ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ в.с,Владимиров
мф£| Налги
В.С. ВЛАДИМИРОВ
ОБОБЩЕННЫЕ
^^^ИЖШи^И
Академия наук СССР
СОВРЕМЕННЫЕ
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
*
Серия выпускается
под общим, руководством
РЕДАКЦИОННОГО СОВЕТА
МОСКОВСКОГО
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
В. С. ВЛАДИМИРОВ
ОБОБЩЕННЫЕ
ФУНКЦИИ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
197 9
22.161.1
В 57
УДК 517.5
Обобщенные функции в математической физике. Вла-
димиров В. С. Изд. 2-е, испр. и дополн. Серия:
«Современные физико-технические проблемы», Глав-
ная редакция физико-математической литературы из-
дательства «Наука», М., 1979, 320 стр.
Кроме общей теории обобщенных функций, вклю-
чающей преобразования Фурье и Лапласа, а также
другие интегральные преобразования, в книге содер-
жится ряд приложений к дифференциальным уравне-
ниям в частных производных, голоморфным функциям
многих комплексных переменных и математической
физике, вплоть до некоторых последних достижений
в этих областях.
Книга представляет собой расширенное изложе-
ние курсов лекций, читанных автором в течение ряда
лет студентам, аспирантам и сотрудникам Москов-
ского физико-технического института и Математиче-
ского интитута им. В. А, Стеклова, и предназначена
для лиц, интересующихся приложениями обобщен-
ных функций.
Илл. 43. Библ. 92 назв.
в	33-79. 1702050000
иЭо)/У
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука». 1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................... 8
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.......................П
Глава I
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Основные и обобщенные функции...............................15
1. Введение (15). 2. Пространство основных функций S) (0) (17).
3.	Пространство обобщенных функций Ф' (0) (21). 4. Полнота про-
странства обобщенных функций ЗУ (0} (23). 5. Носитель обобщен-
ной функции (25). 6. Регулярные обобщенные функции (27).
7.	Меры (29). 8. Формулы Сохоцкого (33). 9. Замены переменных
в обобщенных функциях (35). 10. Умножение обобщенных функ-
ций (37).
§ 2.	Дифференцирование обобщенных функций........................38
1.	Производные обобщенных функций (38). 2. Первообразная обоб-
щенной функции (40). 3. Примеры (42). 4. Локальная структура
обобщеннных функций (48). 5. Обобщенные функции с компактным
носителем (50). 6. Обобщенные функции с точечным носителем (51).
§ 3.	Прямое произведение обобщенных функций..................... 53
1.	Определение прямого произведения (53). 2. Свойства прямого
произведения (56). 3. Некоторые применения (59). 4. Обобщенные
функции, гладкие по части переменных (61).
§ 4.	Свертка обобщенных функций..................................64
1.	Определение свертки (64). 2. Свойства свертки (67). 3. Сущест-
вование свертки (70). 4. Конусы в (73). 5. Сверточные алгебры
3)' (Г-ф) и ЗУ (Г) (78). 6. Регуляризация обобщенных функций (79).
7.	Свертка-линейный непрерывный трансляционно-инвариантный
оператор (81). 8. Некоторые применения (83).
§ 5.	Обобщенные функции медленного роста.......................  90
1.	Пространство основных функций SP (быстро убывающих) (90).
2.	Пространство обобщенных функций SP' (медленного роста) (93).
3.	Примеры обобщенных функций медленного роста и простейшие
операции в SP' (94). 4. Структура обобщенных функций медленного
роста (96). 5. Прямое произведение обобщенных функций медлен-
ного роста (98). 6. Свертка обобщенных функций медленного
роста (99).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 6.	Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста . . . 103
1.	Преобразование Фурье основных функций из У (103). 2. Преоб-
разование Фурье обобщенных функций из 9' (104). 3. Свойства
преобразования Фурье (106). 4. Преобразование Фурье обобщенных
функций с компактным носителем (107). 5. Преобразование Фурье
свертки (108). 6. Примеры (109).
§ 7.	Ряды Фурье периодических обобщенных функций...............120
1.	Определение и простейшие свойства периодических обобщенных
функций (120). 2. Ряды Фурье периодических обобщенных функ-
ций (123). 3. Сверточная алгебра 9уг (124). 4. Примеры (126).
§ 8.	Положительно определенные обобщенные функции..............128
1.	Определение и простейшие свойства положительно определенных
обобщенных функций (128). 2. Теорема Бохнера — Шварца (130).
3.	Примеры (132).
§ 9.	Преобразование Лапласа обобщенных функций медленного роста . . 133
1. Определение преобразования Лапласа (133). 2. Свойства преоб-
разования Лапласа (136). 3. Примеры (137).
§ 10.	Ядро Коши и преобразования Коши — Бохнера и Гильберта .... 140
1. Пространство Xs (140). 2. Ядро Коши Же (z) (145). 3. Преобра-
зование КошиБохнера (152). 4. Преобразование Гильберта (153).
5.	Голоморфные функции класса (С) (154). 6. Обобщенное
представление Коши — Бохнера (158).
§ 11.	Ядро Пуассона и преобразование Пуассона..................160
1.	Определение и свойства ядра Пуассона (160). 2. Преобразование
и представление Пуассона (162). 3. Граничные значения интеграла
Пуассона (165).
§ 12.	Алгебры голоморфных функций..............................168
1.	Определение алгебр Н+ (С) и Н (С) (168). 2. Изоморфизм алгебр
У’,(С’' + )~Л+(С) и УЦС*)~Я(С) (168). 3. Теорема Пейлн - Ви-
нера — Шварца и ее обобщения (174). 4. Пространство На (С) — про-
ективный предел пространств На, (С') (175). 5. Представление
Шварца (177). 6. Одно обобщение теоремы Фрагмена — Линде-
лёфа (179).
§ 13.	Уравнения в сверточных алгебрах..........................180
1.	Делители единицы в алгебрах Н+ (С) и Н (С) (180). 2. О де-
лении на полином в алгебре Н (С) (181). 3. Оценки для голо-
морфных функций с неотрицательной мнимой частью в Тс (183).
4.	Делители единицы в алгебре W (С) (186). 5. Пример (187).
Глава III
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 14.	Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами . . . 190
1. ' Фундаментальные решения из ЗУ (190). 2. Фундаментальные
решения медленного роста (194). 3. Метод спуска (195). 4. При-
меры (199). 5. Сравнение дифференциальных операторов (207)
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
6. Эллиптические и гипоэллиптические операторы (210). 7. Гипербо-
лические операторы (212).
§ 15.	Задача Коши..................................................213
1.	Обобщенная задача Коши для гиперболического уравнения (213).
2.	Волновой потенциал (216). 3. Поверхностные волновые потен-
циалы (220). 4. Задача Коши для волнового уравнения (223).
5.	Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопро-
водности (225). 6. Тепловой потенциал (225). 7. Решение задачи
Коши для уравнения теплопроводности (229).
§ 16.Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью в Тс . . .230
1.	Предварительные замечания (230). 2. Оценки роста функций
класса &+ (Тс) (233). 3. Оценки роста функций класса Н+ (Тс) (241).
4. Гладкость спектральной функции (242). 5. Индикатриса роста
функций класса &+ (Тс) (244). 6. Интегральное представление
функций класса (Тс) (248).
§ 17.	Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью в Тп . . . 252
1.	Леммы (252). 2. Функции классов Н+ (Г1 2) и (Г1) (257).
3.	Функции класса & + (Тп) (262). 4. Функции класса Н± (Тп) (267).
§ 18.	Положительно вещественные матрицы-функции в Тс............271
1.	Положительно вещественные функции в Тс (272). 2. Положи-
тельно вещественные матрицы-функции в Тс (274).
§ 19.	Линейные пассивные системы................................277
1. Введение (277). 2. Следствия из условия пассивности (280).
3. Необходимые и достаточные условия пассивности (283). 4. Мно-
гомерные дисперсионные соотношения (288). 5. Фундаментальное
решение и задача Коши (292). 6. Какие дифференциальные и раз-
ностные операторы являются пассивными операторами? (295).
7. Примеры (298).
§ 20. Абстрактный оператор рассеяния.....................302
1. Определение и свойства абстрактной матрицы рассеяния (302).
2. Описание абстрактных матриц рассеяния (305). 3. Связь между
пассивными операторами и операторами рассеяния (306).
ЛИТЕРАТУРА ..............................................310
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.....................................315
ПРЕДИСЛОВИЕ
Прогресс физики требует для ее теоретической формулировки
все более и более «высокой» математики. По этому поводу при-
ведем одну фразу, высказанную английским физико-теоретиком
П. Дираком в 1930 г. в известной статье (П. Дирак [1]), в кото-
рой он теоретически предсказывал существование античастиц:
«Кажется вероятным, что этот процесс непрерывного абстра-
гирования будет продолжаться и в будущем и что успех физики
должен в большей степени опираться на непрерывные модифи-
кации и обобщения аксиом на математической основе, чем на
логическое развитие какой-либо одной ветви математики в фик-
сированных рамках».
Последующее развитие теоретической физики, особенно кван-
товой теории поля, полностью подтвердило это высказывание
Дирака. В связи с этим уместно вспомнить слова Н. Н. Боголю-
бова, сказанные им в 1963 г.: «Основные понятия и методы кван-
товой теории поля становятся все более математическими».
Построение и исследование математических моделей физиче-
ских явлений составляет предмет математической физики.
Со времен Ньютона поиски и изучение математических моде-
лей физических явлений — задач математической физики — тре-
бовали привлечения широкого арсенала математических средств
и тем самым стимулировали развитие ряда разделов матема-
тики. Традиционная (классическая) математическая физика
имеет дело с задачами классической физики: механики, гидроди-
намики, акустики, диффузии, теплопередачи, теории потенциала,
электродинамики, оптики и т. д., сводящимися к краевым зада-
чам для дифференциальных уравнений (уравнениям математи-
ческой физики). Основным математическим средством исследо-
вания таких задач служит теория дифференциальных уравне-
ний, а также родственные области математики: интегральные
уравнения, вариационное исчисление, приближенные и числен-
ные методы. С появлением квантовой физики множество исполь-
зуемых математических средств значительно расширилось: на-
ряду с традиционными областями математики стали широко
применять теорию операторов, теорию обобщенных функций,
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
теорию функций комплексных переменных, топологические и
алгебраические методы, вычислительную математику и технику.
В этом интенсивном взаимодействии теоретической физики и
математики постепенно оформляется новая область — современ-
ная математическая физика.
Таким образом, в современной математической физике ши-
роко используются достижения современной математики. Од-
ним из таких достижений является теория обобщенных функций.
Эта монография и посвящена краткому изложению основ этой
теории и некоторым применениям ее в математической физике.
В конце 20-х годов П. Дирак в своих квантовомеханических
исследованиях (см. П. Дирак [2, 3]) впервые ввел в науку так на-
зываемую б-функцию, обладающую следующими свойствами:
б(х) = 0, .г 0; j б(х)ф (х) dx~<f (0), <р <= С. (*)
Вскоре математиками было указано, что с математической точ-
ки зрения это определение бессмысленно. Конечно, и самому
Дираку было ясно, что б-функция не есть функция в классиче-
ском смысле понимаемая, и, что важно, она действует как опе-
ратор (точнее, как функционал), сопоставляющий по формуле
(*) каждой непрерывной функции <р число <р(0) — ее значение
в точке 0. Потребовались ряд лет и усилия многих математи-
ков*), чтобы найти математически корректное определение
б-функции, ее производных и вообще обобщенной функции.
Основы математической теории обобщенных функций были
заложены советским математиком С. Л. Соболевым в 1936 г.
в работе [1], где он успешно применил обобщенные функции к
исследованию задачи Коши для гиперболических уравнений.
В послевоенные годы французский математик Л. Шварц, опи-
раясь на предварительно созданную теорию линейных локально-
выпуклых топологических пространств**), предпринял система-
тическое построение теории обобщенных функций и указал
ряд важных приложений этой теории. Он изложил ее
в своей известной монографии «Theorie des distributions» [1]
(1950—1951 гг.). В дальнейшем теория обобщенных функций
интенсивно развивалась многими математиками. Бурное разви-
тие теории обобщенных функций стимулировалось главным об-
разом потребностями математической и теоретической физики,
в особенности теории дифференциальных уравнений и кванто-
вой физики. В настоящее время теория обобщенных функций
далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения
в физике и математике и прочно вошла в обиход физика,
*) См. пионерские работы Ж- Адамара [1], С. Бохнера [1] и М. Рисса [1].
**) См. Ж. Дьедонне, Л. Шварц [1].
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
математика и инженера*). Обобщенные функции обладают ря-
дом замечательных свойств, расширяющих возможности клас-
сического математического анализа, например: любая обобщен-
ная функция оказывается бесконечно дифференцируемой
(в обобщенном смысле), сходящиеся ряды из обобщенных функ-
ций можно почленно дифференцировать бесконечное число раз,
преобразование Фурье обобщенной функции всегда существует
и т. д. Поэтому использование техники обобщенных функций
существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому
же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя эле-
ментарные операции.
Эта монография является расширенным изложением курсов
лекций, читанных мною в течение ряда лет студентам, аспиран-
там и сотрудникам Московского физико-технического института
и Математического института им. В. А. Стеклова.
Пользуясь случаем, благодарю всех лиц, чья конструктив-
ная критика способствовала улучшению изложения. В особен-
ности я благодарен моим ученикам Ю. Н. Дрожжинову,
В. В. Жаринову и Р. X. Галееву.
Первое издание этой книги быстро разошлось. При подготов-
ке 2-го издания был учтен ряд замечаний, исправлены неточно-
сти и опечатки; часть материала была переработана и допол-
нена. Особенно большой переработке подвергся раздел, относя-
щийся к теории голоморфных функций с неотрицательной мни-
мой частью в трубчатых областях над острыми конусами
(§§ 16—18). В этот раздел включены новые результаты.
Январь 1978 г.
В. С. Владимиров
*) См. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Широков [1], Н. Н. Боголюбов, Б. В. Мед-
ведев и М. К. Поливанов [1], Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов и И. Т. Тодо-
ров [1], С. Л. Соболев [1, 2], В. С. Владимиров [1, 2]. И. М. Гельфанд и
Г. Е. Шилов [1], И. М Гельфанд и Н. Я. Виленкин [1], Р. Стрнтер, А. Вайт-
ман [1], Р. Пост [1], Г. Бремерман [1], Л. Шварц [1, 2], Л. Гординг [1], Л. Хёр-
мандер [1], Б. Мальгранж [1], Ж. Трев [1], Ж. Гарсу [1], А. Земанян [1],
Е. Бельтрами и М. Волерс [1], Ж. Арсак [1], Л. Эренпрайс [1], В. П. Паламо-
дов [1], М. Рид и Б. Саймой [1] и др. В последние годы все большие приме-
нения находят более общие, чем обобщенные функции, объекты — так назы-
ваемые гиперфункции в смысле М. Сато [1].
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 0.1. Точки «-мерного вещественного пространства R"
обозначаем х, у, ...; x = (xi,x2, ..., хп). Точки «-мерного
комплексного пространства С" обозначаем г, 2, z —
= (zb z2, Zn} — x-\-iy, x=Rez—вещественная часть z,
у = Im г — мнимая часть z, z — х — 1у — комплексно сопряжен-
ная с z. Обычным способом введем в R'1 и О'1 скалярные
произведения
U, Ю =	+ .. + хп%п, {z, § — zt + ... + zn t,n
и нормы (длины)
|х| = V(x, X) = (х?1 + . . . + ХпУ’2,
|2| = V(2> г) = (|г1|2 4- ... + |zra|2)‘A-
§ 0.2. Открытые множества в R" обозначаем О,
О', дО— граница О, т. е. дО — О/О. Будем говорить,
что множество А компактно в открытом множестве О (или стро^
го содержится в О), если А ограничено и его замыкание А
содержится в О; при этом пишем A<s=O.
Обозначаем: U (х0; R) — открытый шар радиуса R с центром
в точке x0; S (х0; R) — d(J (х0; R) — сфера радиуса R с центром
в точке х0; UK = U (0; R), SR = S (0; R).
Обозначим Д(А, В) расстояние между множествами А и В
в R", т. е.
Д (А, В) — inf [х — у\.
Обозначим через А® е-окрестность множества А, Ае — А Ut
(рис. 1, а). Если О — открытое множество, то через Оъ обозна-
чаем совокупность тех точек О, которые лежат от дО на рас-
стоянии, большем е (рис. 1, б):
Ог — [х: х е О, Д (х, дО} > е].
Обозначим через int А множество внутренних точек множе-
ства А.
12
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Характеристической функцией множества А называется функ-
ция 0д (х), равная 1 при х <= А и равная 0 при х ёнЛ.
Характеристическая функция 0[о, оо>(х) полуоси х^О называется
Рис. 1.
функцией Хевисайда (единичной ступенькой) и обозначается
0(х) (рис. 2):
0 (х) = 1, х^О, 0(х) = О, х<0.
Обозначаем 0„ (х) — 0 (xj ... 0 (х„).
Множество А называется выпуклым, если для любых точек х'
и х" из А соединяющий их отрезок tx' + (1 — t) х", 0 t 1,
целиком содержится в А.
Рис. 2.
Обозначаем через ch А выпуклую оболочку множества А.
Вещественная функция f(x)<+ оо называется выпуклой
на множестве А, если для любых точек х' и х" из А таких,
что соединяющий их отрезок tx' + (1 — t)x",	целиком
содержится в А, справедливо неравенство (рис. 2, б)
f ((Х' + (!-/) х") < tf (х') + (1 - t) f (x").
Функция f (x) называется вогнутой, если функция — f (х) выпу-
клая.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
13
§ 0.3. Интеграл Лебега функции f по открытому мно-
жеству О обозначаем
f (х) dx,
о
f (х) dx = f (х) dx.
Rn
Совокупность всех (комплекснозначных, измеримых) функ-
ций f, заданных на (7, для которых конечна норма
Ilf II
(0)
j | f (x)|p dx"|'/P, l=^p<oo,
-O	J
vrai sup | f (x) |, p=oo,
x^'J
обозначим через S4 (0), 1<р<оо; обозначим || ||= || '||_2,2((?п),
£р (R") = 2Р.
Если f е £р (О') для любого О' <^0, то f называется
p-локально суммируемой в 0 (при р — 1 — локально суммируе-
мой в О). Совокупность p-локально суммируемых в О функций
обозначим ^рс (б?), g’Pс (Rrt) = £pqc.
Измеримая функция называется финитной в О, если она
обращается в нуль почти везде вне некоторого 0' <s=O. Сово-
купность всех финитных в О функций из S£p (0) обозначим
через S’p (0).
§ 0.4. Пусть а = (аь а2....а„) — мультииндекс, т. е. его
компоненты а/ —целые неотрицательные числа. Обозначим
а! =а,!а„! ... а!, x“ = x?ix?2 ... А,
I	П	I ~	П
=	ГМ - а!
Уау \<xj \a2J *” kart/ pt (а — §)! ’
| а | = cq + а2 + ... + ап.
Пусть £>==(£>[, D2...£>„), 2)/ = -Д-, /=1,2,..., га, и тогда
al “ I f (х)
[)af (х\___21—'-1-1-----
' V '~~dx*idx¥ ... дх*п
Иногда a = (ab a2, ..., a„) будет обозначать также мультиин-
декс с компонентами любого знака: ау=О.
§ 0.5. Обозначим через Ck(0) совокупность всех функций f (х),
непрерывных в 0 вместе со всеми производными Da f (х), | a | fv,
С °° (О) — совокупность всех бесконечно дифференцируемых в 0
функций. Совокупность всех функций f (х) из Ck (0) для которых
все производные Daf(x), | a | k допускают непрерывное
14
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
продолжение на 0, обозначим через Ck(0). Норму в Ск (0)
при k < оо введем по формуле
llfllc^> = sup_|z)“ f (х)|-
хеО
|a|<fe
Обозначим С (0) = С° (0), С (0) = С° (0).
Носителем непрерывной в 0 функции f (х) называется замы-
кание в 0 тех точек, где f (х) =/=0; носитель f обозначается supp f.
Если supp f<^0, то f финитна в 0 (ср. с § 0.3).
Совокупность финитных в 0 функций класса Ck (0) обо-
значаем через Со (0)', Со (б?) = С° (С). Наконец, совокупность
всех функций класса Ск(0), обращающихся в нуль на д0
вместе со всеми производными до порядка k включительно,
обозначим через Со (С);_Со (0 = Со(0). Обозначаем:	(R") =
Со (Rrt) = Со! Со (R") = Со> Со = Со(Ск — совокупность функций
из Ск, обращающихся в нуль на бесконечности вместе со всеми
своими производными до порядка k включительно).
§0.6. Обозначаем: (а, Ь) — билинейная форма (линейная
по а и 6 в отдельности); (а, 6) — полуторалинейная форма
(линейная по а и антилинейная по Ь):
(aaj fJa2, Xbi + цЬ2) =
= aX (fl!, &!> 4- ap <ab Ь2> 4- pl(a2,	4- 0pi(a2, b2>;
C	2n'l/2
ds = 7-^2) — пл°ЩаДЬ поверхности единичной сферы
U i=i
в R”; Ат — матрица, транспонированная к матрице А.
Равномерную сходимость последовательности функций {<₽„(%)}
к функции <р (х) на множестве А будем обозначать так:
X е А
Ф„(х) => <р(х),	°°;
х <= Rra	х
если Л = Р”, то вместо => пишем =>’
Нумерация параграфов — сквозная. Каждый параграф разбит
на пункты, ссылки на которые содержат номер соответствую-
щего параграфа. Формулы занумерованы отдельно в каждом
пункте с указанием номера этого пункта. При ссылке на фор-
мулу из другого параграфа указывается также номер этого
параграфа.
Глава I
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
В этой главе дается изложение теории обобщенных функций,
рассчитанное на приложения в теоретической и математиче-
ской физике.
§ 1. Основные и обобщенные функции
1. Введение. Обобщенная функция является обобщением
классического понятия функции. Это обобщение, с одной сто-
роны, дает возможность выразить в математически корректной
форме такие идеализированные понятия, как плотность мате-
риальной точки, плотность точечного заряда или диполя, про-
странственную плотность простого или двойного слоя, интенсив-
ность мгновенного точечного источника, интенсивность мгно-
венной силы, приложенной в точке, и т. д. С другой стороны,
в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт,
что реально нельзя измерить значение физической величины
в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в доста-
точно малых окрестностях этой точки и объявить предел
последовательности этих средних значений значением рассма-
триваемой физической величины в данной точке.
Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить плот-
ность, создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем,
что эта точка есть начало координат. Чтобы определить эту
плотность, распределим (или, как говорят, «размажем») еди-
ничную массу равномерно внутри шара радиуса е с центром
в 0. В результате получим среднюю плотность /е(х), равную
(рис. 3)
[ _I—( если | х | < е,
fe(*) = { Тяе3
[	0, если | х | > е.
Но нас интересует плотность при е = + 0. Примем сначала
в качестве искомой плотности (мы ее обозначим через 6(х))
16
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
поточечный предел последовательности средних плотностей fe (х)
при е->4-0, т. е. функцию
(4-оо, если х = 0,
о (х) = <
(	0, если х =£= О
(1.1)
От плотности 6 естественно требовать, чтобы интеграл от нее
по всему пространству давал бы полную массу вещества, т. е.
j 6 (х) dx
= 1.
(1.2)
Но для функции б (х), определенной формулой (1.1), \ б (х) dx = 0.
Это значит, что эта функция не восстанавливает массу (не
удовлетворяет требованию (1.2)) и потому не может быть при-
О s 2е х
Рис. 3.
нята в качестве искомой плотности.
Итак, поточечный предел последова-
тельности средних плотностей fe (х) не
подходит для наших целей. Каков же
выход?
Найдем теперь несколько иной пре-
дел последовательности средних плот-
ностей fe(x), так называемый слабый
предел. Нетрудно убедиться, что для
любой непрерывной функции <р(х)
lim \ fe (х) <р (х) dx = ф (0). (1.3)
е-»+0 J
Формула (1.3) обозначает, что слабым пределом последователь-
ности функций /е(х), е->4-0, является функционал ф(0) (а не
функция!), сопоставляющий каждой непрерывной функции ф(х)
число ф (0) — ее значение в точке х = 0. Вот этот-то функционал
мы и примем в качестве искомой плотности б (х); это и есть
известная б-функция Дирака. Итак, мы можем написать
е~* + 0,
понимая под этим предельное соотношение (1.3). Значение
функционала б на функции ф — число ф (0) — будем обозначать
так:
(б, ф) = ф(О).	(1.4)
Это равенство и дает точный смысл формулы (*) (см. преди-
словие). Роль «интеграла» ^б(х)ф(х)с/х здесь играет величина
(б,ф) — значение функционала б на функции ф.
Проверим теперь, что функционал б восстанавливает полную
массу. Действительно, как только что было сказано, рол!?
<i 11	ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ	17
«интеграла» j6(x)dx играет величина (6,1), равная, в силу
(1.4), значению функции, тождественно равной 1, в точке х = 0,
т. е. (6, 1) = 1.
И вообще, если в различных точках xk, k = l, 2, ..., N,
сосредоточены массы у.*, то плотность, соответствующая этому
распределению масс, следует считать равной
£ yft6(x —xfe).	(1-5)
Выражение (1.5) есть линейный функционал, сопоставляющий
каждой непрерывной функции <р (х) число
S ЦаФ (х*).
Таким образом, плотность, соответствующая точечному рас-
пределению масс, не может быть описана в рамках классиче-
ского понятия функции, и для ее описания следует привлекать
объекты более общей математической природы — линейные
(непрерывные) функционалы.
2. Пространство основных функций 3)(0). Уже на примере
6-функции мы видели, что она определяется посредством непре-
рывных функций как линейный (непрерывный) функционал на
этих функциях. Непрерывные функции, как говорят, являются
основными функциями для 6-функции. Эта точка зрения и бе-
рется за основу определения произвольной обобщенной функции
как линейного непрерывного функционала на совокупности
достаточно «хороших» так называемых основных функций. Ясно,
что чем меньше совокупность основных функций, тем больше
существует линейных непрерывных функционалов на ней. С дру-
гой стороны, запас основных функций должен быть достаточно
велик. В этом пункте мы введем важное пространство основных
функций 0(0) для любого открытого множества 0 Rrt.
Отнесем к множеству основных функций 0(0) все финитные
бесконечно дифференцируемые в О функции-, 0(0) = С™ ((?) (см.
§ 0.5). Сходимость в 0(0) определим следующим образом.
Последовательность функции фь <р2. • • • из 0(0) сходится
к функции <р (из 0 (0)), если существует такое множество 0' 0,
что supp фА с 0' и при каждом а
£)аф^ (х) ^аф (х), k -> оо.
В этом случае будем писать: Ф*-*Ф, k->°o в 0(0).
Линейное множество 0(0) с введенной в нем сходимостью
называется пространством основных функций 0(0). Обозначаем:
0 = 0 (Rrt), 0 (а, Ь) = 0 ((а, Ь)).
18
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Очевидно: если Оу а О2, то и й) (б^) <= й) (02), и из сходи-
мости в 3)(0у) следует сходимость в Д)(О2).
Примером основной функции, отличной от нулевой, является
«шапочка» (рис. 4)
( 82
®е (*) = I С®6 6 1 Х| ’ I X । е>
I 0,	| х | > е.
В дальнейшем функция сое будет играть роль функции усред-
нения; поэтому постоянную Се будем считать такой, что
1
(х) dx = 1, т. е. СЕеге \ е 1 -1 Е I2 d%> = 1.
Ill <i
Следующая лемма дает другие примеры основных функций.
Рис. 4.
Лемма. Для любого множества А и любого числа е > О
существует функция riE е С°° такая, что
т)е (х) = 1, хе Ае; 1% (х) = 0, хё Л3е;
|0Ч(х)|</бае-1га|.
Доказательство. Пусть 0л2е — характеристическая функ-
ция множества А2е (см. § 0.2). Тогда функция
Пе W = J 0Л2е (у) ®e (x — y)dy = J ®е (х — у) dy,
А28
где сое—«шапочка», обладает требуемыми свойствами. Лемма
доказана.
Следствие. Пусть О — открытое множество. Тогда для лю-
бого О' ^О существует функция ц ей) (б?) такая, что г)(х) = h
х е О', 0 ^г| (х) < 1.
§ П
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
19
Вытекает из леммы при А = О' и е = -j Л (0', д0)> 0.
Пусть 0k, k=l, 2,	—счетная система открытых мно-
жеств. Говорят, что эта система образует локально конечное
покрытие открытого множества 0, если О = J 0 k<^0 и
1
любой компакт	пересекается лишь с конечным числом
множеств {СД.
Теорема I (разложение единицы). Пусть {0k} — ло-
кально конечное покрытие 0. Тогда существует система функций
{ek} такая, что
е,.^0 (0k), 0 < ek (х) < 1, 2 е* (х) = 1, х е 0.
Замечание. При каждом х е О в сумме отлично от 0 лишь конечное
число слагаемых ej. (х); система функций {е/.} называется разложением еди-
ницы соответствующим данному локально конечному покрытию {СД откры-
того множества О.
Доказательство. Докажем, что существует другое ло-
кально конечное покрытие {0у} множества 0 такое, что 0у<^
0k. Построим 01. Обозначим
Ki = 0\ U Ок.
Тогда К.\<^-0\^0 и замкнуто в 0. Следовательно,
^0\, в качестве 0\ возьмем открытое множество такое, что
При этом множества 0Ь 02, ... образуют ло-
кально конечное покрытие 0. Аналогичным способом построим
и открытое множество 0ч^0%, и т. д. В результате получим
требуемое покрытие {CjJ-
По следствию из леммы существуют функции 0(0k)
такие, что
x^0'k, 0<nft(x)<l.
Полагая
(х) =
X (*)
*>1
>, Пй (х) >
1
1
получим требуемое разложение единицы. Теорема доказана.
Таким образом, мы видим, что существуют различные функ-
ции из 0(0). Сейчас мы убедимся, что таких функций доста-
точно много.
20
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Пусть / — локально суммируемая функция в О, f е j?loc (<?)•
Свертка f с «шапочкой» соЕ,
f е (х) == J f (у) сое (х - у) dy = J соЕ (у) f (х — у) dy
(там, где она определена), называется средней функцией f (или
регуляризацией f).
Пусть f е= 9?р (<?), 1 < р < оо (/ (х) считаем равной нулю
вне О). Тогда /е е С°° и справедливо неравенство
II fe II II f II #P(0y	(2.1)
Действительно, то, что /е е С°°, следует из свойств функции f
и из определения средней функции. Неравенство (2.1) при 1
< оо вытекает из неравенства Гёльдера
Ilfell^V) = J If Е(*)Г dx — J | J f (у) we (х — у) dy\Pdx^
О	О
<5 $1Ш1Р®6(Х — i/)df/[J®e(x — y)dy^ dx =
о о
= J J If (y)\p®Ax~y) dydx < J | f (y) |p dy = H/Ц PP(C?).
00	0
Аналогично рассматривается и случай р — оо.
Теорема II. Пусть f е S’o (СТ) и f (х) = 0 почти везде вне
Тогда при всех е < д(У) средняя функция fe^3)(СТ),
причем*)
в С (tf), если f еС0 ((У) ,
fE->M->+o
в Э?р{0), если ((?), 1 <р < оо,
почти везде в О, если f е 5?“ (0).
Доказательство. Если е<д(/<, д0), то fe(x) финитна
в СТ, и так как fe е С°° (£Т),то /6е^)(СТ).
Пусть /еС0(д). Тогда из оценки
I fe W “ f WI = | J [f (У) ~ f (*)] ®e (x - у )dy | <
< max | f (x) — f (y) | (cog (x — y)dy= max \f (x) — f (y) |,
x e O,
и из равномерной непрерывности функции f следует равномер-
ная сходимость на О fe(x) к f(x) при е->4-0.
*) По поводу обозначений см. § 0.3 и § 0.5.
5 II
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
21
Пусть	1^р<оо. Возьмем произвольное 5 > 0.
Существует функция ge Со (<?) такая, что
II f ~ й 11^>Р(С?) < "з"-
По доказанному найдется такое е0, что
II й ~ Йе II < у при всех е < е0.
Отсюда, пользуясь неравенством (2.1), при всех е < е0 получаем
II f ~ fe lljfP(O’) II f ~ ё II ^Р(О) + II £ — ge II jfP((7) + И _ De II ^>Р(с?)
<2||/-§||Л+и-§в|1Л< -^+4=6.
Это и значит, что	е—>4-0 в 3£Р (<?)•
Если же / е 2^ (<?), то можно указать последовательность
функций из Со (<?), сходящуюся к f (х) почти везде в (У. Отсюда
и из доказанного следует, что fe (х) -> f (х), е->ф-0 почти везде
в (У. Теорема доказана.
Следствие 1. ЗУ ((У) плотно в 2УР ((У\_ 1	< оо. _
Следствие 2. 3)((У) плотно в Со ((У) (в норме Ck ((?))>
если (У ограничено или (У — Rre.
3. Пространство обобщенных функций $)'((У). Обобщенной
функцией, заданной в открытом множестве (У, называется всякий
линейный непрерывный функционал на пространстве основных
функций 3) ((У).
Значение функционала (обобщенной функции) f на основной
функции <р будем записывать в виде (/, <р). По аналогии с обыч-
ными функциями иногда формально вместо f пишут f (х), под-
разумевая под х аргумент у основных функций, на которые
действует функционал f.
Расшифруем определение обобщенной функции.
1)	Обобщенная функция f есть функционал на ЗУ ((У), т. е.
каждой <р е ЗУ ((У) сопоставляется (комплексное) число (f, ср).
2)	Обобщенная функция/есть линейный функционал на ЗУ((У),
т. е. если <р и ф из ЗУ ((У) и Л и pi — комплексные числа, то
(/, Ч + РФ) = Л (Л ф) + Н (Л Ф).
3)	Обобщенная функция f есть непрерывный функционал
на ЗУ ((У), т. е. если qpft-><р, k-><x> в ЗУ ((У), то
(f, Фй)-*(/» ф)>
Обобщенные функции f и g, заданные в (У, называются
равными в (У, если они равны как функционалы на 3) (<У), т. е.
если для любой <р из ЗУ ((У) (f, <р) — (g, ср). При этом будем
писать: f = g в (У или f(x) = g(x), х^.(У.
22
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[РЛ. I
Обозначим через Ф' (б?) совокупность всех обобщенных функ-
ций, заданных в 0. Множество ФД0) — линейное, если линейную
комбинацию kf + pg обобщенных функций f и g из Ф'(0)
определить как функционал, действующий по формуле*)
(А/ + pg, ф) = A (f, ф) + р (g, ф), ф е= Ф (0).
Пусть	Определим обобщенную функцию f из
Ф'(0), комплексно сопряженную с f, по правилу
(Лф)=(7Гф)> <$^ф(0).
Обобщенные функции
= Imf = L=±
называются вещественной и мнимой частями f соответственно,
так что
f = Ref + f = Ref — ilmf.
Если Im f = 0, то f называется вещественной обобщенной функ-
цией.
Пример, б-функция вещественна.
Определим сходимость в Ф' (0). Последовательность обоб-
щенных функций flt f2, ... из Ф' (0) сходится к обобщенной
функции f ^Ф' (0), если для любой основной функции ср^Ф(0)
(fk> ф)(Л ф)>	В этом случае будем писать
fk -+f, 6->оо в Ф'(0\
Введенная сходимость называется слабой сходимостью. Ли-,
нейное множество Ф' (0) с введенной в нем сходимостью назы-
вается пространством обобщенных функций Ф'(0). Обозначаем
Ф' = Ф' (Rn), Ф' (а, Ь) = Ф' ((а, б)).
Очевидно: если 0Y cz 02, то Ф' (02) cz Ф' (0{) и из сходи-
мости в ФУ (02) следует сходимость в Ф' (0 J.
Поэтому для всякой обобщенной функции f из Ф' (0) суще-
ствует (единственное) сужение на любое открытое множество
0'а: 0 такое, что f е Ф’ (0’').
Замечание. Линейные функционалы на 3) (0) не обязаны быть не-
прерывными на 3) (0). Однако в явном виде не построено ни одного линей-
ного разрывного функционала на 3) (0)\ можно только теоретически доказать
их существование, используя аксиому выбора.
Теорема. Для того чтобы линейный функционал f на Ф(0)
принадлежал Ф'(0), т.е. был обобщенной функцией в 0, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества
0'<s=,0 существовали числа R = R(0') и т = т(0') такие, что
1(ЛФ)К^11ф11ст(щ), <^Ф(0').	(Я.1)
*) Таким образом, форма (/, <р) — билинейная (см. § 0.6).
§ I]	ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ	23
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем
необходимость. Пусть f е= Sb' (б?) и 0'<^0. Если неравенство
(3.1) несправедливо, то найдется последовательность cpA, k =
= 1,2, .... функций из ££>(£?') такая, что
I (Л Фй) I >k || qpft ||cW	(3.2)
Но последовательность
= <iPfe :--------> 0, k -> OO B Sb (0),
поскольку supp	и при &|>|p| имеем
|DB^(x)|=	----- <-L->0, А—>оо.
Поэтому (f, Ф*)->0, k-+oo. С другой стороны, в силу (3.2),
получаем
I (Л Фь) I = -/ j iiV^ '	> Vfe -> °°> k-+<x>.
yk II Ч’й llcfe(Cy')
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Пусть f^Sb'(0). Если в неравенстве (3.1) целое число т
можно выбрать не зависящим от 0', то говорят, что обобщен-
ная функция f имеет конечный порядок-, наименьшее такое т
называется порядком f в 0. Например, порядок б-функции
равен 0; порядок обобщенной функции
(Л ф) = Е ф(А)
в (0, оо) бесконечен.
Замечание. Доказанная теорема означает, что если в пространстве
ф (О) ввести топологию индуктивного предела (объединения) возрастающей
последовательности счетно-нормированных пространств С“ (6Д), где
<= 02 <= .... U 0k — 0, С нормами
v = 0, 1, ..., q>eC“(^,.),
то Ф' ((7) становится пространством, сопряженным к пространству ф (0)
(см. Ж. Дьедонне и Л. Шварц [1], Н. Бурбаки [1]). Неравенство (3.1) при
этом сохраняется для всех функций <р из С™ (б?') (см. следствие 2 из тео-
ремы 2 .§ 1.2). 4 * * *
4. Полнота пространства обобщенных функций 3)'(0).
Весьма важным является свойство полноты пространства 0'(0).
Т е о р е м а. Пусть последовательность обобщенных функций
ft, f2, ... из Sb'{0) такова, что для каждой функции <р е Sb (0)
24
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
1ГЛ. I
числовая последовательность (fk,<p) сходится при k—>оо. Тогда
функционал f на Ф (О), определяемый равенством
(f, <р) = lim (fj., ср),
fe->00
также является линейным и непрерывным на Ф (О), т. е. ?^Ф'(О).
Доказательство. Линейность предельного функционала f
очевидна. Докажем его непрерывность на Ф((Т). Пусть Фл,->0,
v—>оо в Ф(О); нам нужно доказать, что (f, qpv)~>0, v—>оо.
Допуская противное и переходя, если нужно, к подпоследова-
тельности, можно считать, что при всех v— 1, 2, ... выполнено
неравенство |(f, фЛ^2а при некотором а > 0. Так как
(А ф„) = lim (fk, <pv),
fe->00
то для каждого v=l, 2, ... найдется такой номер kv, что
| (Jkv> <Pv) | а- Но это невозможно, в силу леммы, следующей
ниже. Полученное противоречие и доказывает непрерывность f.
Теорема доказана.
Лемма. Пусть дана последовательность функционалов fi,f2f...
из слабо ограниченного множества М' аФ'(О), т. е. | (f, ф) | < Сф,
f е М' для всех ф из Ф (<?), и последовательность основных
функций Фь Ф2, ... из Ф(О) стремится к 0 в Ф(О). Тогда
(fk, <Рь)~*О> оо.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна. Тогда,
перейдя, если необходимо, к подпоследовательности, можно
считать, что | (fk, фй) | с > 0. Сходимость ф^ к 0 в Ф (<?) озна-
чает, что supp фй cz О' <s= О и при каждом а
Даф{.(х)=>0,	k—> оо.
Поэтому, переходя, если нужно, опять к подпоследовательности,
можем считать, что
I Da(pk (х) | <	,	|а|<й = 0, 1, ...
Положим фй = 2йфй; тогда
supp О' б и | D“ (х) I , | а | k = 0, 1, ..., (4.1)
так что
\(fk, I = 2fe 1 (ffe, <Pfe)|>2fcc-> oo, &->oo.	(4.2)
Теперь построим подпоследовательности и {Фад,} сле-
дующим образом. Выберем fkl и фй1 такими, чтобы | (fkl, ф^.) | ^2.
Пусть fkj и tykj, / = 1, ..., V — 1, уже построены; построим fkv
Я чЦ. Так как >0, k -> оо в Ф(О), то (fk/, фА) -> 0, й->оо,
S и
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
25
/=1, v—1, и поэтому найдется такой номер N, что при
всех k~^N
' = !....<4-3)
Теперь заметим, что фА/) | ckj,	v—1. Наконец,
в силу (4.2), выберем такой номер	что
|(Х>'1М|> Е cfc/ + v+l.	(4.4)
- 1
Таким образом, в силу (4.3) — (4.4), построенные (обобщенные)
функции fkv и ф^ таковы, что
|(7.,,	'='..................(4'5)
| (Б,, *»,) | > Е ЦТ*». М! + ’+1.	(4.6)
K/<v-1
Положим Ф = Е $kj- В силу (4.1) этот ряд сходится в 0(<?)
/>1
и, следовательно, ф е ЗУ (б?) и
(Х> Ф) = (ffeV’ 'Фау) + Е (Av>	(4-7)
!
Отсюда, принимая во внимание неравенства (4.5) и (4.6), по-
лучаем
l(f.,.*)!>
ОО
> I ю I - Xl (f‘«- МI - X I (f«v *>() I >
—I	L>v + 1
>v + i- £ ^ = v,
/>v+l
t. e. (fj,v, ф)-» oo, v—>oo. Но это противоречит ограниченности
последовательности (fk, ф), k -> °° (fft е М'), что и доказывает
лемму.
Следствие. Если множество М'с=ЗУ(0) слабо ограни-
чено, то для любого О' <s= О существуют числа Кит такие,
что неравенство (3.1) сохраняется для всех q>^3)(0') и f^M'.
Доказательство аналогично доказательству теоремы § 1.3
с использованием леммы.
5. Носитель обобщенной функции. Обобщенные функции,
вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем
не менее можно говорить об обращении в нуль обобщенной
функции в открытом множестве. Говорят, что обобщенная функ-
ция f из ЗУ (б) обращается в нуль в открытом множестве
26
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
О' с О, если ее сужение на О' (см. § 1.3) есть нулевой функ-
ционал из З'(О'), т. е. (/,<р) = О при всех ^<=3(0'). При
этом будем писать: f (х) — О, хе О'.
Пусть обобщенная функция f из ЗУ (О) обращается в нуль
в О. Тогда она, очевидно, обращается в нуль и в окрестности
каждой точки множества О.
Обратно, пусть f из 3'(О) обращается в нуль в некоторой
окрестности О (у) cz О каждой точки у открытого множества О.
Построим по покрытию {U (у), у е 67} множества О его ло-
кально конечное покрытие {Ok} такое, что каждое Ок содер-
жится в некоторой U (у). Пусть Oi <^672<^ ..., U O'V = O. По
лел1ме Гейне —Бореля компакт 0'2 покрывается конечным числом
окрестностей U (у): И(yj....67 (yw); компакт 0'3 \ О{ покры-
вается также конечным числом таких окрестностей: U (yNt+i'),...
• • •> О (yN+N} и т. д. Положив О. = U (уД П k = 1, .... Hl}
^ = ^ + 1, .... Nl + N2, И т. д„ полу-
чим требуемое покрытие {67j,}.
Пусть {ek} — разложение единицы, соответствующее построен-
ному покрытию {Ок} множества О (см. § 1.2). Тогда для
любой <р из 3(0) supp (qpeft) cz U (у) при некотором у й потому
(f,	— следовательно,
(f, ф) = (f, S «ЗД') = £ (f, 4>ek) = 0.
\	*>1	/ fe>!
Итак, мы убедились, что справедлива следующая
Лемма. Если обобщенная функция из 3' (О) обращается
в нуль в некоторой окрестности каждой точки открытого мно-
жества О, то она обращается в нуль и во всем множестве О.
Пусть f е 3' (О). Объединение всех окрестностей, где f = 0,
образует открытое множество Of, которое называется нулевым
множеством обобщенной функции f. По лемме /' = 0 в Of,
далее, Of есть наибольшее открытое множество, в котором f
обращается в нуль.
Носителем обобщенной функции f называется дополнение 67f
до О; носитель f обозначается supp f, так что supp f = O\Of,
supp f — замкнутое множество в О. Если supp f О, то f назы-
вается финитной в О.
Из сказанного вытекают такие утверждения:
а)	Если носители f е 3' (О) и <р е 3 (О) не имеют общих
точек, то (f, <р) = 0.
б)	Для того чтобы xesuppf, необходимо и достаточно,
чтобы f не обращалась в нуль ни в какой окрестности точки х.
Пусть А — замкнутое множество в О. Обозначим через
3' (О, Л) совокупность обобщенных функций из 3'(О), носи-
»1]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
27
тели которых содержатся в А, и со сходимостью: ^->0, k -> оо
в Ф'(0,А), если k -> оо в Ф' (д) и supp^czA. Обоз-
начаем Ф' (Л) = Ф’ (Rn, Л).
Аналогичный смысл будут иметь и другие пространства
обобщенных функций, например Ф (A), ^j(A) и т. д. (см. ниже,
§ 5 и § 7).
Доказанная в этом пункте лемма допускает обобщение. Мы
видели в § 1.3, что всякая обобщенная функция f из Ф' (<?)
индуцирует в каждом О'с(0 свой локальный элемент f ^.Ф' (0').
Справедливо и обратное: из всякой совокупности согласован-
ных локальных элементов можно «склеить» единую обобщен-
ную функцию. Точнее, справедлива следующая
Теорема «о кусочном склеивании». Пусть для каж-
дой точки у существует окрестность U (у)<е=0 и в ней
задана обобщенная функция fy, причем fy (х) = fy (х), если
x^U (у^ П U (у2) =/= 0. Тогда существует единственная обобщен-
ная функция f из Ф' (<?), совпадающая с fy в U (у) при всех
у^0.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы, по
покрытию {U (у), у е= 0} построим локально конечное покрытие
{0к}, 0kcz U (ук) множества 0 и соответствующее разбиение
единицы {еД. Положим
(А Ф) = (fyk, Фь), Ф е 0 (0).	(5.1)
Так как число слагаемых в правой части равенства (5.1) всегда
конечно и не зависит от <р е Ф (<?') при любом 0' <s 0, то. опре-
деляемый ею функционал f — линейный и непрерывный на
Ф(0), т. е. f ^Ф'(0). Далее, если <р еф(0(у)), то ц>ек^Ф(и(ук))
и, стало быть, (fy, (f>ek) — ^fyk, феА), так что в силу (5.1)
(f, ф) = X (fyk, ф^) = (fy, Ф Е еЛ = (fy, ср),
т. е. f — fy в U(у). Единственность построенной обобщенной
функции f вытекает из леммы. Теорема доказана.
6. Регулярные обобщенные функции. Простейшим приме-
ром обобщенной функции является функционал, порождаемый
локально суммируемой в 0 функцией f(x):
(f, ф) = J f (х) (х) dx, (ре=Ф(0).	(6.1)
Из свойств линейности интеграла и из теоремы о предельном
переходе под знаком интеграла следует, что функционал,
стоящий в правой части равенства (6.1), — линейный и непре-
рывный на Ф(0), т. е. f^ Ф'(0).
Обобщенные функции, определяемые локально суммируе-
мыми в 0 функциями по формуле (6.1), называются регулярными
28
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА
1ГЛ. I
обобщенными функциями в 0. Остальные обобщенные функции
называются сингулярными в О.
Лемма (дю Буа-Реймонд). Для того чтобы локально сум-
мируемая в О функция f (х) обращалась в нуль почти всюду в 0,
необходимо и достаточно, чтобы порождаемая ею регулярная
обобщенная функция f обращалась в нуль в 0.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Пусть
f (х) <р (х) dx — О, ф е 3) (<?).	(6.2)
Возьмем произвольное О' <= 0\ пусть — характеристическая
функция О'. По теореме II § 1.2 существует последователь-
ность фьСк), k = l, 2...... функций из 3>(0), сходящаяся
к функции e~lazst^ffi (х) почти везде в О, причем I фй (х) (< 1
почти везде в О. Отсюда, пользуясь теоремой Лебега о пре-
дельном переходе под знаком интеграла Лебега, заключаем
с учетом (6.2), что
| f (х) | dx = f (х)е~*arg f (х) dx =
О'
= lim f (х) ф* (х) dx+\f (х) [е~1 argf (х) — фй (х)] dx} =
= ( lim f (х) [е~1 arg f w — фй (х)] dx = О,
о' к*°°
так что f (х) = 0 почти везде в О'. Ввиду произвольности мно-
жества 0'<^0 заключаем поэтому, что f(x) = O почти везде
в О. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что всякая регулярная обоб-
щенная функция в О определяется единственной (с точностью
до значений на множестве меры нуль) локально суммируемой
в О функцией. Следовательно, между локально суммируемыми
в О функциями и регулярными обобщенными функциями в О
существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому мы
будем впредь отождествлять локально суммируемую в О функ-
цию )(х) и порождаемую ею по формуле (6.1) обобщенную
функцию из 3>' (О). В этом смысле «обычные», т. е. локально
суммирумые в О функции, являются (регулярными) обобщен-
ными функциями из 3)' (<?).
Из леммы дю Буа-Реймонда вытекает также, что оба опре-
деления носителя непрерывной функции в О, данные в § 0.5
и в § 1.5, совпадают.
Отметим еще, что если последовательность ^j.(x), k — 1,2, ...,
локально суммируемых в О функций сходится равномерно
5 11
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
29
к функции f(x) на каждом компакте Д О, то и Л.-* А &->оо
в Ф' (0).
Пусть f &Ф' (О) и 0^0. Будем говорить, что обобщенная
функция f принадлежит классу Cfc(Oi), если в 0{ она совпадает
с функцией fi класса Ck(0\), т. е. для любой у^Ф(0х)
(f, ф)= J fl(x)<p(x)dx.
Если к тому же f^Ck(0l), то будем говорить, что f принад-
лежит классу Ck(0i).
7. Меры. Более общий класс обобщенных функций, содер-
жащий регулярные обобщенные функции, порождается мерами.
Мерой на борелевском множестве А называется вполне адди-
тивная (комплекснозначная) функция множества
Н (Е) = J р, (dx),
Е
заданная и конечная на всех ограниченных борелевских под-
множествах Е множества А, |ц(Е)| < °°.
По поводу теории меры и интегрирования см. А. Н. Колмо-
горов и С. В. Фомин [1].
Мера ц(Е) на А однозначно представляется через 4 неот-
рицательные меры Ц/(Е)^0 на А по формуле p = p[ —ц2 +
+ г (ц3 — р4); при этом
р. (dx) = Hi (dx) — р,2 (dx) + i р.3 (dx) — г p4(dx). (7.1)
Е	Е	Е	Е	Е
Мера р(Е) на открытом множестве 0 определяет обобщен-
ную функцию р в 0 по формуле
(р., ф) — <р (х) р (dx), <р е Ф (0),	(7.2)
где интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса. Из
свойств этого интеграла следует, что действительно у Ф' (О).
Замечание. Для абсолютно непрерывных относительно меры Лебега
мер р на О, т. е. p (dx) = f (х) dx, где f е ^joc (ff), формула (7.2) опреде-
ляет регулярные обобщенные функции f (см. § 1.6).
Имеет место утверждение, аналогичное лемме дю Буа-Рей-
монда (см. § 1.6).
Лемма. Для того чтобы мера у(Е) на 0 была нулевой,
необходимо и достаточно, чтобы определяемая ею обобщенная
функция р. обращалась в нуль в 0.
30
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Доказательство основывается на утверждении: для
того чтобы мера р(£) на 0 была нулевой, необходимо и до-
статочно, чтобы
J qp(x)p(dx) = O, фб=С0(<7).	(7.3)
<7
Отсюда сразу следует необходимость. Докажем достаточность.
Предполагая, что равенство (7.3) выполнено для всех ф из Sb (<?),
докажем, что оно выполнено и для произвольной <р из Со(6’).
Пусть supp ф ед 0' С== 0. По теореме II § 1.2 существует последо-
вательность функций qpft, & = 1, 2, из Sb(0) такая, что
supp (р^ cz б' 0 и фА->ф, &->оо в С (0'). Поэтому
\ Ф (х) ц (dx) == \ lim <pfe (х) ц (dx) = lim \ qpft (х) ц (dx) — 0,
"	X оо	k -> оо J
О	У	(У
что и требовалось доказать. Лемма доказана.
Из леммы следует, что между мерами на б? и порождае-
мыми ими по формуле (7.2) обобщенными функциями сущест-
вует взаимно однозначное соответствие. Поэтому впредь мы
будем отождествлять меру ц (£) на б? и порождаемую ею обоб-
щенную функцию р из £Ь'(0).
Теорема I. Для того чтобы обобщенная функция f из
Sb' (С?) была мерой на 0, необходимо и достаточно, чтобы ее
порядок в 0 был равен 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть f (0)
есть мера ц на 0. Тогда для любого 0'^0 в любой ц>^Д)(0')
имеем
I (f, ф) I = Ц Ф W Н (dx) |	( | р. (dx) | max | ср (х) |,
1 J	(Г	x<s0’
откуда заключаем, что порядок f в 0 равен 0 (см. § 1.3).
Достаточность. Пусть порядок f(^Sb'(C) в д’равен О,
т. е. при всех 0'<^0
|(Лф)|</<т1|ф|1С(^), Ф^СП (7.4)
Пусть 0k,k — l, 2, ..., — строго возрастающая последователь-
ность открытых множеств, исчерпывающая 0: 0k^0k+l, [_)<?* =
_ * _
— 0. Так как множество Sb(0k) плотно в Со(0к) в норме C(0k)
(см. следствие 2 из теоремы II § 1.2), то из неравенства (7.4)
следует, что функционал f допускает (линейное) непрерывное
продолжение на Со (0k). По теореме Рисса—Радона существует
мера на 0k такая, что
(f, ф) = 5 ф (*) Нь (dx), ф е= Со (0к~).
ОСНОВНЫЕ и обобщенные функции
31
S п
Отсюда следует, что меры и щ+i совпадают на Qk‘, поэтому
существует единая мера р. на 0, совпадающая с мерой р.;. в 0к
н с обобщенной функцией f в 0. Теорема доказана.
Обобщенная функция f из 2D'(О) называется неотрицатель-
ной в 0, если (/, <р)	0 для всех <р е 2D (0), ф (х) О, хе 0.
Теорема II. Для того чтобы обобщенная функция из 2D' (0)
была неотрицательной мерой на 0, необходимо и достаточно,
чтобы она была неотрицательной в 0.
Доказательство. Необходимость очевидна, докажем
достаточность. Пусть f е ЗУ (О’) неотрицательна в 0. Пусть
0'^0. По следствию из леммы § 1.2 существует
функция ц <= 3D (О), т](х) = 1, хе О'. Поэтому
— II Ф Нс (щ) П W < Ф W < IIФ Нс (щ) П (*)> х <= б?-
Отсюда, пользуясь неотрицательностью функционала f в 0,
получаем
— (A n) II ф Нс (щ) < (А ф)< (A n) II ф Нс (щ),
т. е.
каф)1<(Ап)нф11с(щ)> ф^(<п
Полученное неравенство показывает, что порядок обобщенной
функции f равен 0. По теореме I f есть (неотрицательная)
мера на 0. Теорема доказана.
Простейшим примером меры и к тому же сингулярной обоб-
щенной функции является б-функция Дирака (см. § 1.1), дей-
ствующая по правилу
(б, <р) = <р (0), ф е 2D).
Очевидно, b<^2D', б(х) = 0, х Ф 0, так что supp6 = {0}.
Докажем, что 5(х) — сингулярная обобщенная функция.
Пусть, напротив, существует функция f е 2?{ос (Rre) такая, что
для любой <р е 2D
f (х) <р (х) dx = (б, ф) = ф (0).	(7.5)
Так как | х |2 ф е 2D, то из (7.5) вытекает
f (*) I х I2 Ф (*) dx = | х |2 ф (х) |х=0 = 0 = (| х |2 f, ф)
при всех ф е= 2D). Таким образом, локально суммируемая в Rre
функция | х |2 f (х) равна нулю в смысле обобщенных функций.
По лемме дю Буа-Реймонда (см. § 1.6) |х|2/(х) —0 почти
везде и, стало быть, f(x) = O почти везде в Rre. Но это
противоречит равенству (7.5). Полученное противоречие и дока-
зывает сингулярность б-функции.
32
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Пусть сое (х) — «шапочка» (см. § 1.2). Докажем, что
юе (х)-> б (х), е-> + 0в^'.	(7.6)
Последовательность соЕ (х), е-> + 0 изображена на рис. 4.
Действительно, по определению сходимости в ЗУ соотноше-
ние (7.6) эквивалентно равенству
lim \ соЕ (х) ф (х) dx = <р (0), ф е ЗУ
е-»+о J
Это равенство вытекает из оценки
| J соЕ (х) ф (х) dx — ф (0) | < j соЕ (х) | ф (х) — ф (0) | dx <
шах | ф (х) — ф (0) | \ сое (х) dx = шах | ф (х) — ф (0) |
[x|<s	J	|х|<е
и из непрерывности функции ф.
Обобщением точечной 5-функции является поверхностная
5-функция. Пусть S — кусочно-гладкая поверхность в Rre и р —
непрерывная функция на S. Введем обобщенную функцию p5s,
действующую по правилу
(рб5, ф)= р (х) ф (х) dS, фе®.
s
Очевидно, рбе0'; рб$(х) = 0, x§S, так что supp p5s cz S;
p5s — сингулярная мера, если р 0.
Обобщенная функция рб5(х) называется простым слоем
на поверхности S. Она описывает пространственную плотность
масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверх-
ностной плотностью р. (Здесь плотность простого слоя опреде-
ляется как слабый предел плотностей, соответствующих дис-
кретному распределению на поверхности S,
X р (xft) Д5\6 (х — xk), xk е= S,
k
при неограниченном измельчении поверхности S; ср. § 1.1.)
Замечание. Локально суммируемые функции и д-функции описывают
распределения плотности масс, зарядов, сил и т. п. (см. § 1.1). Поэтому
обобщенные функции называются также распределениями (distributions; см.
Л. Шварц [1,2]). Если, например, обобщенная функция f есть плотность
масс или зарядов, то выражение (f, 1) есть полная масса или заряд (в пред-
положении, что f имеет смысл на функции, тождественно равной 1, ибо 1 не
финитна!). В частности, (б, 1) = 1; (f, 1) = \ f (х) dx, если f е 2Л.
§ 1)
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
33
8. Формулы Сохоцкого. Введем еще одну важную сингу-
лярную обобщенную функцию 3	, действующую по формуле
Функционал 3 ~х— линейный. Его непрерывность на 3) — 3) (R1)
вытекает из равенства
\(3~, ф)|= VpS^-
| \ х 1 r J х
R
Vp ф (°) +хУ (*')
-R
dx
R
< |ф/(х')^х<27?тах|ф'(х)|, <р е 3 (— Д /?); (8.1)
Л	х
здесь х' — некоторая точка из интервала (— R, R). Таким об-
разом, 3 ~ е 3'.
Обобщенная функция 3 ~ совпадает с функцией — при
х ф 0 (в смысле § 1.6); она называется конечной частью или
главным значением интеграла от функции —. Установим теперь
равенство
lim	dx = — irop (0) + Vp \ dx, (f=3. (8.2)
8->+0 J Х Т 28	J X
Действительно, если <р (х) = 0 при | х | > R, то
R
lim dx = lim f х2~'е2 <р (х) dx =
е->+о J * + ге е->+о J *2 + е2 ’
—R
R	R
= Ф(0) lim $ y^dx+ lim ( ^^.[(p(x)_(p(0)]dx =
e-»+0	* -j-ь	e->+0 J x "г 6
~~R	—R
R
= — 2/ф (0) lim arctg — + ф	_
e-> +o	e J x
-R
= — глф (0) + Vp ф dx.
Соотношение (8.2) означает, что существует предел после-
довательности —при е -> ф- 0 в ЗУ, который мы обозначим
X i~ 18
2 В. С. Владимиров
34
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
—ЗТуг, и этот предел равен — йгб(х) + ^—. Итак,
7h>=-‘^ + 3’-7-	<8'3>
Аналогично
-Ц^-ыи + у!.	(8.3')
Формулы (8.3) и (8.3') в «интегральной» форме типа (8.2)
по существу впервые были получены еще в 1873 г. русским
математиком Ю. В. Сохоцким (см. Ю. В. Сохоцкий [1]). В на-
стоящее время эти формулы ши-
роко используются в квантовой фи-
зике.
Докажем, что порядок & в R1
равен 1.
Действительно, из неравенства (8.1)
следует, что порядок ее в R1 не пре-
восходит 1. Если бы ее порядок в R1
был равен 0, то по теореме 1 § 1.7
была бы мерой на R1. Но
тогда интеграл Vp j dx был бы определен на всех непре-
рывных финитных в R1 функциях, что, как известно, неверно
(например, он не определен на функциях, равных в окрест-
ности 0; рис. 5).
Отметим попутно, что порядок & — в {х =# 0} равен 0, ибо
&> — совпадает с локально суммируемой функцией при
х	х
х 0.
Обобщенная функция 9* есть продолжение регулярной
обобщенной функции — с множества {х #= 0} на всю ось R1.
Спрашивается, любая ли локально суммируемая в 0 Ф R"
функция допускает продолжение на все пространство R" как
обобщенная функция из St)' (R")? Ответ отрицательный, как по-
казывает следующий пример: е1/х<^9У (х =# 0). Если бы суще-
ствовала f е £0' (R1), совпадающая с е1/х при х =# 0, то мы
имели бы
1
(Л ф) = ] е х ф (*) dx, ф е (х =# 0).	(8.4)
Пусть фо е= St), ф0(х) = 0 при х < 1 и х > 2, <р0 W 0, \ фоW dx — 1.
5 1]	ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ	35
Тогда
<Pfe W = е 2 /г<р0 (kx) -> О, k -> 00 в 3),
_i_	j___fe
\ е х q>k (х) dx — \ е х 2 kq>o (kx) dx —
г k (l—L}	г
=	2Ap0(y)	ф0(у)</у= 1,	(x¥=0),
i	i
что противоречит равенству (8.4):
i
1 < e x ipj. (x) dx = (f, cpfe) -> 0, k->oo.
9. Замены переменных в обобщенных функциях. Пусть f е
e^iocG?) и х — Ay + b — неособенное линейное преобразова-
ние О на О\. Тогда для любой ц^З(СУ) справедливо равен-
ство
f (Ay + b) qp (у) dy = А| J f (х) ф [Л-1 (х — 6)] dx.
<7i	ff
Это равенство мы и примем за определение обобщенной функ-
ции f(Ay + b) для любой f(x) из ЗУ ((f):
(f(Ay + b), Ф(у)) = (/(х),-фи|~1е^7г’)]),	фе^(^). (9.1)
Так как операция ф(х)~>ф[Л~' (х —- 6)] линейна и непрерывна
из З)^) в 3)(0), то функционал /(Лу + 6), определяемый
правой частью равенства (9.1), принадлежит 3)' (б))).
В частности, если А — вращение, т. е. АТ = А~1 и 6 = 0, то
() (Ау), ф) = (f, ф (Лгх)); если А — подобие (с отражением), т. е.
А = с1, с =# 0 и 6 = 0, то
(f (^).Ф)= |Тг(Аф(т))’
если А==/, то (сдвиг на 6)
(f(y + b), ф) = (/, ф(х —6)).
Изложенное позволяет определить трансляционно-инвариант-
ные, сферически-симметричные, центрально-симметричные, одно-
родные, периодические, лоренцеинвариантные и т. д. обобщен-
ные функции.
Примеры, а) б(— х) = б(х); б) (6(х —х0), ф) = ф(х0).
Пусть аеС1. Определим обобщенную функцию б(а(х)) по
формуле
б(а(х))= lim сое(а(х)) в 3)' (с, d),	(9.2)
е->+0
где ®е — «шапочка».
2*
36
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Пусть функция а(х) имеет изолированные и простые нули,
которые мы обозначим через Xk, k = l, 2, ... (рис. 6). В этом
случае б(а(х)) существует в Ф' (R1) и представляется суммой
6(fl(x)) = y У •	(9.3)
v " t-i | a' (xfc) |	к ’
k
В силу теоремы «о кусочном склеивании» (см. § 1.5), фор-
мулу (9.3) достаточно доказать локально, в достаточно малой
окрестности каждой точки. Пусть <р <= Ф (хь — eft, xft-]-eft), при-
чем число Bj. настолько мало, что в интервале (xk — ek, x* + eft)
функция а(х) монотонна,
нием (7.6), имеем цепочку
xk+ek
(5(a(x)), <р)= lim \ ие [a (х)] <р (х) dx —
е-> +0 3
xk~ek
а (xfe+efe)
= lim \	coe(f/)qp(a-I(i/)]-
е->+0 , J о	i
а (xk~ek)
Пользуясь предельным соотноше-
равенств
Если же
нуля xk,
Ясно,
и 0 в
dy _
а [а”' (г/)]
__ <p(xfe) /d(x-xft) \
I а' (xk) I \ I а' (xk) I ’ V
<р <= Ф (а, Р), где интервал (а, Р) не содержит ни одного
то
в
(6 (rz (х)), <р) = lim \ (9g [а (х)] <р (х) dx = 0.
8^+0 J
б (х — X.)
что локальные элементы	.—г-j- в (xk — ek, xk + eft)
I a (xk) I
(а, p) согласованы. Формула (9.3) доказана.
Примеры, а) б (х2 — а2) = [б (х — а) + б (х + а)];
ОО
б) 5(sinx)= X б(х— kn).
k — — ’x>
§ 1)	ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ	37
10. Умножение обобщенных функций. Пусть f е 3[ос(0) и
а^С°°((У). Тогда для любой <р из 3(0) справедливо равенство
(af, ф) = а (х) f (х) ф (х) dx — (f, aq>).
Это равенство мы и примем за определение произведения af
обобщенной функции f из 3' (<?) на бесконечно дифференци-
руемую в 0 функцию а:
(af, ср) = (f, аср), ср ее 3(0).	(10.1)
Так как операция ф->аср, а^С°°(0) линейна и непрерывна
из 3(0) в 3(0), то функционал af, определяемый правой
частью равенства (10.1), представляет обобщенную функцию
из 3' (0).
Справедливо включение
sup р (af) cz supp а П supp f,
ибо 0af zd 0а() 0f (см. § 1.5) и
supp (aft = \ tfaf c \ (tfa (J tff) =
= (<? \ 0a) П (0 \ 0f) == supp а П supp f.
Если f^3'(0), то справедливо равенство
f =	(10.2)
где ц — любая функция класса С°°, равная 1 в окрестности носи-
теля f.
Действительно, для любой ср ^3(0) носители f и (1—ц)<р
не имеют общих точек, а потому (см. § 1.5)
(Л (1 — п) ф) = о = (f (1 — ц), ф),
что и эквивалентно равенству (10.2).
Примеры, а) а (х) б (х) — а (0) б (х), так как при всех <р е= 3
(ад, ф) — (б, аср) = а (0) ср (0) — (а (0) б, ф);
б) х^4-=1, поскольку
(^4*’ф)=’хф)=$ф (*)dx ==(1’ ф)-
Возникает вопрос: нельзя ли определить в классе обобщен-
ных функций умножение любых обобщенных функций, притом
так, чтобы это умножение было ассоциативно и коммутативно
и совпадало с определенным выше умножением на бесконечно
дифференцируемую функцию? Л. Шварцем показано, что такое
умножение определить нельзя. Действительно, если бы оно
38
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
существовало, то, пользуясь примерами а) и б), мы имели бы
противоречивую цепочку равенств:
О = 053 — = (хб (х)) 5s — = (6 (х) х) 5s -J- = 6 (х) (х^ 4"') == 6 (х).
Чтобы определить произведение двух обобщенных функ-
ций f и g, нужно, чтобы они обладали, грубо говоря, свой-
ствами: насколько f «нерегулярна» в окрестности (произволь-
ной) точки, настолько g должна быть «регулярной» в этой
окрестности, и наоборот.
§ 2.	Дифференцирование обобщенных функций
1.	Производные обобщенных функций. Пусть f^Ck(O).
Тогда при всех а, | а | k, и <ре^(<9') справедлива формула
интегрирования по частям
(£>7. <р) = J £>7 (х) Ф (х) dx = (- 1)|а| J f (х) £>“<р (х) dx =
= (- l)|a|(f, £>аф).
Это равенство мы и примем за определение (обобщенной) произ-
водной Daf обобщенной функции f из Ф'(0):
(£>“Л <₽) = (—1)|а|(Л £>"ф).	(1.1)
Так как операция ф->(—1)|а|£)аф линейна и непрерывна из
Ф (О) в Ф (О), то функционал £>“/, определяемый правой
частью равенства (1.1), представляет собой обобщенную функ-
цию из Ф’ (О).
В частности, при ( = 6 равенство (1.1) принимает вид
(£>а6, Ф) = (- 1)|а| £)аф (0), ф е Ф.
Из этого определения вытекает, что если обобщенная функ-
ция f из Ф’ (б) принадлежит классу C*(C?i) в б{ сг б (см. § 1.6),
то ее классические и обобщенные производные Daf, | а | k
совпадают в б{.
Справедливы следующие свойства операции дифференциро-
вания обобщенных функций.
а)	Операция дифференцирования f -»Daf (линейна и) непре-
рывна из Ф'(б) в Ф' (б).
Линейность очевидна. Докажем непрерывность. Пусть
&->оо в Ф' (б). Тогда при всех $<^.Ф(б) имеем
(р'7ь ф) = (-1)|а1(^Оаф)->0, £->оо,
$ 2J
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
39
что и означает D'’fk->0, £->оо в 2)’ (<9). Например:
£>a<o8(x)->Da6(x), б-> + 0в^'.	(1.2)
Соотношение р.2) вытекает из соотношения (7.6) § 1. Последо-
вательность co8(x), е-^ + 0 изображена на рис. 7.
В частности, если ряд
Е (х) = S (х),
Uk е ^ОС
сходится равномерно на каждом компакте К<^0, то его можно
дифференцировать почленно любое число раз и полученные
ряды будут сходиться в
Ф’ (О),
Е D'1I1.(x) = D,,S(x).
ft 1
Действительно, последо-
вательность частных сумм
этого ряда сходится к
3(х) в Ф’ (О) (см. § 1.6).
б)	Любая обобщенная
функция f ^Ф' (О) (в ча-
стности, любая локально
суммируемая в О функ-
ция) бесконечно дифферен-
цируема (в обобщенном
смысле).
Действительно, по-
скольку f е Ф' (О), то
Де^'(О'); в свою очередь ~ (-Д-) е= Ф’ (О) и т. д.
в)	Результат дифференцирования не зависит от порядка диф-
ференцирования
Da+&f = Da(D&f)= D&(Daf).	(1.3)
Действительно,
(Da+&f, Ф) = (- 1)' “1 +1 е 1 (f, £а+%) == (- 1)' °1 (д6f, D°<p) =
= ф) = (~ 1Г (paf, двф) = (дч (да0> ф).
откуда и вытекают равенства (1.3).
40
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
г)	Если f е ЗУ (О) и С°° ((?), то справедлива формула
Лейбница для дифференцирования произведения af,
Da(af) = X («)^а'еА	ПЛ)
Действительно, если	то
откуда и вытекает равенство (1.4) при а = (1, 0,	0).
д)	supp Daf az supp f.	(1.5)
Действительно, если f e ЗУ ((?), то при всех <pe2)((Jf)
имеем £)афе^((?|) и
W, Ф) = (—	(f, Даф) = 0,
так что ODaf => откуда и вытекает включение (1.5).
2.	Первообразная обобщенной функции. Всякая непрерывная
в интервале (а, 6) функция f (х) имеет в (а, Ь) (единственную
с точностью до аддитивной постоянной) первообразную Д-1> (х),
X
f(-1)(x)=^©^ + C, f(-iy(x) = f(x).
Последнее равенство мы и примем за исходное для определения
первообразной произвольной обобщенной функции f (одной
переменной).
Пусть f<^3'(a,b). Обобщенная функция из ЗУ (а, Ь)
называется первообразной обобщенной функции f в (а, Ь), если
т. е.
(f(-1),T') = -(f,T), фе2)(я,6).	(2.1)
Равенство (2.1) показывает, что функционал f<-1) задан не
на всех основных функциях из 3(а, Ь), а только на их первых
производных. Наша задача — продолжить этот функционал на
все пространство 3)(а, Ь), причем так, чтобы продолженный
функционал был линейным и непрерывным на 3)(а, Ь), и
выяснить степень произвола при таком продолжении.
Предположим сперва, что f(-1) — первообразная f — сущест-
вует в ЗУ (а, Ь). Построим ее. Пусть ф е 3) (а, Ь). (Считаем
§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	41
функцию <р продолженной нулем на всю ось R1). Фиксируем
произвольную точку х0 е (а, Ь). Тогда
Ф (х) = ф' (х) + сое (х — х0) $ Ф © d%,	(2.2)
где <о8 — «шапочка» при е < min (х0 — а, b — х0) (см. § 1.2) и
X
Ф (х) = 5 [ф (х') — (х' — х0) $ ф © d|] dx'.
— 00
(2.3)
Докажем, что ф е St) (а, Ь). Действительно, ф е С°° и ф (х) = О
при х < a"— min (а', х0 — е) > а, если supp ф cz [а', Ь'] а: (а, Ь).
Далее, при х > b" — max (b', х0 + е) < b
ф (х) — \ ф (х') dx' — \ сое (х' — х0) dx' \ ф © dg = 0.
Итак, supp ф а: [а", Ь"] <zz (а, Ь) (рис. 8). Следовательно,
ф е 0(а, Ь).
а’	№
t__।___।_______।___________।__t___।_
а Хд-г=а"	х0	xff+s b Я
Рис. 8.
Применяя функционал Д *> к равенству (2.2), получим
(Д’1», Ф) =	Ф') + (f <-*>, ®e (X - Хо)) J Ф © d§,
т. е., учитывая (2.1),
(Г1),Ф) = -(ЛФ) + С $ф(М,	(2.4)
где обозначено С — (Д-1>, <о6(х — х0)). Итак, если	сущест-
вует, то она выражается равенством (2.4), где ф определена
формулой (2.3).
Теперь докажем обратное: при произвольной постоянной С
функционал Д-1>, определенный равенствами (2.4) и (2.3), опре-
деляет первообразную f в (а, Ь).
Действительно, функционал Д-|), очевидно, линеен. Докажем
его непрерывность на St (а, Ь). Пусть Ф*->0, /?->со в Sb (а, Ь),
X
т. е. supp фй cz [а', Ь'} а (а, Ь) и ф^а)(х)=фО, /?->со. А тогда, по
42
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
доказанному,
х
= $ [<Pfe (*') — ®8 (х' — *о) 5 Фб(Ю dx' = о
вне [а", Ь"] ст [а, Ь]
и, очевидно, (х) =ф> О, £->оо, т. е. ^->0, k-+oo в 3>(а,Ь).
Поэтому в силу непрерывности f на 3)(а,Ь) имеем
=	+	6->оо,
что и утверждалось. Следовательно, f<-1> е ЗУ (а, Ь). Осталось
проверить, что Л-,) является первообразной f в (а, Ь). В самом
деле, заменяя в (2.3) <р на ф' и учиты-
£1	вая, что	= получим ф = ф,
yf	и тогда из (2.4) вытекает равенство (2.1),
что и требовалось. Таким образом, дока-
зана следующая
0	Теорема. Любая обобщенная функция
рис- 9 f из ЗУ (а, Ь) имеет в (а, Ь) первообразную
Д-1), и всякая ее первообразная выра-
жается по формуле (2.4), где ф определяется равенством (2.3)
и С — произвольная постоянная.
Доказанная теорема утверждает, что решение дифферен-
циального уравнения
u'*=f, f<=3X(a,b),	(2.5)
существует в ЗУ (а, Ь) и его общее решение имеет вид и=Д-1)+С,
где f(“*> — некоторая первообразная f в (а, Ь) и С — произволь-
ная постоянная. В частности, если f е С (а, Ь), то всякое реше-
ние в 3)' (а, Ь) уравнения (2.5) — классическое. Например, общее
решение уравнения и' ~ 0 в (а, Ь) есть произвольная посто-
янная.
