Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике - Кеч В., Теодореску П.

Автор: Кеч В. Теодореску П.
Теги: анализ математика математический анализ естественные науки теория обобщенных функций
Год: 1978
Похожие
Введение в теорию обобщенных функций
Обобщенные функции. Выпуск 6. Теория представлений и автоморфные функции
Обобщенные функции в математической физике
Элементарная теория обобщенных функций. Том 2
Текст
                    W. KECS
P. P TEODORESCU
INTRODUCERE
IN TEORIA DISTRIBUTIILOR
CU APLICATII IN TEHNICA
EDITURA TEHNICA
BUCURESTI-1975

В.Кеч, П.Теодореску
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В ТЕХНИКЕ
Перевод с румынсного О.Е.Булгару
Под редакцией Б.Е.Победри
СО
Ю
ш
Издательство 'Мир'
Моснва

УДК 517.43 + 519.55
! НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
I ОДНИ РУКИ И 2XS ДВ? }
КОЛОХЗА
Книга содержит элементарное изложение основ тео-
теории обобщенных функций, главным образом дельта-
функции Дирака и их производных, часто встречаю-
встречающихся в инженерных расчетах. С помощью этих функ-
функций осуществляется представление сосредоточенных
механических и физических величин. Основная часть
книги посвящена приложениям теории обобщенных
функций в механике, физике, электротехнике.
Книга предназначена для инженеров и научных ра-
работников, специализирующихся в самых различных об-
областях механики и физики, а также для студентов тех-
технических вузов.
Редакция литературы по новой технике
Перевод иа русский язык, с авторскими изменениями
и дополнениями, «Мир», 1978.
20204-158
04.@0-78

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Тот, кто проводил более или менее громоздкие мате-
математические выкладки, не раз испытывал досаду от того,
что довольно «хорошая» непрерывная функция в неко-
некоторых точках является недифференцируемой, рассматри-
рассматриваемый ряд или интеграл расходится, а преобразование
Фурье достаточно простой функции, например констан-
константы, не существует. Эта досада усугублялась тем, что про-
проводимые выкладки не являлись самоцелью, а были лишь
промежуточным этапом в получении необходимого ре-
результата. (В дальнейшем от недифференцируемой функ-
функции необходимо было взять интеграл, сложить расходя-
расходящиеся ряды или интегралы с подобными себе, а преобра-
преобразование Фурье нужно было лишь для того, чтобы
упростить задачу и на заключительном этапе вернуться
к оригиналу с помощью обратного преобразования.)
Именно в том, чтобы сделать промежуточные опера-
операции «законными», неоценимую услугу исследователю
оказывают обобщенные функции, обобщенные производ-
производные, обобщенное понимание сходимости рядов и инте-
интегралов, обобщенное преобразование Фурье. Рассмотре-
Рассмотрению таких понятий посвящено в настоящее время
довольно много работ, причем не только «чисто» матема-
математических. Нельзя также пожаловаться на отсутствие
литературы по прикладным вопросам теории обобщен-
обобщенных функций. Среди механиков, физиков и инженеров
большой популярностью пользуются книги И. М. Гель-
фанда и Г. Е. Шилова, В. С. Владимирова, Я. Микуснн-

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ского и Р. Сикорского, Л. Шварца, Г. Бремермана1) и
многие другие.
Однако почти во всех современных руководствах по
теоретической механике, теории упругости и гидромеха-
гидромеханике основные положения теории обобщенных функций
полностью игнорируются. Хотя для обозначения сосре-
сосредоточенных воздействий в некоторых из них и применя-
применяются символы дельта-функции Дирака и ее производ-
производных, при оценке их влияния используются средства клас-
классического анализа с его вырезанием окрестностей особых
точек и рассмотрением пределов при уменьшении этих
окрестностей.
Предлагаемая советскому читателю книга румынских
авторов поможет механикам и физикам принять на во-
вооружение основные достижения теории обобщенных
функций для описания сосредоточенных нагрузок, масс,
электрических зарядов, фундаментальных решений тео-
теории упругости и т. д.
Книга предназначена для тех, кому часто приходится
сталкиваться в различных ситуациях при решении самых
разнообразных задач с такими функциями, как единичная
функция Хевисайда, дельта-функция Дирака и ее произ-
производные.
Нельзя сказать, что от читателя не требуется никакой
предварительной математической подготовки. Хотя кни-
книга содержит минимальный теоретический материал, все
же предполагается, что читатель владеет основными по-
понятиями функционального анализа или по крайней мере
может в них разобраться, заглянув в какой-либо учебник,
например в книгу А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина
«Элементы теории функций и функционального анали-
анализа». Имея в виду именно такого читателя, мы не делали
при переводе разъяснений используемых авторами мате-
математических понятий. Например, не отмечалось, что под
компактными множествами авторы понимают ограничен-
ограниченные замкнутые множества, ибо рассматриваются только
евклидовы пространства R".
При переводе мы старались использовать терминоло-
терминологию, общепринятую в отечественной литературе. В слу-
См. список литературы на стр. 504.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
чаях отсутствия полностью эквивалентных терминов на
русском языке делались соответствующие сноски. Заме-
Заметим, что слово «distributee»—-«распределение» переводи-
переводилось нами как «обобщенная функция», что более принято
в отечественной литературе, хотя некоторые авторы и
делают различие между понятиями «распределение» и
«обобщенная функция» (см., например, книгу А. Г. Зе-
маняна «Интегральные преобразования обобщенных
функций»). Прилагательное «real» переводилось как
«действительный», хотя не менее распространен термин
«вещественный».
Для русского издания авторы существенно перерабо-
переработали книгу. Сделаны значительные добавления в тексте
и литературе, исправлены опечатки и неточности.
Книга, несомненно, заинтересует многих инженеров,
механиков, физиков. Она будет также полезна аспиран-
аспирантам и студентам технических учебных заведений.
5. Е. Победря

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В русском издании этой книги дано несколько новых
постановок задач, улучшены некоторые доказательства,
приведены новые результаты и формулы, полезные в раз-
различных областях.
Настоящее издание дополнено также несколькими
новыми пунктами и разделами, относящимися как к тео-
теории обобщенных функций, так и к ее применениям. Рас-
Рассмотрены обобщенные функции с компактными носите-
носителями и периодические обобщенные функции, имеющие
многочисленные применения. В разделы, где рассмат-
рассматриваются дифференциальные и интегральные уравнения,
включены сведения об интегро-дифференциальных урав-
уравнениях типа свертки, а также функциях Грина и
обобщенных функциях Грина, тесно связанных с фунда-
фундаментальными решениями в смысле теории обобщенных
функций.
В разделе, относящемся к приложениям в механике,
описаны применения обобщенных функций к системам
материальных точек с переменной массой. Выведены
уравнения Лагранжа для систем материальных точек,
масса которых изменяется непрерывно или скачкообраз-
скачкообразно, а также для случая столкновения.
В настоящем издании указаны ноЕые важные приме-
применения, связанные с постановкой плоской задачи теории
упругости в напряжениях как в статическом, так и в ди-
камическом случаях. Получены фундаментальные реше-
решения для упругой плоскости (в статическом и динамиче-
динамическом случаях) и поставлена задача для упругой полу-

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 9
плоскости (статическая), включая особый случай
периодических нагрузок.
Методы теории обобщенных функций очень полезны
при изучении линейной вязкоупругости. В книге подроб-
подробно рассмотрены одномерный случай и модели Кельвина
и Максвелла.
Во многих областях физики встречаются задачи, свя-
связанные с линейными колебаниями. С помощью методов
теории обобщенных функций проведено исследование
таких колебаний, включая продольные колебания меха-
механических систем.
В настоящем издании дополнен также список литера-
литературы.
Авторы благодарят издательство «Мир» за разреше-
разрешение на увеличение объема книги, что позволило включить
большое количество новых задач.
Авторы также приносят благодарность д-ру физико-
математических наук, профессору Московского государ-
государственного университета Б. Е. Победре за его содействие
улучшению издания нашей книги на русском языке.
21 мая 1977 г.
Авторы,

ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение многих теоретических и практических задач
тесно связано как с методологическим подходом, так и
с используемым математическим аппаратом. При мате-
математическом описании физических явлений и решении
соответствующих краевых задач могут возникнуть опре-
определенные трудности, связанные с дополнительными огра-
ограничениями, появляющимися в связи с ограниченными
возможностями используемого математического аппара-
аппарата. Вообще говоря, эти ограничения вовсе не необходимы
и они не всегда связаны с рассматриваемым физическим
явлением.
К обычно используемым методам относятся методы
классического математического анализа. Однако возмож-
возможности этих методов часто ограничены. Так, например, не
всякая непрерывная функция дифференцируема. Это
связано с математическим аппаратом и сильно влияет на
единство и общность результатов. Теория обобщенных
функций является мощным математическим аппаратом,
позволяющим решать широкий класс задач (которые,
вообще говоря, не поддаются решению методами клас-
классического математического анализа) без ограничений, ие
связанных с физическим явлением. Этот аппарат позво-
позволяет строго обосновать применяемые методы и получен-
полученные результаты и дает возможность построить единую и
общую теорию.
В первой части книги авторы приводят элементы
теории обобщенных функций — формулировки теорем с
их возможными применениями, не уделяя при этом слиш-

ПРЕДИСЛОВИЕ
ком много внимания их доказательству, но и без ущерба
для математической строгости. Рассматриваются такие
вопросы, как дифференцирование обобщенных функции,
дельтообразные последовательности, прямое произведе-
произведение и свертка обобщенных функций, обобщенные функ-
функции, сосредоточенные на кривых, поверхностях и объемах,
однородные обобщенные функции, интегральные преоб-
преобразования обобщенных функций, и приводятся различные
вычислительные формулы. Особо подчеркиваются воз-
возможности применения этой теории при исследовании
обыкновенных дифференциальных уравнений, дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных, а также
уравнений в свертках, встречающихся в механике, физике
и технике. Много внимания уделяется также методике
решения возникающих краевых задач (задач Коши, мно-
юточечных краевых задач и т. д.).
Во второй части книги рассматривается представле-
представление некоторых механических и физических величин
(связанные векторы, сосредоточенные нагрузки, моменты
систем материальных точек, электрические величины)
через обобщенные функции. Это представление выявляет
единство математического описания непрерывных и раз-
разрывных явлений. Приводятся примеры применения в ме-
механике (общие теоремы, задачи Коши для материальной
точки, линейные колебания, задачи для балки и нитей,
краевые задачи теории упругости), физике (в акустике —
эффект Доплера, в оптике — явление дифракции, в ис-
исследовании электростатического поля — выражения для
напряженности и потенциала) и электротехнике (сила
тока и электрический заряд, полное сопротивление и
проводимость электрических цепей, отрицательные час-
частоты, установившиеся и переходные процессы, линейные
динамические системы, стационарные системы, диффе-
дифференцирующие цепочки и т. д.). Приведены также неко-
некоторые характерные задачи, подчеркивающие эффектив-
эффективность применения обобщенных функций.
Следует отметить, что наряду с известными резуль-
результатами авторы приводят большое количество и новых.
В книге излагается методика подхода к различным зада-
задачам, которая иллюстрируется примерами, выявляются

12 предисловие
различные стороны этой методики, а также трудности,
которые при этом могут возникнуть.
Цель книги в том, чтобы привлечь внимание к воз-
возможностям использования современного математического
аппарата при изучении некоторых механических или фи-
физических явлений, а также в технике, т. е. книга обра-
обращена к широкому кругу читателей, применяющих мате-
математические методы, и особенно к тем, кто должен решать
дифференциальные уравнения: инженерам, занимающим-
занимающимся проектированием и исследовательской работой в раз-
различных областях, механикам, физикам, студентам выс-
высших учебных заведений.
23 апреля 1975 г.
Авторы

ГЛАВА 1
Элементы теории
обобщенных функций
1.1. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ.
СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ
1.1.1. Введение
1.1.1.1. Единичная функция. Дельта-функция
Обобщенные функции были введены в связи с трудно-
трудностями решения некоторых задач математической физики,
квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где,
помимо непрерывных функций, описывающих непре-
непрерывно распределенные величины (масса, источники
тепла, механический импульс и др.), понадобилось ис-
использовать разрывные функции для сосредоточенных
величин (точечная масса, точечный источник тепла, со-
сосредоточенный импульс и др.).
Из разрывных функций важную роль сыграла еди-
единичная функция 8(я), определенная следующим образом
(фиг. 1.1):
0 при х • ^ ,
1 при ,>0. <1ЛЛ>
'Г
о
Фиг. 1.1.

14 ГЛАВА I
Эта функция была введена в 1898 г. английским ин-
инженером Хевисайдом для решения операционными мето-
методами некоторых дифференциальных уравнений теории
электрических цепей.
В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой
механике символ б, названный им дельта-функцией, ко-
которая явилась первой систематически применяемой
обобщенной функцией. С физической точки зрения
б-функция Дирака представляет собой плотность единич-
единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот
заряд имеет величину пг, то его плотность
[j[x) = mb{x]. A-1.2)
Отсюда следует, что символ Ь(х) обладает свойствами
(О при х ф О,
v ; [со при х = 0, к '
\[x)dx=\. A.1.3')
Заметим, что, строго говоря, б(х) не представляет собой
функцию, так как не существует функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих соотношениям A.1.3) и A.1.3'). Получился, таким
образом, некоторый формализм в применении б-функцин.
с помощью которого достаточно просто были исследова-
исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было
замечено, что между единичной функцией 0(х) и функ-
функцией б (х) существует связь
о(х) = — , A-1-4)
которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классиче-
классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщен-
обобщенных функций.
1.1.1.2. Исторический очерк
Другими областями, где используются обобщенные
функции, являются теория обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений и теория уравнений в частных произ-

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 15
водных. С. Л. Соболев в 1936 г. ввел понятие обобщен-
обобщенного решения для дифференциальных уравнений в част-
частных производных гиперболического типа. Были введены
и другие новые понятия: конечные части расходящихся
интегралов, формальные производные в случае преобра-
преобразования Фурье и т. д., что позволило создать единую
теорию обобщенных функций. Так, в 1950—1951 гг. появи-
появилась монография Л. Шварца, в которой систематически
излагается теория обобщенных функций и дается мате-
математическое обоснование формализма применения обоб-
обобщенных функций в различных областях механики, физи-
физики и техники.
Основанная на методах функционального анализа
теория обобщенных функций привела к развитию ряда на-
направлений математики: теории дифференциальных урав-
уравнений, операционного исчисления, теории преобразований
Фурье и др. Позже она была развита в работах Я. Мину-
Минусинского и Р. Сикорского, И. М. Гельфанда и Г. Е. Ши-
Шилова, Л. Хёрмандера, А. X. Земаняна, Г. Бремермана
и др. Румынская литература в этой области представлена
монографиями Г. Маринеску, Р. Кристеску, В. Кеча и
П. П. Теодореску.
Л. Шварц вводит обобщенные функции методом ли-
линейных функционалов; Я. Минусинский и Р. Сикорскнй
вводят обобщенные функции с помощью фундаменталь-
фундаментальных последовательностей непрерывных функций, т. е. ис-
используя секвенциальный метод. Последний метод анало-
аналогичен методу Р. Дедекинда введения действительных
чисел посредством сечений в области рациональных чи-
чисел. Таким образом, становится очевидным, что понятие
обобщенной функции является обобщением понятия
функции. С другой стороны, этот метод ближе к класси-
классическому анализу, что привело к его широкому примене-
применению в физике.
Заметим еще, что при решении конкретных задач ме-
механики, физики или техники дельта-функция (и другие
аналогичные функции) встречается, как правило, только
на промежуточных этапах; в окончательном ответе они
или отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла
в произведении с какой-либо достаточно хорошей функ-
функцией. Это указывает на то, что в действительности каж-

16 ГЛАВА 1
дая обобщенная функция связана с определенным функ-
функционалом и обобщенные функции с помощью линейных
функционалов вводятся естественным путем, что оказы-
оказывается эффективным и с точки зрения моделирования
физических явлений, и с точки зрения вычислений. Мы
воспользуемся этим в дальнейшем для введения понятия
обобщенной функции.
1.1.2. Основные функции и основные пространства
1.1.2.1. Основное пространство Кт
Пусть Rn — л-мерное действительное евклидово про-
пространство, а х=(хи х2, ..., хп), у=(уи у2 Уп) —точки
из этого пространства. Определим скалярное произведе-
произведение следующим образом:
я
(х, у)=х1у1 + х2у2 + ... +хпуп=^х!у!, A.1.5)
1=1
а норму — выражением
-l/y^-m
2
1=1
Расстояние между точками х и у определяется по фор-
формуле
d{xty)=\\x-y\\. A.1.6)
Определение 1.1.1. Основное пространство Кт состоит
из действительных функций ц>(х), называемых основными
функциями, класса Ст (т. е. имеющими непрерывные
производные до порядка т включительно), равными ну-
нулю вместе со всеми своими производными до порядка
т включительно вне некоторых ограниченных областей.
Эти области вместе с границами определяют носите-
носители основных функций; обозначим их через suppcp(A;).
Носитель функции <р(я) определим как замыкание мно-
множества точек х, для которых у{х)фО\ таким образом,

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 17
если xc^suppq>(x), то, какой бы ни была окрестность V
точки хо, существует точка хеУ, для которой ф(лг)=т^О.
Так как носитель функции ф(х) ограничен, то он является
компактным множеством (ограниченное замкнутое мно-
множество). Поэтому можно утверждать, что функции
<р(лс)е/С™ имеют непрерывные производные до порядка
m включительно и компактный носитель.
Основное пространство К'п является векторным (ли-
(линейным) пространством, так как если фЬ фге/С, а, ре/?,
то аф1-грф2е/<1". Чтобы это пространство было тополо-
топологическим, определим сходимость к нулю (сдвигом можно
определить сходимость к любой точке) последовательно-
последовательности функций ф/((х)еА?п, k^N0 (jV0 = N—{0}), следующи-
следующими условиями:
а) supp»fc(A;) с | х | <а;
б) Dp--?j.(a:) =>0, D
дх?'дхР\ . .дхР"
В этом случае
limcpfc(-K)=0. A.1.7)
ft-»
Выражение A.1.7) равносильно условиям а) и б), из ко-
которых первое означает, что носитель каждого члена по-
последовательности щ(х)^Кт содержится в шаре радиуса
а с центром в начале координат («-мерный шар), а вто-
второе условие означает, что эта последовательность функ-
функций вместе со всеми своими производными до порядка т
включительно равномерно сходится (в обычном смысле)
к нулю. Таким образом, множество функций ф(х)е/(т
со сходимостью, определенной выше, образует векторное
топологическое пространство.
Если определить норму в пространстве Кт выраже-
выражением
|| ?(*)!„= sup |Dp<p(*)|, A.1.8)
р<т, ] л- | <а
{ ВИВЛИПТВКА \

18
ГЛАВА 1
то условие б) равномерной сходимости к нулю имеет
следующий вид:
б') lim !| <?к(х)\\т—0.
ft-* се
Рассмотрим функцию (фиг. 1.2)
О при х$[а, Ь].
sin ———я при хф[а, Ь],
<р(х) = \ ь~а A.1.9)
Ь х
Фиг. 1.2.
Заметим, что эта функция непрерывна и имеет компакт-
компактный носитель (отрезок [а, Ь]). Она бесконечное число раз
дифференцируема (за исключением точек а и Ь), и мож-
можно написать
, Я cos х~д л при х?[а, Ь],
Ь — а Ь — а
О при хф [а, Ь].
Для односторонних производных в точках а и Ъ имеем
выражения
?-(*)=-¦
Это означает, что рассматриваемая функция не диффе-
дифференцируема в этих точках. Таким образом, функция

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
19
A.1.9) непрерывна и имеет компактный носитель [а, Ь\,
она принадлежит основному пространству Ка.
Аналогично пусть дана функция (фиг. 1.3)
n2—— я при х?\а, Ъ\,
ь-а A.1.9')
О при хф [а, Ь\.
Эта функция непрерывна вместе со своей первой произ-
производной и имеет компактный носитель [а, Ь]. Она не имеет
О а эа+Ъ а+b а+ЗЬ
Фиг. 1.3.
непрерывных производных второго и выше порядка в точ-
точках а и b несмотря на то, что бесконечное число раз диф-
дифференцируема в остальных точках. Таким образом, функ-
функция ф(х)е/<'1 (а, Ь).
Вообще методом математической индукции можно до-
доказать, что функция
i n m v I
sin
х?[а, Ь],
ь~а A.1.10)
0 при х б? [а, Ь]
является основной и принадлежит пространству /('"(а, Ь).
С помощью рассмотренных функций можно построить
и другие функции того же основного пространства. Так,
если ф(х)е/("', а /(х) — функция класса С, то if>(лг) =

20 ГЛАВА 1
Функция
?(*Ь Х2,---, Х„) =
^=^-я при (хи х2,...,
1-1 *'~в| .1.1.11)
0 при (хи х2,..., xn)$Dn
является функцией п переменных и принадлежит про-
пространству Кт с носителем Dn=[au Ъ{\Х[а2, Ь2]Х ...
...Х{а„, 6„]. В частности, функция
?(¦*, У) =
;;'п У~п~л ПРИ (¦*, У)€[аь *i]x[tb, 62],
*2—а1
при {х, y)$[alt 6,]X(a2, 62)
ll.l.ll')
принадлежит основному пространству К0 и имеет носите-
носителем область в виде прямоугольника [а\, &i]X[«2, Ьг]-
Рассмотрим последовательность функций
1 . _,. ЛГтв , г 1
Sinm-rl я ГфИ д;?|_а ajj
2а A.1.12)
?«(*) =
0 при х§ [ — а, а].
Очевидно, что зиррф„(л;)=[—а, а] для любого п. Эта
последовательность вместе со своими производными до
порядка т включительно равномерно сходится к нулю,
а носители всех членов последовательности ограничены.
Поэтому последовательность A.1.12) сходится к нулю в
основном пространстве Кт-
С другой стороны, последовательность функций
л при — ?[ — а, а],
п
л при
2а п
при ±.ф[-а, а],
A.1.12')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
21
несмотря на то что равномерно сходится к нулю
вместе со своими производными до порядка т включи-
включительно, все же не является последовательностью, сходя-
сходящейся к нулю в пространстве Кп\ так как supp9n(x) =
= [—па, па] и условие а) ограниченности носителей при
п->-оо не выполняется.
1.1.2.2. Основное пространство К
Если для пространства К™ положить /п=оо, то полу-
получится основное пространство К, образованное бесконечно
О а
Фиг. 1.4а.
дифференцируемыми функциями (класса С°°) с компакт-
компактными носителями. Что касается сходимости к нулю в
пространстве К, то она определяется аналогично сходи-
сходимости в пространстве К™ с условием, что последователь-
последовательность основных функций вместе со всеми своими произ-
производными любого порядка равномерно сходится к ну-
нулю, т. е.
\im \\ <ek{x)\\m = 0 для любого т. A.1.13)
Рассмотрим функцию (фиг. 1.4а)
?(¦*) =
е <*-«><*-*> при хб [а, Ь), (М.14)
О
при
Е{а, Ь).
Легко можно установить, что она бесконечно дифферен-
дифференцируема и имеет компактный носитель [а, Ь]. В точках
а и Ъ функция (р(х) вместе со своими производными лю-

22
ГЛАВА 1
бого порядка равна нулю, т. е. в этих точках ее график
имеет касание бесконечного порядка с осью абсцисс.
Возьмем, в частности, а ——с, Ь = с\ тогда получим
следующую основную функцию (фиг. 1.46):
-0,64c 0 Jt/T-1
Фиг. 1.46.
С . X
e c~ x при х?{-с, r), A.1.14')
О в остальных точках.
Аналогично в евклидовом пространстве Rn рассмот-
рассмотрим бесконечно дифференцируемую функцию
0]
при г
при г
A.1.15)
где r=|x|. Носителем этой функции является «-мерный
шар с центром в начале координат |x|^a. Следователь-
Следовательно, рассматриваемая функция принадлежит основному
пространству К.
Функция
п _ .
|«,»,|
i-l
^(ah bL),
при х,${а„ bt)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 23
тоже является основной, принадлежит пространству К и
имеет носителем область Dn={au bi]X[a2, Ьг]Х ...
... Х[ап, Ьп].
Если обозначить через Km(D) основное пространство,
образованное функциями класса Ст с носителями в
л-мерном компакте D, то между пространствами Km(D)y
Кт, K{D) и К можно записать соотношения
Km(D)c:Km, K(D)c:K(zKmSI<0, A-1.17)
= K, A.1.170
U () , \){) , n
D D m = 0
где объединения осуществляются по всем компактам D.
Теорема 1.1.1. Если Е является компактным множест-
множеством из Rn, a F — открытое множество, содержащее
E(F=>E), то существует основная функция q(x), равная
единице на Е, нулю вне F и заключенная между 0 и 1
в остальной области.
На фиг. 1.5 приведен график этой функции для п-Л
(компакт Е = [а, b], F= (a', b')ZD[a, b\).
0 а' а Ь Ь' х
Фиг. 1.5.
Теорема 1.1.2. Если ф(^)е/(, a Uk (k=l, 2, ..., N) —
конечное число областей^, покрывающих носитель функ-
функции ср(х), то существуют функции eh(x)^K, такие, что
N
?W = 24'Me*W' supp e* (jc) с ?/*, A.1.18)
й-1
1 То есть открытых множеств. — Прим. ред.

-24 ГЛАВА 1
причем эти функции efe(X)e[O, 1], равны нулю вне об-
областей Uh и удовлетворяют соотношению
У,ек{х) = 1. A.1.19)
Последнее свойство представляет собой теорему раз-
разбиения единицы и используется при доказательстве ло-
локальных свойств обобщенных функций и при выполнении
операций над ними.
Соотношение A.1.18) может быть представлено в
виде
Л'
?(•*) = 2 ®«W' Tft(x)€^. supp<ps(x) aUk. A.1.18')
Теорема справедлива и для N=oo.
Теорема 1.1.3. Пусть <?{х, y)?K{Rn+m), x?Rn,
у ^ Rm. Тогда существует последовательность
N
ik(x)vlk(y), где uik(x)?K(R"), vih
которая сходится к ф [х, у) при k —> со.
Это означает, что множество основных функций
N ¦
<?(*, j/) = 2 И/(^ »/(«/), где и,.(х)€АГG?л), г», (</) €
плотно в
Заметим, что функция ф(^) =С, C = const=^=0, не явля-
является основной, так как хотя она и бесконечно дифферен-
дифференцируема, но не обладает компактным носителем. Однако
функция ц>(х) =0 является основной функцией.
1.1.2.3. Основное пространство S
Основное пространство S получается расширением
пространства К; по определению это пространство содер-
содержит все функции ф(*) класса С°°, которые при |*|->-оо
стремятся к нулю вместе со всеми своими производными

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 25
любого порядка быстрее любой степени 1/\х\ '>. Эти
функции удовлетворяют соотношению
| xkD\{x) |<СЛ„ A.1.20)
где
A.1.20')
q2,..., qn=0, 1, 2,...).
Определение 1.1.2. Последовательность функций
()S сходится к функции (p(x)GS, если для лю-
любых а, р
? — 00, *€#", A.1.21)
где Сар не зависят от &.
Пространство S линейно, так как для любых ai, Лг^У?
и фь ($2^S имеем Я.1ф1 + Лгф2^5.
Следует отметить, что пространство S шире простран-
пространства K(KczS), так как любой элемент ц>(х)^К принад-
принадлежит и пространству S; обратное утверждение, вообще
говоря, неверно. Пространство S получено расширением
пространства К путем уточнения поведения на бесконеч-
бесконечности функций ф(х), которое менее ограничительно, чем
в случае пространства К- Именно в этом и состоит су-
существенное отличие между этими пространствами.
Из определения сходимости в пространстве S следует,
что она слабее сходимости в пространстве К, так как из
сходимости в пространстве К следует сходимость в про-
пространстве S. Если (f^K и ф&—>-ф в К, то щ—хр и в S.
Более того, пространство К плотно в S, так как для лю-
1 То есть носителем функции пространства S может быть не-
неограниченное множество (некомпактное). — Прим. ред.

26
ГЛАВА 1
<р(х)
бого <peS существует последовательность ц>ь^К, такая,
ЧТО фь~>-ф-
Функция (фиг. 1.6)
?(х) = е-2, *€#, A.1.22)
принадлежит основному пространству S, что можно лег-
легко проверить. В отличие от нее функции (фиг. 1.7, а, б)
Фиг. 1.7.
Ъ(х)=е*, ъ{х) = ег\'\, x$R, A.1.23)
не принадлежат пространству S. Действительно, функция
цч(х) не стремится к нулю при ж->-оо, а функция ф2(*)
не дифференцируема в начале координат.
Заметим, что если а(х)^.С°° и q>(x)^S, то функция
$(х)—а(х)ц>(х) не всегда принадлежит пространству S;
например, если а(х) =ех*, то функция а(х)е~х'(?5.
Можно показать, что если функция а(ж)еС°° вместе со

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 27
всеми своими произодными любого порядка и не возра-
возрастает при х-+оо быстрее полинома, то функция
a(x)(f(x)^S. Этими свойствами обладают, например,
функции sin*, cos*, Р(х) (полином).
Аналогично функция
принадлежит основному пространству S. Тому же прост-
пространству принадлежит, в частности, и функция
(LL24)
прост-
прост<р(х, у) = е-1'г+»*), (х, у)?ф. A.1.24')
Функция
?(*, у, z)=*»j/»z'e-<*f+i'1+">, (х, у, z)?R\ A.1.25)
тоже принадлежит основному пространству S.
1.1.3. Пространство обобщенных функций
1.1.3.1. Понятие обобщенной функции.
Пространство обобщенных функций
Определение 1.1.3. Обобщенной функцией называется
каждый линейный непрерывный функционал, определен-
определенный на основном пространстве.
Обозначим через Ф рассматриваемое основное про-
пространство (например, К™, К или S). Приведенное опре-
определение включает следующие условия:
а) каждой основной функции среФ соответствует по
определенному закону / действительное число, которое
обозначим через (/, ср), т. е. ср_/ (/, ср);
б) для любых ?„ь 12^R и Фь ф2^Ф выполняется со-
соотношение
в) если ер*—-»о при *-^со, где <?€Ф, то
lim (f, ?fti = (/, ?).
Первое из этих условий является выражением действи-

28 ГЛАВА 1
тельности функционала, второе выражает линейность, а
третье — непрерывность функционала. Определенное та-
таким образом основное пространство является топологиче-
топологическим векторным пространством. Чтобы ввести явно рас-
рассматриваемую переменную, запишем функционал / через
Поскольку функционал, определенный условиями
а) — в), принимает действительные значения, то обобщен-
обобщенная функция будет действительной. Очевидно, можно
ввести и комплексные обобщенные функции; для этого
достаточно рассматривать вместо действительного основ-
основного пространства комплексное основное пространство,
•оставляя в силе определение 1.1.3. Число (f, ф), соответ-
соответствующее комплексной основной функции ср, будет дейст-
действительным или комплексным. В дальнейшем будут рас-
рассматриваться только действительные обобщенные функ-
функции; случаи комплексных обобщенных функций будут
оговорены.
Совокупность обобщенных функций, порождаемых
основным пространством Ф, образует топологическое
пространство Ф', сопряженное с пространством Ф1'. Со-
Соответственно определяются пространства (Кт)', К' и S'.
В зависимости от рассматриваемых основных пространств
получаются различные виды обобщенных функций. Так,
обобщенные функции, определенные на пространстве Д'"!,
называются обобщенными функциями конечного порядка
р^т (поскольку из включения Кт^Кр, т^р, следует
включение (Кр)'^(Кт)'); обобщенные функции, опре-
определенные на пространстве К0 (случай т = 0), называются
мерами. Обобщенные функции, определенные на прост-
пространстве К, называются обобщенными функциями беско-
бесконечного порядка, а обобщенные функции, определенные
на пространстве S,— обобщенными функциями медлен-
медленного роста.
Поскольку сходимость, определенная в пространстве
К, сильнее сходимости, определенной в пространстве
5 (SzdK), to множество функционалов, определенных на
1 Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, опре-
определенных на некотором топологическом линейном пространстве Ф,
образует линейное пространство Ф', называемое сопряженным с Ф.—
Прим. ред.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 29
пространстве К, содержит множество функционалов, оп-
определенных на пространстве S. Следовательно, имеет
место соотношение
S'czK'. A.1.26)
Поскольку основное пространство К плотно в S, то
обобщенные функции медленного роста могут быть полу-
получены продолжением некоторых обобщенных функций,
определенных на основном пространстве К- Интегрируе-
Интегрируемые функции, ограниченные функции и вообще локально
интегрируемые функции, которые удовлетворяют соотно-
соотношению
| f(x) | <Л | х|*при | х | —оо, Л, ?=const, A.1.27)
составляют класс обобщенных функций медленного рос-
роста. Они могут рассматриваться как продолжения соот-
соответствующих функционалов из пространства К'- Это свой-
свойство будет использовано в случае преобразования Фурье.
Аналогично обобщенные функции с ограниченными носи-
носителями являются обобщенными функциями медленного
роста; они могут быть продолжены из К' в S'.
1.1.3.2. Свойства
Определим произведение обобщенной функции на
действительное число соотношением
(а/, ?) = >-(/, ?), ?€Ф. /€Ф', '¦€*, A-1.28)
а сумму двух обобщенных функций — следующим об-
образом:
?), ?€Ф, /, е€Ф'- A.1.28')
Следовательно, если Я, \i^R, среФ, Д gefl)', то
?) = '¦(/, ?) + !^g, ?) A.1-29)
и множество Ф' обобщенных функций является линейным
пространством.
Таким образом, функционал kf + ng является линей-
линейным и непрерывным. Его непрерывность следует сразу,

30 ГЛАВА 1
так как если щ-*-<р в Ф при &->-оо, то
+ !*(#, <?) = ('•/ + № »), &->оо.
Определим теперь сходимость в пространстве обоб-
обобщенных функций Ф'. Пусть ф — основная функция, при-
принадлежащая пространству Ф, а /' и fh — соответственно
обобщенная функция и последовательность обобщенных
функций из пространства Ф'. Будем говорить, что после-
последовательность обобщенных функций ДеФ' сходится
к обобщенной функции /еф', если
Нт (/*,?) = (/,?) A.1.30)
НтД = /. A.1.30')
Сходимость, введенная в Ф', является слабой сходи-
сходимостью.
Таким образом, операции умножения обобщенной
функции на действительное число, сложения двух обоб-
обобщенных функций и введение сходимости позволяют опре-
определить пространство обобщенных функций. Можно пока-
показать, что пространство обобщенных функции является
полным пространством. В самом деле, если последова-
последовательность обобщенных функций такова, что для каждого
феФ числовая последовательность (/&, гр) имеет предел,
то существует единственная обобщенная функция /еф',
для которой справедливо соотношение A.1.30).
Пусть а{х) —функция класса С°°, a f(x) —обобщен-
—обобщенная функция, принадлежащая пространству Ф'. Тогда
произведение a(x)f(x) тоже будет обобщенной функцией,
определяемой соотношением
(а/, ?) = (/, а<р|, ?€Ф- A.1.31)
Условия бесконечной дифференцируемое™ функции а(х)
достаточно для существования произведения af в случае
основных пространств К111 и К- Мы видели, что в случае
основного пространства S должно выполняться допол-
дополнительное условие (функция а(х)^.С<х> при jc-*-oo не дол-

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 31
жна расти быстрее полинома). В случае основного про-
пространства Кт для того, чтобы произведение a(x)f(x)
имело смысл, достаточно, чтобы функция а(х) была
функцией класса С"'.
Произведение комплексной обобщенной функции /
на комплексную функцию а определяется соотношением
(а/, ?) = (/, а»), A.1.32)
где а — функция, комплексно сопряженная с функцией а,
причем предполагается, что офеФ. В частности, если
а = А, = а + /|3 — комплексное число, то а=/.—а—<р и мож-
можно написать
('¦/> ?) = (/.*?)="(/, ?)•
Заметим также, что каждой комплексной обобщенной
функции / можно поставить в соответствие комплексно
сопряженную обобщенную функцию /, определяемую
соотношением
(/, <р)=GГ?ь A.1.33)
1.1.4. Примеры обобщенных функций
1.1.4.1. Примеры
Пусть для определенности Ф = /С. Определим функ-
функционал /, ставящий в соответствие каждой функции
К ЧИСЛО
+--- • A-1.34)
Эта сумма конечна, так как у(х) является функцией
с компактным носителем. Определенный таким образом
функционал представляет собой обобщенную функцию,
потому что, как легко проверить, он является линейным
и непрерывным. Очевидно, вместо основного пространст-
пространства К можно рассмотреть основное пространство /С'" и
получить, таким образом, обобщенную функцию конеч-
конечного порядка р^т на этом пространстве.
Рассмотрим теперь функционал A.1.34) на простран-
пространстве S. В этом случае функция qp(jt) не имеет компакт-

32 ГЛАВА 1
ного носителя, а второй член в формуле является число-
числовым рядом. Поскольку y(x)<=S, то |ф(*) | <^Л/|*|т+2,
оо
/4>0, т>0, и, следовательно, ряд V | tp (л) | счодит-
/1 = 0
ся, а значит, сходится и ряд V <? [п). Таким образом,
л-0
функционал A.1.34) имеет смысл и на пространстве S.
Определенный таким образом функционал A.1.34) явля-
является линейным. Если непрерывность следует из того, что
сходимость в К сильнее сходимости в 5. Следовательно,
этот функционал является обобщенной функцией на 5.
1.1.4.2. Обобщенная функция Дирака ')
Обобщенную функцию 8{х) Дирака можно опреде-
определить на каждом из пространств Кт, К a S соотношением
E (х), ср(.к)) = <р(О), х?$". A.1.35)
Можно легко проверить, что этот функционал является
линейным и непрерывным.
На основе соотношения A.1.35) можно написать вы-
выражение для обобщенной функции Дирака, сосредоточен-
сосредоточенной в точке x°^Rn (сдвиг обобщенной функции); она обо-
обозначается символом 8(х—х°) и определяется соотноше-
соотношением
{Ь(х~х% ?(х)) = 'пх% х, л°€/?\ ^.1.35')
Заметим, что обобщенная функция Дирака является
мерой, поскольку для определения этого функционала
достаточно рассмотреть пространство К0 (т = 0).
Если обобщенная функция 8(х) определена на К0 и
если функция a(jf)eCu, то произведение а(х)8(х) имеет
смысл. На основе формулы A.1.31) можно написать
(а(х)Ъ{х), ?{х)) = [Ъ{х), а{х)ч(х)) = а@}<?{0), x$Rn.
A.1.36)
1 Обобщенную функцию Дирака обычно называют дельта-функ-
дельта-функцией. — Прим. ред.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 33
Отметим, что функционал /, определенный на Кт, К
или S соотношением
(/. ?) = I Т(») I . (Ы.37)
не является обобщенной функцией, хотя это непрерывный
функционал, потому что он не линеен. Действительно,
вообще говоря, модуль суммы двух чисел не равен сумме
модулей этих чисел.
1.1.4.3. Регулярные обобщенные функции.
Сингулярные обобщенные функции
Будем говорить, что функция f(x), x^Rn, является
абсолютно интегрируемой в конечной области DnczRn,
если существует интеграл
J \/{x)\dx<ooi A.1.38)
если функция f(x) абсолютно интегрируема в любой ко-
конечной области DnaRn, она называется локально инте-
интегрируемой. Заметим, что абсолютно интегрируемая функ-
функция является интегрируемой, т. е.
f{x)dx<oo. A.1.39)
Si
OS
Локально интегрируемые функции порождают важ-
важный класс обобщенных функций. Пусть f(x) является
локально интегрируемой функцией и <р(х)е/С. Опреде-
Определим функционал на К соотношением
?)= J fvdx= § ffdx, x?R\ A.1.40)
НЕ БОЛЕЕ iH КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ
5U
где Dn — носитель основной функции <р(х). Заметим, что
если fh(x) образуют последовательность локально инте-
интегрируемых функций на Яп, равномерно сходящуюся на
каждом компакте к функции f(x), то
/» ?) = (/. ?)• A.1.41)
2-3677
НЕ БОЛЕЕ »й КНИГИ В
В (

34 ГЛАВА 1
Следовательно, этот функционал определяет обобщенную
функцию. Если f(x) является локально интегрируемой
функцией с комплексными значениями, то соотношение
A.1.40) принимает вид
(/, ?) = J /?<**• A.1.40')
Обобщенные функции, порожденные локально инте-
интегрируемыми функциями, называются регулярными обоб-
обобщенными функциями или обобщенными функциями типа
обычной функции; будем обозначать их тем же символом
/(х), что и порождающую функцию.
Если q>(x)^S(Rn), a f(x) является интегрируемой
функцией на Rn, то соотношение
A-1.42)
определяет регулярную обобщенную функцию медленно-
медленного роста.
Если f(x) является ограниченной функцией, т. е.
\j(x)\s^A, А>0, для любого x^Rn, то
dx. A.1.43)
J \<?(
Интеграл в A.1.43) существует. Следовательно, ограни-
ограниченная функция f(x) определяет на пространстве 5 ре-
регулярную обобщенную функцию медленного роста.
В общем случае, если f(x) является локально инте-
интегрируемой функцией, такой, что \f (x) \ ^.A \x\k, A, k>0,
при |х|-*-оо, и если ф(х)е5 (тогда ф(х) удовлетворяет
соотношению |ф(х) | ^B|x|-<ft+2', В, k>0), то
\f(x)q(x)\^AB\x\-2. Следовательно, интеграл
J / (х) ? (х) dx существует, а функция f(x) определяет
регулярную обобщенную функцию медленного роста на
основном пространстве 5. Такие обобщенные функции
определяются, например, функцией е~"' •*', а^>0, мно-
многочленом Р(х) и т. д.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 35
Обобщенные функции, которые не являются регуляр-
регулярными, называются сингулярными. Обобщенная функция
Дирака б(х) является примером сингулярной обобщен-
обобщенной функции, поскольку не существует локально инте-
интегрируемой функции б(х), такой, что
dx=9@). A.1.44)
1.1.5. Линейные преобразования переменных
1.1.5.1. Линейные преобразования
Пусть f(x), x^Rn, является локально интегрируемой
функцией, определенной на л-мерном евклидовом про-
пространстве, и
A.1.45)
— линейное невырожденное преобразование, матрица ко-
которого имеет вид
(апа12. . .aln\
п*1п22/уа2п\ A.1.46')
ап1ап2. ..апп/
(det афО), ат1 — обратная матрица. В развернутом виде
можно написать
¦ ¦ • -\-auya-{-bu
¦*2 = «21«/l + О-22У2 + • ¦ • "f О-ЧпУп + К ( ! • 1.45)
Если ф(х)е/С(^п), то можно написать
R"

36 ГЛАВА 1
Поскольку y=arl(x—b) и dy= [det a\-ldx, то имеет место
соотношение
Ь)> ^-Чх-Ь)]). A.1.47)
Это равенство получено для регулярных обобщенных
функций; оно будет принято в качестве определения
обобщенной функции f(ay + b) в общем случае.
1-1.5.2. Сдвиг обобщенных функций
Рассмотрим, в частности, сдвиг обобщенных функций.
Если f(y) —обобщенная функция, то f(y—у0) является
обобщенной функцией, полученной сдвигом исходной
обобщенной функции f(y), где у= (Уи Уъ -, Уп) и у° =
= (У1°,У2° Уп°). Тогда
х=у-у°, A.1.48)
или в развернутом виде
х2=У2 — У°2, A.1.48')
Матрица а в этом случае является единичной мат-
матрицей
1 0...0
0 0...1
deta=l и а~' = а. Следовательно,
(/(^-У0), ?(У)) = (/М, <?(х + У°)). A.1.50)
Заметим, что можно изменить обозначение для независи-
независимой переменной, поэтому
), х, x°?R\ A.1.50')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
37
В частности, можно написать
A.1.51)
1.1.5.3. Преобразование подобия обобщенных
функций
Линейное преобразование подобия (растяжение и
сжатие) определяется соотношением
х—ау, A.1.52)
где матрица а и обратная матрица а~1 имеют вид
a = \
an
0
0
0 ...ОД
««.••.on a-i=
0 ...amj
1
\
l
an
0
0
0 .
1
Д22
0 .
.. 0\
.. 0
1
a-M 1
, A.1.53)
a deta — ana22 ... ow В развернутом виде можно напи-
написать
A.1.53')
Следовательно,
(/(x), ?(a-U)), A.1.54)
или, изменив обозначения для независимых переменных,
можно написать
if {ai\xu а.22Х2,...> амхп), ч{хи х2,..., хп)) —
«22
A.1.54')

38 ГЛАВА 1
Если ап=а22= •
1/ {ах)> 91х)) —
1 п
1 u
Для обобщенной
(К (п у) т ( vii
. .=апп=
[ I f (^
i v
функции
ib ( ) 1
\ ' \
= а, то
^ \ о. JJ
Дирака
' х \\
>*)) 1
, XZR", а€Л
A-
1.
можно написать
f @) v /- О"
A-
, с
1.
55)
п
56)
Если а=—1, получаем преобразование симметрии
обобщенных функций. При этом соответствующее соотно-
соотношение принимает вид
(/(—*), <РМ) = (/(-*), <Р(—*)), *€Я" A-1.57)
В частности,
•*€#". AЛ.58)
1.1.6. Равенство обобщенных функций
1.1.6.1. Равенство двух обобщенных функций
Две непрерывные функции /(х) и g(x) на отрезке
[a, b]cR равны, если они принимают одинаковые значе-
значения в каждой точке рассматриваемого отрезка. Очевидно,
это равенство в обычном смысле является поточечным,
т. е. локальным равенством.
Можно определить равенство рассматриваемых двух
функций в более широком смысле, считая, например, что
они равны, если равны площади, определяемые ими на
отрезке [а, Ь\.
ь ь
g(x)dx, x?R; A.1.59)
равенство в смысле соотношения A.1.59) может быть
распространено на более широкий класс функций, чем
непрерывные.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 39
Определение 1.1.4. Функция f(x) называется нулевой
почти всюду на множестве А, если множество всех точек
хеЛ, для которых f(x) ФО, имеет нулевую меру (т. е. это
множество может быть покрыто счетным семейством
отрезков, сумма длин которых сколь угодно мала).
Отметим, что множества нулевой меры называют еще
и пренебрежимыми множествами.
Определение 1.1.5. Две функции f(x) и g(x) называ-
называются равными почти всюду на множестве А, если мно-
множество всех точек хеЛ, для которых f{x)^g(x), явля-
является множеством нулевой меры.
В этом случае будем писать
f{x) — g{x) почти всюду, х?А. A.1.60)
Из определения следует, что если две интегрируемые
функции f(x) и g(x), определенные на множестве Л =
—[а, Ь], равны почти всюду на А, то они удовлетворяют
соотношению A.1.59). Таким образом, равенство почти
всюду является обобщением поточечного равенства двух
функций.
Пусть f(x) и g{x), x^Rn, — две локально интегрируе-
интегрируемые функции, равные почти всюду. Если ф(х)е/С, то
$(x)<?(x)dx. A.1.61)
Следовательно,
(/, ?) = (?, ?), A.1.6Г)
или
lf-g, 9)=0. A.1.61")
Определение 1.1.6. Две обобщенные функции f(x) и
g(x) равны:
f = g, A.1.62)
если для любой основной функции ф(х) выполняется
соотношение A.1.61').
Определение 1.1.7. Обобщенная функция f(x) равна
нулю:
/=0, A.1.63)

40 ГЛАВА 1
если для любой основной функции ф {х)
(/(*), ?W)=0. A.1.63')
Например, функция
(О при хф 1, 2, .*€#,
1 при *=1, A.1.64)
2 при л:=2
порождает обобщенную функцию, равную нулю.
Рассмотрим следующую функцию Дирихле:
О при иррациональном^,
при рациональном х, I • • /
определенную для x&R, а также функцию
g(x) = 0, x?R. A.1.66)
Заметим, что функция f(x) разрывна в каждой точке,
тогда как функция g(x) непрерывна. Функция f(x) не
является локально интегрируемой по Риману, но она
локально интегрируема по Лебегу. Таким образом, эти
две функции локально интегрируемы по Лебегу и равны
почти всюду, поскольку множество всех точек х, для
которых f{x)=?g(x), совпадает с множеством рацио-
рациональных точек и, следовательно, имеет нулевую меру.
Таким образом, можно написать !)
¦ (X) {f{x)<?{x)dx={%) \g(x)<?{x)dx=0,
R R
т. е. выполнены соотношения типа A.1.61') и A.1.63')
для любой основной функции ф(х). Следовательно,
обобщенные функции, порожденные функциями f(x) и
g(x), равны (обобщенная функция, порожденная функ-
функцией Дирихле, равна нулю).
Введем также функцию
h{x) = l, x?R. A.1.67)
1 Символ ?? означает, что интеграл понимается в смысле Лебега
а'отличие от Я — интеграла в смысле Римана.— Прим. ред.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 41
Заметим, что h(x) не совпадает с функцией Дирихле
f(x) на множестве иррациональных чисел, и поскольку
последнее множество не образует ни на каком компакте
множества меры нуль, то эти две функции не равны поч-
почти всюду, так что
(?)^f(x)9(x)dx=0,
{%) U (*) ? (*) dx={Я) j cp (x) dx.
Следовательно, обобщенные функции, порожденные
функциями h(x) и f{x), не равны.
1.1.6.2. Обобщенная функция Хевисайда
Рассмотрим функции
(О при х<^0,
в(х)= , ^ ' A.1.68)
к ' 11 при л;>0, k '
0 при х<^0,
61{х)= 2 при *=0, A.1.68')
1 при
Эти функции локально интегрируемы по Риману, при-
причем они отличаются только в точке х=0. Следователь-
Следовательно, обобщенные функции, порожденные ими, равны:
eW=e,D A.1.69)
поэтому можно написать
(Цх), <?(x))=\<?{x)dx. A.1.69')
Заметим, что Q(x) является регулярной обобщенной
функцией; она называется обобщенной функцией Хеви-
Хевисайда 1\
1 Обычно эту функцию называют единичной функцией Хевисай-
Хевисайда. — Прим. ред.

42 ГЛАВА 1
Функция Хевисайда
Ь(хи х2,..., хп) =
= /1 при ^>0, *2>0,..., хп>0, AЛ>70)
|0 в остальных точках,
определенная на Rn, порождает регулярную обобщен-
обобщенную функцию (обобщенную функцию Хевисайда на Rn),
описываемую соотношением
F(хь х2,..., хп)у <p(*i, аг2, ..., *„)) =
= ??...? ср (xh *2,..., х„) dxxdx2... dxn. A.1.70')
о 5 б'
1.1.6.3. Свойства обобщенной функции Дирака
Р1спользуя определение равенства двух обобщенных
функций, можно получить интересные соотношения для
них. Например, с помощью формул A.1.31) и A.1.51)
можно обобщить соотношение A.1.36) следующим об-
образом:
(а{х)Ъ(х-х°),
а(х)?С°, х, x*?Rn, A.1.71)
откуда, учитывая соотношение A.1.35') и определение
равенства двух обобщенных функций, получаем
а (х) S [х - х°) =а (х°) 8 (х - х°),
а(х)?С°, х, x°eRn. A.1.72)
В частности,
х"8(х) = 0, n?N0, х?фК A.1.73)
Аналогично можно написать
а{х, у)Ь{х, у) = а@, 0) 8 (х, у), а[х, у)?С°, A.1.74)
1 Здесь и далее No — множество натуральных чисел, Л' — множе-
множество целых неотрицательных чисе.ч. — Прим. ред.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 43
и, в частности,
хЬ(х, у) = 0. A.1.75)
Из соотношения A.1.58) с учетом A.1.35) следует
Ъ(-х) = Ъ(х), x?Rn. A.1.76)
Таким образом, обобщенная функция Дирака является
четной обобщенной функцией.
Аналогично, исходя из формулы A.1.56), можно по-
получить соотношение
^ A.1.77)
Для пространства Rn имеем
= * Ь(Х! х2... хХ A.1.77')
l«i| |а2| ... \ап |
Можно также написать
x?R". A.1.78)
1.1.6.4. Обобщенная функция Vp —
х
Рассмотрим функцию (фиг. 1.8)
/(*)=— при л; ^0; A.1.79)
X
эта функция не является локально интегрируемой, так
как она не интегрируема в окрестности начала коорди-
координат. Отбрасывая окрестность, содержащую начало ко-
координат, можно получить локально интегрируемую
функцию. График функции состоит из двух ветвей рав-
равносторонней гиперболы, асимптотами которой являются
оси координат.
Чтобы определить функционал, соответствующий
этой функции, введем понятие главного значения
в смысле Коши расходящегося интеграла от данной

44
ГЛАВА I
v
функции. Очевидно, С A/л:)«?л: для а, 6>0 не суще-
—а
ствует. По определению главное значение этого интег-
интеграла, обозначаемое символом Vp, равно
Vp \±ax=
—+{—\ A.1.80)
X J X )
^ o I ^-
-*^_ -a -e We b
Фиг. 1.8.
Вычислив здесь правую часть, получим
ь
Vp f — dx=ln —, a,*6>0.
о X Л
—а
В частности,
а ео
Vp f~=0, Vp f-^-=0-
A.1.80')
A.1.81)
Следующее соотношение ставит в соответствие функции
1/х функционал Vp A/*):
) \^dx, ч{х)$К. A.1.82)

ЭЛЕМЕНТЫ TEjOPHH ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ _ 45
Легко можно проверить, что определенный таким обра-
образом функционал является линейным и непрерывным.
Следовательно, он представляет собой обобщенную
функцию. Обобщенная функция Vp(l/#) совпадает с
1/х всюду, за исключением начала координат; поэтому
обобщенная функция Vp(l/x) называется регуляриза-
регуляризацией функции 1/х.
Заметим, что для ср(х)е/( можно написать
= Vp f ,(¦*)*¦*=?? (¦*)*¦*=(!, 9(*)).
Отсюда следует, что
*Vp — =1. A.1.83)
X
Таким образом, регуляризация функции 1/х была про-
проведена хорошо, поскольку из соотношения A.1.83) вид-
видно, что сохраняется главное свойство этой функции.
1.1.6.5. Другие обобщенные функции
Рассмотрим функцию
f(x)=± пРи*^0 A.1.84)
и поставим ей в соответствие обобщенную функцию
Vp(l/x2):
) j^c. A.1.84')
Заметим, что
= Vp Г,(*)**=("9(*)аГ* = (

46 ГЛАВА 1
Следовательно,
л;2ур —= 1. A.1.85)
Рассмотрим также функцию
/(jc) = —^— при х/0, x$R, A.1.86)
и введем обобщенную функцию S5 A/|х|) следующим
соотношением:
I 1 1 U К
J I I J 1 |
I лг1 >1 U К 1
A.1.86")
Можно обобщить это определение на случай, когда
/?". Например, введем обозначение
г = уХ2 + у2 A.1.87)
и определим обобщенную функцию SP A/г) следующим
образом:
A.1.
Эта обобщенная функция является регуляризацией
функции 1//-, которая не является локально интегрируе-
интегрируемой в окрестности начала координат.
Аналогично можно определить обобщенную функ-
функцию 3f> [\/(x2+y2)].
Заметим, что функции A.1.84) можно поставить в со-
соответствие и обобщенную функцию Pf(l/x2), которая на-
называется псевдофункцией \/х2 и определяется следую-
следующим образом:
/pf_L, ,(
A.1.89)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 47
Аналогично определяются и обобщенные функции
Pf@ (*)/*) и Pf@(—x)/x):
?^)з1 A.1.90)
pi 4-х) ?^Л=нт Г Г JfifE>flrjc_«p(O)lns |. A.1.90')
X / э-* + 0 J X
Нетрудно проверить следующие соотношения:
VP _L=pfii?L + Pflizi?L , A.1.91)
XX X
gpf f ()
Отметим, что понятие конечной части интеграла,
так же как и понятие псевдофункции, было введено Ада-
маром.
1.1.6.6. Носитель обобщенной функции.
Обобщенные функции, сосредоточенные на множестве
Определение 1.1.8. Пусть А — открытое множество.
Будем говорить, что обобщенная функция является ну-
нулевой на А:
/О*)=0, х?А, A.1.92)
если для любой основной функции сре/С, такой, что
supp фсгЛ, выполняется соотношение
(/, <р)=0. A.1.92')
Определение 1.1.9. Будем говорить, что обобщенные
функции fug равны на открытом множестве А, если
для любой основной функции ф^/С, такой, что
Л выполняется соотношение
(/, ?) = (?, ?), A-1.93)
или
(f-g, <p)=0. A.1.93')

48 ГЛАВА 1
В этом случае будем писать
/(¦*)=?(¦*), х^А. A.1.93")
Из определения обобщенной функции следует, что
не имеет смысла говорить о значении обобщенной функ-
функции в точке. Таким образом, нельзя, например, сказать,
что значение обобщенной функции в точке х0 равно
нулю. Тем не менее можно придать точный смысл по-
понятию «нулевой» в окрестности некоторой точки обоб-
обобщенной функции. Пусть U — некоторая окрестность
точки х0 и сре/С — произвольная основная функция с
носителем, содержащимся в U. Будем говорить, что
обобщенная функция f(x) равна нулю в окрестности
точки х0, если (/, ср)=О для любой сре/С с suppcpc:?/.
Можно доказать, что обобщенная функция является
нулевой на открытом множестве А, если она является
нулевой в окрестности любой точки этого множества.
Это доказывает следующее локальное свойство обоб-
обобщенных функций: если две обобщенные функции равны
в окрестности каждой точки, то они равны и глобально,
т. е. на данном открытом множестве.
Определение 1.1.10. Носителем обобщенной функции f
называется дополнение объединения всех открытых мно-
множеств, на которых f(x) равна нулю. Носитель обобщен-
обобщенной функции / будем обозначать символом supp/.
Из определения следует, что носитель обобщенной
функции является замкнутым множеством. Если к то-
тому же носитель обобщенной функции является ограни-
ограниченным, то в этом случае имеем обобщенную функцию
с компактным носителем; такие обобщенные функции
особенно важны в приложениях.
Определение 1.1.11. Будем говорить, что обобщенная
функция f сосредоточена на множестве А, если носитель
обобщенной функции f содержится в A (supp fczA).
В частности, носитель обобщенной функции, порож-
порожденной кусочно непрерывной функцией, определяется
замыканием множества всех точек, в которых функция
отлична от нуля.
Рассмотрим обобщенную функцию Дирака Ь{х); за-
пишем для любой функции (р(х)^К соотношение

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 49
A.1.35). Заметим, что для любой функции
носитель которой не содержит начало координат
@с? эиррф), можно написать
(Цх), <?(*))=0. A.1.94)
Следовательно, обобщенная функция 6(х) равна нулю
в окрестности любой точки хфЬ, т. е.
8(л:)=0 при хфО. A.1.94')
Отсюда следует, что носителем обобщенной функции
Ь{х) является точка 0. Таким образом, обобщенная
функция Дирака 6(х) сосредоточена в начале коорди-
координат. Аналогично носителем обобщенной функции
6(х—х°) является точка х°, т. е. 6(х—х°) сосредоточена
в этой точке. Из определения равенства на открытом
множестве двух обобщенных функций и соотношения
A.1.94') следует, что обобщенная функция Дирака
6(х) совпадает на множестве точек хфО с обобщенной
функцией, равной всюду нулю. Обобщенная функция
6(х) обладает компактным носителем.
Аналогично обобщенная функция Vp(\lx) равна 1/х
на множестве точек хфО. Носителем этой обобщенной
функции является множество R всех действительных
чисел. Таким образом, она не является обобщенной
функцией с компактным носителем.
Носителем обобщенной функции Хевисайда являет-
является множество [0, оо] = ^+, т. е. ее носитель ограничен
справа. Таким образом, Q(x) является обобщенной
функцией с некомпактным носителем, сосредоточенной
на положительной полупрямой R+.
1.1.6.7. Характеристическая функция отрезка
Рассмотрим функцию (фиг. 1.9)
|0 при I х | "> а,
h(x) = \, . , ^ а>0. A.1.95)
v ' \\ при | х | <а, -^ v '
Эта функция называется характеристической функцией
отрезка [—а, а]. Вообще функция
fl при л:?Л,
1 Л; A-1-96)
'«-С

50 ГЛАВА 1
представляет собой характеристическую функцию мно-
множества А.
Функция h(x) порождает обобщенную функцию, оп-
определяемую соотношением
а
(h(x), «p(jc)) = Jh{x)<?{x)dx = J <?{x)dx. A.1.97)
Заметим, что для любой фе/С, такой, что suppcpf]{—а,
о]= 0, выполняется соотношение (h, ф)=0. Следова-
Следовательно, носителем обобщенной функции h(x) является
h(x)
I
1
t
1
т
I
I
отрезок [—а, а]. Таким образом, h(x)—обобщенная
функция с компактным носителем, сосредоточенная на
отрезке [—а, а].
Обобщенную функцию h(x) можно выразить при
помощи обобщенной функции Хевисайда следующим об-
образом:
B{x-a) = B(a—\x\), x?R. A.1.98)
1.1.6.8. Отношения неравенств
Чтобы можно было сравнивать обобщенные функ-
функции, введем понятие положительной обобщенной функ-
функции.
Определение 1.1.12. Обобщенная функция f называется
положительной на множестве Л, если для любой функ-
функции (fe/C, ц^О, с БиррфсЛ выполняется соотношение
{/,'?) >0. A.1.99)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 51
В этом случае будем писать
/>0, х?А. A.1.99)
Определение 1.1.13. Будем говорить, что обобщенная
функция / больше обобщенной функции g на множест-
множестве А:
f{x)>g{x), х$А, A.1.100)
если для любой функции фе/С, ф^О, supp фсгЛ, выпол-
выполняется соотношение
(/, 9)>(g, ?), (f-g, T)>0. A.1.100')
В частности, если неравенство f(x)^O, хеЛ, имеет
место для любого множества А, т. е. если (/, ф) ^0 для
любой функции фе/С, ф^О, то
/>0; A.1.101)
аналогично
f>g, A.1.102)
если (/, <f) ^ (gf, ф) для любой функции фе/С, ф^0.
Пусть ср(х)^О (ф(х)ёе/С). Тогда
?(х)) = =р@)>0. A.1.103)
Следовательно, обобщенная функция Дирака 6(х) по-
положительна.
Заметим, что можно писать
(8B*), ?(*})=y*(°)>0'
(8(х), ?(*)) = <р@)>0.
Следовательно,
§ (х) > 5 Bх). A.1.104)
В общем случае при а^ 1
Ь{х). A.1.104')
Если f(x) и g(x) — локально интегрируемые функ-
функции п f^g почти всюду, то для любой функции О

52 ГЛАВА 1
выполняется соотношение
(/, ?)>(*, <р), A.1.105)
т. е.
f / (х) ср (х) dx > ( g- (х) ср (х) rf.r. A.1.105')
Этому соотношению удовлетворяют функция Дирихле
f(x), определяемая формулой A.1.65), и функция
\ ДЛЯ Ра«ионального х,
A для иррационального х,
где интегрирование понимается по Лебегу.
1.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ.
ДЕЛЬТООБРАЗНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.2.1. Дифференцирование обобщенных функций |
1.2.1.1. Производная обобщенной функции.
Свойства
Дифференцирование является одной из операций,
которая выявляет пользу понятия обобщенной функции.
Действительно, в отличие от обычных функций, которые
не всегда дифференцируемы, обобщенные функции об-
обладают производными любого порядка; этот факт ведет
к многочисленным применениям.
Чтобы дать определение производной любой обоб-
обобщенной функции, воспользуемся понятием производной
локально интегрируемой функции и получим формулу
для регулярных обобщенных функций. Полученное та-
таким образом определение сведется в случае обыкновен-
обыкновенных функций к классическому определению.
Пусть функция /(х)еС1. Тогда
(/' (*), ср (Х))= \ f (X) ср (X) dX, ср (X) € К. A.2.1)
Функционал A.2.1) определяет обобщенную функцию,
соответствующую непрерывной функции f'(x)—произ-

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 53
водной функции f(x). Проинтегрируем выражение
A.2.1) по частям:
но основная функция <р(х) имеет компактный носитель,
поэтому
A-2.2)
Соотношение A.2.2) выполняется в случае регуляр-
регулярной обобщенной функции. В общем случае производная
обобщенной функции определяется соотношением
A.2.2) 1\ Можно показать, что функционал, определен-
определенный соотношением A.2.2), является линейным; его не-
непрерывность следует из определения сходимости в про-
пространстве К- Следовательно, производная обобщенной
функции является обобщенной функцией.
Для производной &-го порядка можно написать
(/<*>(*), ?(*)) = (-1)*(/(*), <?т(х)), x?R. A.2.3)
Заметим, что, используя понятия сдвига обобщенных
функций и сходимости в пространстве обобщенных
функций, можно определить производную обобщенной
функции, как и в классическом случае. Пусть f (х) —
обобщенная функция одной действительной переменной.
Тогда
f{x) Um t A..4)
где переход к пределу осуществляется в смысле сходи-
сходимости в пространстве обобщенных функций. Аналогич-
Аналогично можно определить и дифференциал обобщенной
функции.
Используя это замечание, можно легко распростра-
распространить на сложные обобщенные функции правило диффе-
1 Такую производную часто называют обобщенной производ-
производной. — Прим. ред.

54 ГЛАВА 1
ренцирования обычных сложных функций. Пусть
«(jcjeC", x^R и f(x)— обобщенная функция. Можно
написать следующее правило дифференцирования:
=jtu'(x), A.2.5)
которое имеет смысл, поскольку функция ()
Полученное обобщение является естественным, посколь-
поскольку оно охватывает случай обычных функций.
Аналогично, если f(xu x2, ..., хп) — обобщенная функ-
функция п независимых переменных, а ф(хь х2, ..., хп) — ос-
основная функция, фе/С, то частная производная по пере-
переменной Xi (i = l, 2, ..., п) определяется соотношением
, х2,..., х„\ ?(*,, х2,..., *„)) =
*2,--., хя\ -j^<?{xu x2,..., xjj. A.2.6)
В общем случае
/ dkf(x\, x2,..., хп) ,
, ср(Хь Х2,...
\ дх\*дх\\..дхпп
д\{хи xi хп) \ ,^ 2 7)
ох у ах2 ¦¦ .охп j
.где k — k\ + k2... +kn. Символически можно написать
(D*/, ?) = (-!)*(/, Dfe?). A.2.7')
Отметим также следующее свойство:
A.2.8)
Приведенные выше определения справедливы и для
обобщенных функций, определенных на пространстве
/С, при условии, что k^m. Эти определения действи-
действительны также и для обобщенных функций, определен-
определенных на основном пространстве S.
Пусть а{х) — функция одной переменной, а(х)еС°°,
и f(x)—обобщенная функция одной переменной,

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 55-
K'. Формула для производной произведения, из-
известная в классическом случае, сохраняется:
(af)'=af' + a'f. A.2.9*
Аналогично эта формула распространяется и на слу-
случай многих переменных: если функция а{х\, х2, ...,
)С и обобщенная функция f(xh хъ ..., хп)^К', то
? ? (/=1, 2 я). A.2.10).
dxt к дхг J ' dxt
В случае обобщенных функций, определенных на
пространствах Кт и S, справедливы аналогичные фор-
формулы при условии, что имеет смысл произведение функ-
функции на обобщенную функцию.
В классическом случае производная функции не-
нескольких переменных зависит, вообще говоря, от поряд-
порядка дифференцирования. В пространстве обобщенных
функций производная обобщенной функции нескольких
переменных не зависит от порядка дифференцирования.
Например, для обобщенной функции f{x\, х2, ..., )Кг
можно написать
^ (W=i. 2..... *).
Этот результат действителен для производных любого'
порядка: символически можно написать
A.2.12)
Пусть Q(x)—обобщенная функция Хевисайда. Тогда
(9'(х), ? (*))=_ (б (*), ?'(¦*))=-
= - f ?' W dx = - ? (х) | = ? @) = E (х), ср (х)),
откуда следует
|
A.2.13)

56 ГЛАВА 1
В общем случае, если Q(xu х2, ..., хп)— обобщенная
функция Хевисайда, то
д"8(лгь лг2,..., Ул) й, . П9Ш
———-^——Цхих2,...,хя). A.2.14)
В частности,
»&d!L A.2.14')
1
Фиг. 1.10.
Из формулы A.2.3) непосредственно следует
(-l)V*)@). A-2.15)
В частности,
(»'М. ?W)=-?'@). A-2Л5')
Заметим, что
e'(jc-JC°)=8(JC-JC°), A.2.16)
а
E(S)(a:-a:0), ?(x)) = (-l)Vft) @). A.2.16')
Пусть теперь f(x) — функция класса С°°, отличная от
нуля и для которой f'(x) =7^=0. В этом случае f(x) либо
положительна, либо отрицательна (фиг. 1.10). Если
9(/М) — функция Хевисайда, то
A-2Л7)
1при/И>0.
Дифференцируя в смысле теории обобщенных функций
по формуле для производной сложной обобщенной

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 57
функции и замечая, что dQ(f(x))/dx=0, получаем
/'(*) Ь (/(*))=0. A.2.18)
Поскольку f'(x) Ф0 всюду, то
8 (/(*))=0. A.2.19)
В частности, эти условия выполняются для функции
f(x) =ex, поэтому
8(е*)=0. A.2.20)
Пусть теперь f(x, у) =ху; тогда
<« A.2.21)
11 при л-#>0.
Заметим, что эта функция может быть выражена также
следующим образом:
д(ху)=Цх, у) + Ц-х, -у). A.2.21')
Дифференцируя это выражение и учитывая четность
обобщенной функции Дирака, получаем
= Ь(х, у) + Ъ{-х, -у) = 2Ь{х, у). A.2.22)
дхду
Наконец, дифференцируя Q(xy) по формуле для произ-
производной сложной обобщенной функции, получаем
28{х, у) = Ъ{хуL-хуЪ'(ху). A.2.23)
Отметим еще одно свойство: если производная обоб-
обобщенной функции равна нулю, то обобщенная функция
является константой.
1.2.1.2. Производная в смысле теории обобщенных
функций. Производная в обычном смысле
В дальнейшем будем различать производную в смыс-
смысле теории обобщенных функций 1 и производную в обыч-
обычном смысле в случаях, когда последняя существует (для
1 То есть обобщенную производную (см. сноску на стр. 53).-
Прим. ред.

58
ГЛАВА 1
регулярных обобщенных функций); производную в обыч-
обычном смысле будем отмечать волнистой чертой. Тогда
для обобщенных функций, порожденных функциями
класса Ст, можно написать
D*/=f>*/,
A.2.24)
Заметим, что для обобщенной функции Хевисайда
<Q(x), x^R, производная в обычном смысле равна нулю:
в'(*)=0 A.2.25)
Фиг. 1.11.
в каждой точке, отличной от начала координат. Разница
между формулами A.2.13) и A.2.25) и выявляет суще-
существующее отличие между производной в смысле теории
обобщенных функций и производной в обычном смысле.
Для обобщенной функции Хевисайда в R2 аналогич-
аналогично можно написать
, у)=0,
A.2.26)
за исключением точек на положительных полуосях ко-
координат.
Среди функций, часто встречающихся в приложени-
приложениях, отметим кусочно дифференцируемые функции. Пусть
f(x) — функция одной переменной с производной, непре-
непрерывной всюду, за исключением, быть может, одной точ-
точки Xq, в которой она имеет разрыв первого рода (фиг.
1.11). Пусть

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 59-
/„= lim f(x) = f(xo + O),
jc->-jca-tQ
A.2.27).
/,= lim /(x)=/(xo-O)
х-*х0—О
— соответственно пределы справа и слева функции f(x)
в точке Хо и
-/(л-0-0) A.2.27')
— скачок функции в этой точке.
Пусть <р(х) е/С; тогда
(/'(х), ?(х))=-(/(х), <?'(*)) =
= -limff f(x)f'(x)dx+ f f(x)<?'(x)dx\
Интегрируя по частям и переходя к пределу, получаем
= (/'(x) + so8(x-xo), ?(x)),
откуда в силу определения равенства двух обобщенных
функций следует
f'(x)=f'(x)+sob(x-xo). A.2.28)
Таким образом, производная в смысле теории обобщен-
обобщенных функций равна сумме производной в обычном смыс-
смысле и произведения скачка на обобщенную функцию Ди-
Дирака, сосредоточенную в точке разрыва.
В частности, если функция непрерывна, то so = O и
/'(*) = /'(*). A-2.29)
т. е. в этом случае производная в смысле теории обоб-
обобщенных функций совпадает с производной в обычном
смысле.

60 ГЛАВА 1
Если f(x)— функция класса С1 всюду, за исключе-
исключением точек *,-(»= 1, 2, ..., р), в которых оиа имеет раз-
разрывы первого рода со скачками
*/=/С*/ + 0)-/(.*,-0) (*=1, 2,..., р), A.2.30)
то можно написать соотношение
/'(*) = /'0*) + 2*,8 (¦*—*/)• A-2.31)
(-1
Точки разрыва могут образовывать и счетное множест-
множество, например если функция f(x) является периодической.
Предположим теперь, что f(x)—функция класса Ск
всюду, за исключением точки Хо, в которой функция и
все ее производные в обычном смысле до /г-го порядка
включительно имеют разрывы первого рода; пусть
Si (i=0, I, 2 k—1) — скачок функции f^{x) в точке
xq. Последовательно дифференцируя соотношение
A.2.28), находим
fW (*) = /<»(*) + 2 sfiV-'-Vix-xJ. A.2.32)
i-O
Можно получить аналогичные формулы для функций
нескольких переменных.
1.2.1.3. Примеры
С помощью формулы A.2.28) можно вычислить про-
производную обобщенной функции Хевисайда. Действи-
Действительно, замечая, что so = Q(x+Q)—Q(x—0) = 1 и учиты-
учитывая равенство A.2.25), получаем опять формулу A.2.13).
Для вычисления производной обобщенной функции,
соответствующей характеристической функции отрезка
A.1.95), можно использовать соотношение A.1.98) или
формулу A.2.31). Таким образом, находим
h'(x) = b{x+a)-b{x-a). A.2.33)
Рассмотрим теперь функцию (фиг. 1.12)
* пРи-<0. A.2.34)
х при х ]> 0.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
61
Фиг. 1.12.
Эта функция непрерывна всюду; она также дифферен-
дифференцируема всюду, за исключением начала координат, где
/'(О—0) =—1, /'@+0) = 1. Можно записать производную
в смысле теории обобщенных функций в виде
х\'-
' = 28 (*) — !. A.2.34')
х\' = \~1 ПРИ
\ 1 при
Эта производная совпадает с производной в обычном
смысле.
Введем наряду с обобщенной функцией Хевисайда
также следующую обобщенную функцию (фиг. 1.13):
•iff
I
Фиг. 1.13.
при
при
Заметим, что имеют место соотношения
A.2.35)
A.2.36)

62 ГЛАВА 1
f~1 при
' A.2.36')
1 при >0
где функция 1 (х) равна единице в любой точке
(фиг. 1.14, а), а функция sign л:, x^R, указывает знак
числа х (фиг. 1.14,6).
1
J ,
О х
а б
Фиг. 1.14.
В этом случае можно написать
|jc|' = signjc, A.2.34")
а также
U|"=(signjc)' = 28(A:). A.2.34'")
Исходя из соотношения A.1.73), с помощью матема-
математической индукции можно получить следующие соотно-
соотношения:
хпЬ(п-»{х]=0 (л==1> 2,..., п, n?N0). A.2.37)
Из того же соотношения для случая п=\ последова-
последовательно находим
A.2.37')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 63
Отсюда последовательным исключением получаем
*«8(л) (*) = (-№ 8(jc), n?N. A.2.38)
При помощи математической индукции можно пока-
показать также, что
л*8(я+1) (*) = (-1)" (л+1I 8'(jc), n?N, A.2.38')
или в более общем виде
хпЬ(>^ъ) (jc)^ (— 1)" (я + k)- bw (x), k, n?N. A.2.38")
Действительно, при я = 0 получаем тождество. Предпо-
Предположим теперь, что соотношение верно для п. Умножим
соотношение
(jc)=O,
имеющее вид A.2.37), на хп. В результате получим
+l) xnb(*+k) (х) —
()
таким образом, соотношение A.2.38") доказано.
Эти результаты позволяют вычислять произведение
многочлена на производные произвольного порядка
обобщенной функции Дирака. При этом используются
производные меньшего порядка этой обобщенной
функции.
В общем случае, исходя из соотношения A.1.72),
можно установить при помощи математической индук-
индукции следующую формулу:
а (х) 8AЯ) (х - х°)=С°та (х°) 8(т) (х - х°) -
- Сгта' (л°) 5(т-'' (х - х°) + С2та" (х°) Ъ(т~2) (х - х°) -
- ... +(- \)mCZa{m) (х*) 5 (х-х°),
а{х)?Ст, х, x°?Rn, A.2.39)
где Стр — число сочетаний из т элементов по р.

