Текст
Академик И. M. ВИНОГРАДОВ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
образования СССР в качестве учебника
для физико-математических факультетов
государственных университетов
БИБЛИОТЕКА НМУ
МАГСМДТ ВЕСКИЙ
KOI/ТАШ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1952 ЛЕНИНГРАД
<1-5-2
ыаон •><»
г. a ) ii г ннчоят
Редактор A. 3, Рывкин.
Техн, редактор M. Д. Суховцева.
Корректор Ц. С. Варшавская.
Подписано к печати 26/XII 1951 г.
9,23 печ. л. 10,83 уч .-изд. л.
Тираж 10 000 экз. Цена книги 3 р.
Бумага 84х108/з2- 2,813 бум. л.
42,591 тип. зн. в печ. л. Т-0 9549
80 к. Переплёт 2 р. Заказ № 1362
16-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трёхпрудный пер., 8.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к пятому издании»..................... 5
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ.
§ 1. Основные понятия и теоремы (7). § 2. Общий наиболь-
ший делитель (8). § 3. Общее наименьшее кратное (12).
§ 4. Связь алгоритма Эвклида с непрерывными дробями (14).
§ 5. Простые числа (18). § 6. Единственность разложения на про-
стые сомножители (20). Вопросы к главе 1 (22). Численные примеры
к главе I (24).
ГЛАВА ВТОРАЯ.
ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ.
§ 1. Функции [х], (ж} (25). § 2. Суммы, распространённые
на делители' числа (26). § 3. Функция Мёбиуса (28). § 4. Функ-
ция Эйлера (29) Вопросы к главе И (31). Численные при-
меры к главе II (40).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
СРАВНЕНИЯ.
§ 1. Основные понятия (41). § 2. Свойства сравнений, подоб-
ные свойствам равенств (42). § 3. Дальнейшие свойства сравне-
ний (44). § 4. Полная система вычетов (45). § 5. Приведённая
систему вычетов (46). § 6. Теоремы Эйлера и Ферма (47). Вопро-
сы к главе Ш (48). Численные примеры к главе Ш (54).
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ.
СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
§ 1 Основные понятия (55). § 2. Сравнения первой степени (56).
; 3. Система сравнений первой степени (58). § 4. Сравнения лю-
бой степени по простому модулю (60). § 5. Сравнения любой
степени по составному модулю (61). Вопросы к главе IV (65).
Численные примеры к главе IV (69).
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА ПЯТАЯ.
СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
§ 1. Общие теоремы (71). § 2. Символ Лежандра (73). § 3. Сим-
вол Якоби (78). § 4. Случай составного модуля (82). Вопросы
к главе V (84). Численные примеры к главе V (90).
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ.
§ 1. Общие теоремы (92). § 2. Первообразные корни по моду-
лям ра и 2ра (93). § 3. Разыскание первообразных корней ио
модулям ра и 2ра (95). § 4. Индексы по модулям р°' и 2р“ (96).
§ 5. Следствия предыдущей теории (99). § 6. Индексы по модулю
2а (102). § 7. Индексы по любому составному модулю (104). Во-
просы к главе VI (106). Численные примеры к главе VI (112).
Решения вопросов.
Решения к главе I (114).
Решения к главе III (132).
Решения к главе V (149).
Решения к главе II (118)
Решения к главе IV (143)
Решения к главе VI (159)
Ответы к численным примерам.
Ответы к главе I (170).
Ответы к,г лаве III (170).
Ответы к главе V (171)
Ответы к главе II (170)
Ответы к главе IV (170)
Ответы к главе VI (171)
Таблицы индексов................................. 173
Таблица простых чисел < 4000 и их наименьших первооб-
разных корней...................................... 179
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Ряд русских математиков — Чебышев, Коркин, Золота^
рёв, Марков, Вороной и другие — занимался теорией чи-
сел. Ознакомиться с содержанием классических работ
этих замечательных учёных можно по книжке Б. Н. Де-
лоне «Петербургская школа теории чисел».
Советские математики, работающие в области теории
чисел, продолжая славные традиции своих предшест-
венников, создали новые мощные методы, позволившие
получить ряд первоклассных результатов; в разделе
теории чисел книги «Математика в СССР за 30 лет»
можно найти сведения о достижениях советских учёных
в области теории чисел, а также соответствующие библио-
графические данные.
В моей книге даётся систематическое изложение
основ теории чисел в объёме университетского курса.
Значительное количество задач вводит читателя в круг
некоторых новых идей в области теории чисел.
Настоящее пятое издание книги значительно отличает-
ся от четвёртого. Ряд изменений, способствующих боль-
шей простоте изложения, внесён во все главы книги.
Особо значительными изменениями являются объедине-
ние прежних глав IV и V в одну главу IV (благодаря
че?иу число глав сократилось до шести), а также но-
вое, более простое доказательство существования пер-
вообразных корней.
Существенно переработаны вопросы, помещённые
в конце каждой главы. Порядок следования вопросов
теперь приведён в полное соответствие с порядком рас-
положения теоретического материала. Введены некото-
рые новые вопросы; однако число номеров вопросов
ПРЕДИСЛОВИЕ
значительно сокращено. Последнее достигнуто путём
объединения под названиями а, Ь, с, ... ранее самостоя-
тельных вопросов, близких по методу решения или по
содержанию. Пересмотрены все решения вопросов; в
ряде случаев эти решения упрощены или заменены луч-
шими. Особенно сильные изменения внесены в решения
вопросов, касающихся распределения вычетов и невы-
четов п-й степени и первообразных корней, а также
оценок соответствующих тригонометрических сумм.
И. М. Виноградов
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ.
§ 1. Основные понятия и теоремы.
а. Теория чисел занимается изучением свойств це-
лых чисел. Целыми мы будем называть не только чис-
ла натурального ряда 1, 2, 3, ... (положительные це-
лые), но также нуль и отрицательные целые — 1, —2,
-3, . ..
Как правило, при изложении теоретического матери-
ала мы будем обозначать буквами только целые числа.
Случаи, когда буквы могут обозначать и не целые
числа, если последнее не будет ясно само по себе, мы
будем особо оговаривать.
Сумма, разность и произведение двух целых а и b
будут также целыми, но частное от деления а на Ъ
(если Ъ не равно нулю) может быть как целым, так и
не целым.
Ь. В случае, когда частное от деления а на b — це-
лое, обозначая его буквою q, имеем а = bq, т. е. а рав-
но проазведению Ь на целое. Мы говорим тогда, что а
делится на Ъ или что Ъ делит а. При этом а называем
кратным числа b и b — делителем числа а. То обсто-
ятельство, что b делит а, записывается так: Ъ\а.
Имеют место две следующие теоремы.
1. Если а кратно т, т кратно Ь, то а кратно Ь;
Действительно, из а — арп, т = тхЬ следует а = арп^Ъ,
где арщ — целое. А это и доказывает теорему.
2. Если в равенстве вида k + Z + . . . + п = р + q+ ... + s
относительно всех членов, кроме какого-либо одного^
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
t
известно, что они кратны Ь, то и этот один член
кратен Ь.
Действительно, пусть таким членом будет к. Имеем
1 = 1ф, п = п1Ь, р = р1Ь, g=gYb, ..., s=sjb,
к — р-\- д + ... + s — I— ...— п =
= (Pi + 91 + • • + A —— • • • — «1) Ь.
А это и доказывает теорему.
с. В общем случае, включающем, как частный, и
случай, когда а делится на Ь, имеем теорему:
Всякое целое а представляется единственным спо-
собом через положительное целое b в форме
a=bg + г; 0<г < Ь.
Действительно, одно представление а в такой форме
получим, взяв bq равным наибольшему кратному числа
Ь, не превосходящему а. Допустив, что также a = bqi + Г1,
0<г1<6, получим 0 = b (д — дг) + г — rlt откуда следует
(2, Ь), что г — кратно Ь. Но ввиду |r — rj | < 6 послед-
нее возможно лишь при г —г1 = 0, т. е. при г = Г],
откуда вытекает также д=-дг.
Число д называется неполным частным, а число
г — остатком от деления а на Ь.
Пример. Пусть 6 = = 14. Имеем
177 = 14-12 + 9; 0 < 9 < 14,
-64 = 14 • (-5)+ 6; 0 < 6 < 14,
154 = 14-11 + 0; 0 = 0 <14.
§ 2. Общий наибольший делитель.
а. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь поло-
жительные делители чисел. Всякое целое, делящее
одновременно целые а, Ь, .... I, называется их общим
-делителем. Наибольший из общих делителей называется
общим наибольшим делителем и обозначается символом
(а, Ъ, I). Ввиду конечности числа общих делителей
существование общего наибольшего делителя очевидно.
Если (<?, Ь, ,,,, Z) = 1, то а, Ь, ,,I называются взаимно
$ 2. ОБЩИЙ НАИБОЛЬШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
9
простыми. Если каждое из чисел а, Ь, I взаимно
просто с каждым другим из них, то а, Ъ, ..., I назы-
ваются попарно простым. Очевидно, числа попарно
простые всегда и взаимно простые; в случае же двух
чисел понятия «попарно простые» и «взаимно простые»
совпадают.
Примеры. Числа 6, 10, 15 ввиду (6, 10, 15) = 1 —
взаимно простые. Числа 8, 13, 21 ввиду (8, 13) = (8, 21) =
= (13, 21) = 1 — попарно простые.
Ь. Сначала займёмся общими делителями двух чисел.
1. Если а кратно Ь, то совокупность общих делите-
лей чисел а и Ь совпадает с совокупностью делителей
одного Ь; в частности, (а, 6) = Ъ.
Действительно, всякий общий делитель чисел а и Ь
является делителем и одного Ь. Обратно, раз а кратно Ъ,
то (1, b, § 1) всякий делитель числа Ь является также
делителем числа а, т. е. он будет общим делителем
чисел Ъ и а. Таким образом совокупность общих дели-
телей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей
одного Ь. А так как наибольший делитель числа b есть
само Ь, то (а, 6)- Ь.
2. Если
а = bq с,
то совокупность общих делителей чисел а и b совпадает
с совокупностью общих делителей чисел b и с; в частно-
сти, (а, b) = (b, с).
Действительно, написанное выше равенство показы-
вает, что всякий общий делитель чисел а и Ь делит
также и с (2, Ь, § 1) и, следовательно, является общим
делителем чисел b и с. Обратно, то же равенство пока-
зывает, что всякий общий делитель чисел бис делит а
и', следовательно, является общим делителем чисел а и Ъ.
Таким образом общие делители чисел а и Ь суть те же,
что и общие делители чисел Ъ и с; в частности, должны
совпадать и наибольшие из этих делителей, т. е.
(а, Ъ) — (Ъ, с).
с. Для разыскания общего наибольшего делителя,
а также для вывода его важнейших свойств применяется
алгоритм Эвклида. Последний состоит в нижеследующем.
10
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Пусть а и b —положительные целые. Согласно с, § 1 на-
ходим ряд равенств:
a = 6g*i + ',2, о < г2 < ъ,
b = r2q2 + г3, 0 < г3 < г2,
гг = г3дз + rit 0<г4<г3,
Тп— 2 — 1"п — l^n—1 4" Гп, О "С fп <С fn~i>
Гп-1 ~гп$п>
заканчивающийся, когда получаем некоторое гп+1=0.
Последнее неизбежно, так как ряд b, r2, rs, ... как
ряд убывающих целых не может содержать более чем b
положительных.
d. Рассматривая равенства (1), идя сверху вниз,
убеждаемся (Ь), что общие делители чисел а и Ь одина-
ковы с общими делителями чисел Ъ и г2> далее одина-
ковы с общими делителями чисел г2 и г3, чисел г3 и г4, .. .,
чисел rn-i и гп, наконец, с делителями одного числа гп.
Одновременно с этим имеем
(а, Ъ) = (Ь, г2) = (г2, г3) = ...= (rn_!, rn) = rn.
Мы приходим к следующим результатам.
1. Совокупность общих делителей чисел а и Ь совпа-
дает с совокупностью делителей их общего наибольшего
делителя.
2. Этот общий наибольший делитель равен гп, т. е.
последнему не равному нулю остатку алгоритма Эвклида.
Пример. Применим алгоритм Эвклида к отысканию
(525, 231). Находим (вспомогательные вычисления при-
ведены слева)
5251_231 525 = 231-2 + 63,
4621 2 231 = 63 - 3 + 42,
63= 42 . 1 + 21,
42 = 21 2.
421 Г
42 |_21
42 | 2
» »
231
189
§ 2. ОБЩИЙ НАИБОЛЬШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
11
Здесь последний положительный остаток есть г4 = 21.
Значит, (525, 231) = 21.
е. 1. Обозначая буквою т любое положительное целое,
имеем (ат, Ьт) = (а, Ь)т.
2. Обозначая буквою 3 любой общий делитель чисел
, fa Ь ~\ (а, Ь)
а и о, имеем ( -г, -к- ) = —; в частности, имеем
\ О о / о
(, я,. , , ^ = 1, т. е. частные от деления двух чисел
\(а, Ъ) (a, b) J V
на их общий наибольший делитель суть числа взаимно
простые.
Действительно, умножим равенства (1) почленно на т.
Получим новые равенства, где вместо а, Ь, г2, .. ., гп
будут стоять ат, Ьт,. г2т, . . ., гпт. Поэтому (ат, Ьт) =
= гпт, и таким образом верно утверждение 1.
Применяя утверждение 1, находим
/ f а Ь \ f а А л.
(п, 6)=(уо, ToJ = ^, yJo;
отсюда следует утверждение 2.
f. 1. Если (а, 6)=1, то (ас, Ь) = (с, Ь).
Действительно, (ас, Ь) делит ас и Ьс, значит (1, d),
оно делит и (ас, Ьс), ввиду 1, е равное с; но (ас, Ь)
делит и Ь, поэтому оно делит и (с, Ь). Обратно, (с, Ь)
делит ас н Ь, поэтому оно делит и (ас, Ъ). Таким обра-
зом (ас, Ь) и (с, Ъ) взаимно делят друг друга и, следо-
вательно, равны между собою.
2. Если (a, b) = 1 и ас делится на Ь, то с делится
на Ь.
Действительно, ввиду (a, b) — 1 имеем (ас, Ь) = (с, Ь).
Но раз ас кратно Ь, то (1, Ь) имеем (ас, Ъ) = Ь, значит,
и (с, Ь) = Ь, т. е. с кратно Ь.
3. Если каждое аг, а2, . . ., ат взаимно просто
с каждым blt Ь2, . . ., Ьп, то и произведение ащ2 .. . ат
взаимно просто с произведением Ь±Ь2 . . . Ьп.
Действительно (теорема 1), имеем
(ядй^з • • • Ь*) = (а2а2 . . . ат, Ь^) =
= (а3 „. . ат, bj.) = .,. = (ат, bjg), = 1,,
12
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
и далее, полагая для краткости ага2 ... ат = А, точно
таким же путём найдём,
(&1Мз ... bn, А) = (b2l>s ... Ьп, А) =
= (Ь3 ... Ъп, Л)= ...=(Ьп, А) = 1.
g. Задача отыскания общего наибольшего делителя
более чем двух чисел сводится к таковой для двух
чисел. Именно, чтобы найти общий наибольший дели-
тель чисел аг, а2, ..., ап, составляем ряд чисел:
(«1, a2) = d2, (d2,a3) = d3, (ds, at) = d^.(dn^lt an) = dn.
Число dn и будет общим наибольшим делителем всех
данных чисел.
Действительно (1, d), общие делители чисел ах и а2
совпадают с делителями d2, поэтому общие делители
чисел а1; а2 и а3 совпадают с общими делителями чисел
d2 и а3, т. е. совпадают с делителями d3. Далее убе-
димся, что общие делители чисел alt а2, а3, at совпа-
дают с делителями и т. д. и, наконец, что общие
делители чисел alt а2, ..., ап совпадают с делите-
лями dn. А так как наибольший делитель dn есть
само dn, то оно будет общим наибольшим делителем
чисел alt а2, ..., ап.
Просматривая приведённое доказательство, убеждаем-
ся, что теорема 1, d верна и для более чем двух чисел.
Верны также и теоремы 1, е и 2, е, потому что от умно-
жения на т или разделения на 8 всех чисел at, а2, .. ., ап
точно так же и все d2, d3, .. ., dn умножатся на т
или разделятся на 8.
§ 3. Общее наименьшее кратное.
а. Всякое целое, кратное всех данных чисел, назы-
вается их общим кратным. Наименьшее положитель-
ное общее кратное называется общим наименьшим
кратным,
Ь. Сначала займёмся общим наименьшим кратным
двух чисед. Пусть М — какое-либо общее кратное целых
§ S. ОЁЩЕЕ НАИМЕНЬШЕЕ КРАТНОЕ 13
а и 6. Так как оно кратно а, то М = ак, где Л —целое.
Но М кратно и Ь, поэтому целым должно быть и
ак
~Ь~ ’
что, полагая (a, b) = d, a = ayl, b = btd, можно предста-
вить в виде где (а1; £>!) = ! (2, е, § 2). Поэтому
(2, f, § 2) к должно делиться на Ь±, к — btt - t, где
t - целое. Отсюда
,, аЬ .
М -^-t.
а
Обратно, очевидно, что всякое М такой формы кратно
как а, так и Ь, и, таким образом, эта форма даёт общий
вид всех общих кратных чисел а и Ь.
Наименьшее положительное из этих кратных, т. е.
общее наименьшее кратное, получим при t — 1. Оно будет
Введя т, можно полученную для М формулу перепи-
сать так:
М — mt.
Последнее и предпоследнее равенства приводят к тео-
ремам:
1. Общие кратные двух чисел совпадают с кратными
их общего наименьшего кратного.
2. Общее наименьшее кратное двух чисел равно их
произведению, делённому на их общий наибольший де-
литель.
, с. Пусть требуется найти общее наименьшее кратное
более чем двух чисел а1г а2, ..., ап. Обозначая вообще
символом [а, 6] общее наименьшее кратное чисел а и Ь,
составим ряд чисел:
[а1га2] = т2, [т2, ая] =т3, ..., [тп^г, ап] = тп.
Полученное таким путём тп и будет общим наимень-
шим кратным всех данных чисел.
14
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Действительно (1, Ь), общие уратные чисел aL и а
совпадают с кратными т2, поэтому общие кратные чисел
а1У а2 и а3 совпадают с общими кратными т.г и а3, т. е.
совпадают с кратными т3. Далее убедимся, что общие
кратные чисел alt а2, а3, at совпадают с кратными mi
и т. д. и, наконец, что общие кратные чисел аъ а2, .. ., ап
совпадают с кратными тп, а так как наименьшее поло-
жительное кратное тп есть само тп, то оно и будет
общим наименьшим кратным чисел alt а2, . .., ап.
Просматривая приведенное доказательство, видим, что
теорема 1, Ь верна и для более чем двух чисел. Кроме
того, убеждаемся в справедливости следующей теоремы:
Общее наименьшее кратное попарно простых чисел
равно их произведению.
§ 4. Связь алгоритма Эвклида с непрерывными
дробями.
а. Пусть а —любое вещественное число. Обозначим
буквою qr наибольшее целое, не превосходящее а. При
нецелом а имеем
,1 .
а — 71 + ~ , Я2 > 1.
а2
Точно так же при нецелых а2, ..., as_! имеем
“г = ?2 + —; «з > 1;
as_i = 7s-i + —; as > 1,
US
ввиду чего получаем следующее разложение а в непре-
рывную дробь:
a = 7iH----Ц- - (1)
• 92 + --д
§ 4. связь алгоритма эвклида с непрёрыйн. Дробями 15
Если а иррациональное, то в ряде а, а2, очевидно,
не может встретиться целых, и указанный процесс может
быть неограниченно продолжен.
Если а рациональное, как увидим далее (Ь), в ряде
а, а2, . .. непременно встретится целое, и указанный
процесс будет конечен.
Ь. Если а — рациональная несократимая дробь а = -^ ,
то разложение а в непрерывную дробь тесно связано
с алгоритмом Эвклида. Действительно, имеем
1 . (L . 71 а
a = bq1-\-r2\ у = 71 + -^,
l , Ъ , г,
о - г2<72 + г3; — = <7 2 + т ,
'2 "2
г2 = г3д3 + г4- у = <7з + у>
' з "з
^-2 = ^n-i?n-i+rn; ~ = qn-1 + -^-,
ГП~1 гп-1
rn-i = rnqn-, r-^ = qn,
r n
откуда
' + i7-
с. Числа q4, q3, ..., участвующие в разложении числа
а в непрерывную дробь, называются неполными частными
(в случае рационального а это будут согласно b непол-
ные частные последовательных делений алгоритма Эв-
клида), дроби же
= 82 = дг1 + —, = -----т-, ...
72 ?2 + -
?з
называются подходящими дробями.
1в
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
d. Весьма простой ]'"закон образования подходящих
дробей легко найдём, замечая, что 6, (s > 1) получается
из 38-i заменой в буквенном выражении для 8e_i числа
, 1
Qs-1 на ?s-i +—• •
У Я,
Действительно, полагая для единообразия Ро = 1,
Qo = 0, мы можем подходящие дроби последовательно
(А Р
здесь равенство -д = я*
у»
пишем, желая обозначить А символом Ps, а В симво-
лом (?s)
1
? _ 51 _ Р1 ? _ 51 + 5г _ 5г51 + 1 _ 4i.Pi +Ро_Рг
J1 1 Qi’ 2 1 52-1-1-0 + Qi’
? ^)Рг+Р° _ 'hPi + Pl ,^Рз
(?2 + ^) Qi + Qo +
и т. д. и вообще
? _^Рз-1+Л-2. P,
s 4sQs-l+Qs-2 Qs
Таким образом числители и знаменатели подходящих
дробей мы можем последовательно вычислять по формулам
Р$ ~ ~Г Ра-2> 1 .
CS = ^S-1 + Cs-2. J ( ’
Эти вычисления полезно производить по следующей
схеме:
<1з 5i 52 Is 5n
ps 1 51 Pl Ps-2 P3-I p* F*n— 1 a
Qs 0 1 Qi Qs-2 Qs-i Qs Qn-1 b
4. СВЯЗЬ АЛГОРИТМА ЭВКЛИДА С НЕПРЕРЫВН. ДРОБЯМИ
17
Пример. Разложим
Здесь
в непрерывную дробь число .
105138
7б| 2
381^29
29| 1
291_9
27| 3
912
__8j 4
2Ц
2| 2
2 +
105
38
1
1 +
3 +
Поэтому указанная выше схема даёт:
4s 2 1 3 4 2
PS i 2 3 И 47 105
Qs 0 1 1 4 17 38
е. Рассмотрим разность os — os_i соседних подходящих
дробей. При s > 1 находим
где hs = PSQS^ — QsPs-i, подставляя же вместо Ps и Qs
их 'выражения (2) и делая очевидные упрощения, полу-
чим hs = —h;-, - Последнее в соединении с h1 = ql • 0 —
— 1 . 1 = _ 1 даёт hs = (— l)s. Итак,
<3)
18
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Пример. В таблице примера, приведённого в d, имеем
105 • 17-38 • 47 = (—1)5 = -1.
f. Из (3) следует, что (Ps, Qs) делит (—l)s= ± 1
(2, b, § 1). Поэтому (Ps, Qs) = 1, т. е. подходящие дроби
Р.
несократимы.
XS
g. При 8S, не равном а (т. е. исключается случай,
когда, при рациональном a, os является последней подхо-
дящей дробью), исследуем знак разности 8S — а. Очевидно,
8S получается заменой as на qs в выражении (1) для а. Но,
как видно из а, от такой замены
as уменьшится,
увеличится,
as_2 уменьшится,
при нечётном s уменьшится,
при чётном s увеличится.
Поэтому 8S — a < 0 при нечётном s и 8S — a > 0 при-
чётном s, и следовательно, знак 8S— а совпадает со
знаком (— l)s.
h. Имеем
1 “ ।< QaQs
Действительно, при 3s = a это утверждение следует
(со знаком равенства) из (4). При 8S, не равном а, оно
следует (со знаком неравенства) из (4) и из того об-
стоятельства, что, ввиду g, 6S — а и Ss-x— а имеют разные
знаки.
§ 5. Простые числа.
а. Число 1 имеет только один положительный дели-
тель, именно 1. В этом отношении число 1 в ряде на-
туральных чисел стоит особо.
Всякое целое, большее 1, имеет не менее двух
делителей, именно 1 и самого себя; если этими дели-
§ 5. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
19
телями исчерпываются все положительные делители
целого числа, то оно называется простым. Целое > 1,
имеющее кроме 1 и самого себя другие положительные
делители, называется составным.
Ь. Наименьший отличный от единицы делитель целого,
большего единицы, есть число простое.
Действительно, пусть q — наименьший отличный от
единицы делитель целого Если бы q было состав-
ным, то оно имело бы некоторый делитель qv с условием
1 < qt < q; но число а, делясь на с/, должно было бы
делиться и на qt (1, b, § 1), а ото противоречит нашему
предположению относительно числа q.
с. Наименьший отличный от единицы делитель со-
ставного числа а (согласно b он будет простым) не
превосходит \/ а.
Действительно, пусть q — этот делитель, тогда а ~ qalt
a1'^q, откуда, перемножая и сокращая на аъ получим
a>q2, ?<]/а.
d. Число простых чисел бесконечно велико.
Справедливость этой теоремы следует из того, что,
каковы бы ни были различные простые р1; р2, . . . , р,.,
можно получить новое простое, среди них не заклю-
чающееся. Таковым будет простой делитель суммы
Р1Р2 • Pk + 1 > который, деля всю сумму, не может
совпадать ни с одним из простых рг, р2, ... , рк (2, b, § 1).
е. Для составления таблицы простых чисел, не пре-
восходящих данного N, существует простой способ,
называемый решетом Эратосфена. Он состоит в ниже-
следующем.
Выписываем числа
. 1, 2, .. . , N. (1)
Первое большее единицы число этого ряда есть 2;
оно делится только на 1 и на самого себя, следователь-
но, оно простое.
Вычеркнем из ряда (1) (как составные) все числа,
кратные 2, кроме самого 2. Первое следующее за 2
невычеркнутое число будет 3; оно не делится на 2
(иначе оно оказалось бы вычеркнутым),/следовательно,
20
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
3 делится только на 1 и на самого себя, а потому оно
также будет простым.
Вычёркиваем из ряда (1) все числа, кратные 3, кроме
самого 3. Первое следующее за 3 невычеркпутое число
будет 5; оно не делится ни на 2, пи на 3 (иначе оно
оказалось бы вычеркнутым). Следовательно, 5 делится
только на 1 и на самого себя, а потому оно также
будет простым.
И т. д.
Когда указанным способом уже вычеркнуты все числа,
кратные простых, меньших простого р, то все невычер-
кнутые, меньшие р-, будут простые. Действительно,
всякое составное а, меньшее р2, нами уже вычеркнуто,
как кратное его наименьшего простого делителя, который
< р. Отсюда следует:
1. Приступая к вычёркиванию кратных простого р,
это вычёркивание следует начинать с р'1.
2. Составление таблицы простых чисел <7V закон-
чено, как только вычеркнуты все составные кратные про-
стых, не превосходящих |/" N.
§ 6. Единственность разложения на простые
сомножители.
а. Всякое целое а или взаимно просто с данным
простым р, или же делится на р.
Действительно, (а, р), будучи делителем р, может
быть равно или 1, или р. В первом случае а взаимно
просто с р, во втором а делится па р.
Ь. Если произведение нескольких сомножителей де-
лится на р, то, по крайней мере, один из сомножите-
лей делится на р.
Действительно (а), каждый сомножитель или взаимно
прост с р, или же делится на р. Если бы все сомножи-
тели были взаимно просты с р, то и их произведение
(3, f, § 2) было бы взаимно просто с р; поэтому хоть
один сомножитель делится на р.
с. Всякое целое, большее единицы, разлагается на
произведение простых сомножителей и притом един-
6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА СОМНОЖИТЕЛИ 21
ственным способом, если отвлечься от порядка следова-
ния сомножителей.
Действительно, пусть а — целое, большее единицы;
обозначая буквою р± его наименьший простой делитель,
имеем а — руОу. Если > 1, то, обозначая буквою р2
его наименьший простой делитель, имеем а± = р2а2. Если
а2 > 1, то подобно этому находим а2 = psa3 и т. д., пока
не прпдём к какому-либо ап, равному единице. Тогда
an-i = рп. Перемножая все найденные равенства и произ-
водя сокращение, получим следующее разложение а
на простые сомножители:
а = pui2 ... рп.
Допустим, что для того же самого а существует
и второе разложение на простые сомножители a = qlq2... qs.
Тогда
Ti?2 • • Рч = ch(h • • • qs-
Правая часть этого равенства делится на q±. Следо-
вательно (Ь), по крайней мере, один из сомножителей
левой части должен делиться на qx. Пусть, например, pt
делится на (порядок нумерации сомножителей в нашем
распоряжении); тогда p^—q-i (pi кроме 1 делится только
на />j). Сокращая обе части равенства ла Pi = 9i> имеем
р2р3 рп~ 72.7з • 9;,- Повторяя прежнее рассуждение
применительно к этому равенству, получим ра . . . рп —
= 73 . . . qs и т. д., пока, наконец, в одной части равен-
ства, например в левой, не сократятся все сомножители.
Но одновременно должны сократиться и все сомножители
правой части, так как равенство 1 = qn i i • • qs при
?n+i, • , qs, превосходящих 1, невозможно.
Таким образом, второе разложение на простые сомно-
жители тождественно первому.
d. В разложении числа а на простые сомножители
некоторые из них могут повторяться. Обозначая буква-
ми plt р2, . . . , рк различные из них и буквами а1; а2, .. ., а;,
кратность их вхождения в а, получим так называемое
каноническое разложение числа а на сомножители-.
0-1 7^0-2 ОС 1
~ /1 Pz • •
22
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Пример. Каноническое разложение числа 588000
будет: 588 000= 2s • 3 • 53 • 72.
е. Пусть а = р\ рг • р^ — каноническое разложе-
ние числа а. Тогда все делители а суть все числа вида
OCBjXct!, О<132<а2, ..., 0<ру.<а^.
Действительно, пусть d делит а. Тогда (b, § 1)
a--dq и, следовательно, все простые делители d входят
в каноническое разложение а с показателями, не мень-
шими тех, с которыми они входят в каноническое раз-
ложение d. Поэтому d имеет вид (1).
Обратно, всякое d вида (1), очевидно, делит а.
Пример. Все делители числа 720 = 24-32-5 полу-
чим, если в выражении 2fJ13^5₽3 заставим [32, [З3 неза-
висимо друг от друга пробегать значения ^ = 0, 1, 2, 3, 4;
3., = 0, 1, 2; ,В3 = 0, 1. Поэтому указанные делители будут:
1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144," 5,
10, 20, 40, 80, 15, 30, 60, 120, 240, 45, 90, 180, 360,
720.
Вопросы к главе I.
1. Пусть а и Ъ— целые, не равные одновременно пулю, и
— наименьшее положительное число вида ах + by
(ж и у — целые). Доказать, что d = (a, t). Отсюда вывести тео-
рему 1, d, § 2 и теоремы е, § 2. Обобщись эти выводы, рассма-
тривая числа вида ах-сЬу - ... । ju.
2. Доказать, что из всех рациональных дробей со знаменате-
лями Q3 подходящая дробь представляет
Хь1
число а наи-
более точно.
s. Пусть вещественное число а разложено в непрерывную
дробь, — целое положительное, k—число его десятичных зна-
ков, п — наибольшее целое с условием Qn^.N. Доказать, что
я -<5А’+1. Для доказательства выражения для Q2, Qs> Qi’ ,Qn
следует сравнить с теми, которые они имели бы, если бы все q,
были равпы 1, и сравнить далее с числами 1, Е2, ..., 5й"1, где
J;—положительный корень уравнения §2 = Е-}-1.
4. Пусть т>1. Ряд расположенных в порядке возрастания
рациональных несократимых дробей с положительными знамена-
телями, не превосходящими т, называется рядом Фарея, отве-
чающим т.
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ I
23
а. Доказать, что часть ряда Фарея, отвечающего т, содер-
жащая дроби а, с условием 0< 1 может быть получена
следующим способом: пишем дроби у > у • Если 2-<~, то между
этими дробями вставим ещё дробь
0 4-1
1 + 1
1
2
0 1 1
ряде v ’ “9 > Т между каждыми двумя
1 Z 1
, затем в полученном
соседними дробями
d 1 сcij Ц" Ci
~ и T-coi+ai^ вставим дроиь ~-г и т. д.
Ьг «1 -t «1
пока это возможно. Предварительно доказать, что
- м -а с
пары соседних дрооеи у и — ряда, получаемого
до тех пор,
для любой
указанным
способом, имеем ad — Ъс=—1.
Ь. Рассматривая ряд Фарея, доказать теорему: пусть
когда всякое вещественное а можно представить в форме
Р О
а=ё+^; (р-0=1, оке
с. Теорему вопроса b доказать, пользуясь h, § 4.
5, а. Доказать бесконечность числа простых чисел вида
4m + 3.
b. Доказать бесконечность числа простых чисел лида 6m + 5.
6. Доказать бесконечность числа простых чисел, подсчиты-
вая число чисел, не превосходящих N, в каноническое разложе-
ние которых не входят простые числа, отличные от plt Ph-
У. Пусть К — целое положительное. Доказать, что в ряде
натуральных чисел имеется бесчисленное множество последова-
тельностей М, M-f-l, .... М + К — 1, не содержащих простых
чисел.
8. Доказать, что среди чисел, представляемых многочленом
аохп J- а1хп~1 + ... + ап, где п > 0, а0, at, .. ., ап — целые и а0 > 0,
имеется бесчисленное множество составных.
9, а. Доказать, что неопределённому уравнению
х2 -t~y2 = z2, х > 0, у > 0, z > 0, (х, у, z} = l (1)
удовлетворяют те и только те системы х, у, z, где одно из чисел
х и у имеет вид 2uv, другое — вид и2 — v2, наконец, z имеет вид
и2 ч i>2; при этом и > v > 0, (u, v)=l, uv — чётное.
Ь. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать неразрешимость
в целых положительных х, у, z уравнения х* + у* = г2.
10. Доказать теорему: если уравнение хп + а1хп~1+ ... +
+ ап = 0, где п>0 и аг, ..., ап — целые, имеет рациональный
корень, то этот корень — целое число.
24
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
И, а. Пусть *£ = -к- + ^г+ •••+-; «> 1- Доказать, что 6’ —
2 3' п
не целое.
11 1
Ь. Пусть S = — И- — + ... 4- 9 ; п > 0. Доказать, что Л —
о Э 2/14- 1 '
не целое.
12. Пусть п — целое, п > 0. Доказать, что все коэффициенты
разложения бинома Ньютона (я 4 Ь)п будут нечётными тогда
и только тогда, когда п имеет вид 2к — 1.
Численные примеры к главе I.
(6188, 4709).
I, а. Применяя алгоритм Эвклида, найти
Ь. Найти (81 719, 52 003, 33 649, 30 107).
2, а. Разложив в
, 125
непрерывную дрооь а = _д2" и составив
таблицу подходящих дробей (d, § 4), найти: а) 34, В) предста-
вление а в форме, указанной в вопросе 4, Ь, считая т = 20.
5391
Ь. Разложив в непрерывную дробь а = ~—- и составив
39/6
таблицу подходящих дробей, найти: а) (1) представление а
в форме, указанной в вопросе 4, Ь, считая т —1000.
3. Составить ряд дробей Фарея (вопрос 4) от 0 до 1, исклю-
чая 1, со знаменателями, не превосходящими 8.
4. Составить таблицу простых чисел, меньших 100.
5, а. Найти каноническое разложение числа 82 798 848.
Ь. Найти каноническое разложение числа 81 057 226 635 000.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ
В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ.
§ 1. Функции [ж], {аг].
а. Важную роль в теории чисел играет функция [ж];
она определяется для ьсех вещественных х и представ-
ляет собою наибольшее целое, не превосходящее х. Эта
функция называется целой частью от х.
Примеры.
[7] = 7; [2,6] — 2; [-4,75]=-5.
Иногда рассматривается также функция (х}=х— [а].
Эта функция называется дробной частью от х.
Примеры.
{7} = 0; {2,6} 0,6; {-4,75} = 0,25.
Ь. Чтобы показать пользу введённых нами функций,
докажем теорему:
Показатель, с которым данное простое р входит в
произведение п\, равен
Действительно, число сомножителей произведения nl,
кратных р, будет , из них кратных р~ будет ;
из этих последних кратных р'} будет и т- Д- Сум-
ма указанных чисел и даст искомый показатель, так
как каждый сомножитель произведения п\, кратный
26 ГЛ. II. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
рт, но не pmJ-1, считается указанным путём т раз, как
кратный р, р2, ря, ..., наконец, рт.
