида
θ(ρ?0 θ(ρ?«).. .Θ (ρ**) =Θ (рЗД.. ./#) ;
0<^<аь 0<β2<α2, ..., 0<β*<αΛ.
А это (1, е, § 5, гл. I) как раз и будет то, что стоит
в левой части тождества.
§ 3. Число делителей и сумма делителей
a. 1. При θ (α) = 1 (пример а, § 2) тождество f, §2
примет вдд τ(α) = (αί+ 1). ··(<**+1), где τ (α)-—число
делителей числа а.
Пример. τ(720)=τ(24.38·5)==(4 + 1)(2+1)(1 + 1) =
= 30.
2. χ (а)—мультипликативная функция, для которой
при <х>0 имеем τ(ρα) = α+1.
Это следует из найденной для τ (а) формулы и
теоремы d, § 2.
b. 1. При θ(α) = α (пример а, § 2) тождество d, §2
примет вид
где S(а)— сумма делителей числа а.
Пример. S(720) = S(2*.3«.5)--^.~
= 2418.
2. S (α)—мультипликативная функция, для которой
при а>0 имеем S(pa)=*p Τ* .
Это следует из найденной для S (а) формулы и
теоремы d, § 2.
356
§ 4. Функция Мёбиуса
a. Функция Мёбиуса—мультипликативная функция,
определенная равенствами: μ (ρ) =—1, μ (ρα) = О, если α > 1.
Из этого определения, в частности, следует, что:
а) Если в каноническом разложении а=р*1.. .р*ь
числа а по меньшей мере один из показателей аи ..., ak
превосходит 1 (если а делится на квадрат, отличный
от 1), то имеем μ(α) = 0.
β) В противном случае, т. е. в случае, если
каноническое разложение числа а имеет вид a = pt...pki имеем
μ(*) = (-1)*.
Примеры.
μ(1)=1, μ(5) = —Ι, μ(9) =0,
μ(2) 1, μ(6)=1, μ(10)=1,
μ(3) = -1, μ(7) = -1, μ(11) = -1,
μ(4) = 0, μ(8) = 0, μ(12) = 0.
b. 1. Пусть θ (а) —мультипликативная функция и α =
= ρ*\ ..р*ь—каноническое разложение числа а. Тогда
имеем:
μ (rf) θ (d) = (1 —θ (Pl)). _ (1 _θ (pft))
а/Ь
(в случае α= 1 правую часть считаем равной 1).
Действительно, функция θ1(α) = μ(α)θ(α), как
произведение мультипликативных функций μ (а) и θ (α), сама
является мультипликативной функцией. Применяя к ней
тождество f, § 2 и имея в виду, что9£(р) = — θ(ρ) и что
θχ(ρα) = 0, если <х> 1, мы и убедимся в справедливости
нашего утверждения.
2. В частности, полагая θ(α)=1, из а) получим
d\a I A,
если а>1,
если а = 1.
3. Полагая же θ(α) = —, получим
ά\9 [ 1, если α= 1,
357
с. Пусть целым положительным 6 = 6^ ..., δ„
отвечают любые вещественные, или комплексные/ = /lf ..., fn-
Тогда, обозначая символом S' сумму значений f, отвечаю-
щих значениям б, равным 1, и символом Sd сумму
значений /, отвечающих значениям δ, кратным d, будем иметь
где d пробегает целые положительные числа, делящие
хотя бы одно значение δ.
Действительно (2, Ь), имеем
5'=/ιΣμ(<0+·.·+/„Σ μ(4).
d\6t d\6n
Собирая же вместе члены с одними и теми же значениями d
и вынося при этом μ(ά) за скобки, в скобках получим
сумму тех и только тех значений /, которые отвечают
значениям δ, кратным d, т. е. как раз и получим сумму Sd.
§ 5. Функция Эйлера
a. Функция Эйлера φ (а) определяется для всех целых
положительных а и представляет собою число чисел ряда
О, 1, ..., а-1, (1)
взаимно простых с а.
Примеры.
<р(1)=1, <р(4) = 2,
<р(2)=1, <р(5) = 4,
φ(3) = 2, φ(6) = 2.
b. 1. Пусть
α-ρί^'.-.ρ^ (2)
— каноническое разложение числа а. Тогда имеем
,W_.(,_J.)(,_i)...(,_±.). (3)
или также
Ф(а)-(Р?'-РГх)(р?~раГ1). ■ ·(рЪ-рЪ-1) · (4)
358
В частности, будем иметь
φ(ρα) = Ρα-ρα-\ Φ(Ρ) = Ρ-1. (5)
Действительно, применим теорему с, § 4. При этом
числа δ и числа / определим так: пусть. χ пробегает
числа ряда (1); каждому значению χ приведем в
соответствие число 6=(х, а) и число /=1.
Тогда 5' обратится в число значений б=(дс, а),
равных 1, т. е. в φ (α). A Sd обратится в число значений
δ = (χ, α), кратных d. Но (*, а) может быть кратным d
лишь при условии, что d— делитель числа а. При
наличии же этого условия Sd обратится в число значений х,
кратных d, т. е. в -j. Поэтому
φ(α)==Σμ(^7'
d\a
откуда (ввиду 3, Ь, § 4) следует формула (3), а из
последней (ввиду 2)) следует формула (4).
Примеры.
Φ(«»-6ο(ι-|)(ι-|)(ι-|)-ΐ6§
φ (81) = 81—27 = 54,
φ(5) =5-1=4.
2. ψ (а)—мультипликативная функция, для которой
при α > О имеем φ (ρα) = р«_р*-1.
Это следует из формулы (4) и теоремы d, § 2.
с. Имеем
2 φ (d) = а.
d\a
В справедливости этой формулы убедимся, применяя
тождество f, § 2, которое при θ(α) = φ(α) дает
2φ(α) = (ΐ+φ(ρ1)+...+φ(ρ?1))...
d\a
...(ι+φΜ + ···+φ(ρ?*))·
Ввиду (5) правая часть окажется равной
(l+iPi-O + .-.+ip^-p?*-1))..·
• ..(1 + (р*-1)+... + (р**-р**-1)).
359
что после приведения в каждой большой скобке
подобных членов обратится в
/>?'.../>** = а.
Пример. Полагая а = 12, находим
φ(1) + φ(2) + φ(3) + φ(4) + φ(6) + φ(12) =
= 1 + 1+2 + 2 + 2 + 4=12.
Вопросы к главе II
1, а. Пусть в интервале Q<x<R функция f (х) непрерывна и
неотрицательна. Доказать, что сумма
Σ i/wj
Q<x<R
выражает число целых точек (точек с целыми координатами) плоской
области: Q < х<#, 0 <y<f(x).
b. Пусть Ρ и Q — положительные, нечетные взаимно простые.
Доказать, что
c. Пусть г>0 и Г—число целых точек области х2+у2<г2.
Доказать, что
Г=1+4[г]+8 £ [^7*=Т2]-4
d. Пусть η > 0 и Г—число целых точек области χ > 0, у > О,
ху<п. Доказать, что
ο<*<νΤ
e. Рассмотрим многоугольник, вершины которого—целые точки
и контур которого сам себя не пересекает и не касается. Пусть
«S—площадь многоугольника и ί*=2δ--1, где суммирование
распространяется на все целые точки, лежащие внутри многоугольника
и иа его контуре, причем 6 = 1 для внутренних точек и 6 = 0,5 для
точек контура. Доказать, что Τ=5.
2. Пусть л > 0, т—целое, т > 1 и χ пробегает целые
положительные числа, не делящиеся на лмо степень целого,
превосходящего 1. Доказать, что
Σ [УЩ- м-
X u J
360
7Γ·
3. Пусть положительные аир таковы, что
[αχ]; *=1, 2, ...; [βί/], у=\9 % ...,
образуют, вместе взятые, все числа натурального ряда без
повторений. Доказать, что это имеет место тогда и только тогда, когда α
иррациональное, причем
1+1=1
α+β Κ
4, а. Пусть [τ]^1, / = [τ] и xv xt, ..., */ — числа 1,2,...,/,
расположенные в таком порядке, чтобы числа
О, {α*ι}, {α*2}, ..., {α*/}, 1
шли не убывая. Доказать теорему вопроса 4, Ь, гл. I, рассматривая
разности соседних чисел последнего ряда.
Ь. Пусть τι, Τ|, ..., τ$—вещественные числа, каждое из
которых не меньше 1; ах, Oa> ..., а^—вещественные. Доказать, что
существуют целые ξχ, ξ2, ..., ξ*, не равные одновременно нулю, и целое η,
удовлетворяющие условиям:
ΙΙιΚτχ, |ξ»|<τ2, ..., |ξΛ|<τΛ (ξι, ξι, .... ξ*, η) = 1.
Ι α1ξ1+α2ξ2+ ... +α*ξΛ-η | < — -.
τ1τ2 · · · ΤΛ
5. Пусть α—вещественное, с—целое, с> 0. Доказать, что
[Щ-[П
6, а. Пусть α, β, ..., λ—вещественные. Доказать, что
[α+β+...+λ]^[α] + [β]+... + [λ].
b. Пусть a, b, ..., /—целые положительные, а+ b+ ... + / = л.
Применяя Ь, § 1, доказать, что
п!
а\Ь\ ... /!
есть целое число.
7. Пусть /ι—целое, h > 0, ρ—простое и
р*+1_1
Представляя h в виде h=*pMum+pm-1um-1+. ..+Ргиг+р0, где
wда—наибольшее и*, не превосходящее h, Pmum—наибольшее
кратное ит% не превосходящее Я, p^-ia^-j—наибольшее кратное κΜ-ι,
не превосходящее h—pmum, рт„%ит_г—наибольшее кратное ат-2>
не превосходящее h—pmum—pM^1um^it и т.д., доказать, что
числа α с условием, что в каноническое разложение а\ число /7 входит
с показателем Л, существуют тогда и только тогда, когда все
Рт> Pm-i»···» Pi* Po меньше р, причем в этом случае указанные
а суть все числа вида
а = РтР* + 1 + Рт-1Рт+ · · · +ΡιΡ* + ΡοΡ+Ρ'>
где ρ' имеет значения: 0, 1 р— 1.
361
8, а. Пусть в интервале Q<x<R функция f(x) имеет вторую
непрерывную производную. Полагая
X
Р(*)=-2~М. <*М=^р(*)Л.
о
доказать, что
R
Σ /W=C/W^+P(*)/W)-p(Q)/(Q)-
Q<x<R J
R
-σ(*)Π*) + σ№)/'№)+$ σ(*)/·(χ)Λ.
Q
b. Пусть условие вопроса а выполняется при сколь угодно боль-
00
ших /?, причем \\f(x)\dx сходится. Доказать, что
Q
Σ /Μ=С+С / W ώτ+Ρ (*> / <*)-* (Λ) Γ («)- f σ (*) /W*,
где С не зависит от /?.
c. Если В принимает лишь положительные значения и отношение
I А I
■~р остается ограниченным сверху, то пишем Л = 0 (В), или Л<^Я.
Пусть л—целое, л > 1. Доказать, что
In (η!) = η In η — я+О (In л).
9, а. Пусть л^2, θ (ζ, ζ0) = 2 1п^ где ^ пробегает про-
стые числа. Пусть, далее, θ (ζ) = θ(ζ, 0) и при χ > 0.
ΨΜ = θΜ+θ(^)+θ(^")+...
Доказать, что
α) 1π([η]!)=ψ(Λ) + ψ(γ)+ψ(-|) + ...;
β) ψ(η)<2η;
ν)θ(„,|)+β(|,-ΐ)+θ(|,|)+...=ηΐ„2+ο(^).
b. При η > 2 доказать, что
£^ = lnn+0(l),
где /7 пробегает простые числа.
c. Пусть ε—произвольное положительное1 постоянное. Доказать,
что в ряде натуральных чисел существует бесчисленное множество
пар /?„, Ρη+ι простых чисел с условием рп+г < ρπ(1 + ε).
362
d. Пусть л > 2. Доказать, что
£1i,c+inin»+o(1i5),
где ρ пробегает простые числа и С не зависит от п.
e. Пусть η > 2. Доказать, что
д('-*)-£(ч-в(и))·
где ρ пробегает простые числа и С0 не зависит от п.
f. Доказать существование постоянного s0 > 2 с условием, что
при любом целом s> s0 для s-ro простого числа ps ряда 2, 3, 5, ...
имеет место неравенство
ps < 1,5s In s.
g. Доказать, что
-£r= О (In In α),
φ (α)
10. а» Пусть θ (α)—функция мультипликативная. Доказать, что
βι(α) = 20(d)—также функция мультипликативная.
d\a
b. Пусть функция θ (α) определена для всех целых
положительных а и функция ψ (α) = 2 ®(а)—мультипликативная. Доказать, что
d\a
функция θ (а) также мультипликативная.
11. Пусть при т>0 %т(а) обозначает число решений
неопределенного уравнения ххх% ..,хт — а {хъ хг хт независимо друг
от друга пробегают целые положительные числа); в частности,
очевидно, %t (α) = 1, xt (α) =τ (α). Доказать, что
t. t* (α)—функция мультипликативная.
b. Пусть /7—простое, α^Ο и т > 1. Тогда
(q+l)(<x+2)...(a+m--l)
Тл(р)== 1.2...<т-1) ·
c. Если в—произвольное положительное постоянное, то
β->ο. α·
d. Σ xm (α) выражает число решений неравенства XiXi..*xm<n
0<в<л
в целых положительных хь х%, ..., хт.
12. Пусть R (s) обозначает вещественную часть числа s.
При R($) > 1 полагаем £(s) = V-7· Пусть m> 0, m—целое.
363
Доказать, что
л = 1
13, а. При R(s)> l доказать, что
ί«-Π-4-.
'-?
где ρ пробегает все простые числа.
b. Доказать бесконечность числа простых чисел, исходя из того,
что гармонический ряд—расходящийся.
c. Доказать бесконечность числа простых чисел, исходя из того,
что ζ (2)=·£-—число иррациональное.
14. Пусть Л (а) = In ρ для a=plt где ρ—простое и /—целое
положительное; Л(а)=0 для других целых положительных а. При
R (s) > 1 доказать, что
ζ'(8)_ АА(»)
ζ (β)" L· п* '
15. Пусть /?(s) > 1. Доказать, что
Ρ η=\
где ρ пробегает простые числа.
16, а. Пусть п^1. Применяя с, § 4, доказать, что
0<d<n L J
b. Пусть Μ (z, z0) = 2 I1 (fl); ** W s ** (*· °)· Доказать, что
ζ0<α<ζ
о) Я(л)+А|(|.)+А! (■£■) + ...-1, «3*1,
c. Пусть п^1, /—целое, / > Ι, Τι,η—число целых χ с
условием 0 < х<п, не делящихся на 1-ю степень целого, превосходяще·
го 1. Применяя е, § 4, доказать, что
364
17, а. Пусть α—целое, а > О, и для целых хъ х% хп
однозначно определена функция /(*)· Доказать, что
где S' обозначает сумму значений / (х), распространенную на
значения х, взаимно простые с а, н S<*—сумму значений /(х),
распространенную на значения х, кратные 2.
b. Пусть k > 1 и заданы системы
99 ' " " * (Л) (Л) (л)
*ь *« *Л"» *ι» **ι ·· ·> *Λί ··■! *ι » *ι » ··.» Ч >
каждая из которых состоит из целых чисел, не равных одновременно
нулю. Пусть далее для этих систем однозначно определена функция
/(*ι· х$ **)· Доказать, что
где S' обозначает сумму значений /(xlt x%> ..., хь),
распространенную на системы взаимно простых чисел, и Sd обозначает сумму
значений f(xit Xf, ..., х/Л, распространенную на системы чисел,
одновременно кратных d. При этом d пробегает целые положительные
числа.
c. Пусть в—целое, а > О, и для делителей δ числа а однозначно
определена функция F (б). Полагая
0(«)-2fW·
d\6
доказать, что (закон обращения числовых функций)
d\a χ '
d. Пусть целым положительным
βί, δι* ..., δ»
отвечают любые вещественные или комплексные, не равные нулю:
fb /ι» ···! Ли
Доказать, что
Ρ'=ΠΡ£(ί,),
где Р' обозначает произведение значений /, отвечающих значениям δ,
равным 1, Ρ4 обозначает произведение значений /, отвечающих
значениям δ, кратным cf, причем d пробегает все целые положительные
числа, делящие хотя бы одно δ.
18. Пусть а—целое, а> 1, ат(л) = 1*+2*+...+лЛ, φΛ(α)-
сумма т-х степеней чисел ряда 1, 2, ..., α, взаимно простых с а;
Pi» Pi* ··-» Ρ*—все простые делители числа а.
в. Применяя теорему вопроса 17, в, доказать, что
365
b. Доказать, что
Ыл)=у<Р(л).
c. Доказать, что
Ь (°) = \vT+iV- PiP·· ■ -Рк) Φ (β)·
19. Пусть г > Ι, α—целое, а > О, 7^—число чисел χ с условиями
0<*<2, (χ, α)=1, ε—произвольное положительное постоянное.
a. Доказать, что
«■.-Σι·»[ί]·
b. Доказать, что
Γ*=7<Ρ(*)+0(*β).
c. Пусть ζ > 1, я (г)—число простых чисел, не превосходящих в,
а—произведение простых чисел, не превосходящих )/Т.
Доказать, что
W(«)=*(yD-i + 5>(d)[i.].
d\0
20. Пусть R (s) > 1, α—целое, a > 0. Доказать, что
Е>с«п(,-±).
где в левой части л пробегает целые положительные числа, взаимно
простые с а, а в правой части ρ пробегает все простые делители
числа а.
21, а. Вероятность Ρ того, что к целых положительных чисел
Ху х%9 .., Xk будут взаимно простыми, определим как предел при
AT —>- оо вероятности Ρ ν того, что будут взаимно простыми k чисел
*i, x% Xk> каждому из которых независимо от остальных
присвоено одно из значений 1, 2, ..., Ν, принимаемых за равновозмож-
ные. Применяя теорему вопроса 17, Ь, доказать, что Ρ =а (ζ (£))-*.
χ
b. Определяя вероятность Ρ несократимости дроби — аналогично
тому» как в вопросе а при fc=2, доказать, что
22, а. Пусть г^2н Г—число целых точек (х, *) с взаимно
простыми координатами, лежащих в области хЪ+д*<п. Доказать,
что
Т=*1г*+0 (г in г).
я
366
b. Пусть г^2 и Г—число целых точек (х, у, г) с взаимно
простыми координатами, лежащих в области x2+ya-j-z2<r2. Доказать,
что
т 4лгэ ρ 2
23. а. Теорему 2, Ь, § 4 доказать, считая делители числа а, не
делящиеся на квадрат целого, превосходящего 1, и имеющие 1, 2, ...
простых делителей.
b. Пусть а—целое, а > 1, d пробегает делители числа а, имеющие
не более чем m простых делителей. Доказать, что при m четном
2μ(Φ^0> а при m нечетном "Σμ(ά)<0.
c. При условиях теоремы с, § 4, считая все / неотрицательными
и заставляя d пробегать лишь числа, имеющие не более чем m простых
делителей, доказать, что
в зависимости от того, будет ли m четным или нечетным.
d. Такие же, как в вопросе с, неравенства доказать при условиях
вопроса 17, а, считая все значения f(x) неотрицательными, а также
при условиях 17, Ь, считая все значения f{xu х% х$
неотрицательными.
24. Пусть в—любое постоянное с условиями 0 < ε < -*·, #^8,
о
r = lntf, 0<q^№~*t 0</<</, (q, /) = 1, n(Nt q, /)—число
простых чисел с условиями: p<,N, P = qt+l> где t—целое.
Доказать, что
π(*,?,/)=0(Δ); а-2^.
Для доказательства, полагая Л=г1-°·58, простые числа с
указанными условиями следует рассматривать как частный случай всех
чисел с этими условиями взаимно простых с а, где а—произведение
всех простых, ие превосходящих eh и не делящих q. Следует
применить теорему вопроса 23, d (условия вопроса 17, а) с указанным а и
m=2[21nr+I].
25. Пусть β—четное; k > О, каноническое разложение числа а
имеет вид ο = ριΡ2·.ρ* и d пробегает делители числа а с условием
0<d<y~a. Доказать, что
d
26. Пусть β—целое, к > 0, d пробегает делители числа с условием
φ (d) = k. Доказать, что
d
27. Пользуясь выражением для φ (α), доказать бесконечность
числа простых чисел.
367
28. а. Теорему с, § 5 доказать, установив, что число чисел ряда
1, 2, ..., а, имеющих с а один и тот же общий наибольший
делитель 6, равно φ (тт) ·
Ь. Вывести выражение для φ (α):
α) пользуясь теоремой вопроса 10, Ь;
β) пользуясь теоремой вопроса 17, с.
29. Пусть R (s) > 2. Доказать, что
V ф(л)_С(д—1)
Л1 nS С С) '
30. Пусть л—целое, п^2. Доказать, что
η
ΣφΗ = 4-λ2+0(λ1πλ).
mol π
Чяслепвые примеры к главе 2
1, а. Найти показатель, с которым 5 входит в каноническое
разложение 5258! (см. вопрос б).
Ь. Найти каноническое разложение числа 125)
2; а. Найти τ (5600) и 5 (5600).
Ь. Найти τ (116424) и S (116 424).
3. Составить таблицу значений функции μ (α) для всех а = 1,2, ...
..., 100.
4. Найти: α) φ (5040), β) φ (1 294 700).
5. Составить таблицу значений функции φ (а) для всех а = 1,2, ...
..., 50, пользуясь только формулой (5), § 5 и мультипликативностью
функции φ (α).
Глава 3
СРАВНЕНИЯ
§ 1. Основные понятия
a. Мы будем рассматривать целые числа в связи
с остатками от деления их на данное целое
положительное т, которое назовем модулем.
Каждому целому числу отвечает определенный остаток
от деления его на т (с, § 1, гл. I); если двум целым а
и b отвечает один и тот же остаток г, то они называются
равноостаточными по модулю т или сравнимыми по
модулю т.
b. Сравнимость чисел а и Ь по модулю т записывается
так:
a = b (mod т),
что читается: а сравнимо с b по модулю т.
c. Сравнимость чисел а и Ь по модулю т равносильна:
1. Возможности представить а в виде a = b + mtf где
t —целое.
2. Делимости а—Ь на т.
Действительно, из а = 6 (mod m) следует
a^mq + r, b = mql + r; 0<r<,m,
откуда
a—6 = m((7—qt), a~b + mtt t — q—q^
Обратно, из a = b+mt, представляя b в виде
b = mqi+r$ 0<r<mf
выводим
a^mq + n 4^4t + U
т. e.
a =e 6 (mod m).
Поэтому верно утверждение 1.
Из 1 непосредственно следует утверждение 2.
369
§ 2. Свойства сравнений,
подобные свойствам равенств
a. Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между
собою.
Следует из а, § 1.
b. Сравнения можно почленно складывать.
Действительно, пусть
a1 = b1(moam), a2^b2(modm)f ..., akssbk(modm). (1)
Тогда (lt с, § 1)
ах = Ьх + т^, a2 = b2 + mt2, ..., ah = bk+mtk, (2)
откуда
аг+аш+ ... + аЛ=61+Ьа + · ·. +bk+m & + *,+ ... + **)
или (l£cf § 1)
ax+a%+... +0*Ξ3&ι+62+··· +Мто(*т)·
Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно
переносить в другую часть, переменив знак на обратный.
Действительно, складывая сравнение а+Ь*= с (mod m)
с очевидным сравнением —Ьss—Ь (modm), получим α=
зз с—6(modm).
/С каждой части сравнения можно прибавить любое
число, кратное модуля.
Действительно, * складывая сравнение a^b (modm)
с очевидным сравнениемmkss0 (mod m), получимa+mks
Hsb(modm).
c. Сравнения можно почленно перемножать.
Действительно, рассмотрим снова сравнения (1) и
вытекающие из них равенства (2). Перемножая почленно
равенства (2), получим
ala2.. Mk=^b1bt.. .bk+mN9
где Ν—целое. Следовательно (1, с, § 1),
аха%.. .akzsbxbt.. .bk (modm).
Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же
степень.
370
Это следует из предыдущего утверждения.
Обе части сравнения можно умножить на одно и то
же целое.
Действительно, перемножив сравнение α = 6 (mod m)
с очевидным сравнением k = k (mod/л), получим ak=*
ssbA(modm).
d. Свойства b и с (сложение и умножение сравнений)
обобщаются следующей теоремой.
Если β выражении многочлена с целыми
коэффициентами S —2Axt α^ι1· · ·*** заменим Ααχ αΛ, Χι, ■ - ·, хк
числами θα, αΛ, Hi Уи> сравнимыми с прежними
по модулю т, то новое выражение S будет сравнимо
с прежним по модулю т.
Действительно, из
Aat ак = Вах «Л (mod m),
Χι = Ух (mod т) хк = yk (mod m)
находим (с)
*?' = */?'(mod m), ..., x^ = ^*(modm),
Ααι....,αΗΧΪΧ...ΧΪ*^Βαχ a^...^(niOd/n), '
откуда, суммируя, получим
2 Ааи.... akxV ... д£* ^Σ в«> α$ΐ ·■·</** (mod m).
Если
a = 6(modm), а1?Е=Ь1 (mod m)t ..., fln = &n(modm),
xssx^modm),
то
axn + alxn'l+ ... +anzsbx%+blx'l-l+ ... +bn(modm).
Это утверждение 'есть частный случай предыдущего.
е. Обе части сравнения можно разделить на их общий
делитель, если последний взаимно прост с модулем.
Действительно, из a^b (mod m), a = axd, Ь = 6Д
(d, m)=l следует, что разность а—6, равная (ax—6j)d,
делится на т. Поэтому (2, f, § 2, гл. I) at—bt делится
на*т, т.е. at^bi(modm).
зп
§ 3. Дальнейшие свойства сравнений
a. Обе части сравнения и модуль можно умножить на
одно и то же целое.
Действительно, из a ss b (mod m) следует
a=*b + mt, ak=bk + mkt
и, следовательно, ak = bk (mod mk).
b. Обе части сравнения и модуль можно разделить на
любой их общий делитель.
Действительно, пусть
asb(modm), a = axd, b = bxdt т = тга.
Имеем
a — b+mt, aid^bid+m^, a1 = b1-\-mlt
и, следовательно, а1 = Ь1(тоат^.
c. Если сравнение а = Ь имеет место по нескольким
модулям, то оно имеет место и по модулю, равному об-
щему наименьшему кратному этих модулей.
В самом деле, из а = b(modm^, assfr(modm2), ...
.. „f a = b(modmk) следует, что разность a—b делится на
все модули mtim%t ..., mk. Поэтому (β, е, § 5, гл. I) она
должна делиться и на общее наименьшее кратное т этих
модулей, т. е. assfc (modm).
d. Ест сравнение имеет место по модулю т, то оно
имеет место и по модулю d, равному любому делителю
числа:' т.
В самом деле, из а = b (mod m) следует, чт# разность
а—b должна делиться на т\ поэтому (1, Ь, § 1, гл. I)
она должна делиться и на любой делитель d числа т,
т. е. a = &(modd).
e. Если одна часть сравнения и модуль делятся на
какое-либо число, то и другая часть сравнения должна
делиться на то же число.
Действительно, из a = b(modm) следует a = b + mt\
если, а и т кратны d, то (2, Ь, § 1, гл. I) и b должно
быть кратным d, что и утверждалось.
f. Если а за b (modm), то (a, m)=(6, m).
Действительно, ввиду 2, b, § 2, гл. I это равенство
непосредственно следует из a = b+mt.
372
§ 4. Полная система вычетов
a. Числа равноостаточные, или, что то же самое,
сравнимые по модулю т, образуют класс чисел по
модулю т.
Из такого определения следует, что всем числам
класса отвечает один и тот же остаток г, и мы получим
все числа класса, если в форме mq + r заставим q
пробегать все целые числа.
Соответственно т различным значениям г имеем т
классов чисел по модулю т.
b. Любое число класса называется вычетом по
модулю т по отношению ко всем числам того же класса.
Вычет, получаемый при q = О, равный самому остатку г,
называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Вычет р, самый малый по абсолютной величине,
называется абсолютно наименьшим вычетом.
Очевидно, при г<-~ имеем р = г; при г > -— имеем
р = г—т\ наконец, если т четное и τ = γ, то за ρ
можно принять любое из двух чисел γ и -γ—m = — у .
Взяв от каждого класса по одному вычету, получим
полную систему вычетов по модулю т. Чаще всего в
качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие
неотрицательные вычеты 0, 1, ...9т—1 или также
абсолютно наименьшие вычеты; последние, как это следует
из вышеизложенного, в случае нечетного т
представляются рядом
— — —1 0 1 —
а в случае четного т каким-либо из двух рядов
— —+1 ..—10 1 . —
—Ξ. _ι ο 1 ——Ι
c. Любые т чисел, попарно несравнимые по модулю mf
образуют полную систему вычетов по этому модулю.
373
Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем
самым принадлежат к различным классам, а так как
их т, т. е. столько же, сколько и классов, то в каждый
класс наверно попадет по одному числу.
d. Если (а, /п)=1 и χ пробегает полную систему
вычетов по модулю /л, то αχ + b, где Ь —любое целое, тоже
пробегает полную систему вычетов по модулю т.
Действительно, чисел αχ+b будет столько же, сколько
и чисел х, т. е. т. Согласно с остается, следовательно,
только показать, что любые два числа ахг + Ь и ах2 + Ь,
отвечающие несравнимым хг и х2, будут сами несравнимы
по модулю т.
Но допустив, что axx + b^ax% + b (mod/η), мы придем
к сравнению ахг = ах2 (mod m), откуда, вследствие
(а, т) = 1, получим хх = х% (mod m), что противоречит
предположению о несравнимости чисел хх и х2.
§ 5. Приведенная система вычетов
a. Согласно f, § 3 числа одного и того же класса по
модулю т имеют с модулем один и тот же общий
наибольший делитель. Особенно важны классы, для которых
этот делитель равен единице, т. е. классы, содержащие
числа, взаимно простые с модулем.
Взяв от каждого такого класса по одному вычету,
получим приведенную систему вычетов по модулю т.
Приведенную систему вычетов, следовательно, можно
составить из чисел полной системы, взаимно простых с
модулем. Обыкновенно приведенную систему вычетов
выделяют из системы наименьших неотрицательных вычетов: О,
1, ..., т—\. Так как среди этих чисел число взаимно
простых с т есть φ(/η), то число чисел приведенной
системы, равно как и число классов, содержащих числа,
взаимно простые с модулем, есть q>(m).
Пример. Приведенная система вычетов по модулю 42
будет
1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.
b. Любые φ (т) чисел, попарно несравнимые по модулю т
и взаимно простые с модулем, образуют приведенную си-
стему вычетов по модулю т.
374
Действительно, будучи несравнимыми и взаимь^о
простыми с модулем, эти числа тем самым принадлежат
к различным классам, содержащим числа, взаимно
простые с модулем, а так как их φ(/η), т.е. столь Ко же,
сколько и классов указанного вида, то в каждые класс
наверно попадет по одному числу.
с. Если (а, т) = 1 и χ пробегает приведенную систему
вычетов по модулю т, то ах тоже пробегает приведенную
систему вычетов по модулю > т.
Действительно, чисел ах будет столько же, сколько
и чисел х, т. е. φ (m). Согласно b остается, следовательно,
только показать, что числа ах по модулю т несравнимы
и взаимно просты с модулем. Но первое доказало в d,
§ 4 для чисел более общего вида ax+bf второе и^<е
следует из (а, /п) = 1, (jc, m)=l.
§ б. Теоремы Эйлера и Ферма
a. При т > 1 и (а, т) = 1 имеем (теорема Эйлера):
аф(т)= 1 (modm).
Действительно, если χ пробегает приведенную систему
вычетов
*=>Ί, г2, ..., /у, с=<р(т),
составленную из наименьших неотрицательных вь^четов,
то наименьшие неотрицательные вычеты plf р„ ^ .., р„
чисел ах будут пробегать ту же систему, но
расположенную, вообще говоря, в ином порядке (с, § 5).
Перемножая почленно сравнения
β^ι^ Pi (modm), ar2 = pa(modm), ..., are = pc(irxodm),
получим
асгхгг... rc = рхр2... ре (mod m),
откуда, деля обе части на произведение г1гя...гс = р1^а. ,рс9
получим .
я* see 1 (modm).
b. При ρ простом и а, не делящемся на р, имеем
(теорема Ферма):
аГ-%=\(тоар). (1)
375
Эта теорема является следствием теоремы а при т = р.
Последней теореме можно придать более удобную форму.
Именно, умножая обе части сравнения (1) на а, получим
сравнение
aP = a(modp)t
справедливое уже при всех целых я, так как оно верно
и при а, кратном р.
Вопросы к главе 3
1, а. Представляя целое число в обычной десятичной системе
исчисления, вывести признаки делимости на 3, 9, 11.
b. Представляя целое число в системе исчисления с основанием 100,
вывести признак делимости на 101.
c. Представляя целое число в системе исчисления с основанием
1000, вывести признаки делимости на 37, 7, 11, 13.
2, Пусть т > 1, (a, т) = 1, Ь—целое, χ пробегает полную, а ξ—
приведенную систему вычетов по модулю т. Доказать, что
«.1{^}-т«-'>·
»Σ{4}-τ»<*
3, а. Пусть т > 0, (a, m) = l, ft^sO, с—вещественное,
где ψ (χ) для рассматриваемых значений χ принимает значения с
условием с<^(х)<лс-\-Н. Доказать, что
|s-l«|<h+i.
b. Пусть Λί—целое, т > 0, (a, m) = l, А и В—вещественные,
Ai+m-l
XtsM
Доказать, что
|s-im|<|X| + l.