64 ГЛАВА 1
Отсюда можно легко получить различные частные
случаи (в том числе и формулы A.2.37)—A.2.38")).
Например, в случае а(х) =sinx получаем
A.2.39')
Введем также обобщенные функции, соответствую-
соответствующие функциям х+ и х-, определенным следующим обра-
образом (фиг. 1.15):
0
a
дг.—д
Фиг.
1
1.
f-
l
15.
при *•
при х]
0 при
S
о" о"
V Л\
л:>0.
A.2.40)
A.2.40')
Заметим, что эти обобщенные функции являются обоб-
обобщенными функциями медленного роста.
Отметим соотношения
х=х+ — х_, | х | —х+-\-х_=хsign*. A.2.41)
Можно вычислить производные
(*+)' = 8(*), (*_)'=-6(-*), A.2.42)
а также
{хр+у=рхр+-1. A.2.42')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 65
Введем теперь обобщенную функцию Vp(l/x) и вы-
вычислим
00 М
х—it
lim Г Tt-r) dx== ,im С
s-+0 J X + h г^+Q J
М 00
00 00
^ V-.+0 J ЛГ2+82 ' E-* + 0 J
со oo
=? @) lim f —— /? @) lim arctg — -f
+ Vp
Отсюда получим соотношения Сохоцкого
^— = Vp — -
+ u v x
L_=Vp —+inb(x). A.2.43')
-—= lim —^— = Vp — -inb {x), A.2.43)
x—iO
В. Гейзенберг ввел обобщенные функции 6+{х) и
б-(л;), определяемые следующими соотношениями:
8 (х) = — Ь (х) — Vp — = — 8 (хL- — Vp — , A.2.44)
— Vp — = — Цх)—- Vp —. A.2.44')
* х 2 к ' 2я v х к '
^(х)Ь(х)\Vp Цх)
Заметим, что
W=»D A-2.45)
Учитывая формулы Сохоцкого, можно также напи-
написать
Ь+(х) = - —, М*) = - — . A.2.46)
2я х+Ю ' 2я х— Ю *•
3—3677

66 ГЛАВА 1
Можно установить также следующие результаты, ко-
которые обобщают формулу Сохоцкого:
\ = Vp -L _(_ l)"-1 -JJL-j**-1) (x), A.2.47)
х
?
—1—=Vp^-+(-irI—**_ 8"-V),
(x—iO)P x" (P— 1)!
p?N. A.2.47')
Определим обобщенную функцию 1п|*| соотноше-
соотношением
со
(In | х | , <р (х)) — Vp i" cp(x)ln | х | rfx, ?(x)^/C. A.2.48)
Тогда можно написать
— In | х\ =Vp—. A.2.49)
dx x
Можно также доказать соотношение
-Аур — =-Vp — . A.2.49')
dx x x%
1-2.1.4. Ряды обобщенных функций
В электротехнике часто встречаются «зубчатые» вол-
волны— периодическая функция с периодом Т и единич-
единичной амплитудой (фиг. 1.16), определяемая соотношени-
соотношением
9 Г Т Т \
-' ' ^ A.2.50)
Точки Xi= Bi+ 1) (Г/2), /eZ, являются точками разры-
разрыва этой функции, а ее скачки равны Si — — 1—1=—2.
Применив формулу A.2.31), где точки разрыва образу-
образуют счетное множество, получаем
^j. A.2.51)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
67
Фиг. 1.16.
Аналогично прямоугольная волна с единичной ам-
амплитудой и периодом Т (фиг. 1.17), определяемая соот-
соотношением
'?
\Х
-и
я*
Фиг. 1.17.
1 при -V61 '-,
1 при х
A.2.52)

68 ГЛАВА 1
имеет точки разрыва Xi = i(T/2), i^Z, и скачки Si =
=2(—1)*, так что
со
-\)lb{x-i±.y A.2.53)
Разложив функцию fi{x) в ряд Фурье, получаем сле-
следующие ряды по синусам:
, A.2.50')
tJl /
/-1
о»
/a(*) = ^ B.^1)я sinBf+l)-^?-. A.2.52')
г-о
Поскольку эти ряды сходятся, их можно почленно
дифференцировать. Таким образом, получаем
f 2(-l)'cos^-, A.2.51')
\~±-. A.2.53')
/-о
Отсюда следует
^]^. A.2.54)
1—1
В частности, при Г = 2л можно написать
2я 2 8 (лг—Bi-fl)jt)==l+2 ^](— I)'rcos«. A.2.54')
Аналогично
)^L> A.2.55)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 69
а также
со оо
л V (—1)'8(х—ш) = 2 V cosBi4-l)x. A.2.55')
Используя таким образом разложение в ряд Фурье и
дифференцирование в смысле теории обобщенных функ-
функций, можно получить различные соотношения между
рядами.
В общем случае, если ряд из обобщенных функций
с общим членом fi(x)^K' сходится к обобщенной функ-
функции f(x)^K', т. е. если
то этот ряд можно почленно дифференцировать:
A.2.56')
1.2.1.5. Другие свойства производной
Ранее было показано, что для функций одной пере-
переменной, принадлежащих С1 всюду, за исключением ко-
конечного числа точек, где они имеют разрывы первого
рода, имеет место формула A.2.31). Похожая формула
может быть установлена и для частных производных
первого порядка функций нескольких переменных, яв-
являющихся функциями класса С всюду, за исключением
дуги кривой, где они терпят разрывы первого рода.
Пусть f(x, у)— функция класса С1 в R2, за исключе-
исключением кривой Г, где она имеет разрывы первого рода
(фиг. 1.18). Тогда имеет место соотношение
(f'hx, У), ?(¦*,</)) =
= if у (*, У), ? (х, у)) + J vp (х, у) ах, A.2.57)
г
где sv представляет собой скачок функции f(x, у) при
пересечении кривой Г в положительном направлении

70
ГЛАВА 1
оси Оу и определяется формулой
se = f{xT, Ут + 0)-/(хт, Ут-0), (хт, ут)?Т. A.2.57')
Действительно, пусть ц>{х, у)^К- Тогда
{f'y{x, У), ?(*, #))=-(/(•*, У), <?у[х, у)) =
= - Я / (*' у) ^ (х'
Фиг. 1.18.
где
\/{х,
R
00
+ f /(¦*,
+
\im J /(х, y)dy<f(x,
у) = lim /(х, г/)?(х, г/)
J L
, У) | -
- j ?(¦*, УO'у(х, y)dy\=-i
хг, уг) -

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 71
- j Ч(х, У)/'у(х, y)dy.
— CO
Получаем
if Ax, У), ?{x, y)) = J ) fix, y)fy{x, y)dxdy +
i?(xr, yr)dx,
X
у-г
Фиг. 1.19
отсюда, если учесть, что второй интеграл вычисляется
вдоль кривой Г и представляет собой криволинейный
интеграл, следует формула A.2.57).
Аналогично, если обозначить через sx скачок функ-
функции f(x, у) при пересечении кривой Г в положительном
направлении оси Ох, можно написать
(f'x(x, У), ?(¦*, У)) = G'х(х, У), f{x
Мх, y)dy. A.2.58)
г
В R3 можно также написать
{/Ах, У, z), ф(х, у, z)) = (f'x[x, у, z),
<?(х, У, z)) + ^S/f(x, у, z)dydz, A.2.58')
S
где S -— кусочно гладкая поверхность.

72
ГЛАВА 1
Рассмотрим, например, функцию (фиг. 1.19)
/О*, 0 =
1, если -2<г/<2,
О в остальных точках.
A.2.59)
которая равна единице на полосе, ограниченной прямы-
прямыми у ——2 и у = 2, и равна нулю в остальных точках пло-
плоскости. Используя предыдущие формулы и учитывая при
Фиг. 1.20.
ЭТОМ, ЧТО /ж' = 0,
получим
A.2.60)
-<f(x, 2)}dx. A.2.60')
Аналогичные результаты можно получить и для зам-
замкнутых контуров. Пусть Г1иГг = Ге/?2 — замкнутая кусоч-
кусочно гладкая кривая (фиг. 1.20). Применив формулу

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 73
A.2.57) к дугам кривой Т\ и Гг, получим
+ J sy<pdx= (/;, ср) + f sftdx- f
г г
где кривая Г пройдена в прямом направлении. Можно
далее написать
(/»(¦*, У), <?ix, У)) = G'у{х, У), Ч&
+ f(A/(*. У))у?{х, y)dx, A.2.61)
г
где (А/) у представляет собой скачок функции f при пе-
пересечении кривой Г и выражается следующим образом:
(*/(¦*, У))у=/(хт, yT)-f{xT, yv). A.2.62)
Здесь индекс i соответствует внутренности области, огра-
ограниченной кривой Г, а индекс е — внешности этой области.
В частности, если функция f(x, у) равна нулю во
внешности области, ограниченной кривой Г, то формула
A.2.61) принимает вид
(/*(¦*, У). ?(¦*, У)) = G'у{х, У), Ч(х
+ \f(x, у)<?(х, y)dx. A.2.63)
г
Аналогично можно написать
(/*(¦*, У), ?(х, У)) = G'х(х, У), <t(x, y)) +
+ \(bf(x, y))jf(x, y)dy, A.2.61')
г
(f'x(x, У), 9(х, У)) = G*(х, у), ?(х, у)) +
+ \f(xt y)<?(x, y)dy. A.2.63')

74
ГЛАВА 1
Можно установить аналогичные формулы и для функ-
функций нескольких переменных. Пусть, например, функция
fix, у, z) отлична от нуля (или равна нулю) во внешно-
внешности области D, ограниченной замкнутой кусочно гладкой
поверхностью S. Тогда имеют место следующие соотно-
соотношения:
*, У, z), ?(¦*, У* «)) = (/*(¦*. У> z)' ?(¦*, У, z)
+ JJ(A/(jf, у, z)\x9(x, у, z)dydz, A.2.64)
, У, г), <р(х, г/, г)) = (/; (л, f/
+ JJ/C*, У. ^)?(-«, У,
A.2.64')
а также соотношения, соответствующие направлениям,
определяемым осями Оу и Oz.
В (а, а)
А[п,с) х
Фиг. 1.21.
Рассмотрим, например, квадрат ОАВС со стороной а
(фиг. 1.21) и функцию f(x, у), равную нулю вне квадрата
и единице внутри квадрата. Учитывая, что // = 0, Г/ = 0,
а /(¦*¦> #)= 1 на сторонах квадрата, можно написать
*(*. У), <?(х, #))=??(¦*, У)^= f
?(-«,
ЛЬ
ВС

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 75
j
О
Отсюда следует
(Л(*, У), ?(*, У)) = |[<р(а, У)-?(О, 01 <# A.2.65)
и
и аналогично
Л Р(*, О)-Т(*. a)\dx. A.2.65')
Отметим, что скачки, фигурирующие в формулах, со-
соответствующих незамкнутым кривым и поверхностям,
вычислены в положительном направлении соответствую-
соответствующей оси; если это направление изменено, то скачок следует
взять с противоположным знаком. В случае замкну-
замкнутых кривых и поверхностей скачки вычислены по направ-
направлению к внутренности области, ограниченной соответст-
соответствующими кривыми или поверхностями.
1.2.2. Формулы разложения некоторых обобщенных
функций
1.2.2.1. Общие результаты
Для интерпретации различных физических явлений
часто полезно представлять одни обобщенные функции
другими, более простыми; для обобщенной функции Ди-
Дирака имеют место такие формулы разложения.
Теорема 1.2.1. Рассмотрим на Rn функции fi(xu хъ ...
..., Хп)^С°° (i—l, 2, ..., п). Если эти функции имеют един-
единственный корень jc°= (jci°, *2°, ..., хп°), так что функцио-
функциональный определитель отличен от нуля:
x2 xn)
A.2.66)
x-x°

76 ГЛАВА 1
то имеет место соотношение
-.-, ^П-А U.2.67)
Действительно, можно написать
[Ч/и А-.., Л)?(Л, Л fn)df1df2...dfa^
= 9@, 0,..., 0),
где
Следовательно,
=7@, 0,..., 0).
Заметим, что функция
<!>(*!, х2..., хп)= | D[x) | cp(-^
является основной; поэтому
J 8 (/l, /2, • • ¦ , /J <? (Jfl, *2, ¦ • • , *
-9@, 0,..., 0).
Но
так что можно написать
J" 8 (/ь Л /я) ф (JCi, х2,. . ., *J d^dxa •. - ^л =
1 1/00 О,
I D (xO) |
откуда следует соотношение A.2.67).

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 77
Это соотношение может быть обобщено на случай,
когда функции fi(X\, х% ..., хп) (i=l, 2, ..., п) имеют ко-
конечное или бесконечное число простых корней х'К Таким
образом, можно написать
Ч/и A,--., /J
В частности, получаем
R". . A.2.68)
. A-2.69)
Этот результат можно получить и путем применения
правила дифференцирования сложной обобщенной
функции.
1.2.2.2. Применения
Пусть 9(х) —обобщенная функция Хевисайда. Опре-
Определим следующую обобщенную функцию (фиг. 1.22):
6(хг-а
¦>\
---6-
-а 0 а
Фиг. 1.22.
ГО при *-а»<0,в
v A
Юпри \х\<а,
при х2 — а2>0,
A.2.70)
I при | х

78 гллвл i
Эту обобщенную функцию можно выразить также следу-
следующим образом:
й(х- — п?) 1 б (хА-а)-4-6 (х а) <2~~>0 A 2 70')
Поскольку функция и(х) =х2—а2 бесконечно дифференци-
дифференцируема, можно применить формулу A.2.5) дифференциро-
дифференцирования сложной обобщенной функции. В результате по-
получим
2хЫх2 а?) = Ъ(х а) Ь(хА-а) а^>0 A.2.711
Функция v(x) = x не равна нулю в точках х =—а и х=а,
поэтому соотношение A.2.71) принимает следующий вид:
8(х2 — а2)= — [Ь{х-а) — Ь{х-\-а)), а>0. A.2.71')
Используя формулу A.1.72), можно написать
8/ *? <). А Г ft /"« я1 I Н« I Л^1 « **v^ С\ {Л О 71 tt\
I jQ — (jf I z^ ' I О IЛ —• (ZI "T~ 0 I Л ~т CL\\ (Z ^ *J • I 1 • ^ • / 1 I
i > 2a i v ; i i i л, ^ (. ;
Применив формулу A.2.69), получим такой же ре-
результат.
Заметим, что формулу A.2.69) нельзя применить к
8(х2), поскольку уравнение х2=0 имеет двойной корень.
Поэтому обобщенная функция 6(х2) пока что лишена
смысла. Можно придать смысл этой обобщенной функ-
функции путем вычисления
*2-а2).
При ф(х)е/( можно написать
(8(*2-*2), <р(*))=~[«р
Но
Следовательно,
(Ь(х2-а2), ?

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 79
Переходя к пределу, получаем
НтE(;с2-а2), <р[х)) = Нт — <р@). A.2.72)
а->-+0 а->+0 а
Этот предел не существует при cp(O)=^O. Но если
ф(х)<=/Сиф@)=0, то
Нт5(х2-а2) = 0. A.2.72')
Последнее соотношение придает смысл обобщенной
функции б (г2).
Рассмотрим теперь обобщенную функцию
е(х2+а2)=1 при x?R, афО. A.2.73)
Заметим, что функция w{x) =x2+a2eC°°, поэтому можно
применить формулу A.2.5) сложного дифференцирова-
дифференцирования. В результате будем иметь
хЬ{х^-\-а?) = 0. A.2.74)
Применив формулу A.2.69) к обобщенным функциям
б (sin х) и б (cos x), также получим
A.2.75)
-Bй+1)-|-). A.2.75')
В пространстве /?3 можно написать, например, соотно
шение
5 (sin xy sin г/, sin z) =
jc —тл, у — пл, z—ря). A.2.75")
оо оо
= — =о Л = — оар = — оа
Найдем теперь разложение обобщенной функции
б(х2—а2, у). В этом случае применим формулу A.2.67).
Поскольку функции fi(x, y)=x2~a2 и /2(х, у)=г/ имеют
простые корни (а, 0) и (—а, 0), а функциональный опре-

80 ГЛАВА 1 /
делитель D (х, у) = 2х, то /
Ъ{х*-а\ у)=-1-[Ъ(х-а, у)+Цх + а,у)], а>0.
A.2.76)
В случае f\{x, у)=х2—a2, f2(x, у)=у2—Ь2 получаем
четыре пары простых корней: (а, Ь), (—а, Ь), (—а, —Ь)
и (а, —Ь), а функциональный определитель D(x, у) =
— 4ху. Из формулы A.2.67) следует
а, уЬ)
а, у-Ь)-\-Ь(х-\-а,
а, 6>0. A.2.77)
Аналогично получаем
8(sin^, y)= 2 Чх-1я, У)- A-2.78)
Умножая обе части соотношения A.2.76) на х, получаем
= ±-[Ъ(х-а, у)-Ъ(х+а, у)], а
Отсюда следует соотношение
2хЪ(х*-а\ у) = Ь(х-а, у)-Ъ{х+а,у), а>0, A.2.79)
которое в более общем виде выглядит следующим об-
образом:
2хЪ(х*-а\ у-Ь) = Ъ(х-а, у-Ь)-Ъ{х + а, у-Ь),
а>0, A.2.79')
4хуЬ{х*-а\ у2-б2) = 8 (*-а, у-Ь)-Цх+а, у-Ь) +
), а, Ь>0. A.2.79")

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 8t
Аналогично можно написать
x-b)], афЬ,
A.2.80)
а также
Ь{а(х){х — а))= - Ь(х — а)= Ь(х — а)
1 Д I а (а) | *" ; |а(лг)| ^ и
A.2.81)
где а(х) —функция класса С°°, не обращающаяся в нуль.
Например,
^ *-l), A.2.82)
или в общем случае
8(х"-1) = — 8(х-1) = 8(я(;с
A.2.82')
1.2.3. Обобщенные функции с компактным носителем.
Периодические обобщенные функции
1.2.3.1. Общие результаты
Приведем две особенно полезные в применениях
теоремы.
Теорема 1.2.2. Пусть g(x) —локально интегрируемая
функция, a at (i=l, 2, ..., п)—постоянные величины.
Равенство
=0, х, x,?Rt A.2.83)
имеет место тогда и только тогда, когда выполняются
соотношения
g(x) = 0, A.2.83')
а< = 0 (i=l, 2,..., л). A.2.83")

82 ГЛАВА 1
Действительно, пусть <p(x)^K(R) — основная функ-
функция, носитель которой не содержит точки Xi (t = l, 2, ...
...,/г); соотношение A.2.83) влечет равенство
откуда следует, что функция g(x) равна нулю почти всю-
всюду, исключая, быть может, лишь точки х^
Пусть теперь ф(х) —основная функция, носитель ко-
которой содержит только точку xt. Тогда
Следовательно, ссг = О. Поступая таким образом для
?=1, 2, ..., п, получаем условия A.2.83"); теперь из фор-
формулы A.2.83) с учетом A.2.83") следует условие A.2.83').
Достаточность условий очевидна. Таким образом, теоре-
теорема доказана.
Таким же путем можно доказать следующую теорему.
Теорема 1.2.3. Пусть g(x) — непрерывная функция, а
aS (?=1, 2, ..., п\ / = 0, 1, 2, ..., т) —постоянные величи-
величины. Тогда равенство
2*—^)=0 A-2-84)
У-0/-1
влечет соотношения
g(x)=0, A.2.84')
а/=0 (?=1,2,..., /г; у = 0, 1, 2,...т). A.2.84")
Эта теорема представляет собой обобщение преды-
предыдущей теоремы.
1.2-3.2. Структура обобщенных функций
с компактным носителем
Теорема 1.2.4. Для того чтобы обобщенная функция
одной переменной f(x) удовлетворяла уравнению
Р (*)/(*) = 0, A.2.85)
где Р(х) — многочлен, необходимо и достаточно, чтобы
f(x) имела вид

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 83
f {^^cfiix-x^ +^c^-'\x~x'k\ A.2.86)
где x,- G= 1, 2, ..., s) —простые корни, xh' (k=\, 2, ...,r) —
кратные корни многочлена P(x) кратности nif,, с* и Cjh —
постоянные величины, а б — обобщенная функция Ди-
Дирака.
Эта теорема может быть связана с результатами
разд. 1.2.1.3, относящимися к произведению многочлена
на производные произвольного порядка обобщенной
функции Дирака.
Теорема 1.2.5. Пусть носитель обобщенной функции
f(x) образован точками Х\ G = 1, 2, ..., п). Тогда f(x) име-
имеет вид
-Xj), A.2.87)
i -i /-о
где Ci} G=0, 1, ..., ту, /=1, 2, ..., п) —постоянные вели-
величины, а 8 — обобщенная функция Дирака.
Действительно, для любой основной функции ty{x),
равной нулю вместе со своими производными до порядка
trii включительно в точке хг (г=1, 2, ..., п), можно напи-
написать
Пусть теперь ср(л;)—произвольная основная функция.
Тогда
^{x^ix-x^ {x-x2)m>.. .(x-xn)mn<?(x)=P(x)<f(x).
Следовательно,
Таким образом, получено соотношение вида A.2.85). Да-
Далее из предыдущей теоремы следует соотношение
A.2.87), поэтому сформулированная выше теорема до-
доказана.
Итак, две сформулированные теоремы эквивалентны.

84 ГЛАВА 1
Отметим, что в теореме 1.2.4 были особо выделены
простые корни ввиду важной роли, которую они играют.
Очевидно, однако, что вклад простых корней можно было
учесть в выражении для кратных корней, рассматривая
корни с единичной кратностью.
1.2.3.3. Периодические обобщенные функции
В механике, как и в других естественных науках,
встречаются периодические величины, имеющие большое
значение как с теоретической, так и с практической точки
зрения. Разложения в рлд Фурье являются важными
представлениями таких величин.
Иногда, однако, появляются трудности, связанные с
тем, что ряд Фурье, соответствующий некоторой функ-
функции, не всегда сходится к этой функции, например в слу-
случае периодических сосредоточенных величин. Единая
теория, позволяющая обойти эти трудности, получается
при разложении в ряд Фурье периодических величин
в пространстве обобщенных функций. В этом простран-
пространстве любой ряд Фурье, соответствующий периодической
обобщенной функции, сходится к этой обобщенной функ-
функции. Таким образом, задача сходимости не возникает и
можно представлять рядами Фурье как величины, выра-
выраженные посредством локально интегрируемых функций,
так и величины, выраженные периодическими обобщен-
обобщенными функциями.
Для выявления свойств рядов Фурье в пространстве
обобщенных функций ниже будет изучена зависимость
между функциями, определенными на окружности, и со-
соответствующими периодическими функциями, определен-
определенными на прямой.
Пусть Г — окружность длины Т с центром в начале
координат О, и пусть ЦМ), М^Г,— векторная функция,
определенная на Г. Поставим в соответствие этой функ-
функции векторную периодическую функцию Цх) с периодом
Т, определенную на оси Ох; здесь волнистая черта обоз-
обозначает периодичность функции. Основной функции
(f(x)^K{R) поставим в соответствие следующую перио-
периодическую функцию с периодом Т:

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 85
A.2.
Очевидно, что эта функция также является основной, так
что Ф(х) €=*(/?).
Между функции! f(s), определенной на Г, и периоди-
периодической функцией f(x), определенной на R, имеет место
соотношение
т
f f (s) Ф (s) ds = J f (jc) cp (x) rfjc= f f(x) Ф (x) dx, A.2.89)
где Ф (s) — функция класса С°°, Ф (s) <=/((Г).
Очевидно, что при х, se[0, 7]
f(s) = f(j:), Ф(в) = ф(х). A.2.90)
Определение 1.1.14. Обобщенная функция F(x) (=Kr(R)
называется периодической с периодом Т, если для любой
основной функции (f(x)^K{R) выполняется соотношение
(F(x-T), 9(x)) = (F(x), 9(x)). A.2.91)
Из этого определения и соотношения A.2.89) следует,
что связь между обобщенной функцией i(s), определен-
определенной на Г, и периодической обобщенной функцией Цх),
определенной на R, выражается соотношением
(f>), <р(*)) = (/И, Ф(*)), A.2.89')
являющимся обобщением соотношения A.2.89).
Пусть б(s)^K'(Г) —обобщенная функция Дирака,
сосредоточенная в начале координат, которая зависит от
дуги s окружности Г. Поставим в соответствие этой
обобщенной функции периодическую обобщенную функ-
функцию 8(х), определенную на R. Таким образом, можно
написать соотношение
(8(s), ФE)) = (8(х), ?(х)) = Ф@). A.2.92)
Заметим, что
Ф@) = Ф@),

86 ГЛАВА 1
поэтому в соответствии с формулой A.2.88) можно на-
написать
Ф@)= 2 9(пТ), n?Z. A.2.93)
Следовательно,
(Цх), 9(х)) = Ф@)= V 9(пТ) = ( 2 »(-«-яП, «Р (¦*)),
Я — — оо \Л = —оо /
/*€Z. A.2.92')
Таким образом, получаем
Ь{х)— 2 *{х — пТ), n?Z. A.2.94)
Далее с учетом соотношения A.2.75) можно написать
A.2.95)
Если ввести теперь обозначение Т'=2Т, то получим
оо
8(sin—JcWV —Ъ(х-пТ), n?Z. A.2.95')
Л— оо
Таким образом, сложная обобщенная функция б (sin сох)
является периодической обобщенной функцией с перио-
периодом Т, для которой
8(jc)=u)S(sinu)x), о) = —. A.2.96)
Заметим также, что для обобщенной функции 6(х)
имеет место соотношение
оо
{х-пТ), n?Z. A.2.97)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 87
Следовательно, обобщенная функция Q(x) удовлетворяет
равенству
Ь'(х) = Ъ(х). A.2.98)
Таким образом, Q(x) соответствует обобщенной функции
Хевисайда.
Дифференцируя соотношение A.2.94), получаем вы-
выражение для обобщенной функции 8'(х):
Ь'{х)= 2 Ъ'(х — пТ), n?Z. A.2.94')
Пусть теперь f (х) — периодическая обобщенная функ-
функция с периодом Т, определенная на R. Коэффициенты
соответствующего ряда Фурье определяются соотноше-
соотношением
^, е-1""), <»=-|Ц ntZ, A-2.99)
а ряд Фурье имеет вид
/»= 2 ся(/)е1яах, ш=-р5-, tiZZ. A.2.100)
Аналогично можно изучить периодические обобщен-
обобщенные функции f (x)^K'(Rn); в частности, при /г=2 и /г=3
можно рассмотреть векторные обобщенные функции,
широко используемые в механике.
1.2.4. Дельтообразные последовательности
1.2.4.1. Понятие дельтообразной
последовательности
Во многих задачах теоретического или прикладного
характера появляются последовательности локально ин-
интегрируемых функций, которые сходятся в пространстве
обобщенных функций к обобщенной функции Дирака.
Такие последовательности локально интегрируемых
функций называются дельтообразными последовательно-
последовательностями.

88 ГЛАВА 1
Определение 1.1.15. Если fu{xi, х2, ..., хп) является по-
последовательностью локально интегрируемых функций,
такой, что
Ит/к(хи х2,...,хп)=Ь(хи х2,..., хп), A.2.101)
k
то fh(X\, х2, ..., хп), k^N0, называется дельтообразной
последовательностью.
Заметим, что соотношение A.2.101), определяющее
такую последовательность, эквивалентно следующему со-
соотношению:
lim (/*(*!, х2,..., хп\ <p(j:lt x2,..., хп)) =
ft -*¦ во
=«Р(О, 0,..., 0), A.2.101')
где ф(хь х2, ..., хп)<^К-
Можно сказать, что любой член последовательности
fk(x) является некоторым приближением обобщенной
функции Дирака. Это обстоятельство чрезвычайно важ-
важно для практических целей. Действительно, предположим,
что нужно получить некоторые числовые значения в за-
задаче, в которой результаты выражаются через обобщен-
обобщенные функции. Тогда для выполнения вычислений можно
заменить регулярную обобщенную функцию обычной
функцией, порождающей данную обобщенную функцию,
а сингулярную обобщенную функцию —некоторым чле-
членом соответствующей дельтообразной последовательно-
последовательности. Полученные таким образом формулы можно запро-
запрограммировать для вычислений на ЭВМ и получить нуж-
нужное приближение в зависимости от выбранного члена
дельтообразной последовательности.
Важной задачей является отыскание критериев, по-
позволяющих устанавливать, является ли данная последо-
последовательность локально интегрируемых функций дельто-
дельтообразной.
Теорема 1.2.6. Пусть последовательность локально
интегрируемых функций fk{Xi, x2, ..., хп), определенных
на Rn, удовлетворяет условиям

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
89
б)
я-
b xa,..., xH)dxldx3...dxa\<?M,
O, если
х
А°(х°у°)
Фиг. 1.23.
Af ни зависит от k и Q и Q — некоторый параллелепи-
параллелепипед, грани которого параллельны координатным плос-
плоскостям и одна из вершин которого A°(xi°, x2°, ..., хп°) та-
такова, что Xi°<0, x2°<0, .... хп°<0. Тогда эта последова-
последовательность является дельтообразной, т. е. выполняется
соотношение A.2.101).
Для доказательства ограничимся последователь-
последовательностью fh{x, у) локально интегрируемых функций. Ука-
Указанный параллелепипед сводится в этом случае к прямо-
прямоугольнику, для которого х°<0,у°<0 (фиг. 1.23). Введем
функцию
, y)dxdy.
A.2.102)

90 ГЛАВА 1
Ясно, что
^^ =/»(*. У\ k?N0. A.2.102')
Если х>0 и у>0, то Q содержит начало координат и,
следовательно, согласно условию б) limFh(x, у) = \.
Если же координаты точки А(х, у) не являются одно-
одновременно положительными, то Q не содержит начала
координат и в силу того же условия ИтГк(х, */)=0.
Поскольку Fk(x, у) являются ограниченными функциями,
получаем
\imFk(x, у) = в(х, у), A.2.103)
где Q(x, у) —функция Хевисайда в R2. В силу соотноше-
соотношения A.2.102') можно написать
/*(¦*, j/) = H
Следовательно,
x,y) = 8K У), A.2.103')
т. е. теорема доказана.
Функции, образующие дельтообразные последователь-
последовательности, называют также импульсными функциями.
Аналогично доказывается и следующая теорема.
Теорема 1.2.7. Пусть М*ь хь •¦¦> х") —дельтообразная
последовательность, a it>(*i, ^2, •¦-, *п)—функция класса
С°°, такая, что я|)@, 0 0) =0. Тогда для любого парал-
параллелепипеда ?ic^Rn, грани которого параллельны коорди-
координатным плоскостям и одна из вершин которого
Л(*1°, х20, ..., х„°) такова, что х{°<0, х2°<0, ..., хп°<0,
имеет место соотношение
2
2,
Х^х1аГх2...й'хл=0. A.2.104)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 91
Для доказательства ограничимся дельтообразной по-
последовательностью в R2. Пусть fh(x, у)—рассматривае-
у)—рассматриваемая последовательность. Введем обозначение
Рь (х, г/) = j J ф (х, у) /„ {х, у) dxdy.
х" 'у0
Тогда
Я2Я". lv иЛ
х, У).
Переходя к пределу в смысле теории обобщенных функ-
функций, получаем
X У
Urn
х° у"
Следовательно,
UmFk(x, y)=hl(x)-\-h2{y),
ft->-oo
где hi (i= 1,2) — функции одной переменной.
Поскольку это соотношение имеет место для любой
дельтообразной последовательности fh(x, у), то можно
использовать такую произвольно выбранную последова-
последовательность для определения функций /г,-. В этом случае
выполняется соотношение A.2.103). Следовательно,
hi = 0, поэтому соотношение A.2.104) имеет место и теоре-
теорема, таким образом, доказана.
1.2.4.2. Примеры
Дельтообразные последовательности были использо-
использованы в интегралах Фурье, теории распространения тепла,
волновой теории света, в представлении сосредоточенных
нагрузок и т. д. Так, при формулировке принципа Гюйген-
Гюйгенса в волновой теории света Кирхгоф использовал функции
(фиг. 1.24)
-?-<Гпг. A.2.105)

92 ГЛАВА 1
сходящиеся в обобщенном смысле к
а(х) = Ь(х). A.2.106)
Л-*-оо
При представлении точечных источников тепла Кельвин
использовал эту функцию в виде
0. A.2.106')
'VIVJ vJ VI
Фиг. 1.24.
Как известно, в теории интеграла Фурье используется
функция Дирихле (фиг. 1.25)
i 0<д<оо, A.2.107)
я*
для которой также можно написать предельное соотно-
соотношение вида A.2.106). В самом деле, применим теорему
1.2.7. Тогда
ь
lim U(x) sinnx dx=0t A.2.108)
a
где ^(х)—функция класса С°°, для которой я|)@)=0.
В частности, при ty(x)=x имеем
»
lim f sin n.xdx=0. A.2.108')
Л-*-во J

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
93
/
W A
i_
0
Фиг. 1.25.
\
4
n \
sti=2
Интегрируя по частям, переходя к пределу и учитывая
соотношение A.2.108), получаем
ь
lim (>(.*) cos дхЛс=0. A.2.109)
В частности, при
ь
lim Г
х cos nxdx~0.
A.2.109')
Отметим и функцию Стилтьеса (фиг. 1.26)
I /.-"¦*; Я Ch ЛХ '
A.2.110)
которая также является импульсной функцией. Интегри-
Интегрируя по л: и переходя к пределу, получаем
lim — i
Л->-оо Я
Функция Коши (фиг. 1.27)
A.2.111)
U.2.112)

94
ГЛАВА 1
/1=3
Фиг. 1.26.
Фиг. 1.27.
где E« —сходящаяся к нулю последовательность положи-
положительных чисел, также является импульсной функцией.
Дифференцируя по х, получаем (фиг. 1.28)
Г-
[
Иш Г--?-
[ Я
A.2.113)
т. е. последовательность fn'(x) сходится к производной
дельта-функции.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
95
Фиг. 1.28.
Аналогично функции (фиг. 1.29)
/«(¦*) = 4 V-.sn>°. «e^o, A-2.И4)
где последовательность положительных чисел еп сходит-

ГЛАВА 1
ся к нулю, образуют дельтообразную последователь-
последовательность.
Действительно,
Поскольку
62 + ?л
. 1
^ 2
1
Д2+
— arctg
п
а
1
^ 2 '
4-. arctg ^-
то справедливо соотношение

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
97
Таким образом, условие а) теоремы 1.2.6 выполнено;
условие б) нетрудно проверить, если учесть при этом при-
приведенные выше соотношения.
Рассмотрим теперь следующую последовательность
функций (фиг. 1.30):
•/7=J
-1 1_ 1 О I 1 1
2 3 Hi
Фиг. 1.30.
х
при
*<—•
п{\-\-пх) при <С*<0,
п
п{\ — пх) при о<;х<; —,
о
при
_1_
n
A.2.П5)
Заметим, что площадь образовавшегося треугольника
равна единице при любом п. Следовательно,
00
\ /„(*)=!, A.2.115')
4—3677

98
ГЛАВА I
т. е. условие а) теоремы 1.2.2 выполнено; далее
х @ при
Игл \fa{x)dx=\
»—_Ji 1
A.2.115")
при
т. е. выполнено и условие б) теоремы, и, следовательно,
можно написать соотношение вида A.2.106).
3\
2
1\
2\
>ч
-1
I
11 О II
2~3 3 2
Фиг. 1.31а.
1 X
Рассмотрим теперь последовательность функций
(фиг. 1.31а)
Г 1
при х?[ — а, а], а>0,
О в остальных точках.
Используя теорему 1.2.6, можно доказать, что
A.2.116)
A.2.116')
К этому же результату можно прийти и другим путем.
Действительно, при К
а
= -?¦ \

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
99
Применив теорему о среднем значении, получим
(ha(x), ?(*))=?(«, -а<Е<а,
откуда при а—>-+0 будем иметь
p
а-*+0
Таким образом, соотношение A.2.116') доказано.
и
,п=1
о а 1
3 Z '
Фиг. 1.316.
Рассмотрим также функцию (фиг. 1.316)
In при 0-<х< — ,
п
О в остальных точках.
Заметим, что
A.2.117)
Следовательно, условие а) выполнено, поскольку инте-
интеграл ограничен. Что касается условия б), можно, очевид-

ГЛАВА 1
но, написать
«-°°J 10в остальных точках.
а
Получено, таким образом, соотношение A.2.101).
Рассмотрим интеграл
{x)fn{x)dx, A.2.117')
где ¦ф {х) — функция класса С°°, такая, что if @) = 0, a fn —
рассмотренная выше дельтообразная последователь-
последовательность. Применив теорему о среднем значении, получаем
о
Отсюда следует
1йп/7я(л)=ф@)=0. A.2.117")
Таким образом, последовательность A.2.117) является
последовательностью импульсных функций.
Аналогично можно построить дельтообразные после-
последовательности функций нескольких переменных, имеющих
такой же вид. Например, последовательность функций
¦??- при (л;, у)?[-а, а]Х[ — а, а],
О в остальных точках
A.2.118)
удовлетворяет соотношению
Umha(x, у) = Ь(х, у) . A.2.118')
Таким же образом последовательность
-Ц- при (х, у, гN1-а, а]Х[-а, а]х
*«(¦*, У, z) =
8д
Х[-а, а],
0 в остальных точках
A.2.119)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
101
сходится к дельта-функции:
Umhjx, у, г) = Ь{х, у, г). A.2.119')
а+0
Рассмотрим теперь следующую последовательность
функций (фиг. 1.32):
Фиг. 1.32.
ЯД3
{а —г) при 0<г<а, а>0, г=у х2+у2>
О в остальных точках.
Заметим, что
A.2.120)
2*
Следовательно, выполнено первое условие теоремы 1.2.2.
Далее для любой прямоугольной области Q, удовлетво-

102 ГЛАВА 1
ряющей условиям теоремы, имеет место соотношение
1- Г Г s , ^ J -г П> еСЛИ
lim fa (х, у) dxdy = | '
a^+oJ2J 10 если
10, если
Таким образом,
Ит/в(*. 40 = »(*. У)- A-2.120')
Можно также показать, что функции
гл>0, й6ЛГ0 (/> = 3, 4, 5,...), A.2.121)
где последовательность положительных чисел еп сходится
к нулю, являются импульсными.
Например, при р=3 получаем
. A.2.121')
Следовательно,
\imfn{x, у) = Ь{х, у). A.2.121")
Дифференцируя формулу A.2.121") по х и у, получа-
получаем следующие соотношения:
д д
5{лг, г/) = Нт — fn(x У) =
дх п-=°дх
Г 3 »?л 1
2я ("^2 .J..J/2 + e^V»

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
103
Рассмотрим также функцию (фиг. 1.33)
О
при х<С — с,
при л:>г,
A.2.123)
: 1 {_.
-с
Фиг. 1.33.
где б — функция Хевисайда. Справедливо соотношение
, с)=В(х). A.2.123')
Таким образом, последовательность функций гр(х, с)
сходится к функции Хевисайда б(х).

104 ГЛАВА 1
1.3. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. СВЕРТКА
1.3.1. Прямое произведение
1.3.1.1. Общие результаты
Прямое, или тензорное, умножение двух обобщенных
функций — операция, обобщающая обычное умножение
двух функций. Пусть Rn и R™— два евклидовых про-
пространства размерности пит соответственно, а
xsee(xu х2 xn)^Rn и у=(уи г/2, -, Ут) &?га — точки
этих пространств. Декартово произведение этих про-
пространств RnxRm = Rn+m представляет собой новое евкли-
евклидово пространство размерности п + т. Точками этого
пространства являются пары (х, у) = (х\, х2, ..., хп, уи
У% • ••, Ут), причем координаты записываются в указан-
указанном порядке.
Пусть теперь f(x) и g(y) —две числовые функции,
x^Rn, z/&/?m. По определению прямое произведение
функций f(x) и g(y)—это определенная на Rn+™
функция
h(x, y)=f[x)xg{y)=f{x)g{y). A.3.1)
Таким образом, прямое умножение двух функций совпа-
совпадает с обычным умножением и является коммутативным,
ассоциативным и дистрибутивным по отношению к сло-
сложению определенных на одном пространстве функций.
Если, в частности, функции f(x) и g(y) локально ин-
интегрируемы на Rn и Rm соответственно, то их прямое
произведение h(x, у) является локально интегрируемой
на Rn+m функцией.
Чтобы определить прямое произведение двух обобщен-
обобщенных функций, обобщающее прямое произведение двух
функций, рассмотрим сначала на Rn и R™ соответственно
две локально интегрируемые функции f(x) и g(y). Пусть
ф(х, у) ^K{Rn+m) —основная функция, определенная на
Rn+™. В силу теоремы Фубини'' о перемене порядка ин-
интегрирования можно записать
1 См., например, [46, стр. 317]. — Прим. ред.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 105
(/ (*) X g (У), 9(х, у))= J / (х) g (у) ср (х, у) dxdy=
+
g(y)?(x,
Таким образом, прямое произведение двух обобщенных
функций /(х)еА' (Rn) и g(y)<=K'{Rm) определяется со-
соотношением
{f(x)Xg{y)t <?{x, у))=
9(x, У))), 9(х, y)?K{Rn+m). A.3.2)
Можно показать, что функционал, порожденный прямым
произведением, является линейным и непрерывным и,
следовательно, представляет собой обобщенную функ-
функцию, определенную на основном пространстве K{Rn+m)-
Заметим, что прямое произведение двух регулярных
обобщенных функций является регулярной обобщенной
функцией, соответствующей функции f(x) g(y).
Можно показать, что носитель обобщенной функции
f(x)Xg(y) является декартовым произведением носите-
носителей обобщенных функций f(x) и g{y), т. е.
supp [/ (х) X g (y)]=[supp / (х)] X [supp g (у)]. A.3.3)
Используя полученные выше результаты, можно легко
доказать коммутативность прямого умножения. Запишем
равенство
A.3.4)
Следовательно, прямое произведение можно определить
и соотношением
(f(x)Xg(y), 9(*. У))=
¦*). 9(х, У))), 9(х, y)?K{Rn+m). A.3.2')
Ассоциативность прямого умножения доказывается ана-
аналогично:
fix) X [g(y) Xh{z)\=[f{x) Xg(y)] X h (z), A.3.5)
где / [x) 6 К' (/?"), g (у) 6 К' (Rm), h (z) б К' (/?").

106 ГЛАВА 1
Дистрибутивность прямого умножения относительно
сложения определенных на одном и том же пространстве
обобщенных функций очевидна. Таким образом, если
f(x)e=K'(Rn), gi(y), g2(y)^K'(Rm) и а, ре/?, то
/ {х) X \agi (y) + ?g2(y)} = af (x) X gt (*/) + ?/ (х) X g2 (у).
A.3.6)
1.3.1.2. Свойства. Примеры
Пусть Dx и D' — дифференциальные операторы по
переменным х и у соответственно. Тогда справедливо со-
соотношение
ОЗД/(х) X g(y)\=CDpxf(x)) X {Dig (у)). A.3.7)
Действительно, для произвольной основной функции
, y)^K(Rn+m) можно написать
(D?[f(x)Xg(y)], ?(x, у)) =
= (-\)P(f(x)Xg(y), Dpx<?(x, y)) =
W ), Dpx?(x,
= №f(x)Xg(y), fix, У)).
Применив теперь оператор DjJ , получим соотношение
A.3.7).
Аналогичное соотношение получается при умножении
прямого произведения на бесконечно дифференцируемую
функцию вида а{х) Ь(у). Таким образом, если
а(дс)еС«»(/?") и 6 Dг)еС» (/?"•), a f{x)e=K'(Rn) и
g(y)^K'{Rm), то справедливо соотношение
a(x)b(y)[f(x)xg(y)} = [a(x)f(x)]x[b(y)g(y)}. A.3.8)
В случае других основных пространств можно получить
аналогичный результат, учитывая условия, при которых
определено произведение функции на соответствующую
обобщенную функцию.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 107
Если функция f(x) определена на Rn, а функция
1 (у)' — на Rm, то
/(*)Х 1D0 = /(*)• A-3.9)
Следовательно, это прямое произведение не зависит от
переменной у. То же самое справедливо и для обобщен-
обобщенных функций.
Обобщенная функция Хевисайда 8(хь х2, ..., хп), оп-
определенная на Rn, может быть записана с использова-
использованием прямого произведения в следующем виде:
9 (.*,, х2,..., хп) = д (х,) X 9 (х2) X ... X 9 (*„)==
=в(х1)д(х2)...Цхп). A.3.10)
Ее носителем является множество
suppfl(*i, х2,..., хп) =
=supp 9 (х{) X supp 9 (х2) X ... х supp 9 (хп) —
= [0, оо)х[0, оо)х ... Х[О, оо). A.3.11)
Заметим,что
дЬ (хх) дЬ (дсо) дв (хп)
дх„
поэтому
h(xu x2,..., ^ = !WX8WX...X8D A.3.12)
Используя прямое произведение, выражение
(d/dy)Q(x, у) можно записать в виде
-f-9 D0 = 8 (*)Х 8@). A-3.13)
ду
1 Здесь функция 1D0 = 1, y^Rm. — Прим. ред.

108 ГЛАВА 1
Тогда для функции q>(x, y)^K(R2) получаем
^-в(*. у), <f(x, y))j = (Hx)xb(y), 9(х, у)) =
=(Цх), (Чу), ч(х, у)))=(Цх), ?{х, 0)).
Таким образом,
00
(-^¦Чх, у), <f(x, if))=J9(*, 0)dx. A.3.13')
о
Используя формулу A.2.57), можно написать
(¦^-9К У\ <?{х, У))+ j sy<?{x, y)dx.
у-О
Заметим теперь, что sy—l на границе разрыва у —0 и
кроме того (д/ду)В(х, у)=0. Итак, соотношение A.3.13')
получено другим путем.
1.3.2. Свертка
1.3.2.1. Общие результаты
По сравнению с прямым умножением свертка явля-
является преобразованием другой природы.
Пусть f{x) и g(x)—локально интегрируемые функ-
функции на Rn. Свертка функций f(x) и g(x) определяется
соотношением
f(x)*g{x)=§f(f)g(x-f)dt=lg{t)f{x-i)dt=
, A.3.14)
если только интеграл существует и является локально
интегрируемой функцией переменной x^Rn. Равенство
двух интегралов легко проверить, например, заменой
z = x—t.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 109
Если, в частности, функции f(x) и g{x) непрерывны,
то их свертка также является непрерывной функцией.
Для существования свертки двух функций достаточно
выполнения одного из следующих условий:
а) Функция f(x) интегрируема на Rn, а функция g{x)
ограничена на Rn (или интегрируема на Rn). В этом
случае свертка является непрерывной и ограниченной
функцией на Rn, причем можно написать следующую
оценку:
I f{x)%g{x) |< j I f{x) | rf*sup \g(x) I . A.3.15)
б) Носители функций f(x) и g(x), x^R, содержатся
в интервале [0, oo]. В этом случае свертка принимает вид
0 при х<0,
f(x)Xg(x) =
g (x-t)dt при
A.3.16)
Ее носитель содержится в интервале [0, оо).
в) Функции f(x) и g(x) обладают компактными носи-
носителями.
Чтобы распространить определение свертки на обоб-
обобщенные функции, рассмотрим сначала локально интегри-
интегрируемые функции f(x) и g(x), определенные на Rn, в пред-
предположении, что их свертка, определяемая формулой
A.3.14), существует. Пусть (f(x)^K(Rn) —основная
функция. Тогда можно написать
И, Т (х)) = J [ j / Й) g [х -1) dt] cp (х) dx=
Rn R"
где произведена замена переменной х—% = г\. Очевидно,
что произведение f(l)g(y\) можно рассматривать как пря-
прямое произведение /(?) Xg'('n). так что
[f{x)?;g{x\ <?{x)) = (
. A.3.17)

ПО ГЛАВА 1
Будем считать, что соотношение A.3.17) определяет
свертку обобщенных функций f(x), g(x)^K'(Rn). Таким
образом, свертка записывается при помощи прямого про-
произведения; при этом основная функция равна <р(х+у).
Можно показать, что для существования свертки до-
достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
а) Хотя бы одна из обобщенных функций f(x) и g(x)
обладает компактным носителем.
б) Обе обобщенные функции f(x) и g(x) обладают
ограниченными с одной и той же стороны носителями
[например, f(x)=0 при х<а и g(*)=0, при х<Ь, т. е.
носители обеих функций ограничены слева].
Вообще можно показать, что носитель свертки двух
обобщенных функций f(x) и g(x) содержится в замыка-
замыкании объединения носителей этих обобщенных функции:
supp (/(*)#?(*)) с supp/(*) U supp?(*). A-3.18)
Учитывая свойства коммутативности и ассоциатив-
ассоциативности прямого умножения, можно показать, что свертка
также обладает этими свойствами: если f(x), g(x),
h(x)^K'(Rn), то можно написать
f{x)?;g{x) = g{x)Xf{x),
A-3.19)
[/ (х) X g (х)] % h (х) = / (х) X [g (x) X h (x)].
Свертка обладает также свойством дистрибутивности
относительно сложения обобщенных функций, т. е.
= «[/(*) *?i(*)] + ?[/(*) XftMl, о, ?€Я. A-3.19')
Если Dp — дифференциальный оператор, то можно напи-
написать
^ g [x)) = Dpf (x) ^ g (x) = f(x) X Dpg (x).
A.3.20)
Действительно, для
(Dp(f(x)%g(x)),

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 111
= (-l)p(f(x)xg{y), Dp<?(x+y)) =
=,(f(x)xDpg(y), <?(
Отсюда следует соотношение A.3.20).
В приложениях часто появляются обобщенные функ-
функции, зависящие от параметра.
Теорема 1.3.1. Пусть ft(x) — обобщенная функция, за-
зависящая от параметра и такая, что существует
(d/dt)ft(x). Тогда
в случае, если выполнено одно из условий:
а) все обобщенные функции ft(x) сосредоточены на
одном и том же ограниченном множестве;
б) обобщенная функция g(x) сосредоточена на огра-
ограниченном множестве;
в) носители функций ft(x) и g(x) ограничены с одной
и той же стороны константой, не зависящей от t.
Предположим теперь, что параметр t=k принадлежит
счетному множеству. Если последовательность обобщен-
обобщенных функций fk(x) сходится к обобщенной функции f(x)
при k-^-oo и обобщенные функции fk(x) и g(x) удовлет-
удовлетворяют одному из перечисленных выше условий а) —в),
то можно показать, что
lim (Л (х) Х- g (*)) = / (х) % g (x). A.3.22)
1.3.2.2. Примеры
Обобщенная функция 8(х) играет роль единицы для
свертки, поскольку
*(x)%f(x) = f(x), x?R». A.3.23)

112 ГЛАВА 1
Действительно, условие а) существования свертки выпол-
выполнено, поскольку носитель 8(х) состоит из одной точки.
В этом случае можно написать
(»(*)*/(*). ?(*))=(»(*) */(»), ?(х+у))=
= (/(</), Ш, <?(x + y))) = (f(y), <?(y)) = (f(x), т(*)),
откуда следует соотношение A.3.23).
Если fh(x) является дельтообразной последователь-
последовательностью, то
lim(fk(x)Xg(x))=g(x). A.3.22')
JS-*oo
Аналогично можно показать, что
»(•*—*°)#/(*)=/(*—*°), х, x°?Rn; A.3.23')
в частности,
b(x — a)^b(x — b)-h[x—a — b), x, a, b$Rn. A.3.23")
Можно также написать
. A.3.24)
Вычислим теперь свертку Q(x—a)^Q{x—b),
В этом случае носителями функций Q(x—а) и в(*—Ь)
являются соответственно интервалы [а, оо) и [Ь, оо), при-
причем оба они содержатся в интервале [0, оо). Применив
формулу A.3.16), получим
О при х-^.а,
A.3.25)
а
— t — b)dt при
Заметим теперь, что
а
—Ь х—а—Ь
= — Г b(u)du= f b{ti)dti=x—a —
Ь О
х—а—Ь О

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
ИЗ
Отсюда получаем (фиг. 1.34а)
Ь{х—a) %Q(x—b) = (x—a—b)+ = {x — a — bN(x — a — b) =
{О при х<С.а-{-Ьг
х — а — Ь при x>a-f b.
#)
Фиг. 1.346.
Вообще, если дана функция f{x), то определим поло-
положительную часть функции f{x) соотношением (фиг. 1.346)
A.3.26)
A.3.27)
Для а = Ь — 0 получаем
= \° прИ
[х при
Аналогично можно написать
в частности,
A.3.28)
A.3.28')
Справедливы также следующие соотношения:
б (х) sin jc^8(j:) cos x= — x+ sin x, A.3.29)
в {х) sin х ^ 6 (х) sin x = — [6 (х) sin x — x+ cosx], A.3.29')

114 ГЛАВА 1
6 (х) cosx % 6 (х) cosx =—[6 (х) sin x + x+ cosx]. A.3.29")
Рассмотрим теперь интегрируемую на R функцию
A-3.30)
Ул
и вычислим свертку /о (#) Х/ь (•*):
)= \fa{t)fb{X-t)dt =
я
Произведя замену
+ Ьч
и учитывая значение интеграла Пуассона
оо
j e-«trf« = Vr«i A.3.31)
получаем
fa(x)%fb№ = fAx), A-3-32)
с= аЬ -. A.3.32')
Отметим, что функция A.3.30) соответстувет дельто-
дельтообразной последовательности, определяемой формулой
A.2.105).
Рассмотрим теперь функцию

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ Ц5
соответствующую последовательности, определяемой фор-
формулой A.2.112). Заметим, что, хотя носителем этой
функции является вся действительная ось, эта функция
ограничена:
поэтому свертка имеет смысл и можно написать соотно-
соотношение вида A.3.32), причем
r = a-\-b. A.3.32")
1.4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ
НА КРИВЫХ, ПОВЕРХНОСТЯХ И ОБЪЕМАХ.
ОДНОРОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1.4.1. Обобщенные функции, сосредоточенные
на кривых, поверхностях и объемах
1.4.1.1. Общие результаты
Если носитель обобщенной функции f(x) содержится
в множестве A(suppfaA), то говорят, что обобщенная
функция f(x) сосредоточена на А. Так, например, обоб-
обобщенная функция Дирака Ь(х) и обобщенная функция
Хевисайда Q(x) сосредоточены соответственно в начале
координат и на полуоси [0, оо).
Общий метод представления таких обобщенных функ-
функций основан на введении некоторой дифференциальной
формы, соответствующей гиперповерхности1 в простран-
пространстве Rn. В целях упрощения вычислений будем использо-
использовать другой, более простой способ, допускающий важные
физические интерпретации.
Пусть Г — кусочно гладкая кривая в R3, а р(х, у, z) —
линейная плотность массы, распределенной на Г. Обозна-
Обозначим через ds и dm соответственно элементы дуги и массы.
Тогда линейная плотность р(х, у, г) будет равна
Pl*. *, *) = ^-. A.4-1)
1 То есть п — 1-мерной поверхности в Rn. — Прим. ред.

116 ГЛАВА 1
Полная масса, распределенная на Г,
ds. A.4.2)
Введем теперь в связи с общей массой М обобщен-
обобщенную функцию f(x, у, г), определив ее соотношением
(f(x, у, z), <f[x, у, z))=J/(*, у, z)<f{x, у, z)ds, A.4.3)
г
где f(x, у, z)—локально интегрируемая функция, а
ц)(х, у, z)<=K(R3). Обобщенная функция f(x, у, z) сосре-
сосредоточена на Г, поскольку для любой основной функции
(р(х, у, z)^K(R3), носитель которой не содержит точек
кривой Г, обобщенная функция f(x, у, z) равна нулю.
Рассмотрим, в частности, следующую обобщенную функ-
функцию, сосредоточенную на Г:
/{х, у, z) = p{x, yy z)=\ на Г,
которую символически будем обозначать как б (Г). С фи-
физической точки зрения эта обобщенная функция соответ-
соответствует полной массе, распределенной на Г с единичной
линейной плотностью. Она является аналогом обоб-
обобщенной функции Дирака 5(х, у, z), которая с физической
точки зрения выражает единичную плотность массы,
сосредоточенной в начале координат. В дальнейшем
обобщенную функцию б (Г) будем называть обобщенной
функцией Дирака, сосредоточенной на Г. Формально эта
обобщенная функция определяется соотношением
(8 (Г), ?(*, У, *)) = Щ8(Г)Т(*, У, z)dxdydz =
= f <P(jc, у, z)ds. A.4.4)
J
г
Ее основное свойство состоит в том, что б(Г)=О для то-
точек (х, у, г) Г.
Аналогично, если 5 — кусочно гладкая гиперповерх-
гиперповерхность в Rn, a dS—• элемент площади, то обобщенная
функция Дирака 6(S), сосредоточенная на гиперповерх*

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 117
ности S, определяется соотношением
), 9(x))=\<t(x)dS, 9(x)?K(Rn), x?Rn. A.4.5)
s
Далее, если V — область в Rn, то обобщенная функ-
функция 8(V), сосредоточенная на области V, определяется
соотношением
(l(V),<f(x))=\<f{x)dV, A.4.6)
v
где y(x)(=K(Rn), a dV — элемент объема.
Используя формулы
(Я*, У, г), i(x, у, г)) = f/(*, у, z)9(x, у, z)dS, A.4.5')
5
(Я*, у, z), Ч(х, у, z))= f/(*, у, z)<f(x, у, z)dV, A.4.6')
v
можно ввести произвольные обобщенные функции f(x),
сосредоточенные соответственно на гиперповерхности 5
и объеме V.
В частности, в случае л = 3 получаем обобщенные
функции, сосредоточенные соответственно на поверхности
S и в объеме V в пространстве R3.
Важно отметить, что некоторые физические величины
действуют на функции, которые не всегда принадлежат
основному пространству К. Например, обобщенная функ-
функция / = рб(Г), определенная соотношением A.4.3), тесно
связана с полной распределенной на кривой Г массой,
выражение которой дано формулой A.4.2). Чтобы соот-
соотношение A.4.3) также определяло полную массу, рас-
распределенную на Г, необходимо допустить, что q>= 1; меж-
между тем эта функция не принадлежит основному простран-
пространству К, поскольку не обладает компактным носителем.
Таким образом,
(Р8(Г), l) = jjPds = M. A.4.7)
г
Рассмотрим теперь обобщенную функцию хрб(Г),
где р(х, у, z)—непрерывная функция. Если <р(х, у,

118 ГЛАВА I
z) ёХ — основная функция, то
(х?Ъ (Г), ?) = (8 (Г), Агр<р)=1 \ xpfds. A.4.8)
j
Очевидно, что рассмотренная обобщенная функция так-
также сосредоточена на Г. Чтобы выявить ее физический
смысл, достаточно рассмотреть абсциссу центра масс кри-
кривой Г:
\9ds
•г
Числитель
A.4.10)
представляет собой статический момент кривой Г отно-
относительно плоскости Oyz, а знаменатель — полную массу,
распределенную на Г.
Сравнивая выражение A.4.10) для статического мо-
момента Soyz с выражением A.4.8), замечаем, что для ср=1
можно написать
$ SOyz. A-4.11)
Отсюда следует, что статический момент кривой Г отно-
относительно плоскости Oyz полностью описывается обобщен-
обобщенной функцией *р6(Г), которая называется обобщенной
функцией статического момента кривой Г относительно
плоскости Oyz. Введем обозначение
) = 5х(Г). A.4.12)
Тогда можно написать
(Sx (Г), \)=SOy..
Также можно ввести обобщенные функции, соответству-
соответствующие статическим моментам кривой Г относительно ос-
остальных координатных плоскостей.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 119
Аналогичные рассмотрения можно провести и в слу-
случае моментов инерции, а также моментов произвольного
порядка. Эти примеры показывают, что некоторым физи-
физическим величинам могут соответствовать функционалы,
определенные на более широком, чем К, пространстве.
Важным свойством обобщенных функций Дирака
является их аддитивность. Таким образом, если гипер-
гиперповерхность S = Si{jS2, то
A.4.13)
и
(8E), ?)= f <?dS = f <pd5,+ f <?dS2 =
Действительно, для произвольной функции
(R можно написать
's s, s2
= (8^), т) + (8E2), ?),
откуда следует соотношение A.4.13).
Если Р(хи х2, ..., хп) = 0 — уравнение некоторой ги-
гиперповерхности в Rn, такой, что Р^С°°, то
Я8E) = 0, A.4.14)
поскольку
(Pb(S), <p)
s
ибо функция Р(Х\, х2, ..., хп) равна нулю для x
1.4.1.2. Формулы дифференцирования
Обобщенные функции Дирака б (Г) и 6E) особенно
часто используются при вычислении частных производных
обобщенных функций, порожденных функциями с раз-
разрывами первого рода.
Рассмотрим теперь формулу A.2.57), полученную для
функций f(x, у) класса С1 в R2, имеющих разрывы пер-
первого рода при пересечении кривой Г. Введем угол, обра-
образованный нормалью п с осью Оу. Тогда dx=ds cos (n, у)
и интеграл в правой части формулы A.2.57) можно за-
записать в виде

120 ГЛАВА 1
it{x, y)cos{n, y)ds =
= (sycos(n, у)Ь{Т), <?(х, у)),
так что будем иметь
~-f(x, У) = ~-/(х, y)+sucos(n, у)Ъ(Г). A.4.15)
Получим также
~/(х, У) = ~/(х, y) + sxcos(n,x)b(T).[\AA5')
Аналогично, рассматривая формулу A.2.58'), получаем
"^7 Я*. У. z)=~f(x*y,z) + sxcos(n, х) 8E). A.4.15")
Вообще, если f(x\, х2, .... хп)—функция класса С1
всюду на Rn, за исключением гиперповерхности S, где
функция терпит разрыв первого рода, то можно написать
^ ^(«, xt)b(S) (i=l, 2,..., п), A.4.16)
где 6E)—обобщенная функция Дирака, сосредоточен-
сосредоточенная на гиперповерхности S, Si — скачок функции при пе-
пересечении этой гиперповерхности в положительном на-
направлении оси Охи a cos (n, xt) —косинус угла, образо-
образованного осью Охг с нормалью к гиперповерхности.
Для обобщенной функции Дирака, сосредоточенной на
кривой или поверхности, можно получить формулы, ана-
аналогичные формулам A.2.37) — A.2.39").
1.4.1.3. Примеры
Рассмотрим функцию (фиг. 1.35)
в остальных точках.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
121
Кривая, ограничивающая область, где функция отлич-
отлична от нуля, состоит из двух ветвей Г[ и Гг (Г = Г1иГ2),
которые определяются соответственно следующими урав-
уравнениями:
Fi)x=-y, х<0, г/>г/,
A.4.18)
{Т) 0 0
это и есть кривая разрыва, соответствующая функции
f(x, у). Производные в обычном смысле там, где они су-
существуют, равны
дх дц.
При вычислении производной по х следует учесть, что
И
(ft,x)|ri = cos-^ = i^-,
cos(/iIt x)|rs = cos —= -^—
Следовательно,
A.4.19)

122
ГЛАВА 1
Аналогично при вычислении производной по у имеем
sy \i^sy lr,= l|
а также
cos (п., у)\ =cos — =
я V~2
4 2 '
COS (№2, y)\Ti = COS~=-—— ,
'П
г.
Фиг. 1.36.
откуда следует
, . .. .. .'1.4.19'
0SI 2
Пусть 0(x, г/)—обобщенная функция Хевисайда
в(х ^П прих>0, !,>0, A420)
(О в остальных точках.
Кривая разрыва Г этой функции состоит из двух ветвей
(фиг. 1.36):
(Г,) »=0, х>0,
A.4.21)
(Г2)*=0, 0>О,
соответствующих полуосям Ох и Оу. Заметим, что

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 123
cos (/г, x)}Va = cos{n, y)\Ti = l,
поэтому
¦j-Цх, У) = Ъ(Т2), -7-9К ») = »(Г,). A-4.22)
ах ду
В этом случае можно написать
- -E (Г2), -j^ ? К г/))= - j' т; @, г/) rfy=-т @, г/)
откуда следует соотношение
т^=^-ъ^=-гъ^=^х' ")¦ AА23)
Далее, учитывая аддитивность обобщенной функции
Дирака, сосредоточенной на кривой Г = Г1иГг. и диффе-
дифференцируя соотношение A.4.23) по х и у, получим
д*Ъ (Г) ^ дЬ (х, у) , дЬ (х, у) М4 24)
1.4.2. Однородные обобщенные функции
1.4.2.1. Общие результаты
Пусть /(*!, х2. .... хп) —функция п переменных, a k —
действительное положительное число. Функция f{x),
x^Rn, называется однородной функцией степени X, если
f(kxu kx2,..., kxn) =
= klf{xu x2,..., xn). A.4.25)
Класс функций, определенный этим соотношением,
полностью описывается уравнением Эйлера
/у-/ (*ь *2, ¦¦¦ ,хя)= If (xu х2,..., хп), A.4.26)
dx

124 ГЛАВА 1
которое является линейным неоднородным уравнением
первого порядка. Его общим решением является функ-
функция, удовлетворяющая соотношению A.4.25).
Например, функции
г=\х\ = Vx\+x\ + ...+x\ (хи *,,..., x
A.4.27)
1 A.4.27')
являются однородными функциями степени 1 и —-1 со-
соответственно. Первая из этих функций локально интегри-
интегрируема всюду, тогда как вторая имеет сингулярность
в начале координат и не интегрируема в окрестности этой
точки. Поэтому поставим в соответствие функции 1/г
функционал, совпадающий с этой функцией всюду, за
исключением начала координат. Производные функции г
также являются однородными функциями нулевой степе-
степени; начало координат является сингулярной точкой этих
функций.
Функция Хевисайда Q(x) является однородной функ-
функцией нулевой степени, поскольку
б (kx)=б (х) = № (jc). A.4.28)
Далее, поскольку преобразование подобия определе-
определено для обобщенных функций, то понятие однородности
произвольной степени можно распространить и на обоб-
обобщенные функции.
Определение 1.4.1. Обобщенная функция f(xu x2, ...
..., хп) называется однородной функцией степени к, если
для любого действительного числа й>0 она удовлетво-
удовлетворяет соотношению вида A.4.25).
Можно записать это условие и в другом виде. Дейст-
Действительно, пусть (p(x)^K(Rn)—основная функция. Учи-
Учитывая определение преобразования подобия, получаем ')
(/ (kxu kx2,..., kxn), <f (xu x2 хя)) =
1 См. формулу A.1.55). — Прим. ред.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 125
= kx (f (*,, х2,.. ., хп\
откуда следует
i, x2,..., xn), (f{xu x2,..., A"J), A.4.29)
или
'. A.4.29')
Эти соотношения эквивалентны соотношению A.4.25)
и позволяют установить, является ли данная обобщенная
функция однородной или нет.
Для обобщенной функции Дирака 6(я), x^Rn, можно
написать
т. е. б(^ь х2 хп) является однородной обобщенной
функцией степени —п. В частности, б (я), x*=R, является
однородной обобщенной функцией степени —1, 6 (я, у) —
однородная обобщенная функция степени —2, а
6(х, у, z) — однородная обобщенная функция степени —3.
Аналогично для 6(я), х^Я, можно написать
lz^-?(p)@)=*""pE(p)W, <рМ),
т. е. 8(p)(jc), x?Rt является однородной обобщенной
функцией степени —р—1. Таким образом, после диффе-
дифференцирования р раз по х степень однородности понизи-
понизилась на р единиц.
Можно показать, что однородные обобщенные функ-
функции обладают следующими свойствами:
а) сумма двух однородных обобщенных функций сте-
степени К является однородной обобщенной функцией сте-
степени Я;

126 ГЛАВА 1
б) если а(х)—однородная бесконечно дифференци-
дифференцируемая функция степени ц, a f(x) —однородная обобщен-
обобщенная функция степени Я, то a(x)f(x) является однородной
обобщенной функцией степени К + ц;
в) производная по переменной х,- однородной обобщен-
обобщенной функции f(X\, Х2, ..., хп) степени К является однород-
однородной обобщенной функцией степени л—1;
г) однородные функции разных степеней линейно не-
независимы.
Можно показать, что обобщенная функция Vp(l/x)
является однородной обобщенной функцией степени —1;
напротив, обобщенная функция A/|*|) неоднородна.
1.4.2.2. Формулы дифференцирования
Пусть f(x, у) —однородная в обычном смысле функ-
функция степени —1, локально интегрируемая на R2. Вы-
Вычислим производную по у этой функции. Пусть
)ВД2)Т
y)J-[4{x, y)-<f(O, 0)\dxdy-
jj f(x, y)-^~vix* У)ах?*У>
Я'-D
где D — конечная область с границей Г, a R2—D — до-
дополнительная область к R2. Заметим, что после интегри-
интегрирования по частям первый интеграл можно записать
в виде
jj7 -^\?(х. У)-9@, 0
У)-<?@, 0)}dx,

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
127
где кривая Г пройдена в положительном направлении.
Поэтому
-<Р(О, 0) [fdx.
Выберем теперь у(х) так, чтобы suppupcD. Тогда
откуда
д
— /{X, У)—-
Аналогично
д
дх ' с
(%
— fix, У)
получаем
д |
х, У)
i
с, y)^f(x,y)dx.(\A.3O)
+ 8 (х,У) f / (х, У) dy. A.4.30')
D J
В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема 1.4.1. Пусть f(xu х2, .... хп)—однородная
в обычном смысле функция степени 1—п, локально инте-
интегрируемая на Rn. Тогда ее частные производные равны
i, х2,..., хп) =—— f (хи х2,..., хп)
ax
х
,,...,
...dx,^dxl+l...dxn (/=1, 2,..., л), A.4.31)
где D — ограниченная в Rn область, границей которой
является гиперповерхность Г.

128 ГЛАВА I
1.4.2.3. Примеры
Функция 1//?= \1У х2-\-y2-\-z2 является однородной
п обычном смысле функцией степени —1. Для нее
?П\ *_ ±_A_\ №_ J_(J_\ = L
дх { R ) № ' ду { R ) R* ' dz \R ) Л3
A.4.32)
Тогда получаются однородные в обычном смысле функ-
функции степени 1—3=— 2. Применив теперь формулу
A.4.31), будем иметь
Xdydz
dz* \R)
R5 J /?3
R5
г
Сложим полученные равенства и введем оператор Лап-
Лапласа
д = ^_ + ^_ + ^., A.4.34)
тогда i
/ 1 \
Выберем теперь в качестве Г поверхность шара еди-
единичного радиуса с центром в начале координат. Заметим,
что dxdz——dzdx. Тогда
, у, z). A.4.35)
Функция 1/iR является гармонической при ЯфО. Соотно-
Соотношение A.4.35) выявляет таким образом разницу между
оператором Лапласа в обычном смысле и оператором
Лапласа в смысле теории обобщенных функций.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 129
Аналогично получаем
Д1п — =—2лЬ[х, у), r = Y~x2Jry2. A.4.36)
г
Рассмотрим функцию
у) = ?! ; A.4.37)
это однородная в обычном смысле функция степени
1—2 = — 1. В этом случае можно воспользоваться форму-
формулами A.4.30) и A.4.30'). Выберем в качестве Г окруж-
окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Тогда получим
дх J К ' *' (х2+г/2)з ' 4 ^ ' ah
A.4.38)
JLftr и) - ¦ 4х3у
поскольку криволинейный интеграл в формуле A.4.30)
равен нулю.
Заметим, что
Г2 дх
Отсюда, учитывая соотношение A.4.36), получаем
(^] = 2л^-5(^ у). A.4.39)
Заметим также, что в первом из соотношений A.4.33)
интегрированием по поверхности шара единичного радиу-
радиуса с центром в начале координат получаем
—) = — (За:2-/?2)- — Ъ(х, у, г). A.4.40)
Аналогично из соотношения
R3~~ R дх \ R
5—3677

130 ГЛАВА 1
с учетом соотношения
{ R )~ дх { R
имеем
' л* \ — _±_ (D2 Qv-2) **" а I у и ?) П 4 491
I — I *\ — ил I и л, ?/, ^1. II.т.т^I
1.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1.5.1. Преобразование Фурье
1.5.1.1. Преобразование Фурье обобщенной функции
одной переменной
Пусть /(х), x^R,— действительная или комплексная
функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (т. е.
f(x)—ограниченная кусочно монотонная функция с ко-
конечным числом разрывов первого рода); кроме того,
предположим, что f(x)—абсолютно интегрируемая
функция, т. е.
| f (х) | аОс<со. A.5.1)
Экспоненциальное преобразование Фурье функции
f(x) определяется формулой
F[u)=F[f(x)]=f(x)= ? f(x)el«*dx, A.5.2)
где и — новая действительная переменная. Преобразова-
Преобразование Фурье f(x) =F{f(x)] = F(u) функции f(x) является
комплекснозначной функцией действительной переменной.
Заметим, что эта функция ограничена, поскольку
] dx. A.5.3)
Функция F(u) является аналитической на всей комп-
комплексной плоскости, за исключением бесконечно удален-

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 131
ной точки; таким образом, она имеет производные любо-
любого порядка по и. Если f(x) —интегрируемая функция на
R, то ее преобразование Фурье существует и является
непрерывной и ограниченной функцией, стремящейся к
нулю при |н|->-0.
Пусть в соотношении A.5.2) функция F(и) известна,
а функция /(х) —неизвестна. Тогда это соотношение яв-
является интегральным уравнением, решение которого име-
имеет вид
/(*) = — f F{u)e-!»*du. (I.5.4)
2я J
В этом случае f(x) называется обратным преобразова-
преобразованием Фурье функции F(u), которое будем обозначать как
/ (x)=F~1 [F («)]=/г-1 lf(x)]=F-* [F [f (д:)]]. (i.5.4')
Таким образом, были определены два интегральных
оператора: прямой оператор F[ ] и обратный оператор
¦F~'[ ]. Это линейные операторы, поскольку для любых
действительных или комплексных чисел а, р, аь Pi име-
имеют место соотношения
W], A-5.5)
11, (и) + &F2 (и)} = а,/=-' [F, (и)] + fi^-i [F3 (и)}.
В некоторых приложениях с успехом могут быть ис-
использованы синус- и косинус-преобразования Фурье, оп-
определяемые соотношениями
(х) cos uxdx,
A.5.6)
F* If {x)l= \ f {x) sin uxdx.
Между этими двумя преобразованиями Фурье и экспо-
экспоненциальным преобразованием Фурье существует тесная
связь. Если f(x)—четная функция, f(x)=f(—х), то

132 ГЛАВА I
] = 2Fc[f(x)]. A.5.7)
Аналогично, если f(x)—нечетная функция, т. е. f(x) =
= —f(—x), то
\ = 2iFa[f(x)]. A.5.7')
В общем случае любую функцию можно представить
в виде суммы двух функций:
x), A.5.8)
Фиг. 1.37.
где
причем первая из этих функций является четной, а вто-
вторая— нечетной. Следовательно,
fa(x)]. A.5.9)
Рассмотрим, например, функцию (фиг. 1.37)
О при х < О,
^л ^а A-5.10)
е~ах при л->0, а>0 v ;
Ясно, что эта функция непрерывна всюду, за исключени-
исключением начала координат. Ее скачок в начале координат ра-
равен единице. Кроме того, это абсолютно интегрируемая

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 133
на R функция, поскольку t\e~axdx=\\a. Таким обра-
образом, получаем
г*
F ffi (x)p~ax] ¦ I fi (у) р—ах pi их rf у
/ [о \л)ч j— I v[X)e e их —
С 1
—. I g—axgiuxflx—- . х g—nx?iux
J a — iu '
О О
откуда, учитывая формулу Эйлера
eiux = cosuxJris\nux, \ eiux \ =1, A.5.11)
будем иметь
F[Q(x)e-ax] = 1—= \-i- . A.5.12)
п — lu 0,1 -\- и% qP- -}- и2
Аналогично
Fc [в [х) е~ах]= Ге~ах cos uxdx=-. — ,
О fl2 + а2
A.5.13)
Fs [в (а:) е~ах] = Г е~ах sin uxdx = —^ , а > 0.
о
Следовательно,
F [В (дг) erax\=Fe [в (а:) <?-<"] + //г, [6 (дг) в~«]. A.5.14)
Заметим теперь, что интегралы С | sin x \ dx,
f I cos л: I dx, f \ B{x)\dx расходятся, поэтому нельзя
— со —во
вычислить преобразование Фурье в обычном смысле
функций sinх, cosx, Q(x). Чтобы устранить эти исключи-
исключительные случаи, распространим преобразование Фурье
на обобщенные функции.