Пример. Показатель, с которым число 3 входит
в произведение 40!, будет следующий:
Ы + L 9 J + L27J = 13 + 4 + 1 = 18'
§ 2. Суммы, распространённые на делители числа.
а. Особенно важную роль в теории чисел играют муль-
типликативные функции. Функция 9 (а) называется муль-
типликативной, если выполнены следующие условия:
1. Функция 9(a) определена для всех целых положи-
тельных а и не обращается в нуль хотя бы при одном
таком а.
2. Для любых положительных взаимно простых
и а2 имеем
9 = 9 («1)9 («2).
Пример. Нетрудно видеть, что мультипликатив-
ной будет функция 9(«) = <zs, где s —любое веществен-
ное, или комплексное, число.
Ь. Из указанных свойств функции 9(a), в частности,
следует, что 9(1)= 1. Действительно, пусть 9 (а0) не
равно нулю, тогда 9 (а0) = 9 (1 • а0) = 9 (1) 9 (а0), т. е.
9(1) = 1. Кроме того, получается следующее важное
свойство: если 9, (а) и 92 (а) — функции мультипликатив
ные, то и 90 (а) — 9Х (я) 92 (я) — также функция мульти-
пликативная. Действительно, находим
9О(1) = 91(1)92(1) = 1.
Кроме того, при (аь а2) = 1 находим
90 («1^) = 91 (fllfl2) 92 («1«2) = 9i (ai) 91 (а2> 92 («1) 92 («2) =
= 9х (<h) 9г («1) 91 (а2) 92 («2) = 9о («1) 9о (аг)-
с. Пусть 9 (я) — мультипликативная функция и а =
р^р^' Рьк — каноническое разложение числа а. Тогда,
обозначая символом сумму, распространённую на
d\a
§ 2. СУММЫ, РАСПРОСТРАНЁННЫЕ НА ДЕЛИТЕЛИ ЧИСЛА 27
все делители d числа а, имеем
2б(й) = (1 + 9(л)+9(Х)+ ••• +9(/^))...
...(1 + 9(да,) + 9(д1.)+ ... +9(/^))
(<? случае а=1 правую часть считаем равной 1).
Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки
в правой части. Тогда получим сумму слагаемых вида
9 (/^) 9 ("У» ... 9 = 0 (р^р^ . .. рр:);
0 < • • •,
причём ни одно такое слагаемое не будет пропущено и
не повторится более одного раза, а это (о, § 6, гл. 1)
как раз будет то, что стоит в левой части.
d. При 9 (а) = as тождество с примет вид
2= (1 + Pl+ pis+ ... + p^l
d\a
...(1 + Pl + P2s+... P^sy (1)
В частности, при s=l левая часть (1) представит
сумму делителей S (а)' числа а. Упрощая правую часть,
получим
У2-51-! /У+1-1
5(«) . У2--- . . . П- ,
V ’ Pl— 1 Р2—1 Рк~1
Пример.
94*1_ 1 Ч2+1_ 1 ЕЛ+1_ 1
S (720) = S (2* • З2 5) = Р • ~~Л • . = 2418.
1 о — 1 D L
' При s = 0 левая часть (1) представит число делите-
лей х (а) числа а, и мы получим
х (а) = (ctj + 1) (а2 + 1) ... (щ. 4- 1).
Пример.
х (720) = (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 30.
28
ГЛ. II. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 3. Функция Мёбиуса.
а. Функция Мёбиуса р(а) определяется для всех
целых положительных а. Она задаётся равенствами:
р (а) = 0, если а делится на квадрат, отличный от еди-
ницы; р (а) = (— 1)*, если а не делится на квадрат, от-
личный от единицы, при этом к обозначает число простых
делителей числа а; в частности, при а=1 считаем к = О,
поэтому принимаем р(1) = 1.
Примеры.
= р (5) = ----- 1, р(9):=0,
р(2)=—1, р(6) = 1, р(10)^1,
р(3)=-1, р (7) = — 1, р (И) = — 1,
р(4) = 0, р(8) = 0, р(12) = 0.
Ь. Пусть $ (а) — мультипликативная функция и
ат as» а,
а=Р1Р2 Pkk
— каноническое разложение числа а. Тогда
2 Р W 9 (d) = (1-9 (А)) (1 - 9 (р2)) . . . (1 -9 (А.)).
d\a
(В случае а=1 правую часть считаем равной 1.)
Действительно, функция р(а), очевидно, мультипли-
кативная. Поэтому мультипликативной будет и функция
(а) = р (а) 9 (а). Применяя к последней тождество с,
§ 2 и имея в виду, что Ох (/?)=—О (/?); O1(ps)=0 при
s> 1, мы и убедимся в справедливости нашей теоремы.
с. В частности, полагая 9(а) = 1, из b получим
( =0, если а > 1,
2р(^)
r v ' I = 1, если а = 1.
d\a
Полагая же 9 (d) = , получим
если а>]’
& d , .
д\а = 1, если а = 1.
i .ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
29
d. Пусть целым положительным
О == Oj, Ci2, • . ., ьп
отвечают любые вещественные или комплексные / = /ь
/2, •••, fn- Тогда, обозначая символом S' сумму значений /,
отвечающих значениям 3, равным 1, и символом Sd
сумму значений /, отвечающих значениям 3, кратным
d, будем иметь
где d пробегает все целые положительные числа, деля-
щие хоть одно значение 3.
Действительно, ввиду с имеем
5' = Д 2 И W +' /г 2 ' ^ + ’ ‘ 2'
d\^i d\bn
Собирая же вместе члены с одним и тем же значением
d и вынося при этом р (d) за скобки, в скобках полу-
чим сумму тех и только тех /, у которых соответ-
ствующие ий 3 кратны d, а это и есть Sd.
§ 4. Функция Эйлера.
а. Функция Эйлера ср (а) определяется для всех це-
лых положительных а и представляет собою число чи-
сел ряда
О, 1, . . a—i (1)
взаимно простых с а.
11 римеры.
ср(1) = 1, ср(4) = 2,
ср(2) = 1, ср (5) = 4,
ср(3) = 2, ср (6) = 2.
Ь. Пусть
а = р’ЧрС’Л. ... р^к (2)
— каноническое разложение числа а. Тогда
-О-й)’ <3>
30
ГЛ. II. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
или также
т(«) = (Х1- • (/’?-/’?’); 0)
в частности,
<f(pa') = pa — pa—i, &(/?) = />—1. (5)
Действительно, применим теорему d, § 3. При этом
числа 8 и числа / определим так: пусть х пробегает
числа ряда (1); каждому значению х приведём в соот-
ветствие число 8 — (х, а) и число /= 1.
Тогда S' обратится в число значении 8 = (х, а),
равных 1, т. е. в <р(а). A Sa обратится в число значе-
ний 8 = (х, а), кратных d. Но (х, а) может быть крат-
ным d лишь при условии, что d — делитель числа а.
При наличии же этого условия Sd обратится в число
значений! х, кратных d, т. е. в . И мы получим
¥ («) = 2 !x 71 ’
d\a
откуда ввиду с, § 3 следует формула (3), а из по-
следней ввиду (2) следует формула (4).
Примеры.
<Р (81) = 81 — 27 = 54;
<р(5) = 5 —1=4.
с. Функция ср (а) есть функция мультипликативная.
Действительно, при (а1; а2) = 1 из Ь, очевидно, следует
cp(aj, а2) = ср (аД ср (а2).
Пример. ср (405) = ср (81) ср (5) = 54-4 = 216.
d. ?(«?) = «•
d\a
ВОПРОСЫ К ГЛ. II
31
В справедливости этой формулы убедимся, применяя
тождество с, § 2, которое при 9 (а) = у (ц) даёт
2 ? (d)=(i+<р (л) + (^) +... + o~i))...
• • • (1 + ? (?!-) 4 ? (^) + • • ++ (Т^))-
Ввиду (5) правая часть перепишется так:
(1 + (А-!) + (/>?-Pi) + • • • —А?*')) ' • •
• • • (1 + (Рк-1) + (р2к -Рк) + ... + (/47*- - pkk ')),
что после приведения в каждой большой скобке подоб-
ных членов окажется равным р°кк -а.
Пример. Полагая а = 12, находим
Ч> (1) + <р (2) + <р (3) + Т (4) + ? (6) + ? (12) =
= 1 + 1 + 24-2 + 2 + 4 = 12.
Вопросы к главе II.
1, а. Пусть в интервале Q^x^R функция f(x) непрерывна
и неотрицательна. Доказать, что сумма
2 i/wi
Q<xs=R
выражает число целых точек (точек с целыми координатами)
плоской области: Q < x^R, о < У </(®).
Ь. Пусть Р и Q— положительные нечётные взаимно простые.
Доказать, что
о<«<|
с. Пусть г > 0 и Т — число целых точек области х'1 --у--Р:г2.
Доказать, что
Т = 1 + 4[г] + 8 У Г-73Т
_ L V J
0<z£S-^=
/2
32 ГЛ. II. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
d. Пусть п>0 и Т—число целых точек области х > О,
у > 0, Доказать, что
7'-2 2
0<ж<: V п
2. Пусть /I > 0, m — целое, m > 1 и х пробегает целые поло-
жительные числа, не делящиеся на m-ю степень целого, прево-
сходящего 1. Доказать, что
2[П]=и.
X
3. Пусть положительные а п 3 таковы, что
[аж]; х= 1, 2, . . .; [&]; у= 1, 2, ...
образуют, вместе взятые, все числа натурального ряда без
повторений. Доказать, что это имеет место тогда и только тогда,
когда а иррациональное, причём
4, а. Пусть г = [т] и ж2, ..., xt — числа 1, 2, ..., г,
расположенные в таком порядке, чтобы числа
О, {ахД, {аж21, ..., , 1
шли не убывая. Доказать теорему вопроса 4, Ь, гл. I, рассматри-
вая разности соседних чисел последнего ряда.
Ь. Пусть X, Y, ..., Z — вещественные числа, каждое из кото-
рых не меньше 1; a, {J, ..., f — вещественные. Доказать, что суще-
ствуют целые х, у, ..., z, не равные одновременно нулю, и целое и,
удовлетворяющие условиям:
I х I < X, \y\^Y, .... |2|<Z,
1
(*, У, • • • > z) = l, | а-т + + . . . + ’р —м | < .
5. Пусть а—вещественное, с — целое, с > 0. Доказать, что
[ И1 — Г £ I
Lс J Lс J
6, а. Пусть a, [J, ..., X — вещественные. Доказать, что
[“ + р+ . . . + Х] > [а] + [3] + . . . + [X].
Ь. Пусть я, &,..., I — целые положительные, а + Ъ+... -р I — п.
Применяя b, § 1, доказать, что
п!
а!Ы ... I!
есть целое число.
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ II
33
7. Пусть h—целое, h > 0, р—простое и
р»*1—1
Представляя Я в форме Л= ртит -+- Pm-i«m-i + • • + Pi“( + р0. где
ит — наибольшее us, не превосходящее h, ртит— наибольшее?
кратное ит, не превосходящее h, рщ^Ыщ^— наибольшее кратное
Mm-i, не превосходящее h—ртит, рГП-2ит-г— наибольщее кратное
ит_2, не превосходящее h — ртит — рт~\ит~\ и т. д., доказать,
что числа а с условием, что в каноническое разложение а! число р
входит с показателем h, существуют тогда и только тогда, когда
все рт, рт-1, Pi, р0 меньше р, причём в этом случае указан-
ные а суть все числа вида
a = PmPmtl + Pm-iP,n+ + PiP* + РоР + Р’,
где р' имеет значения: 0, 1, .... р—1.
8, а. Пусть в интервале Q<^.xpZR функция f (х) имеет
вторую непрерывную производную. Полагая
Г
Р(я) = у—{я}, P(z)tZz,
о
доказать, что (формула Сонина)
R
Q<x^R Q
R
+ ° (<?)/'(<?) + ^°(x)f" (x)dx.
Q
b. Пусть условие вопроса а выполняется при сколь угодно
СО
больших R, причём | /’ (х) | dx сходится. Доказать, что
Q
2 / (ж)=
zQ<x<Л
R со
= С + / (ж) dx р (R) f (R~) — 3 (R) /' (Я)— а(х) /’ (ж) dx,
ti
где С не зависит от R.
с. Если В принимает лишь положительные значения и отно
шение остаётся ограниченным сверху, то пишем. До=О (В]
34 гл. П. ВАЖНЕЙШИЕ функции в теории чисел
Пусть п—целое, п > 1. Доказать, что ,;
In (nl) — n In п—п + О (In п).
9, а. Пусть п > 2, 0 (z, z0)= 2 1п р, где р пробегает про-
*0<Р^ z
стые числа. Пусть, далее, A(z) = 0(z, 0) и при х > 0
Y (х) = в (х) + В (^х) + в (~fx) - ...
Доказать, что
a) 1п([п]!) = ф(п)+? +
₽) Ф (") < 2п;
=п 1п2 + О(у^п).
Ь. При п > 2 доказать, что
2 ^=1п« + О(1),
р п
где р пробегает простые числа.
с. Пусть s—произвольное положительное постоянное. Дока-
зать, что в ряде натуральных чисел существует бесчисленное мно-
жество пар рп, pn+i простых чисел с условием
Pn*i < Рп(1 +®).
d. Пусть п > 2. Доказать, что
2—=С + In In n i О (г—,
р \1пп/
psjn
где р пробегает простые числа и С не зависит от п.
е. Пусть п > 2. Доказать, что
р^ п
. где р пробегает простые числа и Сп не зависит от п.
10, а. Пусть fl (а) —функция мультипликативная. Доказать, что
61 (а.)— V 6(d)—также функция мультипликативная.
ВОПРОСЫ К ГЛАВК и
35
Ь. Пусть функция 0 (а) определена для всех целых положи-
тельных а и функция ф(а) = 2 в (а) мультипликативная. Дока-
d\a __
зать, что функция 0 (а) также мультипликативная.
11. Пусть при т > 0 тт(а) обозначает число решений неопре-
делённого уравнения хг ж2 ... хщ =а (xlt х2, ..., хт независимо друг
от друга пробегают целые положительные числа); в частности,
очевидно, т,(а)=1, т2(а) = т(а). Доказать, что
а. тт (а) — функция мультипликативная.
Ь. Если каноническое разложение числа а имеет вид
а = Р1Р2..-Рк, то tm(a) = m*.
с. Если s произвольное положительное постоянное, то
lim
а->оо а'
d. 2 '-т (а) выражает число решений неравенства
0<a;gn
xt х2 ... хт в целых положительных хг, х2, .... хт.
12. Пусть R (s) обозначает вещественную часть числа s.
00
При R (s) > 1 полагаем С (s) = Д . Пусть т > 0, т— целое.
п-1
Доказать, что
(?(S))’n=2 ^2.
п—1
13,а. При R(s) > 1 доказать, что
tw-П-Ц-.
где р пробегает все простые числа.
Ь. Доказать бесконечность числа простых чисел, исходя из
того, что гармонический ряд—расходящийся.
с. Доказать бесконечность числа простых чисел, исходя
ТС®
из того, что ?(2)=-g—число иррациональное.
14. Пусть Л(а)=1пр для а = рг, где р—простое и /—целое
положительное; Л(а)=О для других целых положительных а.
36
ГЛ. II. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
При R (s) > 1 доказать, что
Y А(”)
Zj па ’
п= 1
15. Пусть R (s) > 1. Доказать, что
СО
р П"=1
где р пробегает простые числа.
16, а. Пусть 1. Применяя d, § 3, доказать, что
1 = 2 [ z ]
0<d^n
Ь. Пусть М (z, ze) = И (а)7 М(х) = М(х, 0).
*.><a=g z
Доказать, что
а) М (п) + м (у) + М(у)+
т) + "(тг г)+ “-! ”>2'
с. Пусть n> 1, I — целое, I > 1, Tt п — число целых х с усло-
вием 0<xsCn, не делящихся на l-ю степень целого, превосхо-
дящего 1. Применяя d, § 3, доказать, что
СО
^,п=2 hw[1]- (
d<=l
17, а. Пусть а—целое, а > 0, и для целых хи хг, хп
однозначно определена функция f(x). Доказать, что
d\a
где S' обозначает сумму значений / (я), распространённую
на значения х, взаимно простые с а, и сумму значений f(x),
распространённую на значения х, кратные d.
Ь. Пусть к > 1 и заданы системы
Xg,..., х*', Xj, ..., х%; ...; х(п), ж(") , ... , х^\
ВОПРОСЫ К ГЛАВК и
37
каждая из которых состоит из целых чисел, не равных одно-
временно нулю. Пусть далее для этих систем однозначно опре-
делена функция /(«!, х2, •••» ж*). Доказать, что
<у'=2
где S' обозначает сумму значений f (хи х2, х^), распро-
странённую на системы взаимно простых чисел, и Sd обозначает
сумму значений / (xlt х2, ..., х;.), распространённую на системы
чисел, одновременно кратных d. При этом d пробегает целые
положительные числа.
с. Пусть а—целое, а > 0, и для делителей 5 числа а одно-
значно определена функция F (8). Полагая
G(5)=2FW-
d\8
доказать, что (закон обращения числовых функций)
f(«) = 2 НФ G(v)‘
d\a
d. Пусть целым положительным
®1, ®2> • • ,
отвечают любые вещественные, или комплексные, не равные
нулю:
fi> tit , in-
Доказать, что
Р' = ПРй (d),
где Р' обозначает произведение значений /, отвечающих значе-
ниям 6, равным 1, Ра обозначает произведение значений /,
отвечающих значениям в, кратным d, причём d пробегает все
целые положительные числа, делящие хотя бы одно в.
18. Пусть а—целое, а > 1, ст (п) = I”1 + 2”1 + ... + п”,
?т(ф — сумма т-х степеней чисел ряда 1, 2, ..., а, взаимно про-
стых с a; рг, р2, Рк—все простые делители числа а.
а. Применяя теорему вопроса 17, а, доказать, что
d\a
Ь. Доказать, что
’^(Ф = у?(Ф. -
38
ГЛ. II. ВАЖНВЙШИВ ФУНКЦИИ В ТВОРИИ чисел
с. Докаэать, что
4*3 (a)=as(4j- + -^=f^—/>i/’a--Рк) ?(«)•
19. Пусть z > 1, а —целое, а > О, Тг—число чисел х с усло-
виями 0<®^z, (х, а) = 1, s—произвольное положительное
постоянное
а. Доказать, что
d\a
Ь. Доказать, что
Тг=у ?(e) + O(a‘).
с. Пусть z > 1, я (z)—число простых чисел, не превосходящих z,
а—произведение простых чисел, не превосходящих z. Дока-
зать, что
я(г)=я(/^)_ 1+ 2 n(d) j .
d\a
20. Пусть R(s) > 1, a — целое, a > 0. Доказать, что
где в левой части п пробегает целые положительные числа,
взаимно простые с а, а в правой части р пробегает все простые
делители числа а.
21, а. Вероятность Р того, что к целых положительных
чисел ®i, х2, ... , ж/. будут взаимно простыми, определим как
предел при jV -> оо вероятности Рл. того, что будут взаимно
простыми к чисел xlt х2, ... , х/., каждому из которых независимо
от остальных присвоено одно из значений 1, 2, ... , N, прини-
маемых за равновозможные. Применяя теорему вопроса 17, Ь,
доказать, что Р = (? (Л))-1.
Ь. Определяя вероятность Р несократимости дроби -2- анало-
гично тому, как в вопросе а при к=*2, доказать, что
22, а. Пусть г>2 и Т— число целых точек (х, у) с взаимно
простыми координатами, лежащих в области х* + у* г’. Дока-
зать, что
Т=,~ г»+ 0 (г In г).
К
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ и
39
’ Ь. Пусть г >2 и Т—число целых Точек (х, у, г) с взаимно
простыми координатами, лежащих в области х3 -t у* -р z3 < г’.
Доказать, что
4 тс
Т = ^- + О(г’).
О', (6)
23, а. Первую теорему с, § 3 доказать, считая делители
числа а, не делящиеся на квадрат целого, превосходящего 1,
и имеющие 1, 2, ... простых делителей.
Ь. Пусть а — целое, а > 1, d пробегает делители числа а,
имеющие не более чем m простых делителей- доказать, что при
m чётном 2 Р1 W > 0, а ПРИ m нечётном S Р W С 0.
с. При условиях теоремы d, § 3, считая все / неотрицатель-
ными и заставляя d пробегать лишь числа, имеющие не более
чем гп простых делителей, доказать, что
в зависимости от того, будет ли гп чётное или нечётное.
d. Такие же, как в вопросе с, неравенства доказать при
условиях вопроса 17, а, считая все значения / (х) неотрицатель-
ными, а также при условиях 17, Ь, считая все значения
/(xi, xit ... , х^) неотрицательными.
1
24. Пусть s — любое постоянное с условиями 0<з < — ,
(V>2, r=lnlV, ОсдС#1-6, 0 < Z < ? (9, Z) = l, n(N, q, Г) —
число простых чисел с условиями: р <. N, p — qt + l, где t— целое.
Доказать, что
я(Л, g, Z)=O(1); Д= Л .
яг
Для доказательства, полагая h=rl~*, простые числа с ука-
занными условиями следует рассматривать как частный случай
всех чисел с этими условиями взаимно простых с а, где а—про-
изведение всех простых, не превосходящих eh и не делящих д.
Следует применить теорему вопроса 23, d (условия вопроса 17, а)
с указанным а и т=2 [2 In г - 1].
25. Пусть к—чётное, к > 0, каноническое разложение числа а
имеет вид a = ptp2 ... р% и d пробегает делители числа а с усло-
вием 0 < d < У а. Доказать, что
2 V-W = 0.
d
/(О ГЛ. II. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
26. Пусть к—целое, к > 0, d пробегает числа с условием d > 0,
a(d) = ft. Доказать, что
2n(rf)=°-
d
27. Пользуясь выражением для <р(а), доказать” бесконечность
числа простых чисел.
28, а. Теорему d, § 4 доказать, установив, что число чисел
ряда 1, 2, ... , а, имеющих с а один и тот же общий наибольший
делитель 6, равно <р
Ь. Вывести выражение для <р (а):
а) пользуясь теоремой вопроса 10, Ь;
£) пользуясь теоремой вопроса 17, с.
29. Пусть R (s) > 2. Доказать, что
СО
V
л* 4 (s)
П=1
30. Пусть п—целое, п ^>2. Доказать, что
п
2 ? (ги) = ^- «2 + О (л In л).
т= 1
Численные примеры к главе II.
1, а. Найти показатель, с которым 5 входит в каноническое
разложение 5258! (см. вопрос 5).
Ь. Найти каноническое разложение числа 125!
2, а. Найти т <5600) и 5(5600).
Ь. Найти т (116 424) и 5(116 424).
3. Составить таблицу значений функции р(а) для всех
а=1, 2.....100.
4. Найти а) <?(5040), 0) <р (1294 700).
5. Составить таблицу значений функции <р (а) для всех
а=1, 2,..., 50, пользуясь только формулой (5), §4 и тео-
ремой с, § 4.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
СРАВНЕНИЯ.
§ 1. Основные понятия.
а. Мы будем рассматривать целые числа в связи
с остатками от деления их на данное целое положитель-
ное т, которое назовём модулем.
Каждому целому числу отвечает определённый оста-
ток от деления его на т (с, § 1, гл. I); если двум
целым а и Ъ отвечает один и тот же остаток г, то они
называются равноостаточными по модулю т или сравни-
мыми по модулю т.
Ь. Сравнимость чисел а и Ь по модулю т записы-
вается так:
а ~Ъ (mod m),
что читается: а сравнимо с Ь по модулю т.
с. Сравнимость чисел а и Ъ по модулю т равносильна-.
1. Возможности представить а в форме а = b + mt,
где t—цглое.
2. Делимости а — Ь на т.
Действительно, из = 6 (modzn) следует
a — mq-\- г, b = mq1 + г; 0^.г<т,
откуда
a — b = m(q—ql), a=b±mt, t = q — q1.
Обратно, из а = b + mt, представляя b в форме
b = mqx 4-г, 0<г <т,
выводим
a— mq±r; q-qv^t,................: .
42
ГЛ. Ill. СРАВНЕНИЯ
т. е.
a = 6(modm).
Поэтому верно утверждение 1.
Из 1 непосредственно следует утверждение 2.
§ 2. Свойства сравнений, подобные свойствам
равенств.
а. Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между
собою.
Следует из а, § 1.
Ь. Сравнения можно почленно складывать.
Действительно, пусть
(mod т), a2^b2(modm), ..., ak~bk (mod m). (1)
Тогда (1, с, § 1)
al = b1 + mtl, a2 = b2 + mt2, ..., ak== bk-Cmtk, (2)
откуда
ai + 0-2 + • • • + ak — + b2 + ... + bk-[-m (Z2 12 + • • • + tk),
или (1, c, § 1)
ai "F + • • • + ak = 6i + b2 -|- .. . + bk (mod m).
Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения,
можно переносить в другую часть, переменив знак на
обратный.
Действительно, складывая сравнение а 4- b = с (mod т)
с очевидным сравнением — 6 = — 6 (mod тп), получим
а = с —6 (mod тп).
К каждой части сравнения можно прибавить (или
отнять от неё) любое число, кратное модуля.
Действительно, складывая сравнение а = b (mod т)
с очевидным сравнением тк^ 0 (mod т), получим
а + тк = b (mod тп).
с. Сравнения можно почленно перемножать.
Действительно, рассмотрим снова сравнения (1) и вы-
текающие из них равенства (2). Перемножая почленно
g 2. СВОЙСТВА сравнении
43
равенства (2), получим
• • * @к === • • • ^к Ч” i
где N — целое. Следовательно (1, с, § 1),
аха2 ... ак = Ь1Ь2 ... bk (mod т).
Обе части сравнения можно возвысить в одну и ту же
степень.
Это следует из предыдущего утверждения.
Обе части сравнения можно умножить на одно
и то же целое.
Действительно, перемножив сравнение а = b (mod т)
с очевидным сравнением Л: = Л: (modm), получим
ak = bk (mod т).
d. Свойства b и с (сложение и умножение сравне-
ний) обобщаются следующей теоремой.
. Если в выражении целой рациональной функции с це-
лыми коэффициентами 5 = 2 -^«ч, ••• ,°-k я"1 • •• хкк заменим
А^....• • • , %к числами В,^.......Як, ylt ... ,ук, срав-
нимыми с прежними по модулю т, то новое выражение
S будет сравнимо с прежним по модулю т.
Действительно, из
....................*к^в*1.....а* (modm),
a:x^:yx(modm), ..., хк = ук (mod т)
находим (с)
х°р~у°р (modm), , хкк=укк (modm),
...............................• • .х^к^В^.У°-р ... у“к (modm).
откуда, суммируя, получим
SA......а* • • • xkk = S5»,...а* УЛР (mod т)-
Если
а^Ъ(уоад.т), ax = i>x(modm), ..., an = bn (modm),
х = хх (mod m),
44
ГЛ. Ш. СРАВНЕНИИ
то
ахп + а^-1 + ... 4- ап=±Ьхп + Ъгхп~1 + ... + Ьп(modт).
Это утверждение является частным случаем преды-
дущего.
е. Обе части сравнения можно разделить на их
общий делитель, если последний взаимно прост с моду-
лем.
Действительно, из a = 6(modm), a = ар1, b = b1d,
(d, т) = 1 следует, что разность а — Ь, равная (а1 — b^d,
делится на т. Поэтому (2, f, § 2, гл. I) аг — Ьг делится
на т, т. е. а± = Ьг (mod т).
§ 3. Дальнейшие свойства сравнений.
а. Обе части сравнения и модуль можно умножить
на одно и то же целое.
Действительно, из a=^.b (modm) следует
a = b + mt, ak = bk-\-mkt
и, следовательно, ак = Ьк(рпоАтк').
Ь. Обе части сравнения и модуль можно разделить
на любой их общий делитель.
Действительно, пусть
a = 6(modm), a — ayi, b—bxd, т = тгд.
Имеем
а — b + mt, a±d = bpl + m^dt, ax = bt + mrt
и, следовательно, ax = bx (mod тиД.
с. Если сравнение a=-b имеет место no нескольким
модулям, то оно имеет место и по модулю, равному
общему наименьшему кратному этих модулей.
В самом деле, из а = Ь(то4тД, a = 6(modm2), ...
... , a~b (mod mk) следует, что разность а — b делится
на все модули mlt тг, ... , тк. Поэтому (с, § 3, гл. I)
она должна делиться и на общее наименьшее кратное т
этих модулей, т. е. .d=b(modni).
s 4. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
45
d. Если сравнение имеет место по модулю т, то оно
имеет место и по модулю d, равному любому делителю
числа т.
В самом деле, из а = Ъ (mod т) следует, что раз-
ность а— b должна делиться на т; поэтому (1, b, § 1,
гл. I) она должна делиться и на любой делитель d
числа т, т. е. a = b(mod d).
е. Если одна часть сравнения и модуль делятся на
какое-либо число, то и другая часть сравнения должна
делиться на то же число.
Действительно, из a~b(vaoAm) следует a=b-\-mt,
если а и т кратны d, то (2, b, § 1, гл. I) и b должно
быть кратным d, что и утверждалось.
f. Если a = &(modm), то (а, т) = (Ь, т).
Действительно, ввиду 2, Ь, § 2, гл. I это равенство
непосредственно следует из а = b Д- mt.
§ 4. Полная система вычетов.
а. Числа равноостаточные, или, что то же самое, срав-
нимые по модулю т, образуют класс чисел по модулю т.
Из такого определения следует, что всем числам
класса отвечает один и тот же остаток г, и мы полу-
чим все числа класса, если в форме mq + г заставим q
пробегать все целые числа.
Соответственно т различным значениям г имеем т
классов чисел по модулю т.
Ь. Любое число класса называется вычетом по мо-
дулю т по отношению ко всем числам того же класса.
Вычет, получаемый при q = 0, равный самому остатку г,
называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Вычет р, самый малый по абсолютной величине, назы-
вается абсолютно наименьшим вычетом.
' т. т
Очевидно при г < у имеем р = г; приг> -у имеем
т
[>=г — т\ наконец, если т четное и г = у, то за р
- т т т
можно принять, любое из двух чисел -к- и — т = .
it Л А
Взяв от каждого класса по одному вычету, получим
полную систему вычетов по модулю т. Чаще всего в
46
ГЛ. III. СРАВНЕНИЯ
качестве полной системы вычетов употребляют наимень-
шие неотрицательные вычеты 0,1,..., т — 1 или также
абсолютно наименьшие вычеты; последние, как это сле-
дует из вышеизложенного, в случае нечётного т пред-
ставляются рядом
m—1 1 п 4 т~1
2 ’ • ’ ’ ...... 2 ’
а в случае чётного т каким-либо из двух рядов
-у, -1, 0, 1, ...,у-1.
с. Любые т чисел, попарно несравнимые по модулю т,
образуют полную систему вычетов по атому модулю.
Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем
самым принадлежат к различным классам, а так как
их т, т. е. столько же, сколько и классов, то в каждый
класс наверно попадёт по одному числу.
d. Если (a, ni) = 1 и х пробегает полную систему
вычетов по модулю т, то ах + b, где Ь— любое целое,
тоже пробегает полную систему вычетов по модулю т.
Действительно, чисел ах -t- Ь будет столько же, сколько
и чисел х, т. е. т. Согласно с остаётся, следовательно,
только показать, что любые два числа ахх + Ъ и ах2 + Ь,
отвечающие несравнимым х± и х2, будут сами несравнимы
по модулю т.
Но допустив, что aXi + Ь = ах2 + Ь (mod т), мы при-
дём к сравнению ахг = ах2 (mod т), откуда, вследствие
(а, т) = 1, получим a:1 = a:2(mod?n), что противоречит
предположению о несравнимости чисел и х2.
§ 5. Приведённая система вычетов.
а. Согласно f, § 3 числа одного и того же класса
по модулю т имеют с модулем один и тот же общий
наибольший делитель. Особенно важны классы, для
которых этот делитель равен единице, т. е. классы,
содержащие числа, взаимно простые с модулем.
§ 6. ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ФЕРМА 47
Взяв от каждого такого класса по одному вычету,
получим приведённую систему вычетов по модулю т.
Приведённую систему вычетов, следовательно, можно
составить из чисел полной системы, взаимно простых
с модулем. Обыкновенно приведённую систему вычетов
выделяют из системы наименьших неотрицательных
вычетов: 0, 1, ... , т—1. Так как среди этих чисел число
взаимно простых с т есть <p(zn), то число чисел приве-
дённой системы, равно как и число классов, содержащих
числа, взаимно простые с модулем, есть ч(т).
Пример. Приведённая система вычетов по моду-
лю 42 будет
1, 5, И, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.
Ь. Любые у{т) чисел, попарно несравнимые по мо-
дулю т и взаимно простые с модулем, образуют при-
ведённую систему вычетов по модулю т.
Действительно, будучи несравнимыми и взаимно про-
стыми с модулем, эти числа тем самым принадлежат
к различным классам, содержащим числа, взаимно про-
стые с модулем, а так как их ср (т), т. е. столько же,
сколько и классов указанного вида, то в каждый класс
наверно попадёт по одному числу.
с. Если (а,т)=1 и х пробегает приведённую систему
вычетов по модулю т, то ах тоже пробегает приведён-
ную систему вычетов по модулю т.
Действительно, чисел ах будет столько же, сколько
и чисел х, т. е. <р(пг). Согласно Ь остаётся, следова-
тельно, только показать, что числа ах по модулю т
несравнимы и взаимно просты с модулем. Но первое
доказано в d, § 4 для чисел более общего вида ах -г Ь,
второе же следует из (а, т) = 1, {х, т)=1.
' § 6. Теоремы Эйлера и Ферма.
а. При т > 1 и (а, т) = 1 имеем {теорема Эйлера):
аУ ("»)=== 1 (mod т).
Действительно, если х пробегает приведённую си-
стему вычетов
ж = г2, ... ,rc; c = <f{m),
48
ГЛ. III. СРАВНЕНИЯ
составленную из наименьших неотрицательных вычетов,
то наименьшие неотрицательные вычеты рь р2, ... , рс
чисел ах будут пробегать ту же систему, но располо-
женную, вообще говоря, в ином порядке (с, § 5)
Перемножая почленно сравнения
ar1 = p1(modm), ar2~p2 (mod тп), ... , arc = рс (mod тп)',
получим
а'АГг • • • гс^ р1?2 • • • рс (mod тп),
откуда, деля обе части на произведение т\г2 ... гс =
= р1р2 • • • Рс, ПОЛуЧИМ
цс = 1 (mod тп).
Ь. При р простом и а, не делящемся на р, имеем
(теорема Ферма):
ap-i=l (modp). (1)
Эта теорема является следствием теоремы а при т = р.
Последней теореме можно придать более удобную форму.
Именно, умножая обе части сравнения (1) на а, полу-
чим сравнение
ар = а (mod р),
справедливое уже при всех целых а, так как оно верно
и при а, кратном р.
Вопросы к главе Ш.
1, а. Представляя целое число в обычной десятичной системе
исчисления, вывести признаки делимости на 3, 9, 11.
Ь. Представляя целое число в системе исчисления с основа-
нием 100, вывести признак делимости на 101.
с. Представляя целое число в системе исчисления с основа-
нием 1000, вывести признаки делимости на 37, 7, 11, 13.
2, а. Пусть т > 0, (а, т)=1, b — целое, х пробегает полную,
а ?—приведённую систему вычетов по модулю т. Доказать, что
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ III
49
Ь. Пусть т > 0, (a, m)=i; Ь, N, t—целые, 4 > О,
/(х) — аХ + & > f (№) > Q’ f (N + mt) > 0. Доказать, что для тра-
пеции, ограниченной прямыми x = N, x = N + mt, у—О, y=f(x),
имеем
где S—площадь трапеции, а сумма, стоящая справа, распро-
странена на все целые точки трапеции, причём 5=1 для внут-
1 1
ренних точек, для вершин, ^="2"—Для остальных точек
контура.
1
с. Считая, в отличие от вопроса b, 5=-^- Для вершин,
формулу (1) доказать для треугольника с целыми вершинами.
