/
Автор: Шипачев В.С.
Теги: математика высшая математика аналитическая геометрия теория множеств естественные науки учебник для вузов
ISBN: 5-06-003959-5
Год: 2005
Похожие
Текст
Б.С.Шипачев
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В.С.Шипачев
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 2005
УДК 51
ББК 22.11
Ш63
Рецензент: д-р пед. наук, проф. А.Г. Мордовия
Шипачев, В.С.
Ш 63 Высшая математика: Учеб, для вузов/B.C. Шипачев. —
7-е изд., стер. — М.: Высш, шк., 2005. — 479 с.: ил.
ISBN 5-06-003959-5
Изложены элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые
последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на плос-
кости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального исчис-
лений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей алгебры,
теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения. Теоретичес-
кий материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Шестое издание вышло в 2003 г.
Для студентов высших учебных заведений.
УДК 51
ББК 22.11
ISBN 5-06-003959-5 © ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2005
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства
«Высшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом
без согласия издательства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник написан автором на основе многолетнего
опыта чтения лекций и ведения практических занятий по высшей
математике на нематематических факультетах в Московском госу-
дарственном университете и отвечает всем необходимым требова-
ниям, предъявляемым к современному математическому образова-
нию.
В учебнике излагаются основы высшей математики, поэтому он
может быть использован как в университетах, так и в высших
технических учебных заведениях, а также в гимназиях, лицеях и кол-
леджах, где различные разделы высшей математики объединены
в один курс.
Автор стремился изложить материал по возможности полно,
строго и доступно, преследуя цель не просто сообщить те или иные
сведения по высшей математике, а вызвать у студентов интерес
к математике, расширить их кругозор и способствовать привитию
математической культуры.
В основу написания книги положен дидактический
принцип — от простого к сложному. Так, например, понятие пре-
дела сначала изучается для числовых последовательностей, затем
для функций одной переменной, далее вводится понятие предела
интегральных сумм и, наконец, рассматривается понятие предела
для функций нескольких переменных.
Вещественные числа вводятся с помощью аксиоматического ме-
тода, который дает возможность наиболее компактно изложить
необходимые сведения о числах и проще перейти к непосредствен-
ному изложению основного материала.
Основу учебника составляет математический анализ, включа-
ющий дифференциальное и интегральное исчисления, где изучается
важнейшее понятие высшей математики — понятие функции. Оно
рассматривается уже в курсе элементарной математики. Однако
полное и систематическое изучение этого понятия проводится имен-
но в высшей математике. В учебнике понятие функции определяется
через понятие множества, что отвечает современному уровню пре-
подавания математики.
Опыт показал, что для многих начинающих значительную труд-
ность представляет решение задач. Поэтому в учебнике главное
внимание уделено решению типовых примеров и задач, поясня-
ющих теоретический материал. Однако прежде чем начать решать
эти примеры, надо сначала изучить нужный раздел и добиться
полной ясности в понимании соответствующих понятий и теорем.
Преподавателям хорошо известно, какие трудности возникают
У студентов при изучении теории пределов. Понятие предела очень
з
глубокое и одно из важнейших в математике понятий. Вот почему
следует обратить особое внимание на формулировки с «е — N»-
и «е — 6»- терминологией. Важно ясное и четкое понимание сути
определений, роли и места каждого слова. Для этого следует дета-
льно разобрать предлагаемые примеры и задачи.
При написании учебника автор учитывал, что в настоящее время
в средних школах изучаются начала высшей математики. В учеб-
нике изложен в основном теоретический материал, поэтому для
практических занятии следует использовать книгу автора «Задачник по
высшей математике», который составлен в полном соответствии с учеб-
ником и образует с ним единый учебно-методический комплекс. Матери-
ал учебника соответствует программе общего курса высшей математики
объемом до 300 учебных часов. На тех факультетах, где изучается
высшая математика с меньшим количеством часов, часть материала
может быть опущена без нарушения целостности содержания курса.
Автор выражает глубокую благодарность академику А. Н. Ти-
хонову, профессорам А. Г. Свешникову, Д. П. Костомарову, Н. М.
Матвееву, А. А. Шестакову за активное участие в работе над
учебником.
Автор также искренне признателен чл.-кор. Азербайджанской
АН проф. А. А. Бабаеву, проф. Г. И. Чандирову и всем преподава-
телям кафедры математики физического факультета Азербайджанс-
кого государственного университета, принявшим участие в обсужде-
нии рукописи учебника и сделавшим полезные замечания.
В заключение автор хотел бы отметить, что основой любого
сильного государства является мощная экономика, обеспечива-
ющая благосостояние своего народа, но она немыслима без точных
наук, краеугольным камнем которых является математика. Автор
желает новому поколению россиян, чтобы его книга помогла им
в освоении математики на благо возрождения и процветания Рос-
ши. Успеха Вам в этом благородном деле!
Автор
Ни одно человеческое исследование
не может называться истинной
наукой, если оно не прошло через
математические доказательства.
Леонардо да Винчи*
ВВЕДЕНИЕ
Математика — самая древняя и в то же время самая юная из
наук. Она стала складываться во втором тысячелетии до нашей
эры, когда потребности торговли, землемерия и мореплавания за-
ставили упорядочить приемы счета и измерения, начало которых
уходит в еще более глубокую древность. Уже строители египетских
пирамид владели математическими знаниями.
В Древней Греции начиная с VI в. до н. э. математика приобре-
тает статус самостоятельной науки. Окончательно как наука мате-
матика оформилась в III в. Евклидом в его бессмертных «Началах».
По этой книге или по ее более доступным изложениям изучали
геометрию более двух тысяч лет. Отсюда видно, что математика
значительно отличается от всех других наук. Теоретические пред-
ставления Аристотеля в области физики сейчас кажутся несколько
наивными, они стали достоянием истории науки, хотя они обобщили
все имевшиеся к тому времени знания об окружающем мире. Тео-
рема же Пифагора и поныне составляет одну из основ геометрии.
Сложившись, математика не перестает развиваться, разрабаты-
ваются новые методы, открываются новые области, совершенству-
ются символика и научный аппарат. Возникновение физики Нового
времени было связано с непосредственным применением математики
Кеплером и Галилеем для изучения небесных и земных явлений.
Великий поворотный пункт в истории математики наступил в
XVII в., когда Декарт создал аналитическую геометрию, а Ньютон
и Лейбниц — дифференциальное и интегральное исчисление. Эти
открытия в огромной степени создали возможность как для соб-
ственного развития математики, так и для развития других наук,
таких, как физика и астрономия.
Бурное развитие математики, последовавшее за этими откры-
тиями, привело на рубеже XIX—XX столетий к новой научной
революции, связанной, в частности, с признанием правомерности
неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана, Бойяи) и созда-
нием Кантором теории множеств. До сих пор математика продол-
жает развиваться, поражая воображение многообразием специаль-
ных областей, новизной и необычностью используемых представ-
лений и понятий, неожиданным своеобразием методов, особенно-
стями языка. Процесс дифференциации наук охватил и математику,
приведя к возникновению внутри нее множества отраслей.
* Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М., 1965.
5
Одновременно с развитием методов и отраслей математики про-
исходило и ее внедрение в другие науки, шел процесс так называе-
мой математизации науки. В силу логики развития самой науки
математика превратилась в метод научного исследования. Если
в период классической физики математика служила преимуще-
ственно для обработки экспериментальных данных, установления
точного количественного отношения между физическими явлениями
и процессами, то уже к концу XIX в. математические вычисления
стали предварять физические гипотезы и открытия. Благодаря ис-
пользованию математических методов уже не только обрабатыва-
лись показания приборов и результаты экспериментов, но стали
создаваться такие математические модели, реальный физический
смысл которых еще был не известен и его еще предстояло выяснить.
Именно этот факт нередко получал неправильное истолкование
как самих ученых, так и идеалистических философов и был зафик-
сирован в известном афоризме «материя исчезла, остались одни
уравнения».
Суть этого явления состоит в том, что, используя математиче-
ские методы, можно проникать в еще не исследованные области
физического мира, пока не доступные для исследования физиче-
скими методами, открывать в них математические закономерности,
создавать математические модели неизвестных физических процес-
сов и, тем самым, направлять мысль экспериментатора. В наше
время физик-теоретик — это прежде всего математик. «Математика
для физика,— говорит крупный американский ученый Ф. Дж. Дай-
сон,— это не только инструмент, с помощью которого он может
количественно описать любое явление, но и главный источник
представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые
теории»*.
Наглядным примером роли математического мышления для фи-
зических открытий может служить общая теория относительности
А. Эйнштейна, которая была завершена до экспериментальной про-
верки, результаты которой практически совпали с предсказанными
теорией.
Не менее убедительный пример — история возникновения кван-
товой механики, которая была первоначально построена чисто
математическим путем, на основе некоторых известных, но не объ-
ясненных в то время физических данных, в результате гениального,
но чисто «умозрительного скачка математического воображения»
(Ф. Дж. Дайсон). Она не только была подтверждена соответствую-
щими экспериментами, но явилась источником и стимулом дальней-
шего развития физики микромира со всеми ее впечатляющими ре-
зультатами, роль которых в XX в. хорошо известна.
У всех, кто изучал историю математики и ее применения в нау-
ках о природе и в технике и размышлял об отношении математики
* Дайсон Ф. Дж. Математика в физических науках- — В кн.: Математика
в современном мире. М., 1967.
6
к объективному миру, будь это сами математики, физики или фило-
софы, неизбежно возникал вопрос о чудесной способности матема-
тики давать правильное описание или отображение физических
процессов, поведения физической вселенной. Ученые, стоявшие
у колыбели современной науки, такие, как Кеплер и Галилей,
пораженные достигнутыми ими результатами, считали, что книга
природы написана ее божественным творцом на языке математики,
так что ученому остается только прочитать эти записи. С тех пор
высказывалось множество предположений о природе математики
и ее познавательной способности, но ни одно из них не получило
всеобщего признания.
В XX в. одним из западных философов Витгенштейном была
высказана поразительная мысль, что вся математика есть не что
иное, как совокупность тавтологий, а математические доказатель-
ства представляют собой тавтологические преобразования. Эта
теория объясняла абсолютную достоверность математики и ее уни-
версальную применимость. Но она была бессильна объяснить спо-
собность математики открывать новое в мире, т. е. ту ее способ-
ность, которая является важнейшей для развития науки и позво-
ляет все более широко применять математику в специальных нау-
ках.
Следует подчеркнуть, что математика оперирует не только абст-
ракциями (как и все науки), но абстракциями весьма высокой сте-
пени. Даже любое из самых обычных натуральных чисел, например
4, есть абстракция, отвлекающаяся от всех специфических особен-
ностей каких-либо четырех предметов (деревьев, ножек стола,
углов дома и т. д.), характеризуя лишь класс, имеющий четыре
члена. Понятие же натурального числа — это абстракция еще
более высокая, поскольку оно представляет собой класс всех клас-
сов, имеющих не менее одного члена.
Сила математики именно в ее способности создавать все более
высокие абстракции, оперировать ими и изучать их особенности
и закономерности. Именно поэтому математические методы можно
применять в различных науках помимо физики по мере того, как
они сами становятся теоретическими, т. е. начинают создавать
достаточно высокие абстракции и использовать их.
Немецкий философ XVIII в. Иммануил Кант сказал, что наука
тем более заслуживает названия науки, чем больше в ней матема-
тики. В то время математика была неотъемлемым элементом лишь
механики, физики и астрономии. В наше время настолько повы-
сился теоретический уровень наук, а методы математики настолько
разнообразились и усовершествовались, что их слияние оказалось
не только возможным, но и абсолютно необходимым как для разви-
тия этих наук, так и для самой математики.
Естественно, что процесс математизации не в одинаковой степе-
ни затронул все науки. Огромным успехом является применение ма-
тематических методов в науках о неживой природе, а также в ис-
следованиях в области-биологии. Это оказалось возможным глав-
ным образом благодаря проникновению биологии во внутриклеточ-
7
ные процессы и анализу их на молекулярном уровне. В качестве
примера можно привести исследования функционирования и пост-
роение моделей некоторых функций нейрона и изучение проблем
наследственности и расшифровки генетического кода.
В общественных науках, которые были больше всего изолиро-
ваны от математики, если не считать применения статистических
методов в исследовании некоторых социальных процессов и/явле-
ний, можно также назвать различные области, такие, как проблемы
демографии и проблемы структурной лингвистики, где применение
математики дало хорошие результаты. Но, пожалуй, наиболее зна-
чительным научным достижением было внедрение математических
методов в экономическую науку и в управление экономическими
процессами. В наше время научное управление этими процессами
в условиях плановой экономики может быть осуществлено только
на основе применения точных математических методов во всех
сферах народного хозяйства — от прогнозирования размещения
полезных ископаемых до изучения спроса на товары широкого
потребления и бытовые услуги, от изучения потребности в рабочей
силе до планирования транспортных артерий, пассажирских пере-
возок и экспериментов по искусственному воздействию на атмосфер-
ные явления. Короче говоря, жизнь современного человека невоз-
можна без математики.
О какой, однако, математике здесь идет речь: о так называемой
«чистой» или прикладной? Но это традиционное разграничение
в настоящее время становится все более и более условным и утра-
чивает свой первоначальный смысл. Даже наиболее абстрактные
разделы «чистой» математики могут, оказывается, получить конк-
ретное приложение в самых неожиданных областях науки и тех-
ники. В то же время необходимость решения специфических теоре-
тических и практических проблем стимулирует разработку новых
абстрактных методов и отраслей математической науки.
Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием
средств и методов вычислительной математики. Математическое
моделирование позволяет рассчитать с помощью методов вычисли-
тельного эксперимента такие процессы, которые даже недоступны к
постановке опыта (проблемы управляемого термоядерного синтеза,
физики плазмы, лазеров и другие задачи). «Фактически за послед-
ние два десятилетия сложилось новое направление в теоретических
физических исследованиях,— утверждает академик А. А. Самар-
ский.— На основе математической модели с помощью ЭВМ прово-
дится изучение устройств и физических процессов, «проигрывает-
ся» их поведение в различных условиях, находятся оптимальные
параметры и режимы действующих или проектируемых конструк-
ций. Сейчас можно проводить математическое прогнозирование
сложных явлений и технических устройств, изучение которых дру-
гими способами затруднено»*.Открылись качественно совершенно
новые возможности математики.
* Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный экспе-
римент. — Вестник АН СССР, 1979, № 5.
8
Эпоха научно-технической революции есть эпоха математизации
науки, техники, экономики и управления. Этим определяется место
математики в системе высшего образования. Современный научный
работник или инженер должен не только знать основы математики,
но и хорошо владеть всеми новейшими математическими методами
исследования, которые могут применяться в области его деятель-
ности. Сегодня никакая серьезная научная и инженерная работа
невозможна без математики. Можно смело сказать, что изучение
математики способствует формированию современного научного
мышления, а ее широкое использование является условием даль-
нейшего прогресса на пути развития науки и техники.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ГЛАВА I
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Множества. Обозначения. Логические символы
Понятие множества является одним из основных в математике.
Оно принадлежит к так называемым первичным, неопределяемым
понятиям. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор»
и т. п. — синонимы слова «множество». Примерами множеств могут
служить множество студентов данной аудитории; совокупность тех
из них, кто сдал вступительные экзамены без троек; семейство звезд
Большой Медведицы; система трех уравнений с тремя неизвестными;
множество всех целых чисел и т. д. Из приведенных примеров сле-
дует, что множество может содержать конечное или бесконечное
число произвольных объектов.
Объекты, из которых состоит множество, называются его эле-
ментами или точками. Множества часто обозначают большими,
а их элементы — малыми буквами. Если х — элемент множества X,
то пишут хеХ(х принадлежит X). Если х не является элементом
множества X, то пишут х^Х(х не принадлежит X). Если хь ...
..., хп — некоторые элементы, то запись X = {xh ..., х„} означает,
что множество X состоит из элементов хь ..., хп. Аналогичный смысл
имеет запись Х={х„ х2, х3, ...}.
Пусть X и Y — два множества. Если X и Y состоят из одних
и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут Х=У.
Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят что X
содержится в Y или что X — подмножество множества Y. В этом
случае пишут ХсзУ или У=эХ(У содержит X). Если X не со-
держится в У, то пишут Хс£У. В математике часто используется
пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозна-
чается символом 0. Пустое множество является подмножеством
любого множества.
В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множе-
ствами вещественных чисел*. Всюду, где это не может привести
к неточности, для краткости вещественные числа будем называть
просто числами.
• Вместо термина «вещественные числа» часто используют термин «дейст-
вительные числа».
16
Пусть Р(х)— какое-то свойство числа х. Тогда запись {х | Р (х)|
значает множество всех таких чисел, которые обладают свойством
(х). Например, множество {х | х2 —-Зх + 2 = 0} есть совокупность
□рней уравнения х2 — Зх + 2 = 0, т. е. это множество состоит из
вух элементов: 1 и 2; (х | 3 < х < 7}— множество всех чисел,
довлетворяющих неравенствам 3 < х < 7; |х | х > 7 и х < 3| =
= 0, т. е. это пустое множество.
Если Х|, ..., хп — произвольные числа, то запись х = max{xi, ...,
., хя| (х = min{xi, ..., хя})* означает, что число х максимальное
минимальное) из чисел Х|, ..., хя.
В математических предложениях (формулировках определений,
еорем и т. д.) часто повторяются отдельные слова и целые выраже-
ия. Поэтому при их записи полезно использовать экономную логи-
ескую символику.
Здесь мы укажем лишь несколько самых простых и употреби-
ельных логических символов. Вместо слова «существует» или «най-
ется» используют символ 3 [перевернутую латинскую букву Е
от английского слова Existence — существование)], а вместо слов
любой», «каждый», «всякий» — символ V [перевернутое латин-
кое А (от английского слова Any — любой)]. Например, запись
х е X..., означает: «существует число х из множества X, такое,
то ...». Запись Vx е X означает: «для любого числа х из множе-
тва X», а запись Vx е Х:а означает: «для любого числа х из мно-
сества X выполняется (или имеет место) утверждение а».
Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных
помощью логических символов, все, что относится только к каж-
ому из них, заключают в круглые скобки. Так, например, запись
(Ve > 0)(Э6 > 0)(Vx хо, |х-х0| < 6): If (х) - А\ < е
итается так: «для любого е > 0 существует д > 0 такое, что для
сех х, не равных хо и удовлетворяющих неравенству |х —- хоI <6,
ыполняется неравенство \f (х) —- А| < е».
Символ в тексте означает конец доказательства.
2 . Вещественные числа и их основные свойства
В курсе элементарной математики дается некоторое представле-
ие о вещественных числах. Из этого курса известно, что множество
ещественных чисел состоит из рациональных и иррациональных
исел. Рациональным называется число, которое можно предста-
ить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем q ф 0. Иррацио-
альным называется всякое вещественное число, которое не явля-
тся рациональным. Всякое рациональное число является либо
.елым, либо представляется конечной или периодической беско-
ечной десятичной дробью. Иррациональное же число представ-
яется непериодической бесконечной десятичной дробью. Напри-
tep, рациональные числа 3/4 и 1/3 можно представить в виде сле-
От латинского maximum (minimum) — наибольший (наименьший).
11
дующих десятичных дробей: 3/4 = 0,75; 1/3=0,333 иррацио-
нальные числа 72 и л - в виде непериодических бесконечных
десятичных дробей: V2= 1,41421356..., л = 3,14159...
Систематизируем сведения о вещественных числах, перечислим
основные свойства вещественных чисел, а затем выведем из них
некоторые следствия.
I. Сложение и умножение вещественных
чисел
Для любой пары а и b вещественных чисел определены и притом
единственным образом два вещественных числа а+b и а>Ь, назы-
ваемые соответственно их суммой и произведением, причем имеют
место следующие свойства. Каковы бы ни были числа а, b и с:
Г. а-Н = Ь + а (переместительное свойство).
2°. а+(Ь + с) = (а+Ь)-|-с (с о ч е т а т е л ь н о е свойство).
3°.а-6 = д*а (переместительное свойство).
4°. а'(Ь • с) = (а • Ь) - с (сочетательное свойство).
5°. (а+ 6)• с=ас + Ьс (распределительное свой-
ство).
6°. Существует единственное число 0 такое, что а + 0=а
для любого числа а.
7°. Для любого числа а существует такое число (—а), что а+
+(-а) = 0.
8°. Существует единственное число 1^0 такое, что для любого
числа а имеет место равенство а* 1 = а.
9°. Для любого числа а^=0 существует такое число а”1, что
а • а"1 = Г, число а~1 обозначают также символом —.
а
II. Сравнение вещественных чисел
Для любых двух вещественных чисел а и b установлено одно
из отношений: а = д(а равно Ь), а>Ь(а больше Ь) или д>а.
Отношение = обладает свойством: если а=Ь и д = с, то а = с.
Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы
ни были числа а, b и с:
10°. Если а>Ь и Ь>с, то а>с.
11°. Если а>Ь, то a + ob + c.
12°. Если а>0 и Ь>0, то a-b>Q.
Вместо а>Ь пишут также b<a(b меньше а). Запись а>д
(или, что то же, д^а) означает, что либо а=д, либо а>Ь.
Соотношения а<Ь, а^Ь, а>Ь, а^Ь называются неравен-
ствами. Неравенства а<Ь и а>Ь — строгие неравенства.
III. Непрерывность вещественных чисел
13°. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных
чисел. Тогда, если для любых чисел хеХ и y^Y выполняется
неравенство х^.у, то существует хотя бы одно число с такое,
что для всех таких х и у выполняются неравенства х^с^.у.
12
Отметим, что свойством непрерывности обладает множество всех
вещественных чисел, но не обладает множество только рациональ-
ных чисел. Действительно, пусть множество X состоит из рацио-
нальных чисел х, для которых выполняется неравенство x<V2,
а множество Y состоит из рациональных чисел у, для которых вы-
полняется неравенство у>^/2. Тогда, очевидно, для любого
х&Х и любого y^Y выполняется неравенство х^у, однако
не существует рационального числа с такого, чтобы для всех таких
х и у выполнялись неравенства х^с^у. В самом деле, таким чис-
лом могло бы быть только V2, но оно, как известно, не является
рациональным.
Из свойств I, II, III вытекают все остальные свойства веще-
ственных чисел. Познакомимся лишь с некоторыми из них, но адаль-
нейшем будем использовать и другие, не проводя их формального
доказательства.
Каковы бы ни были числа а, д, с и d:
14°. Число х=Ь+(—а) является решением уравнения а+х=Ь.
Действительно, согласно свойствам 1°, 2°f 6°, 7° имеем: а + & +
+(-а) = 6.И
Число Ь + (—а) называется разностью чисел b и а и обознача-
ется Ь — а. Отметим, что если а<Ь (или, что то же, b>a)t то
разность д —а>0. В самом деле, из неравенства Ь>а в силу 11°
получаем: Ь + (—а)>а + (—а) или Ь —а>0.
15°. Число х=Ьа~[ является решением уравнения ах = Ь, если
Действительно, согласно свойствам 3°, 4°,8°,9° имеем:а- Ьа~' =
= Ь.
Число Ьа~' называется частным чисел b и а и обозначается —
а
или Ь.а.
16°. Если а<Ь, то —а> — Ь.
В самом деле, так как а<Ь, то Ь —а>0. Следовательно, на
основании свойства 11° д —а + (—6)>0 + (—6), откуда полу-
чаем: — а> — Ь.
В частности, если а>0, то —а<0, а если а<0, то —а>0
(здесь использован тот факт, что —0 = 0, действительно, согласно
свойству 6°( —0) + 0=—0, а на основании свойства 7°(—0)4-
+ 0 = 0, откуда следует, что —0=0).
17°. Если а>Ь и c>dt то a + ob-\-d.
В самом деле, если а>Ь и Od, то в силу свойства 11°а + с>
>^ + с и c-j-b>d + b. Поэтому согласно свойству 10°а-|-с>
>>b + d.
18°. Если а<Ь и Od. то a — c<b — d.
В самом деле, так как od. то согласно свойству 16° —c< — d.
вкладывая почленно неравенства а<Ь и — с< — d (это можно
Делать в силу свойства 17°), получаем: a — c<b — d.
19°. а-а = 0.
13
В самом деле, а — а=а + ( —а) = 0.
20°. а -0=0.
В самом деле, а • 0 = а • (b — b) = ab —- ab = 0.
21°. — (—а) = а.
В самом деле, — ( —-а) = ( —( —а)) + ( —а) + а=0+а = а.
22°. ( — a)b = — ab.
В самом деле, (—а)6 = ( — а)6 + а6 + ( — а6) = [(—-а) + а]-6 —
— ab = 0-b—ab = 0 — ab = —ab.
Отметим, что при замене суммы (—a) b + ab произведением
[( — а) + а] 6, использовано свойство 5°. Из свойства 22°, в частно-
сти, получаем: (—-1) а= —а.
23°. Если а<0 и Ь>0, то ab<0.
В самом деле, так как а<0, то —а>0, поэтому в силу свой-
ства 12°. ( — а) Ь>0. Следовательно, ( — a) b = — ab>0 и, значит,
ab<0.
24°. Если а<0 и 6<0, то ab>0.
В самом деле, так как 6<0, то —-6>0. Поэтому в силу свой-
ства 23° (— Ь) а<0. Следовательно, (—-b) а= —ab<0 и, значит,
ab>0.
25°. Если а=/=0, то а • а=а2>0.
Справедливость данного утверждения следует из свойств 12°
и 24°. В частности, 1 = 12>0, т. е. 1 >0.
26°. Если а>0, то а_|>0.
В самом деле, согласно свойствам 9° и 25° аа_,= 1>0, а если
предположить, что а_|^0, то в силу свойств 20° и 23° имеем:
аа-|^0, т. е. получено противоречие. Следовательно, а_|>0.
Итак, мы видим, что из основных свойств I—III вещественных
чисел вытекают остальные их свойства. Поэтому можно сказать,
что вещественные числа представляют собой множество элементов,
обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных
чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами
вещественных чисел.
В заключение отметим, что, исходя из свойств I—III, любое
вещественное число можно представить в виде бесконечной деся-
тичной дроби. Однако останавливаться на рассмотрении этого во-
проса не будем.
§ 3. Геометрическое изображение вещественных чисел
1. Изображение вещественных чисел точками на координатной
прямой. Введем ряд предварительных понятий. Рассмотрим произ-
вольную прямую. На ней можно указать два взаимно противопо-
ложных направления. Выберем одно из них и на рисунке будем
обозначать его стрелкой (рис. 1). Пусть, кроме того, выбрана мас-
штабная единица для измерения длин отрезков. Прямая с выбран-
ным на ней направлением называется осью.
Рассмотрим на оси две произвольные точки А и В. Отрезок
с граничными точками А и В будем называть направленным, если
14
указано, какая из точек А и В считается началом, а какая — кон-
цом отрезка. Направленный отрезок с началом в точке А и концом
в точке В обозначим АВ и будем считать, что он направлен от на-
чала к концу. Отметим, что в записи АВ буква, обозначающая на-
чало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначаю-
щая его конец, р- второй. Длина направленного отрезка АВ обозна-
чается так: IАВ\или |ЛВ|.
Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллель-
ных оси), вводится понятие величины направленного отрезка.
Величиной АВ направленного отрезка АВ называется число, рав-
ное I АВ I, если направления отрезка и оси совпадают, и равное
— |дд|, если эти направления противоположны. Для отрезков
~АВ и CD, изображенных на рис. 2, ЛВ = — |Лв|, CD = |CD|.
Ось в А С D
Рис. Рис. 2
Заметим, что величины направленных отрезков АВ и ВА при
любом направлении оси отличаются знаками:
АВ = - ВА.
Если точки А и В совпадают, то величину направленного от-
резка АВ будем считать равной нулю.
Для любых трех точек Л, В и С на оси справедливо равенство
АВ + ВС = ЛС,
которое назовем основным тождеством (в дальнейшем оно неодно-
кратно используется).
Справедливость основного тождества легко устанавливается из
рисунка, но при этом нужно рассмотреть различные случаи взаим-
ного расположения точек Л, В и С на оси. Если все три точки Л,
В и С различны, то таких случаев шесть (рис. 3). В каждом из этих
случаев основное тождество проверяется элементарно.
Перейдем теперь к геометрическому изображению вещественных
чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней на-
правление (тогда она станет осью) и некоторую точку О (начало
координат). Прямую с выбранным направлением и началом коорди-
нат назовем координатной прямой (считаем, что масштабная единица
выбрана). Пусть М— произвольная точка на прямой (рис. 4, а).
Поставим в соответствие точке М число х, равное величине ОМ
направленного отрезка ОМ. Число х называется координатой
точки М. Тем самым каждой точке координатной прямой будет
соответствовать определенное вещественное число — ее коорди-
Ната. Справедливо и обратное: каждому вещественному числу х
соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно
такая точка М, координата которой равна х.
15
Таким образом, вещественные числа можно изображать точками
на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной
прямой часто указывают число — ее координату (рис. 4, б).
Пусть точка М, имеет координату xlt а точка М2 — координату
х2 (рис. 5.). Выразим величину М}М2 направленного отрезка М}М2
через координаты точек Л1| и М2. Согласно основному тождеству
OAf, + Af,Af2 = ОМ 2,
откуда М,М2 = ОМ2 — ОМ,. Но ОМ, = х„ ОМ2=х2, поэтому
М tM2 = х2 — х,.
Эту формулу будем часто использовать в аналитической геометрии.
---------8—£----
г—8------------8-8-^
ш-&------S / »
л—8—£-------8—
г—8------8---8—►
-----8----8—
Ав+ЯС-АС
Рис. 3
2. Некоторые наиболее употребительные числовые множества.
Пусть а и b — два числа, причем a<Lb. Будем пользоваться сле-
дующими обозначениями:
{х|а<х<Ь) = [а, Ь]\ {х|а<х<б} =(а, Ь]; {х|а<х<Ь} =[а, Ь);
{х|а<х<Ь1=(а, Ь);
{х|аС*}=[ а, + «>); (х|а<х)=(а, +<х>);
{х|х<Ь) = (— оо, d]; {x|x<ft} =(— оо, Ь).
Множество всех вещественных чисел будем обозначать так:
{х | — оо < х < + оо) или (— оо, + оо).
Все эти множества называются промежутками, причем [а, Ь] —
отрезок (сегмент), [а, б), (а, Ь]9 [а, + оо) и (—оо, Ь] — полуинтер-
валы, а (а, Ь), (а, -j-oo), (—оо, Ь) и ( —оо, -j-oo) — интервалы. Про-
межутки [а, Ь], (а, б], [а, Ь) и (а, Ь) называются конечными; а и b
называются их концами. Остальные промежутки называются бес-
конечными.
Числовым промежуткам соответствуют промежутки на коорди-
натной прямой. Например, сегмент [х„ х2] изображается на коор-
динатной прямой отрезком MtM2 узким, что точка М । имеет коор-
динату х,, а точка М2—координату х2 (рис. 5). Изображением
множества (.—оо, +оо) всех чисел служит вся координатная пря-
мая. Поэтому множество (— оо, -j-оо) называется также числовой
прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть а — произ-
вольная точка числовой прямой и 6 — положительное число. Ин-
тервал (а — 6, а + 6) называется б-окрестностью точки а.
16
। 4. Грани числовых множеств
Говорят, что, множество X ограничено сверху (снизу), если су-
ществует число с такое, что для любого хеХ выполнено неравен-
ство х<с(х>с). Число с в этом случае называется верхней (ниж-
ней) гранью множества X.
Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограни-
ченным.
Так, например, любой конечный промежуток ([а, Ь], [а, ft),
(а, b]t (а, Ь)) ограничен. Интервал (а, + °°) есть множество, огра-
ниченное снизу, но не ограниченное сверху; а вся числовая прямая
оо, + оо) есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество X
имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. В самом деле,
если число с является верхней (нижней) гранью множества X,
то любое число с\ большее (меньшее) числа с, — также верхняя
(нижняя) грань множества X, так как из справедливости неравен-
ства х < с (х > с) следует, что х < с' (х > с')-
Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из
верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей
из нижних граней ограниченного снизу множества.
Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множе-
ства X называется точной верхней гранью множества X и обозна-
чается символом sup X*, а наибольшая из нижних граней ограни-
ченного снизу множества X называется точной нижней гранью
этого множества и обозначается символом inf X**.
Примеры. Пусть X = (at bY Тогда число b является точной
верхней гранью, множества X, а число а — его точной нижней
гранью, т. е. b = sup X, a=infX. Пусть X = (a, 4-оо). Тогда
a=infX, а верхних граней и в том числе точной верхней грани
данное множество не имеет.
Точная верхняя грань (sup X) обладает следующим важным
свойством. Как бы мало ни было число е>0, найдется хеХ
такое, что х > sup X — е***. В самом деле, если бы такого числа х
не нашлось, то число sup X — е было бы также верхней гранью
множества X и тогда число sup X не было бы точной (т. е. наимень-
шей) верхней гранью. Другими словами, данное свойство выра-
жает тот факт, что число sup X является наименьшим среди чисел,
ограничивающих множество X сверху, и не может быть уменьшено.
Отмеченное свойство точной верхней грани можно переформули-
ровать следующим образом: если c=supX, то для любого числа
с' <с существует число х еХ такое, что х > <;'♦♦♦♦. Чтобы убе-
диться в равносильности данных формулировок, достаточно взять с'
и е, связанные равенством с9 = с — е, из которого следует, что усло-
вие е > 0 эквивалентно условию с9 < с.
* supremum (лат.) — наивысшее.
* * infinum (лат ) —наннизшее. -
* ** Или с помощью логических символов: (Ve>0) (ЗхеХ): х>sup X — ь
Или с помощью логических символов: (Vc'<c)(ЗхеХ): х>г'.
2~3157 9 4614 и
Аналогичным своАством обладает и точная нижняя грань —
как бы мало ни было число е>0, найдется хеХ такое, что
x<inf% + e. (Сформулируйте данное свойство в другом виде
самостоятельно.)
Возникает вопрос, всегда ли ограниченное сверху (снизу) мно-
жество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Ответ на этот
вопрос дает следующая важная теорема.
Теорема 1.1. Любое непустое ограниченное сверху (снизу)
числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Пусть X — непустое множество, огра-
ниченное сверху. Тогда множество Y чисел, ограничивающих X
сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для
любого хеХ и любого i/еУ имеет место неравенство х^.у.
В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует
такое число с, что для любых х и у выполняются неравенства
х^с^у. (1)
Из первого из неравенств (1) следует, что число с ограничивает
множество X сверху, т. е. является верхней гранью, а из второго, —
что оно наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней
гранью.
Случай существования точной нижней грани у не пустого огра-
ниченного снизу множества рассматривается аналогично.
Если множество X не ограничено сверху (снизу), то условимся
писать: sup Х= + оо (inf X = — оо).
| 5. Абсолютная величина числа
Понятие абсолютной величины числа и неравенства, связанные
с абсолютными величинами, в дальнейшем часто используются.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х
называется само число х, если х>0, число — х, если х<0.
Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|. Та-
ким образом,
ill х, если х > О,
“I — х, если х < 0.
Из определения вытекает ряд свойств абсолютной величины
числа.
1°. |х|>0. Действительно:
1) если х>0, то |х| = х>0;
2) если х<0, то |х| = —х; но — х>0, так как х<0, т. е.
|х| > 0. Из В и 2) получаем, что |х| >0.
2°. |х| = |—х|. Действительно:
1) если х>0, то — х<0, и тогда |—-х| = — (—х) = х=|х|;
2) если х<0, то — х>0, и тогда |—х| = —х=|х|, так как
х<0. Из В и 2) получаем, что |х| = |—х|.
3°. — |х|<х<|х|. Действительно:
18
1) если х^О, то |х| = х и —-х^О. Отсюда |х| > — х, т. е.
-|х|^х=|х|;
2) если х<0, то |х| = —х, откуда — |х| = х. Далее, так как
х<0, то 2х<0, или х + х<0, откуда х< — х, т. е. х<|х|.
Итак, — |х| = х < |х|.
Из 1) и 2) получаем, что — |х| < х С Ы-
Поскольку следующие три свойства очень важны, докажем их
в виде теорем.
Теорема 1.2. Пусть е — положительное число. Тогда нера-
венства |х|^еи — е^х^е равносильны*
Доказательство. Пусть |х| < е. Тогда:
1) если х>0, то |х| = х и, значит, х е, откуда О^х^е.
2) если х<0 то |х| = — х и, значит, — х^е, откуда —
^х^О. Объединяя 1) и 2), при любом х получаем: — е^х^е.
Пусть справедливы неравенства —е^х^е. Это означает, что
одновременно выполняются неравенства х^е и х^ — е. Из по-
следнего неравенства имеем: —х^е. Так как, по определению,
|х| есть либо х, либо — х, то |х| е.И
Теорема 1.3. Абсолютная величина суммы двух' чисел не
больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. |х + у\
< |х| + Iу\.
Доказательство. Пусть х и у — любые числа. Согласно
свойству 3° для них справедливы неравенства
— 1х| < х < |х| и — |t/| у < |</|.
Складывая их почленно, получаем
“ (|х| + |l/|) < X + у < (|х| + |l/|).
По теореме 1.2 это двойное неравенство равносильно неравенству
1х + У\ < |х| + \у *
Заметим, что |х — у\ |х| + |t/|.
Теорема 1.4. Абсолютная величина разности двух чисел
не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. |х — у\
> Ы — \у\.
Доказательство. Для любых чисел х и у имеем
х = у + (х-у).
По теореме 1.3 справедливо неравенство
Ы = \у + (х — у)\ < |i/| + |х — у\.
Откуда получаем: |х — и| > 1х| — Ы-И
Заметим, что |х + у\^ |х| — |t/T
В заключение отметим, что каковы бы ни были два числа х и у,
имеют место легко проверяемые соотношения:
I* • у\ = Ы • Ы и |у| = -|£р если у #= 0.
Это утверждение с помощью логических символов можно записать так:
> 0 : |х| —
2*
19
ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие предела и понятие функции — фундаментальные по-
нятия математического анализа. Начало изучению понятия пре-
дела положено в элементарной математике, где с помощью предель-
ных переходов определяются длина окружности, объем цилиндра,
конуса и т. д. Оно также было использовано при определении суммы
бесконечно убывающей'геометрической прогрессии. Операция пре-
дельного перехода является одной из основных операций анализа.
В настоящей главе рассматривается простейшая форма операции
предельного перехода, основанная на понятии предела числовой
последовательности. Понятие предела числовой последовательности
позволит в дальнейшем определить и другие более сложные формы
операции предельного перехода.
f 1. Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и арифметические действия над
ними. Числовые последовательности изучают уже в средней школе.
Примерами таких последовательностей могут служить: 1) последо-
вательность всех членов арифметической и геометрической прогрес-
сий; 2) последовательность периметров правильных л-угольников,
вписанных в данную окружность; 3) последовательность х,= 1,
х2= 1,4, х3= 1,41... приближенных значений V2.
Уточним и расширим понятие числовой последовательности.
Определение. Если каждому числу п из натурального ряда чисел
1, 2, 3..л, ...
поставлено в соответствие вещественное число х„, то множество
вещественных чисел
х1,х2,х3,...,хп,... (1)
называется числовой последовательностью или просто последова-
тельностью*
Числа Х|, хъ х^ ..., х„, ... будем называть элементами (или
членами) последовательности (1), символ х„ — общим элементом
(или членом) последовательности, а число л — его номером. Сокра-
щенно последовательность (1) будем обозначать символом {х„).
Так, например, символ обозначает последовательность 1,
ТТ.......—
Последовательность считается ладанной, если указан способ
получения любого ее элемента. Например, формула х„= 1-f-(—1)"
* Другими словами, числовую последовательность можно определить как
множество пар чисел (л; xj, в которых первое число принимает последова-
тельно значения 1, 2, 3, ...
20
задает последовательность: 0,2, 0,2, ... Обращая дробь -у в десятич-
ную и оставляя один, два, три и т. д. знака после запятой, полу-
чаем последовательность
0,3; х2= 0,33; х3= 0333,...; хя= 0.333...3,...
По самому определению, последовательность содержит бесконеч-
ное число элементов: любые два ее элемента отличаются, по крайней
мере, своими номерами.
Геометрически последовательность изображается на координат-
ной прямой в виде последовательности точек, координаты которых
равны соответствующим элементам последовательности. На рис. 6, а
и б изображены соответственно последовательности (хя} = { — | и
0 ДфЖ, jq ж
Введем арифметические действия над числовыми последователь-
ностями. Пусть даны последовательности {хя) и {t/J.
Произведением последовательности {хя} на число т назовем
последовательность тх„ тхъ ...» rnxm...;
суммой данных последовательностей назовем последователь-
ность Х'+у^Хъ+уъ ...,хя+//я, ...;
разностью —- последовательность х,—уь х2—Уъ ...» хя—уя9 ...;
произведением — последовательность
ж,
частным — последовательность —, —,
У|
последовательности {</я) отличны от нуля.
•••» х^я, ...;
к
..., , ..., если все члены
Указанные действия над последовательностями символически
записываются так:
+Ш = К + У-Ь
{*„} - {у.) = К-у.}.К) • (yj =
та-{?}•»* °’
2. Ограниченные и неограниченные последовательности. Опре-
деление J. -Последовательность (х„) называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число М (число т) такое, что любой зле-
* У„ #0 означает, что значения уя отличны от нуля при любом п.
21
мент хп этой_ последовательности удовлетворяет неравенству
х„<Л( (х„>т)?
Определение 2. Последовательность {х„} называется ограничен-
ной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа
m и М такие, что любой элемент хп этой последовательности
удовлетворяет неравенствам m хп^М.
Пусть Л = тах{|т|, Тогда условие ограниченности
последовательности можно записать в виде [хя| А.
Определение 3. Последовательность {хя} называется неограни-
ченной, если для любого положительного числа А существует эле-
мент хя этой последовательности, удовлетворяющий неравенству
|хя| >А (т, е. либо хя> А, либо хя< — А).
Из данных определений следует, что если последовательность
ограничена сверху, то все ее элементы принадлежат промежутку
(— М]; если она ограничена снизу — промежутку Гт, + со),
а если ограничена и сверху и снизу — промежутку |т, М]. Неогра-
ниченная последовательность может быть ограничена сверху
(снизу).
Рассмотрим примеры ограниченных и неограниченных последо-
вательностей.
1. Последовательность 1, 2, 3, ..., л, ... ограничена снизу, но
не ограничена сверху.
2. Последовательность —1, —2, —3, ..., — л, ... ограничена
сверху, но не ограничена снизу.
3. Последовательность I, Г/2, 1/3. 1/л, ... ограничена, так
как любой элемент хя этой последовательности удовлетворяет нера-
венствам 0 < хя < 1 (m = 0, М = 1).
4. Последовательность — 1, 2, —3, 4, —5, ...,(— 1)ял, ...неогра-
ниченная. В самом деле, каково бы ни было число А среди элемен-
тов хя этой последовательности, найдутся элементы, для которых
будет выполняться неравенство |хя| > А.
С помощью логических символов данные выше определения
можно записать следующим образом:
последовательность {хя} ограничена сверху,если (3AfXVxrt):xrt<
последовательность {хя| ограничена снизу, если (ЗтХУхя):хя>
>m;
последовательность {хя| ограничена, если (ЭЛ >0ХУхя):|хя| <
последовательность {хя| неограничена, если (УЛ >0ХЗхя):|хя| >
>Л.
Сравнивая запись с помощью логических символов двух по-
следних определений, видим, что при построении отрицаний сим-
волы 3 и V заменяют друг друга.
3. Бесконечно болыние н бесконечно малые последовательности.
Определение 1. Последовательность {хя} называется бесконечно
большой, если для любого положительного числа А существует но-
мер N такой, что при n>N* выполняется неравенство |хя| >А.
• «При л > N» означает: «для всех элементов последовательности с номе-
рами п > JV>.
22
Символическая запись определения бесконечно большой после-
довательности:
А (УЛ > 0)(3AQ(Vn > AQ: |хп| > А.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая
последовательность является неограниченной. Однако неограничен-
ная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ..., 1, п,
1, п+1, ••• не является бесконечно большой, поскольку при
Л>>1 неравенство |хя| > А выполняется не для всех элементов хп
с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность {ая) называется бесконечно
малой, если для любого положительного числа е существует номер
N такой, что при n>N выполняется неравенство |ая| < е.
Символическая запись определения бесконечно малой последо-
вательности:
(Ve > 0)(3AQ(Vn > N): |ая| < е.
Пример 1. Используя определение 1, докажем, что последова-
тельность {п} является бесконечно большой.
Возьмем любое число Л>0. Из неравенства |хя| = |п|>>Л
получаем п> А. Если взять /У^Л, то для всех n>N будет
выполняться неравенство |хя| > Л, т. е. согласно определению 1
последовательность{п} бесконечно большая.
Пример 2. Используя определение 2, докажем, что последова-
тельность {1 /и} является бесконечной малой.
Возьмем любое число е > 0. Из неравенства |ая| = 11 /п| < е
получаем п > 1 /е. Если взять W = [l/e]*, то для всех n>N
будет выполняться неравенство n>[l/e] + 1 > L/e, откуда 1/п =
= |ая|<е. Таким образом, согласно определению 2 последова-
тельность {1 /и} является бесконечно малой.
Докажем теорему, устанавливающую связь между бесконечно
большими и бесконечно малыми последовательностями.
Теорема 2.1. Если {хя} — бесконечно большая последова-
тельность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность
| бесконечно малая, и, обратно, если {ая} — бесконечно малая
последовательность и ап Ф 0, то последовательность — бес-
конечно большая.
Доказательство. Пусть {хя} — бесконечно большая по-
следовательность. Возьмем любое е > 0 и положим А = -X Соглас-
но определению 1 для этого А существует номер W такой, что при
будет [хя|>Л. Отсюда получаем, что * 1 1 ' 1
= е
* Символ [х] обозначает целую часть числа х, т. е. наибольшее целое число,
не превосходящее х. Например, [|] = 1, [3, 11 = 3, [0, 71 = 0, [—0, 51 = — 1,
I - 172,9] = -173 и т. д. Очевидно, [х] + 1 > х.
23
для всех n>N. А это значит, что последовательность J—I бес-
конечно малая. * п
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.!
4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 2.2. Сумма и разность двух бесконечно малых по-
следовательностей есть бесконечно малые последовательности.
Доказательство. Пусть {ая} и {ря} — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что последовательность
{ая±Ря} бесконечно малая. Пусть е — произвольное положительное
число, Wj — номер, начиная с которого |ая|<-|-, a N2—номер, на-
чиная с которого |ря|<-у. (Такие номера и W2 найдутся по опре-
делению бесконечно малой последовательности.) Возьмем W =
= max{A/1, N2}\ тогда при n>N будут одновременно выполняться
два неравенства: |ая|<-|-, |pj<-|-. Следовательно, при n>N
|ап ± Рп| |ап| + |Рл| < "у + "у = е-
Это значит, что последовательность {ая±Ря} бесконечно малая.!
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последователь ность.
Теорема 2.3. Произведение двух бесконечно малых после-
довательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {ая} и {ря} — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что последовательность
{a„-p„} бесконечно малая. Так как последовательность {ая} беско-
нечно малая, то для любого е>0 существует номер такой, что
|ая|<8 при а так как {ря} также бесконечно малая последо-
вательность, то для 8=1 существует номер N2 такой, что |ря|<1
при n>N2. Возьмем W=max{Wt, W2}; тогда при n>N будут вы-
полняться оба неравенства. Следовательно, при п> N
|ая • ₽„| = |а„| • |р„| < е • 1 = е.
Это означает, что последовательность {ая«ря} бесконечно малая.!
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконеч-
но малых последовательностей есть бесконечно малая последова-
тельность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последователь-
ностей может не быть бесконечно малой последовательностью и
может даже не иметь смысла. НжЬример, если ая=1/п, Ря=1/п,
то все элементы {ая/Ря} равны единице и данная последователь-
ность является ограниченной. Если ая= 1 /и, Ря= 1 /и2, то после-
довательность {ая/Ря} бесконечно большая, а если ая=1/п2,
Ря=1/л, то — бесконечно малая. Если, начиная с некоторого
номера, элементы {ря} равны нулю, то {ая/Ря} не имеет смысла.
24
Теорема 2.4. Произведение ограниченной последовательно-
сти на бесконечно малую есть бесконечно малая последователь-
ность. п г ) f 1
Доказательство. Пусть {хя}—ограниченная, а {ая}—
бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что
последовательность {хя- ая} бесконечно малая. Так как последова-
тельность {хя} ограничена, то существует число Л>0 такое, что
любой элемент хя удовлетворяет неравенству |хя| <1 А. Возьмем
любое 8>0. Поскольку последовательность {ая} бесконечно малая,
для положительного числа существует номер N такой, что при
n>N выполняется неравенство |ая|<-^-. Следовательно, при
п V
|хя . ая| = |х„| -|ая|<Л
Это означает, что последовательность {хя • ая} бесконечно малаяЯ
Следствие. Произведение бесконечно малой последователь-
ности на число есть бесконечно малая последовательность.
Перейдем теперь к одному из важнейших в математическом
анализе понятию предела числовой последовательности.
§ 2. Сходящиеся последовательности
1. Понятие сходящейся последовательности. Определение.
Число а называется пределом последовательности {хя}, если для
любого положительного числа е существует номер N такой, что при
п> N выполняется неравенство
|х„—а|<е. (1)
С помощью логических символов это определение можно запи-
сать в виде
(Ve > 0)(3AO(Vn > AQ: |хл - а\ < е.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Если последовательность {хя} сходится и имеет своим пределом
число а, то символически это записывается так:
lim хя = а* или хя->а при я->оо. (2)
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.
Пример. Используя определение предела последоватльности,
Докажем, что lim —^-r= 1.
„ _ п 4- 1
I I
Возьмем любое число е>0. Так как |хя — 1| = I t — 1 =
V+T’ то для нахождения значений п, удовлетворяющих не-
* limes (лат.) — предел.
25
равенству |хя—1|<е, достаточно решить неравенство 1/(л4-
4-1) откуда получаем л>(1— е)/е. Следовательно, в
качестве W можно взять целую часть числа (1—е)/е, т. е. W =
= [(1— е)/е]. Тогда неравенство |хя—1|<8 будет выполняться
при всех n>N. Этим и доказано, что lim —тт= 1.
л-*оо П Г »
Замечание 1. Пусть последовательность {хя} имеет своим
пределом число а. Тогда {ая} = {хя—а) является бесконечно
малой последовательностью, так как для любого е>0 существует
номер W такой, что при выполняется неравенство |ая| =
= |хя—а|<е. Следовательно, любой элемент хя последователь-
ности, имеющей пределом число а, можно представить в виде
хя = а + ая, (3)
где ая — элемент бесконечно малой последовательности {ая}. Оче-
видно, справедливо и обратное: если хя можно представить в виде
хя=а + ая, где {ая}—бесконечно малая последовательность, то
Нтхя=а. Представление (3) используется при доказательствах
«-►оо
теорем о пределах последовательностей.
Замечание 2. Неравенство (1) равносильно неравенствам
— 8<хя — а<8 или а — е <хп< а + е»
которые означают, что элемент хя находится в 8-окрестности точки а
(рис. 7). Поэтому определение предела последовательности можно
сформулировать следующим образом: число а называется пределом
последовательности {хя}, если для любой s-окрестности точки а
существует номер W такой, что все элементы хя с номерами n>N
находятся в этой 8-окрестности.
Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большая последо-
вательность {хя} не имеет предела. Иногда говорят, что она имеет
бесконечный предел, и пишут
lim хя =хю.
«-►оо
Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последо-
вательности положительны (отрицательны), то пишут
lim хя = 4- 00 (lim хя = — оо ).
«-►оо \л-*-оо . /
Предел последовательности, как он был определен ранее, будем
называть иногда в отличие от бесконечного предела конечным пре-
делом.
Замечание 4. Очевидно, всякая бесконечно малая последова-
тельность является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.
2. Основные свойства сходящихся последовательностей. Дока-
жем лемму, которая понадобится при доказательстве теоремы 2.5.
Лемма 2.1. Если все элементы бесконечно малой последова-
тельности {ая} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
26
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т. е. что
с=^0. Положим е = — Тогда по определению бесконечно малой
последовательности существует номер W такой, что при |/|>W
выполняется неравенство |ая|<8. Так как ап=с, а 8 = -у, то
I I Id
последнее неравенство можно переписать в виде |с|<—, откуда
1С-у. Полученное противоречие доказывает, что неравенство
с=/=0 не может иметь места и, значит, с = 0.
Теорема 2.5. Сходящаяся последовательность имеет только
один предел.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
сходящаяся последовательность {хя} имеет два предела а и Ь. Тогда
по формуле (3) для элементов хп получаем
хп= а + апнхп= Ь + ря,
где а„ и ря —элементы бесконечно малых последовательностей
{ая} и {0Я}. Приравнивая правые части этих соотношений, найдем,
что ая— fin=b — а. Так как все элементы бесконечно малой
последовательности {ая—pJ равны одному и тому же числу Ь — а,
то по лемме 2.1 Ь — а=0, т. е.
Ь = а.
Теорема 2.6. Сходящаяся т
последовательность ограничена. о-в о ?♦« *
Доказательство. Пусть
{хя) — сходящаяся последователь- Рис 7
ность и число а — ее предел. Пусть,
далее, е — произвольное положительное число н N — номер, начи-
ная с которого выполняется неравенство |хя— а|-<е. Тогда
Н = |(*я - а) + а| < |х„ - а| + |а| < |а| + е
для всех n>N. Пусть А — max {|а| + е, |х(|, |х2|, |хд,|).
Очевидно, |х„|^4 для всех номеров п, что и означает ограничен-
ность последовательности {*„}.
Замечание. Ограниченная последовательность может и
не быть сходящейся. Например, последовательность —1, 1, —1, ...,
(— 1)м» ... очевидно ограничена, но не сходится. Докажем это. Пред-
положим, что данная последовательность имеет предел число а.
Тогда для 8=1/2 существует номер W такой, что при n>N
будет |хя —а|<1/2. Так как хп принимает попеременно значения
1 н —1, то |1—д|<1/2 и |(—1) —а|< 1/2. Используя эти
неравенства, получаем
2 = |1 _ а + а - (- 1)| < |1 - а| + |а - (- 1)| < 1/2 +
+ 1/2= 1.
т е- 2<1- Полученное противоречие доказывает расходимость
Данной последовательности.
27
Теорема 2.7. Сумма (разность) двух сходящихся последова-
тельностей {хя} и {</„} есть сходящаяся последовательность, предел
которой равен сумме (разности) пределов последовательностей
{*.} и (У.)-
Доказательство. Пусть а и Ь — соответственно пределы
последовательностей (хя) и {</,). Тогда по формуле (3):
х„» а + а.. У„ = Ь +
где [а,] и (Р„) — бесконечно малые последовательности. Следова-
тельно,
(*« ± у») — (а ± Ь) = а, ± ₽„.
По теореме 2.2 последовательность {ая±ря) бесконечно малая.
Таким образом, последовательность {(х,±у,)—(а ±6)} также
бесконечно малая, и поэтому последовательность {хя±у,} сходится
и имеет своим пределом число а ±6.
Теорема 2.8. Произведение сходящихся последовательностей
{х„) и {</„} есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен произведению пределов последовательностей (хя) и {</,).
Доказательство. Пусть а и b — соответственно пределы
последовательностей (х„) и {«/,}. Тогда по формуле (3):
хя = а + а„, у„ = Ь 4- ₽я,
где (ая) и (ря) —бесконечно малые последовательности. Следова-
тельно,
xjf, — ab = а₽я + Ьа я 4- а„₽я.
Согласно теоремам 2.2—2.4 последовательность {а0я4-6ая4~ая0я
бесконечно малая. Таким образом, последовательность (хяуя—аЬ
также бесконечно малая, и поэтому последовательность {x„y,
сходится и имеет своим пределом число ab.
Теорема 2.9. Частное двух сходящихся последовательностей
{х,} и (р„) при условии, что предел {«/„} отличен от нуля, * есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен частному
пределов последовательностей (хя] и {ря}.
Доказательство. Пусть а и b (Ь#0)— соответственно
пределы последовательностей {хя) и {</.}. Тогда по формуле (3):
х. = а + а„ ря=б4-₽,.
где (ая) и {р,) — бесконечно малые последовательности. Следо-
вательно,
«. a »(а + -«(»+ ЙЗ 1 / а а \
T.~~F = —W.— ---------------W.---------= ₽ ")
В силу свойств бесконечно малых последовательностей после-
довательность 1а,—бесконечно малая. Покажем, что
* В силу условия lim у^О элементы уя, начиная с некоторого номера Л/,
не обращаются в нуль, поэтому частное {*Я/Уп] имеет смысл для всех n>N-
28
(JJ — ограниченная последовательность. Так как уп-^Ь при
Ы \ь\
то для e = ~jF наяЛется номер W такой, что для всех
\будет |у„—д|<-у. Поэтому
т. е.
\b\
-5- и, следовательно,
Ы
2 ~ 2 ’
icex n>N, что
2
и означает ограниченность последовательности
По теореме 2.4 последовательность (ая—ь’^л)1 бесконечно
{%" а \
-у-—также бесконечно
{X \
-у-| сходится и имеет
а _ " '
своим пределом число -у.
Теоремы, доказанные в этом пункте, имеют большое не только
теоретическое, но и практическое значение.
п и ч 1 • 2л2 -Ь л -Ь1
Пример. Найдем lim ———;—.
При п->оо числитель и знаменатель дроби стремятся к беско-
нечности, следовательно, применить теорему о пределе частного
нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается сущест-
вование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем дан-
ную последовательность, разделив числитель и знаменатель на л2.
Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы,
НаЙдем lim (2+ 1/л 4- 1/п2)
lim lim
я-»ао Зл —1 л-»оо 3—1/л2
lim (3— 1/л2)
lim 24- lim (1/л)4- lim (1/л2)
Л—ао Л-+-ОО л-*во __2 4" О 4" 0 2
з=о Т
lim 3— lim (1/л2)
л-*ао л-»оо
3. Предельный переход в неравенствах. Теорема 2.10.
Если элементы сходящейся последовательности {хя}, начиная с не-
которого номера, удовлетворяют неравенству хя^Ь (хп^Ь), то
а^Ь^* ° ЭТ°й послед°вательности удовлетворяет неравенству
Доказательство. Пусть все элементы хя, начиная с неко-
т<*рого номера, удовлетворяют неравенству хя>Ь. Требуется дока-
зать неравенство а>д. Предположим противное, т. е. что а<Ь.
Так как а — предел {xj, то для е=Ь — а существует номер N
такой, что при n>N выполняется неравенство |хя—а|<Ь —а,
которое равносильно следующим двум неравенствам: —(Ь — а)<
29
<Zxn — a<zb — a. Из правого неравенства получаем: хп<^Ь
при n>N, а это противоречит условию теоремы. Следовательно,
Ь. Случай хп^b рассматривается аналогично.
Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательно-
стей {хп} и {#„}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют
неравенству хп^уп, то их пределы удовлетворяют неравенству
lim хп< lim уп.
п-*~ао п-*~ао
В самом деле, начиная с некоторого номера, элементы после-
довательности (уп— хп} неотрицательны, а поэтому неотрицателен
и ее предел: lim (уп— хп)= lim уп— lim хп>0. Отсюда следует,
Л-*-ОО Л-*-ОО п-*<х>
что lim хл<1 lim уп.
П-*-оо л-»-оо
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последова-
тельности {хл} сходятся на отрезке [а, Ь], то и ее предел с также
находится на этом отрезке.
В самом деле, так как а^хл^&, то
Следующая теорема играет важную роль в различных прило-
жениях.
Теорема 2.11. Пусть даны три последовательности {хл},
{#„} и {гп}» причем xn^yn^zn для всех и, и пусть последователь-
ности {хл} и {zj имеют один и тот же предел а. Тогда последова-
тельность {уп} также имеет предел а.
Доказательство. Возьмем любое е>0. По этому е
для последовательности {хл} найдется номер М| такой, что
|хл—а|се при n>N^ т. е.
а — е<х„<а + с. (4)
По тому же е для последовательности {z„} найдется номер N2
такой, что \zn — а|<е при n>N2, т. е.
а — е < zn< а + е. (5)
Пусть W = max{Wl, W2}. Тогда при n>N будут выполняться одно-
временно неравенства (4) и (5). Используя подчеркнутые неравен-
ства, а также неравенства, данные в условии теоремы, получаем
а — е < хп < уп < zn < а + е при п > W.
Отсюда . .
а-Е<уп<а±Е или \уп — а| < е при п> N.
Это означает, что предел последовательности {#„} равен а.|
§ 3. Монотонные последовательности
1. Определение и признак сходимости монотонных последова-
тельностей. Определение. Последовательность {хл} называется воз-
растающей, если хл<хл+1 для всех п\ неубывающей, если хл^
^хл+1 для всех п\ убывающей, если хл>хл+1 для всех п; невозра-
стающей, если,хп^хп+[ для всех п.
зо
Все такие последовательности объединяются общим названием:
монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие по-
следовательности называются также строго монотонными.
рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
1. Последовательность 1, 1/2, 1/3, ..., 1/м, ... убывающая и
ограниченная.
2. Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...1/м, 1/м, ...
невозрастающая и ограниченная.
3. Последовательность 1, 2, 3, ... и, ... возрастающая и неогра-
ниченная.
4. Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., и, и, ... неубываю-
щая и неограниченная.
5. Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, ..., п/(п-Н)» ••• возрас-
тающая и ограниченная.
Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по
крайней мере, с одной стороны: неубывающие последовательно-
сти — снизу (х„>Х| для всех л), неЬозрастающие — сверху (хя^
для всех п). Оказывается, что если монотонная последова-
тельность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то
она сходится. Немонотонные последовательности этим свойством
не обладают. Например, немонотонная последовательность {(—I)"}
ограничена, но не сходится (см. замечание к теореме 2.6).
Имеет место следующая основная теорема о монотонных после-
довательностях.
Теорема 2.12. Монотонная ограниченная последовательность
сходится.
Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей по-
следовательности.
Пусть хя^хя4_| для всех п и существует число М такое, что
все элементы хп не больше М, т. е. хя^М. Рассмотрим числовое
множество X, состоящее из элементов данной последовательности.
По условию это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому
в силу теоремы 1.1 множество X имеет точную верхнюю грань.
Обозначим ее через а и докажем, что а является пределом данной
последовательности.
Так как а — точная верхняя грань множества элементов после-
довательности {хя}, то согласно свойству точной верхней грани
Для любого е>0 найдется номер N такой, что xN>a — е. По-
скольку {хя}—неубывающая последовательность, то при n>N
^УДет хя>а —е. С другой стороны, по определению верхней
гРани хл<о<а + с для всех п. Таким образом, при n>N
получаем неравенства а — е<хя<а-Ре, т. е. |хя —а|<е при n>N.
и означает, что число а — предел последовательности {х„}.
аналоги^ невозРастающе^ последовательности рассматривается
3 амечание. Ограниченность монотонной последовательности
яется необходимым и достаточным условием сходимости.
31
В самом деле, если монотонная последовательность ограни-
чена, то в силу теоремы 2.12 она сходится; если же монотонная
последовательность сходится, то по теореме 2.6 она ограничена.
2. Число е. Рассмотрим последовательность {xj с общим чле-
ком x„=(l +4) :
u + i>i.(i+4)’-('+4)‘-
Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что
последовательность {хл} — возрастающая и ограничена сверху.
Применив формулу бинома Ньютона* [гл. 6, § 3, п. 4, формула (10)],
получим
„ _ f „ 1 , п(п — 1) 1 , п(и- 1)(п—2) 1 ,
~ 1 П п 2! п? 3! п3
. и (и — 1) (п — 2) ...[п — (п — 1)] 1
3 п! пп'
Представим это выражение в следующей форме:
Аналогичным образом представим хп+1:
= 2 + ЗГ (' пТт) + зг (' т+з) (' г+т) + -
+^0-з4з)0(>
Заметим теперь, что (1—-)<(1—ПРИ По-
этому каждое слагаемое в выражении для хп+1 больше соответ-
ствующего слагаемого в выражении для хп и, кроме того, у хп+1
по сравнению с хп добавляется еще одно положительное слагаемое.
Следовательно, хп<хп+1, т. е. последовательность {хп} возраста-
ющая.
Для доказательства ограниченности сверху данной последова-
тельности заметим, что каждое выражение в круглых скобках в со-
отношении (1) меньше единицы. Учитывая также, что ~^< 2п-\
при п>2, получаем
х„ < 2 + -I + ^ + ... + < 1 + 1 + -у + “F + "• +
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, придем
к неравенству
< 1 + ! _ 1/2 — 3 2"-1 < 3‘
* Ньютон Исаак (1642—1727) — великий английский физик, механик, астро-
ном и математик.
32
Таким образом, доказано, что последовательность {(1 + 1 /и)"}—
возрастающая и ограничена сверху. По теореме 2.12 она имеет
предел. Этот предел обозначают буквой е. Итак, по определению,
е=!™(1 + 4)'.
Отметим, что число е играет большую роль во многих вопросах
математики. Оно, в частности, является основанием натуральных
логарифмов. В настоящем параграфе дано только определение
числа е. Далее будет рассмотрен способ вычисления этого числа
с любой степенью точности.
Здесь лишь отметим, что так как хп<3 и из (1) непосредственно
очевидно, что 2<хп, то число е заключено в пределах 2^е^3.
Доказано, что число е иррациональное.
Докажем теорему, которая в дальнейшем неоднократно исполь-
зуется при доказательстве других теорем.
§ 4. Теорема о вложенных отрезках
Пусть дана последовательность отрезков [ah &J, [а2, Ь2], ...,
[ап, Ьп], ... таких, что каждый последующий содержится в преды-
душем: [а„ 6 J =э[а2, 62] =>...=>[а„, 6„] =>...,т. е.
ал<а„+1<6л+1</>лДлявсехп, (1)
и пусть lim (bn — ал) = 0. Будем называть эту последовательность
п —► оо
последовательностью вложенных отрезков.
Теорема 2.13. Для любой последовательности вложенных от-
резков существует единственная точка, принадлежащая всем от-
резкам этой последовательности.
Доказательство. Из неравенств (1) следует, что левые
концы отрезков образуют неубывающую последовательность
а|<а2^а3<...<ал<ал+1<..., , (2)
а правые концы — невозрастающую последовательность
। 2^ ^2 2^ 2^ ••• 2^ 2^ ^п+1 2^ ••• (3)
При этом последовательность (2) ограничена сверху, а последо-
вательность (3) ограничена снизу, так как а Ьп^а^ для
любого п. Следовательно, на основании теоремы 2.12 эти последо-
вательности имеют пределы. Пусть lim ап=с', a lim bf = c". Тогда
л->оо п-*-оо
из условия
lim (bn — а„) = lim b„ — lim ап = с" — с' - О
л —► оо л —► оо л —► оо
следует, что с' = с", т. е. последовательности {ап} и [Ьп] имеют
общий предел. Обозначая этот предел буквой с, получаем, что для
любого п справедливы неравенства т. е. точка с при-
надлежит всем отрезкам последовательности (1).
3 — 3157 33
Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что
существует еще одна точка сх(с^£с), принадлежащая всем отрез-
кам последовательности (1). Тогда для любого п должно выпол-
няться неравенство bn — ап^ |cj — с| и, следовательно,
lim (6П ——с|=/=0, что противоречит условию теоремы^
П—>оо
Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рас-
сматривать интервалы. Например, для последовательности вло-
женных интервалов
(О, 1) О (0, 1/2) => (0, 1/4) =>... ZD (о, 1 /2я) ZD ... (4)
не существует точки, принадлежащей всем интервалам. В самом
деле, какую бы точку с на интервале (0, 1) ни взять, всегда най-
дется номер V такой, что при n>N будет 1/2л<с и, следова-
тельно, точка с не будет принадлежать интервалам последователь-
ности (4), начиная с интервала (0, 1 /2 /v+1).
Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые све-
дения из аналитической геометрии. Поэтому следующая глава
посвящена этому разделу математики.
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналитическая геометрия — область математики, изучающая
геометрические образы алгебраическими методами. Еще в XVII в.
французским математиком Декартом был разработан метод коор-
динат, являющийся аппаратом аналитической геометрии.
В основе метода координат лежит понятие системы координат.
Мы познакомимся с прямоугольной (или декартовой) и полярной
системами координат.
§ 1. Прямоугольная система координат
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее
начало О и одинаковую масштабную единицу (рис. 8), образуют
прямоугольную систему координат на плоскости.
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат, а обе
оси вместе — осями координат. Точка О пересечения осей назы-
вается началом координат. Плоскость, в которой расположены
оси Ох и Оу, называется црординатной плоскостью и обознача-
ется Оху.
Пусть М — произвольная точка плоскости. Опустим из нее
перпендикуляры МА и МВ на оси Ох и Оу.
Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть
соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков ОА
и ОВ: х= ОА, у= ОВ.
34
Координаты хну точки М называются соответственно ее абсцис-
ой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у,
символически обозначают так: М (х; у). При этом первой в скоб-
ках указывают абсциссу, а второй — ординату. Начало коорди-
нат имеет координаты (0; 0).
Таким образом, при выбранной системе координат каждой
точке М плоскости соответствует единственная пара чисел (х; </)* —
ее прямоугольные координаты, и, обратно, на каждой паре чисел
(х; у) соответствует, и притом одна, точка М плоскости Оху
такая, что ее абсцисса равна х, а ордината у.
Итак, введение прямоугольной системы координат на плоско-
сти позволяет установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, что дает
возможность при решении геометрических задач применять алге-
браические методы.
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их назы-
вают четвертями, квадрантами или координатными углами и
нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на
рис. 9. На рис. 9 указаны также знаки координат точек в зависимо-
сти от их расположения в той или иной четверти.
§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
1. Расстояние между двумя точками. Теорема 3.1. Для
любых двух точек Af^Xjj у^ и М2(х2; у2) плоскости расстояние d
между ними выражается формулой
d = — х^2 + (у2 — yt)2. (1)
Доказательство. Опустим из точек А4, и Af2 перпен-
дикуляры MtB и М2А соответственно на оси Оу и Ох и обозначим
через К точку пересечения прямых М}В и А42^ (рис. 10). Точка К
Чис Здесь речь идет об упорядоченной паре чисел, т. е. о наборе из двух
В КОТОРОМ Указано, какое число является первым, а какое — вторым.
ВЫмИ то пары (х; у) и (у; х) различны, так как в первой из них пер-
числом является х, а во второй — у.
35
имеет координаты (х2; i/,), поэтому (см. гл. 1, § 3)
|мл| = |х2 — xj; |Л12К| = |у2 —у,|.
Так как треугольник M,Af2K — прямоугольный, то по теореме
Пифагора
d = д/(Л4Л)2 + (Л42К)2 = V(x2 — х,)2 + (</2 — у,)2.
2. Площадь треугольника. Теорема 3.2. Для любых то-
чек A (xt; f/|), В (х2; и С (х3; i/3), не лежащих на одной прямой,
площадь s треугольника АВС выражается формулой
s = 4l[ (х2 — *1) G/з — У|) — (х3 — X,) (у2 — у,)] |. (2)
Доказательство. Площадь треугольника АВС, изоб-
раженного на рис. 11, можно найти так:
SABC = SADEC + SBCEF S ABFD> (3)
где sADEC, sBCEF, sABFD — площади соответствующих трапеций.
Поскольку
е _ |пР| |Л£)| + ~ +
S A DEC — Wc |--2---------------2------’
с _ led |£с| + |ef| _ (х* - х’) +
SBCEF — ----2---------------2------’
с _ |п₽| |Л£)| + 'Bfl - (Х2 ~ Х|) +
SABFD — I-------2---------------2------’
подставив выражения для этих площадей в равенство (3), полу-
чим формулу
s = 4lt (*' — хг) («Л + Уг) + (х2 - х3) (у2 + Уз) + (х3 - X,) (у3 + у,)] |,
из которой следует формула (2). Для любого другого расположе-
ния треугольника АВС формула (2) доказывается аналогично^
Пример. Даны точки 4(1; 1), В (6; 4), С (8; 2). Найти площадь
треугольника АВС. По формуле (2):
s = 4|[(6- 1) (2 — 1)-(8- 1)(4- 1)]|=4|[- 16]| = 8.
3. Деление отрезка в данном отношении. Пусть на плоскости
дан произвольный отрезок М{М2 и пусть М — любая точка этого
отрезка, отличная от точки М2 (рис. 12).
36
Число X, определяемое равенством
_ pW,Al|
к~ 1W
(4)
называется отношением, в котором точка М делит отрезок М,М2.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том,
чтобы по данному отношению X и данным координатам точек
и М2 найти координаты точки М.
Решить эту задачу позволяет следующая теорема.
Теорема 3.3. Если точка М (х; у) делит отрезок М{М2
в отношении X, то координаты этой
точки определяются формулами
1+х >У 1+х ’ (5)
где (хр У\) — координаты точки Л4,;
(х2; у2) — координаты точки М2.
Доказательство. Пусть пря-
мая М|М2 не перпендикулярна оси Ох.
Опустим перпендикуляры из точек Af|t
М, М2 на ось Ох и обозначим точки их
пересечения с осью Ох соответственно
через Р и Р2 (рис. 12). На основании теоремы элементарной
геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных
между параллельными прямыми, имеем
Р,Р| _ |м,м| _
но|р,р| = |х—Х||, |РР2| = *2—х| (см- гл. 1,§ 3).
Так как числа (х — х,) и (х2 —х) одного и того же знака (при
*i<x2 они положительны, а при х,>х2—отрицательны), то
х~ х\ X — X, *1+Хх,
“рс2_х| = ^—7. Поэтому х _х = х, откуда х= Если пря-
мая М{М2 перпендикулярна оси Ох, то х, = х2=х и эта фор-
мула также, очевидно, верна. Получена первая из формул (5).
Вторая формула получается аналогично. И
Следствие. Если М,(х,; у^ и М2(х2; у2) — две произволь-
ные точки и точка М (х; у) — середина отрезка т. е.
|М|М| ==|лш2|, то Х= 1, и по формулам (5) получаем
у>+у2
Х =----9--’ У =--2---*
Т z Z
аким образом, каждая координата середины отрезка равна полу-
УМме соответствующих координат.
кп-гПРимеР* Даны точки Af! (1; 0 й Af2(7; 4). Найти точку М (х; у),
которая в два раза ближе к М „ чем М/
ш е н и е. Искомая точка М делит отрезок Л1|Л42 в отношении
хааз'2’ Применяя формулы (5), находим координаты этой точки:
37
§ 3. Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат
является полярная система координат. Она состоит из некоторой
точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ —
полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для изме-
рения длин отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть М — про-
извольная точка плоскости. Пусть р — расстояние точки М от
точки О; ф — угол, на который нужно повернуть полярную ось
для совмещения с лучом ОМ (рис. 13).
Полярными координатами точки М называются числа р и <р.
При этом число р считается первой координатой и называется
полярным радиусом, число ср — второй координатой и называется
полярным углом.
Точка М с полярными координатами р и ф обозначается так:
М (р; <р). Очевидно, полярный радиус может иметь любое неотри-
цательное значение: 0^р<-|-оо. Обычно считают, что поляр-
ный угол изменяется в следующих пределах: 0^ф<2л. Однако
в ряде случаев приходится рассматривать углы, большие 2л, а также
отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси
по часовой стрелке.
Установим связь между полярными координатами точки и ее
прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что
начало прямоугольной системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.
Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные
координаты р и ф (рис. 14). Очевидно,
х = р cos ф, у = р sin ф. (1)
Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через поляр-
ные. Выражения полярных координат через прямоугольные сле-
дуют из формул (1):
р = Vx2 + у2, tg <р = у/х. (2)
Заметим, что формула tgq = y/x определяет два значения по-
лярного угла ф, так как ф изменяется от 0 до 2rt. Из этих двух зна-
38
чений угла ср выбирают то, при котором удовлетворяются равен-
ства (О •
Пример. Даны прямоугольные координаты точки: (2; 2). Найти
ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом
прямоугольной системы координат, а полярная ось совпадает с по-
ложительной полуосью абсцисс.
Решение. По формулам (2) имеем
р = 2V2, tg ф = 1.
Согласно второму из этих равенств <р=л/4 или <р = 5л/4. Но так
как х=2>0 и # = 2>0, то нужно взять <р=л/4.
§ 4. Преобразование прямоугольных координат
При решении многих задач аналитической геометрии наряду
с данной прямоугольной системой координат приходится вводить
и другие прямоугольные системы координат. При этом, естественно,
изменяются как координаты точек, так и уравнения кривых. Воз-
никает задача: как, зная координаты точки в одной системе коор-
динат, найти координаты этой же точки в другой системе коорди-
нат. Решить эту задачу позволяют формулы преобразования коор-
динат.
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных коорди-
нат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение на-
чала координат, а направления осей остаются прежними;
2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну
сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.
1. Параллельный сдвиг осей. Пусть точка М плоскости имеет
координаты (х; у) в прямоугольной системе координат Оху. Пере-
несем начало координат в точку О' (а; Ь), где а и b — координаты
нового начала в старой системе координат Оху. Новые оси коор-
динат О'х' и О'у' выберем сонаправленными со старыми осями
Ох и Оу. Обозначим координаты точки М в системе О'х'у' (новые
координаты) через (х'; у'). Выведем формулы, выражающие связь
между новыми и старыми координатами точки М. Для этого про-
ведем перпендикуляры ММх±Ох, ММу±Оу, О'О' х±Ох,
®'О'„±Оу и введем обозначения Мх> и Му, для точек пересечения
прямых ММХ и ММу соответственно с осями О'х' и О'у' (рис. 15).
Тогда, используя основное тождество (гл. 1, § 3), получаем
х= ОМХ = ОО'Х+ О'ХМХ= ОО'Х +О'МХ,= а + х',
У=ому= ОО'У+ О'уМу = ОО'у + О'Му, = ь + у'.
Итак,
или * = х' + а,у = у' + Ь (1)
э х' = х — а,у' = у — Ь. (2)
0 и есть искомые формулы.
39
2. Поворот осей координат. Повернем систему координат Оху
вокруг начала координат О на угол а в положение Ох'у' (рис. 16).
Пусть точка М имеет координаты (х; у) в старой системе коор-
динат Оху и координаты (х'; у') в новой системе координат Ох'у'.
Выведем формулы, устанавливающие связь между старыми и но-
выми координатами точки Л1. Для этого обозначим через (р; 0)
полярные координаты точки М, считая полярной осью положитель-
ную полуось Ох, а через (р; 0') — полярные координаты той же
точки Л4, считая полярной осью положительную полуось Ох'.
Очевидно, в каждом случае
согласно формулам (1) из § 3
х = р cos 0,
и аналогично
х' = р cos 0',
Таким образом,
х = р cos 0 = р cos (0х + а) =
= р cos 0' cos а — р sin 0'
у = р sin 0 = р sin (0' + а) =
= р cos 0' sin а + р sin 0'
Итак,
у = р sin 0
у' = р sin 0'.
р (cos 0' cos а — sin 0' sin а) =
sin а = х' cos а — у' sin а;
р (cos 0' sin а + sin 0' cos а) =
cos а = х' sin а + у' cos а.
(х = х' cos а — у' sin а,
I у = х' sin а + у' cos а.
Выражая из этих равенств х' и у' через х и у, получим
(х'=х cos а + у sin а,
1 у' = — х sin а + у sin а.
(3)
Пример. Определить координаты точки М (3; 5) в новой си-
стеме координат О'х'у', начало О' которой находится в точке
( — 2; 1), а оси параллельны осям старой системы координат Оху.
Решение. По формуле (2) имеем
х' = 3 + 2 = 5, у' = 5 - 1 = 4,
т. е. в новой системе координат точка Л4 имеет координаты (5; 4).
40
j 5 Уравнение линии на плоскости
Рассмотрим соотношение вида
F(x;r/) = 0, (1)
связывающее переменные величины х и у. Равенство (1) будем назы-
вать уравнением с двумя переменными х, (/.если это равенство спра-
ведливо не для всех пар чисел х и у.
Примеры уравнений: 2х + 3(/=0, х2 + (/2 —25=0, sinx +
+ sin у— 1=0.
Если равенство (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то
оно называется тождеством.
Примеры тождеств: (х + (/)2 — х2— 2ху — у2 = 0, (х +
+{/) (х-у)-х2 + у2=0.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является по-
нятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоуголь-
ная система координат и некоторая линия L (рис. 17).
Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии L
(в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетво-
ряют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой
линии.
Из определения следует, что линия L представляет собой мно-
жество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетво-
ряют уравнению (1). Будем говорить, что уравнение (1) определяет
(или задает) линию L.
Понятие уравнения линии дает возможность решать геометри-
ческие задачи алгебраическими методами. Например, задача на-
хождения точки пересечения двух линий, определяемых уравне-
ниями х-\-у = 0 и х2+(/2=1, сводится к алгебраической задаче
Решения системы этих уравнений.
Линия L может определяться уравнением вида
г Е(р;ф) = 0,
Где^р; ф) — полярные координаты точки.
Усмотрим примеры уравнений линий.
41
1) х—у=О. Записав это уравнение в виде у=х, заключаем,
что множество точек, координаты которых удовлетворяют дан-
ному уравнению, представляет собой биссектрисы I и III коорди-
натных углов. Это и есть линия, определенная уравнением х —«/ =
= 0 (рис. 18).
2) х2 — у2=0. Представив уравнение в виде (х — у) (х + «/)=
= 0, заключаем, что множество точек, координаты которых удо-
влетворяют данному уравнению, — это две прямые, содержащие
биссектрисы четырех координатных углов (рис. 19).1
3) x2-|-i/2=0. Множество точек, координаты которых удовлет-
воряют этому уравнению, состоит из одной точки (0; 0). В данном
случае уравнение определяет, как говорят, вырожденную линию.
4) x2 + i/2+l = 0. Так как при любых х и у числа х2 и у2
неотрицательны, то х2+ у* +1 >0. Значит, нет ни одной точки,
координаты которой удовлетворяют данному уравнению, т. е. ни-
какого геометрического образа на плоскости данное уравнение не
определяет.
5) p = acos<p, где а — положительное число, переменные р
и <р— полярные координаты. Обозначим через М точку с полярными
координатами (р; ф), через А — точку с полярными координатами
(а; 0) (рис. 20). Если р = асоэф, где 0<ф<л/2, то угол ОМА —
прямой, и обратно. Следовательно, множество точек, полярные
координаты которых удовлетворяют данному уравнению, это окруж-
ность с диаметром ОА.
6) р=аф, где а — положительное число; р и ф — полярные
координаты. Обозначим через М точку с полярными координатами
(р; ф). Если ф=0, то и р = 0. Если ф возрастает, начиная от
нуля, то р возрастает пропорционально ф. Точка М (р; ф), та-
ким образом, исходя из полюсу, движется вокруг него с ростом ф,
одновременно удаляясь от него. Множество точек, полярные ко-
ординаты которых удовлетворяют уравнению р = аф,- называется
спиралью Архимеда (рис. 21). При этом предполагается, что Ф
может принимать любые неотрицательные значения.
Если точка М совершает один полный оборот вокруг полюса,
то ф возрастает на 2л, ар — на 2ал, т. е. спираль рассекает любую
42
пяму10» проходящую через полюс, на равные отрезки (не считая
тоезка, содержащего полюс), которые имеют длину 2ал.
° В приведенных примерах по заданному уравнению линии иссле-
дованы ее свойства и тем самым установлено, что представляет со-
бой эта линия.
рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-то
свойствами множества точек, т. е. для заданной линии L, найти
ее уравнение.
Пример. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной системе
координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки
С (а; 0) на расстоянии /?.
Рис. 21
Иными словами, вывести урав-
нение окружности радиуса /?
Решение. Расстояние от произвольной точки М (х; у) до
точки С вычисляется по формуле |AfC| = V(x — а)2 + (у-р)2-
Если точка М лежит на окружности, то |МС(=/? или МС2 =
= R\ т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению
(X - а)2 + (I/- р)2 =/?2. (2)
Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то Л4С2=#=
^R , т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2).
Таким образом, искомое уравнение окружности имеет вид (2).
Полагая в (2) а=0, Р=0, получаем уравнение окружности ра-
диуса R с центром в начале координат: х2 + {/2 = /?2.
5 6. Линии первого порядка
Сравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дана
которая прямая. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ох
т °л ** На КОТ°РЫЙ НУЖНО повернуть ось Ох, чтобы ее положи-
уГоЬН0е направление совпало с одним из направлений прямой.
От л а может иметь различные значения, которые отличаются друг
АРУга на величину пл, где п — натуральное число. Чаще
43
всего в качестве угла наклона берут наименьшее неотрицательное
значение угла а, на который нужно повернуть (против часовой
стрелки) ось Ох, чтобы ее положительное направление совпало
с одним из направлений прямой (рис. 23). В таком случае 0^
^а<л.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым
коэффициентом этой прямой и обозначается буквой k:
6 = tg a. (1)
Из формулы (1), в частности, следует, что если а=0, т. е.
прямая параллельна оси Ох, то k = 0. Если а=л/2, т. е. прямая
перпендикулярна оси Ох, то £ = tga теряет смысл. В таком слу-
чае говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконеч-
ность».
Выведем уравнение данной прямой, если известны ее угловой
коэффициент k и величина b отрезка ОВ*, который она отсекает на
оси Оу (рис. 23) (т. е. данная прямая не перпендикулярна оси Ох).
Обозначим через М произвольную точку плоскости с коорди-
натами х и у. Если провести прямые BN и AfAf, параллельные
осям, то в случае £=#=0 образуется прямоугольный треугольник
BNM. Точка М лежит на прямой тогда и только тогда, когда ве-
личины NM и BN удовлетворяют условию
но N М = СМ — CN = CM — ОВ = у — b, BN = x. Отсюда, учи-
тывая формулу (1), получаем, что точка М (х; у) лежит на данной
прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют
уравнению
(2)
Уравнение (2) после преобразования принимает вид
у = kx + b. (3)
Уравнение (3) называют уравнением прямой с угловым коэффици-
ентом. Если /е = 0, то прямая параллельна оси Ох, и ее уравнение
имеет вид у=Ь.
Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ох, имеет урав-
нение вида (3). Очевидно, верно и обратное: любое уравнение вида
(3) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и
отсекает на оси Оу отрезок величины Ь.
Пример. Построить прямую, заданную уравнением
I/=? (3/4) х + 2.
Решение. Отложим на оси Оу отрезок ОВ, величина кото-
рого равна 2 (рис. 24); проведем через точку В.параллельно оси Ох
* Более того, b является величиной направленного отрезка ОВ на оси Оу-
Однако для краткости будем говорить просто «величина отрезка ОВ-».
44
-резок, величина которого BN=4, и через точку W параллельно
си Оу отрезок, величина которого МЛ1 = 3. Затем проведем пря-
у10 ВМ, которая и является искомой. Она имеет угловой коэф-
фициент k = 3/4 и отсекает на оси Оу отрезок величины ft = 2.
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с дан-
ным угловым коэффициентом. В ряде случаев возникает необхо-
димость составить уравнение прямой, зная одну ее точку Мt (х,; у{)
и угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде (3),
где ft — пока неизвестное число. Так как прямая проходит через
точку (х,; У\), то координаты этой точки удовлетворяют урав-
нению (3): (/, = ftX|-f- ft. Определяя ft из этого равенства и подстав-
ляя в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:
У - У\ = k(x- X,). (4)
Замечание. Если прямая проходит через точку М, (х,; у^
перпендикулярно оси Ох, т. е. ее угловой коэффициент обраща-
ется в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид х —Xj = O.
Формально это уравнение можно получить из (4), если разделить
уравнение (4) на k и затем устремить k к бесконечности.
3. Уравнение прямой,
Пусть даны две точки Л41
Уравнение прямой Л1|Л12
две данные точки.
проходящей через
(xj; i/|) и Л42(х2; у2) (рис. 25). Запишем
в виде (4), где k — пока неизвестный
угловой коэффициент. Так как прямая Af|Af2 проходит через точку
Мъ то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (4) :
У^~У\ = k (х2— Х|). Определяя k из этого равенства (при усло-
вии Х(=/=х2) и подставляя в уравнение (4), получаем искомое урав-
нение прямой: у —у
У-У^ = ^-гт(х~х^
2 Л1
уравнение, если У\^у2, можно записать в виде
у-ух
- (5)
У2 - У> Х2 - Х1 V 7
Ьсли z/| = t/2, то уравнение искомой прямой имеет вид у=у\.
° этом случае прямая параллельна оси Ох. Если х, = х2, то пря-
Мая> проходящая через точки М, и М2, параллельна оси Оу, и ее
Уравнение имеет вид х = х,.
45
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
Л1, (3; 1) и М2(5; 4).
Решение. Подставляя координаты точек Mt и М2 в соот-
ношение (5), получаем искомое уравнение прямой:
Х = у \ или Зх — 2у — 7 = 0.
4. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим две прямые
и L2. Пусть уравнение имеет вид y = где jfel = tg
а уравнение L2— вид y=k2x + b2y где ^2=tgO2 (рис. 26). Пусть
Ф — угол между прямыми L} и L2: 0^ф<л.
Из геометрических соображений устанавливаем зависимость
между углами ан о^, ф: (Х2=а|4"ф или ф=(Х2-—а,. Отсюда
tg ф = tg (а2 а.) = , .----;--, или
\ 2 I/ । + tgOt) tg*,’
‘ef-TTst- (6)
Формула (6) определяет один из углов между прямыми. Второй
угол равен л — ф.
Пример. Две прямые заданы уравнениями у= 2x4-3 и у =
= — 3x4-2. Найти угол между этими прямыми.
Решение. Очевидно, k} = 2, k2= — 3, поэтому по формуле
(6) находим
tg ф = (— 3 — 2)/(1 4-(—3) • 2) = — 5/—5 = 1.
Таким образом, один из углов между данными прямыми равен л/4,
другой угол л —л/4 = Зл/4.
5. Условия параллельности й перпендикулярности двух прямых.
Если прямые и L2 параллельны, то ф=0 и tgф=O. В этом
случае числитель в правой части формулы (6) равен нулю: /?2 —/?,=
= 0, откуда
^2 ” ^1-
46
т ким образом, условием параллельности двух прямых является
ав^нСТво их Угловых коэффициентов.
? Если прямые L, и L2 перпендикулярны, т. е. <р=л/2, то 0^=
==:n/2 + al>tga2 = tg(n/2 + (Il)=— Ctg al=— l/(fg al)-T- e‘
= “
Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит
в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и про-
тивоположны по знаку. Это условие можно формально получить из
формулы (6), если приравнять нулю знаменатель в правой части (6),
что соответствует обращению tg <р в бесконечность, т. е. равенству
д/2.
6. Общее уравнение прямой. Теорема 3.4. В прямоуголь-
ной системе координат любая прямая задается уравнением первой
степени
Ах + By + С = 0, (7)
и обратно, уравнение (7) при произвольных коэффициентах А, В, С
(А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую
в прямоугольной системе координат Оху.
Доказательство. Сначала докажем первое утверждение.
Если прямая не перпендикулярна оси Ох, то, как было показано
в п. 1, она имеет уравнение y=kx-{-b, т. е. уравнение вида (7),
где A = k, В= — 1 и С = Ь. Если прямая перпендикулярна оси
Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а
отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох (рис. 27). Уравнение этой
прямой имеет вид х = а, т. е. также является уравнением первой
степени вида (7), где Л=1, В = 0, С=—а. Тем самым первое
утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано
уравнение (7), причем хотя бы один из коэффициентов Л и В не
равен нулю.
Если В=/=0, то (7) можно записать в виде
А С
У — В Х В’
Полагая k=—A/B, Ь = — С/В, получаем уравнение y=kx + b,
т- е- уравнение вида (3), которое определяет прямую.
Если В=0, то Л=/=0 и (7) принимает вид х= — С/А. Обозна-
ая — С/Л через а, получаем х = а, т. е. уравнение прямой, пер-
ендикулярной оси Ох.
Линии, определяемые в прямоугольной системе координат урав-
нием первой степени, называются линиями первого порядка.
0 *Им °бРазом, каждая прямая есть линия первого порядка и,
Ратно, каждая линия первого порядка есть прямая.
н Равнение вида А* + Ву+С=0 называется общим урав-
Вет прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соот-
вующем выборе коэффициентов Л, В, С.
47
7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой
«в отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение
Ах + By + С = 0 является неполным, т. е. какой-то из коэффи-
циентов равен нулю.
1) С = 0; уравнение имеет вид Ах-\~ Ву=0 и определяет
прямую, проходящую через начало координат.
2) В = 0 (Л=#0); уравнение имеет вид Лх-|-С=0 и опре-
деляет прямую, параллельную оси Оу. Как было показано в тео-
реме 3.4, это уравнение приводится к виду х=а, где а= — С/А,
а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (рис. 27).
В частности, если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким
образом, уравнение х=0 определяет ось ординат.
3) 4 = 0 (В=#0); уравнение имеет вид Ву-\-С=0 и опреде-
ляет прямую, параллельную оси Ох. Этот факт устанавливается
аналогично предыдущему случаю. Если положить — С/В= Ь, то
уравнение принимает вид у=Ь, где b — величина отрезка, кото-
рый отсекает прямая на оси Оу (рис. 28). В частности, если 6 = 0,
то прямая совпадает с осью Ох. Таким образом, уравнение z/=0
определяет ось абсцисс.
Пусть теперь дано уравнение Ах + By + С = 0 при условии,
что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Преобразуем
его к виду
-А _ 1 ._А_ = 1
- С/А ' - С/В
Вводя обозначения а= — С/А, b = — С/В, получаем
4+4=L W
Уравнение (8) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа
а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на
осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геомет-
рического построения прямой.
Пример. Прямая задана уравнением Зх —5//+15=0. Со-
ставить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить пря-
мую.
48
решение. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет
вИД
—+ 1
- 5 3 *•
I ооразом, нормаль станет осью,
в качестве направления нормали
Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ох
и Оу отрезки, величины которых соответственно равны а=— 5,
6 = 3, и проведем прямую через точки МД —5; 0) и М2(0; 3)
(рис. 29). v
8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до
прямой. Пусть дана некоторая прямая L. Проведем через начало
координат прямую и, перпендикулярную данной, и назовем ее
нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль
пересекает прямую L (рис. 30, а). На нормали введем направле-
ние от точки О к точке AL Таки]
Если точки У и О совпадает, то
возьмем любое из двух возмож-
ных.
Обозначим через а угол, на
который нужно повернуть про-
тив часовой стрелки ось Ох до
совмещения ее положительного
направления с направлением
нормали, через р— длину от-
резка ON.
Тем самым, 0^а<с2л, р^О. Выведем уравнение данной пря-
мой, считая известными числа аир. Для этого возьмем на пря-
мой произвольную точку М с полярными координатами (р; ф),
где О — полюс, Ох — полярная ось. Если точки О и N не совпа-
дают, то из прямоугольного треугольника 0NM имеем
р = р cos (а — ф) = р (cos а cos ф + sin а sin ф).
Это равенство можно переписать в виде
р cos ф cos а + р sin ф sin а — р = 0. (9)
т
ряютЭК КЗК точки» не лежащие на данной прямой L, не удовлетво-
УРавнению (9), то (9) —уравнение прямой L в полярных
4 -3,57
координатах. По формулам, связывающим прямоугольные коор-
динаты с полярными, имеем: рсоэф = х, psin(p=t/. Следова-
тельно, уравнение (9) в прямоугольной системе координат прини-
мает вид
координат (рис. 30, б) и p
бой точки М прямой L
Умножая его на р,
Рис. 31
х cos а + у sin а — р = 0. (10)
Если точки О и W совпадают, то прямая L проходит через начало
= 0. В этом случае, очевидно, для лю-
ыполняется равенство cos (ф — а) = 0.
получаем р cos (ф — а) = 0, откуда
р cos ф cos а4- р sin ф sin а= 0
или
х cos а + у sin а = 0.
Таким образом, и в этом случае
уравнение прямой можно предста-
вить в виде (10).
Уравнение (10) называется нор-
мальным уравнением прямой L.
С помощью нормального урав-
нения прямой можно определить-
расстояние от данной точки плос-
кости до прямой.
Пусть L — прямая, заданная
нормальным уравнением: xcosa+
М0(х0; Уо) — точка, не лежащая на
этой прямой. Требуется определить расстояние d от точки Мо
до прямой L.
Через точку Л1о проведем прямую Lo параллельно прямой L.
Пусть Мо — точка пересечения Lo с нормалью, р0 — длина отрезка
ONq (рис. 31).
Если точки N н No лежат по одну сторону от точки О, то нор-
мальное уравнение прямой Lo имеет вид xcosa+t/sina — р0=
= 0. Так как точка Л40(х0; t/0)eL0, то х0 cos a+t/0 sin a—p0=
= 0, откуда po=xQ cos a-\-yQ sin a. В этом случае
d = |p0 — p| = |*o cos a + y0 sin a — p|.
Если же точки W и Мо лежат по разные стороны от точки О,
то нормальное уравнение прямой Lo имеет вид х cos щ+у sin а,—
— ро=О, где ах отличается от а на л. Следовательно, р0=
= x0cos aj + yQ sin a, = — x0cos a— </0 sin a. В этом случае
4/=|p0 + p| = |-x0cos a—yosin a+p| = |x0 cos a+t/0 sin a—p|.
Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев получаем
формулу
d = |х0 cos a + yQ sin a — p|. (11)
Отметим, что формула (11) пригодна и в том случае, когда точка
(х0; р0) лежит на прямой L, т. е. ее координаты удовлетворяют
50
авнению прямой L: х0 cos а + //0 sin а— р= 0. В этом слу-
по формуле (11) получаем d = 0. Из формулы (11) следует,
что Для вычисления расстояния d от точки Л40 до прямой L нужно
левую часть нормального уравнения прямой L поставить вместо
(V у) координаты точки Мо и полученное число взять по модулю.
Теперь покажем, как привести общее уравнение прямой к нор-
мальному виду. Пусть
Ах + By + С = 0
_ общее уравнение некоторой прямой, а
х cos a+t/sina — р=0
— ее нормальное уравнение.
Так как уравнения (12) и (13) определяют одну и ту же пря-
мую, то их коэффициенты пропорциональны. Умножая все члены
уравнения (12) на произвольный множитель р#=0, получаем урав-
нение
(12)
(13)
рЛх -|- рВу + |1С = 0.
При соответствущем выборе р, полученное уравнение обращается
в уравнение (13), т. е. выполняются равенства
рЛ = cos а, рВ = sin а, рС = — р. (14)
Чтобы найти множитель р, возведем первые два из этих равенств
в квадрат и
сложим, тогда получаем
р2 (Л2 + В2) = cos2 а + sin2 а = 1.
Отсюда
(15)
называется нормирующим множителем. Знак норми-
Число |i
рующего множителя определяется с помощью третьего из равенств
(14). Согласно этому равенству р,С число отрицательное, если
Следовательно, в формуле (15) берется знак, противопо-
ложный знаку С. Если С=0, то знак нормирующего множителя
можно выбрать произвольно.
Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному
виду надо найти значение нормирующего множителя ц, а затем
все члены уравнения умножить на ц.
Пример. Даны прямая Зх —4(/+10=0 и точка М (4; 3).
паити расстояние d от точки М до данной прямой.
Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду.
Для этого найдем по формуле (15) нормирующий множитель:
р= - 1/v32 + 42 = - 1/5.
Умножая данное уравнение на р, получаем нормальное уравнение
3 4
-~х + -у-2 = о-
4*
51
По формуле (11) находим искомое расстояние:
d = |(- 3/5) • 4 + (4/5) • 3 - 2| = |- 2| = 2.
§ 7. Линии второго порядка
Рассмотрим три вида линий: эллипс, гиперболу и параболу,
уравнения которых в прямоугольной системе координат являются
уравнениями второй степени. Такие линии называются линиями
второго порядка.
1. Эллипс. Определение. Эллипсом называется множество всех
точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть вели-
чина постоянная, большая, чем рассто-
яние между фокусами.
Обозначим фокусы эллипса через F,
и F2, расстояние IF1F2I между фоку-
сами через 2с, сумму расстояний от
произвольной точки эллипса до фокусов
через 2а. По определению, 2а>2с или
а>с.
Для вывода уравнения эллипса вве-
дем на плоскости прямоугольную сис-
тему координат так, чтобы фокусы эллипса лежали на оси абсцисс,
а начало координат делило отрезок F{F2 пополам. Тогда фокусы
имеют координаты: с\ 0), F2(c\ 0) (рис. 32). Выведем урав-
нение эллипса в выбранной системе координат.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Обозначим
через fj и г2 расстояния от точки М до фокусов (r1=|/71Af|,
г2= |Т?2Л1|). Числа fj и г2 называются фокальными радиусами
точки М. Из определения эллипса следует, что точка М (х; у) бу-
дет лежать на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
rt + r2=2a. (1)
По формуле (1) из § 2 находим
Г) = V(x + с)2 + у2, Г2 = V(x — с)2 + у2. (2)
Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем
V(x + с)2 + у2 + V(x — с)2 + у2 = 2а. (3)
Уравнение (3) и есть искомое уравнение эллипса. Однако для
практического использования оно неудобно, поэтому уравнение
эллипса обычно приводят к более простому виду. Перенесем вто-
рой радикал в правую часть уравнения, а затем возведем обе ча-
сти в квадрат:
(х + с)2 + у2 = 4а2 — 4aV(x — с)2 + у2 + (х — с)2 + у2, или
aV(x — с)2 + у2 = а2 — сх. (4)
52
~ возведем обе части уравнения в квадрат
{ .но^^ м
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + a2t/2 = а4 — 2а2сх + с2х2.
(а2 — с2) х2 + а2у2 = а2 (а2 — с2). (5)
Введем в рассмотрение новую величину
b = Vo2"— с2, (6)
геометрический смысл которой раскрыт далее. Так как по усло-
вию а>с, то а2—с2>0 и, следовательно, b—число положи-
тельное. Из равенства (6) имеем
Ь2 = а2 — с2.
Поэтому уравнение (5) можно переписать в виде
Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2.
Разделив обе части на а2Ь2, окончательно получаем
Так как уравнение (7) получено из уравнения (3), то коорди-
наты любой точки эллипса, удовлетворяющие уравнению (3), бу-
дут удовлетворять и уравнению (7). Однако при упрощении урав-
нения (3) обе его части дважды были возведены в квадрат и могли
появиться «лишние» корни, вследствие чего уравнение (7) могло
оказаться неравносильным уравнению (3). Убедимся в том, что
если координаты точки удовлетворяют уравнению (7), то они удо-
влетворяют и уравнению (3), т. е. уравнения (3) и (7) равносильны.
Для этого, очевидно, достаточно показать, что величины гх и г2
для любой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению
(7), удовлетворяют соотношению (1). Действительно, пусть коор-
динаты х и у некоторой точки удовлетворяют уравнению (7). Тогда,
подставляя в выражение (2) значение у2= 62(1 — х2/а2\ получен-
ное из (7), после несложных преобразований найдем, что г} =
-~^(а-\~сх/а)2. Так как |х|^а [это следует из (7)] и с/а<\,
тоа-|-сх/а>0, и поэтому гх = а-\гсх/а.
Аналогично найдем, что г2=а— сх/а. Складывая почленно
эти равенства, получаем соотношение (1), что и требовалось уста-
новить. Таким образом, любая точка, координаты которой удовлет-
воряют уравнению (7), принадлежит эллипсу, и наоборот, т. е.
Уравнение (7) есть уравнение эллипса. Уравнение (7) называется
бионическим (или простейшим) уравнением эллипса. Таким обра-
Зом’ эллипс — линия второго порядка.
Исследуем теперь форму эллипса по его каноническому урав-
с нию (7). Заметим, что уравнение (7) содержит только члены
^четными степенями координат хну, поэтому эллипс симметричен
нат0<ТТеЛЬН° 0Сей и а также относительно начала коорди-
• 1аким образом, можно знать форму всего эллипса, если уста-
53
новить вид той его части, которая лежит в I координатном угле.
Для этой части t/^О, поэтому, разрешая уравнение (7) относи-
тельно у, получаем
у = —У а2 — х2.
и а
(8)
Из равенства (8) вытекают следующие утверждения.
1) Если х=0, то у=Ь. Следовательно, точка (0; Ь) лежит
на эллипсе. Обозначим ее через В.
2) При возрастании х от 0 до а у уменьшается.
3) Если х=а, то у = 0. Следовательно, точка (а; 0) лежит
на эллипсе. Обозначим ее через А.
4) При х>а получаем мнимые значения у. Следовательно,
точек эллипса, у которых х>а, не существует.
Итак, частью эллипса, расположенной в I координатном угле,
является дуга ВЛ* (рис. 33).
Произведя симметрию относительно координатных осей, по-
лучим весь эллипс.
Замечание. Если а=Ь, то уравнение (7) принимает вид
х2А-у2=а2- Это уравнение окружности радиуса а. Таким обра-
зом, окружность — частный случай эл-
липса. Заметим, что эллипс можно по-
лучить из окружности радиуса а, если
сжать ее в а/b раз вдоль оси Оу. При
таком сжатии точка (х; у) перейдет в
точку (х; t/|), где у^у (b/d). Подставляя
у = у}(а/Ь) в уравнение окружности,
получаем уравнение эллипса
Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симмет-
рии (точка пересечения осей) — центром эллипса. Точки, в кото-
рых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Вершины
ограничивают на осях отрезки, равные 2а и 2Ь. Из равенства (6)
следует, что а^Ь. Величины а и b называются соответственно
большой и малой полуосями эллипса. В соответствии с этим оси
эллипса называются большой и малой осями.
Введем еще одну величину, характеризующую форму эллипса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отноше-
ние где с — половина расстояния между фокусами, а — большая
полуось эллипса.
Эксцентриситет обычно обозначают буквой е: е = -^-. Так как
с<а, то 0^е<С1, т. е. эксцентриситет эллипса меньше еди-
* В гл. 6 будет введено понятие направления выпуклости графика функ
ции у = f (х) и показано, что дуга В А направлена выпуклостью вверх.
54
. Помнимая во внимание, что с2= а2— Ь2, найдем
НицЫ-1И 2 С2 a*-ft* , /6Х2
6 = ^= —— = - {-)>
откуда
±=1/1 - е2.
а
Из последнего равенства легко получается геометрическое истолко-
ание эксцентриситета эллипса. При очень малом е числа а и Ь
почти равны, т. е. эллипс близок к окружности. Если же е близко
единице, то число Ь весьма мало по сравнению с числом а и эллипс
сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриси-
тет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.
Как известно, планеты и некоторые кометы движутся по эллип-
тическим траекториям. Оказывается, что эксцентриситеты планет-
ных орбит весьма малы, а кометных — велики, т. е. близки к еди-
нице. Таким образом, планеты движутся
почти по окружностям, а кометы то
приближаются к Солнцу (Солнце нахо-
дится в одном из фокусов), то значи-
тельно удаляются от него.
2. Гипербола. Определение. Гипер-
болой называется множество всех точек
плоскости, для которых модуль раз-
ности расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть ве-
Рис. 34
и F 2, расстояние
личина постоянная, меньшая, чем рас-
стояние между фокусами.
Обозначим фокусы гиперболы через F{
между фокусами через 2с, а модуль разности расстояний от произ-
вольной точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению,
2а<2с или а<с.
Для вывода уравнения гиперболы введем на плоскости прямо-
угольную систему координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали
на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок FlF2 пополам.
Тогда фокусы гиперболы имеют координаты ГД — с\ 0), F2{c\ 0)
(рис. 34). Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе ко-
РРдинат. Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Числа
К |М| И |F2Af| называются фокальными радиусами точки М и
обозначаются через гх и г2. Из определения гиперболы следует,
что точка М (х; у) будет лежать на данной гиперболе в том и только
втом случае, когда |rj — г2| = 2а. Отсюда
г,-г2=±2а. (9)
Но формуле (1) из § 2 находим
г! = У(х + с)2 + у2, г2 = л/(х —с)2 + у2. (10)
Подставляя эти выражения в равенство (9), получаем
Л* + с)2 + у2 — Ч(х — с)2 + у2 = ± 2а. (11)
55
Уравнение (11) и является искомым уравнением гиперболы. Упр0.
стим это уравнение аналогично тому, как было упрощено уравне-
ние (3) для эллипса. Перенесем второй радикал в правую часть
уравнения, после чего возведем обе части в квадрат. Получаем
(х + с)2 + у2 = 4а2 ± 4aV(x — с)2 + у2 + (х — с)2 + у2 или
сх — а2 = ± aV(x — с)2 + у2. (12)
Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
с2х2 — 2а2сх + а4 = а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2.
Отсюда
(с2 — а2) х2 — а2у2 = а2 {с2 — а2). (13)
Введем в рассмотрение новую величину
b = с2 — а2, (14)
геометрический смысл которой раскрыт далее. Так как с>а,
то с2 — а2>0 и b — число положительное. Из равенства (14)
имеем
Ь2 = с2-а2.
Уравнение (13) принимает вид
Ь2х2 — а2у2 = а2Ь2
или
Как и для эллипса, можно доказать равносильность уравне-
ний (15) и (11). Уравнение (15) называется каноническим уравне-
нием гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.
Так как уравнение (15) содержит члены только с четными степе-
нями координат х и у, то гипербола симметрична относительно
осей Ох и Оу, а также относительно начала координат. Поэтому
достаточно рассмотреть только часть гиперболы, лежащую в I ко-
ординатном угле. Для этой части £/^0, поэтому, разрешая урав-
нение (15) относительно у, получаем
у = Vx2 — а2. (16)
Из равенства (16) вытекают следующие утверждения.
1) Если 0^х<а, то у получает мнимые значения, т. е. то-
чек гиперболы с абсциссами нет.
2) Если х=а, то t/= 0, т. е. точка (а; 0) принадлежит гипер-
боле. Обозначим ее через А.
3) Если х>а, то у>0, причем у возрастает при возрастании *
и t/-^-|-oo при х—>--|-оо. Переменная точка М (х; у) на гипер-
боле движется с ростом х «вправо» и «вверх», ее начальное поло-
56
е__точка Л (а; 0) (рис. 35). Уточним, как именно точка М
Туходит В бесконечность».
У Для этого кроме уравнения (16) рассмотрим уравнение
ь
У = тт*,
д
(17)
торое определяет прямую с угловым коэффициентом k—b/ay
походящую через начало координат. Часть этой прямой, распо-
ложенная в I координатном угле, изображена на рис. 35. Для ее
построения можно использовать прямоугольный треугольник О АВ
с катетами ОА = а и АВ=Ь.
Покажем, что точка М, уходя по гиперболе в бесконечность,
неограниченно приближается к прямой (17), которая является
асимптотой гиперболы.*
Возьмем произвольное значение x(xj>a) и рассмотрим две
точки М (х; у) и W (х; У), где
у = х2 — а2 и Y = — х.
я а а
Точка М лежит на гиперболе, точка W — на прямой (17). Поскольку
обе точки имеют одну и ту же абсциссу х, прямая MN перпенди-
кулярна оси Ох (рис. 36). Найдем длину отрезка MN.
Прежде всего заметим, что при х^а
Y = —х = — Vx2 > — Vx2 — а2 = у.
a a a v
Это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы
лежит под соответствующей точкой асимптоты. Таким образом,
|Л4М | = у — у = — х---------—Vx2 — а2 = — (х — Vx2 — а2) =
а а а
__ 6 (х — — а2) (х + -\[х2 — ~с?) ab
а х + д/х2 — а2 х + д/х2 — а2
и гл. 6 будет дано определение асимптоты графика функций y = f(x)
ра Показано, что прямая у = — х является асимптотой гиперболы. Там же
отРен вопрос о направлении выпуклости гиперболы.
57
Из полученного выражения следует, что |Л4ЛП стремится
к нулю при х-► + так как знаменатель стремится к -Роо
а числитель есть постоянная величина ab.
Обозначим через Р основание перпендикуляра, опущенного из
точки Л1 на прямую (17). Тогда |Л1Р1 — расстояние от точки
до этой прямой. Очевидно, |Л1Р| < |Л4Лч, а так как
—>-0, то и подавно |Л1Р|->0 при х-т. е. точка М не-
ограниченно приближается к прямой (17), что и требовалось по-
казать.
Вид всей гиперболы теперь можно легко установить, исполь-
зуя симметрию относительно координатных осей (рис. 37). Гипер-
бола состоит из двух ветвей (правой и левой) и имеет две асимп-
b ь
тоты: у = —х и у=——х, первая из которых уже рассмотрена,
а вторая представляет собой ее симметричное отражение относи-
тельно оси Ох (или оси Оу).
Рис. 37
Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симмет-
рии (точка пересечения осей) — центром гиперболы. Одна из осей
пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются
ее вершинами (они на рис. 37 обозначены буквами Л' и Л). Эта
ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не
имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гипер-
болы. Прямоугольник ВВ'С'С со сторонами 2а и 2Ь (рис. 37) назы-
вается основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b
называются соответственно действительной и мнимой полуосями
гиперболы.
Уравнение
= 1
b2 а2
также определяет гиперболу. Она изображена на рис. 37 пун**'
тирными линиями; вершины ее лежат на оси Оу. Эта гипербола
называется сопряженной по отношению к гиперболе (15). Обе эти
гиперболы имеют одни и те же асимптоты.
58
Гипербола с равными полуосями (а=Ь) называется равносто-
ей и ее каноническое уравнение имеет вид
г 2 9 2
х — у~ = а .
Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы
является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы пер-
пендикулярны друг другу.
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отно-
где с — половина расстояния между фокусами, а — дей-
ствительная полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой е.
Так как с>а, то е>1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше
единицы. Заметив, что с2 = с? -\-Ь\ найдем
2 с2 а2 + Ь2
е = —
2
О2
откуда
а
легко получается геометрическое истол-
гиперболы. Чем меньше эксцентриситет,
Из последнго равенства
кование эксцентриситета
т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это озна-
чает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении
действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы
характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и
форму самой гиперболы.
В случае равносторонней гиперболы (a=b) e = V2.
3. Директрисы эллипса и гиперболы. Определение 1. Две пря-
мые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные сим-
метрично относительно центра на расстоянии а/е от него, на-
зываются директрисами эллипса (здесь а — большая полуось, е —
зксцентриситет эллипса).
Уравнения директрис эллипса, заданного каноническим урав-
нением
(7), имеют вид
а а
X =------И X = --.
е е
как для эллипса е<1, то а/г>а. Отсюда следует, что
директриса расположена правее правой вершины эллипса,
Так
правая
а левая — левее его левой вершины (рис. 38).
Определение 2. Две прямые, перпендикулярные действительной
Си гиперболы и расположенные симметрично относительно це»~
на расстоянии а/ъ от него, называются директрисами кгип'-р-
Пгрб (Здесь а — действительная полуось, е — эксцентриситет ги-
Уравнения директрис гиперболы, заданной каноническим упав-
Нением (15), имеют вид
а
е
а
е
59
Так как для гиперболы е> 1, то а/е<а. Отсюда следует
что правая директриса расположена между центром и правой
вершиной гиперболы, а левая — между центром и левой вершиной
(рис. 39).
С помощью понятий директрисы и эксцентриситета можно сфор-
мулировать общее свойство, присущее эллипсу и гиперболе. Имеют
место следующие две теоремы.
Теорема 3.5. Если г — расстояние от произвольной точ-
ки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отноше-
ние -j- есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.
Доказательство. Предположим для определенности,
что речь идет о правом фокусе F2 и правой директрисе. Пусть
Л4 (х; у) — произвольная точка эллипса (см. рис. 38). Расстояние
от точки М до правой директрисы выражается равенством
d = -^-x, (18)
которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств (2) и (4)
имеем
Г = Г2 = V(x —с)2+«/2 = а — -^-х.
Полагая с/а=е. получаем формулу расстояния от точки Л4 Д°
правого фокуса:
г = а — гх. (19)
Из соотношений (18) и (19)' имеем
г __ а — ех _ (а — ех)е _ _
d а а — ех е -
---х
Е
Теорема 3.6. Если г — расстояние от произвольной точки
М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той ##
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отноШ?'
60
не r/d eCTb величина постоянная, равная эксцентриситету гипер-
^Лдо казательство. Предположим для определенности, что
идет о правом фокусе F2 и правой директрисе. Пусть М(х; у) —
оизвольная точка гиперболы (рис. 39). Рассмотрим два случая.
ПР р Точка М находится на правой ветви гиперболы. Тогда рас-
стояние от точки М до правой директрисы выражается равенством
(20)
которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств (10) и (12)
имеем
г = г2 = V(x —с)2+у2 = — а.
Полагая с/а=ь, получаем формулу расстояния от точки М до
правого фокуса:
г = ех — а. (21)
Из соотношений (20) и (21) имеем
г ex — а (ех — а) е_____________________
d а ех — а е*
х----
Е
2) Точка М находится на левой ветви гиперболы. Тогда рас-
стояние от точки М до правой директрисы выражается равенством
(рис. 39)
d=-x+v- (22)
Аналогично (21), можно получить формулу расстояния от точки М
До правого фокуса:
Г = — (4х — а) = — (ех — а).
Из соотношений (22) и (23) имеем
(23)
d ~
— (ех — а) _ (— ех + а) е _ _
_г ,2. ~ (-«*+«) — е-
Е
в Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить
основу общего определения этих линий: множество точек, для
торых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей
Ректрисы является величиной постоянной, равной е, есть эллипс,
Р ь \ 1, и гипербола, если е> 1.
существенно, возникает вопрос, что представляет собой множе-
qk ТОЧек» определенное аналогичным образом при условии 8=1.
бо4(^1вается’ это новая линия второго порядка, называемая пара-
61
4. Парабола. Определение. Параболой называется множество
всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинако-
вом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от дан-
ной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямо-
угольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила
через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее по-
ложительным направлением направление от директрисы к фокусу;
начало координат расположим посередине между фокусом и ди-
ректрисой. Выведем уравнение параболы в выбранной системе ко-
ординат.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Обозначим
через г расстояние от точки М до фокуса F (г = |м|), через d
расстояние от точки М до директрисы, а через р — расстояние
от фокуса до директрисы (рис. 40). Величину р называют парамет
ром параболы, его геометрический смысл раскрыт далее. Точка М
будет лежать на данной параболе в. том и только в том случае,
когда
г = d. (24)
Фокус F имеет координаты (р/2; 0); поэтому по формуле (1) из
§ 2 находим
Г = iFAf| = V(x - р/2)2 + у2. (25)
Расстояние d, очевидно, выражается равенством (рис. 40)
d = iMQl = х + (26)
Отметим, что эта формула верна только для х^О: Если же
х<0, то для точки Л4 (х; у), очевидно, r>dt и, следовательно,
такая точка не лежит на параболе. Заменяя в равенстве (24) г и d
их выражениями (25) и (26), найдем
л/ Сх “ ^)2 + у2 = х + 4- (27)
Это и есть искомое уравнение параболы. Приведем его к более
удобному виду, для чего возведем обе части равенства (27) в квад-
рат. Получаем
х2 — рх + р2/4 + у2 = х2 + рх + р2/4, или
у2 = 2рх. (28)
Проверим, что уравнение (28), полученное после возведения
в квадрат обеих частей уравнения (27), не приобрело «лишних»
корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки
М (х; у), координаты которой удовлетворяют уравнению (28),
выполнено соотношение (24). Действительно, из уравнения (28)
вытекает, что х^О, поэтому для точки М (х; у) с неотрицатель-
ной абсциссой d=p/2 + x. Подставляя значение у2 из (28) в вы-
ражение (25) для г и учитывая, что х^О, получаем г = р/2 + *»
62
в. величины г и d равны, что и требовалось показать. Таким обра-
уравнению (28) удовлетворяют координаты точек данной па-
болы и только они, т. е. уравнение (28) является уравнением
иной параболы.
