И. Г АЛЬП В Р И Н
Введение
$
ТЕОРИЮ
ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
*_______________________*
И. ГАЛЬПЕРИН
на основе лекций Л. Шварца
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Перевод с английского
И. С. А Г Р А II О В И Ч А
Под редакцией
Г. Е. ШИЛОВА
и * л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — 1954
ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Классическое определение функции, данное в 30-х годах
прошлого века Н. И. Лобачевским и ГТ. Дирихле, как из-
вестно, гласит: функция у = у (х) есть правило, в силу
которого каждому значению величины х из области ее изме-
нения однозначно сопоставляется некоторое значение вели-
чины у. Это определение, оформившееся в результате
крупных физических и математических открытий XVIII и
начала XIX века, настолько естественно вытекало из на-
копившегося материала и настолько успешно разрешало
принципиальные затруднения, с которыми сталкивались тог-
да, что оно было воспринято математиками всех направлений
с полным единогласием. Все дальнейшее развитие матема-
тического анализа в XIX веке и в начале XX века по су-
ществу шло в направлении раскрытия возможностей, за-
ключенных в этом определении. Казалось само собой разу-
меющимся, что задачи математического анализа отныне
сводятся к исследованию свойств различных классов функ-
ций’ (непрерывных, дифференцируемых, аналитических и
т. п.). Сам анализ получил второе название: теория функ-
ций. И на этом пути анализ одержал крупнейшие победы:
укажем хотя бы на развитие теории аналитических функций
или общей теории уравнений с частными производными.
Тем ие менее с начала XX века классическое опреде-
ление функции перестало казаться столь совершенным и не
оставляющим желать ничего лучшего. Мы не касаемся
здесь известной критики этого определения со стороны
французской школы теории функций действительного пере-
менного. Важнее отметить критику — явную или неявную —
со стороны физиков. Во-первых, физиков не устраивали мно-
гочисленные оговорки, которыми математики обусловливали
свои разрешения на выполнение тех ид^ иных действий
3
с функциями (к примеру: почленное дифференцирование
рядов, перемена порядка интегрирования и т. п.). Во-вто-
рых (и это главное), с точки зрения потребностей физики
математическое определение функции, во всяком случае,
должно быть достаточно гибким, чтобы давать — с разум-
ной степенью абстракции— адэкватное описание процессов
материального мира. Между тем имеются простейшие фи-
зические явления типа мгновенного импульса, которые не
укладываются в рамки классического функционального опи-
сания. Введенная физиками для описания таких явлений
«дельта-функция», которая «равна нулю всюду, кроме одной
точки, а в этой точке равна бесконечности и при этом
обладает интегралом, равным единице», с точки зрения
классического определения функции являет вопиющее про-
тиворечие. А физики успешно используют и «производные»
дельта-функции! Таким образом, создалась реальная угроза
утраты взаимного понимания между математиками и физи-
ками. Долгом математиков стало создание аппарата, ко-
торый позволял бы описывать значительно более широкий
круг физических явлений и вместе с тем давал бы возмож-
ность значительно свободнее выполнять классические опе-
рации анализа.
Первыми работами в этом направлении были работы
Н. М. Гюнтера по уравнениям математической физики
([1] — [5]). У Н. М. Гюнтера неизвестными являются не
функции точки, а функции области, что более отвечает
физической сущности дела: например, температура тела
в точке есть фикция, в то время как средняя температура
этого тела в области имеет четкий физический смысл. Со-
ответственно строятся целесообразные формулировки клас-
сических краевых задач. В частности, и дельта-функция
(но не ее производные) получает разумный смысл как функ-
ция области.
Дальнейший шаг был сделан С. Л. Соболевым [6]. Вве-
денные им «обобщенные функции» представляют собой ли-
нейные функционалы, определенные на совокупности т раз
дифференцируемых функций х2,..., х^), каждая из ко-
торых обращается в нуль вне некоторой области. Каждая
обычная функция л2,..., Xv) или аддитивная функция
области ф(б) порождают такие функционалы: первая по
формуле (f,	вторая по формуле (ф, ^)=
В частности, дельта-функция получает реализацию как
4
функционал (8, <р) = <р (0). В классе обобщенных функ-
ций определены операции дифференцирования и пре-
дельного перехода; таким образом, в схеме С. Л. Собо-
лева получили реализацию и производные от дельта-функ-
ции (до некоторого порядка). В указанной работе [6]
С. Л. Соболев применил свою схему к решению задачи
Коши для гиперболического уравнения с переменными коэф-
фициентами. В дальнейших работах [7] он использовал
обобщенные функции в других задачах математической фи-
зики.
С 1946 г. начинается цикл работ французского мате-
матика Лорана Шварца по теории распределений [9]. «Рас-
пределения» Шварца — это также линейные функционалы,
только определенные на бесконечно дифференцируемых
функциях, что открывает возможность неограниченного
дифференцирования распределений. Шварц детально раз-
работал аппарат своих распределении; в частности, он вы-
яснил их природу (доказав, что каждое распределение есть
производная какого-либо порядка от некоторой непрерывной
функции, не имеющей, вообще говоря, производной в обыч-
ном смысле слова), ввел операции свертки обобщенных
функций и преобразования Фурье и указал простые методы
решения многих типов уравнений с частными производными,
основанные на интерпретации искомой функции как распре-
деления. Существенно новых результатов в применениях
построенной теории к задачам математической физики и ана-
лиза у Шварца нет, и это явилось — вполне естественной —
причиной скептического отношения к теории Шварца со
стороны некоторых крупных математиков (С. Бохнер [10]).
Тем не менее эти работы Шварца были важной вехой в
развитии аппарата обобщенных функций.
В предлагаемой книге излагаются элементы теории
Шварца. Она написана канадским математиком* И. Галь-
периным по лекциям Шварца, читанным в 1949 г. в Ванку-
вере (Канада). Гальперин изложил материал кратко и ясно,
к концу, правда, несколько конспективно, но все же впол-
не доступно. К сожалению, он не остановился на таком
важном разделе, как преобразования Фурье, а также не
привел никаких приложений, даже тех, которые имеются
у Шварца. Читателю, который заинтересуется этими вопро-
сами, можно рекомендовать второй том книги самого
Шварца (L. Schwartz, Theorie des distributions, t. II,
Paris, 1951).
5
В переводе терминология автора несколько изменена
в соответствии с терминологией, установившейся в совет-
ских работах (так, термин «распределение» заменен терми-
ном «обобщенная функция», «суппорт» — термином «несущее
множество» и др.). В дополнении приводится краткий очерк
развития теории и приложений обобщенных функций в ра-
ботах советских математиков, написанных после выхода
в .свет книги Шварца.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Со времени широкого распространения операционного
исчисления, т. е. с конца прошлого столетия, вошло в упо-
требление много выражений, смысл которых с математи-
ческой точки зрения недостаточно ясен. Рассмотрим, напри-
мер, функцию Хевисайда У (х), которая равна нулю для
значений х, не превосходящих нуля, и единице для поло-
жительных х. Говорят, что производная этой функции есть
дельта-функция Дирака1) 8(х), имеющая следующие (мате-
матически несовместные!) свойства: она отлична от нуля
только в начале координат, где ее значение настолько ве-
лико, что
|б(л)йх=1.
Эта «функция» и ее последовательные «производные» нашли
много важных применений.
Как указывал сам Дирак, можно было бы обойтись без
введения дельта-функций, используя обычные (математически
допустимые) функции и операцию предельного перехода.
Однако дельта-функцию можно сохранить и обосновать,
если рассматривать ее как меру, т. е. не как обычную
функцию точки, а как функцию множества. Эго наводит
на мысль искать такое обобщение понятия функции точки,
при-котором расширяется система объектов* 2) — «классиче-
*) Понятие дельта-функции было введено задолго до Дирака — по-
следний лишь широко применял эту функцию. Относительно этой функ-
ции и ее истории см., наир., гл. V книги Ван дер Поль Б. и
БреммерХ., Операционное исчисление на основе двустороннего
преобразования Лапласа, М., 1952.—Прим. ред.
2) Подобно тому как расширяется область рациональных чисел
при введении вещественных чисел по Дедекинду.
7
ских» функций — и одновременно обобщается понятие диф-
ференцируемости, с тем чтобы в новой системе объектов каж-
дая «функция» имела корректно определенную «производную».
Это и делается в излагаемой здесь теории. Новая система
объектов, которые мы называем обобщенными функциями, со-
держит все непрерывные функции, все функции, локально сум-
мируемые по «Лебегу (т. е. суммируемые в каждом конечном
интервале), и некоторые новые «функции», простым приме-
ром которых может служить упомянутая выше дельта-функ-
ция Дирака. Более общий (но определенный вполне строго)
процесс дифференцирования сопоставляет каждой обобщен-
ной функции производную, которая снова является обобщен-
ной функцией. Таким образом, каждая обобщенная функция
и, в частности, каждая локально суммируемая функция
обладает производными всех порядков. Производная локально
суммируемой функции всегда является обобщенной функ-
цией, но, вообще говоря, может не быть функцией точки.
Однако эта производная совпадает с обычной производной,
если последняя существует и локально суммируема.
Теория обобщенных функций позволяет придать строгий
смысл упомянутым выше формулам операционного исчисле-
ния. Эта теория может быть развита ие только для функ-
ций от одной переменной, но и для функций от многих
переменных. Наконец, она дает возможность построить
простые и более стройные, чем классические, теории рядов
интегралов Фурье, сверток и уравнений с частными про-
изводными.
Систематическое изложение теории обобщенных функ-
ций дано в книге «Лорана Шварца* 1). Предлагаемая бро-
шюра может служить введением в некоторые из основных
идей этой теории.
§ 2. ФУНКЦИИ ТОЧКИ КАК ФУНКЦИОНАЛЫ
Рассуждения, которые мы сейчас приведем, подводят
к определению обобщенной функции, сформулированному
ниже в этом параграфе.
Пусть [а,	— конечный (замкнутый) отрезок. Непре-
рывную функцию f(x) мы можем рассматривать, во-первых.
*) Schwartz L., Theorie dos distributions, Paris, t 1., i960,
I t. II, 195i.
8
просто как функцию точки1). Во-вторых, такую функцию
можно использовать и для иной цели: именно, для опреде-
ления функционала* 2) (F, и) по формуле
ь
(F, <р) = J f (х) е (*) dx;
а
здесь (Т7, w)— число3 * * *), определенное для всех непрерывных
функций е>(х). Этот функционал аддитивен и однороден,
т. е. удовлетворяет условию
(F, с1?1 + с2<р2) = q(F, ej + c2(F, е2).
Существуют функционалы, которые нельзя представить
в такой форме с помощью непрерывной (и даже с по-
мощью суммируемой по Лебегу) функции f(x). Это
подсказывает нам возможность определения обобщен-
ной функции как (произвольного) аддитивного однород-
ного функционала (F, о), заданного над некоторым клас-
сом К непрерывных функций <р(х). Функции с(х) из этого
класса будем называть основными.
Если функция fix} абсолютно непрерывна и имеет про-
изводную f' (х), то производная также определяет линейный
функционал, именно,
ь
Jf (x)<p(x)dx
а
Накладывая на ^(х) некоторые ограничения, можно выра-
зить этот второй функционал через первый с помощью инте-
т) Функции точки, которые мы будем рассматривать, должны
быть определены почти всюду, но ие обязательно всюду. Две
функции мы будем отождествлять, если они совпадают друг
с другом почти всюду. Так, мы будем говорить, что функ-
ция f (х) равна нулю, если она равна нулю почти всюду, и что
f (х) непрерывна, если ее можно отождествить с непрерывной функ-
цией. Под верхней гранью функции f (х) мы будем понимать истин-
ную верхнюю грань, т. е. нижнюю грань верхних граней функций,
которые можно отождествить с f (х); производной от f (х) будем на-
зывать производную дифференцируемой функции, которая может быть
отождествлена с f(x) (если такая функция существует), и т. д.
2) Подобно тому как рациональные числа в теории Дедекинда ис-
пользуются для определения сечений во множестве всех рациональных
чисел.
8) Под числами здесь можно понимать вещественные или комплекс-
ные числа.
9
грирования по частям. Формула
ь	ь
$ f'(x)<?(x)dx=—f f (x)q' (x)dx=—(F, </)
a	a
справедлива для всех непрерывно дифференцируемых функ-
ций ® (х), обращающихся в нуль в точках а и Ь. Эго наво-
дит нас на мысль, во-первых, включить в /С только
функции <р(х) с указанными свойствами, а не все непре-
рывные функция, и, во-вторых, определить производную F'
(она также должна быть аддитивным однородным функ-
ционалом, заданным над К) равенством
(F, ©)==— (F, </)
независимо от того, имеет ли соответствующая функция f (х)
производную f' (х) или нет. Но если функционал (F', <р)
должен быть определен для всех с из К, то нужно, чтобы
этот класс содержал только такие функции <р(х), для ко-
торых производная w' (х) также ему принадлежит. Эти со-
ображения приводят к такому условию: функция е(х)
должна обладать производными всех порядков, причем все
они, так же как и w (х), должны обращаться в нуль в точ-
ках а и Ь.
Важными примерами таких функций являются функции
где п—'натуральное число, a^c<^d^b и
. ” L-c + d-x]
, . f е.	‘ при c<x<d,
¥<-,4*)=1 п
( 0	для остальных х.
Нам нет необходимости налагать на К другие ограни-
чения. С другой стороны, при определении К мы должны
позаботиться о том, чтобы можно было «отождествить»
функцию точки f(x) с определяемым ею функционалом
(/, о). Таким образом, нужно сделать класс К основных функ-
ций настолько широким, чтобы различным функциям f (х),
заданным на [а, 6], отвечали различные функционалы (F, о).
