НЕ БОЛЕЕ 1M КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ

POLSKA AKADEMTA NAUK ¦ TNSTYTUT MaTEMATYCZNY
ROZPRAWY
MATEMATYCZNE
KOMITET REDAKCYJNY
Karol Borsuk redaktor,
Andrzej Mostowski, Marcell Stark,
Stanislaw Turskl
XXV
J. MIkusinski and R. Sikorski
The elementary theory
of distributions (II)
WARSZAWA 1961
PANSTWOWE WYDAWN1CTW0 NAUKOWE

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА .МАТЕМАТИКА"
Я. МИКУСИНСКИЙ. Р. СИКОРСКИЙ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
II
Перевод с английского
Ф. В. ШИРОКОВА
ИЗД ATE ЛЬ С ТВ О
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1963

АННОТАЦИЯ
Возникновение теории обобщенных функций быстро при-
привело к пересмотру аппарата классического анализа. Новая
алгоритмика интересует теперь все более широкий круг
специалистов, использующих математику в своей работе.
Одна из задач брошюры Минусинского и Сикорского —
удовлетворить эту потребность.
Второй выпуск „Теории обобщенных функций" совер-
совершенно не зависит от первого, с которым читатели познако-
познакомились по русскому переводу, выпущенному в 1959 г. Пред-
Предмет второго выпуска — обобщенные функции многих пере-
переменных, метод — тот же, что и в первом выпуске: обобщенные
функции определяются как „идеальные элементы", присоеди-
присоединяемые к множеству обычных функций подобно тому, как
в проективной геометрии бесконечно удаленные точки при-
присоединяются к множеству обычных точек. Этот метод был
улучшен авторами, что сделало построения более свобод-
свободными и общими. В отличие от обобщенных функций только
конечного порядка, рассматривавшихся в первом выпуске,
во втором выпуске рассматриваются произвольные обобщен-
обобщенные функции.
Брошюра представляет интерес как для специалистов-
математиков, так и для физиков и инженеров, желающих
познакомиться с теорией обобщенных функций. Брошюра
доступна студентам старших курсов и аспирантам техниче*
ских вузов.
Редакция литературы
по математическим наукам

ВВЕДЕНИЕ
Эта брбшюра (называемая здесь ЭТОФ II) содержит
введение в теорию обобщенных функций нескольких пере-
переменных. Случай одного переменного был предметом первого
выпуска „Элементарной теории обобщенных функций" (назы-
(называемого здесь ЭТОФ I). По педагогическим причинам мы
советуем (особенно это касается начинающих) прочесть
ЭТОФ I до ЭТОФ II. Однако изложение в ЭТОФ II полно
и не предполагает никакого знакомства с ЭТОФ I.
Основная идея одинакова в обеих брошюрах, однако
некоторые модификации, введенные в случае нескольких
переменных, дают разительные преимущества. В ЭТОФ I
обобщенные функции определялись, грубо говоря, как пре-
пределы последовательностей непрерывных функций. То же
самое можно сделать и в случае нескольких переменных,
однако это приводит к осложнениям, поскольку оказывается
необходимым ввести дополнительное вспомогательное поня-
понятие обобщенной производной от непрерывной функции. Этого
понятия можно избежать, пользуясь бесконечно дифференци-
дифференцируемыми функциями или полиномами. Полиномы, однако, не
обладают свойством локальности, что — как мы проверили
экспериментально — губит элегантность теории. Таким обра-
образом, "мы остановились на бесконечно дифференцируемых
функциях как на отправной точке рассматриваемой теории.
Другая модификация состоит в том, что в ЭТОФ I (всюду,
кроме последнего параграфа) мы имели дело с обобщенными
функциями конечного порядка, тогда как в ЭТОФ II это
ограничение отброшено.
2 Зак 689.

ЭТОФ II содержит теорию элементарных действий нал
обобщенными функциями, таких, как сложение, умножение,
дифференцирование и подстановка. Стоит отметить, что под?
становка дана здесь при более общих условиях, чем в пред-
предшествующих работах. Остальные операции, такие, как инте-
интегрирование, свертка, преобразование Фурье, будут введены
в ЭТОФ III. Сокращение „т. и т. т." означает „тогда и
только тогда".

§ 1. Терминология и обозначения
Если заданы два набора конечных или бесконечных чисел
то мы будем писать
а<Ь
т. и т. т., когда
<ху<ру для у = 1 q.
Аналогично мы пишем
т. и т. т., когда
ау<Ру для у = 1 q.
Если вещественные числа ?j, ..., %q конечны, то
можно" рассматривать как точку в ^-мерном эвклидовом
пространстве.
Предыдущее соглашение дает нам возможность обозна-
обозначить ^-мерный открытый интервал
а/<^/<Р/ (/=1 Я)
неравенствами *
а<х<Ь,
в точности так же, как в одномерном случае. Аналогично
если а.} и р, конечны, то g-мерный замкнутый интервал
h С/^1 Я)
2*

8 § 1. Терминология и обозначения
будет обозначаться неравенствами
а < х < Ь.
Под интервалом мы всегда понимаем ограниченный ин-
интервал, если не оговорено противное. Как правило, слово
„интервал" означает „открытый интервал'. Интервал а<лг<?
лежит внутри открытого множества От. и т. т., когда
замкнутый интервал а ^ х <^ Ь содержится в О.
Мы принимаем обычные обозначения:
Где y==Gil> •••• Vq)' a ^ — ЧИСЛО.
Функции, определенные на подмножествах ^-мерного
пространства, будут обычно обозначаться символами ср(*),
f(x), F(x), ... вместо символов ср(^ 4q), f (^ 4q),
FQ,x, .... Sg) Все рассматриваемые функции опреде-
определены, если не оговорено противное, на открытых подмно-
подмножествах g-мерного эвклидова пространства.
Пусть F(x) — непрерывная функция на интервале /,
а хо = Aо1 SOg) — фиксированная точка этого интервала,
и пусть ft = (x1( ..., v.q) — набор целых неотрицательных
чисел. Интегрируя F(x) сначала y.j раз по Sj, затем Xj раз
по $2 и т. д., мы получим повторный интеграл порядка k
/г г г
'"? * * * J в' J ^xl **" J V 11» • • • • qlf>
кратко этот интеграл будет обозначаться символом
х
JF(t)dtk, ф
или, в частном случае & = A 1), символом
X
fF(t)dt.

§ 2. Равномерная и почти равномерная сходимость 9
Отметим очевидные формулы:
(X — число),
X
f (/ @+s @) «и* = / / @ а*к + {ё (О *Й.
Ж. Л» JT,
лг
Бесконечно дифференцируемые функции мы будем назы-
называть гладкими функциями. Пусть <?(х) — гладкая функция,
a k = (^ xg) — набор целых неотрицательных чисел,
тогда под производной функции <f(x) порядка k мы пони-
понимаем функцию-
... +х
g.
Вообще, мы называем порядком любой набор k = (xj,
.... х?) целых неотрицательных чисел. Удобно также поль-
пользоваться обозначениями:
«i = (l. 0 0), 0 = @, 0 0).
«2 = @. 1 0), /=A, 1 1).
2 = B, 2 2).
*в = @. 0 1) ..
Вместо (? дозволительно писать также 0, что не приводит
к недоразумениям.
§ 2. Равномерная и почти равномерная сходимость
Пусть / — произвольное множество; мы будем говорить,
что последовательность функций /„(*) сходится равно-
мерно на / к функции / (х), и писать.

10 § 3. Щцнёаментальные последовательности гладких функций
т. и т. т., когда функция /(*) определена на / и для любого
заданного числа е > 0 существует такой номер я0, что для
любого п > % функция /„ (л;) определена на всем множе-
множестве/ и удовлетворяет на нем неравенству \fn(x)—f(x)\ < e.
Таким образом, для начальных номеров п функции /п(х)
не обязаны быть определены на /.
Мы пишем
/„(*)=* на /
т. и т. т., когда существует такая функция f(x), что
,fn(x)-?f(x) на /. Мы будем пользоваться этим обозначе-
обозначением, когда необязательно указывать предельную функцию.
Мы пишем
т. и т. т., когда обе последовательности /„(*) и gn(x)
равномерно сходятся на / к одному и тому же пределу.
Мы. говорим, что последовательность fn(x) сходится
к f{x) почти равномерно на открытом множестве О т. и
т. т., когда fn(x)^f(x) на любом открытом интервале /,
лежащем внутри О. Предельная функция определена на всем
множестве О, однако, согласно введенному определению, ни
одна из функций fn(x) не обязана быть определена на всем
множестве О. Если О„ — открытое множество, на котором
определена /„(#), то для любого интервала /, лежащего
внутри О, существует такое целое число п0, что / лежит
внутри Оп при ге > п0.
§ 3. Фундаментальные последовательности
гладких функций
Пусть О — некоторое открытое множество в ^-мерном
пространстве.
Последовательность гладких функций <?п(х) называется
фундаментальной на О т. и т. т., когда для каждого интер-
интервала /, лежащего внутри О, существуют порядок к и после-
последовательность гладких функций Фп(х), такие, что
Фп(х) г? на /.

§ 3. Фундаментальные последовательности гладких функций 11
Порядок k и последовательность Фп(х) зависят, вообще
говоря, от Л Согласно данному определению, ни одна из
функций срп(х) не обязана быть определена на всем мно-
множестве О. Если О„ — открытое множество, на котором опре-
определена ср„(л;), то для каждого интервала /, лежащего внутри О,
существует такой номер ге,,, что / лежит внутри Оп при
re>«o. Функции Фп(х) определены на интервале 7 при
п > «о и удовлетворяют на нем условиям (F,) и (F^.
Из определения (при k = Q) непосредственно следует,
что
3.1. Всякая последовательность гладких функций,
сходящаяся почти равномерно на О, является фунда-
фундаментальной.
Дифференцируя ят раз" соотношение (Fj), мы получаем
3.2. Если <?п(х) фундаментальна, то и ^тЦх) фун-
фундаментальна.
Полезно заметить, что порядок k, который входит в усло-
условие (F^, можно, при необходимости, заменить любым ббль-
шим порядком. Это вытекает из следующего утвержде-
утверждения:
3.3. Если последовательность Фп(х) удовлетворяет
условиям (F,) и (F2) и если />&Г то последователь-
последовательность гладких функций
X
Фл (х) = Г Ф„ @ dtl~* (x0 лежит в J)
*<> ...
также удовлетворяет условиям (Ft) «. (F2) с заменой
k на I.
Заметим также, что
3.4. Если последовательность <р„ (х) является фун-
фундаментальной на всяком интервале I, лежащем вну-
внутри О, то она фундаментальна и на О.
Действительно, пусть / — произвольный интервал, лежа-
лежащий внутри О, тогда имеется интервал /', лежащий вну-
внутри О и содержащий внутри себя/. Поскольку последова-
последовательность <fn(x) фундаментальна на /', найдутся такие
гладкие функции* *>,(*) и порядок А, что условия (Ft) и
^удут выполнены на /.

12 §4. Определение обобщенных функций
§ 4. Определение обобщенных функций
Мы говорим, что две фундаментальные на О последова-
последовательности ср„ (лг) и ф„ (лг) эквивалентны на О, и пишем
т. и т. т., когда перемежающаяся последовательность
' 9i (-О. Ч*х (*). 92 (*)• 4»2 (-0. • • •
фундаментальна.
Следующее условие, очевидно, необходимо и достаточно
для того, чтобы последовательности <р„(#) и ф„ (лг) были
эквивалентны: для всякого интервала /, лежащего внутри О,
существуют последовательности гладких функций Фп(х) и
ЧГя(лс) и порядок k, такие, что
(Ej) Ф<*> (*) = ?„(*) и *»>(*) = «!>„(*).
(Е2) Ф„
Последовательности Ф„(лг) и ЧГп(лг) и порядок k зави-
зависят, вообще говоря, от /.
Из утверждения 3.3 следует, что
4.1. Порядок k в условии (Ei) можно, пра необходи-
необходимости, заменить любым бдльшим порядком I.
Легко видеть, что отношение »—' рефлексивно и симме-
симметрично, т. е.
°
2° из срл (лг) — ф„ (лг) следует ф„ (лг) ~ <ря (*)•
Оно также и транзитивно, т. е.
3° из <р„ (*) — <];„(*) и ф„(*) ~9Л*)
следует <р„ (лг) —' 8„ (лг).
Действительно, согласно предположению в 3°, для вся-
всякого интервала /, лежащего внутри О, существуют поря-
порядок k и гладкие функции Фп (лг) и ЧГ„ (л:),- удовлетворяющие
условиям (Ej) и (Е2), а также порядок / и гладкие функ-
функции Ф„(дг) и в„(лг), такие, что
= % (х), в™ (х) = б„ (*),

5. Умножение на число 13
В силу предложения 4.1 можно считать, что k = l. После-
Последовательности Ф„(лг) и в„(лг) = ч7п(лг) — ч7„(лг) + вл(лг)
равномерно сходятся на / к одному и тому же пределу,
причем Ф'п^(лг) = <р„(лг), ejf'(jc)= вп(х), откуда и вытекает,
что $п(х)~Вп{х).
Поскольку отношение *~ рефлексивно, симметрично и
транзитивно, множество всех последовательностей, фунда-
фундаментальных на О, распадается на непересекающиеся классы
(классы эквивалентности по отношению —), такие, что две
фундаментальные последовательности попадают в один и
тот же класс т. и т. т., когда они эквивалентны. Эти классы
эквивалентности и называются обобщенными функциями
(определенными на О). Таким образом, понятие обобщенной
функции возникает путем отождествления эквивалентных
фундаментальных последовательностей.
Обобщенная функция, определяемая фундаментальной
последовательностью <рп(х), т. е. класс фундаментальных по-
последовательностей, эквивалентных последовательности ср„(#)>
будет обозначаться символом [<рп(х)]. Две последовательности
<рп (х) и ф„(лг), фундаментальные на О, определяют одну и
ту же обобщенную функцию т. и т. т., когда они эквива-
эквивалентны. Таким образом,
[¦Рп (*)! = [Фп (¦*)] т- и т- т- когДа Ч'Л-О'-'Ы*)-
Обобщенные функции будут обозначаться символами f(x),
g(x) и т. д., как и обычные функции. Следует подчеркнуть,
что это обозначение — чисто символическое и что, вообще
говоря, нельзя подставлять вместо переменного х конкрет-
конкретные точки.
§ 5. Умножение на число
Действие Хер (х) умножения функции ср (лг) на число X
обладает следующим свойством:
. 1° Если последовательность <рп (х) фундаментальна, то и
Х(рл(лг) фундаментальна.
Это свойство позволяет распространить рассматривае-
рассматриваемое действие на произвольные обобщенные функции
Мы полагаем