Уравнение (28) называется каноническим уравнением параболы,
о уравнение второй степени. Таким образом, парабола есть ли-
fl второго порядка.
Исследуем теперь форму параболы по ее уравнению (28). Так
к уравнение (28) содержит у только в четной степени, то пара-
да симметрична относительно оси Ох. Следовательно, достаточно
осмотреть только ее часть, лежащую в верхней полуплоскости.
1Я этой части 1/^0, поэтому разрешая уравнение (28) относи-
1ьно у, получаем
у = -^2рх.
(29)
Из равенства (29) вытекают следующие утверждения.
1) Если х<0, то уравнение (29) дает мнимые значения у.
[едовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы нет, что
се отмечалось ранее.
Рис. 41
2) Если х=0, то у = 0. Таким образом, начало координат
жит на параболе и является самой «левой» ее точкой.
3) При возрастании х возрастает и у, причем если +
и у-++оо.
Таким образом, переменная точка М (х; у), перемещающаяся
параболе с ростом х, исходит из начала координат и движется
право» и «вверх», причем при х-+ + оо удаление точки М как
оси Оу, так и от оси Ох является бесконечным.
Производя симметричное отражение рассмотренной части па-
болы относительно оси Ох, получим всю параболу (рис. 41),
Данную уравнением (28).
Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось
:) — осью параболы. Число р, т. е. параметр параболы, выр^-
расстояние от фокуса до директрисы. Выясним, как влияет
раметр параболы на ее форму. Для этого возьмем какое-нибудь
Ределенное значение абсциссы, например х= 1, и найдем из урав-
63
нения (28) соответствующие значения ординаты: у=±л[2р. Полу-
чаем на параболе две точки Af j (1; + V2p) и M2(l; — V2p,) сим-
метричные относительно ее оси; расстояние между ними равно
2л/2р. Отсюда заключаем, что это расстояние тем больше, чем
больше р. Следовательно, параметр р характеризует «ширину»
области, ограниченной параболой. В этом и состоит геометриче-
ский смысл параметра р.
Парабола, уравнение которой у2=—2рх, р>0, расположена
слева от оси ординат (рис. 42,а). Вершина этой параболы совпа-
дает с началом координат, осью симметрии является ось Ох.
Рис. 42
Уравнение х2=2ру, р>0, является уравнением параболы,
вершина которой совпадает с началом координат, а осью симмет-
рия является ось Оу (рис. 42,6). Эта парабола лежит выше оси аб-
сцисс. Уравнение х2= — 2ру, р>0, определяет параболу, лежа-
щую ниже оси Ох, с вершиной в начале координат (рис. 42,в).
§ 8. Общее уравнение линии второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследова-
ние общего уравнения линии второго порядка и приведение его
к простейшим (каноническим) формам.
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий
вид:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)
где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2Е и F* — любые числа и, кроме
того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т. е. Л2 + В2 +
+ С2^0.
1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к про-
стейшему виду. Лемма'3.1. Пусть в прямоугольной системе
координат Оху задано уравнение (1) и пусть АС — В2=^0. Тогда
с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей
* Для удобства преобразований уравнения (1) коэффициенты при ху,
хну обозначены соответственно через 2В, 2D и 2Е.
64
координат уравнение (1) приводится к виду
А'х"2 + С'у"2 + F' = 0, (2)
где Л', С', F'— некоторые числа; (х"\ у") — координаты точки
в новой системе координат.
Доказательство. Пусть прямоугольная система коор-
динат О'х'у' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оу, при-
чем начало координат перенесено в точку О' (х0; у0). Тогда старые
координаты (х; у) будут связаны с новыми (*'; у') формулами
X = х' + х0, у = у' + у0
(см. формулы (1), § 4). В новых координатах уравнение (1) при-
нимает вид
Ах'2 + 2Вх'у' + Су'2 + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0, (3)
где
Z)z = Axq + ByQ + D\ Е' = Вх^ -|- CyQ -|- E;
F' = Ax* + 2ВХ0У0 + Су* + 2£>x0 + 2Ey0 + F.
В уравнении (3) коэффициенты D' и E' обращаются в нуль, если
подобрать координаты точки (х0; у0) так, чтобы выполнялись ра-
венства
| Ах0 + Вуо + D = О,
t BxQ + Cyo + E=0.
Так как АС — В2=^0, то система (4) имеет единственное решение
относительно х0, у0.
Если пара чисел х0, yQ представляет собой решение системы (4),
то уравнение (3) можно записать в виде
Ах'2 + 2Вх'у' + Су'2 + F' = 0. (5)
Пусть теперь прямоугольная система координат О'х"у" полу-
чена поворотом системы О'х'у' на угол а. Тогда координаты х', у'
будут связаны с координатами х", у" формулами
х' = х" cos а — у" sin а, у' = х" sin а + у'' cos а
(см. формулы (3), § 4). В системе координат О'х''у" урав-
нение (5) принимает вид
А'х"2 + 2В'х"у" + С'у"2 + F' = 0, (6)
где
А' = A cos2 а + 2В cos а sin а + С sin2 а;
В' = — A sin а cos а + В (cos2 а — sin2 а) -|- С sin а cos а;
С' = A sin2 а — 2В cos а sin а + С cos2 а.
Выберем угол а так, чтобы коэффициент В' в уравнении (6) обра-
тился в нуль. Это требование приводит к уравнению 2В cos 2а=
= (Л —С) sin 2а относительно а. Если Л = С, то cos2a=0,
и можно положить а=л/4. Если же Лу=С, то выбираем а=
5 - 3157 65
= ~2" arctg А_с> и уравнение (6) принимает вид
А'х"2 + С'у"2 + F' = О,
т. е. получили уравнение (2).
Замечание. Уравнения (4) называются уравнениями цен-
тра линии второго порядка, а точка у0), где х0, yQ—решение
системы (4), называется центром этой линии. Заметим, что необхо-
димым и достаточным условием существования единственного ре-
шения системы (4) является отличие от нуля числа АС —В2, назы-
ваемого определителем системы (см. гл. 10 § 2).
2. Инвариантность выражения АС —В2. Классификация ли-
ний второго порядка. Коэффициенты Л, В и С при старших членах
уравнения (1) при параллельном переносе осей координат, как
следует из доказательства леммы 3.1, не меняются, но они меня-
ются при повороте осей координат. Однако выражение АС —В2
остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей,
т. е. не зависит от преобразования координат. Действительно, при
параллельном переносе этот факт очевиден [см. формулы (Г) и
(5)]; проверим его при повороте осей. Для этого воспользуемся
выражениями для коэффициентов Л', В' и С' уравнения (6). Имеем
А'С' — В'2 = (Л cos2 а + 2В sin а cos а + С sin2 а) X
X (Л sin2 а — 2В sin а cos а + С cos2 а) —
— [(С — Л) sin а cos а + В (cos2 а — sin2 а)]2
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
Л'С' —В'2= Л С (cos2 а+sin2 а)2— В2 (cos2 a-|-sin2 а)2= АС — В2,
что и требовалось показать.
Величина АС — В2 называется инвариантом общего уравне-
ния линии второго порядка. Она имеет важное значение в иссле-
довании линий второго порядка.
В зависимости от знака величины АС —В2 линии второго по-
рядка разделяются на следующие три типа:
1) эллиптический, если Л С — В2>0;
2) гиперболический, если ЛС —В2<0;
3) параболический, если Л С — В2= 0.
Рассмотрим линии различных типов.
1) Эллиптический тип. Поскольку АС — В2>0, со-
гласно лемме 3.1, общее уравнение линии второго порядка может
быть приведено к виду (для удобства записи опускаем штрихи
у коэффициентов и координат)
Лх2+ Су2+ F = 0.
Возможны следующие случаи:
а) Л>0, С>0 (случай Л<0, С<0 сводится к случаю
Л>0, С>0 умножением уравнения на —1) и Г<0. Перене-
сем F в правую часть уравнения и разделим на него. Уравнение
66
унимает вид
a^ — F/A, b2— — F/C. Сравнивая полученное уравнение
Г уравнением эллипса [см. формулу (7), § 7], заключаем, что оно
является каноническим уравнением эллипса.
б) Л>0, ОО и А>0. Тогда, аналогично предыдущему,
уравнение можно привести к виду
Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки
плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.
в) Л>0, ОО, F = 0. Уравнение имеет вид (а2=Л, с2=С):
а2х2 + с2#2 = 0.
Ему удовлетворяют координаты только одной точки х = 0, £/ = 0.
Такое уравнение назовем уравнением пары мнимых пересекающих-
ся прямых.
2) Гиперболический тип. Поскольку АС — В2<0,
согласно лемме 3.1 общее уравнение линии второго порядка при-
водится к виду
Ах2 + Су2 + F = 0.
Возможны следующие случаи:
а) Л>0, С<0 (случай Л<0, С>0 сводится к случаю
Л>0, С<0 умножением уравнения на —1) и F=/=0. Пусть,
например, FcO. Перенесем F в правую часть уравнения и раз-
делим на него. Уравнение принимает вид
X2 •_1
а2 Ь2
где а2= —F/A, b2=F/C. Сравнивая с уравнением гиперболы
[см. формулу (15), § 7], заключаем, что полученное уравнение
является каноническим уравнением гиперболы.
б) Л>0, С<0 и F = 0. Уравнение принимает вид (а2=Л,
с =-С):
а2х2 — с2у2 = 0 или (ах — су) {ах + су) = 0.
Последнему уравнению удовлетворяют только координаты точек
плоскости, расположенных на прямых (ах — cy) = Q и (ах + су) =
п , пересекающихся в начале координат, и, таким образом, имеем
аРУ пересекающихся прямых.
3) Параболический тип. Если АС — В2=0, то пово-
ц.т°м осей координат на такой же угол а, как и в лемме 3.1, об-
ее Уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду
Л х2 + Су2 + 2Еу + 2Dx + F = 0. (7)
5*
67
Здесь ЛС=О и, следовательно, один из коэффициентов А или q
равен нулю..
Пусть Л = 0, С#=0. Представим уравнение (7) в виде
с [/ + ^ + (4)2] + 2Dx + F - - 0.
ИЛИ
с (у + 4)2 + 2Dx + F* = 0,
где F*=F — E2/C. Перенесем начало координат параллельно
оси Оу в точку (0, — Е/С\ т. е. перейдем к новым координатам по
формулам х' = х, у' = у + Е/С. Получаем уравнение
Су'2 + 2Dx' + F* = 0.
Возможны следующие случаи:
a) Z)=/=0. Запишем уравнение в виде
Су'2 + 2D (х' + -£) = 0.
Перенесем теперь начало координат параллельно оси Ох' в точку
(— F*/(2D); 0), т. е. перейдем к новым координатам по формулам
х" = х' + F*/(2P), у" — у'- Получаем уравнение
Су"2 + 2Dx" = 0, или у"2 = 2рх",
где p=—D/C. Сравнивая последнее уравнение с уравнением
параболы [см. формулу (28), § 7], заключаем, что оно является
каноническим уравнением параболы.
б) D = 0. Уравнение имеет вид
Су'2+ F* = 0.
Если С и F* имеют разные знаки, то, полагая \F*/C\ = a\
уравнение можно записать в виде (у' — а) (£/' + а) = 0. Это урав-
нение определяет пару параллельных прямых.
Если С и F* имеют одинаковые знаки, то уравнение принимает
вид у'2А-а2=&. Этому уравнению не удовлетворяют координаты
никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мни-
мых параллельных прямых.
Наконец, если F* = 0, то уравнение принимает вид z/'2==^
и определяет ось О'х'. Это уравнение можно рассматривать как
предельный случай при F*-»0, т. е. как уравнение пары совпав-
ших прямых.
Заканчивая исследование общего уравнения линии второго по-
рядка, сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 3.7. Пусть в прямоугольной системе координат за-
дано общее уравнение линии второго порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.
68
существует такая прямоугольная система координат, в ко-
ор0^ эт0 УРавнение принимает один из следующих девяти кано-
пских видов: 1) 1 (эллипс), 2) — 1 (мни-
эллипс); 3) а2х2+с2£/2=О (пара мнимых пересекающихся пря-
MblX); 4) 1 (гипербола); 5) а2х2—с2у2=0 (пара пересе-
кающихся прямых); 6) у2—2рх (парабола); 7) у2 — а2=0 (пара
параллельных прямых); 8) у2+а2= 0 (пара мнимых параллельных
прямых); 9) у2= О (пара совпавших прямых).
ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Начинаем изучение важнейшего понятия математического ана-
лиза — понятия функции. В этой главе будет введено понятие пре-
дела функции, а также понятие непрерывности функции.
§ 1. Понятие функции
1. Определение функции. Определение. Пусть X и Y — не-
которые числовые множества. Функцией называется множество f
упорядоченных пар чисел (х; у)* таких, что х^Х, y^Y, и каж-
дое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каж-
дое у входит, по крайней мере, в одну пару. При этом говорят, что
числу х поставлено в соответствие число у, и пишут y = f(x).
Число у называется значением функции f в точке х. Переменную у
называют зависимой переменной, а переменную х — независимой
переменной (или аргументом), множество X — областью опреде-
ления (или существования) функции, а множество Y — множест-
вом значений функции.
Кроме буквы f для обозначения функций используют и другие
буквы, например: у = у(х), y = g(x), t/ = <p(x), у = Д(х), у =
— F (х) и т. д. Другими буквами могут обозначаться зависимая
и независимая переменные. Иногда зависимую переменную также
называют функцией.
Наряду с термином «функция» употребляют равнозначный
Термин «отображение», а вместо записи y = f(x) пишут f: х\-+у
и говорят, что отображение f отображает число х в число у, или,
Чт° то же самое, число у является образом числа х при отображе-
нии f.
При вычислениях запись y = f(x) обычно удобнее записи
ВиДа f: xv-+y. Например, запись f(x) = x2 значительно удобнее
Зано,
Пару
Напомним, что пара чисел х и у называется упорядоченной, если ука-
какое из этих чисел считается первым, а какое — вторым. Упорядоченную
чисел записывают в виде (х; у), где х — первое число, у — второе число.
69
и проще использовать при аналитических преобразованиях,
запись f: хн>х2.
Функция, все значения которой равны между собой, называ
ется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой с
Про функцию f (х), определенную на некотором множестве х
говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом множестве
если существует число М (пг) такое, что для любого х^Х выпод’
няется неравенство f (х)< Л4 (f (х)пг). Функция, ограничен-
ная сверху и снизу на множестве X, называется ограниченной
на этом множестве. Условие ограниченности функции f (х) можно
записать в виде: существует число Л4>*0 такое, что для любого
х^Х выполняется неравенство |f(x)|^7M. Например, Функция
f(x) = sinx ограничена на всей числовой прямой, так как |sin х|^
при любом х, а функция f(x)=l/x не является ограниченной
сверху на интервале (0; 1), так как не существует числа М такого,
что для любого хе ;0; 1) выполняется неравенство 1 /х^Л4.
На плоскости функция изображается в виде графика — мно-
жества точек (х; у), координаты которых связаны соотношением
y—f(x), называемым уравнением графика.
График функции может представлять собой некоторую «сплош-
ную» линию (кривую или прямую), а может состоять из отдельных
точек, например график функции у = п\ (рис. 45).
Заметим, что не всякая линия является графиком какой-либо
функции. Например, окружность х2 + у2=\ не является графи-
ком функции, так как каждое хе; -1; 1) входит не в одну, а в две
пары чисел (х; у) этого множества с разными значениями У'.У\ =
= VT-x2 и у1 — х2, что противоречит требованию одно-
значности в определении функции (рис. 43). Однако часть
окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графи-
ком функции у = — 1 — х2, а другая ее часть, лежащая в верх-
ней полуплоскости, — графиком функции у = ^11 —х2.
2. Способы задания функций. Задать функцию f — значит ука-
зать, как по каждому значению аргумента х находить соответству-
ющее ему значение функции f (х). Существуют три основных спо-
соба задания функций: аналитический, табличный и графический.
1) Аналитический способ. Этот способ состоит в том,
что зависимость между переменными величинами определяется
с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выпол-
нить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному
значению аргумента.
Рассмотрим примеры.
1. Формула у = х2 задаем функцию, область определения ко-
торой— числовая прямая (— оо; -f-oo), а множество значений-"
полупрямая [0, + оо) (рис. 44,а).
2. Формула у = Ч\—х2 задает функцию, областью опреде*
ления которой является отрезок [ — 1, 1], а множеством значений
отрезок [0, 1] (рис. 44, б).
70
3 формула у = п\ ставит в соответствие каждому натураль-
числу (т. е. целому положительному числу) п число у =
Н°1 .2-3 • •••*п- Например, если п = 3, то # = 3!=6. Таким обра-
формула у = п\ задает функцию,область определения ко-
30 ’й II 2, 3, ..., и, а множество значений —{1!, 2!, 3!, ...
'5" '.I (рис. 45).
{4-1, если х>0,
О, если х = 0,
— 1, если х<0.
Данная функция задана с помощью нескольких формул. Она
определена на всей числовой прямой (— оо, 4-°°), а множество
ее значений состоит из трех чисел: — 1, 0 и 4-1 (рис. 46).
Рис. 44
5. Функция Дирихле**
_ ( 1, если х — рациональное число,
1 0, если х — иррациональное число.
Эта функция определена на всей числовой прямой (—оо, 4-°°),
а множество ее значений состоит из двух чисел: 0 и 1.
Заметим, что функцию Дирихле изобразить графически не
представляется возможным.
2) Табличный способ. Приведем следующую таблицу:
X 0 0,1 0,2 3 0,6 4 0,8 1,5 2
У - 1 10 1 - 2 - 8 0,5 - 2 5 7
Поставим в соответствие каждому х, записанному в первой
троке таблицы, число у, стоящее во второй строке под этим чис-
и будем говорить, что полученная функция задана табли-
cqH Областью определения данной функции является множество,
стоящее из девяти чисел х, перечисленных в первой строке таб-
**ТепРМИН s£n происходит от латинского слова signum — знак.
Дирихле Петер Густав Лежен (1805— 1859) — немецкий математик.
71
лицы, а множеством ее значений — множество, состоящее из де
вяти чисел у, перечисленных во второй ее строке.
С помощью таблицы можно задать функцию только при конец*
ном числе значений аргумента. Таблицы часто используют для за.
дания функций. Так, хорошо известны, например, таблицы три*
тонометрических функций, таблицы логарифмов и многие другие
Примером таблмчного способа задания функции может служить
. расписание движения поезда, которое определяет
,,н __ местоположение поезда в отдельные моменты вор
мени.
3) Графический способ. Графичес-
кий способ задания функции обычно используют
в практике физических измерений, когда соот-
[ ветствие между переменными х и у задается по-
। средством графика. Во многих случаях такие гра-
I фики чертятся с помощью самопишущих приборов.
Рис. 45
Рис. 46
Так, например, для измерения давления атмосферы на различных
высотах используют специальный самопишущий прибор — барог-
раф, который записывает на движущейся ленте в виде кривой
линии изменение давления в зависимости от высоты.
3. Классификация функций. Постоянная функция f(x)=C,
G= const, степенная функция ха(а— любое число), показатель-
ная функция ах(0<а=#1), логарифмическая функция logax (0<
<ay='l), тригонометрические функции: sin х, cos х, tg х, ctg х
и обратные тригонометрические функции: arcsin х, arccos х, arctgx,
arcctg х называются простейшими элементарными функциями.
Все функции, получаемые с помощью конечного числа ариф-
метических действий над простейшими элементарными функциями,
а также суперпозицией (или наложением) этих функций, состав-
ляют класс элементарных функций. Примерами элементарных
функций являются:
f (х)= |х| (|х| = Vx*); f (x)=ig3 arctg 2^x-|-sin 3x; f (x)= 1g |sin 3x| —
_earctgVx и т Д
Имеет место следующая классификация элементарных функции-
1) Функция вида
Р (х) = а^хт + арст~х + ... + ат_рс + атУ
72
целое число; а0, а,, ...» ат — любые числа — коэф-
ГДв центы (ао=#О), называется целой рациональной функцией или
Ф^браическим многочленом степени т. Многочлен первой степени
^ывается также линейной функцией.
на2) Функция, представляющая собой отношение двух целых
пяциональных функций
Р R( ' + +- + am_/ + am
Х V"+M"~' +--+V-ix + 6n ’
называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных
функций образует класс рациональных функций.
3) Функция, полученная с помощью конечного числа супер-
позиций и четырех арифметических действий над степенными функ-
циями как с целыми, так и с дробными показателями и не являю-
щаяся рациональной, называется иррациональной функцией.
Например,
^x)=Vx,f(x)=x+Vx, f(x)=V(5x2H-4x—7)/(3x2—8x-f-4)+(Vx+x)
и т. д. — иррациональные функции.
4) Всякая функция, не являющаяся рациональной или ирра-
циональной, называется трансцендентной функцией. Это, напри-
мер, функции f (х) = sin х, f (х) = sin х + х и т. д.
§ 2. Предел функции
1. Предел функции при х->-х0. Пусть функция f (х) опреде-
лена на некотором множестве X и пусть точка хоеХ или х0^Х.
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
xltx2,x3,...,x„,.... (1)
сходящуюся к х*0. Значения функции в точках этой последователь-
ности также образуют числовую последовательность
(2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение 1. Число А называется пределом функции f (х)
в точке х = х0 (или при х-+х0), если для любой сходящейся к х0
последовательности (1) значений аргумента х, отличных от х0,
соответствующая последовательность (2) значений функции схо-
ден к числу А.
Символически это записывается так: lim f (х) = А.
Функция f (х) может иметь в точке х0 только один предел. Это
следует из того, что последовательность [f (хл)} имеет только один
пРедел.
Риссмотрим примеры.
чи L фУНК1*ия /(х)=С= const имеет предел в каждой точке х0
°вои прямой. В самом деле, если (1) —любая последователь-
Вредполагается, что такая последовательность существует.
73
ность, сходящаяся к х0, то последовательность (2) имеет вид С,
С, ...» С, ..., т. е. f(xn)=C. Отсюда заключаем, что f(xn)-^C
прип->ооили lim f(x)=C.
Х->Х0
2. Функция f(x) = x имеет в любой точке xQ числовой прямой
предел, равный х0. В этом случае последовательности (1) и (2)
тождественны, т. е. /:(хл) = хл. Следовательно, если хл->х0, то
f (хл)->х0 при п->оо или lim f (х) = lim х = f (х0) = х0.
Х-*ХО х->х0
3. Функция /:(x) = sin (1/х) (рис. 47), определенная для всех
х#=0, в точке х=0 не имеет предела. Действительно, возьмем
две последовательности значений аргумента х: 1/л, 1/(2л),
1/(Зл), .... 1/(пл), ... и 2/л, 2/(5л), 2/(9л), .... 2/[(4л-3) лГ, ...
сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последователь-
ностями значений функции являются: f f f (“)* ”
...
при любом п f(—)=sin пл = 0, a f(-rA------—)=sin -——=1,
г ' \ пл) 1 \ (4л — 3) л / 2 ’
4
то для первой последовательности lim f (хл) = lim sin пл = О,
П-^оо П-><Х>
о .. г / \ 1 • • (4л — 3) л ,
а для второй последовательности lim f(xj= lim sin------z----= 1.
Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательно-
стей значений аргумента х
соответствующие последова-
тельности значений функции
имеют разные пределы. А это
по определению предела фун-
кции и означает, что limf(x)
х->0
не существует.
4. Функция f (х)= ^^7
имеет в точке х=0 предел,
Нис' 47 равный 1. Действительно,
возьмем любую последовательность значений аргумента х, сходя-
1
-1
щуюся к нулю, т. е. lim хл=0, и хлу=0, тогда в силу теорем
2.7—г2.9 имеем п °° 2
9 , . ( lim х \ + lim х — 1
lln,,w=lim<±^zi=u ;
Л^оо л->оо „ lim X - 1
п
П-^оо
Таким образом, существует Firn /:(хл)=1, и так как он не зави-
Л->°О
сит от выбора последовательности {хл), сходящейся к нулю, то
на основании определения предела функции заключаем, что
lim f (х)= 1.
5. Функция Дирихле, значения которой в рациональных точ-
ках равны единице, а в иррациональных — нулю, не имеет предела
74
ни в одной точке х0 числовой прямой. Действительно, для сходя-
щейся к точке х0 последовательности рациональных значений ар-
гумента предел соответствующей последовательности значений
функции равен единице, а для сходящейся к точке х0 последова-
тельности иррациональных значений аргумента предел соответ-
ствующей последовательности значении функции равен нулю.
Существует другое определение предела функции.
Определение 2. Число А называется пределом функции f (х)
в точке х= х0, если для любого числа 8 > 0 существует число 6 > О
такое, что для всех х е X, х х0, удовлетворяющих неравенству
|х — х0| < 6, выполняется неравенство \f (х) — Л| < а.
Используя логические символы, определение 2 можно записать
в виде
(Ve>0)(36>0)(Vx€=X, х=/=х0, |х —х0| <6): |f(x)-4|<e.
Отметим, что неравенства ху=х0, |х — х0| < 6 можно записать
в виде 0 < |х — х0| < 6.
Первое определение основано на понятии предела числовой
последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют
определением «на языке 8 — 6».
Теорема 4.1. Первое и второе определения предела функ-
ции эквивалентны.
Доказательство. 1) Пусть А — предел f (х) в точке х0
согласно первому определению. Покажем, что А — предел со-
гласно второму определению. Предположим обратное, т. е. А не
является пределом этой функции согласно второму определению.
Это значит, что не для любого 8 >* 0 можно указать такое 6 > О,
чтобы из неравенства 0<|х — х0| < 6 следовало бы неравенство
|f(x) —4|<е, т. е. существует такое g = g0>0, для кото-
рого, какое бы 6>0 ни взять, найдется хоть одна точка х^х0
такая, что |х—х0|<6, но If (х) — Л| g0. Будем выбирать
в качестве 6 последовательно числа:
1 —— -L
‘’2’3 п ’ -
Тогда:
для 6 = 1 в X существует такое х} Ф х0, что |хj — х0| < 1,
а|НХ1)-Л|>е0;
для 6 = 1/2 в X существует такое х2 х0, что |х2 — х0| < 1 /2,
a |f (х2) - Л| > е0;
для 6 = 1 /3 в X существует такое х3 Ф х0, что |х3 — х0| < 1 /3,
a |f (х3) — Л| > е0;
для 6 = \/п в X существует такое хп х0, что |хя — х0| < 1 /и,
a |f (х„) — А| > е0.
В результате получается последовательность точек, отлич-
ных от х0:
Х|, х2, х3,..., хп,...,
75
сходящаяся к точке х0, так как |х„ —х0|< 1/п-^0 при п->оо.
Поэтому, согласно первому определению предела функции, соот-
ветствующая последовательность {f (^я)} значений функции схо-
дится к числу А. Следовательно, для 80 найдется номер А такой,
что для всех n>N будет выполнено неравенство (х„) —Л|с
<80. Но этого быть не может, так как для всех хп выполняется
неравенство |f (х„) — Л| ^80. Полученное противоречие дока-
зывает, что число А — предел функции f (х) в точке х0 согласно
второму определению.
2) Пусть теперь А — предел f (х) в точке х0 согласно второму
определению. Это значит, что для любого б>*0 существует 6>0
такое, что из неравенства 0<|х —х0|<6 следует неравенство
|f(x) —Л|<8. Покажем, что Л — предел f (х) согласно пер-
вому определению. Возьмем любую последовательность точек
Xj, х2, х3, ..., х„, ...,
сходящуюся к точке х0(х„У=х0). Тогда для данного значения
6>0, соответствующего 8 по второму определению, найдется
такое W, что при n>N будут выполнены неравенства 0<|х„ —х0|<
<6. Но вместе с этим в силу второго определения будет
выполняться и неравенство (х„) — Л| <8. А так как 8 было
выбрано произвольно, то это и означает, что f(xn)-+A для лю-
бой последовательности {х„}, сходящейся к точке х0(хлУ=х0),
т. е. число Л является пределом f (х) в точке х0 согласно первому
определению.
Итак, установлена эквивалентность обоих определений предела
функции и можно использовать любое из них в зависимости от
того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке после-
довательностей» называют также определением предела функции
по Гейне*, а определение предела функции «на языке 8—6» —
определением предела функции по Коши**.
2. Предел функции при х->х0—и при х->х0-|-. В даль-
нейшем будут использованы понятия односторонних пределов
функции, которые определяются следующим образом.
Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом
функции f (х) в точке х0, если для любой сходящейся к х0 последова-
тельности (1), элементы хп которой больше (меньше) х0, соответ-
ствующая последовательность (2) сходится кА.
Символическая запись: lim f(x) = A( lim f(x)=A ).
x-*x0+ \x->x0- J
В качестве примера рассмотрим функцию f(x)=sgn х***. Она
имеет в точке х=0 правый и левый пределы: lim sgnx=l,
х-0+
lim sgnx= — 1. В самом деле, если (1) —любая сходящаяся
х->0—
* Гейне Генрих Эдуард (1821—1881) —немецкий математик.
** Коши Огюстен Луи (1789—1857) — французский математик.
*** Определение функции f (x) = sgn х приведено в п. 2, § 1.
76
к нулю последовательность значений аргумента этой функции,
элементы хп которой больше нуля (х„ > 0), то sgn хп = 1 и
lim sgn хп = 1. Следовательно, lim sgnx = I. Аналогично уста-
л-»оо Х-*-0 +
навливается, что lim sgn х = — 1.
Можно дать равносильное определение односторонних преде-
лов функции «на языке 8 — 6»: число А называется правым (ле-
вым) пределом функции f (х) в точке х0, если для любого 8 > 0 су-
ществует 6 >* 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравен-
ствам x0<x<x0-f-6(x0 — S<x<Xq), выполняется неравен-
ство If (х) — А| < 8. Символическая запись:
(Ve>0)(3S>0)(Vx, хо<х<хо +
+ 6 (хо —6<х<хо)) : If (х) — А|<е.
Связь между односторонними пределами и пределом функции
устанавливает следующая теорема.
Теорема 4.2. Функция f (х) имеет в точке х0 предел тогда
и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так
и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен
односторонним пределам.
Доказательство. Пусть lim f (х) = lim f(x) = A.
Х-*ХО- X->х0+
Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,
для любого 8 > 0 существуют числа 6, > 0 и 62 > 0 такие, что для
всех х, удовлетворящих неравенствам х0 — 6|<х<х0, и для
всех х, удовлетворяющих неравенствам х0< х< х0 выпол-
няется неравенство If (х) — А| < 8. Возьмем 6 = min {6,, 62).
Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам |х — х0| <
< S, х =/= х0, будет выполняться неравенство If (х) — А| < 8.
А это, согласно определению 2, и означает, что lim f (х) = А.
Обратно, пусть limf(x) = A. Тогда, согласно определению
х-*х0
предела функции в точке х0, для любого 8 > 0 существует
число 6 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам
|х — х0| < 6, х =/= х0, выполняется неравенство If (х) — А| < 8.
Тем самым, как для х0 — S < х < х0, так и для х0 < х < х0 + 6,
справедливо неравенство If (х) — Л| < 8. А это, согласно опреде-
лению односторонних пределов, и означает, что lim f (х) =
= lim f(x) = A.ji х^х°"
х-*х0+
3. Предел функции при х-> оо, при х-> — оо и при х-> °°-
Кроме рассмотренных понятий предела функции при х—>-х0 и
односторонних пределов существует также понятие предела функ-
ции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 4. Число А называется пределом функции f (х)
при хоо, если для любой бесконечно большой последовательно-
сти (1) значений аргумента соответствующая последовательность
(2) значений функции сходится к А.
77
Символическая запись: lim f(x) = A.
Определение 5. Число А называется пределом функции f (х)
при х->4-о° (х->— оо), если для любой бесконечно большой
последовательности значений аргумента, элементы хп которой
положительны (отрицательны), соответствующая последователь-
ность значений функции сходится к А.
Символическая запись: lim f(x) = A( lim f(x) = A\
x—4-oo i \x-> —оо /
Рассмотрим пример. Пусть f(x)=—. Эта функция имеет пре-
дел, при х—>оо равный нулю. Действительно, если {xj — беско-
нечно большая последовательность значений аргумента, то соот-
ветствующая последовательность значе-
ний функции: l/xh 1/х2, ..., 1/хп ..., по
теореме 2.1 является бесконечно малой
и поэтому имеет предел, равный нулю,
т. е. lim (1/х) = 0 (рис. 48).
Определения 4—5 даны «на языке по-
следовательностей». Можно дать равно-
сильные определения «на языке 8 — 6»
и записать их с помощью логических
символов. Рекомендуем сделать это
самостоятельно. В качестве примера
сформулируем определение предела функции при x->-f-oo.
Определение 6. Число А называется пределом функции f (х)
при х->4“°°, если для любого числа 8>0 существует число 6
такое, что для всех хеХ, удовлетворяющих неравенству х>6,
выполняется неравенство If (х) — А | <8.
§ 3. Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей»
дает возможность перенести доказанные выше теоремы о преде-
лах последовательностей на функции' Покажем это на примере
двух теорем.
Теорема 4.3. Пусть функции f (х) и g (х) имеют в точке х0
пределы В и С. Тогда функции f (x)ztg(x), f (х) g(x) и -у—- (при
S \х)
С#=0) имеют в точке х0 пределы, равные соответственно В±С,
ВСн-^.
Доказательство. Пусть {хл} (х„у=х0)— произвольная
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента функций
f(x) и g(x). Соответствующие последовательности [f (х„)} и {#(*„)}
значений этих функций имеют пределы В и С. Но тогда в силу тео-
рем 2.7—2.9 последовательности [f (*„)}, {f (*л) £ (*я)}
и [f (xn)/g (x„)} (при C=/=0) имеют пределы, соответственно рав-
ные BztC, ВС и В/С. Согласно определению 1 предела функции
78
эТо означает, что
lim If (*)±g(х)] = В±С, lim [f (х) g (х)] = ВС, lim
x-x0 x-xo *
Теорема 4.4. Пусть функции f (x), g (x) и ft (x) определены
в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может,
самой точки х0, и функции f (х), Л (х) имеют в точке х0 предел,
равный Л, т, е. lim f (х)= lim Л (х) = А. Пусть, кроме того, вы-
г х->хо х^хо
полняются неравенства f (x)<g (х)<Л (х). Тогда
lim g(x) = А.
Доказательство. Пусть {хя} (хя=#= х0) — произвольная
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента функций
f(x) и Л(х). Соответствующие последовательности {/*(хл)} и {А(хл)}
значений этих функций имеют предел, рав- г
ный Л, т. е. /(хя)->Л, Л(хя)-^Л при 7
Используя неравенства, данные в
условии теоремы, можно записать /1\Ч
f (*л) < g (*л) < А (х„)-
Отсюда по теореме 2.11 следует, что g (х„)->-
-*А. Согласно определению 1 предела функ-
ции это означает, что
limg(x) = Л. и
'—'о Рис. 49
Замечание. Теоремы 4.3 и 4.4 верны также и в случае,
когда х0 является одним из символов оо, -|- оо или — оо.
$ 4. Два замечательных предела
1. Первый замечательный предел. Докажем, что
Рассмотрим дугу окружности радиуса /?=1 с центральным
углом, радианная мера которого равна х(о<х<-2-) (рис. 49).
Тогда
ОА = I,sin х= AfK,tgx== АТ. (1)
Очевидно, что площадь треугольника ОАМ меньше площади сек-
тора ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или,
что то же самое, (1/2) ОА -МК<(\/2) ОЛ-ЛА4<(1/2) ОА АТ.
Принимая во внимание равенства (1), последнее соотношение можно
записать в виде (1/2) sin х<(1/2) х<(1/2) tg х, откуда получаем
sin х < х <tg х.
(2)
79
Разделив эти неравенства на sin х, получим 1 >(sin x)/x>cos х,
откуда находим: 0< 1 — (sin х)/х< 1 — cos х. Так как sin(x/2)<;
<1, то sin2(x/2)<sin (х/2). Поэтому, учитывая первое неравен-
ство (2), для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0<х<л/2,
получаем 1 — cos х = 2 sin2 (х/2)<2 sin (х/2)<2 (х/2) = х.
Итак, 0< 1 —(sin х)/х<х при 0<х<л/2.
Возьмем любое е>0 и положим 6 = min{e, л/2]. Тогда для
всех х, удовлетворяющих неравенствам 0<х<6, будет выпол-
няться неравенство х<е, поэтому
0 < 1 — (sin х)/х < 8, откуда |1 — (sin х)/х| < 8.
Это означает, что 1 является правым пределом функции —“Д
в точке х=0, т. е. lim s 111 * = 1. Заметим теперь, что функция
х->0+ Х . . ,
f(x)= s7 — четная, так как / ( —х) = $1П_Д-- = -s^—= f(x). Поэто-
му и левый предел функции в точке х = 0 равен 1. Отсюда
в силу теоремы 4.2 следует, что lim-= 1.
х—*-0 Х
Замечание. Используя неравенства sin х<х и 1 — cos х<
<х при 0<х<л/2, полученные при рассмотрении первого
замечательного предела, легко доказать, что limcosx=l,
х->0
lim sin х= 0. Сделайте это самостоятельно.
х-*0
С помощью первого замечательного предела вычисляются мно-
гие другие пределы.
Пример 1. Найти lim -—
х+0 х
Решение. Знаменатель дроби при х->0 стремится к нулю.
Поэтому теорема 4.3 здесь неприменима. Для нахождения предела
преобразуем данную дробь:
.. 1 — cos х 2 sin2 (х/2) ' .. sin (х/2) . . .ЛЧ
lim--------= lim------= lim---------77-^ sin (х/2) =
х-*0 Х х-*0 Х х->0 Х'^
= lim sin lim sin (x/2) =1 -0 = 0.
x—0 x—0
tg X
Пример 2. Найти lim .
x—>-0 x
Решение. Имеем
.. tg x .. sin x 1 ,. sin x .. 1 .
lim = lim--------------= lim------lim-----= 1
X—0 x X—0 x cos x r—0 x r-*n cos x
5jc
Пример 3. Найти lim . T .
» Q SttHX
Решение. Имеем
P 5x ______ .. 5/4
™0 sin 4x ~ (sin 4x)/(4x)
5/4
lim (sin 4х)/(4х)
^- = 1,25.
80
2. Второй замечательный предел. Докажем, что
Как известно, lim (1 + l/n)"=e (см. гл. 2, § 3, ц. 2). Пусть
П-+ОО
х>>1. Положим п = [х]; тогда х=п + а, где п — натуральное
число, а а удовлетворяет условию 0^а<1. Так как и^х<
< П + 1, 1/(п+ 1) <1/х^1/п, то
(1 + 1/(п + 1))"<(1 + 1/х/ < (1 + 1/л)п+1.
При х->-роо (п-^оо)
lim (1 + 1 /п)п+' = lim (1+ 1 /n)rt lim (1 + 1/и) = е • 1 = е
п->эо п-+оо п-*~оо
и
lim (1 +1/(п + 1)У+1
('+^т) = -------------=4 - -
4 7 lim (1 + l/(n + 1))
П-*~оо
Отсюда по теореме 4.4 получаем
lim (1 + 1 /х)х = е.
х-»-|-оо
Пусть теперь х< —1; положим х=— у. Тогда
lim (1 + —= lim (1-------------= lim (1 Н-----------ЦЛ —
х^-оо К * ) ^+оо \ у ) ^+оо \ у - 1 /
= lim (1 Н------—тЛ lim (1 -|-------—= е • 1 = е
у^+оо V у - 1 / у^+оо V у - 1 /
при х-> — оо.
Объединяя оба случая, окончательно имеем
lim (1 + 1 /х)х = е.
Второй замечательный предел имеет широкое применение.
С его помощью находятся многие другие пределы.
Пример. 4. Найти lim (1 + х)1/х.
х—О
Решение. Сделаем замену переменной, полагая 1/х=а.
Тогда очевидно, что а->оо при х->0. Поэтому
lim (1 + х)1/х = lim (1 + 1 /а)а = е.
х->0 а-»-сю
Пример 5. Найти lim (1 + 3/х)х.
X—>-ОО
Решение. Положим х = 3/. Тогда при х->оо и /->оо.
Следовательно,
lim (1 + 3/х)х = lim (1 + 1//)3'= lim [ (1 + 1 //)'(1 +1 //)'(1 + 1 //)'] =
V-*-OO /—>СЮ t—>-ОО
= lim (1 + I/O* l*m (• + l>m (1 + 1/0<=е • e • e=e3.
t-+OO t-^oo 1-+OO
6-3157
81
log. (1 +*)
Пример в. Найти lim--------------.
л -► О х
Решение. Для нахождения предела преобразуем данную
дробь:
М 1°8,(/х)д??0[41о««(1 +*)] =
= litn log.(1 4-х)‘/ж — log.[lim,(1 + х),/ж|.
I/л l°(L(l+jr)
Ho lim(14-x) =e (см. пример 4). Поэтому lim--------------------=log.e.
л-Н) л-*0 x
„ .. Itl (1 + Jt) .
В частности» lim —-—:—- = 1 при o = e.
' » П X
f 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции <
1. Бесконечно малые функции. Определение 1. Функция f(x)
называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно ма-
лой) в точке х = х0 (или при х -► xj, если lim f (х)» 0.
Аналогично определяются бесконечно малые функции при
Х-*<Х), х-*-|-оо,х-*—ОО, х-*хо— ИХ-*Х04».
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функ-
ции «на языке е —б»: функция f (x) называется бесконечно малой
в точке x = Xq, если для любого £>0 существует <5>0 такое,
что для всех хеХ, х^х& удовлетворяющих неравенству |х —
— xj<6, выполняется неравенство I/(х)| < е; или с помощью
логических символов:
(Ve > 0) (36 > 0)(Vx е X, х х0, |х - х0| < б): \f (х)| < е;
и «на языке последовательностей»: функция f (х) называется беско-
нечно малой в точке х=х0, если для любой сходящейся к xQпоследо-
вательности {хя} значений аргумента х, отличных от соответ-
ствующая последовательность [f (х„)} является бесконечно малой.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.5. Для выполнения равенства lim f (х) = А не-
обходимо и достаточно, чтобы функция
a(x) = f(x) —4
была бесконечно малой при х -► х^
Доказательство. Необходимость. Пусть lim f (х) А.
Рассмотрим разность f (х)— А = а(х) и покажем, что а(х) —бес-
конечно малая функция при x-^Xq. Действительно, пределы каж-
дой из функций /(х) и А при х —► х0 равны А, и поэтому в силу
теоремы 4.3
lim a(x)= lim (f(x) — A] = lim f(x)— lim A = A — A = 0.
X -► Xq X "* X(J * X0 X “*• X0
82
Достаточность. Пусть f (х) — А = а(х), где а(х) — беско-
нечно малая функция при х->х0. Покажем, что lim /(х) = Д.
X -> ХО
Так как f (х) = А + а (х), то
lim f (х) = lim [Д -|- а(х)] = lim А + lim а (х) = А + 0 = А. И
Из теоремы 4.5 получаем специальное представление для функ-
ции, имеющей в точке х = х0 предел, равный А:
f (х) = А -|- а (х), где lim а (х) = 0.
Х->Х0
При этом обычно говорят, что функция f (х) в окрестности точки
х0 отличается от А на бесконечно малую функцию.
Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами,
что и бесконечно малые последовательности. Справедлива следую-
щая теорема.
Теорема 4.6. Алгебраическая сумма и произведение конеч-
ного числа бесконечно малых функций при х -> х0, а также произве-
дение бесконечно малой функции на ограниченную функцию
являются бесконечно малыми функциями при х -> х0.
Эта теорема непосредственно вытекает из первого определения
предела функции и теорем 2.2—2.4.
Все сказанное о бесконечно малых функциях при х -> х0 спра-
ведливо и для бесконечно малых функций при х->оо, х->-|-оо,
X -> — оо, X -> хо— ИХ-^ Хо~|-.
2. Бесконечно большие функции. Определение 2. Функция f (х)
называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно
большой) в точке х = х0 (или при х х0/ если для любого е > 0
существует 6 > 0 такое, что для всех х е X, х Ф х0, удовлетворяю-
щих неравенству |х — х0| < 6, выполняется неравенство |/ (х)| > е.
В этом случае пишут limf(x)=oo и говорят, что функция
Х-Х0
стремится к бесконечности при х -> х0, или что она имеет бесконеч-
ный предел в точке х = х0.
Если же выполняется неравенство f (х) > е Q (х) < — е), то
пишут lim f (х) = + оо (lim f (х) = — оо ) и говорят, что функция
Х-*Х0 \х->х0 /
имеет в точке х0 бесконечный предел, равный + оо (— оо).
Используя логические символы, определение 2 можно записать
в виде
(Ve>0) (В<5>0) (VxgX х^х0, |х—х0|<«5):[/'(х)|>£.
По аналогии с конечными односторонними пределами определя-
ются и бесконечные односторонние пределы:
lim f (х) = -|- оо, lim f (х) = — оо, lim f (х) = + оо,
Х~*Хо + х“*хо+ Х“^Х0“
lim f (х) — — оо.
х^хо-
Так, например, пишут lim f(x) = -|-oo, если для любого
е > 0 существует S > 0 такое, что для всех х е X, удовлетворяю-
6* 83
щих неравенствам x0<x<x04“S, выполняется неравенство
f (х) > е. Символическая запись
(Ve > 0)(Э6 > 0)(Vx е= X, x0<x<x04-S) : Нх)>£- '
«На языке последовательностей» это же определение записывается
так: lim f (х)= + °°, если для любой сходящейся к х0 последо-
х-*х°+
вательности |хл) значений аргумента х, элементы хп которой больше
х0, соответствующая последовательность {/ (xrt)} значений функции
является бесконечно большой положительного знака.
Точное определение других подобных пределов рекомендуем
сделать самостоятельно.
Аналогично определяются бесконечно большие функции при
х->оо, х-> + °° и х->—оо. Так, например, функция f (х) назы-
вается бесконечно большой при х->оо, если для любого е>0
существует S>0 такое, что для всех хеХ, удовлетворяющих
неравенству |x|>S, выполняется неравенство |f(x)|>e. При
этом пишут lim f (х) = оо.
Символическая запись определения бесконечно большой функ-
ции при х->оо:
(Ve > 0) (36 > 0)(Vx g= X, |х| > S): |/(х)| > е.
Если же выполняется неравенство f (х)>е (f (х)< — е), то
пишут lim f (х) — + оо (lim f (х) — — оо 1
х-»-оо \Х-»-оо /
Предлагаем самостоятельно сформулировать определение бес-
конечно большой функции при х->-|-оо и х->—оо.
В заключение покажем, что между бесконечно малыми и беско-
нечно большими функциями существует такая же связь, как и
между соответствующими последовательностями, т. е. функция,
обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и на-
оборот.
В самом деле, пусть limf(x) = O и f(x)=#= 0 при х=#=х0. Дока-
х“*х0
жем, что lim-j-^r=oo. Зададим произвольное е>0. Так как
f(x)— бесконечно малая функция в точке х0, то для числа 1/е
существует S>0 такое, что для всех хеХ, удовлетворяющих
неравенствам 0<|х —x0|<S, выполняется неравенство |/(х)|<1
<1/е. Но тогда для тех же х выполняется неравенство |l/f (х)|>е,
т. е. l/f(x) — бесконечно большая функция в точке х = х0, что и
требовалось, доказать. Обратное утверждение рекомендуем дока-
зать самостоятельно.
§ 6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно
малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, во-
обще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно
малой на другую может привести к различным результатам. Так,
84
например, если а(х) = х, 0 (х)= 2х, то
.. а(х) х 1
Йж-'^-т
Если же а(х) = х, 0 (х) = х2, то
.. а (х) .. 1 .. 0 (х) .. п
lim -3^-4= lim —= оо, lim •2-7-г= lim х = 0.
х-»-0 0W х-0 Х х+0 aW х+0
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций.
Пусть при х->х0 функции а(х) и 0 (х) являются бесконечно
малыми. Тогда:
1) если lim 4тт=0, то а (х) — бесконечно малая более высо-
Х-*Х0 Р W
кого порядка, чём 0 (х) (говорят также, что а(х) имеет более
высокий порядок малости, чем 0 (х); при х-^х0) ;
2) если lim -^^-=Л=/=0 (Л — число), то а(х) и 0 (х) — беско-
нечно малые одного порядка;
3) если lim = 1, то а(х) и 0(х) — эквивалентные бесконечно
малые. Эквивалентность обозначается так: а(х)~0(х).
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бес-
конечно малых является бесконечно малой более высокого порядка,
чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому
вводится следующее правило:
4) если lim ^р-=Л^0, то а(х) — бесконечно малая п-го
х-*-х0 г
порядка относительно 0 (х).
Существуют аналогичные правила для Сравнения бесконечно
малых функций при х-^оо, х->—оо, х-^+оо, а также при
х->х0справа и слева.
Рассмотрим примеры.
1. Функции sin х и х являются при х->0 эквивалентными бес-
конечно малыми, так как lim--- 1.
х+0 х
2. Функции sin Зх и sin х являются при х->0 бесконечно ма-
лыми одного порядка, так как
.. sin Зх .. (3 sin 3х)/(3х) о .. sin Зх .. х о
lim = lim . • 7/ 7 = 3 lim——lim-^—= 3.
х_^0 sin х х_^0 (sin х)/х х_^0 Зх х_^0 sin X
3. Функция a(x)=l — cos х является при х->0 бесконечно
малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой
так как
.. 1— cos х .. 2 sin2 (х/2) 1 .. / sin (х/2) \2 1
1 —— - 1—— = - ';s Hsr2) - т
При сравнении бесконечно малых функций часто используют
символ о («о малое»). Если функция а(х) — бесконечно малая в
в точке х0 более высокого порядка, чем бесконечно малая в этой же
85
точке р (х), то это условно записывается так:
а(х) = о (р (х)).
Если функции а(х) и р (х) — бесконечно малые в точке х0, то
функция а(х) р (х) имеет более высокий порядок малости, чем каж-
дый из сомножителей. В самом деле,
Ит = lim а (х) = О
х-х0 PW X+XQ
и поэтому а (х) р (х)= о (р (х)), а(х) р (х) = о (а(х)).
Если a(x)^a,(x) и 0(х)~р,(х) при х->х0 и существует
.. а(х) .. “i W .. ai W .. а(х)
lim -о-г4, то существует и lim о , ч, причем lim Q-z-r = lim
х+х0 Ж J J х-х() н х^х0 0.W х—х0 PW
В самом деле, имеем
.. «I W .. Г ai W а(х) PW]
lim = nm —rv Q'z Q =
X-XO P| W x-x()L aW PW
.. ai W .. a(x) .. P(x) . .. a(x) . .. a(x)
= lim —-y- im -5-7-7- lim = 1 • im • 1 = hm -5-7-r.
x+x0 aW X^XQ 0(x) X^XQ 0,(x) X^X() P(x) x_Xo P(x)
Доказанное утверждение во многих случаях упрощает вычис-
ление пределов
Пример. Найти lim s1”-5*
х-*о х + х*
Решение. Так как sin 5х ~ 5х, х + х3 ~ х при х->0, то
lim
х->0
sin 5х
х 4- х3
lim — = 5.
х-^0 Х
Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные
правила сравнения.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Функции а(х) = (\+х)/х и .р(х)=1/х являются при
х->0 эквивалентными бесконечно большими, так как
limT7^’= lim(1 + х) = L
х_о Р W х—0
В этом случае говорят также, что а(х) и р (х) имеют одинаковый
порядок роста при х-^0.
2. Функция а(х) = х2+4 является при х-+<х> бесконечно
большой более низкого порядка, чем р(х)=х3— 2 (имеет менее
высокий порядок роста), так как
lim
х—>-00
<х(х) _
PW
lim
х->оо
X2 + 4
^-2 “
’lim
1 + 4/^
х — 2/х2
lim — = 0.
Х
3. Бесконечно большие при х-^оо функции а(х) = 2х2-Н
и р (х) = х2— 1 имеют одинаковый порядок роста, так как
lim
Х-»-оо
2х2 4- 1 _
х2 — 1
lim
2 4- 1/*2 _
1 - 1 /х2 ~
2.
86
4. Функция а(х)=х44-*+1 является при х->оо беско-
нечно большой второго порядка по отношению к бесконечно боль-
шой р (х)= х2 + 1, так как
.. 1 + 1/д? + 1/д4 .
X™ (х* + I)2 ~ х™ * + 2х? + 1 — 1+ 2/Х? + 1/х> ~
§ 7. Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является одним из основных
понятий математического анализа.
1. Определение непрерывности функции. Пусть функция f (х)
определена в некоторой окрестности точки х0.
Определение 1. Функция f (х) называется непрерывной в точке х0,
если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.
lim f (х) == f (х0)*. (1)
Так как lim х=х0, то соотношение (1) можно записать в сле-
дующем виде: ° / \
lim f (х) = М lim х V
т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции
и знак предела.
Приведем равносильное определение непрерывности функции
«на языке последовательностей»: функция f (х) называется непре-
рывной в точке х0, если для любой последовательности значений
аргумента х: хн х2, х3, ..., хп, ..., сходящейся к х0, последователь-
ность соответствующих значений функции: f(x,), f (х2), f (х3), ...,
f (хД... сходится к f (х0).
Сформулируем определение непрерывности функции «на языке
е — 6».
Определение 2. Функция f (х) называется непрерывной в точке х0,
если для любого е>*0 существует 63>О такое, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству |х — х0|<6, выполняется неравенство
If (x)-f (х0)|<е.
Эквивалентность этих определений очевидна.
Запишем определение 2, используя логические символы:
(Ve > 0)(Э6 > 0)(Vx G= X, |х - xol < 6): |f(x) - f (x0)l < e.
Если lim f (x) = f (x0) lim f (x) = f (x0)^, то функцию f (x) на-
зывают непрерывной в точке х0 справа (слева). Если функция f (х)
непрерывна в точке х0 и слева и справа, то она непрерывна в этой
точке. Действительно, в силу теоремы 4.2 в данном случае предел
Функции в точке х0 равен ее значению в этой точке.
* Из определения следует, что если функция непрерывна в точке xQ, то
°На определена в этой точке, т. е. существует Ц*о). Заметим, что при опре-
делении предела функции в точке xQ этого не требовалось.
87
Приведем еще одно определение непрерывности функции, ко-
торое по существу является перефразировкой первого определения.
Перенесем в равенстве (1) f (х0) в левую часть и внесем f (х0) под
знак предела. Так как условия х->х0 и (х —х0)->0 равносильны,
то получаем
lim [fW-f (*о)] —°- (2)
Разность х—х0 называется приращением аргумента х в точке х0
и обозначается, как правило, Ах, а разность f(x) —f(x0)— пРи~
ращением функции в точке х0, вызванным приращением аргумента
Ах, и обозначается by. Таким образом,
Ьх= х — х0,Ьу= f (х0 + Дх) — f (х0).
Отметим, что при фиксированной точке х0 At/ является функцией
аргумента Ах. Геометрический смысл приращений ясен из рис. 50.
обозначениях принимает вид
lim by = 0. (3).
Лх->0
Соотношение (3) и является еще
одним определением непрерывности
функции, которое можно сформули-
ровать так.
Определение 3. Функция f (х) на-
зывается непрерывной в точке х0,
если ее приращение в этой точке
является оесконечно малой функци-
ей при Ах->0.
ч практического использования бы-
вает иногда более удобным, и им будем также пользоваться.
2. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Теорема 4.7. Пусть функции f (х) и g (х) непрерывны в точке х0.
Тогда функции f(x)zhg(x), f(x)#(x) и также непрерывны
S \х)
в этой точке (последняя при g (х0) =/= 0).
Доказательство. Так как непрерывные в точке х0
функции f (х) и g (х) имеют в этой точке пределы, равные f (х0) и
g(x0), то по теореме 4.3 пределы функций f (х) ± g (х), f(x)#(x)
и -^—-существуют и соответственно равны f(x0)ztg(x0), f(x0)g(x0),
Ц*о) „ .
z —ч. Но эти величины равны значениям соответствующих функ-
ё\хо)
ций в точке х0. Следовательно, согласно определению 1 функции
f (x)±g (х), f (х) g (х) и непрерывны в точке х0.
§ 8. Непрерывность некоторых элементарных функций
Одним из важных свойств элементарных функций является их
непрерывность в каждой точке, в окрестности которой они опреде-
лены. На примере некоторых функций проверим данный факт, ис-
Последнее определение
88
пользуя определение непрерывности функции в точке и теорему 4.7.
1. Непрерывность рациональных функций. Простейшим приме-
ром функции, непрерывной в любой точке х0 числовой прямой,
может служить постоянная функция f(x)=C. Действительно,
в этом случае lim f (х) = C=f (х0) (см. пример 1, §2), т. е. по-
стоянная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой.
Непрерывна также в каждой точке х0 числовой прямой функция
f(x) = x, так как lim х = х0= f (х0) (см. рример 2, §2), т. е.
предел функции в точке х0 равен ее значению в этой точке. Из ска-
занного и теоремы 4.7 следует, что в любой точке х0 функции
х2 = х-х, х3 = х2-х, х4=х3-х, ..., хп = хп~1-х (п — натуральное
число) непрерывны. Как известно, функция f(x) = xn называется
степенной, а функция вида
Р (х) = С^хп + С,хп-' + С2хп~2 + + Сп_,х + Сл,
где — целое число; Со, С„ С2, ..., Сп — любые числа,—ал-
гебраическим многочленом.
Каждое из слагаемых
Сохп, С^п~2, .... Сп
есть произведение двух непрерывных функций (постоянной и сте-
пенной). По теореме 4.7 оно непрерывно в любой точке х. Много-
член Р (х) является, таким образом, суммой функций, непрерывных
в любой точке х, и, следовательно, непрерывен в любой точке х.
Дробно-рациональная функция, т. е. функция вида
где Р(х) и Q (х) — алгебраические многочлены, непрерывна во
всех таких точках х, в которых ее знаменатель не равен нулю (т. е.
во всех точках, за исключением корней знаменателя), как частное
непрерывных функций.
Например, функция R (х) = (3х2 + 7х— 1)/(х2— 1) непрерыв-
на во всех точках х, отличных от +1 и —1.
2. Непрерывность тригонометрических функций. Рассмотрим три-
гонометрические функции sin х, cos х, tg х, ctg х, sec x, cosec x.
Покажем, что функция sin x непрерывна в любой точке х. Вос-
пользуемся определением 3 непрерывности функции. Задав аргу-
менту х приращение Ах, получим приращение функции
= sin (х + Ах) — sin х, или
At/ = 2 cos (х + 40 sin 44
Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при Ах-^0,
получаем
lim At/ = 2 lim Г cos (х + 4г4 sin 4г] = 0»
Лх-»-0 Дх-»0 L \ J
89
так как Icos (х4-Дх/2)|< 1,
lim sin
Дл-*0
lim
Лдг—о
sin (Лх/2)
Дх/Й
lim
Ах—О
lim Дх = О*,
Лх—О
1
а произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть
бесконечно малая. Таким образом, функция sin х непрерывна в лю-
бой точке х.
Непрерывность функции cosx в любой точке х доказывается
аналогично.
Из непрерывности функций sin х и cos х по теореме 4.7 следует
непрерывность функций tg x=sin x/cos х и sec х=1/cosx во всех
точках, где cosx#=0, т. е. во всех точках, кроме х = л/24-лл,
и функций ctg х= cos x/sin х и
cosec х= 1/sin х во всех точках, кроме
х=лл(л = 0, ±1, ±2, ...).
3. Непрерывность функции f(x)=
= |х|. Функция f(x) = |x|, график
которой изображен на рис. 51, опреде-
лена и непрерывна во всех точках чис-
ловой прямой. Действительно, в точках
интервала (и, 4- оо) она непрерывна,
7 так как при х>0 /(х) = х (см. п. 1).
В точках интервала ( — оо, 0) функция
f (х) также непрерывна, так как при
х<0 /(х)= — х, ее можно представить как произведение двух
непрерывных функций (— 1) и х и применить теорему 4.7 о непре-
рывности произведения. Чтобы установить непрерывность функции
|х| в точке х=0, вычислим односторонние пределы функции
в этой точке:
lim |х| = lim (— х) = — lim х = 0; lim |х| = lim х = 0.
х—0— х—0— х—0— х—0+ х—0+
Итак, пределы функции в точке х=0 слева и справа совпадают
и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует, что функ-
ция |х| непрерывна в точке х=0 и, следовательно, непрерывна
во всех точках числовой прямой.
Таким образом, рассмотренные функции непрерывны в каждой
точке, в окрестности которой они определены. На основании тео-
ремы 4.7 о непрерывности суммы, разности, произведения и част-
ного можно утверждать, что функции, получаемые из них с помощью
конечного числа арифметических действий, являются также непре-
рывными функциями в каждой точке, в окрестности которой они
определены.
Будем говорить, что функция f (х) непрерывна в интервале (а, Ь),
если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна
’Здесь использован первой замечательный предел, который получается
- . а /г. sin Лх/2 sin/ ,,
в результате замены переменной / = Лх/2: lim —?- —= lim—-—= 1 (оче-
Ах—о t-^o 1
видно, что / = Лх/2-►О при Лх-^0).
90
на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в интервале (а, 6),и не-
прерывна в точке а справа, а в точке b слева, т. е.
lim f (х) = f (a), a lim f(x)=f(b).
§ 9. Классификация точек разрыва функции
1. Определение и классификация точек разрыва функции. Опре-
деление. Точка xQ называется точкой разрыва функции f (х), если
f (х) в точке х0 не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв 1-го рода. Точка х0 называется точкой разрыва
1-го рода функции f (х), если в этой точке функция f (х) имеет конеч-
ные, но не равные друг другу
правый и левый пределы:
lim f(x)#= lim f(x).
X-*X0+ X~*’XQ —
Пример. Для функции f(x) =
= sgn x точка x = О является точ-
кой разрыва 1-го рода (см.рис.46),
так как lim sgnx=l, lim sgnx =
x-»-0+ x—0—
Разрыв 2-го рода. Точ-
ка х0 называется точкой разрыва
2-го рода функции f (х), если в
этой точке функция f (х) не имеет,
по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы
один из односторонних пределов бесконечен.
Пример. Для функции f(x) = — точка х=0
является точкой
разрыва 2-го рода (см. рис. 48), так как lim (1/х) = -|-оо,
х-^0+
lim (1/х) = —оо.
х^О-
2. Кусочно-непрерывные функции. Функция f (х) называется
кусочно-непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна во всех
внутренних точках [а, Ь], за исключением, быть может, конечного
числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет
односторонние пределы в точках а и Ь.
Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой,
если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.
Пример. Функция f(x) = [x] кусочно-непрерывна как на любом
отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ
1*1 обозначает целую часть числа х. График функции f(x) = [x]
изображен на рис. 52, функция [х] в точках х=п (я=0, ±1, ±2, ...)
Непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она
Непрерывна как справа, так и слева.
9!
§ 10. Основные свойства непрерывных функций
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Тео-
рема 4.8. Пусть функция f (х) непрерывна в точке х0 и f (хо)#=О.
Тогда существует 6>>0 такое, что для всех хе(х0-6, х0+6)
функция f (х) имеет тот же знак, что f (х0).
Доказательство. Пусть f (х0) >0 (рис. 53). Тогда в силу
второго определения непрерывности функции для любого е>0
существует 6>*0 такое, что неравенство \f (х) — f (х0)|<е вы-
полняется для всех х, удовлетворяющих условию |х — х0|с6,
или, что то же самое, выполняются неравенства
f(x0) — е <f (х) <f(x0) + е (1)
для всех хе(х0-6, х0+6). Возьмем e = f(x0). Тогда из левого
неравенства (1) получаем: f (х)>>0 для всех хе(х0-6, x0 + S),
что и требовалось доказать.
Если же f(xo)<O, то рассмотрим функцию — f(x). Так как
— f (х0):>0, то по доказанному существует S-окрестность точки х0,
в которой — f (х)>0 и, следовательно, f (х)<0.
2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточ-
ное значение. Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной
функции через нулевое значение при смене знаков.
Теорема 4.9 (первая теорема Больцано —
Коши)*. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и на
концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует
точка се (а, 6), в которой f (с) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности f (а) <0
и f(b)>0 (рис. 54). Разделим отрезок [а, Ь] пополам. Если значе-
ние функции в середине отрезка [а, Ь] равно нулю, то теорема дока-
зана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрез-
ков, на концах которого функция имеет значения разных знаков,
и обозначим его [ah £,]. Разделим отрезок [ah Sj пополам. Если
значение функции в середине отрезка [ a h равно нулю, то теорема
доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных
отрезков, на концах которого функция f (х) имеет значения разных
знаков, и обозначим его [а^ 62]. Если продолжить этот процесс не-
ограниченно, то либо на каком-то k-м шаге значение функции
в середине отрезка [ak, bk] окажется равным нулю и тогда теорема
доказана, либо получим последовательность
[а, д] зэ [а„ 6,] => [а* Ь2] =>=> [а„, &„] =>...
вложенных отрезков, причем Ьп — ап = (Ь — а)/2п—^0 при
и на концах каждого отрезка [ал, b я] функция имеет значения раз-
ных знаков.
По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка С,
принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что f(c) = O. Действи-
тельно, если допустить, что f(c)>0, то по теореме 4.8 об устойчи-
*Больцано Бернард (1781 — 1848) —чешский математик.
92
0ости знака непрерывной функции существует окрестность точки с,
в которой f(x)>6. В эту окрестность при достаточно большом п
попадет отрезок [azl, Ьп], следовательно, на отрезке [а„, Ьп\ будет
выполнено неравенство f (х)>0. Но это противоречит тому, что
на концах отрезка [ап, Ьп] функция имеет значения разных знаков.
Диалогично доказывается, что f (с) не может быть меньше нуля.
Остается принять, что f(c) = O. При этом очевидно, что точка
сб(а, Ь).
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл: не-
прерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей
которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.
Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через
любое промежуточное значение.
Теорема4.10 (вторая теорема Больцано —
Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &], причем
f(a) = A, f(b) = B. Пусть, далее, С — любое число, заключенное
между А и В. Тогда на отрезке [а, Ь] найдется точка с такая, что
1(C) = с.
Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного
значения к другому принимает и все промежуточные значения.
Доказательство. Пусть для определенности А С В и
4<С<сВ (рис. 55). Рассмотрим вспомогательную функцию
<p(x) = f(x)-C.
Эта функция непрерывна на отрезке [а, Ь] (как разность непрерыв-
ных функций) и принимает на концах этого отрезка значения раз-
ных знаков:
Ф (а) = f (а) - с = А - С < О,
Ф (6) = f (6) - с = В - С > 0.
По теореме 4.9 существует точка fr) такая, что <р(с) =
f (с) — С = 0. Отсюда f (с) = С.
Следствие. Если функция f (х) определена и непрерывна на
^котором промежутке X, то множество ее значений Y также
Обставляет собой некоторый промежуток.
цПрежде чем доказать это следствие, введем понятие точных гра-
еи функции. Пусть функция y = f(x) определена на множестве
93
X, а У — множество ее значений. Если множество У ограничено
сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Точная верхняя (нижняя) грань множества У называется точкой
верхней (нижней) гранью функции y = f(x) на множестве X и обо-
значается supf(x) ^inf f (х)). Иными словами, определение точной
верхней (нижней) грани функции y=f(x) на множестве X можно
сформулировать так: число М (т) называется точной верхней (ниж-
ней) гранью функции y=f(x) на множестве X, если выполнены два
условия:
1) f(x)<M(f(x)> пг) для любого хеХ;
2) для любого числа М' <М (пг'>пг) найдется такая точка
х’ еХ, что f (х')> М' ([ (x')<m').
Первое из этих условий показывает, что число М (т) является
одной из верхних (нижних) граней функции у= f (х) на множестве
X, а второе условие показывает, что М(т) — наименьшая (наиболь-
шая) из верхних (нижних) граней функции, т. е. точная грань.
Если множество У не ограничено сверху (снизу), то пишут
sup f (х)= + оо ^inf f (х) = — оо^. В этом случае для любого числа А
существует такая точка х'еХ, что f (х')>*Д (/(х')<Л).
Докажем теперь следствие теоремы 4.10.
Доказательство. Пусть m = inff(x), M=supf(x).
Возьмем любое у из У, не равное т и М, и выберем два значения
У\ и Уъ функции f (х) так, чтобы выполнялись неравенства
т^у{<у <у2^М
(если М = + оо (т = — оо), то г/2<М (тС^)). Существование
таких значений функции f (х) следует из определения точных гра-
ней. Тогда по теореме 4.10 о промежуточных значениях непрерыв-
ной функции существует точка х такая, что f (х)= у. Следовательно,
множество У представляет собой некоторый промежуток (конечный
или бесконечный) с концами т и М, которые в зависимости отконк^
ретного случая могут ему принадлежать или не принадлежать.^
3. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезка*
Напомним, что функция f (х) называется ограниченной на отрезке
94
[a, b], если существует число Afp>0 такое, что для всех хе[а, Ь\
выполняется неравенство |f(x)|^M или — М</(х)^Л4, т. е.
график f(x) не выходит из полосы, ограниченной прямыми у=М
и у= —М (рис. 56).
Теорема 4.11 (первая теорема Вейерштрас-
с а)*. Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [a, Ь],
то она ограничена на этом отрезке.
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Функция f (х), непрерывная в точке Xq, ограничена в не-
старой ее окрестности.
Доказательство. Пусть е = 1; тогда согласно второму
определению непрерывности функции в точке для данного е суще-
ствует 6>0 такое, что для всех хе(х0-6, х0+6) выполняется
неравенство |f (х) — f (х0)|<1. Используя это неравенство, по-
лучаем If (х)| — l(f(x) — f(x0)) + f(x0)| < |f(x) — f (x0)| +
+ If (xo)| < l + |/(*o)|. т. e. I f (x)l <M, где M = 1 + | f (x0)|.
Отсюда заключаем, что функция f (х) ограничена в в - окрестности
точки xJB
Доказательство теоремы. Предположим обратное,
т. е. допустим, что функция f(x) неограничена на отрезке [а, Ь].
Разделим отрезок [а, ft] пополам, тогда, по крайней мере, на одном
из двух полученных отрезков функция f(x) неограничена (в про-
тивном случае она была бы ограничена на [а, Ь]). Обозначим этот
отрезок через [а(, ftt]. Разделим [ah ft J пополам и обозначим через
[а2, ft2] тот отрезок, на котором функция f (х) не ограничена, и т. д.
Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последователь-
ность
[а, 6] => [а,. 6,] о[а„62] =>...=> [а6Л] =>...
вложенных отрезков, на каждом из которых f(x) не ограничена,
причем Ья—ая= ^- ">0 при л->оо.
По теореме 2.1'3 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Функция f (х) по условию определе-
на и непрерывна в точке с, следовательно, согласно доказанной
лемме в некоторой окрестности точки с она ограничена. При доста-
точно большом п в эту окрестность попадет отрезок [ая, ftn], на кото-
ром функция f(x) также ограничена. Но это противоречит тому,
что f(x) не ограничена на каждом из вложенных отрезков. Полу-
ченное противоречие доказывает теорему.
Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, ft] заменить
интервалом (a, ft). Так, например, функция f(x)=l/x непрерывна
Иа (0,1), но не ограничена, так как lim (1/х) = -|-оо. Доказатель-
л—04-
ство теоремы для интервала «не проходит» там, где утверждается,
Что в точке с функция определена и непрерывна. Для интервала
'Вейерштрасс Карл (1815—1897) — немецкий математик.
95
точка с может совпадать с его концом и тогда f (х) не будет опреде.
лена и непрерывна в точке с.
4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке
своих точных граней. В том случае, когда точные грани функции
являются значениями функции, говорят, что функция достигает
своих точных граней. Однако [см. формулу (1), гл. 1, теорему 1.1]
не всякому множеству принадлежат его точные грани. Следующий
пример показывает, что точные грани функции не всегда дости-
гаются.
Пусть на отрезке [0, b], д^1, определена функция f (х)==г
= х — [х], график которой изображен на рис. 57. Множеством ее
значений является [0,1). Функция ограничена и сверху и снизу,
имеет на данном отрезке точную верхнюю грань, равную 1, и точ-
ную нижнюю грань, равную 0. Очевидно, функция принимает зна-
чение, равное 0, но не принимает значения, равного 1. Следователь-
но, можно сказать, что функция
достигает своей точной нижней и
не достигает своей точной верхней
грани.
Рис. 57
Установим, при каком условии функция достигает своих точных
граней.
Теорема 4.12 (вторая теорема Вейерштрас-
с а). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она дости-
гает на этом отрезке своих точных граней, т. е. существуют точки
xh х2е[а, Ь] такие, что (рис. 58)
f (*i) = м = sup f (х), f (х2) = m = inf f (x).
[а, 6] [а. 6]
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна
на отрезке [а,Ь], то по теореме 4.11 она ограничена на этом отрезке.
Следовательно, согласно теореме 1.1 существуют точная верхняя М
и точная нижняя m грани функции f (х) на отрезке [а, Ь].
Покажем, что функция f (х) достигает Л4, т. е. существует такая
точка х,^[а, Ь], что [(х^ = м. Будем рассуждать от противного.
Пусть функция f (х) не принимает ни в одной точке [а, Ь] значения,
равного М. Тогда для всех хе[д д] справедливо неравенств0
/(х)<Л4. Рассмотрим на [а, Ь] вспомогательную, всюду положи*
тельную функцию
F W = м
к ' М — f (х)
96
По теореме 4.7 функция F (х) непрерывна как частное двух
непрерывных функций. В этом случае согласно теореме 4.11 функ-
ция F (х) ограничена, т. е. найдется положительное число р, такое,
что для всех хе[о, Ь]
F W = M-f(x) И. откуда f (х)< М — —.
Таким образом, число М — 1/р, меньшее М, является верхней
гранью f (х) на отрезке [а, Ь]. Но это противоречит тому, что число
является точной верхней, т. е. наименьшей верхней гранью
функции f (х) на отрезке [а, Ь]. Это противоречие и доказывает,
что существует точка х , е [ а, Ь], в которой f (х,) = М.
Аналогично доказывается, что функция f (х) достигает на [а, Ь]
своей точной нижней грани
tn. И
Замечание 1. После
того как доказано, что фун-
кция f (х), непрерывная на
отрезке [а, Ь], достигает на
этом отрезке своих точных
верхней М и нижней т гра-
ней, можно назвать точную
верхнюю грань максималь-
ным значением, а точную
нижнюю граньминимальным
значением функции f(х) на
этом отрезке и сформулировать теорему 4.12 в следующем виде: не-
прерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное
и минимальное значения.
Замечание 2. Разность между наибольшим и наименьшим
значениями непрерывной функции f (х) на отрезке [а, Ь] называ-
ется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозна-
чается буквой со: (о = А4 —ли, где
М = max f (х), m = min f (х).
[а, 6] [а. 6]
5. Понятие равномерной непрерывности функции. К числу дру-
гих свойств функции, непрерывной на отрезке, относится очень
важное свойство, называемое равномерной непрерывностью. Оно
Широко используется при доказательстве ряда фундаментальных
теорем.
Пусть f (х) — функция, непрерывная на некотором промежутке
Я, и пусть точка хоеХ. Так как функция f (х) непрерывна в точке
*о, то согласно второму определению непрерывности для любого
е>0 найдется б>0 такое, что |f(x) — f (х0)|<е при |х —х0|<
<6. Ясно, что 6 зависит от е, но 6 зависит также и от х0. При изме-
нении х0 в пределах рассматриваемого промежутка (при постоянном
е) число 6 будет различным для разных х0. Чем «круче» идет
график функции f (х) в окрестности точки х0, тем меньше будет 6,
Соответствующее этой точке (рис. 59).
7 — 3157 97
Таким образом, при заданном е каждой точке х рассматривае-
мого промежутка соответствует некоторое б>0. Если бы точек
было конечное число, то из конечного множества чисел 6 можно
было бы выбрать наименьшее положительное 6, которое зависело
бы только от е и было «пригодно» для всех х. Для бесконечного
числа точек этого, вообще говоря, сделать нельзя, так как этим точ-
кам соответствует бесконечное множество чисел 6, среди которых
могут найтись и сколь угодно малые.
Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функции, опре-
деленные на некоторых промежутках, для которых по любому
е > 0 находилось бы б > 0, не зависящее от х, т. е. б было бы об-
щим для всех х из рассматриваемого промежутка. Это приводит
к понятию равномерной непрерывности функции.
Определение. Функция f (х) называется равномерно-непрерывной
на промежутке X, если для любого е > 0 существует б > 0 такое,
что для любых двух точек х', х" е X, удовлетворяющих неравенству
|х" — х'| < б, выполняется неравенство \f (х") — f (х')| < е.
В логических символах это определение имеет вид
(Ve>0)(36>0)(Vx', х"еХ; |х"-х'|<б): \f (x")-f (х')| <8.
По самому определению, б зависит только от е и является
общим для всех х', х" промежутка X. Из определения очевидно, что
равномерно-непрерывная функция на X является непрерывной на
этом промежутке.
Следующая теорема устанавливает условие, при котором непре-
рывная функция является и равномерно-непрерывной.
6. Теорема о равномерной непрерывности функции. Теоре-
ма 4.13 (теорема Кантора)*. Если функция f (х) непре-
рывна на отрезке [а, Ь], то она и равномерно-непрерывна на нем.
Доказательство. Докажем сначала, что если функция
f (х) непрерывна на [а, Ь], то для любого е>0 отрезок [а, Ь] можно
разбить на конечное число отрезков, любые два из которых или
не имеют общих точек, или имеют только одну общую граничную
точку и на каждом из которых для любых двух точек х', х" будет
выполняться неравенство If (X") - f (х')| < е.
Предположим обратное, т. е. допустим, что существует е>0,
для которого такое разбиение отрезка [а, Ь] невозможно. Разделим
[а, Ь] пополам и выберем тот из полученных отрезков, для которого
такое разбиение невозможно. Обозначим его [ah 6J. Разделим
теперь отрезок [ah fej пополам и выберем тот из полученных двух
отрезков, для которого такое разбиение невозможно, и т. д. Продол-
жая этот процесс неограниченно, получаем последовательность
вложенных отрезков
[ а, Ь] => [ а„ б,] зэ [ а2, 62] зэ ... => [ а„, =>...,
* Кантор Георг (1845—1918) —немецкий математик, основатель современ-
ной теории множеств.
98
обладающих тем свойством, что ни один из них нельзя разбить
на конечное число отрезков, на каждом из которых для любых
двух точек х' и х" будет выполняться неравенство \f (х") — f (х')|<
^е. По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Так как функция f (х) непрерывна
в точке с. то для рассматриваемого е найдется S такое, что
If (х) — f (с)|<е/2 для любого х из S-окрестности точки с. Тогда
для любых двух точек х' и х" S-окрестности точки будет вы-
полняться неравенство
If (х") - f (х')| = l(f .(*") - f (с)) + (f (с) - f (x'))l <
< If (х") - f (с)| + If (с) - f (х')| < е/2 + е/2 = е,
If (х") — f (х')| < е.
В 6-окрестность точки с при достаточно большом и попадет отрезок
[ая, М» и» следовательно, для любых двух точек х' и х" этого от-
резка справедливо неравенство (f (х") — f (х')1 <е, а это проти-
воречит выбору после-
довательности вложен-
ных отрезков.
Перейдем теперь не-
посредственно к дока-
зательству теоремы. По
только что доказанному
для любого е>0 су-
ществует разбиение
[а, Ь] на конечное число
отрезков, в каждом из.
которых разность меж-
ду любыми двумя зна-
чениями функции f (х)
по абсолютной величи-
не меньше е/2. Обозна-
чим через S длину
наименьшего из отрезков разбиения и рассмотрим любые две точ-
ки х' и х" отрезка [а, 6], отстоящие друг от друга меньше, чем на
т. е. |х" — х'|<6. Возможны два случая: 1) точки х' и х" при-
надлежат одному отрезку разбиения; 2) точки х' и х" принадлежат
Двум соседним отрезкам разбиения. В первом случае |f (х")—f(x')l<
<е/2 < е; во втором случае, обозначая через х0 общую
граничную точку соседних отрезков, имеем
If (х") - f (Х')| = l(f (X") - f (х0)) + (f (х0) - f (х'))| <
< If (х") - f (х0)[ 4- If (х0) - f (х')| < е/2 + е/2 = е.
Таким образом, для любого е>0 найдется 6>0 такое, что
Для любых двух точек х' и х" отрезка [а, 6], удовлетворяющих
Неравенству |х"—x'|<S, выполняется неравенство |f(x") —f(x')|<e,
Чт° и требовалось доказать.
г Следствие. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке
S]. Тогда для любого е>0 существует 6>0, такое, что если
[a, 6] произвольно разбить на конечное число отрезков с длинами,
меньшими 6, то на каждом из них колебание <о функции f (х) будет
меньше е.
Доказательство. Действительно, по доказанной тео-
реме функция f(x) равномерно-непрерывна на [а, ft]. Следовательно,
для любого б2>0 найдется 62>О такое, что для любых точек х'
и х" отрезка [а, Ь], удовлетворяющих неравенству |х" — х'|<Д
выполняется неравенство If (х") — f (х')1<Се. Разобьем отрезок
[а, Ь] произвольным образом на конечное число отрезков с длинами,
меньшими указанного 6. Поскольку функция f (х) непрерывна на
[a, ft], на каждом из частичных отрезков можно указать такие точки
х' и х", что f (х') = w, a f (х") = М, где ш и М — точные нижняя и
верхняя грани функции f (х) на данном частичном отрезке. Так как
\х"~x'|<S. ТО |f(x")-f(x')|<e. Но f (х")- f(x') = М -
— т=(о, поэтому ш<Сб.
Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, ft] заменить
интервалом или полуинтервалом.
Пример. Рассмотрим функцию f(x)=l/x на интервале (0, 1).
Данная функция непрерывна на интервале (0, 1), но не является
равномерно-непрерывной на нем. Это следует из того, что для лю-
бого фиксированного е>0, какое бы 6>0 мы не взяли, всегда
найдутся точки х' и х", достаточно близкие к нулю, расстояниемеж-
ду которыми меньше 6, а модуль разности If (х") — f (х')| больше е
(рис. 60).
§ 11. Понятие сложной функции
Определение. Если на некотором промежутке X определена
функция z=<p(x) с множеством значений Z, а на множестве I
определена функция y—f(z)y то функция y = f [<р(х)] называется
сложной функцией* от х, а переменная z — промежуточной пере-
менной сложной функции.
Пример. Функция t/=sinx2 — сложная функция, определен-
ная на всей числовой прямой, так как y=f (z)=sin z, z = <p(x)==
= x2.
Теорема 4.14. Пусть функция z=<p(x) непрерывна в точке
х0, а функция у= f(z) непрерывна в точке z0=<p(x0). Тогда сложная
функция y=f [ <р (х)] непрерывна в точке х0.
Доказательство. Возьмем из X любую последователь-
ность точек
xh х2, х3, ..., хл, ...,
сходящуюся к точке х0. Тогда в силу непрерывности функции
г=ф(х) в точке х0 имеем: lim zn= lim <р (х„) = <р (х0) = z0, т. е.
Л-КОО П-»-ОО
*Наряду с термином «сложная функция» используют равнозначный термин
«композиция (или суперпозиция) функций».
100
соответствующая последовательность точек
2|, 22, 23, 2П, ...
сходится к точке z0. В силу же непрерывности функции f (z)
в точке 20 получаем lim f (z„)=f (z0), т. e. lim f [ <p (x„)] = f [ф(х0)].
Л-+-ОО n-»OO
Следовательно, предел функции f I <p (x)J в точке x0 равен ее зна-
чению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной
функции f [ (р (х)] в точке Xq.
Пример. Доказать непрерывность функции i/=sinx2 в точке
х = 0.
Решение. Функция z=x2 непрерывна в точке х = 0, а
функция t/ = sinz непрерывна в точке z = 0, поэтому по дока-
занной теореме сложная функция t/=sinx2 непрерывна в точке
х==0.
§ 12. Понятие обратной функции
1. Определение обратной функции. Будем говорить, что функ-
ция f(x) не убывает (не возрастает) на множестве X, если для любых
х(, х2е1, удовлетворяющих условию Х|<Сх2, справедливо нера-
венство/ (x,)<f (х2) (f (Х()>/ (х2)).
Неубывающие и невозрастающие функции объединяют общим
названием монотонные функции.
Если для любых xh х2еХ, удовлетворяющих условию Х|<Сх2,
справедливо неравенство f (xj)<f (х2) (f (xj)>f (х2)), то функция
f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X. Воз-
растающие и убывающие функции называются также строго моно-
тонными.
Примеры. 1. Функция f(x) = sgnx является неубывающей на
всей числовой прямой.
2. Функция f(x) = x является возрастающей на всей числовой
прямой.
Введем теперь понятие обратной функции.
Определение. Пусть X и Y — некоторые множества и пусть
задана функция f, т. е. множество пар чисел (х; t/)(x^X, t/^У),
в котором каждое число х входит в одну итолькоодну пару,а каждое
число у, — по крайней мере, в одну пару. Если в каждой паре этого
множества числа х и у поменять местами, то получим множество
ПаР чисел (у\ х), которое называется обратной функцией <р
к функции f.
Обратную функцию будем обозначать символом х= (р (у).
Отметим, что обратная функция, вообще говоря, не является
Функцией, так как каждое число у может входить не только в одну,
но и в несколько пар. Так, например, для функции у=х обратная
Функция х = у — однозначна (каждое число у входит в одну пару),
Для функции у = х2 обратная функция x=±V^ — двузначна
(каждое число у входит в две пары), а обратная функция х =
Aresing для функции t/ = sinx—многозначна (каждое число у
101
входит в бесконечное число пар). Геометрически данный факт оче-
виден.
Из определения следует, что если обратная функция однозначна,
т. е. является функцией в обычном смысле, то множество значений
Y функции f является областью определения обратной функции ф,
а область определения X функции f — множеством значений обрат-
ной функции (р. Пусть, например, функция y=f(x) определена
на отрезке [а, Ь], отрезок [а, 0] является множеством ее значений
и каждое у 0] соответствует ровно одному х из [а, Ь]. Тогда,
по определению, на отрезке [а, 0] определена однозначная обратная
функция х = (р(#), множеством значений которой служит отре-
зок[а, Ь] (рис. 61).
Таким образом, функция y = f(x) и обратная функция х=<р(#)
имеют один и тот же график. Так, например, функция у=5х и
обратная функция х = 1/5# изображаются графически одной пря-
мой.
Если оси Ох и Оу поменять местами, для чего следует повернуть
в пространстве плоскость Оху вокруг биссектрисы первого коорди-
натного угла на 180°, то новое положение графика обратной функ-
ции х = (р(#) является графиком обратной функции # = <р(х)
(рис. 61).
2. Теорема о непрерывности обратной функции. Теорема 4.15.
Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна
на некотором промежутке X и пусть Y — множество ее значений.
Тогда на множестве Y обратная функция х = (р(#) однозначна,
строго монотонна и непрерывна.
Доказательство. Пусть для определенности функция
f (х) возрастает’на X, т. е. для любых xlt х2<=Х, удовлетворяющих
условию х,<Х2» выполняется неравенство #,<С#2 =
Уг=/(*2)) (рис. 62).
Однозначность обратной функции х = (р(#) следует из того, что
в силу возрастания функции y = f(x) на X справедливо неравен-
ство yl — f^xl)^=f(x^) = y2 при Х|=#х2 и, значит, каждому
y^Y соответствует единственное значение х^Х.
Докажем теперь, что обратная функция х = (р (#) возрастает
на У. Действительно, если #,<С#2, то и х, <С х2(х, = ср (#,) и х2 =
102
= ф(^г))’ так как если бы было Х|^х2> то И3 возрастания f (х)
следовало бы, что у^у2> что противоречило бы предположению
Таким образом, факт строгой монотонности обратной функ-
ции х=ф(*/) установлен.
И наконец, покажем, что обратная функция х = ф(//) непре-
рывна на Y. Согласно следствию теоремы 4.10 множество Y явля-
ется промежутком с концами т и М, где m = inf f(x), M=supf(x).
Пусть х0=ф(*/0). Рассмотрим сначала случай, когда
пг<у0<М (рис. 63). В этом случае точка х0 является, очевидно,
внутренней точкой промежутка
(х0 —е)«=х и (х0+е)«=Х, и
= f(x0+e). Тогда в силу воз-
растания f (х) получим
У\< Уо< У*
Возьмем теперь б>0 таким, что-
бы выполнялись неравенства
У\^Уо — б и у0+Ь^у2.
Тогда, если у удовлетворяет
неравенствам
Уо — б < у < у0 + 6,
то
У\< У <Уъ
и, следовательно,в силу возрас-
тания ср (и) имеем
<р (</1) < ф (</) < ф (</2)-
X. Возьмем б2>0 таким, чтобы
положим «/l = f(x0—е) и у2=
= ф(</о) —е и <p(t/2) = x0+e =
Учитывая, что ф(«/1) = х0— е
= ф(//о) + е> получаем: <p (i/0) —е<Ф (//)<Ф (//о) + е при усло-
вии у0—Ь<.у<у0+6.
Таким образом, доказано что для любого достаточно малого
е>0 существует б>0 такое, что для всех у, удовлетворяющих
неравенству \у — £/0| <16, выполняется неравенство |<р (у) — ф G/o)|<e>
т. е. обратная функция ф (у) непрерывна в точке у0.
Но Уо—произвольная точка интервала (m, М). Значит, обрат-
ная функция <р (t/) непрерывна на (/и, М).
Если m^Y или M^Y, то с помощью аналогичных рассужде-
ний можно доказать непрерывность ф (у) справа в точке т и слева
в точке М.
Итак, факт непрерывности обратной функции х = ф(#) на Y
Доказан.
В случае убывания функции f (х) доказательство теоремы ана-
логично.
Замечание. Если обратная функция х = ф(//) однозначна,
ТО, очевидно, функция y = f(x) является обратной для функции
х = ф(*/). Такие функции называют также взаимно обрат-
ными.
103
Пример. Функция t/=sinx на отрезке [—л/2, л/2] возрастает,
непрерывна и множеством ее значений является отрезок [ — 1, 1].
По теореме 4.15 на отрезке [—1, 1] существует непрерывная воз-
растающая обратная функция с множеством значений [ — л/2, л/2].
ГЛАВА 5
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Эту обратную функцию обо-
значают x=arcsint/. График
ее совпадает с графиком фун-
кции £/=sin х, рассматрива-
емой при —л/2^х^л/2
(рис. 64).
Если теперь х и у поме-
нять местами, т. е. если рас-
сматривать функцию
= arcsinx, то получится
график, изображенный на
рис. 64 сплошной линией.
Пусть на некотором промежут-
ок
§ 1. Понятие производной
1. Определение производной.
ке X определена функция y = f (х). Возьмем любую точку хое
и зададим аргументу х в точке х0 произвольное приращение Ах
такое, что точка х0-[-Ах также принадлежит X. Функция получит
приращение Ay = f (х04-Ах) — f (х0).
Определение. Производной функции y=f(x) в точке х0 назы-
вается предел при Ах->0 отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел су-
ществует ).
Для обозначения производной функции y = f(x) в точке х0
используют символы у' (х0) или f' (х0).
Итак, по определению,
f-w= ,im4«= Пп1 +
' V °7 Ax+0 Ax+0 &X
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
lim -4^- = + оо ^или lim -4^-= — оо\
Дх+0 Лх V Ах-+0 /
то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную
знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной произ-
водной определенную выше производную функции иногда назы-
вают конечной производной. Если функция f(х) имеет конечную
производную в каждой точке х<=Х, то производную /' (х) можно
рассматривать как функцию от х, также определенную на X.
104
Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.
Пример. Найти производную функции /(х) = х2’в точке х = х0.
Решение. Давая аргументу х в точке х0 приращение Дх,
найдем соответствующее приращение функции:
А«/ = f (х0 + Ах) — f (х0) = (х0 + Ах)2 — х2 =
= Хо + 2Х()Ах + (Ах)2 — Хо = 2Х()Ах + (Ах)2
Составим отношение
_ 2*0Лх + (Лх)2
Дх Дх
Найдем предел этого отношения при Дх->0:
lim
Дх—О
Ду
Дх
2х Дх 4- (Дх)2
lim -------т-------
Дх—О
2х0.
Следовательно, производная функции f(х)= х2 в точке х0 равна
числу 2х0, что в принятых обозначениях можно записать так:
Г W =
2. Геометрический смысл производной. Пусть функция y=f(x)
определена на интервале (а, Ь) и пусть точка М на графике функции
соответствует значению аргумента х0, а точка Р — значению x0-j-
+ Лх. Проведем через точки М и
Обозначим через ф (Дх) угол
между секущей и осью Ох (рис.
65). Очевидно, что этот угол
зависит от Дх.
Если существует lim ф(Дх)=
Дх—О
= ф0, то прямуюсугловым коэф-
фициентом & = tg Фо, проходя-
щую через точку М (х0; f (х0)),
называют предельным положе-
нием секущей МР при Дх->0
(или при Р-+М).
Определение. Касательной8
к графику функции y = f(x)
Р прямую и назовем ее секущей.
в точке М будем называть предельное положение секущей МР при
или, что то же, при Р-+М.
Из определения следует, что для существования касательной
Достаточно, чтобы существовал предел lim ф(Дх) = ф0, причем
пРедел <р0 равен углу наклона касательной к оси Ох.
Докажем, что если функция y = f(x) имеет в точке х0 производ-
НУ1°, то существует касательная к графику функции у=Цх)
в точке М (х0; f (х0)), причем угловой коэффициент этой касатель-
(т е Тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной
' (*о).
105
Действительно, из треугольника MNP получаем, что
Отсюда
Ф (Дх) = arctg(1)
Перейдем в равенстве (1) к пределу при Дх->0. Так как существует
производная f' (хэ), то существует и предел
lim == Г (*о)-
Дх_о 1 V 07
Отсюда и из непрерывности функции arctgследует, что суще-
ствует предел правой части равенства (1):
lim arctg-^- = arctg lim arctg f (x0).
Дх-*0 Дх-*0
Следовательно, существует предел и левой части равенства (1).
Таким образом, получаем
lim ф(Дх) = arctg f' (х0).
Дх-*0
Но это и означает, что существует предельное положение секущей
МР, т. ё. существует касательная к графику функции y=f(x)
в точке М (х0; f (х0)), причем угол наклона <р0 этой касательной
к оси (Ух равен arctg f' (х0) и, значит, угловой коэффициент каса-
тельной tg <р0= f (х0), что и требовалось доказать.
Итак, производная функции y=f(x) в точке х0 равна угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке
М (х0; f (х0)).
3. Физический смысл производной. Предположим, что функция
y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по
прямой линии, т. е. y = f(x)— путь, пройденный точкой М от
начала отсчета за время х.
Тогда за время х0 пройден путь y=f (х0), а за время х( — путь
За промежуток времени Ах=х,— х0 точка М пройдет
отрезок пути A//=f (х,) —f (x0) = f (х0 + Дх) —f (х0) (рис. 66).
Отношение -^-называется средней скоростью движения (иср) за время
Ах, а предел отношения при Дх->0 определяет мгновенную
скорость точки в момент времени х0(имгн).
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при иссле-
довании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость
ни отражала функция y=f(x), отношение есть средняя ско-
рость изменения у относительно изменения х, а у' (х0) — мгновен-
ная скорость изменения у при х = х0.
106
Значение производной состоит в том, что при изучении любых
процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость
изменения связанных между собой величин.
4. Правая и левая производные. Используя понятие правого
и левого предела функции, введем понятия правой и левой произ-
вОдных функции у = f (х) в точке х0.
Определение. Правой (левой) производной функции y=f(x)
в точке х0 называется правый (левый) предел отношения при
дх->0 (при условии, что этот предел существует).
Обозначение:
f'. (х0) = lim 4^-(7' (х0) — Нт
' + V °' Лх+0 + V ” V °7 Лх->0— ^х)
Если функция f (х) имеет в точке х0 производную, то она имеет
в этой точке правую и левую производные, которые совпадают.
Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точке х0
правую и левую производные, но
точке. Это, например, функция
|(х)=|х|, которая имеет в точке
х=0 правую производную, рав-
ную lim 4^-=1 (при х>0
Лх—0+
Л#=Дх), и левую производную,
равную f_(0)= lim -^-= — 1
Дх-»-0—
(при х<0 \у—— Дх), но не и
так как (O)y=f'_ (0).
не имеющие производной в этой
f(X9l Мо Ay^ftXfl-ffXg)
Рис. 66
в этой точке производной,
§ 2. Понятие дифференцируемости функции
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке. Опре-
деление. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке
Ч если ее приращение &у в этой точке можно представить в виде
\у = ДДх 4- а(Дх) Дх, (1)
где А — некоторое число, не зависящее от \х, а а(Дх) — функция
аргумента Дх, являющаяся бесконечно малой при Дх->0, т. е.
Jim а(Дх)=0.
Лх-^о
Установим связь между дифференцируемостью функции в точке
и существованием производной в той же точке.
Теорема 5.1. Для того чтобы функция y=f(x) была диф-
ференцируема в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы онаимела
8 этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция у =
^f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. ее приращение в этой
т°чке можно представить в виде (1): &у — ДДх4~а(Дх) Дх. Поде-
107
лив это равенство на Дх (при Дх=#0), получим
-д7= А + а (Л*)-
Переходя к пределу при Дх->-0, имеем
lim = Нт (Л + а(Дх)) = А.
Дх-*0 Дх->0
Отсюда следует, что производная в точке х0 существует и равна
А:Г W = A.
Достаточность, Пусть существует конечная производная f' (х0),
т. е. lim -—=/'(х0). Пусть /'(х0) = Л; тогда функция а(Дх)=
Дх-»-0
=-|-—Л является бесконечно малой при Дх—(см. теорему 4.5).
Из последнего равенства имеем
Ау = ЛДх + а(Дх),
где lim а(Дх)=0. Получено представление (1), тем самым до-
Дх-*0
казано, что функция y — f(x) дифференцируема в точке х0.
Таким образом, для функций одной переменной дифференци-
руемость и существование производной — понятия равносильные.
Поэтому операцию нахождения производной часто называют диф-
ференцированием.
Замечание. Введенная при доказательстве достаточности
функция а(Дх)= Д^/Дх —Л не определена при Дх = 0. Следо-
вательно, полученное для Ау выражение (1) также не определено
при Дх=0. Если определить а(0) произвольным образом, то
равенство (1) будет справедливо и при Дх = 0. Для дальнейшего
целесообразно условиться, что в выражении (1) функция а(Дх)
определена при Дх=0 по непрерывности, т. е. а(0)= lim а(Дх) =
Дх-*0
= 0.
2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерыв-
ности.
Теорема 5.2. Если функция y=f(x) дифференцируема в
данной точке х0, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция y=f(x) дифферен-
цируема в точке х0, то ее приращение в этой точке может быть
представлено соотношением (1). Тогда, переходя к пределу при
Дх->-0, получаем
lim by = Л lim Дх + lim а(Дх) lim Дх — 0,
Дх-*0 Дх-*0 Дх-*0 Дх-*0
что и означает непрерывность функции y = f(x) в точке х0 согласно
третьему определению непрерывности функции в точке.
Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция мо-
жет быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой,
т. е. не иметь производной в этой точке.
108
Примером такой функции служит функция f(x)=|x|, ко-
торая непрерывна в точке х = 0, но, как показано в п. 4, § 1,не
имеет в этой точке производной, т. е. не является дифференцируемой.
Если функция f (х) имеет производную в каждой точке неко-
торого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого про-
межутка), то будем говорить, что функция f (х) дифференцируема
на указанном промежутке.
§ 3. Понятие дифференциала
1. Определение и геометрический смысл дифференциала. Пусть
функция */=f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. ее прираще-
ние At/ в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:
At/ = Л Ах + а (Ах) Ах,
где Пт а(Ах) = 0. Слагаемое Л Ах является при Ах->0 беско-
нечно малой одного порядка с Ах (при Лу=0), оно линейно
относительно Ах. Слагаемое а (Ах) Ах при Ах->-0 — бесконечно
малая более высокого порядка, чем Ах (lim — = 01
Таким образом, первое слагаемое (при Лу=0) является глав-
ной частью приращения функции y=f(x).
Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке
х0 называется главная, линейная относительно Ах, часть прира-
щения функции в этой точке:
dy = ЛАх. (1)
Если Л = 0, то ЛАх=0, и поэтому слагаемое ЛАх уже не
является главной частью приращения At/, так как слагаемое
а (Ах) Ах, вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом слу-
чае по определению полагаем дифференциал функции в точке х}
равным ЛАх, т. е. здесь dt/ = O.
Принимая во внимание теорему 5.1, т. е. учитывая, что А —
^f' (хэ)» формулу (1) можно записать в виде
dy = Г (*о) Ьх. (2)
Пусть f (х) = х. Тогда по формуле (2)
dt/= dx = (x0)'Ах= f lim-^-^-r-^--Vx = flim -^^Ax—1 -Ax=Ax.
V 7 \Ax-«-0 / \Ax-*0 /
Дифференциалом независимой переменной x назовем прира-
щение этой переменной dx=Ax. Соотношение (2) принимает те-
Перь вид
dy = f'(x})dx. (3)
Заметим, что с помощью равенства (3) производную/:'(х0) можно
вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифферен-
циалу dx независимой переменной, т. е.
f (х°) = чг
Дифференциал функции имеет геометрический смысл. Пусть
точка М на графике функции y = f(x) соответствует значению
аргумента Xq, точка Р—значению аргумента х0+Ах, прямая
MS — касательная к графику y=f(x) в точке М, а—угод
между касательной и осью Ох. Пусть, далее MN\\Ox, PN\\Oy
Q — точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 67)’
Тогда приращение функции Аг/ равно величине отрезка NP. В то
же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: NQ^
= tga-Ax=/(x0)Ax = dj, т. е. дифференциал функции ра-
вен величине отрезка NQ. Из геометри-
ческого рассмотрения видно, что вели-
чины отрезков NP и NQ различны.
Таким образом, дифференциал dy
функции y = f(x) в точке х0 равен при-
ращению «ординаты касательной» MS
к графику этой функции в точке М (х0;
f(x0)), а приращение функции Аг/ есть
приращение «ординаты самой функции»
y = f(x) в точке х0, соответствующее
приращению аргумента, равному Ах.
2. Приближенные вычисления с по-
мощью дифференциала. Из определения
дифференциала следует, что он зависит
линейно от Ах и является главной частью приращения функции
Аг/. Само же Аг/ зависит от Ах более сложно. Например, если
f (х) = х3, то Аг/ = (х0 + Ах)3 — Xq = Зх^Ах + Зх0(Ах)2 + (Ах)3, в то
время как
dy — f' (х0) \х = (pin ° -+ 2------^Ьх = Зл^Дл.
Во многих задачах приращение функции в данной точке прибли-
женно заменяют дифференциалом функции в этой точке:
Ьу« dt/- ’ , .
Абсолютная погрешность при такой замене равна |At/—dt/| и
является при Ах->0 бесконечно малой более высокого порядка,
чем Ах.
Пример. Покажем, что если а мало, то можно использовать
приближенную формулу
л/1 + a « 1 + a/2.
Решение. Рассмотрим функцию /(х) = л/х. При малых А*
имеем
А(/ = -д/х0 + Ах — V^o ~ dt/Г'или -д/хо + ~
да (д/х)' \х=( lim ——)д% =
х = х0 \ ДХ-.0 дх /
/• (хо + Дх)-хо \. 1 .
= ( lim —---------------г- )Дх = —— Дх,
Дх(-^ х0 4- Дх + V70) /
ПО
откуда, положив х0= 1, Дх=а, получим
л/1 + а « 1 + а/2.
В частности, V 1,0003 « 1,00015 при а= 0,0003.
Установим теперь правила дифференцирования и вычисления
производных простейших элементарных функций. Заметим только,
что при выводе формул и практическом вычислении производных
обычно пишут не х0, а просто х, но при этом х считают фиксирован-
ным.
§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного
Теорема 5.3. Если функции и = и(х) и v = v (х) дифферен-
цируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное
этих функций (частное при условии, что ц(х)=/=0) также диффе-
ренцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
(и ± у)' = и' ± V', (и • v)' = u'v + uv', = U °~UV (1)
Доказательство. Для вывода формул (1) воспользу-
емся определением производной, равенством f (x-|-Ax) = f (х)+
+Ду и теоремой 4.3. Тогда получим:
/ . у _ |j [и (х + Дх) ± у (х + Дх)] - [ц (х) ± V (х)] _
1 ’ дх-о Ах
= |jm Г И (х + Дх) - ц (х) у (х + Дх) - у (х)
Лх-о L Дх — Дх
= |im + ± |im ?.(х + у-р(х) =
Дх—0 Дх-0 Ах
..Au Аи , ,
= hm т- ± lim -т- = и' ± v';
Дх—0 аХ Дх—0
( у = |j U (х + Дх) у (х + Дх) - и (х) V (х)
k ' Дх-0
_ ]. [и(х) + Ди] (р(х) + Ду] — и(х) у (х)
Дх-0
|. и (х) V (х) + Айи (х) + и (х) Аи + АиАи — и (х) у (х)
Дх—0
= lim Г v (х) + и (х) Ду -^-1 =
Дх-0 L Дх v 7 Дх Дх J
= у lim + и lim + lim Ду lim 4? =
Дх—0 Дх—0 Дх—0 Дх—0 &Х
= vu' + uv' + 0 • и' = u'v + uv'.
Ill
так как lim Ду = О, а множители и и v не зависят от Дх;
Дх-^0
и (х + Ах) и (х)
и\,_ i:m ^(* + Ах) »W _ i: u(x-|-Ax) и (х) — и(х) v(x + Ax)___
, * J ДхТо АхТо W V (X) -
_ .. [ и (х) + Au] v (х) — и (х) [ v (х) + Av] _ uv + Ани — uv — hAv
_ Ахи (x)lt>(x) + At»| *^0 hxv (и + Ди) ~
Au Av г t Av
v —и -- v lim —----и lim ——
Ах Ах Дх-»-о Ах Ах^0 Ах u'v — uv
lim —т~;—л—=-----------------=-----—
Дх+о ^H-vAv о ... >
v2 + и lim Аи
Дх-»-0
§ 5. Вычисление производных постоянной, степенной,
тригонометрических функций и логарифмической функции
1. Производная постоянной функции. Производная функции
y=f(x)=C, где С — постоянное число, выражается формулой
у' = о.
Доказательство. Для любых х и Дх имеем /(х + Дх) =
= С и Ay=f (х + Дх) — f (х) = 0. Отсюда 4х = ^ при любом
Дх =/= 0 и, следовательно,
у' = lim = 0.
у Дх->о Ах
2. Производная степенной функции. Производная функции
z/ = xn, показатель п которой является целым положительным
числом, выражается формулой
у' = п • хп~1.
Доказательство. Используя формулу бинома Ньютона,
можно записать:
&у = (х + Дх)" — хп =
= [ хп + пхл-|Дх + —^п~2 (Ах)2 + ••• + (Ах)л] — хп =
= ПХп~'&Х + -1') хП~2 (Ах)2 + ...+ (Дх)".
Таким образом, при Дх=/=0 имеем
= пхп~' 4- Чх"-2 Ах 4- ... 4- (Ах)"-1.
Так как lim Дх=0, lim (Дх)2=0, ..., lim (Дх)л-1 = 0, то
Дх^О Ах—0 Ах^О
у' = lim -^ = пхп~1.
Лх+о Ах
112
Замечание. Случай степенной функции, показатель кото-
рой является любым вещественным числом, рассмотрен в п. 2, § 9.
3. Производные тригонометрических функций.
1) Производная функции t/=sinx выражается формулой
у' = cos Л.
Доказательство. Имеем
&у = sin (х + Дх) — sin х = 2 sin (Дх/2) cos (х + Дх/2).
Таким образом, при Дх=/=0
&У _ 2 sin (Дх/2) cos (х + Дх/2) _ sin (Дх/2)
Дх — Дх ~ Дх/2 CUS
„ .. sin (Дх/2) . / „ .
Так как lim —т—ту—=1 (первый замечательный предел),
Дх->0
a lim cos (х +Дх/2) = cos х в силу непрерывности функции cos х, то
\х—► О
у' = lim = cos х.
Дх—►О
2) Производная функции t/ = cosx выражается формулой
у' = — sin х.
Доказательство. Имеем
Дг/ = cos (х + Дх) — cos х = — 2 sin (Дх/2) sin (х + Дх/2).
Таким образом, при Дх=/=0
Д(/ _ 2 sin (Дх/2) sin (х + Дг/2) __ sin (Дх/2) , А /оч
Дх — Дх “ Дх/2 51П И -Г ZAX/Z).
Так как lim sin ( х + -у) = sin х в силу непрерывности функ-
ции sin х, то
у' = lim -у- = — sin х.
Дх->0
3) Производная функции t/=tgx выражается формулой
у' =7^т(х^1 + пя)-‘
Доказательство. Так как tg х= sin x/cos х, то по тео-
реме 5.3 получим
у/___ (sin х)' cos х —sin x(cosx)' cos х cos х —sin x(— sin x) cos2 x + sin2 x
COS2 X cos2 x — cos2x ’
следовательно,
. 1
У = -------------------------
cos2 x
8 — 3157
113
4) Производная функции t/=ctgx выражается формулой
Доказательство. Так как ctg x = cos x/sin %, то ана-
логично предыдущему имеем
,__ (cos х)' sin х — cos х (sin х)'_ (—sin х) sin х — cos х cos х_ sin2 х +cos2 х
У sin2 х sin2 х sin2 x ’
следовательно,
sin2 x*
4. Производная логарифмической функции. Производная функ-
ции у= logfl х (0<а=/= 1) выражается формулой
/ = 4|о£‘е = ТППГ
Доказательство. Имеем
Лу = loga(X + \х) — logaх = loga х+х^х = loga( 1 +
Таким образом, при Дх=/=0
= +^г) = 4^7|°е-(| +4-)'
Полагая х/Дх=Л, имеем: lim (1 + Дх/х)х/Лх= lim (1 + 1/ft)h = e
Дх->-0 fi-^oo
(второй замечательный предел), а так как логарифмическая функ-
ция является непрерывной, то
У’ = lim 47=41о£«[ lim О+пг) ' 1 = 4 1о£° е = ТПГа‘
Дх-*о ъх х L Дх-+о \ х / J х х та
Следствие. Если у= log^ х= In х, то z/' = (ln х)'= 1/х.
$ 6. Теорема о производной обратной функции
Пусть функция y=f (х) удовлетворяет условиям теоремы 4.15 об
обратной функции и функция х=ср (у) является для нее обратной.
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 5.4. Если функция y=f(x) имеет в точке х0
производную f'(xo)=/=O, то обратная функция х = ц)(у) также
имеет в соответствующей точке yQ= производную, причем
v' W - жг
Доказательство. Дадим аргументу у обратной функ-
ции х = ф(г/) некоторое приращение Дг/=/=О в точке у0. Функция
114
получит некоторое приращение Дх, причем в силу воз-
растания (или убывания) обратной функции Дх=/=0. Следова-
тельно, можем записать:
Дх 1
Az/ Ьу/Ьх’
Перейдем в этом равенстве к пределу при Д//->0. Так как обрат-
ная функция х=ф(г/) непрерывна в точке yQ (см. теорему 4.15),
то Дх->0 при Дг/->0. Но при Дх-предел правой части ра-
венства существует и равен 1 //' (х0). Следовательно, существует
предел и левой части равенства, который по определению равен
ф' Таким образом, получаем
<₽' (Уо) = ур-р (1)
Доказанная теорема имеет простой ге-
ометрический смысл. Рассмотрим в неко-
торой окрестности точки х0 график функ-
ции y = f(x) (или обратной функции х =
= Ф (£/)). Пусть точке х0 на этом графике
соответствует точка М (рис. 68). Как из-
вестно, производная f'(x0) равна тангенсу
угла а наклона касательной, проходящей
через точку М, к оси Ох. Производная
обратной функции ф' (t/0) равна тангенсу угла 0 наклона той же
касательной к оси Оу. Поскольку углы а и 0 в сумме составляют
л/2, то формула (1) выражает очевидный факт:
Ф (Уо) tg 0 ctg р . ctg(л/2 — a) tg а Г(хо) ’
§ 7. Вычисление производных показательной функции
и обратных тригонометрических функций
Используя доказанную выше теорему 5.4, продолжим вычисле-
ние производных простейших элементарных функций.
1. Производная показательной функции. Производная функ-
ции у = ах (0<а=/= 1) выражается формулой
у' = ах In а.
Доказательство. Показательная функция у = ах яв-
ляется обратной для логарифмической функции x=\ogay. Так
как
х' (у) = 4 loga е,
То в силу теоремы 5.4 о производной обратной функции и извест-
ного из элементарной математики соотношения logab = l/log6a
получаем
, , ч 1 у х, _
у (%) = — = а In а.
* v 7 х'(у) 10gae “
Следствие. Если у = ех, то у' = (ех)' = ех.
2. Производные обратных тригонометрических функций.
1) Производная функции t/=arcsinx выражается формулой
Доказательство. Функция t/=arcsinx является об-
ратной для функции x=sint/. Так как х' (у)= cos у, то по тео-
реме 5.4 о производной обратной функции получаем
> Х'(у) COSy ^~{-s[n2y'
Корень взят со знаком плюс, так как cos у положителен на интер-
вале —Учитывая, что sint/ = x окончательно имеем
w = 7Г7"
2) Производная функции t/=arccosx выражается формулой
у'w = “
у 1 — х2
Доказательство аналогично предыдущему.
3) Производная функции у= arctg х выражается формулой
У = 1 + X2’
Доказательство. Функция у= arctg х является обрат-
ной для функции x = igy.
Так как х' (у) = 1 /cos2 у, то у' (х)= 1 /х' (у) = cos2 у. Но
1/cos2 у= 1 +tg2 у= 1 +х2, следовательно,
У'(*) = -ГТ7-"
4) Производная функции t/=arcctgx выражается формулой
у =
Доказательство аналогично предыдущему.
§ 8. Правило дифференцирования сложной функции
Теорема 5.5. Если функция х = ф (/) имеет производную
в точке а функция y=f(x) имеет производную в соответствую-
щей точке х0=ф(/0), то сложная функция f [<р(/)] имеет произ-
116
водную в точке tQ и справедлива следующая формула:
У' (to) = f' (*о) ф' (/о). (1)
Доказательство. Так как функция y=f(x) дифферен-
цируема в точке х0, то приращение этой функции в точке х0 может
быть записано в виде
Дг/ = f' (х0) Дх + а(Дх) Дх, (2)
где lim а(Дх) = 0. Поделив равенство (2) на Д/, получим
Дх-М)
+ Р)
Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых Дх. Возь-
мем Дх равным приращению функции х=<р(/), соответствующему
приращению Д/ аргумента t в точке /0, и устремим в этом равен-
стве Д/ к нулю. Так как по условию функция х = <р(/) имеет в точке
/0 производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно,
согласно третьему определению непрерывности функции в точке,
Дх->0 при Д/—>0. Но тогда и а(Дх) также стремится к нулю,
т. е. имеем
lim (а(Дх)-^4) = lim а(Дх) lim 4т = 0 • ф' (/0) = 0. (4)
Д/-»0 \ ш / Д/-*0 Д/+0 ш
В силу соотношения (4) существует предел правой части равен-
ства (3) при Д/->0, равный f' (х0) <р' (/0). Значит, существует
предел при Д/->0 и левой части равенства (3), который, по опре-
делению производной, равен производной сложной функции у =
= /[<р(/)] в точке /0. Тем самым, доказана дифференцируемость
сложной функции и установлена формула (1).
Замечание!. В данной теореме рассмотрена сложная
функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х.
Возможна и более сложная зависимость — с двумя, тремя и боль-
шим чисдйм промежуточных переменных, но правило дифференци-
рования остается таким же.
Так, например, если y=f(x), где х=<р(ц), а ц = ф(у) и
и = % (/), то производную у' (/) следует вычислять по формуле
у' (0 = Г W <р' (") (у) х' (0- (5)
Пример 1. Вычислить производную функции i/ = earctgx.
Решение. Данную функцию можно представить в виде
У = еи, где u = arctgx. Тогда по формуле (1)
у' W = у' (и) и' (х) =
Заменяя и на arctg х, окончательно получим
Пример 2. Вычислить производную функции i/=tg2 V%2 -|- 1.
117
Решение. Данную функцию можно представить в виде
= и\ где w = tgy, a v = ^[w и ш = х2+1. Используя формулу (5)
получаем
у' (х) = у' (и) и' (у) у' (ш) w' (х) = (и2)' (tg v)' (Vw)z (х2 + 1)' =
о 2 1 о 2х tg <х2 + 1 sec2 д/х2 + 1
= 2u sec2 v —2х =-------—-^=-1——.
2\ w У х2 4- 1
Замечание 2. Иногда производную приходится вычислять
непосредственно исходя из ее определения. Найдем, например,
производную функции
f (r\ _ /x2sin(l/x) при х =/= О,
Г[ ) I 0 при х = 0.
При х=/=0 производная вычисляется по формулам и правилам
дифференцирования:
f' (x)=(x2sin-^z=(x2)'sin-^-+x2 ^sin-^-)' 0-)'=2xsin-L—cos-^-.
Этим выражением нельзя воспользоваться при х = 0. В точке
х=0 производную можно вычислить, используя определение про-
изводной:
У (0) = lim = lim Дх sin = 0
1 V 7 Лх+0 Лх+0
(произведение бесконечно малой функции
бесконечно малая). Таким образом,
f(x)=J 2xsin(! A) — cos(l/х)
на ограниченную есть
при х=/=0,
при х = 0.
§ 9. Логарифмическая производная. Производная степенной
функции с любым вещественным показателем. Таблица
производных простейших элементарных функций
1. Понятие логарифмической производной функции. Вычислим
производную функции у= In |х| (х=/=0). Так как (1пх)'=1/х
и (in (—xjr = ( —х)'/—х= 1/х (последнее равенство получено на
основании правила дифференцирования сложной функции), то
производная данной функции выражается следующей формулой:
у' = (Injxl)' = (1)
Учитывая формулу (1), вычислим производную сложной функ-
ции £/=ln |w|, где u = f(x)—дифференцируемая функция.
Имеем
!/'= (in |«|)'= =
118
ИЛИ
(ln|f(x)|)' = -£$. (2)
Производная (in \f (x)|)' называется логарифмической произ-
водной функции f (х). Для упрощения записи при логарифмическом
дифференцировании знак модуля у функции f (х) обычно опуска-
ется.