376х
с. Пусть Λί—целое, т > О, (а, т) = 1,
М+т-1
s- Σ (AW)·
χ=ΛΙ
где в интервале Λί<χ<Λί+т—1 функция /(*) имеет
непрерывные производные /' (х) и /" (*), причем выполняются условия
/'(Ai) = ^+^; (fl,m) = l; |θ|<1; -^<|/*W|<A,
где
1<т<т, т = Л 3 , 4^s2, fc^l.
Доказать, что
Is * |<М-з
2'"Ρ 2 '
4. Пусть в разложении иррационального числа А в непрерывную
дробь все неполные частные ограничены, Λί—целое, т—целое, т > О,
В—вещественное. Доказать, что
Λί+m-i
х=М
5, а. Пусть Л > 2, k^\ и в интервале Q<*<# функция
f (х) имеет вторую непрерывную производную, удовлетворяющую
условиям
4-<irwi<4-
Доказать, что
Σ {/W)-4w-Q)+eA; 1«1<ь
b = (2k* (R-Q) In A + SkA) A~ 3 .
b. Пусть 0<σ<1, Q и /? —целые. При условиях вопроса а
доказать, что число φ(σ) дробей {/(*)}; х=<2 + 1,..., /? с условием
0<{/ (*)} < σ выражается формулой
φ(σ)=σ(*-<2)+θ'.2Δ; |в<|<1.
о целых точек (*, д) o6j
• = nr2+oVrTlnr)
6, а. Пусть Г—число целых точек (х, у) области х%+у*^ ^ (г^2).
Доказать, что
377
b. Пусть η—целое, η > 2, £—постоянная Эйлера. Доказать,
что
τ (1)+τ (2)+... -И (л) = л (In л + 2£-1)+0 UT On n)2) .
c. При ]\[^2и целом положительном / доказать, что
2 Л£»1^(1пло*<. О)
О <a<N
Для доказательства воспользоваться очевидным неравенством:
x(uv)<x{u)%(v).
d. При Αί^2 и целом положительном / доказать, что
£ (τ(α))'<ζΝ(\ηΝ)*ι-Κ (2)
0< α< N
7. Систему η целых положительных чисел, каждое из которых
представлено в системе исчисления с основанием 2, назовем
правильной, если при всяком целом неотрицательном s число чисел, в
представление которых входит 2*, будет четным, и неправильной, если
хотя бы при одном s это число будет нечетным.
Доказать, что неправильную систему путем уменьшения или
полного изъятия некоторого одного ее члена можно сделать правильной,
а правильная система от уменьшения или полного изъятия любого ее
члена делается неправильной.
8. а. Доказать, что сумма
3»*„+3"-4-ι+...+3*ι+α:ο,
где х„, *„_!, ...,*!, х0 независимо друг от друга пробегают
значения— 1, 0, 1, представляет все числа
3»+ι 1
-Я, ..., -1, 0, 1, .... Я; "= 3-1 ,
причем каждое число—единственным способом.
Ь. Пусть тх, ms, ..., m*—положительные попарно простые.
Пользуясь с, § 4, доказать, что полную систему вычетов по модулю
τηχΐη% ... ть получим, заставляя в сумме
*1+m1xi+fl*im|X|-f...+mimf ... /η*_ι**
числа xl9 *|, ..., хц пробегать полные системы вычетов по модулям
nil, m%t .. ·ι Щ>
9. Пусть niiy mt, ..., Щ—попарно простые и
гпхЩ ... ть = Μχηΐί = M%m% = ... = M^m^.
а. Применяя с, § 4, доказать, что полную систему вычетов по
модулю mim%...mb получим, заставляя в сумме
числа *j, χι, ...,*£ пробегать полные системы вычетов по модулям
Ш|, /П|, ..., 01д.
378
b. Применяя b§5, гл. ПиЬ, §5, доказать, что приведенную
систему вычетов по модулю mima...m^ получим, заставляя в сумме
МгХг + MtXt+...+MkXb
числа *ι> х%> ..., хъ пробегать приведенные системы вычетов по
модулям т\, т%, ..., тк.
c. Доказательство теоремы вопроса b провести независимо от
теоремы Ь, § 5, гл. II и тогда уже вывести последнюю теорему, как
следствие первой.
d. Найти элементарным путем выражение для φ(ρα) и, пользуясь
мультипликативностью φ (α), вывести известное выражение для φ (α).
10. Пусть т,, /л2, ..., /пЛ—попарно простые, превосходящие 1,
a. Пусть хи х% хк, χ пробегают полные, a glt ξ9 ξΛ, ξ »^-
приведенные системы вычетов по модулям mv щ од, т.
Доказать, что дроби
i.iL4-—4- +-^1
\ тх ^ тг ^'" ^mk )
совпадают с дробями <~\ , а дроби {~р+"^+ · ·
падают с дробями < — > .
b. Пусть задан многочлен /(*, ..., w) с целыми коэффициентами
от г переменных х, ..., w(r^\):
f(x,...,w)= Σ с« *хв···^
α, ...» б
и пусть
а = М1а1+...+Мкак,
xst ..., ws пробегают полные, а ξ$, ..., ω5—приведенные системы
вычетов по модулю ms; ж, ..., w пробегают полные, а ξ, ...,
ω—приведенные системы вычетов по модулю т. Доказать, что дроби
|а1/(^...,ш1)+ +ahf(xkt^wk)^ совпадают с дробями
iaf(x, -,»)\ адробн <fli/(ti,-,^ ..+«rf<8» »»)1
\ m J Ι ^χ Щ )
Щ
сов-
совпадают с дробями < ""—-> (обобщение теорем вопроса а).
~~ :ть т—целое, т > С
«в по модулю т. До
Le т \0 в
И, а. Пусть т—целое, т > 0, а—целое, χ пробегает полную
систему вычетов по модулю т. Доказать, что
если а кратно т,
противном случае.
379
b. Пусть α—вещественное, Λί—целое, Ρ—целое Ρ >0. Обозначая
символом (α) численное значение разности между α и ближайшим
к α целым числом (расстояние α до ближайшего целого), доказать, что
М+Р-1
2niax
х=М
<min
(р-ш)· 4Э{
2 всегда,
3 при (a)<-g-
с. Пусть т—целое, т > 1 и функции Μ (а) и Ρ (α) для
значений а = 1, 2, ..., т— 1 принимают целые значения с условием
Я (а) > 0. Доказать, что
m-l
Σ
Σ е
• х=М(а)
/mlnm,
2*4-*
<δ;
m
m In m — -5- при m^s 12,
^ m In m—m при /»^60.
12, а. Пусть m—целое, т > 0, ξ пробегает приведенную
систему вычетов по модулю т. Доказать, что
b. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать первую из теорем с,
§ 4, гл. II (см. решение вопроса 28, а, гл. II).
c. Теорему вопроса а вывести, пользуясь теоремой вопроса 17,
а, гл. II.
d. Пусть
fix ю)= Σ
...β
а,
..б
*α...α>δ
— многочлен с целыми коэффициентами от г переменных х, ...
...,ш(г^1), а—целое, т—целое, т > 0, χ и/ пробегают
полные, а ξ, ..., ω—приведенные системы вычетов по модулю т.
Вводим обозначения
χ w ξ ω
Пусть далее т=т1...ть, где т±9 ...,т*—попаршк простые,
превосходящие 1, и пусть m=M№. Доказать, что
ς# ς' —ς'
380
е. При обозначениях вопроса d полагаем
A(m)=m-r%Satin, Α'(η)=ι>ι-ΓΣ8'α,η,·
а а
где а пробегает приведенную систему вычетов по модулю т.
Доказать, что
A(m1)...A(mk) = A(m)t А' (тх)...А' {mk) = A'(m).
13, а. Доказать, что
а-1 / р-1 ,пх\
п=о Ρ \ г *=о /
где ρ пробегает простые делители числа а.
Ь. Из тождества вопроса а вывести известное выражение длжр(а).
14, Доказать, что
o<x<Va Λ=ο
где 6 = 1 или 6 = 0, в зависимости от того, является ли а квадратом
целого числа или нет.
15, а. Пусть /?—-простое и Alf Α2> ···> ha—целые. Доказать, что
(h1+h2 + ...+ha)P^hi>+h%+... + hP(moap).
b. Из теоремы вопроса а вывести теорему Ферма.
c. Из теоремы Ферма вывести теорему Эйлера.
Численные примеры к главе 3
1, а. Найти остаток отделения
(12371»в+34)28 на 111.
Ь. Делится ли на 10932 число 21093—2?
2, а. Применяя признаки делимости вопроса 1, найти
каноническое разложение числа 244943325.
Ь. Найти каноническое разложение числа 282321246671737.
Глава 4
СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 1. Основные понятия
Нашей ближайшей задачей будет изучение сравнений
такого общего вида:
1(х)шаО(modm)\ f (χ) = ах* + с^х*'1 + ... +ая. (1)
Если а не делится на т, то η называется степенью
сравнения.
Решить сравнение—значит найти все значения х, ему
удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетворяют
одни и те же значения х, называются равносильными.
Если сравнению (1) удовлетворяет какое-либо х = хи
то (d, § 2, гл. III) тому же сравнению будут
удовлетворять и все числа, сравнимые с хх по модулю т:
x===x1(modm). Весь этот класс чисел считается за одно
решение. При таком соглашении сравнение (1) будет иметь
столько решений, сколько вычетов полной системы ему
удовлетворяет.
Пример. Сравнению
x*-f;t-f 1=0 (mod7)
среди чисел 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 полной системы вычетов
по модулю 7 удовлетворяют два числа: χ = 2 и χ = 4.
Поэтому указанное сравнение имеет два решения:
χ = 2 (mod 7), χ = 4 (mod 7).
§ 2. Сравнения первой степени
а. Сравнение первой степени перенесением свободного
члена (с обратным знаком) в правую часть можно
привести к виду
ax = b(modm). (1)
382
b. Приступая к исследованию вопроса о числе
решений, мы сначала ограничим сравнение условием (а, т)= 1.
Согласно § 1 наше сравнение имеет столько решений,
сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет.
Но когда χ пробегает полную систему вычетов по
модулю т, то ах пробегает полную систему вычетов
(d, § 4, гл. III). Следовательно, при одном и только
одном значении х, взятом из полной системы, ах будет
сравнимо с 6. Итак, при (а, т)=1 сравнение (1) имеет
одно решение.
c. Пусть теперь (a, m) = d> 1. Тогда, чтобы
сравнение (1) имело решения, необходимо (е, § 3, гл. III),
чтобы Ь Делилось на d, иначе сравнение (1) невозможно
ни при каком целом х. Предполагая поэтому Ь
кратным d, положим a^axd, Ь = Ьга, т = тга. Тогда
сравнение (1) будет равносильно такому (по сокращении Had):
ayrΞΞ^(mod/Hi), в котором уже (аит^=\ч и потому
оно будет иметь одно решение по модулю тх. Пусть хг—
наименьший неотрицательный вычет этого решения по
модулю ти тогда все числа х, образующие это решение,
найдутся в виде
xzEsxi(modm1). (2)
По модулю же т числа (2) образуют не одно решение, а
больше, именно столько решений, сколько чисел (2)
найдется в ряде 0, 1, 2, ...,/п—1 наименьших
неотрицательных вычетов по модулю т. Но сюда попадут
следующие числа (2):
хъ Xi + m^ xl + 2mlt ..., xx + {d— \)ти
т. е. всего d чисел (2); следовательно, сравнение (1)
имеет d решений.
d. Собирая все доказанное, получаем теорему:
Пусть (a, m)=d. Сравнение ax==b(modm)
невозможно, если Ь не делится на d. При Ь, кратном d, сравнение
имеет d решений.
e. Обращаясь к разысканию решений сравнения (1),
мы укажем только способ, основанный на теории
непрерывных дробей, причем достаточно ограничиться лишь
случаем (а, т)«1.
383
Разлагая в непрерывную дробь отношение т:а,
т
ΪΙ +
9s +
+h
и рассматривая две последние подходящие дроби:
Рп-г
Qn-i'
т
а
согласно свойствам непрерывных дробей (d, § 6, гл. I) имеем
aPn-i — i-iy-Hmoim),
α·(— I)"-1 Р^Ь ?sb {mod m).
Итак, наше сравнение имеет решение
*==(— 1)»-ι Рп_гЬ (mod m),
для разыскания которого достаточно вычислить Р,
п-1
согласно способу, указанному в с, § 6, гл. I.
Пример. Решим сравнение
111* з= 75 (mod 321). (3)
Здесь (111, 321) = 3, причем 75 кратно 3. Поэтому
сравнение имеет три решения.
Деля о0е части сравнения и модуль на 3, получим
сравнение
37* =э 25 (mod 107), (4)
которое нам следует сначала решить. Имеем
107137
74 2
WW
331
32J
4 Ц
4J4
»
зз|—ϊ
_4
8
Я
Ps
1
2
2
1
3
8
26
4
107
384
Значит, в данном случае л = 4, Ря_1 = 26, 6 = 25, и
мы имеем решение сравнения (4) в виде
х =_26 - 25 = 99 (mod 107).
Отсюда решения сравнения (3) представляются так:
х = 99; 99+107; 99 + 2-107(mod321),
т. е*
х«99; 206; 313(mod321).
§ 3. Система сравнений первой степени
а. Мы рассмотрим лишь простейшую систему сравнений
*гэ&1 (mod mj),
xssbt (modma),
(О
x = bk(modmk)
с одним неизвестным, но с разными и притом попарно
простыми модулями.
Ь. Решить систему (1), т. е. найти все значения х, ей
удовлетворяющие, можно, применяя следующую теорему:
Пусть числа Ms и М'$ определены из условий
тгт%... тк = Mjns, М$МJ = 1 (mod ms)
и пусть
х0 = МгМ{Ьг + М%М'фл + ...+ МкМ'фк.
Тогда совокупность значений х, удовлетворяющих
системе (1), определяется сравнением
χ SS х0 (mod тгтл... тк). (2)
Действительно, ввиду делимости на ms всех M/t
отличных от Mst при любом s=l, 2, ..., k имеем
х0 ss Μ sM'8bs як bs (mod ms)t
и, следовательно, система (1) равносильна системе
х = *0 (mod mj), χ = дг0 (mod m2), ..., χ = χϋ (mod mft) (3)
335
(т. е. системам (1) и (3) удовлетворяют одни и те же
значения х). Системе же (3), ввиду теорем с и d § 3,
гл. III, удовлетворяют те и только те значения х,
которые удовлетворяют сравнению (2).
c. Если bi9 &а, ..., bk независимо друг от друга
пробегают полные системы вычетов по модулям ml9 т2, ..., тЛ,
тох0 пробегает полную систему вычетов по модулю тгтг„ .тк.
Действительно, х0 пробегает тгт%.. ,mk значений,
ввиду d, § 3, гл. III, несравнимых по модулю тгтг...тк%
d. Пример. Решим систему
*===&!(mod4), * xs=&2(mod5), x = 63(mod7).
Здесь 4·5·7 = 35·4 = 28-5 = 20·7, причем
35-3= 1 (mod4), 282= 1 (mod5), 20- 6= 1 (mod 7).
Поэтому
^ = 35-^ + 28.2^ + 20.663= 105^ + 566,+1206,
и, следовательно, совокупность значений х,
удовлетворяющих системе, может быть представлена в виде
л;= 105^ + 56^+120Mmod 140).
Так, например, совокупность значений х,
удовлетворяющих системе
x=l(mod4), χ = 3 (mod 5), x=2(mod7),
будет
jc= 105-1+56-3+120-2 = 93 (mod 140),
а совокупность значений χ, удовлетворяющих системе
χ = 3 (mod 4), χ ξ= 2 (mod 5), x = 6(mod7),
будет
x= 105-3 + 56-2+ 120-6 = 27(140).
§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю
a. Пусть ρ — простое. Докажем общие теоремы,
относящиеся к сравнению вида
f(*) = 0(modp); f(x) = axn + alXn^ +...+α„. (1)
b. Сравнение вида (1) равносильно сравнению степени
не выше р— 1.
386
Действительно, деля f(x) на хр—х, имеем
f(x)-(xr-x)Q(x) + R(x).
где степень R (х) не выше р— 1. А так как хр—х = О (mod ρ),
то f (χ) = /?(*) (mod p), откуда и следует указанная
теорема.
c. Если сравнение (1) имеет более чем η решений, то
все коэффициенты f (χ) кратны р.
Действительно, пусть сравнение (1) имеет, по
крайней мере, п+1 решение. Обозначая буквами xlt x2f ..., xnt
xn+1 вычеты этих решений, мы можем f(x) представить
в виде
f{x) = a{x—xx){x—х2) ... (х—xn-t){x—Хп-Лх—хп) +
+ b(x—x1)(x—xi)... (χ—χη_%)(χ—χη_ι) +
+с(х—хх)(х—х2) ... (χ—>χη_2) +
+ +
+ k(x—xx)(x—x2) +
+ΐ(χ-χύ+
+ т. (2)
Действительно, преобразовав раскрытием скобок
произведения правой части в многочлены, мы Ь возьмем
равным коэффициенту при х""1 разности между f(x) и
первым многочленом, затем с возьмем равным коэффициенту
при хп~% разности между f (x) и двумя первыми
многочленами и т. д.
Полагая в (2) последовательно х=хх, xt> .. ·, хп> *π+ί»
убеждаемся в том, что все m, /, £, ..., с, Ь, а кратны р.
Значит, и все а, аи ..., ап кратны ρ (как суммы чисел,
кратных р).
d. При простом ρ справедливо сравнение (теорема
Вильсона)
Ь2 ... (р—l) + lsO(modp). (3)
Действительно, если ρ = 2, то теорема очевидна. Если
же ρ > 2, то рассмотрим сравнение
(х-1)(х-2) ... (х-(р-1))—(я*-*- 1)я0(modp);
оно степени не выше р—2 и имеет р—1 решение, именно
387
решения с вычетами 1, 2, ..., р— 1. Следовательно, по
теореме с все его коэффициенты кратны р; в частности,
на ρ делится и свободный член, равный как раз левой
части сравнения (3).
Пример. Имеем 1.2-3-4.5-6+1=*721 = 0(mod7).
§ 5. Сравнения любой степени
по составному модулю
а. Если mif m„ ..., тк попарно простые, то сравнение
f (χ) =0(modтхт% ... m*) (1)
равносильно системе
f (x)^0(modm1)y
f(*)=sO(modma), ..., /(χ) =з0(modm^j.
При этом, обозначая через Ти Гя, ..., Тк числа решений
отдельных сравнений этой системы по соответственным
модулям и через Т —число решений сравнения (1), будем
иметь
T = TtTt... 7V
Действительно, первая часть теоремы следует из с
и d, § 3, гл. III. Вторая часть следует из того, что
каждое сравнение
/(x) = 0(modm,) (2)
выполняется тогда и только тогда, когда выполняется
одно из Ts сравнений вида
x*abs (mod ms)9
где bs пробегает вычеты решений сравнения (2), причем
возможно всего ТгТ% ... Тк различных комбинаций вида
jtssft^modmj), xs62(modma), ..., x=bk(modmk),
приводящих (с, § 3) к различным классам по модулю
тгтг ... тк.
Пример. Сравнение
/(x) = 0(med35), f(x)=*x* + 2x* + Zx + 9 (3)
388
равносильно системе
/ (χ) «s 0 (mod 5), f(x) = 0 (mod 7).
Легко убедимся (§ 1), что первое сравнение этой системы
имеет 2 решения: xs=l, 4(mod5), второе же сравнение
имеет 3 решения: xs=3; 5; 6 (mod7). Поэтому
сравнение (3) имеет 2-3 = 6 решений. Чтобы найти эти 6
решений, надо' решить 6 систем вида
x^&biimodS), x = 62(mod7), (4)
которые получим, заставляя Ъх пробегать значения Ьг-= 1; 4,
а Ь% пробегать значения &, = 3; 5; 6. Но, ввиду
35 = 7-5 = 5.7, 73=l(mod5), 5-3=1 (mod 7),
совокупность значений х, удовлетворяющих системе (4),
представится в виде (Ь, § 3)
x = 21&i+156a(mod35).
Поэтому решения сравнения (3) будут
* = 31; 26; 6; 24; 19; 34 (mod35).
b. Ввиду теоремы а исследование и решение
сравнения
/ (*)^ 0 (mod/>?'/£*... р£*)
сводятся к исследованию и решению сравнений вида
/(*)s0(modpa); (5)
это же последнее сравнение сводится вообще, как мы
сейчас выясним, к сравнению
/(x)-0(modp). (6)
Действительно, всякое ху удовлетворяющее
сравнению (5), необходимо должно удовлетворять и сравнению (6).
Пусть
χ = х1 (mod ρ)
— какое-либо решение сравнения (6). Тогда x = Xi + pti,
где tx—целое. Вставляя это значение χ в сравнение
f(x) = 0(modp*)
и разлагая левую часть по формуле Тейлора, найдем
389
(принимая во внимание, что -rr/U)(*i)—целое, и
отбрасывая члены, кратные р*)
/(*i) + p//(*i) = 0(modp»), U& + tf(xJmmO(moap).
Ограничиваясь здесь случаем, когда /' (хх) не делится
на р, имеем одно решение:
/lS/;(modp); tY = t{ + pt%.
Выражение для χ принимает вид
χ = хх + pt[ + рЧг = хг + рНг\
вставляя его в сравнение
/(*)-.0(modp*),
получим
/(*,) + Pa*/(*,)=0(modp>),
fJ^ + ttf'(xt)^0(modp).
Здесь /' (xj не делится на р, так как
x.BBXxfmodp),
fW-rWiniodrt,
и потому последнее сравнение имеет одно решение:
/2 = /i(modp);
tt^t'% + pt9.
Выражение для χ принимает вид
x = xt + p*t't + p*tt = xs + p*ts;
и т. д. Таким путем по данному решению сравнения (6)
постепенно найдем сравнимое с ним решение
сравнения (5). Итак, всякое решение х*еехх (mod ρ) сравнения (6)
при условии, что f (xj не делится на р, даст одно
решение сравнения (5):
X=sXa+p*ta\
ХшлХа{раоАрР).
Пример. Решим сравнение
/(*)s0(mod27);
/(*) = χ* + 7χ + 4. Ι'/
390
Сравнение / (χ)=0 (mod 3) имеет одно решение х=1 (mod 3);
при этом /' (l)s=2(mod3) и, следовательно, не делится
на 3.
Находим:
х=1+3/ь
/(l) + 3//(l) = 0(mod9); 3 + 3^-2 = 0(mod9),
2/1 + ls0(mod3), /lSl(mod3), /1=l+3ia,
* = 4 + 9/„
/ (4) + 9tJ' (4) = 0 (mod27), 18 + 9/2-2 = 0 (mod27),
2/2 + 2 = 0(mod3), /a = 2(mod3), *s = 2 + 3/„
χ = 22 + 27/,.
Таким образом сравнение (7) имеет одно решение
χ = 22 (mod 27).
Вопросы к главе 4
1, а. Пусть т—целое, т > 0, / (х, ..., w) —целая рациональная
функция с целыми коэффициентами от г переменных*, ...,w(r^l).
Если сравнению
f(x o>) = 0(modm) (1)
удовлетворяет система х=х0» ...» w=w0, то (обобщение
определения § 1) систему классов чисел по модулю т:
хгзх0 (mod т), ..., ws*w9 (mod m)
будем считать за одно решение сравнения (1).
Пусть 7*—число решений сравнения (1). Доказать, что
m-l m-l m-l ш{ *f <* »>
rm= Σ Σ ··· Σ ·
α=0 χ=0 w=0
b. При обозначениях вопроса а и вопроса 12, е, гл. III
доказать, что
т%\т
c. Равенство вопроса а применить к доказательству теоремы
о числе решений сравнения первой степени.
d. Пусть т—целое, т > 0; а, ..., /, g— целые, их число равно
г-(-1 (г > 0): d=(a, ..., /, m); Г—число решений сравнения
ах + ... + fw-f-gss 0 (mod /и).
39J
Пользуясь равенством вопроса а, доказать, что
т_ { mr"ldt если g кратно dt
"" \ О в противном случае.
е. Теорему вопроса d доказать, исходя из теоремы о числе
решений сравнения ахшшЬ (modm).
2, а. Пусть /η>1, (α, /п) = 1. Доказать, что сравнение ахяш
еэ Ь (mod m) имеет решение хявЬс&<т>~1 (mod m).
b. Пусть /7—простое, 0 < α < /?. Доказать, что сравнение ах*а
» 6 (mod /7) имеет решение
,-И- !)-« »-1)(Р-;;;;у-«+») (mod.„).
c, а) Указать возможно более простой способ решения
сравнения вида
2*х = Ь (mod m); (2, /η) = (2, b) = 1.
β) Указать возможно более простой способ решения сравнения
3*ха Ь (mod m); (3, m) = (3, b) = 1.
V) Пусть (α, m) = l, 1 < a < т. Развивая способы, указанные
в вопросах а) и β), доказать, что разыскание решения сравнения
ахз*Ь (mod m) может быть приведено к разысканию решений
сравнений вида 6+mfs0(modp), где р—простой делитель числа а.
3, Пусть т—целое, т>1, 1<т<т, (а, т) = 1. Пользуясь
теорией сравнений, доказать существование целых χ и у с условиями
oxBi/tmodm), 0<*<τ, 0<||/|<~-.
4, а. При (а, т) = 1 будем рассматривать символическую дробь—
по модулю т, обозначающую любой вычет решения сравнения
axsab (mod т). Доказать, что (сравнения берутся по модулю т):
а) При α зав!, bsssbx имеем — = -2·.
х а ах
β) Числитель b символической дроби — можно заменить
сравнимым bQt кратным а. Тогда символическая дробь — сравнима с целым
числом, представляемым обычной дробью —.
ч b , d bc+ad
У) —■■—-—·
1 а ' с ас
δ) — — =з —
а ' с =я* ас*
392
b, α) Пусть ρ—простое, ρ > 2, α—целое, 0 < а < ρ—1.
Доказать, что
(' а1)»(-!)«(mod ρ).
β) Пусть ρ—простое, ρ > 2. Доказать, что
2р-2 ,1,1 1 , л ν
5, а. Пусть d—делитель числа а, не делящийся на квадрат
целого, превосходящего 1, и на простые, меньшие я, и κ—число
различных простых делителей числа d. Доказать, что в ряде
Ь2...л, 2-3...(п+1), .... а(а+\)...(а+п— 1) (1)
чисел, кратных dt будет —т-.
Ь. Пусть pj, р2 р^—различные простые делители числа а,
причем ни один из них не меньше чем л. Доказать, что число чисел
ряда (1), взаимно простых с а, будет
(-£)('-£)··■('-£)
в. Пусть triit2 £—общее наименьшее кратное чисел
Щ> Щ* ...» щ.
a. Пусть d-(mltmt). Доказать, что система
х as b ι (mod ηΐχ)» * s ^2 (mod ma)
разрешима тогда и только тогда, когда 62—^ι кратно d, причем в
случае разрешимости совокупность значений х, удовлетворяющих
этой системе, определяется сравнением вида
χ s= xlt 2 (mod mh 2); т1Л = ^^1 .
b. Доказать, что в случае разрешимости системы
х == 6Х (mod mi), * в 68 (mod mt) * s &* (mod m*)
совокупность значений х, ей удовлетворяющих, определяется
сравнением вида
* — *ι.· Л (mod mlf 2, ....*).
7. Пусть m—целое, т > 1, а и 6—целые,
.ах+бх'
в?)-?
X
лШ -
где jc пробегает приведенную систему вычетов по модулю т, причем
393
χ* яв — (mod m) (в смысле вопроса 4, а). Доказать следующие свой-
х
ства символа
-вещественное.
V) Пр. (»,т)_| и»,» (b|»)_(«ti).
δ) При тъ mtt ..., тц попарно простых, полагая тхт%.. .m* = m,
m—MjnSi имеем
/ojJX /ц,1\ f*fc.l\ = (Mla1 + Mlai+... + M\akt\\
\Щ )\тш )"'\Щ J \ m У
8. Пусть сравнение
α0^Λ+αιΛ:,ι"·1+ ... + ап =з 0 (mod ρ)
имеет η решений хв^, xt, ..., *n(modp).
Доказать, что
fli^s— a0«Si(modp),
α2« a^fmodp),
Оза- a0Ss(modp),
«π — (-l)nflo5«(modp),
где Sx есть сумма всех xSt 52—сумма произведений по два, $$ —
сумма произведений по три и т. д.
9, а. Доказать теорему Вильсона, рассматривая пары х, х' чисел
ряда 2, 3, ..,, /7—2, удовлетворяющие условию **'« 1 (modρ).
b. Пусть Ρ—целое, Р> 1, 1-2.. .(Ρ—1) + 1 =s0 (mod P).
Доказать, что Ρ—простое.
10, а. Пусть (а0, т) = 1. Указать сравнение л-й степени со
старшим коэффициентом 1, равносильное сравнению
a0xn+aixn^1+ ... + anse0(mod/7i).
b. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что
сравнение / (фгО (mod ρ); f (χ) =χη+α1χη~1+ ... +α„; л <ρ, имеет
η решений, есть делимость на ρ всех коэффициентов остатка от
деления хР—χ на f (х).
c. Пусть л—делитель р— 1, л > 1, (Л, р) = 1. Доказать, что
необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения **«■>!(mod p)
£-1
есть А п sesI (mod ρ), причем в случае разрешимости указанное
сравнение имеет л решений.
11, Пусть л—целое, л > 0 (Λ, т) = 1, и известно одно решение
x«x0(modm) сравнения x*&A (modm). Доказать, что все решения
этого сравнения представятся произведением х0 на вычеты решений
сравнения уп эй 1 (mod m).
394
*!■ in ■!■ ιι щммеры к главе 4
1, а. Решить сравнение 256* нз 179 (mod 337).
b. Решить сравнение 1215* ss 560 (mod 2755).
2, а. Сравнения примеров 1, а и 1, b решить по способу
вопроса 2, с.
Ь. Сравнение 1296* гз 1105 (mod 2413) решить по способу
вопроса 2, с.
3, Найти все павы х, у, удовлетворяющие неопределенному
уравнению 47ж—111^=89.
4, а. Указать общее решение для системы
хштЬг (mod 13), χ » b% (mod 17).
Пользуясь этим общим решением, далее найти три числа,
которые при делении на 13 и 17 давали бы соответственно остатки 1 и
12, 6 и 8, 11 и 4.
Ь, Указать общее решение для системы
xwmbx (mod 25), хшт Ь% (mod 27), хштЬг (mod 59).
6, а. Решить систему сравнений (вопрос в, а)
*a»3(mod8), хшт 11 (mod20), xel(modl5).
b. Решить систему сравнений
XMl(mod3), xa»4(mod5), x*s2(mod7),
$■■9 (mod 11), χwmZ(mod 13).
О» Решить систему сравнений
3^+4^-29«0(mod 143), 2х—9у+84«0 (mod 143).
7, а. Какому сравнению степени ниже 5 равносильно сравнение
3χΗ+4χ*+9χύ+2χιι+χ·+2χ*+4χ''+χ· + Зх* + & + 4х* + 2х«
■■0 (mod б)?
Ь. Какому сравнению степени ниже 7 равносильно сравнение
2х^^6х^+^^Ьхх*+Зх11+2хм+^+5х%+2х^+3^+4^+е^ +
+4**+*+4«e0(mod7)?
6. Какому сравнению со старшим коэффициентом 1 равносильно
сравнение (вопрос 10, а)
70^+78*5+25^+68^+52*f+4x+3««0(modl01)?
9, а. Решить сравнение
/(х) «0(mod27), / (χ)«7χ* +19*+25,
найдя сначала с помощью проб все решения сравнения
/(jr)«.0(mod3).
Ь. Решить сравнение 9*l+29*+62ee0(mod64).
10,·. Решить сравнение ^+2x+2«e0(mod 125).
Ъ. Решить сравнение дс*+4дс*+2*1+2*+12e0(mod625).
11, а. Решить сравнение 6*8+27ж|+17*+20 —(mod30).
Ь. Решить сравнение 31*4+57*8+96*+191»0(mod225).
Глава 5
СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
§ 1. Общие теоремы
a. Из сравнений степени η > 1 в дальнейшем будут
рассматриваться лишь простейшие, а именно — двучленные
сравнения:
xn==a(modm); (α, m) = l. (1)
Если сравнение (1) имеет решения, то α называется
вычетом степени η по модулю т. В противном случае а
называется невычетом степени η по модулю т. В
частности, при η = 2 вычеты или невычеты называются
квадратичными, при п = 3— кубическими, при η = 4 — биквад-
ратичными.
b. В этой главе мы подробно рассмотрим случай л=2
и в первую очередь рассмотрим двучленные сравнения
второй степени по простому нечетному модулю р:
xa^a(modp), (α,ρ)-Ι. (2)
c. Если а—квадратичный вычет по модулю р, то
сравнение (2) имеет два решения.
Действительно, если а—квадратичный вычет, то
сравнение (2) имеет, по крайней мере, одно решение x^x^modp).
Но тогда, ввиду (—xj1 —*}, то же сравнение имеет и
второе решение χ = —rXx (mod p) Это второе решение
отлично от первого, так как из *i = — ^(modp) мы
имели бы 2x1 = 0(modp), что невозможно, ввиду (2,р)=
=(*1.Р)=1.
Указанными двумя решениями и исчерпываются все
решения сравнения (2), так как последнее, будучи
сравнением второй степени, более двух решений иметь не
может (с, § 4, гл. IV).
396
d. Приведенная система вычетов по модулю ρ состоит
из ^- квадратичных вычетов, сравнимых с числами
1\2\ ...,(^)'. (3)
и ^- квадратичных невычетов.