Аналогично определяется и первообразная /Ч-") порядка п
в (а, Ь) обобщенной функции f ЗУ (a, b),	<"> = f. Приме-
няя доказанную теорему к рекуррентной цепочке для —
первообразных f порядка k —
^(-1)' _^(-2)'_ ^(-1)	^(~п)'	^(-п+1)
заключаем, что существует в ЗУ (а, Ь) и единственна с точ-
ностью до аддитивного произвольного полинома степени п—1.
3.	Примеры, а) Вычислим плотность зарядов, соответствую-
щих диполю момента +1, расположенному в точке х = 0 и
ориентированному вдоль заданного направления / = (/ь	/„),
| Z ] = 1 (рис. 9).
§ 21
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
43
Этому диполю приближенно соответствует плотность заря-
дов (см. § 1.1 и § 1.7)
j 6 (х — eZ) — 6 (х), е > 0.
Переходя здесь к пределу при е -> -ф 0 в S3)' (R"),
(фи—«ч—фи. ф) —
Ч1*(«')-ф(0)1-^-(^)--(4т. ф).
заключаем, что искомая плотность равна
Проверим, что полный заряд диполя равен 0:
(“4р !) = (»,» = («. 0) = 0
и его момент равен 1:
(“4' UJ)) = (6.^r1) = (6>UD = (6I D=l.
дб (х	««	«
б)	Обобщением-----является двойной слои на поверх-
ности. Пусть S — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность,
п — нормаль к S (рис. 10) и v — непрерывная функция на S.
Введем обобщенную функцию —	действующую по
правилу
Ч>) =
= ^Чх)^-ДФе^.
S
Очевидно,
supp[-A(v65)]o:S.
Обобщенная функция — (vds) называется двойным слоем
на поверхности S. Она описывает пространственную плотность
зарядов, соответствующую распределению диполей на поверх-
ности S с поверхностной плотностью момента v (х) и ориенти-
рованных вдоль заданного направления нормали п на S. (Здесь
плотность двойного слоя определяется как слабый предел
44
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
плотностей, соответствующих дискретному расположению дипо-
лей на поверхности S,
— ХбГ	**)], xke=S,
k k
при неограниченном измельчении поверхности S; ср. § 1.7.)
в)	Пусть функция f (х) кусочно-непрерывно дифференцируема
в («, Ь) и пусть {xk} — точки из (а, Ь), в которых она или ее
производная имеют разрывы 1-го рода (рис. 11). Тогда
+	(3.1)
К	К
где f'Kn (х) — классическая производная функции f (х), равная
f' (х) при х #= xk, и не определена в точках {хй}, [f] — скачок
функции f (х) в точке хк,
Действительно, для любой фе$(а, Ь) имеем
*!г + 1
(Г, ф) = — (Л ф') = — у J f (х) ф' (х) dx =
Л Xt,
*А + 1
= £ 5 /кл^)ф^)^-Е[/(^+1-0)ф(хй+1)-/(хА+0)ф(хй)] =
к xk	k
= J /кл W ф to rfx + £ [/ (хй + 0) - f (xk - 0)] Ф (xA) =
k
что и доказывает формулу (3.1).
В частности, если 0 — функция Хевисайда (см. § 0.2), то
0'(х) = 6(х).	(3.2)
§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ	45
В теории электрических цепей функция Хевисайда назы-
вается «единичной ступенькой» или функцией включения, д-функ-
ция — «единичным импульсом». Формула (3.2) утверждает, что
«единичный импульс» есть производная от «единичной сту-
пеньки».
г)	Справедливы формулы
[О, k = 0, 1, ..., т — 1,
k>n (33)
Действительно,
(х'"6(й),ф) = (-1)й(х'"ф)Л |х=0 =
M-Dfe 2 (0(xV>q>(ft-'>(x)U=
О, k = 0, 1, ..., т — 1,
= (- 1)* т\ (™) ф^-"1) (0) = (- 1)т т\ (£) ^к~т\ ф), k > т.
д)	Тригонометрический ряд
Xakeikx, |а,|<Л(1+Ш)т	(3.4)
k
сходится в ЗУ.
Действительно, ряд
т+2
яо* । V	oikx
(т + 2)1 + £ (ik)m+i
сходится равномерно в R1; следовательно, ряд, представляющий
его производную порядка т + 2, сходится в ЗУ и его сумма
определяет сумму ряда (3.4) (см. § 2.1, а)).
е)	Докажем формулу
(3.5)
k	k
Для этого разложим 2л-периодическую функцию (рис. 12)
fo(x) = -f-^,	0<х<2л,
в равномерно сходящейся в R1 ряд Фурье
(з.б)
46
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. t
В силу д), ряд (3.5) можно дифференцировать почленно в ЗУ
любое число раз. В результате получим
=	Ете^’ 0<х<2л,
k^O
f"(x) = --^г + £б(х- 2kn) = 4? Е eikX’
k	k =7^0
откуда и вытекает формула (3.5). При дифференцировании
функции f'0(x) (рис. 13) мы воспользовались формулой (3.1).
Рис. 12.
Отметим, что левая часть равенства (3.5) есть не что иное,
как ряд Фурье 2л-периодической обобщенной функции
£б(х —2£л), график которой символически изображен на
k
рис. 14 (подробнее см. § 7.2).
ж)	Пусть G — область в В" с кусочно-гладкой границей S
и п — пх — внешняя нормаль к S в_точке xsS (рис. 15). Пусть
f е C2(G)QC‘(G) и f(x) = O вне G. Тогда для любой ф е 3)
справедлива следующая формула Грина:
J(fAT-TAf)dx = ^(f-g--T-g-)dS.	(3.7)
G	S
В терминах обобщенных функций, простого и двойного слоев,
введенных в § 1.7 и § 2.3, б), формулу Грина (3.7) можно
§ 2]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
47
переписать следующим образом:
где Акл/ — классический лапласиан f:
( Af (х),	х е G,
W	10,	хе G,
[ не определен,	х е S;
<3-7')
под f и на S понимаются граничные значения f и -д~ на S
изнутри области G.
ftx+2a) 16(х)	6(х-Вп) S(x-itn)
-_2я 'О 2П М я
Рис. 14.
з) Проверим,
нию Пуассона
что функция г-Ц в R3 удовлетворяет
А-|Ц|-= — 4лб(х).
уравне-
(3.8)
Действительно, функция ।—г локально интегрируема в R3 и
А7-Ц = Ц-^-р2^г-') = 0, х #= 0.	(3.9)
| х | г2 dr V дг г /	4	1
Пусть ср е St>, suppcpcz[/R. Тогда
<₽)== (-RT' Лф)= S -|4rA(₽(x)dx =
UR
== lim \	-Д- Аф (х) dx.
е-> 4-0	, Iх!
е < |х| < к
48
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Применяя формулу Грина (3.7) при f = и О = [х: е < | х | < /?]
(рис. 16) и учитывая (3.9), получим формулу (3.8):
(А-Д-, Д = lim Г \ А-Дср(х)б!х +
Ч 1*1	' е -> + 0 I
ue < lx) < R
! J J I \ |X| дп т дп I X| )
\st	J
= lim S (-ПТ^ПТ~фТ7р)с/5=:= lim ДМ <pdS =
в _> + 0 J ' Iх! ° I X I 1*1/	8 -> +0 8 J
S8	S8
= lim f Д [qp (0) — <p (x)] dS — 4лср (0)1 = — 4n (6, qp).
e-> +o J 6 J	(
Равенство (3.8) можно интерпретировать следующим образом:
функция -Д- есть ньютонов (кулонов) потенциал, порождаемый
I х I
зарядом + 1 в точке х
Аналогично
Рис. 16
A In | х | — 2nd (х),	п = 2,
А Д = — (ц — 2)	(х), «>3,
1*1"
(3.10)
где ап — площадь поверхности единич-
ной сферы в R" (см. § 0.6).
Функция &п(х), равная
-------------гцу (п > 3),
(п — 2) а„ | х |п
In I X1 (ге = 2), Дх|(гс=1),
2л	2
называется фундаментальным решением оператора Лапласа.
4.	Локальная структура обобщенных функций. Сейчас мы
докажем, что локально пространство Ф'(0) является таким
(наименьшим) расширением пространства S’00 (О), в котором
всегда возможно дифференцирование.
Теорема. Пусть f е S)’ (О) и открытое множество 0'	0.
Тогда существуют функция g е (0') и целое число m =
= m(0')^O такие, что*)
f(x) = D? ...D^g(x), х^0'.	(4.1)
*) Производная в (4.1) понимается в смысле обобщенных функций.
§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	49
Доказательство. По теореме § 1.3 существуют числа К
и k такие, что выполнено неравенство
I (Л Ф) ККИфН^^,	(4.2)
X
Так как для	ф(х) =	D.\[> dx'jt то
— 00
max 11|> (x) | "C d max | £>/ф (x) I,
xsg}'	xsO'
где d — диаметр O'. Поэтому, применяя это неравенство доста-
точное число раз, из (4.2) получаем неравенство
| (f, qp) | С шах | £>i ... £>п<р (х) |,	(4.3)
Далее, для if е® {О')
^(Х)= S	S d^¥k-ndy^--dyn
— 00	—00
и потому
| Ф (х) К J ID1 ... Dnty (у) I dy.
О’
Отсюда и из (4.3) вытекает неравенство (при т = k + 1)
|(/, ф)|<С\\D? ... D^{x)\dx,	ф<=0(б/)-	(4.4)
О'
Из теоремы Хана — Банаха следует, что линейный непрерыв-
ный функционал f*:
Х(х) = (-1)тпДГ ... Д?ф(х)->(Дх) = (Лф), фе0(б/)> (4.5)
допускает расширение до линейного непрерывного функционала
на S’1 {О') с нормой ^С, в силу неравенства (4.4):
I (Г, х) 1=1 (A T)I<CII%IIW
По теореме Ф. Рисса существует функция g^.3?°°{0') с нор-
мой || g Ц^оо {д/) С такая, что
(Г. %) = (- 1Г $g(x)X x)dx,
Q'
50
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ, I
Отсюда и из (4.5) при всех фе^(6*') выводим
(f. Ф) = (- 1Г $ g № D? ...	(х) dx = (or ... On g, <₽),
O’
что и эквивалентно равенству (4.1). Теорема доказана.
Следствие. В условиях теоремы
f(x)^D?+i ... D"l+' gi(x) в О', gte=C(O'). (4.6)
Представление (4.6) следует из представления (4.1), если
продолжить функцию g(x) нулем на все R" и положить
Х1 хп
gi(x)= J ... J g(.y)dyr ... dyn.
— ОО	— 00
5.	Обобщенные функции с компактным носителем. На мно-
жестве функций С°° (О) введем сходимость:
cpfe—>0, fe->oo в С°°(С?), если
x<s0'
Datf>k (х) => 0, k -> со для всех а и О' <S О.
Из этого определения следует, что из сходимости в 2D (О) сле-
дует сходимость в С°° (О), но не наоборот.
Пусть обобщенная функция f из 2D'(О) имеет компактный
носитель в О, supp f = К <= О. Пусть ц е 2D (О), г] (х) = 1
в окрестности К (см. § 1.2). Построим функционал f на 0х (О)
по правилу
(F, ф) = (Мф),	(5.1)
Очевидно, f — линейный функционал на С°°(О). Далее, по-
скольку операция <р->г]ф непрерывна из С°° (О) в Ф(О), то
f — непрерывный функционал на С°° (О). Функционал f является
продолжением функционала f с 2D (О) на С°°((?), так как при
Ф <= 2D (О)
(f, ф) = (f> пф) = (пЛ ф) = (f. ф).
в силу равенства (10.2) § 1.
Покажем, что существует единственное, линейное и непре-
рывное продолжение f на С°° (О) (в частности, продолжение
(5.1) не зависит от вспомогательной функции ц). Пусть f — дру-
гое такое продолжение f. Введем последовательность функций
{цД из 2D (О) таких, что грг (х) = 1, х е Ok (б?[ О2 ..., О —
= U<9\\ так что Цй->1, k-^~co в С°° (О). Поэтому для любой
§ 2|
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
51
феС“(б) будем иметь т^ф-> ф, £-> оо вС°°(б?). Следовательно,
(Еф) = (Г lim п*ф)== Hm (Л адр)= lim (f.w) =
/г->ОО	fe->OO	£->ОО
= lim (/, т]*ф) = (f, Hm П*ф) = (Л ф).
£->oo	£->oo
Ф 6 r (0),
так что f = f.
Итак, мы доказали необходимость условий в следующей
теореме.
Теорема. Для того чтобы обобщенная функция f из Ф' (0}
имела компактный носитель в 0, необходимо и достаточно, чтобы
она допускала линейное и непрерывное продолжение на С°° ((?).
Доказательство достаточности. Пусть f е Ф' (0)
допускает линейное и непрерывное продолжение f на С°°(0).
Если бы f не обладала компактным носителем в 0, то можно
было бы указать последовательность функций {фД из Ф(0)
таких, что supp ф^ с:0\0k (01<^02<^ ... ,U ==^) и <₽*):==
С другой стороны, ф£->0, fe —> оо в С°(0), а потому (f, ф0->0,
/г-^оо. Но (J, Фй) = (/, фД = 1, что противоречиво. Теорема до-
казана.
Пусть f — обобщенная функция с компактным носителем
в 0. Тогда, в силу (5.1), имеем
(Л Ф) = (Л ПФ), Ф (0-
Так как х\^Ф(0) и supp ц 0, то ц^Ф(0') при некотором
0'	0. Поэтому г|ф е Ф) (0') при всех ф е Ф (О'). По теореме
§ 1.3 существуют числа /( = /(((?') и т^т(О') такие, что
справедливо неравенство
I (Г, ф) 1=1 (ЛПФ)ICKIIwWr ФеЭД
откуда сразу же вытекает неравенство
1(Л ф) К С|| ф Нс^^), фе^5(С?).	(5.2)
Из неравенства (5.2) вытекает утверждение: всякая обоб-
щенная функция с компактным носителем в 0 имеет конечный
порядок в 0 (см. § 1.3).
Совокупность обобщенных функций с компактным носите-
лем в R" обозначим через S'. Таким образом, доказано, что
S' = с°° (Rn)'.
6.	Обобщенные функции с точечным носителем. Обобщен-
ные функции, носители которых состоят из изолированных то-
чек, допускают явное описание. Это дается следующей теоремой.
52
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
(ГЛ. t
Т е о р ем а. Если носитель обобщенной функции со-
стоит из единственной точки х = 0, то она единственным спосо-
бом представляется в виде
Е с^аЪ(х),	(6.1)
где N — порядок f и са — некоторые постоянные.
Доказательство. Пусть -x\<=36(Ud, г] (х) = 1, [х|^1/2.
Тогда при любом е>0 имеем f = ц (у) f и, стало быть, для
любой ср е Ф получим
(/, Ф) = (п (I) /, ф) = (л П (у) (Ф - Ф„)) + (л П (у) ф„).
(6.2)
где
М‘)- £
|a|s^
Так как и (ф — ф#) е Ф (Ue), то, применяя неравенство (5.2),
получим
| (г ч (т) - »«-’) | < с|| ч (т) (ф - т«)	=
= с I D“ Ь (f) [ф « - ф„ (*)]} | <
I«
<С Е ( ’ ) I С’Ч (I) О"’’ [Ф« - Ф» «]| <
i'aTO S<a
max V ~la-NeС щах e7'z~l“l+1 = C"e.
lalCJV
Устремим в правой части равенства (6.2) е-> + 0. В силу по-
лученной оценки, первое слагаемое будет стремиться к нулю.
Второе же слагаемое вообще не зависит от е и равно (f, cpN')>
где f — продолжение f на С°° (0) (см. § 2.5). Поэтому равен-
ство (6.2) принимает вид
|a|<W
Обозначая теперь
получим представление (6.1):
(Лф)= S (— l)|a|caDacp(O) = £ сДАф), фЕ®.
|al<N	|а|<А
§ 3]	ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ	53
Докажем единственность представления (6.1). Если имеется
другое такое представление
f(x) = Е c'aDab(x),
|а|<ЛГ
то, вычитая, получим
О = Е (с'а — Со) Dab (х),
]ahC,A'
откуда
0= EwGa —Са)(о“б, х*)==
= Е (са-еа)(-1)1О1ПОХЙи=0 = (-1),Й|^(сА-сД
|al<W
т. е. с'к = ск. Теорема доказана.
Пример. Общее решение уравнения
хти(х) = 0	(6.3)
в классе ^'(R1) дается формулой
и(х) = Е ck№(x),	(6.4)
где ск — произвольные постоянные.
Действительно, если и^ЗУ есть решение уравнения (6.3),
то либо и —0, либо supp и совпадает с точкой х = 0. По дока-
занной теореме
и(х) = Е cft6(fe)(x)	(6.5)
при некоторых числах ск и целом N^O. Принимая во вни-
мание равенства (3.3) и подставляя (6.5) в уравнение (6.3), мы
имеем
0 = (-1Гт! £ (Д^"")(х);
отсюда следует, что ск = ®, k^m. Таким образом, в пред-
ставлении (6.5) можно считать N = nt— 1 и формула (6.4)
доказана. Осталось заметить, что правая часть (6.4) удовле-
творяет уравнению (6.3) при произвольных постоянных ск>
k = 0, 1, ..., m — 1.
§ 3. Прямое произведение обобщенных функций
1. Определение прямого произведения. Пусть f (х) и g(y) —
локально суммируемые функции в открытых множествах C1a:Rn
и	соответственно. Функция /(х) g(y) будет локально
суммируемой в	Rn+m. Она определяет (регулярную)
54
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ и их свойства
[ГЛ. I
обобщенную функцию f (х) g (у) = g {у) f (х) из 0'(<7|Х<72),
действующую на основные функций ср(х, у) из ^5 (6?i X <Л) по
формулам
(f (х) g (у), ф) = Их) ё (У) Ф (х, у) dx dy =
O,XO2
® j f (х) J g (г/) Ф (x, z/) dydx = g(y)f(x) Ф (x, y) dx dy =
О, Ог	О,ХОг
= \ё(У) f (x) Ф (x, y) dx dy,
О, О,
т. e.
(Z(x) g (z/)> ф) = (f (x),(g(z/),T(x,y))),	(1.1)
(ё (у) f (х), ф) = (ё (у), (f (х), ф (х, у))).	(1.1')
Эти равенства выражают теорему Фубини о совпадении
повторных интегралов с кратным.
Равенства (1.1) и (1.1') мы примем за исходные для опре-
деления прямого произведения f(x)Xg (у) и g (у) X f (х) обоб-
щенных функций fe^5'(t?i) и g е 3)' (б?2):
(f(x)Xg(y), ф) = (/(х), (g(y), ф(х, у))), ф е 3) (Оу х <Л)> (1.2)
(g (у) X f (х), ф) = (g (у), (f (х), ф (х, г/))), ф е 3) ((?, х <?2). (1.2')
Проверим, что это определение корректно, т. е. что правая
часть равенства (1.2) определяет линейный непрерывный функ-
ционал на 3 (<3^0^.
Так как при каждом xe(?i функция ф (х, у) е 3) (О2),
a ge^'((?2), то функция
(х) = (g (у), ф (х, у)), ф е 3 (<7, X (Л),	(1-3)
определена в (Гр Теперь докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть 0' е 0\ X « g 3' ((?2). Тогда суще-
ствуют открытое множество 0[ —0l(0')<s=0l и числа С =
= С (<?', g) 0, m — tn (б?', g) > 0 — целое, такие, что
^3(0^, если ере 3 (О'У,	(1.4)
^(x) = (g(g),Z?"T(x, у)),	<ре0(бАХбУ;	(1.5)
| £)“ф (х) | < С max_ | DaxDy<f (х, у) |, <ре^(С'), хе(?г	(1.6)
(х, у) s О'
||3|<т
Доказательство. Докажем, что функция ф(х), опреде-
ленная равенством (1.3), финитна в (J\. Так как supp фсб'ё
^01^(32, то найдутся такие открытые множества 0\<^Оу
и 0'2<^02, что 0' ^О\У^02 (рис. 17). Поэтому, если хе
» 3)
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
55
то ф(х, g) = 0 при всех g е <9 2 и потому ty(x) —
=(g, 0) = 0, так что ф(х) = 0 вне Выбирая открытое мно-
жество д{ такое, что	заключаем: supp ф с.
Докажем, что ф непрерывна
в С\. Фиксируем произвольную
точку х е (71 и пусть х* -> х,
х* <= бЛ. Тогда
ф(х*, г/) —► ф (х, у),
хк-+х в 0(<?2).	(1.7)
Действительно, эиррф(хй, у) сг
с СЙ Д и
Оуф (х*, у) У=> £>“ф (х, у),
Рис. 17.
хк~> х.
Пользуясь непрерывностью
функционала g, из (1.3) и (1.7) получаем при хк -> х
Ф (х&) = (g (g), ф (xft, g)) (g (g), ф (х, у)) = ф (х),
т. е. функция ф непрерывна в (произвольной) точке х. Таким
образом, феС((71).
Докажем, что ф е С°° (<?i) и справедлива формула диф-
ференцирования (1.5). Пусть ^[ = (1, 0, ..., 0). Тогда при
каждом х s
Хл(г/) = у[ф(х + /ге1, у) — ф (х, g)] ->	>	(1-8)
/г->0 в 0((72).
Действительно, supp %ft	<?2<s @г ПРИ достаточно малых h и
Dav^^, /г->0.
Поскольку ge^' ((72), то, пользуясь (1.3) и (1.8), получаем
+*«,)- *М _ _1_	ф йе|1 _ (J, |у)1 ф (Х1	_
»(g to), ф<»,±Л.. »)-><»»)) _ (g, ь) (g („),	,
откуда и вытекает справедливость формулы (1.5) при а =
= (1, 0, ..., 0), и, значит, для всех первых производных
<3ф (х) ( , Д <5ф (х, у) \	;	1 9
56
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ, I
Применяя к этой формуле снова такие же рассуждения, убеж-
даемся в справедливости формулы (1.5) для всех вторых про-
изводных и т. д. и, стало быть, для всех производных. Так
как функция Daq>(x, у) также принадлежит	то из
формулы (1.5) заключаем, по доказанному, что Даф(х) — не-
прерывная функция в (?1 при всех а, так что е С°° (<?i).
Отсюда и из того факта, что зиррфсС^, заключаем, что
фе^ДТ) и (1.4) доказано.
Докажем неравенство (1.6). Пусть xstfi. Тогда, по дока-
занному, Daxq(x, j)e0(oQ, О'г^бг- По теореме § 1.3 суще-
ствуют числа С О и m О — целое, зависящие только от g
и С?2, такие, что
|Д“ф(х)| = |(g(y), П“ф(х, у))| <С max |	(х, у) |, хеСД
j/eC''
H3|<m
откуда и вытекает неравенство (1.6). Лемма доказана.
Следствие. Операция
Ф (х, у) -> Ф (х) = (g (у), ф (х, у))
линейна и непрерывна из (^Х^г) в
Действительно, линейность этой операции очевидна. Далее,
если ср <= 0 ((Д X <Л)> то по лемме фе 0 (бД, так что эта
операция переводит ^(СДХ^г) в Докажем ее непре-
рывность. Пусть фй->0, £->оо в ^(СДХбу. Тогда
supp ед с/<s <?1 X DxDytfk (х, у) => 0, k->co.
Отсюда и из (1.4) и (1.6) для последовательности фДх) —
= (g(у), Фа(х, у)), 6 = 1, 2, ... выводим
х
supp фй с Oi <s= 01,	Дафй(х)=^0,	/г->оо,
так что ф/; -> 0, k->oo в 0'(Oi).
Вернемся к формуле (1.2) определения прямого произведе-
ния f (х) X g (у)- По следствию из только что доказанной
леммы операция ср->ф линейна и непрерывна из & (О^ О2)
в 0(Ot) и, следовательно, правая часть равенства (1.2),
равная (f, ф), определяет линейный и непрерывный функцио-
нал на ЖХ^), так что /(х) Xg(y) (<Л Х<Л)-
Аналогично, используя (1.2'), докажем, что g (у) X f (х) е
е 0'((7, X О2\
2.	Свойства прямого произведения.
а)	Коммутативность прямого произведения.
f(x)Xg(y) = g(y)Xf(x), feWi)- ge0'(<?2).	(2.1)
I 3]	ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	57
Действительно, на основных функциях	вида
ф(х, у) — Е Hi (х) Vi (у),	vt^3(02), (2.2)
равенство (2.1) вытекает из определений (1.2) и (1.2'):
(f(x)Xg(y)>&= Е (f. Ui) (g, Vi) == (g (г/) X f (x), (₽).
Чтобы распространить равенство (2.1) на любые основные
функции из ®((?|Х(?2), докажем лемму о том, что множество,
основных функций вида (2.2) плотно в ^((?1Х^2).
Лемма. Для любой <р е 3) X существует последо-
вательность основных функций из ^(01X02)
Фл(х, у) = Е Uik(x)vik(.y),
и1ке0(С\), vlke=3>(C?2), 6 = 1,2,...,
сходящаяся к <р в Ф (01Х0г)-
Доказательство. Пусть supp ср (= 0i X 0а (s X O'i
^С\Х<?2' По теореме Вейерштрасса существует последова-
тельность полиномов Рк(х,у), 6 = 1, 2, ..., такая, что
\Da(f(x,y)~-DaPk(x,y)\ <~, |а|^6, (х, у) е 0[ X (2.3)
Пусть I (х) с= Ф (б?1), g (х) = 1, х s &г, ц(у)^Ф (бУг), ц (z/) = 1,
z/e^2- Тогда последовательность функций
фДх> y) = l(x)i\(y)Pk(x, у), k=l, 2,...,
-требуемая. Действительно, supp <pfe с= X <s (Д X 02 и
при всех 6	| а |, в силу (2.3), имеем
|/Хср(х, у) — Da4>k(x, z/)|
z 1
k ’
Cg
k ’
если (x, у) <= X
если (x, у) e=X <?2 \ X 0г),
при некоторых ca, оцениваемых через max |£>pg| и max | jD9t]|,
P^a. Это и значит, что Ф*-*<р, 6->оо в 3) (0i X 02)- Лемма
доказана.
Пусть ф — произвольная основная функция из Ф (0j X 0г)-
По лемме существует последовательность {ф^} функций вида
(2.2), сходящаяся к ф в Ф (0j X 0г)- Отсюда, пользуясь не-
прерывностью на ^5(671X02) функционалов f (х) X g (у) и
g(z/)XJW (см. § 3.1) и доказанным равенством (2.1) на
58	ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА	[ГЛ. 1
функциях вида (2.2), получим равенство (2.1) и в общем слу-
чае:
(f (%) X g (у), Ф) = Дт (1 (х) X g (у), Фа) =
= lim (g (у) X f (х), фй) = (g (у) X f (х), ф).
k -> ОО
б)	Ассоциативность прямого произведения.
Если f (<9\), gG^X'2) «	(<73), то
\f(x)Xg (g)] X h (z) = f (х) X [g (g) X h (z)].	(2.4)
Действительно, если ф <= 2b X О“2 X О“з), то
([ f (х) X g (У)] X h (z), ф) = (f (х) X g (У), (Л (z), ф (х, у, z))) =
==(f (х), (g (у), (Л (z), ф (х, у, z)))) = (f (х), (g (у) х h (z), ф (х, у, z))) =
== (f (х) X [g (у) X Л (z)], ф).
Впредь, учитывая коммутативность и ассоциативность опе-
рации прямого произведения, мы будем писать:
(fXg)Xh = f XgXh.
Пример, б (х) — б(xt) X б(х2)X • • • Xб(х„).
в)	Операция f-+fXg, если g(= 0' (О2), линейна и непре-
рывна из 2b' (C?i) в 2Ь'	(У2).
Действительно, линейность этой операции очевидна. Докажем
ее непрерывность. Пусть fA->0, /г->°о в 2Ь' Тогда при
всех ф е 2b {О\ X О-Ь)
(fk (х) X g (у), ф) = (fk (х), (g (у), ф (х, у))) = (Д, ф) -> 0, k -> оо,
т. е. fk (х) X g (у) -> 0, /г->оо в 2b' X <?г)- Здесь мы восполь-
зовались тем, что 4'e^Wi), в силу леммы § 3.1.
г)	Справедлива формула
supp (fXg) = supp fX supp g, /е=0'((Л), g(=0'(02).	(2.5)
Следствие. Если f (x) X1- (y) = 0 в (J\ X <?2, to f (x) = 0 в .
Действительно, пусть (x0, y0) <= supp f X supp g и U (x0, y0) —
окрестность точки (x0, y0), содержащаяся в Ox X <?2- Существуют
окрестности и U2 точек х0 и у0 соответственно такие, что
Ui X с О (х0, у0). Из определения носителя обобщенной функ-
ции (см. § 1.5, б)) следует, что найдутся функции ф1 е S) (t/J
и ф2е^((/2) такие, что (f, Ф1)	0 и (g, ф2) #= 0. А тогда
(f X g, Ф1Ф2) — (Л Ф1) (g, Ф2)	0- Отсюда, ввиду произвольности
окрестности U (х0, у0), следует, что (х0, у0) <= supp (f X g), так
что
supp f X supp g c supp (f X g).
(2.6)
I 31
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
59
У
!	| suupf '
_______I_______.....—‘Л	-ч , >
О	Of	х
Рис. 18.
включением (2.6) и доказывает
Докажем обратное включение. Возьмем основную функцию ф
из ЯЛССХСХ такую, что
supp ф с (ДХ Од) \ (supp f X supp g)
(рис. 18). Тогда найдется такая окрестность U множества supp £
что при каждом х е U supp ф (х, у) supp g. Поэтому
(см. § 1.5, а))
Ф W = (g (у), ф (х, у)) = О,
хе U,
и, стало быть, supp ФП supp f=
= 0, а потому
if X g, ф) = (f, Ф) = О-
Таким образом, нулевое
множество ^fXg содержит
(<?i X <Л) X (supp f X supp g),
а значит, справедливо вклю-
чение
supp (f X g)<=supp f X supp g,
которое вместе с обратным
равенство (2.5).
д)	Справедливы следующие, легко проверяе-
мые формулы: если f	и g^S)' (С?2)> то
DaxDl\f(x)Xg(y)]^Daf(x)X^g(y), (2.7)
а (х) b (у) [f (х) X g (</)] = [а (х) f (х)1 X [Ь ({/) g (г/)1.	(2.8)
(fXg)(x + x0, г/ + Уо) = /и + ^о)Х^(^ + г/о)-	(2-9)
3.	Некоторые применения. Будем говорить, что обобщенная
функция F (х, у) из S)' ((?! X б?2) не зависит от переменных у,
если она представима в виде
F(x,g) = f(x)X W),	(3-1)
(и тогда Ре®'Д X Rm)). Обобщенная функция f (х) X 1 (у) =
== 1 (y)Xf (х) действует на основные функции ф из 3)(0\ X Rm)
по правилу
(/ (х) X 1 (у)> ф) == (f (X), Ф X У) dy) =
= (1 (1/)Х f (х),ф)= J (/(х),ф(х,у))с/у.
Таким образом, мы получили равенство
(f {х), ф (х, у) dy)^^ (f (х), ф(х, y))dy, (3.2)
Справедливое для всех	и Ф е X К"*).
60
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Формулу (3.2) можно рассматривать как своеобразное обоб-
щение теоремы Фубини.
Пусть F <^Ф' (0 X («, 6))- Следующие три утверждения экви-
валентны-.
1)	F(x,y) не зависит от переменной у,
2)	F (х, у) инвариантна в Оу^(а,Ь) относительно трансляций
по у, т. е.
F(x, у + h) = F (х, у)-, а< у, у + h<b-,	(3.3)
3)	F{x,y) удовлетворяет в С?Х(а> Ь) уравнению
^g< = 0.	(3.4)
Следствие. Если f <=Ф' (0) и =0, / = 1, ..., п, в 0,
то f const в 0; если f инвариантна относительно трансляций
по всем аргументам в 0, то f — const в 0.
Доказательство. 1)->2). Вытекает из (3.1), в силу (2.9).
2)->3). Переходя в равенстве	= 0 к пре-
делу при /г->0 в Ф' {0 X (а, Ь)), заключаем, что F удовле-
творяет уравнению (3.4).
3) -> 1). Пусть F удовлетворяет в 0 0 (а, Ь) уравнению (3.4).
Тогда, действуя как в § 2.2, для любой <р из Ф 0 X (а, Ь))
получим представление
Ф (х, у) = — дХу + сое (у - у о) $ Ф (х, 1) dl, (3.5)
где у0 е (a, b), е < min (у0 — а, b — у0) и
Ф (х, у) = [ф (х, у') — ®е (у' — Уо) Ф (х, g) 4] dy' 6= Ф (0 X (а, Ь)).
— 00
Вводя обобщенную функцию f (х) из ФУ (0), действующую на
основные функции % из Ф (0) по правилу
(f, %) == (F (х, у), ®е (у - у0) х W),
и учитывая (3.4), из (3.5) получаем
(F, ф) =	(х, у),—j*— + ®е (У — Уо) j ф (х, g) =
= (/ W, J ф(*>
т. е. F (х, у) — f (х) X 1 (у)> что и требовалось.
Аналогично доказывается такое утверждение (ср. § 2.6):
& 3]	ПР ЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	61
Пусть F 3' (О X R1). Уравнение
уи (х, y) = F (х, у)	(3.6)
всегда разреи^гимо и его общее решение имеет вид
(и, <р> = (F, ф) + (f (х) X 6 (У), Ф), Ф е 3 (@ X R1),	(3.7)
где f — произвольная обобщенная функция из 3' (О),
Ф (х, у) = -у [ф (х, у) — п (у) ф (х, 0)],	(3.8)
т] (у) — произв ольная функция из 3 (R1), равная 1 в окрестности
у = 0.
Действите льно, так как операция ф—>ф, задаваемая равен-
ством (3.8), лиинейна и непрерывна из 3 (д X R1) в ^(CXR1),
то правая часть равенства (3.7) есть обобщенная функция из
З'(д%^), причем первое слагаемое (F, ф) удовлетворяет
уравнению (3.6), а второе слагаемое — обобщенная функция
fWX6(z/)— удовлетворяет однородному уравнению
уи (х, у) = 0,	(3.9)
соответствующему уравнению (3.6).
Осталось доказать, что f (х) X б (у), f е 3' (О’), есть общее
решение уравнения (3.9) в ЗУ (O’XR1)- Пусть и (х, у) есть реше-
ние уравнение я (3.9) в ЗУ (С XR1)- Тогда, в силу (3.8),
ф (х, yj} = уф (х, у) + Д (у) ф (х, 0), ф (= 3 (О X R1),
и потому
(ы, Ф) = (и, уф) + (и, Т] (у) ф (х, 0)) = (и, П (у) ф (х, 0)). (3.10)
Вводя обобщенную функцию f(x) из 3'(О), действующую на
основные функции х из 3 (0) по правилу
(Л х) = (« (х, у), n(y)xW),
из (3.10) пол-учаем
(и, ф) = (f, qp (х, 0)) = (f (х) X б (у), ф), ф е= 3 (О X R1),
т. е. и (х, у) = f (х) X б (у)> что и требовалось.
4. Обобщенные функции, гладкие по части переменных.
Пусть f (х, у) —обобщенная функция из 3' (0Х\02) и ф(х) —
основная фугжкция из 3 (0{). Введем обобщенную функцию f9(y)
из 3'(02) по формуле
(Ар,Ф) = (Лф(х)Ф(у))> Фе^(о>2).
Из этого определения вытекает формула дифференцирования
£>%(г/) = (Д“/)ф(у).	(4.1)
62
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ, I
Действительно,
ф) = Ш Фф) = (- 1)|а| (Л ф£“ф) =
= (- 1)1а| (Гф, Д“ф)=(^7ф, ф), фе^ОЛ)-
Будем говорить, что обобщенная функция f(x, у) из ЗУ (СЦ X
Х<Л) принадлежит классу СР(О2) п0 У, Р~^> 1, если для
любой уе=3)(0\) обобщенная функция f,9 е Ср (02)', если же
^феСр(<?2), то говорим: f(=Cp(b2) по у (ср. § 1.6).
Пусть f (02) по у. Отсюда следует, что при каждом у^02
существует сужение fy (х) из ЗУ (6*1) обобщенной функции f (х, у),
причем
ftp (у) = (fy, ф)> ф S ® (СЛ), у е= 02.	(4Д)
Действительно, при фиксированном Уо^(У2 fv(y0) есть
линейный функционал на ^(<?i). Докажем его непрерывность.
Для этого отметим, что при всех достаточно больших k~^N(y0)
функционал
ф-^(/ф (У),
где ®1/fe — «шапочка» (см. § 1.2), принадлежит	Но
в силу (7.6) § 1,
(/<₽ (У)- ®i/ft (У ~ УоУ) (/ф М’ s (У ~ УоУ) = Ц (.УоУ
По теореме о полноте пространства ЗУ(0[) (см. § 1.4) заклю-
чаем отсюда, что функционал ^ф(у0) принадлежит ЗУ (С\). Обо-
значая его через f , получим (4.2).
Учитывая формулу (4.1), из (4.2) получаем
Da (fy’ ф) = (R f)y’ Ф)> Ф е (<?1)> У О2.	(4.3)
Пример. Пусть обобщенная функция F не зависит от
переменной у, F (х, у) = f (х) X 1 (у)> f<^3>' (0\) (см. § 3.3).
Тогда FeC°"(Rm) по у и Fy(x) = f (х).
Напомним, что класс Со(0), определенный в § 0.5, состоит
из непрерывных и финитных в О функций; сходимость в нем
введем так:	£->оо в Сй{0), если
supple: (Ти fk(x) => 0, /г->оо.
Лемма. Если f^C(02) по у, то операция
%~*(fy, %(х, у))
непрерывна из 3)(0^Х02) в Со(02).
Доказательство. Пусть •/ е25 (Cf, X 02)- Тогда supp % с:
с= О’х X <?2> где 0Х и б2 <s 02. Обозначим ф (у) е (Jy, (х, уУ).
§ 3]	ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ	63
Имеем supp гр <= О2 (У2. Докажем, что гр е С	Пусть
у0 — произвольная точка из О2 и yk~>y(!, /г—>оо. Тогда
I (yft) -1 (у0) | < | (f yk> % (х. у0)) - (fye % (x, y0)) | +
+ |(U’x(x’^)-X(^!/o))|-	(4-4)
Первое слагаемое справа в (4.4) стремится к 0 при /г—>оо
в силу непрерывности функции (fy, х(х, у0))> а второе слагае-
мое — в силу слабой ограниченности множества {fyk} а 2)' (Of)
и в силу
X (х, yk) — X (X, Уо) -> 0, k -> оо в Я) (0\)
по лемме § 1.4. Таким образом, ф е С (<72) и потому фе С0(&2).
Пусть xfe -> 0, /г -> оо в S) (0\ X О*2). Тогда supp xft cz О\ X О'2>
где 0'^0 х и О'^О2. Обозначая %(у) = (fy, Хк(х, у)), имеем
supp tyk О2 4= О2. Далее, множество обобщенных функций
г/е 6*)} из	слабо ограничено. Поэтому, применяя
неравенство (3.1) § 1 (см. также следствие из леммы § 1.4), при
некоторых Д > 0, т^О и при всех у<=О2 получим
I Фа (гО 1 = I (/»> Xk (х, у)) К к II Xk (х, у) llc^tfQ
<tf|IXfell т f—'	k->oo.
cm{aix(j2)
Лемма доказана.
Теперь докажем формулу: если f еС (О2) по у, то
(f,X) — \(fy>X(x,y))dy,	х^Ж).	(4.5)
т. е. f (х, у) = fy (х).
Действительно, в силу (4.2) равенство (4.5) справедливо на
основных функциях х вида X ф (х)ф (у), где фе^Оц) и
фе^1 (С?2);
(л £ ф (х) Ф (у) ) = £ J f<₽ (у) Т (У) dy =
= £ J (fy> Ф) (у) dy = jj (fa, £ ф (х) Ф (у) ) dy. (4.6)
Но множество таких функций плотно в ^>(6?! X <Л) (см- § 3.2, а))
и, кроме того, по лемме
(Д, Еф(х)Ф(у))-^(/а, х(х, У)) в Со(02),
если 2ф(х)ф(у)^х(х, у) в	Отсюда и из (4.6) и
следует формула (4.5).
64
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
§ 4. Свертка обобщенных функций
1. Определение свертки. Пусть f и g — локально суммируе-
мые функции в Rn. Если интеграл f (у) g(x — у) dy существует
для почти всех х е R" и определяет локально суммируемую
функцию в R'1, то он называется сверткой функций f и g и
обозначается f* g, так что
(/ *£)(*)=$ f (У) g(x —у) dy =
= \g(y)f(x — y)dy = (g*f)(x). (1.1)
Отметим два случая, когда сверт-
ка f * g заведомо существует.
а)	Пусть/е S’L, g е S’L,supp f с
•>- c: A, supp g cz В, причем множества
x А и В таковы, что для любого R >
рис. 19.	> 0 множество
7\ = [(х, у): х<=А, у^В,\х + у\<К]
ограничено в R " (рис. 19). Тогда f * g е 2>11ос.
Действительно, пользуясь теоремой Фубини, при всех R > О
имеем
l/*gld*< IHl/)llg(x — y)\dydx^.
JX|<«	|X|<7?
< $ lf(y)ll£(£)l^<oc.
TR
В частности, если f или g финитна, то TR ограничено.
б)	Пусть f е и g е З?4, если — + —	1. Тогда f*g<^ 3?г,
11.1. Р Я
где — = —----1.
г „ РУ.
Действительно, выбирая числа а^О, sZ>l и/^1
такими, что
+ т + ar = р = (1 — a)s, рг = <7 = (1 — Р)
и тогда

§ 4)	СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	вб
и пользуясь неравенством Гёльдера и теоремой Фубини, получим
Ilf* £1^,= $| J f(y)g(x-y) dy [dx<
< IS ^(x — y) |₽ If (y) |'~a| g(x — y) |1-₽
r
<W\f(y)\ar\g(x-y)rdy[\\f (y) dy]s x
r
x[Jig(x-y)i(1 -₽)(dy]* dx<и f iygи;,,
t. e.
II f * g ll^r < Ilf II^P II g 11^.
Эта оценка называется неравенством Юнга.
Свертка f * g определяет регулярный функционал на Ф (Rn)
по правилу
(f *g> ф) = J (f *£)(х)ф (х) dx = J <р(х) J f (y)g(x — y)dydx =
= J f (у) J g (х — у)ф (x) dx dy = J f (y) J g(£My + g) d&dy,
t. e.	f
(f *g, ф)= J f(x)g(y^(x + y)dxrfy, ФЕ®. (1.2)
(При выводе (1.2) неоднократно использовалась теорема Фубини.)
Будем говорить, что последовательность {r|fe} функций из
Ф(Кп) сходится к 1 в R", если: а) для любого компакта К
найдется такой номер N = N (К), что г)&(х) = 1, хе К, /г
б) функции {т)4 равномерно ограничены вместе со всеми про-
изводными, I D°T\k (х) | < с а,	ХЕЙ", k = 1,2, ...
Отметим, что такие последовательности всегда существуют,
например: ,п^(х) = 'П (у) > где г) ей), ц (х) = 1, |х| < 1.
Докажем теперь, что (1.2) можно переписать в виде
(f * g, ф) = Um (f (х) *g (у), ns (х; у) Ф (х + у)), ф е= Ф, (1.3)
fe -> оо
где {rife}—-любая последовательность функций из £Z>(R2n), схо-
дящаяся к 1 в R2n. Действительно, функция с01 f (х) g (у) Ф (х + у)]
суммируема на R2" и мажорирует последовательность функций
f(x)g(y)nfe(x; у)ф(х + у), £ = 1,2, ..., сходящуюся почти
везде в R2n к функции f (х)g(у)ф(х + у). Отсюда, применяя тео-
рему Лебега, получаем равенство
J f (x)g(y)ф(x + y)dxdy= lim J f (x)g(y)nfe(x; у)ф(х + y)dxdy,
J	k -> oo J
эквивалентное, в силу (1.2), равенству (1.3).
3 В. С. Владимиров
66
обобщенные функции и их свойства
[ГЛ. I
Исходя из равенств (1.3) и (1.2), примем следующее опреде-
ление свертки обобщенных функций. Пусть f и g из 2D' (R")
таковы, что их прямое произведение /(х)Х^(у) допускает про-
должение (/(x)Xg(?), ф(х+ у)) на функции вида ф(х + у), где
ф —любая функция из 0(R"), в следующем смысле: какова бы
ни была последовательность {г|Д функций из 2D (R2n), сходящаяся
к 1 в R2", существует предел числовой последовательности
lira (/(х)Хя(У), У)ф(х + у)) = (/(х)Хя(у), ф(* + у))
k -> ОО
и этот предел не зависит от последовательности {rjfe}- Отметим,
что при каждом k функция BfeUl у) ф (х + у) е 0 (R2"), так что
наша числовая последовательность определена.
Сверткой f * g называется функционал
(f * g, ф) = (f (х) X g (у), Ф (х + у)) =
= lim (f(x)Xg(y), Пй(^: У)ф(* + у))> qp'GE^(R'!).	(1.4)
fe > ОО
Докажем, что функционал f * g принадлежит 2D’ (R”), т. е.
является обобщенной функцией. Для этого, в силу теоремы
о полноте пространства 2D' (см. § 1.4), достаточно установить
непрерывность линейных функционалов
(f WXg(y), У)ф(х+ У)), fe = l,2, ...,	(1.5)
на £Z>(Rra). Пусть <pv —> 0, v->oo в 0(R"). Тогда
т]й(х; У) Tv (х + У) v->oc в 2D (R2n),
поскольку т]&е 2D (R2n). Отсюда, в силу непрерывности функ-
ционала /(х)Х^(у) на 0(R2n) (см. § 3.1), получаем
(f(x)Xg(y), r\k(x-, у) Tv (х + у)) ->0, v->oo,
что и доказывает непрерывность функционалов (1.5) на Д)(₽'г).
Заметим, что поскольку <р(х + у) не принадлежит Й5(₽2га)
(она не финитна в R2n), правая часть равенства (1.4) существует
не для любых пар обобщенных функций f и g и, таким обра-
зом, свертка существует не всегда.
Аналогично определяется свертка и любого числа обобщен-
ных функций. Например, пусть f, g и h -— обобщенные функции
из 2D' (Rn) и {т]4 — последовательность функций из 2D (R3n), схо-
дящаяся к 1 в R3n. Сверткой f *g*h называется функционал
(f * g * h, т) = (f (х) Xg(y)Xh U), Т (х + у + 2)) =
— lim(f (x)Xg(y)Xh(z), (х; у; 2) ф(х+у 4-2)), ф 6= 2D (R"), (1.6)
fe -> оо
если он существует.
§ 4]	СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	67
2.	Свойства свертки.
а)	Коммутативность свертки. Если свертка f * g су-
ществует, то существует и свертка g*f и они равны'.
t*g = g*f-
Это утверждение вытекает из определения свертки (см.
§4.1) и из коммутативности прямого произведения (см.
§ 3.2, а)):
(f * g, ф) = Дгп ( f(x) х g (у), Па (х- у) ф (х + у)) =
= lim (g{у) х f (х), 4\k (х; у) ф (х + у)) = (g*f, ф), ф <= 3).
ОО
Аналогично, из определения (1.6) получаем
f*g*h = f*h*g = h*f*g= ... ит. д.
б)	Свертка с 6-функцией. Свертка любой обобщенной
функции f из Sb' с б-функцией существует и равна f:
ф д = 6 * у: =(2.1)
Действительно, пусть фе^(К'1) и {r|fe} — последовательность
функций из £Z>(R2n), сходящаяся к 1 в R2n. Тогда
Ла (х; 0) <р (х) -► ф, k -> оо в Sb (R")
и потому
(f * 6, ф) = Hmjf (х) X 6 (у), па (х; у) ф (х + у)) =
= lim (f (х), па(х; О)ф(х)) = (Д ф),
fe -> оо
что и требовалось.
Замечание. Смысл формулы f — f * б состоит в том, что всякую
обобщенную функцию f можно разложить по б-функциям, что формально запи-
сывают так:
f(x)= J((B)6(x-B)d|.
Именно эту формулу и имеют в виду, когда говорят, что всякое материаль-
ное тело состоит из точечных масс, всякий источник состоит из точечных
источников и т.д. (ср. § 1.1).
в)	Сдвиг свертки. Если свертка f*g существует, то су-
ществует и свертка f{x-Yh)*g (х) при всех h е R", причем
f(x + h)*g(x) = (f*g)(x + h),	(2.2)
т. е. операции сдвига и свертки коммутируют', другими словами,
сверточный оператор f ->f * g — трансляционно-инвариантный опе-
ратор.
3*
68
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Действительно, пусть {ць}последовательность функций из
Ф (R2n), сходящаяся к 1 в R2n. Тогда при любом h е R"
Цб (х — /г; у) —> 1, k -> оо в R2ra.
Теперь, пользуясь определением сдвига (см. § 1.9) и свертки
(см. § 4.1), при всех <pe^5(R") получаем
((f * g) (х + h), <р) = (f * g, q> (х — А)) =
= ^mJf(x)Xg(.y),x\k(x — h-, у) ф (х — h + у)) =
= lim (f (х + h)Xg(y),?\k(x-, у)ф(х + y)) = (f(x + h) * g, ф),
k > ОО
что и требовалось. Здесь мы воспользовались формулой (2.9)
§ 3 для сдвига прямого произведения.
г)	Отражение свертки. Если свертка f*g существует,
то существует и свертка [ ( — х) * g(~ х), причем
f( — x)*g( — x) = (f*g)( — x).	(2.3)
Доказательство аналогично в).
д)	Дифференцирование свертки. Если свертка f * g
существует, то существуют свертки Daf * g и f * Dag, причем
Daf*g = Da(f*g) = f*Dag.	(2.4)
Это утверждение достаточно доказать для первых производ-
ных Dj, / = 1, ..., п. Пусть фей5(₽") и {цД — последователь-
ность функций из 0(R2n), сходящаяся к 1 в R2". Тогда после-
довательность {ть + также сходится к 1 в R2rt. Отсюда,
пользуясь существованием свертки f*g (см. § 4.1), получаем
следующую цепочку равенств:
(И/ (f * g)> ф) = — (f * g> Пуф) =
= — lim (f (x)Xg(y), r\k(x; у)	(* ?~ y} ) =
k -> 00 4	<7Л/	'
= — ftHm Q (x) X g (y), fofe(x; у) Ф (x + g)] — ф (x + g)^*^*’ -) =
= Um (x)Xg(g)l> пИх;у)ф(х + у)) +
+ fclim, (f (x) x g(y), [па (x; y) +	Ф (x + y)^ —
— lim (f (x) Xg(y), ns (x; у) ф (x + y)) =
= Ikn (D/ (x) X g (у), Па (x; у) Ф (x + y)) +
+ (f * g> ф) — if * g, Ф) = (Dtf * g, ф),
§ 4]	СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	69
откуда и следует первое равенство (2.4) для Dj. Второе из ра-
венств (2.4) следует из первого и из коммутативности свертки:
Dj (f * g) = Dj(g * f) = Djg * f = f *Djg.
Из равенств (2.1) и (2.4) вытекают равенства
Daf = D‘lt> * f = &* Daf, f e .
Отметим, что существование сверток * g и f * Dag при
|a| > 1 еще недостаточно для существования свертки f * g и
справедливости равенств (2.4). Например, 0'* 1 = 6 * 1 = 1, но
0 * I7 = 0*0 = 0.
е)	Операция f-+f*g линейна на множестве тех обобщенных
функций f, для которых свертка с g существует.
Это свойство свертки непосредственно следует из определе-
ния свертки (1.4) и из линейности операции X g (см. § 3.2, в)).
Отметим попутно, что операция f-^-f*g, вообще говоря, не
является непрерывной из 0' в 0', как показывает пример:
6(х —/г)->0, /г->оо в 0', однако 1 * б (х — /г) = 1.
ж)	Если свертка f * g существует, то
supp (f * g) <= supp f + supp g.	(2.5)
Действительно, пусть — последовательность функций из
0(R2n), сходящаяся к 1 в R2n, и <р е Ф (Rn) такова, что
supp ф П supp f + supp g = 0.	(2.6)
Поскольку supp (f X g) = supp f X supp g (cm. § 3.2, r)), заключаем:
supp [f (x) X g (g)] П supp [n* (x; у) Ф (x + g)] cz
cz [supp f x supp g] о [(ж, у): x + у cz supp <p] = 0.
Поэтому, в силу § 1.5, а), имеем
(f * g, ф) = lim (f (x) X g (У), Пй (*; У) Ф (* + У)) = 0
k -> oo
для всех основных функций ф из ® (Rn), удовлетворяющих усло-
вию (2.6). Это и значит, что справедливо включение (2.5).
Замечание. Множество supp f + supp g может быть н незамкнутым.
Равенство во включении (2.5), вообще говоря, не имеет места; например, для
свертки б' » 0 = б (2.5) принимает вид {0} <= {х^ 0}.
з)	Ассоциативность свертки. Вообще говоря, опера-
ция свертки не ассоциативна, например:
(1 * бЛ) *0 = 1Л *0 = 0*0 = 0, но 1 * (<У *0) = 1*6=1.
Однако эти неприятности не возникают, если свертка f*g*h
существует. Точнее, справедливо утверждение:
70
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Если свертки f * g и f * g* h существуют, то существует и
свертка (f« g)* h, причем
(f * g) * h = f * g * h.	(2.7)
Действительно, пусть {гц} и {g^} — последовательности функ-
ций из УТ) (R'2n), сходящиеся к 1 в R2". Тогда последовательность
П/ (х; у) Ik (X + У, 2), ОО,/г->оо
функций из 0(R3n) сходится к 1 в R3". Отсюда и из существо-
вания свертки f*g*h (см. § 4.1) следует существование двой-
ного предела
lim (f (х) Xg(y)Xh (z), ц/ (х; у) (х + у, z) q> (х + у + z)) =
i > оо
k ->оо
= (/ * g * h, <p), ф e (Rn),
и, стало быть, — повторного предела
(f *g*h, ф) =
= lim (f(x) X g (у) X h (z),	(x; y) (x+y; г)ф(х + у + г)) =
= lim lim (f (x) X g (у), Пг (x; У) (fi(z), ^(x+y; z) ф (x + y + z))) =
k °0 i -> oo
= lim ((/ * g) (/), (h (z), h (t\ z)q(t + z))) =
fe -> OO
= lim ((f * g) (0 X h (z), Ik (Ф, z)(p(t + z)) = ((/ * g) * h, ф),
fe -> oo
что и доказывает существование свертки (f*g)*h (см. § 4.1)
и равенство (2.7).
Следствие. Если существуют свертки f*g*h,f*g, g*h
и f * fi, то существуют и свертки (f * g)*h, f * (g * h) и (f * fi)* g,
причем
f * g * h = (f * g) * h = f * (g * fi) = (f * h.) * g,
т. e. в этом случае имеет место ассоциативность свертки.
3.	Существование свертки. Установим некоторые достаточ-
ные условия (помимо указанных в § 4.1), при которых свертка
заведомо существует в 0'. Напомним (рис. 19), что
тк = [(х,у): хеЛ, у<=В, | х + у | < /?];
определение пространства 2ВГ ( А) см. в § 1.5.
Теорема. Пусть f ^2)' (Л), g е ЗУ (В) и при любом /? > О
множество ТR ограничено в R2zl. Тогда свертка f * g существует
в S)' (Л + В) и представляется в виде
(f*^, ф) = (f(x)X^(g)Л(x)1^(y)ф(x^-y)),	фб=®, (3.1)
где | м т] — любые функции из С°°, равные 1 в Л® и Ве и рав~
§ 4]	СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	71
ные 0 вне А2е и В2е соответственно (е — любое > 0). При этом
операция f f * g непрерывна из ЗУ (Л) в Й5'(Л + В).
Доказательство. Пусть фе^(£/я) и {nfe} — последова-
тельность функций из Й5(Ё2"), сходящаяся к 1 в R2". Так как
supp (f X g) = supp f X supp g az A X В
(см. § 3.2, г)), to
supp {[/ (x) X g Ш Ф (x + y)} <=
az[{x,y)-. xazA, ya=B, | x + у | 'C fl] = TR.
Далее, поскольку TR — ограниченное множество, то найдется
такой номер N = N (В), что (х; у) — 1 в окрестности TR при
всех k~^-N. Поэтому
(f * g, ф) = lim (f (х) X g (у), ns (х-, у) ф (х + у)) =
=	([/ (х) X g (у)] ф (х + у),	(х; у)) =
= (f W X g (у), Па (х; у) ф (х + у))
и представление
(f *g,<p) = (f (х) X g (у), Па (х-, у) ф (х + у)), q> е= 3) (UR),	(3.2)
доказано. Очевидно, представление (3.2) не зависит от вспомо-
гательной функции t\N(x-,y). Ее можно заменить функцией
£ (х) П (у)- Действительно, функция g (х) ц (у) ф (х + у) е 3>(R2n),
поскольку множество
^.е = [(х,у): ХЕ/128, уевх | х + у | < fl] czT%
при любых fl > 0 и е > 0 ограничено в R2n; далее, функция
[Па(*; У) — SWn (У)]ф(х +у)> ф-^ФД, обращается в нуль
в окрестности множества Т R. Этим представление (3.1) доказано.
Из формулы (2.5) следует, что
supp (f * g) cz А + В,
так что операция f^>f*g переводит ЗУ (А) в й5'(Д-)-В). Ее
непрерывность вытекает из непрерывности прямого произведе-
ния fXg относительно f (см. § 3.2, в)) и из представления (3.1):
если Д—>0, /г->°о в ЗУ (Л), то
Ф) = (ffc W X Я(у)> (у)ф(х + у))->0
для всех фе^5, т. е. >0, /г->оо в 3)' (Л + В).
Теорема доказана.
Заметим, что непрерывность свертки f*g относительно
совокупности fug может и не иметь места, как показывает
следующий простой пример:
б(х + /г)->0, fe->+oo, б(х — /г)->0,
72
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. t
однако
б (х + k) * б (х — k) — б * б = б.
Отметим важный частный случай этой теоремы.
Если f s 2D' и g S', то свертка f * g существует и пред-
ставляется в виде
(f *g, ф) = (f W X g (у), n (у) ф (х + у)), ф е= 2D,	(3.3)
где т) — любая основная функция из 2D, равная 1 в окрестности
носителя g.
Действительно, в этом случае условие ограниченности мно-
жества TR выполнено при всех R >0 (рис. 20): если supp g cz URr,
то TR = [(х, у): ле R", у е= suppg, |х + у |</?] сс UR+R> X Uro
Аналогично, если	......gm^S', то существует
свертка f*gi* ... * gm (см. § 4.1) — ассоциативная и коммута-
тивная (см. § 4.2, а), з)) — и формула (3.3) обобщается так:
(f*gi* ... * gm, <p) =
= (f U) X gi (g) X • • -X gm (г), П1 (у)- • -Пт (г) X ф U + г/ + . . •+ 2)),
Ф (= 2D.	(3.4)
Если же f ^С°° и g S', то свертка f * g е С°°, а формула (3.3)
принимает вид
(f * g) (х) = (g (у), f (х _ у)),	(3.5)
где g — продолжение g на C°° = C°°(Rn) (см. § 2.5).
Действительно, как и при доказательстве леммы § 3.1
устанавливается, что функция
(g (g)> f (х — у)) = (g (у), ц (у) f (х - у)) 6= С”.
S 4]
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
73
Далее из представления (3.3) при всех ср е S) имеем
(f * g, ф) = (g (у), П (у) J f (Ю Ф (£ + У) dg) =
= (g (g), n (g) f (x — У) Ф W dx} •
Замечая теперь, что p (у) f (x — y) <p (x) e S) (R2n), и пользуясь
формулой (3.2) § 3, получаем
(f * g. ф) = J (g (g)> П (g) f (x — У}> Ф U) dx,
откуда и следует формула (3.5).
Аналогично, если f gC” (R"\ {0}) и g е <§', то свертка f *g
в Rn\suppg выражается формулой (3.5); в частности, f * g<=
sC" (R"\suppg).
4.	Конусы в R". Конусом в R" (с вершиной в 0) называется
множество Г, обладающее тем свойством, что если хеГ, то
и лхеГ при всех X > 0. Обозначим через ргГ пересечение Г
с единичной сферой (рис. 21). Конус Г' называется компактным
в конусе Г, если ргГ'сргГ (рис. 21); при этом пишем Г' <=Г.
Конус
Г = [£: (^, х)>0, \fx еГ]
называется сопряженным к конусу Г. Очевидно, Г* —замкнутый
выпуклый конус с вершиной в 0 (рис. 22) и (Г*)* = сЬГ; здесь
ch Г — выпуклая оболочка Г (см. § 0.2).
Конус Г называется острым, если существует опорная
плоскость к ch Г, имеющая с ch Г единственную общую точку 0
(рис. 22).
Примеры выпуклых острых конусов, а) п-гранный
конус в R"
С = [х: (еь х) > 0, ..., (е„, х) > 0]
74
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. Г
— острый (выпуклый и открытый) тогда, и только тогда, когда
векторы еь ..., еп образуют базис в R". При этом
=	1 = £ Ькек, Ай>0].
1
В частности, положительный координатный угол
R" =[х: Xj > 0, ..., хп> 0], (R" )* = R" •
б)	Световой конус будущего в Rn+1-
V+ = [х: (х0, х): х0 > | х ]], (V+)*=V+.
в)	Начало координат {0}, {0)* = Rn.
Отметим, однако, что конус RJ^ X R"-1 = [х: х5 > 0] не
является острым.
г)	Конус Рп cz R"' положительных (эрмитовых) п X п-матриц
Х = (хр<^,	где Лг— КОНУС неотрицательных матриц.
Это вытекает из следующего утверждения: для того чтобы
X е Рп, необходимо и достаточно, чтобы при всех 3 е Рп, 3 #= 0
р. я
Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны-.
1)	конус Г — острый-,
2)	конус ch Г не содержит целой прямой-,
3)	int Г*^= 0;
4)	для любого С'int Г* существует число <т = а(С')>0
такое, что
(g,x)>a|a||x|,	l^C', хесТГ;	(4.1)
5)	для любого е е pr int Г* множество
Ве = [х: 0 < (е, х)<Л, хе ch Г]
ограничено (рис. 22).
Доказательство. 1)->2). Если конус ch Г содержит
целую прямую х = х° + te, — оо < t < оо (| е | = 1), то он содер-
жит и прямую x = te,— oo<t<oo. Следовательно, любая
опорная плоскость к ch Г должна содержать эту прямую, что
противоречит 1).
2)->3). Если intr*= 0, то, поскольку Г* —выпуклый конус
с вершиной в 0, он лежит в некоторой (п — 1)-мерной пло-
скости (е, х) = 0 (|е| = 1). Поэтому ±ееГ** = слГ. А тогда
и целая прямая y — te, — оо <t< оо, лежит в ch Г, что про-
тиворечит 2).
§ 41
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
75
3) -> 4). Поскольку все точки конуса С', отличные от О,
являются внутренними для Г*, то (g, х) > 0 при всех jeC'
и хе ch Г. Отсюда, а также из непрерывности и однородности
формы (|, х) следует существование числа а > 0, при котором
справедливо неравенство (4.1).
4)->5). Возьмем произвольное е е pr int Г*. Тогда, применяя
неравенство (4.1), (е, x)i>o|x|, хе chi’, заключаем, что мно-
жество Ве ограничено: |х|
5)-* 1). Если для некоторого es print Г* множество Ве огра-
ничено, то плоскость (е, х) = 0 не может иметь других общих
точек с ch Г, кроме 0.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Г — выпуклый конус. Тогда Г = Г + Г.
Доказательство. Включение ГсГ ф Г очевидно. Пусть
хеГфГ, так что x = y + z, где уеГ и геГ. Тогда при
всех ле(0, 1) х = А-у + (1 — A) е Г и поэтому Г + Г cz Г.
Лемма доказана.
Индикатрисой конуса Г называется функция
Иг (£) = — inf & ХУ
xspr Г
Из определения индикатрисы следует, что цг (g) — выпуклая
(см. §0. 2,) и, стало быть, непрерывная (см., например, В. С. Вла-
димиров [1], гл. II) и однородная первой степени функция,
определенная на всем Rra. Кроме того,
Нг (Ю < Hch г (У,
gr(g) = -A(g, 5Г),
и цг (g) > 0 при Г*. Таким образом,
Г* = [£: Иг®<0],
так что индикатриса конуса полностью определяет только замы-
кание его выпуклой оболочки, в силу ch Г = Г**.
Пример.
4г(1£1-М>	£ё-К+,
V2
|g|,	ge —У+.
PV+ (£) =
Лемма 3. Если Г — выпуклый конус, то при любом
[g: |*r(g)<a] = r + Ue.	(4.2)
%
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Доказательство. Включение
r* + (7ac[g: pr(g)<a]	(4.3)
тривиально: если g = g1 + g2, £1 е Г*. |^|^а> то
Рг^) = — inf (£>х) = — inf [(£i> *) + (&2, х)]<
херг Г	херг Г
<— inf (g2, х)<а,
херг Г
ПОСКОЛЬКУ (gb х) > О, А'Е Г.
Докажем включение, обратное к (4.3). Пусть точка go такова,
что цг (gg) < а. Если gQ е= Г* или | g01 < а, то g0 е= Г* +~U а. Пусть
теперь g0 ё= Г* и | go | > а. Пусть точка gj (= Г* реализует рас-
стояние от g0 до Г*, Л (go, Г*) = | go —
—-gi|. Тогда, поскольку Г* — выпук-
лый конус (рис. 23), то
a)	&-£оЛ)>О, geP;
б)	(&1 — go, £i) = 0.
Из неравенства а) следует, что
gi — goe Г** = Г, и поэтому
a>Hr(Q=- inf_ (go.*)>
xspr Г
Последнее же неравенство в силу р авенства б) эквива-
лентно неравенству | gi — go | а. Итак, точка go = gi + (go — gi)
представлена в виде суммы двух слагаемых gj е Г* и go — gj е[7а,
т. е g0^r*+[7a. Этим доказано обратное включение (4.3),
а с ним — и равенство (4.2). Лемма 3 доказана.
Пусть Г — замкнутый выпуклый острый конус. Обозначим
C = intr* (по лемме 1 С =/= 0). Гладкая (п — 1)-мерная поверх-
ность S без края называется С-подобной, если каждая прямая
х — хо + te, — оо < I < оо, еергГ, пересекает ее в единствен-
ной точке; другими словами: для любой xeS конус Г + х
пересекает S в единственной точке х (рис. 24). Таким образом,
С-подобная поверхность S разрезает R" на две бесконечные обла-
сти S+ и S_: S+ лежит над S n S_ лежит под S; S+ U $_ U $ =
= Rn. Далее, нормаль пх в каждой точке х поверхности S
содержится в конусе Г* + х (рис 24).
Пример. Поверхность S в Rra + 1, задаваемая уравнением
х0 = /(х), I grad f (х) | ст < 1, х е Rn, /еС1,
У+-подобна (пространственно-подобна).
§ 41
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
П
Лемма 4. Если S — С-подобная поверхность, то
(4.4)
Доказательство. Пусть xosS+. Прямая x — Xo + te,
|Z| < оо, еергГ, пересекает S в некоторой точке х1 = х0 —
— Се, /^0 (рис. 24), так что xo = xi + Се, х{ е S,	и
включение S+c S + Г доказано. Включение S + Г czS+ оче-
видно; вместе с обратным включением оно
ству (4.4). Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть S — С-по-
добная поверхность. Тогда для
любого /? > 0 существует такое
число R' (R) > 0, что множество
TR=[(x, у): xeS,
</еГ, |х + у|</?]
содержится в шаре Ur cz R2n.
Доказательство. Так
как S — С-подобная поверх-
ность, то всякая точка хе S,
приводит к равен
Рис. 24.
которая представима в виде £ — у, у <= Г, |g| «С R, имеет вид
х — 1 — еТ, еергГ, где число Т — Т(е,%) однозначно опреде-
ляется е и g и представляет собой непрерывную функцию ар-
гумента (е, 1) на компакте еерг Г, | g | R. Следовательно,
множество [(у, £): у = еТ(е, g), еергГ,	ограничено, а с
ним ограничено и множество 7\. Лемма доказана.
С-подобную поверхность S назовем строго С-подобной по-
верхностью, если в условиях леммы 5
R'(R)^a(i + R)v, v>l, а > 0.
(4.5)
78
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Пример. Плоскость (е, х) = 0, е<=ргС строго С-подобна
с V— 1 (в силу леммы 1).
5. Сверточные алгебры ЗУ (Г +) и 2)' (Г). Будем говорить,
что множество А ограничено со стороны конуса Г, если X с= Г +
где К — некоторый компакт (рис. 25). Ясно, что множества,
ограниченные со стороны конуса {0}, — это компакты в Rra.
Пусть Г — замкнутый конус в RT Совокупность обобщенных
функций из Ф', носители которых ограничены со стороны ко-
нуса Г, обозначим через Ф' (Г +). Сходимость в ЗУ (Г +) опре-
делим следующим образом:	/г->оо в ^'(Г-)-), если
fk—> 0, k —> оо в Ф’ и supp fk <= Г -ф- где компакт К не зави-
сит от k*). Обозначим Ф' ({0} +) = S'; S'— пространство обоб-
щенных функций с компактными носителями (ср. § 2.5).
Пусть Г — замкнутый выпуклый острый конус, С — int Г*,
S —С-подобная поверхность, S+— область, лежащая над S
(см. § 4.4).
Если /е^'(Г+) и g S Ф' (S+), то свертка f*g существует
в Ф' и представляется в виде
(f*g,^) = (f(x)Xg(y),l(x)n(y)(p(x + y)), ср<=Ф, (5.1)
где g и ц — любые функции из С°°, равные 1 в (supp ))8 и (supp g)e
и равные 0 вне (supp f)2e и (supp g)28 соответственно (е — любое
> 0). При этом, если supp f cz Г + К, где К — компакт, то
supp (f * g) <= S+ + К и соответствующие операции f-+f*g и
g-+ f * g непрерывны.
Это утверждение вытекает из теоремы § 4.3 при А = Г + К
и B = S+, если заметить, что по леммам 2, 4 и 5 § 4.4 мно-
жество
Тr — \(x, у)‘. хеГ-f-K, у е S+, |х -Т у |	=
= [(х, уУ хеГ + К, уеЗД-Г, | х + у | < /?]
ограничено при всех R > 0 и
Г + + S+ = Г 4- + Г + S = Г + 3 + 7< = S+ + К.
Отметим важный частный случай последнего критерия суще-
ствования свертки.
Теорема. Пусть Г — замкнутый выпуклый острый конус.
Если f е Ф' (Г +) и g^ Ф' (Г +), то свертка f * g существует
в Ф' (Г +) и представляется в виде (5.1); при этом операция
f —> f * g непрерывна из Ф'(Г +) в Ф'(Г +)•
Доказательство. Поскольку Г + К, где /( — компакт,
содержится в 3+ для некоторой С-подобной поверхности S
*) Аналогичный смысл будут иметь и другие пространства обобщенных
функций, например ЗР’ (Г + ), (Г + ), и т. д. (см. ниже, § 5 и § 7).
§ 4]
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
79
(зависящей от /<), то по предыдущему критерию свертка f * g
существует в У и представляется формулой (5.1). Докажем,
что f * g е У (Г +). Пусть supp f <= Г + Ki и supp g <= Г + К2,
где Ki и К2 — некоторые компакты в R". Тогда, пользуясь вклю-
чением (2.5) и леммой 2 § 4.4, получим
Рис. 26.
supp (f * g) се Г -Г /Ci -Г Г Д2 — Г -Г /Ci -Г /С2,
так что f * g е 0'(Г+). Непрерывность операции f -> f * g из
У (Г-j-) в У (Г +) также следует из этого включения. Тео-
рема доказана.
Аналогично доказывается, что свертка любого числа обоб-
щенных функций из У (Г +) (см. § 4.1) существует в У (Г +)
и выражается формулой, аналогичной фор-
муле (5.1).
Отсюда и из результатов § 4.2, з) вы-
текает, что свертка обобщенных функций
из ЗУ (Г +) ассоциативна.
Линейное множество называется алгеб-
рой, если на нем определена операция умно-
жения, линейная относительно каждого
множителя в отдельности. Алгебра назы-
вается ассоциативной, если х(yz) = (ху) z
и коммутативной, если ху — ух.
Установленные в этом пункте результать
ждать, что множество обобщенных функций
алгебру, ассоциативную и коммутативную,
умножения взять операцию свертки *. Такие алгебры назы-
ваются сверточными алгебрами-, единицей в них является
б-функция (см. § 4.2, б)).
Наконец, отметим, что множество обобщенных функций 3)’ (Г)
также образует сверточную алгебру, подалгебру алгебры 3)’ (Г +).
Действительно, если f е 3)’ (Г) и g е У (Г), то supp (f * g) az
<= supp f + supp g <= Г + Г = Г, так что f * g е У (Г). (Здесь мы
опять воспользовались включением (2.5) и леммой 2 § 4.4.)
6. Регуляризация обобщенных функций. Распространим по-
нятие свертки f * g, когда f и g — обобщенные функции из Ф' (0),
причем g — с компактным достаточно малым носителем в 0:
suppgczf/e и 0е 3= 0 (см. § 0.2 и рис. 26). В соответствии
с формулой (3.3) положим по определению
() * g, ф) = (/ (Х) х g (у), ц (у) ф (х + у)),
Фе=0(б?8),	(6.1)
позволяют утвер-
3'(Г -ф) образует
если в качестве
где г| е® ((7в), ц (у) = 1 в окрестности supp g.
По построению операция ф ->ц (у) ф (х + у) линейна и непре-
рывна из 3>(0е) в 3(0\0). Отсюда следует, что правая
80
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
(ГЛ. I
часть равенства (6.1) определяет линейный непрерывный функ-
ционал на Ф ((7е), так что f * g е Ф' (0«). Далее, нетрудно убе-
диться (ср. § 4.3), что правая часть равенства (6.1) не зависит
от вспомогательной функции 1]. Наконец, как и в § 4.2, уста-
навливается, что свертка f * g коммутативна, непрерывна отно-
сительно f и g в отдельности и f*6 = f.
В частности, если а е Ф (Д'8), то, пользуясь представле-
нием (6.1) и действуя аналогично § 4.3 при выводе формулы
(3.5), получим представление для свертки f * а:
(f * а) (х) = (/ (у), а (х — у)), хеСе,	(6.2)
откуда следует / * а е С“ (0е) и
(f * а) (0) = (f (у), а (— у)) = (6, f * а).	(6.3)
Формула (6.1) в силу (6.2) принимает вид
(f * g, ф) = (f, g (— у) * ф), фЕ® (С’е).	(6.4)
Заметим, что при Cf = R" формула (6.4) вытекает также из
формул (3.3) и (6.2).
Пусть <о8(х) — «шапочка» (см. § 1.2) и / — обобщенная функ-
ция из Ф' (0). Свертка
/в (х) = (f* со8) (х) = (f (у), <о8 (х — у))
называется регуляризацией f (ср. с определением средней функ-
ции для случая f е ф{ж(0), см. § 1.2). По доказанному, регу-
ляризация /8 е С°° (0е).
Докажем, что
h~>f, е -> + 0 в Ф' (0).	(6.5)
Действительно, предельное соотношение (6.5) вытекает из соот-
ношения <о8 (х)-> 6 (х), е->-фО в Ф' (см. § 1.7) и из непре-
рывности свертки, в силу
/8==/*о)8->/*6 = /, е^4-Ов0'(0.
Итак, всякая обобщенная функция из Ф' (0) есть слабый
предел своих регуляризаций.
Пользуясь этим утверждением, установим более сильный
результат.
Теорема. Всякая обобщенная функция f из Фг (0) есть
слабый предел основных функций из Ф (0), т. е. Ф (0) плотно
в Ф' (0).
Доказательство. Пусть /8(х) — регуляризация f. Пусть,
далее, 0^02а= ....	=	= K(0k, д0) > 0 и ^=Ф(0к),
k
*lfeW= 1, x^.0k_\. Докажем, что последовательность rib(x)L (х),
k—l, 2, ..., основных функций из Ф{0) сходится в Ф'(0)
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
81
§ 4]
к f. Действительно, eft->0, k -> оо и в силу (6.5) при всех
(ре®(6*) имеем
lim (Wv Ф) = Ит Ч,Ф) = lim	Ф) -(f, Ф).
что и требовалось.
Замечание. Из полноты пространства 3)'(см. § 1.4) вытекает
обратное к только что доказанной теореме утверждение: всякий слабый пре-
дел локально суммируемых функций в О есть обобщенная функция из ЗУ (0).
Поэтому теорию обобщенных функций можно строить, исходя из слабо схо-
дящихся последовательностей обычных, локально суммируемых, функций.
По поводу этого подхода см. П. Антосик, Я. Минусинский и Р. Сикор-
ский [1].
Здесь уместно отметить следующую аналогию. Обобщенные функции по
отношению к основным функциям напоминают в некотором смысле ирра-
циональные числа по отношению к рациональным числам: пополняя множе-
ство рациональных чисел всевозможными пределами последовательностей
из рациональных чисел, получим вещественные числа; пополняя множество
основных функций всеми слабыми пределами последовательностей из основ-
ных функций, получим обобщенные функции.