.14 § 6. Сложение
Чтобы проверить единственность произведения ^f(x), мы
должны показать, что оно не зависит от выбора фундамен-
фундаментальной последовательности уп(х). Иными словами:
,¦ 2° Если <рп(х)~уп(х), то 1<рп(х)~1уп(х).
Действительно, последовательность
TiW. <PiD <p2D %(¦*).•¦¦
фундаментальна. Согласно 1°, будет фундаментальной и
последовательность
откуда и вытекает наше утверждение.
§ 6. Сложение
Действие сложения <р(*)+ф(*) ДВУ* функций <р(лг)
и ф(лг) обладает следующим свойством:
¦ 1° Если последовательности <рп{х) и ф„(х) фундамен-
фундаментальны, то фундаментальна и последовательность (р„(лг)-{-фп(лг).
Для дрказательства свойства 1° предположим, выбрав
произвольный интервал / внутри О, что порядки k и / и
функции Фп(х) и №„(*) таковы, что
Будем считать, что k = l, ибо каждый из порядков k
и / можно по |^оизволу увеличить (см. 3.3). Поскольку
последовательность ср„ (х) -\- фп (лг) фундаментальна.
Свойство 1° позволяет распространить действие сложе-
сложения на произвольные обобщенные функции / (л:) = [ipn (лг)]
и g(x)^=[tyn(x)]. Мы полагаем

§ 7. Регулярные действия 15
Сумма, определенная таким способом, единственна, ибо
она не зависит от выбора фундаментальных последователь-
последовательностей «РпС*) и ф„(дг). Иными словами:
. 2° Е«ли <р„(х)~у„(лг) и %(x)~tyn(x), то
<Р„ (*) + Ф„ (*)~ ?»(*) +Ф„ (*)•
Действительно, последовательности
), ' <ря (а:). • ера (а:), _-..,
фундаментальны. Согласно 1°, будет фундаментальной и
последовательность
откуда и вытекает наше утверждение.
§ 7. Регулярные действия
Умножение на данное число X является действием над
одной функцией (или обобщенной функцией). Сложение яв-
является действием над двумя функциями (или обобщенными
функциями). В общем случае мы можем рассматривать дей-
действия над произвольным числом функций и распространять
их на обобщенные функции. Метод распространения всегда
одинаков. Повторять эти рассуждения в каждом частном
случае скучно и не нужно. В этом параграфе мы покажем
в общем виде, что распространение на обобщенные функции
осуществимо для обширного класса действий.
Обозначим символом
А(9(х). ф(*). ...)
некоторое действие над конечным числом функций ср (д:),
ф(лг) Предположим, что это действие обладает следую-
следующим свойством:
1° Если последовательности ср„(#), %(х), ... фундамен-
фундаментальны, то фундаментальна и последовательность

16 § 8. Вычитание, сдвиг, дифференцирование
Такое действие мы распространим на обобщенные функции
/(лг) = [ср„(лг)], g{x) = [%{x)\ полагая
A(f(x), g{x). ...) = [Л (?„(*). фя(х), ...)]•
Это распространение единственно, т. ё. оно не зависит от вы-
выбора фундаментальных последовательностей ср„(лг), ф„(лг)
Иными словами:
2° Если
A) ' <Р„ (*) ~ ?»(*). <!>»(*) ~ Фп (*)
то
B) А (9|| (*). ф„ (х), ...) ~ А (9„ (х), ф„ (*)....).
Действительно, по предположению последовательности
<Pi(a:). ф! (лг), ср2(лг), 92 (лг)
фундаментальны. Согласно 1°, будет фундаментальной и
последовательность
A (ft (*), ф, (*), ...), А (ср~ (*), ? (*), ...),
Л(ср2(лг), ф2(лг), ...), ...
откуда и вытекает наше утверждение.
Все действия Л(ср(лг), ф(лг), ...), обладающие свойством 1°,
мы будем называть регулярными действиями. Всякое регу-
регулярное действие, определенное на гладких функциях, рас-
распространяется автоматически на обобщенные функции. Это
распространение всегда единственно.
Как мы видели в параграфах 5 и 6, умножение на число
и сложение являются регулярными действиями.
§ 8. Вычитание, сдвиг, дифференцирование
Мы собираемся дать теперь дальнейшие примеры регу-
лярых действий.
Вычитание. Вычитание ср(лг) — ф(лг) является регу-
регулярным действием. Действительно, если ?„(#) и ф„ (л:) —
фундаментальные последовательности, то фундаментальна и

$ 9. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию Г/
»я (лг) — ф„ (лг). Доказательство аналогично доказательству
из § 6. Таким образом мы определяем разность двух обоб-
обобщенных функций / (лг) = [срл (х)] и g (х) = [ф„ (*)] формулой
/(*)-*(*) = [?„(*)-<!>„(*)]•
Сдвиг. Сдвиг ср(лг-)-й) является регулярным действием.
Точнее: если последовательность ср„ (лг) фундаментальна на
открытом множестве О, то yn(x-\-h) фундаментальна на
сдвинутом множестве Oh, которое состоит из всех точек х,
таких, что x-\-h лежит в О. Таким образом, если
/ (х) = [ср„ (х)] — обобщенная функция, определенная на О, то
обобщенная функция, определенная .на Oh.
Дифференцирование. Дифференцирование (р(т) (х)
произвольного порядка т является регулярным действием.
Действительно, если последовательность ср„(лг) фундамен-
фундаментальна, то, согласно 3.2, фундаментальна и cpj") (x). Таким
образом, мы определяем производную порядка т для любой
обобщенной функции /(¦*) = [?„ (.*)], полагая
Очевидно:
8.1. Каждая обобщенная функция имеет производные
всех порядков.
Свойство 8.1 дает поразительные преимущества при
выкладках с обобщенными функциями, облегчает эти выкладки
и делает их более элегантными, чем выкладки в Классиче-
Классическом Анализе.
§ 9. Умножение обобщенной функции
на гладкую функцию
Умножение ср(лг)ф(лг), если его рассматривать как дей-
действие над двумя функциями ср(лг) и ф(#), не является регу-
регулярным, ибо произведение срл (лг) ф„ (лг) двух фундаменталь-
фундаментальных последовательностей <ря (лг) и фл (лг) не обязано быть
фундаментальным.

18 §9. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию
Однако умножение можно" рассматривать также как дей-
действие над одной функцией, при фиксированном втором
множителе. Обозначим этот фиксированный множитель
через о)(дг). Докажем, что если <о (д:) — гладкая функция, то
умножение <о (лг) <р (д:) будет регулярным действием над <р (д:).
Иными словами, если последовательность (р„(дг) фундамен-
фундаментальна, то фундаментальна и ш (лг) <ря (д:).
Действительно, поскольку ср„ (лг) фундаментальна, для
всякого интервала /, лежащего внутри О, существуют поря-
порядок k и гладкие функции Фп(х), такие, что
Ф<,*> (*) = ?„(*) и Фп(х)^ на /.
Для любого порядка т и для любой гладкой функции <о(дг)
последовательность вида <о (д:) Ф^'(лг) фундаментальна на /.
Доказательство проводится по индукции. Случай т = О
следует из 3.1. Если последовательность рассматриваемого
вида фундаментальна для некоторого т, то она фундамен-
фундаментальна и для m~\-ej, поскольку
со (*) Ф<щ+#>> (*) = (• (х) Ф« (x)f}) - ш(в/) (х) Ф« хх).
а правая часть является разностью двух последовательностей,
которые фундаментальны в силу 3.2 и индукционного пред-
предположения. При m = k мы получаем, что <о (лг) (ря (лг) фунда-
фундаментальна на /. Поскольку интервал / произволен, после-
последовательность и (д:) <ря (лг) фундаментальна на всем множестве О
в силу 3.4. Таким образом, мы доказали, что умножение
«а гладкую функцию является регулярным действием.
Согласно общему методу, мы определяем умножение
произвольной обобщенной функции / (д:) = [(ря (д:)] на глад-
гладкую функцию о)(дг) посредством формулы
а> (*)/(*) =[<о (*)<Р„(*)Ь
При случае мы будем писать также /(дг)ш(д:) вместо
»(*)/(*)¦
Заметим, что если функция и>(х) равна постоянной, то
только что определенное умножение совпадает с умноже-
умножением на число, введенным в параграфе 5. -

10. Подстановка 19
§ 10. Подстановка
Пусть о (л:) — фиксированная гладкая "функция на откры-
открытом ^-мерном множестве О, и пусть
Предположим, что значения о(дг) лежат в открытом множе-
множестве О' вещественных чисел у. Подстановка
будет регулярным действием над <р(дг) (при фиксирован-
фиксированной о (л:)). Точнее: мы покажем, что если <ря0>) фундамен-
фундаментальна на О', то <ря(в(д:)) будет фундаментальной на О.
Пусть / — произвольный интервал, лежащий внутри О.
Функция о (ж.) отображает / на интервал /', лежащий
внутри О'. v
Заметим сначала, что если для некоторых гладких функ-
функций Ф„(у) последовательность Ф„(в(д:)) фундаментальна
на 7, то фундаментальной на / будет и последовательность
Ф„(о(д:)). Действительно, из соотношений
Ф(°(х)) ф'(°(х))^а(х) (/=1 q)
находим алгебраической выкладкой
Здесь производные -^г-Ф„ (о (д:)) образуют в силу 3.2
фундаментальные последовательности. Произведения этих
производных на гладкие функции -sr— в(дг) также являются
фундаментальными последовательностями, поскольку умноже-
умножение на гладкую функцию является регулярным действием.
Таким образом, числитель в формуле B) является фундамен-
фундаментальной последовательностью, как сумма фундаментальных
последовательностей. Наконец, вся дробь в правой части
является фундаментальной последовательностью, поскольку

20 § 11. Произведение обобщенных функций
эту дробь можно представить как произведение числителя
на величину, обратную знаменателю.
По индукции получаем, что если Ф„(о(д:)) фундамен-
фундаментальна, то и Ф^'(<з(л:)) при любом целом неотрицатель-
неотрицательном k фундаментальна.
Пусть теперь Ф„(у)— последовательность гладких функ-
функций, такая, что для некоторого целого k ]> 0
ФпЧу) = <?п(.У) и Ф„(У)^ на /'.
Тогда Ф„(в(лг))г? на /. Таким образом, Ф„(о(д:)) яв-
является фундаментальной последовательностью, а значит фунда-
фундаментальна и Ф^'(о(лг)), т. е. ср„(о(лг)). Поскольку интер-
интервал / произволен, последовательность ср„(о(д:)) фундамен-
фундаментальна в силу 3.4 на всем множестве О. Итак, мы доказали,
что подстановка данной гладкой функции °(х), удовлетво-
удовлетворяющей условию A), является регулярным действием.
Согласно общему методу, мы определяем подстановку функ-
функции а(х) в произвольную обобщенную функцию /(y)=[tpn(y)].
заданную на О', посредством формулы
/(о (*)) = [?„ (о (*))]•
Обобщенная функция /(у) одномерна, т. е. определена на
одномерном множестве; обобщенная функция f(a(x)) ^-мерна,
т. е. определена на <7-мерном множестве.
В параграфе 25 мы рассмотрим также более общий
случай, когда внешняя обобщенная функция /(у) р-мерна,
§11. Произведение обобщенных функций
с разделенными переменными
Произведение двух гладких функций ср (st e.),
jj, .... t\T) можно записать в виде ср(лг)ф(у), где х =
= ($1. • • •. ?„). У = (Tli fir)- Если <Р С*) определена на
открытом подмножестве О' ^-мерного пространства, а ф(у) -
на открытом подмножестве О" r-мерного пространства,
то произведение <р (#)<]> (у) определено на открытом мно-
множестве О всех точек (?, Ьд, ifo, .... r\r), таких, что
(^ \ч) лежит в О', а (^ ч\т) — в О",

§ 12. Свертка с гладкой функцией 21
Очевидно, что умножение ср(лг) и ф(у) является регу-
регулярным действием над двумя функциями ср(лг) и <]> (у). Поэтому
оно распространяется на произвольные обобщенные функции
/(*) = [<Рп (*)] и йг(у) = [фп(УI посредством формулы
Обобщенные функции f(x) и g (у) определены, соответ-
соответственно, на О' и О"; -их произведение определено на О.
Обобщенная функция f{x) 9-мерна, обобщенная функция g (у)
r-мерна, а их произведение (9-|-г)-мерно.
§ 12. Свертка с гладкой функцией, обращающейся в нуль
вне некоторого интервала
Покажем сначала, что -существуют гладкие функции,
обращающиеся в нуль вне данного интервала /, но не обра-
обращающиеся в -нуль всюду.
ФУНКЦИЯ . ¦ .;. , v ,
0 при $ < О,
-^ при $>0 '
является гладкой. Она обращается в нуль при $ -^ 0 и, поло-
-жительна пр» .5 > 0.
Произведение
также является гладким. Оно положительно при a < $ < C и
обращается в нуль вне этого интервала.
Для произвольного интервала /
а<х<Ь, с = (о,. .... «,). * = (Pi Рв).
мы определим функцию 2/(Лг) следующей формулой:
= jQ[ в FУ — ay) Q (ру ^- 5у).
Эта функция обладает требуемыми свойствами: она гладкая,
положительная на / и обращается в нуль вне интервала 7.
•Пусть У(х) непрерывная или локально интегрируемая
функция на открытом множестве О, и пусть ш(х) непре-
непрерывна всюду и обращается в нуль вне -интервала а <
3 Зак. 689,

22 § №¦ Свертка с гладкой функцией
тогда под сверткой f(x) и <о(х) мы понимаем функцию
ь
A) /(*)*<¦>(*) =//(*-0
определенную на открытом множестве О', состоящем из всех
таких точек х', что интервал
х' — b < х < х' — а
содержится внутри О. Свертку A) можно записать в виде
оо оо
Г f(x — t)w(t)dt или J f(t)a>(x — t)dtr
— ОО ' — ОО '
если условиться считать, что произведение равно нулю, когда
один из его сомножителей равен нулю, независимо' от того,
-определен ли второй сомножитель или нет.
Свертка непрерывной или локально интегрируемой функ-
функции f(x) с гладкой функцией ш(х) (обращающейся в нуль
вне интервала а < х < Ь) является гладкой функцией и
B) (/(*) * ш (х).)(т) = /(*) * ш(т) (*)
для любого порядка т.
Если и f(x) гладкая'), то для любого порядка т будет
справедлива также формула
C)
Если fn(x)^?f(x) на интервале а0 — b<x<.'b0 — а, тр
D)
на интервале а0 < х < Ьо. Отсюда следует, что
12.1. Если <?^(х) — фундаментальна на О, a <d(jc) —
гладкая, то <р„ (х) -х- ш (х) сходится почти равномерно
на О'.
') Функция f(x) должна быть не просто гладкой на О, а глад-
гладкой на О и обращающейся вместе со всемн производными в нуль
вне О, ибо при наличнн скачков у. f(x) или у ее производных
на границе О вид формулы нзменнтся. Читателю полезно разобрать,
как будет дифференцироваться свертка функции f(x)=\ при
<лс'<1, я =0,'при jc>1 нлг<0 с гладкой функцией <»(х),
• обращающейся & нуль вне некоторого интервала. — Прим. перев.