Действительно, среди вычетов приведенной системы
по модулю ρ квадратичными вычетами являются те и
и только те, которые сравнимы с квадратами чисел
(приведенная система вычетов)
—£=i о 1 1 2 ^ (4)
О 9 ' # # 9 *9 * 9 1 9 *9 ' # * » пГ^ t V*/
2
т. е. с числами (3). При этом числа (3) по модулю ρ не
сравнимы, так как из № = 1* (mod ρ), 0 < k < / <£^~ ,
следовало бы, что сравнению ** = /* (modp), вопреки с,
среди чисел (4) удовлетворяют четыре: х=— I, —k, k,L
§ 2. Символ Лежандра
a. Введем в рассмотрение символ Лежандра Г~ j
(читается: символ 4 по р\ α называется числителем,
р—знаменателем символа). Этот символ определяется для всех а,
не делящихся на р. Он задается равенством (~] = 1,
если а—квадратичный вычет по модулю р, и равенством
i^-J==—1, если а—квадратичный невычет по модулю р.
b. Вычислить символ i-jj (и таким путем определить,
является а квадратичным вычетом или же квадратичным
невычетом по модулю р) позволяет следующая теорема
(критерий Эйлера).
При а, не делящемся на р, имеем
/^«(^(modp).
Действительно, по теореме Ферма
о*->а» 1 (modp)f (α""*" — 1) (сГ*~+1 )«■ О(mod p).
397
Один и только один из сомножителей левой части
последнего сравнения делится на ρ (оба сомножителя не могут
одновременно делиться на р, в противном случае их
разность 2 должна была бы делиться на р). Поэтому имеет
место одно и только одно из сравнений
а · sEl(modp), (1)
а · ss—l(modp). (2)
Но всякий квадратичный вычет а удовлетворяет при
некотором χ сравнению* а шт х* (mod ρ) и, следовательно,
также получаемому из него почленным возведением в
степень-2^— сравнению (1). При этом квадратичными
вычетами и исчерпываются все решения сравнения (1),
так как, будучи сравнением степени -^—, оно не может
иметь более чем-^-решений.
Поэтому квадратичные невычеты удовлетворяют
сравнению (2).
Пример 1. Имеем
5" а* 1 (mod 29).
Поэтому Γ-sg-j = 1 и 5—квадратичный вычет по модулю
29 (сравнение х* зз 5 (mod 29) имеет два решения).
Пример 2. Имеем
3" — —l(mod29).
Поэтому (-%r j = —1 и 3—квадратичный невычет по
модулю 29 (сравнение ха ss 3 (mod 29) не имеет решений).
Далее мы выведем важнейшие свойства символа Γ-j) .
с. Если assa^mod/?), то iyj — i-jj .
Это свойство следует из того, что числа одного и того
же класса будут одновременно квадратичными вычетами
или невычетами.
398
Действительно, 1 = I1 и, следовательно,
1—квадратичный вычет.
Это свойство следует из b при а=— 1.
Так как-^ четное, если ρ вида 4т + 1, и
нечетное, если ρ вида 4т+ 3, то отсюда следует, что —1
является квадратичным вычетом по модулю р, если ρ
вида 4т +1» и является квадратичным невычетом по модулю
р, если ρ вида 4т+ 3.
••m~(f)(})-(7)·
Действительно, имеем
-(f) (7)-(7)*-"»·
откуда и вытекает наше утверждение. Отсюда следствие:
т. е. в числителе символа можно отбросить любой
квадратичный множитель.
g. Чтобы вывести дальнейшие свойства символа Ле-
жандра, мы сначала докажем некоторую вспомогательную
формулу. Полагая рг=*£^—, рассмотрим сравнения
a*l^e1r1(modp)i
а-2?з=г2г%(тоар),
(3)
арг*тгР1гРх(тоар)9
где гхгх—абсолютно наименьший вычет αχ, τχ—его
модуль, так что 8x=zfcl.
399
Числа αϊ, —α·1, я-2, — α·2, ... apj, —αρχ
образуют приведенную систему вычетов по модулю ρ
(с, §5, гл. III); их абсолютно наименьшие вычеты суть
Vit —«Л. efrlf —е2г2> ..., ePirPi,—ePirP|.
Положительные из последних, т. е. rlf г2, ..., гр, должны совпадать
с числами 1, 2, ..., Pi (b, § 4, гл. III).
Перемножая теперь сравнения (3) и сокращая на
b2...p1 = r1rt...rPl,
получим α 2 ss 8^2... εΡι (mod ρ), откуда (b) имеем
(|)=8Л...8Р|. (4)
Далее находим
т-[2[т]+2тнй+Ит}]·
что будет четным или нечетным, в зависимости от того,
будет ли наименьший неотрицательный вычет числа ах
меньше или больше γρ, т. е. будет ли εχ= 1 или гх = —1.
Отсюда, очевидно,
Г—1
ε,-(-1)1 ρ J,
и потому из (4) находим
im
Предполагая а нечетным, преобразуем последнее
равенство. Имеем (а + р—четное)
= (-l)xml -(_!)*-»
400
откуда
(τ) (?) -<-)"' ,5)
Формула (5) и есть та, которую мы имели в виду
доказать. Она позволит нам вывести еще два важнейших
свойства символа Лежандра.
Следует из формулы (5) при а=1.
Но ρ можно представить в виде p = 8m+s, где s—одно
из чисел 1, 3, 5, 7. При этом (вт+*)»-1 = 8m»+2ms +
Η—g—, что будет четным при s=l и npns = 7 и будет
нечетным при s = 3 и s = 5. Поэтому 2 будет
квадратичным вычетом по модулю р, если ρ вида 8т +1 или вида
8т + 7, и будет квадратичным невычетом по модулю р,
если ρ вида 8m+ 3 или вида 8т+5.
I. Если ρ и q—простые нечетные, то (закон
взаимности квадратичных вычетов) *
(i _(_,p—r(i .
Так как «^—^-g— будет нечетным лишь в случае,
когда оба числа ρ и q будут вида 4т+ 3, и четным,
если хоть одно из этих чисел будет вида 4m +lf то
указанное свойство можно формулировать так:
Если оба числа ρ и q вида 4т+ 3, то
если же хоть одно из них вида 4т+1, то
ем*)·
401
Для доказательства заметим, что ввиду h формула (5)
принимает вид
Полагая теперь q~ - = y1> рассмотрим ρ^ί пар чисел,
получаемых, когда в выражениях qxf ру числа хну
независимо друг от друга пробегают системы значений
*=»!. 2 рь #=1, 2 <7ι·
Никогда не может быть qx=py, потому что из этого
равенства следовало бы, что ру кратно q, что ввиду
(р, q) = (y, q)= 1 (так как 0 < у < q) невозможно.
Поэтому мы можем положить Ρι9ι»5ι + 5ι· где St—число
пар с qx<py и Sa—число пар с ру< qx.
Очевидно, Sj есть также число пар с х<— у (этому
не противоречит неравенство х^ри так как из— у<4-
следует \j!f\ < [-f] =Ρι)- Поэтому
*-Σ [f у)
Si
Аналогичным путем убедимся, что
s.=i[M·
Но тогда равенство (6) дает нам
(|)=М)5'. {j)=l-^>
поэтому
(Dif) =(-l)*+s—(-1)"",
откуда и следует отмеченное свойство.
402
§ 3. Символ Якоби
a. Полезным обобщением символа Лежандра является
символ Якоби. Пусть Р —нечетное, большее единицы, и
Ρ~ΡιΡ% ··· Рг—разложение его на простые сомножители
(среди них могут быть и равные). Пусть, далее, (а, Р)=* 1.
Тогда символ Якоби (y-j определяется равенством
(*)-(*)(*)·■■(*)■
Известные свойства символа Лежандра дают возможность
установить аналогичные свойства и для символа Якоби.
b. Если a ass ах (mod Ρ), то (ψ) — (ψ)·
Действительно,
потому что а, будучи сравнимо с ах по модулю Р, будет
сравнимо с ах и по модулям ри р2, ..., рп которые
являются делителями Р.
c. (*)-..
В самом деле,
4 (τ)"!-»'''·
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
но
Ρ— 1_ΡιΡ»···Ργ — >_
2 2
(i+2gyi)(i+»flyl)...(i+»ef^)-.i
Pi — ^ ι Pi—l ι ι Pr—1 ι од/
»—2—I—δ—г·· Η—5—r^Vf
P.-l
403
ввиду чего из формулы (1) выводим
Действительно,
я(£) (*г)' · Чл)·· '("£)(р7)· · Лр7) ;
собирая символы с одинаковыми числителями, мы и
получим утверждаемое свойство. Отсюда следствие:
(¥)-(*).
I.(f) -(-ΐΛ".
Действительно,
(*)-(*)(*)-£)-<-'~^
(2)
но
Ρ«-1^/>ίρ|·..ρ?-1 ^
* (,+8#1)(ι+»#1)···('+^)-'
~" 8 -
=^FL+^Fi+ · · · + -^+2ЛГ,
ввиду чего из формулы (2) выводим
(ί)-<-1>~
g. Если Ρ и Q—положительные нечетные взаимно
простые, то
(*)-(-«)т'_г№)·
pf-i ρϊ-ι pj-i
* -Л— +. ..+ —
8
404
Действительно, пусть Q = q1q2. ..qs есть разложение Q
на простые сомножители (среди них опять-таки могут
быть равные). Имеем
(*НМ)--(*)-дд(*)-
α=ιβ=ι\^„ J
_(_,Д^)(я1^)ф
Но, подобно тому, как в d, находим
α = 1 β=1
ввиду чего последняя формула дает
h. Рассматривая символ Лежандра как частный случай
символа Якоби и пользуясь свойствами последнего, можно
вычислить символ Лежандра быстрее, чем с помощью
теоремы Ь, § 2.
Пример. Узйаем, сколько решений имеет сравнение
х* = 219 (mod 383).
Имеем (применяя последовательно свойства g, b,
следствие е, g, b, e, f, g, b, d):
/219\ _ _/383\ /|64\ _ _M]\ _
\383У — V219/ \219/ V219;
—(ί)—(¥)—ί^)-'
следовательно, рассмотренное сравнение имеет два
решения.
405
§ 4. Случай составного модуля
a. Двучленные сравнения второй степени по
составному модулю исследуются и решаются согласно общим
указаниям § 5, гл. IV.
b. Сначала рассмотрим сравнение
^-a(modpa); a>0, (a, р)-1, (1)
где р—простое нечетное.
Полагая f(x) = tf—a9 будем иметь /'(*) = 2*, и если
х а» хх (mod ρ) есть решение сравнения
х* шла (mod p), (2)
то ввиду (а, р)«*1 также (хи р)«1, а так как
р—нечетное, то (2*!, р)=»1, т.е. /'(xj не делится на р.
Поэтому к разысканию решений сравнения (1) можно
применить рассуждения Ь, § б, гл. IV, причем каждое
Еешение сравнения (2) даст одно решение сравнения (1).
[з сказанного выводим, что
Сравнение (1) имеет два решения или же ни одного,
в зависимости от того% будет ли число а квадратичным
вычетом или же невычетом по модулю р.
c. Далее рассмотрим сравнение
x«»a(mod2a); a>0, (a,2)»l. (3)
Здесь /' (хх)« 2хх делится на 2, и потому рассуждения Ь,
§ 5, гл. IV неприменимы; они должны быть видоизменены
следующим образом:
d. Если сравнение (3) разрешимо, то ввиду (а, 2)»1
имеем (*, 2) — 1; следовательно (h, S 2), х%—\ делится
на 8. Поэтому, приводя сравнение (3) к виду
(x«-l) + l—a(mod2a),
убеждаемся, что для разрешимости этого сравнения
необходимо
а шш 1 (mod 4) при a « 2; а ш 1 (mod£) при a > 3. (4)
e. В случаях, когда условия (4) не нарушены,
рассмотрим вопрос о разыскании решений и их числе.
Для случаев а<3 ввиду d сравнению удовлетворяют
все нечетные числа. Поэтому сравнение x*wma (mod 2)
406
имеет одно решение: χ = 1 (mod 2), сравнение χ* эе a (mod 4)
имеет два решения: χ = 1; 3 (mod 4), сравнение x2a»a (mod 8)
имеет четыре решения: χ sal; 3; 5; 7 (mod 8).
Для рассмотрения случаев α = 4, 5, ... все нечетные
числа полезно объединить в две арифметические прогрессии:
х = ±(1+4/8) (5)
(1+4/з=1 (mod 4); - 1 —4/8 = - 1 =3(mod4)).
Посмотрим, какие из чисел (5) удовлетворяют сравнению
xa = a(mod 16). Находим
(l+4/8), = a(modl6)> /8 = ^(mod2),
*β = 'ί + 2/4,
* = ±(1+4/; + 8/4) = ±(х4 + 8/4).
Посмотрим, какие из последних чисел удовлетворяют
сравнению х* ав a (mod 32). Находим
(х4 + Ы,У ш* a (mod 32), t4 - П + 2*6, * = ± (*» + 16/в),
и т. д. Таким путем убедимся, что при любом a > 3
значения х, удовлетворяющие сравнению (3), представятся
в виде
* = ±(xa + 2*-l/a).
Эти значения к образуют четыре различных решения
сравнения (3)
χ = χα; ха+2а~1; —ха; — ха—2a"l(mod2a)
(по модулю 4 два первых сравнимы с 1, а два последних
сравнимы с — 1).
Пр'имер. Сравнение
xa = 57(mod64) (6)
ввиду 57s 1 (mod 8) имеет четыре решения. Представляя
χ в виде х=±(1+4/8), находим
(1 +4/,)* =*57 (mod 16), 8/, = 56 (mod 16),
fsEal(mod2), /8=1+2/4, x==fc(5 + 8f4),
(5 + 8/4)f = 57(mod 32), 5· 16*4=s32(mod32),
/4 = 0(mod2), f4 = 2*e, x=±(5+16/8),
(5+16/e)8s57(mod64), 5.32/e = 32(mod64),
tb— l(mod2), /e=l+2/e, x=± (21+32*.).
407
Поэтому решения сравнения (6) будут:
* = ±21; ±53(mod64).
f· Из с, d и е следует:
Для сравнения
*» = a(mod2a); (a, 2)=1
необходимыми условиями разрешимости будут: as 1 (mod 4)
при a = 2, a=l(mod8) при a^3. Если эти условия не
нарушены, число решений будет: 1 при<х = 1; 2 яра a = 2;
4 при <г^3.
g. Из b, f и из а, § 5, гл. IV следует:
Для сравнения общего вида
*a = a(modm); т = 2ар?'р?' ... /?£*; (а, т)=1
необходимыми условиями разрешимости будут:
а =1 (mod 4) при а = 2, as 1 (mod8) при а^3,
(*)-'■(*)-' (£)-'■
£сли ни одно из этих условий не нарушено, число
решений будет: 2* при а = 0 и при а=1; 2Λ+1 яра а = 2;
2*+* при а>3.
Вопросы к главе 5
Буквою ρ здесь всегда обозначаем простое нечетное число.
1. Доказать, что разыскание решений сравнения вида
алга+6*+сяз0(тос1/я), (2а, т) = 1
сводится к разысканию решений сравнения вида дс2 в q (mod m).
2, а. Пользуясь Ь, § 2, найти решения сравнения (в случае его
возможности)
х2 «з a (mod p)\ /? = 4m-f-3.
b. Пользуясь b и h, § 2, указать способ разыскания решений
сравнений вида
х*шта (mod р)\ ρ = 8m+5.
c. Указать возможно более простой способ разыскания решений
сравнений вида
х2 еа a (mod p)\ р = Вт+1
в случае, когда известен некоторый квадратичный невычет N по
модулю р.
408
d. Пользуясь теоремой Вильсона, доказать, что решения
сравнения
х*+ 1 »з0 (modρ); p = 4m+1
будут
xsm ± 1-2 ... 2т(modρ).
3. а. Доказать, что сравнение
*»+1—O(modp) (1)
разрешимо тогда и только тогда, когда ρ имеет вид 4m-f-1; сравнение
x2-f2"- 0 (mod ρ) (2)
разрешимо тогда и только тогда, когда ρ имеет вид 8т4-1 или
8т+3; сравнение
**+3 —O(modp) (3)
разрешимо тогда и только тогда, когда ρ имеет вид бт+1.
b. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 4ш+1.
c. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 6m-f 1-
4. Пусть, разбивая числа 1, 2 р—1 на две совокупности,
вторая из которых содержит не менее одного числа, имеем:
произведение двух чисел одной совокупности сравнимо по модулю ρ с
числом первой совокупности, а произведение двух чисел различных
совокупностей сравнимо по модулю ρ с числом второй совокупности.
Доказать, что это будет тогда и только тогда, когда первая
совокупность состоит из.квадратичных вычетов, а вторая—из квадратичных
невычетов по модулю р.
5. а. Вывести теорию сравнений вида
jt2ssa(modpa); (a, p) = l,
представляя а и χ в системе исчисления с основанием р.
Ь. Вывести теорию ера-нений вида
х2шва (mod 2*)\ (a, 2) = 1,
представляя а и χ в системе исчисления с основанием 2.
6. Доказать, что решения сравнения
x2s3a(modpa); (a, p) = l
будут *эв ± PQ' (mod pa), где
(z+}r-a)« + (z-Vli)«
*~ 2 '
Q W=a '
2* ss a (mod p), QQ' ■■ 1 (mod pa).
7. Указать способ решения сравнения x*& 1 (mod/л),
основанный на том обстоятельстве, что указанное сравнение равносильно
такому: (х— 1) (x+l) = Q'(modm).
8. Пусть ( — )=0 при (а, р) = р.
409
а. При (ky p) = l доказать, что
5m=--
x=Q
b. Пусть каждое из чисел ε и η имеет одно из значений ±1,
Г—число пар х, х+1, где *=1,2, ..., р—2, с условием ( — J = β,
f -i-) = η. Доказать, что
Γ = 1(ρ_2-ε(^)-η-εη).
c. Пусть (к, р) = \,
х у
где χ и у пробегают возрастающие последовательности, составленные
соответственно из X и У вычетов полной системы по модулю ρ.
Доказать, что
| S |< ТОПР>. .
Для доказательства следует воспользоваться неравенством
χ \ у I
d. Пусть Q—целое, 1 < Q < р<
р-1 Q-1
*»0 г=0
α) Доказать, что S = (p—Q)Q.
β) Пусть λ—постоянное; 0 < λ < 1. Доказать, что число Τ чисел
ряда х=0, 1 р— 1, для которых не выполняется условие
5*<<2β'6+0»6λ, удовлетворяет условию Τ <pQ-V
γ) Пусть Λί—целое, Q = [Vp]9 0 < Λί, Λί+2(?<ρ. Доказать,
что в ряде
Λί, Λί + 1 Λί+2<2 — 1
имеется квадратичный невычет по модулю р.
9, а. Доказать, что число представлений целого т > 1 в виде
т=х2+уа, (*, у) = 1, х>0, у>0 (1)
равно числу решений сравнения
г*+\ш*0(тоат). (2)
410
имеем
Для доказательства, положив τ= |/7п, ЮСПОЛЬЗОваТЬСЯ ПреДСТаВ-
лением а=— согласно теореме вопроса 4, Ь, гл. I, н рассмотреть
сравнение, получаемое почленным умножением (2) на Q*.
b. Пусть а—одно из чисел 2 н 3. Доказать, что число представ*
лений простого ρ с условием ρ >α в виде
р=х* + ау\ х>0, у>0 (3)
равно половине числа решений сравнения
г*+ашшО(тоар). (4)
c. Пусть ρ имеет вид 4m+l, (k, р) = 1,
Доказать, что
a) S(fc)—четное число.
β) S(*<2)=(£)$(*).
**.(±)-.. (Λ)_-,.
»-r(4-s«)'+(4-S(»>)'·
10. Пусть D—целое положительное, не являющееся квадратом
целого числа. Доказать, что:
a. Если при данном целом k уравнению
a:2—Dy2 = k
удовлетворяют две пары целых *=*ι, y~yi и x=xt,y=yti то
уравнению
Ха— -DK2 = *2
удовлетворяют целые Λ, К, определяемые равенством (знак ±
выбирается произвольно)
Χ + Υ}Γΰ= (хг+У1УЪ) (х% ± у%}ГЪ).
b. Уравнение (уравнение Пелля)
х2—Dy2-1 (П
разрешимо в целых положительных *, у.
c. Если х0> ί/ο—пара положительных jt, у с наименьшим * (или,
что равносильно, с наименьшим x+yVti), удовлетворяющая
уравнению (1), то все пары положительных х, у, удовлетворяющие этому
уравнению, определяются равенством
x + yY~D = (x0+yQyrD)r\ г = 1, 2, ... (2)
411
αχ*
II. Пусть т> 2, (α, m) = l,
m-i 2л/-—
a. Доказать, что
\Satm\=Y~mt если meal (mod2),
15^Л |=0, если msss2(mod4),
|S«. 1я1=К 2/n» ^ли /и es 0 (mod 4).
b. Пусть (Л, р) = 1, Λί и Q —целые, 0 < Λί < M-^Q^p.
α) При любом целом а доказать, что
Σ * р
β) При ρ > 60, пользуясь теоремой вопроса а), доказать, что
-V7.
2 « Р
<V~p\np.
γ) Пусть Λί0 и Qo—целые, 0 < Λί0 < Mo+Qo^P и Τ
обозначает число чисел Ах\ х — М, М+\ Λί + Q —1, сравнимых по
модулю ρ с числами ряда Λί0, Λί0+1, ..., MQ+Q — 1. Доказать,
что при /> > 60 имеем
Γ==:Μ+θ^7(1ηρ)ΜΘ|<;1.
δ) Пусть (α, ρ)=1. Доказать, что
Р-1
*"-S(i)
.ах
2Я1 —
ε) Из теоремы вопроса 11, а следует, что \SafP\ = Υ ρ- То же
самое доказать, используя представление Suf p равенством вопроса 6).
η) Пусть (а, />) = !. Доказать, что при*некотором θ с условием
| θ | = 1, не зависящем от а, имеем
( а\— Sa»P
\р) Ъ\Гр'
κ) Пользуясь теоремой вопроса 0), доказать, что
|Ai + Q-l
Σ (f)
х=М ч^7
< γρ\ηρ.
λ) Пусть R—число квадратичных вычетов, а N—число
квадратичных невычетов в ряде Μ, Λί+l. ..., Af + Q—1. Доказать, что
ϋ = γ(} + γΫΊ\ηρ, iV-i-Q-Iyn; in р. |θ|<1.
412
μ) Вывести формулы вопроса λ), рассматривая сумму
р-1 р-1 Λί + Q-l М + Q-\ шшт, a (x-ay)
Σ Σ Σ Σ (f)«~-
ν) Пользуясь теоремой вопроса δ), при ρ > 60, Q = [6|/~p]
доказать, что в ряде Λί, Λί+1, ..., Ai-J-Q — 1 имеется квадратичный
невычет по модулю р.
Численные примеры к главе 5
1,а. Среди вычетов приведенной системы по модулю 23 указать
квадратичные вычеты.
Ь. Среди вычетов приведенной системы по модулю 37 указать
квадратичные невычеты.
2, а. Применяя Ь, § 2 указать число решений сравнений
а) х2» 3 (mod 31); β) χ*« 2 (mod 31).
b. Указать число решений сравнений:
α) χ2 sa 5 (mod 73); β) χ2 ■■ 3 (mod 73).
3, а. Вычисляя символ Якоби, указать число решений сравнений
а) х2 -■ 226 (mod 563); β) χ2 s 429 (mod 563).
b. Указать число решений сравнений:
α) хгшт 3766 (mod 5987); β) χ2 шл 3149 (mod 5987).
4, а. Применяя способы вопросов 2, а; 2, b; 2, с, решить сравнения
а) х2-в5 (mod 19); Ρ) х2е5 (mod29); γ) *2в*2 (mod97).
b. Решить сравнения:
α) *2sa2(mod311); β) χ2■■ 3 (mod277); γ) *2ез 11 (mod353).
5, а. Решить сравнение х% ез 59 (mod 125) способами α) b, §4;
β) вопроса 5, а; у) вопроса в.
Ь. Решить сравнение x2ss91 (mod 243).
6, а. Решить сравнение **s=41 (mod 64) способами:
ос) d, § 4; β) вопроса 5, b.
b. Решить сравнение лг2зз 145 (mod 256).
Глава 6
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
§ 1. Общие теоремы
a. При (а, т) = 1 существуют положительные у с
условием av si 1 (mod m), например (теорема Эйлера) γ = φ (m).
Наименьшее из них называется: показатель, которому
а принадлежит по модулю т.
b. Если а по модулю т принадлежит показателю δ,
то числа 1=αα, а1, ..., а6"1 по модулю т несравнимы.
Действительно, из а1 к ak (mod m), 0 ^k < / < δ
следовало бы α'~ΛΞ=Ξΐ (modm); 0</—£<δ, что
противоречит определению б.
c. Если а по модулю т принадлежит показателю δ,
то аУ =в a*' (mod m) тогда и только тогда, когда
у = γ' (mod 6); в частности (при γ' = 0), avsl(modm)
тогда а только тогда, когда у делится на δ.
Действительно, пусть г и гх—наименьшие
неотрицательные вычеты чисел γ и γ' по модулю δ; тогда при
некоторых q и qx имеем y = 6q + r, v' — tyi + fi. Отсюда
и из a°=l(modm) следует
αν =* (α6)1/ αΛ si a' (mod m),
av = (д6)*. ar» за a'* (mod m).
Поэтому аУ = аУ' (modm) тогда и только тогда, когда
a'=3ar»(mod/n), т. е. (Ь), когда r = rt.
d. Пусть а по модулю m принадлежит показателю δ.
Тогда из с (γ' = 0) и из a*(m>= I (mod/n) следует, что
φ (m) делится на δ. Таким образом, показатели, которым
числа принадлежат по модулю т9 суть делители φ(/η).
Наибольший из этих делителей есть само φ(/η). Числа,
принадлежащие показателю φ (m) (если такие существуют),
называются первообразными корнями по модулю т.
414
§ 2. Первообразные корни по модулям ра и 2ра
a. Пусть ρ—простое нечетное иа>1, Докажем
существование первообразных корней по модулям ра и 2ра.
b. Если χ по модулю т принадлежит показателю ab,
то ха принадлежит показателю Ь.
Действительно, пусть Xй принадлежит показателю δ.
Тогда (jc^esI (modm), откуда *°* = 1 (modm);
следовательно (с, § 1), аЬ делится на ab, т. е. δ делится на Ь.
С другой стороны, xfl*ss 1 (mod m), откуда (ха)ъ= 1 (mod m);
следовательно (с, § 1), Ь делится на δ. Поэтому δ = 6.
с· Если χ по модулю т принадлежит показателю а,
а у—показателю 6, причем (а, Ь)= 1, то ху принадлежит
показателю ab.
Действительно, пусть ху принадлежит показателю δ.
Тогда (ху)6 = 1 (mod т). Отсюда хЬ6уЬ6 = 1 (mod m) и (с, § 1)
Xмза 1 (modm). Поэтому (с, § 1) ьЬ делится на а, и ввиду
(ft, а) = 1 δ делится на а. Так же находим, что δ делится
на 6. Делясь же на α и на 6, ввиду (а, Ь) = 1 δ делится
и на об. С другой стороны, из (ху)аЬ== 1 (modm) следует
(с, § 1), что ab делится на δ. Поэтому δ = α£>.
. d. Существуют первообразные корни по модулю р.
Действительно, пусть
Ьи δ2, ...Л (1)
— все различные показатели, которым по модулю ρ
принадлежат числа 1, 2, ..., (р—-1). Пусть τ—общее
наименьшее кратное этих показателей и
— его каноническое разложение. Каждый множитель q**
этого разложения делит по меньшей мере одно число bf
ряда (1), которое, следовательно, может быть
представлено в виде: bj=*aq*s. Пусть \f—одно из чисел ряда
1, 2, ..., р— 1, принадлежащих показателю бу.
Согласно b число η/=|/ принадлежит показателю q**9
согласно с произведение β = ηιη>.ηΛ принадлежит
показателю tf?1??'· · · ^Л = т. Поэтому (d, § 1) τ—делитель
р-1.
415
Но поскольку числа (1) делят τ, все 1, 2, ..., р— 1
являются решениями (с, § 1) сравнения хтэ1 (mod/?);
поэтому, согласно с, § 4, гл. IV, будем иметь ρ—Ι <τ.
Следовательно, τ=ρ—1 и g—первообразный корень.
е. Пусть g —первообразный корень по модулю р. Можно
указать t с условием, что а, определяемое равенством
(ί+Ρθ/>"1= 1+Ρ«ι не делится нар. Соответствующее
g+pt будет первообразным корнем по модулю ра, при
любомι'α > 1.
Действительно, имеем
(g+pty-l=l+p(T0-gr-*t+pT)=l+pu, W
где, одновременно с /, и пробегает полную систему
вычетов по модулю р. Поэтому можно указать / с
условием, что и не делится на р. При таком / из (2) выводим
(£+р0'<'-1> = (1 +ри)'= 1+р*и2,
(g+pt)pa'1{p^^l+pauai
где все иа, uSJ ..., иа также не делятся на р. Пусть
g-\-pt принадлежит показателю δ по модулю ра. Тогда
имеем (g+pt)6^ 1 (modp06), откуда, в частности, находим
g^ssljmodp). Поэтому (с, § 1) δ делится на р—1 и,
будучи (d, § 1) делителем числа φ (ρα) = ρ06"1 (ρ— 1), должно
иметь вид δ = ρ9"1 (ρ— 1),где г—одно из чисел 1, ..., α.
А так как равенства (2) и (3) показывают, что сравнение
(g+pty'"1 {р-г) ^ 1 (mod pa)
верно при г=<х и неверно при г<а, то (d, § 1) δ»
= ρα-ΐ(ρ—1) = φ(ρα) и g+pt—первообразный корень
по модулю ρα.
f. Пусть α>1 и g— первообразный корень по модулю
ра. Нечетное g0 из чисел g и g+pa будет первообразным
корнем по модулю 2ра.
Действительно, φ(ρα) и φ(2ρα) равны между собою
(имеем φ(2ρα) = φ(2)φ(ρα) = φ(ρα)); их общее значение
обозначим буквою с. Далее легко убедимся, что
сравнения go=l(modpa) и gijss 1 (mod 2pa) могут выпол-
416
няться лишь одновременно (gj— 1 делится на 2). А так
как go—первообразный корень по модулю ра и первое
сравнение верно при г = си неверно при г < с, то тем
самым и второе сравнение верно при г = си неверно при
г<с и g9—первообразный корень по модулю 2ра.
§ 3. Разыскание первообразных корней
по модулям ра и 2ра
Первообразные корни по модулям ра и 2ра, где р —
простое нечетное иа> 1, можно разыскивать, пользуясь
следующей общей теоремой:
Пусть с = <р(/п) и qu qit ..., qk—различные простые
делители числа с. Для того чтобы число g9 взаимно
простое с т, было первообразным корнем по модулю т,
необходимо и достаточно, чтобы это g не удовлетворяло ни
одному из сравнений
g*1^ l(mod/n), gQt=l(modm)t ..., gQ* в 1 (modm).
(О
Действительно, если g—первообразный корень, то
тем самым оно принадлежит показателю с и,
следовательно, ни одному из сравнений (1) удовлетворять не
может.
Обратно, допустим, что g не удовлетворяет ни одному
из сравнений (1). Если бы показатель δ, которому
принадлежит gf оказался меньше с, то, обозначая буквою q
с с
один из простых делителей -у, мы имели бы ~^=squ,
с
~ = би, gq = 1 (modp), что противоречит нашему
допущению. Значит, б = с и g—первообразный корень.
Пример 1. Пусть т = 41. Имеем φ(41) = 40 = 28·5,
^ = 8, ^ = 20. Следовательно, для того чтобы число g,
не делящееся на 41, было первообразным корнем по
модулю 41, необходимо и достаточно, чтобы это g не
удовлетворяло ни одному из сравнений
g«=l (mod 41), g"=\ (mod 41). (2)
417
Но, испытывая числа 2, 3, 4, ..., находим (по модулю 41)
2·^ 10, 3«sl, 4·3ξ18, 5·δδ18, 6·= 10,
2»°Eal, 4"esl, 5iesl, 6*°=з40.
Отсюда видим, что числа 2, 3, 4, 5—не первообразные
корни, так как каждое из них удовлетворяет, по
крайней мере, одному из сравнений (2). Число
6—первообразный корень, так как оно не удовлетворяет ни одному
из сравнений (2).
Пример 2. Пусть /л = 1681 = 41*. Первообразный
корень и здесь можно было бы найти, пользуясь общей
теоремой. Но мы найдем его проще, применяя теорему е,
§ 2. Зная уже (пример 1), что первообразный корень по
модулю 41 есть 6, находим
6*°= 1+41 (3+41/),
(6 + 41/)"= 1+41 (3 + 41/—6**/ + 41Г) = 1+41и.
Чтобы α не делилось на 41, достаточно взять / = 0.
Поэтому в качестве первообразного корня по модулю 1681
можно взять число 6+41.0 = 6.
Пример 3. Пусть/η = 3362 = 2· 1681. Первообразный
корень и здесь можно было бы найти, пользуясь общей
теоремой. Но мы найдем его проще, применяя теорему f,
§ 2. Зная уже (пример 2), что первообразный корень по
модулю 1681 есть 6, в качестве первообразного корня по
модулю 3362 можно взять нечетное из чисел 6, 6 + 1681,
т. е. число 1687.
§ 4. Индексы по модулям ра и 2ρα
a. Пусть р—простое нечетное, а>1; т—одно из
чисел ра и 2ра\ c = <p(m), g—первообразный корень по
модулю т.
b. Если у пробегает наименьшие неотрицательные
вычеши γ = 0, 1, ..., с— 1 по модулю с, пю g* пробегает
приведенную систему вычетов по модулю т.