7. Свертка — линейный непрерывный трансляционно-инва-
риантный оператор. Оператор L, действующий из 2D' в 2&,
называется трансляционно-инвариантным, если L/(x + /i) =
= (Lf)(x-\-h) при всех f е 2D' и при всех сдвигах h е R".
Напомним, что определение сходимости в пространстве
C“ = C°°(R") дано в § 2.5 и в пространстве S’ — в § 4.5;
S' — совокупность линейных непрерывных функционалов на С°°
(см. § 2.5).
Теорема. Для того чтобы оператор L был линейным, не-
прерывным и трансляционно-инвариантным из <$' в 2D’, необхо-
димо и достаточно, чтобы он был сверточным оператором, т. е.
представлялся в виде L — f0*, где f0— некоторая обобщенная
функция из 2D'-, при этом f0 — ядро оператора L — единственно
и выражается формулой fa = Lb.
Доказательство. Достаточность следует из результатов
§ 4.3 и § 4.2, согласно которым сверточный оператор f—
f0 ge 2D', —- линейный, непрерывный и трансляционно-инвариант-
ный из &>' в 2D', причем fo*6 = /o-
Для доказательства необходимости предварительно устано-
вим следующую лемму.
Лемма. Для того чтобы оператор L был линейным, не-
прерывным и трансляционно-инвариантным из 2D в С°°, необхо-
димо и достаточно, чтобы он был сверточным оператором L = f0*,
f0 е 2D'-, при этом ядро /о единственно.
Доказательство. Для доказательства достаточности
осталось установить непрерывность операции
ф-*/о*ф = (/о(у), <Р(х — У))
82
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
(см. (6.2)) из 2) в С°°. Но это вытекает из неравенства (см.
теорему § 1.3)
|Оа (fo * Ф) (х) I - |(fо (у), D\(x - у)) |< Л Ф |[ст+|а(, (7.1)
справедливого для всех фейД?) и | х | -Д Ri (числа К и т
в неравенстве (7.1) зависит от R и 7?().
Необходимость. Из предположенных условий вытекает,
что функционал (Лф) (0) — линейный и непрерывный на Ф. По-
этому существует такая, очевидно, единственная, обобщенная
функция f0 е что (£ф) (0) = (f0 (—х), ф). Отсюда, в силу
свойства трансляционной инвариантности оператора L, при всех
х0 е R" выводим
(£ф (х + х0)) (0) = (£ф) (хо) = (/о(— х), ф (х + х0)) =
= (to (х), ф (Хо — х)) = (fo * ф) (х0),
что и требовалось. Лемма доказана.
Доказательство необходимости условий теоремы.
Оператор Д = L ~ L6 * — линейный, непрерывный и трансля-
ционно-инвариантный из S' в Ф' (см. доказательство доста-
точности). Кроме того, при всех Хо е Rra имеем
Д6 (х + Хо) = (£6 — Lb * б) (х 4- Хо) = {Lb — Lb) (х + х0) = 0,
так что Li обращается в нуль на всех сдвигах 6-функции.
Пусть теперь ф — произвольная основная функция из Ф. Тогда
Г	^->оовД',
0<| k |<А
ибо для любой ф е С°°
Е ф (v)1)5(4) $фw wdx’ N-+°°-
0<| k KN
Поэтому, в силу линейности и непрерывности из S' в Ф' опе-
ратора Li,
Г ф(-к)б(х-4)1=о> (₽е£|'
L	(XI k KN	J
Пусть теперь f — любая обобщенная функция из S'. Существует
последовательность {Д} функций из Ф, сходящаяся к f в S'
(см. § 4.6). Отсюда и из непрерывности из S' в Ф' оператора L\
выводим: LJ — limLJA = 0 при всех f^S', так что А1 = 0 и,
стало быть, L~Lb* = fQ*.
Единственность ядра f0 оператора L вытекает из следую-
щего рассуждения: если е Ф' такова, что fi*f — 0 при всех
§ 4]
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
83
f S' и, значит, при всех f^ZD, то, в силу только что дока-
занной леммы, /1 = 0. Теорема доказана.
8. Некоторые применения, а) Ньютонов потенциал.
Пусть	Свертки
Vn =	* / п>3’ V2 = in-|7|- * /, « = 2
(если они существуют), называются ньютоновым (при п = 2—
логарифмическим) потенциалом с плотностью f.
Потенциал Vn удовлетворяет уравнению Пуассона
ДЕ„ = — (п — 2) ст„/, п>3; ДП2 — — 2 л/.
Действительно, пользуясь формулами (3.10) § 2 и (2.4), при
п3 получаем
ДЕ» — Д Г I „ Ш-2 *f\~ А I „ 1П-2 * / =
аналогично поступаем и в случае п — 2.
Если / = р(х)— финитная суммируемая на R", и^З, функ-
ция, то соответствующий ньютонов потенциал Vn называется
объемным потенциалом. В этом случае V п — локально суммируе-
мая функция в R" и выражается интегралом
(8.1)
в соответствии с формулой (1.1) для свертки финитной сумми-
руемой на R" функции р (х) с локально суммируемой в Rra
функцией | х Г п+2.
Пусть / = p6s и / = —	(v^s) ~ простой и двойной слои
на кусочно-гладкой поверхности Sex'1, п^З, с поверхност-
ными плотностями ц и v (см. § 1.7 и § 2.3). Соответствующие
ньютоновы потенциалы
Vk0) == । х |„_а * РА$, Vn’ = ~ |х|«-г * ~д^ (ybs)
называются соответственно поверхностными потенциалами про-
стого и двойного слоя с плотностями р и v.
Если S — ограниченная поверхность, то поверхностные по-
тенциалы V{n и Vn’ — локально-суммируемые функции в R” и
представляются интегралами
Vn (х) = у х {y}[n^-dSy,	Kj,1’ (х) = j V (у)	-\х_ у |ft-2 dSy
S	s
(8-2)
84
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Докажем для определенности представление (8.2) для потен-
циала Vn*. Пользуясь представлением (3.3) и определением
двойного слоя (см. § 2.3), при всех tps® получаем цепочку
равенств (функция ц е ^5 и >1 (х) = 1 в окрестности S)
(у<Р, ф) = _	(v6s)’ <₽) =
= — (цргз.- X (v6s) (у), п (у) ф (у + s)} =
= -	(v6s), п (у) J Ф|(^Т"- rfs) =
== v (у) [п	dS« =
= 5 V ~дп 5 | х — у |"-г dx dSy
8
= \ v (у) \ ф (х)	-----1,п_-2- dx dSu =
j vj: J ч- \ ) gn \х_уу1-2	у
S
= ф (x) V (y)	| x_ y |„_2 dSy dx,
откуда и следует требуемая формула (8.2) для Перемена
порядка интегрирования обеспечивается теоремой Фубини,
в силу существования повторного интеграла
Iv (//) I IФ U) 11 дПу । х _ у |«_2 j dx dSt
б)	Формула Грина. Пусть область G cz Rn, nL>3, огра-
ничена кусочно-гладкой границей S и функция и е С2 (G) П C‘(G).
Тогда она представляется в виде суммы трех ньютоновых по-
тенциалов по формуле Грина (и —внешняя нормаль к S):
_________1 С Au (у)
(п — 2) ага J | х — у \п-2
а
dy +
1 С Г 1 ди (у)
(я — 2) Оц J L | х — у \п~2 дп
s
([/) s г—------------т dSy —
дпу | х — у |n-2 J У
х е G,
х ё= G.
(8.3)
Действительно, считая функцию и(х) продолженной нулем
прихёЁО и пользуясь формулами (3.7х) и (3.10) § 2, заклю-
$ fl
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
85
чаем, что
и = 6*и —
----- -----А------—т * и =---------------—» * Au =
(« — 2)оп |х|л 2	(п — 2)ог„|х|" 2
= — ",-----1  ' \п-Т *	ГЛкл« — ~ Si	— -7-	(«&$)]	•
(л —	2) оп Iх I	L дп дп J
Отсюда, пользуясь формулами (8.1) и (8.2), убеждаемся в спра-
ведливости представления (8.3).
В частности, если функция и (х) — гармоническая в области G,
то представление (8.3) превращается в формулу Грина для
гармонических функций
1 V Г 1 ди (у) _________________ , , _д__________1	~|	____
(n — 2)а„ J L|x — у!п~2 дп У дПу | х — у |"-2 J и
и (х),
О,
(8.4)
х е G.
Формулы, аналогичные (8.3) и (8.4), имеют место и при
п =2. При этом фундаментальное решение —-------------———
\/1 *“ СТfi I X I
должно быть заменено на tn | х |.
Замечание. Формула Грина (8.4) выражает значения гармонической
функции в области через ее значения и значения ее нормальной производной
на границе этой области. В этом смысле она аналогична формуле Коши для
аналитических функций.
в)	Уравнение в свертках имеет вид
a*u = f,	(8.5)
где а и f — заданные обобщенные функции из ФУ, & и — неиз-
вестная обобщенная функция из Ф'. Среди уравнений в сверт-
ках содержатся все линейные дифференциальные уравнения
в частных производных с постоянными коэффициентами:
а(х) = У ааО“б(х), а*и= У, aa£)“u(x);
|a|<m
линейные разностные уравнения:
а (х) — У ua6 (х — ха), а * и = У ааи (х — ха);
а	а
линейные интегральные уравнения I рода:
а е S’loc, а * и — \ и (у) а (х — у) dy,
86
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ, I
линейные интегральные уравнения II рода:
а = 6 + Ж, Ж S’loc’ а * и = и (х) + и (у) Ж (х — у) dy,
линейные интегродифференциальные уравнения и т. д.
Фундаментальным решением сверточного оператора а* назы-
вается обобщенная функция <S ^.Ф', удовлетворяющая урав-
нению (8.5) при f — f>,
а* & = 6.	(8.6)
Фундаментальное решение <S, вообще говоря, не единственно;
оно определяется с точностью до слагаемого <§Г0, являющегося
произвольным решением в Ф’ однородного уравнения а*^о = О.
Действительно,
а * (&> + #0) = а * <S + а *
Примеры. 1) Функция <£п (х)> определенная в § 2.3, з), есть
фундаментальное решение оператора Лапласа, Дй’п = 6.
2) Формула О(х) + С дает общий вид фундаментального
решения в Ф' оператора — (см. § 2.2 и § 2.3, в)).
Пусть фундаментальное решение & оператора а* сущест-
вует в Ф'. Обозначим через A (a, S) совокупность тех обоб-
щенных функций f из Ф', для которых свертки S *f и a* <£ *f
существуют в Ф'.
Справедлива следующая
Теорема. Пусть f^A(a,dA. Тогда решение и уравне-
ния (8.5) существуем и выражается формулой
u = tf*f.	(8.7)
Решение уравнения (8.5) единственно в классе А (а, &).
Доказательство. Обобщенная функция u = <$*f удо-
влетворяет уравнению (8.5), так как в силу коммутативности
и ассоциативности свертки (см. § 4.2, з)) (свертки <S *f и a* <S = &
существуют):
а* и = а* * f)—a* & *f = (a*<o)*f = b*f = f.
Единственность: если a* u = Q и и^ А(а, &), то
[H = zi*6 = u*(a*$’) = u*a*$’ = (u*a)*$’ = 0*$’ = 0,
что и требовалось. Теорема доказана.
Замечание. Можно дать следующую физическую интерпретацию
решения (8.7): и = 8 »Представим источник f (х) в виде «суммы» точечных
источников f (|) б (х — |) (см § 4.2, б)):
/(х)=/.б = jf(g)d(x-g) dl.
СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
87
§ 4]
Фундаментальное решение й? (х) есть возмущение от точечного источника S (х).
Отсюда, в силу свойств линейности и трансляционной инвариантности свер-
точного оператора а * (см. § 4.7), следует, что каждый точечный источник
f (§) S (х — |) порождает возмущение f (£) 8 (х — £). Поэтому естественно
ожидать, что «сумма» (наложение) этих возмущений
$f(£H(x-g)	=
даст суммарное возмущение от источника {, т. е. решение и уравнения (8.5).
Доказанная теорема и дает оформление этим нестрогим соображениям.
г)	Уравнения в сверточных алгебрах. Пусть А —
сверточная алгебра, например ££У(Г-|-), ЗУ (Г) (см. § 4.5). Рас-
смотрим уравнение (8.5) в алгебре А, т. е. будем предполагать,
что а е А и f е А; решение и также будем искать в А. Дока-
занная выше теорема в алгебре А принимает следующий вид:
если фундаментальное решение S оператора а * существует в А,
то решение и уравнения (8.5) единственно в А, существует при
любой f из А и выражается формулой и=У> * [.
Фундаментальное решение S оператора а* в алгебре А
удобно обозначать а~1, так что, в силу (8.6),
а~1*а = б.	(8.8)
Другими словами, а~1— обратный элемент к а в алгебре А.
Следующее предложение весьма полезно при построении
фундаментальных решений в алгебре Д:
если а"1 и а~1 существуют в А, то
(а( * Из)"-1 = а^1 * а~\	(8.9)
Действительно,
(а, * а2) *(af1 * а~1) = (а2 * а,) *(а-1* а~1) =
= а2* ((а, * ар1) * а"1) — а2* (б * а^1) = а2 * а21 =б.
Формула (8.9) составляет основу операционного исчисления.
д)	Дробное дифференцирование и интегриро-
вание. Обозначим через 3)+ алгебру 3) (R+).
Введем обобщенную функцию /а из ЗУ, зависящую от
вещественного параметра, а, — оо < а < оо, по формуле
[ /а+лг а0, а + -^ > О, N — целое.
Проверим, что
(8-Ю)
88
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Действительно, если а>0ир>0, то (см. § 4.1)
X
fa* f$= Г(с0Г(0)	(х~ У) dy =
О
е(х)ха+6-‘ С а_1	^-1л_е(х)ха+’-'	,
Г(а)Г(Р) У	ш Г (а + Р) '«+₽’
Если же а^О или Р=СО то, подбирая целые числа т >—а
и п > — Р, получим
f * f =	y™+«) = f(m+n) = f
'a '& 'a+m l& + n V a+m 1 fi+n)	'a+S+m+n I a+6>
что и требовалось.
Рассмотрим сверточный оператор fa * в алгебре S)' . Так как
/о = 0' = 6, то из (8.10) вытекает, что фундаментальное реше-
ние оператора fа* существует и равно f_a: = Далее,
при целых и < 0 fn = b{n} и потому fn * и = бе) * * (п) * и = и{п\ т. е.
оператор fn* есть оператор и-кратного дифференцирования.
Наконец, при целых п > 0
(fn * u)w = f-n *(fn * u) = (f-n * fn)*u = ^u=u,
t. e. fn* и есть первообразная порядка п обобщенной функ-
ции и (см. § 2.2).
В силу сказанного, оператор fa * называют оператором дроб-
ного дифференцирования порядка а при a < 0 и оператором
дробного интегрирования порядка а при a > 0 (а также опера-
тором Римана — Лиувилля).
Пример. Пусть	Тогда
X
= !{y}dy -
' /z 7 -ул dx J +J х — у
е) Операционное исчисление Хевисайд’а есть не
что иное, как анализ в сверточной алгебре Я)+. Для примера
вычислим в алгебре Ф+ фундаментальное решение (t) диф-
ференциального оператора
(Ц \ цт
+ ••• +am’ а<-постоянные-
В алгебре 3)+ соответствующее уравнение принимает вид
р (б) * S = б, Р (б) (/) = б!т» (?) + аф^~ >) (0 + ... + атб (/),
S 4]	СВЁРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ	89
Разлагая в алгебре 0+ «полином» Р (д) на множители *),
Р (д) = * П (6' - W)ki,
и пользуясь формулой (8.9), получим
р-1 (6) (/) = ^ (/) = [* П(6'-МЛ]~‘ =*	(8-11)
Но легко проверить, что
* (д' - MTk = * [(д' - яд)"1]6 = е((ЛД}‘ eKt' <8-12)
Отсюда, продолжая равенства (8.11), выводим
fc.-l
^^ = *n~(b--ijTeV-	(8-13)
Свертка (8.13) допускает вычисление в явном виде. Разлагая
правую часть (8.11) на простейшие дроби в алгебре &>+, получим
(0=* П (s' -	=
= X[Ci.kj*(b'-W-ki+ ... + Ch , * (д' - Х;д)-'](
откуда, пользуясь формулой (8.12), выводим окончательно
6 W X [с/. kj + • • • + ci' ’] е 1 •
/
Таким образом, для нахождения фундаментального решения
n С d \	d
оператора РI -гт 1 получаем следующее правило: заменяя -гт
\ U i /	U I
на р, составляем полином Р (р), выражение разлагаем
на простейшие дроби
р7р) = П^~^ = /Е Ес/' ki(Р ~~ Ч + ... + сЛ j (р — Л,) ']
и каждой простейшей дроби (р — k)~k сопоставляем правую
часть формулы (8.12).
Пример. Найти <?, <?" + ®2<^ — 6.
♦) Символ » JJ означает а* • а2 ♦ ... ♦ а{.
90
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Имеем
1_	— — (.....1	j- 1 А
р2 + а>2	2а»’ К	р — га 1	р +	i<s> )
= е (/) sinoi
'1 со
О).
§ 5.	Обобщенные функции медленного роста
1.	Пространство основных функций У (быстро убывающих).
Отнесем к пространству основных функций У — У (R") все бес-
конечно дифференцируемые в R" функции, убывающие при
|х|->оо вместе со всеми производными быстрее любой сте-
пени | х ГВведем в У счетное число норм по формуле
р
11фИр = supx (1 -F | х |2)2 | Daq (х) |, феУ, р = 0, 1, ...
1 а |<р
Очевидно, что
II ф Но < II Ф 111 < IIФ lb < фе^.	(1.1)
Сходимость в У определим следующим образом: последо-
вательность функций ф1; ф2, . .. из У сходится к 0, ф& —> 0, k-> ОО
в У, если для всех р = 0, 1, ... ||ф;г||р ->0, fe->oo. Другими
словами: фА—>0, k—> оо в У, если для всех аир
ха£>рф)г(х) => 0, /г->оо.
Ясно, что Ф<г^У, и если фй->0, /г->оо в Ф, то ф^->0»
k —> оо в У.
Однако У не совпадает с Ф-, например, функция е~>х>! при-
надлежит У, но не принадлежит Ф (она не финитна).
Тем не менее Ф плотно в У, т. е. для любой ф е У сущест-
вует последовательность {фД функций из Ф такая, что Ф^->ф,
k —> оо в У.
Действительно, последовательность функций из Ф
ФИ*) = Ф	. fc = l, 2, ....
где ц е= Ф, ц (х) = 1, | х | < 1, сходится к ф в У.
Обозначим через Ур пополнение У по р-й норме; Ур — бана-
хово пространство.
Справедливы вложения
У а о Ух цэ У<2	...	(1.2)
Каждое вложение
Ур+1 <=УР, р = 0, 1, ...,
§51	ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА	91
непрерывно, в силу (1.1). Докажем, что это вложение вполне
непрерывно (компактно), т. е. из всякого бесконечного ограни-
ченного множества в ^р+1 можно выбрать последовательность,
сходящуюся в 9>v.
Действительно, пусть М — бесконечное множество, ограни-
ченное в ||ф||р+1 < С, <р е М. Отсюда для всех <р е М и
|а|р получаем
|-^-Оаф(х)|<С,	/=1....../г;
(1 +1 х |2)р/2 Da<$ (х)-> 0,	|х|->оо.
Пусть Rk, k—l, 2, ..., —такая (возрастающая) последователь-
ность положительных чисел, что
(1 + 1 х |2Г/2 | Daq(x) I < |х|>Яъ |а|<р.	(1.3)
По лемме Асколи существует последовательность {ф(/1)} функций
из М, сходящаяся в Cp(U^y, далее, по той же лемме суще-
ствует подпоследовательность {ф®} последовательности {ф/1*},
сходящаяся в Ср(иУ), и т. д. Осталось заметить, что в силу
(1.3) диагональная последовательность {ф)г/г)} сходится в
Следующая лемма дает точную характеристику функций из
пространства ^р.
Лемма. Для того чтобы ф е ^р, необходимо и достаточно,
чтобы феС’ и | х |р Даф (х)	0 при | х | оо w I а I р, г. е. ф е Со-
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Пусть ф еС“ и фе — ф * <ое — регуляризация ф
(см. § 4.6). Пусть, далее, {цД — последовательность функций
из Ф, сходящаяся к 1 в R" (см. § 4.1). Тогда последователь-
ность {Фь^} функций из Ф с RP сходится к ф в 9*р. Действи-
тельно, пусть е > 0; существует такое число R = R (е), что
(1 + | х |2)₽/2 |О“ф (х)| < е, \х\> R, |а|<р.	(1.4)
Пусть jV[ такой номер, что тц(х)=1, | х | Я + 1,	На-
конец, из теоремы 2 § 1.2 следует существование такого номера
N^Ni, что при всех k~^N, | х | R + 1 и |а|^р будет спра-
ведливо неравенство
(1 + | х |2)р/21 О“ф (х) - D\k (х) | < е.	(1.5)
92
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА	[ГЛ. I
Теперь, пользуясь оценками (1.4) и (1.5) при k^N, получаем
IIФ ~ Ф1/Л ||р = supx (1 +1 х \2)р121 Da [<₽ (x) - ф1/4 (x) W] | <
I O' I
<e+ sup (1 +1 x |2)₽/2 П£>"<p (x)|+
|xl>R+l	L
I a Kp
+ E (a)lDW>D“~4«l]<
К»	J
^2e + Cp sup (1 +1 x |2)p/2
IX I>r+i
I p Kp
Da $ (01/4 (у) Ф (x — y) dy | <
<2e + Cp sup \alfk (y)(1 +1 x |2)p/21 £>% (* — S')! dy
I xl>R + l J
I p Kp
<2e + Cp sup ^coi/ft (i/)[( 1+|x—z/l2)p/^+|z/| p]|D6q> (x —y) |dz/<
I x J>R+1 J
I В Kp
< 2e + CpE + Cpe ©1/4 (y) (1 + I у I2) dy < (2 + 3CP) e,
что и требовалось. Лемма доказана.
Из леммы вытекает, что 9? — полное пространство и
П ^р-	d-б)
р>0
Операции дифференцирования <р —> Daq и неособенной линейной
замены переменных <р (х) —> <р (Ах + Ь) — линейные и непрерывные
из У в У. Это утверждение непосредственно вытекает из опре-
деления сходимости в пространстве 9*.
С другой стороны, умножение на бесконечно дифференци-
руемую функцию может вывести за пределы 9, например
е-1хУе1х1^ I g
Пусть функция а е С°° растет на бесконечности вместе cq
всеми производными не быстрее полинома
| Daa (х) | < Са (1 + | х !)"’“•
(1.7)
Множество таких функций обозначим через 0м; оно называется
множеством мультипликаторов в ЯР.
Операция q> -> aq>, где а е 6M, непрерывна (ut очевидно, ли-
нейна) из в
S 5]
ОБОЙДЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА
93
Действительно, если <р е 9, то жреС” и, в силу (1.7),
|| мр Up = supjj (1 + | х |2)р/21 Da (аФ) I <
I а|<р
<Кр supx (1 +1 X \^+Np/21 Паф(х)| =/Ср II <p llp+w , р = о, 1, ....
|а|<р	р
где No — наименьшее целое число, не меньшее шах пг„. Полу-
I а I <Р
ченные неравенства означают, что ире^и операция ф—>аф
непрерывна из 9 в
2.	Пространство обобщенных функций 9' (медленного роста).
Обобщенной функцией медленного роста называется всякий ли-
нейный непрерывный функционал на пространстве основных функ-
ций 9. Обозначим через 9' = 9'(Rn) множество всех обобщенных
функций медленного роста. Очевидно, 9' — линейное множество
и 9' ст 9)'.
Сходимость в 9' определим как слабую сходимость после-
довательности функционалов: последовательность обобщенных
функций fi, f2, ... из 9! сходится к обобщенной функции f^9f,
в 9', если для любой ф е 9 (?&, ф)~>(f, ф),
k—> оо. Линейное множество 9' с введенной в нем сходимостью
называется пространством обобщенных функций медленного
роста 9'.
Из этого определения следует, что из сходимости в 9' сле-
дует сходимость в 9)'.
Теорема (Л. Шварц). Пусть М' — слабо ограниченное мно-
жество функционалов из 9', т. е. | (f, ф) | < Сф для всех f е М'
и ф <= 9. Тогда существуют числа и такие, что
1(Л ф)1^/СЦф|1т>	феЗС	(2.1)
Доказательство. Если неравенство (2.1) несправедливо,
то найдутся последовательности {fk} — функционалов из М' и
{ф4 — функций из 9 такие, что
I (fk, 4>k) 1> &НФаНа> /г = 1, 2, ...	(2.2)
Последовательность функций
Фа (х) =
4>k (х)
II ч>а Ий ’
Лг=1, 2....
стремится к 0 в 9, ибо при k р
II Фа Нр
II Фа Ир 1
94	обобщенные ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА	(ГЛ., I.
Последовательность функционалов {fk} ограничена на каждой
основной функции ф из 9?. Поэтому для нее имеет место аналог
леммы § 1.4, согласно которому (fk, ф7г) —>0, fe~> оа. С другой
стороны, неравенство (2.2) дает
1	1 = /т,,1 и ।
-V*||4Pfe life
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Из доказанной теоремы Л. Шварца вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Всякая обобщенная функция медленного
роста имеет конечный порядок (ср. § 1.3), т. е. допускает про-
должение как линейный непрерывный функционал из некото-
рого (наименьшего) сопряженного пространства Э^т, при этом
неравенство (2.1) для f принимает вид
КЛ Ф)К11/11_т11ф1и, ф^,	(2.3)
где IlfILm—норма функционала f в SP' , т — порядок f.
Таким образом, справедливы соотношения
..., </ = U 9>'р,	(2.4)
р>0
двойственные к соотношениям (1.2) и (1.6).
Заметим еще, что каждое включение
с: ^р+1, р = 0, 1, ...,
вполне непрерывно (см. § 5.1); в частности, всякая слабо схо-
дящаяся последовательность функционалов из 5% сходится по
норме в ^p+i.
Следствие 2. Всякая (слабо) сходящаяся последователь-
ность обобщенных функций медленного роста слабо сходится
в некотором пространстве 9?р и, значит, сходится по норме в SPp+i.
Вытекает из теоремы Л. Шварца, поскольку всякая (слабо)
сходящаяся последовательность функционалов из S?' есть слабо
ограниченное множество в 9", и из замечания к следствию 1.
Следствие 3. Пространство обобщенных функций медлен-
ного роста полно.
Вытекает из слабой полноты сопряженных пространств
и из следствия 2.
3.	Примеры обобщенных функций медленного роста и про-
стейшие операции в if'. Если f (х) — функция медленного роста
в Rra, т. е. при некотором m 0
f (х)|(1 + |х |)~m dx < оо,
§ 5]	ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА	95
то она определяет -регулярный функционал f из Ф' по фор-
муле (6.1) § 1,
(f, ф) = f (х) ср (х) dx, ср е
Не всякая локально суммируемая функпия определяет обоб-
щенную функцию медленного роста, например	С дру-
гой стороны, не всякая локально суммируемая функция из Ф'
имеет медленный рост. Например, функция (cos ех)' = — ех sin ех
не является функцией медленного роста, но тем не менее она
определяет обобщенную функцию из Ф' по формуле
((cos ex)f, <р) = — j cos exq/ (х) dx, <р е ф.
Однако для неотрицательных функций (и даже для мер) таких
неприятностей быть не может, как мы сейчас в этом и убе-
димся.
Мера р, заданная на R'1 (см. § 1.7), называется мерой мед-
ленного роста, если при некотором m О
5 (I + I X |)""pi(dx) < оо.
Она определяет обобщенную функцию из Ф' по формуле (7.2) § 1,
(р., ср) = j <р (х) и (dx), q> е ф.
Если неотрицательная мера ц определяет обобщенную функ-
цию из Ф', то ц. медленного роста.
Действительно, так как pi е Ф', то по теореме Л. Шварца
она имеет конечный порядок ш, так что
[ ср (х) р (dx) | < КIIФ ||т,	(3.1)
Пусть {rpfe} — последовательность неотрицательных функций
из Ф, стремящаяся к 1 в R" (см. § 4.1). Подставляя в (3.1)
ф(х) = пИх)(1 +1 х|2)“т/2
и пользуясь неотрицательностью меры pi, получим
Пб(х)(1 + | х |2)"m/2pi(dxXC,
где С не зависит от k. Отсюда в силу леммы Фату следует,
что мера pi медленного роста.
Если f е <£', то f е Ф', причем
(f, ф) = (Л ПФ)>	(3.2)
где ц е Ф и ц = 1 в окрестности носителя f (ср. (10.2) § 1).
96
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
(ГЛ. I
Действительно, поскольку операция <р -> т|<р линейна и непре-
рывна из ЗР в Ф, то функционал (/, т|<р), стоящий в правой части
равенства (3.2), линейный и непрерывный на ЗР, так что f е ЗР'.
Единственность продолжения следует из плотности Ф) в ЗР
(см. § 5.1): в частности, оно не зависит от вспомогательной
функции Т].
Если f е ЗР', то и каждая производная Daf е ЗР'\ при этом
операция f—>Daf непрерывна (и линейна) из ЗР' в ЗР'.
Действительно, поскольку операция <р > линейна и не-
прерывна из ЗР в ЗР (см. § 5.1), то правая часть равенства
(,Daf, ф) = (-1)|а|(/, Даф), фЕУ,
есть линейный непрерывный функционал на 9? (ср. § 2.1).
Если f ^ЗР' и det Л #= 0, то f (Ах + Ь) е 9?', причем операция
f(x)-+f (Ах + Ь) непрерывна (и линейна) из ЗР' в ЗР'.
В самом деле, поскольку операция ф(х)~>ф[Д-1 (х — 6)]
линейна и непрерывна из ЗР в ЗР (см. § 5.1), то правая часть
равенства
(f (Ay + Ь), ф) = (f, ф[Л^е(Лт"~) ’ (^’
есть линейный непрерывный функционал на ЗР (ср. § 1.9).
Если f^S?' и аеВд, то af^^', причем операция f -> af
непрерывна (и линейна) из ЗР' в ЗР'.
Действительно, поскольку операция ф—>яф линейна и непре-
рывна из ЗР в ЗР (см. § 1.5), то правая часть равенства
(af, ф) = (/, аф), ф 6= S,
есть линейный непрерывный функционал на 9? (ср. § 1.10).
Таким образом, множество 0м содержит все мультиплика-
торы в ЗР' (на самом деле оно состоит из них; докажите это).
Пример. Если | ak | С (1 +1 k | У', то
£ ak6 (х — k) ЗР'.
k
4.	Структура обобщенных функций медленного роста. Сейчас
мы докажем, что пространство ЗР' является таким (наименьшим)
расширением совокупности функций медленного роста в R",
в котором всегда возможно дифференцирование (ср. § 2.4).
Этим объясняется название ЗР' — пространство обобщенных функ-
ций медленного роста.
Теорема. Если f<^9?', то существуют непрерывная функ-
ция g медленного роста в R" и целое число такие, что
f(x) = DF ... D™g(x).	(4.1)
§ 5]	обобщенные Функции медленного роста	97
Доказательство. Пусть f е ЗР'. По теореме Л. Шварца
(см. § 5.2) существуют числа Кир такие, что при всех ф е ЗР
1(Л ф)КК11ф11р</< max ... О„[(1+|х|2)р/2Оаф(х)]|^х,
I а1<Р J
т. е.
|(/, ф)|</Сшах ||£>i ... Г>„[(1+|х|2)р/2£)аф]|| „	(4.2)
I« Кр
Сопоставим каждой функции ф из ЗР вектор-функцию {фа} с ком-
понентами
фо(х) = Л1 ... О„[(1 + | х |2)р/2 £>“ф (х)], |а|<р.	(4.3)
Этим мы определим взаимно однозначное отображение ф -> {фа}
пространства ЗР в прямую сумму ф с нормой
I а |<р
Ю = max II faII ,.
|а|<₽	л\
На линейном подмножестве [{фа}, ф е 3?] пространства ф З?1,
| а |<р
в котором компоненты фа определяются формулой (4.3), введем
линейный функционал f*:
(Г, Ш) = (Л Ф).	(4-4)
В силу оценки (4.2),
I (Г, Ш) I = I (Л Ф) IС К max II фа II*, = КII ш II,
I а |<Р
функционал f* — непрерывный. По теоремам Хана — Банаха и
Ф. Рисса существует вектор-функция {%а} е ф 3£х такая, что
| а |<р
(Г, {Фа}) = У, Ха dX'
I а 1<Р
т. е., в силу (4.3) и (4.4),
(?,Ф) = У $Ха(х)£>1 ... О„[(1+|х|2)₽/2Даф(х)]йх, Ф^<А
I а |<Р
Интегрируя правую часть полученного равенства по частям,
убеждаемся в существовании непрерывных функций ga, | а |
<^р + 2, медленного роста таких, что
(А Ф) = (- 1Г 5 £ £<х w °У2 • • • °Г2Ф W
I а к (р+2) п
откуда и следует представление (4.1) при т = р-ф2. Теорема
доказана.
Следствие. Если	то существует такое целое число
p~^Q, что для любого е>0 существуют функции ga,e, |а|р,
4 В. С. Владимиров
98
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
непрерывные, медленного роста в R" и обращающиеся в нуль
вне е,-окрестности носителя f, такие, что
X Daga,M	(4.5)
I a Kp
Действительно, пусть е >0 и 1[ е 6;И, (х) = 1, хе (suppft8/3
и г] (х) == 0, хё (supp ft8. (По лемме § 1.2 такие функции суще-
ствуют.) Тогда, принимая во внимание представление (4.1) и
пользуясь формулой Лейбница (см. § 2.1), имеем
f (х) = П (х) f (х) = ц (х) £>Г ... Dn g (х) =
= £>? ... Dn h (х) g (х)] + X i]a (х) D“g (х),
| а
где ца е 9М и 'Па(х) = 0, хе (supp ft8. Каждое слагаемое в по-
следней сумме опять преобразуем подобным образом, и т. д.
В результате через конечное число шагов придем к представле-
нию (4.5) с р—тп и ga,e = Xgg. где ха —некоторые функции
из 0м с носителем в (supp ft8.
5.	Прямое произведение обобщенных функций медленного
роста. Пусть f (х) е У (R") и g (у) е (Rm). Поскольку с: УЕ>',
то прямое произведение Hx)Xg(y) есть обобщенная функция
из 0'О"+т) (см. § 3.1).
Докажем, что f (х) X g (у) е (Rra+m).
По определению функционала ((x)Xg(y) (см. § 3.1)
(/ (х) X g (у), ф) = (/ (х), (g (у), Ф (х, у))).	(5.1)
Докажем, что правая часть равенства (5.1) есть линейный не-
прерывный функционал на ^(Rra+m).
Для этого установим следующую лемму, аналогичную
лемме § 3.1.
Лемма. Если g е то при всех а
(х) = (g (у),	(х, у)), ф е X (Rn+m),	(5.2)
и существует целое число q^O такое, что
Hllp<llgll_?IMp+<7, р=о, 1,....	(5.3)
так что операция Ф~*'Ф = ^(у), ф(х, у)) непрерывна {и линейна)
из X(Rra+m) в
Доказательство. Как и при доказательстве леммы § 3.1,
устанавливается справедливость равенств (5.2) при всех а и не-
прерывность его правой части. Следовательно, ф е С°°. Пусть
q — порядок g. Применяя неравенство (2.3) к правой части
§ 5]
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА
99
равенства (5.2), при всех х е Rra получим оценку
sup^ (1 + | у |2Г/21	(х, у) |,
откуда и вытекает оценка (5.3):
Hllp=supx (1+|х|2)р/2|д“ф(х)|<
1 и|<Р
<1ЫЦ sup (1+|х|2)р/2(1+ |г/|2)?/2)О“^ф(х, у))<
|а|<Р, 1
<UILJI<pIU, р = 0,1, ...
Лемма доказана.
Из доказанной леммы вытекает, что правая часть равен-
ства (5.1), равная (f, ф), есть линейный и непрерывный функ-
ционал на .9’(Rra+,n), так что f (х) X g (у) е 9>' (Rra+m) (ср. § 3.1).
Все свойства прямого произведения, перечисленные в § 3.2
для пространства ЗУ, остаются справедливыми и для простран-
ства 3'. Это утверждение следует из плотности 3) е, 3
(см. § 5.1). В частности, операция f (х) -> f (х) X g (у) непре-
рывна из ^'(Rn) в ^'(Rra+m)-
Наконец, формула (3.2) § 3 остается справедливой и при
fe-Z (Rn) и <pe=^(Rra+,n):
(/ (Д ф (х’ у') dy)= 5 ф <~х’ у^dy- <5-4)
6. Свертка обобщенных функций медленного роста. Пусть
feS?', g^9>' и их свертка f*g существует в ЗУ. Спраши-
вается, когда f * g е 9>' и операция f -> f * g непрерывна из 3"
в Отметим три достаточных признака существования
свертки в 3'.
а)	Пусть f &3' ug^ S'. Тогда свертка f * g принадлежит 3'
и представляется в виде
(f *g, ф) = (/ WXg(y), п (у) ф U + у)), Фе?. (6.1)
где т] — любая функция из 3), равная 1 в окрестности носи-
теля g- при этом операция f ->f* g непрерывна из 3' в 3',
а операция g->f * g непрерывна из S' в 3".
Действительно, свертка f * g^33 и на основных функциях
из 39 справедливо представление (3.3) § 4. Поскольку f (х) X
Xg(y)^9>'(R2n) (см. § 5.5), а операция <р->т| (у) ф (х + у) ли-
нейна и непрерывна из 3 (R") в £?(R2ra):
II п (у) ф U + у) lip < suP(x. м 0 +1 х12 + 1 У 12)р/2| Ln (*/)ф (Д-s/)]
|a|<P
< Ср sup(;Ci у) (1 + | X + у |2)р/21 Даф (х + у) | = Ср II ф ||р,
|а|<Р
4*
100
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
то правая часть равенства (6.1) определяет линейный непре-
рывный функционал на 9, так что f*g^9'.
б)	Пусть Г — замкнутый выпуклый острый конус в R" с вер-
шиной в 0, С = int Г*, S — строго С-подобная поверхность и
S+ — область, лежащая над S (см. § 4.4).
Если feZ (Г -ф), и g^9'(S+) то свертка f*g существует
в 9' и представляется в виде
if *g, ф) = (f (х) X g (У), I(х) п (у) ф (x + у)), ф е= 9, (6.2)
где £ и ц— любые С°°-функции, 1(х) | са, | Оац (у) | са,
равные 1 в (supp f~f и (supp g)8 и равные 0 вне (supp ffe и (supp g)28
соответственно (е — любое > 0) *). При этом, если supp f cz Г -ф К,
где К — компакт, то операция f ->f * g непрерывна из 9' (Г + /С)
в 9'(S^-^K).
Для доказательства этого утверждения, пользуясь пред-
ставлением (5.1) § 4 и рассуждая, как и в § 5.6, а), осталось
установить непрерывность операции ф->% = g (х) ц (у) ф (х + у)
из ^(Rn) в X(R2,i). При всех ф£ [71 имеем
IIх Ир = sw.y> с1 +1х I2 +1У l2)P/21к w п (У) ф U + у)] I <
1«|<р
sup (l+|x|2 + |y|2)p/2|<^(x+f/)|<
X^Y+K+Uwy^
S+
|а|<р
<2pc; sup (1 4-1 x I2 ч-| § |2)p/21	(g) I,
xeT(S)
I alcp
где	_	_
7(g) = [x: x&Y + K + U*, x = l-y, y^S+].
Так как S предполагается строго С-подобной поверхностью, то
множество Т (g) содержится в шаре радиуса а(1 +l£|)v, v^l
(см. § 4.4). Поэтому, продолжая наши оценки, получим
|| х llp < С; sup^ [1 +1 g |2 + а2 (1 +1 g |)2V]P/21 Д“ф ® | <
|al<p
Ср||ф||р(М+1), p = 0,l, ...,
что и требовалось.
Из полученного критерия вытекает, в частности, что мно-
жество обобщенных функций 9' (Г +) образует сверточную ал-
гебру — подалгебру алгебры 9)' (Г +); равным образом 9' (Г)
также образует сверточную алгебру — подалгебру алгебры
^'(Г+).
*) По лемме § 1.2 такие функции существуют.
§ 5]	ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА	Ц)1
в)	Пусть f и т] е 9>. Тогда свертка f * т] существует в
и представляется в виде (ср. (6.2) § 4)
(Мп, ф) = (f> П * ф(— х)),	ф£^,	(6.3)
Мп = (Ш, п (*-£/));	(б.з')
при этом существует такое целое число т^О (порядок f), что
10“ (f * П) WI < II f Lm (1 +1 X l2)m/2 IIП ||m+, а|,	х е R". (6.4)
Действительно, пусть {грг(х; у)} — последовательность функ-
ций из 0(R2ra), сходящаяся к 1 в R2ra, и фе5!'(Р,’’‘). Тогда
П (У) Пь (х; у)ц>(х + y)dy->^r\ (у) q>(x + y)dy, k -> оо в 9>.
Отсюда, пользуясь определениями свертки (см. § 4.1) и прямого
произведения (см. § 3.1), при всех получаем представле-
ние (6.3):
* т), ф) = lim (/ (х) X П (у), Пй (х-, у) ф (х + у)) =
&->оо
= Hm (f (х), р (у) т)А (х; у) Ф (х + у) dy\ =
fe->oo X	J	/
= {f(x), $ ц(у)ф(х + y)dy) =
= {f(x), $ф(£)п(£ — X)d^ = (f, п*ф(— x)).
Замечая, что <p (|) p (с — x) e X (R2") и пользуясь формулой (5.4),
продолжаем нашу цепочку равенств
(М П> Ф) =	11 — ф ®
откуда и следует представление (6.3').
Как и при доказательстве леммы § 3.1, из представления
(6.3) заключаем, что f* п е С°° и справедлива формула
Da(f^)(x)^Q(y), DSn(x-y)).	(6.5)
102
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Пусть т — порядок f. Применяя неравенство (2.3) к правой
части (6.5), получаем неравенство (6.4):
|Яа (Ь Т))WI < II fll_m II Dx1^ (х - у) L =
= II f ll_m supy (1 + I у |2)m/21 DaxD^ (X - у) | =
iPKrn
= II f Lm sup5 (1 + | X - g ir/21 Da+\ (Ю | <
IPKm
< Il f ILm (1 +1 X \T’2 supj (1 + 11 ?)m/21 Da+\ (g) I <
IPKm
<11 f ILm(l+lx|2)m/2llnllm+|a|.
Следствие. S? плотно в 9>'
Действительно, по доказанному, если то ее регуля-
ризация fe = f *йее0А| и е-> + 0 в (см. § 5.6, а)).
Поэтому 0М плотно в 9’'. Но 9^ плотно в 0M, ибо если ае0Д1, то
^эе-е|х|»а_>а> е_>	о в У.
Глава II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Одним из мощных средств исследования задач математи-
ческой физики является метод интегральных преобразований.
В этой главе будут изложены элементы теории преобразования
Фурье и тесно связанного с ним преобразования Лапласа, а
также преобразований Коши — Бохнера, Гильберта и Пуассона
для класса обобщенных функций медленного роста.
§ 6.	Преобразование Фурье обобщенных функций
медленного роста
Замечательное свойство класса обобщенных функций мед-
ленного роста состоит в том, что операция преобразования
Фурье не выводит за пределы этого класса.
1.	Преобразование Фурье основных функций из if. По-
скольку основные функции ф(х) из if суммируемы на R", то
на них определена операция (классического) преобразования
Фурье F [qp]:
F [<₽] (£) = ^ Ф (х) е1 dx, <р е
При этом функция F [ф] (t) — преобразование Фурье функции
Ф (х) — ограничена и непрерывна в к". Основная функция ф(х)
убывает на бесконечности быстрее любой степени | х Г*. Поэтому
ее преобразование Фурье можно дифференцировать под знаком
интеграла любое число раз:
DW]© = $ (ix)aT(x)eZ(S-x)dx = F[(ix)^]©,	(1.1)
откуда следует, что F [ф] е С°°. Далее, такими же свойствами
обладает и каждая производная £>“ф(х), а потому
F [Оаф] (|) = ПаФ (х) el х) dx = (- Ц)а F[ф] (|).	(1.2)
104 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. II
Из (1.2) следует, в частности, что А [ф] (£) —суммируемая функ-
ция на R".
Из общей теории преобразования Фурье следует, что функ-
ция ф(х) выражается через ее преобразование Фурье А[ф](£)
с помощью операции обратного преобразования Фурье F~1-.
Ф = Z7"’[^[Ф]]—	[Ф]],	(1.3)
где
FW1 (х) = дадут $ * © е-'в-» «-=	F 1*1 (- х) =
=W- h <- a e‘“' s’«=-isr F1* (- эь (1 -4>
Лемма. Операция преобразования Фурье F переводит 9*
взаимно однозначно и взаимно непрерывно на себя *).
Доказательство. Пусть ф е 9. Тогда, пользуясь фор-
мулами (1.1) и (1.2), при всех р = 0, 1, ... и всех а получим
(1+11 l2)P/21 F)aF [Ф] (g) | < (1 +1 g |2)( Р 2 ’ ] | DV [ф] © | <
$ (1 -дЛ Н(^)аф (x)]e<(5’x)dx
I	Г £+11	I
С sup (1 + | х |2) 2 | (1 - A)L 2 J[x<W)]l.
откуда выводим оценки (см. § 5.1)
11Лф]11р<Ср||ф||р+га+1, р = 0, 1, ....	(1.5)
при некоторых Ср, не зависящих от ф. (Здесь [х] — целая часть
числа х^О.) Оценка (1.5) показывает, что операция ф -> F [ф]
преобразует 9 в 9 и непрерывна. Далее, из формул (1.3) и
(1.4) следует, что всякая функция ф из 9 есть преобразование
Фурье функции ф = Г-1[ф] из 9, ф = /?[ф], и если Г[ф] = 0,
то и ф = 0. Это значит, что отображение ф-^-ТЧф] взаимно
однозначно переводит 9 на 9. Аналогичными свойствами обла-
дает и операция обратного преобразования Фурье А-1. Лемма
доказана.
2.	Преобразование Фурье обобщенных функций из 9'.
Пусть сперва f (х) — суммируемая функция на R". Тогда ее пре-
образование Фурье
F[f]© =	|A[f](g)|< J|f(x)|dx<00
*) Как говорят, отображение F есть (линейный) изоморфизм S? на SP,
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
105
§ 61
является (непрерывной) ограниченной в R" функцией и, следо-
вательно, определяет регулярную обобщенную функцию мед-
ленного роста по формуле (см. § 5.3)
(/=•[/], ф) = 5^]@ф(И, ч>е^.
Пользуясь теоремой Фубини о перемене порядка интегрирова-
ния, преобразуем последний интеграл
j F [/] © Ф (?) dl = J [ р (х) el	dx\ Ф Q) dl =
= $ Ф U)еКх'dcdx=^ f (х) F [<p] (х) dx,
т. е.
OL ф) = (Л Лф])> ф^-
Это равенство мы и примем за определение преобразования
Фурье .F|7] любой обобщенной функции f медленного роста:
(т ф)=а, mi),	Ф^-	(2-1)
Так как по лемме § 6.1 операция ф -> F [ф] линейна и непре-
рывна из д в д, то функционал F[f], определяемый правой
частью равенства (2.1), представляет собой обобщенную функ-
цию из д' и, более того, операция fF [f] — линейная и непре-
рывная из д' в д'.
Введем в д' еще одну операцию преобразования Фурье,
которую обозначим через F-1, по формуле (ср. с (1.4))
f^g',	(2.2)
где f (—х) — отражение f (х) (см. § 1.9). Очевидно, F~l — ли-
нейная и непрерывная операция из д' в д'.
Докажем, что F~‘ является обратной операцией к опера-
ции F, т. е.
=	(2-3)
Действительно, в силу (1.3) и (1.4), формулы (2.3) справед-
ливы на множестве д, плотном в д' (см. § 5.6); операции же F
и F~l непрерывны из д' в д'. Следовательно, формулы (2.3)
остаются справедливыми и для всех f из д'.
Из формул (2.3) следует, что всякая f из д' есть преобра-
зование Фурье некоторой й, = /?-1[Л из ’ f — F [g]> и если
[f] = 0, то и f = 0. Таким образом, мы доказали, что опе-
рация f->F[f] преобразует д' на д' взаимно однозначно и
взаимно непрерывно, т. е. есть (линейный) изоморфизм д' на д',
106
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Пусть f (х, у) «= SP' (Rra+m), где .i'eR"’ и Rm. Введем пре-
образование Фурье Fx [f] по переменным х = (хь хга), по-
ложив для любой основной функции ср (g, у) из &’(Rn+m')
(Px[f]>	= ТМФ])-	(2.4)
Как и в § 6.1, устанавливается, что операция
Ф (£, К) Fl [ф] (х, у) = ф (£, у) е1 Ь с%
осуществляет (линейный) изоморфизм ^’(R',+m) на ^(Rra+,n),
так что формула (2.4) действительно определяет обобщенную
функцию Fx [/=](£, У) из ^'(R"+m).
Аналогично (2.2) определяется и операция обратного пре-
образования Фурье
Л-1 [g] = -^уг Pl [g (~ у)] (х, у),	(Rn+m). (2.5)
Операция f -► Fx [f] есть (линейный) изоморфизм ^'(Rra+fra)
на ^'(Rn+m)-
Пример.
F [б (х — х0)] = е1 Ч	(2.6)
Действительно,
(F[d(x —х0)], <р) = (б(х — х0), F [ф]) = F [<р] (х0) =
= ф (s) е1 (ж°’ di. = {е1	ф), ф s
Полагая в (2.6) Хо = О, получим
F[6] = l,	(2.7)
откуда, в силу (2.2), выводим
так что
Д[1] = (2л)пб®.	(2.8)
3.	Свойства преобразования Фурье. Перечисленные в этом
пункте формулы для преобразования Фурье справедливы на
основных функциях из дР. Но 9 плотно в др'. Поэтому эти
формулы остаются справедливыми и для всех обобщенных
функций из др'.
а)	Дифференцирование преобразования Фурье:
(з.1)
В частности, полагая в (3.1) f — 1 и пользуясь формулой (2.8),
получим
F [*“] = (- О1 “' DaF [ 1 ] = (2< (-1)1 а 1 Даб (g).	(3.2)
§61
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
107
б)	Преобразование Фурье производной:
F[Daf] = (-®aF[f].	(3.3)
Полагая в (3.3) f = 6 и пользуясь формулой (2.7), получим
F [Пад] = (- ®aF [6] = (-	(3.4)
в)	Преобразование Фурье сдвига:
F [f (х - х0)] = e'd. 4F [f],	(3.5)
г)	Сдвиг преобразования Фурье:
+ =	(3.6)
д)	Преобразование Фурье при линейном преоб-
разовании аргумента (см. § 5.3):
/?[^Их)]© = т^17Г£[Л(Л-1г?)> det Д #= 0;	(3.7)
здесь А -> Ат обозначает операцию транспонирования матрицы А.
е)	Преобразование Фурье прямого произве-
F [f (х) X g (f/)] = Fx [f (x) X F [g] (iq)] =
= Fy [F [f] (g) X g (£/)] = F [f] (Ю X F [g] (n).	(3.8)
ж)	Аналогичные формулы справедливы и для преобразо-
вания Фурье Fx (см. § 6.2), например:
DaxD^Fx[f] = Fx[(ix)aD^], Fx[DaxDlf~\ = (-il)aD&yFx[f]. (3.9)
4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компакт-
ным носителем. Если f — обобщенная функция с компактным
носителем, f е S', то она — медленного роста, f (см. § 5.3),
и поэтому ее преобразование Фурье существует. Более того,
справедлива следующая
Теорема. Если f е S', то преобразование Фурье F [f] суще-
ствует в и представляется в виде
/?lf](g) = (f(x), nU)e'(^)),	(4.1)
где к] — любая функция из ££>, равная 1 в окрестности носи-
теля f. При этом существуют такие числа Са^0 и /п^О, что
|/)aF[na)kl^lLmCa(l+|g|2)m/2, geR". (4.2)
Доказательство. Учитывая равенства (3.2) § 5 и (3.3),
при всех получим
0Ж <р) = (~ l)la'(m Д“ф) = (-l)lal(f> F[D“<p]) =
= (- I)1 “ 1 (Л n (X) (- ixf F [<₽]) = (f (x), J n (x) (ix)a <p (g) el S) dg).
108
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
Замечая теперь, что
Т](х) (1х)а ф © е1 {х' ъ е= др (R2ra),
и пользуясь формулой (5.4) § 5:
(/= (х), J т) (х) ((х)аФ © el {х’й dg) = J (f (х), т) (х) (Zx)“ е1 {х- Ф © dg,
из предыдущих равенств выводим равенство
(,DaF [Л, ф) = $ (F (х), т) (х) (zx)" е‘<х- 5>) Ф © dg,
из которого вытекает, что
DaF[f]@ = (f(x), n(x)0’x)aei(x’s).	(4.3)
Из (4.3) при а = 0 следует формула (4.1).
Из представления (4.3), как и при доказательстве леммы
§ 5.5, выводим, что F[f]eC°°. Пусть т~ порядок f. Применяя
к правой части (4.3) неравенство (2.3) § 5, при всех g е R"
получим оценку (4.2):
lov [f 1 © I - I (/ (X), Л (x)(>x)° e‘°) | <11 f Lm IЛ (x) (>x)“ e1 “ ° L-
= llfll_„ sup, (1 + I x IT" l0’h (x) xV “• 41 <
| P | < m
<ll/ILmCa(l+lg|2)m/2
при некоторых Ca^0. Таким образом, F[flsOw. Теорема
доказана.
Замечание. Как видно из доказательства теоремы, числа Са, фигу-
рирующие в неравенстве (4.2), можно выбрать не зависящими от семейства
обобщенных функций f, если все носители этого семейства равномерно огра-
ничены.
5. Преобразование Фурье свертки. Пусть f е/ и g е .
Тогда их свертка f*g&g>' (см. § 5.6, а)) и ее преобразование
Фурье вычисляется по формуле
F[f * g]~ F[f] F[g]-	(5-1)
Действительно, в силу (6.1) § 5, свертка f*g^g>' пред-
ставляется в виде
(F * £> ф) = (F (х), (g (у), п (у) ф (х + у))),
где i)G®, т) (у) — 1 в окрестности suppg. Учитывая это пред-
ставление и пользуясь определением преобразования фурье
(см. § 6.2), получаем
(Л/*£]> <₽) = (/*£> Лф])= (/(х), (g(y), П(у) T(£)ei
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
109
§ 6]
Пользуясь формулами (5.4) § 5 и (4.1) и принимая во внима-
ние, что F [g] е= 0,и, преобразуем полученное равенство
(FI/ * g], ф) = (7 (х), (g (у), п (у) е1 й) е1 (х'0 ср (£)	=
= (7 (Д J F Ig] (?) (х' 0Ф (?) rf?) = (Л F U6 7 [g] ф]) =
=(т л^Ф)=№]т ф),
откуда и вытекает равенство (5.1).
Отметим другие случаи, когда справедлива формула (5.1).
а)	Пусть f е= 9>’, g Тогда f*g<=QM.
Вытекает из § 5.6, в).
б)	Пусть f и gc=Z2. Тогда f*g<=C и (f * g) (х) = о (Г),
|х|->ос, т. е. f * g е Со (см. § 0.5).
Действительно, в этом случае F [/] и F[g]^3?2 и, стало
быть, F[g] s S’1. Кроме того, f (у) g (х — у) ф (х) е S’1 (R2ra)
для всех фей’ в силу неравенства Коши — Буняковского:
[$l/(g)g(x —^)||ф(х) |dxdf/]2<
< [ I f (У) I21 Ф U) I dx dy] [ j) | g (x — y) |21 ф (x) | dx dy] ~
<II f II2IIgII2I фИlrfx]2< °°-
Поэтому, пользуясь формулой (1.1) для свертки f*g (см. § 4.1, б)),
с помощью теоремы Фубини при всех ф е S’ получим равенства
(/T*g]^) = (f*g, К[ф])= J F[ф](х) J f(y)g(x — y)dydx~
= \f (y)\g(x —у) F [ф] (x) dx dy =
= \f(y) \F[g(x-y)]®4®d1-dy^
= \НУ) \F[g]®q)®e1^ ®d1-dy= J F[g]F[f]q>dl,
из которых и следует формула (5.1). Поэтому
f*g = /?_1HW^[g]]eC
и по теореме Римана — Лебега (f * g) (х) ->0, |х|->оо.
Замечание. Если известно, что свертка f*g существует в S7 (на-
пример, при ;е7'(Г+) и g s S' (S+) (см. § 5.6, б)), то равенство (5.1)
может служить определением произведения обобщенных функций F [/] и F [gj
(ср. § 1.10).
6. Примеры.
у—___
a)	F[e~alx!]=^-e 4“2 ,	п=1.	(6.1)
110
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Действительно, функция е-а2х’ суммируема на R1 а поэтому
F [е~а‘х‘] — \ e~a*xi+i^xdx — — \ в “ do —
J	a j
1 __Н_Г _(0+JLY	1 -JL г
= — е 4“! \е v 2aJ da = -e 4“2	\	е~& dt.
а J	a	J	ь
Im г. _1_
* 2а
Линия интегрирования в последнем интеграле может быть
сдвинута на вещественную ось и поэтому
=±{ e-^da =	.
1	a	J	а
— ОО
б)	Многомерным аналогом формулы (6.1) является формула
_п/2	(д—Ц е)
/7[е-(Лх.Х)]==^=е 4V	,	(6>2)
Vdet А
где А — вещественная положительно определенная матрица.
Для получения формулы (6.2) с помощью неособенного
вещественного линейного преобразования х — Ву приведем
квадратичную форму (Ах, х) к сумме квадратов
(Ах, х) = (АВу, Ву} — (ВтАВу, у} = \у\2,
причем
А~Х—ВВТ, det А | det В |2 = 1.
Отсюда, пользуясь формулой (6.1), получаем
р [g-(Ах,	е-(4х, *)+/(£. х) dx =
= I det В | \ е-<АВУ' ву>+1 (Ь в^ dy == —1, - е~1 у i2 h (вг5. у) dy ==
J	Vdet Л J
1 тт f ~y2i+i(Bh)iyu ^nl2
=  ..... \B	dyi= т------e 4	=
Vdet Л , 1-L J	VdetX
1</<л
Лп/2	ВВД) ЯП/2 -4-U А~Ч)
Vde^	Vdet-<4
в)	Пусть функция f(x) медленного роста в Rra (см. § 5.3).
Тогда
F [/](§)= lim ( f(x)el^x>dx в У'.	(6.3)
я-*001х|<«
Действительно,
6(/? —|х|)/=(х)-*/=(х),	в
§6]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	Ц1
откуда, в силу непрерывности в ЗР' операции преобразования
Фурье F, и вытекает равенство (6.3).
В частности, при f е S’2 справедлива следующая теорема
Планшереля: преобразование Фурье F[/] выражается равен-
ством
ЛЛ(Ю= lim ( 1(х)е^хЧх в £2\
|Х|<Я
оно отображает 2F- на Z2 взаимно однозначно и взаимно непре-
рывно, причем справедливо равенство Парсеваля
(2«Лф) = <т Лф]>,
так что
(2л)"||Л12=И[ЛИ2,
(скалярное произведение {•, •) определено в § 0.5).
г)	Пусть f — произвольная обобщенная функция медленного
роста. По теореме § 5.4 существует функция g(x), непрерыв-
ная и медленного роста в кга, и целое число пг^О такие, что
f(x) = DF ... Dng(x).
Отсюда, пользуясь формулой (3.3), получаем
...	(6.4)
причем преобразование Фурье F [g] можно вычислить по фор-
муле (6.3).
д)	F [eix’] = д/ле 4	\	п=1.	(6.5)
Действительно, из сходимости несобственного интеграла
(интеграла Френеля)
г	Ji
\ eiy'‘ dy — д/л е 4
— оо
следует, что последовательность преобразований Фурье
в _± , *4
dx — е 4 5 j е1^ dy, 7^->оо,
~R	-г?+2‘
сходится равномерно по £ на каждом конечном интервале
к функции
4|! С ,	—
е J ely dy = д/ле .
— 09
112
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Отсюда, в силу в), заключаем, что равенство (6.5) справедливо
на всех основных функциях из Ф. Но ££> плотно в (см. § 6.1),
и поэтому равенство (6.5) справедливо в 9".
е)	Многомерным аналогом равенства (6.5) служит
равенство (ср. б))
F[eH^.x)]==	* е 4	4	’ >	(6.6)
VdetX
где Л — вещественная положительно определенная матрица.
ж)	4Й]-ТП' п = 3-	(6-7'
Имеем
R л 2л
Г ei X) Г Г Г gi III Р cos е
j  । х р dx — j j j --2--р2 d-ф sin 9 dQ dp =
|x|<R	0 0 0
К I	R
= 2л J	rH 11 ph ф ф — _feL j I1.n (। ^ IP), ф.
0-1	о	P
Так как
OO
Uin(|?ip) dP
J p
R
cos (I g | /?)	1 ( cos (| g | P)	2
Il I J P2 P I II Л ’
R
oo
( j!.J№l dp = ^..
TO
R
и, в силу в), справедливо равенство (6.7).
з)	Пусть п = 2. Введем обобщенную функцию Pf-p-^ из 9>г,
действующую по правилу
(Pf* , ф) = ( ф.Ц-ф(о.)^+ ( dx,
\	| х I / J I X I2	‘ J I X I2
|х|<1	|Х|>1
Очевидно, Pf -7-^5- ~ —L- при х 0. Докажем формулу
р [Pf уху]= — 2n ln I — 2лс°>	(6-8)
§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
113
где
I	ОО
с о = ? 1-~/о (ц) du -	du.
u J и	J и
О	1
Действительно, при всех <р <= справедлива цепочка равенств
(f[pfi7F]’”) = (pfT7F- М"
_ С [ф] (х) — F [ф] (0)	, С F [ф] (х)
— J	| х J2 UX‘ J | х |2
|х|<1	|Х|>1
= 2л \
о
= 5	1Wx +
1х|<1
+ $ T4F$(p(g)e;<x’l)^dx==
|л|>1
1	2л
J 7 J <₽ ® $ (eir 111 cos0 - 1)dQ <%> dr +
oJ	0
oo	2JT
+ J	J eir15lcos0 ded^dr =
1	0
oo
[/o(r| gl) - Wdr + 2л J 1 J ф(Ю/0(г| l\)dldr =
= 2^Ta)HMd±!l^dr+jMdll)dr dl =
Lo
pill
=2„(„(aHAfikL>
L 0
+ I Jdt±du ===
‘ J и
III	J
= - 2л J ф (№ I £ 1 + c0)d%,
из которой и следует формула (6.8).
и)	Пусть Г — замкнутый выпуклый острый конус в R" (с вер-
шиной в 0) и /е^'(Г+) (см. § 5.6,6)). Тогда справедлива
в смысле сходимости в формула
^’[f]©= Нт (f (х), iq (х) е‘ (ж’^>),	(6.9)
!'-> о
114
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
где т] — любая С°°-функция со свойствами:
|/А) (х) | < Са; ц (х) = 1, хе (supp/)8; р (х) = 0, хё= (supp/)28
(е — любое > 0).
Для доказательства формулы (6.9) отметим сперва, что
т] (х) е~(х' £'> е при всех s'eintr*,	(6.10)
П (х) f (х) е~^ _> / (х), £'->о, g'^intr* в 9>'. (6.11)
Действительно, если х ё= (supp /)28, то ц (х) = 0; если же
хе (supp/)28, то х — х' + х", где х'еГ,	при некото-
ром 7? > 0. Пусть % е С' <s. int Г*. Тогда по лемме 1 § 4.4
существует такое число а = а (С') > 0, что (х', £') а | х' 11 % |,
и поэтому
- (х, Г) = - (/. Г) - (х", V) < - а| х' || Г | + /?| I' К
<(- а| х 1 + oR + Я)| I' |.
Из полученной оценки и из свойств функции ц (х) вытекают
соотношения (6.10) и (6.11).
Теперь при всех имеем цепочку равенств
(Л/L Ф) = (/, Лф]) = lim (n(x)/(x)e-(x,l')i
Г->о
s' sint Г*
( Ф (g) ег (ж’ dg = lim (/ (x), p (x) e‘(x' ^>~(x’ ^) ф (g) гД,
J	l'->o J
£ Sint Г*
откуда и следует формула (6.9). Здесь мы воспользовались
формулой (5.4) § 5, поскольку
Л (х) ф (s) е1 <х-	(R2ra) при всех V е int Г*.
к)	^[0(х)]=т^75- = лб(ё)+/^р	(6.12)
^[0(-x)] = -jET(r = ^(g)-i^|.	(6.12')
fe iv	g
Эти формулы вытекают из формулы (6.9) и из формул Сохоц-
кого (8.3) и (8.3') § 1, например:
оо
F[0]= lim elx&+l^> dx= lim .тт- — 12 -п •
LJ r->+oJ	s'^+o s + iS g+zO
л)	F[signx] = F[0(x)]-F[0(-x)] = 2^|.	(6.13)
m)	-£] = — 2nF~l 4-] = 511 signg. (6-14)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
115
§ 6]
и) Пусть V+— световой конус будущего в R'l+1 (см. § 4.4)
и 9^+ (х) — характеристическая функция его. Тогда, в силу и),
Т[0г+] = lim \ е dx —
^*+0 г+
= 2лл^Г (-Ц^-) I- (go +	+ I g lT^ (6.15)
(простой способ вычисления этого интеграла см. в § 10.2).
о) Полиномы и функции Эрмита. Определения:
Нп(х) = (— 1) («О л 2 е - dxtl , п — 0, 1,...
— полиномы Эрмита’,
Жп(х) — е~--^Нп(х),	п — 0, 1, ...
— функции Эрмита (волновые функции гармонического осцил-
лятора).
Дифференциальные уравнения:
L Жп — -у/пЖп_\, L+Жп — -у/п + 1 Жп+1, L+L Жп = пЖп, (6.16)
dH^.= ^2n Н^х), n = 0, 1,...	(6.17)
где
L±=~(x^^-'\, L~L+ — L+L~ =1.	(6.18)
V2 k dx)	v ’
Рекуррентное соотношение:
л/п + 1 Hn+l (x) = д/2 xHn(x) — '/пНп_х (x), n= 1, 2, ... (6.19)
Ортонормальность:
e-^Hnix) Hm(x)dx= ^„(x)^m(x)dx = 6„m. (6.20)
— <50	—OO
Преобразование Фурье:
F[^n]=	(6.21)
Докажем равенство (6.21). Оно вытекает из равенства
Нп{~щ)е-^ = 1пЖп^	(6.22)
в силу (см. (6.1))
F [е~^Нп (х)] = Я„ (-т^-) F [е-^] = Нп	=
= ^1пе~1г/2Нп (У = VWXa).
116
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Равенство (6.22) справедливо при п = 0. Справедливость его
при п > 0 следует из рекуррентных соотношений (6.19) и (6.17)
= V? +	(-4) ‘~№ - V+1 (+) =
- VI - V5?® =
=fzi e-v/2[_ 72	® + 72 н'п-х (Ю - нп-2 =
уп
==4" е-^ [- 72	а)+2 7^т я„_2(Ю - V^r нп_2 (g)]=
V п
= ine~?,2HAl) = in^n®.
Гладкость:	причем
||^„||Р<ср(1 +n)P+2> Р = о, 1.n = 0, 1, ... (6.23)
Оценка (6.23) следует из уравнений (6.16) и из формул (6.20)
и (6.21). Считая р четным, имеем
II ||р = SUpx 1(1+ хГ Ма) (X) | =
0<а<р
<<о+«)р+’ Z i*.iV$t4t<cp<>+»)’”•
0<fe<2p + 2
Для нечетных р оценка (6.23) следует отсюда и из (1.1) § 5.
Пусть f е 9^'. Числа
an(f) = (f, 3%п), n = 0, 1...... (6.24)
назовем коэффициентами Фурье, а формальный ряд
2 an(f)3%n(x)	(6.25)
0^Л<оо
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
117
§ 6]
— рядом Фурье обобщенной функции f по ортонормальной
системе функций Эрмита {9@п}.
Полнота в S’2; если f е S’2, то ее ряд Фурье (6.25) единствен,
сходится в S’2 к f и справедливо равенство Парсеваля — Сте-
клова
Ш2 = 2 К(Ш2-	(6.26)
0<«<оо
Для того чтобы функция <р принадлежала 9, необходимо и
достаточно, чтобы ее коэффициенты Фурье удовлетворяли условию
1КХ~£+)т ф ||2= У, I ап(ф) 12«2т < °°, /П = О, 1,... (6.27)
При этом ряд Фурье ф сходится к ф в 9.
Действительно, если ф£.7, то и (л-А+) ф е S’2 при всех
т^О. Поэтому в силу (6.16) и (6.24)
an((L~L+)m ф)= J (/Д£+Гф(х)^„(х) dx =
— Ф (х) (_L+L~)m 9ёп (х) dx = nm ф (х) 96 п (х) dx — nman (ф),
откуда в силу равенства Парсеваля — Стеклова (6.26) следует
равенство (6.27).
Обратно, если коэффициенты {ап} удовлетворяют условию
У, | ап I2п2т < оо при всех т^О, то в силу оценки (6.23)
0^П<ОО
ряд У, ап96п(х) сходится в S’ к некоторой феУ такой, что
О П<оо
ап = ап (ф).
Для того чтобы f принадлежала 9', необходимо и достаточно,
чтобы ее коэффициенты Фурье удовлетворяли условию: суще-
ствуют числа р^О и С такие, что
I an(f)l<C (1 + п)р, n = 0, 1,...	(6.28)
При этом ряд Фурье f единственен, сходится к f в 9' и спра-
ведливо равенство Парсеваля — Стеклова
(f, ф)= X an(f)an(<p), ф ef?.	(6.29)
О п< оо
Действительно, если f е 9' и m — порядок f (см. § 5.2), то
в силу (6.24) и (6.23) справедлива оценка (6.29)
I(DI = I (А 96n) I < II f ILm II Жп llm < cm || f ||_m (1 + n)m+2.
Обратно, если коэффициенты {an} удовлетворяют условию
(6.28): | ап | С(С (1 + п)р, п — 0, 1, ..., то в силу оценки (6.27)
ряд У ап9ёп (х) сходится в 9' к некоторой f ^9' и
0<П<оо
118
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
справедливо равенство
(А ф) = S апап (q>), ф е= 9>,	(6.30)
0<П<оо
поскольку
( S a„^n,q>)= Е anan(v)->(f, ф), N->oo,
\0<n<N	}
в силу полноты пространства д’’ (см. § 5.2). Полагая в (6.30)
Ф = (Жт и учитывая, что в силу (6.20) ап(3/@т) = 6пт, получим
ап (/)•
Осталось доказать единственность ряда Фурье: если fе 9*
и an(f) — 0, n = 0, 1, ..., то f = 0. Но это вытекает из равен-
ства (6.30).
Замечание. Введем два пространства последовательностей: сходимость
в них определим естественным образом в соответствии с оценками (6.27) и
(6.28). Доказанные результаты означают, что операция f ->	n = 0, 1, ...}
есть линейный изоморфизм S? и SP’ на пространства последовательностей,
удовлетворяющих условиям (6.27) и (6.28) соответственно. (Непрерывность
этих операций следует из равенств (6.27) и (6.29) соответственно.)
п) Интегральное представление функции Бес-
селя:
1
w=vsFibw ©’ Je'4(1 “ iV~‘°	> -I • <6-31>
Функция Бесселя
oo
J = y_________(-1)*	p\2*+v
•'vW Д ^1 Г (й + v + 1) \ 2 /
k = 0
есть единственное (с точностью до множителя) ограниченное
в нуле решение уравнения Бесселя
(хи'У + (х — и — 0.
В силу равенства
1
-==—5(1 — g2)v-1/2d£ =
7яГ(у-М/2) _j } ё
1
= В<У2> v+ V2) _ г (1/2) Г (у + 1/2)	_	1
Ул Г (v+,1/2)	V л Г (у + 1/2) Г (v + 1) — Г(у + 1)
асимптотическое поведение при х-> + 0 обеих частей равен-
ства (6.31) одинаково. Поэтому для доказательства равенства
(6.31) осталось доказать, что правая часть (6.31) удовлетворяет
5 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
119
уравнению Бесселя. Но это устанавливается непосредственной
проверкой
1
J (1 -g2)v-I/2[v2xv-1 + (2v+l)xvig-xv+1g2+xv+1-v2xv-1]^dg=
-1
1	1
= ^+1 J (1 -g2)v+1/2e^dg + (2v + W J (1-g2)v-1/2e^dg = 0.
-i	-i
p) Преобразование Г анкел я. Пусть f (| х |) е S72, т. е.
оо
'II/ IP == | f(r) \2rn~l dr < оо. Функция
о
00
g (р) - S f (Г) (гр) dr	(6.32)
р— <1
называется преобразованием Ганкеля порядка 2- функции
/(г); интеграл здесь сходится по норме '|| ||.
Справедлива формула обращения
оо
f (г) = (2Я^Г t g (Р) (гр) dp, (6.32')
г 2	0	2
причем справедливо равенство Парсеваля
(2 л)"'|| f ||2 ='|| g II2.
Частные случаи:
оо
п = 1, g (р) = 2 f (г) cos гр dr,
о
оо
» —2, £(Р) = 4И f(r)rJ0(rp)dr,
О
оо
n = 3, g(p) = -^- J f(r)r sin гр dr.
о
Для доказательства формул обращения (6.32) и (6.32') и
равенства Парсеваля достаточно показать, в силу теоремы
Планшереля (см. § 6.6, в)), что правые части формул (6.32)
и (6.32') являются прямым и обратным преобразованием Фурье
функций f(|x|) и g(|||) соответственно. Действительно,
120
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
пользуясь (6.31), имеем
оо
F[f (I х |)] — f (| х |) е1 х) dx = f (г) rn~l eir <&• s' ds dr =
о	I «1=1
ОО	Л
= a„_i f (г) гп~1 е'грс03 6 sin"-2 0 d0 dr =
о	о
оо
= ап-1 5 f(r)rn-
0
girPM. (1 — ц2) 2	—
ОО
= ~й f(r)r^J^(rp)dr,
р 2	°	2
что и требовалось; здесь cr„_i — площадь поверхности единич-
ной сферы в R"-1 (см. § 0.6).
§ 7. Ряды Фурье периодических обобщенных функций
1. Определение и простейшие свойства периодических обоб-
щенных функций. Обобщенная функция f (х) из 0'(R") назы-
вается периодической с п-периодом Т = (Т{, Т2, ..., Тп), Т] > 0,
если она является периодической по каждому аргументу Х]
с периодом Tjt т. е. удовлетворяет условиям (см. § 1.9)
f (хь ..., Xj + Tj, xn) = f(x),	!= 1, ..., п.
Совокупность всех периодических обобщенных функций «-пе-
риода Т обозначим через 0Т-
Докажем, что для каждого «-периода Т существует следую-
щее специальное разложение единицы в R" (см. § 1.2):
У*, ву (X -ф kT) = 1, Су 0, Су GE St,
I k |>0
supper с (—Л, |n)x ... x(-4r„,|r„); (1.1)
ет(х) — четная функция по каждому переменному; здесь обо-
значено kT = (k1Tl, ..., knT^.
Пусть Т > 0. Обозначим через ет (х) четную функцию из ^(R1)
со свойствами: supp ет с= Т, j г) , ет (х) = 1 в окрестности
отрезка [- Т, | г] , ет (х) = 1 - ет (х + Т), х е [-1Т, - 1 г]
§ ?1
РЯДЫ ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
121
(рис. 27) (легко убедиться, что такие функции существуют).
Очевидно, функция ет удовлетворяет равенству
£ eT(x + kT) = l, xeR1.	(1.2)
1 k |>0
Положив
ет (х) = еТ{ (х) ... еТп (х),	(1.3)
убедимся в существовании требуемого разложения единицы.
Введем обобщенную функцию
W = £ б (х — kT).
I * |>0
Очевидно, бге£2>гП‘Х (см. § 5.3).
Докажем представление: если f е то
/ = (ег/)*бг.	(1.4)
Действительно, пользуясь (1.1) и периодичностью f (х), имеем
f (х) = / (х) £ eT(x + kT)= £ f (х) ет (х + kT) =
Ik ]>о	1М>о
= S f(x + kT)er(x + kT)= £ (eTf)*6(x+kT),
|fe|>0	ISI>0
откуда, пользуясь непрерывностью в ТР' свертки (см. § 5.6, а)),
получим представление (1.4).
Из представления (1.4) вытекает, в частности, что Ф'т с: 9>,\
кроме того, полагая в (1.4) f = bT, получим
бу — (вубу) * бу.	(1.5)
Пусть f и ф е С°° А Фт- Введем скалярное произведе-
ние (/, ф)г по правилу
(А Ф)т = (A erq>).