§ 13. Выкладки с обобщенными функциями 23
- Действительно, пусть /': а0 < х < Ьо — некоторый интер-
интервал, лежащий внутри О'; тогда интервал I: aa — b<x< bo—a,
лежит внутри О. Поскольку у„(х) фундаментальна на О,
имеем . .
) на Л - :
отсюда. в . силу. C), B) и D) получаем
<р„ (лг) * со (х) =- (Ф„ (х) * со (лг) )(*> = Ф.я (х) * шда (лг) на /'.
Из предложений 12.1 й 3.1 следует, что свертка с глад.-
кой функцией, обращающейся в нуль вне некоторого интер-
интервала, является регулярным действием.
Согласно общему методу, мы определим свертку произ-
произвольной обобщенной функции / (*) = {<ря (*)] с гладкой
функцией ш (х), обращающейся в нуль вне интервала /,
посредствоу формулы
При случае мы будем вместо /(*)-* ш (*) писать также
§ |3. Выкладки с обобщенными функциями
При выкладках бывают полезны разнообразные тожде-
тождества, например
(лг) + ф (х)) i= Х<р (х) + Ц (лг),
A) (• f'^ ('/У
.. ¦ («р (»
Все эти формулы, а, также многие другие можно распро-
распространить на обобщенные функции. Нам не нужно проверять
.справедливость этого распространения для каждой формулы
отдельно. Мы дадим простое правило, которое позволяет
укааать обширный, класс формул, справедливых как для
гладких функций, так и для обобщенных функций, Это

24 § 13. Выкладки с обобщенными функциями .
правило основано на понятии суперпозиции действий. Напри»
мер, выражение X (/(jc) + ? С*)') является суперпозицией
сложения и умножения (на число X).
Вообще, под суперпозицией действий мы понимаем выра-
выражение
А (В (ср (*), <]> (дг), .-..). С (х (*). 6 (*), ...),. ;;).
где А, В, С, ... — данные действия. В каждом из Пяти
примеров, приведенных в начале этого параграфа, имеет
место равенство между суперпозициями действий при условии,
что в рассмотрении участвует тождественное действие
S ОК*.) ) = ?(¦*)¦ -Это тождественное действие тривиально
является регулярным действием. В примерах A) фигурируют
суперпозиции только регулярных действий. Из определения
регулярных действий непосредственно следует, что регулярное
действие над регулярными действиями в свою очередь
является регулярным действием.
Смысл формул A) состоит в том, что левая и правая
части каждого равенства'представляют" одно и то же дей-
действие. Все эти действия регулярны, а потому их распро-
распространения на обобщенные функции — однозначны. Отсюда
вытекает, что те же самые формулы будут справедливы,
если мы заменим гладкие функции ср (х), <|» (дг), ... на обоб-
обобщенные функции.
Точно также суперпозиции второго порядка, т. е. супер-
суперпозиции суперпозиций регулярных действий, являются регу-
регулярными действиями; тем же свойством обладают и супер-
суперпозиции произвольного конечного порядка, т. е. любые
конечные суперпозиции регулярных действий. Таким образом,
выполняется следующее общее правило;
13.1. Если равенство, обе части которого являются
конечными суперпозициями регулярных действий, выпол-
выполняется для гладких функций, то оно выполняется также
и для произвольных обобщенных функций.
Это правило представляет не только теоретический,
но, прежде всего, также и практический интерес, ибо оно
позволяет производить выкладки с обобщенными функциями
в точности так же, как с гладкими функциями, при условии,
что все действия, встречающиеся в этих выкладках, регу-
регулярны. - ¦ •

§ 14. Дельта-последовательности и дельта-функция 25
§ 14. Дельта-последовательности и дельта-функция
Пусть й;(дг) — функция, определенная в параграфе 12;
тогда функция
где
будет гладкой, положительной на / и обращающейся в нуль
вне /. Кроме того, для нее
—00
a>l(x)dx=
Пусть ая — положительные числа, стремящиеся к нулю.
Существуют такие гладкие функции 8„(дг), неотрицательные
при |дг|<ая и обращающиеся в нуль в остальной части
пространства, что
Существование подобных последовательностей обеспечи-
обеспечивается предыдущим примером. Любая последовательность 8„ (х)
с указанными свойствами будет называться Ь-последова-
тельностью.
Всякая ^последовательность фундаментальна. В самом
деле, последовательность
X
сходится равномерно всюду и &$\х) = Ъп(х).
Все 8-последовательности эквивалентны, ибо перемежаю-
перемежающаяся последовательность, образованная из двух 8-последова-
тельностей, в свою очередь является S-последовательностью.
Таким образом, 8-последовательности определяют обоб-
обобщенную функцию

28 § 14. Дельта-последовательности и дельта-функция
эта функция называется <7-мерной Ъ-функцией Дирака. Под
размерностью 8 (л:) понимается размерность переменного х.
Если ш (дг) — гладкай функция, то о> (л:) 8Я (л;) будет фун-
фундаментальной последовательностью, Эквивалентной ш @) 8Я (л;).
В самом деле, пусть е > 0, тогда существует такой номер п$,
что для п > п0 справедливо неравенство
|ш(дг) —ш@)| <е при — <х„/<лг<а„/.
Отсюда
<
I —
это неравенство показывает, что интеграл в его левой части
равномерно сходится к нулю. Значит, щ,(х)Ьп(х)—ш@)8я(лг)~0,
и, следовательно,
Поскольку левая и правая части являются фундаменталь-
фундаментальными последовательностями, определяющими, соответственно,
произведения ш(д:)8(д:) и о)@)8(дг), мы имеем формулу .
14.1. Пусть 8П (дг) — дельта-последовательность, а
f(x) — непрерывная функция на О, тогда последователь-
последовательность гладких функций
сходится к f(x) почти равномерно на О.
Действительно, пусть/.— произвольный интервал, лежащий
внутри О. Для любого положительного числа е существует
такой номер п0, что при п > м0
\f{x-t) — /(дг)| <е для х из / й — a.nl <t<a.nl.
Отсюда
оо . . . .
f\f(x~t)-f(x)\bn(t)dt<e
при п > п0 и х из /.
Тем самым доказано, что / (л:) -х- 8Д (х) сходится к f(x)
почти равномерно т 0-, ¦

§ 15. Обобщенные функции на подмножествах 27
Полезно следующее обобщение предложения 14.1.
14.2. Пусть 8л(дг)— дельта-последовательность, а
/я(дг) — последовательность непрерывных функций, схо-
сходящаяся к f (дг) почти равномерно на О, тогда последо-
последовательность гладких функций
/„(*)**»(*)
сходится к f (-х) почти равномерно на О.
Для доказательства заметим, что
/„ (дг) * Зя (дг) = / (х) * 8Я (дг) + (/„ (х) _ / (*)) * а„ (х).
где первый член в правой части в силу 14.1 сходится к /(дг)
почти равномерно. Таким образом, достаточно доказать, что
¦последовательность s
?»(*) = (/»(*)-/(*))*&».(*)
сходится почти равномерно к нулю. Действительно, пусть / —
произвольный интервал, лежащий внутри О, и пусть е—любое
положительное число. Тогда для достаточно больших а
имеем
|ср„(дг)| <?*§„(*) = ? на /.
Мы завершим этот параграф простым замечанием о произ-
произведении дельта-функций. Произведение
одномерных 8-последовательностей является, очевидно, ^-мер-
ной ?-последовательностью. Отсюда, согласно определению
произведения обобщенных функций с разделенными пере-
переменными,..мы получаем , -
iE,) ... 8E,), где х = E, у.
§ 15. Обобщенные функции на подмножествах
Всякую обобщенную функцию / (дг), заданную на открытом
множестве О, можно при необходимости рассматривать как
обобщенную функцию на любом открытом подмножестве О'
множества О, поскольку функции любой фундаментальной
последовательности, представляющей / (дг), можно рассматри-
рассматривать как функции на этом подмножестве. Таким образом,

28 § 16. Обобщение понятий Непрерывной функции
всякая обобщенная функция, определенная на О, определена
также н на любом открытом подмножестве О' множества О.
Когда мы пишем
/(*) = *(*) на О',
мы всегда подразумеваем, что открытое множество О'
содержится в каждом из открытых множеств, на которых
определены обобщенные функции /(дг) и g(x), и что /(*)
и g(x), рассматриваемые как обобщенные функции на О',
равны.
Когда же мы пишем просто равенство
мы, если не добавлены специальные пояснения, будем под-
подразумевать, что обобщенные функции, стоящие в обеих
частях, равны на пересечении открытых множеств, на которых
они определены, и что это пересечение не пусто.
15.1. Если f (x) = g(x) на всяком интервале, лежащем
внутри О, то f(x) = g(x) на О.
В самом деле, пусть /(дг) = [ср„(*)] и g(x)= [ф„(*I-
Равенство f(x) = g(x) на каждом интервале внутри О
означает, что последовательностиу„(х) и $п(х) удовлетворяют
условиям (Е^ и (Е2) на всяком интервале, лежащем внутри
интервала, лежащего внутри О, а значит, они удовлетворяет
этим условиям и на всяком интервале, просто лежащем
внутри О. Таким образом, эти последовательности эквива-
эквивалентны на О.
§ 16. Обобщенная функция как обобщение понятия
непрерывной функции
Всякую непрерывную функцию можно рассматривать как
обобщенную. При таком подходе теория обобщенных функций
охватывает Классический Анализ.
Для того чтобы отождествить непрерывные функции
с обобщенными, нам нужны две подготовительные леммы.
16.1. Если на интервале а < х < Ь, срл(дг)^$О и
Это утверждение справедливо при k = 0. Будем доказывать
его по индукции. Предположим, что оно справедливо для

§ 16. Обобщение понятия непрерывной фуЛкции 29
некоторого порядка k и что, срл(дг)з$О, сря J (дг) z> / (х)
на интервале а < х < Ь. Тогда
на интервале а+|т||еу<х<?—Ilk;- Ha основе индук-
индукционного предположения последний интеграл обращается
в нуль. В силу произвольности т] мы получаем /(дг) = О.
16.2. Почти равномерно сходящиеся последователь-
последовательности гладких функций эквивалентны т. и т. т., когда
они сходятся к одной и той же непрерывной функции.
В самом деле, если последовательности <?п(х) и <]>„(.*:)
сходятся почти равномерно к f{x), то они удовлетворяют
условиям (Ej) и (Е2) с k = 0. Таким образом, срл (лг)'— ф„ (л:).
Обратно, если ср„ (дг) ~ фя (дг), то для любого интервала /,
лежащего внутри О, существуют гладкие функции Фя (дг)
и ^п(х) и порядок k, которые удовлетворяют условиям (Ег)
и (Е2). А тогда Ф„ (дг) — Wn (дг) =t 0 на /. В силу 16.1
ср„(дг) — фя(дг)^О на /. Таким образом, пределы последо-
последовательностей ср„(х) и ф„(дг) совпадают.
Теперь мы уже можем установить соответствие между
непрерывными функциями и некоторыми обобщенными.
Согласно 14.1, для любой непрерывной функции /(дг)
существует , последовательность гладких функций ср„ (дг),
Которая сходится к f (х) почти равномерно. Согласно 3.1,
эта последовательность фундаментальна. Таким образом,
каждой..непрерывной функции /(х) соответствует обобщенная
функция [срл(дг)]. В силу 16.2 это соответствие взаимно
однозначно.
В дальнейшем мы всегда будем отождествлять непрерывную
функцию f{x) с соответствующей обобщенной функцией
[?„(*)]•
В частности, используя 14.1, мы можем написать
A) /(*) = [/<*) *»„(*)]
для любой непрерывной функции /(дг) и произвольно*}
8-посдедовательности 8л(дг).