Действительно, gv пробегает с чисел, взаимно простых
с т, и ввиду Ь, § 1, не сравнимых по модулю т.
c. Для чисел а, взаимно простых с т, введем
понятие об индексе, представляющее аналогию понятию о ло-
418
гарифме; при этом первообразный корень играет роль,
аналогичную роли основания логарифмов.
Если
a be gv (mod m)
(считаем γ>0), то у называется индексом числа а по
модулю т при основании g и обозначается символом у =
= inda (точнее, γ=!ηά,α).
Ввиду b всякое а, взаимно простое с т, имеет
некоторый единственный индекс γ' среди чисел ряда
Y = 0t 1 с-\.
Зная γ', мы можем указать и все индексы числа а\
согласно с, § 1 это будут все неотрицательные числа
класса
Υ^*γ' (mode).
Непосредственно из данного здесь определения индекса
следует, что числа с данным индексом у образуют класс
чисел по модулю т.
d. Имеем
indab...I =§ ind a + ind b+... + ind / (modс)
и, в частности,
ind ап = η ind a (mod с).
Действительно,
а = g,nd a (mod m)tb = £ind ь (mod m), ..., /=-gindl (mod m),
откуда, перемножая, находим
ab.. Jssgindfl+lnd*+---+tad/(modm).
Следовательно, ind a+ ind b+ ... + ind /—один из
индексов произведения ab...l.
с. Ввиду практической пользы индексов для каждого
простого модуля ρ (разумеется, не слишком большого)
составлены таблицы индексов. Это две таблицы; одна —
для нахождения индекса по числу, другая—для
нахождения числа по индексу. Таблицы содержат наименьшие
419
неотрицательные вычеты чисел (приведенная система)
и их наименьших индексов (полная система)
соответственно по модулям ρ и с = у(р) = р—1.
Пример. Построим указанные таблицы для модуля
ρ=41. Выше было показано (пример 1, § 3), что
первообразным корнем по модулю 41 будет g=6;ero мы
примем за основание индексов. Находим (сравнения берутся
по модулю 41):
6° = 1 6» а- 10 6"sa 18 6" as 16 6»» =s 37
6>= 6 6·== 19 6"зэ26 6"=sl4 6»*=э17
6«=36 б10 = 32 6" ез 33 6й = 2 6м зз 20
6» зз И 6usb28 6» = 34 6"== 12 6"s=38
6' зз25 6»= 4 6"sa40 6"sa31 6Mss23
6's27 6"— 24 6й а-35 6» = 22 6'7=15
6'нэ39 6"ss21 6"ss 5 6iess 9 6»»ss 8
за29 6"£s 3 6» = 30 6*s=13 6*»s= 7
поэтому указанные таблицы будут
ρ —41. ρ-1=2»·5, g=6
if 0
о
ι
2
3
4
1
8
34
23
20
1
1
0
3
14
28
2
26
27
29
10
3
15
31
36
18
4
12
25
13
19
5
22
37
4
21
6
1
24
17
2
7
39
33
5
32
8
38
16
11
35
9
bo
! 9
7
6
/
о
h
|2
3
0
1
32
ko
9
1
6
28
35
13
2
36
4
5
37
3
11
24
30
17
4
25
21
16
20
5
27
3
14
38
6
39
18
2
23
7
2Γ
26
12
15
8
10
33
31
8
9
19
34
22
Ί
Здесь номер строки указывает число десятков, номер
столбца—число единиц числа (индекса). В графе, общей
указанным строке и столбцу, помещается
соответствующий индекс (число).
Например, ind25 найдем в графе первой таблицы,
общей строке с номером 2 и столбцу с номером 5, т. е.
ind25=4. Число, индекс которого 33, найдем в графе
второй таблицы, общей строке с номером 3 и столбцу
с номером 3, т. е. 33= ind 17.
420
§ 5. Следствия предыдущей теории
a. Пусть р—простое нечетное; а>1, т—одно из
чисел ра, 2ра, наконец, c = q>(m).
b. Пусть (я, £) = d; тогда:
1. Сравнение
хп*за (mod т)\ (α, m) = 1 (1)
разрешимо (и тем самым а есть вычет степени η по
модулю т) тогда и только тогда, когда 'та а кратен d.
В случае разрешимости сравнение имеет d решений.
2. В приведенной системе вычетов по модулю т число
вычетов степени η есть -£ .
Действительно, сравнение (1) равносильно такому:
nindxsindfl(modc), (2)
которое разрешимо тогда и только тогда, когда inda
кратен d (d, § 2, гл. IV).
В случае разрешимости сравнения (2) найдем d
несравнимых по модулю с значений для ind x\ им отвечает d
несравнимых по модулю m значений для х.
Таким образом, верно утверждение 1.
Среди чисел 0, 1, ..., с—1, являющихся
наименьшими индексами вычетов приведенной системы по
модулю т, имеется -~ кратных d. Поэтому верно
утверждение 2.
Пример 1. Для сравнения
**Е=з 23 (mod 41) (3)
имеем (8, 40) =8, причем ind 23 =36 не делится на 8.
Поэтому сравнение (3) неразрешимо.
Пр'имер 2. Для сравнения
х" = 37(тоа41) (4)
имеем (12, 40) = 4, причем ind 37 = 32 делится на 4.
Поэтому сравнение (4) разрешимо, причем это сравнение
имеет 4 решения. Указанные решения найдем следующим
образом.
421
Сравнение (4) равносильно таким:
12 i nd x wm 32 (mod 40), ind χ sa 6 (mod 10).
Отсюда для ind x найдем 4 несравнимых по модулю 40
значения:
ind χ= 6, 16, 26, 36,
соответственно чему найдем 4 решения сравнения (4)
χξ«39; 18; 2; 23(mod41).
Пример 3. Числа
1, 4, 10, 16, 18, 23, 25, 31, 37, 40, (5)
индексы которых кратны 4, суть все биквадратичные
вычеты (или также все вычеты любой степени η = 4, 12,
28, ..., где (л, 40) = 4), имеющиеся среди наименьших
положительных вычетов по модулю 41. Число чисел ряда (5)
есть 10= — .
4
с. С утверждением Ь, 1 тесно связано следующее.
Число а есть вычет степени η по модулю т тогда
и только тогда, когда
аТ^1(то£т). (6)
Действительно, условие inda=0(modd) равносильно
такому: -j ind агз 0 (mode). Последнее же равносильно
условию (6).
Пример. В теореме § 3 невозможность сравнения
g*sl(modm) равносильна условию, что g—невычет
степени q по модулю т. В частности, невозможность
сравнения g% as l (modm) равносильна условию, чтоg—
квадратичный невычет по модулю' т (ср. Ь, § 2, гл. V).
d.l. Показатель δ, которому \а принадлежит по
модулю т, определяется равенством (ind'a, c) = -g-; в
частности, принадлежность а к числу первообразных корней
по модулю т определяется равенством (ind α, с) *■ 1.
2. В приведенной системе вычетов по модулю т число
чисел, принадлежащих показателю δ, есть φ (δ); в част-
ностыу число первообразных корней есть φ (с).
422
Действительно, δ есть наименьший делитель с с
условием а6=\ (modm). Это условие равносильно
δ ind α= Ο (mod с),
или
indassOimod-g-J .
Значит, δ—наименьший делитель с, при котором у делит
inda, отсюда у—наибольший делитель с, делящий ind a,
т.е. 4·= (indα, с). Поэтому верно утверждение 1.
Среди чисел 0, 1, ..., с—1, являющихся
наименьшими индексами вычетов приведенной системы по
модулю т, кратными -£ являются числа вида -~#, где
(/ = 0, 1, ..., δ—1. Условие (х^Ч—у равносильно
условию (у, δ) = 1; последнему удовлетворяет φ (δ)
значений у. Поэтому верно утверждение 2.
Пример 1. В приведенной системе вычетов по
модулю 41 числами, принадлежащими показателю 10, яв-
40
ляются числа а с условием (inda, 40) = ^ = 4, т. е. числа
4, 23, 25, 31.
Число этих чисел есть 4 = φ (10).
Пример 2. В приведенной системе вычетов по
модулю 41 первообразными корнями являются числа а
с условием (inda, 40)= 1, т.е. числа
6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35.
Число этих первообразных корней есть 16 = φ (40).
§ 6. Индексы по модулю 2а
a. Для модуля 2 предыдущая теория заменяется
несколько более сложной.
b. Пусть а=1. Тогда 2а = 2. Имеем φ(2)=1.
Первообразным корнем по модулю 2 будет, например, 1 з=
ai — 1 (mod 2). Число 1°= (—1)°= 1 образует приведенную
систему вычетов по модулю 2.
423
c. Пусть α =2. Тогда 2α = 4. Имеем ср(4) = 2.
Первообразным корнем по модулю 4 будет, например, 3 =
=—l(mod4). Числа (—1)°=1, (—l)1 = 3(mod4)
образуют приведенную систему вычетов по модулю 4.
d. Пусть а>3. Тогда 2а>8. Имеем φ(2α) = 2α"1.
Нетрудно видеть, что первообразных корней в этом
случае нет; более точно: показатель, которому принадлежит
по модулю 2а нечетное число х9 не превосходит 2а~* =
= -g-(p(2a). Действительно, имеем
х*=1 + 16/2,
х»а-* = ι +2а/а>2= 1 (mod 2a).
При этом числа, принадлежащие показателю 2а~2,
существуют. Таким числом будет, например, 5.
Действительно,
5=1+4,
52=1+8+16,
54=1 + 16 + 32и2,
откуда видим, что ни одна из степеней 51, 52, 54, ..., 5а(Х~3
не сравнима с 1 по модулю 2а.
Нетрудно видеть, что числа двух следующих строк:
5°, 51, ..., 5*а~*-1
—5°, —51, ..., — δ*0*"2-1'
образуют приведенную систему вычетов по модулю 2а.
Действительно, число этих чисел будет 2·2α-* = φ(2α);
числа каждой отдельно взятой строки между собой по
модулю 2а несравнимы (Ь, § 1); наконец, числа верхней
строки несравнимы с числами нижней, так как первые
по модулю 4 сравнимы с 1, а вторые с —1.
е. Для удобства дальнейших исследований мы
выразим результаты Ь, с, d в более единообразной форме,
которая будет пригодна и в случае а = 0.
424
Пусть
с=1, с0=1, если α = 0, или α=1;
с = 2, c0 = 2a-f, если а>2
(таким образом всегда α?0 = φ(2α)), и я#ст& γ α γ0
независимо друг от друга пробегают наименьшие
неотрицательные вычеты
γ = 0, ..., с— 1; γ0 = 0 с0—1
по модулям с и с0. Тогда (—1)ν5ν· пробегает
приведенную систему вычетов по модулю 206.
f. Сравнение
(—1)?5* = (— l)Y'5vi(mod 2а) (1)
имеет место тогда и только тогда, когда
γ & γ' (mod с), γβ s= γί (mod c0).
Действительно, при а = 0 теорема очевидна. Поэтому
предположим, что а>0. Пусть наименьшие
неотрицательные вычеты по модулям с и с0 для чисел γ и у,
будут г и г„ а для чисел γ' и γί будут г' и rj. Ввиду с,
§ 1 (—1 принадлежит показателю с, а 5 принадлежит
показателю с0), сравнение (1) имеет место тогда и только
тогда, когда (—l)r5r» = (—l)r'5f°(mod2a), т. е. (ввиду е)
когда г = г\ гй = г'0.
g. Если
a = (_ l)V5vo(mod2a),
то система γ, γ0 называется системой индексов числа а
по модулю 2а.
Ввиду е всякое а, взаимно простое с 206 (т. е,
нечетное), имеет единственную систему индексов γ', γί среди
cce = <p(2a) пар значений γ, γ0, указанных в е.
Зная систему γ', γό, мы можем указать и все системы
индексов числа а; согласно f это будут все пары γ, γ0,
составленные из неотрицательных чисел классов
у ез у9 (mod с), γ0 шт γί (mod c0).
Непосредственно из данного здесь определения
системы индексов следует, что числа с данной системой
индексов γ, γ0 образуют класс чисел по модулю 2а.
425
h. Индексы произведения сравнимы по модулям с и с0
с суммами индексов сомножителей.
Действительно, пусть γ (α), γ0(α); ...; γ(/), y0(l) —
системы индексов чисел а, ..., /. Имеем
а%% я t = (_l)Y(a)+ ... +γ(/)5ν.(α)+ ... +γβ(/)#
Следовательно, у (α) + ... + у (/), γ0 (α) + ... + γ0 (/) —
индексы произведения α.../.
§ 7. Индексы по любому составному модулю
a. Пусть /H = 2a/??ip?a.. .p*k—каноническое
разложение числа т. Пусть далее с и с0 имеют значения,
указанные в е, § 6; cs — q>(p*s)m, ^—наименьший
первообразный корень по модулю р**.
b. Если
as(_l)Y5v.(mod2a),
a — gT'(modpf.)f .... a— gj* (mod ρ J*). (1)
то система γ, γ0» Υι» · · · > Уь называется системой
индексов числа а по модулю т.
Из такого определения следует, что γ, γ0—система
индексов числа а по модулю 2а, а уи ..., γΛ—индексы
числа а по модулям pfs ..., р£*. Поэтому (g, § 6; с,
§ 4) всякое а, взаимно простое с т (тем самым оно взаимно
простое и со всеми 2а, р?>, ..., р£*), имеет
единственную систему индексов у', у'0у у{, .'.., y'k среди сс0сг.. .сЛ =
= φ (m) систем γ, γ0, Υι> · ■ ■ > Y*> которые получим,
заставляя γ, Υο» Υι» · · ■» Υα независимо друг от друга
пробегать наименьшие неотрицательные вычеты по модулям
с, с0, с19 ..., ск> а все системы индексов числа α суть
все системы у, у0> уи ..., γΛ, составленные из
неотрицательных чисел классов
γ =ξ у[ (mod с), Vo за γί (mod c0),
V.^Viimodq), ..., γΛ —γι (mode*).
Числа α с данной системой индексов γ, γ0, γχ ук
могут быть найдены путем решения системы (1), а сле-
426
довательно (b, § 3, гл. IV), образуют класс чисел по
модулю т.
c. Так как индексы γ, γ0, ylt ..., ук числа α по
модулю т являются индексами его соответственно по
модулям 2а, pfi, ..., р£*, то верна теорема:
Индексы произведения сравнимы по модулям с, с0,
Си - · ·» ck c суммами индексов сомножителей.
d. Пусть τ = φ(2α) при <х<2 и τ = γφ(2α) при α > 2
и пусть А—общее наименьшее кратное чисел τ, с19 ..., rv
При всяком а, взаимно простом с т, сравнение αΛ=1
верно по всем модулям 2а, pf ι, ..., ρ®*, значит, это
сравнение верно и по модулю тк Поэтому а не может
быть первообразным корнем по модулю т в тех случаях,
когда h < φ (m). Но последнее имеет место при α > 2, при
k > 1, а также гГри α = 2, Λ = 1. Поэтому для т > 1
первообразные корни могут существовать лишь в случаях т = 2,4,
Ρϊι, 2ρ?ι. Но как раз для этих случаев существование
первообразных корней было доказано выше (§§ 6, 2).
Поэтому
Все случаи, когда существуют первообразные корни по
модулю т, превосходящему 1, суть
т = 2, 4, ра, 2ра.
e. Таблицу индексов можно составить и для любого
целого положительного т, выписывая соответственно
каждому числу приведенной системы вычетов по модулю т
отвечающие этому числу значения индексов γ, γ0, yl9 ...', yk
(полные системы вычетов по модулям с, c0t cly ..., ск).
Пример 1. Построим таблицу индексов по модулю 8.
Здесь имеем с = 2, ce = 28~f = 2 и для каждого числа N
приведенной системы вычетов по модулю 8 будем иметь
#=з(— l)v5v«(mod8), где у равно одному из чисел 0, 1
(полная система вычетов по модулю с) и γ0 равно одному
из чисел 0, 1 (полная система вычетов по модулю с0).
Находим
(-1)» = 1, (-1)* 1,
5в=1 5* = 5,
—5° — 7 (mod 8), — 5* β 3 (mod 8).
427
Поэтому таблица индексов по модулю 8 будет
1 N
Ι γ
[ Υο
1
0
0
" 3
1
1
5
0
1
7 Ι
1 Ι
0 Ι
Пример 2. Построим таблицу индексов по
модулю 40. Здесь имеем 40 = 8-5, причем для каждого
числа N приведенной системы вычетов по модулю 40 мы
значения индексов у и γ0 найдем в таблице индексов по
модулю 8 примера 1, а значения индекса Υι найдем в
таблице индексов по модулю 5, т. е. в таблице
N
| Vi
1
0
2
1
3
3
4
2
В результате получим следующую таблицу индексов по
модулю 40:
ΙΝ
τ
1 Vo
1 ^
I N
1 Y
1 v°
L^
1
0
ρ
0
21
0
1
0
3
1
1 2
3
23 |
1
о !
3
7
1
0
1
27
1
1
1
9
0
0
2
29
0
1
2
!I
1
1
0
31
1
0
0
13
0
1
3
33
0
0
3
17
0
0
1
37
0
1
1
ί 19
I
ι Ι
2
39 1
ι Ι
ο Ι
2 1
Пример 3. Построим таблицу индексов по модулю 9
и таблицу индексов по модулю 18. Здесь имеем φ (9)==
= 6 = 2-3. Число 5 будет первообразным корнем по мо
428
дулю 9, так как оно не удовлетворяет ни одному из срав-
нений 5а ξξεξ 1 (mod 9), 58== 1 (mod9). При этом имеем
(сравнения берутся по модулю 9):
5° = 1, 51 = 5, 52 = 7, 58 = 8, 5* = 4, 5» = 2.
Следовательно, таблица индексов по модулю 9 будет
1N
1 Vi
1
0
2
5
4
4
5
1
7
2
! 8
3
А таблица индексов по модулю 18 будет
1 N
Ι γ
Ι Υι
1
0
0
5
0
1
7
0
2
11
0
5
13
0
4
17 Ι
ο Ι
3
Пример 4. Построим таблицу индексов по модулю 21.
Здесь имеем 21=3*7, и для каждого числа N
приведенной системы вычетов по модулю 21 мы значение индекса
Vi найдем в таблице индексов по модулю 3, т. е. в таблице
1 N
1 VI
I
0
2
1
а значение индекса τ* найдем в таблице индексов по
модулю 7, т. е. в таблице
1N
1 7f
1
0
2
2
3
1
4
4
5
δ
6 Ι
3 J
В результате получим следующую таблицу индексов по
модулю 21:
N
γι
1 vi
1
0
0
2
1
2
4
0
4
5
1
5
8
1
0
10
0
1
π I
1
4
13
0
3
16
0
2
17
1
1
19 i
0
5
20 1
1
3
429
Вопросы к главе б
Буквою ρ здесь всегда обозначаем простое нечетное число.
1, а. Пусть а—целое, а > 1. Доказать, что простые нечетные
делители числа аР—1 делят а—1 или имеют вид 2рлг+1.
b. Пусть а—целое, а > 1. Доказать, что простые нечетные
делители числа аР-\-\ делят а+1 или имеют вид 2/?лг+1.
c. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 2рх+1·
d. Пусть п—целое, η > 0. Доказать, что простые делители числа
2*л+1 имеют вид 2я+1х+1.
2, Пусть с—целое, а > 1, л—целое, η > 0. Доказать, что
φ(α«—1) кратно я.
3, а. Пусть и—целое, η > 1. Из чисел 1, 2 η при нечетном
η образуем перестановки
1, 3, 5 п—2, л, я—1, я—3, ..., 4, 2;
1, 5, 9, ..., 7, 3
и т. д., а при четном η образуем перестановки.
1, 3, 5, ..., п—1, л, п—2 4, 2;
1, 5, 9 7, 3
и т. д. Доказать, что k-я операция дает исходный ряд тогда и только
тогда, когда 2*гз ±1 (mod2n—1).
b. Пусть η—целое, л>1, т—целое, т>1. Будем считать
числа 1, 2 η в прямом порядке от 1 до д, далее в обратном
порядке от η до 2, затем опять в прямом порядке от 1 до я, далее
опять в обратном порядке от η до 2 и т. д. При таком счете
выписываем числа 1-е, (т+1)-е, (2т+1)-е и т. д., пока не получим η
чисел. С этим новым рядом η чисел повторим ту же операцию и т. д.
Доказать, что k-я операция дает исходный ряд тогда и только
тогда, когда
т*зз±1 (mod2n— 1).
4, При т = р теорему 2, d, § 5 доказать, рассматривая
сравнение хЬ&ж\ (modp) (вопрос 10, с, гл. IV) и применяя с, § 4, гл. II.
5, а. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
2* 4-1, п> 1, есть 3.
b. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
2р+\ при ρ вида 4п+1 есть 2, а при ρ вида 4п+3 есть —2.
c. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
4р+1 есть 2.
d. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
2пр+1 при η > 1 и ρ > - есть 3.
6, а. а) Пусть л—целое, n^O, S=l*+2*+ ...+.(/>—1)«.
430
Доказать, что
5εξ— 1 (mod ρ), если η кратно ρ— 1,
5 ξ» 0 (mod ρ) в противном случае.
β) При обозначениях вопросов 9, с, гл. V доказать, что
S(l) — I ^ )(modp).
b. Теорему Вильсона доказать, применяя Ь, § 4.
7. Пусть g Η£χ—первообразные корни по модулю ρ, α ind^g^
ss\ (mod ρ—1). При (α, р) = 1 доказать, что:
ind^ а ея α ind^ α (mod p— 1).
8. Пусть /я > 1, (α, m) = l.
α) Пусть
m-1 m-1
Σΐδ(*)ΐ·-^. Σπωρ-κ-
дс=0 р=0
Доказать, что |S|< уХУт.
β) Пусть Σ' обозначает суммирование, распространенное на
S
числа s ряда 0, 1 т—1, взаимно простые с т. Пусть д —
целое, превосходящее 1, и
Доказать, что \S\<,K Ϋ~ίη , где /С—число решений сравнения
*яеэ1 (modm).
у) Пусть т=2ар^1...рЛ*—каноническое разложение числа т.
Доказать, что указанное в вопросе β) число К решений сравнения
хп=* 1 (modm) не превосходит 2л*+* и что в случае постоянного η
имеем /f=0(me), где ε—произвольное положительное постоянное.
9, а. Пусть (а, р) = (6, р)=1, л—целое, отличное от 1,
|λ|==Λι. 0<Λι<ρ,
*=1
431
Доказать, что
\S\<fn*p*
з 4.4-
b. Пусть (β, р)=\, n—целое, \η\ — ην (ΧηχΚρ, Μ и Q-
целые, 0 < Μ < M+Q < р. При р > 60 доказать, что
M+Q-i %ni.
Σ ·
3 - ~
«, Пусть (α, р)=1, Λί0 и Q0—целые, 0 < Λί0 < Λί0+<20</>.
ΑΙ и Q — целые, 0 < Λί < M + Q<pf n—целое, |n| = /ii, 0 < пг < р,
Τ обозначает число чисел ряда αχ*, χ=Λί0, Μο+!» ···» Mo+Qo—-1»
сравнимых по модулю ρ с числами ряда Л1, M+U ...,Μ-(-<? — 1.
Доказать, что при ρ > 60 будем иметь
1 8
Γβ^0.+β|.ΐιΤρΤ(1ηρ)·;|β|<ΐ.
Численные примеры к главе б
1, а. Найти (путем возможно более простых вычислений)
показатель, которому принадлежит 7 по модулю 43.
Ь. Найти показатель, которому принадлежит 5 по модулю 108.
2, а. Найти первообразные корни по модулям 17, 289, 578.
b. Найти первообразные корни по модулям 23, 529, 1058.
c. Найти наименьший первообразный корень по модулю 242.
3, а. Составить таблицы индексов по модулю 17.
Ь. Составить таблицы индексов по модулю 23.
4, а. Найти первообразный корень по модулю 71, применяя
указание примера с, § 5.
Ь. Найти первообразный корень по модулю 191.
5» а. Пользуясь таблицей индексов, указать число решений
сравнений:
а) х60 — 79 (mod 97), β) χ8* — 17 (mod 97), у) х« « 46 (mod 97).
b. Указать число решений сравнений
α) 3xl2ss31(mod41), β) 7χ7« 11 (mod 41), у) 5*»° = 37 (mod 41).
6, а. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнения
а) х2 s 59 (mod 67), β) χ86 as 17 (mod 67), у) χ80 ■■ 14 (mod 67).
b. Решить сравнения
α) 23x*ss 15(mod73), β) 37х«ез69(mod73),
γ) 44*" «53 (mod 73).
7, а. Пользуясь теоремой с, § 5, определить число решений
сравнений
а) х8» 2 (mod 37), β) *w a* 10 (mod 37).
b. Определить число решений сравнений
a) x*««3(mod71), β) χ"»Б (mod 71).
432
8, а. Пользуясь таблицей индексов, среди вычетов приведенной
системы по модулю 19 указать: а) квадратичные вычеты, β)
кубические вычеты.
Ь. Среди вычетов приведенной системы по модулю 37 указать:
а) вычеты степени 15, β) вычеты степени 8.
9, а. Среди вычетов приведенной системы по модулю 43 указать:
а) числа, принадлежащие показателю 6, β) первообразные корни.
Ь. Среди вычетов приведенной системы по модулю 61 указать:
а) числа, принадлежащие показателю 10, β) первообразные корнн.
10, Составить таблицы индексов по модулям:
а) 2. β) 4. у) 10. о) 12. ε) 15. ζ) 16. η) 26.
Глава 7
ХАРАКТЕРЫ
§ 1. Определения
a. Пусть т —целое положительное и с, cot clt ..., ch
имеют значения, указанные в а, § 7, гл. VI, a Rt R09
Rlt ..., Rk обозначают какие-либо корни уравнений
Я/ш (а, т) = 1 полагаем
%(a) = R*R*Ry*...Rl*t (1)
где V, V0, vlf ..., γΛ—система индексов числа а.
А при (а, т) > 1 полагаем χ (а) = 0.
Определенная таким образом для всякого целого а
функция χ (а) называется характером по модулю т.
b. Если R = R0 = Rt = ... = Rk = 1, то χ (а) называется
главным характером по модулю т; он имеет значение 1
при (а, т) = 1 и значение 0 при (а, /п) > 1.
c. Два характера по модулю т считаются
различными, если по меньшей мере при одном значении а их
значения не совпадают.
§ 2. Важнейшие свойства характеров
а. В первую очередь отметим три следующих
свойства характеров:
α)χ(1) = 1.
β) χ(^2) = χ(αι)χ(02).
у) Из ах ξξξ α2 (mod m) следует χ (aj = χ (α2).
. 8
2Я* ·—·
*) Корни уравнения /?σ=1 сутычисла е σ ; s —0,1, ..., σ—lf
434
Действительно, свойство α) найдем из (1), § 1,
положив а=1. При (ага2% т) = 1 равенство β) следует из (1),
§ 1 и теоремы с, § 7, гл. VI, а при (αχα2, т) > 1 оно
обращается в тождество 0 = 0, Наконец, свойство у)
является следствием определения системы индексов,
данного в § 7, гл. "VI.
b. Число различных характеров по модулю т равно <р(т).
Действительно, указанным в а, § 1 способом получим
сс<рх.. ,ск характеров. При этом при q>(m) > 1 у каких-
либо двух из них, пусть у χ' (α) и χ" (α), будут различны
значения R' и R" по меньшей мере одного из корней
Rt Ro> Ri> ···» Rh- Для числа β, у которого все
индексы равны нулю, кроме лишь одного, отвечающего
этим R' и R\ равного 1, будем иметь у/ (а) = R', χ" (а) = JR*.
Поэтому характеры χ'(α) и χ" (а) различны и наше
утверждение верно.
c. Имеем
т-
■•л,1 ί φ(/η) для главного характера,
а£& \ 0 для других характеров.
Действительно, применяя формулу (1), § 1, находим
"Σ χ(«) -Σ*τΣ*ϊ·Σ*Γ · ··Σ*Σ*.
α=0 Υ Υο Υι Yj
где γ, γ0, γ,, .. ., ун пробегают наименьшие
неотрицательные вычеты по модулям с, с0, си ..., ck.
Если χ (α)—-главный характер, то правая часть равна
ar0p1...qk:=<p(m). Если же χ (α) —не главный характер,
то по меньшей мере один из корней R> R0t Rlt ..., Rk
не равен 1 и соответствующая ему сумма правой части
равна нулю. А вместе с нею равна нулю и вся правая
часть.
d. Распространяя суммирование на все ср(т)
различных характеров, имеем
2Ί ί φ(/η) при а = 1 (mod m).
\ ν (α) = {
% к [ 0 в противном случае.
Действительно, теорема верна при (а, т)>1, так
как в этом случае имеем χ(α) = 0. Теорема верна и при
as=l(modm), т. е. в случае γ = γ0 = γ1= ... ==γΛ = 0;
435
это следует из α), а, § 2 и b, § 2. Остается рассмотреть
лишь случай (а, т)=1, но при условии, что а
несравнимо с 1 по модулю т, т. е. при условии, что среди
чисел γ, γ0, уи ..., yk имеется по меньшей мере одно γ',
не равное нулю. Но из (1), § 1 следует равенство
Σχ(α)=Σ*νΣ*.ν·Σ*?·-.Σ**\
% R R% Ri Rfc
которое и доказывает теорему, так как среди
сомножителей его правой части имеется сумма, отвечающая
указанному γ', равная нулю.
е. Характеры по модулю т обладают следующими
свойствами:
а) Если χ0 (а) и χ (а) —характеры, χ0 (α) χ (а) —также
характер.
β) Если χ0 (а)— характер и χ (а) пробегает все
характеры, то χ0 (α) χ (а) также пробегает все характеры.
у) При (/, т) = 1 имеем
2- χ(/) -\
(m) в случае а гв / (mod m),
О в противном случае.
Действительно, пусть R\ /?J, Ri ..., /?* и R, R0,
Ru ···> #*—значения корней, входящих в определение
характеров χ0(α) и χ (α). Тогда χ0 (α) χ (α)—характер,
у которого соответствующими значениями корней
являются R'R, R'0R0, RlRt, . ■ ■, R'kRk- При этом, если
каждое /?, /?0, #lf ..., Rk пробегает все свои
значения, то и каждое /?'/?, /?J#0, R'iRu · ■ ■» ЯаЯ* в
некотором порядке пробегает те же самые значения. Свойства
а) и. β) установлены.
Далее, найдя Г из условия //'s= 1 (modm), выводим
ΣΧΜ _у Х(Д)Х(Н _
χ(/) ~2- χ(/)χ(/')
x ν
Свойство γ) также установлено.
φ(m) в случае a = /(modm),
О в противном случае.
436
f. Характером по модулю т является всякая
функция ψ (α), определенная для всех целых а и
удовлетворяющая условиям:
α) ψ(α) = 0, если (α, т)>1,
β) Ψ (я) не равна тождественно нулю,
У) Ψ(αι02) = ·ψ(αι)ψ(02),
δ) '^(a1)^='^(a%)t если аг = а% (mod m).
Действительно, согласно β) существует такое а0, для
которого ψ(α0) не равно нулю. Из α0 = α0-1 согласно у)
находим ,Φ(α0) = ,ψ(α0)-,φ(1). Отсюда, разделив почленно
на ψ(α0), получим ψ(1)=1.
Пусть а—любое число с условием (а, т)=1.
Определив а' сравнением аа! = 1 (mod т), согласно у)
имеем ψ(α)ψ(α')= 1. Отсюда следует, что ί|> (α) не равно
нулю.
Заставляя α пробегать приведенную систему вычетов
по модулю т, а χ пробегать все <р(/л) различных
характеров, рассмотрим сумму
αχ α χ
Замечая (d), что £/в = (р(/я) при a=l(modm) и i/fl = 0
в противном случае, получим # = <р(/п), откуда,
представляя Η в виде
//=Σνχ; Κχ = ΣΑ
χ («)
И
убедимся в существовании по меньшей мере одного χ=χ^
с Vx, не равным нулю. При этом при каждом аг с
условием (а19 т) = 1 будем иметь
ι/ __ V Хо (в) _ У Хо (flifl) = Хо (Αι) ι/ .
кх# Α-ίψ(α) ^ψ(<*ι<*) ψ^) Κχ·'
437
отсюда и из а) следует, что функция ψ^) для
каждого ах совпадает с характером χο(0ι).
Пример 1. Построим все φ (5) = 4 характеров по
модулю 5 (для каждого характера выписываем значения,
отвечающие числам полной системы вычетов по модулю 5).
Здесь корнями уравнения р4 = 1 будут
р0 = е 4=1, Pi = e 4=f,
Ml 4 « »πί4
ря = е 4=—1, ρ8 = β *=—ι.
А таблица индексов по модулю 5 (с основанием 2) будет
Ν
Υι
1
0
2
1
3
3
4
2
Поэтому таблица значений характеров, отвечающих
корням р„, рь р„ р„ будет
N
Хо
Χι
Χι
Χ*
0
0
0
0
0
2
1
i
-1
-ί
3
1
-i
-1
-i
4 1
1
-1
1
—ι Ι
Пример 2. Укажем все φ(21) = 2·6 =12 характеров
по модулю 21. Здесь корень RCi уравнения /?Jt=l имеет
2 значения: RCl = e *; s = 0, 1, а корень 7?^ уравнения
/?·,= ! имеет 6 значений: Re% — e "·"; s = 0f ..., 5. При
438
этом характер, отвечающий какой-либо из 12 пар
значений RCx и /?Са, будет (пример 4, е, § 7, гл. VI):
N
X
N
г
0
0
10
1
Rc%
1
1
11
Rc\
1 <
2
RC\
<
12
0
3
0
13
1
4
' 1
Rct
14
0
5
RC\
Rct
15
0
6
0
16
1
Rc%
7
0
17
Rc\
Rc%
18
0
8
Rct
1
19
1
9
0
20
Rct
Rct
Здесь значение характера, отвечающее какому-либо
числу N, взаимно простому с 21, получаются
перемножением степеней чисел RCi и Rc%, помещенных ниже этого
числа N.