3, а. Пусть т > 0, (а, т)=1, Л^О, с — вещественное,
где <р для рассматриваемых значений х принимает еначения
с условием с ф (ж) е + ^- Доказать, что
I " I
Ь. Пусть М—целое, т > 0, (а, ш)=1, А и В—вещественные,
М+т~ 1
л~^: s= S <•<«+»>
« х'^М
Доказать, что
с. Пусть М—целое, т > 0, (а, т) = 1,
M+m-t
5= 2 v<x»-
х-М
50
ГЛ. 1П. СРАВНЕНИЯ
где в интервале 1 функция /(ж) имеет непре-
рывные производные /' (х) и /" (х), причём выполняются условия
= ± + (а,т)=1-, | 0 | < 1,
fill III
где
1
т = Л3, Л>2, А->1.
Доказать, что
4. Пусть в разложении иррационального числа А в непре-
рывную дробь все неполные частные ограничены, М — целое,
т — целое, т > 0, В — вещественное. Доказать, что
М+т-1
У {Ах А В] =-im + 0(lnm).
х=М
5, а. Пусть А > 2, к > 1 и в интервале Q < х sC В функция /(ж)
имеет вторую непрерывную производную- удовлетворяющую
условиям
Доказать, что
2 {/(г)}==у(Д-0 + ОА, |0| < 1.
Л = (2/са (B—Q) In А + 8Х-Л) А~*.
Ь. Пусть 0 < а 1, Q и В — целые. При условиях вопроса а
доказать, что число дробей \f(x)}; x=Q-|-l, ... , В с усло-
вием 0 {/ (х)} < а выражается формулой
ф(а) = а(Я-<2) 4- 0' . 2Л; |0'| < 1.
6. а. Пусть Т — число целых точек (х, у} области
®2 + У2"Сг2 (г ^2). Доказать, что
г
Т АО (г*г).
вопросы к главе hi
51
Ь. Пусть п—целое, п > 2, Е—постоянная Эйлера. Доказать,
что
1
т (1)+ т (2) + ... 4 -с (п) = п (In га 4 22?— 1) 4 О (га® (In га)2).
7. Систему га целых положительныхГчисел, каждое из кото-
рых представлено в системе исчисления с основанием 2, назовём
правильной, если при всяком целом неотрицательном s число
чисел, в представление которых входит 2s, будет чётным, и не
правильной, если хотя бы при одном s это число будет нечётным.
Доказать, что неправильную систему путём уменьшения или
полного изъятия некоторого одного её члена можно сделать пра-
вильной, а правильная система от уменьшения или полного
изъятия любого её члена делается неправильной.
8, а. Доказать, что форма
4- 3й ^n-i 4 • 4- Злу4~ ^о.
где хп, xn_lt х1г х0 независимо друг от друга пробегают
значения —1, 0, 1, представляет все числа
ОИ+1 _ 1
— Н..... — 1, 0, 1, ..., Я; Я = Ч—F ,
3—1
причём каждое число—единственным способом.
Ь. Пусть mlt т2, тк—положительные попарно простые.
Пользуясь с, § 4, доказать, что полную систему вычетов
по модулю т1т2 ... тк получим, заставляя в форме
Ж1 4- 7711^2 4- ПЧШ2Х3 + . . . 4 7П17П2 • • • Шк-1Хк
числа xlt х2, ..., хк пробегать полные системы вылетов по моду-
лям ttij, тп2, ..., тк.
9. Пусть тП], тп2, ..., тп*—попарно простые и
тП]7П2 ... Шк = М1т1 = М2т2= ... = Л/*гаг*.
а. Применяя с, § 4, доказать, что полную систему вычетов
по модулю гаг1гаг2 ... гаг* получим, заставляя в форме
М1х1 4- М2.г2 4- • • • 4- М кХк
числа xlt х2, ..., Хк пробегать полные системы вычетов по моду-
лям От], т2, ..тк.
Ь. Применяя с, § 4, гл. II и Ъ, § 5, доказать, что приведён-
ную систему вычетов по модулю m1m2 ... гаг* получим, заставляя
в форме
4- М2х2 4- ... 4 М кХк
числа xlt х2, ..., хк пробегать приведённые системы вычетов
по модулям тП], т2......тп*.
52
ГЛ. Ш. СРАВНЕНИЯ
с. Доказательство теоремы вопроса b провести независимо
от теоремы с, § 4, гл. II и тогда уже вывести последнюю теорему,
как следствие первой.
d. Найти элементарным путём выражение для ? (р“) и, поль-
зуясь равенством с, § 4 гл. II, вывести известное выражение
Для ? (а).
10. Пусть т1г т2,..., Шк—попарно простые, превосходящие!,
m = m1m2..., тк, т — М^т*.
а......Пусть ®i, сг2, ..., Хк, х пробегают полные, а 51,
fj2.... £*, 5 — приведённые системы вычетов по модулям
mi, т2, ..., Шк, т. Доказать, что дроби
fxi
I mi
х2
т2
совпадают с дробями (— I , а дроби / — + — + . . . + — I
( т J [ mi т2 тк I
совпадают с дробями | ~ | •
Ь. Пусть заданы к целых рациональных функций с целыми
коэффициентами от г переменных х, w(r^ 1):
/, (х, w) = 2 гхЛ ••• s~ !»•••>
а,...,8
и пусть
к
f(x....«’)= 2 Са.......8г* ••• W6; ..5= 2 М«Са?..,г;
а...г «=1
xs.....wt пробегают полные, а <»g — приведённые системы
вычетов по модулю zns; х...w пробегают полные, a fj, ш —
приведённые системы вычетов по модулю т. Доказать, что дроби
/1 , wl) fk (Хк, . . Wk) )
----------------f- ... + —— ------— }• совпадают с дробями
mi тк J
w) | , а дроби — I
m J I И1 тк )
совпадают с дробями | j (обобщение теорем вопроса а).
И, а. Пусть т — целое, т > 0, а — целое, х пробегает полную
систему вычетов по модулю т. Доказать, что
_ ,ах
2ni—
е т
(т, если а кратно т,
I 0 в противном случае.
ВОПРОСЫ К ГЛАВК щ
53
Ь. Пусть а—вещественное, М — целое, Р—целое, Р > 0. Обо-
значая символом (а) численное значение разности между a w бли-
жайшим к а целым числом (расстояние а до ближайшего целого)1?)
доказать, что
М+Р-1
х=М
, f 2 всегда
п> \ 1
I 3, при (a)<-g-.
с. Пусть т — целое, т > 4 и функции М (а) и Р (а) для зна-
чений а = 1, 2, ..., т—1 принимают целые значения с условием
Р (а) > 0. Доказать, что
m-l Af(a)+P(a)— 1 а
2 1 \з 2лг— х I
I 2 е т I <
а = 1 х»М (а)
т 1пт—In ^2 j + 1 ,
т In т-, при т > 12,
т In т—т, при т>-60.
12, а. Пусть т—целое, т > 0, ? пробегает приведённую
систему вычетов по модулю т. Доказать, что
2 2 7X1-
е т.
£
Ь. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать первую из тео-
рем с, § 3, гл. II (см. решение вопроса 28, а, гл. II).
с. Теорему вопроса а вывести, пользуясь теоремой вопроса 17, а,
гл. II.
d. Пусть
/(»..........w)= 2 с„....... W5
л,...,5
— целая рациональная функция с целыми коэффициентами от г
переменных х, ..., w (г 1), а — целое, т — целое, т > 0; х, ..., w
пробегают полные, а ;,..., <о— приведённые системы вычетов
по модулю т. Вводим обозначения
< m=2 • • • S« — ~2... 2 е2л,-^~.
х w 5 ш
Пусть далее m — . тк, где ..., mt — попарно простые,
превосходящие 1, и пусть т = М„т!1. Доказать, что
с с* _______ с*
ai.rni • • • а*>т& °Miai+ • -+Мкак,т >
9' 9' —• 9'
• • * ад.,»Пд. M1Q] + • ••
54
ГЛ. 1П. СРАВНЕНИЯ
е. При обозначениях вопроса d полагаем
A(m) = m~r ^Sa>m, Л'(т) = т-Г
а а
где а пробегает приведённую систему вычетов по модулю т.
Доказать, что
A (mJ ... A (m]J = A (т), A' (mJ ... Л' (т*) = Л' (т).
13, а. Доказать, что
а—1 1 пх
И(*42
п~0 р х=0
где р пробегает простые делители числа а.
Ь. Из тождества вопроса а вывести известное выражение
для ?(а).
14. Доказать, что
t(a)=lim2s V V £---------------i_g
е-?0 1.1+ е ~ ’
0<x<V~a = 1
где 5=1 или 5 = 0, в зависимости от того, является ли а квадра-
том целого числа или нет.
15, а. Пусть р—простое и hlt /г2...ha—целые. Доказать,
что
(Л1 + Л2 + ... hay = h? -|- h% -|- ... (mod р).
b. Из теоремы вопроса а вывести теорему Ферма.
с. Из теоремы Ферма вывести теорему Эйлера.
Численные примеры к главе III.
1, а. Найти остаток от деления
(12 371se-|-34)2а на 111.
Ь. Делится ли на 1 0932 число 21093 — 2?
2, а. Применяя признаки делимости вопроса 1, найти кано-
ническое разложение числа 244 943 325.
Ь. Найти каноническое разложение числа 282 321 246 671 737.
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ.
СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
§ 1. Основные понятия.
Нашей ближайшей задачей будет изучение сравне-
ний такого общего вида:
/ (я) == 0 (mod т); / (я) = ахп + 4- ... + ал. (1)
Если а не делится на т, то п называется степенью
сравнения.
Решить сравнение — значит найти все значения х, ему
удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетво-
ряют одни и те же значения х, называются равносиль-
ными.
Если сравнению (1) удовлетворяет какое-либо х = хг,
то (d, § 2, гл. III) тому же сравнению будут удовле-
творять и все числа, сравнимые с х{ по модулю т\
х = хх (modm). Весь этот класс чисел считается за одно
решение. При таком соглашении сравнение (1) будет
иметь столько решений, сколько вычетов полной системы
ему удовлетворяет.
Пример. Сравнению
х5 + х 4-1 = 0 (mod 7)
среди чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 полной системы вычетог
по модулю 7 удовлетворяют два числа: х = 2 и х = 4.
Поэтому указанное сравнение имеет два решения:
а; = 2 (mod 7), x = 4(mod7).
5Ь ГЛ. IT. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 2. Сравнения первой степени.
а. Сравнение первой степени перенесением свободного
члена (с обратным знаком) в правую часть можно при-
вести к виду
ах ~b (mod т). (1)
Ь. Приступая к исследованию вопроса о числе реше-
ний, мы сначала ограничим сравнение условием (а, т) = 1.
Согласно § 1 наше сравнение имеет столько решений,
сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но
когда х пробегает полную систему вычетов по модулю т,
то ах пробегает полную систему вычетов (d, § 4, гл. III).
Следовательно, в частности, при одном и только одном
значении х, взятом из полной системы, ах будет
сравнимо с Ъ. Итак, при (а, т) = 1 сравнение (1) имеет
одно решение.
с. Пусть теперь (a, m) = d>i. Тогда, чтобы сравне-
ние (1) имело решения, необходимо (е, § 3, гл. III),
чтобы Ъ делилось на d, иначе сравнение (1) невозможно
ни при каком целом х. Предполагая поэтому b крат-
ным d, положим a — axd, b = bxd, т - mrd. Тогда сравне-
ние (1) будет равносильно такому (по сокращении на d):
агх = br (mod mJ, в котором уже (ах, т1) = 1, и потому
оно будет иметь одно решение по модулю тг. Пусть
— наименьший неотрицательный вычет этого решения
но модулю mlt тогда все числа х, образующие это реше-
ние, найдутся в форме
х=.х! (mod/Hj). (2)
По модулю же т числа (2) образуют не одно реше-
ние, а больше, именно столько решений, сколько
чисел (2) найдётся в ряде 0, 1, 2, ..., т — 1 наимень-
ших неотрицательных вычетов по модулю т. Но сюда
попадут следующие числа (2):
х1} хг-\-тъ х1 + 2т1,..., x1 + (d — l)m1,
т. е. всего d чисел (2), следовательно, сравнение (1)
имеет d решений.
I я. сравнения первой степени
57
d. Собирая всё доказанное, получаем теорему:
Пусть (a, m) = d. Сравнение ax~b(modm) невоз-
можно, если b не делится на d. При Ь, кратном d,
сравнение имеет d решений.
е. Обращаясь к разысканию решений сравнения (1),
мы укажем только способ, основанный на теории непре-
рывных дробей, причём достаточно ограничиться лишь
случаем (a, m) — i.
Разлагая в непрерывную дробь отношение т : а,
т 1
и рассматривая две последние подходящие дроби:
Рп-1 Рп
Qn-i ’ Qn а ’
согласно свойствам непрерывных дробей (е, § 4, гл. I)
имеем
пг(?п 1 — aPn_t = ( — 1)п,
аРп-1 = ( — l)n-1 (mod т),
а • (— i)n~lPn_ib^ b (mod т).
Итак, наше сравнение имеет решение
х = (— (mod т),
для разыскания которого достаточно вычислить Рп-1
согласно способу, указанному в d, § 4, гл. I.
' Пример. Решим сравнение
И= 75 (mod 321). (3)
Здесь (111, 321) = 3, причём 75 кратно 3. Поэтому
сравнение имеет три решения.
Деля обе части сравнения и модуль на 3, получим
сравнение
37x^25 (mod 107), (4)
58
ГЛ. IV. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
которое нам следует сначала решить. Имеем
107|37_
74] 2
37|_33
зз| 1
33|_£
32| 8
4|_1
4| 4
и мы имеем решение сравнения (4) в форме
х = -26 25 = 99 (mod 107).
Отсюда решения сравнения (3) представляются так:
х = 99; 99 + 107; 99 + 2 • 107 (mod321),
т. е.
х = 99; 206; 313 (mod 321).
§ 3. Система сравнений первой степени.
а. Мы рассмотрим лишь простейшую систему сравне-
ний
rcs61(modm1), х = 62 (modm2), ... , я: = (mod mJ (1)
с одним неизвестным, но с разными и притом попарно
простыми модулями.
~ Ь. Решить систему (1), т. е. найти все значения х, ей
удовлетворяющие, можно применяя следующую теорему:
Пусть числа Ms и M's определены из условий
mtmt . . .mk = Msms, MSM's = 1 (modms)
t 3. СИСТЕМА СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
59
и пусть
Xq = МуМ"Ь Мg/?2 4~ •»» 4“ кЬк
Тогда совокупность значений х, удовлетворяющих системе
(1), определяется сравнением
х = а?0 (mod тгт2 , . , тк). (2)
Действительно, ввиду делимости на ms всех Мр отлич-
ных от Ms, при любом х = 1, 2, . . . , к имеем
= MsM'sbs = bs (mod ms),
и, таким образом, системе (1) удовлетворяет х — хй.
Отсюда непосредственно следует, что система (1) равно-
сильна системе
х = х0 (mod mJ, х = х0 (mod т2), , х = х0 (mod тк) (3)
(т. е. что системам (1) и (3) удовлетворяют одни и те же
значения х). Системе же (3), ввиду теорем с, § 3,
гл. III и d, § 3, гл. III, удовлетворяют те и только
те значения х, которые удовлетворяют сравнению (2).
с. Если blt b2, ... независимо друг от друга про-
бегают полные системы вычетов по модулям mlt т2, . .. , тк,
то х0 пробегает полную систему вычетов по модулю
т±т2 .. . тк.
Действительно, ха пробегает т1т2. . .тк значений,
ввиду d, § 3, гл. III, несравнимых по модулю
тЛт2 . . . тк.
d. Пример. Решим систему
x~bt (mod 4), х = b2 (mod 5), x = b3 (mod 7).
Здесь 4 • 5 • 7 = 35 • 4 = 28 • 5 = 20 • 7, причём
'35 • 3 = 1 (mod 4), 28 • 2= 1 (mod 5), 20 • 6s 1 (mod 7).
Поэтому
x0 = 35 3bk + 28 • 2b2 + 20 663 = 105^ + 566a + 12O2>3
и, следовательно, совокупность значений x, удовлетво-
ряющих системе, может быть представлена в форме
х ~ 105&! + 56 Ь2 + 12063 (mod 140).
м гл. IV. СРАВНВНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Так, например, совокупность значений х, удовле-
творяющих системе
х =1 (mod 4), х = 3 (mod 5), х = 2 (mod 7),
будет
ж = 105 • 1 + 56 • 3 4-120 • 2 ==93 (mod 140),
а совокупность значений х, удовлетворяющих системе
х = 3 (mod 4), х == 2 (mod 5), х = 6 (mod 7),
будет
х = 105 • 3 + 56 • 2 + 120 • 6 = 27 (mod 140).
§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю.
а. Пусть р — простое. Докажем общие теоремы,
относящиеся к сравнению вида
/ (x) = 0(modp); j (х) = ахп + а^-1 + ... +ап. (1)
Ь. Сравнение вида (1) равносильно сравнению степени
не выше р — 1.
Действительно, деля / (я) на жр — х, имеем
/ (ж) = (жр — х) Q (ж) 4- Л (ж),
где степень Л(х) не выше р — 1. А так как
жр — х = 0 (mod р), то f (x)=^R (ж) (mod р), откуда и следует
указанная теорема.
с. Если сравнение (1) имеет более чем п решений,
то все коэффициенты j(x) кратны р.
Действительно, пусть сравнение (1) имеет, по крайней
мере, п -г 1 решение. Обозначая буквами х1г х2, ... , хп, xni.i
вычеты этих решений, мы можем / (ж) представить
в форме
/ (х) = а (х — Xi) (ж — ж2) ... (ж — жп_2) (х — xn-i) (х - хп) +
+ Ь (х - жД (х — ж2) ... (х - жп_2)(ж — rcn_i) +
+ С (ж — Х±) (ж — Ж2) . . . (х — xn-z) 4-
* + •...............................+
+ к (х — x-l) (х — х2) +
4-1 (ж —гсД +
+ (2)
$ 5. СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ 61
Для этой цели, преобразовав (раскрытием скобок)
слагаемые правой части в многочлены, выберем Ъ так,
чтобы сумма коэффициентов при жп~4 двух первых
многочленов совпала с аг; зная Ь, выберем с так, чтобы
сумма коэффициентов при хп~2 трёх первых многочле-
нов совпала с а2, и т. д.
Полагая в (2) последовательно х = xlt х2, ... , хп, xn+t,
убеждаемся в том, что все т, I, к, с, Ъ, а кратны р.
Значит, и все a, alt ... , ап кратны р (как суммы чисел,
кратных р).
d. При простом р справедливо сравнение (теорема
Вильсона)
1-2... (р — 1) -}-1 = 0 (mod р). (3)
Действительно, если р — 2, то теорема очевидна.
Если же р > 2, то рассмотрим сравнение
(х — 1) (х — 2) ... (х — (р — 1)) — (хр-1 — 1) = 0 (mod р);
оно степени не выше р — 2 и имеет р — 1 решение,
именно решения с вычетами 1, 2, ... , р — 1. Следова-
тельно, по теореме с все его коэффициенты кратны р;
в частности, на р делится и свободный член, равный
как раз левой части сравнения (3).
Пример. Имеем! • 2 • 3 • 4 • 5 • 64-1=721 =0(mod7).
§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю.
а. Если mlt т2, ... , тк попарно простые, то сравне-
ние
/ (х) = 0 (mod т±т2 ... тк) (1)
равносильно системе
/(x) = 0(modm1),
/(rc) = 0(modm2), ... , / (ж) = 0 (mod mJ.
При этом, обозначая через Tlt Т2, ... , Тк числа реше-
ний отдельных сравнений этой системы по соответ-
ственным модулям и через Т—число решений сравнения
(1), будем иметь
Т = Т1Тг...Тк.
62
ГЛ. IV. СРАВНЕНИЯМ ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Действительно, первая часть теоремы следует из с
ий, § 3, гл III. Вторая часть следует из того, что
каждое сравнение
/ (х) = 0 (mod ms) (2)
выполняется тогда и только тогда, когда выполняется
одно из Тs сравнений вида
bs (mod ms),
где bs пробегает вычеты решений сравнения (2), при-
чём возможно всего Т£\ различных комбина-
ций вида
х = Ъх (mod mJ, x = b2 (mod m2), .. ., х — bk (mod mA),
приводящих (с, § 3) к различным классам по модулю
mkm2 ... тк.
Пример. Сравнение
/(х) 5= 0 (mod 35), / (х) = xi + 2х3 + 8х + 9 (3)
равносильно системе
/(я)55 О(mod 5), /(я) ==0(mod7).
Легко убедимся (§ 1), что первое сравнение этой
системы имеет 2 решения: я: 5=1; 4 (mod 5), второе же
сравнение имеет 3 решения: х~3; 5; 6 (mod 7).
Поэтому сравнение (3) имеет 2-3 = 6 решений. Что-
бы найти эти 6 решений, надо решить 6 систем
вида
я: 55 (mod 5), , (mod 7), (4)
которые получим, заставляя пробегать ' значе-
ния &i = l; 4, а Ь2 пробегать значения Ь2 = 3; 5; 6. Но,
ввиду
35 = 7-5 = 5-7, 7 • 3=5 1 (mod5), 5 -3 = 1 (mod7),
$ 5. СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
63
совокупность значений х, удовлетворяющих системе (4),
представится в форме (Ь, § 3)
я-ЗЦ + ШДиоаЗб).
Поэтому решения сравнения (3) будут
х = 31; 26; 6; 24; 19; 34 (mod 35).
Ь. Ввиду теоремы а исследование и решение срав-
нения
/ (ж) = О (mod /??/?22 • • /»?)
сводятся к исследованию и решению сравнений вида
/ (ж) = О (mod /?а); (5)
это же последнее сравнение сводится вообще, как мы
сейчас, выясним, к сравнению
/(ж) = 0 (mod/?). (6)
Действительно, всякое х, удовлетворяющее сравне-
нию (5), необходимо должно удовлетворять и сравие-
нию (6). Пусть
х == xt (mod р)
-какое-либо решение сравнения (6). Тогда гх — х1Л- ptlt
где tr — целое. Вставляя это значение х в сравнение
/ (х) =. О (mod /?2)
и разлагая левую часть по формуле Тейлора, найдём
(принимая во внимание, что /(*> (24) — целое,! •’ и от-
брасывая члены, кратные р2)
/ (zi) + ptif’ (24) = 0 (mod р2), 4- tyj' (04) =~ 0 (mod р).
Ограничиваясь здесь случаем, когда f'(хх) не делится
на р, имеем одно решение:
<1 £= tx (mod р); tv = tx -f- ptt.
64
ГЛ. IV. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Выражение для х принимает вид
X = хг 4- pti + />2 «2 = х3 4- р3 г2;
вставляя его в сравнение
/(a:) = 0(mod/>3),
получим
t (хг) + Р2 h /' (^2) = 0 (mod р3),
4- h /' (ж2) == 0 (mod р).
Здесь /' (ж2) не делится на р, так как
х^ — Х! (mod р),
(zj) (mod р),
и потому последнее сравнение имеет одно решение:
Z2 = f2(niod р}\
= ti 4- pt3.
Выражение для х принимает вид
х = х3 4- р31'2 + p3t3 = x3 + р3t3,
ит. д. Таким путём по данному решению сравнения (6)
постепенно найдём сравнимое с ним решение сравне-
ния (5). Итак, всякое решение xs^^mod р) сравнения (6)
при условии, что /' (х^ не делится на р, даст одно
решение сравнения (5):
х = хЛ + p*ta;
х = ха (mod рЛ).
Пример. Решим сравнение
/ (я) 0 (mod 27); 1
, /(ж) =ж44-7ж4-4. j
Сравнение / (ж) = 0 (mod 3) имеет одно решение
x~i (mod 3); при атом /'(1) ==2(mod 3) и, следова-
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ IV 65
телыю, не делится на 3. Находим:
х = 1 + 3?!,
/.(1) 4- 3*х /' (1) = 0 (mod 9), 3 4- 3*х • 2 ~ 0 (mod 9),
2£j + 1 ==0(mod 3), ^!=£1(тоЗЗ), tt = 1 4- 3t2,
х = 4 4-9г3,
/ (4) 4- 9z2 /' (4) = 0 (mod 27), 18 4- 9*а • 2 = О (mod 27),
2*a4-2==0(mod3), Z2 = 2(mod3), *a = 2 4-3*3,
a; = 22 4-27z3.
Таким образом сравнение (7) имеет одно решение:
х ^е 22 (mod 27).
Вопросы к главе IV.
1, а. Пусть иг — целое, т > 0, j (х.го)— целая рациональ-
ная функция с целыми коэффициентами от г переменных
х, ..w (r^ 1). Если сравнению
/(i, ..., №) = 0(modm) (1)
удовлетворяет система х = х0...го = го0, то (обобщение опре-
деления § 1) систему классов чисел по модулю т:
х = х„ (mod т), ..., w = w0 (mod т)
будем считать за одно решение сравнения (1):
Пусть Т7—число решений сравнения (1). Доказать, что
т-1 т— 1 т—1 „ .af (х, .... w)
_ _ ___ 2ki-== !—•
2 ... з-
а—0 ж=0 w=0
Ь. При обозначениях вопроса а и вопроса 12, е, гл. III дока-
зать, что
' Тт = тг 2 ^1(то)-
m0\m
с. Равенство вопроса а применить к доказательству теоремы
о числе решений сравнения первой степени.
d. Пусть т — целое, т > 0; а, ..., /, g— целые, их чи-
сло равно r-f-1 ,(г > 0): d=(a, ..., /,т); Т—число решений
сравнения
ах -р ... -р fw р g = 0 (mod иг).
Гл. IV. СРАВНЕНИЯ О ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пользуясь равенством вопроса а, доказать, что
{mr~1d, если g кратно d,
О в противном случае.
е. Теорему вопроса d доказать, исходя из теоремы о числе
решений сравнения ах = Ъ (mod т).
2, а. Пусть m>i, (а, т) = 1. Доказать, что сравнение
ах = Ь (mod т) имеет решение х = Ьа‘ 1 (mod т).
Ь. Пусть р—простое, 0 < а < р. Доказать, что сравнение
ах = &(mod р) имеет решение
х^ Ъ (-1)-1 (mod р)
с, а) Указать возможно более простой способ решения срав-
нения вида
2дЖ = Ь (mod т); (2, тп)=1.
Р) Указать возможно более простой способ решения сравнения
вида
?кх = Ъ (mod m); (3, т)=1.
7) Пусть (а, т) — 1, 1 < а < т. Развивая способы, указанные
в вопросах а) и 3), доказать, что разыскание решения сравнения
ах =b(modm) может быть приведено к разысканию решений
сравнений вида Ъ + mt = 0 (mod р), где р — простой делитель
числа а.
3. Пусть т — целое, т > 1, 1<<т:<т, (а, т)=1. Пользуясь
теорией сравнений, доказать существование целых х и у с усло-
виями
т
ах = «/(modm), 0<х^т, 0 < |«/1 < — .
4, а. При (a, m)= 1 будем рассматривать символическую дробь
— по модулю т, обозначающую любой вычет решения сравне-
ния ах s Ъ (mod m). Доказать, что (сравнения берутся по модулю т):
а) При а = alt b = имеем-— s —.
л #2
Р) Числитель Ъ символической дроби можно заменить срав-
1 - Ь
нимым 0О, кратным а. тогда символическая дробь — сравнима
с целым числом, представляемым обычной дробью .
b d __bc + ad
а с ас
ВОПРОСЫ К ГЛАВ* IT
b d bd
о) — • — —— .
ас ас
Ь, а) Пусть р—простое, р > 2, а—целое, О.< а < р—1. Дока-
зать, что
(Р71) s(-l)“(modp).
В) Пусть р простое, р > 2. Доказать, что
2₽—2 < 1 , 1 1 , я '
— s +у- • (mod 6 * * * * * * * * * * * * * р)-
5, а. Пусть d—делитель числа а, не делящийся на простые,
меньшие п, и х—число различных простых делителей числа d.
Доказать, что в ряде
1-2... п, 2 • 3 ... (п + 1), ..., а(а + 1) ... (а-\-п—1) (1)
, - па
чисел, кратных d, будет .
Ь. Пусть рх, рг, ..., р^ — различные простые делители числа а,
причём ни один из них не меньше чем п. Доказать, что число
чисел ряда (1), взаимно простых с а, будет
6. Пусть mlt 2, — общее наименьшее кратное чисел
nij, m2, ..., тк.
а. Пусть d=(mlt т2). Доказать, что система
х = bx (mod т,х), хгЬг (mod m2)
разрешима тогда и только тогда, когда Ь2—bt кратно d, причём
в случае разрешимости совокупность значений х, удовлетворя-
ющих этой системе, определяется сравнением вида
х = Хх, 2 (mod тх, 2).
Ь. Доказать, что в случае разрешимости системы
х = Ъх (mod тх), х = b2 (mod т2), ..., я: = (mod тк)
Совокупность значений х, ей удовлетворяющих, определяется срав-
нением вида
/ = ^,2...к<тоАтх,г.....Р-
7. Пусть т — целое, т > 1, а и Ь—целые,
.ахЛЬх'
X
68
ГЛ. IV. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
где х пробегает приведённую систему вычетов по модулю т, при-
чём х' =2—'(mod т) (в смысле вопроса 4, а). Доказать следующие
свойства символа ( —— ) :
\ т J
fa, Ь \
а) ( ---- ) вещественное.
. „ ,, , . f a,’bh\ fah,b\
При (Л, m) = i имеем I —— \ .
5) При тх, т2, ... , mjf попарно простых, полагая
m1m2 • • • тк — т, т = Мsms, имеем
f ах, 1 \ /а2, 1 \ f ait, 1 \fМхах + Л/2Й2 + • • + Мкак, 1 \
\ тх ) \ т2 } ' " \ тк ) т ) '
8. Пусть сравнение
а0.тп-|-а1а-"~1+ ... +an = 0(mod р)
имеет п решений
х = хх, т2, ... , хн (mod р).
Доказать, что
ах = — aaSx (mod р),
а2= a06’2(modp),
а3 = —(mod р),
ап = (' — l/Wn (mod р),
где б1! есть сумма всех xs; S2—сумма произведений по два,
Л3—сумма произведений по три и т. д.
9, а. Доказать теорему Вильсона, рассматривая пары х, х'
чисел ряда 2,3, ..., р—2, удовлетворяющие условию хх' = 1 (mod р).
Ь. Пусть Р — целое, Р > 1, 1 • 2 ... (Р — 1) + 1 = 0 (mod Р).
Доказать, что Р — простое.
~ 10, а. Пусть (а„, т) = 1. Указать сравнение n-й степени (п > 0)
со старшим коэффициентом 1; равносильное сравнению
аохп-[ aix”"1 + ... +<zn = 0 (mod т).
b. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что
сравнение / (х) = 0 (mod р); f (х)—хп-\-аххп~г-у ...+ап', н<Р
ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ IV
69
имеет п решений, есть делимость на р всех коэффициентов остатка
от деления х>‘—х на f(x).
с. Пусть п—делитель р — 1; п > 1; (А, р)=1. Доказать, что
необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения
p—i
хп = A (mod р) есть А п = 1 (mod р), причём в случае разрешимо-
сти указанное сравнение имеет п решений.
11. Пусть п—целое, п > О, (А, т)=1, и известно одно реше-
ние х = х0 (mod т) сравнения хп = A (mod т). Доказать, что все
решения этого сравнения представятся »произведением х„ на вы-
четы решений сравнения уи = 1 (mod т).
Численные примеры к главе IV.
1, а. Решить сравнение 256т = 179 (mod 337).
b. Решить сравнение 1215т = 560 (mod 2755).
2, а. Сравнения примеров 1, а и 1, b решить по способу
вопроса 2, с.
Ь. Сравнение 1296т = 1105 (mod 2413) решить но способу
вопроса 2, с.
3. Найти все пары х, у, удовлетворяющие неопределённому
уравнению 47т —Шу = 89.
4, а. Указать общее решение для системы
т = b± (mod 13), х = b2 (mod 17).
Пользуясь этим общим решением, далее найти три числа
которые при делении на 13 и 17 давали бы соответственно остатки
1 и 12, 6 и 8, Ии 4.
Ь. Указать общее решение для системы
T = 61(mod25), х = 62(mod 27), T = i3(mod59).
5, а. Решить систему сравнений (вопрос 6, а)
T = 3(mod8), т = И (mod 20), T=l(modl5).
Ь. Решить систему сравнений
T = l(mod3), T=4(mod5), x = 2(tnod7),
T = 9(modll), T = 3(modl3)
6. Решить систему сравнений
Зт + 4у — 29 = 0 (mod 143), 2т — 9у + 84 = 0 (mod 143).
7, а. Какому сравнению степени ниже 5 равносильно сравнение
Зт« + 4т13 + Зт12 + 2т11 + т9 + 2т8 + 4т’ + т6 + Зт« + т3 + 4т2 + 2т ==
е 0 (mod 5)?
7©
ГЛ. IV. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Ь. Какому сравнению степени ниже 7 равносильно сравнение
2x17 4. g^n .f. 4. 5xis _|_ зги 2г10 4- + 5а:8 +
4- 2а:’ 4- Зх6 4- 4х* 4-6х3 4- 4х* 4- х 4- 4 s<0(mod 7)?
8. Какому сравнению со старшим коэффициентом 1 равносильно
сравнение (вопрос 10, а)
70а:6 + 78xs 4- 25а:4 4- 68х3 4- 52ха 4- 4х 4- 3 = 0 (mod 101)?
9, а. Решить сравнение
/(х) = 0 (mod 27), /(х) = 7х4 4- 19x4- 25,
найдя сначала помощью проб все решения сравнения
/ (х) = 0 (mod 3).
Ь. Решить сравнение 9х2 —29x 4-62 = 0 (mod 64).
10, а. Решить сравнение ж3 4- 2x4-2 = 0 (mod 125).
b. Решить сравнение х4 4- 4х3 -Ь 2х2 4- 2х 4-12 = О (mod 625).
И, а. Решить сравнение 6х3 4- 27х2 4- 17х4- 20 = 0 (mod 30).
b. Решить сравнение 31х4 4- о7х3 4- 96х 4-191 = 0 (mod 225).
ГЛАВА ПЯТАЯ
СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
§ 1. Общие теоремы.
а. Из сравнений степени п > 1 в дальнейшем будут
рассматриваться лишь простейшие, а именно — двучлен-
ные сравнения-.
insa(modm); (a,m) = l.
.(1)
Если сравнение (1) имеет решения, то а называется
вычетом степени п, в противном случае а называется
невычетом степени п. В частности, при п = 2 вычеты
или невычеты называются квадратичными, при и = 3—г ку-
бическими, при и = 4 — биквадратичными.
Ь. В этой главе мы подробно рассмотрим случай п = 2
и в первую очередь рассмотрим' двучленные сравнения
второй степени по простому нечётному модулю р:
a:2 = a(modp); (a, р)=1. (2)
с. Если а — квадратичный вычет по модулю р, то
сравнение (2) имеет два решения. . ..
Действительно, если а—квадратичный вычет, то’срав-
нение (2) имеет, по крайней мере, одно решение
х~ хг(modр). Но тогда, ввиду ( —x1)2 = «i, то же срав-
нение имеет и второе решение х = — хг (mod р). Это
второе решение отлично от первого, так как из
(modj>) мы имели бы 2r1s0(modp), что: не-
возможно, ввиду. (2, р) — ^, р) = Г. .
Указанными двумя решениями и ; исчерпываются
все решения.сравнения (2), .так .как последнее,, будучи
72
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
сравнением второй степени, более двух решений иметь
не может (с, § 4, гл. IV).
d. Приведённая система вычетов по модулю р состо-
ит из квадратичных вычетов, сравнимых с числами
Р, 2®, ... , (3)
и квадратичных невычетов.
Действительно, среди вычетов приведённой системы
по модулю р квадратичными вычетами являются те
и только те, которые сравнимы с квадратами чисел
(приведённая система вычетов)
... . ,-2,-1,'1, 2, .. . , (4)
т. е. с числами (3). При этом числа (3) по модулю р
не сравнимы, так как из №=-. Z2 (mod р}, 0 < к <1 < ,
следовало бы, что сравнению ж2 =/2 (mod/?), вопреки с,
среди чисел (4) удовлетворяют четыре: х= — I, — к, к, I.
е. Если а — квадратичный вычет по модулю р, то
р-1
а 2 = 1 (modр)-, (5)
если а — квадратичный невычет по модулю р, то
р—1
а 2 = — l(mod^). (6)
Действительно, по теореме ферма,
= 1 (mod/1); (а 2 — 1)(а 2 + l)==0(modp).