30 § 17. Действия над непрерывными функциями
. Гладкие функции, разумеется, также являются обобщен-
обобщенными функциями; для них мы имеем более простое тождество
ср(дг)=[ср(дг)].
В частности, нулевая обобщенная функция, т. е. обоб-
обобщенная функция, отождествляемая с функцией, равной нулю
всюду, будет обозначаться через 0.
Благодаря введенному нами отождествлению понятие
обобщенной функции является обобщением понятия непре-
непрерывной функции. Этим оправдывается использование для
обобщенных функций тех же обозначений /(дг), g (дг) ,
что и для функций.
16.3. Свертка f (дг) # со (дг) обобщенной функции f(x)
с гладкой функцией со(дг) является гладкой функцией.
В самом деле, пусть / (л?) ==1(Рл (¦*)]• Согласно 12.1,
последовательность <р„ (дг) #• ш (дг) сходится почти равномерно
к некоторой непрерывной функции g(x). Кроме того, для
любого порядка т, последовательность- (ср„ (дг) ¦* со (дг) )<т)
также сходится почти равномерно, что вытекает из 12.1
и формулы B) параграфа 12. По классической теореме g(x)
имеет непрерывные первые частные производные, именно
предел (ср„ (дг) * со (дг))' & является частной производной g (дг)
по у-му аргументу. То же самое рассуждение показывает,
что g\x) имеет вторые производные, третьи производные
и т. д. Таким образом, g(x) является гладкой функцией.
С другой стороны, / (дг) * со (дг) = [ср„ (дг) # со (д:)] = g (дг),
согласно определению свертки и отождествлению непре-
непрерывных функций с обобщенными.
Теперь мы можем написать тождество
<2>
для произвольной гладкой функции ср(дг). Действительно,
заменяя в A) /(дг) на ср(дг), получим
ср(дг) = [ср(дг) *Ьп (*)] = ср(дг)* [8я(дг)] = ср(дг)*8(дг).
§ 17. Действия над непрерывными функциями
В параграфах 5—12 мы определили многочисленные
-действия над обобщенными функциями. Но ведь непрерывные
функции являются обобщенными, а4 стало быть, действия,

§ 17. Действия над непрерывными функциями 81
определенные ранее для обобщенных функций, определены
также для непрерывных функций. Однако эти действия
определены для непрерывных функций и непосредственно.
Возникает вопрос о совместности этих двух определений.
Пока мы не докажем совместность обычных и обобщенных
действий '), мы будем использовать для них в этом параграфе
различные символы. Если А — обычное действие, то соот-
соответствующее действие в смысле обобщенных функций обо-
значается А. Эти двойные обозначения не были нужны, пока
не было установлено отождествление непрерывных функций
с обобщенными, поскольку обычные действия выполнялись
над непрерывными функциями, а обобщенные действия — над
обобщенными; при этом не могло возникнуть никакое
недоразумение.
17.1. Если Л(ср, ф, ...) — регулярное действие, то
A) Л(<р, ф, ...) = Л(ср, ф, ...)
для гладких функций ср, ф
Действительно, благодаря отождествлению мы можем
писать ср=[ср], ф=[ф], ... и Л(ср, ф, .. .) = [Л(ср, ф, ...)].
С другой стороны, по определению действий в смысле
обобщенных функций, имеем А (ср, ф, ...) —[.<4(ср, ф, ...)],
что и доказывает A).
Пусть дано регулярное действие А; мы скажем, что
непрерывные функции /, g удовлетворяют условию
непрерывности по отношению к А, если A(f, g, ...)
определено для этих функций непосредственно, и, кроме
того, существуют последовательности гладких функций
сря, фя сходящиеся почти равномерно к f,g,...,
соответственно такие, что А(уп, фя, . ..) сходится почти
равномерно к A(J, g, ...).
17.2. Если непрерывные функции /, g, ... удовле-
удовлетворяют условию непрерывности по отношению к регу-
регулярному действию А, то
B) . .А(/. g. ...)= А(/. 8. •••)•
') Английский термин .distributional* мы переводим либо как
.обобщенный", либо описательно: .в смысле обобщенных функ-
функций*, употребляя эти два выражения как синонимы. — Прим.
перев.

32 § 17. Действия над непрерывными функциями
Действительно, в силу отождествления мы имеем
A(J,g, ¦ ¦ •) = М(сРл> Фя- •••)]• С другой стороны,"по опреде-
определению действий в смысле обобщенных функций, A(J, g, .. .) =
= [Л(срп, фл, ...I- чт0 и доказывает формулу B).
Все непрерывные функции удовлетворяют условию непре-
непрерывности по отношению ко всем введенным до сих пор
действиям, за исключением дифференцирования. Следова-
Следовательно, эти действия совпадают с обычными действиями над
непрерывными функциями. Кроме того, все выкладки
с непрерывными функциями, за исключением дифферента
рования, можно производить обычным образом.
Легко видеть, что всякая функция /(#), которая непре-
рывна вместе со своей обычной производной р }' (х), удо-
удовлетворяет условию непрерывности по отношению к диф-
дифференцированию (по ij). Стало быть, для таких функций
обычная производная р >'(#) совпадает с производной
в смысле обобщенных функций'). Обоими обозначениями
') Удобно обозначать дифференцирование в смысле обобщенных
функций следующим образом: /(/>(х), pi' (х), ,е „ f(x), ...
и т. п., в отличие от обычного дифференцирования /' (х), pi' (x)
Так, для функции Хевисайда Н(х) имеем Н' (х) = 0, //<'> (х) = В (х).
Известная формула дифференцирования функции f(x) с кусочно
непрерывной производной /' (х) (см. И. М. Гельфанд и
Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, Физмат-
гиз, М., 1959, стр. 38) запишется при этом так:
/(')W=/'W + 2?(*-^),
ft
где hk — скачок функции f(x) в точке хк. Для преобразования
оо
Лапласа Г(р) = Г f(t)e~pt dt в этой символике имеет место фор-
о
мула /{/)(р) — р/(р) н т. п. В общем случае будет справедлив аналот
формулы C) § 11: (/(*) * со (*))<m> =/m> (л:)*ш (*), но/"" (х) ф/""> (х)
при наличии скачков у f{x) или ее производных на границе О.
Формула пункта 17.4 принимает вид/(д:)=[ф5!*)(д:)]=[Фп(^)]<*>=:
= F<k) (х). — Прим. перек

§ 17. Действия над непрерывными функциями 33
(е-) д
у1 (х) и -~- / {х) можно пользоваться как эквивалентными»
По индукции мы получаем более общее предложение:
17.3. Пусть f{x) — непрерывная функция, пусть ее
обычная производная
C) &
непрерывна и пусть все промежуточные производные,
встречающиеся при указанной последовательности диф-
дифференцирований, также непрерывны, тогда производ-
производная C) совпадает с производной того же порядка
в' смысле обобщенных функций.
Из 8.1 следует, что всякая непрерывная функция имеет
обобщенные производные всех порядков. Если такая произ-
производная непрерывна и если все производные меньших порядков
также непрерывны, то она совпадает с обычной производной.
Может, однако, случиться, что некоторая обобщенная произ-
производная непрерывной функции f(x) является непрерывной
функцией, но обычная производная того же порядка не суще-
существует вообще, в какой бы последовательности мы не произ?
водили дифференцирования ., .
Пусть, например, gfi) — непрерывная функция одного
вещественного переменного, не дифференцируемая в обычном
смысле. Тогда функция
не имеет обычных производных ,, ,, / (х) и ',,. ,, fix).
Соответствующие обобщенные производные равны, поскольку
обобщенные производные не зависят от расположения сим-
символов ~м~- Чтобы найти интересующую нас обобщенную
производную, заметим, что -ж~ ~5f- g(?i) = t) B обычном,
а значит, и в обобщенном смысле. Аналогично имеем
-gg— -^|- g (?2)^=0 — в обобщенном смысле. Поскольку после-
последовательность дифференцирований несущественна, мы имеем
также -ж~~аГ~ ё(?j)?= Q ~~ ? .обобщенном смысле. Отсюда
НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ !

34 $ 17. Действия над непрерывными функциями
мы получаем, что обобщенная производная ,, ¦..¦ f (х) = 0.
Oil "*2
Интересно отметить, что ни -^=- / (л:), ни -д.- / (л:) не являются
функциями. Этот ' пример показывает, что существуют,
обобщенные функции, которые ие являются обычными
функциями, но имеют в качесуре -некоторых производный
непрерывные функции.
.-• 17.4. Всякая обобщенная функция, заданная нта О,
на всяком интервале I, лежащем внутри О, является
производной некоторого порядка от непрерывной функции.
В самом деле, пусть f(x) = [yn(x)]. Согласно {Fj) и (F2),.
существуют порядок k, гладкие функции Ф„(х) и непре-
непрерывная функция F(x), такие, что на /
Of (*) = ?„(*) и <bn(x)z?F{X).
Отсюда F.(x) = [Фл (х)] на / и
1(*) '!1(*)() на /,.
Теперь мы можем доказать следующее обобщение фор-
формулы A) § 16: -
- 17.5. Пусть Ьп(х) —дельта-последовательность, а
f (х) — произвольная обобщенная функция, тогда
D) /(*)=1/(*)*8я ;(*)]¦
В самом деле, для всякого интервала /, лежащего внутри
множества О, на котором, определена /(*-), существуют
порядок k и непрерывная функция F (#), такие^ что F(k) (*)==
= f(x) на /..По. формуле. (Г).'§. 16 имеем . ...
¦ F(x) = [F(x)*bn(;X)] на /. .._-_.,.....•
откуда, дифференцируя „k раз*, мы получим D) на7. В силу
15.1 формула D) выполняется на всем множестве О.
Поскольку 0 = <р (х) * 0 для любой гладкой функции ср (x)f
из формулы B) § 16 следует,, что. В,(л;), рассматриваемая
на всем пространстве, не равна нулевой обобщенной функ-
функции. Заметим, с другой стороны, что
; ¦ . 6(jc) = O при х фО .'"¦¦-'

§ 18. Локально интегрируемые функции 35
(т. е. на открытом множестве всех х Ф 0), поскольку любая
8-последовательность Ъп(х) сходится почти равномерно к О
при х Ф 0. . -
§ 18. Локально интегрируемые функции
Мы видели в параграфе 17, что обобщенные функции
охватывают класс непрерывных функций. Теперь мы пока-
покажем, что они охватывают также и более широкий класс
функций, а именно — все локально интегрируемые функции.
Читатель, не знакомый с теорией интеграла Лебега, может
опустить параграфы 18 и 19, в которых мы имеем дело
с такими функциями.
° Напомним, что функция / (х), определенная на О, назы-
называется локально интегрируемой в О т. и т. т., когда инте-
ь
грал Г f(f)dt существует для всякого интервала а < х < Ь,
а
лежащего внутри О.
Заметим сначала, что если / (х) — непрерывная функция
на интервале /, то на /
A) ( ff<t)dt\ =/(*) (*9 лежит в I),
где штрих означает дифференцирование порядка 11 Если мы
предполагаем не непрерывность / (jc), а только ее интегри-
х
руемость, то интеграл I f(t)dt снова будет непрерывной
.*«
функцией. В этом случае равенство A) выполняется почти
всюду, причем производная в левой части определяется как
обычный предел (при а->0, а > 0) выражения
дг+Ддг ' - •
B) /«W = i
где Дд: = (а, .... а) = а/, а -д- означает—. Левую часть
равенства A) можно рассматривать как обобщенную функ.-

36 § 18. Локально интегрируемые функции
цию, которая является обобщенной производной порядка /
х ¦ ¦ ¦
от непрерывной функции Г f(t)dt. Легко проверить, чтр-
эта обобщенная функция не зависит от выбора х0 в /.
Это замечание подсказывает нам следующее отождествле-
отождествление: обобщенная функция считается равной функции f(x),
локально интегрируемой в О т. и т.. т., когда для любого
интервала /, лежащего внутри О, эта обобщенная функция.
является обобщенной производной I Г / (t) dt I (x0 — из /).
Из предложения 15.1 следует, что эта обобщенная функ-
функция, если только она существует, определяется локально-
интегрируемой функцией / (х) однозначно. Мы покажем,
что она всегда,существует, ибо требуемым свойством обла-
обладает обобщенная функция
C) [/(*)* «,, (*)Г.
где 8П (х) — произвольная 8-последовательность.
В самом деле, пусть /—любой' интервал, лежащий
внутри О, и пусть
х
f (хо-из/).
В силу 14.1 последовательность F (х) *8Л (х) сходится к F (х)
почти равномерно нд /. Отсюда, согласно отождествлению
непрерывных функций с обобщенными,
[F(x)*bn(x)] = F(x) на /,
и, следовательно, [F' (х) * 8Л (х)] = F/ (х), т. е.
'(x) на /,
Таким образом, мы доказали, что всякая локально инте-
интегрируемая функция f (х) может быть отождествлена с обоб-
обобщенной ..функцией [/(*)#8П (*)!•••¦ '
Если /(лг)—непрерывная функция, то / (jc) # 8Л (х) схо-
сходится, согласно 14.1, к /(х) почти равномерно; таким обра-
образом, отождествление локально интегрируемых функций сов-
совпадает В этом случае с отождествлением параграфа 16,

§ 19. Действия.над локально интегрируемыми функциями 37
Отождествление локально интегрируемых функций с обоб-
обобщенными делает необходимым следующее определение:
локально интегрируемые функции / (х) и g (x) равны т.
и т. т., когда они равны как обобщенные функции, т. е. т.
ь ь
и т. т., когда j f(t)dt=. I g(t)dt для любого интервала
а а
Q<t<b внутри О, т. е. т. и т. т., когда f{x) — g(x)
почти всюду.
§19. Действия над локально интегрируемыми
функциями
Как и в случае непрерывных функций, возникает вопрос,
будут ли действия в смысле обобщенных функций над ло-
локально интегрируемыми функциями совпадать с действиями,
определенными непосредственно.
Мы будем говорить, что последовательность <рл(х) глад-
гладких функций L-сходиргся к локально. интегрируемой функ-
функции / (х), если она сходится к / (х) почти всюду на О и,
кроме того, если на любом интервале /, лежащем внутри О,
*¦-.'. х .'
A) • fbWdtzZffifldt (в —из/).
' ' а а
Если <?п(х) Л-сходится к f(x), то уп(х) фундаментальна
и [<р„ (*)] = / (*)• В самом деле, из A) следует, что
Г срл (t) dt \= Г / (t) dt. Отсюда, выполняя дифференци-
. \ а г/
. а г/
рование порядка /, получаем [(ря (*)] =/jjjc) на всяком ин-
интервале /, лежащем внутри О, и, следовательно, на всем
множестве О.
Пусть А — регулярное действие; мы скажем, что локально
интегрируемые функции /, g, ... удовлетворяют условию
интегрируемости по отношению к А, если действие
¦^(/" S> ...) определено для этих функций и, кроме того,
если существуют последовательности гладких функций <рл,"
фл, ... L-сходящиёся соответственно к /,tlg, ... и такие,
что А(уп, <}у .. .)¦ L-сходится к A(f, g, ,'..).