Вопросы к главе 7
1. Пусть χ (α)—неглавный характер по модулю /?, отвечающий
корню R — e р"*1 уравнения /?я-1 = 1 (следовательно, при а,
кратном р, как χ (а), так и χ (α) = (χ (а))-1 считаются равными нулю).
а) При (&, р) = 1 доказать, что
Р-1 .
Σ х(*>%(*+*)—ь
β) Пусть Q—целое, 1 < Q < р,
p-i.Q-i .
s-2 Σχ(*+*)г·
Доказать, что S = (/>—Q) Q.
2. Пусть χ (α)—характер по модулю р,
α) При (α, р) = 1 доказать, что | £/fl#JP | = Ϋ"ρ для неглавного
характера и иа,р — — 1 для главного характера.
β) Пусть χ fa)—неглавный характер по модулю ρ и (а, р) = 1.
439
Доказать, что
(Х(в))-»=7Г^·
uhP
γ) Пусть ρ имеет вид p = 4m+l (следовательно, /7—1= 4m),
Доказать (ср. вопросы 9, а и 9, с. гл. V), что р = А*-\-В%, где А
и Я—целые, определяемые равенством S = A + Bi.
6) Пусть л—делитель числа р—Ь 1 <п<р— 1,ν=— , (я, р)=1,
наконец, х* пробегает числа приведенной системы вычетов по
модулю ρ с условием indues (mod я). Доказать, что
ах.
2^е р—ν+β#(1-ν)Κρϊ |θ,|=1.
3. Пусть η—целое, η > 2, (α, m) = l,
где х пробегает полную, а ξ пробегает приведенную системы вычетов
по мод^_
"*" ------- что
χ пробегает полную, а ξ пробегает πρι
модулю т icp. вопрос 12, а, гл. III).
а) Пусть б «(я, р— 1). Доказать, что
I «..,!< (в-1)У7-
β) Пусть s—целое, Ι <$<η, (л, р) = 1. Доказать, что
γ) Пусть п—целое, s > п. Доказать, что
δ) Доказать, что
i-i
|5в§ш|<Ст ",
где С зависит только от п.
4. Пусть Μ и Q—целые, 0 < Λί <Af + Q<p, ρ > 60, χ (α)
неглавный характер по модулю р.
а) Доказать, что
Λί + Q-l |
Σ хм
</p(lnp-l).
440
β) Пуст* я—делитель числа ρ—-1,1 < η < ρ— 1, ν=— , р>36л*,
наконец, xs пробегает числа приведенной системы вычетов по
модулю ρ с условием ind*tfsss(modn). Доказать, что число чисел xs,
заключенные среди чисел Λί, ..., Λί + Q—!» выражается формулой
Τ=£+βγρ(\ηρ-\).
у) При условиях вопроса β) показать, что при Q = \SnY^р]
среди чисел Λί, ..., Λί + Q—1 находится по меньшей мере одно
число xs.
δ) Пусть fc—число простых делителей числа р—1 и Я—число
первообразных корней по модулю р, заключенных среди чисел
Λί, ..., Λί —f-Q — 1. Доказать, что
H^to-V Q + M*Y-p\np; |θ|<1.
ε) Пусть Mi и Qx—целые, 0 < Λίι < Λίι+(?ι<Ρ—· 1, У—число
чисел ряда indM, ..., ind(Ai+Q—1). заключенных среди чисел
ряда Λίι, · ··» Λίι+Qi—1. Доказать, что
/==-ίζτ+θ>Λ?(1η^ ΙΘΙ<1·
η) Доказать существование постоянного р0 с условием: если
ρ > Ро> п—делитель ρ—1, 1 < η < ρ — 1, то наименьший из
положительных невычетов степени η по модулю ρ будет
<Л; h^pc (lnp)a, с=^2е п.
5. Пусть т > 1, (а, т)=1, я—целое, п > О, К—число
решений сравнения хл=1 (mod//г)
"·-« «К К?
В случае, когда χ (*)—·неглавный характер по модулю т, доказать,
что
S < ККт.
в. Пусть g пробегает первообразные корни по модулю р,
заключенные в приведенной системе вычетов, (а, р)=1, А—число различ-
ных простых делителей числа р-1 и5 = 2^ р.
β
441
α) Доказать, что
β) Пусть Μ и Q—целые, 0 < Μ < M + Q<<p. Доказать, что
число Τ первообразных корней, находящихся в ряде Λί, ..., Λί+Q — 1,
выражается формулой
Γ=φ^-Ι)^ + Θ|2Λ^) )θ)<1
Численные примеры к главе VII
1. Указать все характеры по модулям:
а) 2. β) 4. γ) 8. δ) 9. ε) 10. η) 40.
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Решешш к главе 1
1. Остаток от деления адг-f by на d, имея вид ах' -\-byf и будучи
меньше d, непременно равен нулю. Поэтому cf—делитель всех чисел
вида ах-{-by и, в частности, общий делитель чисел α·1+6·0 = β и
α·0 + 6·Ι=6. С другой стороны, выражение для d показывает, что
всякий общий делитель чисел а и b делит d. Поэтому d=(a, b) и
верна теорема I, d, § 2. Теоремы е, § 2 выводятся так: наименьшее
положительное число вида атх+Ьту есть атх0+Ьту0; наименьшее
положительное число вида -гх-\-"гУ есть -τ·*ο+"τ#ο· Обобщение
этих результатов тривиально.
2. При /7 = 2 утверждение очевидно. Пусть ρ > 2 н утверждение
справедливо для всех простых чисел, меньших р. Докажем его для р.
Если а не делится на р, b не делится на р, то по с? § Ι β=α2ρ+αι»
О < аг < р, b=btp-\-blt О < Ь\ < р. Следовательно, по 2, § 1 a\bt
делится на р, т. е.
axb^pnii m—натуральное число.
Каждый простой делитель чисел al9 bt меньше р, поэтому по
индукционному предположению он делит т. Производя сокращения,
приходим к равенству
l=ptnl9
которое противоречиво, а это и доказывает наше утверждение.
3. а. Действительно, всегда будем иметь
■y-β,+ι
откуда найдем
< |δ$—$j+i |,
dQs+i " QsQ
s+i
d>Qs.
b. При л<;6 теорема очевидна; поэтому предполагаем η > 6.
Имеем
£=1+2^5 =Ь618...; log10£ = 0, 2, ...;
Q*^Q8 + Q2 ^£β=£2+£ι > 1+ 1 =ξ2,
443
Отсюда
N>t»1t, n<j^j+2<5k+2; n<5k+\.
4, а. Для дробей-г- и -г- имеем 0-1 —Ы—— 1. Вставляя между
дробями -=г и jr- с условием AD—ВС= —1 дробь р_Гд» имеем
Л(Я+£)—^M + C) = (i4 + C)D-(fl+D)C =—1. Поэтому верно
утверждение, отмеченное в конце вопроса. Существование дроби -г-
Ci k С
с условиями ίγ<"Γ<"Τ» '<τ невозможно. В противном случае
мы имели бы
k ti 1
Ζ T^lb9
с k _ 1
d / ^1<Г
с α b+d 1
d b-~ Ibd > bd'
b. Очевидно, достаточно рассматривать случай 0<α < 1. Пусть
-r-<a<-j, где — и -j—соседние дроби ряда Фарея,
отвечающего т. Возможны два случая:
я _ а+с а-\-с . ^ с
T<a<T+d' FR<a<-J'
Поэтому верно одно из двух неравенств
I a\ tf l I g 1^ 1
откуда ввиду &+^ > * указанная теорема следует непосредственно
с. В случае, когда a—несократимая дробь а=*т- с условием
6<τ, за ^- можно принять саму дробь —. В противном случае за
Ρ Ρ
γτ- можно принять подходящую дробь -^ с условием Qs^x < Qs+i·
5, а. Нечетные простые числа при делении на 4 дают остаток 1
или же 3. Произведение чисел вида 4т+1 имеет вид 4/п+1. Поэтому
число 4ρχ ... Рь—L где рх, ..., ρΛ—простые вида 4m-f3, наверно
имеет простой делитель q вида 4т+3. При этом q не совпадает ни
с одним из чисел plt ..., /?*.
Ь. Простые числа, превосходящие 3, имеют вид 6т +1 или же
6т+5. Число 6ρχ .../?*—1, где рх р*—простые вида 6т + 5,
наверно имеет простой делитель q вида 6т+5. При этом q не
совпадает ии с одним из чисел рг, ..., Pk·
β. Пусть рх ръ—какие-либо k простых чисел и N—целое
с условиями 2 < N, (31η Ν)* < N. Число чисел α ряда 1, 2, ..., tf,
каноническое разложение которых имеет вид а = рс£1 ... /?fe*, ввиду
444
as < η—ψ , не больше чем
(тнт+1)Л<(3,п^)Л<^
Поэтому в ряде 1, 2 N найдутся числа, в каноническое
разложение которых входят простые, отличные от plt ..., рк.
7. Например, такие последовательности получим при
Μ = 2·3...(/(+1)* + 2; / = Ι,2, ...
8. Взяв целое х0 с условием, что при х^х0, f (х) > \ и
/' (х) > О, положим /(*0) = Я. Составными (кратными X) будут все
числа /(*ο+*0; * = 1. 2, ...
^ а. При наличии (1) одно из чисел х, у, пусть именно *, будет
четным; из
( ху_г+уш—у
\2) — 2 2 '
где, очевидно, ( --4р» —«^ ) = 1» убеждаемся в существовании
положительных целых и η υ ζ условиями
χ г+у % г—у „
2 w ' 2 ' 2
Отсюда следует необходимость условий, указанных в вопросе.
Достаточность этих условии очевидна.
Ь. Условимся здесь обозначать буквами лишь целые
положительные числа. Допустив существование систем х, у, г с условиями
д^-f y* = z*, χ > О, у > 0, г > 0, (х, у, z) = 1, выберем из них систему
с наименьшим ζ. Предполагая χ четным, найдем x2 = 2uvt у2 = и2—хР,
и > v^s 1, (w, t>) = l, где ν—четное (при четном и было бы y2=4N+\,
u2 — 4Ni, rf = 4JVt+l» 4#+1 = 4Ν1—4ΛΤ2—1, что невозможно).
Отсюда tt = zi, 1/ = 2ш2, */2-f 4w* = zi, 2ш2 = 2м1^1, «х = χϊ, ι>ι = 0ι,
х* 4-^1 = 2?, что ввиду Ζχ < г невозможно.
Из неразрешимости уравнения λ^+#4 = ζ2 как частный случай,
очевидно, следует и неразрешимость уравнения лг4+у4 = /4 в целых
положительных х, у, t.
10. Полагая χ = γ\ (k, 0 = 1, находим
№+^№-4+ ... +anln = 0.
Поэтому kn кратно / и, следовательно, /=1.
11, а. Пусть k—наибольшее целое с условием 2к<п и
Ρ—произведение всех нечетных чисел, не превосходящих п. Число 2k~lPS
представится суммою, все слагаемые которой, кроме 2к~гР—, суть
2*
целые числа.
Ь. Пусть k—наибольшее целое с условием 3*<2n-f 1 и Ρ —
произведение всех взаимно простых с 6 чисел, не превосходящих
445
2л+1. Число 3k-xPS представится суммою, все слагаемые которой,
кроме 3Л-1Р—, суть целые числа.
3*
12. При п<8 теорема проверяется непосредственно. Поэтому
достаточно, считая при л>8 теорему верной для биномов а-\-Ьу
(а+Ь)2, ..., (a+b)n"1t доказать справедливость теоремы и для
бинома (а-{-Ь)п. Но коэффициенты разложения этого бинома за
исключением крайних, равных 1, суть числа
£ л(л— 1) п(п — 1) ...2
1 ' Ь2 ' •", 12 ...(п—1)#
Для нечетности же всех этих чисел необходимо и достаточно,
чтобы нечетными были крайние из них, как раз равные л, и чтобы
также нечетными были числа, получаемые вычеркиванием нечетных
сомножителей из числителей и знаменателей оставшихся чисел. Но,
полагая η = 2^+1, эти числа можно представить членами ряда
f%i Mfti— 1) ΐι(ηι— Ι) -..2
1 ' 1-2 l^.-.i/h-l)·
Последние же ввиду пг < η будут все нечетными тогда и только тогда,
когда Пл имеет вид 2к— 1, т. е. когда η имеет вид 2(2Л—1)+1 =
= 2*+1-1.
Решения к главе 2
1, а. На ординате точки кривой y=f(x) с абсциссою χ лежит
[/(*)] целых точек указанной области.
b. Указанное равенство следует из Тг + Тг = Т, где TuTlt T
обозначают числа целых точек областей
О Ρ
0<*<ϊ|-, 0<y<jfX\ *
Ρ О
0<</<y, 0<x<,fy\
О Ρ
0<*<!|-, 0<у<-.
c. Указанное равенство следует из
Т=\+4(Тг+Т% + Т9-Т4)9
где Tlt Т2, Т3, Т4 обозначают числа целых точек областей
х = 0, 0<(/<г;
0< *<-£=. 0<#<νν-*2;
Ϋ2
0< */<-£=' 0<*< Vr*-y2\
У2
0<*<^, 0<y^.
446
d. Указанное равенство следует из T = T1-\-Tt—T9t где Tlt Т2,
Т9 обозначают числа целых точек областей
0<*<}/"л, 0<#<-£;
if
0<*<l/"n, 0<у*£Уп.
e. В случае треугольника, не имеющего других целых точек,
кроме вершин, теорема тривиальна. К этому же случаю сводится и
случай каждого выпуклого многоугольника. А случай невыпуклого
многоугольника путем соединения прямолинейным отрезком некоторой
пары его вершин можно свести к случаю многоугольника более
простого вида.
2. Число целых положительных чисел, не превосходящих ft,
равно [п]. Каждое из них единственным способом представляется
в виде xkm, где Л—целое положительное; при этом данному χ отве-
["/!]
чает I/ — чисел такого вида.
3. Докажем необходимость указанных условий. Число значений
N 1
χ с условием [αχ]<Ν можно представить в виде —(-λ; Ο^λ < —,
а число значений у с условием [$у] <N можно представить в виде
Ν INN
-Ξ-+λϊ> 0<λ! < -π. Из —|-λ + -ο—|-λι = Ν, деля на N и переходя
Ρ Ρ α ρ
к пределу, при Ν—► со получим }—=1. Последнее равенство
CL ρ
при рациональном а=-т- (а > Ь > 0) дало бы [α&] = [β(α— Ь)].
Поэтому α и β не могут быть рациональными.
Пусть указанные условия выполнены. Пусть с—натуральное чис-
с с
ло. Пусть хв=—hi и 1/о = "ёг +Л—наименьшие целые числа с ус-
ее ρ
с с
ловием *0> — , у0 > -g-. Очевидно, [ои] не равно с при χ, не равном
о* ρ
*о> и [β#] не равно с при у, не равном #0'> при этом 0 <£ < 1,
0 < η < 1, αξ и βη—иррациональные. Ввиду Хо+Уо = с-{-%+г\ имеем
ξ+η = 1, — -f- £2- = 1. Поэтому одно и только одно из чисел [ах0]
сь ρ
и [β#ο] равно с.
4,а. Упомянутые разности при {ouff} > 0 равны
{α*ι}> {α(*2—*ι)}, .... {«fa—**_!)}, {—<***}·
Они неотрицательные, их сумма равна 1, их число равно г+1.
Поэтому по меньшей мере одна из этих разностей не превосходит
, , « < -— . Но она имеет вид {αχ'} = α*' —#', где *' — целое число
447
с условием 0 < \χ'\^τ и у' = [осле']. Поэтому, обозначая буквой h
то из чисел 1 и —1, при котором hx' > О, будем иметь \ahx'—hy' \ <
< —-. Отсюда, обозначая буквами Q и Ρ частные от деления hx' и
т
hy' на (hx't hy')t получим
\*Q-P\<j\ 0<Q<t,
откуда и следует упомянутая в вопросе теорема.
Ь. Полагая/1 = [tiJ,^i = [ts], .. .,/* = [τ*] нзаставляя xlt xt, ...
..., Xk пробегать значения
*ι = 0, 1, ...; /г; ха = 0, 1 ft; ...; х* = 0, 1 f*,
рассмотрим ряд, образованный расположенными в неубывающем
порядке числами {αι*ι+01*3+·-·+<*&**} и числом 1. Составляя
разности, образованные соседними такими числами, получим (*ι+1) Χ
X(/j + l) ... (/ftΉ) разностей. По меньшей мере одна из них не
превосходит
Но она имеет вид {οχχί+ο^ί-}-. ..+αΛ^ί}, где χί, χί, ..., χί —
целые числа с условиями \х[ \<1ь \χ*\<τ% |χί|<τ*, не
равные нулю одновременно. Полагая [а±х[+агх%+... +<****] = у' и
обозначая символами ξι, ξ* ξ*, η частные от деления χί, *i\...
..., λ*ί, #' на (χί, χί ..., χ*, у'), получим
Ι «ιδι+«ιξι+..·+<**£*—η|< —: — ,
что и доказывает указанную в вопросе теорему.
5. Имеем a=cq + r + {a}; 0<г < с,
[М]_[,+^-,. [f]_[,+i±fcL]_,.
в,а. Имеем [α+β+...-f λ] = [α] + [β]+...+№] + [{«} +
+ {P)+... + WJ.
b. Простое ρ входит в π!, α), ..., Ζ! с показателями
m+f*]+--ffi+[f]+- шд+-
При этом
448
7. Допуская, что число а с указанными свойствами существует,
представим его в виде
а = ЯкРк+1 + Як-1Р* + · · · + Я\Р% + Я*Р+Я'\
0<Як<Р, 0<Як-1<Р> ■··. 0<<7ι<Ρ. 0<Яб<Р> Ъ<Я* < Р-
Согласно Ь, § 1 должно быть
Далее при любом s=l, 2, ...» m имеем
^-ι"ί-ι+^-2^-«+...+ΑΊ"ι+<7ο"β<"ί.
Поэтому последнее выражение для h должно полностью совпасть с
указанным в вопросе.
8,а. ПустьΧχ—целое, Q<a < β</?, χχ < а < β < *ι + 1;
интегрированием по частям находим
β
.$ftodx = y(x)f(x)dx =
α α
β
-Ρ (Μ/Φ)-Ρ («)/(«)-* (β) Г (β)+σ(α) /' (α)+$ σ (*)/"(*)<**.
α β
В частности, при Q<*i, *ι+1</?, переходя к пределу, имеем
- J /(*)& = -T/(*i+l)-T/(*i)+ J σ(*)Γ(*)Λ.
xt xt
Указанная формула теперь получается без всякого труда.
b. Переписав формулу вопроса а в виде
R
Л Σ B/«=f/W*+P«)/W)-p(Q)/(Q)-
Q<x<R J
00 OO
-σ(/?) /' (Λ)+σ (Q) /' (Q)+ J σ(χ) Π*) <**-$ * Μ Γ (*)Λ.
Q R
убеждаемся в справедливости указанной формулы.
c. Применяя результат вопроса Ь, находим
In \ + \п2+...+\пп=С+п\пп—п+
+ "2"lnn+f --^dx = n\nn--n + 0(]nn).
9,а, а) Имеем (Ь, § 1)
1п(1л1,)=Р?п([7] + Й + -)1пр· (,)
Здесь правая часть представляет сумму значений функции In/7,
распространенную на целые точки (р, s, и) с простыми ρ области
449
ρ > Ο, s > О, О < и<—γ . Часть этой суммы, отвечающая данным
s и и, равна θ ( ΐ/ — J ; часть, отвечающая данному и, равна
♦С*)·
β) Применяя при η ^ 2 результат вопроса а), имеем
1п([п]!)-21п([у]|)-
= Ψ(»)-*(у) + * (j)-Ψ (τ) + ■■·> + (»)-* (у)·
Полагая -я- = /п, отсюда находим ([n]=2m, или [п] = 2/п+1)
,(n)-,(|)<,ni^<in(2^-51;2-;y>))<in(2^)<n,
ψ(η) = ψ(η)-ψ (|) +ψ (у)—* (■}·) +
+Чт)-Чт)+-<п+т+т+-=2"·
γ) Имеем (решение вопроса β) и результат вопроса 8,с)
♦и-*(т)+»(т)-«(т)+---Л-
= [n] loW-W-2 [у] In [-J] +2 [|] + 0(1пд)-
= nln2 + 0(lnn).
Далее, при s^2 находим (вопрос β))
«fMVD+'CvT)-
/ * /*7Г\ , ί < 2V* всегда,
-ЧКт) + -|-о при*>х,х=[*|].
Поэтому
•<*w-4t)+*(t)-*(t) + ···
...-(.„-.(·)+.(·)_.(«)+...)<
< 2Ϋ~ϋ+2ΐ/η +2Уп +... +2*Λι < 2 (Vn +т^»)-о(Кп)-
450
b. Следует из равенства (1), неравенства вопроса а, β) и
равенства вопроса 8,с.
c. Равенство вопроса b при достаточно больших т дает
Σ ia.h.+em^J". Σ £>■·
m < p<m* m <p< m*
Если для всех пар р„, рп+1 с условием т < рп< рп+х<т* имело
бы место неравенство pn+i> Pn(l+*), то было бы
00
2шл т(\+гу> lt
что при достаточно больших т невозможно.
d. Очевидно, достаточно рассматривать лишь случай, когда я —
целое.
Полагая у(г) = при г простом и γ(/·) = 0 при г=1, или
при г составном, имеем (вопрос Ь)
Y(l)+Y(2)+...+Y(r) = lnr+a(r); |o(r)|<Clf
где Οχ—- постоянное. Отсюда при г > 1
Y(r) = Inr— In (г— 1) + а(г)—α (г— 1),
ΣΙ m , rp . m ^ lnr—In (г—1)
ρ—ϊι+r,, rx= 2, ΠΓ7 ■
О <р< я 1< г<п
г γι <%(г)—а(г—1)
Γι= Σ —пгт— ·
К г< it
Имеем (8, b)
Γι= Σ Μη7+ Σ V2r4nr+3r»lnr+-··/
1<г<л 1<г<л
-ci+tain.+o(1jL).
где Ca—постоянное. Далее находим
откуда следует, что
где Cj—сумма абсолютно сходящегося ряда
451
e. Имеем
ι".Π(1-7τ)-Σ7-Σ(ά+3?+- ··)-
"^ Р<П Р<П
-C-lnln.+O^).
где С—постоянное. Отсюда, полагая С' = 1пС0, мы и получим
указанное равенство.
f. Полагая n=[ 1,5sIns] и обозначая символом п(п) число
простых чисел, не превосходящих я, из равенства вопроса 9, а, у)
выводим (С—положительное постоянное число)
что больше s, если s0 выбрано достаточно большим. Отсюда следует,
что р9 при s^ s0 находится среди простых чисел, не превосходящих я.
g. Пусть <7ь ?t, ..., </$—различные простые делители числа а.
Находим: 2*3*4 ... ($+1)<α, откуда (вопрос 8, с)
(s+1) In (s+1) + 0 (s+1) < In a, s=0 (In α).
Поэтому (вопросы ей!)
■ <
,w (-*)(-*)•••(■-а
*(·4)(4)···(«-±)
1 = О (In ρ,) = О (In In β).
10, t. Следует из d, $ 2.
b. Ввиду θ(1) = ψ(1)=:1 условие 1, а, § 2 для функции θ (α)
выполнено. Пусть а^аде—одно из разложений α на два взаимно
простых сомножителя. Имеем
23 Σ θ№*)=*(ο)-*(βϊ)Φ(βι)= Σ Σ «wew· ο)
*ι\αι*§\α, 4ι\αι4\βι
Если условие 2, а, § 2 выполнено для всех произведений, меньших
а, то при dtdt < а имеем в(^2) = в(^1)в0а), и равенство (1) дает
θ(Α1αί) = θ(α1)θ(α1), τ. е. условие 2, а, § 2 выполняется и для всех
произведений а^, равных а. Но условие 2, а, § 2 выполняется для
единственного произведения 1*1, равного 1. Следовательно, оно
выполняется и для всех произведений.
11, а. Пусть т > 1; для каждого данного хя делящего а,
неопределенное уравнение Χχ ... *Λ-ί*Λ = β имеет Tm-if —) решений.
Поэтому
452
но когда хт пробегает все делители числа в, то d = — в обратном
порядке пробегает те же делители. Следовательно,
τ„(α)=Σ rm-t(d).
Поэтому (вопрос 10, а) если теорема верна для функции im-i(a)>
то она верна и для функции хт (а). Но теорема верна для функции
τχ(α) = 1. Значит, она верна всегда·
b. Если теорема верна для функции τΛ(/?α), то имеем
u«m-±uv>-± "•"ft»·^-"-
s=0 s = 0 ι * ··■ ν» 4
(α+1)(α+2)...(α+/η)
"" 1-2...m
Следовательно, теорема верна и для функции τΛ+ι (ρα). Но теорема
верна для функции τ2 (ρα) (очевидно равной "*" ) . Поэтому она
верна всегда.
c. Пусть ε = /ηε2, ε2 = 2η, α = ρ*1 ... Л — каноническое
разложение числа а, причем ρχ, ..., рЛ расположены в возрастающем
порядке. Для функции τ9(α)=τ(α) имеем
ач ^ 3α«ΐ "■■(*+ΐ)α·4 #
Предполагая для простоты рассуждений, что ε < 1, убеждаемся, что
каждый из сомножителей произведения, стоящего справа, меньше
—; сомножители а[~ с условием г > 2η меньше 1. Поэтому,
^_
- s я
полагая С = ί — J , находим
Ι£ < С. Вт ϊ&< lim 4=0.
При m > 2Г очевидно, имеем τΛ (α) < (τ (а))я. Поэтому
Вю 1=^ . „m
α -»■ оо
d. Системы значений Χχ хт, удовлетворяющие указанному
неравенству, разобьем на [л] совокупностей с номерами 1, 2 [л].
К совокупности с номером а отнесем системы с условием х%... хт = а',
число этих систем есть %т (а).
453
12. При R (s) > 1 ряд, выражающий ζ (s), абсолютно сходится.
Поэтому
(С
»)--2 ... Σ ' rf,
причем при данном положительном η число систем /ΐχ, ..., пт с
условием /I] ... пт = п равно тю(л).
13, а. При R(s) > 1 произведение ^ = Ц ρ абсолютно схо-
' *-?
дится. Ввиду - = l-j--j-j—2>+··· ПРИ ^>2 имеем
1_Р
П„, ι - Σ η* +Σ η* ·
'<»l—pr 0<n<N
где во второй сумме правой части η пробегает лишь числа,
превосходящие N. В пределе при N —► оо левая часть обратится в Р,
первая сумма* правой части—в ζ(δ), вторая—в нуль.
b. Пусть N > 2. Допустив, что простых чисел, отличных от
Pi* ..., Рь* нет» находим (ср. решение вопроса а)
ρ} °<η<Ν
Это неравенство ввиду расходимости гармонического ряда l+~-f-
+-*·+ ♦ · · ПРИ Достаточно больших N невозможно.
c. Допустив, что простых чисел, отличных от pi, ..., р£, нет,
находим (вопрос а)
* ι
—С (2).
п-4-
Ч
Это равенство ввиду иррациональности ζ (2)=^-невозможно.
14. При R (s) > 1 бесконечное произведение для ζ (s) вопроса
13, а абсолютно сходится. Поэтому
454
где р пробегает все простые числа. Дифференцируя, имеем
£1®_V ( 1пр {пр {пр \ — V ^
C(s)~2jV Ps Ρ23 P*s "V 2* *
ρ /1 = 1
15. Пусть Ν > 2, Применяя теорему b, § 4, имеем
.5, ('-?)- Σ μ^Σ'^
Ρ<Ν ^ г ι 0<η<Ν
где во второй сумме правой части η пробегает лишь числа, боль-
\ N. В пределе при N —► оо мы и ι
16, а. Применим с, § 4 к случаю
шие N. В пределе при N —► оо мы и получим указаннное тождество.
6=1, 2,...,[л], /=1, 1 I-
Тогда, очевидно, £' = 1. Далее &* обращается в число значений б,
ΓλΊ
кратных d, т. е. в I -j I.
b, α) Правая часть равенства вопроса а выражает сумму
значений функции μ (4), распространенную на целые точки id, и) области
d > 0У 0 < α < — . Часть этой суммы, отвечающая данному и, равна
-ю-
β) Указанное равенство получается почленным вычитанием
равенств
Af(») + Af(-5-)+Af(i)+A«(-j-)+ 1.
2«(у)+ 2Λί(|) + ...=2.
c. Пусть /ii = [n]; 6lt б2, ..., 6П1 определяются условием: б, есть
наибольшее целое, /-я степень которого делит s,fs=\. Тогда S' = Ttr „,
Sa равно числу чисел, не превосходящих п, кратных dlt т.' е.
Ч*]·
Отсюда получается указанное выражение для Tlt
В частности, ввиду ζ(2) = -^· для числа T%t n чисел, не
превосходящих л н не делящихся на квадрат целого, превосходящего 1, имеем
17, а. Указанное равенство получим из с, § 4, если положим
δ* = (*ί, a), fs = f(xs)·
b. Указанное равенство получим из с, § 4, если положим
455
c. Применяя с, § 4 к случаю
6 = 6lt δ2, ..., 6t)
где в первой строке выписаны все делители числа а, имеем
*-/«. *- Σ '(iMi)·
d. Указанное равенство следует из
2 μ («о 21 i*w— 2 i*w·
18, а. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя х пробегать
числа 1,2 ой беря f(x)—xm. Тогда
b. Имеем
d\a
Тот же результат можно получить проще. Напишем числа ряда
1» ...» а, взаимно простые с а, сначала возрастающем, затем в
убывающем порядке. Сумма членов обоих рядов, равноотстоящих от
начала, равна а, число членов каждого ряда равно φ (α).
с. Имеем
d\a ч '
19, а. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя χ пробегать
числа 1,2, ..., [г] и беря /(*) = 1. Тогда S' = TZt Sg равно числу
чисел, не превосходящих ζ, кратных d,
b. Имеем
Τζ = Σμ(*)^+0(χ(α)) = ^4(α) + 0(α*).
c. Следует из равенства вопроса а.
20. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя χ пробегать
числа 1, 2, ..., Ν, где N > а, и беря /(*)=—. Тогда найдем
югда о =/ ζ, &4 ρ
Ι.τ.«.5,-[£].
Σ^-Σ'» Σ ά-Σ^ Σ у-
В пределе при Ν —► οο получим указанное тождество.
456
21, а. Применим теорему вопроса 17, b, рассматривая указанные
в определении вероятности Ρ χ системы значений х\ч **, ...,дс^ и
беря f(xl9 xt, ..., **) = !· Тогда РЛГ = —, 5rf= -j , и мы по-
Σ^ίτΐ Ν /Ν
лучим
Поэтому
Ρ^ = (ζ(Λ))-ι+0(Δ); Δ=-^ при k> 2, Δ=~ при *=2.
b. Имеем ζ(2)=^.
22, а. Элементарные рассуждения показывают, что число целых
точек (и, υ) области u'-f "2<Ρ*'> ρ > 0, не считая точки (0, 0), равно
πρ2+0(ρ). Применим теорему вопроса 17, Ь, рассматривая
координаты х, у целых точек области х*-\-у%<гг, отличных от точки (0, 0),
и полагая /(*, у) = 1. Тогда 7, = S' + 1, S^ равно числу целых точек
области н*+»2<1-у) > не считая точки (0, 0). Поэтому
Μ , /Μ \
Ь. Рассуждая аналогично предыдущему, получим
И γ И \
γ=Σμ^£+ο(ς £)-!&+<><''>.
23, а. Число делителей d числа а=*р*1 ... /?А*, не делящихся
на квадрат целого, превосходящего 1, и имеющих κ простых дели·
телей, равно Г ] ; при этом μ(φ = (—1)*. Поэтому
Σ»*»-Σ Г^) (—1)^=0 — 1)^=0.
b. Пусть а имеет тот же вид, что и в вопросе а. Достаточно
рассматривать случай т < k. Для указанной суммы имеем два
выражения
-м,.(ц,)-и)+···)·
457
k k
Если т четное, то при т < -^ первое выражение > 0, а при т > ~
k
второе выражение ^0. Если т нечетное, то при ^<-^ первое вы-
k
ражение <0, а при т> ~к второе выражение <0.
c. Доказательство почти такое же, как в с, § 4, но с учетом
результата вопроса Ь.
d. Доказательство почти такое же, как в вопросах 17,а и Ь.
24. Пусть d пробегает делители числа a, Q(d)—число простых
делителей числа d, Q(a) = s. Согласно сделанному в вопросе
указанию, имеем (считаем N достаточно большим)
7i(Ntqfl)< 2 Μ*)(ηρ+**)~Τ+Τ·-Τ* |θ,|<1,
Q(d)<m
Q <rf)< m d Q(d)> m
Далее находим
m
"· Κ Σο(ΐ)<·-Ο" <'""■#·£-<> <*>·
П. (-7)
Наконец, обозначая буквами Сг и С2 некоторые постоянные, имеем
, (1+1+. .+1)
ΐ'.κ-ί Σ Σ 4«т Σ 1г ., J
4 n=m + lQ(<i)=n * л=ш+1
<τ 2- (-щт β) <τ ^- Дт) <
η
-4Ш4-
<C,^r * = 0(Δ).
25. Всякому делителю dx числа α с условием dx < Ϋ"~α отвечает
делитель dt с условиями d% > γ~α% did2 = a. При этом μ(</ι) = μ(<*ι)·
Поэтому
2Ση*ι)=Ση*ι)+Ση*2) = Σμφ==ο·
4i *i *t d\a
458
26. Числа d, не делящиеся на квадрат целого, превосходящего 1,
и удовлетворяющие условию y(d)=k, рассмотрим попарно так, чтобы
в каждую пару входило некоторое нечетное άχ и четное 2dv Будем
иметь μ№)+μ(2<ί1) = 0.