Для того чтобы это определение было корректным, необходимо
показать, что правая часть этого равенства не зависит от вы-
бора вспомогательной функции ет (х) со свойствами (1.1).
122
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Действительно, пусть е'т (х) — другая такая функция. Тогда,
пользуясь представлением (1.4) и формулой (6.1) § 5, получим
(Л 4ф) = ((ег0*6г, 4ф) = (?т (*Шх)Х<\М е'т U4-z/)<p(x+ //)) =
= (f (х), (dr (г/), ет (х) е'т (х + у) ф (х + //))) =
= (f (х), er (х) (х — kT) <р (х — kTf) = (/, егф),
что и требовалось.
ЕСЛИ f <= S’loc П &>т, то
ri
(Аф)т=$ f(x)q>(x)dx.	(1.6)
о о
Действительно, так как скалярное произведение (, )г не за-
висит от выбора функции ет, то его достаточно вычислить для
конкретной функции (1.3):
(Л ф)г == ет W f W Ф W dx =
eTi Ui) + \ + \ вг, (xi) \ етг (х2) ...
•.. еТп (Хп) f (х) ф (х) dx2 ... dxn dxi =
ет2 (х2) ... еТп (х„) f (х) ф (х) dx2 ... dxn dxi +
... етп (хп) f (х) ф (х) dx2 ... dxn dx\ =
вг3 (х3) ... еТп (хп) f (х) ф (х) dxi ... dxn dx2 dx\= ...
5 7]
РЯДЫ ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
123
В частности, тригонометрические функции
е1 №>, *), и =	, ...,	,
\ J I	1 п /
периодические с «-периодом Т и для них
(e‘:<*«>. х); e-i (k'u, х))т = (,kk,Tl "'Tri'	(17)
2.	Ряды Фурье периодических обобщенных функций. Пусть
f = 2)r. Формальный ряд
Е(f	(A®,
<^= т1...Тп	(2-D
|*|>0	*’
называется рядом Фурье, а числа cfe(f)— коэффициентами Фурье
обобщенной функции f.
Пример 1. Если /е27|ОсП^г, то ее ряд Фурье (2.1)
в силу (1.6) превращается в классический ряд Фурье.
Пример 2. Справедливо равенство в 9*'
У 6(x + kV) = 71 т У	(2.2)
Z-J	1 i ... 1 n L—i
|A|>0	I k I > 0
вытекающее из одномерной формулы (3.5) § 2 и из непрерыв-
ности в 9' прямого произведения (см. § 5.5).
Фиксируем /п^О. Пусть f^3)T и /« — порядок f. Тогда
существует такое число Ст^0, не зависящее от f и k, что
lcJDKCJifiLji + ШГ.	(2.3)
Действительно, используя определение скалярного произве-
дения (, )г и фиксируя вспомогательную функцию ет (х), полу-
чим оценку (2.3):
1	1 =	1 е~* х))г1 == т^.т» ।e?e~l(ft“'х))।<
<	supx (1 + | х \Т121 Da [ет (x) e~‘	*>] | <
<	С' || f ||_m supx £ ( Н I Da~&eT (x) 11 (- ik<rf | <
la|<,ne<a
<ciifii_m(n-i k \r;
Теорема. Ряд Фурье любой обобщенной функции f из Фт
сходится в S’" к f,
f(x) = Е ck(f)e^-*>.	(2.4)
l & I > о
Доказательство. Подставляя равенство (2.2) в правую
часть (1.4),
f = (eTf) * У т 1 „ . е{ *) = У 	1 (eTf) * е1 ,
wl/—1 1 ... in	-И... in
7|А|>0	| k | >0
124
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
и пользуясь формулой (3.3) § 4 для свертки,
(eTf) * е1 х) = (/ (г/), ет (у) е1 х~у}) — Т\ ... Tnck (f) el &<<>• ,
получим разложение f в виде ряда Фурье (2.4), сходящегося
в Р'. Теорема доказана.
Следствие 1. Обобщенная функция f из 0 т полностью
определяется набором своих коэффициентов Фурье {ck(f)}.
Следствие 2. Если f 0т и <р е С00 П 0т, то справедливо
обобщенное равенство Парсеваля — Стеклова
(f,4’)r = £ М/)Мф)-	(2-5)
I k I>о
Следствие 3. Ряд Фурье обобщенной функции f из 0т
можно дифференцировать почленно бесконечное число раз:
Daf (х) — £ ck(f)(ika)aei(kti>-x\	(2.6)
Ik |>о
так что
ck(paf) = (ik<n)a ck(f).	(2.7)
3.	Сверточная алгебра 0т> На множестве 0т введем опе-
рацию свертки ® по правилу
/®£ = Ы)*£,	f,g(=0'T.	(3.1)
Свертка f®g не зависит от вспомогательной функции ет и
коммутативна.
Это утверждение следует из равенства
(erf) * g = (e'g) * f,	(3.2)
вытекающего из тождества (1.4) и из свойств непрерывности,
ассоциативности и коммутативности свертки * (см. § 4.2):
(erf) * g = (eTf) * ((4g) * dr)’= ((erf) * dr) * (e'Tg) =
= /*(er£) = (ekW-
Операция f -> f ® g линейна и непрерывна из 0т в ТР' (см.
§ 5.6, а)).
Наконец, ® g^.0T-
Это вытекает из свойства сдвига свертки (см. § 4.2, в)):
(f ® g) (х + kT) = (eTf) * g (х + kT) = (eTf) *g = (f®g) (x).
Свертка любого числа обобщенных функций fit f2, ..., fm
из 0T определяется аналогично по правилу
А®/2® ... ®/т=«/,)*№)*	*(e?-'U (3-3)
Эта свертка будет ассоциативной и коммутативной (см. § 4.2),
5 7]
РЯДЫ ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
125
Пример 1. Если f И g е S’locA^T, ТО
Г1	Гп
if ® g) (х) = J ... J f (х — у) g (у) dy =
О	о
= 5 ••• J f(y)g(x — у) dy = (g ® f) (х).	(3.4)
Пример 2.
f g ei (k®, x)==Tl ... ТпСк ф ei №. x).	(3 5)
Действительно,
(f ® el x\ <p) = ((erf) * el x\ <p) =
={eT ® f a) x ei У\ <p (l+y)) = (f (£), eT (£) J (l+y) dy)=
= (f (£), eT (£) e~l {k<s>- el №>• x)cp (x) dx^ =
— Ti ... Tnck (f) jj ez <&®’ *)q> (x) dx.
В частности, в силу (1.7),
е‘(k«>, X) g ei (k’a, x) ==3 у, ... Tnf>kk'el<*“• *>.	(3.6)
Пример 3. Формула (1.4) принимает вид
f = f®bT, Daf^f®Da(>T, f^S)T,	(3.7)
и вообще: если f и ge S)T, то
ck(f®g)=Tl ...Tnck(f)ck(g).	(3.8)
Действительно, пользуясь (3.5), имеем
Ck (f®g)= т - 1 т е~‘(ft®’ х) (f ® g) ® el (йи’ х) =
= г,.1 тп e~i(ka’х} ei{ka’х))) =
= Ck (g) e-i^ (f ® ei *>) = Ti ... Tnck (f) ck (g).
Из сказанного следует, что &г образует сверточную алгебру
относительно операции свертки ® (см. § 4.5). Алгебра 0т ассо-
циативна и коммутативна; ее единицей является бг (см. (3.7));
она содержит делители нуля (см. (3.6)).
Для уравнений a®u — f в сверточной алгебре 0т справед-
ливо сказанное в § 4.8, г). Но здесь имеют место более точные
утверждения.
126
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Теорема. Для того чтобы оператор а®, а^Д)т имел
обратный S> ® в Д)т, необходимо и достаточно, чтобы при не-
которых L> 0 и пг было выполнено неравенство
1М«)1> Ь(1 +\k\)~m.	(3.9)
При этом фундаментальное решение S единственно и выра-
жается рядом Фурье
X 7-^'<3-1о>
71	|й|>0 ck(a>
Доказательство. Достаточность. В силу оценки (3.9)
ряд (3.10) сходится в/и его сумма S> ^3)т. Докажем, что S>
удовлетворяет уравнению a® S> = бт. По теореме § 7.2 для
этого достаточно доказать равенство коэффициентов Фурье
Q (а ® S’) = ck (dr) =	•
Но последнее выполнено в силу (3.8) и (3.10).
Необходимость. Пусть существует в S)T фундаменталь-
ное решение S оператора а®, а®& = Ът. Тогда оно един-
ственно (см. § 4.8, г)) и из равенств
ck(a®S)^ck(a)ck(S)Tl ... Тп = ск(6т)= т 1
/ 1 ... In
выводим
с =--------------L------
(З.И)
Поэтому справедливо разложение (3.10). Далее, обозначая
через пг порядок S и применяя оценки (2.3), и (3.11) получим
оценку (3.9):
I с, (S) |—I— < с И U (1 +1 ь I )’•
1 1 •  • 1 п I ck 'а> I
Теорема доказана.
4. Примеры, а) Решить «квадратное» уравнение в Д)т'-
и®и = бт.	(4.1)
Имеем
Поэтому уравнение (4.1) имеет континуум решений
и (х) =	£ eke{^ х\ f,v = ±l.	(4.2)
1 п |*|>о
б) — Я,) S = бг, п — 1, Л у= ikes, k = Q, ± 1, ...
РЯДЫ ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
127
§ 7]
Переписывая
(бг — Лдг) ® <S = бу,
получим
m lk(O ~~ Ь / <&\	1
Г----?--Ck
так что
#(х)=4 У -ь 1 у eika>x.	(4.3)
ik |>о
в)	Рассмотрим задачу на собственные значения:
&Г ® U = /М, U G5 @)т,	,. д,
Л,й = г£и, uk (х) = eik‘M, k — 0, ±1,...,
— собственные значения и соответствующие собственные функ-
ции оператора 6г®.
г)	Пусть f^.2Dr, п—\. Рассмотрим задачу на отыскание
первообразной /<-1) в @>т (см. § 2.2),
= Л бг®/*-1’^/.
Из равенства
следует, что первообразная f(-I) существует в 3)т тогда и только
тогда, когда со(/) = О, и выражается рядом Фурье
/(-1)(х)= £ ^-е^+с,	(4.5)
1* |>о
где С — произвольная постоянная.
д)	Полиномы Бернулли. Положим fQ — T6T — 1. Так
как с0(/0) = Гс0(дг) — с0(1) = 0, то существует в 2УТ‘, вы-
бираем со(^о-1))~^ и т. д. В результате получим последова-
тельность первообразных f<0-m)(x) из ЗУТ, m—\, 2, ..., являю-
щихся полиномами на основном периоде (О, Т). Эти полиномы
называются полиномами Бернулли. Найдем их разложение
в ряд Фурье. Имеем
_ d(m) @	= fQ = Те>т - 1
и потому
(6И) ® f <-m>) = (ika)m ск (/<-"”) = 1,	k 0.
Следовательно,
«-”’«= X	<4-в)
1* |>0
128
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Например:
ф-»(х) = ^--х, 0 < х < Г.
§ 8. Положительно определенные обобщенные функции
1. Определение и простейшие свойства положительно опре-
деленных обобщенных функций. Пусть f е 3)' (Rra); обобщен-
ная функция f*(x) =f (— х) из Ф' (R") называется «-эрмитово
сопряженной к f\ если f = f*, то f называется «-эрмитовой
(обобщенной) функцией.
Функция f (х), непрерывная в R", называется положительно
определенной, f 0, если для любых точек Xj, ..Xi из R" и
комплексных чисел Zi, ..., Zi выполнено неравенство
f (xi ZjZfe 0.
К/,
Из этого определения следуют свойства: полагая 1 = 1, полу-
чаем f(0)^0; далее, полагая 1 = 2, х{ = х, х2 = 0, имеем
f (0) (| Zi |2 +1 z212) + f (x) ад + f (— x) ад > 0,
откуда следует, что f — «-эрмитово ограниченная функция:
f = r, IfU)Kf(O);	(I.l)
наконец, заменяя интеграл пределом последовательности сумм
Римана, получаем неравенство
$f(x-£H(x)q>®dxd£>0, фЕ®,
т. е.
(f, Ф*Ф*)>0,	ф<=0.	(1.2)
Свойство (1.2) мы примем за исходное для определения поло-
жительно определенных обобщенных функций. Обобщенная
функция f е <ЗУ называется положительно определенной, f 0,
если она удовлетворяет условию
(f, ф*ф*)^0, фЕ®.	(1.3)
Из этого определения сразу следует: если f 0, то и
f (— х) » 0 и f » 0.
Далее, для того чтобы обобщенная функция f была положи-
тельно определенной, необходимо и достаточно, чтобы
f «а* а* 0, а е S'.	(1.4)
Действительно, если f 3> 0, то, пользуясь формулой (6.4) § 4
и свойствами коммутативности и ассоциативности свертки
§ 8] ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 129
(см. § 4.2), при всех а е S' и фе® имеем
(/ * а * а*, Ф * ф‘) — (f, (а * а*) (— х) * (ф * ф*)) —
— (f> (— х) * ф] * [а* (— х) * ф*]) =
= (f, [а (— х) * ф] * [а (— х) * ф]*) > О,
поскольку а*фе Д если а еS' и ф е@) (ср. § 4.2, ж) и § 4.6).
Таким образом, условие (1.4) выполнено. Обратно, пусть усло-
вие (1.4) выполнено, так что если ае0, то f * а * а* — непре-
рывная положительно определенная функция и потому в силу
(1.1) (/* а * а*) (0)	0. Пользуясь теперь формулой (6.3) §4,
при всех а е имеем
(/(-г/),а*а*) = (/, (а * а*) (- у)) = (f * а * а*) (0) > 0,
так что f (— х) 0 и потому f 0.
Если f 0, то f — f*.
Действительно, по доказанному при всех a &.S)
(f * а * а*)* = /* * (а * а*) = f * (а * а*).
Устремляя в последнем равенстве а->6 в S' (и тогда а*-*6
в S', а из формулы (5.1) § 4 следует, что и а*а*->д в S') и
пользуясь свойством непрерывности свертки (см. § 4.3), полу-
чим f = f*.
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма. Для каждого целого р^0 существует функция
«(х) со свойствами-.
<ле=С2Р-, ®(х) = 0, |х(>1;	F[®](^)>---------п4,я4,г. (1.5)
Доказательство. Пусть	причем %(х) = 0 при
| х | > 1/2 и
у (х) ==	= F -1 г ______i______].
(2л)" J (1 + | g ]2)p+fl+’ L (1 _|_ I g |2)Р+«+г J
Проверим, что функция ® = У(х*%*) обладает свойствами (1.5).
Так как уеС2р, а х*Х* еС", то и е(Др. Далее, в силу
§ 4.2, ж), supp и cz supp х + supp %* с= Ui/2 + П1/2 = ГЛ. Наконец,
пользуясь формулой преобразования Фурье свертки (см. § 6.5),
имеем
F [«>] (Ю = Р [у (% * х*)] =
=	1	«I F М Р = 1 ( -И 1x1 ЩЛу
(2л)" (1 + |g|2)p+fl+1 1 lAJ' (2л)" J (1+ Ц-^12)р+"+1
5 В. С. Владимиров
130
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
и поэтому
р Ы If} •> 1	( IF [х] 12(#) аУ ->
1	(2л)"	(l+|g_^)W
(2л)п [1 + (|g| + l)2]P+"+' !	! I F I dy (l + |g|2)p+n+1 
Лемма доказана.
2. Теорема Бохнера — Шварца. Пусть f е &>' и f 0.
Тогда в шаре U3 — [х: | х | < 3] f имеет конечный порядок /п^О
(см. § 1.3),
КАфЭККИфИс^, феС»».
Возьмем целое число р 0 такое, что 2р ~^т, и пусть и — функ-
ция со свойствами (1.5). Тогда функция со * со* С™ (t/2) и, сле-
довательно, обобщенная функция g = f * со * со* = f * (со * со*) 0
непрерывна в шаре U[.
Докажем, что g ограничена в R".
Пусть ап^2), supp ап a: Ut/n, а„^0, ^a„dx=l, a„->d,
п->оо. Последовательность функций g*an*a*n, п = 2, 3.
равномерно ограничена,
|(£*а„*а*)(х)|< max | g(x) |||а„ *а* || < max | g(x) |
| X I X// п	| X | 1
(см. § 4.1), и слабо сходится на множестве Я), плотном в 271
(см. § 1.2). В таком случае предельную обобщенную функцию g
можно отождествить с функцией g(x) из 2700.
Докажем, что g(x) есть преобразование Фурье неотрица-
тельной конечной на Rrt меры. Так как g ограничена, а Ф плотно
в (см. § 5.1), то неравенство (g, <р * <р*) ^>0 справедливо при
всех ф е и, стало быть
Лф*фЧ) = (^Ъ], 1Лф]|2)>0, ф<=<Л (2.1)
Но операция F — изоморфизм д’ на д’ (см. § 6.1). Поэтому
неравенство (2.1) эквивалентно неравенству
(НОРЫ	(2.2)
Пусть теперь ф — любая неотрицательная основная функция
из и {т]/Л — последовательность неотрицательных функций
из S), стремящихся к 1 в R" (см. § 4.1). Тогда
(г)А д/ф+ 1/^ У = Ль (Ф + 1/^) -> ф, k оо в 9>
и, следовательно, в силу (2.2),
Ы. Ф)= Пт (ХИ, (т)А VtTW)>0, ФЕ^.
&->оо
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
131
§ 8]
По теореме II § 1.7 Т7""1 [g] = v — неотрицательная мера на R"
и gr = F[v]. Но v = F~l [g] е Поэтому v — мера медленного
роста (см. § 5.3), так что для всех имеем
О' [^], ф) = $ Ф ® v Ш = (g, F~l [ф] ).	(2.3)
Пусть {л4 — неубывающая последовательность неотрицатель-
ных функций из S), стремящаяся к 1 в R". Тогда F~1 [т]А] -> б,
1г —> оо на всех ограничениях в R" и непрерывных в окрестности
нуля функциях. Полагая в (2.3) Ф ==т]а>
Па® v(c® = (g, F~l [т]а]),
переходя к пределу при k -> оо и пользуясь теоремой Б. Леви,
получим
$v(<® = g(0),
что и утверждалось.
Теперь докажем, что уравнение
и *&*&*—g	(2.4)
имеет единственное решение в классе положительно определен-
ных обобщенных функций из ЗУ и это решение дается формулой
“ = /? ЕI F [<о] |2 ] ’	(2,5Э
Действительно, в силу неравенства (1.5) обобщенная функ-
ция и, задаваемая равенством (2.5), действительно является
единственным решением уравнения (2.4) в классе в силу
теоремы о преобразовании Фурье свертки (см. § 6.5)
F[u]|F[tt]|2 = F[g] = v.	(2.6)
Осталось доказать, что решение однородного уравнения
u*(o*co* = 0 в классе обобщенных функций и, представимых
в виде разности и\ — и2, где tij > 0, и^ЗУ, тривиально: u = 0.
Пусть такая функция и удовлетворяет этому уравнению. Тогда
при всех а е 3) функция и * а * а* также удовлетворяет этому
уравнению:
(и * со * со*) * а * а* == 0 == (и * а * а*) * и * и*.
Но функция
и * а * а* = и\ * а * а* — и2 * а * а*
есть разность непрерывных положительно определенных функ-
ций и, стало быть, ограничена в R" (и тем более из 9>'}. По
доказанному и*а»а‘ = 0. Переходя в этом равенстве к
5*
132
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
пределу при а—>б в S' и пользуясь непрерывностью свертки,
получим и = 0, что и требовалось.
Обобщенная функция f 0 также удовлетворяет уравне-
нию (2.4). В силу единственности решения этого уравнения f
совпадает с обобщенной функцией и, задаваемой равенством
(2.5). Следовательно, f есть обратное преобразование Фурье
меры [х = v | F [со] Г2 медленного роста, в силу неравенства (1.5).
Итак, мы доказали необходимость условия в следующей
теореме.
Теорема (Бохнер — Шварц). Для того чтобы обобщенная
функция f из ЗУ была положительно определенной, необходимо
и достаточно, чтобы она являлась преобразованием Фурье не-
отрицательной меры медленного роста, f = F [ц], ц е Д", ц^О.
Достаточность. Если / = Е[ц], ц 0, ц е 3', то
(ц> I ф I2) О при всех (ре?. Отсюда (ср. (2.1))
(1*. I F [ср] Г) = (F [р], F~l [| F [ср] |2] ) = (f, <р * ф*) > 0,	ф е Ф,
так что f 0. Теорема доказана.
Следствие 1. Если	f > 0, го f е 9>'.
Следствие 2 (Бохнер). Для того чтобы непрерывная
в окрестности нуля обобщенная функция f была положительно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы она была пре-
образованием Фурье положительной меры v, конечной на R":
f (Х)=	v>0,	JV(^)=/(O);	(2.7)
при этом f (х) — непрерывная функция на R".
Следствие 3. Для того чтобы обобщенная функция f
была положительно определенной, необходимо и достаточно,
чтобы при некотором целом т^О она представлялась (един-
ственным образом) в виде
fW = (l-A)mf0(x),
где f0 (х) — непрерывная положительно определенная функция.
Вытекает из следующей цепочки равенств:
f = F [ц] = F [(1 + 11- \Т	= (1 - A)m F [V],
где мера v = ц (1 +1 g I2)-"2	0 при достаточно большом пг
может быть сделана конечной на Rrt.
3. Примеры, а) Пусть полином Р(Е)^0. Тогда
Р (- ID) б > 0.
В частности, б 5> 0.
б)	Если f iS> 0 и g е S', g 0, то f * g 3> 0.
Действительно, мера F[g]^0, E[g]<=0.VI (см. § 6.4) и по-
этому мера F[l *g] = F [f]E[g]>0 медленного роста.
§ 9]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	I33
в)	Если f » 0 и F [g] <= g > О, то gf » О.
Действительно, g 0м> gf и
есть неотрицательная мера из 9>' и, стало быть, медленного
роста (см. § 5.3).
г)	е~<Ах->_0, где А — вещественная положительно опреде-
ленная матрица (см. § 6.6, б)).
д)	-|у[- >0, /г = 3 (см. § 6.6, ж)).
е)	лб(х) ± у 0, п=1 (см. § 6.6, к)).
ж)	Для того чтобы f е ЯД была положительно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты Фурье ck (/)
были неотрицательны. При этом для всех <р е С°° |"| ЯД справед-
ливо неравенство
(А Ф®Ф*)г>0.	(3.1)
Это вытекает из теоремы § 7.2, согласно которой
Е ck(f)^-k<i>),	(3.2)
1*|>о
и из теоремы Бохнера — Шварца. Для доказательства неравен-
ства (3.1) воспользуемся техникой, развитой в § 7. Пользуясь
(3.1) § 7 и (3.3) § 7, имеем цепочку равенств
(/, ф ® ф*)г = (eTf, ф ® ф*) = (f * б, ет (ф ® ф*)) =
= (6, f (— х) * ет (ф ® ф*)) = (б, f (— х) ® (ф ® ф*)) =
= (б, f (— х) ® Ф ® ф*) = (б, f (— х) * (егф) * (егф*)) =
= (6, f (— х) * [(егф) * (егф)*]) = (f, (егф) * (егф)‘),
так что
(А ф®ф*)т = (А (егф) * (егф)*),	(3.3)
откуда и следует неравенство (3.1).
§ 9. Преобразование Лапласа обобщенных функций
медленного роста
Основы общей теории преобразования Лапласа обобщенных
функций заложены Л. Шварцем [3] и Лионсом [1]. Однако наи-
более полно эта теория развита для важного в приложениях
в математической физике случая обобщенных функций медлен-
ного роста.
1. Определение преобразования Лапласа. Пусть Г — за-
мкнутый выпуклый острый конус вК" с вершиной в 0 (см. § 4.4);
обозначим С = int Г* (по лемме 1 §4.4 конус С =/= 0; С —
134
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
открытый и выпуклый конус). Обозначим через Тс трубчатую
область в С" с основанием С:
Тс = R" + iC = [z — х + iy: х е R", у е С].
Пусть g е W (Г +) (см. § 5.6 и § 4.5). Преобразованием
Лапласа £ [g] обобщенной функции g назовем выражение
^] = П£(Юе-<уЛ)](*),	(1.1)
где F — преобразование Фурье.
Пример.
Ь [6 (^ — g0)] = е* «•>.	(1.2)
Вытекает из формулы (2.6) § 6.
Докажем, что при всех у^С
g (g) е~<У’ У е= 9>',
так что преобразование Лапласа L[g] есть обобщенная функ-
ция медленного роста по х при всех у еС.
Действительно, пусть т] — любая функция класса С“ со свой-
ствами:
I О0!! (ЮI < Са; 13®= 1, £<=(suppg)E; П(Ю = 0, ge(suppg)28
(е > 0 — любое). Тогда, по доказанному в § 6.6, и),
ц (g) е~{уЛ} е S2’ (R") при всех у^С	(1.3)
и поэтому, в силу (10.2) § 1,
g (£) е-(у, а = g (£) n	е-(у, а
что и утверждалось.
Преобразование Лапласа L есть линейная и взаимно одно-
значная операция. Это утверждение вытекает из соответствую-
щих свойств преобразования Фурье (см. § 6.2).
Докажем теперь представление
b[g] = (m W*'<гЛ>).	(1.4)
это представление не зависит от вспомогательной функции ц
с указанными выше свойствами.
Действительно, пусть у^С и	Тогда (ср. § 6.6, и))
a [sr], ф)=(f [g а) е-^ ч ф)=(g а) е-^у f [Ф])=
= (g (£)> Л (Ю еНгл е ф (х) el dx) = Ф (х) (g (У, Т] (g) е1 «) dx,
откуда и следует равенство (1.4); здесь мы воспользовались
формулой (5.4) § 5, поскольку, в силу (1.3),
Л (£) е-<»- Уф (х) el (R2fl).
S 9]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
135
Обозначим f(z) = £[g]. Докажем, что функция f(z) голо-
морфна в Тс и справедлива формула дифференцирования
Daf(z) = ((®ag®, п(ЮеигЛ>)-	(1-5)
Доказательство аналогично доказательству леммы § 3.1.
Непрерывность функции f(z) в Тс вытекает из представления
(1.4), из непрерывности функции т](£)е‘<2’У по z в Тс в смысле
сходимости в S’,
т) (g) е1 у -> т] (£) е‘ <г»’ &>, Z-+ZQ в S’, z^Tc, zoeTc
(см. оценки в § 6.6, и)), и из непрерывности функционала g
на S’,
f (г) = (g (Ю, П @ е1 <г- *>) -> (g (£), ц ® е‘ <г»> *>) = f (zo), z->zQ.
Для доказательства голоморфности функции f (z) в Тс доста-
точно установить, в силу известной теоремы Гартогса, сущест-
df .	.
вование всех первых производных , / = 1...........п. Пусть
e, = (l, О, ..., 0). Тогда при каждом z^Tc
и (Ю = -у h (I) {z+he"® - П а) ег Ч ->
->П(№е'<гЛ), А—>0 в S’.
Поэтому из представления (1.4) и из линейности и непрерыв-
ности функционала g на S’ при А—>0 имеем
/(г + Ле,) -/ .(г) = _1_ [(g (Ю> а) el (z+heu у) _ {g (Ю> n ® ei (2, 5))] =
= (g ® > 0U ©) -> (g П (Ю = (i^g©, ц (Ю е^ <* ?>)
так что производная существует и формула дифференци-
рования (1.5) справедлива при а = (1,0, ..., 0), а значит, и
для всех первых производных
^ = (^/g(£)> M^(z'a). /=	(1.6)
Применяя приведенные рассуждения к равенствам (1.6), убе-
димся в справедливости формулы (1.5) для всех вторых произ-
водных и т. д.
Утверждение доказано.
Наша задача — полностью охарактеризовать голоморфные
функции, являющиеся преобразованием Лапласа обобщенных
функций из алгебр S" (Г -4~) и S^JT).
Обобщенную функцию g (£) из S’' (Г+), для которой f — L [g] бу-
дем называть спектральной функцией функции f (г). Спектральная
136
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
функция единственна (если существует), причем в силу (1.1)
^а)=^5Ч“1[/и+^)](ю	(1.7)
и правая часть равенства (1.7) не зависит от yeC = intr*.
2.	Свойства преобразования Лапласа. Вытекают из соответ-
ствующих свойств преобразования Фурье (см. § 6.3).
а)	Дифференцирование преобразования Ла-
пласа:
DaL[g] = L[«g]-	(2.1)
Это есть формула (1.5).
б)	Преобразование Лапласа производной:
L[£ag]==(-fe)am	(2-2)
Формулу (2.2) достаточно доказать для первых производных.
Имеем
= F (g а) е~^ *))] + yfF [g а) е-^ Ч =
= (— iXj + ру) F [g (£) е~(У- Ч === — izjL [g].
В частности, полагая в (2.2) g = d(£ —£0) и пользуясь фор-
мулой (1.2), получим
L [£)ad (g - go)] = (~ fe)a е{ Ч	(2.3)
в)	Сдвиг преобразования Лапласа: если ImaeC, го
A[g(g)e‘<a-4 = L[g](z + a).	(2.4)
Действительно,
L [g (g) в1 <“ &)] = F [g (g) ег <Re а' Ц?-<г/+1т а, q _
= L [g] (х + Re а + iy + i Im а) = L [g] (z + a).
^Преобразование Лапласа сдвига:
A[g(g- go)] = ei<z. WL[g](z).	(2.5)
д) Преобразование Лапласа при линейном пре-
образовании аргумента:
A[gHg)] = B^j|A[g]U-Ir2:), z^TaTc. (2.6)
е) Преобразование Лапласа прямого произве-
дения: если g, (g) е= 9>' (Г, +) и g,(r|)G ЛГ2+), го
L [gi X g2] U, g) = L [g.] (z) L [g2] (С),	(г, С) e= Гс‘ x (2.7)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
137
§ 91
ж) Преобразование Лапласа свертки: если g^
(Г +) и gi^ У (Г ф-), то g * gi е 9>' (Г ф-) (см. § 5.6, б)) и
£ [g * £Т] = L [g] L [gi],	(2.8)
Предварительно докажем формулу: если ge®'(F+) и
gi е 3)' (Г ф-), то при всех у^С
=	(2.9)
Действительно, пользуясь формулой (5.1) § 4, при всех у<^3)
имеем
((ge~(v’ Ч * (gie~<y, &>), q>) = (g (£) e~(v- « X gi (£') е~<У-
th © п2 (Г) ф а+г))=ig (юх^ (п, ш ©л2 ©)*-<*• &+*')ф а+н)=
= (g* g\, <ре~{у' ^) = (е~(У’ У (g * gy), ф),
что и требовалось. Из формулы (2.9) при g и gx<= (Гф-) и
из формулы преобразования Фурье свертки (см. (5.1) § 6) сразу
следует формула (2.8):
L[g*gi] = F[(£ * gi)е~<У’ Ч = F[(ge-w> Ч * (gie~^ =>)] =
= F {ge~^ 4 F [gxe~^ 4 = L [g] L [g,].
Замечание. В случае одной переменной в операционном исчислении
(Хевисайда) преобразование Лапласа определяется по-другому: если ориги-
нал	( [0, оо) ф), то его изображением (преобразованием Лапласа)
называется функция
F [g (О е-а/] (- <о),
голоморфная в правой полуплоскости а > 0 комплексной плоскости р = а ф /со.
В частности,
ОО
6 (/)<-> \ e~pt dt=—.
J	Р
о
Мы, однако, будем придерживаться определения (1.1) и в случае п = 1.
3.	Примеры.
а)	Ж] = —У>0,	(3.1)
где fa — обобщенная функция из 9!>'+=3>' П 3)'+, введенная в 4.8, д).
Ветвь функции (— iz)a в полуплоскости у > 0 выбирается так,
чтобы она была положительной при z = iy, у > 0.
Пусть а > 0. Тогда
С ?и-1	1 С	1
L [/а! (Ф/) == \ -хтт е^'Л dl =	\ Ua~xe~u du = — ,
J Г (а)	0«Г(а) J	у“
138
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
так что голоморфные в верхней полуплоскости функции L [/а] (г)
и (— iz)~a совпадают на линии z = iy, у > 0. В силу принципа
аналитического продолжения равенство (3.1) справедливо при
а > 0. Если же а^О, то а + т > 0 при некотором целом т.
Поэтому fa — и> п0 доказанному,
ад=ЧШ=4U»]=
= (- iz)m (- iz)~a'm = (- iz)~a.
б)	L[0 (l)sin®|] = -r^p-. L[ea)cos^]=-E^r. (3.2)
Вытекают из равенств (см. а) при а = 1)
в)	Докажем равенство
£[тУЙпжШ"/-(ь)]==(1 - ад1/2- v>*-l/2. (3.3)
В силу а) имеем равенства
/ i \v+1/2	.	/	; xV+l/2
©1 = (тТт) , i[<’-,tr.1„®]=s(74r) .
Поэтому, пользуясь формулой преобразования Лапласа свертки,
имеем
адад) адад)]=о - ад1/2-
Но
5
—	tt _ nv-i/2 л-1/2	_
—	Г2 (v + 1/2) J 6	'
о
=Ж& $ e~2ila [(1"ы) ыГ 1/2 du^
о
. е(»Г С i-p2V-1/2rfp 6(B)7л 7
Г2 (у+1/2) Je (.	4	)	2 Г (у+1/2) 1г/
и формула (3.3) доказана. Здесь мы воспользовались форму-
лой (6.20) § 6.
5 9]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	139
г)	Докажем формулу
sin I — JQ (g — f) Jo (/) dt.	(3.4)
0
Ввиду нечетности правых и левых частей (3.4) эту формулу
достаточно доказать при g> 0. Поэтому достаточно доказать
сверточное равенство
0 sin g = (07о) * (07q),
эквивалентное в силу б) и в) тривиальному равенству
1 = 1____________1 „
1 - z2 Vi - z2 Vi - z2 ’ и
д)	Найдем фундаментальное решение <S оператора (0/о) *
в алгебре В силу в) имеем
L [0/о] —	¥=0, у > 0.
Следовательно,
L[^=Vn=T2=-^£=-,
л/1 — Z2
откуда
^0 = 0 ® /о (Ю + [0 ® 7 (£)]" = 0 (Ю /о © + б' © Jo (I) +
+ 26 (?) /о © + 0 (|) Jo © = - —+ б'
т. е.
^(ё) = 0Й)^ + б'Й).	(3.5)
е)	Пусть	(см. § 7), п — 1. Тогда
L W1 = 7Z? iJr	® eiZi	(3.6)
1 e о
Действительно,
L [0f] (z)=\f (Ю dl = J (t + T)dt +
о	0
T	T
+ $	(g) dl = e^L [0f] + ( e^f £) dl,
0	n
откуда и следует формула (3.6).
140
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
§ 10. Ядро Коши и преобразования Коши — Бохнера
и Гильберта
1. Пространство №s. Обозначим через S’] гильбертово про-
странство, состоящее из всех функций g(|) с конечной нормой
и g n(s)=[$ I g © i2 (i +; ? i2)s 4Г=k ® (i +1 ? i2)s/2 II-
Обозначим через a^s совокупность всех (обобщенных) функ-
ций f (х), являющихся преобразованием Фурье функций из S’],
/ = F[g], с нормой
ll/=IL =l|/7“1[nll(s) = II^II(sr	(1-1)
Параметр s может принимать любые вещественные значения.
Очевидно, Ж = S’2 = S’] и
UII(0) = UII = (2n)"re/2yil = llf||0,
в силу равенства Парсеваля (см. § 6.6, в)).
Из определения пространства 3^s имеем: для того чтобы,
f е Ж, необходимо, чтобы она представлялась в виде
f (х) = (1 — Д)™ fi(x), Л^-З’2, т = 0, если s^O;
m=l+^— уj , если s < 0. (1.2)
Пространство гильбертово, изоморфное S’]. При этом
S' cz Ж cz Ж' <= S", s' < s,
где под включением понимается вложение вместе с соответ-
ствующей топологией || f ||s, < || f ||s, f <=3>&s.
Докажем, что S’ плотно в 26s.
В силу (1.1) достаточно доказать, что Ф плотно в S’]. Пусть
g е S’] и е > 0. Тогда
^) = g®(l+ISI2)s/2eS’2.
Но Ф плотно в Ф2 (см. § 1.2, следствие 1 из теоремы II).
Поэтому существует функция ф( из Ф такая, что || Ф — Ф11| < е.
Положив
£1 ® = Ф, ® (1 + 1112Г/2 Ф,
получим
II5 - £<) = J I g® - gl ® I2(l +1 £ 12Г^ = 11Ф - ф, II2 < 82,
что и утверждалось. Докажем:
Ж cz Cq, если I — целое, I < s — п/2.
§ 10]	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА	141
Замечание. Это утверждение представляет собой простой частный
случай теорем вложения Соболева [2].
Для доказательства заметим, что если f е a$s, то при всех
I а К / < s — п/2
laF~l [f] е=
в силу неравенства Коши — Буняковского
ИГ/7-1 [Л L. = $ IГ (1 +1 £ IT5''2 (1 +1 ё l2)s/2 F~1 [Л © I di <
< Q ш21 а 1 (1+1 £ i2)-s di]!‘ I а+1 g p)s/2 к-1 [л и=
=M^~W=wiis<oo.
Следовательно,
Daf (x) = DaF[К’1 [/]]= J (- ©a F~l [Л © el (x’
и в силу теоремы Римана — Лебега_£)“/(х) = о(1), |х|->оо при
всех | а |<Д. Это и значит, что f еСо (обозначения см. в § 0.5).
Пусть s^O —целое число. В этом случае пространство S’2
состоит из тех и только тех функций g(|), для которых s geS’2
при всех |aKs. Поэтому пространство <3^s состоит из тех и
только тех функций f, для которых обобщенные производные
Daf е S?' при всех |a|<s (по теореме Планшереля). Далее,
как это вытекает из легко проверяемого тождества
НЛ12 = 11Л12_1+ £ IWIIL1-
1</<п
пространство a@s состоит из таких функций f из Для
которых Dtf 3^s_lt /=1, ..., п.
Опишем теперь пространство, сопряженное к пространству Ж,.
Поскольку У плотно в №>s, то всякая непрерывная линейная
форма на №>s однозначно определяется своим сужением на Р9.
Лемма. Если L (/) есть непрерывная линейная форма на
то для некоторой f0 из 3^_s
=	f), f^9>,	(1.3)
и норма этой формы равна Ц /о ILS- Таким образом, является
сопряженным к пространству
Доказательство. По условию линейная форма
/-1 (%) = L (К-1 [% © (1 +1 |2)-s/2])
непрерывна на S'2 и совпадает с формой L (Л при
x© = (i + UI2)s/2f [Л-	(1-4)
142
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Далее, поскольку отображение f-+%, задаваемое равенством
(1.4), взаимно однозначно и взаимно непрерывно из £%><. на S’2,
то || L\|| = || £ ||. По теореме Ф. Рисса существует функция gi е S’2
такая, что
|| || = || £, ||.
Отсюда, вводя функцию
g(l)-gi(l)(i+ 1112Г/2
из S?2_s и обозначая = £[£], при всех f из S’ получаем пред-
ставление (1.3):
£(Л = £1((1 + 1^Г/2£[Л) =
= $ £1 ® (1 +1 ё l2)s/2 F [Л © d1-=\g®F [Л (?) d$=
= №], Л = (Л. Л
и, кроме того,
ll£|| = Ui ll = h(i +Ш2Г/211==11Л1Ц>
что и требовалось установить. Лемма доказана.
Для того чтобы f е 3@s, необходимо и достаточно, чтобы
f = g*Ls, g<=S?2,	(1.5)
где ядро Ls выражается формулой
Ls (х) = £-'[(! + |?|2)~s/2].	(1-6)
При этом отображение g->-f = g *Ls взаимно однозначно и вза-
имно непрерывно из S’2 на №>s.
Действительно, равенство (1.5) эквивалентно равенству
(см. § 6.5, замечание)
ЛЛ = £Ы(1 +1 ? 12Г/2-
которое и устанавливает взаимно однозначное и взаимно непре-
рывное соответствие между S’2 и Ж..
Ядро Ls в силу (1.6) обладает очевидным свойством
Д * £q Fs+0.
Приведем его явное выражение
(1—A)-s/2d(x), если —з 0 — четное,
72nr/22U(S/4)|X|5/4~ra/27<ra/2-S/4(|X|)’ eC™ 8>П’
где Kv— функция Бесселя мнимого аргумента.
Замечание. Свертка (1,5) называется бесселевым потенциалом.
Ls(x) = <
§ 10]	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА	143
Пусть f е Ж. и f0 е Зёа. Тогда свертка f * f0 существует в
выражается формулой
f^0 = F-\F[f]F[h]]	(1.7)
и непрерывна по совокупности f и fQ: если f —> 0 в Ж, и /о —> 0
в 9ва, то	в ЯР'.
Действительно, представим f и f0 в виде (1.2):
/ = (1—Д)-/13	f0 = (l-A)zf01, Ai^2-
В силу доказанной формулы (1.7) для свертки fi*/oi (см. §6.5,6)),
правила дифференцирования свертки (см. § 4.2, д)) и свойств
преобразования Фурье (см. § 6.3), убеждаемся в справедливости
формулы (1.7):
(1 - <+' (А * м = (1 - < А * (1 - А)' Ди = f * /о =
= (1 - A)m+Z F~l [F [fl F [fo] ] = F~l [(1 + 11 f)m+l F [A] F [fOifl =
= F~' [F[(l - A)m A] F[(l - A)' Ai] ] = F~l [F [fl F [fl] ].
Из представления (1.7) вытекает непрерывность свертки f*f0
по совокупности f и fl.
Пример.	—— — л2д (х).
Вытекает из формулы (6.14) § 6:
Й3 * й3 у = F"1 [(ш sign |)2] = — л2/7-1 [1] = — л26 (х).
Обобщая, получаем: если f е 3Ss, f(l<= Зёа и F [А], .. ., F [fm]
принадлежат 3?°°, то их свертка существует в ЗР' и представляется
формулой
... *L = F-1[F[f]F[fo]/?[f1] ...	(1.8)
Аналогично, если f^3iPs, a F [А], ..., A[fm] принадлежат S’”,
то их свертка существует в представляется в виде
f*A* ••• *к = /="1™™ ... ЛкИ (1-9)
и непрерывна по f из 33s в 9Ss.
Если f0 <= 3^_s и f е s 0, то справедлива формула
f0*f = (f0(x'),f(x-x')).	(1.10)
Действительно, в силу представления (1.7), при всех ср из ЗР
имеем
(А* А <Р)-(^‘[ЛАИ [Л1- ф) =
= (f [A] F [Л,	$ Ф (х)е-г 5)dx) =
= 72^ S ф (х) (f [fo] F [П> e~i(x’i))dx>
144 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
так как F [f0]F [f] (= S’1. Поэтому
(А, * f) to=72^(F [/о] F [Л’ е~‘<х'5)) =
= 72^r(F[foL F[f]e~‘	^^-^.(f0, F[F[f]e~^ Ч) =
=w- 0° {х'}’ SF [п ® е~1 {х~х'’l) =
= (/0 (х'), F~l [F [fl ] (х - /)) = (/о (У), f (х - х')).
Обозначим через индуктивный предел (объединение)
возрастающей последовательности пространств 2$_s, s = 0, 1, ....
и ^_s.
s^O
В силу леммы, есть совокупность линейных непре-
рывных функционалов на счетно-нормированном пространстве
— проективном пределе (пересечении) убывающей последо-
вательности пространств №>s, s = O, 1.
= П ws-
5 = 0
Пространство есть алгебра относительно операции обыч~
ного умножения (ассоциативная, коммутативная без единицы,
см. § 4.5), причем при всех f и g из
\\fg\\s<cp-s\\f HpUlls, S>0, p>s + |.	(1.11)
Действительно, поскольку f е 23s и g<^23s при всех s, то,
в частности, f е S’2 и g е S’2. Обозначим f = F-1[fl и g =
= -F-1[gl- Пользуясь определением (1.1) нормы в 3^s, формулой
преобразования Фурье свертки (см. § 6.5), теоремой Фубини
и неравенствами Коши — Буняковского и
1 + 1£ + О<(1+Ш2)(1+1Г I2).
при всех s^O и p>s-(--j получим неравенство (1.11):
и^1ё=$|/:"1[^]©12(1+ш2г^=
= $ (I +1 £ IV | $ F (Г)(I +1Г12Г ё (§ - Н(1 +1Г \ТР12 di' |2 di<
<51 f I2 0+1 12)Р $ 0+1 £ IV SI ^0-012(1+1 \Tpd$'d^
§ 101
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
115
= II f lip j I g (n) I2 (1 +1 Г + n IT (1 +1Г ITP dn dg <
< II Hip $ I g (n) I2 (1 +1 n IT dr\ J (1 +1g \2)s~p =
=	-------II f IP IIS IP.
J (1 + | g' |2)P-S 11 ' NP 11 S HS*
Обозначим
s;= (J 2”„,=4®у
индуктивный предел (объединение) пространств <?^s, s = 0, 1, ...
Для того чтобы ?^Д', необходимо и достаточно, чтобы она
представлялась в виде
f(x) = xuf0(x),	(1.12)
Достаточность очевидна, а необходимость вытекает из пред-
ставления
F[f] = (iD)ng®,
где g — непрерывная функция медленного роста в R" (см. § 5.4),
т. е. f0 = F~l [g] е ЖД при некотором s, откуда и следует тре-
буемое представление (1.12).
Пусть обобщенная функция fa из Д' непрерывно зависит в Д'
от параметра <т на компакте Д, т. е. для любой ср Д (fa, ср) е
еС(К), и пусть р — конечная мера на Д. Введем обобщенную
функцию [ар (do) из Д' равенством
к
Afoix(<fc), = Ф)М<М>
\К	/ К
Нетрудно убедиться, что
^Г^(^)1 = $F[f0W<T).	(1.13)
Lx J К
2. Ядро Коши ДСс(г). Пусть С — связный открытый конус
в R" с вершиной в 0 и С* — сопряженный конус к С (см. § 4.4).
Функция
Wc(z) = jeH*. &)dg==L[ec*]==F[ec*e-<^)]	(2.1)
с*
называется ядром Доши трубчатой области Тс\ здесь бс* (£) —
характеристическая функция конуса С*.
Если конус С не является острым, то в силу леммы 1 § 4.4
mesC* = 0 и, стало быть, Жс(г)^<д. Далее, поскольку С* =
146
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
= (chC)*, то Же(г)=Жсьс(г)- Поэтому без ограничения общности
конус С можно считать острым и выпуклым.
Подсказанному (см. § 9.1) ядро Жс (г) — голоморфная
функция в Тс; более того, интеграл в (2.1) сходится равномерно
по z во всякой трубчатой области Тк, К^С(К — компакт).
с	Покажем, что ядро Жс(г) представ-
/ ляется интегралом
^с(г)=^Г(п) геТС.
уу	Действительно, так как (у, <т) > 0 при
всех Уе а^ргС*, то знаменатель
\ подынтегральной функции справа в (2.2),
' -С	равный [(х, о) + i (у, о)]", не обращается
Рис 28.	в нуль в Тс и, следовательно, правая
часть (2.2) есть голоморфная функция
в Тс. Поскольку ядро Жс(г) также голоморфная функция в
Тс, то равенство (2.2) достаточно доказать на многообразии
z — iy, у^С. Но при х = 0 формула (2.2) легко следует из (2.1д
г	С 00
ЖС(1У) = \ e-^-^dl = J С е_р(й 0)	! dpdG==
С*	pre* J	г г
О
оо
, е~иип~1 du = /"Г (n) da-\n 
(У, a) J	v ’ J (ty, п)"
О	ргС*
Из представления (2.2) следует, что ядро Жс(г), а также и
ядро Ж _c(z) голоморфны в области
D = Cn\ U [г: (г, <т) = 0].
пергС*
Нетрудно убедиться, что область D содержит трубчатые об-
ласти Тс и Т~с, а также вещественные точки конусов Си — С.
Ядра Жс и Ж_с удовлетворяют соотношениям
Ж_с{2) = {-\')пЖс(г')=^Ж^) = Жс(-г'), г^Тс[}Т~с. (2.3)
Хс(Лс) = Л_'г.7^с(с), ЛеС'МО).
Докажем оценку
1^а^’с(г)|<МаД-"-|а|(у), г^ТсЦТ-с,	(2.4)
§ 10}
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ — БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
147
где А (у) = А (у, — дС U дС) — расстояние от у до границы ко-
нуса — С U С: к (у) — inf (ст, у), у^С (см. § 0.2 и рис. 28).
аергС*
Действительно, пользуясь представлением (2.2), при г^Тс
имеем оценку (2.4):
\О’Хс(г)\<М. $ . 1	<
ргС* ' ’ 7
СМа sup (у, о)-ге-1а| = МаД-ге-|а|(у).
о е pr С*
Оценка (2.4) при геТ-6 следует из доказанной оценки (2.4)
при геТ7 и из свойств (2.3). Уточняя эти рассуждения, полу-
чим более точную оценку
1Да^С(г)|<Л1Хге+1-|а|(г/)[Гх|2 + А2(г/)]“1/2, г^ТСЦТ~с. (2.4')
Докажем оценку при всех s
\\DaXc (х + iy)\\s <KS, а[1 + A~s (z/)] Д-ге/2“{у),	(2.5)
ye-CUC.
Действительно, в силу (2.1) и (2.2) при у^С имеем оценку
(2.5):
|| DaXc (х + iy) t= || F~l[DaXc (x + iy)\|fs) =
= || (- itf 6C* (g) e~(y-i} |fs) = J e~2(y-5) (1 +1 g |2)s | Г1<
c*
oo
(1 + p2)spn-1+2lal e~2p^'a'> da dp
0	prC*
oo
е-2рД(г/)(1 + p2)spre-1+2|“ldp =
0
—--------—---------- \ p —u Г1 _J-— "] Yifi—1+2| a| 4«. <2"
2а+1+2{а1да+2|а1(//)	4Д2 (i/> J
C<a[l+A^(y)]2A”'^2|ai(y);
здесь an — площадь поверхности единичной сферы в R". Случай
у е—С рассматривается с использованием соотношений (2.3).
Ядро Ж c(z) принимает при у-* О, у^±С по норме в
при любом s < — nil граничное значение, равное (± 1)п/’[6±с*]
соответственно,
Же (х + iy) (± 1)п Ж!с (± х) = (± If F [0±с.],	(2.6)
у —> 0, у s ± С.
148
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. It
Действительно, по доказанному, Жс (х + iy) е Xs при
е — С I) С и при любом з, а обобщенные функции F [6±с*]^Ж>
при всех s < — nj2 (так как 0±с* е 2?s при s < — ц/2). Поэтому
при s < — nil и у е= С, у—>0 имеем
|| Жс (х + iy) - F [9С*] ||; = || 8с*е- Ъ - 9С. ||^ =
=	1]2(1 +|^|2)s^_>0.
с*
Если же у е — С, у->-0, то
Жс(х + iy) = (-\)пЖс(—x—iy)- (-1)"Же (- х) = (-1)"F[9-C*],
и формула (2.6) доказана.
Из формул (2.3) и (2.6) для граничных значений ядер Жс[г)
и Ж_c(z) вытекают следующие соотношения:
Ж_с(х) = ^с(х) = ^с(-х),
^-с(х) = (-1Г^с(х),
х е R",
х е С U (- С);
(2.7)
Re Же (х) = j F [0щ + 0_с*| = 1 [Же (х) + Жс (- х)],
Im Же (х) = 1- F [6С. - 0_с*| = [Жс (х) - Же (- х)]. ,
(2.8)
Отсюда, учитывая тривиальные равенства
(9с* — 9-е*)2 = (бе* + 6-е*)2 = 9с* + 0-е*,
(0с* — 0-е*) (0с* + 6-е*)= 0с* — 0-е*
и пользуясь представлением (1.9) свертки, между обобщенными
функциями Re Жс(х) и 1т Жс(х) получаем следующие соотно-
шения:
- Im Жс * Im Жс = К.еЖс*Ъ.еЖс = (2л)"Re Жс, (2.9)
1т Жс * Re Жс = ±(2л)п 1т Жс.	(2.10)
Вычислим теперь вещественную и мнимую части ядра Жс(х).
Для этого при k = 0, 1, ... введем обобщенные функции
6<te)[(x, ст)] и
14 /J	(х, а)
действующие на основные функции ср из <9? по правилам
(бда [(X, ст)], ф) = (- 1/ 5 Ф w
(л, о) =0
ОО
ф) = (-1)*Ур $4- 5 ^-ф(х + Аст)1/5л^.
	(х-а)	7	Х (х,а%03%
§ Ю1
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
149
Введенные обобщенные функции непрерывно зависят в Я' от
параметра от на единичной сфере St (в смысле § 10.1).
Докажем равенство
(2.И)
Пользуясь представлением (2.2), при всех у е С и ср е Я
получаем
J ^c(x + Zz/)<p(x)dx = jnr(n) J J [(X| g)/^(y, р)]-я-ф(хМх =
рг С*
ргС*
Пусть теперь у->0, у е С. Тогда 0 < е = (г/, <т)->0 при аергС*
и интеграл
Sip (х) dx
[(х, а) + те]"
1 Г 1
Г (л) 3 Л те
(Х+\е)Д	) Ф (х + W dsx d\ =
(х. о) =0
( Ф (х + Ла) dSx dK =
дК (х.Й=О
Г (я)
<р (х + Ла) dSx dK
(х, а) =0
равномерно ограничен по (е, а) при всех 0 < е 1 и стерт С*;
далее, в силу формулы Сохоцкого (см. (8.3) § 1), этот интеграл
стремится при 8 -> + 0 к пределу
“ТОО 5 (do-)	Ф(х)^5х +
(х, о) =0
1
Г(«)
1 д'1-1
л алп-1
— 00
т. е. если воспользоваться введенными
делу
0)1 +-гм
Ф (х + Ла) dSx d).,
(X, о) -0
обозначениями, — к пре-
'ге 1
(х, о) ’ V
150
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Поэтому, переходя в интеграле (2.12) к пределу при у-*0,
у еС и пользуясь теоремой Лебега и предельным соотноше-
нием (2.6), получим равенство (2.11). При этом мы попутно
получили равенства
(х) = ГГ (п)	[(х, а) + гОК’	(2-13)
ргС*
1 _
[(х. о) + iO]"
__	](х -L	1 аепгГ
Г (п)	0	Г(я) •/	(х>	> перге.
Наконец, отделяя в (2.11)
получим следующие полезные
вещественную и мнимую
формулы:
части,
ReJfc(x) =
Im^c(x) —
n—\	-
л(—1) 2	б*"”1’[(х, о)] do, п — нечетное,
ргС*
(_ 1)«/2-1 С	do, п — четное;
J	(х, и;
ргС*
п-1 р	,
(—1) 2	\	7——rdo,	п — нечетное,
pr С*
зт(—1)п/2	6(ге-1) [(х, о)] do, п — четное.
ргС*
(2.14)
(2-15)
Пример 1.
ZG=TR+ = Tn, (2.16)
^„(x) = [nS(xi) + ^^-lx ... Х[лб(х„) + ^-7-1.
L	X 1 J	L	Xfi J
Пример 2.
Жу+(г) = 2гел2^1г(^41)(-22)“^±, геЛ+, (2.17)
где обозначено z2 = z^ — z| — ... — z2. Вычислим ядро Коши
(z). Как было сказано выше, его достаточно вычислить
при х = 0; поскольку (У+) = У+ (см. § 4.4), то
Xv+(iy)= \ e'{y‘i}dl, y^V+.
v+
Далее, в силу инвариантности этого интеграла относительно
собственной ортохронной группы Лоренца L+, достаточно вы-
s 10]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
151
числить его при у = (у0, 0), у0 > 0. Имеем
оо
^г+(й/0, °) = 5	=
у+	О	I5K5,
оо	оо
= -М	= e-Vdu-
п о	“Л о
= Г(»)»Л“” = 2"» г r(i±l)[-(ад- * .
Распространяя полученное равенство на все у е К+ и далее
на все z^Tv+, получим формулу (2.17).
Пример 3.
(Zj — n, n(n~^Lf 11 •••	Zef", (2.18)
где Фп — конус положительных «X «-матриц (см. § 4.4) и
Г^п — [Z — х + iY, Y = lmZ>Q], Для вычисления ядра Коши
X^n(Z) заметим, что = и поэтому, в силу (2.1),
^п(/У)= Je-sP<yE)dS,
^п
где сЕ — мера Лебега в Rre\
^£11 • •  ^£nn IT d Ro ^pqd Im ^pq*
P<?
В силу инвариантности последнего интеграла относительно пре-
образований У->Д-1УД, где Д — любая унитарная матрица,
этот интеграл достаточно вычислить для диагональных матриц У
вида y0 = [A.b ..., А„], X, > 0, / = 1, ..., «,
п
г - S х
X^n(iY0)= J е Р-1 р ppd^.
I
Далее преобразование gp<7->—т===г переводит на себя, а его
y'Kp'Kq
якобиан равен (X] ... Хп)" = (detУ0)п = (detУ)". Следовательно,
^„(iy0) = ^„(iY) = (dety)-n J e“spBdS.
152 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Последняя постоянная вычислена (см., например, С. Бохнер [2]),
р	п (п—1)
^e"spBdE = rt 2 1! ... (п — 1)!.
Поэтому
ra(rt—1)
(гУ) = Лл 2 1! ... (п - 1)! [det (/У)]"", Y <= <?„.
Распространяя полученное равенство на все Z е получим
формулу (2.18).
3. Преобразование Коши —Бохнера. Пусть	Функция
f &=72?^ (/)> Жс {-г ~ х'»’ 2 е тС и т~с	<3- о
называется преобразованием (интегралом) Коши — Бохнера-, здесь
конус С предполагается выпуклым и острым.
Так как Жс (х + iy) е при всех shijg- С[)С (см. § 10.2),
то в силу (1.10) правую часть (3.1) можно переписать в виде
свертки
f^ = -^f(x'^Xc(x' + iy), ге=!ГсиГ-с. (3.2)
Пример. При п = 1, С = (0, оо) и f е <?2 интеграл Коши —
Бохнера (3.1) превращается в классический интеграл Коши:
Функция f (г) голоморфна в Tc\jT с, причем
Daf & =	<*')’ (г - х')),	(3.3)
+ As (у)] A-ri/2~|а| (у),	(3.4)
где числа K_s,a те же, что и в оценке (2.5).
Голоморфность функции f (г) в ТС\}Т~С и формула диффе-
ренцирования (3.3) непосредственно вытекают из тех фактов,
что ядро Коши Жс(г) — голоморфная функция в ТС(]Г~С и
Ж с(х + iy) е при всех s и ye- CJC (см. § 10.2). Оценка
(3.4) следует из (3.3), а также из леммы § 10.1 и из оценки
(2.5):
I Daf (г) | <	|| f ||J БаЖс (z - х') Ц =
= Я	(х + zy)Ls <II f IL[ 1 + As (y)] A'nP-~!a' (y).
§101	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА	153
Докажем при всех s и у —С1)С оценки
|я“/(х + Ш<АШ 1И~|а|(*/)>	(3.5)
\\Daf (х-Н’М-ы <||f||s.	(3.6)
Действительно, из представления (3.2) и из определения
ядра JT’c(z) следует, что
F-1 [Daf (х + iy)] = ~уг F-1 [f * ОаЖс] = F~' [/] F"1 [оаЖс] =
= F'1 [fl &)а F~' [Жс\ = (Ф°F~x [f] (g) e~	(g). (3.7)
Поэтому
l|i>af (X + iy) £ = J | F~1 [f] (g) I21 ga I2 e-^'51 (1 +1 g I2)s dg <
<||f||2sup |g|2|“le-2te’l) = |lf||2supp2|a| sup	=
J<=C*	P>0 creprC*
= || f II2 sup p21 a'e-2pA= II f ||2 2"2'a'Д-21 al (y) sup «2|ale'“,
p>0	u>0
что и даст оценку (3.5). Аналогично, проще, выводится оценка
(3.6).
Функция f(z) при у->0, у^±С принимает по норме в
граничные значения f±(x), равные соответственно
Ь—(3-8)
Действительно, учитывая формулу (3.7), при у^С имеем
F[f (х + iy) - fj - F~l [f] (g) [e-^ 5) - 1] ec* (g).
Поэтому при y->0, y^C получаем
II f (X + iy) - f+ (x) ||s2 = J I F~1 in ll) I2[e~ 5) - 1 ]2 (1 +1 g ]2)s dl -> 0,
c*
что и требовалось. Случай л/—>0, z/e — С рассматривается
аналогично с использованием формул (2.6) и (2.7).
4. Преобразование Гильберта. Пусть f е Ж при некото-
ром 5. П ре образованием Гильберта П обобщенной функции f
назовем свертку
— w/,ta3f''	(‘1л>
Применяя преобразование Фурье к (4.1) и пользуясь (2.8),
получим
F[fJ = -i(Oc,-0_c,)m	(4.2)
154 интегральные Преобразования обобщенных функций [гл. п
откуда следует, что
и supple-С* U С*.	(4.3)
Если f е Жs, то условия
1)	supp F [/]<= — С* U С*,	(4.4)
2)	f =	(4.5)
3)	f = 72^f*Re^C	(4.6)
эквивалентны.
Действительно, из 1) -> 2) в силу (4.2) и (2.8)
Из 2)->3) в силу (4.1) и (2.9)
(2Л)	(2Л)
и из ассоциативности свертки (см. § 10.1). Наконец, из 3)->1)
в силу (2.8)
F[fl = (6c* + e_c*)m
Будем говорить, что обобщенные функции f и из 3^s обра-
зуют пару преобразований Гильберта, если они удовлетворяют
соотношениям (4.1) и (4.5):
h =	(4.7)
Пример. При п—\ (см. § 10.2)
^с(г) = 1, Re^c(x) = nd(x), ImJfc(x) = ^y
и формулы (4.7) принимают вид
f==±fl^Xt	(4.8)
Jv	Л	rfv	А
а соотношение (4.6) превращается в тождество f = f. При f е S’2,
формулы (4.8) превращаются в классические формулы преобра-
зований Гильберта.
Замечание 1. Отметим разницу между случаями /1=1 и п 2: при
/1 = 1 условие (4.4) выпадает, ибо — C*UC* = K1, в то время как при п>2
это условие существенно.
Замечание 2. Результаты этого пункта получены Е. Бельтрами и
М. Волерсом [1] (//= 1) и В. С. Владимировым [3] (п >2).
5. Голоморфные функции класса Яд* (С). Пусть С — выпу-
клый острый открытый конус, а 0 и s — вещественное число.
5 ю]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
155
Обозначим через Н{а (С) банахово пространство, состоящее из
функций f(z), голоморфных в Тс, с нормой (см. § 10.1)
Ц/||<f> = sup II f(x + iy)\\s.	(5.1)
ye=C
Обозначаем <)(C) = //(S’(C), II II?’= 11 ||<s).
Лемма. Пусть функция f(z) голоморфна в Tc и удовлетво-
ряет следующему условию роста: для любого е > 0 существует
число М (е) такое, что
Ilf (x + Zg)||s<M(e)e(a+8)liz ’[1 +A-V(z/)],	у<=С,	(5.2)
при некоторых s, а^О и у 0 (зависящих только от f). Тогда f (г)
есть преобразование Лапласа функции g из S?s' (С + Ua), где
s' = s, если у = 0, s' < s — у, если у > 0; при этом справедлива
оценка	_________
Ilgll^C Vs	inf inf [1+A'V(°f)l (5.3)
Доказательство. Введем обобщенную функцию gy(g)
из ®'(R"XC) по формуле
gy (g) =	1}F~X 1 [f (x + iy)] (g, y)-,	(5.4)
здесь F71 означает преобразование Фурье по переменным х
(см. § 6.2). Докажем, что gy(g) не зависит от у^С. Действи-
тельно, дифференцируя равенство (5.4) по г// и пользуясь усло-
виями Коши —Римана, имеем
= I/-[f (х+.»! + «/'• «F;•	-
=у} {i/;1 [f (х + iy)] + zf;1 f (х + й/>]} =
= е(у’ 5)К;‘ [/ (х + iy)] (X + z\) =о, j = i.п,
откуда, в силу критерия § 3.3, и заключаем, что gy(g) не за-
висит от г/еС, gy(£) = g(l). А тогда из (5.4) следует, что
g(£)е~(у'51 еУ' при всех у^С и
f(x + ^)=F[g(g)e-(z/,l)]) г(=тс.	(5.5)
Далее, по условию f (х + iy) е Ж. при каждом у е С, так что
в силу (5.5) g®e~{y’ 5) есть функция из и
llg(g)^ 5)|^ = ||/(х+ iy)\\l у<=С.
156
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Отсюда, в силу (5.2), при всех е > 0 выводим неравенство
5>(i+i£i2m<
< М2 (в) е2 (а+е) 1 у 1 [1 + A~Y(g)]2, У е С. (5.6)
Докажем, что g(g) = O почти везде вне C*-}-Ua. Пусть
go е= С* + t/a. По лемме 3 § 4.4
С* + Uа = [£: Ис (ъ) < «],
так что
Нс (&>) = — inf (go, У) > а.
рг С
Поэтому найдется такая точка у0 е рг С, что (go, у0) < — а — %
при некотором х > 0 (см. рис. 23). По непрерывности это нера-
венство сохранится и в достаточно малой окрестности | g — g01 < 6.
Поэтому, полагая в неравенстве (5.6) у = 1уй, при всех t > О
получим неравенство
e^ia+x) J |g(g)|2(l+|g|2)sdg<
I 8-So |<6
< J lg©M«(l+l№<
I l<e
<M2(e)e2i,a+8)[l +rYA-Ya/o)]2,
которое возможно (считая e < x) лишь при условии, что g(g) = O
почти везде в | g — g01 < д. Поскольку g0 — произвольная точка
вне С* + /7в, то g(g) = O почти везде вне С* -\-Ua, так что
supp gc:C* + U а.
Положим в неравенстве (5.6) у = to, t > 0, о е рг С. В резуль-
тате получим
$ |£®12е~2^ 4i+igi2m<
с*+йа
< М2 (в) e2t (а+е) р + —, t > 0.	(5.7)
L Д¥ (a) J
Пусть у = 0. Переходя в неравенстве (5.7) к пределу при
/—>-(-0 и пользуясь леммой Фату, получим
J I g® 12(1 +1 £ |2)srfg<4M2(e), е > 0,
с*+иа
откуда н следует неравенство (5.3).
Пусть теперь у > 0- Примем во внимание неравенство (ст, g)^
| g |, поделим неравенство (5.7) на /1-26, где 6 — произвольное
510]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
157
число 0 <6^1, проинтегрируем полученное неравенство по t
на (0, 1) и воспользуемся теоремой Фубини. В результате, считая
0 < е^ 1, получим неравенство
1
$ I g © I2 (1 + IS 17 J *2 H l dt dl C
c*+ua	0
<±-e2(«+1)M2(e)[l+A-V(o)]2.	(5.8)
Далее, учитывая оценку
i	i
J /2 (v+o)-ie-2< Ш	> min (1, | g Г2 (v+6)) J iz2v+1e-2u du >
0	0
^WTiiO+l^2)^6’
из (5.8) выводим оценку
$ I g (S) I2 (1 + IS l2)s~W dl < e2 <a+2) M2 (e) [1 + A"v (a)]2,
c*+ua
откуда и следует, что g е S’2' (С* + Ua) при всех s' = s — у —
— d<s — у и справедлива оценка (5.3). Наконец, из (5.4) сле-
дует, что f = L[g], Лемма доказана.
Теорема. Для того чтобы функция f (г) принадлежала
классу Н{а (С), необходимо и достаточно, чтобы ее спектральная
функция g(t) принадлежала классу 3?2(С* + t/a).
При этом справедливы равенства
Il ft'=11+IL -«е Ц.	<5-9)
где f+ (х) — граничное значение в %(is функции f (г) при у—>0,
у^С, причем f+ = F[g].
Доказательство. Необходимость. Пусть fеНа}(С).
Тогда из леммы (при у = 0 и 44(e), не зависящем от е) следует,
что /(z) = T[g], где g^^2(C+ йа).
Достаточность. Пусть f (z) — L[g], где g <= 3?2{C* + Ua)-
По доказанному (см. § 9.1), функция / (г) голоморфна в Tint С**=ТС
и представляется интегралом
f(z) = J g(g)e'^5>^ = F[g(g)e-^6>], z^Tc. (5.10)
с*+йа
158
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
Докажем, что f е Н(а (С). Пользуясь определениями норм
в пространствах На} (С), и 3?1, из (5.10) имеем
|| f ||W! = sup е~2а I» III f (x + iy) )|2 = sup e-2a 1» 1II g (Ю e~^< V ||2, =
= sup e~2a ltd \
c*+i/a
|g(g)l2e-2^«>(l+|M2r^ =
= $|g® I2(1 + W^=llg||^
t. e.
W = l|g|l(s).	(5.П)
Докажем, что функция f(z) принимает при y->Q, у^С
(единственное) граничное значение в равное f = 77[g]. Это
утверждение следует из предельного соотношения
II f U + iy) - F [g] II2 = IIL [g] (x + iy) - F [g] (x) II2 =
= J I g© - I]2(l +1 gl2)s^-0, y-+0, y^C.
c*+^a
Таким образом, llgll(s) = ||f+||s, что вместе с равенством (5.11)
и даст равенства (5.9). Теорема доказана.
Следствие 1. Пространства Н{а (С) и J?2(С* + Ua) (ли-
нейно) изоморфны и изометричны, и изоморфизм реализуется пре-
образованием Лапласа g —>L [g] = f.
Следствие 2. Всякая функция f (z) из Н{а (С) обладает
при у -> 0, у g С (единственным) граничным значением f (х)
в №s, и соответствие f->f+ изометрично.
Замечание. Теорема о существовании граничных значений в Ф^Р
была доказана другим методом X. Г. Тильманом [2] и 3. Лужским и 3. Хи-
лезным [1] (п = 1).
Следствие 3 (аналог теоремы Лиувилля). Если конус С
не острый и f е Но} (С), то f (z) = 0.
Действительно, по лемме 1 § 4.4 mesC* = 0. В таком слу-
чае, как это следует из доказательства леммы, функция g(I) = 0
почти везде в R", так что f (z) = L [g]	0.
6. Обобщенное представление Коши — Бохнера. В этом пункте
мы продолжим исследования предыдущего пункта при а = 0.
Теорема I. Для того чтобы функция f (z) принадлежала
Н^(С), необходимо и достаточно, чтобы она обладала обобщен-
ным интегральным представлением Коши — Бохнера
1	( f (z), z ,
(2 л'1) (/+ )>	(2 — х О = | Q 2 е J.-C (6> 0
& 10]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОШИ - БОХНЕРА И ГИЛЬБЕРТА
159
где f + (х) •— граничное значение в 36 s функции f (г) при у-+Q,
у^С.
Доказательство. Необходимость. Пусть/еЯ^(С).
По теореме § 10.5 f (z) есть преобразование Лапласа функции g
из ^(С*), так что
f(z) = F[g®e-^5>ec.(g)],	z^Tc,
0 = FhQ)e-(y'5,6-C4Ul	z^Tc.
Отсюда, пользуясь определением ядра 3i'c(z) (см. (2.1)) и при-
меняя формулы (1.7) и (1.9) для свертки, получим представле-
ние (6.1):
f и = 7S7" F И • = W’ {Л Хс{г ~ V)>’	2 ®
0 = -(Туг Fш .Х^ =	(/1 (/), Хс (г - X-)), rsrt
здесь мы воспользовались одним из равенств (2.3): ЗГ~с(г) =
= (—l)nX’c(z), а также соотношением f+ — F[g].
Достаточность. Пусть функция f (z) обладает предста-
влением (6.1). Тогда f е НЩС) (см. § 10.3). Теорема I доказана.
Замечание. При s = 0 теорема I превращается в теорему С. Бох-
нера [2]; при п — 1 теорема I получена Е. Бельтрами и М. Волерсом [1]; при
любых п. и s — см. В. С. Владимиров [3].
Теорема II. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	f+ есть граничное значение в 36 s некоторой функции из
(С)-,
2)	f+ принадлежит 36 s и удовлетворяет соотношениям
Ref+ = --j2~ Imf+*ImJfc, Imf+ = ~pr Ref+* ImJfc, (6.2)
т. e. Re f и Im f+ образуют пару преобразований Гильберта-,
3)	f+ принадлежит 36 s и supp F-1 [f+] cz C*.
Доказательство. l)->2). Пусть f+ (x) есть граничное
значение в 36 s функции /(z) из 77(S)(C). Тогда по теореме I
f+ е 36 s и для f(z) справедливо обобщенное представление
Коши — Бохнера (6.1), из которого в силу формул (3.8) следуют
соотношения
ft = -^f+>xc, 0~-Л^Ц.Хс.	(6.3)
Отсюда, отделяя вещественную и мнимую части, получаем соот-
ношения (6.2).
2)->3). Пусть / из 36s удовлетворяет соотношениям (6.2).
Тогда она будет удовлетворять и соотношениям (6.3). Применяя
160
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
к первому из соотношений (6.3) обратное преобразование Фурье
и пользуясь (2.6), получаем
f~‘ см=f "‘u+i f~' га - f~' см ’с®.
откуда и следует, что supp F~l [f+] cz С*.
3)—> 1). Если 1+<=Ж3 и supp F-1 [f+] <= С*, то F~'[f+]e
е£?1(С*). По теореме § 10.5 функция f (is) = L [g] e Hls> (С) и
граничное значение ее в <3$s равно F [g] = f+.
Теорема II доказана.
Замечание. При п = 1, С = (0, оо) = R^ формулы (6.2) принимают
следующий вид:
Re)+ = --J-Im)+*^l, Imf+=^-Ref+»^l.	(6.4)
J V	Л	J V	Л
Формулы (6.4) в физике называются дисперсионными соотношениями (без
вычитаний). Формулы (6.2) естественно рассматривать как обобщение диспер-
сионных соотношений на многомерный случай с причинностью относительно
произвольного выпуклого острого замкнутого конуса С*.
§ 11. Ядро Пуассона и преобразование Пуассона
1. Определение и свойства ядра Пуассона. Пусть С — выпук-
лый открытый острый конус в R" (с вершиной в 0). Функция
I Ж г. (х + iy) |2
(х, у) = (2я)п	(2iy) ’	(х, у)С=Т ,	(1.1)
называется ядром Пуассона трубчатой области 7’с; здесь Жс—
ядро Коши (см. § 10.2).
Пример 1 (см. (2.16) § 10).
(X, У) = яп| Jja .. J2„|2 =	(х, у).	(1.2)
Пример 2 (см. (2.17) § 10).
«(^-) (9.)^
й-	|U + w.rl 	<t3)
л
Перечислим свойства ядра Пуассона ^с, вытекающие из
соответствующих свойств ядра Коши Жс (см. § 10.2):
а)	0<^с(х, у) = ^с(-х, у)еСоо(7’с);	(1.4)
вытекает из голоморфности ядра Жс (г) в Тс и из того факта,
что Жс (21у) > 0, у е С;
б)	$^с(х, y)dx= 1, yt=C-,	(1.5)
§ II]	ЯДРО ПУАССОНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПУАССОНА	]61
вытекает из равенства Парсеваля, примененного к равенству
(2.1) § Ю:
J | Ж с (х + iy) |2 dx = (2п)п J е~2	dt, = (2 л)" Кс (2iy),	у е С;
с*
в)	&с (.X, у) < (2я)П	(2Z2/) ,	(х, у) s Тс\ (1.6)
вытекает из оценки
I Жс (х + iy) | < J е~(у- « dt, = Жс (iy)-,
г)	\\^с(х, У)\\^<
га (1 —— I 1-—
(2л) V р’ Жс р (2iy)
вытекает из (1.4) — (1.6) в силу
II (х, у) \^р =	(х, у) dx < sup SPPc~l (х, у) &с (х, у) dx <
< Ж2СР~2 (iy)
"" (2n)n{p~i} Жрс~1 (2iy) ’
Д) 0<FJ^c(x, у)]® =
вытекает из формулы для преобразования Фурье свертки и из
того, что
F71 [Же (г)] = 6С* а)е-(у’ 11 е= S’1,
F~xx [Же (г)] = 6с* (- g) е{у' 11 е= S?1;
е)	&с (х, у) > 0
— непрерывная положительно определенная функция при всех
у<=С (см. § 8.2); вытекает из (1.8) и того факта, что
[6с* (^ е-(У- 5)] * [ес. (_ у е(у. D] £=	С;
ж)	[Ос* (Q е~(у’ в] * [Ос* (—£)е(г/-^]3>0	(1-9)
— непрерывная положительно определенная функция при всех
t/eC; вытекает из (1.4) и (1.8);
з)	Fx[^c(x, y)](g) = e-i(y.5)l, ge-C’UC*, у е С; (1.10)
6 В. С. Владимиров
162
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. It
вытекает из (1.8) в силу следующих выкладок для geC*:
С -S'<=C*
6-!'еС*
-га®8''*’'5'
G	-с*
если же & е — С*, то доказываемое равенство остается спра-
ведливым в силу четности ядра &с{х, у) по х;
и)	|DM(x, у)|<м;ыпЛ-2пЧав1(1/), (х,у)еТс; (1.11)
вытекает из оценок (2.4) § 10 и из оценки
^c(2Z^)=	^-21^1151^ = ^,	х>0. (1.12)
с*	с*
к)	||Д.М(х,
< Кз. а, Р [1 + A" (Z/)][ 1 + А"р (Z/)] А"""1 “1 (Z/) I у Г,
у<=С, s>0, p>s + f,	(1.13)
так что (х, у)е 3^s ПРИ всех $ и у е С.