Иначе говоря, нам нужно, чтобы интеграл
ь
f f(x)w(x)dx
10
обращался в нуль для всех функций <р(х) из Д' только
в том случае, когда f(x) равна нулю на \а, Ь]. Но это
требование будет выполнено, если класс /< будет содер-
жать все функции
{<fc, 4 (*))*'",
определенные выше. В самом деле,
ь
lim [ f(x) {(pG«f (х))1*'” dx = j f(x)dx,
n—& a	c
а если
d
J f(x}dx = 0
c
для всех си d, удовлетворяющих неравенствам a^c<Zd^bt
то f(x) равна нулю на [с, 6].
Далее, нужно позаботиться о следующем. Функционалы
(F, <р), которые определяются функциями точки, и все их
производные (F(/J\ ®) имеют определенные свойства непре-
рывности. Желательно потребовать выполнения этих свойств
и при определении обобщенных функций1).
Наконец, для удобства в дальнейших приложениях мы
определим обобщенные функции на (открытом) интер-
вале. Отрезок (замкнутый) дает математически более про-
стую ситуацию, и в случае интервала приходится рассмат-
ривать лежащие на нем отрезки. Термин «обобщенная функ-
ция» мы сохраним для случая интервала, а для случая
отрезка будем пользоваться определяемым ниже термином
«линейный функционал».
Теперь мы сформулируем точное определение.
Определение обобщенной функции. Пусть [а, 6]—'Конеч-
ный отрезок. Будем обозначать через К[а, ь] класс всех непрерыв-
ных функций <£> (%), которые имеют производные (х) всех
порядков, обращающиеся в нуль, так же как и <р (х), в точ-
ках а и b и вне [а, Ь]. Линейным функционалом на [с, Ь]
называется аддитивный однородный функционал (F, с), опре-
деленный для всех с из и обладающий следующим
свойством непрерывности: если о и и>т принадлежат
последовательность <?т(х) равномерно по х сходится к <ь(х)
г) Как мы увидим в § 5, это приводит к минимальному расши-
рению системы локально суммируемых функций, в котором возможно
Дифференцирование любое число раз.
И
и последовательность ©£р(х) при каждом натуральном и
равномерно по х сходится к то последовательность
(F, Чт) СХОДИТСЯ К (F, (р).
Пусть I — произвольный интервал, конечный или беско-
нечный. Обобщенней функцией на I мы будем называть
функционал (F, <р), такой, что для каждого отрезка [a, £],
лежащего на /, он определен для всех функций <р из /<1й>
и, если ограничиться этими функциями, является линейным
функционалом на [а, 6].
Отождествление обобщенной функции с функцией точ-
ки. Обобщенная функция (F, (р) на I отождествляется с
функцией точки f(x), если для каждого отрезка [а, Z>],
лежащего на /, функция f (х) суммируема на [а, и
(F, <₽) = J fW'PC')*
а
для всех <р из К\а, fc]1)- Иногда нам будет удобно обобщен-
ную функцию, отождествляемую с функцией точки f(x),
обозначать символом (f, ©).
Отождествление обобщенной функции с мерой Стиль-
тьеса. Обобщенная функция (F, ©) на интервале / отождеств-
ляется с мерой Стильтьеса d<|>(x), если на каждом отрез-
ке [а, Ь],лежащем на I, функция (х) имеет ограниченное из-
менение и
ь
(F, <р)= J<p(x)d|(A:)
а
для всех <р из К|С>
Производная обобщенной функции. Для любой обобщен-
ной функции (F, <р) на I производная (F', <р) определяется
равенством
(F, <р)=—(F, <р')-
Нетрудно проверить, что F' удовлетворяет всем условиям
для обобщенной функции на Z. (Заметим, что этой же фор-
мулой определяется производная линейного функционала /'.)
г) В советских работах функционалы, представимые в таком виде,
называются «функционалами типа функции!, а функционалы, о кото-
рых идет речь в следующем абзаце,—«функционалами типа меры». —
Прим. ред.
12
Среди обобщенных функции, определенных выше, содер-
жатся все непрерывные и даже все (локально) суммируемые
по Лебегу функции, все меры Стильтьеса и, как мы дальше
увидим, много новых математических объектов. В пределах
системы обобщенных функции каждая обобщенная функ-
ция имеет производную и, следовательно, имеет производ-
ные всех порядков:
(F&\ <?)=( - 1)"(Л <Р(П)).
Производная функции точки f(x) является обобщенной
функцией, но может не быть ни функцией точки, ни даже
мерой Стильтьеса. Эта производная будет функцией точки
в том и только в том случае, если f(x) абсолютно непре-
рывна на каждом отрезке, лежащем на I. В этом случае
производная совпадает с обычной производной /' (х), которая
существует (почти всюду). Производная функции f(x) ото-
ждествляется с мерой Стильтьеса d'b (х) в том и только в том
случае, если f (х) имеет ограниченное изменение на каждом
отрезке, лежащем на /. В этом случае f (х)=«р(х)+с, где
с — (произвольная) константа.
В частности, теперь строго определена производная 8 (х)
функции Хевисайда У(х) как мера dY(x) (в этом примере
/ — интервал, содержащий начало координат). Таково пра-
вильное математическое описание дельта-функции Дирака,
которая как функция точки не имеет смысла. Теперь пол-
ностью оправдано и применение записи 8=У'.
В некоторых физических задачах с помощью локально
суммируемой функции f(x) описывается распределение масс
или электрических зарядов по оси х. Именно, интеграл
а
J fW л*
с
равен алгебраической сумме всех зарядов или масс, распре-
деленных на отрезке [с, d] этой оси, а функция f (х) являет-
ся плотностью распределения зарядов или масс в точке х.
С этой точки зрения дельта-функция Дирака описывает слу-
чай, когда единичный заряд сконцентрирован в одной точ-
ке— начале координат; 8' описывает случай диполя; стар-
шие производные от 8 описывают более сложные рас-
пределения («мультиполи»).
Интересный пример обобщенной функции, совершенно не
похожей на дельта-функцию Дирака и ее производные, строит-
13
Ся следующим образом. Пусть функция / (х) равна х"~Ч* для
положительных х и нулю для остальных х. Тогда ее произ-
водная f' существует (как обобщенная функция), хотя она ие
является даже мерой Стильтьеса. Грубо говоря, f' описывает
такое распределение масс: в начале координат сосредото-
чена бесконечная положительная масса; на полуоси х > О
непрерывно распределена отрицательная масса таким обра-
зом, что в каждой окрестности начала координат сумма
отрицательных масс бесконечна и на каждом конечном от-
резке алгебраическая сумма всех масс конечна. Это показы-
вают следующие выкладки, где <р£К[а..ъ] и а<®<.Ь:
ь	ь
(Г,	— f f (х) u'(x)dx— — ( f (x)v' (x) dx=
a	0
так как при e -> О
?	WL-vl0). 0-<p’ (0)=0.
if e	e
Хотя в классе K\a, &] заведомо существуют функции <р, для
которых функция х~"”0(х)/2 не суммируема на [0, b]t ве-
личина
имеет конечный предел, который Адамар назвал конечной
частью расходящегося интеграла. Мы будем пользоваться
14
обозначением
b
(Г, <p)=F.p.
b
где f'(x)—не суммируемая обычная производная от f(x)
для положительных х. Конечные части расходящихся ин-
тегралов детально изучал Адамар1).
Аналогично, линейный функционал
соответствует непрерывному распределению масс, при ко-
тором на полуоси х>0 находится бесконечная положитель-
ная масса, на полуоси х<0— бесконечная отрицательная
масса, причем в каждой окрестности начала координат ал-
гебраическая сумма всех масс конечна. Предел выражения,
стоящего в квадратных скобках, представляет второй слу-
чай конечной части по Адамару расходящегося интеграла,
которая в данном случае совпадает с его главным значением
по Коши. Сама же обобщенная функция является произ-
водной от функции точки In | X
§ 3. ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Умножение обобщенных функций на константу и сложе-
ние двух обобщенных функций определяются формулами
(cF, <c)=c(F, <р), (f1+f2, f)=(F1,	<?)
Нетрудно проверить, что сохраняются обычные правила для
этих двух арифметических действий и для дифференциро-
вания; так,
2-
Функция точки, равная постоянной, f(x)—k, отождествляет-
ся с обобщенной постоянной (k, с), которая определяет-
ся равенством:
ь	ь
(k, tp)= J kv(x)dx—k J cf(x)dx
*) Hadamard J., Le probleme de Cauchy et les equations aux
derivees partielles lineaires hyperboliques, Paris, 1932.
15
для каждой функции с из К[а, а (где [а, 6] — любой отре-
зок, лежащий на I). Если, в частности, k — 0, соответ-
ствующая обобщенная функция называется нулевой. Легко
проверить, что если F есть обобщенная постоянная, то
F' является нулевой обобщенной функцией. Для доказа-
тельства обратного предложения удобно установить сначала
следующую лемму о разложении'.
Лемма. Пусть 6 (х) — произвольная, функция из ,
для которой
d
J О (x)dx= 1 х),
с
и п—любое натуральное число. Тогда любая функция с(х)
из произвольного класса К.\а,ъу, где а^с	может
быть представлена в виде
<р (х)=а„е (х)+а1е,(л)+ ... +о„0’'',(х) +р'”+,) (Д (*)
где aQ1 а.,..., ап — однозначно определенные константы и
Ри (•*-) € К[д, 6].
Эту лемму можно доказать с помощью индукции по п,
используя то, что функция <р(х) из К\а, 6] тогда и только
тогда представима в виде производной некоторой функ-
ции р (х) из К[а, fl, когда
ь
J с (/)<«- О,
а
и что в разложении произвольной функции <р(х) ИЗ К\а, fl
ь
О«= J ¥(<)*
а
С помощью формулы (*) для п=0 мы убеждаемся в том,
что если F'=Q, то F является обобщенной постоянной. В са-
мом деле, для любой функции р0 из /<[О, а по этой формуле
имеем
(F, <p) = (F, a(ie+pJ=a(,(F, 6)+(F, pj^fe,
x) Например, можно принять, что
«(*)-{]' (<)<«}
С
где ?с а(х)—функции, определенная в § 2.
16
где А —константа, равная значению (Г, 0) [ибо (F, р^)=
____(F', ро)=0 по условию]. Таким образом,
ь
(Ft k^(t)dt,
а
чем и доказано, что F действительно является обобщенной
постоянной.
Мы будем говорить, что функция G является прими-
тивной для F, если G'=F. Из сказанного в предыдущем
абзаце следует, что две примитивные для одной и той же
обобщенной функции F отличаются друг от друга на обоб-
щенную постоянную.
Как хорошо известно, в случае функций точки суще-
ствует бесконечное множество различных примитивных (функ-
ций точки), и для того, чтобы выделить одну из них,
достаточно задать ее значение в какой-нибудь одной точке.
В случае произвольной обобщенной функции F также суще-
ствует бесконечно много примитивных (обобщенных функций!),
и выделение одной из них может быть произведено указанием
ее значения для некоторой основной функции 0(х); это не-
посредственно видно из соотношения
(G, ¥)=(G, ао0+р')=О(1(О, 6)+(С. р;,)=
=a„(G, 0)-(F, р„).
Последнее может быть использовано для определения (G, с)
при любой функции с в терминах произвольного (но фиксиро-
ванного) значения (6, б) и данной обобщенной функции F;
то, что G является обобщенной функцией, можно показать
с помощью равенства
X	Ь	X
Ро W= $ V (i) dt — {j <p (/) й } j e (Z) dt,
a	a	a
легко вытекающего из формулы (*) при п=0.
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ
Произведение FXF2 можно определить не для всех обоб-
щенных функций Д и F2. Это отражает тот факт, что
произведение /1(х)/2(х) двух локально суммируемых функ-
ций может не быть локально суммируемой функцией.
2 И. Гальперин	jy
Мы дадим, оДнаКо, определение FLF2 для ряда случаев.
Например, если F± и F2 можно отождествить с функциями
точки f!(х) и f2(x) и если произведение Д (х) f2 (х) локально
суммируемо, то FtF2 будет представлять собой обобщенную
функцию, отождествляемую с	Это специальный
случал общего определения, приведенного ниже.
Произведение двух линейных функционалов иа отрезке.
Пусть FW для некоторого п является функцией точки
(х), a F2— п-й производной от функции точки f2 (х):
F<f> = h, Fs=fP-
Предположим также, что flt f2 и произведение fj2 сум-
мируемы. Определим произведение FtF2 формулой
+(-1Г	. +(_l)„f(«>/2.
Каждый член в правой части представляет собой линей-
ный функционал, так как Fffla есть произведение fj2t ко-
торое было предположено суммируемым, а для г < п вели-
чина F^f2 является произведением абсолютно непрерывной
(следовательно, ограниченной) функции точки и fz.
Произведение обобщенных функция на интервале/. Для
отрезка [a, b] czl условимся обозначать через F\a, ь] функ-
ционал, которым является обобщенная функция Ft если
ограничиться основными функциями из К[а, &]. Пусть Ft и
F2 — такие обобщенные функции на /, что произведение
Fi[a. ь]^2[а, ь] определено для каждого [а, b]al. Тогда FtF2
определяется как обобщенная функция на /, которая, если
ограничиться основными функциями из К [а, &], совпадает с
fl[a, b]Fi[a, fcj .