134 ГЛАВ Л 1
В дальнейшем будет рассмотрено комплексное основ-
основное пространство К, состоящее из основных комплексно-
значных бесконечно дифференцируемых функций (р(х)
действительного переменного, обладающих компактными
носителями. Таким образом, пусть <р(я), x^R,— комп-
лекснозначная основная функция. Тогда ее преобразова-
преобразование Фурье будет определяться соотношением
/=•[?(*)]= j ?{x)e^dx, A.5.15)
где и — действительная переменная. Вместо действитель-
действительной переменной и можно рассмотреть комплексную пе-
переменную s=u + iv, так что
$(s) = 4(x)=F[4(x)]= J 4{x)e>'*dx =
00
= f f(x)e-vxeiuxdx. A.5.16)
00
Поскольку функция <р(я) обладает компактным носите-
носителем, то интеграл в этой формуле рассматривается толь-
только на интервале, соответствующем носителю функции
q>(*).
Функции i|)(s) являются аналитическими всюду на
комплексной плоскости, за исключением бесконечно уда-
удаленной точки. Таким образом, функции ip(s) бесконечно
дифференцируемы. Интегрируя по частям, получаем
f7 [?'(•*)]= j' <?'[x)eisxdx=
00
= <f(x)elsx — Г is<f(x)eisxdx.
Отсюда следует, что преобразование Фурье функции
<р'(я) равно
F[<t'(x)]=-isF[9(x)]. A.5.17)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 135
В общем случае можно написать
] = (-is)pFW(x)], P$N. A.5.17')
Далее, если P(d/dx)—дифференциальный полином с
постоянными коэффициентами, то
Пусть K{cl)—множество основных функций ф(*)>
носитель которых содержится в интервале [—а, а], а>0.
Множество преобразований Фурье if>(s) =F[y(x)] этих
функций составляет векторное пространство Z (а).
Объединение этих пространств составляет основное комп-
комплексное пространство Z:
Z=U Z{a), (K=U K(a)\. A.5.19)
а \ а ]
Функции ifi(s)eZ(fl) удовлетворяют неравенствам
|s'f(s)!<C/i'i,s=a + ro, p?N, A.5.20)
где Ср — константа, зависящая от р.
Определение 1.5.1. Последовательность tyn()
сходится к a|;(s)e2, если члены этой последовательности
удовлетворяют неравенствам A.5.20), где Ср и а не зави-
зависят от п, и, кроме того, функции tyn (s) сходятся к функции
•ф (s) равномерно на каждом интервале действительной
оси.
Полученное таким образом пространство Z является
основным комплексным пространством, на котором будет
определено преобразование Фурье обобщенных функций.
Пусть Z' — множество линейных непрерывных функцио-
функционалов на Z. Функционалы F(s)^Zr являются обобщен-
обобщенными функциями, определенными на основном комплекс-
комплексном пространстве Z. Эти обобщенные функции называют
также ультраобобщенными функциями. Между простран-
пространствами К и Z существует взаимно однозначное соответст-
соответствие, так что можно написать
F[K]=Z, F~X[Z]=K. A.5.19')

136 ГЛАВА 1
Пусть f(x), x^R,— обобщенная функция, определен-
определенная на основном пространстве К-
Определение 1.5.2. Преобразованием Фурье обобщен-
обобщенной функции f(x)<=K'{R) называется обобщенная функ-
функция F[f(x)] = F(s)^Z', определенная на Z следующим
соотношением типа равенства Парсеваля:
(F[fM],F[9(x)]) = (f(x),4(x)) = 2n(f(x),<p(x)). A.5.21)
Аналогично можно определить преобразование Фурье
обобщенных функций, определенных на основном про-
пространстве 5.
1-5.1.2. Свойства
Основные свойства преобразования Фурье обычной
функции сохраняются и в случае обобщенных функций.
Таким образом, можно написать
A.5.22)
F-1[F[f{x)\\^f{x)t A.5.23)
x), A.5.23')
где F~l— оператор, обратный F, который удовлетворяет
соотношению
Преобразование Фурье прямого произведения двух
обобщенных функций можно записать в виде
F[f(x)Xg(y)]=F[f(x)]xF[g(y)}. A.5.24)
Пусть f(x) —обобщенная функция медленного роста,
а §(х)—обобщенная функция с ограниченным носите-

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 137
лем. Тогда для свертки этих обобщенных функций спра-
справедливо соотношение
F[f(№g(x)] = F[f(x)]F[g(x)\. A.5.25)
Далее, если f(x)^S', а функция а(х)^С°° такова, что
функция F[a(x)] обладает ограниченным носителем и
a(x)f(x)(^S', то
F[a(x)f(x)] = F[a(x)]%F[f{x)]. A.5.25')
Заметим, что преобразование Фурье обобщенных
функций с ограниченными носителями и обобщенных
функций медленного роста, появляющихся во многих за-
задачах, можно вычислить по более простым формулам.
Действительно, пусть f(x)—обобщенная функция с
ограниченным носителем. Тогда ее преобразование Фурье
удовлетворяет соотношению
f{x)=F[f{x)\ = {f{x\ e"')={f(x), er4*) = F{u).
A.5.26)
Далее, пусть f(jc)&S', т. е. f(x) —обобщенная функ-
функция медленного роста. Тогда
(F[f(x)], ?(«)) = (/(«), /Ч?Ml). A.5-27)
где /г[?(л)]
Пусть теперь последовательность fn(x) сходится в
смысле теории обобщенных функций к обобщенной функ-
функции f(x), lim fn(x)=f(x); если
Fn(s)=F[fn(x)] и F(s) = F[f[x)],
то
F{s) = \imFn{s). A.5.28)
П-*-оо *
1.5.1.3. Преобразование Фурье обобщенной функции
нескольких переменных
Аналогично можно определить преобразование Фурье
и в случае обобщенных функций нескольких переменных.

138 ГЛАВА 1
Если ф(д:ь х2, ..., xn)^K{Rn), то ее преобразование
Фурье i|>(sb s2, ..., sn)=F[y(xu x2, ..., хп)], где Sj = Uj i
(/=1, 2, ..., п) определяется соотношением
x?R. A.5.29)
Здесь (s, x) означает скалярное произведение
(s, x)=slxl + s2xa+...+sltxll. A.5.30)
Если f(xu x2, ..., xn)^K'{Rn), то ее преобразование
Фурье
ux2,..., xn)]=f{xu x2,..., xj = /?(s1) s2,..., sn)
определяется соотношением
(/W, ?И) = Bл)"(/(х), ср(х)), х€/?л. A.5.31)
В частности, если интегрируемая на 7?" функция име-
имеет вид
f(xu x2,..., д:я) = /1(д:1)/а(^).../„(^), A-5.32)
то ее преобразование Фурье равно
F[f(*u х2,..., хя)] =
=F\fl{xl)\F[f2{x2)\...F[fn(xn)\. A.5.33)
Для обобщенных функций медленного роста можно
также написать формулу вида A.5.27).
Преобразование Фурье обобщенных функций с огра-
ограниченным носителем можно вычислять по формуле
i, х2у..., хп)] =
— (/ (Хи Х2, ..., Xn)t в "")¦ (l.
Для преобразования Фурье обобщенных функций
нескольких переменных можно получить соотношение
isn)F(su s2,..., sn), A.5.35)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 139
где Р(д/дхи д/дх2, ..., д/дхп)—дифференциальный поли-
полином с постоянными коэффициентами. Справедливо также
следующее соотношение:
= F\P{ixu ix, ix,)f(x,, x,,...,
мула дл
[/(«Л,
Формула для обратного преобразования Фурье имеет
вид
A.5.3Г)
Для прямого произведения и свертки можно получить
формулы, аналогичные формулам A.5.24) и A.5.25).
1.5.1.4. Приложения
Соотношение
F[B(-x)e-a^l]= 1—, а>0, A.5.36)
можно получить так же, как формулу A.5.12). Учитывая
соотношение A.2.36), будем иметь
Заметим, что функция era I * I определяет обобщенную
функцию медленного роста. Далее можно написать
lim =Цх), A.5.38)
0 Я(л:2 + а2) У ''
что соответствует дельтообразной последовательности,
определенной функцией Коши A.2.112). Переходя к пре-
пределу при а->- + 0 в формуле A.5.37), получаем
F[\{x)] = 2nb(u), A.5.39)
а также

140 ГЛАВА 1
Поскольку ё(х) является обобщенной функцией с ог-
ограниченным носителем, то ее преобразование Фурье мож-
можно вычислять по формуле A.5.26). Поэтому
*-:'«*)=eo=l. A.5.40)
Аналогично, учитывая соотношения A.1.55) и A.1.77),
получаем
F[b(x-a)]=^eiua, F[l{kx)}=— . A.5.41)
Если в формуле A.5.12) положить а->- + 0, то будем
иметь
F[b(x)\ = \im — =Нш Г И 1.
Заметим,что
Ит - = Vp —, A.5.42)
A.5.43)
поэтому
К этому же результату можно прийти, если провести
преобразование Фурье обобщенной функции 6(л:), опре-
определенной на К, а потом, учитывая замечание, сделанное
в разд. 1.1.3.1, продолжить ее с К на 5. Действительно,
можно написать
F
откуда следует
F[0{x)]= --L = J- = —i— . A.5.43')
1 v И is s u + iv v
Теперь, устремив и->- + 0 и учитывая соотношения
A.5.38) и A.5.42), получаем формулу A.5.43).
Заметим, что соотношение A.5.43') выражает преоб-
преобразование Фурье обобщенной функции, определенной на
пространстве К, тогда как соотношение A.5.43) выража-

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 141
ет преобразование Фурье обобщенной функции, опреде-
определенной на пространстве 5.
Учитывая соотношение Сохоцкого A.2.43), можно
также написать
Аналогично, учитывая соотношение A.2.36), получаем
. A.5.44)
С помощью формул A.2.46), определяющих обобщен-
обобщенные функции Геизенберга, можно написать
/?[fl(jc)] = 2n8+. (в), F[6{~x)] = 2nb_(u). A.5.45)
Из формулы A.5.22), примененной к первому из со-
соотношений A.2.42), следует
F[x+]=-±. A.5.46)
Заметим, что х+ является обобщенной функцией мед-
медленного роста, которая может быть продолжена на 5.
Поэтому
F[x+]=-lim— . A.5.46')
0S2
Но
Ц2_„2
A.5.47)
Следовательно,
F[x+]=-Vp±-inV(u). A.5.46")
Используя формулу A.2.47), получаем

142 ГЛАВА 1
Аналогично, учитывая формулы A.2.42') и A.2.47),
можно показать с помощью математической индук-
индукции, что
A.5.48)
Аналогично доказывается, что
F [jc_] = - Vp — + iл8' («) = l- , A.5.49)
1 J «2 ' ^ ' (U— /0J ' k '
F[xn-] = n\ in+1 Vp—l- n{-i)nh(n)(u) =
1 ' un+l K
п] 'r'+1 A.5.50)
Учитывая соотношения A.2.41), можно также написать
F[x]=-2inb'(u), F[ I x\ ]=_2Vp-y. A.5.51)
Чтобы вычислить преобразование Фурье обобщенной
функции Vp(l/x), будем, исходя из обобщенной функции
Хевисайда, применять формулу A.5.23'). В результате
получим
—1 = 2яв(-и).
Отсюда, учитывая формулу A.2.36'), будем иметь
l = /.nsign«. A.5.52)
р
Можно также написать
F[signx] = 2i Vp— . A.5.52')

\ - l=e-«l«i, а>0. A.5.53)
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 14.3
Далее применим преобразование Фурье к обоим чле-
членам формулы A.5.36). Учитывая соотношение A.5.23'),
получаем
F
Формула A.5.25) позволяет в этом случае получить новое
доказательство справедливости соотношения A.3.32)
для функции A.3.33).
Для преобразования Фурье функции f(x) = era*
можно написать
оо
F[e-aix*\= f e-a'x'elaxdx=F{a).
— оо
Дифференцируя по и, находим
ОО ОО
F' {u) = i [ xe-a*x*eiuxdx= — — [ eiuxd {е~а1х*) =
— oo — oo
e-a'x'eiUx _ Г iue~a'x2e!uxdx \= —- F [i
— no —oo J
откуда следует
Интегрируя, получаем
F'(uL-—F(tt)
Л!
F(u) =
Следовательно, при и = 0 можно написать
Таким образом,
F{u) = F\e~a^] = ^-^-e~^\ A.5.54)

144 ГЛАВА 1
Аналогично можно доказать справедливость соотно-
соотношения A.3.32) для функции A.3.30).
Вычислим некоторые преобразования Фурье в случае
х= (хи х2, ..., xn)<^Rn- Можно написать
F[b(xu x2,..., хп)] = \, A.5.55)
F[b(Xl-alt x2-a2,..., xn-an)]=ei{u^+a^+-+anan\
F
F
F[b{kxu k
[IK xa,...,
*^2> • • • ***'*'я/ 1 "~"
^)] = Bя)-8(в11
A
1 fl
1*1-' l
, s2,..., s,), A
\+a2+-+"n\ A
5.56)
.5.57)
.5.58)
.5.59)
Другие полезные в приложениях преобразования
Фурье можно получить таким же путем.
Можно ввести преобразование Фурье обобщенной
функции б (у) по двум переменным по формуле
A.5.60)
где а, р — новые переменные в пространстве преобразо-
преобразований Фурье. В этом случае обратное преобразование
Фурье выражается формулой
A.5.60')
A.5.61)
Аналогично
F[8(jc)]=2n8(?). A.5.6 Г)
Заметим, что здесь б(х) и б (г/) являются обобщенными
функциями, сосредоточенными на прямых д:=0 и г/ = 0
соответственно. Их нельзя путать с обобщенными функ-
функциями, сосредоточенными в начале координат.
р(х, у)
4л2
Следовательно,

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 145
Далее получаем
F Г— 8(jcI = -iaF [Ъ{х)]= -2/яа8(р), A.5.62)
]=-2ш?5(а), A.5.62')
а также аналогичные результаты для производных произ-
произвольного порядка.
Можно, например, исходя из соотношений
в(х) = В(х)х\{у), 8 (а, &) = 8(а) х8(?), A.5.63)
с учетом формулы A.5.24) написать
.1
а
1.5.2. Преобразование Лапласа
1.5.2.1. Преобразование Лапласа функции одной
переменной
Преобразованием Лапласа функции f(x) действитель-
действительной переменной является функция L(p) комплексной пе-
переменной, определяемая соотношением
'{x)erP*dx. A.5.65)
Карсон использовал операционное исчисление, основан-
основанное на преобразовании
] A.5.66)
о
которое называется преобразованием Карсона функции
f(x) {\ Очевидно, что
C(p) = pL(p). A.5.67)
На основе преобразования Лапласа было развито
операционное исчисление Хевисайда.
1 В отечественной литературе преобразование A.5.66) известно
под названием преобразования Лапласа — Карсона. — Прим. ред.

146 ГЛАВА 1
Определение 1.5.3. Пусть f(x)—комплекснозпачная
функция действительной переменной, удовлетворяющая
следующим условиям:
а) /(х) = 0 при х<0;
б) f(x) кусочно дифференцируема;
в) | f{x) |< Же", М>0, а>0.
Тогда функция
оо
A.5.68)
определенная для комплексной переменной p = u + iv, на-
называется преобразованием Лапласа функции f(x). Функ-
Функция f(x), удовлетворяющая условиям а)—в), называется
оригиналом, а функция L[f(x)] — изображением функции
f(x). Можно показать, что изображение L(p), определяе-
определяемое соотношением A.5.68), является аналитической функ-
функцией на комплексной полуплоскости Rep>a. Число а,
фигурирующее в условии в) экспоненциальной ограничен-
ограниченности функции f(x), называется показателем роста этой
функции. В частности, если оригинал ограничен, то его
показатель роста а = 0.
Нетрудно проверить, что функции х+п, 6(x)cosx,
0(x)sin;c, Q(x)e-x* являются оригиналами, тогда как
функция Q(x)ex* не является оригиналом. Сумма и про-
произведение двух оригиналов являются оригиналами.
Поскольку функция A.5.68) является аналитической,
то она бесконечно дифференцируема в полуплоскости
Rep>a. Справедливо следующее соотношение (теорема
дифференцирования изображения):
Показатель роста оригинала (—x)nf(x) совпадает с по-
показателем роста оригинала f(x).
Если f(x) является функцией класса С1 на [0, оо), то
можно написать

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 147
OJ ОО ВО
= f e-p*df (x) = / (х) е-р* I -f p f / (х) e~Pxdx.
Отсюда следует
)] + f @ + 0), A.5.70)
где f@+0)—скачок функции f(x) в начале координат,
а/@—0)=0.
Обратное преобразование Лапласа, обозначаемое как
L~l, определяется соотношением
L-1[L{p)] = L-1[L[f{x)]]=f(x) = ~ Г L(p)ePxdp,u>0.
2ni J
A.5.71)
В общем случае голоморфная функция L(p) может
быть преобразованием Лапласа некоторой функции f(x)
тогда и только тогда, когда она определена на полу-
полуплоскости Rep>0 и ее модуль мажорируется полиномом
относительно переменной \р\.
Для функции Хевнсайда Q(x) можно написать
L [9 (х)] = Г 6 [х) e~Pxdx= f e~p-xdx=- e~uxe-iv
0 0 о
Заметим, что | e~ivx | =1, а Нт е~их=0, если только
й>-0; поэтому
Z [fl (*)]=—, Rep>0. A.5.72)
Аналогично получаем
A.5.73)
р — к
L [6 (х) sin юх]= ,
A.5.74)
L [9 (х) cos юх] = —~— , Re р > | Im ш \ .

148 ГЛАВА 1
Формула A.5.68), определяющая преобразование
Лапласа для функций, может быть распространена и на
обобщенные функции.
Определение 1.5.4. Пусть f(x) —обобщенная функция
одной переменной с supp/c=[0, oo) и такая, что произве-
произведение f(x)e~Px является обобщенной функцией медленного
роста (/(xJr^GS'), Тогда преобразование Лапласа
обобщенной функции f(x) определяется соотношением
] = (/{*)>*-")• A-5.75)
Теорема дифференцирования, выраженная соотношением
A.5.69), верна и в этом случае.
1.5.2.2. Свойства. Применения
Классические свойства преобразования Лапласа со-
сохраняются и в случае обобщенных функций. Заметим, что
L[f{kx)] = {f{kx), e-P*) = -L\f{x\ eH k>0,
поэтому можно сформулировать теорему подобия
L[f{kx)]=±L^y k>0. A.5.76)
Аналогично получаем теорему запаздывания
Ц/(х-а)] = е-*Ч[/(х)] A.5.77)
и теорему дифференцирования
L[f'(x)] = pL[f(x)], A.5.78)
или в общем случае
f) \, A.5.78')
где производные рассматриваются в смысле теории обоб-
обобщенных функций.
Заметим, что
е-Р*)=е*=[; A.5.79)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 149
формулы A.5.76) — A.5.78') позволяют также написать
Z.[8(*JC)]=-L k>0, A.5.80)
k
L[b[x-a)] = e-Pa, A.5.81)
]=p". A.5.82)
Используя формулу для преобразования Лапласа
A.5.72) и соотношение A.5.69), получаем
1[(-х)пЦх)] = ^П)--=(-1)п
рП+х
откуда следует
Далее, если учесть формулу разложения A.2.71"), то бу-
будем иметь
-a2)]=— (epa-\-e-Pa)=— ohpa, a>0. A.5.84)
Используя формулу A.2.75), получим
Z, [8 (sin
=i Г 2 8(jc-/wt)]= 2 е~"гр>
[_л = —00 J л = —оо
n?Z. A.5.85)
Отметим также следующую теорему смещения (теоре-
(теорему затухания) ]>:
L[f(x)e^] = L(p-i.). A.5.86)
Например,
Ц9(х)еЪ]=?.(р-\)=-±- . A.5.86')
р — X
Что касается изображения производной оригинала, за-
заметим, что формула для обобщенных функций A.5.78)
отличается, вообще говоря, от классической формулы
1 Иногда теоремой смещения (в отличие от теоремы затухания)
называют теорему A.5.77). — Прим. ред.

150 ГЛАВА I
A.5.70). Формальное совпадение получается только в слу-
случае, когда оригинал является непрерывной в начале ко-
координат функцией, т. е. когда скачок в начале координат
f@+0)=0. На самом деле формула A.5.78) является
более общей, чем формула A.5.70); последняя является
частным случаем первой. Действительно, если ввести
в рассмотрение производную в смысле теории обобщен-
обобщенных функций и производную в обычном смысле и учесть
формулу A.2.28), то можно написать
/'(*)=/'(*) + /@ + 0) 8 (*).
откуда следует
L[f'(x)] = L[f(x)] + f @ + 0). A.5.87)
Отсюда с учетом соотношения A.5.78) получаем форму-
формулу A.5.70).
В случае когда функция f(x) имеет несколько точьк
разрыва первого рода Xi (t=l, 2, ..., п), можно
где s{-—скачок в точке х,-. Применив к этому выражению
преобразование Лапласа, получим
^e~l>\ A.5.87')
Пусть f(x) и g(x) —две обобщенные функции, носите-
носители которых содержатся в интервале [0, оо) и для кото-
которых при Rep>aj и Rep>a2 существуют преобразования
Лапласа. Тогда при Rep>max (ct\, a^) можно написать
A.5.88)
Согласно определению свертки,
(/(х) * g(x), e~p*)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 151
) = (g(y), e~py){f{x), en*) =
= L[f(x)]L{g(x)}.
Следовательно,
L [/ (х) * g (x)] = L [/ (x)\ L [g (x)]. A.5.89)
Итак, преобразование Лапласа свертки двух обобщенных
функций равно произведению изображений этих обобщен-
обобщенных функций в случае, если указанная свертка опреде-
определена.
Из соотношения A.3.27) имеем
Ь[х+] = ±. A.5.90)
Этот же результат можно получить как частный случай
из формулы A.5.83).
Аналогично можно написать
X e/., A.5.91)
— А)
Re p> max (Re л, Re «Л, A.5.9 Г)
L[f[x)*iltt)(x)] = p»L[f(x)], A.5.92)
L[f{x)*b{x)\^L[f{x)\. A.5.92')
1.5.2.3. Преобразование Лапласа обобщенной функции
нескольких переменных
Классическое определение преобразования Лапласа
в случае одной переменной, так же как и соответствующее
определение для обобщенных функций, можно распро-
распространить на случай нескольких переменных. Итак, если
f{%\, х2, ..., хп)—комплекснозначная функция действи-
действительных переменных, удовлетворяющая следующим ус-
условиям:
a) f(xu x2, ..., хп) = 0 при Х]<0 или х2<0 или ... или
0

152 ГЛАВА 1
б) f(xu X2 хп) имеет частные производные первого
порядка,
в) | f{xb x2,...,xn) | <Меа>хм*+-+а"х\ МУО,
аи а2,..., аи>0,
то преобразованием Лапласа функции f(xu x2, ..., хп)
называется комплекснозначная функция п переменных
Pj=Uj-\-iVj (y'=l, 2,..., п), определяемая соотно-
соотношением
u Pi,---, Pn) = I<[f{xu х2,...у хп)]=;
A.5.93)
или
$ x?Rn, A.5.93')
{p, x) = plxl + p2x2+ ... +pnxn,
A.5.93")
dx=dx{dx2... dxn.
Изображение L(ply p2, .... pn) является аналитической
функцией на области Repi>a; (t=l, 2, ..., п). Обратное
преобразование Лапласа определяется соотношением
b x2,..., хп)]].=
Bяг)"
U,— 1°о Ца — /во
A.5.94)
при иу>ву (у = 1, 2,..., л).
Очевидно, что
p2,..., рп)] = /(х„ х2,..., хп). A.5.94')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 153
В частности, при/(*ь х2, ..., хп) =fi(xi) f2(x2) ...fn(xn)
можно написать
i[/,D A-5.95)
Таким образом, для функции Хевисайда Q(X\, x2, ..., хп) =
= 8(xi) 8(x2) ... 8(х„) получаем
L [0 {хи х2,..., xa)] = L[b{xx)]L\b {х2}}... L [8 {хп)\ =
1(i=l, 2,..., л). A.5.96)
Аналогично можно показать, что
L [0 (лГ], х2>.. ., хп) е ' 3 л я] =
•—^lo^jje1 •\L[V(x2)t:' J\. . .l, [о \ла}е j —
1 A.5.97)
(Pi — h)(P2— h). ¦ .(Рп—
при Repj > Re X; (j= 1, 2,. . ., я).
Заметим, что
Z[6(jc)sinA;]
A.5.98)
1[ЦХ) cos x] = ^
откуда, учитывая соотношение
sin (Xi ~\- х2) = sin xx cos х2 + c°s xx sin л;2,
можно показать, что
1[б(л:ь Jg2) sin (^.4-^I= . ^^ а ¦,
{\ + р\){\ + Р22)
Rep,, Re^2>0. A.5.99)

154 ГЛАВА 1
Теорема дифференцирования изображения имеет вид
^(-V...H»)VK x2,...,xn)}. A.5.100)
Рассматривая соотношение A.5.93) для случая р\ =
= Р2 = -. . = Рп = Р, получим формулу для итерированного
преобразования Лапласа
во со оо
— \ \ .. .\ f [xh x2,..., хп)е п ах1ах2... ахп
J J
A.5.101)
о
при тех же условиях, что и общее преобразование Лап-
Лапласа. Например,
Z[eC*b x2,..., хп)] = -±-. A.5.102)
Очевидно, другие частные случаи общего преобразова-
преобразования Лапласа получаются аналогично.
Для изображения производной оригинала нескольких
переменных можно написать
,-*2,---, ¦*„)] = />/?[/0*1 x2,...t xn)]-
i A.5.103)
-L\f{xu x2,..., xt_u 0, xi+u..., xn)],
где L[(f(xl, X2, ..., хп)]—преобразование Лапласа в Rn,
а Щ(х1г х2, ..., Хг-и 0, xi+u ..., Хп)] — преобразование
Лапласа в Rn~l.
Например,
дх2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 155
р2 1 А2
(Pi — h)(.P2 — h) Pi — h (Pi
A.5.103')
Это соотношение можно получить непосредственно.
Как и в случае одной переменной, преобразование
Лапласа может быть распространено и на пространство
обобщенных функций.
Определение 1.5.5. Пусть f(xu х2, ..., хп)^К'— обоб-
обобщенная функция, носитель которой содержится в области
^ , и такая, что произведение
/ l-*-l, -*-2, • • •, Xn) & П
является обобщенной функцией медленного роста.
Тогда преобразование Лапласа определяется соотно-
соотношением
Т \ f I у\\ I f I у\ о—(п, х)\ V CL Dn !\ К \С\А.\
YJ \ )\ ^^ \J \ )> )i ^t^\, [1.0. lU^r^
где скалярное произведение {р, х) дается формулой
A.5.93").
Теорема дифференцирования, выраженная соотноше-
соотношением A.5.100), верна и в этом случае.
1.5.2.4. Свойства. Применения
Как и в случае преобразования Лапласа обобщенной
функции одной переменной, можно написать
, «2-*-2, • • •) *л-*-яч=:
Pi Pi Рп
> * ' • >
kt>0 (i=\, 2,..., n), A.5.105)
L\f\x1-au x2-a2,..., xn-aj] =
) ^ . . ^ ^ A.5.106)

156 ГЛАВА I
L\-j—f[xu x2,..., xn)^=piL[f{xl x2,..., xn)\.
A.5.107)
Заметим, что
L[b[xu x2,..., xn)} =
= {Ъ(хи х2,..., xn), e~(p^+p*x*+-+>>nxn))=eV=l.
A.5.108)
Поэтому
/.[8 (Mi, l
(* = l( 2,..., n\ A.5.105')
-au x2~a2,..., xn-an)\ =
_.е-(Р>а1+р,а,+...+рпап) ^ A.5.106')
Можно написать также итерированное преобразова-
преобразование Лапласа
1[Ъ(хи х2,..., хп)}=\. A.5.108')
Для преобразования Лапласа производной произ-
произвольного порядка обобщенной функции нескольких пе-
переменных получаем
/ (-*1, X2, • * •, Xt) —
r *• W (Л Ч 10Q^
i Лп . • , щ Лй • II ,ij* 1L/C71
Отсюда, в частности, следует
[ft,+ft,+...+ft "I
' . —-8(*i, х2,..., хп)\=р\р\\..р\п.
dxl1 dx\*... дх^п J
A.5.109')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 157
Рассмотрим теперь формулу A.4.16) дифференциро-
дифференцирования функции f(x), x^Rn, принадлежащей классу С1
всюду, за исключением гиперповерхности S, где она име-
имеет разрыв первого рода. Применив преобразование Лап-
Лапласа, получим
(. cos (я,
A.5.110)
Поскольку оригинал f{x\, x2, ..., хп)ФО только при
Хг^О, то гиперплоскости Хг = О являются гиперповерхно-
гиперповерхностями разрыва, причем скачок в направлении Ох, равен
Si = f(x\, х2, ..., Xi-\, О, Хг+ь ..., Хп), a cos (n, Xi) = \\ при-
приходим, таким образом, к формуле A.5.103). Например,
*2)]:
» *2)l = -^- = — • A.5.110')
Формула для свертки A.5.89) остается справедливой
также и в случае нескольких переменных.
Для обобщенной функции п переменных f(x\, Хъ ...
... , хп) с ограниченным носителем, содержащимся в
области Xi^O, хг^О, ..., х„^0, преобразование Лапла-
Лапласа определяется также соотношением
= (/(хих2,...,хп\ е-(р'х'+р>*>+-+р»хп\ i
A.5.111)
где pJ = ui + ivi (у=1, 2,..., п).
Преобразование Фурье этой обобщенной функции равно
F{su s2,..., sn) =
= {f{xu x2,..., xn\ «¦¦('*+"'¦+¦¦•+?,)), A.5.112)
где s—Uj + iVj (j—l, 2,..., n). Заметим, что
L{ — isu -is2,..., —isa)=F[su s2,..., sa). A.5.113)

158 ГЛАВА 1
Для этих обобщенных функций можно также напи-
написать
/="(«!, и2)..., и„) = lim/="($!, 52)..., 5„) =
= lim L{ — isu —is2,..., — «J (y = l, 2,..., «).
wj->-+0
A.5.114)
Последняя формула имеет много практических приме-
применений.
1.6. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.6.1. Производные некоторых часто используемых
обобщенных функций
1.6.1.1. Обобщенные функции одной переменной
Для случая x^R можно написать
О'(х) = Ь(х), д'(-х)=-Ь(х), A.6.1)
(*+)' = 6 (*),(*-)'=-0 (-*), A-6.2)
(х\у = 1хх+\ (Xх.)'- -lxxS\ X$Z_, A.6.3)
(О (*) cos x)' = 5 (х) — 0 (л:) sin x, A.6.4)
inA:)' = 0(A;)cosA:, A.6.4')
-л8(я-1)(а:), n?N0, A.6.5)
=(-1)Л«! 8(л), ngJV, A.6.5')
(x)=0 (А=1, 2,..., л, л^Лу. A.6.5")
(а:) = (- 1)" ("+*)! 5(ft) (a:), k, n?N, A.6.5
Л7!
|' = 2в(jc)— 1 =signjc, (sign*)' = 25(x), A.6.6)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 159
. [1 при | х | < а) ., , . . . s
(О при | х | >aj
A.6.7J
, A.6.7')
(In | х | )' = Vp -L, (Vp-L)'= -Vp-i-, A.6.8)
[x + iO)x = xi + etx*x-, A(tZ_, A.6.9)
^(лг + Ю^/.^+Ю)'-1, X^O, A.6.9')
(а: —Ю)х=Д+в-'х"*1, X^Z_, A.6.10)
^^^1 A.6.10')
(^Ц),
= 1и | x | +/лв( —x), A.6.11)
51 A.6.11')
Щ(А: + Ю) Ур(*);
dx x x + /0
ln(x — Ю) = 1п | x I — Ш0(—x), A.6.12)
— ln(jc —Ю) = Ур— + 1я8дс = —i , A.6.12')
/(л:)^-1_[Bл+1)я —a:], n?Z, x?R, A.6.13)
2я
Л —— о

160 ГЛАВА 1
A.6.13")
j 1прил;е[2«, 2Л+1),
V 1-1 при *6[2л+1 2л + 2)
/2=я — oo /2 = 0
A.6.14')
Заметим, что ряд A.6.14') соответствует ряду, опре-
определенному формулой A.2.52) при 7 = 2; соответствующий
график аналогичен графику на фиг. 1.17.
1.6.1.2. Обобщенные функции нескольких переменных
В случае обобщенных функций двух переменных мож-
можно написать
дхду
д , 1 х
¦— In —= ,
дх г /-2
, у), г=Ух>+у*, A.6.16)
A.6.16')
A.6.17)
у,
\ \\; t>0, A.6.18)
0 при |*| >/,
, A.6.18')

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 161
— Е{х; t) = b{x-\-t) + b{x — t\ t>0, 11.6.18")
A.6.18'")
- l x l ) = 2b( *)
Для случая обобщенных функций трех переменных
запишем следующие формулы:
&±= -4пЬ(х, у, г), R=V^+?T^, A-6.20)
— )=-|t(/?-3a?)—^-Ь[х, у, z). A.6.20')
1.6.2. Преобразование Фурье некоторых
часто используемых обобщенных функций
1.6.2.1. Обобщенные функции одной переменной
Для случая Xf=R можно написать
/?[1(а:)]1)=2я8(в), A.6.21)
F[b{x)]=l, F{b{x-a)]=eiua, A.6.21')
F[b(kx)\=-L, A.6.21")
k
F[b'{x)]=-iu, F[bw(x)] = {-lu)n,] A.6.22)
F [SBn) (jc)] = (_1)V«, A.6.22')
{-l)n+1iu2n+\ A.6.22")
F[9 (x)]=—l— = nb{u)-\-i Vp — = 2я5+ (и), A.6.23)
/?[9( л)]л8(м)гУр
()Ур
A.6.23')
1 См. формулу A.2.36). —Я/вил,
6—3677

162 ГЛАВА 1
F[B{a — | x | ] = 2^1lL?fL) a>o, A.6.23")
(u + iO)n+I
>] «€iV, A.6.25)
,— (-1)"+W°(«I. n?N, A.6.25')
/"[л;]=-2т5'(и), A.6.26)
^•[UH=-2Vp-l, (il.6.26')
/=irvp^-l=msigntt, A.6.27)
r] = 2/Vp —, A.6.27')
и
A.6.28)
^ A.6.28')
F[x»]=;2(-i)nnb(n)(ii), A.6.29)
—^ nuo-Hlgau, n?N0, A.6.29')
(n—1I
^ A.6.29")
A.6.30)
] = — 2C — 2 In | u\

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 163
где С — постоянная Эйлера:
1
С= Г l-cosada- f-gig- ^=0,57721566490.... A.6.3О0
J ос J a
о 1
F[sinax] = in[b{s — a) — b{s+a)\, A.6.31)
] = n[t{s — a)-\-b(s-\-a)], A.6.31')
A.6.32)
A.6.32')
(L6-33'j
=2^0 (аи), а>0, A.6.34)
где /Со — модифицированная функция Бесселя второго ро-
рода и нулевого порядка,
F[6(x)e-ax]= , а>0, A.6.35)
а — iu
i, а>0, A.6.35'j
}
а + iu
v— _—
а>0. A.6.36)
16.2.2. Обобщенные функции нескольких переменных
Для случая обобщенных функций двух переменных
можно написать
где
Л/ " A.6.37')

164 ГЛАВА 1
/?Гур-1-1 = 4я1п — — 2яС0, A.6.38)
где
1 оо
Г* Л Т /~ \ П I /™ Ч
а, A.6.38')
A.6.39)
^—^-, A.6.39')
а J а
6 1
а /о — функция Бесселя нулевого порядка;
«2
9(а~г) l=-^
A.6.40)
, a>0, A.6.41)
A-6.42)
Для обобщенных функций трех переменных отметим
следующие преобразования Фурье:
F[b(R—a)]=An— sinaa3, A.6.43)
°з
где
а. 98=К и?+«2 + «з, A-6.43'
\ a>0. A.6.45)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 165
Аналогично для обобщенных функций п переменных
можно написать
F[\ (xlt х2,..., агл)] = Bя)(и1 и2)..., «J, A.6.46)
F[b(xlt x2,..., *„)]=1, A.6.46')
F[b(Xl-au х2-а2,..., xn-an)}=e!^+a""+-+ а«Ч
A.6.46")
F [Ъ [klXu k2x2,.... knxn)}= } , A.6.46'")
F[-^—8(Xi, АГ2,..., АГЛI=—Шу (У=1, 2,..., ft),
A.6.47)
F[xj]=—2ni^—b(x1, x2,..., xn) (/=1, 2,..., ft).
A,6.47')
1.6.3. Преобразование Лапласа некоторых
часто используемых обобщенных функций
1.6.3.1. Обобщенные функции одной переменной
Для случая x^.R можно написать
I [в (*)]=—, Ц9{х — а)]=—е-"Р, Re/>>0, A.6.48)
Р Р
1[Ъ(х)) = 1, L[b(x-a)}=e~aP, A.6.49)
1 A.6.49')
A.6.50)
. A-6.51)
A.6.5V)

166 ГЛАВА 1
, Rep>0, A.6.52)
, Re/>>0, A.6.52')
^р^ (L6.)
L[b{sinx)]= 2 e~T-np, A.6.53)
.*)e**]=—Ц-, Re/; > Re a, A.6.54)
/»—л
L [6 (x) в'-*] = —-—, A.6.54')
p— iu>
)er^*\ = l- , Re^>0, A.6.54")
p + «a
os4>x} = -—2—, Rep>0, A.6.55)
L [9 {x) sin <ол:] = , Re/?>0, A.6.55')
p2 + <л2
L[S{x)chax] = S.— , Re^>| Rea | , A.6.56)
pi a1
p — a1
L[B(x)shax) = —-—, Re^> | Rea | , A.6.56')
L\dlx)J,(x)}= ' Re^>0, A.6.57)
Vp2 + i
где /о — функция Бесселя нулевого порядка;
L [9 [х) В {х-а) \п{х+Ух2-а2)] =
= — К0(ар), а>0, A.6.58)
р
, A.6.58")

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 167
где Ко — модифицированная функция Бесселя второго
рода нулевого порядка.
1.6.3.2. Обобщенные функции нескольких переменных
Для преобразования Лапласа обобщенных функций
трех и четырех переменных имеем
0, A.6.59)
T
Рз
где
A.6.59')
A.6.60)
Rep,=O. Im*=0, A.6.61)
2
— shapa, A.6.60)
J*t Re<?> , Reps i . A.6.62)
9\-q2
Аналогично в случае обобщенных функций п перемен-
переменных можно написать
L [8 (*„ JCa хп)] = i , A.6.63)
P\Pi- ¦ -Рп
(y = l, 2,..., га),
г,..., хп)} = \, A.6.64)
(х,-а„ л:2-а2,..., *я-ая)]=<Г(ад'+в'л+"-+в«Ч
A.6.64')
/.[8 (Mi, ^1
>l Rep. I , A.6.65)
где
A.6.65')

ГЛАВА 2
Дифференциальные уравнения
в обобщенных функциях
2.1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
2.1.1. Общие результаты. Фундаментальные решения
Теория дифференциальных уравнений в пространстве
обобщенных функций отличается от теории этих уравне-
уравнений в пространстве обычных функций. Вывод этих урав-
уравнений и отыскание их решений важны в приложе-
приложениях. Дифференциальные уравнения в обобщенных
функциях позволяют находить новые решения, которые
невозможно получить классическими методами.
Следует заметить, что вывод некоторых уравнений ма-
математической физики не всегда можно осуществить непо-
непосредственно в пространстве обобщенных функций из-за
трудностей, возникающих при моделировании физиче-
физических явлений. Вообще говоря, уравнения, описывающие
такие явления, выводятся сначала классическими мето-
методами. После этого осуществляется нулевое продолжение
неизвестных функций таким образом, чтобы они были
определены на всем пространстве; рассмотренные в обыч-
обычном смысле производные заменяются соответствующими
выражениями, вычисленными согласно соотношению
между производной в смысле теории обобщенных функ-
функций и производной в обычном смысле почти всюду непре-
непрерывной функции, имеющей конечное число точек разры-
разрыва первого рода. Таким образом, неизвестные величины
задачи — это регулярные обобщенные функции. Затем
допускается, что эти неизвестные могут быть произволь-
произвольными обобщенными функциями. Часто используется дру-
другая возможность: с самого начала предполагается, что

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 169
неизвестные величины— произвольные обобщенные функ-
функции, причем рассматриваемые дифференциальные урав-
уравнения в обобщенных функциях имеют тот же вид, что и
дифференциальные уравнения, полученные классически-
классическими методами (очевидно, что эти уравнения справедливы
не на всем пространстве). Однако общего метода пере-
перехода к дифференциальным уравнениям в обобщенных
функциях не существует.
2.1.1.1. Основные функции
Приведем сначала некоторые полезные при исследо-
исследовании дифференциальных уравнений свойства основных
функций.
Пусть H(R) — подпространство K(R), HczK., содер-
содержащее основные функции вида
X (*) = ?'(*), <реАГ. B.1.1)
Заметим, что это подпространство характеризуется
тем, что любой его элемент удовлетворяет соотношению
со
J y\x)dx=0. B.1.2)
00
Пусть г|з(я) ^K{R)—произвольная функция, а
00
Х= Г b(x)dx B.1.3)
00
— постоянная, соответствующая i|)(x). Пусть также
(fo(x)^K(R)—фиксированная основная функция, удов-
удовлетворяющая соотношению
J То (*)</*= 1. B.1.4)
00
Теорема 2.1.1. Любую основную функцию ty(x)<
можно единственным образом представить в виде
* (*)=•/ (*Ж-?о (*)•' z (*) е н (Я). B.1.5)

170 ГЛАВА 2
Действительно, поскольку фо(х)—фиксированная
функция, а X определяется соотношением B.1.3), то функ-
функция х(х) определяется единственным образом соотноше-
соотношением B.1.5). Далее,
X(x)dx = J y{x)dx — K J
Следовательно, %(x)<^H{R) и %(x) —бесконечно диффе-
дифференцируемая функция с компактным носителем.
Этот результат можно распространить и на случай
основных функций нескольких переменных. Пусть
ф(*ь х2, ..., xn)<=K{Rn) — основная функция, определен-
определенная на Rn, а >\х2, х3, ..., xn)^K{Rn~l)—ассоциирован-
xn)^K{Rn~l)—ассоциированная основная функция, определяемая соотношением
X (лг2, хъ,..., хп) =
оо
= f <!>(*!, х2,..., xn)dxu b?=K(Rn). B.1.6)
Пусть также qa(xi)eK(R)— фиксированная основная
функция одной переменной, обладающая свойством
J 90^)^ = 1. B.1.7)
Обозначим через Hi(Rn) подпространство K(Rn), iC,
содержащее основные функции у\х\, х2, ..., хп), облада-
обладающие свойством
J /(*!, *„,..., xJdx^O. B.1.8)
Любой элемент этого подпространства имеет вид
7.(*ь хъ..., хл) =
B.1.9)

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 171
Следовательно,
х,
^{х,, х2,..., хп) = \ xfti, ^2 xjdb. B.1.9')
00
Теорема 2.1.1/ Любую основную функцию г|з (л:ь х2, ¦¦•
..., xn)^K(Rn) можно единственным образом предста-
представить в виде
+4*2, хг,...,
B.1.10)
Действительно, функция %{х\, х2, ..., хп), единствен-
единственным образом определяемая соотношением B.1.10), яв-
является основной и удовлетворяет соотношению B.1.8),
т. е. принадлежит подпространству Hi(Rn).
2.1.1.2. Первообразная обобщенной функции
Определение 2.1.1. Обобщенная функция g{x)^K'(R)
называется первообразной m-го порядка обобщенной
функции f(x)^K'{R), если
g(m){x)=f{x), B.1.11)
т. е.
Ф(*)) B.1.11')
для любой (f(x)^K(R).
В частности, если пг= 1, то g(x) является первообраз-
первообразной первого порядка или просто первообразной обобщен-
обобщенной функции f(x).
Теорема 2.1.2. Любая обобщенная функция f()
^K'{R) обладает первообразной g(x)^K'(R). Две пер-
первообразные g\(x), g2(x) отличаются на постоянную.
Действительно, пусть дана обобщенная функция
f(x)eK'(R) и \!p{x)^K(R) — основная функция, записан-
записанная в виде B.1.5). Определим функционал g{x) соотно-
соотношением

172 ГЛАВА 2
=(g(x), x(x))+\(g(x),
где C=(g{x), <po(x)) — постоянная величина. Нетрудно
проверить, что определенный таким образом функцио-
функционал g(x) является линейным и непрерывным и представ-
представляет собой обобщенную функцию. С другой стороны,
справедливо соотношение
(g(x), f (*))=-&'М. *(*)) =-(/(*). ?
где
=0, i= J zft)rf? =
Следовательно,
(g'{
или
х), И
g'
x))=*(f[x), <|»(дг)),
(x) = f(x).
B.1.12)
B.1.12')
Таким образом, существование первообразной доказано.
Пусть теперь gi(x) и g2[x) — две первообразные обоб-
обобщенной функции f(x). Для (f(x)^K{R) можно написать
или
([gi{x)-g2(x)]f, 9{x))=-{gl(x)-g2{x), ?'(*)) =
= - (ft W - ?2 W, z (•«)), x e //.
Рассмотрев теперь 1))(д;)е/С(^) в виде B.1.5), получим
(ftW-Ы*), ¦(¦«)) =
= (S'l (•«) - ^2 {X), X (•«)) + >• (ft (•«) - g2 {X),
где (gi{x)-g2{x), «ft,(дг)) = С = const.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 173
Следовательно,
gl(x)-g2(x)=C B.1.13)
и теорема полностью доказана.
Теорема 2.1.2'. Любая обобщенная функция f(#)e
^K'(R) обладает первообразной g(x)^K'(R) произволь-
произвольного порядка т. Две первообразные gi(x), ?г(*) одина-
одинакового порядка т отличаются между собой на полином
степени m—1.
Действительно, существование обобщенной функции
§{х), удовлетворяющей соотношению B.1.11), можно до-
доказать методом математической индукции, используя ре-
результаты, полученные в случае т=1, для которого тео-
теорема доказана. Предположим, что существует обобщен-
обобщенная функция h(x), для которой Ыт~11(х) — f{x). Заме-
Заметим, что в силу доказанного существует обобщенная
функция g(x), для которой g'{x) =h(x). Отсюда следует,
что g(x) удовлетворяет соотношению B.1.11), т. е. суще-
существование первообразной m-го порядка доказано.
Предположим теперь, что существуют две первооб-
первообразные т-го порядка h\{x) и h2(x), для которых
со
(h1(x)-h2(x), 9(x))=
где Pm-i(x) — полином т—1-й степени. Тогда после ин-
интегрирования по частям с учетом формулы B.1.1) полу-
получается следующее соотношение для первообразных
gi(x)=hl'(x) ()Л'()
l (¦*) — ё2 М. X М) = j Рт (X) X W dx>
где Рт(х) — полином т-й степени. С учетом представле-
представления B.1.5) для основной функции ip(x)<^K{R) можно
написать
= {gi(x) — g3{x), x{x))-\rX{gi{x)-g3{x),

174 ГЛАВА 2
= J f>mWx
m(xLo(x)dx+ J
W 00
CO
= j Pm(x)y(x)dx+XC=
tW)- C=const,
откуда следует
\=Ря{х) B.1.14)
(постоянная С вошла в полином Рт(х)).
Теорема 2.1.3. Для любой обобщенной функции f(xu
х2,..., хп) eK'(Rn) существует первообразная g(xi, х2>...
..., xn)^K'{Rn), так что
-T-g(xlt x2,..., *„)=/(*„ x2,..., хп). B.1.15)
Если g\ {xu х2, ..., хп), g2 (xu х2 хп) — две перво-
первообразные, то
= h(x2, x3,..., х„), B.1.16)
где h {х2, х3,..., хп) ^ К' {R п
Отметим, что эту теорему можно обобщить для первооб-
первообразной произвольного порядка гп, так что
dmg(xu хо,..., х„) _
Х2 '"°Х" B.1.17)

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 175
2.11.3. Общие результаты
Учитывая полученные результаты, можно утверж-
утверждать, что дифференциальное уравнение
0 B.1.18)
dx
имеет единственное классическое решение
y(x) = C=const B.1.18')
Рассматриваемое в смысле теории обобщенных функ-
функций дифференциальное уравнение
dy.(x) =ftx-xt B.1.19)
dx
где f(x)—произвольная обобщенная функция, всегда
имеет решение. Заметим, что если f(x) является регу-
регулярной обобщенной функцией, то всегда существует пер-
первообразная, являющаяся также регулярной обобщенной
функцией. Отсюда в силу теоремы 2.1.2 все первообраз-
первообразные будут регулярными обобщенными функциями.
Теорема 2.1.4. Пусть уравнение B.1.19), где f{x)—
обычная функция, рассматривается в смысле теории обоб-
обобщенных функций. Тогда его единственным решением
является классическое решение
Заметим, что возможны случаи, когда f(x) является
сингулярной обобщенной функцией, тогда как ее перво-
первообразная— регулярная обобщенная функция. Например,
при f(x)=8(x) получим первообразную y(x)=Q(x). Воз-
Возможны также случаи, когда f{x) —регулярная обобщен-
обобщенная функция, тогда как ее первообразная является не-
непрерывной функцией. Например, при f(x) =8(x) получим
первообразную у(х)=х+. В общем случае можно напи-
написать
C=const. B.1.20)

176 ГЛАВА 2
Если исходить из уравнения
у"(х) = Ъ(х), B.1.21)
то в силу теоремы 2.1.2' получилось бы равенство
y{x)=x+-\-CArClx, C,Ci = const. B.1.21')
Рассмотрим однородную систему дифференциальных
уравнений первого порядка, записанную в нормальном
виде
+.. .+аи{х)у„(х),
=a2l (х) г/i (дг) +«22(¦*)у2[х)+... -\-а2п(х)уп(дг),
B.1.22)
=а* (*) У1 №+а«2 И у2[х)+... +апп (х) уп (х),
где коэффициенты ац(х) являются бесконечно дифферен-
дифференцируемыми функциями.
Введем матрицы
fau an...aln\ (ух
I. B.1.23)
аП2---ап„/ \у„/
Тогда эту систему можно записать в виде
J^L = A{x)y(x). B.1.22')
dx
Известно, что существует квадратная невырожденная
матрица U(x) (detL/фО), называемая фундаментальной
матрицей системы уравнений B.1.22'), которая является
классическим решением этой системы, т. е. для которой
можно написать
— — A\X)U(X). {2Л.22 )
dx

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 177
Теорема 2.1.5. Единственным решением матричного
дифференциального уравнения B.1.22') с элементами
матрицы А (х), являющимися бесконечно дифференци-
дифференцируемыми функциями, будет классическое решение.
Действительно, допустим, что существует решение в
обобщенных функциях у{х) = U{x)z(x), где z{x) —новая
неизвестная матрица. Дифференцируя, получаем
dx dx K ! { y ' dx
Отсюда, учитывая равенство B.1.22"), будем иметь
dx
Далее, поскольку U(x)—невырожденная матрица, то
dz(x)/dx=0. Следовательно, z{x) =C и теорема доказана.
Рассмотрим теперь однородное дифференциальное
уравнение «-го порядка с переменными бесконечно диф-
дифференцируемыми коэффициентами
V dx
+Й1(х)г/( «-'>(*)+...+ал(х) г/(х)=0. B.1.24)
Если ввести обозначение
y,(x)=yl"-H(x) (/=1, 2,..., я), B.1.25)
то можно показать, что это уравнение эквивалентно си-
системе линейных дифференциальных уравнений вида
B.1.22).
Теорема 2.1.6. Дифференциальное уравнение B.1.24)
для каждого x^R всегда обладает отличным от нуля ре-
решением класса Сп.
Теорема 2.1.7. Единственным решением однородного
дифференциального уравнения п-го порядка B.1.24) с
переменными коэффициентами aj(x)eC°° (t=l, 2, ..., п)
является классическое решение.
В частности, единственным решением рассматривае-
рассматриваемого в смысле теории обобщенных функций дифференци-

178
ГЛАВА 2
ального уравнения
у'(х)+а(х)у(х)=0, а(х)?ЕС°°, B.1.26)
является классическое решение
у(х) = Се-$аМ:"х, C^const. B.1.26')
Если у\(х), у2(х), ..., уп(х) —фундаментальная систе-
система решений уравнения B.1.24), то общее решение этого
уравнения можно записать в виде
у (х) = СгУ1 (х) + С2у2 (*)+•..+ СпУп О*),
C,= const (/=1, 2,..., я). B.1.24')
Вронскиан фундаментальной системы решений отличен
от нуля:
У\ У2 ¦¦¦Уп
У'х У'2 ¦¦¦У'п
2. • • •. У„) =
yl
ln-l)
уОг
1) .
, B.1.27)
поскольку эти решения линейно независимы. В этом слу-
случае уравнение B.1.24') можно записать в следующем
виде:
W(J/i. у,,..., у„; у) =
Ух
Уг
¦¦¦Уп
¦¦¦У'п
У
У'
У\п)
)...г/<я-1) У1"'1'1
...Упл) У{п)
=0. B.1.28)

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 179
Коэффициенты щ(х) (t=l, 2, .... п) уравнения выража-
выражаются в виде
(-1)'
B.1.28')
2.1.1.4. Обобщенное решение.
Фундаментальное решение
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциаль-
дифференциальное уравнение и-го порядка
P(-^-)y(x)=f(x), f(x)<=K'(R) B.1.29)
с коэффициентами ai(x)^C°° (i= 1, 2, ..., п).
Определение 2.1.2. Обобщенным решением дифферен-
дифференциального уравнения B.1.29) на интервале [а, Ь] назы-
называется обобщенная функция y(x)^K'(R), которая удов-
удовлетворяет в смысле теории обобщенных функций этому
уравнению на интервале [а, Ь], т. е. для которой выпол-
выполняется соотношение
jLjy(x), ?(*))=(/(*), ?(*)) B.1.29')
при любой (f(x)^K(R), такой, что suppcp(х)с:[а, Ь].
Теорема 2.1.8. Пусть f(x)—непрерывная на [а, Ь]
функция. Тогда единственным решением уравнения
B.1.29) но интервале [а, Ь] является классическое реше-
решение.
Определение 2.1.3. Пусть коэффициенты линейного
дифференциального оператора P[d/dx), соответствующе-
соответствующего уравнению B.1.29), являются постоянными величина-

180 ГЛАВА 2
ми. Элементарным, или фундаментальным, решением
уравнения B.1.29) или соответствующего оператора
P(d/dx) называется обобщенная функция E(x)^K'(R),
удовлетворяющая уравнению
(•*) = *(•*)• B.1.30)
Теорема 2.1.9. Решение уравнения B.1.29) существует
и имеет вид
у(х)=Е(х)*/(х), B.1.31)
если только свертка определена.
Это утверждение справедливо, если, например, обоб-
обобщенная функция f(x) обладает ограниченным носителем
или если фундаментальное решение обладает таким но-
носителем.
Для доказательства теоремы используем формулы
A.3.20) и A.3.23). Тогда
= р(-^) ?(*)*/(*)=*(*) */(*)=/(*).
Заметим, что существует бесконечно много фунда-»
ментальных решений. Все они отличаются на слагаемое,
являющееся решением однородного уравнения
{х)=°- BЛ-32)
Частное решение уравнения B.1.30) называется ча-
частным фундаментальным решением и обозначается через
Е+{х). Общее решение однородного уравнения B.1.32)
обозначается через Е0(х). В этом случае общее фунда-
фундаментальное, или просто фундаментальное, решение дает-
дается формулой
Е{х)=Е0(х)+Е+[х), B.1.33)
которую можно непосредственно проверить.
Частное или общее решение данного уравнения мож-
можно получить, если использовать соответственно частное

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
181
фундаментальное или фундаментальное решение этого
уравнения.
Например, одним из частных фундаментальных реше-
решений оператора dn/dxn является следующая обобщенная
функция:
?6() ». B.1.34)
(п— 1)!
(и-1I
Для доказательства этого результата можно использо-
использовать метод математической индукции. Формулу B.1.34)
нетрудно проверить при и=1. Пусть Еп — решение, соот-
соответствующее показателю п. Заметим, что
_р(Ч) X .„!(„_!), X
-tn —+^t ^-
'Л)
поэтому El!+~il *— Ъ (х)* Таким образом, формула B.1.34)
доказана
доказана.
Аналогично регулярная обобщенная функция
Sltl
B.1.35)
является фундаментальным решением оператора
{d2/dx2) +co2. Действительно, поскольку
Е" [х] = 8 (л:) — 9 (д;) (о sin <ux,
то утверждение очевидно.
Далее, обобщенная регулярная функция
Е{х)= L
2ю
B.1.36)
является фундаментальным решением оператора
{d2/dx2)—со2. Эта обобщенная функция порождена не-
непрерывной всюду, за исключением начала координат,

1,82 ГЛАВА 2
дифференцируемой функцией (фиг. 2.1). Заметим, что
Е' (*)=— е-ш lx l sign х.
Дальнейшая проверка утверждения не представляет
трудностей.
Эти операторы имеют многочисленные применения в
механике, особенно в задачах теории колебаний.
Фиг. 2.1
2.1.2. Методы решения
2.1.2.1. Метод вариации постоянных
Одним из классических методов интегрирования ли-
линейных неоднородных дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами является метод вариации
постоянных. Этот метод может быть применен и в слу-
случае, когда уравнения изучаются в пространстве обобщен-
обобщенных функций.
Рассмотрим уравнение
{x)=f{x)> /w^tf'W' BЛ-37)
где оператор P(d/dx) определен в формуле B.1.24).
Пусть yi(x), у2{х), ..., уп(х), *е[а, Ь], — фундаменталь-
фундаментальная система решений (т. е. система линейно независимых
частных решений) однородного уравнения B.1.24) с от-
отличным от нуля на интервале [а, Ь] вронскианом B.1.27).
С другой стороны, уравнение B.1.24) можно записать в
виде B.1.28); коэффициенты уравнения даны формулой
B.1.28').

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 183
Предположим, что коэффициенты а, (я) бесконечно
дифференцируемы. Поскольку вронскиан W{y\, уг, — , Уп)
дифференцируем, с учетом формулы B.1.28') получаем,
что вронскиан бесконечно дифференцируем на интервале
[а, Ь]. С помощью фундаментальной системы решений
общее решение однородного уравнения B.1.24) можно
записать в виде B.1.24').
Используя метод вариации постоянных, будем искать
решение неоднородного уравнения B.1.37) в виде
B.1.24'). При этом будем предполагать, что Ci(x)
(i = l, 2, ..., п) являются обобщенными функциями. Ко-
Коэффициенты Ci(x) можно определить из системы урав-
уравнений
С\ (х) У1 (х) + С'2 (х) у2(х)+...+С'й (х) уп (х) = О,
С\ (х) у[ (х) + С'2 (х) У2(х)+...+С'„ (х) у'„ (х) = 0,
B.1.38)
С[(х)у[я-2)(х) + С'а[х) yin-2) (x)-f ... +с;(х)yin-2)(x)=0,
С{ {х)у\"-1) (х) + С2(х) у[п-1) (*)+... +С'п{х) у[п-1){х) =
Далее, поскольку определителем этой системы является
вронскиан W{y\, г/2, •••. Уп), который отличен от нуля на
интервале [а, Ь], то решение системы можно записать в
виде
^(х) {1=1, 2,..., п), B.1.38')
где А{(х) — алгебраические дополнения элементов по-
последней строки и i-ro столбца вронскиана. При помощи
первообразных этих обобщенных функций общее реше-
решение уравнения B.1.37) можно записать в виде B.1.24').
Если коэффициент при у^пЦх) не равен 1, то послед-
последнее уравнение системы B.1.38) изменится — первый член
нужно умножить на этот коэффициент. При этом опре-
определитель полученной системы не всегда отличен от нуля,
так что при решении системы следует учитывать имею-
имеющиеся особенности.

184 ГЛАВА 2
Эти рассуждения можно использовать при определе-
определении фундаментального решения, соответствующего опе-
оператору P{d/dx). Если f(x)—b(x), то можно написать
{x). B.1.39)
4 ; W(x) v '
Отсюда следует
Ct(x)=-^-B[x) [1=1, 2,..., n). B.1.39')
Частное фундаментальное решение выражается в виде
к), B.1.40)
где, согласно соотношению A.3.26), tji+{x)—положи-
tji+{x)—положительная часть функции Уг[х).
Если фундаментальная система решений является
нормальной, т. е.
^@)=1, у[@)=0 У["-1Ч0) = 0,
г/2@)=0, ^@)==1,..., у'"-1' @)=0,
BЛ.41)
f.-i@) = 0, y;_1@) = 0,...) y(-D@)=0,
Уп@) = 0, г/;@) = 0 г/(«-1> @)= 1,
то Г@) = 1, Л,@) = 0 (i = l, 2 я-1), Д,@)=1,
так что
Е+{х) = в(х)уя(х) = уя+(х). B.1.42)
Общее решение однородного уравнения можно записать
в виде
B.1.43)
В частности, если у @)=у'@)= ... =г/("-2)@)=0,
-1) @)= 1, то можно написать

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 185
Е0(х) = у„(х). B.1.44)
Отсюда следует, что для определения частного фунда-
фундаментального решения можно исходить из решения Е0(х)
однородного уравнения, удовлетворяющего следующим
начальным условиям:
Е0@)=0, ?о@)=0,..., 4"~2) @)=0,
?^*~1)@) = 1. B.1.44')
Рассмотрим, например, уравнение
У1й)(х) = /(х), f(x)EEK'lR). B.1.45)
Решение соответствующего однородного уравнения
уСУ(х)=0 B.1.46)
записывается в виде
Е0(х) = С1 + С2(х)+ ... -VCnx»-K B.1.46')
С учетом условий B.1.44') получаем
?¦„(*) = хп-\ B.1.46")
Мы пришли, таким образом, к частному фундаменталь-
фундаментальному решению B.1.34).
Для дифференциального уравнения
y"(x)-rfy(x) = f(x), /(*)<=/<"'(/?), B.1.47)
можно написать
Е0[х) = С1еах-{-С^ег-ах, ю>0. B.1.48)
Отсюда с учетом начальных условий Ео@) =0, Е0'@) = 1
получаем
Тогда частное фундаментальное решение можно записать
в виде
^^ . B.1.47')
2со

186 ГЛАВА 2
Заметим, что это решение отличается от полученного
ранее B.1.36). Однако если к нему прибавить решение
— A/2(й)еи:)С однородного уравнения, то получим решение
B.1.36).
Аналогично для уравнения
R), B.1.49)
находим
B.1.50)
и получаем частное фундаментальное решение B.1.35).
Рассмотрим уравнение
у" (x) + «fy (x)=fl (x) cos ш'х,
B.1.51)
о/, (О, О)' ^0
Частное фундаментальное решение B.1.35) и обобщен-
обобщенная функция в правой части имеют один и тот же носи-
носитель— интервал [0, оо). Следовательно, получаем реше-
решение
у (х)=Е+ (х) * 6 (х) cos o)'x=
при х < 0,
B.1.51')
<¦> J ' со2_ш'2
О
Рассмотрим следующее линейное неоднородное урав-
уравнение с переменными коэффициентами:
ху"{х)-у'{х)=х\ B.1.52)
Общее решение однородного уравнения имеет вид
,i (г\ f i р Г2 (9 1 ^Ч^
Далее, W(x) =2x^=0 при хфО. Используя метод вариа-
вариации постоянных, получаем систему уравнений
B.1.54)
2х2СГ2{х)=х2,

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 187
позволяющую определить обобщенные функции С\ (х) и
Сг(*). Заметим, что в этом случае коэффициент при
у'' (х) отличен от единицы.
Из написанной выше системы уравнений следует
B.1.54')
C2(x)=-^-[h2b(x) + h3b'(x)].
Отсюда получаем
В(х) + ^Цх) + к4, А„ Аа, А3> A4=const. B.1.54")
Следовательно,
у {х) = — ^3+a1^24-a2-^26(^L-a3' a^2,03=const.
B.1.55)
Заметим, что при помощи обобщенной функции Хе-
висайда это решение определено на всем интервале
(—оо, оо), тогда как классическое решение определено
только на каждом из интервалов (—оо, 0) и @, оо), на
которых оно совпадает с обобщенным решением.
Рассмотрим уравнение
ху"{х)-у'(х)=1. B.1.56)
Соответствующая система имеет вид
0,
B.1.57)
2х2С'2{х)=\.
Отсюда находим
C1{x)=~-jx+fil, c2[x)=—lvP-i- + -|ew +
h hu h2, fi,, /z4=const. B.1.57')

188 ГЛАВА 2
Используя свойства обобщенной функции Vp(l/x), по-
получаем
у [х) = — х + щх2 + а2х4 [х) + а3,
B.1.58)
а1э а2, а3=const.
Далее рассмотрим уравнение
ху"(х)-у'(х) = Ъ(х). B.1.59)
Запишем соответствующую систему
B.1.60)
откуда
Л2 s / „\ i Л3
2
Следовательно, общее решение принимает вид
B.1.60')
, ft4=const.
B.1.59')
аь а2, а3=const.
Полученное общее решение не является фундаменталь-
фундаментальным, поскольку нельзя выразить решение уравнения
Xy [Xj—у \X) = J[X), /(ATjEEA (Aj, ^.l.DlJ
в виде свертки у(х)* f(x), так как оператор x(d2jdx2) —
—djdx имеет переменные коэффициенты.
2.1.2.2. Метод интегральных преобразований
Интегральные преобразования могут быть особенно
полезными при решении дифференциальных уравнений
в обобщенных функциях. Ниже будет показано, как

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 189
можно использовать в этих целях преобразование Фурье
и преобразование Лапласа.
Рассмотрим, например, (недифференциальное) урав-
уравнение
хяу(х)=0. B.1.62)
При хфО единственным классическим решением яв-
является функция г/=0. Однако в пространстве обобщен-
обобщенных функций это уравнение имеет и другие решения.
Действительно, применим преобразование Фурье.
Тогда, используя свойство A.5.22'), получаем
j?-Fls) = 0, B.1.63)
dsn
откуда в силу теоремы 2.1.2'
* + ... +СЯ_1««-1. B.1.63')
Применив обратное преобразование Фурье, можно на-
написать
B.1.62')
В частности, при п=1 решением уравнения
ху(х)=0 B.1.64)
является обобщенная функция
С0Ъ(х). B.1.64')
Рассмотрим теперь линейный оператор с постоянными
коэффициентами
~+a1-^rT+...+an_1 — +an, B.1.65)
dxn dx"'1 dx
а также соответствующее уравнение B.1.30). Применив
преобразование Фурье к этому уравнению, получим
B.1.65')
Это уравнение всегда имеет решение. Следовательно,
можно определить фундаментальное решение уравнения

190 ГЛАВА 2
B.1.30), а также решение уравнения B.1.29) при усло-
условии, что существует свертка B.1.31).
Отметим, что преобразование Фурье можно приме-
применить непосредственно к уравнениям вида B.1.37), не-
несмотря на то что это уравнения с переменными коэффи-
коэффициентами. Например, применив преобразование Фурье к
уравнению
F"(r\ u$F(r\ ?ifjr1 B 1 661
получим
(- isfF [E {x)\ - ^F [E (x)] = 1, B.1.67)
откуда следует
Используя формулу A.5.37), получаем фундаментальное
решение B.1.36).
Применим преобразование Лапласа к уравнению
Ь{х). B.1.68)
Тогда
Отсюда следует
/;[?(*)]=_i—.. B.1.69)
р2 ( (&*
Применив теперь формулу A.5.69), получим фундамен-
фундаментальное решение B.1.35).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
с переменными коэффициентами
ху"(х) + 2у'(х) = Ь(х). B.1.70)
Применив преобразование Лапласа, получим
{P2L [У{х)])-\-2р1[у(х)] = \, B.1.71)
откуда следует
dp

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 191
а также
i B.1.72)
Применение обратного преобразования Лапласа позво-
позволяет написать
B.1.70')
где вторая произвольная константа С2 соответствует
однородному уравнению.
Применив теперь преобразование Фурье к уравнению
B.1.70), получим
i -j- (s>F[у (х)])-2isF [y(x)]=l, B.1.73)
откуда следует
is2—F[y(x)]=\
ds
= — + Си C,=const. B.1.74)
Применение обратного преобразования Фурье приводит,
таким образом, к тому же решению B.1.70х).
2.2. УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ
2.2.1. Свойства уравнений в свертках
2.2.1.1- Алгебры со сверткой
В линейном пространстве определена операция сло-
сложения двух элементов пространства, а также операция
умножения на число (действительное или комплексное).
В некоторых из таких пространств можно определить и
операцию умножения двух элементов пространства.
Определение 2.2.1. Линейное пространство А называ-
называется алгеброй, если в нем определена операция умноже-
умножения двух элементов, удовлетворяющая следующим усло-
условиям:

192 ГЛАВА 2
а) x(yz) — (xy)z, x, у, z^A (ассоциативность);
б) (ax)(riy)--=(a$)(x, у), х,у(=А, a, 3etf;
в) x{y + z)=xy-\-xz, (y^-z)x=yx-\-zx,x, у,
(дистрибутивность относительно сложения).
Если операция умножения обладает еще следующим
свойством:
г) ху=ух, х, у^А (коммутативность), то алгебра на-
называется коммутативной.
Элемент и^А называется единичным элементом, если
он обладает свойством
д) их=хи = х для любого леЛ; в этом случае А на-
называется алгеброй с единицей.
Например, множество непрерывных на интервале
[а, Ь] функций образует коммутативную алгебру с едини-
единицей, если под умножением понимать обычное умножение
двух функций.
Аналогично множество квадратных матриц порядка я
с действительными элементами образует (некоммутатив-
(некоммутативную) алгебру с единицей.
Если для элемента х^А существует элемент х~х^А,
такой, что
е) хх~1=х~1х = и,
то говорят, что х~х является обратным элементом для х.
В алгебре матриц порядка п не всякий элемент об-
обладает обратным; обратный элемент существует тогда
и только тогда, когда матрица невырождена (ее опреде-
определитель отличен от нуля).
В пространстве обобщенных функций, являющемся
линейным векторным пространством, определена свертка
двух обобщенных функций, которая есть не что иное, как
операция умножения двух обобщенных функций. Однако
пространство обобщенных функций не является алгеброй
по отношению к такой операции умножения, поскольку
свертка определена не для всех пар обобщенных функ-
функций. Если свертка имеет смысл, то она является коммута-
коммутативной и ассоциативной операцией, причем единичным
элементом для нее служит обобщенная функция Дирака
Ь(х). Поэтому будем рассматривать определенные под-
подпространства пространства К', образующие алгебру от*
носительно свертки.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 193
Определение 2.2.2. Подпространство X'czK' образует
(коммутативную) алгебру со сверткой (обладающей
единичным элементом), если выполняются следующие
условия:
а) свертка двух или нескольких обобщенных функций,
принадлежащих Ж', существует и принадлежит зтому
же подпространству;
б) Ь(х)^Ж' (единичный элемент).
Например, множество А' обобщенных функций с огра-
ограниченным носителем образует алгебру со сверткой, по-
поскольку если f(x), g(x)^A', то свертка f(x)*g(x) су-
существует и принадлежит А'.
Аналогично множество К'+, состоящее из обобщенных
функций из К', носитель которых содержится в [0, оо),
образует алгебру со сверткой.
Если обобщенная функция {(х)^Ж' обладает обрат-
обратной /-1(х)е=.Ж", то
Во всех нриведенных выше выкладках можно счи-
считать также, что x^Rn.
Рассмотрим, например, алгебру со сверткой K'-iR)-
Обобщенная функция 9(х)е/С+> поскольку ее носителем
является интервал [0, оо]. Обобщенная функция Ь'(х)
сосредоточена в начале координат. Следовательно,
&'(х)е=/С'+. Далее,
8 (х) * V (х) = — [8(*)*8{х)]=— 6 (х) = Ь[хУ,
поэтому
Заметим, что
/{х) = Ь {х) е*, [о' {л) - 3 (х)} <=К'+ (R)
6 (х) ех * [Ь' [х)~Ъ{х)] =— [8 {х) ех\ -8 (х)е* =
7—3677

194 ГЛАВА 2
Поэтому можно написать
/-1(х)=Ъ'(х)-Ъ(х). B.2.3)
Далее, поскольку обобщенная функция B.1.35) явля-
является фундаментальным решением уравнения B.1.68), то
Е-1 (х) *Е{х) = [8" {х) + «28 (x)] *Е{х) =
=Е"{х)+ш*Е{х)=Ъ{х).
Следовательно,
Е-1 [х) = 8" (х) + «28 (х), B.2.4)
причем обобщенные функции Е(х) и Е~1(х) принадлежат
пространству К'+-
Учитывая, что
В(х, у), ^J1
можно написать
Отсюда следует
б-' {х, у)=д2Ъ(х' у) . B.2.5)
Учитывая соотношение A.4.36), запишем для обоб-
обобщенной функции
следующую свертку:
ASfJC. и)
= Ь{х, у)*Ъ{х, у) = 1(х,у).
Заметим, однако, что обобщенная функция
— A/2яIпA/г), где г=^х2 + у2, не является обратной к
обобщенной функции Л6(я, у), поскольку она не принад-
принадлежит подпространству K'+{R2)-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 195
Теорема 2.2.1. Пусть для обобщенных функций f(x),
g(x)^K'+ существуют обратные функции f~] (x) и g-1 (x).
Тогда свертка f(x) * g(x)^K'+ имеет обратную функцию
следующего вида:
U (х) * g (x)]-i = /-' (х) * g~i (х). B.2.6)
Действительно,
2.2.1.2. Определение уравнения в свертках
Пусть yf'czK.' — алгебра со сверткой, а а(х),
i(x)el'. Все приводимые в дальнейшем результаты
действительны при R
Определение 2.2.3. Уравнение вида
а(х)*у(х) = Ь(х), B.2.7)
где а(х) и Ь{х)—известные обобщенные функции, а
у(х)—неизвестная обобщенная функция, называется
уравнением в свертках.
Теорема 2.2.2. Пусть а(х)^Ж'— фиксированная обоб-
обобщенная функция. Чтобы уравнение в свертках B.2.7)
имело хотя бы одно решение при любой правой части
Ь(х)^Ж', необходимо и достаточно, чтобы для а{х) су-
существовала обратная обобщенная функция crl(x). Если
а~1 (х) существует, то уравнение имеет единственное ре-
решение
у(х) = а-1(х)*Ь{х). B.2.7')
Указанное условие является необходимым. Действи-
Действительно, предположим, что при любой правой части
Ь{х)^Ж' уравнение B.2.7) имеет хотя бы одно решение.
В частности, при Ь{х)—Ь{х)^Жг существует решение
у(х): а{х) * у(х) =6(х). Следовательно, у(х) =а~1(х),
т. е. для а(х) существует обратный элемент. Это условие
является и достаточным, поскольку если а(х)^.Ж' обла-
обладает обратной обобщенной функцией й-'(^)еУ, т. е.