27. Пусть ръ ..., р*—различные простые числа. Полагая
а = рх ... pkt имеем
Ф(а)-(Л—1) ...(/?>—1).
Между тем, при отсутствии простых чисел, отличных от Pi, ..., ρ*,
мы имели бы φ (а) = 1.
28. а. Указанные числа найдутся среди чисел $6; 5=1,2,..., -т-.
Но (so, α)=δ тогда и только тогда, когда is, Ίτ)β1 (е, § 2,гл. I).
Поэтому верно утверждение, отмеченное в вопросе, и мы имеем
ύ\β χ ' d\a
b,α) Пусть α»/?"1...р^Л—каноническое разложение числа а.
Ввиду а функция φ (а) мультипликативная, причем
β) Для целого m > 0 имеем
m= 2 φ№·
rf\m
Поэтому
φ(α)«Σ^Τ'
29. Имеем (р пробегает все простые числа)
• _1
t(s-D
1-1
30. Имеем
<р(1)+<р(2) + ...+<р(п) =
-Σ^+>Σ^+.··+»Σ<^-Σ>>('+*+·-·+[7])-
d\i d\t d\n dmi \ Ltt J/
βΣΗ(^)^+0(η1ηη)=^21^+0(ΛΐηΛ)=^^+0(η1ηιι).
*«1 rf«l
459
Решена к главе 3
1,а. Из
Ρ=απ10*-»+απ_ί10*-»+... + α1,
замечая, что 10si (mod9), имеем
Pss αη+αη-ι+···+βι (mod 9).
Следовательно, Р кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр,
его изображающих, кратна 3; оно кратно 9 тогда и только тогда,
когда указанная сумма кратна 9.
Замечая, что Шеи—1 (mod 11), имеем
Ршж(а1+аш+...)—((Ц+а€+...) (mod 11)·
Следовательно, Ρ кратно 11 тогда и только тогда, когда разность
между суммою цифр, стоящих на нечетных (считая справа) местах, и
суммою цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
b. Из
Р = 6й1(Ю"-«+&л_11(Ю"-2+...+&1
ввиду ГООаз—1 (mod 101) имеем
P-(*1+ftt+„.)-(ft1+ft4+„.)(modl01).
Поэтому Ρ кратно 101 тогда и только тогда, когда (&1+6$+...) —
— (^1+^4+···) кратно 101.
c. Из
Р=с„ 1000»-»+^.! 1000»-2+ ... +Cl
ввиду 1000 ав 1 (mod 37) имеем
^cn+cn_1+...+c1(mod37).
Поэтому Ρ кратно 37 тогда и только тогда, когда cn+c„-i+...+ci
кратно 37.
Ввиду IOOOsh— 1 (mod7'lM3) имеем
Ра»(сг+с,+ ...)—(cj+c4+...)(mod7.1M3).
Поэтому Ρ кратно одному из чисел 7, 11, 13 тогда и только тогда,
когда (ci+ca+...)—(cf+c4+···) кратно этому же числу.
2, а) Когда χ пробегает полную систему вычетов по модулю т,
то αχ+b также пробегает полную систему; наименьший
неотрицательный вычет г числа αχ+b пробегает значения 0, 1, ..., т—\.
Поэтому
X Г»0
β) Применяя результат вопроса 18» Ь, гл. II, находим
460
8, а. Пусть г—наименьший неотрицательный вычет числа ах+[с)
по модулю т. Имеем
1 m-i
где ε<Φ(/-)<ε+/ι; е={с}. При m<2/t+l теорема очевидна.
Поэтому рассмотрим лишь случай т > 2Л+1. Полагая
w-*-·*».
имеем — l+i-<e(r)<-ii при г=*т—[Л+е], ..., т—1; —<
/71 /Н /Л
<в(г)<;-3^- в остальных случаях. Поэтому
/и
-[A+e]+6<S-2f!<A+e, | S—J-m |<A+-J-.
b. Имеем
Применим теорему вопроса а, полагая Λ«=|λ|. Тогда и получим
указанный результат.
c. Находим
Применим теорему вопроса а, полагая Л=1+у. Тогда получим
указанный результат.
4. Разложим Л в непрерывную дробь. Пусть
Q„»Q'—наибольший из знаменателей подходящих дробей, не превосходящий mf
имеем (вопрос 4, Ь, гл. I)
А~ф+7р1к' ^•в')-1· 'в'1<ь
При этом из m<Q„+1<(<7n+l+l)Q„<CQII> где С—постоянное,
которого не превосходят все <f#+l, для наибольшего целого И* с
условием Н'ф <т следует № < С. Применяя теорему вопроса 3, Ь*
находим
х-М
461
Пусть miz=m—H'Q\ Если тх > 0, то выбирая в зависимости^от rtif
числа Q" и Н" таким же способом, как раньше в зависимости от т
были выбраны числа Q' и #', найдем
Mt+H*Qm-l
£ {^+в}-1я^|<|с,
xsAif
где применяем обозначение Ms=Ms-i+H{s)Q{s)* Пусть /Ηι=/Πι—tf"Q'
Если т8 > 0, то подобно предыдущему найдем
Ι Μ.+//'" Q'"-i
Σ
XsAft
{Αχ+Β}-γΗ"^"'
<*«
и т. д., пока не придем к некоторому /яь = 0. Тогда получим
(H'Q' + H"Q"+... +tfi*>Q<*> = m)
Αί+m-i
£ μ*+Β>-±
m
ХшМ
<|c*.
Числа Q', Q", ..., Q<*> удовлетворяют условиям
Поэтому (вопрос 3, b гл. I) fc=0(lnm) и, следовательно, формула,
указанная в вопросе, верна· г
5, а. Сумму, стоящую слева, обозначим буквою 5. Пусть т=Л * .
При τ< 40 теорема очевидна. Поэтому предполагаем τ > 40. Взяв
AlxssfQ + l], найдем числа аъ т1$ θχ с условиями
ПЛ^=£+~;; 0<тх<т; (вьт,)-1, |β1|<1.
Взяв Mt = Ai1+m1, аналогичным путем найдем числа as, tn%, 0f; взяв
Ais = Aia4-ma, найдем числа я8, ms, θ9> и т. д., пока не придем к
Msw — Mg+ms с условием 0<[/?]—AfJ+1 < [τ]. Применяя теорему
.вопроса 3, с, найдем
|s~(ml+/n,+ ...+m,+[«] + l-M,+1)|<
|s-4-(/?-Q)|<s^+l+i.
Длина интервала, для которого -——</' (*)<iL-}-—. не пре-
2Л a
восходит —. Следовательно, с одной и той же дробью — связано
тх т
2А
<—5--М чисел mlt ms т.. Пусть fli и аа—наименьшее и наи-
т*х
большее значения а, отвечающие данному т.
462
Имеем
W-et 2 ^k(R-Q)
m mx
Следовательно, с данным т связано
<
-χ ; Qg— fli+K Α —(-1ДО.
(SiV'K42^1··)-
чисел mlv| m2> ..., mit Суммируя последнее выражение по всем
m = l, 2,..., [τ], получим
. < ш=й(„„+1+ЗР)-НЕ ,,№ <ш^,„,+44.
| 5—1(Д—Q) | <2 ** (/?t~Q) In Λ + 8* ■
b. Имеем
Σ {/м+1-«>-1 (*-<?)!< δ,
Q<jc</e
Σ ν<*»-τ<*-«>
,<Δ,
откуда, полагая б(дс)=:{/(дг) + 1—σ}—{/(χ)}, находим
Ι Σ «Μ
<2Δ.
Но при { / (х)}<0 имеем 6 (х) = 1—σ, а при ί / (χ)} ^ σ имеем δ (χ) =
= —σ. Поэтому |(1— σ)ψ(σ)·—σ(/?—Q—ψ(σ))|<2Δ, откуда и
получим указанную формулу.
6, а. Применим формулу вопроса 1, с, гл. II. Полагая /(*)=»
= yrra_xa> B интервале 0<*<-г= имеем
Поэтому (вопрос 8, а, гл. II, вопрос 5, а)
г
νΓ
Г = 4г+8 J 1^γΤ=3^Λ+^(-^)^=—Эр (Q)-r—4 ^-^«Т +
+ 8-р=| y=|+0(r3 In г) = лг'+0(г3 Inr).
463
b. Имеем (вопросы И, d и 1, d, гл. II)
τ(1)+τ(2) + ...+τ(η)=2 Σ Г т!-Г Ϋ"1
Достаточно Рассмотреть лишь случай л>64. Интервал X < х\< Υ~ή>
где Х = 2п 3 , разобьем на О (1η л) интервалов вида Μ 4 х<М\
где ΛΓ<2Λί. Полагая /(*)=—, в интервале Μ <х<М' имеем
Поэтому (вопрос 5, а)
Σ {4}«4"(^'-^)+0(пТ1пд),
О < ж < к/ι ν * J *
Далее (вопрос 8, Ь, гл. II)
£ 7-£п + ^п1пя+р(/я)/7+0(1).
О < * < VT
Поэтому
τ (1)+τ(2)+...+т(п)==2Ел+л In л+2р(/7Г) |ΓίΓ—/ϊΓ—я+
+ 2VT{/nJ+0(n3 (1пя)|)-п(1пп+Иг-.1)+0(яв (Inn)»).
c. Напишем ряды дробей
11111
If Τ 3'7' 5' б"' ...,
L L L
2' 4 6' ...,
3 6 ··*
с знаменателями, не превосходящими N. Дробь — с условием 0 <
<a<N встретится в τ (а) рядах. Поэтому сумма всех членов,
содержащихся во всех рядах, равна
0<α<Ν β
С другой стороны, сумма членов s-ro ряда <^ — In N. Поэтому та же
464
сумм^ всех членов, содержащихся во всех рядах, будет
^ 0<s<N S
Следовательно, неравенство (1) верно при /=1.
Далее, допустив справедливость неравенства (1) при каком-либо
/, докажем, что оно останется верным и после замены /на /+1. На*
пишем новые ряды дробей
ft ft))1 (τ (2))' (τ(3))* (τ (4))' (τ (5))* (τ (6))'
1 » η · 3 ' 4 ' 5 ' 6 »· · ··
(τ(2))< (τ (4))' (τ (6))'
~~2~~· "Τ~"' ~~6~~*··'
(τ(3))' (τ (6))'
~Γ~· —6~·*"
со знаменателями, не превосходящими N. Здесь сумма всех членов,,
содержащихся во всех рядах, равна
0<u<N a
С другой стороны, сумма членов s-ro ряда
<JjM(uw.+...+<i^at)<£M(ll,4-
Поэтому та же самая сумма, содержащаяся во всех рядах, будет
«(шло* Σ ^«(шло»'+1.
0<1<ЛГ
И мы убедимся, что неравенство (1) останется верным и после замены
/ на /4-1.
d. В случае /=1 неравенство (2) является следствием
неравенства вопроса Ь. Далее, допустив справедливость неравенства (2) для
какого-либо /, докажем, что оно останется верным и после замены t
на /+1. Напишем ряды
(τ(1))', (τ(2))', (τ(3))<, (τ(4))', (τ(5))', (τ(6))', ...
(τ(2))', (τ(4))', (τ(6))', ...
<τ(3))'. (τ<6))', ...
включающие только значения τ (α) с условием α<Ν. Здесь сумма
всех членов, содержащихся во всех рядах, равна
Σ (τ(α))'+*.
0<а< Ν
С другой стороны, сумма членов s-ro ряда будет
< (т Ш ((τ (!))«+... + (τ(INs-*}))')<(τ (s))* £ (In N)*u*.
465
Поэтому (теорема вопроса с) сумма всех членов, содержащихся во
всех рядах, будет
< N (In Л02/-* Σ Щ^ < N (In N/+1-*.
О <s< N s
И мы убедимся, что неравенство (2) останется верным и после замены
I на /+1.
7, Пусть система неправильная и s—наибольшее число с
условием, что 2s входит в нечетное число чисел системы. Одно из
последних чисел мы заменим меньшим, содержащим лишь степени 2*,
входящие в нечетное число чисел оставшейся системы. /
Пусть система—правильная. Число, меньшее одного из/.чисел Τ
этой системы, отличается от Т, по крайней мере, одним знаком в
системе исчисления с основанием 2.
8, а. Добавив к каждому из чисел, представляемых указанным
способом, число Я=3Л+^п"1+--*+3+1» получим числа, которые
можно получить, заставляя в той же сумме xnt xff-i,..., *i, Xq
пробегать значения 0, 1,2, т. е. получим все числа 0, 1,..., 2#.
Ь. Указанным способом получим/τΐχ/πι.. .т& чисел, не сравнимых
между собою по модулю /Tv^.-.m*, так как из
xl+mlXi+mlmtX9+...+m1m2... mk_xxk=*
S3*i+tfiixi+tfi1m2*8+... -fmimj ... mk-ix'k (mod/ηχ/πι... m&)
последовательно находим
x x wm χ[ (mod /πι), χ ι=χ[; ηΐχχ2 зя νχχχ 2 (mod Шуш^, χ% = χ%\
mitn.^x% шш m 1ЩХъ (mod tn\tn%fn^, x%=x&
я т. д.
9, а. Указанным способом получим гпхтп^^щ чисел, не
сравнимых по модулю mxmt. ..rrik, так как из
Mxxt+Мщх%+ ... + MftXft ■■
* == Mtx'i+Λί2*ί+... + M^l (mod /n^»... m k)
следовало бы (всякое Afy, отличное от Ms> кратно ms)
MsXs м ΜμΊ (mod m^), χ , β *J (mod m,), xs = *i.
b. Указанным способом получим 9(mj) <р(т2)...ф(т*) =
=<p(mima...m*)
чисел ввиду теоремы вопроса а, не сравнимых по модулю mim%. ..m^,
и ввиду (М1Хг+М%Х2+... + Мкхк, ms) = (Msxs, m,) = l, взаимно
лростых с mima...m*.
c. Согласно теореме вопроса а число Μχχι+Μ2Χί+.-.+МьХь,
где xlt дса,..., х* пробегают полные системы вычетов по модулям
mi, m* /я*, пробегает полную систему вычетов по модулю mjma...Щ-
Это число взаимно просто с тхт%...ть тогда и только тогда, когда
(*i. mi) = (x2, ma) =...=(**, /л*) = 1. Поэтому 9(mim2.-.^) =
= ф(т!)ф(т2)...ф(т^).
d. Чтобы получить все числа ряда 1, 2,..., р», взаимно простые
с ра, следует вычеркнуть числа этого ряда! кратные р, т.е. числа
466
p9 2p,L.., p&—l p. Поэтому φ(ρα) = ρα — ρα— ι. Отсюда и из
мультипликативности φ (а) известное выражение для φ (а) следует
непосредственно.
10,' а. Первое утверждение следует из
( хг , , хк \ ( МгХг+... + MkXk\ .
второе утверждение следует из
{■
дрооями
}·
ι. с дробями < ' "'"—- > . Второе утверждение доказывается
Ь. Дроби < °*'(*' ■*> + ·.. + акПХк Щ) \ совпала·
I Щ ми )
ют с дробями
(ΜχΧι+... + MkXb Miwt+...+MfiWk) ,
"1" · · ·
mi
Д*/(Α*ι*ι+ ·-*+%»»■*■» Мгьиг+ ...+Mkwk)
т.е.
аналогичным способом.
11, а. При α, кратном m, имеем
При α, не делящемся на m, имеем
b. При нецелом α левая часть равна
^ajifo fAf+P) e*niaM
sinji(a) (α) Λ
с. Согласно теореме вопроса b левая часть не превосходит Тт>
где
Но при нечетном т
s т N In
2а—\
Тт<т Σ In~-ij=mlnmt
0<a<-£.
467
а при четном т
τ-<τ Σ "gii+f Σ '"|±{<«,.».
0<α<-γ ο<α<-γ
При m^6 ввиду *o' — "o"s=s_F границу mlnm можно уменьшить на
'τ Σ "|±НИ2[т]+')·
Последнее выражение > -=- при т^в 12 и > т при т^60.
12, а. Пусть m = pfl ...ρ**—каноническое разложение числа т..
Полагая р*х = тъ . ..,р£*=тЛ, при обозначениях вопроса 10, *
имеем
2rtf-b- ал'^ ιπί-ϊ-
Но при а,= 1 находим
2* т*=2е m*-i«-i.
(5 «1
При а, > 1, полагая т,=р^, находим
II
2* m'=2* w'- Σ * β°·
Ι* ** ««ο
m-1 infJL
b. Пусть m—целое, т > 1. Имеем 2 e w «0. Сумма ела-
Jt-O
гаемых левой части этого равенства с условием (х, m)«=d согласно
теореме вопроса а равна 14 тг ] ·
c. Находим
где, полагая m^m^d, имеем
s*= 2 « m··
«ж0
468
Последнее равно 0 при d < т н равно 1 при а—т. Отсюда и
получаем теорему вопроса а.
d. Равенства следуют из вопроса 10, Ь.
e. Имеем
где av ..., ак пробегают приведенные системы вычетов по модулям
щ9 ...,т^. Отсюда (вопрос d) первое равенство вопроса следует
непосредственно.
Аналогичным путем докажем и второе равенство.
13, а. Имеем
У •"""'-i Pt еСЛИ П
i?o I 0 в проти
кратно р,
jgo I ° B противном случае.
Ь. Раскрывая произведение, отвечающее данному п, имеем
Σϋ«2Σ-τ
d\a x=0
Отсюда, суммируя по всем л = 0, 1, ..., а—1, и получим известное
выражение для φ (α).
14. Часть выражения, стоящего справа, отвечающая х,
делящему а, равна 1, часть, отвечающая х> не делящему а, равна 0. Поэтому
указанное выражение равно удвоенному числу делителей числа а,
меньших |Л5, сложенному с δ, т. е. равно τ (α).
15, а. Имеем
=hi+(pl}hi-lht+...+(p^iylhS-t+ft
(hi+ht+hjP — (Л1+Л1)я+Л%авЛ?+Л?+Й (mod p),
и т. д.
b. Полагая hi=ht=... =Λβ = 1, из теоремы вопроса а получим
теорему Ферма.
c. Пусть (а,р) = 1. При некоторых целых N%9 Nit ...,Να имеем
α^-ι>= 1 + Njp, aP<P-» = (l + N1p)P=-l + Ntp2,
aP*iP-»=l + N9pP ^a-V-i) = l + ^apa,
<р(Ра)*ш\(тоар*).
Пусть m = p\ ... pkk—каноническое разложение числа т. Имеем
α» <""> - 1 (mod ρ?') α» <'">- 1 (mod pj») ,
a*<m>-1 (mod ρ*·) β»<"·>«1 (modpj»),
a'W—lGnodm).
469
Решевяя к главе 4
1, а. Теорема непосредственно следует из теоремы вопроса
11, а, гл. III.
b. Пусть d—делитель числа /и, т — тца, Н^ обозначает сумму
слагаемых.с условием (a, m) = d в выражении для Тт вопроса а.
Находим
m-l m-l :ni a*f(* w>
a9 JceO tt/sO
где а0 пробегает приведенную систему вычетов по модулю т0.
Отсюда выводим
т,т1 mp-i mi fl°^* w**
Я^ = ^2 Σ ··· Σ « W§ -mM(mo).
α0 ж0вО α>β= 0
c. Пусть т > 0, (a, m) = ci, fls=a0^i m^m^d, Г—число решений
сравнения ах*ш Ь (mod/я). Имеем
т-
i«-l „*«!К=Й «-»«-» ,„<«*,-»«,*«
ass о ж β 0 asO х«0
e
ftlp Itl
*~! "·*πί"7__ ί md, если δ кратно d,
a~0 I 0 в противном случае*
d. Полагая (a, m)=^dx, {b% dt)—di (f9 dr-i)=drf m*=dimu
rfi = </tmg, ..., dr-i=drmrt находим d~dr,
m-lm-tm-l m-\ , a (ax+by+ ... +fw+g)
a = 0 xssO y«0 wsO
—·Σ Σ -Σ« *
'r^m-l .π<^±^ «r-1 „ι SI
a^^OwesO ar«0
e. Применим метод индукции. Пусть при обозначениях вопроса 4
теорема верна для г переменных. Рассмотрим сравнение
Ιν+ax+...+fw+g аз 0 (mod m). (2)
Пусть (/, m) = d9. Условием возможности сравнения (2) будет ах +
+ ... + /о>+£ ■■ 0 (mo(j ^ # Последнее сравнение возможно лишь
в случае, когда £ кратно d't где d' = (a, ..., /, d4) = (/, a,...
..., /, m), причем тогда оно имеет dj"1^ решений. Следовательно,
470
сравнение (2) возможно лишь в случае, когда g кратно d\ и тогда
оно имеет dj~ld' \-y-j d0=mrd' решений. Таким образом, теорема
верна и для г+1 переменных. Но теорема верна для одного
переменного. Значит, она верна всегда.
2, а. Имеем fl^^sl (modm), а^Ьа^{т)"1^Ь (modm).
b. Имеем
1.2...(α-1)αΗ-»)«-ι(Ρ~1),·ο(Ρ~<Η~1)-
1·2...α
*а&.Ь2...(а— l)(modp),
откуда, деля почленно на 1 · 2.. .(а—1), и получим указанную теорему.
c, а) Выбирая надлежащим образом знак, имеем 6±/п =
и 0 (mod 4). Пусть 2 —наибольшая степень 2, делящая b ± т. При
b^zk имеем
b d: tn , , ч
дс аа (mod m).
2*
Если же δ < Л, то имеем
2*-4*--Ц2(пки1т).
С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
β) Выбрав надлежащим образом знак, имеем Ь ± ms0(mod3).
Пусть 3 —наибольшая степень 3, делящая Ь ±т. При 6^ k имеем
(modm).
Если же
(mod m).
С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
γ) Пусть р—простой делитель числа а. Найдем t из условия
6-f-m/e0(modp). Пусть ρ —наибольшая степень /?, делящая
(a, b+mt)t и пусть α=αχρ*. Имеем
b ±т, . ч
αχχ яв —jr— (mod m).
/>°
Если fli > 1, то с этим новым сравнением повторяем аналогичную
операцию, и т. д.
Указанный способ удобен в случае небольших простых
сомножителей числа а.
3. Полагая / = [τ], пишем сравнения
а-ОшвО (mourn),
а Л as yx (modm),
a*t aa yt(moam)t
а-Ошвт (modm).
471
Расположив эти сравнения в порядке возрастания правых частей
(ср. вопрос 4, а, гл. II) и вычитая почленно каждое сравнение (кроме
последнего) из следующего за ним, получим t+\ сравнений вида
аг*ти(тоат); 0<|ζ|<τ. При этом, по крайней мере, в одном
сравнении будет О <и < —. Действительно, и имеет * + 1 > τ
значений, эти значения положительные, и их сумма равна т.
4, а, а) Следует из определения символической дроби.
β) Здесь можно положить b0=b+mtt где t определяется нз
условия 6+т/в 0 (mod а); тогда сравнению ахявЬ удовлетворяет
целое число, представляемое обычной дробью —.
у) Имеем (60 кратно a, dQ кратно с)
Ь) Имеем
а * с а ' с ас ас
Ъ d &о ^о _ jy^o W
а* с а ' с ~~ ас ас'
Ь, а) Имеем (сравнения берутся по модулю р)
fp-l\ (p-l)fr-2)...(p-<fl (-l)«1.2...g , ne
{ a j" 1·2...α ~ 1-2... a "l-1'"
Вопрос 2, b теперь проще решать так:
Ί" Ь2...(а-1)а (m0d P)'
β) Имеем
2'-2 .ρ-1 . (ρ—1)(ρ—2) .
(ρ-1)(ρ-2)...(ρ-(ρ-2))
• · · + 1·2 ... (ρ—1) (m0d rt#
δ, а. Числа s, s+1, . ..,s-f-n— 1 попарно не могут иметь общего
делителя с d. Произведения s(s+l)... (s+л— 1) могут быть
объединены в л* совокупностей по числу способов, сколькими число
d может быть разбито на η попарно простых сомножителей с учетом
порядка последних (вопрос И, Ь, гл. II). Пусть d = ихи% ... ип —
одно из таких разбиений. Число произведений с условием s as 0 (mod ut)9
s+1 ■■ 0 (mod Ut)t ..., $+η— 1 ■■ 0 (mod un)
равно-τ . Поэтому искомое число равно я*-т.
Ь. Указанное число равно
472
где κ—число различных простых делителей числа d. При этом
Σ>«?-(·-*) ('-*)-(-*)■
d\a
6, а. Все значения х, удовлетворяющие первому сравнению,
даются равенством х = Ьх+т^, где /—целое. Чтобы выбрать из них
re, которые удовлетворяют также и второму сравнению, надо
ограничиться лишь теми значениями t, которые удовлетворяют сравнению
mrf sabt—bx (mod mi).
Но это сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда Ьг—Ьх
кратно cf. При этом в случае разрешимости совокупность значений /,
ему удовлетворяющих, определяется равенством вида f = f0-|----5f',
где f—целое; вместе с тем совокупность значений х,
удовлетворяющих рассматриваемой в вопросе системе, определится равенством
x==b1+m1(t0+^ t'j=:xlti + mlttf; *ι.ιβ*ι+«Α·
b. В случае разрешимости системы
χ гз Ьх (mod тх), χ β Ь% (mod m%)
совокупность значений xt ей удовлетворяющих, представится
сравнением вида * =э*1, a (mod mi, j). В случае разрешимости системы
χ ==з xlt г (mod m1# %), χ as b9 (mod m9)
совокупность значений х, ей удовлетворяющих, представится
сравнением вида *s=*ltlt ^(modm^i.s)· В случае разрешимости системы
χ =з xlt lf, (mod mlt tt 3), χ ■■ 64 (mod m4)
совокупность значений xt ей удовлетворяющих, представится
сравнением вида χ ез xlt tt 9t 4 (mod mi, *, 8.4) и т. д.
7, α) От замены χ на —χ (вследствие чего χ' заменится на —х')
величина суммы ( J не изменится.
β) Когда χ пробегает приведенную систему вычетов по модулю т,
то и х' пробегает приведенную систему ^вычетов по модулю т.
у) Полагая χ ss/tz(modm), получим
(^).Σ.-^.(^).
ζ
δ) Имеем
l¥ (ϊγ-ΣΣ· ~~"==
x If
Полагая m2*'+mii/' = z', имеем
(ainitx + a%m<uf) {**%*'+mxy') ■■ αιηΑ+α&ιΙ (mod «i«») ·
/fli» 1\ /a* 1\ /пАаг+тгОщ.Л
\mx ) \ m% ) \ mxmt / '
473
что и доказывает указанное свойство в случае двух сомножителей.
Обобщение на случай более чем двух сомножителей тривиально.
8. Сравнение
а0хп+а1хп-1+ ... +ая—а0 (х—хх) (х—х2) ... (х—хп) ■■ 0 (mod ρ)
имеет η решений. Оно степени ниже п. Следовательно, все его
коэффициенты кратны р, а это и выражается сравнениями, указанными
в вопросе.
9, а. При ρ > 3 соответственно х, взятому из ряда 2, 3, ..., ρ—2,
найдем отличное от него число х1 того же ряда с условием
хх' ss 1 (mod ρ); действительно, из χ=xf следовало бы (х — 1) (х +1) *з
s=0(modp); х^\ или лгззр—1. Поэтому
2-3... (р—2)ssl (modρ); 1-2 ... (ρ—l)ss—1 (mod/?).
b. Пусть Ρ > 2. Допустив, что Р имеет делитель и с условием
1 < и < Р, мы имели бы 1 -2 ... (Р—1) + 1^1 (mod и).
10, а. Находим h с условием ajissl (modm). Данное сравнение
равносильно такому:
xn + a1hxtl"1+.. ;+aJieBQ(moam).
b. Пусть Q (дс)—частное и R (х)—остаток от деления х?—х на
f (х). Все коэффициенты Q (х) и R (дс)—целые, Q (jc)—степени р—л,
/?(х)—степени ниже п,
•-*«/(*) Q (*) + *(*).
Пусть сравнение / (х) аа 0 (mod ρ) имеет η решений. Те же решения
будут решениями и сравнения Η (χ)ξ=0 (mod p); поэтому все
коэффициенты β (χ) кратны p.
Обратно, пусть все коэффициенты R (х) кратны р. Тогда / (х) Q (х)
кратно ρ при тех же значениях х, что и х?—х\ поэтому сумма
чисел решений сравнений
/ (х) & 0 (mod p), Q (χ) μ 0 (mod p)
не меньше чем р. Пусть первое имеет а, а второе β решений. Из
а<л, β<ρ —η, ρ<α+β
выводим α = η, β = ρ—п. 1Ч
c. Возвышая данное сравнение почленно в степень - ,
убеждаемся в необходимости указанного условия. Пусть это условие вы-
полнено; из χ*—χ = χ\χΡ-1—Α п +А п — \) следует, что оста-
( — ) Чг
ток от деления χΡ—χ на хп — А есть \А п —-1/ *, где Λ — 1
кратно р.
11. Из я? hi A (mod m), ι/η == 1 (mod m) следует (x0#)n — Λ (m°d w);
при этом произведения x0yt отвечающие несравнимым ^по модулю т)
г/, несравнимы. Из *о = A (modm), *п гз Λ (mod m) следует хп«
ssa*o (modm), причем, определяя у условием *s= t/*0(modm), имеем
уп&\ (mod /w).
474
Решетя к главе 5
1, Указанное сравнение равносильно такому: (2ах-\-Ь)*ш*Ьг —
— 4ac(modm). Соответственно каждому решению zsaz0(modm)
сравнения z**ab*—4ac(modm) из 2ах-\~Ьзшг0(тоат) найдем одно
решение указанного сравнения.
2, а. При i—j=l имеем а***1** 1 (mod ρ), (а1**1)* шла (mod ρ),
*эа± fl«i + l(modp).
b. При ί —J = I имеем a***+*sa\ (modρ), atm+1aa± 1 (modρ),
fltm+iga ± fl(mocj p). Ввиду ( — ) =—1 имеем также 2*Л+*ая
as—1 (modρ). Поэтому при некотором s, имеющем одно из значений
0; 1, получим
aaw+a^w+a^saaimodp), *« ± aw+a2<**+*>'(modp).
c. Пусть р = 2*Л+1, где k^3 и Л—нечетное, Г—J = l. Имеем
^"^«Hmodp), аР*"^— ± 1 (modp), #2*~1*-ш-1 (modp).
Поэтому при некотором целом неотрицательном s2 получим
^*-*д/М*-.» β ι (mod ρ), β1*" ***»*-- ± 1 (mod p);
отсюда при некотором целом неотрицательном ss получим
^- ·Α^,«Λ- Θ , (mod p)f ^-«jyM*-· ^ ± j (mod p))
и т. д.; наконец, получим
ft+i
a*tfa$*sa 1 (modp), xs±a! tfs*(modp).
d. Имеем
1- 2 ... 2m (p—2m) ... (p—2) (p—1)+1 ^O(modp),
(Ь2... 2m)2+l»0(modp).
3, а. Условия разрешимости сравнений (1) и (2) выводятся
тривиально (е и h § 2). Сравнение (3) разрешимо тогда и только тогда,
когда (—)-!· Но (=г) = ("|-) . причем
если ρ имеет вид бт+1,
если ρ имеет вид 6т+5.
b. Каковы бы ни были различные простые pi, pt, ..., ρ* вида
4m+l, наименьший простой делитель ρ числа (2ptps ... Pk)*+1
будет отличен от р1э р2, ..., рк н ввиду (2p!pi... р*)а +1 β 0 (mod p)
имеет вид 4m+l.
c. Каковы бы ни были различные простые р1э р%, ..., р* вида
6т+1, наименьший простой делитель ρ числа (2pipa ... Р*)*+3
будет отличен от plt р%у ..., рк и ввиду (2ριρ8 ... р*)2+ЗявО (mod p)
имеет вид 6т+1.
(*)-{-!:
475
4. Среди чисел первой совокупности будут числа, сравнимые
с Ы, 2-2, ..., *-^~ р 9 , т. е. все квадратичные вычеты; число,
входящее по условию во вторую совокупность, будет квадратичный
невычет. Но во вторую совокупность войдут все произведения этого
невычета на все вычеты, т. е. войдут все квадратичные невычеты.
5, а. Пусть в системе исчисления с основанием ρ
α=αα-ιΡα~1+ · - · +^ρ+α0
и искомое решение (наименьший неотрицательный вычет)
* = *а -1Ра"1+ - · - + *ιΡ + *ο·
Составим таблицу:
0)
βα-ι
2*ο*α-1
2*ι*α_2
2xgX<x «з
...
...
...
...
<*4
2jt,>*4
2*1*8
ν2
*
fl»
2*o*»
2*!*2
Of
2*0*2
ν1
*1 .
«1
2*0*1
«0
*o2
где в столбце под as стоят числа, сумма которых образует
коэффициент при р* в разложении квадрата правой части (1) по степеням р.
Находим *0 из условия
хо^а0(тоар).
Полагая
*о—0р
-ръ находим jc, из условия
рх+2*ο*ιβ ai (mod Ρ) ·
Полагая Λ+**-«ι,
sps, находим *2 из условия
pt +2xo*i +*f ■■ <h (mod p),
и т.д. При данном х0 ввиду (х0, /?) = 1 числа дрх, χβ, ..., χα-ι
определятся однозначно.
Ь. Здесь
* = *α-ι2
* = *α-ι2<
Д-1
,α-ι
+... +α92*+θ22*+αι2+α0,
+ ...+дс,2з+х12а+*12+*о,
476
и мы будем иметь следующую таблицу:
αα-ι
x*xa-t
*i*a-a
x*xa-i
...
...
...