Один.И только один из сомножителей левой пасти по-
• следйёго сравнения делится на р (оба сомножителя не
могут одновременно делиться на р, в противном случае
их разность 2 должна была бы делиться на р). Поэтому
имеет место одно и только одно из сравнений (5) ц (6).
g 2. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА
73
Но всякий квадратичный вычет а удовлетворяет
при некотором х сравнению
а = ж2 (mod р) (7)
и, следовательно, удовлетворяет также и сравнению (5),
которое можно получить почленным возведением (7)
в степень . При этом квадратичными вычетами
и исчерпываются все решения сравнения (5), так как,
будучи сравнением степени , оно не может иметь
более чем решений.
Поэтому квадратичные невычеты удовлетворяют
сравнению (6).
§ 2. Символ Лежандра.
а. Введём в рассмотрение символ Лежандра J
(читается символ а по отношению к р). Этот символ
определяется для всех а, не делящихся на р; он ра-
вен 1, если a — квадратичный вычет, и —1, если а —
квадратичный невычет. Число а называется числителем,
р — знаменателем символа.
Ь. Ввиду е, § 1, очевидно, имеем
2 (mod/;).
с. Здесь мы выведем главнейшие свойства символа
Лежандра и в следующем параграфе — свойства обоб-
щения этого символа — символа Якоби, которые позво-
лят быстро вычислять этот символ, а следовательно,
решать вопрос о возможности сравнения
ж2 a (mod р).
d. Если <z = a1(mod р),
74
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Это свойство следует из того, что числа одного
и того же класса будут одновременно квадратичными
вычетами или невычетами.
«• О1'
Действительно, 1 = 12 и, следовательно, 1 — ква-
дратичный вычет,
р— 1
Это свойство следует из b при а = — 1.
Так как чётное, если р формы 4m + 1, и не-
чётное, если р формы 4m 4-3, то отсюда следует, что
— 1 является квадратичным вычетом простых чисел
формы 4m 4-1 и квадратичным невычетом простых чи-
сел формы 4m 4- 3.
Действительно, имеем
z А ) \ р-1 р-1 Р-1 Р-1
(--• * ) = (ab ...I) 2 =а 2 b 2 .. . I 2 =
откуда и вытекает наше утверждение. Отсюда следствие:
т. е. в числителе символа можно отбросить любой
квадратичный множитель.
Ь. Для вывода дальнейших свойств символа Лежан-
дра мы сначала дадим ему другое истолкование. По-
Р — 1
лагая р, , рассмотрим сравнения
а • 1 (mod р),
а • 2 == г2г2 (modp),
(1)
a - (modp),
g 2. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА
75
где в^Гх—абсолютно наименьший вычет ах, rz —его
модуль, так что 8Я=± 1.
Числа а • 1, — а • 1, а • 2, — а • 2, ..а • plt — а • рх
образуют приведённую систему вычетов по модулю р
(с, § 5, гл. Ш); их абсолютно наименьшие вычеты
суть S]Fi, — ер1!, г2г2> —s2r2, ^рГр^, гр1гр]-
Положительные из последних, т. е. г1; г2, , гР1,
должны совпадать с числами 1, 2, ..., (Ь, § 4,
гл. III).
Перемножая теперь сравнения (1) и сокращая на
1 • 2 . . . p1 = rir2 . .. гР1,
р-1
получим а 2 =е!г2 ••• (mod р), откуда (Ь) имеем
(у)-®1®2 • • • Ч-
(2)
i. Найденному выражению символа Лежандра при-
дадим более законченный вид. Имеем
что будет чётным или нечётным, в зависимости от
того, }>удет ли наименьший неотрицательный вычет чис-
ла ах меньше или больше ^-р, т. е. будет ли es=\l
или зж= —1. Отсюда, очевидно,
и потому из (2) находим
76
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ степени
j. Предполагая а нечётным, преобразуем последнее
равенство. Имеем —чётное)
(, а + р\ Iа-гр\
2 j _ I 2 j _
pi pi pi
2 [‘^ 2 ["]+ 2"
— ( —= 1 =( — 1)*=1 Х=1
откуда
Формула (3) позволит нам вывести два весьма важных
свойства символа Лежандра.
р2—1
Следует из формулы (3) при а—1.
Так как, далее,
(8m.+ 1)2 — 1 о о । о
-----------= от2 ;£ 2.т четное,
---2-2----= 8m2 ± Gm + 1 нечётное,
О
то отсюда следует, что 2 будет квадратичным вычетом
простых чисел формы 8m + 1 (8m+ 1, 8m+ 7) и ква-
дратичным невычетом простых чисел формы
8m ± 3 (8m + 3, 8m+ 5).
1. Если р и q— простые нечётные, то (закон взаим-
ности квадратичных вычетов)
. X Р-1 1 X X
2 '
Так как будет нечётным лишь в случае,
когда оба числа р и q будут формы 4m + 3, и чётным,
1 2. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА
77
если хоть одно из этих чисел будет формы 4m 1, то
указанное свойство можно формулировать так:
Если оба числа р и q формы 4m -f- 3, то
если же хоть одно из них формы 4m 4-1, то
Для доказательства заметим, что ввиду к фор-
мула (3) принимает вид
(у) = • (4)
Полагая теперь = qlt рассмотрим pxqr пар чисел,
получаемых, когда в выражениях qx, ру числа х и у
независимо друг от друга пробегают системы значений
х = 1, 2, . .., рг, у = 1, 2, . . ., qY.
Никогда не может быть qx = ру, потому что из этого
равенства следовало бы, что ру кратно q, что ввиду
(р, ?) = (У> Я) — 1 (так как 0 < У < У) невозможно. Поэто-
му мы можем положить Piqi = S1 + S2, где 64 —число
пар с qx < ру и $2 — число пар с ру < qx.
Очевидно, Sx есть также число пар
Здесь при данном у можно брать х = 1, 2,
вательно,
имеем
с
Следо-
Гл. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ отвпвни
Аналогичным путём убедимся, что
1=1
Но тогда равенство (4) даёт нам
поэтому
откуда и следует отмеченное свойство.
§ 3. Символ Якоби
а. Чтобы сделать вычисление символа Лежандра
более быстрым, рассматривают более общий символ
Якоби. Пусть Р — нечётное, большее единицы, и
Р — РгРъ ... Рт — разложение его на простые сомножители
(среди них могут быть и равные). Пусть, далее,
(а, Р) = 1. Тогда символ Якоби определяется ра-
венством
Известные свойства символа Лежандра дают возмож-
ность установить аналогичные свойства и для символа
Якоби.
Ь. Если а^аг(шобР), mo Qe') ~ •
Действительно,
(т)-(к)(к)-(|)-
потому что а, будучи сравнимо с ах по модулю Р,
I 8. СИМВОЛ ЯКОВИ
будет сравнимо с аг и по модулям plt pit р„ кото-
рые являются делителями Р.
В самом деле,
d- (тгН-1)2-
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
но
Р—1 РгР2 ... Pr— 1
. 2 2
_(,+2E1F1X'+2tl1)-"(1+2££?1)_'
“ 2
==£iF1 + ^+ ••• +^ + 22V,
А» Li Li
ввиду чего из формулы (1) выводим
Действител ьно,
80
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
собирая символы с одинаковыми числителями, мы и
получим утверждаемое свойство. Отсюда следствие:
г.
Действительно,
ООО-О
р2 1 р|-1 р£-1
Л --Н.. + —-
= ( — 1) 8 + 8 8
(2)
Но
8 8 ~
-т1+гт1 + ---+!т!+2Л'.
ввиду чего из формулы (2) выводим
g. Если Р и Q — положительные нечётные взаимно
простые, то
Действительно, пусть Q = 9i<72 ... qt есть разложение Q
на простые сомножители (среди них опять-таки могут
$ 3. СИМВОЛ ЯКОБИ
81
быть равные). Имеем
Но, подобно тому, как в d, находим
VI Ра 1
Zj 2
а=1
q-i v q±
₽=i
Р— 1
2
ь2л;
y~ + 2;V
ввиду чего последняя формула даёт
Пример. В качестве примера на вычисление сим-
вола Лежандра (при этом будем рассматривать его как
частный случай символа Якоби) исследуем, имеет ли
решение сравнение
х2 = 219 (mod 383).
Имеем (применяя последовательно свойства g, b, след-
ствие е, g, b, е, f, g, b, d):
V383>— \219y~~ <219>~ <2197“
—
следовательно, рассмотренное сравнение имеет два
решения.
82
ГЛ,У. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
§ 4. Случай составного модуля.
а. Сравнения второй степени по составному модулю
исследуются и решаются согласно общим указаниям
§ 5, гл. IV.
Ь. Начнём со сравнения вида
а;2 = я (mod/Г); а > 0, (а, р) = 1, (1)
где р — простое нечётное.
Полагая f(x) = x2 — а, будем иметь ]'(х) = 2х,
и если х = х± (mod р) есть решение сравнения
х2~ a (mod р), (2)
то ввиду (а, р) — 1 также (xlt р)= 1, а так как р нечёт-
ное, то (2#!, />) = 1, т. е. /'(#i) не делится на р. Поэто-
му к разысканию решений сравнения (1) можно приме-
нить рассуждения Ь, § 5, гл. IV, причём каждое решение
сравнения (2) даст одно решение сравнения (1). Из ска-
занного выводим, что
Сравнение (1) имеет два решения или же ни одного,
в зависимости от того, будет ли число а квадратич-
ным вычетом или же невычетом по модулю р.
с. Теперь рассмотрим сравнение
a:2 = a(mod2a); а > 0, (а, 2) = 1. (3)
Здесь /' (хх) = 2ху делится на 2, и потому рассуждения
Ь, § 5, гл. IV неприменимы; они должны быть видо-
изменены следующим образом:
d. Если сравнение (3) разрешимо, то ввиду (а, 2) = 1
имеем (х, 2) = 1, т. е. х=Л -р 2t, где if —целое. Срав-
нение (3) принимает вид
1 -p4i(i-p 1) = я (mod 2а).
Но одно из чисел t, t pl— чётное, поэтому 4z(i + l)
кратно 8. Следовательно, для разрешимости последнего
сравнения, а вместе с тем и сравнения (3) необходимо
a=l(mod4) при a = 2; а = 1 (mod8) при а>3. (4)
I i. СЛУЧАЙ СОСТАВНОГО МОДУЛЯ 83
е. В случаях, когда условия (4) не нарушены,
рассмотрим вопрос о разыскании решений и их числе.
Для случаев а < 3 ввиду d сравнению удовлетво-
ряют все нечётные числа. Поэтому сравнение ж2=a (mod 2)
имеет одно решение: х == 1 (mod 2), сравнение ж2 = a (mod 4)
имеет два решения: х= 1; 3 (mod 4), сравнение ж2= a (mod 8)
имеет четыре решения: ж = 1; 3; 5; 7 (mod 8).
Для рассмотрения случаев а = 4, 5, ... все нечётные
числа полезно объединить в две арифметические про-
грессии:
х = ±(14-4г3) (5)
(1 4 4/3== 1 (mod 4); — 1 — 4z3 — 1 ~ 3(mod4)).
Посмотрим, какие из чисел (5) удовлетворяют сравне-
нию ж2 = a (mod 16). Находим
(1 4-4z3)2 = a(mod 16), £3==^Цр(то62),
1з — t's + 2/4, x = i (1 4- 4z3 4- 8z4) — (x^ 4- 8z4).
Посмотрим, какие из последних чисел удовлетворяют
сравнению я2 == a (mod 32). Находим
(ж4 4- 8z4)2 = a(mod32), £4 = ^4-2zs, х = ± (ж5 4- 1б£в),
и т. д. Таким путём убедимся, что при любом а > 3
значения х, удовлетворяющие сравнению (3), пред-
ставятся в форме
® — ± (ж» 4* 2 ^Za).
Эти значения х образуют четыре разлг'"’ых решения
сравнения (3)
, ж==я:а; хл + 2л~*; — ха; — хл — 2Л~ ‘ (mod 2Л)
(по модулю 4 два первых сравнимы с 1, а два послед-
них сравнимы с—1).
Пример. Сравнение
хъ s 57 (mod 64) (6)
ввиду 57 s 1 (mod 8) имеет четыре решения. Представляя
84
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ.ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
ар- в форме -J- (1'4- 4£3), находим ~ (, .
(1 + 4f3)2 = 57 (mod 16), 8i3=:56(modl6),
Z3=l(mod2), ?3=14-2z4; a: = ± (5 4-8z4),
(5 + 8z4)2 = 57 (mod 32), 5 • 16г* == 32 (mod 32),
Z4 = 0(mod2), Z4= 2Zs, x = ± (5 + 16Z5),
(5 + 16/3)2 ~ 57 (mod 64), 5 • 32i5 == 32 (mod 64),
t-0 = 1 (mod 2), \ ts = 1 4- 2r6, x = ± (21 4- 32r6).
Поэтому решения сравнения (6) будут:
о: = ±21; ±53 (mod 64).
f. Из c, d и e следует:
Для сравнения
х2== a (mod 2“); (а, 2) = 1
необходимыми условиями разрешимости будут', а =
~ 1 (mod 4) при а = 2, а — 1 (mod 8) при а>3. Если эти
условия не нарушены, число решений будет'. 1 при а = 1;
2 при а = 2; 4 при а>3.
g. Из b,f и a, § 5, гл. IV следует;
Для сравнения общего вида
х2~а (mod т); т = 2ар“1р%2 . . . р^к; (а, т) = 1
необходимыми условиями разрешимости будут:
а ~ 1 (med 4) при а = 2, a = l(mod8) при а>3,
Если ни одно из этих условий не нарушено, число реше-
ний будет: 2к при а = 0 и при а= 1; 2* + ) при а —2;
2к+2 при а > 3.
Вопросы к главе V.
Буквою р здесь всегда обозначаем простое нечётное- чиело.
1. Доказать, что разыскание решений сравнения вида
ах2 4 Ьх с = 0 (mod т), (2а, т) = 1
сводится к разысканию решений сравнения вида ,х2 ==-<;(mod т). •
..г; АЖДОООНШашавгУ ' 85
2, а. Пользуясь е, § 1,найти решения сравнения (Ц- случае
его возможности)
х* = a (mod р); p==4m-f-3.
Ь. Пользуясь Ь и к, § 2, указать способ разыскания реше-
ний сравнений вида
x2 = a(modp); р = 8/п-|-5.
с. Указать возможно более простой способ разыскания реше-
ний сравнений вида
хг = a (mod р); р = 8т + 1
в случае, когда известен некоторый квадратичный невычет N по
модулю р.
d. Пользуясь теоремой Вильсона, доказать, что решения
сравнения
ж2 + 1 = 0 (mod р); p = 4ml-l
будут
х = ± 1 • 2 ... 2m (mod р)
3, а. Доказать, что сравнение
ж2 -р 1 = 0 (mod р) (1)
разрешимо тогда и только тогда, когда р имеет вид im -pl;
сравнение
ж2 + 2 = 0 (mod р) (2)
разрешимо тогда и только тогда, когда р имеет вид 8т -р 1 или
8т -р 3; сравнение
ж2 -р 3 = 0 (mod р) (3)
разрешимо тогда и только тогда, когда р имеет вид 6m-pl.
b.. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 4m-г 1.
с. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 6m И.
4. Пусть, разбивая числа 1, 2, ..., р—1 на две совокупно-
сти, вторая из которых содержит не менее одного числа, имеем:
произведение двух чисел одной совокупности сравнимо по мо-
дулю р с числом первой совокупности, а произведение двух чисел
различных совокупностей сравнимо по модулю р с числом второй
совокупности. Доказать, что это будет тогда и только тогда, когда
первая совокупность состоит из квадратичных вычетов, а вторая —
из квадратичных невычетов по модулю р.
' 5, а. Вывести теорию сравнений вида
ж2 = a(modp*); (а, р) = 1,
представляя а и ж в системе исчисления с основанием i\
86
гл. v. улимгаиад второй сткнени
Ь. Вкввсти теор ию сравнений вида
х* е a (mod 2а); (в, 2) = 1,
представляя а и х в системе исчисления с основанием 2.
6. Доказать, что решения сравнения
хг = a (mod р*); (в, р)=1
будут г == i PQ' (mod ра), где
(г + /а)^+ (2—/а)* (2 + Уа)»_(2_|Ла/
2 ’ Ч- 2/-
22 ss a (mod р), QQ' = 1 (mod ра).
7. Указать способ решения сравнения хг = 1 (mod т), осно-
ванный на том обстоятельстве, что указанное сравнение равно-
сильно такому: (х— 1) (х + 1) = 0 (mod т).
8. Пусть ^-^-^ = 0 при (а, р) = р.
а. При (к, р) = 1 доказать, что
р-1
sC-~)—>
Ь. Пусть каждое из чисел гит; имеет одно из значений ± 1,
Т—число пар х, х-»-1, где х = 1, 2, .... р—2, с условием
f х\ /х 4- 1\
( — )—г’ ( ---Доказать, что
с. Пусть (к, р) = 1,
X у
где х и у пробегают возрастающие последовательности, соста-
вленные соответственно из X и У вычетов полной системы по
модулю р. Доказать, что
|6'|<VZ2X1>.
Для доказательства следует воспользоваться неравенством
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ V
87
d. Пусть Q—целое, 1 < Q < р,
р-1 0-1
х=0 z=0
а) Доказать, что 8 = (р—Q)Q.
Й) Пусть X—постоянное; 0 < X < 1. Доказать, что число Т
чисел ряда х = 0, 1, ..., р—1, для которых не выполняется усло-
вие < qO.5 + 0,5 л , удовлетворяет условию Т pQ~x.
7) Пусть р > 25, М — целое. Доказать, что в ряде
М, М + 1, ..., М+3[/р] — 1
имеется квадратичный невычет по модулю р.
9, а. Доказать, что число представлений целого m > 1 в виде
т=а2 + у2, (х, у)=1, х > 0, у > О (1)
равно числу решений сравнения
z2 +1 = 0 (mod пг). (2)
Для доказательства, положив -= j/m, воспользоваться пред-
ставлением а = — согласно теореме вопроса 4, Ь, гл. I, и рассмо-
треть сравнение, получаемое почленным умножением (2) на Q2.
Ь. Пусть а—одно из чисел 2 и 3. Доказать, что число пред-
ставлений простого р с условием р > а в виде
р = ж2 + ау2, х > 0, у > О (3)
равно половине числа решений сравнения
з2 + а = 0 (mod р). (4)
с. Пусть р имеет вид 4m+1, (к, р) = 1.
р-1
х = О
Доказать, что (Д. С. Горшков)
( a) S (к)—чётное число.
W 6’(^2) = Q-^(X).
7) При ^—^ = 1, —1 имеем (ср. вопрос а)
88
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
10. Пусть .О—целое положительное, не являющееся квадра-
том целого числа. Доказать, что:
а. Если при данном целом к уравнению
Xs—i>y2 — k
удовлетворяют две пары целых х^х^ y = yt и х = х2, у=у2.
то уравнению
X2 —DY2=k2
удовлетворяют целые X, Y, определяемые равенством (знак ±
выбирается произвольно)
X + Y VD = + У1 /D ) (хг £ у2 УЪ ).
Ь. Уравнение (уравнение Пелля)
х2—Dy2 = i (1)
разрешимо в целых положительных х, у.
с. Если ха, уй — пара положительных х, у с наименьшим х
(или, что равносильно, с наименьшим x + yyf D), удовлетворя-
ющая уравнению (1), то все пары положительных х, у, удовле-
творяющие этому уравнению, определяются равенством
х + у^Л = (хо + уоуг5)г; г = 1,2, ... (2)
11, а. Пусть а—целое.
х= 1
а) При (а, р)=1 доказать, что \Ua р\ = Ур
Для доказательства следует сумму Ua, р умножить на сопря-
жённую, получаемую заменой i на —г Обозначая буквами ж,
и х переменные суммирования основной и сопряжённой сумм,
следует собрать вместе те члены произведения, где при данном t
х1 = xt (mod р),
или же
1 (mod р).
&) Доказать, что
Jj. Пусть т > 2, (а, т)= 1,
т— 1 „ , ах2
__ 2лг ——
Sa,m= 2 е П
ЯР-0
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ V
89
а) Доказать, что Sa, р= Ua< р (вопрос а).
Р) Из теорем вопросов а) и а, а) следует, что Sa р=Ур.
Доказать следующий более общий результат:
| Sa, т | = Ут , если т = 1 (mod 2),
I Sa, т I= 0> если т = 2 (mod 4),
I $а, т l = если m=0(mod4).
Y) Пусть m>l, (2А, т)—1, а = любое целое число. Дока-
зать, что
т— 1 „ .Ах^-^ах
I 2К1-----1
| 2 е Ш | = \ т
х=0
12, а. Пусть т—целое, превосходящее 1, М и Q—целые,
+ 2 обозначает сумму, распространённую по
Z
з на заданную совокупность целых чисел, а У!' обозначает сумму,
Z
распространённую по з лишь на числа этой совокупности, сравни-
мые по модулю т с числами
М, М + 1, ..., M + Q— 1.
Пусть, далее, функция Ф (з) такова, что при некотором А и лю-
бом а = 1, 2, ..., т — 1 имеем
„ -аг ,
I v t 2 л г
I 2 ф О) « т I < А.
Z
Доказать, что
2' ф(2)=^ 2 фМ-ИКЪ
Z Z
' 1
где | 0 | < 1, й > 0 всегда, <5 > -у при m > 12, 0 > 1 при т 60.
Ь. Пусть М и Q—целые, 0<Л/ < М +Q С р.
а) Доказать, что
M+Q-1
90
ГЛ. V. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Р) Пусть R—число квадратичных вычетов и Л—число ква-
дратичных невычетов в ряде М, 1И + 1, Af + Q —1. Доказать,
что
л=4<2 + 4 V^p, л=4<2-4-/р1п^
& & Li Li
7) Формулы вопроса Р) вывести, пользуясь теоремой вопроса
11, Ь, В) и теоремой вопроса а.
5) Пусть т 60, (2А, т)= 1, Мй и Qu — целые, 0 < Мо < Мо +
+ <?о т Доказать, что
м04 0о-1 2.-;-^
J е m J < In tn.
X — Mq
e) Пусть p > 60, (A, p) = l, Mo и Qo —целые, 0 < A70 < Mo +
J- <?o < P И T обозначает число чисел ряда Axz\ х~М0,
Ма + 1, ..., А70 + Qa—1, сравнимых по модулю р с числами ряда
М, М -\Л, ..., А7 +<? — 1. Доказать, что
Г=2^ + 0/р(1пр)2.
с. Формулы вопроса b, Р) вывести, рассматривая сумму
р—1 р— 1 -M + Q— 1 M-f Q— 1 о ,а(х—оу)
22 2 2(7)-"“
а=0а—1 х=М у М
Численные примеры к главе V.
1, а. Среди вычетов приведённой системы по модулю 23 ука-
зать квадратичные вычеты.
Ь. Среди вычетов приведённой системы по модулю 37 ука-
зать квадратичные невычеты.
2, а. Применяя е, § 1, указать число решений сравнений
а) ж2 = 3 (mod 31); Р) ж2 = 2 (mod 31).
b. Указать число решений сравнений:
а) ж2 = 5 (mod 73); 3) ж2 = 3 (mod 73).
3, а. Вычисляя символ Якоби, указать число решений срав-
нений
а) ж2 =‘226 (mod 563); 3) ж2 = 429 (mod 563).
ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВК V 91
Ь. Указать число решений сравнений
а) х* = 3766 (mod 5987); 0) х* = 3149 (mod 5987).
4, а. Применяя способы вопросов 2, а; 2, Ь; 2, с, решить
сравнения:
а) х2 = 5 (mod 19); 8) х2 == 5 (mod 29); 7) х2 = 2 (mod 97).
Ь. Решить сравнения:
а) х2 = 2 (mod 311); £) х2 = 3 (mod 277); 7) ж2 == И (mod 353).
5, а. Решить сравнение х2 = 59 (mod 125) способами
а) Ь, § 4; Р) вопроса 5, а; 7) вопроса 6.
Ь. Решить сравнение х2 = 91 (mod 243).
6, а. Решить сравнение х2 = 41 (mod 64) способами:
а) е» § 4; ^) вопроса 5, Ь.
Ь. Решить сравнение х2 ~ 145 (mod 256).
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ.
§ 1. Общие теоремы.
а. При (а, т) —1 существуют положительные у
с условием а"1— 1 (mod т), например (теорема Эйлера)
у = <р(т). Наименьшее из них называется: показатель,
которому а принадлежит по модулю т.
Ь. Если а по модулю т принадлежит показате-
лю В, то числа 1 ^£а°, а1, а8-1 по модулю т не-
сравнимы.
Действительно, из a1 ~ak (mod т), 0^,к<1<(> сле-
довало бы al~k= 1 (modт); 0 < I — к < В, что противоре-
чит определению В.
с. Если а по модулю т принадлежит показателю о, то
а'!—a"1' (modт) тогда и только тогда, когда Ч-Ч' (mod8);
в частности (при у' =0), a^— i (mod т) тогда и только
тогда, когда у делится на 8.
Действительно, пусть г и — наименьшие неотри-
цательные вычеты чисел у и у' по модулю 8; тогда при
некоторых q и qr имеем у = 8^ + г, y' = 8<7i + rj. Отсюда
и из a8 ~ 1 (mod т) следует
а'г~ = (а8)«аг =ar (modm),
а7' — (ai),nari~ari (modm).
Поэтому а7 = o'11 (mod т) тогда и только тогда, когда
ar = ari (modm), т. е. (Ь), когда г = г1.
d. Из (modm) и из с (у' = 0) следует, что
<р(т) делится на 8. Таким образом показатели, кото-
рым числа принадлежат по модулю т, суть делители
§ 2. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ПО МОДУЛЯМ р“ И 2р»
93
9(нг). Наибольший из этих делителей есть само <f(m).
Числа, принадлежащие показателю у{т) (если такие
существуют), называются первообразными корнями по
модулю т.
§ 2. Первообразные корни по модулям р и 22>а.
а. Пусть р — простое нечётное и а>1. Докажем
существование первообразных корней по модулям ра л 2ра.
Ь. Если х по модулю т принадлежит показателю
ab, то ха принадлежит показателю Ь.
Действительно, пусть ха принадлежит показателю 5.
Тогда (ж0)8— 1 (mod/и), откуда xa'J = 1 (modт); следо-
вательно (с, § 1) а', делится на ab, т. е. 8 делится на Ь.
С другой стороны, хаЪ= 1 (modzn), откуда (ха)ъ~.
= 1 (mod m); следовательно (с, § 1) b делится на 5. Поэтому
8 = Ь.
с. Если х по модулю т принадлежит показателю
а, а у —показателю Ь, причём (а, 6) = 1, то ху при-
надлежит показателю ab.
Действительно, пусть ху принадлежит показателю 8.
Тогда (ху)5ss l (mod/и). Отсюда жЬ6уи = 1 (modm) и
(с, § 1) хь6 = 1 (modm). Поэтому (с, § 1) In делится
на а, и ввиду (&, а) — 1 8 делится на а. Так же нахо-
дим, что 8 делится на Ь. Делясь же на а и на Ь, ввиду
(a, b) = 1 3 делится и на ab. С другой стороны, из
(ху)аЬ = 1 (mod т) следует (с, § 1), что ab делится на о.
Поэтому Ь = аЬ.
d. Существуют первообразные корни по модулю р.
Действительно, пусть т — общее наименьшее крат-
ное всех тех показателей
§1, В2....Зг, (I)
каждому из которых по модулю ’ р принадлежит хотя бы
одно число ряда 1,2, 1,и пусть т = q^qz* . . . q^k —
каноническое разложение числа т; тогда при каждом s
среди чисел (1) существует некоторое 8, делящееся
на.$..й тем самым представимое в форме Z = aq^«. Если
х — число, принадлежащее показателю 8, то, согласно Ь,
xs — ха принадлежит показателю Сказанное относится
94 ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
к s=l, 2, к; согласно о число g =* . хк при-
надлежит показателю ...q^ — t.
Но поскольку показатели (1) суть делители числа т,
то все числа 1, 2, р — 1 удовлетворяют (с, § 1)
сравнению Xх =-= 1 (mod р). Значит (с, § 4, гл. IV),
р — 1<т:. Но и — делитель числа р—1. Поэтому т = р — 1,
т. е. g — первообразный корень.
е. Пусть g — первообразный корень по модулю р.
Можно указать t с условием, что и, определяемое
равенством (g + pt)?-1 .= 1 + ри, не делится на р. Соот-
ветствующее g + pt будет первообразным корнем по
модулю ра при любом а > 1.
Действительно, имеем
gP-i=l + pT0,
(g + Р^-1 = 1 + Р (То - gP~4 + рТ) = 1 + ри, (2)
где, одновременно с t, и пробегает полную систему вычетов
по модулю р. Поэтому можно указать t с условием, что и
не делится на р. При указанном t из (2) выводим также
(g+^)P(P-D =(1+^ = 1 + ^, |
(g + /?0p2(p-1) = (1 + Р2и2)р == 1 + р3и3, J
где u2, u3, ... не делятся на p.
Пусть g + pt по модулю рЛ принадлежит показа-
телю 5. Тогда
(g + pt)b = l (modp®). (4)
Отсюда (g-bpi)8=l (mod p); следовательно, 8 кратно
p — 1, а так как 6 делит <р(ра)==р»~г(р—1), то
8 = pr-1 (р — 1), где г —одно из чисел 1, 2, ..., а.
Заменяя левую часть сравнения (4) её выражением из
соответствующего из равенств (2) и (3), получим (и = мг)
1 + ргиг=1 (mod ра), рг^= 0 (mod ра), г = а, 8 = <р(ра),
т. е. g 4- pt первообразный корень по модулю ра.
f. Пусть а>1 и gx —первообразный корень по
модулю рЛ. Нечётное из чисел g± и gj + р® будет перво-
образным корнем по модулю 2р®.
$ 3. РАЗЫСК. ПЕРВ00БРАЗН. КОРНЕЙ ПО МОДУЛЯМ рл И 2ра 95
Действительно, всякое нечётное х, удовлетворяющее
одному из сравнений жт=Л (mod р“) и жт== 1 (mod2p“’),
очевидно, удовлетворяет и другому. Поэтому ввиду
ср (р0-) —. ср (2ра) всякое нечётное х, являющееся перво-
образным корнем по одному из модулей рл и 2ра,
является первообразным корнем и по другому. Но из
двух первообразных корней g± и g± 4- р°- по модулю ра
один — непременно нечётный; он, следовательно, будет
первообразным корнем и по модулю 2ра.
§ 3. Разыскание первообразных корней
по модулям и 2р*.
Первообразные корни по модулям рл и 2рл, где
р — простое нечётное и а > 1, можно разыскивать, поль-
зуясь следующей общей теоремой:
Пусть с = у(т) и qlt q2, . .., qk —различные про-
стые делители числа с. Для того чтобы число g, взаимно
простое с т, было первообразным корнем по модулю т,
необходимо и достаточно, чтобы это g не удовлетворяло
ни одному из сравнений
с с с
g9i=l(modm), g9* = 1 (modm), ..., g9* = 1 (mod m). (1)
Действительно, если g — первообразный корень,
то тем самым оно принадлежит показателю с и, сле-
довательно, ни одному из сравнений (1) удовлетворять
не может.
Обратно, допустим, что g не удовлетворяет ни одному
из сравнений (1). Если бы показатель 8, которому при-
надлежит g, оказался меньше с, то, обозначая буквою q
один из простых делителей , мы имели бы у = qu,
С
-|- = gw, g« = l (modp),
что противоречит нашему допу-
щению. Значит, 8 = с и g — первообразный корень.
Пример 1. Пусть т = 41. Имеем ср (41) = 40 = 23 • 5,
= 8, = 20. Следовательно, для того чтобы число g,
«Э zl
не делящееся на 41, было первообразным корнем по
96
ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
модулю 41, необходимо и достаточно, чтобы это g
не удовлетворяло ни одному из сравнений
g8 =5 1 (mod41)j gM=l (mod41). (2)
Но, испытывая числа 2, 3, 4, .. ., находим (по модулю 41)
28 = 10, 38==1, 48 = 18, 58==18, 68^10,
220^ 1, 420= 1, 52О^ 1, 620==40.
Отсюда видим, что числа 2, 3, 4, 5 —не первообраз-
ные корни, так как каждое из них удовлетворяет,
по крайней мере, одному из сравнений (2). Число 6 —пер-
вообразный корень, так как оно не удовлетворяет
ни одному из сравнений (2).
Пример 2. Пусть т = 1681 = 412. Первообразный
корень и здесь можно было бы нарти, пользуясь общей
теоремой. Но мы найдём его проще, применяя теорему
е, § 2. Зная уже (пример 1), что первообразный
корень по модулю 41 есть 6, находим
640= 1 + 41 (3 + 41Z),
(6 + 41г)40 = 1+41 (3 + 41Z - 63S7 4- 41Т) = 1 + 41и.
Чтобы и не делилось на 41 достаточно взять г = 0.
Поэтому в качестве первообразного корня по модулю
1681 можно взять число 6 + 41 -0 = 6.
Пример 3. Пусть тп = 3362 = 2 • 1681. Первооб-
разный корень и здесь можно было бы найти, пользуясь
общей теоремой. Но мы найдём его проще, применяя
теорему f, § 2. Зная уже (пример 2), что первообразный
корень по модулю 1681 есть 6, в качестве первообраз-
ного корня по модулю 3362 можно взять нечётное из
чисел 6, 6 t 1681, т. е. число 1687.
§ 4. Индексы по модулям и 2//\
а. Пусть р — простое нечётное, а > 1; т— одно из
чисел рл и 2/+; с = (тп), g — первообразный корень по мо-
дулю т.
Ь. Если у пробегает наименьшие неотрицательные
вычеты у = 0, 1, ..., с — 1 по модулю с, то gt пробегает
приведённую систему вычетов по модулю т.
I i, ИНДЕКСЫ ПО МОДУЛЯМ р» И 2р*
97
Действительно, gT пробегает с чисел, взаимно про-
стых с т и, ввиду Ь, § 1, не сравнимых по модулю т.
с. Для чисел а, взаимно простых с т, введём по-
нятие об индексе, представляющее аналогию понятию
о логарифме; при этом первообразный корень играет
роль, аналогичную роли основания логарифмов.
Если
a = gi (modm)
(считаем у>0), то у называется индексом числа а по
модулю т при основании g и обозначается символом
у = ind а (точнее у = ind^ а).
Ввиду Ь всякое а, взаимно простое с т, имеет не-
который единственный индекс у' среди чисел ряда
у = 0, 1....с — 1.
Зная у', мы можем указать и все индексы числа а;
согласно с, § 1 это будут все неотрицательные числа
класса
у = у' (mode).
Непосредственно из данного здесь определения ин-
декса следует, что числа с данным индексом у образуют
класс чисел по модулю т.
d. Имеем
ind ab . . . I = ind а 4- ind b -j- .. . + ind I (mod с)
и, в частности,
ind ап = п ind a (mod с).
Действительно,
a = gln<i“(modm), i = gIndb(modm), ...
..., Z=^glnd 1 (modm),
откуда, перемножая, находим
ab ... I — gipd o+ind ь+.ind i (mod m).
Следовательно, inda + indi+ ... + ind I — один из ин-
дексов произведения ab ... I.
g® гл. VI. ЙЕРВООБРАЗНЫЕ КОРИЙ Й ИНДЕКСЫ
е. Ввиду • практической пользы индексов для каждого
•простого модуля р (разумеется, не слишком большого)
'составлены таблицы индексов. Это две таблицы; одна —
для нахождения индекса по числу, другая — для нахо-
ждения числа по индексу. Таблицы содержат наимень-
шие неотрицательные вычеты чисел (приведённая система)
и их наименьших индексов (полная система) соответ-
ственно по модулям р и с = <р(/>) = /?—1.
Пример. Построим указанные таблицы для модуля
р = 41. Выше было показано (пример 1, § 3), что
первообразным корнем по модулю 41 будет g = 6; его
мы примем за основание индексов. Находим (сравнения
берутся по модулю 41):
6°=1 68=;10 61в = 18 624= 16 632eez37
61ss6 69 == 19 617 = 26 625 = 14 6зз== 17
62^36 610 = 32 618 = 33 62в= 2 634 = 20
6»= И 611 = 28 619 == 34 627 е=12 636^38
64 = 25 612= 4 620 = 40 628 = 31 636 = 23
65 = 27 613 = 24 621 == 35 629 22 637 = 15
66 = 39 614 = 21 622 = 5 6зо== 9 638 8
67 = 29 616^ 3 623 = 30 631 =£ 13 6з9== 7
поэтому указанные таблицы будут
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 26 15 12 22 1 39 38 30
1 8 3 27 31 25 37 24 33 16 9
2 34 14 29 36 13 4 17 5 И 7
3 4 23 20 28 10 18 19 21 2 32 35 6 в
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 36 И 25 27 39 29 10 19
1 32 28 4 24 21 3 18 26 33 34
2 40 35 5 30 16 14 2 12 31 22
3 9 13 37 17 20 38 23 15 8 7
Здесь номер строки указывает число десятков, номер
столбца — число единиц числа (индекса). В графе, общей
указанным строке и столбцу, помещается соответству-
ющий индекс (число).