Вытекает из неравенств (1.11) § 10 и (2.5) § 10 и из оценки
(1.12):
II D^c (х, у) Ц = {2п}п^с(^ IID* [Яс (х + iy) rc(x + zy)] Il <
< Е ( ₽ ) D^c {х + /у) D“’P^(х + <
II В	Is
< -(ЖгЕ (₽)11 D^c (х+в D“’e^c (х+iy) t <
₽
в
2.	Преобразование и представление Пуассона. Пусть f е a^s,
— со < s < оо. Свертку (см. (1.Ю) § 10)
(х, у) = f (х) * ^>с (х, у) = (f (х'), ^>с (х — х', у))	(2.1)
назовем преобразованием {интегралом) Пуассона.
В силу к) § 11.1 интеграл Пуассона существует при каждом
у е С и является непрерывной операцией из в <^s.
$ 111
ЯДРО ПУАССОНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПУАССОНА
163
Пр и мер. Если = то интеграл Пуассона превра-
щается в классический интеграл Пуассона:
(х, y)=^f (х') &с (х — х', у) dx'.
Перечислим некоторые свойства интеграла Пуассона.
а)	ST (х, у) €= С°° (Тс)-	(2.2)
вытекает из (1.4) и из (1.13).
б)	\\&-(х, !/)|||<||^,	!/еС;	(2.3)
вытекает из (1.8) в силу следующих выкладок:
II & (х, у) ||2 = !1 /71 [F (х, у)] ||25) = || F"1 [Л Fx [<?с (х, у)] ||2, < || /1|2.
в)	Теорема (обобщенное представление Пуассона). Для
того чтобы f (г) принадлежала Hls>(C), необходимо и достаточно,
чтобы она представлялась единственным образом в виде инте-
грала Пуассона
f (г) = (х (х'), 0>с (х - х', у), г е= Тс,	(2.4)
где	и suppF-1[x]<= С*; при этом % = f+, где f+(x) —
граничное значение в 36s функции f (г) при у-+0, у ^С.
Доказательство. Необходимость. Так как f е
е Hls> (С), то по теореме § 10.5 существует функция g^S?}(C )
такая, что f+ = F [g] е
Ж =	2<=ТС.	(2.5)
Отсюда, пользуясь равенством (1.10), для функции f(z) получим
обобщенное представление Пуассона (2.4):
/(z) = F[g(^)Fx[^c(x, у)] ®] =
= Р [g] (х) * Фс (х, у) = (7 + (х'), &с (х — х', у)), z Тс.
Обобщенное представление Пуассона (2.4) единственно,
так как в силу (1.8) Fх [^с (х, у)] (£) =/= 0, g е Rre, у е С.
Достаточность. Пусть обобщенная функция х такова,
что g = F~l [х] е 5£\(С*). Тогда по теореме § 10.5 функция f(z),
определяемая формулой (2.5), принадлежит H,S)(C) и, по дока-
занному, представляется интегралом (2.4) с X = ^[g] — f+- Тео-
рема доказана.
Следствие 1. В условиях теоремы
Re f (z) = (Re f+ (x')> (x — x', z/)),
Im f (z) == (Im f+ (x'), (x — x', y)).
6*
164
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Следствие 2. Если f (х) — вещественная обобщенная функ-
ция из Ж3 и supp F [f] az — С* (J С*, то функция
и (х, у) = (f (х'), &с (х — х', у))	(2.7)
есть вещественная часть некоторой функции класса (С) и при-
нимает в смысле при у->0, у^С значение f(x).
Действительно, обозначая
получим f+^^s, suppF-1[f+]CZС* и / = 2Ref+, так что
и (х, у) = 2 Re (f+ (х'), 5% (х — х', у)).
Отсюда и из теоремы вытекают требуемые утверждения.
Пример. Функция Жс(г + 1у') принадлежит классу Н^(С)
при всех у' е С и s (см. оценку (2.5) § 10, в которой А (у + у')
>Ь(у'), У^С). Пусть С' — произвольный (выпуклый открытый)
подконус конуса С, С' cz С. Применяя формулу (2.4) к функции
Жс(г-}-1у') класса H<S)(C'), получим
Жс(г-)- iy') = ^Жс(х'+ iy')^C'(x — х', y)dx',
(х, у) «= Тс\ у' cz С.	(2.8)
Отсюда, пользуясь неравенством Коши — Буняковского и равен-
ством (1.5), получаем такое неравенство
IЖс (z + iy') |2< | Жс (х' + iy') Р^с' (х — х', у) dx' X
X Фс'{х — х', y)dx’ — ^С'(х — х', у)\Жс(х' + iy') |2dx'. (2.9)
В терминах ядра Пуассона (1.1) неравенство (2.9) принимает
вид
С
(х, у+ у )^ ^ (iy + iy') }^с’(х — х , у)0>с<х , у) dx’,
(х,у)е=Тс', у'е=С.	(2.10)
В частности, при С' = С, у' = у формула (2.10) принимает вид
^с(х, 2у)^2п^с(х-х', у)^с(х', y)dx', (х,у)^Тс. (2.11)
Здесь мы воспользовались свойством однородности (степени — п)
ядра Жс (см. (2.3) § 10).
§ 11]	ЯДРО ПУАССОНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПУАССОНА	]65
3.	Граничные значения интеграла Пуассона.
а) ^с(х, у)ф(х)йх->ф(0),	у->0, у<=С (3.1)
для любой функции ф е S’00, непрерывной в 0.
Для доказательства этого утверждения, в силу (1.5),
достаточно установить следующее предельное соотношение: для
любого б > О
U, у) dx -> 0,	//->0, у^С. (3.2)
Ul>fi
Построим вспомогательную функцию со(х) со свойствами:
1)	со — вещественная непрерывная функция в R", со(х)—>0,
|х|->оо;
2)	со (0) = 1, | со (х) | < 1, х =/= 0;
3)	^с(х, у) со (х) dx -* 1, г/->0, у е С.
Пусть т] е Ф (int С*), п > 0, г; (g) d% = 1 (int С* =#= 0, так как
С — острый конус; см. § 4.4). Функция
со (х) — Re ц (£) е1 <*•	ц (£) cos (х, £) сД
обладает требуемыми свойствами 1) —3). Действительно, свой-
ство 1) вытекает из теоремы Римана — Лебега. Докажем свой-
ство 2). Ясно, что со (0) = 1 и |со(х)|<С1. Пусть со(х0) = ±1,
х0 0, т. е. 1 = ± г] (1) cos (xu, |) dt,, что противоречит усло-
вию ^р(2)сД = 1. Свойство 3) вытекает из следствия теоремы
§ 11.2, в силу которого
Re п (£) е‘1г' & d^= (х — х', у)ы(х') dx', z е Тс.
Полагая здесь х = 0, учитывая (1.4) и переходя к пределу при
у—> 0, у^С, получим соотношение 3).
Пусть б > 0. В силу свойств 1) и 2) существует такое число
е > 0, что |со(х)|<1 — е, |х |б. Отсюда, принимая во внима-
ние свойство 3), получим
1—	lim Г \ &с (х, у) со(х) dx + \	^с(х, у)со(х) dx |
Li х ।|j>e	J
lim Г \	(-С У) dx + (1 —- е)	&с (х, у) dx]
у->0, у<=С J<6	|х|>6	J
lim Г1 —е \	(х, у) dx 1,
у > 0, у е= С I	I ii s	I
и и L	| х |>5	J
что и доказывает соотношение (3.2).
166
интегральные преобразования ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. п
б)	Если f е 3@s, то ее интеграл ПуаСсона
ff~(x, y)->f(x),	у->0, y<=Ce#es.	(3.3)
Действительно, в силу (1.8) и (3.1)
\Fx[0>c(x, z/)]®-H2<4,	£€=Rn, z/eC;
\Fx[&c(*. «/)]©—И2 —
= | J (х, у) e~l{x- dx — 1 —>0,	у->0, у^С.
Поэтому (ср. (2.3)) в силу теоремы Лебега при у —> О, I/ еС
II & (X. у) - f (х) = и;1	(х, у) - f (x)J ||2S) =
= JI Fx \&c (x, У)1 ® - 1 N F~1 [f ] ® |2 (1 + I £ 17 -> 0,
что и требовалось доказать.
в)	0>с(х, z/)->6(x), у->0, у^С в 3^s, s<—п/2; вытекает
из (3.3), так как	при всех s < — п/2 и
(х, у) = б (х) * &с (х, у) -> б (х), у -* 0, у е= С в 36s.
г)	Предельное соотношение (3.1) в случае п-гранного конуса
С = [у. (у, 61) > 0,	(у, еп) > 0] (см. § 4.4)
допускает расширение на более общий класс функций <р (х),
а именно: если <р (х) непрерывна в 0 и такова, что ограничен ин-
теграл
(х, z/) | <р (х) | dx <уе=С, | у | < а, (3.4)
то
J ^с (х, у) ф (х) dx-+y (0), у -> 0, у е= С.	(3.5)
Действительно, так как (неособенное) линейное отображение
z->Tz = [(z, <?]), ..., (г, <?„)]
переводит область Тс на область Тп (см. (2.16) § 10), то это
утверждение достаточно доказать для конуса R+ и ядра
&п(х, у) = П — - ’-2 (см. (1.2)).
1</<п п xi + yi
В силу_(1.5) для этого достаточно доказать, что при всех б>0
(б < V«)
^п(х, y)\(p(x)\dx->0,	у—^0, y^Rn+. (3.6)
UJ>0
S nJ
ЯДРО ПУАССОНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПУАССОНА
167
Но предельное соотношение (3.6) вытекает из оценки
1	2	.	। ба
4 + Н "" х^+(б2а?)/н ’ Xk ^п
и из оценки (3.4) в силу следующей цепочки неравенств при
I У I < a 1 ~ V ’ У е R+
5 ^п(х, y)\q>(x)\dx^
|х|>6
V* Ух-.-Уп С	IФ (*) I dx <
<-- 9 V У| ••• Уп f __________|ф(х)|4х__________
.«й»	1 он ю--«+(»м/«) («»+«
<2^- У	Si. • -^....К»)| <Р (») I Ля <
«» iA. J k V“ ’
£ Л.
l<fe< п.
д) Для n-гранного конуса С (см. г)) справедливо следующее
утверждение: если Р (х) — полином и интеграл
j | Р (х) |	(х, у) dx < оо
для некоторого у^С, то Р(х) = const.
Действительно, как и в г), это утверждение достаточно до-
казать для конуса R" и ядра SPn(x, у). При п=1 оно просто
доказывается по индукции по степени полинома Р. Далее, при-
меняем индукцию по п: пусть
Р (х) = х™Рт (х) + ... + x„Pj (х) + PQ (х), Я = (хр .... х„_,);
тогда по теореме Фубини интеграл
оо
$ \хпрт^+ ••• +Л>(*)|^1(А- yn)dxn<00
— оо
при почти всех х е К"'1, и поэтому по доказанному Р (х) = Ро (х)
и т. д.
Замечание 1. Возникает вопрос: справедливы ли утверждения пунк-
тов г) и д) для произвольного острого (выпуклого) конуса С. Утверждение д)
для конуса V+ (п = 3) доказано В. С. Владимировым [10], II-
Замечание 2. При s = 0, т. е. в Жо = S’2 (и в , 1 < р < оо), эта
теория (другим методом) изложена в книге Е. Стейна и Г. Вейса [1].
168
интегральные преобразования обобщенных функции щл. и
§ 12. Алгебры голоморфных функций
В этом параграфе мы дадим внутреннее описание преобра-
зования Лапласа обобщенных функций из алгебр ‘Т’ДС*-]-) и
подобно тому, как это сделано в § 10.5 для функций
из ^(c*4-t/fl).
1. Определение алгебр Н+(С) и Я (С). Пусть С —связный
открытый конус с вершиной в 0. Обозначим через Р) (С),
а^О, 0, а>0, совокупность всех функций f(z), голоморф-
ных в Тс и удовлетворяющих следующему условию роста:
|/(z)|<Alealyl(l+|z|T/2[l + А-0(у)], г^Тс. (1.1)
Сходимость (топологию) в Н(а’(С) введем в соответствии
с оценкой (1.1) с помощью нормы
Пространства Н{'а1’ (С) — банаховы и
Я?’ р) (С) с //'“/• ю (С),	<х'>а,	а'^а,	(1.2)
причем включение (1.2) понимается вместе с соответствующей
топологией, в силу очевидного неравенства
Обозначим
II ft
(1.3)
На(С)= и н(аЛ)(С), н+(С) = и На(С),
а > 0, |3 > 0	а > 0
Н°а (С) = U	Н°+(С) = U На (С)-
s	а > 0
Совокупность Н+(С) образует алгебру функций, голоморфных
в Г17 и удовлетворяющих оценке (1.1) при некоторых а^О,
а^О и ₽>0, относительно операции обычного умножения. Эта
алгебра — ассоциативная, коммутативная, содержит единицу и
не содержит делителей нуля. Далее, HQ(C) = Н (С) — подал-
гебра алгебры Н+(С), содержащая единицу. Пространства
На(С), Н+(С), На(С) и Я°+(С) мы наделяем топологией индук-
тивного предела (объединения) возрастающей последователь-
ности пространств Я^Р)(С), На(С), Н^(С) и Н°а(С) соответ-
ственно (см. Ж- Дьедонне и Л. Шварц [1], Н. Бурбаки [1]).
В дальнейшем при а = 0 соответствующий индекс 0 мы будем
опускать.
2. Изоморфизм алгебр ^'(С*+)~Я+(С) и У>’ (С*) ~ Н (С).
Пусть С — острый выпуклый конус. По лемме 1 § 4.4 intC*=^=0.
§ 12J	АЛГЕБРЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ	169
Выберем (произвольный) базис eh ..., еп в R" такой, что
бу е print С*, /=1, п. Построим полином
= z) ... (еп, z).
Полином I (г) назовем допустимым для конуса С. Так как
(ejt у)> 0 при всех у Е С, то
I (z) = [(eb х) + i (еь z/)] ... [(еп, х) + г {еп, z/)] =# 0, ге Тс. (2.1)
Теперь убедимся, что справедлива следующая
Лемма. Пусть функция f (г) голоморфна в Тс и удовлетво-
ряет следующему условию ростах для любого числа е > 0 суще-
ствует число М (е) такое, что
\f(x + iy)\<M (е) е(а+е) 1 у 1 (1 +1 г |2 * * *)а/2[1 + А-в (г/)], г е Тс, (2.2)
при некоторых а^О, а^О и {зависящих только от f).
Тогда f (z) при 6 > а + м/2 представляется в виде
f{z) = l6 *(z)f6(z), f6^H^{C), s < — р — n (6 — 1/2), (2.3)
llfXS)<^,6 inf M (e) inf [1 +A-B-re,6-1/2)(o)];	(2.4)
0<e < 1 ueprC
здесь I (z) — любой допустимый полином для конуса С.
Доказательство. В силу (2.1) функция
/б(г) = /(г)Г6(г)
голоморфна в Тс. Так как {в;, у) о| у |, / = 1, ..., п, у Е С,
при некотором о > О (см. (4.1) § 4), то
1 (/, г) I2 = [(е„ х)2 + (еь г/)2] .. . [(е„, х)2 + (еп, у)2] >
> [(?!, х)2 + а21 у |2] ... [(еп, х)2 + о2| у |2] >
> (а IУ I )2л“2 [(ей х)2 + ... + (е„, х)2 + о21 у |2], z е Тс. (2.5)
Так как векторы еь ..., еп линейно независимы, то существует
такое число b > 0, что
(еь х)2 4- ... + (е„, х)2 > &2| х |2.
Отсюда, продолжая оценки (2.5), получим
\l(х + iy) I2>(о I у |)2"-2 [ф21 х |2 + а21 у |2],	z е Тс.
170
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Учитывая полученную оценку и оценку (2.2), при всех геГс
имеем
I h (X + iy) I2 = I f(x + iy) \2\l (x + iy) r2fi <
< M2 (p\ p2 ,a+el 1 y I (! + I X + гу|2)а[1 + A~e (y)]2
<• KiM2 Ы p2 <a+8) 1 y 1 t1 + аР(у)]20 +|xp + |y|2)a
u	Д2В(у)Ш2в<п-'Ч|х|2 + |у|2)6
< К2 M2 (p\ P2 <a+e)	1 y 111 +	aB	mJ2 П	+1	* I2 + a2 (y)]°.
здесь	мы учли	также, что А (у)	| у | и	б	> а.	Поэтому
II f6 (* + »/) II2 <
<г /г2 м2 (р\ р2 (а+й ।у । ь +дВ (у)]2	с II
(61 в	Д26 + 2в (п-1)	J [
< К\М2 (р\ е2 (а+е) 1 у 1 -	+ аВ
(61 е	Д2Ц+П (26-1) (у-
В силу выбора числа б, 26 — 2a > п, а тогда 2a и (26—1) и,
продолжая наши оценки, получаем
II f6 (х + iy) ||| <
< KlM2 (в) e2 (a+e>1 *1 [1 + A"0"" (6-1/2> (y)]2, yt=C, (2.6)
Iя
1“
-dl.
где число К-2 зависит лишь от а, р, 6 и от допустимого поли-
нома I. Оценка (2.6) показывает, что функция f6 удовлетворяет
условиям леммы § 10.5 при s==0 и у = р + л (6 — 1/2). Поэтому
/с = £[£в]’ где ge е (с* + ^а)’ S < — р-м(б —1/2), и удо-
влетворяет оценке
Iг>«м <VЛ+-76-„№-И)-о<" ,м<).Лс0 + A-vW1
По теореме § 10.5 )6 = L[g,]s Я^>(С) и удовлетворяет
оценке (2.4) с некоторым KSf6. Лемма доказана.
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	f принадлежит На{С)\
2)	f представима в виде
f(z) = l4z)f6(z), /6 = L[gJe=tfW(C)	(2.7)
при всех допустимых полиномах I (z) для конуса С при всех
s < s0 и при всех б > б0 n/2 (s0 и 60 зависят только от f);
3)	/ обладает спектральной функцией g из (С* + Ua).
При этом непрерывны операции f ->	g-^ f-
§ J2J	АЛГЕБРЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ	171
Доказательство. 1) —>2). Пусть f е //<*,S) (С). Из леммы
(при М (е) = || f ||(“’0)) следует, что при 6>a + n/2 /(z) предста-
вима в виде (2.7), причем функция	$< —р —
— п(б—1/2), и удовлетворяет оценке
IlMa’CWlla’*5’ inf [1+Д-₽-я(д-,/2,(а)].	(2.8)
я е pr С
Оценка (2.8) и означает, что операция f—>fe непрерывна из
Я?’р) (С) в (С).
2)->3). Пусть /(г) представима в виде (2.7). Считая
6>S0^n/2 целым и пользуясь теоремой § 10.5 и свойством б)
§ 9.2, заключаем, что спектральная функция g функции / пред-
ставима в виде
g® = l6(~iD)gs®,	+	(2.9)
т. е. g^^(C* + Ua).
3)->1). Пусть f = L[g], где. g е= 9>' (С' + Ua). Тогда f (г)—
голоморфная функция в 7-intc** — тс и представляется в виде
(см. § 9.1)
где т]5С“; п(Ю=1> Iе (С* + Са)е/2, П© = 0, 1ё=(С* + иа\>,
IПат] (|)| са (е); е — любое, 0<е^1. Так как g^SP', то по
теореме Л. Шварца (см. § 5.2) она имеет конечный порядок т\
далее, по доказанному в § 9.1, r](g)ez <г'5) ^9° при всех г^Тс.
Поэтому при всех z^Tc справедливы следующие оценки:
। f (z кин_т11па)ег <г-чт=
=uiLm supi (1 +
| а | < m
<kLm supg (l+|g|2)m/2£ (J)e~^4zB||£a"M)l<
0<a	7
«UeJIHMiHHzl2)'"'2 SUP (1 +
I <= (С*+Йа)е
<^(e)UlLm(l+|z|2r/2X
X { e ctSUP| < a+s (1 +1 gj + g2 p)m/2e-(y. 5,)-(y. 5,)
< KX ОО И g U e<a+e> (1 + I z |2)m/2 ^sup. (1 + | g, |2)m/2	5.) <
< KX (e> II g H-m e(a+8) 1 y 1 О +1 z I2)"1'2 sup (1 + р2Г/2 e~^	<
O >0
KX (8) || g U I л (1 +1 Z IT12 sup [1 + д^-f/? e-{
172
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ обобщенных ФУНКЦИЙ (ГЛ. II
т. е.
I f(z) I < Кт (в) II g ||_m б(а+е) 1 у 1 (1 4- 1 z [1 + \~т (г/)], Z е= Тс.
Таким образом, функция f(z) удовлетворяет условиям леммы
с а = р = т и М (е) = Кт (е) || g ||_m- В таком случае при
S > т + п/2 она представима в виде (2.7), где f6 е Н^> (С) при
$< — га — п(6 — 1/2) < 0, и удовлетворяет оценке
Щ*	inf /„(») inf [1 +Д-"-"»->»>(<,)] =
"°	0<e <1	oe prC
= Ks. e II g ||_m. (2.10)
По теореме § 10.5 функция /e(z) есть преобразование Лапласа
функции g6 из ^(С* + [/а),
Ш = J	z^Tc, (2.11)
c*+t/a
удовлетворяющей в силу (2.10) неравенству
llg6IU = yt</<s,6llglLm-	(2.12)
Применяя к интегралу (2.11) неравенство Коши — Буняковского
и пользуясь определением нормы в пространстве 2?s, при всех
zg ?'с будем иметь
lf«(z)l< J lg6(g)l(l + RI2)s/2e-^^’(l+|g|2r/2^<
c*+t/a
KllgeQ J (l+|glTse-2<^>dq1/2. (2.13)
Lc*+na	J
Прежде чем продолжать оценку (2.13), отметим неравенство
-(У,	А(1/)( Igl-a)6(|||- а) + а\у |,
у^С, 1^С* + иа.	(2.14)
Действительно, если g = g, + g2, еС’, | & К а, то
— (У, I) = — («/> 11) — (У,	— Д (у) I Si 1 + а| У К
fa|z/|,	если | g I < а,
aA(«/)(I£| —a) + a|z/|, если |£1>а.
§ 121
АЛГЕБРЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ
173
е-2Д (у) ( Ц а) 6(|6 1-а)+2а | у |
Учитывая неравенство (2.14), продолжим оценку (2.13):
О) 12<
$ (1+шт
0*+г/а
<1Ы1^2а|г/|
5 |<а
-Se-2A (У) (15|-“)(/Я =
I «1>О	J
-	оо	X
= II It,е2а 1У1) < Ю + ап J U +	(/•+«)""' е~2Д Wr dr }=
'о	'
чы;./”1’1 И<“>+м
о
и
мИ
и
Mil
' Д(г/)Г
т. е. при некотором МДа)
I Иг) I < *1, (а) 8 g. Il„ а" । • Т1 +	(»)].
С
Отсюда, принимая во внимание оценку (2.12), из представле-
ния (2.7) получаем
I f (г) I = 116 (г) 11 fе(z) \<Ms(a)\z \п6||g&||(J)1 *1 [ 1 + As~re/2(у)]<
< Ms (a) Ks, e II g ||_m еа 1 у 1 (1 +1 z |2Ш1 + As’n/2 (г/)], z е= Тс,
так что f^Ha&,s Л/2)(С) и операция g->f непрерывна из
?'(C* + Ua) в На(С).
Осталось заметить, что операция f6-+ g6 непрерывна из Н°а (С)
в So(C*+ L/J (по теореме §_10.5), а операция g^~>g непрерывна
из So(C*-\-Ua) в Д' (С* + Ua), в силу (2.9). Теорема доказана.
Следствие 1. Алгебры Н+(С) и 9^' (С* +), а также их
подалгебры Н (С) и Э9'(С*) изоморфны, и этот изоморфизм осу-
ществляется преобразованием Лапласа.	_
Следствие 2. Для того чтобы g^9"(С* + Ua), необходимо
и достаточно, чтобы для любого допустимого полинома для
конуса С и для любого целого числа 6	60 (g) она представля-
лась в виде	_
g (Ю = (- iD) g& (g), g6 S' (C* + ua), (2.15)
причем операция g-> g& непрерывна из Ф' {С* + Ив Sq (С* + Uа).
174
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Следствие 3. Операция f -> Daf непрерывна в На (С).
Это следует из непрерывности операций
f-+g-*te)ag-+Daf,
Замечание. Эти результаты другим методом были доказаны В. С. Вла-
димировым [4].
Следствие 4. Всякая функция f (z) из Н+ (С) имеет (един-
ственное) граничное значение f+ (х) при у -> О у е С в , равное
F [g] = f+, причем операция f -+f+ непрерывна из Н+ (С) в 9е'.
Замечание. Теорема о существовании в У граничных значений
у функций из алгебры Н (С) была доказана В. С. Владимировым [8, 5] и
X. Г. Тильманом [1]. Приведенное здесь доказательство содержится в работе
В. С. Владимирова [6]. Более общие концепции граничных значений голо-
морфных функций рассматривались в работах Г. Кёте [1] (S>')> М. Сато [1]
(гиперфункции), X. Коматсу [1] (ультрараспределения) и А. Мартино [1].
3.	Теорема Пейли — Винера — Шварца и ее обобщения.
Теорема Пейли — Винера—Шварца. Для того чтобы
функция f (z) была целой и удовлетворяла условию роста: для
любого е > 0 существует число М (е) такое, что
1Нг)|<Л4(е)е'«+е)^1(1 +|z|2)a/2, гб=С", (3.1)
при некоторых а^О и а^О (зависящих от f), необходимо и
достаточно, чтобы ее спектральная функция g принадлежала
S'(U^. При этом f(z) удовлетворяет условию роста
(1 +|z|2)a'/2, zeC",	(3.2)
при некоторых М и а' а.
Доказательство. Необходимость. Пусть f (z) — це-
лая функция, удовлетворяющая условию роста (3.1). Тогда по
теореме § 12.2 f(z) есть преобразование Лапласа обобщенной
функции g из ^'(C* + Ua) для любого выпуклого острого
конуса С. Следовательно,
supp g <= П (С* + ^а) = Ua,
с
так что g (Ua).
Достаточность. Пусть f (z) есть преобразование Лапласа
обобщенной функции g из (Ua). Покроем R" \ {0} конечным
числом выпуклых острых открытых конусов С/, /=1, ..., AL
Тогда ge^"(C/ + Ua), j=l, N. По теореме § 12.2 в каждой
области Tcl f(z) удовлетворяет оценке типа (3.2),
|f(z)KAf/ea|y|(14-|z|2)a//2, z^Tci, ..........N. (3.3)
§ 12]
АЛГЕБРЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ
175
Обозначая Af = maxAf; и а = таха/, из (3.3) получим оценку
i	j
(3.2) в С". Теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы функция f(z) была целой и
удовлетворяла условию роста
If (z)|< KNea । (1 + |z|2)~", zeC", (3.4)
при всех N О, необходимо и достаточно, чтобы ее спектральная
функция ф принадлежала и supp ф с 17а. При этом
KN= J |(1-А)"фШ^.
111 <а
(3.5)
Вытекает из теоремы Пейли — Винера — Шварца и из оценки
iLfoi^i^a+izi2)-"
еигл)(1_д)лгфа)^
<(l+|zlT‘Vlyl $ I(1 — Д)АГф(б) Irfg, фЕ®, suppTczt7a,
Н1<в
N — целое 0.
4.	Пространство На (С) — проективный предел пространств
На'(С'). ПуСТЬ С' — выпуклый открытый конус, компактный
в конусе С, и а' > a^Q. Обозначим через А' {у) расстояние
от точки у до границы конуса С'. Тогда A'(z/)<A(y), у^С',
и поэтому справедливо неравенство
I Иг) I
sun е~ I у I---------------------------------------
ДД' (1 + I * 12)а/2 [1 + Д'-В (1/)]
SLID 6~ а \у 1-------------JXiBil-------------
г	(1 + I г |2)а/2 [1 + Д-Р М] ’
т. е. (норма Ц If соответствует конусу С')
iifC0,<iifii(aa’B’,
откуда заключаем, что
Яв(С)с=ЯвДС'),
причем это вложение непрерывно.
Введем пересечение пространств
П На'(С')
С с С, а'>а
(4.1)
(4.2)
со сходимостью ffe->0, &->оо, если ft->0, k->oo в каждом
из пространств На' (С'). Другими словами, снабдим это пе-
ресечение топологией проективного предела (пересечения)
176
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 11
убывающей последовательности пространств На'(С'), а' —>а + 0,
С'-* С, С'еС. Имеет место равенство
На(С)= П ЯвДС'),	(4-3)
С' <= С, а'>а
справедливое вместе с соответствующей топологией.
Действительно, справедливость вложения
На(С)с П НаДС')	(4.4)
С' е С, а'> а
в силу (4.2) уже доказана. Докажем обратное вложение
П НаДС')<=На(С).	(4.5)
С' С, а'>а
Пусть	при всех С' С и а' > а. По теореме § 12.2
f — L [g], где g е Д’ (С'* + Ua'). Замечая, что
п (С'* + иа.) = С* + иа,
С' я С, а’>а
заключаем, что g е (С* 4-t/a) и, следовательно, f(z)e На(Д).
Далее, операция f -> g непрерывна из На’(С') в S?' (С'* Д- Ua').
Но
П A(C'* + Ua^A(C* + Ua)
С я С, а'>а
и это равенство непрерывно в обе стороны. Наконец, операция
g-+f непрерывна из ^"(C*4-t/a) в На(С). Это и значит, что
вложение f -> f непрерывно из	НАС') в На(С). Вло-
С я С, а’>а
жение (4.5) вместе с вложением (4.4) и дает равенство (4.3),
что и требовалось.
Равенство (4.3) дает другое определение функциям класса
НДС), удобное для приложений.
Для того чтобы функция f(z), голоморфная в Тс, принад-
лежала На (С), необходимо и достаточно, чтобы для любых
конуса С еС и числа е > 0 существовали числа а' А О, (У А О
и М' > 0 такие, что
I f (г) |< М'е<а+е) ।г/1 (1 +	, геГ. (4.6)
Действительно, если f е НДС), то / е/Да ’(С) при некото-
рых а^О и р Д 0, так что / удовлетворяет неравенству (1.1).
Пусть С' С. По лемме 1 § 4.4 существует такое число н > О,
что
A(t/)= inf (а, у)А*\У I, У^С'.
о е pr С*
Отсюда и из неравенства (1.1) следует неравенство (4.6) при
₽ = 0, (Y = р и некоторых и М' (С')^М.
§ 12]	АЛГЕБРЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ	177
Обратно, если f(z) голоморфна в Тс и при любых С'С
и е > 0 удовлетворяет оценке (4.6), то, учитывая, что A' (z/)	| у |,
где А' (у) — расстояние от у до дС', получим f е На+г (С').
Отсюда, в силу (4.3), следует, что f е На(С).
5.	Представления Шварца. Пусть острый (выпуклый откры-
тый) конус С таков, что его ядро Коши Ж c\z} есть делитель
единицы в алгебре Н (С), т. е. v  s И (С). Такие конусы С
Л £ уХ J
назовем регулярными *). Например, конусы ₽ + и К+ регулярны
(см. ниже, § 13.5).
Ядром Шварца области Тс, где С — регулярный конус, от-
носительно точки z° = х° + iy° е Тс называется функция
Q> (z. zox —	_ д> / о у0) z е Тс п
Лс\г,г)— (Чп)п Жс(г — г°) Лс{х , у ), z^l .	(o.l)
Отметим некоторые свойства ядра Шварца.
a)	^c(z; z) = ^c(x, z/), z^Tc.	(5.2)
Вытекает из (5.1) при z° = z, из определения ядра Пуассона.
(1.1) § 11 и свойства (2.3) § 10 ядра Коши.
б)	(z — х’\ z° — х') dx' = 1, z^Tc, z°<^.Tc.	(5.3)
Вытекает из равенства Парсеваля, примененному к равенству
(2.1) § Ю,
\Жс(г- х') Жс (- z° + х') dx' = ^Жс(г~ х') Жс (z° - х') dx' =
= (2л)п j е1 5) dl = (2я)пЖс (z - z°),
с*
и из свойства (1.5) § 11 ядра Пуассона.
Жг (2iy)
в)	| <?с (г; г°) | С	Ж: (х, у) +
+ [|^(z^S)'| + ^(Д у°), z^T^, ^Тс. (5.4)
Вытекает из определений ядер Шварца и Пуассона и из оценки
21 ab |<| а |2 + | b |2.
*) По-видимому все острые конусы регулярные; для однородных конусов
положительности доказано, что Жс (г) #= 0, z е Тс (Ротхаус [1]).
178
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. П
Пример 1 (см. (2.16) § 10 и (1.2) § 11).
^R„(z;z°) = ^n(z;z°) =
М’-Ц г«)	1,г,
В частности, при п=\, С = (0, оо)
(z-, z°)=4- (г - wO ’ Re (z; z0)=(x>
Пример 2 (см. (2.17) § 10 и (1.3) § 11).
n+1
2
7£r-^v+(x0, У0).
2
гРЦ11') [-(
Уу-ь (z; z°) =	7Г+Т
Л 2 (— Z2) 2
Пусть граничное значение f+(x) функции f{z) класса Н (С)
(см. § 12.2) удовлетворяет условию
f+(x)^c(x-z°)e=^s	(5.5)
при некотором s и при всех z° е Тс. Тогда обобщенная функ-
ция (5.5) есть граничное значение в 9*' функции f(z)Xc(z — z°)
класса Н(С), и поэтому носитель ее обратного преобразования
Фурье содержится в конусе С*. По теореме II § 10.6 функция
)(г)Жс(г — z°) принадлежит классу Hls) (С) и ее граничное зна-
чение в a@s равно f + (х) Жс (х — z°), поскольку Ж с (х + iy) е 0М
при всех у е С (см. §§ 5.3 и 10.2, оценка (2.4)). Применяя
теорему I § 10.6 к функции f (z) Жс (z — z°), получим равенство
f(z)Xc(z-z°) =
= -~r(f+(x')^c(x'-z0), ^c(z_x^t z^TCt
(5.6)
Полагая в (5.6) z° = z и принимая во внимание равенство (5.2)
для функции f (z) выводим обобщенное представление Пуассона
f (z) = (f+ (х'), (х - х', у)), Z е 74	(5.7)
Далее, меняя ролями z и z° в формуле (5.6), получим ра-
f (z°) Жс (z° - z) =	(f + (х') Жс (х7 - z), Жс (z° - х')),
откуда, переходя к комплексному сопряжению, выводим
f (z°)Жс (z - z°) = Т-Ар- (f + (х') Жс (Z - х'), жс (х' - г°))_ (5.8)
АЛГЕБРЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
179
§ 121
Вычитая из равенства (5.6) равенство (5.8), имеем соотношение
^c(z-Z°)[f(z)-f(z°)] =
=	(Im f _ (х')> Жс (z - х') Жс (х' - z0)),	z 6= Тс, г(!<=Тс.
(5.9)
Пусть С — регулярный конус, так что Ж с (z) #= 0, z е Тс.
Разделим равенство (5.9) на Жс(г — г°) и заменим в (5.9)
Im f (z°) в соответствии с формулой (5.7)
Imf(z°) = (Imf+(x/), ^с(х°-х', у0)), z°g=Tc. (5.10)
В результате получим представление
f (z) = i (im f + (x'), -^Xc(z-x,)X'c(x'-zf1)-
-0>c(x°-x', y°))+Ref(z°)
или, пользуясь определением (5.1) ядра Шварца,
f (z) = i (Im f + (x'),	(z — x'; z° — x')) + Re f (z°), (5.11)
z e Tc, z° 6= Tc.
Формула (5.11) называется обобщенным представлением Шварца.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Если С — острый конус, то всякая функция f (z)
класса Н (С), удовлетворяющая условию (5.5), представима через
ее граничное значение f+ интегралом Пуассона (5.7), а также
представима через мнимую часть ее граничного значения фор-
мулой (5.9). Если к тому же конус С регулярный, то для всякой
такой функции f (z) справедливо обобщенное представление
Шварца (5.11).
6.	Одно обобщение теоремы Фрагмена — Линделёфа. Тео-
ремой Фрагмена — Лииделёфа в теории голоморфных функций
называется всякое обобщение принципа максимума на случай
неограниченных областей или на более общие, чем непрерывные,
граничные значения. Здесь мы дадим одно такое обобщение
принципа максимума, которое будет использовано ниже в § 2^-1-
Теорема. Если граничное значение f+(x) функции f(z)
класса Н (С), где С — острый конус, ограничено-. | f+ (х) М,
xgR'1, то и (z)|^M, ze7’c; более того, для f (z) имеет
место обобщенное представление Пуассона
f(z)==^^c(x — x',y)f+(x')dx', z^Tc. (6.1)
Замечание. При п = 1 эта теорема доказана Р. Неванлинной [1].
Доказательство. Так как Жс(х + iy) е S’2 при всех
у^С (см. § 10.2), то f+ (х)Жс{х — z°) еЗЕ2 при всех za^Tc
180
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
и, стало быть, условие (5.5) выполнено при s = 0. По теореме
§ 12.5 для функции f(z) справедливо представление Пуассона
(6.1), из которого и из свойства (1.5) § П.1 ядра следует
оценка
| f (z) | С М й’с (х — х', у) dx' = М, z е Тс.
Теорема доказана.
§ 13.	Уравнения в сверточных алгебрах
Пусть Г —замкнутый выпуклый острый телесный конус в Rn
(с вершиной в 0). ТогдаТмножества обобщенных функций мед-
ленного роста Э" (Г +) и 9*' (Г) образуют сверточные алгебры
(9' (Г) — подалгебра 9” (Г -ф)) (см. § 5.6, б)), изоморфные
алгебрам голоморфных функций Н+ (С) и Н (С) соответственно,
где С = int Г*, причем изоморфизм реализуется операцией пре-
образования Лапласа (см. § 12.2).
1.	Делители единицы в алгебрах Н+(С) и Я (С). Как было
показано в § 4.8, г), разрешимость уравнения
a*u = f, а и f е 9' (Г -ф)
в сверточной алгебре 9’ (Г -ф) сводится к существованию фунда-
ментального решения S (ядра обратного оператора а~‘ *)
у сверточного оператора а*,
= Ь	(1.1)
в той же алгебре 9' (Г -ф). Уравнение (1.1) эквивалентно алге-
браическому уравнению
L[a]f=l	(1.2)
в алгебре Н+ (С) относительно неизвестной функции f (z) = L [S’].
Поэтому вопрос о существовании фундаментального решения
оператора а* в алгебре Р’ДГ-ф) сводится к вопросу о воз-
можности деления единицы на функцию fQ(z) = L(a) в алгебре
Н+(С). Другими словами, вопрос сводится к изучению дели-
телей единицы в алгебре Н+ (С): если f е Н+ (С), спрашивается,
при каких условиях -у- е Н+ (С)?
Необходимое условие для этого f (z) #= 0, z<=Tc, не является
достаточным, как показывает следующий простой пример:
f (z) = e~llz е /У (0, оо), так как | f (z) | =	1; однако
j-eW+(0, оо), так как
ill	-6-—'I
-L. =eizr уч.
§ 13]
УРАВНЕНИЯ В СВЕРТОЧНЫХ АЛГЕБРАХ
181
Сперва заметим, что изучение делителей единицы в алгебре
Н+ (С) сводится к изучению делителей единицы в ее подалгебре —
алгебре Н (С). Действительно, всякая функция f (z) из Н+ (С)
(т- е. f е//<“•(С) при некоторых а^О, а^О и р^О) пред-
ставима в виде
f(z) = e-l^fe(z), fe<=H(C),	(1.3)
где е — произвольная точка из intГ такая, что (у,е)'^а\у\
при всех у^С (по лемме 1 § 4.4 такие точки существуют).
Действительно,
I Ш I = 1 а' (z) |< || f ||<“’3) (1 +1 z |2)“ [1 + А’3 * * * * (у)], z е Т°,
так что fe е Д(“'е) (С).
Из результатов § 12.4 следует
Теорема. Для того чтобы f е Н (С) была делителем еди-
ницы в алгебре Н (С), необходимо и достаточно, чтобы для
любых конуса С' ёС и числа е > 0 существовали числа а' О,
Р'^0 и М' > 0 такие, что
|f(z)|>M/e-8^i(l + |z|2)“ct'/2|z/|₽'> z<=TC’.	(1.4)
Условие (1.4) — трудно проверяемое. Укажем несколько до-
статочных признаков делимости единицы в алгебре Н (С), выте-
кающих из доказанной теоремы.
2.	О делении на полином в алгебре Я (С).
Теорема. Пусть Р (z) Ф 0 — полином, функция f(z) голо-
морфна в Тс и Pf е Н(С). Тогда f е Н (С) и операция f -> Pf
имеет непрерывную обратную в Н(С).
Следствие. Если полином P(z) не обращается в нуль
в Тс, то i-е Н (С).
Действительно, в этом случае -------голоморфная функция
в Тс и Р-р= 1еН(С}.
Для доказательства теоремы воспользуемся следующим ре-
зультатом Хёрмандера (см. неравенство (2.3) § 14 при р = 0):
Для данного полинома Р (z)	0 найдутся числа пг^О —
целое и К> 0 такие, что для любой ср е Cm (R2n) справедливо
I Ф(х, у) |< К sup(x, у) (1 + | z |2)т/21 D?x, [Р (z) ф (х, у)] |. (2.1)
IV |<т
По условию Pf е Н (С). По следствию 3 (см. § 12.2)
Dy (Pf) Н (С). Поэтому найдутся такие числа aoi>O и р0^ 1,
что Dy (Pf) е H<a’₽) (С), | у К т, a > a0, Р > р0 (Р — четное).
Пусть С' — открытый выпуклый корпус, С' е С. Тогда най-
дется (открытый выпуклый) конус С" такой, что С' € С" е С.
182
Интегральные преобразования обобщенных функций (гл. и
Построим функцию т] (о) класса	равную 1 на рг С' и
равную 0 вне ргС". (Из леммы § 1.2 вытекает, что такие
функции существуют.) Полагая в неравенстве (2.1)
^Чттт>|т
Ф (X, У) - d +	+	С”
при всех z е Тс' получим
I f (г) 11 У Г <
(1 + | г I2)m+a/2 (1 + I У Г3)
Г Р (г)) (г) п Ш | у |в+т I
^К(С'} sun (ЫЙ+ М3+т)1Д?[‘Р(гШг)]1
<клс\х. <
|v|<m	(1+ |г|2) 2 (1 + I У I3)
I ДЧР (г) f(z)] |
К.2 (С') sup -------------------—--------------
(Х.у)^тС" (1 + 1г|2)“/2(1 + |уГ₽) ’
Учитывая теперь, что
А'(г/Х1г/1- У<С'-, Д(у)>о|у|, у(=С",	(2.2)
где А (у) и Д' (у) — расстояния от точки у до дС и дС' соот-
ветственно, продолжим наши оценки
____________I / (Z) I________<
(1 + I z |2)m+ct/2 [1 + (Д')~3~т (у)]
< Кз (С') sup
(х, y)<sTc
PV[P(z)f(2)]
(1 + |z|2)a/2 [1 + Д“3 (у)]
откуда в силу (2.2) (норма || ||' соответствует конусу С')
||f||'(2m+o’m+3)<K3(C') max |Dv(Pf)||(“-₽>;	(2.3)
Далее, по следствию 3 (см. § 12.2) операция Pf —> Da (Pf)
непрерывна в Н (С), так что при некоторых Мх > 0, а'1>0 и
Р'^0 справедливы оценки
Учитывая эти оценки, перепишем неравенство (2.3) в виде
|| f ||'(2m+a’ m+₽) < М (С') || Pf ||(a'-ю.	(2.4)
Оценка (2.4) показывает (см. § 12.4), что f е Н (С) и опера-
ция f -> Pf имеет непрерывную обратную в Н (С). Теорема
доказана.
§ 13]
УРАВНЕНИЯ В СВЕРТОЧНЫХ АЛГЕБРАХ
183
Замечание. Эта теорема была доказана в работе Н. Н. Боголюбова
и В. С. Владимирова [1]. Она напоминает теорему Хёрмандера [2] о делении
обобщенной функции медленного роста на полином.
3.	Оценки для голоморфных функций с неотрицательной
мнимой частью в Тс.
Теорема. Пусть функция f (z) голоморфна вТс и \mf (z)^0,
z е Тс. Тогда она удовлетворяет оценке’, для любого конуса С' е С
существует число М (С') такое, что
г<=ТС,	(3.1)
т. е. f е Н{2’(С') при всех С' е С, так что f Н (С).
Следствие. Если в условиях теоремы f(z)^O в Тс, то
Докажем следствие. Если Im f (z) > 0 в Тс, то функция ууу
голоморфна в Тс и
т 1	— Im / (z)	„
1(2)	|f|2
по теореме j-eH(C). Если же Imf(z)^0 обращается в О
в какой-либо точке области Тс, то, в силу принципа макси-
мума для гармонических функций, Imf(z) = 0 в Тс, так что
f (z) = const #= 0 и потому тривиально у е Н (С).
Замечание. Оценка (3.1) получена в работе В С. Владимирова [7].
Для доказательства теоремы предварительно докажем 3
леммы.
Лемма 1. Если функция f (z) голоморфна и Imf(z))>0
в единичном поликруге Sn = [z: | Zj j < 1.j zn I < 1], to
1 — max | z, |
Im f (0)
4 7 1 + max z,
!</<«' 1
1 + max | z. |
<| f (z) - Ref (0) |< Im f (0) р,1	"уу--., zgS"; (3.2)
1	llldA | Zi
Ki<n' 1 '
в частности,
ТхЧгГ	(3-3>
1 < / '
Доказательство. Если Im/(z) = 0, то, как мы видели,
f(z) —const и оценка (3.2) тривиально выполнена. Поэтому
можно считать, что Im/(z)>0, z е S". Фиксируем произволь-
184
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
ную точку zeS" и обозначим р = max | Zj |, так что О^р < 1.
к / < п
Рассмотрим функцию <р (Л) = f голоморфную и 1т<р(Л):>0
в круге |Л|< 1- Функция
lb ai = (р — Re ф (0) — / 1т ф (0)
ф ( > ф (X) - Re ф (0) + / 1т ф (0)
голоморфна и | ф (Л) | < 1 в круге |Л|<1, причем ф(0) = 0.
По лемме Шварца | ф(Л) |^| Л | и поэтому
1т <р (0) ~ ~ |	< | ф (Л) - Re ф (0) | = | Z Im ф (0) ] t <
<1тф(0)у±]|[,	|Л|<1, (3.4)
и, стало быть,
|ф(Л)|<|Иеф(О)|+1тф(О)4±1|[<41^|лГ’ 1Л|<1- (3-5)
Полагая в оценках (3.4) и (3.5) Л = р< 1, получим оценки (3.2)
и (3.3). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если функция f (z) гомоморфна и Im f (z)	0
в Тп = [z: ух > 0, ..., уп > 0], то
|f(z)|<V'2|f(i)l max	(3.6)
I < 7 < п	У j
где обозначено i — (i, i, ..i).
Доказательство. Биголоморфное отображение
г, — i	1 + w .
W;=-------Г—, Zj~i~----, j=l, , П,
1 z. 4~ i	1 — w j
преобразует трубчатую область Tn на Sn, а функцию f(z) —
в функцию
=	1+Л1,
V V ’	\ 1 — О>!	1 — Wn J
голоморфную и 1тф(ау)^0 в Sn. Применяя к функции ф(о>)
оценку (3.3), получим
Отсюда, переходя к старым переменным, получаем такую
оценку:
lf(z) К------(3.7)
§ 13]
УРАВНЕНИЯ в СВЕРТОЧНЫХ АЛГЕБРАХ
185
Докажем неравенство
</>о.	о-в)
Полагая
а = Д±Т1 + у>2,
приведем неравенство (3.8) к эквивалентному неравенству
2а2 — (а + 2) (д/2а — 1) > 0, а 2.
Последнее же неравенство действительно имеет место: оно
справедливо при а = 2, а производная левой части
(4-2 д/2)а+ 1 - 2д/2> 0, а>2.
Принимая во внимание неравенство (3.8), из неравенства (3.7)
получаем неравенство (3.6). Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть функция f (z) голоморфна и Im f (z) О
в Тс, где С — п-гранный острый конус,
С = [у. (eh у) > 0, j = 1, ..., п] (| е, | = 1).
Тогда f(z) удовлетворяет оценке
\f (z) |< 72|f(7’-Ii)|A±l^-> z(=Tc, (3.9)
где Т — линейное преобразование
y-+Ty = \(ei, у).(еп, «/)].
Доказательство. Так как конус С не пуст, то векторы
ех...еп линейно независимы и, стало быть, матрица Т~1
существует. Биголоморфное отображение
w = Tz, z — T~lw
преобразует область Тс на область Тп, а функцию f (z) в функ
цию f(T~iw), голоморфную и	в Тп. Применяя
к этой функции оценку (3.6), получим
(T~‘w)|< У2|/(Т~'/)| tniax -^Z'1 ’ ™^Тп.
Отсюда, переходя к переменным z, выводим оценку
|f(z)|< V2|f(7’-‘i)| max -+1 (&/.Z) |2 , z е= Тс,
I < / <П	\?j> У)
186
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
из которой, а также из соотношений
|(е/, z)|2<|e/|2|z|2 = |z|2;	A(z/) = max (eh у), у^С,
1 < /<п
вытекает неравенство (3.9). Лемма 3 доказана.
Доказательство теоремы. Пусть С' е С. Покроем
конус С' конечным числом n-гранных открытых конусов Ck^C,
k = \...N, а в каждом конусе Ck выберем конус С' е Ск
так, чтобы конусы C'v ..., C'N все еще покрывали конус С'.
В каждой области ТСк справедлива оценка (3.9):
И(2)1<72|/(п-10|-Ш^,	* = 1...N, (3.10)
где А* (у) и Tk имеют тот же смысл для конуса Ск, что и А (у)
и Т для конуса С. Далее, поскольку С' <= Ск> то существуют
такие числа ofe, что Afe (у) > 1 г/1 при всех у е С'к (см. лемму 1
§ 4.4). Принимая во внимание это неравенство, из (3.10) полу-
чаем оценки
lf(z)|<-^- |/(ТГ10|-Ц^тГ. геТс‘, k = \,...,N,
ak	‘s'1
откуда и вытекает оценка (3.1) в Тс' при
М(С')= max 4L\f(T^i)\.
ak
Теорема доказана.
4. Делители единицы в алгебре W (С). Обозначим через R"
пополнение R" бесконечно удаленной точкой. Обозначим через
IF (С) банахову алгебру, состоящую из голоморфных в Тс
функций, являющихся преобразованиями Лапласа обобщенных
функций вида AA(g) + g(Jj), где А, — произвольное число не-
произвольная функция из S£x (С*)- (Множество таких обобщен-
ных функций образует сверточную алгебру; см. § 4.1.) Алгебра
IF (С) называется винеровской алгеброй. Таким образом, любой
элемент f е W (С) представляется в виде
f(z) = A + J g®e‘^dl,
с*
iif V(C)J i^m
с*
$ 13]	УРАВНЕНИЯ В СВЕРТОЧНЫХ АЛГЕБРАХ	187
При этом функция f (z) непрерывна в Гс — замыкании Тс
в к — и справедливо неравенство
ufF°>=4 sup iHz)i<^nfiW)>
z e Tc
так что алгебра W (С) — подалгебра алгебры Н (С) и вложение
W (С) в Н (С) непрерывно.
Если f t=W (С) и f (z) =#= 0 в Тс URn, то j- е Г (С).
Действительно, в этом случае
/+(х) = Л +	xe=Rn, Л #= О, g<=3?1.
с*
По теореме Винера (см. Н. Винер [1])
777-7 = 7 +Sgi^e'^^dg,	(4.1)
f (х)	% J
Далее, поскольку f (z) =#= 0, z е Тс U R", то при всех С' е С
inf | f (z) | > 0.
ze7c'
По теореме § 13.1 (при а' = р' = е = 0)|g Н(С), так что
-у- = L [g],	(С*). Поэтому -yp = F[g]. Сравнивая это
равенство с равенством (4.1), получаем
ga)=^6a) + g! а),
так что supp gI cz С* и потому g! е S’1 (С*). Но тогда, в силу (4.1),
7^Г = т+5 g1^e‘^^dZ^W(Q.
с*
5. Пример. Ядро Коши X’v+(z) (см. (2.17) § 10) есть дели-
тель единицы в алгебре Я(У+),
1	1	п+|
Ж . (г) = п-i	z2) 2 е H(V ).
”	rm
Это утверждение следует из следствия к теореме § 13.2 и
из того факта, что полином
z2 = (х + /у)2 = х2 — у2 + 2Z(х, у) =#= 0, zs Гу+.
188
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Действительно, в противном случае мы имели бы
х2 = у2, xayQ — (х, у), у2 >0, у0 > 0,
т. е.
0 <у2=х2-х2 = -^~ -1 * I2 < Цг (I УI2 “ У$ = - У2 < 0,
Уо	Уо	Уо
что противоречиво.
Таким образом, в алгебре .<7/(V’+) существует обратный
оператор к оператору 0р+ «. Более того, можно определить
любые вещественные степени (0у+)“ * этого сверточного опе-
ратора, полагая
Ь[0р+] = ^“+(2),	(5.1)
Для определенности выбираем ту ветвь голоморфной функции
Жу+(г), которая положительна при z = iy (см. (2.2) § 10). Из
(5.1) следует, что
0р+ * 0^+ = Opt3, а, р - любые.	(5.2)
Аналогично определяются степени □“ оператора Даламбера
_	_ А д2 д2
D=Dd,=-^-li
Имеем
2
£[□] = - £ =	(2),
g2  g2_______А
‘	^0
2п п-1	2__
с„ = 2 ra+I л n+I Г/г+1
Поэтому, полагая
2а
L[a“] = c“^+n+’ <z)>
получим в силу (5.1)
□“ =	*, □ = ^ОрГ1’ *.	(5.3)
В силу (5.2) справедливо соотношение
□ “□3 = О“+3, а, р —любые.	(5.4)
В частности, при а = —1 из (5.3) имеем
2
□ =7-0р+*
П—1
• = ^гО 2 ер+
Сп
§ 13]
УРАВНЕНИЯ В СВЕРТОЧНЫХ АЛГЕБРАХ
189
т. е.
гг®=------------0^+®.	(5.5)
2’« ! г (iil)
Отсюда при и = 3 получаем известный результат:
^(1) = -^П0р+®	(5.6)
для фундаментального решения трехмерного волнового опера-
тора.
Замечание 1. Дробные степени оператора □ иным способом вво-
дились М. Риссом [1].
Замечание 2. Аналогично вводятся дробные и отрицательные сте-
пени оператора 6С* • в алгебре Н (С) для любого регулярного конуса С (см.
§ 13.5);
L [ес*] = х'с (z)> zeTc, — оо<а<оо.
Глава III
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 14. Дифференциальные операторы
с постоянными коэффициентами
Теория обобщенных функций оказала сильное влияние на
развитие теории линейных дифференциальных уравнений. Здесь
следует в первую очередь отметить фундаментальные работы
пятидесятых годов Л. Гординга, Л. Хёрмандера, Б. Мальгранжа,
И. М. Гельфанда, Л. Эренпрайса и др., посвященные общей
теории линейных дифференциальных уравнений в частных про-
изводных вне зависимости от их типа. Результаты этих исследо-
ваний подытожены в книге Л. Хёрмандера «Линейные диффе>
ренциальные операторы с частными производными» [1], вышедшей
в свет в 1963 г. В последние годы большой прогресс был сделан
в теории так называемых псевдодифференциальных операторов
(обобщение дифференциальных и интегральных (сингулярных)
операторов) *).
1. Фундаментальные решения из 3)'. Один из основных и
наиболее глубоких результатов — это доказательство существо-
вания фундаментального решения S (х) из 3)г у любого линей-
ного дифференциального оператора Р (D) Ф 0 с постоянными
коэффициентами (см. § 4.8, в)), т. е.
P(D)&(х)=6(х),	(1.1)
где
?(£>)= £ aaDa, Е KI^O	(1.2)
| а |	| а |=т
— дифференциальный оператор m-ro порядка.
*) См. «Псевдодифференциальные операторы», Сб. переводов статей Дж.
Кона, Л. Ниренберга и Л. Хзрмандера, «Мир», 1967.
§ 14]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	191
Этот результат впервые был получен независимо Б. Маль-
гранжем [2] (1953 г.) и Л. Эренпрайсом [2] (1954 г.).
Прежде чем доказывать существование фундаментального
решения, докажем 2 леммы о полиномах.
Лемма 1. Если
Р® = Z а£а, £ 1ао!=#=0,
|а|<т	|а|=т
— произвольный полином степени m^l, то существует неосо-
бенное линейное вещественное преобразование координат
Z = Cl', detC^O, C = (cw),
преобразующее полином Р к виду
р (г»=+0 Л w...............юС ° * °-
Доказательство. Коэффициент при S,'tm в полиноме
Р(Г) = Р(С^') равен
X Яасцс212 ••• Сп\ •	(1-3)
)сН==т
Так как У I иа | =/= 0, то можно выбрать п вещественных чисел
1 а |=т
Си, c2i, сп1 так, чтобы выражение (1.3) было не равно 0;
при этом будет У, | cfeI | 0. Остальные числа сы выбираем
к k с п
произвольными вещественными так, чтобы detCy=O. Лемма 1
доказана.
Лемма 2. Пусть
?©=<+£ РДЬ.................УЙ, »^0,	(1.4)
О к т— 1
— полином. Тогда существует постоянная к, зависящая лишь
от пг, такая, что для каждой точки с е R" найдется целое число
k, O^k^m, такое, что справедливо неравенство
+	•••>	|т|=1.	(1.5)
Доказательство. Фиксируем | е Rn. Разложим полином
Р (z, g2> •  • > ^п) на множители по z:
Р (z> £2. • • • > U == a (z —	... (z — Ят),
192
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ, HI
так что Л) = Л./(|2, ..., £„), i—1> 2, •••> т, и
гт—) .
11 mJ
> I2, •
(1.6)
. .., кт — gi не меньше
Рис 29.
Пользуясь принципом «ящичков», заключаем, что среди т + 1
окружностей =	/ = °> 1>	найдется по крайней
мере одна | т | =	, которая отстоит от т точек Л, —	...
чем на (рис. 29). Отсюда и из (1.6)
следует неравенство (1.5) при х =
(1 \т
 Лемма 2 доказана.
Теорема (Мальгранж — Эрен-
прайс). Всякий дифференциальный
оператор с постоянными коэффи-
циентами Р (D) ф 0 имеет фундамен-
тальное решение из Ф'.
Доказательство. Так как
неособенное линейное вещественное
преобразование переводит Ф' на ФУ
(см. § 1.10), то в силу леммы 1 эту
теорему достаточно доказать для
того случая, когда полином Р(/£)
имеет вид (1.4).
• ••> fm ~ измеримые неотрицательные функции,
, и такие, что £ fk (I) = 1> £ е R" и fk (£) = 0
0< k < m
Пусть f0, flt
заданные на R"
для тех g, для которых
ПИП
k
т — , ig2, . .
т
(1-7)
(по лемме 2 такие функции и такое % > 0 существуют).
Определим обобщенную функцию S’, положив для всех
<р) =
 s
zt—,
m
fe .E
— > 1I2, 
m
1
2л1
~ (2л)п Zj
0< k
где L [ср] — преобразование Лапласа функции ср (см.
Докажем, что выражение справа в (1.8) существует и
— dl,
т
(1-8)
§ 9.1).
. ___ ,	.	х ,	опреде-
ляет (линейный) и непрерывный функционал на Ф), т. е. S е Ф'.
§ И]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
193
Но это утверждение вытекает из следующих оценок:
1(^> Ф)1<
О k т
<72^ Е maxelReT,-J(l+|^+fT||2+^+...+^)"^X
X 5 К1 — А)лгф(х) |rfx,
1 х 1<Р
т. е. из оценки
|(^, Ф)|<^ J | (1 - Д)" ф (х) \dx, (1.9)
|х |<Р
справедливой при всех целых N > п/2 и при всех <р s® (UR).
При выводе оценки (1.9) мы воспользовались оценками (3.4) —
(3.5) § 12 для целой функции А [<p] (g), а также оценкой (1.7) и
свойствами функций {/jj.
Осталось проверить, что построенная обобщенная функция <8
из ЗУ удовлетворяет уравнению (1.1). Пользуясь (1.8), при
всех ф е® имеем
(Р(£>И, ф) = (^, Р(- О)ф) =
~~(2п)п Е	J / k	\	~d^>—
|t|=l	° ^J?i ^~m’ (^2’ ’’’ l^n)
= (2irp E	J	^2.....ln')—dZ =
0< k < m	1T1 = 1
= W- E ^ИЮР[ф](Ю^ = -^п-$Р[Ф](У^=ф(0)=(б,ф),
что и требовалось установить. Теорема доказана.
Имея фундаментальное решение % оператора Р(П), мы
можем построить решение и из 3)' уравнения
P(D)w = f, /е=0',	(1.10)
в виде свертки
и — % *f	(1.Ц)
для тех f из ЗУ, для которых эта свертка существует в ЗУ
(см. § 4.8, в)). Таким путем, выбирая различные фундамен-
тальные решения, можно получать различные классы правых
частей, для которых уравнение (1.10) разрешимо в виде
свертки (1.И).
7 В, С. Владимиров
194
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
2.	Фундаментальные решения медленного роста. В преды-
дущем пункте мы установили, что всякий ненулевой дифферен-
циальный оператор с постоянными коэффициентами имеет по
крайней мере одно фундаментальное решение из 3)'. Возникает
важный для приложений вопрос, как найти фундаментальное
решение с нужными свойствами роста, носителя, гладкости и
т. д. Удобным средством для этого является метод преобразо-
вания Фурье. Но техника преобразования Фурье, развитая
в § 6, применима к обобщенным функциям медленного роста.
Поэтому при построении фундаментального решения методом
преобразования Фурье мы заранее ограничиваемся классом 3'.
Уравнение (1.1) в классе 3' эквивалентно алгебраическому
уравнению (см. § 6.3, б))
Р(-ф^® = 1	(2-1)
относительно преобразования Фурье /•'[$’] — $’. Таким образом,
задача об отыскании фундаментального решения медленного
роста оказывается частным случаем более общей задачи о «де-
лении» обобщенной функции медленного роста на полином,
т. е. задачи о нахождении решения и из 3' уравнения
= А	(2.2)
где Р Ф 0 — полином и f — заданная обобщенная функция
из 3'. Разрешимость задачи о «делении» была доказана в 1958 г.
независимо Л. Хёрмандером [2] и С. Лоясевичем [1].
Доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма, Отображение
ср—>Р<р,
имеет непрерывное обратное в 3; другими словами, для каждого
целого р^О существуют такие числа К.р> 0 и р' = р' (р) О —
целое, что выполнено неравенство
11ф||р<Кр1|Рф1к ФЕС’М	(2-3)
Существующие доказательства этой леммы весьма сложны.
Мы ограничимся здесь доказательством ее, лишь для случая п= 1.
Докажем неравенство (2.3) Обозначая ф — |ср, имеем	сперва для случая Р (£) = £,
ф = |.	1ф®1<]	Г тах|ф'(£)|,	1, Н|<1 1 1Ф(Ю1. ISI >1;
=	|ф'®1
Ь £
|тах|ф"(Ю1>
2 I5KI
IФ' (I) I +1 Ф(Ю I, 1£1>1;
§ 14]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
195
и т. д. Следовательно,
11ф11₽ = sups (1+ IU2)p/2l<p(ct)(B)K
la!
supg (1 +|g|2)p/2|^“’a)l</<pnq>Ui>
I a| <p +1
что и требовалось (p' = p + 1).
Из справедливости неравенства (2.3) для Р =с следует
справедливость его и для Р = £ —£0, а значит, и для всех
многочленов Р — а Ц (&—&*):
IIФII, < №’ j (5 - У ФU < К™ I(5 - у (5 - у Ф|,+! < ...
... <л«№-ма-у ••• <г-у)Ф1,+„-^||Рф1и».
Пользуясь леммой Хёрмандера, докажем, что уравнение (2.2)
всегда разрешимо в 9'.
Действительно, рассмотрим линейный функционал
Р<р->(/, ф),
определенный на линейном подмножестве [ф: ф = Рф, ф е
пространства 9. По лемме Хёрмандера этот функционал не-
прерывен: если Apfe->0, й—>оо в 9, то фй->0, /г->оо в 9 и
потому (/, фй)-*0, &->оо. По теореме Хана — Банаха сущест-
вует (линейное) непрерывное продолжение и: ф~-*(и, ф) этого
функционала на все 9, так что	и (и, Pcp) = (f, ф). Это
и значит, что функционал и удовлетворяет уравнению (2.2).
Переходя к преобразованию Фурье, убеждаемся, что спра-
ведлива следующая
Теорема (Хёрмандер — Лоясевич). Уравнение
Р (D) и = f,	(2.4)
где P(D) 0, разрешимо в 9' при всех f^9'.
Следствие. Всякий ненулевой линейный дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаменталь-
ное решение медленного роста.
3.	Метод спуска. Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве Rn+1
переменных (х, /) = (хь .... хп, f),
P(D, D0)u = f(x)X6(t),	fe0'(Rn),	(3-1)
гдеО0 = |, P(D, Do)= £ Pq(D)D’ + Po(D) и P0(D)-
1<<7<Р
дифференциальные операторы по переменным х.
7*
196 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Будем говорить, что обобщенная функция м(х, /) из 0'(Rn+1)
допускает продолжение на функции вида <р(х) 1 (/), где ср
если какова бы ни была последовательность основных функций
Лй(х,/), й = 1, 2, .... из 0(R"+1), сходящаяся к 1 в R"+1
(см. § 4.1), существует предел
lim (и, ср (х) Лй (х, /)) — (и, ср (х) 1 (/)), tp g ® (Rn) (3.2)
fe->oo
и этот предел не зависит от последовательности {лй}.
Обозначим функционал (3.2) через и0,
(и0, ср) = (и, <р (х) 1 (/)) = lim (и, ср (х) Лй (х, /)), ср е Я). (3.3)
&~>оо
Очевидно, при всяком k функционал (и, <р(х)Лй(х, /)) — линей-
ный и непрерывный на 0, т. е. принадлежит ЗУ. Поэтому
по теореме о полноте пространства ЗУ (см. § 1.4) и предель-
ный функционал
Обобщенную функцию и0(х) назовем обобщенным интегралом
по t обобщенной функции и (х, /).
Приведем критерий существования обобщенного интеграла
по t.
Теорема I. Для того чтобы для и из У (R"+1) существовал
щ — обобщенный интеграл по t — необходимо и достаточно, чтобы
существовала свертка и* [б (х) X 1 (Oh пРи этом справедливо ра-
венство
и* [б(Х)Х !(/)]= щ(х)Х 1(0.	(3.4)
Докажем достаточность. Пусть существует свертка w*[6(x)X
X 1 (0]- Тогда существует обобщенная функция и0 из ЗУ такая,
что выполнено равенство (3.4) (см. § 4.2, в) и § 3.3).
Докажем, что и0 есть обобщенный интеграл по t для и(х, /).
Пусть {gfe (х)}, {т)а (х, 0} и (0} — последовательности основных
функций из	^(Rn+1) и	сходящиеся к 1 в Rn,
R"+1 и R1 соответственно. Пусть ср е SD (R"). Тогда найдется та-
кой номер N, что £fe(p = cp при всех k~^N. Далее, для каждого
k найдется такой номер ik, что
Лй (х, 0 J ^й (! + О dt' = Лй (х, /),	(3.5)
где ®е — «шапочка» (см. § 1.2). Действительно, если (х, /) е
е supp Лй с [(х, /): | /1 < /?й1> т0 выбирая номер lk таким, чтобы
было х, k (0 = 1 при | К Яй + е, получим
+ t')dt' =	®е(О№й(^ — f)dt' = df= 1,
!*'!<«
§ 141	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	197
Пользуясь теперь равенствами (3.4) и (3.5) и определениями
обобщенного интеграла по / (3.3) и свертки (см. § 4.1), а также
замечая, что последовательность
Ik (х) gfe (х')	(х, t) Xik (f), k = 1, 2.
основных функций из ^>(R2,1+2) сходится к 1 в R2fl+2, при всех
фе®(Кл) имеем
lim (и, ф(х) /)) =
ОО
= lim (« (х, /), Ik (х) ср (х) ns (х, t) $ %ik (t') ®e (t + /') dt') =
= lim (u (x, 0X6 (x') X 1 (0),
fe-»OO
Ik (x) lk (X) life (X, t) Xik (!') Ф (X + x') ®e (t + /')) =
= (u* [6 (x) x 1 (/)], ф (x) ®e (/)) = (u0 (x) X 1 (О, Ф (x) ®e (0) =
= («о (x), Ф (x) ®e (0 dt^ = (ио, Ф),
что и требовалось.
Докажем необходимость. Пусть для и существует и0 — обоб-
щенный интеграл по /. Пусть gfe(x, t; х', t'), k — 1, 2, ..., — по-
следовательность основных функций из 3)(R2n+2\ сходящаяся
к 1 в R2n+2. Пусть ф e0(R"+l). Тогда для каждого компакта
/<c:R"+l найдется такое число W, что при всех k N
Z,k (х, /; 0, t') ф (х, t + t') di' — Ф (х, t + t') dt' — ф (х, t') dt',
(х, t) «= К.
Следовательно, существует последовательность (х, /) функций
из 0(Rn+I), сходящаяся к 1 в R"+1, и такая, что последова-
тельность функций
Xj (х, t) = ^lk (X, 1-, 0, t') ф (х, t + t') dt' —
— n*(x, 0^ф(х, t') dt' + n*(x, t), k — \, 2, ..., (3.6)
из S)(R"+1) сходятся к 1 в R"+1. Пусть ф0 (x) — функция из
S5(Rn), равная 1 на supp ф(х, t), так что ф = фоф. Тогда, поль-
зуясь (3.6) и определениями обобщенного интеграла по I ц
198
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
свертки, имеем
(«о (х) X 1 (О, ф) = («о, Ф (х, t) dt} = («о (х), Фо (х) Ф (х, t) dt) =
= lim (и(х, t), Фо(х)т)л(х, О \ф(х, t)dtj —
= — lim (u(x, t), Фо(х)уА(х, O)+ Um («(x, t), Фо(х)т]й(х, O) +
fe->OO	&->OO
+ lim (u(x, t), Фо(хДМх> t; 0, t') Ф (x, t + t') dt'}—
= — («о, Фо) + (“о, Фо) +
+ lim (u (x, 0X[S(x')Xl (/')]> lk(x, t\ x', t') Фо (x+x') ф (x+x', Ж'))=
fe-»oo
= («* [6 (x) X 1 (OL Фоф) = («* [6 (x) X 1 (O]> ф).
что и требовалось.
Следствие 1. Пусть функция и(х, t) измерима и
| и(х, t)\dt е 3?\ос- Тогда ее обобщенный интеграл по t сущест-
вует в 9?\oz и представляется классическим интегралом
и0 (х) = и (х, t) dt.	(3.7)
Замечание. Формула (3.7) показывает, что обобщенный интеграл по t
есть расширение классического понятия интеграла по t на обобщенные функ-
ции.
С л ед с тв и е 2. Если и = f (х) X б ((), где f^.2)', то u0 = f.
Теорема II. Если решение и из &)’ (Rn+1) уравнения (3.1) об-
ладает и0 (обобщенным интегралом по t), то щ удовлетворяет
уравнению
P0(D)u0 = f(x).	(3.8)
Доказательство. Пусть т]й(х, t), k = 1, 2, ..., — после-
довательность функций из Зд (R'l+1), сходящаяся к 1 в R'l+1.
Тогда при 7=1, 2, ... последовательность функций r]fe + DqaT]k,
k==l, 2......также сходится к 1 в Rn+1 и, следовательно, при
всех ф из 0 (Rn)
lim (и, ф (х)	(х, ()) =
=	(«> ф (X) [n* (X, t) + DqT\k (x, /)]) — felim (и, ф (x) i\k (x, ()) =
= (u0, ф) — («0. ф) ~ °«
§ 141
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
199
Учитывая полученное равенство, проверим, что «0 удовлетво-
ряет уравнению (3.8):
(P0(D)u0, Ф) = («о, ^о(—£>)ф)= Пт (и, Ро (— Р) ф (х) rjs (х, /)) =
&->оо
= lim (и, Ра (— D) ф (х) T]ft (х, 0 +
fe-»oo х
+ Z (-1)^(-/))Ф(х)^и-=
= lim (и, Р(— D, — О0)ф(х)1Ъи> 0) =
&->оо
= lim (Р (D, Do) и, ф (х) r]fe (х, !)) == lim (f (х) X 6 (0> Ф (х) Пй (х, /))=
k“+<x>	&->оо
= lim (f(x), ф(х)т]Их, 0)) = (f, ф).
fe-»OO
Теорема доказана.
Изложенный метод получения решения и0(х) уравнения (3.8)
с п переменными через решение u(x, t) уравнения (3.1) с п-\- 1
переменными называется методом спуска по переменной t.
Метод спуска особенно удобен для построения фундамен-
тальных решений. Применяя теорему II при f = 6(x), получаем
такое
Следствие. Если фундаментальное решение S (х, t) опера-
тора Р (D, Do) обладает S0(x) (обобщенным интегралом по t),
то So есть фундаментальное решение оператора Pq(D).
Фундаментальное решение So удовлетворяет соотношению
S0(x)X 1 (t) = S* [S(x)X 1 (/)]•	(3.9)
Физический смысл формулы (3.9) состоит в том, что S0(x)
есть (не зависящее от t) возмущение от источника б(х)Х 1 (0>
сосредоточенного на оси / (ср. § 4.8, в)).
4.	Примеры, а) Частными решениями уравнения |и=1
являются обобщенные функции
I + «О ’	& -10 ’ г
отличающиеся в силу формул Сохоцкого (8.3) и (8.3') § 1 на
выражение const 6 (£) —общее решение однородного уравнения
£и = 0 (см. § 2.6).
б) Если полином Р(р) не имеет вещественных нулей, то функ-
1
ЦНЯ Р
принадлежит QM и является единственным решением
уравнения P(g)u — 1.
Это утверждение вытекает из следующей леммы.
Лемма. Если полином P(g)#=O, teR", то найдутся такие
постоянные С > 0 и v, что справедливо неравенство
|Р®|>С(1+Ш2)Л ^Rn.
(4.1)
200 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Доказательство. Оценку (4.1) достаточно доказать при
|£| > 1. Для этого совершим преобразование инверсии (рис. 30)
=	1£ПГ1==1.
Пусть т — степень Р. Полином
РЧК) = \Т\2тР(^}	(4.2)
имеет единственный нуль в Rn: £'" = 0. Поэтому существуют
/ такие числа С\ > 0 и ц > 0, что
|Р*(Г)1>с1|Г^1 1Г1<1,
/	и поэтому, в силу (4.2),
X	|Р(Ю1>с1|ГГ2'п=с1|и2'п’|Л><1511-
'	#	\	Лемма доказана.
0^-/—*1	в) Уравнение
k J
разрешимо в 2" при любой f из / и
Рис- 30>	его общее решение имеет вид
(u,<p) = (M) + №)X«i&. ...,U<p), ф^>	(4.3)
где ui — произвольная обобщенная функция из 2'(Rn~l),
Ф(Ю = [ф(Ю - п&) фМ, .... UL
Ч (£1) — произвольная функция из 2), равная 1 в окрестности 0.
Доказательство этого утверждения аналогично доказатель-
ству для пространства 2)' (см. § 3.3).
г)	Функция S(t) = 0 (0 Z (0, где Z (t) есть решение однород-
ного дифференциального уравнения (ср. § 4.8, е))
p(^-)ZsZ(m) + aiZ('n-1)+ ... +amZ = 0,
удовлетворяющее условиям
Z(0) = Z'(0) = ... =Z(m~2)(0) = 0,	(0) = 1,
есть фундаментальное решение оператора Р •
§ 14]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
201
Действительно, пользуясь формулой (3.1) § 2, получаем
S' (/) = 9 (t) Z' (0.(0 = 9 (/) Z{m~l} ((),
откуда
что и утверждалось.