■'■
A4
Vs
Xi*t
X*
fls
xox*
<h
*0*1
X*
Xl
01
*0
X2
0
Рассмотрим лишь случай a^3. Ввиду (a, 2)—\ необходимо a0 = l.
Поэтому дс0=1. Далее необходимо ^=0, и ввиду χ&χ·\· x\—xi+x\^s
за 0 (mod 2) необходимо аа = 0. Для хх возможны два значения: 0 и 1.
Числа xtt xs, ..., xa_s определятся однозначно, а для *α_χ
возможны два значения: 0 и 1. Поэтому при а^ 3 необходимо ass
sal (mod 8), и тогда указанное сравнение имеет 4 решения.
6. Очевидно, Ρ и Q—целые, причем Q по модулю ρ сравнимо^
числом, которое получим, заменяя а на ζ2, для чего достаточно γ а
заменить на г. Поэтому Qzs2a-1z(*-1 (modp); следовательно, (Q, р)=1
и Q' действительно можно определить из сравнения QQ' в 1 /mod /?a).
Имеем
P*-aQ* = (г + /a")a (г - }/Τ)α-(г*-а)а -0 (mod />а),
откуда
(PQ')2S a (QQ')a^a (mod/?a).
7. Пусть т = 2ар*1 ... />£*—каноническое разложение числа /п.
Тогда т представляется в виде m = 2aab, где (а, 6) = 1, 2* способами.
Пусть <х=0. Из (ж— l)(x-f l)BsO(modm) следует, что при
некоторых а и b
х =э 1 (mod a); χ эй— 1 (mod b).
Решая эту систему, получим #ssx0(mod/H). Поэтому указанное
сравнение имеет 2* решений.
Пусть сс=1. При некоторых а и b
χ ■■ 1 (mod 2a); хэ-i (mod 26).
Решая эту систему, получим х**=х0(тоат). Поэтому указанное
сравнение имеет 2* решений.
Пусть a =2: При некоторых а и b
χ as 1 (mod 2α); χ ss— l (mod 2b).
Решая эту систему, получим χ ш*х0 (mod -ψ J. Поэтому указанное
сравнение имеет 2*+1 решений.
477
Пусть а^З. При некоторых а и b должна выполняться одна
из систем
χ sb 1 (mod 2α); χ за— 1 (mod 206"1 b)\
χ ш* 1 (mod 2α"1 α)\ χ β— 1 (mod 2b).
Решая одну из этих систем, получим хштх0( mod -jj~ j. Поэтому
указанное сравнение имеет 2*+а решений.
8, а. Определяя х' сравнением хх1 шл 1 (mod ρ), имеем
у fx(x+k)\ ^у1 /££4ί£+^)\ = у (\+kx'\ ^
Очевидно, \-\-kx' пробегает все вычеты полной системы, кроме 1.
Отсюда и следует указанная теорема.
Ь. Указанное равенство следует из
х=1
ачае
тельно, 6=0 или 6=1). Имеем
с. Пусть δ обозначает число значений у, равных нулю (следова·
, 6=0
При этом находим:
если только одно из чисел Ух я у равно нулю;
Syt.y — i
s _ ί ρ, если ^=«, = 0;
yi'v \ 0, если только оцн<
(р-\=р-(Ш\ если У1 = у>0;
I — ί MIL· J в остальных случаях.
Поэтому
*.<χ(,»+,(γ-«,-(Σο (f))")<*>>.
d, α) Имеем
р. ι Q-i q-1 (
^ςςςΓ+Τ+")·
478
ΠρϊΓζι = ζ суммирование по χ дает ρ—1. При zlt не равном ζ,
суммирование по χ (вопрос а) дает —1. Поэтому S~pQ — Q2.
β) Согласно теореме вопроса ее) имеем
r(Q0.5+0,5X)2</?Q. T<pQ~\
у) При р<5 теорема тривиальна. При ρ > 5 применим теорему
вопроса а). Допустив, что в указанном в вопросе ряде квадратичных
невычетов нет, убедимся, что S*=Q при х = М, Λί+Ι, ..., Λί-J-Q·
Поэтому (Qf-T-2Q и Q2 + 2Q + 1 не равны ρ как составные) найдем
(Q+l)Qa<(P-Q)Q. Q* + 2Q<p, (Q + l)2<p,
что невозможно.
9, а,. Если т представляется в виде (1), то решение
ζ шл г0 (mod m) (5)
сравнения x=&zy(modm) является также и решением сравнения (2).
Мы будем говорить, что указанное представление связано с решением
(5) сравнения (2).
С каждым решением (5) сравнения (2) связано не менее одного
представления (1). Действительно, взяв т="^т, имеем
2Г0 Ρ . θ
= ; (Ρ, Q) = l; 0<Q<]Tat |Θ|< Ι.
rn Q qyjn
Поэтому z0Q = mP+/\ где \г\< У~т. Далее, из (2) следует, что
I r \2 + Q а вв 0 (mod m). Отсюда и из 0 < | г |2-f Q? < 2m находим
m = |r|2 + Q2. (6)
При это κι (|г|, Q)=l ввиду
1==г!+0!= (z0Q-mP)20Q-mP+Q* s_f/>(modQ
m . m v >c;
Если I г |=r, то ввиду г е= z0Q (mod m) представление (6) связано с
решение*! (5). Если | г | = — г, то ввиду z\Q s z0r (mod m), Q s
εεζ01 r | (mod m), представление m=Q2+| г|2 связано с решением (5).
С каждым решением (5) связано не более одного представления (1).
Действительно, если два представления т=дс2 + у2 и т=х\-\-у\
числа т в виде (1) связаны с одним и тем же решением (5), то из
χ г= г0г/ (mod /η), χχ з= z0#i (mod m) следует *#χ ssxxy (mod m). поэтому
*yi = *iiS> откуда ввиду (*, #) = (*ι, #i) = l следует * = *ь y = ^i.
b. Если р представляется в виде (3), то решение
z^Zq (mod p) (7)
сравнения χ es-zy (mod p) является также и решением сравнения (4).
Мы будем говорить, что указанное представление связано с решением
(7) сравнения (4).
Зная решение (7) сравнения (4), найдем не менее одного
представления (3). Действительно, взяв т=угр, имеем
-Τ=·δ-+^=: (ρ· Q) = 1· <><Q<V~P, |θ|<ι.
Ρ ν Q γ ρ
479
Поэтому z0Qs5/·(modρ), где \г\ < γρ. Далее из (4) следует, что
|r|2+aQ2e=0(mod/?). Отсюда и из 0 < | r\2+aQ2 < (l+a) p
следует, что при а = 2 должно быть или |r|2+2Q2=p, или |r|2 + 2Q2=
= 2р. В последнем случае \г\ — четное, \r\ = 2rlt p= Q2+2rJ. При
а = 3 должно, быть или | r|a-f3Q2 = p, или |r|2+3Q2 = 2p, или
\r |2-(-3Q2 = 3/7. Второй случай невозможен: по модулю 4 левая часть
сравнима с 0, а правая—с 2. В третьем случае \г\ кратно 3, \г\—
= 3γχ, p=Qa+3r?.
Допустив, что два представления р = х2-\-ау2 и p = xl-\-ayl
числа ρ в виде (3) связаны с одним и тем же решением сравнения (4),
найдем χ = *ι, y=yt. Допустив, что эти представления связаны с
различными решениями сравнения (4), найдем χ sszy (mod p), Χχ^
555 — *yx (mod ρ), откуда *#j+*ii/e=0(modp), ЧТ0 ввиду 0<
< (ХУ1+Х1У)2*£(*2 + У2) (xl+yi) < Ρ2 невозможно.
с, а) Слагаемые суммы S (k) с χ — χχ и дг = — лсх равны,
β) Имеем
s(Wi)=p£(^^)=(j)5(*).
γ) Полагая /ε?— 1 =2/7lt имеем
Pi (5 (r))2+Pi (5 (л))2= 2 <5 И2))2+ Σ (5 (я/1)>8я=
При #, не равном х или ρ-— лг, результат суммирования по к будет
— ί — J; при #—л: или у = р—х он будет (/?— 1) (~). Поэтому
Pi (5 (r))2 + Pi (5 (л))2 = 4т, р= (I S (г))"+ (1 S(n))*.
10, а. Имеем
X*-DY% =
= (*i+ifi Vo) (xt ± yt Vd)(*,-</! Yd) (xt T y2 /δ)=*2.
в. Взяв любое τχ с условием τχ > 1, найдем целые xlt ухс
условиями | у\ Yb—Χχ | < — , 0 < у <Tj, откуда, умножая почленно на
t/il^D+Xi <2ух VD+\, получим]χ?—Di/ΪI < 2 f^D+1. Взявт2>
> Ίχ с условием J #! y^D— дсх I > —, найдем новые целые х2, у%
τ2
с условием |д:1—Dy\\ < 2 УЪ+\ и т. д.
480
Очевидно, в интервале —2 У~0— 1 < k < 2 Уо -f 1 существует
такое целое, не равное нулю /?, что среди пар *ь ί/ь хг> у%\ ...
найдется бесчисленное множество пар xt у с условием **—£>#2=:&; среди
же последних наверно найдутся две пары \lt тц и ξ8, η· с условием
ξ{ «в ξ2 (mod I Λ Ι), ηιδΕίηβ (mod | к |). Определяя целые ξ0. Ло
равенством ξο+ηο κδ — ίδι+ηι УТ5) (St—Ла Ϋ~θ)> имеем (вопрос а)
(S-Z)T|S-| * Ι2; δο» ξι—Οηϊ —0 (mod μ I);
ηο——ειηι + ξιηι —0(mod | Λ|).
Поэтому |0=δΙΗ ηο — Ήΐ*!» где ξ и η—целые и ξ2—Dna = l.
с. Числа х, у, определяемые равенством (2), удовлетворяют
(вопрос а) уравнению (1).
Допустив существование пары целых положительных х, у,
удовлетворяющих уравнению (1), но отличной от пар, определяемых
равенством (2), мы при некотором г=1, 2, ... будем иметь
(*·+*· VW < х + у VD < (хъ+уъ У5)г+1.
Отсюда, деля почленно на (дс0 + Уо У"5)г» получим
КХ + УУЪкхо+уъУЪ, (3)
где (вопрос а) X и К—гцелые, определяемые равенством
(*о+Уо К DY
и удовлетворяющие уравнению
Х*-£)У»,= |. (4)
Но из (4) следуют неравенства 0 < Χ— Υ УЪ < 1, которые в
соединении с первым неравенством (3) показывают, что X и
V—положительные. Поэтому второе неравенство (3) противоречит определению
чисел *о и уо·
11, а. Имеем
**£
При данном * суммирование по дс даст те т илн 0, в
зависимости от того, делится 2/ на т или нет. При нечетном т имеем
2πί—-
При четном m = 2m, имеем
2π* — 2πί Η
β m +e w |.
Здесь правая часть равна 0 при нечетном щ и равна 2т при четном тх.
481
b, α) При любом целом Ь имеем
|S..»|-Mg« '
U=o
откуда, выбрав Ь из условия 2Abs*a(modp), мы и получим
указанный результат,
β) Имеем
М + Q-l 9„,Ах* р-\ Ах* Μ+Q-l р-\ .,_, а (х-г)
Σ
χ=Λί
JKsQ
Σ }Σ
ζ»Λί α=0
Часть правой части, отвечающая α=0, численно равна -/— < f^pl
А оставшаяся часть численно не превосходит
Р-1
γ) Имеем
Σ · р
< l/"p(Inp—1).
'- Σ Σ ΪΣ> _7~·
Часть правой части, отвечающая α = 0, равна -^-=- . А оставшаяся
часть численно меньше чем
1
Ϋ1
P-l\M + Q-l 2ηίΖαζ^
Ιη/?Σ Σ e
< Kp(lnp)».
δ) Пусть г пробегает квадратичные вычеты, а л пробегает квад-
патичные невычеты по модулю р, заключенные в ряде 1 р—1.
Справедливость теоремы следует из равенств
2ni
2nilL
*а.р = \+22е <\ \+%е '+Σ
2л/ —
* Ρ
ε) Имеем
Ρ -! р"! / Μ 2π*
Ρ-ιρ-ι / / \
g*(*-0
При t = \ суммирование по х дает ρ—1, при t > 1 оио дает— (—).
Поэтому
*=2 \ Р/
482
Или (второе решение): имеем
р-1р-1
При * = 0 суммирование по χ дает р— 1. При />0 оно дает
— е р (вопрос 8). Поэтому
η) Следует из легко выводимого равенства
Sa^:=s\p)Sl''f'
κ) Имеем
AI + Q-1
Af + Q-l , p-1 2jifq(x-z)
Σ 7-Σ 7) Σ 7Σ
c=Af ΛΓί= 1 г=М α-0
Часть правой части, отвечающая а = 0, равна 0. Оставшаяся часть
численно меньше, чем (вопрос η) и вопрос И, с, гл. III)
Р-1
1Г5 Σ
ΫΊ>
α=1
< У р\пр.
λ) Следует из неравенства вопроса κ) и равенства R-\-N = Q.
μ) Часть суммы с (— ) = 1 равна p(R2-\-N2)f а часть суммы
с [ — 1 = — 1 равна — 2pR W.Поэтому вся сумма равна p(R — N)2.
Часть суммы с а=0 равна 0, а оставшаяся часть численно меньше,
чем
р-1
Σ
α=1
l+Q-l 2л/Η
Σ · "
х=М
Р-1 I
2
α=1 Ι
Λί + Q-l 2m- -°°У
Σ · '
0 = Λί
<P2(Inp)3.
Следовательно,
p(R-N)*< p*(\np)*t \R-N\<Y~p\np.
v) Теорема будет доказана, если покажем, что при К = [3 У"р]
сумма
К-1К-1 , р-1 2wfa(x-Af-y-yt)
'-ΚτίΣΣίΣ
483
будет меньше, чем К2. Но часть суммы 7\ отвечающая а=0, равна
нулю, а оставшаяся часть численно меньше» чем
£zi
2 -
7;£-(>\W.)<
Ρ
2У
Решения к главе б
1. а. Если q—простое нечетное и aP^l (mod?), то а по
модулю q принадлежит одному из показателей 6=1; р. При 6=1 имеем
авэЦтос!?), при 6 = ρ имеем </— 1 =2рх; х—целое.
b. Если q—простое нечетное и аЯ+1 ssO (mod q), то агР=&\ (mod?).
Поэтому а по модулю q принадлежит одному из показателей 6=1,
2, р, 2р. Случаи ό=1; ρ невозможны. При 6 = 2 имеем α2ε== 1 (mod ?),
α+l s=0(mod<7). При 6 = 2/7 имеем g—l=2pjr, *—целое.
c. Простыми вида 2рдс+1 будут, например, простые делители
числа 2р—1. Пусть ри р2, ··■» Р*—-какие-либо k простых чисел
вида 2р*+1; число (pipt ... Pk)p— 1 имеет простой делитель вида
2/7*+1, ОТЛИЧНЫЙ ОТ /7j, /7Я, ..., рЛ.
d. Если ?—простое и 22" +1 s= 0 (mod q), то 22,|+1== 1 (mod <?).
Поэтому 2 по модулю ? принадлежит показателю 2Л+1 и,
следовательно, ?—1 = 2п**1дс; х—целое.
2. Очевидно, а по модулю ая—1 принадлежит показателю я.
Поэтому я—делитель φ (о11— 1).
3. а. Пусть после &-й операции снова получается исходный ряд.
Очевидно, &-я операция равносильна следующей: в ряде
1. 2 л— Ι, л, п— 1 2, 1, 2, ...
..., Λ—Ι, л, л, л—1, ..., 2, 1, 2, ...
берутся числа, стоящие на 1, 1+2*, 1+2-2*, ... местах. Поэтому
на 1+2* месте в исходном ряде должно стоять число 2.
Следовательно, указанное в вопросе условие необходимо. Достаточность этого
условия очевидна.
Ь. Решение аналогично решению вопроса а.
4. Решение сравнения х& ек 1 (mod p) принадлежит показателю
Λ '
вида «τ??-, где 6'—делитель 6. При этом 6' кратно d тогда и только
±_
тогда, когда xd sal (modp). Выписав все τ(6) значений 6' и взяв
/=1, получим 5'=^μ(ίί)5^, где 5'—искомое число и Srf = --.
4\Ь
484
5, а. Здесь (§ 3; пример с, § б)»должно быть (§я4т)= ~~1в Это
требование выполняется при g=3.
b. Здесь не должно быть ( о j_i )в*» £2ssl (mod2p+l). Это
требование выполняется при указанных значениях g.
c. Здесь не должно быть (т~дГГ/ = 1, ^*~ ^ (mod4p+l). Это
требование выполняется при g=2.
d. Здесь не должно быть (οΓΤμ)^1, 8*" — 1 (mod2"/?-f-l).
Это требование выполняется при g=3.
β, а, α) При η, кратном ρ—1, теорема очевидна. Пусть η не
делится на ρ—1. Числа 1, 2, ..., ρ—1, если отвлечься от порядка
их следования, по модулю ρ сравнимы с числами g, 2gy ..., (ρ— \)g,
где g—первообразный корень по модулю р. Поэтому
Sn^gnSn(modp), Sn^0(modp).
β) Имеем
откуда (вопрос α)) и получается указанный результат.
Ь. При ρ > 2 имеем
Ь2 ... <ρ-Ι)-*1+ι+·""+ρ~1-* 2 —1 (modp).
7. Имеем g^ &*a as α (mod p), indit a \nag gx ss ind^ a (mod /7— 1),
ind^, flea indg a (mod p— 1).
8, a) Имеем
m-lm-lm-l ;я*д*<У1~у)
|5|2<X Σ Σ Σ Ч(Уг)г\(У)е т ■
При данных yi к у суммирование по χ дает Х/я | η (у) |2 или
нуль, в зависимости от того, будет ли yi = y или нет. Поэтому
|S|2<XKm, |S|< J^xFm".
β) Имеем
*"»Ь>?£ «'*'— -ϊΪ,ΣΣιμ,μ."-
где ξ (и)—число решений сравнения х*^ и (mod/я), η (я) —число
решений сравнения уп ess u (mod m). Здесь ξ(«) не превосходит /(
(вопрос 11, гл. IV), а сумма всех значений £(м) равна φ(/η). Поэтому
2UMI2</Ccr(m).
485
Аналогично находим
2l4(f)l»</C<P(m).
V
Следовательно (вопрос а)),
I 5 К^щ V*V («) «Ψ И *-* /S-
γ) Сравнение хп г 1 (mod m) равносильно системе
χη ss 1 (mod 2α), χ» зв 1 (mod /??»), ..., *« « 1 /mod p«*\.
Пусть у (х) и γ0 W—индексы числа х по модулю 2α (g, § 6),
сравнение xnssl (mod2a) равносильно системе пу(х)=0(тоас), пу0 (χ)εβ
sO(modc0). Первое сравнение этой системы имеет не более 2
решений, второе—не более η решений. Поэтому сравнение xn^s 1 (mod2a)
имеет не более 2л решений. Согласно Ь, § 5 каждое из сравнений
хп= 1 (mod/>?»)» ..., *п г=» 1 (mod//**) имеет не более η решений.
Следовательно, К < 2яЛ+1. Отсюда при постоянном η будем иметь
(вопрос 11, с, гл. II)
/C<2(T(m)),n2 = 0(me).
9, а. Имеем
p-lpM p-1 axBu+bxv
i5i2<—γγΣΣ*(«. γ)5«>*; *«.*=Σ*πι p .
где ψ(#, t;)—число решений системы
уп—ynssu(modp), y^yszv(mod/?),
когда ух я у независимо друг от друга пробегают значения 1, ...
...» р—1. Поэтому
' ιι«Ορ=0 ιι=0 p«0
Нетрудно видеть, что ψ(0, 0) = ρ—1, ψ(ι/, 0) = 0 при о0 и
ψ (и, v) < 2πχ при ν > 0. Поэтому
I/ < (/>-1)а+2/> (р-1) Λ! < 3/7 (p-1) Я1.
Кроме того, находим V < р* (р—1). Следовательно,
3 - -
486
b. Имеем
Λί+Q-l . αχη Ρ~χ
2 πι
-Σ
flr« Λί + Q-l Ρ-1 . 6 (χ-2)
Σ ^Σ«
χ=Μ *=1 ζ=Μ Ρ b = Q
Часть правой части, отвечающая 6 = 0, численно < η γ ρ (вопр. 8).
А оставшаяся часть численно не превосходит
«5 i ±-\р~Х
τΐ'· Σ
Σ · ~
2=Λί
<^-Λ!ρ4 1η ρ.
с. Имеем
λι.+Q.-i «я, **" Λί+Q-i ρ-ι ,,,μ^ι)
д:=М0
ζ = Λί b=0
QoQ
Часть правой части, отвечающая 6=0, равна -^Е=·. А оставшаяся
часть численно меньше
4—ι
Р-1
"ιΡ 4 1п ρ £
Ьг:1
Λί + Q-l . . -bz
«Д. 2ш
Ζ = Λί
<|Λιρ4(1ηρ)*.
Решения к главе 7
1, α) Определив при (х, р) = 1 число х' сравнением хх' ш* 1 (mod ρ),
находим
Р-1 Р-1
2 Χ(*)Χ(*+*)=Σ х(Ц-Лх')—г-1.
β) Имеем
p-lQ-l Q-1
s = 2 Σ Σ χ(*+*ι)χ(*+*)·
При Ζι = ζ суммирование по χ дает р—1. При zlf не равном ζ, сум·
мирование по χ (вопрос а) дает—1. Поэтому
S = Q (p-l)~Q (Q-l) = (p-Q) Q.
2, α) Имеем
ιι/·^ι1=Σ Σχ(*')χω«
f=l *=1
ρ-1 р-1
α (**-*)
2πί
Ρ =
P-l
-Σ Σχ«)« ρ =/>-ι-Σχ(<)=/>·
/ = l*sl is2
487
β) При (а, р) = р теорема тривиальна. При (а, р) = 1 имеем
V) Очевидно, А и В—целые, причем |5|2 = Л2+В2. Находим
вопрос β))
р-1 р-1 р—1 . Ind ζ, + lndz iif±£i£±ii
" " " " 4 е ' ;|в|-1.
л*-» f-·ρ—·
=Γ7Ϊ77ΤΣ Σ Σ*
При гг+г, не равном нулю, суммирование по χ дает нуль. Поэтому
3=*'Σ(-)**'Τ = ε'ΫΊ>; |е'| = |е'| = 1. S*=p.
б) Имеем
Σ* "='ΣΣ« " * ρ·
jfj *=1ζ=0
Часть правой части, отвечающая z = 0, равна —v. А оставшаяся
часть численно меньше (1—ν) Υ'ρ (вопрос α)).
3, α) При (ζ, р)—\ сравнение χη = ζ(τηοάρ) возможно лишь
в случае, когда ind г делится на δ, причем тогда это сравнение имеет δ
решений. Следовательно,
^ Л**
*·
где z0 пробегает числа приведенной системы вычетов по модулю ρ
с условием indz0^0(mod6). Поэтому
β) Полагая
x = u+ps~lv; u=0 p*-i—l; i>=0 p—1,
имеем
ex"
г p =e
При (и, /?)=1 суммирование по ν дает нуль. Поэтому (х=рг)
2 = 0
γ) Полагая
(л,/?*) = ptf, x = u+ps-<*-lv, «=0f ..., ρ*-*"1 —1,
с=0 р*+*-1,
488
находим
При (и, /?)=1 суммирование по и дает нуль. Поэтому (χ = ρζ)
S*,p* = 2 е '* "-ρ*-*,,,.-,..
2 = 0
β) Пусть ρ®1.. ·Ρ?*—каноническое разложение числа т. Полагая
Гл«-т-1+ХЯ1 v=l, m = M1p«1*=...=Mkp*kk
и определяя at ak из условия α в Мхах + ... + ^как (то(* т)»
имеем (вопросы 12, d и 9, а, гл. III)
τ τ1 τ1
βι. Р«» αΛρ«Λ
Но при s=l имеем
j_
|7-β^|<ρ-1+ν«/ρ<«ρ"6·
При 1 < $<л, (η, ρ) = ρ имеем
|Γβ,ριΙ<ρ-β+ιν<ιι.
При 1 <s<n, (л, р) = 1 имеем
l^pfl-p-'^-^i;
наконец, случай s> n, ввиду |Γβ> p,|=p-t+lvP',~1|Se. ρί-π|=|Γβρ,.η|
сводится к случаю 0 < s< д. Следовательно, при некотором С,
зависящем только от л, будем иметь
1^«1<С, \Sa,m\<Cmi-v.
4, α) Имеем
Μ + Q-l р-1 M + Q-1 р-1 *,«<£-*)
Σ χ«-Σχ« Σ |Σ« ~Γ
Часть правой части, отвечающая а=0, равна нулю. А оставшаяся
часть численно не превосходит γ~ρ(\ηρ—\).
β) Имеем
Af + Q-l rt-l ft-/a(indjp-s)
r- ς |Σ "-ϊ---
Часть правой части, отвечающая a=0,равна —. Доставшаяся часть
численно меньше У"р\пр.
489
у) Теорема будет докапана, если при К = [4я \ί ρ J будет показано,
что сумма
Р-1
У-1У-1 р-\ п_.а{х-М-у-Ух)
γ-ς*μΣΣ4Σ<
2 πι ·
х=1
у = 0 yt = 0 α=0
будет меньше, чем vKa. Но часть суммы Г, отвечающая а = 0, равна
нулю. А оставшаяся часть численно меньше, чем
6) Взяв /(х) = 1 и заставляя χ пробегать значения x = indAi, ...
..., ind (Λί + Q — 1), получим (вопрос 17, а, гл. II)
</\Ρ-1
здесь 5'—число значений χ с условием (х, р—1) = 1, поэтому 5' = Н.
Далее, 5^—число значений х, кратных с/. Поэтому
ε) Имеем
Л1 fQ-l Mt + Qt-\ , P-2 OTfte(£-£)
*=Λί 2=Aft
α=0
QQi
Часть правой части, отвечающая а = 0, равна -^Ц". А оставшаяся
часть численно меньше
Р-3
^РШр—{Σ
α=1
Λί, + Qi-l ο«ίΖ51
ZsMt
< 1^(1ηρ)2.
η) Допустим, что невычетов, не превосходящих Л, нет. Число
невычетов степени η среди чисел
1 Q; Q = [)^(ln/>)*]
490
можно оценить двумя способами: исходя из формулы вопроса β) и
исходя из того, что невычетами могут быть лишь числа, делящиеся
на простые, большие А. Получим
,_4-<ι„4 -—+° пЬ ·
In In ρ ч r/
П — In /7+2 In In ρ
m
{ , 1 In In Ρ
o<inJ-JiL+o(l).
lnlnp"^ {\npj
1 In ρ
Невозможность последнего неравенства при всех достаточно больших ρ
и доказывает теорему.
5. Имеем
. , aunvn
и ν
где и и и пробегают приведенные системы вычетов по модулю т.
Отсюда
т-\ m-l axy
s=?fei Σ Σ ·<'><■»>« ~:
vw- ^ χ (и), ρ ω- S xw·
i*w г x (mod m) unmy (mod m)
где имеем (вопрос 8, α), гл. VI и вопрос 11, гл. IV)
2 1*МР<*Ф(»), 2 1Р(У)1*</Сф(т).
Поэтому
\S\<^)]iKfp(m)K^(m)m=KV'm.
6, а) Пусть р— 1 = ρ J1 pj*... р*Л—каноническое разложение
числа ρ—Ι; ρι = 2. Пусть slt sj, sa, sj, ..., s^, s£ пробегают
значения, подчиненные условиям:
S!=0, s* = 1, если αχ = 1,
s1as0(mod2), 0<ί
S, если ax> 1,
<si<2a» J
491
Пусть Mr = (p—\)р~аг и ζ и г' пробегают значения
г = Mtsx + Ai2sa +... + Мы,
Легко видеть, что г пробегает
значений, а г' пробегает
.-0,_„2-*(ι-1)...(ι-1)
значений, причем
w = (p-l)*2-«A-IY..A-lJ>4(p-l)22-4 .
Теперь, рассмотрим сумму
W^St; S, = 2£e P
t г Г
где g—какой-либо первообразный корень по модулю ρ и t пробегает
приведенную систему вычетов по модулю р. Очевидно, имеем
W = uvS.
С другой стороны, находим
P-lp-l 2ш^
jc=0 yssO
где |(лг)—число решений сравнения gtz^x (mod ρ), а η (у)—число
решении сравнения giz'=sy(moa p). Очевидно, Х = и, Κ=ϋ (вопрос
8, а), гл. VI). Поэтому
!*!</«?, |5|<1^а»7<9«у=!2я»^
β) Имеем
ΛΙ+Q-l р-1 .a(g-z)
'-Σ Σ iL·-—■
5 2=Λί ^ α=0
Часть правой части этого равенства, отвечающая а = 0, равна
·"■ — . Оставшая часть численно не превосходит
1*ϊ=μ»π±Σ
Σ · р
ζ=Μ
' ■"~,<4«Ei2^2*V7inp.
8 ρ—1
Поэтому
τ=2ί^(<2+θ|2*Κρΐηρ).
492
ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ
Ответы к главе 1
1, а. 17. Ь. 23.
ч * 15 04 19 , θ
2, а. α)δ4-π; β) 0^+-^.
b. α)δβ=^, β) «=739+739-1000·
3, Всего получим 22 дроби.
6, a. 28-3Ml3. b. 23.3*.54.7·*.112.17.23-37.
Ответы к главе 2
1, а. 1312.
b. 2lle3fi9.53l-71»ll12-139.177.19e.23*-2943l4-373-413.432-472X
Х532.5Э2.61а.67.7Ь73.79.83.89.97.10Ы03.107.109.113.
2, а. τ (5600) = 36; S (5600) = 15 624.
b. τ(116424) = 96; S (116 424) = 410 400.
3. Сумма всех значений равна 1.
4. а) 1152; β) 466 400.
5. Сумма всех значений равна 774.
Ответы к главе 3
1, а. 70. Ь. Делится.
2, а. 33.52·112·2999. b. 7-13.37.73.101 137-17.19.257.
Ответы к главе 4
1, a. xs81 (mod 337). b. χ^200; 751; 1302; 1853; 2404(mod 2755).
2, b. x« 1630 (mod 2413).
3, x = 94+lllf; # = 39 + 47*, где /—любое число.
4, a. χ η 170^+ 52 6S (mod 221);
χεξ 131 (mod 221); χ » 110 (mod 221); χ «89 (mod 221).
b. χ33 11 151/Λ + 11 8ΟΟ&2+ 1687ЬЬ9(mod 39825).
6, a. *ss91 (mod 120). b. χ = 8479(mod 15015).
6, xme 100(mod 143); #=111 (mod 143).
7, a. 3** + 2jc3 + 3x2 + 2xs»0(mod5).
b. 5xe+*e + 5**+3*2 + 3x+4 = 0(mod7).
8, x« + 4x5 + 22;t4 + 76x3 + 70*2+52x+39 = 0(mod 101).
9, a. * ss 16 (mod 27). b. *«a22; 53 (mod 64).
10, a. x= 113 (mod 125).
b. *«43, 123, 168, 248, 293, 373, 418, 498, 543, 623 (mod 625).
11, a. xs=2, 5, 11, 17, 20, 26 (mod30).
b. jce76, 22, 176, 122 (mod 225).
493
Ответы к главе 5
1, а. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18.
Ь. 2, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 29, 31, 32, 35.
2, а. а) 0; β) 2. Ь. а) 0; В) 2.
3, а. а) 0; β) 2. b. а) 0; β) 2.
4, а, а) «з ± 9(mod 19); β) хш* ± 11 (mod 29);
γ) *sa± 14 (mod 97).
b. α) xsa±66(mod311); β) хш*± 130 (mod 277);
γ) jc«ii94(mod353).
5, a. x^ ± 72{mod 125). b. x^ ± 127 (mod 243).
6, a. *зз13, 19, 45, 51 (mod 64). b. *«41,87, 169, 215 (mod 256).
Ответы к главе б
1, а. 6. b. 18.
2, а. 3, 3, 3. b. 5, 5, 5. с. 7.
5, а. а) 0; β) 1; у) 3. Ь. а) 0; β) Ι; γ) 10.
6, а. а) а: ^ 40; 27 (mod 67); β) χ ■■ 33 (mod 67);
γ)^8, 36, 28, 59, 31, 39(mod67).
b. a) Jc^l7(mod73), β) №50, 12, 35, 23, 61, 38(mod73),
V) хяЗ, 24, 46(mod73).
7, a. a) 0; β) 4. b. α) Ο; β) 7.
8, a. a) 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17; β) 1, 7, 8, 11, 12, 18.
b. a) 1, 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36;
β) 1, 7, 9, 10, 12, 16, 26, 33, 34.
9, a. a) 7, 37; β) 3, 5, 12, 18, 19, 20, 26, 28, 29, 30, 33, 34.
b. a) 3, 27; 41, 52;
β) 2, 6, 7, 10, 17, 18, 26, 30, 31, 35, 43, 44, 51, 54, 55, 59.
10, a)
8)
*)
Vn
Υ
1
0
β)
Ν
Υ
1
0
3
1
Υ)
Ν
Υ
Υο
1
0
0
3
0
1
7
0
3
9
0
2
«)
Ν
Υ
Υι
1
0
0
5
0
1
7
1
0
Π
1
1
Ν
Υι
Υ*
1
0
0
2
1
1
4
0
2
7
0
1
8
1
3
11
1
0
13
0
3
14
1
2
η)
Ν
Υ
Υο
1
0
0
3
1
3
5
0
1
7
1
2
9
0
2
11
1
1
13
0
3
1β|
1
0
ΓλΓ
Υι
1
0
2
1
3
7
4
2
6
8
7
5
8
3
9
14
11
16
12
9
13
19
14
6
16
4
17
13
18
15
19
18
21
12
22
17
23
11
24
10
494
Ответы к главе 7
Γν
X
0
0
1|
I
Πν
X
0
0
1
1
2
0
3
r!