Ь. СЛЕДСТВИЯ ПРЕДЫДУЩЕЙ ТЕОРИИ
99
Например, ind 25 найдём в графе цервой таблицы,
общей строке с номером 2 и столбцу с номером 5,
т. е. ind 25 = 4. Число, индекс которого 33, найдём
в графе второй таблицы, общей строке с номером 3
и столбцу с номером 3, т. е. 33 = ind 17.
§ 5. Следствия предыдущей теории.
а. Пусть р — простое нечётное; а>1, т — одно из
чисел ра, 2ра, наконец, с — у(т).
Ь. Пусть (п, c) = d', тогда:
1. Сравнение
хп = a (mod т) (1)
разрешимо (и тем самым а есть вычет степени п по
модулю т) тогда и только тогда, когда ind а кратен d.
В случае разрешимости сравнение имеет d решений.
2. В приведённой системе вычетов по модулю т число
вычетов степени п есть .
а
Действительно, сравнение (1) равносильно такому:
п ind х = ind a (mod с), (2)
которое разрешимо тогда и только тогда, когда ind а
кратен d (d, § 2, гл. IV).
В случае разрешимости сравнения (2) найдём d не-
сравнимых по модулю с значений для ind х; им отве-
чает d несравнимых по модулю т значений для х.
Таким образом верно утверждение 1.
Среди чисел 0, 1, .. ., с — 1, являющихся наимень-
шими индексами вычетов приведённой системы по мо-
дулю т, имеется ~ кратных d. Поэтому верно утвер-
ждение 2.
Пример 1. Для сравнения
х8 = 23 (mod 41) (3)
имеем (8, 40) = 8, причём ind 23 = 36 не делится на 8.
Поэтому сравнение (3) неразрешимо.
ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРЙЙ и ИНДЕКСЫ
Пример 2. Для сравнения
ж12 = 37 (mod 41) (4)
имеем (12, 40) = 4, причём ind 37 = 32 делится на 4.
Поэтому сравнение (4) разрешимо, причём это сравнение
имеет 4 решения. Указанные решения найдём следу-
ющим образом.
Сравнение (4) равносильно таким:
12 ind х = 32 (mod 40), ind х~ 6 (mod 10).
Отсюда для ind ж найдём 4 несравнимых по модулю 40
значения:
ind х = 6, 16, 26, 36,
соответственно чему найдём 4 решения сравнения (4)
ж39; 18; 2; 23 (mod 41).
Пример 3. Числа
1, 4, 10, 16, 18, 23, 25, 31, 37, 40, (5)
индексы которых кратны 4, суть все биквадратичные
вычеты (или также вычеты любой степени п = 12, 28,
36, ..., где (п, 40) = 4), имеющиеся среди наименьших
положительных вычетов по модулю 41. Число чисел
ряда (5) есть 10 = ^.
с. Одновременно с утверждением b, 1 полезно сле-
дующее:
. Число а есть вычет степени п по модулю т тогда
и только тогда, когда
ad s i (mod tn). (6)
Действительно, условие inda = 0(modd) равносильно
-такому: inda = 0(mod с). Последнее же равносильно
условию (6).
Пример. В теореме § 3 невозможность сравнения
1 (mod т) равносильна условию, что g — невычет
$ 5. СЛЕДСТВИЯ ПРЕДЫДУЩЕЙ ТЕОРИИ
101
степени q по модулю т. В частности, невозможность
С
сравнения g2 = 1 (mod тп) равносильна условию, что
g — квадратичный невычет по модулю т (ср. е, § 1, гл. V).
d. 1. Показатель 8, которому а принадлежит по
модулю т, определяется равенством (ind а, с) = у ;
в частности, принадлежность а к числу первообразных
корней по модулю т определяется равенством (ind а, с) — 1.
2. В приведённой системе вычетов по модулю т число
чисел, принадлежащих показателю о, есть <р(о); в частно-
сти, число первообразных корней есть <р(с).
Действительно, о есть наименьший делитель с с усло-
вием аь = 1 (mod т). Это условие равносильно
8 ind а = 0 (mod с),
или
ind a^zO ^mod у) .
Значит, 8 — наименьший делитель с, при котором ~
делит ind а, отсюда 4- — наибольший делитель с, деля-
О
щий ind а, т. е. у = (ind а, с). Поэтому верно утвер-
ждение 1.
Среди чисел 0, 1, . . ., с — 1, являющихся наимень-
шими индексами вычетов приведённой системы по мо-
дулю т, кратными у являются числа вида у у, где
у 0, 1, ..., о — 1. Условие (^у у, = у равносильно
условию (у, о) = 1; последнему удовлетворяет <?(8) зна-
чений у. Поэтому верно утверждение 2.
Пример 1. В приведённой системе вычетов по
модулю 41 числами, принадлежащими показателю 10,
являются числа а с условием (ind а, 40) = = 4, т. е.
числа
4, 23, 25, 31.
Число этих чисел есть 4 = <р(10). «
102
ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
Пример 2. В приведённой системе вычетов по
модулю 41 первообразными корнями являются числа а
с условием (ind а, 40) = 1, т. е. числа
6, 7, И, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35.
Число этих первообразных корней есть 16 = ср (40).
§ 6. Индексы по модулю 2а.
а. Для модуля 2а предыдущая теория заменяется
несколько более сложной.
Ь. Пусть а = 1. Тогда 2“ = 2. Имеем ср (2) = 1. Перво-
образным корнем по модулю 2 будет, например,
1 = — i (mod 2). Число 1° = ( —1)° = 1 образует приве-
дённую систему вычетов по модулю 2.
с. Пусть а = 2. Тогда 2° =4. Имеем ср (4) = 2. Пер-
вообразным корнем по модулю 4 будет, например,
3 = -1 (mod 4). Числа ( —1)° = 1, ( — l)1^ 3 (mod 4)
образуют приведённую систему вычетов по модулю 4.
d. Пусть а>3. Тогда 2а>8. Имеем <р (2“) = 2а~'1.
Нетрудно видеть, что первообразных корней в этом
случае нет; более точно: показатель, которому принад-
лежит по модулю 2“ нечётное число х, не превосходит
2а-2 = у ср (2а). Действительно, имеем .
а;2 = 1 + 8г1,
^=Ц-16г2,
х2* 2 = 1 + 2“7а_2 = 1 (mod 2а).
2 а—2
_____________ , ,. ,
существуют. Таким числом будет, например, 5. Дей-
ствительно,
5 = 1 + 4,
52 = 1 + 8 + 16,
54 = 1 + 16 + 32и2,
52л-3 = 1 + 2а-1 + 2аиа_3,
g 6. ИНДЕКСЫ ПО МОДУЛЮ 2а
103
откуда видйм, Что ни одна из степеней 51, 52, 54, ..52*-3
не сравнима с 1 по модулю' 2*.
Нетрудно видеть, что числа двух следующих строк:
5°, Б2*’2-1,
-5°, — Б1, .... - Б2*'2-1
образуют приведённую систему вычетов по модулю 2“.
Действительно, число этих чисел будет 2 • 2“~2 =±= <р (2а);
числа каждой отдельно взятой строки между собой
по модулю 2а несравнимы (Ь, § 1); наконец, числа
верхней строки несравнимы с числами нижней, так как
первые по модулю 4 сравнимы с 1, а вторые с — 1.
е. Для удобства дальнейших исследований мы выра-
зим результаты Ь, с, d. в более единообразной форме,
которая будет пригодна и в случае а= 0.
Пусть
с = 1; с0—1, если а = 0, или а=1;
с = 2, са=2“-2, если а>2
{таким образом всегда сс0 = ^{2Л)) и пусть у и у0 неза-
висимо друг от друга пробегают наименьшие неотри-
цательные вычеты -
у=0> ..., с—1; уо = О, ..., с0 —.1.
по модулям с и с0. Тогда ( —1)Y5V° пробегает приведён-
ную систему вычетов по модулю 2а.
f. Сравнение
( — 1)т5то =Д — 4)T’5vo(mod 2а) .. (1)
имеет место тогда и только тогда, когда
у у'(mod с), Yo== Yo(mod со)-
Действительно, при а. —0 теорема очевидна. Поэтому
предположим, что а > 0. Пусть наименьшие неотрица-
тельные вычеты по модулям с и с0 для чисел у. 0 То
будут г и г0, а для чисел у' и Yo будут г' и г'о. Ввиду •
с,§ 1 ( —1 принадлежит показателю с, а 5 принадле-
жат показателю у0), сравнение (1) имеет место тогда
104
ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
и только тогда, когда ( —l)r5r° = ( —l)rZ 5'o(mod 2е), т. е.
(ввиду е) когда r = r', го = г'о.
g. Если
а = (— 1)т 5Y® (mod 2е),
то система у, у0 называется системой индексов числа а
по модулю .
Ввиду е всякое а, взаимно простое с 2е (т. е. нечёт-
ное), имеет единственную систему индексов у', у' среди
сс0 = ®(2“) пар значений у, у0, указанных в е.
Зная систему у'у', мы можем указать и все системы
индексов числа а; согласно f это будут все пары у, у0,
составленные из неотрицательных чисел классов
y = y'(modc), у0=у'(mod с0).
Непосредственно из данного здесь определения си-
стемы индексов следует, что числа с данной системой
индексов у, у0 образуют класс чисел по модулю 2е.
Ь. Индексы произведения сравнимы по модулям с и с0
с суммами индексов сомножителей.
Действительно, пусть у (а), у0(а); • • •! Y (0> Уо(0 —
системы индексов чисел а, ..., I. Имеем
й . . . /==( _1)т(«)+••-» r(i)5Ye(a)+... + г0(!)
Следовательно, у (а) 4- ... 4- у (/), у0 (а) 4- . . . 4- у0 (Z) — ин-
дексы произведения а .. . I.
§ 7. Индексы по любому составному модулю.
а. Пусть т = 2“/>J1/>22 • • • Pkk — каноническое разло-
жение числа т. Пусть далее с и с0 имеют значения,
указанные в е, § 6; cs = <p(pes); ^—наименьший перво-
образный корень по модулю
Ь. Если
а = ( — l)T5T°(mod 2е), )
p^i).....a = gpt(mod р**), j -
$ ИНДЕКСЫ ПО ЛЮБОМУ СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
105
то система у, у0, уг...у* называется системой инде-
ксов числа а по модулю т.
Из такого определения следует, что у, у0 —система
индексов числа а по модулю 2“, а уь у^ —индексы
числа а по модулям рЛр, ..., pkk- Поэтому (g, § 6; с,
§ 4) всякое а, взаимно простое с т (тем самым оно
взаимно простое и со всеми 2“, р°р, ..., pkk), имеет
единственную систему индексов у', у(,, yi, у* среди
cc0Ci ... ск = <р (т) систем у, у0, у1; уА, которые по-
лучим, заставляя у, yQ, у1; ..., уА независимо друг от
друга пробегать наименьшие неотрицательные вычеты
по модулям с, с0, с1; . .., с к, а все системы индексов
числа а суть все системы у, у0, уъ ..., уА, составленные
из неотрицательных чисел классов
y=Ey'(modc), Уо^Уо (mod со),
y1 = y((modc1).....УА = У*(тоа ск).
Числа а с данной системой индексов у, у0, у1; . .., уА.
могут быть найдены путём решения системы (1), а сле-
довательно (Ь, § 3, гл. IV), образуют класс чисел по
модулю т.
с. Так как индексы у, у0, у,, . . уА числа а по моду-
лю т являются индексами его соответственно по модулям
2’’, р°р, .... ркк, то верна теорема:
Индексы произведения сравнимы по модулям с,с0,с1,..., ск
с суммами индексов сомножителей.
d. Пусть т = ср(2“) при а <2 и т=уср(2“) при а > 2
и пусть h — общее наименьшее кратное чисел т, с1г ...
ск. При всяком а, взаимно простом с т, сравне-
ние ah=l верно по всем модулям 2Л, р^1, ..., ркк, зна-
чит, это сравнение верно и по модулю т. Поэтому а
не может быть первообразным корнем по модулю т
в тех случаях, когда /г<<р(т). Но последнее имеет
место при а > 2, при к > 1, а также при а = 2, А=1.
Поэтому для т > 1 первообразные корни могут существо
рать лишь в случаях т == 2, 4,- р^1, 2р^. Но как раз для
106
ГЛ.. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ KQPHH И ИНДЕКСЫ
этих случаев существование первообразных корней было
доказано выше (§ 6, § 2). Поэтому
Все случаи, когда существуют первообразные корни
по модулю т, превосходящему 1' суть
т - 2, 4, рЛ, 2ра.
Вопросы к главе VI.
Буквою р здесь всегда обозначаем простое нечётное число, а
в вопросе'И, Ь также и число 2.
1, а. Пусть а — целое, а > 1. Доказать,, что простые нечётные
делители числа а!'—1 делят а— 1 или- имеют вид 2рх 1 1.
Ь. Пусть а — целое, а > 1. Доказать, что простые нечётные
делители числа а? +-1 делят а + 1 или имеют вид 2рх + 1.
с. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 2рт+1.
d. Пусть п—целое, п > 0. Доказать, что простые делители
числа 22’1 + 1 имеют вид 2’1+1а:+ 1.
2. Пусть а—целое, а > 1, п — целое, <п > 0. Доказать, что
» (ап—1) кратно п.
3, а. Пусть п—целое, п > 1. Из чисел 1, 2, . .., п при нечёт-
ном п образуем перестановки
1, 3, 5, ..., п — 2, п, п — 1, п — 3, ..., 4, 2;
1, 5, 9, .... 7, 3
и т. д., а при чётном п образуем перестановки
1, 3, 5, ..., п— 1, п, п—2, ..., 4,-2;
1, 5, 9, .... 7, 3,
и т. д. Доказать, что k-я операция даёт исходный ряд тогда и
только тогда, когда 2г= ± 1 (mod2n—1).
Ь. Пусть п — целое, п > 1, т—целое, т > 1. Будем считать
числа 1, 2, ..., п в прямом порядке от 1 до я, далее в обратном
порядке от п до 2, затем опять в прямом порядке от 1 до п,
далее опять в обратном порядке от п до 2 и т. д. При таком
счёте выписываем числа 1-е, (пг г 1)-е, (2т 1)-е и т. д., пока не
получим п чисел. С этим новым рядом п чисел повторим ту же
операцию и т. д. Доказать, что к-я операция даёт исходный ряд
тогда и только тогда, когда
тк = 4- 1 (mod.2n—1). : . .
4. Существование <р(3) чисел, принадлежащих показателю 6,
доказать, рассматривая сравнение х& = 1 (mod р) (вопрос 1-0 с,
гл. IV) и применяя d, § 3. гл. II.. , ; ____; . ,
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VI
107
5, а. Доказать, что первообразный корень простого числа
вида 2м +1, п > 1 есть 3.
Ь. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
2р + 1 при р вида 4n + 1 езть 2, а при р вида 4л <3 есть —2.
с. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
4р + 1 есть 2.
d. Доказать, что первообразный корень простого числа вида
д2П-1
2пр +1 при п > 1 и р > —есть 3.
6, а а) Пусть п — целое, п > 0, 5= 1П +2П + ... + (р—1)”.
Доказать, что
S = — 1 (mod р), если п кратно р—1,
5 = 0 (mod р) в противном случае.
Р) При обозначениях вопроса 9, с, гл. V доказать, что
/Р-1\
/21
S(i)s-1 p_r l(modp).
\ 4 /
Ь. Теорему Вильсона доказать, применяя Ь, § 4.
7. Пусть g и —первообразные корни по модулю р, a ind, gt =
= 1 (mod р — 1).
а. Пусть (а, р)=1. Доказать, что
ind91 а = a indj a (mod р— 1).
Ь. Пусть л—делитель р—1, 1<л<р— 1. Числа, взаимно
простые с р, можно разбить на п совокупностей, относя к s-й
совокупности (s = 0,1, ..., п — 1) числа с условием ind a s s (mod ri).
Доказать, что совокупность, имеющая при основании g номер s,
тождественна совокупности, имеющей при основании gt номер sx,
где sx = as (mod п).
8, Указать возможно более простой способ решения сравне-
ния ж4 = a (mod р) (удобный, если (п, р — 1) невелико) в случае,
когда известен некоторый первообразный корень g по модулю р.
/9. Пусть т, а, с, с0, сх, .... ср, у, у0, ух, . .., у/; имеют зна-
чения, указанные в § 7. Взяв какие-либо корни/?, /?0, Ях, .. ., Rp
уравнений
Rc = l, Rcoa = l, ^ = 1, .... Rckk = l,
полагаем
Z(a) = ^/?jo/?^ ... /?«•. .
Если (a, т) > 1, то полагаем; z(a)=0.
108
ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
Определённую таким образом для всех целых а функцию
назовем характером. При R=R0 = Rl = ... = R/t = 1 характер назо-
вём главным; он имеет значение 1 при (а, т)=1 и значение 0
при (а, т) > 1.
а. Доказать, что указанным путём мы получим ? (т) различ-
ных характеров (два характера называются различными, если
они, по крайней мере, при одном значении а не равны между
собою).
Ь. Вывести следующие свойства характеров:
«) Х(1) = 1,
3) Х(«1«2) = У (Я1) / (аг)>
7) X (ai) =Х (аа), если а1 = а2 (mod т~).
с. Доказать, что
т—1 7
2 1?(т) для главного характера,
(а) = <
0 для других характеров.
а=0 1
d. Доказать, что, суммируя при данном а по всем ?(т) харак-
терам, имеем
<р (т), если а = 1 (mod т),
0 в противном случае
е. Рассматривая сумму
2
7.
где а пробегает приведённую систему вычетов по модулю т, до-
казать, что функция ф(а), определённая для всех целых а, удо-
влетворяющая условиям
^(а) = 0, если (a, m) > 1,
ф (а) не равна тождественно 0,
Ф («1“а)= Ф (“i) Ф(аа)>
Ф (а1) = Ф (“а), если aL = а2 (modm),
► есть характер. ' .
f. Доказать следующие теоремы.
а) Если Xi(“) и Ха (“)— характеры, то Xi (“) Ха (а)~также ха-
рактер.
fJ) Если Xt (“)—характер и х(а) пробегает все характеры, то
Xi (а) у, (а) также иробегает все характеры
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VI
109
т) При (I, т) = 1 имеем
Sy (а)___ ( <р(т), если а = I (mod от),
у (1)~ [ 0 в противном случае.
10, а. Пусть п—делитель р—1,
2r.i 7-
делящееся на п. Число Rt—e
р — 1, Z—целое, не
является корнем уравнения
о . l ind х
2m —=—
которой при X,
есть характер по
R" = l и, следовательно, степень е п ,
кратном р, следует приписывать значение О,
модулю р.
а) При (к, р) = 1 доказать, что
₽—1 „ . i ind (х t-h)- I Ind x
2яг-----1-----------
= —1.
Л
х=1
Э) Пусть Q—целое, 1 < Q < р,
0-1
2=*0
S
2д.ипа(ж^)
п
е
Доказать, что в ряде
М + 2 [п — 1 имеется число s-й совокупности
х О
Доказать, что S—(р—Q)Q.
у) Пусть р > 4ч2, п > 2, М—целое.
М, М + 1, .
вопроса 7, b
Ь. Пусть р>4(^иу2г\ к —число различных простых
делителей р — 1, М — целое. Доказать, что в ряде М, ...
.... М + 2 -у—2* V р j — 1 имеется первообразный корень
по модулю л.
И, а. Пусть а —целое, п — делитель р— 1, 1,
к—целое, не делящееся на га,
р —1 _ . к Ind х
2m----------
2-rei —
е ₽
п
и,
а, р
х= 1
а) При (а, р)=1 доказать, что | Ua, р | = р.
[1) Доказать, что
Vatp
' ~Ui,P
110 ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
7) Пусть р имеет вид 4m4-1, ?
р.-2 о . ind(«2+x)
• —— -----
5=2 е 4 . •
х= 1
Доказать, что (ср. вопросы 9, а и 9, с, гл. V) р = Аг + В2. где А
и В — целые, определяемые равенством S = А 4- Bi.
Ь. Пусть п — целое, п > 2, т> 1, (я, т)=1,
х г
где х пробегает полную, а £—приведённую систему вычетов по
модулю т (ср. вопрос 12, <1, гл. III и вопрос 11, Ь, гл. V)
а) Пусть й=(п, р —1). Доказать, что
I Sa,p К (S-i)Vp.
В) Пусть (га, р)=1, s — целое, 1 < s^ra. Доказать, что
Sa,ps=PS-^ ^,ps = O.
7) Пусть s—целое, s > п. Доказать, что
‘-’а, ре = РП 1 *$а, р«*«> $а, =
Доказать, что
1--
\S9<m\<Cm ",
где С зависит только от п.
12. Пусть М и Q — целые, Q < М < М A Q^-P-
а. Пусть га—делитель р—1, 1 < п< р—1, А'—целое, не де-
лящееся на га. Доказать, что
М+ Q- 1 „ . 1с ind х
I 2wi-----• I
2 е " < V~P^P-
х=М
Ь. Пусть Т—число чисел s-й совокупности вопроса 7, Ь, за-
ключённых среди чисел М, М + 1, M + Q — 1. Доказать, что
7=2-4-9 ^plnp; | 0 | < 1.
с. Пусть к—число простых делителей р—1, Н—число пер-
вообразных корней по модулю р, заключённых среди чисел М,
вопросы к главе vi
ДИ
rM + 1, iM + Q—4. Доказать что , -
Я = Q + А2*/р In p\ |6|<1.
d. Пусть Mx и Qj—целые, О «С l Qi -C p— 1, J—чис-
ло чисел ряда indAZ, ind(M + 1), ..., ind(J/ * Q — 1), заключён-
ных среди чисел ряда Mt, M1 + i, ..., Л/i т Qi— 1. Доказать, что
J==^i be/FOnp)2; 16l<i-
13. Доказать с>'ществование постоянного р0 с условием: если
р> Ро, п—делитель р — 1, 1 < п < р—1, то наименьший из поло-
жительных невычетов степени п по модулю р будет
- 11
< h; Л = рс(1пр)2; с=2е ".
14, а. Пусть т > 1, (а, т)= 1,
т—1 т— 1 т-1
5= 2 2 т ; 2 1^)12=^
.г-0 i/=0 х=0
т—1
2
V=o
Доказать, что | 5
Ь, а) Пусть т > 1, {а, т)=1, п—целое, и > О, К—число
решений сравнения хп = 1 (mod т),
, п
т—1 п . ах
__ 2яг
у= У, х(ж)е
Х = 1
Доказать, что \ S \ ^. К Yт.
f>) Пусть s — произвольное положительное постоянное. Прп
постоянном п для числа К вопроса а) доказать, что К—О(т&)
' 15, а. Пусть (а, р) = (Ь, р) = 1, п — целое, | п | = «i, 0 < п± < р,
р- 1 л ,ахп+ Ьх
_ 2т, г---
5=2 е Р •
Х=1
Доказать, что
з - 3 *
|5|<4п2А
112
ГЛ. VI. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЕ!
Ь. Пусть (А, р) = 1, п— це*ое, 0 < пг < р, Мо и
Qo—целые, 0 < Мо < Л/о +Q0 < р.
а) Пусть
Мо+<?о—1 , . Ахп
Z7tl ———
У- 2 •
х=Мо
3 - -
Доказать, что 15 | < pi In р.
?) Пусть М и Q —целые, Q <. М < М +Q < р, Т—число чи-
сел ряда Ахп; х = М0, Л/о + 1, .... Мд + Qu — 1, сравнимых по
модулю р е числами ряда М, Л/+1, ..., —1.
Доказать, «то
1 3
T = ~ + ^l-iipk(\n.py-, |0|<1
с. Пусть (a, p) — i, Ьи с—целые, (№—4ас, р)=1.
а) Пусть •( — целое,
р-1 „ . хх
5=2 (ах'+ьрх+^ .
3
3
Доказать, что 15 | < -ту р4 .
fj) Пусть М и Q— целые, 0 < М < М Д-Q^P,
М+О—1
„ V /ад:2 + Ьх 4- с\
5= 2 <—р—)
х=М
3 “
Доказать, что | S | < -g- Р4 In р.
Численные примеры к главе VI.
1, а. Найти (путём возможно более простых вычислений)
•показатель, которому принадлежит 7 по модулю 43.
Ь. Найти показатель, которому принадлежит 5 по модулю 108.
2, а. Найти первообразные корни по модулям 17 , 289 , 578
Ь. Найти первообразные корни по модулям 23, 529, 1058.
с. Найти наименьший первообразный корень по модулю 242.
ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ VI ЦЗ
3, а. Составить таблицы индексов по модулю 17.
Ь. Составить таблицы индексов по модулю 23.
4, а. Найти первообразный корень по модулю 71, применяя
указание примера с, § 5.
Ь. Найти первообразный корень по модулю 191.
5, а. Пользуясь таблицей индексов, указать число решений
сравнений:
а) хв0 = 79 (mod 97), JS) ж55 = 17 (mod 97), 7) я15 = 46 (mod 97).
Ь. Указать число решений сравнений
а) Зя12 = 31 (mod 41), 3) 7ж7 = 11 (mod 41), 7) 5ж3° = 37 (mod 41).
6, а. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнения
а) х2 = 59 (mod 67), 3) ®33 = (mod 67), j) я30 = 14 (mod 67).
Ь. Решить сравнения
а) 23ж5 = 15 (mod 73), ?) 37ж« = 69 (mod 73), 7) 44ж21 ее 53 (mod 73).
7, а. Пользуясь теоремой с, § 5, определить число решений
сравнений
а) х3 = 2 (mod 37), р) ж16 = 10 (mod 37).
b. Определить число решений сравнений
а) ж5 = 3 (mod 71), л'21 = 5 (mod 71).
8, а. Применяя способ вопроса 8, решить сравнения (при
решении второго сравнения воспользоваться таблицей первообраз-
ных корней в конце книги)
а) ж’ = 37 (mod 101), 3) ж5 = 44 (mod 101).
b. Решить сравнение
Xs = 23 (mod 109).
9, а. Пользуясь таблицей индексов, среди вычетов приведён-
ной системы по модулю 19 указать: а) квадратичные вычеты,
3) кубические вычеты.
Ь. Среди вычетов приведённой системы по модулю 37 указать:
а) вычеты степени 15, р) вычеты степени 8.
10, а. Среди вычетов приведённой системы по модулю 43
указать: а) числа, принадлежащие показателю 6, а) первообраз-
ные корни.
' Ь. Среди вычетов приведённой системы по модулю 61 указать:
а) числа, принадлежащие показателю 10, (!) первообразные корни.
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ.
Решения к главе I.
1. Остаток от деления ах + by на d, имея видах' 4 Ьу' и будучи
меньше d, непременно равен нулю. Поэтому d—делитель всех
чисел вида ах 4 by и, в частности, общий делитель чисел
а-14Ь-0 = а и a-04b- 1 = 6 С другой стороны, выражение
для d показывает, что всякий общий делитель чисел а и 6
делит d. Поэтому d = (a, 6), и верна теорема 1, (1, § 2. Теоремы е,
§ 2 выводятся так: наименьшее положительное число вида
атх+Ьту есть атхп + Ъту^, наименьшее положительное число
a b а Ь
вида -» ® + -т- У есть — xQ 4 — уа.
О О 0 0
Обобщение этих результатов тривиально.
2. Предварительно заметим, что разность двух неравных
между собою рациональных дробей -j и (I > 0, п > 0) чи-
1
сленно > . Ограничимся предположением 3g < 3s+1. Пусть
—несократимая дробь, не равная й8, с условием 0<6<Q,.
Не может быть t>g < у< Ss+1; в противном случае было бы
6 °8^6QS’
» “ 1
°**1
Поэтому -у < 6в или же . В обоих случаях й, ближе к а.
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ I
115
3. При п<6 теорема очевидна; поэтому предполагаем п > 6.
Имеем
5=1±^1 = 1,618...; log™ с=0,2...;
и
<22>1
Qs > Qs +1
Qi => Qa + Qs
=gl=l
>gs = 2 >
>S'3 = g'2 + gl > §+ 1 = 52,
Qn>Qn^ t Qn_2>gn_1=g„_2 + gn_3 > 34-4" 4=?n 2
Отсюда
ДГ>^2; n < < 57c+ 2; n<5* + l.
logio<;
o i
4, а. Для дробей у и — имеем 0 • 1 — 1 • 1=—1. Вставляя
между дробями и с условием АВ— ВС ——1 дробь ,
имеем А (В 4- D) — В (А + С) = (А + С) D — (В ± 1>) С = —1. Поэтому
верно утверждение, отмеченное в конце вопроса. Существование
, к а к с _
дроби — с условиями ‘ невозможно В против-
ном случае мы имели бы
к а 1 с к ~ 1 с a b v d 1
I b lb ’ d I Id ’ d b Ibd > bd ’
b. Очевидно, достаточно рассматривать случай О^а < 1.
Пусть -г^а < -v, где — и --т—соседние дроби ряда Фарея,
О и О (I
отвечающего т. Возможны два случая:
а а 4- с а + с . с
-г- а < -----г; ----г С 2 < ~г
о b + d b + d d
Поэтому верно одно из двух неравенств
а I 1
с I 1
d | d (b id)’
откуда ввиду 6 (- d > т указанная теорема следует непосред-
ственно.
с. При а иррациональном теорема следует из Ь, § 4, если
принять
за -q подходящую дробь
Л-1
Qs-i ’
где
116
• РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Г, в
В случае же рационального а = приведенное рассуждение осуще-
ствимо лишь при Ь > т. Но при теорема верна, так как
Р е а
за -q можно принять самое дробь у, полагая при этом
тогда
0 = 0.
5,
ток 1
4m-pl. Поэтому число 4/>х ... рк—1, где ри ..., рк— простые
вида 4m г 3, наверно имеет простой делитель д вида 4m 4- 3.
При этом д не совпадает ни с одним из чисел рл, ..., рк.
Ь. Простые числа, превосходящие 3, имеют вид 6m +1 или
же 6m + 5. Число 6/ц ... рк—1, где Pi,--,pk— простые вида
6m 4- 5, наверно имеет простой делитель д вида 6m 4 5. При этом
д не совпадает ни с одним из чисел plt ..., рк
6. Пусть р1; ..., Рк — какие-либо к простых чисел и N—целое
с условиями 2 < JV, (3 In JV); < JV. Число чисел а ряда 1,2, ..N,
каноническое разложение которых имеет вида = рх1 ... р'кк, ввиду
In Л ,
а«<-нГТ будет
<(тнт ' 0* < (31п^% <
Поэтому в ряде 1, 2, ...,N найдутся числа, в каноническое раз-
ложение которых входят простые, отличные от plt ..., рк.
7. Например, такие последовательности получим при
М = 2 3 ... (ЯЧ-1)« 4-2; «=1,2,...
8. Взяв целое .г(, с условием, что при / (х) >1 и
/' (х) > 0, положим f(x0) — X. Составными (кратными X) будут
все числа f (х0± Xt); « = 1, 2, ...
9, а. При наличии (1) одно из чисел х, у, пусть именно г,
будет чётным; из
а. Нечётные простые числа при делении на 4 дают оста-
или же 3 Произведение чисел вида 4m -i- 1 имеет вид
2 Z+y Z—y
1 2 2
/ z 4- у
где, очевидно, ( —,
. положительных целых и
х
Т
Z— У \ ,
—7—— 1 = 1, убеждаемся в существовании
И V с условиями
Z £
Отсюда следует необходимость условий, указанных в вопросе
Достаточность этих условий очевидна.
ищщаия. кдемяв г
Ь, Условимся здесь обозначать буквами лишь целые поло-
жительные числа. Допустив существование систем т, у, z, с усло-
виями ж4 + 2/4 = з2, х > О, у > 0, z > 0, (х, у, z) = 1, выберем из них
систему с наименьшим z. Предполагая х чётным, найдём ж2 = 2иг,
у2 = и2 — v2, и>г>1, (и, г) = 1, где v—чётное (при чётном и
было бы y2 = 42V +1, и2 = 4У2 + 1, 42V т 1 = 4Л\ — 4N2— 1,
что невозможно) Отсюда и = з|, v=2w2, y2 + 4w4 = zj, 2w2 = 2u1v1,
ut = xl, vL = y2, xj t y4 = z|, что ввиду Zj < z невозможно.
Из неразрешимости уравнения xi + yi=z2 как частный случай,
очевидно, следует и неразрешимость уравнения .г4 + у1 — t4 в целых
положительных х, у, t.
10. Полагая ж = ~; (к, Z) = l, находим
и Р —
Число
кроме
и Р —
кп + агкп 1 I + . . . + ап1п = 0.
Поэтому кп кратно I и, следовательно, Z = l.
И, а. Пусть к—наибольшее целое с условием 2':^п
произведение всех нечётных чисел, не превосходящих п.
2k~i PS представится суммою, все слагаемые которой,
„ъ _ 1 Л 1
2 Р~ , суть целые числа.
Ь. Пусть к — наибольшее целое с условием 3* < 2п + 1
произведение всех взаимно простых с 6 чисел, не превосходящих
2п + 1. Число 3*“ PS представится суммою, все слагаемые которой,
кроме З11'”1/1—-, суть целые числа.
3
12. При п < 8 теорема проверяется непосредственно. Поэтому
достаточно, считая при п > 8 теорему верной для биномов
а +Ь, (a t Ь)2, ...,(« +Ь)”-1, доказать справедливость теоремы
и для бинома (а + Ь)'1. Но коэффициенты разложения этого бинома
за исключением крайних, равных 1, суть числа
п п (п — 1) п (п— 1) . . . 2
1 ’ 1-2 ’ ' ' " 1 2 . .. (n—1) '
Для нечётности же всех этих чисел необходимо и достаточно,
чтобы нечётными были крайние из них, как раз равные п, и чтобы
тацже нечётными были числа, получаемые вычёркиванием нечётных
сомножителей из числителей и знаменателей оставшихся чисел.
Но, полагая n = 2n t -f-1, эти числа можно представить членами ряда
ni ni (ni—1) (П| —• 1) ... 2
Т ’ П 2 ’ ''' ’ 1 • 2 ... («!—!) ’
Последние же ввиду «j < п будут все нечётными тогда и только
тогда, когда п, имеет вид 2* — 1, т. е. когда п имеет вид
2(2*—1) + 1 =2i+1-l.
118
РВШВНИЯ ВОПРОСОВ
Решения к главе II.
1, а. На ординате точки кривой у—j (®) с абсциссою х лежит
[f(x)] целых точек указанной области.
Ь. Указанное равенство следует из Т1 + Т2—Т, где Tlt Т2, Т
обозначают числа целых точек областей
0<ж<4’ 0<У<-~х,
° <У < -у, о <х <^у,
О < ж < -2-, 0 < у < ~ .
с. Указанное равенство следует из
7’=l + 4(Z1 + Z2 + Z3-r4),
где Tj, Т2, Т3, Tt обозначают числа целых точек областей
<1. Указанное равенство следует из 71 = 7’1-(-7’2— Т3, где Тг,
Т2., Т3 обозначают числа целых точек областей
Г— п
о < ж , о < у < Vп.
2. Число целых положительных чисел, не превосходящих п,
равно [п]. Каждое из них единственным способом представляется
в форме хкт, где к—целое положительное; при этом данному х
отвечает £ р/ — чисел такой формы.
3. .Докажем необходимость указанных условий. Пусть N—це-
лое, N > 1. Число значений х с условием [аж]^,А можно пред-
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ II
2V
ставить в форме —Ь X; 0<Х^С, а число значении у с усло-
» /V
вием [?у]-< N можно представить в форме -ц-4-Xj; O^Xj^Ci,
м JV
где С и С[ не зависят от IV. Из — + X + чр + Xj = IV, деля на IV
1 1
и переходя к пределу при JV —»оо, получим- + -^-=1. Послед-
нее равенство при рациональном а = -^- (а > Ь > 0) дало бы [аЬ] =
= [?fa-6)].
Пусть указанные условия выполнены. Пусть с — целое, с > 0,
х0 =?-+! и у0=-|- + — наименьшие целые с условиями
ж0>-^-, Уо > у Очевидно, [аж] с при х § хь и [fly] § с при
У^.Уо, 0 < 5 < 1, 0 < 1] < 1, а? и ^ — иррациональные.