196 ГЛАВА 2
если
а (х) * а-1 (х)=а (х) * а (х)=5 (х),
то, умножив уравнение B.2.7) слева на а-1 (х) (умноже-
(умножение понимается в смысле операции умножения, опреде-
определенной в алгебре Ж'), получим
а (х) * [а (х) * у (х)]=а-г *Ь{х) =
Следовательно, уравнение имеет решение вида B.2.7').
Для доказательства единственности решения доста-
достаточно умножить решение ('2.2.7') на а(х)\ при этом по-
получается уравнение B.2.7). Следовательно, соотношения
B.2.7) и B.2.7') эквивалентны. Теперь достаточно заме-
заметить, что о (х) является единственным решением урав-
уравнения B.2.7) при Ь(х) =6(х). Теорема доказана.
Элемент а-1 (х) называется элементарным (фунда-
(фундаментальным) решением уравнения в свертках B.2.7).
Если а(х) —бесконечно дифференцируемая функция,
то она не обладает обратной обобщенной функцией.
В этом случае уравнение B.2.7) не обладает элементар-
элементарным решением. '
Рассмотрим следующее определенное в K'+{R) урав-
уравнение в свертках:
(^\(х)*у(х) = Ъ(х), B.2.8)
где P(d/dx)—линейный дифференциальный оператор с
постоянными коэффициентами B.1.65). Свертка B.2.8)
существует для любой обобщенной функции (
поскольку
Р (¦?•
Следовательно, у(х) является фундаментальным решени-
решением, соответствующим оператору B.1.65). Согласно ре-
результатам, приведенным в разд. 2.1.2.1, фундаментальное
решение уравнения B.1.37) имеет вид B.1.42), где

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 197
уп(х)—решение соответствующего однородного уравне-
уравнения с начальными условиями вида B.1.44'). Следователь-
Следовательно, можно написать.,
так что
IP/——— IBfjtn =6 (х) и fxSc^K' B 2 9')
Таким образом, уравнение
Р{~У(х)*у(х)=/(х), f(x)ezK'+, B.2.10)
имеет единственное решение
), B.2.10')
которое удовлетворяет также и дифференциальному
уравнению
(^^(х) = /(х), /(х)ЕЕК'+. B.2.10")
В частности, фундаментальное решение B.1.35) опе-
оператора P(d!dx) — (d2/dx2)-\-(i>2 принадлежит алгебре со
сверткой К'+. Следовательно,
, »>0. B.2.11)
Рассмотрим теперь оператор P(dfdx) = (d2/dx2)—и2.
Заметим, что фундаментальное решение B.1.36) не при-
принадлежит алгебре со сверткой К'+, потому что его носи-
носителем является вся числовая ось. Следовательно, это
фундаментальное решение не является обратным элемен-
элементом для P(d/dx)8(x). В то же время носитель фундамен-
фундаментального решения B.1.47') содержится в интервале
[0, оо), поэтому это фундаментальное решение принадле-
принадлежит К'+. Следовательно, можно написать
" B.2.12)
dx*

198 ГЛАВА 2
В силу полученных выше результатов уравнение
— <&)b{x)*y{x)=f(x), f(x)EEK'+, B.2.13)
имеет единственное решение, которое дается формулой
B.2.13')
Фундаментальное решение оператора dn/dxn опреде-
определяется соотношением B.1.34) и принадлежит алгебре со
сверткой К'+- Следовательно, можно написать
8(|°
(*)]-' = Чх) хп~\ B.2.14)
k п („ 1)! v ;
В общем случае множество всех фундаментальных
решений дифференциального уравнения B.2.10") содер-
содержит решение, принадлежащее Кг+- Это решение единст-
единственно и является фундаментальным решением соответст-
соответствующего уравнения в свертках.
2.2.1.3. Операционный метод решения уравнений
в свертках
Рассмотрим уравнение в свертках B.2.7), где а(х),
Ь(х)<=К'+- В теореме 2.2.2 даны условия, при которых
существует единственное решение B.2.7'). Среди эффек-
эффективных методов решения этого уравнения отметим метод
преобразования Лапласа, которое обладает свойством
A.5.89). Действительно, это соотношение справедливо
для обобщенных функций, носители которых содержатся
в интервале х^О и для которых, следовательно, опреде-
определено преобразование Лапласа. Применив преобразова-
преобразование Лапласа к этому уравнению, получим
L[a(x)]L[y{x)] = L[b(x)], B.2.15)
откуда следует
L[y(*)]=тШг=^(/;)' p=tt+iv- B-2ЛУ)
Если для функции L (р) существует оригинал, принадле-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 199
жащий алгебре со сверткой К'+, то он и является един-
единственным искомым решением.
Этот метод не применим в случае, когда для обоб-
обобщенных функций а(х) и Ь(х) не определено преобразова-
преобразование Лапласа или когда для функции L(p) не существует
оригинала.
Заметим, что к уравнению в свертках B.2.7) можно
применить и преобразование Фурье. Нужно лишь заранее
убедиться в выполнении условий применения этого пре-
преобразования к свертке рассматриваемых обобщенных
функций.
Рассмотрим, например, уравнение
6 {х) smx*y {х) — — 6(х)х sin x. B.2.16)
Входящие в это уравнение обобщенные функции при-
принадлежат алгебре со сверткой /С'+. С учетом теоремы
A.5.69) и преобразования Лапласа A.5.98) можно на-
написать
L [8 (х) sin x] L [у (х)] = — L[Q(x)x sin x] ,
или
! L[y{x)]= - — ( 1—
p2+l L k п 2 dp \ р2 + 1
откуда следует
Поэтому решение уравнения B.2.16) единственно и да-
дается формулой
у(х)=Ъ(х)саах, B.2.16')
которая соответствует соотношению A.3.29).
Рассмотрим также уравнение
6(x)cosx*y(x) = — 6 (д:) (sin л+л cos д:), B.2.17)
коэффициенты которого принадлежат К'+- Применив
преобразование Лапласа, получим

200 ГЛАВА 2
Ч
1J J (р2 +1J '
откуда следует
Таким образом, получено также решение B.2.16'). соот-
соответствующее соотношению A.3.29").
Найдем теперь обобщенную функцию, обратную обоб-
обобщенной функции а(х) =Q{x) +8'{x), принадлежащей,
очевидно, алгебре со сверткой К'+- Составив уравнение
в свертках
Ъ'{х)]*у{х)=Ъ{х) B.2.18)
и применив к нему преобразование Лапласа, получим
Следовательно,
-i-+/>]?[!/(*)]=.!.
ibf (,].
Таким образом, опять получили решение B.2.16').
Рассмотрим теперь уравнение
[8" (х) - ш28 (jc)] *у(х) = Ъ {х). (-,2.19)
Применив к нему преобразование Лапласа, получил
(Р^-^)Цу{х)]=\.
Следовательно,
— ы р
откуда находим решение
соответствующее фундаментальному решению B.1.47').
Предположим теперь, что нужно найти обобщенную
функцию у(х) таким образом, чтобы обобщенная функ-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 201
ция Е(х), определяемая соотношением
E{x)=y(x)*B(x)sinx, B.2.20)
являлась фундаментальным решением оператора
(d/dx) — 1. Составим соответствующее уравнение в сверт-
свертках
(—1)е ^sin х *у ^==ь №; B-2-21)
оно определено на алгебре со сверткой К'+. Действуя
аналогичным образом, получаем
х) + 2е*. B.2.21')
2.2.2. Интегральные уравнения
2.2.2.1. Общие положения
Многочисленные задачи математической физики при-
приводят к уравнениям, в которых неизвестная функция вхо-
входит под знак интеграла. Такие уравнения называются
интегральными. Так, например, дифференциальное урав-
уравнение первого порядка
у'{х)=/{х, у), f(x, y)EEC°(D), B.2.22)
с условием у=у0 при х = х0, где (х0, yo)^DczR2, эквива-
эквивалентно следующему интегральному уравнению:
B.2.22')
в котором неизвестная функция у{х) входит под знак
интеграла. Вообще говоря, эта функция входит в уравне-
уравнение нелинейным образом, так что уравнение является
нелинейным интегральным уравнением.
Если f(x, у) является линейной по у функцией, то
интегральное уравнение B.2.22') называется линейным.
Среди линейных интегральных уравнений отметим ин-
интегральные уравнения Вольтерры первого рода, имеющие
вид
f/?(;t, i)y{t)dt=f(x), *>0, B.2.23)

202 ГЛАВА 2
а также интегральные уравнения Вольтерры второго
рода, имеющие вид
(х, t)y{t)di = f{x\ *>O. B.2.24)
Функции К (х, t) и f(x) известны и представляют собой
соответственно ядро и свободный член интегрального
уравнения. Функция у(х) неизвестна, а % — действитель-
действительный или комплексный параметр. Предполагается, что
функции К{х, t) и f(x) локально интегрируемы и ядро
К(х, t) равно нулю при t^x^Q.
Если функция {(х) равна нулю, то уравнения B.2.23)
и B.2.24) являются однородными.
Специальный вид уравнений Вольтерры получается,
если рассмотреть Х=1 и ядро К(х, t)=K{x—t).
В этом случае можно написать
[K(x-t)y(t)dt = f(x], x>0, B.2.23')
б'
y{x)+\K{x-t)y{t)dt = f(x), x>0. B.2.24')
о
Продолжим функции К (х), /(х) и у (х) нулевыми зна-
значениями при jc<0 и введем соответствующие обобщен-
обобщенные функции. Тогда рассматриваемые интегральные
уравнения можно записать при помощи свертки следую-
следующим образом:
6 (х) К{х)*у [х) = В (х) f {х), B.2.23")
. B.2.24")
Заметим, что Q{x)K(x), 0(л:)/(х), y(x)^.K'+{R), поэтому
уравнение Вольтерры первого рода B.2.23') становится
уравнением в свертках B.2.23"), определенным на алгеб-
алгебре со сверткой К'+.
Уравнение B.2.23") не всегда имеет решение. Напри-
Например, если после продолжения ядро В(х)К(х) является
функцией класса С°°, то рассматриваемое уравнение в
свертках не имеет решения. Действительно, в этом слу-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 203
чае для любой обобщенной функции g(x)e/C'+ свертка
Q(x)K(x)* g(x) является бесконечно дифференцируемой
функцией. Поэтому при g{x) = [Q (х) К {х)]~1 свертка
в(х)К(х) * [В(х)К{х)] является бесконечно дифференци-
дифференцируемой функцией, которая, следовательно, не может сов-
совпадать с б(х).
Рассмотрим теперь для уравнения Вольтерры второго
рода следующую обобщенную функцию:
K1(x) = 6(x)K{x) + i{x). B.2.25)
Поскольку Ki(x)^.K'+, можно написать
. B.2.24'")
Следовательно, уравнение Вольтерры второго рода так-
также сводится к уравнению в свертках на алгебре со сверт-
сверткой К'+-
2.2.2.2. Интегральные уравнения Вольтерры
первого рода
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерры пер-
первого рода
X
c — t)y(f)dt = f(x), x>0, B.2.26)
с ядром К(х) =cosx. Продолжим функции cosx, /)
у(х) нулевыми значениями при х<0. Тогда уравнение
B.2.26) будет эквивалентно следующему уравнению в
свертках:
б (х) cos х * у (х) = 9 (х) / (х). B.2.26')
Заметим [см. формулу B.2.18)], что
[б (х) cos х]-1=б (х) + 8' (х), B.2.27)
поэтому решение уравнения B.2.26) имеет вид
у(х) = [в(хПЬ'(х)]*в(х)/(х) =
=[Цх)/(х)]' + Цх) \f{t)dt. B.2.28)

204 ГЛАВА 2
В частности, при f(x) =sin;t получаем
х
y(jc) = [6(jc)sinjc]' + 6(jc) f sin tdt=b (x). $.2.28')
6
Следовательно, y[x) =9(х) является решением уравнения
X
f cos (jc — /) у (*)<#= sin jc, jc>0. B.2.26")
6
Рассмотрим интегральное уравнение
X
\ t=f{x), jc>0, {2.2.29)
6
где f(x)—заданная функция. Ядром этого уравнения
является функция К(х) =a:cosa:.
Запишем соответствующее уравнение в свертках
б (jc) х cos х * у (х)=В [х) f (х). B.2.29')
Если теперь в качестве правой части полученного урав-
уравнения в свертках взять обобщенную функцию Дирака
б(х) и применить к этому уравнению преобразование
Лапласа, то получим
откуда
L[[6W
Следовательно,
B.2.30)-
Таким образом, решение уравнения B.2.29) имеет вид
у (х) = [8" (jc) + 38 (х) + 46 (х) sh (x)] *Цх)/ (х) =
= [б (jc) / (jc)}" + 36 (х) / (х) -f-48 (х) sh (jc) * б (jc) /1 jc) =
B.2.31)

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 205
\ "
В частности, при f(x) =ex имеем
У(х) = Ъ'(х)+Ь{х)-\-2д(х)[{1-\-х)е*+*Ьх]. B.2.31')
Запишем теперь для интегрального уравнения
\s\n{x-t)y{t)dt=f{x), x>0, B.2.32)
о
соответствующее уравнение в свертках
б (х) slnx*y (х) = в(х) f (x). B.2.32'}
Учитывая формулы B.1.35) и B.2.4) при ю=1, получаем
[0{x)sinx]-1 = V(x) + b(x). B.2.33)
Следовательно, решением уравнения B.2.32) является
обобщенная функция
B.2.34)
= [Чх)/{х)Г+В(х)/{х),
где дифференцирование проводится в смысле теории
обобщенных функций.
В частности, при f(x) = cos x можно написать
у(х) = Ъ'(х). B.2.34')
Интегральному уравнению
X
{ег* — s\nt)y{x — t)dt=f [x\ jc>0, B.2.35)
соответствует следующее уравнение в свертках:
б (jc) {е~х— sin х)*у{х)=Ь (х) f (x). B.2.35')
Аналогично можно показать, что
\Ъ{х){е~х— sinх)]-*=Ъ'(х)-\-2Ь{х)-\-Ъ{х){4ех~\). B.2.36)
Таким образом, решение интегрального уравнения
B.2.35) имеет вид
у (х) = [Ъ> (х) + 2S (х) + б (х) Dе*- 1)] * 8 (х) f (х) =
B.2.37)

206 ГЛАВА 2
В частности, при f(x) =9 (л:) получаем
2.2.2.3. Интегральные уравнения Вольтерры
второго рода
Рассмотрим теперь интегральное уравнение Врльтер-
ры второго рода /
y{x)+\e*-'y(f)dt=f{x), *>0. B.2.38)
Соответствующее уравнение в свертках имеет вид
[S (x) + 9 W ех] * у {x) = f{x). B.2.38')
Заметим, что
[S (x) + 6 (jc) ех]~1 = Ь (х) — 6 (jc). B.2.39)
Следовательно, решением уравнения B.2.38) является
обобщенная функция
у[х) = [Ь[х)-В(х)]*В(х)/(х) =
= B[x)f[x)—B{x)[f{x — t)dt. B.2.40)
Отметим, что решение этого уравнения можно записать
и в виде
X
у [х) = f {х)- Г / (x-t) dt, x>0. B.2.40'J
о
Для интегрального уравнения
y(x)+\cas(x-t)y(t)dt=f(x), х^О, B.2.413
получаем следующее уравнение в свертках:
[S (х) +9 (х) cos x]*y{x) = B (jc) / (jc). B.2.41')
Вычислим теперь при помощи преобразования Лапласа

\
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 207
обратный элемент, соответствующий ядру Ki(x)=b(x)
+ G(V)cosa: в алгебре со сверткой /('+:
1
Отсюда следует
L [Д1 (х)\ =
= 1 2
1 (х) = S (х) - 8 (х) е~ Т (cos У~ х - ^- sin У-2- Л .
B.2.42)
Решение уравнения B.2.41) имеет вид
у(х)=Ль{х) — Ь{х)е 2
sx
_J^ sin ?*.*)].О(*)/(*) =
о
Xf(x-t)di, B.2.43)
или
о
Xf{x-t)dt, x>0. B.2.43')
Рассмотрим также следующее уравнение:
sm(x-t)y(t)dt=f(x),x>0. B.2.44)
о

208 ГЛАВА 2
Соитзетствующее уравнение в свертках имеет вид
[3 (x)-f 9 (х) sin х] * у (х) = 9 (х) / (х). B.^.44')
Заметим,что
[8 (х) + 9 (х) sin х]~г = Ь (х) -9 (х) sin l^x, $.2.45)
поэтому решение уравнения B.2.44) имеет вид
y(x) = [i[x) — b(x)sm \r2x]*Q(x)f(x)= i
i
= 9(x)/(x)-9(x) I'sin у 2(x-t)f{t)dt, B.2.46)
6
или
\t, a'>0. B.2.46')
0
Рассмотрим уравнение
y{t)dt = f(x), x>0. B.2.47)
о
Заметим, что
[S (x) -f 9 (x) x cos x]" =
= S [x)-] L^- 9 (x) (л ]/-4 sin x /3). B.2.48)
з-/з
Отсюда находим решение
х>0. B.2.49)
Для интегрального уравнения Вольтерры второго
рода вида B.2.24) имеет место следующая теорема.
Теорема 2.2.3. Пусть ядро К(х) является локально
интегрируемой функцией, ограниченной на каждом ин-
интервале. Тогда обобщенная функция 8{х)+К{х) =
= К\(х)^К'+ единственным образом обратима в алгебре

ЛЬУКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 20Э
со свею кой К+. Обратный элемент имеет вид
\ КГ1(х)^Ь{х) + Н{х), B.2.50)
где /У \с)еАГ'+.
Применив преобразование Лапласа к уравнению
ПОЛучПМ !
—ir3(/H)-,L... +( — 1)"ё"{р)-Ь • ¦ • ; g{p)=L[K{x)\
при условии, что ряд сходится. При помощи обратного
преобразования Лапласа получаем
КГ1 (-V) - 8 (х) - К (х) + К2 (х) - К {х)~...
...^{-1)"К:"{х)-г..., B.2.51)
где свертка п членов обозначена символом
К п{х) = К{х) * К(х) *.. .* К(х). B.2.52)
Осталось доказать, что ряд B.2.51) сходится в /('+;
для этого достаточно доказать, что каждый член ряда, за
исключением первого, ограничен по модулю членом схо-
сходящегося на интервале [0, а] ряда. Введем обозначение
А!а = гт^х\К{х) | на интервале [0, а]. Тогда
\K{x-t)K{t)dt
о
; K\x — t)K{t) \ dt^xMl, ie[0, a].
Предположим теперь, что

210
ГЛАВА 2
Тогда
I 1Сл+1 (х) | =
\K*n(t)K(x-t)dt
f \K>n(t)K{x-t)\dtK
J («-1I
VП 1
Таким образом, методом математической индукции соот-
соотношение B.2.53) доказано полностью. Заметим, что
поэтому на интервале [0, а] рассматриваемый ряд мажо-
мажорируется сходящимся числовым рядом
п пО п— 1
.... B.2.54)
Таким образом, доказана сходимость ряда B.2.51).
Итак, для обратного элемента получено выражение
вида B.2.50), где
Заметим, что Н(х)=0 при х<0. Если К{х) —непрерыв-
—непрерывная функция, то и Н(х) является непрерывной функцией.
В силу теоремы 2.2.2 обратный элемент определен
единственным образом.
Решение уравнения B.2.24') выражается в виде
у [х) = В (х) f (х) + Н(х) * б (х)/(х) =
\H{x-t)f{f)dt, B.2.55)

Обыкновенные дифференциальные уравнения 211
или
y(x) = f(x)+\ H(x-t)f{t)dt, x>0. B.2.55')
i б
Рассмотрим, например, уравнение
y(x) + $y(t)dt=f(x), x>0. B.2.56)
о
Заметим, что К\ (х) =б(х) + Q(x), поэтому
Я(х)=-б(х) + в*2(х)-в*3(*) + ...
...+(-l)V(x)+.... B.2.57)
Учитывая формулы A.3.27) и A.3.28), получаем
Следовательно,
Чх) х*~1 = - хп+\ B.2.58)
1)! (лi)! v ;
в (х) 0 ,
^х +¦¦¦
^-! + • • • = -в Ив-*. B.2.58')
Таким образом,
КТ1(х)=Ь{х)-в{х)е-\ B.2.59)
поэтому решение уравнения B.2.56) можно записать в
виде
j л>0. B.2.60)
о
В частности, при f(x)=e~x получаем следующее ре-
решение:
у{х) = [\—х)е-х, х>0, B.2.60')
интегрального уравнения
у (jc)+ f у {t)dt=e-*, х>'0. B.2.56')
о

212 ГЛАВА 2
Очевидно, что если применить преобразование ..^гпла-
са к уравнению
то получим
p + \
Таким образом, мы придем к тому же результату
2.2.2.4- Интегро-дифференциальные уравнения
Наряду с рассмотренными выше интегральными урав-
уравнениями Вольтерры вида B.2.23') и B.2.24') введем так-
также интегро-дифференциальные уравнения типа свертки,
имеющие следующий общий вид:
где D[ и D2 — дифференциальные операторы с постоян-
постоянными коэффициентами порядка /гит соответстзенно
(п^т). Предположим, что функции / и g яеляются
функциями классов Ст[0, оо) и С°[0, оо) соответственно.
Тогда решение интегро-дифференциального уравнения
типа свертки B.2.61) состоит в отыскании функции
(/еСя[0, оо), удовлетворяющей этому уравнению, а так-
также следующим условиям типа Коши:
,' 2.2.62)
Используя далее зависимость между производным» в
обычном смысле и производными в смысле теории обоб-
обобщенных функций, можно переписать уравнение B.2.61)
вместе с условиями B.2.62) в виде уравнения в сьертках.
Полученное уравнение можно решать, применяя, напри-
например, преобразование Лапласа.
Чтобы проиллюстрировать методику решения ннтег-
ро-дифференциальных уравнений типа свертки, рассмот-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 213
рим уравнение
ау" (х) + by' (x) + c^f{x-t)yf @ dt =
6
= g(x), a, b, c = const, *>0, B.2.63>
с начальными условиями
У@)=Уо>У'@) = У1- (-'2-64)
Введем теперь обобщенную функцию, соответствую-
соответствующую функции
у(х)=Цх)у(х), B.2.65)
а также обобщенные функции, определенные функциями
/(*) = в (*)/(*), g(x) = 9(x)g(x). B.2.35')
Тогда уравнение B.2.63) можно записать в виде
B.2.63')
Используя соотношения
-^ ~У {х) = -^ У (х) + УОЬ (х),
в которых введены производные в смысле теории обоб-
обобщенных функций и производные в обычном смысле, по-
получаем следующее уравнение в свертках:
И" (X) + 68' (х) + cf' (х)]*0 (х) =
= ? (-«1 + cyj{x) + аг/08' (х) + (ayi-\-by0) S (jc). B.2.63")-
Например, в случае интегро-дифференциального урав-
уравнения
x)—Ux — t)y'(t)dt='2e\ л:>0, B.2.66),
6

214 ГЛАВА 2
f
с однородными (т. е. нулевыми) начальными условиями
получаем следующее уравнение в свертках:
'у(х) = 2В(х)ех. B.2.66')
Применив преобразование Лапласа, получим
•Отсюда следует
P + 2 P ~ 2 ^P~~
1 1 4 1 1 1 1 1_
2 p — 1 9 1 18/Л-1 3
Применив далее обратное преобразование Лапласа, по-
получим
у (х) = — 9 {х) [ {9ех?2 - 8) еФ - A -f 6jc) e~x], x^R.
18
B.2.68)
Можно также написать
у(х)=±[{9ех/2-8)ех'2-{\-\-6х)е-*}, *>0. B.2.68')
18
2.3. ЗАДАЧА КОШИ И МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Изучение дифференциального уравнения состоит, во-
вообще говоря, в отыскании функции определенного клас-
класса, удовлетворяющей как данному уравнению, так и
краевым условиям. Эти условия соответствуют конкрет-
конкретным условиям, при которых протекает явление, описы-
описываемое дифференциальным уравнением, и позволяют

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 215
определить единственным образом решение задачи в
случае, если последняя корректно поставлена.
Среди всевозможных типов краевых условий рассмот-
рассмотрим сначала условия типа Коши (называемые также
начальными условиями в случае, когда независимая пе-
переменная имеет смысл времени). Эти условия задаются!
в одной точке интервала (области), в котором определе-
определено дифференциальное уравнение.
Будут рассмотрены также двухточечные и многото-
многоточечные задачи, краевые условия для которых задаются'
в двух или нескольких точках рассматриваемого интер-
интервала (области).
2.3.1.1. Задача Коши
Пусть P(d/dx)—линейный дифференциальный опе-
оператор порядка п с переменными коэффициентами:
dx ) dxn \dxn~l d*
B.3.1).
где ai(x)EEC°[a, b\ (/=1, 2,..., n).
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное-
уравнение
Р (lj) *(*)=/(*)• /(*)е=С°К Ь\. B.3.2).
Определение 2.3.1. Задачей Коши для дифференциаль-
дифференциального уравнения B.3.2) называется задача, заключаю-
заключающаяся в определении функции у(х)^.Сп[а, Ь], удовлетво-
удовлетворяющей этому уравнению и принимающей вместе со<
своими производными до п—1-го порядка заданные зна-
значения
B.3.3)
в точке JCo^ (a, b).
Можно доказать, что задача Коши имеет единствен-
единственное решение.

¦216 ГЛАВА 2
Решим задачу Коши для дифференциального уравне-
уравнения
~^ (*) + • • • +а^у' (х) +апу (х) =
=/(*), *>0, B.3.4)
с коэффициентами flj = const (t=l, 2, ..., л) и f(
¦еС°[0. оо). Найдем решение, удовлетворяющее этому
уравнению, а также начальным условиям
Iim yw (x)=y<*> (k=0, 1,..., л-1), B.3.5)
тде г/!*) — заданные числа.
Заметим, что решение этой задачи для уравнения
B.3.4) тесно связано с определением соответствующего
фундаментального решения.
Запишем уравнение B.3.4) в обобщенных функциях.
Для этого продолжим функцию }(х) и искомое решение
,у(х) нулевыми значениями при х<0. Введем функции
/ (*) = в (*)/(*) у{х) = Ъ{х)у(х) B.3.6)
"и соответствующие регулярные обобщенные функции.
Начальные условия являются в этом случае скачками
-функции у(х) и ее производных до п—1-го порядка вклю-
включительно в точке х—0. С учетом формулы A.2.32) мож-
можно написать
^\!t-lWk-1\x} [p=\, 2,..., п),
B.3.7)
где у1р) (х) — производная порядка р в обычном смысле,
а у(р> (х) — производная порядка р в смысле теории об-
обобщенных функций. Введем обозначение
F(xi=f(x) + b1bll>-1)(x) + ...+ba_1b'{x) + bMx), B.3.8)
где
(к=1, 2,..., л). B.3.8')

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21~'
Таким образом, дифференциальное уравнение
(x) = F(x), F(x)~K+, 1^.3.9)
где оператор B.3.1) имеет постоянные коэффициенты,
справедливо в пространстве обобщенных функции. При
этом предполагается, что его решениями могут быть п
сингулярные обобщенные функции. Преимущество этого
уравнения состоит в том, что оно содержит начальные
условия задачи Коши и в формулировке данной задачи
участвуют обобщенные функции.
Уравнение в свертках, соответствующее дифференци-
дифференциальному уравнению B.3.9), имеет вид
p/_?L\» (y\ *7v (г) -F(r) C° 3 9'1
Элементарное решение уравнения B.3.9'), т. е. фунда-
фундаментальное решение дифференциального уравнения
B.3.9), является обратным элементом обобщенной функ-
функции P(d/dx)b(x) в алгебре со сверткой К/+. Предполо-
Предположим, что это решение определено. Обозначим его через
Е(х). Тогда с учетом формулы A.3.24) можно написать
у (х) = Е {х) * F (x) = E (x)
~Ь1Е1"-1)(х) + ... ->гЬа^Е'{х)-\-ЬпЕ(х\ x~R. B.3.10)
При помощи метода вариации постоянных с использо-
использованием формулы B.1.42) можно записать фундаменталь-
фундаментальное решение в виде
Е(х) = Цх)уп(х), B.3.'Л)
где ijn(x) —решение однородного уравнения
(*)=0> х>0' {2'ЗЛ2)
с начальными условиями вида B.1.44'). Тогда решение
B.3.10) принимает вид
у (х) = е(х) у„(х)* 9

218 ГЛАВА 2
B.3.10')
Таким образом, решение уравнения B.3.4) с начальными
условиями B.3.5) выражается в виде
. B.3.13)
При этом предполагается, что f(x) —локально интегри-
интегрируемая функция. В частности, решение однородного урав-
уравнения B.3.12) с краевыми условиями типа Коши B.3.5)
дается формулой
. B.3.14)
Рассмотрим, например, уравнение
у"(х)=0, а:>0, B.3.15)
с начальными условиями
\lmy(x) = y0, llmy'(x)=y'o. B.3.16)
х-^ + 0 Х-* + 0
Заметим, что а\ — й2 — 0 и Ь\=уо, Ь2=Уо'\ кроме того, функ-
функция у2(х)—х является решением однородного уравнения
B.3.15), удовлетворяющим условиям
у2{0)=0, У'2(О)=\. B.3.16')
Поэтому
, х>0. B.3.15')
Можно также написать
~у (х) - у'ъх+ + уо8 (х), x^R. B.3.15")

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
219-
2.3.1.2. Многоточечные задачи
Рассмотренная выше задача Коши является локальной
задачей, поскольку начальные условия были поставлены
в одной точке интервала (области), в котором определе-
определено уравнение.
Определение 2.3.2. Многоточечной задачей для диффе-
дифференциального уравнения B.3.2) называется задача оты-
отыскания функции у(х)^Сп[а, Ь], удовлетворяющей данно-
О а х, хг х{ хп
Фиг. 2.2.
Ь х
му уравнению и принимающей значения
У1 = У(Хх), У2=у{х2),---, Уп=У(*п) B.3.17)
в точках х\, х2, ..., хп^ (а, Ь).
Заметим, что если ХгФх^ [гф]) то пары (л:,-, yi)
(f=l, 2, ..., п) определяют п различных точек на плоско-
плоскости (фиг. 2.2). Следовательно, с геометрической точки
зрения многоточечная задача состоит в определении
функции, которая удовлетворяет данному дифференци-
дифференциальному уравнению и график которой проходит через
заданные п точек.
Заметим, что многоточечная задача может иметь
единственное решение, может не иметь решения, а также
может иметь бесконечное число решений.
Пусть у\(х), у2(х), ..., уп(х)—фундаментальная си-
система решений однородного дифференциального уравне-
уравнения B.3.12), соответствующего данному дифференциаль-
дифференциальному уравнению B.3.2), а уо(х)—частное решение по-

•220 ГЛАВА 2
следнего уравнения. Общее решение уравнения B.3.2)
записывается в виде
у( ( х), B.3.18)
тде С\, Си, ••• , Сп — произвольные постоянные величины.
Из условий B.3.17) получаем следующую систему линей-
лых уравнений:
yi—yQ{xl) = C1yl(Xi)-{-C2y2{xi)-{-.. ¦+Спуп{х]),
У2 — Уо Ы = С\У\ (-*2) + С2у2 {х2) + ¦ • • + Спуп {х2),
B.3.18')
Уп—У о {хп) = Ci ух (хп) + С2у2 {хп) + ... + Спуп (хп),
которая позволяет определить постоянные С\, С2, ..., С„.
Если определитель этой системы отличен от нуля, то мно-
многоточечная задача имеет единственное решение. Если оп-
определитель системы B.3.18') равен нулю, то либо реше-
решение задачи не единственно, либо многоточечная задача
не имеет решения.
Например, для уравнения
у"(х) = 0, х&[хи х2], B.3.15"')
¦с краевыми условиями
y{xi) = yi, У{х2)=уъ х{<Сх2, B.3.16")
функции ух (х) =х и уч{х) = 1 образуют фундаментальную
систему решений. Заметим, что уо(х)=0, поэтому соот-
соответствующая система линейных уравнений принимает вид
откуда получаем решение
у{х)= т~щ (x-Xi)-i-yu x~[xlt x2]. B.3.19)
Х2 — Xi
Определим функцию у{х) следующим образом:
У{х)=У(х) [6 (х — х1)—Ь(х~х2)] =
^1У(х)прпх-~[хих3],
{ 0 в остальных точках. ^

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 221
Применив формулу A.2.32) к соответствующей регуляр-
регулярной обобщенной функции и заметив при этом, что урав-
уравнение B.3.1 Ъ'") записано в обычном смысле, т. е. в виде
?(*)=<), B.3.20)
получим соответствующее уравнение в пространстве обоб-
обобщенных функций
У" {х)=у' (*i) 8 (х — xi) — у' (х2) Ъ{х — х2) +
Jry(x1)b'(x-x1)-y(x2)b'(x-x2), xsR. B.3.20')
Вычислим первообразные обобщенной функции у"{х).
Тогда с учетом двухточечных условий B.3.16") получим
после некоторых преобразований
\{x — x1) — y26{x — x2) =
Хп ~— Х\
~УЛЧх-хх)-Цх-х2)\, x^R. B.3.19")
Очевидно, что полученные два решения эквивалентны.
В механике наряду с задачами типа Коши часто
встречаются двухточечные задачи рассмотренного типа.
Отметим, например, задачи баллистики, в которых изве-
известно положение в начальный и конечный моменты време-
времени и нужно определить траекторию или угол запуска, за-
задачи теории колебаний, в которых известно начальное
положение, а также положение в некоторый момент вре-
времени и нужно определить частоту колебаний, и т. д.
Можно рассмотреть и другие краевые условия и сфор-
сформулировать смешанные задачи. Для дифференциального
уравнения порядка п B.3.2) можно зафиксировать зна-
значения функции в т<п точках и значения производной
первого порядка в остальных п—т точках, принадлежа-
принадлежащих интервалу (а, Ь):
j=m4-l, m + 2,..., л). B.3.21)

222 ГЛАВА 2
В некоторых точках интервала (а, Ь) можно зафиксиро-
зафиксировать значения и функции и некоторых ее производных.
При этом следует учитывать, что число краевых условий
должно равняться порядку рассматриваемого дифферен-
дифференциального уравнения.
2.3.2. Дифференциальные уравнения
в частных производных
2.3.2.1. Общие рассмотрения.
Фундаментальные решения
Для дифференциальных уравнений в частных произ-
производных можно ставить задачи, аналогичные задачам,
рассматриваемым в случае обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений. Кроме задач типа Коши, ставится
много других краевых задач. Можно, например, рассмат-
рассматривать условия на контуре (на границе области, внутри
которой справедливо данное уравнение), соответствую-
соответствующие многоточечным условиям для обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор
порядка m с переменными коэффициентами
Р(х, D) =
xi дх2 дхп
B.3.22)
где а*{хи х2,..., л;„)еС°°.
Используемое обозначение указывает на то, что опера-
оператор является полиномиальным с переменными коэффи-
коэффициентами. Для случая оператора с постоянными коэф-
коэффициентами будет использовано обозначение P(D).
Рассмотрим уравнение
Р(х, D) а (*) = /(*), f{x) ЕЕ К', x^Rn. B.3.23)
Определение 2.3.3. Назовем обобщенным решением
уравнения B.3.23) в области Qc=i?" любую обобщенную
функцию u(x)^K'(Rn), удовлетворяющую в рассматри-
рассматриваемой области этому уравнению в смысле теории обоб-
обобщенных функций.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 223
Таким образом, если обобщенная функция и(хь х2,
..., хп) является обобщенным решением уравнения
B.3.23), то для любой основной функции ф(хь х2, ..., хп),
для которой suppq>c=J2, можно написать
(Р(х, D)u(x), <?(x))
n. B.3.24)
Очевидно, что любое решение в обычном смысле урав-
уравнения B.3.23) является одновременно и обобщенным ре-
решением. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Например, если f(x)—непрерывная функция в области
Q, а и(х)^Ст(п)—решение уравнения B.3.33), то
и(х) является решением этого уравнения как в обычном
смысле, так и в смысле теории обобщенных функций (в
обобщенном смысле). Заметим, что аналогичный резуль-
результат был получен для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Действительно, в рассматриваемом случае производ-
производные максимального порядка т в обычном смысле и в
смысле теории обобщенных функций совпадают. Следо-
Следовательно, [Р(х, D) и(х)—f(x)] является непрерывной
функцией, равной нулю для любого x^u(Rn). В этом
случае Р(х, D)u(x)—/(*)= 0 и в обобщенном смысле,
поскольку для любой функции (f(x)^K(Q) можно на-
написать
Определение 2.3.4. Назовем фундаментальным реше-
решением линейного дифференциального оператора с постоян-
постоянными коэффициентами P(D) обобщенную функцию
Е(хи Х2, ..., xn)^K'(Rn), удовлетворяющую соотноше-
соотношению
P{D)E{xl, *2,..., хп) = Ь(хи х2,..., хп). B.3.25)
Заметим, что заданный оператор P(D) имеет беско-
бесконечно много фундаментальных решений. Действительно,
если ?o(a:i, X2, ..., хп) является решением уравнения
P(D)«(jc)=O, xzeR", B.3.25)
а Е+(х) является частным фундаментальным решением

224 ГЛАВА 2
неоднородного уравнения B.3.25), то обобщенная функ-
функция
(х) :2.3.27)
является фундаментальным решением, поскольку
P(D)E(x) = P(D)E0{x) + P(D)E+(x) = i(x). B.3.26')
Можно утверждать, что любой линейный дифферен-
дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами
P(D) имеет фундаментальное решение, поскольку урав-
уравнение B.3.25) всегда разрешимо. Для определения этого
решения часто пользуются преобразованиями Фурье или
Лапласа. Применив, например, преобразование Фурье
к уравнению B.3.25), получим
р( — isu —is2,..., — isn)F[E{x)]=l.
Отсюда следует
F[E(x)] = . '2.3.28)
В дальнейшем для получения обратного преобразования
Фурье важную роль сыграет разложение выражения
B.3.28) на простые дроби. Заметим, что
Теорема 2.3.1. Пусть обобщенная функция ?{х)<=
^K'(Rn) является фундаментальным решением '.диффе-
'.дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
P(D). Если обобщенная функция f(x)^K'(Rn) такова,
что свертка Е(х)* f(x) существует, то обобщенна.' функ-
функция
и{х) = Е{х)*/{х) B.3.29)
является решением линейного дифференциальное-: урав-
уравнения в частных производных с постоянными коэффи-
коэффициентами
P[D)u(x)=f{x),'f(x)E=K', xeeR". С-3.30)
Заметим, что понятие фундаментального решения
имеет смысл и для некоторых классов дифференциаль-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 225
ных уравнений с переменными коэффициентами, для ко-
которых можно сформулировать теорему, аналогичную
теореме 2.3.1.
2.3.2.2. Уравнения гиперболического типа
равнени
B.3.31)
Ниже будет рассмотрено следующее уравнение гипер-
гиперболического типа:
где Па — оператор Даламбера в RnX<R,
? =
а Д — оператор Лапласа,
? =Д—-—, B.3.32)
B-3-33)
Это уравнение называется волновым уравнением в Rn.
Найдем фундаментальное решение оператора B.3.32)
в частных случаях я=1, я=2 и «=3. Итак, при я=1
рассмотрим оператор
-*-__LJl B.3.34)
Э*2 fl2 Э<2 V ;
и будем искать решение дифференциального уравнения
d*E(x;t) 1 Э2?(^;р_ ,,.,,.., /о о о^
~~^i — -lir—b(x,t)~b(x)Xb(i). B.3.35)
Применив преобразование Фурье относительно перемен-
переменной х, получим
где а — комплексная переменная, соответствующая этому
преобразованию. Заметим, что в левой части появляется
оператор, фундаментальное решение которого выража-
1 Координаты Хи *2. —, хл считаются прямоугольными декарто-
декартовыми в Rn. — Прим. ред.
8^3677

226 ГЛАВА 2
ется формулой B.1.35). Таким образом,
Fx[E(x; t)]=-^^-sinaat, a, a>0.
Применив теперь обратное преобразование Фурье, полу-
получим фундаментальное решение
Е (х; t)= —|- 6 (/) 6 {at - \х\), а > 0, B.3.36)
где введена обобщенная функция, соответствующая ха-
характеристической функции интервала A.1.98). Можно
также написать
—— при | х | -(Cat />0, а>0,
?(*;/)= 2 F ^ ^ ^ B.3.36')
О в остальных точках.
Следовательно, Е(х\ t) является функцией двух перемен-
переменных, принимающей значение —а/2 во внутренности кону-
конуса, изображенного на фиг. 2.3, и равной нулю вне этого
конуса.
Используя первый пример из разд. 1.4.1.3, можно не-
непосредственно проверить, что B.3.36') является фунда-
фундаментальным решением, соответствующим дифференци-
дифференциальному уравнению B.3.35).
Применив теперь двойное преобразование Лапласа
относительно переменных х и t к уравнению B.3.35), по-
получим
p\Lt[Lx[E(x; t)])--L

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 227
где р\ —¦ комплексная переменная, соответствующая пере-
переменной х, а рг — комплексная переменная, соответст-
соответствующая переменной /. Отсюда следует
Lt[Lx\E(x; *)]] = f-т—
а-Р\ — Pi
= а I i | L_
2р\ \арх -f Р2 o-Pi — /
Применив обратное преобразование Лапласа относитель-
относительно переменной t, получим
Lx[E{x; t)]= - ~-(eap>1-е-°Р'<).
Отсюда обратное преобразование Лапласа относительно
переменной х вновь приводит к решению B.3.36).
Рассмотрим теперь уравнения
П,а(х, у, z- t) = f{x, у, z- t) (/=1, 2), B.3.37)
где Dj — оператор Даламбера,
г- —д 1 д2. а 1 о) о о oji\
l—i/ а~~ „ -,„ I'' L> ^)i {4.O.OI )
Ci — скорость распространения продольных волн (t=l)
или скорость распространения поперечных волн (t = 2),
a f(x, у, z; t) —заданная обобщенная функция. Предпо-
Предположим, что уравнение справедливо для всего простран-
пространства, причем на бесконечности обеспечена регулярность,
а начальные условия однородны (равны нулю при ?=0).
Используя преобразование Фурье относительно прост-
пространственных переменных и преобразование Лапласа от-
относительно времени t, получаем
где а, р, у и р — комплексные переменные, соответствую-
соответствующие пространственным переменным и времени t. Заме-
Заметим, что
8*

228 ГЛАВА 2
H-U 4 = %-
(/=1, 2). B.3.38)
Поэтому
U[Xt у, Z7 tj —
Г - — 1
1 I—\ I _J_ „ ci j, I г f 1 /-; _ 1 O\ [9 5 OQ\
где осуществлена свертка по пространственным перемен-
переменным.
Если
/{х, у, z; t)=-4n*{t)Xb{x, у, z), B.3.40)
где x(t) —обобщенная функция, то
и(х, у, г; t) = L~l — е °l *%(t) A = 1, 2), B.3.41)
где осуществлена свертка по переменной t. Таким обра-
образом, решение уравнения
П,и(х, у, г; t)+4xx(f)xb(x,y,z)=Q (i=\, 2) B.3.42)
дается формулой
и{х, у, z; f)=—-Jt——\ (t==l, 2), B.3.43)
где учтено, что
(t-—)]=e Ci (i=l, 2). B.3.44)
В частности, фундаментальное решение уравнений
B.3.37) записывается в виде
Е(х, у, z; /)=__!-. а//-А) (/=1, 2). B.3.45)

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 229
Рассмотрим теперь уравнение
? iD8«(.*, У, z; t)=/{x, у, z\ t), B.3.46)
где f(x, у, z; t) —заданная обобщенная функция. Как и
в предыдущем случае, используя интегральные преоб-
преобразования, получим
^ +
Отсюда следует
F[L[u(x, у, z\ f)]]=.
xF[L[f(x, y, z; /)]], B.3.47)
где использованы следующее разложение на простые
дроби:
1
р2 \ I р2
а2 + 02 + V2 4- -*— а2 + Р2 4- IV2 4- -^—
СГС2
и формула B.3.38). Поэтому
и {х, у, z; t) =
4я (c\ — 4)
\ B.3.4
J
Ц/]\ B.3.48)
J
где свертка осуществляется по пространственным пере-
переменным.
Если обобщенная функция f(x, у, z\ t) имеет вид
B.3.40), то
и{х, У, г; t) =

230 ГЛАВА 2
22 г / R R \ -i
= __fifL_?-i Г_1_ (<Г^-<ГР^1 „ W, B.3.49)
где свертка осуществляется по переменной /. Таким об-
образом, решение уравнения
Din2«(*, У, -г; /) + 4л5с(/)х8(дг, г/, z)=0 B.3.50)
имеет вид
и(лт, г/, г; f) =
где учтено, что
+ J
-А') =(/_ЛW/—?) (* = 1, 2). B.3.53)
Cj \ Cj \ Cj
В частности, фундаментальное решение уравнения
B.3.46) имеет вид
Е(х, у, z; t)= C\4 \(t-«-) -(t-Щ I B.3.54)
4л {c\ — c22) LI cij+ \ c2y+J
Рассмотрим для случая и==2 уравнения
П,и(х, у; t)=f(x, у; t) (i=l, 2), B.3.55)
-.I'ZiUix, у; t)=f(x, у, t), B.3.56)
где f(x, у; t) —заданная обобщенная функция. Как и в
предыдущем случае, учитывая, что
«2 + ^2 + JL-
B.3.57)
Re/;>0, r=Vx2 + y2, r,.>0 (i=l, 2),

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
231
где Ко — модифицированная функция Бесселя нулевого
порядка, получаем следующий интеграл уравнений
B.3.55):
где свертка осуществляется по пространственным пере-
переменным.
Введем обобщенную функцию, определяемую следую-
следующей функцией:
#2 —/-2
О
1
при t < — ,
(/ = 1, 2). B.3.59)
V4
При t> —
с
В этом случае уравнениям B.3.55) соответствуют сле-
следующие фундаментальные решения:
% у; t)=—±fo(t; j^ (/=1, 2). B.3.60)
Аналогично для уравнения B.3.56) можно написать
4К
2л (с\ — 4)
B'3-61)
где свертка осуществляется по пространственным пере-
переменным.
Введем теперь обобщенную функцию, определяемую
следующей функцией:

232 ГЛАВА 2
'A* iK'j^4'i)b
(/=1,2),
B.3.62)
Тогда фундаментальное решение, соответствующее урав-
уравнению B.3.56), можно записать в виде
Е{х, у. t)= ff \/Jf, -)-/-.(* -Ml B.3.63)
2л(с\ — c\) L \ ci I \ C2/J
2.3.2.3. Уравнения параболического типа
Ниже будет рассмотрено следующее уравнение пара-
параболического типа:
nau(xlt x2,..., xn; t)=0, B.3.64)
гдеЯо — оператор Николеску в пространстве RnXR,
Л=Д LJL. B.3.65)
—а a dt K
Если и(х; t) представляет собой перепад температу-
температуры, то коэффициент а характеризует температуропровод-
температуропроводность и имеет вид
а = —, B.3.66)
где с — теплоемкость, у — плотность, а % — коэффициент
теплопроводности. В этом случае параболическое урав-
уравнение является уравнением Фурье распространения тепла
в твердом теле при отсутствии источников тепла.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 233
Рассмотрим при п= 1 оператор
<?2 1 д
дх* a dt
и найдем решение дифференциального уравнения
д2"(х; О 1 ди(х\ t) _..
—~ (X)
B.3.67)
dt
— Ь(Х, t). (Z.J.
Применим преобразование Лапласа относительно пере-
переменной t и преобразование Фурье относительно перемен-
переменной х. Используя новые комплексные переменные р и а,
получаем
-a>L [F[u]]—?- L [F [аЦ=1 (а) X 1 (/>)= 1,
а
откуда
L[F[u]]= .
Применив теперь обратное преобразование Лапласа,
получим
F [и [х; t)} = — ab [t) e~ailH;
применив обратное преобразование Фурье, будем иметь
Е (х; t) = -Ш±Л. е~ ш. B.3.69)
Если в приведенном выше уравнении а<0, то оно но-
носит название обратного уравнения теплопроводности, а
если а — чисто мнимое число, то получается уравнение
Шредингера квантовой механики для материальной точки
(частицы), находящейся в поле консервативных сил.
В случае п = 2 фундаментальное решение имеет вид
Е[х, у- 1)=-Ш-еШ, B.3.70)
где г=У х2-\-у2, а для случая я=3 можно написать

234 ГЛАВА 2
Е(х, у, г; t)= ^Le ш, B.3.71)
8itt У nat
где R= +
2.3.2.4. Уравнения эллиптического типа
Рассмотрим уравнение Пуассона эллиптического типа
Аи to, х2,..., xj = f{xu x2,..., хн), B.3.72)
определенное на Rn, где f(xu х2, ..., хп) —фиксированная
обобщенная функция.
В случае п = 3 получаем уравнение
Mi{x, у, z) = f(x, у, z). B.3.73)
Рассмотрим также обобщенное уравнение Пуассона1')
LE{x, у, z)-k?E(x, у, г) = Ь(х, у, г) =
= 5(х)Х5((/)Х8(г), A=const, B.3.74)
где в правую часть введены обобщенные функции Дира-
Дирака. Применив преобразование Фурье относительно всех
трех переменных, получим
-(a* + V + y2)F[E(x, у, z)]-k*F[E(x, у, г)] = 1,
где а, р, у — новые комплексные переменные. Следова-
Следовательно,
F[E[x, у, z)]=~- -i .
Заметим, что
f11L -**, B.3.75)
где jR=Yx2-\-y2-\-z2. Поэтому фундаментальное реше-
решение уравнения B.3.74) имеет вид
Е(х, у, *)=_-L.e-«. B.3.76)
1 В отечественной литературе такое уравнение известно под на-
названием неоднородного уравнения Гельмгольца. — Прим. ред.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 235
В частном случае & = 0 получаем следующее фунда-
фундаментальное решение уравнения Пуассона B.3.73):
Е(х, у, г)= — . B.3.77)
Заменив k на —k, получим сопряженное фундамен-
фундаментальное решение уравнения B.3.74):
Ё (х, у, *) = _ -L в»л B.3.76')
Учитывая, что
ch kR=— (ekR+e-kR), B.3.78)
находим и следующее фундаментальное решение:
8(х, у, z)=--±-chkR. B.3.76")
С помощью соотношения
shkR= — (в»* —е-»*) B.3.78')
2 ^ '
получаем для однородного уравнения
Да (л:, г/, z)—#«(*, г/, z)=0 B.3.79)
следующий интеграл:
и(х, у, z) = — shkR. B.3.80)
R
Заменив k на ±ik, где i — мнимая единица, находим
комплексно сопряженные фундаментальные решения
ply и -7\ pikR С9ЧЯТ1
соответствующие уравнению
Ьи(х, у, г) + &и{х, у, z)=f(x, у, г), yfe = const, B.3.82)
где f(x, у, z) —заданная обобщенная функция.

236 ГЛАВА 2
Используя соотношение
cos kR = -j [elkR + e~ikR), B.3.83)
находим также фундаментальное решение
S (х, у, z) = - -L- cos kR. B.3.81")
Аналогично с помощью соотношения
smkR= — {eikR~e-ikR) B.3.83')
находим для однородного уравнения Гельмгольца
Аи (л:, г/, z)-f-?2a(;t, г/, z)=0 B.3.84)
следующий интеграл:
и[х, у, z) = ±-sinkR. B.3.85)
Рассмотрим теперь уравнение
ДДи(х, у, г) = /[х, у, z), B.3.86)
где f(x, у, г) —заданная обобщенная функция. Чтобы
найти соответствующее фундаментальное решение, ис-
используем соотношение
B.3.87)
где g(*, у, z)=g — бесконечно дифференцируемая функ-
функция, a h (х, у, z)=h — обобщенная функция. Пусть g —
фундаментальное решение уравнения Пуассона
^ bg=b{x, у, z).
Тогда
| д{РР) dg , д(ф) dg .
дд: дд: (?1У <3U/, дг дг

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 237
Заметим, что
Отсюда, учитывая, что
т(х, у, z)=0, B.3.89)
получаем
Таким образом,
и(±.^ = Ъ(х, у, г).
Итак, получено следующее фундаментальное решение
уравнения B.3.86):
Е{х, у, z)=-^-. B.3.90)
Для случая двух пространственных переменных с по-
помощью формулы A.4.36) можно получить для уравнения
Пуассона
Аи С*, У)=/(х, У), B.3.91)
где ffa у) —заданная обобщенная функция, следующее
фундаментальное решение:
Е(х, у) = - -И 1п — . B.3.92)
Заметим, что
где g(x, у) —бесконечно дифференцируемая функция, а
h{x, у) —обобщенная функция. Тогда можно написать
Гд(г2) dg . d(r2) dg \
[ дх дх "^ ду ду }'

238 ГЛАВА 2
где I
l i
g= In — , &g=b(x, y).
Заметим, что
-^=2,, ЛИ=4, ±-Ы±=-±. B.3.88')
Отсюда, учитывая, что
г*Ь(х, у)=0, B.3.89')
получаем
поэтому
\ 4 Г )
Таким образом, находим следующее фундаментальное
решение:
Е(х, у)-=—±-гЧп±, B.3.93)
8Л г
соответствующее уравнению
ДДя(;с, y)=f(x, у), B.3.94)
где f(x, у) —заданная обобщенная функция.
2.3.2.5. Задача Коши
Рассмотрим следующее линейное дифференциальное
уравнение в частных производных с постоянными коэф-
коэффициентами:
_?_; -L)u(xi t) = f[x\ I), f(x; t) e K' (/?"+1),
>", B.3.95)
для которого нужно найти решение и[х; t)^
Фундаментальное решение Е(х; t) соответствует опера-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 23Э
тору Р\д/дх; d/dt) и удовлетворяет уравнению
i
) E {x; t]=5 {х; °- B>3-96)
Рассмотрим теперь линейное дифференциальное урав-
уравнение в частных производных с постоянными коэффи-
коэффициентами
порядка т относительно переменной t.
Определение 2.3.5. Назовем задачей Коши для урав-
уравнения B.3.97) задачу, в которой нужно определить обоб-
обобщенную функцию и{х; ?)е/С' (#"+'), удовлетворяющую
этому уравнению, а также следующим начальным усло-
условиям (/ = 0):
и{х\ +О):=яо(*), ~
at
, B.3.98)
где м0(л;), Mi(x^), ..., wm_i(^) —некоторые заданные обоб-
обобщенные функции.
Определение 2.3.6. Назовем фундаментальным реше-
решением задачи Коши, соответствующей уравнению B.3.97),
обобщенную функцию Е(х; t), удовлетворяющую этому
уравнению и следующим начальным условиям:
Е(х; +0)=0, — Е(х; +0)=0,..., ^ Е(х, +0) =
=0, ?(.у; +0) = S (X). B.3.99)
Теорема 2.3.2. Пусть обобщенная функция Е(х; t)
такова, что свертка Е (х; t) * um_i (x) имеет смысл. Тогда
решение задачи Коши для уравнения B.3.97) с началь-
начальными условиями

B.3.100)
—I
имеет вид
и(х; t)=E(x; t)*um_x{x). B.3.101)
Действительно, можно написать
соотношение B.3.97), таким образом, выполнено. Далее
dt* v ' dt*
=-^E(x; t)*um^(x) (k=0, 1,..., m-1).
Отсюда, учитывая соотношения B.3.99), можно заметить,
что выполнены начальные условия B.3.100).
Последовательным применением описанного выше ме-
метода можно решить задачу Коши для уравнения B.3.97)
с начальными условиями B.3.98). Заметим, что, вообще
говоря, можно выбрать начальный момент t^to^O, при
этом задача существенно не меняется.
Для решения задачи Коши рассмотрим функцию
и(х; t)=B(t)u(x-, t), B.3.102)
а также соответствующую регулярную обобщенную функ-
функцию. Учитывая формулу A.2.32), связывающую произ-
производную в смысле теории обобщенных функций с произ-
производной в обычном смысле и используя начальные усло-
условия B.3.98), получаем
~Ъ{х; t) = ±-a{X; t) + uo(x)b(t),

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 241
B.3.103)
dtm ~ dtm ' m~1
+ пт_2 (х) ъ№+...+Щ (х) Ь(т~2) (t) + й0 (л) 8(т-! > @.
Заметим, что производные в обычном смысле по t функ-
функции п(х; /) равны соответствующим производным функ-
функции и(х; t) при ?>0. Поэтому уравнение B.3.97) прини-
принимает вид
0, B.3.104)
где g(x; t) —заданная обобщенная функция, включаю-
включающая начальные условия. В этом случае назовем фунда-
фундаментальным решением уравнения B.3.104) обобщенную
функцию Е(х; t), удовлетворяющую уравнению
Тогда решение задачи Коши принимает вид
п{х, t)=E{x; t)*g{x; t), B.3.106)
где свертка осуществляется по всем п+1 переменным.
Этот способ определения фундаментального решения в
случае задачи Коши является, очевидно, эквивалентным
описанному выше.
Рассмотрим, например, следующее уравнение гипер-
гиперболического типа:
**l*Jl-±*!L<*LD=fixi t) B.3.107)
с начальными условиями
и(х; +0) = и0{х),-?-и{х; +0)=ul(x), B.3.108)
01
где f(x; t) —непрерывная при t^0 функция, а ио{х
С'(/?), tii(x)^C°(R). Введем следующие функции:

242 ГЛАВА 2 /
п{х; t)=e{t)u{x; t), I
B.3.109)
f(x; t) = B(t)f(x; t). I
Тогда уравнение B.3.107) записывается в виде
Ш(х;П_±^а{Х;()=у ?.3.107')
0x2 Д2 дB J K ;> ^
где производные вычисляются в обычном смысле. На-
Начальные условия B.3.108) принимают вид
п(х; +О) = Ио(*),-?-й(.к; +0) = щ(х), 12.3.108')
от
где скачки функций п(х; t) и Ъ/д^п(х; t) вычисляются
в начальный момент / = 0. Таким образом, можно на-
написать
д2 — ~А2 —
-—u(x;t) = -?-u(x; t) + Ul (x) S (/) + «0 (х) 8 (t). B.3.110)
Из условий, которым удовлетворяют функции щ(х) и
щ(х), следует, что произведения uo[x)b(t), uo{x)h(t) и
Ui(xN(t) имеют смысл. Подставим в уравнение B.3.107')
полученные выражения для производных. Тогда уравне-
уравнение B.3.107) примет следующий вид:
дЪ1(х; О ] д^п(х; t) _
= f(x; t) l-[ul(x)b(t) + uQ(x)b(t)]. B.3.107')
Д2
Это уравнение содержит начальные условия поставлен-
поставленной задачи Коши.
Если ио(х), щ{х)€вК' (R), то уравнение B.3.107") при-
принимает вид
~\ux (х) X 8 @+«0(х) х 8 (/)], B.3.107'")

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 243
где введено прямое произведение двух обобщенных функ-
функций. Таким образом, решение задачи Коши в обобщен-
обобщенных функциях будет решением уравнения B.3.107'").
Замепгим теперь, что фундаментальное решение, соот-
соответствующее оператору B.3.34), дается соотношением
B.3.36). Поэтому решение уравнения B.3.107'") можно
записать в виде
п(х; t)=—^6(tN(at- | х | )*\j{x\ t)-
*)x8(*) \-uQ(x)xi(t)], а>0. B.3.111)
a" J
a1
Если g(x)(^K'{Rn), a h{x; t)^K'{Rn+l), то можно по-
показать, что
= ^-h(x; t)*g(x) (k = 0, 1, 2,...) B.3.112)
dtk
при supp/z(jc; t)cz {x2 — >]
Таким образом, решение B.3.111) принимает вид
и(х; t)=-±e(at- \x\)*/{x;
la
+ 6{at— | x | )*«i (л)], a>0, *>0. B.3.111')
Если /(x; 0^C°, «oMeC1 и Hi(x)eC°, то решение
задачи Коши, соответствующей уравнению B.3.107), оп-
определяется следующей формулой Даламбера:
t x+a[t-t)
a{x;t)=—2-j f
6
X—0<

244 ГЛАВА 2
2.3.2.6. Одна ассоциированная задача (
Между фундаментальным решением оператора
Р{д/дх; d/dt) и фундаментальным решением задали Коши
для некоторых классов дифференциальных уравнений в
частных производных существует тесная связь. Рассмот-
Рассмотрим, например, следующее уравнение первого порядка
относительно переменной t:
= 0, XEER". B.3.113)
Теорема 2.3.3. Пусть E(x; t) —фундаментальное реше-
решение задачи Коши для уравнения B.3.113); тогда следую-
следующая обобщенная функция:
° .яра;<°h"fl?"-" B-зл14)
[х; t) при t^Oj
также является фундаментальным решением этого урав-
уравнения.
Действительно, можно написать
dE{x;t)--P(—)E{x; 0 = 0, />0, B.3.115)
dt \дх
Е{х; 0) = Ь[х). B.3.115')
Применив преобразование Фурье относительно прост-
пространственных переменных, получаем
dE{a;t)
dt
Е(а; 0)=1,
где а= (аь аг, ..., ап) —новые комплексные переменные.
Но Е(х; t) =E{x; t) при i^zO, поэтому
P{-ia)E{a; 0 = 0,
dt
Ъ(а; 0)=1,
где дифференцирование по времени проводится в обыч-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245
ном смысле. Заметим, что это уравнение справедливо и
при *<0. Далее, поскольку Е (а; 0)—скачок Ё(а; t) в
момент t=0, то между производной в обычном смысле и
производной в смысле теории обобщенных функций спра-
справедливо соотношение
-!-? (a;
Следовательно,
— Ё{а; f) — P( — ia)E(a; t) =
dt
Применив преобразование Фурье по времени, получим
-1рЁ{а; p)-P{-ia)E{a; />) = 1,
где р — новая комплексная переменная. Заметим теперь,
что это не что иное, как преобразование Фурье относи-
относительно всех переменных уравнения
дЕ(х; t)
dt \ дх
-)E(x; t) = b(x; t). B.3.116)
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотрим, в частности, уравнение теплопроводности
. B.3.117)
Соответствующая задача Коши состоит в отыскании об-
обобщенной функции и(х; t), удовлетворяющей этому
уравнению, а также начальному условию
и(х; О)=ио(х), B.3.118)
где ио(х) —заданная обобщенная функция. Фундамен-
Фундаментальное решение дано формулой B.3.69). Согласно тео-
теореме 2.3.3, фундаментальное решение задачи Коши да-
дается следующей формулой:
Е(х; f) = 1-==е ш, />0. B.3.119)

246 ГЛАВА 2
Таким образом, это решение удовлетворяет уравнению
B.3.120)
и начальному условию
Е(х; 0) = Ь(х). B.3.120')
Следовательно, если считать переменную t параметром,
то Е(х; t) образует дельтообразную последовательность.
Действительно, используя интеграл Пуассона A.3.31),
нетрудно проверить справедливость соотношения
Е[х; t)dx=\.
Решение задачи Коши для уравнения B.3.117) с на-
начальным условием B.3.118) дается формулой
и(х; t) = E{x\ t)*uQ(x), tyO. B.3.121)
Если ио{х)—обобщенная функция с компактным носи-
носителем, то свертка имеет смысл. Аналогично, если ио(х) —
ограниченная или интегрируемая функция на R, то
оо
u(x; f)= f Е{х-\; t)u{\)d\t />0.
Можно сформулировать аналог теоремы 2.3.3 в слу-
случае, когда появляются производные высших порядков по
времени. Проиллюстрируем вышеизложенное на волно-
волновом уравнении B.3.31) в Rn. Фундаментальное решение
Е{х; t) задачи Коши, соответствующей этому уравнению,
удовлетворяет соотношениям
ПаЕ{х; t) = 0, t>0, B.3.122)
Е(х; 0) = 0, —Е(х; 0) = 8(jc). B.3.122')
dt
Теорема 2.3.4. Пусть Е(х, t) —фундаментальное реше-
решение задачи Коши для уравнения B.3.31). Тогда сущест-

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 247
вует фундаментальное решение вида B.3.114), удовлет-
удовлетворяющее уравнению
\ ?) = Ъ{х\ t). B.3.123)
Применим преобразование Фурье по пространствен-
пространственным переменным к соотношениям B.3.122). Тогда
Е{а; 0) = 0, dg(ct; 0) =1,
dt
где a2 = ai2 + a22+ ¦¦• +а„2. С учетом соотношения B.3.114)
получаем уравнение, справедливое при t>0 и 0
•>Ъ i i\ i ! d^E(a;t) n
azb (a; /)-4 ' =0,
где дифференцирование проводится в обычном смысле.
Имеем также
Е(а; 0) = 0, ^-^(«; 0)=1,
поэтому можно написать следующие соотношения между
производными в обычном смысле и производными в смы-
смысле теории обобщенных функций
dE(a; t) _ dW(a; t)
dt ~~ dt '
g; t) = Ш{а; t) .
V dt'i "*~ U>
Таким образом, выполняется соотношение
откуда, применяя преобразование Фурье относительно
времени, получаем

248 ГЛАВА 2
{-ipfE{a;
Мы пришли, таким образом, к преобразованию Фурье
уравнения B.3.123), и, следовательно, теорема доказана.
Обобщенная функция
и(х; t)=E{x\ ?)*щ[х), x<=R\ />0, B.3.124)
является, таким образом, решением задачи Коши для
уравнения B.3.31) с начальными условиями
и{х; 0)=0, — и{х; 0) = щ{х), B.3.125)
dt
где Ui{x)—заданная обобщенная функция, а свертка
проводится по пространственной переменной х (время t
рассматривается как параметр).
В частности, при п=\ получаем уравнение колебания
струны
(Ogfr(L0 B.3.126)
a0t x(R
dt2 (be2
Фундаментальное решение этого уравнения дается фор-
формулой
Ё(х; f) = -±-B(t)B(at- \x \ ). B.3.127)
Следовательно, согласно доказанной теореме, фундамен-
фундаментальное решение задачи Коши имеет вид
при I х I •<] at,
E{x,t)= la V ^ ;>0. B.3.127')
О при | x | ^>at,
Следовательно, решение уравнения B.3.126) с началь-
начальными условиями B.3.125) дается сверткой
и{х; t) = ~b{at— | х \ )*и1{х), t>0. B.3.128)
2а
Поскольку Е(х; t) является обобщенной функцией с
компактным носителем, то эта свертка имеет смысл для

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 249
любой обобщенной функции щ(х). Если щ(х)—непре-
щ(х)—непрерывная функция, то можно написать:
x+at
щ.{х — \)й\. B.3.129)
x-at
Рассмотрим задачу Коши с начальными условиями
B.3.108). Уравнение
Li l а* =(J, tj>v, (z.o.loOj
с начальными условиями
v^x; 0)=0,-jrv1{x; O) = uo(x) B.3.130')
имеет, согласно полученному результату, следующее ре-
решение:
x+at
j «ft)^ B.3.131)
Дифференцируя это уравнение по t, находим
й^ L ^ J ^4 л J
Следовательно, производная v<i,{x\ t)=dv\{x; ^/^удов-
^/^удовлетворяет уравнению колебания струны и условию
v2(x; O)=«oW-
Применив формулу дифференцирования по параметру
ЦП НП
a(t) a(t)
B-3.132)
в предположении, что щ(х)^С1, получаем
t) [u(x\

250 ГЛАВА 2
— V2[x; 0 = 0. B.3.131')
Суперпозиция решения v2{x; t) и решения B.3.129) при-
приводит вновь к формуле Даламбера B.3.111"), соответ-
соответствующей задаче Коши с начальными условиями
B.3.108).
2.3.3. Функции Грина. Обобщенные функции Грина
2.3.3.1. Общие результаты
Решение многочисленных задач математической фи-
физики тесно связано с построением так называемых функ-
функций Грина, с помощью которых решение краевых задач
можно найти непосредственно квадратурами. Заметим,
что функцию Грина можно получить, используя фунда-
фундаментальное решение в смысле теории обобщенных функ-
функций. Если фундаментальное решение является обобщен-
обобщенной функцией, то соответствующая функция Грина будет
обобщенной функцией.
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное
уравнение вида B.1.29) с постоянными коэффициентами,
где f{x) —функция, интегрируемая на интервале [0, оо).
Частное фундаментальное решение удовлетворяет
уравнению B.1.30) Произведем сдвиг начала координат
в точку |. Тогда соответствующая обобщенная функция
будет удовлетворять уравнению
-Q х, ge/?. B.3.133)
Таким образом получили обобщенную функцию Грина
для уравнения B.1.29) с постоянными коэффициентами:
. B.3.134)
Предположим, что эта обобщенная функция Грина
определена. Тогда решение уравнения B.1.29) выража-
выражается в виде B.1.31), т. е.
\ {G+{x; \)f{\)d\. B.3.135)

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251
Итак, частное решение неоднородного уравнения
B.1.29) получено. Прибавляя к этому решению общее
решение соответствующего однородного уравнения, полу-
получаем общее решение уравнений B.1.29). Аналогичный
метод был использован в разд. 2.1.1.4.
Упомянутая выше обобщенная функция Грина была
определена с помощью частного фундаментального реше-
решения уравнения B.1.31). Можно, однако, определить об-
обобщенную функцию Грина для уравнения B.1.29) и дру-
другим путем. Эта функция должна являться также реше-
решением уравнения
){X; ?) = 8(*-*)• Х'Ь^Ъ B.3.133')
и включать в себя частную обобщенную функцию Грина,
соответствующую уравнению B.3.133). Более того, обоб-
обобщенная функция Грина G+(x; |) является сингулярной
частью обобщенной функции Грина G (х; ?). Вторая, не-
несингулярная, часть этой обобщенной функции является
общим решением однородного уравнения B.1.32). Пусть
Ео(х)—общее решение уравнения B.1.32). Тогда обоб-
обобщенная функция Грина выражается соотношением
G{x;i) = E0(x) + O+[{x;t). B.3.136)
Очевидно, что сингулярная часть G+(x; |) является
существенной частью обобщенной функции Грина
G (x;g).
2.3.3.2. Применения
Рассмотрим уравнение
уЫ(х) = /(х), B.3.137)
где f(x) — регулярная обобщенная функция. Заметим,
что частное фундаментальное решение имеет вид B.1.34),
поэтому частная обобщенная функция Грина определяет-
определяется соотношением
G+{x,\)=j~^{x-l)n-\x^%. B.3.138)

252 ГЛАВА 2
Она является решением уравнения
г/(") (х)=8 (х-0, ¦*>?, B.3.139)
где | — параметр.
Решение исходной задачи записывается в виде
(«-1I
. B.3.140)
Оно соответствует однородным начальным условиям
типа Коши
0(*>(О)=О (Л=0, 1, 2,..., я-1). B.3.141)
Можно также написать
Тогда решение B.3.140) принимает вид
х^Я- B.3-140')
В случае неоднородных начальных условий Коши
B.3.141')
решение задачи дается формулой
У \<Л.) l/y} ( & L" I i/ ?. q.
I. B.3.142)
б
Можно также написать
(«-1I

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253
B.3.142')
Аналогично можно рассмотреть и дифференциальные
уравнения в частных производных. Например, в случае
обобщенного уравнения Пуассона B.3.74) обобщенная
функция Грина дается формулой
О(х, у, z\ \, л, С) = ^-е-*Р, B.3.143)
где
/" 11J + B-СJ. B.3.144)
В частности, при k = 0 получается обобщенная функция
Грина для уравнения Пуассона B.3.73):
G(x, у, z- I л, С) =—-^- • B.3.145)
4яр
Предположим теперь, что f(x, у, z) —функция, интег-
интегрируемая в R3. Тогда можно написать
и[х, у, z) =
оо оо оо
= j J j G(x, г/, г; ?, л, С)/(?, Л, С)^лЛ. B.3.146)
— оо —оо —оо
Предположим, что уравнения B.3.73) и B.3.74) рас-
рассматриваются в пространстве обобщенных функций, а
f{x, у, г)—обобщенная функция с компактным носите-
носителем. Тогда решение этих уравнений записывается в виде
и{х, у, z) = E{x, у, z)*f{x, у, z), B.3.147)
где Е(х, у, z) —обобщенная функция, определяемая со-
соотношениями B.3.76) или B.3.77) соответственно, а
свертка рассматривается в пространстве обобщенных
функций.
Отметим, что сдвиг
О{х, у, z; 6, r\, q = E{x-l, у-Ц, я-С) B.3.148)
позволяет получить обобщенную функцию Грина из фун-
фундаментального решения в смысле теории обобщенных
функций.