38 § 19. Действия над локально интегрируемыми функциями
, Пусть А, как и в параграфе 17, обозначает действие
в смысле обобщенных функций, соответствующее действию А.
19.1. Если локально интегрируемые функции /, g,....
удовлетворяют условию интегрируемости по отношению
к регулярному действию А, то
B) A(J, g,...)=A(f. g, ...).
Действительно, для любого интервала /, лежащего
внутри О, имеем .
g, .. .)dt (a — из ¦/).
a a ¦ ¦
Откуда следует, что на /
/л(ср„, фд, ...)dt \ = $A<J, g, ...)dt
La J a
и в силу принципа отождествления
g, ...) на /.
С другой стороны, по определению обобщенных действий,
И(?„. ф„. ...I = A(f. g.....).
Стало быть, равенство \2) выполняется на /. Поскольку,
интервал / произволен, равенство B) выполняется на О.
Все локально интегрируемые функции всегда удовлетво-
удовлетворяют условию интегрируемости по отношению ко всём вве-.
денным нами действиям, за исключением дифференцирования.
(Доказательства этих фактов не имеют ничего общего с тео-
теорией обобщенных функций, и нам нет нужды останавли-
останавливаться на подробностях.) Следовательно, все выкладки
с локально интегрируемыми функциями, за исключением
дифференцирования, можно производить обычным образом.
Может случиться, что для локально интегрируемой функ-
функции существуют как обычная производная, так й обобщен-
обобщенная производная, но что эти производные различны. Напри-
Например, обычная производная функции Хевнсайда одного веще-
вещественного переменного
0 при х < О,
1 при *>0

§ 20. Последовательности обобщённых функций 39
является нулевой обобщенной функцией, а обобщенная произ-
производная от Н(х) равна одномерной дельта-функции Дирака Ъ(х);
действительно, пусть Ьп(х)^-любая 8-последовательность,
X
тогда \bn(t)dt A-сходится к Н(х) и, значит,
—оо
Ь(х)=[Ьп(хУ]=\ fbn(t)dt\ =Н'(х).
В Теории Обобщенных Функций обычная производная
играет скромную роль. Поэтому дифференцирование функ-
функций,, если нет специальной оговорки, всегда будет пони-
пониматься в обобщенном смысле.
Единственными локально интегрируемыми функциями / (X)
одного вещественного переменного, которые удовлетворяют
условию интегрируемости по отношению к дифференциро-
дифференцированию порядка 1, являются абсолютно непрерывные функ-
функции, т. е. функции с локально интегрируемой производной
/' (х), такой, что на каждом интервале /, лежащем внутри О,
X
C) f(x)-f(xo)=ff'(t)dt ix0-ml).
Таким образом, справедливо следующее утверждение:
19.2. Если f(x) — абсолютно непрерывная функция,
то ее обобщенная производная f'(x) совпадает с ее
обычной производной.
Диалогичные условия можно сформулировать для произ-
производных высшего порядка, однако мы не будем входить здесь
в подробности. ¦ :-
§ 20. Последовательности обобщенных функций
Мы говорим, что последовательность обобщенных функ-
функций /„(*) сходится на О к обобщенной функции /(х), и
пишем
fn(x)-*f(x) на О или \imfn(x) = f(x) иа О
. . . Я-*оо

40 § 20. Последовательности обобщенных функций
т. и т. т., когда обобщенная функция /(л:) определена на -0г
и для любого интервала /, лежащего внутри О, существуют
порядок k и непрерывные функции F{x) и Fn(x), такие;
что на /
\x) fn(x)
FW (*) = f (x). и Fa(x)=ZF(x). ¦:"
Согласно этому определению, предельная- Обобщенная
функция f(x) определена на всем множестве О, но это не
обязательно, имеет место для обобщенных функций fn(x)
(см.. параграф 2).
Полезно заметить, что порядок k в формулах (I) можно'
при необходимости заменить любым порядком l^-ft. Й
ствительно, если условия A) выполнены, то
ЯР(*) — /„(¦*) пРи п>п0, F{l)(x) = f(x) и Fn
где
Fn (х) = J Fn \t\dfi-*. F (х) = f F(t) dt1-* (*0 - из I),
Предел, еели таковой существует, единствен. Для
зательства этого нам нужна следующая вспомогательная
теорема:
20.1. Если непрерывные функции fn(x) сходятся
к f(x) почти равномерно на О и если /j,m)(jc) = {), то
/т)(л:) = 0. ' /
Согласно 14.1, для любого интервала /, лежащего
внутри О, существуют такие гладкие ^функции сргя (лг), что,
*) и ^'W = 0 на /. Л/. ¦•
Пусть гп таково, что | уГп„ (х) — /„ (х) | < — на /. Тогда
<рГя„(*)=?/(*) и, значит, /~(х)'—[?ГиП(х)\~Ш /. Дифферен-
Дифференцируя ,га раз", мы пблучим /(т)<д;) = [ср^(>:)] = 0 на /.
Поскольку интервал / произволен, имеем у (jc) ss 0 на
всем множестве О.
Теперь мы уже можем доказать единственность, предела.
Пусть / — произвольный интервал, лежащий внутри О. Если

§ 20. Последовательности обобщенных функций 41
fn(x) такие обобщенные функции, что /„(¦*)—>¦/(.?) и
fn(x)—>g(x), то существуют, непрерывные функции Fn(x)i
Gn(x), F(x), O(x) и порядки k, I, такие, что Fn(x)^F(x),
6n(x)z$G(x) на / и
Можно считать, что k = t (в противном случае мы могли бы
заменить оба эти порядка третьим, ббльшим). Поскольку
G?„(х)- Оп(х))<*> = 0 и Fn(x)-Gn(х)z$F(x)-G(x),
имеем в силу 20.1 (F (х) — O(jc))(ft)=0, откуда вытекает,
что f(x) = g(x) на /. Поскольку / произволен, предел
единствен. ¦
Непосредственно из определения предела вытекают утвер-
утверждения:
20.2. Если последовательность непрерывных функций
сходится почти равномерно, то она сходится и обоб-
обобщенно к тому же самому пределу.
20.3. Если fn(x)->-f(x), то fr (x)->f(x) для любой
последовательности целых положительных чисел гп,
такой, что гП->со.
20.4. Если fn(x)-+f(x) и gn(x)-+g(x), то переме-
перемежающаяся последовательность
также сходится к f (х). '
20(б. Если fn(x)->f(x), то \fn(х)->X/(л:) для лю-
любого числа X. Если fn(x)->f(x) и gn(x)—>-g(x), то
/„ (*)+?„(¦*)->/(¦*)+?(¦*)•
¦ 20.6. Если ¦¦/«(*)-»/(*). т0 fT4x)-*fm)(x) для
любого порядка т.
Эта простая теорема дает поразительные преимущества
при выкладках с обобщенными функциями по сравнению
с классическим Дифференциальным Исчислением, в котором
необходимы дополнительные ограничения.
20.7. Если fn(x)-*-f(x) на всяком интервале, лежа-
лежащем внутри О, то fn(x)-±f(x) на всем множестве О.
Для любого интервала /, лежащего внутри О, существует
интервал /', лежащий внутри О и содержащей / внутри себя.

42 # 20. Последовательности обобщенных функций
Поскольку fn(x)—>f(x) на /', существуют порядок к и
непрерывные функции Fn(x), F(x), которые удовлетворяют
условиям A). Но это и доказывает, что fn(x)—>f(x) на О.
Мы говорим, что последовательность обобщенных функ-
функций /п(х) является сходящейся на О т. и т. т., когда для
любого интервала / внутри О существуют порядок к и не-
непрерывные функции Fn(x), такие, что
* на /.
20.8. Если последовательность обобщенных функций
является сходящейся на О, то она сходится к неко-
некоторой обобщенной функции на О.
Предположим, что /„(*) сходится на О. Пусть 8Я (лг)—¦
любая ^-последовательность. Мы докажем, что последова-
последовательность
является фундаментальной на О и что /п(х) сходится
к 1<Р„ С*)]-
В самом деле, пусть /— произвольный интервал, лежа-
лежащий внутри О, и пусть /'—интервал, лежащий внутри О
и содержащий внутри себя /. Существуют порядок к и не-
непрерывные функции Fn(x), F(x), такие, что
(x) и Fn(x)z?F(x) на /'.
В силу 14.2 имеем
B) Fn(x)*bn(x)z?F(x) на I.
Поскольку
(/%(*)*8я(*))т = ?„(*)•
последовательность <?„(х) является фундаментальной на /'.
Поэтому она представляет некоторую обобщенную функ-
функцию / (х) на /'. В силу B) мы можем написать
Р„(х)*Ья(х)^Р{х) и [Fn(x)*bn(x)] = F(x) на Г.
Отсюда, дифференцируя „к раз", получаем
<fn(x)->Fil!)(x) и fyn(x)] = Fm{x) на /. .
Следовательно,
*7(*) на /•

§ 21. Сходимость и регулярные действия 43
Поскольку Fn(x) — Fn(х)*Ьп(х) =t0 на /, дифференцируя
„ft раз", получим
/•(*)-?»(*)-* О на /.
Таким образом, /„ (а:) —>/ (а:) на /. Из 20.7 следует, что
/я (jc) -? / (jc) на О, поскольку интервал / произволен.
§ 21. Сходимость и регулярные действия
Переход к пределу для обобщенных функций коммути-
коммутирует со всеми, введенными до сих пор, регулярными дей-
действиями. Иными словами, справедливы следующие формулы:
lim Х/Я(*) = Х lim/„(*),
Л->ОО Л->ОО
11т (/„ (jc) + gn (х) ) = Нт /„ (jc) + lim gn (л:),
Пт (/„ (х) ~gn (х)) = lim /„ (х) — lim gn (x),
Я->оо Л->оо Л->оо
Я->00 \Л->СО
Ит.ш (jc) /„ (х) = ш (a:) lim /„ (а:),
я->оо л->ое>
lim fn (х) gn (у) = lim /„ (a:) lim gn (у).
Л->СО П->СХ1 Л->ОО
Нт (/„ (jc) * ш (jc) ) = Ит /„ (jc) * ш (*).
Я->со Я->оо
В случае подстановки символ lim fn (о (х) ) можно пони-
Л->оо
мать в двух смыслах: как предел последовательности fn{p{x))
и как результат подстановки у = о (jc) в обобщенную функ-
функцию lim /я (у). Коммутативность перехода к пределу и под-
я->со
становки означает, что значения этого символа в обоих
смыслах совпадают. То же самое имеет место для сдвига.
Проверка коммутативности тривиальна для умножения на
число, сложения, вычитания, сдвига, дифференцирования,
умножения обобщенных функций с разделенными перемен-
переменными и свертки с гладкой функцией, обращающейся в нуль
вне некоторого интервала. Коммутативность перехода к пре-
пределу с умножением на гладкую функцию и с подстановкой
вытекает лз следующих двух более сильных теорем,

44 § 21. Сходимость и регулярные действия
21.1. Если ш'™Цх) для любого порядка m сходится
к и)<ш) (л:) почти равномерно и если fn(x)—>f(x), то
Для всякого интервала /, лежащего внутри О, сущест-
существуют непрерывные функции Fn (x), F (х) и порядок k% такие,
.что Fn(x)z$F(x), F{nk)(x) = fn(x) и Fw(x) = /(х). Таким
образом, ion(x)Fn(x)=tm(x)F(x) на /. Поскольку всякая
равномерно сходящаяся последовательность является обоб-
обобщено сходящейся, мы можем также написать
D) Wlt(x)Fn(x)-+w(x)F(x).
Аналогично имеем
E) иЛ') (*) Fn (х) -^ u)(ej) (x) F (х).
Дифференцируя D), получим
<¦#) (*) Fn (х) + шя (*) Fp) (x)->
-> (o(ej\x) F(x)+io (x) F(ej) (x).
Отсюда в силу E)
По индукции получаем
F) ¦ «"»(*)/„(*)->«"(*)/(*)
на /. Поскольку интервал / произволен, формула F) спра-
справедлива для всего множества О.
Другое доказательство предложения 21.1 вытекает из
формулы
= (xj х?), /» = ([а1 jj,?)). Проверка этой формулы
для гладких функций ш(х) и cp(jc) производится стандартно.
Если ш(х) фиксирована, то обе части этой формулы являются
суперпозициями регулярных действий; таким образом, §та

§ 21. Сходимость и регулярные дейстбиЛ 45
формула остается справедливой, если заменить ср (лг) на любую
обобщенную или непрерывную функцию. В частности имеем
= 2 (-
Ъ-т)
0<m<ft
откуда формула F) следует для любого интервала /, .лежа-
.лежащего внутри О, а значит, и для всего множества О.
21.2. Если о'™Цх) для любого порядка m сходится
к о(ш>(а:) почти равномерно (ап(х) и а{х) обладают свой-
свойством A) параграфа 10) и если /„ (у) -> / (у), то
/„ (<>„(*) )->/(о (*)).
Доказательство этого предложения будет основано на
формуле B) параграфа 10. В этой формуле фигурируют
только регулярные действия, а потому она остается спра-
справедливой, если заменить Фп (у) на любую обобщенную функ-
функцию / (у). Таким образом,
Предположим, что а(х) определена на открытом мно-
множестве О и что значения а(х) лежат в открытом множе-
множестве О' вещественных чисел у. (Предполагается, что обоб-
обобщенная функция f(y) определена на О'.) Пусть /—любой
интервал, лежащий внутри О. Функция о(лг) отображает/
на некоторый интервал /', лежащий внутри О'. Последователь-
Последовательность b(j") (л:) сходится к olm> (л:) равномерно на /. Существует
интервал /", лежащий внутри О' и содержащий внутри себя /'.
Для достаточно больших номеров п значения ап(х) лежат
в /". Для этого интервала /" существуют функции Fn(y), F(у)
и целое неотрицательное число k, такие, что Fn(y)^F(y)
на I", Ff{y) = fn{y), Fw (у) = f (у). Очевидно, что
Fn (on (a:) ) ZX- F (о (л:)) на /. Поскольку равномерно сходящиеся
последовательности являются обобщенно сходящимися, мы
можем также написать
(8) F.n(On(*))->/>(*)) на/.