Вычислим с помощью логарифмической производной производ-
ную показательно-степенной функции t/=u(x)y(x), где и и v —
некоторые функции от х(и>0), имеющие в данной точке х про-
изводные и' (х) и у' (х). Так как lnt/=y(x) In и (х), то, исполь-
зуя формулу (2), получаем
-у = In u(x)]' = i»'(x) In u(x) +
Отсюда, учитывая, что y=u(x)v(x\ получаем следующую фор-
мулу для производной показательно-степенной функции:
у' = « W'<x, [ (*) In и (х) + v (х) . (3)
Пример. Вычислить производную функции у = хх.
Решение. Данную функцию можно представить в виде у =
= и(х)У(х), где и(х) = х и у(х) = х. Используя формулу (3),
получаем
у' = хх £ 1 In х + х = хх (In х + 1).
Производную показательно-степенной функции у= и (х)У(х)
можно вычислить и другим способом. Представим функцию в виде
У = ev(x) \п и(х) и вычислим у'-
у' = [ ер (х) 1п “(х)]' = ev (х) ln и (х) [ V (х) In и (х)]' =
= У [ V (х) In и (х) + V (х) ,
подставляя у=и (х)У(х), приходим снова к формуле (3).
Логарифмическая производная очень удобна при нахождении
производной степенной функции с любым вещественным показа-
телем.
2. Производная степенной функции с любым вещественным по-
казателем. Производная функции у=ха (а — любое веществен-
ное число) выражается формулой
у' = ах*-1.
Доказательство. Так как у = х\ то ln(/=alnx.
По формуле (2) находим
— = [a In х]' = —.
у L J х
119
Отсюда, учитывая, что # = ха, получаем формулу для производ,
ной степенной функции:
у' = (х“)' = аха-1.
Таким образом, нами вычислены производные всех простейших
элементарных функций и мы можем составить следующую таб-
лицу.
3. Таблица производных простейших элементарных функций
I. (С)' = 0.
II. (ха)' = аха-1, в частности (—=------(V*) = —
III. (loga х)' = -i- loga е, в частности (In х)' =
IV. (ах)' = ах In а, в частности, (ех)' = ех.
V. (sin х)' = cos х.
VI. (cos х)' = — sin х.
VII. (tg х)' = —V-.
v 6 7 COS2 X
VIII. (ctg xy = - -4--
v ° 7 sin2 X
IX. (arcsin x)' = —7=J=.
VT - X2
X. (arccos x)' =---, 1 .
y/l -X2
XI. (arctg x)' = —^-r.
1 I Л
XII. (arcctgx)' =
1 т Л
Формулы, приведенные в таблице, а также правила дифферен-
цирования суммы, разности, произведения, частного и правило
дифференцирования сложной функции являются основными фор-
мулами дифференциального исчисления. На основе правил и фор-
мул дифференцирования можно сделать важный вывод: производ-
ная любой элементарной функции также элементарная функция.
Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса
элементарных функций.
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Понятие производной л-го порядка. Как уже отмечалось
в § 1 данной главы, производная f' (х) функции y=f(x) сама
является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по от-
ношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и
нахождении производной.
Назовем f' (х) производной первого порядка функции f (х).
Производная от производной некоторой функции называется
производной второго порядка (или второй производной) этой функ-
ции. Производная от второй производной называется производной
третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные,
начиная со второй, называются производными высших порядков и
120
обозначаются у"', t/4}, j/5), ..., t}n\ ... (вместо у" и иногда
пишут у{2) и !/(3)),или f" (х), f"(x), f(4) (х), f(5) (х), ..., f(n)(x), ...
Производная n-го порядка является производной от производ-
иой(я— 1)-го порядка, т. е. у{п}=(у(п~1})'.
Производные высших порядков имеют широкое применение
в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй произ-
водной f" (х). Если функция y = f(x) описывает закон движения
материальной точки по прямой линии, то первая призводная
(х) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вто-
рая производная равна скорости изменения скорости, т. е. уско-
рению движущейся точки в этот момент.
2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
1) Вычислим п-ю производную степенной функции у=ха(х>
>0) (а—любое вещественное число). Последовательно диффе-
ренцируя, имеем*:
у' = аха_|, у(2)= а (а— 1) ха-2, i/(3)= а (а— 1) (а —2) ха-3,..., у{п}=
= а(а—1)(а—2) ...[а-(п-1)] ха~п.
В частном случае, если а=/п, где т — натуральное число,
получаем
(xm)(m) = т (т — 1) (т — 2) ... [т — (т — 1)] • 1 = /и!,
(xm)(n) = 0 при п > т.
2) Вычислим п-ю производную показательной функции у = ах
(0<а=/= 1). Последовательно дифференцируя, имеем
у' = ах In а, у{2} = ах (In а)2, у{3) = ах (In а)3,..., у{п} — ах (In а)п.
В частности, если у = ех, то для любого п
(ех)(п) = ех.
3) Вычислим п-ю производную функции # = sinx. Последо-
вательно дифференцируя, имеем
^' = cosx = sin^x + -^yу{2} = — sin х = sin (х + л) = sin (х + 2-^-),
у(3) = — cos х = sin (х + 3-^-),...»у{п} = sin (х +
Таким образом, производную любого порядка от sin х можно
вычислять по формуле
(sin х)(л) = sin (х +
Например, (sin х)(,0) = sin (х + Ю (л/2)) = sin (х + л) = — sin х.
4) Аналогично можно получить формулу п-й производной функ-
ции у= cos х:
(cos х)(п) = cos (х + п
*При строгом выводе формул n-х производных следует применить метод
м Тем этической индукции.
121
3. Формула Лейбница для n-й производной произведения дву*
функций. Пусть y=u-v, где и и v — некоторые функции от пере,
менной х, имеющие производные любого порядка. Тогда
у' = u'v + uv', у" = u"v + u'v' + u'v' + uv" =
= u"v + 2u'v' + uv" = u{2)v 4- 2u'v' + uv{2),
y'" = u"'v 4- u"v' 4- 2u"v' 4- 2u'v" 4- u'v" 4- uv"' =
= u'"v 4- 3u"v' 4- 3u'v" 4- uv'" = u{3} v 4- 3u(2) v' 4- 3u'u(2) 4- uv{3}.
Правые части полученных равенств похожи на разложения раз-
личных степеней бинома (и + о)" по формуле Ньютона, но вместо
показателей степени стоят числа, определяющие порядок произ-
водных, а сами функции и и v для полной аналогии с формулой
Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого по-
рядка»: и(0) и и(0). Учитывая это, запишем общий вид n-й произ-
водной произведения двух функций:
У{п}= (uv){n} = U{n)v 4- nu{n~l}v' 4- П (П2! !- U{n~2}v" 4- ...
... + n(n - 0 ..(n -ft +1) + + (1)
Формула (1) называется формулой Лейбница*. Докажем эту фор-
мулу методом математической индукции.
При п=1 эта формула принимает вид (uv)'= u'v-}- uv', что
совпадает с формулой дифференцирования произведения двухфунк-
ций. Для и = 2 и и = 3 она также проверена. Поэтому достаточно,
предположив справедливость формулы (1) для некоторого п, дока-
зать ее справедливость для п 4-1. Продифференцируем эту фор-
мулу, т. е. найдемj/n+,)=G/'I)):
и (n+Dp a(n)D' nlu{n}v' 4- и{п~{\)"] 4-
+ + Ы‘"-2)И +
... 4- п(п~ 1) । u(n_k)v(k+\)] _
... 4- u'v{n} 4- uv{n+i\
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
y(n+l) = u(n+l)v _|_ („ _|_ |) U(MV, U^v" + ...
i Г п(п - 1) ... (п - k + 2) ! n(n- 1)\. (n-fc+ !)] t'(n-k+V)_Ak) t
••• "Г [ (k - 1)! "Т- k\ J u U
... + (n + l)u'u(n) 4- UV{n + {\
*Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) —немецкий философ н
математик.
122
|4о выражение, стоящее в квадратных скобках, можно предста-
вить следующим образом: >
(Л-1)! ' Л! "~
п (п — 1) (и — 2) ... (и — k + 2) (и — k + 1) (п — Л)(л — k — 1) (и — k — 2) ... 1
= (Л — 1)! (п — Л + 1) (п — Л) (л — Л — 2) ...1 *"
j п(п— 1)...(и — Л-|-1)(п — Л)(и —Л — 1)(и — k — 2)... 1_
Л!(п - Л)(п — Л — 1)(п — Л —2)... 1 —
п\ л! _____ п\ / 1 । 1 \_____
= (Л-1)!(п-Л-Ь1)!+ Л!(п —Л)! — (Л — 1)!(п — Л)! V и-Л-h 1 ) ~~
_ и! п-hl _ (и-hl)! __
— (Л — 1)!(п —Л)! Л(и-Л-Н1)“" Л!(и-Л-Н1)’“"
(и + 1) п (п - 1) (п - 2) ... (п - Л + 2) (и - Л + 1) X
_ X (и —Л)(п —Л—1)(и —Л —2)...1 _
~ Л!(и-Л-Н 1)(и —Л)(п —Л — 1)(и-Л —2)...1
_ (п-Н1)п(и-1)(и-2)...(и-Л-Н2)
— Л!
Поэтому
yi.n+D= ы(п+Dy _|_ i)u(" v+12+221ы'" - V _|_.
... + <n+1)n<n-^-'(n~fe + 2)u("-t+l)t>(t)+... +(п + 1 )u'v{n)+ uv(n+l\
Формула (1) доказана.
Пример 1. Вычислить пятую производную функции у = х5ех.
Решение. Полагая и = х5 и у = ех, найдем: и' = 5х4,
и" = 20х3, и"'=Ш, u(4) = 120x, u(5) = 120; v'=v" = v'"=^ =
= и(5)=ех. Подставляя эти выражения в формулу (1) при и = 5,
получаем
</51= 120 е*+5- 120хеЛ+44б0х2ех+-|^|20х3ех+5 • 5х4ех + х5ех =
= ех( 120 + 600х + 600х2+200х3+25х4+х5).
Пример 2. Вычислить n-ю производную (nl>2) функции у=
= х2 cos х.
Решение. Полагая и = cos х и v = х2, найдем
и{п}= cos + v' = 2*’ ^" = 2, и"'= у(4) = ^5) = ...= 0.
Подставляя в формулу (1), получаем
yW = COS (х + х2 + 2п COS [ X + (и — X +
Н-----1.2" c°s [ X + (п — 2)—j.
4. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференци-
алы высших порядков. Для удобства будем наряду с обозначе-
ниями дифференциалов символами dy и dx использовать обозна-
чив бу и 6х.
123
Пусть функция f (х) дифференцируема в каждой точке х неко-
торого промежутка. Тогда ее дифференциал
dr/ = f' (х) dx,
который назовем дифференциалом первого порядка, является функ-
цией двух переменных: аргумента х и его дифференциала dx. Пусть
функция f' (х), в свою очередь, дифференцируема в некоторой
точке х. Будем рассматривать dx в выражении для dr/ как посто-
янный множитель. Тогда функция dr/ представляет собой функцию
только аргумента х и ее дифференциал в точке х имеет вид (при
рассмотрении дифференциала от dr/ будем использовать новые
обозначения для дифференциалов)
6 (dy) = 6 [f' (х) dx] = [f' (х) dx]' Sx = f" (x) dx Sx.
Дифференциал 6 (dr/) от дифференциала dr/ в точке x, взятый
при Sx = dx, называется дифференциалом второго порядка функ-
ции f (х) в точке х и обозначается d2y, т. е.
d2i/=rW(dx)2.
В свою очередь, дифференциал 6 (d2r/) от дифференциала d2y, взя-
тый при 6x=dx, называется дифференциалом третьего порядка
функции f(x) и обозначается d3y и т. д. Дифференциал в (drt~ 1г/)
от дифференциала drt—’, взятый при 6x=dx, называется диффе-
ренциалом п-го порядка (или п-м дифференциалом) функции f(x)
и обозначается drtr/.
Докажем, что для n-го дифференциала функции справедлива
формула
dпу = у(п) (х) (dx)", п = 1,2,...- (2)
Доказательство проведем по индукции. Для н=1 и п = 2 фор-
мула (2) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка
п — 1:
d"-'y = y»"-n(x)(dx)"“1,
и функция е/(я-1)(х), в свою очередь, дифференцируема в некото-
рой точке х. Тогда
d пу = в (d"_|y) = 6 [ у'"-1’ (х) (dx)"-1] =
= [у("-1)(х) (dx)"-1]'вх = ^"’(х) ex(dx)"-1.
Полагая 6x=dx, получаем
dny = 6 (d'-'y) I = y(n) (x) (dx)",
f6x= dx
что и требовалось доказать.
Из формулы (2) следует, что для любого п справедливо равен-
ство
У(п) (х) = или У(я) (*) =
124
т е. n-я производная функции y=f(x) в точке х равна отноше-
нию n-го дифференциала этой функции в точке х к п-и степени
дифференциала аргумента.
Пример 3. Вычислить дифференциал d3z/ функции у = х4 —
—- Зх2 4.
Решение. Последовательно дифференцируя, получаем
у' (х) = 4х3 — 6х, у" (х) = 12х2 — 6, у'" (х) = 24х.
Следовательно, d3t/ = у'" (х) (dx)3 = 24х (dx)3.
§ 11. Параметрическое задание функции
и ее дифференцирование
1. Параметрическое задание функции. Пусть даны две функции
х = (1)
одной независимой переменной /, определенные и непрерывные
в одном и том же промежутке. Если х=<р(/) строго монотонна,
то обратная к ней функция / = ф(х) однозначна, также непрерывна
и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию,
зависящую от переменной х посредством переменной /, называемой
параметром:
у = 1|) [ф(х)|.
В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически
с помощью уравнений (1).
Отметим, что функция ф[ф(х)] непрерывна в силу теоремы
о непрерывности сложной функции.
Пример 1. Пусть x = /?cos/, у= R sin t (0^/^л). Так как
функция x=/?cos/ убывает при 0^/^л, то данные уравнения
задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х
из первого уравнения, и подставить во второе, то получим иско-
мую функцию переменной х в явном виде.
Это еще легче сделать, если заметить, что
х2 + у2 = R2 (cos2/ + sin2/) = /?2.
Отсюда y = ^l R2 — х2 или у= —^Ir2 — x2. Так как функция у=
^Rsint неотрицательна для 0^/^л, то перед радикалом
выбираем знак плюс: у = ^ R2 — x2.
Если л t <2 2л, то у = — ^R2 — х2.
Таким образом, можно сделать вывод, что когда / изменяется
От 0 до 2л, то формулы x=/?cos/ и y=R sin t определяют две
Функции переменной х, графики которых образуют окружность
Радиуса R.
Пример. 2. Пусть х=а cos /, у= b sin / (0С/<2л).
Данные равенства являются параметрическими уравнениями
клипса, так как (см. замечание п. 1, § 7, гл. 3) эллипс получается
Из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу. Из
125
примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружно-
сти x^4-i/2==a2 являются уравнения x=acos/, r/=asin t (Ос
^/г^2л). Итак, параметрические уравнения эллипса получаются
из параметрических уравнений окружности умножением правой
части уравнения для ординаты у на b/а и имеют вид: x=acos/t
у= b sin t (0</<2л). Можно поступить проще. Исключая из
этих уравнений параметр t (разрешая их относительно cos/ и
sin /, возводя полученные равенства в квадрат и складывая), по-
лучаем
(х/а)2 4- (y/b)2 = cos2/ 4- sin2 / = 1 или х2/а2 4~ у2/Ь2 = 1
— уравнение эллипса.
Параметрическое задание функции имеет особо важное значе-
ние при изучении движения точки. Если точка движется на пло-
скости, то ее координаты х, у являются функциями времени /.
Задав эти функции х=<р(/), */=ф(/), мы полностью определим
движение точки. Для каждого промежутка времени, в котором
функция <р(/) строго монотонна, можно, как и раньше, определить
функцию 1/ = ф[ф(х)], графиком которой является кривая, опи-
сываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В по-
следнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.
2. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Предположим теперь, что функции х=<р(/) и 1/ = ф(/) имеют
производные, причем <р' (/)=#0 на некотором промежутке. Из
последнего неравенства вытекает (как будет показано) строгая
монотонность функции х = ф(/) (см. теорему 6.7, гл. VI) и, сле-
довательно, однозначность обратной функции /=Ф(х). По тео-
реме 5.4 о производной обратной функции функция Ф (х) имеет
производную
Ф' (х) =
v 7 Ф (О
а по теореме 5.5 о производной сложной функции функция у =
= ф[ф(х)] имеет производную
у' (х) = ф' (Ф (х)) Ф''(х).
Следовательно,
W (2)
/=Ф(х).
Таким образом, доказано, что производная функции, заданной
параметрически, выражается формулой (2).
Пример 1. Найти у' (х), если x=/?cos/, y=R sin t (0<
</<л)
Решение. По формуле (2) получаем [здесь /=ф(х)===
= arccos (х//?)]
/ = arccos (х/Я)
X
cos t R
-yj 1 — cos21 д/Т— £/№
t = arccos (x//?)
X
(х=/=±Я).
126
Если воспользоваться явным выражением для функции у от
= R2 — x2, то получим, разумеется, тот же результат:
/ (X) = ~ _^=г(х Ф ± /?).
* 2V^ - V*2 - *2
Пусть существуют вторые производные функций ф' (/) и ф' (/)
в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производ-
ную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция
У W- ф'(0
, в свою очередь, задана параметрически урав-
/ = Ф(х)
нениями у'х—Дтг='ф|(С и х=ф(0- Следовательно, по формуле (2)
ф \Ч
имеем
ф; (o
Ф' (0
ч>'(0
Г(0ф'(0-фЧт*)
(ф'(0)г
<р' (0
t = Ф (x)
_ г (0 ф'(<)-<Г(ОМ>'«)
[<₽' (ОГ
t = Ф (x)
Здесь использовано правило дифференцирования
Итак,
t = <D(x)
частного.
y„ = ^(ОфЧО-ф'ЧО Ф'(0
(3)
/ = Ф(х)
Аналогично можно получить производную от у по х любого порядка.
Пример 2. Найти у" (х), если x=cos/, y=sin t (0^/^л).
Решение. f/'(/)=cos/, /'(/)=— sin (/); х'(/)= —sin/,
%"(/) = —cos t. Подставляя в формулу (3), найдем
(— sin t) (— sin t) — (— cos t) (cos t) _
у" W =
(— sin t)
arccos х
sin2 t + cos2 t
( — sin /)’
3/2 ’
sin3 t
arccos x
глава 6
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
. В предыдущей главе мы познакомились с дифференцированием
Функций. Рассмотрим теперь методы исследования функции и по-
строение графиков, которые широко используются как в теории,
Так и на практике.
$ Ь Основные теоремы дифференциального исчисления
г/ Теорема 6.1 (теорема Ферма)*. Пусть функция
' определена на интервале (а, Ь) и в некоторой точке х0 этого
*Ферма Пьер (1601—1665) — французский математик.
127
интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда
если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т. е’
Л(хо)=О.
Доказательство. Пусть для определенности Функция
f (х) в точке х0 имеет наибольшее значение, т. е. f (x)^f (х0) ддя
любого хе(а, Ь). Это значит, что &y=f (х0 + Ах) — f (х0)^о
для любой точки х0 + Ахе(а, Ь). Поэтому, если Ах>О(х>хо)>
то Ai//Ax^0 и, следовательно,
Г+(х0)= lim 77 < О,
Дх—0+
если же Лх<0 (х<х0), то А1//Ах^0 и, следовательно,
f_(x0) = lim 77 > О,
Дх—0-
т. е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая —
неотрицательная. По условию, f'(x0) существует и, значит, f' + (x0) =
= f'_ (x0) = fz (х0). Это возможно только в случае, когда f'+(x0) =
= f'_(xo) = O. Но тогда и/' (хо) = О.
Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция
f (х) имеет наименьшее значение.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если
в точке х0 дифференцируемая функция f (х) имеет наибольшее или
наименьшее значение, то в точке (х0; f (х0)) касательная к графику
функции f (х)параллельна оси Ох (рис. 69).
Замечание. Теорема неверна, если функцию f(x) рассмат-
ривать на отрезке [a, ft]. Так, например, функция f(x) = x на от-
резке [0, 1] в точке х=0 принимает наименьшее, а в точке х= 1 —
наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке произ-
водная в нуль не обращается, а равна единице (рис. 70).
Теорема 6.2 (теорема Ролля)*. Пусть на [а, Ь]
определена функция f (х), причем: 1°) f (х) непрерывна на [ а, ft]; 2°)
f (х) дифференцируема на (a, ft); 3°) f(a) = f(ft). Тогда существуй
точка с^(ау Ь)у в которой f' (с) = 0
*Ролль Мишель (1652—1719) —французский математик.
128
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна
на 1а> ^]» т0 по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом
отрезке максимальное значение М и минимальное значение ту
т е. существуют такие точки х„ х2е[а, Ь], что f(x1)=/n, f(x2) =
и выполняются неравенства
т < f W
< М.
Возможны два случая: 1) М=т; 2) т<М.
В первом случае f (х) = const = М = пг. Поэтому производ-
ная f (х) равна нулю в любой точке [ау Ь], и теорема доказана.
Во втором случае так как f (а) = f (6), то хотя бы одно из двух
значений, пг или М, не принимается на концах отрезка [а, Ь], т. е.
существует точка Ь), в которой функция f (х) принимает
наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, Ь). В этом
случае, так как f (х) дифференци-
руема в точке с, изтеоремыФерма
следует, что f' (с) = 0.
Геометрически теорема Ролля
означает, что у графика непрерыв-
ной на отрезке [ а, Ь] и дифферен-
цируемой внутри этого отрезка
функции, принимающей на его
концах равные значения, сущест-
вует точка (с; f (с)), в которой
касательная параллельна оси Ох
Рис. 71
(рис. 71). На рис. 71 в точке с функция f (х) принимает наиболь-
шее значение.
Следует отметить, что все три условия теоремы Ролля сущест-
венны. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры функ-
ций, для которых выполнялись бы два условия тоеремы, а третье
не выполнялось и производные которых не обращались бы в нуль
ни в одной точке. Так, например, функция ^(х) = х, хе|0, 1]
(см. рис. 70) удовлетворяет условиям 1° и 2°, но не удовлетворяет
Рис. 72 Рис. 73
Функция f (х), равная х, если 0^х<1, и равная 0, если
1 (рис. 72), удовлетворяет условиям 2° и 3°, но не удовлетво-
рит условию 1°. Функция f (х)= |х|, хе[-1, 1] (рис. 73)
9 '-3157 129
удовлетворяет условиям 1° и 3°, но не удовлетворяет условию 2°
Для этих функций также не существует точки, в которой их про*
изводная обращалась бы в нуль.
Отметим, что в математике существенность тех или иных усло-
вий доказываемых теорем проверяется построением соответствую,
щих примеров, когда невыполнение того или иного условия тео-
ремы приводит к тому, что утверждение теоремы становится не-
верным.
Теорема 6.3 (теорема Лагранжа)*. Пусть на
[а, Ь] определена функция f (х), причем: 1°) f (х) непрерыная на
[а, 6]; 2°) f (х) дифференцируема на (а, Ь). Тогда существует точка
с^(а, Ь) такая, что справедлива
формула
Доказатель
в рассмотрение на [а, Ь]
гательную функцию
F(x)=f(x)-f(a)
с т в о. Введем
вспомо-
удовлетворяет
Функция
всем трем условиям теоремы Ролля:
1) F (х) непрерывна на [а, Ь]
(как разность двух непрерывных
функций f (х) и линейной функции f (а)-|- (х —а));
2) F (х) дифференцируема на (а, т. е. внутри [а, Ь] имеет
производную, равную F' (x) = f' (х)—1 — а"^*
3) Г(а) = 0и F(6) = 0, т. e.F(a) = F(b).
Следовательно, по теореме Ролля существует точка се (а, Ь)
такая, что р'(с) = 0, т. е. f' (с)—--у— — = 0. Отсюда получаем:
Г(с)=2^.и
Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 74).
Величина является угловым коэффициентом секущей,
проходящей через точки Мj (a; f (а)) и M2(b f (6)) графика функ-
ции y=f(x), a f' (с) — угловой коэффициент касательной к гра-
фику в точке (с; f (с)). Из теоремы Лагранжа следует, что сущест-
вует точка с такая, что касательная к графику в точке (с; f(c))
параллельна секущей М{М2 Таких точек может быть и несколько,
но, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание 1. Равенство
f (b) — f (а) = f' (с) (Ь — а), а < с < Ь, (О
*Лагранж Жозеф-Луи (1736—1813) —французский математик.
130
называется формулой Лагранжа или формулой конечных прираще-
ний.
Замечание 2. Так как точка с лежит между а и Ь, то с =
^а + $(Ь — а), где О<0<1. Учитывая это, формулу Лагранжа
можно записать в виде
f (6) - f (а) = Г (а + 0(Ь - а)) (Ь - а), где 0 <0 < 1.
Замечание 3. Если положить а = х, & = х-|-Лх, то по-
лучим
f (х + Ах) — f (х) = f' (х + 0 Дх) Дх, где 0 <0< 1.
Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись
в виде (1).
Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит
в основе доказательства многих формул и теорем анализа.
Теорема 6.4 (теорема Коши). Пусть функции f (х)
и g(x) непрерывны на [а, Ь] и дифференцируемы на (а, Ь). Пусть,
кроме того, g'(x)=/=0. Тогда существует точка с<=(а, Ь) такая,
что справедлива формула
fW-f(a) _ Г (с) / 9х
gW -g (a) g' (с) • ' '
Доказательство. Покажем сначала, что g (&)=/=£ (а),
т. е. что формула (2) имеет смысл. Действительно, если допустить,
что g (b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g (х) найдется
точка £е(а, Ь), в которой g'(£) = 0. А это противоречит усло-
вию, что g' (х)=/=0 на (а, Ь). Перейдем к доказательству формулы (2).
Рассмотрим на [а, Ь] вспомогательную функцию
F W = f W - f (a) - tg w - g (a)l •
Нетрудно заметить, что F (x) на [a, &] удовлетворяет условиям
теоремы Ролля. В самом деле, F (х) непрерывна на [а, Ь], диффе-
ренцируема на (а, Ь), и, кроме того, подстановка х = а и х=Ь
Дает F(a) = 0 и F(&) = 0, т. е. F (a)= F (b). По теореме Ролля
Для F (х) существует точка с, a<zc<zb, такая, что F' (с) = 0.
Так как F’ (х) = f (х)~ g' (»), то
Откуда, учитывая, что g' (су=/=О, получаем формулу (2).
Замечание. Формула (2) называется формулой Коши или
°бобщенной формулой конечных приращений.
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
1. Раскрытие неопределенности вида Будем говорить, что
^ношение двух функций при х->а есть неопределенность
9*
131
о
вида -Q-, если
lim f (х) = lim g (х) = 0.
х-»-а х-»-а
неопределенность — значит вычислить предел
существует, или установить, что он не сущест-
теорема устанавливает правило для раскрытия
0"-
Раскрыть эту
г fW
im ---/-с, если он
х-+а g(XY
вует. Следующая
неопределенности вида -д-.
Т е о р е м а 6.5. (теорема Лопиталя)*. Пусть функции
г: j?: .
ности точки а, за исключением, быть может,
Пусть, далее, lim f (х)= lim g (х)= 0** и g'(x)=/=0 в
х-+а х-+а
окрестности точки а. Тогда, если существует предел
Г (х)
производных lim (конечный или бесконечный), то
х-^а g \Х)
и предел lim -Д4-, причем справедлива формула
х-»-а g \х)
Г(х)
I™ g« - g'W
Доказательство. Пусть {хп] — произвольная последо-
вательность значений аргумента, сходящаяся к точке а, причем
хп =/= а. Доопределим функции f (х) и g (х) в точке а, положив их
равными нулю, т. е. f (а) = g(a)=0. Тогда, очевидно, функции
?(х) и g (х) непрерывны на [а, хл], дифференцируемы на (а, хл) и,
по условию, g' (х)=/=0. Таким образом, для f (х) и g (х) выполнены
все условия теоремы Коши на [а, хл], т. е. внутри [а, хл] сущест-
вует точка £л такая, что
g^n) -g(a)~ g'(Q' ^n^=^xn).-
По доопределению, f (a) = g (a) = 0, следовательно,
'(O (У
f (х) и g (х) определены и дифференцируемы в некоторой окрест-
, самой точки а.
указанной
отношения
существует
8(0
Пусть теперь в формуле (1)
при п^оо (рис. 75). Так как
|„e(a,xn). (1)
п —оо. Тогда, очевидно, %п-*а
lim существует, то правая
.. .. rw
X1™ g'W'
и левой части
g' W
п—^оо предел, равный lim
Следовательно, при п->оо существует предел
формулы (1), причем
litn -Йтт = lim 7W
M-t-oq л/ х-+а 5
часть формулы (1) имеет при
*Лопиталь Гильом Франсуа (1661—1704) — французский математик.
♦♦Теорема остается справедливой и в случае, когда или
132
g' W
остается верной
В самом деле,
и в случае, когда
пусть, например,
g/7 Q
я-0""*7
Так как {хл} — произвольная последовательность значений
г fW
аргумента, сходящаяся к а, то отсюда заключаем, что lim
.. ZW 1. rw
существует и hm w=lim
Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 1. Если производные f (х) и g' (х) удовлетворя-
ют тем же требованиям, что и сами функции Дх) и g (х), то пра-
вило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем
.. fW г f'W г rw
Йти-Йти’й™
Замечание 2. Теорема
Х->оо, Х->+оо И X—> оо.
lim f (х)= lim g(x) = 0 и
Х-+ОО Х-+-ОО
г (х) /
существует (ко-
нечный или бесконечный).
Сделаем подстановку х =
= 1//; тогда /->0 при х->оо
при t—^О. Применяя к функциям и g (1 //) теорему 6.5 и
правило дифференцирования сложной функции, получаем
Йта Й «(‘/о Й g'(i/n(-i/'2)
Рассмотрим примеры.
« .. 1—cosx .. sin х
1. lim-----—= lim
z-0 X2
n .. x — sin x
2. lim---;—
x-»-0 #
3. lim——- =
*3 *t
Рис. 75
и f(x) = f(l//)+O, g(x)=g(l//)+0
iim Г(1/0 _ lim rw
Й g' (!//)“ Й TH’
.. sin x
2x 2 x_^0 x
.. 1—cosx sin x
= lim ———= lim —7—
z_o 3x2 x_o 6x
lim -7-= lim ex= 1.
x-4-0 1 x-*0
неопределенности вида
. Их)
2 ' 1— 2‘
.. sin x 1 , 1
hm-----=-t- • 1 —-z--
X 6 6
6
Будем говорить, что
2. Раскрытие
отношение двух функций ПРИ х~^а есть неопределенность
°° *
вида —, если
оо ’
lim f (х) = lim g (х) = оо, + оо или — оо.
х-*-а х-*~а
Для этой неопределенности справедливо утверждение, анало-
гичное теореме 6.5, а именног если в формулировке теоремы заме-
нить требование lim f (х) = lim g (х) = 0 на условие limf(x) =
х-+а х-*а х-+а
555 Игл g (х) = оо, то теорема останется справедливой.
х~+а
Рассмотрим примеры.
1. lim lim = lim -^-=0.
133
2Л lim —= lim ——= lim
Х-»^00 Х->--|-ОО в1 X—
1/2
п (п— 1) Xя'2
е*
= lim —=0.
х^о+
°.'z <-,/21 ^.-~2
3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие. Неопреде-
ленности вида О-оо и оо — оо можно свести к неопределенно-
стям -ф- и —. Покажем это на примерах.
Пример 1. Найти lim х In х.
х->О-Ь
Решение. Имеем неопределенность вида О-оо. Но xlnx =
in X оо __
= -рд, и получена неопределенность вида —. Применяя правило
Лопиталя, имеем
lim х In х = lim у1-—,- = lim —= — lim х = 0.
х—>-04- х->0+ О/*) х->0+ - I/*? Х-0+
Пример 2. Найти lim (secx — tg х).
х-»-л/2
Решение. Имеем неопределенность
. 1 sin х 1— sin х
secx —tgx =-------------=---------, и при том
ь COS X COS X COS X ’ Г
о
получена неопределенность вида
вида оо — оо. Но
же условии х-+л/2
Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим
lim (sec х — tg х) = lim f-—_ цт —= о.
х-»-л/2 ' & 7 х-»-л/2 \ C°S* ) х-*-л/2 “Sinx
И наконец, рассмотрим неопределенности вида 0°, 1°°, оо°.
Такие неопределенности имеют место при рассмотрении функций
^=Пх)Я(х)» если ПРИ х^а функция f(x) стремится соответ-
ственно к О, 1 и оо, g(x) — соответственно к 0, оо и 0. Эти не-
определенности с помощью тождества
f (х)8(х} = ея(х)1п/(х)
сводятся к неопределенности вида О-оо, которая уже рассмотрена.
Пример 3. Найти lim хх.
х-0+
Решение. Имеем неопределенность вида 0°. Но хА = ех1,1Х.
и в показателе степени получена неопределенность вида 0• оо»
которая нами уже рассмотрена (см. пример 1). Следовательно,
lim хх = lim ех-1пх=ех>0+ = е° = 1.
х-*0+ х-*0+
Пример 4. Найти lim (1+х2)е ’ *.
х—О
Решение. Имеем неопределенность вида 1 °°. Но
( 1 | х2),/(еХ - 1 ~х) — el In (1 +х2)]/(е*- I -х)
134
и в показателе степени получена неопределенность вида —. При-
меняя правило Лопиталя, получаем
lim
Х-+-0
In (1 +х2) =
е* — 1 — х
lim
х-»-0
2х/(1 + х2) _
е* — 1
" (е- - 1)(1 + х2) Й е»(1+х2)-|-(е- 1)2х 1 2'
Следовательно,
1 1п(1+х2)
X t '1ГП -----
lim (1 4-х2)е х = ех^° еХ-1-х = е2
Х-+-0
Пример 5. Найти lim (tgx)2c0SX.
х-*л/2
Решение. Имеем неопределенность вида оо°. Но
2 In tg х
2 cos х In tg х _ l/(cos x)
и в показателе степени получена неопределенность вида При-
/. 42cosx
(tg х) = е
меняя правило Лопиталя, имеем
lim
х-^л/2
2 In tg х
1 /(cos %)
2 lim
х-+-л/2
In tgx
sec x
9 lim l/(tgx)sec2x
x™2 sec x tgx
п . sec X
= 2 lim ——
х-я/2 tg2 X
2 lim
х-»-л/2
sec x tg x
2 tg x sec2 x
lim cos x = 0.
х^д/2
Следовательно,
lim 2 cos x In tg x
lim (tg x) cos x = ех'*я/2 = e° = I.
Х-Л/2
$ 3. Формула Тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического анализа,
имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так
и в смежных дисциплинах.
1. Формула Тейлора. Теорема 6.6 (теорема Тейло-
Р а)*. Пусть функция f (х) имеет в точке а и некоторой ее окрестно-
сти производные порядка и 4-1**- Пусть х — любое значение аргу-
мента из указанной окрестности, х=/=а. Тогда между точками
fl и х найдется точка £ такая, что справедлива следующая формула:
f(x) = f (а) + -Цт(х — а) + -^г-(х — а)2 + ...
/’"I (а) / » /|"+" (£) , ,л+1 ...
- + ~4И(* - Q) + (- + 1), (х - а) V (1)
* Тейлор Брук (1685—1731) —английский математик.
**Отсюда следует, что сама функция [ (х) и ее производные до порядка п
Непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности.
135
Доказательство. Обозначим через <р (х, а) многом
относительно х степени и, стоящий в правой части формулы
т. е. положим )•
ф(х, а) = f(a) ~ а) +-Чг(х ~ а^2 +
(Он называется многочленом Тейлора степени п для функции
Далее обозначим через /?п+1 (х) разность
Rn+t (х) = f W - <₽ (х, а).
Теорема будет доказана, если установить, что
Rn+i W = [7+ 1)! (х - а)"+'- a<t<x.
Фиксируем любое значение х из указанной окрестности. ДЛя
определенности считаем х>*а. Обозначим через t переменную ве-
личину, изменяющуюся на отрезке а^/^х, и рассмотрим на
отрезке [а, х] вспомогательную функцию
(х- /)л + 1 R (х)
F (0 = f Ы - <р (х, /) - (2)
(х - а)
Функция F (/) удовлетворяет на [а, х] всем условиям теоремы
Ролля: 1) из формулы (2) и из условий, наложенных на функцию
f (х), вытекает, что F (/) непрерывна и дифференцируема на [а, х|,
так как f (/) и ее производные до порядка и непрерывны и диффе-
ренцируемы на [а, х];
2) полагая в (2) t=a, имеем
F (а) = f (х) - <р (х, а) - R„+i (х) = Rn+i (х) - R„+i (х) = 0.
Полагая в (2) / = х, получаем
F W = f (х) - f (х) - -ф (х - х) - ДИ (х - х)2 - ...
Таким образом, условие F (а) = F (х) выполнено.
На основании теоремы Ролля внутри отрезка [ а, х] существует
точка % такая, что
F' (В) = 0. <3)
Вычислим производную F' (/). Дифференцируя равенство (2) по
имеем
F' (/) = - Г (0+-ф~ф (X -1) +-ф2 (х - /) —ф (х - /)2 +•••
.••+ -фп (х - /)"- - -ЦП* (х - /)" + (п + 1) (х~ДД±^-
"• п. (х — а)
Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства,^3
исключением двух последних, взаимно уничтожаются. Таким
136
ta3°M
f”+"W , t\n j_ +
ролагая в (4) /=£ и используя равенство (3), получаем
F' а) = - - В)" +
откуда
/?п+| W ----
Л"+'’ (©
(п + 1)!
/ \/г +1
(х — а) .
формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение для
— остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно пере-
писать в другом виде. Так как точка £ е (а, х), то найдется такое
число 0 из интервала О<0<1, что £=а-|-0 (х —а), и оста-
тсчный член принимает вид
R.tl« = '......'°Ле,>. ~a)1 ~ »>'+'° < о < '
Эту форму остаточного члена наиболее часто используют в прило-
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена. Часто
формулу Тейлора (1) записывают в ином виде. Положим в (1) а = х0,
х—а=кх, х = х04-Дх. Тогда
f (х0 4- Дх) — f (х0) = -Ц^- Дх + (Дх)2 + ...
/*л)(хД п r«+d (% -|- 9 Дх) . .
... + -4# (Дх) + Д + 1)! <Ах) ' О < 0 <1 • (5)
При п = 0 из (5) получается формула Лагранжа
f (х0 + Дх) — f (Xq) = f' (х + 0 Дх) Дх.
Покажем, что если функция /и+1)(х) ограничена в окрестности
т°чки а, то остаточный член /?„+1(х) является бесконечно малой
более высокого порядка, чем (х — а)п при х^а:
птЛ-+'(х) = Нт г+"(а (*-°Г' = Нт Г^(х_а)=0
— (х —а)" х™ (" + D! (х-а)" ™ ("+')’ 1 ’
как функция f(n+l) (£) ограничена, а (х —а)->-0 при х^а.
зким образом,
Ф Ял+| (х) = о[(х — а)"] прих-^а. (6)
°Рмула (6) называется остаточным членом в форме Пеано*.
м Формула Маклорена. Формулой Маклорена** называют фор-
улУ Тейлора (1) при а = 0:
Нх)-/(0)+ ™,"+... + Г™х- + я,+1М.
**П^ано Джузеппе (1858—1932) —итальянский математик.
^аклорен Колин (1698—1746) —шотландский математик.
137
Остаточный член имеет вид:
1) в форме Лагранжа /?п+1(х)= ^ty***'’ 0<0<1;
2) в форме Пеано /?п+1(х) = о(хл).
4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле
Мак лоре на.
О f W = Так как
f (х) = f' (х) = Г (х) = ...=/(л+”(х) = е\
= (о) = f"(0) =...= f+1)(0) = 1,
то формула Маклорена имеет вид
еХ=1+тг+4+4+-+4+о(х")- (?)
2) f (*)= sin х. Так как
f{n} (х) = sin (х + и 4). (0) = sin (п 4) —
{0 при п четном,
z 1Х(п-1)/2
(— 1) при п нечетном,
то формула Маклорена имеет вид
sin х = х - 4 + 4 - 4 +...+ (- 1Г' -(sSjr + ° {х^ (8)
3) f (x) = cos х. Так как
/<я) (х) = cos (х + п 4). f(n) (0) = cos (п 4) =
{0 при п нечетном,
(— 1)п/2 при п четном,
то формула Маклорена имеет вид
Cosx=i-4+4-4 +•••+ (-o'w+°(х2л+1)- (9)
В формуле (8) остаточный член записан в виде о (х2п), а не
в виде о (х2л-1), так как следующий за последним член равен нулю
[то же самое относится к формуле (9)].
4) f (х) = (1 + х)а, где а— вещественное число. Так как
(х) = а(а — 1)... (а — и + 1) (1 + х)а-п,
f(n) (0) = а (а — 1)...(а—п + 1),
то формула Маклорена имеет вид
(1 +«)•-1 ... + +
где остаточный член в форме Лагранжа равен
/?„+. W = а(а-4141(°~П)(1 + 0хГ<п+')х'1+1, 0< 0 < 1.
138
р частном случае, когда а=п — натуральное число, /(/н1)(х) = 0,
сдедовательно, /?п+1(х)=0, мы получаем известную из элементар-
ен математики формулу бинома Ньютона
(1 +*)"= 1+4ух + -^=-^х2 + ... + х". (10)
Приведенные выше разложения показывают, что с помощью
формулы Маклорена функции можно с определенной степенью
т0чности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми
элементарными функциями. Над многочленами удобно выполнять
арифметические действия, нетрудно вычислить значение много-
члена в любой точке и т. д. Формулы Тейлора и Маклорена позво-
ляют приближенно заменять многочленами и более сложные функ-
ции. Кроме того, эти формулы имеют широкий круг приложений.
Мы ограничимся рассмотрением двух.
5. Использование формулы Маклорена для вычисления пре-
делов. Формула Тейлора является эффективным средством для вы-
числения пределов функций, с которыми часто приходится иметь
дело при исследовании функций.
Пример 1. Найти lim
Решение. По формуле (8) при п = 2 имеем
X5 , 1Х 1 , о(х4)
х--+0(х>)-х -зг+——
I im---------------= I im------:-----=
х-0 Х> х-0 1
1 ,1- °(*4) 1 , м 1
— - зг+ V™ _ зг+0 - - V
Пример 2. Найти lim -—:—. COS *.
о х Sin X
Решение. По формулам (7), (8) и (9) имеем
1 im e~r2/2 — cos X_|1 — х2/2 + х4/8+ о(х4) — 1 -4~х2/2— х4/24
х-^о х4 sin х х—о х4(х + о(х))
-lim ^/8-x4/24-Fo(x*)_ 1/8-1/24-Fa (х) _ 1 1 _ 1
х—Io x‘-ho(x4) x-Io HaW 8 24" 12
(здесь символом a(x) обозначена величина , являющаяся
бесконечно малой при х->0).
6. Вычисление числа е. В п. 2, § 3, гл. 2 было введено число е
как предел последовательности {(1 -|-1/п)лг} и получена грубая
°Ценка 2<е<3.
Покажем, как вычислить число е с любой необходимой гочно-
СТЬЮ. Для этого запишем формулу (7) с остаточным членом в форме
Лагранжа:
X X1 р0г
е'= 1 + — + -2Г+ - + -^г + х"+1,0 < 0 < 1. (11)
139
Если заменить функцию ех ее многочленом Тейлора степени п, То
получим приближенное равенство
г г'1
е'~1+- + -2г+...+ Тг, (12)
абсолютная погрешность которого
1^)1= (^М"+1.о<е<1.
Если рассматривать функцию ех для — 1 ^х^ 1, то
|/?п+1 (х)| < 7Л"+Т)Г < (П + 1)! ’ (13)
Полагая в (12) х=1, получаем приближенное значение числа е:
е « 1 + 1 + -^ + ••• + 4г
При этом абсолютная погрешность меньше 3/(п+ 1)! Если требуется
вычислить значение е с точностью до 0,001, то число п определяется
из неравенства ^—^<0,001, или (п + 1)! >3000. Следовательно,
если взять п=6, то требуемое неравенство удовлетворяется.
Таким образом, используя формулу Маклорена, можно вычис-
лить число е с любой точностью, при этом алгоритм вычисления
числа е, основанный на формулах (11) и (13), легко реализуется
на ЭВМ.
§ 4. Исследование поведения функций и построение графиков
1. Признак монотонности функции. Теорема 6.7. Если
функция f (х) дифференцируема на интервале (а, 6) и f'(x)>0
(f'(x)^O) на (а, 6), то функция f (х) не убывает (не возрастает)
на (а, Ь).
Доказательство. Для определенности рассмотрим слу-
чай f' (х)^0. Пусть X] и х2— две произвольные точки из (а, Ь)
и Х!<х2; тогда на отрезке [хи х2] выполняются все условия теоре-
мы Лагранжа, согласно которой имеем
Г(х2) — f (*1) = f' (с) (*2 — X,), С €= (х„ Х2).
По условию, f' (с)^0, х2—х,>0, поэтому f (х2) — f (х,)>0
или f (x2)^f (Х]), т. е. функция f (х) не убывает на (а, Ь).
Доказательство для случая f (х)<0 аналогично.
Замечание. Точно так же можно доказать, что если (х)>^
(<0) на (а, 6), то f (х) возрастает (убывает) на (а, Ь).
2. Отыскание точек локального экстремума функции. Определе-
ние. Точка х0 называется точкой строгого локального максимум
(минимума) функции f (х), если для всех х из некоторой 6-окресТ'
ности точки х0 выполняется неравенство f (x)<f (х0) (x)>f (*о))
при х#=х0 (рис. 76).
140
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объеди-
няются общим названием локальный, экстремум.
Из определения следует, что понятие экстремума носит локаль-
ный характер в том смысле, что неравенство f (x)<f (х0) (f (х)>-
^/(х0)) может и не выполняться для всех значений х в области
определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой
окрестности точки х0. Очевидно, функция может иметь несколько
локальных максимумов и несколько локальных минимумов, при-
чем может так случиться, что иной локальный максимум окажется
меньше какого-то локального минимума.
Рис. 76
Теорема 6.8 (необходимое условие локаль-
ного экстремума). Если функция f (х) имеет в точке х0
локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, Tof' (хо) = О.
Доказательство. Так как в точке х0 функция f (х)
имеет локальный экстремум, то существует такой интервал (х0 — S,
х0+6), в котором значение f (х0) является наибольшим или наи-
меньшим среди всех других значений этой функции. Тогда по тео-
реме Ферма производная функции в точке х0 равна нулю, т. е.
Н*о) = О-И
Теорема 6.8 имеет следующий геометрический смысл. Если
Х2 и х3 —: точки локального экстремума ив соответствующих
т°чках графика существуют касательные, то эти касательные па-
раллельны оси Ох (рис. 77).
141
Иногда такие точки называют стационарными; мы будем назы-
вать их точками возможного экстремума. Если точка х0 — точка
возможного экстремума, т. е. f' (хо) = О, то она может и не быть
точкой локального максимума или минимума. Например, если
^(х) = х3, то f'(x) = 3x2=0 при х=0, но, тем не менее, в точке
х = 0 нет локального экстремума (рис. 78). Установим достаточное
условие существования локального экстремума. Этому посвящается
следующая теорема.
Теорема 6.9 (достаточное условие локаль-
ного экстремума). Пусть функция f (х) дифференцируема
в некоторой 6-окрестности точки х0. Тогда, если f' (х)>0 (/' (х)<0)
для всех х из (х0—S, х0), a f'(x)<O(f' (х)>0) для всех х из (х^
х0 + 6)л то в точке xQ функция f (х) имеет локальный максимум
(минимум); если же f' (х) во всей 6-окрестности точки х0 имеет один
и тот же знак, то в точке х0 локального экстремума нет.
Другими словами, если f' (х) при переходе через точку х0 меняет
знак с «+» на «—», то х0 — точка локального максимума; если
f' (х) в точке Xq меняет знак с «—» на « + », то х0 — точка локаль-
ного минимума; если же f' (х) в точке х0 знака не меняет, то в точке
х0 экстремума не существует.
Доказательство. Пусть f' (х) при переходе через точку
Xq меняет знак с «+» на « —» и пусть хе(х0-6, х0). Применим
формулу Лагранжа к функции f (х) на отрезке [х, х0]. Получаем
f (*о) — f(x) = f' (с) (х0 — х), се (х, х0).
Так как f'(x)i>0 на (х0 —S, х0), то f' (с)>0, и, кроме того,
х0 — х>0, следовательно,
f (*о) — f (х) > 0, или f (х0) > f (х). (1)
Рассмотрим теперь случай, когда х е (х0, х0 + 6). Применим
формулу Лагранжа к функции f (х) на отрезке [х0, х]. Получаем
f (х) — f (хо) = f (с) (* — -«о), с Оо. *)•
Так как f' (х)<0 на (х0, x0+S), то f' (с)<0, и 5 кроме того,
х — х0>0, следовательно,
f (х) — f (х0) < О, или f (х0) > f (х). (2)
Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой окрестности
точки х0 выполняется неравенство f (x)<f (х0) при х=/=х0, а это
означает, что в точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум.
Аналогично рассматривается случай перемены знака f' (х) с <—>
на «-|-».
Осталось рассмотреть случай, когда f'(x) знака не меняет.
Пусть f' (х)>0 в некоторой окрестности (х0 — 6, х0 + 6); тогда
по теореме 6.7 функция f (х) не убывает на (х0—6, х0+6), т. е.
для любых х<х0 выполняется неравенство f(x)<f(xo), а ДЛЯ
любых x>xQ выполняется неравенство f (x)>f (х0). Это означает,
что точка Xq не является точкой локального экстремума.
142
Замечание. Теорема 6.9 остается справедливой, если функ-
ция f W в самой точке х0 не дифференцируема, а только непрерывна.
^ак, например, функция f (х) = |х| в точке х = 0 непрерывна,
н0 не дифференцируема.
В качестве примера рассмотрим вопрос об отыскании точек
локального экстремума функции /(х) = х3 —Зх. Находим произ-
водную: f (х)= Зх2 — 3 = 3 (х2— 1). Решая уравнение 3 (х2 —
_1)=0, получаем две точки возможного экстремума: х} =
— 1 и х2=1. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав
вспомогательный чертеж (рис. 79). Отметив на нем точки х}= — 1
и х2= 1 и исследовав знак ff (х) в окрестности этих точек, получаем:
|(х) в точке Х] = — 1 имеет локальный максимум, а в точке х2= 1 —
локальный минимум. Далее находим: утах = f (— 1) = 2, t/min=
= НП = -2.
На рис. 79 видны и интервалы монотонности f(x): (— оо, — 1),
(—1, 1) и (1, + оо)/причем в первом и третьем из них функция воз-
растает, а во втором — убывает.
3. Направление выпуклости
и точки перегиба графика фун-
кции. Пусть функция y=f(x)
дифференцируема на интервале
(а, Ь). Тогда существует каса-
тельная к графику функции y=f(x) в любой точке М (х; f (х))
этого графика (а<х<д), причем касательная не параллельна оси
Оу, поскольку ее угловой коэффициент, равный (х), конечен.
Определение 1. Будем говорить, что график функции y=f(x)
имеет на (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он рас-
положен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции
на (а, Ь) (рис. 80).
Теорема 6.10. Если функция y=f(x) имеет на интервале
(а, Ь) вторую производную и /"(х)^0 (/" (х)^0) во всех точках
(а, Ь), то график функции y — f(x) имеет на (а, Ь) выпуклость,
направленную вниз (вверх).
Знак f№+ +++ + + _------- + + +
* 0 ? **
Рис. 79
Доказательство. Для определенности рассмотрим слу-
чай f"(x)^O на (а, Ь). Обозначим через с произвольную точку
Ь) (рис. 81). Требуется доказать, что график функции y=f(x)
ЛеЖит не ниже касательной, проходящей через точку М (с; f(c)).
143
Запишем уравнение этой касательной, обозначая текущую орд^
нату ее точек через У: Y — f (с) = f' (с) (х — с) или
у = + Г (с) (х — с). (3)
Разложим функцию f (х) в окрестности точки с по формуле
Тейлора при п=\. Получим
У = f(x) = f (с) +-^-(х - с) +-^(х - с)2, £<=(с, х). (4)
Формула (4) справедлива для любого х из (а, Ь).
Вычитая равенство (3) из равенства (4), имеем
У- у='Ш(х- С)2. (5)
Так как, по условию, f"(x)^0 на (а, Ь), то правая часть равен-
ства (5) неотрицательна, т. е. у — У^О для всех х из (а, Ь) или
y^Y. Последнее неравенство и доказывает, что график функции
y=f(x} всюду в пределах (а, д) лежит не ниже касательной (3).
Аналогично доказывается теорема для случая f' (х)^0.
Определение 2. Точка М (х0; f (х0)) называется точкой перегиба
графика функции y = f(x), если в точке М график имеет касатель-
ную, и существует такая окрестность точки х0, в пределах которой
график функции y=f(x) слева и справа от точки х0 имеет разные
направления выпуклости.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график
функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит
под касательной, а с другой — над нею, т. е. в окрестности точки
перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны
касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и про-
изошло название «точка перегиба» (рис. 82).
Теорема 6.11 (необходимое условие точки
перегиба). Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб
в точке М (х0; f (х0)) и пусть функция y = f(x) имеет в точке *о
непрерывную вторую производную. Тогда f" (х) в точке х0обращается
в нуль, т. е. f" (хо) = О.
144
Доказательство. Предположим обратное, т. е. допу-
стим, что f"(xo)=/=O. Тогда в силу непрерывности второй произ-
водной по теореме 4.8 об устойчивости знака непрерывной функции
существует окрестность точки х0, в которой (х)<0 (/" (х)>0),
значит, согласно теореме 6.10 график функции y=f(x) имеет
определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это
противоречит наличию перегиба в точке М (х0; f (х0)) (рис. 82).
Полученкоё противоречие доказывает теорему.
Следует заметить, что не всякая точка М (х0; f (х0)), для которой
р'(хо) = О, является точкой перегиба. Например, график функ-
ции f(x) = x4 не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f" (х) — 12х2=0
при х=0 (рис. 83). Поэтому равенство нулю второй производной
является лишь необходимым условием перегиба. Точки М (х0; f (х0))
графика, для которых f" (хо) = О, будем называть критическими.
Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба
в каждой критической точке, для чего сле-
дует установить достаточное условие пере-
гиба.
Теорема 6.12 (достаточное
условие точки перегиба).
Пусть функция y=f(x) имеет вторую произ-
водную в некоторой окрестности точки х0.
Тогда, если в пределах указанной окрест-
ности f"(х) имеет разные знаки слева и
и справа от точки х^ то график y=f(x)
имеет перегиб в точке М (х0; f (х0)).
Доказательство. Из того, что
}" (х) слева и справа от точки х0 имеет раз-
ные знаки, на основании теоремы6.10заклю-
чаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа
от точки х0 является различным. Это и означает наличие перегиба
в точке М (х0; f (х0)).И
Замечание. Теорема остается верной, если f (х) имеет
вторую производную в некоторой окрестности точки х0, за исключе-
нием самой точки х0, и существует касательная к графику функции
в точке М. Тогда, есди в пределах указанной окрестности f" (х)
имеет разные знаки слева и справа от точки х0, то график функции
y=f(x) имеет перегиб в точке М (х0; f(x0)). Доказательство дан-
ного факта аналогично доказательству теоремы.
Рассмотрим пример: f(x) = xl/3. Эта функция в точке х = 0
имеет бесконечную производную, а касательная к графику функ-
ции в точке О (0; 0) совпадает с осью Оу. Вторая производная в точ-
ке х=0 не существует. Однако график функции у = х1/3 имеет
перегиб в точке О (0; 0), так как вторая производная f"(x)=2/(9x5/3)
имеет слева и справа от точки х = 0 разные знаки (рис. 84).
Итак, вопрос о направлении выпуклости и точках перегиба гра-
фика функции исследуется с помощью второй производной.
В качестве примера возьмем функцию f(x) = x3—Зх, которую
начали рассматривать в п. 2. Знак второй производной будем отме-
нить на вспомогательном чертеже, изображенном на рис. 79. Нахо-
*0 - 3157
145
дим вторую производную: f" (х) = 6х. Из уравнения 6х=0 полу,
чаем одну критическую точку: 0(0; 0). Отметив точку х=0 на
вспомогательном чертеже (рис. 85) и исследовав знак f" (х) в ее ок-
рестности, получаем: слева от точки х=0 f" (х)<0 (выпуклость
графика направлена вверх), а справа — f" (х)>0 (выпуклость
графика направлена вниз), т. е. точка 0(0; 0) является точкой
перегиба графика рассматриваемой функции. Этот график схема-
тически изображен на рис. 86.
—= 11 располо-
женная в верхней полуплоскости (t/^О), имеет на интервале
(—а, а) выпуклость, направленную вверх. В самом деле, из урав-
нения эллипса имеем y=-^-Va2 — х2. Далее находим: у' =
-----Из выражения для второй про-
изводной вытекает, что она отрицатель-
ная на интервале (—а, а). Значит, дан-
ная кривая на всем интервале (—а, а)
имеет выпуклость, направленную вверх
(см. рис. 33).
yi
3HQKf'(x)+ + + +------
О
знакС (х)-------------
Рис. 85
Аналогично можно показать (сделайте это самостоятельно),
/ х2 у2 \
что часть гиперболы I ——= г Расположенная в верхней полу-
плоскости, на интервалах (а, -|-оо) и (— оо, —а) имеет выпук-
лость, направленную вверх.
4. Асимптоты графика функции. При исследовании поведения
функции на бесконечности, т. е. при х->-|-оо и при х->—оо или
вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график
функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой.
Такие прямые называют асимптотами*.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные
и наклонные.
Определение 1. Прямая х=х0 называется вертикальной асимп-
тотой графика функции y=f(xy, если хотя бы одно из предельных
значений lim ((х)или lim f (х) равно + оо или — оо.
X-*X0+ X~*~XQ —
♦Понятие асимптоты уже встречалось в аналитической геометрии при
рассмотрении гиперболы (см. гл. 3 § 6, п. 2).
146
В этом случае расстояние от точки М (х; f (х)) до прямой х = х0
равно d = ~\f(x — x0)2 + (f (х) — f (х))2^= |х — х0| и, следовательно,
^0 при х—>х0.
Например, график функции у = f (х)*= 1 /х (рис. 87) имеет
вертикальную асимптоту х = 0, так как f (х)->4"00 ПРИ х—>-04-
и f (х)-> — оо при х->0 —.
Определение 2. Прямая у = А называется горизонтальной
асимптотой графика функции y = f(x) при х->4-°°(х~*—оо),
если lim f(x) = A.
Х-^+оо
(х—►—оо)
В этом случае расстояние от точки ЛНх; f (х)) до прямой у = А
равно d = ч(х — x)2+(f (х) —Л)2= |/ (х)—Л| и, следовательно,
d-+0 при х—>-оо, так как lim If (х) —Л| = 0.
X—»-оо
Например, график рассмотренной выше функции у=\/х имеет
горизонтальную асимптоту t/=0 при х->4"°° и при х~*—оо,
так как 1 /х 0 при х -> + оо и при х — оо.
Определение 3. Прямая y=kx-\-b(k^O) называется наклон-
ной асимптотой графика функции y = f(x) при х= 4- оо (х->—оо),
если функцию f (х) можно представить в виде
f (х) = kx + b + а(х), (6)
еде а(х)->0 при х->+ оо (х~*— оо).
Рассмотрим геометрический смысл наклонной асимптоты. Для
определенности разберем случай, когда х->4"°°- (Случай х—>-—оо
рассматривается аналогично).
Пусть М (х; у)—точка графика функции y = f(x) и пусть
прямая у = kxb является наклонной асимптотой графика функ-
ции при хт>4-оо. Текущую ординату точки на асимптоте обозна-
чим через у, точку на асимптоте — через W (х; у) (рис. 88). Тог-
да |мм| = \у — у\ = If (х) — (kx 4- b)\ = |а(х)| 0 при х-+4-оо.
^пустим из точки М перпендикуляр МР на асимптоту.
Расстояние d от точки М до асимптоты равно |МР] = |Л42V| cos а,
гДе а — угол между асимптотой и осью Ох, и, следовательно,
Jim J = 0.
10*
147
Таким образом, расстояние от точки Л4 (х; у) графика функции
до асимптоты стремится к нулю при х->-|-оо, т. е. график функции
неограниченно приближается к асимптоте при х-^Ц-оо.
Рассмотрим способ отыскания наклонной асимптоты, т. е. спо-
соб определения чисел k и b в уравнении асимптоты. Разделив ра-
венство (6) на х и перейдя к пределу при х->-|-оо, получим
lim Ж = нт Ь _|_ ± _|_ 1 = k.
X-* + <JO Х х->+ оо L Х Х J
Итак,
k= lim (7)
х->+оо х '
Далее, из соотношения (6) получаем: lim [f(x) —£х]==
Х—Н-ОО
= lim [ bа (х)] = Ь. Таким образом,
х—4-oo
b = lim [f(x) — £х]. (8)
х-»--|-оо
Доказано, что если прямая y=kx-{-b — наклонная асимп-
тота, то числа knb находятся по формулам (7) и (8). Обратно,если
оба предела (7) и (8) существуют, причем Л#=0, то прямая
y=kx-\-b является наклонной асимптотой графика функции
y=f(x) при Х-+Ч-ОО.
В самом деле, полагая a(x) = f(x) — kx — b и используя ра-
венство (8), Получаем, что lim a(x)=0. Следовательно, спра-
Х-*- + <®
ведливо равенство (6): f (х) = kx -|- b + а (х), где lim a(x)=0, т. е.
Х-> + оо
прямая y=kx-\-b является наклонной асимптотой графика функ-
ции при х ——1“ оо.
Практически целесообразно искать асимптоты в следующем по-
рядке: 1) вертикальные асимптоты; 2) горизонтальные асимптоты;
3) наклонные асимптоты.
jf2 1 2 X ~~
Пример 1. Найти асимптоты графика функции у =-----------------
14В
Решение. 1) Находим вертикальные асимптоты. Точка х=0
__ точка разрыва 2-го рода данной функции, причем у-+-\-<х> при
—, у->—оо при х-^0-|-. Следовательно, ось ординат
(х=0) — вертикальная асимптота.
2) Находим горизонтальные асимптоты:
.. х2 + 2х — 3 .. / о 3 \ , ' х
lim ----------- = lim 1x4-2-----------) = 4- оо (— оо),
(х-^ —оо) (х->—оо)
следовательно, горизонтальных асимптот нет.
3) Находим наклонные асимптоты:
k= lim — lim (1 -|-А —= 1,
х-*“4-°° х х-*“4-°° \ Л х /
(х-^-оо) (х->-оо)
b= lim \f(x) — kx] = lim Г —xl =
х-*“4-°° х-^4-оо L х J
(х—►—оо) (х->—оо)
(х-> —оо) (х-^ —оо)
Следовательно, прямая t/ = x-|-2 является наклонной асимпто-
той графика данной функции как при х-^-|-оо, так и при х-+ — оо.
График функции схематически изображен на рис. 89.
х2 w2
Пример 2. Доказать, что гипербола ——~= 1 имеет своими
Ь
наклонными асимптотами прямые у=±—х.
Решение. Так как у = х2— а2, то
Следовательно, прямые у=±—х являются наклонными асимпто-
тами данной гиперболы как при х->-|-оо, так и при х->—оо.
5. Схема исследования графика функции. Рассмотрим пример-
ную схему, по которой4 целесообразно исследовать поведение
функции и строить ее график.
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями коорди-
нат.
3. Найти асимптоты.
4. Найти точки возможного экстремума.
5. Найти критические точки.
149
6. С помощью вспомогательного чертежа исследовать знак пер-
вой и второй производных. Определить участки возрастания и убы-
вания функции, найти направление выпуклости графика, точки
экстремума и точки перегиба.
7. Построить график, учитывая исследование, проведенное
в п. 1—6.
При этом в начале исследования полезно проверить, является
данная функция четной или нечетной, чтобы при построении ис-
пользовать симметрию графика относительно оси ординат или на-
чала координат.
В качестве примера построим по изложенной выше схеме график
х2 4-1
функции t/ = ——.
1. Областью определения функции является множество всех
вещественных чисел, кроме х=1, при котором обращается в нуль
знаменатель.
2. Так как уравнение х2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней,
то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пере-
секает ось Оу в точке (0; — 1).
знак f'(x) + + + + + —------------------I----------------+ + + + +
° п Ф °
знак fu(x)-----------------------------/I + + + + ++ + + +
I
Рис. 90
3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем по-
ведение функции вблизи точки разрыва х=1. Так как —оо
при х->1—, у~+ + оо при х-> 1 +, то прямая х= 1 является
вертикальной асимптотой графика функции.
Если х~> + оо (х-> — оо), то + оо (£/->— оо), следователь-
но, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существо-
вания пределов
, .. (х) .. Х2 + 1 k = hm = hm — х^ + оо X х-> + оо X- — X (х——оо) (х—► —оо) ( r 1 + I/*2 1 hm = 1, x^+oo 1 - 1/X X-—oo)
b = lim [f(x) — kx\ — lim X -> 4~ oo x-»4-oo [4^4 =
(х > —оо) (х-+ — °°)
.. 14-х Г. 14 1/х .
~ 11 m-----------г - - hm п -.-7 ~ 1
Л_.+оо х-1 Л^ + оо 1 - 1/х
(X — — ОО) (х -оо)
вытекает, что при x->-j-oo и при х->—оо’ график функции имеет
наклонную асимптоту у—х-\-\.
150
4. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную функции:
2х (х — 1) — (л® 4- i) 2х® — 2х — х® — 1 х® — 2х — 1
--------------------------------^Г-
Решая уравнение х* 2 * * * 6 7—2х—1 = 0, получаем две точки возмож-
ного экстремума: х, = 1 — V2 их2 = 1 4- V2.
5. Для нахождения крити-
ческих точек вычислим вторую
производную:
f"(x)=
(2х-2Хх~ 1 f -2(х- 1)(х® -2х-1)
(х-1)4 “
_ 4
~ (х-1)3’ f
Так как f" (х) в нуль не
обращается, то критических
точек нет.
6. Нарисуем вспомогатель-
ный чертеж и исследуем знак
первой и второй производных
(рис. 90). Получаем, что функ-
ция на (—сю, 1—V2) возра-
стает, на (1-V2, i+л/г)
убывает, а на (1+V2, 4-оо)
снова возрастает. Точки экстремума: 1) максимум при х=
= 1— ~у/2, причем f (1 —V2) = 2 —2V2; 2) минимум при х=
= 1+л/2, причем f(l+V2) = 2 + W2. На ( — сю, 1) направле-
ние выпуклости графика вверх, а на (1, + оо) — вниз.
7. Используя полученные данные, строим эскиз графика (рис.
91).
| 5. Интерполяция функций
Интерполяция применяется при решении многих как теорети-
ческих, так и прикладных вопросов, связанных с вычислениями.
1. Постановка задачи. Пусть на отрезке [а, 6] заданы значения
функции у = f (х) в точках х0<Х| <х2<... <хл< Ь:
f (*о) = Уо> f (*|) = Уъ f (*2) = У» •••• f = уп.
Требуется найти многочлен не выше n-й степени:
Р„(х) = аохя + а,Xя-' 4- а^я~2 + J.+ а„_,х + а„, (1)
который в точках х& xh ..., хл принимает те же значения, что и
Данная функция, т. е. выполняются равенства
Рп (*<) = f (*<) = У»» = 0, 1,2,.... п. (2)
Другими словами, требуется найти такой многочлен вида (1), кото-
рый на отрезке [а, ft] являлся бы приближением для функции
151
y=f(x). Поставленная задача называется задачей интерполяции
многочлен (1) — интерполяционным многочленом, а точки х0, хь , /
хп— узлами интерполяции. Решение данной задачи дает воз-
можность находить приближенные значения функции f (х) в точках
х, лежащих между узлами. Это важно, когда функция задана только
в точках х0, хи х„, а нужно уметь находить ее значения и в про-
межутках между этими точками, а также когда функция f (х) за-
дается формулой на всем отрезке [а, 6], но вычисление ее значений
по этой формуле очень трудоемко.
Покажем, что всегда существует и притом единственный интер-
поляционный многочлен (1), удовлетворяющий условиям (2). Для
простоты ограничимся случаем п=2, т. е. случаем многочлена
второй степени
Р2(х) = а^х2 + а,х + а2.
(3)
Подставляя в уравнение (3) вместо х последовательно числа х0, х,
и х2 и принимая во внимание, что в этих точках многочлен прини-
мает соответственно значения t/0, у{ и t/2, получаем систему трех
уравнений первой степени с тремя неизвестными коэффициетами
а0, Я|, О2:
+ а{х0+ а2 = у0>
+ atxt + а2= уь
+ а,х2 + а2 = у2.
Так как числа х0, Xj и х2 различны, то определитель этой системы
отличен от нуля:
х0 х0 1
Х| Xj 1 — (Xj Xq) (х2 х0) (xt х2) =/= 0.
Следовательно (см. гл. 10, § 3), решение данной системы суще-
ствует и оно единственно, что и доказывает утверждение. Геометри-
чески это означает, "Что через три точки ‘Л10 (х0; t/0), (xt;
М2 (х2> {/2) проходит единственная линия, определяемая уравне-
нием (3). Таким образом, интерполяционный многочлен (1) всегда
существует и единствен. Далее будут рассмотрены различные формы
интерполяционного многочлена.
2. Интерполяционная формула Лагранжа. Рассмотрим вопрос
об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена (!)•
Подставляя этот многочлен в систему (2), получаем систему п + 1
уравнений первой степени с п 4-1 неизвестными коэффициентами
ао> ^1» •••> ап. *
4- <Мо + ...+
а0 4- a,Xj + ...4- апх?= уь
а0 + арсп 4--.+ апхпп = У„
152
рещая которую найдем значения коэффициентов а0, ah ап.
Подставляя эти значения в равенство (1), получаем искомый интер-
поляционный многочлен. Однако на практике, как правило, реше-
нИе системы связано с громоздкими вычислениями. Поэтому интер-
поляционный многочлен (1) будем искать в виде
рп(х) = а0(х—х,) (х—х2) ... (х — х„)4-а, (х—х0) (х —х2)...(х—х„)+
+ а2(х — х0) (х—X!) (х —х3)...(х —х„) + ...
...4-ая (х —х0) (х — х,) (х — х2)...(х—х„_,). (4)
Полагая в (4) х — х0 и принимая во внимание условия (2), полу-
чаем
откуда
Полагая затем в (4) x=xh имеем
= а, (х, — х0) (х, — х2) ... (Х) — х„),
откуда
________________У,____________
°' (*! -*о)(Х> -*!>) ”(Ж> -*»)'
Аналогично найдем
_ ___________________У_2_______________
2 (Х2 — Хо) (Х2 — Х1) (Х2 “ Хз) --‘(Х2 ~ Хп)
П (Хп ~ *о) (Хп ~ *1) (Хп ~ *2) АХп ~ Хп-1) ’
Подставляя найденные значения коэффициентов а0, а,, .., ап
в формулу (4), получаем искомый интерполяционный многочлен
р / х (х-х,)(х-х2)...(х-х) | (х-х0)(х-х2)...(х-х)
Л ’ (Х0-Х1)(Х0-Х2)-(Х0-Х„)УО+(Х|-Х0)(Х|-Х2) --(Х1-ХП)У' + "'
(*-*<,) (х-Х,)...(х-Х_,) _
(*„-*>) -<Хп-Хп-^Уп' 1 ’
Формула (5) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Пример. В результате эксперимента в точках х0= L *| = 3,
*2=5 получены значения функции f (х), соответственно равные
!/о=2, i/i=l, У2=8- Найти многочлен второй степени Р2(х)>
приближенно выражающий функцию f (х).
Решение. По формуле (5) находим
(х-Х,)(х-Х2) , (Х-ХО)(Х-Х2)
“ ’ (ХО-Х1)(ХО-Х2)Уо+(Х|-Хо)(Х|-Х2)//' +
4. (*~*о) (*-*.) .. _ (х-3)(х-5) (х- 1)(х-5) (х- 1)(х-3)8.
(x2-Jco)(x2-*1)i/2“ (' -3) (1 -5)Z ' (3— 1) (3 —5) 1 (5— 1) (5 — 3) °’
р2 (х) = X2 - (9/2) X + 11 /2.
3. Интерполяционная формула Ньютона. Рассмотрим частный
СлУчай, когда разность h между соседними узлами интерполяции
153
величина постоянная: х — xl{ — h. Введем следующие обозначе-
ния:
ЛУо=У| — Уо> &ух = у2 — ух, Ау2=у3 —у2,
А2Уо= Ayj — Ау0, А2у, = \у2—\ух, А2у2= Ау3 — Ау2.
А3Уо=:А2'/| — А2у0. А3у, = А2у2 — \2ух,....
А"у0=Ап“|у1 —А'1“|у0,А'1у1 = А',_|у2 —Ап-'у|,
называемые разностями первого, второго, третьего, ...,п-го поряд-
ков.
Найдем интерполяционный многочлен п-й степени, принимаю-
щий в точках х0, Х| = х0+й, х2 = х0+2й, xn—xQ-±-nh
соответственно значения у0, у[у у2, ..., уп. Сначала найдем многочлен
первой степени,принимающий в точках х0, Х[ = х0-|-/2 значения
Уо, у{. Подставляя в формулу (5) вместо х, число xt = x0-|-A,
получаем
Pl (*) = Уо + ^Уо Х т,—-
Аналогично находим
Р2(х) = Уо+ Ау0--ft--“ Х°) (х “ х0>
х — X № и
Рз (х) = Уо+ЬуО—ft-± + -^(%-xo) (* —*1) +
+ 4f^-Xo^X-X|) (Х-Х2)’
и вообще
х — х № ц
Ря(х) = уо+^о—ftJL + ^-(x-xo) (x-Xj)4-
+ 4f(X~X°) (Х~Х|) (Х~Х2) + -
Д'* и
-+7!F(X~Xo) (Х~Х|) (х“хг) - (6)
Формула (6) определяет искомый многочлен и называется
интерполяционной формулой Ньютона.
Задача интерполяции имеет единственное решение, поэтому
формулы Лагранжа и Ньютона для данных значений х, и i/t тожде-
ственны и отличаются лишь группировкой членов. На практике
формула Ньютона более удобна. Особенность ее заключается в том,
что в случае добавления новых урлов интерполяции в формуле
Лагранжа надо пересчитывать заново все коэффициенты, а в фор-
муле Ньютона добавятся только новые слагаемые, а старые остают-
ся без изменения.
Существуют и другие формулы интерполяции, среди которых
наиболее употребительна эрмитова интерполяция. Задача ставится
так: заданы п узлов, п значений функции f (х) и п значений ее
производной f' (х) в узлах; требуется найти многочлен степени
154
не выше 2п — 1 такой, чтобы
р (л) = f (л) = У,. Р' (*,) = Г (?',) = Уь ' = 1, 2> •••> «•
На решении этой задачи останавливаться не будем, а только заме-
тим, что если все xz различны, то существует единственное реше-
ние, которое находится аналогично предыдущему.
4. Остаточный член интерполяции. Для оценки близости интер-
поляционного многочлена Рп (х) к фунции f (х) необходимо иссле-
довать разность между функцией и интерполяционным многочленом
Я(х) = /(х)-Р„(х)г
называемую остаточным членом интерполяции.
Предположим, что на отрезке [а, Ь\ существует (п-|-1)-я непре-
рывная производная frt + 1)(x). Тогда
/?(я+,)(х) = fn+,)(x), а<х<6, (7)
так как Р^:,(х)=0. Пусть х—любое фиксированное число,
а^х^б, не совпадающее с узлами интерполяции, t—перемен-
ная величина, Положим
® (х) = (х — х0) (х — Х|) (х — х2) ... (х — х„)
и рассмотрим на отрезке [ а, Ь] вспомогательную функцию
Функция F(t), очевидно, n-|-1 раз дифференцируема на отрезке
[а, 6], причем в силу (7) и того факта, что со(п+!)(/) = (п+1)!,
имеем \
^я+1)(0 = Г+,)(0-(« + (8)
Далее, функция F (/) обращается в нуль в п + 2 точках: х0, хь ..., х„
и х(х—фиксированное). Поэтому по теореме Ролля ее первая
производная обращается в нуль, по крайней мере, в п-|-1 точке
отрезка [а, 6], вторая производная обращается в нуль, по крайней
мере, в п точках этого отрезка и т. д. По индукции получаем, что
(п-|- 1)-я производная функции F (/) обращается, по крайней мере,
один раз в нуль внутри отрезка [а, Ь]. Следовательно, существует
точка a<cl<Zb, такая, что
= (9)
Полагая в (8) /=£ и используя (9), находим
F'"+,»(B) = r+,4&)-(n + l)l44=0,
°ткуда
Ж*) = (1р м(х). а< х < ь> а < £ < ь- (,0)
Равенство (10) определяет остаточный член интерполяции. Обозна-
чая через k наибольшее значение функции |f(/l+1) (х)| на отрезке
155
[a, b], получаем формулу оценки остаточного члена для любого
хе|а, 6]:
1/?(*)1< (п^ !)! 1<0 (х)|.
§ 6. Методы приближенного вычисления корней уравнений
В этом параграфе рассмотрим вопрос о приближенном вычисле-
нии корней уравнения f(x) = 0, где f (х)— некоторая непрерывная
функция.
Из элементарной математики известен способ нахождения кор-
ней уравнения f(x) = 0, если f (х) — линейная или квадратичная
функция. Для более сложных функций обычно приходится прибе-
гать к различным методам приближенного вычисления корней
уравнения. Познакомимся с методом «вилки» и методом касатель-
ных*.
1. Метод «вилки». Пусть интересующий нас корень уравнения
f(x)=O является внутренней точкой отрезка [а, Ь] и других кор-
ней на [а, Ь] нет. Предположим, что функция f (х) непрерывна на
[а, Ь] и имеет на концах этого отрезка значения разных знаков.
На практике обычно грубой прикидкой находят такой отрезок.
Назовем «вилкой» любой отрезок, на концах которого f (х) имеет
значения разных знаков.
Для определенности будем считать, что f(a)<0, f (6)>0.
Разделим [a, 6] пополам и выберем тот из полученных отрезков,
на концах которого f (х) имеет разные знаки. Обозначим его [ah 6J.
(Если бы значение f (х) в середине [а, Ь] равнялось нулю, то корень
был бы найден.) Разделим [ah пополам и выберем тот из полу-
ченных отрезков, на концах которого f (х) имеет разные знаки, ит. д.
Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последователь-
ность вложенных отрезков — вилок:
[а,6] =>[а1( =>[а2) ft2] =>[а„, *„] =>...,
обладающих тем свойством, что для любого п f(an)<.Oy f (6„)>0-
По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с, принад-
лежащая всем отрезкам, к которой сходится каждая из последова-
тельностей {а„} и {&„}.
Докажем, что точка с и является искомым корнем, т. е. f (с)==0-
Поскольку f (х) непрерывна в точке с, каждая из последовательно-
стей {/(а„)} и {7(6„)} сходится к f (с). Но тогда из условий f
и f(bn}>0 по теореме 2.10 получаем, что одновременно справед-
ливы неравенства f(c)^O и f (с)>0. Отсюда f(c)==O, что и тре-
бовалось доказать.
Теперь нетрудно понять, как* вычислить приближенно корень
х = с. За приближенное значение этого корня можно взять середину
отрезка [ап> 6„], т. е. точку (a„ + ^„)/2. Так как длина [ап, Ьп\
равна (b — d)/2ny а расстояние от корня с до точки (ап + Ьп)/%
*Этот метод называется также методом Ньютона.
156
не превышает половины длины отрезка [ап, Ьп\, то число (ап-|-&п)/2
уличается от точного значения корня не более чем на (6 —а)/2п+1.
^аким образом, описанный метод позволяет вычислить искомый
корень с с любой точностью, если взять достаточно большое п.
Этот метод удобен тем, что требует однотипных вычислительных
операций. Поэтому его часто используют при проведении вычисле-
ний на современных быстродействующих вычислительных машинах.
2. Метод касательных. Этот метод является одним из самых
эффективных методов приближенного вычисления корней уравне-
ния f (х)=0.
Пусть по-прежнему корень
[а, Ь]. Предположим также, что
рывные знакопостоянные про-
изводные f' (х) и f" (х), а ее зна-
чения f (а) и f(b) имеют разные
знаки. Так как знак f' (х) по-
стоянен, то функция f (х) на [а,
Ь] либо возрастает, либо убы-
вает, и, следовательно, в обоих
случаях график функции у=
= f (х) пересекает ось Ох только
в одной точке, т. е. х=с яв-
ляется единственным корнем на
[а, Ь]. Аналогично, так как знак
f" (х) постоянен, то направле-
х —с является внутренней точкой
на [ а, Ь] функция f (х) имеет непре-
ние выпуклости графика функции y=f(x) на этом отрезке не ме-
няется.
Для определенности рассмотрим случай, когда f' (х)>0 и
Г(х)<0. В этом случае f (а)<0, f (Ь)>0 и график направлен
выпуклостью вниз (рис. 92). Проведем через точку B(b\ f (b)) каса-
тельную к графику функции y=f(x). Ее уравнение имеет вид
y-f(b) = f' (b) (х — Ь).
Полагая i/=0, найдем абсциссу точки пересечения касательной
С осью Ох:
х-Ь--^
‘ Г(ьу
Так как >0, то xt<Zb, а так как график функции y=fix)
Расположен не ниже касательной, то х{>с. Итак, с<х,<^.
возьмем за первое приближенное значение корня точку хг Далее
Доведем касательную к графику через точку В{ (х,; f (Х])) и, посту-
пая аналогично, возьмем за второе приближенное значение корня
т°чку х2:
х2 = Xi
157
При этом c<x2<xi- Продолжая этот процесс неограниченно
для любого п получаем формулу
ЦО)
xn+i-xn (1)
выражающую хп+1 через хп. Таким образом, имеем последователь»
ность приближенных значений корня с, причем
Х| > х2 > х3 > ... > хп > хп+1 > .. > с. (2)
Формула (1) является основной расчетной формулой метода каса-
тельных. Он представляет собой метод последовательных прибли-
жений (итераций), который строится с помощью формулы (1).
Докажем, что последовательность {х„| сходится к искомому
корню с и оценим погрешность, т. е. отклонение приближенного
значения хп от точного значения корня с. Действительно, в силу (2),
последовательность {хп} убывает и ограничена снизу числом с.
Следовательно, по теореме 2.12 она имеет предел с'^с. Переходя
к пределу в равенстве (1), учитывая непрерывность f (х) и f' (х),
получаем
, , f (с')
С ~С f'(c'Y
откуда следует, что f(c') = O, т. е. с' — корень уравнения f (х) = 0.
Но так как на [а, Ь] имеется только один корень с, то с' = с. Итак,
последовательность {хп} сходится к корню с.
Оценим теперь отклонение n-го приближения хп от точного зна-
чения корня с. Применяя к выражению f (xn) = f (xn) —f (с) фор-
мулу Лагранжа, имеем f (хп) = (х„— с) f' (£„), где с<1п<хп-
Отсюда получаем следующую оценку:
т
(3)
где т — наименьшее значение fz (х)| на отрезке [а, Ь]. Формула
(3) позволяет оценить отклонение приближенного значения хп от
точного значения корня с через значение модуля функции f(x)
в точке хп Отметим, что оценка (3) справедлива не только для ме-
тода касательных, но и вообще для любого метода приближенного
вычисления корня при условии т=/=0.
Мы рассмотрели случай, когда f' (х)>0 и f" (х)>0 на [а, Ь]-
В зависимости от комбинации знаков f' (х) и f" (х) возможны еще
три случая: 1) f' (х)>0, f" (х)<0; 2) (х)<0, f" (х)>0;
3) f'(x)<0, f" (х)<0, в каждом из которых обоснование метода
касательных аналогично рассмотренному случаю.
Пример. Вычислить корень уравнения х2 — 5=0 методом ка-
сательных.
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=x2 —5. Эта функция
непрерывна на всей числовой прямой. Найдем отрезок, на концах
которого функция f (х) имеет значения разных знаков. Так как
f(2)= — 1, f(3) = 4, то таким отрезком является отрезок [2, 3]-
158
рнутри него находится искомый корень уравнения. Функция f(х)
иМеет на этом отрезке непрерывные положительные производные
^/(х)=2х и f" (х) = 2. Следовательно, первую касательную к гра-
фику функции y=f(x) следует проводить через точку (3; 4). Поло-
жив в формуле (1) х0=3, получим первое приближение корня:
4 1 1
v =3—2Уз = 2— . Положив теперь в формуле (1) Xj = 2-y, по-
« 1 2 п 5
лучим второе приближение корня: x2 = 2-j—и, нако-
5
ней, положив х2=2^- в формуле (1), получим третье приближе-
2 2
ние корня: х3=2^----^-=2,23607 и т. д.
Для нахождения погрешности приближения х3 воспользуемся
формулой (3). Так как производная f' (х)=2х на [2, 3] возрастает,
то наименьшим ее значением на этом отрезке является f' (2)=4,
Т. е. т = 4. Найдем f (х3): f (х3) = х32—5 = (2,23607)2—5=
= 0,00001. Теперь по формуле (3) имеем
|х3—с| < °'°ГС01 = 0,0000025 = 2,5 • 10“6.
Если по условию задачи такая точность вычисления корня доста-
точна, то процесс построения приближений следует прекратить,
в противном случае этот процесс следует продолжить.
ГЛАВА 7
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
$ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
1. Понятие первообразной функции. Одной из основных задач
Дифференциального исчисления является отыскание производной
заданной функции. Разнообразные вопросы математического ана-
лиза и его многочисленные приложения в геометрии, механике,
физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции
f (х) найти такую функцию F (х), производная которой была бы
Равна функции f (х), т. е. F' (х) = f (х).
Восстановление функции по известной производной этой функ-
ции — одна из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1. Функция F (х) называется первообразной для
Функции f (х) на некотором промежутке X, если для всех значений х
иэ этого промежутка выполняется равенство F' (х)= f (х).
Рассмотрим примеры.
1. Функция F(x) = sinx является первообразной для функ-
Ци« f(x) = cosx на всей числовой прямой, так как при любом зна-
чении х (sin х)' = cos х.
2. Функция F(x) = x3—первообразная для функции f (х)=
^Зх2 на всей числовой прямой, ибо в каждой точке х(х3)' = 3х2.
159
3. Функция F(x)=n\—x2—первообразная для функции
f (х) = — x/'V 1 — %2 на интервале (—1, +1), так как в любой
точке х этого интервала (V1 — х2)' = — х/V 1 — х2.
Задача отыскания по данной функции f (х) ее первообразной
решается неоднозначно. Действительно, если F (х) — первообраз-
ная для f (х), т. е. F'(x) = f(x), то функция Л (х)-f-С, где С—
произвольная постоянная, также является первообразной для f (x)t
так как [ F (х) 4- С] ' = f (х) для любого числа С. Например, для
f (x) = cos х первообразной является не только sin х, но и функция
sin х-|- Су так как (sin х-|- C)' = cos х.
Теперь покажем, что множество функций F(x) + C, где F (х) —
некоторая первообразная для функции f (х), а С— произвольная
постоянная, исчерпывает все первообразные для функции f (х).
Лемма 7.1. Функция, производная которой на некотором про-
межутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть во всех точках промежутка X
производная функции f (х) равна нулю, т. е. f' (х) = 0. Для любых
двух точек х,, х2^Х по теореме Лагранжа получаем
f (*2) — f (*i) = f' (У (*2 — х, < I < х2.
Так как f' (£) = 0, то f (х2) = f (х,). Это и означает, что значения
функции во всех точках промежутка одинаковы, т. е. f(x) = C,
где С — некоторое число.
Теорема 7.1. Если F (х) — первообразная для функции f(x)
на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для
f (х) на том же промежутке может быть представлена в виде F (х) 4
4- С, где С — произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть Ф (х) — любая другая перво-
образная для функции f (х) на промежутке X, т. е. ф'(х) = /(х).
Тогда для любого х е X
[ ф (х) - F (х)]' = Ф' (х) - F' (х) = f(x) - f (х) = О,
а (по лемме 7.1) это означает, что функция Ф(х) — Г(х) постоянна,
т. е. Ф (х) — F (х)= С, где С — некоторое число. Следовательно,
ф (%) = У7 (х)-|-С.
Из доказанной теоремы следует, что множество функций F (х)4
4-С, где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С —
произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообраз-
ных для f (х).
2. Неопределенный интеграл. Определение 2. Если функция
F (х) — первообразная для функции f (х) на промежутке X, то мно~
жество функций /7(х)4-С, где С — произвольная постоянная, на'
зывается неопределенным интегралом от функции f (х) на этом
промежутке и обозначается символом
(х) dx = F (х) + С.
160
При этом функция f (х) называется подынтегральной функцией,
((х) dx — подынтегральным выражением, а переменная х — пере-
менной интегрирования.
Символ y(x)dx обозначает, таким образом, совокупность всех
первообразных для функции f (х). Но иногда будем понимать его
как любой элемент из этой совокупности, т. е. как какую-то из
первообразных.
Восстановление функции по ее производной, или, что то же,
отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной
функции, называется интегрированием этой функции. Интегриро-
вание представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирова-
ние, достаточно продифференцировать результат и получить при
этом подынтегральную функцию.
В этой главе не рассматривается вопрос существования перво-
образных (а значит, и неопределенных интегралов) для широких
классов функций. Отметим, что в гл. 8, § 6 будет доказано, что
любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке
первообразную (а следовательно, и неопределенный интеграл).
Примеры.
1. j3x2 dx=x3+ С, так как(х3+ С)' = 3х2.
2. \cos х dx=sin х + С так как (sin х+ C)' = cos х.
3. ^-dx = ln |х| + С, так как (in |х| + С)' = -^-.
4. ^e“2xdx =—так как (--------------^-е“2х-|-= е-2А, и т. д.
$ 2. Основные свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вы-
текают следующие его свойства.
1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-
ной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, т. е.
(V w dx)z = f wи w= f wd*
Действительно, (x) dx)' = (F (x) + C)' = F' (x) = f (x) и
d(x) dx = ((x) dx)' dx = f (x) dx.
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
Функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т. е.
J AF (х) = F (х) + С.
В самом деле, так как dF (х) = F' (х) dx, то ^F' (х) dx= F (х) + С
3°. Постоянный множитель можно вынести из-под знака инте-
грала, т. е. если & = const=#0, то
^kf (х) dx = k^f (х) dx.
П — 3157
161
Действительно, пусть F (х) — первообразная для функции f (х)
т. е. F' (x) = f(x). Тогда kF (х) — первообразная для функции
kf (х): (kF (х))' = kF' (х) = kf (х). Отсюда следует, что
k (х) dx = k [F (х) + С] = kF (x) + C, = \kf (x) dx,
где С, — kC.
4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций
в отдельности, т. е.
J [ f (х) ± g (х)] dx = jjf (х) dx ± \g (х) dx.
Действительно, ’пусть F (х) и G (х) — первообразные для функ-
ций f (х) и g (х):
F' (х) = f (х)у G'(х) = g (х).
Тогда функции F (х) ± G (х) являются первообразными для функ-
ций f (х) zbg (х). Следовательно,
(X) dx± \g (X) dx=[ F (X) + C,] ±[ G (x) + C2] =
= [F (x)± G (x)] +[C,±C2] =[ F (x)± G (x)] + C= $ [f (x) (x)] dx.
Отметим, что это свойство справедливо для любого конечного
числа слагаемых функций.
Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таб-
лицы непосредственно следует из определения интегрирования как
операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных.
Справедливость остальных формул легко проверить дифференци-
рованием.
I. 1 ^adx=^T+C(a^-l). VIII. J cos x dx = sin x + C.
II. J^=ln |х| + С. IX. J -^-=tgx + C. COS2 X
III. J 1 + x2-arctgx + C. X. S‘ cfc у —I— Г*
IV. f dx • 1 \ —t== arcsin x 4- C. J -fl-x2 XL 5 (a¥=0).
V. Ja*dx=-i4+C(0<a^l). XII. ( dx _ J ^X2+k = In |xH-Vx2H-Zj| +C.
VI. Jexdx = ex+C. XIII. ( ———=— arctg —h C-
VII . J sin x dx= — cos x-hC. XIV. f dx x . r \ =.—=- = arcsin — 4-C. J a
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть
табличными.
162
$ 4. Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов
с помощью непосредственного использования таблицы простейших
интегралов и основных свойств неопределенных интегралов назы-
вается непосредственным итегрированием.
Пример 1. ^5 cos х+2 —Зх24———dx =5 cos xdx +
+2 dx—3 ^x2dx-j-^-^—4 =5 sin x+2x —x3 + ln |x| —
—4 arctg x +C.
Пример 2. \ (sin —x"-|-cos —x-1 dx = \ (sin2-^--j-2 sin -£-cos-£- +
-{-cos2-£-) dx = j (1 -j-sin x) dx = dx + sin xdx =x —cos x + C.
Пример 3. (tg2 xdx = ( (sec2x — 1) dx = (—---( dx=tgx —
J J J COS JC J
-x+C.
2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой пере-
менной интегрирования позволяет свести нахождение данного
интеграла к нахождению табличного интеграла, т. е. перейти к не-
посредственному интегрированию. Такой метод называется методом
подстановки или методом замены переменной. Он основан на сле-
дующей теореме.
Теорема 7.2. Пусть функция х=ф(/) определена и диффе-
ренцируема на некотором промежутке Т и пусть X — множество
значений этой функции, на котором определена функция f (х).
Тогда, если на множестве X функция f (х) имеет первообразную,
то на множестве Т справедлива формула
$Нх)<и|^(/) = ^<Р(01 <₽'Wdt (О
Доказательство. Пусть F (х) — первообразная для f (х)
на множестве X. Рассмотрим на множестве Т сложную функцию
^*[<р (/)]• По правилу дифференцирования сложной функции, учи-
тывая, что F' (х) =f (х), получаем
(F [<₽(/)])' =Fj<j>(/)] <р' (0 =/[<р(/)1 ф'(0.
т. е. функция f [<}>(/)] (0 имеет на множестве Т первообразную
Нф (/)[ и, следовательно,
$/1<р (/)] ф'(/) d/ =Г[Ф(/)] +С.
Замечая, что F [ ф (/)] -|-С =(F (х)+С) I (х) dxl , полу-
|х=ф(/) |х=(р(/)
чаем формулу (1). И
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопре-
деленном интервале.
Г х3
Пример 1. Вычислить интеграл \----- dx.
11*
163
Решение. Положим %—! = /; тогда х = t +1. Отсюда
dx=d/. По формуле (1)
= t2 + 3/ + 3 In Id----—|- С.
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
( —^—^dx = 4-(х — I)2 + 3(х — 1) + 3 In |х — 1|-—+ С.
J (х — 1) z х 1
Замечание. При замене переменной в неопределенном ин-
теграле иногда более удобно задавать не х как функцию /, а, наобо-
рот, задавать t как функцию от х.
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Положим х5 + 7 = /, dt = 5x4dx; тогда
Г x*dx 1 Г d/ 1 j I I . п
= -|п |z| + c-
так что
SvT7 = 4ln 1*5 + 7| + С.
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет
известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть
техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.
Пример 3. Вычислить интеграл \ —==.
J у х2 + а
Решение. Положим V%2-|-a-|-x= /, откуда ( * —+ 1 \dx =
\-Д2 + а )
= dt. Таким образом,
1 д/*2 + а A J.
dx = ---d/,
у х2 + а + х
так что
( —ГА1^ = ( 4- = !п kl + с = In |л/х2 + а + J + с.
J ух2 + а J z
Пример 4. Вычислить интеграл sinп х cos х dx.
Решение. Положим / = sin х, d/=cos х dx. Тогда
( tn+' п sinn+‘ х п t
Г . „ , Г п I r-r4-C =-------7-; НС прип=#~ 1,
\ sin x cos х dx= \/ d/ = s Л+1 л + 1 ' н
v In|/| + С=?= In|sinx| + С прил= — 1.
Пример 5. Вычислить интеграл xd*n, п =/= 1.
Решение. Положим х2-|- 1 = /, 2х dx= d/; тогда
f xdx ____ 1 Г dt_ 1 1 . р_ 1 1 . р
(х2 + |Г+ •
164
jqpH n=l аналогично получим
5-7ТТ=41п(*2+ 1} + с-
3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по
частям основан на использовании формулы дифференцирования
произведения двух функций.
Теорема 7.3. Пусть функции и (х) и v (х) определены и
дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция
и' (х) v (х) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на
промежутке X функция u(x)v' (х) также имеет первообразную
и справедливо, формула
J и (х) v' (х) dx = и (х) v (х) — (х) и' (х) dx. (2)
Доказательство. Из равенства
[ и (х) V (х)]' = и' (х) V (х) + и (х) и' (х)
следует, что
и (х) и' (х) = [ и (х) v (х)]' — и' (х) v (х).
Первообразной функции [w(x)u(x)]z на промежутке X является
функция и (х) v (х). Функция и' (х) v (х) имеет первообразную на X
по условию теоремы. Следовательно, и функция и (х) и' (х) имеет
первообразную на промежутке X. Интегрируя последнее равенство,
получаем формулу (2). И
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям
в неопределенном интеграле.
Так как uz(x)dx=du, и' (x)dx=du, то ее можно записать
в виде
^и dv = и • v — Ju du.
Эта формула позволяет свести вычисление J и du к вычислению
интеграла J и duy который может оказаться более простым.
Пример 1. Jarctgxdx =
и dv
и = arctg х, du —
du = dx, J du = § dx, v = x
. C dx .1 Cd(x’l-l)
= xarctgx— j f-r+^xarctgx—
v u Vi'du j
= xarctgx —In (1 +x2)-|-C.
Пример 2. Jxevdx =
и = x, du = dx
du = e* dx, J du = J ex dx, и = ex ~~
= J x de* = xe*—J e* dx = хе* — e* + C.
и dv u v v
* Здесь вертикальными черточками отделены вспомогательные записи.
Отметим также, что в качестве v можно взять любую функцию вида х 4- С, где
С — постоянная. Мы взяли v = х, т. е. С = 0.
165
w=lnx, dw=-^
du=xdx, ^du= ^xdx, u=-y
) = —Inx-^—— dx = —Inx-----r+c.
Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по
частям приходится применять несколько раз.
Пример 4. Jx2cosxdx=
Пример 3. ^xlnxdx=
w=x2, dw=2xdx
du=cosxdx, Jdu= Jcosxdx, u=sinx ~~
= Jx2 d (sin x) = x2 sin x — 2 Jx sin x dx =
w=x,dw=dx
— du = sinxdx, Jdu= Jsinxdx, v=— cosx —
= x2 sin x + 2^xd cosx = x2sin x + 2xcosx — 2J cos xdx =
= x2 sin x + 2x cos x — 2 sin x + C.
Таким образом, интеграл J x2 cos xdx вычислен двухкратным
интегрированием по частям.
В заключение вычислим интеграл
г f dx
(п — целое положительное число), который понадобится в следую-
щем параграфе. При л=1 имеем табличный интеграл
Ц = arctg х + С.
Пусть п>\. Представив 1 в числителе как разность (х2-|- 1) — х2,
получим
I __ Г dx Г a? dx
П ~ J (х2 + 1Г‘ ” J (Х2 + 1)Л’
Во втором интеграле применим метод интегрирования по
частям:
... х dx Г х dx 1
и = х, d и = dx, du =-----, v—\--------= — ————
(х2 + 1)" J (№-}-1)" (2л -2) (х* + 1)
(см. п. 2, пример 5),
тогда
Sx2 dx __ х । Г dx
(х2 + 1)л (2л — 2) (х21)л-1 J (2л - 2) (х2 4- 1)л-1 ’
следовательно,
/ _ / _|__________________!_ /
*п * п— I I . ,л-| 9п_9 1 п — I’
(2л - 2) (х2 + 1) Zn Z
откуда
7 — _______f_______|_ 2П ~ 3 7
(2л - 2) (х1 + 1) 2п 2
166
Таким образом, интеграл 1п выражен через 1п_}:
Sdx ______ х 2п — 3 Г dx
(х2 + I)" (2л — 2) (х2 + I)"-' 2п - 2 J (х2 + !)"'
Формулы типа (3) называются рекуррентными формулами.
Sdx
--------------------------
(х2 + 1)3
Решение. По рекуррентной формуле (3) имеем
Sdx ___ х । 3 Г dx
(х2 + 1)3 ~ 4(х2 + 1)2 + 4 j (х2 + 1)2’
Sdx х । 1 f dx
(X2 + D2 = 2(^2 + 1) +
(«>!)• (3)
Л = ^^rr=arctgx’
J Л I 1
поэтому окончательно имеем
Sdx х Зх 3 . ~
77Т7 " 7I7T7 + + тг агс,е' + с-
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Важный класс функций, интегралы от которых всегда выража-
ются через элементарные функции, образуют рациональные функ-
ции, т. е. функции, которые можно представить в виде дроби
Р(х)
Q(x)’
где Р (х), Q (х) — многочлены.
Если степень многочлена в числителе равна или больше степени
многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим
р = W (х) + (1)
Q(x) W i Q(xy и;
где W (х) — некоторый многочлен, a R (х) — многочлен степени
ниже, чем Q (х).
Примеры.
хб + лз_х2 + 1 = 2 2х2-6x4-2
х3 — 2х 4- 1 Х ' х3 - 2х 4- 1 ’
хЗ+х + 1 _____1_
х2 + 1 “|"х2 + Г
В высшей алгебре доказывается, что каждый многочлен может
быть представлен в виде произведения
Q (х) = А (х — а) (х — Р) ... (х — у),
где А — коэффициент при старшей степени многочлена Q (х), а
а, р, у — корни уравнения Q(x) = 0. Множители (х — а) (х —
— р)...(х — у) называются элементарными множителями. Если среди
167
них имеются совпадающие, то, группируя, получаем представление
Q (х) = Л (х — a)r(x — P)s... (х — у)', (2)
где г, s, t — целые числа, которые называются соответственно
кратностями корней а, (3, ..., у, причем г-|-s + ..•+ t = ny п
степень многочлена Q (х).
Среди корней представления (2) могут быть и комплексные.
В алгебре доказывается, что если а=а-\-Ы—r-кратный комплекс-
ный корень многочлена с вещественными коэффициентами, то этот
многочлен имеет также сопряженный с а r-кратный корень а =
= а — bi. Другими словами, если в представление (2) входит мно-
житель (х —а), где а= а -|- bi(b =# 0), то оно содержит также
и множитель (х — а ). Перемножив эти два множителя, получим
(х — а)г (х — а ) = {[х — (а + bi)] [х — (а — Ы)]}г =
= [х2 — х (а + bi) — х (а — Ы) + а2 + b2V =
= [х2 — 2ах 4- а2 4- b2V = (х2 4~ 2рх 4"
где р=—ау q = a2-\-b2y p2—q<0, р и q — вещественные числа.
Поступая аналогично с остальными комплексными корнями,
запишем представление (2) в виде
Q (х) = А (х — a)r (х — (3)s...(x2 4- 2рх 4- дУ (х2 4’ 2wx 4" и)*1..., (3)
где а, р, ..., р, ду иу vy ... — вещественные числа.
В высшей алгебре доказывается следующая теорема.
Теорема. Если рациональнная функция имеет степень
многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе,
а многочлен Q (х) представлен в виде (3), то эту функцию можно
единственным образом представить в виде 4
4- 4-...+ — --- 4-...
Q (х) (х а) _ а)2
MS + М2х + N2 Mtx + Nt
х2 + 2рх + q (х2 4- 2рх + qf (х2 + 2рх + q)‘
где Л,, Л 2, ..., Лг, ..., Л4|, W|, Л42, W2, ..., М1У Nt, ... — некоторые
вещественные числа.
Выражение (4) называется разложением рациональной функции
на элементарные дроби.
Равенство (4) имеет место для всех х, не ‘являющихся вещест-
венными корнями многочлена Q (х).
Чтобы определить числа Л,, Л2, ..., Ап ..., М,, 2V(, ..., Mty Nfy •
умножим обе части разложения (4) t неизвестными пока Лн Л2, ...
на Q (х). Поскольку равенство между многочленом R (х) и много-
членом, который получится в правой части, должно быть справед-
ливо для всех х, то коэффициенты, стоящие при равных степенях х,
должны быть равны между собой. Приравнивая их, получаем си-
стему уравнений первой степени, из которой найдем неизвестные
числа А |, Л 2,..., Ап ..., MbN ь..., Mty Nь...
168
Такой метод отыскания коэффициентов разложения рациональ-
ной функции называется методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1. Разложить рациональную функцию %2 _ 5х 6 на
элементарные дроби.
Решение. Так как х2 —5х-|-6= (х—3) (х —2), то по
формуле (4) имеем
2х — 1 _ А В
х2 — 5х + 6~ х — 3 ' х— 2’
Умножая обе части равенства на х2—5х + 6, получаем
2х - 1 = А (х — 2) + В (х - 3), или 2х - 1 = (Л + В) х — 2А — ЗВ.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
систему уравнений первой степени относительно Л и В:
Л + В = 2,
2Л +ЗВ= 1,
откуда Л = 5, В=—3.
Таким образом,
2х- 1
х2 — 5% + 6
5
х-3
3
х — 2‘
Пример 2. Найти разложение рациональной функции -----------
*(^ + 0
на элементарные дроби.
Решение. Квадратный трехчлен х2-|-1 имеет комплексные
корни, поэтому по формуле (4) имеем
х2 — 1 А Вх + С Dx + Е
х(х2+1)2 х * + 1 (х2 + I)2
Умножая обе части равенства на х (х2+ 1)2, получаем
х2 - 1 = А (х2 + 1)2 + (Вх + С) (х2 + 1) х + (Dx + Е) х
или
X2 - 1 = (Д + В) х4 + Сх3 + (2Д + В + D) х2 + (С + В) X + Д.
Приравнивая коэффициенты при х°, х1, х2, х3 и х4, придем к системе
Уравнений
х4:Д +В = 0,
х3:С = 0,
< х2:2Д + В + В = 0,
х|:С + Е=0,
х°: А = - 1.
Решая которую найдем Д = —1, В=1, С=0, 0 = 2, Е=0,
и поэтому искомое разложение имеет вид
х2 — 1 _ 1 . х 2х
х(х2+1)2 ~ + + (X2 + If
Из изложенного следует, что задача интегрирования рациональ-
ной функции (1) сводится к интегрированию многочлена lF(x)=^
= aarm+a1xm-, + ...+am, интеграл от которого является таб-
личным:
Sy/П + 1 Ym
W (х) dx = a0 от + , +а, —+... + а^с + С,
u , R (х)
и интегрированию рациональной функции что приводит
к нахождению интегралов следующих четырех типов *:
I- dx = A In |х—a| + C;
II. (—— dx=-----------+С(г>1);
III. ( 2Лхо+В dx;
J >?+2px + q
IV.----(---Лх + В-., dx (r-> j)_
J (x2+2px + q)r
При этом многочлен x2-\-2px-\-q не имеет вещественных корней,
так что р2 —^<0.
Вычислим интеграл III типа, который часто встречается на прак-
тике. Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат
х2 + 2рх + q = (х + р)2 4- q — р2.
Это представление «подсказывает» подстановку х+р=/, откуда
x=t — py dx=dt. Положим далее q — p2=h>0 и перейдем
к переменной t. В результате интеграл преобразуется к виду
Г Ах + В , Г At + B — Ap ,. 1 л f 2/ dt . ,D л ч f dt
),+»<+Л~) !+» д,=тл)^+7+(в~л-',>)тт»-
Первый интеграл в правой части берется непосредственно
( = In k2 + h\ + С = In |х2 + 2рх + ?| + С.
J г -f- h
Второй интеграл вычисляется по формуле XIII таблицы основных
интегралов.
Пример 3. Вычислить ( dx-
J X -j- 4X -f- У
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат: х2+
+ 4% + 9 = (х + 2)2+5. Сделаем подстановку х + 2=/, откуда
x=t— 2, dx=d/, поэтому
Г 6х+5 , Г 6х + 5 , Г 6 (/— 2)4-5,. Гб/ — 7
\ 2 1 Л .Odx= \---77—dx= \ dt= \—— dt =
Jx2 + 4x + 9 J (х_|_ 2)4-5 J ^+5 J ^+5
=44A-7^=ai"''J+w-7?a'c,5itc
* Интегралы I и II типов интегрируются элементарно с помощью подста-
новки / = х — а.
170
возвращаясь к переменной х, получаем
$ + = 3ln(х2 +4х + 9)-7Earctg27F + с-
п rw f Ax-j-B . 2-^
Вычислим теперь интеграл IV типа: \---------dx, q — p >
J (х24-2рх4-р/
^0, г>1. Для этого введем новую переменную z по формуле
2=(x + p)/V^ —р2, откуда x=z^ q —р2—ру dx = ^ q — p2dz. (5)
Далее, имеем
z2 + 1 = 1 (6)
Таким образом, используя подстановку (5) и принимая во вни-
мание (6), получаем
t Л‘ + В dx_ dz -
J (х24-2рх4-р/ J (z2H- l)f (q — p2)'
SMz + W , .. C z dz , KT f dz
----!— dz = M \---------h N \-----,
(z2 + l)' J(z2 + l)f J(z2H-l)f
где M и N — числа, значения которых ясны из предпоследнего ра-
венства.
Ко второму интегралу можно применить рекуррентную формулу
[см. § 4, п. 3, формулу (3)]. Положив в первом интеграле z2+l=/,
получим
z dz М Г d/
(z2+l)' 2 J l'
M 1 , п М 1
2(г-1) Л-+С~ 2(r—1) (г2 + ,у
Пример 4. Вычислить (-5х + 3—- dx.
J (х2 —2х-]-5)
Решение. Положим z= х о 1,
V5- 1 2
откуда x=l+2z,
dx=2 dz, ах2 —2х + 5 = 4 (z2+ 1),следовательно,
С 5х-|-3 . Г 5 (1 4~ 2z) 4~ 3 о . Г 10z4~8 .
\----------г dx= \—--------^2 dz= \ —- dz
J(x2-2x + 5) J 42(z2+l) J8(z2+1)
__ 5 f z dz f dz
~ 4 J (z2 + I)2 ' J (z2 + l)2’
z dz 1 1 f dz z , 1 ,
2 + l)2 - z2 + l’ J (22+i)2- 2(z2+l)+^arC gZ
Таким образом,
S 5x-f-3 , 51, z .1 ,
(x2_2x + 5)2 dX— 8 z2 + 1 + 2(z2+l)+^arCtg Z + C~
4z —5 ,1 . . ~
=-8Wi7+^arctgz+c-
Возвращаясь к переменной x, получаем
Г 5x4-3 , 2х — 7 1 /х_i\
J (х2-2х + 5)2 dX“ 2(x2-2x + 5)+^arCtg (^“) + С-
171
Итак, установлено, что интегрирование любой рациональной
функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа
элементарных дробей, интегралы от которых выражаются через
рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами
любая рациональная функция интегрируется в элементарных функ*
циях.
§ 6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
Предварительно введем обозначение рациональной функции от
двух переменных и и v, т. е. функции, получающейся из двух пере-
менных и и v и некоторых постоянных, над которыми производятся
только операции сложения, вычитания, умножения и деления:
R (и, v). Такова, например, функция
R (и, v) - з 7 .
ил 4- 4у2
Если переменные и и v, в свою очередь, являются функциями
переменной х: и = <р (х), v = ф (х), то функция /?[<р(х), ф (х)]
называется рациональной функцией от <р(х) и ф(х). Например,
функция
является рациональной функцией от х и от vx2—1: f (х)=
= /?(х, Vx2— 1); здесь /?(н, = и = х, o = Vx2— 1,
а функция
с z ч sin2 X — cos2 X
f ( х) = ---------
' v 7 sin3 x 4- 2 cos x
является рациональной функцией от sin х и от cos х: f (х)==
= /? (sin x,cos х).
Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших ирра-
циональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде
случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или,
как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены мето-
дами, рассмотренными в § 5.
1. Интеграл вида (х, vj-yjdx, где a, b, с, d — некото-
рые числа т — натуральное число, R — рациональная
t т I ах 4~ b о
функция от х и от cx_^d- Покажем, что такой интеграл рацио-
нализируется подстановкой
. т I ах 4- Ь
t= У 77+Т-
172
g самом деле,
ax-\-b b — dtm .
=------7~Гу X=----------у dx
cx-ha ctm — a
__ тГ1-' (ad —be) .,
(ctm — a)2
так что
f n ( m ax+b\. {n/b-dtm \ mtm~[ (ad — be) . Cn , . ..
? (*• Л/7ГГ7>- d'= . (0 d*.
где Ri (/) — рациональная функция аргумента t.
„ 1 г> C / 1 +* dx
Пример 1. Вычислить V’w -j—
Решение. Сделав подстановку / = получим /2=
2 /2-1 , Mdt „
—- х= ——dx=----------- Далее, имеем
t2 dt
-, 1 — x
dx
= <2t — <2 arctg /+C=2
Пример 2. Вычислить t
J Vx + Vx
Решение. Имеем
Г dx Г dx ______________ t = \l~x^x=t6 f dt
JV^+V^-J(V32+(6V33- dx=6/5d/ J t2 + t*~
=6[-y-4+'-int'+,i] +c=
= 2~\/x—3 V%4~6 Vx—6 In (V^+ 1) + C.
2. Интеграл вида (x, dax2-[- bx-]-c) dx, где a, b, c — неко-
торые числа; a^O; к — рациональная функция от х и от
Vax2-|-^x-|-c.
Если трехчлен ах2-\-Ьх-\-с имеет вещественные корни xh х2
(х1=^х2) и а>*0,то
~^ах2 + Ьх + с = — х,) (х —х2) = |х-х,|-у
Следовательно,
R (х,л/ах2 + ^х + с) = R (х, |х— х J
т. е. получаем интеграл, рассмотренный в п. 1.
Если Х| = х2,то
V ах2 + bx + c= |х— X,|V^,
т- е. под знаком интеграла находится рациональная функция от х.
173
Поэтому интересен случай, когда трехчлен ах2+Ьх + с не имеет
вещественных корней и а>0. Покажем, что в данном случае инте-
грал рационализируется подстановкой Эйлера *:
t = Vах2 + Ьх + с + x^Ja. **
Возводя обе части равенства v ах2b хс
получаем bx-\-c = t2 — 2^[atx, так что
/2 — с / 2 i с i Va/2
х——-------, V ах+-0х+-с =-----
2Va/ + b
dx^2^at2 + bt + cfadt.
(2Va/ + b)
Таким образом,
= + + 2 Va/^ + 6/ + Wad/== f
J \2yTat + b Hat + b ) (2yTat + b) J ’
где /?] (/) — рациональная функция от t.
Если же в трехчлене ах2+Ьх-[-с а<0, а с>0, то для рацио-
нализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера:
v ах2 + Ьх + с = xt dz v с.
Пример 3. Вычислить \----
J X + V^2_|_x+1
Решение. Поскольку трехчлен х2+ *+1 имеет комплекс-
ные корни, сделаем подстановку л/х2-|-х-|- 1 = t — x. Возводя обе
части равенства в квадрат, получаем
х2+*+ 1 = t2—2/х + х2 или %+ 1 =/2—2/х; отсюда
/2-1 л о /2 + /+1 ,,
х= i -T-n7, dx= 2------------------------— d/.
1+2/ (1+2/f
Тогда
dx
T-d/.
/ (1 +2/)2
Далее, имеем
2/2 + 2/ + 2 В D
/(1+2/)2 Z 1 + 2t + (1 + 2/f ’
Умножая обе части равенства на t (1 +2/)2, получаем
2?+2/ + 2 = Д (1 +2/)2 + ^/ (1 +2t) + Dt,
2/2+2/ + 2 = (4Д + 2В) t2 + (4A+D+B) t + A.
или
* Эйлер Леонард (1707—1783) —выдающийся математик, механик, физик
и астроном, член Петербургской Академии наук, большую часть жизни провел
в России, по национальности швейцарец.
174
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях I, получаем
систему уравнений первой степени относительно А, В, D:
{4А+2В = 2,
4А + D + В = 2,
А = 2,
откуда А = 2, В=—3, D=—3. Следовательно,
2t2 + 2t + 2_ 2 3 3
/(1+2// ~ * *+2/ (l+2/f
и окончательно
[ d/______3
J ' “ 2
з
(1+2/)2
Г d(l+2/)
J 1+2/
3 Г d(l+2/)_
2 J (1 +2tf
= 2 In |/| —In 11 +-2/| + 2(iT20
—|- In |1 +2х+2л/х2+х+ 1 +
+ C=21n |V^+x+l+x|-
_________3 -[- c
2( 1H-2xH-2Vx2H-xH-1)
Пример 4. Вычислить \-----==.
J (l+x^ + x-x2
Решение. Здесь трехчлен 1+x — x2 имеет комплексные
корни и а<0, с>0, поэтому воспользуемся подстановкой
V14-х — х2= tx—i. Возводя обе части равенства в квадрат,
получаем
1 +% — х2= t2x2 — 2/х+ 1 или 1 — х=/2х —2/;
отсюда
1+2/ ,
*=—’dx
Таким образом,
2
dx __ f_________2(1—Z — /2)____d/
(i+xh/T+x—x2 J/! . ..L+glx,L2_ +/ll!_(/2 i i)2
\ z2H-17 z2 + i v 7
= -2(----—-=-2 arctg(/ + !) + C=
Ji+(/+i)2
_ -7 1 +X — X2 + X + 1 „
= — 2 arctg ——1!—!—h C.
Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок
Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким
выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный
интеграл не удается вычислить более коротким способом.
3. Интеграл вида J/? (sin х, cos х) dx, где R — рациональная
Функция от sin х и от cos х. Покажем, что интеграл рационали-
зируется подстановкой
t = tg — л < х < л.
175
Действительно,
2tg(x/2) 2t 1—tg2(x/2) I — /2
l+tg2(x/2) 1+/2’ b l+tg2(x/2) 1+/2’
X= 2 arctg t, dx=
так что
J/? (sin X,cos x) dx= J/? J/?, (/) dt,
где R । (/) — рациональная функция от t.
Пример 5. Вычислить \ . ,х—.
г г J 1 “Г Sin X
Решение. Применяя подстановку / = tg (х/2), получаем
sin Х=Т+Рх= 2 arctg Л dx=T+F'
Таким образом,
С dx _____о С d/ ___ 2 I I
J l+sinx-Z) (1+/)2- 1+/“^- H-tg(x/2)"rb‘
4. Интеграл вида (j/? (ех) dt. Покажем, что данный интеграл
рационализируется подстановкой
t = ех.
В самом деле, так как х= In t и dx = —, то
J/?(ex) dx= J/? (/) -у,
где R (/) — рациональная функция от t.