Нетрудно убедиться в том, что если произведение FtF2
определено, то оно определено однозначно, и что наша фор-
мула для FjF2 эквивалентна следующей:
ь
а
Можно проверить также, что выполняется правило диффе-
ренцирования произведения
18
и что три произведения, фигурирующие в этом равенстве,
определены, если определено одно из произведений, стоя-
щих справа.
В одном специальном, но наиболее важном случае наше
правило умножения можно значительно упростить. Предпо-
ложим, что Ft является непрерывной функцией точки а (х),
обладающей обычными производными всех порядков, так
что f — непрерывная функция точки при каждом п. Тогда
наше правило умножения определяет FXF2 для каждой
обобщенной функции /'2, которая, если ограничиться основны-
ми функциями из К[а, Ь], может быть взята в виде производ-
ной некоторого порядка и от некоторой функции точки f2,
где f2 и п, вообще говоря, зависят от а и Ь. Эго правило
записывается в данном случае в более простом виде:
ЮЛ» ?)=№, <Р)=Ю ««₽),
где ф —• любая основная функция. (Очевидно, что произведе-
ние скр будет основной функцией вместе с а>.)
Предыдущий абзац подсказывает, что мы могли бы ис-
пользовать соотношение
(“Л. <?)=(Л. “>)
для определения a.F2 в случае, когда а имеет (обычные) про-
изводные всех порядков, a F2— произвольная обобщенная
функция. Интересно отметить, что такое определение не
дало бы ничего нового, потому что каждая обобщенная
функция /‘2, если ограничиться основными функциями из
/цо, &], может быть взята в виде производной некоторого
порядка п от некоторой функции точки f2 (%), где f2 и п, во-
обще говоря, зависят от а и Ь. Эга теорема будет доказана
в следующем параграфе; она является следствием условия
непрерывности в нашем определении обобщенной функции.
Отметим, что первоначальное определение произведе-
ния cFt где с — константа, содержится в определении про-
изведения обобщенных функций, если с рассматривать как
обобщенную постоянную.
Отметим также, что при умножении дельта-функции Ди-
рака & и ее. производных на функцию точки а(х), имею-
щую производные а<я>(х) всех порядков, мы получаем
а(х)8=а(0) 8,
а (%) 8'=(а8)' — и'Ъ—а. (0) 8' — а' (0) 8
и вообще
а (х) 8<")=а (0) £<«) — (?)а7 (0)	а" (0) 8(«-2)+
+ ...+(—1)М«> (0)8.
§ 5. ПОРЯДОК ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ
Построенная выше система линейных функционалов на
заданном конечном отрезке [а, Ь] содержит, очевидно, каж-
дую суммируемую функцию f (х) и все ее производные. Мы
покажем в этом параграфе, что других линейных функцио-
налов нет, т. е. что каждый линейный функционал есть
либо (/, ср), либо (f<n>, с), где f (х) — некоторая суммируемая
функция точки и п — некоторое натуральное число. (Уве-
личивая, если нужно, п, мы можем сделать функцию f(x)
непрерывной и даже абсолютно непрерывной.)
Пусть F—линейный функционал на [a, £>]. Будем гово-
рить, что F имеет конечный порядок на [а, й], если F
можно отождествить с r-й производной некоторой сумми-
руемой функции точки f (х) для некоторого неотрицательного
числа г. Наименьшее возможное такое число г будем, назы-
вать порядком1) линейного функционала F.
Очевидно, что если F можно отождествить с суммируе-
мой функцией точки /(х), то F имеет порядок 0, а произ-
водная F'—порядок 0 или 1. Если F имеет порядок
то порядок производной F' равен г-|-1.
Если F имеет порядок г и s Дз г, то для некоторой функ-
ции точки f, зависящей от F и s, справедливо соотношение
F—f(s\ При этом, если s > г, то f абсолютно непрерывна;
далее, если s=0, то f определена однозначно с точностью
до эквивалентности по Лебегу (см. примечание1) на стр. 9), а
если s > 0, то f определена лишь с точностью до слагаемо-
го, являющегося многочленом от х степени s — 1.
Мы хотим показать, что линейный функционал F всегда
имеет конечный порядок. В определение линейного функ-
ционала входит требование, чтобы из того, что с и все
принадлежат классу К [а, и чго <t>m, <$?при т->оо для каж-
дого п равномерно сходятся соответственно к ф и сле-
довала сходимость (F, Фт) к (F, с). Мы покажем, что из
*) В первом томе книги Л. Шварца на стр. 25 вводится несколько
иное определение: порядком F называется наименьшее натуральное чи-
сло г, при котором F=F(r) , где /'0— мера Стильтьеса.
20
этого требования вытекает следующее формально более
сильное условие:
(С ) При некотоР°м конечном г, зависящем от F, последо-
' г вательность (F, w,,,) сходится к (F, <р), если и
все лежат в К\а, <>] и для каждого п, удовлетво-
ряющего неравенствам О С п гсг, последовательность
Н%) равномерно сходится к
Действительно, допустим, что условие (Сг) не 'выпол-
няется для F ни при каком г. Тогда сущеегвует такая по-
следовательность основных функции срт, что при каждом т
имеем
(I) | &$) | <2~т для всех п<т.
(II) (К <?„)>!
(мы воспользовались обозначением | ср [=max | <р (х) |). При
каждом п последовательность ^(х) равномерно сходится
к нулю. Так как F — линейный функционал, то отсюда сле-
дует, что (F,	Но это противоречит условию (II).
Таким образом, (Сг) должно быть справедливо при некото-
ром конечном г* 1).
Но для п < г выполняется равенство
а
откуда |	| В |	| для всех п г, где В — некоторая
конечная константа, зависящая только от г, а и Ь. Следо-
вательно, условие (Сг) эквивалентно условию:
(Вг) Последовательность (F, с,„) сходится к (F, о), если w
и все срт лежат в /\рг, и последовательность (х)
равномерно сходится к </'>(%).
1) Подробнее: если условие (Сг) не выполняется для г—0, то
найдется последовательность основных функций для которой
I 'ff? 1 б, I (F, ?£?) 1 > с > 0; умножая в случае надобности функ-
ции на постоянную и переходя к подпоследовательности, можно до-
биться выполнения неравенств (F, <р^) > 1, |	| < 2~т. Затем ана-
логичное построение проводится для г — 1,2 и т. д. и выбирается
Диагональная последовательность. Так же следует рассуждать в ана-
логичных случаях и далее.— Прим. ред.
21
Покажем теперь, что из условия (Вг) вытекает условие
(А)	КЛ <?)1=сИ1,1<?и1
для всех w из д, где | F | г — конечная константа. (Че-
рез | F | г мы будем обозначать наименьшую возможную
константу.)
В самом деле, если условие (Zr) не выполняется, то
мы можем определи гь последовательность основных функ-
ций для которых (F, wm)>m |^|- Тогда функции рт(х)=
= 1 <?£? Г1/п(*) принадлежат К[а, щ', далее, последова-
тельность н£?(*) равномерно сходится к нулю, поскольку
||л<И| =щ~1. Но (F, р-те) > 1, что противоречит условию (Вг).
Таким образом, (Аг) справедливо.
Подытожим наши результаты. Если F — линейный функ-
ционал на [а, 6], то существует конечное число г, прн ко-
тором | F ] Г<С со и
КЛ
для всех ф из К[а, г>}.
Теперь для произвольных функций, которые могут быть
записаны в виде мы определим новый функционал В
формулой
(L, ^<r))=(fj и).
Этот функционал, согласно сказанному в предыдущем абза-
це, является ограниченным линейным функционалом, опре-
деленным в пространстве функций вида с нормой |	|.
Используя процесс Хана — Банахах), можно продолжить
этот функционал, распространив его на все непрерывные
на [а, 6] функции и не изменив границ значений В. После
этого приложима теорема Ф. Рисса о представлении ли-
нейных функционалов* 2), которая показывает, что
ь
(В, cpW)= j v<rHx)dty(x),
а
г) См. Банах С. С., Курс функционального анализу, КиТв, 1948,
теорема 2, стр. 46. (Автор ссылается здесь на французское издание
этой книги. — Прим, ред.)
2) См. там же, стр. 51, (См. также Рисе Ф. и Секефаль-
ви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, М., 1954,
стр. 122. Теорему, о которой шла речь в предыдущей сноске, см.
на стр. 229 этой книги.—Прим, ред.)
22
где Ф(^) — функция, полное изменение которой равно [Г|„
причем можно предположить, что | ^(х)| =<| Г]г. Огсюда
ь	ь
(Pt <с)=(Е, <pW)= J <ptr)(x)d'}(x)=—J [(x)^r+1\x)dx,
а	а
так что F=f(r+I>, где /=(—1)Лр. Этим доказано, что F
имеет конечный порядок. Если мы заменим функцию f одним
из ее неопределенных интегралов, то сможем написать
р^цг+2) t где f(x) абсолютно непрерывна.
Для следующего параграфа отметим, что, если [ FL < со,
то F= f(r+1}, где функция f (х) ограничена: именно, | f | < |F|r.
Обратное предложение не имеет места, однако константа [F|z
обязательно конечна, если F имеет порядок г, так как тогда
ь	ь
| (F, <Р) I = I (-1) rJ f (*)	(X) dx ]< {JI f (x) I dx} I	|.
a	a
Таким образом, произвольный линейный функционал на
конечном отрезке можно представить в виде производной
от некоторой суммируемой функции точки, и наша си-
стема линейных функционалов широка ровно настолько,
насколько нужно для того, чтобы внутри нее было воз-
можно дифференцирование любое число раз всех суммируе-
мых функций точки.
(Эго подсказывает абстрактное, но равносильное данному
выше определение системы линейных функционалов как
системы всех символов с использованием всех суммируе-
мых функций точки f(x) и всех целых неотрицательных п,
а также с введением очевидных правил сложения, отож-
дествления и т. д.)
Если мы рассматриваем обобщенную функцию F на ин-
тервале I, то приведенные выше рассуждения приложимы
к любому функционалу F[a, ь], где [a, b\czl. Если F[O/fc]=
~fW на [а, Ь\, то наименьшее из чисел г мы будем на-
зывать порядком обобщенной функции F на [а, 6].
Отметим, что порядок F на [а, Ь] при изменении а и Ь
может, вообще говоря, не быть ограниченным. Простой
пример этого дает обобщенная функция
(F, <?)= Ъ
на интервале — оо < х < + оо. Стоящая справа сумма со-
23
держит лишь конечное число отличных от нуля слагаемых
при любой основной функции <р. Порядок этой обобщенной
функции F на отрезке [а, равен наибольшему целому «,
для которого а < п <С Ь.
§ 6. СХОДИМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Рассмотрим сначала [линейные функционалы на отрезке
[а, Ь]. Мы будем говорить, что линейные функционалы Fa
ограничены в совокупности, если для каждой основной
функции w из &] совокупность чисел (Fa , с?) ограни-
чена, т. е.
\(Fa, <?)[<Af,
где М — константа, зависящая, конечно, от и, М — М (с).
Мы скажем, что последовательность линейных функцио-
налов Fm сходится, если для любой ср сходится последо-
вательность чисел (Fm, и), и что Fm сходится к пределу F,
если для любой у последовательность (Fm, ср) сходится к
пределу (F, ср). Очевидно, что если последовательность Fm
сходится к некоторому пределу, то она и просто сходится;
обратно, если последовательность Fm сходится, то мы оп-
ределяем F равенством (F, а>) = lim (Fm, и); ниже в этом
т->со
параграфе мы покажем, что F— линейный функционал и
что Fm сходится к F, как к пределу.
Наконец, условимся говорить, что ряд S Fm сходится
т=1
N
и имеет сумму F, если последовательность У Fm сходится
т=1
к F при Л;->сю.
Покажем теперь, что если функционалы Fa ограничены
в совокупности, то должно существовать такое целое не-
отрицательное число г, что
|(Л, <p)|<:B|<f<H|
для всех а и ср при некоторой константе В, т. е. что вели-
чины Fa | Т ограничены в совокупности. В самом деле, до-
пустим, чго это неверно при каждом г. Тогда мы можем
с помощью индукции по р построить такие последователь-
24
НОСТИ ч>р и Fapi ЧТО при любом р
(I)	|<РрЯ,К2“р для всех п, О^пСР',
(II)	(Fapi <рр)>р4-1+
(III)	(Fa t tpmX2~m Для всех т>р.
Действительно, пусть для t=0, 1,..-, р—1 уже выбраны
и Fa., удовлетворяющие тем из условий (I)—(III), ко-
торые к ним относятся. Так как для любого из этих
число | Fa. | г. конечно при некотором rh то мы можем по-
требовать, чтобы ®р удовлетворяла р условиям
(,-=0.....р-1),
из которых следует, что ] (F^ , срр) | < 2 р для всех указан-
ных i. Эти р условий и условие (I) содержатся в одном
условии:

при некотором конечном В± и r=max(r0,..., rp_lt р). По-
скольку мы предположили, что | Fa | г не ограничены при
каждом г, должны существовать функция ®р, удовлетворяю-
щая этому условию, и функционал Fa , удовлетворяющий
условию (II). Тогда Fa. при г = 0, 1,..., р будут
удовлетворять относящимся к ним условиям (I)—(III).
Сумма о(х) ряда У] <рга(х) будет основной функцией,
т—\
для которой
, S <?„.) = lira (f«„ . £<?,„)>₽.