46 § 22. Обобщенно сходящиеся, последовательности
Применяя формулу G) к обобщенным функциям Fn (оя (х))
и F'(a(x)), получим
K(°n(x))-*F'(o(x)) на /
в силу (8) и 21.1.
Отсюда по индукции получаем
.' ^ (°. (Jf))-»^ («(*)) на /,
т. е. /я (о„ (х) ) -> / (о (л:) ) на /. Отсюда следует теорема 21.2,
поскольку интервал / произволен.
Мы не будем обсуждать здесь вопрос коммутирует ли
переход к пределу с произвольным регулярным действием.
§ 22. Обобщенно сходящиеся последовательности
гладких функций
Сначала мы докажем, что
22.1. Последовательность постоянных функций обоб-
обобщенно сходится т. и т. т., когда она сходится в обычном
смысле.
В самом деле, если постоянные функции сходятся в обыч-
обычном смысле, то они сходятся равномерно, а значит, в силу 20.2
и обобщенно.
Обратно, предположим, что последовательность сп по-'
стоянных функций сходится обобщенно. Тогда эта последо-
последовательность ограничена, ибо если бы имело место противное,
то существовала бы подпоследовательность сг , такая,
что \\сТ сходилась бы в обычном смысле к нулю, и мы
" 1
имели бы 1 = — • сг ->0. Предположим, что сп не схо-
• Ч "
дится в обычном смысле. Тогда существуют две подпосле-
подпоследовательности, которые сходятся к различным пределам,
а тогда эти подпоследовательности обобщенно сходятся к раз-
различным пределам, что противоречит 20.3.
22.2. Последовательность гладких функций <?„(х) яв-
является фундаментальной на О т. и т. т., когда для
всякого интервала I, лежащего внутри О, существуют
непрерывные функции Fn(x) и порядок k, такие, что на I
A) />»>(*) = ,,„(*) и Fn(x)z>.

§ 22. Обобщенно сходящиеся последовательности 47
Действительно, если <р„(:е) фундаментальна, то для каж-
каждого интервала /, лежащего внутри О, существуют гладкие
функции Фя(л0 и порядок k, такие, что на /
B) Фя(*I? и Ф(Р(х)==у„(х).
Поскольку гладкие функции непрерывны, условие теоремы
удовлетворено.
Обратно, предположим, что A) выполняется для всякого
интервала /, лежащего внутри О. Пусть / фиксирован про-
произвольно внутри О, -и пусть /' — интервал, лежащий внутри О
и содержащий / внутри себя. Тогда существуют функции Fn(x)
и порядок k, такие, что соотношения A) выполняются на 1\
Положим
!х \ х
Fn(x)-f<?n(t)dtkUbr(x)-\-f<{
X, / X,
где Xq — точка из /, а Ьп(х) — некоторая дельта-последова-
дельта-последовательность (см. параграф 14). Тогда Фд*'(¦*) = <РП С*) на /для
достаточно больших г, скажем г > рп. Кроме того, согла-
согласно 14.1, мы имеем Фпг (a:) Zj Fn (х) на / при г -> оо.
Пусть F(x) означает предел последовательности Fn(x). По-
Поскольку Fn (x) Z%. F (х), существует последовательность целых
положительных чисел /¦„>/>„. такая, что
на /.
Очевидно, Фд** (а:) = <рп (а:) на /; таким образом, функции Фя (л:)
обладают требуемыми свойствами.
22.3 Последовательность гладких функций обобщенно
сходится к обобщенной функции f(x) т. и т. т., когда
она является фундаментальной для f(x).
Действительно, если срп (*) — фУнДаментальная последова-
последовательность для / (х), то для любого интервала /, лежащего
внутри О, существуют гладкие функции Фп(х), непрерывная
функция F (х) и порядок k, такие, что
C) Фп(хIХ'Р(х), Ф{ЯА) (лг) = сря (дг) ;
и. . . , . ¦.¦¦¦.••
"ml. ..'-¦¦'*

48 § 23. Локально сходящиеся последовательности
Первые два условия- следуют из определения фундамен-
фундаментальных последовательностей. Третье — получается дифферен-
дифференцированием „А раз" равенства F (х) = [Фп (х) ], которое
следует из первого условия. Поскольку гладкие функции
непрерывны, соотношения C) означают, что <р„ С*)—>/{.*)
на О.
Обратно, если <fn(x)-*-f(x) на О, то для любого интер-
интервала /, лежащего внутри О, существуют функции Fa(x),
F(x) и порядок k, такие, что на /
F.(.x)^F(x). fff» (,*) = ?»(*) и Fik)(x)^f(x).
Таким образом, согласно 22.2, последовательность f„(лг) —
фундаментальна. Как мы только что доказали, всякая фунда-
фундаментальная последовательность сходится к обобщенной функ-
функции, которую она представляет. Отсюда вытекает, что /(jc) =
§ 23. Локально сходящиеся последовательности
обобщенных функций
Может случится, что известно следующее свойство по-
последовательности обобщенных функций fn(x)\ для любой
точки jc0 из О существует интервал, лежащий внутри О и
содержащий jc0, на котором /п(х) сходится. Цель этого
параграфа — показать, что в таком случае fn(x) сходится
на О. Мы сформулируем также некоторые важные следствия.
Если непрерывные функции <?i(x) и cp2(je) определены
на множествах Ох и О2, то их произведение ср, (jc) ф2 (х) опре-
определено иа общей части множеств Ох и О2. Более того, мы
условимся считать, что это произведение определено также
и имеет значение 0 во всех точках, в которых по меньшей
мере один из множителей cpj(jc) или %(*) определен и имеет
значение 0.
В следующих двух леммах <о(л:) означает гладкую функ-
функцию, определенную всюду и обращающуюся в нуль вне
интервала /, лежащего внутри данного открытого множе-
множества О; /' — интервал, лежащий внутри О и содержащий /
внутри себя.
Лемма 1. Если срл (jc) — фундаментальная, последо-
последовательность на О, то ш (jc) фл (х) — фундаментальна
всюду. '. -._

? 23. Локально сходящиеся последовательности 49
V Действительна, l существуют гладкие функции Фп(х) и
порядок k такие, что Ф(?}(лг) = сря(jc) и Фп{х)^Х на /'.
Очевидно, что и> (х)Ф„ (л:) ц? всюду. Таким образом, по-
последовательность и>(х)Фп(х) фундаментальна. Аналогично
иг ^ (я) Ф„ (jc) — фундаментальна, а значит, и последователь-
последовательность
о. (jc) Фр] (х) ^ (ш (jc) Ф„ (jc) )(е^ — ш(е^ (jc) Ф„ (*)
фундаментальна всюду. По индукции получаем, что последо-
последовательность ш(х)Ф^\х), т. е. си (jc) ср„ (jc), фундаментальна
всюду.
Если / (л:) = [срл (jc) ] на О, то, согласно лемме 1, обоб-
обобщенная функция ш (л:) / (лг) = [ш (jc) cpn (jc) ] определена всюду.
Лемма 2. Если последовательность обобщенных
функций fп (л:) сходится на О, то Последовательность
1я(х)/п(х) сходится всюду.
о> В самом деле, существуют непрерывные функции Fn(x)
и порядок k, такие, что /71*)(-"с) = /л(*) и Fn(x)Z%. на'/'.
Очевидно, что <a.(x)Fa(x)Повсюду. Таким образом, cu(jc)Fn(x)
обобщенно сходится всюду. Аналогично, ш ]' (jc) Fп {х)
обобщенно сходится всюду. Отсюда вытекает, что последова-
последовательность
р (х) F%j) (jc) = (ш (л:) Fn (х) ffl - ш^ (jc) Fn (jc)
обобщенно сходится всюду. По индукции мы получаем, что
последовательность ^(jc)/7^'(л:), т. е. (u(jc)/n (л:) сходится
всюду.
23,1 Если каждая точка xQ из О лежит в некото-
некотором интервале /0, таком, \то последовательность обоб-
обобщенных функций /п (х) сходится на /0, то /„ (jc) сходится
на Oi Иными сдовами* локально сходящиеся последова-
последовательности обобщенных функций являются сходящимися.
В самом деле, пусть /—любой интервал, лежащий внутри О.
Существует интервал У, лежащий внутри О и содержащий /
внутри, себя, ; Мы можем разбить J на конечное число под^
интервадод j ,(э этом . доказательстве j означает- интервал,
а не числа), таких; что..каждый подинтервал j лежцт внутри
-некоторого..-интеррала,?/,;..на кртрром /я(х) сходится.. . -

50 § 23. Локально сходящиеся последовательности
Пусть gj (x) — характеристическая функция интервала У,
т. е. такая функция, что
1 на У,
0 вне у.
Аналогично пусть gj(x) — характеристическая функция ин-
интервала J. Если Ьп(х) — некоторая дельта-последователь-
дельта-последовательность (см. параграф 14), то мы можем выбрать номер р так,
чтобы
'jcI =' 0 вне /„
<?j(x)=sgj(x)*bp(x)= 1 на /.
Очевидно,
{) 2{) и <РЛ-*)
Произведение yj(x)fn(x), согласно лемме 2, сходится всюду,
поскольку /я(:с) сходится на Ij. Поскольку же число ин-
интервалов У конечно, всюду сходится и последовательность
Но Wn(х) === /„(х) на /, и, значит, /„(j:) сходится на /•
Поскольку, наконец, интервал / выбран произвольно внутри Q,
последовательность /„(¦*)• согласно предложению 20.7, схо-
сходится на О.
Предложение 22.3 утверждает, что последовательность
Гладких функций обобщенно сходится т. и т. т., когда они
фундаментальна. Отсюда мы непосредственно получаем такое
следствие: ¦
23.2 Если каждая точка х0 из О лежит в некото-
некотором интервале /0, на котором <?п(х) фундаментальна,
то cpn(Jt) фундаментальна на О. Иными словами: локально
фундаментальные последовательности фундаментальны.
Теперь мы уже можем доказать следующую важную
теорему:
29.3 Пусть О — объединение открытых множеств 9.
Если на каждом из множеств в так определена обоб-
обобщенная функция /е(-х), что эти обобщенные функции
равны друг другу на перекрывающихся открытых мно-
множествах, те существует такт оо~общенная. фущс-

§ 24: Зависимость от Непрерывного параметра 51
ция / (х), определенная на всем множестве О, что
fe(x) на каждом множестве в.
В самом деле, пусть Ьп(х) — дельта-последовательность.
Для всякого фиксированного п гладкие функции /е (а:) # 8 (а:)
совпадают друг с другом на тех множествах, на которых они
одновременно определены. Таким образом, эти функции можно
объединить в единую функцию срп (х) (зависящую от я),
определенную на объединении открытых множеств, на кото-
которых определены /е (х) * 8„ (х). Последовательность ср„ (а:)
является фундаментальной на всяком интервале, который лежит
внутри по крайней мере одного из множеств в. Поскольку
объединение всех таких интервалов есть О, последователь-
последовательность ср„ (х), согласно 23.2, фундаментальна на О. Обобщен-
Обобщенная функция / (а:) = (ср„ (а:) ] обладает требуемым свойством,
ибо на всяком множестве в
/ (*) = [/в (*)¦* 8„ (а-)] = /в (х).'
' § 24. Обобщенные функции,
зависящие от непрерывного параметра
Мы говорим, что непрерывная функция fa (x), зависящая
от непрерывного параметра а, сходится при а—>Oq к f (х)
равномерно на множестве /, и пишем
(a->ao) на /,
т. и т. т., когда f(x) определена на / и для любого за-
заданного числа е > 0 существует такое число t\ > 0, что для
любого а, удовлетворяющего неравенству | а — а01 < т), функ-
функция /а(х) определена на всем множестве / и удовлетворяет
на нем неравенству \fa(x) — /(аг)|<?.
Мы говорим, что функция fa(x) сходится при а-*а0
к f (х) почти равномерно на открытом множестве О т. и
т. т., когда /„(х)z?f (x) (a-*a0) на всяком интервале, ле-
лежащем внутри О.
Мы говорим, что обобщенная функция /а (а:), зависящая
от непрерывного параметра а, сходится при а—х^ к обоб-
обобщенной функции f(x) на открытом множестве От. и т. т.,
когда f (х) определена на О и когда для любого интервала /, ,
лежащего внутри О, существуют порядок k и непрерывные

52 § 24. Зависимость от непрерывного параметра
функции Fa(x), F(x), такие, что для а, достаточно близких
к а0> выполняются соотношения
и Fu(x)^*F(x) («->«<,) на /.
В этом случае мы пишем
(«~>«о)' на О,
или
/(*) = lim /.(я) на О.
Предел /(х), если таковой существует, единствен. До-
Доказательство аналогично доказательству для последователь-
последовательностей.
В предыдущем определении безразлично, является ли а
вещественным или комплексным числом. Параметр а может
быть также переменной точкой в многомерном пространстве.
В этом случае, разумеется, символ |а — ао| следует понимать,
как расстояние -между точками а и а0. Предел в точке
ао= ± оо определяется аналогично.
Ясно, что
24.1 Если непрерывная функция /„(*), зависящая
от параметра, сходится почти равномерно, тЬ она
сходится и обобщенно к тому же самому пределу.
Как и для последовательностей, можно доказать, что пе-
переход к пределу коммутирует со всеми регулярными дей-
действиями, введенными в этой книге. Справедливы также аналоги
теорем параграфов 21 и 23. Теперь мы можем определить
дифференцирование обобщенных функций так же, как..-и
дифференцирование обычных функций. Действительно:
24.2. Для всякой обобщенной функции ./.(•*)
а>0
Пусть /—любой интервал, лежащий внутри О, и пусть
/' — интервал, лежащий внутри О и' содержащий / Тзнутри
себя. Тогда существуют порядок k и непрерывная функция
F(x) < , непрерывной, производной ./7V } (*).. такие,, что
F{k).(x) = /{x) на /'. ,.-.;'• '....V.!'":'. ,¦¦, j. ": . .-