ГЛАВА 3
Представление некоторых
механических и физических величин
обобщенными функциями
3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ВЕКТОРОВ
ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Связанный вектор является математическим объек-
объектом, который характеризуется направлением, величиной
(модулем) и точкой приложения. Связанный вектор
представляется в пространстве Е3 направленным отрез-
отрезком. Приложенный в точке связанный вектор может
быть представлен через некоторую сингулярную обоб-
обобщенную функцию, в частности через обобщенную функ-
функцию Дирака.
3.1.1. Представление связанного вектора
3.1.1.1. Частный случай
На отрезке [—а, а], а>0, рассматривается векторное
поле Уц(х), перпендикулярное оси Ох и направленное в
положительном направлении оси Оу. В предположении,
что на этом отрезке рассматриваемые векторы имеют
величину Р/2а (фиг. 3.1, а) и распределены равномерно,
можно написать
р
— при хе [ — а, а],
Va(x) =
О при хф[ — а, а].
C.1.1)
Используя дельтообразную последовательность, образо-
образованную функциями ha(x), определяемыми формулой
A.2.91), можно представить величину рассматриваемого

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
255
векторного поля следующим образом:
Va{x)=Pha{x). C.1.1')
Заметим, что при а-^+0 длина отрезка [—а, а] стремит-
стремится к нулю, а величина Р/2а стремится к бесконечности.
IThiTi
А,(-а,о) О
a
x
Фиг. 3.1.
P\
0 A(x0,o) x
б
Рассматривая предел векторного поля при a-v + О в
смысле теории обобщенных функций, получаем
V{x)=
C.1.2)
Это и есть математическое представление величины свя-
связанного вектора, который направлен в положительном
направлении оси Оу перпендикулярно оси Ох и прило-
приложен в начале координат. Величина равнодействующей
рассматриваемого векторного поля есть Р. В векторном
виде можно написать
Q(x) = V(x)j = Pii[x), C.1.2')
где j—-орт оси Оу. Таким образом, Q(x) представляет
собой векторное поле, эквивалентное связанному векто-
вектору Р], приложенному в начале координат. Векторное
поле Q(x) можно рассматривать как линейную плотность
связанного вектора Р). Если вектор Pj приложен в точ-
точке Л с абсциссой х0 (фиг. 3.1, б), то эквивалентное век-
векторное поле, полученное из C.1.2') сдвигом, будет сле-
следующим:
Q(x) = P}i(x-x0). C.1.3)

256
ГЛАВА 3
Заметим, что функция ha(x) играет вспомогательную
роль. Вместо нее можно рассматривать другую дельто-
дельтообразную последовательность. В частности, можно рас-
рассматривать векторное поле Va(x), которое направлено
вдоль положительного направления оси Оу перпендику-
перпендикулярно оси Ох и определяется по формуле (фиг. 3.2)
't
л
А,(-а, о) 0 Аг{а,о) х
Фиг. 3.2.
(-±Л при
а \ а I
О
при х(В [ — а, 0],
= [0, с], Р>0,
при \ х \ >с.
Это поле распределено в равнобедренном треугольнике
площадью Р.
Используя формулу A.2.115) при п=1/а, можно за-
заметить, что функции
а
+—) при jce[-fl, о],
а I
L/i_JL) при*е[0,в],
а \ а I
При | х | >а

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 257
образуют дельтообразную последовательность, такую,
что
Пт ga(x)=t(x). C.1.5')
а-*+0
Величина рассматриваемого векторного поля C.1.4)
представляется следующим образом:
Va(x) = Pga(x). C,1.4')
При a-v+О получаем
V [х)= lim Va (x) = P\lm ga [х)=РЬ (х), C.1.6)
что совпадает с представлением C.1.2) или C.1.2').
3.1.1.2. Общий случай
Рассмотрим в ортогональной системе координат Oxyz
связанный вектор V(VX, Vv, Vz), приложенный в точке
О. Пусть Q8 — замкнутая область, содержащая точку О,
такая, что при е-»- + 0 она стремится к точке О. На этой
области определим векторное поле Qe(x, у, г), имеющее
составляющие VxfB(x,y,z), Vyge{x,y,z), Vzhe(x,y,z),
при условии, что fe, ge и he являются дельтообразными
последовательностями, т. е.
Ит/,(х, у, z) = limgB{x, у, г) =
= lim he [х, у, z) = 8 {х, у, z). C.1.7)
е-»+0
Переходя к пределу в смысле теории обобщенных функ-
функций, получим векторное поле, эквивалентное связанно-
связанному вектору V:
Q(r)=Q(j:, у, z) = HmQ.(;ef у, г)=
+0
= Vxll(x, у, z) + Vgji(x> У, z) + Vxkl(x, у, z) =
= \Ь(х, у, z)=V8(r), C.1.8)
где i, j, k —орты осей координат, а г —радиус-вектор
точки {х, у, г). Векторное поле Q(r) можно рассматри-
рассматривать как объемную плотность связанного вектора V. Ес-
9—3677

258 глава з
ли связанный вектор V приложен в точке А с радиусом-
вектором го(хо, г/о, z0), то эквивалентное векторное поле
имеет вид
Q(r) = V8(x-x0, y-yOt z-zo) = \b(r-ro). C.1.9)
Для представления связанного вектора V может быть
использована произвольная дельтообразная последова-
последовательность, так как на окончательный результат влияет
не конкретная форма этой последовательности, а ее свой-
свойства. Пусть дана функция
при г <^
/.(*, У, г) =
4яе3 C.1.10)
0 при г^>е,
Носителем этой функции является шар Qs радиуса г=е
с центром в начале координат. Функции /е(х, у, z) обра-
образуют дельтообразную последовательность, такую, что
lim/s(x, у, z) = b{x, у, г). C.1.11)
Е- + 0
Действительно, для произвольной основной функции
, у, г) ^K(R3) можно написать
(f,(x, у, z), <f{x, у, г)) = ^/г{х, у, z)<?{x, у, z)dQ =
=-?- Гср(лг, у, 2)rfQ=9(E, Ч, С), F, Ч, С)е2е,
4ле3 J
s
где использована теорема о среднем для тройного ин-
интеграла. Таким образом, получается
lim (/.(*, у, z), у(х, у, 2)) = (lim/,(x, у, z),<f{x, у, z)) =
Е + 0 ?^+0
= 9@, 0, 0) = (8(х, у, z), 9{х, у, г)),
что и доказывает справедливость соотношения C.1.11).
Рассмотрим поле параллельных векторов
О,(х, у, z) = \f.{x, У, z), C.1.12)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 259
определенное на шаре Qs радиуса е и с центром в начале
координат. Переходя к пределу в смысле теории обоб-
обобщенных функций, получим
Q(r)=Q(;e, у, z) = limQ.(.*, у, z) =
е-^ + 0
= Vlim/.(JC, у, г) = \Ь[х, у, z) = V8(r). C.1.13)
Для доказательства справедливости этого представ-
представления вычислим торсор') в точке О рассматриваемого
векторного поля. Имеем равнодействующую
R?= JQErf2= f \fedQ = V f /,rf9, C.1.14)
a, 9, ae
откуда при е->"+0 получаем
R = V. C.1.15)
Результирующий момент имеет значение
xQflf2
4яе3
где учтено, что
J
в„ в,
^0, C.1.15')
JrrfQ=O, C.1.16)
9s
так как этот интеграл определяет статический момент
однородного шара Qs относительно его центра. Очевид-
Очевидно, что М0 = 0 и представление C.1.13) оправдано с точ-
точки зрения механики.
Заметим, что можно использовать любую другую
дельтообразную последовательность fE, предполагая, что
она зависит только от е при \г\
1 В отечественной литературе торсор, т. е. совокупность вектора
и момента (Q, М), отнесенную к некоторой точке О, называют мото-
мотором. Мотор у которого момент М коллинеарен вектору Q, называется
винтом. (См. Диментберг Ф. М., Винтовое исчисление, изд-во
«Наука», М., 1965. — Прим. ред.).
9*

260 ГЛАВА 3
3.1.2. Сложение связанных векторов
Пусть Vi, V2, ..., Vn — система связанных векторов,
приложенных в точке А(хо, уо, z0) (фиг. 3.3). Эквива-
Эквивалентные векторные поля имеют вид
Ог(г) = Уг5(г-г0), /=1,2 п. C.1.17)
Если ввести равнодействующий приложенный в той же
точке А вектор по формуле
,, C.1.18)
для эквивалентного векторного поля будем иметь выра-
выражение
2/(r)=R8(r~ro)- (ЗЛЛ9)
Таким образом, свойства связанных векторов, приложен-
приложенных в одной и той же точке, сохраняются и в их пред-
представлениях через обобщенные функции.
Когда точки приложения связанных векторов различ-
различны, об их сложении говорить нельзя. Однако в некото-
некоторых случаях можно привести представления через обоб-
обобщенные функции системы из двух связанных векторов.
Для системы /г>2 векторов, приложенных в различных
точках, можно попробовать сложить их, если они парал-

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 261
лельны. В противном случае можно разложить каждый
вектор по трем направлениям и получить три системы,
каждая из которых содержит п параллельных векторов
(векторные компоненты рассматриваемых векторов).
Связанные векторы, представленные таким образом,
могут быть сосредоточенными силами, импульсами и др.
3.1.2.1. Одинаково направленные
параллельные векторы
Рассмотрим, например, два параллельных и равных
между собой связанных вектора (Vi = V2 = V в смысле
свободных векторов), приложенных в точках А\(—а, 0)
и Л2(а, 0), а>0 (фиг. 3.4, а). Этим двум векторам соот-
соответствуют эквивалентные векторные поля
"* , П
-Л ---
\(Ъ,Ь) Аг(а,Ь)
Х- I /._. з i -^
А,(-яЛ) 0 Аг(а,п) х Ох
а б
Фиг. 3.4.
QiC*. y) = Vib{x-\-a, у)=\ь(х-\-а, у),
C.1.20)
Q2(jc, у)=\2Ъ(х—а, у) = \Ъ(х — а, у).
Эквивалентное векторное поле Q(a:, у) системы заданных
связанных векторов имеет вид
Q(-K. y)=Q\[x, y)-{-Qi(x, У) = \[Ь(х-{-а, у)-\-Ь{х — а,у)\
или с учетом формулы A.2.76) получаем
Q(jc, у)=2а\Цх*-а>, у), а>0. C.1.21)
Соотношение C.1.21) может быть принято за прави-
правило сложения двух эквиполентных (равных в смысле сво-

262
ГЛАВА 3
бодных векторов) связанных векторов на плоскости Оху,
приложенных на оси Ох. То, что рассматривается плос-
плоскость Оху и что точки приложения находятся на оси Ох,
не существенно. Например, если рассматривается прямая
у=Ь, параллельная оси Ох, получается эквивалентное
векторное поле
Q(x, у)=2а\Ъ(х2-а?, у-Ь),
C.1.21')
А, (а,-6)
Фиг. 3.5.
соответствующее эквивалентным связанным векторам Vi
и V2 (равным V в смысле свободных векторов), прило-
приложенным в точках Л](—а, Ь), А2(а, Ь), а>0 (фиг. 3.4, б).
Заметим, что представления, полученные выше, спра-
справедливы только для случая двух связанных векторов;
для двух скользящих векторов получается равнодейст-
равнодействующая, равная 2V, приложенная в точке @, 0) или в
точке @, Ь).
Пусть Vi, V2, V3, V4 — система четырех эквиполент-
ных связанных векторов (равных V в смысле свободных
векторов), находящихся в плоскости Оху и приложен-
приложенных в точках Л] (—а, Ь), Ач{а, Ь), А%{а, —Ь), Л4 (—а,
—b), a, b>0 (фиг. 3.5).

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 263
Эквивалентное векторное поле имеет вид
Q(x, y) = \[Hx+a, у-Ь)+Ъ{х — а, у-Ь) +
+Цх-а, у + Ь) + Ъ(х+а, у + Ь)].
С помощью соотношения A.2.77) получается следующая
формула сложения:
Q{x, у) = Ш\Ъ{х*-а*, У2-Ь2), а, 6>0. C.1.22)
3.1.2.2. Противоположно направленные
параллельные векторы
Рассмотрим два противоположно направленных свя-
связанных вектора Vi, V2, равных по величине (Vx = —V,
V2=V в смысле свободных векторов) и приложенных в
точках Аг(—а, Ь) и А2(а, Ь), а>0 (фиг. 3.6). Эквива-
_-/ I
Фиг. 3.6.
лентное векторное поле имеет вид
<Х(х, у) = \[-Ь(х-\-а, у-Ь) + Ъ[х-а, у-Ь)].
С помощью соотношения A.2.79') можно написать
Q{x, y) = 2aVb{x*-a2, y-b), a>0. C.1.23)
Это и есть формула сложения двух параллельных, проти-
противоположно направленных и равных по величине связан-
связанных векторов.
Полученное представление теряет смысл в случае
двух скользящих векторов; эта система векторов обра-
образует пару, которой соответствует свободный вектор.

264 ГЛАВА 3
3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК
И НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК
ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Сосредоточенные нагрузки математически могут
быть смоделированы с помощью связанных векторов.
Принимая во внимание изложенное в разд. 3.1.1, можно
представить нагрузку, эквивалентную сосредоточенной
силе F, приложенной (фиг. 3.7) в некоторой точке А с
А(х„,!/в,2в)
Фиг. 3.7.
радиусом-вектором то(хо, у0, го), следующим образом:
Q(r) = F8(r-r0). C.2.1)
Носителем эквивалентной нагрузки Q(r) является точка
А. С помощью этого представления можно получить ма-
математические выражения и для других сосредоточенных
нагрузок (механических величин с точечными носите-
носителями).
Для представления непрерывно распределенных на-
нагрузок можно использовать формулу C.2.1) и получить
результаты, свойственные этому случаю нагружения.
С помощью формулы C.2.1) можно получить и пред-
представление периодических сосредоточенных сил. Рассмот-
Рассмотрим, например, периодическую сосредоточенную силу
величиной |F| с периодом Т, приложенную в точках
х=пТ, n<=Z. Нагрузка, эквивалентная силе, приложен-
приложенной в начале координат, имеет вид
. C.2.1')

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 265
Для коэффициентов разложения C.2.Г) в ряд Фурье
имеем выражения
с„(/) = — (F8(a;), e+i"mJf) = —F, nsZ. C.2.2)
т т
Следовательно, периодическая обобщенная функция, со-
соответствующая сосредоточенной силе C.2.1'), имеет вид
C.2.2')
или
оо
[Х)= > го (X — П1 J, П t= -<^. [O.Z.Z )
3.2.1. Сосредоточенные моменты
3.2.1.1. Направленный сосредоточенный момент1^
В механике абсолютно твердого тела сосредоточен-
сосредоточенные силы моделируются скользящими векторами, а мо-
моменты представляются свободными векторами. В меха-
механике сплошных сред сосредоточенные силы моделируют-
моделируются связанными векторами и, таким образом, каждая
пара сил зависит от точек приложения составляющих ее
сосредоточенных сил. Мы будем рассматривать направ-
направленный сосредоточенный момент как сосредоточенную
нагрузку, полученную предельным переходом из систе-
системы двух сосредоточенных сил.
Пусть А— фиксированная точка с радиусом-векто-
радиусом-вектором го(хо, уо, Zo), а В — подвижная точка с радиусом-
вектором р(|, т), ?)• Точки А и В расположены так, что
орт и вектора АВ постоянный (фиг. 3.8, а). В точках А
и В действуют соответственно параллельные, противо-
противоположно направленные силы —F и F; будем считать, что
орт F0 вектора F тоже постоянный. Обозначим через
1 В русской литературе такой сосредоточеииый момент иосит на-
название двойной силы с моментом. — Прим. ред.

266
ГЛАВА 3
d—AB плечо пары (—F, F). Момент рассматриваемой
пары равен
M = Fd\ C.2.3)
где d'—расстояние между линиями действия векторов
d' = d | и х F° | = d sin (u, F°). C.2.3')
Фиг. 3.8.
Определение 3.2.1. Направленным, сосредоточенным
моментом называется предел в смысле теории обобщен-
обобщенных функций пары сосредоточенных сил (—F, F) при
стремлении плеча пары d к нулю. При этом предполага-
предполагается, что точка А фиксирована, точка В подвижна, орты
F°, u и момент пары М постоянные.
Чтобы получить выражение для направленного сосре-
сосредоточенного момента, заметим, что действие рассматри-
рассматриваемых сил равносильно действию нагрузки
) = FS(r-p)-FS(r-r0
C.2.4)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 267
Учитывая формулы C.2.2) и C.2.3), можно написать
Q^(r)= ~ rf | Гх°ро i I5(r-ro)-8(r-p)]. C.2.4')
В этом случае нагрузка Q(r), соответствующая направ-
направленному сосредоточенному моменту, имеет вид
MF° u.gradS(r-r0). C.2.5)
I UXFO
Здесь введена производная по направлению и обобщен-
обобщенной функции Дирака, которая определяется соотношени-
соотношениями
-2-8 (г — ro) = u-grad8(r — го) =
он
= limJ_[8(r-r0)-8(r-p)] =
d-++0 U
= — О [X — Хо, у — у0, Z Zq) =
C.2.6)
:-a:0, y-y0, z —
— x0, y-y0, z —
oz
где а, р, у — углы, образованные вектором и с осями ко-
координат.
Заметим, что носителем направленного сосредоточен-
сосредоточенного момента C.2.5) является точка Л(го), и предпола-
предполагается, что орты и и F0 не коллинеарны, т. е.
uxF°^0. C.2.7)
Важным частным случаем является случай, когда ор-
орты и и F0 взаимно перпендикулярны (u- F° = 0). Соответ-

268 ГЛАВА 3
ствующая нагрузка имеет вид
= -AfF°[u-gradS(r-r0)]. C.2.8)
Из соотношений C.2.5) следует, что направленный
сосредоточенный момент характеризуется:
а) точкой приложения А (хо, г/о, Zq) ;
б) ортом F0 сил, образующим его;
в) ортом и направления, вдоль которого осуществля-
осуществляется предельный переход;
г) его величиной М.
Момент направлен по нормали п к плоскости дейст-
действия направленного сосредоточенного момента, причем
п выбирался таким образом, чтобы смешанное произве-
произведение (u, F0, р) >0. Направленный сосредоточенный мо-
момент, определяемый таким образом, положителен, так
как для наблюдателя, расположенного вдоль орта п,
вращение в рассматриваемой плоскости происходит в
положительном направлении.
Рассмотрим случай периодического направленного
сосредоточенного момента с периодом Т, приложенного
в точках х — пТ, n^Z. Нагрузка, эквивалентная направ-
направленному сосредоточенному моменту, приложенному в
начале координат, имеет вид
Q[x)== ^ *_8(jc). (з.2.5')
Обозначив через Q периодическую обобщенную функ-
функцию, соответствующую направленному сосредоточенно-
сосредоточенному моменту C.2.5'), можно написать соотношения
I U X F0 |
I. =—00
iWFO ^ ^ ДНИ _;„,.,,. r, /OO C//\
где и — орт оси Ох.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 269
Направленный сосредоточенный момент является
моментом первого порядка; при необходимости будем
обозначать его величину и нагрузку верхним индексом
\(М{1) и QA)).
Исходя из направленного сосредоточенного момента
порядка п—1, рассмотрим пару ( — Q(n~l), Q'"'),
составляющие которой приложены соответственно в фик-
фиксированной точке А(г0) и подвижной точкеBn(qn). Обо-
Обозначим через un орт плеча dn=ABn (фиг. 3.8, б). Вели-
Величина рассматриваемого момента равна
M{n)=Fd[d2...d'n, C.2.9)
где d\ , d2', ..., cf'n-i — плечи соответствующих моментов
порядка, меньшего п. Через u, (i=l, 2, ..., п) обозначим
орты, определяющие направления, вдоль которых осуще-
осуществляются предельные переходы к фиксированной точ-
точке Л.
Определение 3.2.2. Направленным сосредоточенным
моментом порядка п в точке А (го) называется предел в
смысле теории обобщенных функций пары эквивалент-
эквивалентных нагрузок ( —Q*"*, Q'""'), когда плечо dn-»-0,
причем точка А фиксирована, точка Вп подвижна, орты
F0, щ (i=l, 2, ..., п) и величина М<п> момента постоян-
постоянные.
Учитывая выражение для эквивалентной нагрузки
направленного сосредоточенного момента первого поряд-
порядка, которое было получено ранее, запишем выражение
для эквивалентной нагрузки направленного сосредото-
сосредоточенного момента порядка п:
** 8(г-г0), C.2.10)
л duidu2...dun
П | U; X F0 |
где введена смешанная производная по направлению
порядка п обобщенной функции Дирака.
В частности, при Uj = u выражение для сосредоточен-
сосредоточенной нагрузки, эквивалентной направленному моменту

270 ГЛАВА 3
порядка п, принимает вид
-^U(r-r0). C.2.11)
d"
Q() ()
| U X F0 |" du"
Если u-F° = 0, то можно написать
Q(n) {r)={-\)nM(n)F° — 8(r-r0). C.2.12)
. du"
Предположим, что в точке Л(го) действует сосредо-
сосредоточенная сила F. Попробуем перенести эту силу в нача-
начало координат О таким образом, чтобы эффект ее дейст-
действия не изменился (фиг. 3.9). Нагрузки, эквивалентные
сосредоточенной силе F, приложенной соответственно в
точке Лив точке О, имеют вид
QA(r) = Fh(r-r0), Q0(r) = F8(r). C.2.13)
Разлагая выражение Оа(г) в ряд Тейлора в окрестно-
окрестности начала координат, получаем
B)
C>2Л4)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 271
где введен направленный сосредоточенный момент
() (,,,),
I u X FO |' dul
C.2.15)
F°^b(rer)
I u x FO I" du"
Здесь u — орт вектора Го, F° — орт вектора F, d — рас-
расстояние между точкой О и линией действия силы F, при-
приложенной в точке A, a MM=Frf' — величина момента 1-го
порядка силы F, приложенной в точке О. Выражение
C.2.14) представляет собой закон эквивалентности дей-
действия силы F, приложенной в точке А или в точке О.
Теорема 3.2.1. Действие сосредоточенной силы F,
приложенной в точке А, эквивалентно действию той же
силы F, приложенной в точке О, к которой прибавляют-
прибавляются действия п—/ сосредоточенных моментов первого по-
порядка, второго порядка, .... (п—1)-го порядка, прило-
приложенных в точке О, эквивалентные сосредоточенные
нагрузки которых QW умножаются на 1/й (t=l, 2, ...
..., п—1), и действие направленного сосредоточенного мо-
момента порядка п, приложенного в некоторой точке от-
отрезка ОА, эквивалентная нагрузка которого Q<n> умно-
умножается на 1\п\.
В зависимости от физических свойств среды, на ко-
которую действует сила F, и от выбранной математиче-
математической модели этой среды можно определить максималь-
максимальный порядок направленного сосредоточенного момента,
возникающего в задаче установления эквивалентности
действия сил, т. е. можно определить число п. Так, на-
например, при рассмотрении абсолютно твердых тел, рас-
расстояния между любыми точками которых постоянны во
времени, сосредоточенные силы представляются сколь-
скользящими векторами. В этом случае максимальный поря-
порядок моментов равен 1 (для исследования эквивалентно-
эквивалентности действия сил достаточно ввести моменты первого
порядка). Другими словами, для твердых тел закон эк-

272 ГЛАВА 3
вивалентности имеет вид
Q4(r)=Q0(r)+QA)(r). C.2.16)
При рассмотрении сплошных сред могут возникать мо-
моменты более высокого порядка.
3.2.1.2. Центр вращения ,
С помощью понятия направленного сосредоточенно-1
го момента можно определить вращательный сосредото-
сосредоточенный момент (центр вращения), который представля-
представляет собой сосредоточенную нагрузку с осевой симмет-
симметрией.
Пусть даны точка А (го) и орт п, перпендикулярный
некоторой плоскости Р и проходящий через заданную
точку. Предположим, что в этой точке действуют п^2
направленных сосредоточенных моментов величиной М,,
определенных ортами щ и F*0 (i=l, 2, ... , n), UiXF^O,
и принадлежащих плоскости Р (фиг. 3.10, а), эквива-
эквивалентные нагрузки которых равны
_8(r_ro) (/=1,2,..., п). C.2.17)
u
Q,()
I u,x F? | dui
Пусть {Q} — множество эквивалентных нагрузок:
Q(r)=Q! (r) + Q2(r)+ ... +Qn(r). C.2.18)
Определение 3.2.3. Вращательным сосредоточенным
моментом (или центром вращения), соответствующим
точке А и плоскости Р, называется элемент множества
{Q}, не зависящий от ортов и* и F,0 (?=1, 2, ..., п).
Подставляя выражение C.2.17) в C.2.18) и исполь-
используя условие, что Q не зависит от ортов щ и Fi° (i=l,
2, ..., п), получаем
Q(rHa?+bv+cir)8(r-r°)' <3-2Л9>
где а, Ь и с — постоянные векторы, зависящие только от
величин Mi. Предположим, что этот элемент может быть

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
273
записан также в виде
e(a'J. + b'^- + c'A-)8(r-r0). C.2.19')
где а', Ь' и с' тоже являются постоянными векторами.
Вычитая C.2.19') из C.2.19), получаем

274 ГЛАВА 3
Если ф(г) е7С(/?3) — произвольная основная функция,
то можно написать
Отсюда следует, что
Полученное соотношение может иметь место только тог-
тогда, когда
а = а', Ь = Ь', с=с'
вследствие линейности дифференциального оператора,
действующего на произвольную основную функцию ср(г).
Отсюда следует, что представление C.2.19) вращательно-
вращательного сосредоточенного момента единственно, что и оправ-
оправдывает приведенное определение. Обозначим через М ве-
величину этого момента (фиг. 3.10, б).
Покажем, что множество {Q} не пустое. Это позволит
на основании единственности представления C.2.19) эф-
эффективно определить коэффициенты a, b и с, входящие в
это соотношение.
Итак, пусть даны два направленных сосредоточенных
момента, приложенных в точке А и принадлежащих плос-
плоскости Р (фиг. 3.11, а). Допустим, что силы, составляю-
составляющие эти моменты, взаимно перпендикулярны и
Ml = M2=f. C.2.20)
Орты щ и Fi° (i=l, 2) удовлетворяют соотношениям
(фиг. 3.11,6)
F?=u2, F°= — uu
C.2.21)
u1u2=0, u1xu2=n.
Эквивалентная нагрузка Q(r) в этом случае имеет вид

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
275
= —7Г ("г[ui-grad8(г-г0)]-Щ[u2-grad8(г-г0)]} =
= --J (щ х u2)-grad 8(г-г0);
здесь применена формула разложения двойного вектор-
векторного произведения '>. Таким образом, нагрузка, эквива-
эквивалентная центру вращения, будет иметь вид
Q(r)=--LyWnxgradS(r-r0). C.2.22)
1 aXbXc=b(a-c) — c(a-b). — Прим. ред.

276 ГЛАВА 3
Векторы
а= — Mixn, b=—Mjxn, c=-Afkxn, C.2.23)
2, 2 Z
где i, j и k — орты координатных осей, принадлежат
плоскости Р.
Заметим, что вращательный сосредоточенный момент
(центр вращения) характеризуется:
а) точкой приложения А (х0, уо, z0);
б) направленной плоскостью Р, определенной ортом
нормали к ней в точке А;
в) его величиной М.
Вращательный сосредоточенный момент является
положительным, так как для наблюдающего вдоль орта
п (фиг. 3.10, б) вращение в плоскости Р происходит в
положительном направлении. Таким образом устанав-
устанавливается направление момента.
Учитывая полученные результаты, для каноническо-
канонического представления центра вращения можно использовать
представление двух наложенных направленных сосредо-
сосредоточенных моментов, одинаково направленных, имеющих
одинаковую величину и для которых составляющие силы
взаимно перпендикулярны (фиг. 3.11, а).
В частности, рассматривая вместо плоскости Р плос-
плоскость Оху (n = k), получим следующую эквивалентную
нагрузку:
Q(jc, у) =—^-Mkxgradb{x-xQ, y—y0) C.2.24)
с компонентами
Qjcix, у)=^-М-?-Ъ{х-х0, у — у0),
C.2.24')
Qy{x> у)= — \м-^Гь(х-х°> у-Уо)-
Пусть ABCD — квадрат со стороной а, стороны кото-
которого параллельны осям координат (фиг. 3.12, а). Пред-
Предположим, что вдоль сторон квадрата действуют равно-
равномерно распределенные касательные нагрузки интенсив-
интенсивностью М/2а2. Суммарный момент этих нагрузок

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
277
относительно точки О равен М. Покажем, что при
а->-+0 в смысле теории обобщенных функций рассмат-
рассматриваемые нагрузки порождают центр вращения величи-
величиной М, сосредоточенный в начале координат (фиг.
3.12, а).
/ X
2 г) \2аг ЧТ'Т/
Фиг. 3.12.
Соответствующие эквивалентные нагрузки могут быть
выражены следующим образом:
М .
ЩАВ), •?-У
где введены обобщенные функции Дирака, сосредото-
сосредоточенные на сторонах квадрата. Суммарная эквивалент-
эквивалентная нагрузка имеет величину
Для произвольной основной функции ф(л;, y)
можно написать
(а/2
I ) [?(х> -у)
/2
-а/2

;278 ГЛАВА 3
a/2
где использована теорема о среднем.
Мспользуя формулу конечных приращений, имеем
(Q,(*, У), t{x, »))=f[-l^-f«. 4)+J-^-T(T, Л)]
При а->-+0 в смысле теории обобщенных функций полу-
получим
lim(Qe(*, у), tp(x, y)) = (llmda(x, у), <?{х, у)) =
+ 0 0
•откуда
y)=f [l V~j^)8(x> y)> C'2'25)
что и является вращательным сосредоточенным момен-
моментом с компонентами C.2.24').
Этот же результат можно получить, если вместо рас-
распределенных нагрузок рассматривать касательные со-
сосредоточенные нагрузки интенсивностью М/2а, прило-
приложенные в середине сторон квадрата (фиг. 3.12, б). Пре-
Предельным переходом в смысле теории обобщенных
функций при а-^+0 получаются именно те два направ-
направленных сосредоточенных момента, которые приводят к
вращательному сосредоточенному моменту.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 279
Можно показать, что, рассматривая касательные на-
нагрузки, равномерно распределенные вдоль сторон пра-
правильного многоугольника или вдоль произвольной ок-
окружности, тоже можно получить вращательный сосре-
сосредоточенный момент. Таким образом описывается центр
вращения.
3.2.2. Диполи сосредоточенных сил
3.2.2.1. Линейный дипольный сосредоточенный момент
Ранее был определен направленный сосредоточенный
момент в предположении, что орт F0 сил, составляющий
момент, и орт и, определяющий направление предельно-
предельного перехода, не коллинеарны (uXF°#O). Для случая,
когда эти векторы коллинеарны, вводится новый тип
сосредоточенного момента: дипольный сосредоточенный
момент').
Пусть Л — фиксированная точка с радиусом-векто-
радиусом-вектором го(хо, г/о, zQ), а В— подвижная точка, определяемая
радиусом-вектором р (I, ц, ?), такие, что орт и вектора
АВ является постоянным. В точках А а В приложены,
соответственно сосредоточенные силы —F и F, такие,
что орт F° = u. Общая линия действия этих сил будет
линией действия диполя, который будем считать поло-
положительным, если заданные силы стремятся увеличить
расстояние между точками их приложения (фиг. 3.13),
и отрицательным в противном случае. Обозначим через
d расстояние между точками А и В. Величина момента
диполя определяется равенством
D=Fd. C.2.26)
Определение 3.2.4. Линейным дипольным сосредото-
сосредоточенным моментом (диполем сосредоточенных сил) в точ-
точке А называется предел в смысле теории обобщенных
функций пары (—F, F), когда расстояние d-*-+0, при-
причем точка А считается фиксированной, а В — подвижной.
Предполагается, что рассматриваемые силы имеют об-
!) Такой момент обычно называется двойной силой без момен-
момента. — Прим. ред.

280 ГЛАВА 3
щую линию действия, орт и и и величина D момента ди-
диполя постоянные.
Нагрузка, эквивалентная рассматриваемой паре со-
сосредоточенных сил, имеет вид
Qd(r)-F8(r-p)-F8(r-r0)=-^[8(r-r0)-8lr-p)].
В результате предельного перехода в смысле теории обоб-
обобщенных функций при d-> + 0 получается нагрузка,
Фиг. 3.13.
эквивалентная линейному дипольному сосредоточенно-
сосредоточенному моменту:
= -D[u-grad8(r-ro)]u, C.2.27)
где введена производная по направлению и.
Следовательно, линейный дипольный сосредоточен-
сосредоточенный момент характеризуется:
а) точкой приложения А (хо, Уо, 2о);
б) ортом и сил, образующих его;
в) его величиной D.
Знак диполя определяется ортом F0 силы F. Если
F°=u (как рассматривалось выше), то диполь является
положительным, а если F° = —и, то он является отрица-

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 281
тельным и выражение C.2.27) записывается с обратным
знаком.
Рассмотрим случай периодического линейного ди-
польного сосредоточенного момента с периодом Т, при-
приложенного в точках х—пТ, n^Z. Нагрузка, эквивалент-
эквивалентная линейному дипольному сосредоточенному моменту,
приложенному в начале координат, имеет вид
Q{x)=-DF°— Ъ(х). C.2.27')
Обозначив через Q периодическую обобщенную функ-
функцию, соответствующую линейному дипольному сосредо-
сосредоточенному моменту C.2.27'), получим
со
Q(x)=-UF° ^ Ь'{х-пТ), n<BZ, C.2.27")
Л = —°°
где и — орт оси Ох.
Линейный дипольный сосредоточенный момент явля-
является моментом первого порядка; будем обозначать его
в случае необходимости верхним индексом 1(?)A) и QA))>
Как и в разд. 3.2.1.1, можно вводить линейные ди-
польные сосредоточенные моменты высшего порядка.
Таким образом, эквивалентная нагрузка линейного ди-
польного сосредоточенного момента порядка п будет
иметь вид
Q(n) (г) = (- 1 )"D(n)u — 8 (г - г0), C.2.28)
дип
где D(B) — величина момента,
Dw=^Fdxd2...dn, C.2.29)
a d\, d2, ..., dn — расстояния между переменными точка-
точками приложения сил, действующих в направлении и, и
фиксированной точкой приложения сосредоточенной
силы.
В частности, если d\~di = ... = dn=d, можно напи-
написать
Dln)=Fd". C.2.30)

282
ГЛАВА 3
3.2.2.2. Плоский центр расширения
Используя понятие линейного дипольного сосредото-
сосредоточенного момента, можно определить плоский дипольный
сосредоточенный момент (плоский центр расширения),
который является нагрузкой с осевой симметрией.
Пусть даны точка А (го) и орт п, перпендикулярный
к плоскости Р и проходящий через заданную точку.
Предположим, что в этой точке действуют л^2 диполей
«сосредоточенных сил величиной Dt, определенных орта-

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 283.
ми щ (t=l, 2, ..., п) и лежащих в плоскости Р, эквива-
эквивалентные нагрузки которых равны (фиг. 3.14, а)
Q/(r)=-Dtul-^-8(r-r0) (/=1, 2,..., п). C.2.31).
Через {Q} обозначим множество эквивалентных на-
нагрузок вида C.2.18).
Определение 3.2.5. Плоским дипольным сосредото-
сосредоточенным моментом (плоским центром расширения), соот-
соответствующим точке А и плоскости Р, называется эле-
элемент множества {Q}, не зависящий от ортов иг (г = 1,.
2,..., л).
Подставляя выражение C.2.31) в C.2.18) и учиты-
учитывая, что Q не зависит от ортов щ (t=l, 2, ..., п), полу-
получим, что плоский дипольный сосредоточенный момент
представляется в виде C.2.19), где а, Ь и с — постоян-
постоянные векторы, зависящие только от величин Dj. Можно
показать, как это было сделано в разд. 3.2.1.2, что пред-
представление плоского центра расширения в виде C.2.19)
единственно, что и оправдывает приведенное определе-
определение. Пусть Dp — величина этого плоского диполя
(фиг. 3.14, б). Используя единственность представления
C.2.19), определим коэффициенты a, b и с, доказывая
тем самым, что множество {Q} не является пустым.
Итак, рассмотрим два положительных диполя, обра-
образованных взаимно перпендикулярными сосредоточенны-
сосредоточенными силами. Предположим, что они приложены в точке А
и принадлежат плоскости Р (фиг. 3.15, а). Можно напи-
написать
А = Д»=-^- C-2.32)
Орты Uj и и2 удовлетворяют соотношениям
u1u2=0, u1xu2 = n. C.2.33)
Эквивалентная нагрузка Q(r) в этом случае имеет вид
Q (г) = - ~ {Щ [щ ¦ grad 8 (г - г0)] +
+ u2[u2-grad5(r-r0)]! =

284
ГЛАВА 3
Фиг. 3.15.
^
-u2[urgrad8(r-r0)]} =
=-^-n x [(щ X u2) X grad 8 (r-r0)],
где использованы второе из соотношений C.2.33) и фор-
формула разложения двойного векторного произведения.
Таким образом, нагрузка, эквивалентная плоскому цент-

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 285
ру расширения, будет иметь вид
Q(r) = -i-^Pnx[nxgrad8(r-r0)]. C.2.34)
Векторы а, Ь и с принадлежат плоскости Р и определя-
определяются по формулам
c=^-Dpnx(nxk), C.2.35)
где i, j и k — орты координатных осей.
Плоский дипольный сосредоточенный момент счита-
считается положительным, если он образован положительны-
положительными линейными диполями. В этом случае он называется
плоским центром расширения. В противном случае (ес-
(если он образован отрицательными линейными диполями)
он будет отрицательным и называться плоским центром
сжатия; соотношения C.2.34) и C.2.35) при этом запи-
записываются с обратным знаком.
Отметим, что плоский дипольный сосредоточенный
момент характеризуется:
а) точкой приложения А (х0, г/о, Zo);
б) ортом п нормали к плоскости, в которой он дей-
действует;
в) величиной Dp момента диполя.
Знак плоского диполя определяется так, как было
указано выше.
Для канонического представления плоского центра
расширения можно использовать представление, полу-
полученное сложением двух взаимно ортогональных линей-
линейных диполей с одинаковыми величинами и знаками
(фиг. 3.15, а). Аналогичный результат можно получить,
если рассмотреть нагрузки, нормально распределенные
по окружности.
В частности, если вместо плоскости Р рассмотреть
плоскость Оху (n=,k), то из формулы C.2.34) получим
следующую эквивалентную нагрузку:
Q(x, y)= —LDpgra6b(x-x0, у-у0), C.2.36)

286 ГЛАВА 3
где учтено соотношение
k-gradb{x — xQ, у — у0)=О.
Используя выражение C.2.22) для вращательного
сосредоточенного момента, в предположении, что M = DP,
можно написать соотношение
(r) = 0. C.2.37)
3.2.2.3. Пространственный центр расширения
Приемом, аналогичным изложенному в разд. 3.2.2.2,
можно ввести пространственный дипольный сосредото-
сосредоточенный момент (пространственный центр расширения),
который является сосредоточенной нагрузкой с централь-
центральной симметрией.
Пусть дана точка Л(го), в которой действуют л^З
диполей сосредоточенных сил. Пусть ?),- — величины этих
диполей, которые определены ортами щ (t=l, 2, ..., п)
и имеют эквивалентные нагрузки вида C.2.31). Через
{Q} обозначим множество эквивалентных нагрузок вида
C.2.18).
Определение 3.2.6. Пространственным дипольным
сосредоточенным моментом (пространственным центром
расширения), соответствующим точке А, называется
элемент множества {Q}, не зависящий от ортов щ (/=1,
2,...,п).
Можно показать (см. разд. 3.2.2.2), что элемент мно-
множества {Q} может быть представлен в виде C.2.19),
где a, b и с являются постоянными векторами, завися-
зависящими только от величин D,. Это представление единст-
единственно, что и оправдывает приведенное определение.
Рассмотрим три диполя вида C.2.31), образованных
сосредоточенными силами, линии действия которых оп-
определены ортами ub u2 и и3. Орты ub u2 и и3 взаимно
перпендикулярны и образуют правильный триэдр
(фиг. 3.16):
U2-ti3 = u3-uI = uru2 = 0 (Uj, u2, u3)>0. C.2.38)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 287
Предположим, что величина Ds пространственного ди-
польного момента удовлетворяет соотношениям
D1 = D2=Z;3=— . C.2.39)
3
Фиг. 3.16.
Эквивалентная нагрузка в этом случае имеет вид
r 8(Г-Го)+
u,/-8(r-ro)%=—^-{и1[и,
ди3 J 3
+ «2 [«2• grad 8 (г — r0)] -f u3 [u3 • grad 8 (г — r0)]}.
Таким образом, нагрузка, эквивалентная пространствен-
пространственному центру расширения, имеет следующее значение:
Q(r)*=—i-D,grad8(r-r0), C.2.40)
а векторы а, Ь и с равны
а=—L/3,1. b=—1-Dj, c=-±Dtk. C.2.41)
Пространственный дипольный сосредоточенный мо-
момент считается положительным, если он образован по-
положительными линейными диполями. В этом случае он

288 глава з
называется пространственным центром расширения. Ес-
Если составляющие линейные диполи отрицательны, обра-
образованный сосредоточенный момент отрицателен и назы-
называется пространственным центром сжатия. Соотношения
C.2.40) и C.2.41) при этом записываются с обратным
знаком.
Пространственный дипольный сосредоточенный мо-
момент характеризуется:
а) точкой приложения А(хо, г/о, z0);
б) величиной Ds момента диполя.
Знак пространственного диполя определяется так,
как было указано выше.
Представление пространственного центра расшире-
расширения с помощью трех взаимно перпендикулярных, одина-
одинаковых по величине и направлению линейных диполей
является его каноническим представлением. Аналогич-
Аналогичный результат можно получить, если рассмотреть на-
нагрузки, нормально распределенные по некоторой сфере.
Интересно отметить, что пространственный диполь-
дипольный сосредоточенный момент вводит другой тип сингу-
сингулярности, отличный от вводимой сосредоточенной силы.
Действительно, сосредоточенная сила может быть полу-
получена с помощью дельтообразных последовательностей,
тогда как пространственный центр расширения аппрок-
аппроксимируется последовательностью функций, сходящихся
к функции б'.
3.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СИСТЕМЫ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОБОБЩЕННЫМИ
ФУНКЦИЯМИ
В динамике дискретных и непрерывных систем мате-
материальных точек (в частности, в динамике твердого те-
тела) законы движения выражаются через некоторые ве-
величины геометрической и механической природы, назы-
называемые моментами. Важную роль играют статические
моменты и моменты инерции, которые характеризуют
пространственное распределение масс системы матери-
материальных точек.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 289
3.3.1. Дискретные системы материальных точек
Пусть Аг (к,, г/,-, г,) —дискретная система п матери-
материальных точек, имеющих массу т, и радиусы-векторы
г, {1=1, 2, ..., п) (фиг. 3.17). Величина
Фиг. 3.17.
mtxaty$z], C.3.1)
/=i
где а, р, y^N, называется моментом порядка /? = а
+у системы точек.
При a=i|3 = Y = 0 получается момент нулевого порядка
^1у C.3.2)
который совпадает с полной массой системы материаль-
материальных точек.
При р=1 получаются моменты первого порядка
(статические моменты), а при р=2 — моменты второго
порядка (моменты инерции).
10—3677

290 ГЛАВА 3
3.3.1.1. Статические моменты
Выражения
представляют собой статические моменты заданной си-
системы материальных точек относительно плоскостей
Oyz, Ozx и Оху.
Центр масс С(хс, Ус, zc) с радиусом-вектором гс да-
дается по определению соотношениями
Mxc=SOuzl Myc = SOzx, Mzc = SOxy, C.3.4)
где первое соотношение, например, показывает, что ста-
статический момент системы материальных точек относи-
относительно плоскости Oyz равен статическому моменту отно-
относительно той же плоскости центра масс, в котором пред-
предполагается сосредоточенной вся масса системы матери-
материальных точек.
Наряду с плоскими статическими моментами опреде-
определим и полярный статический момент (который является
вектором) выражением
В этом случае положение центра масс дается соотноше-
соотношением
Mrc = S0 C.3.6)
и можно утверждать, что полярный статический момент
системы материальных точек относительно полюса О
равен статическому моменту центра масс, в котором
предполагается сосредоточенной вся масса системы то-
точек, относительно того же полюса.
Рассмотрим материальную точку Л,. С точки зрения
теории обобщенных функций она характеризуется объем-
объемной плотностью
Pl[T) = mlbjT~T[)=mlb[x — xt, y — yh z~zt). C.3.7)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 291
Чтобы получить массу материальной точки, необхо-
необходимо подействовать этой обобщенной функцией на функ-
функцию ф(г) = 1. В результате будем иметь
(Мг), 1) = (т,8(г-гД 1) =
= (8 (г-г,), ш/) = ш,|,_Г/ = т/. C.3.8)
Система (S) материальных точек характеризуется
объемной плотностью
р{т) = р(х, у, z) = y Pi(f)=Jm,8(f-r,) =
л^ШЛ &? МЯЛ |
А
mfiix-x^ y — yt, z — zt). C.3.9)
Общая масса системы точек получается действием этой
плотности на функцию ср(г) = 1; таким образом, имеем
Применяя полученные выше результаты, можно вы-
вычислить моменты любого порядка системы (S) мате-
материальных точек. Таким образом, статический момент
системы (S) относительно плоскости Oyz имеет вид
2 2
-1 1 1-х
п
{Ь[Г-г,), mlx)=
C.3.11)
/=1 i-i
10*

292 ГЛАВА 3
Аналогично для статических моментов относительно
плоскостей Ozx и Оху можно написать
C.3.1 Г)
Несмотря на то что функции 1, х, г/ и 2 не являются
основными (так как они не имеют компактных носите-
носителей), выражения C.3.8), C.3.10) — C.3.11') имеют смысл,
поскольку плотности рг(г) и р(г) являются обобщенны-
обобщенными функциями с компактными носителями (образован-
(образованными точкой Л; или совокупностью точек Лг (t=l,
9. .... п).
Для полярного статического момента относительно
точки О можно написать
г,-)М==^>,г, C.3.12)
/=i / /-1
и, таким образом, плоские статические моменты являют-
являются составляющими полярного статического момента.
Радиус-вектор Гс центра масс системы материальных
точек определяется выражением
C.3.13)
где М — общая масса системы материальных точек.
Заметим также, что обобщенная функция
C.3.14)
I-I
n

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 293
полностью характеризует статический момент системы
материальных точек относительно полюса О. Действи-
Действительно, действуя этой обобщенной функцией на функ-
функцию ср (г) = 1, получаем
, . w. _ \ 1 '¦ ^ т _ го о 1 о'\
Можно, таким образом, говорить, что Wo является обоб-
обобщенной функцией полярного статического момента систе-
системы материальных точек относительно полюса О.
Аналогично вводятся обобщенные функции плоских
статических моментов:
ГёОуг=х9(г), %огх=ур(г), «0-ч, = *Р (г). C.3.15)
Например, с помощью обобщенной функции WoVz можно
получить
Таким образом, и обобщенная функция C.3.14), и об-
обобщенные функции C.3.15) позволяют вычислить поло-
положение центра масс. Например, используя обобщенную
функцию A/М)Ф0, можно написать
C.3.13')
3.3.1.2. Моменты инерции
Выражение
представляет собой полярный момент инерции системы
(S) материальных точек относительно начала коорди-

294 ГЛАВА 3
нат О. Аналогично выражения
'г? C-ЗЛ7)
представляют собой моменты инерции относительно плос-
плоскостей Oyz, Ozx и Оху. Сумма этих моментов инерции
равна полярному моменту инерции
'O = 'o« + /O« + W C.3.18)
Осевые моменты инерции системы E) материальных
точек относительно осей Ох, Оу и Oz даются выраже-
выражениями
C.3.19)
Введем также центробежные моменты инерции
i-i
Полярные моменты и моменты инерции относитель-
относительно плоскостей, а также осевые и центробежные момен-
моменты инерции являются моментами второго порядка. Все
они представляют собой составляющие некоторого тен-
тензора второго ранга (центробежные моменты инерции
берутся с обратным знаком).
Полярный момент инерции можно выразить через
обобщенные функции:

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 295
Момент инерции IOyz относительно плоскости Oyz опре-
определяется выражением
/w*=(P(r). -*2) = Bт/8(г-г*)' А=^ЩХ]. C.3.22)
\i-\ I t-i
Аналогично можно получить
C.3.22')
Ниже приведены выражения для осевых моментов инер-
инерции:
1-1
и для центробежных моментов инерции:
=(Р (г), «)=2 ад*/, C-3.24)
Как и для статических моментов, можно ввести не-
некоторые обобщенные функции, полностью характеризу-

296 ГЛАВА 3
гощие определенные моменты инерции. Так, выражение
t'/o=r2?(r) C.3.25)
представляет собой обобщенную функцию, соответству-
соответствующую полярному моменту инерции относительно полю-
полюса О. Действительно, можно написать
'о^{Зо, 1) = (г2?(г), 1) =
'г'- C-3-25'}
Аналогично обобщенные функции, соответствующие
моментам инерции относительно плоскостей, будут иметь
вид
»«,=*> м. ^=л(г). C326
Обобщенные функции, соответствующие осевым момен-
моментам инерции, будут определяться выражениями
C.3.27)
а обобщенные функции, соответствующие центробежным
моментам инерции, могут быть записаны в виде
C/yg = yzp(r), CI2X=zx?(r), 3xy=xy?{r). C.3.28)
Учитывая тензорную природу моментов инерции,
можно записать компоненты тензоров — обобщенные
функции, соответствующие определенным моментам инер-
инерции,— в некоторой ортогональной системе ОХ1Х2Х3'
Cfj^ixtxfljb-Xjxj p (г), C.3.29)
где bjk — символ Кронекера:
n при У7Л; (з.з.зо)
0 при j ф k,

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 297
а по повторяющимся индексам осуществляется суммиро-
суммирование. Компоненты тензора моментов инерции имеют
вид
IJk==(CIJk, 1). C.3.31)
3.3.2. Непрерывные системы материальных точек
Моменты непрерывных систем материальных точек
(в частности, моменты твердого тела) выражаются че-
через криволинейные, поверхностные или объемные инте-
интегралы. В общем случае интегралы, используемые для
определения моментов непрерывной системы материаль-
материальных точек, являются интегралами Стилтьеса. Если плот-
плотность распределения масс выражается через непрерыв-
непрерывные функции, то эти интегралы становятся интегралами
Римана.
При рассмотрении континуумов можно использовать
методы, аналогичные изложенным выше. Вместо обоб-
обобщенной функции Дирака, сосредоточенной в точке или
в конечном числе точек и выражающей объемную плот-
плотность дискретной системы материальных точек, будем
использовать обобщенную функцию Дирака б (С), сосре-
сосредоточенную на некоторой кривой, обобщенную функцию
Дирака 6E), сосредоточенную на некоторой поверхно-
поверхности, или обобщенную функцию Дирака б (У), сосредото-
сосредоточенную в некотором объеме.
3.3.2.1. Одномерный случай
Пусть сг(г)=(т(л;, у, z)—линейная плотность массы,
распределенная вдоль некоторой кривой С (фиг. 3.18).
Предположим, что а (г) является интегрируемой функ-
функцией. Обозначим через б (С) обобщенную функцию Ди-
А[Х,

298 глава з
рака, сосредоточенную на кривой С и определенную вы-
выражением вида A.4.4). Тогда объемную плотность одно-
одномерного континуума можно записать в виде
Р(г) = о(г)8(С) = о(*, у, г) 8 (С). C.3.32)
Полная масса дается выражением
f(r)rfs. C.3.33)
Заметим, что объемная плотность б (г) играет такую же
роль, как и в случае дискретной системы материальных
точек. Следовательно, полярный статический момент
будет иметь вид
S0 = (p(r), г) = (а(г)8(С), r) = Jra(rj;rfs, C.3.34)
а полярный момент инерции может быть записан как
/о = (Р@, r2)=(a(r)8(C), r*) = Jr4r)rfs. C.3.35)
с
Аналогично обобщенная функция, соответствующая
полярному статическому моменту, будет иметь вид
io = rP(r) = ra(r)8(C), C.3.36)
а обобщенная функция, соответствующая полярному мо-
моменту инерции, может быть записана как
J0=r2p(r)=r2a(r)8(C). C.3.37)
В этом случае центр масс определяется по формуле
C)*-C.3.38)
3.3.2.2. Двумерный и трехмерный случаи
Предположим, что масса распределена на некоторой
поверхности 5 двумерного тела (фиг. 3.19, а) с поверх-
поверхностной плотностью а (г) =а(х, у, г). С помощью форму-
формулы A.4.5) введем обобщенную функцию Дирака 6E),

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 299
распределенную на поверхности S. Тогда объемную
плотность двумерного континуума можно записать в
виде
Р (г)=° (г) 8 (S)=о (*, у, г) 8 E). C.3.39)
Полная масса определяется по формуле
Г = (р(г), 1)=(о(г)8E), \) = )d(r)dS. C.3.40)
s
Фиг. 3.19.
Для полярного статического момента имеем выражение
?, C.3.41)
а полярный момент инерции может быть записан в виде
>. C.3.42)
Обобщенные функции, соответствующие полярному
статическому моменту и полярному моменту инерции,
имеют вид
), C.3.43)
а центр масс определяется радиусом-вектором
. C.3.44)

300 ГЛАВА 3
При рассмотрении трехмерного континуума с помо-
помощью формулы A.4.6) введем обобщенную функцию Ди-
Дирака 6(V), сосредоточенную в некотором объеме V. Ес-
Если масса тела распределена с плотностью a(r)=io(x, у,
z) (фиг. 3.19, б), то объемная плотность трехмерного
континуума равна
p(r)s=5(r)j(K)=a(jc, у, z)b(V). C.3.45)
Полная масса дается выражением
f C-3.46)
v
Полярный статический момент имеет вид
C.3.47)
а полярный момент инерции определяется по формуле
C.3.48)
Полярному статическому моменту и полярному мо-
моменту инерции соответствуют следующие обобщенные
функции:
tfo=rp(r) = ra(r)8(V), J0 = r2p(r) = r23(r)8(l0, C.3.49)
и центр масс в этом случае определяется радиусом-век-
радиусом-вектором
' 1)=-^- f
га (r)rfK. C.3.50)
3.3.2.3. Примеры
Ниже приведены два примера задач, где имеют место
как распределенные, так и сосредоточенные массы. Та-
Такие задачи возникают при рассмотрении колебаний не-
некоторых элементов механических систем.
Рассмотрим прямую балку длиной /. Предположим,
что на часть AAj (отрезок длиной а) балки действует

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
301
равномерно распределенная масса с линейной плотно-
плотностью то, а в точках В\ и 52, расположенных на рассто-
расстояниях 6] и Ь2 от конца А балки, действуют соответствен-
соответственно сосредоточенные массы тх и т2 (фиг. 3.20, а). Выбе-
Выберем направление оси координат А вдоль оси балки.
/77,
В\ х
6 -J^rrr^M
i i
i i
i i
/77,
Фиг. 3.20.
Заданные массы распределены по закону
C.3.51)
где
— а)}
соответствует распределенной массе (фиг. 3.20, б), а
m (х) = тх% (х — Ьх) -\- щв [х — Ь2)
соответствует сосредоточенным массам (фиг. 3.20, в).
Линейную плотность вычислим следующим образом:
) — (х — а)Ь(х — а)],
ЩЬ{х- Ьх) + т2Ь {х - Ъ2).

302 ГЛАВА 3
Окончательно получим
C.3.52)
Вычислим, например, момент инерции балки относи-
относительно ее конца А:
/д=(РD х*) = (то[В(х)-п(х-а% х*) +
Jr(tnlb{x—bl)-\-m2b{x—b2), X2) =
. C.3.53)
Можно также использовать результаты, приведенные
в разд. 3.3.2.1. В этом случае для плотности масс полу-
получается следующее выражение:
~Ь2), C.3.54)
где использована обобщенная функция Дирака, сосре-
сосредоточенная на отрезке АВ. Полная масса балки равня-
равняется
= m2b(x—b2), 1)= j
~АВ
= f m0fltx-f-^i + m2—mQa-\-mi-\-m2, C.3.55)
а момент инерции балки относительно ее конца А имеет
вид
= j
~АВ
Полученный результат совпадает с C.3.53).

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
303
Рассмотрим теперь прямоугольную пластинку ABCD
размерами а и Ь. Предположим, что на пластинку дей-
действуют равномерно распределенная масса с поверхност-
поверхностной плотностью 1Щ и сосредоточенная масса т\ в точке
А\ с координатами end относительно системы коорди-
координат Аху (фиг. 3.21). Плотность масс будет равна
Фиг. 3.21.
ib(x-c, y-d), C.3.56)
где введена обобщенная функция Дирака 6(S), сосредо-
сосредоточенная на прямоугольнике ABCD.
Полная масса пластинки равняется
= {р(х, у), П =
U
ABC
-с, y-d), l) =
C.3.57)
ABCD
а момент инерции относительно оси Ох, например, име-
имеет следующий вид:
={Р{х, У), y2) =
ABCD
\хс
y-d
-c, y-d), z/2)=
1d2. C.3.58)

304
ГЛАВА 3
3.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ВЕЛИЧИН ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
3.4.1. Электрические заряды
3.4.1.1. Плотность электрического заряда
Рассмотрим электрический заряд величиной q/l, рав-
равномерно распределенный на отрезке ОА длиной / оси
Ох (фиг. 3.22, а). Линейная плотность рассматриваемо-
рассматриваемого заряда выражается функцией
--4
1
1
A(l)
Фиг. 3.22.
f-f при Х?Е[О, /],
ЯЛх) = \1 C.4.1)
( 0 при х^[0, I].
Функции qi(x) соответствует обобщенная функция, опре-
определяемая соотношением
C.4.2)
где <f(x)^K{R)—основная функция. Применяя теоре-
теорему о среднем для интеграла из правой части C.4.2), при
Z-^+О (Л->-0) получаем
). т(х)) = 11т f-f
Игл
и окончательно можно написать
(
Отсюда следует соотношение
). C.4.2')
C.4.3)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 305
где предел рассматривается в смысле теории обобщен-
обобщенных функций.
Итак, линейная плотность точечного заряда q, нахо-
находящегося в начале координат, определяется следующим
соотношением (фиг. 3.22, б):
?(x)=qb(x). C.4.4)
Аналогичный результат можно получить, замечая,
что соотношение C.4.1) может быть записано в виде
?/(*) = -*-*(*)' C.4.1')
где
является характеристической функцией отрезка [0, /].
Предельным переходом в смысле теории обобщенных
функций при /—>~ + 0 из формулы C.4.5) получим произ-
производную обобщенной функции Хевисайда 0(я). Таким об-
образом, функция (l/l)h(x) соответствует некоторой дель-
дельтообразной последовательности и полученный результат
совпадает с C.4.4).
Аналогично поверхностная плотность некоторого то-
точечного электрического заряда величиной q, находяще-
находящегося в начале координат в плоскости Оху, выражается
через обобщенную функцию (фиг. 3.22, б):
?(x,y)=qi{x, у). C.4.6)
Для объемной плотности точечного электрического
заряда q, находящегося в начале ортогональной системы
координат Oxyz, имеем следующее соотношение:
Р(х, у, z) = qb{x, у, z), C.4.7)
которое может быть записано в виде
Р(г)=?8(г), C.4.7')
где г — радиус-вектор произвольной точки. Если рас-
рассматриваемый заряд находится в некоторой точке А с
радиусом-вектором г0 (фиг. 3.23), то

306 ГЛАВА 3
P(r)=?8(r-ro). C.4.8)
Полученная объемная плотность может быть записана
и в виде
Р(*. У, z) = qb{x-xOt у — Уо, z — z0). CA.81)
Действуя обобщенной функцией C.4.7) на некоторую
основную функцию (р(х, у, z)^K{R3) со значением 1 в
начале координат, получим
(Р(*. У, г), ср(х, у, z)) = {gb(x, у, г), ср(х, у, z)) =
= q9@, 0, 0) = ?. C.4.9)
Следовательно, полный заряд в пространстве R3 равен
q, и представление C.4.7) имеет физический смысл.
О'
Фиг. 3.23. Фиг. 3.24.
3.4.1.2. Объемная плотность электрического диполя
Электрический диполь состоит из двух точечных
электрических зарядов —q и q, расположенных соответ-
соответственно в точках А(хо, у0, zq) и А'(х0', г/о'. Zq) на рас-
расстоянии / друг от друга (фиг. 3.24). Предположим, что
это расстояние мало по сравнению с расстояниями от
этих зарядов до точек, в которых определяется напря-
напряженность электрического поля. Прямая, определенная
точками А и А', называется осью диполя. Ее направление
задается ортом и, направленным от отрицательного заря-
заряда к положительному. Выражение
D=ql C.4.10)
называется моментом диполя.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 307
Обозначим через р-(г) и р+(г) соответственно плот-
плотности зарядов —q и q, а через р(г) —плотность диполя.
Можно написать, что
или
Рг («•)=-^[8 (г-«"о)-8 (г-г;)]. C.4.11)
Определение 3.4.1. Объемной плотностью электриче-
электрического диполя, сосредоточенного в точке А, называется
предел в смысле теории обобщенных функций плотно-
плотности р; при А'-*-А(/->-+0), если момент D диполя остает-
остается постоянным.
В этом случае можно написать, что
P(r)=limp,(r)=-/)llm ^-[8(r-ro)-S(r-ro)].
Используя производную по направлению обобщенной
функции Дирака, введенную по формуле C.2.6), получим
P(r)=-D-?-S(r-r0)=-ZJu.gradS(r-r0). C.4.12)
Следовательно, объемная плотность электрического
диполя характеризуется:
а) точкой его приложения Л(г0);
б) ортом и, определяющим предельный переход;
в) его величиной D.
Знак объемной плотности электрического диполя за-
зависит от направления и и определяется как указано
выше.
3.4.2. Электрический слой на кривой
или на поверхности
3.4.2.1. Плотность электрического простого слоя
на кривой или на поверхности
Рассмотрим гладкую кривую С, на которой находит-
находится электрический заряд (электрический простой слой) с
линейной плотностью о(г)=о(х, у, z) (фиг. 3.25, а).

308
ГЛАВА 3
Объемная плотность заряда q, находящегося в начале
координат, определяется по формуле C.4.7') • Обобще-
Обобщением этого выражения является объемная плотность
электрического простого слоя, находящегося на кривой
С с линейной плотностью о{х, у, г), выраженная через
обобщенную функцию
) = р(х, У, 2)=а(г)8(С),
C.4.13)
где б (С)—-обобщенная функция Днрака, сосредоточен-
сосредоточенная на кривой С. Обобщенная функция C.4.13) опреде-
Фиг. 3.25.
ляется соотношением
(р(х, у, г), ср(х, у, г)) =
<?{х, у, z
Аналогично, если вместо кривой С рассматривать
поверхность 5, на которой распределен электрический
заряд (электрический простой слой) с поверхностной
плотностью о(г)=0{х, у, z) (фиг. 3.25, б), то соответ-
соответствующая объемная плотность будет определяться обоб-
обобщенной функцией
, у, z)w(x, у, z)ds,
C.4.13')
Р(г) = р(х, у, *) =
описываемой соотношением
C.4.14)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 309
(р(*. #> *), ?(*. У, 2))=Jo (л:, у, г)ср(х, у, z)dS,
S
ср(х, у, z)tEK(R% C.4.14')
где 6(S)—обобщенная функция Дирака, сосредоточен-
сосредоточенная на поверхности S.
Заметим, что объемные плотности C.4.13) и C.4.14)
равны нулю соответственно в любой точке {х, у, г) фС
и в любой точке (х, у, z)(?S. Это и является проверкой
правильности полученных представлений.
3.4.2.2. Плотность электрического двойного слоя
на кривой или на поверхности
Рассмотрим кривую С, на которой распределен отри-
отрицательный электрический заряд с линейной плотностью
¦—а(т) =—а(х, у, z). В каждой точке кривой рассмотрим
отрезок постоянной длины h, направленный по главной
нормали v. Таким образом, каждой точке А кривой С с
радиусом-вектором г поставим в соответствие точку А' с
радиусом-вектором
C.4.15)
Совокупность всех точек г' составляет новую кривую С
(фиг. 3.26, а).
Обозначим через т и х' орты касательных к кривым
С и С' соответственно в точках А и А', а через s и s'—¦
длины дуг соответствующих кривых. Тогда можно напи-
написать
,'= *1 =_?!_?_ = (, + A—^-^i-. C.4.15')
ds' ds ds' \ ds J ds'
Используя формулу Френе
-?-= -т Lp C.4.16)
ds p p'
где p — орт бинормали к кривой С, р — радиус кривизны,
а р7 — радиус кручения в точке Л, получим
Рг • C.4Л7)

310
ГЛАВА 3
Можно написать
ds'=
h \2
ds,
C.4.18)
выражая таким образом элемент дуги кривой С через
элемент дуги кривой С. В случае плоской кривой 1/р'=0
и соотношение C.4.18) принимает вид
ds'= l-—
C.4.18')
Фиг. 3.26.
На полученной кривой С рассмотрим распределен-
распределенный электрический заряд противоположного знака (т. е.
положительный) с линейной плотностью а'(г') =а'(х', у',
z') и такой, что между линейными плотностями а и о' су-
существует зависимость
у,
у', z')ds'.
C.4.19)
Определение 3.4.2 Электрическим двойным слоем на
кривой С называется предел в смысле теории обобщен-
обобщенных функций при h-*~ + 0 совокупности электрических
зарядов, распределенных на кривых С и С, линейные

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 311
плотности которых удовлетворяют соотношению C.4.19)
при условии C.4.18) (или C.4.18')). При этом момент
(или линейная интенсивность) электрического двойного
слоя, определяемый соотношением
1*(х, у, z)=h°{x, у, z), C.4.20)
остается постоянным (этот момент положительный).
Если предположить, что в точке А находится отрица-
отрицательный электрический заряд —o{r)ds, а в точке А'—
электрический заряд a'{r)ds', которые удовлетворяют со-
соотношению C.4.19), то предельным переходом при
/г—>~ + 0 получим электрический диполь, сосредоточенный
в точке А. Полученный диполь имеет плотность
—\i(r)djdv b(A)ds, что и оправдывает приведенное выше
определение электрического двойного слоя.
Совокупности зарядов, распределенных на кривых С
и С", соответствует обобщенная функция
Р*(г)=-а(г)8(С) + а'(г')8(С). C.4.21)
Рассматривая основную функцию q>(r)^K(R3), можно
написать равенство
(Ра(г), ?(г))=-J°(r)<P(г) rfs+ \"(T')9(r')ds',
С С'
которое с учетом соотношения C.4.19) принимает вид
, ср (Г)) = — J а (Г) [ср (Г) - ср (Г')] ^5.
С
Если учесть соотношение C.4.15) и использовать форму-
формулу конечных приращений, то получим равенство
(Р*(г), ч» (»¦))=J Ла (г) -^- <р (г") rfs, C.4.21')
где d/dv — производная по направлению v во внутрен-
внутренней точке Л" (г") отрезка А А', а нормаль v направлена от
кривой С, на которой распределен отрицательный заряд,
к кривой С, на которой распределен положительный
заряд.

312 ГЛАВА 3
Используя соотношение C.4.20) при А->-+0, получим
Ит(?А(г), ?(г)) = (р(г), ?(rJ)
ft0
откуда
]. <Р(г)].
Окончательно можно написать выражение
^ C>4-22)
которое, и является объемной плотностью электрического
двойного слоя на кривой С. Заметим, что соотношение.
C.4.22) является обобщением соотношения C.4.12), по-
полученного для электрического диполя.
Аналогично рассмотрим две поверхности S и S', для
которых переход от точки А с радиусом-вектором г к точ-
точке А' с радиусом-вектором г' проводится по формуле
г' = г + /гп, C.4.23)
где п — орт внутренней нормали к поверхности S в точке
А (фиг. 3.26, б). Предположим, что на поверхности S
распределен отрицательный заряд с поверхностной плот-
плотностью —о(г)=—а(х, у, z), на поверхности S' — поло-
положительный электрический заряд с поверхностной плот-
плотностью о'{г') =а'(х', у', zf), такие, что
3(r)rfS = 3'(r')dS'. C.4.24)
Таким образом, нормаль п направлена от отрицательно-
отрицательного заряда к положительному.
Определение 3.4.3. Электрическим двойным слоем на
поверхности 5 называется предел в смысле теории обоб-
обобщенных функций при /г—>- + 0 совокупности электрических
зарядов, распределенных на поверхностях S и S', поверх-
поверхностные плотности которых удовлетворяют соотношению
C.4.24). При этом предполагается, что момент (или по-
поверхностная интенсивность) электрического двойного

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 313
слоя, определенный соотношением вида C.4.20), остает-
остается постоянным (этот момент положительный).
С помощью рассуждений, аналогичных проведенным
выше, можно получить выражение для объемной плотно-
плотности электрического двойного слоя на поверхности S:
Р (г)=--?-Иг) 8E)]. C.4.25)
Как и в случае электрического двойного слоя на кривой,
обобщенная функция C.4.25) соответствует распределе-
¦u
О А В х
Фиг. 3.27.
нию диполей на поверхности S, направленных по внут-
внутренней нормали п к поверхности, a jj,(r) является поверх-
поверхностной плотностью момента.
В плоскости Оху рассмотрим, например, два парал-
параллельных отрезка АВ и CD, на первом из которых рас-
распределен отрицательный электрический заряд с плот-
плотностью —0 =—[i/h, а на втором — положительный элект-
электрический заряд с плотностью 0 = ц//г, где h — расстояние
между этими отрезками. Предположим, что отрезок АВ
лежит на оси Ох (фиг. 3.27). Используя полученные вы-
выше результаты, получим плотность электрического двой-
двойного слоя на отрезке АВ в виде
= —И(АВ)] = — н- — 8(АВ), C.4.26)

314 ГЛАВА 3
где 6(АВ)—обобщенная функция Дирака, сосредото-
сосредоточенная на отрезке АВ.
Рассмотрим теперь электрический двойной слой с мо-
моментом ц{х, у), расположенный в плоскости Оху, нормаль
п к которой направлена в положительном направлении
оси Oz (фиг. 3.28). Можно написать
i
/
/x
Фиг. 3.28.
Р(х, у, г)=—-~-
Замечая, что 8 [Oxy) = b(z=0) — b(z), так как
E(z=0), tp(x, у, z))= j <?(x, у, z)dxdy =
г-0
= \\<t{x, у, 0)dxdy = (b(z), <?{x, у, г)),
"ft*
"ft*
где (р(х, у, z)^K{Rb), получим
Р(х, у, z)=-v{x, y)j-b{z)=-^{x, y)V (г). C.4.27)

ГЛАВА 4
Применения теории
обобщенных функций
в механике
4.1. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ МЕХАНИКИ
4.1.1. Механические величины,
представляемые обобщенными функциями
4.1.1.1. Математическая модель механики
Математическая модель ньютоновской механики, ко-
которую мы будем рассматривать, основана на взаимно не-
независимых понятиях пространства, времени и массы.
В основе этой механики лежат три закона, сформулиро-
сформулированные Исааком Ньютоном, которые являются резуль-
результатом многочисленных предыдущих исследований.
а) Любая материальная точка, на которую не дейст-
действуют никакие силы, сохраняет состояние равномерного и
прямолинейного движения (первый закон механики, или
закон инерции).
б) Движение материальной точки описывается диф-
дифференциальным уравнением
¦^-(/nf) = F, D.1.1)
где F — сила, действующая на материальную точку мас-
массы m, r=r(/)—радиус-вектор этой точки относительно
фиксированной точки (фиг. 4.1). Если масса рассматри-
рассматриваемой точки постоянна во времени, как и будет предпо-
предполагаться в дальнейшем, уравнение D.1.1) принимает вид
mr = F, D.1.1')
где точками обозначена производная по времени (второй
закон механики).
в) Силы действия двух тел (или двух точек) друг на
друга численно равны и направлены в противоположные

316 ГЛАВА 4
стороны (третий закон механики, или закон действия и
противодействия).
Предполагается, что радиус-вектор r(t) имеет непре-
непрерывные производные первого и второго порядка (его
компоненты являются функциями класса С2). Кроме того,
считается, что сила F = F(r, r; t) непрерывно зависит от
времени, координат и скоростей. В таких случаях диф-
дифференциальные уравнения рассматриваемых задач могут
Фиг. 4.1.
быть проинтегрированы при некоторых известных на-
начальных условиях.
Но существует большое число механических явлений,
в которых условия непрерывности не соблюдаются. От-
Отсюда и возникает необходимость расширения классиче-
классических рамок ньютоновской механики и дополнения ее ма-
математической модели методами теории обобщенных
функций.
4.1.1.2. Скорость. Ускорение. Сила
Пусть г(t) — радиус-вектор некоторой материальной
точки массы т. Уравнение траектории С (фиг. 4.1) этой
точки имеет вид
г = г(*). D.1.2)
Эта функция из физических соображений не должна
иметь разрывов, т. е. г(/) является непрерывной функци-
функцией от t.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 317
Предположим, что скорость
v@=™r(/
D.1.3)
«является непрерывной функцией на рассматриваемом
интервале времени (/',.;"|. за исключением конечного
числа значений t {t = ti, i—\, 2, ..., п), которым соответст-
соответствуют разрывы первого рода. Согласно формуле A.2.31),
можно написать
где
V,. = v(/; + O)-v(/;-O) (/ = 1, 2,..., п) D.1.5)
является скачком скорости, соответствующим точке раз-
разрыва /,-, а знаком ~ обозначена производная в обычном
смысле.
Введем обозначения
D.1.6)
где a (t) — ускорение в смысле теории обобщенных функ-
функций (обобщенное ускорение), а(^) —ускорение в обыч-
обычном смысле, ас@ —добавочное ускорение, возникающее
из-за разрывов. Тогда соотношение D.1.4) принимает
вид
l e(t)- D-1.7)
Теорема 4.1.1. Ускорение материальной точки в смысле
теории обобщенных функций равно ускорению этой точ-
точки в обычном смысле там, где оно существует, плюс сум-
сумма произведений скачков скорости точки на соответст-
соответствующие обобщенные функции Дирака.
Учитывая соотношение D.1.Г), введем обозначения
F(*) = ma@, F@ = ma(*), Fc(t) = mac(t), D.1.8)

318 ГЛАВА 4
где F(t) —обобщенная сила (в смысле теории обобщен-
обобщенных функций), F(t) —сила в обычном смысле, a Fc(t) —
добавочная сила, обусловленная разрывами. Таким об-
образом, соотношение D.1.7) примет вид
F(*) = F(*) + Fe(')- D.1.9)
Теорема 4.1.2. Обобщенная сила (в смысле теории об-
обобщенных функций), действующая на некоторую мате-
материальную точку, равна сумме силы в обычном смысле и
добавочной силы (обусловленной разрывами), которые
действуют на эту же точку.
В случае несвободной материальной точки нужно при-
применить аксиому связей, что приводит к введению реакции
связей R=R(?). Тогда можно написать
W, D-1.9')
где R@ —обобщенная реакция связей (в смысле теории
обобщенных функций), R@—обычная реакция связей,
a Rc@—добавочная реакция связей, обусловленная
разрывами.
Теорема 4.1.2'. Обобщенная реакция связей (в смысле
теории обобщенных функций), действующая на некото-
некоторую материальную точку, равна сумме обычной реакции
связей и добавочной реакции связей (обусловленной раз-
разрывами), действующих на эту же материальную точку.
Итак, второй закон механики можно сформулировать
в обобщенных функциях, если ввести обобщенные уско-
ускорения и обобщенные силы и понимать производную в
смысле теории обобщенных функций.
В самом деле, для свободной материальной точки
имеем уравнение D.1.1'), а для несвободной материаль-
материальной точки
D.1.1")
Предположим, что и для обобщенной функции F=0 вы-
выполняется условие а=0, т. е.
<8('-'')=:0- DЛЛ0)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 319
Если ф(/)—основная функция, носитель которой не со-
содержит моменты времени it (?=1, 2, ... , п), то из форму-
формулы D.1.10) получается
(а(/), ?(/)) = О,
откуда следует, что функция а(^) почти всюду равна
нулю (за исключением моментов времени ti). С другой
стороны, рассмотрим основную функцию q>(t), носителем
которой является только точка ti. Тогда будем иметь
откуда следует, что Vj = O. Аналогично для ?=1, 2, ... , п
получим
V, = 0, i=l, 2,..., п.
Если подставить полученный результат в формулу
D.1.10), то оказывается, что а(/)=0, т. е. материальная
точка описывает прямолинейное и равномерное движе-
движение. Этот результат получается путем проектирования
D.1.10) на три оси координат и применения теоремы
1.2.2. Следовательно, закон инерции сохраняет свой вид
и при рассмотрении обобщенных сил. То же самое спра-
справедливо и для закона действия и противодействия.
4.1.1.3. Количество движения.
Момент количества движения
Произведение массы материальной точки на ее ско-
скорость является вектором, который называется количест-
количеством движения материальной точки и имеет вид
H{t)=mv(t). D.1.11)
Количество движения материальной точки является
непрерывной функцией на рассматриваемом интервале
времени, за исключением моментов времени ti (?=1, 2, ...
... , п), где возникают разрывы первого рода.
Полное количество движения системы материальных
точек получается суммированием количеств движения
каждой точки в отдельности. Если рассматривается
сплошное тело, его полное количество движения получа-

320 ГЛАВА 4
ется интегрированием количества движения элемента
массы по всей занимаемой телом области; важную роль
при этом имеет интеграл Стилтьеса. Такие утверждения
могут быть сделаны для всех вводимых здесь величин.
Мы же ограничимся утверждениями, которые касаются
только материальной точки.
Скачок количества движения в момент разрыва ti,
который имеет вид
выражается через скачок скорости в рассматриваемый
момент разрыва.
Введем еще величины
Г t" t"
\?{t)dt, jF(/)rf/, \Tc(i)dt, D.1.13)
/' /' V
являющиеся соответственно импульсом обобщенной силы,
импульсом обычной силы и импульсом добавочной силы
на интервале времени^', t"\.
Для первой и третьей из введенных величин примене-
применены классические обозначения, несмотря на то что соот-
соответствующие интегралы не имеют, вообще говоря, смыс-
смысла с точки зрения теории обобщенных функций.
Замечая, что
i-i
и используя формулу D.1.9), можно написать
Г Г ___ л
t' t' l-l
Теорема 4.1.3. Импульс обобщенной силы, действую-
действующей на некоторую материальную точку на определенном
интервале времени, равен импульсу обычной силы, дей-

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 321
ствующей на ту же точку на том же интервале времени,
к которому добавляется сумма скачков количества дви-
движения материальной точки, соответствующих моментам
разрыва.
Момент количества движения материальной точки
определяется соотношением
Ko@ = r(*)xH(/) = r(/)x[mv(*)]. D.1.15)
Скачок в момент разрыва момента количества дви-
движения, который имеет вид
х v ft+О) —тг {*,) X v (*, —0) =
= mr(tt) X V,=rft) X (ДН)Ь D.1.16)
выражается через скачок количества движения (или ска-
скачок скорости) в рассматриваемый момент разрыва.
Введем еще величины
> |, D.1.17)
являющиеся соответственно интегралом момента обоб-
обобщенной силы, интегралом момента обычной силы и ин-
интегралом момента добавочной силы на интервале време-
времени [f, t"]. Для первой и третьей из введенных величин
применены классические обозначения, несмотря на то
что соответствующие интегралы не имеют, вообще гово-
говоря, смысла с точки зрения теории обобщенных функций.
Исходя из соотношения D.1.9), можно написать
г г г
Г M0F (/) dt= f MOF {t) dt+ f M0Ff (t) dt,
j j j
t' t' t'
или
t" t" __ n_
D.1.18)
Теорема 4.1.4. Интеграл момента обобщенной силы,
действующей на материальную точку на определенном
интервале времени, равен интегралу момента обычной
11—3677

322 ГЛАВА 4
силы, действующей на ту оке точку на том же интервале
времени, к которому добавляется сумма скачков момента
количества движения материальной точки, соответствую-
соответствующих моментам разрыва.
4.1.1.4. Работа силы. Кинетическая энергия
Работа силы F(t) на интервале времени [V, t"\ опре-
определяется формулой
J(t).dr{t), D.1.19)
где точкой обозначено скалярное произведение.
Введем обозначения
t"
F«@ •*('). D-1.20)
где LF — работа обобщенной силы F{t), L-p—работа
обычной силы F(t), г Lr —работа добавочной силы
Fc(t). Для первой и третьей из введенных величин при-
применены классические обозначения, несмотря на то что
соответствующие интегралы не имеют, вообще говоря,
смысла с точки зрения теории обобщенных функций.
Можно написать
. D.1.21)
Теорема 4.1.5. Работа заданной обобщенной силы,
действующей на свободную материальную точку на оп-
определенном интервале времени, равна сумме работы за-
заданной обычной силы, действующей на ту же материаль-
материальную точку на том же интервале времени, и работы задан-
заданной добавочной силы, действующей на материальную
точку на рассматриваемом интервале времени.
Аналогично для обобщенной реакции связей будем
иметь
D.1.21')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 323
Теорема 4.1.5'. Работа обобщенной реакции связей,
действующей на несвободную материальную точку на
определенном интервале времени, равна сумме работы
заданной обычной реакции связей, действующей на ту
же материальную точку на том же интервале времени, и
работы заданной добавочной реакции связей, действую-
действующей на материальную точку на рассматриваемом интер-
интервале времени.
Введенные выше величины имеют вид
(t).dr(t), L$=\ R(/)
| D.1.20')
Кинетическая энергия материальной точки определя-
определяется формулой
T=—mv2(t). D.1.22)
Если ti — момент разрыва, то можно написать соотно-
соотношения
lim T{i)=—m\ Mm v{t)f=— mv2{tt- 0),
t^tt—Q 2 t^t.—u 2
D.1.23)
lim T(t)=—m[ lim v(t)f=—tnv*{t,+0),
которые служат доказательством того, что моменты раз-
разрыва скорости являются и моментами разрыва кинетиче-
кинетической энергии.
4.1.2. Общие теоремы механики материальной точки
Ниже приводятся теоремы об изменении количества
движения, об изменении момента количества движения
и об изменении кинетической энергии для материальной
точки. Для дискретной или непрерывной механической
системы можно сделать аналогичные утверждения.