S. — 1
Решение. Полагаем / = е*. Отсюда dx = -—. Следовательно,
С е*-! j С *“1 d/ С 2/-(/Н-1) of d/ f d/
ivTTd*=b+T~~) « + ') d'-2)7TT~)~~
= 2 In (I +/) — In /|- C -- 2 In (I +e1)— x + C.
В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы
интргрирования не исчерпывают всех классов аналитически ин-
тегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изло-
женного следует, что техника интегрирования сложнее по срав-
нению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки
и изобретательность, которые приобретаются на практике в ре'
зультате решения большого числа примеров.
Отметим также, что если дифференцирование не выводит из
класса элементарных функций, то при интегрировании дело об-
стоит иначе. Существуют такие элементарные функции (например,
—г2 1 sin х ч
е , -jjy, —— и т. д. ), первообразные от которых не являются
элементарными функциями. Такие первообразные не только су-
176
чествуют, но и играют большую роль как в самом математическом
анализе, так и в его приложениях. Они хорошо изучены, для них
вставлены таблицы и графики, помогающие их практическому
йСпользованию.
Если первообразная не является элементарной функцией, то
говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.
ГЛАВА 8
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение определенного интеграла
Пусть функция у = f (х) определена на отрезке [а, 6], a<Zb.
Разобьем этот отрезок на п произвольных частей точками:
а = х0 < Xj < х2 < ... < х(_] < х(- < ... < хп = Ь.
Обозначим это разбиение через т, а точки х0, xh ..., хп будем назы-
вать точками разбиения. В каждом из полученных частичных
отрезков [x(._b xj выберем произвольную точку
^х,). Через Дх,- обозначим разность хг — х^_ь которую условимся
называть длиной частичного отрезка [х,_], х;].
Образуем сумму:
п
a = f(gl)Ax, + f(^)Ax2 + ...+ f(^)Ax„ = £ f (1) Ах„ (1)
<=1
которую назовем интегральной суммой для функции f (х) на [а, 6],
соответствующей данному разбиению [а, Ь] на частичные отрезки
и данному выбору промежуточных точек |(. Геометрический смысл
суммы а очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основа-
ниями Дхр Дх2, ..., Дх„ и высотами/(^),/(^2), если/(х)>0
(рис. 93).
Обозначим через X длину наибольшего частичного отрезка
разбиения т: к= max {Дх,}.
Определение. Если существует конечный предел / интегральной
суммы (1) при X—>-0, то этот предел называется определенным
интегралом от функции f (х) по отрезку [а, Ь] и обозначается сле-
дующим образом:
ь
/ = ^ (х) dx (2)
а
Или
b п
5 f (х) dx = lim £ f (£,) Дх,.
а i=\
12^3157
177
В этом случае функция f (х) называется интегрируемой на [а, Ь]
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним преде-
лами интегрирования, f (х) — подынтегральной функцией, х — пе-
ременной интегрирования.
Сделаем ряд пояснений, так как имеет место не совсем обычный
предельный переход. В самом деле, интегральная сумма зависит
от точек разбиения хг и промежуточных точек Число тех и дру.
гих точек стремится к бесконечности при X—>-0. Поэтому само
понятие предела интегральной суммы требует уточнения. Сначала
дадим соответствующее определение на «языке последовательно-
стей». Пусть отрезок [а, Ь] по-
следовательно разбивается на
части сначала одним способом,
затем — вторым, третьим и т. д.,
причем длина kk наибольшего
частичного отрезка k-ro разбие-
ния стремится к нулю, когда
k стремится к бесконечности.
В каждом разбиении выберем
произвольно промежуточные точ-
ки Таким образом, по-
лучаем последовательность раз-
биения {т*}, у которой lim
и можно дать определение опре-
деленного интеграла на «языке
последовательностей»: функция f (х) называется интегрируемой на
[а, Ь], если для любой последовательности разбиений {т*}, у которой
lim ХЛ=0, соответствующая последовательность интегральных
сумм {аЛ} стремится к одному и тому же числу /.
Можно дать определение определенного интеграла и «на языке
е —6»: число I называется определенным интегралом от функции
f(x) по отрезку [а, Ь], если для любого е>0 существует 6>0
такое, что при (т. е. если отрезок разбит на части с дли-
нами KxL<Zd) независимо от выбора точек выполняется нера-
венство
< е.
Доказательство эквивалентности обоих определений можно про-
вести аналогично доказательству эквивалентности двух определе-
ний предела функции. Определение «на языке последовательно-
стей» дает возможность перенести основные понятия теории пре-
делов и на этот новый вид предела.
Из определения определенного интеграла следует, что вели-
чина интеграла (2) зависит только от вида функций f (х) и от чисел и
и Ь. Следовательно, если заданы f (х) и пределы интегрирования,
то интеграл (2) определяется однозначно и представляет собой
178
^которое число. Отсюда, в частности, следует, что определенный
интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подын-
тегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегриро-
вания:
ь ь ь
\f(x) dx = \f(t) d/= ^(^ИТ.Д.
a a a
§ 2. Условия существования определенного интеграла
1. Ограниченность интегрируемой функции. Теорема 8.1
(необходимое условие интегрируемости
функции). Если функция f (х) интегрируема на отрезке [а, Ь],
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим обратное, г. е. допу-
стим, что f (х) не ограничена на [а, Ь]. Покажем, что в этом случае
интегральную сумму а можно за счет выбора точек •> %>п
сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка [а, Ь].
Действительно, так как f (х) не ограничена на [а, Ь], то при
любом разбиении отрезка [а, Ь] она обладает этим свойством хотя
бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [х0, xj.
Выберем на остальных частичных отрезках точки £2, £3, ..., %п
произвольно и обозначим
а' = f (£2) Дх2 + f (£3) Дх3 + ...+ / (£„) Ах„.
Зададим произвольное число М>*0 и возьмем такое на
[х0, X]], чтобы
Это можно сделать в силу неограниченности функции f (х) на
х0, х,]. Тогда
f(£,)| Ах, > |а'| + М и |а| = |f(^) Дх, + <т'| > \f (|,)| Ах, — |а'|
т. е. интегральная сумма а по абсолютной величине больше лю-
бого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма о
не имеет конечного предела при Х->0, а это означает, что опреде-
ленный интеграл от неограниченной функции не существует.
Замечание. Обратная теорема неверна, т. е. условие огра-
ниченности функции f (х) необходимое, но не достаточное условие
интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером.
Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0, 1]:
f( fl» если х рациональное число,
' ' ~ I 0, если х иррациональное число.
Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она не ин-
тегрируема на [0, 1]. Покажем это. Если при любом разбиении
отрезка [0, 1] выбрать рациональные точки (х^^^^х,),
12* 179
то получим
О = £ f (£,) Ах, = £ 1 • Ах, = 1,
/= 1 i= 1
а если взять ^иррациональными, то получим
п лд
а = £ f (£;) Ах, = •£ 0 • Ах; = 0.
i= 1 i= I
Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные
отрезки интегральная сумма может принимать как значение, рав-
ное 0, так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма о
при Х->0 предела не имеет.
Таким образом, для существования определенного интеграла
от некоторой функции f (х) последняя, помимо ограниченности,
должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими
ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо
ввести понятия нижних и верхних сумм.
2. Суммы Дарбу*. Пусть функция f (х) ограничена на отрезке
[а, Ь] и т — разбиение этого отрезка точками: а=х0<Х|<...
... <х|«_1<х/<... <хя= b. Обозначим через т1 и соответ-
ственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции
на отрезке [*,_!, xt] и составим следующие суммы:
S = М.Лх, 4- М<Дх2 + .„+ МДхп = £ МДхь
4=1
s = тДх] -J- т2Лх2 -|- •••+ гпп^хп = £ тДх^
4=1
Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами
или верхней и нижней суммами Дарбу функции f (х) для данного
разбиения т отрезка [ а, Ь].
Из определения нижней и верхней граней следует, что
/п,-< f (£,) ^М.при^ е [xz_j, xj. Отсюда
s = £m/Xxt^o = £ f (£t) Дх,£ M/\xz= S,
4= I 4= I 4= 1
т. e. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного раз-
биения связаны неравенствами
s о S. (О
Суммы Дарбу имеют простой 'геометрический смысл. Рассмот-
рим неотрицательную непрерывную функцию f (х) на [а, Ь] и кри-
волинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функ-
ции f (х), двумя вертикальными прямыми, проведенными через
* Дарбу Гастон (1842—1917) —французский математик.
180
тОчки а и b оси Ох, и осью Ох (рис. 94 и 95). Поскольку функция
^(х) непрерывна на [а, Ь], она непрерывна и на [х^,, xj. По вто-
рой теореме Вейерштрасса функция f (х) достигает на [х,.,, xj
своих точных граней, и, следовательно, т, и Af,—соответственно
наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. По-
этому сумма S равна площади заштрихованной на рис. 94 ступен-
чатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сум-
ма s равна площади заштрихованной на рис. 95 ступенчатой фи-
гуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию.
Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от
разбиения отрезка [а, Ь], в то время как интегральная сумма а
зависит еще и от выбора точек на частичных отрезках [х,_|, xj.
При фиксированном разбиении отрезка [а, Ь] суммы $ и S — не-
которые числа, а сумма а — переменная величина, так как точки
произвольны.
3. Свойства сумм Дарбу. 1°. Для любого фиксированного раз-
биения т и для любого е>>0 точки на отрезках [х,_,, xj можно
выбрать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять
неравенствам 0^$-а<е. Точки можно выбрать также и
таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять
неравенствам О^а —s<e.
Доказательство. Пусть т — некоторое фиксированное
разбиение отрезка [а, Ь]. Докажем, например, неравенства
—а<е. Согласно свойству точной верхней грани Л1, для
Данного е>0 на [xt_„ xj можно указать такую точку что
Умножая эти неравенства на Дх, и затем складывая, получаем
— о<е. Аналогично устанавливаются неравенства 0^
— $<е.
2°. От добавления к данному разбиению т отрезка [а, Ь] новых
точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя —
не увеличивается.
Доказательство. Для доказательства достаточно огра-
ничиться добавлением к данному разбиению т еще одной точки
181
разбиения х', так как добавление нескольких точек разбиения мож.
но провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая
точка х' попала на отрезок [xt_t, xj (рис. 96). Обозначим соответ,
ственно через s и s' — нижние, а через S и S' — верхние суммы
Дарбу для данного разбиения т и полученного из него добавле.
нием точки х' разбиения т'.
Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу s и s'. Обо.
значим через т\ и точные нижние грани функции f (х) соот.
ветственно на отрезках [х,_„ х'] и [х', xj. В сумму s входит слагае.
мое /пДх,, а в сумму s' вместо него слагаемые т'Дх'—х,-,) 4.
4-m"/(xI—х'). Остальные слагаемые в суммах s и s' одинаковы.
Так как т'^ть (точная нижняя грань на части
xj не меньше точной нижней грани на всем [ хх_ h xj), то
m'x(x' —x^-j) + пГ^х, —х') ^mf(x' — х(1) 4- тДх, —х')=» тДх^
Отсюда следует, что s' s.
Аналогично доказывается, что S' S.
3°. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения х' не превосхо-
дит верхней суммы для любого другого разбиения т".
Доказательство. Пусть s' и S', s" и S" — нижняя и
верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений т' и т". Рас-
смотрим разбиение т, сос-
тоящее из всех точек, вхо-
г ? 0 ? ° ? ° Л л г \ дящих в разбиения т' и т".
11 ° ’’ ’г Ь-*П * Обозначим его суммы Дар-
Рис % бу через s и S. Так как
разбиение т может быть
получено из разбиения т' добавлением к нему точек разбиения
т", то согласно свойству 2°, учитывая очевидное неравенство
s<S, получаем
s'<s^S<S'.
Но разбиение т может быть также получено из разбиения т" до-
бавлением точек разбиения т'. Поэтому
s" s < S < S".
Сравнивая установленные неравенства, получаем s' S", s"
<S'.
4°. Множество (SJ верхних сумм Дарбу данной функции f(*)
для>всевозможных разбиений отрезка[а, Ь] ограничено снизу, а мно-
жество {s} нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная
верхняя грань множества {s) не превосходит точную нижнюю грань
множества (S).
Доказательство. Это Свойство непосредственно следует
из свойства 3°. Действительно, множество всех верхних сумм ДаР'
бу {S) ограничено снизу, например, любой нижней суммой ДарбУ
s, а множество всех нижних сумм Дарбу {s} ограничено сверху»
например, любой верхней суммой Дарбу S. Поэтому по теореме М
множества (S) и {s) имеют точные грани. Обозначим через /* то4'
182
уЮ нижнюю грань множества {S}, а через /* — точную верхнюю
грань множества {$}:
Г = inf {S},A = sup {$}.
укажем, что /•</*. .Пусть /•>/*. Обозначим их разность
церез 8, так что /* — /*= 8>0. Из свойства точных граней /•
н /* вытекает, что существуют числа S' и представляющие со-
бой соответственно верхнюю и нижнюю суммы Дарбу некоторых
разбиений т' и т" отрезка [а, 6], такие, что Г4-е/2>>SZ и /♦ —
Вычитая второе неравенство из первого, получаем
5' — $" </* — /* + 8. Но /* — /*= —8, поэтому S' — s"<0,
т е. $">»SZ, что противоречит свойству 3°. Следовательно,
4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Имеет
место следующая основная теорема.
Теорема 8.2. Для того чтобы ограниченная на отрезке
[о, b] функция f (х) была интегрируемой на этом отрезке, необ-
ходимо и достаточно, чтобы
lim (S — s) = 0. (2)
Условие (2) означает, что для любого 8>0 существует б>0
такое, что при выполняется неравенство |S — $|<8.
Так как s^CS, то последнее неравенство равносильно неравенству
S - S < 8. (3)
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (х)
интегрируема на отрезке [а, Ь], т. е. существует определенный
д
интеграл / (х) dx. Это означает, что для любого 8>>0 сущест-
а
вует 6>>0 такое, что для любого разбиения т, удовлетворяющего
Условию независимо от выбора точек выполняется нера-
венство
|о — /| < е/4. (4)
Зафиксируем любое такое разбиение т. Для него согласно свой-
ству 1° можно указать такие интегральные суммы а' и а", что
S — а' е/4, а" — s е/4. (5)
Отметим, что обе интегральные суммы а' и а" удовлетворяют не-
равенству (4). Из соотношения
S - s = (S - а') + (а' - /) + (/ - а") + (а" - $)
и неравенств (4) и (5) следует, что
S — s < 8,
а это и означает выполнение условия (3).
183
Достаточность. *Пусть выполнено условие (3). Согласно свой
ству 4° для любых нижних и верхних сумм
Дарбу, поэтому* 0^/* ——$, откуда согласно (3} с^е
дует, что 0^/* —/*<е для любого е>0. Значит, / —
— 0, т. е. /*=/*. Полагая 1=Г=1*, получаем, что
любого разбиения выполняются неравенства
(6)
Если же интегральная сумма а и суммы Дарбу s и S отвечают
одному и тому же разбиению т, то, как известно [см. формулу (1)]
s С а С S. (7)
Из неравенств (6) и (7) следует, что
|о — /| С S — s. (8)
По условию для любого е>0 существует 6>0 такое, что при
Х<6 выполняется неравенство (3): S—$<е. Но тогда из не-
равенства (8) следует, что и
|а — /| < е при X < 6,
а это означает, что число / является пределом интегральной суммы
а при Х-+0, т. е. функция f (х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. I
В дальнейшем понадобится другая форма записи необходи-
мого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колеба-
ние М, — дисфункции f (х) на отрезке [xz_|, xj через со,, имеем
п п п . п
S — $ = £ М— £ гп^х, = £ (Л4i — гщ) \xt = £ соДх,.
1= 1 1= 1 z= I i= 1
Так как и Axz>0, то каждое слагаемое в последней
сумме неотрицательно, и условие существования определенного
интеграла можно переписать так: для любого е>0 существует
такое, что
п
£ со, Дх,- < е при К < 6.
«=1
В таком виде его обычно и применяют.
§ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных
функций
Теорема 8.3. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
[ а, Ь], то она интегрируема на нем.
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна на
отрезке [а, 6], то по теореме Кантора она-и равномерно-непрерывна
на нем. Пусть дано любое е>0. Согласно следствию из теорему
Кантора для положительного числа е/(6 — а) найдется
такое, что при разбиении отрезка [а, Ь] на частичные отрезки
[ Xz_ j, xj, длина которых Axz<6, все колебания со( меньше &/(Ь — аг
184
S — s = соДх, < b = 8 при X < 6.
1=1 1=1
Следовательно, для непрерывной на отрезке [а, Ь] функции f (х)
виполнено достаточное условие интегрируемости, а из него выте-
чет существование определенного интеграла!
Как следует из теоремы, условие непрерывности функции яв-
ляется достаточным условием интегрируемости функции. Но это
не означает, что определенный интеграл существует только для
непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо
шире. Так, например, существует определенный интеграл от функ-
ций, имеющих конечное число точек разрыва. Докажем это.
Теорема 8.4. Если функция f (х) ограничена на отрезке
(а, Ь] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то
она интегрируема на этом отрезке.
X.q-0 Xf Xg Xj + в ft ^п-f Ь~%п
Рис. 97
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, ког-
да между а и b имеется лишь одна точка разрыва х'. Пусть М и
ш — точные грани функции f (х) на [a, ft], Q = M — m— ее ко-
лебание на данном отрезке. Возьмем любое достаточно малое
е>0 и рассмотрим отрезки [a, xz —e/(8Q)] и [x' + e/(8Q), ft]
(рис. 97). На каждом из этих отрезков f (х) непрерывна, и, сле-
довательно, найдется 6z>»0 такое, что при разбиении их на ча-
стичные отрезки [х'^, xzt] с длинами Дх'-<6' все колебания со\
меньшеТ(ГГ^-
Пусть 6=min(6z, e/(8Q)}. Рассмотрим теперь произвольное
Разбиение [a, ft] на частичные отрезки, длина которых Дх(с6
п
(рис. 97). Для этого разбиения сумму £ <оДх4 разобьем на слага-
i= 1
емые £ о)Дх4-|- £ соДХр где в первую сумму входят частичные
Отрезки, лежащие целиком вне е/(8£2)-окрестности точки х', а во
вторую—частичные отрезки, либо заключенные целиком внутри
е/(8£>)-окрестности точки х', либо имеющие с ней общие точки.
Для первой суммы, как и при доказательстве предыдущей
Те°ремы, имеем >
У соДх; < е/2,
Что касается второй суммы, то заметим, что длины отрезков, цели-
ли попавших внутрь е/(8й)-окрестности точки х', в сумме меньше
равны e/(4Q); число отрезков, лишь частично попавших в эту
* Более простое доказательство теоремы см. кн.: Шипачев В. С. «Основы вы-
^й математики», 1994.
185
окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше
^Ce/(4Q). Следовательно,
26^
// и 6 6
£ а\Ах, Q Ах,- < Q ~2Q = —.
Таким образом, окончательно имеем
S — s = <otAxt = £ со,Ах, + £ (о,Ах, < = е при X < §
i=i ~
Это и доказывает интегрируемость функции f (х) на [а, Ь]. ।
Следствие. Кусочно-непрерывная на отрезке функция ин*
тегрируема на этом отрезке.
§ 4. Основные свойства определенного интеграла
ь
1°. Интеграл Jf(x)dx был введен для случая a<Zb. Обобщим
а
понятие определенного интеграла на случай, когда пределы инте-
грирования совпадают или нижний предел больше верхнего. По
определению полагаем
J f (х) dx = 0, (1)
а
рассматривая эту формулу как естественное распространение по-
нятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.
Также по определению полагаем
а b
^f(x)dx= — ^f (х) dx, (2)
Ь а
рассматривая формулу (2) как естественное распространение по-
нятия определенного интеграла на случай, когда отрезок [а, Ь]
при a<Zb пробегается в направлении от b к а. В этом случае точки
разбиения х( отрезка [а, Ь] занумерованы в порядке следования
от ft ка и в интегральной сумме все разности Axt=x( —х,_| имеют
отрицательный знак.
2°. Каковы бы ни были числа а, Ь, с, имеет место равенство
Ь с Ь
р (х) dx = J f (х) dx + f (х) dx. (3)
а а с
(Здесь и в § 4 и 5 предполагается, что интегралы, входящие в дока'
зываемые формулы, существуют).
Доказательство. Допустим сначала, что а<с^’
Так как предел интегральной суммы а не зависит от способа ра3'
биения отрезка [а, Ь]9 то будем разбивать [а, Ь] так, чтобы точка
была точкой разбиения. Если, например, с = хт, то а можно ра3'
186
0ИТь на две суммы:
п т п
° = £ f (£.) - I f (£.) Ьх, + I f (£,) Ал-,
/=1 <=1 |=/п+1
Переходя в этом равенстве к пределу при Х->0, получаем равен
ство (3).
Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный
интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.
Доказательство для другого расположения точек а, Ь, с легко
сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например,
тогда по доказанному имеем
с Ь с
(х) dx = J f (х) dx + $ f (х) dx,
а а b
откуда, учитывая (2), получаем
Ь с с с b
\f(x)dx=\f(x)dx — \f (х) dx = f (х) dx + f (х) dx,
а а b а с
т. е. опять пришли к равенству (3).
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак, определен-
ного интеграла, т. е.
ь ь
kf (х) dx = k \ f (х) dx. (4)
а а
Доказательство. Действительно, для любого разбиения
отрезка [ а, Ь] и любого выбора точек £(-
п п
I kf (£,) Ах,- = k £ f (g.) Дх,.
i=l 1=1
Переходя к пределу при Х->0, имеем
\kf (х) dx = lim £ kf (£,) Дх( = lim k £ f (^) Дх, =
a 0 i = 11 } >0 i =I
n b
= k lim S Ш,) Ax,= Hf(x)dx,
0 i= I J
a
т- e. получено равенство (4).
4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций
Равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
ь ь ь
5 [ f (х) ± g (х)] dx = \f (х) dx ± \g (х) dx.
а а а
187
Доказательство. Действительно, для любого разбив
ния отрезка [ а, Ь] и любого выбора точек
Z [ f (£,) ± g (£,)] = I f &)± i g &) Дх<-
i= 1 i= 1 i= 1
Так как
lim £ f (£,) Дх, = (х) dxи lim £ g (£,) Дх, = $ g (x) dx,
^°i=l a X^°4=l a
TO
b n
J [f (x) ± g (x)] dx = lim £ [ f (£,) ± g (£,)] Дх,- =
a 4 = I
= >imn I f &) &xi ± >imn t g (I) =
Л~4=1 A+U ,= 1
b b
= J f (x) dx ± $ g (x) dx.
a a
Замечание. Свойство 4° имеет место для любого конеч-
ного числа слагаемых.
§ 5. Оценки интегралов. Формула среднего значения
1. Оценки интегралов (всюду в этом параграфе считаем, что
а<Ь). 1°. Если всюду на отрезке [а, Ь] функция f (х)>0, то
ь
f (х) dx > 0.
а
Доказательство. В самом деле, любая интегральная
п
сумма а= Дх,- для функции f (х) на [а, Ь] неотрицательна,
4=1
так как
f (£;) > 0, Дх, = х, — х,_! > 0,1 = 1,2,..., п.
п
Переходя к пределу при Х->0 в неравенстве f (^,) Дх,->0»
4=1
получаем
ь
f (х) dx > 0.И
а
2°. Если всюду на отрезке[а, b] f (x)s^g (х), то
ь ь
f (х) dx g (х) dx. 0)
а а
188
Доказательство. Применяя оценку 1° к функции
rf(x)-ZW>0, имеем
ь
51 g W — f (х)1 > °-
а
Цо согласно свойству 4°
b ь ь
51 £ W — f (х)1 g (х) dx — f (х) dx > О,
а а а
откуда получаем неравенство (1).
3°. Для функции f (х), определенной на отрезке [а, Ь], имеет
место неравенство
ь ь
dx < If (x)| dx. (2)
Доказательство. Применяя оценку 2° к очевидным
неравенствам — If (x)|<f (x)<[f (х)|, получаем
ь ь ь
— $ If (х)| dx < $ f (х) dx < $ If (х)| dx,
а а а
а это равносильно неравенству (2).
Следствие. Если всюду на отрезке [a, b] |f(x)|^fe, то
ь
\f (х) dx
а
k(b — а).
(3)
Действительно, из неравенства |f(x)|^Cfe и оценок 2° и 3° следует,
что
b b ь ь
/Дх) dx С \f (х)| dx С k dx = k dx.
a a a a
Отсюда, замечая, что
b n
dx = lim £ 1 • Axt = b — a, (4)
a X~*° i=\
Получаем соотношение (3).
4°. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее
качения функции f (х) на отрезке [а, Ь], то
ь
m(b — a) ^\f (х) dx < М (Ь — а). (5)
а
Доказательство. По условию для любого хе[а, Ь]
имеем
m f (х) М.
189
Применяя оценку 2° к этим неравенствам^имеем
b b ь
т dx f (х) dx М dx,
а а а
откуда с учетом (4) получаем неравенства (5).
2. Формула среднего значения. Теорема 8.5 (теорема
о среднем). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, 6],
то на этом отрезке существует точка с такая, что
$ f (х) dx = f (с) (b - а). (6)
а
Доказательство. Так как f (х) непрерывна на [a, Ь],
то по второй теореме Вейерштрасса существуют числа m и М та-
кие, что
min f (х) = m f (х) М = max f (х).
(а, 6] . [а.6]
Положим
Отсюда в силу оценки 4° получаем
ь
m (b — a) ^\f (х) dx М (Ь — а)
а
и, следовательно,
ь
J f W dx
а
b — а
J f W dx
Ч-5" = ('п < И < Л1).
Так как число ц заключено между наименьшими и наибольшими зна-
чениями непрерывной функции f (х) на [а, Ь] (рис. 98), то по тео-
реме 4.10 о прохождении непрерывной функции через любое про-
межуточное значение существует точка се[а, Ь] такая, что f (с)=®
= ц. Поэтому
ь
J f (х) dx
а это равносильно равенству (6).
Равенство (6) называется формулой среднего значения, а вели-
чина f (с) — средним значением функции f (х) на отрезке [а, Ь]-
Замечание. Теорема о среднем имеет геометрический смысл:
величина определенного интеграла при f (х)^0 равна площади
прямоугольника, имеющего высоту f (с) и основание b — а.
190
§ 6. Интеграл с переменным верхним пределом
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с посто-
янными пределами интегрирования а и Ь. Если изменять, напри-
мер, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [а, Ь],
то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, инте-
грал с переменным верхним пределом представляет собой функцию
своего верхнего предела.
X
Рассмотрим интеграл (а^х^б) с постоянным ниж-
а *
ним пределом а и переменным
этого интеграла является функ-
цией верхнего предела х. Обо-
значим эту функцию через Ф (х),
т. е. положим
верхним пределом х. Величина
Рис. 99
<D(x) = $f(/)d/ (1)
и назовем ее интегралом с пе-
ременным верхним пределом. Ге-
ометрически функция Ф (х) пред-
ста вл яет собой площадь заштри-
хованной на рис. 99 криволи-
нейной трапеции, если f (х)>0.
Значение интеграла с переменным верхним пределом раскры-
вает следующая теорема.
Теорема 8.6. Производная интеграла от непрерывной функ-
ции по переменному верхнему пределу существует и равна значе-
нию подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу,
т. е.
O'(x)=(5f(/)dA' = Hx). (2)
'а '
Доказательство. Возьмем любое значение хе[а, Ь]
и придадим ему приращение Дх#=0 такое, чтобы х-|-Дхе[а, Ь],
т. е. а^х-|-Дх^/>. Тогда функция Ф (х), определенная выра-
жением (1), получит новое значение:
х+Дх
Ф (х 4- Ах) = J f(/)dL
а
Согласно свойству 2° определенного интеграла (см. § 4) имеем
Ф(х + Ах)= +$ f (Г) dt = Ф (х) 4- +$ f(t)dt.
* Для удобства переменную интегрирования обозначили буквой /, так как
х — верхний предел интегрирования.
191
Отсюда находим приращение функции Ф(х):
х+Ах
ф(х + Дх)-Ф(х) = J f(J)dt.
Применяя теорему 8.5, получаем
Ф (х 4- Дх) — Ф (х) = f (с) Дх,
где с — число, заключенное между числами х и х-|-Дх. Разде-
лим обе части равенства на Дх:
Ф (х + Дх) - Ф (х) _ f (
Ьх ~ I
Если теперь Дх->0, то с->х, и тогда, в силу непрерывно-
сти функции f (х) на [a, b], Поэтому, переходя к пре-
делу при Дх-^0 в последнем равенстве, получаем
Нт ф (X + Дх) - ф (х) = Нт [ = lim = f (х)
Дх->0 Дх->0 с—>х
ИЛИ Ф' (x) = f (х).
Таким образом, установлено, что любая непрерывная на отрезке
[а, Ь] функция f (х) имеет на этом отрезке первообразную, причем
функция Ф (х) — интеграл с переменным верхним пределом —
является первообразной для f (х). А так как всякая другая перво-
образная для функции f (х) может отличаться от Ф (х) только на
постоянную (см. теорему 7.1), то установлена связь между неопре-
деленным и определенным интегралами в виде
jf(x) dx= \f(t)dt + c,
а
где С — произвольная постоянная.
§ 7. Формула Ньютона—Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на
определении интеграла как предела интегральной суммы, как пра-
вило, связано с большими трудностями. Существует более удоб'
ный метод вычисления определенных интегралов, который, как
будет показано, основан на установленной в § 6 связи между неопре-
деленным и определенным интегралами.
Выше установлено, что функция f (х), непрерывная на отрезке
[а, Ь], имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них
является функция
Ф(Х) = \Ш dt.
192
Пусть F (х) — любая другая первообразная для функции f (х)
на том же отрезке [а, Ь]. Так как первообразные Ф(х) и F (х) отли-
цаются на постоянную, то имеет место равенство
р (/) At = F (х) + С, а < х < ЬУ
а
где С — некоторое число. Подставляя в это равенство значение
и используя формулу (1) из § 4, имеем
j f (!) At = F (a) 4- C, 0 = F (a) + С, C = - F (a),
a
t. e. для любого xe[ a, 6]
\f{f) At =ь F (x) - F (a).
a
Полагая x=fe, получаем основную формулу интегрального исчис-
ления
ь
Sf(x)dx = F (b) — F(a), (1)
а
которая называется формулой Ньютона—Лейбница.
Разность F (b) — F (а) принято условно записывать так:
F (х) |* или [ F (х)] ьа,
и поэтому формула (1) принимает вид
$ f(x) dx=F(x)|*.
а
Подчеркнем, что в формуле (1) в качестве F (х) можно взять
любую первообразную для f (х) на отрезке [а, Ь].
Формула (1) дает простой метод вычисления определенного
интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен
разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верх-
него и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает
Широкие возможности для вычисления определенных интегралов,
Поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится
к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая доста-
точно полно изучена.
Рассмотрим примеры.
ь
1. sin х dx = — cos х I* = cos а — cos b.
a
2
2. $(3x2 — l)dx = [x3 —xlo=(23 — 2) —(03 —0) = 6.
0
13-3157 193
2
3. J-^= lnx|2 = In 2 — In 1 = In 2.
I
I
4. 5 I + = arctg x 1-1 = arcts 1 — arctg (- t) =
-I
1\_ 2L_i__L— n
“4 \_4 J 4'4-------5*.
з
5. ( = In (x + Vl + x2) I? = In (з + VTo).
J Vl + *2
Замечание. Формула Ньютона—Лейбница была выведена
в предположении, что подынтегральная функция f (х) непрерывна.
При некоторых условиях формула Ньютона—Лейбница имеет ме-
сто и для разрывных функций.
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 8.7. Пусть f (х) — непрерывная функция на от-
резке [а, Ь]. Тогда, если: 1) функция х = ф(/) дифференцируема
на [а, р] и <р'(/) непрерывна на [а, р]; 2) множеством значений
функции х=ф(/) является отрезок [а, Ь];
3) ф(а) = а и ф(р) = 6 (рис. 100), то
справедлива формула
ь Р
$f(x)dx= $f[<p(0]<p'(O<i<- (1)
а а
Доказательство. По формуле
Ньютона—Лейбница
$ f (х) dx = F (b) - F (а),
где F (х) — какая-нибудь первообразная для функции f (х) на
[а, Ь]. С другой стороны, рассмотрим на отрезке [а, р] сложную
функцию от переменной /: Ф (/) = F [ ф (/)]. Согласно правилу диф-
фенцирования сложной функции находим
Ф'(0 = F'[<p(0] <p'(0 = f[<p(01 Ф'(0-
Отсюда следует, что функция Ф(/) является первообразной для
функции f [<р (/)] <р'(/), непрерывной на [а, р], и поэтому, согласно
формуле Ньютона—Лейбница, получаем
р
[<p (Z)] ф'(/) dt = ф(р) — ф"(а) = F [ср (Р)] — /?[ф(а)] =
а
b
= F(b)-F(a)= $f(x)dx.
а
Этим доказана справедливость формулы (1).
194
Формула (1) называется формулой замены, переменной или под-
становки в определенном интеграле.
Замечание L Если при вычислении неопределенного инте-
грала с помощью замены переменной от новой переменной t сле-
дует возвращаться к старой переменной х, то при вычислении опре-
деленного интеграла этого делать не нужно, так как теперь сле-
дует найти число, которое согласно доказанной формуле равно
значению каждого из рассматриваемых интегралов.
Пример 1. Вычислить j V1 — х2 dx.
о
Решение. Рассмотрим подстановку x=sin/, 0^/^л/2.
Проверим законность такой подстановки.
Во-первых, функция f (х) = V1 — х2 непрерывна на [0, 1];
во-вторых, функция x = sin/ дифференцируема на [0, л/2] и х't=
= cos t непрерывна на [0, л/2] и, в-третьих, при изменении t от О
до л/2 функция x=sin/ изменяется от 0 до 1, причем х(0) = 0
и х(л/2)=1. Таким образом, данная подстановка удовлетворяет
всем условиям теоремы 8.7. Применяя формулу (1), получаем
1 ----- л/2 ------------- л/2 •
J v 1 — %2 dx = V 1 — sin21 cos t At = cos21 At =
0 0 0
л/2
= -y (1 + cos 2f) dt =
0
Замечание 2. При использовании формулы (1) необхо-
димо проверять выполнение перечисленных в теореме условий.
Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный
результат,
л
Пример 2. Вычислить dx.
о
Решение. Имеем
л
dx = x| £= л.
о
С другой стороны,
л. л л
______ f dx _________ Г dx
J sin2 x Ч-cos2 x J cos2 x(1 4- tg2 x) *
оо__________________о
Подстановка tgx=/ формально приводит к следующему резуль-
тату:
л л 0
fdx=f d(tg<) =f^_=o
J J l+tg2x J 1-f-/2
0 0 0
Получен неверный результат, так как л=#=0. Это произошло по-
тому, что функция / = tgx разрывна при х = л/2 и не удовлет-
воряет условиям теоремы 8.7.
13‘ ’ 195
§ 9. Формула интегрирования по частям
в определенном интеграле
Теорема 8.8. Если функции и(х) и v (х) имеют непрерыв-
ные производные на отрезке [а, Ь], то справедлива формула
ь ь
J udv = uv I* — J v du. (1)
а а
Доказательство. Так как функция и (х) и(х) является
первообразной для функции [u(x) u(x)]' = u(x) и'(х) + ^(х) u'(x),
то по формуле Ньютона—Лейбница
ь
J [ и (х) и' (х) + V (х) и' (х)] dx = [ и (х) V (х)] ьа.
а
Отсюда, используя свойство 4° определенных интегралов (см.
§ 4), получаем
b ь
J и (х) и' (х) dx + Ju (х) u' (х) dx = [ и (х) v (х)] ьа,
а а
или, что то же самое,
ь ь
J и du + J v du = uv |£,
а а
откуда и следует формула (1). И
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям
в определенном интеграле.
е
Пример 1. Вычислить J In х dx.
।
Решение. Положим u=lnx, du = dx; отсюда du = —, v = x
и по формуле (1) находим
е е
рп х dx = х In х|| — х-^ = [х In х — х] * = 1.
I I
2
Пример 2. Вычислить J хех dx.
। *
Решение. Положим и = х, du = exdx; отсюда du=dx, и = е
и по формуле (1) имеем
2 2
J хех dx = хех|? — J ех dx = [ех(х — 1)] । = е2.
1 ।
।
Пример 3. Вычислить J arctg х dx.
о
196
Решение. Положим и = arctg х, du=dx; отсюда du= ——
ь 1 + X2
,,^=х, и по формуле (1) находим
1 1
arctg х dx = х arctg х |J — =
О о
= [ х arctg х--- In (1 + х2)1 = -у- — In л/2.
L 2 Jo4
। 10. Некоторые физические и геометрические приложения
определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на плоскости
Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, Ь] оси Ох, прямыми
х=а, х=Ь и графиком непрерывной и неотрицательной функ-
ции y = f(x) на [а, Ь]. Это криволинейная трапеция, площадь s*
которой может быть вычислена по формуле
ь
s=\f(x)dx. (1)
а
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, Ь]
на п частей точками а = х0<Х|<х2<С...<Сх/_1<:х/<:...
• <хп=6, выберем на каждом частичном отрезке [х,_ь х(] про-
извольно точку ^(х^С^Сх,) и рассмотрим ступенчатую фи-
ГУРУ (рис. 101). Площадь s криволинейной трапеции приближенно
Равна площади ступенчатой фигуры:
s« Z f (^)Дх-
:_I
* О понятиях площади произвольной плоской фигуры, объема тела, пло-
^аДи поверхности, а также о теоремах, которые будут приниматься без дока-
ательства, см. книгу: Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа,
1989. Т. 1,2.
197
где Дх/=х/ —xz_j. Естественно считать, что При
Х= max {Дх4-^0 площадь ступенчатой фигуры стремится k
площади криволинейной трапеции. С другой стороны, площадь
ступенчатой фигуры является интегральной суммой для интеграда
(1). Так как функция f (х) непрерывна на [а, Ь], то предел этой сум-
мы при max {Ах;] —существует и равен интегралу От
функции f(x) по [а, Ь]. Следовательно, и площадь s криволиней-
ной трапеции численно равна определенному интегралу от функции
f (х) по [а, Ь]:
п Ь
s = lim £ f (Q Ах, = (х) dx.B
(=1 а
Итак, определенный интеграл от неотрицательной непрерыв-
ной функции f (х) по [а, Ь] численно равен площади криволинейной
трапеции с основанием [а, Ь], ограниченной сверху графиком функ-
ции y = f(x). В этом заключается
геометрический смысл определен-
ного интеграла.
Ун
Рис. 104
фигуры, ограниченной графиком
а
у ^(*)
b х
О
Рис. 103
Пример 1. Найти площадь
функции у = ха, а>0, прямой х= 1 и осью Ох (рис. 102).
Решение. По формуле (1) имеем
.1 1
х а dx = —л~г о = —"гт
а + 1 |и а + 1
о
Если а= 1, то s=l /2; если а= 1, то s = 1 /3, и т. д.
Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками функции
y=fi(x) и y=f2(x), f,(x)<f2(x), -а<х<6 (рис. 103), где
/Дх), /г(х)— две непрерывные функции. Если обе функции не-
отрицательны, то площадь s данной фигуры равна разности пло-
щадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответ-
ственно графиками функций f/ = f2(x) и // = Л(Х)- Следовательно,
ь ь ь
s= $f2(x)dx — $f,(x)dx= $ [f2(x) — fi(x)] dx. (2)
198
Заметим, что формула (2) справедлива и тогда, когда (х)
и |2(х) не являются неотрицательными. В самом деле, в силу их
ограниченности существует число h>0 такое, что функции
= f, (х) -р ft, f2 (х) = f2 (х) + h являются неотрицательны-
ми, и имеет место очевидное равенство
ь ь
$ [ fi (х) — (х)] dx = $ [ f2 (х) — f! (x)j dx.
а а
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графи-
ками функций y = f\ (х) = х и y = f2(x) = 2 — x2 (рис. 104).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой у = х
с параболой у = 2 — х2. Решая систему уравнений
(У=х,
\у=2 — х2,
получаем х,= — 2, х2=1. Это и есть пределы интегрирования.
Искомая площадь фигуры согласно формуле (2) такова:
s= $ [f2W—fl W] dx= $ [(2—X2)—xl dx=px—y—=-^.
-2 -2 ~~
Замечание. Для вычисления площади криволинейной тра-
пеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими
уравнениями х = ф(/), а^/^р, причем ф(а) = а,
Рис. 105
Ф(Р) = й, в формуле (1) надо сделать замену переменной, поло-
жив х= ф (/), <1х = ф' (/) dt. Тогда получим
р
s = ф (/) ф' (/) dt.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллип-
сом
х = a cos /,
у = b sin t,
0 < t < 2л.
199
Решение. Эллипс симметричен относительно осей коорди
нат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, На
ходящейся в I четверти (рис. 105). Следовательно, искомая площадь
равна
0 л/2
s = 4 b sin t (a cos /)' dt = 4ab sin21 dt =
л/2 0
л/2
Sr 1 1
(1 — cos 2/) dt = 2ab /-sin 2/ = nab.
о °
В частности, если a=b=Ry то получаем известную формулу
площади круга л/?2.
2. Площадь криволинейного сектора. Пусть кривая АВ за-
дана в полярных координатах уравнением р = р(<р), а^ф^р,
причем функция р (<р) непрерывна и неотрицательна на отрезке
[а, р]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами,
составляющими с полярной осью углы аи₽, будем называть кри-
волинейным сектором (рис. 106). Площадь s криволинейного сек-
тора
0
«= 4 р2 (<р) а<р. (3)
а
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, 0]
на п частей точками
...<(рп=Р, выберем на каждом частичном отрезке <pf]
произвольно точку (<pz_| ф,-) и построим круговые сек-
торы с радиусами р (£,.). В результате получим веерообразную
фигуру, площадь которой приближенно равна площади s криволи-
нейного сектора:
п
s« 4 £ р2 (&) А(р-’
/=1
где Дф—ф,. —ф^.-р С другой стороны, площадь веерообразной
фигуры является интегральной суммой для интеграла (3). Так
как функция р2(ф) непрерывна на отрезке [а, 0], то предел этой
суммы при 1= max {Дф]->0 существует и равен интегралу (3)-
Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно
равна этому определенному ицтегралу:
П 0
«=4 £ р2 (&) А<₽-=4 5 р2 d<p-
1= 1 а
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр'
ной осью и первым витком спирали Архимеда: р = Яф, где
положительное число (рис. 107).
200
решение. При изменении ср от 0 до 2л полярный радиус
оПисывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС.
Поэтому по формуле^ (3) имеем
fl? Г 2 j а2 ф3 |2л а2 8л3 4 з 2
Soabc = — d<P = —^ylo = —— = —л а-
о
Расстояние от точки С до полюса равно р = 2ла. Поэтому
круг радиуса ОС имеет площадь л• ОС2=4л3а2=3’-^л3а2=3$0АВС,
т е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым
витком спирали Архимеда, равна 1Z3 площади круга с радиусом,
равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому вы-
воду пришел еще Архимед.
Рис. 108
3. Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая АВ задана урав-
нением j/=f(x), a^lx^Zb, где f (х)— непрерывная функция
на отрезке [а, Ь]. Разобьем кривую АВ на п произвольных частей
точками A = Mq, М* ..., Af/_1, Mif ..., Мп = В в направле-
нии от А к В. Соединив соседние точки хордами, получим неко-
торую вписанную в кривую АВ ломаную, длину которой обозна-
чим через Р (рис. 108). Через обозначим длину одного звена
ломаной, а через ц— длину наибольшего из ее звеньев:
Ц= max {I}.
Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р
при ^L=lim если для любого существует 6>0
такое, что для всякой ломаной, у которой ц<6, выполняется
неравенство
\L-P\< е.
Если существует предел L длин Р вписанных в кривую ломаных
пРи ц->0, то этот предел называется длиной дуги АВ.
Если функция f (х) непрерывна вместе с /'(х) на отрезке [а, д],
т° длина L дуги АВ выражается формулой
L = j Vl +f'2(x) dx. (4)
201
Доказательство. Обозначим через (xz; f (х,)) коорди^
наты точки так что для абсцисс этих точек получим: a = xQ^
<х,<х2<...<х/_1<х/<...<хя= Ь. Тогда длина /( Од.
ного звена ломаной равна
А = л/(х* — х/-|)2 + [ f (*/) — f (x.-i)]2-
По формуле Лагранжа
f (х<) — f (х<-|) = f' (Si) (x< — xi-1)> X-1 < < xi-
Следовательно,
lL = Vl + f'2 (£,) Ax,, Ax, = Xi — Xi_.t.
Таким образом, длина всей ломаной равна
р = Z t Vi + г2 <х> Дх.-
, i= 1 1= I
Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму
для интеграла (4). Функция Vl -j-f'2(х) непрерывна на [а, 6],
поэтому предел этой суммы при 1= max {АхД->-0 существует и
равен определенному интегралу (4). Так как то 1-^0
при ц—>-0. Следовательно,
L = lim Р = lim У V1 + f'2(^) Ах, = V1 + f'2 (х) dx.
И-0 а
Пример 5. Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической
параболы у=х3/2, если 0^х^5 (рис. 109).
Решение. Из уравнения y = xzl<1 находим: i/' = -^-x,/2.
Следовательно, по формуле (4) получим
L = J 7ГГ/2 dx = J -д/1 + 4'dx = 4 (1 + -т)3/2 Io =
о о
* Z(=V(Ax)2+(Ay,)2. откуда |Дх.|^/.
202
Замечание 1. Для вычисления длины дуги в случае, когда
кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = ф(/), у =
где а и р — значения параметра /, соответ-
ствующие значениям х = а и х=Ь, т. е. а = ф(а), /? = ф(Р),
в формуле L = J v1 +у'2 (х) dx надо сделать замену переменной,
а
положив х=ф(/), dx = q/(/) d/. Тогда получим
ь __________ р I-------------
L = J V1 + у/2(х) dx = j -у 1 4- <₽' (J) dt =
а а
0 Г-------------
= JW2U) + r2(/)d/. (5)
а
Пример 6. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды*:
х=а (t — sin /), у = а (1 — cos /), 0< /<2л (рис. 110).
Решение. Из уравнений циклоиды находим: ф'(/) = а(1 —
— cos/), i|/(/) = asin/. Когда х пробегает отрезок [0, 2ла], пара-
метр t пробегает отрезок [0, 2л]. Следовательно, искомая длина
дуги
2 л а ________ 2 л •_________________
L = $ v 1 + у'Цх) dx = $ V <pz2 (/) 4- ip'2 (t) dt =
о о
2л ____________________ 2л
= a v(l — cos /)2 + sin21 dt = 2a sin-^-d/ = — 4асо5-^~|ол=8а.
о 0
Замечание 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда
кривая АВ задана в полярных координатах уравнением р = р(ф),
а^ф^р, где р (ф) имеет непрерывную производную р' (ф)
на отрезке [а, р], и точкам А и В соответствуют значения ф, рав-
ные аир, нужно перейти от полярных координат [см. гл. 3, § 3,
формулу (1)] к прямоугольным. Тогда получим параметрическое
задание кривой АВ уравнениями х = р(ф)созф, у=р(ф)ыпф,
а^Ф^Р (ф — параметр). Так как
х' (ф) = р' (ф) cos ф — р (ф) sin ф, у' (ф) = р' (ф) sin ф + р (ф) cos ф,
то формула (5) принимает вид
L = $ ^р(ф) 4- р'2 (ф) d<p. (6)
а
Пример 7. Вычислить длину первого витка спирали Архимеда:
Р = Яф (см. рис. 107).
Решение. Первый виток спирали образуется при изменении
полярного угла ф от 0 до 2л. Поэтому по формуле (6) искомая
* Циклоида — плоская кривая, которую описывает точка М окружности
Радиуса а,’ катящейся без скольжения по прямой линии.
203
длина дуги равна
2 л ------- 2 л -----------
L = J va2<p2 -|- a2 d<p = a J v <р2 -|- 1 d<p =
о о
= a ^л^4л2 + 1 + -у In (2л -|- ^4 л2 -|- 1) J.
4. Объем тела вращения. Пусть функция f (х) непрерывна и
неотрицательна на отрезке [а, Ь]. Тогда тело, которое образуется
вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной
сверху графиком функции y=f(x\ имеет объем
ь
v = л f2 (х) dx. (7)
а
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, Ь]
на п частей точками а = х0 < х, <х2 < ... < xz_| < xz < ...
Рис. Ill Рис. 112
моугольник опишет цилиндр. Найдем объем f-го цилиндра, обра-
зованного вращением прямоугольника PMNQ:
v, = л/2 (*,_,) Дх„
где Axz-=xz — xz_|.
Сумма объемов всех п цилиндров приближенно равна объему
данного тела вращения:
v « 2/л/2(х/-1)'Ах?
i=l
С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для
интеграла (7). Так как функция f2 (х) непрерывна на [а, Ь], то пре-
дел этой суммы при max {Ах4 —>-0 существует и равен
определенному интегралу (7). Таким образом,
v = lim £ jif2 (xzl_j) Дх,- = л J f2 (х) dx.
i=| а
204
Пример 8. Вычислить объем тора. (Тором называется тело,
улучающееся при вращении круга радиуса а вокруг оси, лежа-
щей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (Ь^а). Форму
тора имеет, например, баранка.)
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ох (рис. 112).
Объем тора можно представить как разность объемов тел, полу-
ценных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE
вокруг оси Ох.
Уравнение окружности LBCD имеет вид
х2 + (у — Ь)2 = а2,
причем уравнение кривой BCD
У = У| W = Ь + ^а2 — х2,
а уравнение кривой BLD
У = Уг{х) = b — Va2 — х2.
Используя формулу (7), получаем для объема v тора выражение
а а а
v = 2л у] dx — 2л yl dx = 2л (у2 — у%) dx =
ООО
= 2л [ (b + Va2 — х2) — (b — Va2 — х2) 1 dx =
о
= 8л/? Va2 — х2 dx = 2л2а26.
о
5. Площадь поверхности вращения. Пусть функция f (х) не-
отрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной
на отрезке [ а, Ь]. Тогда поверх-
ность, образованная вращением
графика этой функции вокруг
оси Ох, имеет площадь Р, ко-
торая может быть вычислена
по формуле
P = 2n^(x)Vl-|-f2(x)dx. (8)
а
Доказательство. Ра-
зобьем произвольно отрезок [а,
&] на п частей точками а=х0<
<Х| <x2<Z...<.xi_} <ZXi<Z...
-.<Zxn = b. Пусть Ло, Ль Л2, ..., Л^!, Лу, ..., Ап — соответствую-
щие точки графика функции f (х). Построим ломаную Ло, Ль Л2.
•••> Ап (рис. 113). При вращении этой ломаной вокруг оси Ох полу-
чим поверхность, составленную из боковых поверхностей усечен-
ных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усечен-
ного конуса (цилиндра), образованного вращением ьго звена ло-
205
“H(x)
маной, равна 2л— * 2——где Ц — длина хорды Ai_[Ai, т. е
h = — x._f + [f (х,) — f (%,_,)]2.
По формуле Лагранжа
f (xf) — f = f' (1) (X; — x,-,), X,_, < < X,
Полагая x—x^, = Ax;,получаем
/. = V1 +f,2(g,) Ax,
Итак, площадь P поверхности вращения приближенно равна пло-
щади поверхности, полученной от вращения ломаной
р « £ 2л УУ-УУ. Дх,
4=1
Представим эту сумму в виде двух сумм
р « 2л £ f (Е,) VT+FIij Ах,. +
4=1
+41 м(*-) - fо+иw - fо VTTm ах,.), о)
Первая сумма в правой части последнего равенства является ин-
тегральной суммой для интеграла (8), и при Х = max {AxJ->0
l^4<«
в силу непрерывности функции f (x)V 1 -|- f'2 (х) имеет своим пре-
делом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных
скобках в правой части равенства (9) имеет при А->0 предел,
равный нулю. Действительно, так как функция f (х) равномерно-
непрерывна на [а, Ь], то по теореме Кантора для любого е>0
существует 6>0 такое, что при А<6 выполняются неравенства
|f (х^) — f (|/)|<е и |f (х-) — f (^)|<е. Если обозначить через М
максимальное значение функции V1 + f'2(x) на отрезке [а, Ь], то
выражение в фигурных скобках при 1<6 оценивается сле-
дующим образом:
£ [ if (х,-.) - f О + a (х;) - f (1))] VFTnia
i= 1 > Р
< 2Ме £ = 2М(Ь — а) е.
4=1
Так как е произвольно мало, то отсюда следует, что предел
указанного выражения равен нулю при 1-^0.
206
Таким образом, переходя в равенстве (9) к пределу при Х->0,
имеем
ь ______________________________________
Р = 2л $ f (х) V1 -|- f2 (х) dx,
а
т. е. получена искомая формула (8).
Замечание. Если поверхность получается вращением во-
круг оси Ох кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями
х=ф(/), у=ф(/), причем ф(/)^0, ф (?) изменя-
ется от а до b при изменении t от а до р, ф(а) = а, ф(0) = 6, то,
производя в интеграле (8) замену переменной х = ф(?), получаем
Р=2л^(/)л/<р'2(/)+ф'2(/)а/. (10)
а
Наконец, если кривая задана уравнением в полярных коорди-
натах: р=р(ф), а^ф^р, где р (ф) имеет непрерывную про-
изводную на [а, р], то этот случай, как уже отмечалось в п. 3, сво-
дится к параметрическому заданию кривой х=р(ф)созф, у =
= р (ф) sin ф, а^ф^Р, и формула (10) принимает вид
Р = 2л р (ф) sin ф Vp2 (ф) -|- р'2 (ф) с!ф.
а
Пример 9. Вычислить площадь Р поверхности шарового по-
яса, образованного вращением полуокружности J (x) = "V/?2 —х2,
— R<a^.x^b<R, вокруг оси Ох.
Решение. По формуле (8) получаем
Ь ______ J----------- ь
Р = 2л JV/?2 - хЧ/1 + - j-— dx = 2л J/? dx = 2л/? (& - а)=2л/?Л,
а а
где h — высота пояса.
Пример 10. Вычислить площадь Р поверхности, полученной
вращением одной арки циклоиды x = a(t — sin/), у = а (1 — cos /),
0^/^2л, вокруг оси Ох.
Решение. По формуле (10) имеем
2л /----------------------------------
Р — 2л J а (1 — cos /) V (a sin /)2 + (а (1 — cos /))2 d/ =
о
2л
= 2л/2ла2 (1 — cos /)3/2 dt = ла2,
о
6. Работа переменной силы. Из рассмотренных выше задач,
связанных с геометрическим приложением определенного инте-
грала, следует, что для их решения применяется один и тот же вы-
числительный метод: приближенное значение искомой величины
представляется в виде интегральной суммы, а затем предельным
207
переходом получается точное значение в виде интеграла. С по»
мощью этого же метода решается целый ряд других задач механи»
ки, физики и техники. В качестве примера вычислим работу пере,
менной силы.
Пусть материальная точка перемещается под действием силы F
направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину^
зависящую от х. Требуется определить работу Л, совершаемую
силой F по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из
точки х = а в точку х= b Функция F (х) предполагается
непрерывной на отрезке [а, Ь] (рис. 114).
Разобьем произвольно отрезок [а, 6] на п частей точками а =
= х0<Х|<х2<...<х/_|<х/<...<хп= Ь. Выберем на каж-
дом частичном отрезке [xz_|, xj точку Сила, действующая на
материальную точку на отрезке [xz_b xz], изменяется от точки к
точке. Но если длина отрезка мала, то
значение силы в точках отрезка [xf_|, xz]
мало отличается от ее значения в любой
точке £ze[xz_|, xz], так как F (х) непре-
Рис. 114
рывна. Поэтому работу Аь совершаемую силой F на [xz_j, xj,
можно считать приближенно равной работе, совершаемой на том
же отрезке постоянной силой F (|z), т. е.
Л,- w F (£,.) Дх,..
Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка раз-
биения, получаем приближенное значение работы Л силы F на
всем отрезке:
f га)дх,..
1=1
С другой стороны, сумма в правой части равенства является ин-
тегральной суммой для функции F (х). Так как функция F (х)
непрерывна на [а, Ь], то предел этой суммы при Х =
= max{Axz}->0 существует и равен определенному интегралу
от функции F (х) по отрезку [а, Ь]. Таким образом,
п b
А = lim £ F (£<) = \ F (х) dx. (11)
X—0 /=1 а
208
Пример 11. Определить работу Д, необходимую для запуска
тела массой т с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h
(рис. 115).
Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей.
Пусть /п3 — масса Земли. Согласно закону Ньютона
где х—расстояние от тела до центра Земли. Полагая Gmm3 =
= К, получаем F(x) = K/x2, R^x^.h-\-R, где R — радиус
Земли. При x=R сила F (/?) равна весу тела P=mg, т. е. K/R2=
^Р, откуда K=PR\ и F (х)= PR2/x2. Таким образом, по фор-
муле (11) получаем
R+h R + h
А= j F(x)dx = P/?2 j =
R R
§ 11. Несобственные интегралы
Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм,
мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подын-
тегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы
одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение
определенного интеграла теряет смысл. Так, в случае бесконеч-
ного отрезка интегрирования нельзя разбить отрезок на п частей
конечной длины, а в случае неограниченной функции интеграль-
ная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи
можно обобщить понятие определенного интеграла. В результате
такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами инте-
грирования. Определение. Пусть функция f (х) определена на про-
межутке [а, + оо) и интегрируема по любому отрезку [а, /?], т. е.
существует определенный интеграл f (х) dx при любом R>a.
а
Тогда, если существует конечный предел
R
lim tf(x)dx, (1)
Ja
то его называют несобственным интегралом первого рода и обозна-
чают
+ °о
$ f (х) dx. (2)
а
Таким образом, по определению,
+ оо R
t f(x)dx= lim (j f (x) dx.
•4-3157
209
В этом случае говорят, что интеграл (2) существует или схо-
дится. Если же предел (1) не существует или бесконечен, то гово-
рят, что интеграл (2) не существует или расходится.
Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интеграл
по промежутку (— оо, Ь]:
b ь
( f (х) dx = lim \f(x)dx. (3)
Наконец, как сумму интегралов вида (2) и (3) можно опреде-
лить несобственный интеграл с двумя бесконечными преде-
лами, т. е.
4“ оо с -|-оо
$ f(x)dx = $ f(x)dx+ $ f(x)dx,(4)
— 00 —оо с
где с — любое число, при условии су-
ществования обоих интегралов справа.
Установим геометрический смысл не-
собственного интеграла первого рода.
Пусть f (х)>0. Тогда определенный инте-
грал f (х) dx выражает площадь области, ограниченной сверху гра-
а
фиком функции f(x), снизу — осью Ох, слева — прямой х=а,
справа — прямой х = /?. Естественно считать, что несобственный
-1-00
интеграл f (х) dx выражает конечную площадь бесконечной об-
fl
ласти, ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью
Ох, слева прямой х = а (рис. 116). Аналогичная интерпретация
имеет место для интегралов (3) и (4).
Рассмотрим несколько примеров вычисления несобственных
интегралов первого рода.
H-ОО R
Пример 1. ( -пт7= Нт (7^- = Нт arctg х|? =
J * Г Х R-f-^-oo J 1 г Х /?—к-|-оо
О О
= lim arctg /? = -£-,
fl-^ + oo 2
т. е. данный интеграл сходится.
-1-00 R
Пример 2. J cosxdx= lim J cos х dx = lim sinx|o =
J R^ + <x> J R^ + <*>
= lim sin /?,
/?->--|-oo
но предел функции sin/? при /?-^-|-оо не существует, следова-
тельно, интеграл расходится.
Доо 0 4-о°
Пример 3. ех dx = J ех dx + ех dx;
— оо — оо О
210
интеграл расходится, так как
H-ОО R
( exdx = lim (exdx = lim ex|£ = lim (e₽— l)=oo.
J R^+<X> J /?->+«> /?-^-|-oo
Пример 4. a—некоторое число.
1) Если a#=l, то для любого /?>0
lim
{- 1
-j-- приа>1,
1 - a
оо приа<1.
2) Если а=1, то для любого /?>0
lim
/?-*--|-оо
lim In x|f = lim ln/? = oo.
R-*-+<x> R-f-^-ao
Таким образом, данный интеграл сходится при а>1 и расхо-
дится при a^l.
Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несобствен-
ного интеграла было основано на его определении.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Опре-
деление. Пусть функция f (х) определена на промежутке [а, Ь).
Точку х=Ь будем называть особой, если функция f (х) неограни-
чена в любой окрестности этой точки,
отрезке [а, b — е], заключенном в [ а,
Ь) (рис. 117). Пустьналюбомотрезке
[а, b — е] функция f (х) интегри-
руема, т. е. существует определен-
ный интеграл f (х) dx при любом
а
е>0 таком, что Ь — ъ>а. Тогда,
если существует конечный предел
Ь—ъ
lim f(x)dx,
е+0+ J
но ограничена на любом
Рис. 117
то его называют несобственным интегралом второго рода и обозна-
чают
ь
f (х) <!*•
а
(6)
В этом случае говорят, что интеграл (6) существует или сходится.
Если же предел (5) не существует или бесконечен, то говорят, что
интеграл (6) не существует или расходится.
14* 211
Аналогично, если х = а — особая точка, то несобственный
интеграл определяется так:
ь ь
\f(x)dx= lim ( f(x)dx.
а е^°+ Де
Если функция f(x) не ограничена в окрестности какой-нибудь
внутренней точки се|а, Ь], то при условии существования обоих
интегралов справа по определению полагают
Ь с b
\f (х) dx = J f (х) dx + J f (x) dx.
a a c
Наконец, если а и b — особые точки, то если оба интеграла
справа существуют, несобственный интеграл определяется как
сумма
Ь с b
$ f (х) dx = 5 f (х) dx + $ f (х) dx,
а а с
где с — любая точка из (а, Ь).
Sdx
—, а>0 — некоторое число.
о
1) Если а#= 1, то
Г dx X'-’,, ( °° ПРИ а> 1>
e~o+J*“ е-о+ 1 — а,е е^о+ ( ! _-а при 0 < а <1.
е
2) Если а= 1, то
।
lim \ — = lim In х|‘ = lim (— In е) — оо.
е—►О-J- J % е—►O-f- е—►0-J-
Таким образом, данный интеграл сходится при 0<а<1 и
расходится при а^1.
3. Признак сходимости несобственных интегралов. Рассмотрим
+°°
вопрос о сходимости несобственных интегралов вида f (х) dx.
а
Теорема 8.9 (признак сравнения несобст-
венных интегралов). Если функции f (х) и g (х) непре-
рывны на промежутке [а, +оо) и удовлетворяют на нем условию
0^(x)<g(x), то из сходимости интеграла
+ оо
5 g (х) dx (7)
а
следует сходимость интеграла
$ f (х) dx, (8)
212
а из расходимости интеграла (8) следует расходимость интегра-
ла (7).
Доказательство. Введем обозначения
R R
F(R) = \f(x) dx,G(R) = \g(x) dx.
a a
Так как (x)Cg (x) при x>a, то в силу оценок 1° и 2° (см.
§ 5) справедливы неравенства
О < F (R) < G (R) при R > а, (9)
и, кроме того, функция F (R) [а также (7 (/?)] является неубываю-
щей на промежутке [а, +оо). В самом деле, если a^Rl^R2,
R2
то J f (х) dx>0 и, следовательно,
R2 Ri
F (Я2) = J f (x) dx = $ f (x) dx + J f (x) dx > $ f (x) dx = F (/?)).
a a R\ a
Пусть интеграл (7) сходится, т. е. функция G (R) имеет конечный
предел при R-^+°°- Отсюда в силу неубывания G (R) следует,
что функция G (R) ограничена на [а, -f-oo). Но тогда согласно ра-
венству (9) и функция F (R) ограничена на [а, -|-оо) и, следова-
тельно, имеет на [а, +°°) точную верхнюю грань. Пусть
sup F(R) = I. По определению точной верхней грани для
(0,4-00)
любого е>*0 найдется такое RcJ>a, что 0^/— F (Rc)<e.
Так как функция F (R) не убывает на [а, -|-оо), то для любого
R>RC выполняется неравенство F (R)>F (Rc) и, значит, 0^
</ —F(R)<e при R>RC.
Таким образом,
If (/?) -/| < е при>/?с.
Это означает, что lim F(R) = I, т. е. интеграл (8) сходится.
/?—+«>
Пусть теперь интеграл (8) расходится. Тогда, если предполо-
жить, что интеграл (7) сходится, то в силу доказанного выше ин-
теграл (8) сходится, что противоречит условию. Следовательно,
интеграл (7) также расходится.
Замечание. Аналогичный признак сравнения для несоб-
ственных интегралов второго рода можно сформулировать следую-
щим образом: если функции f (х) и g(x) непрерывны на полуинтер-
вале (а, Ь] и для всех точек х в некотором интервале (а, а + е)
выполняются условия (^)'<g(x), то из сходимости инте-
b ь
грала ^g (х) dx следует сходимость интеграла f (х) dx, а из расходи-
fl а
b b
мости интеграла f (х) dx следует расходимость интеграла \ g (х) dx.
213
-1-00
Пример 6. Исследовать сходимость
Решение. Сравним подынтегральную функцию
на промежутке 1 + оо. Очевидно, что
с функцией Д
X2
1 1
х2 (1 + е~х) < х2 ’
+ оо
Но интеграл сходится, так как а=2>1 (см. пример 4).
।
Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный
интеграл.
4-°°
Пример 7. Исследовать сходимость \ . <— dx.
J 1 г %
I
Решение. Сравнивая подынтегральную функцию . _* с функ-
- 1
циеи —на промежутке 1 4- со, имеем
iJx
4-00
Но интеграл расходится, так как а=-у<1 (см. при-
।
мер 4). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный
интеграл расходится.
4. Пример использования несобственного интеграла. Вычислим
вторую космическую скорость тела, т. е. начальную скорость,
при которой оно способно выйти из поля притяжения Земли в меж-
планетное пространство.
Ранее (см. § 10, п. 6, пример 11) с помощью определенного инте-
грала была вычислена работа, необходимая для запуска тела мас-
сой т с поверхности Земли на высоту h:
R
Выход тела в межпланетное пространство означает запуск его на
бесконечную высоту (/i=oo). Вычислим необходимую для этого
работу:
lim Л = р (х) dx = lim = lim = PR = mgR,
R
где m — масса тела; g— ускорение свободного падения у поверх-
ности Земли (трение и притяжение других планет при этом не учи-
тываются). Эта работа совершается за счет изменения кинетиче-
214
ской энергии тела. Поэтому кинетическая энергия тела в началь-
ный момент должна быть не меньше этой работы, т. е. начальная
скорость тела v должна быть такая, чтобы
mgR или v ^2gR = д/2 • 10 - 6 400 000 м/с =
= 1,4 • 8000 м/с =11,2 км/с.
Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория
движения представляет собой параболу. При начальной скорости,
большей 11,2 км/с, траектория будет представлять собой гипер-
болу, а при начальной скорости, меньшей 11,2 км/с, тело будет
двигаться по эллиптической траектории, при этом либо упадет
на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.
§ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов
При решении физических и технических задач приходится на-
ходить определенные интегралы от функций, первообразные кото-
рых не выражаются через элементарные функции. Это привело к не-
обходимости вывода приближен-
ных формул вычисления опреде-
ленных интегралов. Познакомим-
ся с двумя из них: формулой тра-
пеций и формулой парабол.
1. Формула трапеций. Пусть
требуется вычислить интеграл
j f (х) dx, где f (х) — непрерывная
а
функция. Для простоты рассуж-
дений ограничимся случаем,когда
f(x)^O. Разобьем отрезок [а, Ь]
Рис. 118
на п равных отрезков точками
а = х0<х,<х2<...
<xk_t<xk<-..<x, = b И с
помощью прямых х = хЛ по-
строим п прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы
на рис. 118). Сумма площадей трапеций приближенно равна пло-
щади криволинейной трапеции, т. е.
ь
Jt w dl. (X1 _+ (Xi _ X|) + +
a
+ (x„ - x„_,) = b (a) + f (b) + 2 p (xt) j
rAe f(x^_|) и f (хЛ) — соответственно основания трапеций; xk—
"'Xk-\=^(b — a)/n — их высоты.
215
Таким образом, получена приближенная формула
b z п-1 \
Jf(x)dx«-^b(a) + f(fr) + 2 JfWL
а Хг=1 '
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точ-
нее, чем больше п.
Рассмотрим в качестве примера интеграл х2 dx. Точное зна-
о
чение этого интеграла находится просто:
।
(x2dx = 4li = 4 = 0,3333...
J О’О
о
Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное зна-
чение. Пусть и = 5. Тогда имеем: а = хо=О, х,= 0,2, х2=0,4,
х3=0,6, х4=0,8, х5=1 = Ь и соответственно f(xo) = O,
f(x,) = 0,04, 7(х2) = 0,16, Цх3) = 0,36, /(х4) = 0,64, Цх5)=1.
Следовательно,
Jx2dx«4^ +2 [0,04 + 0,16 + 0,36 + 0,64]} =-И = 0,34.
О
Точное значение интеграла равно 0,3333..., поэтому абсолютная
ошибка меньше 0,007. Во многих технических задачах эта точность
достаточна.
Если увеличить число и, то точность будет большей. Так, на-
пример, при п= 10
।
J X2 dx « 4 {1 + 2 • 2’85} = "4 = °’335’
о
т. е. абсолютная ошибка меньше 0,002.
В более полных курсах высшей математики доказывается, что
если функция f (х) имеет на [а, Ь] непрерывную вторую производ-
ную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не
больше, чем
A (*~Q)3
12п2 ’
где k — наибольшее значение If" (х)| на отрезке [а, Ь].
Следует отметить, что с увеличением п увеличивается не только
точность вычисления определенного ^интеграла, но и объем вычис-
лительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.
Вычислим по формуле трапеции интеграл при п =
о
= 10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками хо=О,
216
Х| = 0,1, х9=0,9, х,0=1. Вычислим приближенно значе-
ния функции f (х) = t в этих точках: f (0)= 1,0000, /(0, 1) =
= 0,9091, f (0,2) = 0,8333, f (0,3) = 0,7692, f (0,4) = 0,7143,
f (0,5) = 0,6667, f (0,6)= 0,6250, f (0,7) = 0,5882, f (0,8) = 0,5556,
f (0,9) = 0,5263, f (1) = 0,5000.
По формуле трапеций получаем
= 4 (1 да«>+«.5<юо + 0909| + 08333 +
о
4- 0,7692 + 0,7143 + 0,6667 + 0,6250 + 0,5882 + 0,5556 + 0,5263) =
= 0,69377 « 0,6938.
Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=
= 1/(1+х), то (х)= —1/(1+х)2, f" (х) = 2/(1 +х)3 На от-
резке [0, 1] имеем If" (х)|^2. Поэтому погрешность полученного
результата не превосходит величины
k (Ь - а)3
12п2
2 1
ТГПо7 = ~воо < 0,0017'
Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Нью-
тона—Лейбница:
(-j-J-= In (1 +x)|i= In 2 « 0,69315.
J * I X
0
Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапе-
ций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше
оценкой погрешности.
Идею, которая была использована при построении формулы тра-
пеций, можно использовать для получения более точных приб-
лиженных формул для вычисления^ определенного интеграла.
2. Формула парабол. Докажем предварительно две леммы.
Лемма 8.1. Через любые три точки t/j), Л12(х2; t/2),
М3(х3; Уз) с различными абсциссами можно провести единствен-
ную кривую вида
у = Ах2 + Вх + С. (1)
Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1)
координаты точек Мh М2, М3, получаем систему трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными Д, В, С:
'Ах\ + Вх{ + C=y[t
• Дх2 ~|“ Вх2 -|- С = t/2,
Ахз + Вх3 + С = у3.
217
Так как числа xt, х2, х3 различны, то определитель этой системы
(гл. 10, § 3) отличен от нуля:
1
х2
*3
Д =
1 = (*г — X.) (х3 — х2) (х, — х2) #= 0.
1
Следовательно, данная система имеет единственное решение, т. е.
коэффициенты Д, В, С определяются однозначно.
Отметим, что если Д=/=0, то кривая (1) является параболой,
если Д = 0, то прямой.
Рис. 119
Рис. 120
Лемма 8.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограничен-
ной кривой у = Ах2 + Вх + С, проходящей через точки —
М2 (0; у2), М3 (h; у3) (рис. 119), выражается формулой
S = 4(^1 + 4Уг + Уз)- (2)
Доказательство. Подставляя в уравнение у = Ах2А~
+ Вх + С координаты точек Л4„ М2, М3> получаем y^ = Ah2 —
-Bh-[-C\ у2=С\ y3 = Ah2-[-Bh-[-C, откуда следует, что
2Ah2 + 2C = yl + y3'C = y2. (3)
Учитывая соотношения (3), имеем
s = J (Ах2 + Вх + С) dx = J (Ах2 + С) dx + В J х dx =
—h — h — h
h
= 2 J (Ax2 + C) dx = ±(2Ah2 + 6C) = 4(У1 + 4y2 + y3).
0
Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную
произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [а, Ь] на 2п
равных отрезков точками а = х0<Х|<х2<... <х2Л<х2Л+|^
<x2k+2<...<x2n_l<x2n = b, а кривую y = f(x) с по-
мощью прямых x = xk на 2п соответствующих частей точками
Л10, М|, М2, ...» M2k, Л42Л_|_|, M2k^2, ...» м2п_2, М2п_ь М2п (рис. 120).
218
Через каждую тройку точек
Л4оМ|Л12, ^2k^2k-t-i ^2А4-2* •••♦ ^2п-2^2п-\ ^2п
проведем кривую вида у = Ах2-\-Вх-\-С (см. лемму 8.1). В ре-
зультате получим п криволинейных трапеций, ограниченных сверху
параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 120).
Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответству-
ющей отрезку [ x2k * x2ft+2] > приближенно равна площади соответ-
ствующей «параболической» трапеции, то по формуле (2) имеем
[в данном случае h = (b — а)/(2п)]
Х24 f- 2
f (х) dx « —(у2, 4- 4уп+1 + у2*+2),
х2к
где yk=f(xk), й = 0, 1, 2, ..., 2м. Складывая почленно эти приб-
лиженные равенства, получаем приближенную формулу
b п — I
( f (х) dx « —У (y2k + 4</г»+1 4- */2*4-2)
a b—Q
или в развернутом виде
ь
J f (X) dx « [i/0 4- у2„ 4- 2 (у2 4- у4 4- ...4- у2я-2) 4-
+ 4 (t/i + Уз + •••+ У2п-1)] •
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симп-
сона *.
В формуле парабол значение функции /(х) в нечетных точках
разбиения х„ х3..... х2я_| имеет коэффициент 4, в четных точках
х2, х4, ..., х2я_2—коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=
= а, х2я=д — коэффициент 1.
Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь
криволинейной трапеции под графиком функции f (х) на отрезке
[а, 6] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих
под параболами (прямыми).
В полных курсах высшей математики доказывается, что если
функция f (х) имеет на [а. Ь] непрерывную производную четвертого
порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона
не больше чем
где М — наибольшее значение lf4,(x)| на отрезке [а, &]. Выше
отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается чис-
•’Симпсон Томас (I71Q—I761) — английский математик.
219
лом
‘Аг/ (‘=?.a/"Wl)
Так как п4 растет быстрее, чем и2, то погрешность формулы Симп-
сона с ростом п уменьшается значительно быстрее, чем погреш-
ность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симп-
сона позволяет получить большую точность, чем формула тра-
пеций.
Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще
раз интеграл t но теперь по формуле Симпсона при м = 4.
J 1 “Г X
о
Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками хо=О,
Xj=l/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно
значения функции f (х)= 1/(1+х) в этих точках yQ— 1,0000,
= 0,8000, 1/2=0,6667, 1/з=0,5714, у4= 0,5000.
По формуле Симпсона получаем
1
$ТГ7 ~ + у* + 2у* + 4 (у' + уз)] =
о
=1,0000+0,5000 4- 2 • 0,6667 + 4(0,8000+0,5714)] « 0,69325.
Оценим погрешность полученного результата. Для подынтеграль-
ной функции f (х)= 1/(1+х) имеем: /(4)(х)= 24/(1 -j-х)5, от-
куда следует, что на отрезке [0, 1] |f(4) (х)|<124. Следовательно,
можно взять А4 = 24, и погрешность результата не превосходит
величины 24/(2880 • 44)<0,0004. Сравнивая приближенное зна-
чение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата,
полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится
в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того,
свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее фор-
мулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного
вычисления определенных интегралов используют чаще, чем фор-
мулу трапеций.
Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления
определенного интеграла применяют в тех случаях, когда перво-
образная подынтегральной функции не выражается через элемен-
тарные функции.
Вычислим, например, интеграл е~х~ dx* по формуле Симпсона
о
с точностью до 0,001.
* Рассматриваемый интеграл не выражается через элементарные функции,
но имеет большое значение в статистической физике, теории теплопроводности
и диффузии.
220
Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности
число 2и, найдем f(4)(x). Последовательно дифференцируя функцию
^х)=е~х\ получаем
[<4)(х) = 4е~х2(4х4- 12х2 + 3).
Так как на отрезке [0, 1] е-х2^1, |4х4—12х2 + з|^5, то
|/,4) (х)|<120. Следовательно, можно взять М = 20. Исполь-
зуя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880п4< 1/1000,
откуда п4> 1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравен-
ство, достаточно взять и =2, т. е. 2и=4.
Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точ-
ками х0=0, Xj= 1/4, х2= 1/2, х3=3/4, х4= 1 и вычислим
приближенно значения функции f(x) = e-x2 в этих точках: yQ=
= 1,0000, #,= 0,9394, f/2=0,7788, #3=0,5698, #4=0,3679. При-
меняя формулу Симпсона, получаем
1
J е-*2 dx « [1,0000 + 0,3679 + 2 • 0,7788 +
о
+ 4 (0,9394 + 0,5698)] « 0,7469.
1
Таким образом, ^е-х dx « 0,747 с точностью до 0,001. Итак, раз-
о
бив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассмат-
риваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы
Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.
В заключение отметим, что каждый из изложенных методов
приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм
их нахождения, что позволяет широко применять эти методы
для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы —
эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов,
которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью
ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таб-
лицы их значений.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ•
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Перейдем теперь к изучению функций двух и более переменных.
Предварительно ознакомимся с некоторыми понятиями аналитиче-
ской геометрии в пространстве, которые используются далее для
геометрической интерпретации функций нескольких переменных.
В этой части рассмотрены также такие понятия высшей алгебры,
как матрица и определитель, важные не только для изучения мате*
матического анализа, но и имеющие широкое применение в других
разделах математики.
ГЛАВА 9
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве опреде-
ляется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пере-
секающихся в одной
точке О взаимно перпендикулярных осей:
Ох, Оу и Oz. Точка О — начало коорди-
нат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось орди-
нат, Oz — ось аппликат.
Пусть М — произвольная точка про-
странства (рис. 121). Проведем через
точку М три плоскости, перпендикуляр-
ные координатным осям Ох, Оу и Oz.
Точки пересечения плоскостей с осями
обозначим соответственно через Му
и М2. Прямоугольными координатами
точки М называются числа
х = ОМХ t у = ОМу у z = ОМг,
т. е. величины направленных отрезков ОМХ, ОМу, ОМг\ при этом
х называется абсциссой, у — ординатой, az — аппликатой точки М-
Таким образом, при выбранной системе координат каждой точ-
ке М пространства соответствует единственная упорядоченная
тройка чисел (х; у\ z)* — ее прямоугольные координаты и, обрат-
* Тройка чисел х, у и z называется упорядоченной, если указано, какое
из этих чисел считается первым, какое — вторым и какое — третьим. В записи
(х; у\ г) х означает первое число, у — второе, z — третье.
222
но, каждой упорядоченной тройке чисел (%; у\ г) соответствует,
и притом одна, точка М в пространстве.
Итак, прямоугольная система координат в пространстве уста-
навливает взаимно однозначное соответствие между множеством
всех точек пространства и множеством упорядоченных троек чисел.
Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоско-
стями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых
октантами.
§ 2. Понятие вектора
1. Скалярные и векторные величины. Многие физические вели-
чины полностью определяются заданием некоторого числа.Это,
например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие
величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда назы-
вают скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются
заданием не только числа, но и некоторого направления. Например,
при движении тела следует указать не только скорость, с которой
движется тело, но и направление движе-
ния. Точно так же, изучая действие какой- ________£______
либо силы, необходимо указать не только А в
значение этой силы, но и направление ее
«, т* Рис 122
действия. Такие величины называются
векторными. Для их описания было введено понятие вектора,
оказавшееся полезным для математики.
2. Определение вектора. Любая упорядоченная пара точек А н В
пространства определяет направленный отрезок, т. е. отрезок вместе
с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее назы-
вают началом направленного отрезка, а точку В — его концом.
Направлением отрезка считают направление от начала к концу.
Определение 1. Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом АВ, причем первая буква
означает начало вектора, а вторая — его конец. Вектор также
обозначают и одной буквой с черточкой наверху, например а .
Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 122).
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуле-
вым и обозначается 0 или просто 0.
Расстояние между началом и концом вектора называется его
длиной и обозначается | АВ| или |а |.
Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные век-
торы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым
вектором; длина его равна нулю, т. е. |0 | = 0.
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух
векторов.
Определение 2. Векторы а и b называются равными (а = b ),
если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
223
На рис. 123_ изображены слева неравные, а справа — равные
векторы а и b . Из определения равенства векторов следует, что
если данный вектор перенести параллельно самому себе, то полу,
чится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналити-
ческой геометрии называют свободными.
3. Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось
и и некоторый вектор АВ. Проведем через точки А и В плоскости
перпендикулярные оси и. Обозначим через А' и В' точки пересече-
ния этих плоскостей с осью (рис. 124).
Проекцией вектора АВ на ось и называется величина Л'В'
направленного отрезка А'В' на оси и. Напомним, что
А'В'= | Л'В'|, если направление А'В' совпадает с
направлением оси и,
Л'В' = — | Л'В'|, если направление А'В' противо-
положно направлению оси и.
Обозначается проекция вектора АВ на ось итак: прц АВ.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 9.1. Проекция вектора АВ на ось и равна длине
вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ
и осью и, т. е.
пр„ АВ = | Ав\ cos ф, (2)
где ф — угол между вектором АВ и осью и (рис. 125).
Доказательство. Если ф^л/2 (рис. 125, а), то в силу (1)
прц АВ = | А'В' | = |лв| cos ф.
Если же ф>л/2 (рис. 125, б), то в силу (1) пр^ЛВ^
= — |л'В'| = — | Лв| cos (л — ф) — | Ав \ cos ф.
Таким образом, для любого угла ф справедливо равенст-
во (2). Ц
224
Замечание 1. Пусть А1В1 = А2В2 и задана какая-то ось и.
Применяя к каждому из этих векторов формулу (2), получаем
пр„ л,В, = прцД2В2
т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
4. Проекции вектора на оси координат. Пусть в пространстве
заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный
вектор АВ. Пусть, далее, Х=прхЛВ, У=пр^ЛВ, Z=npz4B.
Проекции X, У, Z вектора АВ на оси координат называют его
координатами. При этом пишут
~АВ = {X; У; Z}.
Теорема 9.2. Каковы бы ни были две точки А (х,; z^
и В (х2; у2, z2), координаты вектора АВ определяются следующими
формулами:
X = х2 — х,, У = у2 — у^ Z = z2 — zx. (3)
Доказательство. Проведем через точки А и В плоскости,
перпендикулярные оси Ох, и обозначим точки их пересечения
с осью Ох соответственно через Л' и В'. Точки Л' и В' на оси Ох
имеют координаты х, и х2 (рис. 126). По определению, Х =
==прхЛВ = Л'В'. Но А'В' = х2 — Xj (см. гл. 1, §3). Поэтому
Х=х2 — X,. Аналогично устанавливаются И остальные форму-
лы (3). В
Замечание 2. Если вектор АВ выходит из начала коорди-
нат, т. е. х j = уj = z, = 0, и х2=х, у2 = У> z2= z, то координаты
X, У, Z вектора АВ равны координатам его конца:
X = х, Y = у> Z = z.
5. Направляющие косинусы вектора. Пусть дан произвольный
вектор а ={Х; У; Z}; будем считать, что а выходит из начала
координат и не лежит ни в одной координатной плоскости.
Проведем через точку Л плоскости, перпендикулярные осям.
Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоуголь-
15-3157
225
ный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок 0/J
(рис. 127). Из элементарной геометрии известно, что квадрат
длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов длин трех его измерений. Следовательно,
|од|2=|одхГ + |оду|2 + |одг|2.
Но |од|=|т|, |ОДх| = |х|, |ОДу| = |У|, |0Д2| = И; таким
образом, получаем
|т|2 = X2 4- Y2 + Z2,
ИЛИ
|а | = ^X2+Y2 + Z2. (4)
длину произвольного вектора через его
Формула (4) выражает
Рис. 127
координаты.
Обозначим через а, 0, у углы
между вектором а и осями коорди-
нат. Из формул (2) и (4) получаем
X
cos а = cos В =
VF+ у2 + z2
Y Z
= г — cos у=-т=^.-- ;(5)
ул2 + У2+г2 -фе + уг+Я
cos а, cos р, cos у называются на-
правляющими косинусами вектора а .
Возводя в квадрат левую и пра-
вую части каждого из равенств (5)
и суммируя полученные результаты,
имеем
cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1, (6)
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора
равна единице.
В заключение пункта рассмотрим задачу. Пусть даны две
произвольные точки М, (х,; уу, z,) и М2 (х2; у2\ гф Найдем рас-
стояние d между ними. Используя теорему 9.2 и формулу (4),
сразу получаем искомый результат
М,Л12 = (х2 — х,; у2 — ух\ z2 — Z|},
а так как d — длина вектора М,М2, то
d = |Af,Af2| = —^|)2 + (Уг —</i)2 + (z2 — z,)2. (7)
§ 3. Линейные операции над векторами
и их основные свойства
Линейными операциями над векторами называются операции
сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа-
1. Сложение двух векторов. Пусть даны два вектора а и b •
Суммой а + b называется вектор, который идет из начала векто-
226
ра а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен
к концу вектора а (рис. 128, а).
Замечание 1. Действие вычитания векторов обратно дейст-
вию сложения, т. е. разностью b — а векторов Ь и а называется
вектор, который в сумме с вектором а дает вектор Ь (рис. 128, б).
Замечание 2. Определив сумму двух векторов, можно найти
сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три
вектора а , b и с . Сложив а и b , получим вектор а + b . Приба-
вив теперь к нему вектор, с , получим вектор а + b + с . _ _
2. Произведение вектора на число. Пусть даны вектор а
и число Х=/=0. Произведением ка называется вектор, который
коллинеарен вектору а , имеет длину, равную |х| |а |, и направ-
ление такое же, как и вектор а , если Х>0, и противоположное,
если k<zQ (рис. 129).
а) б/
Рис. 128
Геометрический смысл операции умножения вектора а =/=0 на
число Х=/=0 можно вы разить еле дующим образом: если |х|>1,
то при умножении вектора а на число к вектор а «растяги-
вается» в к раз, а если |х|<1—«сжимается» 1 /к раз. При
Х<0 вектор изменяет направление на противоположное. На
рис. 129 изображен случай |х|>1. __
Если Х=0 или а =0 , то произведение ка считаем равным
нулевому вектору.
Замечание 3. Используя определение умножения вектора
на число, нетрудно доказать, что если векторы а и Ь коллинеарны
и а ф 0 , то существует (и притом только одно) число X такое,
что Ь =ка (докажите это утверждение самостоятельно).
3. Основные свойства линейных операций.
1°. а b = b а (переместительное свойство
сложения).
Доказательство. Приложив векторы а и b к одной точ-
ке О, построим на них параллелограмм (рис. 130). Тогда
Т = СМ, 1Г = ~АС, Т + У = ~ОС,
Ь = ОВ, + а = ОС.
Следовательно, ОС = а + b =Ь +а .
2°. (а + 6 ) + с =а + (b + с ) (сочетательное
свойство сложения).
15*
227
Доказательство. Расположим рассматриваемые векторы
так, чтобы вектор b был приложен к концу вектора а , а вектор
с — к концу вектора b . Обозначим буквой О начало вектора а ,
буквой А — его конец, буквой В — конец вектора b и буквой
С— конец вектора с (рис. 131). Тогда
(Г 4- Т) 4-7’ = (ОЛ + ~АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС,
а + (ft + с ) = ОЛ_+ (ЛВ 4-_ВС)_= ОЛ_4-^4С - ОС.
Следовательно, ОС =(а 4"^) + с ~а +(^ 4- с )•
Рассмотрим еще три свойства линейных операций, два из ко-
торых относятся одновременно к сложению векторов и умножению
вектора на число. Пусть к и р— произвольные числа, а и b —
любые векторы. Тогда:_
3°. х(ра) = (Хр)а (сочетательное свойство
умножения);
4°. (Х-|-р) а =Ха +ра (распределительное свой-
ство относительно суммы чисел);
5°. к(а -\-b) = ka -\-kb (распределительное свой-
ство относительно суммы векторов).
Дока ж е м.свойство 3°. Если хотя бы одно из чисел Х,р
или вектор а равны нулю, то обе части равенства 3° обращаются
в нуль. Если Х=/=0, р=/=0, cl =/=0, то векторы х(ра”) и (Хц)а
коллинеарны, одинаково направлены (их направления либо совпа-
дают с направлением вектора а , если к и р имеют одинаковый
знак, либо противоположны направлению вектора_а . если к и р
разных знаков) и имеют одинаковые длины i|A(pflЛ = |х||ра| =
= |Х| |р| |а | и |(Хр) а | = |Хр| |а | = |х| IpJ |а I , следовательно,
они равны.
Докажем свойство 4°. Пусть X и р имеют одинаковые
знаки и а #=0. Тогда векторы (Х + р) а и ка + ра коллинеарны
и одинаково направлены (при Х>»0, р2>0 их направления совпа-
дают с направлением_вектора а ,*а при Х<0, р<0 противопо-
ложны направлению а ). Так как векторы Ха и ра направлены
одинаково, то длина вектора ка + иа равна Ха +ра |= Ха 1 +
+W=ш и+|и| и=(W +Н и а так как X и р одного
знака, то__ |(Х+_р) а | = |х+р| |а | = (|х| + 1р|) |aj, т. е. длина
вектора ка +ра равна длине вектора (Х+р) а . Таким образом,
228
и в этом случае векторы
|х| = |р| и знаки X и р
равенства равны нулю.
Рис. 132
А'В'— ОВ'. Таким
ректоры (Х + ц) а и ка + ра коллинеарны, одинаково направлены
и имеют равные длины, следовательно, они равны.
Пусть теперь к и р имеют разные знаки и для определенности
|х|>||а|. В этом случае векторы (Х + р) Q и Ха +PQ направлены
так же, как вектор ка . Длина вектора ка 4- ра равна ка + ра |=
= ка ] — jxq | = |х| |а I — Ы |а | = (|х| —|ц|)|а I, a_(X-jji) а | =
== Х + ц1 1а |=(|х| —|ц|)_|а I, т. е. длина вектора ка + ра равна
длине вектора (Х-|- р) Д • Следовательно,
(Х+р) а и ка +ра равны. Если же
различны, то обе части доказываемого
Равенство 4° очевидно, если хотя бы
одно из чисел X, р или вектор а равны
нулю.
Д о кажем свойство 5°. Пусть
а и b неколлинеарные векторы и Х}>0.
Построим векторы ОВ = а -\-Ь , ОА' =
= ка и ОВ'—к^а + b ) (рис. 132). Из
подобия треугольников ОАВ и ОА'В' и
определения операции умножения век-
тора на число следует, что А'В'=кЬ , _
а из треугольника ОА'В' получаем: С
образом, ка +Х6 = х(а + b ), т. е. доказываемое равенство спра-
ведливо. Случай Х<0 рассматривается аналогично. __
Если а и b —коллинеарные векторы и а =/=0, то вектор b
можно представить в виде b = ра , и искомое равенство следует
из равенству 3° и 4°. Действительно, X (а + b ) =Х (а -|-ра ) =
=Х (1 +р) а =(Х + Хр) а = ка + Хра =ка -|-Х (ра )= ка ^kb .
Доказываемое равенство очевидно, если один из векторов а , b или
число X равны нулю.
Замечание 4. Доказанные свойства линейных операций
имеют фундаментальное значение, так как дают возможность
производить над векторами обычные алгебраические действия.
Например, в силу свойств 4° и 5° можно выполнять умножение
скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».
§ 4. Теоремы о проекциях векторов
Теорема 9.3. Проекция суммы двух векторов на ось равна
сумме их проекций на эту ось, т. е. _ __
пр„ (а , + а 2) = пр„ а , + пр„ а 2.
Доказательство. Пусть точки А и 4,— соответственно
начало и конец вектора а ,, точки 4, и 42—начало и конец
вектора а 2 (рис. 133). Обозначим через А', А\ и 42 соответст-
венно проекции на ось и точек 4, At и 42. По определению,
пр„а 1=4'4',, прца 2=А\А2, прц(а ,+а 2)=пр„442=4'42 Соглас-
но основному тождеству (см. гл. 1, § 3) A'A^A'A^ + ^iA'q. Отсю-
да прц’(а , + а 2) = при а , + пр„а 2.
229
Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых
Теорема 9.4. При умножении вектора а на число X его
проекция на ось также умножается на это число, т. е.
прДа = X прц а . (1)
Доказательство. Пусть <р — угол между вектором а и
осью и, а ф' — угол между вектором Ха и осью и (рис. 134).
Тогда, если Х>0, то векторы а и Ха направлены одинаково и
<р = (р'. Если же Z<0, то векторы а и Ха имеют противополож-
ные направления и (р' = л — ср. По теореме 9.1 имеем: при Х>о
npu Ха = |ха I cos <р' = X |а I cos <р' = X |а I cos (р = X при а ;
при X <С О
npu Ха = ka | cos ф' = |х| |а I cos <р' = — X |а I cos (л — (р) =
= — X |а | (— cos ф) = X |а | cos (р = X пра а ;
при Х==0 равенство (1) очевидно. Таким образом, при любом X
при Ха =Х при а .
Из доказанных теорем вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Из теоремы 9.3 вытекает, что если а =
= {Х,; T.jZj и Г={Х2; У2; Z2}, то У+ Т={Х.+Х2; Yt + Y2;Z t+Z2}.
С л е д с т в и е 2. Из теоремы 9.4 вытекает, что если а =
= (Х; У; Z), то Ха = {XX; XY\ XZ} для любого числа X.
Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов
в координатах. В самом деле, равенство b =Ха равносильно ра-
венствам Х2=ХХ|, У2=ХУ,, Z<2 = XZ| или
х, - У, “ Z, *
(2)
т. е. векторы а и b коллинеарны в том и только в том случае,
когда их координаты пропорциональны.
230
§ 5. Разложение вектора по базису
Пусть векторы i , j , k —единичные векторы осей координат,
т. е. \i 1 = 1/ | = |л|=1, и каждый из них одинаково направлен
с соответствующей осью координат (рис. 135). Тройка векторов
Г, j , k называется базисом. Имеет место следующая теорема.
Теорема 9.5. Любой вектор а может быть единственным
образом разложен по базису i , j , k ,т.е. представлен в виде
а = X/ + ц/ + vk , (1)
где X, ц, v — некоторые числа. __
Доказательство. Приложив вектор а к началу координат,
обозначим его конец через А. Про-
ведем через точку А плоскости, пер-
пендикулярные осям координат.
Пусть Лх, А у, Аг — точки пересече-
ния этих плоскостей с осями коор-
динат. По определению сложения
векторов имеем
Т=0В + О4г,0В = О4х+0Лу. (2)
Из равенств (2) получаем
Т= ОАХ + ОА,+ 0Л2. (3)
Так как векторы ОА х и i , ОАу и / ,
О А х = Xz , ОАу = ц/ , О А 2 = vk ,
где X, ц, v — некоторые числа.
Из равенства (3) и соотношений (4) получаем
а = Xz -|- 14 + vfc .
Для доказательства единственности представления (1) уста-
новим, что
OAZ и k коллинеарны, то
(4)
X = X, р = /, V = Z,
где X, У, Z — координаты вектора а .
Покажем, например, что Х = Х. Так как Х=|оАх|, если ОА х
имеет то же направление, что и вектор i , и Х= —|оАх|, если
вектор ОА х имеет направление, противоположное направлению
вектора i , то О A x=Xi . Сравнивая с равенством ОАх=Х/ , полу-
чаем Х = Х.
Аналогично показывается, что p=Khv = Z. И
§ 6. Скалярное произведение векторов
1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векто-
ров а и b называется число (скаляр), равное произведению длин
231
этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один
из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение
по определению полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов а и b обозначают а • b . Итак,
а • b = | д | |б I cos ф,
где ф — угол между векторами а и b (рис. 136).
Так как | д | cos ф= пруд , 16 | cos ф= пруб , то можно записать
а • b = \b | пру а = |а | пру b . (1)
Типичным примером скалярного произведения в физике является
формула работы
А = | а | | b | cos ф,
где вектор а — сила, точка приложения которой перемещается
из начала в конец вектора b (рис. 137).
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1°. а • b = b • а (свойство перестановочности
сомножителей).
Доказательство. По определению скалярного произве-
дения а • b = |д ||b |соэф и b • a = |b ||д | cos ф, но | д || fr | = |fe 11 д I,
поскольку это произведение чисел. Следовательно, а • b = Ь • а .
2°. (Хд ) • b =к(а • b ) (свойство сочетательности
относительно умножения на число).
Доказательство. По формуле (1) имеем
(Хд ) • b = \b | пр—(Хд ),
1 ь
но согласно теореме 9.4
пру (Хд ) = X пру а .
Таким образом, * __
(х д ) • b = \b | пру (Хд ) = | b | X пру а = X (| b | пру д ).
С другой стороны, по той_ же формуле (1)
\b I пру а = а • b .
Следовательно,(Хд ) • b = К (Ib | пруд ) = X (д •/>).
232
Замечание 1.Из свойств 1° и 2° следует, что (Ха ) • (цб ) =
= (Х • ц)(а • 6 ). Действительно, (Ха )» (цб ) = х[ а . (р,б)] =
^=л[(нйО • о_|=х[ц(б_- о_)] =(Xji) (а • b ).
3° a -{b-\-c)=a-b-\-a - с (свойство распреде-
лительности суммы векторов).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле (1)
а • (b + с ) = |а | пр-^-(б + с ),
но согласно теореме 9.3
пр-(/> + с ) = пр- Ь + прт с .
Таким образом,
a -{b ) = |а lnp-^6 + с )=|а |(пр—& + пр-^-с )=
= | а | пруб + |а |пр —6? .
С другой стороны, по той же формуле (1)
|а |пр—д = а • b и|а |пр—с = а • с .
Следовательно,
а •(&+<: )=|а| пр^б + |а I пр-^-с = а • b + а • с .
Замечание 2. Доказанное свойство дает право при скаляр-
ном умножении векторных многочленов выполнять действия
почленно. В силу свойства 1° можно при этом не заботиться
о порядке сомножителей, а свойство 2° позволяет (см. замечание 1)
объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей.
Например, ____ __ _____ ____ ____ _____ ____ _____
(2T+5i_)-(3F+4d>=(2T_+56 Ь(з73 + (2а"+56 М4У) =
= (2а ) • (ЗсМьЬ ) • (Зс] + (2а_) -(id ) +(56_) • (id ) =
= 6а - с +156 - с 4~8а • d 4-206 • d .
4°. а • а = |а | .
Доказательство. По определению скалярного произведе-
ния а • а = |а | |а | cos 0= |а | , если |а |=/= 0, т. е. если а У= 0 .
Если же а = 0 , то также, по определению, а • а =0. Но в этом
случае 1а 1= 0 и, значит, равенство а - а = |а I также справед-
ливо. И
Скалярное произведение а - а называется скалярным квадратом
вектора а и обозначается а . На основании только что доказан-
ного мы имеем: а = |g | ; отсюда, в частности, л/ а = |а |._ _
___5°. а • 6 =0, если а ± 6 , и, обратно, а ± 6 , если а • 6 =0
и а 0 , 6 0 .
Доказательство. По определению скалярного произве-
Дения а • 6 = |а | 16 I cos ср. Если ф=л/2, т. е. векторы а и 6
перпендикулярны друг другу, то cos ф = 0; отсюда а -Ь =0.
Обратно, если а •6=0и|а||б|у=0, то cos <р = 0 и ф=л/2,
т-е. векторы а и 6 перпендикулярны.
233
Замечание 3. Из свойств 4° и 5° для базисных векторов i
j , k (рис. 138) непосредственно получаем следующие равенства-
------------------------2 --2 ---2
___________________________________ i = / = k = 1, _ _
i . j = i . k = j • i = j • k = k • i = k • j =0.
2. Выражение скалярного произведения через координаты
векторов. _ _____
Т е о р е м а 9.6. Если векторы а и b заданы своими координа-
тами: a ={X|i У|; Z,}, b = {Х2; ^2}» то их скалярное произ-
ведение определяется формулой
а • b = ХЛ2+ У|У2 + ZjZ2.
Доказательств о. Разложим векторы а и b по базису i ,
j f k : q — X1 i —|— Y1 j —|— Z1 k , b — X 2 i *4~
+ Y2j +Z2k . Используя замечание 2,
получаем
--- - ---------2--------- - ---- -
a *b =X|X2i -1-Х|У21 •/ +X|Z2f • k -|“
---------------------------------- - 2-
+ r,X2/ + YiY2j +r,Z2/ -k +
----------—2
-|-Z|^2^-------------Н“^|У2^ •/ +ZjZ2fe .
Откуда, используя равенству (2), на-
ходим: a -b =XlX2+YlY2+ZlZ2. Щ
Из теоремы 9.6 вытекают два важ-
ных следствия. I
Следствие 1. Необходимым и до-
___________ статочным условием перпендикулярности
векторов а = {Х|-, У\; Z,} и Ь ={Х2\ У2; Z2] является равенство
Х'Х2+ rIr2 + z,z2=0. (3)
Это утверждение непосредственно следует из свойства 5°
и теоремы 9.6. __
Следствие 2. Угол между векторами а ={Х,; Z,} и
b = {Х2; Y2, Z2] определяется равенством
x/o + r,r2 + z,z2
cos ф — - "
-V^?+r?-hZfV^22-h^HZ2
Действительно, по определению’ скалярного произведения а • b =
= I a I I b I cos ф, откуда — —
“'-ЩТ (5)
В силу теоремы 9.6 и формулы (4) § 2 из формулы (5) следует
формула (4).
Пример. Даны три точки Л(1;ч 1; 1), В (2; 2; 1) и С (2; 1; 2).
Найти угол Z.BAC. * ____
___Решение. Применяя теорему 9.2, найдем ЛВ = {1; 1; 0},
АС = { 1; 0; 1}. Отсюда на основании формулы (4) получаем
1-1 + 1.0 + 0-1 1 1
COS ф .------------- ,----------I— I— п
Vi2 + 12 +о2 -yi2 + о2 + 12 V2V2 2
Следовательно, ф = 60°.
234
§ 7. Векторное произведение
1. Определение векторного произведения. Векторы а , b и с
называются компланарными, если они лежат в одной плоскости
или в параллельных плоскостях.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано,
какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим.
Например, в записи (а ; b ; с ) вектор а считается первым,
—вторым, с —третьим; в записи (б ; с ; а ) вектор b —
первый, с — второй, а — третий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
правой, если после приведения их к общему началу из конца
третьего вектора кратчайший пово-
рот от первого ко второму виден
совершающимся против часовой
стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
Рис. 139
Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b
называется вектор а X b , который определяется тремя условиями:
1) длина вектора а X b равна |а ||/> | sin ф, где ф — угол между
векторами а и b ;_ ___ ___
2) вектор а X b перпендикулярен каждому из векторов а и b ;
3) векторы а , b , а X b образуют правую тройку векторов
(рис. 139).
।_Заметим, что условия 2)____и 3) относятся к случаю, когда
1а Кб | sin ф=/=0, т. е. вектор а X b у=0. Если же |а |U I sin ф=0
(т. е. либо, по крайней мере, один из векторов а и b нулевой,
либо sinq)=0), то векторное произведение а определяется
только условием 1): в этом случае а X b = 0 .
Понятие векторного произведения имеет свой источник
в механике. ___ ____
Пусть в точке М твердого тела приложена сила F = МК и
О — некоторая точка пространства. Как известно из механики,
моментом силы F относительно точки О (точка приложения мо-
мента) называется вектор L, который: 1) имеет длину, равную
1ОЛ4||Л4К| sin ф, где ф — угол между векторами ОМ и МК;
2) перпендикулярен плоскости л, проходящей через точки О,
М, К; 3) направлен так, что из конца его сила F представляется
вращающей плоскость л вокруг точки О против часовой стрелки
235
(рис. 140). Из рисунка, на котором ОЛ = МК, видно, что /Г
представляет собой векторное произведение ОМ X МК-
2. Основные свойства векторного произведения.
1°. а X b =0, если а и b — коллинеарные векторы.
Доказательство. Если векторы а и b коллинеарны, то
sin ф = 0. Следовательно, |а X b | = |а ||б I sin ф=0, т. е. длина
вектора а X b равна нулю, а значит, и сам вектор а X b равен
нулю.
2°. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов а~
и b равна площади s параллелограмма, построенного на этих
векторах (см. рис. 139).
Доказательство. Как известно из элементарной геомет-
рии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных
сторон на синус угла между ними. Отсюда |а ||& | sin ф = $, т. е.
la X b | = $.
Рис. 141 Рис. 142 Рис. 143
3°. а \ Ь =- b Ха (свойство антиперестановоч-
ности сомножителей). __ __
Доказательств о. Если векторы а и b коллинеарны, то
свойство очевидно. Пусть а и b неколлинеарны. Из определения
векторного произведения следует, что векторы а X b и b X а имеют
одинаковые длины (длина векторного произведения не зависит
от порядка сомножителей), коллинеарны (они перпендикулярны
одной и той же плоскости, в которой лежат векторы а и 6_),_нр
направлены противоположно (рис. 141), так как векторы а, Ь,
а_ХЬ__ и b , а , b Ха образуют правые тройки. Следовательно,
а Х6 =-1_Ха^И
4°. (Ла ;Х Ь =Х (а X b / (свойство сочета тел ь-
ностипо отношению к ска л я р ному множителю)-
Доказательство. Если а и b коллинеарны или X = 0, то
свойство очевидно. Пусть а и b неколлинеарны и Х=/=0. Из
определения векторного произведения следует, что |х(а X b
= |х||а ||УI sin <£_ и |(А,а )х7Г~| = |х||а ||b I sin ф, поэтому векторы
(Ха )х b и X (а X b ) имеют одинаковую длину. Кроме этого, они
перпендикулярны к каждому из векторов а и b и, значит, кол-
236
динеарны друг другу. Наконец, они одинаково направлены
(рис. 142) (при Х>0 это очевидно, так как одинаковое направ-
дение имеют векторы ка и а ; при Х<0 векторы к а_и а имеют
противоположные направления, поэтому вектор (ка )х b направлен
противоположно вектору а Xb , но при этом вектор к( а Xb ) также
направлен противоположно вектору аХЬ, значит, и при
векторы (ка )Х Ь и к(а X b ) имеют одинаковое направление). Сле-
довательно, векторы (ка)ХЬ и к (а X b ) равны.
Используя свойства 3° и 4°, докажите самостоятельно, что
Тх(лб)=На X.6 _ _ _
5°. (а +Ь )хс = а X с +b X с (свойство распреде-
дительности относительно суммы векторов).
Д о к азательство. Если векторы а_и b коллинеарны век-
тору с или хотя бы один из векторов а , b , с нулевой, то свой-
ство очевидно. В остальных случаях введем для доказательства
единичный вектор с0, одинаково направ-
ленный с вектором с . Проведем через его
начало О плоскость л, перпендикулярную
с0, и рассмотрим треугольник ОАВтакой,
что О А = а , АВ = b и ОВ = а Ь
(рис. 143). Спроектируем треугольникОАВ
на плоскость л, в результате получим тре-
угольник ОА\В{ (если точка А1 лежит на
прямой ОВЬ то треугольник CMjBj вырож-
дается в отрезок). Повернем треугольник
ОА1В1 вокруг с0 на 90° по часовой стрел-
ке, если смотреть из конца с0, в резуль-
тате получим треугольник ОА2В2. Обо-
значим через ф угол между векторами cQ и а . Пусть для оп-
ределенности 0<ф<л/2 (как ria рис. 143). Остальные случаи
угла ф рассматриваются аналогично. ___ ______
Рассмотрим вектор ОД о. Длина этого вектора | О А 2| = | О А || =
= |п I cos (л/2 —ф)= [а ||с0| sin ф, так как |с0|=1. Кроме этого,
ОД2±с0, ОД2±а и векторы а, с0, ОА 2образуют правую тройку.
Следовательно, по определению векторного произведения
О А 2 = а X с0.
___Проводя аналогичные рассуждения для каждого из векторов
ОВ 2и ДД2, получаем
___ОВ2= (д + fe ) X с0, А2В2 = b X с0.
Но так как ОВ 2= О А 2+ А.2В2, то
_ (а + b ) X cQ = а Х_с0 + b X £р_.___________(1)
Вектор с направлен так же, как с 0. Поэтому с =|с | с0. Умно-
Жив обе части равенства (1) на число |с |, получим |с | [(а + b )х
X с0] = |с I (а X cQ + b X с0). Отсюда согласно свойству 4°
237
(a +b )xfc~fc7=a xk k0+^ xlc k0- Заменяя |c |c0 на c t
окончательно имеем (a -\-b )xc =a Xc -\-b Xc -M
Замечание 1. Доказанное свойство дает право при вектор,
ном умножении векторных многочленов выполнять действия
почленно, а свойство 4°—объединить числовые коэффициенты
векторных сомножителей. Например, _ __ ____ ____
(2a +3/>)х_(4с _+5rf )=(2a_+3^_)x4_c_+(2a +3fc)x5d =
=2_а Х_4с +3^_Х4_с_ +2а X5d_±ЗЬ \5_d_ =_
=8(а Xc) + 12(fe Xc )+10(а Xd)+\b(b Xd\
Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей вектор-
ного произведения является существенным и при перестановке
сомножителей знак векторного произведения нужно изменить.
Например,_(а .+ 6 ) х(2/> -|-Зс ) = 2(а Xj) ) +2(b Хр ) 4-
+ 2(с_Х Ь_) +3(а_Х с_) +3(Д_Х с_) +з(с_Х £_) =2(а Х± ) -
-j{b Xc )+3(a Хс )+з(Ь Xc )=2(а Xb)+(b Хс ) +
4-3(а X с ).
Замечание 2. Согласно определению и свойствам 1° и 3°
векторного произведения для базисных векторов i , j , k
(рис. 144) получаем следующие равенства: _
£_Х£_=0; i_Xj_ = k J Xk = — j_y
i_Xi_= — kj_j =Qj_Xk_j=i ; (2)
k Xi =j k Xj = — i\kXk =0.
3. Выражение векторного произведения через координаты
векторов. Теорема 9.7. Если векторы а и b заданы своими
координатами: a ={X|i У|1 Zj, b ={Х2; £2}» то векторное
произведение вектора а на вектор b определяется формулой
Т хТ ^Y.Z.-Y.Z^Z.X.-Z.X^X.Y^X.Y^},
Эту формулу с помощью определителей второго порядка* можно
записать в виде
а Xb =
У, Z,
г, z2
z,
Z2
X, X,
Х2 ’ х2
Г.
Y,
_ Доказательство. Разложим векторы а и b по базису
i k : _ _ ____________ _ _
а =Х,1 +YJ +Ztk,b =X2i +Y2j +Z2k .
Используя замечание 1, получаем _ _ __ __
У хГ=х1х2(72хГ) +Х|Г2(ГхГ) +x}zlTxT} +
+ Y ,Х2( /_х i J + Y, Y2( /_х /_2 + г ,z 2( /_х / J +
+Z,x/fe Xi )+Ziy2(* X/ )+Z,Z2(fe Xk).
Отсюда, на основании равенств (2), находим
♦ Определителем второго порядка
а, &2
°! ЬУ
а2 62
называется число, равное
238
-fxb ^Y^-Y^Ji +(ZlX2-Z2Xl)j' +(X,Y2-X2Y,)k или
k'.
X. Г, -
x2 Y2
Г. z, _
Y2 z2 1 _ _ ________
Получено разложение вектора a X b по базису i , j , k ; коэффи-
циенты этого разложения представляют собой координаты век-
тора а Х& . Таким образом,
= X;Y;Z]r
;Z =
a Xb —
Z, X,
Z2 X2 1
(3)
X, Y,
X2
Z,
Z2
Пример. Даны векторы a ={2; 5; 7} и
координаты векторного произведения а X b .
Решен ие. По формуле (3) находим
Х =
где X =
Y2
; Y =
Zt X,
z2 x2
5 7
2 4
Итак, a Xb ={6; — 1; — 1}.
=6; Y =
7 2 _
4 1
y2'
b
={1; 2; 4}.
Найти
= -l;Z =
2
1
5
2
= -l.
§ 8. Смешанное произведение трех векторов
1. Определение и геометрический смысл смешанного произ-
ведения. ________
Определение. Смешанным произведением трех векторов а , 6 , с
называется число, равное скалярному произведению вектора а на
векторное произведение векторов b и с ,т.е.
а • (b X с ).
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешан-
ного произведения. __
Теорема 9.8. Смешанное произведение а -(b X f ) равно
объему v параллелепипеда, построенного на векторах а , b , с ,
взятому со знаком «+», егли тройка а , b , с — правая, со зна-
ком « —», если тройка а , b , с — левая. Если же а , b с ком-
планарны, то a -(b X с ) =0. Другими словами:
(v, если а , b , с правая тройка,
—и, если а , b , с левая тройка,
0, если а , b , с компланарны.
_____ Д о казательство. Пусть даны некомпланарные векторы а ,
b , с , образующие правую тройку. Обозначим через v объем па-
раллелепипеда, построенного на этих векторах, через s — площадь
параллелограмма, построенного на векторах b и с , а через h —
высоту параллелепипеда (рис. 145). Тогда по определению ска-
лярного и векторного произведений
а • (b X с ) = |а | |б Х_£ I cos 0 = I a \ \b | |с | sin ф cos 0 =
= \b I |f | sin ф |а | cos 0,
239
где ф — угол между векторами b и с , а 0 — угол между векто-
рами а и b X с . Так как \b ||с | sin <р= s, |а I cos 0=/i, то
a Хс )=sh=v. Если тройка а, b , с —левая, то /г =
= |а | cos (л — 0) = — |а | cos 0. Поэтому a -(b X с )=—sh= — v.
Первое утверждение теоремы доказано. __ __ ___
Докажем второе утверждение. Пусть векторы а , b , с компла-
нарны. Если а = 0 , то, очевидно, a -(b Хс ) = 0. Пусть а у=0 .
Тогда либо b X с =0 (если векторы b и с коллинеарны), либо
(b Хс)1а (если b и с неколлинеарны). В любом случае
а • (б X с ) = 0.
Итак, доказано, что если векторы а , b , с компланарны, то
а *(б X с ) = 0. Верно и обратное: если a \b X с )=0, то векторы
а , Ь , с компланарны. Действительно, если бы векторы а , Ь , с
были некомпланарны, то по теореме 9.8 смешанное произведение
a \b X с )=±^¥=0, что противоречит
условию.
Следствие. Из теоремы легко
выводится следующее тождество
а -(б Хс )=(а X b )• с , (1)
т. е. знаки • и X в смешанном про-
изведении можно менять местами.
Действительно, согласно свойству
1°скалярного произведения _
(а X Ь ) • с = с -(а X b\ (2)
_Далее, по теореме 9.8 имеем\
a \b Хс )=±и,с -(a Xb (3)
Так как тройки а , Ь , с и с , а , b имеют одинаковую ориентацию,
т. е. либо обе правые, либо обе левые, то, на основании теоре-
мы 9.8 в правых частях равенств (3) нужно брать один и тот же
знак. Таким образом, имеем
a - (b X с )= с • (a Xb )
и на основании равенства (2) _ __ ___
a -(b Хс )=(а X b )• с ,
т. е. получено тождество (1). __ ___ ___
В силу тождества (1) смешанные произведения а • (b X с ) и
(a Xb )-с можно обозначить более простым символом а b с .
2. Выражение смешанного произведения через координаты
векторов. Теорема 9.9. Если векторы а , Ь , с заданы своими
координатами __ * __
T={x^y^z^T={x^y^z,}\T={x^y^z^
то смешанное произведение а b с определяется формулой
240
Доказательство. Имеем:
По теореме 9.7
Кз
Z2
23
z2 х2
z3 *з
а 6 с = а -(б Хс )
Х2 У2
Умножая скалярно вектор а ={%,;
и используя теорему 9.6, получаем
У,; Z,} на вектор
b Xc
а Ь с =Xj
Y3
Z3
+ Г,
z2
z3
X2
x3
x2
X3
Y2
Y3
b X с =
Пример. В пространстве даны четыре точки: 4(1; 1; 1),
В (4; 4; 4), С (3; 5; 5), D (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра ABCD.
Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем vT
тетраэдра ABCD равен одной шестой объема параллелепипеда,
построенного на векторах АВ, АС и AD; отсюда и из теоремы 9.8
заключаем, что vT равен 1/6 абсолютной величины смешанного
произведения АВ • АС • AD. Найдем это смешанное произведение.
Прежде всего определим координаты векторов АВ, АС и АР.
По теореме 9.2 имеем: АВ = {3; 3; 3}, АС ={2; 4; 4), AD =
= { 1; 3; 6}. Используя теорему 9.9, получаем
4 4
3 6
4
6
2
1
2
1
АВ-АС-АР=2,
= 3- 12 —3• 8 + 3 • 2= 18.
Отсюда
vT = (l/6) • 18= 3.
§ 9. Уравнения поверхности и линии
Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произ-
вольная поверхность S (рис. 146) и уравнение
F(x;y;z) = o. (1)
Будем говорить, что уравнение (1) является уравнением поверх-
ности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют
координаты любой точки М (х; у\ z)^S, и не удовлетворяют
координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
С точки зрения данного определения поверхность S есть множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).
Пример. В прямоугольной системе координат уравнение
х2 + у2 + z2 — R2 = 0 или х2 + у2 + z2 = R2
определяет поверхность, являющуюся сферой радиуса R с центром
в точке О (0; 0; 0) (рис. 147).
В самом деле, если М (х; у\ z) — произвольная точка, то по
формуле (7) (см. § 2, п. 5)
| ОМ = л/х2 + у2 + z2.
Следовательно, заданному уравнению удовлетворяют координаты
тех и только тех точек, которые удалены от точки О на расстоя-
16 - 3157 241
ние /?. Таким образом, множество точек, координаты которых удов-
летворяют этому уравнению, есть сфера с центром в начале коорди-
нат и радиусом /?.
Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение
двух поверхностей, т. е. как множество точек, находящихся одно-
временно на двух поверхностях, и соответственно этому определять
линию заданием двух уравнений. Таким образом, два уравнения
F2(x;z/;z) = 0
называются уравнениями линии L, если им удовлетворяют коорди-
наты любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяют координаты
Например, уравнения двух сфер
(x2 + i/2 + (z-3)2= 10,
1 x2 + y2 + z2=l
совместно определяют лежащую в плоскости Оху окружность, ра-
диус которой равен единице с центром в начале координат.
§ 10. Уравнение цилиндрической поверхности
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия L (рис. 148).
Проведем через каждую точку линии L прямую, параллельную
оси Oz. Множество этих прямых образует некоторую поверхность S,
которая называется цилиндрической. Указанные прямые называются
образующими поверхности S, а линия L — ее направляющей.
Аналогично определяется ^цилиндрическая поверхность с обра-
зующими, параллельными осям Ох и Оу.
Для определенности будем рассматривать цилиндрическую по-
верхность S с образующими, параллельными оси Oz, и докажем,
что она определяется уравнением вида
F(x;i/) = 0.
(1)
242
Действительно, пусть (1)—уравнение направляющей L. Возь-
мем на S любую точку М (х; у\ z), Эта точка лежит на какой-то
образующей. Если Л!о—пересечение этой образующей с плоско-
стью Оху, то точка AfoeL и ее координаты х и у удовлетворяют
уравнению (1). Но тогда числа х, у, z также удовлетворяют этому
уравнению, поскольку F (х; у) от z не зависит. Итак, координаты
х, у, z произвольной точки AfeS удовлетворяют уравнению (1).
Очевидно, если М (х; у; z)^S, то Af0(x; y)t£L, т. е. координаты
% и у не удовлетворяют уравнению (1). Это доказывает, что (1)
является уравнением поверхности S.
Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности с обра-
зующими, параллельными оси Oz, не содержит координаты z и сов-
падает с уравнением направляющей. Например, если направляю-
щей является эллипс
х2 । У2 _
а2 ' Ь2
1,
(2)
то соответствующая цилиндрическая по-
верхность называется эллиптическим
цилиндром, а (2) — ее уравнением.
Заметим, что на плоскости Оху уравнение F (х; у)=0 опреде-
ляет линию L, но эта же линия в пространственной системе коорди-
нат Oxyz задается двумя уравнениями
( F (*; У) = О
I z = 0.
Так, например, в пространственной системе координат Oxyz урав-
нение х2-\-у2 — R2=0 определяет цилиндрическую поверхность —
круговой цилиндр (рис. 149), а направляющая L этого цилиндра
(окружность), лежащая в плоскости Оху, определяется двумя
Уравнениями
x2 + y2=R2,
2 = 0.
16*
243
§ 11. Уравнения плоскости
Покажем, что поверхности первого порядка плоскости и только
плоскости, и рассмотрим два вида уравнений плоскости.
1. Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: прямоугольная
система координат Oxyz, произвольная плоскость л; точка
М0 (х0; Уо> *о)ея; вектор N = (Д; В; С), перпендикулярный плоско-
сти л, где Д, В, С — его координаты (рис. 150).
Рассмотрим произвольную точку М (х; у; z). Точка М лежит
на плоскости л тогда и только тогда, когда векторы MqM и
взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора
равны х — х0, у — yQi z — Zq, то в силу условия перпендикуляр-
ности двух векторов [см. § 6, формулу (3)] получаем, что точка
М (х; yt z) лежит на плоскости л
тогда и только тогда, когда
Л(х — х0) +В(у — t/0)+C(z—zo)=O.( 1)
Это и есть искомое уравнение плос-
кости л, так как ему удовлетворяют
координаты х; у\ z любой точки М,
лежащей на плоскости л, и не удов-
летворяют координаты никакой точки,
не лежащей на этой плоскости.
Раскрывая скобки, приведем урав-
нение (1) к виду
Ах + By + С г + (—А х0—Ву0 — Cz0) = 0.
Далее,
обозначая число — Дх() — ByQ— Cz0 через D, получаем
Дх + By + Cz + D = 0. (2)
Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Таким об-
разом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как
определяется уравнением первой степени.
Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2)
определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.
Действительно, пусть заданы прямоугольная система коорди-
нат Oxyz и уравнение Ах-\- ByCz-\- D = 0 с произвольными
коэффициентами Д, В, С и D, причем из коэффициентов Д, В и С
хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет
хотя бы одно решение х0, yOt zQ (е£ли, например, С=/=0, то,взяв про-
А В D.
извольные х0 и yQ, из уравнения получим: zQ=—^-х0—^-yQ—-qI-
Таким образом, существует хотя бы одна точка Мо (х0; у^ z0),
координаты которой удовлетворяют уравнению, т. е. Дх0 + В(/0+
+ Czo + D=O. Вычитая это числовое равенство из уравнения
244
4x-|-Bi/ + Cz + Z) = 0, получаем уравнение
Л (х — х0) + В (у — Уо) + С (z — z0) = О,
эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и
уравнение Ax-j-By-j-Cz-j-D = O) совпадает с уравнением (1)
значит, определяет плоскость л, проходящую через точку
Mo(xoJ Уо'> 2 о) и перпендикулярную вектору N = {Д; В; Q.
Вектор N = {Д; В; С}, перпендикулярный плоскости, называется
нормальным вектором этой плоскости.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Мо(1; 1; 1) перпендикулярно вектору N = {2; 2; 3).
Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:
2 (х - 1) + 2 (у - 1) + 3 (z - 1) = 0 или 2х + 2у + 3z — 7 = 0.
В заключение докажем следующую теорему.
Теорема 9.10. Если два уравнения A Ix + B1t/ + CIz+D1=0
и Д2^ + В21/ + С2г + В2=0 определяют одну и ту же плоскость,
то их коэффициенты пропорциональны. __
Доказательство. Действительно, векторы N j = {4(; В,;
и N2=[Ab В2; С2} перпендикулярны этой плоскости и, сле-
довательно, коллинеарны. Но тогда числа Д,; Вх\ Сх пропорцио-
нальны числам Д2; В2; С2 (см. формулу (2), § 4), т. е.
Д, - В, - с, - и-
или Д2=рД|, B2=pBh С2=цС1 (ц—множитель пропорцио-
нальности). Умножая первое из заданных уравнений на ц и вычи-
тая из второго, получаем О2— цВ,= 0, т. е. D2=\kDx, и, следо-
вательно,
Л_Л-Л_А-
Д, - В, - С, - D, - И-
2. Угол между двумя плоскостями. Рассмотрим две плоскости
л,и л2, заданные соответственно уравнениями
А |Х -р В ху -р С |Z -р D । = 0, А 2Х -р В%у -J- С2z 4“ D2 = 0.
При любом расположении плоскостей л1 и л2 в пространстве
один из углов ф между ними равен углу между их нормальными
векторами N Х = {АХ; В,; CJ и N 2={Д2; В2; С2} и вычисляется по
следующей формуле:
Л^.Л^- А^ + В^ + С^
cos ф = ।—11-»-| = ....... — —. (3)
I N> I I I Vif+sf+C -yjAl + Bl + C>
Второй угол равен 180° —ф.
3. Условие параллельности плоскостей. Если плоскости л, и л2
параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы Nx и N2,
и наоборот. Но тогда
245
Условие (4) является условием параллельности плоскостей
Л| и Л2.
4. Условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости
л, и л2 взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы
N { и N2 также перпендикулярны друг другу (<р=л/2), и наоборот.
Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпен-
дикулярности плоскостей Л| и л2:
Л |Л2 + ^1^2 + С\С2 = 0.
5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до
плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz
и произвольная плоскость л (рис. 151). Проведем через начало
координат прямую, перпендикулярную плоскости л. Будем назы-
вать ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пере-
секает плоскость л. На нормали вве-
дем направление от точки О к точке
Р. Если точки О и Р совпадают, то
возьмем любое из двух направлений
на нормали. Пусть а, 0, у — углы,
которые составляет направленная
нормаль с осями координат; р — длина
отрезка ОР.
Выведем уравнение данной пло-
скости л, считая известными числа
cos a, cos 0, cos у и р. Для этого вве-
дем единичный вектор п на нормали,
направление которого совпадает с
Рис. 151
положительным направлением нормали.
Так как п — единичный вектор, то
п = {cos a; cos 0; cos у}. (5)
Пусть М (%; у, z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости л
тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на нормаль рав-
на р, т. е.
____ 1
пр-ОМ = р. (6)
Заметим теперь, что пр-ОЛ4 = п • ОМ и ОМ = {х; у, г). По теоре-
ме 9.6, учитывая равенство (5), имеем
пр-ОЛ4 = п • ОМ = х cos а + у cos 0 + z cos у. (7)
Из равенств (6) и (7) получаем, что точка М (х; у\ z) лежит на
плоскости л тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетво-
ряют уравнению
х cos а + у cos 0 + z cos у — р = 0, (8)
которое и является искомым уравнением данной плоскости. Урав-
нение плоскости в виде (8) называется нормальным.
246
Теорема 9.11. Если точка М* имеет координаты х*, у*, z*,
а плоскость задана нормальным уравнением
х cos а 4- У cos 0 4-2 cos у — р = О,
то расстояние d от точки М* до этой плоскости определяется по
формуле
d = |х* cos а 4~ У* cos 0 4-2* cos у — р\.
Доказательство. Пусть Q — проекция точки Л1* на
направленную нормаль (рис. 151); тогда в силу основного тожде-
ства (см. гл. 1, § 3) PQ = OQ — OP, откуда
d -= |pq| = |oq - ОР\.
Но OQ = np —ОМ*, ОР=р, следовательно,
d = |пр-ОЛГ* - р|. (9)
Вектор ОМ* = {х*\ у*’, z*), а пр—ОМ*=п • ОМ*. По теореме 9.5,
учитывая равенство (5), найдем
пр—ОМ* = п • ОМ* = х* cos a -j- у* cos 0 4“ 2* cos у. (10)
Из равенств (9) и (10) окончательно получаем
d = |х* cos а 4~ У* cos 0 4-2* cos у — р\. Н
Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости
к нормальному виду. Пусть
Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0 (11)
— общее уравнение некоторой плоскости, а
х cos а 4- У cos 0 4-2 cos у — р = 0 (12)
— ее нормальное уравнение. Так как уравнения (11) и (12) опреде-
ляют одну и ту же плоскость, то по теореме 9.10 коэффициенты этих
уравнений пропорциональны. Это означает, что умножая все чле-
ны (11)" на некоторый множитель ц, получаем уравнение
цЛх 4- ^Ву 4- pCz 4- = 0,
совпадающее с уравнением (12), т. е. имеем
цЛ = cos а, цВ = cos 0, цС = cos у, = — р. (13)
Чтобы найти множитель ц, возведем первые три из равенств (13)
в квадрат и сложим; тогда получим
ц2 (Л2 4~ В2 4- С2) = cos2 а 4- cos2 0 4- cos2 у.
Но согласно формуле (6) из § 2 правая часть последнего равенства
равна единице. Следовательно,
7д2 + В2 + С2 ’
247
Число ц, с помощью которого общее уравнение плоскости преобра.
зуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого
уравнения. Знак ц определяется равенством p,D=—р, т. е. ц
имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего урав-
нения (11).
Если в уравнении (11) D = 0, то знак нормирующего множителя
выбирается произвольно.
Пример. Даны плоскость % +2i/+ 2z —8 = 0 и точка М* (1; 1; 1)
Найти расстояние d от точки М* до данной плоскости.
Решение. Чтобы использовать теорему 9.11, надо прежде
всего привести данное уравнение к нормальному виду. Для этого
найдем нормирующий множитель
ц = 1 /Vi2 + 22 + 22 = 1 /3.
Умножая данное уравнение на р, получаем искомое нормальное
уравнение плоскости
1 1 2 I 2 8 Л
— Х + -3-У+ —г- —= 0.
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М*,
имеем
d = |1/3 + 2/3 + 2/3 - 8/3| = |- 3/3| = 1.
§ 12. Уравнения прямой
Как уже было отмечено, линию в пространстве можно рассмат-
ривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием
двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рас-
сматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно
этому определять заданием двух уравнений первой степени.
Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz
и произвольная прямая L. Обозначим через л, и л2 две различные
плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно
уравнениями
Д i% + + С\£ D । = 0, А^ + В2у + С<£ + D2 = 0. (1)
Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и
только в том случае, когда плоскости Л| и л2 не Параллельны и
не совпадают друг с другом, т. е. нормальные векторы этих плоско-
стей /V , = CJ и A^2 = {^2i В2, С2] не коллинеарны (коэф-
фициенты Д], С, не пропорциональны коэффициентам Д2, В2,
Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.
1. Канонические уравнения прямой. Для решения задач уравне-
ния (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид
уравнений прямой.
Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор а , ле;
жащий на данной прямой или параллельный ей (рис. 152). Вектор а
называется направляющим вектором данной прямой. Выведем урав-
248
нения прямой, проходящей через данную точку Л40(х0; Уь 2о) и
имеющей данный направляющий вектор а ={/; т\ п} (рис. 152).
Пусть М (х; у\ z)— произвольная точка. Она лежит на прямой
тогда и только тогда, когда вектор Л4оЛ1 = {х —х0; у — у& z — z0)
коллинеарен направляющему вектору а = {/; т\ п), т. е. когда
координаты вектора Л40Л1 пропорциональны координатам век-
тора а :
= = (2)
I т п х '
Уравнения (2) и являются искомыми. Они называются канони-
ческими уравнениями прямой.
Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если
прямая L задана уравнениями (1), необходимо:
1) найти какую-нибудь точку М() (х0; у0\ z^^L\ для этого сле-
дует задать числовое значение одной из неизвестных координат
х(), Уъ 2о и подставить его вместо соответствующей переменной
в уравнения (1), после этого две другие координаты определяются
в результате совместного решения уравнении (1);
Рис. 152
Рис. 153
2) найти направляющий вектор а = {/; т\ п}. Так как прямая L
определена пересечением плоскостей Я] и л2, то она перпендикуляр-
на каждому из нормальных векторов и N 2 (рис. 153). Поэтому
в качестве вектора а можно взять любой вектор, перпендикулярный
векторам N j и N 2, например их векторное произведение a = N^N2.
Так как координаты векторов /V, и N2 известны: #, = {4,; В/, С,},
N2={A2, В2\ С2}, то по теореме 9.7 найдем координаты вектора а :
В, с.
в2 С2 1
С. А.
С2А2 * А2 в
= {/; т; п}.
а
2
Пример 1. Найти канонические уравнения прямой
( Зх + 2у + 4z - 11 = О,
I 2х + у — 3z — 1 = 0.
Решение. Полагая, например, х0= 1, из системы
( 2Уо + 4z0 — 8=0,
I Уъ — 3z0 4-1=0
249
получаем г/0=2, 20=1. Таким образом, точка Л40(1; 2; 1) прямой
найдена. Теперь определим направляющий вектор а . Имеем:
= {3; 2; 4), У2=(2; 1; —3}, отсюда ~а = У,X ЛГ2 = (-10; 17; -ц,
т. е. /= — Ю, m=17, п= — 1. Подставляя найденные значения
х0, У оу 2о и /, т, п в равенства (2), получаем канонические уравнения
данной прямой:
х — 1 _ у — 2_ z — 1
- 10 ~ ГТ"— - 1 •
2. Параметрические уравнения прямой. Иногда прямую полезно
задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть
прямая L задана уравнениями (2). Обозначим через t каждое из
равных отношений. Тогда
х - хо У - Уо z~zo
I tn п
откуда
х = х0 + //,(/ = yQ + mt, z = z0 + nt. (3)
Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L,
проходящей через точку Л40(х0; yQ\ z0) и имеющей направляющий
вектор а ={/; /и; п}. В уравнениях (3) t рассматривается как
произвольно изменяющийся параметр (— оо<t< + оо); х, у, г —
как функции от /. При изменении t величины х, у, z изменяются,
так что точка M (х; у\ z) движется по данной прямой.
Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда тре-
буется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом
деле, пусть непараллельные плоскость л и прямая L заданы соот-
ветственно уравнениями
Ах + By + Cz + D = 0 и
х = х0 + It, у = yQ + mt, z = z0 + nt.
Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим
выражения для х, у, z из уравнений L в уравнение л. В результате
преобразований получаем
Axq + ByQ + Cz0 + D
1 Al + Bm+ Сп ’
причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не па-
раллельна прямой (см. § 13). Подставляя найденное значение
в уравнения прямой, находим искомую точку M (х; у\ z)\ пересече-
ния прямой L с плоскостью л.
3. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые L, и Ь2, задан-
ные соответственно уравнениями^
X - х У — У{ Z - z, х - Х2 У - У2 Z - Z2
—.— =---------=-------И —7— =--------=-------.
/, /И] и, /2 т2 П2
При любом расположении прямых и Ь2 в пространстве один из
двух углов между ними равен углу (р между их направляющими
векторами a i = {/|; тх\ nJ и а 2={/2; т2, п2], а второй угол равен
250
180°—ср. Угол ф вычисляется по следующей формуле:
1{12 + тхт2 + пхп2
cos ф — —- —•
4. Условие параллельности прямых. Прямые и Л2 параллельны
в том и только в том случае, когда их направляющие векторы
а !={/,; m,; nJ и a 2={/2; тъ коллинеарны. Отсюда получаем
условие параллельности прямых L, и L2:
/2 т2 п2
5. Условие перпендикулярности прямых. Прямые L{ и L2 пер-
пендикулярны в том и только в том слу-
чае, когда их направляющие векторы
а |={/,; пгх\ nJ и а 2—{12, т2\ п2] пер-
пендикулярны. Отсюда получаем усло-
вие перпендикулярности прямых L । и L2:
l\l2 + mlm2 + n,n2 = 0.
6. Расстояние от точки до прямой.
задачу: найти расстояние d от данной точки до данной прямой
в пространстве.
х — xQ y — yQ Z~ZQ
Пусть дана прямая L: —j—=———=—-— и точка М} (xt;
z/i; Z|). Искомое расстояние d является высотой параллелограмма,
построенного на векторах а ={/; /п; п) и МоМ, ={Х| —х0; у{ — у0\
Zj —z0} (рис. 154). _ _____
Пусть вектор р — векторное произведение векторов М^М\ и
а : р = MqM, X а . Так как \р | равен площади параллелограмма,
построенного на векторах и а , то d = -ж, где
|а |
г,0
Рис. 154
В заключение рассмотрим
//i-//oZ|-zo т п 2 + Z| Z0X| х0 п 1 2 + xt — Xoyt — у0 1 т 2
Следовательно,
— 3= 2 1 _N + 2i-zoxi-xo п 1 2 + X, — ХоУ| — / т 2
d
§ 13. Взаимное расположение прямой и плоскости
1. Условия параллельности и перпендикулярности. Пусть зада-
ны прямая
_ У-У, = z~h
I т п
251
и плоскость
Ах + By + Cz + D = 0.
Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда
ее направляющий вектор а = {/; т\ п) перпендикулярен нормаль-
ному вектору W = {Л; В; С} плоскости. Отсюда получаем условие
параллельности прямой и плоскости:
А1 + Вт + Сп = 0.
Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в том слу-
чае, когда ёе направляющий вектор коллинеарен нормальному
вектору плоскости. Отсюда по-
лучаем условие перпендикуляр-
ности прямой и плоскости:
АВС
I т п'
2. Угол между прямой и плос-
костью. Пустьзаданы плоскостьл:
Ах + By + Cz + D = 0
и прямая L'.
х~хо_ У — Уо_
I т п ’
не перпендикулярная плоскости. Под углом ф между прямой L и
плоскостью л будем понимать острый угол между L и ее проекцией
на л (рис. 155). Обозначим через 0 угол между векторами # =
= {Л; В; С} и а ={/; т\ п}. Если 0^90° (как на рис. 155), то
ф=90° —0 и sin <p = sin (90° — 0)= cos 0. Если же 0>9О°,
то ф=0 —90° и sin ф = sin (0 — 90°)= —cos 0. В любом слу-
чае sin ф= |cos 0|. Но для cos 0 формула известна [см. § 6,
формулу (4)], следовательно,
\А1 + Вт + Сп\
Sin ф = -- .
A2 + В2 + С2 V/2 + т2 + л2
§14. Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка — это поверхности, которые в
прямоугольной системе координат определяются алгебраическими
уравнениями второй степени.
Геометрическое исследование поверхностей второго порядка про-
ведем по заданным уравнениям с помощью метода параллельных
сечений.
1. Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, которая
в некоторой прямоугольной системе координат определяется ура0'
нением
X2 и2 Z2
— + — + — = 1.
а2 Ь2 с2
252
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмот-
рим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными
плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравне-
нием вида z = ft, где h — любое число, а линия, которая получается
в сечении, определяется двумя уравнениями
X2 , У2 | /I2
а2 Ь2 с2'
z = h.
(2)
Исследуем уравнения (2) при, различных значениях h.
I I х2 и2
1) Если |/i|>c (с>0), то —+-^-<0 и уравнения (2) опреде-
ляют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z =
= /i с данным эллипсоидом не существует.
2) Если /г=±с, то —+-^-=0 и «пиния (2) вырождается
в точки (0; 0; +с) и (0; 0; —с) (плоскости z=+c касаются эллип-
соида).
3) Если |/i|<c, то уравнения (2) можно представить в виде
z = /г,
откуда следует, что плоскость z=/i пересекает эллипсоид по эл-
липсу с полуосями а* = aV 1 — /г2/с2 и Ь*=Ь^1 \ — /г2/с2.
При уменьшении |/i| значения а* и 6* увеличиваются и достигают
своих наибольших значений при Л = 0, т. е. в сечении эллипсоида
координатной плоскостью Оху получается самый большой эллипс
с полуосями а* = а и b* = b.
Аналогичная картина получается и при пересечении данной
поверхности плоскостями, параллельными координатным плоско-
стям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить
эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Вели-
чины а, Ь, с называются полуосями эллипсоида. В случае а=Ь = с
эллипсоид является сферой.
2. Однополостный гиперболоид. Однополостным гиперболоидом
называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе
координат определяется уравнением
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополост-
н°го гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечения
координатными плоскостями Oxz (г/=0) и Oyz (х=0). Полу-
253
чаем соответственно уравнения
1L—
а2 с2 ’и
у = о
у2 z2
"с2
х=0,
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями
z = /i, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, полу-
чающаяся в сечении, определяется уравнениями
( ± . yL_ 1 । JL (1
{ а2± Ь2~[± с*' им I а*2 Ь*2 (4)
lz = /i и = Л,
из которых следует, что плоскость z = h пересекает гиперболоид
по эллипсу с полуосями a* = dVl -\-h2/c2 и Ь* = Ь^ h2/c\
достигающими своих наименьших
значений при Л = 0, т. е. в сече-
нии данного гиперболоида коорди-
натной плоскостью Оху получается
самый маленький эллипс с полуосями
а* = а и b* = b. При бесконечном
возрастании |/i| величины а* и Ь*
возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить
однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, беско-
нечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от пло-
скости Оху (рис. 157).
Величины а, Ь, с называются полуосями однополостного гипер-
болоида, первые две из них изображены на рис. 157, а чтобы изобра-
зить на чертеже полуось с, следует построить основной прямоуголь-
ник какой-нибудь из гипербол.
3. Двуполостиый гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом
называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе
координат определяется уравнением
(5)
а2 ~ Ь2 с2
254
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполост-
ного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рас-
смотрим ее сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. Полу-
чаем соответственно уравнения
{х2_____ 1 ( У2___£1—_ 1
а2 с2 и \ Ь2 с2
у = О I х = О,
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями
z=h, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, полу-
чающаяся в сечении, определяется уравнениями
(214-^-= — -! ( х2 I - i
а2 Ь2 с2 ’ ИЛИ { а*2 “Г б*2 ’ (6)
z = h I z = А,
из которых следует, что при |ft|>c (с>0) плоскость z=ft
пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями а* = а^ h2/c2— 1
и fe*= ftV/^/c2—1. При увеличении |ft| величины а* и А*
также увеличиваются.
При /г = ±с уравнениям (6) удовлетворяют координаты только
двух точек: (0; 0; +с) и (0; 0; —с) (плоскости z=±c касаются
данной поверхности).
При |ft|<c уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т. е.
точек пересечения плоскости z=ft с данным гиперболоидом не суще-
ствует.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить
двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух
отдельных «полостей» (отсюда название двуполостный), каждая
из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 158).
Величины а, А, с называются полуосями двуполостного гипер-
болоида. На рис. 158 изображена величина с. Чтобы изобразить
на чертеже а и А, нужно построить основные прямоугольники ги-
пербол в плоскостях Oxz и Oyz.
4. Эллиптический параболоид. Эллиптическим параболоидом
называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной систе-
ме координат определяется уравнением
Y^ f/2
— + — = 2z, (7)
Р ' я v 7
ede р>0, q>®.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптиче-
ского параболоида.
Исследуем с помощью сечений эту поверхность. Рассмотрим сна-
чала сечения данной поверхности координатными плоскостями
Oxz и Oyz. Получаем соответственно уравнения
(х2= 2рг, (у2 = 2qz,
1 у = 0 I х=0,
255
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, сим-
метричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями
z=ft, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, полу,
чающаяся в сечении, определяется уравнениями
г 2 у 2 ( X 2 U 2
— + — =2/i, I —st + ~L:
Р Я ИЛИ < а Ь*2
z = h I z — h,
(8)
из которых следует, что при /г>0 плоскость z=/i пересекает эл-
липтический параболоид по эллипсу с полуосями а* = л/2/гр и =
ность, которая в
= -^2hq. При увеличении h величины а* и 6*
также увеличиваются; при /г = 0 эллипс вы-
рождается в точку (плоскость z = 0 касается
данного параболоида). При /г<0 уравнения
(8) определяют мнимый эллипс, т. е. точек
пересечения плоскости z=h с данным пара-
болоидом не существует.
Таким образом, рассмотренные сечения
позволяют изобразить эллиптический пара-
болоид в виде бесконечной выпуклой чаши
(рис. 159).
Точка (0; 0; 0) называется вершиной эл-
липтического параболоида; числа р и q —
его параметрами.
В случае p = q уравнения (8) определяют
окружность с центром на оси Oz, т. е. эллип-
тический параболоид можно рассматривать
как поверхность, образованную вращением
параболы вокруг ее оси. Такая поверхность
называется параболоидом вращения.
5. Гиперболический параболоид. Гипер-
болическим параболоидом называется поверх-
некоторой прямоугольной системе координат
определяется уравнением
р
(9)
где р>0, р>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболи-
ческого параболоида.
Установим геометрический вид поверхности (9). Рассмотрим
сечение параболоида координатной плоскостью Oxz (t/=0). Полу-
чаем уравнения '
(х2 = 2pz,
I */ = 0,
(Ю)
256
из которых следует, что в сечении получается парабола, направлен-
ная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале
координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными
плоскости Oxz (z/ = h), получаются также направленные вверх
параболы
(x2=2p(z + -£),
I y=/i.
Рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Оуг (х = 0).
Получаем уравнения
(y2=—2qz,
I х = 0,
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается пара-
бола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно
оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения пара-
болоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz(x=h), по-
лучим уравнения
fy2=-2q
v х = h,
из которых следует, что при любом h в сечении получается пара-
бола, направленная вниз, а вершина ее лежит на параболе, опре-
деленной уравнениями (10).
Рассмотрим, наконец, сечения параболоида плоскостями z=A,
параллельными плоскости Оху. Получим уравнения
X U ( X 2 // 2
-------— =2й, I ~-------------= 1
Р Я ИЛИ < 2p/i
z = h V z = /г,
из которых следует, что при /г>0 в сечеции получаются гиперболы,
пересекающие плоскость Oxz; при /г<0 — гиперболы, пересекаю-
17-3157
257
щие плоскость Oyz\ при /г=0 гипербола вырождается в пару
пересекающихся прямых
-Т—г=^
ур yq И < ур yq
2 = 0 I 2=0.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить
гиперболический
параболоид в виде седлообразной поверхности
(рис. 160). На рисунке изображено не-
сколько сечений параболоида плоскостями
z=h для случаев /г>0 и h<0.
Точка (0; 0; 0) называется вершиной
гиперболического параболоида; числа р
и q — его параметрами.
6. Конус второго порядка. Конусом
второго порядка называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной системе
координат определяется уравнением
*2 . у2
а2 Ь2
z2
с2
0.
(11)
скостью Oxz (t/ = 0) получаем линию
Уравнение (11) называется канони-
ческим уравнением конуса второго порядка.
Рассмотрим геометрические свойства
конуса. В сечение этой поверхности пло-
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
/ —+ —=0, Г———=0,
< а ' с и ( ° с
I у = о I У = 0.
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (х=0) также полу-
чаются две пересекающиеся прямые
f4+^=o, /4-^=0,
< b 'с ’и s b с
I х = 0 v х = 0.
Рассмотрим теперь сечения данной поверхности плоскостями
2= Л, параллельными плоскости Оху. Получим уравнения
х2 . у2 _______ h2 f х2 | у2 _________________
или S "а*7 + ~
z— h I 2 = /г,
258
из которых следует, что при h>0 и /КО в сечениях получаются
g|/i| . £ . 6|Л| >—।
эллипсы с полуосями а* = ——, Ь* = —£~. При увеличении
абсолютной величины h полуоси а* и Ь* также увеличиваются.
При /г = 0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h
вырождается в точку (0; 0; 0).
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют представить
конус в виде поверхности, изображенной на рис. 161.
ГЛАВА 10
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Матрицы
1. Определение матрицы. Пусть даны прямоугольная система
координат Oxyz и точка М с координатами xh х» х3*. Рассмотрим
радиус-вектор** г точки М: г =ОМ. Обозначим через elt е2, е3
единичные базисные векторы; тогда вектор г в данной системе
координат запишется так:
г = +х2е2 +х3е3 .
Преобразуем данную систему координат поворотом ее вокруг
начала координат О и будем считать известными углы, которые
образует каждая ось новой системы координат Ox'y'z' с каждой
осью старой. Обозначим через x'h х2, х3 координаты точки М в новой
системе координат, а через , е2 , е3. единичные базисные векторы
новых осей. Тогда вектор г в новой системе координат запишется
в виде
г = х\е/ + х2е2' +х3е3'.
Приравнивая выражения для вектора г , получаем векторное равен-
ство
xlei + х2е2 + х3е3 = х\е/ + х2е2' + х3е3'. (1)
Рассмотрим преобразование координат точки М при повороте
системы координат.
Разложим векторы е/, е2', е3' по старому базису:
е / = allel + а21е2 + а3!е3,
e2Z = fl|2eI -j- ^22^2 #32^3» (2)
ез' = а13е1 + a23e2 + a33e3-
* В этом параграфе координаты точки М обозначаются через хр х2, х3
(вместо х, yt z).
** Радиусом-вектором точки М называется вектор, идущий из начала
координат в эту точку.
17* 259
Каждый из векторов elt е2, е3 является единичным, поэтому
для каждого из них коэффициентами разложения служат напра-
вляющие косинусы, т. е.
a11==cos (et, ej, aj2 = cos (eh e2), al3=cos (eh e3),
— COS (в2, ^22 — COS (e2» ^2)» ^23 — COS (f?2, ^з)>
a3i = cos (e3, еД, a32 = cos (e3, e2), #33=COS (^з»^з)-
Заменяя в равенстве (1) векторы е2, е3 их разложениями (2)
и группируя подобные члены, получаем
+ х2<?2 + х3ё3 = (а,/, + а12х2 + а13х3) е, +
+ (а2|Х| + а22х2 + а23х3) ё2 + (азхх\ + а32х2 + а33х3) ё3.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых базисных век-
торах, находим
f %! = апх\ + а12х2 + а13х3,
< х2 = а21х\ + а22х2 + а23х3, (3)
|^Хз= а3|Х । -|- а32х2 -|- а33х3.
Следовательно, координаты xh х2, х3 представляют собой ли-
нейные комбинации координат xj, х2, х3,полностью определяемые
совокупностью коэффициентов ан, ..., а33. Таким .образом, мы
пришли к понятию матрицы.
Определение. Таблица, составленная из коэффициентов (3),
записанная в виде
(Д11 Д|2 Д13 \
а2| а22 а23 1 , (4)
а3| а32 а33/
называется матрицей данного преобразования. Коротко матрицу
обозначают так:
А = (а^ (i = 1,2, 3; /= 1,2, 3);
где ац — элементы данной матрицы.
Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Первый индекс
(/) указывает номер строки, а второй (/) — номер столбца, на пере-
сечении которых стоит элемент ац. Матрица (4) имеет три строки
и три столбца.
В высшей алгебре рассматриваются матрицы с любым числом
строк и столбцов. Поэтому в общем ^виде матрица записывается
следующим образом:
(ац а{2 ... а1п \
а2| а22 ... а2п |
Pml ^m2 ••• ^mn J
260
Если в матрице число строк равно числу столбцов (т = л),
то матрица называется квадратной п-го порядка, а в противном слу-
чае — прямоугольной. Так , матрица (4) квадратная, третьего по-
рядка. В матрице (5) пг строк и п столбцов. Если т=1, п>>1,
то получаем однострочечную матрицу (а^ .-аД которая называется
вектор-строкой. Если же ги>>1, а п= 1, то получаем одностолб-
цовую матрицу
/ 01
<Ъ
которая называется вектор-столбцом.
Две матрицы Л = (а<7) и В = (Ь^ равны, если равны элементы,
стоящие на одинаковых местах, т. е. если aif= Ьч при всех i и j
(при этом число строк (и аналогично столбцов) матриц Л и В
должно быть одинаковым).
2. Свойства матриц. Матрицы подобно векторам можно склады-
вать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.
1°. Суммой двух матриц А = (а^ и В = (ЬЧ) с одинаковым ко-
личеством пг строк и п столбцов называется матрица С=(сГ^
элементы которой определяются равенством
Оц + Ьц = c„ (i =1,2, ..., m; j= 1,2, ..., п).
Обозначение: А + В = С.
Пример 1.
/1 0 0\ /0 0 0 \ /1+00 + 00 + 0\ /1 0 0 \
(о 1 О ) + ( О О о )= 10 + 01+00 + 0 )= (о 1 о)
\0 О 0 / \0 0 1 / \0+ 00 + 00+1/ \0 0 1 /
Аналогично определяется разность двух матриц.
2°. Произведением матрицы А = (а^ на число X называется мат-
рица, у которой каждый элемент равен произведению соответствую-
щего элемента матрицы А на число X:
АЛ = X (а(/) = (Ха0) (/ = 1,2 ..., пг; j = 1,2, ..., п).
Пример 2.
/1 0 2 \ /3-1 3-0 3 • 2 \ /3 0 6 \
312 0 0 1= 13 2 3-0 3 • 0 )= ( 6 0 0)
\0 1 0 / \3-0 3-1 3-0/ \0 3 0 /
3°. Произведением матрицы А = (а^, имеющей пг строк и k
столбцов, на матрицу В = (Ь^, имеющую k строк и п столбцов,
называется матрица С=(сч), имеющая пг строк и п столбцов,
У которой элемент сч равен сумме произведений элементов i-й стро-
ки матрицы А и /-го столбца матрицы В, т. е.
СЧ = а„Ьч + ai2b2j + ..•+ aikbkj (/ = 1, 2, ..., пг; j = 1,2, ..., n).
261
При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу
строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.
Произведение обозначается так: А-В —С.
Пример 3.
0-1 + 1.0+0-1 0-0+1 - 1+0-0 0-1 + 1-0+0-14/0 1 0\
J • 1+0-0+1 - 1 1 -о+о- 1 + 1-0 1 - 1+0-0+1 • 1 / \2 0 2/
П А П Л 0\ D /0 0\
Пример 4. Пусть Л = L Q 1B=L Q 1 тогда
*‘-(1 ?)•(? м o°)-(i SH?
АВ =# ВЛ,
т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.
Замечание. Правило умножения легко запомнить, если
сформулировать его в следующем виде: элемент сч матрицы С,
стоящей на пересечении Z-й строки и /-го столбца, есть скалярное
произведение Z-й вектор-строки матрицы Л и /-го вектор-столбца
матрицы В.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для суммы
и произведения матриц справедливы следующие соотношения:
(Л + В) - С = Л - С + В - С,
С - (Л + В) = С - Л + С - В,
А - (В • С) = (А-В) • С,
(Л + В) + С = А + (В + С).
4°. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элемен-
тов а(|, а22, апп квадратной матрицы Л = (а,;) называется глав-
ной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие
на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы рав-
ны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.
Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица
(1 0 0\
0 1 0 )•
0-' 0 1 /
(6)
Единичная матрица обладает замечательным свойством, а имен-
но: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответству-
ющую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объяс-
няет ее название «единичная>: при умножении матриц она обладает
таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.
262
Пример 5. Пусть Д = ^п и Е —
правилу умножения матриц имеем
0\
। к тогда согласно
А - Е = А п Е • А = А.
откуда
Заметим, что единичной матрице (6) соответствует следующее
преобразование координат точки:
Х| = хи х2 = х2, х3 = х3.
Такое преобразование называется тождественным.
С понятием матрицы тесно связано понятие определителя.
§ 2. Определители
1. Определение определителя. Пусть дана квадратная матрица
третьего порядка, элементы которой для удобства обозначим через
Я|» а2> °3> ^2> ^3> ^2> <¥
(ai С|
а2 Ь2 с2
а3 Ь3 с3
(1)
Определение. Определителем *
ющим матрице (1), называется число, обозначаемое символом
третьего порядка, соответству-
Д =
а2
а3
^2
Ьз
с\
с2
Сз
и определяемое равенством
Д — ^1^2^3 “I” ^|^2^3 "Ь ^1^2^3 ^|^2^3 ^|^2^3 ^1^2^3‘ (2)
Числа аи а2, а3, Ьь b2, Ь& ci9 с2, с3 называются элементами опре-
делителя. Диагональ, образованная элементами аи Ь2, ^называ-
ется главной, а диагональ, образованная элементами а3, Ь2, си —
побочной.
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равен-
ства (2) берутся со знаком «+»> а какие со знаком «—>, полезно
Определители называются также детерминантами.
263
использовать следующей правило треугольников:
Это правило позволяет легко записать формулу (2) и вычислить
данный определитель. Например,
3 -2 1
-2 1 3 =3 • 1 • (—2)+ ( —2) • 3 • 2-|-( —2) • 0 • 1—
2 0-2
-2-1 • 1 —3 • 0 • 3—-( —2) • (—2) • (—- 2)= — 12.
2. Свойства определителей. Сформулируем и докажем эти свой-
ства для определителей третьего порядка, хотя они присущи и опре-
делителям любого порядка.
1°. Величина определителя не изменится, если его строки и
столбцы поменять местами, т. е.
— СМ СО — еч со — еч со Q Q Q = г> Jr № № № ° w W
Для доказательства свойства достаточно применить к определи-
телям, стоящим в левой и правой частях равенства, формулу (2)
и убедиться в равенстве полученных выражений.
Свойство 1° устанавливает равноправность строк и столбцов
определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя бу-
дем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать толь-
ко для строк или только для столбцов.
2°. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя
равносильна умножению его на — 1. Например,
Ь} а^
С 2 ^2 ^2
С3 ^3 аз
^1 £|
0^2 ^2
Д3 ^3 ^3
Это свойство доказывается аналогично предыдущему.
3°. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две
одинаковые строки, то он равен нулю.
В самом деле, при перестановке двух одинаковых столбцов
определитель А не изменится, а согласно свойству 2 его знак изме-
нится. Следовательно, Л=— А, т. е. 2А = 0, или А=0. Напри-
мер,
1 1
2 2
3 3
264
4°. Умножение всех, элементов одного столбца или одной строки
определителя на любое число X равносильно умножению определи-
теля на это число X. Например,
Ха, b, ь,
Xcz2 ^2 c2 = x a2 ^2
Xflg &3 ?3 «3 ^3
<4
с2
Сз
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что
по формуле (2) определитель выражается в виде суммы, каждый
член которой содержит множителем один элемент из каждой строки
и из каждого столбца.
5°. Если все элементы некоторого столбца или некоторой
строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Это свойство вытекает из предыдущего свойства (при Х=0).
6°. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, если элементы двух столбцов определителя про-
порциональны, то согласно свойству 4° общий множитель элемен-
тов этих столбцов можно вынести за знак определителя, в резуль-
тате остается определитель с двумя одинаковыми столбцами, рав-
ный нулю согласно свойству 3°. Например,
8 4
6 3
4 2
7 4 4
9=233
11 2 2
7
9
11
7°. Если каждый элемент п-го столбца (п-й строки) определи-
теля представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель
может быть представлен в виде суммы двух определителей, из кото-
рых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из упомянутых
слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных
местах, у всех трех определителей одни и те же. Например,
a'l + a'i cl ai bi Ci Gj b} C|
fl2 H- ^2 ^2 2 = a2 b2 C2 + a2 Z?2 c2
a3 + a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3
Для доказательства этого свойства достаточно применить к опре-
делителям, стоящим в левой и правой частях равенства, формулу
(2) и убедиться в равенстве полученных выражений.
8°. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя
прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки),
умноженные на любой общий множитель X, то величина определи-
теля не изменится.
В самом деле, полученный в результате такого прибавления опре-
делитель согласно свойству 7° можно разбить на сумму двух опре-
делителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй
имеет два пропорциональных столбца и в силу свойства 6° равен
265
нулю. Например,
a j + kb j b । с [ ci
<22 + ^*^2 ^2 — а2 Ь2 с2 +
азН”^з Ьз сз а3 ^3 С3
kb। b। с। ai с\
+ kb2 b2 с2 = Д2 ^2 ^2
kb3 b3 с3 а3 ^3 ^3
Для формулировки следующего свойства определителя позна-
комимся с понятиями алгебраического дополнения и минора.
Минором некоторого элемента определителя называется опре-
делитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием
строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Например, минором элемента ai определителя А является опре-
^2
Ьз
делитель второго порядка
, минором элемента Ь{— опреде-
литель второго порядка
а2
«3
с2
и т. д.
3
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента, умноженный на (— 1)р, где р —
сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых распо-
ложен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозна-
чается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так, алгебра-
ическое дополнение элемента обозначается через Alf элемента
Ь{ — через Bj и т. д.
Если, например, элемент а2 находится на пересечении первого
столбца и второй строки, то для него р= 1+2 = 3 и алгебраиче-
ским дополнением является
А2=(- I)3.
fri сх
бз с3
— ^3^1 *1^3-
Таким образом, алгебраическое дополнение и минор одного и того
же элемента отличаются только знаком.
9°. Определитель равен сумме произведений элементов какого-
нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
А = ахАх + а<гА2 + а^А3, А = а{Ах + bxB{ + CjCji (3)
А = + Ь2В2 + Ь3В3, А = а2А2 + Ь2В2 + с2С2\ (4)
А = CjCj + с2С2 + с3С3, А = а3А3 + Ь3В3 + с3С3. (5)
Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно
записать правую часть формулы (2) в виде
А = ах (b2c3 — + а2 (Ь3с^ — Ь{с3) + а3 (Ьхс2 —
Величины, стоящие в скобках, являются алгебраическими допол-
нениями элементов аь аъ а3, т. е.
^2^з ^з^2 = А|, Ь3С\ Ь[С3 = А2, b^c2 = А3.
Отсюда и из предыдущего равенства получаем
А = OjAj + а2А2 + а3А3,
266
что и требовалось доказать. Равенства (3) — (5) доказываются ана-
логично.
Запись определителя по какой-нибудь из формул (3) — (5) на-
зывается разложением его по элементам некоторого столбца или
некоторой строки (первая формула дает разложение по элементам
первого столбца и т. д.).
Пример. Вычислить определитель
А =
2 4 6
5 12 19
3 9 17
разлагая его по элементам первой строки.
Решение. Имеем
А = 2
12 19
9 17
5 19
3 17
5 12
3 9
= 8.
- 4
+ 6
10°. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или
какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения
соответствующих элементов другого столбца или другой строки
равна нулю.
Докажем, например, что сумма произведений элементов второго
столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов
первого столбца равна нулю. Для этого разложим определитель (1)
по элементам первого столбца
А = + а2Л2 + а3А3.
(6)
Алгебраические дополнения Ль Л2, Л3 не зависят от самих
элементов аь а2, а3. Поэтому, если в обеих частях равенства (6)
числа ah а2, а3 заменить произвольными числами /i2, h3, то полу-
чим верное равенство
/ii
h2 b2
/*з ^з
^2
^3
<4
Сз
= hlAl -|- /1гЛ2 4- h3A3.
(7)
Если теперь в равенстве (7) в качестве h2, h3 взять элементы
6j, Ь2, Ь3 второго столбца и учесть, что согласно свойству 3° опре-
делитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, то получим
^|Л1 + ^2^2 + Ь3А3 = 0,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются равенства
С\А i + 4- с3Л3 — 0,
ai#i 4~ а2В2 4- а3В3 = 0, а{Сj 4~ а2С2 4- а,3С3 = 0,
С\Вj 4- с2В2 4- с3В3 = 0, Ь\С\ 4- Ь2С2 4- Ь3С3 = 0
267
и шесть подобных равенств, относящихся не к столбцам, а к стро.
кам:
а1^з “I” Мз “I” ^1С3 = 0, а?Аз + ^2^3 4” с2^з = О,
^1^2 4” ^1^2 4” £|^2 == ^3^2 4~ ^3^2 4” С3С2 == О,
аИ| 4” ^2^1 4” ^2^1 = О, аз^\ 4” Ml 4” £3^1 = О-
§ 3. Исследование системы трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными
Теория матриц и определителей имеет широкое применение как
в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный
и часто используемый в самых разнообразных исследованиях мате-
матический аппарат.
Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию
системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
X, у, Z\
Я1* + Ь \У + CXZ =
+ Ь^у 4- c2z = h2,
(W + ЬзУ + c3z = h3
(1)
(коэффициенты ah а2, а3, bh b2, b3, ch c2, c3 и свободные члены hx, h2>
h3 считаются заданными).
Тройка чисел х0, t/0, z0 называется решением системы (1), если
в результате подстановки этих чисел вместо х, у, z все три уравне-
ния (1) обращаются в тождества.
В дальнейшем основную роль будут играть следующие четыре
определителя:
^1 £| Л1 Ь} с1
А = и2 b 2 с2 , Ах = h2 b2 с2
а3 Ьз Сз ^з Ьз ^з
Д| /l, С| ах b{ Л|
и2 h2 с2 ,А2 = о>2 b2 h2
а3 ^з Сз #з Ьз ^з
Определитель А называется определителем системы (1). Определи-
тели Ах, Ду, Az получаются из определителя системы А заменой
свободными членами элементов соответственно первого, второго
и третьего столбцов.
Рассмотрим отдельно два случая: когда определитель А системы
отличен от нуля и когда этот определитель равен нулю.
Случай 1. А=/=0. Докажем, что решение системы (1) суще-
ствует и единственно. Для этого умножим обе части первого уравне-
ния системы (1) на алгебраическое дополнение Alt второго — на А»
третьего — на Л3, а затем сложим эти уравнения. В результате
268
получим
(О|Д I + 0^2 + азАз) Х + (^1^1 + ^2^2 + Ь3А3) у +
; + (с,41 4- СэЛ2 4- ^Из) 2 = Л|Д । 4- 4- ^Из-
Отсюда на основании 9° и 10° свойств определителей имеем
А • х = h{A । 4- + ^з^з = ^х‘
Аналогично найдем
А • у = h\Bi 4“ h2B2 4" Мз = Ду, А • z = h\C{ 4" h2C2 4~ b3C3 = Az.
Таким образом, из системы (1) получена система уравнений
ддд
= = = ± (2)
Формулы (2) называются формулами Крамера *.
Чтобы доказать, что решение системы (1) существует, подста-
вим вместо х, у, z значения, определяемые формулами Крамера,
и убедимся, что все три уравнения (1) обращаются при этом в тож-
дества. Проверим, например, что первое уравнение обращается
в тождество. Имеем
д д д j
alx + bly + clz = al-^+b^+Ci-^=-^{al (Л,4,4-М2 + Мз) +
4-fe, (Л,В, 4-/^2^24" ^з^з)Н_£:1 (^С, 4" h2C2-\- /i3C3)} =
=-д {^i (о Л14- ^|В, 4-^|С|) 4- th (а,424- ft|B24- с,С2)4-
4- h3 (а,434- b ,В34-с,С3)} = hlf
так как согласно свойству 9° определителей
а,4, 4" М, 4" С|£| = Д,
а согласно свойству 10°
о,42 4- ^1В2 4- £|£*2 == 0» Мз 4” tf\B3 4” с,С3 = 0.
Итак, установлено, что первое уравнение системы (1) обращает-
ся в тождество. Аналогично можно показать, что в тождество об-
ращаются второе и третье уравнения системы.
Таким образом, решение системы (1) существует.
Формулы Крамера (2) доказывают также единственность реше-
ния системы (1), так как система (2) — следствие системы (1), и
поэтому всякое решение системы (1) является решением и системы
(2), т. е. выражается по формулам Крамера.
Все изложенное позволяет,сделать следующий вывод: если опре-
делитель А системы (1) отличен от нуля, то существует, и притом
единственное, решение этой системы, и оно выражается формулами
Крамера.
* Крамер Габриель (1704—1752) —швейцарский математик.
269
Пример. Найти все решения системы
{х + 2у + z = 4,
Зх — 5у + 3z = 1,
2х + 7у - z = 8.
Решение. Так как Д=33=#0, то данная система имеет
единственное решение, определяемое формулами (2): ч
— А —Л—1 —А —Л—1 _ Д _ 33 _ 1
х ~ ь ~ зз “ У — Д — 33 ~ ’2 — л “ зз “•
Следовательно, х=1, t/=l, z— 1—решение данной системы.
Случай 2. Д = 0. Пусть хотя бы один из определителей
Дх, Ду, Д2 отличен от нуля. Тогда хотя бы одно из равенств (2)
невозможно*, т. е. система (2) не имеет решений, и поэтому не имеет
решений и система (1), так как система (2)—следствие системы (1).
Пусть теперь Дх, Ду и Д2 равны нулю. Сначала исследуем одно-
родные системы.
Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными называется система вида
{а^х + b{y + c,z= О,
а^х + b^y + c2z = О,
+ М + Сз* = 0.
Очевидно, что эта система всегда имеет нулевое решение: х=0,
у = 0, z = 0. Если Д=#0, то это решение является единственным
(в силу случая 1).
Покажем, что если определитель Д=0, то система (3) имеет бес-
конечно много ненулевых решений. Доказательство проведем в два
этапа.
1) Предположим, что хотя бы один из миноров определителя Д
отличен от нуля. Пусть, например,
систему, составленную из двух первых уравнений (3), можно пред-
ставить в виде
(3)
а\ Ь\
^О. Тогда однородную
О2
| ахх + Ьу= — c,z,
| а^х + b$ = — c2z.
Рассмотрим алгебраические дополнения А3, В3, С3 элементов третьей
строки определителя:
A
_ ь'
3~ Ь2
С2
,Вз =
_ Ai С|
cf2 с 2
у Сз —
а2
Ь2
(4)
♦ Действительно, пусть, например, Дх=/=0. Тогда равенство Д*х = Дх не-
возможно, так как его левая часть Д-х = 0 при любом х, а правая часть
Л ^0.
270
Так как, по условию, С3=#=0, то для каждого z существует един-
ственное решение системы (4). Его можно записать в виде х =
^-^z, y = -^z. Положим z=C3f, где t может принимать любые
L3 сз
значения. Тогда очевидно, что однородная система (4) имеет беско-
нечно много решений, определяемых формулами
х = A3t, у = B3t, z = C3t, (5)
где t — произвольное число.
Осталось показать, что х, у и z, определяемые формулами (5),
обращают в тождество и третье уравнение однородной системы (3).
В самом деле, подставляя выражения для х, у, z по формулам (5)
в левую часть третьего уравнения, находим
а3х + Ьзу + c3z = (а3А3 + b3B3 + с3С3) t = Л • t = 0 • t = 0.
Таким образом, формулы (5) при любом t определяют решение
однородной системы (3).
2) Предположим теперь, что все миноры определителя А равны
нулю. Это значит, что коэффициенты всех трех уравнений (3) про-
порциональны. Но тогда второе и третье уравнения (3) являются
следствием первого и могут быть отброшены, а одно уравнение
с тремя неизвестными а,х-|-^i!/ + C|Z = 0, очевидно, имеет беско-
нечно много решений (двум неизвестным можно придавать произ-
вольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).
Итак, доказано, что однородная система (3) с определителем А,
равным нулю, имеет бесконечно много решений.
Теперь рассмотрим систему (1), когда все четыре определителя
А, Дх, и Д2 равны нулю. Докажем, что если в этом случае система
(1) имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много ре-
шений.
Пусть система (1) имеет решение х0, i/q, z0. Тогда справедливы
тождества
(а^о + ^|!/о + с12о=
+ Mo + c2z0 = Л2, (6)
а3*о 4“ ^з!/о 4” = ^з*
Вычитая почленно из уравнений (1) тождества (6), получаем
систему уравнений, эквивалентную (1):
{<*1 (* “ *о) 4- (у - yQ) + сх (z - z0) = 0,
а2 (* - *о) 4- Ь2 (у - у о) + с2 (z — z0) = 0, (7)
<*з (* “ *о) 4- ьз (у — у о) + с3 (z - z0) = 0.
Это однородная система грех уравнений первой степени с неизвест-
ными (х —х0), (у —у о) и (z — z0) и определителем Д, равным нулю.
Но согласно только что доказанному эта система имеет бесконечно
много решений, следовательно, и система (1) имеет бесконечно
много решений. Например, в случае, когда отличен от нуля минор
С3, в силу формул (5) решение системы (1) можно представить
271
в виде
х = Хо + AJ, у = у0 + BJ, z = z0 + C3t,
где t принимает любые значения. Тем самым утверждение дока*
зано и можно сделать следующее заключение: если Д = Дх=Ду=^
= Д2=0, то система (1) либо совсем не имеет решений, либо их
бесконечно много.
В качестве примера предлагаем самостоятельно рассмотреть
следующие три системы:
(* + у+ z = 2, ( %+ у+ z=l, ( х+ у+ z=l,
3% + 2i/ + 2z=l, s 2%+ z=2, s 2% + 2i/ + 2z = 3,
4% + 3i/ + 3z = 4, I 3% + 2i/ + 2z= 3, I 3% + 3i/ + 3z=4
и убедиться в том, что первая из них не имеет решений (Д = 0,
Д!/=1=/=0), вторая имеет бесконечно много решений (Д = ДХ==
— Ду=Д2=0), определяемых формулами х=1, y = ty z=—t,
а третья не имеет решений (Д = Дх= Д^= Д2=0), но уже пер-
вые два уравнения этой системы не совместны, так как если умно-
жить первое из них на 2 и вычесть из второго, то получим невозмож-
ное равенство 0=1.
§ 4. Матричная запись системы линейных уравнений.
Понятие обратной матрицы
Рассмотрим снова систему уравнений (1) из § 3:
ape + b\y + cxz =
а<^ссрг = h2, (1)
+ c.6z = /i3.
Введем следующие обозначения:
Ь\ с\ \ / х \ /^i\
^2 ^2 1 X = ( У 1 Н == ( ^2 1 >
Ь з £3 ' ' '^3'
(2)
Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно
записать в эквивалентном матричном виде
АХ = Н, (3)
где А — заданная матрица; // — заданный вектор-столбец; X —
неизвестный вектор-столбец. Решением уравнения (3) является
такой вектор-столбец X, который обращает уравнение (3) в тож-
дество. *
Пусть определитель Д матрицы А отличен от нуля. Тогда, как
установлено в § 3, система (1) и, следовательно, система (3) имеют
единственное решение, которое находится по формулам Крамера.
Дадим теперь другую форму записи решения уравнения (3). Для
этого введем понятие обратной матрицы.
272
Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначе-
ние А~1), которая удовлетворяет условиям
А'1 • А = А • А~' = Е, (4)
где Е — единичная матрица.
Докажем, что если определитель Д=/=0, то обратной для мат-
рицы А является следующая матрица:
/Л/Л л2/д л3/д к
А-'=1В'/Ь В2/\ В3/\ , (5)
\С,/Д С2/Д С3/Д /
где, как и ранее, Ah Bh —алгебраические дополнения соответ-
ственно элементов az, bh с; (i= 1, 2, 3). Для этого нужно доказать,
что матрица (5) удовлетворяет условиям (4). Проверим, например,
справедливость равенства
Л • Л"1 = Е.
Умножая матрицу А на матрицу А 1 по правилу умножения матриц,
получаем
/ai ci ^2/А
ЛЛ-1=(а2 Ь2 с2 НВ,/Д В2/\
\а3 Ь3 с3 / \С,/Д С2/Д
Лз/Д \ /1 о 0 \
В3/Ь 1= I о 1 0 )= Е.
С3/\ / \0 0 1 /
Здесь использован тот факт, что в силу свойств 9° и 10° определителя
имеют место равенства
Л I к О I Г А ПРИ z = />
tZ.-Л -|- Ь :В : -|- С ;С ; - 1 /Л . .
' 1 1 ' 1 1 11 I 0 при i =/= /.
Поэтому, в частности, элемент матрицы ЛЛ-1, стоящий на пересе-
чении первой строки и первого столбца, равен (а,Л,-|-61В1-|-
-|-с1С1)/Д = Д/Д= 1, а элемент, стоящий на пересечении первой
строки и второго столбца, равен (а1Л2 + 61В2 + с1С2)/Д = 0.
Можно убедиться в том, что и остальные элементы матрицы
ЛЛ-1 равны соответствующим элементам матрицы Е. Итак, ЛЛ-1 =
= Е. Аналогично можно доказать, что Л-1Л = Е.
Таким образом, обратной для матрицы Л является матрица Л-1,
определяемая формулой (5). Из равенств (4) следует, что матрица
Л — обратная для матрицы Л-1. Поэтому матрицы Л и Л-1 назы-
ваются взаимнообратными.
Замечание. Если определитель матрицы Л равен нулю
(Д == 0), то обратная матрица не существует.
Воспользуемся обратной матрицей для решения уравнения (3).
Умножая уравнение (3) слева на матрицу Л-1, получаем
А~'АХ = А~1Н. (6)
Так как Л-’Л = Е, а ЕХ=Х, то из (6) следует равенство
X = А~1Н. (7)
18-3157
273
Нетрудно убедиться в том, что выражение, полученное для Ху
действительно является решением уравнения (3). В самом деле,
подставляя это выражение в уравнение (3), имеем
АА~'Н = И.
Это равенство является тождеством, так как АА~' = Е, а ЕН~Н.
Итак, если Д=/=0, то решение уравнения (3), значит и системы
(1), можно записать в матричном виде (7). Это решение, конечно,
то же самое, что было получено в § 3 по формулам Крамера. Этот
факт, вытекающий из единственности решения системы (1) при
А=#0, можно непосредственно проверить, если подставить в фор-
мулу (7) выражение (5) для Л-1 и выражения (2) для X и Я. Тогда
х \ Z^i/A ^2/А Лз/Д \/h\ \
у )=(в1/д в2/д В3/Д )(/12 ),
л / XCi/Д с2/д с3/д / \а3 /
откуда x=(/i^ 1 + /12Л2Н-Л3Л3)/Д = Дх/Д, у= (hxBxA~h^2+
А-h^)/&= z = {hxCx-\-h2C2-\-h^C^/\ = \J\y т. е. полу-
чили формулы Крамера.
Пример. Решить систему уравнений
( x + 2i/ + z= 1,
{ 2х + z/ + z = — 1,
lx + 3r/ + z = 2.
Решение. Имеем
/1 2 1 \ / 1 \
Л = ( 2 1 1 ), Н = ( - 1 ).
\1 3 1 / \ 2 /
Определитель матрицы Л равен 1=/=0. Следовательно, матрица Л
имеет обратную. По формуле (5) находим
(-2 1 1 \
-1 0 1 ).
5 -1 -3 /
Используя матрицу Л \ по формуле (7) получаем
/х \ /-2 1 1 \7 1 \ /-1 \
( У )= ( -1 0 1 )( -1 )= ( 1 ),
\z / \ 5 -1 -3 /\ 2 / \ 0 /
откуда х= —1, £/=1, z = 0.
В заключение заметим, что при исследовании систем уравнений
первой степени со многими неизвестными и во многих других зада-
чах математики и ее приложений приходится иметь дело с матри-
цами и определителями произвольного л-го порядка (л = 2, 3, 4,
274
5, ...). Теория матриц и определителей произвольного порядка
строится аналогично изложенной теории матриц и определителей
третьего порядка. Однако строгое ее построение требует введения
дополнительных понятий и доказательства ряда сложных теорем.
Желающие расширить и углубить свои знания могут познакомиться
с этой теорией и с теорией систем уравнений первой степени со мно-
гими неизвестными по любому курсу высшей алгебры*.
ГЛАВА И
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Понятие функции нескольких переменных
1. Вводные замечания. До сих пор мы рассматривали функции
одной переменной, т. е. функции, значения которых зависят от
значений одной независимой переменной.
При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится
иметь дело с такими зависимостями между переменными величи-
нами, в которых числовые значения одной из них полностью опре-
деляются значениями нескольких других. Так, например, темпе-
ратура тела в данный момент времени t может изменяться от точки
к точке. Каждая точка тела определяется тремя координатами
х, у и z, поэтому температура зависит от трех переменных х, у и z,
а если еще учитывать зависимость температуры от времени /, то
значения ее будут уже определяться значениями четырех перемен-
ных х, у, z и t. Площадь прямоугольника со сторонами, длины ко-
торых равны х и у, определяется значениями двух переменных
х и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины
которых равны х, у, z,— значениями трех переменных х, у и z.
Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.
Эта часть курса и посвящается рассмотрению такого рода зави-
симостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких
переменных и развивается аппарат для исследования таких функ-
ций.
2. Определение функции двух и более переменных. Аналогично
функции одной переменной вводится понятие функции двух пере-
менных.
Определение. Пусть X, Y и Z — некоторые числовые множества.
Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных
троек чисел (х; у\ г)** таких, что х^Х\ y^Y, zeZ и каждая
упорядоченная пара чисел (х; у) входит в одну и только одну тройку
этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну трой-
* См., например: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.
** Напомним, что тройка чисел х, у и z называется упорядоченной, если
указано, какое из этих чисел считается первым, какое — вторым и какое —
третьим.
18*
275
ку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (х; у) постав-
лено в соответствие число z, и пишут z = f(x; у). Число z назы-
вается значением функции f в точке (х; у). Переменную z называют
зависимой переменной, а переменные х и у — независимыми пере-
менными (или аргументами); множество {(х; у)} —областью опре-
деления функции, а множество Z — множеством значений функции.
Функцию двух переменных обозначают также следующими сим-
волами: z=z(x, у\ Z = (f(x, у\ z=h(x, у), z=F(x, у) И Т. Д.
Так как каждой упорядоченной паре чисел (х; у) при фиксиро-
ванной прямоугольной системе координат соответствует единствен-
ная точка М плоскости и, обратно, каждой точке М соответствует
единственная упорядоченная пара чисел (х; у), то функцию двух
переменных можно рассматривать как функцию точки М и вместо
z=f(x, у) писать z = f(M). Областью определения функции
в этом случае является некоторое множество {М} точек плоскости.
В дальнейшем будем использовать эти два обозначения функции
двух переменных.
Способы задания функции двух переменных, как и в случае
одной переменной, могут быть различными. В примерах мы исполь-
зуем, как правило, аналитический способ задания, когда функция
задается с помощью формулы. Областью определения функции,
в этом случае считается множество всех точек плоскости, для кото-
рых эта формула имеет смысл.
Рассмотрим примеры функций двух переменных.
1. z = x2-\-y2. Область определения этой функции — множество
{Л4} всех пар чисел (х; у), т. е. вся плоскость Оху, а множество
значений — промежуток Z=[0, + оо).
2. z = ^l 1 —х2—у2. Областью определения данной функции
является множество всех точек, для которых выражение
V1 —х2—у2 определено, т. е. множество точек, для которых
1— х2—у2^0 или x2+t/2^l. Множество всех таких точек
образует круг с центром в начале координат и радиусом, равным
единице. Множество значений функции представляет собой отрезок
[0,1].
3. z= l/"Vx2+1/2— 1. Область определения этой функции —
множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
*2+£/2>1, т. е. множество точек, лежащих вне круга с радиу-
сом 1 и центром в начале координат, а множество значений пред-
ставляет собой промежуток (0, + оо).
Из рассмотренных примеров следует, что областью определения
функции двух переменных может быть вся плоскость Оху или ее
часть.
Из аналитической геометрии известно, что множество всех
упорядоченных троек чисел (х; у\ z) образует координатное про-
странство. При этом каждой тройке (х; у\ z) в пространстве соот-
ветствует точка М (х; у\ z), и наоборот. Если вместо множества
(М) точек плоскости взять множество {М} точек пространства, то
аналогично можно дать определение функции трех переменных
276
u=f(M) или u=f(x\ y\ z\ Областью определения функции трех
переменных является все пространство или его часть. Так, напри-
мер, функция u = x2 + t/2+ z2 определена во всем пространстве,
а функция u=\nxyz—на множестве точек пространства, коор-
динаты которых удовлетворяют неравенству xyz>0. В первом слу-
чае множеством значений функции является промежуток [0, +°°),
а во втором — (— оо, 4- оо).
Аналогично можно дать определение функции четырех пере-
менных u = f(x, у, z, /). В этом случае множество упорядоченных
четверок чисел (х; у\ z\ t) образуют так называемое четырехмерное
пространство, а каждая четверка (х; у\ z\ t) называется точкой
этого пространства. Однако область определения функции четырех
переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкова-
ния. Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще
п переменных и= f (хь х* ..., хп).
Далее подробно рассмотрены функции двух переменных; сле-
дует иметь в виду, что обобщение определений и полученных ре-
зультатов на функции трех и более переменных не содержит прин-
ципиальных отличий.
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных
Как известно, функция одной переменной изображается на пло-
скости в виде линии, определенной уравнением y = f{x). Функция
двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности,
которая определяется уравнением z=f(x, у), т. е. сама формула,
задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.
В аналитической геометрии рассматриваются различные поверх-
ности и их уравнения. Так, например, уравнение z — 2x + 5t/ +
4-10 = 0 является уравнением плоскости. Данная плоскость есть
график функции z=2x — 5у — 10.
Уравнение х2+у2 + z2=R2 является уравнением сферы ра-
диуса R с центром в начале координат. С другой стороны, сфера
есть объединение графиков двух функций z = ^ R2 — x2—y2 и z =
~—^R2—x2—y2.
Построение графиков функций двух переменных во многих слу-
чаях представляет значительные трудности. Поэтому существует
еще один способ изображения функции двух переменных, основан-
ный на сечении поверхности z = f(x, у) плоскостями z = c, где
с —любое число, т. е. плоскостями, параллельными плоскости Оху.
Назовем линией уровня функции z=f(x, у) множество точек
(х; у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же
значение с. Очевидно, при различных с получаются различные
линии уровня для данной функции.
Если взять числа съ ..., сп, образующие арифметическую
прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаим-
ному расположению которых можно получить представление о гра-
фике функции, т. е. о форме поверхности. Там, где линии распола-
гаются «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность идет
277
круче), а в тех местах, где линии уровня располагаются реже, функ-
ция изменяется медленнее (поверхность более пологая) (рис. 162).
Ясно, что чем меньше Л, тем полнее представление о графике функ-
ции.
Термин <линии уровня» заимствован из картографии. Там ли-
нии уровня — это линии, на которых высота точек земной поверх-
ности над уровнем моря постоянна. По ним можно судить не только
о высоте над уровнем моря определенной точки местности, но и
о характере рельефа, что особенно важно, если местность гористая.
Пример. Построить линии уровня функции z=x2+t/2.
Рис. 162
Рис. 163
Решение. Линии уровня данной функции определяются
уравнением х2+у2=с (0^с<Н-оо). Давая с различные значе-
ния, получаем семейство линий уровня, представляющих собой
концентрические окружности. При с=0 окружность вырождается
в точку (0; 0) (рис. 163).
Так как в данном случае линии уровня — окружности с центра-
ми в начале координат, то графиком данной функции должна быть
поверхность вращения вокруг оси Oz. Действительно, из аналити-
ческой геометрии известно, что уравнение z — x2-\-y2 определяет
параболоид вращения.
§ 3. Предел функции двух переменных
Введем понятие 6-окрестности данной точки Af0(x0; £/0) и поня-
тие сходящейся последовательности точек плоскости.
Определение 1. Множество {М (х; у)} всех точек, координаты
х и у которых удовлетворяют неравенству “^(х~хо)2 + (!/“!/о)2<^
<6, или, короче, р (At; Л40)<с6, называется b-окрестностью точки
^о(хо^Уо)-
Другими словами, S-окрестность точки Л40 — это все точки, ле-
жащие внутри круга с центром Мо радиуса 6.
278
Рассмотрим последовательность точек МДх^ r/J, М2(х2; г/2), ...
Мп (хл; уп\ ... Будем кратко обозначать эту последовательность
символом
Определение 2. Последовательность точек (Мп) называется схо-
дящейся к точке Мо, если для любого е>*0 существует номер N
такой, что при n>N выполняется неравенство М0}<л.
При этом точка Мо называется пределом последовательности {Мл}.
Обозначение: lim Л4л = МоилиМл->Мопри л->оо.
Заметим, что понятие сходящейся последовательности точек
плоскости является обобщением понятия сходящейся числовой после-
довательности. Действительно, задание последовательности {Мл}
точек на прямой равносильно заданию числовой последовательности
{хл} и неравенство р М0)<е переходит в этом случае в нера-
венство |хп — х0| < е.
Теперь определим предел функции двух переменных. Его опре-
деление аналогично определению предела функции одной перемен-
ной **.
Пусть функция z=f(Af) определена на некотором множестве
{М} и точка Мое{М} или М0^{М}, но обладает тем свойством,
что в любой d-окрестности этой точки содержится хотя бы одна
точка множества {А4}, отличная от Мо.
Определение 3. Число А называется пределом функции z = f(M)
в точке Мо, если для любой сходящейся к Мо последовательности
точек М2, МпУ ... (МЛ=#МО, М е{М}) соответствующая
последовательность значений функции f (М2), ..., ...
сходится к А.
Обозначение: lim /г(М) = Лили lim f(x, у) = А.
х—ХО
У-^Уо
Так, например, функция £(х, у) = х2 + у2 определена на всей
плоскости. Найдем предел этой функции в точке Af0(l; 2). Для лю-
бой последовательности точек {Мл}, сходящейся к точке Мо, имеем
•im (х2 + у2} = lim х2 + lim у2 = I2 + 22 = 5,
п->оо л->оо п->оо
следовательно, lim (x2J-!/2) = 5.
X—1 •
у^2
Приведем пример функции, не имеющей предела в некоторой
точке. Функция f (х, = определена всюду, кроме точек
прямой xJ-!/=0. Покажем, что она не имеет предела в точке
(0; 0). Для этого выберем две сходящиеся к точке (0; 0) последова-
тельности точек Мп (1 /п\ 0) и М„ (0; 1 /л); тогда
lim lim = 1 и lim f lim yzH/7= “ L
n—*-oo n—*-oo / I n—*-oo n—>oo U -f- 1/П
♦ Задание последовательности {MJ равносильно заданию двух числовых
последовательностей {xj и { i/J, так как точка на плоскости определяется
двумя координатами х и у.
♦♦ Рекомендуем повторить гл. 4, § 2, п. 1.
279
Таким образом, двум различным последовательностям точек, схо-
дящимся к началу координат, соответствуют две последователь-
ности значений функции, которые имеют разные пределы. Следо-
вательно, по определению 3 данная функция не имеет предела
в точке (0; 0).
Приведенное определение предела функции двух переменных
дано с помощью понятия предела последовательности. Так же,
как для функции одной переменной, можно дать эквивалентное
определение, используя «е — 6>-терминологию.
Определение 4. Чисм А называется пределом функции z = f (М)
в точке М& если для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для
всех точек М е{М), удовлетворяющих условию 0<р(М; М0)<с6,
выполняется неравенство \f (М) — А | < е.
Используя логические * символы, данное определение можно
записать в виде
(Vе>0) (3<5>O) (VA/g{3/}, 0<р (М; Л/о)«5): |Г(Л/)-Л|<е.
Доказательство эквивалентности определений 3 и 4 проводится
точно так же, как и в случае функции одной переменной. Следуем
только в доказательстве теоремы 4.1 заменить последовательность
{хя) последовательностью точек {Мя}, точку х0—точкой
разности |х — х0| и |хя — х0| — соответственно расстояниями
р(М; Af0) и р(Мя; Мо), а числовую последовательность [f (хя)} —
числовой последовательностью {f (ЛЦ)}.
Используя определение предела функции двух переменных,
можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной
переменной на функции двух переменных. Например, имеет место
следующая теорема.
Теорема. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном
и том же множестве {м} и имеют в точке Мо пределы В и С. Тогда
функции f(M)+g(M),f(M)g(M) и f(M)lg{M) (С#0) имеют в точке
MQ пределы, равные соответственно В±С, В-С и BJ€.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре-
мы 4.3 и может быть получено из него формальной заменой букв
х и х0 буквами М и М& только вместо определения 1 предела функ-
ции одной переменной следует использовать определение 3 предела
функции двух переменных.
Определение 5. Функция z = f(M) называется бесконечной ма-
лой в точке M = MQ (или при M-+MQ), если lim f(M) = 0.
Если функция z = f(M) имеет в точке Мо предел, равный Л,
то функция а (М) = f (М) — А является бесконечно малой в точ-
ке Мо. Действительно, lim а(М)= lim [f (М)—Л] = lim f(M)—
м^м9 , м—м0 м+м0
— lim Л = Л — Л = 0. Отсюда получаем специальное представ-
М
ление для функции, имеющей в точке Мо предел, равный Л:/(М) =
= Л+а(А1), где lim <х(Л1) = 0. При этом говорят, что функция
M-+MQ
280
I (Af) в окрестности точки Л1о отличается от числа А на бесконечно
малую функцию.
Сравнение бесконечно малых функций двух переменных произ-
водится точно так же, как и бесконечно малых функций одной
переменной, причем, как и в случае одной переменной, под симво-
лом о (Р) будем понимать любую бесконечно малую в данной точке
Мо функцию более высокого порядка малости, чем бесконечно ма-
лая в точке MQ функция р (М), т. е. lim -—^•=0.
§ 4. Непрерывность функции двух переменных
Понятие непрерывности функции двух переменных вводится
на основе понятия предела.
1. Определение непрерывности функции двух переменных. Пусть
на некотором множестве (М) определена функция f(M), точка
Мое{М} и любая 6-окрестность точки MQ содержит точки мно-
жества |Af).
Определение 1. Функция z = f(M) называется непрерывной в
точке Mq, если предел функции в этой точке существует и равен
значению функции в этой точке, т. е.
lim f(M) = f (Af0), или lim f (х, у) = f (к* у0).
M-*Mq х~*'хо
У~*Уо
Согласно определению предела функции в терминах последова-
тельностей данное определение непрерывности функции в точке Мо
равносильно тому, что для любой последовательности {Af„} (Мп^
е(М}) такой, что lim Мп=Мо, последовательность {/(Af„)}
сходится и
lim f (Л4„) = f (Mo), или lim f (x„, y„) = f (x* y0).
Я-*-оо H->oo
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывно-
сти, называются точками разрыва этой функции.
Например, функция
{х — у
ТТ7 "Р" - + » * »•
I при х + у = 0
разрывна в точке (0; 0), так как предел этой функции при х-^0,
«/-►0 не существует; функция
f(x U} = 1х2 + у2 'всюду, кроме х = 1, у = 2,
м ,у’ I 0 при х= 1,у = 2
в точке (1; 2) разрывна, так как lim f (х, у) = 5, a f (I; 2)=0.
х-И
у-*2
Сформулируем определение непрерывности функции, используя
определение предела функции в терминах «е —6>.
281
Определение 2. Функция z = f (Л4) называется непрерывной в
точке Mq, если для любого е>0 существует 6>0 такое, что для
всех точек М е[Л4), удовлетворяющих условию р (Л4; Л40)<;б>
выполняется неравенство \f (Л4) — f (Л40)| < е.
Используя символы, определение 2 можно записать в виде
(Ve>0)(36>0)(VMge(M}, р(М; Мо)<6) : If (M)-f (Мо)| <е
Так же как для функции одной переменной, используя данные
определения непрерывности и соответствующие теоремы о пределах,
можно доказать, что арифметические операции над непрерывными
функциями и построение сложных функций из непрерывных функ-
ций приводят к непрерывным функциям.
В дальнейшем используется определение 1 непрерывности функ-
ции, записанное в другом виде.
Назовем полным приращением функции з = /(Л1) в точке Мо
функцию Дз, определяемую формулой
bz = f(M)-f(M0),
где М — любая точка из области определения функции. Пусть
точки MQ и М имеют соответственно координаты (х0; (/0) и (х; у).
Обозначим х — х0=Дх, у — yQ = &у. Используя эти обозначения,
для Дз получаем следующее выражение:
&z = f (х0 + Дх, у о + by) — f (х0, у 0).
Определение 3. Функция z = f (Л4) называется непрерывной в
точке Mq, если ее полное приращение в этой точке есть бесконечно
малая при М ->М0 функция, т. е.
lim Дз = lim [ f (М) — f (Мо)1 = 0, или lim Дз = 0.
м — мо М — Мо Дх —о
Д(/ —► о
Это условие, очевидно, равносильно условию lim f (М) = f (Мо)
из определения 1.
Пример. Функция з = х2 + (/2 непрерывна в любой точке (х; у).
Действительно, полное приращение данной функции, в точке (х; у)
имеет вид
Ьг=[(х+&х)2+(у+Ьу)2]—(х2+у2)=2хЬх+2уЬу+(Дх)2+(Ьу)2.
Очевидно, ДзО при Дх->0, Д(/->0, т. е. согласно определению 3
функция з = х2 + у2 непрерывна в точке (х; у).
Функция z =? f (Af) называется непрерывной на некотором мно-
жестве {Л4}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
2. Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
Приведем без доказательства основные свойства непрерывных
функций двух переменных, поскольку они в основном аналогичны
доказательствам соответствующих свойств функций одной пере-
менной. Предварительно введем ряд понятий для множеств (АО
точек плоскости.
282
Определение 4. Множество {Л4} точек плоскости называется
связным, если любые две точки этого множества можно соединить
непрерывной линией, состоящей из точек данного множества.
Например, круг — связное множество, а множество, состоящее
из двух кругов, не имеющих общих точек, не является связным.
Определение 5. Точка М называется внутренней точкой мно-
жества {М}, если существует 6-окрестность этой точки, состоя-
щая из точек данного множества.
Определение 6. Множество {М}, состоящее лишь из внутрен-
них точек, называется открытым множеством.
Определение 7. Связное открытое множество [Л4) точек назы-
вается открытой областью, или короче, областью.
Простейшими областями являются: внутренность треугольника,
круга, эллипса и т. п.
Определение 8. Точка М называется граничной точкой области,
если в любой ее 6-окрестности есть точки как принадлежащие,
так и не принадлежащие этой области. Множество всех граничных
точек области называется границей этой области.
Например, для области, которая состоит из точек, лежащих
внутри круга, границей является окружность.
Определение 9. Множество {М} точек, образованное областью
и ее границей, называется замкнутой областью.
Определение 10. Множество {Л4} называется ограниченным, если
существует круг, внутри которого оно содержится.
Отрезок и треугольник — ограниченные множества. Прямая не
является ограниченным множеством.
Замкнутая ограниченная область, в которой определена функ-
ция двух переменных, является аналогом отрезка для функции
одной переменной.
Теперь сформулируем основные свойства непрерывных функций
двух переменных.
1°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограничен-
ной области, то она ограничена в этой области, т. е. существует
число k такое, что для всех точек области выполняется неравенство
2°. Если функция 2 — f{M) непрерывна в замкнутой ограничен-
ной области, то она достигает в этой области своих точных гра-
ней.
3°. Если функция z=f(M) непрерывна в области, то она при-
нимает все промежуточные значения между любыми двумя своими
значениями, т. е. если Л<С<В, где А и В — какие-то значения
функции f(M) в данной области, то в этой области существует точ-
ка Мо, в которой f (М0) = С.
Отсюда, в частности, следует, что если и М2 — точки данной
области и f(M|)<0, a f(Af2)>*0, то в области существует точка
Mq, в которой f (Л1о) = О.
4°. Если функция z = f(M) непрерывна в замкнутой ограничен-
ной области, то она равномерно-непрерывна в этой области, т. е.
Для любого е}>0 существует 6>0 такое, что для любых двух
283
точек М' и М" области, удовлетворяющих условию р(ЛГ; Л4")<6,
выполняется неравенство \f (Л4") — f (М ')1 <е.
В заключение отметим, что понятия предела, непрерывности и
перечисленные свойства функций двух переменных легко обоб-
щаются на функции трех и более переменных.
ГЛАВА 12
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Частные производные
Пусть функция z = f(Al) определена в некоторой окрестности
точки М (х; г/)*. Придадим переменной х в точке М произвольное
приращение Дх, оставляя значение переменной у неизменным, т. е.
перейдем на плоскости от точки М (х; у) к точке МДх + Дх; у).
При этом Дх таково, что точка Мх лежит в указанной окрестности
точки А4. Тогда соответствующее приращение функции
= f (х + Дх, у) — f (х, у)
называется частным приращением функции по переменной х в точ-
ке М (х; у).
Аналогично определяется частное приращение функции по пере-
менной у:
blp = f(x,y + &y) — f(x, у).
Определение. Если существует предел
то он называется частной производной функции z = f(M) в точке М
по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из
следующих символов:
df dz / * df dz\
Zx> 'Х'~дх'-дх '*/’ ~dyf ~dy) *
(иногда частные производные обозначают без штриха).
Из определения следует, что частная производная функции
двух переменных по переменной х представляет собой обыкновен-
ную производную функции одной переменной х при фиксированном
значении переменной у. Поэтому частные производные вычисляют
по формулам и правилам вычисления производных функций одной
переменной.
* Окрестностью точки М называется произвольная область, содержащая
точку М. В частности, если область — внутренность круга радиуса 6 с цент-
ром в точке М, то такая окрестность является 6-окрестностью точки М.
284
Примеры.
1 • Z=х2— 2xt/2+у3, -||= 2х — 2у2, -^= — 4ху + Зу2.
л , х dz у dz — х
2. z — arctg х2 + xi ^.yi"
_ 9 • . dz о
3. z=x sin г/,-т-=2х sin у, -%-=х cos и.
dx dy v
4. z= xyex+2y, ~^= ex+2yy (1 + x), -^=ex+2yx (1 + 2y).
Отметим, что мы определили частные производные функции
z = f (х, у) в такой точке М, в окрест-
ности которой функция определена, т. е.
во внутренней точке области опреде-
ления функции. Если М (х; у) — гра-
ниц наяточка области определения функ-
ции, то Д^з (Д^) может быть не опре-
делено, так как точка Л41 (х-р Дх; у)
(М2(х; £/Н-Д£/)) может не принадле-
жать области определения функции ни
при каком Дх#=0 (Дг/=/=О). Это, на-
пример, имеет место для точки Л40 на
рис. 164. В этом случае, если сущест-
вует частная производная z'x во внутренних точках М области
и существует lim zx (Л4), то по определению полагают
2L(Mo)= lim z,(M).
Аналогично определяется гу (Л40).
§ 2. Понятие дифференцируемости функции
1. Определение дифференцируемости. Напомним, что полным
приращением функции z=f(M) в точке Л4 (х; у\ соответствую-
щим приращениям Дх и &у переменных х и г/, называется функция
Дз = f (х + \х,у + Дг/) — f(x,y).
Пусть функция z=f(M) определена в некоторой окрестности точ-
ки М.
Определение. Функция z=f(M) называется дифференцируемой
в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть
представлено в виде
Д? = Д Дх + В Дг/ + а (Дх, Дг/) Дх + 0 (Дх, Дг/) Дг/, (1)
где А и В — некоторые не зависящие от Дх и \у числа, а а(Дх, Дг/)
и £ (Дх, Дг/) — бесконечно малые при Дх—>-0, Дг/->-0 функции.
Известно, что если функция одной переменной дифференцируема
в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой
точке. Из существования производной функции одной переменной
285
в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке.
Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух перемен-
ных.
2. Необходимые условия дифференцируемости. Теорема 12.1.
Если функция z=f(M) дифференцируема в точке М, то она непре-
рывна в этой точке.
Доказательство. Если функция z=f(M) дифферен-
цируема в точке М, то, как следует из соотношения (1), lim Az=0
Дх—О ’
At/—► О
а это и означает, что функция непрерывна в точке М.
Теорема 12.2. Если функция z=f(M) дифференцируема в
точке М (х; у), то она имеет в этой точке частные производные
(х, у), причем
f'Ax,y) ^AJ'^y) =В.
Доказательство. Так как функция z =f(M)' дифферен-
цируема в точке М, то имеет место соотношение (1). Полагая А(/=0,
имеем A^z =А Ах +а (Ах, 0) Ах, где а (Ах, 0) — бесконечно ма-
лая при Ах—>-0 функция. Разделив на Ах и переходя к пределу
при Ах—>-0, получаем
Д z г ,
lim -А-’= lim [Л -|- ос(Ах, 0)] = Л.
Дх—0 Дх—0
Следовательно, в точке М существует частная производная f'^x,y) =
=Л.
Аналогично доказывается, что в точке М существует частная
производная f'y (х, у) =В.
Обратные утверждения к теоремам 12.1 и 12.2 неверны, т. е.
из непрерывности функции двух переменных в точке М, а также
из существования ее частных производных в этой точке еще не сле-
дует дифференцируемость функции.
Например, функция f(x, у) х2+у2 непрерывна в точке
(0;0), но не имеет в этой точке частных производных. В самом деле,
f(0 4-Дх, 0) -/(0,0) _ V (0 + Дх)2 + 0 - 0 _ |Дх|
। । Дх Дх Дх "
Но функция не имеет предела при Ах—>-0. Следовательно,
f^(0, 0) не существует. Аналогично доказывается, что не существует
fy(O, 0). Так как данная функция не имеет частных производных
в точке (0; 0), то она и не дифференцируема в данной точке.
Функция
г, v _ f 0 на осях координат,
’ ' ’ {1 в остальных точках плоскости
имеет частные производные по х и у в точке (0; 0). Это следует из
того, что f(x, 0) =0 и f (0, у) =0, следовательно, fx(0, 0)=0 и
f'(0, 0) =0. Но f(x, у) не является непрерывной в этой точке,
286
так как, например, вдоль прямой r/ = xlimf(x, t/)=l, a f (0, 0) =
х—О
!/—О
= 0. Следовательно, f(x, у) недифференцируемав_точке (0; 0).
И последний пример: функция f (х, (/)=л/|х| |(/| непрерывна
в точке (0; 0), так как f (0, 0)=0 и limf(x, (/) = 0, и имеет част-
х—О
у^О
ные производные по х и у в этой точке:
Г' /Л ЛХ 1- VTAxI .0 — 0 м г' /л лх 1- Vo • |Д{/| — 0 м
L 0,0 = lim------------=0,f (0,0) = lim------------= О,
но, тем не менее, данная функция не является дифференцируемой
в точке (0; 0). Действительно, полное приращение функции в точке
(0; 0) равно
Az = л/|ах| |a^|.
Если бы функция была дифференцируема в точке (0; 0), то, как
следует из соотношения (1) и теоремы 12.2, выполнялось бы равен-
ство
Дг = 0 • Дх + 0 • Д(/ -|- а Дх + р Д(/,
где а и £—>-0 при Дх—>-0, Al/—^0. Далее из равенства
а Ах + 0 Ау = ( аДх + РАу) р = ?Р( Где р = V(Ax)2 + (Ay)2,
получаем, что у->0 при р—>-0 [см. § 4 вывод формулы (3)]. Но
в данном случае при любых Дх=Д(/
у = л/|Дх| |Д(/|/“\/(Дх)24- (Д(/)2 = 1 /V2,
т. е. не является бесконечно малой функцией при р—>-0.
Таким образом, функция f (х, (/) = "V|x| |(/| непрерывна
в точке (0; 0), имеет в этой точке частные производные и, тем не ме-
нее, не является дифференцируемой в этой точке.
3. Достаточные условия дифференцируемости. Теорема 12.3.
Если функция z=f(M) имеет частные производные в некоторой
^-окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой
точке М, то функция дифференцируема в точке М.
Доказательство. Придадим переменным х и у столь
малые приращения Дх и Д(/, чтобы точка М|(х + Дх; у + &у)
не выходила за пределы указанной 6-окрестности точки М. Полное
приращение функции
Дз = f (х + Дх, (/ + Ьу) — f (х, (/)
можно записать в виде
Дз = [ f (х + Дх, (/ + Д(/) — f (х, у + by)] + [ f (х, у + Ьу) — f (х, у)]. (2)
Выражение [/(х-|-Д*, у + &у)— f (х, у + &у)] можно рассмат-
ривать как приращение функции f(x, у + &у) одной переменной х
(второй аргумент имеет постоянное значение, равное (/ + Д(/). Так
287
как согласно условию эта функция имеет производную f'x(x, у + &у\
то по теореме Лагранжа получаем
f (х + Ах, у + А(/) — f (х, у + \у) =
= f'x (х + 0 j \ху у + А </) Ах, 0 < 0, < 1.
Рассуждая аналогично, для выражения [f(x, у + &у) — f (х, у)]
имеем
f (х, У + by) — f (х, у) = f' (х, у + 02 Ьу) \у, 0 < 02 < 1.
Производные f'x и f'y непрерывны в точке М (х; у), поэтому
lim fx (х + 0, Дх, у + Ьу) = f’x (х, у),
Дх—О
Д у->0
lim f' (х, у + 02 Ду) = fy (х, у).
Дх-0
Ду—0
Отсюда следует, что
fx (х + 0, Дх, у + Ду) = f'x (х, у) + а (Дх, Ду),
fy (х, у + 02 Ду) = fy (х, у) + Р (Дх, Ду),
где а (Ах, Ас/) и 0 (Ах, Ас/) — бесконечно малые функции при
Ах—>-0, At/->-0. Подставляя полученные выражения в формулу (2)
для Az, находим
Az = f'x (х, (/) Ах + fy (х, с/) Ас/ Ч- ос (Ах, \у) Ах + р (Ах, Ьу) &у,
а это и означает, что функция z = f(M) дифференцируема в точ-
ке М.
Следствие. Из непрерывности частных производных следует
непрерывность самой функции.
Теорема 12.3 имеет важное значение для установления диффе-
ренцируемости. функций, поскольку непосредственная проверка
дифференцируемости функции с помощью определения часто за-
труднительна, в то время как проверка непрерывности частных
производных оказывается проще.
В заключение заметим, что понятие дифференцируемости для
функций трех и более переменных вводится аналогично случаю
функции двух переменных.
§ 3. Производные сложных функций
Пусть z = f(x, у) — функция двух переменных х и у, каждая
из которых, в свою очередь, является функцией независимой пере-
менной /: х = х(/), y = y^t\ Тогда функция z=f[x(f), с/(/)J
является сложной функцией независимой переменной /, а перемен-
ные х и у — промежуточные переменные. Имеет место следующая
теорема.
Теорема 12.4. Если функции x = x(f) и y = y(t) дифферен-
цируемы в точке ty а функция z=f(x, у) дифференцируема в точке
М1х(0; у(/)], то сложная функция z=f[x(/), у (/)] также диф'
288
ференцируема в точке /. При этом производная этой сложной функ-
ции вычисляется по формуле
dz _ dz dx dz dy ,
“d? “ lx 17 ' "dy 17’
Доказательство. Придадим переменной / произвольное
приращение Д/; тогда функции х(/) и у (/) получат соответственно
приращения Дх и Д</, а функция z=f(x, у), в свою очередь, при-
ращение
Дг = f (х + Дх,г/ + Ьу) — f(x,y).
Так* как функция г=/(х, у) дифференцируема в точке М (х; у),
где х = х (/), у = у (/), то Дг можно записать в виде
Дг = f' (х, у) Дх + fy (х, у) Ьу + а (Дх, Ьу) Дх + р (Дх, ку) ку,
где а(Дх, Дг/) и р (Дх, Дг/)— бесконечно малые функции при
Дх-^0, Дг/->0. Доопределим эти функции при Дх = 0, Дг/ = О,
положив а (0,0) = 0, р (0,0) = 0.
Разделив обе части равенства для Дг на Д/, получим
4^=и. у) 4?+fy (*• у) 4?+«ду) 4?+₽ (2)
По условию, lim 4г==_37’ **т 4г='ИТ' Кроме того, так как
функции х(/) и y(t) дифференцируемы в точке /, то они непре-
рывны в этой точке, т. е. Дх->-0, Дг/->0 при Д/->0 и, как след-
ствие, а(Дх, Дг/)-^О и р(Дх, Дг/)-►О. Поэтому слагаемые
а (Дх, Дг/) -^г и р (Дх, Дг/) стремятся к нулю при Д/->-0.
Таким образом, доказано, что при Д/->-0 существует предел
правой части равенства (2), а следовательно, существует предел
левой части
.. Az dz
1™~5Г~ ~d7’
причем
dz е - t ч dx , . dy dz dz dx , dz dy —
"dF — f ‘ (*’"dF + fy (*’"dF ИЛИ "ЗГ — dx "dF + "dy "ST
Замечание. Обратите внимание на то, когда в обозначе-
ниях производных пишется «г?» и когда «d>.
Примеры.
I. Пусть г = /(х, г/), х=/3+2, г/=3/4—1. По формуле (1)
имеем
4г = -Й3'2 + -£12'3- _
2. Пусть z = xsin-~, х=1+3/, j/ = V74-f2. По формуле (1)
имеем
dz дг dx . дг dy / . х , х х \ „ х t
-dt = + w-аг = (sin - + -cos -)3 - 7COS T -7777-
19-3157
289
3. Пусть z = x2t/3, x=t, y=t2. По формуле (1) получаем
= 2ху3 • 1 + Зх2у2 • 2t.
Учитывая, что x=t, y=t\ находим -^- = 2/G2)3-|-3f2 (/2)22/ =
= 8/7. С другой стороны, можно найти выразив предвари-
тельно z через /. Имеем z = x2y3= t2 (/2)3= /8, откуда -^г=8/7, что,
безусловно, совпадает с результатом, полученным по формуле (1).
Если z=f(x, у), где г/=<р(х), то z=f[x, <р(х)1—сложная
функция х. На основании формулы (1), в которой роль t играет
теперь х, получим
dz dz dx ( dz dy
dx dx dx ' dy dx’
dx
а так как -37= 1, то
dz dz dz dy
dx dx ’ dy dx ’
Аналогично решается вопрос о производной сложной функции,
когда число промежуточных переменных больше двух. Например,
если u=f(x, у, z), где х = х(/), y = y(t), z=z(f), то формула
(1) принимает вид
dw du dx ( du dy ( du dz
d/ dx dt ' dy d/ ’ dz d/ *
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть z=f(x, у) —
функция двух переменных х и у, которые, в свою очередь, зависят
от двух или большего числа независимых переменных. Например,
пусть х = х(и, у), у = у(и, v). Тогда функция z=f[x(u, у),
у (и, у)] является сложной функцией независимых переменных
и и v, а переменные х и у — промежуточные.
Если функции х (и, v) и у (и, v) дифференцируемы в точке
М' (и; у), а функция z=f(x, у) дифференцируема в точке М (х; у),
где x = x(u, v)f у = у(и, v), то сложная функция z=f [х (u, v),
у (и, у)] дифференцируема в точке ЛГ (и, у), причем ее частные
производные в этой точке находятся по формулам
{dz ___ dz dx j dz dy
du dx du ’ dy du' ,
dz _ dzdx dz dy
dv dx de ’ dy dv‘
Дифференцируемость сложной функции доказывать не будем.
Для вычисления же ее частных производных фиксируем значение
одной из переменных и или v. Тогда попадаем в условия только что
доказанной теоремы 12. 4. Из формулы (1) в обоих случаях вытека-
ют формулы (3).
290
Примеры.
1. Пусть z=f(x, у), х = и2-^-2и, У = ~^- По формулам (3) имеем
dz ________ dz ~ дг .. Q \ дг / и2 \
du дх U ’ ду v * dv дх ’ ду у ц> у
2. Пусть z —х2у2, х — и-\-и, У = -у По формулам (3) получаем
-£ = 2хУ2 • 1 + 2х2У • -Т’ = 2хУ2 • 1 + 2х2У • (- v)-
Подставьте самостоятельно в эти формулы выражения x = u-^vy
и „ » дг dz
у-=— и, с другой стороны, найдите и предварительно вы-
разив z через и и а, а затем сравните полученные результаты.
3. Пусть z=x2 — y2, x=ucosvy y=usinu. По формулам
(3) имеем
-4 - == 2х cos v — 2y sin v\ 4- = — 2xu sin v — 2yu cos v.
du dv u
Если z = f(x), где x=x(u, у), to z=f[x(u, y)]—сложная
функция, зависящая через переменную х от двух переменных и и у,
и ее частные производные также находятся по формулам (3):
(dz ______ dz дх
ди dx ди’
дг __ dz дх
dv dx dv'
Обратите внимание на обозначения производных в этих формулах.
Формулы (3) можно обобщить на случай большего числа проме-
жуточных переменных.
Например, если uy = f(x, уу z)— функция трех переменных
х, у, z, а каждая из них зависит от и и у, то формулы (3) принимают
вид
{dw __ dw дх dw ду . dw dz
ди дх ди ' ду ди ' дг ди’
dw dw дх dw ду dw дг
dv дх dv ’ ду dv ’ дг dv'
§ 4. Дифференциал функции
1. Определение дифференциала. Напомним, что если функция
z==f(Af) дифференцируема в точке М, то ее полное приращение
в этой точке может быть представлено в виде
Дг = А Дх 4- В \у + а(Дх, Ду) Дх -|- £ (Дх, Ду) Ду, (1)
где а(Дх, Ду) и £ (Дх, Ду) — бесконечно малые функции при
Ах->0, Ду-^0.
Определение. Дифференциалом dz дифференцируемой в точке М
Функции z=f(M) называется линейная относительно приращений
19* 291
&х и \у часть полного приращения этой функции в точке М, т. е.
dz = А Дх 4- В &у. (2)
Используя теорему 12.2, выражение (2) можно переписать сле-
дующим образом:
dz = f'x (х, у) Ьх 4- f" (х, у) Лу.
Дифференциалами независимых переменных х и у назовем при-
ращения этих переменных: dx = Ax, dy=\y. Тогда дифференциал
функции можно записать в виде
dz = fx (х, у) dx 4- (х, у) dy.
Из соотношений (1) и (2) следует, что разность между полным
приращением и дифференциалом функции в точке М
Az — dz = а (Ах, Аг/) Ах + 0 (Ах, Ai/) &у
есть бесконечно малая при Ах—>-0, Ау->0 более высокого порядка,
чем р = V(Ах)2 + (Аг/)2 [р — расстояние между точками М (х; у)
и М|(х + Ах; г/-|-Аг/)]. Действительно,
|im^L±= iim (a±L+p^ = 0>
Дх-.О Р Дх-*О \ Р ' Н Р /
Д(/->0 . Ду->0
г» Ах Aw
так как аир — бесконечно малые, а — и — ограниченные
функции: Отсюда получаем: Az — dz = o(p) или
Az = dz + о (л/(Дх)2 + (Аг/)2). (3)
Отбрасывая при достаточно малых Ах и Ау величину о (р), получаем
приближенную формулу
Az « dz,
которую широко используют в приближенных вычислениях, так
как легче вычислить дифференциал, чем полное приращение.
2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометри-
ческий смысл дифференциала. Аналогично тому, как дифференциал
функции одной переменной геометрически представляет собой при-
ращение «ординаты касательной», дифференциал функции двух
переменных есть приращение «аппликаты касательной плоскости».
Введем понятие касательной плоскости к поверхности в точке NQ-
Плоскость, проходящая через точку Ао поверхности, называется
касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если угол
между секущей (прямой), проходящей через точку Ао и любую точ-
ку N поверхности, и плоскостью стремится к нулю, когда точка N
стремится к точке No.
Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, у) и функция
f (х, у) дифференцируема в точке Mo (х0; у0).
292
Докажем, что касательная плоскость к поверхности в точке
дг0 (х0; f/o; zo). где zo = f (*oi f/o). определяется уравнением
z — zo = f L (-4. У о) (* — -«о) + fa (xq, у 0) (у — у 0). (4)
Действительно, из аналитической геометрии известно, что урав-
нение (4) определяет плоскость, проходящую через точку iV0(x0;i/0;z0)
и имеющую нормальный вектор п ={f'x; f'y; —1}- Чтобы установить,
что эта плоскость является касательной, достаточно доказать, что
угол ф между вектором п и вектором любой секущей /V0N
стремится к л/2, когда точка W стремится к Af0. Координаты точки ЛГ
обозначим через (х; у\ z), где z=f(x, у). Так как координаты век-
тора п равны f'„ fy, —1, а координаты вектора NQN равны x—Xq,
y—y&z—z^ то
£(*-*») 4Ч(* ~уо) ~(г -го)
COS ф = — —— --------- ------ _ ------.
л/Г* +f’2 +Н(Х -Хо)2 +((/ -г/0)2 +(? -г0)2
Но, как следует из соотношения (3), /\(х—х0) +fy(y—y^) —
-(z —zo) =о (р). где Р —Уо)2- Поэтому
|cos <р | < W ...........- + 0,
V(x —х0)2 +(у -%)2
когда р->0. Отсюда следует, что lim ф=л/2, что и требова-
лось доказать.
Нормальный вектор п = {f'x, fy\ — 1} касательной плоскости на-
зывают нормалью к поверхности z = f (х, у) в точке Пусть
х —х0=Ах, у — Уь = &У, z — z^=\z\ тогда из равенства (4)
получаем, что приращение Az «аппликаты касательной плоскости»
определяется формулой
Дг = f; (х0> у0) Дх + (х0, у0) Ду,
т. е. действительно совпадает с дифференциалом dz функции z =
= f У}-
§ 5. Производная по направлению. Градиент
Рассмотрим функцию z = f (Л4), определенную в некоторой ок-
рестности точки М (х; у), и произвольный единичный вектор I =
= {cos a; cos 0} (рис. 165).
Для характеристики скорости изменения функции в точке
М (х; у) в направлении вектора / введем понятие производной пр
направлению. Для этого проведем через точку М прямую L так,
чтобы одно из направлений на ней совпадало с направлением векто-
ра /, и возьмем на направленной прямой точку Л4| (х + Дх; у-\-
+ А(/). Обозначим величину отрезка через А/, т. е. AZ =
= V(Ax)2 + (Аг/)2, если точка Л4, расположена так, как на рис. 165,
и AZ = — л/(Ах)2 + (Ai/)2, если точка Л4, расположена по другую сто-
293
рону от точки Л4. Функция f(M) получит при этом приращение
\z = f (х + Лх, у + Ai/) — f (х, у).
Определение 1. Предел отношения при М-+0
если он существует, называется производной функции z=f(M)
в точке М (х; у) по направлению вектора I и обозначается г.
.. Az dz
lim -Т7 = -ТГ.
д/->о dl
Предположим теперь, что функция [(М) дифференцируема
в точке М. Тогда ее приращение в этой точке вдоль прямой L можно
записать в виде
(х, у) Ах + ^(х, у) Ьу +
+ «! (Ах, Ау) Ах4-0! (Ах, Ду) Ау,
где а, и Р| — бесконечно малые функ-
ции при А/-^0. Разделив обе части
равенства на А/ и учитывая, что Ах =
= А/ cos а, \у = &1 sin а= А/ cos р,
получим
^=f'Ax, y)cosa+fy(x, у) cos 0 4-
+ а, (Ах, Ai/) cos а+ Pi (Ах, Ai/) cos р.
Переходя к пределу в этом равенстве при А/->0, получаем фор-
мулу для производной по направлению
dz dz । dz 1 \
W = 17cosa4-^cos₽- U)
Из формулы (1) следует, что производная по направлению является
линейной комбинацией частных производных, причем направляю-
щие косинусы являются как бы весовыми множителями, показы-
вающими вклад в производную по направлению соответствующей
частной производной.
D dz dz л dz dz л
В частности, при а=0 и р = -х-; при а=-^ и
dl dx r г 2 dl dy r 2
P = 0. Отсюда следует, что частные производные по х и у являются
частными случаями производной по направлению.
Пример. Вычислить производную функции z=x2-j-i/2x в точ-
ке М(1; 2) по направлению вектора MMlt где Л4|— точка с коор-
динатами (3; 0). __
Решение. Найдем единичный вектор / , имеющий данное
направление:
____ __ ____ I____I г- _____ мм,
ММ, ={2;-2) = 2i - 2/ ; ЛШ, = 2л/2; I U =
| MMt 1
2Т-2Т 1 — 1 —
= ----7=^— = —Г* 1 — “Г* / »
2V2 V2 V2
294
откуда cos а= 1 /л/2, cos 0= — 1 /л/2. Вычислим частные произ-
водные функции в точке М (1; 2):
['(*> у)=2х + у\ fy(x, у) = 2ху, откуда ^(1; 2) = 6, /^ (1; 2) = 4.
По формуле (1) получим
-^ = 6-U-4-}- = V2.
dl <2 V2
Определение 2. Градиентом функции z=f(M) в точке М (х; у)
называется вектор, комбинаты которого равны соответствующим
частным производным и взятым в точке М (х; у).
Обозначение: grad z={-|^;
Используя понятие градиента функции и учитывая, что вектор I
имеет координаты cos a, cos 0, представим формулу (1) в виде ска-
лярного произведения векторов grad z и I :
dz dz i о i T" /п\
-37 =-37 cos а +cos р = grad z • I . (2)
С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем
grad z • I = Igrad z| • \l | cos ф, (3)
где Igrad z\ — длина вектора grad z; ф—угол между векторами
/ и grad z. Сравнивая формулы (2) и (3) и учитывая, что |/ 1=1,
получаем
= Igrad z\ cos ф.
Из последнего равенства следует, что производная функции по на-
правлению имеет наибольшую величину при cos ф= 1 (ф=0),
т. е. когда направление вектора I совпадает с направлением grad z.
При этом “37= Igrad z|.
Таким образом, градиент функции z=f(A4) в точке М (х; у)
характеризует направление и величину максимальной скорости
возрастания этой функции в данной точке.
Аналогично определяется производная по направлению для
функции трех переменных u = f(xy у, z), выводится формула
du du . du Л , du
-ft = cos a + cos P + ~ft cos V.
вводится понятие градиента
□ ( du du du \
grad и = I -з-j -3—; -3—}
b ( dx’ dy ’ dz J
и исследуются его свойства.
Понятия производной по направлению и градиента функции
играют важную роль во многих приложениях.
295
§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
1. Частные производные высших порядков. Пусть частные произ-
водные /\(х, у) и fy(x, у) функции z=f(M), определенной в окрест-
ности точки Л4, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом
случае частные производные представляют собой функции двух
переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М.
Назовем их частными производными первого порядка.
В свою очередь, частные производные по переменным х и у от
функций f'x(x, у) и fy(x, у) в точке М, если они существуют, назы-
ваются частными производными второго порядка от функции f (Af)
в этой точке и обозначаются следующими символами:
= f'xx (*• у) = (*. г/); = Г»* (*. у) = f/x (*. у).
= f'yy (*, у) = (*. у); = Су (х, у) = (х, у).
Частные производные второго порядка вида f”x(x, у\ f'xtJ(x, у)
называются смешанными частными производными.
Примеры:
1. z = x4-\-4x2y3+ 7х(/4- 1- Имеем
17 = 4х3 + 8ху3 + 7у, = 12х2у2 + 7х.
Следовательно,
д2г
дх2
12х2+ 8у\
д 2 г
дх ду
d2z 2 I 7 d2z CiA 2
Л- = 24xu + 7, - = 24х у.
дудх ду2 &
2. z = sinxcosi/. Имеем
дг дг . .
— = COS X COS у, -Ч- = — sin х sin у.
дх ду
Следовательно,
д2г . д2г д2г . д2г
дх2 дхду дудх ду2
В обоих примерах смешанные частные производные f"yX(x, у)
и, f"Xy(x> У) равны. Но, вообще говоря, значения смешанных произ-
водных зависят от порядка, в котором производится дифференци-
рование. Так, например, функция
ОРИ о,
I 0 при х2 4- у2 = О
в точке (0; 0) имеет смешанные частные производные f'yx(x, у) и
Гху (*> У\ но они не равны друг другу. Действительно,
при х2 4" */2 ¥= 0,
при х2 4- У2 = 0.
У\х У
f x (*, у) = f (х2 + У2)2
I о
296
Следовательно,
f;,(0,0)= lim
Л1/-.0
f, (0,0 + Ду) - Гх (0, °) _ j
Ду
Проводя аналогичные вычисления, получим /"ДО, 0)=1. Таким
образом, f"x(0, 0)#=<;,(0, 0).
Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных
производных не зависят от того, в каком порядке производится
дифференцирование, дает следующая теорема.
Теорема 12.5. Если производные f"xy(x, у) и f"yx(x, у) суще-
ствуют в некоторой 6-окрестности точки М (х; у) и непрерывны
в самой точке Му то они равны между собой в этой точке, т. е. имеет
место равенство
Гху(Х, y) = f'yx(x, у).
Доказательство. Рассмотрим выражение
Д = [ f (х + Дх, у + Ду) — + &х, у)] — [ f (х, у + Ду) — f (х, у)],
где Дх и \у — любые столь малые числа, что точка (х-|-Дх;
уА~\у) находится в указанной S-окрестности точки М.
Введем вспомогательную функцию
ф (*) = f (х, у ^у') — f (х, у);
тогда выражение А можно рассматривать как приращение диффе-
ренцируемой на отрезке [х, х-|-Дх] функции ф (х) одной перемен-
ной х:
А = Дф = ф (х + Дх) — ф (х).
Поэтому, применяя к этой разности теорему Лагранжа, запишем
А = Дф = ф' (х + 0, Дх) Дх =
= [fx(x + 0, Дх, у + Ду) — f'x(x + 0, Дх, у)] Дх, 0 < 0! < 1.
Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как при-
ращение дифференцируемой на отрезке [у, у + Д</] функции f'x (х-|-
+ 0, Дх, у) одной переменной у. Применяя еще раз теорему Лагран-
жа (по переменной у), получаем
А = Гух(х + 0! Дх, у + 02Ду) Дх Ду, 0 <0,, 02<1. (1)
С другой стороны, если ввести вспомогательную функцию
Ф (У) = f (х + Дх, у) — f (х, у),
то, поступая аналогично, получим
А = Дф = ф (у + Ду) — ф (у),
э затем
А = Гху(х + 04 Дх, у + 03Ду) ДуДх, 0 < 03, 04 <1. (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем
’ f "ух (х + 01 Дх, у + 02 Ду) = Су (х + 04 Дх, у + 03 Ду).
297
Переходя теперь в этом равенстве к пределу при Дх->0 и Д(/->0
и учитывая непрерывность частных производных f"yx(x, у), f"xy(x, у)
в точке Л4, получим
lim f"x(x+0| Дх,у+02Ду) = lim fL,(x + 04 Дх, у+03 Ду) или
Дх—О
Ду—О
Дх—О
Ду—О
Мх-у)=Мх-у)-И
Аналогично частным производным второго порядка вводятся
частные производные третьего, четвертого, ..., n-го порядка и до-
казывается теорема типа 12.5 о равенстве смешанных производных
любого порядка.
2. Дифференциалы высших порядков. В § 4 было введено поня-
тие дифференциала дифференцируемой в точке М функции z=f (Л4)
и получена формула
dz = /\(х,у) dx + fs(x,y) dy.
(3)
Будем называть dz дифференциалом первого порядка. Для удоб-
ства условимся обозначать дифференциалы не только символом d,
но и символом S (например, Sx, by).
Пусть функции fx(x, у) и fy (x, у) дифференцируемы в точке М.
Будем рассматривать dx и dy в выражении для dz как постоянные
множители. Тогда функция dz представляет собой функцию только
переменных хи у, дифференцируемую в точке Л4, и ее дифференциал
имеет вид
6(dz) = 6[fUx,y) dx + fs(x,y) dy] =
= [ f'x (X, у) dx + fy (x, y) dy] dx + [ f;(x, y) dx + fy (x, y) dy] dy. (4)
Дифференциал S(dz) от дифференциала dz в точке Л4, взятый при
Sx=dx, S(/=di/, называется дифференциалом второго порядка
функции z=f(A4) в точке М и обозначается d2z. В свою очередь,
дифференциал S(d2z) от d2z, взятый при Sx=dx, by=dy, назы-
вается дифференциалом третьего порядка функции z = f(A4) и
обозначается d3z и т. д. Дифференциал S(dn-1z) от дифференциала
dn-1z, взятый при Sx==dx, by=dy, называется дифференциалом
п-го порядка (или п-м дифференциалом) функции z = f(M) и
обозначается dnz.
Итак, для n-го дифференциала функции z=f(A4) справедлива
формула
d"z=S(d" ’z)
бх = dx.
бу = dy
При нахождении второго (и последующих) дифференциалов
обычно вычисление S (dz) и приравнивание дифференциалов аргу-
ментов (8х= dx, by = dy) производятся одновременно.
С помощью формулы (4) найдем выражение для дифференциа-
ла второго порядка:
d2z = 6 (dz) = (fi dx 4- f dy) dx + (fx dx + f' dy) dy =
6x = dx
бу = dy
= (dx)2 + f"xy dx dy + f"yx dy dx + f"yy (dy)2
298
Если f"xy и f'yx непрерывны, то согласно теореме 12.5 слагаемые
f"xt/ dx dy и fyx dy dx равны, так что.
d2z = f;x(dx)2 + 2f;dxdi/ + /;y(di/)2.
Аналогично,
d3z = f" (dx)3 + 3^ (dx)2 Ay + 3/;;2 dx (dy)2 + f J(dy)3,
d"z = f';> (dx)" + nf^.^dx)"-' Ay + ...
+ n(n- i) ...(n- k +1) (dx)„_t (dy)t + + (dy)«
формула для dnz напоминает разложение двучлена в п-й степени
по формуле Ньютона. Поэтому выражение для dnz символически
можно записать в виде, более удобном для запоминания:
d"z=(4dx+'4dy),f(x> у)-
Примеры.
1. Найти d2z для функции z = arctg -j. Имеем
f У f _ _ X г» _ X1 - У2
Гх х'+ц^'у + yX<
f" — — 2ху f" = 2ху
х2 (х2+^)2’ (xi+y>f
Следовательно,
,2 - %ху (dx)2 -|- 2 (х2 — у2) dx dt/ + 2ху (dyf
“ (x2 + i/2)2
2. Найти d3z для функции z = sin х cos у. Имеем
f'x = cos х cos уу fy= — sin x sin у, f\ = — sin x cos y,
f"2 = — sin x cos y, f"xy = — cos x sin y,
= — cos x cos y, = sin x sin y,
f "'2( = sin x sin y, f"' = — cos x cos y.
Следовательно,
d3z = — cos x cos у (dx)3 + 3 sin x sin у (dx)2 dy —
— 3 cos x cos у dx (dy)2 4- sin x sin у (dy)3.
§ 7. Формула Тейлора для функции двух переменных
Аналогично функции одной переменной функцию двух перемен-
ных можно представить в виде суммы многочлена п-й степени и
некоторого остаточного члена. Докажем следующую теорему.
Теорема 12.6. Пусть функция у) непрерывна вме
сте со всеми частными производными до (п-j- 1)-го порядка включи-
тельно в некоторой 6-окрестности точки М (х, у). Пусть точка
МДх + Дх; у + \у) принадлежит этой окрестности. Тогда при-
ращение \f=f(Mi) — f(M) этой функции в точке М можно
299
представить в следующей форме:
М = а/ (х. 9) + +... + +
+ еад °<е<‘- С)
Формула (1) называется формулой Тейлора для функции z=f(x,i/).
Доказательство. Для доказательства введем вспомога-
тельную функцию
F (/) = f (х + t Дх, у -|- t \у),
которая является сложной функцией независимой переменной
изменяющейся в пределах от 0 до 1, и имеет (п + 1)-ю производную
по t на отрезке [0; 1 ].
Дифференцируя функцию F (f) по /, получаем
F' (0 = f x (* + * У + t &у) Ах -I- f' (х -I- t Дх, у + t by) by =
= (4 Дх + 4 Ду) f (Х + Z Дх> У + Z Ду)’
F"(0 = f "xx(x 4-1 Ьх, у + /Ду)(Дх)2 4- 2/хГ (х 4- /Ах, у 4- t\y) Ьх\у 4-
4-^(х4-/Дх, y + tby) (Ду)2=(-^Дх4-^Ду) /(х4-/Дх, y + tby).
По индукции найдем
Р(п} = (4 Дх + 4 Ау) f(x + Z Дх- У 4“ Z Ду)’
/7(«+1) = (JL дх JL Ду) + / (х 4- / Дх, у 4- < А{/).
С другой стороны, применяя к функции F(f), как функции одной
переменной /, формулу Маклорена (см. гл. 6, § 3, п. 3) и полагая
t= 1, получаем
г(1)_^о)+^+2у+...+^7>+^>,о<е<1.(2)
Но
F^ftx + bX'y + by^ftM^
F(0) = f(x,y) = f(M),
F' (°)= Дх + д*0 f (х> у">= (х> у}'
F" (°)=(4Дх+4Ау)2 f {х'у} = d2f(х> у)’
FW (°)=(4Дх+4 Ау)л f (х> =d7 (х> у)>
F(n+l) (°) = (4Дх+4 Ау)я+'f (х +0 Дх> у+0 Ау)=
= d’+y (х 4- е Ах, у 4- 0 Ду).
300
Учитывая эти равенства, из формулы (2) имеем
F(\)-F (0)=f W-f (M)=Af=df (x,
dn+l ftx + OAx, y + 9by) n 1
+-------(TTip------’ 0 < 0 < 1’
т. e. получена формула (1).
Формула Тейлора для функции двух переменных напоминает
формулу Тейлора для функции одной переменной. Но на самом
деле, если раскрыть выражения для дифференциалов функции
f(x, у) в формуле (1), то получим формулу оолее громоздкую и
сложную, чем для функции одной переменной.
Формула Тейлора для функций большего числа переменных
имеет аналогичный вид.
Замечание. При п = 0 из (1) получается формула Лагран-
жа (или формула конечных приращений) для функции двух пере-
менных
\f = df(x + о Дх, у + о д«/) =
= f'x (х + 0 &х, у + 0 Дг/) Дх + fy (х + 0 Дх, У + 0 ty) ty, 0 < 0 < 1,
из которой, в частности, следует, что если ^=^ = 0, то полное
приращение функции тождественно равно нулю и функция f (х, у)
является постоянной.
§ 8. Экстремумы функции двух переменных
1. Определение экстремума. Пусть функция z = f(x, у) опре-
делена в некоторой окрестности точки Мо (х0; г/0).