В частности, функция
^(0 = 9(0 а’*	(4.4)
есть фундаментальное решение оператора
д)	Фундаментальное решение оператора те«
п лопроводности,
-а2А^ = б(х, ().	(4.5)
Применяя преобразование Фурье Fx(cm. § 6.2) к равенству
(4.5) и пользуясь формулами (3.8) и (3.9) § 6,
Fx [б (х, 0] = Fx [S (х) X 6 (/)] = F [S] (|) X б (/) = 1 (В) X б (0,
для обобщенной функции «?(£, t) — Fx [S] получим уравнение
+а2Ш2^=1(ЮХИ).	(4.6)
Принимая во внимание формулу (4.4) с заменой а на а2| 112,
заключаем, что решением в уравнения (4.6) является функ-
ция
S&, t) = e(t)e-aWf.
Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье Ff1 и поль-
зуясь формулой (6.2) § 6, получаем
|Х|»
е 4a2f,
т. е.
S’ (х, /) =
6(9
(2a VS7)n
|Хр
е wt.
(4.7)
202
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
е)	Фундаментальное решение волнового опе-
ратора □ . В § 13.5 было показано, что (обобщенная) функ-
ция
%п (х) =--------------□ 2 [0 (*о) 9 (х2)], х = (х0, х), (4.8)
2«л 2 Г (-Мр-)
где 9 (х0) 9 (х2) = 9р+ (х) — характеристическая функция свето-
вого конуса будущего V+ = [x: х0 I х |], есть фундаментальное
решение волнового оператора □. Полагая в (4.8) п=1, имеем
<^(х)=4е(хо)9(х2).	(4.9)
Докажем при м^2 равенство
□ [9 (х0)9 (х2)] = 2 (п - 1) 9 (х0) 6(х2),	(4.10)
dx,
где обобщенная функция 9(х0)5(х2) определяется равенством
оо	~
(9(х0)6(х2), ф) = 4^ Д- <pdSxdxo =4- J Ф (*х*1'
2 0J Хо MlXa
(4.И)
Пользуясь техникой дифференциальных форм и теоремой
Стокса (см., например, В. С. Владимиров [1]), при всех ср е
e0(Rn+1) имеем
(□ [9 (хо) 9 (х2)1, ср) = (9 (хо) 9 (х2), □ ср) =
=	□ ф (х) dx0 Л dxi Л ... Л dxn =
v+
S ( <5xo ^Xi A • • • A dxn H-* dxa /\ dx2 A .  • A dxn — ...
v+	1
••• +	Л ...	=
5 A • • • A dxn -| dxQ A dx% A • * •
йк +
... A dxn — ... + (— l)rt 1 dxo A dxi Д ... dxn_i.
Но на dV+ \ {0}, в силу уравнения xl = | x |2, имеет место со-
отношение
х0 dxa = Xi dxi + ... + xn dxn.
§ И1
дифференциальные операторы
203
Поэтому, продолжая нашу цепочку равенств, получаем
(□ [9(х0)9(х2)], <р)= d^[xidx2/\ ... /\dxn+ ...
...+(-ir1x„dx1A...A^n_j}-2(n-l) (
J	J	ллф
av+
(4.12)
По теореме Стокса и в силу финитности ф первый интеграл
в правой части (4.12) равен нулю. Во втором интеграле инте-
грирование производится по внешней стороне поверхности dV+
(рис. 31), так что dxi А ••• /\dxn = — dx, и поэтому
(□ [9 (хо) 9 (х2)], Ф) = 2 (п- 1) J (P(^L1ILdx,
откуда в силу (4.11) и следует
Полагая в (4.8) n = 2v4- 1 и пользуясь формулой (4.10), по-
лучаем
ff2v+i(*)= ^-fVF7T □v-‘[9(xo)6(x2)].	(4.13)
& Л 1
В частности, при v = l из (4.13) выводим:
^з(*) = 2^19 (Хо) Й (X2)].	(4.14)
Для получения формулы, аналогичной (4.13), для четных
n = 2v воспользуемся методом спуска по переменной xn+i (см.
§ 14.3). Для этого нужно показать, что <^2v+i(x, x2v+i), х = (х0,
Xt....x2v), обладает обобщенным интегралом по x2v+i. Пусть
204
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ (ГЛ. Ш
последовательность Па(х, x2v+i), &= 1, 2, ..основных функций
из ^5(Rn+2) сходится к 1 в Rn+2. Тогда, пользуясь (4.13) и (4.11),
при всех ср е S) (Rn+2) будем иметь
lim (<Г2V+1 (х, x2v+1), ср (х) па (х, x2v+1)) =	. X
А-»оо	2 v it Г (v)
оо
^й!^о'2’$‘х7	5	'[T (*)Па(х> *2v-h)]^S(x. x2v+1)^x0==
° I x|2+x|v+i-xq
OO
= 2^4'(v) 5	5	° V-1 ф W dS^ ^v+.) dx°-
V 7 0	. .2 , 2	2
1*1 +*2v+le;v0
Преобразуем последний интеграл. Так как □v-1cp(x) не зависит
от X2v+i, то, заменяя поверхностный интеграл по сфере SXo =
= [(х, x2v+1): | х |2 + x2v+1 = х2] на удвоенный интеграл по шару
| х | < хо (рис. 32), получим
(^2v, ср) =	С J °	} dx dxa,
О (х|<х, v
т. е.
^-чч^хт'12,	(4.15)
Jl> 1 V)
где
[0(хо)х2+]"1/2 = ( (х2) 1/2’ еслихо>|х|,
L V 07 +J I 0, если хо < | х |.
Полагая в (4.15) v=l, имеем
(х) =---,J---- . .	(4.17)
2л д/0(хо) х+
ж) Фундаментальное решение оператора Ла-
пласа А. В § 2.3, з) было показано, что функция
----(п 2^\х\п~2’	^2<х)==771пИ	(4Л8)
\П ZJ I х I	Лл
есть фундаментальное решение оператора Лапласа.
Вычислим ёп методом преобразования Фурье. Имеем
-|£12Л#«] = 1.
Пусть га = 2. Обобщенная функция —	определенная
В § 6.6, з), удовлетворяет этому уравнению, а ее преобразо-
§ 141
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
205
вание Фурье равно 2л In | х | + 2лС0, где Со — некоторая посто-
янная. Поэтому
F ” [- * ттк] -4- ттг]=S-1П1 х 1+
Так как постоянная удовлетворяет однородному уравнению Ла-
пласа, то, отбрасывая слагаемое-^-, убеждаемся, что <^2 мож-
но выбрать равным In | х |. Пусть теперь п = 3. В этом случае
функция —1£|-2 локально суммируема в Rn и медленного
роста, а потому в соответствии с § 14.2
^п(х)= —F ‘[-1^-]=
Отсюда, пользуясь формулой (6.6) § 6, получаем формулу (4.18)
при п = 3. Аналогично вычисляется <^л(х) и при п > 3.
Особенно просто <^п(х) при п^З строится методом спуска
по переменной t (см. § 14.3) из фундаментальных решений
оператора теплопроводности или волнового оператора. Например,
пользуясь формулой (3.7), из (4.7) при а=1 получаем фор-
мулу (4.18) при п^З:
_J__е
« dt =
о
.. - | х гга+2
—-jy— , e-uun/2-2 du =
4лп/2 J
о
|-П+2	।
4лп/2	(я — 2)<тп | х \п~2
Аналогично вычисляется фундаментальное решение А(х)
итерированного оператора Лапласа Afe при 2k <
% ъ(хУ—	I х \2k-n
з) Фундаментальное решение оператора
Римана,
4^ = б(х,й, 4 = l(JL + i2L).
Применяя оператор — I к уравнению (4.20), получим
= - Г (п/2 - 1)
п:
(4.19)
Коши —
(4.20)
206
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
откуда, пользуясь формулами (1.11) и (4.18), при п=2 имеем
# = 2^2*	= —	1п Vх2 + У2,
* \дх ду J л \дх ду )	’	1 а ’
т. е.
& (х, У)=~^, z = x+iy.	(4.21)
и) Фундаментальное решение оператора пере-
носа,
•y~^- + (s, grades)+ a<^s = 6(х,/), |s|=l, v > 0, а>0.
(4.22)
Применяя к равенству (4.22) преобразование Фурье Fx, для
обобщенной функции ^[<^s] = &s(Z, t) получаем уравнение
1
V^H4a-*(s, &)И,= 1®Хб(0.	(4.23)
Отсюда, пользуясь формулой (4.4), заключаем, что решением из
9" уравнения (4.23) является функция $\(£, t) = vO(/)e[‘(s,^“a]pt.
Применяя теперь обратное преобразование Фурье F^1 и поль-
зуясь формулой (2.6) § 6, при x0=vts получаем фундамен-
тальное решение оператора переноса
<$s (х, 0 — об (/) е-ао/ 6 (х — vts).	(4.24)
Для вычисления фундаментального решения <^«(х) стацио-
нарного оператора переноса
(s, grad + а#°а = t> (х)	(4.25)
воспользуемся методом спуска по переменной t (см. § 14.3):
оо
(^„ ср (х) 1 (0) = v e-a0/(6(x — vts), <f)dt =
о
ОО	оо
• »= v е-а0<ф (vts) dt = е~аиф (us) du — (е , |2 1 6Ге — -Л-г), ф),
так что
^W=Vrs(’~r7r)-	«26)
к) Фундаментальное решение оператора Шре-
дингера,
+^Г4г=г’а./).	(4.27)
§ 14]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	207
Применяя преобразование Фурье Fx к уравнению (4.27), для
обобщенной функции Fx [<??] = & (£, f) получим уравнение (ср. д))
‘4-sisP* = ‘®xs(0.
откуда по формуле (4.4) имеем
#(£, t) = -г9(^)е"17Ги|!/ =
= - i lim 9 (0 ( -^-Y/2e“2^+^ 1514 .
e->+o ',\in + iej
Пользуясь непрерывностью в 91' операции преобразования Фурье
Ff1 и применяя формулу (4.7) при а2 ~ 2 1|. г-е) > получаем
% (х, t) = - IQ (/) ( 2^-)n/2 е (т+го)-2т].	(4.28)
В частности, при n= 1 имеем
^(х, t) = --^6(0	(4.29)
5. Сравнение дифференциальных операторов. Пусть Р (£)) —
дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами
порядка т, определенный формулой (1.2). Обозначим
P(l)2 = £	В(В)@ = ПВР® = ₽! £аа(£)г~8.
I 6 кт	B<a
Формула Лейбница принимает вид
РЦУШ= £	(5.1)
I В I
она проверяется непосредственно:
₽(O)(fe)= X o«D“(fe)- £ Л. £ ©O’fD-»g =
I a I < т	| а |< т В < a
= X «“f	£ 4f-₽«(0)g.
| В I < m В < а	I В 1 < т-
Докажем н е р а в е н с т в о X ё р м а н д е р а; если 0 — огра-
ниченное открытое множество, то для любого а существует число
Са — Са(Р, (?) такое, что
||Р(“)(П)ф||<Са||Р(П)ф||, фе^(б?);	(5.2)
здесь ||	|| = ||	(см. § 0.3).
208
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Доказательство. Неравенство (5.2) достаточно доказать
для |а|=1 и применить рекуррентный процесс. Докажем его
для <х = (1, 0, .... 0). Пусть ср е 0(0). Тогда в силу (5.1)
Р(Д)(х1ср) = х1Р(Д)ср + Р('> (О) ср,	(5.3)
Умножая равенство (5.3) скалярно справа на Р(1)* (Д) = Р(1) (—Д)
(ср. § 8.1) и учитывая, что операторы Р (Д) и Р(1> (Д) коммути-
руют, получим
<Р<1’ (Д) (хцр), Р* (Д) ср) = (XlP (D) ср, Р«>* (Д) ср) +1| Р<» (Д) ср ||2. (5.4)
Но, в силу (5.3),
Р<» (Д) (xt ср) = XlPV (Д) ср + Р<2> (Д) ср, РР) (|) =	.
Подставляя полученное выражение в (5.4), имеем
|| Р<*> (Д) ср ||2 = (XiPW (Д) ср, Р* (Д) ср) + (Р<2> (Д) ср, Р* (Д) ср) -
- (х>Р (Д) ср, Р<>>* (Д) <р) < || X1p(i> (Д) <р || || Р* (Д) <р [[ +
+ || Р<2> (Д) ср || || Р* (Д) ср || + || х>Р (Д) ср || || Р<‘>* (Д) ср ||.
Отсюда, обозначая Pi = sup [| xt |, 1] и замечая, что
X !=0
IIР (Д) ФII = IIР* (Д) ФII,
получаем неравенство
II Р<» (Д) ср ||2 < 2Pt [ || Р<» (Д) ср || +1| Р® (Д) ср || ] || Р (Д) ср ||. (5.5)
Пусть неравенство (5.2) доказано для всех полиномов сте"
пени < т. (Если степень Р равна 0, то оно тривиально.) Тогда
существует такое число С\, что ||Р(2) (Д) ср || ^ С*! || Р(0 (Д) ср ||,
сре^(Д). Подставляя это неравенство в неравенство (5.5) и
сокращая его на ||Р(" (Д) ср ||, убедимся в справедливости нера-
венства (5.2) при а = (1, 0, ... , 0) с Ca = 2Pt(l +Ci).
Из неравенства Хёрмандера вытекает такое следствие: если
О — открытое ограниченное множество и Р (D) Ф 0, то
Р (D) S’2 ((?) => ^(Д).	(5.6)
Для доказательства включения (5.6) нужно установить су-
ществование в ^?2(Д) решения уравнения
Р(Д)« = /, /е^2(Д),
т. е. уравнения
{и, Р' (Д) ср) = (/, ср), сре^(Д).	(5.7)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
209
§ 14]
Равенство (5.7) определяет полуторалинейную форму на функциях
P*(D) iZ) (<7), непрерывную, в силу неравенства (5.2),
|| <р || < С || Р* (D) ср ||, cpe=0(tf),
по норме ^2((7). По теореме Хана —Банаха эта форма про-
должается полуторалинейно и непрерывно на все (О’), которая
по теореме Рисса и определяет искомое решение и (х) из S’2 (О).
Заметим, что мы опять получили существование фундамен-
тального решения оператора Р(£))^0 из ЗУ (О) для любого
открытого ограниченного множества О. Для доказательства
достаточно представить 6 = £)“/, f е S' (О), воспользоваться
включением (5.6).
Будем говорить, что оператор Р (D) сильнее оператора Q(D)
в открытом ограниченном множестве С, и писать: Q < Р в О,
если существует такая постоянная X = К(Р, Q, О), что
|| Q (D) <р || < X || Р (D) ср ||, ср е 0(6?).	(5.8)
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
1) оператор Р сильнее оператора Q в (У;
2) существует такая постоянная С, что
\Q(®\<CP®,	(5.9)
Доказательство. 1) -» 2). Пусть ср е ЗУ ((?), ср ф 0. При-
меняя неравенство (5.8) с заменой ср(х) на е1 (х> ^ср(х), получим
|| Q (Р) ei 6>cp ||2 < X21| Р (D) е‘ &>ср ||2, geRrt, (5.10)
где К не зависит от £. Замечая, что
Р (р) е1 & = Р (ф е{ &>,
и пользуясь формулой Лейбница (5.1), из (5.10) получаем
I £	|<х21 £ р<а) й)	(5-1 о
Il а	II || а	II
Пусть пг — наибольший из порядков операторов Q и Р. До-
кажем, что квадратичная форма
II V Даф , ||2
2./ а! М
II | а К m	||
переменных {%а} положительно определенная. Действительно,
если при {Ла} #= 0 эта форма обращается в нуль, то
X ^О“«к«) = 0, XSR-.
I а I
210
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Применяя к полученному равенству преобразование Лапласа:
£ ^(-Zz)“L[(p](z) = 0, zeC",
| а|<т
и учитывая, что L [ср] (z) — целая функция (см. § 12.3), выводим:
£ [ср] == 0, откуда ср s= 0, что исключено.
Таким образом, существует постоянная а>0,'не зависящая
от {£а}, и такая, что
I £ im<| X т?4<ог £1М- (6-12)
Применяя первое из неравенств (5.12) к Xa = Q(a)(zg), а вто-
рое—к = Р(а) (zg) и учитывая неравенство (5.11), получим
неравенство
Q@2<WP(B)2,	(5.13)
откуда и следует неравенство (5.9) при С — аК.
2)->1). Пусть сре^5(<7). Умножая неравенство (5.9) на
| F~1 [ср] (I) | и применяя равенство Парсеваля (см. § 6.6, в)),
получим
I <? (®	[ф] ® f = IF-1 IQ (D) ф] |! =
= 75)111<г(О)ф1!<-(5§, £ II р<" (D) Ф IP- (6.14)
I а |< т
Применяя к правой части (5.14) неравенство Хёрмандера (5.2),
убеждаемся в справедливости неравенства (5.8) тп)и некотором К
(зависящем от О’). Это и значит, что Q < Р в и. Теорема до-
казана.
Следствие 1. Если Q < Р в каком-либо (У, то Q <Р
в любом открытом ограниченном множестве.
Следствие 2. Неравенство (5.9) эквивалентно неравенству
Q&XCtP®, $e=Rn.
6. Эллиптические и гипоэллиптические операторы. Оператор
Р (D) называется эллиптическим (соответственно гипоэллипти-
ческим), если он обладает (вещественно) аналитическим (соот-
ветственно С°°) при х =/= 0 фундаментальным решением <£ (х).
Всякий эллиптический оператор гипоэллиптичен.
Примеры. Операторы Лапласа и Коши — Римана — эллип-
тические (см. § 14.4, ж) и з)); оператор теплопроводности гипо-
эллиптичен (см. § 14.4, д)).
Теорема I. Для того чтобы оператор Р (£)) был гипоэллип-
тическим, необходимо и достаточно, чтобы для любого откры-
того множества 0 всякое решение и (х) из Д)' ((У) уравнения
P(JJ)u = f, где f еС°° ((У), принадлежало С°°((У).
§14]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	211
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем
необходимость. Пусть S (х)— фундаментальное решение класса
C°°(Rn\{0}) оператора P(D) и и е 3)' (С) — решение в б? урав-
нения Р (D) и = f. Пусть С — произвольное открытое множество,
компактное в б?, и т]е^)(б?), т](х) = 1, хе б?'. Обобщенная
функция г\и финитна в О и удовлетворяет уравнению (см. (5.1))
Р (D) (Ли) = nf + fi-
где r\f е С°°, r]f финитна в б?, ft е 0' и supp f{ cz supp n \ б?'. Поэ-
тому (см. § 14.1)
ци — S * (nf) + & *flt
откуда следует, что иеС“((?') (см. § 4.3). Так как С е О
произвольно, то иеС°°(б?). Теорема I доказана.
Можно указать алгебраические условия гипоэллиптичности:
для того чтобы оператор Р (D) был гипоэллиптическим, необхо-
димо и достаточно, чтобы при всех а, |а|^>1,
4^-gh->0, |£|->оо.	(6.1)
Этот результат принадлежит Л. Хёрмандеру [1].
Аналогично теореме I доказывается
Теорема Г. Для того чтобы оператор Р (D) был эллипти-
ческим, необходимо и достаточно, чтобы для любого О всякое
решение и (х) из 0' (б?) уравнения Р (D) и —0 было (вещественно)
аналитическим в 0.
Алгебраическое условие эллиптичности: для того чтобы опе-
ратор Р (D) был эллиптическим, необходимо и достаточно, чтобы
его главная часть
Pm(D)= £ aaDa
I a l=m
удовлетворяет условию Pm (g) =# 0, g =/= 0.
Этот результат был установлен И. Г. Петровским [1] (1939 г.)
для классических решений, Г. Вейлем [1] (1940 г.) для обоб-
щенных решений для оператора Лапласа и Л. Хёрмандером
(1955 г.) (см. [1]) —в общем случае.
Теперь докажем теорему о стирании изолированных особен-
ностей гармонических функций.
Обобщенная функция и(х) из ДУ (G) называется гармони-
ческой в области G, если она удовлетворяет уравнению Лапласа
Ди = 0 в G (и тогда и е С°° (G) по теореме I).
Теорема II. Если функция и — гармоническая в области
G \ {0} и
и(х) = о(|хГп+2). п>3; и (х) = о (In | х |), п = 2, |х|->0, (6.2)
то и гармоническая в G,
212
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Доказательство. Пусть UR @ G. Введе.м функцию й(х),
равную и(х) в UR и 0 вне UR. Эта функция суммируема на Rn
и в силу (3.7') § 2 обобщенная функция из 2D' (Rn)
Лй+-£-^+4(“Ч)=° »
Отсюда по теореме § 2.6 имеем
м - 4 (»ч) + Е c"D“6 в R“' <ы>
I а |
Так как и финитна, то, применяя формулу (1.11), из (6.3) по-
лучаем
й = п * \й~
=	£ ₽л*№=
I а | < т
= VT + v!? + £ CaW„,	(6.4)
I a | < m
где
(x) = kn | x Гп+2> n>3; <Г2(х) = -^-1п|х|
— фундаментальное решение оператора Лапласа, а Vn> (х) и
Vn* (х) — поверхностные потенциалы простого и двойного слоя
на сфере Из представления (6.4) при | х | < /? и из усло-
вия (6.2) вытекает, что са = 0, так что
«(х) = УГ(х)+^’(х), |х|</?,
откуда следует, что и (х) — гармоническая функция в шаре UR.
Теорема доказана.
7. Гиперболические операторы. Пусть С—выпуклый откры-
тый конус в R“ с вершиной в 0. Оператор Р (D) называется
гиперболическим относительно конуса С, если он удовлетворяет
условию: существует точка у0 е Rrt такая, что
Р (у0 — iz) 0 при всех z <= Тс.	(7.1)
Теорема. Для того чтобы оператор Р (£)) был гиперболи-
ческим относительно конуса С, необходимо и достаточно, чтобы
он имел (единственное) фундаментальное решение <S (х) в алгебре
2D'(С*), представимое в виде
8 (х) = е^’^0(х), <roeS?'(C*),	(7.2)
где точка уй^кп определена в (7.1).
ЗАДАЧА КОШИ
213
§ is]
Доказательство. Необходимость. Если оператор
Р(Р) гиперболичен относительно конуса С, то полином
P(yQ — iz) не обращается в нуль в трубчатой области Тс. По-
этому 1/Р (у0 — iz) е Н (С) (см. § 13.2), так что
PH(U)] -М^о](г), *о^'(С*).	(7.3)
Обозначая £ = z-|-n/o, получим (см. § 9.2, в))
= L - iy0) = L &0 (x) e^ *>],
* \ lto/
откуда и следует представление (7.2).
Достаточность. Если оператор Р (D) имеет фундамен-
тальное решение вида (7.2), то функция L[&0](z) голоморфна
в Тс и, следовательно, в силу (7.3) полином Р (у0 — iz) не об-
ращается в нуль в Тс, так что оператор Р (D) гиперболичен
относительно конуса С.
Единственность фундаментального решения в алгебре 2D' (С*)
доказана в § 4.8, г).
Теорема доказана.
Пример 1. Волновой оператор □ гиперболичен относи-
тельно светового конуса будущего К+, причем (см. § 13.5)
□ (-/г)=-^+г?+...+4=#0в Г+.
П р и м е р 2. Дифференциальный оператор Р (^)(см. § 14.4, г))
гиперболичен относительно (0, оо).
Замечание. Конус С является связной компонентой открытого мно-
жества (см. Л. Хёрмандер [1])
\У' Рщ (у)	0J.
§ 15. Задача Коши
1. Обобщенная задача Коши для гиперболического уравне-
ния. Пусть S — С-подобная поверхность класса С°° и S+ об-
ласть, лежащая над S (см. § 4.5); Р (D) — гиперболический
оператор относительно конуса С порядка т.
Рассмотрим классическую задачу Коши
P(D)u = f(x), xeS+,	(И)
^4 = uk(x), k = 0, 1, ... , т — 1,	(1.2)
dnR s
т. e. задачу об отыскании функции и е Cm(S+) f) Cm~l (S+),
удовлетворяющую уравнению (1.1) в S+ и условиям (1.2) на S.
Для разрешимости задачи Коши (1.1) —(1.2) необходимо, чтобы
feC(S+) и uk е cm~k~l (S).
214
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ (ГЛ. III
Предположим, что классическое решение и задачи (1.1) —
(1.2) существует и f eC(S+). Продолжим функции f и и нулем
на S_ и обозначим соответственно через f и й продолженные
функции. Тогда во всем пространстве R'1 функция й(х) удо-
влетворяет следующему дифференциальному уравнению:
P(D)u = f(x)+ S	U-З)
0<fe <m-l
где vk6s — плотность простого слоя на S с поверхностной плот-
ностью vk (см. § 1.7), однозначно определяемой функциями {uj},
поверхностью S и оператором Р(Р). Обобщенная функция

действует
на основные функции ср по правилу
(ср. § 2.3, б))
(тт^А). ф) = (- i)fe ( vk(x)^LdS.
X dnR	/	J	dnR
s
Докажем равенство (1.3). Пользуясь уравнением (1.1) и усло-
виями (1.2), при всех имеем
(Р (D) й, ср) = (й, Р (— D) ср) = и (х) Р(— D) ср (х) dx =
s+
P(D)u(x)cp(x)dx + У (-l)k\vk(x)^LdS =
4	o<ft<m-i SJ	дп
= J f (x) cp (x) dx + Yj (£? (vk&s), <p).
0 < k < m-1
что и эквивалентно (1.3).
Пример 1. Для задачи Коши для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения
Р (4) и и{т) + а1Ы(т"1) + •••+««» = / (О,	(1.4)
ц(М(0) = Иь fe = 0, 1, ...,m-l,	(1.5)
уравнение (1.3) принимает вид (см. § 2.3, в))
О	< m-1
где
(oo=l).	(1-7)
0< /<m—1—fe
ЗАДАЧА КОШИ
215
§ 15]
Действительно, пользуясь формулой (3.1) § 2 и начальными
условиями (1.5), имеем
fiW = „№)(0+	£	i=l,2,...,n.
Отсюда и из уравнения (1.4) следует уравнение (1.6):
р (4)й=(4)й ®®+(aiu°+и^т~2) w + ..
••• +(ащ-1«о+ ••• +ai«m-2 +«ш-1)6(0 =
=F(0+ Z vk6w(t),
0<fe<m-l
где числа vk определяются равенствами (1.7).
Пример 2. Для задачи Коши для волнового уравнения
□ « = /(*), х — (х0, х),	(1.8)
и\Ха=0 = щ(х), -£L-o = «i(«)	(1.9)
уравнение (1.3) принимает вид .
□ й = f (х) + и0(х) X 6'(х0) + «1(«) X 6(*о)-	(1-Ю)
Таким образом, классическое решение и(х) задачи Коши
(1.1) —(1.2), будучи продолженное нулем на S_, удовлетворяет
в R" уравнению (1.3). При этом начальные условия (1.2) играют
роль источников, сосредоточенных на поверхности S (как сумма
плотностей слоев различных порядков). Например, для волно-
вого уравнения, в силу (1.10), это есть сумма плотностей про-
стого и двойного слоев на плоскости хо = 0, т. е. мгновенно
действующий источник (при х0 = 0).
Теперь классическую задачу Коши для гиперболического
оператора Р (О) мы можем обобщить следующим образом.
Пусть обобщенная функция F е ЗУ (S+). Обобщенной задачей
Коши для оператора Р (£>) с источником F назовем задачу
о нахождении в Rn обобщенного решения и из ЗУ (S+) уравнения
P(D)u = F(x).	(1.11)
В силу сказанного, все решения классической задачи Коши
содержатся среди решений обобщенной задачи Коши.
Справедлива следующая
Теорема. Решение обобщенной задачи Коши существует
единственно и выражается формулой
u = 8*F,	(1.12)
где <8 — фундаментальное решение оператора Р (£)) из ЗУ (С*).
Это решение непрерывно зависит от F в смысле сходимости в про-
странстве 3)' (S+),
216
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Для доказательства теоремы необходимо воспользоваться
результатами § 4.5 при Г = С* и К=0, а также_ — § 4.8, г).
При этом операция F->S’*F непрерывна из 2D'(S+) b$'(S+).
Замечание. Изложенное очевидным образом переносится и иа гипер-
болические системы. Пусть 4 — N X Af-матрица, элементы которой суть диф-
ференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Оператор А (£>)
называется гиперболическим относительно конуса С, если оператор det А (В)
гиперболичен относительно С.
Пример 1'. Формула (1.12) для решения классической
задачи Коши (1.4) —(1,5) принимает вид
t
u(0== Jf(T)Z(^-T)dT+ £ vkZw(t), (1.13)
где Z (0 — решение однородного уравнения Р (-Jy) Z = 0, удо-
влетворяющее условиям Z(fe)(0) = 0,	—2, Z{m~(0) = 1,
а числа vk определены равенствами (1.7).
Для получения формулы (1.13) вычислим свертку фундамен-
тального решения S’ (Z)=0 (/) Z (/) оператора Р (см. § 14.4, г))
с правой частью уравнения (1.6):
« = f * S +	£	=
= J f (T)	- T) dx +	£ vktf,M (t) =»
= 5 f (T) z (t - t) dx + 9 (/)	£ vkzw (t).
0	1
Здесь мы учли равенства (см. § 14.4, г))
(t) = [Q(t)Z(t)]w = Q(t)Z{k] (t), fe = 0, 1, .... т-1.
2. Волновой потенциал. Фундаментальным решением вол-
нового оператора являются (обобщенные) функции, опреде-
ляемые равенствами (4.9), (4.13) и (4.15) § 14:

O2V-1 vn, ' Кяо)6(X2)],	п = 2v + 1, v> 1;
2iV ЧТ (v)
2,,_,',rw □-'[eW4]-'g, n = 2v;	(2.1)
40Uo)6(x2),	H=l,
§ 15]
ЗАДАЧА КОШИ
217
4^/
f/г
Носители и ^2v совпадают с V+, а носитель
v>l, —с (5V+. Эти особенности структуры носителя
ментального решения и определяют
различия в характере распространения
волн в нечетномерном (п^З) и четно-
мерном пространствах и на прямой.
На рис. 33—35 схематически изобра-
жены графики фундаментальных ре-
шений &п (х) по | х | при фиксирован-
ном Xq > 0.
Лемма. Фундаментальное решение
$ п (х) принадлежит классу С°° ([0, оо))
по х0, и его сужение <S nXts (*) при х0 > 0 обладает носителем S
(при нечетном
^2v+I>
фунда-
х0 |я[
Рис. 33.
9
ха
четном п или n = 1) и удовле-
творяет предельным соотношениям при Хо —> + 0
д^„г (х)	(*)
^(«)->0, —"*°---->6(х), —в <Z)'(Rn). (2.2)
дх0
Доказательство. Пусть п = 2v + 1	3 — нечетное. До-
кажем, что при хй > 0
^<₽Uo)= 22vJr(v)
d2a
у ——
А dx2a
Действительно,
(2.1) и (4.11) § 14
(^гмр, Ф) = (<^п, Ф (*) Ф (хо)) =*
= --2—, . (□ v~1 [8(х0) й (х2)], <р (х) ф (х0)) =
Z Л 1 (V)
v—1—а
2v—1
'О
(Av-i~“(p)(xos) ds , (ре® (Rn). (2.3)
при всех (ре® (Rn) и фе® (х0> 0) в силу
имеем
218
некоторые Приложения в математической физике [гл. ш
_	1 V r_nv-1-“f a Г 4(2a)(*o) ч/
2Мм 1 4 Vv-dj х *
' ' 0<a<v-l	0	0
X $	£ (-1Г‘-(,1,)Х
1х|“*«	' ' 0<a<v-1
ОО
X 5	5 (AV~1-a<p)(xos)dsdxo>
О	|s) = l
откуда и следует формула (2.3) (см. обозначения и технику,
развитую в § 3.4). Из (2.3) вытекает, что &п е С°° ([0, оо)) по хо,
supp $nXt — SXi и при х0 -* + О
( «». ’ ф)= М “° 22vj.vr (V)	<—1> (v —1)Х
' 0<a<v-l
rf2a+l Г 2v-l Г ,Av-l-a \ , х , 1
Х-^ТГр J (д <p)(xos)dsl->
"* 22Wr(v) S Ф (0) dS = 22VT(v) ff2v+1<P (0) =
J S I = I
2r(2v)nv+1^	..	.
22vnvr (v) Г (v + 1/2) ф ( ) Ф (	( > Ф)’
( дх^ ' Ф) = ^'м₽^°)!== 22vnvr(v)	(v-l)X
4 и '	' 0<a<v-l
Х-^тГ<-1 5 (AV~1-a?)(v)dsl~*0-
° L |SJ-1	j
В последнем соотношении мы воспользовались тем, что функция
Ф (xos) ds = ф (— xos) ds
|s|=l	|s|=l
— четная, бесконечно дифференцируемая, а потому ее первая
производная по х0 в нуле равна нулю.
Таким образом, предельные соотношения (2.3) доказаны для
нечетных nj>3. Для четных n = 2v доказательство аналогично;
проще воспользоваться методом спуска по переменной x2v+i
§ 15]
ЗАДАЧА КОШИ
219
(см. § 14.4, е)). При п — 1 доказательство тривиально. Лемма
доказана.
Пример.
Z <11 1 \*/	AQ
где 65д.о (х) — простой слой на сфере |х| = х0 (см. § 1.7).
Пусть F е Ф' (₽+ X R"). Свертка Vn = F * &п, существующая
в ^'(R+XRrt) (см. § 4.5), называется волновым потенциалом
с плотностью F. Волновой потенциал Vn непрерывно зависит
от F в смысле сходимости в ‘ЗУ (R+ X Rrt). Наконец, этот потен-
циал удовлетворяет волновому уравнению □ Vn — F (см. § 14.1).
Дальнейшие свойства потенциала Vn существенно зависят
от свойств плотности F.
Если F = f е 2’i’0C(R+ X Rn), то потенциал Vn выражается
формулами
]/	(г\—______!__r-iv-i	f	f (хр — [ х — % |, %) js	v2>1
V2v+i(x)-2%v	□	J	dl,
|x-M<Xo
Xo Xi + Xo-So
Пусть n = 2v4-1^3. Пользуясь представлением (5.1) § 4
для свертки f*gn, из (2.1) и (4.11) § 14 при всех <pe^(Rn+I)
имеем
(Vn, =	<p) = cv(f*nv-1[e(xo)6(x2)], <р) =
= MDv-1(f*0(*oW)), <p) = cv(f*e(x0)5(x2), □-1ф) =
= (f (g) X 0 (Уо) б (у2), n (Ю T)1 (У) □ V-’<P (B + y)) =
= Cv(e (Уо) б (у2), n. (у) $ f (В) □"-’<₽ (В + У) dl) =
= cv (e (z/o) б (у2), n 1 (y) f(x — y) □ 1Ф (x) dx) =
₽ J [J — I у I, X — У) □v"1q) (x) dx] =
=	\ □ v-'<p(x)\ ft*0-1*-*1’!). dXt
4	V	I л c I
220
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
откуда и следует первая из формул (2.5); здесь c-v22v ‘тс^Г (v) = 1.
Аналогично, проще, доказываются и остальные формулы (2.5).
Замечание. Из формулы (2.5) прн п = 2v + 1 > 3 следует, что потен-
циал V2v+i(x) в точке х в момент времени t = xo>O полностью опреде-
Рис. 36.
ляется значениями источника / (§) на
боковой поверхности конуса
Г (х) = [£: Ь -	- | х - 1> 0]
(рис. 36),
т. е. значениями источника f (х0—| х—?, |, %)
в шаре И (х; Хо), взятыми в ранние мо-
менты времени |о = хс — |х —- £|, причем
время запаздывания | х — 11 — это то
время, которое необходимо для прихода
возмущения из точки | в точку х *).
С другой стороны, из формулы (2.5) при
п = 2v следует, что значение потен-
циала V2v (х) полностью определяется
значениями источника f (§) на самом
конусе Г (х).
Пусть источник f сосредоточен на замкнутом множестве Т с Rrt+1. В силу
сказанного при нечетном возмущение от Т распространится на множе-
ство М (Г) — объединение границ световых конусов будущего У+ + с, когда
их вершины | пробегают Т (рис. 37); при четном п возмущение распростра-
нится на объединение самих замкнутых конусов V+ ф- g, с G Г (рнс. 38).
Полученное таким путем множество М (Т) называется областью влияния мно-
жества Т. Ясно, что вне М (Г) будет покой.
3. Поверхностные волновые потенциалы. Пусть плотность
F = «1 (х) X 6 (х0) или F = «о (*) X 6х (х0), где щ и щ — произволь-
ные обобщенные функции из ЗУ (Rrt). Волновые потенциалы
= [и, (х) X б (х0)] * $п, V0) = [Ыо (Ж) х у (Хо)] * Sn
*) Поэтому волновые потенциалы Vgv+1 называются также запаздываю-
щими потенциалами.
§ 151
ЗАДАЧА КОШИ
221
называются поверхностными волновыми потенциалами (типа
простого и двойного слоя с плотностями щ и щ соответственно).
Запаздывающий потенциал УФ есть производная по х(} от
с той же плотностью:
« = аД {[“»<») X s W] * s.}-	<3-
Поверхностные волновые потенциалы У«0) и принадлежат
классу С°° ([0, оо)) по х0, причем при х$ > 0 и А = О, 1, ...
W) (х) = и *-------,	(3.2)
дх% пх'‘ ’	1 дх*	v ’
dk	dk+r&nz	, ,
— V<i)(x) = u*----------3.3)
дх% rtX°v '	0	дх°+>
Действительно, пользуясь леммой § 15.2, при всех q>e^(Rrt)
и фе0(хо>О) будем иметь (см. также § 3.4)
(^L, t)=(-!)'ОС +'")=
\ dx% )
=(-DftW, Ф^))=(-1)Ч[«1Хб]*^„, Ф1Г) =
=	п(*)П1®ф(*+Ю№+^)) =
\ дхй	)
=	 n(x)t(x0)(«i(B). ф (* + !))} =
(х)	\
——> Т) W («1 (В), ф (« + Ю)) ф (хо) dx0 =
ОХ0	/
9k^„r
пхъ
ф ) ф (х0) dx0,
так что
dkV^(x0) __
dxoft
9хк
(3.4)
Отсюда, пользуясь теоремой о непрерывности свертки
(см. § 4.3) и леммой § 15.2, заключаем, что УпфЕС°°([0, оо))
и потому V(® е С00 ([0, оо)) по Ху. Формула (3.2) вытекает из
222
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
(3.4), так как в силу (4.1) и (4.3) § 3
dkV<®x
____ПХб
dx0
Из доказанного для потенциала Vi? следуют все утвержде-
ния относительно потенциала при этом нужно воспользо-
ваться формулой (3.1).
Имеют место следующие предельные соотношения при х0->
—> 4~ 0 для потенциалов Уп0) и
v!2. W - 0.	2%^- -»«1 («) в я/ (R"),
<3-5>
C/aq
Вытекают из (2.2), (3.2) и (3.3) и из непрерывности свертки
(см. 4.3).
Если u, е 2’1’0с, то при х0 > О
=	5 ui^dSt, v>I,
2«r(v) *olx_EJl=Xo
V<°) (v\_______1	n v~1	(	“1 ft)
"	(v) °	,	'	(3-6)
JCi + Xo
Xl-xt
Для доказательства формул (3.6) при n = 2v + 1^3 вос-
пользуемся равенствами (3.2) (при 6 = 0) и (2.4):
V(n (х) *=	(х) = «1 * (8nXss = v _ гл * ЕГ 1 — 6Sxo —
91 1	AO
~FZrM	<3J>
£. JV 1 Y)	AQ
Покажем, что
Ul*bsx>—	(3.8)
(По теореме Фубини интеграл в (3.8) при каждом х0 > 0 суще-
ствует для почти всех х е Rrt.)
ЗАДАЧА КОШИ
223
§ 151
Действительно, пользуясь формулой (3.3) § 4, при всех <р
из Ф (Rrt) получаем
(«1 * 6зХо, ф) = («1 (Ю X бзХо (у), П (у) Ф (ё + у)) =
—	+ d^dSy— ut(x — y)<f(x)dxdSy=*
1>|=^	|у1=х,
= Ф (х) и (х — у) dSy dx = ф (х) и (I) dSt dx,
\У1=х„	|x-J|=x„
откуда и следует равенство (3.8).
Из (3.8) и (3.7) и следует формула (3.6) для n = 2v4- 1^3.
В остальных случаях доказательство аналогично, проще.
4. Задача Коши для волнового уравнения. В соответствии
с общей теорией (см. § 15.1) решение обобщенной задачи Коши
для волнового уравнения
au = F(x), F (= 0'(R\_ X R").	(4.1)
существует и единственно в Ф' (₽+ X R") и представляется в виде
волнового потенциала
И=УЯ = Р*£Я
с плотностью F. В частности, если
F (х) = «1 (х) X й (*о) + «о («) X б' (,х0),
то соответствующее решение и е С°° ([0, оо)) по х0, при х0 > О
оно представляется в виде суммы двух поверхностных волно-
вых потенциалов:
и (х) = иХ) (х) = щ *	(ио * &пХа)	(4.2)
и, в силу (3.5), удовлетворяет начальным условиям при х0->-|-0
Их, (ж)-> «о (х), ~^““*И1(х) в Ф'(Rn).	(4.3)
Возникает вопрос, когда решение обобщенной задачи Коши
является классическим. _
Теорема. Если f е СРп (R’+ X R"), и0 е C₽rt+1 (Rn) и щ е
е СРп(Rrt), где p„ = 2|^-j, и^2 и pi = l, то решение класси-
ческой задачи Коши (1.8) — (1.9) существует и оно предста-
вляется в виде суммы трех волновых потенциалов (формула
224
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
Кирхгофа — Пуассона — Даламбераф.
и(х\ —----!----п 1 Г (	—х°____—__*’ di. 4-
22УГМ° I J lx— И +
|«V ъ I
+ 7- Щ ®dS^ +	Wo(g)dSjl,
AQ	V	t/AQ AQ	J	I
1*-£1=х0	|x-SI=x0	-*
n = 2v + 1 > 3; (4.4)
|- xo
uW =______!____Dv-1 ( С Н1ИМ1.
> 2^r(v) U L0J ,x A 5	+
Xo Xl+Xo-5o	Xj+X,
U (x) =	f (Ю d^j + ~2 U1 (£1) d^i +
0 Xi—Хц+Ео	X,-Xo
I Mp (Xl + Xp) + Цр (Xt — Xp)
2
Доказательство. Для доказательства теоремы осталось
установить в силу_(4.3), что все волновые потенциалы принад-
лежат классу C2(R+XRn). Сделаем это для n = 2v 4-1^3.
Имеем
С	((Хр - | X - 1|, I) .£
]	|х-II а^ —
|х-Л<Хо
= Хо f[xo(l I У I), х 4- хоУ]тхт е C2v (R+ X R”),
lx l<i
подстановка l = x-[- хоу, d?. = x"dy,
«1 (ё) dS$ — хо~~2	«1 (х 4- xos)ds е C2v(Rn+1),
| х-% | =х,	I S 1 = 1
подстановка ё = х-]-хоз, dSi = x^~i ds\
^•77	5 dSi = -^ Хо~2 Ио(«4- xos)dseC2v(Rrt+1),
|ж-6|=Хо	Is 1 = 1
откуда и следуют требуемые свойства гладкости волновых
потенциалов для n = 2v4-1^3. Аналогично рассматриваются
и остальные случаи. Теорема доказана.
ЗАДАЧА КОШИ
225
§ 151
5.	Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения
теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплрпровод-
ности изучается методом, аналогичным методу, изложенному
в §§ 15.1 — 15.4 для волнового уравнения.
Рассмотрим задачу Коши
4г = Nu + f (х, t), w|f=o = wo(x)>	(5.1)
где f e С (₽+ X R")> “о — C (Rrt). Считая, что классическое реше-
ние и(х, t) задачи Коши (5.1) существует, продолжая его и
функцию f нулем на I < 0, как и в § 15.1, убедимся, что про-
долженные функции й и f удовлетворяют в Rn+1 уравнению
-|1 = Д« + ЙХ,/) + цо(х)Хб(О.	(5.2)
Это замечание дает возможность обобщить постановку за-
дачи Коши для уравнения теплопроводности в следующем на-
правлении. Пусть F е Я) (₽+ X Rn)- Обобщенной задачей Коши
для уравнения теплопроводности с источником F назовем задачу
о нахождении в R"+1 обобщенного решения и из ® (R+XRrt)
уравнения
-^ = A« + F(x,/)•	(5.3)
6. Тепловой потенциал. Прежде всего изучим свойства фун-
даментального решения <£ (х, I) оператора теплопроводности.
В § 14.4, д) было показано, что
Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при t < О,
бесконечно дифференцируема при (х, 0¥=0 и локально инте-
грируема в Rn+1. Более того,
^<Г(х, t)dx=\, />0,	(6.1)
в силу
С	1 С	1 С
\<Г(х, i)dx =----« dx = -^-\e-l“l’du=l.
J 7	(4 л I)'1'2 J	Лп'2 J
График функции <£ (x, t) при различных ^(^<^2<^з) изо-
бражен на рис. 39^
Пусть F е ££/(₽+ X К")- Свертка V = F * <S называется теп-
ловым потенциалом с плотностью F. Если тепловой потенциал V
существует в Я)', то он обращается в нуль при t < 0, в силу
Б В. С, Владимиров
226
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
(см. § 4.2, ж))
supp V cz supp F + supp <8 cz [(x, t): t ^0 ],
так что Fe® (R+X Rn), и удовлетворяет уравнению тепло-
проводности (5.3).
Выделим классы плотностей F, для которых тепловой потен-
циал заведомо существует.
Рис. 39.
Обозначим через класс измеримых в Rrt+1 функций (х, /)},
обращающихся в нуль при t < 0 и удовлетворяющих в каждой
полосе	№ Rrt оценке
\f(x, t)\^CT,e(f)e*^
(6.2)
при любом е > 0. Аналогично, через Жй обозначим класс из-
меримых в Rrt функций {) (х)}, удовлетворяющих при любом
е > 0 оценке
[ f (х) ХС/1г,!, xeR\	(6.3)
В (6.2) можно считать, что величина Ст, е не убывает по Т.
Если f е Ж, то тепловой потенциал V существует в Ж, выра-
жается интегралом
р р	| X — £ [2
и удовлетворяет оценке: для любого е > 0
о</<^.	(6.S)
§ 15]
ЗАДАЧА КОШИ
227
и начальному условию: для любого R > О
I х|<я
V (х, t) => 0,	/->+0.
(6.6)
Действительно, так как функции <8 и f локально сумми-
руемы в Rrt+I> то их свертка V = f * <8 существует, выражается
формулой (6.4) и является локально суммируемой функцией
в Rrt+1, если функция
t
h(x, /) = J т)|<Г(х-§, t-xjdt-dx
о
локально суммируема в R"+ (см. § 4.1). Докажем, что функ-
ция h удовлетворяет оценке (6.5). Эта оценка следует из оценки
(6.2), в силу теоремы Фубини
h(x, t) < Ct, е
I х-Е, I2
4 (f-T)
dg dx
[4л (t - r)]rt/2
+ s ISP
dy ds
(4ns)rt₽
здесь мы воспользовались неравенством | у — х |2	21 у |2 + 21 х |2.
Совершая во внутреннем интеграле подстановку
продолжим наши оценки:
Ле I х Р \ \ е “ du ds	<2
J J	лл/2	(l-8es)"/2 --
<__2ВЛ_ й28|хР
"" (1 - 8e/)rt'"2
1
8в
что и требовалось. Так как | V\^h, то потенциал V также
удовлетворяет оценке (6.5). Далее, V = h = 0 при t < 0, так что
FeX Из оценки (6.5) следует, что V удовлетворяет началь-
ному условию (6.6).
8*
228
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Пусть плотность F(x, О = »о(х)Хб(/), где щ еЗУ (R"). Теп-
ловой потенциал
У<°> = [«о(х)Хб(/)]*#
называется поверхностным тепловым потенциалом (типа про-
стого слоя с плотностью «о).
Если щ е JZ0, то поверхностный тепловой потенциал 1/(0) су-
ществует в Л А С°° (R‘+ X Rn), выражается интегралом
y(O)(^/) = \7^rJuo(g)e 4<	(6-7>
и удовлетворяет оценке: для любого е > О
I V(0) (х, /) |	y-(“p-L? е2е 1 х р, 0</<—	(6.8)
(1 - 8е/)п/2	88’	'
Если к тому же ио е С, то 1/<0) е С (R+ X R") и удовлетворяет
начальному условию
V«»|f-+o = «o(x).	(6.9)
Следствие. Из (6.9) вытекает, что
^(х, 1)-*Ъ(х),	/->4-0.	(6.10)
Представление (6.7) и оценка (6.8) доказываются так же,
как и для потенциала V. При этом нужно использовать оценку
(6.3). Из представления (6.7) следует, что У(,|) <=.// и, кроме
того, V(0) е С°° при (> 0 иге R", последнее — опять в силу (6.3).
Осталось доказать, что V(0) — непрерывная функция при
/^0, х е IRrt и удовлетворяет начальному условию ("6.9), если
и0 е Ло П С. Пусть (х, /)-> (х0, 0), t > 0, и ц > 0 — произвольное
число. В силу непрерывности функции и0(х) существует такое
число д > 0, что
I «о (£) — «о (Хо) I < П при |£ — Хо ] < 25.
Поэтому, если | х — х01 < б (тогда и | х — у — х01 < 26 при
| у | < б), в силу (6.1) и (6.3) при е=1 будем иметь
|Р°>(х, /)-«о(хо)|< j|uoa)-Wo(xo)l^(x-5, 0^5 =
= I и0 (X — у) — Ыо (хо) I & (у, 0 dy +
IУ кв
+ 5 I н°(х ~У) ~ Мхо) \& (у, t)dy <Т]	(у, t)dy-y
ls/l>6
§ 15]
ЗАДАЧА КОШИ
229
I Wo (*o) I ) & (y> 0 dy + C] J S (y, t) elx
1 уl>6	। уi>a
f dy + C, -e—-	e~‘
,„L dy H ’(w^ J>6e
C
[л (1 - 8t)]nl2 J
|u|>—~
2aJi
I Up (Xp) I
nnl2
a
2V~
dy
e~' “|! du.
(6.11)
Второе и третье слагаемые в (6.11) также можно сделать < ц
при всех достаточно малых t > 0, t < 6Ь Итак,
| V(0>(x, /) — wo(xo) I < Зц, | x — x01 < 6, 0 < t < 6b
что и требовалось.
7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Теорема. Если F(x, t) = f (х, t) + и0 (х) X 6 (/), где f е Ж
и uo^Jto, то решение обобщенной задачи Коши (5.3) существует
и единственно в классе Ж и представляется в виде суммы двух
тепловых потенциалов (формула Пуассона)-.
и (Х) /) = V (х, t) + V(°> (х, t) =
Г Г f 1 I x-S I*	(,, г	I х-l р
Если, сверх того, fe=C2 (R‘+ XR"), Daf ё= Ж, | а |<2,	Ло П С,
то формула (7.1) дает классическое решение задачи Коши (5.1).
Доказательство. По доказанному и в соответствии
с общей теорией, развитой в § 4.8, в), решение уравнения
= Au + f(x, t) + «о (X) X б (t),	(х, t) e R"+1,
существует и единственно в классе Л и представляется в виде
суммы двух тепловых потенциалов:
и = (/ + и0 X б) * S = М S + («о X 6) * S = V + V<°>,
откуда и из (6.4) и (6.7) следует формула (7.1).
Совершая в формуле (6.4) замену переменных интегрирования
£ = х — 2-sjsy, x=t — s,
230
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
представим потенциал V в виде
I
V (*> /)==^г $ \f(x — 2^/s у, t — s)e-'yv dyds. (7.2)
О
Пусть f £= С2 (R+ X и Daf е Л, | а | 'С 2. Пользуясь тео-
ремами о непрерывности и дифференцируемости интегралов,
зависящих от параметра, из формулы (7.2) и из равенства
‘ И	е-1 у Р dy ds +
dt , пп>2 J J	dt
о
+ • f	у, О) е~* 1 у 1! dy
выводим, что все функции DaV, | а |	2, кроме , непрерывны
d2V
при xeR", а функция непрерывна при t > 0, xeR".
Следовательно, V е С1 (R'+ X R") Л С2 (₽+ X Rn)-
Наконец, если и0 ei Л0ПС, то, по доказанному, потенциал
V(0) е С (R+ X Rrt) Л С°° (R+ X R")-
Таким образом, обобщенное решение и(х, t), определяемое
формулой (7.1), принадлежит классу C(R+ X R”) Л G2(R'+ X Rn)
и потому является классическим решением уравнения тепло-
проводности (5.1) при t > 0. Кроме того, в силу (6.6) и (6.9)
это решение удовлетворяет и начальному условию (5.1). Это и
значит, что формула (7.1) дает решение классической задачи
Коши. Теорема доказана.
Замечание. Единственность решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности можно установить в более широком классе, а именно —
в классе функций, удовлетворяющих в полосе	xeR” оценке
I и (х, t) 1< Сеа 1 х
Этот результат принадлежит А. Н. Тихонову [1].
§ 16. Голоморфные функции
с неотрицательной мнимой частью в Тс
1. Предварительные замечания. Класс функций, голоморф-
ных и с неотрицательной мнимой частью в области G, обо-
значим через Н+ (G).
Функция и (х, у) 2п переменных (х, у) называется плюрисуб-
гармонической в области G с= Сгг, если она полунепрерывна
сверху в G и ее след на каждой компоненте, каждого откры-
§ 16]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс	231
того множества [А,: г° + ка cz G], z° е G, а е С", а =^= 0, есть
субгармоническая функция по А,. Функция и(х, у) называется
плюригармонической в области G, если она является вещест-
венной (или мнимой) частью некоторой функции, голоморф-
ной в G. Здесь z = x-\-iy.
По поводу плюрисубгармонических и выпуклых функций
см., например, В. С. Владимиров [1], гл. II.
Следующие утверждения эквивалентны'.
1)	Функция и (х, у) плюригармоническая в G.
2)	Вещественная обобщенная функция и (х, у) из Ф' (G) удо-
влетворяет в G системе уравнений
gdZjg^k = °> 1 < /> k < П’ Z/ = Xi + 1У1'
3)	Функции и (х, у) и —и (х, у) плюрисубгармонические в G.
Здесь
д	\	( д___. д \	d	1 / д . . д \
dZ]	2 dXj	1 ду )’	dZj	2 \ дх^ 1 dtjj)'
Отсюда следует, что всякая плюригармоническая функция и
в области G — гармоническая по каждой паре переменных (х/, г/у),
/=1......п в отдельности и, стало быть, гармоническая в G,
д„= у рЦ- + «р1 = 4 У -^- = 0.
Поэтому и е С°° (G) (см. § 14.6).
Обозначим через &+ (G) класс неотрицательных плюригар-
монических функций в области G.
Пусть функция f (г) принадлежит классу Н+(ТС}, так что
Im f е (Тс). Без ограничения общности конус С можно счи-
тать выпуклым. Действительно, по теореме Бохнера функция f (z)
голоморфна (и однозначна) в оболочке голоморфности ГсЬС
области Тс и принимает те же значения в Т chC, что и в Тс
(см., например, В. С. Владимиров [1], §§ 17 и 20).
Далее, конус С можно считать отличным от всего прост-
ранства Rrt. В противном случае, f(z) — целая функция, и
условие Imf(z)^0 в С" приводит по теореме Лиувилля для
гармонических функций к равенству Im f (z) = const в С" и,
стало быть, f (г) = const в Crt. Наконец, можно считать, что
Im f (z) > 0 в Тс. Действительно, если Imf(z°) = 0 в некоторой
точке z° е Тс, то в силу принципа максимума для гармониче-
ских функций Im f (z) = 0 в Тс, и тогда f(z) = const в 7’с.
Функция f (г) класса Я+(Гс) удовлетворяет оценке (см.
§ 13.3): для любого конуса С' <sC существует число М(С')
232
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
такое, что
|f(z)|<M(C')-^f^,	z<=Tc',	(1.1)
Следовательно, f е Н (С) (см. § 12.1).
Пусть теперь С — (выпуклый) острый конус (см. § 4.4) и
feiH+(Tcy В силу оценки (1.1) f (z) обладает спектральной
функцией g(t) из 93' (С*) (см. § 12.2), f (z) = L [g]. Отсюда,
пользуясь определением преобразования Лапласа (см. § 9.1)
при всех z es Тс имеем
Im Их + iy) = ' (г) ~ f = F Г g (Ю е~(--Л> ~	1 (х), (1.2)
р	I	^р	1
где g (£)-► g* (£) == g (—£). Из (1.2) выводим равенство
(g)e<y'^ = F71[Imf(x + iy)](g), у е С. (1.3)
Пусть f+ (х) — граничное значение f (z) в 9”', т. е.
f (х + iy) <р (х) dx -> ()+, ф) у -> 0, у е= С, ф е= 9>. (1.4)
Тогда g = Д-1 [fj и Imf+— неотрицательная мера медленного
роста (см. § 5.3). Обозначим ее через p. = Imf+.
Переходя в равенстве (1.3) к пределу при у—>0, у е С в 9?'
(см. § 12.2) и пользуясь (1.4), получим
= F~1 [ц],	(1.5)
так что — ig (£) + ig (£) — положительно определенная обобщен-
ная функция в силу теоремы Бохнера — Шварца (см. § 8.2).
Докажем теперь следующую теорему единственности для
функций класса Н+ (Тс} (и класса 9*+ (Тс)).
Теорема. Если f^H+(lc) и ц = 1ш/+ = 0, то f {х) =
= (a, z) 4- b, где ае=С* и Im b = 0.
Следствие. Если и е (тс) и ее граничное значение
ц = 0, то и(х, у) = (а, у), где а^С'.
Доказательство. Так как ц = 0, то в силу (1.5) спек-
тральная функция g (из S?' (С*)) функции f удовлетворяет усло-
вию g = g*, и, стало быть, поскольку — С* Г| С* = {0} (конус С* —
острый!), то suppg = {0). По теореме § 2.6
g®= Е
|а”л'
так что f (z) — полином. Но f е Н+(ТС) и оценка (1.1) показы-
вает, что степень этого полинома не может быть выше первой,
§ 16]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс	233
так что f (z) = (a, z) + b, z e Tc. Ho
Im f (z) = (Re a, y) 4- (Im a, x) + Im b > o> z e Tc,
и потому ReasC* и Ima = 0. Далее, из Imf+(x) = 0 следует,
что Imb = 0. Теорема доказана.
Замечание. Доказанная теорема есть простейший вариант теоремы
об «острие клина» Боголюбова (см., например, В. С. Владимиров [1], § 27).
Примеры функций класса Н+ (G). 1. Если f е Н+ (G),
то — j е H+(G) (см. § 13.3).
2. Если С — острый конус, ц — неотрицательная мера на
единичной сфере, supp ц с= pr С*, то
Г ( ЖГ’е// +(rhC).
I J (г, о) I +4	'
L-ргС» J
3. д/z2 s H+(tv+) (см. пример 2 § 10.2).
2. Оценки роста функций класса <^*+ (Тс)- Всякая функ-
ция и (х, у) класса (Тс) является мнимой частью некоторой
функции f (z) класса Н+(ТС). Поэтому она удовлетворяет
оценке (1.1), а ее граничное значение в 93' есть неотрицатель-
ная мера ц = Im f+ = и (х, + 0) медленного роста, так что
в силу (1.4)
и (х, у) ср (х) dx-> ф (х) ц (dx),	у-+0, у^С,	(2.1)
Однако для функций класса (Тс) можно указать бодее
точные оценки роста и граничного поведения в терминах соот-
ветствующего интеграла Пуассона, а именно: справедлива
следующая
Теорема. Если и е (Тс), где С — острый (выпуклый)
конус, то имеет место оценка
$^с(х —х\у)м(х', y')dx'<«(x, у + /), (х, у) е Тс, у'е=С,
(2.2)
где &с — ядро Пуассона области Тс. В частности, для гранич-
ного значения функции и (х, у) — меры ц = и (х, + 0), — оценка
(2.2) принимает вид
(х — х, у) р {dx') и (х, у),	(х,у)^Тс.	(2.2х)
Функция и(х, у) принимает граничное значение ц в следую-
щем смысле: для любой ф е С П 2?°°
и (х, у') &с (х, у) Ф (х) dx -> ф (х)	(х, у) ц (dx),
у —* 0, у' С', ЧС' С, у £= С.	(2.3)
234
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Следствия. В условиях теоремы справедливы следующие
утверждения'.
1)	Для любых е > 0 w компакта К<^ТС существует число
R > 0 такое, что
&С U — х’, у) ц (dx) < е, (х, у) е К.,	(2.4)
Ix'l Ж
2)	Если f & С П ЗД°, то интеграл
^f(x — x')^c(x — x',y)y(dx')	(2.5)
— непрерывная функция в Тс.
3)	Для интеграла Пуассона
(х — х', у) ц (dx') = ц * й’с
справедлива формула преобразования Фурье
Р[р*<7>с]=Р[у]Р[<7>с].	(2.6)
4)	Справедливы следующие предельные соотношения'.
(х — х', у) ц. (dx') -> ц, у -> 0, у е С в 9",	(2.7)
^с(х— х , у') и (х', у) dx' -> и (х, у),
у ->0, у еС, V (х, у)<=Тс.	(2.8)
5)	Для любого (открытого) выпуклого конуса С' <§ С сущест-
вует функция г>с‘ (у) со свойствами:
a)	vc, (у) неотрицательна и непрерывна в С';
б)	vc, («/)-> 0, у->0, у^С',
в)	и (х, у) = ^0>с(х — х, у) И (dx) + Vc, (у), (х, у) е= Тс'. (2.9)
6)	Если С — регулярный конус, то
и (х', у') д’с (z — х'\ z° — х') dx' -> Дс (z — х'\ z° — х') ц (dx'),
у ->0, /еС', VC'<s=C, ге7'с, z е= Тс,	(2.10)
где Дс — ядро Шварца области Тс (см. § 12.5).
Замечание 1. Так как из ие55+(;,с) следует, что ие#л(7'С1),
Cjc:C, то все перечисленные утверждения остаются справедливыми и для
произвольного (открытого) выпуклого конуса С] cz С.
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс
235
§ 16]
Замечание 2. Предельное соотношение (2.7) справедливо также н на
функциях вида
<р (х) = ф (х) й’с, (х, у') ,V ф е С Г) S?°°, у' е Съ CjClC, (2.11)
при условии, что у -> 0, у е С, V С' <==С.
Замечание 3. Оценки (2.2) и (2.2') при п = 1, С = (0, оо) (верхняя полу-
плоскость) вытекают из представления Герглотца — Неванлинны (см. ниже,
§ 17.2). В общем случае они доказаны В. С. Владимировым (в [7] для С =
— R"); в [10], II для С = У+, п = 4; в [12] для общего случая).
Замечание 4. Возникает вопрос: сраведливо ли представление (2.9)
при С = С, т. е. возможен ли перехода к пределу под знаком интеграла
в интеграле Пуассона (2.9) при С -> С, С' <= С? Положительный ответ на
этот вопрос в двух частных случаях дан В. С. Владимировым в [7] (с = R" )
и в [10], IV (С = V+, n = 4).
Для доказательства теоремы фиксируем е > 0 и положим
1.<г) = Т^ы.	<2-'2)
где f е Н+ (Тс) такова, что Im f —и. Обозначим Re/ = r, так
что f = v + iu. Функция (z) обладает следующими свойствами^
а)	принадлежит классу Н+ (Тс), поскольку
Re(l— ief) = 1 +е«>1, Imfe= м t 6 t > 0;
б)	ограничена в Тс>
| fe (z) min [-р | f (z) |],
так как
I f .2 _______V2 + и2_____,
I's I 1 + 2ен + e2 (a2 + u2) ’
ze=K
B) f8(z) => f(z), e-»0 VKt=Tc-
Пусть у' — произвольная фиксированная точка из С. Функ-
ция fe(z-)-iy') ограничена и непрерывна по z на Тс. Поэтому
при всех z Т
fE (х + iy') Жс (х - z°) е= 3? = Жо,
так что выполнено условие (5.5) § 12. По теореме § 12.5 функ-
ция f&(z-\-iy') представима интегралом Пуассона, так что
Im fe (z 4- iy') — Im fe (x' 4- iy')&c (x — x', y) dx', z e Tc, у' e C.
(2-13)
Переходя в равенстве (2.13) к пределу при е->0, учитывая
свойство в) и пользуясь леммой Фату, получаем неравен-
ство (2.2).
236
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
Теперь докажем оценку (2.2'). Пусть последовательность
{г)4 функций из 0(Rrt) сходится к 1 в R" (см. § 4.1), причем
О < (*) ^1» ’IjWC’Ij + i W. 6 = 1, 2, ... Тогда из неравен-
ства (2.2) следует неравенство
2Р с (х — х', у) т]й (х') и (х', у') dx' < и (х, у + у'), k — 1, 2, ...,
откуда и из предельного соотношения (2.1) при у' ->0, у' е С
выводим неравенство
(х — х', у) ц/е (х') И (dx') ^и(х, у), k = 1, 2, ...
Переходя здесь к пределу при k -> оо и пользуясь теоремой
Б. Леви, получим неравенство (2.2').
Теперь докажем предельное соотношение (2.3) на функциях
феС, ф(оо) = 0, т. е. фЕ Со (см. § 0.5). Так как 2D плотно
в Со по норме в С (см. § 1.2), то для Ve>0	такое,
что | ф (х) — ф(х)|<е, xe.R". Отсюда, а также из нера-
венств (2.2) и (2.2') выводим неравенство
и (х, у')	(х, у) ф (х) dx — <р (х)	(х, у) ц (dx) | <
< I 5 и (х> у') &с (х> у) Ф (х) dx — ф (х)	(х, у) ц (dx) | +
+ е [и (0, у + у') + и (0, «/)],
из которого и из (2.1) заключаем о справедливости (2.3) на
функциях ф еС0, (если у' -> 0, у' е С).
Теперь докажем следствие 1). Его достаточно доказать для
любого достаточно малого шара К- Пусть U (z0; 2r0) Тс-
В силу (2.2') и (1.1) § 11 имеет место неравенство
| Жс (х — х' + iy) | ц (dx')	(2л)п Жс (2iy) и (х, у). (2.14)
Так как функция \Жс(г)\2 плюрисубгармоническая в Тс, то по
теореме о шаровом среднем при всех / е R" и z^U (z0; г0)
справедливо неравенство (см., например, В. С. Владимиров
[1], § Ю)
\Жс(г-х')\2^С0 J \Жс(х" - х'+ iy")\2dx"dy"^
U (г; Го)
<С0 J \жс(х" -х' + iy")\2dx"dy", (2.15)
О (г0; 2го)
где 4- = mes U (0; г0).
Со
§ 161
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс
237
Из неравенства (2.14) по теореме Фубини следует существо-
вание интеграла
J J | Жс (х" -х' + iy") \2dx"dy" р (dx') =
J Ufa-, 2r0)
— S ^Жс(х" — x'+ iy")\2y(dx') dx"dy"
U(z0; 2r0)
< (2л)" J Жc (2iy") и (x", y") dx"dy" < oo.
U (z.; 2r„)
Отсюда в силу теоремы Б. Леви
lim j j \ЖС (х" — х-J- iy")fdx"dy"y.(dx') = O. (2.16)
Р -> оо | х' I > R V (z0; 2r0)
Интегрируя неравенство (2.15) по области | х' | > R по мере ц,
из (2.16) выводим
~	ze=£7(z0; г0)
\	| Жс (г — х') |2 ц (dx')	— => О, R -> оо,
|х'| ж
откуда и следует (2.4).
Докажем следствие 2). По следствию 1) интеграл (2.5) в
окрестности каждой точки области Тс представляется в виде
суммы двух интегралов: непрерывной функции (при | х' | F)
и сколь угодно малой функции (при | х' | > R).
Докажем следствие 3). Формула (2.6) вытекает из оценки
(2.2') и из теоремы Фубини в силу выкладок:
(р, * &с, ф) = (х — х', у) ц. (dx') ф (х) dx —
—	&с (х' — х, у) ф (х) dx ц (dx') = (и, & с * ф) =
= (F [р.], F~ 1 [^с * ф]) = (F [р], F [^с] F~1 [Ф]) =
= (F [И] F [^с], F-1 [ф]) = (F~1 [F [р] F ф), фе^.
Теперь докажем предельное соотношение (2.7) на функциях
ф(х) вида (2.11), в которых дополнительно предполагается, что
ф(оо) = 0. Без ограничения общности можно считать, что фЗ>0.
Обозначим
х(х)= ф(х + x')[i(dx')= ф(х + х') ^С1(х~)г x',y')n(dx'). (2.17)
Принимая во внимание замечание 1, заключаем, что функ-
ция	непрерывна в R" (следствие 2)) и удовлетворяет
238 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
в силу (2.2') оценкам
Х(х)^|,|'ф|)л.оо j ^Ci(x + х', y')ii(dx')^||4!|^те и (— х, у'),	(2.18)
$ X W (х> У) dx ^ || 4 Н^оо \и(—х, у') &с (х, у) dx <
<И411^«(0,у + /)-	(2.19)
Оценка (2.19) дает возможность применять теорему Фубини
в следующей цепочке равенств:
<р (х) (х — х', у) р, (dx') dx=^0>c (I, у) <р (х' + |) ц (dx') di—
= ^с & y)x(l)d|.
Отсюда, переходя к пределу при у->0, у^С и пользуясь
свойством а) § 11.3 ядра Пуассона &с, получаем неравенство
lim ср (х) (х — х', у) р (dx') dx
>lim &с (g, у) х (g) dl = х (о) = Ф (х') и (dx').	(2.20)
ISKi
С другой стороны, в силу оценки (2.2') для конуса С' и пре-
дельного соотношения (2.3) при у -> 0, у имеем
lim ф (х) (х — х', у) р (dx') dx «С lim ф (х) и (х, у) dx —
— lim 4 (х) 0>с, (х, у') и (х, у) dx = ^4 (х) 0>с, (х, у') ц (dx) —
= ф(х) ц (dx).	(2.21)
Неравенство (2.21) вместе с противоположным неравенством
(2.20) дает предельное соотношение (2.7) на функциях ф рас-
сматриваемого вида.
Случай ф = ? рассматривается аналогично, проще.
Таким же методом доказывается и предельное соотношение
(2.8) (ср. (2.20) и (2.21)): если у'->0, у’ е С, то
lim (х — х', у') и (х', у) dx' «С lim и (х, у + у') = и (х, у) =
= lim	(х — х', у') и (х', у) dx' «С
]х-х'|<1
lim (х — х', у') и (х', у) dx.
Здесь мы опять воспользовались (2.2) и § 11.3,а).
§ 16]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс	239
Докажем следствие 5). Пусть С'<^С. По доказанному (см.
замечание 1) функция
vc,(x, у) = и(х, у) — &с, (х — х', у) р(dx'),	(х,у)<=Тс (2.22)
неотрицательна (см. (2.2')), непрерывна в Тс (см. следствие 2))
и удовлетворяет оценке (см. (2.2))
vc, (х, у)^с„ (х, у') dx и (х, у) &с„ (х, у') dx^u (0, у + у'),
УС"сС', уе=С', у'(=С".	(2.23)
Применяя к (2.22) преобразование Фурье FJ1 и пользуясь фор-
мулами (1.3), (1.5) и (2.6), при всех у^С' получим равенство
2iF~' [vc/] ® = g (I) е~ й - g* (|) Л а -
- [£(Ю~	l	(2-24)
где g(c) — спектральная функция функции f(z), Im f (z) = и(х, у),
g^S^'iC*) (см. § 16.1). Принимая во внимание равенство
(1.10) § 11:
/7х[^с/](Ю=е4^^1, ge-C'*UC'*
и учитывая, что supp g cz С*, supp g* cz — С* и C*<sintC'* из
(2.24) выводим supp F^ [fc'] = {0}. Отсюда по теореме § 2.6
следует, что
Д7Ъс']©= Z Ca(y)Dat>®,
|а|<М(»)
так что vc,(x, у) есть полином по х. Считая в оценке (2.23) С"
n-гранным конусом, заключаем, что vc,(x, y) = vc,(y) не зависит
от х (см. § 11.3, д)). Таким образом, свойства а) и в) доказаны.
Осталось доказать свойство б). Пусть ® е S), ^®(x)dx=l. При-
нимая во внимание предельные соотношения (2.1) и (2.7), из
(2.9) получаем
ис, (у) = vc, (у) ® (х) dx—^u (х, у) ® (х) dx —
— ® (х) ^с, (х — х', у) ii(dx')dx -> ® (х) р (dx) —
— \ ® (х) р (dx) = 0, у -> 0, у е С',
что и требовалось.
240
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Теперь распространим предельное соотношение (2.3) на
функции феСПЙ700. Пусть С'^С. Так как каждый конус
C't^C можно покрыть конечным числом /г-грэнных конусов,
компактных в С, то (2.3) достаточно установить для п-гранного
конуса С'. Пользуясь представлением (2.9),
и (х, у') = ^с, (х — х', у') р (dx') + vc, (у'),	(х, у') е= Тс',
где vc,(y')->§, у' ->0, у' еС', имеем равенство
и (х, у') &с (х, у) ф (х) dx — ^с, (х,у') ф (х, у) dx +
+ vc, (у')	(х, y)q(x)dx, у^С, у' е= С',	(2.25)
где обозначено
Ф (*. У) = Ф + х') &с (х + х', у) р (dx').
Перемена порядка интегрирования в интеграле справа в (2.25)
возможна в силу теоремы Фубини и оценок (2.2) и (2.2'), обес-
печивающих существование повторного интеграла
j 0>с, (х, у') | ф (х, у) | dx «С j 9>с, (х, у’) | ф (х + х') | &с (х +
+ х', у) ц (dx') dx < || ф j 0>с, (х, у') и (— х, у) dx
< IIФ 11^00 и(0> у + у'),	у^С,у'^С.
Далее, последняя оценка вместе с непрерывностью функции
ф(х, у) в Тс (см. следствие 2)) дает возможность применить
результат § 11.3,г) к интегралу справа в равенстве (2.25).
В результате при у'->0, у'^С' получаем (2.3)
и (х, у') Фс (х, у) Ф (х) dx -> ф (0, у) = ф (х')	(х', у) р (dx').
Из доказанного следует справедливость предельного соотно-
шения (2.7) на функциях вида (2.11) при условии, что //->0,
i/eC', VC'gC (замечание 2)).
Докажем следствие 6). В силу оценок (5.4) § 12 и (2.2)
интеграл (2.10) существует. Обозначая
,	__________________z°-x')|3fc (г-г°)|__________________
' — Xc(2iy)^c(x - х', у) + [Ж'с (2iy°) + \Ж с (z — z°))]	(х° — х',уа)’
§ 16]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс	241
имеем: | ср (х') | < 1 (см. (5.4) § 12), среС“ и
j (z — х'; 2° — /) и (х', у') dx' =
р ( ^c(2iy)
~ J	(x — xf, у) +
Г Мг (2iy°) Т „	1
+ |_ | с (г — г°) | + 1 ус (X — X , у°) j X
X ф (х') и (х', у') dx'.
Отсюда и из (2.3) следует предельное соотношение (2.10).
Доказательство теоремы и ее следствий закончено.
3. Оценки роста функций класса Н+(ТС). Здесь мы устано-
вим, что наряду с оценкой (1.1) всякая функция класса Н+(ТС)
оценивается через ее мнимую часть, оценки роста и граничного
поведения которой изложены в § 16.2.
Теорема. Если f е Н+(тс), то
|^с(г-20)[Нг)-Г(2°)]Г<
^.4Wc(2iy°) XJc(2iy)lmf (z°)Imf (z), z<=Tc, z°<=Tc.	(3.1)
Следствие. Если f e H+ (Tc), to
J |^c(2-2°) I4 I f (z) - f (Z°)fdx<
< 4 (2< Жс (2iy°) Жс (2iy) M‘c (2iyQ + 2iy) Im f (20) Im f (z° + 2iy),
yc=C, z°^Tc.	(3.2)
Для доказательства построим по формуле (2.12) функцию
fe(z), е>0 и применим к функции fB(z + iy'), у'^С представ-
ление (5.9) § 12
•^с (г - z°) [fg (2 + iy') -	(z° + iy')] =
= -Дтг 5 Im Ux' 4- iy') Ж c{z — х')Жс (x' — z°) dx',
z°<=Tc, z^Tc, y'<=C.
Отсюда с помощью неравенства Коши — Буняковского выводим
неравенство
I Же (Z - 20) [fe (Z + iy') - fs (z° + iy')] |2
< -(2д)гп J Im (x' + iy') \Жс(г — x') |2 dx' X
X J Im f e (x" + iy') I Жс (x" - z°) I2 dx" =
= 4ЖС (2iy) Жс (2/yO) J im + ly'} g>c (x _ yy x
X 5 Im fe ]x" + iy') &c (x° — x", y°) dx".
242
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Применяя теперь два раза оценку (2.2), получаем
| Жс (г — й°) [fЕ (z + iy') — fe (z° + iy')] |2 «С
< 4^c (2Zi/0) Xc {2iy) Im fe (Z + iy') Im fe (го + iy')t
z° e=Tc, z Tc, y' g= c.