P	P m = \.	P m=l
и, следовательно, значения (Fa, <c) не будут ограниченными
для этой Это противоречие и показывает, что Fa ограниче-
ны в совокупности тогда и только тогда, когда | (Fa ,о) [ «С
при некоторых фиксированных Виг для всех а
И всех ОСНОВНЫХ функций а ИЗ К[а, 6] -
Используя результат, отмеченный в предыдущем пара-
графе, мы можем заключить, что линейные функционалы Fa
ограничены в совокупности тогда и только тогда, когда они
.25
могут быть представлены в форме Fa = /Ю с одним и тем
же г и ограниченными | fa |.
В качестве следствия мы получаем отсюда, что если ^об-
разуют сходящуюся последовательность, то (F, с)=ср)
т-*со
является линейным функционалом и Fm сходится к F. Дей-
ствительно, нз сходимости последовательности Fm выте-
кает ее ограниченность, откуда ] Fm | г В прн некотором г
и некоторой фиксированной константе В < оо; следова-
тельно,
|(Л <p)| = Iim|(F„. ¥)]<В|^>|.
т — а>
Отсюда вытекает, что F является линейным функционалом.
Если функционалы Fm можно представить в виде Щ,
причем последовательность fm(x) сходится равномерно, то
(Fm, “>) =
ь	ь
=(— !)r f fOTW<Pw (x)dx-f- (— 1)' [{lim fmW)a,«-)(x)dx,
a	a
так что Fm сходится и lim Fm=	Мы теперь
покажем, что верно и обратное, т. е. что если последова-
тельность Fm сходится, то можно принять Fm=f$, где
г — некоторое целое неотрицательное число и последова-
тельность fm(x) сходи гея равномерно (фактически функции fm
можно выбрать непрерывными), причем имеет место соот-
ношение lim Fm~ (Пш fm(x)}irK
Пусть последовательность Fm сходится, так что (Fmi <р)
стремится к (Е, с) при каждой Тогда F, Fm ограничены
и, следовательно, для некоторого г можно написать
F=f”. Fm=f%,
где функции f(x)t fm(x) ограничены (т. е. ограничены |/|
и |/то|). Заменив, если нужно, каждую из функций /(х),
fm(x) ее интегралом от а до х и взяв г вместо. r-f-l, мы
можем предположить, что F—f(r\ Fm=f^f где f(x)t fm(x)
равностепенно непрерывны на (а, Ь\. Мы можем, конечно,
написать также (fra+PTO)(r>, где функции fm{x) — те же,
что и раньше, а Рт(х) — произвольные многочлены степе-
ни, меньшей г. Мы докажем в приведенной ниже лемме
26
возможность выбора таких многочленов, при которых после-
довательность fm(x)+Pm(x) равномерно сходится к функ-
ции f(x). Этим будет доказана теорема: последовательность
р сходится тогда и только тогда, когда Fm=f^, где
г — некоторое целое неотрицательное число, Д,(х)— непре-
рывные функции точки и последовательность fm сходится
равномерно, причем в случае сходимости F = lim Fm —
*	-> со
Таким образом, нам остается доказать следующую лем-
му, в которой функции frn(x) — f(x) заменены на gm(x):
’«Лемма. Если функции gm(x) равностепенно непре-
рывны на отрезке [с, Ь] и если при некотором фиксиро-
ванном г и любой основной функции с последовательность
ь
интегралов J gm (х) c(r\x) dx сходится к нулю при т^ оо,
а
то существуют многочлены Рт(х) со степенями, не пре-
восходящими г—1, такие, что последовательность gm(x)+
+Рт(х) при	равномерно сходится к нулю.
Мы можем предположить, что функции gm (х) принимают
только вещественные значения, так как в случае комплексно-
значных функций можно отдельно рассматривать их веще-
ственные и мнимые части.
Докажем сначала лемму для г—0. Пусть е — произволь-
ное положительное число; по условию, существует такое 8 (е),
чта	gm(&)|<e для всех т при |л-—//1<й(е).
Пусть, далее, отрезок [а, Ь] покрыт конечным числом
отрезков 1Ъ..., Itl длина каждого из которых меньше 6(e).
Предположим, что при некоторых q н / = [с, Н] мы имеем
gq{x)^t для всех х из / Тогда
6	d
i g„ (А") <fc. 4 W dx 3» е J ес, „ (х) dx
а	с
(функции d (х) были определены в § 2). Это неравенство
не может выполняться для бесконечного множества значе-
ь
ний q и фиксированного 1р, так как J gm (х) vCi d (х) dx->0 при
т 00 - Поскольку число отрезков / конечно, существует
такое т0, чго gm(x)<e при т^т0 хотя бы для одного
значения хр из каждого I Но каждое х из [с, Ь] лежит
27
I на некотором I \ далее,
gm W = gm (*) — gm (X„)+g„ (хД
поэтому £,.,(х)<2е для всех х из [а, Ь] и всех т^т0.
Аналогично показываем, что — gm (х) <С 2е. Следовательно,
I Sm (*) I < для всех т, за исключением конечного их числа,
и для всех х. Это означает, чго gm{x) равномерно сходится
к нулю. Для г=0 лемма доказана.
Теперь докажем лемму для всех г с помощью индукции.
Пусть 6 (х) — фиксированная функция ИЗ К[а, Ь], ДЛЯ которой
[G(x)dx=l. Используя лемму о разложении из § 3, мы
а
Ъ
можем написать <f (х)=со0 (х) + р'„ (х), где | <f(x)dx.
а
Тогда
J gm(х)ч№(х)<1х= J gm(x) {c0OW(x)+pip + ‘>(x)) dx=
a	a
b	b
=^„ Jf(x)«/x+ J^(x)p<r+«)(x)dx,
a	a
где коэффициенты
b
c,,=
a
зависят от gmi не зависят от e в ограничены. Применяя
несколько раз интегрирование по частям, мы получаем, что
ст J с (х) dx= ст -^~ррР J хР(£>(^ (х) dx— —bm J	(х) dxt
а	и	а
где Ьт—также ограниченные константы, зависящие от gm
и не зависящие от и, Следовательно, справедливо тождество
ь	ь
J («„W+V'l ¥|/”(л')^= f g„WPST1)W'i*.
а	а
из которого видно, что если лемма верна для г=р, то она
верна и для r=p+1. Таким образом, лемма верна для всех г.
28
Теперь мы можем перейти к случаю обобщенных функ-
ций на интервале I. Условимся говорить, что обобщенные
Функции Fa ограничены, если (Fa,<o) ограничены при каж-
дой & и что последовательность Fm сходится к F, если
при любой ср последовательность (Fm,v) сходится к (F, <р).
Доказанное выше позволяет сделать соответствующие за-
ключения относительно функционалов F[a,i>} при лю-
бом	„
Важное свойство обобщенных функции заключается в
следующем: если Fm сходится к F, то F'm сходится к F'.
Это сразу вытекает нз соотношения
(Fz, <р)—(F’т, <?)=—{(F, </)—(Fm, ф')).
Далее, если F— У’ Fm, то F'= У FOT, так что почлен-
т=1	т=\
ное дифференцирование сходящихся рядов обобщенных функ-
ций возможно без всяких ограничений.
В частности, пусть f(x) есть сумма равномерно сходя-
щегося ряда У fm(x) абсолютно непрерывных функций fm(x).
m=i
Тогда функция f(x), которая может не быть абсолютно
непрерывной, обязательно суммируема (и даже непрерывна)
и, следовательно, имеет производную f' в смысле обобщен-
ных функций, являющуюся пределом (также в смысле обоб-
щу
щенных функций) при Л’->со последовательности У
т=-1
N
Если при этом f (х) абсолютно непрерывна, то У f’m (х) схо-
т—1
дится к обычной производной f' (х) (однако, вообще говоря,
лишь в смысле обобщенных функций).
Будем говорить, что обобщенная функция Ft, зависящая
от параметра t, сходится к F при если (Ft, <р) схо-
дится к (F, <р) при /->4 для каждой у. Как и выше, из
сходимости Ft к F следует сходимость FJ к F'.
Рассмотрим, например, функцию
29
Дифференцируя в обобщенном смысле дважды, получаем
f
f" (х)=li m J cos wx dw.
t-v J
1
Мы видим, что расходящийся интеграл J coswxdw имеет
i
смысл как обобщенная функция.
Рассмотрим интеграл 2 J cos 2tvwx dwf который, очевидно,
о	__
также имеет смысл в теории обобщенных функций. Положим
t
gt (х)= j*2 cos 2ttwx dw=-m^t^~
0
и заметим, что
,	. f sin	,
(&><?)=]	 w(x)dx
сходится к c(0) при /-*co [известный в теории рядов Фурье
интеграл Дирихле* 1)]. Поэтому gt как обобщенная функция
при /-> со сходится к дельта-функции Дирака. Таким обра-
зом, справедлив следующий результат2):
со
2 f cos 2tvwx dw=8.
b
Такие формулы давно используются в теории электриче-
ства, в символических вычислениях в волновой механике,
однако без точного обоснования. В теории же обобщенных
функций эти формулы имеют вполне строгий смысл.
Пусть —обобщенная функция, зависящая от пара-
метра t. Мы можем определить производную dFt!dt от Ft
См., например, Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциаль-
ного и интегрального исчисления, т. Ill, М.—Л., 1949, стр. 633—636.—
Прим. ред.
2) Из этого результата следует, что рассмотренный выше инте-
1
грал ^cos wx dw приводится к виду —% 8— Jcos Wx &х' ~Нрим' Ре&'
1	о
30
no t (не следует смешивать ее с /у) как обобщенную функ-
пйю G, для которой (О, c)=d(Fz, q)/dt при любой основной
функции с, если такая G существует. Точно так же мы
можем определить интеграл J Ftdt, положив его равным
обобщенной функции И, если интеграл f (Ft, <f)dt суще-
ствует и равен (Н, с) для всех с.
§ 7. НУЛЬ-МНОЖЕСТВА И НЕСУЩИЕ МНОЖЕСТВА
Хотя обобщенная функция F, вообще говоря, не является
функцией точки, мы можем говорить о «локальных» ее
свойствах, т. е. о свойствах, относящихся к одной (но про-
извольной) точке х и ее окрестностям. Мы уже видели,
что каждую точку х можно покрыть отрезком [с, d], где
c<x<d, на котором F имеет конечный порядок.
Будем говорить, что точка х0 интервала I принадлежит
нуль-множеству обобщенной функции F на I, если^^ —
=0 на некотором отрезке [с, d], где с<Зг0<Д. Дополнение
к нуль-множеству на I будем называть несущим множе-
ством для F. Очевидно, что нуль-множество открыто, а
несущее множество замкнуто (в /).
В случае, когда F можно отождествить с непрерывной
функцией точки f (к), несущее множество будет, как легко
понять, замыканием множества всех тех х, для которых
f(x)=F 0, следовательно, замыканием открытого множества;
нуль-множество будет состоять из внутренних точек мно-
жества тех х, для которых f(x)=O, т. е. из внутренних
точек замкнутого множества. Для произвольной локально
суммируемой функции эти утверждения, вообще говоря, не
выполняются.
Для нулевой обобщенной функции несущее множество
пусто. Обратно, лишь нулевая обобщенная функция обладает
этим свойством. Действительно, на [а, 6] cz I мы имеем
F=f^t где f (х) — непрерывная функция точки, так что
ь
(F, <£>)=(—1/ J f(x)v<r>(x)dx
а
Для всех <р из К[а, i>] и, следовательно, для всех <£> из К{е, а],
где a^c<jfe^b. Если а\ = 0, то лемма из предыдущего
31
параграфа (в которой нужно положить gm=f) показывает,
что f (х) представляет собой на [с, d\ многочлен степени,
меньшей г. Следовательно, по теореме Гейне — Бореля,
отрезок [а, 6] можно покрыть конечным числом таких отрез-
ков [с, dj, на каждом из которых, f (х) является многочле-
ном степени, меньшей г. Поэтому f (х) на [а, Ь] есть мно-
гочлен степени, меньшей г, и (F, <р)=0 для всех с из К[а, ь]-
Таким образом, Г=0, как мы и утверждали.
Аналогичные рассуждения показывают, что обобщенная
функция (А, о) при фиксированной функции с равна нулю,
если замыкание множества тех х, для которых ¥(х)=/=0,
содержится в (открытом) нуль-множестве для F. Отсюда I
следует, что величина (А, с) зависит от значений с(х) |
только в окрестности несущего множества для А, т. е. от
значений if(x) на каком-нибудь открытом множестве, сод ер- ।
жащем несущее множество..
Более сильное утверждение, что (А, <р) зависит только I
от значений <р(х) на несущем множестве для F, неверно: i
для производной 8' дельта-функции Дирака несущее множе-
ство состоит из одной точки — начала координат, а величина |
(S', е)=—и' (0) не определяется значением <р(0). Но по-
скольку на любом отрезке [а, Ь] каждая обобщенная функ- I
ция F может быть представлена в форме /<г>, мы можем |
показать, что для любого [а, 6] и любой F существует
такое постоянное г, при котором значение (F, с) для е из
К[а, &] зависит лишь от значений с(х), <р'(х), . • -, ^г)(х)
на несущем множестве для F. Действительно, нуль-мно- I
жество N для F является открытым множеством и погому I
может быть представлено в виде суммы конечного или 1
счетного числа непересекающихся интервалов (сп, dn).
Тогда
(А, <?)=(—1/ J f (х) <rfr> (х) dx=
I
dn
*= S (-l)r J f(x)(x)dx+(-iy
f f(x)<?<'>(x)dx.