Определение. Говорят, что функция z=f(x, у) имеет в точке Мо
локальный максимум (минимум), если существует такая окрест-
ность точки Л40, в которой для любой точки М (х; у) выполняется
неравенство f (х, y)^f (х0> yQ) (J (х, y)^f (х0, у0)).
Точки локального максимума и локального минимума назы-
ваются точками экстремума. Из определения следует, что если
функция z = f(x, у) имеет экстремум в точке Мо, то полное при-
ращение Az=f (М) — f (Мо) этой функции в точке Л40 удовлетво-
ряет в некоторой окрестности точки MQ одному из следующих ус-
ловий:
Дг 0 (в случае локального максимума),
Дг 0 (в случае локального минимума).
И обратно, если в некоторой окрестности точки MQ выполняется
одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке Л40.
2. Необходимые условия экстремума. Теорема 12.7. Если
функция f(x, у) имеет в точке Af0(x0; г/0) экстремум и имеет в точ-
ке MQ частные производные первого порядка, то в этой точке част-
ные производные первого порядка равны нулю, т. е.
f, (*о. у o') = fy (х0, у о) = 0. (1)
301
Доказательство. Докажем, например, равенство нулю
частной производной /Дх^ у0). Для этого рассмотрим в окрестности
точки MQ только те точки, для которых у = yQ. Получена функция
f (х, г/0) одной переменной х, которая имеет в точке х=х0 экстре-
мум и в точке х= х0 производную /Дх^ г/0). Следовательно, в этой
точке выполняется необходимое условие экстремума функции одной
переменной: f'x (х^ г/0) = 0, что и требовалось доказать.
Аналогично, рассматривая функцию f (х0, у) одной переменной уу
находим f' (Хо, yQ) = 0.Н
Условие (1) не является достаточным условием экстремума.
Например, частные производные функции z = x2 — у2 равны нулю
в точке (0; 0), однако эта функция не имеет экстремума в указанной
точке, так как равна в ней нулю и ни в какой окрестности точки
(0; 0) не сохраняет знак: если х = 0, то z<0, а если г/ = 0, то
z>0. Графиком функции. z = x2 — у2 является гиперболический
параболоид (см. рис. 160).
Таким образом, условие (1) является только необходимым усло-
вием экстремума. Точки, в которых оно выполняется, будем по
аналогии с функциями одной переменной называть точками воз-
можного экстремума. Такие точки называются также стационар-
ными.
3. Достаточные условия экстремума. Теорема 12.8. Пусть
в точке Л4о(хо; г/0) возможного экстремума и некоторой ее окрест-
ности функция f (х, у) имеет непрерывные частные производные
второго порядка. Положцм
А =
f XX (^0> Уо) f ху (*0» У о)
f'xy (*0, Уо) Гуу (*о, У о) ’
Тогда:
а) если Л>0, то в точке Мо функция имеет экстремум,
причем при f"xx (хо, t/0) <0 — локальный максимум, при f"xx (х^ //0) >
>0 — локальный минимум:
б) если А < 0, то в точке М^нет экстремума.
Доказательство, а) Пусть Л>0. Введем следующие
обозначения: f"xx{xQ, у0)=-A, f"xy(x0, yQ) = B и f'yy(x(r, у0) = С.
По условию, ft(x0, Уо) = /у(хо> Уо) = °> Л>0 (или Л<0). Со-
гласно формуле Тейлора (1) из $ 7, взятой для п= 1, полное при-
ращение функции f (х, у) в точке Мо можно записать в виде
Л/= ^-1л'(Л.Г)2-ь 2#'Ax At/-h С'(Ay)2L (D
где Л'=^,(хо+елх, Уо+елу), B'=fxy(x0+e Ах, уо+0Ау), С’=
= f'yy(xQ+ 0 Дх, t/o-|-0Ai/), 0<0<1. Из непрерывности частных
производных второго порядка в точке Мо следует:
lirn Д' — (xq, у{}) — А > 0 (или А < 0),
Ах * 0
Лу 0
а также
lim (Д/С' - В'2) = f"xx (х0,4/0) f"yy (х0, t/()) - \fnxy (х0, J0)]2= А > О-
Ах — О У
Ау -* О
302
Поэтому для достаточно малых Лг/ и Дх имеем
А' > 0 (или А' < 0), А 'С' - В'2 = Д' > 0.
Так как А' =/=0, то соотношение (1) можно переписать в виде
д/=4 • 4- fА'2 (Дх)2+2А'в'Ах ду+А'с' (ду)21 -
или, дополняя до полного квадрата,
Af = Ах + В' \у)2 + {А'С' - В'2) (Ду)2].
Выражение в квадратных скобках неотрицательно, поэтому если
А'>0 (f"xx(xo, г/0)>0), то Д/>0, и, следовательно, в точке Л40
локальный минимум; если же А'<0 (fL(x0, t/0)<0), то Af^O,
и, следовательно, в точке Л40 локальный максимум, что и требова-
лось доказать.
б) Пусть теперь Л = ЛС —В2<0 и по-прежнему А =
= Г„(*о> Уо). S = ^(x0, у0), С=^(х0, у0). Рассмотрим много-
член
А + 2Вх + Сх2
Так как В2—ДС>0, то можно указать два числа и х2 такие,
что
А 4- 2Вх, 4- Сх2 > 0, А + 2Вх2 4- Сх2 < 0.
Полное приращение функции f (х, у) в точке Мо, как и в п. а), за-
пишем в виде (1). В силу непрерывности частных производных
второго порядка
lim (А' 4- 2В% 4- С'х2) = А 4- 2Вх{ 4- Сх2 > 0.
Следовательно, существует 6-окрестность точки MQ такая, что если
точка М (х0 4- Дх; у0 4- &у) принадлежит этой окрестности, то
А' 4- 2В'х1 4- С'х2>0. (2)
Рассмотрим теперь произвольную б'-окрестность точки Мо такую,
что 6'^6. Можно выбрать число />0 столь малым, что точка
М,(х4-/; УА-tXi) будет принадлежать б'-окрестности точки Мо.
Полагая в (1) Дх=/, At/=/Xj, в силу (2) получаем
Af = f (х0+ Ах, у0 + Ду) — f (х0, у0) = 4 Н л' + 2й'х 1 + с'хi] >°-
Рассуждая аналогично относительно значения х2, получим, что
в произвольной б'-окрестности точки MQ существует точка
М2(х4-Дх; у + Ьу), Для которой
Af = f (х0 + Дх, у0 + Ду) — f (х0, у0) < 0,
т. е. приращение функции f (х, у) в сколь угодно малой окрестности
точки Мо не сохраняет знак и, следовательно, в точке Мо нет экстре-
мума.
зоз
Замечание. Если Д = 0, то функция f (х, у) в точке Л40
возможного экстремума может иметь экстремум, но может и не
иметь его.
Примеры.
1. Исследовать на экстремум функцию z = x2-}-xy-\-y2 — 2х —
— Зу. Имеем
Л = 2х + у — 2, fy = X + 2у — 3.
Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему
уравнений
I 2х + у — 2 = О,
I х + 2у — 3 = О,
решения которой х=1/3, i/ = 4/3. Следовательно, М0(1/3; 4/3) —
точка возможного экстремума.
Далее, f"xx=2, f"xy= 1, f^=2, Л = 2-2 —1=3. Так как
Л=3>0 и /хх=2>0, то в точке М0(1/3; 4/3) данная функция
имеет минимум.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x2 — y2. Имеем
f'x=2x, fy= — 2y. Решая систему уравнений 2х=0, — 2i/ = 0,
получаем, что Мо(О; 0) — точка возможного экстремума. Так как
f"xx=2, f"Xy=O, f"yy= — 2 и, следовательно, Л=2-( — 2) — 0=
= —4<0, то в точке Л40 (0; 0) экстремума нет.
3. Исследовать на экстремум функцию z = x4 + y\ Имеем
f>4x3, f' = 4y3, f'xx=\2x2, fxy=0, fy, = \2y2. Решая систему
уравнений 4х3=0, 4у3=0, находим, что Л4о(О; 0) — точка воз-
можного экстремума. В этой точке fxx(0, 0)=0, f^(0, 0) = 0
и, следовательно, Л = 0. Согласно замечанию в точке Л40(0; 0)
экстремум может быть и может не быть. В данном случае экстремум
есть, так как z>0 во всех точках, кроме Мо и z = 0 в точке Мо>
т. е. данная функция в точке Мо имеет минимум.
4. Исследовать на экстремум функцию z = x3-|-i/3. Имеем
fx=3x2, f'y=3y2, f"xx=$x, fxy=^> fyy=ty. Решая систему
уравнений Зх2=0, Зу2=0, находим, что М0(0; 0) — точка воз-
можного экстремума. В этой точке /хх (0, 0)=0, /^,(0, 0) = 0 и,
следовательно, Л=0. В данном случае в точке Мо экстремума нет.
В самом деле, z (0, 0) = 0, z(x, 0)=х3, откуда z>0 при х>0
и 2<0 при х<0, т. е. в любой окрестности точки Мо данная функ-
ция имеет значения как большие, так и меньшие z(0, 0).
§ 9. Метод наименьших квадратов
В различных исследованиях приходится использовать фор-
мулы, составленные на основании эксперимента. Одним из лучших
способов получения таких формул является метод наименьших
квадратов.
Пусть на основании эксперимента необходимо установить функ-
циональную зависимость между двумя переменными величинами
304
х и у. Например, между температурой и удлинением прямоли-
нейного металлического стержня. По результатам измерений со-
ставим следующую таблицу:
X Х\ Х-2 1 X, 1 Хп
У У\ У-2 У> Уп
Установим теперь вид функции y=f(x) по характеру располо-
жения на координатной плоскости экспериментальных точек. Пусть,
например, точки, взятые из таблицы, расположены так, как по-
казано на рис. 166. В данном случае естественно предположить,
что между хну существует линейная зависимость, выражающаяся
формулой
у= ах + Ь.
(1)
Ограничимся только случаем линейной зависимости.
Так как точки (х,; t/J, (х2; t/2), • (х„; уп) не лежат точно на
прямой, а лишь вблизи нее, то формула (1) является приближенной.
Поэтому, подставляя значения ко-
ординат точек в выражение у —
— (ах-|-6), получаем равенства
у} — (ах1 + &) = 61> у2 — (ах2 + ь) =
= 62, у„ — (ахл+&) = 6„,
где 6|, 62,..., 6„ —некоторые числа,
которые назовем погрешностями.
Поставим задачу подобрать ко-
эффициенты а и b таким образом,
чтобы эти погрешности были воз-
можно меньше по абсолютной ве-
личине. Для решения этой задачи
воспользуемся методом наименьших
квадратов погрешностей
Рис. 166
квадратов. Рассмотрим сумму
S (а, Ь) = £ [у,- - (ах, + 6)]2 = £ 6*.
Z=1 z-1
Здесь х, и yi — заданные числа, а коэффициенты а и b — неиз-
вестные числа, подлежащие определению, исходя из условия мини-
мума S (а, Ь), т. е. S (а, Ь) можно рассматривать как функцию
двух переменных а и b и исследовать ее на экстремум.
Таким образом, задача свелась к нахождению значений а и Ь,
при которых функция S (а, Ь) имеет минимум. Имеем
= - 2 £ [У‘ - (ах‘ + *)] х‘’ 4г = - 2 £ \.У‘ - (ах- + *)]•
’ <=! z=l
20-3157
305
Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную
систему двух уравнений с двумя неизвестными а и Ь:
j^xf+b £ х„
( = 1 i=l i=l
п п
^У:= а £ Xi + bn.
Z=l i= I
(2)
Система (2) называется нормальной системой метода наимень-
ших квадратов. Из этой системы находим числа а и b и затем, под-
ставляя их в уравнение (1), получаем уравнение искомой прямой.
Тот факт, что функция S (а, Ь) в найденной точке М (а; Ь) имеет
минимум, легко устанавливается с помощью частных производ-
ных второго порядка. Имеем
d2S о V 2 d2S о V d2S о
да2 /> да db /, дЬ2
i= I i= I
Следовательно,
2
. d2S d2S / d2S \2 . V 2 Л V \
Л= «^-(та) vz/'J
i= I х i= 1 '
п п
Это выражение можно записать в виде Л = 2^ У (х,—х;) ,
<=1 /=1
d2S
откуда следует, что Л>0. Так как то в точке М (а; Ь)
функция S (а, Ь) имеет минимум.
Пример. Пусть в результате эксперимента получены пять зна-
чений искомой функции у при пяти значениях аргумента
X - 2 0 1 2 4
У 0,5 1 1,5 2 3
Будем искать функциональную зависимость между х и у в виде
линейной функции у = ах-\-Ь.
При составлении нормальной системы (2) для определения
коэффициентов а и b предварительно ^вычислим:
t/д. = 16,5; £ х? = 25; £ х, = 5; £ гд = 8.
/=1 1=1 i= 1 1=1
Система (2) принимает вид
( 25а + 5Ь = 16,5,
( 5а + 5Ь = 8.
Решая эту систему, найдем: а = 0,425, Ь= 1,175. Следовательно,
г/=0,425х-|-1,175 — уравнение искомой прямой.
306
I Л AB A 13
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В данной главе рассмотрим основные вопросы интегрирования
функций двух переменных. Полученные определения и результаты
могут быть перенесены на функции трех и более переменных.
§ 1. Двойные интегралы
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия опре-
деленного интеграла на случай функций двух переменных.
1. Определение и условия существования двойного интеграла.
Пусть G — некоторая замкнутая ограниченная область, a z =
—f (х, у) — произвольная функция,
определенная и ограниченная в этой
области.
Предполагается, что граница об-
ласти G состоит из конечного числа
кривых, заданных уравнениями вида
t/=f(x) или X =<jp(y), где f(x) и
<р (у) — непрерывные функции. Такой
областью, например, является зам-
кнутый многоугольник, граница ко-
торого состоит из конечного числа
отрезков, представляющих собой
графики непрерывных функций вида
пример — область, ограниченная эллипсом (здесь граница
из двух кривых: у = Vo2—%2) и т. д.
Другой
состоит
y=kx-}~b или х=а.
Разобьем область G произвольно на п частей G,-, не имеющих
общих внутренних точек, с площадями = 1, 2, ..., п) (рис. 167).
В каждой части Gt выберем произвольную точку (£,; qz) и составим
сумму
п
о = £ f (В.;П;) As.', (•)
которую назовем интегральной суммой для функции f (х, у) в
области G. Назовем диаметром d(G) области G наибольшее рас-
стояние между граничными точками этой области. Обозначим
через X наибольший из диаметров частичных областей GiCk =
Определение. Если интегральная сумма (1) при X—-0 имеет
предел, равный /*, то этот предел называется двойным интегра-
* Число / называется пределом интегральной суммы (I) при Х->0, если
для любого е >0 существует б >0 такое, что при X <д независимо от выбора
точек( Л,) выполняется неравенство |а —/| О.
20* 307
лом от функции f (х, у) по области G и обозначается одним из сле-
дующих символов:
I = $$ f (х, у) ds = $$ f (х, у,) dx dy.
G G
В этом случае функция f (х, у) называется интегрируемой в области
G, G — областью интегрирования, х и у — переменными интегриро-
вания, ds (или dx dy) —элементом площади.
Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что
функция f (х, у) ограничена. Как и для функции одной перемен-
ной, это условие является необходимым условием интегрируемости.
Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограничен-
ные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций
является функция, определенная на квадрате {(х; у) 10 х
<1; 1} следующим образом:
с/ \ _ Г 1, если х и у рациональные числа,
>У) — если хили у иррациональное число.
Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно
следует из определения двойного интеграла.
Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как
и в случае одной переменной, удобно воспользоваться теорией
сумм Дарбу, которая полностью переносится на случай двойного
интеграла*. Аналогично доказательству соответствующей теоремы
для определенного интеграла доказывается следующая теорема.
Теорема 13.1. Функция f(x, у), непрерывная в замкнутой
ограниченной области G, интегрируема в этой области.
Однако не следует считать, что двойной интеграл существует
только для непрерывных функций. Имеет место более общая тео-
рема.
Теорема 13.2. Функция f (х, у), ограниченная в замкнутой
ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек,
лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непре-
рывных функций вида y = f(x) или х=<р(г/), интегрируема в этой
области.
2. Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть в прост-
ранстве дано тело Р (рис. 168), ограниченное сверху графиком
непрерывной и неотрицательной функции z = f(x, у), которая опре-
делена в области G, с боков — цилиндрической поверхностью,
направляющей которой служит граница области G, а образующие
параллельнь\оси Oz, и снизу областью G, лежащей в плоскости
Оху. Тело такрго вида называют криволинейным цилиндром.
Аналогично тому как задача о вычислении площади криволи-
нейной трапеции приводит ^установлению геометрического смысла
* В частности, можно доказать, что если функция f (х, у) интегрируема
в области G, то предел как нижних, так и верхних сумм Дарбу при
равен f (х, у) ds.
308
определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Р
приводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.
Действительно, в данном случае интегральная сумма (1) пред-
ставляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями
оснований As,- и высотами f т],), которую можно принята за
приближенное значение объема тела Р:
п
VpX Yf (Bi. П/)
Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение
области G на части. При переходе к пределу при X—>-0 это приб-
лиженное равенство становится
точным:
п
Vp = lim £ f Т],) As,-.
X->° /=1
Так как функция f(x, у) интег-
рируема, то предел интегральной
суммы существует и равен двой-
ному интегралу от этой функции
по области G. Следовательно,
vp=^f (*> У) dx АУ-
Отсюда следует геометрический Рис 168
смысл двойного интеграла: двой-
ной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равен
объему криволинейного цилиндра.
Замечание. Если положить f (х, у)= 1 всюду в области G,
то непосредственно из определения двойного интеграла получим
выражение площади s области G в виде двойного интеграла:
п
Ц 1 • dx dy = lim У 1 • As,- = lim s = s.
G i=l
3. Свойства двойного интеграла. Основные свойства двойного
интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного
интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств,
не останавливаясь на доказательствах.
1°. Если k — произвольное число и функция f(x, у) интегри-
руема в области G, то функция kf (х, у) тоже интегрируема в G и
ЭД kf (х, у) dx dy = k ЭД f (х, у) dx dy,
G G
т. e. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2°. Если функции f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в области G,
то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и
$5 [f {к, у) ± g (х, у)] dx dy = 5$ f (х, у) dx dy ± ЭД g (х, у) dx dy.
G п G
309
3°. Если область G является объединением областей G\ и G2,
не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция
f (х, у) интегрируема, то в области G эта функция также инте-
грируема и
ЭД f (*. у) dx dy = ЭД f (х, у) dx dy + ЭД f (х, у) dx dy.
G 6, G2
4°. Теорема о среднем. Если функция f(xt у) непре-
рывна в области G, то в этой области найдется такая точка (£.;
что
ЭДН*. у) dx dy = /(£,; т],)
G
где s — площадь фигуры G.
Итак, рассмотрены определение и основные свойства двойного
интеграла, условия существования, выяснен его геометрический
смысл. Теперь рассмотрим способы вычисления двойных интегра-
лов.
§ 2. Сведение двойного интеграла к повторному
1. Случай прямоугольной области. Сначала рассмотрим двой-
ной интеграл по некоторому прямоугольнику D со сторонами, па-
раллельными осям координат.
Теорема 13.3. Пусть для функции f(x, у) в прямоуголь-
нике D = {(x; у)\а^х^2Ь'у c<Zy^d\ существует двойной ин-
теграл
^f(x,y)dxdy. (1)
D
Пусть, далее, для каждое^ х из отрезка [а, Ь] существует опреде-
ленный интеграл
1 (х) =--- J f (х, у) dy. (2)
С
Тогда существует интеграл
’ b b d
J / (х) dx = J dx f (х, у) dy
а ас
(он называется повторным) и справедливо равенство
ЭД f (х, у) dx dy == $ dx j / (x, у) dy. (3)
I) a c
Доказательство. Разобьем прямоугольник D с помощью
точек u = x0<xl<x2<...<xrt-~fc и с = Уо<У 1<Ух<--
...<yk=d на nk частичных прямоугольников £)z/={(x; у)\х^^
^x^xt; У(-\^У^У^- Положим Лх( = х, —xt_,, \yl=yj — yt~\
и обозначим через /и(/ и MtJ соответственно точную нижнюю
и верхнюю грани функции f(x,y) на частичном прямоуголь-
310
нике Dtj (рис. 169). Тогда всюду на этом прямоугольнике
Положим в этом
точка отрезка [xt_h xt
от t/y.i до yjt Получим
< f (x, у) < Мц. (4)
неравенстве x=£t-, где —произвольная
и затем проинтегрируем (4) по у в пределах
(5)
Суммируя (5) по всем j от 1 до k и используя обозначение (2)
имеем
k
k
(6)
Далее, умножая (6) на Дх, и суммируя по всем I от 1 до и, получаем
п k п п k
Z £ тг, Дх,- Ду,. < £ / (£.) Дх,- < £ £ Мц Дх,- Ьу,.
(=1 /=1 1=1 (=1 /=1
(7)
наибольшая из длин Axt-^0.
и
Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников Dt/
стремится к нулю (Х->0). Тогда
Крайние члены в (7), представ-
ляющие собой нижнюю и верх-
нюю суммы Дарбу, стремятся
при этом к двойному интегралу
(1) (см. сноску на с. 308). Таким
образом, существует предел и
среднего члена (7), равный тому
же самому двойному интегралу.
Но этот предел по определению
определенного интеграла равен
b b d
Р (х) dx = J dx J f (x, у) dy.
Тем самым доказано существование повторного интеграла и равен-
ство (3).
Замечание. Если в теореме 13.3 поменять х и у ролями,
то будет доказано существование повторного интеграла
d d b
\Цу)йу = \dy\f (х, у) dx
и справедливость равенства
d b
$$ f (х, у) dx dy = J dy f (x, y) dx.
D c a
С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится
торному. Например, в формуле (8) интегрирование сначала
(8)
к пов-
произ-
311
водится по х при постоянном у, а затем полученный результат
интегрируется по у, т. е. последовательно вычисляются два опре-
деленных интеграла.
Пример. Вычислить ЭД ху dx dt/, где D = {(x; t/)|l^x^2;
D
l<t/<2}.
Решение. Имеем
2 2
ЭД ху dx dt/ = dt/ ху dx =
D I 1
2 9 2
ИХ2 ] , f Г o 1 I , 3 2 12 9
у — ]id^= jL2^~ ~y\ dy==~y n = ~•
i ।
2. Случай криволинейной области. Теорема 13.4. Пусть
функция z=f(x, у) определена в области G = {(x; y)\a^xt^b\
У\ (Х)^У^У2 (*)}> г&е У\ W и У2 (х) — непрерывные функции,
t/, (x)<Jt/2(x) для a^x-^b. Пусть также существует двойной
интеграл
55 Ж у) dx dy
G
и для каждого хиз отрезка [а,6] существует определенный интеграл
У>2 (*)
/ (х) = $ f (х, у) dy.
У\ (х}
Тогда существует повторный интеграл
b Ь У2^
51 (х) dx = $ dx J f (x, у) dy
а a yx (x)
и справедливо равенство
b У2 W
55 f (x, y) dx dy = 5 dx 5 f (X, y) dy. (9)
G a yx (x)
Доказательство. Положим c= min y{ (x), d = max t/2 (x) и
|a,d] [a.6]
заключим область G в прямоугольник D = {(x; y)\a^.x^b; c^
^y^d\ (рис. 170). Рассмотрим в этом прямоугольнике вспомо-
гательную функцию
п , ч ( f (х, t/T в точках области G,
(х, t/) = С п гл
4 I 0 в остальных точках D.
Эта функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Дей-
ствительно, она интегрируема в области G, так как совпадает в ней
с f(x, t/), и интегрируема в остальной части D—G прямоуголь-
ника D, где она равна нулю. Следовательно, согласно свойству 3°
312
§ 1, она интегрируема и по всему прямоугольнику D. При этом
F (х, у) dx dy = f (х,у) dx dy и F (х, у) dx dy = О,
G G о - а
откуда
F (х, у) dx dy = f (x, у) dx dy. (10)
D G
Далее, для каждого x из [a, b] существует интеграл
d 1/| W 1/9 (*> d
^F(x,y)dy = F(x,y)dy+ J F(x,y)dy + j F(x,y)dy,
С С У\ (x) y2 (x)
так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа.
Действительно, отрезки [с, ух (х)] и [*/2(х), d] лежат вне области G
и на них F(x, у) равна нулю, отсюда первый и третий интегралы
равны нулю, а второй интеграл существует по условию, так как
F (x,y) = f (х, у) на отрезке [ у{ (х), у2 (х)]. Поэтому
d У2 W
\F(x,y)dy = ( f(x,y)dy. (11)
С У\ (х)
Таким образом, для функции F(x, у) выполнены все условия тео-
ремы 13.3 и, следовательно, двойной интеграл от этой функции по
прямоугольнику D может быть сведен к повторному
b d
F (х, у) dx dy = dx J F (x, у) dy. •
D a c
Отсюда и из равенств (10) и (11) получаем
Ь У2^х}
^f(x,y)dxdy= Jdx J f(x,y)dy,
G a y{ (x)
T. e. формулу (9).
Замечание 1. Если в теореме 13.4 поменять ролями х и у,
то теорема будет утверждать существование повторного интеграла
d d х2^
J / (у) dy = 5 dy $ f (Х, у) dx
С С Х| (у)
313
и равенства
d х2
\\f(x,y)dxdy=\dy J f(x, y)dx.
G с X! (у)
(12)
Пример. Вычислить интеграл (x2 + *{/ + 2t/2)dx dy по обла-
G
сти G = {(x; г/)|0^х^ 1; О^г/^ 1 — х).
Решение. Область G представляет собой треугольник, огра-
ниченный осями координат и прямой у=— х+1 (рис. 171). Сле-
довательно, г/| (х)=0, г/2(*) = 1 — *• По формуле (9) имеем
(х2 + ху + 2г/2) dx dy = dx (х2 + *У + 2г/2) dy =
G О О
= j p(i - %) + +2(1 гх)3] dx=4-
о
Данный интеграл можно вычислить и по формуле (12), если в G
поменять хну ролями. Тогда треугольник определяется неравен-
ствами 0^г/^1, 0^х<И—г/, откуда х1 (г/) = 0, х2(г/) =
= 1—г/, и легко проверить, что интеграл (х2 + хг/ + 2г/2) dx dy =
G
I \-y
= J dy J (x2 + *{/ + 2r/2) dx имеет то же самое значение,
о о
Замечание 2. Если область G не удовлетворяет условиям
теоремы 13.4 (например, прямые (вертикальные или горизонталь-
ные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необхо-
димо область G разбить на части, каждая из которых удовлетво-
ряла бы условиям теоремы 13.4, и сводить к повторному каждый
из соответствующих двойных интегралов отдельно.
§ 3. Замена переменных в двойном интеграле
Пусть функция f (х, у) непрерывна в некоторой замкнутой
ограниченной области G. Тогда для функции f (х, у) существует
двойной интеграл
f (х, у) dx dy. (1)
G
Предположим, далее, что с цомощью формул
х = х (г/, v), у = у (г/, v) (2)
мы переходим к новым переменным и и v. Будем считать, что и и v
определяются из (2) единственным образом:
и = и (х, у\ v = v (х, у). (3)
С помощью формул (3) каждой точке А4(х; у) из области G ста-
вится в соответствие некоторая точка А4* (и; у) на координатной
314
плоскости с прямоугольными координатами и и v. Пусть множе-
ство всех точек Л4* (и, г?) образует ограниченную замкнутую об-
ласть G*. Формулы (2) называют формулами преобразования коор-
динат, а формулы (3) — формулами обратного преобразования.
При сделанных предположениях можно доказать, что если функ-
ции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные пер-
вого порядка и если определитель
дх дх
D(x,y) _ ~dii ~dv
D (и, и) ~ ду '
ди dv
отличен в G* от нуля, то для интеграла (1) справедлива формула
замены переменных
ЭД f(x, у) dxdy = ЭД Цх(и, и). у (и, у)] | du du. . (5)
G G*
Определитель (4) называется функциональным определителем или
якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций х =
= х (и, v), у = у (и, v) по переменным и и v.
Коротко изложенное можно сформулировать в виде следующей
теоремы.
Теорема 13.5. Если преобразование (2) переводит замкну-
тую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область
G* и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют
в области G* непрерывные частные производные первого порядка
и отличный от нуля якобиан (4), а функция f (х,у) непрерывна в об-
ласти G, то справедлива формула замены переменных (5).
Доказательство теоремы достаточно сложное и здесь не при-
водится*.
Как в двойном, так и в определенном интеграле замена пере-
менных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более
удобному для вычисления.
Пример 1. Вычислить интеграл ЭД (2х — у) dx dr/, где G — па-
G
раллелограмм, ограниченный прямыми х + у=1, х + г/=2,
2х —г/=1, 2х —г/ = 3 (рис. 172, а).
Решение. Непосредственное вычисление этого интеграла до-
статочно громоздкое, так как для сведения его к повторному (сна-
чала по г/, а затем по х) необходимо область G разбить на три об-
ласти (штриховые линии на рис. 172) и затем вычислить соответ-
ственно три интеграла. Однако простая замена переменных
х + у = и, 2х — у = v (6)
позволяет значительно упростить решение. Прямые x-j-y=l и
х-|-г/=2 в системе координат Оху переходят в прямые и= 1
* Отметим также, что формула (5) справедлива и в более общем случае,
н частности якобиан (4) может обращаться i пуль в конечном число точек или
кривых.
315
и u = 2 в системе координат O'uv (рис. 172, б), а прямые 2х —
= 1 и 2х —и=3—в прямые v= 1 и v=3. Параллелограмм G
взаимно однозначно преобразуется в прямоугольник G*, который
является более простой областью интегрирования. Осталось вы-
числить якобиан. Для этого выразим х и у через и и v из равенств
(6): x=(u + ^)/3, у = (2и — v)/3. Следовательно,
D(x,y) 1/3 1/3
D (и, v) - 2/3 -1/3
J_____2_ _________1_
9 "9" ~ 3 •
По формуле (5) окончательно получаем
Замечание. Если
ние границы области ин-
тегрирования содержат
сумму х2 + ^/2, то во
многих случаях упро-
щение интеграла дости-
гается преобразованием
его к полярным коорди-
натам, так как данная
сумма в полярных коор-
динатах (х = р cos ф,
у = р sin ф) принимает
достаточно простой вид
(р cos ф)2-Ь(Р sin ф)2==Р2-
подынтегральная функция или уравне-
Пример 2. Вычислить интеграл Ц ех2+у2 dx dy, где G — четверть
круга x2 + t/2= 1, расположенная в I квадранте (рис. 173).
Решение. Преобразуем
интеграл к полярным координа-
там по формулам х = рсоэф,
у=р sin ф. Тогда х2 + «/2=р2 и
дх дх
D (х, у)_ dp dtp _
D (р, <р) ~ ду ду —
dp dtp
__ cos ф — р sin ф __
sin ф р cos ф
Рис- 173 = р [ COS2 ф + sin2 ф] = р.
Наглядно видно, что в области G р изменяется в пределах от О
до 1, а ф — от 0 до л/2. Иначе говоря, область G преобразуется
316
в прямоугольник {(р; ф) 10 р 1; 0^ф^л/2)* (рис. 173).
Таким образом, по формуле (5) получаем
л/2 1 л/2
ех2+*/2 dx dy = dtp eP2p dp = -i-(e — 1) d(p =
G 0 0 0
= 4(e-l)4 = -l(e- 1).
На практике при замене переменных нет необходимости де-
тально строить область G*. Обычно выясняют пределы изменения
новых координат, используя вид области G на плоскости Оху,
что и сделано вначале в данном примере.
§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения
двойных интегралов
1. Вычисление объема. Как известно, объем v криволинейного
цилиндра, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,
снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической по-
верхностью, у которой образующие параллельны оси Ог, а направ-
ляющей служит контур области G,вычисляется по формуле
и = ЭД Цх, у) dx dy,
G
т. е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел.
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
х = 0, t/=0, 2 = 0 и x + t/4-2=l (рис. 174).
Решение. Имеем
V = ЭД (1 — X — у) dx dy,
G
где G — треугольная область интегрирования, ограниченная пря-
мыми х=0, t/ = 0, x-|-t/= 1. Расставляя пределы интегрирова-
ния в двойном интеграле, получаем
I I - X I
SC С Г ч2\~Х'
dx \ (1 — х — у) dy = \ (1 — х) у —1 dx =
J J L 2 J о
0 0 о
I
=4 V1 -х)2(1х=4
о
2. Вычисление площади. Как было установлено (см. замеча-
ние в § 1), площадь s области G может быть вычислена с помощью
Двойного интеграла по формуле
s = ЭД dx dy.
* Якобиан обращается в нуль при р=0, но формула замены переменных
остается в силе.
317
Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула,
выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью опреде-
ленного интеграла, так как данная формула применима не только
к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным
произвольно по отношению к координатным осям.
Пример 2. Вычислить площадь области G, ограниченной ли-
ниями t/2=x-|- 1, x-|-t/ = 1 (рис. 175).
Решение. Область и представляет собой фигуру, ограни-
ченную слева параболой t/2 = x-|-l, справа прямой у— — x-f-1.
Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки
их пересечения: Af, (3; —2), Л)2 (0; 1). Следовательно, искомая
площадь
I \-у I
s = dx dt/ = dt/ dx = (2 — у — у2) dy = 4J--
а -2 (,2-1 -2
При вычислении двойных интегралов с помощью повторного
интегрирования одним из главных моментов является расстановка
пределов интегрирования. Если в данном примере выбрать другой
порядок повторного интегрирования (сначала по у, а затем по х),
то область G предварительно пришлось бы разбить на две части
(осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на
отрезках — l^x^O и О^х^З двумя различными уравнени-
ями. Разумеется, был бы получен тот же результат, однако вычис-
ления оказались бы более громоздкими.
Поэтому полезно запомнить следующее правило: если все пря-
мые, параллельные оси Оу, входят в область интегрирования G
на линии, заданной одним уравнением, и выходят из области на
линии, заданной одним уравнением, то внутренний интеграл целе-
сообразно брать по переменной у, а внешний — по х; аналогично,
если все прямые, параллельные оси Ох, входят в область интегриро-
вания на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на
параболе), и выходят на линии, заданной одним уравнением (в дан-
ном случае на прямой), то внутренний интеграл следует брать по
переменной х, а внешний — по у: в этом случае область интегриро-
вания не нужно разбивать на части.
318
3. Вычисление площади поверхности. С помощью двойных ин-
тегралов можно вычислять площади не только плоских фигур, но
и кривых поверхностей.
Пусть поверхность S задана уравнением z=f(x, у), проек-
цией S на плоскость Оху является область G (рис. 176) и в этой
области функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные част-
ные производные f’x(x, у) и fy(x, у). Для определения площади
поверхности S разобьем область G произвольно на п частей G,
без общих внутренних точек с площадями As,- (/=1, 2, ..., п) и
обозначим через S, часть поверхности
плоскость Оху является частичная об-
ласть G,. Таким образом, поверхность
S будет разбита на п частей.
В каждой части G, выберем произ-
вольную точку (£,; t|z), на поверхности
S ей будет соответствовать точка Л4
т],; f (£/» Л/)Ь Проведем через точку Л4,
касательную 'плоскость к поверхности:
Г, (В., п.) (* * — В,) + fy (£.. п.) (у - n.) -
— (г — г,) = О,
S, проекцией которой на
Рис. 176
здесь х, у, z — координаты произвольной точки на плоскости;
т]г, z-=l^h т],)— координаты точки касания (см. гл. 12,
§ 4, п. 2). Напомним, что вектор п (нормаль), перпендикуляр-
ный касательной плоскости, имеет следующие координаты:
п ={ — fx n<); —fyfa Hi); +1)- (Здесь вектор n направлен про-
тивоположно вектору п из гл. 12, § 4, п. 2. Данный вектор п обра-
зует острый угол с осью Oz.)
Рассмотрим на касательной плоскости ту ее часть, проекцией
которой на плоскость Оху является область G,. Обозначим эту
часть через о,, а ее площадь через До,. Площадь До, можно счи-
тать приближенно равной площади части S, поверхности, а сумму
всех таких площадей
(=1
приближенным значением площади всей поверхности S.
За точное значение площади поверхности S примем по опреде-
лению предел такой суммы
п
s = lim £ Да,*, (1)
х—° j=rl
п
* Определение предела суммы £ Да при аналогично определению
i= 1
предела интегральной суммы для двойного интеграла (см. сноску на с. 307).
В дальнейшем все аналогичные определения опущены’.
319
где X — наибольший из диаметров частичных областей Gz. Дока-
жем, что этот предел существует и равен двойному интегралу
S = $$ V 1 + f'2 (х, у) + f'2 (х, у) dx dy. (2)
G
Обозначим через yz угол между вектором п и осью Oz. Он равен
углу между касательной плоскостью в точке Mz и плоскостью
Оху. Так как область Gz есть проекция oz на плоскость Оху, то
площади этих областей связаны соотношением
As
Действительно, данная формула, как известно, справедлива
для треугольников. Она, очевидно, справедлива и для плоских
многоугольников, так как плоский многоугольник можно разбить
на несколько треугольников. Она также справедлива и для любой
плоской фигуры, площади До, ограниченной некоторой кривой,
поскольку ее площадь можно рассматривать как предел площадей
вписанных в нее многоугольников.
С другой стороны, как известно из аналитической геометрии,
1
cos у, = — - - -- --.
Л^ + Г2(5,.п,) +/•/(!,.П,)
Следовательно,
V2 2
1 + fx (L n.) + fy (В,-. n.) М
Подставляя значение До, в сумму (1), получаем
s = lim £ л/ 1 + fx2 (L П<) + fy2 (I, П,)
Стоящая под знаком предела сумма представляет собой интеграль-
ную сумму для функции "V1 + (*, */) + /у2(х> У\ Так как эта
функция по условию непрерывна в области G, то предел этой суммы
при Х->0 существует и равен двойному интегралу (2), что и тре-
бовалось доказать.
Соотношение (2) представляет собой формулу, с помощью кото-
рой вычисляется площадь поверхностей, заданных уравнением
Z=f (х, у).
Пример 3. Вычислить площадь той части плоскости 6х-|-3£/ +
+ 2z = 12, которая заключена в первом октанте (рис. 177).
Решение. Так как функция х= 6 — Зх — (3/2) у и область
G, являющаяся проекцией данной части поверхности на плоскость
Оху, удовлетворяют сформулированным выше условиям, то иско-
мую площадь можно вычислить по формуле (2). Имеем
/;(х,у)=-3>^(х, у) =-3/2;
V, 2 ,2 I----------
1 + Л (х, У) + fy (X, У) = VT+ 9 + 9/4 = 7/2.
320
Областью G является треугольник, ограниченный осями Ох,
Оу и прямой 6х + Зг/= 12, получаемой из уравнения данной
плоскости при z = 0. Расставляя пределы интегрирования в двой-
ном интеграле, получаем
2 4—2х 2 2
s = dx “7 dt/ = -^ [ у] о~2х dx = ~ (4 — 2х) dx =
0 0 о о
= ~^[4х — х2] о = -^-*4=14.
4. Вычисление массы пластинки. Рассмотрим на плоскости Оху
материальную пластинку, т. е. некоторую область G, по которой
распределена масса т с плотностью р (х, у). Вычислим по задан-
ной плотности р (х, у) массу т этой пластинки, считая, что р(х, у)—
непрерывная функция. Разобьем G произвольно на п частей Gz-(/ =
= 1, 2, ..., и) и обозначим через массы этих частей. В каждой
Рис. 177
Рис. 178
части произвольно возьмем точку (£t; T]t). Массу каждой такой
части Gt можно считать приближенно равной р (£t т)(.) Asz, где Ast —
площадь Gz, а масса т всей пластинки приближенно равна сумме
п п
т~ £ р (|;> г),) As,,
1= I 1= I
которая является интегральной суммой для непрерывной функ-
ции р(х, у) в области G. В пределе при Х->0, очевидно, получим
точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от
функции р (х, у) по области G, т. е.
m р (х, у) dx dy. (3)
G
Пример 4. Определить массу квадратной пластинки со сторо-
ной 2а, если плотность р (х, у) в каждой точке М (х; у) пропор-
циональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения
диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.
Р е ш е н и е. Выберем систему координат так, как показано на
рис. 178. После этого можно найти функцию р (х, у) исходя из
21 - 3157 321
условия задачи. Пусть М (х; у) — произвольная точка квадрат-
ной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки Л4 до точки
пересечения диагоналей равен x24-i/2. Следовательно, плотность
в точке Л4
р (Л4) = р (х, у) = k (х2 + I/2).
По формуле (3) имеем
т = k (х2 4- у2) dx dy.
G
Учитывая, что подынтегральная функция четна относительно
х и у, а область интегрирования симметрична относительно осей
координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той
части области G, которая расположена в I четверти, т. е.
т = 4k dx (х2 4- у2) dy = 4k [ х2у 4- dx =
0 0 о °
= 4fe j(ax2 + 4)d^ = ^[4- + ^]0 = 4fe^- = 4fea4-
5. Вычисление координат центра масс пластинки. Найдем коор-
динаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху не-
которую область G. Пусть р (х, у) — плотность этой пластинки
в точке М (х; у), причем р (х, у) — непрерывная функция. Раз-
бив область G на части Gz(/=1, 2, ..., и), выберем в каждой из
этих частей некоторую точку (£z; tjz) и будем приближенно считать
массу mt каждой из частей пластинки равной р (£z; T]t) Asz (Asz—
площадь Gz). Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена
в одной точке, а именно в точке (£,; tjz), то для координат хс и у,
центра масс такой системы материальных точек получим следую-
щие выражения:
£ 5,р(1;,П;) ч £ П,р(1,,п,) ч
'У'~----------- (4)
£p(^.4)As,----------------------------£p(£(,n)ASi
I = 1 I = 1
которые представляют собой приближенные значения координат
центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих ко-
ординат, необходимо в (4) перейти к пределу при Х->0. При этом
интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы
получим, что координаты центра масс пластинки определяются
формулами
*Р (*, У) dxdy У9 (*» У) dx dy
G_____________. __ G_____________
m ’ Ус m
(5)
где m = p (x, y) dx dy — масса пластинки.
322
Если пластинка однородна, т. е. р = const, то формулы коор-
динат центра масс упрощаются:
х dx Ад у dx Ay
хс = ; ус = ------• (6)
SSdxdy
G G
Величины Л4у=^хр(х, у) dx Ay и Л4х=^г/р(х, у) dx &у в фор-
G G
мулах (5) называются статическими моментами пластинки отно-
сительно осей Оу и Ох.
Таким образом, вычисление координат центра масс пластинки
сводится к вычислению трех двойных интегралов.
Пример 5. Найти координаты центра
стинки, ограниченной двумя параболами
г/2 = х и х2 = у (рис. 179).
Решение. Координаты центра масс
данной пластинки найдем по фор-
мулам (6). Сначала вычислим массу
пластинки
I Vx
пг = dx dy = dx dy — —.
G О х2
масс однородной пла-
Далее вычислим статические моменты ее относительно осей коор-
динат:
। v;
Му = ЭД х dx dy = х dx dy =
G О х2
I Vx
Л1Х = ЭД у dx dy = J dx J у dy -
G О х2
Затем по формулам (6) найдем
_ Я _ з , i _ 9 _ Ч _ з , 1 _ 9
Хс т" — “20 : Т — “20 ’ Ус~ ~ 20 ' ~ ~ “20•
Итак, хс = ус = -^.
6. Вычисление момента инерции пластинки. Как известно, мо-
мент инерции материальной точки относительно некоторой оси
равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой
оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме
моментов инерции этих точек.
Пусть область G плоскости Оху занята пластинкой, имеющей
непрерывную плотность р (х, у). Разбив область G на части Gp
площади которых равны 2, ..., п), и выбрав в каждой
из них некоторую точку (^; т^), заменим пластинку системой
21*
323
материальных точек с массами m/ = p(^/, т],) As,- и координатами
(£,; T]t). Момент инерции такой системы точечных масс, например,
п
относительно оси Оу равен £ £,2р т],) As,-. Примем это выра-
I = ।
жение за приближенное значение момента инерции пластинки.
Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерыв-
ной функции х2р(х, у). Переходя к пределу при Х-^0, получаем
для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую
формулу:
Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох
равен
Л= ^У2р(*> У) dx АУ-
G
Найдем момент инерции /0 пластинки относительно начала ко-
ординат. Принимая во внимание, что момент инерции материаль-
ной точки с массой т относительно начала координат равен т(х2+
+1/2), рассуждая, как и выше, получаем, что
Л> = + t/2) 0 (х, у) dx dy, (7)
G
т. е.
^о = Л + ^-
Пример 6. Найти момент инерции круга радиуса R с постоян-
ной плотностью р (х, у) = 1 относительно начала координат.
Решение. По формуле (7) имеем
10= (х2 + у2) dx dt/.
G
Перейдем к полярным координатам. Уравнение окружности (гра-
ницы круга) в полярных координатах имеет вид р = R. Поэтому
2л R 2л _
Л> = $ d<p^ р2р dp = d<p = 4l/?44)lo,,=J¥L-
0 0 о
§ 5. Криволинейные интегралы
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда
областью интегрирования является отрезок некоторой кривой,
лежащей в плоскости.
Интегралы такого рода называются криволинейными. Они
имеют широкое применение в различных разделах математики.
Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные
интегралы первого и второго рода.
324
1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Рас-
смотрим на плоскости Оху некоторую кривую АВ, гладкую или
кусочно-гладкую*, и предположим, что функция z=f(x, у) опре-
делена и ограничена на кривой АВ.
Разобьем кривую АВ произвольно на п частей точками А =
==M0, Afj, М2, , Mt, ..., Мп _ „ Мп= В, выберем на каж-
дой из частичных дуг Л4, _ 1Л4, произвольную точку М, (рис. 180)
и составим сумму
Z f W
(1)
Сумма (1) называется интеграль-
ной суммой для функции z=f(x, y) = f(M) по кривой
значим через X наибольшую из длин
Х= max
где Л/, — длина дуги
частичных
Определение. Если интегральная
сумма (1) при Х->0 имеет предел,
равный I, то этот предел называется
криволинейным интегралом первого
рода от функции f (х, у) по кривой
АВ и обозначается одним из сле-
дующих символов
1= 5 f(M)dl = f(x,y) dl.
АВ АВ
АВ. Обо-
В этом случае функция f(x, у) называется интегрируемой вдоль
кривой АВ, сама кривая АВ — контуром интегрирования, А —
начальной, а В — конечной точками интегрирования.
Криволинейный интеграл первого рода легко сводится к опре-
деленному интегралу. Действительно, приняв на кривой АВ за
параметр длину дуги /, отсчитываемую от точки-А, получим пара-
метрическое представление кривой х = х(1), у = у (/) (0^/^
С ь). При этом функция f(x, у), заданная вдоль АВ, становится
сложной функцией параметра /:/[%(/), у (Г)]. Обозначив через /•
значение параметра /, отвечающее точке М*, а через 4 — отвечаю-
щее точке Mt, перепишем интегральную сумму (1) в виде
t /МММ (2)
I = 1
где < = lt — lt _ , и lt _ j /* Сумма (2) является интеграль-
ной для определенного интеграла от функции f[x (/). у (01 на от-
резке [0, L]. Поскольку интегральные суммы (1) и (2) равны между
* Кривая, заданная уравнениями х = ср(/), у = ф (/), а t 0, называется
гладкой, если функции ср (/) и ф(/) непрерывны и имеют непрерывные произ-
водные <р'(/) и ф'(/), не обращающиеся в нуль одновременно (тем самым кри-
вая в каждой точке имеет касательную). Непрерывная кривая, составленная
in конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.
325
собой, равны и соответствующие им интегралы, т. е.
\ f(x,y)dl= \f[x(l),y(l)]dl. (3)
АВ О
Заметим, что формула (3) не только выражает криволинейный ин-
теграл через определенный, но и доказывает существование кри-
волинейного интеграла от функции f (х, у), непрерывной вдоль
рассматриваемой кривой ДВ*.
Как было показано, криволинейный интеграл первого рода не-
посредственно сводится к определенному, однако между этими
понятиями имеется следующее различие. В интегральной сумме (1)
величины A/t обязательно • положительны, независимо от того,
какую точку кривой АВ считать начальной, а какую — конеч-
ной, т. е.
$ f(x,y)dl = f (х, у) dl,
АВ В А
b
в то время как определенный интеграл Jf(x)dx при перестановке
а
пределов интегрирования меняет знак. В остальном криволиней-
ный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и оп-
ределенный интеграл. с)то непосредственно вытекает из формулы (3).
Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определен-
ный, имеет геометрический смысл. Если определенный интеграл
ь
Jf(x)dx при f(x)>0 представляет собой площадь криволиней-
а
ной трапеции, то криволинейный интеграл f (Af) d/ при /(Л4)1>0
АВ
численно равен площади куска цилиндрической поверхности, ко-
торая составлена из перпендикуляров к плоскости Оху, восстав-
ленных в точках Л1 (х; у) кривой АВ и имеющих переменную длину
/(М) (рис. 181).
В частности, если АВ — не кривая, а отрезок прямой [а, &],
расположенный на оси Ох, то f (х, y) = f(x), \х{ и криволи-
нейный интеграл будет обычным определенным интегралом.
Наконец, если положить f(Af)==l, то получим криволиней-
ный интеграл d/, значение которого есть длина дуги кривой АВ.
АВ
Таким образом, с помощью криволинейного интеграла первого
рода можно вычислять площадь цилиндрических поверхностей и
длины дуг. Кроме этого, криволинейный интеграл первого рода
имеет широкое применение в физике. С его помощью можно, как
это делали в случае двойных интегралов, находить массу матери-
♦ Непрерывность функции f (х, у) = f (М) вдоль кривой АВ означает, что
lim в любой точке Мо кривой АВ, где М также точка этой
М — Mq V
кривой.
326
альной кривой по ее плотности, моменты инерции относительно
координатных осей, координаты центра масс такой кривой и т. д.
2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Вы-
числение криволинейных интегралов первого рода сводится к вы-
числению определенных интегралов.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями х =
= <р (/), У = Ф (0 (аС * Р), где <р(/) и ф(/)— непрерывные
вместе со своими производными <р' (/) и ф'(/) функции, a f(x, у) —
функция, непрерывная вдоль этой кривой, причем для определен-
ности будем считать, что точке А соответствует значение /=а,
точке В — значение /=р. Тогда для любой точки А4 (<р (/); ф(/))
кривой АВ длину I дуги AM можно
параметра t\l= /(/), и вычислять ее
(гл. 8, § 10, п. 3) по формуле
/=/(/) = p[q>'(0]2 + li|>'(0]2 d/,
а
откуда, согласно правилу дифферен-
цирования интеграла по верхнему
пределу,
d/ = V[<p'(/)]2 + [T|>'(O]2d/. (4)
рассматривать как функцию
Рис. 181
Заменяя переменную l=l(t) в определенном интеграле в пра-
вой части равенства (3) и учитывая (4), получаем
L
J f(x,y)<il=\f[x (/),«/(/)] d/ =
АВ 0
= S Мф(0. Ф (0]^[ф'(0]2 + [ф'(/)]2 dt (5)
а
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл J у2 d/, где
АВ
АВ — часть окружности x=acos/, y=asint, 0^/^л/2.
Решение. Так как
у2 = a2 sin2 /, d/ = У a2 sin21 + a2 cos21 dt = a dt,
то по формуле (5) получаем
л/2 л/2
у2 dt = a2 sin21 • a dt = (1 — cos 2/) dt =
АВ О О
__ о3 Г sin 2/1 л/2 а3л
- —L ~ Jo = ~
В частности, если кривая АВ задана уравнением у = у(х),
а^х^Ь, где у (х) — непрерывно дифференцируемая функция *,
♦ T. е. имеющая непрерывную производную.
327
то, принимая х за параметр (t = х), из формулы (5) имеем
5 f(x, у) dl = р [х, у (х)] V1 + у,2(х) dx. (6)
АВ а
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл у d/, где
АВ
АВ — дуга параболы у2 = 2х от точки (0; 0) до точки (2; 2).
Решение. Имеем
у = V2X, у' = I /л/2х, dl = V1+ у'2 dx = Vl + l/(2x) dx.
По формуле (6) получаем
2
J у dl = 1 + 1 /(2x) dx =
AB 0
2
= j л/2х+ 1 dx = -J-1(2x + !)3/2]о ~ 4 (5^5 - 1 )•
0
Замечание. Формула (4) представляет самостоятельный
интерес. Возводя в квадрат, получаем: (d/)2 = [<pz (f) d/]2-|-
+ [ф' (/) df]2= (dx)2 + (dt/)2. Это равенство дает простое геометри-
ческое истолкование дифференциала дуги dl. Учитывая, что диф-
ференциал функции у = у(х) равен при-
ращению ординаты касательной (гл. 5,
§ 3, п. 1), получаем, что дифференциал
дуги dl (см. рис. 185) равен длине от-
резка касательной к кривой АВ от точки
касания с абциссой х до точки (х + dx;
у + dy), т. е. гипотенузе прямоугольного
треугольника с катетами |dx| и |dy|,
а равенство (d/)2 = (dx)2 + (dy)2 пред-
ставляет собой теорему Пифагора.
3. Определение криволинейного ин-
теграла второго рода. Пусть на кривой
АВ определены две ограниченные фун-
кции Р(х, у) и Q (х, у). Разобьем кривую АВ на п частей точками
А = Мо, Л4|, ..., Mh ..., Мп= В. Обозначим через Дх, и
проекции вектора Mi_}Mi на оси координат (рис. 182), на каж-
дой частичной дуге Mt_ fMf возьмем произвольную точку М- и сос-
тавим интегральную сумму для функции Р(х, у) [Q(x, у)]:
п г п
£ Р (М-) Дх,- , £ Q (м•) Ду,.
i = 1 Li = |
Определение. Если интегральная сумма (7) при Х->0
(7)
(1 =
= max {Д/J, Д/,— длина дуги Mt_^M^ имеет предел, рав-
I I п
ный I, то этот предел называется криволинейным интегралом вто-
рого рода от функции Р(х, у) [ Q (х, t/)] по кривой АВ и обозначается
328
символом
5 Р(х,у) dx Q (х,у) dy
АВ LdB
Сумму
5 Р(х,у) dx + J Q (х.у) dy
АВ АВ
называют общим криволинейным интегралом второго рода и обоз-
начают символом
Ji P(x,y)dx + Q(x,y)dy*
АВ
Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы пер-
вого рода, легко сводятся к определенным интегралам.
Действительно, пусть кривая АВ задана параметрически урав-
нениями х = ф(/), г/=ф(/), где <р(/) и ф(/)— непре-
рывные вместе со своими производными ф'(/) и ф' (/) функции,
причем точке А кривой соответствует значение /=а, точке В —
значение / = р, ф'2 (/) + ф'2 (/)=#(). Пусть функции Р(х, у) и
Q (х, у) непрерывны вдоль кривой АВ. Тогда справедливы следую-
щие формулы:
р
J Р (х,у) dx = Р [ср (/), ф (/)] ф' (t) d/;
АВ а
0
Q (х, у) dy = Q [ ср (/), ф (/)] ф' (/) dt; (8)
АВ а
$ Р (х, у) dx + Q (х, у) dy =
АВ
0
= (j {р Iср (/), ф (/)] ср' (/) + Q [ср (/), ф (/)] ф' (/)) d/,
а
сводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам.
Докажем первую из формул (8):
0
jj Р (х, у) dx = Р [ ф (/), ф (/)] ф' (/) d/, (9)
АВ а
вторая формула доказывается аналогично, а третья получается
в результате сложения первой и второй.
Пусть точкам М, разбиения кривой АВ соответствуют значе-
ния tt параметра /, точкам М* — значения /*, т. е. Mt имеет коор-
динаты [ф (/,-); Ф(С)]» а М*—координаты [ф (/*); ф (/*)], i =
= 1, 2, ..., п. Функция Р (х, у) на кривой является сложной функ-
цией параметра /: Р[ф(/), ф (/)]. Так как функции х=ф(/) и
* Вместо Р (х, у) и Q (х, у) иногда будем писать просто Р и Q, а криво-
линейный интеграл записывать в виде Pdx-\-Qdy.
АВ
329
t/ = xp (/) непрерывны на отрезке [а, р], а функция Р (х, у) непре-
рывна вдоль кривой АВ, то по теореме о непрерывности сложной
функции функция Р [<р (/)» ф (/)] непрерывна на отрезке [а, р].
Составим интегральную сумму (7) для функции Р (х, £/):
(у = У Р [М*) = У Р [ ф (/*), ф (/*)] Дх,..
/= 1 /= 1
Так как Дх, = ф (/,) — ф (/z_|), то по формуле Ньютона—Лейб-
ница
h
Ах; = ф (/,.) — ф (/z_|) = ф' (/) dt.
С-i
Поэтому
п h п С
а = £ Р [ <р (/•), ф (/•)] |j ф' (/) d/ = £ Р [ ф (/'), ф (/’)] <р' (/) df
>-1 ',-1 '-I ',-1
С другой стороны, так как функция Р[ф(/), ф (/)] ф'(0 явля-
ется непрерывной функцией на [а, р], то для нее существует опре-
деленный интеграл, стоящий в формуле (9) справа. Запишем его
в виде суммы интегралов по частичным отрезкам [/,]
п
/= Е j Р(ф(/),ф(/)] Ф' (0 d/.
‘=’ '<-1
Рассмотрим и оценим разность
п h
°-i=£ $ {Иф(О.Ш)] -Иф(/),Ф(/)1} T'(0d/. (10)
<=1
Из непрерывности функции Р [ф (/), ф (/)] на [а, р] по теореме Кан-
тора следует ее равномерная непрерывность на [а, р]. А это озна-
чает, что для любого е > 0 существует S > 0 такое, что при ц =
= max {Д/J < S выполняется неравенство
|Р[ф (/•), ф (/,’)] -Р[ф(/),ф(/)]|<е. (11)
Из непрерывности функции ф'(/) на [а, р] следует ее ограничен-
ность на [а, р], т. е. существует число k такое, что
1ф'(01<*- (12)
Используя (11) и (12), получаем для разности (10) следующую
оценку:
|а — j |/’[ф(О-— р1ф(0. Ф(О]Пф'(О| d/<
<=1 /(_1
< У (/,• — /,_|) = ek (р — а).
330
Отсюда, в силу произвольности е, следует, что
lim о=1. (13)
Но при Х= max {Д/,} ->-0 также р,= max {Д/,}-►() (Д/,=
1 Iп 1 I п
tt— /,_,) и наоборот. В самом деле, Д/,= J v [ф'(/)]2-|-[ Ф'(/)Р d/.
С-i
Из непрерывности функций <р' (/) и ф' (/) на [а, р] следует непре-
рывность функции л/Гф '(/)12 4- (012 на [а, р]. Но тогда тД/,
^Л/,^Л1Д/,-, где т и М— минимальное и максимальное значе-
ния функции "\/[ ф' (/)]2 + 1г|>'(/)]2 на отрезке [а, р], причем т>0
и М>0 в силу условия ср'2 (/) + ф'2 (/)=/= 0. Из левого неравен-
ства следует, что ц->0 при Х->0, а из правого, что Х->0 при
ц->0. Следовательно, из (13) имеем
lim о = 1,
Л-*0
т. е. существует криволинейный интеграл Р(х, у) dx и спра-
дв
ведлива формула (9).
Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами,
аналогичными свойствам определенного интеграла, что непосред-
ственно вытекает из формул (8).
В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволи-
нейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направле-
нии (от А к В или от В к Л) проходится кривая АВ, и меняет знак
при изменении направления обхода кривой, т. е.
5 Р(х, t/)dx= — 5 Р(х, у) dx, $ Q(x, t/)dt/=— $ Q (x, у) dy.
ДВ B4 4B B4
Действительно, изменив направление обхода кривой, мы со-
ответственно изменим знаки проекций Дх, и Дг/, в суммах (7}, и,
следовательно, сами суммы и их пределы изменят знак.
Таким образом, при вычислении криволинейных интегралов
второго рода необходимо учитывать направление интегрирования.
В случае, когда L замкнутая кривая, т. е. когда точка В сов-
падает с точкой Л, из двух возможных направлений обхода зам-
кнутого контура L условимся называть положительным то направ-
ление, при котором область, лежащая внутри этого контура, оста-
ется слева по отношению к точке, совершающей обход. Противо-
положное направление обхода контура L условимся называть
отрицательным.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, пробегае-
мому в положительном направлении, часто обозначают символом
ф Р (х, у) dx + Q (х, у) dy.
L
331
4. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Кри
волинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к оп
ределенным интегралам по формулам (8).
В частности, если кривая АВ задана уравнением вида y=z
= у(х), a^.x^b, где у (х) -непрерывно дифференцируемая
функция, то, принимая х за параметр (t = x), из формул (8) полу-
чаем
h
Р (х, у) dx = Р[х, у (х)] dx, Q (х, у) dy = Q 1х, у (х)| у’ ,х) dx,
АВ a IB !
(14)
ь
Р(х, у) dx + Q (х, у) dy = J I РI X, у ix)| + Q |х, у (х)| у' ^х)} dx.
АВ и
Аналогичные формулы имеют место, если кривая АВ задана урав-
нением вида х = х (у).
Пример 3. Вычислить интеграл x2dxA~xydy. где АВ — чет-
w
верть окружности x = cos/, j/ = sin /, 0^/^л/2, А соответ-
ствует / = 0, В соответствует /=л/2.
Решение. Имеем x2=cos2/, dx=—sin / d/, ху =
= cos t sin /, di/ = cos t dt. По третьей из формул (8) получаем
л/2
J х2 dx + ху dy = (— cos21 sin t + cos21 sin /) dt = 0.
AB 0
Пример 4. Вычислить интеграл ^(xA~y)dy, где L — контур
i
прямоугольника, образованного прямыми х = 0, t/=(), х== 1 и
у= 1 (рис. 183).
Решение. На рис. 183* положительное направление обхода
контура L обозначено стрелками. Разбивая весь контур интегри-
рования на части, запишем:
332
Легко заметить, что интегралы вдоль участков АВ и CD равны
нулю, так как на них у является постоянным и, следовательно,
dt/=O. Поэтому остается вычислить интегралы по участкам ВС
и DA. По формуле, аналогичной первой из формул (14) [заменяя
х на у и у (х) на х (£/)], получаем
^(x+t/)dt/= (1 +у) dt/=[ y+^-j =4-
ВС о
0 . о
^(x + y)dt/=j(O + y)dy=[-T] =—Г
DA 1
Таким образом, окончательно имеем
ф (х + у) dy = 4 - 4 = 1-
L
Рис. 185
Пример 5. Вычислить интеграл J Зх2у dx + (x3 +1) dy, где:
дв
а) АВ—прямая у = х, соединяющая точки (0; 0) и (1; 1);
б) АВ — парабола у=х2, соединяющая те же точки;
в) АВ — ломаная, проходящая через точки (0; 0), (1; 0), (1; 1)
(рис. 184).
Решение. По третьей формуле (14) имеем:
a) J Зх2у dx+(x3+ l) dy= (4х3-|- 1) dx = 2;
АВ о
б) J Зх2у dx-|-(*3+ 1) dy= (5х4 + 2х) dx = 2;
ав о
1 1 1
в) J Зх2у dx + (x3+ 1) dy= J Зх2• 0 dx + J (1 + 0 dy = J 2 dy = 2.
ab ooo
Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни
и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обсто-
ятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта
в § 7.
5. Связь между криволинейными интегралами первого и вто-
рого__рода. Обозначим через аир углы, составляемые с осями
координат направленной касательной * к кривой АВ в точке
М (х; у) (рис. 185); тогда получим соотношения
dx = cos a dZ, dy = cos p dl. ** (15)
Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dx и dy их
выражениями (15), преобразуем эти интегралы в криволинейные
* За положительное направление касательной примем то, которое соот-
ветствует направлению движения точки по кривой от Л кВ.
** См. замечание п. 2.
333
интегралы первого рода:
J Р (х, у) dx = J Р (х, у) cos a dl,
АВ АВ
(16)
$ Q(x,y)dy = $ Q (х, у) cos 0 dl,
АВ АВ
J Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = J [ Р (х, у) cos а + Q (х, у) cos 0] dl.
АВ АВ
Таким образом, формулы (16) выражают криволинейные инте-
гралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода
и устанавливают связь между ними. При изменении направления
движения точки по кривой на противоположное cos a, cos 0, dx
и dy меняют знак, и формулы (16) остаются в силе.
В заключение заметим, что были рассмотрены криволинейные
интегралы для плоских кривых. Однако их определение и свойства
нетрудно перенести и на пространственные кривые.
Пусть АВ — пространственная кривая и на этой кривой опре-
делены функции f (х, у, z), Р (х, у, z), Q (х, у, г) и R (х, у, z). Тогда
по аналогии со случаем плоской кривой можно определить криво-
линейный интеграл первого рода J f (х, у, z) dl и криволинейные
АВ
интегралы второго рода: J Р (х, у, z) dx, Q (х, у, z) dy,
АВ АВ
J R (х, у, z) dz, $ Р (х, у, z) dx + Q (х, у, z) dy + R (x, у, z) dz.
AB AB
Техника вычисления таких интегралов не отличается по существу
от техники вычисления интегралов по плоской кривой.
§ 6. Формула Грина
Формула Грина * устанавливат связь между криволинейными
и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как
в самом анализе, так и в его приложениях.
Докажем эту формулу для замкнутой области, граница которой
пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не бо-
лее чем в двух точках. Для краткости будем называть такие обла-
сти простыми: Предполагается, что контур, ограничивающий об-
ласть, гладкий или кусочно-гладкий.
Теорема 13.6. Пусть G — некоторая простая замкнутая
область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р (х, у) и
Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными
дР 0Q -з „ ~ 'г а.
~дуи ~~дх~в даннои области. Тогдаримеет место формула
w)dxdy=Ф Pdx+Qdy' (1)
G L
называемая формулой Грина.
Грин Джордж (1793—1841) —английский математик и физик.
334
Доказательство. Пусть контур L, ограничивающий
область G, может быть задан как уравнениями х = х{(у\ х=х2(у)
(c^y^d), Х| (t/)^x2 (!/)» так и уравнениями £/ = {/i(x), у =
— Уъ^х) (a^x^b), !/i (x)^t/2(х) (рис. 186). Рассмотрим сна-
чала область G, определенную неравенствами а^х^Ь, у{ (х)^
(*), и преобразуем двойной интеграл
G
в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу
и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по у.
Получим
ь У2 w ь
^Wdxdy=5dx 5 4^dy= $lP(X’y2W) dx =
G а у{ (х) а
b Ь
= 5 р (*• У2 (*)) dx — $ Р (х, у J (х)) dx.
Каждый из этих двух определенных интегралов равен криволиней-
ному интегралу второго рода, взятому по соответствующей кривой
(см. формулы (14), § 5), а именно:
ь
Р (х, у2 (х)) dx = $ Р (х, у) dx = — $ Р (х, у) dx,
a ADB BDA
b
$ Р(х, у, (х)) dx = $ Р(х, y)dx.
а АСВ
Таким образом,
G
J Р (х, у) dx + Р (х, у) dx
-BDA АСВ
55^-dxdy = — ф Р(х, у) dx. (2)
G L
Аналогично доказывается формула
55-^dxdy = ф Q(x, у) dy (3)
G L
[при этом область G задается неравенствами c^y^d, х{
<х<х2(у)].
Вычитая из равенства (3) почленно равенство (2), получаем
искомую формулу (1).и
Замечание. Формула Грина остается справедливой для
всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением
дополнительных линий на конечное число простых замкнутых обла-
стей. Действительно, пусть область G с границей L имеет вид,
изображенный на рис. 187. Разобьем ее на две простые области:
335
G| и G2, для каждой из которых справедлива формула (1). Напи-
шем отдельно формулу Грина для G{ и G2 и сложим почленно
полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по
всей области G, а справа — криволинейный интеграл по контуру L
области G, так как криволинейный интеграл по вспомогательной
кривой берется дважды в противоположных направлениях и при
суммировании взаимно уничтожается.
Пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный
интеграл ф (х — у) dx-|-(x-|-у) &у, где L — окружность х2-|-#2 = /?2.
L
Решение. Функции Р (х, у)=х — у, Q (х, у)=х-\-у и
дР 1 0Q 1 2 12 гъ9
~^ = — 1» ~дГ= 1 непрерывны в замкнутом круге х* + У =R -
Следовательно, по теореме 13.6 формула Грина применима к дан-
ному интегралу. Имеем
ф (х—y)dx + (* + y)d{/= ^[1 —(—1)] dxdy—2^dxdy=2s = 2nR2.
L G G
Заметим, что полученный результат легко проверить непосредст-
венно вычислением данного интеграла.
§ 7. Условия независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования
Как уже отмечалось при решении примера 5 (см. § 5, п. 4),
в некоторых случаях величина криволинейного интеграла J Р dx +
АВ
-\-Qdy не зависит от пути интегрирования, а зависит только от
начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выяс-
ним, при каких условиях такая независимость имеет место. В иссле-
довании этого вопроса важную роль играет формула Грина.
Уточним, какие области будут рассматриваться далее.
Определение. Плоская область G называется односвязной, если
каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой об-
ласти, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком
принадлежит области G.
336
Образно говоря, односвязность области означает, что область
не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются
внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим
примером неодносвязной области служит область, заключенная
между окружностями х2-\-у2= 1 и х2+г/2=3. В самом деле,
окружность х2-|-г/2=2, лежащая в этой области, содержит вну-
три себя точки, которые не принадлежат данной области, напри-
мер начало координат (0; 0).
Теорема 13.7. Пусть функции Р(х, у) и Q (х, у) опреде-
лены и непрерывны вместе со своими частными производными и
в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следую-
щие четыре условия эквивалентны, т. е. выполнение любого из них
влечет за собой выполнение остальных трех:
1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположен-
ной в G,
ф Р dx + Q dy = 0;
L
2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла
Р dx + Q dy
дв
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего
в G;
3) выражение Pdx-\-Q dy представляет собой полный дифферен-
циал * некоторой функции, определенной в области G. Иными сло-
вами, существует такая функция F (х, у), определенная в G, что
dF = Р dx + Q dy;
4) в области G всюду
dP__dQ^
ду ~ дх'
Доказательство. Доказательство теоремы проведем по
схеме
1 _^2->3->4-> 1,
т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из второго —
третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова первое.
Тем самым будет доказана эквивалентность всех условий.
Первый этап: 1->2. Рассмотрим в области G два произ-
вольных пути, соединяющих точки А и В : АСВ и ADB — любые
две кусочно-гладкие кривые (рис. 188). В сумме они составляют
замкнутую кривую Ь = АСВ BDA, расположенную в G. Со-
* В теории криволинейных интегралов второго рода дифференциал функ-
ции F (х, у) обычно называют полным дифференциалом.
22-3157
337
гласно условию 1)
ф Р dx + Q dy = О,
L
НО
ф Р dx + Q dy = Р dx + Q dy 4- Р dx 4~ Q dy =
L АСВ BDA
= J P dx + Q dy — J P dx + Q dy,
ACB ADB
следовательно,
P dx 4- Q dy = J Pdx-\-Qdy,
ACB ADB
т. e. условие 2) выполняется.
Второй этап: 2->3. Пусть интеграл Р dx 4- Q dy не
АВ
зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от то-
чек Л и В. Тогда, если точку А зафиксировать: Л = Л(х0; #0),
то этот интеграл будет некоторой функцией координат х и у точки
В = В(х; у):
$ Р dx 4- Q dy = F (х, у).
АВ
Покажем, что функция F (х, у) дифференцируема и что
dF = Р dx + Q dy. (2)
Для этого достаточно доказать, что в каждой точке В области G
dF dF
существуют частные производные и причем
(3)
Так как Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны в G, то из (3) следует диффе-
ренцируемость функции F (х, у) и равенство (2).
Для доказательства существования частной производной функ-
ции F (х, у) по х и первого из равенства (3) составим частное при-
338
ращение по х функции F (х, у) в точке В (х; у):
kf = F (х + Дх, у) — F (х, у) =
= Р dx -|- Q dy — Р dx 4- Q dy = Р dx 4- Q dy,
AC AB ВС
где точка С имеет координаты х-|-Дх и у (рис. 189). Так как по
условию интеграл не зависит от вида кривой, то возьмем путь от
В (х; у) до С (х + Дх; у) прямолинейным. Тогда
Д/* = р dx + Q dy = Р dx = Р (х, у) dx.
вс вс х
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем
Д/ = р (х + 0 Дх, у) Дх, 0 < 0 < 1,
откуда
Л F
^-=Р(х + 0Дх, у), 0< 0 < 1.
Следовательно,
-37 = lim Р (х + 9 Дх, у) = Р (х, у),
ОХ Дх—О
поскольку по условию Р (х, у) непрерывна. Аналогично доказы-
вается, что -^-=Q(x, У)- Таким образом, условие 3) установлено.
Третий этап: 3-^4. Пусть в области G определена функ-
ция F (х, у) такая, что dP=P dx-|- Q dy. Тогда
^=P — =о
dx ду 4,
и по теореме о равенстве смешанных производных
dQ _ d2F _ d2F _ дР
дх дх ду ду дх ду'
т. е. получено требуемое равенство (1).
Четвертый этап: 4-►!. Пусть выполнено условие 4) и
пусть L — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G и огра-
ничивающая область G*. Тогда, применяя формулу Грина к обла-
сти G* (здесь используется односвязность области G), получаем
ф Р dxQ dy = §^-”)dxdy.
L G*
В силу условия 4) интеграл справа равен нулю. Следовательно,
ф Р dx -f- Q dy = О
L
для всякого замкнутого контура L, лежащего в области G.
Замечание. Из эквивалентности условий 1) — 4) теоремы
13.7, в частности, следует, что условие 3) представляет собой не-
22* 339
обходимое и достаточное условие, при котором криволинейный
интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для
приложений более удобным, необходимым и достаточным условием
является условие 4).
Теорема 13.7 позволяет легко решать вопрос о том, зависит
или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути интегри-
рования. Так, например, e^dx — уЛу в любой области зависит
АВ
от выбора пути, так как Я^- = еу=£() = Я0-. Необходимо обратить
внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмот-
рим, например, интеграл
/ = (Ь -Ягт dx + 21 , di/,
J х2 + у2 X2 + if
L
где L — окружность радиуса R с центром в начале координат.
Имеем:
~ у дР — х2 — у2 + Ъу2 у2 — х2
- - (Х2+^)2 “ (х2+^)2’
~ __ х dQ _______ х2 + у2 — 2х2 _ у2 — х2
х2 + У2 ’ дх (х2 + У2)2 (х2 + У2)2 ’
Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути фор-
мально выполнено, но, однако, итеграл по окружности L нулю
не равен. Действительно, задав окружность уравнениями х =
= R cos t, у = R sin /, получим
2л 2л
, f — R sin t (— R sin /) + R cos tR cos t л Г , o
1 rw 9 i i П9 ' 9 i UI I О t JT.
J R? cos2 t + R2 sin2 t j
о о
На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Про-
сто не выполнено одно из условий теоремы: функции Р и Q и их
частные производные и не определены в точке (0; 0), а круг,
ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0; 0) уже
не является односвязной областью (начало координат играет роль
«дырки»).
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
Из рассмотрения условий независимости криволинейного ин-
теграла Pdx-\-Qdy от выбора пути интегрирования непосред-
АВ *
ственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных
дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифферен-
циалу.
Было доказано, что если функции Р (х, у) и Q (х, у) и их част-
дР dQ о - ~
ные производные и непрерывны в замкнутой области и, то
340
выражение
Pdx+Qdy (1)
является полным дифференциалом некоторой функции в этой обла-
сти в том и только в том случае, когда
дР _ dQ
ду дх’
Далее мы показали, что если это равенство выполнено, то усло-
вию
dF = Р dx + Q dy
удовлетворяет функция
(х; у}
F(x,y) = $ Р dxQ dy = Pdx + Qdy. (2)
ЛВ (x0; y0)
Пусть теперь выражение (1) является полным дифференциалом
некоторой функции Ф (х, у). Тогда -^- = Р, ~~ду'~^ и Разность
Ф(х, у) — F(xty) (см. замечание к теореме 12.6) величина постоян-
ная. Следовательно,
Ф(х,у) = F(x,y) + C, (3)
где С — некоторая постоянная. Полагая х = х0, y = yQl из (2)
получаем F (х0, г/о) = О, а из (3) — значение постоянной С:С =
= Ф (х0, Уо). Теперь (3) можно записать в виде
F (х, у) = Ф (х, у) — Ф (х0> у0),
а равенство (2) — в виде
(х; у)
$ Р dx + Q dy = Ф (х, у} — Ф (х0> z/о)-
(хо; Уо)
Если, наконец, положить х = хь у = У\, то получим формулу
Р dx + Q dy = Ф(хн у,) — Ф(х0, у0) = Ф(х, у)|£У (4)
(хо; Уо)
Формула (4) аналогична формуле Ньютона—Лейбница, но справед-
лива только при условии независимости криволинейного интеграла
от выбора пути интегрирования.
Используя полученные результаты, теперь можно указать спо-
соб восстановления функции F (х, у\ полный дифференциал кото-
рой есть заданное выражение (1).
Формула
(х; у)
F(x,y)= \ Pdx+Qdy + C, (5)
(х0' У о)
341
где (х0; t/0) — фиксированная точка, а С — произвольная постоян-
ная, и дает возможность определить все функции, имеющие подын-
тегральное выражение своим полным дифференциалом.
Для отыскания F(x, у) по формуле (5) достаточно, выбрав
любую точку (х0; yQ) в области G, вычислить криволинейный инте-
грал по любой кривой, соединяющей точки (х0; t/0) и (х, у). Так
как в формуле (5) интеграл не зависит от выбора пути, то удобно,
например, за путь интегрирования взять ломаную, звенья которой
параллельны осям координат (рис. 190). Тогда
(х; у) (х« Уо) (х; у)
J Р dx 4- Q dy = J Р dx + Q dy + J P dx + Q dy.
(xo« Уо) (xo; Уо) (x; Уо)
Так как y = y0 и dt/=O на участке от (х0; yQ) до (х; i/0), a dx=0
на участке от (х; yQ) до (х; у), то равенство (5) принимает вид
X У
F(x,y) = J Р (х, i/0) dx + J Q (х, у) dy + С,
хо Уо
где первый определенный интеграл вычисляется при постоянном у,
равном yQ, а второй — при постоянном х.
Пример 1. Проверить, является ли выражение (x2-|-2xt/ —
—у2) dx+(x2—2ху—у2) dy полным дифференциалом некоторой
функции F (х, у\ и, если это так, найти F (х, у).
Решение. В данном выражении функции
Р (х, у) = X2 + 2ху — у2, Q (х, у) = х2 — 2ху — у2 (6)
непрерывны вместе с частными производными 2х — 2у,
-^ = 2х — 2у, которые равны между собой. Следовательно, данное
выражение является полным дифференциалом некоторой функции
F (х, t/). Для отыскания функции F (x, у) воспользуемся формулой
(2), где А (х0; t/0) — некоторая фиксированная точка, а В (х; у) —
переменная точка.
В данном случае за точку А (х0; yQ) удобно взять точку (0; 0).
(х; у)
Учитывая, что криволинейный интеграл (x2+2xt/ —t/2) dx +
(0; 0)
342
-\Лх2—2ху — у2) dy не зависит от пути интегрирования, выбе-
рем путь интегрирования от точки (0; 0) до точки (х; у) в виде ло-
маной, звенья которой параллельны осям координат. Для этого
достаточно взять точку (х; 0) [или точку (0; (/)] (рис. 191). Тогда
одно звено ломаной будет лежать на оси координат. Имеем
(*;«/)
F (х, у) = (х2 + 2ху — у2) dx + (х2 — 2ху — у2) dy + С =
(0; 0)
х у
= ( х2 dx + ((х2 — 2ху — у2) dy + С = -£ + х2у — ху2 — £ + С,
J J о о
о о
где С — произвольная постоянная.
Практически при отыскании функции по ее полному дифферен-
циалу удобно поступать следующим образом. Если
то, интегрируя первое из этих равенств по х, получаем
F(x,y) = \Pdx + ft(y), (7)
а интегрируя второе равенство по у, имеем
F(x,y)= \Qdy + f2(x), (8)
где f\ (у) и f2(x) — произвольные функции. Если подобрать функ-
ции h (у) и f2(x) так, чтобы правые части равенств (7) и (8) сов-
пали, то полученная таким образом функция F(x, у) и является
функцией, полный дифференциал которой совпадает с выражением
Р dx + Q dy.
Так, например, пусть dF=(2xy-\-1) dx + (x2+3i/2) dy. Ин-
тегрируя коэффициент при dx по х, получаем
$ (2ху + 1) dx = х2у + х + Л (у); (9)
интегрируя коэффициент при dy по у, имеем
5 (х2 + Зу2) dy = ух2 + у3 + f2(x). (10)
Правые части равенств (9) и (10) совпадают, если положить fi(y)=
= у3+С, f2(x) = x + C.
Таким образом,
F (х, у) = ух2 + у3 + х + С.
(2; 3)
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл у dx-\-x dy.
(-1; 2)
Решение. В данном случае функции
п гт 1 dQ t
Р = у Q = % —- = = j
, ’ ду ’ дх
343
непрерывны и частные производные равны между собой. Значит,
выражение f/dx -|- xd# является полным дифференциалом dF (х, у)
и данный интеграл не зависит от пути интегрирования. По форму-
лам (7) и (8) находим F (х, у) = ху, и по формуле (4) получаем
(2, 3)
5 у dx + X dy = X0|!-3i.2) = 2 • 3 — (— 1) • 2 = 6 + 2 = 8.
(- l; 2)
Заметим, что данный интеграл можно вычислить и непосред-
ственно, если, например, взять в качестве пути интегрирования
ломаную, соединяющую точки ( — 1; 2), (2; 2) и (2; 3), звенья ко-
торой параллельны осям координат (проделайте самостоятельно).
§ 9. Некоторые приложения криволинейных интегралов
второго рода
Криволинейные интегралы второго рода, так же как и первого
рода, имеют широкое применение в геометрии, физике и технике.
Ограничимся рассмотрением двух задач: вычислением площадей
плоских фигур и определением работы силы.
1. Вычисление площади с помощью формулы Грина. Пусть G —
некоторая область с границей L и s — площадь этой области.
Известно, что двойной интеграл f(x, у) dx dy при f(x, у)= 1
G
выражает площадь области G. Поэтому если в формуле Грина по-
добрать функции Р(х,у) и Q(x, у) таким образом, чтобы —ду^
= 1, то площадь s области G определяется формулой
s = dx dy = ф Р dx + Q dy.
G L
Положим Q (x, y) = x и P (x, #) = 0; тогда = * и
s = ф x dy.
L
Полагая P (x, (/)= — у и Q (x, y)= 0, аналогично находим
s = — ф у dx,
L
а при P (x, у) = — у/2, Q (x, у) = х/2 имеем
S = -уф X dy — у dx. (1)
L
Таким образом, получены хри формулы для вычисления пло-
щадей плоских фигур, ограниченных контуром L.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
Решение. Вычислим, например, площадь по формуле (!)•
Используя параметрические уравнения эллипса x=acos/, f/ =
= &sin/, 0^/^2л, имеем: dx=— a sin / d/; di/=&cos/d/, и
344
по формуле (1) получаем
s = ф х dy — у dx =
L
2л 2л
= "2" (а cos t b cos t + b sin t a sin t) dt = d/ = nab.
о о
2. Работа силы. Известно, что работа, совершаемая перемен-
ной силой F (х), направленной вдоль оси Ох, по перемещению ма-
териальной точки вдоль оси Ох из точки х=а в точку х=Ь (а<Ь)
определяется с помощью определенного интеграла по формуле
ь
А = F (х) dx (гл. 6, § 8, п. 6). Рассмотрим более общую задачу.
а
Пусть материальная точка под действием силы F перемеща-
ется вдоль непрерывной плоской кривой ВС в направлении от В
к С. Сила F предполагается переменной, зависящей от положения
точки на кривой ВС. Вычислим работу силы F при перемещении
точки из В в С. Для этого разобьем (рис. 192) произвольно кривую
ВС на п частей точками В = Л10, Л4Ь М2, ...» Mt, ..., Мп =
= С. Заменим приближенно на участке силу F постоян-
ным значением, равным ее значению в точке М„ т. е. F F (Afz),
а движение точки по дуге AlzAfz+1 заменим движением по отрезку
MzAfz_|_|. Тогда работу постоянной силы F (М,) вдоль отрезка
MzMz+1 можно принять за приближенное значение работы Л(
переменной силы F вдоль дуги AfzAfz-+1, т. е.
А, « У (Mz) • MzMz+l.
Правая часть этого приближенного равенства представляет собой
скалярное произведение двух векторов F (Mz) и AfzAfz+|. Оно равно
сумме произведений соответствующих координат этих векторов,
т. е. если F (Afz) = {P (Afz); Q(Afz)}, AfzAfz+| ={Axz; Ar/J, to
A-^ P (Afz) Axz+ Q (Afz) Ai/Z. Суммируя по всем значениям i
от 1 до и, получаем приближенное значение работы А вдоль всей
кривой ВС:
А ж £ [ Р (Mz) Axz + Q (Mz) by] =
i=i
n n
= £ p (м,) Дх,- + £ Q (Mz) by. (2)
i— 1 i= I
За точное значение работы А принимается предел, к которому
стремится ее приближенное значение при стремлении к нулю
наибольшей из длин дуг AfzMz+|. Но, с другой стороны, сумма (2)
представляет собой сумму двух интегральных сумм для функций
Р(х, у) и Q (х, г/), заданных на кривой ВС. По определению пре-
делом этой суммы является криволинейный интеграл второго рода.
345
Следовательно, работа силы определяется по формуле
А = J Р dx + Q dy, (3)
вс
где Р и Q — координаты (или проекции на оси координат) силы F.
Если рассмотреть данную задачу не на плоскости, а в простран-
стве, то решение ее сводится к вычислению криволинейного инте-
грала второго рода по пространственной кривой по формуле
А = Р dx + Q dy + R dz.
вс
Пример 2. Вычислить работу силы F (х, у) при перемещении
материальной точки по эллипсу в положительном направлении,
если сила в каждой точке (х; у) эллипса направлена к центру эл-
липса и по величине равна расстоянию от точки (х; у) до центра
эллипса (рис. 193).
Решение. По условию, |р (х, */)|= Vx2 + t/2; координаты
силы F (х, у) таковы: Р= — х, Q = — у [знак «—» объясняется
тем, что сила направлена к точке (0; 0)]. По формуле (3) имеем
А = — ф х dx-j-y dy, где L — эллипс х = а cos ty у = b sin t, 0^/^
L
Следовательно,
2л
А = - у— sin 2t dt = а 4 cos 2/) |ол = 0.
о
Заметим, что из того, что интеграл оказался равным нулю, следует,
что подынтегральное выражение является полным дифференциалом
некоторой функции (найдите*эту функцию самостоятельно).
§ 10. Тройные интегралы
В начале главы было введено понятие двойного интеграла от
функции двух переменных. Определим интеграл от функции трех
переменных — так называемый тройной интеграл. Тройные инте-
346
гралы, как и двойные, имеют широкое применение в различных
физических и геометрических задачах.
1. Определение тройного интеграла. Тройной интеграл явля-
ется аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех
переменных.
Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области V трех-
мерного пространства задана ограниченная функция f(Af) =
= f(x, у, z). Разобьем область V на п произвольных областей,
не имеющих общих внутренних точек, с объемами Ауь Ау2, •••» ^vn-
В каждой области возьмем произвольную точку т](; д()
и составим сумму
j^f (1)
i= 1
которая называется интегральной суммой для функции f(x, у, г)
по области V. Обозначим через X наибольший из диаметров частич-
ных областей.
Определение. Если интегральная сумма (1) при Х-^0 имеет
предел, равный /, то этот предел называется тройным интегра-
лом от функции f (х, у, z) по области V и обозначается одним из
следующих символов:
1 = $$$ f (X, у, z) dv = $$$ f (х, у, z) dx dy dz.
V V
В этом случае функция f(x, у, z) называется интегрируемой в об-
ласти V; V — областью интегрирования; х, у и z — переменными
интегрирования; dy (или dx dy dz) — элементом объема.
В дальнейшем, поскольку результаты, полученные для двой-
ных интегралов, вместе с их доказательствами могут быть пере-
несены на тройные интегралы, ограничимся только формулиров-
ками утверждений и краткими пояснениями.
Тройные интегралы являются непосредственным обобщением
двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они
обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и до-
статочными условиями существования и свойствами. Если поло-
жить всюду в области V f (х, у, z) = l, то из определения тройного
интеграла следует формула для вычисления объема тела V:
dy = dx dy dz.
V V
2. Вычисление тройных интегралов. Как и в случае двойных
интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычисле-
нию интегралов меньшей кратности.
Рассмотрим область V, ограниченную снизу и сверху поверх-
ностями z=Z|(x, у) и z = z2(x, у), а с боковых сторон цилин-
дрической поверхностью, и пусть область G — проекция области V
на плоскость Оху (рис. 194), в которой определены и непрерывны
функции z,(x, у) и z2(x, у): Предположим, далее, что каждая
347
прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не
более чем в двух точках. Тогда для любой функции f(x, у, г),
непрерывной в области V, имеет место формула
Z2 (X, у)
f (х, у, г) dx dy dz = dx dy $ f(x,y,z)dz,
V G z, (x, y)
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последова-
тельному вычислению внутреннего определенного интеграла по
переменной z (при постоянных х и у) и внешнего двойного инте-
грала по области G.
Выражение
г2(х. у)
Цх,у) = f(x,y,z)dz
Z\ (X. у)
представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функ-
ции и области G, по которой она интегрируется, выполнены ус-
ловия теоремы 13.4, то, переходя от двойного интеграла
Рис. 195
ЭД / (%, у) dx dy к повторному, получаем формулу
G
ь 1/2 (х) z2(x. У)
f (х, у, z) dx dy dz = j dx J dr/ J f (x, y, z) dz, (2)
V a y{ lx) Z\ (x, y)
сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному
вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегриро-
вания может быть и другим, т. е. переменные x,ynz в формуле (2)
можно менять ролями.
В частности, если V — параллелепипед с гранями х = а, х =
— b(a<zb), у=с, y=d(c<d), z= k, z=l(k<t), то фор-
мула (2) принимает вид
b d I
f (х, у, z) dx dy dz = J dx J dy (x, y, z) dz. (3)
V ack
В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке.
348
Пример 1. Вычислить интеграл (х + У ~ г) dx dy dz, где V —
V
параллелепипед, ограниченный плоскостями х= —1, х=+1,
у = 0, у=\, z=0, z = 2 (рис. 195).
Решение. По формуле (3) имеем
1 I 2
(х + у — z) dx dy dz = 5 dx J dy J (x + у — z) dz =
V -10 0
Г ГГ z42 f C
= \ dx Ц xz + yz---2“j ° dy = dx (2x + 2y — 2) dy =
-10 ° -I о
1 I 1
= [ 2xy + у2 — 2y]о dx = (2x — 1) dx = [ x2 — x] _ 1 = — 2.
-i -i
Пример 2. Вычислить интеграл (x + у + z) dx dy dz, где V —
v
пирамида, ограниченная плоскостью x-f-y-f- z= 1 и координат-
ными плоскостями х = 0, t/ = 0, z = 0 (рис. 196).
Решение. Область V проектируется на плоскость Оху в тре-
угольник G, ограниченный прямыми х=0 # = 0, у=\—х.
По формуле (2) имеем
$$$ (х + У + z) dx dy dz =
V
1 1-х \—х — у
= $ dx $ dy (x + у + z) dz =
0 0 0
r 1 / г z21 1~~х-у
= \ dx \ xz + yz + — j dy =
0 0
= [ у — yx2 — xy2 — -yj о dx =
0
I
= 4- ( (2 — 3x + x3) dx = 4-[2x —
0 J t> L
0
3x2 I X4 ] I _ 1 3 _ 1
2 + 4 Jo— -y 4 — 8-
3. Замена переменных в тройном интеграле. Как для двойных
интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от
прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее
употребительными из которых являются цилиндрические и сфери-
ческие координаты.
Замену переменных в тройном интеграле производят по сле-
дующему правилу.
Если ограниченная замкнутая область V пространства (х, у, z)
взаимно однозначно отображается на область V* пространства
(и,’у, w) с помощью непрерывно дифференцируемых функций х =
349
= х(и, и, ш), у = у(и, и, w), z = z(u, v, w) и якобиан J в обла-
сти У* не обращается в нуль:
дх дх дх
ди ди дш
ду ду ду
ди ди дш
dz dz dz
ди dv дш
J =
5^0,
то справедлива формула
(х> У- z) dx АУ d2 =
= f [х (u, v, w), у (и, v, w), z (и, v, a>)]|/| du du da>.
В частности, при переходе от прямоугольных координат х, у, z
к цилиндрическим координатам р, ср, z (рис. 197), связанным с х,
(/, z формулами
х = р cos ф, у = р sin ф, z = z
(0 р < + оо, 0 ф 2л, — оо < z < + оо),
якобиан преобразования J = р, поэтому
f (х, (/, z) dx dy dz = f (p cos ф, p sin ф, z) p dp dф dz. (4)
Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что коор-
динатная поверхность р = const (т. е. поверхность, все точки
которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром,
прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz.
При переходе от прямоугольных координат х, у, z к сфериче-
ским координатам р, ф, 0 (рис. 198), связанным с х, у, z формулами
х = р sin 0 cos ф, у = р sin 0 sin ф, z = р cos 0
(0^p<-|-od, 0 ф 2л, 0 0 л),
якобиан преобразования J = p2 sin 0, поэтому
У, z) dx dy dz =
f [ p sin 0 cos ф, p sin 0 sin ф, p cos 0] p2 sin 0 dp dф d0. (5)
Название «сферические координаты» связано с тем, что коор-
динатная поверхность р = const (т. е. поверхность, все точки
которой имеют одну и ту же координату р) является сферой. Сфе-
рические координаты иначе* называют полярными координатами
в пространстве.
При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилин-
дрическим или сферическим координатам область V* обычно не
изображают, а пределы интегрирования расставляют непосред-
ственно по виду области V, используя геометрический смысл но-
вых координат.
350
Пример 3. Вычислить интеграл (х2+1/2) dx d(/dz перехо-
дом к цилиндрическим координатам x=pcos<p, t/=p sin ср,
z = z, где V — область, ограниченная поверхностями z = x2-\-y2
и z = 1 (рис. 199).
Решение. Так как область V на плоскость Оху проектиру-
ется в круг х2-|-(/2^ 1, то координата ср изменяется в пределах
от 0 до 2л, координата р—от р = 0 до р=1. Постоянному зна-
чению p(O^Zp^l) в пространстве Oxyz соответствует цилиндр
x2-|-i/2=p2. Рассматривая пересечение этого цилиндра с об-
ластью V, получаем изменение координаты z от значений для то-
чек, лежащих на параболоиде z = x2-\-y2, до значений для точек,
лежащих на плоскости z=l, т. е. от z=p2 до z=l. Применяя
формулу (4), имеем
2л 1 1 2л I
(х2 -|- г/2) dx d(/ dz = J dtp J dp р2 • р dz = dtp J [ p3z] ’2 dp =
V 0 0 p2 0 0
2л . 2л
= n4-4]0d<p=4J d<p=4<pion=-i--
о 0
Трудно дать какую-либо общую рекомендацию, когда следует
применять ту или иную систему координат. Это зависит и от обла-
сти интегрирования, и от вида подынтегральной функции. Однако,
например, формулой (5) удобнее пользоваться, когда f (х, у, z)
имеет вид f (x2-|-i/2-|-z2), а также когда областью V является шар
х2 + У2 + Z2< R2 или его часть.
Рис. 199
Пример 4. Вычислить интеграл (x2-|-i/2-|-z2) dx dy dz, где
v
V — шар x2+i/2 + z2^/?2 (рис. 200).
Решение. В данном случае удобно перейти к сферическим
координатам: х=р sin 0 cos ср, у= р sin 0 sin ср, z = pcos0.
Из вида области V следует, что координаты р, <р и 0 меняются
в следующих пределах: р — от 0 до R, ср — от 0 до 2л, 0 — от 0
351
до л. Так как подынтегральная функция
х2 4- у2 4- z2 = р2 sin2 0 cos2 4“ р2 sin2 0 sin2 <р 4- Р2 cos2 0 =
= р2 sin2 0 4“ р2 cos2 0 = р2,
то по формуле (5) получаем
W + У2 + di/ dz = $ dp $ d0 J p2p2 sin 0 dtp =
v ООО
= p4 dp^ sin 0 d0 J dtp = p4 dp^ sin 0 d0 =
0 0 0 0 0
R
= 4л p4 dp = 4л -y | £ =
0
4. Некоторые приложения тройных интегралов. Кратко рас-
смотрим типичные задачи применения тройных интегралов, огра-
ничившись приведением необходимых формул, так как их вывод
аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойных
интегралов.
Если дано некоторое тело V с плотностью р(М) = р(х, у, z),
представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл
Рис. 200
Момент инерции
Р (*, У, z) dx dy dz представляет собой
v
массу т данного тела.
Моменты инерции тела V с плот-
ностью р(М) = р(х, (/, z) относительно
осей координат определяются следую-
щими формулами:
/2= $$$ + У2) Р (Л!) dv;
V
:2) р (Л1) du;
V
I, = $ (у2 + Z2) р (Л4) dv.
V
относительно начала координат
/о = + У2 + Р (М) dv.
Координаты центра масс
лами:
-Ч>(М) df
v •; У е =
определяются следующими форму-
ур^ dv zp(^ dv
„с > vc —---------J Zc — —---------,
c m uc m ’ c m ’
где xc, yc, zc — координаты центра масс, am — масса данного
тела. В частности, если рассматриваемое тело однородно, т. е.
р (х, (/, z) = const, то выражения для координат центра масс упро-
352
щаются и принимают вид
Игди
V V V
хг =-------; и? =-------; =--------
с v » и с V е V
где v — объем данного тела.
Как уже было отмечено, тройной интеграл dx dy dz равен
v
объему тела V. Тройные интегралы в некоторых случаях более
удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их по-
мощью можно вычислить объем не только криволинейного цилин-
дра, но и других тел.
Пример 5. Определить координаты центра масс верхней поло-
вины однородного шара V радиуса R с центром в начале коорди-
нат.
Решение. Данный полушар ограничен поверхностями z =
= л//?2 —х2—i/2 и z=0. В силу симметрии полушара хс=
= ус=0. Координата zc определяется по формуле
z dx dy dz z dx dy dz
V V ____________
-|-л/?3
z с =---------------
V
Переходя к сферическим координатам, получаем
Sdtp \ sin 0 cos 0 d0 \ р3 dp r* 1
J J 2л —— • —
оо о 4 2
zc 2 2
4 л/?3 4л/?3
О и
§ 11. Поверхностные интегралы
В этОхМ параграфе рассмотрены интегралы от функций, задан-
ных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы.
Теория поверхностных интегралов во многом аналогична тео-
рии криволинейных интегралов.Различают поверхностные инте-
гралы первого и второго рода.
1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть
в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой*
определена ограниченная функция f(>M)=f(x, у, г). Разобьем
поверхность S произвольно на п частей с площадями ASb AS2, ...,
..., (рис. 201). Выбрав на каждой частичной поверхности про-
* Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует
касательная плоскость и при переходе от точки к точке положение этой каса-
тельной плоскости меняется непрерывно. Поверхность, состоящая из конечного
числа гладких кусков, которые соединены непрерывно, называется кусочно-
гладкой.
23-3157
353
извольную точку Мi T)f; д,), составим сумму
(1)
1=1
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f (М)
по поверхности S. Обозначим через X наибольший из диаметров
частей поверхности.
Определение. Если интегральная сумма (1) при Х->0 имеет
предел, равный /, то этот предел называется поверхностным инте-
гралом первого рода от функции f (х, у, z) по поверхности S и обо-
значается одним из следующих символов:
dS = dS.
s s
В этом случае функция f(x, у, z) называется интегрируемой по
поверхности S, S —- областью интегрирования.
Данное определение по сути аналогично определению двой-
ного интеграла. Поэтому свойства двойных интегралов и условия
их существования без особых изменений переносятся на поверх-
ностные интегралы.
В частности, если f (х, у, z) = 1 на поверхности S, то
dS =Uim £ Д5, = $,
S i=1
где s — площадь поверхности S, т. е. с помощью поверхностного
интеграла первого рода можно вычислять площади поверхностей.
Кроме того, с их помощьЬ можно определять массы, статиче-
ские моменты, моменты инерции, координаты центра масс и по-
добные величины для материальных поверхностей с известной
поверхностной плотностью распределения масс. Эти задачи ре-
шаются аналогично соответствующим задачам для случая матери-
альной кривой, материальной плоской и пространственной обла-
сти.
354
2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. Вы
числение поверхностного интеграла первого рода производится
сведением поверхностного интеграла к двойному.
Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x, у), где функ-
ция z(x, у) вместе с производными zx (х, у) и гДх, у) непрерывна
в замкнутой области G — проекции S на плоскость Оху (рис. 202),
и пусть функция f (х, у, z) непрерывна на поверхности S й, следо-
вательно, интегрируема по этой поверхности.
Разобьем поверхность S произвольно на п частей и спроекти-
руем это разбиение на плоскость Оху. Получим соответственно
разбиение области G на части Gh G2, ...» Gn. Площадь AS, каждой
части поверхности может быть представлена в виде (см. формулу
(2), п. 3, § 4)
AS, = ^л/1 + г\х,у) + z/(x, у) dx dy.
Gt
Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получаем
AS, = V1 + z;2 (|„ Т],) 4- z'2 (В„ П,) As,, (2)
где (£,; т],)— некоторая точка области G,; As,-— площадь G,.
Обозначим через Л4, точку на частичной поверхности с координа-
тами (£,; т>,; gt), где g,= z(£„ tj,), a (£,; т],) — точка, которая имеется
в формуле (2). Составим интегральную сумму для функции f(x,y,z)
по поверхности S, выбирая точки Л4,- в качестве промежуточных:
f Ц£,,т),,6х)А5,=
«=1
= £ f [ Ip n. Z (|„ n,)] V1 + z;2 (£„ П.) + (1, Th) As,. (3)
1=1
В правой части равенства находится интегральная сумма для
двойного интеграла от непрерывной в области G функции
Цх, у, z(x, y)]V? + z^2(x, t/)+z^2(x, у). Поэтому предел правой
части (3) при Л-^0 равен двойному интегралу
55 Их, У, z(x, у)] л/1 + г’2 (х, у) + Z2 (х, у) dx dy.
G
Так как функция f(x, у, z) интегрируема по поверхности S, то
предел левой части (3) при Л-^0 равен поверхностному интегралу
ЭД/(х, у, z) ds.
S
Следовательно, переходя к пределу в (3) при Л-^0, получаем
искомую формулу
^f(x,y,z)dS= f(х,у,z(х,у)]д/1 + z;2(х,у) + z'2(х,у)dxdy, (4)
S G
23*
355
выражающую поверхностный интеграл первого рода через двойной
по проекции поверхности S на плоскость Оху.
Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по
поверхности S через двойные по ее проекциям на плоскости Oyz
и Oxz.
Пример 1. Вычислить интеграл v 1-|-4x2-|-4i/2 dS, где S—
часть параболоида вращения z=l— х2 — у2, отсеченного пло-
скостью 2=0 (рис. 203).
Решение. Поверхность S, заданная уравнением z=l —
— х2 — у2, проектируется на плоскость Оху в область G, ограничен-
ную окружностью x2 + f/2=l (уравнение
окружности получается из уравнения
параболоида при z=0). Следовательно,
областью G является круг х2-\-у2^Л.
В этом круге функции z= 1 — х2 — у2,
z'x(x, У}= — ^ непре-
рывны. По формуле (4) получаем
f (х, у, z) dS = JjV 1 4-4х2+4у2 dS =
s s
= 1 +4x2 + 4(/2V 1 -f-4x2-l-4y2 dx dy =
G
= (1 + 4x2 + 4y2) dx dy.
Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координа-
там х—р cos ф, £/= р sin ф, находим
2л 1
(1 + 4х2 + 4г/2) dx dy = J dф J (1 + 4p2) p dp =
g oo
2л j 2л
= Ц 4 + p4] 0 d,f = 4 J= 4 1«л = Зл-
о 0
3. Определение поверхностного интеграла второго рода. Введем
предварительно понятие стороны поверхности.
Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М
и проведем через нее нормаль к поверхности (вектор п ). Рассмо-
трим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, про-
ходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей
поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому кон-
туру вместе с вектором п так, чтобы вектор п все время оставался
нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом пе-
ремещении непрерывно (рис. 204). В начальное положение точка М
вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противопо-
ложным.
Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на по-
верхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении
356
в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности,
то поверхность называется двусторонней.
Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфе-
ра, любая поверхность, заданная уравнением z=f(x, у), где
f (х, (/), /\(х, у) и fy(x, у) — функции, непрерывные в некоторой
области G плоскости Оху.
Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при
обходе которого направление нормали меняется после возвращения
в исходную точку на противоположное, то поверхность называется
односторонней.
Простейшим примером односторонней поверхности служит лист
Мёбиуса*, изображенный на рис. 205. Его можно получить, взяв
полоску бумаги ABCD и склеив ее так, чтобы точка А совпала
с точкой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув перед склеива-
нием один из ее краев на 180°. При обходе листа Мёбиуса по его
средней линии и возвращении в исходную точку направление нор-
мали меняется на противоположное.
В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверх-
ности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек
с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непре-
рывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверх-
ности, а выбор определенной ее стороны — ориентацией поверх-
ности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируе-
мой, а одностороннюю — неориентируемой.
С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориен-
тации ее границы.
Пусть S— ориентированная (сторона уже выбрана) поверх-
ность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересе-
чения. Будем считать положительным направлением обхода кон-
тура L то, при движении по которому наблюдатель, расположен-
ный так, что направление нормали совпадает с направлением
от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя (рис. 206).
Противоположное направление обхода называется отрицатель-
ным. Если изменить ориентацию поверхности, т. е. изменить на-
Мёбиус Август Фердинанд (1790—1868) — немецкий математик.
357
правление нормали на противоположное, то положительное и
отрицательное направления обхода контура L поменяются ролями.
Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла вто-
рого рода.
Пусть S — гладкая поверхность, заданная уравнением z =
— / (х, (/), и R (х, (/, z)— ограниченная функция, определенная
в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхно-
сти, т. е. одно из двух возможных направлений нормали в точках
поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если
нормали составляют острые углы с осью Oz, то будем говорить,
что выбрана верхняя сторона поверхности z = f(x, у), если тупые
углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S
произвольно на п частей и обозначим через Gt проекцию Лй части
поверхности на плоскость Оху. Выбрав на каждой частичной по-
верхности произвольную точку (£;, r)z; g,), составим сумму
п
(5)
Z=1
где As,—площадь взятая со знаком плюс, если выбрана верх-
няя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана ниж-
няя сторона поверхности S. Сумма (5) называется интегральной
суммой для функции R (Л1) = R (х, у, z). Обозначим через Л наи-
больший из диаметров частей поверхности S.
Определение. Если интегральная сумма (5) при Х->0 имеет
предел, равный /, то этот предел называется поверхностным инте-
гралом второго рода от функции R (х, у, z) по выбранной стороне
поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
/ = $5 R (М) dx dy = R {х,у, z) dx dy.
s s
В этом случае функция R (х, у, z) называется интегрируемой по
поверхности S по переменным х и у.
Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода
по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z[z их]
от функции Р(х, (/, z) [Q('X, у, г)], которая определена на поверх-
ности S:
55 Р (х, у, z) dy dz 55 Q(x>y-Z) dz dx •
S L s j
Сумму
55 R (x,y,z) dy dz + 55 Q dz dx + (x-</-z) dx di/
s s s
называют общим поверхностныминтегралом второго рода и обоз-
начают символом
55 R (х> У> z) dy dz + Q (x, у, z) dz dx + R (x,y, z) dx dy. (6)
358
Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же
свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в от*
личие от последнего при изменении стороны поверхности (пере-
ориентации) он меняет знак.
К понятию поверхностного интеграла второго рода приводит,
например, задача о потоке векторного поля, которая будет рас-
смотрена в § 14.
Для односторонней поверхности понятие поверхностного инте-
грала второго рода не вводится.
4. Вычисление поверхностных интегралов второго рода. По-
верхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их
к двойным интегралам.
Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая
поверхность S задана уравнением z = f(x, у), где функция /(х, у)
определена в замкнутой области G — проекции поверхности S
на плоскость Оху, a R (х, у, z) — непрерывная функция на по-
верхности S.
Разобьем поверхность S произвольно на п частей и спроекти-
руем это разбиение на плоскость Оху (рис. 207). Область G разобь-
ется соответственно на части Glt О2, ... О„. Выберем на каждой
части поверхности произвольную точку л/, G/) и составим
интегральную сумму £ Я (£* €<) ^st> где As,- — площадь GТак
i » I
как«.,= /(5,. П;).то
£ R (£,, 6,) As, = £ R [ Пэ f (6,. П/)] As,. (7)
I « 1 1=1
В правой части равенства находится интегральная сумма
для двойного интеграла от непрерывной в области G функции
R[x, у, f(x, у)]. Переходя к пределу в (7) при Х->0, получаем
искомую формулу
ЭД R (х, У,z) dx dy = ЭД R [х, у, f (х, у)] dx dy, (8)
S G
выражающую поверхностный интеграл второго рода по перемен-
ным х и у через двойной. Кроме того, формула (8) доказывает су-
ществование поверхностного интеграла от функции /?(х, у, г),
непрерывной на рассматриваемой поверхности S. Если выбрать
нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой ча-
сти (8) появится знак минус.
Аналогично устанавливается справедливость следующих фор-
мул:
ЭД Р (х, у,z) dy dz = ЭД Р [f (у,z), у, z] dy dz, (9)
S G|
ЭДр(х.у.г) dzdx= ЭД Q[x,f (x,z),z] dzdx, (10)
S Gj
359
где поверхность S задана соответственно уравнением x=f(y, z)
и y = f(x, z), a G| и G2—проекции поверхности S соответственно
на плоскости Oyz и Oxz.
Для вычисления интеграла общего вида (6) используют те же
формулы (8) — (Ю), если поверхность S однозначно проектиру-
ется на все три координатные плоскости. В более сложных слу-
чаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными
свойствами, а интеграл (6) — на сумму интегралов по этим частям.
Пример 2. Вычислить интеграл (y2 + z2) dx dy, где S —
верхняя сторона поверхности z=vl — х2, отсеченная плоско-
стями i/=0, у= 1 (рис. 208).
Решение. Проекцией G данной поверхности на плоскость
Оху является прямоугольник, определяемый неравенствами
— 1<х<1, 0<i/^l. По формуле (8) находим
^(y24-z2) dxdy=$$ [у2 + (-у/Т- *2)2] dx dj/= J dxj(y2+l — x2)dy=
S G -10
-I -I
Пример 3. Вычислить интеграл x dy dz-\-y dz dx-|-z dx dy,
s
где S — верхняя сторона части плоскости x-|-z—1=0, отсе-
ченная плоскостями i/=0, i/=4 и лежащая в первом октанте
(рис. 209).
Решение. По определению,
х dy dz + у dz dx -|- z dx dy =
= x (y, z) dy dz 4- у dz dx + z (x, y) dx dy.
G, S 62
Здесь Gj и G2— проекции поверхности S на плоскости Oyz и Oxy, a
U//dzdx=0, так как плоскость S параллельна оси Оу. По
360
формулам (8) и (9) соответственно находим
4 1
ЭД z dx dy = ЭД (1 — х) dx dy = J dy J (1 — х) dx = 2,
s g2 0 0
4 1
ЭД х dy dz = ЭД (1 — z) dy dz = J dy J (1 — z) dz = 2.
S G, 0 0
Следовательно,
ЭД x dy dz + у dz dx + z dx dy = 2 + 0 + 2 = 4.
s
5. Связь между поверхностными интегралами первого и второго
рода. Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и дру-
гим способом, а именно как поверхностные интегралы первого
рода, в которых под знаком интег-
рала стоят некоторые специальные
выражения. Обозначим через cos а,
cos р, cos у направляющие косинусы
нормали ориентированной поверх-
ности в произвольной ее точке. По-
верхностные интегралы второгорода
различаются своим отношением к
координатным плоскостям:
1) поверхностный интеграл вто-
рого рода для плоскости Ох у от
функции R(x, у, z) выражается через
первого рода с помощью следующей формулы:
Рис. 209
поверхностный интеграл
R (х, у, z) dx dy = ЭД R (х, у, z) cos у dS; (11)
S 5
2) поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxz
от функции Q (х, у, z) выражается через поверхностный интеграл
первого рода с помощью следующей формулы:
ЭД Q (х, У. z) dz dx = ЭД Q (х, у, z) cos р dS; (12)
s s
3) поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oyz
от функции Р(х, у, z) выражается через поверхностный интеграл
первого рода с помощью следующей формулы:
Р (х, у, z) dy dz = Р (х, у, г) cos a dS. (13)
s s
Суммируя формулы (11) — (13), получаем формулу, выражаю-
щую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбран-
ной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого
рода:
’ ^^Pdf/dz-j- Qdzdx-}- Rdxdy= ЭД (Pcosa+ Qcosp + Rcosy)dS.(14)
361
Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие ко-
синусы нормали cos a, cos р и cos у изменят знак и, следовательно,
изменит знак поверхностный интеграл второго рода.
Пример 4. Вычислить интеграл ЭД z cos у dS, где S — внешняя
s
сторона полусферы x2-|-i/2-|-z2= 1, расположенной над плоско-
стью Оху,
ay — острый
угол между нормалью к поверхности S
с осью Oz (рис. 210).
Решение. По формуле (11), свя-
зывающей поверхностные интегралы
обоих типов, имеем
ЭД z cos у dS = ЭД z dx dy.
s s
Проекцией G данной поверхности S
на плоскость Оху является круг х2 +
+ у2^ 1- По формуле (8) получаем
ЭД z dx dy = ЭД^1 — х2 — i/2 dx dy.
S G
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, находим
ЭД1/ 1 — х2 — i/2 dx dy = j d(p jVl — p2p dp =
G
2л
о
О
2л
1 [ . _ 2
\ а ср —
о
о
§12. Формула Остроградского
Формула Остроградского* устанавливает связь между поверх-
ностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным инте-
гралом по пространственной области, ограниченной этой поверх-
ностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая,
как известно, связывает криволинейный интеграл по замкнутой
кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной
этой кривой. Формула Остроградского имеет широкое примене-
ние как в самом анализе, так и в его приложениях.
Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области,
граница которой пересекается с любой прямой, параллельной
осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для кратко-
сти такие области простыми. При этом будем рассматривать внеш-
нюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предпо-
лагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.
Теорема 13.8. Пусть V — простая замкнутая область, огра-
ниченная поверхностью S и пусть функции Р(х, у, z), Q (х, у, z)
♦ Остроградский Михаил Васильевич (1801 —1861) —выдающийся русский
математик.
362
и R (х, У, непрерывны вместе со своими частными производными
первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая
формула:
HK^-+-&+f-)dxdydz= ^Pdydz + Qdzdx + /?dxdl/’ (!)
V s
называемая формулой Остроградского.
Доказательство. Пусть область G — проекция поверх-
ности S (и области У) на плоскость Оху (рис. 211), a z = z,(x, у)
и z = z2(x, г/,) — уравнения соответствующих частей поверхно-
сти S — нижней части Sj и верхней S2.
Преобразуем тройной интеграл
в поверхностный. Для этого сведем его к
по формуле Ньютона—Лейбница вы-
полним интегрирование по z. Получим
г2 (х, у)
^^dxdydz=^dxdy $ 4rdz==
V G Z| (X, у)
= ^/?[x,t/,z2(x,y)] dx dy —
G
— R [ x, y, zx (x, t/)] dx dy.
G
Так как область G является проекцией
на плоскость Оху и поверхности S2, и
поверхности Sh то двойные интегралы м
им поверхностными интегралами [см. § 11, п. 4, формулу (8)],
взятыми соответственно по верхней стороне поверхности z =
= z2(x, у) и верхней стороне поверхности z = z} (х, у),т. е.
4z"dx dy dz = dx dy — ^R(x,y,
V s.2 s,
Меняя в интеграле no S, сторону поверхности, получаем
^4rdxdydz== dxdy +
V s2
+ R (х, у, z) dx dy = R dx dy,
s, s
где S — внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V.
Аналогично доказываются формулы
(2)
^"^dxd!/d2= ^Pdydz’
V s
(3)
SH17dxdydz= S$Qdzdx- (4)
V s
363
Складывая почленно равенства (2), (3), (4), приходим к фор-
муле (1).
Замечание. Формула Остроградского верна для любой
замкнутой пространственной области V, которую можно разбить
на конечное число простых областей. В самом деле, применяя фор-
мулу (1) к каждой из областей разбиения и складывая результаты,
получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей обла-
сти V, а в правой — поверхностный интеграл по поверхности S,
ограничивающей область V, так как поверхностные интегралы по
вспомогательным поверхностям берутся дважды по противополож-
ным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются.
С помощью формулы Остро гр аде ко го удобно вычислять поверх-
ностные интегралы по замкнутым поверхностям.
Пример 1. Вычислить интеграл ЭД х dy dz-\-y dz dx-f-z dx di/,
s
где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями
x4-t/ + z=l, х=0, у—О, z=0 (см. рис. 196).
Решение. Используя формулу Остроградского, получаем
ЭД х dy dz + У dz dx + z dx dy =
S V V
I I—x \ — x—y I l-x
— 3^ dx j dy J dz = 3^ dx [z]i~x-!/ dy —
0 0 0 0 0
f Г У11 ,-x
= 3\[*/ — ХУ—г] dx==
о
= 3 [l-x-x(l dx = 3 -4 = 4-
0
Пример 2. Вычислить интеграл ЭД х3 dy dz-\-y3 dz dx4-z3 dx dy,
s
где S — внешняя сторона сферы x2-|-i/24-z2 =/?2.
Решение. Применяя формулу Остроградского, имеем
ЭД х3 dy dz 4- у3 dz dx 4- z3 dx dy = ЗЭД^ (x2 4- y2 4- z2) dx dy dz,
S V
откуда, введя сферические координаты, получаем
2л л /?
3^ (х2 4“ У2 4- z2) dx dy dz = 3 dtpsin 0 d0^p4 dp = -уя/?5.
V 0 0 0
Как было отмечено (§ 9, п. 1), формула Грина выражает пло-
щадь области через криволинейный^ интеграл по ее границе. Точно
также из формулы Остроградского легко получить выражение для
объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой
поверхности S — границе этой области. Действительно, подберем
функции Р, Q и R так, чтобы
дР { dQ { dR _ .