324 ГЛАВА 4
4.1.2.1. Теорема об изменении количества
движения
В рамках теории обобщенных функций второй закон
механики имеет вид
F(t)—~[mv(t)}. D.1.24)
Если разрывов нет, этот закон записывается в виде
Заметим, что
где скачок количества движения определяется формулой
D.1.12). Используя соотношение
(/-/')> DЛ>25)
определяющее добавочную силу, получаем
-iLH(*)=F(/)=F@+Ff@- D.1.26)
Теорема 4.1.6. (Теорема об изменении количества дви-
движения.) Производная по времени в смысле теории обоб-
обобщенных функций количества движения свободной мате-
материальной точки равна заданной обобщенной силе, дейст-
действующей на эту точку.
Для несвободной материальной точгм имеем
JLH(O = F(*) + R(O. D.1.26')
Теорема 4.1.6'. Производная по врсг.ени в смысле тео-
теории обобщенных функций количества движения несво-
несвободной материальной точки равна сумме заданной обоб-
обобщенной силы и обобщенной реакции связей, действую-
действующих на эту точку,

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 325
4.1.2.2. Теорема об изменении момента
количества движения
Если скорость и ускорение точки являются непрерыв-
непрерывными функциями, то теорема об изменении момента ко-
количества движения записывается в виде
D.1.27)
Если скорость имеет разрывы первого рода, то можно
написать
(=1
где скачок момента количества движения определяется
соотношением D.1.16). В этом случае имеем
^ f (/), D.1.28)
где момент добавочной силы определяется по формуле
1-1
= 2 (ДК),8 (/-/,). D.1.28')
Теорема 4.1.7. (Теорема об изменении момента количе-
количества движения.) Производная по времени в смысле тео-
теории обобщенных функций момента количества движения
свободной материальной точки равна моменту заданной
обобщенной силы, действующей на эту точку, относитель-
относительно полюса той же системы координат.
Для несвободной материальной точки выполняется
следующее уравнение:
4 R(/). D.1.28")

326 ГЛАВА 4
Теорема 4.1.7'. Производная по времени в смысле тео-
теории обобщенных функций момента количества движения
несвободной материальной точки равна сумме моментов
заданной обобщенной силы и реакции связей, действую-
действующих на эту точку, относительно полюса той же системы
координат.
4.1.2.3. Теорема об изменении кинетической энергии
Из соотношения D.1.19) можно получить
что приводит к теореме об изменении кинетической энер-
энергии (в обычном смысле) следующего вида:
L=T(f)-T{t'). D.1.29)
Для производной по времени кинетической энергии
можно написать
__ я
таг
где скачок кинетической энергии, соответствующий мо-
моменту разрыва t{, имеет вид
(лЛ,=-^-т[*»(^+0)-<0»(//-0)]. D.1.30)
Используя соотношение D.1.21), получим
f _ г, f
t' /-I t>
откуда
D.1.31)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ Ж!
Теорема 4.1.8. (Теорема об изменении кинетической
энергии.) Работа заданной обобщенной силы, действую-
действующей на свободную материальную точку на определенном
интервале времени, равна разности между кинетической
энергией в конечный момент времени и кинетической
энергией в начальный момент времени, к которой добав-
добавляется сумма скачков кинетической энергии этой точки,
соответствующих моментам разрыва.
В случае несвободной материальной точки следует
рассмотреть также механическую работу LR обобщен-
обобщенной реакции связей, т. е.
D.1.31')
Теорема 4.1.8'. Сумма работ заданной обобщенной си-
силы и обобщенной реакции связей, действующих на несво-
несвободную материальную точку на определенном интервале
времени, равна разности между кинетической энергией
в конечный момент времени и кинетической энергией в
начальный момент времени, к которой добавляется сум-
сумма скачков кинетической энергии этой точки, соответст-
соответствующих моментам разрыва.
4.1.3. Общие теоремы механики в случае
столкновений
Ниже приводятся теоремы об изменении количества
движения, об изменении момента количества движения
и об изменении кинетической энергии для материальной
точки, участвующей в столкновениях. Для дискретной
или непрерывной механической системы можно сделать
аналогичные утверждения.
4.1.3.1. Общие положения
Используя понятия обобщенной силы и количества
движения обобщенной силы, введем понятие удара, при-

328 ГЛАВА 4
ложенного к материальной точке, с помощью формулы '
Р= Mm fF (/)<#, D.1.32)
где предел рассматривается в смысле теории обобщенных
функций.
Очевидно, что и в этом случае интеграл не имеет
смысла с точки зрения теории обобщенных функций;
однако мы применим такую запись, чтобы она совпала с
классической.
Предположим, что интервал [f, t"] содержит только
одну точку разрыва t0 и таков, что \t"—t'\<e, где е —
произвольное положительное число. В таком случае рас-
рассматриваемые силы являются обобщенными и удар мож-
можно считать обычным явлением, для которого применимы
законы механики (см. разд. 4.1.1).
4.1.3.2. Теорема об изменении количества движения.
Теорема об изменении момента количества движения
Используя одну из теорем о среднем, можно написать
г
lim fF(f)<//=0, D.1.33)
f
lim fMoF(/)rf/ = 0. D.1.33')
Следовательно, благодаря разрывам количеством
движения обычной силы и интегралом момента обычной
силы можно пренебречь по сравнению с количеством дви-
движения добавочной силы и интегралом момента добавоч-
добавочной силы. Таким образом, получаем
г
lim [?(t)dt=mv0 D.1.34)
1 Иногда вместо введенного здесь термина «удар» используется
термин «ударный импульс». — Прим. ред.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 32D
llm f MOF (f) dt=r0 x (mvol, D.1.34')
t'-t'-^+oJ,
где Го — радиус-вектор в момент разрыва, a vo-—скачок
скорости, соответствующий этому моменту.
Теорема 4.1.6 принимает вид
(ДНH = Р. D.1.35)
Теорема 4.1.9. (Теорема об изменении количества дви-
движения.) Скачок количества движения материальной точ-
точки в момент разрыва равен удару, действующему на рас-
рассматриваемую точку в этот момент.
С помощью теоремы 4.1.7 и формулы D.1.32) получим
(ДКH=гоХ(ДНH=гохР. D.1.36)
Теорема 4.1.10. (Теорема об изменении момента коли-
количества движения.) Скачок момента количества движения
материальной точки в момент разрыва равен моменту
удара, приложенного к точке в рассматриваемый момент
разрыва.
Оба момента вычисляются относительно одного и того
же полюса рассматриваемой системы координат.
4.1.3.3. Теоремы об изменении кинетической энергии
Пусть v' — скорость точки до столкновения, a w" — ее
скорость после столкновения. Теорему об изменении ко-
количества движения рассматриваемой точки можно запи-
записать в виде
mvo = m(v"-v') = P. D.1.35')
Умножая скалярно это соотношение на v", получим
,п\ — mv'.v"=P-v"
или
= Pv", D.1.37)

330 ГЛАВА 4
где
' = — mv'2 D.1.38)
является кинетической энергией точки до столкновения,
Т"=—mv D.1.38')
представляет собой кинетическую энергию точки после
столкновения, а
T0=j-m(v"-v'T = ^-mv20 D.1.33")
является кинетической энергией потерянной скорости.
Изменение кинетической энергии точки дается соот-
соотношением
Г'-Г, D.1.39)
и, таким образом, формулу D.1.37) можно записать в
виде
(ДГH+Г0=Р-у". D.1.37')
Теорема 4.1.11. (Теорема об изменении кинетической
энергии.) Сумма изменения кинетической энергии мате-
материальной точки в момент разрыва и изменения кинетиче-
кинетической энергии потерянной скорости в этот же момент вре-
времени равна скалярному произведению удара, приложен-
приложенного к рассматриваемой точке, на ее скорость после мо-
момента разрыва.
Если
P-v"=0 D.1.40)
(что может иметь место, например, когда после столкно-
столкновения материальная точка останавливается), то получа-
получаем соотношение
0. D.1.41)
Теорема 4.1.12. (Теорема Кар но.) Если выполняется
условие D.1.40), то сумма изменения кинетической энер-
энергии материальной точки в момент разрыва и изменения

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 331
кинетической энергии потерянной скорости в тот же мо-
момент времени равна нулю.
Умножая скалярно соотношение D.1.35') на v', по-
получим
mv"-v' —mv'2 = P-v'
или
Г" —7" —7*0=P-v', D.1.42)
откуда
(bTH-T0=P-v'. '"" D.1.42')
Теорема 4.1.11'. Разность между изменением кинети-
кинетической энергии материальной точки в момент разрыва и
изменением кинетической энергии потерянной скорости
в тот же момент времени равна скалярному произведе-
произведению удара, приложенного к рассматриваемой точке, на
ее скорость до момента разрыва.
Приведенная теорема является аналогом теоремы об
изменении кинетической энергии при ударе.
Если,в частности,
P-v'=0, D.1.40')
то (ДГH=Г0.
Теорема 4.1.12'. Если выполняется условие D.1.40'), то
изменение кинетической энергии материальной точки в
момент разрыва равно изменению кинетической энергии
потерянной скорости в тот же момент времени.
Эта теорема является аналогом теоремы Карно при
ударе.
Складывая соотношения D.1.37') и D.1.42') почленно,
получим
(A7-H=-i-P.(v4 v"). D.1.43)
Теорема 4.1.13. (Теорема Кельвина.) Изменение кине-
кинетической энергии материальной точки в момент разрыва
равно скалярному произведению удара, приложенного к
рассматриваемой точке, на полусумму скоростей точки
до и после разрыва.

332 ГЛАВА 4
Из соотношений D.1.37') и D.1.42') получим
ro=-^-P-(v" —v') = J-P.Vo. D.1.43')
Теорема 4.1.13'. Кинетическая энергия потерянной ско-
скорости в момент разрыва равна половине скалярного про-
произведения удара, приложенного к рассматриваемой ма-
материальной точке, на скачок скорости в рассматриваемый
момент разрыва.
Эта теорема является аналогом теоремы Кельвина
при ударе.
Используя понятия обобщенной реакции связей и ко-
количества движения обобщенной реакции связей, можно
ввести понятие удара связей материальной точки с по-
помощью определяющей формулы
г
Рд= lim \R{t)dt, D.1.32')
f
где предел рассматривается в смысле теории обобщен-
обобщенных функций. В этом случае в сформулированных выше
теоремах следует добавить соответствующие дополни-
дополнительные члены.
4.2. ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ
4.2.1. Динамика материальной точки
4.2.1.1. Динамика свободной материальной точки
Движение свободной материальной точки описывает-
описывается вторым законом Ньютона. Рассмотрим уравнение дви-
движения D.1.Г), где F(/) является обобщенной силой
D.1.9), а дифференцирование проводится в смысле тео-
теории обобщенных функций. Предположим, что вектор r(t)
определен при t^R. Это один из способов представления
уравнения движения в обобщенных функциях, для кото-
которого начальные условия должны быть уточнены отдельно.
Если мы хотим ввести начальные условия в уравне-
уравнение движения, поступим следующим образом. Используя

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 3 МЕХАНИКЕ 3.33
уравнение движения D.1.Г), в котором сила F(t) явля-
является обычной и дифференцирование проводится в обыч-
обычном смысле, можно написать
m^r(t) = f(t), t>tQ. D.2.1)
Предположим, что в начальный момент t=t0 заданы
радиус-вектор г0 и скорость Vo. Эти условия являются
начальными условиями типа Коши (фиг. 4.2).
Рассмотрим йовую функцию r(t), Определяемую при
соотношением
(О при t<t0,
7(/) = 6 (/-/„} Г (/) = r0 при / = /„, D.2.2)
[ r(t) при
Скорость будет иметь вид
10 при
v0 при t = tQ, D.2.3)
v(/) при
Заметим, что г0 и v0 являются скачками соответственно
радиуса-вектора и скорости в начальный момент t = to.
Дифференцируя последовательно обобщенную функцию
D.2.2), получим скорость и ускорение материальной

Ш ГЛАВА 4
точки:
D.2.4')
Нетрудно заметить, что выражение D.2.4) соответствует
обобщенной функции, определяемой соотношением
D.2.3).
Подставляя полученное ускорение в уравнение D.2.1)
и предполагая, что разрыв может быть не только при
t=to, но и в другие моменты, что обусловливает появле-
появление добавочной силы D.1.8), можно записать основное
уравнение механики в виде
где F(t) —обобщенная сила. Таким образом, начальные
условия введены в уравнение D.2.5). Это уравнение
включает обобщенные функции и соответствует задаче
Коши для уравнения D.2.1).
Используя соотношение B.1.34), можно записать
частное решение для оператора d2jdt2 в виде
?(*)=« (*) = '+¦ D.2.6)
В этом случае решением уравнения D.2.5) будет следую-
следующее:
Г(*)=Я (/) * [-1 F
откуда следует
7{t)=-L m (i) > f (/)+v0 (t - g + + roe (t - g, /s R.
m
D.2.7)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ
335
Если F(t) является локально интегрируемой функ-
функцией, можно написать
—
т
D.2.7')
Если обобщенная сила имеет общий вид F = F(r, r; t),
то основное уравнение D.2.5) не меняется, но для его ре-
решения нельзя воспользоваться указанным приемом. Не-
Необходимо задавать конкретный вид уравнения движения.
В случае несвободной материальной точки к заданной
силе F(t) прибавляется реакция связей R{t).
4.2.1.2. Движение тяжелой материальной точки
в пустоте
Рассмотрим тяжелую материальную точку, находя-
находящуюся в пустоте под действием силы F — mg, где g — ус-
ускорение свободного падения. Задача Коши состоит в
определении радиуса-вектора r = r(t), когда известны
радиус-вектор г0 и скорость v0 точки в начальный момент
времени ^о (фиг. 4.3, а). С помощью формулы D.2.7)
получаем
откуда
D.2.8)
D.2.8')
Фиг. 4.3.

336 ГЛАВА 4
Этот результат можно использовать для решения
двухточечной задачи. Если необходимо определить дви-
движение в пустоте тяжелой материальной точки, для кото-
которой удовлетворяются условия (фиг. 4.3, б)
F(/1) = r1, F(/2)=r2> D.2.9)
можно воспользоваться соотношением вида D.2.8), пред-
предполагая начальную (при t = t\) скорость известной. Сле-
Следовательно,
Используя и второе из условий D.2.9), можно написать
г2 = — (t2 —1{) \ g -f (t2 —1{)+ Vi -f 6 (t2 — tt) rt =
1 /,
откуда
_ 1 _ . i_ _.
h — tx ( 2
Таким образом, решение двухточечной задачи имеет вид
7 /I)rI, t^R, D.2.10)
'2 —Ч
ИЛИ
г (/) = -!-(/-/,)(/-*2) g+
L, 'e[/,, /2]. D.2.10')
'2 — '1
Рассмотрим смешанную двухточечную задачу, для ко-
которой задаются условия
Fft) = ri, v(/2) = v8. D.2.11)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 337
Если известна скорость в момент t = tu то можно написать
v(/) = (/-/1)+g + e('-^i)v1 + r18 (/-/О-
Используя второе краевое условие D.2.11), получаем
откуда
Vi = V2-(/2-/i)g-
Траектория движения материальной точки описывается
уравнением
, D.2.12)
или
D.2.12')
4.2.2. Линейные колебания
4.2.2.1. Общие положения
Рассмотрим вынужденные колебания материальной
точки под действием квазиупругой силы притяжения
F(x)=—kx, k>0 (фиг. 4.4, а) или квазиупругой силы
отталкивания F(x)=kx, k>0 (фиг. 44., б), и возмущаю-
возмущающей силы Q(t)=mq(t), t^O, где m — масса точки, a k —
коэффициент квазиупругой силы.
Используя обозначение
—=о>«, D.2.13)
m
Fix) A Q(t)
о «со >¦ ->- о—
О X О
а
Фиг. 4.4.

338 ГЛАВА 4
можно записать уравнение движения материальной точ-
точки под действием квазиупругой силы притяжения в виде
¦^x(i) + «?x(t)=q(t). D.2.14)
Уравнение, соответствующее квазиупругой силе оттал-
отталкивания, имеет вид
JJLx(t)-«?x(f) = q(t). D.2.14')
Таким образом, операторы й?2/й?Я + со2 и d2/dt2—со2 (см.
разд. 2.1.1.4) имеют глубокий механический смысл и
играют важную роль при решении задач о механических
колебаниях. С помощью фундаментальных решений
?@ можно записать решение уравнений D.2.14) и
D.2.14') в виде
x(t)=E(t)*q(t). D.2.15)
Если q(t) является интегрируемой функцией, то
x(f)= \)q{T)E{t — x)dx. D.2.15')
4.2.2.2. Задача Коши
В начальный момент t=0 зададим условия типа
Коши следующего вида:
limx(f)=xot Um-^-x(t) = vQ. D.2.16)
t^+o <-+o dt
Нулевым продолжением при ^<0 введем функции
x(f) = B(f)x(f), q(f) = 9(f)q(t). D.2.17)
Замечаем, что
JLj D.2.17')
dt dt
^0b (t). D.2.17")

применения Обобщенных функций ё механике 33')
Уравнение D.2.14), которое рассмотрим вначале, прини-
принимает вид
¦^x(f) + <#x(f)=j(t) + vji(f) + xj(t)=f(t). D.2.18)
Соответствующее уравнение в свертках записывается как
[l(f)+«K(t)\*x(t)=f(t). D.2.18')
Используя результаты, полученные в разд. 2.2.1.2, по-
получим
откуда
X{t) = — fl (/) Skim
+ ^- 8 (t) sin mt+xo6 (t) cos w/, t e /?. D.2.19)
Если q(t) является локально интегрируемой функцией, то
.— sin ш( -\-xQ
D.2.19')
В случае когда в начальный момент действует им-
импульсная возмущающая функция, для q(t) получим вы-
выражение
b(t), D.2.20)
которое приводит к решению
x(t) = l-±^e(t) s\nuti-xQe(t)coswt. D.2.21)
со
Это выражение является решением уравнения

340 ГЛАВА 4
При t>0 уравнение D.2.22) записывается как
d2 ) = O. D.2.22')
Решение этого уравнения имеет вид
x{t)=l+v° siiW-f ^ cos (of. D.2.21')
Заметим, что это решение не удовлетворяет второму из
условий D.2.16), так как начальный импульс вводит
дополнительную начальную скорость, равную единице, и
начальная скорость, таким образом, становится равной
1+О0-
Рассмотрим задачу Коши для уравнения D.2.14'), ко-
которое после аналогичных проделанным ранее преобра-
преобразованиям принимает вид
?-Гх (/) _ ш^ (/)=? (t) + vob (t) +xob (t) =f (t). D.2.23)
Используя результаты из разд. 2.2.1.2 для соответствую-
соответствующего уравнения в свертках
D.2.23')
получим
?(*) = !?) sh at* [q{t) 4- г;08 {t) + хф {t)]t
откуда
D.2.24)
Если q(t)—локально интегрируемая функция, то
имеем
t
x{t) = — f s,h^{t-x)q{x)dx-\-
и
^ ^>0. D.2.24')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 311
Если q(t) имеет вид D.2.20), то получается следую-
следующее решение:
x{t) =i±HS (/) shо)/ + л:ое (t)charf. D.2.25)
(а
а если
b(t), D.2.26)
то решение имеет вид
x(t) = b(t) + — («>2+;t0)e(/<)sW + .x:0e(/<)ch о/. D.2.27)
И в этом случае можно сделать аналогичные замечания
относительно начальных условий.
Для уравнения D.2.14), соответствующего квазиупру-
квазиупругой силе притяжения, можно рассматривать некоторую
двухточечную задачу с условиями вида
x{t1) = xl, x{t2) = x2. D.2.28)
Предполагая, что q(t) является локально интегрируе-
интегрируемой функцией, запишем выражение D.2.19') в виде
х
(/) = — Г sin ш(/ — t)/(t)oTt-j-
«> J
— sin u>(t—t,L-xncosu>(t — i
w
где использованы условия типа Коши в начальный момент
t\. Подстановка второго из условий D.2.28) дает
Is
х2=\ sin (о (t2 — т) / (т) dx -f-
откуда можно определить неизвестную скорость V\ в на-
начальный момент. Исключая скорость »t из полученных
выражений, получим решение поставленной двухточечной

342 ГЛАВА 4
задачи в виде
х(п = |sina)(/2 —/j) Г sin<o(/ —
«sin <a(t2 — tx) I J
t
— sin со (/ — t)
in со (/ — tt) f sin o) (^ — t) / (t) dx +
inm(/_/1)]l . D.2.29)
Этот результат справедлив при t2^ti+ {kn/a),
Для уравнения D.2.14') можно учесть двухточечные
условия вида D.2.28). Проделав аналогичные выкладки,
получим решение
1 ( ?'
x(t) = <shu)(^2 — ^i) I shu)(/ — x)f(x)dx —
iosh«i(<2 — *l) I J
* 'i
t
- sh ш (t - tx) J sh a) (t2 - x) f (t) dx +
+<о[д:1§Ьи)(/'2 — /) + jc2sho)^—/Jjl. D.2.29')
4.2.3. Нити. Балки
Тела, у которых один размер (длина /) намного пре-
превышает остальные два размера а и Ь (соответствующие
поперечному сечению), называются балками1^. Следова-
Следовательно, для таких тел выполняется условие
а, Ь<&1. D.2.30)
В зависимости от формы оси балки подразделяют на
прямые и кривые. Ниже будет получено несколько ре-
результатов, касающихся прямых балок.
1 Различие между балкой и стержнем определяется действующей
на них нагрузкой. Если тело работает на изгиб, то оно называется
балкой, если же тело подвержено продольным нагрузкам, то оно на-
называется стержнем. — Прим. ред.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 343
Если размеры поперечного сечения балки пренебре-
пренебрежимо малы по сравнению с ее длиной и она абсолютно
гибкая, то такое тело называется нитьюJ).
4.2.3.1. Нити
Пусть АВ — абсолютно гибкая нерастяжимая нить,
закрепленная в точках А и В (фиг. 4.5). Считая положи-
положительным направление от точки А к точке В, положение
Фиг. 4.5.
произвольной точки на нити определим ее расстоянием s
от точки А вдоль нити. Предположим, что на нить дей-
действуют силы, определенные векторной функцией F(s),
непрерывной по 5 всюду, за исключением конечного чис-
числа точек, где она имеет разрывы первого рода.
Для получения уравнений равновесия нити освободим
ее в точке А, заменяя связь реакцией RA. В произвольной
точке Р сделаем разрез и заменим действие части РВ
нити на часть АР силой Т (натяжение), приложенной в
выбранной точке и направленной по касательной к нити.
Можно написать
u(s)xT(s)=0, D.2.31)
где u(s) —орт касательной к уравновешенной нити.
1 Если рассматриваемое тело является нерастяжимым, то оно
называется нитью, если же тело растяжимо, то оно называется стру-
струной, — Прим. ред,

344 ГЛАВА 4
Обозначим через R(s) равнодействующую сил, дей-
действующих на часть АР. В этом случае необходимое усло-
условие равновесия принимает вид
= 0. D.2.32)
Из сделанных утверждений следует, что и равнодей-
равнодействующая R(s), и натяжение T(s) являются непрерыв-
непрерывными функциями вместе со своими первыми производ-
производными всюду, за исключением конечного числа точек, в
которых имеются разрывы первого рода. Важно отме-
отметить, что точки разрыва равнодействующей и натяжения
являются точками приложения сосредоточенных сил.
Между точками разрыва натяжение T(s) направлено,
согласно уравнению D.2.31), по касательной к уравнове-
уравновешенной нити.
Если силы, действующие на нить, выражаются через
непрерывную функцию F(s), то равнодействующая R(s)
имеет вид
s
R(s)=fF(o)rfo, D.2.33)
6
или
~R(s) = F(s). D.2.33')
ds
Вообще говоря, равнодействующая R(s) не является
всюду дифференцируемой функцией, так что соотноше-
соотношение D.2.33') не удовлетворяется всюду.
Дифференцируя соотношение D.2.32) в смысле тео-
теории обобщенных функций, получим
-f-T(s) + -?-R(s)=0. D.2.34)
ds ds
Обозначим производную в смысле теории обобщенных
функций равнодействующей R(s), как и в D.2.33'), и на-
назовем ее обобщенной силой на единицу длины нити. Та-
Таким образом, уравнение равновесия нити примет вид
^B =O. D.2.35)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 34"
Условия равенства нулю моментов всех сил, действую-
действующих на дугу АР, относительно произвольной точки при-
приводит к уравнению D.2.31). Следовательно, получаем
_ п
d „ . ч^_^_
ds ds
n
I—1
где(AT) { и (AR)i — скачки натяжения и равнодействую-
равнодействующей, соответствующие точкам разрыва s — s^ (t=l, 2, ...
..., п). Уравнение D.2.34) принимает вид
D.2.36)
Как и в разд. 4.1.1.2, можно показать, что соотношение
D.2.34) выполняется тогда и только тогда, когда
T(s) + r(sH>
ds ds
+ (AR); = 0 (Z=l, 2,..., л). D.2.37)
Если ввести обычную силу по формуле
F(s)=—R(s), D.2.33")
то можно записать уравнение D.2.35) в виде
^ O. D.2.35')
Это уравнение применяется на участках нити, заключен-
заключенных между точками разрыва натяжения T(s).
Из уравнения D.2.36) видно, что в каждой точке раз-
разрыва сумма скачков натяжения и равнодействующей
сил равна нулю.

346
ГЛАВА 4
Если в точке нити с криволинейной абсциссой s0 дей-
действует сосредоточенная сила F, то равнодействующая
будет иметь вид
R(s)=F9(s-s0), D.2.38)
где введена обобщенная функция Хевисайда. Обобщен-
Обобщенная сила на единицу длины имеет вид
F(s) = F8(s-so)( D.2.39)
Фиг. 4.6.
а уравнение равновесия нити, на которую действует толь-
только эта сосредоточенная сила, записывается следующим
образом:
— T(s) + F8(s — so)=O. D.2.40)
Если на нить действуют сосредоточенные силы F*
(i=l, 2, ..., п), приложенные в точках Si<s2< ... <s,<
<... <sn, то она принимает форму ломаной линии
АР\Р2...Р{...РпВ (фиг. 4.6). Уравнение равновесия в
обощенных функциях имеет вид
D.2.41)
или
D.2.42)
D.2.42')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 34?
Из уравнения D.2.42) видно, что натяжение является
кусочно постоянным, а уравновешенная нить имеет фор-
форму ломаной. С другой стороны, из того, что
-T,_u D.2.43)
_1=0, D.2.43')
следует, что соотношение D.2.42') соответствует равно-
равновесию точки Pit на которую действует сосредоточенная
сила Fj и натяжения T<.<_i и Tj,j+i (фиг. 4.7).
Фиг. 4.7.
Интегрируя уравнение D.2.41), получаем натяжение
в произвольной точке нити, за исключением точек раз-
разрыва
Т (s)= -j? F,6 (S-Sl)-RA. D.2.44)
В точках разрыва появляются соответствующие скачки.
Если r(s)—радиус-вектор произвольной точки нити,
то из уравнения D.2.31) найдем
Ffi(s—SjJ + rJ, D.2.45)
7^=1 J
где
Т=|Т|=1/ RH-У Ffi(s-Sl) . D.2.45')
Замечая, что орт касательной к уравновешаннои нити
имеет только разрывы первого рода, и принимая точку А

348 ГЛАВА 4
за начало координат, интегрированием получим
;=0
D.2.46)
для st<s<St+i (& = 0, 1, 2,...,n), so=O, sn+1 = /,
где / — длина нити. Предполагается также, что F0 = Ra.
Таким образом, получено уравнение равновесия нити, на
которую действуют п сосредоточенных сил Ft (t=l, 2, ...
)
4.2.3.2. Балки
Рассмотрим задачу изгиба прямой балки, принимая
гипотезы сопротивления материалов (точнее, гипотезу
Бернулли плоских сечений) и используя результаты, по-
полученные при рассмотрении обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений. В рамках этих гипотез рассмотрение
деформации прямой балки сводится к рассмотрению де-
деформации срединного волокна; деформированное средин-
срединное волокно называется еще упругой линией балки.
Направляя ось Ох системы координат вдоль оси бал-
балки и предполагая, что балка изгибается под действием
распределенной нормально оси Ох нагрузки q(x), запи-
запишем дифференциальное уравнение упругой линии в виде
* ^), D.2.47)
dxi ч ' El ч '
где Е — продольный модуль упругости, а / — момент
инерции поперечного сечения балки относительно нейт-
нейтральной оси') (проходящей через ось балки перпендику-
перпендикулярно плоскости изгиба). Произведение El называется
изгнбной жесткостью балки. Нагрузка q(x) и перемеще-
перемещение v(x) считаются положительными, если они направ-
1 Нейтральной осью называется волокно, не испытывающее при
изгибе ни растяжения, ни сжатия. — Прим, ppfl

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 34е)
лены по оси Оу (предполагается, что изгиб балки про-
происходит в плоскости Оху).
Заметим, что фундаментальная система решений од-
однородного уравнения, соответствующего уравнению
D.2.47), такова:
VX(X)=\, V2{X) = X, V3{X) = — X2,
D.2.48)
Используя изложенное в разд. 2.3.1.1, можно записать
частное решение Е+{х) в виде
v() e()zxl. D.2.49)
Е+{х) = vi+(x) e(x)x
+ i / El 6Е1 к ' 6Е1
Тогда общее решение уравнения D.2.47) будет выра-
выражаться следующим образом:
v(x) = —
D.2.50)
где постоянные Си C2, C3, C4 находятся из условий за-
закрепления балки. Уравнение упругой линии можно запи-
записать в виде
El V '2 ° '6 '6 ¦/
= г>0 (*)•?(*), D.2.50')
где Аи Л2, Л3, Л4 — другие постоянные, которые опреде-
определяются тем же путем.
Рассмотрим, например, прямую балку ОА длиной '
(фиг. 4.8), защемленную в точке О и со свободным кон-
концом Л (консоль). Предположим, что на свободном конце
А действует сосредоточенная сила Р, направленная в
отрицательном направлении оси Оу. Эквивалентная на-
нагрузка будет равна
?(*)=-/>»(.*--/), D.2.51)

350
ГЛАВА 4
а уравнение изогнутой упругой оси имеет вид
-I-C4*3—?-(x-/K+], xee[0,
Фиг. 4.8.
D.2.52)
Уравнение D.2.52) может быть записано и как
D.2.52')
где постоянные интегрирования определяются из условий
защемления (условий типа Коши)
х=0:
—
D.2.53)
и из условий для изгибающего момента и перерезываю-
перерезывающей силы (тоже условий типа Коши)
IL -*-v[x) = -?-, D.2.53')
El ' dx? У ' El ( '
Таким образом, определив постоянные
А1==±Р, А3=±Р, А3=0, Л4=-1,

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 351
получим решение в окончательном виде
?2{31~х)< Х<ЕЕ[О> 1]- D-2-54)
Если в случае, когда на балку в точке А действует
сосредоточенная сила Р, которая выражается в виде
q(x) —Qa(x), использовать уравнение упругой линии
D.2.50'), то представление C.2.14) принимает вид
), I], D.2.55)
u j
поскольку
vo{x)*Qtn{x) = O, t>4. D.2.56)
Итак, максимальный порядок п направленных моментов
в этом случае равен трем.
Если рассматриваются поперечные свободные колеба-
колебания (собственные колебания) прямой балки бесконечной
длины, то начальными условиями будут тоже условия
типа Коши. Предполагая, что ось координат Ох направ-
направлена вдоль оси балки, запишем дифференциальное урав-
уравнение поперечных собственных колебаний балки в пло-
плоскости Оху в виде
-^-v(x; tL-— — v(x; t) = 0 t>0. D.2.57)
Здесь с — скорость распространения волн
с = Л/ — D.2.58)
где El — изгибная жесткость, а р — плотность материа-
материала балки.
Наложим начальные условия
\imv(x; t)=A(x), Urn -?-
t^+o f->-+o ot
D.2.59)

352 ГЛАВА 4
где дифференцирование проводится в смысле теории
обобщенных функций, a }i{x) и f2(•*-')—-известные обоб-
обобщенные функции.
Чтобы заменить дифференциальное уравнение D.2.57)
уравнением в обобщенных функциях, введем обобщен-
обобщенное перемещение
v{x; t) = d(t)v(x; t). D.2.60)
Оно получено нулевым продолжением влево, а при / — 0
имеет разрыв первого рода. Можно написать
v (x; t) = v (x
и, следовательно, дифференциальное уравнение D.2.57)
примет вид
D.2.57')
Это уравнение записано в обобщенных функциях и со-
содержит заданные начальные условия.
Отметим, что такой прием может быть использован
и для других уравнений движения аналогичного вида.
Чтобы найти решение уравнения D.2.57'), применим
к нему преобразование Лапласа по времени и преобра-
преобразование Фурье по координате. В результате получим
c*(-ia)*F[L[v(x; t)\\ + ?F[L[v(x; /)]] =
= -a*cF[f2(x)] + pF[fi(x)],
откуда
D.2.61)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 353
Применяя обратное преобразование Лапласа и учитывая
соотношения A.6.55), A.6.55'). можно написать
F [v (х; t)\ = F [Л (х)} cos («A*) - F [f2 (x)} sin (eft*)-
Обратным преобразованием Фурье последнего выраже-
выражения получим
v{x\ t) = F-*[F\Mx)\cos{a*cf)\-
[\f2{)\{)\
Замечая, что
F [cos-?— -f sin -^—\ = 2 V'2nct cos(a2rt), D.2.62)
FI cos -^- - sin —1 = 2 У 2nd sin (a2r/) D.2.62')
и применяя формулу A.5.25) преобразования Фурье
свертки для случая, когда один из множителей является
обобщенной функцией медленного роста, а другой —
обобщенной функцией с ограниченным носителем, можно
написать решение поставленной задачи в виде
v(x; t) = [/!(*)* (cos—-f sin
Act
-g-)]. D.2.63)
4.2.4. Системы материальных точек
с переменными массами
Ниже будут выведены уравнения Лагранжа для си-
систем материальных точек с переменными массами (сна-
(сначала при непрерывном изменении масс, а затем при
скачкообразном изменении).
4.2.4.1. Уравнения Лагранжа для системы
материальных точек с непрерывным изменением масс
Рассмотрим систему п материальных точек с массами
шг (t=l, 2, ..., п), положение которых определяется
12-3677

354 ГЛАВА 4
обобщенными координатами qk (k= 1, 2,..., h). Допустим,
что на систему наложены только голономные связи, ко-
которые были исключены введением обобщенных коор-
координат.
Обозначим через и/(/) и щ" (t) соответственно скоро-
скорости частиц, захваченных и испускаемых материальной
точкой массы trii(t); пусть m/(t) и m"(t) — соответст-
соответствующие начальные массы частиц. Таким образом, имеем
m^t^m'i (*) + m'{t). D.2.64)
Допустим, что обобщенные силы консервативны и
имеют потенциал U=U(qi, q% ..., qn\ t). Следовательно,
Q*=™, ft = l, 2,..., A, D.2.65)
где производная рассматривается в смысле теории обоб-
обобщенных функций. Допустим также, что обобщенные
силы, соответствующие захвату и испусканию, имеют вид
Qk= , СЛ— (?=1, 2,..., h), D.2.66)
где
-^и|>г,Ю. D-2.66')
а через Гг(<) обозначены радиусы-векторы частиц.
Заметим, что потенциалы V и [/" имеют смысл с точ-
точки зрения теории обобщенных функций, так как скорости
Ui'(t) и Ui"{t) являются функциями обобщенных коорди-
координат класса С0, ъ{1)—класса С, a m/(t) и т"(t) —
класса С1 всюду, за исключением конечного числа точек
разрыва первого рода. Пусть, кроме того, известна кине-
кинетическая энергия T=T(qu q2 qn, <7i, ..., qw, t).
Тогда уравнения движения системы материальных
точек с непрерывным изменением масс получаются из

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 355
условия, что функционал
t, D.2.67)
допустимые линии уровня которого могут быть обобщен-
обобщенными функциями, является стационарным в смысле тео-
теории обобщенных функций. Таким образом, получаются
уравнения
J!r(lT-)~-7r-==Q* + Q*+Q"k (*=1.2,...,A), D.2.68)
dt \ dqk I dqk
которые являются уравнениями Лагранжа для системы
материальных точек с непрерывным изменением масс.
В случае неконсервативных сил F,- можно принять
Уравнения D.2.68) тогда принимают вид
0 (*=1, 2,..., h), D.2.68')
dt \ dqk } dqk
где
?=T+U-\-(J' + (J" D.2.70)
— функция Лагранжа (лагранжиан), соответствующая
консервативным силам.
Если к системе материальных точек приложены удары
(добавочные силы) F{6(^—^i) (t=l, 2, ..., п), соответст-
соответствующие обобщенные силы принимают вид
п
D.2.69')
4.2.4.2. Уравнения Лагранжа для системы
материальных точек
со скачкообразным изменением масс
Если массы /n/@ имеют разрывы первого рода в мо-
моменты времени t, (/«I, 2, .,., п'), а массы m/'U) имеют
18*

356 ГЛАВА 4
разрывы первого рода в моменты времени U A=п'+1, ...
..., п"), то справедливы соотношения
dm'i d m\
dt dt
(i=\,2,...,n), D.2.71)
dm", dm".
dt dt
l-IV
где скачки масс имеют вид
(Д/п,'), = т, {tj -f 0) - tn\ {tj - 0), j = 1, 2,..., л',
D.2.72)
При таких условиях кинетическая энергия Т и лагран-
лагранжиан 3? будут иметь только разрывы первого рода, что
приводит к равенствам
1
л va<7ft; л
; = i
D.2.73)
где
рк=Щ- (k=l, 2,..., h)
— обобщенные импульсы.
Теорема 1.2.2 с учетом полученных результатов по-
позволяет записать уравнение D.2.68) в виде
*w«; * — ¦- (к~хл *М4-2-74)
где
gi-yi^u;.-^. о;-
, v^

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 357
^u;.-fi. (A=I, 2 h) D.2.75)
являются обобщенными силами в обычном смысле, а
л
j^ U=l 2,..., л'),
1-1
D.2.76)
(\т*\ ii" ' (/ ttr I 1 n"\
*¦ dqk
представляют собой условия при скачках.
Полученные уравнения описывают движение системы
материальных точек со скачкообразным изменением
масс.
4.2.4.3. Уравнения Лагранжа при столкновениях
Если в уравнениях D.2.68) положить
Q'k = Q"k=0, D.2.77)
то получатся уравнения Лагранжа для системы мате-
материальных точек с постоянными массами (классический
случай):
При t^[t', t"\ можно записать
J dqk
Допустим, что в рассматриваемом интервале времени
t = t0 соответствует моменту разрыва. Применяя одну из
теорем о среднем, получим
lira

358 ГЛАВА 4
t"
lim Г —
t'
где введен скачок обобщенного импульса.
С помощью обобщенного удара
= lim [Qjt D.2.79)
уравнения Лагранжа принимают вид
=&b (k=l.'2,..., h). D.2.80)
Несмотря на то что в теории обобщенных функций инте-
интеграл не имеет смысла, был использован его знак для
сохранения классической записи.
Теорема 4.1.14. Скачок обобщенного импульса систе-
системы материальных точек, соответствующий моменту раз-
разрыва, равен обобщенному удару, соответствующему тому
же моменту.
Эта теорема является аналогом теоремы об изменении
количества движения при столкновениях, выраженной в
пространстве обобщенных координат.
4.3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
4.3.1. Статические задачи для линейных упругих тел
Чтобы построить математическую модель статической
задачи для линейного упругого тела, рассмотрим некото-
некоторые аспекты геометрии деформаций и теории напряже-
напряжений, а также закон Гука. В рамках математической мо-
модели ньютоновской механики будем считать, что имеют
место следующие основные гипотезы:
а) Изучаемое твердое тело (рассматриваемое в покое
относительно некоторой фиксированной системы коорди*
нат) находится под действием уравновешенных внешни*

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 359
нагрузок (системы нагрузок, статически эквивалентной
нулю).
б) Твердое тело рассматривается как сплошная среда
(без полостей, внутренних микроскопических трещин
и т. д.). Предполагается, что и деформирование тела про-
происходит непрерывным образом; следовательно, деформа-
деформации и напряжения математически представляются по
меньшей мере через непрерывные функции. Для некото-
некоторых точек тела (сингулярных точек), в которых дефор-
деформации и напряжения стремятся к бесконечности, прово-
проводится дополнительное исследование. С другой стороны,
введение обобщенных функций исключает такие точки.
Тела с внутренними полостями (сплошные тела, кото-
которым соответствуют многосвязные области) и тела с внут-
внутренними разрезами или трещинами (частные случаи
многосвязности) должны быть рассмотрены отдельно.
в) Рассматриваемое твердое тело не имеет начальных
напряжений, которые могут возникать из-за некоторых
начальных деформаций материала. Таким образом, пред-
предполагается, что ненагруженному телу (случай нулевых
внешних нагрузок) соответствует нулевое напряженное
состояние.
4.3.1.1. Постановка пространственных задач
теории упругости в перемещениях
Под влиянием внешних воздействий частицы твердого
тела меняют свое положение (относительно некоторой
фиксированной системы координат). Если сдвигом или
вращением можно вернуть эти частицы в начальное по-
положение, которое они имели до приложения внешних
воздействий, то говорят, что рассматривается движение
абсолютно твердого тела. В противном случае рассмат-
рассматриваемое тело деформируется. Совокупность деформаций,
которые претерпевает частица тела, образует деформиро-
деформированное состояние в точке (центр массы частицы). Сово-
Совокупность деформированных состояний, соответствующих
всем точкам (частицам) твердого тела, образует дефор-
деформированное состояние рассматриваемого твердого тела.

360 ГЛАВА 4
Если ввести понятие перемещения точки, то совокуп-
совокупность перемещений всех точек рассматриваемого тела со-
составляет поле перемещений рассматриваемого тела.
Тела, которые перемещаются как абсолютно твердые,
называются жесткими телами; остальные твердые тела
называются твердыми деформируемыми телами. В даль-
дальнейшем будет предполагаться, что рассматриваемые де-
деформации и вращения (соответствующие градиенту пе-
перемещения) малы по сравнению с единицей.
В процессе деформирования равновесие внутренних
сил, связывающих частицы тела, нарушается и возникают
дополнительные внутренние силы. Эти силы, отнесенные
к единице площади, называются напряжениями. Сово-
Совокупность напряжений, соответствующих некоторой части-
частице, образует напряженное состояние в точке. Совокуп-
Совокупность напряженных состояний всех точек твердого тела
образует напряженное состояние рассматриваемого тела.
Деформированное и напряженное состояния некоторо-
некоторого тела вместе образуют напряженно-деформированное
состояние тела.
Определяющие уравнения твердого деформируемого
тела позволяют описать физические свойства материала.
С математической точки зрения такие уравнения дают
связь между деформациями и напряжениями. В даль-
дальнейшем будем считать, что выполняются следующие
упрощенные гипотезы (соответствующие линейным упру-
упругим телам), позволяющие описать определяющие урав-
уравнения:
а) Твердое тело изотропно, т. е. механические (и фи-
физические) свойства в окрестности каждой его точки оди-
одинаковы во всех направлениях.
б) Твердое тело однородно, т. е. механические (и фи-
физические) свойства в каждой его точке одинаковы. Бла-
Благодаря этому механические константы материала, вхо-
входящие в определяющие уравнения, не зависят от
координат.
в) Рассматриваемое тело идеально упругое. Под влия-
влиянием внешних нагрузок тело деформируется, но если
внешние нагрузки перестают действовать на тело, то
оно возвращается в исходное положение и принимает
начальную форму (явление гистерезиса исключается);

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 361
явление деформирования обратимо. Итак, форма дефор-
деформированного идеально упругого тела зависит только от
внешних нагрузок, действующих на него в данный момент
времени. Между напряжениями и деформациями суще-
существует взаимно однозначная связь. Напряженное состоя-
состояние в произвольной точке рассматриваемого тела зависит
только от деформированного состояния окрестности этой
точки. В качестве определяющих уравнений таких сред
будем использовать закон связи между напряжениями и
деформациями (закон Гука).
Имея в виду вышеизложенное, можно перейти к по-
построению математической модели линейного упругого
однородного и изотропного тела, в котором деформации
и вращения являются бесконечно малыми.
Деформированное состояние описывается тензором
деформаций с компонентами e{j = eij(*i, хъ Хз) (i, j=\,
2, 3). Этот тензор является симметричным (га = гц). Если
г' = /, то соответствующие деформации называются удли-
удлинениями, а случай [ф\ соответствует сдвиговым дефор-
деформациям ¦Yij = 2eij. Поле перемещений в теле описывается
вектором перемещений и с компонентами щ = щ{х\, Х2,
х3) (t=l,2,3).
В рассматриваемом линейном случае тензор дефор-
деформаций и вектор перемещений связаны между собой со-
соотношениями Коши
*1)=Щ,} = \(ЩЛЧЯ ('.7 = 1,2,3), D.3.1)
где индексы после запятой означают дифференцирование
по соответствующей координате.
Уравнения D.3.1), рассматриваемые как система из
шести уравнений по отношению к неизвестным щ(х\, х2,
х3), должны быть совместными. Условия совместности
этой системы, которые в то же время являются и усло-
условиями неразрывности деформаций, были предложены
Сен-Венаном в виде (по повторяющимся индексам про-
происходит суммирование)
&mij&n»°-i*.,i=0 (m, n=\, 2, 3), D.3.2)
где ^аи — компоненты антисимметричного тензора Леви-
Чивиты (равные 1, если индексы (i, /, k) образуют чет-

362 ГЛАВА 4
ную перестановку, равные —1, если индексы (i, j, k)
образуют нечетную перестановку, и равные нулю, если
среди индексов (i, /, k) есть равные между собой). Эти
условия являются необходимыми и достаточными при
рассмотрении односвязных областей и являются только
необходимыми при рассмотрении многосвязных областей.
Фиг. 4.9.
Теперь можно проинтегрировать систему уравнений
D.3.1). Перемещения в произвольной точке рассматри-
рассматриваемого тела даются формулами Чезаро
-^)вч,1ЯЙ„ Ь, W№* (* = 1, 2, 3), D.3.3)
где индексы в квадратных скобках означают, что рас-
рассматривается антисимметричная часть соответствующего
тензора относительно соответствующих индексов, а ы,0,
и,-0 (i—1, 2, 3) являются перемещениями и вращениями
в точке P°(Xi°, x2°> *з°)| соответствующими движению рас-
рассматриваемого твердого деформируемого тела как жест-
жесткого целого. Эти формулы справедливы только для одно-
связных тел (фиг. 4.9).

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 363
Заметим, что перемещения должны выражаться через
функции класса Сг, а для деформаций достаточно, чтобы
они были функциями класса С1.
Напряженное состояние характеризуется тензором,
напряжений с компонентами ац = о^(хи Х2, *з) (i. /=1>
2, 3). Тензор напряжений является симметричным
(oij=eji). При i—j соответствующие напряжения назы-
называются нормальными, а при 1ф\ — касательными. Ком-
Компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям
равновесия
= 0 (/=1, 2 3), D.3.4)
где Fi=Fi(xu x2, x3) —компоненты объемных сил, кото-
которые должны быть непрерывными. Напряжения должны
быть функциями класса С1, а если учитывать определяю-
определяющие уравнения, например, линейных упругих тел, то
очевидно, что они должны быть функциями класса С2.
Закон Гука, который будет использоваться в дальней-
дальнейшем в качестве определяющих уравнений линейных
упругих тел, имеет вид
aU=b,fiu + 2V*u ('> У. '=1. 2. 3), D.3.5)
где К и [I — упругие постоянные Ламе, а б*;- — компонен-
компоненты тензора Кронекера (равные 1 при i=j и равные нулю
при i?=j). Можно написать и обратные соотношения
eiy=-5Fe«—Fe»8« (/) У' /==1' 2> 3)' D-3-5'>
где Е — модуль Юнга, G — модуль сдвига, a v — коэф-
коэффициент Пуассона. Из этих упругих постоянных только
две являются независимыми. Между ними существуют
следующие соотношения:
Л = и, = С/= . D.о.о)
(l+v)(l —2v) 2(l + v)
Краевыми условиями для рассматриваемых задач бу-
будут условия на границах рассматриваемых областей. Для
первой основной краевой задачи (фиг. 4.10) эти условия
ставятся в перемещениях и имеют вид
ut = ut (« = 1, 2, 3), D.3.7)

364
ГЛАВА 4
где щ — заданные перемещения точки границы с внешней
нормалью п. Для второй основной краевой задачи гранич-
граничные условия ставятся в напряжениях и имеют вид
=pt (i=l, 2, 3),
D.3.7')
где pi — компоненты внешних нагрузок, действующих на
элемент поверхности с внешней нормалью п. При рас-
рассмотрении смешанных задач на одной части границы ус-
Фиг. 4.10.
ловия ставятся в перемещениях, а на остальной части
границы — в напряжениях.
Система уравнений D.3.1), D.3.4) и D.3.5) является
системой из 15 уравнений с 15 неизвестными и называет-
называется основной системой уравнений статической задачи тео-
теории упругости. Доказано, что такая система всегда имеет
решение и оно единственно для данных граничных усло-
условий 0.
Для постановки статической задачи теории упругости
в перемещениях необходимо исключить напряжения и
деформации из уравнений равновесия, выразив их через
перемещения. В этом случае система уравнений равно-
равновесия в перемещениях называется системой уравнений
Ламе и имеет вид
0 (/ = 1,2,3) D.3.8)
1 Классическое решение существует при некоторых ограничениях
п п
иа гладкость поверхности и функции Fi, «,-, pi ; оно единственно
при —l^v<'/2. — Прим. ред.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ
365
или в векторной форме
D.3.8')
4.3.1.2. Упругое пространство.
Фундаментальные решения
Рассмотрим упругое пространство под действием объ-
объемных сил Fh являющихся обобщенными функциями
И
-- J
Фиг. 4.11.
(фиг. 4.11). Поле перемещений в пространстве можно
определить из уравнений Ламе D.38), в которых все опе-
операции будут рассматриваться в смысле теории обоб-
обобщенных функций. Решения уравнений Ламе должны
удовлетворять некоторым регулярным условиям на бес-
бесконечности. Если, например, Я = ~^х{Хг — радиус-вектор,
то необходимо, чтобы компоненты вектора перемещений
стремились к нулю при #~уоо.
Тензор с компонентами иц = иц{х\, х% хз), i, /=1, 2,3,
называется тензором фундаментальных решений для
упругого пространства, если его компоненты удовлетво-
удовлетворяют системе уравнений
u Х2, х3) = 0 (г. У = 1. 2, 3),
D.3.9)

366 ГЛАВА 4
где б(хь хъ х3) — обобщенная функция Дирака. Должны
удовлетворяться также краевые условия
Нтя,;=0 (/, у=1, 2, 3). D.3.10)
Применяя преобразование Фурье к системе D.3.9),
получаем следующую систему линейных алгебраических
уравнений:
где aj, i=l, 2, 3 — комплексные величины. Умножая по-
полученные уравнения на а, и суммируя по i, получаем
1 а,-
Х + 2(*
Таким образом, в фурье-изображениях будем иметь
X + jj. afij I bij
D.3.11)
Используя формулу A.6.44), получаем
,рГ±1 = _^?1_1 D.3.12)
L R i akak
а с учетом соотношений A.6.44') можно написать
8ш ai 2 (у = 1, 2, 3). D.3.12')
Имеем также
Учитывая формулы D.3.6), можно написать
Х + 1^ _ 1 Х + % _ 3—4v
Х+2р. ~2A— v) ' Х + 2(х ~2A — v) '

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 367
откуда следует, что
Щ] \.X\i
^-l (/, у = 1, 2, 3).
D.3.13)
С помощью соотношений Коши D.3.1), закона Гука
D.3.5) и соотношений D.3.G) можно ввести тензор фун-
фундаментальных решений в виде тензора третьего ранга
для задачи, поставленной в напряжениях. Таким обра-
образом, получим
(/, ./, Л=1, 2, 3). D.3.14)
В этом случае поле перемещений будет иметь вид
Щ\Х\, Хъ xz)==tlij{xb X2i x3)*'j[Xl> Х2, хз)
(/ = 1, 2, 3), D.3.15)
а для поля напряжений получим следующее выражение:
atj(xu X2, JC3) = 'Di/ft(-«l. -«2. X3)*Fk(Xu Х3, Xa)
(i, j=\, 2, 3), D.3.16)
где звездочкой обозначена свертка соответствующих
функций относительно пространственных переменных.
Если на упругое пространство в точке А(х\°, Хг°, х30)
действует сосредоточенная сила Р, то можно ввести экви-
эквивалентную нагрузку с компонентами
Ft{xu х2, х3) = Р1Ъ(х1 — х°и х2 — х°, х3 — х°з)
(i=h 2, 3), D.3.17)
где учтена формула C.2.1).
Поле перемещений в этом случае определяется по
формуле D.3.15) н имеет вид
U[\Xi, Х2, X^) = PjUij(X1—Х\, X<i — Х2, Xs — ЛГ3)

368 ГЛАВА 4
(/ = 1, 2, 3), D.3.18)
а с помощью формулы D.3.16) можно получить
°и{хи х2, x3) = Pkvm{xi—xl, х2 — х°, Х3 — х°3)
(/, у = 1, 2, 3). D.3.18')
Если сила Р приложена, в частности, в начале коор-
координат, то
и,(хи х2, JC3) =
—v)G R
(/=1, 2, 3) D.3.19)
х2, х3)=
2, з;
8лA —v)
8яA —v) /?
) (I, y = l, 2, 3). D.3.19')
Используя результаты разд. 3.2.1, можно рассмотреть
случаи нагружения упругого пространства, например,
сосредоточенными моментами. Если в точке А(хг°, х20,
Хз°) упругого пространства действует направленный со-
сосредоточенный момент М, определяемый ортами и и F0,
то для эквивалентной нагрузки можно написать
F\X х х)Ь {хх — xv Хч — х2, хъ х^
Fi\Xi, х2, х3)j
(/=1, 2, 3). D.3.20)
Поле перемещений будет иметь вид
ni\xU X2, x:v—¦
M ^o д
u\F0 | J du
—X\i Х2 — X2t Хг Хз> ~~

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 369
М д и? A = 1, 2, 3), D.3.21)
I u X F0 | ди
где иТ—перемещения, соответствующие действию еди-
единичной сосредоточенной силы F0 и определяемые форму-
формулами D.3.18).
В частности, если направленный сосредоточенный мо-
момент действует в начале координат и F° = —ib u = i2, где
i; (/= 1, 2, 3) — орты осей координат, то
Л(-«1. х2, х3) = М ——-b(xlt х2, х3),
дх2
D.3.22)
F2{xu х2, x3) = F3(xu x2, ха)=0.
Поле перемещений записывается в виде
U1(Xl, Х2, Х3) = М — Иц (JCj, Х2, Х3) =
Х
м
16яA —v)G R3
U2{Xi, X2, X3) = M —- U2i [Xi, X2, X3) =
0X2
= - ?l(i_3 —) D.3.23)
16яA — v)G R3 \ R2 I ' ;
U3{XU X2, X3)=M- U3X(XU X2, X3) =
ox%
3M
16яA —v)G R5
Если в точке A{xi°, х20, х30) упругого пространства
действует вращательный сосредоточенный момент (центр
вращения) М, определяемый ортом п с компонентами
пи [=1, 2, 3, то эквивалентная нагрузка будет иметь вид
F,(xlt х2, х.Л)=—jM^nfaix!-**,
x2-x*,[x3-xl) (/=1,2,3). D.3.24)

370 ГЛАВА 4
Поле перемещений в этом случае записывается следую-
следующим образом:
и, (xt, х2, х3) = —-М ^jklnkuljt ,(*, — *?,
х2-х°2, х3-х°) (/=1, 2, 3). D.3.25)
Если, в частности, n = i3, то получим вращательный
сосредоточенный момент, приложенный в начале коорди-
координат. Рассматриваемый момент обусловливает положи-
положительное вращение в плоскости Ох\Х2. Ему соответствует
следующая эквивалентная нагрузка:
F^{xx, хъ хъ) = \М-^—Ъ{хх, х2, х3),
F2{xv x2, х3)= — -—М ——Ь(хи х2, х3), D.3.26)
F3[xb x2t x3) = 0.
Поле перемещений в этом случае имеет вид
«,(.*„ х2, х3)=-^- М^-?-ип(хи х2, х3) —
ип{и 2,3)\ ,
, Х2, Хг)=^Г М\-^—1121{хь Х2, Х5) —
/. \_ 0Х<1
dxi -2V 2> 3'J 8яC /?з
и3(хи х2, х3) = — М\——из1(хи х2, х3) —
? I oxi
—^ чАхь х,, х3)\^0. D.3.27)
Аналогично можно исследовать и другие виды нагру-
жеиня.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 371
4.3.1.3. Постановка плоской задачи теории
упругости в напряжениях
Если в некотором теле в параллельных плоскостях
деформированные состояния одни и те же, то говорят,
что оно находится в плоском деформированном состоя-
состоянии. В таком деформированном состоянии находится
длинный цилиндр (теоретически бесконечный), свобод-
свободный от нагрузок на боковой поверхности и находящийся
под действием объемных сил, не имеющих составляющих
вдоль образующей.
Если в теле все элементарные площадки с фиксиро-
фиксированной внешней нормалью свободны от напряжений, а
напряженное состояние во всех точках, лежащих на од-
одном перпендикуляре к этой плоскости, одинаково, то го-
говорят, что тело находится в плоском напряженном со-
состоянии. Последнее имеет место в пластинках и в длин-
длинных цилиндрических телах при определенных способах
нагружения. Если предположить, что тонкая плоская
пластинка свободна от напряжений на обеих параллель-
параллельных поверхностях и нагружена только на боковой по-
поверхности (по толщине) нагрузками, параллельными сре-
срединной плоскости, то усреднением напряжений по тол-
толщине пластинки можно добиться напряженного состояния,
называемого обобщенным плоским напряженным со-
состоянием.
Уравнения равновесия записываются в виде
дх ' ду
D.3.28)
дх ^ ду
где ох, (Ту — нормальные напряжения, хху — касательное
напряжение, а X, Y — составляющие объемных сил.
В ортонормированной системе координат Оху соотноше-
соотношения между деформациями и перемещениями имеют вид
г=—,г=—-, 4.3.29)
дх ду

372 ГЛАВА 4
yx = — -f — . D.3.29')
дц дх
В случае плоского напряженного состояния закон
Гука записывается как
D.3.30)
Для случая плоского деформированного состояния мож-
можно использовать те же соотношения, только вместо упру-
упругих констант Е и v нужно ввести обобщенные упругие
константы
Исключая из уравнений совместности деформации, с
помощью формул D.3.28) и некоторых преобразований
получим уравнение ,•
(f^) D-3.32)
соответствующее плоскому напряженному состоянию.
Таким образом, компоненты ах = ах(х, у), ау = ау{х, у),
txy=Txy(x, у) тензора напряжений определяются из си-
системы уравнений D.3.28), D.3.32).
Граничные условия запишем в виде
/»Х = <ЪСО5(Л, X)+txyCOS(/I, у),
D.3.33)
П
Py = txyC05(n, X)i-oycos{n, У),
п п
еде рх, ру — составляющие внешних нагрузок, приложен-
приложенных к элементу поверхности границы с внешней нормалью
п (фиг. 4.12).

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ
373
С математической точки зрения случаи плоского де-
деформированного состояния и плоского напряженного со-
состояния совпадают; в первом случае только нужно вос-
воспользоваться обобщенными упругими константами.
Фиг. 4.12.
4.3.1.4. Упругая плоскость.
Фундаментальные решения
Рассмотрим упругую плоскость, находящуюся под
действием объемных нагрузок Х = Х(х, у), Y=Y(x, у),
выраженных через обобщенные функции (фиг. 4.13).
Предположим, что плоскость находится в плоском дефор-
деформированном состоянии (объемные силы, действующие на
упругое пространство, постоянны в одном направлении
и равны нулю в других направлениях).
Для решения задачи в напряжениях необходимо про-
проинтегрировать уравнения D.3.28) и уравнение
|г)' <4-3-32'}
которое получается из уравнения D.3.32) подстановкой
обобщенных упругих констант D.3.31).

374
ГЛАВА 4
Матрица
'ии(х, у) и12{х, у)
{?/}=] U21(X, У) «22 {X, У)
.%(*> У) М32(*. У).
D.3.34)
называется фундаментальным решением в смысле теории
обобщенных функций для упругой плоскости, если ее
U.'::
I х
Фиг. 4.13.
элементы удовлетворяют уравнениям
Н—~г~—-
дх
I
1—V
и уравнениям
i J77~— '
D.3.35)
, г/) D.3.35')
D.3.36)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 375
Д («ia+«a)= ~7Z^T Ьу (х' у)' D-3.36')
Применяя двумерное преобразование Фурье к урав-
уравнениям D.3.35) и D.3.35'), получим
aF [u
1 — V Ct'2 + p
где а и р — комплексные величины. Решив эту систему
алгебраических уравнений, находим
F[Uu(xt y)]*=-i ° ап г-Ч-г^32
—. D.3.37)
+ р2J' ^ ;
Учитывая соотношение A.6.37), получим
Соотношение A.6.39) можно переписать в виде
F\1 2я/
и, в частности,
>r=v^2- D-3-38)
, D.3.39)
D.3.39')
С учетом соотношения A.6.39') имеем
м а<а2-р2> . D.3.40)
(а2 + р2J ^ ;
С помощью этих формул и соотношений, получаемых
заменой переменной х на у и наоборот, элементы фунда-

376
ГЛАВА 4
ментального решения D.3.34) можно записать в виде
х ху
М
1 JL(i_2v + 2—),
4ЯA —V) Г* \ ' / '
1
4яA —v)
D.3.41)
4лA
2я
1
г4
4я A — v)
/
2я
4ЯA — V)
2л
^), D.3.41')
2л [r2 1-v \2г2 /-4 /J
4яA —v) /-2
Здесь использованы формулы D.3.36) и D.3.36').
С помощью матриц
X
у
'ху
D.3.42)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 377
можно определить напряженное состояние
{Q}, D.3.43)
соответствующее объемным силам, выраженным через
обобщенные функции. Для компонент тензора напряже-
напряжений имеем выражения
ах(х, У) = ии{х, у)*Х{х, у)-\-и12(х, у)*У(х, у),
D.3.44)
"у(х, У) = и21(х, y)*X(x, у) + и22(х, у)*У(х, у),
хху{х, у) = и31{х, у) * X (х, y)+us2(x, y)*Y{x,y). D.3.44')
Пусть, например, в точке А(х0, г/о) на упругой пло-
плоскости приложена сосредоточенная сила F(FX, Fv). На-
Нагрузка, эквивалентная этой силе, имеет вид
Х(х, y)=Fxb(x-x0, y-y0),
D.3.45)
У {х, y) = Fyb{x-x0, y-y0).
Для компонент тензора напряжений получаются выра-
выражения
ах(х, y)=Fxun(x — x0, y — yo)-\-FytJ12(x — xo, у — у0),
D.3.46)
ау(х, y) = Fxu21{x-x0, У-Уо) + Руи22(х-Х0, у — у0),
*хУ(х, y) = Fxu31(x-x0, y — y^ + FyUBix — Xb y — y0).
D.3.46')
Допустим теперь, что в начале координат приложен
направленный сосредоточенный момент. Пусть u = j, a
F° = —i (i и j —орты координатных осей), т. е. приложен-
приложенный момент обусловливает положительное вращение в
плоскости Оху (фиг. 4.14). Эквивалентная ему нагрузка

378
ГЛАВА 4
M
имеет вид
't
i
"=J
4—*« f-
0 t=-F°
Фиг. 4.14.
X(x, у) = МЪум{х, у), Y(x, y)=0, D.3.47)
а для компонент тензора напряжений получаются выра-
выражения
D.3.48)
= ^ JLr(x_j/2I_2v+2?i_4«.
2n(l-V) / L "'\ ~ Г*/ / J
D.3.48')
Если в начале координат на упругой плоскости при-
приложен центр вращения М (фиг. 4.15), то для эквивалент-
эквивалентной нагрузки получаются выражения
Х(х, У) = \МЬУ{Х, у), Y{x, у)=-±-Мъх{х, у),
D.3.49)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 379
L I
Фиг. 4.15.
а компоненты тензора напряжений имеют вид
2 [ ду дх \ п И
D.3.50)
у 2 \ ди ' дх
2я
D.3.50')
Другие случаи нагружения можно раеемотреть
логично.