\ΊΓ
χ
0
0
1
1
1
2
0
3
RRC
*e0
4
0
5
R'
6
0
7
I
1
Глг
X
10
9
0
0
1
1
1
I
11 1
Re\
Re0
1
12
1 °
12 j
ο Ι
13
\Rc
/?3
1 Cx
13
Rc
Reu
14
0
14
ο Ι
15
1 °
15
о 1
16
1 °
16
ο Ι
17
1 Re
1
\Rei
17 1
ι 1
1
Rcx
18
1 °
18
0
19
1l
1
Is
19
Re\
ΠΫΤ
xl
30
0
201
ο Ι
Тз7
\Re
1
1
21
Re
Re0
1
Т32^
1 °
22
0
23 |
Re\
1
33
1
1
34
0
241
o|
|35
1 °
251
0 1
|36
0
26
0
27 ll
Re\
Rc0\
cl
1 37 hi
1 Rc |0
Rc0
1
28J 29 |
o! rc\
si 39
R'\
1
Ι Λ?·
С шт 2, C0 = 2, Γι *= 4.
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
/> = 3, /7-1=2, $-=2
FF
·!■
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
N
0
0
1
0
2
1
3
4
5
6
7
8
9
/>=5, /? — 1 =2=», е=2
N
0
0
1
0
2
1
3
3
4
2
5
6
7
8
9
/
0
0
1
1
2
2
4
3
3
4
5
6
7
8
9
/> = 7, /> —1=2.3, #=3
N
0
F"
|
1
0
2
2
3
1
4
4
5
5
6
3
7
8
9
/
0
0
1
1
3
2
2
3
6
4
4
5
5
6
7
8
9
/1 = 11, /» —1=25, #=2
/
1
0
1
1
2
2
4
3
8
4
5
5
10
6
9
7
7
8
3
9
6
N
о
1
0
б
1
0
2
1
3
8
4
2
5
4
6
9
7
7
8
3
9
6
496
/>=13, />-l=2*.3t *=2
\n
о
1
0
10
1
0
7
2
1
6
3
4
4
2
δ
9
6
б
7
11
8
3
9
8
/
0
1
0
|ι
|ю
1
2
7
2
4
3
8
4
3
5
6
6
12
7
11
8
9
9
5
/» = 17, /> —1=2*. *=3
Ί°
0 Ι ι
118
1
3
7
2
9
4
3
10
12
4
13
2
б
5
6
6
16
7
11
8
16
1
9
14
μν
о
1
0
3
1
0
7
2
14
13
3
Γ
4
4
12
9
5
δ
6
6
Ιδ
8
7
И
8
10
9
2
/>=:19, /*-1=2.3», #=:2
\ν\
ι
ο
1
0
L
17
1
0
12
2
Ι
16
3
13
5
4
2
7
δ
16
11
6
14
4
7
6
10
8
3
9
9
8
/
1
0
1
17
1
2
15
2
4
И
3
8
3
4
16
6
δ
13
12
6
7
δ
7
14
10
8
9
9
18
/> = 23, />-1=2.11, #=5
\ν
ι *
0
ι
2
0
3
5
1
0
9
13
2
2
20
11
3
16
14
4
4
21
δ
1
17
6
18
β
7
19
7
8
6
12
9
10
15
/
1
2
0
1
9
12
1
5
22
14
2
2
18
3
10
21
4
4
13
5
20
19
6
8
3
7
17
Ιδ
8
16
6
9
7
/> = 29, />-1=2»·7, β·=2
\ν\
Ι
1
2
ο
23
24
1
0
26
17
2
1
7
26
3
6
18
20
4
2
13
8
6
22
27
16
6
6
4
19
7
12
21
Ιδ
8
3
11
14
9
10
9
/
1
2
0
Ι
1
9
23
1
2
18
17
2
4
7
δ
3
8
14
10
4
16
28
20
5
3
27
И
6
6
26
22
7
12
21
16
8
24
13
9
19
26
497
/7 = 31» /> —1=23 5, gz=Z
и Ιο
2
1
25
5
1
3
13
15
2
9
8
14
3
27
24
11
4
19
10
2
5
26
30
6
6
16
28
18
7
17
22
23
8
20
4
7
9
29
12
21
Ν
•Ι
Ι Ι
0
14
8
15
1
0
23
29
2
24
19
17
3
1
11
27
4
18
22
13
5
20
21
10
6
25
6
5
7
28
7
3
8
12
26
16
9
2
4 Ι
9
/1=37, /> —1=2*32, #=2
Ι'ί
ι
3
0
ι
1
25
33
11
1
2
13
29
22
2
4
26
21
7
3
8
15
5
14
4
16
30
10
28
5
32
23
20
19
6
27
9
3
7
17
18
6
8
34
36
12
91
31
35
24
Ν
0
1
2
3
0
24
25
14
1
0
30
22
9
2
1
28
31
5
3
26
И
15
20
4
2
33
29
8
5
23
13
10
19
6
27
4
12
18
7
32
7
6
8
17
34
9
16
35
21
/> = 41, /ι-1=23.5, £-=6
/Ιο
ι
1
2
Ι!
1
32
40
Ι ^
1
6
28
35
13
2
36
4
5
37
3
И
24
30
17
4
25
21
16
20
5
27
3
14
38
6
39
18
2
23
7
29
26
12
15
8
10
33
31
8
9
19
34
22
7
\ν\ο
и
2
3
4
8
34
123
20
1
0
3
14
28
2
26
27
29
10
3
15
31
36
18
4
12
25
13
19
5
22
37
4
21
6
1
24
17
2
7
39
33
•5
32
8
38
16
u
36
9
30
9
Ά
6
/ι = 43, />-1=2.3·7, #=3
|Ί°
οι
1 110
2 14
3 In
4 124
1
3
30
42
33
29
2
9
4
40
13
3
27
12
34
39
4
38
36
16
31
5
28
22
5
7
6
41
23
15
21
7
37
26
2
20
8
25
35
6
17
9
32
19
18
8
Lvlo
о
ι
*
4
10
»
22
1
0
30
36
34
6
2
27
13
15
9
21
3
1
32
16
31
4
12
20
40
23
5
25
26
8
18
6
28
24
17
14
7
35
38
3
7
8
39
29
5
4
9
2
19
41
33
498
/> = 47, ρ-1=2-23, g=b
ι
0
ι ί
з
4
0
1
12
36
9
1
5
13
15
39
45
2
25
18
28
7
37
3
31
43
46
35
44
4
14
27
42
34
32
5
23
41
22
29
19
6
21
17
16
4
7
11
38
33
20
8
9
840
210
2426
630
ΛΜ 0
1 119
2 37
3 139
4 6
1
0
7
6
3
15
2
18
10
25
44
24
3
20
11
5
27
13
4
36
4
28
34
43
5
1
21
2
33
41
6
38
26
29
30
23
7
32
16
14
42
8
8
12
22
17
9
40
45
35
31
/> = 53, />-1=2».Ι3, g=2
/
о
1
2
3
'4 ί
5
ι ι
0
1
17
24
37
46
40
ι
1
2
34
48
21
39
27
2
4
15
43
42
25
3
8
30
33
31
50
4
16
7
13
9
47
5
32
14
26
18
41
6
11
28
52
36
29
7
22
3
51
19
5
8
44
6
49
38
10
91
35
12
45
23
20
Γ
0
1
2
«
5
1°
48
49
13
50
43
1
0
6
31
33
45
27
2
1
19
7
5
32
26
3
17
24
39
23
22
4
2
15
20
Π
8
5
47
12
42
9
29
6
18
4
25
36
40
7
14
10
51
30
44
8
3
35
16
38
21
9
34
37
46
41
28
/; = 69, /;—1 =2 29, g=2
Ι
0
1
2
3
4
5
0
|.
21
28
57
17
3
1
2
42
56
55
34
6
2
4
25
53
51
9
12
3
8
50
47
43
18
24
4
16
41
35
27
36
48
5
32
23
11
54
13
37
6
5
46
22
49
26
15
7
10
33
44
39
52
30
8
20
7
29
19
45
9
40
14
58
38
31
\Ν
Ι
0
0
1
2
Η
4
5
7
8
57
9
13
1
0
25
10
49
14
32
2
1
52
26
5
И
47
3
50
45
15
17
33
22
4
2
19
53
41
27
35
5
6
56
12
24
48
31
6
51
4
46
44
16
21
7
18
40
34
55
23
30
8
3
43
20
39
54
29
9
42
38
28
37
36
499
/> = 61, ρ—1=2235, #=2
Ν
о
ι
з
6
0
23
24
29
25
45
30
1
0
15
55
59
54
53
2
1
8
16
5
56
42
3
6
40
57
21
43
33
4
2
50
9
48
17
19
5
22
28
44
11
34
37
6
7
4
41
14
58
52
7
49
47
18
39
20
32
8
3
13
51
27
10
36
9
12
26
35
46
38
31
/
0 ί
ι ι
2
4
5
0
1
48
47
60
13
14
1
2
35
33
59
26
28
2
4
9
5
57
52
56
3
8
18
10
53
43
51
4
16
36
20
45
25
41
5
32
11
40
29
50
21
6
3
22
19
58
39
42
7
6
44
38
55
17
23
8
12
27
15
49
34
46
9
24
54
30
37
Ά
31
/>=67, /> —1=2-311, g=z2
\n\
\
0 !
ι
2 !
3 i
4
5
6
0
I
16
17
55
18
31
56
1
0
59
62
47
53
37
7
2
1
41
60
5
63
21
48
3
39
19
28
32
9
57
35
4
2
24
42
65
61
52
6
5
15
54
30
38
27
8
34
6
40
4
20
14
29
26
33
7
23
64
51
22
50
49
8
3
13
25
11
43
45
9
12
10
44
58
46
36
/
о
1
2
3
4
6
0
1
19
26
25
47
22
1
2
38
52
50
12
27
44
2
4
9
37
33
24
54
21
3
8
18
7
66
48
41
42
4
16
36
14
65
29
15
17
5
32
5
28
63
58
30
34
6
64
10
56
59
49
60
7
61
20
45
51
31
53
8
55
40
23
35
62
39
9
43
13
46
3
57
11
p = 7l, ^—1=2.6.7, g=7
N
0 '
1
2
3
4
6
7
|
0
34
40
60
46
62
66
35
1
0
31
27
11
.25
5
69
2
6
38
37
30
33
51
17
3
26
39
15
57
48
23
53
4
12
7
44
55
43
14
36
5
28
54
56
29
10
59
67
6
32
24
45
64
21
19
63
7
1
49
8
20
9
42
47
8
18
58
13
22
50
4
61
91
52
16
68
65
2
3
41
1°
01
1 145
2
3
4
5
6
37
32
20
148
30
1
7
31
46
11
69
52
68
2
49
4
38
6
57
9
50
3
59
28
53
42
44
63
66
4
58
54
16
10
24
15
36
5
51
23
41
70
26
34
39
6
2
19
3
64
40
25
60
7
14
62
21
22
67
33
65
8
27
8
5
12
43
18
29
9
47
56
35
13
17
55
61
500
/7 = 73, />-1=2:'·3-, g=5
Ν
0
1
2
з
7
0
9
17
15
25
10
23
42
1
0
55
39
11
4
27
58
44
2
8
22
63
40
47
3
19
36
3
6
59
46
61
51
53
45
4
16
41
30
29
71
26
48
5
1
7
2
34
13
56
60
6
14
32
67
28
54
57
69
7
33
21
18
64
31
68
50
8
24
20
49
70
38
43
37
9
12
62
35
65
66
Щ
52
/
0
1
2
з
4
6 ,
7
0
1
50
18
24
32
167
65
38
1
5
31
17
47
14
43
33
44
2
25
9
12
16
70
69
19
3
52
45
60
7
58
53
22
4
41
6
8
35
71
46
37
5
59
30
40
29
63
11
39
6
3
4
54
72
23
55
49
7
15
SO
51
β8
42
56
26
8
2
27
36
48
64
61
57
9
10
62
34
21
28
13
66
/> = 79, /> — 15=2.3-13, #=3
/
Ό
ί
7
Ι
0
1
36
32
46
76
50
62
20
1
3
29
17
59
70
71
28
60
2
9
8
51
19
52
55
5
22
3
27
24
74
57
77
7
15
66
4
2
72
64
13
73
21
45
40
5
6
58
34
39
61
63
56
41
6
18
16
23
38
25
31
10
44
7
54
48
69
35
76
14
30
53
8
4
65
49
26
67
42
11
9
12
37
68
78
43
47
33
Ν
1
2
3
6
7
0
66
70
67
74
50
71
41
1
0
68
54
56
75
22
45
51
2
4
9
72
20
58
42
60
14
3
1
34
26
69
49
77
55
44
4
8
57
13
25
76
7
24
23
5
62
63
46
37
64
52
18
47
6
5
16
38
10
30
65
73
40
7
53
21
3
19
59
33
48
43
8
12
6
61
36
17
15
29
39
9
2
32
35
28
31
27
/>=83, />-1 = 2.41, #=2
/
0
2
3
6
7
8
0
1
28
37
40
41
69
23
63
21
1
2
56
74
80
82
55
46
43
42
2
4
29
65
77
81
27
9
3
3
8
58
47
71
79
54
18
6
4
16
33
И
59
75
25
36
12
5
32
66
22
35
67
50
72
24
6
64
49
441
70
51
17
61
48
7
45
15
5
57
19
34
39
13
ι
8
7
30
10
31
38
68
78
26
9
14
60
20
62
76
53
73
52
Ν
1
2
3
7
8
0
28
29
18
30
55
19
36
31
ι
1
0
24
80
38
40
46
66
33
42
2
1
74
25
5
81
79
39
65
41
3
72
77
60
14
71
59
70
69
4
2
9
75
57
26
53
6
21
5
27
17
54
35
7
51
22
44
6
73
4
78
64
61
11
15
49
7
8
56
52
20
23
37
45
32
8
3
63
10
48
76
13
58
68
9
62
47
12
67
16
34
50
43
501
\n
0
1
2
3
4 '
5 '
6
7
8
0
86
14
87
30
68
15
79
46
1
0
84
82
31
21
7
69
62
4
2
16
33
12
80
10
55
47
50
37
3
1
23
57
85
29
78
83
20
61
/
4
32
9
49
22
28
19
8
27
26
1 =
5
70
71
$2
63
72
66
5
53
76
:8(
6
17
64
39
34
73
41
13
67
45
>,
7
81
6
3
11
54
36
56
77
60
Ρ
8
48
18
25
51
65
75
38
40
44
—
9
2
35
59
24
74
43
58
42
1 =
2M1,
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
42
73
40
78
72
87
5
32
I
g-
1
3
37
41
31
56
38
83
15
7
= 3
2
9
22
34
4
79
25
71
45
21
3
27
66
13
12
59
75
35
46
63
4
81
20
39
36
88
47
16
49
11
5
65
60
6
17
2
2884
19
86
52
48
58
33
57
80
67
55
85
10
7
51
6
74
82
62
23
76
77
30
8
64
18
44
68
8
69
50
53
91
14
54
43
26
24
29
61
70
\N
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 9 i
0
1
35
69
9
7
36
43
66
41
79
1
0
86
5
46
85
63
64
U
88
56
2
34
42
24
74
39
93
80
50
23
49
3
70
25
77
60
4
10
75
28
17
20
/> =
4
68
65
76
27
58
52
12
29
73
22
5
1
71
2
32
45
87
26
72
90
82
= 97,
6
8
40
59
16
15
37
94
53
38
48
7
31
89
18
91
84
55
57
21
83
Ρ
8
6
78
3
19
14
47
61
33
92
—
9
44
81
13
95
62
67
51
30
54
1 =
:2»·3,
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
53
93
79
16
72
33
3
62
85
«·-
1
5
71
77
7
80
69
68
16
19
37
.5
2
25
64
94
35
12
54
49
75
95
88
3
28
29
82
78
60
76
51
84
87
52
4
43
48
22
2
9
89
61
32
47
66
5
21
46
13
10
ι
45
57
14
63
41
39
6
8
36
65
50
31
91
70
24
11
7
40
83
34
56
58
67
59
23
55
8
6
27
73
86
96
44
4
18
81
91
30
38
74
42
92
26
20
90
17
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ < 4070
И ИХ НАИМЕНЬШИХ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ
\ р 1 g 1 ρ I
2
з
5
7
11
13
17
19
23 !
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
1
2
2
з
2
2
з
2
6
2
з
2
179 !
181 1
191 |
193
197
199
211
223
227
229
233
239
6 Ι 241
3 251
б
2
2
2
2
7
5
з
2
3
5|
2
5
2
6
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
3(349
з
2
з
2
2
6
б
2
б
1 2
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
jj
' Η
21 419
2II 421
191 431
5 433
2 439
з
2
з
2
6
з
7
7
6
3
5
2
β
443 1
449 1
457
461 1
463
467
479
487
491
499
503
509
521
5 523
3 541
з1
2
5
17
10
2
! 3
547
557
563
569
571
577
587
101 593
21 599
2
з
7
6
2
2
5
2
5
з
121
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
2
2
7
5
15
2
3
13
2
3
2
13
3
2
7
8
2!
3
2\
*i
2l
2
2
3
3
5
2
3
7
! 7
3
! 2
3
2
3
p j
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
I 773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
31 911
111919
51 929
21937
1 2
1941
i |
2!
5
2
5
3
2
2
ii|
5
6
3
5
3
2
6
"
2
2
2
Ρ
947
953
967
971
977
983
991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1 3 1069
3
2
3
2
2
11
2
3
11087
1091
11093
1097
1103
1109
1117
1123
2 1129
5
2
3
2
5
2
17
7
3
5
1 2
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
g |
2
3
5
β
3
5
6
7
и
3
2
10
14
5
3
3
7
2
3
6
3
2
ί δ
з
5
2
2
2
11
17
5
5
2
7
2
з
И
2
з
I 5
ρ I
1229
1231
1237
1249
1259!
1277!
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
1487
1489
1493
1499
1511
±1
2
з
2
7
2
2
з
2
6|
2
10
2
6
2
13
13
3
3
5
2
2
13
3
3
2
6
3
7
3
2
2
5
6
3
2
5
14
2
2
11
'
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1 1613
1619
1 1621
! 1627
| 1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
S
2
2
5
2
3
19
3
2
3
5
11
3
5
7
3
2
2
3
2
11
3
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
7
6
5
ί 10
2
6
и
1 6
Продолжение
Ρ
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
1907
1913
1931
1933
1949
1951
1973
1979
1987
1993
1997
1999
2003
2011
2017
2027
2029
2039
2063
2063
2069
2081
2083]
20871
2089
2099
2111
2113
2129
t
5
з
Б
2
2
14
10
2
! 6
3
2
2
3
2
δ
2
3
2
2
2
δ
2
3
δ
3
5
2
2;
7
2
δ
2
3
2
5
7
2
7
δ
3
Ρ
2131
2137
2141
2143
2163
2161
2179
2203
2207
2213
2221
2237
2239
2243
2251
2267
2269
2273
2281
2287
2293
2297
2309
2311
2333
2339
2341
12347
2361
ί2357
2371
2377
2381
2383
2389
2393
2399
2411
2417
2423
β
ι
2
10
2
3
3
23
7
δ
δ
2
2
2
Ι 3
2
7
2
2
3
7
19
2
δ
2
3
2
2
7
3
13
2
2
δ;
3
δ
2
3
11
6
3
δ
Ρ
ι
2437
2441
2447
2469
2467
2473
2477
2503
2621
2631
2539
2643
2649
2661
2557
2579
2591
2593
2609
2617
2621
2633
2647
2657
2669
2663
2671
2677
2683
2687
2689
2693
2699
2707
2711
2713
2719
2729
2731
2741
'
2
6
δ
2
2
δ
2
3
17
Ι 2
ί 2
δ
2
6
2
2
7
7
3
δ
2
3
3
3
2
δ
7
2
2
δ
19
21
2
21
7
5
3
3
3
2
Ρ
ι
2749
27δ3
2767
2777
2789
2791
2797
2801
2803
2819
2833
2837
2843
2861
2867
2861
2879
12887
2897
2903
2909
2917
2927
2939
2963
2967
2963
2969
2971
2999
.3001
ЗОН
3019
3023
3037
3041
30491
3061i
3067
3079
'
6
3
3
3
2
6
2
3
2
2
δ
' 2
! 2
Ι 2
η
2
7
δ
3
5
2
5
δ
21
13
2
2
3
10
17
14
2
2
δ
2
3
11
6
2
6
Ι
Ρ
3083
3089
3109
3119
3121
3137
3163
3167
3169
3181
3187
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
3313
3319
3323
3329
3331
3343
3347
3359
3361
3371
3373
3389;
3391!
3407
3413
Ι
<
2
3
6
7
7
3
3
δ
7
7
2
11
2
3
δ
10
6
6
2
3
3
3
2
6
2
10
6
2
3
3
δ
2
и
22
2
δ
3
3
5
2
Ι
Ρ
L
3433
3449
3457
3461
3463
3467
3469
3491
3499
3511
3517
3527
3529
3533
3539
3541
3547
13557
3559
3571
3581
3583
3693
3607
3613
3617
3623
3631
3637
3643
3669
36714
3673
3677
3691
3697
3701
3709
3719
3727
Ι
е
5
3
7
2
3
2
2
2
2
7
2
5
17
2
2
7
2
2
3
2
2
3
3
δ
2
3
5
15
2
2
2
13
δ
2
2
δ
2
2
7
3
Ρ
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
3803
3821
3823
3833
3847
3851
3853
3863
3877
3881
3889
3907
3911
3917
3919
3923
3929
3931
3943
3947
3967
3989
4001
4003
4007 ;
4013
4019
4021
4027
4049
4051
4057
'
2
7
3
δ|
7
2
5
2
2
3 Ι
3
3
δ
2
2
δ
2
13
11
2
13
2
3
2
3
2
3
2
6
2
3
2
δ
2
2
2
3
3
6
5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть первая
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Векторы в углы
§ 1. Ось 5
§ 2. Вектор 5
§ 3. Направленные углы 6
§ 4. Проекция вектора с оси на ось 8
§ 5. Векторные цепи 10
§ 6. Цепи углов 13
§ 7. Проекции вектора на две взаимно
перпендикулярные оси 14
§ 8. Угол между двумя векторами. Условия
параллельности и перпендикулярности 15
§ 9. Упражнения и контрольные вопросы 17
Г л а в а 2. Координаты
§ 1. Метод координат 23
§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат 25
§ 3. Упражнения 30
Глава 3. Функции
§ 1. Переменные и постоянные 34
§ 2. Понятие о функциональной зависимости .... 35
§ 3. Классификация математических функций .... 39
§ 4. Обзор и графическое изображение простейших
функций одного аргумента 43
§ 5. Обратные функции 50
§ 6. Понятие об уравнении линии 55
§ 7. Упражнения 56
Глава 4. Прямая
§ 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку 60
§ 2. Общее уравнение прямой 61
505
§ 3. Частные случаи 62
§ 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом 63
§ 5. Простроение прямой 64
§ 6. Определение угла между двумя прямыми .... 66
§ 7. Условие совпадения прямых 69
§ 8. Пересечение прямых 70
§ 9. Расстояние от точки до прямой 71
§ 10. Другой подход к выводу уравнения прямой ... 73
§ 11. Прямая, проходящая через две точки 74
§ 12. Уравнение прямой в отрезках на осях 75
§ 13. Задачи на прямую линию 76
Глава 5. Простейшие кривые. Преобразование координат
§ 1. Окружность 85
§ 2. Эллипс. Построение посредством нити. Зависимость
между полуосями и полуфокусным расстоянием . . 86
§ 3. Построение эллипса по точкам 88
§ 4. Уравнение эллипса 90
§ 5. Связь эллипса с окружностью 92
§ 6. Директрисы эллипса 93
§ 7. Гипербола. Построение посредством нити .... 94
§ 8. Построение гиперболы по точкам 96
§ 9. Уравнение гиперболы 97
§ 10. Асимптоты. Геометрическое значение b 98
§ 11. Директрисы гиперболы 100
§ 12. Парабола. Построение по точкам 101
§ 13. Уравнение параболы 103
§ 14. Преобразование координат 105
§ 15. Пример на упрощение уравнения кривой путем
параллельного переноса осей 106
§ 16. Поворот осей 108
§ 17. Общий случай 109
§ 18. Полярные координаты НО
§ 19. Спираль Архимеда 111
§ 20. Логарифмическая спираль . 112
§ 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых 112
§ 22. Выражение прямоугольных координат через полярные ИЗ
§ 23. Уравнение лемнискаты 114
§ 24. Параметрическое задание линий 115
§ 25. Построение графика 116
§ 26. Циклоида 117
§ 27. Упражнения 118
Глава 6. Векторы, поверхности и линии в пространстве
§ 1. Оси, векторы, углы 125
§ 2. Проекции 125
506
§ 3. Проекции на три взаимно перпендикулярные оси.
Длина вектора через проекции 127
§ 4. Простейшие зависимости, содержащие величину
вектора, проекции и направляющие косинусы .... 128
§ 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла между двумя
векторами. Скалярное произведение векторов ... 129
§ 6. Координаты 133
§ 7. Выражение проекций вектора через координаты конца
и начала 134
§ 8. Выражение длины вектора через координаты концов.
Расстояние между двумя точками 135
§ 9. Деление отрезка в данном отношении 135
§ 10. График уравнения с двумя переменными 137
§ 11. Поверхность как след, образуемый перемещением
некоторой деформируемой плоской кривой .... 138
§ 11 Цилиндрические поверхности 139
§ 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности . 140
§ 14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 141
§ 15. Общее уравнение плоскости 141
§ 16. Частные случаи 142
ξ 17. Выяснение расположения плоскости относительно
осей 144
§ 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности.
Условие перпендикулярности 145
§ 19. Условие совпадения плоскостей 147
§ 20. Расстояние от точки до плоскости 148
§ 21. Прямая как пересечение двух плоскостей 149
§ 22. Прямая, проходящая через данную точку .... 150
§ 23. Прямая, проходящая через две точки 151
§ 24. Переход от системы уравнений прямой в общем виде
к системе в виде пропорций 152
§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности.
Условие перпендикулярности 153
§ 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие
параллельности и перпендикулярности 156
§ 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид 157
§ 28. Другие простейшие поверхности 160
§ 29. Кривая в пространстве как пересечение двух
поверхностей 161
§ 30. Параметрические уравнения 161
§ 31. Винтовая линия 161
§ 32. Параметрические уравнения в механике 163
§ 33. Переход от параметрического представления к
общему и обратно .... 163
507
§ 34. Преобразование координат 164
§ 35. Упражнения 166
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1 .Пределы
§ 1. Бесконечно малые 173
§ 2. Понятие предела переменной величины 175
§ 3. Понятие бесконечно большой . . 177
§ 4. Свойства бесконечно малых 180
§ 5. Основные свойства пределов 182
§ 6. Предел непрерывной функции 183
§ 7. Геометрическое истолкование непрерывности . . .188
§ 8. Свойство непрерывной функции 189
§ 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных 190
§ 10. Особые случаи разыскания предела 193
§ 11. Замечательный тригонометрический предел .... 197
§ 12. Признак существования предела 199
§ 13, Сходимость бесконечных рядов 200
§ 14. Простейшие признаки сходимости ..'..... 203
§ 15. Основание натуральных логарифмов 207
§ 16. Порядок бесконечно малых 211
§ 17. Упражнения 214
Глава 2. Производные ■ дифференциалы
§ 1. Производная как угловой коэффициент касательной .218
§ 2. Производная как предел 219
§ 3. Пояснение общей теории на примере. Уравнения
касательной и нормали 220
§ 4. Механическое значение производной 222
§ 5. Производные трех простейших функций 225
§ 6. Производная постоянного и суммы. Вынесение
постоянного множителя за знак производной . . . 227
§ 7. Производная сложной функции 229
§ 8. Разыскание производных путем логарифмирования.
Производные функции л" при любом я и функции о* . 231
§ 9. Производные произведения и частного. Производные
tgx и ctgx 234
§ 10. Производные обратных тригонометрических функций 235
§ 11. Сводка основных формул 236
§ 12. Дифференциал 237
§ 13. Основные формулы для дифференциалов 239
§ 14. Высшие производные 241
508
§ IS. Высшие дифференциалы 244
§ 16. Дифференцирование неявных функций 245
§ 17. Дифференцирование функций, заданных
параметрическим способом 247
§ 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной 252
§ 19. Упражнения 254
Глава 3. Приложения дифференциального исчисления
§ 1. Непрерывность первой производной 262
§ 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и
минимум 263
§ 3. Приложение к построению графиков 265
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции ... 270
§ 5. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее
значения 273
§ 6. Направление выпуклости, точки перегиба .... 277
§ 7. Приложение к построению графиков 278
§ 8. Построение графиков разрывных функций . . . .281
§ 9. Признак максимума и минимума, основанный на
исследовании знака первой производной 282
§ 10. Признак максимума и минимума, основанный на
исследовании знака второй и высших производных . . . 283
§ 11. Асимптоты 285
§ 12. Дифференциал дуги 287
§ 13. Направляющие косинусы касательной 288
§ 14. Радиус кривизны, центр кривизны 289
§ 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы
касательной для кривой в пространстве 292
§ 16. Упражнения 293
Глава 4. Дифференцирование функций многих переменных
§ 1. Функции многих переменных. Область определения.
Непрерывность 302
§ 2. Частные производные и полный дифференциал . . 306
§ 3. Частные производные и полный дифференциал
сложной функции многих переменных 318
§ 4. Дифференцирование неявных функций 321
§ 5. Частные производные и полные дифференциалы
высшего порядка 325
§ 6. Упражнения 329
Часть третья
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава 1. Теория делимости
§ 1. Основные понятия и теоремы 335
509
§ 2. Общий наибольший делитель 337
§ 3. Общее наименьшее кратное 340
§ 4. Простые числа 341
§ S. Единственность разложения на простые сомножители 343
§ 6. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида 346
Вопросы к главе 1 3S0
Численные примеры к главе 1 3S2
Глава 2. Важнейшие функции в теории чисел
§ 1. Функции [χ], {х} 353
§ 2. Мультипликативные функции 3S4
§ 3. Число делителей и сумма делителей 356
§ 4. Функция Мёбиуса 357
§ 5. Функция Эйлера 358
Вопросы к главе 2 360
Численные примеры к главе 2 368
Глава 3. Сравнения
§ 1. Основные понятия 369
§ 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств . 370
§ 3. Дальнейшие свойства сравнений 372
§ 4. Полная система вычетов 373
§ 5. Приведенная система вычетов 374
§ 6. Теоремы Эйлера и Ферма 375
Вопросы к главе 3 376
Численные примеры к г лаве 3 381
л лава "г · ^«рявнбпвЯ с одним нензвеспянм
§ 1. Основные понятия 382
§ 2. Сравнения первой степени 382
§ 3. Система сравнений первой степени 385
§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю . . 386
§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю . 388
Вопросы к главе 4 391
Численные примеры к главе 4 395
Глава 5. Сравнения второй степени
§ 1. Общие теоремы 396
§ 2. Символ Лежандра 397
§ 3. Символ Якоби 403
§ 4. Случай составного модуля 406
Вопросы к главе 5 408
Численные примеры к главе 5 413
Глава б. Первообразные корни и индексы
§ 1. Общие теоремы 414
510
§ 2. Первообразные корни по модулям/т* и 2р* . . . .415
§ 3. Разыскание первообразных корней по модулям ра
ulTjP 417
§ 4. Индексы по модулям/?а и If- 418
§ 5. Следствия предыдущей теории 421
§ 6. Индексы по модулю 2а 423
§ 7. Индексы по любому составному модулю 426
Вопросы к главе б 430
Численные примеры к главе 6 432
Глава 7. Характеры
§ 1. Определения 434
§ 2. Важнейшие свойства характеров 434
Вопросы к главе 7 439
Численные примеры к главе 7 442
Решения вопросов 443
Решения к главе 1 443
Решения к главе 2 446
Решения к главе 3 460
Решения к главе 4 470
Решения к главе 5 47S
Решения к главе 6 484
Решения к главе 7 487
Ответы к численным примерам
Ответы к главе 1 493
Ответы к главе 2 493
Ответы к главе 3 493
Ответы к главе 4 493
Ответы к главе 5 -494
Ответы к главе 6 494
Ответы к главе 7 495
Таблицы видексов 496
Таблица простых чисел <4070 и их наименьших первообразных
корней 503
Учебное издание
Виноградов Иван Матвеевич
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Редактор Ж. И. Яковлева
Художественный редактор Ю. Э. Иванова
Художник К. Э. Семенков
Технический редактор Л. А. Овчинникова
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ФМ-195
Сдано в набор и подп. в печать 22.12.98. Формат 60х90!/16
Бумага офс. № 1. Гарнитура Литературная. Печать офсетная
Объем: 32,00 усл. печ. л. + 0,31 усл. печ. л. форз.,
32,38 усл. кр.-отт., 27,00 уч.-изд. л. + 0,52 уч.-изд. л. форз.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 81
Издательство "Высшая школа"
101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14
Отпечатано в ГУП ИПК "Ульяновский Дом печати"
432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Под общей редакцией
академика Российской Академии наук
В. А. Садовничего
Архипов Г. К, Садовничий В.Α.,
Чубариков В.И.
Лекции по математическому анализу
Виноградов И.М.
Элементы высшей математики
(Аналитическая геометрия.
Дифференциальное исчисление.
Основы теории чисел)
Привалов И. И.
Введение в теорию функций
комплексного переменного
Садовничий В.А.
Теория операторов
Гашков СБ., Чубариков В.П.
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
ν /
: рад«в
:. и *