§ 25. Многомерная подстановка
53
Поскольку на /
F(x + aej) — F(x)
при cc->0,
мы имеем на /
)- f{x)
Сходимость имеет место на всем множестве О в силу произ-
произвольности интервала /.
§ 25. Многомерная подстановка
Пусть а1 (х), .... ар (х) — такие гладкие функции, опре-
определенные на открытом подмножестве О ^-мерного про-
пространства, что преобразование
отображает О в открытое подмножество О' ^-мерного
пространства, р <] q, и пусть в каждой точке х множества
О по меньшей мере один из якобианов
', /,<*)=
ae,
дар
¦яг
не обращается в нуль, т. е.
, ip
> 0 на О.
Мы собираемся показать, что подстановка <p(e(*))» r^e
<р(у) гладкая функция, определенная на О', является регу-
регулярным действием над ср(у) (а(х) — фиксировано). Доказа-
Доказательство подобно доказательству аналогичного утверждения
в параграфе 10,

54 § 25. Многомерная подстановка
Заметим сначала, что если для гладких функций Фя(у)
последовательность Фп(р(х)) фундаментальна на некотором
открытом множестве, то тем же свойством обладает и по-
последовательность Фу-" (а (л:)).
Действительно, из соотношений
алгебраической выкладкой находим
№\ ,.ji Jp(x),
где
Отсюда
pp
JX<-<JP
что и доказывает фундаментальность Фп*'(в(х)).
. По индукции получаем, что если последовательность
Ф„ (о (л:) ) фундаментальна на некотором открытом множестве,
то тем же свойством обладает и последовательность
Ф{®(а(х)) для любого порядка k.
Всякая точка х0 из О содержится в некотором интер-
интервале /0, лежащем внутри О, который преобразованием о- (х)
отображается внутрь интервала f'o, лежащего внутри О'.
Пусть теперь Ф„0>) — такие гладкие функции, что для по-
порядка k выполняются соотношения
„(У) и,Фп(уI? на /;.
Тогда Фа(а(х)) Zt на /о и, значит, последовательность
Ф^Aз(х)), т. е. <рп(а(х)), фундаментальна на/0. Согласно 23.2,
<р„ (о (х)) фундаментальна на О.
Заметим, что условие на о (х) и предыдущее доказательство
-могут быть упрощены, если q = р. В этом случае достаточно
иметь дело только с одним якобианом
который должен быть отличен от нуля на О*

$ 26. Независимость от некоторых переменных 55
Мы доказали, что подстановка является регулярным дей-
действием. Ее можно поэтому распространить на обобщенные
функции /(у) = [<Ря(уI. определенные на О', положив
/(=>(*)) = [?„(<>(*))]•
При р = 1 предыдущее определение совпадает с опреде-
определением параграфа 10. При p = q и а (дг) = дс —{— Л оно сов-
совпадает с определением сдвига в параграфе 8. В случае,
когда /(у) является непрерывной или локально интегрируе-
интегрируемой функцией, обобщенная подстановка f(a(x)) совпадает
с обычной подстановкой функции в функцию, при условии,
что p^.q. При р~> q, в отличие от случая обычных функ-
функций, подстановка f(a(x)) выполнима не всегда.
Теорема 21.2 остается справедливой н для многомерных
подстановок.
§ 26. Обобщенные функции, постоянные по некоторым .
переменным
Обобщенная функция f(x) на О называется постоянной
по переменным \р+1 \ч или независящей от \p+v .,.
, \д (P*Cp<q) т. и т. т., когда ее можно представил ь
в виде [ср„(*)], гДе гладкие функции срп(*) постоянны по
Sp+i' • • •» V
Из этого определения непосредственно следует, что
26.1. Если f(x) постоянна по %р+1 Ьд, то
/(VJ\{х) — 0 для j.= р + 1, ..., q.
Обратное утверждение неверно даже для обычных функ-
функций в случае произвольного открытого множества О.
"Действительно, пусть О — двумерное множество» определяемое
неравенством ^ < I ?21 (см. рис. 1), и пусть
0 при 5, < 0,
5? при O<5,<.5*
— ?? при.0<€,<—52
(см. рис. 2). Функция /(jt) непрерывна на О и
/('г)(л:) = 0 иа О.

56
§ 26. Независимость от некоторых переменных
Легко видеть, что f(x) постоянна по 52 на каждом интервале /
из О, но не постоянна по ?2 на всем множестве О.
Рис. 1.
Рис. 2.
Обратное утверждение верно, как для обычных, так и
для обобщенных функций, в случае открытого интервала:
26.2. Если /"^ (*) — 0 при j = p-+.l д, на
интервале I, то f (х) постоянна по ?р+1, ..., %ч на I.
В самом деле, для любой 8-последовательности функций
8П(*), обращающихся в нуль вне |*|<ап (а„->0), имеем
(f(x)*bn(x))(ej)=/ej\x)*bn(x) = 0 на интервале /„, та-
таком, что расстояние от точек из /„ до точек вне / больше,
чем а„. Таким образом, гладкие функции <?n(x) — f (х)*Ьп(х)
постоянны по %р+\, .... iq на /„. Обобщенная функция f (х)
постоянна по \р+1 ig на /, поскольку f(x) = [<pn(x)].
Для произвольного порядка k = (*t, ..., %д) символом kp
мы будем обозначать порядок
Следующая лемма играет основную роль в исследовании
\
q:
обобщенных функций, постоянных по
26.3. Если <р„ (х) — гладкие функции, постоянные по
переменным %р+1, .... ?9, и если для интервала /0 суще-
существуют порядок k и гладкие функции Фп(х), такие, что
> = ?/•(*). фя
на

§ 26. Независимость от некоторых переменных 57
то для всякого интервала I, лежащего внутри /0, суще-
существуют гладкие функции Wn(x), постоянные по пере-
переменным lp+l i9 и такие, что
V(*p)(x) = fn(x), Wn(x)^ на /.
Если *q > 0, то положим
Имеем
ф?"'«><*) = ?„(*) и Ф„ <*)=*•
Повторяя этот прием, мы получим такие гладкие функции
Фп(х), что
&?*~V9) (*) = ?„(*) и $„(*):*.
Функции
Фп (*) = Ф„ (Ei 6,-1. Т) A — постоянная)
постоянны по Е9 и удовлетворяют соотношениям
A) ?f-x'e'\x) = 9n(x) и f „(*)!>.
Если *9 = 0, то можно сразу же положить Wn(x) =
= ФП(?1, .... E9_i, "у)- ПРИ этом соотношения A) будут
также выполняться.
При р < q — 1 мы аналогично получим гладкие функции
Wn(x), постоянные по Zg_1, %q, такие, что
Повторяя это рассуждение, мы придем к гладким функ-
функциям Wn(x), постоянным по ?р+1 ?9 и таким, что
Если число ч] на всех этапах рассуждения достаточно
мало, то последние соотношения выполняются на /.
26.4. Если обобщенная функция f(x), постоянная по
Ьр+1 Е9, является на интервале 1Х производной по-
порядка k от непрерывной функции, то на любом интер-

58 § 27. Размерность обобщенных функций
вале I, лежащем внутри Fv обобщенная функция f{x)
является производной порядка kp от непрерывной функ-
функции, постоянной по %0+1, ..., %q.
Пусть Ьп(х) — произвольная 8-последовательность. Если
/ (х) = Fw (х) на /j, то гладкие функции
удовлетворяют предположениям леммы 26,3, если в качестве /0
взять интервал, лежащий внутри 1г и содержащий / внутри
себя. Таким образом, существуют гладкие функции Фп (х),
постоянные по Ьр+1 \q и такие, что W{ "' (х) = <р„ (а:) и
^„(•*I?О(л;) на I. Непрерывная функция О'(х) также по-
постоянна по Sp+1 %q. Поскольку G(x) = [Wn(x)], имеем
G(V (х) = [ср„ (х)] = [Ф„ (x)](ft) = Fw (х) = f (x) на Л
26.6. Обобщенная функция f (x) является на интер-
интервале [а постоянной по \р+г, ..., \q т. и т. т., когда на
каждом интервале I, лежащем внутри f0, она является
производной от непрерывной функции, постоянной по
V
Действительно, если /(х) = F(k)(х) на / и F(ej)(x) = 0
при У = /»+1 q. то /(^(л:) = (^^(х)Г = 0 на /.
Поскольку интервал / произволен, имеем pJ'(x) = 0 на
всем интервале /0, J = p-\-l. .... q. В силу 26.2 f(x)
постоянна по %р+1 %q на /0.
Остающаяся часть теоремы 26.5 следует из 17.4 и 26.4.
Все рассуждения этого параграфа остаются, конечно,
справедливыми, если мы заменим \p+i, .... ?? на произволь-
произвольное множество переменных 5^,...., %)т (l*C
§ 27. Размерность обобщенных функций
Обобщенные' функции, определенные на открытом под-
подмножестве ^-мерного пространства, называются q-мерными
обобщенными функциями, или обобщенными функциями
от q переменных. Чтобы подчеркнуть количество перемен-

§ 27. Размерность обобщенных функций 59
ных, мы пишем, когда это необходимо, Q
вместо f(x).
Мы собираемся теперь исследовать связь между />-мер-
ными обобщенными функциями и 0-мерными, постоянными по
„+„
Всякая функция <p(^i> ••¦• %) от Р переменных одно-
однозначно определяет соответствующую функцию от q пере-
переменных cpffi. •••• bq)> значение которой в точке (^ ..., ??)
при всех вещественных ?р+1 \q равно значению
cp(Ei, .... %0) в точке & \р).
Таким образом, если /?-мерная функция <р(?1( .... t,p)
определена на открытом подмножестве О' /?-мерного про-.
странства, то соответствующая ^-мерная функция <р(?, -
.... %д) определена на открытом множестве О всех точек
(?,, .... ?9) ^-мерного пространства, таких, что (^ \р)
лежит в О', причем <р(^, .... Е9) постоянна по ^р+1, ...
Легко видеть, что если <pn(Si Sp) — последователь-
последовательность />-мерных гладких функций — фундаментальна на О', то
соответствующая последовательность cp(?i> •••¦ ?ff) 9"меРных
гладких функций будет фундаментальна на О. Обратное
утверждение легко следует из 26.3. Таким образом,
27.1. Последовательность р-мерных гладких функ-
функций «ря(?!, .... у является, фундаментальной на О' т.
и т. т., когда последовательность соответствующих
q-мерных функций <?п(%х Ьд) фундаментальна на О.
Отсюда в силу определения эквивалентных последова-
последовательностей получаем '
27.2. Две последовательности р-мерных гладких
функций сря(^ \р) и фп($, ?р) эквивалентны на О'
т. и т. т.., когда соответствующие последователь-
последовательности q-мерных функций «р^, .... \Q) и ф„(&а %q)
эквивалентны на О.
Согласно 27.1 и 27.2, всякая ^-мерная обобщенная функ-
функция /ft ^) = [<ря(^ у] на О' определяет соот-
соответствующую 0-мерную обобщенную функцию /(?lt .. -Лд)==
=[<Pn(?i> • • • • ?<f)l на О> постоянную по L+1. .... tr при-
причем это соответствие взаимно однозначно. Кроме того, всякая
обобщенная функция на О, постоянная по k*+\, • • •» Eg. со-
соответствует некоторой обобщенной функции на Q'.

60 § 27. Размерность обобщенных функций
Возникает вопрос, будут ли действия, выполненные над
/?-мерными обобщенными функциями, давать тот же резуль-
результат, что и действия, выполненные над соответствующими
^-мерными обобщенными функциями. Для того чтобы от-
ответить на этот вопрос, обозначим через
^-мерную гладкую функцию, соответствующую /7-мерной
гладкой функции ср(^, .... \р). По определению, В есть
некоторое действие, выполняемое над /7-мерной гладкой
функцией, его результатом является 0-мерная гладкая функция.
Это действие регулярно. Поэтому оно распространяется
на обобщенные функции /(Si,-...,?„) = [?„ (Ei, .... Ьр)\ при
помощи формулы
Согласно определению, fi(/(Sj, .... Ьр)) является 0-мерной
обобщенной функцией /(Е^ .... Ьд), соответствующей /7-мер-
/7-мерной обобщенной функции / (?х %р).
Предположим, что дано другое регулярное действие
А (ср, <j», ...) и что
B(AQf, ф. ...))=
Это равенство является точной формулировкой- утвер-
утверждения, что действие А, выполненное над /7-мерными глад-
гладкими функциями, дает результат, аналогичный результату
для соответствующих 0-мерных функций.
Поскольку обе части предыдущего равенства являются
суперпозициями регулярных действий, та же самая формула
выполняется и для обобщенных функций
B{A(f.g, ...)) = A(B{f).B(g), ...)•
Наглядно наш результат формулируется следующим об-
образом:
Всякое регулярное действие, выполненное над /7-мер-
/7-мерными обобщенными функциями, дает результат, аналогичный
результату этого действия' над соответствующими 0-мерными
обобщенными функциями, при условии, что это положение
вещей имеет ме^сто для гладких функций.
Следующая теорема показывает, что предел последо-
последовательности /7-мерных обобщенных функций существует

§ 27. Размерность обобщенных функций 61
т. и т.т., когда существует предел соответствующей последо-
последовательности ^-мерных обобщенных функций, и что, кроме
того, эти пределы соответствуют друг другу.
27.3. Последовательность р-мерных обобщенных
функций /„(^ у сходится на О' к f ^ %р)
т. и т.т., когда последовательность соответствующих
q-мерных обобщенных функций /„(^ iq) сходится
на О к обобщенной функции f(?,, .... ?9), соответ-
соответствующей /ftp . . ., Ьр).
Очевидно, что сходимость ^-мерной последовательности
влечет сходимость д-мелрной последовательности к соответ-
соответствующему пределу.
Обратно, предположим, что на О
B) /„(Е, E,)-*/Fi У-
Пусть /' — любой интервал, лежащий внутри О', пусть
/ — интервал точек (^ Е9), таких, что (Sj, .... Е) ле-
лежит в /' и [Еу|<1 при _/ = р-|-1 q, и пусть /0 —
любой интервал, лежащий внутри О и содержащий / внутри
себя. Из соотношения B) следует, что все обобщенные
функции /„ (Ei, ..., kg) являются производными фиксирован-
фиксированного порядка k = {y.i,-.... %9У от непрерывных функций
на /0. Согласно 26.4, существуют функции Fn(ii ??),
постоянные по ?р+1, ..., \q и такие, что на /
т. е. на /' для A'=^Dj чр) имеем
FP& y = /.(Ei У-
Пусть Фп(^, .... у — гладкие функции, для которых
C) Ф.&, ..... у-/7.(Ei У^О.
и пусть
Дифференцируя C) ГА' раз", получим
D) %(Хг У-/.&