дх ' ду ' dz
ЭД((1 4- 1 4“ 1)dx di/ dz = 3$$$ dx dydz=
364
Тогда получим
v = dx dy dz = Р dy dz + Q dz dx 4“ R d* dy,
v s
где v — объем, ограниченный поверхностью S. В частности, пола-
гая Р=х/3, Q=i//3, R = z/3, получаем для вычисления объема
формулу
v = х dy dz 4- у dz dx 4“ 2 dx dy.
s
§ 13. Формула Стокса
Формула Стокса* устанавливает связь между поверхностным
и криволинейным интегралами. Подобно формулам Грина и Остро-
градского, формулу Стокса широко применяют как в самом ана-
лизе, так и в его приложениях.
Пусть S — поверхность, заданная уравнением z=z(x, у), где
функции z(x, у), z'x(x9 у), z,'y(x, у) непрерывны в замкнутой об-
ласти G — проекций S на плоскость Оху\ L — контур, ограничи-
вающий S, а I — его проекция на плоскость Оху, являющаяся кон-
туром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону
поверхности S (рис. 212). Тогда при сделанных предположениях
справедлива следующая теорема.
Теорема 13.9. Если функция Р(х, у, z) непрерывна вме-
сте со своими частными производными первого порядка на поверх-
ности S, то имеет место следующая формула:
фр(х, у, z)dx = cos р -cos 4 dS, (1)
L S
где cos p, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности
S, а контур L пробегается в положительном направлении.
Доказательство. Преобразуем криволинейный инте-
грал
ф Р (х, у, z) dx,
L
взятый по контуру L, в интеграл по поверхности S. Это преобразо-
вание проведем по следующей схеме:
L I G S
т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру L
преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому кон-
туру /, затем переведем его в двойной интеграл по области G и,
наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по по-
верхности S.
. * Стокс Джорж Габриель (1819—1903) —английский физик и математик.
365
интегральные суммы для
Так как контур L лежит на поврхности S, то координаты его
точек удовлетворяют уравнению z = z(x, у) и поэтому значения
функции Р (х, и, z) в точках контура L равны значениям функции
у, z(x, у)] в соответствующих точках контура Z, являющегося
проекцией L. Проекции же соответствующих участков разбиения
контуров L и I на ось Ох совпадают. Поэтому совпадают также
криволинейных интегралов второго рода
от функции Р по контурам L и /, а
значит, равны и интегралы:
ф Р(х,у, z) бх = ф Р [х, у, z(x, у)] dx.
L I
Далее, применяя формулу Грина,
перейдем к двойному интегралу по
области G. Получаем
ф P[x,y,z(x,y) dx=- ЭД(-^+
/ G
дР ,
Рис. 212 dx dy.
Здесь подынтегральная функция равна частной производной по у
от сложной функции, получающейся из Р (х, у, z) после подста-
новки z (х, у) вместо z.
Поскольку $ — верхняя сторона поверхности, т. е. cosy>*0
(у — острый угол между нормалью и осью Oz), нормаль имеет
проекции — zx, —zy, 1. А так как направляющие косинусы нор-
мали пропорциональны соответствующим проекциям, то
cos Р _ ~ 2у = '
cos у 1 *
Поэтому
- и * - - н « - “«
G G
Теперь, воспользовавшись формулами (8) и (11) из § И, можно
этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем
-й « - - - И (4> V - <cos К) dS.
G S
Итак,
ф P(x,y?z)dx = ЭД (-^-cos 0 —-^-cos у) dS.B
L S
Аналогично доказывается при соответствующих условиях спра-
ведливость следующих двух формул:
ф Q(x,y, z) dy = ЭД 0g cos у — -g cos a) dS, (2)
L S
ф R (x, y, z) dz = ЭД cos а —cos p) dS. (3)
366
Складывая почленно равенства (1), (2), (3), получаем формулу
ф Р dx 4- Q dy 4- R dz = J J [ 0Г — cos у 4-
L S
, / dR dQ \ / dP dR\ , . c
+ (-w ~ ~te)cos a + Ы ~ -fc)cos W dSi
которая называется формулой Стокса.
С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы,
(14) из § 11 формулу Стокса можно переписать в следующем виде:
ф Р dx -j- Q dy -j- R dz =
= M + ** + «-£)
s
Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое
в правой ее части это то же самое выражение, которое стоит под
знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье
получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z
и функций Р, Q, R.
В частности, если поверхность S — область плоскости Оху,
ограниченная контуром L, то интегралы по dzdx и dydz обращаются
в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.
Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные инте-
гралы по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегра-
лов.
Пример. Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл
ф х2у3 dx-j-dy-j-z dz, где L — окружность, заданная уравнени-
L
ями x2-j-y2= 1, z = 0, а поверхностью S служит верхняя сто-
рона полусферы x2 + i/2+ z2= 1 (z>0) и контур L проходится
в положительном направлении.
Решение. Так как
dQ _ дР _ _ 2 , dR dQ dP dR
dx dy У ' dy dz ’ dz dx ’
то по формуле Стокса (4) получаем
ф х2у3 dx 4- dy 4- z dz = — 3^x2i/2 dx dy =-
l s
Из формулы Стокса следует, что если
dQ dP dR dQ dP dR /c4
"37 = “Э7; “Э7 = “37= (5)
то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой
кривой L равен нулю:
ф Р dx 4- Q dy 4- R dz = 0. (6)
367
А это значит, что в данном случае криволинейный интеграл не за-
висит от выбора пути интегрирования.
Как и в случае плоской кривой, условия (5) являются необхо-
димыми и достаточными для выполнения равенства (6).
При выполнении условий (5) или (6) подынтегральное выраже-
ние Р dx-|-Q dy-\-R dz представляет собой полный дифференциал
некоторой функции U (х, y,z):
dU = Р dx + Q dy + R dz,
и, следовательно,
(*i; w zi)
P dx + Q dy + R dz = U (x,; yx, z,) — U (x0; yn; z0).
(xtf Уо' Zo)
Справедливость этого равенства устанавливается так же, как соот-
ветствующая формула (4) из § 8 для функции двух переменных.
§14. Скалярное и векторное поля
Понятие поля лежит в основе многих представлений современ-
ной физики. Изучение теории поля выходит за рамки данного курса,
поэтому ограничимся только краткими сведениями.
В общем случае говорят, что в пространстве задано поле неко-
торой величины и, если в каждой точке пространства (или неко-
торой его части) определено значение этой величины. Так, напри-
мер, при изучении потока газа приходится исследовать несколько
полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет
определенное значение), поле давлений, поле скоростей и т. д.
Поле величины и называется стационарным (или установив-
шимся) , если и не зависит от времени /. В противном случае поле
называется нестационарным (или неустановившимся). Таким обра-
зом, величина и есть функция точки М и времени /.
В физических задачах чаще всего приходится иметь дело со
скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим раз-
личают два вида полей: скалярные и векторные. Для простоты
будем считать их стационарными.
1. Скалярное поле. Пусть G — некоторая область на плоскости
или в пространстве. Если в каждой точке М из G определена ска-
лярная величина и, то говорят, что в области G задано скалярное
поле. Понятия скалярного поля и функции, определенной в обла-
сти G, совпадают. Обычно используют следующую терминологию:
скалярное поле задается с помощью функции u=F(M), которая
называется скалярной функцией. Если в пространстве ввести си-
стему координат Oxyz, то каждая точка М будет иметь определе-
ние координаты х, у, z и скалярная величина и является функцией
этих координат: и= F (М) = F (х, у, z).
Примером скалярного поля может служить поле температур
воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать
как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику
теплоты, температура выше, дальше от источника теплоты — ниже.
368
Если окажется, что температура везде одинаковая, то в этом слу-
чае скалярное поле постоянно.
2. Векторное поле. Аналогично с понятием скалярного поля
вводится понятие векторного поля: если в каждой точке М из G
определен вектор F (М), то говорят, что в области G задано век-
торное поле. Функция F (М), с помощью которой задается вектор-
ное поле, называется векторной функцией.
Примером векторного поля может служить поле сил любой
природы. Каждой точке области соответствует определенный век-
тор, имеющий числовую величину и направление силы в этой точке.
Пример 1. Найти векторное поле скоростей v (М) точек твер-
дого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со во-
круг оси.
Решение. Скорость v точки М равна векторному произве-
дению v = со X г , где со — вектор угловой скорости; г — радиус-
вектор точки М вращающегося тела относительно какой-либо точки
оси вращения. Примем эту неподвижную точку оси за начало коор-
динат, а ось вращения — за
+ zk и, следовательно,
i j k
О О СО
X у Z
— искомое векторное поле.
3. Потенциальное поле.
Рассмотрим некоторое скалярное поле F (М). Если в каждой точке
М из G определен вектор grad F, то поле этого вектора называется
потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом
потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенци-
альное поле, часто называют потенциальным вектором, т. е. век-
тор а (М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция
F (Л4), что
ось Oz. Тогда со =со£ , г =xi -\-yj +
V = G)Xr=
со
Z
i—
О О) 7
х z
О
У
О 0 7
А
х У
k=—a)yi-{-(i)xj
Введем понятие потенциального поля.
— j г dF — dF — , dF ~г~ t ч
а = grad F =-^ г +-^i +-^k. (1)
__ Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле
а (Л4) потенциальное. Фактически этот вопрос уже рассмотрен
в § 7. Пусть Р, Q и R — проекции вектор!а а на оси координат
Ох, Оу, Oz соответственно, т. е.
а = а (М) = Pi 4- Qj + Rk .
В силу соотношения (1) векторное поле а (М) является потенци-
альным, если найдется функция F (М) такая, что
= Р, = Q; = R- (2)
дх ду dz v '
В теореме 13.7 было показано, что выражение Pdx + Qdy +
+ R dz (где Р, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерыв-
24- 3157 369
ные частные производные первого порядка) полный дифферен-
циал некоторой функции F (х, у, z) в том и только в том случае,
когда Р, Q, R удовлетворяют условиям
дР_ _ dQ_ dQ^ _ dR_ dR^ _ дР_ ( .
ду дх ' dz ду'дх дг' ' '
Но если Р dx+Q dy + R dz=dP, то справедливы и равенства (2),
т. е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле
потенциальное. Функция Р(х, у, z) в этом случае называется по-
тенциальной функцией поля.
Примером потенциального поля служит поле сил тяготения.
Если в начале координат помещена масса т, то эта масса создает
поле сил тяготения; в каждой точке М пространства на помещен-
ную в эту точку единичную массу по закону Ньютона действует
сила F (Л4), равная по величине k-^ и направленная к началу
координат. Здесь г = |ОЛ<| = Vx2+i/2+z2—расстояние от
начала координат О до точки М; k — коэффициент пропорцио-
нальности.
Пусть х, у, z — координаты точки Л4. Тогда проекции Р, Q и R
силы F (М) определяются следующим образом:
Р=|У| cos «=-£(-4)=--^.
_ |“рг| km / г \ kmz
/? = If I cosy = _
где cos a, cos 0 и cos у — направляющие косинусы вектора F (М).
Следовательно,
“ТГ/.-х kmx -— km у-г- kmz —
F (М) =----3- i-----/--------з- k .
4 7 г г3 г3
Можно проверить, что данное векторное поле потенциальное и его
потенциальная функция и (г) = ——.
В заключение найдем работу силы F (Л4) при перемещении
единичной массы из точки В (х^ ух; Zj) в точку С (х2; у2‘, z2).
Как известно, работа А выражается криволинейным интегралом
Л = $ Pdx + Qdy + Rdz,
ВС
где Р, Q и R — проекции силы F (Л4) на оси координат. Так как
данное силовое поле является потенциальным, то подынтегральное
выражение представляет собой полный дифференциал, поэтому
интеграл не зависит от выбора пути интегрирования и может быть
вычислен по формуле
с
А = Р dx + Q dy + R dz = и (С) - и (В),
в
370
т. е. работа силы F (М) равна разности значений потенциальной
функции в точках С и В. В данном случае
A = u{r2)-u{rt) = ^-^=km(±-±y
где г1 и г2 — расстояния точек В и С от начала координат.
Заметим, что областью, в которой определено поле сил тяготе-
ния, является все пространство, за исключением начала коорди-
нат.
4. Задача о потоке__векторного поля. Пусть в пространстве
задано векторное поле v (М) скоростей жидкости, т. е. простран-
ство заполнено движущейся жид- ____
костью, скорость которой в каждой л------
точке М (х; у; z) задается вектором ([
T{M)=P{x,y,z)i + Q(x,y,z)j + / X
+ R(x,y,z) k , .—X—j
где P, Q и R — проекции скорости / /
на оси координат. Пусть Р, Q и R — /, /
непрерывные функции координат. /_____________~_______/
Вычислим количество П жидкости, L
протекающей за единицу времени Рис 213
через некоторую ориентированную
поверхность S, ограниченную пространственной кривой L, считая
плотность жидкости р = 1.
Пусть
п = cos ai + cos р j + cos у k
— единичный вектор нормали к поверхности S, и пусть его направ-
ляющие косинусы являются непрерывными функциями координат
х, у, z точек данной поверхности.
Разобьем поверхность S произвольно на п частей с площадями
ASb AS2, ..., ASn и в каждой из них выберем точку Л4,(х,; //,; z,).
Найдем количество П, жидкости, протекающей за единицу времени
через /-ю часть поверхности (рис. 213). Обозначим через ср угол
между векторами , = п (М{) и vt=v Если этот угол ост-
рый, т. е. жидкость течет в «ту сторону», куда указывает нормаль
и,-, то величину П, будем считать положительной, а если угол ту-
пой, т. е. жидкость течет в «обратную сторону», —отрицательной.
Приближенно можно считать, что при достаточно мелком раз-
биении поверхности S скорость v во всех точках гй части посто-
янна и равна v (М,), а частичные поверхности — плоские. Тогда
величина П, приближенно равна взятому с соответствующим зна-
ком объему цилиндра с площадью основания AS, и высотой, рав-
ной модулю проекции вектора о,- на нормаль и,, т. е. П,^А£Д
где h — указанная проекция. А так как h = | и, | cos <р =
= 17Г~| |и.| COS ф = ( v-t • и,), то
п,- (т;. тг;) as,..
24*
371
Суммируя по i от 1 до и, получаем приближенное значение количе-
ства П жидкости, протекающей через ориентированную поверх-
ность S за единицу времени:
П« £ as,.
i = 1 __ __
Сумма справа является интегральной_суммой для функции (и • п ).
Так как проекции Р, Q, R вектора v и направляющие косинусы
вектора п — непрерывные функции координат х, у, z точек поверх-
ности S, то скалярное произведение v -п =Р cos a + Q cos р +
+/? cos у непрерывная функция. Следовательно, предел этой
суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей
поверхности существует и равен поверхностному интегралу пер-
вого рода по поверхности S от функции (и • п ). Переходя к преде-
лу, получаем точное значение П:
П = lim £ (и |: • и (.) AS, = (и • п ) dS,
Х->0 z = l s
или, выражая скалярное произведение через координаты векторов,
П = (Р cos a + Q cos p + R cos y) dS.
s
Воспользовавшись формулой (14) из § 11, связывающей поверхно-
стные интегралы первого и второго рода, окончательно имеем
П = Р dy dz + Q dz dx + R dx dy. (4)
s
Таким образом, количество П жидкости, протекающей за еди-
ницу времени через ориентированную поверхность S, представ-
ляет собой поверхностный интеграл второго рода по выбранной
стороне поверхности. __
Для произвольного векторного поля v (М) поверхностный ин-
теграл второго рода (4) называется потоком вектора v (М) [или
потоком векторного поля v (Л!)] через поверхность S. Для век-
торного поля иной природы, чем в рассмотренном примере, поток,
разумеется, имеет другой физический смысл.
5. Дивергенция. Пусть в некоторой области V, ограниченной
поверхностью S, задано векторное поле а (М)={Р\ Q; /?}, такое,
что функции Р(М), Q (М), R (М) непрерывны в V вместе с част-
ными производными. __
Определение 1. Дивергенцией векторного поля а (М) называ-
ется скалярная функция div а (М), определяемая равенством
я- — дР । dQ । dR
d.va (M)=^+w+^-. (5)
Используя выражение для дивергенции и понятие потока вектора
через поверхность, формулу Остроградского (см. формулу (1),
§ 12) можно записать в более кампактной векторной форме. По-
372
верхностный интеграл в формуле Остроградского представляет
собой поток вектора а = {Р, Q, /?} через поверхность S:
Р Ay Az + Q Az dx + R dx Ay = (a • n ) dS.
s s
Используя это выражение и формулу (5), запишем формулу Остро-
градского в виде
(а • п ) dS = div а (М) dv. (6)
s v
Таким образом, поток вектора а (Л4) через замкнутую поверх-
ность S равен тройному интегралу от дивергенции поля а (Л4),
взятому по области, ограниченной поверхностью S.
Покажем, что дивергенция не зависит от выбора системы
координат, хотя ее определение и было с ней связано. Для этого
возьмем произвольную точку Af, заключим ее в область V, огра-
ниченную поверхностью S, и применим к области V формулу
Остроградскаго. Далее, используя теорему о среднем для тройного
интеграла, получаем
(а • п ) dS = div а (Af0) v,
s
где Л40 — некоторая точка области V; v — объем области V. От-
сюда
-7) dS
div а (Мо) = ------------.
Будем теперь стягивать область V в точку М. При этом v->0,
и мы получаем
^(а • 7) dS
div Т (М) = lim -----------, (7)
т. е. дивергенция векторного поля а (М) в точке М является преде-
лом отношения потока вектора а (М) через поверхность S, окружа-
ющую точку Л4, к объему области. А так как поток и объем не за-
висят от выбора системы координат, то и дивергенция также не
зависит от выбора системы координат, что и требовалось показать.
Выясним теперь с помощью формулы (7) физический смысл
дивергенции. Для этого будем рассматривать векторное поле а (Л4)
как поле скоростей жидкости с плотностью р=1. Как установ-
лено в п. 4, поток
п = $$ (Т • Г) dS
S
вектора а (Л4) равен количеству жидкости, протекающей за еди-
ницу времени через поверхность S в направлении нормали п .
Пусть п — внешняя нормаль. Поскольку S — замкнутая поверх-
373
ность, то,очевидно, поток вектора а (М) равен количеству жидко-
сти, которое за единицу времени возникает или уничтожается
в пределах области V, ограниченной поверхностью S. Назовем это
количество суммарной мощностью источников (если П>>0) или
стоков (если П<0), расположенных в области V. Рассмотрим
отношение
^(а • Т) dS
s
v
Оно представляет собой среднюю плотность источников (или сто-
ков), т. е. количество жидкости, возникающей (или исчезающей)
за единицу времени в единице объема области V, а предел
при условии, что область V стягивается в точку Af, можно назвать
плотностью_^с.точтков (или стоков) в точке М. Но этот предел
равен div а (Л4). Таким образом, дивергенция векторного поля
скоростей характеризует плотность источников жидкости.
Если diva (Л4)>0, то, как следует из формулы (6), П>0,
т. е. внутри области V имеются источники жидкости и из нее вы-
текает жидкости больше, чем втекает; если div а (Л1)<0, то
П<0, т. е. внутри области V имеются стоки жидкости и в нее вте-
кает жидкости больше, чем вытекает. Если же diva (М)=0,
то П = 0, т. е. внутри области V нет ни стоков, ни источников
и в нее втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Это, на-
пример, имеет место для любой области V, расположенной в по-
токе воды, текущей в реке.
Для произвольного векторного поля div а (М) имеет аналогич-
ный физический смысл: дивергенция характеризует плотность
источников поля.
Векторное поле а (М) называется_соленоидальным (или труб-
чатым), если в каждой его точке div а (М)=0. Примером такого
поля служит, как было показано выше, поле скоростей жидкости
при отсутствии стоков и источников.
Пример 2. ^Вычислить дивергенцию поля скоростей v (Л1) =
= — (&yi + <ох/ твердого тела, вращающегося с постоянной угло-
вой скоростью о вокруг оси Oz.
Решение. Здесь Р= — му, Q = cox, /? = 0. Поэтому
div v W = ~37 + -37 + ~37 - —37~ + ~ЗГ = °’
т. е. данное векторное поле является соленоидальным.
6. Циркуляция. Ротор. Пусть снова в некоторой области за-
дано векторное поле
Т(М) = р(М)Т~ +Q(M)T + R W
374
и L — гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой
области. Выберем на кривой L одно из двух направлений движе-
ния и обозначим через dl вектор, имеющий в каждой точке на-
правление, совпадающее с направлением движения по кривой
в этой точке, и по модулю равный дифференциалу длины дуги:
dl = dxi + dyj + dzk .
Тогда криволинейный интеграл от скалярного произведения век-
торов а (М) и dl
\~а (М) dT = $ Р dx + Q dt/ + Rdz
L L
называется циркуляцией векторного поля а (Л4) вдоль кривой L.
В силовом поле циркуляция выражает работу силового поля при
перемещении материальной точки вдоль пути L. Для полей дру-
гой природы циркуляция имеет иной физический смысл.
Определение 2. Ротором векторного поля а (Л4) называется век-
тор rot а (Л4), определяемый равенством
rot Т W “ - %) Г + ( - - «) Г + - -£) *"
С помощью понятий ротора и циркуляции формулу Стокса
ф Р dx + Q dy + R dz = ЭД [ cos a +
L S
. I dP dR\ „ I dQ dP\ , ,c
+ (^7-^7)C0SP + (^7-W)COSV] dS
можно записать в компактной векторной форме
фа"(М) • А~ = (ЭДrot а"(М) • 7Г] dS.
L S
Таким образом, циркуляция векторного поля а (М) вдоль замкну-
того контура L равна потоку ротора этого векторного поля через
поверхность S, ограниченную контуром L.
Так же как и для дивергенции, можно показать, что rot а (Л4)
не зависит от выбора системы координат, а определяется только
самим векторным полем а (М).
Пример 3. Вычислить ротор поля скоростей v (М) = —ayl +
4-юх/ твердого тела, вращающегося с постоянной угловой ско-
ростью (о вокруг оси Oz.
Решение. Используя определение ротора, получаем
+ (^_^М)Г_2„Г
т. е. ротор данного векторного поля направлен по оси вращения Oz,
а по модулю равен удвоенной угловой скорости.
375
Понятие ротора непосредственно связано с понятием потенци-
ального поля. Было показано, что векторное поле а (М) =
= {Р; Q; /?} потенциальное в том и только в том случае, если
дР _ dQ' dQ _ _dR_' dR _ dP
dy dx' dz dy' dx dz'
Но это означает, равенство нулю всех трех координат ротора поля
а (М), т. е. для того чтобы векторное поле а (М) было потенциаль-
ным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
rot а~ (М) = 0.
7. Оператор Гамильтона. Основные понятия теории поля: гра-
диент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представ-
лять с помощью оператора Гамильтона*, или оператора «набла»:
Оператор V будем рассматривать как символический вектор с коор-
d d d
динатами и а операции с ним проводить по правилам
векторной алгебры. При этом под произведением и на
скалярную функцию будем понимать частную производную этой
функции соответственно по х, у и г.
Примеры.
1. Пусть и (х, у, г)— скалярная функция. Тогда произведе-
ние оператора V на функцию и дает градиент этой функции:
r-r / ~ I д dll — . dll — . dll -Г- J
+~т" / +-5“ £ = +-s-/ +~5- & =gradu.
\ dx 1 dy } 1 dz / dx 1 dy } 1 dz &
2. Пусть a (M) = Pi +Q/ -}-Rk —вектор-функция. Тогда ска-
лярное произведение оператора V на вектор-функцию а (М) дает
дивергенцию этой функции
v.T(A4)=(-^r+-^т+4’г),<рГ +Qi~+^=
dP dQ dR ,. —,
= -ч——тгН—3-=diVfl (M).
dx 1 dy 1 dz v f
3. Векторное произведение оператора V на вектор-функцию
а (Л4) дает ротор этой функции
i j k
. v . / » .\ d d d
V X ci =
. v 7 dx dy dz
P Q R
♦ Гамильтон Уильям Роуан (1805—1865) —английский математик.
376
В приложениях часто встречаются так называемые операции
второго порядка, т. е. попарные комбинации трех указанных выше
операций. Рассмотрим наиболее важные из них.
1 °, div rot а (Я) = 0. Действительно,
4. — / лл\ д ( dR dQ\ д / дР dR\ . д / dQ дР\
div rot а -------з— )+—ч—(—5----з— )+-s-(-^-----з-| =
v 7 дх у ду dz ) 1 ду у dz дх dz у дх ду)
_ d2R d2Q д2Р d2R d2Q д2Р
дх ду дх dz ’ ду dz ду дх ’ dz дх dz ду
в силу равенства- смешанных производных второго порядка. Этот
же результат легко получить с помощью оператора V :
div rot а (М) = V • (v X а ) = 0,
так как здесь имеем смешанное произведение трех «векторов»:
V, V, а , два из которых одинаковы. Такое произведение, очевид-
но, равно нулю.
2°. rot grad u = 0. Действительно,
д2и д2и
dzdx дхдг
, Г д / ди\ д / / д2и д2и
' к ~~ydydz dzdy
I ( д2“ д2“ \ ~k-
\ дх ду ду дх ) к
в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот
же результат легко получить с помощью оператора V:
rot grad и = V X (Vu) = (V X V) и = 0,
так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно
нулю.
ОО J- 1 д2и I д2и I д2и гт -
3 . div grad u = . Действительно,
° дх2 ду2 dz2
, ди -— . ди ~г~ . ди ~г~
gradu = -5-Z + + “3“ ,
& дх 1 ду 1 1 дг
,. , д / ди\ д / ди\ д / ди\ д2и д2и д2и ,
d>v grad и = ~Х (^) + (^-) + -z = —+—+—. (8)
Правая часть равенства (8) символически обозначается так:
д2и . д2и . д2и
Т7 + тг + -^“Тили
дх2 ду2 dz2
Au =
и.
Символ
д2 д2 д2
А = —— 4- 4- —
дх2 ду2 dz2
оператором Лапласа*. Оператор Лапласа А естест-
называется
венно рассматривать как скалярный квадрат «вектора» V. В са-
мом деле,
* Лаплас Пьер Симон (1749—1827) — французский математик и физик.
377
Поэтому равенство (8) с помощью оператора V записывается в виде
div grad и = V • (V и) = (V • V) и = V2u
Отметим, что уравнение
Ди = О
называется уравнением Лапласа. С его помощью описываются ста-
ционарные процессы различной физической природы, например:
стационарное распределение теплоты, электростатическое поле то-
чечных зарядов, установившееся движение несжимаемой жидко-
сти внутри некоторой области и т. д. Скалярное поле и (х, у, г),
удовлетворяющее условию Ди = 0, называется лапласовым, или
гармоническим, полем.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
РЯДЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 14
РЯДЫ
В настоящей главе будут рассмотрены ряды, являющиеся важ-
ным математическим аппаратом, применяемым для вычислений и
исследований как в различных разделах самой математики, так
и во многих ее приложениях.
§ 1. Понятие числового ряда
1. Основные определения. Пусть дана числовая последователь-
ность ah а2, а3, ..., ая, ... Выражение вида
оо
01 + 02 + а3 + ••• + ап + ••• = Y, Un (О
л = 1
называется числовым рядом или просто рядом.
Числа ан а2, ..., а„, ... называются членами ряда, член ап с про-
извольным номером — общим членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда
Sj = ab S2 = 01 + 02, S3 = 01 + 02 + 0з» —»
S„ = 01 + 02 + 0з + ••• + 0Я» •••
называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов
ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную
последовательность частичных сумм
Sh S2, S3, ..., S„, ... (2)
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его
частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое
в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это запи-
сывается так:
оо
S = О| + а2 + а3 + ... + ап + ... или S = £ а„.
п—1
Если же последовательность частичных сумм (2) расходится,
то ряд (1) называется расходящимся.
Пример 1. Покажем, что ряд
1“2 + Т-? + + - + П(л+ 1) + •• = £ п(п 4- 1)
п= 1
379
сходится. Возьмем сумму Sn первых п членов ряда
с — * I 1 I _|____1
1-2 ’ 2 • 3 ’ ’ n(n-Fl)’
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде
1 _ 1. 1 _ 1 1. 1 _ 1 1. . 1 _ 1 1
1*2“ 2’ 2-3“ 2 3; 3-4““ 3 4;',; п(п+1)“~ п+ Г
Поэтому
s.=(i-4)+(4-4)+(4-4)+...+(4_^)=1-_1t.
Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм
данного ряда равен единице:
lim Sn = lim (1---= 1 — lim —г = 1.
П->оо П п-оо \ « + 1 / П-ОО " + 1
Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.
Пример 2. Установим, сходится или расходится ряд
I - 1 + 1 - I + ... + (- I)""1 + ... = £ (-1)"-'.
Л = 1
Последовательность его частичных сумм имеет вид 5,= 1,
S2=0, S3=l, S4=0, ... и, значит, не сходится ни к какому
пределу, поэтому данный ряд расходится.
Пример 3. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геомет-
рической прогрессии
а + aq + W2 + ••• + 1 + ••• = £ \ а =/= 0. (3)
п= 1
Частичная сумма Sn этого ряда при <?=/= 1 имеет вид
е । । 2 । । п -1 а — °ЯП а а(Г
Sn = а + aq + aq2 + ... + aqn = , _
Отсюда:
1) если то lim Sn= lim --------lim—» т- е-
n-ao п п->оо '-я
ряд сходится и его сумма S= {a_q. Например, при а=1, q=\/2
имеем:
s = i+4+4+-+-f^+- = 2;
2) если то lim lim оо, т. e. ряд расхо-
n-*oo л-*оо * Я
дится;
3) при <7=1 ряд (3) принимает вид а-|-а-|-а +... +а +...
В этом случае lim Sn= lim к(а + а + а +... + Q)= Ит п • а= оо,
т. е. ряд расходится; п раз
380
4) при q=—l ряд (3) принимает вид а — а-\-а — а-\-... Для
него Sn=-^—, т. е. Sn=0 при п четном и Sn=a при п
нечетном. Следовательно, lim Sn не существует и ряд расходится.
П->ОО
Таким образом, ряд (3) является сходящимся при и
расходящимся при |<?|1.
2. Свойства сходящихся рядов. Теорема 14.1. Если схо-
дится ряд
оо
^1 + а2+аз+---+afe-i + afe + afe+i + --- + an-i + an+---= £ ап> (4)
П = 1
то сходится и ряд
оо
а*+1 + ...+ап_1 + ап+... = £ ап, (5)
П = А + 1
и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4).
Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание
любого конечного числа его первых членов.
Доказательство. Пусть ряд (4) сходится и имеет сумму
S, т. е. lim Sn=S. Обозначим через Sk сумму отброшенных
П-ь оо
членов ряда (4), а через on_k сумму n — k первых членов ряда (5).
Тогда
S„ = S, + ая_к, (6)
где S*—некоторое число, не зависящее от п. Из равенства (6)
следует
lim on_k = lim (S„ — Sk) = lim Sn — lim = S — Sk,
П-ьоо n—► оо Л-ьао п-ьоо
т. e. последовательность частичных сумм {an_fe} ряда (5) имеет
предел, что означает сходимость ряда (5).
Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму а, т. е. lim on_k=
= а. Тогда из (6) следует
lim S„= lim (S*+ а„_*) = lim S* + lim оп_к = Sk+ о,
П-*-ОО n-*-оо Л-ЬОО rt~>OO
что означает сходимость ряда (4). g
Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифмети-
ческие действия.
оо
Теорема 14.2. Если ряд £ аа сходится и его сумма равна S,
п = 1
оо
то и ряд £ сап, где с — некоторое число, также сходится, и его
, п = 1
сумма равна cS.
381
Доказательство. Пусть Sn — частичная сумма ряда у ап,
п = I
оо
а оп — частичная сумма ряда £сап. Тогда
п= I
an=ca1 + ca2 + ca3+... + ca„=c(a1 + a2+a3+...+a„) = cSn.
Отсюда, переходя к пределу при п->-оо, получаем
lim оп = lim cSn = с lim Sn = cS,
П~КХ> П~ЮО n—^OO
oo
t. e. последовательность частичных сумм {ол} ряда у can схо-
n= I
oo
дится к cS. Следовательно, у can=cS.
n— 1
oo oo
Теорема 14.3. Если ряды an u У bn сходятся и их
n= 1 n=I
OO
суммы соответственно равны S и о, то и ряд у (andz^n) схо-
л= 1
дится и его сумма равна S±a.
Доказательство. Пусть Srt и оп — частичные суммы рядов
оо оо оо
У ап и у Ьп, а тп — частичная сумма ряда у (ал±6л). Тогда
п = 1 п— 1 п — I
тл = dz b{) + (a2 dz b2) +••• + (an dz bn) =
= + a2 +•••+ an) (b{ + b2 +•••+ bn) = Sn ziz ол.
Отсюда, переходя к пределу при п->оо, получаем
lim тп = lim (Sn dz ол) = lim Sn dz lim on = S dz a,
n->oo n—^oo n-»-<X> n—^oo
£ 00
т. e. последовательность частичных сумм {тл} ряда у (ал dz 6Л)
п= 1
ОО
сходится к S ± а. Следовательно, у (ал± bn') = S±a.
п = I
Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умно-
жать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и ко-
нечные суммы.
3. Необходимое условие сходимости ряда. При рассмотрении
рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и
2) зная, что ряд сходится, найти^его сумму. Будем решать в основ-
ном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем
необходимое условие сходимости рядов.
оо
Теорема 14.4. Если ряд у ап сходится, то его общий член
п = 1
стремится к нулю, т. е. lim ал = 0.
382
Доказательство. По условию ряд £ ап сходится.
п= I
Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда
S„=a1 + a2+...-|-ап_|4-ап и S„_l = aI + a2+ ...+an-i- От-
сюда an—Sn — S„_{. Так как S„->-S и S„_|-»-S при л-*оо, то
lim ап = lim (S„ — S„_,) = lim S„ — lim Sn_, = S — S — 0.
П-Kao П-ьоо Л-КОО Л-ьоо
Условие liman=0 является необходимым, но не достаточным
Л-*-ао
условием сходимости ряда.
Пример. Рассмотрим ряд
1+4+4+•••+4+•••= £ 4-
Л = 1
который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармо-
нического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так
как lim ап= lim --“=0. Докажем, что этот ряд расходится.
Л-КОО л-коо п
Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму
через S, мы бы имели
lim (S2n — Sn) = lim S2n — lim Sn = S — S = 0.
П—*-oo Л—ьоо n—► ao
HO 1111
$2п л 4-1 ”1” 2n 2n 2л-'”’*’"'” 2л П 2n 2’
т. e. S2n — Sn> 1/2. Отсюда следует, что равенство lim (S2n — Sn) = 0
П-коо
невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.
Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то
еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо допол-
нительное исследование, которое может быть проведено с помощью
достаточных условий (признаков) сходимости ряда.
Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю,
то теорема 14.4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных усло-
вий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предвари-
тельно докажем теорему, которая будет использована в последую-
щих рассуждениях,
оо
Теорема 14.5. Для того чтобы, ряд £ ап с неотрицатель-
п = 1
ными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо-
вательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
383
Доказательство. Необходимость. Пусть ряд £ ап
л = |
сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм
имеет предел. В силу теоремы 2.6 всякая сходящаяся последова-
тельность является ограниченной.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда
£ ап ограничена. Так как ряд £ ап с неотрицательными чле-
П=1 Л=1
нами, то его частичные суммы образуют неубывающую последо-
вательность: 0^S!^S2^..^Sn^Sn+l^... В силу тео-
ремы 2.12 о монотонных ограниченных последовательностях она
сходится, т. е. сходится ряд £ ап.
п — I
Достаточные условия сходимости ряда. Установим ряд призна-
ков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости)
рассматриваемого ряда.
Признак сравнения.
Теорема 14.6. Пусть даны два ряда с неотрицательными
оо оо
членами £ ап и £ Ьп и для всех п выполняется неравенство
п —I П=1
оо
ап^Ьп. Тогда из сходимости ряда £ Ьп следует сходимость ряда
п = I
оо оо
£ ал> а из расходимости ряда £ ап следует расходимость ряда
П=1 П=1
оо
П = 1
Доказательство. Обозначим через Sn и оп соответственно
оо оо
частичные суммы рядов £ ап и у Ьп. Из неравенства ап^.Ьп
П = 1 Л=1
следует, что
(7)
Если ряд £ Ьп сходится, то по теореме 14.5 (необходимость)
п = I
последовательность его частичных сумм ограничена, т. е. для
любого п где М — некоторое число. Но тогда по фор-
муле (7) и Sn^M, откуда по той же теореме 14.5 (достаточ-
оо
ность) следует, что ряд £ ап сходится.
п = I
Если же ряд у ап расходится, то ряд у Ьп также расхо-
П=1 П=1
дится, так как, допустив сходимость ряда у Ьп, получим по
п = 1
384
только что доказанному сходимость ряда £ а это противо-
п = 1
речит условию теоремы.
Пример 1. Ряд У---------!—— сходится, так как сходится ряд
Н (п+1)"т
п= 1
из членов геометрической прогрессии
оо
а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда
сходящейся геометрической прогрессии:
Пример 2. Ряд расходится, поскольку его члены
п =1
ОО
Z1 1 . 1
—а гармо-
п = I
нический ряд расходится.
Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосред-
ственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда,
не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он
или расходится. Рассмотрим два из них.
Признак Даламбера*.
Теорема 14.7, Пусть дан ряд £ ап с положительными
П = 1
а
членами и существует предел lim——-=р. Тогда а) при р<1
«-►оо ап
ряд сходится; б) при р>1 ряд расходится.
Доказательство, а) Пусть р< 1 и lim——=р. Докажем,
П—оо ап
сю
что ряд ап сходится. По определению предела числовой по-
п = 1
следовательности для любого е>0 существует номер W такой,
а
что при выполняется неравенство —-----р <е. Отсюда
следует, что а
Р — е < < р + е. (8)
u п
Так как р<1, то е можно взять настолько малым, что будет вы-
полнено неравенство р + е<С1. Полагая р-|-е=<7, на основа-
нии правого из неравенств (8) имеем
или ап+\
п
* Даламбер Жан Лерон (1717—1783) —французский математик, механик
и фйлософ-просветитель.
25-3157
385
для n=N, AT+L N +2, ... Придавая n эти значения, из послед-
него неравенства получаем
aN+2 <^aN-\-\Cl <^aNCl~y
т. e. члены ряда
aw+i + aN+2 + aN+3 +- (9)
меньше соответствующих членов ряда, составленного из элемен-
тов геометрической прогрессии:
+aNq2 +aNq3 +... (10)
Так как q <1, то ряд (10) сходится (см. пример 3 из § 1). Тогда
согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9)
оо
получен из данного ряда £ ап в результате отбрасывания конеч-
п =1
ного числа первых членов, следовательно, по теореме 14.1 ряд
оо
£ ап сходится.
п =1
б) Пусть теперь р>1. Докажем, что ряд д Расх°Дится.
п = 1
Возьмем е настолько малым, чтобы р— е>1. Тогда при n^N
в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство —^>1
*л
или ап+|>ап. Таким образом, члены ряда, начиная с неко-
торого номера W, возрастают с увеличением их номеров, т. е. об-
щий член ряда ап не стремится к нулю при п->оо. Следовательно,
оо
согласно теореме 14.4 ряд £ ап расходится.
п =1
Замечание. При р = 1, как показывают примеры, ряд
£ ап может как сходиться, так и расходиться. В этом случае не-
п =1
обходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака
сравнения или других признаков,
оо
Пример 3. Ряд -^-сходится, так как
п =1
lim = lim .. = lim = 0 < 1.
П-oo a n+oo ("+*)’
Пример 4. Ряд расходится, так как
n =1
«. an+i |. (n+l)n+ln! I. / n-H\n .
lim—^=hm , ,' —=lim(—J—) =1
П—► oo n—► oo n—► oo\ / n
386
Пример 5. Рассмотрим ряд V —7-. Имеем lim——=
L-J \П п-^оо ап
Л = 1
= lim = 1. Согласно признаку Даламбера сделать заклю-
чение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как
было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.
Интегральный признак.
Теорема 14.8. Пусть дан ряд
f (1)+ /(2)+ f(3)+..-+f («)+•••= f f(n).
Л = 1
члены которого являются значениями некоторой функции f (х),
положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале
4-00
[1, + оо). Тогда, если J f(x)dx сходится, то сходится и ряд
ОО 4-00 оо
У f если же J f (х) dx расходится, то ряд у f (п) также
Л=1 1 Л=1
расходится.
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сто-
рон прямыми х=1, х=п, снизу осью Ох. Впишем в эту трапе-
цию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из
прямоугольников с основаниями [1, 2], [2, 3], ..., [п—1, и] и
высотами f(l), f(2), f (3), ..., f(n — 1), f (и) (рис. 214). Тогда,
принимая во внимание геометрический смысл определенного инте-
грала, имеем
f(2) + f(3)+...+ f(n)<^(x)dx<f(l) + H2)+...+f(n-l),
1
или, короче,
S„-f(l)<Jf(x) dx<S„-f(n).
I
Отсюда получаем
S„<f(l) + p(x)dx, (11)
S„>f(n) + 5f(x)dx, (12)
I
где Sn — частичные суммы рассматриваемого ряда.
п
Пусть интеграл J f (х) dx сходится. Это значит, что существует
1
п п
lim tf(x)dx = /. Так как f (х)>0, то последовательность \f(x)dx
Л^оо j J
возрастает с увеличением п и ограничена сверху своим пределом:
25* 387
п
Jf(x)dx</. Из неравенства (И) следует, что Sn<f(1) + Л т. е.
последовательность частичных сумм {Sn} ряда £ f (и) ограни-
п = I
чена. По теореме 14.5 ряд £ /(л) сходится.
п= 1
4-00
Пусть теперь интеграл f (х) dx расходится. В этом случае
п
f (х) dx-> + оо при п->оо (как монотонно возрастающая неогра-
1
ниченная последовательность). Из неравенства (12) следует, что
Sft->+oo при п->оо, т. е. последо-
вательность частичных сумм {Sn|
оо
ряда £ f (п) расходится и, следо-
п= I
вательно, ряд расходится.
Пример 6. Рассмотрим ряд
Л = 1
(а>>0). С помощью интегрального
признака выясним поведение дан-
Рис. 214
ного ряда при а>0. Возьмем в качестве функции f (х)
функцию — (х^1), которая удовлетворяет условиям теоремы
14.8. Члены ряда равны значениям этой функции при х=
= 1, 2, 3, ..., и, ...Как известно (см. гл. 8, § 11, п. 1, пример 4),
4-00
несобственный интеграл j при а> 1 сходится, а при 1
।
расходится. Следовательно, данный ряд сходится при а>1 и
расходится при а^1.
Заметим, что при а^О такие ряды также расходятся, так
как их общий член не стремится к нулю при п->оо, т. е. наруша-
ется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 14.4).
В частности, при а=2 имеем сходящийся ряд при
п =1
оо
, „ „ V 1 1
а= 1 —расходящийся гармонический ряд У при a=-g—рас-
л= I
ХОДЯЩИЙСЯ ряд ^Г-у=И т- А-
388
§ 3. Знакочередующиеся ряды
До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными чле-
нами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответ-
ствующих рядов с неотрицательными членами только множите-
лем — 1, поэтому вопрос о их сходимости решается аналогично.
Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов,
члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем
считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знако-
чередующийся ряд можно записать в виде
а\ — а2“1”аз—а4“Н--+(—1) + ал + --> (О
где ал>0.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень
простой достаточный признак сходимости.
Признак Лейбница.
Теорема 14.9. Если абсолютные величины членов знакочере-
дующегося ряда (I) монотонно убывают: а{>а2>аЛ>... и об-
щий член ряда стремится к нулю: lim ап=0, то ряд сходится.
Доказательство. Пусть дан ряд (1) и пусть ап>ап+1
и ап->0 при п->-оо.
Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов
$2п = а\ — а2 + °3 — а4 +•••+ а2п-{ а2п =
= (а. - аг) + (аз - а«) +•••+ (а2П-1 - а2л).
Все разности в скобках в силу первого условия положительны,
поэтому последовательность частичных сумм {S2n| является воз-
растающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим
S2n в виде
52л = а, - [(а2 - а3) + (а4 - а5) +...+ (а2л_2 - а2л_,) + а2л].
Отсюда следует, что S2„<a1 для любого п, т. е. {32л} ограни-
чена.
Итак, последовательность {S2n| возрастающая и ограниченная,
следовательно, она имеет предел lim S2n = S.
Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм не-
четного числа членов сходится к тому же пределу S. Действительно,
S2n+l = S2n+а2п+1. Переходя в этом равенстве к пределу при
п—»-оо и используя второе условие (ап->-0 при п—>-оо), полу-
чаем
lim S2„+1= lim (32л +a2n+1)= lim S2„+ lim a2„+1 = S + 0=S.
n->oo n-*-co n->OO n-*-oo
Таким образом, последовательность частичных сумм {Sn| ряда
(1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.
Пример. Ряд 1-4-1 4 4-1 -+(-1)',+1т+-=^(-1)',+1Т
п= I
сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:
389
1) 1>~ 2) lim-^-=O. Заметим, что этот ряд отли-
чается от гармонического ряда только знаками четных членов.
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов
Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Та-
кие ряды называются знакопеременными рядами.
Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
оо
а| + +•••+ ап +•••= anJ (О
п = I
где числа ah а2, а3, ..., ап, ... могут быть как положительными,
так и отрицательными, причем ’расположение положительных и
отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмо-
трим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
|ai| + |^г| + |а3| +••• + |ал| +•••= £ |aJ- (2)
Л=1
Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак
сходимости.
Теорема 14.10. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Доказательство. Пусть ряд (2) сходится. Обозначим
через Sn частичную сумму ряда (1), а через ап частичную сумму
ряда (2): Sn=at + а2+а3+... + а„; о„=|а1| + |а2| +
+ |а3| +-• + |а„|. Так как ряд (2) сходится, то последова-
тельность его частичных сумм {ал} имеет предел lim ал=а,
Л—► оо
при этом для любого п имеет место неравенство
о„ О, (3)
поскольку члены ряда (2) неотрицательны.
Обозначим через S'п сумму положительных членов, а через S"n
сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме Sn.
Тогда
S„ = S'„ — S"n, (4)
o„ = S\ + S"n. (5)
Очевидно, последовательности {S'J и {S"n} не убывают, а из ра-
венства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограни-
ченными: S' л^а л^а и 5"п^ал^а. Следовательно, сущест-
вуют lim S'n=S' и lim S"n=S". Но в таком случае, в силу ра-
Л-»-оо Л-*-оо
венства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет
предел
lim Sn = lim (S'n - S"n) = lim S'n - lim S"n = S' - S".
n-t-od n-*-oo n-*-oo n-*oo
Это означает, что ряд (1) сходится. И
390
Пример 1. Ряд 1 — 1/22— 1/32Ч- 1/424- 1/52— 1/62— 1/724-...
согласно доказанному признаку сходится, так как сходится ряд,
составленный из абсолютных величин членов данного ряда: 1 +
+ 1/22+ 1/32+ 1/42+ 1/52+ 1/62+ 1/72 + ... (см. пример 6 из
§ 2).
Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда яв-
ляется достаточным, но не необходимым, так как существуют зна-
копеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из
абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд
согласно признаку Лейбница сходится (см. пример
Л= 1 оо
из § 3), а ряд составленный из абсолютных величин его чле-
П = 1
нов, расходится (гармонический ряд).
Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно
и условно сходящиеся.
К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды,
для которых ряды, составленные из абсолютных величин их чле-
нов, также сходятся.
К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для
которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов,
расходятся.
Пример 2. Ряд 1 — 1/2-Ы/4—1/8-Ь 1/16—1/32Ч-... абсо-
лютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных
величин 1 + 1 /2 + 1 /4 + 1 /8 + 1 /16 + 1 /32 +..., также схо-
дится. (Оба ряда — геометрические прогрессии со знаменателями,
соответственно равными —1/2 и 1/2).
Пример 3. Ряд 1 — 1/V2+1/V3—1/V4+... условно сходя-
щийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд,
составленный из абсолютных величин 1 + 1/л^+1/л/з+1/л^+...<)
расходится (см. пример 6 из § 2).
Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно
сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся
ряды обладают рядом важных свойств, тогда как условно сходя-
щиеся ряды некоторыми из этих* свойств не обладают. Например,
для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме поло-
жительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет
место для абсолютно сходящихся рядов, что было показано при
доказательстве теоремы 14.10.
§ 5. Степенные ряды
1. Определение и общие замечания. Ряд вида
оо
а0 4- а,х + а^х2 + а3х3 +••• + аХ +„.= £ а„хп (1)
п=0
называется степенным рядом.
391
Числа а0, а„ а2, а3, ...» ап, ... называются коэффициентами
степенного ряда.
Придавая х различные числовые значения, будем получать раз-
личные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или
расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (1)
сходится, называется областью его сходимости. Это множество
всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при х=0.
Очевидно, что частичная сумма степенного ряда 5л(х)=а0+
+ а[х+...+апхп является функцией переменной х. Поэтому
и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х,
оо
определенной в области сходимости ряда: S= S (х) = £ а^х"
(ОО ч Л = 0
или /(*)=£ ах)
л=0 /
2. Интервал сходимости степенного ряда. Докажем теорему,
имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся
области сходимости степенного ряда.
Теорема 14.11 (теорема Абеля)*. 1) Если степен-
ной ряд (1) сходится при х = х0 (хо=/=О), то он сходится, и при-
том абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию |х|<|х0|;
2) если ряд (1) расходится при х = хь то он расходится для всех х,
удовлетворяющих условию |х| > (xj.
Доказательство. 1) Так как по условию числовой ряд
£ a„XQ сходится, то его общий член алх£->0 при и->оо, откуда
п = 0
следует, что последовательность {a„xj} ограничена, т. е. сущест-
вует число М>>0 такое, что
|аХ|<М, п = 0, 1,2,... (2)
Перепишем ряд (1) в виде
а0 + Д|Х0 ) + ДгХо ) +•••+ ап*о ) +••• (3)
и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его чле-
нов:
Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих
членов ряда
м + м +М 4*+...+ м 4'+- &
1111 0 0 0
При |х|<|х0| ряд (5) представляет собой геометрическую про-
грессию со знаменателем q=—<z\ и, следовательно, сходится.
хо
* Абель Нильс Хенрик (1802—1829) —норвежский математик.
392
Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда
(5), то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это зна-
чит, что ряд (1) при Iх| < Iх0| сходится абсолютно.
2) Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию, в точ-
ке х, ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится
для всех х, удовлетворяющих условию |х|>|х1|. Предполо-
жим обратное, т. е. допустим, что при некотором значении х та-
ком, что |х|>|х1|, ряд (1) сходится. Тогда по только что дока-
занной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке х„
так как JxJ-cclxl. Но это противоречит тому, что в точке х.
ряд расходится.
Теорема Абеля утверждает,
что если х0 — точка сходимости
степенного ряда, то во всех точ-
ках. расположенных на интервале Рис 215
( —|х0|, |х0|) (рис. 215, а), этот ряд сходится абсолютно, а
О Хр
X
а)
-ft /
б)
если
х, — точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, рас-
положенных вне интервала (— |xt|, jxj) (рис. 215, б), ряд рас-
ходится.
Отсюда вытекает следующая теорема.
• оо
Теорема 14.12. Если ряд £ апхп сходится не при всех
п = 0
значениях х и не только при х=0, то существует число R>0
такое, что ряд абсолютно сходится при |х|</? и расходится
при |х| >R.
Доказательство. Обозначим через X множество то-
оо
чек х, в которых ряд £ апхп сходится. Покажем, что множество X
п=0
ограничено. Действительно, если взять точку хь в которой ряд
расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме
Абеля для любого х из X выполняется неравенство |x|<c|xj.
Известно, что у ограниченного сверху множества существует точ-
ная верхняя грань. Положим /? = sup|x|. Так как ряд сходится
хеХ
не только при х=0, то /?>0.
Возьмем теперь любое х, для которого |х|</?. Согласно
свойству точной верхней грани найдется хоеХ такое, что |х|<
<|х0|^/?, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходи-
мость ряда при взятом х.
Возьмем теперь любое х, для которого |х|>/?. Такое х^Х.
Следовательно, при этом х ряд расходится.
Таким образом, решен вопрос об области сходимости степен-
ного ряда. Интервал (—/?, R) называется интервалом сходимости
степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости сте-
ленного ряда.
393
Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охваты-
вает всю числовую прямую (в этом случае пишут /? = оо), у дру-
гих вырождается в одну точку (/? = 0).
Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R.
При x=±iR ряд может либо сходиться, либо расходиться.
Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.
Приведем способ определения радиуса сходимости степенного
ряда.
Теорема 14.13. Если существует предел lim
а ,
л-|
а
=/=0, то
радиус сходимости ряда У апхп равен R= lim
П~*-ОО
n=Q
а
Г:
0 J
Доказательство. Рассмотрим ряд У |апхл|.
п=0
По условию
существует lim
П-+ оо
=/=0. Обозначим его через Тогда
lim
а , .х"
л-Н
a Xх
= |х| lim
П-> ОС
%
а
а ,
а
“ R-
При каждом значении х степенной ряд становится числовым
оо
рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд У сходится,
। । п=®
'III 1 у 1 • V».
Следовательно,
ных рядов
ряд
абсолютно.
При
по теореме 14.10 о сходимости знакоперемен-
оо
У а„хп также сходится при |х| </?, причем
п=0
|х|>/? ряд У а„хп расходится, так как
п=0
lim
а , .х"
Л +1
a Xх
“ R
следовательно, общий член ряда а„хп
не стремится к нулю при и->оо.
Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала ( —/?, /?)
расходится вне его,
а
и
= lim
е.
радиус сходимости
равен /? =
Замечание. Можно
доказать, что если lim
а _
Л-1
а
= 0, то
ряд У а„хп сходится на
/1=0
всей числовой прямой,
е. /? = оо,
I . ^Л +1
а если lim —— =оо,
Л-^ОО
то
ряд сходится только при х=0, т. е.
/? = 0.
394
oo
Пример 1. Рассмотрим ряд Здесь ал= — и ал+1 =
п = I
Поэтому
R = lim —— = lim п + 1 = lim (1 + = 1.
Л->оо а„+| л->оо П Л->оо \ П /
Следовательно, по теореме 14.13 данный ряд сходится на интер-
вале (—1, 1). Исследуем поведение ряда на концах интервала схо-
димости, т. е. в точках х=±1. При х=1 получаем гармонический
оо оо
ряд 3 ПРИ X=z~l РЯД ^С-“!)"“> который сходится
л = 1 л=1
в силу признака Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится
в любой точке полуинтервала [ — 1, 1) и расходится вне его.
оо
Пример 2. Ряд хп расходится на всей числовой прямой,
п= 1
кроме точки х=0, так как его радиус сходимости
R = Пт —— = lim > ?! .т. = lim = 0.
П->оо а +1 гн>оо (" 4- 1)! п->оо 1 4- П
оо
ZX”
сходится абсолютно на всей числовой
п= I
прямой, так как его радиус сходимости
R = lim —п— = lim — = lim (п + 1) = оо.
Д ПI х '
Л->оо л+1 п->оо ’ П->ОО
3. Свойства степенных рядов. Пусть функция f (х) является
суммой степенного ряда
f(x) = a0 + a1x + a2x2+...+ anx',+---. (6)
интервал сходимости которого (—/?, /?).
В этом случае говорят, что на интервале (—/?, /?) функция f (х)
разлагается в степенной ряд (или ряд по степеням х).
Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов, которые
приведем без доказательства.
Теорема 14.14. Если функция f (х) на интервале (-R, R)
разлагается в степенной ряд (6), то она дифференцируема на этом
интервале и ее производная f' (х) может быть найдена почленным
дифференцированием ряда (6), т. е.
f' (х) = (а0 4- atx + а^2 +...+ а/ +...)' =
= а, 4* 2а?х 4- За3х2 4--.-4" па„хп~' 4---
Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка
функции f(x). При этом соответствующие ряды имеют тот же
интервал сходимости, что и ряд (6).
395
Теорема 14.15 Если функция f (х) на интервале (-R, /?)
разлагается в степенной ряд (6), то она интегрируема в интервале
{ — Ry R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным инте-
грированием ряда (6), т. е. если xlf х2е( — /?, /?), то
*2 Х2
$ f (х) dx = J (а0 + as + а^2 +•••+ а^п +•••) dx =
х1 х,
х2 х2 х2
= J aadx + J ахх dx +...+ а„хп dx +...
Х| Xj X]
Представляет интерес интегрирование степенного ряда (6) по
отрезку [0, х], где |х| </?:
Sa.x2 а-х3 а Х1*1
f (х) dx = ОоХ + -j-h — +...+ 4-...
0
В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот
же интервал сходимости, что и ряд (6).
Сформулированные теоремы дифференцирования и интегриро-
вания степенных рядов имеют важное значение. Далее они неодно-
кратно используются.
Отметим, что в ряде случаев рассматриваются степенные ряды
более общего вида:
оо
а04-а,(х —а)+а2(х — а)2+...+а„(х — а)"4-...= £ а„(х —а)". (7)
л=0
Ряд вида (7) приводится к виду (1) заменой переменной х — a=t.
Если функция f (х) является суммой ряда (7), то в этом случае
говорят, что функция f(x) разлагается в ряд по степеням
(х —а).
Все изложенное полностью переносится и на ряды вида (7).
Для простоты записи последующие рассуждения проводятся для
рядов вида (1).
4. Разложение функций в степенные ряды. Как показывает
следующая теорема, разложение функции в степенной ряд един-
ственно.
Теорема 14.16 Если функция f (х) на интервале { — Ry R)
разлагается в степенной ряд
f (х) = а0 + atx 4- 4-.„4- а„хп 4-..., (8)
то это разложение единственно.
Доказательство. По условию ряд (8) сходится на ин-
тервале ( — Ry R) и функция f{x) — его сумма. Следовательно,
на основании теоремы 14.14 ряд (8) можно почленно дифференци-
ровать на интервале {—Ry R) любое число раз. Дифференцируя,
396
получаем
f' (х) = 1 •ai + 2a2x + 3a3x2+4a4X3+... + nanxn~'+...,
f" (х)=1 •2a24-2-3aJr4-3-4a4x24-4-5a5x3+...H-n (n—1) a„xn~2-\-...,
f"'(x)= 1 - 2-3a3 +2-3-4a4x+...+n(n— 1) (n —2) a„x"-3
(x)=n\ a„+ 2 • 3 • 4...(n + 1) a„+lx+-,
Полагая в полученных равенствах и в равенстве (8) х=0, имеем
f(O) = ao. Г(0)=1.а1( Г(0) = 2!а2>
Г(0) = 3! а3, (0) = л! a....
откуда находим
=.= f (0), а,= ™, о,- ™. ... а.-ф. ... (9)
Таким образом, все коэффициенты ряда (8) определяются единст-
венным образом формулами (9), что и доказывает теорему.
Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство
(8), получаем
Пх) = Н0)+-^х + ^х2+...+ -^х"+...
Итак, если функция f (х) разлагается в степенной ряд, то этот
ряд имеет вид
К0)+^х+гахЧ...+ ™о... (10)
Ряд (10) называется рядом Маклорена для функции f (х).
Пусть теперь f (х) — произвольная бесконечно дифференциру-
емая функция. Для нее можно составить ряд (10). Установим, при
каких условиях сумма ряда (10) совпадает с функцией f (х). Ответ
на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена.
В гл. 6 § 3 было показано, что для любой бесконечно дифференци-
руемой функции справедлива формула Маклорена
/(х) = Н0)+-фх+-фх2+...+-^хп+/?п(х),
где остаточный член
/г"^=7^ТЖх', + '’|=0х’О<0<1- <11>
Если обозначить через Sn(x) частичную сумму ряда Маклорена,
то формулу Маклорена можно записать так:
И^) = 5я(х) + /?я(х). (12)
Имеет место следующая теорема.
397
Теорема 14.17. Для того чтобы ряд Маклорена (10) схо-
дился на (— R, R) и имел своей суммой функцию f (х), необходимо
и достаточно, чтобы на (-R, R) остаточный член Rn(x) формулы
Маклорена (И) стремился к нулю при «-►оо, т. е. lim /?rt(x)=0
для любого x^( — R, R).
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (х) —
сумма ряда Маклорена на (—-/?, /?), т. е. lim Sn(x)=f (х). Тогда
П-*оо
из равенства (12) следует, что lim/?„(х) = 0 для любого хе(-/?,/?).
П-*оо
Достаточность. Пусть lim/?rt(x) = 0 для любого хе(-/?, R).
П-*-оо
Тогда из равенства (12) следует, что lim [f (х) — Srt(x)] = 0, т. е.
lim Sn(x)= f (х). Это и означает, что ряд Маклорена (10) сходится
П-*-оо
на (—/?, R) и его сумма равна f (х).
Из теоремы вытекает, что вопрос о разложении функции в ряд
Маклорена сводится к исследованию поведения остаточного члена
Rn (х) при «-►оо.
Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементар-
ных функций.
Разложение функции f(x) = ex. Имеем: f' (х)=
= /" (х)=...= ^л) (х) = ех, откуда при х = 0 получаем: /(0) =
= f (0) = /" (0)=...= fn) (0)= 1. По формуле (10) для функ-
ции ех составим ряд Маклорена:
1+-гг+4+•+4+- (13)
Найдем интервал сходимости ряда (13)
п Г а* 1- Л?(Л + I)
R = llm —= llm =
П-*оо л-hl П->оо
оо.
Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
Докажем теперь, что функция ех — сумма ряда (13).
Отметим, что в силу необходимого условия сходимости ряда для
любого х справедливо равенство
lim-^ = 0. (14)
П—*-оо 11 ’
Так как /(л+1) (£) = е\ то
W — (п 1_ П! х
е*
Хп *,
где £ = 0х, О<0<1. Отсюда/ учитывая, что е*<е|х|,
получаем
Так как в силу (14)
г п г 1^+‘ п
hm —г = 0, то и hm —-г-пт = 0-
П-^оо П-*-оо "Г »)»
398
Поэтому, переходя к пределу в последнем неравенстве при и->оо,
получаем, что lim /?л(х)=0 при любом х, и, следовательно, функ-
П-*-оо
ция ех является суммой ряда (13).
Таким образом, при любом х имеет место разложение
Г ***
еХ=1+-Гг + -5г+-+тг+-
Разложение функции f (x)=sin х. Имеем: f' (x)=cos х=
=sin(x4--^y f"(x) = — sinx=sin(x+2-^-), ..., fn)(x) = sin +
(см. гл. 5, § 10, n. 2), откуда, полагая x=0, получаем: f(0) = 0,
f'(0)=l, f'(0) = 0, f'"(0) = —1, ^4) (0) = 0,... Составим по фор-
муле (10) для функции sin x ряд Маклорена:
(-О'*-1*2"-1
(2n - 1)!
+ ...
Легко проверить, что полученный ряд сходится абсолютно на
всей числовой прямой. Исследуем остаточный член
Л«(Х) =
®) vn+l _
(« + 1)! Х -
sin Г £ + (л + !)-£-]
L______________2 J „п+1
(« 4-1)! ’
где |=0х, О<0<1. Так как |sin [ £ + («+|< 1, то |fl„(x)|<
|х|"+1 Ы"+1
Г' X Гй- В СИЛУ *'m i 4- in = 0- Следовательно, lim /?п(х) = 0
' (п + I?! П —*-оо {П “Г п->оо " ' '
при любом х. А это означает, что функция sin х является суммой
построенного ряда, т. е. имеет место разложение
х3 , х6 X7 , , (- 1)п—'х2”-1 ,
Sin X — X 3! + 5, 7! +•••+ (2м — 1)!
Разложение функции f (х) = cos х. Аналогично пре-
дыдущему, можно получить разложение функции cos х в ряд Мак-
лорена, справедливое при любом х. Однако еще проще разложение
cos х получается почленным дифферецированием ряда для sin х:
(si„X)- _ W - + (i)' - (4)' +...+ [4^]' +....
откуда
у2 у4 уб и у2л
cosx=l-4 + 4-4+---+(-l) W+-”
Кроме рассмотренных функций ех, sin х, cos х в ряд Маклорена
могут быть разложены и многие другие функции. Вместо ряда
Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора
по степеням (х — а), где а =/= 0, т. е. ряд вида
г/ \ । / х , Г(а) / \2 , . рп\а) , хп .
Иа)Н------------------2Г"(х“а) +---Ч—~(х~а} + —
Все изложенное полностью переносится и на эти ряды.
399
При разложении функции cos х в ряд Маклорена было использо-
вано свойство почленной дифференцируемости степенных рядов.
Аналогично можно использовать и другое свойство степенных ря-
дов — их почленную интегрируемость. В качестве примера разло-
жим с помощью почленного интегрирования в степенные ряды
функции In (1 +%) и arctg х.
Рассмотрим ряд 1+х + х2 + х3 + ... + хл+... Данный ряд
является геометрической прогрессией, первый член которой равен
единице, а знаменатель q = x. Как известно, при |х| < 1 данный
ряд сходится и его сумма равна t Следовательно,
-j4-= 1 +х + х2 + х3+...+ х"+... (15)
Равенство (15) является разложением функции f (х)= в сте-
пенной ряд.
Подставляя в равенство (15) — t вместо х, получаем равенство
_L_ = 1 _ t + /2 _ /3 + + (_ 1)V. +
справедливое при |/|<1. Проинтегрируем этот степенной ряд
почленно в пределах от 0 до х (|х|<: 1). Имеем
X
$-Г^7=1п(1 + ОГо=1п(1 +*) =
О
= J (1 - t + t2 - t3 +...+ (- l)V +•••) d/ =
0
X X X X X
= J d< - \t dt 4- \t2 dt - \t3 dt + ...+ (- 1 )n\tn dt 4-... =
0 0 0 0 0
X2 , X3 X4 z Xn + 1 |
= x——г + - + (-‘) -
Отсюда
1п(1+х)=х-44-4-4+-+(-1)"4тт+- <16>
Равенство (16) является разложением функции 1п(1+х) в степен-
ной ряд. Оно справедливо при |х| <С 1. Можно доказать, что это
равенство верно и для х=1.
Действительно, при х = 1 левая часть (16) равна In 2, а правая
часть — сходящийся по признаку Лейбница числовой ряд
1 -4+4-...+е-1Г’4+-
Остается проверить справедливость равенства
In 2= 1 -4 + 4-...+ (-1)"-,4+... (18)
400
Для этого проинтегрируем от 0 до 1 выражение
_L. = 1 _ t + /2 - t3 +...+ (- + (-1)"
полученное в результате деления единицы на 1+/. Имеем
1
$-ГТ7=1п(1 +/)|i=ln2 =
О
1
= J (1 - t + t2 - t3 +„.+ (— 1)"-1Г~' + (- 1)" утр) df =
О
= 5 d/ - j f d/ + d/ - df +...+ (- 1)""'jr-' d/ +
0 0 0 0 0
+ <-1>'j-rn-df=1-4+T-T +• + <- D-1 4 +
0
0
т. e.
i
In 2= I -±+±_±+...44-l)"-,^+(-!)"$-Jlydt (19)
0
В этом равенстве сумма первых п слагаемых является частичной
суммойSnряда (17). Запишем (19) в виде
1
1п2 —S„ = (—1)" (4т7- (2°)
о
Так как при 1, то
1 1 1
, 1 \п С tn dt f Р df Г п л. Р+1 и 1 п
(-1) Г7 = У d/ = T+Tli= ПРИ п->о°*
0 0 0
Отсюда заключаем, что интеграл в правой части (20) стремится
к нулю при п->оо, следовательно, lim Sn= In 2, что и означает
л->оо
справедливость равенства (18).
Найдем теперь разложение функции arctg х. Подставляя в (15)
— /2 вместо х и интегрируя по t от 0 до х, имеем
л® п r2n-i-i
arctgx = x-4+f-...+ (-l)"-£TT+... (21)
Равенство (21) справедливо при |х|< 1. Однако аналогично^пре-
дыдущему можно показать, что оно верно и для х=±1.
В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообраз-
ные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вы-
26 - 3157 401
числяют значения функций (в частности, значения лие); находят
приближенные значения определенных интегралов, которые или
не выражаются через элементарные функции, или сложны для ВЫ-
fl
« т, Г sin х ,
числении. Так, например, интеграл \—— ах не берется в элемен-
о
тарных функциях, поскольку первообразная функции —— не
является элементарной. В то же время эта первообразная легко
выражается в виде степенного ряда. Действительно, так как sinx =
= х — х3/3! +%5/5! — х1/1\ + ..., то, умножая этот ряд на 1/х,
получаем
sin х 1 х2 х4 х6
1 ЗГ + “5Г 7Г +••• ,
причем последний ряд сходится при любом х. Интегрируя его по-
членно от 0 до а, имеем
а
Ss h х а3 ( а5 fl7|
~ 0Х ~ а 3!3 "5!5 7!7 '
О
С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью
точности вычислить данный интеграл.
Наконец, значительную роль играют степенные ряды в прибли-
женных методах решений дифференциальных уравнений.
§ 6. Комплексные ряды
1. Краткие сведения о комплексных числах. Комплексным чис-
лом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (х; у),
т. е. z = (x; у). При этом х называется вещественной, а у — мнимой
частью комплексного числа.
Комплексное число z = (x; у) изображается на плоскости Оху
точкой М с координатами (х; у) или вектором ОМ, проекции кото-
рого на оси Ох и Оу соответственно равны х и у (рис. 216). Плоскость
Оху в этом случае называется условно комплексной плоскостью.
Комплексное число вида (х; 0) отождествляется с вещественным
числом х, т. е. (х; 0) = х. Это позволяет рассматривать множество
всех вещественных чисел как подмножество множества комплекс-
ных чисел. На комплексной плоскости вещественные числа изобра-
жаются точками на оси Ох, которая называется вещественной осью.
Комплексное число (х; у) при #=/=0 называется мнимым. Мнимое
число (0; у) называется чисто мнимым и символически обозначается
z=iy. Чисто мнимое число (0; J) называется мнимой единицей
и обозначается буквой /, т. е. / = (0; 1). Чисто мнимые числа на
комплексной плоскости изображаются точками на оси Оу, которая
называется мнимой осью.
Два комплексных числа z{ = (x{\ у{) и z2=(x2; у2) называются
равными, если xt = x2, у{ = у2. Отсюда следует, что векторы,
402
изображающие равные комплексные числа, равны между собой.
Комплексное число 0 = (0; 0) называется нулем,.
Действия над комплексными числами. Оп-
ределим алгебраические действия над комплексными числами.
Суммой комплексных чисел z^fjc^ у^) и z2=(x2; Уг) назы-
вается комплексное число
Z = (х, 4- Х2; 4- </2).
Произведением комплексных чисел Zi = (x^ у^ и z2=(x2; у2) на-
зывается комплексное число
z = (х,х2 — yty2; Х'У2 4- ХД,).
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, об-
ратное сложению, т. е. число z называется разностью чисел Zj и
z2> если z-\-z2—zx. Из этого определения Л м(х;у)
вытекает, что комплексное число
Z = (х, — Х2, yt — у2) 1< /
является разностью комплексных чисел —q-------------
21 = (хх; yt) и z2=(x2; у2).
Деление комплексных чисел определя-
ется как действие, обратное умножению,
т. е. число z называется частным чисел Рис. 216
zx и z2=/=0, если z*z2=z{. Из этого определения следует, что комп-
лексное число
_ /*л +М2
2 х’+Я )
является частным комплексных чисел у{) и z2 = (x2; #2).
В действиях с комплексными числами особую роль играет мни-
мая единица /=(0; 1). Умножая ее саму на себя (т. е. возводя
в квадрат), в силу определения произведения комплексных чисел
получаем (0; 1) • (0; 1) = (—1; 0)= — 1, т. е. i2= — 1. Таким об-
разом, любое комплексное число z=(x; у) можно представить
в виде
z=(x; t/) = (x; 0) + (0; у) = (х; 0)+G/; 0) • (0; \) = x + iy (1)
и производить над комплексными числами действия по обычным
правилам алгебры многочленов. Запись (1) называется алгебраиче-
ской формой комплексного числа.
Комплексное число z = (х; —y) = x — iy называется комплексно
сопряженным числу z=(x; y) = x-\-iy и изображается на комп-
лексной плоскости точкой, симметричной точке z относительно
оси Ох.
Пример. Найти произведение сопряженных чисел z — x + iy
и z =x — iy.
Решение. Имеем
z • z = (х + iy) - (х — iy) = хх + ixy — iyx + уу = х2 + у2.
26*
403
М(х;у)=М1р;<р)
0
Рис. 217
и обозначается
Тригонометрическая форма комплексно-
го числа. Введем на комплексной плоскости Оху полярную си-
стему координат так, чтобы полюс находился в начале О прямоуголь-
ной системы, а полярная ось совпадала с положительной полуосью
Ох (рис. 217). Рассмотрим комплексное число z=x-\-iy. По фор-
мулам x=pcos<p, j/=psin<p, связывающим полярные и прямо-
угольные координаты, получим тригонометрическую форму запи-
си комплексного числа z = x-\-iy:
z = р (cos ф + i sin ф).
Число р называется модулем, а число ф — аргументом комплекс-
ного числа z. Они обозначаются так: р =
= |z|, (p=Argz. Отметим, что аргумент
Ф данного числа z определен неоднозначно,
а с точностью до слагаемого 2лп, где п = 0,
±1, ±2, ..., а модуль числа z=x-}-iy
имеет значение
р = |z| = | ом| = Vx2 + у2.
Значение аргумента, удовлетворяющее не-
равенствам 0^ф<2л, называется главным
arg z. Аргумент комплексного числа z = 0 не
определен, а его модуль равен нулю.
Пример. Представить в тригонометрической форме следующие
числа: 1) г = 2-Н’2л/3; 2) z = 5; 3) z = i.
Решение.^ 1) Для з = 2-Н‘2л/з имеем: х=2, (/=2л/з,
р = -/22 + (2л/з) =4, cos ф=х/р= 1/2, sin ф = #/р = л/з/2. Этим
значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента
Ф= л/3. Следовательно, г = 2-Н’2л/з = 4 (cos (л/3)-Н sin (л/3)).
2) Для z = 5 имеем: х=5, */=0, р = 5, с08ф=1, зй1ф = О.
Таким образом, z=5 = 5 (cos 0 + i sin 0).
3) Для z = i имеем: х=0, у=\, р= 1, со8ф = 0, 8Щф=1.
Следовательно, z = i= 1 • (cos (л/2)-Н sin (л/2)).
В тригонометрической форме удобно выполнять действия умно-
жения и деления комплексных чисел. Пусть 21 = р1(с08ф1 +
-рZ sin фj) и z2= р2 (cos ф2 + /зщ ф2). Тогда
2=р(сО8ф+/8Щф)=21‘22=р1(сО8ф|+/8Щф1)‘Р2(сО8ф2-Н8Щф2)=
= р1р2[ СОЗф jCOS ф24” JCOS ф j sin ф2-р jsin ф jCOS ф2—81Пф18Шф2] =
=pip2[cos(<p1+<p2)+tsin(<pl+q>2)].
Таким образом,
р = Р|Р2,<Р = ф| + <р2.
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются. В случае деления комплексных чисел
при р2=/=0 имеют место соотношения
р.
Р = —= Ф1 — Ф2-
404
Если перемножаются п равных комплексных чисел z = p(cos(p +
-J-Zsin ф), то zn = pn (cos пф + t sin пф). Если положить р=1,
то получим формулу
(cos ф + i sin ф)п = cos пф + i sin пф,
которая называется формулой Муавра*.
2. Предел последовательности комплексных чисел. Теорию пре-
делов, рассмотренную ранее для последовательностей вещественных
чисел, можно обобщить и на случай последовательностей комплекс-
ных чисел; при этом многие определения, связанные с предельным
переходом, полностью повторяются.
। Рассмотрим последовательность комплексных чисел zh z2, ...
.... z„,.... где zn = (x„4- (« = 1,2, ...).
Комплексное число a=xQ + iyQ называется пределом последова-
тельности {zj, если для любого е>0 существует номер N такой,
что при n>N выполняется неравенство |zn —а|<е. Последо-
вательность {zn} в этом случае называется сходящейся к числу а,
что записывается в виде lim zn = а или zn-+a при п->оо.
Геометрически это означает, что для любого е>0, начиная
с некоторого номера Af, зависящего от е, все элементы последователь-
ности {zn} попадут в круг радиуса е с центром в точке а, и точки zn
с возрастанием п неограниченно приближаются к точке а. Это
следует из равенств \г„ — а[ = ](х„ — х0) + i (уп — у0)| =
= л/(хл — хо)2 + (f/л + г/о)2=Р (№„, Мо), где р (М„;Л10) — расстояние
между точками Мп (хп; уп) и М0(х0; г/0), т. е. между точками,
изображающими числа zn и а.
Каждое комплексное число zn является упорядоченной парой
вещественных чисел (хп; уп\ поэтому последовательности {zj со-
ответствуют две последовательности вещественных чисел {хп} и
{уп}, составленные соответственно из вещественных и мнимых ча-
стей элементов zn последовательности {zn}.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 14.18. Необходимым и достаточным условием схо-
димости последовательности {zn} = {хп + iyn] является сходимость
последовательностей вещественных чисел {xj и {уп].
Доказательство. Необходимость. Пусть zn -> а = xQ + iyQ.
Тогда для любого е>>0 существует номер М такой, что при п> N
выполняется неравенство |z„ — а| = V (х - х0)2+ (у„ — у0)2 < е.
Отсюда |х„ — х0| < |z„ — а| < е, |ул — z/0| < |z„ — а| <е при n>tf
и, следовательно, хл -» х0 и у„ -* yQ.
Достаточность. Пусть х„ -> х0, уп -► у0 и пусть а = х0 -|- iy0.
Тогда из соотношения \г„ — а| = д/(хл — xof + (у„ — Уо)2 следует,
что г„ -* а при п —► оо.
, * Муавр Абрахам де (1667—1754) —английский математик, француз по
национальности.
405
Эта теорема позволяет перенести основные результаты теории
пределов для последовательностей вещественных чисел на после-
довательности комплексных чисел.
3. Числовые ряды с комплексными членами. Составим ряд из
комплексных чисел
оо
21 + 22 +•••+ 2п +••• = £ 2п, (2)
Л = 1
где zn=xn+iyn. Ряд (2) называется сходящимся, если сходится
последовательность {S„} его частичных сумм S„= z{ + z2-|-...+ zn=
= (jL ПРИ п“>оо‘» предел S=lim S„ называется
суммой ряда.
Ряду (2) с комплексными членами соответствуют два вещест-
во оо
венных ряда £ хп и £ уп. Так же как для последовательности
П=| л=|
комплексных чисел (см. теорему 14.18), можно доказать, что для
сходимости ряда (2) необходимо и достаточно, чтобы сходились
оо оо оо оо
ряды £х„ и £ Уп- При этом, если £ x„ = S' и £ y„—S",
л = 1 л=1 л = 1 п= I
toS= £ z„=S'+iS".
п=|
Для изучения сходимости ряда (2) полезна следующая теорема.
Теорема 14.19. Пусть дан ряд с комплексными членами
оо
z\ + Z2 +•••+ Zn +•••== J Z n* (3)
n = l
Тогда, если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (3)
I2i| + Ы +•••+ I2n| +•••= £ I2«|. (4)
п= I
то сходится ряд (3).
Доказательство. Пусть zn=xn+iyn\ тогда |z„| = +
и Поэтому согласно признаку
сравнения рядов с вещественными членами (см. теорему 14.6) из
оо оо
сходимости ряда (4) вытекает, что ряды £ |хя| и £ |t/„| схо-
л = 1 л = 1
дятся. Следовательно, сходятся, и" притом абсолютно, ряды
У хп и £ уп, а этого достаточно для сходимости ряда (3).В
л=Г л=1
Если ряд (4) сходится, то говорят, что ряд (3) сходится абсо-
лютно.
406
Доказанная теорема позволяет применять при исследовании
сходимости рядов с комплексными членами все достаточные при-
знаки сходимости рядов с неотрицательными вещественными чле-
нами.
ОО п
Пример. Исследовать на сходимость ряд '•
п = I
Решение. Данный ряд сходится абсолютно, так как, применяя
к ряду, составленному из модулей его членов, признак Даламбера,
получаем
4. Степенные ряды с комплексными членами. Ряд вида
< оо
a0+ai(z —a) + a2(z —a)2+...+a„(z —а)л+...= £ an(z — a)n, (5)
n=0
где z — комплексная переменная; ал и а — комплексные числа, на-
зывается степенным рядом. Как и для вещественных чисел, огра-
ничимся рассмотрением степенных рядов вида
. a0+a1z + a2z2+...+anz,'4-...= £ а^п.
л=0
(6)
Ряд (5) приводится к виду (6) с помощью подстановки z — a=t.
Для определения области сходимости степенного ряда (6) исполь-
зуют теорему Абеля (см. теорему 14.11), которая формулируется
идоказывается, как и для вещественных
чисел. Приведем формулировку теоре-
мы.
Теорема 14.20. 1) Если степен-
ной ряд (6) сходится при z = z0(z0=/=
=/=0), то он сходится, и притом абсо-
лютно, для всех z, удовлетворяющих
условию |z|<|z0|; 2) если ряд (6)
расходится при z = z{, то он расхо-
дится для всех z, удовлетворяющих ус-
ловию |z| >\z j|.
Рассмотрим геометрическое истол-
кование теоремы Абеля. Если z0—точка
сходимости ряда (6), то во всех точках,
расположенных внутри круга радиуса
|z0| с центром в начале координат,
а если Zj — точка расходимости ряда
расположенных вне круга радиуса |zj|
динат, ряд расходится (рис. 218).
Рис. 218
ряд сходится абсолютно,
(6), то во всех точках,
с центром в начале коор-
407
Аналогично тому, как это было сделано для степенных рядов
в случае вещественных чисел, можно установить вид области схо-
димости ряда (6).
Теорема 14.21. Если ряд (6) сходится не при всех значе-
ниях z и не только при z=0, то существует число /?>0 такое,
что ряд сходится абсолютно при |z|</? и расходится при |z|>
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы
14. 12. Круг на комплексной плоскости с центром в начале коорди-
нат и радиусом R называют кругом сходимости степенного ряда (6),
а число R— радиусом сходимости. На границе круга сходимости
(|z| = /?) вопрос о сходимости ряда решается, как и в случае
вещественных чисел, дополнительным исследованием.
Если степенной ряд (6) сходится только в точке z=0, то пола-
гают /? = 0, если же ряд сходится при любом значении z, т. е.
на всей комплексной плоскости, то считают /?=оо.
Радиус сходимости степенного ряда (6) можно находить так же,
как и в случае вещественных чисел.
Пример. Найти радиус сходимости степенного ряда
п = 1
Решение. Имеем
R = lim J- —7 = lim = lim (и + 1) = оо.
Л-»-оо I Л-»>оо Л-»-оо
Следовательно, ряд сходится при любом значении г.
Рассмотрим ряд
оо
f (z) = а0 4- atz + a2z2 +•••+ а„гп +...= £ a„z". (7)
/1=0
Очевидно, внутри круга сходимости ряда (7) его сумма f (z) являет-
ся функцией комплексной переменной z. Функции комплексной пе-
ременной, представимые в виде степенных рядов, называются ана-
литическими. Изучение таких функций выходит за рамки данного
курса *.
5. Формулы Эйлера. Установим с помощью степенных рядов две
формулы, которые имеют широкое применение.
В § 5 было получено разложение функции ех в степенной ряд,
сходящийся при любом значении х:
е'= 1 +пт + 4+-+4+- W
Если вещественную переменную х заменить комплексной перемен-
ной z, то получим ряд по степенями:
2 2? 2я
i+-fr+4
* См. книгу: Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплекс-
ной переменной. М., 1967.
408
сходящийся, как это следует из только что рассмотренного примера,
при всех значениях z. Обозначим его сумму через ez. Таким обра-
зом, по определению, для любого комплексного числа z
ег=1+тг + 4+-+4 + - (9)
Сумму ряда (9) называют показательной функцией комплексной
переменной z.
Аналогично определяются тригонометрические функции sin z и
cos z комплексной переменной z:
sin Z = Z gf + “5Г —•••+("” 1) (2n — 1)! (10)
^2 jA ?ln
cos z = 1 - 4 + 4 -...+ (- 1)я +... (11)
Между показательной функцией ez и тригонометрическими функ-
циями sin z и cos z существует простая связь. Подставим в (9) iz
вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие
множитель i и не содержащие этот множитель:
2# 2? Z* Z$
= 1 + iz — -jj- — i -3г + -jr + i -gr —...=
= ('-4+4-.)+‘(г-4+4-4
Сравнивая полученный результате формулами (10) и (11), получаем
e/z = cos z + i sin z. (12)
Далее, подставляя в (9) — iz вместо z, имеем
e-/z = cos z — i sin z. (13)
Формулы (12) и (13) называются формулами Эйлера. Они устанав-
ливают связь между показательной и тригонометрическими функ-
циями комплексной переменной z. Если почленно сложить и вы-
честь равенства (12) и (13), то получим другую запись формул
Эйлера:
e»* + e-“ . — е~'г
COS Z = -g--; sin Z =-2/--• (14)
Таким образом, функции ez, sin z, cos z связаны соотношениями
(12) — (14). При z = x (x — вещественная переменная) эти функ-
ции комплексной переменной совпадают соответственно с функ-
циями ех, sin х и cos х вещественной переменной.
409
§ 7. Ряды Фурье
1. Тригонометрический ряд и его основные свойства. Ряд вида
cos %+ ft, sin x-f-a2 cos 2x-j-b2 sin 2x-f-...-l-an cos nx-f-
oo
4-bnsin nx+...=-^-+ (a„cos nx-f-^sin nx) (1)
n= I
называется тригонометрическим рядом, а числа a0, a}, bb a2, b2, ....
an, bn, ... — коэффициентами тригонометрического ряда.
В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригоно-
метрическом ряде вместо простейших функций 1, х, х2, ..., хл, ...
взяты тригонометрические функции
1 /2, cos х, sin х, cos 2х, sin 2х, ..., cos их, sin nx, ..., (2)
которые также хорошо изучены.
Прежде всего отметим, что все функции системы (2) являются
периодическими с периодом 2л. В самом деле, постоянная 1/2 имеет
любой период, а период функций sin пх и cos пх (п=1, 2, ...)
равен 2л/п* и, следовательно, число 2л=п (2л/п) также их
период. Очевидно, что каждый член тригонометрического ря-
да (1) является периодической функцией с периодом 2л. По-
этому и любая частичная сумма ряда (1) 2л-периодична (если все
члены ряда не меняются от замены х на х + 2л, то и , сумма его
не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что если ряд
(1) сходится на отрезке [ — л, л], то он сходится на всей число-
вой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности пе-
риодических частичных сумм, является периодической функцией
с периодом 2л. Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны
при изучении периодических функций, описывающих различные
периодические процессы, которые имеют место в природе и технике.
Примерами периодических процессов служат колебательные и вра-
щательные движения различных деталей машин и приборов, перио-
дическое движение небесных тел и элементарных частиц, акусти-
ческие и электромагнитные колебания и др.
Другим важным свойством функций системы (2) является их
ортогональность на отрезке [ — л, л] в следующем смысле: интеграл
по отрезку [—л, л] от произведения любых двух различных функ-
ций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [—л, л] от
квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.
Действительно,
л
\ -о- cos kx dx = -гут- sin kx I" = 0;
J Z £R i л »
— Л
(3)
Л
\ — sin kx dx =----cos kx |ln = 0.
* Действительно, sin [ n (x ±2x/n)] = sin (пх ±2л) = sin nx.
410
Далее,
л л
cos kx cos пх dx = -у [ cos (k + п) х + cos (k — n) x] dx =
— л —Л
= 1 г sm(t + »)x = о при k #= n. (4)
2 [ k + n * - n J
Аналогично находим
Л л
J sin kx sin nx dx = 0 при k Ф n; J sin kx cos nx dx = 0. (5)
— л —л
Наконец,
Л Л
cos26xdx=(1 +cos2/5x)dx= x-|--^sin2£xj =л, j
Г 7 (6)
Sir 1 г 1 i 71 I
sin2fcxdx=-y \ (1 — cos2fcx)dx= —I x—2j-sin2fcx = л,
— л —Л
— Л
что и требовалось показать.
2. Ряд Фурье. Аналогично степенному ряду, для тригонометри-
ческого ряда имеет место следую/цая теорема.
Теорема 14.22. Если функция f(x) определена и интегри-
руема на отрезке [ — л, л], разлагается в тригонометрический ряд
f(x) = -у + £ (а„ cos пх 4- bn sin nx) (7)
п= 1
который можно интегрировать почленно, то это разложение един-
ственно.
Доказательство. Интегрируя (7), получаем
л а л °° Г л л ”1
f (х) dx = -у dx + I ап cos пх dx 4- bn sin пх dx I,
— л —Л Л—1 *“ —Л —Л “*
откуда, учитывая (3), находим
л
ао = 4 S И*) Ах. (8)
—л
Для , определения коэффициента ak при cos kx (k — натуральное
число) умножим равенство (7) на cos kx и проинтегрируем по х
411
от — л до л*. Тогда на основании формул (3) — (6) получаем
л л
Sa г
f (х) cos kx dx = -у \ cos kx dx 4-
— л —л
оо г- л л
4- £ ап J cos kx cos пх dx + bn J cos kx sin nx dx =
n = l L — л —л
л
= ak J cos2 kx dx = akn,
— Л
откуда
Л
ak = — f (x) cos kx dx. (9)
— Л
Аналогично, умножая равенство (7) на sin kx и интегрируя в пре-
делах от—л, до л, на основании тех же формул получаем
л
J f (х) sin kx dx = bkn,
— л
откуда находим
л
bk = f(x)sinfcxdx. (10)
— л
Таким образом, коэффициенты a0, ak и bk ряда (7) определяются
единственным образом формулами (8) — (10), что и доказывает тео-
рему.
Эта теорема дает основание ввести следующее определение.
Определение. Пусть f (х) — функция, определенная и интегри-
руемая на отрезке [ — л, л]. Тогда числа а0, ап, Ьп, найденные по
формулам (8) — (10), называются коэффициентами Фурье, а ряд
-у 4- (an cos пх + bn sin пх)
Л=1
с этими коэффициентами называется рядом Фурье** функции f (х).
3. Сходимость ряда Фурье. Введем понятие периодического
продолжения функции f (х), заданной на отрезке [ — л, л].
Будем говорить, что функция F (х), определенная на всей число-
вой прямой и периодическая с периодом 2л, является периодиче-
ским продолжением функции f (х), если на отрезке [ — л, л] F (х) =
= Н4
* В теории рядов доказывается, что ряд (7) можно интегрировать почленно
после умножения его на ограниченную функцию.
** Фурье Жан Батист Жозеф (1768—1830) —французский математик и
физик.
412
Очевидно, что если на отрезке [ — л, л] ряд Фурье сходится к
функции f (х), то он сходится на всей числовой прямой к ее периоди-
ческому продолжению.
Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f (х) схо-
дится к этой функции.
Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема 14.23. Пусть функция f (х) и ее производная f' (х) —
непрерывные функции на отрезке [ — л, л] или же имеют на нем ко-
нечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции
f (х) сходится на всей числовой прямой, причем в каждой точке
хе(-л, л), в которой f (х) непрерывна, сумма ряда равна f (х),
а в каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна
2 ’
где f (xQ—)= lim f (x) и f(x0+) = lim f(x). На концах отрезка
X-*XO- x-*x0+
[ — л, л] сумма ряда равна
Н-л) + Нл)
2
В любой точке хе[-л, л] сумма ряда Фурье равна F (х), если
ч F(x— )4-F(x-F)
х — точка непрерывности F (х), и равна -----------------, если
х — точка разрыва F(x), где F(x) — периодическое продолжение f(x).
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Пусть функция
f (х) определена на отрезке [ — л, л] и является четной, т. е. f(—х)=
= f (х). Тогда ее коэффициенты Фурье Ьп равны нулю. Действитель-
но,
л Г 0 л
Ьп = f (х) sin пх dx = — f .(x) sin пх dx + f (х) sin пх dx
— л L — л О
В первом интеграле в квадратных скобках сделаем замену перемен-
ной. Положим х= — t. Тогда dx= —d/; если х=—л, то / = л;
если х = 0, то / = 0. Принимая во внимание, что функция f (х)
четная, а функция sin х — нечетная, получаем
0 0 л
J f (х) sin пх dx = — J f (— t) sin n (— t) dt = — J f (/) sin nt dt.
— л л 0
Следовательно,
f (/) sin nt dt 4- f (x) sin nx dx = 0
о 0 -
(напомним, что определенный интеграл на зависит от обозначения
переменной интегрирования).
413
Аналогично, учитывая, что функции f (х) и cosx четные, можно
получить следующие выражения для коэффициентов ап:
л л
ао=4 $ и*)d*. =4 wcos пх dx- о о
о о
Пусть теперь функция f (х), определенная на отрезке [—л, л],
нечетная, т. е. f (х)= — f( —х). Тогда, используя рассуждения,
аналогичные приведенным выше, можно показать, что коэффициен-
ты Фурье ап равны нулю, а коэффициенты Ьп определяются выраже-
ниями вида
л
2 Г
Ьп = — у W sin пх dx. (12)
О
Таким образом, если функция f (х) четная, то ряд Фурье содер-
жит только косинусы и только синусы, если функция f (х) нечетная.
Формулы (11) и (12) позволяют упростить вычисление коэффициен-
тов Фурье, когда заданная функция является четной или нечетной.
Пример 1. Рассмотрим функцию f(x) = x. Эта функция удовле-
творяет условиям теоремы 14.23 и, следовательно, может быть
разложена в ряд Фурье. Так как она нечетная, то ее коэффициеты
Фурье ая=0, а Ьп находятся по формуле (12). Имеем
t 2 Г , 2 1 |д । 1 Г j ~| / «\ п +1 2
Ь= — \xsinnxdx=—-xcosnxfH-\cosnxdx =(— 1) —.
.я J Л П п J 1х/л
о - о-1
Таким образом, получаем ряд Фурье данной функции
~ / sin х sin 2х , sin Зх sin 4х , , , n_|_i sin пх . \
x = 2(-j--------—+ —-------------—+-+(- 1) “Г"+•)•
Это равенство справедливо для любого хе(-л, л). В точках
х=±л сумма ряда Фурье по теореме 14.23 не совпадает со значе-
1 с/ \ f(— л)Ч-/(л) — л + л л о
ниями функции f(x) = x, а равна --------%------=--2—°не
отрезка [ — л, л] сумма ряда является периодическим продолже-
нием функции f (х) = х; ее график изображен на рис. 219, а.
Пример 2. Рассмотрим функцию /(х) = х2. Эта функция удов-
летворяет условиям теоремы 14.23 и, следовательно, может быть
разложена в ряд Фурье. Так как она четная, то ее коэффициенты
Фурье 6я=0, а ап находятся по формулам (И). Имеем
2 f 2 j 2л2
aQ = — \ х dx = -у-; ап
и л j з п
о
х2 cos пх dx =
2 I х2 sin пх |л 2 f . , I z 1 4
— ------------- J--------\ X sin пх dx = (— 1) —.
л I п 10 п J I 4 7 п2
L О J .
414
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид
2 _ л2 . / COS X cos 2х cos Зх \
х ~ ~~ 4(ч—1 4 у
Это равенство справедлив для любого хе|-л, л], так как в точ-
ках х=±л сумма ряда в данном случае совпадает со значениями
функции f (х)=х2, поскольку (f ( — Jl) + f (л))/2 = (л2 +л2)/2 =
= n2=f (л) = f(— л). Графики функции f(x) = x2 и суммы дан-
ного ряда Фурье изображены на рис. 219, б.
5. Ряд Фурье с периодом 2/.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [ —/, /] (/— произ-
вольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке
условиям теоремы 14.23. Разложим ее в ряд Фурье.
Введем новую переменную £ по формуле
и рассмотрим функцию ср (£) = f 0-^ = f (х).
Очевидно, функция <р(£) определена на отрезке [ — л, л]
летворяет на нем условиям теоремы 14.23.
Разложим функцию ср (£) на отрезке [ — л, л] в ряд Фурье
и удов-
оо
ф(1) = -у + £(a„cosng +6„sinng), (13)
п= I
где
Л л л
ао= v $ d£; а«=V $ os d£; 6 й= —к (I) sin ng dg.
— л —л —Л
Вернемся теперь к старой переменной х: х = -^-£, £ = х-^-, d£ =
= -у dx. Тогда формула (13) принимает вид
оо
Г / \ а0 I V* / nnX I t ПЛХ\
fW = — + / ^a„cos—J-+ 6„sin—j-), (14)
n= 1
415
где
1
aQ ~[~
I
f (x) dx; an =
-I
I
4 J fw
-l
ППХ j
cos —-j— dx;
i
bn = 4 $ f(x) sin dx.
Формула (14) и есть ряд Фурье с периодом 2/.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье с периодом 21 функцию f (х),
которая на отрезке [ —/, I] задается формулой f (х)=|х|.
Решение. Так как функция f (х)= |х| четная, то
/ i
. 2 f . 2 X2 I/ / 2 Г ппх ,
Ьп = 0; aQ = -у \ X dx = — • —10 = 1\ ап = -у \ х cos —р dx =
о о
, ппх
I • X sin —-—
I
ппх . 2/ ппх
Sin -г- dx = —— COS —7-
I П2П2 I
/ пп
при п четном,
при п нечетном.
Следовательно, ряд Фурье функции f (х) имеет вид
II / 4/ г пх , 1 Злх , 1 5лх , п
|х| =^- — |ys — + —cos — + -^cos —+•••]•
Функция |х| удовлетворяет условиям теоремы 14.23 и полученное
Рис. 220
равенство справедливо для лю-
бого хе[- /, /], а это значит,
что ряд сходится на всей число-
вой прямой и его суммой явля-
ется функция, график которой
изображен на рис. 220.
Отметим, что ряды Фурье
имеют очень широкое применение
как в теоретических исследованиях, так и в практических задачах.
ГЛАВА 15
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В математике дифференциальные уравнения занимают особое
место. Математическое исследование самых разнообразных явлений,
происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравне-
ний, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное
явление, записываются в виде дифференциальных уравнений.
416
Дифференциальные уравнения—это уравнения, в которые не-,
известная функция входит под знаком производной. Основная за-
дача теории дифференциальных уравнений — изучение функций,
являющихся решениями таких уравнений.
Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновен-
ные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции
являются функциями одной переменной, и на дифференциальные
уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции
являются функциями двух и большего числа переменных.
Теория дифференциальных уравнений в частных производных
более сложная и рассматривается в более полных или специальных
курсах математики*. Элементы теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений изложены в данной главе. В дальнейшем,
говоря о дифференциальных уравнениях, будем иметь в виду только
обыкновенные дифференциальные уравнения.
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Изучение теории дифференциальных уравнений начнем с наибо-
лее простого уравнения — уравнения первого порядка.
1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
Определение 1. Уравнение вида
F(x,y,y') = 0, (1)
где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее
производная, называется дифференциальным уравнением первого
порядка.
Если уравнение (1) можно разрешить относительно у', то оно
принимает вид
у' = f (х, у) (2)
и называется уравнением первого порядка, разрешенным относи-
тельно производной. Будем рассматривать именно такие уравнения.
В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде
-jj= f(x, У) или в виде f(x, y)dx — dt/ = O, являющемся част-
ным случаем более общего уравнения
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0, (3)
где Р(х, у) и Q (х, у) — известные функции. Уравнение в симмет-
ричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равно-
правны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию
другой.
Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (2) и (3):
у’ = хе\ у' = у = X + у, х dx + у dy = 0.
,* См. книгу: Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. М., 1972.
27-3157
417
2. Решение уравнения. Задача Коши. Определение 2. Решением
дифференциального уравнения первого прядка называется функция
у = у(х), х^(а, 6)*, которая при подстановке в уравнение обра-
щает его в тождество.
Так, например, функция у = х3, хе(-оо, 4-оо) является ре-
шением уравнения Зу — ху' = О, т. е. при подстановке в уравне-
ние обращает его в тождество: Зх3 — хЗх2 = 0.
График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2) имеет
решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о суще-
ствовании и единственности решения дифференциального уравне-
ния (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.
Теорема 15.1 (теорема Ко ш и)**. Если функция f (х,у)
и ее частная производная f 'y (х, у) определены и непрерывны в неко-
торой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя
точка (х0; yQ) области G, в некоторой окрестности этой точки су-
ществует единственное решение уравнения y' = f(x, у), удовлетво-
ряющее условиям:
у = t/о при х = х0. (4)
Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального
уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности
его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее не-
известно, имеет ли данное уравнение решение.
Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутрен-
нюю точку (х0; yQ) области G проходит единственная интегральная
кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконеч-
ное число различных решений.
Условия (4), в силу которых функция у = ф(х) принимает за-
данное значение yQ в заданной точке х0, называют начальными усло-
виями решения и записывают обычно так:
У\ = Уо- (5)
|х = Х0
Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего началь-
ным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифферен-
циальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши, С гео-
метрической точки зрения решить задачу Коши — значит из мно-
жества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через
заданную точку (х0; i/0) плоскости Оху.
Точки плоскости, через которые либо проходит более одной ин-
тегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кри-
вой, называются особыми точками данного уравнения.
3. Общее и частное решение уравнения. Дадим два основных
определения.
* Интервал может быть как конечным, так и бесконечным в одну или
обе стороны.
** Доказательство теоремы см., например, в книге: Тихонов А. И.,
Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М., 1980.
418
Определение 3. Общим решением уравнения (2) в некоторой
области G плоскости Оху называется функция 1/ = ф(х, С), завися-
щая от х и произвольной постоянной с, если она является решени-
ем уравнения (2) при любом значении постоянной С, и если при
любых начальных условиях (5) таких, что (х0; i/0)eG, существует
единственное значение постоянной С=С0 такое, что функция у =
= ф(х, Со) удовлетворяет данным начальным условиям ф(х0, С) =
= до-
определение 4. Частным решением уравнения (2) в области G
называется функция у = у(х, Со), которая получается из общего
решения 4/ = ф(х, С) при определенном значении постоянней С=С0.
Геометрически общее решение 1/ = ф(х, С) гтоедставляет собой
семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от
одной произвольной постоянной С, а частное решение 4/ = ф(х, Со)
— одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через
заданную точку (х0; yQ).
Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а
частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.
Пример 1. Рассмотрим уравнение у' = 3х2.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением
первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши,
так как функции f(x, у) = 3х2 и f'y(x, у) = 0 определены и непре-
рывны на всей плоскости Оху. Легко проверить, что функция у =
= х34-С, где С — произвольная постоянная, является общим
решением данного уравнения во всей плоскости Оху.
Геометрически это общее решение представляет собой семейство
кубических парабол. При различных значениях постоянной С
получаем различные решения данного уравнения. Например, если
С=0, то у = х3, если С= — 1, то у = х3— 1, если С=2, то
t/ = x3 + 2, и т. д.
Для решения какой-нибудь задачи Коши, т. е. отыскания част-
ного решения, зададим произвольные начальные условия: х=х0,
y = yQ. Подставляя эти значения в общее решение у = х3+С
вместо х и у, получаем yQ=x3 + C, откуда * C=yQ—x3. Таким
образом, найдено частное решение y = x3 + yQ—x3. Геометриче-
ски это означает, что из семейства кубических парабол у=х3 + С
выбрана одна, проходящая через заданную точку (х0; yQ) (рис. 221).
Пример 2. Рассмотрим уравнение у' = —у/х.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением пер-
вого порядка. Функции f(x, у)=— у/х и f'y(x, у) = — \/х непре-
рывны при х=#=0. Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме
оси Оу, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши.
Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения
в областях у>0 и t/<0 является функция у=С/х, где С —
произвольная постоянная. При различных значениях постоянной С
получаем различные решения.
Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, началь-
ным условиям х0=1, yQ=\. Имеем 1 = С/1. Отсюда С= 1 и
искомое частное решение у=\/х.
419
Геометрически общее решение данного уравнения представляет
собой семейство гипербол у=С/х, каждая из которых изображает
частное решение данного уравнения. Задавая начальные условия
х0= 1, уо=1, выделяем из всего семейства ту гиперболу, которая
проходит через точку (1; 1) плоскости Оху (рис. 222).
Заметим, что через точки, лежащие на оси Оу, не проходит ни
одна интегральная кривая, т. е. это особые точки данного уравне-
ния.
4. Геометрический смысл уравнения. Пусть дано дифференциаль-
ное уравнение первого порядка y' = f(x, у) и пусть функция у =
= <р(х)—его решение. График решения представляет собой не-
прерывную интегральную кривую, через каждую точку которой
можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой
коэффициент у' касательной к интегральной кривой в каждой ее
точке (х; у) равен значению в этой точке правой части уравнения
f(x, у). Таким образом, уравнение y' = f(x, у) устанавливает за-
висимость между координатами точки (х; у) и угловым коэффициен-
том у' касательной к графику интегральной кривой в той же точке.
Зная х и у, можно указать направление касательной к этой интег-
ральной кривой в точке (х; у).
Рис. 222
Рис. 221
Сопоставим каждой точке (х; у) интегральной кривой направ-
ленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f(x, у). По-
лучим так называемое поле направлений данного уравнения, рас-
крывающее геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка.
Итак, с геометрической точки зрения уравнение y' = f(x, у)
определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого
уравнения — интегральная кривая, направление касательной к ко-
торой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой
точке.
Построив на плоскости поле направлений данного дифферен-
циального уравнения, можно приближенно построить интеграль-
ные кривые.
Пример 3. Рассмотрим уравнение у' = у/х.
420
Функция f (х, у) — у/^ не определена при х=0, следовательно,
поле направлении для данного уравнения можно построить на всей
плоскости, кроме оси Оу.
В каждой точке (х; у) (х =#=()) угловой коэффициент у' касатель-
ной к интегральной кривой равен у/х и совпадает с угловым коэф-
фициентом прямой, проходящей через начало координат и эту точку.
На рис. 223 изображено поле направлений данного уравнения.
Очевидно, что интегральными кривыми являются прямые у=Сх
(С — произвольная постоянная).
Рассмотрим теперь методы нахождения решений дифференциаль-
ных уравнений первого порядка. От-
метим, что общего метода нахожде-
ния решений не существует. Обычно
рассматривают отдельные типы урав-
нений, и для каждого из них находят
свой способ нахождения решения.
5. Уравнения с разделяющимися
переменными. Определение 5. Урав-
нение вида
у' = Ь(*Шу)> (6)
Рис. 223
где f । (х) и f2(y)— непрерывные функции, называется диф-
ференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для отыскания решения уравнения (6) нужно, как говорят,
разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6) у" на-^-, раз-
делим обе части уравнения на f2(y) (предполагаем f2(i/)^=0) и
умножим на dx. Тогда уравнение (6) принимает вид
,|х
(7)
В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а пе-
ременная у — только в левую (т. е. переменные разделены).
Предполагая, что функция t/ = <p(x) является решением урав-
нения, и подставляя ее в (7), получаем тождество. Интегрируя
тождество, получаем
5те+с, = Vi(x)dx + C2,HJ,H\w= Vi(x)dx + C*(8)
где С=С2 — С{ — произвольная постоянная.
Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение
уравнения (6).
Пример 4. Решить уравнение у' = у/х (сравните с примером 3).
Решение. Данное уравнение вида (6), где ^(х)=1/х и
/2 (у) = У- Разделяя переменные, получаем: Интегрируя,
* В теории дифференциальных уравнений символ неопределенного инте-
грала обозначает не все множество первообразных, а какую-то одну первооб-
разную из этого множества.
421
имеем
j -у = J + In |С||, С| Ф 0,* или In |у| = In |х| 4- In IcJ.
Потенцируя, находим: |i/| = |Cj| |х|, что эквивалентно урав-
нению у=±С'Х. Полагая ±С, = С, окончательно получаем
У=Сх (9)
— общее решение данного уравнения, где С — произвольная по-
стоянная, которая может принимать как положительные, так и
отрицательные значения, но СУ=0. Заметим, что у=0 также ре-
шение уравнения (оно было потеряно при делении на у). Это реше-
ние можно включить в (9), если считать, что постоянная С прини-
мает и значение С=0. Геометрически общее решение (9) представ-
ляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат.
Пусть требуется выделить из общего решения (9) частное реше-
ние, удовлетворяющее следующим начальным условиям: х0=1,
1/0=2. Подставляя эти значения в общее решение (9) вместо х и у,
получаем 2 = С*1, откуда С=2. Таким образом, искомое частное
решение i/ = 2x.
6. Линейные уравнения. Определение 6. Уравнение вида
у' + р(х)у = f(x), (10)
где р(х) и f (х) — непрерывные функции, называется линейным
дифференциальным уравнением первого порядка.
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция
у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой
степени.
Если f (х)=0, то уравнение (10) называется линейным однород-
ным уравнением. Если f(x)^O, то уравнение (10) называется ли-
нейным неоднородным уравнением.
Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть
применен метод вариации постоянной.
В этом методе сначала находят общее решение линейного одно-
родного уравнения
/ + р(х)р = 0, (11)
соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Уравне-
нение (И) является уравнением с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
-у = — Р (х) dx, In |i/| = — р (х) dx + In |C||.
Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (11):
у = ± С^р{х) Лх, или $ = Се-^<х)<к, (12)
где C=zbC1 — произвольная постоянная.
* Для упрощения записи мы обозначили произвольную постоянную не
через С, а через In |cj, что возможно, так как In |cj может принимать
любое значение от — оо до 4-оо.
422
Теперь найдем общее решение уравнения (10) в виде (12), где
С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от
х (в этом смысл метода!), т. е. в виде
у= C(x)e"^x,dx. (13)
Чтобы найти функцию С (х) и, тем самым, решение в виде (13),
подставим функцию (13) в уравнение (10). Получим
С' (х) e~$p(x)dx — С (х) р (х) е $₽(х) dx + р (х) С (х) е $p(x)dx = f (х) или
C'(x) = Hx)eSfWd'. (14)
Итак, чтобы функция (13) являлась решением уравнения (10),
функция С (х) должна удовлетворять уравнению (14). Интегрируя
его, находим
С(х)= $f(x)>x)<lxdx + C1,
где С) — произвольная постоянная. Подставляя найденное выра-
жение для С (х) в соотношение (13), получаем общее решение ли-
нейного уравнения (10):
-ip(x)dx — (p(x)dxr£, v \p(x)dx,r
= C,e 1 +e J, p(x)e3 dx. (15)
При решении конкретных примеров проще повторять каждый
раз все приведенные выше выкладки, чем использовать громоздкую
формулу (15).
Пример 5. Найти общее решение уравнения у' + 3i/ = e2x.
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь
р(х) = 3, f(x) = e2x. Решаем сначала соответствующее однородное
уравнение у' + Зг/=0. Разделяя переменные —=—3dx и интег-
рируя, находим
In |i/| = — Зх + In |Сj| или у = ± Cj е-3х = С е“3х.
Ищем общее решение данного уравнения в виде у=С (х)е-3х.
Дифференцируя, имеем у' = С' (х) е-3х— ЗС (х) е-3х. Подставляя в
данное уравнение выражения для у и у', получаем
С' (х) е-3х = е2х, С' (х) = е5х или dC = е5х dx,
откуда С (х) = -^-е5х+ С2, где С2 — произвольная постоянная. Сле-
довательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у= С(х)е-Зж = (-|-е51+ С2)е~3хилиу = -^-е2х + С2е~3х.
7. Уравнения в полных дифференциалах. Определение 7. Урае-
нение вида
P(x,z/)dx +Q(x,t/)dt/ = 0, (16)
423
где левая часть представляет собой полный дифференциал некото-
рой функции F (х, у) в некоторой области G, называется уравнением
в полных дифференциалах.
Если уравнение (16) является уравнением в полных дифферен-
циалах, то его можно записать следующим образом:
dF (х, у) = О,
где F (х, у) — такая функция, что dF (х, t/) = P(x, у) dx +
+ Q(x, у) dy. Отсюда следует, что общее решение уравнения (16)
в неявном виде определяется уравнением
F(x,t/) = C,
где С — произвольная постоянная. Действительно, если t/ = <p(x) —
решение уравнения (16), то dF(x, ф(х)) = 0, т. е. F(x, ф(х))=С,
и наоборот, для любой функции 1/=ф(х), обращающей в тождество
уравнение F(x, i/)=C, получаем dF(x, ф(х)) = 0, т. е. 1/=ф(х) —
решение уравнения (16).
Таким образом, нахождение решения уравнения (16) сводится
к отысканию такой функции F (х, у)у дифференциал которой равен
Р(х, i/)dx + Q(x, у) dy.
Как известно (см. теорему 13.7), для того, чтобы выражение
Р(х, у) dx+Q(x, у) dy было полным дифференциалом некоторой
функции F (х, у), необходимо и достаточно, чтобы
4^ = -^-. ’ (17)
ду дх 4 * * 7
Допустим, что условие (17) выполнено. Тогда существует
функция F (х, у) такая, что dF = -^-dx-|—^-dy=P(x, y)dx +
+ Q (x, у) dy. Отсюда
dF dF
-£=P(x,y),^=Q(x,y). (18)
I ж dF n , 4
Интегрируя соотношение -^-= P (x, У) по x, находим
F(x,y)= \P(x,y)dx + C(y), (19)
где C (i/) — произвольная функция от у. Теперь подберем функцию
С (у) так, чтобы выполнялось второе из соотношений (18). Для
этого продифференцируем правую часть равенства (19) по у и про-
изводную приравняем Q (х, у):
4 (J р (х> у) <**)+с> =q (*- уу (2°)
Из полученного уравнения (20) определяем С' (у) и, интегрируя,
находим С (у). Подставляя найденную функцию С (у) в соотноше-
ние (19), получаем искомую функцию F (х, у).
Чтобы выделить из общего решения частное, удовлетворяющее
начальным условиям х = х0, у = у^ надо в общем решении F (х, i/)=
424
= С х и у заменить начальными значениями. Тогда C=F(x0, i/0)
и F (х, у) = F (х0, у о) — искомое частное решение.
Пример 6. Найти общее решение уравнения (x4-t/4-l)d* +
4-(х — i/2 4-З) di/= О и выделить из него частное решение, удо-
влетворяющее начальным условиям х0= 1, уо=О-
Решение. Здесь Р (х, у) = х + у+1, Q(*> У) = Х~У2 +
4-3. Так как
д(х + у+ 1) _ _ d(x-^-f-3)
ду дх ’
то выражение (х 4-^/4- 1) dx-|-(x —*/24-3) dy является полным
дифференциалом некоторой функции F (х, у). Имеем
Г (х, у) = \р (х, у) dx + С (у) = \ + у + V) dx + С (у) =
=4+^+х+с^)- <21>
Найдем функцию С (у), используя формулу (20):
4 (4 + ху + х + с х — / + 3;
С'(у) = -1/2 + 3;-^= -f/2 + 3; dC = (- у2 + 3) dy,
с (у) = J (- У2 + з) dy + С, = - 4 + Зу + С).
Подставляя найденное С (у) в (21), получаем
Р (х, у) = + ху + х — + Зу + С,.
Данное уравнение принимает вид dF (х, y) = Q, а его общее реше-
ние определяется уравнением
Р (х, у) = С2 или -%- 4- ху + х — 4 + 3«/ + С| = С2.
Полагая 6(С2— С,) = С3 (С3—произвольная постоянная), полу-
чаем окончательное уравнение, определяющее неявно общее реше-
ние исходного дифференциального уравнения
Зх2 + бху + 6х — 2/ + 1&/ = С3.
Найдем теперь значение постоянной С3, при котором частное
решение удовлетворяет заданным начальным условиям. Имеем:
3 • 1 4-6 • 1 • 04-6 • 1 — 2 • 04-18 • 0= С3, откуда С3=9, и искомое
частное решение определяется уравнением
Зх2 4- 6xi/ 4- 6х — 2у3 4- 18i/ = 9.
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого
порядка методом Эйлера. Мы рассмотрели несколько способов на-
хождения точных решений дифференциальных уравнений первого
порядка. Если ни один из них не приводит к цели или требует слож-
425
ных вычислений, то прибегают к приближенным методам решений
уравнений. Познакомимся с простейшим из них — методом Эйлера.
Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кри-
вая, являющаяся графиком частного решения, приближенно за-
меняется ломаной.
Пусть даны дифференциальное уравнение
у' = f (х, у)
и начальные условия у = i/0. Найдем приближенно решение
Х=Х0
уравнения на отрезке [х0, удовлетворяющее заданным началь-
ным условиям.
Разобьем отрезок [х0, 6]
точками
х0<х|<х2<...<хп=/>
на п равных частей. Пусть
X,— Х0=Х2 — Х{ = ... = Хп — Хл_! =
= Дх. Обозначим через прибли-
женные значения искомого решения
в точках х( (/=1, 2, ..., п). Проведем
через точки разбиения х( прямые
(рис. 224), параллельные оси Оу, и
последовательно проделаем следую-
щие однотипные операции.
Подставим значения х0 и yQ в пра-
вую часть уравнения y' = f(x, у) и
вычислим угловой коэффициент у' =
= f(x0, у о) касательной к интеграль-
ной кривой в точке (х0; i/0). Для на-
хождения приближенного значения
yi искомого решения заменяем на отрезке [х0, xj интегральную
кривую отрезком ее касательной в точке (х0; у0). При этом получаем
f/i — Уо = f (х0, у0) (Xj — х0),
откуда, так как х0, Xj, yQ известны, находим
У\ = Уо + f (*0. Уо) (х{ — х0) или ух = Уо + f (х0> у0) &
Подставляя значения Xj и у{ в правую часть уравнения у' =
= f(x, у), вычисляем угловой коэффициент y' = f(xit у^ каса-
тельной к интегральной кривой в точке (х/, у{). Далее, заменяя
на отрезке [xj, х2] интегральную кривую отрезком касательной,
находим приближенное значение решения у2 в точке х2:
У2 = У\ + f (*i, ух) (х2 — х.), или у2 = ух + f (х|( ух) Ах.
В этом равенстве известными являются xlf yl9 х2, а у2 выражается
через них.
Аналогично находим
Уз = У2 4- f (х2, у2) Ьх.у„ = уп_х + f (хп_„ уп_х) \х.
Таким образом, приближенно построена искомая интегральная
кривая в виде ломаной и получены приближенные значения yt
искомого решения в точках xt. При этом значения у; вычисляются
426
по формуле
У, = !/<-1 + f (•»<-!. У.-l) Л* (« = 1. 2, .... л). (22)
Формула (22) и является основной расчетной формулой метода
Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность Ах.
Степень точности метода Эйлера, вообще говоря, невелика. Су-
ществуют гораздо более точные методы приближенного решения
дифференциальных уравнений.
Пример 7. Найти приближенное решение уравнения у' = у + х
на отрезке [0, 1], удовлетворяющее начальным условиям хо=О,
у0= 1, и вычислить у при х = 1.
Решение. Разделим отрезок [0, 1] на 10 равных частей точ-
ками хо=О, Х!=0,1, х2—0,2, ..., х10=1. Обозначим через
У\о приближенные значения решения, которые будем
искать по формуле (22). Имеем:
1 + (1 +0) • 0,1 = 1,1, !/2= 1,1 +(1,1 +0,1) • 0,1 = 1,22.