I-N
На каждом интервале (cn, dn) функция f(x) будет много- |
членом Рп(х) степени, не превосходящей г—-1, так что
dn
интеррал J f (х) <fw (х) dx зависит только от значений в точ- |
•	сп
32
ках с 11 4 ФУНКШ,Й “4х). ’ ' ' 4>t’’~l>(x)- Эти точки
принадлежат несущему множеству. Далее, интеграл от
Лх)с<г>(х) ПО I — N, несущему множеству для F, очевид-
ным образом зависит только от значений (fW на несущем
множестве для F, чем и доказано сформулированное утвер-
ждение.
Из сказанного в предыдущем абзаце следует, что жгу-
щее множество обобщенной функции тогда и только тогда
состоит лишь из одной точки — начала координат, когда
эта обобщенная функция является конечной линейной ком-
бинацией дельта-функции Дирака и ее производных:
p=Q
Обозначим через 8Ло, где х0—фиксированная точка, обоб-
щенную функцию
(8л0, <?)= <Р(Х0),
так что дельта-функция 8 будет у нас совпадать с 80. Мы
условимся в дальнейшем называть дельта-функцией Дирака
любую обобщенную функцию 8Лс. Согласно сказанному выше,
несущее множество обобщенной функции на I в том и
только в том случае состоит из изолированных точек, если
эта обобщенная функция представляет собой конечную или
бесконечную линейную комбинацию дельта-функций Дирака
и их производных, причем для каждого [cz, b]cl только
конечное число этих функций и их производных берется в
точках из [а, 6].
Легко видеть, что несущее множество обобщенной
функции F содержит несущее множество для F'; поэтому
естественно ожидать, что изучение невозрастающей после-
довательности несущих множеств для F<a> может дать неко-
торые сведения о локальной структуре F.
Ниже в этом параграфе нам понадобятся следующие
замечания.
Если a<^c<^d<^bt то существует непрерывная функция
а (х) с производными aSn>(x) всех порядков, равная 0 прн
Xs^c и I при x^d‘, такой функцией является, например,
d	х
{J } 1 J <М(Л <U,
3 И. 1 альперии
33
где определена в § 2. Следовательно, каждая функ-
ция с из К[а, й] можег быть представлена в виде ^4-%,
где (pi €^[o,dj и <p2C^{c5ftj, для чего следует положить
<рх=(1—а)? и	Пряхе тяя несколько раз это замеча-
ние, мы полу таем, что если [а, 6] можно покрыть конечным
числом интервалов Ip=(cp, dp) (р=1, - .N) из заданной
системы интервалов 1а то каждая функция е из К [а, ь\ мо-
л/
жет быть выражена в форме У, где ир С К\с , а ]• Нако-
p=i'p	р р
нец, если каждая точка х0 отрезка [а, Ь] содержится в ка-
ком-нибудь из интервалов /а> то [а, б{ по теореме Гейне —
Бореля покрывается конечным числом этих интервалов.
Мы приходим к следующей теореме о разделении: из системы
интервалов [а можно выбрать конечное число таких интер-
валов (с, d), что любая основная функция w может быть
выражена в виде суммы функций <рр, каждая из которых
принадлежит нзко горэму классу К]С, </) Более того, это
можно сделать таким образом, чтобы условие равномерной
сходимости последовательности функции с и последователь-
ностей их производных л-го порядка (п—1, 2, . . .) к О
было эквивалентно аналогичному условию для функций <рр
при каждом р.
Пусть (Г, о) определяется следующим образом (мы не
предполагаем заранее, что это будет обобщенная функция).
Задается некоторая система отрезков [с, d], лежащих на Г,
(Т, <р) определяется для каждой функции о из К [с, и,
если ограничиться этими функциями, представляет собой
линейный функционал Т[С, aj на [с, сЦ. При этом каждая
точка х0 из I лежит внутри по крайней мере одного
отрезка [с, d]. Другими словами, мы предполагаем, что
(Г, <р) определяет обобщенную функцию локально. Мы
утверждаем, что тогда существует одна и только одна
обобщенная функция F на /, являющаяся продолжением
(Г, ¥), т- е- такая, что F[c, dj=7’[C, а] для любого отрезка
[с, d]. Действительно, произвольная основная функция <р
может быть представлена в виде конечной суммы £ <?р,
р
где каждая <рр принадлежит некоторому классу Кр. ау
Функцией 1л (Т, определен для каждого р, и обобщен-
ная функция F, если она существует, должна удовлетворять
условию (£, <с)= ^(Т, ир) (это дает простое доказатель-
р
ство того факта, что если для обобщенной функции F
34
несущее множество пусто, то F является пулевой обоб-
щенной функцией). С Другой стороны, из предыдущего
абзаца следует, что это условие однозначно определяет
обобщенную функцию F, обладающую указанными выше
свойствами.
Сделанные замечания позволяют обобщить наше опре-
деление произведения двух обобщенных функций. Пусть F±
и jF2 — обобщенные функции на /; будем говорить, что их
произведение задано локально в точке х0, если F^c, F&c, d)
определено в принятом ранее смысле на некотором отрез-
ке [с, d], для которого х0 является внутренней точкой.
Если произведение F}F2 локально определено в каждой
точке х, то существует одна и только одна обобщенная
функция F на /, такая, что F\c,d\=Fi[c, F^c, для всех
данных [с, d\; эту обобщенную функцию F мы и будем
называть произведением FjF2. Необходимое (но не доста-
точное) условие для того, чтобы произведение FYF2 было
локально определено в точке х0, как легко видеть, состоит
в следующем; не должна быть изолированной точкой
несущих множеств для F, и F2. Поэтому произведение F±F2
не будет определено, если несущие множества для Fl и F2
имеют общие изолированные точки; например, не опреде-
лено произведение дельта-функции 2>0 на себя1). С другой
стороны, Ft F2 заведомо будет определено и будет нулевой
обобщенной функцией, если несущие множества для Ft и
F2 не имеют общих точек (что это достаточное условие не яв-
ляется необходимым, показывает тот факт, что является
нулевой обобщенной функцией).
§ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ
ФУНКЦИЯМИ
Рассмотрим дифференциальное уравнение
G<'”4-4,_1G<"-i>+...4-4G=F	(*)
*) От любого произведения обобщенных функций естественно тре-
бовать, чтобы из условия Fn-*F вытекало условие Ftfi—FG- Пола-
гая	и выбирая последовательность бесконечно-дифференци-
руемых функций Fn ->Ь, мы для любой основной функции должны
иметь (о2, <p)=lim (Fnb, <p)=lim (b, Fne>)=lim Fn (0) (0). Но если
п-><»	я-»оо	/г-»со
?(0)¥=0, а функции Fn выбраны так, что F„(0)—co, то (В8, <р) ока-
зывается бесконечным и, следовательно, функционал Ь2 не определен.—
Прим. ред.
35
3*
в предположений, что Д^—заданные на конечном отрез-
ке [а, Ь] ограниченные функции от х, a F— функция
от х, суммируемая на [а, FJ. Функция точки G (х) назы-
вается решением этого дифференциального уравнения, если
G(x),..С^т~х\х) абсолютно непрерывны и G(x)y..&т\х)
удовлетворяют уравнению для почти всех х. Все такие
решения можно найти с помощью классического метода
последовательных приближений, который состоит в сле-
дующем.
х
Пусть	обозначает интеграл J* 7/ (Z) Я/ от сумми-
а
руемой функции //(>-') и
я (<)<«•
а
Через ДЯ обозначим выражение — [Am_i (х)Н<т~ ^(х)+- • • +
4-Д(х)Я(х)] для произвольной функции Я(х), такой, что
Я'(х),..Н(т~*>(х) существуют и абсолютно непрерывны.
Положим
Go (x)=F^ (х)
и
Сл+1И=Я-«’1(х)-Ъ(ДбЛ)Ь«,и)	(fe>0).
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что
ряд
G„(xj+ £ {G„tl(x) — Gfc(x)}
k=Q
равномерно сходится к некоторой функции О(х), а ряды,
получающиеся однократным, двукратным,. .. , т-кратным
дифференцированием этого рада, равномерно сходятся со-
ответственно к G' (х), . . - ,	(х). Отсюда можно вы-
вести, что G (х) является частным решением уравнения (*).
Из построения следует также, что если для некоторого р все
коэффициенты Am-s(x) и их производные Дп-Дх)...Ат-з
абсолютно непрерывны, а производные Ат-Р ограничены и
если Г(х), Г'(х), . . . , F(p>(x) абсолютно непрерывны, то
G(x), G'(x),. .. , G(m+P>(x) также абсолютно непрерывны.
В частности, если Am-S(x) и F (х) бесконечно дифференци-
руемы, то 6(х) также бесконечно дифференцируема.
36
Для получения т линейно независимых решений одно-
родного уравнения (F—0) можно положить
Со(Л)"=-7Г	1),
С*т1(х)=(ДС4)1-”)(х),
6W=(iW+j (C*+I W —G*W).
А=-0
Не возникнет недоразумений, если мы условимся обо-
значать через Gp(x) частное решение уравнения (*) и че-
рез Gg(x), . . . ,	— решения однородного уравнения,
найденные выше. Тогда при любых константах с0,. . .,
функция
G(x)=Gp(x)+c0Gl,(x)+. . .4-c»,-iGm_1(x)
будет решением уравнения (*), причем дифференциальные
свойства этого решения будут зависеть от дифференциаль-
ных свойств функции F и Am-S> поскольку такие свойства
функции Go,.... Cm-i зависят только от дифференциаль-
ных свойств Am-S. Как легко показать, не существует дру-
гих функций точки, удовлетворяющих уравнению (*).
Будем теперь рассматривать уравнение (*) как урав-
нение относительно линейного функционала G1). Найденные
функции точки, удовлетворяющие этому уравнению, являются,
очевидно, линейными функционалами. Мы покажем сейчас,
что не существует других линейных функционалов, удов-
летворяющих уравнению (*). В самом деле, если бы по-
рядок G(m> был больше нуля, то он был бы больше поряд-
ков G^m~1^, . . . , G, F и, следовательно, больше порядка
разности
..+4G),
которая равна G&"). Это противоречие показывает, что по-
рядок равен нулю, так что G<m> есть суммируемая
функция точки и, следовательно, G содержится среди реше-
ний, указанных выше.
9 Очевидно, что дифференциальный оператор в левой части урав-
нения (*) определен лишь для таких обобщенных функций G, для
которых имеют смысл все произведения	, A0G.—
Прим. ред.
37
Описанный метод решения дифференциального уравне-
ния может быть применен и в случае, когда F—- произволь-
ный линейный функционал, если Am~s—-ограниченные
функции точки, удовлетворяющие некоторым указанным
ниже условиям. Пусть F1 обозначает какую-нибудь при-
митивную для F и, по индукции, F~s — какую-нибудь при-
митивную для	конечно, F~s определена лишь с
точностью до слагаемого, являющегося произвольным
многочленом степени s — 1. Потребуем теперь, чтобы
Am_sF~s было определено (как произведение двух линей-
ных функционалов) для 1,. . . , т [это условие заведомо
выполнено, если Am-S (х) бесконечно дифференцируемы].
Если прн этих предположениях порядок F больше нуля,
то перепишем уравнение (*) в виде
(G —	^G_р-тут-1)л_' . _-рЛ0(6—F-m)—Flt
где
Ft=-[Ат..^-'±Ат-2р-Ч-. . .+AoF-^].
Теперь мы имеем уравнение относительно G — F~mt в ко-
тором порядок правой части рг меньше, чем порядок F.
Последовательно уменьшая порядок правой части, мы в
конце концов получим дифференциальное уравнение, правая
часть которого будет суммируемой функцией точки. Реше-
ния этого уравнения находятся описанным выше способом.
Таким образом, мы приходим к теореме: существуют ли-
нейный функционал Gp и т линейно независимых функций
точки Go, . . . , Gm_j, такие, что линейный функционал
G=Gp-f-cllGll-
при произвольных константах с0, . . , ст_\ является реше-
нием уравнения (*), причем в пространстве линейных функ-
ционалов других решений этого уравнения не существует.
Порядок равен порядку Ft а дифференциальные свой-
ства G0(x),  . - , Gm_ f (%) как решений однородного урав-
нения в классе функций точки зависят только от диффе-
ренциальных свойств коэффициентов Am~s(x).
Рассматривая решения дифференциального уравнения в
классе линейных функционалов на произвольном отрезке
[а, 6] с/, мы без труда приходим к соответствующим ре-
шениям в классе обобщенных функций на интервале I.
Более общее уравнение
Am(x)G№	+.. .+4(x)G^E
38
сводится к уравнению, в котором Ат—1, если можно раз-
делить на коэффициент Ат(х). Система решений будет
тогда такой же, как и раньше.
Однако в том особом случае, когда Ат(х) обращается
в нуль в некоторых точках, могут существовать совсем
иные решения. В некоторых случаях однородное уравнение
может не иметь решений, отличных от тривиального, т. е.
от нулевой обобщенной функции. В других случаях реше-
ние может зависеть от большего, чем порядок уравнения,
числа произвольных параметров. Для примера рассмотрим
уравнение
xG'-f-C?=O.
Оно может быть записано в виде (aG)'--O, и решения его
должны удовлетворять равенству xG =k при некоторой
константе Д откуда G=k/x. Функции этого однопарамет-
рического семейства в известном смысле представляют собой
решения уравнения (они не являются абсолютно непрерыв-
ными функциями на интервале, содержащем начало коор-
динат), но они не являются локально суммируемыми функ-
циями и, следовательно, не могут быть отождествлены с
обобщенными функциями. Однако с точки зрения теории
обобщенных функций уравнение xG=k имеет решение,
например,
(Go,¥)=V.
а
где интеграл берется в смысле главного значения по Коши1).