62 § 28. Обобщенные функции с f(m) (x) = О
Отсюда, по уже доказанной части теоремы 27.3, следует,
что на /
• ?»«i У-Лft е,)-*о.
Значит, в силу B),
<p*ft *,)-*/ft %)
и, согласно 22.3,
Отсюда для соответствующих обычных и обобщенных
р-мерных функций на /' имеем
to. ft. •••• y]=/ft у.
и, согласно предложению 22.3,
Таким образом, в силу D),
Эта сходимость имеет место на О', поскольку интервал /'
произволен.
Обобщенные ^-мерные функции, постоянные по ?р+1, ...
..., ??, можно обозначать символом / Ej Sp), подобно
/>-мерным обобщенным функциям, если исключено смешение.
Аналогичное соглашение широко используется для обычных
функций.
Все рассуждения этого параграфа остаются, конечно,
справедливыми, если мы заменим ? +1 \q на произволь.
ное множество переменных $/ , .... 5; A
§ 28. Обобщенные функции с обращающейся
в нуль m-й производной
Для того чтобы найти общий вид обобщенной функции!
удовлетворяющей условию /(т) (х) = 0, мы докажем три
вспомогательные теоремы 28.1, 28.2 и 28.3. ... -
28.1. Если /(*)— такая обобщенная функция, что
e) ) = 0 на интервале а — гё} < х < Ь -f- ге}, то при

§ 28. Обобщенные функции с f(m) (x) = 0 63
17j | < в имеет место разложение
на интервале а < х < Ь.
Действительно, пусть 8В (х) — дельта-последовательность
и ?„ (*) = /(*)* К (*). тогда / (ж) = [сря (х)] и <р?Ч> (ж) = 0.
Предыдущая формула следует тогда из аналогичного тей-
тейлоровского разложения для ft, С* + ч}*у) навешиванием на
него скобок [ ].
28.2. Если /т+^(х) = 0 на О, т = (^ (х?),
(*У = 0, то на любом интервале' I, лежащем внутри О,
обобщенную функцию f(x) можно представить в виде
где g(ej)(x) = 0 и к(т\х) = 0на I. Кроме того, если f )
является гладкой, непрерывной или интегрируемой
функцией на I, то таковыми же можно считать g(x)
и А (ж).
В самом деле, интервал / лежит внутри некоторого ин-
интервала /0, лежащего внутри О. Если р "(х) = 0 на О,
то, согласно 26.2, /<т> (х) постоянна по ^ на /„. Сбгласно 26.5,
существуют порядок k = (xx, ..., xq), ч^ = 0, и непрерыв-
непрерывная функция F(x), постоянная по %], такие, что F®\x)==
= /(/в) (х) на /. Можно считать, что k ^> т. Обобщенные
функции g(x)=^F{k~m\x) и h(x) = f(x) — g(x) обладают
требуемыми свойствами.
Если f(x) — гладкая, непрерывная или интегрируемая
функция, мы можем получить g(x) непосредственно из /(л:),
заменяя в / (х) переменную ^ на константу f. Тогда g (x) будет
соответственно гладкой, непрерывной или (при надлежаще
выбранном 1) интегрируемой; такой же функцией будет
и А (*) = /(*) — g(x). Кроме того, g^'J- (ж) —0. Остается
проверить, что А(т)(ж) = 0, т. е. что /(т) (х) = g(m) (x). Это
очевидно, если f(x) гладкая. Если f(x) непрерывна, то
существует последовательность гладких функций <fn(x), схо-

64 § 28. Обобщенные функции с f <m>(x) =¦= О
дящаяся к f(x) почти равномерно и подчиненная условию
<Рл j (х) = 0. Заменяя в ср„(х) переменное \, на f. мы по-
получим последовательность гладких функций tyn(x), сходя-
сходящуюся почти равномерно к g(x). Из соотношений
следует, что
В случае интегрируемой f(x) доказательство остается та-
таким же, только почти равномерную сходимость следует
заменить ^-сходимостью.
28.3. Если /т+<^(лг) = О на О, т = ((х1 (х?),
fy > 0, то на любом интервале I, лежащем внутри О,
обобщенную функцию f(x) можно представить в виде
где g-(m)(x) = 0 и A(m)(x) = 0 «а /. Кроме того, если f (x)
является гладкой, непрерывной или интегрируемой функ-
функцией, то таковыми же можно считать f(x) a g(x).
В самом деле, положим
A) ?W = ^(/(
При достаточно малом -ц функции g (x) и h(x) будут опреде-
определены на /. Кроме того, если f(x) — гладкая, Непрерывная или
интегрируемая функция, то таковыми же будут g (x) и h (x).
Поскольку /т+еЯ (х) = 0, имеем, в силу 28.1, /{т){х-{-г{е})—
= /^m)(.v) на /. Отсюда вытекает, что g^(x) = 0. Диффе-
Дифференцируя вторую из формул A), найдем
Правая часть, согласно 28.1, обращается в нуль, поскольку

§ 28. Обобщенные функции с f (<п> (х) - 0 65
28.4. Равенство f<-m)(x) = O выполняется на О т. а
т.т., когда на каждом интервале I, лежащем внутри О,
обобщенная функция /(лг) может быть представлена
в виде
i=o l u i=o ч я ' ¦
где обобщенные функции /#(лг) постоянны по %t. Кроме
того, если /(лг) является гладкой, непрерывной или
интегрируемой функцией, то таковыми же можно
считать и все коэффициенты /#(лг). (Если fy = O для
некоторого J, то соответствующую сумму в формуле B)
следует заменить нулем.)
Действительно, легкая проверка показывает, что если
формула B) имеет место на /, то /(т)(лг) = О на /. По-
Поскольку / нроизволен, имеем /(т^(лг) = О на О.
Обратно, пусть /(т) (лг) = 0 на О, докажем формулу B)
по индукции. Заметим сначала, что разложение B) триви-
тривиально, если т = 0. Предположим, что оно имеет место для
некоторого т^-0. Достаточно показать, что соответствую-
соответствующая формула справедлива для т-\-е}. Если fy —0, то это
утверждение следует из 28.2; если р, > 0, то утверждение
следует из 28.3.
Заметим, что представление B) не единственно. Пусть,
например, /и =A,1) и /(лг) = $1 + $2, тогда можно на-
написать также / (лг) = (?х -J- 1) -г\- (^ — 1).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . 5
§ 1. Терминология и обозначения 7
§ 2. Равномерная и почти равномерная сходимость 9
§ 3. Фундаментальные последовательности гладких функ-
функций г 10
§ 4. Определение обобщенных функций 12
§ 5. Умножение на число • • • 13
§ 6. Сложение . 14
§ 7. Регулярные действия 15
§ 8. Вычитание, сдвиг, дифференцирование .а ....... 16
§ 9. Умножение обобщенной функции на гладкую функ-
функцию 17
§ 10. Подстановка . . . 19
§ 11. Произведение обобщенных функций с разделенными
переменными '...... 20
§ 12. Свертка с гладкой функцией, обращающейся в нуль вив
некоторого интервала 21
§ 13. Выкладки с обобщенными функциями ......... 23
§ 14. Дельта-последовательности и дельта-функция 25
§ 15. Обобщенные функции на подмножествах 27
§ 16. Обобщенная функция как обобщение понятия непрерыв-
непрерывной функции 28
§ 17. Действия1 над непрерывными функциями ........ 30
§ 18. Локально интегрируемые функции 35
§ 19. Действия над локально интегрируемыми функциями ... 37
§ 20. Последовательности обобщенных функций 39
§ 21. Сходимость и регулярные действия . 43
§ 22. Обобщенно сходящиеся последовательности гладких
функций . 46
§ 23. Локально сходящиеся последовательности обобщенных
функций 48

' Оглавление , 6?
§ 24. Обобщенные функции, зависящие от непрерывного па-
параметра 51
§ 25. Многомерная подстановка 53'
§ 26. Обобщенные функции, постоянные по некоторый пе-
ременным 55
§ 27. Размерность обобщенных функций . . . 58
§ 28. Обобщенные функции с обращающейся в нуль /л-й про-
производной 62

Я. Минусинский, Р. Сикорский
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
И
Технический редактор С. В. Приданцева
Сдано в производство 1/IX 1962 г.
Подписано к печати 10/ХН 1962 г.
Бумага 84xlO8VS2=U бум. л.
3,7 сеч. л. Уч.-изд. л. 2,8
Изд. № 1/1610.
Цена 20 коп. За к. 689
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УЦВ и ПП Ленсовиархоза.
Ленинград, Измайловский пр.» 29.
Убедительная просьба
На всёмъ члйющннъ и развматриваю-
щимь ннлги, эстампы фотяграфш иг д.
1) НикакРШ, годрисевон-ь. раскраши-
раскрашивали и OTrt-ЬтСкъ не д*лать;
Z) при перелисты eauJM страница пайь-
ц,ы отнюдь не мочйТь;
3J перелистывать иедп^кно И аккуратно,
чтобы иечгяипо углы ¦сгрэницъ и гакпе-
енныхъ рясунновь пе Загнуть пне смцть,
а тйкже проклавку и?ъ папиросной bywa-
ги лешду рисункапи не испортить,
4> при рассматривал in scTafflrOBbj фа-
Torpaipifi и рккунчоБъБънкигах-ьиеиури^ь
h табачнымъ дымом-ь ихъ пе оСдавать,-
5) лереЛ"ь пачиломъ pascwarpjtBahin и
чтениг руин тщатйяьнО мь;ть: потными
рунами танке огчюдь не брать;
б] къ СемОму рисунку на эстэ^лакъ фо
таграфю^ъ и т- Д. П3л±.цали не лрикскатьея;
7J Обпожку ипи лереглетъ книги пе-
ргд-ь 4Tfihien* обертызать въ Oyriary:
¦б) листы ннкги ллй яйлнги незагибвть,
ЭЗ въ кармапахъ ннигЪ п« носигь или
же употребляв при э-томъ особою гредосто-
рошнисть^ чтобы пниги не испаччлись И

ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВЫПУСКАЕТ СЕРИЮ ВРОШЮР
ПОД ОБЩИМ НАЗВАНИЕМ
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Вышли из печати
в 1959 г.
Минусинский Я., Сикорский Р., Элементар-
Элементарная теория обобщенных функций. Вып. I. Варшава, 1957,
перевод с английского, 3,5 изд. л.
ХёрмандерЛ., К теории общих дифференциаль-
дифференциальных операторов с частными производными. Уппсала,
1959, перевод с английского, 6 изд. л.
X а л м о ш П. Р., Лекции по эргодической теории. То-
Токио, 1956, перевод с английского, 7 изд. л.
Капла некий И., Введение в дифференциальную
алгебру. Париж, 1957, перевод с английского, 4 изд. л.
в 1 9 6 0 г.
Карлеман Т., Математические задачи кинетиче-
кинетической теории газов. Уппсала, 1957, перевод с француз-
французского, 5,7 изд. л.
X е й м а н В. К-. Миоголистные функции. Кембридж,
1958, перевод с английского, 8,4 изд. л.
Н о м и д з у К-, Группы Ли и дифференциальная гео-
геометрия. Токи.о, 1956, перевод с английского, 6 изд. л.
Судзуки М., Строение группы и строение струк-
структуры ее подгрупп. Берлин — Геттиигеи — Гейдельберг,
1956, перевод с английского, 7 изд. л.
Рутисхаузер Г., Алгоритм частных и разностей.
Базель — Штутгарт, 195? перевод с немецкого, 4 изд. л.
И то К., Вероятностные процессы. Вып. I, Токио,
1957, перевод с японского, 6,1 нзд. л.

в 1961 г.
Гренандер У., Случайные процессы и статистиче-
статистические выводы. Стокгольм, 1960, перевод с английского,
8 изд. л.
Г о р д и н г Л., Задача Коши для гиперболических
уравнений. Чикаго, 1957, перевод с английского, 6,3
изд. л.
Гудстейн Р. Л., Математическая логика. Лейче-
стер, 1957, перевод с английского, 7,9 изд. л.
Дэй М. М., Нормированные линейные пространства.
Берлин, 1958, перевод с английского, 11,2 изд. л.
Гротендик А., О некоторых вопросах гомологи-
гомологической алгебры. Япония, 1957, перевод с французского,
8,9 изд. л.
Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых
поверхностей и квазиконформные отображения. Сбор-
Сборник статей, перевод с английского, 8,7 изд. л.
Л е р е Ж-, Дифференциальное и интегральное исчи-
исчисления на комплексном аналитическом многообразии.
Париж, 1959, перевод с французского, 6 изд. л.
в 1962 г.
Мандельбройт С, Теоремы замкнутости и тео-
теоремы композиции. Издание оригинальное, 7 изд. л.
Агмон С, Дуглис А., Ниренберг Л., Оценки
решений эллиптических уравнений вблизи границы.
США, 1959, перевод с английского, 9,3 изд. л.
Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Париж,
1955, перевод с французского, 14,5 изд. л.
X а н т Дж. А., Марковские процессы и потенциалы.
Урбана, 1959, перевод с английского, 13,4 изд. л,
X ё р м а н д е р Л., Операторы, инвариантные отно-
относительно сдвига. Уппсала, 1960, перевод с английского,
3. изд. л.

Находятся в печати:
В а н X а о, Ма к-Н о т о н Р., Аксиоматические си-
системы теории множеств. Париж, 1953, перевод с фран-
французского, 2,3 изд. л.
Зойтендейк Г., Методы возможных направлений.
Амстердам, 1960, перевод с английского, 8 изд. л.
Ито К-, Вероятностные процессы. Вып. II. Токио,
1957, перевод с японского, 5 изд. л.
Холл М., Комбинаторный анализ. США, 1960, пе-
перевод с английского, 5 изд. л.
Готовятся к печати:
Возенкрафт Дж., Рейффен Б., Последователь-
Последовательное декодирование. США, 1960, перевод с английского,
6 изд. л.
Н о с и р о К-, Предельные множества. Берлин — Гет-
тинген—Гейдельберг, I960, перевод с английского,
9 изд. л.
Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и
его применения в теории чисел. Лейпциг, 1959, перевод
с немецкого, 7 изд. л.