380
ГЛАВА 4
4.3.1.5. Упругая полуплоскость
Пусть на упругую полуплоскость г/^0 действуют ка-
касательная нагрузка р = р(х) и нормальная нагрузка
q = q(x), выраженные через обобщенные функции (фиг.
4.16). И в этом случае предположим, что упругая полу-
полуплоскость находится в плоском деформированном состоя-
состоянии (на границе упругого полупространства действуют
q(x)
Р(х)
Фиг. 4.16.
внешние нагрузки, постоянные в одном направлении и
равные нулю в других направлениях).
При отсутствии объемных сил дифференциальные
уравнения задачи, поставленной в напряжениях, прини-
принимают вид
дях
дх
дх
ху
ду
да и
= 0.
дх """ ду ~~
D.3.51)
D.3.51')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ
381
Запишем граничные условия
НтДг(х, у)=~р(х), Итоу{х, y)=-q(x\ D.3.52)
а на бесконечности потребуем, чтобы
Umax(x, y) = Umay(x, y) — limxxy(x,у)=0. D.3.52')
#-><*> #-><*> (/->¦«>
Матрица фундаментальных решений в смысле теории
обобщенных функций системы уравнений D.3.51),
D.3.51') с граничными условиями D.3.52) и D.3.52')
имеет вид
.liX, У) ^12 (Х, У)
v2X(x, у) v22{x, у) . D.3.53)
^ ду ~ '
Элементы этой матрицы удовлетворяют уравнениям
D.3.54)
D.3.54')
дх
и уравнениям
дх ' ду
<fyJ ¦
Д (^12+ ^22)== 0,
граничным условиям
ап(х, У)=*0> Нтг»31(л;, у)—— I
у)ш*—Ъ(х),
D.3.55)
D.3.55')
D.3.56)
I/-+6
У-+0

382 ГЛАВА 4
и условиям на бесконечности
Hmvn(x, у)=0 (/=1, 2, 3),
D.3.57)
limvl2{x, у) = 0 (/ = 1, 2, 3),
где все пределы рассматриваются в смысле теории об-
обобщенных функций.
Применяя к уравнениям D.3.54), D.3.54') преобра-
преобразование Фурье по х и считая у параметром, получаем
-isFx[vn(x, y)] + -^-Fx[vsl(x, У)] = 0'
D.3.58)
- lsFx [г»» (х, у)] + -j-Fx К (*, У)]=О,
аде
, y)]+Fx[val(x,
[v21(x, y)])=0, D.3.58')
+ (Fx[vn{x
где s — комплексная величина. Исключая из этих урав-
уравнений FJiVn{x, у)] и Fx[v$i(x, у)], получаем дифференци-
дифференциальное уравнение
F[v(x
x[21(x, y)]2s^Fx[2l(
+ s'Fx[v21(x, y)] = 0, D.3.59)
общее решение которого имеет вид
Fx[v21(x, y)] = (A + By)e-i°iy + (C + Dy)ei*\y, D.3.59')
где коэффициенты А, В, С и D зависят от s. Чтобы опре-
определить эти коэффициенты, применим преобразование
Фурье и к условиям D.3.56). В результате получим
UmFx[v21(x, г/)]-0, llmFx[v31{x, у)]=-1, D.3.60)
UmFx[vn(x, y)]^0 (/ml, 2, 3). D.3.60')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 33J
Следовательно,
Л = 0, B=~is, C = D=0, D.3.61)
откуда
Fx[v2l(x, y)]=-isye-\4y. D.3.62)
С помощью уравнений D.3.58) можно найти
Замечая, что
^Fx\~ftre~U]y'у>0'г2=
получим
D.3.62')
1 р
л х
d I
dx
и
я dy x
Аз равенства
' У \1 is p Г
\г2 )\~ я 1
L г2 J я * |_ dy
= - | s | е-1'
d , и
v 1 ¦ —1»1
r2J_- JSe
[у, у>о.
у
у ^0
. У>v
D.3.63')
D.3.63")
с учетом формулы D.3.63) находим
— Fx Г— arctg Щ = - е-' * I у, у > 0, D.3.64)
ТЕ [^ ЛХ X J
откуда следует
^faictg-*-1=-—е-I'l*. г/>0. D.3.64')
Дифференцируя последнее соотношение по у, получаем
Fja[gJ-]=Fx\-f- arctg *-] = „/Шв-|.|у,

384 ГЛАВА 4
откуда следует
I- .. Л 1-1
¦1*1», у*>0. D.3.64")
Окончательно имеем
^11 1Л- W) И
Я Г2 Я rfX
. ,_ 1 у 1 d ! у \ 2 x2j/
ЯГ2 Я dij \ Г2 / Я Г4
Аналогично из формул D.3.55) и D.3.55') можно полу-
получить
2 *2у
D.3.65')
Таким образом, фундаментальное решение в смысле тео-
теории обобщенных функций полностью определено.
Введем матрицы
\{Х У) 1 \Р{*)\
-k(*.?у) . (Q)-L x • D-3.66)
С помощью свертки в предположении, что она существу-
существует, можно выразить напряженное состояние упругой по-
полуплоскости в виде
lQ\. D.3.67)
Если в точке А(х0, 0) на упругой полуплоскости при-
приложена сосредоточенная сила F(FX, Fy) (фиг. 4.17), то
имеем
p{x)=Fxb{x-x0\ q{x) = Fyb{x-xu) D.3.68)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ
385
и окончательно получаем
ах(х, y)=Fxvn(x-x0,
vl2{x-x0, у),
D.3.69)
-x0, y)+Fyv22(x-x0, у),
0, у). D.3.69')
Г
A(x,o) Fx x
Фиг. 4.17.
Действие направленного сосредоточенного момента
М, приложенного в начале координат, составляющие
которого перпендикулярны границе плоскости (фиг.
4.18, а), выражается формулами
/»(*) = 0, q{x)=-M—b(x-x0). D.3.70)
UA
Компоненты тензора напряжений имеют вид
хУ ' дх
яи(х. и)=—М и
У У i & / *..
D.3.71)
> У)—— т~^
2М tf&jfi-
D.3.71')
13—3677

386
ГЛАВА 4
Для случая вращательного сосредоточенного момен-
момента М, приложенного в начале координат (фиг. 4.18, б),
получим такое же напряженное состояние, описываемое
формулами D.3.71), D.3.71').
Г"
м
а \
Г""
Фиг. 4.18.
t
Т
М
б
А(х,о)
О
Фиг. 4.19.
Пусть на упругую полуплоскость у^О в точке А(хо,
0) действует линейный дипольныи сосредоточенный мо-
момент (фиг. 4.19). Имеем
D.3.72)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 387
а для компонент тензора напряжений получаем
ПС*—
л
c-jcoJ-^2]. D.3.73')
В случае периодической нагрузки, выраженной мат-
матрицей
й, _{>«}, D.3.74,
действующей на границе полуплоскости, тензор напряже-
напряжений определяется следующим образом:
{c} = {l/)*{Q]. D.3.75)
Предположим, что j5(x) и q{x) —периодические обобщен-
обобщенные функции с периодами Т и Т соответственно. Разло-
Разложив их в ряд Фурье, получим
~р(х)= 2 спСр)е1аа\ *=у-, neEZ,
D.3.76)
q(x)= 2 cn{q)elna'x, <o'=Jr, «6Z,
13*

388 ГЛАВА 4
где коэффициенты разложений имеют вид
D.3.76')
c*{<fi = y(9{x), e~lnm'x), nt=Z.
Матрица {Q}, соответствующая периодическим на-
нагрузкам, приложенным на границе полуплоскости, в этом
случае принимает вид
00
¦и
Jnto'x '
D.3.77)
Возникающие в упругой полуплоскости напряжения оп-
определяются сверткой
, ^к ' ,. ., I л'
О =
В частности, если нагрузки р(х) и д{х) имеют один и тот
же период Т, можно получить решение D.3.78) в виде
матричного ряда Фурье
2 eZ, D.3.79)
л—~
где
»eZ, D.3.80)
Пусть
Q(jc)=F8~(jc) D.3.81)
— периодическая сосредоточенная сила с периодом Т,
действующая на границе упругой полуплоскости. Исполь-

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 389
зуя полученные выше результаты, можно написать
±F.
, eeZ. D.3.82)
Следовательно,
или
1 F
[Fr\
= 2
л—.
В явном виде получим
со
Мх> У)= 2 FxVu{x-nT, y)-\-
Л — —оо
со
+ 2 Fuv12{x — nT, у), n^Z,
D.3.83)
D.3.83')
D.3.84)
*. #)= 2 Fxv21(x — nT, y)-\-
П—оо
ОО
+ 2 FyVnix-nT, у), n^Z,
Л—«,
оо
*в(Ъ У)= 2 FxVn{x-tiT, y) +
Л—«
во
+ 2 Fy^2{x-nT, у), ntEZ. D.3.84')

390 ГЛАВА 4
Предположим, что на границе упругой полуплоскости
приложены периодические линейные дипольные сосредо-
сосредоточенные моменты с периодом Т, имеющие вид C.2.27").
Тензор напряжений определим по формуле
В явном виде получим
оо
<зх(х, у)=— 2 Dv'u{x — nT, у) n<=Z,
D.3.86)
оо
oi/(-*. У)=~ 2 Ova{х — пТ, у), n^Z,
хху{х, у)=- ^ Dvzl{x-nT, у), n<BZ, D.3.86')
где дифференцирование по х проводится в смысле теории
обобщенных функций.
Рассмотрим упругое полупространство, находящееся
под действием объемных сил Х—Х(х, у), Y=Y(x, у)
(фиг. 4.20, а), выраженных через обобщенные функции.
Чтобы получить выражения для напряженного состояния
в этом случае нагружения, будем пользоваться записан-
записанным в виде формул D.3.44) и D.3.44') решением задачи
для упругой плоскости, находящейся под действием
объемных сил. При этом нужно потребовать, чтобы при
г/=0, т. е. на границе полуплоскости, напряжения отсут-
отсутствовали. Чтобы освободиться от этих напряжений, рас-
рассмотрим упругую полуплоскость у^О, находящуюся под
действием противоположно направленных нагрузок, ве-
величины которых равны отмеченным напряжениям. Обо-
Обозначим эти нагрузки через х°Ху{х) и а°у(х). Они получа-
получаются из решения задачи для упругой плоскости предель-
предельным переходом в смысле теории обобщенных функций

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ
391
при у-*- + 0. Искомое напряженное состояние в этом слу«
чае описывается соотношениями
ох(х, у)=ип{х, у)*Х(х, у)-\-Щ2{х, y)*Y(x, у) —
— vn{x, y)*xxy{x) — vn(x, у)*о%(х),
D.3.87)
ау{х, У) = и21(х, у)*Х{х, у) + и22(х, y)*Y{x, у) —
~V2\{X, tj)*X°xy(x)—V22(x, у)*а°у(х),
Г"
с
a
X
О
6
Фиг. 4.20.
хху{х, y) = u3l(x, у)*Х(х,
— V3l(x> У)*хху[Х)-
y)*Y{x, у) —
4(х). D.3.87')
Пусть, например, на упругое полупространство дей-
действует сосредоточенная сила F(FX, Fy) (фиг. 4.20, б),
приложенная в точке А(хо, уо). Можно выразить эту на-
нагрузку через эквивалентные нагрузки D.3.45). Учитывая
формулы D.3.46) и D.3.46'), на границе получим
x—Xv y — y0)],
D.3.88)
—Xo, y-yo)}>
[
у-++о
) = Um[Fxti2l{x-x0, y —
V-++Q

392 ГЛАВА 4
Если ввести обозначения
uli{x — xo)=lima2j(x- х0, у — у0),
^+° (/=1, 2), D.3.89)
U3i{x — xo)=\imu3l(x — xo, г/ — г/0)
то можно записать соотношения, описывающие напря-
напряженное состояние в упругой полуплоскости, находящей-
находящейся под действием внутренней сосредоточенной силы F,
следующим образом:
—x0, y — y0) —
— vn(x, y)m%{x — xo) — vl2(x, y)*u.22[x — x0)],
D.3.90)
— V21{X, y
rxu(x, y)=-Fx[u^{x — xa, y — y0) —
— v3l(x, y))iiMl.x — x0) — v.i2(x, y)*uli{x—xo)]-\-
--¦Ру{из2(х — х0, г/ —г/о) —
% {x — xQ)]. D.3.90')
Проделав указанные вычисления, в частности при Хо =
(что нисколько не умаляет общности), получим
Fx ( 5 —v
X !
( 5 —v ,
! \-
2 [C - у) г/2 + 4 B + у) .м* + 3 A + v) yg
3 + v

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 393
2A+уХу —рьK | ¦ гу |G-3v)^ + (l-5v)y0 ,
4л \ дг2 + (tf + УJ
[х* + Ш- УоJ]2 J 4л \ дг2 + (tf + УоJ
2 (У. + Уо)[C - у) дД - 2 C + 5v) у о» - 3 A + у) у|]
[*2 + (У + №J]2
¦ 16A + у)'УоУ
[*2 +
- Уо) , 2A+ v)(y -
[-^2 + (У - toJ]2
D.3.91)
1—V
4Я ( #0)
(l+v)ff2] 16A+у)^0г/(^ + ^/0J
2 + (И + «оJ]3
¦ ^у
4я
Х
t^2 + {У~ йоJ]2
О—yXfl —»о) 16A+
I*2 + Ш
A —vXw-Уо) 2A+у)(у-((/0K
4я I *2 + te+S/J
2 (ff + Уо)[C — v) if? + 2 E + 3v ) yo«/| + A + v) j/
— 'У о)
1 г „2 _i_ (¦// " ч91 ° 1 ^^ 'i-™'
+ 1!/оJ]3 ДГ2+(У-
1 — v
I

394 ГЛАВА 4
2[C—v)a<2 —4vjgioa —A +v)flfl 16A+у)Уо#(«+«оJ
№ + (V + УоJ]2 [х2 + (№+Уо)Ч3
l-v2(l+v)(gg-Mo)g 1 D391')
[*3+B/'0J]2 Г
4.3.2. Динамические задачи для линейных упругих тел
Чтобы построить математическую модель динамиче-
динамической задачи для линейного упругого тела, будут рассмот-
рассмотрены некоторые особенности кинематики деформаций и
теории напряжений с учетом закона Гука. Приведенные
выше основные гипотезы должны быть дополнены н рас-
рассмотрены с учетом инерционных сил в предположении,
что рассматриваемое тело находится в движении. В та-
таком случае говорят, что внешние нагрузки находятся в
динамическом равновесии.
4.3.2.1. Постановка пространственной задачи
теории упругости в перемещениях
Гипотезы из разд. 4.3.1.1 и соотношения D.3.1) —
D.3.3) справедливы и для динамических задач. Заме-
Заметим только, что рассматриваемые величины явно зависят
еще и от времени, т. е. Ui = Ui(xu x2, Хз\ t) и e,j = 8i,- (хь х2>
*з;0 (i,/=1,2, 3).
Компоненты тензора напряжений а^=оц{х\, х2, х3; t)
определяются из уравнений движения
PUt> D.3.92)
где Fx = Fi(xi, х% Хъ\ t), p — плотность материала. В слу-
случае когда имеет место некоторая вязкость, пропорцио-
пропорциональная скорости, дифференциальный оператор p(d2/dt2)
заменяется оператором p(d2/dt2)+k(dfdt), где k — коэф-
коэффициент вязкости.
К введенным выше упрощенным гипотезам, касаю-
касающимся определяющих уравнений, прибавим еще одну
гипотезу:
г) Скорость деформации тела не учитывается. Опре-
Определяющие уравнения записываются в таком же виде;
соотношения D.3.5) — D.3.5') остаются в силе.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 395
Краевыми условиями для динамических задач явля-
являются условия на границе области и начальные условия.
Условия на границе записываются в виде формул D.3.7)
или D.3.7') и должны удовлетворяться при t^t0, где ^0 —
начальный момент времени. При t=t0 условия имеют вид
Ui{Xi, х2, х3; to) = Ui{xx, х2, х3),
и;{хи х2, х3; to) = ul(x1, x2, х3) D.3.93)
или
aij{xb Х2< хз> *а) = 3и(х1' Х2> хз)'
D.3.93')
ХЪ хз'' t^ = Xij{Xi, Х2, Х3).
Система уравнений D.3.1), D.3.5) и D.3.92) пред-
представляет собой систему уравнений динамической задачи
теории упругости. Можно доказать, что эта система из
15 уравнений с 15 неизвестными всегда имеет решение,
которое единственно при заданных краевых условиях '>.
Уравнения Ламе в перемещениях имеют вид
рад-НХ-Ми,,,,+ /=•,=<) (/ = 1, 2, 3), D3.94)
где П2 — оператор Даламбера, определяемый соотноше-
соотношением B.3.37'). Скорости распространения волн опреде-
определяются по формулам
2 1 —v Е 1 1 Е ,. о „_.
с, с2= . D.3.95)
2v) p 2(l+v) p v '
Эти скорости связаны между собой следующим образом:
'* D'3-96)
откуда получается, что С1^СгУ2. Учитывая формулу
D.3.96), можно легко показать, что между операторами
Даламбера существует соотношение
-2v)D2. D.3.97)
1 См. сноску на стр. 364. — Прим. ред.

396 ГЛАВА 4
Предположив, что объемные силы отсутствуют, для
поля перемещений получим :
и, = -^(Я,-2Ф,) (/ = 1, 2, 3), D.3.98)
а напряженное состояние определим по формуле
где функции <bi = Q>i{xi, х2, Хз; t) должны принадлежать
классу С3 относительно пространственных координат и
классу С2 относительно времени. Функции Ф, (/=1, 2, 3)
являются компонентами некоторого вектора Ф, удов-
удовлетворяющего уравнению распространения поперечных
волн
0. D.3.100)
Функция п = п(х\, х2, х3; t) должна принадлежать классу
С4 относительно всех своих переменных; она удовлетво-
удовлетворяет уравнению
^ D.3.101)
Заметим, что соотношение D.3.98) может быть запи-
записано в следующем векторном виде:
u=-^-(gradQ-2<J>). D.3.98')
С помощью двух потенциальных функций перемещений
(векторной и скалярной) дается постановка линейной
динамической задачи теории упругости. Такое представ-
представление является полным для односвязных областей (лю-
(любое поле перемещений, удовлетворяющее системе урав-
уравнений динамической упругости, представляется в таком
виде). Оно обобщает представление Шефера для стати-
статического случая.
Если объемные силы ненулевые, то с помощью пред-
представлений D.3.98) и D.3.99) можно найти частное реше-
решение уравнений движения. Вектор Ф должен быть част-
частным решением уравнения
Р, D.3,102)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 397
а скаляр Q — частным решением уравнения
^. D.3.103)
В случае консервативных объемных сил вида
F=gradx, D.3.104)
где %=%(xi, x2, x3; t) —функция класса С2 относительно
пространственных переменных, частное решение для пе-
перемещений имеет вид
u=—— grad<«, D.3.105)
а соответствующее напряженное состояние определяется
по формулам
+ ^i.j (*\ У=1, 2, 3). D.3.106)
Функция ы = ы(Х[, х2, х3; t) должна принадлежать классу
С3 относительно пространственных координат и классу
С2 относительно времени. Если мы хотим удовлетворить
и уравнениям совместности в напряжениях, то функция
ю должна принадлежать классу С4 относительно прост-
пространственных координат. Она является частным решением
уравнения
ni« + -j^-X=0. D.3.107)
Используя результаты из разд. 2.3.2.2, можно записать
частное решение уравнения D.3.102) в виде
Ф = L-1 — е с% *L [F] , D.3.108)
4я [ /? J
L-1 — е " с% *L [F] ,
[_ /? J
уравнения D.3.106) будет
= 1-2v L~\ ±-e~P~*L [x] .
4(l-v)n IR Ш]
а частное решение уравнения D.3.106) будет следующим:
D.3.109)
В обоих случаях свертка соответствующих функций осу-
осуществляется по пространственным координатам.

398 ГЛАВА 4
Аналогично частное решение уравнения D.3.ЮЗ)
можно записать в виде
D.3.110)
где свертка функций также относится к пространствен-
пространственным переменным.
4.3.2.2. Упругое пространство.
Фундаментальные решения
Рассмотрим упругое пространство под действием ди-
динамических нагрузок Fi=Fi(X\, х2, х3; t) (фиг. 4.11).
Используя нулевое продолжение влево этих функций,
введем обобщенные функции
Ft(xu х2, х3; t)=9(t)Fl(xu x2, x$; t) {i=\, 2, 3).
D.3.111)
Введем также обобщенные перемещения
п,{хи х2, х3; /)=В (/)«,(*„ x2, x3; t) (i = \, 2, 3).
D.3.112)
Если при ^о = О удовлетворяются начальные условия
вида D.3.93), то можно написать
—-«,(*!, х2, х3; t) = -—ul(xu x2, x3; t)-\-
at at
+ U°i(Xu X2, X3)b{t),
~-щ{хи х2, х3; г)= — щ{хи х2, x3; t)-\-
+ u°i{xu x2, 13)
'«i (-«I, X2, хз< 0 = -г~:т—я,{хи х2, x3; t).
И-I 1Л| ЛО Ло, 4-1=
dxjdxk dxjdxk

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Б МЕХАНИКЕ 399
Таким образом, уравнения Ламе D.3.94) с учетом на-
начальных условий записываются через обобщенные функ-
функции следующим образом:
V>n2*i + (b + P)uj,Jl+Fl + ?[ii%(t)+u%(t)]=0 (/=1,2,3).
D.3.113)
Применяя преобразование Лапласа по времени и пре-
преобразование Фурье по пространственным координатам,
получаем
" а,аjF [L [и}]} =
) (i=l, 2, 3),
где р — комплексная переменная, соответствующая пре-
преобразованию Лапласа, а а, (г=1, 2, 3) — комплексные
переменные, соответствующие преобразованию Фурье.
Умножая полученные уравнения на сц и суммируя по i,
можно написать
f(au a2, a3; p) = aj
1ifi\4-F[u%].
J1T l nn
(X
D.3.114)
В таком случае для изображений будем иметь
Замечая, что
[
(\+v)a,f{al, a2, a3; р)\
i=l, 2, 3). D.3.115)
L
[(X
где введены скорости распространения волн по форму-
формулам D.3.95), и используя свойства свертки относительно
операции дифференцирования, для изображений Лапла-

400 ГЛАВА t
са обобщенных перемещений йолучим выражение
/
Ь\щ{хи х2, х3; *)] =
D
D.3.116)
где свертка функций осуществляется относительно про-
пространственных координат.
Используя результаты разд. 1.6.3.1, получим поле
обобщенных перемещений в виде
„ х,. х»; 0=-S5"{i[i[?i]'xr
D.3.117)
В случае однородных (нулевых) начальных условий
имеем
/ = 1,2,3), D.3.118)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 401
а при отсутствии объемных сил можно написать
и х2, х3; 4
D.3.118')
Если начальные условия однородные, то использу-
используется представление решения через потенциалы. В таком
случае соответствующие результаты будут выражаться
через обобщенные функции, а производные в смысле
обобщенных функций будут равны обычным производ-
производным. Пусть Р@—сосредоточенная сила, приложенная
в начале координат. Можно написать
-Fi = Cos^PU)b(xu X*, х3) (i=l, 2, 3), D.3.119)
где cos Рг (i=l, 2, 3)—направляющие косинусы векто-
вектора P(t).
С помощью формул D.3.108) и D.3.110) находим
-*-) (/=1,2,3),
p(t
D.3.120)
c2)+\i,i
где свертка функций осуществляется по времени. Таким
образом, получим следующее поле обобщенных пере-
перемещений:
R LI elj+ { cj+\j,u
где
= B[t)P(t). D.3.122)

402 ГЛАВА 4
В частности, при
P$(t), D.3.123)
т. е. в случае импульсной в начальный момент времени
сосредоточенной силы, будем иметь
* ро cos Pj г 1
ut{xlt х2, х3; t)=-—— 1 —
D.3.124)
При Ро=1 получается фундаментальное решение в
смысле теории обобщенных функций в виде тензора с
компонентами
ии(хи хг, х,- 1]
D.3.125)
Поле обобщенных перемещений, соответствующее про-
произвольным объемным силам и неоднородным начальным
условиям, в этом случае имеет вид
u,(xlt x2, хг; f) = u
+ ?[u%(t) + u%(t)}} (/ = 1,2,3), D.3.126)
где свертка функций осуществляется по всем пере-
переменным.
Интересно отметить, что Сток в 1849 г. получил фор-
формулы D.3.121) для случая, когда P(t) является обычной
функцией, в виде
Ui(xu х2, х3; *) = ! LfL

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 403
1/'» -1
1 яЛ_А]_|_3 Г XP(t-lR)dl ,
4 \ C2J J
1/с, J
D.3.121')
а
-1
J
).Я (/->•/?)?//.
предполагая, что сила Р(/) действует вдоль оси Ojci.
Наконец, если в начальный момент мгновенно прило-
приложить в начале координат сосредоточенную силу и затем
поддерживать эту силу постоянной, то можно написать
P(t)=P0B(?). D.3.127)
Для обобщенных перемещений получается выражение
D.3.128)
Рассмотрим действие вращательного сосредоточенно-
сосредоточенного момента M(t) на упругое пространство в начале коор-
координат в плоскости с нормалью п. Начальные условия
считаются однородными. Нагрузка, эквивалентная этому
моменту, имеет вид
F ( v v v • А .
= — — M(i)nx grad 8 (х1; х2, х3). D.3.129)
Замечая, что

404 ГЛАВА 4
и используя формулу D.3.116), получаем
L\tt,\ L\Fi\e
Следовательно, поле обобщенных перемещений имеет
вид
п(хи хг, х3; t)= --^—п х grad \Л-М((-Щ, D.3.130)
где
M{t) = %{t)M(t). D.3.131)
В случае импульсного в начальный момент центра
вращений вида
M(t) = Mob(t) D.3.132)
получим
п(хи х2, хг; /)=_^nxgrad[^-8(/-|-)]. D.3.133)
Если в начальный момент времени к упругому простран-
пространству мгновенно приложить вращательный сосредоточен-
сосредоточенный момент и затем поддерживать его постоянным, то
можно написать
M{t) = Mob{i). D.3.132')
Для обобщенных перемещений в этом случае получим
!!(*, х2, х,; /)=_-^nxgrad[^e(*--^-)]. D.3.133')
Рассмотрим теперь случай пространственного центра
расширения, эквивалентная нагрузка которого имеет вид
F(xlt х2, хг; t)= - ±-Ds(t) grad Ъ(х{, х2, хг). D.3.134)
Таким образом вводится следующая обобщенная функ-
функция:
Da(t) = 6{f)Da(i). D.3.135)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 405
Если начальные условия однородные, то воспользуем-
воспользуемся формулами D.3.118). Заметим, что
' ,1
JL _ A
—- I — I e c' —e c~
r
где Д — оператор Лапласа. Можно написать
,» D.3.136)
так что
"
+2(т).,("")„ <*=¦'• ">•
Здесь учтена формула A.6.20) и
где
Rl=^-,RlRt=l (i=l, 2, 3) D.3.137)
и

406 ГЛАВА 4
Но
ФС*1. *2, Хг)Ъ(Х» ХЪ ДГ8) = 'М0. 0. 0)8 (Ль JCj, ЛГ8),
где 1]з — функция класса С°°. Используя формулу A.6.20),
получаем
= — -2-е " С" (А=1, 2).
Из предыдущих формул можно получить соотношение
Окончательно для поля обобщенных перемещений имеем
1 —
24яA —
Этот результат можно получить и другим путем. Если
воспользоваться представлением перемещений через по-
потенциальные функции, приведенным в разд. 4.3.2.1, и
заметить, что эквивалентные нагрузки D.3.134) являют-
являются консервативными, то получается выражение
Х=—-0*№(¦*!. *2, х3). D.3.140)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 407
В этом случае
Х2х ±(-*.)ш D.3.141)
12n(l-v) R
что приводит к обобщенным перемещениям D.3.139).
В случае импульсного в начальный момент простран-
пространственного центра расширения, выраженного в виде
D.3.142)
получаем
-=_(l-2v)D, dTJ_ Л *\Л D-
24n(l-v)Ge [R { сх )\ к
Когда пространственный центр расширения приклады-
прикладывается мгновенно и затем поддерживается постоянным,
т. е. имеет вид
Ds{t) = D0Ht\ D.3.142')
можно написать
й= w-^v^o grad л. Q ;_-*.. D.3.143')
24яA —v)O IR [ ci)\ ^
Аналогично можно рассматривать и другие случаи
нагружения упругого пространства сосредоточенными
или распределенными нагрузками.
4.3.2.3. Постановка плоской задачи теории
упругости в перемещениях
Плоская задача теории упругости была определена в
разд. 4.3.1.3. С учетом предположений, сделанных в
разд. 4.3.2.1 для динамических задач, в случае плоского
деформированного состояния уравнения Ламе принима-
принимают вид
дх ду)
D.3.144)
дх ^ д
где и, v — компоненты вектора перемещений (компонен-

408 ГЛАВА 4
та w = 0) в ортонормированпой системе координат Oxyz,
а X, Y — составляющие объемных сил.
Для постановки плоской задачи теории упругости в
перемещениях граничные условия запишем в следующем
виде:
л л
и=и, v=v, D.3.145)
п п
где и и v — перемещения точки границы с внешней нор-
нормалью п (см. фиг. 4.12), а начальные условия — как
и{х, у, tQ) = tLQ{x, у), v(x, у; to) = vo{x, у), D.3.146)
и(х, у; to) = ao{x, у), v(x, у, to)=vQ(x, у) D.3.146'^
при t=t0-
В напряжениях задача ставится аналогичным об-
образом.
4.3.2.4. Упругая плоскость. Фундаментальные решения
Рассмотрим упругую плоскость, находящуюся под
действием динамических нагрузок Х = Х(х, у; t), Y=Y(x,
у; t) (см. фиг. 4.13). Воспользуемся начальными усло-
условиями D.3.146), D.3.146') при f0 = 0.
Для решения задачи введем обобщенные функции
Х(х, у; f)=B{t)X[x, у; t), Y(x, у; t) = i{f)Y{x, у, t),
D.3.147)
полученные нулевым продолжением влево. Аналогично
вводятся и обобщенные перемещения
п{х, у; t) = b{t)u{x, у; i\ v{x, у; f) = %{t)v{x, у; t).
D.3.148)
Уравнения Ламе в обобщенных функциях имеют вид
(см. разд. 4.3.2.2)
D.3.149)
\

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 40Э
и содержат начальные условия.
Применяя к этим уравнениям преобразование Лапла-
Лапласа по времени и преобразование Фурье по координатам,
получаем
) + РР2} F [L [«]] + (а + [х) a (aF [L [п]] +
где р — комплексная величина, соответствующая преоб-
преобразованию Лапласа, а а и р — комплексные величины,
соответствующие преобразованию Фурье.
Умножим первое уравнение на а, второе — на р и
просуммируем их. В результате получим
/(a, f»; p) = aF
1
(X + 2(i) @2 + Р2) + 9р
+ ПР № [и0Ш? W)+aF [щ] + $F [iu]]}. D.3.150)
Таким образом, для изображений имеем выражения
I 2
Р2) + ?Р2
})-(\ + ^)af(a, ft p)\,
D.3.151)
F [L [v\] = 1- [F [L [У]] 4-
Учитывая результаты из разд. 1.6.2 и соотношение
^ + t*
[(X + 2ц) (И2 + 02) "~

410 ГЛАВА 4
r «2+p2 + —
можно написать
D.3.152)
Mil
где
—vo{x, у), D.3.153)
~Mx, у). D.3.153')
ОХ &У
Здесь 8Р° — деформация в плоскости, а ер° — скорость
этой деформации.
Используя результаты из разд. 1.6.3.1 и формулы
/0 (ft *г) = ?-Ч*о(/^] = -^==г, D.3.154)
У
_ D.3.l54')
)=jL~1 [-L /Co (Mr)j = 9 (t~kr)\n
D.3.155)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 411
е (t - kr) [tin (t -f Yfi - №) -V fi- &r*\, D.3.155')
= JLb(t~kr) [B/2+k2r2)In(t +V*2- k2r*) —
D.3.155")
можно записать обобщенные перемещения в виде
s[/-(*i)-/-(*i)]b D-ai56)

412 ГЛАВА 4
Например, при однородных начальных условиях получим
D.3.157)
Если объемные силы равны нулю, а начальные усло-
условия являются ненулевыми, то
*-?г[^(* т)~'Аь Ш D-зл58)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 413
Отметим соотношения
х дХ » У У(^_А2
D.3.159)
1 д , .. , v I a 3№f)(t — kr)
D.3.159')
D.3.160)
D.3.160')
=— b{t — kr) [2In
4 L < + У<2_
D.3.160")
Допустим, что в начале координат на упругой пло-
плоскости вдоль оси Ох действует сосредоточенная сила
Р(/), эквивалентная нагрузка которой имеет вид
Х(х, у; t)=7>(t)b(x, у), ?(х,у; t) = 0, P(t) = Q(t)P(t).
D.3.161)
В этом случае перемещения определяются соотноше-
соотношениями

414 ГЛАВА 4
v(x, у; t)=-±
2я
c2
В частном случае D.3.123), когда в начальный мо-
момент времени прикладывается импульс, обобщенные пе-
перемещения принимают вид
Если в начальный момент времени к плоскости мгно-
мгновенно прикладывается сосредоточенная сила D.3.127),
которая затем поддерживается постоянной, то для обоб-
обобщенных перемещений получаются выражения
)]l- D-ЗЛИ)
Важно заметить, что
дх^
= о (t — kr)
D.3.165)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 415
дхду J 'v ' '
i D.3.165)
_8(*; Аг) = -±- А26 (/ - kr) [in
, D.3.166)
32
D.3.166')
Пусть на упругую плоскость в начале координат дей-
действует вращательный сосредоточенный момент М(^) (см.
фиг. 4.15), эквивалентная нагрузка которого имеет вид
D.3.167)
У(х, У, t)=-±M(t)~b(x, у).
Предполагая начальные условия однородными и заме-
замечая, что
можно записать обобщенные перемещения в виде
D.3.168)

416 ГЛАВА 4
где использована обобщенная функция D.3.131).
Если в начальный момент прикладывается импульс,
определяемый соотношением D.3.132), то будем иметь
D.3.169)
v(x, yi^-J^JLJ!)
В случае когда вращательный сосредоточенный мо-
момент мгновенно прикладывается в начале координат и
затем поддерживается постоянным., т. е. имеет вид
D.3.132'), получаем поле обобщенных перемещений
D.3.170)
v(x, у; t)= -^
дх \ с2
Введем матрицу фундаментальных решений
у; t) u12(x, у; t)
D.3.171)
и матрицы
_ \ТЛ х\
D.3,172)
\v
к
Тогда поле обобщенных перемещений будет определять-
определяться формулой
u [Q]. D.3.173)
С помощью формул D.3.163), в которых Ро—1, и фор-
формул, соответствующих случаю, когда сосредоточенная
сила действует вдоль оси Оу, получим элементы матри-

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 417
цы фундаментальных решений в виде
D.3.174)
•»—'-sr-sIrM* ij-H* t)] • D-зл74''
Результаты, соответствующие напряженному состоя-
состоянию, получаются аналогичным образом.
4.3.3. Задачи линейной вязкоупругости
4.3.3.1. Общие результаты для одномерного случая
Если в твердом деформируемом теле наряду с упру-
упругими свойствами проявляются и вязкие свойства, то го-
говорят, что рассматриваемое тело является вязкоупругим;
соответствующие определяющие уравнения в этом случае
будут включать зависимость и от времени. Для одномер-
одномерного линейного вязкоупругого тела между напряжением
<т и деформацией е, зависящими от времени, можно за-
записать дифференциальное соотношение вида
где Р и Q — линейные дифференциальные операторы с
постоянными коэффициентами, характеризующие рас-
рассматриваемое вязкоупругое тело.
Реологические свойства вязкоупругого тела могут
быть описаны с помощью функций ползучести и релак-
релаксации. Эти функции определяются соотношениями
— = ?(', °о). -^=Ф(Л *„), D.3.176)
где сто и е0 — напряжение и деформация, соответствую-
соответствующие начальному моменту времени, когда к вязкоупруго-
14-3677

418 ГЛАВА 4
му телу, находящемуся в покое, прикладывается постоян-
постоянная нагрузка. В более общем случае для одномерного
вязкоупругого тела можно написать интегральные соот-
соотношения Больцмана
D.3.177)
t
J
Если б — функция Хевисайда, то Q(t—т) =0 при x>t.
Тогда
f
dt J dx
Отсюда следует
и
)
— оо
dv
s = 6cp *
dt
dt
da
dt
D.3.178)
D.3.178')
Чтобы записать уравнения D.3.178) и D.3.178') в прост-
пространстве обобщенных функций, предположим, что а и е
являются обобщенными функциями с носителями в
R+=[0, oo). Следовательно, вязкоупругое тело находится
в естественном состоянии (сг = е = О) при t^.0. В этом слу-
случае ф и г)з также являются обобщенными функциями, а
полученные формулы принимают вид
о = ф*—=e*i!L D.3.179)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 419
;=-»"зг—¦?• D-зл791)
где а, г, <р, фе/Г+.
Таким образом, при указанных выше условиях соот-
соотношения D.3.179) и D.3.179') являются обобщением со-
соотношений Больцмана в пространстве обобщенных функ-
функций. Эти соотношения образуют систему из двух урав-
уравнений в алгебре со сверткой К'+ относительно неизвест-
неизвестных а и е. В частности, при
D.3.180)
получаем
а = ф*ео8 = еоф, е = <р*ао8 = ао<р, D.3.181)
где б — обобщенная функция Дирака. Таким образом,
мы приходим к формулам D.3.176).
Теорема 4.3.1. Если при t^.0 одномерное линейное
вязкоупругое тело находится в естественном состоянии
(ст=е = 0), то обобщенные функции ползучести и релак-
релаксации удовлетворяют соотношению
т*ф=/+=«(/). D.3.182)
Действительно, исключая е из формул D.3.179) и
D.3.179'), получаем
Заметим, что обобщенные функции <р и г|э имеют носители
в R+ и свертка ф * г|з существует. Так как обобщенные
функции а и е тоже имеют носители в R+, полученное
соотношение является уравнением в свертках в К'+. Учи-
Учитывая, что афО, а К'+ не имеет делителей нуля, полу-
получаем
(ср*Ъ)"=8. D.3.183)
Если теперь ввести фундаментальное решение, соответ-
соответствующее оператору ft/dt2 в К'+, то получим соотношение
D.3.182).
14*

420 ГЛАВА 4
Соотношение D.3.183) может быть записано в виде
ср*б"=8, <1»*<р" = 8, D.3.183')
<p'*f = 8. D.3.183")
Таким образом, замечаем, что обобщенные функции ф и
¦ф, а также их производные первого порядка обратимы в
алгебре со сверткой К'+\ другими словами,
<p-i=f, ф-» = <р", D.3.184)
((р')->=<1", (ФО~1=«Р'- D.3.184')
С помощью формул D.3.179) и D.3.179') можно по-
получить общие выражения для обобщенных функций пол-
ползучести и релаксации, соответствующих вязкоупругому
телу, описанному определяющим уравнением D.3.175).
Теорема 4.3.2. Если одномерное линейное вяэкоупругое
тело находится при t^.0 в естественном состоянии (о —
= е = 0) и определяющее уравнение имеет вид D.3.175),
то обобщенные функции ползучести и релаксации опреде-
определяются соотношениями
= е (t) * Р (-?-) EQ (*) = ?„ (*) * Р ^ 6 (t),
D.3.185)
=e (/) * Q (-^-)^р @=^р W * Q (~)
Ep(t), EQ(t)—фундаментальные решения для опе-
операторов Р (d/dt), Q (d/dt) соответственно в алгебре со
сверткой К'+.
Действительно, исходя из соотношений D.3.175),
D.3.179) и D.3.179'), получаем
Следовательно,
так как алгебра К'+ не имеет делителей нуля.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В МЕХАНИКЕ 421
Из того что Ер является фундаментальным решением
оператора P{d/dt) в К'+, следует
d
dt
7@
a ?i/>@)=0 (/=o, 1, 2,..., k-2), ^-!)@)=1/а0,
где k — порядок оператора Р, а ао — коэффициент при
старшей производной. Таким образом, имеем
Фундаментальным решением для оператора d/dt в К'+
является обобщенная функция Хевисайда; отсюда сле-
следует справедливость второй из формул D.3.185); первая
формула D.3.185) получается аналогичным образом.
4.3.3.2. Применения
Если рассматривать вязкоупругую модель Кельвина,
то определяющее уравнение получается в виде
D.3.186)
где Е — модуль упругости, а \\ — коэффициент вязкости.
Следовательно,
Фундаментальные решения в К'+ имеют вид
?q(/)=— 9{t)e * , D.3.187)
и с помощью соотношений D.3.185) можно получить
< /
D.3.188)

422 ГЛАВА 4
Замечая, что
6(*)*0(*)=*+, Q{t)*6(t)e ч =
можно проверить справедливость соотношения D.3.182).
Выражения для нормального напряжения и линейной
деформации принимают вид
D.3.188')
e{t)=^b{t)[\-e T> j.
Первая из полученных формул показывает, что в мо-
момент появления линейной деформации ео напряжение
a(/)=eoi|>(/) стремится к бесконечности. Действительно,
благодаря вязкоупругим свойствам тело не может мгно-
мгновенно получить конечную величину деформации при мгно-
мгновенном изменении напряжения на конечную величину.
Для вязкоупругой модели Максвелла определяющее
уравнение записывается в виде
ds (t) 1
dt Е dt ' i)
где дифференциальные операторы имеют следующие вы-
выражения:
Р(— U-L-1-+-L, Q (JL)=J-.. D.3.189)
[dt } Е dt ~ у W\ dt ) dt *¦ '
Фундаментальными решениями в К'+ будут
Е t
ЕР {t)=EB @ е т' , EQ [t) = в (fl. D.3.190)
Отсюда следует
D.3.191)
-JLt

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МЕХАНИКЕ 423
Замечая, что
и учитывая приведенные выше другие соотношения, мож-
можно легко проверить справедливость соотношения D.3.182).
В этом случае выражения для нормального напряже-
напряжения и линейной деформации принимают вид
D.3.191')

ГЛАВА 5
Применения теории
обобщенных функций
в физике
5.1. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
В АКУСТИКЕ
5.1.1. Эффект Доплера для одномерной акустической
волны
5.1.1.1. Классический случай
Эффект Доплера заключается в изменении периода
колебаний (или частоты), регистрируемого приемником,
когда источник (или приемник) движется относительно
среды.
Если акустическая волна распространяется в одном
направлении (например, вдоль оси Ох) в изотропной,
однородной, линейной упругой среде, то дифференциаль-
дифференциальное уравнение ее распространения имеет вид
дх2 № ' v
где с — скорость распространения волны в рассматривае-
рассматриваемой среде, а и(х; t) ¦—смещение частиц среды. В случае
продольных колебаний
€ = ]/'-?¦, E.1.2)
где р — плотность, а Е — модуль упругости среды. Для
поперечных колебаний уравнение E.1.1) описывает по-
поведение струны', причем скорость распространения по-
поперечных волн
с = 1/ -, E.1.2')
1 См. сноску на стр. 342. — Прим. ред.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 425
где Т — постоянное натяжение, направленное по каса-
касательной к деформированной струне, am — масса едини-
единицы длины струны.
Для двумерных или трехмерных случаев имеет место
уравнение
сЧи—|L=0, E.1.3)
где А — двумерный или трехмерный оператор Лапласа.
Исследование таких уравнений гиперболического типа,
включая определение соответствующих фундаменталь-
фундаментальным решений, проводилось в разд. 2.3.2.2.
Если с — скорость распространения упругой волны,
v — скорость источника звука, а и — скорость приемника,
то между этими величинами, частотой источника / и час-
частотой f, регистрированной приемником, существует со-
соотношение
± E.1.4)
с — v
Предполагается, что источник излучает колебания с пе-
периодом Т, т. е. с частотой /=1/Г = со/2я, а приемник ре-
регистрирует их с периодом Т', т. е. с частотой f'=l/T' =
= а /2л, где со и о/ — соответствующие круговые частоты.
Соотношение E.1.4) представляет собой математическое
выражение эффекта Доплера. Отметим, что в этом соот-
соотношении скорость v считается положительной, если источ-
источник приближается к приемнику, и отрицательной, если
он удаляется от него. Это же замечание относится и к
скорости и.
5.1.1.2. Анизотропный случай
Обозначив через С\ и с2 соответственно скорости рас-
распространения акустической одномерной волны вправо и
влево и предположив, что при распространении волн
энергия не теряется (вся кинетическая энергия превра-
превращается в потенциальную и наоборот), получим дифферен-
дифференциальное уравнение распространения акустической вол-
волны в упругой среде в следующем виде:
**-0- EЛ-5)

426 ГЛАВА 5
Тот факт, что распространение акустической волны
происходит неодинаково в разных направлениях, объяс-
объясняется некоторой анизотропностью среды1). Поэтому бу-
будем считать, что рассматриваемая волна распространя-
распространяется в анизотропной среде.
Если учитывать влияние внешних воздействий, то
уравнение E.1.5) принимает вид
\ dt ' * д.
где X(x; t)—величины, пропорциональные возмущаю-
возмущающим силам. Такой случай может иметь место, на-
например, когда акустическая волна распространяется в
атмосфере при ветре.
5.1.2. Эффект Доплера при ветре
5.1.2.1. Общие положения
Для случая распространения акустической волны в
атмосфере при ветре можно использовать уравнение
E.1.5') распространения акустической одномерной вол-
волны в анизотропной среде.
Предположим, что среда, в которой распространяется
акустическая волна, является упругой и анизотропной.
Обозначим через с скорость распространения одномерной
акустической волны, а через w — скорость ветра.
Если волна распространяется по ветру, то ее скорость
cx = c + w, E.1.6)
а если она распространяется против ветра, то ее скорость
с2=с — la. E.1.6')
Следовательно, дифференциальное уравнение распрост-
распространения акустических одномерных волн в атмосфере с
1 Скорости С\ и Сг в уравнении E.1.5) не могут различаться
только из-за анизотропности среды. Различие скоростей может быть
объяснено гипотетической «разномодульностью» среды и вряд ли
имеет место в реальных средах. — Прим. ред.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 427
учетом скорости w ветра имеет вид
E.1.7)
С помощью этого уравнения можно исследовать эффект
Доплера для рассматриваемого случая распространения
акустических волн. Для этого предположим, что точеч-
точечный источник, который излучает колебания с частотой
/ = (о/2.-т, равномерно перемещается с постоянной ско-
скоростью v. Перемещение акустического точечного источ-
источника начинается при t = 0 в положительном направлении
оси Ох, в котором распространяется волна. В этом
случае интенсивность акустического источника обуслов-
обусловливается внешней силой, пропорциональной с2еш. Можно
написать
Х(х; t)^=c2e^b(x-vt)Xb{t), E.1.7')
где 8@'— обобщенная функция Хевисайда, Ь{х) —обоб-
—обобщенная функция Дирака, а знак «X» означает прямое
произведение.
Из того что источник перемещается равномерно со
скоростью v>0 при t^O, следует, что обобщенная функ-
функция Дирака б (л;—vt) сосредоточена в точке x = vt^0 на
оси Ох, т. е. на полуоси х^О. Носителем Э@ является
полупрямая t~^0. Следовательно, обе рассматриваемые
обобщенные функции допускают преобразование Лапла-
Лапласа соответственно по х и по t.
5.1.2.2. Исследование дифференциального уравнения
Будем обозначать через р н q комплексные перемен-
переменные, соответствующие х и t, после преобразования Лап-
Лапласа. Последовательно применяя это преобразование по
х и по t к уравнениям E.1.7) и E.1.7'), получим
w)p-\-q][{c-w)p-q\u{p, q)= с-—-
q -\-vp — 1ч
E.1.8)

428 ГЛАВА 5
где учтены соотношения A.5.68) и A.5.76). Следова-
Следовательно,
и{р, q)=
[(с + w) р + q] [(с — w) р — q] [vp — ко + q]
А{р) | В(р) | С(р) E
q — qi q — qi q~qz
где
9i=—P{c+w), q2 = P{c-w), q3=iw-vp E.1.9')
2p[p(c+w — v) + l<»]
B(p)=*- e_J v _ы . E.1.9")
C(p)= .
[ p (c + w — v) + ш] [p (c — w + v) — /со]
Применяя обратное преобразование Лапласа по перемен-
переменной q, получаем
B(p)Q (t) epic-w)t +
-\-C(p)Q(t)eUa~vp)t.
С помощью формулы A.5.72) и обратного преобразова-
преобразования Лапласа по переменной р получим
и(х; t) = B(t)Al[x-(c-\-w)t] +
+ 6 (t) Bx[x-\-{c -w) /]+в {t)Cx{x-vt) еш, E.1.10)
где введены обозначения
Ах (x) = L-i [А (р)], В, (*)=?-' [В (р)],
С, И=1-»[С(/;)]. E.1.10')
Исходя из формул E.1.9"), можно написать
Р Р~Р\ Р Р — Р2

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 429
р—Pi p—
где
E.1.11)
, />2=А= E.1.11
cw+v
C+W—V С—W+V
A' = B" = C' =
2ш '
E.1.11")
2U
Следовательно,
E.1.12)
c+w—v с—w+v
Таким образом, выражение E.1.10) принимает вид
— vt) — Q[x — {c-\-w)t\) e
la
c+w—v
\x+(c-w) t]
_[b{x-vt)-b[x^-{c-w)t])ec~wbV j. E.1.13)
С помощью этого результата можно получить раз-
различные частные решения.
Предположим, что х>0, />0, w<c и v<c+w = c\.
Последнее условие показывает, что скорость акустиче-
акустического источника меньше скорости волны в направлении
движения источника (направление по ветру). С помощью
формул Эйлера B.3.83) и B.3.83') для действительной
части выражения E.1.13) можно написать

430 ГЛАВА 5
при /< х
с +w
с . ш\х — (с + дан х
sin —- - —L~ при
sinпри CiC
2ш С +W — V С +W V
2ш с — w + v v
E.1.14)
Отсюда следует, что при t = x/v появляется разрыв, а
частота меняется скачкообразно от значения
C+W (о C + W f EЛЛ5)
с -\-w — v 2я с — (v — да)
до значения
Q IS) (о ? ^
с — да + v 2я с +(v — w)
f E.1.15')
согласно принципу Доплера. Таким образом, получено
обобщение соотношения E.1.4).
5.2. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В ОПТИКЕ
Среди основных явлений, сопровождающих распрост-
распространение волн: акустических, оптических и других, отме-
отметим отражение, преломление и дифракцию. Исследова-
Исследование этих явлений связано с изучением волнового урав-
уравнения в неоднородных средах. Для исследования интер-
интерференции и дифракции световых волн достаточно
рассматривать просто волновой характер распростране-
распространения света, не учитывая специфических особенностей элек-
электромагнитных волн. Поэтому световая волна будет ха-
характеризоваться только амплитудой, фазой, длиной вол-
волны и скоростью распространения.
Ниже будет использоваться принцип Гюйгенса, со-
согласно которому положение фронта распространяющей-
распространяющейся волны в любой момент времени может быть представ-
представлено огибающей всех вторичных (элементарных) волн;

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ 431
источниками вторичных волн являются точки, до которых
дошел фронт первичной волны в предшествующий мо-
момент времени.
5.2.1. Явление дифракции на бесконечности
5.2.1.1. Основные результаты.
Случай точечного источника
Характерной особенностью распространения волн
является изменение направления их распространения
при переходе через некоторое отверстие в непрозрачном
экране (дифракция). Плоское дифракционное отверстие
характеризуется некоторой функцией распределения
f(x, у) света, с помощью которой можно определить диф-
дифракционную картину на бесконечности.
Для определения дифракционной картины на беско-
бесконечности за плоским отверстием используется принцип
Гюйгенса, согласно которому элемент площади dxdy в
плоскости z = 0 излучает элементарную волну с ампли-
амплитудой f(x, y)dxdy в направлении с направляющими ко-
косинусами а, р, y и с разностью фаз 2яД (ах+$у) относи-
относительно элементарной волны, излучаемой из начала коор-
координат О (здесь X — длина волны).
Складывая эффекты от всех точек, получим
(jc, y)e dxdy, E.2.1)
где Q — площадь плоского дифракционного отверстия.
Если наблюдать дифракционную картину в фокусе неко-
некоторой линзы с фокусным расстоянием I, то направлению
(а, р, у) будет соответствовать точка фокальной плоско-
плоскости с координатами
*' = — /, у' =i-/. E.2.2)
Y Y
Обычно дифракционная картина на бесконечности
наблюдается в окрестности оси Oz. Таким образом, мож-
можно предположить, что a, |3<§С1, т. е. y~ 1> a
x' = la, у' = 1§. E.2.2')

432 ГЛАВА 5
Если принять длину волны X за единицу длины и в фо-
фокальной плоскости ввести безразмерные координаты
которые малы по сравнению с единицей, то для дифрак-
дифракционной картины на бесконечности получим следующую
обобщенную функцию:
F (и, v) = f J / (х, у) e™<-ax+*f>dxdy. E.2.4)
"я»
Если F(u, v)=F\f(x, у)]— образ Фурье функции
fix, у), то
F{u, v) = F{2nu, 2яг»), E.2.4')
т. е. дифракционная картина на бесконечности описыва-
описывается функцией F(u, v), которая является образом Фурье
функции распределения света f(x, у) в точке Bям, 2яо).
В некоторых случаях функция распределения света не
выражается через обычную функцию. Например, если
источник света точечный, то функция распределения све-
света должна равняться нулю всюду, кроме одной точки, где
она неопределенна. В этом случае функция распределения
выражается через некоторую обобщенную функцию с то-
точечным носителем, а именно через обобщенную функцию
Дирака. Поэтому точечные источники представляются
таким же образом, как и сосредоточенные массы. Для
точечного источника света в точке (хОу у0) имеем следую-
следующую обобщенную функцию распределения света:
f (х, y) = kb(x — xQ, у — у0), & = const, E.2.5)
а дифракционная картина на бесконечности имеет рас-
распределение
F{u, V) = ke^ux°+vy°). E.2.6)
5.2.1.2. Примеры
Рассмотрим отверстие длины 2а и пренебрежимо ма-
малой ширины, расположенное на оси Ох симметрично от-
относительно начала координат О (фиг. 5.1). Предполо-

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ
433
жим, что функция распределения света равна единице
на всей длине отверстия. Следовательно, она имеет вид
= h(x) = B(a- \x\),
E.2.7)
0 а
Фиг. 5.1.
где h(x)—характеристическая функция на отрезке
[—а, а], определенная соотношением A.1.98). Применяя
преобразование Фурье A.6.23"), получаем
F(u) =
&т2каи
(в,Ь)
(а, -Ь)
Фиг. 5.2.
Рассмотрим прямоугольное отверстие с размерами 2а
и 26. Направим оси координат вдоль осей симметрии
этого отверстия (фиг. 5.2). Функция распределения света
предполагается постоянной и равной единице. В этом
случае можно написать
f(x, y) =
= B(a- [ х
- | у | ). E.2.9)
Дифракционная картина на бесконечности дается
функцией
F (и, v) = sin2^sin2lt^ . E.2.10)
15-3677

434
ГЛАВА 5
Заметим, что сказанное выше про дифракцию света
применимо и для акустических явлений, так как в обоих
случаях мы имеем дело с волновыми процессами.
5.2.2. Дифракция Френеля
5.2.2.1. Общие положения
Явление дифракции имеет место при частичном пере-
перекрытии световых лучей непрозрачными экранами. Таким
Фиг. 5.3.
образом наблюдаются дифракционные каршны Фраун-
гофера и Френеля. Дифракцией Френеля называется диф-
дифракция, полученная прямым путем без каких-либо опти-
оптических инструментов.
В дифракционной плоскости рассмотрим плоское от-
отверстие. Пусть f(x, у)—функция распределения света
на дифракционном отверстии. Благодаря явлению диф-
дифракции в плоскости наблюдения, которая параллельна
дифракционной плоскости и находится на конечном рас-
расстоянии от нее, будет наблюдаться изображение, харак-
характеризующееся функцией h(х, у). Функция h(x, у) пред-
представляет собой распределение света в плоскости наблю-
наблюдения и соответствует функции распределения света
f (x, у) на дифракционной плоскости (фиг. 5.3).
С изменением отверстия, т. е. функции f(x, у), будет
меняться и дифракционное изображение в плоскости

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 43S
наблюдения, т. е. изменится и функция h(x, у). Из линей-
линейности уравнений Максвелла, которые описывают явление
дифракции, следует, что сдвиг отверстия приводит к
сдвигу дифракционного изображения.
5.2.2.2. Определение дифракционного изображения
в плоскости наблюдения
Из вышеизложенного следует, что существует некото-
некоторая функция g(x, у), не зависящая от размеров отвер-
отверстия и расстояния между рассматриваемыми плоскостя-
плоскостями, которая связана с функциями h(x, у) и f(x, у) соот-
соотношением
hix, У) = /(х, y)*g{x, у), E.2.11)
где введена свертка соответствующих функций.
Если точечный источник света находится в начале
координат в дифракционной плоскости и имеет интенсив-
интенсивность, равную единице, то
f(x, у)=Ь(х, у). E.2.12)
Таким образом, функция распределения света выражает-
выражается череа обобщенную функцию Дирака. Замечая, что
6(х, у)—-нейтральный элемент алгебры со сверткой,
получаем
h(xt у) = Ъ(х, y)*g(x, y)—g{x, у). E.2.13)
Следовательно, функция (или обобщенная функция)
g(x, у) соответствует точечному источнику (отверстию)
с интенсивностью, равной единице. Зная g(x, у), можно
получить дифракционное изображение от отверстия про-
произвольной формы.
Если в дифракционной плоскости имеются п точеч-
точечных отверстий в точках Ai(xt, у г) с распределением света
fi(x, у) =kib(x—xiy у—уг) (t=l, 2, ..., п), для изображе-
изображения получим
п
15*

436 ГЛАВА 5
Следовательно,
п
h(x, y} = ^ kig(x — X[, у — уг). E.2.14)
Зтот случай соответствует так называемой дифракцион-
дифракционной решетке.
¦5.3. НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
5.3.1. Соотношения между напряженностью
л потенциалом поля, создаваемого электрическим
зарядом, и объемной плотностью этого заряда
-5.3.1.1. Случай точечного электрического заряда
Рассмотрим точечный электрический заряд q, находя-
находящийся в начале координат (фиг. 5.4). Его объемная
Фиг. 5.4.
плотность определяется формулой C.4.7) или C.4.7').
Этот заряд создает вокруг себя электростатическое поле,
описываемое вектором напряженности Е:
Е(х, у, z)=E(r) = -2-= ^ . E.3.1)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 437
Функция Е(х, у, z), хотя и имеет разрыв в начале коор-
координат, является локально интегрируемой. Следователь-
Следовательно, обобщенная функция, порождаемая этой функцией,
регулярна.
По определению потенциал поля, создаваемого точеч-
точечным электрическим зарядом q, является скалярной вели-
величиной, имеющей вид
V{x, у, z) = V(r) = -*- = . 1 . . E.3.2)
К V
Заметим, что и эта функция является локально интегри-
интегрируемой; она тоже порождает регулярную обобщенную
функцию.
Между вектором напряженности Е и потенциалом V
имеет место соотношение
E=-gradI/. E.3.3)
Если применить к этому соотношению оператор дивер-
дивергенции, то получим
-divE=divgradl/=Al/ =
дх2 ду* дг^
E.3.4)
Следовательно, потенциал поля и объемная плотность
электрического заряда связаны уравнением Пуассона.
Уравнения E.3.3) и E.3.4) являются фундаментальными
уравнениями электростатического поля. Эти уравнения
будут рассматриваться в пространстве обобщенных
функций.
Из соотношения A.4.35) можно заметить, что потен-
потенциал E.3.2) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению в обобщенных функциях E.3.4). Если оператор Лап-
Лапласа рассматривать в обычном смысле, то функция 1/R
будет гармонической и уравнение Пуассона не будет
удовлетворяться.
В рассматриваемом случае оператор grad в смысле
теории обобщенных функций совпадает с соответствую-
соответствующим оператором в обычном смысле, так как обобщенные

438 * ГЛАВА 5
функции Е и V являются регулярными. Следовательно,
можно написать
5.3.1.2. Одномерный случай
Рассмотрим одномерное уравнение Пуассона для по-
потенциала поля, создаваемого электрическим зарядом:
dW ). E.3.6)
Для электрического заряда q, находящегося в начале
координат на оси Ох, линейную плотность можно запи-
записать в виде C.4.4). Соответствующий потенциал удов-
удовлетворяет уравнению
). E.3.6')
Учитывая формулы A.2.34) и A.2.34'), получим
V(x)=— 2nq | х | , E.3.7)
а используя соотношение E.3.3), можно написать
х<°\_
dx l 2л^ при x>Oj
= 2л? [26 (х) — \\ = 2xq :-gn x. E.3.8)
5.3.1.3. Двумерный случай
В двумерном случае уравнение Пуассона принимает
вид
Поверхностная плотность точечного электрического заря-
заряда q, находящегося в начале координат Оху, определя-
определяется выражением вида C.4.6). Потенциал соответствую-

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 439
щего электростатического поля удовлетворяет урав-
уравнению
Учитывая формулу A.4.36), получим
V(x, #) = 2?1пу, r=V*2 + y2- E.3.10)
Для вектора напряженности Е можно написать
Ех=2ду, Ey = 2q^-. E.3.11)
Функции Ех и Еу являются локально интегрируемыми,
т. е. они порождают регулярные обобщенные функции.
Несмотря на то что Ех2 и Еу2 не являются локально ин-
интегрируемыми функциями, как и их сумма
выражение
является локально интегрируемой функцией, которой со-
соответствует регулярная обобщенная функция. Напря-
Напряженность двумерного электростатического поля опреде-
определяется по формуле
Е = ^3- . E.3.12)
5.3.1.4. Примеры
В плоскости Oxy(z = 0) рассмотрим электрический
простой слой, имеющий постоянную поверхностную плот-
плотность 0 (фиг. 3.28). Учитывая формулу C.4.14), для объ-
объемной плотности получим
Р(х, у, г) = о8 (г). E.3.13)

440 ГЛАВА 5
Потенциал соответствующего электрического поля удов-
удовлетворяет уравнению
+ -^_=,_4л3§(,г). E.3.14)
Отсюда, как и в разд. 5.3.1.2, следует
V (х, у, z) ——2лй | z ! . E.3.15)
Далее будем иметь
Ех=Еу = 0, E.3.16)
[ — 2да при
л ^ . =2ла[26(г) — 1] = 2л
2яа при 2>OJ i w j
E.3.16')
Таким образом, мы получили результат, аналогичный
результату, рассмотренному в разд. 5.3.1.2, для случая
одномерной среды.
Рассмотрим теперь электрический диполь с моментом
D, расположенный в начале координат и направленный
вдоль орта и. Согласно формуле C.4.12), объемная
плотность рассматриваемого диполя
р(х, у, z)=—D-^-b(x, у, z). E.3.17)
Применяя к соотношению A.4.35) оператор д/ди и
замечая, что он перестановочен с оператором Лапласа,
получаем
да \R ) [да \RJ\ да 1 ' *
В этом случае уравнения E.3.4) и E.3.17) определяют
потенциал электростатического поля, образованного
электрическим диполем, расположенным в начале коор-
координат, следующего вида:
V(x, у, z)=_D-A(-L)=_Du.grad -^ . E.3.18)
Эта функция является локально интегрируемой, так что
обобщенная функция, порожденная E.3.18), является
регулярной.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 44Г
5.3.2.1. Электрический простой слой на поверхности
На поверхности S (см. фиг. 3.25, б) рассмотрим элект-
электрический простой слой с поверхностной плотностыа
а(х, у, z). Соответствующая объемная плотность опреде-
определяется по формуле C.4.14), а уравнение для определе-
определения потенциала соответствующего электростатического
поля имеет вид
?? , *, z)b{S). (S.3.19>
дх% dtfl ' dzt
Учитывая фундаментальное решение B.3.77) уравне-
уравнения Пуассона E.3.19), для решения уравнения E.3.19^
имеем
V (х, у, z) = - -L- * [ - 4яа (х, у, z) 8 E)], E.3.19'}
где мы воспользовались сверткой.
Окончательно получаем
V (х, у, г) = 4- * з (х, у, г) 8 E). E.3.20)»
А
Заметим, что
(/(¦*, У, z)*o{x, у, г) 8 E), <f{x, у, г)) =
= {f(x, у, г)хз(«> v> w) 8 E), 9 (-«4-м.
= (o(tf, г», w)8E), (f{x, у, г), <р(* + и
= fo(a, г», w)(/(x, г/, г), <р(
5
= \a(u, v, w)\\ f{x, у, г)ср
S Л»
= j j а (и, «, w)f(x—u, y—v, z—w)y{x,y,z)dSdxdydz—
= I"<p(x, y, z) \\з(и, v, w)f(x — u, y — v, z — w)dS\ X
/г» 5

442 ГЛАВА 5
X dxdydz—
= [\ з(а, v, w)f(x — u, y — v, z — w)dS, <p (x, y, 2)) ,
где f(x, y, z) ¦—локально интегрируемая функция, а
<p(x, у, z)^K(R3)—основная функция. Имеем, таким
образом, формулу
fix, г/, z)*a(x, у, z)l(S) =
= J а (и, v, w)f{x—u, y—vt z—w)dS, E.3.21)
где dS выражается через переменные и, v и w. В этом
случае можно написать
V(x, у, г)= Г "(»¦ «. ») _^5 E-з.22)
5.3.2.2. Электрический двойной слой на поверхности
На поверхности 5 (см. фиг. 3.26, б) рассмотрим элект-
электрический двойной слой с моментом ц(х, у, z). Объемная
плотность определяется по формуле C.4.25), а потен-
потенциал соответствующего электростатического поля удов-
удовлетворяет уравнению
AV(x, у, ;г)=4я4- И*, У. «)«($)], E-3.23)
где п — единичный вектор внутренней нормали к поверх-
поверхности.
С помощью фундаментального решения B.3.77), как
и в предыдущем случае, получим
V(xty,z)=--L*JL[v(х, у, г)8{S)\. E.3.24)
К on
Отсюда следует
V(x, у, 2)=--1-[±*1.(х, у, г)8E)] =

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ 443
а согласно формуле E.3.21), можно написать
(«, г», да) —
E.3.25)
где производная по нормали п берется относительно пе-
переменных и, v и w.
5.4. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ФИЗИКЕ
5.4.1. Общие результаты
5.4.1.1. Математическая постановка задачи
Колебательные явления, встречающиеся в механике,
оптике, акустике, электротехнике и т. д., описываются
дифференциальными уравнениями второго порядка. Об-
Общее решение в подпространстве К'+ обобщенных функ-
функций для линейных колебательных систем будет дано ниже
в виде матричных рядов с элементами в виде обобщен-
обобщенных функций.
Пусть q{ (i—\, 2, ..., п) — обобщенные координаты
колебательной системы с п степенями свободы и Fi(t) —
обобщенные силы, соответствующие возмущающим си-
силам, действующим на систему. В случае малых колеба-
колебаний система уравнений Лагранжа принимает вид
2 M*c)+*/»«;»(o+ow*@]=/?i (о
(/ = 1, 2,..., я). E.4.1)
Имеют место соотношения
ащ = аы, bin=bk;, cik = ckl (i, k=l, 2 n), E.4.2)
которые, однако, не являются необходимыми при после-
последующем изложении.

444 ГЛАВА 5
Если добавить начальные условия
(=0: дк{О) = д», qk@) = ql (k= I, 2,..., n), E.4.3)
то получится задача Коши для линейной колебательной
системы, неизвестными которой являются qh(t).
С помощью функции Хевисайда введем функции
?*@=в(')?*@. ^*@ = в@/г*@ (* = 1. 2,..., я),
E.4.4)
которые приводят к соответствующим регулярным обоб-
обобщенным функциям. После дифференцирования в смысле
теории обобщенных функций получим
D=1, 2,..., л),
где введены и обычные производные. Учитывая эти про-
производные и тот факт, что в системе E.4.1) все производ-
производные рассматриваются в обычном смысле, можно записать
уравнения Лагранжа в обобщенных функциях:
ltgk (t)] = f, (t)
(i = l, 2,..., л), E.4.5)
где
St (t)=P, (t)
2
*=i
(i=l, 2,..., л). E.4.6)
Заметим, что уравнения E.4.5) содержат начальные ус-
условия, так что решение соответствующей задачи Коши
сводится к интегрированию этой системы. Несмотря на
то, что эта система получена для обобщенных функций

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ
445
типа обычных, она будет рассматриваться для произволь-
произвольных обобщенных функций.
Обобщенная сила &~i(t) является обобщенной функ-
функцией с носителем в [0, оо); в этом случае можно предпо-
предположить, что и Fi(t) является обобщенной функцией с та-
таким же носителем.
Введем дифференциальные операторы
Dtt=a,*-^- + ft«-^-+r« (i, k=l, 2,..., я). E.4.7)
Пусть Xh — фундаментальное решение оператора D^ в
алгебре со сверткой К'+- Это решение должно быть функ-
функцией класса С2 [О, оо) и удовлетворять соотношению
=1, 2,..., я).
Заметим, что
DkkZk(t) = 0, Zt@)=0,
где
E.4.8)
, E.4.9)
Xk{t) = b{t)Zk{t) D = 1, 2,..., л). E.4.9')
Систему уравнений Лагранжа E.4.С) можно написать
в К'+ в матричном виде
A(t)*q(t) = f(t)t E.4.5')
где A(t) —квадратная матрица порядка га:
A(t)={Dub(t)} (/, у=1, 2 л), E.4.10)
а матрица неизвестных q(t) и матрица @~(t) являются
матрицами-столбцами
E AM)
Матрицы обобщенных функций A(t), q{t), ?(t)GK+
и, следовательно, уравнение E.4.5') допускают в К'+
единственное решение для матрицы q(t).

446 ГЛАВА 5
Если имеют место соотношения E.4.2), то матрица
A(t) является симметричной.
В дальнейшем будем предполагать, что определитель
матрицы
A3=det|a,,| E.4.12)
отличен от нуля.
5,4.1.2. Уравнения в свертках
Для исследования уравнения E.4.5') приведем дру-
другое уравнение в свертках, эквивалентное рассмотрен-
аому.
Теорема 5.4.1. Если АфО и ацфО, a Fi{t) (t = l, 2, ...
_., л) — обобщенная функция с компактным носителем в
Ю, оо), то уравнение E.4.5') эквивалентно в К'+ урав-
уравнению
A(t)*~q{t)=f(t), E.4.13)
где матрицы обобщенных функций A(t),
имеют вид
(/, у = 1, 2,..., л), E.4.14)
J (/) = [allX1 [t) *J: (t), a22X2 (t) * ?2 (t),. ..
...,annXn{t)*Wn{t)}. E.4.14')
Действительно, пусть d(t) = {а,-Д{(fNjj}e/C/+ (i, /= 1,
2,..., л), где_б<,- — символ Кронекера.
Так как Ft имеет компактный носитель, содержащий-
содержащийся в {0, оо), то &~(t) и A(t) тоже имеют компактные но-
носители. Поэтому умножение уравнения E.4.5') слева на
диагональную матрицу d(t) имеет смысл в К'+. Таким
образом, можно написать
- [auX, (t) * Dub (/)} =
нОМ*.f@=F(/).

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ 447
С учетом соотношений E.4.8) — E.4.9') и полученных
формул дифференцирования будем иметь
{auDtjX, (*)} = \аф (*)} + {9 (*) auDijZ! (t)}.
Подставляя это выражение в предыдущее соотношение,
получим выражения E.4.14) и E.4.14 ), что доказывает
справедливость формулы E.4.13).
Эквивалентность уравнений E.4.5') и E.4.13) обуслов-
обусловлена тем, что диагональная матрица d(t) отлична от
нуля, а алгебра со сверткой К'+ не допускает делителей
нуля.
Заметим еще, что матрица A(t), определенная соот-
соотношением E.4.14), является суммой двух матриц, одна
из которых является матрицей сингулярных обобщен-
обобщенных функций, а другая — матрицей регулярных обобщен-
обобщенных функций.
Теорема 5.4.2. Если №0 и анф0 (i-l, 2, ..., га), то
матрица A(t)^K'+ обратима в К'+ и обратная матрица
имеет вид
1- E-4.15)
k-0
Действительно, так как А=/=0, матрица {a*j6@} обра-
обратима в К'+ и имеет место равенство
[аиъу)}-1 = ЪЩ{аи}-К E.4.16)
Таким образом, свертка внутри квадратных скобок в со-
соотношении E.4.15) существует и приводит к матрице об-
обобщенных функций типа обычных
И Ц) = {aub «Г1 * {в @ а„ад (t)) =
„О^@)- E.4.17)

448 ГЛАВА 5
Для этой матрицы, элементами которой являются обыч-
обычные функции, норма определяется соотношением
@ =
В предположении, что ЯиЯ являются квадратными
непрерывными матрицами одинакового порядка, элемен-
элементами которых являются обычные функции, можно на-
написать
< J II//(О.)л,
||Я(Он II/7@ ||.
Пусть
(*, у = 1, 2,..., л) E.4.18)
является единичной матрицей в алгебре со сверткой /('+.
Матрица U(t)+H(t)^K'+ обратима в К'+ на отрезке
Г=[0, ^], и имеет место равенство
JS -!)*//'*(')• E-4Л9)
Введем обозначение
/67"
Тогда получим
ц#*2@=[ II Н (т) || || #
6
Методом математической индукции можно показать, что
(ft-1)! ^ (ft-1)!
Следовательно, матричный ряд E.4.19) равномерно схо-
сходится при /еГ, так как матрица H{t) непрерывна на

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ 44Э
[О, оо). Равенство E.4.19) легко проверяется с помощью
свертки
fe-0
Так как матрица Л (Л может иметь вид
причем оба сомножителя обратимы в К'+, то с учетом
формулы E.4.19) получим
Л (t)={aub (t))-4[U (i) + Н (t)}~\
что и приводит к соотношению E.4.15). Теорема, таким
образом, доказана.
Следовательно, решение в К'+ уравнения E.4.13) бу-
будет иметь вид
- if НКГЧе W а„ D,}zt
E.4.20)
Это решение в то же время является решением в К'+
уравнения в свертках E.4.5').
5.4.2. Применения для исследования механических
колебаний
5.4.2.1. Общий случай
При изучении механических колебаний встречается
случай, когда
аи = 0, ijrj, E.4.21)
т. е. матрица {а^} становится диагональной:
К! = КМ- E-4.21')
Обратная матрица тоже будет диагональной:
КГ1 = (^Ч)- E.4.21")

450
ГЛАВА 5
Так как
Ы-1 {в (t)a,iDtjZ, (t)} = @ (t) DtjZt (t)\,
соотношение E.4.20) упрощается и принимает вид
2 (- 1)*
«Г* {a7j%j}*f(t). E.4.22)
Это соотношение описывает продольные колебания
механической системы с п степенями свободы (фиг. 5.5).
^1
Фиг. 5.5.
Согласно второму закону Ньютона, для точки с массой
rrii можно написать уравнение
{t)=F, (t) - fc, [gt (t)-q^ {t)\ -
' = 1. 2,..., л), E.4.23)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 451
где Сг — коэффициенты затухания, kt — квазиупругие ко-
коэффициенты, Fi(t)—возмущающие силы, действующие
на точку с массой т,. Кроме того,
?oM = ?»+i(O = O; qQ{t)=qn+l{t) = O- E.4.23')
В таком случае
а„=т,, E.4.24)
а определитель
E.4.24')
Дифференциальный оператор Djj принимает вид
Dl, = /n,-;g-+(r/ + <:,+1)-^-+*/+^1, E.4.25)
Ъи^= -c,-^.-kh @.4.25')
Bll+l=-ct+l-^--kl+1, E.4.25")
Do=0 при (/ —у|>2. E.4.25'")
Функции Zj(/) будут иметь вид
Z, (t) = —-— е'"'' sh «,/ при а, > ]/ *<+*'+1- , ^.4.26)
/П/ш,- Г /И
/И,-
где
, E.4.26')
1 -с t ' <7ft-- /'^
—- e < sin о, г' при п(- <^ 1 / — ^-' •
пцл\ У т:
E.4.27)
где
и
Z,@ = —/«Г"'' при a/=l/^±^±L, E.4.28)
i=l,2, .... л.

452
ГЛАВА 5
Если начальные условия однородные (нулевые) и
возмущающие силы являются импульсными в начальный
момент времени
Fi(t)=Fib(t) (/=1, 2,..., Я), E.4.29)
где Fi — постоянные, то получим
F ^@> m2F2X2(t),..., mnFnXn{t)). E.4.30)
5.4.2.2. Частный случай
Рассмотрим полученные выше результаты для случая
п = 2. Мы имеем
atl
an 0
О а„
}
i1 0
о
0 )
_г .E.4.31)
22 '
Следовательно,
6{t)Di2Zx{t)
о
{9 (^
.*. (8@ 0
2*(
0
-четное),
Тогда
0 6@0^@1
lZtf) 0 )
(k — нечетное).
E.4.33)
Ях @ = 2[9 (О D12Z, @:<9 (О D21^2 @Г**[^1 @ *?i @-
^2 @= 2 f
E.4.34)
@*^2 @ -

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ФИЗИКЕ 453
В случае когда начальные условия являются однородны-
однородными (нулевыми), а возмущающие силы имеют вид
E.4.29), будем иметь
Яг @ = 2 [6 W DI2Zt (t)*6 (/) D21Z2
E.4.35)
= 2[9 (^)D12Z, (t)ri (/) D21Z2 {t)Yk*[F2X2 @ -
Из изложенного выше видно преимущество приведен-
приведенного метода вычислений. Если для системы с п степеня-
степенями свободы используются методы операционного исчис-
исчисления, то для определения начальных обобщенных функ-
функций приходится решать алгебраическое уравнение по-
порядка 2га. Выражение общего решения через га фундамен-
фундаментальных решений позволяет избежать некоторых труд-
трудностей (разложение на простые дроби и т. д.).
5.4.2.3. Свертки
Для вычисления приведенных выше сверток полезно
использовать формулы
лк—1
г/
1
¦
(k— 1)!
E.4.36)
Bft-1I
И
[9 @ е«' sin Ы\*k = J?Mu?L- (/ cos at + Jft sin <¦>/),
E.4.37)

454 ГЛАВА 5
где k=\, 2, 3,."...
Здесь
t
/ft=j т*-1 {t — t)*-1 cos ,
E.4.38)
*-1^ — t)*-1 sin 2Г
t*-1 (^ — т)*-1 ch 2w\dx,
6
E.4 38')
t
CJk=j t*-1 (^ - t)*-1 sh 2oDtufT.
о
Эти результаты получены с помощью преобразования
Лапласа.