Любое другое решение отличается от (С?о, ф) на решение
уравнения xG1=-0; несущее множество решения такого
уравнения должно состоять из одной точки — начала коор-
динат, и, следовательно, Gy имеет вид
г=0
1) В самом деле, по определению произведения функции, обла-
дающей производными всех порядков, и обобщенной функции (см.
стр. 19), для любой имеем
ь
(xG0, <f>)=(G0, х<р)=c(x) dx=(k, <p),
t. e. xG0=k в смысле теории обобщенных функций. — Прим. рсд.
39
Отсюда видно, что
xGx = £ cr(x8<f>)= £’ Cf(_-r)8(^-i> =0
Г". 0	г-0
в том и только в том случае, если сг=0 при г^>0. Таким
образом, множество всех таких решений состоит из обоб-
щенных функций	Следовательно, множество всех
решений уравнения
xtf'-f-G-O
состоит из функций вида G=ky V.p.(~)+fe280 и зависит от
двух независимых параметров1).
§ 9. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ; ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
Развитая выше теория может быть перенесена на обоб-
щенные функции от п переменных, где п — любое нату-
ральное число. В этом параграфе мы приведем определения
и некоторые примеры, а в следующем дадим беглый очерк
некоторых вопросов теории.
Условимся обозначать через х = (xz) = (хх, . . . , хй)
упорядоченную систему из и чисел; ее можно представлять
себе как точку «-мерного пространства. Запись х^у будет
означать, что xi^yl для всех /. Пусть а=(а1) и &=(&z)—
произвольные фиксированные точки, такие, что а<^Ь; обо-
значим через замкнутый параллелепипед а^х^Ь. Через Kr
обозначим класс всех непрерывных функций w(x)=
, хл), обладающих непрерывными частными про-
изводными любого порядка
<р(р)(х)=<р(л---р^(х1г .. . , х„)=
дй + --- + РЯ
= . р- •-,*»)
дх\1. ..dxpnti
*) Символом V.p. здесь обозначается для краткости
V.p.p£2dx;
аналогичные обозначения будут применяться и ниже. — Прим, ред.
40
и обращающихся вместе со всеми этими производными в
нуль на границе 7? и вне /?. Аддитивный и однородный
функционал (F, о), определенный для всех функций ср клас-
са Kr, будем называть линейным функционалом на R,
если всегда из того, что с, tom £ и для каждого р^б
последовательность	(х) равномерно сходится к (х), вы*
текает сходимость (F, ч>т) к (F, и).
Пусть 2— ограниченный или неограниченный открытый
параллелепипед в /2-мерном пространстве (например, все
n-мерное пространство); мы будем называть F обобщенной
функцией на 2, если для каждого параллелепипеда содер-
жащегося в 2, функционал (F, о) определен для всех функ-
ций w из и, если ограничиться этими функциями, пред-
ставляет собой линейный функционал (мы будем обозначать
его через Fj?).
Определим для произвольной обобщенной функции F на
2 и произвольного р частную производную на 2 формулой
(f(P)t (₽)=(—l)₽t+---+p«(F,
Теперь каждая обобщенная функция имеет частные произ-
водные всех порядков. При этом результат нескольких диф-
ференцирований не зависит от порядка, в котором они
выполняются.
Обобщенную функцию F на 2 будем отождествлять с
функцией точки /(х), если для каждого параллелепипеда
лежащего в 2, функция f(x) суммируема на R и
(Л <f)=p (x)<p(x)dx=
=£. Jf (*i......  • 	- • • dx„
каждой ®(х) из Кц, где интеграл берется по R или,
что эквивалентно, по всему п-мсрному пространству.
Можно также отождествить определенные выше обоб-
щенные функции с мерами Стильтьеса (по одному или не-
скольким переменным xz). Для примера рассмотрим функцию
ф (хъ х2, х3, . . ., хл) с вещественными значениями, обладаю-
щую следующим свойством: для почти всех фиксированных
(х8,. . ., х„) функция ф, рассматриваемая как функция от
хг и х2, имеет ограниченное полное изменение1). Тогда ф
См., напр.» Смирнев В. И., Курс высшей математики,
т. V, М.—Л., 1947, §§ 23-25.— Прим. ред.
41
задает обобщенную функцию F на 2 формулой
 dA"(W<f (A|..й,л * (a"a'2.......л'л)) 
Обобщенные функции Fa условимся называть ограничен-
ными в совокупности, если для каждой фиксированной
функции множество чисел (Fa, <р) ограничено. Будем го-
ворить, что последовательность Fm сходится при m —> оо,
если (Fm, <р) сходи гея при т -> оо для любой фиксирован-
ной функции ср; как мы покажем в следующем параграфе,
предельные значения (F, о) определяют предельную обоб-
щенную функцию F. Точно так же мы будем говорить, что
Ft сходится к F при t -> t0, если (Ft, <р) -> (F, с) при t -> tQ
со
для любой фиксированной функции с. Ряд ^Fm будем на-
«2=1
N
зывать сходящимся к F, если последовательность
т 1
сходится к F при N -> оо. Сходимость (соответственно не-
прерывность) Ft влечет за собой сходимость (соответствен-
но непрерывность) производных любого порядка п.
Будем говорить, что точка х0 принадлежит нуль-мно-
жеству обобщенной функции F, если существует замкнутый
параллелепипед R, для которого х0 является внутренней
точкой и на котором F# является нулевым функционалом.
Дополнение к нуль-множеству на S будем называть несу-
щим множеством для F. Сумма двух обобщенных функций
и произведение обобщенной функции на константу опреде-
ляются очевидным образом.
В следующем параграфе мы разовьем некоторые вопросы
теории обобщенных функций от п переменных, а этот па-
раграф закончим примерами.
Определим обобщенную функцию F=§Xo на всем «-мер-
ном пространстве равенством (F, с)—(х0), где — фик-
сированная точка. Эго — обобщение дельта-функции Дирака.
Ее можно отождествить с «-мерной мерой Стильтьеса
dX1.. .хп Y (х1э. . х„), где У (х)— функция Хевисайда:
УЫ=11 для х>х°’
' f |0 для остальных х.
Согласно нашей терминологии, дельта-функция является
производной Y^, где р=(1, 1, - . . , 1). В терминах физи-
42
ческих понятий распределения масс или зарядов дельта -
функция отвечает случаю концентрации единичной массы
или заряда в одной точке х0.
Рассматривая производные Y&\ где р -(рр и р{=0 или
1 при каждом i, мы получаем смешанные дельта-распреде-
ления: так, dY/дХу является обобщенной функцией
'?) = £ Jf (*0!, *2... dXn,
где интеграл берется по (п—1)-мерному квадранту: х1=х01,
xi^xoi ПРИ	В физических терминах это соответ-
ствует распределению масс с единичной плотностью в
(п— 1)-мерном квадранте.
Функция Хевисайда, определенная выше, принимает зна-
чение 1 в n-мерном квадранте и обращается в нуль вне
этого квадранта. Возьмем вместо квадранта параллелепипед,
пли сферу, или какое-нибудь другое открытое и-мерное
многообразие J с достаточно гладкой гиперповерхностью II
так, чтобы было возможно интегрирование по частям. По-
ложим У(х)=1 для x£j и х£Н и У(х)=0 для осталь-
ных х. Тогда dY/dxr будет обобщенной функцией, соответ-
ствующей распределению масс или зарядов по поверхно-
сти Н с плотностью cos 2) (6£- обозначает угол между внут-
ренней нормалью к FI и положительным направлением оси xz).
Более обще, пусть на замыкании J многообразия J
(т. е. на J и II) f (x) является непрерывной функцией точ-
ки, обладающей непрерывными частными производными всех
порядков, и пусть f(x) обращается в нуль вне J. Тогда f
определяет обобщенную функцию F. Вычисление показы-
вает, что обобщенная производная dF/dxt состоит из двух
1) В самом деле, по принятому определению производной имеем
(/Г,
\dxi J \ дхг) J...Jdxi
где интеграл берется по «-мерному квадранту Интегрируя попе-
ременному Xj, получаем формулу, приведенную в тексте.—Прим. ред.
2) В самом деле, по формуле Гаусса— Остроградского имеем
где dV— элемент объема, dS—гиперповерхности (нормаль внутрен-
няя!) . — Прим. ред.
43
членов. Первый является обобщенной функцией, которая
может быть отождествлена с обычной производной df/dxlt
существующей, по предположению, для всех х с возможными
исключениями на Н; второй член является обобщенной
функцией, соответствующей распределению (масс или за-
рядов) по гиперповерхности Н с плотностью в точке х,
равной f(x)cos611). Обобщенная функция d2F/dx\ состоит»
из трех членов. Первый отвечает п-мерному распределению
по J с плотностью d2f/dxl; второй — распределению по ги-
перповерхности Н с плотностью cos 0Х; третий член со-
ответствует слою диполей с осями, параллельными оси xlt
покрывающему Н с поверхностной плотностью — f (х) cos 01#
Оператор Лапласа от F, т. е.
। &F	d*F
также состоит из трех членов. Первый отвечает объемному
распределению масс по J и может быть отождествлен с
обычным оператором Лапласа Д/; второй соответствует
поверхностному распределению по Н с плотностью df/dn
(где d/dti обозначает производную по направлению внут-
ренней нормали); третий член отвечает двойному слою,
т. е. покрывающему Н слою диполей с поверхностной
плотностью —f (х), оси которых параллельны нормалям к Н.
В математических символах:
(ДГ, и)=(Г, A<p)=J(^, Lw)dx=
J	н	н
Это — известная формула Грина2) из теории потенциала, ин-
г) Этот результат получается применением интегрирования по
частям:
— Прим. ред.
3) См., например, Смирнов В. И., Курс высшей матема-
тики, т. II,	, 1952, стр. 568.—Прим. ред.
44
терпретированиая здесь в терминах обобщенных функций.
Точно так же формулы Гаусса — Остроградского, Римана,
Грина и Стокса в теории обобщенных функций можно интер-
претировать в терминах производных от разрывных функ-
ций точки.
Другой пример дает так называемое фундаментальное
решение уравнения Лапласа, играющее важную роль в
теории гармонических функций: f(x)=\/rn~z в случае ц^З
и f (х)—1п(1/г) в случае «=2. Здесь г обозначает расстоя-
ние от начала координат до точки х:
уч-
i=i
Функция f(x) является гармонической, т. е. ее оператор
Лапласа равен нулю во всех точках, за исключением на-
чала координат, в котором обычный оператор Лапласа не
может существовать как функция точки. Однако эту функ-
цию f(x) можно рассматривать как обобщенную функцию,
и ее оператор Лапласа легко вычисляется. Мы находим,
что обобщенный оператор Лапласа от функции f(x) не
является нулевой обобщенной функцией; он оказывается
равным — Жо, где 80 есть «-мерная дельта-функция Дира-
ка, отвечающая концентрации единичной массы в начале
координат, а АГ—константа, зависящая от «:
(п-2)г»'"'2
Г(п/2)	’
если (в частности, М=4тс, если «—3), и М=2к, если
«=2г). Таким образом, мы приходим к тому важному факту,
1) Например, для п=3 имеем
(a_L,
'-ив
Д<р dv=—4л «р (0)
и, аналогично, для п—2
Д In _L,	—2к у (0)
1ср. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II, М.—Л.,
952, стр. 569). —Прим. ред.
45
что фундаментальное решение уравнения Лапласа является
решением уравнения Пуассона (в обобщенных функциях),
правая часть которого есть дельта-функция.
Последний пример мы возьмем из теории аналитических
функций. Рассмотрим случай п=2. Пусть f(x,y)— ком*
плексно-значная функция; положим
Переменные z и z нельзя считать независимыми, но мы
определи^ формальные производные d[dz и d!dz следующим
образом:
_д_= 1 /jL_• Al
дг 2 ^дх 1 ду у ’
д _ J / а .
dz 2 ^дх ду) '
Необходимые и достаточные условия для того, чтобы функ-
ция f (х, у) была голоморфна в окрестности точки (х, у),
состоят в том, что f (х, у) в этой окрестности должна
иметь непрерывную производную и удовлетворять уравне-
ниям Коши — Римана, которые через формальные произ-
водные, очевидно, записываются в виде
В особой точке эти условия, конечно, не имеют смысла.
Однако если f определяет обобщенную функцию F, то
можно образовать формальную производную dF/dz, причем
она не будет нулевой обобщенной функцией. Эга производ-
ная может служить хорошим средством для изучения осо-
бенностей аналитических функций.
Так, для функции f(z)=l/z оказывается, что
dF/dz=^r£Q *).
г) В самом деле, для r=| z | по определению формальной произ-
водной д/dz имеем
« 1пг=
дг
1 х— iy __ 1
“2“ г2 ~(2z
46
Этот факт теории обобщенных функций можно исполь-
зовать в теории аналитических функций, например в связи
с применением интеграла Коши. Он может также быть
полезным в более трудной теории функций многих ком-
плексных переменных.
Функция f = l/zm не суммируема при/л >1, но она опре-
деляет обобщенную функцию, если использовать «конеч-
ную часть» по Адамару, которая совпадает в данном слу-
чае с главным значением по Коши:
f=F-p-(^)=v-p- (4*)
и
af j д_ [ _д_}т 1 ((—!)«-1 _i]	(-1)^-4 / a V'g
а7	дг I дг /	( (т—1)! z /	(т-1)1 dz /	<
(мультиполь, находящийся в начале координат).
Произвольная мероморфная функция 'f(z) определяет
обобщенную функцию F, если при этом в полюсах порядка,
большего 1, использовать главное значение интеграла по
Коши. Тогда &F/dz будет суммой обобщенных функций, для
каждой из которых несущее множество состоит из одной
точки. Такими точками будут полюсы рассматриваемой
мероморфной функции.