х0 4- уй = с + ц+'5 имеем $ + т; = 1,— f- 1: поэтому одно и
а г .
одно из чисел al и [Ь] меньше 1. Следовательно, одно и
одно из чисел [ая0] и [рус] равно с.
4, а. Указанные разности равны •
{azj}, {а(х2 — х1)}, ..., {a (xt — xt^)}, {—axt},
Ввиду
только
только
они неотрицательные, их сумма равна 1, их число равно t + 1;
поэтому, по крайней мере, одна из этих разностей не превосходит
11. 1
-—j <— и, таким образом, существует число, меньшее — , вида
{±“Q}> где 0 < т. Из ± “Q = [i “QI + {± полагая
± [ ± “Q]=A находим | aQ — P | < -|-, | а—~ j <
Ь. Полагая Хо= [Jt], У0 = [У], Z.,= [Z], рассмотрим
ряд образованный расположенными в неубывающем порядке чис-
лами вида {ах l ру г ... ч--(zx и числом 1, предполагая, что
х, у, ..z пробегают значения:
ж = 0, 1, ..., у = 0, 1, .... Уо; ...; з = 0, 1, ..., Zo.
Получим (Х„ 4- 1) (Уо 4- 1) ... (Zn + D 4- 1 чисел, из которых соста-
вим (Jt0 + 1)(Уо + 1) ... (Zo + 1) разностей. По крайней мере, одна
из этих разностей не превосходит
.__________1 1
(Хо+1)(Уо+1) ...(Zo + 1)< XY ...Z-
Отсюда уже легко получается указанная теорема.
120
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
5. Имеем а = су + Г + {а}; 0 < г < q,
6, а. Имеем [а + 0 + ... + X] = [а] + [₽] + ... 4 [XJ
+ [{“У + {3} 4- ... + <Х>].
Ь. Простое р входит в/г!, а!, .... I! с показателями
При этом
7. Допуская, что число а с указанными свойствами суще-
ствует, представим его в форме
a = qkpk'x + ?A._1Pft + • • • +?1Р24-9’оР + 7';
0 < qk < Р’ </>>•• >*><?!< р, 0<?0 < р, 0<д'< р.
Согласно b, § 1 должно быть
Л=?Л + ?*-Л-1 + + 7i“i +?о"о-
Далее при любом s= 1, 2, ..., т имеем
+ +7Л+?омо < “*
Поэтому последнее выражение для h должно полностью совпасть
с указанным в вопросе.
8, а. Пусть Ху— целое, Q < а < В R, Ху < а < р < Ху 4 1;
интегрированием по частям находим
— f(x) dx — р' (я) / (х) dx —
а 9.
= ₽(?)/(?)— ?(“)/(“) — « (8)/' (?) + ’(“)/' («)+ a(x)f',(x)dx.
*
В частности, при Kj + l^/t, переходя к пределу, имеем
. aCj + l acj + l
— f(x)dx= — y/i'Zi+l)— j-/(x.i)+ a (x) f" (x) dx .
хг x.
Указанная формула теперь получается без всякого труда.
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ; Ц
121
Ь. Переписав формулу вопроса а в виде
* О
У /(®)= \ f(x)dx— \ /(®)<fc+₽(B)/.(B)-p(Q.)/(Q)—
Q<x^R J
00 00
- a (R) f (R) + a (Q) f (Q) + a (x) /" (x) dx - о (x) /" (x) dx,
Q R
убеждаемся в справедливости указанной формулы.
с. Применяя результат вопроса Ь, находим
со
1 f G ( X)
In 1 j hi 2 ... + In n = C -r ii 1 n n — n r — In n j- \ -V-dx —
2 J x2
n
9, а. а) Имеем (b, § 1)
— n In n—n + О (In n).
ln([n]!) = 2 ([j] +[p] ...)lnp. (1)
Здесь правая часть представляет сумму значений функции inp,
распространённую на целые точки (р, s, и) с простыми р области
р >0, s > 0, 0<и<-^. Часть этой суммы, отвечающая данным
s и и, равна 0 ; часть, отвечающая данному и, равна
8) Применяя при п > 2 результат вопроса а), имеем
1п(Н!)-21п([у] ! ) =
Полагая ^^г^==,п’ отсюДа находим ([п] = 2т, или [п]—2n«4-l)
(2m х 1)1 1п (Э • 5 ...
(ml)2
Ч-(п)—/
1 . 2 .. т
<ln(2m3,B) < п,
i (п)= р (п)- ф + у (у)-1 (7) +
+..
= 2л
122
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
7) Имеем (решение вопроса J3) и результат вопроса 8, с)
ип)-^(у)+Ф.(£Н(т)+ = ln qLjiу =
= [n] In [„]_[«]-2 [ A] In [-1 ] +2 [-1] +O(lnn)=
= n In 2 + О (In n).
Далее, при s>2 находим (вопрос В))
0 С/") — 9 [ Л
Поэтому
< 2 п всегда
л Finn
= 0 при s > т; т = —-
1 I In 2
О < ? (л) - ? (£) + Ф (|) - ? (|) +
4 ••• “(0(n)-0G)4-e(-3-)-«(v) + ---)<
< 2 ]/га + 2(^71 + 2 п + ... i2y/n<2(/n-}-i'fn) = O^n).
Ь. Следует из равенства (1), неравенства вопроса а, Р)
и равенства вопроса 8, с.
с. Равенство вопроса Ь при достаточно больших т даёт
2 ^=1П7П + 0(1)>^, 2 7>1-
m<p<m2 m<p+m2
Если для всех пар рд,
бы место неравенство
Рп+1 с условием т < рп < р 4 имело
Р , . > Р„ (1 + е). то было бы
п+ 1 «
2 771(1 + 3)’
Г = 0
1,
Ч1О при достаточно больших т невозможно.
d. Очевидно достаточно рассматривать лишь случай, когда
п—целое.
Пэлагая Т('’)==—- при г простом и f(r) = 0 при г=1, или
Л
при г составном, имеем (вопрос Ь)
7(1) +7(2)+ ... +7 (r) = In г + а (г): | а (г) | < С?,
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ II
123
где Ci—постоянное. Отсюда при г > 1 (считаем а(1) = 1)
7 (г) = In г —In (г — 1) 4- а (г) —а (г— 1),
2 1 г ,т. т V Inr —InO—1)
-=л + т2, л= 2| -----------------
0<р <п 1<г<п
т V а (г) —а (г—1)
г*= 2j ------БГг---•
1 <Т< п
Имеем (8, Ь)
Т1 = 2 7Тп7+ 2 + 3г31пг +
1<г^п 1<Г<П
где С2 —постоянное. Далее находим
г--“<2>(н2-та)+ - +"<"-1>(1м7СЛ>-ък) + К?'
Но при целом m > 1 имеем
с < 1 1 < 1________1__V = Ci
1 \ In m ln(m.+ 1)7 1 \ln (m I-1) In (m j- 2)y ' ' ' ' In m
Поэтому ряд
"<2> 6г2-ез)+“<3> (и-ет)+
сходится; при этом, если С3 его сумма, то
^-с. + о(пк)-
е. Имеем
*П(Ч)--2 7-2&+£+
р:<п р^п
= С — In In п + сДДД ,
\1пп/
где С — постоянное. Отсюда, полагая C' = lnCu, мы и получим
указанное равенство.
10, а. Следует из с, § 2.
Ь. Ввиду 0(1)=?(1)=1 условие 1, а, § 2 для функции 0(a)
выполнено. Пусть a = aja2 — одно из разложений а на два взаимно
простых сомножителя. Имеем
2 2 чад)=и«)=н«1Ш“2)= 2 2 9(tZi)0 №)-(1)
d,\a2 di\ai d?\a$
124
I Pb'ffiJSHHH ВОПРОСОВ
Если условие 2, а, § 2. выполнено для всех произведений, мень-
ших а, то при dxd2 < а имеем 0(tfp/2) = O (dj 0 (d2), и равенство (1)
даёт 0 (®j®2) = 0 (я>) 0 (а2), т. е. условие 2, а, § 2 выполняется
и для всех произведений ata2, равных а. Но условие 2, а, § 2
выполняется для единственного произведения 1-1, равного 1.
Следовательно, оно выполняется и для всех произведений.
11, а. Пусть т. > 1; для каждого данного хт, делящего а,
неопределённое уравнение .. , хт_1хт = а имеет f —— )
решений. Поэтому
но когда хт пробегает все делители числа а, то d =—— в обрат-
ит
ном порядке пробегает те же делители. Следовательно,
~т (а)— 2 "т-1 (а)'
d\a
Поэтому (вопрос 10, а) если теорема верна для функции Sn-1 (®)>
то она верна и для функции (а). Но теорема верна для функ-
ции — 1. Значит, она верна всегда.
Ь. Если т > 1 и теорема верна для функции тт_1 (я), то
имеем
(а)= ~т (.Pl) • zm (Р^)~
= ('«-! (1) + ^т-1 О1»-(Sn-l (‘Ж-! (Рк)) = (1 + т~ О* = тк-
Но теорема верна для функции Т] (я). Значит, она верна всегда.
с. Пусть г = т~..,, s2 = 2’), a = P|i ... р'к1' — каноническое разло-
жение числа а, причём р,, ... , р1; расположены в возрастающем
порядке. Для функции т2(я)=г(я) имеем
т (а) . а, + 1т2 ‘1 ак -I- 1
з'М ' ' ’ 7Л- + 1)°^ '
Каждый из сомножителей произведения, стоящего справа,
1 ar— 1 + ! Q Т)
меньше —; сомножители ---------- с условием г > 2 меньше
1
Х-1 + 1 ( 1V4
——j—< 1, Поэтому, полагая C=\^J , находим
т(«) г, т(я) . .. С „
———<С, lim —< lim—=0.
a1 a->oo ^*2 а->эо
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ II
125
При т > 2, очевидно, имеем (т(а))т. Поэтому
lim^l <1пп<2^\т=о.
a-»so а® я®2 J
d. Системы значений xlt ... , хт, удовлетворяющие указан-
ному неравенству, разобьём на [п] совокупностей с номерами
1, 2, ..., [п]. К совокупности с номером а отнесём системы
с условием Xi ... хт = я; число этих систем есть tm(a).
12. При B(s)> 1 ряд. выражающий Z (s), абсолютно сходится.
Поэтому
б-(^))т= 2-2
П1=1 n»i=l
1
(«1 • • "m)’
причём при данном положительном п число систем nt, , пт
с условием nj ... nm = n равно tm(n).
13, а. При R(s)> 1 произведение Р= ---—абсолютно
р 1—у
1
сходится. Ввиду---------Г—
1----V
р
1 + 7г+-^-+ ••• п₽и
N> 2 имеем
п
ptsiN
0<n^N
где во второй сумме правой части п пробегает лишь числа,
не делящиеся на простые, превосходящие IV. В пределе при
7V -»оо левая часть обратится в /*, первая сумма правой
части — в ? (з), вторая—в нуль.
Ь. Пусть N > 2. Допустив, что простых чисел, отличных от
Pi, • Рк> иет, находим (ср. решение вопроса а)
Это неравенство ввиду расходимости гармонического
1 1
1 +• Tj- + — + ... при достаточно больших N невозможно.
Z о
ряда
126
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
с. Допустив, что простых чисел, отличных от рг....рь нет,
находим (вопрос а)
«(2).
к
)=1 —
Pi
Это равенство ввиду иррациональности f (2) = -g- невозможно.
14. При R (s) > 1 бесконечное произведение для ? (s) вопроса
13, а абсолютно сходится. Поэтому
Jnf (s)=2 Qy+ 2^~ + зр^+
р
где р пробегает все простые числа. Дифференцируя, имеем
СО
(s) _ V In р ]np In р у, А (н)
ь (s) Р® P2S P3S ’ ") n‘
p n= 1
15. Пусть N > 2. Применяя теорему b, § 3, имеем
n(*-»= 2 ^+2'^.
p<N 0<n^N
где во второй сумме правой части п пробегает лишь числа, боль-
шие и не делящиеся на простые, превосходящие N. В пределе
при А -> со мы и получим указанное тождество.
16, а. Применим d, § 3 к случаю
3=1, 2, ... , [п], /=1, 1, ... , 1.
Тогда, очевидно, <$" = 1. Далее S,j обращается в число значений й,
, г п 1
кратных а, т. е. в I .
Ь. а) Правая часть равенства вопроса а выражает сумму зна-
чений функции ц (d), распространённую на целые точки (d, и)
области d>0, 0<u^i. Часть этой суммы, отвечающая дан-
ному и, равна М •
Р) Указанное равенство получается почленным вычитанием
равенств
М (п) + м + м (£) + м (£) +... = 1,
2^(т)+ 2Л/^)+...=2. -
т. е. ^=[4]
L a J
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ И Щ
с. Пусть п!=[п]; . .. ,6п определяются условием: 8в есть
наибольшее целое, l-я степень которого делит s, /,= 1. Тогда
S' = Tln, Sd равно числу чисел, не превосходящих п, кратных d‘,
Отсюда получается указанное выражение для Т1 п.
7^2
Властности, ввиду f(2) = -g- для числа Т2п чисел, не пре-
восходящих п и не делящихся на квадрат целого, превосходя-
щего 1, имеем
17, а. Указанное равенство получим из d, § 3, если положим
3, = (х,,а), f, = f(x,).
Ь. Указанное равенство получим из d, § 3, если положим
.................../8=/(^Ч•••. 4S))-
с. Применяя d, § 3 к случаю
где в первой строке выписаны все делители числа а, имеем
d. Указанное равенство следует из
3 р. (d) S р. (d) S |x (d)
d\Si d\§2 d\$n
P’ —fi /2 • • fn
18, а- Применим теорему вопроса 17, а, заставляя x пробегать
числа 1, 2, ... , а и беря f(x) = x"‘. Тогда
£'=Фт (а), ^=^ + 2^+ . -
Ь. Имеем
d\a
Тот же результат можно получить проще. Напишем числа ря-
да 1, , а, взаимно простые с а сначала в возрастающем, затем
128
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
в убывающем порядке. Сумма членов обоих рядов, равноотстоя-
щих от начала, равна а; число членов каждого ряда равно у (а).
с. Имеем
d\a
19, а. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя х пробе-
гать числа 1, 2, , [z] и беря /(х) = 1. Тогда S'-=TZ, Sd равно
числу чисел, не превосходящих г, кратных d, т. е. 6^= —
[ d J
b. Имеем
^2=2 ^W^ + OG(a))=-^<p(<z) + O(<z').
d\a
с. Следует из равенства вопроса а.
20. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя х пробегать
1
числа 1, 2, ... , N, где IV > а, и-беря f (х)=—-. Тогда найдём
2Ч-2₽« 2 ^=2-^ 2
ам г<«» " ><и“
a -d
В пределе при N -> оо получим указанное тождество.
21, а. Применим теорему вопроса 17, Ь, рассматривая
указанные в определении вероятности Рх системы значений
„ Г N 1*
Sd= — , и мы получим
d=l d=l
Поэтому
1 In W
Рл,=(? (Л))-1 + 0(Д); Д=-^ при А > 2, Д= при к=2.
Ь. Имеем С (2) = .
22, а. Элементарные рассуждения показывают, что число целых
точек (и, v) области к2 + v2'^ р2; р > 0, не считая точки (0, 0),
равно яр2 + О (р). Применим теорему вопроса 17, Ь, рассматривая
координаты х, у целых точек области х2 + у2 < г2, отличных от
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ II
т
точки (0, 0), и полагая f(x, у)=1. Тогда T=J' + 1, Нравно
числу целых точек области иг + о2 ’ не считая точки (0,0).
Поэтому
‘?‘* = n-J- + 0(£)’
И 2 [Г]
Т=2 .(Ф^+0(2У=Т^0(Нп,),
d=l d=l
Ь. Рассуждая аналогично предыдущему, получим
[г] [г] ,
г-2 ,m4«£+0(2^)=±iL+0M.
d=l d=l
23, а. Число делителей d числа a=p^i ... р^, не делящихся
на квадрат целого, превосходящего 1, и имеющих х простых
делителей, равно ; при этом ц (d) = (— 1)*. Поэтому
к
d\a х=0
Ь. Пусть а имеет тот же вид, что и в вопросе а. Достаточно
рассматривать случай т < к. Для указанной суммы имеем два
выражения
к
Еёли т чётное, то при — первое выражение >0, а при
к к
m > -х- второе выражение > 0. Если т нечётное, то при т —
Л 4
к
первое выражение <0, а при т > ?- второе выражение «С 0.
с. Доказательство почти такое же, как в d, § 3, но с учётом
результата вопроса Ь.
d. Доказательствапочти такое же, как в вопросах 17, а и 17, Ь,
130
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
24. Пусть d пробегает делители числа a, Q (d) —число простых
делителей числа d, (a) = s Согласно сделанному в вопросе
указанию, имеем (считаем N достаточно большим)
*(Л, <7, Z)< +в'0 = Г + Г°-Г1; PdK1’
2(d)<^zn
2 r._^2^. ^,1= 2 £
2(d)<^m d
Далее находим
гр _ N р<<Л
2 м —
Q
О О).
P\9
Наконец, обозначая
имеем
буквами C
и C2 некоторые постоянные,
2 2
n=m+1 2(d)=n
8
s
n=m+1
s
n!
2 (-^0"
n=m+l
s
n
N
т S
n=m+ 1
n jy — 4ln^
| <C2—r =O(\).
25. Всякому делителю dr числа а с условием d2 < \Ca отве*
чает делитель d2 с условиями d2 > У a, did^ — a. При этом p(d!) =
=»и. (d2). Поэтому
2 2 ^ №)=2 - 2 2 в
' di dj d2 d\a
решения к главе и
131
26. Числа d, не делящиеся на квадрат целого, превосходя-
щего 1, и удовлетворяющие условию ср (d) = к, рассмотрим попарно
так, чтобы в каждую пару входило некоторое нечётное dt и чёт-
ное 2dL. Будем иметь • p.(2rfi) = 0
27. Пусть plt ...,рк — различные простые числа. Полагая
я = />1 ... рь, имеем
<е (а)=(Р1 — 1) • • • (рк— 1).
Между тем, при отсутствии простых чисел, отличных от plt ., рк,
мы имели бы ср (а) = 1.
28, а. Указанные числа найдутся среди чисел s5; s — 1, 2, .
Но (s<5, а) = 5 тогда и только тогда, когда у)=1(е, §2, гл. I).
Поэтому верно утверждение, отмеченное в вопросе, и мы имеем
“= 2?(т)=
d\a d\a
Ь, а) Пусть а = /Л ... — каноническое разложение числа а.
Ввиду а функция р (а) мультипликативная, причём
P*s = 2 1г= 2 P*s —P*s-1 =?(PsS)-
d\p“s d\p^-1
Р) Для целого т > 0 имеем
d\m
Поэтому
?(>)= 2
' d\a
29. Имеем (р пробегает все простые числа)
2 ’-$41 ...)_n-±i=^.
П=1 р р 1 ГУЧ
132
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
30. Имеем
T<t)+T(2)+...4^w-2^+2 2^ + ...+„£ea_
d\l d\2 d\n
n n
= 2 tx('/)(1+2+--- + [y])=S P'(rf)-^r+°(ralnra)=
d=l d=l
oo
= -y- 2 5^4-O(ralnn) = ^-ra2+O(nlnra).
d = l
Решения к главе HI.
1, а. Из
P = an 10я-1 + an..! IO""2 + ...+ab
замечая, что 10 = 1 (mod 9), имеем
P = an 4- an_i +...+«! (mod 9).
Следовательно, P кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма
цифр, его изображающих, кратна 3; оно кратно 9 тогда и только
тогда, когда указанная сумма кратна 9
Замечая, что 10= —1 (mod И), имеем
Р = (®х + а3+ ...) — (а2 + а4+ .. .)(mod 11).
Следовательно, Р кратно И тогда и только тогда, когда разность
между суммою цифр, стоящих на нечётных (считая справа) местах,
и суммою цифр, стоящих на чётных местах, кратна 11.
Ъ. Из
Р = Ъп 100я-1 + Ьп_! 100я-2 + ... + 61
ввиду 100 = — 1 (mod 101) имеем
Р = (б! + 63+ ...)—(62 + 64+ ...) (mod 101).
Поэтому Р кратно 101 тогда и только тогда, когда (&i + Ь3+ .. .) —
— (62 + 64+ ...) кратно 101.
с. Из
Р = сп 1000я-1 + сл-1 1000я--2 + • • • 4- «х
ввиду 1000 = 1 (mod 37) имеем
Р = сп + cn~! 4- ... + <-‘i (mod 37).
Поэтому Р кратно 37 тогда и только тогда, когда сп 4- cn_t 4-... 4-
кратно 37.
РВШЕВИЯ к главе ill <43
Ввиду 1000=—1 (mod 7 • И • 13) имеем
--)—(с» + с4+ ...)(mod7 • 11 • 13).
Поэтому Р кратно одного из чисел 7, 11, 13 тогда и только тогда,
когда (ci 4- с„ +- ...)—(е2 + г< *-...) кратно этого же числа.
2, а. -1) Когда х пробегает полную систему вычетов по моду-
лю т, то ах Ч- Ь также пробегает полную систему; наименьший
неотрицательный вычет г числа ах -р b пробегает значения
О, 1, ...,т— 1. Поэтому
т-1
ах -I- b 1 уч г 1 , п
{—) = 2й=-2м
х г=0
Р) Применяя результат вопроса 18, Ь, гл. II, находим
2;«11=Ф1±п)=1
Ч-! [ m J т 2
Е
Ь. В случае t = l имеем {/ (N + т)] — [/(iV)] = a,
N+m
2«= 2 i/(*)i-4I/^+TO)]+4l/wl“4+T’n=
X=N+1
N-tm N+m
= 2 2 4a+4(w~1)=*?:
x=N + l x=N + l
к этому случаю тривиально сводится и случай t > 1.
с. Пусть N, М, Рл, Р2 —целые, М О, Рг > О, Р2 > 0. Тра-
пеция с вершинами (7V, 0), (N, Рг), (7V + Af. 0), (N + M, Р2)
является частным случаем рассмотренной в вопросе Ь. Поэтому
и для неё верно равенство (1) Равенство (1) для такой трапеции
легко получим также, рассматривая прямоугольник с вершинами
(N, 0), (N, Рг + Р2), (N+M, 0), (N+M, РГ±Р2}, равновеликий
двум таким трапециям. Для этого прямоугольника равенство
S'«=$",
аналогичное равенству (1), очевидно. Отсюда ввиду =
S' = 2S мы и получим равенство (1)
Из этого результата аналогичная формула для указанного
в вопросе треугольника выводится тривиально Однако предста-
вляет интерес также следующий вывод: указанный треугольник
получается путём разбиения на два равных треугольника некото-
рого параллелограмма с целыми вершинами. Пусть S— площадь
параллелограмма и Г =2 *> где суммирование распространяется
ш
. РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
на все целые точки параллелограмма, причём д определяется
аналогично, тому, как в вопросе Ь. Интересующее нас свойство
треугольника будет доказано, если мы докажем, что 5 = 7’. Рас-
смотрим квадрат с беспредельно растущей стороною А. Вся
Ялоскость может быть разбита на бесчисленное множество парал-
лелограммов указанного вида. Пусть к — число параллелограммов,
полностью лежащих внутри квадрата, и R — число целых точек
внутри квадрата. При А -+ оо находим
.. kS . As . .. R '
lim-==l, hm-H- = l, limy—- = 1.
A3 R kT
Перемножая почленно эти равенства, получим
Вл-^- = 1, 5 = Г.
3, а. Пусть г—наименьший неотрицательный вычет числа
ах + [с] по модулю т. Имеем
т- 1
г=0
где s Ф (г) s 4- Л; s={c) При т < 2h Р 1 теорема очевидна
Поэтому рассмотрим лишь случай т > 2/г -f-1. Полагая
имеем — 1 + — й (г)< ПРИ г = т — [Л-f-s], .... т — 1;
в t h Р ~ ,
— =Сй(г)<;—— в остальных случаях. Поэтому
г, , . с пг— 1,,, I „ 1 I -, , 1
— [A + s]Ps<5---<^ + s, 5-уШ <А + у.
Ь. Имеем
m—1
i=2|!i±±W); <,(,)=„(ли + в)+Л..
I III I
z=0
Применим теорему вопроса а, полагая Л = |Х|. Тогда и получим
указанный результат.
с. Находим
т-1
Sf , az 6z f" (M 4- z,-,) .
pW + _+__ + LX_---------0<z0<m-l.
ЙВШЕНИЯ К III . ,135
к -
Применим теорему вопроса а, полагая Л=1 + —. Тогда получим
указанный результат.
4. Разложим А в непрерывную дробь. Пусть Qn~Q'—наиболь-
ший из знаменателей подходящих дробей, не превосходящий т,
имеем (вопрос 4, Ь, гл I)
При этом из т < Qn\ •< (?n,i + 1) Qn CQn, где С—постоянное,
которого не превосходят все + 1, для наибольшего целого И'
с условием H'Q' следует Н' <С. Применяя теорему вопроса
3, Ь, находим >
M-IH'Q'-l
| {Az + B}—
х=М
Пусть т,=т—H'Q'. Если mt > 0, то, выбирая в зависимости
от т, числа Q’ и Н" таким же способом, как раньше в зависи-
мости от т были выбраны числа Q' и Н', найдём
Mi -t H'Q"-1
x=Mi
Пусть m2 = ml — H"Q". Если т2 > 0, то подобно предыдущему
найдём
m2+h'"Q'''-i
I У {Az + B}-~H"’Q"’\ <~С
Х = М%
и т. д., пока не придём к некоторому пг^=0. Тогда получим
(H'Q' + H’Q" -I- ... +/7(i:Vfc)="1)
М+пг— 1
I 2 + <4са-
«=м
Числа Q'Q", ..., удовлетворяют условиям
m^Q' > m, >. Q" > m2 '> ... > нгл-д > 1-
Поэтому (вопрос 3, гл. I) к=О (In т) и, следовательно, формула,
указанная в вопросе, верна.
136
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
5, а. Сумму, стоящую слева, обозначим буквою S. Пусть
т=А3. При v <А0 теорема очевидна. Поэтому предполагаем
v > 40. Взяв Afi=[Q +1], найдём числа а1г т1, 0Х с условиями
= (я1( mj = l, | 0Х | < 1.
Взяв M2=Afi + mj, аналогичным путём найдём числа я2, т2, 02;
взяв MZ=M2 +- т2, найдём числа яа, та, 03; и т. д., пока не придём
К Afs+1 = Ms + ws с условием [Д] — Afg+ Х < [т]. Применяя
теорему вопроса 3, с, найдём
|>У—у (wi + w2+-.- + ws + [7?]-M8H) | < s + у ([Я] — Л/8+1).
„ а 1 ... я 1
Длина интервала, для которого — — — (х) «4 ~, не пре-
восходит . Следовательно, с одной и той же дробью —
2А
связано + 1 чисел т1, т2..........ms. Пусть ej и я2—наимень-
шее и наибольшее значения а, отвечающие данному т.
Имеем
я2-Я1 2 k(R—Q) k(R — Q)m
----А~ ’ + K а---------+1’05-
Следовательно, с данным т связано
чисел т2, .пгь. Суммируя последнее выражение по всем
т = 1, 2, ..., [с], получим
„1т:2+'с\.10А,п_
s Q21П " + 2+ ~2^J +-3? 1>05 <
k(R—О), л 7 А
<_Ц_^1ПА + т-,
I s —L(R-Q) [ < 2 In А + 8fe — .
I & I T
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш
137
Ь. Имеем
| з {/с*»-4|<д-
Q<x<R
Откуда, полагая й(ж) = {/(ж) + 1— а} — {/(ж)}, находим
| 2 5w|<2^
0<ж^ R
Но при {/ (ж)} <о имеем 5(ж) = 1— о, а при {/(ж))^а имеем
й(ж) =—а. Поэтому |(1 — а)Ф(з) — о (R—Q—< (°)) | < 2 откуда
и получим указанную формулу.
6, а. Применим формулу вопроса 1,с, гл. И. Полагая
/ (ж) = l/r2—ж2 , в интервале имеем
V2
г — г2 1 V§
/,(Ж)=-^Т=Т’
yr2 — ж2 (г3—X2) м г '
Поэтому (вопрос 8, а, гл. II, вопрос 5, а)
й
Г=4г+8 /^Р^+8р(-^)-^-8Р(0).г-4^-
а . . 2 2
—44г + 8—4= < —7= > + О (г3 In г) = лг2+ О (г3 In г).
2 /2 | ]/2|
Ь. Имеем (вопросы И, d и 1, d, гл. II)
т(1) + т(2)+... + т(п) = 2 2
0<х< Уп
Достаточно рассмотреть лишь случай п>64. Интервал X < ж < .
где Т = 2п3, разобьём на О (Inn) интервалов вида М <х^М',
где М' <_2Л/. Полагая /(#)=—, в интервале М <х ^М' имеем
х
/ (ж)--/ (®)- х3 . ^^4Л/2'
138 : РЕШЕНИЙ ВОПРОСОВ
Поэтому (вопрос 5, а)
Г 1 1 -
У, ( — > =4(^'-Л/)+О(«3 1п«)-
М<х^М'
0<х^У~п
Далее (вопрос 8, Ъ, гл. II)
У -^ = 5,«+-^-«1пп + р(]/п)]/п + 0(1).
0<ж^ 1^п
Поэтому
т (1) + т (2) + . . . 4- г (тг) — 2Еп 4-nlnrc4-2p('j/n)j/'zi —|/"п— п-|-
1 1
+ 2 /й {/й} +O(n3(ln re)2) = n(Inn + 2£’ —1) + 0(п3(1п п)2).
7. Пусть система неправильная и з— наибольшее целое
с условием, что 2s входит в нечётное число чисел системы. Одно
из последних чисел мы заменим меньшим, содержащим лишь
степени 2s, входящие в нечётное число чисел оставшейся системы.
Пусть система — правильная. Число, меньшее одного из чисел
Т этой системы, отличается от Т, по крайней мере, одним знаком
в системе исчисления с основанием 2.
8. а. Добавив к каждому из чисел, представляемых указанным
способом, число Н = 3n + 3n~' 4 ...4-З4- 1, получим числа, которые
можно получить, заставляя в той же форме хп, я-п_1, ..., xlt хл
пробегать значения 0, 1, 2, т. е. получим все числа 0, 1, ..., 2Н.
Ь. Указанным способом получим ... г^к чисел, не сравни-
мых между собою по модулю ... тк, так как из
Хг + Wlx2 + OTinijXa . . . -|- 171^2 ... =
= x't + -(- m1max' + mp/13 • • mk-ix'k (mod . mk)
последовательно находим:
Zj = ж; (mod mJ, xl = x'1; (mod mim2), X2 — X2;
— m1m2Xg (mod mhm2m3), x3 = x3,
и т. д.
9, а. Указанным способом получим ... тк чисел, не сравни-
мых по модулю mtm2 ... тк, так как из
+ М$х% + • • • + Мкхк =
s + М2х'94-.., + Мкх’К (modтгпц ... тк)
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ ПХ
лаз
следовало бы (всякое М], отличное от Ма, кратно mt)
Msxs = М^х* (modznj, х3 = х' (modznj, xs = x'.
b. Указанным способом получим <р (тх} •? (пг2) ... с(тк) =
=^ъ(тхт2 ... тк> чисел ввиду теоремы вопроса а, не сравнимых
по модулют.,т2 ... тк, и ввиду (Мххх 4- ТИ2т2 + •• • + Мкхк, =
= {M<sxs, md)—i, взаимно простых с трп2 ... тк.
с. Согласно теореме вопроса а число Мххх 4- М2х, + ... J- Мкхк,
где хь х2, ..., хк пробегают полные системы вычетов по модулям
ти т, тк, пробегает полную систему вычетов по модулю
тхт2 ... тк. Это число взаимно просто с т.т2 ... тк тогда и
только тогда, когда (хь т,) — (х2, т2) — ... ~(хк, тк) = 1. Поэтому
?(W|«2 ... тк)=?(т1) ? (т2) ... ? (тк).
d. Чтобы получить все числа ряда 1, 2, ..., ра, взаимно про-
стые с ра, следует вычеркнуть числа этого ряда, кратные р,
т. е. числа р, 2р, .... рл * 1р. Поэтому •? (р“) = ра — рл-1. Отсюда
и из теоремы с, § 4, гл. II известное выражение для <р (а) следует
непосредственно.
(О, а. Первое утверждение следует из
| _Xl_ 4- -^-1 = ( МхХх + 1 МкХк 1
I wi ' ’ ’ "г тк j i т J ’
второе утверждение следует из
f £i . , Eft 1 _Af 1^1 4- ... 4- МКк 1
[ mt ' ’ ’ тк J i т J
1 тт , Г fi (хх, ..., w,) , fk(xk. ..., wk) 1
b. Дроби f — и----!—12 -р ... }. совпадают
I m-i mk j
c дробями
Г/i (Mxxx 4- ... + Мкхк, ..., AfiWi 4- ... 4- MkV'k) +
L mi
/к(Мххх 4- ... 4- _Мкхк, Mxwx 4 ,,, 4- Mkwk) |
тк J ’
т'. е, с дробями I^Х’ '' + + ....| . Отсюда три-
I тх тк j
виально получается первое утверждение. Второе утверждение
доказывается аналогичным способом.
11, а. При а, кратном пг, имеем
„ . ах
X
140
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
При а, не делящемся на т, имеем
А •апг
2и{ — Л‘^-1
У, е т=----------=0.
2-rei —
е т— 1
х
Ь. При нецелом а левая часть равна
I e2icia(M+P)____________f2itiaM ! ।
sin тс (а) h (а) ‘
e2reia—1
с. Согласно теореме вопроса Ь левая часть не превосходит Тт>
где
т—1
гт=У —2-
а= 1 Л (-
Но при нечётном т
Тт
2. Л + 1
1п и-л = т In т,
2в—1
0<а<^
а при чётном т
„ т V? , 2а + 1 m , 2а +1
Тт < 2 1П2а —1+ 2 1П 2а— 1 < т ln”*'
0<а 0<а< Г?
111
При т > 6 ввиду -=-5-=‘й' границу т In т можно уменьшить на
2 о О
2т 3 1”?±7-т1“б2Гт1+‘У
о 2а —1 3 \ L Ь J /
0<а^Т
о
Последнее выражение > при 12 и > т при т >60.
Л»
12, а. Пусть = ... — каноническое разложение числа т.
Полагая />“* = Wi р\ = тк, при обозначениях вопроса 10, а,
имеем
2 тсс —
mi
„Хе
Ек
2Tci —
2ici —
е т
е
Е1
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕН!
141
Но при а, = 1 находим
чгл 2к1—- 2к!—-
2 е ms=2e m.v —1= — 1.
Es Xs
При as > 1, полагая ms = psm's, находим
9_{ 9-ni Xs ”**' * 2rci-~
2Ztci — Ani — Vi m'
e ms==^e ms_ e « = 0.
Es ®s «=0
m—1 „ . x
2тсг —
b. Пусть m—целое, от > 1, Имеем V e m=0. Сумма сла-
®=o
гаемых левой части этого равенства с условием (х, m') — d согласно
• / от \
теореме вопроса а равна р ( — }.
с. Находим
2ew^=2pW^,
$ d\m
где, полагая от = т0</, имеем
тэ—1
‘?d= 2
u=0
2тсг
и
то
Последнее равно 0 при d < от и равно 1 при d=m. Отсюда и полу-
чаем теорему вопроса а.
d. Равенства следуют из вопроса 10, Ь.
е. Имеем
A(mt) ... А(тк) = т-Г^ ... 2'S’a1.">1 - ’ Sak> тк'
ai ак
где я,, ..., ак пробегают приведённые системы вычетов по моду-
лям Отд, ..., тк. Отсюда (вопрос d) первое равенство вопроса
следует непосредственно.
Аналогичным путём докажем и второе равенство.
13, а. Имеем
Р-1
р _ J Р, если п кратно р,
~~ | о в противном случае.
х—0
142
РЕШЕНИЯ ЙОЙРОСОЙ
b. Раскрывая произведение, отвечающее данному п, имеем
d—1 „ . пх
v Iх (rf) v 2л’d
2j d 2j e
d\a x=Q
Отсюда, суммируя по всем n = 0, 1,..., а — 1, и получим известное
выражение для ср (а).
14. Часть выражения, стоящего справа, отвечающая xt деля-
щему а, равна
СО • оо
*=1 1
К „ . ак
214 —
Полатая Ф(ЛГ)=/. е х , часть, отвечающую х, не делящему а,
4 = 1
можно представить в форме
= 1™ 2. (ф (1) (1 + Ф(2) + ...) .