ГЛАВА 6
Применения теории
обобщенных функций
в электротехнике
6.1. СИЛА ТОКА И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД.
ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
6.1.1. Сила тока и электрический заряд
6.1.1.1. Общие положения
Рассмотрим проводник с поперечным сечением А. че-
через который при t~^t0, где t0 — начальный момент, про-
проходит электрический заряд q = q{t); при t<U предпола-
предполагается отсутствие тока. Сила тока определяется соотно-
соотношением
которое справедливо при tZ^h, а дифференцирование
рассматривается в обычном смысле.
Нулевым продолжением влево вводится функция
где 8@—обобщенная функция Хевисайда (фиг. 6.1).
Дифференцируя F.1.2) в смысле теории обобщенных
функций, получаем
b(t-t0), F.1.3)
^) —функция класса С1. Заметим, что i(t) =q'(t) =
i(t) при t>t0- Таким образом, обобщенная функции

456 ГЛАВА 6
F.1.3) правильно описывает силу тока. В частности, при
q{t)=q0 = const, />/0, F.1.4)
имеем
7 (/) = ?08 (/-/„). F.1.4')
При рассмотрении электрических цепей важное зна-
значение имеют два закона Кирхгофа:
1) Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле,
равна нулю. Положительными считаются токи, приходя-
приходящие к узлу, отрицательными — токи, уходящие от него.
2) В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма
э. д. с. равняется алгебраической сумме падений напря-
напряжений.
На сопротивлении R напряжение падает на величину
ER{t)=Rl{t). F.1.5)
Это соотношение является выражением закона Ома. Ана-
Аналогично при прохождении электрического тока i(t) через
катушку происходит падение напряжения
~EL{t)=L-^-T{t), F.1.5')
где L — индуктивность катушки. Падение напряжения
при прохождении электрического тока через конденсатор
емкостью С будет
Ec{t) = ±q{t). F.1.5")

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 457
Рассмотренные падения напряжений на активном сопро-
сопротивлении R, индуктивном сопротивлении L и емкостном
сопротивлении С являются обобщенными функциями,
равными нулю при t<to. Следовательно, носителем этих
обобщенных функций является полупрямая [0, оо), и к
ним можно применить, помимо преобразования Фурье,
преобразование Лапласа.
Для случая взаимной индукции двух катушек можно
написать соотношение, аналогичное F.1.5'). Рассмотрим
две индуктивно связанные катушки с взаимными индук-
тивностями Lu и L2i, соответствующими силам токов
i\ и i2- Будут иметь место следующие падения напря-
напряжений:
?i(t) = ^2-^-Ta(t),^a(t)=Lil-^-Tl{t), F.1.6)
причем предполагается, что
L12=L21=M. F.1.7)
6.1.1.2. Исследование цепи RLC
Важным применением алгебры со сверткой К'+ явля-
является исследование цепи RLC, образованной сопротивле-
сопротивлением, индуктивностью (катушкой) и емкостью (конден-
(конденсатором), которые соединены последовательно с генера-
генератором, имеющим э. д. с. E(t) (фиг. 6.2).
Предполагая начальные условия однородными (нуле-
(нулевыми), применим к этой замкнутой цепи второй закон
С
41-
?(t) -^ *qtt) -9ft)
Фиг. 6.2.
16—3677

458 ГЛАВА 6
Кирхгофа. Учитывая соотношения F.1.5) — F.1.5"). по-
получим
A ± F.1.8)
где E(t)—обобщенная функция, определяемая фор-
формулой
Здесь t = to — начальный момент замыкания цепи, а
E(t)—функция, определенная при t^to и представляю-
представляющая э. д. с.
Дифференциальное уравнение F.1.8) содержит не-
неизвестные обобщенные функции q(t) и i(t), которые за-
зависят от э. д. с. E(t) посредством коэффициентов R, L и
С. Учитывая соотношение F.1.3), получим дифференци-
дифференциальное уравнение
L-^q(t) + R-^-q(t) + ^-^(/)=f @. F.1.10)
которое содержит только неизвестную обобщенную функ-
функцию q(t). Если ввести обозначение
то уравнение F.1.10) примет вид
Dqq(t)=E(t). F.1.12)
В алгебре со сверткой это уравнение записывается как
Dqb(t)*q @=^@- F.1.12'J
Согласно изложенному в разд. 2.2.1.2, фундаментальное
решение этого уравнения удовлетворяет соотношениям
\ %~l(t) = Dqh(t). F.1.13)
Решение Q(t)^.K'+ является единственным, и, таким
образом, можно записать решение уравнения F.1.12')
в виде
F.1.14)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 459
Следовательно, получены функциональные соотноше-
соотношения F.1.12') и F.1.14) между э. д. с. E(t) и зарядом
q{t).
6.1.2. Полное сопротивление и проводимость
электрических цепей
Как было показано, фундаментальное решение
g(t)^K'+ позволяет с помощью соотношения_ F.1.14)
определить заряд q(t), когда известна э. д. с. E{t). Ве-
Величина, обратная Q(t), т. е. §-l(t)^K'+, позволяет on-
ределить э. д. с, когда задается электрический заряд, с
помощью соотношения
~E(t)=%-*{t)*q{t). F.1.15)
6.1.2.1. Обобщенное полное сопротивление
и обобщенная
проводимость электрических цепей
По определению соответствующее заряду q(t) обоб-
обобщенное полное сопротивление электрической цепи имеет
вид
F.1.16)
В этом случае для э. д. с. имеем
E(t) = Zg(t)*q(t). F.1.17
По аналогии соответствующая заряду q(t) обобщен-
обобщенная проводимость электрической цепи определяется со-
соотношением
y1' F.1.16')
а электрический заряд имеет вид
q(f)=A9(t)*E{t). F.1.17')
16*

460 ГЛАВА 6
Между обобщенным полным сопротивлением и обоб-
обобщенной проводимостью, соответствующими заряду q{t),
имеет место соотношение
Zg{t)*Aq(t) = H(t). F.1.18)
Замечая, что элементарное решение &{t)^K'+ единст-
единственно, заключаем, что рассматриваемая цепь имеет
единственную обобщенную проводимость, соответствую-
соответствующую заряду q{t).
Обобщенное полное сопротивление Zq(t) и обобщен-
обобщенная проводимость Aq(t), соответствующая заряду q(t),
рассмотренному в F.1.10), введены для цепи RLC.
Исключая из соотношений F.1.3) и F.1.8) заряд q(t),
получим уравнение для i{t).
Обобщенные функции Q(t) и l(t) принадлежат алгеб-
алгебре со сверткой К'+; можно записать произведение
dt
откуда следует
b{t)*l{t) = q{t). F.1.19)
Исходя из соотношений F.1.3) и F.1.8), получим урав-
уравнение
^^b{t)*l(t)=E{t\ F.1.20)
dt С
которое является интегро-дифференциальным, если I (t) —
регулярная обобщенная функция. Введем оператор
D/ = Z.-?-+/? + -i-e(O«. F.1.21)
dt С
Тогда уравнение F.1.20) примет вид
Dj(t)=E{t) ' F.1.22)
или, замечая, что
D,.8 (t)=Lbr (t)+Rb @ + ^-0@*8@ =

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 461
=>ti'{t) + Rb{t) + ±9(t), F.1.2Г)
в свертках получим
D,b(t)*7(t)=E{t). F.1.22')
Обобщенное полное сопротивление, соответствующее
силе тока i{t), определяется соотношением
Z,- (() = Dfi @ = W @ + Rb @ + -1 б @, F.1.23)
а обобщенная проводимость, соответствующая силе тока
I{t), будет иметь вид
F.1.23')
Справедливо соотношение
Zl{t)*Al{t) = b{t). F.1.24)
Обобщенное полное сопротивление и обобщенная про-
проводимость, соответствующие силе тока l(f), в алгебре со
сверткой К'+ определяются единственным образом. Мож-
Можно написать
E{t)=Zl{t)*J[t\ 7(t) = Al(t)*E(t). F.1.25)
Обобщенное полное сопротивление Zi(l) обозначается
через Z{t) и называется полным сопротивлением цепи
RLC. Мы не уточняем, что оно соответствует силе тока
l{t). Аналогично обобщенная проводимость Ai(t) обозна-
обозначается через A (t) и называется проводимостью цепи RLC.
Из соотношений F.1.3), F.1.17) и F.1.25) следует
Zt{t)*q{t\
откуда получается соотношение
Z^t^-L-ZM). F.1.26)

462 ГЛАВА 6
Аналогично
F.1.26')
так что можно написать
6.1.2.2. Операторное полное сопротивление
и операторная
проводимость электрических цепей
Изображение по Лапласу обобщенного полного со-
сопротивления, соответствующего заряду q(t), имеет вид
Zq{p) = L[Zq{t)\ = Lp + Rp + ± , F.1.27)
где р — новая комплексная переменная. Так определяет-
определяется операторное полное сопротивление, соответствующее
заряду q(t). Аналогично обобщенная проводимость, со-
соответствующая заряду q{t), приводит к операторной про-
проводимости, соответствующей заряду q (t):
F.1.27')
Применяя преобразование Лапласа к соотношениям
F.1.17) и F.1.17'), можно написать
E(p) = Z9(p)q(p),
F.1.28)
Кроме того, имеет место соотношение
Zq{p)Aq{p)=\. F.1.29)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 463
Изображение по Лапласу обобщенного полного со-
сопротивления, соответствующего силе тока i(t), записы-
записывается в виде
± F.1.30)
Это соотношение определяет операторное полное сопро-
сопротивление, соответствующее силе тока i(t). Аналогично
обобщенная проводимость, соответствующая силе тока
i{t), приводит к операторной проводимости, соответст-
соответствующей той же силе тока:
Л, (;>) = ? [Д,(')] = 1- р. F.1.30')
Z
Ср
Справедливо соотношение
Zl(p)Al(p)=l. F.1.31)
Аналогично соотношения F.1.25) приводят к равенствам
E(p)=Z{(p)T(p), F.1.32)
где
7(р) = А!(р)Ё(р).
Запишем соотношения
Zq{p) = pZl{p), Al{p)=pAq{p). F.1.33)
Замечаем, что соотношение F.1.32) формально ана-
аналогично закону Ома F.1.5). Zi{p) обозначается через
Z(p) и называется операторным полным сопротивлением
цепи, a Ai(p) обозначается через А{р) и называется
операторной проводимостью цепи. Мы не уточняем, что
они соответствуют силе тока i(t).
Активным операторным полным сопротивлением, со-
соответствующим активному сопротивлению R, будет
ZR{p)=R, F.1.34)
что и оправдывает аналогию между соотношением
F.1.32) и законом Ома. Аналогично индуктивное сопро-

464 ГЛАВА 6
тивление L приводит к индуктивному операторному пол-
полному сопротивлению
ZL(p) = Lp, F.1.34')
а емкостное сопротивление С приводит к емкостному
операторному полному сопротивлению
Zc(p)=-±~. F.1.34")
Ср
Операторным полным сопротивлением цепи будет
2[p)=ZR(p) + ZL{p) + Zc{p). F.1.35)
Учитывая соотношение F.1.32), можно написать
EL{p)L{p){P),
(O.l.OO)
Ec(p) = Zc(p)f(p)
и
?(P) = ER(p) + EL(p)i-Ec(p). F.1.37)
Таким образом, выявлено значение каждого члена изоб-
изображения по Лапласу F.1.30).
Пусть Z\(p), 22(p)—операторные полные сопротив-
сопротивления двух последовательно соединенных элементов.
Можно написать
El[p;^Zl{p)l(pU E2{p) = Z2{p)T(p).
Но
E{t)=El{t)+E2{t).
Таким образом,
Ё(р)=Ё1(Р)+Ё2(р)=[21(р)+22(р)]1(р).
Следовательно, выражение для операторного полного
сопротивления двух элементов, соединенных последова-
последовательно, будет иметь вид
p). F.1.38)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
465
Аналогично операторное полное сопротивление двух
элементов, соединенных параллельно, определяется соот-
соотношением
1 1.1 F.1.39)
которое соответствует соотношению
F.1.39')
действительному для операторной проводимости.
6.1.2.3. Примеры
Рассмотрим, например, цепь, представленную на
фиг. 6.3. Заметим, что сопротивление R и емкость С со-
?(t)
X
Фиг. 6.3.
единены параллельно. Таким образом, соответствующее
операторное полное сопротивление определяется из со-
соотношения
1 4+4
1
Ср
откуда
1
F.1.40)

466
ГЛАВА 6
Сопротивление и емкость соединены последовательно с
индуктивностью L, для которой
Следовательно, операторным полным сопротивлением
рассматриваемой цепи будет
RCp +
Фиг. 6.4.
Рассмотрим по аналогии и цепь на фиг. 6.4. В этом
случае сопротивление R и индуктивность L соединены
последовательно и параллельно к ним присоединена ем-
емкость С. Можно написать
1 = 1 | 1 _ Ср ¦ 1
2 (р) 1 R + Lp R + Lp
Ср
откуда следует
Z(p)=-
Ср +
. F.1.42)
Lp

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 467
в. 1.3. Отрицательные частоты
6.1.3.1. Общие результаты
При изучении электрических величин используются
периодические функции cos (at—ф) и sin (at—<р). Таким
образом, если рассматривать замкнутую цепь, состоящую
из сопротивления R и индуктивности L, к которой прило-
приложена э. д. с. E(t) =?osincD^ то сила тока будет иметь
вид i(t)=iQsm (at—tp), где постоянные i0 и ф зависят от
М(х,у)
X
Фиг. 6.5.
сопротивления R, индуктивности L, круговой частоты ю
и э. д. с. Ео.
В дальнейшем будем пользоваться комплексными
функциями. Каждой действительной функции действи-
действительной переменной будем ставить в соответствие комп-
комплексную функцию действительной переменной. Рассмот-
Рассмотрим функцию
x(t) = cosut. F.1.43)
С кинематической точки зрения эта функция описывает
движение материальной точки вдоль оси Ох с периодом
Т — 2я/& и частотой f=l/T = &/2n.
Пусть точка М(х, у) совершает равномерное круго-
круговое движение по единичной окружности в положитель-
положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой
скоростью со (фиг. 6.5). Проекции М и М" точки М на

468 ГЛАВА 6
оси координат совершают колебательные движения с
той же частотой /=ю/2я.
Соответствующие уравнения движения имеют вид
t, y(t)=sinwt. F.1.44)
Предполагается, что в начальный момент времени (^ = 0)
точка находилась на оси Ох (разность фаз ф равна
нулю).
Если вместо плоскости Оху рассматривать комплекс-
комплексную плоскость, то единичному вектору ОМ —г будет со-
соответствовать комплексная функция действительной пе-
переменной:
/ (/) = cos wt-\-i sinatf =еш. F.1.45)
Таким образом, действительная функция coscof будет
выражаться через две комплексные функции следующим
образом:
cos ш( = — (е1 "'<-{- е~ш), F.1.45')
а действительная функция sin о^ будет иметь вид
sina>/ = -V(e'e'—е-'"'), F.1.45")
где i — мнимая единица. .
Таким образом, комплексной функции е~м соответ-
соответствует равномерное круговое движение единичного век-
вектора по часовой стрелке с фазой —at, что приводит к
отрицательным частотам f = —ю/2я. Следовательно,
функцию cos at, например, можно получить сложением
равномерных вращений с одинаковой угловой скоростью,
но в противоположных направлениях, т. е. сложением
двух векторов. Движение вектора против часовой стрел-
стрелки порождает положительную частоту, а движение век-
вектора по часовой стрелке — отрицательную частоту.
Понятие отрицательной частоты, формально введен-
введенное выше, играет важную роль в различных задачах
электротехники. Мы введем это понятие и другим путем.
Пусть /@—функция, удовлетворяющая условиям
Дирихле (периодическая и кусочно непрерывная, имею-
имеющая конечное число точек разрыва на каждом интерва-

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 469
ле). В таком случае ее можно представить в виде ряда
Фурье
/O=-jf яо+]?](*« cos л<о* + Мт "»*), F.1.46)
где
г г
^, aa = jr ^f(t) cos w*tdt, F.1.46')
о
T
bn=— tf(t)sinnmtdt, n<=N0, F.1.46")
T о
a T—период этой функции. Заметим, что круговая час-
частота со = 2я/Г и частота / = со/2я являются положитель-
положительными величинами.
С помощью формул Эйлера F.1.45) и F.1.45') этот
ряд Фурье может быть представлен в комплексном виде
/@= 2 c"eini*'> Fл-47)
где
т
^-^Ш, ntEZ. F.1.47')
Заметим, что и в этом комплексном представлении ряда
Фурье число п принимает отрицательные значения, что
приводит к существованию отрицательных частот.
6.1.3.2. Спектр частот обобщенной функции
Исследования спектра частот обобщенной функции
f(t) показали необходимость введения отрицательных
частот. Введем образ Фурье F[s; со) обобщенной функ-
функции с помощью соотношения
(F(s; со), ;(*)) = 2я(/@, ?(*)), F.1.48)
где q>(t)^K{R)—основная функция, qp(s) =F[<f (t)],

470 ГЛАВА 6
F(s; a) = F[f(t)]. Переменная ю предполагается действи-
действительной.
Спектр частот обобщенной функции f(t) описывается
комплексным сопряжением F*((a)=F(s; ю) фурье-образа
F(s; ю). Таким образом, если
F(s; <o)=a{s; u)+ib(s; со), F.1.49)
то спектр частот обобщенной функции /(/) имеет вид
F*(m)=F(s; m)=a(s; m) — ib(s; со). F.1.49')
w s
Фиг. 6.6.
Исследуем теперь комплексный спектр функции
cos at. Эта функция не является абсолютно интегрируе-
интегрируемой и поэтому не имеет преобразования Фурье в клас-
классическом смысле; преобразование Фурье функции cos ait
рассмотрим в пространстве обобщенных функций. Учи-
Учитывая соотношение A.6.31'), можно написать
] = n[8(s — co)-f 8(s + co)]. F.1.50)
Это выражение показывает, что комплексный спектр
функции cos at является действительным и состоит из
двух линий, одна из которых проходит через точку ю, а
другая — через точку —ю. Обе спектральные линии имеют
амплитуду я (фиг. 6.6, а).
Для спектра частот функции sino^ получим
F*{w)=F[smwt]=— in\b(s — со) — g(s+«>)], F.1.50')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 471
где использована формула A.6.31). Отсюда следует, что
соответствующий спектр частот является мнимым и со-
состоит тоже из двух линий, одна из которых проходит
через точку ю и имеет амплитуду —я, а другая — через
точку —со и имеет амплитуду я (фиг. 6.6, б).
Аналогично для спектра функции еш имеем
/?•(«>)=/?[<?'•'] = 2я8(в+ю). F.1.50")
Этот спектр является действительным и образован одной
линией, проходящей через точку — ю и имеющей ампли-
амплитуду 2я (фиг. 6.7).
\2
л
-ш О s
Фиг. 6.7.
6.2. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
6.2.1. Задача Кош и для цепи RLC
6.2.1.1. Общие результаты
Цепь RLC состоит из активного сопротивления R, ка-
катушки индуктивности L и конденсатора емкости С, со-
соединенных последовательно с генератором, имеющим
э. д. с. E(t) (фиг. 6.2). Эта э. д. с. начинает действовать
при ^ = 0, т. е. когда замыкается электрическая цепь. При
?>0 в цепи устанавливается ток силой i(t) и зарядом
q(t).
Принимая за неизвестную функцию заряд q(t) и учи-
учитывая результаты из разд. 6.1.1.2, можно записать еле-

472 ГЛАВА 6
дующее дифференциальное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами:
^?W-r#-|-<7W + ^<7(/) = ?@, *>0, F.2.1)
которое соответствует второму закону Кирхгофа.
Задача Коши состоит в определении при ^>0 функ-
функции q{t) из уравнения F.2.1), удовлетворяющей началь-
начальным условиям
где до и i0—-соответственно заряд и сила тока при ^ = 0.
Если ввести функции
q(t)=B(t)q(t), E(t) = B(t)E(t) F.2.3)
и соответствующие обобщенные функции, полученные
нулевым продолжением функций q{t) и E{t) при /<0,
то можно написать
d - d -,
dt ' dt
F.2.4)
где учтены начальные условия (Ь.2.2). В этом случае
дифференциальное уравнение F.2.1) записывается в
обобщенных функциях и с учетом начальных условий
F.2.2) принимает вид
= Е @ + (По + Rq0) 8 @ + Lq#' (t). F.2.5)
С помощью дифференциального оператора Dg, опре-
определенного соотношением F.1.11), можно записать урав-
уравнение F.2.5) в виде уравнения в свертках из К'+'-
Deb (t)*q(t)=F(t), F.2.6)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 473
где введена обобщенная функция
F(t) = E(t) + (Lio + Rqo)b(t) + Lqob'(t). F.2.6')
Фундаментальное решение <g (t) этого уравнения
удовлетворяет условиям F.1.13). В таком случае реше-
решение уравнения F.2.6) с учетом F.2.6') может быть запи-
записано в виде
q{t) = ${t)*F{t), F.2.7)
где свертка функций осуществляется по переменной t.
6.2.1.2. Случаи интегрируемости
Фундаментальное решение удовлетворяет уравнению
» (*) = »(')• F.2.8)
Применяя преобразование Лапласа, получаем
откуда
L[S(t)] = = , F.2.9)
Lpt + Rp+±. LIP-PMP-P*
О
где введены обозначения р\ = —а+р, рг=—а—р, a=R/2L
р(ВД(
Рассмотрим три случая интегрируемости,
а) Если
&>-%-, F-2.10)
то р2>0, а р — действительная величина. Изображение
по Лапласу F.2.9) принимает вид
2Ц \ Р-Р1
откуда
/. F.2.

474 ГЛАВА 6
Для решения F.2.7) уравнения F.2.6) с учетом фор-
формулы F.2.6') получается выражение
откуда
+ -i- 8 (t) e~" [BLiQ + RqQ) sh 8/ + 2Цд0 ch Щ. F.2.12)
Если E{t) —локально интегрируемая функция, то мож-
можно написать
t
о
h?/], ^>0. F.2.12')
б) Если
R2<— , F.2.13)
О
то имеем р2<0, а р — мнимая величина. Если ввести
обозначение
2i К С
F.2.14)
то получим фундаментальное решение
= —0(*)e-"sina>f. F.2.15)
Z.IG
В этом случае решение задачи Коши имеет вид
q~(t) = — 6 (t) e~at sin wt * EU) +
L<a
]- F.2.16)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 475
Если E(t) —локально интегрируемая функция, то можно
написать
t
q{t) = — [e~^E{t— t) sin f
J
0
-f-f- e-' [{2Lio + Rqo) sin«rf + 2b«g0 cos at], t > 0.
Этот случай соответствует колебательному контуру.
в) Если
с '
то р = 0, так что
1
F.2.16')
У-
F.2.17)
F.2.18)
Фундаментальное решение имеет вид
#(*)=—/в (/)*-«'. F.2.19)
Для решения краевой задачи имеем следующее выра-
выражение:
k l- F-2-20)
Если ?@ —локально интегрируемая функция, то по-
получим
q (i) = -i- Г те-^Я (/ _ т) rft +
о
^ 1. ^>°- F-2.20')
6.2.1.3. Частный случай
Рассмотрим частный случай, когда начальные усло-
условия однородные (равны нулю): <7о—i'o=O- Будем считать,

476 ГЛАВА 6
что э. д. с. при ^>0 постоянна, т. е.
E{t)=Eob{t). F.2.21)
Рассмотрим все три случая интегрируемости,
а) Если удовлетворяется условие F.2.10), то, исполь-
используя соотношение F.2.12'), получим
_?0[ g-
-(»+P)t g-(
откуда
,7@ =
)-B], ^>0» F.2.22)
P
С учетом соотношения F.1.1) имеем
/@ = -^-е—'sh?/, ^>0. F.2.22')
б) Если удовлетворяется условие F.2.13), то с по-
помощью формулы F.2.16') получим
t
q(t) = -^- fe-«sinu>tfl?t.
Ы J
о
Таким образом,
0@= — fe-a<(asin ш/-f ш cosшЛ — ш] =
-to], />0. F.2.23)
/(O= —e-"'sin«>/f, />O. F.2.23')
Можно также написать

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 477
в) Если удовлетворяется условие F.2.17) то, исполь-
используя формулу F.2.20'), получаем
Li
0
откуда
-A + а*)е—']. F.2.24)
а/. 1 ч ' '
Аналогично будем иметь
i(/)=^L*e—'. F.2.24')
6.2.2. Установившиеся процессы.
Переходные процессы
6.2.2.1. Переходные процессы
Процессы, рассмотренные для цепей с сосредоточен-
сосредоточенными параметрами R, L и С (параметры R, L и С посто-
постоянные), являются, вообще говоря, установившимися про-
процессами. Такие процессы могут иметь место, например,
когда э. д. с. прикладывается в начальный момент и за-
затем поддерживается постоянной во времени [вида
F.2.21)]. При переходе от одного установившегося ре-
режима к другому возникает некоторый переходный про-
процесс. Такой процесс имеет место, например, при замыка-
замыкании и размыкании цепи, а также при изменении парамет-
параметров цепи.
Рассмотрим сначала цепь RLC под действием им-
импульсного напряжения. Предположим, что начальные
условия являются однородными (<7о = *'о = О), т- е- ток в
цепи отсутствует. При таких условиях в момент ^ = 0
приложим к цепи импульсное напряжение Eob(t). Диф-
Дифференциальное уравнение F.2.5) примет вид
^^-g(t) = Eob(t). F.2.25)

478 ГЛАВА 6
Оно может быть записано как уравнение в свертках в
). F.2.25')
Следовательно, решением поставленной задачи является
фундаментальное решение уравнения F.2.25'). умножен-
умноженное на Ео-
Рассмотрим исследованные три случая интегрируемо-
интегрируемости.
а) Если удовлетворяется условие F.2.10), то имеем
откуда
где учтено, что
Игл 0@=0,
)е «'shp/,
shf*. *>0,
lim0(O=O.
F.2.26)
F.2.26')
F.2.26")
Используя соотношение F.1.1), получим
/(/)=-^-в—'(рchЭ^ — ashpO. t>°- F.2.27)
В пределе можно написать
Hmt@=— <-Hm/@=0. F.2.27')
Следовательно, если приложить к цепи RLC, по кото-
которой не течет ток, импульсное напряжение Eo8{t), то
мгновенно возникнет ток силой Eq/L. Этот результат хо-
хорошо подтверждается экспериментальными наблюде-
наблюдениями.
б) Если удовлетворяется условие F.2.13), то можно
написать
0~(O=-^-e(Oe-"(sin«<tf, F.2.28)
Z.CO
откуда следует
q (t) = -^- е-* sin •< t > 0. F.2.28')
/.со

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 479
В пределе будем иметь соотношения F.2.26").
Дифференцированием получим
i{t)=—— e~at (ш cos wt—asinu)/)] t^-Q, F.2.29)
а в пределе будем иметь равенства F.2.27').
в) Если справедливо соотношение F.2.17), то
q(t)=-^t9{t)e—', F.2.30)
откуда
q(t)=——te-«t,t^O. F.2.30)
В пределе получатся соотношения F.2.26"). Отсюда
следует, что
i(t) = -^L-(i-at)e-att />0, F.2.31)
а в пределе имеют место соотношения F.2.27').
Заметим, что и в случаях б) и в) можно сделать вы-
выводы относительно мгновенного тока, возникающего под
действием импульсного напряжения, аналогичные сделан-
сделанным в случае а).
6.2.2.2. Колебательный контур
Ниже будет рассматриваться разряд конденсатора
через катушку индуктивности L и сопротивление R. Бла-
Благодаря разности потенциалов на обкладках конденсато-
конденсатора при отсутствии катушки (L = 0) через провод, связы-
связывающий обкладки, будет протекать ток до тех пор, пока
потенциалы обкладок не станут равными. Но если в цепи
есть и катушка, то, когда разность потенциалов обкладок
станет нулевой, э. д. с. индукции будет поддерживать в
цепи убывающий ток. В результате произойдет переза-
перезарядка конденсатора. Возникнет ток проивоположного
направления, и в дальнейшем перезарядка конденсатора
будет происходить периодически; в цепи возникнут ко-
колебания.

480 ГЛАВА 6
Часть энергии тока будет тратиться на преодоление
сопротивления R, и колебания со временем будут зату-
затухать. При /?=0 в цепи возникнут незатухающие коле-
колебания.
Предположим, что э. д. с. в цепи равна нулю (E(t) =
= 0), а заряженный напряжением U конденсатор разря-
разряжается в начальный момент времени. Таким образом, на-
начальные условия имеют вид
qo=CU, /0=0. F.2.32)
Используем результаты, полученные при рассмотре-
рассмотрении случаев интегрируемости.
а) Если удовлетворяется условие F.2.10), то с по-
помощью формулы F.2.12') можно написать
= —е—'(ashр/ + ?<±ЭД, t^.0. F.2.33)
В этом случае имеет место апериодический разряд кон-
конденсатора, при котором в цепи не возникают электриче-
электрические колебания.
Дифференцируя полученное выражение по t, получим
i (;)_ <•??. (ра _ a2) e-*t Sh р/ = Ч- e~*t sh $tt t> о.
P L$
F.2.34)
В пределе можно написать
) = Q, llm/(/)=0. F.2.35)
t
б) Если удовлетворяется условие F.2.13), то получим
= —r-'(asin«o/-fu>cosurf), />0. F.2.36)
to
В этом случае происходит колебательный разряд кон-
конденсатора. Колебательный процесс разряда происходит,
пока выполняется условие F.2.13).
Заметим, что колебания заряда q{i) затухают. В са-
самом деле, амплитуда колебаний
— ]/а2 + юЯв—' =-^-е-«1 F.2.37)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 481
стремится к нулю при а-»-оо. Затухание тем меньше, чем
меньше сопротивление R. При R = 0 получаются незату-
незатухающие колебания. Этот случай соответствует колеба-
колебательному контуру. Для силы тока имеем выражение
t(t)= ——{а2-\-и?)е-*($\п<»г=—— e-"sinurf, />0,
со ?со
F.2.38)
а в пределе будут выполняться условия F.2.35).
в) Если выполняется условие F.2.17), то получим
предельные апериодические колебания. В этом случае
заряд имеет вид
/)e-*'> *>0; F.2.39)
сила тока
i{t)=— CUa4e-*\ t^-0, F.2.40)
и в пределе получатся соотношения F.2.35).
При наличии в цепи периодической э. д. с. E(t), кото-
которая может быть разложена в ряд Фурье, имеют место
некоторые специфические явления. Например, в случае
б) наблюдается явление резонанса, которое соответст-
соответствует некоторой периодической возмущающей силе, круго-
круговая частота колебаний которой стремится к собствен-
собственной круговой частоте <» контура.
6.2.2.3. Связанный колебательный контур
Связанный колебательный контур состоит из двух це-
цепей RLC, соединенных индуктивно, для которых взаимная
индуктивность равна М. Предположим, что рассматри-
рассматриваемые цепи одинаковы и состоят из сопротивления R,
собственной индуктивности L и емкости С (фиг. 6.8).
Пусть E(t) —э. д. с, которая начинает действовать
при замыкании цепи в начальный момент / = 0. Началь-
Начальные условия, таким образом, будут однородными (нуле-
(нулевыми). Ставится задача определения зарядов qi(t) и
<7г@ на обкладках обоих конденсаторов и токов ii(t) и
«а@-

482
ГЛАВА 6
Применяя второй закон Кирхгофа к обеим цепям, по-
получим систему уравнений
dt
dt
F.2.41)
I
dt
C i,
41-
dt
-9,
Фиг. 6.8.
Здесь обобщенные функции соответствуют искомым
функциям и заданным величинам, продолженным нуле-
нулевыми значениями влево. Если начальные условия не
являются нулевыми, они будут содержаться в выраже-
выражении для функции E(t), которая будет известной обобщен-
обобщенной функцией. Замечая, что
получим уравнения
dt
dt
-~4i
F.2.42)
F.2.4Г)
Применяя преобразование Лапласа, будем иметь

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 483
МрЩ, (р) + (Lp*+Rp +-?-) q2 (P)=O,
где р — новая комплексная переменная. Отсюда следует
яЛр)= q—TJEiP)'
^Й{Р)- F-2<43)
Корнями знаменателей являются величины
Р\л = — ai ± 'шь Рал= — а2 ± 1<*>2, F.2.44)
где
0,,, 12/^.
1<я 2(/: ±М) и2 2{L±M) V С
В предположении, что удовлетворяется условие
/?2<JL^±J!1L> F.2.45)
С
были получены комплексно сопряженные значения для
Pi (i=l, 2, 3, 4). В этом случае цепь становится колеба-
колебательным контуром. Вообще необходимо, чтобы выполня-
выполнялось условие
АЦМ) ^ F.2.45')
потому что постоянные R, L, М и С положительные. За-
Заметим, что еще необходимо, чтобы L>M. При отсутст-
отсутствии сопротивления R (R = 0) это условие становится и
достаточным. Можно написать

484 ГЛАВА 6
I г- >—^+
Jr 1
2 1
[ (L + M) p2 + Rp + —
г!"
Используя результаты из разд. 6.2.1.2. (случай б) и
учитывая формулу A.5.84), получаем
sin Ч'
F.2.46)
2 [ (i- +
g—'sin V-
(Z. — Ж) оо2 J
Для сил токов l(t) и i2(^) имеем
T1m=dE(-t) * — б (/) [ е-«>1 sin o)^ 4-
u ; dt 2 w L {L + М)«! : '
Iе~аа< sin ш2/ =
COS Ш^-
е-**' (<в2 cos (о2^ — а2 sin ш2^) . F.2.47)
. — Ж) ш2 J
* — 8 (Л[ е-^1 sin о)^ -
2 WL (Z+M)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 485
1 -е-
(Z. —Af)oo2
»' sin »>2t \ =
=Е(/)•4 8 (t) f „ , * е-*1 (ш, cosш,/ -a, sin «^ /)-
2 |_ (Z. + Ai)ooi
) .
J
е-а*' ^№ cos)/ —а2 sin
Рассмотрим частный случай, когда в начальный мо-
момент прикладывается э. д. с. Ео, которая затем поддер-
поддерживается постоянной, т. е. имеет вид F.2.21). В этом
случае получаем
q1 (t)= СЕ0 Г— е—»-< (w1 cos mxt -f ^ sin
2 L Ш1
-|—- е~Ш2' (<b2 cos ш2/ -(-a2 sin ш2^) — 21, / > 0,
*»2 J
^6.2.48)
q2(t)= CE0\—
2 [ui

cos ш2/ -l-a2 sin <o2/) , / >- 0,
J
?0f7Je—'sin
2 I (L Af
e—' sin co2 A , t > 0,
(Z:~Af)U2
F.2.49)
=— ?".[ l- e-«>' sin a)^ —
2 0LUAl
{L — Ж)оо2
В пределе можно написать

486 ГЛАВА 6
Этот результат объясняется тем, что при />0 процесс
является установившимся.
В случае импульсной в начальный момент времени
э. д. с. вида
E(t)=Eob(t) F.2.51)
имеет место переходный процесс, для которого
F.2.52)
qa (t) = -~ Ео \ ] е—' sin »,/ -
/,(Л=— ЕЛ
2 °L
(L — М) ш2
1 e-««'sin <o2t\, 2">0,
—a, sin
L (/: +Af)co! 1
в2' (Ш2 cos 0>2^ — a2sin
J
F.2.53)
1
?—«•' (uJ COS (O2^ — Ct2 Sin co2^),
(L —
В пределе будем иметь
t) = Umi1{t) = Umh(t)=0. F.2.54)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
487
6.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
К ЛИНЕЙНЫМ ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
6.3.1. Четырехполюсники
6.3.1.1. Общие положения
Четырехполюсником называется электрическая систе-
система, имеющая два входных A и 1') и два выходных B и
2') зажима (фиг. 6.9). На фиг. 6.9 представлена блок-
схема цепи, состоящей из сопротивления, индуктивности
и емкости, которые характеризуют структуру цепи (обоб-
Г Ш
Фиг. 6.9.
щенную функцию веса). Обозначим через i\(t) и E\(t)
соответственно силу тока и э. д. с. на входе (зажимы 1
и Г); эти входные величины являются возбудителями
рассматриваемой электрической системы. Силу тока и
э. д. с. на выходе (зажимы 2 и 2') обозначим через i2(t)
и ЯгСО; эти величины представляют отклик рассматри-
рассматриваемой электрической системы.
При исследовании электрической системы ставит-
ставится задача нахождения зависимости между входными ве-
величинами и величинами на выходе с учетом структуры
системы. Если ищется отклик системы на заданное воз-
возбуждение, то говорят, что проводится анализ системы.
Если задан отклик системы и ищется возбуждение и
структура системы, соответствующие этому отклику, то
говорят, что проводится синтез системы. Для исследова-
исследования этих задач широко используются законы Кирхгофа.
В качестве примеров четырехполюсников отметим
фильтры, которые пропускают сигналы определенной
частоты, блокируя сигналы других частот.
При исследовании конкретной структуры четырехпо-
четырехполюсников с пассивными элементами (для которых коэф-

488
ГЛАВА 6
О-
RLC
2'
-о
о—
Фиг. 6.10.
/
2
Фиг. 6.11.
Фиг. 6.12.
-о
2
21
-о
—о
Z
т
1
а
2'
2
Фиг.
V
1
6.13
I
/Pfl L
т
I
(^ я
б
2'
г

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 489
фициснты R, L и С постоянны), будем рассматривать
элементарные четырехполюсники четырех типов, разде-
разделенные на две группы в зависимости от того, как соеди-
соединены сопротивление, катушка и конденсатор: последова-
последовательно или параллельно. Таким образом будет рассмот-
рассмотрена система, представленная на фиг. 6.10, где R, L и С
соединены последовательно. В этом случае рассматри-
рассматриваемая система может иметь структуру типа Is (фиг.
6.11, а) или структуру типа IIS (фиг. 6.11, б). На фиг.
6.12 представлена цепь, где R, L, С соединены парал-
параллельно. В этом случае имеется структура типа 1Р (фиг.
6.13, а) или структура типа Пр (фиг. 6.13, б). С помощью
элементарных четырехполюсников могут быть образо-
образованы различные, более сложные системы.
6.3.1.2. Элементарные четырехполюсники.
Сложные четырехполюсники
Для четырехполюсника типа Is (фиг. 6.11, а) можно
записать соотношение между E\(t), ?г@ ч i(t) в виде
t), F.3.1)
где использован второй закон Кирхгофа. Исключив за-
заряд q(t), получим
dt dp- dt C dt
F.3.1')
Аналогично для четырехполюсника типа \р (фиг.
6.13, а) имеем
или
JE{t) E{t)L i{t)+R i{t)
Ex{t) E2{t)L i{t)+R i{t) i(t).
dt u dt w dfi di w С w
F.3.2')
Примером сложного четырехполюсника может слу-
служить четырехполюсник с сечением вида Т (фиг. 6.14),
17—3677

490
ГЛАВА 6
составленный мз двух структур типа 1„ (структуры 1 и 2)
и структуры типа 1Р (структура 3), соединенных цепоч-
цепочкой. Рассматриваемые структуры характеризуются коэф-
коэффициентами Rj, Lj и Cj (;'= 1, 2, 3).
С помощью первого закона Кирхгофа получим
.@. F-3.3)
Фиг. 6.14.
а из второго закона Кирхгофа следует
F.3.4)
аг
Исключая электрические заряды и учитывая соотноше-
соотношение F.3.3), можно написать
F.3.4')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
491
Другим сложным четырехполюсником является четы-
четырехполюсник, изображенный на фиг. 6.15. Он состоит из
двух структур типа 1Р (структуры 1 и 2) и структуры
Фиг. 6.15.
типа Is (структура 2), соединенных цепочкой. Можно по-
получить и другие сложные четырехполюсники, для кото-
которых могут быть записаны соответствующие соотношения.
6.3.2. Стационарные системы
6.3.2.1. Линейные четырехполюсники
Обозначим через cpi(/) одну из входных величин
(?i (t) или U(t)) и через фг(О —соответствующую вели-
величину на выходе динамической системы (в частности, че-
четырехполюсника). Если входной величине
F.3.5)
F.3.5'j
то говорят, что рассматриваемая динамическая система
(соответственно четырехполюсник) является стационар-
17»
соответствует величина на выходе

492 ГЛАВА 6
ной; она соответствует сохранению временной пере-
переменной.
Четырехполюсник (в общем случае динамическая си-
система) называется линейным, если входная величина
cpi(O связана с величиной на выходе фг(О соотношением
] t)<pi(t)dt. F.3.6)
Это соотношение определяет некоторый интегральный
оператор U. Тогда можно написать
92(t)=U9l(t), F.3.6')
т. е. этот оператор линейный. Функция K{t, т) называет-
называется ядром интегрального преобразования.
В частности, если входной величиной является э. д. с.
Ei(t), то напряжение на выходе дается соотношением
E2{t)= ] KE(t, x)El{x)dx. F.3.7)
В случае стационарного линейного четырехполюсни-
четырехполюсника, для которого входной величине F.3.5) соответствует
величина на выходе F.3.5'), можно написать
= j К {t+ 7, t)9i (t)rft.
Произведя замену переменных, получим
[K(t, x-7)-K{t+7, t)]
Так как q>i (t) является произвольной функцией, а ядро
К интегрируемо, то получим
K{t, x-7)=K{t-\-7, t). F.3.8)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 493
Следовательно, ядро К интегрального преобразования
является ядром разностного типа и имеет вид K(t—т) '¦.
В этом случае между входными и выходными величина-
величинами имеет место соотношение
t-t)dt. F.3.9)
Таким образом, для установления соотношения между
ними с помощью алгебры со сверткой из К'+ удобно, что-
чтобы входные и выходные величины, характеризующие
структуру системы, выражались через обобщенные
функции.
Фиг. 6.16.
Таким образом, для блок-схемы, представленной на
фиг. 6.16, с помощью свертки можно написать
9i(')- F-3.10)
Это соотношение описывает процессы в линейных стацио-
стационарных четырехполюсниках. Обобщенная функция K{t)
называется обобщенной функцией веса.
Например, э. д. с. на выходе E2{t) будет иметь вид
Ea(f)=KE(t)*El(t), F.3,10')
где Ке{() —обобщенная функция веса, соответствующая
з. д. с. Аналогично сила тока на выходе
t2(f)=K,{t)*h(fh F.3.10")
где Ki(t) —обобщенная функция веса, соответствующая
силе тока.
1 Это видно из решения дифференциального уравнения, полу-
получающегося дифференцированием равенства F,3,8) по t. — Прим. ред.

494 ГЛАВА 6
Предположим, что возбуждение имеет вид
91 @ = 8 (О- F-ЗЛ1)
Замечая, что обобщенная функция Дирака является еди-
единичным элементом алгебры со сверткой К'+, можно на-
написать
92 @ = tf @- F-3-И')
Фиг. 6.17.
Следовательно, обобщенная функция веса K{t) является
откликом линейного стационарного четырехполюсника
на возбуждение F.3.11) (фиг. 6.17, а). В частности, обоб-
обобщенная функция веса КеЦ), соответствующая э. д. с,
является откликом четырехполюсника на единичный
импульс напряжения, а обобщенная функция веса Ki{t),
соответствующая силе тока, является откликом четырех-
четырехполюсника на единичный импульсный ток. Если
К @=8 (/), F.3.12)
то получим частный стационарный четырехполюсник, ко-
который не преобразует входной сигнал (фиг. 6.17, б). Для
него можно написать
92 @ = 9i W-
6.3.2.2. Распределитель напряжения
Распределителем напряжения является стационарный
фильтр, структура которого показана на фиг. 6.18.
С помощью второго закона Кирхгофа получим
E1(t) = (R1+R2)i(t), E2(t) = R2i(t), F.3.13)
откуда
^E,(t). F.3.13')

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
495
С учетом результатов, полученных в разд. 6.3.2.1, имеем
--^—ЪЦ). F.3.14)
+
Вообще для определения обобщенной функции веса
можно применить преобразование Фурье или преобразо-
Фиг. 6.18.
вание Лапласа к сверткам F.3.10) — F.3.10"). Для рас-
рассмотренного выше случая можно написать
B2(P)
F.3.14')
где р — новая комплексная переменная. Таким образом,
получается такой же результат.
6.3.2.3. Фильтр RC нижних частот
Рассмотрим фильтр RC нижних частот, изображенный
на фиг. 6.19. Применив к нему закон Ома и второй закон
Кирхгофа, будем иметь
Ei[t) = R^fL + ±q(t), E2(t)=±q(t). F.3.15)
at С С
Исключая электрический заряд q(t), получим дифферен-
дифференциальное уравнение
RC-?-E2(t)+E2(t)=E1(t), F.3.16)
at

496
fЛАЁА 6
которое в свертках имеет вид
[RCb'{t) + b{t)]*E2(t) = t\{t). F.3.16')
Применяя преобразование Лапласа к уравнению
[RCb' (t) + b(t)]*e(t) = b{t), F.3.17)
которому удовлетворяет фундаментальное решение, по-
получим
(/?С/>+1)ад=1,
откуда
1 1 1
RCp-
RC 1
Р+ЯС
Фундаментальное решение имеет вид
~ Re '
а для э. д. с. на выходе можно написать
1
RC
i
'RC
Если ?] (t) — интегрируемая функция, то
t _i_
2 /?С J J ^
F.3.18)
F.3.19)
*^i(/). F.3.20)
F.3.20'

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
497
Заметим, что найденное фундаментальное решение
является откликом фильтра на единичный импульс вход-
входного напряжения. Следовательно, обобщенная функция
веса будет иметь вид
o при г < о,
L-i, FA21)
1/гс
Изображение по Лапласу обобщенной функции веса на-
называется переходной функцией фильтра RC нижних ча-
частот, имеющей вид
F.3.21')
c ' RCp+l
6.3.2.4. Фильтр RC верхних частот
Рассмотрим теперь фильтр RC верхних частот, изо-
изображенный на фиг. 6.20. Соответствующие дифференци-
Фиг, 6.20.
альные уравнения имеют вид
dt
Исключая электрический заряд, получаем
F.3.22)
F.3.23)
Соответствующее уравнение в свертках имеет внл
\RCb' (t) + b @1* ?а@ ^RP-^-E^t), F.3,23')

498 ГЛАВА 6
Применяя преобразование Лапласа, получим образ
решения в виде F.3.18). Фундаментальное решение бу-
будет иметь такой же вид, как и в F.3.19), т. е. оно будет
удовлетворять уравнению F.3.17). Таким образом, полу-
получим э. д. с. на выходе
^1(t)R^
at dt
Это позволяет записать обобщенную функцию веса как
dt v dt
или
_ J_ t
±9(t)e RC . F.3.24)
Переходная функция будет иметь вид
R {p)= RCp = 1\
RE {p) 1
Е U ' RCp + 1 RCp
а э. д. с. на выходе
F.3.24')
—
RC
^ ,{t). F.3.25)
Если, например, входная э. д. с. имеет вид
E,{t)=EuHt), F.3.26)
то получим
Е2 (t) = RC& (t) * 4- Е, (t) = RCEjS [t) * 8 (t),
at
или
1
t
E2(t)=E06(t)e «L =
О при /f<0,
!_, F.3.27)
— т^г t
Eoe Rc при t > 0.
Этот результат полезен для дифференцирующих цепочек.

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 499
6.3.2.5. Соединение стационарных фильтров цепочкой
Рассмотрим два стационарных фильтра, изображен-
изображенных на фиг. 6.21. Первый из них имеет обобщен-
обобщенную функцию веса K\{t), которая преобразует входную
величину щ{г) в величину на выходе ф(^), а второй имеет
tft) 3'
Фиг. 6.21.
обобщенную функцию веса Ki{t), которая преобразует
входную величину ф(^) в выходную ф2@- Под соедине-
соединением цепочкой этих двух фильтров будем понимать кон-
Kt(t)
K2(t)
ripr(t)
Фиг. 6.22.
струкцию, изображенную на фиг. 6.22, у которой входны-
входными остаются зажимы 1 и V, а на выходе — зажимы 2 и 2'.
Величины ф1@> фг(О и ф@ связаны соотношением
<р(О=/с,до•?!('). «й@=^2(о»?(О, F.3.28)
откуда следует
ср2 (Л = /С2 (Л * [А', (О * ь (t)\ = [/С, (t) * К2 (Л] * «р, @- F.3.28'}
В этом случае может быть записано соотношение вида
F.3.10), соответствующее блок-схеме на фиг. 6.16, для
которой
K(t)=Kl(t)*K2(t). F.3.29)

500
ГЛАВА 6
Применяя преобразование Лапласа, можно найти пе-
переходную функцию фильтров, соединенных цепочкой, в
виде
К(р) = К1(р)К2(р). F.3.30)
Рассмотрим, в частности, фильтр, изображенный на
фиг. 6.23. Можно написать уравнения
t,(t)
•tc
W
Фиг. 6.23.
^^q{t), E(t)=±q(t), F.3.31)
откуда, исключив электрический заряд, получим диф-
дифференциальное уравнение
^ E1(t) F.3.32)
F.3.32')
и соответствующее уравнение в свертках
[LCb" @ + 8 @1 * Е (t) = E1 (t).
Применяя преобразование Лапласа, получаем переход-
переходную функцию
/CF1 (р) = . F.3.33)
Е1УИ) LCpi + l y
Записывая эту функцию в виде
1
Vic
+ [
Wlc)

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 501
для обобщенной функции веса будем иметь
V LC
sin
t.
F.3.34)
Э. д. с. E(t) определяется соотношением
E{t) = —~ 6 @ sin—\=rt*El{t). F.3.35)
Vlc Vlc
Если соединить эти фильтры цепочкой (фиг. 6.24), то
для обобщенной функции веса, согласно соотношению
F.3.29), будем иметь
Фиг. 6.24.
sin
sin
@ ^=
Vlc Vlc V
откуда с помощью формулы A.3.29) получим
^?@ = —^=fsin-4=^ l-—tcos—— А- F.3.36)
2 V lc \ V lc V lc V )
Э. д. с. на выходе определяется соотношением
Е2 @ = —*— ( sin -4з / ~ t cos -4= А * El (t)
2Vlc\ Vlc Vlc Vlc )
F.3.37)
и выражается через входную э. д. с.

502 глава 6
6.3.3. Дифференцирующая цепочка
В случае дифференцирующей цепочки входная вели-
величина E\\t) (э. д. с) и величина на выходе должны удов-
удовлетворять равенству
E2{t) = X -!L Ex(t)t F.3.38)
где т — некоторая постоянная.
6.3.3.1. Реальная дифференцирующая цепочка
Цепь, изображенная на фиг. 6.20, может быть исполь-
использована для получения дифференцирующей цепочки. Ис-
Используя обозначение
x = RC, F.3.39)
можно записать переходную функцию в виде
Ке{р)=-^-' F-3-4°)
Рассмотрим входную э. д. с. вида
b{t-^,\, F.3.41)
постоянную на интервале времени t0 (фиг. 6.25, а). Ее
изображение по Лапласу будет следующим:

ПРИМЕНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ 503
С учетом соотношения F.3.40) изображение по Лапла-
Лапласу э. д. с. на выходе будет иметь вид
или после обратного преобразования Лапласа
т . F.3.42)
Из фиг. 6.25, б следует, что напряжение E2(t) является
быстро затухающим.
6.3.3.2. Идеальная дифференцирующая цепочка
Замечая, что обобщенная функция веса КеЦ) рав-
равняется э. д. с. на выходе, соответствующей импульсному
входному напряжению, и учитывая условие F.3.38), ко-
которому должна удовлетворять дифференцирующая це-
цепочка, получаем
KP{t) = x-^—b{t)*=xb'{t). F.3.43)
dt
Для переходной обобщенной функции можно написать
КЕ{р) = хр. F.3.44)
Сравнение этого результата с формулой F.3.40), соот-
соответствующей реальной дифференцирующей цепочке, ис-
используемой на практике, показывает, что реальная диф-
дифференциальная цепочка тем ближе к идеальной, чем
меньше т, причем
т<1. F.3.45)
Следовательно, постоянные коэффициенты R и С свя-
связанные с соотношением F.3.39), должны удовлетворять
условию F.3.45).

ЛИТЕРАТУРА1
1. Arsac J., Transformation de Fourier ct thcorie des distributions,
Dunod, Paris, 1961.
2. Bateman H., Erdelyi A., Tables of Integral Transforms, Vol. I,
McGraw-Hill, New York— Toronto — London, 1954.
3. Bochner S., Vorlesungen iiber Fouriersche Integrale, Leipzig, 1932;
есть русский перевод: Бохнер С, Лекции об интеграле Фурье,
Физматгиз, М., 1962.
4. Bouix M., Les fonctions generalisees ou distributions, Masson
et Cle, 1964.
5. Bremermann H., Distributions, Complex Variables and Fourier
Transforms, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts,
1965; есть русский перевод: Бремсрман Г., Распределения, комп-
комплексные переменные и преобразования Фурье, изд-во «Мир», М.,
1968.
6. Cristescu R., Elemente de analiza functional si introducere in teo-
ria distributiilor, Editura tehnica, Bucuresti, 1966.
7. Cristescu R., Analiza funcjionala, Ed. 2, Editura didact. $i ped.,
Bucuresti, 1970.
8. Cristescu R., Marinescu Gh., Applications of the theory of distri-
distributions, Editura Academiei, Bucuresti; Wiley, London, New York —
Sydney —Toronto, 1973.
9. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, Ed. 3, N. Y.,
1947; есть русский перевод: Дирак П., Принципы квантовой меха-
механики, Фнзматгиз, М., 1960.
10. Диткии В. А. Прудников А. П.. Интегральные преобразования и
операционное исчисление, 2-е ни., Фи.чматпп, М., 1974.
1 Звездочкой отмечена литература, добавленная редактором перево-
перевода. — Прим. ред.

ЛИТЕРАТУРА 503
11. Doetsch G., Handbuch der Laplace Transformation, Vol. 1—III,
Verlag Birkhauser, Basel, 1950—1956.
12. Dunford N., Schwartz J., Linear Operators, N. Y., 1968; есть рус-
русский перевод: Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы,
изд-во «Мир», М., 1974.
13. Fodor G., Laplace Transforms in Engineering, Akademiai Kiado,
Budapest, 1965.
14. Garsoux J., Espaces vectoriels topologiques et distributions,
Dunod, Paris, 1963.
15. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобкюнкые функции, т. I- IV,
Физматгнз, М., 1958—1961.
16. Halperin I., Introduction to the Theory of Distributions, Toronto,
1952.
17. Hormander I., Linear Partial Differential Operators, Springer-
Verlag, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1964; есть русский перс-
вод: Хёрмандер А., Линейные дифферепциальные операторы
с частными производными, изд-во «Мир», М., 1968.
18. Иваненко Д., Соколов А., Классическая теория поля (новые проб-
проблемы), Гостехиздат, М. — Л., 1951.
19. Jantscher L., Distributionen, Walter de Gruyter, Berlin — New
York, 1971.
20. Kecs W., Teodorescu P. P., Applications of the Theory of Distri-
Distributions in Mechanics, Editura Academiei, Bucures.ti; Abacus Press,
Tunbridge, Wells, Kent, 1974.
21. Kneschke A., Differentialgleichungen und Randwertprobleme, Vol.
I—III, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1960—1962.
22. Lavoine J., Calcul symbolique des distributions et des pseudofon-
ctions, Paris, 1962.
23. Marinescu Gh., Espaces vectoriels pseudotopologiques et theorie
des distributions, VEB Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1963.
24. Mikusinski J., Operational Calculus, Pergamon Press — PWN Po-
Polish Sci. Publ., Oxford — London — Edinburgh — New York, Toron-
Toronto—Sydney—Paris— Braunschweig, 1959; есть руский перевод:
Микусинский Я., Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956.
25. Nicolescu M., Analiza matematica, Vol. I—III, Editura tehnica,
Bucuresti, 1957—1960.
26. Alariu V., Ecuafii cu derivate partiale. Solufii generalizate, Vol. I—
II, Editura Universita{ii, Bucuresti, 1970—1971.
27. Pol B. van der, Breinmcr II., Operational Cnlcuhils Based on the
Two-Sided Laplace Integral, Cambridge at the Univ. Press, 1950.
28. Schwartz I.., Theorie dos distributions, Vol. I—II. Hermann, Paris,
1950-1951.

506 ЛИТЕРАТУРА
29. Schwartz L., Methodes mathematiques pour les sciences physiques,
Hermann, Paris, 1961.
30. Sneddon J., Fourier Transforms McGraw-Hill, New York — Toron-
Toronto— London, 1951; есть русский перевод: Снеддон И., Преобра-
Преобразование Фурье, ИЛ, М., 1957.
31. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа
в математической физике, Л., 1950.
32. Sommerfeld A., Partielle Differentialgleichungen der Physik, Ed. 5,
Akad. Verlagsgesellschaft Geest Portig K. — G., Leipzig, 1962.
33. Teodorescu N., Olariu V., Ecuatiile fizicii matematice, Editura
didactica pedagogics, Bucuresti, 1970.
34. Teodorescu P. P., Probleme spatiale in teoria elastcitajii, Editura
Academiei, Bucuresti, 1970.
35. Teodorescu P. P., Dynamics of Linear Elastic Bodies, Editura Aca-
Academiei, Bucuresti; Abacus Press, Tunbridge Wells, Kent, 1975.
36. Tocaci E., Fenomene discontinui in mecanica $i rezistenja materia-
lelor, Editura Academiei, Bucuresti, 1974.
37. Владимиров В. С, Уравнения математической физики, изд-во
«Наука», М„ 1971.
38. Yosida K-, Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin — Gottin-
gen — Heidelberg, 1965; есть русский перевод: Иосида К-, Функ-
Функциональный анализ, изд-во «Мир», М., 1967.
39. Zemanian A. H., Distribution Theory and Transform Analysis,
McGraw-Hill, New York — Saint Louis — San Francisco — Toron-
Toronto—London— Sydney, 1965.
40. Zemanin A. H., Generalized Integral Transformations, lntersci
Publ., Wiley, New York — London — Sydney — Toronto, 1968; есть
русский перевод: Земанян А. Г., Интегральные преобразования
обобщенных функций, изд-во «Наука», М., 1974.
41. Kecs W., Produsul de convolute $i unele aplicajii ale lui, Edilura
Academiei, Bucuresti, 1978.
42. Teodorescu P. P., llle V., Teoria elasicitatii, ?i introducere in meca-
mecanica solidelor deformabile, Vol. I Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1970.
43. Годунов С. К., Уравнения математической физики, изд-во «Нау-
«Наука», М„ 1971.
44. Розеиберг А. С, Яхинсон Б. И., Переходные процессы и обобщен-
обобщенные функции, изд-во «Наука», М., 1966.
45. Диткин В. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования и
операционное исчисление, 2-е изд., изд-во «Наука», М., 1974.
46. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функции и
функционального анализа, изд-по «Наука», М., 1976.

ЛИТЕРАТУРА 507
47. Штоколо И. 3., Операционное исчисление, изд-во «Наукова дум-
думка», Киев, 1972.
48. Antosik P., Mikusin'sKi J., Sikorski R., Theory of Distributions,
Elsever Scientific Publishing Co., PWN, Amsterdam — Warszawa,
1973; есть русский перевод: Антосик П., Микусинский Я-, Сикор-
ский Р., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход,
М., изд-во «Мир», 1976.
49. Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физи-
физике, изд-во «Наука», М., 1976.
50. Лазарян В. А., Конашенко С. И., Обобщенные функции в задачах
механики, изд-во «Наукова думка», Киев, 1974.
51*. Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразова-
преобразования Лапласа и 2-преобразоваиия, изд-во «Наука», М., 1971.
,52*. Шварц Л., Математические методы для физических наук, изд-во
«Мир», М., 1965.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра 191
— коммутативная 192
— с единицей 192
— со сверткой 193
Анализ системы 487
Апериодический разряд (кон-
(конденсатора) 480
Балка 342
— прямая 342
Бинормаль 309
Больцмана интегральное соот-
соотношение 418
в пространстве обоб-
обобщенных функций 419
Вариации постоянных метод 182
Вектор напряженности 436
— свободный 265
— связанный 254
— скользящий 265
Векторное поле, эквивалентное
связанному вектору 255
—пространство 17
Векторы эквиполентные 261
Взаимная индукция 457
Винт 259
Возбудители электрической сис-
системы 487
Вращательный сосредоточенный
момент 272, 369, 407, 415
Вронскиан 178
Входные величины 487
Вязкость 394
Вязкоупругая модель Кельви-
Кельвина 421
— — Максвелла 422
Вязкоупругое тело 417
Гиперповерхность 115
Гипотеза плоских сечений 343
Гистерезис 360
Главная нормаль 309
Главное значение в смысле Ко-
ши 43
Голономные связи 354
Градиент перемещения 360
Гюйгенса принцип 431
Движение абсолютно твердого
тела 359
Дельта-функция (б-функция
Дирака) 14
Дельтообразная последователь-
последовательность 87
Деформируемое твердое тело
360
Динамическое равновесие 394
Диполь сосредоточенных сил
279
отрицательный 280, 281
положительный 280
Дипольный сосредоточенный
момент линейный 279
плоский 282, 283
отрицательный 285
положительный 285
пространственный 286
отрицательный 288
положительный 287
Дифракционная картина на бес-
бесконечности 431
— решетка 436
Дифракционное плоское отвер-
отверстие 431
Дифракция 431
— Френеля 434
Дифференциал обобщенной
функции 53
Дифференцирующая цепочка
502
идеальная 503
Доплера эффект 424
Евклидово пространство 16
действительное 16
Емкость конденсатора 456

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
509
Жесткие тела 360
Задача двухточечная 215
— Коши 215, 239, 444
— многоточечная 215, 219
— смешанная 221
Закон Гука 358, 363
— Ома 456
— эквивалентности действия
силы 271
Законы Кирхгофа 456
Идеально упругое тело 360
Изображение (по Лапласу)
146
Изотропное тело 360
Импульс силы добавочной 320
обобщенной 320
обычной 320
Индуктивность катушки 456
Интеграл момента силы доба-
добавочной 321
обобщенной 321
обычной 321
Интегралы Римана 297
—Стилтьеса 297
Интегральные уравнения Воль-
терры второго рода 202, 206
¦ первого рода 201, 203
-— нелинейные 201
однородные 202
Интегро-дифференциальные
уравнения типа свертки 212
Каноническое представление
центра вращения 276
— расширения плоского
285
— — — расширения простран-
пространственного 288
Квазиупругая сила отталкива-
отталкивания 337
притяжения 337
Кельвина вязкоупругая модель
421
Кинетическая энергия мате-
материальной точки 323
системы материальных
точек 356
Компактное множество 17
Компактный носитель 17
Колебания апериодические 481
— незатухающие 480
Колебательный контур 475,
481, 483
Количество движения мате-
материальной точки 319
Консоль 349
Коэффициент Пуассона 363
— теплопроводности 232
Коэффициенты затухания 451
—квазиупругие 401
Краевые условия 214
Лапласа преобразование 145,
189
итерированное 154
обобщенной функции 148
обобщенной функции мед-
медленного роста 1Ьй
обратное 147
функции 146, 152
Лннейиое вязкоупругое тело
417
— пространство 17
Максвелла вязкоупругая мо-
модель 422
Масса полная 116, 289, 298, 299,
300
Матрица обобщенных функций
регулярных 447
— сингулярных 447
— фундаментальных решений
плоской динамической зада-
задачи теории упругости 416
Меры 28
Метод вариации постоянных
182
— интегральных преобразова-
преобразований 188
Механические колебания 449
Множество компактное 16
— натуральных чисел N 42
— нулевой меры 39
— пренебрежимое 39
— целых неотрицательных чи-
чисел No 42
Модуль сдвига 363

510
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— Юнга 363
Момент диполя 306
— системы точек порядка р289
Моменты инерции осевые 294
¦ относительно плоскостей
294
¦ полярные 293
¦ центробежные 294
— порядка второго 289
— порядка первого 289
Мотор 259
Направленный сосредоточен-
сосредоточенный момент 265, 26Ь, 368
первого порядка 269
порядка п 269
Напряжения 358, 360
— касательные 363
— начальные 359
— нормальные 363, 371
Начальные условия типа Коши
333
Нейтральная ось 348
Нить 343
Норма 16
Носитель компатнын 17
— обобщенных функций 48
— основных функций 16
Область 23
Обобщенная производная 53
—реакция связей 318
— сила 318
Обобщенная функция 13, 27
бесконечного порядка 28
Грина 250
действительная 28
Дирака 28
комплексная 28
комплексно-сопряженная
31
конечного порядка 28
медленного роста 28, 137
нулевая 47
однородная степени X 124
первообразная 171
периодическая 85
полярного статического
момента (соответствующая
полярному статическому мо-
моменту) 293, 298, 299
• плоских статических мо-
моментов 293
положительная 50
~ — регулярная 34
— — — медленного роста 34
сингулярная 35
с ограниченным носите-
носителем 29, 137
соответствующая полярно-
полярному моменту инерции 298, 299
¦ сосредоточенная на гипер-
гиперповерхности 116, 117
кривой 116, 298
— -множестве 48, 115,
116
— — области 117
типа обычной функции 34
Хевисайда 41
четная 43
Р — 46
г
1
Р 46
х
Vp
+ У2
43
Обобщенное решение диффе-
дифференциального уравнения 170
операторного 222
Обобщенные координаты 354,
443
— функции сложные 53
Обратимость явления 361
Однородное тело 360
Оператор Даламбера 225
— Лапласа 225
— линейный дифференциальный
222
— Николеску 232
Оригинал (функция) 146
Осевые моменты инерции 294
Основная краевая задача тео-
теории упругости вторая 364
первая 363
• — смешанная 364
Основное пространство 16

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
511
Кт 16
К 21
S 24
Ф 27
Основные функции (класса С)
16
Отклик электрической системы
487
Падение напряжений 456
Первообразная обобщенно?
функции 171
первого порядка 171
порядка т 171
Перемещение точки 360
Перемещения обобщенные 393
408
Плоские статические моменты
290
Плотность 232
— объемная континуума дву-
двумерного 299
¦ одномерного 298
¦ трехмерного 300
электрического двойного
слоя на кривой 312
поверхности 313
диполя 307
простого слоя 308
— связанного вектора линейная
255
объемная 257
Показатель роста функции 143
Поле перемещений 360
Полярный момент инерции 293
298, 299, 300
статический 290, 298, 299,
300
Последовательность дельтооб-
дельтообразная 87, 88
Постановка задачи теории
упругости линейной динами-
динамической 396
¦ плоской в перемеще-
перемещениях 408
Потенциал электрического поля
437
Предел в смысле теории обоб-
обобщенных функций 91 (см. так-
также Сходимость в простран-
пространстве обобщенных функций)
Преобразование Карсона (Лап-
(Лапласа— Карсона) 145
— Лапласа 145 (см. Лапласа
преобразование)
— подобия 37
— симметрии 38
— Фурье 130 (см. также Фурье-
преобразование)
косинус 132
обратное 131
синус 131
экспоненциальное 130
Принцип Гюйгенса 431
Проводимость обобщенная, со-
соответствующая заряду 459
силе тока 461
цепи RLC 461
— операторная, соответствую-
соответствующая заряду 462
силе тока 463
цепи RLC 463
Производная в смысле теории
обобщенных функций 57
— обобщенной функции 53
• — по направлению 267
смешанная 269
Произведение прямое обобщен-
обобщенных функций 105, 136
Пронстранство векторное 17
топологическое 17
— евклидово 16
— линейное 17
— основное К'" 16
К 21
5 24
Ф 27
комплексное Z 135
— полное 30
— сопряженное 28
— топологическое 17
— упругое 365
Процесс переходный 477
— установившийся 477
Работа силы добавочной 322
обобщенной 322
обычной 322
Радиус-вектор 316
Радиус кривизны 309
— кручения 309
Разбиения единицы теорема 24
Распределитель напряжения 494
Реакция связей 335
Регуляризация 45

512
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Решение задачи Коши фунда-
фундаментальное 239
— уравнения дифференциаль-
дифференциального общее 180
фундаментальное 180
общее 180
частное 180
частное 180
элементарное 180
в свертках фундаменталь-
фундаментальное 196
элементарное 196
Ряд Фурье 87
Свертка функции 108
обобщенных 110, 137
Свертки единица 111
Свободные колебания попереч-
поперечные 351
Собственные колебания попе-
поперечные 351
Сдвиг обобщенной функции 32,
36
Сдвиговые деформации 361
Сила тока 455
Силы консервативные 397
— объемные 363
Сингулярная часть обобщенной
функции Грина 251
Синтез системы 487
Скалярное произведение 16, 322
Скорость 317
— распространения волн попе-
поперечных 227
продольных 227
Соотношения Коши 361
Сопротивление (электрическое)
456
— полное цепи RLC 461
операторное активное 463
¦ двух элементов, соеди-
соединенных параллельно 465
последователь-
последовательно 464
емкостное 464
индуктивное 464
цепи RLC 4fK
Сосредоточенная сила 264, 367,
401
импульсная 402
• периодическая 264
Сосредоточеннце нагрузки 264
Состояние деформированное
359
плоское 371, 373, 380
— естественное 418
— напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное 360
— напряженное 360
плоское 371
обобщенное 371
Сохоцкого соотношения 65
Сплошная среда 359
Срединное волокно 348
Статические моменты 289, 2Э0
--- плоские 290
полярные 290
Статический момент кривой 118
Стационарная система 491, 492
Стержень 342
Структура цепи 487
Струпа 343
Сходимость в обобщенном
смысле 92
пространстве обобщенных
функций 30
— слабая 30
Температуропроводность 232
Тензор деформаций 361
— Кронекера 363
— Леви-Чевиты 361
— напряжений 363
— симметричный 361
— фундаментальных решений
для задачи, постагленной в
напряжениях 367
•— упругого простран-
пространства 365
Тензорное умножение 104
Теооема дифференцирования
148
изображения 146, 154
— запаздывания 148
— затухания 149
— Карно 330
— Кельвина 331
— об изменении количества дви-
движения 324
кинетической энергии
326
момента количества
движения 325

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
513
— подобия 148
— разбиения единицы 24
— смещения 149
Теплоемкость 232
Топологическое пространство 17
Траектория 316
Торсор 259
Удар 327
— связей 332
Ударный импульс 328
Удлинения 361
Ультраобобщенные функции
135
Умножение прямое 104
— тензорное 104
Упругая линия балки 348
— плоскость 373
— полуплоскость 380
Упругие константы 372
• обобщенные 372
— постоянные Ламе 363
Упругое пространство 365
Уравнение волновое 225
— в свертках 195
— гиперболического типа 225
— Гельмгольца неоднородное
234
однородное 236
— колебания струны 248
— обобщенное Пуассона 234
— параболического типа 232
— Пуассона 234, 437
— Фурье распространения теп-
тепла 232
— Эйлера 123
— эллиптического типа 234
Уравнения Лагранжа 355, 443
в обобщенных функциях
444
Уравнения движения 394
— Лагранжа 355, 443
в обобщенных функциях
444
— Ламе 364
Условия для изгибающего мо-
момента и перерезывающей си-
силы 350
— защемления 350
— краевые 214, 395
— на контуре 222
— начальные 215, 395
— неразрывности деформацп"!
(совместности) 361
¦— типа Коши 215
Фильтр 487
— RC верхних частот 497
нижних частот 495
Формула Даламбера 243
— Френе 309
— Эйлера 133
Формулы разложения 75
— Чезаро 362
Фундаментальная матрица сис-
системы уравнений 176
Фундаментальное решение ди-
динамической задачи теории
упругости 238
задачи Коши 239
для колебания стру-
струны 248
линейного дифференциаль-
дифференциального оператора 223
уравнения в свертках 196
дифференциального 180
в смысле теории
обобщенных функций для
упругой плоскости 374
. по-
полуплоскости 381
общее 180
• частное 180
Функционал 27
— действительный 27
— линейный 28
— непрерывный 28
— стационарный 355
Функция, абсолютно интегри-
интегрируемая 33
— веса обобщенная 487, 493
— Грина 250
— Дирихле 40, 92
— единичная Хевисайда 41
— импульсная 90
— интегрируемая 33
— Коши 93
— локально интегрируемая 33
— нечетная 132
— нулевая почти всюду 39
— обобщенная (см. Обобщен-
Обобщенная функция)
— однородная степени X 123
— ползучести 417
—распределения света 431

514
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— релаксации 417
— Стилтьеса 93
— ультраобобщенная 135
— характеристическая отрезка
49
— четная 131
Функции кусочно дифференци-
дифференцируемые 58
— равные почти всюду 39
Фурье-преобразование 130, 189
— функции 130
обобщенной 136
медленного роста 137
с ограниченным носите-
носителем 137
— б (у) по двум перемен-
переменным 144
—¦¦—косинус 131
— — обратное 131
— — синус 131
экспоненциальное 130
Характеристическая функция
отрезка 49
— сжатия плоский 285
— —- пространственный 288
Центробежные моменты инер-
инерции 294
Цепи с сосредоточенными пара-
параметрами 477
Частота отрицательная 468, 469
— положительная 468
Четырехполюсник 487
— линейный 492
стационарный 492
— сложный 489
— с пассивными элементами 483
— с сечением вида Т 489
Эйлера уравнение 123
— формула 133
Электрический двойной слой на
кривой 310
поверхности 312
— заряд 304, 455
Элементарное решение уравне-
уравнения в свертках 196
— дифференциального 180
Эффект Доплера 424
Центр вращения 272, 369
— расширения плоский 282, 283
пространственный 286,
288, 404
Юнга модуль 363
Ядро интегрального преобразо-
преобразования 492

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие авторов к русскому изданию 8
Предисловие 10
Глава 1. Элементы теории обобщенных функций 13
1.1. Понятие обобщенной функции. Свойства. Операции 13
1.1.1. Введение 13
1.1.2. Основные функции и основные пространства 16
1.1.3. Пространство обобщенных функций 27
1.1.4. Примеры обобщенных функций 31
1.1.5. Линейные преобразования переменных ... 35
1.1.6. Равенство обобщенных функций 38
1.2. Дифференцирование обобщенных функций. Дельто-
Дельтообразные последовательности 52
1.2.1. Дифференцирование обобщенных функций ... 52
1.2.2. Формулы разложения некоторых обобщенных
функций 75
1.2.3. Обобщенные функции с компактным носителем.
Периодические обобщенные функции 81
1.2.4. Дельтообразные последовательности 87
1.3. Прямое произведение. Свертка 104
1.3.1. Прямое произведение 104
1.3.2. Свертка 108
1.4. Обобщенные функции, сосредоточенные на кривых,
поверхностях и объемах. Однородные обобщенные
функции 115
1.4.1. Обобщенные функции, сосредоточенные на кри-
кривых, поверхностях и объемах 115
1.4.2. Однородные обобщенные функции 123

516 ОГЛАВЛЕНИЕ
1.5. Интегральные преобразования обобщенных функций 130
1.5.1. Преобразование Фурье 130
1.5.2. Преобразование Лапласа 145
1.6. Некоторые полезные формулы 158
1.6.1. Производные некоторых часто используемых
обобщенных функций 158
1.6.2. Преобразование Фурье некоторых часто исполь-
используемых обобщенных функций 161
1.6.3. Преобразование Лапласа некоторых часто ис-
используемых обобщенных функций 165
Глава 2. Дифференциальные уравнения в обобщенных функ-
функциях 168
2.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения .... 168
2.1.1. Общие результаты. Фундаментальные решения 168
2.1.2. Методы решения 182
2.2. Уравнения в свертках 191
2.2.1. Свойства уравнений в свертках 191
2.2.2. Интегральные уравнения 201
2.3. Задача Кошн и многоточечные задачи для дифферен-
дифференциальных уравнений 214
2.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 214
2.3.2. Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных 222
2.3.3. Функции Грина. Обобщенные функции Грина 250
Глава 3. Представлеиие иекоторых мехаиических и физических
величин обобщенными функциями 254
3.1. Представление связанных векторов обобщенными
функциями 254
3.1.1. Представление связанного вектора 254
3.1.2. Сложение связанных векторов 260
3.2. Представление сосредоточенных нагрузок и непрерыв-
непрерывно распределенных нагрузок обобщенными функция-
функциями 264
3.2.1. Сосредоточенные моменты 265
3.2.2. Диполи сосредоточенных сил 279
3.3. Представление моментов системы материальных то-
точек обобщенными функциями 288
3.3.1. Дискретные системы материальных точек . . . 289
3.3.2. Непрерывные системы материальных точек , . 297
3.4. Представление некоторых электрических величин
обобщенными функциями 304
3.4.1. Электрические заряды 304
3.4.2. Электрический слой на кривой или на поверх-
поверхности 307

ОГЛАВЛЕНИЕ 517
Глава 4. Применении теории обобщенных функций в механике 315
4.1. Общие теоремы механики 315
4.1.1. Механические величина, представляемые '.ific.fi-
щенными функциями 315
4.1.2. Общие теоремы механики материальной точки 323
4 1.3 Общие теоремы механики в случае столкнове-
столкновений 327
4.2. Задачи типа Коши 332
4.2.1. Динамика материальной точки 332
4.2.2. Линейные колебания 337
4.2.3. Нити. Балкн 342
4.2.4. Системы материальных точек с переменными
массами 353
4.3. Краевые задачи теории упругости 358
4.3.1. Статические задачи для линейных упругих тел 358
4.3.2. Динамические задачи для линейных упругих
тел 394
4.3.3. Задачи линейной вязкоупругости 417
Глава 5. Применения теорин обобщенных функций в физике 424
5.1. Применения теории обобщенных функций в акустике 424
5.1.1. Эффект Доплера для одномерной акустической
волны 424
5.1.2. Эффект Доплера при ветре 426
5.2. Применения теории обобщенных функций в оптике 430
5.2.1. Явление дифракции па бесконечности 431
5.2.2. Дифракция Френеля 434
5.3. Напряженность и потенциал электростатического
поля 436
5.3.1. Соотношения между напряженностью и потен-
потенциалом поля, создаваемого электрическим заря-
зарядом, и объемной плотностью этого заряда . . 436
5.4. Линейные колебания в физике 443
5.4.1. Общие результаты . 413
5.4.2. Применения для исследования механических ко-
колебании 449
Глава 6. Применения теории обобщенных функций в электро-
электротехнике 455
6.1. Сила тока и электрический заряд. Полное сопротив-
сопротивление и проводимость электрических цепей 455
6.1.1. Сила тока и электрический заряд 455
6.1.2. Полное сопротивление и проводимость электри-
электрических цепей 459
6.1.3. Отрицательные частоты 467

518 ОГЛАВЛЕНИЕ
6.2. Применения теории обобщенных функций в электри-
электрических цепях 471
6.2.1. Задачи Коши для цепи RLC 471
6.2.2. Установившиеся процессы. Переходные процессы 477
6.3. Применение теории обобщенных функций к линейным
динамическим системам 487
6.3.1. Четырехполюсники 487
6.3.2. Стационарные системы 491
6.3.3. Дифференцирующая цепочка 502
Литература 503
Предметный указатель 508

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие
просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-ПО, ГСП,
1 Рижский пер., 2, издательство «Мир»

В. Кеч, П. Теодореску
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
В ТЕХНИКЕ
Редактор Л. Якименко
Художник Б. Федоров
Художественный редактор Л. Безрученков
Технический редактор Е. Потапенкова
Корректор В. Соколов
ИБ 1406
Сдано в набор 19.12.77.
Подписано к печати 27.07.78
Формат 84ХЮ8Уз2- Бумага типо-
типографская № I. Гарнитура ла-
латинская. Печать высокая. Объ-
Объем 8,13 бум. л. Усл. печ. л. 27,30.
Уч.-изд. л. 22,36 Изд. № 20/9526.
Тираж 9 000 экз. Зак. 3677.
Цепа 1 р. 90 к.
Издательство «Мир>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Минист-
Министров СССР по делам издательств, полиграфии н
книжной торговли. Хохловский пер., 7.