и, кроме того,
а2 __ 1 f a2
а^а7 4 Vй*2 дУ2) 4
где Д—оператор Лапласа. Поэтому для f=—

и, согласно примечанию редактора иа стр. 45, получаем
(,<Л=-2 in _L, J=- ' ( д1п _L,	(в).
\ дг / \dzdz г /	2 \ г /
Это соотношение совпадает с соотношением dFfdz =лВ0.— Прим. ред.
47
§ 10. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ; ТЕОРИЯ
Лемму о разложении из § 3 можно обобщить иа слу-
чай п переменных. Простейшее из таких обобщений состоит
в следующем.
Лемма 1. Пусть R— замкнутый параллелепипед
a^x-^bi (/=!,...,«), а (п—\)-мерный паралле-
лепипед а^х^Ьг (i=2,, ft). Пусть, далее, для функ-
ции 6 (Xj), принадлежащей классу К [fllf Ь±\9 справедливо
равенство
Je (x1)dx1=l.
Для каждой функции с из положим
%(*2.  •  ,	.....
а,
Тогда wQ принадлежит Кц0 и
<f=‘?»e+e—p,
где р — однозначно определенная функция из
Следовательно, для каждого линейного функционала F
на R существуют х2-примитивные, т. е. такие линейные
функционалы G, что dG/dxx=F, причем их можно предста-
вить в виде
(G, <f>)=(G0, %) — (F, р),
где Gq—произвольный (нефиксированный) линейный функ-
ционал на Ro (от переменных х2г .. хп).
Пусть S обозначает открытый параллелепипед
(/=1, . . ., ft) и 20—открытый параллелепипед a/<x/<pz
(i=2, . . п). Положим
₽»
%= j'm.   -,л,ж
и выберем функцию 0 (х2) из некоторого класса К1й1, где
0'1<С51<С^1<СР1, со свойством
j* 6(x1)dx1=l.
48
Теперь мы можем, как и выше, написать
*	-° 1 дху
и выразить ^-примитивные для F на 2 формулой
(G, <f)=(G0, <f0) —(F, р),
где Go—произвольная обобщенная функция на 20.
Используя методы § 5, можно показать, что если F —
линейный функционал на конечном замкнутом параллеле-
пипеде R, то F=f<r\ где f(x)— некоторая суммируемая
функция и г=(г1г . . ., г„). Точно так же, как в § 5, мы
сначала доказываем справедливость условия:
(Ср) Существует р=(ръ . . pfi), зависящее от функционала
F и такое, что последовательность (F, сходится
к (F, (р), если последовательность для каждого
равномерно сходится к
Отсюда, поскольку для q^p можно написать
= [	[	~fiF~ 1 (pWfl д ... д
J ... J	(Pi—?i—1)! ...(ри—д„—1)!	• V' 1 п>
а> °п
вытекает, что |	| s^B | е<л) I для всех q^p, где В — не-
которая конечная константа, зависящая от р и R и не
зависящая от w. Следовательно, для этого р мы имеем
условие:
(Вр) Последовательность (F, wm) сходится к (F, ^), если по-
следовательность равномерно сходится к о(л).
Отсюда, в свою очередь, как и в § 5, получаем условие
(Лр)
для всех функций и при некоторой конечной константе |F|p
(|F|p будет у нас обозначать наименьшую возможную кон-
станту).
4 И. Гальпернв
49
Наконец, как и в § 5, мы образуем линейный функ-
ционал
(L, <pO’>)=(Ft w),
определенный для функций вида 9^) с нормой и рас-
пространяем этот функционал на все непрерывные функции
методом Хана—‘Банаха. Затем мы используем теорему
Риоса о представлении линейных функционалов: существует
функция ф(х) с полным (ft-мерным) изменением, равным |F[p,
такая, что
(F, ф)=(Б, f <№(x)dty(x),
h
причем можно считать, что |ф(л:)|^|Е|р для всех х. Из этого
соотношения с помощью ингегрирования по частям выво-
дим, что
(Г, с)-(—1)" f
h
так что F=f^r\ г=(р1ф-1, . .р„4-1) и f(x)=
=(—1)^,+-"+^лф(х). (Отметим, что |/|^|Fp|.) Если мы за-
меним функцию /(х) ее интегралом
f... f/M--------‘М-А
и в качестве г возьмем (рх-1-2, , . рп-|-2), то получим,
что F =ftr\ где f—‘Непрерывная функция точки.
Теперь мы обобщим результаты § 6. Метод, использо-
ванный там, позволяет показать, что если линейные функ-
ционалы Fa ограничены в совокупности на R, то для всех
а и id справедливо неравенство
](/»., ¥)l=SJB|<f(p,l
при некотором р и некотором конечном В, не зависящем
от а и о; иначе говоря, когда ограничена совокупность
чисел ]А|р. Как и в § 6, отсюда следует, что Fa ограни-
чены на R тогда и только тогда, когда они могут быть
представлены в виде
F. =/«
с ограниченными |/к | или, что эквивалентно (при других
fa и г), с равностепенно непрерывными функциями точ*
50
ки fa (х). Отсюда заключаем, что если последовательность
Fm сходится, то ее предел (F, <p)=lim (Г/п, с) должен быть
линейным функционалом; можно показать также, что
для Fm должно существовать представление Fm=f$, где
/от(х)— равномерно сходящаяся последовательность непре-
рывных функций. Для этого нужно доказать следующую
лемму:
Лемма 2, Если функции gm(x) равностепенно непре-
рывны и если при некотором фиксированном г для любой
функции о последовательность интегралов
к
сходится к нулю при т->со, то существуют равносте-
пенно непрерывные функции Рт(х) вида
ПЛ 'Г‘
PmW= S S М-Ч. . . х,.,, х/+1,	х„)х{,
i-1 j~0
такие, что последовательность gOT(x)+Рт(х) равномерно
сходится к нулю.
Для доказательства этой леммы рассматриваем случай
г=(0------0), так же, как в § 6, но с заменой отрезков
«-мерными параллелепипедами, и затем завершаем доказа-
тельство индукцией по rh где г—(ги . . ., г„).
Чго касается теоремы о разделении (§ 7), то ее можно
доказать для конечного замкнутого «-мерного параллеле-
пипеда, используя произведения функций а (хг) («=!,...,«),
где каждая функция а (х2) строится так же, как а (х) в § 7.
Отсюда следует, что обобщенная функция однозначно опре-
деляется своими локальными свойствами и что, в частно-
сти, нулевая обобщенная функция является единственной
обобщенной функцией, несущее множество которой пусто.
§ 11. СВЕРТКА
Мы определим теперь два билинейных произведения.
Сначала определим прямое произведение двух обобщенных
функций. Для локально суммируемых функций точки f(x)
и g(y) прямое произведение f(x)Xg(g) должно сводиться
к обычному произведению f(x)g(y), которое является ло-
кально суммируемой функцией двух переменных. Отсюда
51
4*
видно, что для обобщенных функций и Ту соответственно
от переменных х и у прямое произведение SxKTy должно
быть определено так, чтобы было (SxXTy, <р(х, У)) =
=(SX, и)- (Ту, v), если с(х, у) есть произведение основных
функций и и v соответственно от х и у. Можно показать,
что это требование приводит к однозначном)? определению
Sx%Ty. Более того, можно показать, что для произвольной
основной функции (х, у) величина (Ту, (х, у)) является
основной функцией от х и что
(^ХТу, ср (х, г/))=(£Л, (Ту, <^=(Ту, (Sx, <р)).
Например, если В(х) н 3(г/)—дельта-функции Дирака соот-
ветственно от х и у, то произведение S(x)X&(£/) является
дельта-функцией на пространстве (х, у).
Мы воспользуемся прямым произведением для определе-
ния более важного вида произведения — свертки. Для
функции точки свертка h—f*g, как известно, определяется
равенством
й(Ч= ре—t)g(t}dt= J f (f)g(x—f) dt.
Однако локальной суммируемости функций f и g недоста-
точно для того, чтобы функция Л(х) существовала и была
локально суммируемой. Эта трудность исчезает, если по
крайней мере одна из функций f и g имеет ограниченное
несущее множество.
Например, если В(х)=1 для |х|<1 и В(х)=0 для
остальных х, то при каждом х свертка f*B равна «сред-
нему» от / по всем t, для которых |х—Z|<1.
Для того чтобы распространить определение свертки на
обобщенные функции, мы заметим сначала, что
(Л, <?)=(/*£, <?)=	0g(.ft<₽(x)dxdt=
=	(E+4)dEd4=
=(fc Xft, <P (5+1)).
Это наводит на мысль использовать для определения свер-
тки обобщенных функций формулу
((«$*Т)Л, <?(х))=(^ Х^Л(В+'Г])).
В случае, когда хотя бы одна из обобщенных функций
S и Т имеет ограниченное несущее множество, эта формула,
как можно показать, приводит к однозначному определе-
52
нию S*T, несмотря на то, что ? (В+ч), вообще говоря, не
обращается в нуль всюду вне конечного параллелепипеда
в пространстве (В, ?|) [т. е. ^(В+^) не является в этом
пространстве основной функцией].
Эго определение приводит к тождествам 5 * Т—Т,
8'^т=Т', DpT=Dp*T. Мы используем символ Dp для
изображения как оператора дифференцирования, так и обоб-
щенной функции в аналогичном смысле ниже мы упот-
ребляем лапласиан А. Вообще, мы имеем (S’*Т)' — S'*Т=
= S*T'. Из сказанного следует, что если а(х) является
основной функцией, то можно образовать свертку Г*а
(«регуляризация Т с помощью а»), поскольку а можно рас-
сматривать как обобщенную функцию с ограниченным не-
сущим множеством. При этом всегда будет функцией
точки с обычными производными всех порядков. Это ведет
к теореме, по которой каждая обобщенная функция является
пределом последовательности основных функций (рассматри-
ваемых как обобщенные функции).
Если в пространстве п измерений, где /£>2, задано
распределение масс с плотностью /(х), то с таким распре-
делением обычно связывают потенциал
<//= __________dt
U J \x—t\n-* a
(где | x~11 =r= ]/"S	Э10 определение распростра-
няется и на обобщенные функции Т в форме свертки
UT^T*~
и дает формулу Пуассона
ДПГ =ПДГ= Д * -Д2 * г=—No * Г=—NT,
где N имеет то же значение, что и в § 9.
Использование сверток обобщенных функций имеет важ-
ные приложения к задаче Коши в теории уравнений с
частными производными.
§ 12. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Для простоты мы условимся считать период рассматри-
ваемых функций равным 1, а не 2т, и трактовать х как
дуговую абсциссу точки окружности длины 1 так, что
53
точки, соответствующие л=0 и л=1, будут у нас совпа-
дать. В соответствии с этим в качестве основных функций
мы примем функции с(х), непрерывные вместе со своими
производными всех порядков и такие, что ttX«)(O)=<p^ (1)
(n=0, 1,...). Условимся говорить, что если «ДО равно-
мерно сходится к при каждом р^О. Обобщенная функ-
ция Т будет линейным функционалом, определенным для
всех этих функций ср и таким, что (Т, <от) -> (Т, ср), если
<р,ч-»ср в указанном смысле. При этих условиях каждая
обобщенная функция отождествляется с конечной суммой
непрерывных функций точки и производных непрерывных
функций точки. Операции с обобщенными функциями про-
изводятся по установленным выше правилам, но свертка
S*T определена теперь для всех S и Т.
Прежде всего определим коэффициенты Фурье следую-
щим образом. Для функции точки f(x) мы имеем формулу
1
af~= J f(x)e~2k*ixdx.
о
Распространяя эту формулу на обобщенные функции,
положим
aJ=*(T,
Теперь для каждой обобщенной функции Т определена
последовательность коэффициентов Фурье.
Далее, для каждой обобщенной функции существует
многочлен P(k) от k, такой, что (k). В самом деле, если
Т является непрерывной функцией f, то ее коэффициенты
Фурье ограничены, а если T=f(p\ то
а1=(2Ы)р
Наконец, ряд Фурье a*eZfcKix всегда сходится и при-
том к обобщенной функции Т. Докажем это сначала для
частного случая дельта-функции о. В этом случае (8, е~2Ых)=
г=е°=1, и нам нужно только показать, что	Но
это следует из того, что для каждой основной функции tp
справедливо соотношение
S (е2Ыл, <Р)= S (0). „
54
Для произвольной обобщенной функции Т мы имеем
£ GT e2krix— У (Д. g-ZkiiA ) eZfaiix—
= S (7’Е.е2Л*'<Л-Е))= v 7’4.e2to=
= 7'*Уеи'“=7'^б=Т.
Можно показать, что всякий тригонометрический ряд
с коэффициентами, не превосходящими по модулю значений
фиксированного многочлена в соответствующих точках, схо-
да гея к некоторой обобщенной функции, для которой этот
ряд является рядом Фурье.
ДОБАВЛЕНИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В своем изложении теории обобщенных функции И. Галь-
перин остановился перед определением преобразования Фурье.