Аналогично находятся остальные значения yit причем результаты
вычисления удобно расположить в таблице, заполняя последова-
тельно одну строку за другой.
X У / (х. у)Дх X У f (х. у) Дх
Хо = 0 У о = 1 0,1 Х6 = 0,6 Уъ = 1,9431 0,2543
Х1 =0,1 У\ = 1,1 0,12 х7 = 0,7 у7 = 2,1974 0,2897
х2 = 0,2 У2 = 1,22 0,142 х8 = 0,8 у6 = 2,4871 0,3287
х3 = 0,3 Уз = 1,36 0,1662 х9 = 0,9 у9 = 2,8158 0,3715
х4 = 0,4 у 4 = 1,5282 0,1928 Х|0 = 1 t/io = 3,1873
х5 = 0,5 1/5 = 1,7210 0,2221
Второй столбец таблицы содержит приближенные значения
t/( искомого решения данного уравнения на [0, 1], удовлетворяю-
щего заданным начальным условиям.
Приближенное значение функции у при х=1: i/10=3,1873.
Чтобы сравнить приближенный результат с точным, найдем
точное решение данного уравнения при тех же начальных условиях.
Так как уравнение линейное, то используем метод вариации по-
стоянной. Находим общее решение однородного уравнения
-jj = У, -у = dx, In |j/| = х + In |C|, У = Cex.
Варьируя постоянную у=С(х)еж, у' = С' (х) еж4-С(х)еж и под-
ставляя в данное уравнение, получаем: С' (х) еж4-С(х) еж=
= С(х) еж-|-х, С' (х) = хе-ж, С (х)=-хе-ж-е-ж+С„
У = С, еж — х — 1
— общее решение данного уравнения. Подставляя вместо х и у
начальные значения х0=0, 1/0=1, находим С, = 2. Итак, точ-
ное решение данного уравнения, удовлетворяющее заданным на-
427
чальным условиям, у = 2ех — х — 1. Точное решение при х= 1
таково: у (1) = 2 (е—1)^3,4366. Сравнивая с приближенным
значением, видим, что абсолютная погрешность составляет 0,2293.
9. Некоторые применения дифференциальных уравнений первого
порядка. К дифференциальным уравнениям первого порядка при-
водят различные физические задачи. Основную трудность при их
решении представляет составление дифференциальных уравнений.
Здесь не существует универсального метода. Каждая задача требу-
ет индивидуального подхода, основанного на понимании законов
физики, и умения переводить физические задачи на математический
язык.
Рассмотрим несколько таких задач.
Задача о прожекторе. Определить форму зеркала,
представляющего собой поверхность вращения и обладающего тем
свойством, что все лучи, выходящие из источника света, помещен-
ного в точке О на оси вращения, отражаются зеркалом параллель-
но этой оси.
Для решения задачи рассмотрим плоское сечение зеркала, про-
ходящее через ось вращения. Поместим источник света в начале
координат, и пусть ось вращения совпадает с осью Ох (рис. 225).
Обозначим через а угол, образованный осью Ох и касательной Л5
в произвольной точке сечения М (х; у). Наша цель — найти форму
сечения, т. е. зависимость координаты у от координаты х: у = у(х).
Ломаная О МТ изображает путь луча, исходящего из источника
света в точке О и отражающегося в точке М от поверхности зеркала
параллельно оси Ох. Проведем нормаль MN и опустим из точки М
на ось Ох перпендикуляр МР. Так как ЛАМО= Z.TMS (угол
падения равен углу отражения), то A.OMN = Z_NMT= Z.ONM.
Следовательно, A N0M равнобедренный и 0M = 0N. Кроме того,
по построению zLPMN =а. Используя равенства ON=PN —
— РО, /W = r/tga, РО=— х, ON = ОМ = Vx2-|-r/2, приходим
к соотношению
ON = у tg a + х = л/х2 + у2.
Отсюда, учитывая геометрический смысл производной (“jj—tga),
для определения зависимости у от х получаем дифференциальное
уравнение первого порядка
х + “37 У = ^х2 + У2'
Преобразуем это уравнение следующим образом. Умножим обе его
части на 2 dx:
2х dx + 2у dy = 2^ х2 + у2 dx или d (х2 + у2) = 2л/х2 + у2 dx.
Используя подстановку z = x2 + r/2, получаем уравнение с разде-
ляющимися переменными
dz = 2~\[z dx,
428
которое можно преобразовать к виду
z 1/2 dz = 2 dx, откуда Vz = х + С.
Заменяя переменную z ее выражением через х и у, получаем
л/х2 -|- у2 = х + С.
Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем
г/2 = 2С (х + С/2).
Таким образом, искомая кривая — парабола с параметром р =
= С и вершиной, лежащей на отрицательной полуоси Ох на рас-
стоянии С/2 от начала координат (рис. 226). Следовательно, иско-
мая отражательная поверхность — параболоид вращения.
Задача о радиоактивном распаде. Экспери-
ментальным путем установлено, что скорость распада радиоактив-
ного вещества, т. е. скорость изменения его массы в зависимости
от времени, прямо пропорциональна его количеству. Установим
закон изменения массы т радиоактивного вещества в зависимости
от времени /, считая, что начальная масса вещества при /=0 была
т0.
Пусть в момент времени t масса вещества есть т, в момент вре-
мени f-|-Af масса составляет т — \т. За время Л/ распадается
масса Ат. Отношение —t--средняя скорость распада за время А/,
.. Am dm
а ---мгновенная скорость распада в момент времени t.
Согласно условию
^=-km, (23)
где k — коэффициент пропорциональности (знак минус взят по-
тому^ что масса вещества убывает с течением времени, а производ-
ная убывающей функции отрицательна). Получено дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, из которого надо найти зависи-
мость массы т от времени /.
Решая уравнение, находим
-4“ = — £ dZ, In т = — kt + In С,
m 1 *
429
откуда
т = Ce~kt. (24)
Формула (24) дает зависимость массы вещества как функции
времени. В данной задаче постоянная С имеет определенное значе-
ние, а именно при / = 0 получаем: zn0=Ce°=C. Подставляя это
значение С в формулу (24), получаем искомую зависимость массы
радиоактивного вещества от времени:
т = mQe~kt, (25)
Равенство (24) представляет собой общее решение дифферен-
циального уравнения, а равенство (25) — частное решение, отве-
чающее начальным условиям данной задачи.
Коэффициент k определяется экспериментально. Например, для
радия £«0,000447. Промежуток времени Г, за который распада-
ется половина первоначальной массы радиоактивного вещества,
называют периодом полураспада этого вещества. Подставляя в фор-
мулу (25) вместо т значение zn0/2, вместо k — значение 0,000447,
получаем уравнение для определения периода полураспада Т радия:
= шое-0’000447 г, - 0,000447 Г = - In 2,
откуда
г*тпи? 1550
Задача о законе «естественного роста». За-
кон «естественного роста» — это закон, согласно которому скорость
«роста» вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем
формулу для определения изменения количества вещества у в зави-
симости от времени /, считая, что в начальный момент / —0 коли-
чество вещества было равно t/0.
Здесь независимой переменной является время /, а искомой ве-
личиной — количество вещества в любой момент времени. Скорость
«роста» вещества есть скорость изменения величины у в зависимос-
ти от переменной /.
Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл про-
изводной, можно записать закон «естественного роста» следующим
образом:
4=^- (2б)
где — коэффициент пропорциональности. Уравнение (26),
отличающееся только знаком правой "части от уравнения (23), опи-
сывает многие процессы «размножения».
Решение уравнения (26), удовлетворяющее заданным началь-
ным условиям /=0, y=yQ, имеет вид
у = уое‘'. (27)
430
Формула (27) и выражает закон «естественного роста». Согласно
этому закону, например, происходит «размножение» нейтронов
в ядерных реакциях, размножение бактерий, рост кристаллов и т. п.
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
1. Основные понятия. Определение. Уравнение вида
F (*, У* У'> У") = 0»
где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' и у" —
ее производные, называется дифференциальным уравнением второ-
го порядка.
Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны в ви-
де, разрешенном относительно второй производной:
у" = f (х, у, у'). (1)
Так же как и для дифференциального уравнения первого поряд-
ка, решением уравнения (1) называется функция t/ = <p(x), хе
е(а, &), которая при подстановке в уравнение обращает его в тож-
дество. График решения называется также интегральной кривой.
Для уравнения второго порядка имеет место теорема существо-
вания и единственности решения (теорема Коши), аналогичная
соответствующей теореме для уравнения первого порядка.
Теорема 15.2 (теорема Коши). Если функция
f (*> У* У') и ее частные производные f'y (х, г/, у') и f'y, (х, у, у') опре-
делены и непрерывны в некоторой области G пространства перемен-
ных (х; у, у'), то какова бы ни была внутренняя точка (х0; t/0; t/'o)
области G, в некоторой окрестности точки х0 существует единствен-
ное решение уравнения y" = f(x, у, у'), удовлетворяющее условиям
У = Уо> У' = У'о при х = х0. (2)
Геометрически это означает, что через заданную точку (х0; t/0) пло-
скости проходит единственная интегральная кривая с заданным
угловым коэффициентом yQ касательной в этой точке.
Условия (2) называют начальными условиями решения и часто
записывают в виде
</| =«/о. у' =У'о- (3)
I х = х0 х = х0
Как и для уравнения первого порядка, задачу отыскания реше-
ния по заданным начальным условиям называют задачей Коши.
Дадим теперь определения общего и частного решений уравне-
ния (1), удовлетворяющих условиям теоремы Коши.
Функция </ = ф (х, С„ С2), зависящая от х и двух произвольных
постоянных С| и С2, называется общим решением уравнения (1)
в некоторой области G, если она является решением уравнения (1)
при любых значениях постоянных С| и С2 и если при любых началь-
ных условиях (3) существуют единственные значения постоянных
С, = С?, С2=С2 такие, что функция г/ = <р(х, С®, С2) удовлетво-
ряет данным начальным условиям.
431
Любая функция t/=<p (х, С?, С2), получающаяся из общего ре-
шения t/=<p(x, Ch С2) уравнения (1) при определенных значениях
постоянных С|= С° С2— С °, называется частным решением.
Рассмотрим, например, уравнение у” = 2. Это уравнение вто-
рого порядка. Так как функции f(x, у, у') = 2, f'y(x, у, y') = Q
и f y>(x, у, у') = ® определены и непрерывны во всем пространстве
переменных (х; у; у'), то оно удовлетворяет во всем пространстве
требованиям теоремы Коши.
Общее решение данного уравнения найдем двукратным после-
довательным интегрированием. Последовательно интегрируя, на-
ходим сначала первую производную у' = 2х4-Сь а затем и общее
решение:
У = х2 4~ С|Х 4~ С2,
где С| и С2—произвольные постоянные. Геометрически общее ре-
шение представляет собой семейство парабол, причем так как оно
зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку
плоскости проходит бесконечное множество парабол, имеющих
различные касательные в этой точке. Поэтому для выделения одной
параболы из полученного семейства кроме точки (х0; t/0), через ко-
торую проходит парабола, нужно задать еще угловой коэффициент
y'Q касательной к параболе в этой точке.
Найдем, например, частное решение данного уравнения при
начальных условиях t/| =1, t/'| =1. Подставляя эти зна-
чения в выражения для общего решения t/ = x24-С,х4-С2 и его
производной t/' = 2x4-Cb для определения С| и С2 получаем си-
стему уравнений
( 1 = 1 + С, + С2,
11^2 + С,,
откуда находим С|= — 1 и С2=1. Следовательно, искомым част-
ным решением является функция
У= X2 — х + 1,
график которой — парабола, проходящая через точку (1; 1) с угло-
вым коэффициентом в этой точке, равным единице.
2. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (1) с по-
мощью замены переменной сводится к решению уравнения пер-
вого порядка. Такое преобразование уравнения (1) называется
понижением порядка.
1) Уравнение вида у" = Цх). Уравнение не содержит
у и у'. Введем новую функцию z(x), полагая z(x) = y'. Тогда
zz (x)=t/", и уравнение превращается в уравнение первого поряд-
ка: z'(x)=f(x) с искомой функцией z (х). Решая его, находим:
z (х) = J f (х) dx 4“ Ср Так как z (х) = у', то у' = J f (х) dx 4" Ср
432
Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение:
у = $ [ $ f (х) dx] dx + С{х + С2,
где С| и С2 — произвольные постоянные.
Пример 1. Найти общее решение уравнения у" = х.
Решение. Полагая z (х) = у', получаем уравнение первого
порядка z'(x) = x. Интегрируя его, найдем z (x) = x2/2 + Cj.
Заменяя z(x) на у’ и интегрируя еще раз, находим искомое общее
решение:
У = + ^2 = + С2.
2) Уравнение вида y" = f(x, у'). Уравнение не содер-
жит у. Положим, как и в предыдущем случае, z(x)=t/'; тогда
zf (х)=у", и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка
относительно z(x): zf = f (х, z). Решая его, найдем z(x)=<p(x, Cj.
Так как z(x) = t/', то t/' = <p(x, С|). Отсюда, интегрируя еще раз,
получаем искомое решение
у = J <р (х, С|) dx 4- С2,
где С| и С2 — произвольные постоянные.
Пример 2. Найти общее решение уравнения у" — 3-у=х.
Решение. Полагая z (х) = у', получаем линейное уравнение
первого порядка z'— 3—=х. Решая его, найдем z (х) = CjX3 —х2.
Тогда у' = Схх3 — х2 и -------j-+C2— искомое решение.
3) Уравнение в и д а у" — f (у, у'). Уравнение не содер-
жит х. Вводим новую функцию z(t/), полагая y' = z. Тогда
d0/') — dy' dy dz dy dz f .
у-----ЯГ~“37 "37~'37'37-'З? 2
Подставляя в уравнение выражения для у' и t/", получаем уравне-
ние первого порядка относительно z как функции от у:
Решая его, найдем z=q>(t/, С,). Так как z = -^t то <р (г/, С,).
Отсюда —/ = dx. Получено уравнение с разделяющимися пере-
менными, из которого находим общее решение данного уравнения:
2»
где Cj и С2— произвольные постоянные.
Пример 3. Найти общее решение уравнения уу" — 2у'2=0.
28-3157
433
Решение. Полагая у' = z(y) и учитывая, что полу-
первого порядка с разделяю-
dz 2 dp
к виду —=—^~ и интегри-
чаем zy-^ — 2z2=0. Это уравнение
щимися переменными. Приводя его
руя, имеем In |z| = 2 In |(/| + In |Cj|, откуда z=C|i/2. Учитывая,
dy dy j
что находим: -^-=Cj dx, откуда получаем искомое решение
— \/у = С|Х + С2 или у = — 1/(С(х 4- С2).
При сокращении на z было потеряно решение уравнения z=y'=
= 0, т. е. у = С= const. В данном случае оно содержится в общем
решении, так как получается из него при Cj = O (за исключением
решения t/ = 0).
3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Ограничим-
ся только основными определениями и общими замечаниями, отно-
сящимися к дифференциальным уравнениям n-го порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
F (х, у, у’, .... у(л)) = 0
или, если оно разрешено относительно старшей производной,
= f (х, у, у'.у{п !)). (4)
Решением уравнения (4), как и уравнений первого и второго
порядков, называется функция г/=<р(х), хе(о, 6), которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Теорема существования и единственности решения уравнения
(4) аналогична соответствующим теоремам, приведенным ранее для
случаев и=1 и и = 2.
Общее решение уравнения (4) зависит от х и п произвольных
постоянных и может быть записано в виде
У = Ф (х> С|, С2, ...» Сл).
Решения, получающиеся из общего при определенных значе-
ниях постоянных Сь С2, ...» Сл, называются частными решениями
уравнения (4). Чтобы выделить частное решение уравнения из об-
щего (4), можно задать начальные условия
f/l =Уо, У’ = У'о> У"\ =У"о,->У{" ” =Уо ”• (5)
|х = х0 х = х0 |х = л0 х = х0
Отыскание решения уравнения (4), удовлетворяющего заданным
начальным условиям (5), называется решением задачи Коши для
этого уравнения.
Простейшим уравнением вида (4) является уравнение, в котором
правая часть зависит только от х, т. е. уравнение вида
y[n) = f{x). (6)
Это уравнение легко решается. Действительно, интегрируя после-
434
довательно п раз, получаем
У^= $Цх) dx + C„
ytn~2} = d* + ci] dx + C2= Jdx$f(x)dx4- C,x + C2)
У = $ dx dx...^ f (x) dx 4- C, (n"2 ,y + C2 (n^_ 2);+-+Cn> (7)
где Cb C2, ...» Cn— произвольные постоянные. Функция (7) и явля-
ется общим решением уравнения (6).
Пример 4. Найти общее решение уравнения третьего порядка
^"'=ех и выделить из него частное решение, удовлетворяющее
следующим начальным условиям: у\ =0, t/'| =0, у"\ =1.
I х=0 J х=0 I х= 0
Решение. Последовательно интегрируя, находим у" = ех4-
-[(?!, t/' = ex4-CIx4-C2. Интегрируя еще раз, получаем общее
решение данного уравнения: t/ = ex4-C1-y4-C2x4-C3, где Ch С2,
С3 — произвольные постоянные.
Подставляя в выражения для у, у', у" начальные условия, имеем:
0 = 1 + С3, 0 = 1 -Ь С2, 1 = 14-6?!, откуда находим Сх = 0,
С2 = — 1, С3 = — 1. Итак, у = ех — х — 1 — искомое частное ре-
шение.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в тео-
рии дифференциальных уравнений занимают важное место не толь-
ко потому, что представляют собой простой и хорошо изученный
тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи фи-
зики, механики, техники и особенно электротехники приводят к ре-
шению этих уравнений.
1. Основные понятия. Определение. Уравнение вида
у" 4- р (х)у' + я (х) у = f (х) (1)
где у — искомая функция, а р (х), q (х) и f (х) — непрерывные
функции на некотором интервале (а, Ь), называется линейным диф-
ференциальным уравнением второго порядка.
Если f (х) = 0, то уравнение (I) называется линейным однород-
ным уравнением. Если же f(x)^O, то уравнение (1) называется
линейным неоднородным уравнением.
Разрешая уравнение (1) относительно t/" : у"= —р (х) у' —
— q + видим, что оно является частным случаем уравне-
ния у' = f (х, у, у') и удовлетворяет условиям теоремы существо-
вания и единственности решения. Действительно, функция f (х,
у, y') = —p(x)y' — q(x)y + f(x) — непрерывная как функция
трех переменных х, у, и у' (она зависит от у и у' линейно, а
функции р (х), q (х) и f (х) непрерывны по условию), частные произ-
водные гу(х, у, y')=—q(x) и f'y>(x, у, у') = —р(х) также явля-
ются непрерывными функциями трех переменных х, у и у' (от у
и у' р (х) и q (х) не зависят, а как функции х непрерывны по усло-
вию). Поэтому при любых начальных условиях у\ =Уо>
Х = хо
28*
435
у' I = i/q, где xoe(a, b), уравнение (1) имеет единственное
I х = хо
решение задачи Коши.
Изучение линейных дифференциальных уравнений мы начнем
с однородных уравнений.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных одно-
родных уравнении.
Теорема 15.3. Если функции t/,(x) и t/2 (х)— решения урав-
нения
«/" + Р (х) и' + q(x)y = 0, (2)
то функция у=Схух(х)-\-С2у£х) при любых значениях постоян-
ных С {и С 2 также является решением уравнения (2).
Доказательство. Продифференцировав дважды функцию
у—— Сху{ (х)+ С2у2(х) и подставив выражения для у, у' и у*' в ле-
вую часть уравнения (2), получим
с ty 'i(x)+Cjj'2(x)+p (х) (Сty\ (х)4-С21/2(х))+^ (х) (С(х)+С2у2(х)')=
= С| [ <х)+р (х)у\(х)-Н (х)«/, (х)] +С2[ у2(х)+р (х)«/2(х)+? (х)«/2(х)].
Так как функции у{ (х) и t/2(x) по условию являются решениями
уравнения (2), то выражения в квадратных скобках тождественно
равны нулю, а это значит, что функция у= С{у{ (х)4- С2у2 (*)—
решение уравнения (2).
Итак, функция вида у= Сху{ (х) + С2У2 (х) с произвольными
постоянными С, и С2 является решением уравнения (2). Естественно
возникает вопрос, не является ли это решение общим решением
уравнения (2). Докажем, что при некоторых условиях функция
y=C{y{ (x)-f-C2t/2(x) является общим решением уравнения (2).
Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной
независимости функций у{ (х) и у2 (х).
Функции у{ (х) и у2(х) называются линейно зависимыми на (а, д),
если существуют такие числа а, и а2, из которых хотя бы одно от-
лично от нуля, что для любого хе(а, Ь) имеет место равенство
ai!/i(x) 4- а2у2(х) = 0. (3)
Очевидно, что если функции t/Дх) и t/2(x) линейно зависимы, то
они пропорциональны. Действительно, если а{у{ (x)4-a2t/2(x) = 0,
(х) 0L
причем а,=/=0 и t/2(x)=/=0, то - (*j = ——= const. Верно и обрат-
ное.
Функции у{(х) и у2(х) называются линейно независимыми на
(а, д), если не существует таких чисел а, и а2, из которых хоть одно
отлично от нуля, что для любого хе(а, Ь) имеет место равенство
(3).
Другими словами, равенство (3) выполняется сразу для всех
xE('a, д), если только aj = a2=0.
Очевидно, что если функции у{(х) и t/2(x) линейно независимы,
то их отношение ——=/=const, т. е. они не пропорциональны.
У2 Xх)
Так, например, функции у{(х)=х2 и t/2(x)=x3 линейно незави-
436
у (х) 1
симы на любом интервале (а, Ь), поскольку const,
У2 \ Х) Х
а функции t/,(x) = 4x2 и у2(х) = х2 линейно зависимы на любом
промежутке, так как —т-г= 4 = const.
У2
Предположим теперь, что функции у^х) и t/2(x) являются реше-
ниями уравнения (2). Вопрос о том, являются ли они линейно зави-
симыми или линейно назависимыми, решают с помощью определи-
теля Вронского*:
= УхУ'г — УгУ\-
(4)
У\ У2
У\ У2
Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, опре-
деленной на (а, Ь), и обозначается W (t/j, t/2) или просто W (х).
Теорема 15.4. Если функции у{ (х) и у2 (х) линейно зависимы
на (а, Ь), то определитель Вронского, составленный из них, равен
нулю на этом интервале.
Доказательство. Так как по условию функции ух (х)
и у2{х) линейно зависимы, то по определению существуют числа
а, и а2, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что имеет
место равенство (3): аху{ (xj-j-a^ (х) = 0. Пусть, например,
а,=/=0. Тогда из равенства (3) следует, что
УI W = - Уг (*). У\(х) = - у2 (х).
Подставляя выражения для у{ (х) и у\ (х) в определитель Вронского,
получаем
1Г(х) =
Ух
у\
Уг
Уг
«2
У 2
a(
а2 '
решения У\ (х)
Уг
= О.В
Теорема 15.5. Если
Уг
и Уг(х) уравнения (2)
линейно независимы на (а, Ь), то определитель Вронского, состав-
ленный из них, отличен от нуля на этом интервале.
Доказательство. Допустим обратное, т. е. предполо-
жим, что существует точка хое(а, Ь), в которой определитель
Вронского W (хо) = О. Составим систему уравнений
Г а 1У1 (*о) + «2У2 (*о) =0,
I <*\У\ (хо) + «2У2 (*о) = 0,
в которой СС| и а2— неизвестные числа. Так как определитель этой
системы Ц7(хо) = О, то система (5) имеет (гл. 10, § 3, случай 2)
не нулевое решение относительно а, и а2 (т. е. хотя бы одно из этих
* Вронский Юзеф (1778—1853) —польский математик.
437
чисел отлично от нуля). Рассмотрим функцию
у(х) = а1у1(х)-}-а^2(х),
где а,, а2— ненулевое решение системы (5).
По теореме 15.3 эта функция является решением уравнения (2).
Кроме того, поскольку ah a2 — решение системы (5), функция
у(х) удовлетворяет нулевым начальным условиям
У = 0,у' =0. (6)
|х =Xq X = Xq
Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет решение
у(х} = 0. По теореме существования и единственности решение
(/(х) = 0 является единственным решением уравнения (2) с началь-
ными условиями (6). Следовательно, а{у{ (xj-j-a^ (х) = 0 на интер-
вале (а, 6), а это означает, что функции (/, (х) и у2(х) линейно
зависимы на (а, 6), что противоречит условию теоремы. Таким обра-
зом, W(х)=/=0 для всех хе(а, Ь).
Итак, установлено, что если функции t/i (х) и (/2(х) являются
на (а, Ь) решениями линейного однородного уравнения (2), то со-
ставленный из них определитель Вронского на (а, Ь) либо равен
нулю (t/i (х) и t/2(x) линейно зависимы), либо отличен от нуля
(г/, (х) и г/2(х) линейно независимы).
Установим теперь, при каких условиях функция у=С{у{ (х) +
+ С&2(х) является общим решением линейного однородного урав-
нения (2).
Теорема 15.6. Если функции г/,(х) и у2(х)— линейно неза-
висимые на (а, Ь) решения уравнения (2), то функция
y=Clyi(x) + C2y2(x), (7)
где С, и С2 — произвольные постоянные, является общим решением
уравнения (2).
Доказательство. Напомним, что в силу теоремы 15.3
функция у=С1у[(х) + С2у2(х) при любых значениях постоянных
Cj и С2 является решением уравнения (2). Для того чтобы доказать,
что эта функция — общее решение уравнения (2), достаточно уста-
новить, что из него можно выделить частное решение, удовлетворя-
ющее любым заданным начальным условиям.
Пусть хое(а, Ь) и
f/l = </о. У'| =у'о (8)
I X = ХО I X = ХО
— произвольные начальные условия. Покажем, что постоянные
С| и С2 можно подобрать так, что решение (7) при этих значениях
постоянных является частным решением, удовлетворяющим задан-
ным начальным условиям (8).
Составим систему уравнений
| У о = (хо) + с^у2 (х0),
I Уо ~ । (хо) + С2у2 (х0),
в которой С, и С2 — неизвестные числа. Определитель этой системы
есть определитель Вронского W (х0). Так как по условию функции
438
t/,(x) и y2(x)— линейно независимы на (а, 6), то в силу теоремы
15.5 IF(xo)=/=O. Поэтому система (9) имеет единственное решение,
которое обозначим Сх = С®, С2 = С2. Подставляя и С2 в равен-
ство (7), получаем искомое частное решение уравнения (2): у =
= C?t/,(x) + удовлетворяющее условиям (8). Это и озна-
чает, что решение (7) является общим решением уравнения (2).
Из доказанной теоремы следует, что для отыскания общего
решения уравнения (2) достаточно найти два линейно независимых
частных решения и составить выражения (7) с произвольными по-
стоянными С! и С2.
Пример 1. Найти общее решение уравнения у" — у = 0.
Решение. Имеем линейное однородное уравнение. Легко
заметить, что его частными решениями являются ух(х) = ех
и t/2 (х) = е”х. Так как определитель Вронского
IF(x) =
= -2
отличен от нуля, то эти решения линейно независимы на всей чис-
ловой прямой. Следовательно, общее решение данного уравнения
можно записать в виде у = С,ех + С^~х, где С| и С2— произволь-
ные постоянные.
В заключение покажем, как найти общее решение уравнения
(2), если известно только одно частное решение этого уравнения.
Пусть t/j(x) — частное решение уравнения (2). Введем новую
функцию z, полагая y = yxz. Тогда у' = у\z + у^', у" = y\z +
+ 2у xz' + t/|Z". Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение
(2) и группируя слагаемые, получаем
[{/] + Р W у \ + Я W У1] Z + г' [2у', + р (х)«/,] + ytz" = 0.
Так как 1/| (х)—решение уравнения (2), то выражение в первых
квадратных скобках равно нулю и уравнение принимает вид
г'[2у'1 + р(х)у1] + у,г" = 0.
Порядок этого уравнения можно понизить, полагая z' = и (х),
где и (х) — новая искомая функция:
“ + Р (*)«/,] + и'у,= 0.
Получено уравнение первого порядка относительно функции и
с разделяющимися переменными. Решая его, находим
^-77 = — 2 — ^р (х) dx, In |u| — — 2 In |t/,| — ^p (x) dx + In |c|,
C - C — \p(x)dx
u — ± —-e 1 или u = — e J
У* У‘
где Cj — произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной z
и умножая выражение для z на ух, получаем общее решение урав-
439
нения (2):
SI — \ р (х) dx
^-е dx + С^уь
где Cj и С2 — произвольные постоянные.
В качестве примера найдите самостоятельно общее решение
уравнения у"—у = 0 (см. пример 1), взяв одно из его частных
решений за известное.
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка. Рассмотрим теперь основные свойства решений ли-
нейного неоднородного дифференциального уравнения второго по-
рядка (1):
у" + р(х) у' + q(x)y= f (х).
Имеет место следующая теорема.
Теорема 15.7. Общее решение уравнения (1) есть сумма
любого его частного решения и общего решения соответствующего
однородного уравнения.
Доказательство. Пусть у (х) — частное решение урав-
нения (1), а У(х) = С11/1 (x)4-C2i/2W — общее решение соответ-
ствующего однородного уравнения (2), где Cj и С2 — произвольные
постоянные. Покажем, что функция
У = йх)+Г(х) _ (10)
— решение уравнения (1). Для этого найдем у' = у' (х) + У' (х),
у" = у" (х) -|- Y" (х) и подставим их в уравнение (1):
у" (х) 4- У" (х) 4- р (х) [ ? (х) + Y' (X)] + <7 (х) [ £ (х) + У (х)] =
=[ У" (х) +р (х) Y' (х)_+ q (х) У (х)1 +
4-1 У" (х) 4- Р (х) у' (х) 4- q (х) у (х)] = 0 + f (х) = f(x).
Отсюда следует, что функция у = у (x) + Y (х) действительно ре-
шение уравнения (1).
Покажем теперь, что функция (10) — общее решение уравнения
(1). Для этого возьмем любое решение у уравнения (1) и рассмот-
рим разность у — у(х). Эта разность является решением однород-
ного уравнения (2). Действительно,
IУ—У (х)1" 4- Р (х) [ у—у (х)Р 4- q (х) [ у—у (х)1 =
=[у"4-р (х) y'+q (х) у] —[у" (х)+р (х)/(х)4-^(х).у(х)1 =/(х)-Дх)=0.
Это означает, что разность у — у(х) может быть записана в виде
у—у(х)= С°у1 (х)4-с^/2(х), откуда у=у (х)4-С&, (х)4-С&2(х),
где С? и С ° — определение значения постоянных и С2. Итак,
любое решение у уравнения (1) получается из формулы (10) при
соответствующем подборе произвольных постоянных Сх и С2, т. е.
функция (10) является общим решением уравнения (1).
Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неод-
нородного уравнения, нужно найти общее решение соответствую-
440
щего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неод-
нородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного
решения является сложной. Покажем, как можно найти частное ре-
шение неоднородного уравнения методом вариации произвольных
постоянных, если известно общее решение соответствующего одно-
родного уравнения.
Пусть Y = Cji/t (х) + С2У2 (х) — общее решение однородного
уравнения (2). Будем искать частное решение неоднородного урав-
нения (1) в виде
</ = Ct(x)t/,(x) + С2(х)у2(х), (11)
рассматривая и С2 как некоторые искомые функции от х. Про-
дифференцируем последнее равенство
у' = С\ (*) Ух (*) 4- Ct (х) у \ (х) + С2 (х) у2 (х) + С2 (х)у2 (х). (12)
Подберем функции (х) и С2 (х) так, чтобы выполнялось равенство
С;(х)^.(х) + С2(х)1/2(х) = 0. (13)
Тогда равенство (12) принимает вид
У’ = С, (х)у\ (х) + С2(х) у'2(х).
Дифференцируя это равенство, найдем у":
у" = с; (х) у\(х) + С. (х) у\(х) + С2 (х) у2(х) + С2(х) у"2(х).
Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (1) и группируя
слагаемые, получаем
Cl (х) [y"i (х) + р (х) у\(х) + q (х) У1 (х)] +
+C2(x)[j/i(x)4-p(x)i/i(x)+<7(x)i/2(x)] 4-С'1(х)(х)у'1(х)+С;(х)^;(х)=Дх).
Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как ух (х) и
t/2(x)— решения однородного уравнения. Поэтому последнее ра-
венство принимает вид
C'1(x)y;(x) + C2(x)i/i(x) = f(x). (14)
Таким образом, функция (11) является решением уравнения (1),
если функции Ct(x) и С2(х) удовлетворяют уравнениям (13) и (14).
Объединяя их, получаем систему уравнений
( с; (х) У1 (х) + С2 (х) у2 (х) = 0,
\c\(x)y\(x)+C2(x)y'2(x)=f(x), 1 ’
в которой С\(х) и С2(х) — неизвестны, a i/Jx), i/2(x), у\(х), у'2(х)
и f (х) — неизвестны. Так как определителем этой системы является
определитель Вронского
rW- \ '•it
составленный из линейно независимых решений ух (х) и у2(х) одно-
родного уравнения (2), то он по теореме 15.5 не равен нулю, а зна-
441
чит, система (15) имеет единственное решение относительно C J (х)
и С2(х). Решая эту систему, получаем
с\ (х) = ф! (х), С'2{х) = ф2(х),
где ф|(х) и <р2W—известные функции, откуда, интегрируя, най-
дем С, (х) и С2 (х). Подставляя полученные выражения для Сх (х) и
С2(х) в равенство (11), получаем искомое частное решение уравне-
ния (1).
Пример 2. Найти частное решение уравнения у" — у=х.
Решение. В примере 1 п. 2 было найдено общее решение
Y (х)=С|ех+С2е-х соответствующего однородного уравнения
у"—0=0. Поэтому частное решение неоднородного уравнения
будем искать в виде
у(х) = С((х)е^+С2(х)е-\ (16)
Система (15) для нахождения С\ (х) и С2(х) в данном случае имеет
вид
Г Cj(x) ех + С2(х)е“х = 0,
I C 'i (х) ех — С2(х) е“х = х.
Складывая эти уравнения, найдем С\(х)=-^-хе“х. Отсюда, интег-
рируя, получаем
С,(х) = -4(х+ 1)е-‘.
Произвольную постоянную не пишем, так как ищем какое-нибудь
частное решение. Подставляя выражение С\(х) в первое из урав-
нений системы, найдем С2(х) =—^-хех, откуда, интегрируя, по-
лучаем
с2 (х)=- 4(х - оеХ-
Подставляя найденные выражения С| (х) и С2(х) в равенство (16),
получаем частное решение у данного неоднородного уравнения:
У(х) = [ — 4(х+ l)e-xj ех + [ —4(х— 0 е*] е~х = ~ х-
Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения
и зная общее решение соответствующего однородного уравнения,
на основании равенства (10) можно записать общее решение дан-
ного неоднородного уравнения:
у = у (х) + Y (х) = - х + С,ех + С*~х,
где С| и С2 — произвольные постоянные.
442
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка — случай, когда функции р (х)
и q (х) являются постоянными величинами. Такие уравнения на-
зываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное
однородное уравнение второго порядка
У" + РУ' + ЯУ = 0, (1)
где р и q — вещественные числа.
Теорема 15.8. 1) Если число k — вещественный корень урав-
нения
k2 + pk + q = 0, (2)
то функция у = екх является решением уравнения (1).
2) Если числа &| = а+ф и fe2=a—/р (р=#0)— комплексные
корни уравнения (2), то функции yi = eaxcos^x и у 2=^ sin 0х
являются решениями уравнения (1).
Доказательство. 1) Пусть y = ekx (fe = const). Тогда
(/' = feeftx, y" = k2ekx. Подставляя у, у' и у" в уравнение (1), полу-
чаем
ekx (fe2 + pk + q) = 0.
Так как ekx^0, то, сокращая на е*х, имеем
k2 + pk + q 0.
Следовательно, если k является корнем уравнения (2), то функция
у=екх—решение уравнения (1).
2) Аналогично случаю 1) можно проверить, что функции ух =
= 6" cos 0х и y2=ew sin рх удовлетворяют уравнению (1).ц
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением
данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравне-
нием и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их kx и k^
Теорема 15.9. 1) Если корни характеристического уравне-
ния вещественные и различные то общее решение уравне-
ния (1) имеет вид
у=С^х+С^2\
2) если корни характеристического уравнения вещественные и
равные то общее решение имеет вид
у^С^+С^
3) если корни характеристического уравнения комплексные (fet=
= а+/р, fe2=a—/р, Р=/=0), то общее решение имеет вид
у = еах(С[ cos 0х + C2sin 0х).
443
Доказательство. 1) Пусть корни k{ и k2 различны. По
теореме 15.8 функции у^ = ^х и у2 = е*2Х—частные решения урав-
нения (1). Эти решения линейно независимы, так как у21У\ =
= е(Л2 *^x^consf Следовательно, по теореме 15.6 общее
решение уравнения (1) имеет вид
у=С^х+С^2Х.
2) Пусть корни k{ и k2 равны: По теореме 15.8 функ-
ция f/j=e*|X — частное решение уравнения (1). Найдем второе
частное решение, линейно независимое с первым. Будем искать
его в виде f/2=z(x)e |Х, где z(x) —новая неизвестная функция.
Дифференцируя, имеем
у2 = z'e*|X + £,zefe|X = efe|X(z' -j- 61(г),
у 2 = z"ek{X + 2fcjZ'e*|X + fc|Ze*|X = e*|X (z" + 2kxz' + k]z).
Подставляя y2, y'2 и y2 в левую часть уравнения (1), получаем
ek,x^z" + 2 (kt +-y) z' + (*i + P*i + <?) z] = 0.
По условию, Л| + р^| + ^= 0. Кроме того, kx = k2= — р/2, поэтому
Z?i + p/2=0. Следовательно, для того чтобы найти функцию z(x),
надо решить уравнение У' = 0. Последовательно интегрируя, полу-
чаем: z'=C|, z=C|X + C2, где С, и С2—произвольные постоян-
ные. Полагая Cj= 1, С2=0, найдем z(x) = x. Таким образом,
#2=хе*|Х—второе частное решение уравнения (1). Решения ух и
у2 линейно независимы, так как yjy2= l/x#=const и по тео-
реме 15.6 общее решение уравнения (1) имеет вид
г/=С1еМ+С2геЛ,х.
3) Пусть ki и k2—комплексно-сопряженные корни, т. е. kx =
= а-НР, 62=а—/0 (р#=0). Тогда по теореме 15.8 функции
cos рх и f/2=eousinpx являются частными решениями
уравнения (1). Эти решения линейно независимы, так как yjy2=
= ctg рх#= const. Поэтому общее решение уравнения (1) имеет вид
у = е" (Cj cos рх + С2 sin рх).
Пример 1. Найти общее решение уравнения у" -{-у' — 2у= 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2-\-k —
— 2=0; его корни k। = 1, k2= — 2 вещественные и различные.
Соответствующие частные решения уравнения г/, = ех, у2=е~2х. Об-
щее решение уравнения имеет вид г/= С1ех+С2е-2х.
Пример 2. Найти общее решение ^уравнения у" — 2*/'-|-*/ = 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 —
— 2^+1 = 0; его корни kx=k2= 1 вещественные и равные.
Соответствующие частные решения уравнения у{ = еху у2=хех.
Общее решение уравнения имеет вид у= С,ех+ Сгхех=ех (С,-|-
+ед.
Пример 3. Найти общее решение уравнения у" — Ау' + 13*/= 0.
444
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2—
— 4&+13=0; его корни &1 = 2-J-/3, &2=2 —/3 комплексные.
Соответствующие частные решения уравнения f/j = e2xcos Зх, у2 =
=e2xsin Зх. Общее решение уравнения имеет вид у=е2х(С{ cos3x+
+ С2 sin Зх).
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линей-
ное неоднородное уравнение второго порядка
у" + ру' + qy = f (х), (3)
где р и q— вещественные числа; f (х) — непрерывная функция.
Как известно, общее решение такого уравнения представляет
собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего
решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение
однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рас-
смотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахожде-
ния частного решения можно применять метод вариации произволь-
ных постоянных. Однако если в правой части уравнения (3) — мно-
гочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая
функция sin0x или cos 0х, либо линейная комбинация перечислен-
ных функций, то частное решение может быть найдено методом
неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегри-
рования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).
1) Правая часть имеет вид
f(x)=Pn(x),
где Рп (х)=аохл + а1хл-1 + ... + ал_1х + ал — многочлен степени п.
Тогда частное решение у можно искать в виде
У = Qn W
где Qn (х) — многочлен той же степени, что и Рл(х), а г — число
корней характеристического уравнения, равных нулю.
Пример 4. Найти общее решение уравнения у" — 2у'-\-у =
= х+ 1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид У=(С1 + С2х)ех (см. пример 2). Так как
правая часть уравнения — многочлен первой степени и ни один
из корней характеристического уравнения k2 — 2&+1 = 0 не равен
нулю (^2=^!= 1), то частное решение ищем в виде
у = (Ах + В) х° = Ах + В,
где А и В — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды
y = Ax-j-B и подставляя у, у' и у" в данное уравнение, найдем
-2Л+Лх + В = х+ 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях равенства: Л= 1, — 2Л+В=1, находим: Л=1, В=3.
Итак,’ частное решение данного уравнения имеет вид i/ = x + 3,
445
а его общее решение
{/ = (C,4-C2x)e^ + (x + 3).
2) Правая часть имеет вид
f(x) = ^ Р„(х),
где Рп(х)— многочлен степени п. Тогда частное решение у следует
искать в виде
У = Q«W*re“
где Qn(x)— многочлен той же степени, что и Рп(х), а г — число
корней характеристического уравнения равных а. Если а=0,
то f (х) = Рп(х), т. е. имеет место случай 1).
Пример 5. Найти общее решение уравнения у"—4у' + 3у=
= хех.
Решение. Характеристическое уравнение k2 — 46+ 3 = О
имеет корни 6,= 1, 62=3. Значит, общее решение соответствую-
щего однородного уравнения имеет вид Y= С1ех + С2е3х. В правой
части этого уравнения — произведение многочлена первой степени
на показательную функцию е" при а=1. Так как среди корней
характеристического уравнения имеется только один корень 6,=
= а=1, то г=1. В данном случае Рп(х) = х—многочлен пер-
вой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем
в виде
у = (Ах -|- В) хех = (Ах2 + Вх) ех.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
— 4Ах + 2Л — 2В = х.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях равенства: — 4Л=1, 2Л —2В = 0, находим: Л=—1/4,
В = — 1/4. Подставляя найденные значения Л и В в выражение
для у, получаем частное решение данного уравнения у= — (1 /4) (х2+
4-х) ех; общее решение имеет вид
У = У + Y= Cfix + С2е3х----^-(х2 + х) е*.
3) Правая часть имеет вид
f (х) = a cos рх + b sin рх,
где а,Ь и$ — известные числа. Тогда частное решение у надо искать
в виде
у = (Л co-s рх + В sin рх) хг,
где Л и В — неизвестные коэффициенты, аг — число корней ха-
рактеристического уравнения, равных /р.
Пример 6. Найти общее решение уравнения у" -|-f/ = sin х.
Решение. Характеристическое уравнение 62+1 = 0 имеет
корни 6| = /, 62=—L Поэтому общее решение соответствующего
однородного уравнения У= Cj cos х + С2 sin х. В правой части
446
равенства — тригонометрическая функция sin х, т. е. а = 0, Ь=\,
Р=1. Так как /р = г— корень характеристического уравнения,
то r= 1 и частное решение надо искать в виде
у = (Д cos х + В sin х) х.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
2 ( — 4 sin х + В cos х) = sin х,
откуда А = —1/2, В = 0. Таким образом, частное решение у =
= —(1/2) х cos х; общее решение уравнения
у = у + Y = С| cos х + С2 sin х--y х cos х.
Пример 7. Найти общее решение уравнения /'4-*/ = sin 2х.
Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего
только тем, что р = 2. Так как ф = /2 не является корнем характе-
ристического уравнения, то г=0 и частное решение следует
искать в виде
у = A cos 2х 4- В sin 2х.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
— 34 cos 2х — ЗВ sin 2х = sin 2х,
откуда 4 = 0, В = — 1/3, т. е. частное решение у — — (1 /3) sin 2х,
общее решение уравнения
у = у Y = С, cos х 4- С2 sin х---sin 2х.
4) Правая часть имеет вид
f W = е" [ Р„ (х) cos 0х 4- Pm (х) sin 0х],
где Рп (х) — многочлен степени и, а Рт (х) — многочлен степени пг.
Тогда частное решение следует искать в виде
у = х'е" [ Qi (х) cos 0х 4- Q2 (х) sin £х],
где Qi(x) и Q2(x) — многочлены степени s, s = max{n, m], ar —
число корней характеристического уравнения, равных а4-/₽-
Пример 8. Найти общее решение уравнения у" — i/ = 3e2xcos х.
Решение. Здесь характеристическое уравнение /г2 —1=0
имеет корни k{=\, &2= —1. Общее решение однородного уравне-
ния таково: У= С1ех4-С2е-х. В правой части уравнения — произ-
ведение многочлена нулевой степени, показательной и тригономет-
рической функций, так что Рп(х)=3, Рт(х) = 0, $=0. Число
а4-ф = 2 4-Н не является корнем характеристического уравне-
ния, поэтому г = 0, и частное решение ищем в виде
у = е2х(4 cos х 4- В sin х).
Дифференцируя и подставляя в’уравнение, получаем
(24 4- 4В) cos х 4- (2В — 44) sin х = 3 cos х.
Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx, находим
24 4- 4В = 3, — 44 4- 2В = 0,
447
откуда 4 = 3/10, В = 3/5. Таким образом, частное решение
у = е2л ^-yj-cos х -5- sin х^, а общее решение уравнения
У—У+У= ®,х (“ПГ cos х +sin х) 4- С,е*4- С#~‘.
Пример 9. По данным корням характеристического уравнения
и правой части f (х) записать частное решение у линейного неодно-
родного уравнения:
а) *, = 3-Н2, 4,= 3-й, /(x)=8e3,sin 2х;
б) 4| = kt— — 3,f (х) = 2хе-3* sin х;
в) 4(=»1, 4,= —3,/(х)=е*(1—x)cos3x;
г) 4|= 1+Й, 4,=* 1— Й, f(x) = e*(cos 2х—3sin 2х);
д) *, = 24-/4 *»=2—<4 f(x) = en[(xJ-l)cos4+xsin4].
Решение, а) Имеем: а=3, ₽*=2, Ря(х)—0, P„(x)==8, $=0.
Так как число а-Н₽=3-|-й — корень характеристического урав-
нения, то r= 1. Поэтому у=хе3*(Л cos 2x4-В sin 2х);
б) имеем: <х=—3, 5=1, Р,(х)=0, Р„(х) = 2х, т=1, $=1.
Число <х4-ф=—3-Н не является корнем характеристического
уравнения, поэтому г=0. Следовательно £=е_3*[(Лх-|-В) cos 3x4-
+(Cx+D) sin х);
в) имеем: а=1, Р=3, Р,(х)=1, Р„(х) = 0, л=1, s=l.
Так как число а4->'Р—14*<3 не является^ корнем характеристи-
ческого уравнения, то г=0. Поэтому у=е*[(Лх4-В) cos Зх-|-
4-(Cx4-D) sin Зх);
г) имеем: а=1, р=2, Р,(х)=1, Рт(х)= —3, s=0. Число
а4~<Р—14*<2 — корень характеристического уравнения, поэтому
г— 1. Следовательно,£=хе*(Л cos 2x4-5 sin 2х);
д) имеем: а=2, 5=4’ Р.(х)=(х3— 1). Р„(х)=х, л=3, т=1,
$=3. Число а-НР=24-Ц— корень характеристического уравнения,
значит, г«1. Следовательно, у=хе,1((Лх14-Нх,4-Сх4-0) cos4+
4-(Ех34- Fx24- Gx4- Я) sin 4b
В заключение докажем теорему, которую часто применяют
при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части
которых сумма нескольких слагаемых.
Теорема 15.10. Если yt — решение уравнения
У" +РУ' + yy = ft(x), (4)
а уt — решение уравнения
(Г 4- РУ' 4- ЧУ = (5)
то сумма у, 4-У2 является решением уравнения
У" + РУ' + ЧУ = 1> (х) 4- fi (х). (6)
448
Доказательство. Составим сумму ух + у2 и подставим ее
в левую часть уравнения (6). Ползучим
(У| + У?)" + Р (У1 + У2)' + <7 (*Л + Уг) =
= (у, + РУх + <7<л) + (£2 + РУг + W2) = f i + f»
так как по условию выражение в первой скобке равно f । (х),
а выражение во второй скобке равно f2(x). Следовательно, у{ + у2 —
решение уравнения (6).
Пример 10. Найти общее решение уравнения у" — 2у' + у =
= sin х4-е-х.
Решение. Характеристическое уравнение k2 — 2k+ 1=0 имеет
корни kl = k2=l> поэтому общее решение соответствующего одно-
родного уравнения Y = С,ех + С2хех= ех(С, +
Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функ-
ций sin х и е-х, то в соответствии с теоремой 15.10 частное реше-
ние данного уравнения можно искать в виде
где у} — частное решение уравнения у" — 2у' + f/=sin х, а у2 —
частное решение уравнения у" — 2у' + у = е-х.
Сначала найдем частное решение у{. Так как число = i не
является корнем характеристического уравнения (г = 0), то част-
ное решение у{ будем искать в виде ух — A sin х-\-В cos х. Под-
ставляя ух и ух в уравнение у" — 2f/' + f/=sin х и сравнивая
коэффициенты при sin х и cos х, получаем — 2Л=0,2В=1, откуда
А = 0, В = 1 /2 и, следовательно, ух = (1 /2) cos х.
Теперь найдем частное решение у2. Будем его искать в виде
#2=Ле-х, так как число а= — 1 не является корнем характери-
стического уравнения. Подставляя у2, #2 и #2 в уравнение
у" — 2у' -{-у=е~х, имеем Л= 1/4. Следовательно, г/2=(1/4) е-х.
Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид
У = У\ + У2 = -у cos х + —е~х,
а общее решение этого уравнения
У = У + У = -у cos х + у-е-х + Схе + СгХех.
§ 5. Применение линейных дифференциальных уравнений к
изучению колебательных явлений
Линейные дифференциальные уравнения являются мощным ап-
паратом в решении задач о колебаниях, занимающих значительное
место в современной технике и физике. Познакомимся с одной из
них — с задачей о колебании груза, подвешенного на вертикальной
пружине.
Постановка задачи. Пусть груз массой /п, подвешен-
ный на пружине, движется по вертикальной прямой. Если пружину
с грузом оттянуть или сжать, то груз начнет совершать колебания
29 - 3157 449
около положения равновесия. Установим закон движения груза,
т. е. найдем формулу, выражающую отклонение груза от положения
равновесия в любой момент времени t.
Совместим начало координат с положением равновесия груза
а ось Оу направим вертикально вверх. Обозначим через расстоя-
ние от конца нерастянутой пружины без груза до положения равно-
весия груза, а через у —отклонение груза от положения равновесия
в момент времени t (рис. 227). На груз действует сила, равная сумме
следующих трех сил: 1) силы, тяжести
груза mg, направленной вниз; 2) силы
сопротивления среды, направленной в сто-
рону, противоположную движению груза,
и по величине пропорциональной скорости
„ . dy .
движения груза, т. е. равной А-др где X —
коэффициент пропорциональности; 3) уп-
ругой силы пружины, направленной вверх
(т. е. в положительном направлении оси
Оу), величина которой, по закону Гука ♦,
пропорциональна деформации, т. е. равна
с где с — коэффициент пропор-
циональности, называемый коэффициентом жесткости пружины
(масса пружины не учитывается).
Согласно второму закону Ньютона получаем следующее уравне-
ние движения груза:
d2</__ „и \ &у
т ° V' dr
Так как в положении равновесия ((/=0) вес груза mg уравновеши-
вается упругой силой пружины, то mg=clQ. Поэтому
d2y .
' т = — q/ —х-дтили
drz а*
+ + = U)
Получено дифференциальное уравнение, которое называется урав-
нением свободных колебаний груза, подвешенного на пружине.
Если на груз действует внешняя сила, направленная вертикаль-
но (вдоль оси Оу), величина которой F (?) зависит от времени t, то
уравнение (1) принимает вид
Уравнение (2) называется уравнением вынужденных колебаний
груза, подвешенного на пружине.
Разделив все члены уравнения (2) на т и обозначая —=<о2,
—=2ц, —f(t), получаем окончательный вид уравнения вы-
• Гук Роберт (1635—1703) — английский физик.
450
нужденных колебаний:
+ 2ц = /(/). (3)
представляет собой линейное неоднородное диф-
уравнение второго порядка с постоянными коэф-
Уравнение (3)
ференциальное
фициентами.
Перейдем теперь к исследованию колебаний, применяя извест-
ные решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Свободные колебания. Пусть отсутствуют внешняя
сила f (/) и сопротивление среды (р = 0). Тогда уравнение (3) при-
нимает вид
Это линейное однородное уравнение. Характеристическое уравнение
fc2-|-w2=0 имеет корни = Хг2=-—/со и общее решение
уравнения определяется формулой
у = С| cos со/ + С2 sin со/,
где С| и С2— произвольные постоянные. Для удобства дальнейших
рассуждений заменим произвольные постоянные С, и С2 постоянны-
ми Л>0 и ф, полагая С, = Л sin ф, С2=Лсозф (отсюда А =
= л/с24-С2 и tg ф= С!/С2). Тогда
у = A sin ф cos со/ + A cos ф sin со/,
и общее решение можно записать в виде
у = A sin (о/ + ф). (4)
Формула (4) выражает закон движения груза, подвешенного на
пружине, т. е. отклонение у груза от положения равновесия в любой
момент времени t. Согласно этой формуле груз совершает, как
говорят, свободные гармонические колебания около положения
равновесия. Величина А называется амплитудой колебаний, о —
частотой колебаний и ф — начальной фазой.
Для того чтобы выделить из общего решения частное, необхо-
димо задать начальные условия движения. Пусть в начальный мо-
мент времени /=0 отклонение и скорость груза известны:
у| — Уо< у'\ = Уо- (5)
I t = О I / = о
Тогда, дифференцируя, получаем
у' = Ло) cos (со/ + ф); (6)
подставляя начальные условия (5) в (4) и (6), имеем
{Уо = Л sin ф,
' л (7)
Уо = Лй) COS ф.
Отсюда, выражая произвольные постоянные Л и ф через о, у0 и
Уо и подставляя их значения в (4), получаем искомое частное реше-
ние, удовлетворяющее начальным условиям (5).
29
451
Из формул (7), в частности, следует, что постоянные А и ф за-
висят от частоты колебаний си и начальных условий движения.
Частота же колебаний не зависит от начальных условий, а зависит
от отношения коэффициента жесткости пружины к массе груза
= с/т).
Пусть теперь отсутствует внешняя сила f (/), но имеет место
сопротивление среды (ц=/=0), например сопротивление воздуха.
В этом случае уравнение (3) принимает вид
-^+2и^ + <о2у = 0. (8)
Характеристическое уравнение fc2 + 2pfc + (D2=0 имеет корни
fcj 2= — о2. Здесь возможны три случая.
1) ц>(о. Тогда корни fcj= — pH-Vp-to2 и k2= — ц —
— — (о2—вещественные, различные и отрицательные. Общее
решение уравнения (8) имеет вид
у =
Из полученной формулы следует, что груз колебаний не совершает,
при неограниченном возрастании t отклонение груза у бесконечно
долго приближается к положению равновесия (д->0 при /->-|-оо).
В этом случае говорят, что груз совершает непериодическое затуха-
ющее движение.
2) ц=(о. Тогда корни Л|=Л2= —ц— вещественные равные
и отрицательные. Общее решение уравнения (8) имеет вид
У = С1е-^+ С^= е^/(С1 + С2/).
В этом случае груз совершает движение, аналогичное предыдущему.
3) д<ш. Тогда корни &1 = д + 1^/щ2 —д2 и к2=—у—
— i у/а>2—у2 — комплексные. Общее решение уравнения (8) имеет
вид
у = е_ц/ (С, cos (о/ + С2 sin о/),
где (o = V(d2—ц2. Заменяя С, и С2 на постоянные А и <р, запи-
шем решение уравнения (8) в виде
у = Ле_ц/ sin (о/ + <р).
Здесь, в отличие от формулы (4), амплитуда Ле-И/ зависит от вре-
мени /. Так как ц<0, то амплитуда стремится к нулю при
Поэтому в данном случае груз совершает свободные затухающие
колебания около положения равновесия.
Вынужденные к лебан и я. Резонанс. Рассмот-
рим теперь случай, когда на колебательную систему действует
периодическая внешняя сила f (t) = a sin (о,/, предполагая для
простоты, что сопротивление среды отсутствует (ц = 0). В этом слу-
чае уравнение (8) принимает вид
+ и>2у = a sin со (9)
452
Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициен-
тами. Известно, что общее решение этого уравнения является сум-
мой общего решения Y соответствующего однородого уравнения,
которое было найдено выше [см. формулу (4)], и частного решения
у неоднородного уравнения, которое надо найти.
Рассмотрим отдельно два случая.
а) (о=#(О|, т. е. частота внешней периодической силы отлична
от частоты свободных колебаний груза. Так как число /со। не совпа-
дает с корнем характеристического уравнения £2-|-(d2=0, то
частное решение можно найти в виде
у = A cos со |Z + В sin (D|/.
Дифференцируя у дважды и подставляя у и у" в уравнение (9),
найдем: /? = — а—, А = 0. Таким образом,
(1Г — (1)2
а
У = ---2 sln
(О2 — (1)2
и общее решение уравнения (9) имеет вид
у — у + Y = ~ sin (OjZ + A sin (со/ + <р). (10)
Как следует из формулы (10), частное решение у определяет колеба-
ние системы, создаваемое внешней силой, общее решение Y=
= А sin ((о/ + ф) — свободное колебание груза, а общее решение
у — сложное колебательное движение, получающееся в резуль-
тате сложения двух колебаний с разными частотами со и со Р
В этом случае амплитуда постоянна, и если о и о, близки по
величине, то груз совершает колебания около положения равно-
весия с большой амплитудой.
б) (D = (Db т. е. частота внешней периодической силы совпадает
с частотой свободных колебаний груза. Так как itoi — ito— корень
характеристического уравнения £2-|-cd2=0, то в этом случае
частное решение следует искать в виде
у = t (Л cos tot + В sin со/).
Дифференцируя у дважды и подставляя у и в уравнение (9),
найдем: А = —В = 0. Таким образом,
at .
у —----п—COS tot
v 2(0
и общее решение уравнения (9) имеет вид
у = у + Y = A sin (tot + ф)----cos tot.
Как следует из найденной формулы, в данном случае, как и в пре-
дыдущем, имеет место сложное колебательное движение, получаю-
щееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми
частотами.
453
Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что
амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограничен-
ном возрастании времени /, т. е. груз будет совершать через неко-
торый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой,
даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется
резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся
систем.
На примере груза, подвешенного на пружине, рассмотрен случай
механических колебаний упругих систем (к ним относится колеба-
ние на рессорах вагонов, автомобилей и т. п.). Аналогичное иссле-
дование проводится и при изучении электрических, звуковых и
многих других колебаний. Главную роль в этих исследованиях
играют линейные дифференциальные уравнения.
В заключение отметим, что изложенная теория линейных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка полностью переносится
и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. 392
Абсолютная величина числа 18
Абсолютно сходящийся ряд 391, 406
Абсцисса 35, 222
Аксиомы вещественных чисел 12
Алгебраическая форма комплексного
числа 403
Алгебраический многочлен 72, 73, 89
Алгебраическое дополнение 266 '
Амплитуда колебаний 451
Аналитическая функция 408
Аналитический способ задания функции
70, 71
Аппликата 222
Аргумент 69, 276
— комплексного числа 404
Асимптота 146
— гиперболы 57
Базис 231
Бесконечная производная 104
Бесконечно большая последовательность
22, 23
---функция 83, 84
— малая последовательность 23
---функция 82, 280
Бесконечный предел 26
— промежуток 16
Больцано Б. 92
Большая полуось эллипса 54
Вейерштрасс К. 95
Вектор 223
Векторная величина 223
— функция 369
Векторное поле 369
— произведение 235—239
Вектор-столбец 261
Вектор-строка 261
Величина направленного отрезка 15
Вертикальная асимптота 146
Верхний предел интегрирования 178
Верхняя грань множества 17
— сторона поверхности 358
— сумма Дарбу 180
Вершина гиперболического параболоида
258
— параболы 63
— эллиптического параболоида 256
Вершины гиперболы 58
— эллипса 54
Вещественная ось 402
-г часть комплексного числа 402
Вещественные числа 11
Взаимно обратные матрицы 273
---- функции 103
Внутренняя точка множества 283
Возрастающая последовательность 30
— функция 101
Вронскиан 437
Вронский Ю. 437
Второй замечательный предел 81
Выпуклость вверх 143
— вниз 143
Гамильтон У. 376
Гармонический ряд 383
Гармоническое поле 378
Гейне Г. 76
Геометрический смысл двойного интегра-
ла 308, 309
----дифференциала НО, 292, 293
----дифференциального уравнения ви-
да у' = Дх, у) 420
----криволинейного интеграла первого
рода 326
----определенного интеграла 198
----производной 104, 105
----смешанного произведения 239
----теорем Ферма, Ролля, Лагранжа
128—130
Геометрическое изображение веществен-
ных чисел 14, 15
----комплексных чисел 402, 403
----функции двух переменных 277,
278
Гипербола 55
Гиперболический параболоид 256
— тип линии второго порядка 66, 67
Главная диагональ матрицы 262
----определителя 263
Главное значение аргумента комплексно-
го числа 404
Гладкая кривая 325
— поверхность 353
Горизонтальная асимптота 147
Градиент 295
Граница области 283
Граничная точка области 283
График 70
Графический способ задания функции
72
Грин Д. 334
Гук Р. 450
Даламбер Ж. 385
Дарбу Г. 180
455
Двойной интеграл 307, 308
----, вычисление путем замены перемен-
ной 314—316
----,----сведения к повторному 310—
314
----, геометрические приложения 317—
320
----, основные свойства 309, 310
----, физические приложения 321 —
324
Двуполостный гиперболоид 254
Двусторонняя поверхность 356, 357
Действительная ось гиперболы 58
Декарт Р. 34
Деление отрезка в данном отношении 36,
37
6-окрестность точки 16, 278, 284
Детерминант 263
Диаметр области 307
Дивергенция векторного поля 372
Дирихле П. 71
Директриса параболы 62
Директрисы гиперболы 59
— эллипса 59
Дифференциал 109
— высшего порядка 124, 125
—, геометрический смысл 110
—, применение к приближенным вычис-
лениям 110, 111
— функции двух переменных 291, 292,
298
Дифференциальное уравнение 417
----в полных дифференциалах 423,
424
— — второго порядка 431
---------, допускающее понижение по-
рядка 432, 433
---------линейное 435
--------- неоднородное 435, 440—
442
--------------с постоянными коэффи-
циентами 445—449
------------ однородное 435—439
------------с постоянными коэффи-
циентами 443, 444
----вынужденных колебаний 450, 451
---- первого порядка 417
---------линейное 422
--------- неоднородное 422
--------- однородное 422
---------, разрешенное относительно
производной 417
---- свободных колебаний 450
----с разделяющимися переменными
421
---- n-го порядка 434
Дифференцирование 108
—обратной функции 114, 115
—, основные правила 111, 112
— простейших элементарных функций
112, 116, 119
— сложной функции 116, 117, 288—290
—, таблица производных простейших
элементарных функций 120
— функции, заданной параметрически
126
Дифференцируемая функция 107, 285
Длина вектора 223
— дуги 201, 203
— направленного отрезка 15
— частичного отрезка 177
Дробно-рациональная функция 73, 89
Единичная матрица 262
Зависимая переменная 69, 276
Задача Коши 418, 431, 434
Задачи, приводящие к дифференциаль-
ным уравнениям 428—431, 449—454
Замкнутая область 283
Знакопеременный ряд 390
Знакочередующийся ряд 389
Значение функции 69, 276
Инвариант общего уравнения линии вто-
рого порядка 66
Интегральная кривая 418, 431
— сумма 177, 307, 325, 347, 358
Интеграл с переменным верхним преде-
лом 191
Интегральный признак 387
Интегрирование 161
— некоторых иррациональных функций
172—174
----трансцендентных функций 175—177
— непосредственное 163
— подстановкой 163, 164
— полных дифференциалов 341, 342
— по частям 165
— рациональных функций 167—172
Интегрируемая функция 178, 308, 325,
347, 354, 358
Интервал 16
— сходимости степенного ряда 393
Интерполяционная формула Лагранжа
153
----Ньютона 154
Интерполяционный многочлен 151, 152
Интерполяция 151, 152
Иррациональная функция 73
Иррациональные числа И
Каноническое уравнение гиперболическо-
го параболоида 256
---- гиперболы 56
---- двуполостного гиперболоида 254,
255
---- конуса второго порядка 258
---- однополостного гиперболоида 253
456
--- параболы 62
---эллипса 53
--- эллипсоида 253
---эллиптического параболоида 253
Кантор Г. 98
Касательная 105
— плоскость 292
Квадрант 35
Квадратная матрица 261
Колебание функции 97
Коллинеарные векторы 223
Компланарные векторы 235
Комплексная плоскость 402
Комплексно сопряженное число 403
Комплексное число 402
Композиция функций 100
Конечная производная 104
Конечный предел 26
— промежуток 16
Контур интегрирования 325
Конус второго порядка 258
Координата точки 15
Координатная плоскость 34, 223
— прямая 15
Координатный угол 35
Координаты вектора 225
Коши О. 76
Коэффициенты степенного ряда 392
— тригонометрического ряда 410
— Фурье 412
Крамер Г. 269
Кратность корня 168
Криволинейная трапеция 324
Криволинейный интеграл 324
--- второго рода 328—334
---первого рода 325—327, 334
— сектор 200
— цилиндр 308
Критическая точка 145
Круг сходимости 408
Круговой цилиндр 243
Кусочно-гладкая кривая 325
— поверхность 353
Кусочно-непрерывная функция 91
— функция 72, 114
Логические символы 11
Локальный максимум 141, 301
— минимум 141, 301
— экстремум 141, 301
Лопиталь Г. 132
Маклорен К. 137
Максимальное значение функции 97
Малая полуось эллипса 54
Масса пластинки 321
— тела 352
Матрица 260
Мгновенная скорость 106
Метод вариации постоянной 422, 423
— «вилки» 156, 157
— замены переменной 163, 164
— интегрирования по частям 165—167
— касательных 157, 158
— наименьших квадратов 304 —306
— неопределенных коэффициентов 168,
169
— Ньютона 156, 157
— подстановки 163, 164
— Эйлера 426
Мёбиус А. 357
Минимальное значение функции 97
Минор 206
Мнимая единица 402
— ось 402
--- гиперболы 58
— часть комплексного числа 402
Мнимое число 402
Множество 10
— значений функции 69, 276
Модуль комплексного числа 404
— числа 18
Момент инерции пластинки 323, 324
--- тела 352
Монотонная последовательность 31
— функции 101
Муавр А. 405
Лагранж Ж. 130
Лаплас П. 377
Лапласово поле 378
Левая производная 107
— тройка векторов 235
Левый предел 76, 77
Лейбниц Г. 122
Линейная функция 73
Линейно зависимые функции 436
— независимые функции 436
Линия второго порядка 52
— первого порядка 47
— уровня 277
Лист Мёбиуса 357
Логарифмическая производная 119
Наклонная асимптота 137, 138
Направленная касательная 333
Направленный отрезок 14, 15, 223
Направляющая цилиндрической поверх-
ности 242
Направляющие косинусы вектора 226
Начало координат 15, 34 , 222
Начальная фаза колебаний 451
Начальные условия 418, 431, 434
Невозрастающая последовательность 30
— функция 101
Независимая переменная 69, 276
Неубывающая последовательность 30
— функция 101
Неограниченная последовательность 22
457
Неопределенный интеграл 160
----, основные методы интегрирования
163-167
----. — свойства 161, 162
----, таблица основных интегралов 162
См. также Интегрирование
Неориентируемая поверхность 357
Непрерывно дифференцируемая функция
327
Непрерывность вещественных чисел 12
— функции в интервале 90
----точке 87, 88
----слева, справа 87
----двух переменных 281, 282
---- вдоль кривой 326
----на отрезке 90, 91
Неравенство 12
Несобственный интеграл второго рода
211, 212
----первого рода 209, 210
Нестационарное поле 368
Неустановившееся поле 368
Нижний предел интегрирования 178
Нижняя грань множества 17
— сторона поверхности 358
— сумма Дарбу 180
Номер члена последовательности 20
Нормаль 49, 2(6
— к поверхности 293
Нормальная система метода наименьших
квадратов 306
Нормальный вектор плоскости 245
Нормирующий множитель 51, 249
Нулевой вектор 223
Нуль 403
Ньютон И. 32
Область 283
— интегрирования 308, 347, 354
— определения функции 69, 276
— сходимости степенного ряда 392
Образующая цилиндрической поверхно-
сти 242
Обратная матрица 273
— функция 101, 102
Обратные тригонометрические функции
72, 116
Общее решение дифференциального
уравнения 419, 431, 434
Общий член последовательности 20
---- ряда 379
Объем криволинейного цилиндра 317
- тела 347, 365
----вращения 204
Ограниченная последовательность 22
— снизу, сверху последовательность 21,
22
----, — функция 70
— функция 70
Ограниченное множество 17, 283
458
— снизу, сверху множество 17
'Однополостный гиперболоид 253
Односвязная область 336
Односторонняя поверхность 357
Окрестность точки 284
Октант 223
о малое 85, 86, 281
Оператор Гамильтона 376
— Лапласа 377
— «набла» 376
Определенный интеграл 177, 178
-----, геометрические и физические при-
ложения 197—209
-----, основные свойства 186—188
-----, оценки 188—190
-----, условия интегрируемости 179, 180,
183-185
Определитель Вронского 437
— второго порядка 238
— системы уравнений 268
— третьего порядка 263—268
Ордината 35, 222
Ориентация поверхности 357
Ориентируемая поверхность 357
Ортогональная система функций 420
Основное тождество 15
Основной прямоугольник гиперболы 58
Особая точка 211, 418
Остаточный член в форме Лагранжа 137,
138
-----Пеано 137, 138
-----интерполяции 155
Оси гиперболы 58
— координат 34, 222
— эллипса 54
Остроградский М. В. 362
Ось 14
— абсцисс 34, 222
— аппликат 222
— ординат 34
— параболы 63
Открытая область 283
Открытое множество 283
Отношение 37
Отображение 69
Отрезок 16
Отрицательное направление обхода кон-
тура 331, 357
Парабола 61, 62
Параболический тип линии второго по-
рядка 66—68
Параболоид вращения 256
Параллельный сдвиг осей координат 39
Параметр 125
— параболы 62
Параметрическое задание функции 125
Параметры гиперболического парабо-
лоида 258
— эллиптического параболоида 256
Пеано Д. 137
Первообразная 159
Первый замечательный предел 79, 80
Переменная интегрирования 161
Переменные интегрирования 308, 347
Период полураспада 430
Периодическое продолжение функции
412
Плотность источников 374
Площадь криволинейного сектора 198
— криволинейной трапеции 197, 199
— плоской фигуры 198, 199, 317, 318, 344
— поверхности 319, 320, 354
---вращения 205, 207
— треугольника 36
Побочная диагональ определителя 263
Поверхностный интеграл 353
--- второго рода 358—362
---первого рода 353—356, 361, 362
Поворот осей координат 39, 40
Погрешность 305
Подмножество 10
Подстановки Эйлера 174
Подынтегральная функция 161, 178
Подынтегральное выражение 161, 178
Показательная функция 72, 115, 116
--- комплексной переменной 409
Поле 368
— направлений 420
Полное приращение 282
Полный дифференциал 337
Положительное направление обхода кон-
тура 331, 357
Полуоси двуполостного гиперболоида
255
— однополостного гиперболоида 254
— эллипсоида 253
Полюс 38
Полярная ось 38
— система координат 38
Полярные координаты точки 38
Полярный радиус 38
— угол 38
Порядок бесконечно большой 86, 87
---малой 85, 86
Последовательность 20
— вложенных отрезков 33
Постоянная 70, 89, 112
Потенциал 369
Потенциальная функция 370
Потенциальное поле 369
Потенциальный вектор 369
Поток вектора через поверхность 372
Правая производная 107
— тройка векторов 235
Правило треугольников 264
Правый предел 76, 77
Предел длин ломаных 201
— интегральной суммы 307
— последовательности 25, 26
---комплексных чисел 405
--- точек 279
— функции двух переменных 279, 280
--- по Гейне 73
-------Коши 75
---при х—► оо, х-► -(-оо, х —►—оо
77, 78
Предельное положение секущей 105
Признак Даламбера 385
— Лейбница 389
— сравнения 381
Приращение аргумента 88
— функции 88
Проекция вектора на ось 224
Произведение вектора на число 227
— вещественных чисел 13
— комплексных чисел 403
— матриц 261, 262
— матрицы на число 261
— последовательностей 21
— последовательности на число 21
Производная 104
— высшего порядка 120, 121
—, геометрический смысл 105, 106
— по направлению 294, 295
—, физический смысл 106, 107
См. также Дифференцирование
Промежуток 16
Промежуточная переменная 100
Простая область 334, 362
Простейшие элементарные функции 72
Прямоугольная матрица 261
— система координат в пространстве 222
------- на плоскости 34
Прямоугольные координаты точки 34,
222
Пустое множество 10
Работа переменной силы 208, 345, 346
Равные векторы 223
— комплексные числа 402
Равномерно-непрерывная функция 98
Равносторонняя гипербола 59
Радиус-вектор 259
Радиус сходимости степенного ряда 379,
408
Разложение вектора по базису 231
— определителя по элементам строки
(столбца) 266, 267
— рациональной функции на элементар-
ные дроби 168
— элементарных функций в ряд Маклоре-
на 396—401
-------по формуле Маклорена 138
Разности 154
Разность векторов 227
459
Разность вещественных чисел 13
— комплексных чисел 403
— последовательностей 21
Раскрытие неопределенностей 131 —135
Расстояние между двумя точками 35
— от точки до плоскости 247
--------прямой 50, 251
Расходящаяся последовательность 25
Расходящийся ряд 379
Рациональная функция 73, 89
---двух переменных 172
Рациональные числа 11
Резонанс 454
Рекуррентная формула 167
Решение дифференциального уравнения
418, 431, 434
— системы уравнений 268
Ролль М. 128
Ротор векторного поля 375
Ряд 379
— Маклорена 397
— Фурье 412
---для функций с периодом 2/ 415, 416
---четных и нечетных функций 413.
414
Свободный вектор 224
Связное множество 283
Сегмент 16
Симпсон Г. 219
Система трех линейных уравнений с тре-
мя неизвестными 268, 272
----------------- однородная 270
Скалярная величина 223
— функция 368
Скалярное поле 368
— произведение 231 —234
Скалярный квадрат 233
Сложная функция 100
Смешанная частная производная 296
Смешанное произведение 239, 240
Соленоидальное поле 374
Сопряженная гипербола 58
Спираль Архимеда 42
Сравнение бесконечно больших 86, 87
---малых 85, 281
— вещественных чисел 12
Среднее значение 190
Средняя скорость 106
Статические моменты 323
Стационарное поле 368
Степенная функция 72, 89, 112, 119
Степенной ряд 391
---с комплексными членами 407
Стокс Д. 365
Столбец 260
Сторона поверхности 357
Строго монотонная последовательность
31
--- функция 101
Строгое неравенство 12
Строка 260
Сумма векторов 226, 227
— вещественных чисел 12
— комплексных чисел 403
— матриц 261
— последовательностей 21
— ряда 379
Суммарная мощность источников 374
Суперпозиция функций 100
Сфера 253
Сферические координаты 350
Схема исследования графика функции
149, 150
Сходящаяся последовательность 25, 279,
405
Сходящийся ряд 379, 406
Таблица основных интегралов 162
— производных простейших элементар-
ных функций 120
Табличный интеграл 162
— способ задания функции 71, 72
Тейлор Б. 135
Теорема Абеля 302, 303, 407
— Больцано — Коши вторая 93
--- первая 92, 93
— Вейерштрасса вторая 96, 97
--- первая 95
— Кантора 98, 99
— Коши 131
---существования и единственности
решения дифференциального уравнения
418, 431
— Лагранжа 130
— Лопиталя 132, 133
— о вложенных отрезках 33, 34
---замене переменной в двойном ин-
теграле 315
---монотонности функции 140
---независимости криволинейного ин-
теграла от пути интегрирования 337—
339
---непрерывности обратной функции
102, 103
---сложной функции 100, 101
--- производной интеграла с перемен-
ным верхним пределом 191, 192
---обратной функции 114, 115
---сложной функции 116, 117, 288,
289
— л—равенстве смешанных производных
297, 298
---разложении рациональной функ-
ции на элементарные дроби 168
---связи между бесконечно большой и
бесконечно малой последовательностями
24, 25
---------криволинейным и двойным
460
интегралами 334, 335
---------поверхностным и криволиней-
ным интегралами 365, 366
--------------тройным интегралами
362—364
---- среднем 190, 310
----существовании точных граней у ог-
раниченного множества 18
---- сходимости монотонной ограничен-
ной последовательности 31
-------несобственных интегралов 212,
213
— об общем уравнении прямой 47
----устойчивости знака непрерывной
функции 92
— Ролля 128, 129
— Тейлора 135—137, 299, 300
— Ферма 127, 128
Теоремы о бесконечно малых последова-
тельностях 24
---------функциях 82, 83
----векторах 224, 225, 229—231, 234,
238-241
----дифференцируемых функциях 107,
108, 111, 112, 286—288
----методах вычисления определенных
интегралов 194, 196
---- направлении выпуклости и точках
перегиба графика функции 143—145
----непрерывных функциях 88, 92, 93,
95—103
----первообразных 160, 163, 165
----последовательностях и рядах комп-
лексных чисел 405—408
----пределах функций 75—79, 280
----разложении функций в ряд Фурье
411—413
---- сведении двойного интеграла к
повторному 310—313
----свойствах решений линейных ди-
фференциальных уравнений 436—440,
443, 444
----свойстве эллипса и гиперболы 60,
61
----сходимости степенных рядов 392—
398
-------числовых рядов 381—390
----сходящихся последовательностях
27-30
— об абсолютных величинах 19
----интегрируемости функций 179,
183—186, 308
----экстремумах функций 141, 142,
301—303
Тождественное преобразование 263
Тождество 41
Тор 205
Точка возможного экстремума 142, 302
—’локального максимума 140, 301
----минимума 140, 301
----экстремума 141, 301
— множества 10
— перегиба 144
— разбиения 177
— разрыва 91, 281
---- 1-го рода 91
---- 2-го рода 91
— числовой прямой 16
Точная верхняя грань множества 17
------- функции 94
— нижняя грань множества 17
------- функции 94
Трансцендентная функция 73
Тригонометрическая форма комплексно-
го числа 404
Тригонометрические функции 72, 89, 90,
113, 114
----комплексной переменной 409
Тригонометрический ряд 410
Тройной интеграл 347
----, вычисление путем замены перемен-
ных 349, 350
----,-----сведения к повторному 347,
348
----, приложения 352, 353
Трубчатое поле 374
Убывающая последовательность 30
— функция 101
Угловой коэффициент 44
Угол между плоскостями 245
----прямой и плоскостью 252
----прямыми 46, 251
— наклона прямой к оси Ох 43
Узлы интерполяции 152
Упорядоченная пара чисел 35, 69
— тройка векторов 235
---- чисел 222, 275
Уравнение графика 70
— Лапласа 378
— линии 41
— мнимого эллипса 67
— пары мнимых параллельных прямых
68
-------пересекающихся прямых 67
---- параллельных прямых 68
----пересекающихся прямых 67
----совпавших прямых 68
— плоскости нормальное 246
----общее 244
— поверхности 241
— прямой «в отрезках» 48
---- неполное 48
---- нормальное 50
----общее 47
----, проходящей через данную точку, с
данным угловым коэффициентом 45
----,-----две данные точки 45
----с угловым коэффициентом 44
— с двумя переменными 41
461
См. также Каноническое уравнение
Уравнения линии 242
— прямой канонические 249
---общие 248
— центра линии второго порядка 66
Условие параллельности плоскостей 245,
246
---прямой и плоскости 252
---прямых 46, 47, 251
— перпендикулярности плоскостей 246
---прямой и плоскости 252
---прямых 47 , 251
Условия Коши 419
Условно сходящийся ряд 391
Установившееся поле 368
Ферма П. 127
Фокальные радиусы точки 52, 55
Фокус параболы 62
Фокусы гиперболы 55
— эллипса 52
Формула бинома Ньютона 139
— Грина 334
— замены переменной в неопределенном
интеграле 163
---------определенном интеграле 194,
195
— интегрирования по частям в неопреде-
ленном интеграле 165
------------ определенном интеграле
196
— конечных приращений 130, 131
-------обобщенная 131
— Коши 131
— Лагранжа 130, 131
---для функции двух переменных
301
— Лейбница 122
— Маклорена 137
— Муавра 405
— Ньютона — Лейбница 193
— Остроградского 263
— парабол 219
— Симпсона 219
— среднего значения 190
— Стокса 367, 375
— Тейлора 135, 137, 138
---для функций двух переменных 299,
300
— трапеций 216
Формулы Крамера 269
— обратного преобразования 315
— преобразования координат 315
— Эйлера 409
Функциональный определитель 315
Функция 69
— двух переменных 275, 276
— Дирихле 71
— п переменных 277
— у = sgn х 71
См. также соотв. названия
Фурье >¥(.412
Характеристическое уравнение 443
Целая рациональная функция 72, 73
— часть числа 23
Центр гиперболы 58
— линии второго порядка 66
— масса пластинки 322, 323
---тела 352, 353
— эллипса 54
Циклоида 203
Цилиндрическая поверхность 242
Цилиндрические координаты 350
Циркуляция векторного поля 375
Частичная сумма ряда 379
Частная производная 284
---высшего порядка 295, 296
Частное вещественных чисел 13
— комплексных чисел 403
— последовательностей 21
— приращение 284
— решение дифференциального уравне-
ния 419, 432, 434
Частота колебаний 451
Четверть 35
Число е 33, 140
Числовая последовательность 20
— прямая 16
Числовой ряд 379
---с комплексными членами 406
Чисто мнимое число 402
Член последовательности 20
— ряда 379
Эйлер Л. 174
Эквивалентные бесконечно малые 85
Эксцентриситет гиперболы 59
— эллипса 54, 55
Элемент матрицы 260
— множества 10
— объема 347
— определителя 263
— площади 308
— последовательности 20
Элементарные множители 167
— функции 72
Эллипс 52
Эл.^ипсоид 252
Эллиптический параболоид 255
— тип линии второго порядка 66, 67
— цилиндр 243
Эрмитова интерполяция 154, 155
Якоби К. 315
Якобиан 315
462
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х е X — элемент х принадлежит множеству X
х & X — элемент х не принадлежит множе-
ству X
X с У — множество X есть подмножество мно-
жества Y
X <2 Y — множество X не является подмноже-
ством множества Y
0 — пустое множество
(х Р(х)| — множество чисел х, обладающих свой-
ством Р (х)
х = тах{ х(...хя) — х есть максимальное из чисел х(,...
Хп
х =«= min{.X|.xj — х есть минимальное из чисел хг ...
X
л
Ух — для любого X
Зх — существует такое х
(х; у) — координаты точки на плоскости, упо-
рядоченная пара чисел
(х; у, г) — координаты точки в пространстве,'
_______ упорядоченная тройка чисел
___АВ_ — направленный отрезок
— вектор
|АВ|, |а I — длина вектора
= (X; У; X) — вектор АВ имеет координаты X, У, Z
пр /Гв — проекция вектора АВ на ось и _______
~ — скалярное произведение векторов а
и b __
ТхТ - векторное произведение векторов а
_ ____ и b __
а • ( b X Г) — смешанное произведение векторов а ,
b и с
[ а, 6] — отрезок, сегмент
(а, 6), (а, -|- оо), ( — оо, Ь), ( — оо, + оо) — интервалы
[а, 6), (а, 6), [а, 4- оо), ( — оо, 6] — полуинтервалы
( — оо, -|- оо) — числовая прямая, множество всех ве-
щественных чисел
(а — б, а 4- б) — б-окрестность точки а
sup X — точная верхняя грань множества X
inf X — точная нижняя грань множества X
|х| — абсолютная величина (модуль) числа х
sgn х — функция знак х
[х] — целая часть числа х
{xj —числовая последовательность
оо
£ о, — числовой ряд
л ж I
У = f (х), f : х ь—► у — функция, отображение
lim / (х) — предел функции f (х) при х-+ х0
х-^х0
lim / (х) — предел функции f (х) при х -► спра-
х * хо + ва, правый предел
lim I (х) — предел функции f (х) при х х0 сле-
’ х хо - ва. левый предел
463
«W ~ ₽ w
<x(x) = о (p (x))
sup f (x)
X
inf f (x)
Г (x), y' (x)
f+ W
f'_ (x)
dy
y", ....
d2 £/, d31/.dny
\y, A2 у....А" у
z=f(x.y),2 = f (M)
lim f (x, y), lim f(M)
X —► Xq M -► Mq
У Уо
z.f —
*’ '* dx дх
——т~, I (х, у)
дх ду 1хук *
f (*) ^х
f {X) dx
ЭД f (х, у) ds, ЭД f (х, у) dx dy
G G
J f(M)dl, J f(x,y)dl
AB AB
$ P(x, y)dx
AB
ф P (x, y) dx + Q (x, y) dy
L
f (x, y, z) du, f (x, y, z) dx dy dz
V v
JJf(M)dS,$Jf(x, y. z) dS
s s
ЭД R (M) dx dy, ЭД R (x, y, z) dx dy
s s
grad z
div a
rot a
V
A
— бесконечно малые а(х)и p (x) экви-
валентны
— бесконечно малая а(х) имеет более
высокий порядок малости по сравне-
нию с бесконечно малой 0 (х)
— точная верхняя грань функции f (х)
на множестве X
— точная нижняя грань функции f (х) на
множестве X
— производная функции у =? f (х) в точке х
— правая производная функции у = f (х)
в точке х
— левая производная функции у — f (х)
в точке х
— дифференциал функции у = f (х)
— производные второго, третьего..
n-го порядка
— дифференциалы второго, третьего...
n-го порядка
— разности первого, второго.. и-го
порядка
— функция двух переменных
— предел функции z — f (х, у) = f (М)
. в точке УИ0(х0; 1/())
— частная производная функции z =
=f{x, у) ПО X
— смешанная частная производная вто-
рого порядка функции z — f (х, у)
— неопределенный интеграл от функции
/(X)
— определенный интеграл от функции
f (х) по отрезку [ а, Ь]
— двойной интеграл от функции f (х, у)
по области G
— криволинейный интеграл первого рода
от функции f (х, у) = I (М) по кривой
АВ
— криволинейный интеграл второго рода
от функции Р (х, у) по кривой АВ
- криволинейный интеграл по замкну-
тому контуру L
— тройной интеграл от функции f (х, у, z}
по области V
— поверхностный интеграл первого рода
от функции f (х, у, z) =? f (М) по по-
верхности S
— поверхностный интеграл второго рода
6т функции R (х, у, z) = R (М) по по-
верхности S
— градиент функции z — f (х, у)_
— дивергенция векторного поля а (Л4)
— ротор векторного поля а (Л4)
—оператор Гамильтона
— оператор Лапласа ’
464
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Аналитическая геометрия на плоскости
d= V (Х2~Х1)2^-(У2-У1)2 — расстояние между точками (jq; yj и М2(х2; у2)
Х2+^Х2 У1+Лу2
14" А 1 4-Я.
координаты точки, делящей отрезок с концами
Сч; yj и М2 (х2; у2) в отношении А» \МХ М\: \ММг\
Ах+Ву+С=0— общее уравнение прямой (А, В, С — любые вещественные
числа, Л2 + В2^0)
у = кх+Ь — уравнение прямой с угловым коэффициентом к (Ь — величина от-
резка, отсекаемого прямой на оси Оу)
у—у1=к(х—х1) — уравнение прямой с угловым коэффициентом к, проходящей
через точку A/j (хр yj
У~У1 x~xi w . iz / \
-----=---------уравнение прямой, проходящей через точки Mi(x1; у О
У2~У1 Х2~Х1
И м2 (х2, у2)
-+-= 1 — уравнение прямой в отрезках (а, b — величины отрезков, отсекаемых
а b
прямой на осях Ох и Оу)
у/а2+в2
— расстояние от точки Мо (х0; у0) до прямой Ях+2?у + С=0
^2 .
tg<p =-----— формула вычисления одного из углов между прямыми
1+^ к2
y=klx-\-bi ъ y=k2x+b2
х2 у2
71+~ь1=х
— каноническое уравнение эллипса (а, b — полуоси)
Ь2
— каноническое уравнение гиперболы
у2=2рх, у2 = -2рх — каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ох
(р>0 — параметр)
30-3157
465
Аналитическая геометрия в пространстве
Y—У1~У1> Z=z2 — Zj — выражение координат вектора АВ через ко-
ординаты точек А (Хр yt; zj и В(х2; у2; z2)
М^^Х2^ Y2-hZ2 — выражение длины вектора а = {У; У; Z} через его коор-
динаты
\/(х2~ + zj2 — расстояние между точками
Mi (хр У1\ Zi) и М2 (х2; у2; z2)
а -А — |в| |Л| cos ф — определение скалярного произведения векторов а и Ъ (ф —
угол между векторами)
а • Ъ “ Х2 Х2 + Уд Y2 + Zi Z2 — выражение скалярного произведения векторов
a»{Xi, Ур Zi} и К-{Х2; У2; Z2] через .их координаты
XiX2^YiY2^ZiZ2
cosфя.—-=====— —— — выражение угла между векторами
yJX\+Y\+Z\ yJl^+Y\+Z\
Ax+By+Cz+D**§ — общее уравнение плоскости (А, В, С — любые веществен-
ные числа, А2 + 1Р 4-C2j*0)
\АХь+Вуь + Сга+1)\
--------------------расстояние от точки Мо (х0; у0; z0) до плоскости
Л24-Л24-С2
Лх + Ду+Cz+D-O
х-х0 у-у0 z-z0
----»------=----— канонические уравнения прямой с направляющим век-
/ т п
тором а « {/; /и; л}, проходящей через точку Л/о (х0; у0; z0)
x=x0+/f, ужу0+т1, z~z0+nt — параметрические уравнения прямой
х2 у2 z2
— 4—-4-— — каноническое уравнение эллипсоида (а, Ь, с — полуоси)
в2 Ь2 с2
х2 у2 z2
— —— 1 — каноническое уравнение однополостного гиперболоида
х2 у2 z2
— 4—_ — ж» — 1 — каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
в2 Ь2 с2
х2 у2
— I—»2z — каноническое уравнение эллиптического параболоида (р>0,
Р Я
q>Q — параметры)
х2 у2
— — = 2z — каноническое уравнение гиперболического параболоида
р я
х2 у2 z2
— 4——--0 — каноническое уравнение конуса второго порядка
466
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
sinx
lim----= 1 — первый замечательный предел
х-0 X
lim (14— I =е — второй замечательный предел
X—*00 \ х)
/(х0 + Дх)-/(х0) „
ljm--------------------определение производной функции y—J\X)
Дх-*0
в точке х0
(xQ)&x — дифференциал функции f(x) точке х0
(С)'=0, (№)' = «№ *, (loga*)'=-loga е, (аХ)' = а Ina,
х
1 1
(sin x)' = cos х, (cos x)'= - sin x, (tgx)' =——, (ctg x)' = - ,
cos2 X sin2 X
1 1 1
(arcsin х)’=—f , (arccos x)' = ——т==, (arctg x)z = -—
^/l_>-2 14-
1
(arcctg x)' = —---— производные простейших элементарных функций
1 -U v-2
у'(х0) <р' (г0) — правило дифференцирования сложной функции у —
=/[ф (01 в то,«е /0; здесь х0 = <р (/0)
1
ф' (Уо) = ~~ - — правило дифференцирования обратной функции х = ср (у) в точке
Уо=/(хо)
(л) (л) (л-1) t л(л-1) (л —2) „ (л)
у —и v + nu v4 и v +...4-UV —формула Лейбница
2
/(*)-/(*) ж
7 =/ (с) — формула Лагранжа; се (а, Ь)
Ь—а
f(c)
~ ФоРмУла Коши; се (а, Ь)
g(b)-g(a) g'(c)
Г(Д)
1!
------( х - а ) 2
2!
г(Л+,)(0 . л + 1
- —- + (х-а) — формула Тейлора; f е(а, х)
(л 4-1)!
(*)
л!
/'(0) г(0) /л)(0)
?(0)“* х + 2j + ‘х + 1 W — формула Маклорена
30*
467
Неопределенный и определенный интеграл
a X f dx f dx
x dx=----hC(a^ —1), —=ln|x| + C, ----=arctgx4-C,
dx f x a C x x
F==arcsinx + C, la dx=--hC(0<a^l), e dx=e 4-C,
l-x2 J Ina J
Г f dx
sinx dx= —cosx 4-C, j cosx dx = sinx4-C, -----= tgx-f-C,
J * J cos2x
‘ dx f dx 1
—— =—ctgx+C, —-------=— In
sm2x Jx2- a2 2a
х—а
+ С(а*Ь\
dx
f dx
’ J x2 -Fa2
1 x
=-arctg-4-C,
a a
dx x
---- =arcsin-4-C — табличные интегралы
a2 —x2 a
J/(x)dx |х-ф(о = f/[<p(O]</(Odf — формула замены переменной в неопределен*
ном интеграле
ъ Р
f/(x)dx = j/[<p (/)]<р'(t)dt -формула замены переменной в определенном интег-
рале; <р(а)=а, (p(fl)=b
f и (x)v (x) dx=и (x) v (x) — f v (x)u' (x)dx — формула интегрирования по частям
в неопределенном интеграле
ь ь
Judv = uv|* — fvdu — формула интегрирования по частям в определенном интег-
а а
рале
ь
f/(x)dx=/(c)(A — а) — формула среднего значения; се [а, А]
b
j/(x)dx=F(/>)—F(a)=F(x) |* — формула Ньютона — Лейбница
ь
s = Jf(x) dx — площадь криволинейной трапеции 0 у </(х), a < х < А
Р
s — — площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой
задана параметрически: х=ф(г), a^t^P
468
I4
5=- J р2 (<p)d<p — площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, за-
2 а
данной в полярных координатах: р = р(<р),
ь
+/'2x)dx — длина дуги кривой, заданной уравнением y=f(x), a^x^b
L=fV«>'2(O + 'A'2Wdr — длина дуги кривой, заданной параметрически:
x=4>(f), У = Ф(‘)> ««««Д
L - f л/р2(ч>)+р’2(<р) dtp — длина дуги кривой, заданной в полярных координа-
а
тах: р=р(ф),
ь
v=n\f2(x)dx — объем тела вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции
0<>><Дх),
P=2«f/(x)Vl+/'2Wdx — площадь поверхности вращения вокруг оси Ох кри-
волинейной трапеции О^^Дх),
Дифференцирование и интегрирование
функций нескольких переменных
ди Lxz
— = lim--определение частной производной функции z—f{x, у) по пере-
дх Дх->о Дх
менной х
dz dz dx dz dj
— =—-----1— — — правило дифференцирования сложной функции
dt дх dt ду dt
2=ЛХ(О, y(t)J
йг=Д(х0, y0)dx+/,(x0, y0)dy — дифференциал функции z=/(x, у) в точке
(хо; Уо)
dz dz dz
— =—cos а 4—cosfi — формула для производной функции z=f(x, у) по направ-
dl дх ду
лению вектора / = {cos a; cos//}
... &f<x,y) d /(х + ОДх, у+ОДу)
A/=d/(x, у)+---- + ...+--------+--------------------
п • (л +1)!
формула Тейлора для функции z=f(x, у)
О<0<1—
469
ь У1(х)
ff./lw)dxdy=fdx J f(x, y)dy — формула вычисления двойного интеграла по
С а у^х)
области (7={(х, у)|а<х<Л; у i (х) <у <у2 (х)}
J J/(x, y)dx dy= J f/(pcos<p, psincp)p dp dtp — формула вычисления двойного
G G*
интеграла в полярных координатах
j=j Jdx dy — площадь области G на плоскости хОу
G
v=f ff(x, y)dx dy — объем криволинейного цилиндра 0^z</(x, у); (х, y)eG
G
*4f\A+Zr2(x. У) +f у (x, у) dx dy — площадь поверхности 5, заданной урав-
G
нением z=/(x, у); (х, y)eG
f f(x. у)dl = fSIq>(l), «I'WlVnWf+WXOrdl — формула вычисления криволи-
ЛВ а
немного интеграла первого рода по кривой x=<p(r), y=i/t(r),
b
J Pdx + Gdy = J {P[x, y(x)] + (?[x, y(x)]y'(x)}dx — формула вычисления Криво-
ве а
линейного интеграла второго рода вдоль кривой у=у (х), a^x^h
(dQ дР\
J11 — — — |dx dy=f Pdx + gdy — формула Грина (L — граница области (7)
G\dx ду) L
J=^x(jy 5= _$ydx, 5=- $xdy — ydx — формулы вычисления площади области
L L 2l
G, ограниченной кривой L
22(Х,У)
f f f/(x, У> ^)dx dz=f f dx dy f f(x> У> z)dz — формула вычисления трой-
r G Zi(x,y)
ного интеграла по области V= {(x, y, z) | (x, y) eG, zx (x, y) (x, y)}
f f f/(*» У> z)dx dy dz=J J J/(pcos<p, p sin<p, z) p dp d<p dz — формула вычисления
v v*
тройного интеграла в цилиндрических координатах
ff f/(x, у, z) dx dy dz=J J J/(psin0cos<p, psin0sin<p, pcos0)p2sin0 dp dcp d0 —
v v*
формула вычисления тройного интеграла в сферических координатах
v=f f f dx dy dz - объем тела V в пространстве Oxyz
f f/(*. У. z)d^=ff/k» У •z (x> j)] у/1 +zx(x, y) + zf (x, y) dx dy — формула вычи-
s G
сления поверхностного интеграла первого рода по поверхности 5, заданной уравне-
нием z=/(x, у); (х, y)eG
470
11R(x, yt z)dx dy-J J A[x, yt f(xt y)]dx dy — формула вычисления поверхност-
3 G
Ното интеграла второго рода по поверхности 5, заданной уравнением z-/(x, у);
(х,У)^6
/ЭР dQ dR\
(ГГI----1---1---jdxdydz — ff Pdydz4-fidzdx4-Fdxdy — формула Остро-
v \дх ду дг) s
градского
f Pdx+fidy+Jldz-
, /dQ дР\ /dR dQ\ /дР dR\
— Г Г [I----| cosy+|------|cosa+( ——— )cos/?]d5 — формула Стокса
з \дх ду) \ду дг) \дг дх)
dF_ dF_ dR
grad F—— i 4— j 4— к — определение градиента скалярного поля F(x, у, г)
дх ду дг
дР dQ dR
div а (А/)——4------4------определение дивергенции векторного поля
дх ду дг
• - РЧ*. у. *) С (х> У- Л (х, у, z)}
/ЭЯ dQ\ _ /дР дД\_ /dQ dP\
rot а (А/)—( ——— ) * 4-1 —-— ) j 4-1 —-— ) к — определение ротора век-
уду дг) \дг дх) \дх ду)
торного поля д’ -{F(x, у, z), g(x, у, z), R(x, у, z)}
д «г д т д
V—— 1 4-—j 4-— к — определение оператора Гамильтона
дх ду дг
Ряды
До ч-д^ч-дрг2 ч-дях Ч-... - £ апх — степенной ряд
л-0
/ (О) /”(0)
/0)+-------х+------
1! 2!
л!
— рад Маклорена
до * 1 •
~ + Е (вя 008 sin пх) — рад Фурье, где д0 =- f /(х) dx,
2 в я
Я—1 -Ж
1 « ! ж
д,,—- J/(х) cosпх dx, Ья-~ j/(х) sin пх dx — коэффициенты Фурье
п __ я
Дифференциальные уравнения
F (х, у, у')—0 — уравнение первого порядка
у'—Д (х)/2(у) — уравнение с разделяющимися переменными
yf4-p(x)y-/(x) — линейное уравнение первого порядка
471
Р (х, у) dx+g(x, у) бу — уравнение в полных дифференциалах
F (х> У» У'» У*) “0 — уравнение второго порядка
У*+Р(Х)У+? (Х).У“/(Х) — линейное уравнение второго порядка
—линейное уравнение второго порядка с постоянными коэф-
фициентами
Fix, v. у', Уя))=0 — уравнение л-го порядка
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10
Глава 1. Вещественные числа . 10
§ 1. Множества. Обозначения. Логические символы...................... 10
§ 2. Вещественные числа и их основные свойства...................... 11
§ 3. Геометрическое изображение вещественных чисел................... 14
1. Изображение вещественных чисел точками на координатной пря-
мой (14). 2. Некоторые наиболее употребительные, числовые множест-
ва (16)
§ 4. Грани числовых множеств 17
§ 5. Абсолютная величина числа 18
Глава 2. Предел последовательности 20
§ 1. Числовые последовательности..................................... 20
1. Числовые последовательности и арифметические действия над ни-
ми (20). 2. Ограниченные и неограниченные последовательности
(21). 3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
(22). 4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей
• (24)
§ 2. Сходящиеся последовательности................................... 25
1. Понятие сходящейся последовательности (25). 2. Основные свой-
ства сходящихся последовательностей (26). 3. Предельный переход
в неравенствах (29)
§ 3. Монотонные последовательности................................... 30
1. Определение и признак сходимости монотонных последовательно-
стей (30). 2. Число е (32)
§ 4. Теорема о вложенных отрезках " 33
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости . 34
§ 1. Прямоугольная система координат................................. 34
§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .... 35
1. Расстояние между двумя точками (35). 2. Площадь треугольника
(36) . 3. Деление отрезка в данном отношении (36)
§ 3. Полярные координаты............................................. 38
§ 4. Преобразование прямоугольных координат.......................... 39
1. Параллельный сдвиг осей (39). 2. Поворот осей координат (40)
§ 5. Уравнение линии на плоскости.................................... 41
§ 6. Линии первого порядка........................................... 43
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (43). 2. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффи-
циентом (45). 3. Уравнение прямой, проходящей через две данные
точки (45). 4. Угол между двумя прямыми (46). 5. Условия парал-
лельности и перпендикулярности двух прямых (46). 6. Общее урав-
нение прямой (47). 7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение
’ прямой «в отрезках» (48). 8. Нормальное уравнение прямой. Расстоя-
473
$ 7. Линии второго порядка.......................................... 52
1. Эллипс (52). 2. Гипербола (55). 3. Директрисы эллипса и гипер-
болы (59). 4. Парабола (62)
$ 8. Общее уравнение линии второго порядка.......................... 64
1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простей-
шему виду (64). 2. Инвариантность выражения А С—В2. Классифика-
ция линий второго порядка (66)
Глава 4. Функции одной переменной . 69
$ I. Понятие функции................................................ 69
I. Определение функций (69). 2. Способы задания функций (70).
3. Классификация функций (72)
$ 2. Предел функции................................................. 73
1. Предел функций при х-^хо (73). 2. Предел функции при х-»-хо— и
при х-»-хо+ (76). 3. Предел функции при х-*-оо, при х-»-— оо и при
х->+оо (77)
$ 3. Теоремы о пределах функций..................................... 78
$ 4. Два замечательных предела...................................... 79
1. Первый замечательный предел (79). 2. Второй замечательный пре-
дел (81)
$ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.................. 82
1. Бесконечно малые функции (82). 2. Бесконечно большие функции
(83)
$ 6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций ... 84
$ 7. Понятие непрерывности функций................................. 87
1. Определение непрерывности функции (87). 2. Арифметические
действия над непрерывными функциями (88)
$ 8. Непрерывность некоторых элементарных функций................... 88
1. Непрерывность рациональных функций (89). 2. Непрерывность
тригонометрических функций (89). 3. Непрерывность функции
/to- |х| (90)
$ 9. Классификация точек разрыва функции............................ 91
1. Определение и классификация точек разрыва функции (91), 2. Ку-
сочно-непрерывные функции (91)
$ 10. Основные свойства непрерывных функций......................... 92
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции (92).
2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное
значение (92). 3. Теорема об ограниченности непрерывной функции
на отрезке (94). 4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на
отрезке, своих точных граней (96). 5. Понятие равномерной непре-
рывности функции (97). 6. Теорема о равномерной непрерывности
функции (98)
$ 11. Понятие сложной функции ....................................100
$ 12. Понятие обратной функции....................................101
1. Определение обратной функции (101). 2. Теорема о непрерывности
обратной функции (102)
Глава 5. Дифференцирование........................................... 104
$ 1. Понятие производной..........................................104
1. Определение производной (104). 2. Геометрический смысл произ-
водной (105). 3. Физический смысл производной (106). 4. Правая и
левая производные (107)
$ 2. Понятие дифференцируемости функции...........................107
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке (107).
2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности
(108)
$ 3. Понятие дифференциала....................................... 109
1. Определение и геометрический смысл дифференциала (109). 2.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала (ПО)
474
$ 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
частного ...........................................................111
$ 5. Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометричес-
ких функций и логарифмической функции.............................. 112
1. Производная постоянной функции (112). 2. Производная сте
пенной функции (112). 3. Производные тригонометрических функ-
ций (113). 4. Производная логарифмической функции (114)
§ 6. Теорема о производной обратной функции.........................114
$ 7. Вычисление производных показательной функции и обратных
тригонометрических функций..................................... 115
1. Производная показательной функции (115). 2. Производные
обратных тригонометрических функций (116)
$ 8. Правило дифференцирования сложной функции......................116
§ 9. Логарифмическая производная. Производная степенной функции
с любым вещественным показателем. Таблица производных простей-
ших элементарных функций........................................118
1. Понятие логарифмической производной функции (118). 2. Про-
изводная степенной функции с любым вещественным показате-
лем (119). 3. Таблица производных простейших элементарных
функций (120)
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков...................120
1. Понятие производной n-го порядка (120). 2. Формулы для
n-х производных некоторых функций (121). 3. Формула Лейб-
ница для п-й производной произведения двух функций (122).
4. Дифференциалы высших порядков (123)
$ 11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование 125
1. Параметрическое задание функции (125). 2. Дифференцирова-
ние функции, заданной параметрически (126)
Г лава .6. Применение дифференциального исчисления к исследованию
функций.............................................................. 127
§ 1. Основные теоремы дифференциального исчисления 127
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя ... 131
1. Раскрытие неопределенности вида — (131). 2. Раскрытие
оо
неопределенности вида ---- (133). 3. Другие виды неопределен-
оо
ностей и их раскрытие (134)
§ 3. Формула Тейлора............................................... 135
1. Формула Тейлора (135). 2. Другая запись формулы Тейлора
и остаточного члена (137). 3. Формула Маклорена (137). 4. Раз-
ложение некоторых элементарных функций по формуле Макло-
рена (138). 5. Использование формулы Маклорена для вычисле-
ния пределов (139). 6. Вычисление числа е (139)
§ 4. Исследование поведения функций и построение графиков . . . 140
1. Признак монотонности функции (140). 2. Отыскание точек
локального экстремума функции (140). 3. Направление выпукло-
сти и точки перегиба графика функции (143). 4. Асимптоты
графика функции (146). 5. Схема исследования графика функ-
ции (149)
§ 5. Интерполяция функций.......................................... 151
1. Постановка задачи (151). 2. Интерполяционная формула Лагран-
жа (152). 3. Интерполяционная формула Ньютона (153). 4. Оста-
точный член интерполяции (155)
§ 6. Методы приближенного вычисления корней уравнений 156
1. Метод «вилки» (156). 2. Метод касательных (157)
475
Глава 7. Неопределенный интеграл......................................... 159
$ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.......................... 159
1. Понятие первообразной функции (159). 2. Неопределенный
интеграл (160)
$ 2. Основные свойства неопределенного интеграла.......................161
$ 3. Таблица основных интегралов.......................................162
$ 4. Основные методы интегрирования................................... 163
1. Непосредственное интегрирование (163). 2. Метод подстановки
(163). 3. Метод интегрирования по частям (165)
$ 5. Интегрирование рациональных функций.............................. 167
$ 6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций 172
1. Интеграл вида ^\/ cx-f-^~)^X U7^)- Интеграл
вида J /?(х, -у/ ах2 + 6х + с) dx (173). 3. Интеграл вида
jj/?(sinx, cosx)dx (175). 4. Интеграл вида J/?(ex)dx (176)
Глава 8. Определенный интеграл......................................... 177
§ 1. Определение определенного интеграла............................ 177
§ 2. Условия существования определенного интеграла...................179
1. Ограниченность интегрируемой функции (179). 2. Суммы Дарбу
(180). 3. Свойства сумм Дарбу (181). 4. Необходимое и достаточ-
ное условие интегрируемости (183)
$ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций 184
$ 4. Основные свойства определенного интеграла.......................186
§ 5. Оценки интегралов. Формула среднего значения................... 188
1. Оценки интегралов (188). 2. Формула среднего значения (190)
$ 6. Интеграл с переменным верхним пределом..........................191
$ 7. Формула Ньютона—Лейбница........................................192
$ 8. Замена переменной в определенном интеграле......................194
$ 9. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле 196
$ 10., Некоторые физические и геометрические приложения опреде-
ленного интеграла................................................197
1. Площадь криволинейной трапеции (197). 2. Площадь криво-
линейного сектора (200). 3. Длина дуги кривой (201). 4. Объем
тела вращения (204). 5. Площадь поверхности вращения (205).
6. Работа переменной силы (207)
$ II. Несобственные интегралы........................................209
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегри-
рования (209). 2. Несобственные интегралы от неограниченных
функций (211). 3. Признак сходимости несобственных интегра-
лов (212). 4. Пример использования несобственного интеграла
(214)
$ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов .... 215
1. Формула трапеций (215). 2. Формула парабол (217)
Часть вторая. Математический анализ функций нескольких переменных 222
Глава 9. Аналитическая геометрия в пространстве . . 222
$ 1. Прямоугольная система координат в пространстве...............222
$ 2. Понятие вектора..............................................223
1. Скалярные и векторные величины (223). 2. Определение век-
тора (223). 3. Проекция вектора на ось (224). 4. Проекции век-
тора иа оси координат (225). 5. Направляющие косинусы век-
тора (225)
$ 3. Линейные операции над векторами и их основные свойства 226
I. Сложение двух векторов (226). 2. Произведение вектора на
числр (227). 3. Основные свойства линейных операций (227)
| 4. Теоремы о проекциях векторов.................................229
$ 5. Разложение вектора по базису.................................231
476
§ 6. Скалярное произведение векторов................................231
1. Определение и основные свойства скалярного произведения (231).
2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
(234)
§ 7. Векторное произведение.........................................235
1. Определение векторного произведения (235). 2. Основные свойства
векторного произведения (236). 3. Выражение векторного произведе-
ния через координаты векторов (238)
§ 8. Смешанное произведение трех векторов...........................239
1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения
(239). 2. Выражение смешанного произведения через координаты
векторов (240)
§ 9. Уравнения поверхности и линии.................... ... 241
§ 10. Уравнение цилиндрической поверхности..........................242
§ 11. Уравнения плоскости...........................................244
1. Общее уравнение плоскости (244). 2. Угол между двумя плоско-
стями (245). 3. Условие параллельности плоскостей (245). 4. Условие
перпендикулярности плоскостей (246). 5. Нормальное уравнение
плоскости. Расстояние от точки до плоскости (246)
§ 12. Уравнение прямой..............................................248
1. Канонические уравнения прямой (248). 2. Параметрические урав-
нения прямой (250). 3. Угол между прямыми (250). 4. Условия па-
раллельности прямых (251). 5. Условия перпендикулярности прямых
(251). 6. Расстояние то точки до прямой (251).
§ 13. Взаимное расположение прямой и плоскости......................251
1. Условия параллельности и перпендикулярности (251). 2. Угол
между прямой и плоскостью (252)
§ 14. Поверхности второго порядка...................................252
1. Эллипсоид (252). 2. Однополостный гиперболоид (253). 3. Двупо-
лостный гиперболоид (254). 4. Эллиптический параболоид (255).
5. Гиперболический параболоид (256). 6- Конус второго порядка
(258)
Глава 10. Элементы высшей алгебры . 259
§ 1. Матрицы....................................................... 259
1. Определение матрицы (259). Свойства матриц (261)
§ 2. Определители...................................................263
1. Определение определителя (263). 2. Свойства определителей
(264)
§ 3. Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизве-
стными .............................................................268
§ 4. Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной
матрицы .......................................................... 272
Глава 11. Предел и непрерывность функций нескольких переменных 275
§ 1. Понятие функции нескольких переменных..........................275
1. Вводные замечания (275). 2. Определение функции двух и более
переменных (275)
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных.............277
§ 3. Предел функции двух переменных.................................278
§ 4. Непрерывность функции двух переменных..........................281
1. Определение непрерывности функции двух переменных (281).
2. Основные свойства непрерывных функций двух переменных
(282)
Глава 12. Частные производные и дифференцируемость функций
несколь ких переменных................................................. 284
§ 1. Частные производные........................................... 284
§ 2. Понятие дифференцируемости функции 285
477
1. Определение дифференцируемости (285). 2. Необходимые условия
дифференцируемости (286). 3. Достаточные условия дифференцируе-
мости (287)
§ 3. Производные сложных функций................................ 288
§ 4. Дифференциал функции........................................291
1. Определение дифференциала (291). 2. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала
(292)
§ 5. Производная по направлению. Градиент........................293
§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков .... 296
1. Частные производные высших порядков (296). 2. Дифференциалы
высших порядков (298)
§ 7. Формула Тейлора для функции двух переменных.................299
§ 8. Экстремумы функции двух переменных..........................301
1. Определение экстремума (301). 2. Необходимые условия экстрему-
ма (301). 3. Достаточные условия экстремума (302)
§ 9. Метод наименьших квадратов................................. 304
Глава 13. Интегрирование 307
§ 1. Двойные интегралы...............................................307
1. Определение и условия существования двойного интеграла (307).
2. Геометрический смысл двойного интеграла (308). 3. Свойства
двойного интеграла (309).
§ 2. Сведение двойного интеграла к повторному........................310
1. Случай прямоугольной области (310). 2. Случай криволинейной
области (312)
§ 3. Замена переменных в двойном интеграле...........................314
§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интег-
ралов ...............................................................317
1. Вычисление объема (317). 2. Вычисление площади (317). 3. Вы-
числение площади поверхности (319). 4. Вычисление массы пластин-
ки (321). 5. Вычисление координат центра масс пластинки (322).
6. Вычисление момента инерции пластинки (323)
§ 5. Криволинейные интегралы........................................324
1. Определение криволинейного интеграла первого рода (325). 2. Вы-
числение криволинейных интегралов первого рода (327). 3. Опре-
деление криволинейного интеграла второго рода (328). 4. Вычис-
ление криволинейных интегралов второго рода (332). 5. Связь меж-
ду криволинейными интегралами первого и второго рода
(333)
§ 6. Формула Грина..................................................334
§ 7. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегриро-
вания ........................................................... 336
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов...........................340
§ 9. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода . . 341
1. Вычисление площади с помощью формулы Грина (344). 2. Работа
силы (345)
§ 10. Тройные интегралы.............................................346
1. Определение тройного интеграла (347). 2. Вычисление тройных
интегралов (347). 3. Замена переменных в тройном интеграле (349).
4. Некоторые приложения тройных интегралов (352)
§ И. Поверхностные интегралы....................................... 353
1. Определение поверхностного интеграла первого рода (353). 2. Вы-
числение поверхностных интегралов первого рода (355). 3. Опре-
деление поверхностного интеграла второго рода (356). 4. Вычисле-
ние поверхностных интегралов второго рода (359). 5. Связь меж-
ду поверхностными интегралами первого и второго рода
(361)
§ 12. Формула Остроградского ... ....................362
§ 13. Формула Стокса...............................................365
478
368
$ 14. Скалярное и векторное поля............................
1. Скалярное поле (368). 2. Векторное поле (369) . 3. Потенциальное
поле (369). 4. Задача о потоке векторного поля (371). 5. Дивер-
генция (372). 6. Циркуляция. Ротор (374). 7. Оператор Гамильтона
(376)
Часть третья. Ряды, дифференциальные уравнения.......................
Глава !4. Рябы ... ...
4
$ 1. Понятие числового ряда......................................
1. Основные определения (379). 2. Свойства сходящихся рядов (381)
3. Необходимое условие сходимости ряда (382)
$ 2. Ряды с неотрицательными членами........................
$ 3. Знакочередующиеся ряды..............................
} 4. Абсолютная и условная сходимость рядов......................
} 5. Степенные ряды..............................................
1. Определение и общие замечания (391). 2. Интервал сходимости
степенного ряда (392). 3. Свойства степенных рядов (395). 4. Разло-
жение функций в степенные ряды (396)
$ 6. Комплексные ряды............................................
1. Краткие сведения о комплексных числах (402). 2. Предел после*
довательности комплексных чисел (405). 3. Числовые ряды с комп-
лексными членами (406). 4. Степенные ряды с комплексными члена-
ми (407). 5. Формулы Эйлера (408)
J 7. Ряды Фурье ........................................
1. Тригонометрический ряд и его основные свойства (410). 2. Ряд
Фурье (411). 3. Сходимость ряда Фурье (412). 4. Ряды Фурье для
четных и нечетных функций (413). 5. Ряд Фурье с периодом 2/
(415)
Глава 15. Обыкновенные дмДОеремдшьяые уравнения...................
$ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка...............
1. Определение дифференциального уравиеиия первого порядка
(417). 2. Решение уравнения. Задача Коши (418). 3. Общее и ча-
стное решения уравнения (418). 4. Геометрический смысл уравнения
(420). 5. Уравнения с разделяющимися перемеиымн (421). 6. Линей-
ные уравнения (422). 7. Уравнения в полных дифференциалах (423).
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого по-
рядка методом Эйлера (425). 9. Некоторые применения дифферен-
циальных уравнений первого порядка (428)
$ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка...............
1. Основные понятия (431). 2. Уравнения второго порядка, допуска-
ющие понижение порядка (432). 3. Дифференциальные уравнения
высших порядков (434)
$ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка . . . .
(.Основные понятия (435). 2. Линейные однородные дифферен-
циальные уравнения второго порядка (436). 3. Линейные неоднород-
ные дифференциальные уравнения второго порядка (440)
$ 4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоян-
ными коэффициентами ..........................................
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго по-
рядка с постоянными коэффициентами (443). 2. Линейные неодно-
родные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами (445)
$ 5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению ко-
лебательных явлений .........................................
Предметный указатель..............................................
Указатель основных обозначений....................................
Основные формулы......................... ........................
£ £ £ Ж I 8 5 5 s 8 3 3333 S