Множитель, стоящий при 2з ввиду | Ф (К) | < х численно < х;
при этом lim2sa: = 0. Поэтому правая часть равенства, указанного
г- °
в вопросе, равна удвоенному числу делителей числа а, мень-
ших i а, сложенному с 3, т. е. равна т (а).
15, а. Имеем
(7ij + /;2)г> =
=л? + ( Q h? 1 Л21-... + (pLi') Л1 Л£-1 + Л» =h^
(Л1 + Л2 4- л3)р = (Л, + Л2)р 4 = hi + 4~ Лр3 (mod р),
и т. д.
Ь. Полагая Л1 = Л2= ... =Ла=1, из теоремы вопроса а полу-
чим теорему Ферма.
с. Пусть (а, р) = 1. При некоторых целых Л1, Л2, ...,2Va
имеем
а<Р-1’=1+Л1р, аР (Р-1 >=(1 + N1P)V = 1 + TV2pa,
аРа(Р-1)= 1 + Ns рз...аРа’ 1 + N* рл,
(ра> s 1 (mod ра).
РЁШЁНИЯ К ГЛАВЕ IV
143
Пувть т = р^1 ... р^к—каноническое разложение числа т. Имеем
(Pj )s j (mod р*1), .. ,,a('Vk = 1 (mod Р^),
a? (m) s j (mod Pi1), ..., a = 1 (mod P^),
a4>(m) = { (mod m).
Решения к главе IV.
1, а. Теорема непосредственно следует из теоремы вопроса
11, а,- гл. III.
Ь. Пусть d—делитель числа т, m = mad, Hg обозначает сумму
слагаемых с условием (a,m)--=d в выражении для Тт вопроса а.
Находим
m 1 т-1 ,aof (х, .... w}
^=2 2 2 е ’
ац х—О го = 0
где «о пробегает приведённую систему вычетов по модулю т0.
Отсюда выводим
Щ3-1 . . aaf (Хо, ..., w0)
Z Д1 -------------
^ = ^2 2- - 2 е т° =тгА(тв).
а0 хо = О w3 = 0
с. Пусть т > 0, (a, m) = d, a = aod, m = mod, Т—число реше-
ний сравнения ах = b (mod т). Имеем
т— 1 т- 1 . а/ах-Ь)
2ni-----
^=2 2 е т
а = 0 х=0
а —0 х = 0
<1-1 „,ь“|
md, если Ъ кратно а,
О в противном случае.
«х-0
144
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ:
d. Полагая (a, m)=rfn (Ь, «Z|)=da, (/, dr~1)=dr, mssddn^
dx — dtmt....dr_1 = drrnr, находим d = dr,
m-1 m-1 m -1 m~ 1 . a (ga4-byfwtt)
^=2
a-0x=0 y=0 w=0
m-1 „ . a. (bj/ + .. +/W4 S)
2tu —---j----
a =0 V — 0 w =0
dr-l-1 m-1
— 2 2
2к- «Г-1 (/w+9)
e dr_i
dr- 1
Ap — 0
*r0
dr
ar-i = 0 w=0
e. Применим метод индукции. Пусть
проса d теорема верна для г переменных.
при обозначениях во-
Рассмотрим сравнение
Zu 4- ах 4- ... 4- fw-vg s 0 (mod т). (2)
Пусть (Z, m) — d0. Условием возможности сравнения (2) будет
ах 4- ... 4- fw 4- g = 0 (mod d0). Последнее сравнение возможно лишь
в случае, когда g кратно d', где d' = (а, ..., /, dn) = (l, а, ..., /, т),
причём тогда оно имеет dj-1 d' решений. Следовательно, сравне-
ние (2) возможно лишь в случае, когда g кратно d', и тогда оно
имеет d' () da = mr d' решений. Таким образом теорема
\»о '
верна и для г +1 переменных. Но теорема верна для одного пере-
менного. Значит, она верна всегда.
2, а. Имеем (m^=l (mod т), a-baf<-m^~l = 6 (modm).
Ь. Имеем
1 • 2... (а — 1) аЬ (—1) “-1 (Р—jH-l) s
= Ь • 1 • 2 ... (a — 1) (mod p),
откуда, деля почленно на 1 • 2... (а—1), и получим указанную
теорему.
с. i) Достаточно, очевидно, ограничиться случаем (2, Ь) = 1.
Выбирая надлежащим образом знак, имеем Ь ± т = 0 (mod 4).
Пусть 28—наибольшая степень 2, делящая 6 ± m При 6^-к
имеем
Ь + т , , ч
® — (mod т).
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
145
Если же 6 < к, то имеем
2*~8 х = (mod т).
С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
Р) Считаем (3, 5)=1. Выбрав надлежащим образом знак, имеем
Ъ ± т = 0 (mod 3). Пусть З8-^ наибольшая степень 3, делящая
Ь ± т; При 5 > к имеем \
Ъ ± т . . .
х = - - (mod т)
Если же 6 < к, то имеем
___________________5 Ъ 4- т _ .
3* х = —— (mod т).
С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
7) Пусть р — простой делитель числа а. Найдём t из условия
Ъ + mt = 0 (mod р). Пусть р5 — наибольшая степень р, делящая
(a, и пусть a = atp&. Имеем
Ъ 4- mt,
atx = $—(mod т),
Р
Если al > 1, то с этим новым сравнением повторяем аналогич-
ную операцию, и т. д.
Указанный способ удобен в случае небольших простых сомно-
жителей числа а.
3. Полагая г = [т], пишем сравнения
а • 0 = 0 (mod т),
а - 1 =yi (mod т).
а • t = yf (mod т),
а • 0 = т (mod т).
Расположив эти сравнения в порядке возрастания правых частей
(ср. вопрос 4, а, гл. II) и вычитая почленно каждое сравнение
(кроме последнего) из следующего за ним, получим t + 1 сравнений
вида az = и (modm); 0 < | z | г. При этом, по крайней мере, в
одцом сравнении будет 0 < и < ^ . Действительно, и имеет
t + 1 > t значений, эти значения положительные, и их сумма
равна т.
4, а, а) Следует из определения символической дроби.
£) Здесь можно положить b0 = b + mt, где t определяется из
условия Ь -р mt = 0 (mod а); тогда сравнению ах = b удовлетво-
ряет целое число, представляемое обычной дробью — .
Л
146
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
f) Имеем (60 кратно a, d0 кратно с)
L-L —
а с
__________Ь$с + adn____be -р ad
а с
ас
ас
3) Имеем
Ь d _ &о do __ bodo _ bd
а c ~ a с ,ac ac '
b, а) Имеем (сравнения берутся по модулю р)
P-i\ (р-1)(р-2)...(р-а) = .2... а =
а ) 1-2...a 1•2...а
Вопрос 2, Ь теперь проще решать так:
а 1-2. . . (а— 1) a
(mod р)
jJ) Имеем
2^-2 р-1 (Р-1)(р-2)
=-1 + ~Ь2'+ 17273 + • • • +
+ 1-2... (р—1) u р>
5, а. Числа s, s-f-1, s+n—1 попарно не могут иметь
общих делителей с d. Произведения s(s + l) ... (s + n — 1) могут
быть объединены в пх совокупностей по числу способов, сколькими
число d может быть разбито на п попарно простых сомножителей,
с учётом порядка последних (вопрос И, Ь, гл. II). Пусть rf=
= и1и2...мп— одно из таких разбиений. Число произведений
с условием s = 0 (mod Wj), s-pl £ 0(mod u2),..., s + n— 1 =0 (mod wn)
равно . Поэтому искомое число равно
Ь. Указанное число равно
d\a
где А—число различных простых делителей числа d. Но имеем
d\a
6, а. Все значения х, удовлетворяющие первому сравнению,
даются равенством^ ж = &1 + тх г, где j t — целое. Чтобы выбрать
из них те, * которые удовлетворяют также и второму сравнению,
надо ограничиться лишь теми значениями t, которые удовлетво-
ряют сравнению
mi t = b2—&х (mod т2).
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
147
•Яо это сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда Ь2_
•кратно d. При этом в случае разрешимости совокупность значе-
ний t, ему удовлетворяющих, определяется равенством вида
т2 , ,
4 = > где t —целое; вместе с тем совокупность значений х,
удовлетворяющих рассматриваемой в вопросе системе, определится
равенством
х = + т1 ^0 + = ж1,2 + ®1,« t'j
Ь. В случае разрешимости системы
х = (mod т1'), х = Ъг (mod т2)
совокупность значений х, ей удовлетворяющих, представится
сравнением вида х = х1 2 (mod m1>2). В случае разрешимости си-
стемы
х = х1 2 (mod mi,2), х = Ь3 (mod m3)
совокупность значений х, ей удовлетворяющих, представится
сравнением вида х = xt 2 3 (mod т1 2>3). В случае разрешимости
системы
х = X] 2,3 (mod in4 2 з), х = ^4 (mod ш4)
совокупность значений х, ей удовлетворяющих, представится
сравнением вида х = ajJ 2 34 (mod ш.;2,, 4), и т. д.
7, а) От замены а: на —х (вследствие чего х' заменится на—х')
величина суммы ( \ не изменится.
Ь) Когда х пробегает приведённую систему вычетов по модулю ш,
то и х’ пробегает приведённую систему вычетов по модулю т.
у) Полагая ж = Az (mod т), получим
- . ahz~f bz'
1 a,bh\ v 27t‘----m--- ZaA,6\
<~^)=Le = ЦГ>
z
8) Имеем
„ .aim2x J g2miv4 m2»'-1 miV
x v
Полагая т2х’ + т4у' = z', имеем
{almix + aim1y) (m2x' + m^') == a1m^ 4- a2m? (mod mim2),
/a,, Г\ / д2, _ /'mlai + m?a2, Г\
\ mv m3 mjint J’
148 РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
что и доказывает указанное свойство в случае двух сомножителей.
Обобщение на случайболее чем двух сомножителей тривиально.
8. Сравнение
aoxn+ ajx71-1 + • • +°п — “о (х — *1) (ж—х2).. .(х—хп) = 0(mod р)
имеет п решений. Оно степени ниже п. Следовательно, все его
коэффициенты кратны р, а это и выражается сравнениями, ука-
занными в вопросе.
9, а. При р>3 соответственно х, взятому из ряда 2, 3, ...
... , р— 2, найдём отличное от него число х' того же ряда с усло-
вием хх'= 1 (mod р); действительно, из х — х' следовало бы
(х—1) (х-|- 1) = 0 (mod р); х = 1 или х = р— 1. Поэтому
2-3.. .(р—2) = 1 (modp); 1-2.. .(р—1) = — 1 (modр).
Ь. Пусть Р > 2. Допустив, что Р имеет делитель и с усло-
вием 1 < и < Р, мы имели бы 1-2.. .(Р — 1) + 1 = 1 (mod и).
10, а. Находим h с условием aji == l(modm). Данное сравне
ние равносильно такому:
хп + aThxn~1 + ... + anh = 0 (mod т).
b. Пусть Q (х) — частное и R (х)— остаток от деления хр—х
на f (х). Все коэффициенты Q (х) и R (х) — целые, Q (х) — степени
р—п, R(x) — степени ниже п,
хр—x = f (х) Q (х) 4- R (х).
Пусть сравнение f (х) = 0 (mod р) имеет п решений. Те же реше-
ния будут решениями и сравнения R (х) = 0 (mod р); поэтому все
коэффициенты R (х) кратны р.
Обратно, пусть все коэффициенты R (х) кратны р. Тогда
/(x)Q(x) кратно р при тех же значениях х, что и х‘‘—х-, поэтому
сумма чисел решений сравнений
/ (ж) = 0 (mod р), Q (х) = 0 (mod р)
не меньше чем р. Пусть первое имеет а, а второе решений. Из
а^.п, Р<^р — п, р<^а+р
выводим а=п, Р = р—п.
„ Р— 1
с. Возвышая данное сравнение почленно в степень -
убеждаемся в необходимости указанного условия. Пусть это усло-
р—1 р—1
вие выполнено; из хр—х = х(хр~1—А п +А п —1) следует, что
р—1 р-1
остаток от деления хр—хная"—А есть (А п —1)х, где А п —1
кратно р.
И. Из х"=А (modm), (mod т) следует (хйу)п=А (mod m);
при этом произведения хау, отвечающие несравнимым (по моду-
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ V
149
лю т) у, несравнимы. Из z” = A (mod т), хп = A (mod m) сле-
дует хп == Xq (mod т), причём, определяя у ycnoBneMz = yz0(modzn),
имеем
уп = 1 (mod т).
Решения к главе V.
1. Указанное сравнение равносильно такому: (2аж 6)2 = Ь2—
— 4ас (mod т). Соответственно каждому решению z = z0 (mod т)
сравнения z2 = Ь2—4ас (mod т) из 2ax + b = za (modm) найдём
одно решение указанного сравнения.
2, а. При 1 имеем а2т+1 = 1 (mod р), so.(mod р),
х = ± am+t (mod р).
Ь. При 1 имеем а4”1'1'2 = 1 (mod р), a2m+1 = ± 1 (mod р),
а2т+2 = а (mod р).
Ввиду — 1 имеем также 24"1'1’2 = —1 (mod р). Поэтому при
некотором s, имеющем одно из значений 0; 1, получим
а2т+2 2(4m t-2) s = а (mod р)> = ± am+l2(2m+l) s (mod ру
с. Пусть р = 2&А Ц-1, где Л^>3 и h — нечётное, ^у^==1.
Имеем
a2fc-1h = j (mod р), а2^ 2/1 = ± 1 (mod р), N2k lh = — 1 (mod р).
Поэтому при некотором целом неотрицательном s2 получим
а.2^ 2/1№22й 1 = 1 (mod р), а2к 3,lPiS22k 2 = -£ 1 (mod р);
отсюда при некотором целом неотрицательном s3 получим
а2к 3hpfS32k 2 = 1 (mod pY а?11 4Л/уЗз2* 3 = | (mod pj,
и т. д.; наконец, получим
' h+1
ahN^ = 1 (mod р), х = ± а 2 Nsk (mod р).
d. Имеем
1 . 2 ... 2т» (р— 2т) ... (р — 2) (р — 1) + 1 = O(modp),
(1-2... 2т)2+ 1 = 0(modp).
3, а. Условия разрешимости сравнений (1) и (2) выводятся
тривиально (f, § 2 и к. § 2). Сравнение (3) разрешимо тогда и только
150
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
тогда, когда —J = l. Но причём
/ р\ ( 1, если р имеет вид 6m + 1,
\ 3/ — | —1, если р имеет вид 6m+ 5.
Ь. Каковы бы ни были различные простые plt р2, .. , рк вида
кт + 1, наименьший простой делитель р числа (2рхр2 ... рк)2 + 1
будет отличен от plt р2, ркти ввиду (2ргр2 ... Рк)2 + 1 = 0 (mod р]
имеет вид 4m + 1.
с. Каковы бы ни были различные простые pt, р2, .... рк вида
6m+ 1, наименьший простой делитель р числа (2рур2 ... рк)2 + 3
будет отличен от plt р2, ..., рк и ввиду (2р4р2... Рк)2 3 = 0 (modр)
имеет вид 6m + 1.
4. Среди чисел первой совокупности будут числа, сравнимые
. . п „ р—1 р — 1
с 1 • 1, 2 • 2, ..., —£ -— , т. е. все квадратичные вычеты пол-
ной системы: число, входящее по условию во вторую совокуп-
ность, будет квадратичный невычет. Но во вторую совокупность
войдут все произведения этого невычета на все вычеты, т. е.
войдут все квадратичные невычеты.
5, а. Пусть в системе исчисления с основанием р
а = аа_1р"-~1 + ... -Ь а^р + а,,
и искомое решение (наименьший неотрицательный вычет)
Ж = жа_.ра 1 + ...+Х1Р + ж0. (1)
Составим таблицу:
а«-1 а4 «3 #2 «1 (Iq
2жот . и а— 1 2z,,r3 2zot2 2xaz1 T2
2^1Жа_2 2z4z3 2i1z2
2г2жо_з ^2
где в столбце под os стоят числа, сумма которых образует коэф-
фициент при р8 в разложении квадрата правой части (1) по сте-
пеням р. Находим х0 из условия
х2 = а0 (mod р)
РЕШЕНИЯ К Г Л ABB V
151
Полагая р~,=Ри находим хг из условия
Pi + 2^0®! = аг (mod р).
тт Pl 4 2XqX'i (11
Полагая ---------—-----— = р2» находим х2 из условия
Р
Рг4 2xQx2 4- я® = «2 (mod р),
и т. д. При данном х0 ввиду (ж0,/?)=1 числа xL, x2t
определятся однозначно,
b. Здесь
а = аа. -12а 1 4-4 &з23 4 л222 4 ai 2 4 >
® = ®а_12а“1 + ... + x32s + x222 + x12 + x„,
и мы будем иметь следующую таблицу:
aa-l «4 cz3 «1 а0
•Z'a—2 ХоЖ3 хо Х2 2 го
«1 Ж«-3 Х1 х2 2 X 1
*2г«-4 2 xi
Рассмотрим лишь случай а>3. Ввиду (а, 2) = 1 необходимо а0 = 1.
Поэтому х0 = 1. Далее необходимо а,=0, и ввиду г0Х1 + х$ =
= xt -1 х2! = 0 (mod 2) необходимо а2 = 0. Для х, возможны два значе-
ния: 0 и 1. Числа а:2, аг31..., жа_2 определятся однозначно, а для xa_t
возможны два значения: 0 и 1. Поэтому при а >• 3 необходимо
а= l(mod8), и тогда указанное сравнение имеет 4 решения.
6. Очевидно, Р и Q — целые, причём Q по модулю р сравнимо
с числом, которое получим, заменяя а на z2, для чего достаточно
1/а заменить на г. Поэтому Q = 2“ ’1-a-1(mod р); следовательно,
(Q, р) = 1 и Q' действительно можно определить из сравнения
QQ' = 1 (mod ра). Имеем
Р2—aQ2 = (z + У a)®(z— j/a)® = (z2—а)“= 0 (mod p®),
откуда
(PQ')2 = a (QQ’)2= a (mod p“),
7. Пусть m = 2apJ2... pjfe — каноническое разложение числа m.
Тогда m представляется в форме m = 2aa&, где (а, Ь)=1, 2* спо-
собами
152
РЕШЕНИЯ, ВОПРОСОВ;
Пусть а=0. Из (х— 1) (ж +1) = 0 (mod т) следует, что при неко-
торых а и Ъ -
х = 1 (mod а); х = — 1 (mod Ь).
Решая эту систему, получим х = х0 (mod т), Поэтому указанное
сравнение имеет 2 ‘ решений. - -
Пусть а=1. При некоторых а пЬ
х =1 (mod 2а); х= — 1 (mod 2Ь).
Решая эту систему, получим х = х0 (mod т). Поэтому указанное
сравнение имеет 2“ решений.
Пусть а = 2. При некоторых а и b
х = 1 (mod 2а); х = — 1 (mod 2Ь).
(л т'\ тт
Решая эту систему, получим х = хп (mod — ). Поэтому указанное
сравнение имеет 2i+l решений.
Пусть а > 3. При некоторых а и Ь должна выполняться одна
из систем
х = 1 (mod 2а); х = — 1 (mod 2“_Ч);
а: = 1 (mod х = — 1 (mod 2b).
Решая одну из этих систем, получим х = х0
mod у J . Поэтому
указанное сравнение имеет 2t+1 решений.
8, а. Определяя х' сравнением хх' = 1 (mod р), имеем
1 4- кх‘
Р
Очевидно, 1 4 кх' пробегает все вычеты полной системы, кроме 1.
Отсюда и следует указанная теорема.
Ь. Указанное равенство следует из
р-2
Я=1
Р—2
Х=1
с. Имеем
р-1
№ х 2 2 .
Х-О И. и •
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ V I53
Часть выражения, стоящего справа, отвечающая случаям yi — y,
не превосходит XpY. Рассмотрим часть, отвечающую паре не рав-
ных между собою- значений уу и у, причём для определённости
предположим, что у > 0. Полагая ху-\- к = z (mod р), приведём
указанную часть к виду
откуда убедимся (вопрос а), что она численно Поэтому
S* < XpY + XY2 < 2pXY.
d, а) Имеем
p-1 Q — i Q-l
*=2 s 2
x=0 zj=O z=0
При zj=z суммирование по x даёт p — 1. При zlt не равном z,
суммирование по x (вопрос а) даёт —1. Поэтому
S’ = (р~ 1) Q - Q «?-1) = (р-<2) Q-
Р) Согласно теореме вопроса а) имеем
Г^0,54 0,5Л)2 < pQ. r<pQ~^.
7) Полагая p]=Q, применим теорему вопроса а). Допустив,
что в указанном в вопросе ряде квадратичных невычетов нет,
убедимся, что | Sx | 1 при х = М, М -j-1, ..., Af-|-2Q—1 и,
таким образом,
2<2(<2-1)2<(р-<2)<2, 2 «2-1)2 <(Q 4-1)2-Q, Q2—5Q<0,
что при Q >• 5 невозможно.
9, а. Если т представляется в форме (1), то решение
z - z0 (mod т) (5)
сравнения х = zy (mod т) является также и решением сравнения (2).
Мы будем говорить, что указанное представление связано с реше-
нием (5) сравнения (2).
' С каждым решением (5) сравнения (2) связано не менее одного
представления (1). Действительно, взяв имеем
^-=^+-4-; (А0=1- о<<2</й, р|<1.
т v Q Y т
Поэтому znQ=mP + г, где | г | < Далее, из (2) следует, что
Ir I2 + Q2 = 0 (mod т). Отсюда и из 0 < I г (2 4- Q2 < 2т находим
те=|г|24<22, (6)
154
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
При этом (| г ], Q)= 1 ввиду
1 = Г! + 0-а= + g-rP(modQ).
т т '
Если | г | = г, то ввиду r = z0Q(modm) представление (6) связано
с решением (5). Если |г| = — г, то ввиду zf,Q = zor (mod пг)
Q = z„ I r \ (mod m), представление m = Q2+|r|2 связано срете-
нием (5).
С каждым решением (5) связано не более одного представле-
ния (1). Действительно, если два представления т = я2-|- у2
и т = хЦ-у{ числа т в форме (1) связаны с одним и тем же ре-
шением (5), то из х = zay (mod т), х1 = z^y-i ( nod т) следует
хуг = х,у (mod т). Поэтому хг/1 = а:1у, откуда ввиду (х, у) =
=(*i, ?/i) = l следует х=хх, у=у,.
Ь. Если т представляется в форме (3), то решение
z = z0 (mod р) (7)
сравнения х = zy (moi р) является также и решением сравне-
ния (4k Мы будем говорить, что указанное представление связано
с решением (7) сравнения (4).
Зная решение (7) сравнения (4), найдём не менее одного пред-
ставления (3). Действительно, взяв р, имеем
!7-5-+5ТГ'
Поэтому zaQ = г (mod р), где | г | < р. Далее из (4) следует, что
| г |2 + aQ2 = 0 (mod р). Отсюда и из 0 < | г |2 + aQ2 < (1 + а) р сле-
дует, что при а = 2 должно быть или |r|2 + 2Q2 = p, или | г |2 +
+ 2Q2=2p. В последнем случае | г | — чётное, |r| = 2r]( p=Q2 + 2r?.
При а — 3 должно быть или | г |2 + 3Q2 = р, или | г |2 + 3Q2= 2р, или
| г |2 + 3Q2 = 3p. Второй случай невозможен: по модулю 4 левая,
часть сравнима с 0, а правая — с 2. В третьем случае | г | кратно
Допустив, что два представления р = г2 + аг/2’и p=xf + ау{
числа р в форме (3) связаны с одним и тем же решением
сравнения (4), найдём х = ху, у=уг. Допустив, что эти пред-
ставления связаны с различными решениями сравнения (4),
найдём х = zy(mod р), х, = — zy, (mod р), откуда хух + xry s
= 0 (mod р), что ввиду 0 < (хуг + xty)2 < (х2 + у2) (х2 + у2) < р2
невозхожно.
с. а) Слагаемые суммы S (к) с х = х1 и х=—Zj равны между
собою.
Р) Имеем
р-1
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ V
155
7) Полагая р—1=2р1, имеем
pi pi
Pi (S (г))» + P1 (S (я))2 = 2 И*»* + 5 =
1 = 1 1=1
p
p—i p— 1 p—1p—1
=2 (-?(w=2 2 2
fc=l x=l y=l fc=l
При у, не равном х или р— х, результат суммирования по к
будет—; при у — х или у = р—х он будет (р— 2) •
Поэтому
Pi (S (г))2 + Р1 (S (л))2 = iPP1, р = (~ S (г) ) 2 + ( А (л)) 2 .
10, а. Имеем
Х2_.ду2=(Ж1+2/1 /д) (^±2Za /5) (хг-уг /5) (х^у3 уЪ)=к*.
Ь. Взяв любое Tj с условием > 1, найдём целые xlt у±
________________ j
с условиями | у1 УD — Xi | < — , 0 < tj, откуда, умножая по-
г1
членно на yv ]/rV + x1<2y1 D + i, получим | xf—Dyf | <2 ]/"/> + 1.
__ 1
Взяв > tj с условием I У11^-0—^ | > — , найдём новые
_ Т3
целые х2, у2 с условием \х%—Dyf | < 2 y^D+i, и т. д.
Очевидно, в интервале — 2 D — 1 <к <2 V D + 1 существует
такое целое, не равное нулю к, что среди пар хи у,; хл, у2; ...
найдётся бесчисленное множество пар х, у с условием хг — Dy2 — k\
среди же последних наверно найдутся две пары Еи т;, и Vi
с условием ( nod | Л]), оц = »), (mod | к |). Определяя целые
Ео, Io равенством с0 + % = + ifo V D) ($, — V D), имеем
(вопрос а)
%-Ь = | * I2; Ео = = 0 (mod р|);
Io = — Е111 + El’ll = 0 (mod P |).
Поэтому Ео = 5|Л|, i]0 = 7)p|, где fj и »]—целые и £2 — D^—l.
е. Числа х, у, определяемые равенством (2), удовлетворяют
(вопрос а) уравнению (1).
Допустив существование пары целых положительных х, у,
удовлетворяющих уравнению (1), но отличной от пар, определяе-
мых равенством (2), мы при некотором г=1, 2, ... будем иметь
Ц + У9 < X + У уъ < (xt + у9
156
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Отсюда, деля почленно на (ж0 т- У» V-О)г. получим
1< X + YVD<xa + yayD, (3)
где (вопрос а) X и У — целые, определяемые равенством
(*о + Ул У D)T
и удовлетворяющие уравнению
Х2—ОУ*=1. (4)
Но из (4) следуют неравенства 0 < | X |—|УУ^/>|<1, которые
в соединении с первым неравенством (3) показывают, что X
и У — положительные. Поэтому второе неравенство (3) противо-
речит определению чисел ж0 и уа.
11, а, а) Имеем
р-1 р-1 ах (1—1)
\Ua, p|2 = (7a, pUa, р= 2 (-р') е Р
1=1 Х=1
При 1 = 1 суммирование по х даёт р—1; при t> 1 оно даёт
— • Поэтому
р-1
|^,Рр=р-1-2 (у)=^
1=2
ИЛИ
Р-1 P-t
IUa,pp = Ua,pUa,p=^ Р-
1 = 0 х=0 4
При 1 = 0 суммирование по х даёт р—1; при t>0 оно даёт
. . at
2т —
—е р . Поэтому
р~‘ ki“f
I^,pI2 = p-i-2 е р =Р’\va,p\=Vp.
t=i
• Р) При (а,р) — р теорема очевидна. При (а, р) = 1 она сле-
дует из
р-1 , : ах
х==1
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ V
157
Ь, а) Пусть г пробегает квадратичные вычеты, а п—квадра-
тичные невычеты, - заключённые в полной системе вычетов.
Имеем '
&а, р — 1 + 2
Вычитая отсюда почленно
2кг—
o=i+Se ₽ + 2
п • ап
2т —
мы и получим указанное равенство.
Р) Имеем
ш-l т-1 . а(124 21х)
2 7С1 ——— -1
। sa> т 2 2 е т •
1=0 х=0
2кг
При данном t суммирование по х даёт те т или 0, в зависи-
мости от того, делится 2t на т или нет. При нечётном т имеем
„ . а-02
2кг----------------------------------
Ив,тР="»е т =т-
При чётном гп = 2тп1 имеем
, „ . а-02 . а-т2
„ Z 2кг----- 2кг------
I т |2 = т !^е ™ + е ™ \ .
Здесь правая часть равна нулю при нечётном Wj и равна 2т
при чётном тг.
у) При любом целом Ъ имеем
т— 1 .Ах2 + 2АЬх
। „ 2к1---------I
i^>Jni=| 2 е т |>
' х=0
откуда, выбирая Ъ из условия 2АЬ = a (mod т), мы и получим
(вопрос Р) указанный результат.
12, а. Имеем
I M+Q— 1 т— 1 g(z—з)
Ф(г)=2 2 2 Ф(г)е"1 т .
? z »=М g=0
158
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Часть суммы, стоящей справа, отвечающая а=0, равна Q S Ф (г);
г
часть, отвечающая оставшимся значениям а, численно (вопрос
11, с, гл. III)
т-1 М-KJ— 1 д^.-gs
< А 2 | 2 е т j<Am(lnm —5).
а —1 s=M
Ь, а) Следует из теоремы вопроса И, а, а) и теоремы вопроса а.
р) Неравенство вопроса а) даёт R — .N = Q J/plnp. Кроме того,
очевидно, R 4 .N —Q.
у) Из теоремы вопроса 11, b, Р) следует, что условия теоремы
вопроса а будут соблюдены, если положим т — р, Ф(з) = 1, причём
заставим z пробегать значения z—x1', ж = 0, 1, ..., р—1. Посреди
значений z имеется одно сравнимое по модулю р с 0 и по два
сравнимых по модулю р с каждым квадратичным вычетом полной
системы. Поэтому
2'ф(г) = 2Л,
2 Z
и мы получим
21? = ~ р _|_ 0 р In р.
Ъ) Следует из теоремы вопроса 11, Ь, 7) и теоремы вопроса а.
г) Из теоремы вопроса S) следует, что условия теоремы вопроса
а будут соблюдены, если положим т = р, Ф (z) = l, причём заставим г
пробегать значения z — Ax2-, х = М0, Мо+1, ..., Мо + (?о~1- По-
этому
2'ф(г)=г,
i г
откуда и следует указанная в вопросе формула.
с. Часть суммы, содержащая слагаемые с ^ — ^=1, равна
r> (R2N"-"), оставшаяся часть равна —2pRN. Поэтому вся сумма
равна p(R — N)*.
Часть суммы, содержащая слагаемые с а —0, равна 0. Остав-
шаяся часть численно меньше (вопрос 11, с, гл. III):.
р—1 М-1 Q— 1 „ .ах р—1 MtQ—1
2| 2 «”’| 2| 2
а=1 z-M а=1 у-М
в р <р2(1Пр)>.
Олрдовательно, p(R — N)2 < р!(1п р)г, |Я—< p^ ln р.
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
159
Решения к главе VI.
1, а. Если д—простое нечётное и ap = l(modg), то а по мо-
дулю д принадлежит одному из показателей 5=1; р. При 5=1
имеем а = l(modg), при 5 = р имеем д — 1 = 2рх; х—целое.
Ь. Если (/—простое нечётное и ар+1 = O(modg), то
а2р = 1 (mod д). Поэтому а по модулю д принадлежит одному из
показателей 5=1, 2, р, 2р. Случаи 5=1; р невозможны. При
5 = 2 имеем a2 = l(modg), а у-1 = 0 (mod д). При 5=2р имеем
д — 1 = 2рх; х — целое.
с. Простыми вида 2рх + 1 будут, например, простые делители
числа 2Р—1. Пусть р2, р2, ..., рк — какие-либо к простых чисел
вида 2рх-|-1; число (pjp2 ••• р*)₽— 1 имеет простой делитель вида
2рх + 1, отличный от р,р2 ... рк-
d. Если д—простое и 22” + 1 = 0 (mod g), то 22"+* = 1 (mod g).
Поэтому 2 по модулю д принадлежит показателю 2n+1 и, следо-
вательно, д —1 = 2п’,1г; х—целое.
2. Очевидно, а по модулю ап—1 принадлежит показателю п.
Поэтому п— делитель <?(ап— 1).
3, а. Пусть после к-й. операции снова поручается исходный
ряд. Очевидно, к-я операция равносильна следующей: в ряде
1, 2, ..., п — 1, п, п, п—1, ..., 2, 1, 2, ...
..., п—1, п, п, п - 1, ..., 2, 1, 2, ...
берутся числа, стоящие на 1, 1 + 2й, 1 2-2*, ... местах. Поэтому
на 1 + 2й месте в исходном ряде должно стоять число 2. Следо-
вательно, указанное в вопросе условие необходимо. Но оно и
достаточно, так как при его наличии имеем следующие сравне-
ния по модулю 2л—1:
1 = 1, 1 + 2*з0, 1 + 2-2*= —1...
ИЛИ 1 = 1, 1 + 2* = 2, 1+2-2* = 3, ...
Ь. Решение аналогично решению вопроса а.
4. Решение сравнения я5 = 1 (mod р) принадлежит показателю
вида =7-, где 5' — делитель 5. При этом 5' кратно d тогда и только
О
8
, тогда, когда xd =l(nodp). Выписав все 5 значений 5' и взяв
/=1, получим 5' = где S' — искомое число и 5d = -^- .
d\8
5, а. Здесь (§ 3; пример с, § 5) должно быть ( —-—] = —1.
\2 -j-1J
Это требование выполняется при g = 3.
Ь. Здесь не должно быть ( = 1, g* = 1 (mod2p + 1).
Это требование выполняется при указанных значениях g.
160
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Это
Это
1, g* = 1 (mod4p + 1).
с. Здесь не должно быть (
\4р 1 1
требование выполняется при g = 2.
/ 0 \ лП _
d. Здесь не должно быть -——jjssl, б = 1 (mod 2 /? + 1).
требование выполняется при g=3.
6, а, а) При п, кратном р — 1, теорема очевидна. Пусть п не
делится на р—1. Числа 1, 2, ..., р —1, если отвлечься от по-
рядка их следования, по модулю р сравнимы с числами g, 2g, ...
..., (р— i)g, где g — первообразный корень по модулю р. Поэтому
7,=gn.Sn(modp), Sn = 0 (mod р).
Р) Имеем
р-1
Р—1 р—1 р—1
7^ j= 2 (жг+1) 2
x=i
откуда (вопрос а)) и получается указанный результат.
Ь. При р > 2 имеем
р-1
1-2 ... (р—1) = g14 2 + --’+р-1 = g 2 = —1 (mod р).
7, а. Имеем gjnd^ia= a (mod р), ind0 a ind0 g!=ind0 a (mod p—1),
ind0 a = a ind0 a (mod p — 1).
b. Из ind9 a = s (mod n), ind0 a = a ind0 a (mod p— 1) следует
ind a - as = sj (mod n).
8. Пусть (n, p—1)=1. Найдя и из условия пи = l(modp — 1),
получим решение х = аи (mod р).
Пусть п—простое, р—l — nat, а — целое положительное,
(г, п)=1. Если сравнение возможно, имеем ап° 1( = l(modp);
если a > 1, то, замечая, что х = gn<t tT (mod р), г =0, 1.п — 1
суть все решения сравнения хп =1 (modp), при некотором
= 0, 1, ..., п-1 имеем
п«—2( na~ltr.- .
ап ‘g 1 = 1 (mod р);
если a > 2, то при некотором rt = 0, 1, ..., п — 1 имеем
na—Зг na—2ir. + na—Чг„
ап ‘g 1 2 = 1 (mod р),
и т. д.; наконец, при некотором ra_j=O, 1, ..., п—1 имеем
# «и,-Г** 4Г„Т...-Г«- 1 Л Z л \
alg 1 2 a 1 = 1 (mod р).
Найдя и и v из условия tu—nv=—1, получим п решений:
„ ui(r,-tnr, + ...+na—2r„_1)+na—Чг, , . . . .
x=avg 4 *” 1 (modp); r=0, 1.........n— 1.
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
161
Пусть простое делит (га, р—1), ra==nj«2, п2 > 1. Соответ-
ственно каждому решению сравнения у”1 = a (mod р) разыскиваем
решения сравнения х 2 = у (mod р).
9, а. Указанным путём получим ccoci ... с^ = <р (т) характеров.