Может быть, это объясняется тем, что в отличие от пре-
дыдущих операций преобразование Фурье требует суще-
ственного изменения исходных определений. Действительно,
чтобы определить преобразование Фурье от обобщенной
функции, нужно заранее иметь соответствующее определе-
ние для основной функции. Но для финитной функции (так
называют функцию, обращающуюся в нуль вне конечной
области) классическое преобразование Фурье заведомо уже
не будет финитной функцией и, следовательно, не будет
основной функцией. Шварц выходит из этого затруднения
следующим образом. Он рассматривает новый класс основ-
ных функций: отныне <р(х) называется основной функцией,
если она бесконечно дифференцируема и на бесконечности
стремится к нулю, так же как и любая ее производная,
быстрее любой степени от |%|-1. Класс всех таких основных
функций обозначается через S. В S естественно вводятся
линейные операции и предельный переход. Разумеется, всю
теорию, построенную ранее для финитных функций, нужно
теперь перестраивать заново. Но зато в новом классе функ-
ций можно выполнять преобразования Фурье: если <р(х) С S,
то и
ф ($)= J ® (х) e~2ni(x^dx—?(x) £ 5,
н обратно, из условия $($)££ вытекает, что
ф (х) = f ф ($) е2«(*>5М5=ф(<$) € S1).
В этих формулах (х, s) обозначает скалярное произведе-
ние jx* Sk.
Б6
Если Т—функционал типа функции Т(х) (в терминологии
Гальперина: Т отождествляется с функцией Т (х)], имеющей
обычное преобразование Фурье, например, если Т (х) и Т (х)
абсолютно интегрируемы, то, как легко проверить, имеет
место равенство
(1)
что дает возможность определить с помощью аналогичного
равенства преобразование Фурье уже для любой обобщен-
ной функции над классом S. Правда, запас самих обобщен-
ных функций над S значительно меньше, чем над простран-
ством финитных функций: как показал Шварц, всякий
линейный функционал над S есть или медленно возрастаю-
щая функция (т. е. возрастающая при |х|->оо не быстрее
многочлена от х), или производная некоторого порядка от
медленно возрастающей функции. Такие функционалы
Шварц назвал «медленно возрастающими» (или «умеренными»,
temperees). С построением преобразования Фурье открылась
возможность получать решения линейных уравнений в ча-
стных производных с постоянными коэффициентами, сводя
соответствующие задачи через преобразование Фурье по
всем переменным к алгебраическим задачам. Здесь, правда,
оставалась трудность, заключавшаяся в необходимости
деления обобщенной функции на многочлен; используя ре-
зультаты Адамара, М. Рисса и др., Шварц в некоторых
случаях преодолел эту трудность и получил многие формулы
более простым н естественным образом, чем это делалось
ранее. Используя теорию Шварца, Ж. Л ерей [11] построил
элементарное решение для общего уравнения гиперболи-
ческого типа с постоянными коэффициентами, получив, в
частности, и известную формулу Герглотца — Петровского
(относящуюся к случаю однородного уравнения). Дальней-
шее развитие теории упиралось в отсутствие определения
преобразования Фурье для быстро растущих функций. Реше-
ние этой задачи было найдено советскими математиками [12].
Идея решения, принадлежащая И. М. Гельфанду, весьма
проста. Совсем не обязательно, чтобы преобразование Фурье
основной функции из некоторого класса Ф лежало в том
же классе Ф. Пусть совокупность (обратных) преобразова-
нии Фурье функций (х) С Ф образует некоторый класс Ф
(«двойственное пространство»); тогда формула (1) задает
57
искомый функционал Т иа пространстве Ф. Например, ес-
ли Ф=К—совокупность финитных бесконечно дифферен-
цируемых функций (только такие основные функции рассмат-
риваются в книге Гальперина), то, как показывает известная
терема Палея — Винера1), двойственное пространство К
состоит из целых аналитических функций первого порядка
роста, входящих в S. Тем самым преобразования Фурье
сколь угодно быстро растущих функций (рассматриваемых
как функционалы над К) можно интерпретировать как функ-
ционалы над К. Оказывается, что в разных задачах нужно
рассматривать различные основные и двойственные про-
странства. Таким образом, аппарат преобразований Фурье
становится более гибким н способным к более разнообраз-
ному учету требований задачи. Укажем для примера на
результат [12], основанный именно на разумном подборе
основного пространства (пространство Z^ целых аналитичес-
ких функций 7-го порядка роста в плоскости и q-ro порядка
убывания на вещественной оси). Рассматривается при fesO
система уравнений вида

(2)
[как всегда, х=«(х1, . . xv), u=(ult ..um), Р — матрица
из m строк и m столбцов, элементы которой — линейные
дифференциальные операторы по хх, . . хм максимального
порядка р с коэффициентами, зависящими только от с
начальными данными
и (х, 0)=-~и0 (х) (заданная функция). (3)
Оказывается, что существует такое число р0^р, что
задача Коши (2) — (3) может иметь лишь единственное
решение в области функций и (х, /), удовлетворяющих при
каждом £ss0 неравенству
С|х| ро ~е
|u(x,	,	(4)
где—7—|- — = 1, а е — произвольное положительное число.
Ро Ро
х) См., напр., Ахнезер Н. И., Лекции по теории аппрок-
симации, М.—Л., 1948, стр. 148—150.— Прим. ред.
58
Показатель р’о—е, вообще говоря, нельзя заменить иа
р'0+е. Для определенного класса систем, называемых регу-
лярными, включающего в себя, например, гиперболические
и параболические системы, его можно заменить на р’о.
Подобные теоремы, известные ранее для частных случаев
(параболические системы), ведут начало от известной тео-
ремы А. Н. Тихонова, в которой доказывается единствен-
ность решения уравнения теплопроводности
ди (х, I) __ д‘2и (х, t)
dt	дх2
в области функций и (х, t), удовлетворяющих неравенств)?
|«(х,
Приведенный результат показывает, что аналогичные теоре-
мы имеют место для таких существенно непараболических
уравнений, как, например, уравнения квантовой механики
ди(х, t) _____________________. d2u(x,t)
di	й?;=
или теории упругости
d*u(x,t)____d%(x,Q
dt2	~~	дх^
В следующей работе [13] было показано, что для регу-
лярных систем имеют место и теоремы существования реше-
ния задачи Коши в той же области возрастающих функ-
ций (4) при условии досгаточной гладкости начальных
данных. Для нерегулярных систем, наоборот, область суще-
ствования решения (имеется в виду решение «классическое»,
а не «обобщенное» — функция, а не функционал), вообще
говоря, уже, чем область единственности, н может огра-
ничиваться начальными данными со степенным ростом.
В. М. Борок [14] распространила на новые пространства
обобщенных.функций определение свертки, введенное Швар-
цем, и доказала основную формулу Т1Т2=7’1*Г2» чт0 дапо
ей возможность записать решение задачи Коши (2) — (3)
в явном виде, а также показать, что гиперболические систе-
мы, и только они, допускают решение задачи Коши (2) — (3)
при любых сколь угодно быстро возрастающих начальных
данных.
59
Отметим также работу [15], где методы обобщенных
функций позволили установить для определенного класса
систем с постоянными коэффициентами [именно в предполо-
жении вещественности корней матрицы P(s) при любых
вещественных $] теоремы типа Фрагмена — Л инделефа: из
предположений о не очень быстром росте решения по х и
t (ниже первого порядка) и степенном росте по х при /=0
вытекает, что решение само является многочленом от t.
Обобщения теоремы о существовании и единственности
решений системы (2) на случай некоторых типов систем
с переменными (зависящими и от пространственных коорди-
нат) коэффициентами даны в работах А. Г. Костюченко [16]
и Я. И. Житомирского [17]*
В настоящее время в теории обобщенных функций наме-
чаются следующие основные задачи. Во-первых, необходимо
гораздо более полно и систематично, чем у Шварца, разра-
ботать алгорифмику действий с обобщенными функциями
(собственно говоря, все, что сделано Шварцем для функций
от нескольких переменных, сводится к некоторому числу
примеров типа приведенных у Гальперина в § 9). Во-вторых,
развитый аппарат нужно применить к построению и иссле-
дованию решений общих систем линейных уравнений с част-
ными производными. В-третьих, нужно найти методы учета
переменных коэффициентов и нелинейностей. Эти проблемы,
видимо, нелегки, но их разработка в настоящее время
представляется настоятельно необходимой*
ЛИТЕРАТУРА
по обобщенным функциям и их приложениям
Работы Н. М. Гюнтера по функциям областей и их
применениям в задачах математической физики:
1.	Гюнтер Н. М., О действиях над функциями, не имеющими
производных, Изв. АН СССР, сер. VI, 18, № 12—18 (1924),
353—372.
2.	Гюнтер Н. М., Sur les integrates de Stilt jes et leurs ap-
plications aux problemes fondamentaux de la physique mathcmati-
que, Труды Физ.-мат. ин-та. им. В. А. Стеклова, 1 (1932).
3.	Гюнтер Н. М., La theorie des fonctions de domaines dans la
physique mathematique, Prace matematyczno-fizyzne ^Warszawa).
XL1V (1935), 33—50.
4.	Гюнтер H. M., О сглаживании функций и связанных с ним
задачах, Ученые записки ЛГУ, 111, № 17 (1937), 51—78.
5.	Гюнтер Н. М., О постановке некоторых задач математической
физики, Ученые записки ЛГУ, № 59 (1940), 12—26.
Работы С. Л. Соболева, в которых впервые было
введено и применено к задачам математической физики
современное понятие обобщенной функции:
6.	Соболев С. Л., Methode nouvelle a resoudre le probleme de
Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales, Ma-
тем. сб.» № I (43) (1936), 39—72.
7.	Соболев С. Л., О почти периодичности решений волнового
уравнения, ДАН СССР, 48 (1945), 570—573 , 646—648; 49
(1945), 12—15.
В следующей монографии С. Л. Соболева собран и си-
стематизирован обширный конкретный материал, имеющий
многообразные применения в теории обобщенных функций
(хотя сами обобщенные функции в принятом здесь смысле
не рассматриваются).
8.	Соболев С. Л., Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, ЛГУ, 1950.
Из многочисленных работ Л. Шварца и его последо-
вателей мы указываем только одну, самую полную и зна-
чительную:
61
9.	Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1, 1950, t. 11, 1951,
Paris.
См. также рецензию С. Бохнера на эту книгу:
10.	Bochner S., L. Schwartz — Theorie des distributions, t. 1
et II, Bulletin of the American Mathematical Society, 58, № 1
(1952), 78—85.
В следующей заметке Ж. Лерея построено элемен-
тарное решение для общего гиперболического уравнения:
11.	Lera у J., Les solutions elementalres d’une equation aux derivees
partieiles a coefficients constantes, C. R. Acad. Sci. Paris, 234
(1952), 1112—1115.
Ожидается появление книги Лерея «Символическое
исчисление в области многих переменных, проекции и гра-
ничные задачи для дифференциальных уравнений» с подроб-
ным изложением полученных им результатов.
Работы советских авторов последнего времени:
12.	Гельфанд И. М-, Шилов Г. Е., Преобразования Фурье
быстро растущих функций н вопросы единственности задачи
Коши, Успехи мат. наук, VIII, Ns 6 (58) (1953), 3—54.
13.	Костюченко А. Г., Шилов Г. Е., О решении задачи
Коши для регулярных систем линейных уравнений в частных
производных, Успехи мат- наук, IX, № 3 (61) (1954), 141—148,
14. Борок В. М., Решение задачи Кошн для некоторых типов
систем линейных уравнений в частных производных, ДАН СССР,
97, № 6 (1954), 949-952.
15.	Шилов Г. Е., Об одной теореме типа Фрагмена — Линделефа
для решений систем линейных уравнений d частными производ-
ными, Украинский мат. журнал (1954).
16.	Костюченко А. Г., О задаче Коши для систем линейных
уравнений в частных проигеодных с дифференциальными опера-
торами типа Штурма — Лиубилля, ДАН СССР, 98, № 1 (1954),
17—20.
17.	Житомирский Я- И., О задаче Кошн для систем линейных
уравнений в частных производных с дифференциал иными опера-
торами типа Бесселя, ДАН СССР, 98, № 1 (1954), 9—12.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода........... . , .	.	3
§ 1.	Введение .................................... 7
§ 2.	Функции точки как функционалы ...	8
§ 3.	Операции над обобщенными функциями . .	.	15
§ 4.	Произведение обобщенных функций ....	17
§ 5.	Порядок обобщенной функции.......	20
§ 6.	Сходимость обобщенных функций. Непрерывность 24
§ 7.	Нуль-множества н несущие множества.......... 31
§ 8.	Дифференциальные уравнения с обобщенными функ-
циями ............................................ 35
§ 9.	Обобщенные функции от нескольких переменных;
определения	н	примеры....................... 40
§10.	Обобщенные функции от нескольких переменных;
теория................ ......................... 48
§ 11.	Свертка...................................... 51
§ 12.	Ряды Фурье	для	обобщенных функций........... 53
Добавление редактора перевода . .	. .	56
Литература по обобщенным функциям и их приложениям . .	61
И. Гальперин
введение в теорию
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Редактор Б. В. ШАБАТ
Технический редактор М. А. Белеса
Корректор Н. С. Ценин
Обложка художника А. И. Завьяловой
Сдано в производство 28'VII 1954 г.
Подписано к печати 5/Х 1954 г.
Т-07048. Бумага 84х1081'та= 1,0 бум. л.
3,3 печ. л. Уч.-издзт. л. 3,1-
Изд. № 1/2518. Пена 2 р. 15 к.
Зак. 656
Издательство иностранной литературы
Москва, Нопо-Алексеевская, 52
20-я типография Главполиграфпрома
Министерства культуры СССР
Москва, Ново-Алексеевская, 52
INTRODUCTION TO
THE THEORY OF
DISTRIBUTIONS
by
ISRAEL HALPERIN
basal on the lectures given by
LAURENT SCHWARTZ
TORONTO
1952