Устремляя здесь y'->0, у' sC и затем e-^-0, получим требуе-
мую оценку (3.1).
Для доказательства неравенства (3.2) умножим неравенство
(3.1) на | Жс (z — z°) |2, проинтегрируем по х и воспользуемся
неравенством (2.2):
J \ЖС (Z - z°) I41 f (z) - f(20) I2 dx < 4 (2л)" Ж c (2iy°) Жс (2iy) X
X Жс (2iy0 + 2iy) Im f (z°) (x — x°, у + y°) Im f (x + iy) dx <
< 4 (2л)" Жс (2iyV) Жс (2iy) Жс (2iy0 + 2iy) X
X Im f (z°) Im f (z° + 2iy).
4. Гладкость спектральной функции. Оценки (3.1) и (3.2)
влекут определенную гладкость спектральных функций функций
классаЯ+ (Тс), а именно:
Теорема. Если f е Н+ (Тс), то ее спектральная функция
g (с) обладает свойством
O^ge^C*), s<-|-n-l.	(4.1)
Следствие. Если f Н+(ТС), где С — регулярный конус,
то ее спектральная функция g однозначно представляется в виде
g = 0c**gi, gieS’Hc*). s<— h (4,2>
Замечание. Операторы б£» * введены в § 13 5.
Пример 1 (см. (2.16) § 10).
0S2 =	&2П-...— .
«+	д^...д12п
Пример 2 (см. § 13.5).
в~2+* = 4“'гл"ге+1Г~2	□П+1.
Для доказательства теоремы заменим в неравенстве (3.2)
f(z) на f (г + iy°) и, далее, положим х° == 0, у° = у. В резуль-
§ 16]
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс
243
тате после несложных преобразований, получим
J IЖ с (х + 2iy) I41 fix + 2iy) I2 dx < 21 f (2iy) |2 J | (x + 2Z y) |4 dx +
+8nnX’c(2iy)Imf(2iy)Imf(4iy), y^C. (4.3)
Но в силу (1.7) § 11 при p = 2 имеем оценку:
J | У£с (x + 2iy) |4 dx = (2n)2" M (4zi/) J ^2C (x, 2y) dx <
<(2„)^^(4.ЗД	= ^(2.ЗД.
Поэтому неравенство (4.3) принимает вид
\\Wl(x + 2iy)f(x + 2iy)\^
^8ntlyl!>3c(2iy)\f(2iy)\(\f(2iy)\ + \f(4iy)\),	у<=С. (4.4)
Пусть теперь произвольный конус C'tsC. Принимая во
внимание оценку (1.1)
\f(iy)\(С')-Ш^, у^С'
и оценку (2.4) § 10
0<Жс(1у)^М0\~п(у),	у^.С,
из (4.4) выводим такую оценку:
\\Ж2С (х + 2iy) f(x + 2iy) ||2 <
<	iC') A~3fI iy) -- + *1 f l2 (Ц-^Т- +	11 г г—)	У^С'.	(4.5)
21 у |	\ 2Ш	1	41 у |	),	J	v	>
Ho	11/1 > А (г/) > о I г/1, у s С' при	некотором	о > 0 (см.	лемму	1
§ 4.4). Поэтому оценку (4.5) можно переписать в виде
||^(х + 2/1/)Нх + 2/1/)|Г ^Л42(С')[1 +A~3n-2(i/)], у^С'.	(4.6)
Оценка (4.6) остается справедливой, если расстояние
A iy) заменить на меньшее расстояние A' iy) (от у до дС').
Применяя лемму § 10.5 (при a = e = 0, s = 0, у = -уп+1
и С = С'^, заключаем, что функция Х с (z) f (z) есть преобразо-
вание Лапласа функции
gi (I) = Ос* * g = Ос* * 9с* * g
244
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
(см. § 9.2, ж)) из ^(С'*)при всех s' < —^п~ 1 и С'^С,
где g — спектральная функция функции /, f(z) = L[g], Сле-
довательно, gt^^s(C*) при всех s< —-|-n—1. Теорема
доказана.
Для доказательства следствия обозначим gi = 0с* * g е
s2’s(C*),s<—|-n—1. Тогда в сверточной алгебре (С*)
в случае регулярного конуса С имеем (см. §§ 4.8, г) и 13.1)
Ос* * gi = 6с* * (бс * g) = (бс*2 * 6с*) *g — &*g — g.
Функция с указанными свойствами единственна.
5.	Индикатриса роста функций класса аР+(Тс). В § 16.2
изучался рост функций класса &+(Тс) при г/—> О, у^С и при
|х| -> оо. Здесь мы изучим рост таких функций при | у\ —> оо,
у f= С. Предварительно докажем следующие леммы.
Лемма 1. Если и е (Тс), где С — выпуклый конус, то для
каждых ограниченной области D <= R" и точки у еС найдется
такое число to^O, что при всех (х°, у°) функция н(х°, у° -ф
+ ty) (t — /0)-1 не возрастает по I на (10, оо).
Доказательство. Фиксируем 2° — х° -ф iy° е С'г и у е С.
Так как конус С —открытый и выпуклый, то найдется такое
число to — to(y°>y), что у°-ф/1/еС при всех t > t0. Поэтому
функция и (х°+ оу, У° + (т -ф /0) у) принадлежит классу ^+(Т')
(по переменным (а, г)). А тогда она представима формулой
(см. § 17.1)
и (х° + оу, у° + (г -ф /0) У) =
ОО
Ч	<5-'>
где а>0и мера удовлетворяет условию роста (см. (2.2'))
Г ц (х°, у°, у, da')
J 1 + а'2
— ОО
< СЮ,
Полагая в (5.1) о = 0,
получаем
деля на т и полагая т = /-~/0>0,
и (х°, y° + ty) _ 1	Гц (х°, уй, у, da')
t — /о л	J а'2 + (/ — /о)2
— ОО
ф а (х°, у°, у),
откуда в силу теоремы Б. Леви заключаем о справедливости
леммы 1.
§ 16)
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс
245
Лемма 2. Пусть функция f (х) выпуклая на множестве А.
Тогда при всех х° е А и х е R" функция
y[f (Х° + 1х) - И*0)]
не убывает по t на отрезке [О, /0] при условии, что все точки
х° + tx, 0< I ^/0, содержатся в А.
Доказательство. По определению выпуклой функции
(см. § 0.2) функция f(x° + /x) выпуклая по t на [0,/0]> и, стало
быть, для любых <t' <,tQ
Нхо-4-/х) = /[^(/'х + х0) + (1 -jr)xf>]<
<!-pf(x° + t'x)+[l-|)/(х°),
т. e.
4 if u°+tx)~f u0)] < 4	- f w
что и доказывает лемму 2.
Лемма 3. Если функция и (х, у) плюрисубгармоническая
в трубчатой области TD — Rrt + ID и ограничена сверху на каж-
дой подобласти TD', D' <= D, то функция
М (у) = swp и (х, у)	(5.2)
X
выпукла и, стало быть, непрерывна в D.
Доказательство. Пусть точки у' и у" из D таковы,
что ху' + (1 — т) у" е D при всех 0^т^1. Тогда функция
v (а, т) = и (х + а (у' — у"), у" + т (/ — у")),	(5.3)
субгармоническая в окрестности полосы 0 «С т 1, oeR1,
ограничена сверху и в силу (5.3)
о (а, 0) = и (х + а (у' — у"), у") < М (у"),
у (а, 1) = и (х + а (у' — у"), у') «С М (/).
Но тогда функция
X (а, т) = v (а, т) — хМ (у') — (1 — т) М (у"),	(5.4)
субгармоническая в окрестности полосы 0 «С т 1, oeR1,
ограничена сверху и неположительна на границе полосы.
По теореме Фрагмена — Линделёфа для субгармонических функ-
ций х(а, т)^0,	1, а е R1, так что в силу (5.4) и (5.3)
(при а = 0)
и (х, ху' + (1 — т) у") < хМ (у') + (1 — т) М (у").
246
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Отсюда в силу (5.2) выводим неравенство
М (ту' + (1 - т) у") < тМ (у') + (1 - т) М (у"),
которое и доказывает лемму 3.
Пусть ае^+ (Гс),где С — выпуклый конус. Введем индикат-
рису роста h(u; у) функции и по формуле
h(tr,y) — Нт и , у <= С.	(5.5)
t -> + оо ‘
По лемме 1 предел в (5.5) существует и неотрицателен.
Введем функцию
X (и-, у) = lim ,	(5.6)
где величина т(у) определяется формулой
ш (у) = inf и (х, у), уеС.
X
По лемме 3 функция т(у) неотрицательная вогнутая (см. § 0.2)
в С и, стало быть, такова же и функция при всех t > 0.
По лемме 2 при всех е > 0 и у е С функция
у [т (еу + ty)~m (еу)]
не возрастает по t. Поэтому предел в (5.6) существует и опре-
деляет (неотрицательную) вогнутую функцию X (и; у) в С, удов-
летворяющую оценке
А (и; f/Х у [т &У + ty)~ т (еу)] < т (еу , у^С, t>0.
Полагая здесь / = 1 и устремляя е->0, получим оценку
К (и; у)< т (у)< и (х, у), (х,у)е=Тс.	(5.7)
Наконец, отметим, что функции h и X — однородные степени
однородности 1, например:
к (щ ry) = lim = г lim =
Z -> оо	*	/ -> ОО	"
= г lim т — = гХ (и; у), г > 0.
К -> оо	*
Отсюда, а также из (5.7) и (5.5) следует неравенство
А («’> У) h (и\ у), у е С.	(5.8)
Теперь мы докажем следующую теорему.
§ 16]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ТС	247
Теорема. Если и£У+(Тс'), где С — выпуклый конус, то
индикатриса роста h (и; у) неотрицательная, вогнутая однородная
степени однородности 1 функция в С, причем
К {и- y) — h (и-, у) = lim и (х°’ у°. + Zj/)-,	(5.9)
/->00	*
(х°, у0)еСга, уеС.
При (х°, у0) е Тс функция у и (х°, у0 + iy) не возрастает по
t е(0, оо) и справедливо неравенство
h(u-,y)^u(x0,y° + y),	(x'J,y°)^Tc, у^с. (5.10)
Доказательство. Докажем, что при каждом у^С
функция
.. U (%0, у0 + ty) ,. U (х°, у° + ty)	/г 1,,
hm	— iim ’а 1 *>’-	(5.11)
/-> оо	*	/-> оо Г Го
не зависит от (х°, у0). Для этого достаточно доказать, в силу
теоремы Лиувилля, что при каждом уеС неотрицательная
функция (5.11) — плюригармоническая по (х°, у0) в С", т. е. плюри-
гармоническая в любой трубчатой области, TD = Rn + iD, где
D ^R11. По лемме 1 функция (5.11) в области Т° есть предел
невозрастающей последовательности функций и (х°, у° -j- ty) X
X — /о)-1, t-> °°, t > t0, класса (TD) и потому сама является
плюригармонической в TD функцией (см. § 16.1). Итак, в силу
(5.5) справедливо второе из равенств (5.9), причем по лемме 1
функция ун(х°, у° + ^у) не возрастает по t при t > 0, если
у°еС. Поэтому
h(u\ у)^у«(х°, у° + ty), (x°,yQ)t=Tc, у^С, />0.
Полагая здесь /=1, получим оценку (5.10). Из этой оценки
выводим
/г(н; у)О(у), уеС,
так что в силу (5.6)
h (и; у) X (и; у), у £ С.
Это неравенство вместе с обратным неравенством (5.8) и дает
первое из равенств (5.9), из которого следует, что индикатриса
h (и; у) — вогнутая функция в С. Все утверждения теоремы
доказаны.
248
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Замечание. Более общая теория роста плюрисубгармонических функ-
ций в трубчатых областях над выпуклыми конусами развита в работе
В С. Владимирова [13].
6. Интегральное представление функций класса Н+(тс).
В этом пункте мы установим, что функция класса Н+ (Тс),
где С — острый конус, представима в виде суммы интеграла Шва-
рца и линейного члена тогда и только тогда, когда соответствую-
щий интеграл Пуассона — плюригармоническая функция в Тс.
Предварительно докажем лемму, обобщающую теорему Лебега о
предельном переходе под знаком интеграла Лебега (см. В. С. Вла-
димиров [10], IV).
Лемма. Пусть последовательности (х) и (х), fe = 1, 2.........
функций из S' обладают свойствами:
1)	I uk (х) I vk (х), fe = l, 2, ..., почти везде в Rre.
2)	Mfe(x)->«(x), vk (х) -> v (х) е S’1, fe->oo, почти везде в R".
3)	Vfe(x) dx-> v(x)dx, fe->oo.
Тогда и^ S' и
^Mft(x)dx-> ы(х) dx, fe —> оо.	(6.1)
Доказательство. Из 1) и 2) следует, что u^S‘ и
vk (х) ± Uh (х) 0, fe=l, 2  почти везде в R". Применяя
к последовательностям функций vk±uk, fe->oo, лемму Фату
и пользуясь 3), выводим цепочку неравенств
[у (х) ± и (х)] dx lim [yft (х) ± uk (х)] dx =
J	Й->оо
— lim \ vk (х) dx + lim \ ± uk (x) dx —
= J и (x) dx + lim ± uk (x) dx,
fe->OO
откуда выводим
lim uk (x) dx «С и (x) dx lim uk (x) dx,
fe->oo	£->oo
что эквивалентно предельному соотношению (6.1).
Теорема. Пусть f е Н +(ТС}, где С — острый (выпуклый)
конус. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1)	Интеграл Пуассона
^&с(х —х', y)p(dx'), p = Im/+	(6.2)
— плюригармоническая функция в Тс.
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс
249
§ 161
2)	Функция Imf(z) представима в виде
Im f (z) = (х — х', у) pi (dx') + (а, у), г^=Тс (6.3)
при некотором а е С*.
3)	При всех у' 6= С справедливо представление
Im f (z + iy') =
= \^c(x — x',y)\vaf(x' + iy')dx' + (a,y), z^Tc. (6.4)
4)	Если С — регулярный конус, то при любом z°<=Tc функ-
ция f (z) представима в виде
f (z) = i (z — х'; z° — х') р. (dx') + (a, z) + b (z°), z <= Tc, (6.5)
где b (zQ) — вещественное число.
При этом b (z°) = Ref (z°) — (a, x°) и (а, у) — наилучшая линей-
ная миноранта индикатрисы роста й(1т А у) в конусе С.
Замечание. В условиях теоремы нанлучшая линейная миноранта
неотрицательной вогнутой однородной степени 1 функции h (Im/; у) в ко-
нусе С (см. § 16.5) существует. Например: й(1т7г2; у) = -\/у‘2 и (а, у) = О
в У+.
Доказательство. Пусть f е Н+ (Тс). 1)->2). Функция
v (х, y) — Imf (z) — (х — х', у) р. (dx')
принадлежит классу 5% (Тс) и ее граничное значение при у->0,
у^С равно 0 (см. § 16.2). По следствию из теоремы § 16.1
v (х, у) = (а, у) при некотором а е С*. Представление (6.3) дока-
зано.
Докажем, что (а, у) — наилучшая линейная миноранта функ-
ции /г (Im А у) в конусе С. Из (6.3) и (5.5) следует, что (а, у) —
линейная миноранта h в С. Пусть (а', у) — другая линейная
миноранта h в С, т. е.
(a', y)^h(Imf; у), у а С.	(6.6)
Функция
A (z) = f(z) — (a', z), Im A (z) = Im f (z) — (a', y)
принадлежит классу П+ (Tc), поскольку
Im f (z)^h (Im A y) > (a', y), z<=Tc
по теореме § 16.5 и в силу (6.6). Далее, так как Im fl+ =
= Imf+ = p., то для A (z) выполнено условие 1). Применяя
к Im A (г) представление (6.3), получим
Im A (z) = Im f(z) — (а', у)=^с (х — х', у) p(dx') + (a", у), zt=Tc
250
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
при некотором a"sC‘. Сравнивая это с равенством (6.3),
выводим
(а, у) = (а', у) + (а", у)^(а', у), у^С,
что и требовалось.
2)-*3). Функция
ф (z) = f (г) — (a, z), Im ср (z) = Im f (z) — (a, у) (6.7)
принадлежит классу Н+ (Тс). Поэтому функция
о (х, У, у') =
=.Im ф (х + iy + iy') — (х — х', у) Im ф (х' + iy') dx' =
= Im f (x + iy + iy') ~ &c (x — x', y) Im f (x' + iy') dx' — (a, y),
(x,y)e=Tc, y'e=C	(6.8)
— неотрицательная (см. (2.2)), плюригармоническая по (х, у')
в Тс и в силу (2.3) (при ф = 1) и (6.3)
v (х, у, у') Im f (х + iy) — (х — х', у) р (dx') — (а, у) = 0,
у -> 0, у е= С' С.
По следствию из теоремы § 16.1 v (х, у, у') = (АУ, у'), (х, у') е Тс,
Ау^С* при каждом у^С. Поэтому равенство (6.8) прини-
мает вид
Im f(x + iy + iy') —	(x — x', y) Im f (x' + iy') dx' —
- (a, y) - (Ay, y') = 0,	(x, y) <= Tc, y' <= C.	(6.9)
Заменим	здесь у' на	ty', t > 0,	разделим на t и устремим t
к оо. В	результате,	пользуясь	теоремой § 16.5 и	теоремой
Б. Леви, получим равенство
0 = lim -у Im f (х + iy + ity') —
,. С i r , Im f (x' + ity') , ,	.. Г (a, y) ...	,.1
— lim \^c(x — x , y)----^—r—— dx' — lim -- / + (Au, y') =
1	Z->oo>- Г	J
= h( Im f; y') —\&c(x — x', y) lim Im f (x +	} dx' — (Ay, y') =
J	t^oo	1
= h (Im f; y') — h (Im f; y') (x — x', y) dx' — (Ay, y') = (Ay, y'),
из которого и из (6.9) следует представление (6.4).
3)->4). По формуле (6.7) введем функцию ф(г) и, далее, по
формуле (2.12) построим функцию Фе(г), е > 0, со свойствами
§ 16]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тс	251
а) — в). Пусть z/'eC. К функциям Im <ре (z + iy') и фе(г + ч/')
применим представления Пуассона и Шварца соответственно
(см. § 12.5)
Im <ре (z + iy') — (х — х', у) Im фе (х' + iy') dx', z е Тс, (6.10)
Фе (г + iy') = i J С (z — х'", Z° — х') Im Фе (х' + iy') dx' +
+ Re фе (z° + iy'), ze=Tc, zQe=Tc. (6.11)
Представление (6.4) показывает, что возможен переход к пре-
делу прие->0 под знаком интеграла в равенстве (6.10), поскольку
lim Im фе (z + iy') = Im ф (z + iy') = Im f(z + iy') — (а, у + у') =
e->0
=	x', y) [Im f (x' + iy') — (a, z/')] dx' =
= \ &с (x — x', y) lim фе (x' + iy') dx'.
J	e->0
Но тогда в силу неравенства (5.4) § 12 применима лемма о воз-
можности перехода к пределу при е->0 под знаком интеграла
в равенстве (6.11). В результате, пользуясь формулой (5.3) § 12,
получим равенства
ф (z + iy') = f(z + iy') — (a,z + iy') =
— i d'c (z — x'; z° — x') Im ф (x' + iy') dx' + Re ф (z° + iy') =
— i .'7C (z — x'; z° — x') [Im f (x' + iy') — (a, y')] dx' +
+ Re f (z° 4- iy') — (a, x°) — i (z — x'\ z° — x') X
X Im f (x' + iy') dx' — i (a, y') + Re f (z° + iy') — (a, x°),
t. e.
f (z + iy') —i^ciz — x'-, z° — x') Im f (x' + iy') dx' + (a, z) +
+ Re f (z° + iy') — (a, x°), z e Tc, zQ e Tc, у' e C.
Переходя здесь к пределу при у'-^-О, у'^С'^С и пользуясь
предельным соотношением (2.10), получим представление (6.5).
4) -> 1). Полагая в представлении (6.5) z° = z, используя
формулу (5.2) § 12 и отделяя мнимую часть, получим предста-
вление (6.3), из которого и следует плюригармоничность в Тс
интеграла Пуассона (6.2).
Теорема доказана.
252
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
§ 17.	Голоморфные функции
с неотрицательной мнимой частью в Т"
В случае конуса С = R" результаты § 16 допускают усиление.
Здесь мы получим интегральные представления для всех функ-
ций классов Н+ (Тп) и (Тп). Предварительно докажем леммы.
1.	Леммы. Обозначим
#Л) = 0П(^1 Sn
фундаментальное решение оператора D? ... D~n (здесь 0„(с) —
характеристическая функция конуса RX, см. § 0.2).
Пусть feC2". Тогда справедливо равенство
e~^D\ ... D2/(g) = T1 ... 7'Де-^^НЮ].	d-1)
где |->Г = (||1|...ILI) и
т/=о2 + г/2/ + ЗД8*еп^-2^б(^)’	•••’ п-
Правая часть равенства (1.1) имеет смысл в ЯУ и при f^C,
и мы примем ее за определение обобщенной функции, стоящей
в левой части равенства (1.1).	_
Отметим, что если )еС и suppfdR+, то
e~^D\ ... D2f(g) = e-^.^)D2 ... D2J (I).	(1.2)
Действительно, для любой сре^в силу (1.1) имеем
... D2f>q>) = (T1 ... T^e-^f], Ф) =
= J е~(у- i+^f (|) Д (Д2 + У2 _ 2У]. sign ф (g) dl =
= Je-(K.?)/(^) Д	=
= 5 НЮ D\ ... £»2 [е-(у,	(£)] dl = (е-<У-.. . D2nf, Ф),
что и эквивалентно равенству (1.2).
Лемма 1. Пусть f (g) — непрерывная положительно опреде-
ленная функция в Rre. Тогда при всех у е R" обобщенная функция
e-G.^)(l_D2) ... (1 - £ф(Ю
положительно определенная и справедливо равенство
F[e-(y.^)(l_£)2) ... (1-D2)f>
= \я>п(х-х', у)(1 + <2) ... (l+4>(dx'), (1.3)
§ 17]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тп	253
где мера о = F [/] и (х, у) — ядро Пуассона области Тп (см
(1.2) § Н). -
Доказательство. Отметим, что по теореме Бохнера
(см. § 8.2) о = F [/] есть неотрицательная и конечная на R" мера,
причем справедливы равенства типа
f(h, .... Zk, 0,..., O) = 7^?rJe-i^‘---i^a(d>;). (1.4)
Докажем формулу (1.3) при п—1. Из (1.1) при всех у > О
имеем
F[e-H5l(i — Z)2) /] = F [(1 — Г)(е-»1®7)] ==
= F 1(1 - D2 - у2 - 2yD sign В + 2yd (g))	(g))] =
=(1 + x2-y2)F [e-y\Vf (g)] + 2zxz/F[sign &-y^f (|)] + 2yf (0). (1.5)
Принимая во внимание равенства
oo
F [e~y 1 &l] (x) = 2 e~yi cos xg d% =	,
0
oo
F [sign ge-Hfcl] (x) = 2z e~& sin x dt = „-г „г1.
J	* i" у
0
получаем
F[H5)e-sU,l =	= - 7—?(У, 2 >
u	* 2л u J L J л J (x — x )2 + y2 ’
F [f (g) sign ge-х/1 £ I] =^- F [f]*F [sign ^4 = ( kcx~X'l^X? .
JV J 1.A A j ~f- у
Подставляя полученные выражения в (1.5) и учитывая равен-
ство (1.4) при k = 0, получим формулу (1.3) при /г=1.
Случай п > 1 рассматривается аналогично, если заметить,
что каждый оператор Tj действует только на свою перемен-
ную Zi, применить технику преобразований Фурье по части
переменных (см. §§ 6.2 и 6.3) и воспользоваться равенствами
типа (1.4). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть _функция v (В) непрерывна и ограничена
в R", причем suppyczR". Тогда решение уравнения
D\ ... Д2ц(Е) = (1-D?) ... (i-£>2)y(g)	(1.6)
существует и единственно в классе непрерывных функций
в Rn с носителем в R+, удовлетворяющих оценке
|М®|<С(1+В|) ... (1 + Ц).	(1.7)
254
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Доказательство. Решение уравнения (1.6) единственно
даже в алгебре	и представляется в виде (см. § 4.8, г))
М = ^„*(1 -Д?) ... (1-Д2)о.	(1.8)
Представим правую часть равенства (1.8) в виде
«(g)==(i — д!) ... (1-Д2„)<^*у =
= {[<Ш -6УХ ... X[9(^)|„-6(UB*v =
н-л)У(£)+ £ (~iTft$ ... $	...,^,...)х
Kfes^n	О	О
/!<•••</*
•” d^k
Осталось заметить, что каждое слагаемое в последней сумме
есть непрерывная функция, удовлетворяющая оценке (1.7).
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть и (|) — непрерывная функция медленного
роста в R". Тогда решение уравнения
(1—Д2) ... (1 - Д2„)о(|)==Д? ... Д«м@ (1.9)
существует и единственно в классе непрерывных функций мед-
ленного роста.
Доказательство. Решение уравнения (1.9) единственно
даже в классе д’’, так как преобразование Фурье обобщенной
функции (1 — D2) ... (1 — D2) 6 (|), равное (1 + х*) ... (1 + х*),
нигде в R" в нуль не обращается. Докажем его существование.
^(|) = lexp(- 1g, |- ... -IU)
есть фундаментальное решение оператора (1 — Д2) ... (1 — Д„).
Поскольку и(£) — медленного роста, то свертка <8 * и существует
(см. § 4.1). Поэтому решение v уравнения (1.9) выражается
в виде свертки:
у =	... Д^ = Д? ... Dl%*u =
РК
Ц<  <ik
••• -1Ч-Ч1И.  ч-
§ 17]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В Тп	255
Осталось заметить, что каждое слагаемое в последней сумме
есть непрерывная функция медленного роста. Лемма 3 доказана.
Л е м м а 4. Если функция v (g) непрерывна, ограничена
в R^XRn-2> п^2, и удовлетворяет уравнению
(1-D?) ... (1-O^)v(g) = 0, csRlxR'1’2. (МО)
го она представляется в виде
o(g) = e_^v(0, g2, 1) + е~Ч)&, 0, |)-е-£.-Ц,(0, о, I), (1.11)
где g = (g3,	|„).
Доказательство. Продолжим функцию v (с) нулем на
все пространство R" и построим для нее среднюю функцию
«е (I) — V ®е ~ Н <%,' ~ V * ®е
со свойствами (см. §§ 1.2 и 4.6)
D^eCXir, Va; ve(g)->n(g), в->0, се R2+ X Rn~2,
(1-0?) ... (1-O2)ne(g) = 0, ^>28, g2>28, isR"-2.
Положим
Хе(1) = (1-П32)...(1-О2)Уе(1).	(1.12)
Тогда Оа%е е С°“ f) ^”°> Va и %е удовлетворяют уравнению
(l-D2)(l-D2X® = 0,	^>2е,	g2>2s, g е Rn~2. (1.13)
Фиксируем 6 > 0, и пусть 2б < б. Из уравнения (1.13) и из ог-
раниченности функции (1 — O|)xg(g) выводим соотношение
(1-00 ХеМ) = О ~ Df) Ze (б, i)
(1-О2)[хе(^	^-Хе(6,	^)е-М] = 0,	(1.14)
^>6, g2>6.
Аналогично из уравнения (1.14) выводим соотношение
ХеЙь f)“Xe(6, $2, 1)е-^ =
= [Хе(£1, 6, f)~Xe0,
т. е. в силу (1.12)
(1-£>32) ... (1 - О2) [Og(gb g2, |)-ое(б, ^2, |)е-а,-б)_
-МВь 6. t)e-fe-e) + vE(6( б, j)e-(a.+Mj==0)
^>6,	geR""2.
256
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Отсюда в силу единственности решения последнего уравнения
(по лемме 3) вытекает равенство
МЮ = Мб, 1г.	б, |)е-(Ь-в)_
g2>6,	|еГ~2.
Переходя здесь к пределу при е->0 и, далее, при 6->0, по-
лучим представление (1.10). Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Равенство
D\ ... D2u © + Z aaDab (g) = 0	(1.15)
Kla|<W
при условии, что u^C, supp и с: возможно лишь при и (с) = 0
и аа = 0, 1 ‘С I а | ‘С N.	_
Доказательство. В алгебре Ф' (R") равенство (1.15)
эквивалентно равенству (см. § 4.8, г))
u(9=-V Z ааОйб = - Z aaD°^„(g) =
l<la|<W	1<|а|<|А
== — Е Е a/i •••/^ле(^1) • • •
(i.i6)
/ 1	(X j £
2<|а|<Я
Каждое слагаемое во второй сумме в (1.16) содержит по крайней
мере одну 6-функцию относительно какой-либо из переменных
1 j п, и комбинации 6-функций во всех слагаемых раз-
личны. Остальные слагаемые в (1.16) — локально интегриру-
емые функции. Отсюда заключаем, чтоаа = 0, если существует
j такое, что ау^2, и равенство (1.16) принимает вид
«®=- Е Е «/,•••/^/,0 (?/,)...
ККл-1	1 R 1 4 l'
Отсюда, учитывая свойства функции и, легко выводим по ин-
дукции по п, что все a/ .../fe==0 ин (£) = 0. Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Общее решение уравнения
... D2nu® = Q	_ (1.17)
в классе непрерывных функций с носителем в — RX U R+ выра-
жается формулой
u(x) = Ctfn(x)-#n(-x)],	(1.18)
где С — произвольная постоянная.
§ 17]
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тп
257
Доказательство. Функция (1.18) удовлетворяет урав-
нению (1.17), так как О? ...	— Пусть и (g) — про-
извольное решение уравнения (1.17) из рассматриваемого класса.
Тогда функция и+ (£) = (£) и (|) удовлетворяет уравнению (1.17)
в R”\ {0} и, стало быть (см. § 2.6),
... Z^m+£)= Е СаО“6(Ю =
0<la|<W
= с0£>? ... ZZX© + £ CaD'M) (1.19)
1< I а |< N
при некоторых N и са. По лемме 5 равенство (1.19) возможно
лишь при са —0, |а|^1, и w+ (g) = с0^п (g). Аналогично вы-
водим и~ (|) = вп (— g) и (£) = с$ п (— £), так что и (£) = «+ (g) +
+ И-а) = Со^© + <<Гп(-^). Но в силу (1.17)
о;... d$u (а = с„о;... ох (а +	(- а =
=<А>+Ов®=о,
так что с' = —с0, и представление (1.18) доказано. Лемма 6
доказана.
2. Функции классов Н+ (Г1) и <&+ (Г1)- Рассмотрим сначала
случай п=1. Пусть функция f е Н+ (Г1), т. е. f (z) голоморфна
Пусть е > 0 и А? > 1, и обозначим через CR и — CR полуокруж-
ности радиуса R с центром в 0, изображенные на рис. 40.
По теореме о вычетах имеем
f (z + Ze) __ 1 ( F . С +	,
1 + z2 2® I J + J I (1 + $2) (£ - г)
+	»><>	(2-3)
9 В. С. Владимиров
258 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ в МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Аналогично для функции	 мероморфной в нижней
полуплоскости у < 0 с единственным простым полюсом — г,
имеей
(R \
С  С । F (£ ~4~Ze) dt,_f (Z + Ze)
J J (1+S2)(S- Z)	2Z (z + Z)
-Я	-CrJ
у > 0, | z | < R. (2.4)
Устремляя в равенствах (2.3) и (2.4) R к оо и пользуясь оцен-
кой (2.1), согласно которой
С ' f(g + Ze)rfg
j (i + m-z)
Cr
С f (Rei(i> + ie) iRei<f d<f
J (1 + Z?2e2/(₽) (Re^ - z)
(1 +lffei(p + Ze I2) R dq>
(R sin <p + e) | 1 + R2e2i(f 11 Re1"' - z |
Л
MR [! + (/? + e)2] f dtp
*=== (R2 — l)(fl-|z|) J tfsin q> + e
о
>0, R->oo
(и аналогично для контура — CR), выводим
оо
f Kx' + ^dxL , f(Z+Ze), ,	_
HZ+Z8)- 2ш. j (1+X'2)(X'_2)+-----------2Z--(г + <>’ y>Q’
— ОО
оо
1 + z2 С f (х' + Ze) dx'
~~ 2ш J (1 + х'г) (х' - г)
— ОО

у>о.
Складывая полученные равенства, выводим интегральное пред-
ставление для функции f (z + ie):
оо
г/ . - \	1 + z2 С u(x', e)dx' , /л 1 । \ ।
!(*+<») = — ) (1 ++ г"<0.1 + «> +
— оо
+ Ref(i + i8),	у>0. (2.5)
Отделяя в (2.5) мнимую часть, получим интегральное представ-
ление для функции и (х, у + в)
оо
— 00
+ yu(Q, 1 + 8), у > 0. (2.6)
& 17]
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в гп
259
Переходя в равенствах (2.5) и (2.6) к пределу при е->0 и
пользуясь предельным соотношением (2.3) § 16, получим необ-
ходимость условий в теореме Герглотца—Неванлинны (см.
Р. Неванлинна [1]).
Теорема I. Для того чтобы функция f (z) принадлежала
классу Н+ (Т1), необходимо и достаточно, чтобы она представ-
лялась в виде
оо
= ± ( И + 5ун(^) +az+b =
я J (1 + х'2) (х' - г)
— оо
= i (г — х'; i — х') ц (dx') + az + b,
— оо
г/>0, (2.7)
где мера ц неотрицательна и удовлетворяет условию (2.2), а^О
и Ъ — вещественное число. Представление (2.7) единственно, причем
jx = Imf+, b = Ref(i),
» =	(^"=Нт±ЦШ,	(2.8)
•* J 1 Т Х Г/->ОО У
—00
00
Im f (г) = |	+ «S. »> 0.	(2.9)
Достаточность условий теоремы 1 проверяется непосредст-
венно.
Следствие. Для того чтобы функция и(х, у) принадле-
жала классу (Т1), необходимо и достаточно, чтобы она
представлялась в виде
= ± $ (,_И^. + „8- + 9». У > 0.	(2.9)
— ОО
где а^О и мера ц неотрицательна и удовлетворяет условию (2.2);
при этом
р = и(х, +0) и а — lim и ,
г/->оо У
Замечание. Из представления (2.9) следует, что интеграл Пуас-
сона — гармоническая функция в Г1. По теореме § 16.6 представление с ядром
Шварца справедливо относительно любой точки г’е Т' (формула (2.7) — для
г» = г).
В терминах спектральной функции g(|) функции f(z) (см.
§ 16.1) класс Н+ (Г1) характеризуется следующей теоремой
(X. Кенит и А. Земанян [1]).
9*
260
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Теорема II. Для того чтобы функция f (г) принадлежала
классу Н+ (Г1), необходимо и достаточно, чтобы ее спектральная
функция g(g) обладала свойствами:
а)	— (!)+/<?* (1)>0;
б)	g(g) = m"(g) + /ad'(g),
где а 0 и u (g) — непрерывная функция с носителем в [0, оо),
удовлетворяющая условию роста
|«(g)|<C(l+g2).	(2.10)
При этом разложение б) единственно, число а определяется
формулами (2.8), a Im f (г) — формулой (2.9).
Следствие. Для того чтобы мера ц была граничным зна-
чением функции и(х, у) класса (Г1), [л = и(х, +0). необходимо
и достаточно, чтобы p = F[o"], где v" 0, v — непрерывная
*- эрмитова функция, удовлетворяющая условию роста (2.10)
и v (0) = 0. При этом функция v с указанными свойствами един-
ственна с точностью до слагаемого ic^, где с — произвольное
вещественное число.
Вытекает из теоремы II при » — « + «* (необходимость) и
при и = 0о (достаточность), если воспользоваться формулой
(1.5) § 16 n = ig + lg*}.
Доказательство теоремы II. Необходимость.
Пусть feH+(T'). Условие а) доказано в § 16.1. Для доказа-
тельства условия б) перепишем представление (2.7) в виде (ср.
с (2.5))
,, ,	1 + z2 f H(dx') , „	, ,
J (1 + х;^(х— + Imf(i)z+& =
— оо
»i(l + z2)(<T	(х' + й/)) + Im f(i)z + b, <т = ^-^-^.(2.Н)
Так как (х + iy) е 36 s (при всех s и у > 0) (см. (2.5) § 11)
и ^<j(dx')<oo (см. 2.2)), то справедлива формула преобразо-
вания Фурье свертки <т*Х1:
F~l [а *	= F [<т] (- g) F~'m ® = е~Л 6 (g) v (g), (2.12)
где о (g) = F [<t] (— g) — непрерывная положительно определенная
(и, стало быть, ограниченная) функция (см. § 8). Теперь, поль-
зуясь формулами (2.11) и (2.12), вычисляем спектральную функ-
цию g(g) (см. § 9):
g (g) = i (1 - D2) [6 (g) v (g)] + lim f (i) 6' ® + bb (g). (2.13)
§ 17]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тп	261
По лемме 2 § 17.1 существует непрерывная фуннкция щ (?)
с носителем в [0, оо), удовлетворяющая оценке (2.10) и такая,
что
(1—£)2) {0® [и (g) - v (0)]} = D*Ul (?).
Поэтому формула (2.13) принимает вид
g (?) = ID2 [М1 (?) +	?29 (?) ~ ibt.8 (?)] -
- i [Im f (i) - v (0)] d' (?). (2.14)
Обозначая
« (?) = Щ (?) +	?29 (?) - /&?9 (?)
и учитывая, что в силу (2.8)
Im f (i) — v (0) = Im f (j) — -i- j |	= a,
— oo
из (2.14) получаем представление б). Единственность, разложе-
ния б) следует из единственности спектральной функции g и
из леммы 5 § 17.1.
Достаточность. Пусть обобщенная функция g(?) удов-
летворяет условиям а) и б). Тогда	и ее преобра-
зование Лапласа f (г) = Т [g] есть функция класса Д(₽^) (см.
§ 12.2). Осталось доказать, что 1т)(г)^0, у > 0.
Пользуясь формулами (1.2) и (1.5) § 16.1, имеем
Im f (г) = ± F [g (?) е-й - g (?)	] =
= |е[«"(?)^+м*"(?)^] +
+ |Е[д'(?)е-^ + д'(-?)^], г/> 0, (2.15)
Im f+ = ± F [- ig + ig*] = 1F {и" + u*"\.	(2.16)
Равенства (2.16) показывают в силу теоремы Бохнера — Шварца
(см. § 8.2), что ц = 1т/:+ есть неотрицательная мера и (и +
+ и*)"	0. По лемме 3 § 17.1 существует непрерывная функ-
ция v медленного роста такая, что
(1—D2) и(?) = | [«(?) + ц* (?)]".	(2.17)
Из (2.17) вытекает, что v (?) — непрерывная положительно оп-
ределенная функция, причем в силу (2.16)
(l+x2)f [f] = Im/+ = p.	(2.18)
262
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
[ГЛ. III
Пользуясь теперь формулами (1.2), (1.3) и (2.17), получаем
цепочку равенств
i- F [и" (g) е~Л + «•" (|) ^ ] = 1 F	1 и (« + иу'] =
= fle-,lil(l_Oi)„1 = A^	(2.19)
Наконец, учитывая равенства
а (g) д' (g) = - а' (0) д (g) + а (0) д' (g), д' (- g) = - д' (g),
получаем
д' (В) е~^ + д' (- g) еЛ = д' (g) (е-У^ - еУ*) = 2уд (g). (2.20)
Подставляя выражения (2.19) и (2.20) в (2.15), получим пред-
ставление (2.9) для Imf(z), из которого следует, что Imf(z)^0,
у > 0. Теорема II доказана.
3. Функции класса <^+ (Г). Случай п > 1 может быть
рассмотрен аналогично § 17.2 с использованием теоремы о вы-
четах (см. Владимиров [7]). Однако мы применим здесь другой
метод, использующий лемму 4 § 17.1 об общем виде ограни-
ченного непрерывного решения дифференциального уравнения
(1.10).
Пусть функция и(х, у) принадлежит классу &+(Тп) и мера
ц = и(х, +0)^0—-ее граничное значение (см. § 16.2).
По теореме § 16.2 мера [х обладает свойствами:
»)	(3-0
где 1 = (1, ..., 1); для любой феС()2?“
f и (х, у) ф (х) dx	С_____ф (х) Ц (dx)_
j (1 + X?) ... (l + х*) J (1 + х|) ... (1 + х*) ’
г/-*0,	(3.2)
Для меры [х построим 2'1 —2 мер jx, ,,	1,
К/1< ... </fe<n, переменных х^ _ = (х^, ..., х/J (=
по формуле: для любой
г(х/, -	- /fe(rfx/, - /fe) f
) (l + ^)...(l + x^) J (1+x?) ••• (l+xn) ‘	( }
Из этого определения (при <р=1) и из (3.1) следует в силу
теоремы Фубини, что меры ц, , неотрицательны и удовлетво-
§ 17]
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ТП
263
ряют условию
Положим
_ _ j
Ч-UV-
Н] ... „=Н>	^l...n=^	%!...„=%•
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
В силу (3.4) — (3.7) функции %, непрерывные положи-
тельно определенные в R* и, стало быть, ограниченные в RA
(см. § 8). Далее, справедливы равенства
=	(3-8)
Действительно, пользуясь (3.4) — (3.7), выводим (3.8):
х(|)|Ч+г-"Ч“0==
1 с exp (- Zb Xj - ... - Z*/fe X/fe ) Ц (dx)
~ (2л)п J (1 + xf) ... (1+4)
= 1 С ехР(-гЧЧ~	- 4У, - 4) _
(2л)" j	(1 + xty ... (1 +
=-®кЬхр(-+ц-	j=
“Ч-ЦЧ-Ц
Теперь докажем, что

где Fk — операция преобразования Фурье по k переменным
(Ч’ Ч)=Ч - ik
Для меры р = Н1...п равенство (3.9) следует из формулы
(1.5) § 16, где ge/(R") (g — спектральная функция функ-
ции f из Н+(Тп), для которой Imf —«).
Пусть теперь
+ц... .-ИЮ (‘+'UF7i«i.	(з.ю)
264 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
где а . . у J — произвольная функция из £Z>(Rfe) с носителем
вне — R+UR+- Подставляя выражение (3.10) в равенство (3.3)
и переписывая его в терминах преобразований Фурье, получим
(л,... v '7.”1»1)=(т;'р,1... j. «)=

(F’'w’.“(s'....‘. (>+«;.)])
Пользуясь формулой
перепишем последние равенства в виде
.„)«₽(-р,1+1|... -p,j)).
Правая часть этого равенства обращается в нуль, так как
носитель функции
ЧЧ- JexP(-|4+,|-	-|kl)
содержится вне (—R+U R+) X Rre£\ а-Г-1[н], по доказанному,
обращается в нуль вне — R+JR+- Это и доказывает равен-
ства (3.9).
Из равенств (3.9), (3.5) — (3.7) вытекают дифференциальные
уравнения для функции _ _ j :
(1-оу ...	=	(3.11)
Ч - i(a~R‘uR‘+-
Теорема I. Если и^0>+(Тп), п^2, то функция
+0)'(ЗЛ2)
единственным образом представляется в виде
W = £	£ exp(-|L |- ... -|ЦХ
!</,<... </fe<n К I 'fe+l I	"М
ХФ/....	- J+exP(-1^1 - • • • - ЮШ- о- • • •> 0)+.•.
... +ехр(-U, ... -	|)%(0, ..., 0, £„)-
— (п—1)ехр(—|ё! I— ... -|?„|)х(0НеКп, (3.13)
§ 17]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тп	265
где Ф/, ... ^ — непрерывные ограниченные функции в Rfe с носи-
телями в —R+JR+-
Доказательство. Единственность представления (3.13)
в каждом октанте вытекает из свойств непрерывности и носи-
теля функций Ф/[ ... jk. Доказательство существования пред-
ставления (3.13) проведем по индукции по п. Функция %(£) =
= %! ...	Равно как и все функции ...	... /fe), в силу
(3.8) — непрерывные и ограниченные в Rfe и удовлетворяют
уравнению (3.11) вне —R+UR+- Поэтому при п = 2 теорема I
справедлива в силу леммы 4 § 17.1, если в представлении (3.13)
положить
Ф12(Ю =	- e-l^iz(0, |2)-е-1Ых(|ь 0) + e-15-l-l^iz(0).
Пусть представление (3.13) справедливо для всех размер-
ностей k < п, так что функции %} ,. /й в R6 представимы в виде
соответствующих формул (3.13). Докажем представление (3.13)
в области
G+_ = [|: h > 0 Д2 < 0 Д е Rre-2].
По лемме 4 § 17.1 функция Z(g) представима в виде
z(g) = e-iUx(0, g2, |) + е- (gb 0, !)-
ОД), ДС+_. (3.14)
В соответствии с индуктивным предположением, для функций
х(о, ?2’ Ю ... п(г>2’ £)’	0> £) =%1. 3 ... п(£р £)’
х(0, о, Ь = х3 ...Д)
сграведливы соответствующие представления (3.13). Подставляя
их в (3.14), получим представление (3.13) в области G+_. Пред-
ставление (3.13) имеет место и в остальных областях типа G+_,
не содержащих — КД (J РД. Из единственности представления
(3.13) в указанных областях типа G+_ следует, что в пересече-
ниях этих областей соответствующие представления (3.13) сов-
падают. Таким образом, представление (3.13) справедливо
всюду вне — R+IJR+- Вводя функцию
ф,... „©=*©-ДД, .<;/1<2<;л<„ехР(-|^+,I-
~Ы)ф/,--IWX
Xx(gi, О, ..., 0)- ... — ехр(— 1 g! | — ... -IU1DX
Х%(0, .... 0, ^) + (и-1)ехр(-^1|- ... — IBni)x(O),
266
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
— непрерывную и ограниченную в R" с носителем в — R” U R",
— убедимся в справедливости представления (3.13) во всем про-
странстве Rrt. Теорема I доказана.
Теорема II. Для того чтобы мера ц была граничным зна-
чением функции и(х, у) класса Д>+(Тп), р, = и(х, +0), необхо-
димо и достаточно, чтобы
[x = F[D? ... D2 *v],	(3.15)
где D\ . .. D2nv 0, v — непрерывная ^-эрмитова функция, удов-
летворяющая условию роста (1.7) и supp а с — R" U R+-
При этом функция v с указанными свойствами единственна
с точностью до слагаемого iC[8„(g) — 8—g)], где С — произ-
вольное вещественное число.
Доказательство. При п=1 теорема II уже доказана
в § 17.2. Достаточность при «^2 вытекает из теоремы § 17.4.
Необходимость при п'ДИ2. Пусть и е (Тп) и ц =
— и(х, +0). Из равенств (3.5) —(3.7) выводим:
F-1 [р] = F-1 [(1 + х?) ... (1 + х2) ст] = (1 —£>?)... (1 — D2)x(g).
(3.16)
Замечая, что
(1 -Д2)е-1Н = 26(g)
и пользуясь представлением (3.13), продолжим равенства (3.16)
F~'w= Z 2n-k £	d(k4.)X ... X6(g/)X
!</,<... <!k<n \ ‘k + lj	\ ‘nJ
X(1~^) ... (1-^)Ф;....4^...,?^) +
+2n-16(g2)X ... X6(g„)X(l-£>*)[%(Sp 0, ..., 0)-Z(0)e-|51i]+...
... +2-16(g1)X ... X«(L,)X
X(l-O2)[Z(0.....0, g„)-x(0)e-M + 2"X(0)6(g), (3.17)
где Фу ... jk — непрерывные ограниченные функции в R4 * * с носи-
телем в —R+UR+. Каждое слагаемое под знаком суммы
справа в (3.17) представимо по лемме 2 § 17.1 в виде
2”Ч+, ••• DUe(4J4+, e(R)R]x
Х(1-1Д) ...	•.. в(Ч)ф,- ...,.(4...у)]+
+ (-2)-‘о51+, 	 в(-ЧЖ]х
X (> - оу . • • (1 - оу [д- у)   9 (- й ф (Ч.Ч)]=
= О?  О"»,.	(3.18)
§ 17]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в тп	267
где »/1 ... ik — непрерывная функция в R" с носителем в
~RXllR+> удовлетворяющая (1.7). Остальные слагаемые справа
в (3.17) в силу тех же соображений также представляются
в виде (3.18):
2ге“Ч ••• °Ие(Ч)Ч е(Ч)Ч]х
хО-°Ше(Ч)1Х0’ ••• Ч’ •••’ o)-z(O)e~i^i]} +
+ (-2^Ч ... дие(-Ш е(-Ч)Ч]х
ХО-СН^-МИ0..................Ч’ °)-Х(0)е-'^']} =
= D* ... D^®-, (3.19)
2nx(0)6(g) = 2"x(0)^ ... D2„[9„(g)^ ... g„] =
= P? ... D^o(§). (3.20)
Обозначая
v(&= X L ^ ... / (Ю>
!</,<... </й<п '1 •" 'ft
в силу (3.17) — (3.20) получаем представление (3.15), где функ-
ция v непрерывна с носителем в — R+UR+ и удовлетворяет
(1.7). Если v не *-эрмитова, то ее можно заменить на у (о + о*)
в силу вещественности меры ц.
Заключение о единственности функции о вытекает из
леммы 6 § 17.1. Теорема II доказана.
4. Функции класса Н+(Тп). Напомним, что ядра Пуассона
0>п(х, у) и Шварца ^„(г; г°) для области Тп выписаны в §§ 11.1
и 12.5 соответственно.
Теорема. Следующие условия эквивалентны:
1)	Функция f (г) принадлежит классу Н+ (Тп).
2.	Ее спектральная функция g(£) обладает свойствами:
a)	-»g(g) + ^(l)»O,
б)	=	... DU(g) + j(a,D)6(g),
где а е R" и и(£) — непрерывная функция в Rn с носителем
в R+, удовлетворяющая условию роста (1.7). Разложение б)
единственно.
3) Справедливо представление
Im f(z) = ^„(х — х', y)y(dx') + (а, у), zt=Tn. (4.1)
268
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
4) При всех z° е Тп справедливо представление
f (z) —	— х'\ z° — х') ц (dx') + (a, z) + Ь (г°), z е Тп. (4.2)
При этом ц = Im f+, b (z°) = Re f (z°) — (a, x°),
a, = lim fr (ly} ,	j=l,...,n, ye=Rn+, (4.3)
У/->ОО Uj
(а, у) — наилучшая линейная миноранта индикатрисы h (Im f\ у)
в конусе R+-
Доказательство. Для п — 1 теорема уже доказана
в § 17.2. Пусть п^2.	_
1)->2) Пусть fc=H+(Tn). Тогда f(z) = L[g], g^9’'(R+),
f+ = F[g]. H = Im/+ и
=	(4.4)
(см. § 16.2). Из (4.4) следует условие а) (см. § 8).
Для доказательства условия б) воспользуемся теоремой II
§ 17.3 (необходимость ее условий уже доказана). В силу (3.15)
равенство (4.4) принимает вид
(4.5)
где v = v* 6= С (Rn), supp v <= — R+ U R+ и v удовлетворяет усло-
вию роста (1.7). Обобщенная функция
g0® = 2iDh.. dUMIW)]	(4.6)
удовлетворяет уравнению (4.5) в R”. Общее же решение одно-
родного уравнения (4.5), g — g* — 0, в классе S?'(—R+IJR+)
имеет носитель 0 и, следовательно, представимо в виде (см. § 2.6)
а<М)+ Е Z|a|aoDad®,
1 <|a]<W
где аа — произвольные вещественные постоянные. Отсюда и из
(4.6) следует, что спектральная функция g представима в виде
g (£) = iD\ ... D2n [29„ © v (g) - ia^n ©] +
+ I i|a|aoDad(g). (4.7)
Обозначим
u(l) = 2Qn(^v^-ia^n^).
$ 17]	ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ в г"	269
Функция и (t) удовлетворяет условиям б) теоремы. При этом
равенство (4.7) принимает вид
g(£) = iDl... D2nu®+ £ i^aaDab®. (4.8)
Таким образом (см. § 9.2),
f(z) = L[g] = Z(-l)"^ ... z2n $ U^)e^^dl +
R"
+ S aaza, z(=Tn. (4.9)
1 <1 a l< AT
Полагая в (4.9) z = iy, у e R+, получим
f(iy) = iy\ ... y\ j u^)e^y	*laW. (4.Ю)
Докажем, что при каждом / = 1, ..., п
Действительно, из свойств функции и (%) вытекает, в силу тео-
ремы Лебега, законность перехода к пределу под знаком инте-
грала:
ОО	00
lim г/] ... г/Д ... ( | и (£)\е~(«’ dl =
*Г*“	J J
= lim \ . . . \ \ u ...,	•••-*« dx = O.
о о '	Уп J\
Принимая во внимание оценку (3.1) § 13, из (4.10) получаем
неравенство
iy\ ... у2п\и($ е~<и> V d% + i (а, у) +
R"
+ X /|aw
2<|a|<M
<М(С')
1+ Ш2
ы
у еС' е R",
из которого и из предельных соотношений (4.11) выводим, что
«а = 0, | а |	2, а для чисел щ справедлива формула (4Д)> так
270
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
что а/^0, /'== 1, ..., п, т. е. aeR". Этим в силу (4.8) доказано
представление б). Единственность его вытекает из леммы 5 § 17.1.
2)-»3). Доказательство проводится дословно так же, как и
в одномерном случае при доказательстве достаточности в тео-
реме II § 17.2. При этом используются леммы 1 и 3 § 17.1.
3)~>4)~»1). Из представления (4.1) следует, что соответ-
ствующий интеграл Пуассона — плюригармоническая функция
в Тп. Отсюда и из теоремы § 16.6 следуют все остальные утвер-
ждения теоремы. Теорема доказана.
Следствие. Если f е Н+(Тп), то наилучшая линейная ми-
норанта (а, у) индикатрисы h (Im f-, у) в конусе R” определяется
равенствами
й!= lim h(Imf,y), j—\,...,n,	(4.12)
у -> ер у К”
где ej — единичные орты в R".
Действительно, из неравенства
(a, i/Xft(Im f; у)
следует, что
а;< lim h(Imf;y).	(4.13)
ер у <= R"
Функция
j- Im f (i + Ну), у g= R" и {е,.еп}, />0
непрерывна по у, не возрастает по t > 0 и стремится при /—>оо
к (полунепрерывной сверху) функции
Г h (Im f-, у), ye=Rn+,
I	y — eh j — l, n.
(4.14)
При у 6= ₽+ это утверждение доказано (теорема § 16.5). При
у —в] оно вытекает из представления (4.1)
у Im f(i + itej) =
лГ1(1 + Oj ^-Hl-H)2,^
й ¥= /
+ т £ a* + ab
+ k	(4.15)
поскольку в силу теоремы Б. Леви каждое слагаемое в правой
части равенства (4.15) не возрастает по t > 0. Из полунепре-
рывности сверху функции й(у) на множестве R+ (J {elf ..еп}
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ-ФУНКЦИИ В Тс
271
§ 181
и из (4.14) следует неравенство
lim	lim h(y') = h(ej') = a!,
у -» e J, у ss R"	y-> e yt=	U {e j}
которое вместе с неравенством (4.13) влечет равенство (4.12).
Замечание 1. Представление б) усиливает результаты § 16,4 о глад-
кости спектральной функции и ухудшает оценку ее роста в случае конуса R":
g(£) = O?...O2gl(g),	=	+	%
I < / п
gie2!s(^+)’ s<~4 (в § 1бл s<-4«')•
Замечание 2. Описание функций класса Н + (G) в поликруге дано
А. Кораньи и Дж. Пуканским [1] н В. С. Владимировым и Ю. Н. Дрожжи-
новым [1]; в «обобщенном единичном круге» (множестве комплексных 2X2-
матриц w, удовлетворяющих условию ww*<I) — В. С. Владимировым [10];
в ограниченных строго звездных областях, в частности, в классических сим-
метричных областях, — Л. А. Айзенбергом и Ш. А. Даутовым [1]; в «трубе
будущего» т+ = Tv+ (и —3, см. § 4.4) — В. С. Владимировым [10]. В послед-
нем случае установлено, что интеграл Пуассона для f е Н+ (т+) есть плюри-
гармоническая функция (и, значит, справедлива теорема § 16.6) тогда и только
тогда, когда индикатриса	у) обладает свойствами
h (Im f; у) = ho {у) + (а, у), ho(y)^Q, asV+, yeV+j
§ 18. Положительно вещественные матрицы-функции в Тс
Пусть А (х) = (Ак1 (х)) — квадратная матрица с элементами Л^
из Ф'. Назовем матрицы: Л* (х) = Ат (— х) — ^эрмитово-сопря-
женной к А, Л+(х)==Лг(х)-----[--эрмитово-сопряженной к А,
КеЛ = |(Л + Л+), Im А = ± (Л - Л+)
— вещественной и мнимой частями А (ср. § 1.3).
Если А = А* или Л = Л+, то Л будем называть *-эрмитовой
(ср. § 8.1) или -[--эрмитовой соответственно. Для постоянных
матриц оба понятия эрмитовости совпадают, и в этом случае
будем говорить просто эрмитовы или эрмитово-сопряженные
матрицы.
Очевидно, если А (х) — матрица медленного роста (т. е.
Ак! е= $>'), то
Г[Л+] = Г[ЛГ, Е[Л*] = Е[Л]+,
где преобразование Фурье Е[Л] матрицы Л означает матрицу
с компонентами F [Л^].
272
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Матрица-функция Л(г), голоморфная в трубчатой области Г0,
называется положительно вещественной в Тс, если она удовле-
творяет условиям: a) Re А (г) О, ге7'с; б) A(iy) вещественна
при всех у е С (и тогда Л(г) = Л(—г), геТсв силу принципа
симметрии Шварца). Ясно, если A (z) положительно вещественна
в Тс, то А (г) положительно вещественна и в любой Тс', С' с С.
Матрицу Z (g), Zkj^<2)', для которой A(z) = L[Z], назовем
спектральной матрицей-функцией матрицы A(z).
Наша задача — дать описание положительно вещественных
матриц-функций в Тс, где С —острый выпуклый конус. Сна-
чала рассмотрим скалярный случай, т. е. положительно веще-
ственные функции в Тс.
1. Положительно вещественные функции в Тс. Функция f (г)
положительно вещественна в Тс тогда, и только тогда, когда
if<=H+(Tc') и ее спектральная функция g вещественна. По-
следнее утверждение — в силу равенств
f(z) = L [g] — F[g (g) e-^ V ] = f (- z) = F [g (g) e~^ 4
Пусть C' = [y. (eb y) > 0, ..., (е„, у) > 0] — n-гранный острый
конус. Тогда (см. § 4.4)
c'* = rg: g = Е ^/>01.
L i</<n	J
Обозначим через А неособенное линейное преобразование
z->g = (gi = (6i, г), ..., g„ = (e„, z)) = Az. (1.1)
Преобразование t — Az биголоморфно отображает область Тс'
на область Тп, а преобразование g'= Л-1 rg — конус С'* на
конус R”. При этом производные D — (£)1; ..., Dn) перейдут
в производные D' = (D', ..., D'A, = по формулам
v	' dxj
D'i= £ ^Dk=(ehD) = {AD)h	(1.2)
t. e. D' — AD.
Далее (см. § 1.9),
6(g) = 6^g') = ^g| •	(1.3)
Лемма. Если векторы et.......еп линейно независимы, то
равенство
(е„ D)2 ... (еп, D)2 и (g) + (a, D) d (g) = 0,	(1.4)
где и еС (Rn), supp и cz С , возможно лишь при и(А) = 0 и а = 0.
§ 18] ПОЛОЖИТЕЛЬНО ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ-ФУНКЦИИ В Тс 273
Доказательство. В переменных I'— А~1Т1 равенство
(1.4) в силу (1.2) и (1.3) примет вид
... D'*u (Г) + (a, D') 6 (Г) = 0,	(1.5)
где
м(Г) = 1 det Л |«(ЛГГ)> а = А~1Га,	(1.6)
причем йеС(К"), suppnczR". По лемме 5 § 17.1: #(£') = О
и а —0, откуда в силу (1.6) выводим: u(A) = Q и а = 0. Лемма
доказана.
Теорема. Для того чтобы функция f (z) была положительно
вещественной в Тс, где С — острый {выпуклый) конус в Rn,
необходимо и достаточно, чтобы ее спектральная функция g(g)
обладала свойствами:
a)	g© + g*(B)» 0;
б)	для любого п-гранного конуса С = [у: (еь г/) > 0, ...
.... (е«, у) > 0], содержащегося в конусе С, {единственным об-
разом) представима в виде
=	D)2 ... {еп, D)*uc.® + (aC', D)6®,	(1.7)
где ас, е С* и иГ, (g) — вещественная непрерывная функция мед-
ленного роста в R" с носителем в конусе С'*.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция
f(z) положительно вещественна в Тс, так что — if <= Н + (Тс) и
f {z) = L [g], причем спектральная функция g(l) вещественна
из 9'{С*). Отсюда и из (1.5) § 16 следует условие а). Для до-
казательства представления (1.7) для п-гранного конуса С со-
вершим биголоморфное отображение £ = Лг(см. (1.1)) области 7'
на Тп\ при этом функция f (г) перейдет в положительно вещест-
венную функцию	в 7". По теореме § 16.4 заключаем,
что существуют вектор а\ е R+ и_непрерывная функция щ (£')
медленного роста с носителем в R1 такие, что спектральная
функция giQ;') функции	представима в виде
<?,(П = ^ ... Д'2м, (?') + («!, D’y>{%).	(1.8)
Перейдем к старым переменным г = Л-1£ и £ = Л7|. . Спектраль-
ные функции gig) и gi (£') связаны соотношением (см. § 9.2, д))
|4е1Л|^й) = ^(Г) = ^(Л-1Г0.	(1-9)
Пользуясь формулами (1.2) и (1.3), из (1.8) и (1.9) выводим
представление (1.7) для gig), в котором
мс' (5)= । (jet д । Mi 1) ас, = А аг (1.10)
274
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Учитывая, что преобразование Лг переводит конус R+ на ко-
нус С'* из (l-Ю) заключаем, что ас, еС'* и «с, еС(К'и‘) мед-
ленного роста, suppuc, а С'*.
Единственность разложения (1.7) и вещественность функции
ис, следует из вещественности спектральной функции g и век-
тора а в силу леммы § 17.1.
Достаточность. Пусть обобщенная функция g(g) обла-
дает свойствами а) и б). Тогда из представления (1.7) следует,
что g вещественна и у^Д’ДС'*) для всех n-гранных конусов
С'сгС, так что ge^C*)- Поэтому функция f(z) — L[g] голо-
морфна в Тс и f (iy) вещественна в С. Осталось доказать, что
Re f (z) Дл 0, z е Тс. Возьмем произвольный странный конус С' czС
и перейдем к новым переменным g — Az и g' == В результате,
как и при доказательстве нео ходимости, заключаем, что спек-
тральные функции g(g) и gi(^) функций f(z) и	связаны
соотношением (1.9), и поэтому функция gt (g') представима
в виде (1.8), где и{(£') и at выражаются через ис,(£) и ас,
по формулам (1Л0), так что ai е R+ и щеС(Еп) медленного
роста, suppuicrRX- Кроме того, в силу (1.9)
g, (Г) + £ (Г) = I det A I [g (g) + g* (g)] » 0.
Отсюда по теореме § 16.4 заключаем, что if (Д-1?) е Н+ (Тп),
т. е. Ref(z)2>0 в Тс , откуда в силу произвольности c'czC
следует Ref (.г)7^0 в Тс, что и требовалось. Теорема доказана.
2. Положительно вещественные матрицы-функции в Тс.
Теорема. Для того чтобы N \N-матрица-функция А (г)
была положительно вещественной в Тс, где С — острый (выпуклый)
конус в R", необходимо и достаточно, чтобы ее спектральная
матрица-функция Z (g) обладала свойствами-.
a)	(Z(g)a + Z*(g)a, а) » 0,	пеС‘-';	(2.1)
б)	для любого п-гранного конуса С'= [у: (eh у) > 0, ...
... ,(е„, у) > 0], содержащегося в конусе С (единственным об-
разом) представима в виде
Z(g) = (ep Dy ...(е„, D)2Zc,(g) + £ Z6)Dfi(l), (2.2)
1 -'С /-С п
где матрица-функция Zc, (g) — непрерывная вещественная мед-
ленного роста в Rn с носителем в матрицы Zty, /=1.....п —
вещественные симметричные и такие, что
Е	у<=С'.	(2.3)
1< j С п
§ 18] ПОЛОЖИТЕЛЬНО ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ-ФУНКЦИИ В ТС 275
При этом справедливо неравенство
a') Re (Z *ф, ф)й|>0, ф = (фь ..., <рл,)е5’хл'-	(2.4)
Доказательство. Достаточность. Из условий б)
теоремы вытекает, что спектральная матрица-функция Z (£)
вещественна и ее элементы Zkj е 9>' (С*), так что матрица-функ-
ция A(z) = L[Z] голоморфна в области 7е, где С — intС** (см.
§ 12.2), и удовлетворяет условию вещественности A(z) = A(—z).
Проверим, что обобщенная функция ga(g) = (Z(g) а, а) при
всех аеС" удовлетворяет условиям а) и б) теоремы § 17.1.
Действительно, условие а) выполнено в силу (2.1):
ёа (S) + ёа (В) = (S) а + (|) а, «) » 0.
Условия б) выполнены в силу (2.2) и (2.3):
Йа© = &, Dy ... (en, Dy(Zc,a)a, a) +	a) D/6 (|),
где (Zc,(I)a, a} — непрерывная функция медленного роста bR"
с носителем в С'*, причем
У, y.(Z{i]a, а\>0,	У^С',
1 < I < п ‘ '
т. е. вектор
(<Z$a, а), ... , {Z{$a, а))еСп.
Замечая, что gfl(g) есть спектральная функция функции
{A(z)a, а), из теоремы § 17.1 выводим
Re {А (г) а, а) > 0, геГ, а CN,
т. е. Re А (г)	0, ге7с. Таким образом, матрица-функция А (г)
положительно вещественна в Тс.
Необходимость. Пусть A (г) — положительно веществен-
ная матрица-функция в Тс. Тогда для любого вектора а CN
функция (А (г) а, а) положительно вещественна в Тс. По тео-
реме § 17.1 ее спектральная функция gfl(l) из •9’/(С*) обладает
свойствами:
И	go© + g*o(g)»0;
б') для любого n-гранного конуса С' cr С представляется в виде
ёа® = (е„ D)2 ... (еп, Dy Uc, (g; а) + _ Аф («) Dfi (2.5)
где функция Uc, (g; а) — непрерывная медленного роста в R"
с носителем в конусе С'* и вектор
(Ас’(а)....А1^’(a)) s С'*.	(2.6)
276
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Далее, поскольку ga (g) — спектральная функция квадратичной
формы (A(z)a, a), a<^CN, то и ga(£) есть квадратичная форма
относительно вектора а, так что существует N X Af-матрица
Z (g) (спектральная матрица-функция матрицы А (z)) такая, что
(Z (g) а, а) = ga (g), Zkj е= 9>г (С*).	(2.7)
Отсюда и из условия а') следует, что MaTpHna_Z (g) удовлетво-
ряет условию а). Далее, из равенства Л(г) = Л(— г) вытекает
вещественность матрицы Z (g).
Теперь, пользуясь равенством
<Z (g)a, b) — ^-{Z (g) (а + b), а + b) -
-l<Z(g)(a-0, a-b) + ^Z(g)(a + ib), a + ib)-
— у (Z (g) (a — ib), a — ib), a, b^ CN,
из (2.5) и (2.6) выводим
<Z(g)a, 0 = 1 (a„ Д)2 ... (e„, D)2[f7c,(g; a + b) +
+ Uc, (I; ci — b) + iUc, (g; a + ib) — iUc, (g; a — г'0] +
+ [Лщ (fl -f- b) -j- Ac (a — b) + iAc' (a -}- ib) —
-iA^ia-ib^Djb^).
Отсюда следует существование N X М-матрицы-функции
Z& (S), — непрерывной, медленного роста в R" с носителем
в конусе С'*, и А7Х А^-матриц Zc’> j~ 1, ... , п, таких, что спра-
ведливо представление (2.2). Из леммы § 17.1 следует единст-
венность представления (2.2), вещественность матриц Zc (g)
и Z$> j ~ 1, .... п (в силу вещественности матрицы Z (g)), и ра-
венства (в силу (2.5) и (2.7))
Uc © а) = {Zc © а, а),	(а) = <г(сЛ' а, а),
j = 1, ... , п, а е CN.
Отсюда и из (2.6) вытекает, что матрицы Zc’ симметричны
и удовлетворяют условию (2.3);
( 1 пУ^'а’	(ZC'a’a) = 1	„ У<АС'	> °-
$ 19]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ	277
Таким образом, спектральная матрица-функция Z (g) удовлет-
воряет и условиям б).
Осталось доказать неравенство (2.4). Пусть <р е N-t обозна-
чим = F[(p] е JV. Принимая во внимание равенства
А, (х) = F[Z], ReX+ (х) = lim Re А (х + iy) в У
г/еС
и пользуясь свойствами преобразования Фурье (см. §§ 6.3 и 6.5),
имеем цепочку равенств
Re ( <Z *ф, <p)d| = Re У (Zfe/* <р,, <pfe)^ =
l<fe,
= Re £	(zfc/(-£)> Ф/*Ф1) =
Kfe, /<л
-Re Z №»/]• Пмнф-
=w*Re E ^+^w==
l<fe. /<w
= 2 (2лЛ'г~ S (-^+А/ ~Ь A+fk, ф^ф;4) ==
Kfe, i<N
= Hm £	\lAkl(x + iy) + Alk(x + iy)]^i(x)^(x)dx=»
уу2с'<к-!<ы
= Hni \ (Re A (x + iy) ф (x), ф (x)> dx 0.
y->0, seC J
Теорема доказана.
Замечание 1. При п — 1 эта теорема доказана X. Кенигом и А. Зема-
няном [1]; прн пе>2 —В. С. Владимировым [9].
Замечание 2. В R2 любой выпуклый открытый конус С — двугранный,
т. е. С = [у. (ер у} > 0, (е2, у) > 0], и поэтому в качестве конуса С' в пред-
ставлении (2.2) можно взять сам конус С.
§ 19. Линейные пассивные системы
1. Введение. Рассмотрим физическую систему, подчиняю-
щуюся следующей схеме. Пусть исходное in-возмущение и(х) =
= (uj(x).....uN (х)) действует на эту систему, в результате
чего возникает ответное out-возмущение (отклик системы) f (х)=
= (fi (х), ... , fN (х)); здесь под х = (хь ... , х„) понимаются вре-
менные, пространственные и другие переменные. Предположим,
что выполнены следующие условия.
278
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
а)	Линейность: если исходным возмущениям щ и «2 от-
вечают возмущения /у и f2, то их линейной комбинации ащ +fk2
отвечает возмущение afi + pf2-
б)	Вещественность: если исходное возмущение и веще-
ственно, то и ответное возмущение f вещественно.
в)	Непрерывность: если все компоненты исходного воз-
мущения и(х) стремятся к 0 в , то и все компоненты ответного
возмущения )(х) стремятся к 0 в 3)'.
г)	Трансляционная инвариантность: если исход-
ному возмущению и(х) отвечает возмущение f(x), то для любого
сдвига h е R” исходному возмущению м(х + й) отвечает возму-
щение f (х + h).
Условия а) — г) эквивалентны существованию единственной
N X ^-матрицы Z (х) — (Zkj (х)), Zkj е 3)' (Rra), которая связывает
исходное и(х) и ответное f(x) возмущения по формуле (см. § 4.7)
Z*u = f.	(1.1)
Наложим на систему (1.1) еще одно требование, так назы-
ваемое условие пассивности относительно конуса Г. Пусть Г —
замкнутый, выпуклый, телесный конус в R” (с вершиной в 0).
д)	Пассивность относительно конуса Г: для лю-
бой вектор-функции <р(х) из Й5Х л выполнено неравенство
Re {Z * ф, ф) dx 0.	(1.2)
-г
Заметим, что функция (2*ф, ф)е.® (см. § 4.6), так что ин-
теграл в (1.2) всегда существует. Далее, в силу вещественности
матрицы Z (х) условие пассивности (1.2) эквивалентно условию
J (Z *Ф, ф)Дк>0,	фе<;’’',	(1.2')
-г
где Й5Х N состоит из вещественных У-векторов с составляющими
из 3).
Неравенство (1.2') энергетического типа: оно отражает спо-
собность физической системы поглощать энергию, но не гене-
рировать ее; при этом учитывается причинность относительно
конуса Г (см. ниже § 19.2).
Сверточный оператор Z * называется пассивным оператором
относительно конуса Г, а соответствующая матрица-функция
Z Д) — преобразование Лапласа матрицы Z (х) — импедансом
физической системы.
Для иллюстрации изложенной схемы рассмотрим пример
одномерной пассивной системы (п = N = 1): простейшую эле-
§ 19]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
279
ктрическую цепь, состоящую из сопротивления R, самоиндук-
ции L, емкости С и источника э. д. с. е(/), включаемого в мо-
мент времени / = 0 (рис. 41). Тогда, в соответствии с законом
Кирхгофа, сила тока i (t) в цепи удовлетворяет интегродиф-
ференциальному уравнению
Z (/) = Lb' (/) + Rb (/) + 4 0 (0	Рис. 41.
— обобщенное «сопротивление» цепи. Проверим, что оператор
Z* удовлетворяет условию пассивности (1.2') относительно
конуса Г = [0, сю);
с°	г Г	с	1
] (2 * ф) ф dt = U Тф' (0 + /?Ф (0 + -£- J Ф (т) dx ф (0 dt =
— оо	-оо L	0
О	г 0	-.2
=-тгУ2(О) + R ф2(1)Й + -^- ^ф(^)л| >0,
Одномерные (п= 1) линейные пассивные системы описывают
связь между токами и напряжениями в сложных электрических
цепях; они описывают также линейные термодинамические
системы, рассеяние электромагнитных волн и элементарных
частиц (см. X. Кёниг и Т. Мейкснер [1], Д. Юола, Л. Кастриота
и Г. Карлин [1], Т. By [1], А. Земанян [1], Е. Бельтрами и
М. Волерс [1], В. Гюттингер [1]). Одномерные пассивные опе-
раторы изучались многими авторами и результаты их исследо-
ваний подытожены в двух монографиях 1965—1966 гг. А. Зема-
няна [1] и Е. Бельтрами и М. Волерса [1]. Эта теория распро-
странена В. Хакенброхом [1] и А. Земаняном [2] с матричного
случая на случай операторов в гильбертовом пространстве.
Многомерные (п^2) линейные пассивные системы часто
встречаются в математической физике: они описывают физи-
ческие процессы с учетом их пространственно-временной дина-
мики (некоторые примеры таких систем приведены ниже,
в § 19.7). Теория многомерных линейных пассивных систем раз-
работана В. С. Владимировым [9, И] на основе теории поло-
жительно-вещественных матриц-функций (см. § 18).
280
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
2.	Следствия из условия пассивности.
а)	Условие пассивности (1.2) выполнено в усиленной
форме:
Re (Z *ф, ф)йх^0,	фЕ®х''', х0 е Rrt. (2.1)
— Г + Хо
Действительно, если фей5хлг, то при каждом XoeR” вектор-
функция фХо (х) = ф (х 4- х0) е S)* N, и потому в силу свойства
трансляционной инвариантности свертки (см. § 4.2, в)) из нера-
венства (1.2) вытекает неравенство (2.1):
0 < Re \(Z* фХо, фХо) dx = Re {(Z * ф) (х + х0), ф (х + х0)) dx =
-г	-г
= Re (Z * у, q>) dx', х' = х + х0.
— Г4-х,3
б)	Диссипативность:
Re^Z+ф, (p)dx^0,	фе£5х'’'’.	(2.2)
Действительно, полагая в (2.1) х0 = Хе, е е int Г, и переходя
к пределу при Х-> + оо (так что — Г + Xe->Rrt; рис. 42), из (2.1)
получим неравенство (2.2).
в)	Причинность относительно конуса Г:
supp Z (х) <= Г.	(2.3)
Действительно, пусть ф и	и % — вещественное
число. Заменяя в неравенстве (1.2') ф на ф4-Хф, получим нера-
венство
(Z * ф, ф) dx 4- X [(Z * ф, ф) 4- (Z * ф, ф)] dx 4-
—г	-г
4- X2 (Z * ф, ф) dx О,
-г
справедливое при всех вещественных X. Поэтому имеет место
неравенство
-12
(Z * ф, ф) dx 4-	(Z* ф, ф)йх
—Г	-Г
<4 (Z * ф, (p}dx ^^*ф, ф)(/х. (2.4)
--г	-г
5 19]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
281
Пусть supp ф cz R" \ (— Г). Тогда из неравенства (2.4) выте-
кает, что
(Z * ф, ip) dx = О
-г
при всех i|'S®xv. По лемме дю Буа-РеймонДа (см. § 1.6) за-
ключаем отсюда, что 7*ф = 0, хе —Г, и потому (см. § 4.6)
(Zkj * фо) (х) = (Zk/ (х'), Фо (х — х')) = 0, х <= — Г,
при всех фо е 2)r (Rra \ (— Г)). Полагая
х = 0, получим (Zk! (— х'), фо (х')) = 0,
xsR'! \(- Г), и потому supp Zk! ед Г
(см. § 1.5). Включение (2.3) доказано.