Пусть у двух характеров Xi (а) н Ха (а) не равны между собою
значения R' и R" какого-либо из корней R, Ro, RJt Л*; для
числа а,, у которого все индексы равны 0, кроме лишь одного,
отвечающего указанным R' и R", равного 1, имеем
Xi(«i) = -R', X2(«i) = -R’.
b, а) Имеем х(1) = Я° Я£ = 1-
Р) Пусть Y, 7^: 7", .... 7^ —системы индексов чисел а1 и
а2; тогда 7'4-7", , li + lt—система индексов числа (с, § 7).
7) При ах = а2 (mod т) индексы чисел at и а2 сравнимы ме
жду собою соответственно по модулям с, с*.
с. Указанное свойство следует из
т— 1 с—1 С).— 1
a —О Т = 0 Тк=0
d. Указанное свойство следует из
2х(й1=2^--2^-
7. R R*
е. Пусть ^(«1)^0. Тогда ф (ах) = ф (ах) ф (1). Поэтому ф(1)=1.
Найдя а' из условия аа' = 1 (mod т), имеем ф (а) ф (а') =1. Поэтому
ф(а)^О при (я, т) = 1.
При (alr т)=1 имеем
V' = V' = X(ai) у' /.И .
.Zj ф(а) Z1 у (а^) ф (ах) Zj ф (а) ’
а а а
поэтому или 2 т-7-г = 0, или же Ф(а1) = Х(°1) ПРИ вссх а1- Но
первое предположение не может оправдываться при всех •/.: тогда
было бы 77 = 0, а между тем 11 = я (т), так как, суммируя при
данном а по всем характерам, имеем
SX (a)_ f <р (ш), если а == 1 (mod т),
ф (а)~~ ( 0 в противном случае.
г
f, а) Если R’....7?j. и R".....R'k—значения R, ..., R
отвечающие характерам Xi (a) и Х2 (®)> то Xi (®) 7.2 (о)—характер,
у которого соответствующие значения суть R'R”, ..., R'^R^-
162
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Ji) Когда R.......Нк пробегают все корни соответствующих
уравнений, то R'R, ..., RkRk пробегают в некотором порядке
те же самые корни.
7) Определяя I’ из условия И’ = 1 (mod т), имеем
X 7. X
что равно у (т) или 0, в зависимости от того, будет ли a = I (mod m)
или нет.
10, а. а) Определяя х' сравнением хх' = 1 (mod р). имеем
х= 1
Имеем
р-1 Q-l Q-1
21 = 0 2 = 0
in суммирование по
р—i „ . I Ind (х+Тс)—I Ind х р—1 „ . I ind (l + fcx')
__ 2 тс г------------ _ ----------
x~l
_ . I ind(«+zi)—I lnd(a:+z)
2 th ----------------
n
e
x даёт p—1, при zlt не равном z,
суммирование по x (вопрос а)) даёт—1. Поэтому
5 = (p-l)Q-Q(Q-l) = (p-Q)Q.
7) Пусть Qx — число чисел ряда т + z; z = 0, 1, ..., Q—1, не
делящихся на р, а Тп х—число чисел того же ряда, принадле-
жащих s-й совокупности. Пусть, наконец,
р — 1
и =—^-+т , s=y.ul,x-
х ~о
Имеем
n—lQ—i . I (ind (a+z)—s)
nl ”
z=0
n—1 . Is
л — 2ni
1=1
n—1
. Й,хС^(«-1)2|^п,хР- S^(^y(p-Q)Q.
1=1
Полагая Q=[n Y~p] и допуская, что в указанном в вопросе ряде
,^Q— 1
чисел s-и совокупности нет, убедимся, что |<7П> ж | при
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
163
х = М, Af + l, .... Af-j-Q—1, и, таким образом,
Q(^)2<(^)2(P-Q)Q1 (П /р“2)2 <
что невозможно.
Ь. Пусть р0—произведение различных простых делителей
числа р—1, Qx—число чисел ряда x + z; z = 0, 1, Q—1, не
делящихся на р, a G»— число чисел того же ряда, являющихся
первообразными корнями по модулю р. Пусть, наконец,
/> = (2^У=Т=^’ Wi=_^ + Gx, <-2 = 2^.
d J ®(p —1) P x
d\p0 «=0
Взяв /(£) = ! и заставляя § пробегать значения 5 = iiid (ж+z);
z = 0, 1, ..., Q — 1, получим 5'= 2 I1 (rf)Здесь S'— число
d\p0
значений E, с условием (?, p—1)=1; поэтому 5' = GX. Далее,
<УЙ—число значений кратных rf; поэтому Sd = Tdx (вопроса, 7)
при s = 0. Следовательно,
«’х=-^+2 н ю тч,х = 2 н (</) udtX,
d\po d\P0
< 2**(p-Q) Q.
d\P0
Полагая Q = {P2k p] и допуская, что в указанном в вопросе
ряде первообразных корней нет, уоедимся, что \wx\:^-^-p—
при МН-1, .... M + Q—1 таким образом.
Q(“)2<22А (р—Q)<?• Кр-2)2 < .
что невозможно.
И, а, а). Имеем
р—ip—1 „ . к ind ( 1)х
_ _ , i 21^1---
i^,pi2=SSe п е р =
i = l Х=1
Р-1 2„i^_(
=р—1—2е п =р-
t=2
164
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Р) При (а, р)=р теорема очевидна. При (а, р) = 1 она сле-
дует из
„_.,-iinda р-1 „ .ilndaa .ах „ . -kinda
Л7С» _ 470------ Z71?- /ТЫ
^,р = ‘ "2е ” е ’=< " Vip.
3 = 1
•р Очевидно, А и В — целые, причём j S |а =Ла + В2. При неко-
торых s, s', е* с условием ] s I = | з' | = | з* | = 1 имеем (вопрос р))
р—1р-1 р-1
г^77>2 2 2
21 1 Z — 1 Л = 0
-2к1‘Па *1+*°^ 2,и*1Ж + г^?.)
е * t р
Если 21 + z не равно р, суммирование по х даёт нуль. Поэтому
2 = 1
|5|а = р.
Ь, а) При данном г сравнение x" = z(modp) возможно лишь
в случае, когда ind z делится на д, причём тогда это сравнение
имеет 3 решений. Поэтому при й=1 имеем Sai =0. Если же
3 > 1, то имеем
S
а,р
8—1 р—1 к ind 1
У У .
2тА —
» Р
8
*=0 2=1
При к=0 суммирование по 2 даёт — 1; при к > 0 оно даёт вели-
чину, модуль которой равен YР' Отсюда и следует результат,
указанный в вопросе.
р) Полагая
г = и-рр’ u = 0, ..., р* 1 — 1, ® = 0, ..., р — 1,
имеем
2ixi охН
е Ps _e2nia (u”p~*+nun—'p~1v)
При (и, р) = 1 суммирование по v даёт нуль. Поэтому
хэ=0
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
165
7) Пусть рх — наибольшая степень р, делящая п. Имеем
s > - + 3. Полагая
х — и + ps -1 “"v; u = 0, ... , р8-1-* —1, V = 0, ... , p"+1 — 1,
находим
. oxn
e 1X1 p" _g2itia (uHp~s -t nu" 1p~r-~^v)
При (и, p) = l суммирование no v даёт нуль. Поэтому
Р8-1-!
^а, р« = 2 6 П==рП 1Sa’ Р5-" ,lS а< ₽8 —°'
хо-0
S) Пусть т = ра11 ... р%к —каноническое разложение числа т.
Полагая
Та, т = 1 + Ч, т! - = V ’ т • =М^
и определяя а,, . . ., ак из условия а = Л/^ + - . 4 Мк&к (mod т),
имеем (вопрос 12, d, гл. III)
Но при s = 1 имеем
I Та, Vp<np~~ •
При (п, р) = 1 имеем
\^а, рв1 = р-845>8-‘<1.
При 1 < s п, (п, р)=р имеем
1Га, р.КГ’+’7<Р<'»-
Случай s >п ввиду Та> ^ = Р~3+ВУрп~1^а1 ps-ъ — Т^ сводится
к случаю s<n. Поэтому
откуда и получается указанное в вопросе неравенство.
12, а. Следует из теоремы вопроса 11, а, я) и теоремы
вопроса 12, а, гл. V.
166
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
b. Имеем
M+Q— In— 1 .&(indx—«)
Гп= 2 2 e
x=M £ = 0
При k=0t суммируя по х, полупим Q; при Л > О полупим число,
модуль которого < V р In р. Отсюда и следует указанная в во-
просе формула.
с. Взяв /(х) = 1 и заставляя х пробегать значения х = ind М,
ind(M+l), ind (М -|- Q—1), получим (вопрос 17, а, гл. II)
S' = 2 р (d) Sd. Здесь S’ — число значений х с условием
d\P—1
(х, р —1) = 1; поэтому S’ = T. Далее Sd—число значений х, крат-
ных d, т. е. число вычетов степени d в ряде М, М -|-1, ...
..., М + <2—1. Следовательно,
и= 2 (J+Od/pinp) ; |fld|< 1, 0i=o.
d\p—1
d. Из теоремы вопроса а следует, что условия вопроса
12, а, гл. V будут соблюдены, если положим т = р — 1, Ф(з) = 1,
причём заставим z пробегать значения z=indx; х=М, М + 1, .. .
/.. M + Q — 1. Тогда получим (<?т вместо Q)
2ф’(г)=Л 2*(O=<2’ •^=yir1Q + fl/p(inp)2-
z z
13. Допустим, что невычетов, не превосходящих h, нет.
Число невычетов степени п среди чисел
1, ..., Q; Q=Vр(1пр)2
можно оценить двумя способами: исходя из формулы вопроса
12, b и исходя из того, что невычетами могут быть лишь числа,
делящиеся на простые, большие h. Получим
. In р + 2 In In р
i_l<in *----------------
п — In р + 2 In In р
С
1 + 4^
о < In----+ о f-j-------•
1+2с1^р
In р
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
167
Невозможность последнего неравенства при всех достаточно»
больших р и доказывает теорему,
14, а. Имеем
т— 1 т— 1 т— 1 „ ,ax(yi—у)
__________ ди---------
p(2/i) р (у)е
х = 0 0 - =0
При данных ух и у суммирование по х даёт Хт | р (у) |2 или нуль,
в зависимости от того, будет ли 2/1 = 2/ или нет. Поэтому
\S\^XYm, | £ |</ХУт.
b, а) Имеем
, „ . aunv«
1 2 тс г-
‘У—гЛ yxWzWe т ,
(т)
и V
где и п v пробе; ают приведённые системы вычетов по модулю т.
Отсюда
m -1 т—1 .ахи
1 , ^пг---
т’
х-0 у~0
2 2
ип = х (mod rn) vn = y(mo&m)
Но имеем (вопрос 11. гл. IV)
т-1
x=Q
т— 1
2 I Р (У) I2 < Х? (т).
у=0
Поэтому (вопрос а)
। 5 ^mj т = К ^т-
( §) Пусть m = 2“p“1.. .р^к — каноническое разложение чи-
сла т. Сравнение хл = 1 (mod т) равносильно системе
хп = 1 (mod 2а), хп = 1 (mod р*1), ..., ж” = 1 (mod p£fc).
Пусть у (х) и 7и (ж)—индексы числа х по модулю 2а (g, § 6). Сравне.
ние хп = 1 (mod 2а) равносильно системе п-\ (ж) = 0 (mod с),
пу0 (ж) = 0 (mod с,,). Первое сравнение этой системы имеет не более
2 решений; второе—не более п решений. Поэтому сравнение
ж” = 1 (mod 2а) имеет не более 2п решений. Согласно Ь, § 5
168
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
каждое из сравнений хп = l(mod р*1), .... zns 1 (mod pjfc) имеет
не более п решений. Следовательно,
in п
К <2(т(т))1п2 ; К=О(т*).
15, а. Имеем
- р-1 Р-1 „ .а ((”—1)хп+Ь (t—1) х
___ ___ Zill---------------
i^r=2 2 е
t= 1 х = 1
Если t” = 1 (mod р), то суммирование по х даёт р— 1 при
t = 1 (mod р) и —1 в остальных случаях. В противном случае,
беря z (1 — I)*1 вместо х, соответствующую выбранному t часть
двойной суммы представим в форме
Р-1 „ . Ы . ,a(t»-l)(t-i)-n zn
Lt 7СI ~~ LlTZl *
2 е Р е р
z = 1
Поэтому
р—1 р—1 _ .auv
___ Zul---
2 2 * р е р
где v (и) равно числу решений сравнения (1п — 1) (t—1)~” =» (mod р),
а |р(р)| не превосходит числа решений сравнения zn = и (modр).
Поэтому ч (и) 2«,, | р (г) | nlt
р—1 р—1
2 I v О) !) 2"i> 2 । р — "!
и=1 Р=1
Применяя теорему вопроса 14, а, получим
3
I I2 < Р— 1+V(Р—1) 2^i (р— 1) п^р < 2nxp2.
Ь, а) Следует из теоремы вопроса а и теоремы вопроса
12, а, гл. V.
$) Из теоремы вопроса а) следует, что условия теоремы
вопроса 12, а, гл. V будут соблюдены, если положим т = р,
Ф(а)=1, причём заставим г пробегать значения z = Axn; х=Мв,
• Мо + 1, ...,M0 + Qa—1. Поэтому
2'®(г)=л 2ф(г)=<?”
Z Z
откуда и следует указанная в вопросе формула.
РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
169
е, а) Пусть у = 4ау1 (mod р). Имеем (вопрос И, а, гл. V)
Р-1 „
a^S ^4а2я2 + 4а&а:-|- 4ас^ 1 р _
х=0
—(Ь2 —4ac)z—2ЬТ1—yfz
2«i------------------i-
Последняя же сумма (вопрос а) численно
0) Следует из теоремы вопроса а) и теоремы вопроса 12, а,
гл. V.
ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ.
Ответы к главе I.
1, а. 17.
Ь. 23.
К -10 fl
2,а.«) а4=л;
. ч , 80 ач 1002 , в
ь> «) «. 59. W “—739+739.1000’
3. Всего получим 22 дроби.
5, а. 28 • З5 И3.
b. 23 • З3 • 54 • 73 • II2 • 17 • 23 • 37.
Ответы к главе II.
1, а. 13142.
b. 211’ • З39 • 531 • 71» • И12 • 132 • 17’ • 19® 236 29* • 31‘ • 37’ X
X 413 • 432 • 472 • 532 • 592 • 612 -67-71 73 • 79 • 83 • 89 • 97 х
X 101 • 103 • 107 - 109 • ИЗ.
2, а. т(5600) = 36; <У (5600) = 15 624
Ь. -с (116 424) = 96; 51 (116 424) = 410 400
3. Сумма всех значений равна 1.
4. а) 1152; (1) 466 400.
5. Сумма всех значений равна 774.
Ответы к главе III.
1, а. 70.
Ь. Делится.
2, а. З3 - 52 • И2 • 2999.
Ь. 7 • 13 • 37 • 73 • 101 • 137 • 17 :19 • 257.
Ответы к главе IV.
1, а. я = 81 (mod 337).
Ь. х = 200; 751; 1302; 1853; 2404 (mod 2755).
2, Ь. х = 1630 (mod 2413).
3. я=94+ lilt; j/=39 + 47t, где I—любое целое.
ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ
171
4, а. х = 17061 + 52Ь2 (mod 221); х = 131 (mod 221);
х = 110 (mod 221); х = 89 (mod 221).
b. х = И 151^ + И 80062+ 16 8756а (mod 39 825).
5, а. х = 91 (mod 120).
b. х = 8479 (mod 15015).
6. х = 100 (mod 143); у = 111 (mod 143).
7, а Зх4 4- 2х3 4 Зх2 4 2х = 0 (mod 5).
Ь. х6 + 5х44- Зх2 + 3x4- 2 = 0 (mod 7).
8. х6 4- 4х5 4 22х4 4- 76х3 4- 70х2 4- 52х 4- 39 = 0 (mod 101).
9, а. х = 16 (mod 27).
b. х = 22; 53 (mod 64).
10, а. х = ИЗ (mod 125)
Ь. х = 43, 123, 168, 248, 293, 373, 418, 498, 543, 623 (mod 625).
И. а. х = 2, 5, И, 17, 20, 26 (mod 30).
b. х = 76, 22, 176, 122 (mod 225).
Ответы к главе V,
1, а. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18.
Ь. 2 , 5 , 6 , 8, 13, 14, 15, 17, 18, 19 , 20 , 22, 23 , 24 , 29 , 31,
32, 35.
2, а. а) 0; Р) 2.
Ь. а) 0; Р) 2|
3, а. а) 0; Р)2.
Ь. а) 0; В) 2.
4, а. а) х = ± 9 (mod 19); В) х = zb.И (mod 29);
4) х = i 14 (mod 97).
b. а) x = ± 66 (mod 311); ₽) x = ± 130 (mod 277);
7) x = zb 94 (mod 353).
5, a. x = ± 72 (mod 125).
b. x = 4z 127 (mod 243).
6, a. x = 13, 19, 45, 51 (mod 64).
b. x = 41, 87, 169, 215 (mod 256).
Ответы к главе VI.
1, a. 6.
b. 18.
2, a. 3, 3, 3.
b. 5, 5, 5.
c. 7. • •
5, a. a) 0; P) 1; 7) 3.
b. a) 0; ₽) 1; 7) 10.
6, a. a) x = 40; 27 (mod 67), P) x = 33 (mod 67),
7) x = 8, 36, 28, 59, 31, 39 (mod 67).
b. a) x= 17 (mod 73), p) x = 50, 12, 35, 23, 61, 38 (mod 73),
7) x = 3, 24, 46 (mod 73).
172
ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ
7, а. а) 0; В) 4.
Ъ. а) 0; р) 7.
8, а. а) х = 54 (mod 101). Р) х == 53, 86, 90, 66, 8 (mod 101).
b. х = 59, 11, 39 (mod 109).
9, а. а) 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17; Р) 1, 7, 8, 11, 12, 18.
Ь. а) 1, 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36;
Р) 1, 7, 9, 10, 12, 16, 26, 33, 34.
10, а. а) 7, 37; Р) 3, 5, 12, 18, 19, 20, 26, 28, 29, 30, 33, 34.
Ь. а) 3, 27, 41, 52;
Р) 2, 6, 7, 10, 17, 18, 26, 30, 31, 35, 43, 44, 51, 54, 55, 59.
ТАБЛИЦЫИНДЕКСОВ
173
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ.
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 -1 2 4 8 5 10 9 7 3 6
Простое число 13.
Я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 10 0 7 1 6 4 2 9 5 11 3 8
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 1 10 2 7 4 8 3 6 12 11 9 5-
174
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
Простое число 17.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 3 0 7 14 13 1 4 12 9 5 6 15 8 И 10 2 0 1 1 8 3 7 9 4 10 12 13 2 5 6 15 11 16 14
Простое число 19.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 17 0 12 1 15 13 5 2 7 16 11 14 4 6 10 3 9 8 0 1 1 17 2 15 4 11 8 3 16 6 13 12 7 5 14 10 9 18
Простое число 23.
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 2 16 4 1 18 19 6 10 0 1 5 2 10 4 20 8 17 16 И
1 2 3 5 9 13 20 11 14 21 17 8 7 12 15 1 2 9 12 22 14 18 21 13 19 3 15 6 7
Простое число 29.
'N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
'0 0 1 5 2 22 6 12 3 10
1 23 25 7 18 13 27 4 21 11 9
2 О 24 17 26 20 8 16 19 15 14
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 4 8 16 3 6 12 24 19
1 9 18 7 14 28 27 25 21 13 26
2 23 17 5 10 20 11 22 15
Простое
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 24 1 18 20 25 28 12 2
1 14 23 19 11 22 21 6 7 26 4
2 3 8 15 29 17 27 13 10 5 3 16 9
число 31.
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 3 9 27 19 26 16 17 20 29
1 25 13 8 24 10 30 28 22 4 12
2 5 15 14 11 2 6 18 23 7 21
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
175
Простое число 41.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 26 15 12 22 1 39 38 30
1 8 3 27 31 25 37 24 33 16 9
2 34 14 29 36 13 4 17 5 11 7
3 4 23 20 28 10 18 19 21 2 32 35 6
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 36 И 25 27 39 29 10 19
1 32 28 4 24 21 3 18 26 33 34
2 40 35 5 30 16 14 2 12 31 22
3 9 13 37 17 20 38 23 15 8 7
Простое число 43.
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 27 1 12 25 28 35 39 2
1 10 30 13 32 20 26 24 38 29 19
2 37 36 15 16 40 8 17 3 5 41
3 4 11 22 34 6 9 21 31 23 18 14 7 4 33
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 1 10 14 11 24 3 30 42 33 29 9 4 40 13 27 12 34 39 38 36 16 31 28 22 5 7 41 23 15 21 37 26 2 20 25 35 6 17 32 19 18 8
Простое 5 ЧИСЛО 47.
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 18 2С 36 1 38 32 8 40 0 1 5 25 31 14 23 21 11 8 40
1 19 7 10 11 4 21 26 16 12 45 1 12 13 18 43 27 41 17 38 2 10
2 37 6 25 5 28 2 29 14 22 35 2 3 15 28 46 42 22 16 33 24 20
3 39 3 44 27 34 33 30 42 17 31 3 36 39 7 35 34 29 4 20 6 30
4 9 15 24 13 43 41 23 4 9 45 37 44 32 19 -
176
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
Простое
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 17 2 47 18 14 3 34
1 48 6 19 24 15 12 4 10 35 37
2 49 31 7 39 20 42 25 51 16 46
3 13 33 5 23 11 9 36 30 38 41
4 5 50 43 45 27 32 26 22 8 29 40 44 21 28
число 53
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 4 8 16 32 И 22 44 35
1 17 34 15 30 7 14 28 3 6 12
2 24 48 43 33 13 26 52 51 49 45
3 37 21 42 31 9 18 36 19 38 23
4 5 46 40 39 27 25 50 47 41 29 5 10 20
Простое
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 50 2 6 51 18 3 42
1 7 25 52 45 19 56 4 40 43 38
2 8 10 26 15 53 12 46 34 20 28
3 57 49 5 17 41 24 44 55 39 37
4 9 14 11 33 27 48 16 23 54 36
5 13 32 47 22 35 31 21 30 29
число 59.
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 4 8 16 32 5 10 20 40
1 21 42 25 50 41 23 46 33 7 14
2 28 56 53 47 35 11 22 44 29 58
3 57 55 51 43 27 54 49 39 19 38
4 17 34 9 18 36 13 26 52 45 31
5 3 6 12 24 48 37 15 30
Простое
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 6 2 22 7 49 3 12
1 23 15 8 40 50 28 4 47 13 26
2 24 55 16 57 9 44 41 18 51 35
3 29 59 5 21 48 И 14 39 27 46
4 25 54 56 43 17 34 58 20 10 38
5 6 45 30 53 42 33 19 37 52 32 36 31
число 61.
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 4 8 16 32 3 6 12 24
1 48 35 9 18 36 11 22 44 27 54
2 47 33 5 10 20 40 19 38 15 30
3 60 59 57 53 45 29 58 55 49 37
4 13 26 52 43 25 эО 39 17 34 7
5 14 28 56 51 41 21 42 23 46 31
Простое число 67.
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 39 2 15 40 23 3 12
1 16 59 41 19 24 54 4 64 13 10
2 17 62 60 28 42 30 20 51 25 44
гз 55 47 5 32 65 38 14 22 И 58
4 18 53 63 9 61 27 29 50 43 46
5 31 37 21 57 52 8 26 49 45 36
6 56 7 48 35 6 34 33
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 4 8 16 32 64 61 55 43
1 19 38 9 18 36 5 10 20 40 13
2 26 52 37 7 14 28 56 45 23 46
3 25 50 33 66 65 63 59 51 35 3
4 6 12 24 48 29 58 49 31 62 57
5 47 27 54 41 15 30 60 53 39 11
6 22 44 21 42 17 34
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
177
Простое число 71.
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 6 26 12 28 32 1 18 52
1 34 31 38 39 7 54 24 49 58 16
2 40 27 37 15 44 56 45 8 13 68
3 60 11 30 57 55 29 64 20 22 65
4 46 25 33 48 43 10 21 9 50 2
5 62 5 51 23 14 59 19 42 4 3
6 7 66 35 69 17 53 36 67 63 47 61 41
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 7 49 59 58 51 2 14 27 47
1 45 31 4 28 54 23 19 62 8 56
2 37 46 38 53 16 41 3 21 5 35
3 32 И 6 42 10 70 64 22 12 13
4 20 69 57 44 24 26 40 67 43 17
5 48 52 9 63 15 34 25 33 18 55
6 30 68 50 66 36 39 60 65 29 61
Простое число 73.
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 8 6 16 1 14 33 24 12
1 9 55 22 59 41 7 32 21 20 62
2 17 39 63 46 30 2 67 18 49 35
3 15 11 40 61 29 34 28 64 70 65
4 25 4 47 51 71 13 54 31 38 66
5 10 27 3 53 26 56 57 68 43 5
6 7 23 42 58 44 19 36 45 48 60 69 50 37 52
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 5 25 52 41 59 3 15 2 10
1 50 31 9 45 6 30 4 20 27 62
2 18 17 12 60 8 40 54 51 36 34
3 24 47 16 7 35 29 72 68 48 21
4 32 14 70 58 71 63 23 42 64 28
5 67 43 69 53 46 И 55 56 61 13
6 7 65 38 33 44 19 22 37 39 49 26 57 66
Простое число 79.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 66 0 68 4 9 1 34 8 57 62 63 5 16 53 21 12 6 2 32 0 1 1 36 3 29 9 8 27 24 2 72 6 58 18 16 54 48 4 65 12 37
2 70 54 72 26 13 46 38 3 61 И 2 32 17 51 74 64 34-23 69 49 68
3 67 56 20 69 25 37 10 19 36 35 3 46 59 19 57 13 39:38 35 26 78
4 74 75 58 49 76 64 30 59 17 28 4 76 70 52 77 73 6125 75 67 43
5 50 22 42 77 7 52 65 33 15 31 5 50 71 55 7 21 63'31 14 42 47
6 71 45 60 55 24 18 73 48 29 27 6 62 28 5 15 45 56 10 30 И 33
7 41 51 14 44 23 47 40 43 39 7 20 60 22 66 40 41 44 53
178
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
Простое число 83.
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 72 2 27 73 8 3 62
1 28 24 74 77 9 17 4 56 63 47
2 29 80 25 60 75 54 78 52 10 12
3 18 38 5 14 57 35 64 20 48 67
4 30 40 81 71 26 7 61 23 76 16
5 55 46 79 59 53 51 11 37 13 34
6 19 66 39 70 6 22 15 45 5S 50
7 8 36 31 33 42 65 41 69 21 44 49 32 68 43
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 4 8 16 32 64 45 7 14
1 28 56 29 58 33 66 49 15 30 60
2 37 74 65 47 И 22 44 5 10 20
3 40 80 77 71 59 35 70 57 31 62
4 41 82 81 79 75 67 51 19 38 76
5 69 55 27 54 25 50 17 34 68 53
6 23 46 9 18 36 72 61 39 78 73
7 8 63 21 43 42 3 6 12 24 48 13 26 52
Простое число 89.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 16 1 32 70 17 81 48 2
1 86 84 33 23 9 71 64 6 18 35
2 14 82 12 57 49 52 39 3 25 59
3 87 31 80 85 22 63 34 И 51 24
4 30 21 10 29 28 72 73 54 65 74
5 68 7 55 78 19 66 41 36 75 43
6 15 69 47 83 8 5 13 56 38 58
7 79 62 50 20 27 53 67 77 40 42
8 46 4 37 61 26 76 45 60 44
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 3 9 27 81 65 17 51 64 14
1 42 37 22 66 20 60 2 6 18 54
2 73 41 34 13 39 28 84 74 44 43
3 40 31 4 12 36 19 57 82 68 26
4 78 56 79 59 88 86 80 62 8 24
5 72 38 25 75 47 52 67 23 69 29
6 87 83 71 35 16 48 55 76 50 61
7 5 15 45 46 49 58 85 77 53 70
8 32 7 21 63 11 33 10 30
Простое число 97.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 34 70 68 1 8 31 6 44
1 35 86 42 25 65 71 40 89 78 81
2 69 5 24 77 76 2 59 18 3 13
3 9 46 74 60 27 32 16 91 19 95
4 7 85 39 4 58 45 15 84 14 62
. 5 36 63 93 10 52 87 37 55 47 67
6 43 64 80 75 12 26 94 57 61 51
7 66 И 50 28 29 72 53 21 33 30
8 41 88 23 17 73 90 38 83 92 54
9 79 56 49 20 22 82 48
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 5 25 28 43 21 8 40 6 30
1 53 71 64 29 48 46 36 83 27 38
2 93 77 94 82 22 •13 65 34 73 74
3 79 7 35 78 2 10 50 56 86 42
4 16 80 12 60 9 45 31 58 96 92
5 72 69 54 76 89 57 91 67 44 26
6 33 68 49 51 61 14 70 59 4 20
7 3 15 75 84 32 63 24 23 18 90
8 62 19 95 87 47 41 11 55 81 17
9 85 37 88 52 66 39
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
179
Таблица простых чисел <4000 и их наименьших первообраз-
' вых корней.
р g Р g Р ' g Р g Р g Р g Р g\ »
2 1 179 2 419 2 661 2 947 2 1229 2 1523 2
3 2 181 2 421 2 673 5 953 3 1 231 3 1531 2
5 2 191 19 431 7 677 2 967 5 1237 2 1 543 5
7 3 193 5 433 5 683 5 971 6 1249 7 1 549 2
11 2 197 2 439 15 691 3 977 3 1259 2 1 553 3
13 2 199 3 443 2 701 2 983 5 1277 2 1 559 19
17 3 211 2 449 3 709 2 991 6 1 279 3 1567 3
19 2 223 3 457 13 719 И 997 7 1283 2 1571 2
23 5 227 2 461 2 727 5 1009 И 1 289 6 1 579 3
29 2 229 6 463 3 733 6 1013 3 1291 2 1583 5
31 3 233 3 467 2 739 3 1019 2 1297 10 1597 И
37 2 239 7 479 13 743 5 1021 10 1301 2 1601 3
41 6 241 7 487 3 751 3 1031 14 1303 6 1607 5
43 3 251 6 491 2 757 2 1033 5 1307 2 1609 7
47 5 257 3 499 7 761 6 1039 3 1 319 13 1613 3
53 2 263 5 503 5 769 И 1049 3 1321 13 1 619 2
59 2 269 2 509 2 773 2 1051 7 1327 3 1621 2
61 2 271 6 521 3 787 2 1061 2 1361 3 1627 3
67 2 277 5 523 2 797 2 1063 3 1367 5 1637 2
71 7 281 3 541 2 809 3 1069 6 1373 2 1657 И
73 5 283 3 547 2 811 3 1087 3 1381 2 1663 3
79 3 293 2 557 2 821 2 1091 2 1399 13 1667 2
83 2 307 5 563 2 823 3 1093 5 1409 3 1 669 2
89 3 311 17 569 3 827 2 1097 3 1423 3 1693 2
97 5 313 10 571 3 829 2 1103 5 1427 2 1697 3
101 2 317 2 577 5 839 И 1109 2 1429 6 1699 3
103 5 331 3 587 2 853 2 1 117 2 1433 3 1709 3
107 2 337 10 593 3 857 3 1 123 2 1439 7 1721 3
109 6 347 2 599 7 859 2 1129 И 1447 3 1723 3
113 3 349 2 601 7 863 5 1151 17 1451 2 1733 2
127 3 353 3 607 3 877 2 1153 5 1453 2 1741 2
131 2 359 7 613 2 881 3 1 163 5 1459 5 1747 2
137 3 367 6 617 3 883 2 1 171 2 1471 6 1753 7
139 2 373 2 619 2 887 5 1 181 7 1481 3 1759 6
149 2 379 2 631 3 907 2 1 187 2 1483 2 1777 5
151 6 383 5 641 3 911 17 1193 3 1487 5 1783 10
157 5 389 2 643 И 919 7 1201 И 1489 14 1787 2
163 2 397 5 647 5 929 3 1213 2 1493 2 1789 6
167 5 401 3 653 2 937 5 1217 3 1499 2 1 801 11
173 2 409 21 659 2 941 2 1223 5 1511 И 1811 6
180
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
П родолжение
р g Р g р g Р g Р g Р g Р g
1823 5 2 129 3 2 417 3 2 729 3 3 049 И 3 373 5 3 691 2
1831 3 2131 2 2 423 5 2 731 3 3 061 6 3 389 3 3 697 5
1847 5 2137 10 2 437 2 2 741 2 3 067 2 3 391 3 3 701 2
1861 2 2141 2 2 441 6 2 749 6 3 079 6 3 407 5 3 709 2
1867 2 2143 3 2 447 5 2 753 3 3 083 2 3 413 2 3 719 7
1871 14 2153 3 2 459 2 2 767 3 3 089 3 3 433 5 3 727 3
1 873 10 2161 23 2 467 2 2 777 3 3 109 6 3 449 3 3 733 2
1877 2 2 179 7 2 473 5 2 789 2 3 119 7 3 457 7 3 739 7
1 879 6 2 203 5 2 477 2 2 791 6 3121 7 3 461 2 3 761 3
1889 3 2 207 5 2 503 3 2 7911 2 3137 3 3 463 3 3 767 5
1901 2 2 213 2 2 521 17 2 801 3 3 163 3 3 467 2 3 769 7
1 907 2 2 221 2 2 531 2 2 803 2 3 167 5 3 469 •2 3 779 2
1 913 3 2 237 2 2 539 2 2 819 2 3169 7 3 491 2 3 793 5
1931 2 2 239 3 2 543 5 2 833 5 3181 7 3 499 2 3 797 2
1933 5 2 243 2 2 549 2 2 837 2 3 187 2 3 511 7 3 803 2
1 949 2 2 251 7 2 551 6 2 843 2 3 191 И 3 517 2 3 821 3
1951 3 2 267 2 2 557 2 2 851 2 3 203 2 3 527 5 3 823 3
1973 2 2 269 2 2 579 2 2 857 11 3 209 3 3 529 17 3 833 3
1 979 2 2 273 3 2 591 7 2 861 2 3 217 5 3 533 2 3 847 5
1987 2 2 281 7 2 593 7 2 879 7 3 221 10 3 539 2 3 851 2
1 993 5 2 287 19 2 609 3 2 887 5 3 229 6 3 541 7 3 853 2
1 997 2 2 293 2 2 617 5 2 897 3 3 251 6 3 547 2 3 863 5
1 999 3 2 297 5 2 621 2 2 903 5 3 253 2 3 557 2 3 877 2
2 003 5 2 309 2 2 633 3 2 909 2 3 257 3 3 559 3 3 881 13
2 011 3 2 311 3 2 647 3 2 917 5 3 259 3 3 571 2 3 889 11
2 017 5 2 333 2 2 657 3 2 927 5 3 271 3 3 581 2 3 907 2
2 027 2 2 339 2 2 659 2 2 939 2 3 299 2 3 583 3 3 911 13
2 029 2 2 341 7 2 663 5 2 953 13 3 301 6 3 593 3 3 917 2
2 039 7 2 347 3 2 671 7 2 957 2 3 307 2 3 607 5 3 919 3
2 053 2 2 351 13 2 677 2 2 963 2 3 313 10 3 613 2 3 923 2
2 063 5 2 357 2 2 683 2 2 969 3 3 319 6 3 617 3 3 929 3
2 069 2 2 371 2 2 687 5 2 971 10 3 323 2 3 623 5 3 931 2
2 081 3 2 377 5 2 689 19 2 999 17 3 329 3 3 631 21 3 943 3
2 083 2 2 381 3 2 693 2 3 001 14 3 331 3 3 637 2 3 947 2
2 087 5 2 383 5 2 699 2 ЗОИ 2 3 343 5 3 643 2 3 967 6
2 089 7 2 389 2 2 707 2 3 019 2 3 347 2 3 659 2 3 989 2
2 099 2 2 393 3 2 711 7 3 023 5 3359 И 3 671 13
2111 7 2 399 И 2 713 5 3 037 2 3 361 22 3 673 5
2113 5 2 411 6 2 719 3 3 041 3 3 371 2 3 677 2
Замеченные опечатки
(допущены по вине типографии)
Страница Строка Напечатано Следует читать
23 И св. когда тогда
93 13 сн. (ху)аЪ — 1 (mod т) (ху)пЬ == 1 (mod т)
100 1 сн. g = 1 (mod т) gq = 1 (mod m)
116 15 св. (3111 Л) < А (3 In A)* < A
123 1 сн. S dXOj s dAai
124 5 сн. «2 1 ttg +1
152 5 св. 2 2*
Зак. 1362