г)	Положительная опреде-
ленность:
(Za + Z*a, а} » 0, а е= С", (2.5)
или, в эквивалентной форме,
Re«Za, а), ф*ф*):>0,
а е Cw, фе®. х
в последнем равенстве
так что Zkj (— х) = 0,
Вытекает из неравенства (2.2) при ф = аф0(—х), где аеС'7
и ф0 е <£>:
0 <1 Re {Z * афо (— х), афо (— х)) dx =
= Re^[(Za, а)*Ф0(— х)] ф* (х) dx = Re ((Za, а), ф0*ф*) =
= j (<Z (x) a, d), ф0 * Фо) + -| (<Z(x)a, «), Фо * Фо) =
== | (<Z (x) a + ZT (— x) а, а), ф0 * ф*),
что и доказывает неравенства (2.5) и (2.5') (см. § 8.1). Здесь
мы воспользовались свойством свертки (6.4) § 4.
В дальнейшем будем предполагать, что конус Г — острый.
д)	Ограничение на рост: Ze(®')X;V!.
Действительно, по теореме Бохнера — Шварца (см. § 8.2)
обобщенная функция (Z (х) а + Z* (х) а, а) принадлежит S7" при
всех а е С . Отсюда следует, что обобщенная функция
(Z (х)а + Z*(x)a,	при всех а и b из Cw, так что
fkl(x)==Zkl(x) + Zlk(-x)^<?',	1<6, j^N.
282
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ, III
Из условия причинности (2.3), supp Zkj с Г, следует, что
supp fk/ се — Г U Г. Пусть т] е С°°, т] (t) = 1, t > 1, т] (/) = 0, t < О
и eeintr*. Тогда функция т]((е, х))е0м и поэтому т]((е, x))fA/e^'
(см. § 5.3). Далее, носитель обобщенной функции
Ski W = zki (х) — П ((e, x)) fkj (x)
— компакт, в силу леммы 1 § 4.4 (см. рис. 22; конус Г пред-
полагается острым!), так что $й;е^'(см. § 5.3). Вывод:
е)	Условие пассивности (1.2) выполнено в усиленной
форме:
Re <Z*q), q>)dx>0, <pe^x'v.	(2.6)
-г
Действительно, фиксируем <р из и пусть <pve£Z>x'v,
qpv->ф, v-^oo в [7 х iV (см. § 5.1). Тогда в силу (1.2)
Re j (Z * <pv, <pv)dx 0, v = 1, 2, ...	(2.7)
-r
В силу д), Zkj^^', l^fe, j^N, и поэтому конечного порядка
(см. § 5.2). Обозначая через т наибольший из их порядков и
пользуясь оценкой (6.4) § 5, при k—\, ..., N получаем:
а) | (Z * <Pv)fe(x) I < С (1 + | х|2Г/2 max ||<pv/||m, v = 1, 2, ...;
1 < j<N
p) (Z * <pv)fe(x)=J^^->(Z *<p)fe(x), v->oo при любом R > 0,
откуда заключаем о возможности перехода к пределу при v -> оо
под знаком интеграла в неравенстве (2.7), в результате полу-
чаем неравенство (2.6).
ж)	Существование импеданса:
Z (0 = L [Z] = F[Z (х) е- *>] (р), Z = р + iq,
есть голоморфная матрица-функция в области Тс = R'1 + 1С,
где С = int Г*.
Вытекает из свойств в) и д): Zkl <=	(Г) (см. § 9.1).
з)	Условие вещественности импеданса:
Z(£) = Z(—£),	(2.8)
Вытекает из вещественности матрицы Z (х).
и)	Свойство положительности импедансу:
ReZ(g)>0, 'GTC.	(2.9)
Действительно, пусть функция T]g(x) такова, что цв е С°°;
Т)8(х)=1, хеГЕ/2; Т]е (х) = о, хёГЕ; |£)% (х) | Сае. Тогда при
§ 191	ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ	283
всех (см. § 9.1)
ф(£; х) = пе(— х) е_'(Е'
а при всех as CN вектор-функция ац>^ Д'7"' ’, поэтому, пользуясь
формулой (6.4) § 4, имеем
(Z * (дар), дар) = [(Za, • а) * ф] (х) ф (С; х) =
— ((Z(x')a, а), ф(£; х —х'))ф(£; х) =
= е2(<7’x)r]e(—х) ((Z (х') а, а), т)е(х' — х)е‘(^ х°). (2.10)
Но т]е (х' — х) — 1 при х' е Ге/2 и ,ге — Г, ибо по лемме 2 § 4.4
х' — хе Г + <7е/2 + Г = Г + t/e/2 = Г8/2. Отсюда, принимая во вни-
мание, что supp Z (х') cz Г, и пользуясь формулой (10.2) § 1,
продолжим цепочку равенств (2.10) при хе —Г;
(Z * (снр), шр) = е2(<7'((Z (х')я, a), r]e(x')e‘(^ О).	(2.11)
Воспользуемся теперь формулой (1.4) § 9 для преобразования
Лапласа и проинтегрируем равенство (2.11) по конусу —Г.
В результате, пользуясь свойством е), получим неравенство
O^Re (Z * (щр), аф) dx = Re (Z (g) a, d) e1^-x] dx. (2.12)
-r	-r
Замечая, что при всех q^C последний интеграл существует
и положителен (см. § 10.2), из (2.12) заключаем:
Re(Z(C)a, a) = 4<Z(g)a + Z+(t)a, я)>0,
что эквивалентно (2.9).
Из свойств ж), з) и и) вытекает, что импеданс Z (£) отно-
сится к классу положительно вещественных матриц-функций
в Тс, описание которых дано в § 18.2 (конус Г предполагается
острым).
Замечание. Немного модифицируя предыдущие рассуждения, можно
убедиться, что следствия в), г), д), ж), з), и) остаются справедливыми и при
выполнении ослабленного условия пассивности относительно конуса Г:
Re [(Z (х) а, а} * ср] ф dx 0, <р е Эй, a<^CN. (2.13)
-Г
3. Необходимые и достаточные условия пассивности.
Теорема I. Для того чтобы матрица Z (х) определяла пас-
сивный оператор относительно острого конуса Г, необходимо
и достаточно, чтобы ее импеданс Z (Q был положительно веще-
ственной матрицей-функцией в области Тс, где С = int Г*.
284
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Следствие. Если система пассивна относительно острого
конуса Г, то она пассивна и относительно любого острого конуса,
содержащего Г.
Замечание. При п = 1 теорема I была доказана А. Земаняном [3],
а при п^2 — В. С. Владимировым [9].
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть N y^N-матрица Z (х) обладает свойствами:
а)	определяет пассивный оператор относительно некоторого
конуса Го, содержащего конус С*-, граница Го предполагается
кусочно-гладкой',
б)	для любого п-гранного конуса С'= [q: (еь q) > 0, ...
..., {еп, q) > 0], содержащегося в выпуклом остром конусе С,
представляется в виде
Z (х) = (ер Z))2 ... (е„, О)2 Zc, (х) + Z^,Dfi (х), (3.1)
где матрица-функция Zc'(x) — непрерывная, вещественная, мед-
ленного роста в R'1 с носителем в конусе С *; матрицы Z^,
j=l, .... п, — вещественные, симметричные и такие, что
Е	0,	q^C'.	(3.2)
Тогда матрица Z (х) определяет пассивный оператор относи-
тельно конусов Ге = [х: (е, х)^0, хеГ0], где е — любой еди-
ничный вектор из конуса С.
Доказательство. Из условий б) следует, что матрица
Z(x) вещественна, медленного роста с носителем в конусе С*.
Лемма нетривиальна, если конус
Г>Г0\Ге = [х: (е, х) < 0, хеГ0]
— телесный. Ясно, что Г0 = ГеиГ' (рис. 43).
Пусть це С00; 0<ц(/)< 1; п(/) = 1, t < у; п(0 = 0, / > 1.
Обозначим
Пе(х) = п[-^£т^]-
Тогда при всех cpe0*iV будем иметь
\ <Z * ф, <p)dx= {Z * (срПе), +
—Г	—Г
1 е	х о
+ \ [<Z * ф, ф> — <Z * (фЯе), ФПе>]^х — \ <Z * (фТ1е), фт|е>г/х. (3.3)
S 19]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
285
Первое слагаемое в правой части (3.3) в силу условия а)
неотрицательно при всех е > 0. Далее, поскольку supp Z (х') cz С*
И ЛеU — х') — 1 > х е — Ге> х' 6= (С*)8/2 (так как (е, х — х')=С
< — (е, х') = — (е, Xi) — (е, х2) < I (е, х2) I С е/2, где х' = xi + х2,
Xi ^С*, | х21 < е/2), то
(Z * (q>T]e))fe (х) = £ (Zkl (х')> ф/(х — х')ле(х — Х)) =
= Е (2ft/(x')> ф/(х —х')) = (2*ф)й(х), XG- Ге,
1
и, стало быть, второе слагаемое в правой части (3.3) равно ну-
лю. Таким образом, при всех е>0 имеет место неравенство
(Z *ф, (f)dx^
-г.
(Z* (фле), <рле) dx, ф 6=
-г«
(3.4)
Выберем линейно независимые
векторы е' = е, е'2, ..., е'п из ко-
нуса С и пусть {ek} — система век-
торов, биортогональная к системе {e'j, (ek, e'^ = dkj. Обозначим
С' — Dj: (ei, q) > 0...(еп, q) > 0]. Тогда С' с С, е еС' и С'* =
= [х: (е, х)^0, ..., (е'п, х)>0]. Для конуса С' справедливо
представление (3.1).
Учитывая это представление, преобразуем правую часть
неравенства (3.4) к следующему виду:
—	<2*(фЛе), фТ]Е)^Х =
“Ге
= - $ Ор О)2 ... (еп, Dy {Zc, « (фле), ФПе) dx -
-Га
" Е $	(ФПе), ФПе)^ = /1(8) + /2(е).	(3.5)
!</<« -Г'	1
Для величины /Де) имеем оценку
|Л(е)|<С1 £ J (еь Д)2 ... (ея, D)2 Jzc,,fe/(x')X
l<fe, i<N |х|<7?	O'*
0<(е, х)<в	г
X ф/ (х - хл) Л [(е’ Х ~ —] dx! I dx, (3.6)
286
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
где Ci= тахх | фН*) I и число R > 0 таково, что 8иррфсС/д.
Во внешнем и внутреннем интегралах в (3.6) сделаем замены
переменных интегрирования соответственно по формулам
х_>Вх = г/ = [г/1 =(е, х), .... уп = (е'п, х)],	х'-+Вх' = у'.
При этом конус с'* перейдет в конус R” = [у': у'^0, ..., у'п^0],
шар UR — в ограниченную область, содержащуюся в некотором
шаре UR, полоса 0 < (х, е) < е — в полосу 0 < уг < е и произ-
водная (ek, О) —в производную Dk (см. § 18.1).
Обозначая
zc',kSB ly')=vkSy'y 'yl^jtyl
Dl  D^j(y) = uj(y),
D2i J VH ui (У ~ У') X
Rn+
\y~y']<R:
из (3.6) получим оценку
I Ii (е) I < (detB)2 Е 5
Kfe. i<x |уi<r1
0<y, <e
J \vkl(y')\X
<y'l<2Rt
У
( У1-У1
4~T~
d/ dy.
Обозначим
X (^0 = E Si vki (у'1> У2...................y'n) \dy'2... dy'n.
l<k.	W'>0...y'>0
/2	/20
У2 + "• +Уп
Так как функции vkj непрерывны в Rn с носителями в R", то
функция х(у[) непрерывна в R1 и равна 0 при у\ < 0. Поль-
зуясь введенным обозначением, продолжим нашу оценку:
р!(е)|<с2
е г2^1
ОМ
%(,y'i)dy'i \аУ1 +
е <-У1+е/2	Зе/2
+(v+^)S S ^i^c5e+v S
0 L 0	-*	0

§ 19]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
287
откуда следует, что
lim Ц (е) = 0.	(3.7)
8->+0
Теперь рассмотрим величину Z2(e). Принимая во внимание,
что матрицы Z%\, j — 1, ..., п, — вещественные и симметричные,
имеем
/2(е) = _ £ J /zg)-^-(<pr]e), ФПе)^х =
!</<« _г' '
1 е
= Е Е Zc'.ks $ ’^7((Psne)‘Pfenedx =
1</г,	_rz
x e
= E E Zc'.ks $ а7г(ф5ф^2е)^ =
1</<B 1<Й, 5<AZ	__pz *
1 e
=-i S £ ^[(zgkp, (з-s)
1 e
Конус — Г' имеет кусочно-гладкую границу, которую обо-
значим через 5; пусть п —- внешняя нормаль к S (см. рис. 43).
Применяя к интегралу в (3.8) формулу Гаусса — Остроградского,
получим
Z2(e) = —-И Е (ZC'4), ф) ni cos (их,) dS.
S !</<»
Переходя здесь к пределу при е-> + 0 и учитывая, что
ПеW == п0[— (о X)],	0<t]8(x)<l,
получим
Пт/2(е)=-|	(£$Ф, ф) cos (их,) dS. (3.9)
S->+0	SfW, х)<0] 1</<»
Но (е, х) < 0 во внутренних точках конуса Г' (см. рис. 43)
поэтому (е, х)<10 па дГ' и тогда (е, х)^0 на S. Поэтому
в интеграле в (3.9) фактически остается лишь та часть границы S,
где (е, х) = 0 (и там е — — п = (— cos (пх^, ..., — cos(nx„))
(см. рис. 43), так что равенство (3.9) принимает вид
lim Z2(e)=v	\	/ У е,2Йф, ф\ dS.
+	5П[(е, х)=0]	/
288 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Последняя же величина, в силу условия (3.2), неотрицательна.
Отсюда, а также из (3.7), (3.5) и (3.4) следует условие пас-
сивности относительно конуса Ге. Лемма доказана.
Доказательство теоремы I. Необходимость доказана
в § 19.2. Докажем достаточность. Пусть матрица-функция Z (£)
положительно вещественна в Тс. Тогда по теореме § 18.2 она
является преобразованием Лапласа матрицы Z (х), удовлетво-
ряющей условиям леммы при Г0 = Р'1. Поэтому матрица Z (х)
определяет пассивный оператор относительно полуплоскости
Г1 = [х: (еь х)> 0], где et — любой единичный вектор из С. При-
меняя опять лемму к конусу Г[ и к любому вектору е2еС,
|е2|= 1, получим пассивность Z (х) относительно конуса
Г2 = [х: (еь х)^0, (е2, х) 0] и т. д. В результате т-кратного
повторения этого процесса получим, что матрица Z (х) определяет
пассивный оператор относительно конуса Гт = [х: (еь х)^0, .. .
• • •> (ет, х) > 0],
(Z * <р, <р) dx > 0, фе<\	(3.10)
-гт
Но выпуклый конус С* = [х: (х, q)^0, q^C] может быть при-
ближен сверху сколь угодно близко m-гранными конусами Г,„
при т->сю. Поэтому, переходя в условии пассивности (3.10)
к пределу при Гт-+С*, получим условие пассивности для конуса
С* = (int Г*)* = Г, что и требовалось доказать.
Комбинируя теорему I, теорему § 18.2 и замечание § 19.2,
получим следующую теорему II.
Теорема II. Следующие условия эквивалентны:
а)	Матрица Z (х) определяет пассивный оператор относительно
острого конуса Г.
б)	Матрица Z (х) удовлетворяет ослабленному условию пас-
сивности (2.13) относительно конуса Г.
в)	Матрица Z (х) удовлетворяет условию (2.5) и условиям б)
леммы.
г)	Матрица Z (х) удовлетворяет условию диссипативности (2.2)
и условиям б) леммы.
4. Многомерные дисперсионные соотношения. Результаты,
полученные в § 19. 3, позволяют вывести (многомерные) диспер-
сионные соотношения (см. § 10.6), связывающие вещественную
и мнимую части матрицы Z (р) — граничного значения импе-
данса Z (£). Для простоты изложения ограничимся случаем
конуса С — R".
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Общее решение матричного уравнения
£>?... £>„Z (х) = 0	(4.1)
§ 1'11	ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ	289
в классе вещественных непрерывных «-эрмитовых матриц-функций
в R’1 с носителем в — R+ f] R+ выражается формулой
Z(x) = [^„(x)-^(-x)]Z0,	(4.2)
где Zo — произвольная вещественная кососимметричная матрица.
Доказательство. По лемме 6 § 17.1 имеем
Zft/(x) = Z0,fe/[^„(x)-^„(-x)], l<fe,
где Z0<kl — произвольные вещественные числа. Отсюда и из
условий Z/fe(x)==Zft/(—х) следует, что ZOtkj = — Zo, lk, т. е.
Zo= — Zo. Представление_(4.2)_доказано. Лемма доказана.
Обозначим через А/(— R+JR+) класс +-эрмитовых матриц,
являющихся преобразованиями Фурье вещественных непрерыв-
ных _матриц-функций медленного роста в Rrt с носителем
в — R"(JR+-
Для матрицы класса R+UR+) все матричные элементы
принадлежат пространству обобщенных функций 3)'£2 (см. § 10.1).
Из доказанной леммы следует, что общее решение матрич-
ного уравнения
р* ... piM(p) = 0
в классе N (— R'+ (J R+) дается формулой
М (р) = iZ^D{	\1пЖп (р)],	(4.3)
где Z(0) — произвольная вещественная кососимметричная матрица.
Действительно, переходя в формуле (4.2) к преобразованиям
Фурье и пользуясь определением ядра Жп(р) (см’. § 10.2), имеем
М (р) = Zo {F [Sn\ - F [S„]) = 2iZ0 Im F (p) =
= 2/Z0 Im F [0„ (x) xj ... x„] — iZ^Di ... Dn Im [1пЖп (p)],	(4.4)
где обозначено Z(0) = 2 (—1)" Zo.
Теорема. Для того чтобы матрица Z (х) определяла пас-
сивный оператор относительно конуса R+, необходимо и доста-
точно, чтобы ее преобразование Фурье Z (р) удовлетворяло дис-
персионному соотношению
Im Z (р) = Р? • • • р;( (М * Im Жф) + iZ^ - £ Z^ph (4.5)
i < i < п
где матрица М (р) есть решение в классе N (— R+ U R+) уравнения
Р[ • • • P“M(p) = ReZ (р),	(4.6)
10 В. С. Владимиров
290
некоторые приложения is математической физике [гл. ш
причем матрица Re Z (р) такова, что при всех a<=CN обобщен-
ная функция (Re Z (р) а, а) есть неотрицательная мера медленного
роста в Rra; матрица z(0> вещественна, кососимметрична, а ма-
трицы Z(i}, /=1, п, вещественны, положительны.
В дисперсионном соотношении (4.5) матрицы [М(р), Z(0>,
Ztl}...Z(ra)] единственны с точностью до аддитивных слагаемых
вида
[lADr .. . Dn Im [1пЖп (р)], А, 0, ..., 0],	(4.7)
где А — произвольная постоянная вещественная кососимметричная
матрица.
Замечание 1. При п = 1 теорема была доказана Е. Бельтрами и
М. Волерсом [1]; при п^2 —В. С. Владимировым [9].
Замечание 2. Фактический рост меры (Re Z (р) а, а) таков, что мера
(ReZ(p)a, а)
(1 +р?) ... (1 +Р1)
конечна на R'1 (см. теорему § 17.4).
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть
матрица_ Z (х) определяет пассивный оператор относительно
конуса R". По теореме II § 17.3 матрица Z (х) обладает свой-
ствами:
a)	(Z (х)п + Z*(x)a, а) 0,	« е C'v;	(4.8)
б)	Z(x) = Di ... Z)2Z0(x) + Е 2(%д(х),	(4.9)
1 sj / < И
где матрица-функция Z0(x) — непрерывная, вещественная мед-
ленного роста в Rrt с носителем в конусе R'(_; матрицы Z(/),
/=1, ..., п, вещественны, положительны. Переходя в (4.8)
и (4.9) к преобразованию Фурье, заключаем, что при всех ае C'v
обобщенная функция
(Re Z (р) ц, а) = A-F [(Z (х) а + Z* (х) а, а)]	(4.10)
есть неотрицательная мера медленного роста в Rra (по теореме
Бохнера — Шварца; см. § 8.2) и
Z (р) = (- D" щ. • • P;/[Z0](р) - i JL<nZ{i}Ps, (4-И)
ReZ(p) = -^/,2 ... ^FtZo(x) + z*(x)](p).	(4.12)
Обозначим
Л! (p) = p [Zo (x) + z* (x)] (p).	(4.13)
§ 19]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ	291
Матрица М (р) принадлежит классу N (— R" U R") и в силу (4.12)
удовлетворяет уравнению (4.6). Далее, принимая во внимание
равенства (см. § 10.1 и § 10.2)
F [Zo] (р) = F [(Zo (х) + Z*o (х)) 0,г (х)] =
= W” F tZo to + z*o (x)] * F [0„] = 2 (-1 r M
перепишем соотношение (4.11) в виде
zap,. (4.14)
1</<п
Отделяя в (4.14) вещественную и мнимую части, получим дис-
персионное соотношение (4.5) (при Z(0) = 0) и соотношение
ReZ(p) = 7^?rp2 ... ^(.VbReJZJ,	(4.15)
эквивалентное соотношению (4.6), в силу равенства (4.6) § 10:
M^-^M^Re^.	(4.16)
Достаточность. Пусть матрица Z(х) такова, что ее пре-
образование Фурье Z (р) удовлетворяет дисперсионному соотно-
шении^ (4.5), где матрица М (р) есть решение в классе
ДГ(— R+UR+) уравнения (4.6), причем такова, что при любом
аеС5'' обобщенная функция (ReZ (р)а, а) есть неотрицательная
мера медленного роста; матрица Z(0) вещественна, кососимме-
трична и матрицы Z(/>, /=1......п, вещественны, положи-
тельны.
В силу равенства (4.16) уравнение (4.6) эквивалентно уравне-
нию (4.15), которое вместе с дисперсионным соотношением (4.5)
дает равенство
2 • • •р- (м * -Z(0) ~г' £ Z(/)p/’ -(4-17)
К / < п
откуда, применяя обратное преобразование Фурье, получим
Z (х) = D‘j . .. DlZ) (х) - Z,0’6 (х) + £ Z(/)D,6 (х), (4.18)
1 < / < п
где Zi(x) = 2(— l)'lF~1 [М] (х) 0„ (х) — вещественная непрерывная
функция медленного роста в R" с носителем в конусе R". Заме-
чая, что
D\ ... D2nZ\ (х) - Z(0)6 (х) = D? ... D2 [Z, (x) - Z(0)^„ (x)],
убеждаемся, что матрица Z (x) удовлетворяет условию (4.9).
Условие (4.8) также выполнено, в силу (4.10) и теоремы Бох-
10*
292
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. ПТ
нера —Шварца (см. § 8.2). По теореме II § 19.3 матрица Z (х)
определяет пассивный оператор относительно конуса R".
Докажем единственность дисперсионного соотношения (4.5)
с точностью до аддитивных слагаемых вида (4.7). Пусть пред-
ставление (4.5) имеет место с другими матрицами [Afp Z^\
Zi11,	Zf»]. Тогда, по доказанному,
М (р) - Mi (р) = lADx	\1пЖп (р)],
где А — некоторая постоянная вещественная кососимметричная
матрица. Отсюда, вычитая различные представления (4.5) для
Im Z (р), получим
Ар]... р] [D, ... D, Im (WQ . Im Г] +
+ i[Z(0) — Z(i0>] — £ [Z(/) - zHp/ = o. (4.19)
Переходя в равенстве (4.19) к обратному преобразованию Фурье
и пользуясь формулами (4.4) и (2.8) § 10, получим равенство
р2{[^(х)-^„(-х)][0„(х)-0„(-х)]} +
' 4-i[Z(0)-Z<10)]6(x)+ £ [Z(/) -Z(?]D/&(x) =
==_1<..рХ(х) + ^Н)1 +
+ Z[Z«”-ZJ°>]6(x)+ £ [Z(/1 -Zi/)]D/6(x) =
1 < / C n
которое возможно лишь при
Z(0) = Z(10> + А, Z(l} = Z[h, /=1.п.
Теорема доказана.
5. Фундаментальное решение и задача Коши. Фундамен-
тальным решением пассивного оператора Z * относительно ко-
нуса Г называется всякая матрица Л(х), А/ е удовлетво-
ряющая матричному уравнению в свертках
2*4 = /й(.ф	(5.1)
Оператор А * называется также обратным оператором к опера-
тору Z * (ср. § 4.8, г)), а матрица-функция A (£) — преобразо-
вание Лапласа матрицы А (х) — адмитансом физической системы.
§ 19]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ	293
Пассивный оператор Z * относительно конуса Г называется
невырожденным (соответственно вполне невырожденным), если
Г — острый конус и detZ(g)=#O, £ е Тс, где C = int Г* (соответ-
ственно, если для любого а е CN, а =# 0 существует точка
go е Тс, что
Re(Z(g0)a, а)>0).	(5.2)
Если пассивный относительно конуса Г оператор Z * вполне
невырожден, то
ReZ(g)>0,	(5.3)
Действительно, по теореме I § 19.3 функция (Z(g)a, а) голо-
морфна и Re(Z (g)a, а)>0в Тс. Но тогда в силу (5.2) справед-
ливо неравенство Re(Z (g)a, а) > 0, если а =# О (см. рассужде-
ние в § 16.1), что эквивалентно (5.3).
Отсюда следует, что всякий вполне невырожденный пассив-
ный оператор является и невырожденным пассивным оператором
относительно того же конуса.
Далее: для того чтобы пассивный относительно острого ко-
нуса Г оператор Z * был вполне невырожденным, необходимо
и достаточно, чтобы равенство
(х) а, а) — igd (х)	(5.4)
было невозможно ни при каких а <= Слг, а =# 0 и вещественных g.
Действительно, если пассивный относительно конуса Г опе-
ратор Z * вполне невырожден, то равенство (5.4), эквивалент-
ное равенству
<Z(g)a, a} = ig, i^Tc,
в силу (5.2) невозможно ни при каких а =# 0 и веществен-
ных g. Обратно, пусть пассивный относительного острого ко-
нуса Г оператор Z * не является вполне невырожденным.
Тогда при некотором а#=0 мы имели бы Re(Z(g)a, а)^0, £еТс.
С другой стороны, по теореме I § 19.3 функция (Z(g)a, а) голо-
морфна и Re <Z (g) а, а) > 0 в Тс, и поэтому Re (Z (g) а, а) = О
в Тс. Следовательно, (Z (g) а, а) = ig, где g—вещественное число,
так что равенство (5.4) оказалось возможным при некоторых
а #= 0 и вещественных g.
Теорема I. Всякий невырожденный пассивный оператор
относительно конуса Г обладает единственным фундаментальным
решением, определяющим невырожденный пассивный оператор
относительно того же конуса Г.
Доказательство. Пусть Z * — невырожденный пассив-
ный оператор относительно конуса Г, так что Z (g) — положи-
тельно вещественная матрица в Тс (по теореме I § 19.3) и
294
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
detZ (£)	Тс. Докажем существование и единственность
решения уравнения (5.1) в классе матриц Л (х), определяющих
невырожденные пассивные операторы относительно Г. Применяя
преобразование Лапласа к уравнению (5.1), получим эквивалент-
ное матричное уравнение
2(?)Л© = /, ^Тс.	(5.5)
Уравнение (5.5) однозначно разрешимо при всех (еД, и его
решение — матрица-функция Л (£) = Z-1 (£) —голоморфна и
det A Д) #= 0 в Тс. Далее, неравенства Z(g) — Z (— g), 'Q<=TC,
и из (5.5) следует, что Z(g)X(—£) = /, т. е.
Г1© = л© = Л(Ч),
Наконец, из условия ReZ(g)^0, С е Тс, и из (5.5) выводим:
Re А © = Л+ © [Re Z (£)] A (£) > 0, £ е= Тс. (5.6)
Следовательно, матрица ЛД) положительно вещественна в Тс.
По теореме I § 19.3 матрица А (х) определяет невырожденный
пассивный оператор относительно конуса Г. Матрица А (х) един-
ственна. Теорема I доказана.
Следствие. Если пассивный оператор Z* вполне невыро-
жденный, то и его обратный оператор А * вполне невырожденный.
Действительно, так как Re Z Д) > 0 и det A (g) =f= 0, то в силу
(5.6) Re Л С) > О,
Пусть Г — замкнутый выпуклый острый конус, С = int Г*,
S — С-подобная поверхность и S+ — область, лежащая над S
(см. § 4.4).
По аналогии с § 15.1 введем следующее определение. Обоб-
щенной задачей Коши для пассивного относительно конуса Г
оператора Z* с источником f е 3)' (S+)xyv назовем задачу о на-
хождении в Rra решения и(х) из 3)' (S+)xyv системы (1.1).
Как и в § 15.1, легко доказывается
Т е о р е м а II. Если пассивный оператор Z * — невырожденный
относительно (телесного) конуса Г, то решение обобщенной за-
дачи Коши для него существует для любой f из 3)'(S+)XN>
единственно и выражается формулой
u — A*f.	(5.7)
Следствие. Если S — строго С-подобная поверхность и
f е 9" (S+)XN, то решение- обобщенной задачи Коши для опера-
§ 19]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
295
тора Z* существует и единственно в классе ^'(S+)x/v (и выра-
жается формулой (5.7)).
Вытекает из теоремы II и из результатов § 5.6, б).
Таким образом, пассивные системы ведут себя подобно ги-
перболическим (см. § 15.1; Л. Хёрмандер [1], гл. V; К. Фрид-
рихе [1], А. А. Дезин [1]).
6. Какие дифференциальные и разностные операторы
являются пассивными операторами? Система N линейных диф-
ференциальных уравнений порядка ^.т (с постоянными коэф-
фициентами) определяется матрицей (ср. § 14.1)
Z(x) = У, ZaDa6(x),
0< | a |<т
(6-1)
где Za — (постоянные) N X А-матрицы.
Теорема I. Для того чтобы система N линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами была
пассивной относительно острого конуса Г, необходимо и доста-
точно, чтобы
Z(x) = Е ZjDjd (х) + Zo6 (х),	(6.2)
где Zb ..., Zn — вещественные симметричные N У(,Д-матрицы
такие, что У, q^Z^O при всех ^eC = intr*; матрица Za
вещественна и Re Zo 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть дифферен-
циальный оператор Z *, определяемый формулой (6.1), является
пассивным относительно конуса Г. Тогда по теореме I § 19.3
матрица-функция
2(0 = Е (-<Za	(6.3)
0<| а |
положительно вещественна в Тс. Поэтому при каждом а^лД
функция (Z(g)a, а) голоморфна и Re (Z (£)а, а) 0 в'Тс. По-
этому эта функция удовлетворяет оценке (1.1) § 16 и, следова-
тельно, все матричные элементы Z^(£) удовлетворяют этой
оценке:
£	(-<2a,w
0 <1 61 | < m
^Л4(С')-Ц-^, z^tc',
v ’ I <71	5
что возможно лишь при Za, */= 0, 1^й, jN, |а|^2. По-
этому матрица (6.3) принимает вид
2(0 = -/ Е 2/0+ 2о	(6.4)
1 < / л
296
некоторые Приложения в Математической физйкё [гЛ. ш
и представление (6.2) доказано. Выписывая условия положи-
тельной вещественности матрицы Z (Д:
У <7/Z/ + Z0 = 2 qjZj-^-Za, q^C,
1 < / < n	К j < п
-i Е CyZy + Zo + i E c/^ + z+>o, ?6TC,
!</<«	K/<«
заключаем, что матрицы Z/, / = 0, 1,..., n, вещественны,
матрицы Zj, j= 1, ..., n, симметричны, У q^Z^O и ReZp^O.
Достаточность. Пусть матрица Z (х) удовлетворяет усло-
виям теоремы I. Тогда ее преобразование Лапласа Z Д) имеет
вид (6.4) и
ReZ©= £ <7/Z/ + ReZ0>0) С е Тс. (6.5)
1</<п
Поэтому матрица-функция Z(g) положительно вещественна в Тс
и по теореме I § 19.3 оператор Z*— пассивный относительно
конуса Г. Теорема доказана.
Пусть заданы вещественные симметричные N X ZV-матрицы
Z], ..., Z„, обладающие тем свойством, что для некоторого
вектора I е R" У, Z/Zy>0.
Обозначим
Гс = [х: Xi = {Zxa, а), ..., хп = {Zna, а), а е Cw],
Гг = [х: Xi = (Zja, а), ..., хп — {Zna, а), а е Rw].
При отображении
a-»x = ((Zia, а), ..., {Zna, а))	(6.6)
прообраз 0 есть 0 в силу неравенства
(Z, х)==^<Е IjZja, >х| а |2, х > 0.	(6.7)
Очевидно, Гс и Г, - конусы с вершиной в 0, причем Гг с: Гс.
Лемма. Конусы Гс и Гг — замкнутые и острые; Ге = Гг + Г/
Z е int Гс.
Доказательство. Отображение (6.6) непрерывно из CN
(из Rw) в R" и, в силу неравенства (6.7), компактного характера,
т. е. прообраз любого компакта есть компакт. Поэтому ко-
нусы Гс и Гг — замкнутые. Далее, из равенств
(Z/a, a') = {Zlb, b)-}-{ZiC, с), a = b-\-ic, / = 1, ..., п,
заключаем, что ГС = ГГ + ГГ. Наконец, в силу неравенства (6.6)
плоскость (Z, х) = 0 имеет только одну общую точку с конусом
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
297
§ 19]
Гс — его вершину. Поэтому Гй и Гг- острые конусы и I е int Ге
(см. лемму 1 § 4.4). Лемма доказана.
Отметим, что конусы Гс и Гг могут и не быть телесными,
как показывает пример: Zi > О, Z2 = 0 и Гс и Гг лежат в пло-
скости х2 = 0.
Теорема II. Для того чтобы матрица (6.2) определяла пас-
сивный вполне невырожденный оператор, необходимо и доста-
точно, чтобы матрицы Zb ..., Zn были вещественными симме-
тричными, матрица Zo вещественна и Re Zo 0, и существовал
такой вектор I е что
Е Z/Z/ + ReZo>O.	(6.8)
При этом пассивность и вполне невырожденность оператора Z *
имеют место относительно любого острого конуса Г, содержа-
щего конус Гс, и Ze intГ*.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица
(6.2) определяет пассивный и вполне невырожденный оператор
относительно некоторого (острого) конуса Г. Тогда выполнены
условия теоремы I и в силу (5.3) и (6.5),
ReZ(g) = Е 9/Z/ + ReZo>O, £<=ТС, C = intr\
так что условие (6.8) выполнено при всех q е С,
Достаточность. Пусть матрицы Zo, .... Zn в (6.2) удо-
влетворяют условиям теоремы II. Пусть Г — острый конус, со-
держащий конус Гс, и такой, что ZeC = intr*. Отсюда сле-
дует, что (q, х) > О при всех q е С, хе Гйс Г, т. е.
(q, х) = Е qj(Zja, а)^0, q^C, ae Cfl.
Это значит, что Е <7/Z/^0, еС. По теореме I матрица Z (х)
определяет пассивный оператор относительно конуса Г. Далее,
по условию ZeC и потому в силу (6.5) и (6.8)
Re Z (ZZ) = Е Z/Zy Re Zg > О,
1 < / < /I
так что оператор Z * — вполне невырожденный относительно
конуса Г (см. § 19.5). Теорема II доказана.
Замечание. Теорема II утверждает, что матрицы Е ZjDjb (х),
определяющие пассивные вполне невырожденные дифференциальные опера-
торы Е, Zj , совпадают с главными частями симметричных по Фрид-
рихсу (см. К. Фридрихе [!']) дифференциальных операторов с постоянными
Коэффициентами.
298
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
Система 2V линейных разностных уравнений с числом шагов
определяется матрицей
Z(x) = S Zv6(x-/iv).	(6.9)
I <
Теорема III. Для того чтобы система N линейных разно-
стных уравнений (при hv #= hk, v =/= k) была пассивной относи-
тельно острого конуса Г, необходимо и достаточно, чтобы Ny^N-
матрицы Z\, ..., Zm были вещественными и при всех t,^Tc,
С — int Г* матрица
У, е~^’ [cos (р, hv) ReZv — sin (р, hv) Im Zv] 0. (6.10)
1 <
Доказательство. Необходимость. Пусть разно-
стный оператор Z *, определяемой матрицей (6.9), является пас-
сивным относительно острого конуса Г. Из вещественности ма-
трицы Z (х) и из условия hv =#= hk при v У= k следует, что матрицы
Z\, ..., Zm вещественны. По теореме I § 19.3
ReZ(g)==Re £ 'Wv>0,	(6.11)
1 < V < in
т. е. .выполнено условие (6.10).
Достаточность. Пусть матрицы Zit ..., Zm в (6.9) удо-
влетворяют условиям теоремы III. Тогда в силу (6.11) ма-
трица Z (?) положительно вещественна в Тс и по теореме I § 19.3
матрица Z (х) определяет пассивный оператор относительно
конуса С* = Г. Теорема III доказана.
Замечание. Особо отметим необходимое условие пассивности ма-
трицы (6.9): наименьший выпуклый конус, содержащий точки {0, йь ..., hm},
должен быть острым.
7. Примеры. Обозначим через У+(а) = [(х, /): al > | х | ] ко-
нус будущего в R4, соответствующий скорости распространения
a: V+= у+(1) (ср. § 4.4).
1. Уравнения Максвелла. Главная часть соответ-
ствующего дифференциального оператора имеет вид*)
-^- + rot£,	(7.1)
дх0	’ дх0	V'-1/
где xq = cI, с — скорость света в пустоте, х = (х0, х) и
D = eXE, В = р*Н,	(7.2)
где е и |х — 3 X 3-матрицы, называемые тензорами диэлектри-
ческой и магнитной проницаемости соответственно.
*) Задание div Л и div В в системе уравнений Максвелла ие является
существенным для наших целей; это, по существу, условия согласованности.
§ 191	ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ	299
Если б и н — постоянные матрицы, кратные единичной,
е = е/б(х), |х — |х/б(х), то система (7.1) —(7.2) принимает вид
е rot Н, g^ + rotE.	(7.3)
U AQ	OAQ
Система (7.3) пассивна относительно конуса У+ (
в силу неравенства
$	(^ •*)-<*• rot») + >‘(ж •«) +
-v+ (1/7 еД
4~(Я, rot£)]dx>0,	(7.4)
справедливого при всех Е е Фг (R4)*3 и Я <= 55r(R4)Z3- Здесь
N = 6, п — 4.
Для доказательства неравенства (7.4) воспользуемся тожде-
ством
(Я, rot Е) - (£, rot Я) = div (£ X Я),
в силу которого левая часть (7.4) равна
—К;1 I X |	О
5	(77-(е1 Я |2+ц| Я \~)dxodx-\-	div(E\H)dxdx0—
RS ~°°	-^IxK-xd^
= | \[eiE|2+p^|2 + 2V^((£XW, n)]|	dx^
*	1х0=-7ед | x |
(e | £ |2 4~ Hl Я |2 — 2 д/ёц| £ ] | Я |) I	dx =
lxo = -Vsu|x|
= 4 S(Ve I £ I— Vg| Я |)2| dx^O.
RJ3	lx0=-V8H | X I
Проверим, что при e = |x=l конус Гс = Гг = V+. ' Действи-
тельно, если а е R6, то отображение (6.6) принимает вид
х^ ах 4~ ... 4~ 4Zg,	Qu^Uq “|~ 2цдЦ^,
х2 — 2а1а6 — 2а3а4, х3 = — 2а1а5 + 2a2aif
так что х0 0 и
X2 — х20 — I X I2 =
= (а2 + а2 4- а2 — а2 — а2 — а2)2 4- 4 (аха4 4- а2а5 4- а3а6)2	0.
Если же тензоры б и ц — нетривиальные, то, в зависимости
от свойств среды, естественно постулировать пассивность отно-
300
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ,- III
сительно острого конуса некоторых из операторов
е*, р*,	4е-*	(АГ = 3, га = 4).
’ г ’ дх0 ’ дха	v	'
Для соответствующих импедансных и адмитансных матриц спра-
ведливы все положения теории, развитой §§ 19.3—19.5, в част-
ности, четырехмерные дисперсионные соотношения (см. § 19.4,
ср. В. П. Силин и А. А. Рухадзе [1]).
2.	Уравнение Дирака. Соответствующий оператор
i Е	(7.5)
где уц — 4 X 4-матрицы Дирака; в базисе Майорана (см., на-
пример, Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов и И. Т. Тодоров [1],
гл. 2) они имеют вид
V-C'	f=(_’.?) v>=(»'').
где 2 X 2-матрицы Паули,
„	(° Ц „ Г» -Л Г1 0\
=	о)’	о)’ аз=Чо -1)-
Докажем, что оператор (7.5) после умножения на ма-
трицу — /у°>
o<?<3Y°m + ZmY°’	(7.6)
является пассивным и вполне невырожденным относительно ко-
нуса У+.
Действительно, матрицы у°у|Х — вещественные и симметрич-
ные, а матрицы imyP—вещественная и кососимметричная.
Далее, конус Гг совпадает с границей конуса V+, поскольку
отображение (6.6) при asR1 имеет вид
х0 = <Y0Y4 а) = а} + ... + а*,	= <Y0Y!a, а) — %а4а4 + 2га2а3,
х2 = а\ - а\ + а* - а2, х3 = - 2аЛ + 2а3а4,
так что хо^0 и
*о ~ IX |2 = (а2 + ... +а2)2-4(а1а4 + а2а3)2 —
- (а? - «2 + «3 - <2)2 “ 4 (аА - «3«4)2 = 0-
По теореме II § 19.6 оператор (7.6) —• пассивный и вполне невы-
рожденный относительно конуса Гс = V+ — выпуклой оболочки
конуса Гг (ср. с леммой § 19.6).
§ 19]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
301
3.	Уравнения вращающейся жидкости и а к у*
стики*):
a^ + pdivr.p-^+gradp + rX^.	(7.7)
Здесь N = п — 4. При всех а > 0 система (7.7) пассивна и вполне
невырождена относительно конуса V+(1/Va)- Отображение (6.6)
при а е R4 имеет вид
/ = аа\ + 4~ «4 4~ а\, xt = 20^, х2 = 2ata3, х3 == 2ata4,
так что /	0 и
/2 — а | х |2 = (ай2 4- а22 + а] 4- а2)2 — 4аа2 (а2 4- а2 4- а2) =
— (аа\ — а2 — а2 — а2)2	0.
Поэтому Гс = Гг = 1/+(1/д/а).
4.	Уравнения магнитной гидродинамики**):
4- а2р div v, — rot (v X В),
.	1	(7-8)
p_g.+ gradp__L(rot«)XB,
где В — заданный вектор; здесь N = 7, п = 4. Система (7.8) —
пассивная и вполне невырожденная относительно некоторого ко-
нуса.
5. Уравнения теории упругости***):
d2w, г-,	d2w
У с1'	-, / = 1,2,3,	(7.9)
dt2	L-i гпп дх,дх	'	'
m, nC3
где cl> = c^,, = clJm = c^. Если ввести вектор скоростей ( v, —
’' Ilin	lilil	flifl	j I	11	\ I
dw,	\
s=-^~, z=l, 2, 31 и тензор напряжений
(E- X КА/<з],
С И 1<п, m<3	J
то оператор (7.9) преобразуется в пассивный и вполне невырожден-
ный относительно некоторого конуса. Здесь N = 9, а = 4.
6. Уравнение переноса:
4+(й, grad),	(7.10)
*) См. В. Н. Масленникова [1] и Ю. Н. Дрожжинов и Р. X. Галеев [1].
**) См. П. Леонард [1], Ю. Й. Дрожжинов [1].
***) См. К. Вилкокс [1].
302
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ! ФИЗИКЕ [ГЛ, IH
где 41— постоянный вектор из R3; здесь А7 = 1, п = 4. Опера-
тор (7.10) пассивен и вполне невырожден относительно любого
(острого) конуса, содержащего вектор (1, О) из R4. Если к опе-
ратору (7.10) применить метод сферических гармоник, то в лю-
бом ^-приближении получится пассивная вполне невырожден-
ная система относительно некоторого конуса (зависящего от N).
Соответствующие операторы выписаны в работе С. К. Годунова
и У. М. Султангазина [1].
§ 20. Абстрактный оператор рассеяния
Применим результаты о линейных пассивных системах к изу-
чению конечномерной матрицы рассеяния. Как и выше, Г —
замкнутый выпуклый острый телесный конус в R", C = intr*.
При п — 1 см. Е. Бельтрами и М. Волерс [1], П. Лакс, Р. Фил-
липс [1], В. Гюттингер [1] и А. Ранада [1].
1. Определение и свойства абстрактной матрицы рассеяния.
Абстрактной матрицей рассеяния относительно конуса Г назовем
вещественную N "X АГ-матрицу S (х) = (Sk/ (х)), Skj^3)'(Rn),
удовлетворяющую условиям:
причинности относительно конуса Г
supp S (х) а: Г;	(1.1)
ограниченности
(S * ср, S * <р) dx (<р, <р) dx, (ре®уЛ (1.2)
Соответствующий оператор S * называется оператором рассеяния
(относительно конуса Г).
Свойства абстрактной матрицы рассеяния.
а) Оператор S * допускает расширение на (3?2)*N с сохране-
нием неравенства (1.2):
X I S зу*<р/|Ч 2 ||ф,|Р, ф.еГ (1.29
Вытекает из (1.2) и плотности 3) в (см. § 1.2).
б) Ограничения на рост-.
Se^)^.	(1.3)
Действительно, из (1.2') следует: если ф е 9?2, то и Skl *ф е 2?2.
Пусть &П)т (х) — фундаментальное решение оператора Ат, при-
надлежащее S?20C' (В силу § 14.4, ж) для каждого п такие т
существуют; при этом С°° (R" \ {0}).) Пусть а^3>, а (х) = 1
в окрестности точки 0. Тогда
Д'" (a^n, m) = 6W + lW-
абстрактный оператор рассеяния
303
§ 20]
где	а&П1т<^ З?2. Поэтому
Ski — skf * 6==5Л/ * Кт (a &п<m)—Skl * р = \т (Ski * (а&п> m))—Ski*x\.
Но Sk} * (ск^я, т) <= 2?\ Skj * г] <= S2 и потому Sk\ е 36 s при неко-
тором s<0 (см. § 10.1). Включение (1.3) доказано.
в)	Справедливо неравенство
[<ф, ф)— (5* ф, 5 * ф)] dx^Q, cp^(S2)XN. (1.4)
-г
Действительно, пусть <р е (2’2)ХЛГ; тогда ф = 0_гф е (S2)/N,
зиррфсд —Г и, стало быть, £*ф —5*ф почти везде в —• Г,
ибо в силу § 4.2, ж) и (l.l)
supp (S * ip —• S * ф) = supp S * [(I — 0-г) ф] ед
с supp s + supp (I — 0_г) с Г + Rn \ (- Г) = R"\(— Г)•
Отсюда и из (1.2') и вытекает неравенство (1.4):
Кф> ф) — (S * ф, S * ф)] dx ~ (ф, ф) dx —
-г
— (S * ф, S * ф) dx [(ф, ф) — (S * ф, S * ф)] dx^ 0.
-г
г)	Неравенство (1.4) справедливо в усиленной форме:
J [<Ф, Ф)~(5*Ф, 5*Ф>И-г>0, фе= (S?2)XJV, xoe=Rn. (1.5)
-Г+х,
Вытекает из неравенства (1.4) с помощью рассуждений,
аналогичных в § 19.2, а).
Из неравенства (1.5), как и в § 19.2, б), вытекает нера-
венство (1.2).
Замечание. Интересно также выяснить, ие следует ли условие при-
чинности (1.1) из неравенства (1.4), как это имеет место в случае пассивных
операторов (см. § 19.2, в)).
д)	Положительная определенность:
|«|26 - <($%S) а, а)» 0, а е= С",	(1.6)
304
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Действительно, полагая в (1,2) <р=аФо, аеС*'' и <р0еS),
получим (1.6) (см. § 8.1):
0 < [ I а |21 <ро I2 — (S * а<р0, S * аФо>] dx —
== (6, | а |2 <р0 * Ф£ - 1 N (S * шр0); * (S * аф0)^ ==
= I а |2 <р0 * <₽о— j <^,дг (s W * а(Ро)/ * (S (— х) * ®Ро)/) =
= (6, |а|2<р0*<р*0- S	S/A*S*z*<р0*<p*aftaЛ =
\	1 Jt fit t 2v	/
= (l a I2 6 - <(S* *S)a, a), Фо*Ф£).
Здесь мы пользовались существованием сверток для обобщен-
ных функций из ST)^ (свойство б)) и свойствами сверток
(см. § 10.1, § 4.2 и § 4.6).
е)	Матрица S(x) обладает преобразованием Лапласа S(g),
голоморфным в Тс, Skl е Н (С), и удовлетворяющим условию
вещественности:
S (£) = £(—£), $е=Тс.	(1.7)
Вытекает из (1.1) и (1.3), в силу результатов § 12.2.
ж)	Граничное значение S(p) = F[S] матрицы S(g) удовлетво-
ряет неравенству (при почти всех р е R")
7-S+(p)S(p)>0.	(1.8)
В частности, при почти всех peR'1
X |Sft/(p)|2<l,	/=1, N.	(1.9)
Вытекает из (1.6), в силу теоремы Бохнера — Шварца
(см. § 8.2):
(§+ (р) § (р) а, а) = | § (р) а |2 < | а |2, а <= CN. (1.8')
з)	Матрица-функция S(£) удовлетворяет неравенству
/-S+(£)S(£)>0, 1<=ТС.	(1.10)
В частности,
X I Skl (£).|2^ 1, £<=ТС,	(1.11)
Действительно, из (1.8') при всех а и b из Cw имеем
(S(p)a, b) а || b | для почти всех peR", (1.12)
§ 201	АБСТРАКТНЫЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ	305
Далее, функция (S(g)a, Ь) принадлежит классу Н (С) (см. е)),
а ее граничное значение {§(р)а, ^удовлетворяет оценке(1.12).
По теореме Фрагмена—Лйнделёфа (см. § 12.6) функция
(S(g)a, b) удовлетворяет оценке
|<§(?)а, 6>|<ИИ,
из которой при & = §(£) а следует оценка
IS (?) а |2 < | а|2, £«=ГС, а g= CN, (1.10')
эквивалентная оценке (1.10).
Всякая матрица, голоморфная в Тс и удовлетворяющая
условиям вещественности (1.7) и ограниченности (1.10), назы-
вается ограниченно-вещественной в Тс.
Итак, мы доказали, что. матрица-функция 3(g) ограниченно-
вещественна в Тс.
2. Описание абстрактных матриц рассеяния.
Теорема. Для того чтобы матрица S(x) определяла опе-
ратор рассеяния относительно конуса Г, необходимо и доста-
точно, чтобы ее преобразование Лапласа § (£) было ограниченно-
вещественной матрицей-функцией в области Тс, где С = int Г*.
Доказательство. Необходимость доказана в § 20.1.
Докажем достаточность. Пусть S (Q — ограниченно-веществен-
ная матрица-функция в Тс. Тогда она является преобразова-
нием Лапласа,
S(g) = L[S] = F[Se"^4
вещественной матрицы S (х) с элементами из удовлетворя-
ющей условию причинности (1.1) относительно конуса С* = Г;
при этом S (р) = F [S], где S(р) — граничное значение S(g) при
<7~>0, q^C в ДР’ (см. § 12.2). Далее, поскольку элементы мат-
рицы S(£) равномерно ограничены в Тс и слабо сходятся при
<7 —>0, q^.C на множестве Д’, плотном в 2Д (см. § 1.2), то,
элементы граничной матрицы S(p) можно отождествить с
функциями из SE™.
Пусть <pe£Z>XJV и тогда F [<р] = <р е ^хлг. Из условия (1.10')
при каждом имеет место неравенство
(?) Ф (Р)> $ (?) Ф (?)> dP < dp>
Отсюда, применяя равенство Парсеваля (см. § 6.6, в)) й поль-
зуясь теоремой о преобразовании Фурье свертки (см. § 6.5),
306
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
получаем
х)] * ср, [Se- *>] * ф) dx j (ф, ф) dx, q^C. (2.1)
Теперь применим формулу (2.9) § 9,
[Se-(<7. х)] (, ф = е~(Ч. X) (S я [фв(<7, *)]);
в результате неравенство (2.1) примет вид
е-2 (<?,х) я |\ре(<7. х)]( з * [фе(Ф dx	(ф, ф\ dXt q е С.	(2.2)
Докажем возможность перехода к пределу при	q^C
под знаком интеграла слева в (2.2). Для этого заметим, что
поскольку все элементы матрицы S (р) принадлежат 2!°° и,
стало быть, все элементы матрицы S = F~l [S (р)] принадлежат
ЗУ w (см. § 10.1), а для последних имеет место представление
(1.2) § 10, то достаточно рассмотреть случай, когда все эле-
менты матрицы S принадлежат ЗУ. В этом случае справедливы
следующие свойства:
а)	| Skl * [<р/е«ь <’] | С | Skl | * [ |Ф/1 el - I] е 9У,\ q | < 1 (см. § 4.1, б));
б)	S *	х)] = S (х') <р (х — х') e(q’ x~x'}dx'
S (х') ф (х — х') dx' = S * ф, q -» 0;
в)	supp S * [фе(<?’ х)] <= supp S + supp ф cz Г + UR,
если supp <pczUR (см. § 4.2, ж));
г)	e~2<-q’ х> < е2/г, х <= Г + UR, | q | < 1, q <= С.
Свойства а) — г) и обеспечивают, в силу теоремы Лебега, воз-
можность перехода к пределу при q->Q, q^C под знаком
интеграла в левой части равенства (2.2). В результате полу-
чим условие ограниченности (1.2). Теорема доказана.
Замечание 1. При п = 1 эта теорема была доказана Е. Бельтрамп и
М. Волерсом [1]; при п^2 — В. С. Владимировым [9].
Замечание 2. Если воспользоваться известной теоремой Фату, со-
гласно которой
S (р + iq) -> S (р), q ->0, q^C для почти всех p<=Rrt,
то доказательство достаточности в теореме упрощается. Отметим, что мы
здесь не пользовались теоремой Фату.
3. Связь между пассивными операторами и операторами
рассеяния. Для установления связи матрицы рассеяния S(x) с
пассивными операторами удобно ввести новую матрицу Т (х)
§ 201	АБСТРАКТНЫЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ	307
по формуле
S(x) = I6(x) + 2iT(x),	(3.1)
называемую амплитудой рассеяния.
Оператор рассеяния S * относительно конуса Г называется
невырожденным, если
det[7 - £(£)] #= 0, Тс.	(3.2)
Перейдем в (3.1) к преобразованию Лапласа
§ (£) = 7 + 2/f (С), ^Тс.	(3.3)
По теореме § 20.2 матрица S (С) ограниченно-вещественна в Тс,
т. е. голоморфна в Тс и удовлетворяет условиям (1.7) и (1.10).
Поэтому из (3.2) и (3.3) вытекает, что матрица — iT (С) голо-
морфна в Тс, удовлетворяет условию вещественности (1.7),
det Т (С) ¥= 0, С е ТС и
ReHiT(t)]=-i[f(C)-?+(C)]>f+(ar(C)>0, Z^TC. (3.4)
Таким образом, матрица — iT(t) положительно вещественна
в Тс и по теореме I § 19.3 матрица — ТГ(х) определяет пассив-
ный оператор — iT * относительно конуса Г; в силу (3.4), этот
оператор вполне невырожденный (см. § 19.5). По теореме I § 19.5
существует обратный оператор (— ТТ)~{*, который является
вполне невырожденным пассивным оператором относительно
конуса Г.
Теперь введем новые векторные величины: / — «ток» и v —
«напряжение» по формулам
j = u — S*u, v — и-\- S *и.	(3.5)
В силу (3.1), S * и = и + 2ТТ * и, откуда
/ = — 2ТГ * и — iT * (v + j),
и поэтому j и v связаны соотношением
п = Z * /,	(3.6)
где
Z-*	(— iT) 1 * — 76 * =
= 2 (76 - S)-1 * - /б * = (76 - S)-1 * (76 + S)*.	(3.7)
Докажем, что матрица Z (.г) определяет пассивный оператор
относительно конуса Г.
308
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ, III
Действительно, матрица Z (х) вещественна и в силу (3.7)
и (3.4) при всех
Re Z © = 1 [Z (?) + Z+(g)] = 1- [Г+-1 © - t-1 (?)] - I =
=	{ - i [Т(У - t+ (?)] - T+(Q T (£)} Г1 © > 0,
Таким образом, матрица-функция Z (Q положительно вещест-
(x) определяет пассив-
венна в Тс и, стало быть, матрица Z
ный оператор относительно конуса Г.
Замечание. Если потребовать, помимо
условия
условия (3.2), выполнение
det [7+ §(£)] ¥=о, ?еГс,
то оператор Z « — невырожденный, в силу (3.3) и (3.7)
det2©-Pf del|/W*o,
\2j det Г(£)	b
Обратно, пусть задан пассивный оператор Z * относительно
конуса Г. Тогда оператор Z * + 76* — пассивный и вполне не-
вырожденный относительно конуса Г. Поэтому существует об-
ратный оператор
Q * = (Z -ф 76)-'* ,
являющийся пассивным вполне невырожденным
относительно конуса Г (см. § 19.5). Докажем
ReQ(?)>Q+(?)Q(?),
(3.8)
оператором
неравенство
(3.9)
Действительно, в силу (3.8) матрица Q (х) вещественна и
(см. § 19.3)
=	ReZ©>0,
откуда и следует неравенство (3.9):
Re Q (?) = 4 [Q (?) + Q+ (?)] = Q+ (?) Q (?) +
+у <Q+ (?) й” (?) - q (?)+q+ (?) Eq4-- 1 (?) - /] Q (?)}=
= Q+(?) Q (?) + Re Q+ (?) z © Q ©>Q+ ©Q ©.
Теперь докажем, что оператор
S * = /6 * — 2Q * — (Z -J-76)“' ♦ (Z — 76) *
есть оператор рассеяния относительно конуса Г.
(3.10)
§ 201	АБСТРАКТНЫЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ	309
Действительно, S (х) — вещественная матрица и
S (£) = / —2Q (g), Z^TC,
а поэтому, в силу (3.9), имеем
§+ (?) S (£) = [/ - 2Q+ (?)] [I - 2Q (?)] =
= /-4ReQ(0 + 4Q+ (£)Q (£)</.
Таким образом, матрица-функция § (?) ограниченно-вещест-
венна в Td. По теореме § 20.2 матрица S (х) определяет опера-
тор рассеяния относительно конуса Г.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Всякий невырожденный абстрактный оператор
рассеяния S * определяет по формуле
Z* = (/6-S)-1*(/6 + $)*
пассивный оператор-, обратно, всякий пассивный оператор Z *
определяет по формуле
S* = (Z + /б)-1 * (Z — /б) *
абстрактный оператор рассеяния.
ЛИТЕРАТУРА
Ж. А д а м а р (J. Hadamard)
[1] Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles lineaires
hyperboliques, Paris, 1932. [Перевод: Задача Коши для линейных урав-
нений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука,
1978.]
Л. А. Л й з е и б е р г, Ш. А. Д а у т о в
[1] Голоморфные функции многих комплексных переменных с неотрица-
тельной действительной частью. Следы голоморфных и плюригармони-
ческих функций на границе Шилова. 1Иатем. сб. 99 (1976), 343—355.
П. А нт оси к, Я. Мику си некий, Р. Сикорский (Р. Antosik, J. Miku-
sinski, R. Sikorski)
[1] Theory of distributions. The sequential approach. Amsterdam, Warzawa,
1973. (Русский перевод: Теория распределений, «Мир», 1976.)
Ж. А р с а к (J. Arsac)
[1] Transformation de Fourier et theorie des distributions, Dunod, 1961.
E. Бельтрами, M. Волерс (E. Beltrami, M. Wohlers)
[1] Distributions and the boundary values of analytic functions, N. Y.— Lon-
don, 1966.
H. H. Боголюбов, В. С. Владимиров
[1] Представление «-точечных функций, Труды Матем. ин-та АН СССР 112
(1971), 5—21.
Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, И. Т. Тодоров
[1] Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, «Наука»,
1970.
Н. Н. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К. Поливанов
[1] Вопросы теории дисперсионных соотношений, Физматгиз, 1958.
Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков
[1] Введение в теорию квантованных полей, 3-е изд., «Наука», 1976.
С. Б о х н е р (S. Bochner)
[1] Лекции об интеграле Фурье, Физматгиз, 1962 (1-е изд. 1932 г., Лейп-
циг).
[2] Group invariance of Cauchy’s formula in several variables, Ann Math. 45
(1944), 686—707.
Г. Бремерман (H. Bremermann)
[1] Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье,
«Мир», 1968.
Н. Б у р б а к и (N. Bourbaki)
[1] Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959.
Г. Вейль (Н. Weyl)
[1] The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Mathem.
J. 94 (1940), 411—444.
К. Вилкокс (C. Wilcoxl
[1] Wave Operators and Asymptotic Solutions of Wave Propagation Problems
of Classical Physics, Arch. Rational Meeh, and Analysis 22 (1966), 37—
ЛИТЕРАТУРА
311
Н. Винер (N. Wiener)
[1]	Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физматгиз, 1963.
В. С. Владимиров
[1]	Методы теории функций многих комплексных переменных, «Наука»,
1964.
[2]	Уравнения математической физики, 3-е изд., «Наука», 1976.
[3]	Обобщение интегрального представления Коши — Бохнера, Изв. АН
СССР, сер. матем., 33 (1969), 90—108.
[4]	Обобщенные функции с носителями, ограниченными со стороны выпук-
лого конуса, СМЖ IX (1968), 1238—1247.
[5]	О построении оболочек голоморфности для областей специального
вида и их применения, Труды Матем. ин-та АН СССР, 60 (1961),
101—144.
Гб] О представлении Коши — Бохнера, Изв. АН СССР, сер. матем., 36
(1972), 534—539.
п Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью в трубчатой
области над конусом. Матем. сб. 79 (1969), 128—152.
[8]	О построении оболочек голоморфности для областей специального
вида, ДАН СССР 134 (1960), 251—254.
[9]	Линейные пассивные системы, Теор. и мат. физика, 1 (1969), 67—
94.
[10]	Голоморфные функции с положительной мнимой частью в трубе бу-
дущего, Матем. сб. 93 (1974), 3—17; II, 94 (1974), 499—515; Ш, 98
(1975), 292—297; IV, 104 (1977), 341—370.
[11]	Многомерные линейные пассивные системы, в сб. «Механика» сплош-
ной среды и родственные проблемы анализа», М., 1972, стр. 121 —
134.
[12]	Оценки роста граничных значений неотрицательных илюригармоннче-
ских функций в трубчатой области над острым конусом, в Сб. «Комп-
лексный анализ и его приложения», посвященном 70-летию со дня
рождения академика И. Н. Векуа, «Наука», М., 1978, стр. 137—148.
[13]	О плюрисубгармонических функциях в трубчатых радиальных обла-
стях, Изв. АН СССР, сер. матем.; 29 (1965), 1123—1146.
В. С. Владимиров, Ю. Н. Дрожжинов
[1] Голоморфные функции в поликруге с неотрицательной мнимой частью,
Матем. заметки, 15 (1974), 55—61.
Т. By (Т. Wu)
[1] Some properties of impedance as a causal operator, J. Math. Phys., 3
(1962), 262—271.
Ж. Гарсу (J. Garsoux)
[1] Espaces vectoriels topologiques et distributions, Dunod, 1963.
И. M. Гельфанд, H. Я. Виленкин
[1] Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбер-
товы пространства, Обобщенные функции, вып. 4, Физматгиз, 1961.
И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов
[1] Обобщенные функции, вып. 1—3, Физматгиз, 1958.
С. К. Годунов, У. М. Султангазин
[1] О диссипативности граничных условий В. С. Владимирова для симмет-
ричной системы метода сферических гармоник, Ж. вычисл. матем. и ма-
тем. физ. 11 (1971), 688—704.
Л. Г о р д и н г (L. Garding)
[1] Linear hyperboliques partial differential equations with constant coeffi-
cients, Acta Math. 85 (1950), 1—62.
В. Гюттин rep (W. Giittinger)
[1] Generalized functions in elementary particle physics and passive system
theory: recent trends and problems, SIAM J. Appl. Math., 15 (1967),
964—1000.
312
ЛИТЕРАТУРА
А. А. Д е з и н
[1]	Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем пер-
вого порядка, Матем. сб., 49 (1959), 459—484.
П. Д и р а к (Р. Dirak)
[1]	Quantized singularities in the electromagnetic field, Proc. Roy, Soc.,
Sect A 130 (1930).
(2]	Основы квантовой механики, Гостехиздат, 1932.
[3]	The physical interpretation of quantum dynamics, Proc. Roy. Soc.,
Sect. A 113 (1926—1927), 621—641.
JO. H. Д p о ж ж и и о в
[1] Асимптотика решения задачи Коши линеаризованной системы уравне-
ний магнитной гидродинамики, ДАН СССР, 212 (1973), 831—833.
Ю. Н. Др ож ж и н о в, Р. X. Галеев
[1] Асимптотика решения задачи Коши двумерной системы уравнений вра-
щающейся сжимаемой жидкости. Дифф, уравнения, X (1974),
53—58.
Ж. Д ь е д о н и е, Л. Шварц (J. Dieudonne, L. Schwartz)
[1] La dualite dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 1
(1949), 61—101. (Перевод: Двойственность в пространствах (F) и (LF),
Математика, 2, 2 (1958), 77—107.)
А. 3 е м а н я н (A. Zemanian)
fl] Distribution theory and transform analysis. McGraw-Hill, 1965.
[2 The Hilbert Port, SIAM J. Appl. Math. 18 (1970), 98—138.
[3] An А-port realizability theory based on the theory of distributions, IEEE
Trans. Circuit Theory, CT-10 (1963), 265—274.
P. И о с т (R. Jost)
[1] Общая теория квантованных полей, «Мир», 1967.
Л. В. Канторович, Г. П. Акилов
[1] Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз,
1959.
X. К ё н и г, А. 3 е м а н я н (Н. Konig, A. Zemanian)
[1] Necessary and Sufficient Conditions for a Matrix Distribution to have
a Positive Real Laplace Transform, SIAM J. Appl. Math., 13, 4 (1965),
1036—1040.
X. Кёниг, T. Мейкснер (H. Konig, T. Meixner)
[1] Lineare Systeme und lineare Transformationen, Math. Nachr., 19 (1958),
265—322.
Г. Кёте (G. Kothe)
[1] Die Randverteilungen analytischer Funktionen, Math. Zeit., 57 (1952),
13—33.
A. H. Колмогоров, С. В. Фомин
[1] Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука», 1972.
X. К о м а т с у (Н. Komatsy)
[1] Ultradistributions and hyperfunctions, Lecture Notes in Mathem., 287,
Hyperfunctions and pseudo-differential equations, 1973, 164—179.
А. К о p а н ь и, Дж. Пуканский (A. Koranyi, J. Pukansky)
[1] Holomorphic functions with positive real part in polycylinder, Trans.
Amer. Math. Soc., 108 (1963), 449—456.
П. Лакс, P. Филлипс
[1] Теория рассеяния, «Мир», 1971.
П. Л е о н а р д (Р. Leonard)
[1] Problemes aux limites pour les operateurs matriciels de derivation hyper-
boliques des premier et second ordres, Mem. Soc. Sci Liege, 11 (1965),
5—131.
Ж.-Л Лионе (J. L. Lions)
[1] Supports dans la transformation de Laplace, J. Analyse Math., 2 (1952 —•
1953), 369—380.
ЛИТЕРАТУРА
313
С. Лоясевич (S. Lojasiewicz)
[1] Sur le probleme de division, Studia Math., 18 (1959), 87—136.
3. Лужский, 3. Жилезный (Z. Luszczki, Z. Zielezny)
[1] Distributionen der Raume Sb %? als Randverteilungen analytischer Funk-
tionen, Colloq. Math. 8 (1961), 125—131.
Б. Мальгранж (В. Malgrange)
[1] Ideals ol differentiable functions, Oxford Univ. Press, 1966. (Перевод:
Идеалы дифференцируемых функций, «Мир», 1968.)
[2] Equations aux derivees partielles a coefficients constants, 1. Solution
elementaire, C. R. Acad. Sci. 237 (1953), 1620—1622.
A.	M a p т и и о (A. Martineau)
[1]	Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes, Theory dis-
trib. Inst. Gulbenkian cienc., Lisboa, 1964, 193—326.
В.	H. Масленникова
[1]	Явное представление и асимптотика при /-><» решения задачи Коши
для линеаризованной системы вращающейся сжимаемой жидкости, ДАН
СССР 187 (1969), 989—992.
Р. Н е в а н л и и и a (R. Nevanlinna)
[1] Eindentige analytische Functionen, Berlin, Springer, 1936.
В. П. П а л а м о д о в
[1] Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициента-
ми, «Наука», 1967.
И. Г. Петровский
[1] Sur I’analyticite de solutions des systemes d’equation differentielles, Ма-
тем. сб. 5 (1939), 3—68.
А. Рана да (A. Ranada)
[1] Causality and the S-Matrix, J. Math. Phys. 8 (1971), 2321—2326.
M. P и д, Б. С а й м о и (M. Reed, В. Simon)
[1] Методы современной математической физики, I, Функциональный ана-
лиз, «Мир», 1977; П, Гармонический анализ. Самосопряженность,
«Мир», 1978.
М. Рисе (М. Riesz)
[1] L’integral de Riemann — Liouville et le probleme de Cauchy, Acta Math.
81 (1949), 1—222.
О. 3. P о т x а у с (O. S. Rothaus)
[1] Domains of positivity, Abhandlungen aus dem Math. Seminar d. Univ.
Hamburg, 24 (1960), 189—235.
M. С а т о (M. Sato)
[1] Theory of hyperfunctions, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I 8 (1959—
1960), 139—193, 387—436.
В. П. С и л и н, A. A. P у x а д з e
[1] Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Атомиз-
дат, 1961.
С. Л. Соболев
[1] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les ewuations
lineares hyperboliques normales, Матем. сб. 1 (1936), 39—72.
[2] Некоторые применения функционального анализа в математической фи-
зике, Изд-во ЛГУ, 1950.
Ю. В. Сохоцкий
[1] Об определенных интегралах, употребляемых при разложении в ряды,
С.-Петербург, 1873.
И. С т е й и, Г. В е й с (Е. Stein, G. Weiss)
[1] Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, «Мир»,
1974.
Р. С т р и т е р, А. В а й т м а и (R. Streater, A. Wightman)
[1] PCT, спин п статистика и все такое, «Наука», 1966.
314
ЛИТЕРАТУРА
X. Iлльмав (H. G. Tilmann)
[1] Darstellung der Schwartzschen Distributionen durch analytische Funk-
tionen, Math. Z. 77 (1961), 106—124.
[2] Distributionen als Randverteilungen analytischer Funktionen, II, Math.
Z. 76 (1961), 5—21.
A.	H. Тихонов
[1]	Theoremes d’unicite pour I’equation de la chaleur, Матем. сб., 42 (1935),
199—216.
Ж- T p e в (J. Treves)
[1]	Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоян-
ными коэффициентами, «Мир», 1965.
К. Фридрихе (К. Friedrichs)
[1]	Symmetric Hyperbolic Linear Differential Equations, Communs Pure Appl.
Math. 7 (1954), 345—392.
В.	X а к e n б p о x (W. Hackenbroch)
[1]	Integraldarstellungen einer Klasse dissipativer linearer Operatoren, Math.
Z. 109 (1969), 273—287.
Л. Хёрмандер (L. Hormander)
[1]	Линейные дифференциальные операторы с частными производными,
«Мир», 1965.
[2]	On the division of distribution by polynomials, Ark. Math. 3 (1958),
555—568. (Перевод: О делении обобщенных функций на полиномы, Ма-
тематика, 3, 5 (1959), 117—130.)
Л. Шварц (L. Schwartz)
1] Theorie des distributions, I—II, Paris, 1950—1951.
2' Математические методы для физических наук, «Мир», 1965.
3] Transformation de Laplace des distributions, Medd. Lunds Univ. mat.
Semin. (Supplementband), 1952, 196—206.
Л. Э p e и n p а й c (L. Ehrenpreis)
[1] Fourier analysis in several complex variables, N. Y. — London—Sid-
ney— Toronto, 1970.
[2] Solutions of some problemes of division 1, Amer, J. Math. 76 (1954),
883—903.
Д. Ю о л а, Л. К а с т p и о т а, Г. К а р л и и (D. Youla, L. Castriota, Н. Carlin)
fl] Bounded real scattering matrices and the foundation of linear passive
network theory, IRE Trans. Circuit Theory, CT-16 (1959), 102—124.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстрактная матрица рассеяния 302 Адмитанс 292 Алгебра 79 —	ассоциативная 79 —	винеровская 186 —	коммутативная 79 — сверточная 78, 124, 168 	ЗУ (Г), ®z(r+) 78 	S)'(T’) 124 	Я+(С), Я (С) 168 	&'(Г), ЗДГ+) 78, 100 Бернулли полиномы 127 Бесселев потенциал 142 Бесселя функция 118 Бохнера — Шварца теорема 132 Вещественная обобщенная функция 22 — часть матрицы 271 — — обобщенной функции 22 Винеровская алгебра 186 Волновой потенциал 219 	поверхностный 221 Вполне невырожденный пассивный оператор 293 — непрерывное (компактное) вложе- ние 91 Выпуклое множество 12 Ганкеля преобразование 119 Гармоническая обобщенная функция 211 Герглотца — Неванлинны	теорема 259 Гильберта преобразование 153 Гиперболический оператор 212 Гипоэллиптический оператор 210 Главное значение (конечная часть) 33	Гладкость 61 Грина формула 84 	для гармонических функций 84 Двойной слой 43 Делители единицы 180 Дирака уравнение 300 Дисперсионные соотношения 160 •	многомерные 288 Диссипативность 280 Допустимый (для конуса) полином 169 Задача Коши классическая 213 	обобщенная 215, 225, 294 Замены переменных 35 Запаздывающий потенциал 220 Импеданс 278 Индикатриса конуса 75 Интеграл Коши — Бохнера 152 — Пуассона 162 Кирхгофа — Пуассона — Даламбера формула 223 Компактность 11 Конечная часть (главное значение) 33 Конус 73 —	компактный 73 —	острый 73 —	регулярный 177 —	сопряженный 73 Коши — Бохнера преобразование (ин- теграл) 152 Коши задача классическая 213 — — обобщенная 215, 225, 294 —	ядро 145 Коэффициенты Фурье 116, 123
316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лапласа преобразование 134
Лейбница формула 40
Логарифмический потенциал 83
Локально конечное покрытие 19
— суммируемая функция 13
Максвелла уравнения 298
Мальгранжа— Эренпрайса теорема
192
Матрица ограниченно-вещественная
305
— рассеяния абстрактная 302
Матрица-функция положительно ве-
щественная 272
•--- спектральная 272
----(--эрмитова 271
— *-эрмитова 271
— +-эрмитово-сопряженная 271
—	*-эрмитово-сопряженная 271
Мера 29
—	медленного роста 95
Метод спуска 199
Мнимая часть матрицы 271
----обобщенной функции 22
Множество выпуклое 12
Мультипликаторы (в У) 92
Обобщенная функция с компактным
носителем 50
— — с точечным носителем 51
—	— финитная 26
Обобщенное представление Пуассона
163
—	— Шварца 179
Обобщенный интеграл (по i) 196
Обратный оператор (к пассивному)
292
Объемный потенциал 83
Ограниченность со стороны конуса 78
Ограниченно-вещественная матрица
305
Оператор гиперболический 212
—	гипоэллиптический 210
— дробного дифференцирования 88
--- интегрирования (оператор Ри-
мана— Лиувилля) 88
— обратный (к пассивному) 292
— пассивный 278
---невырожденный 293
— рассеяния невырожденный 307
—	Римана — Лиувилля 88
—	трансляционно-инвариантный 81
—	эллиптический 210
Операционное исчисление Хевисайда
88
Невырожденный оператор рассеяния
293
—	пассивный оператор 307
Неотрицательная обобщенная функ-
ция 31
Неравенство Хёрмандера 207
—	Юнга 65
Носитель обобщенной функции 26
—	функции 14
Нулевое множество обобщенной
функции 26
Ньютонов потенциал 83
Обобщенная задача Коши 215, 225,
294
—	производная 38
—	функция 21
----вещественная 22
—	— гармоническая 211
----конечного порядка' 23
---- медленного роста 93
----неотрицательная (в С) 31
----периодическая с п-периодом 120
— — положительно' определенная
128
---- регулярная 27
----сингулярная-28
Пассивность относительно конуса 278
Пассивный оператор 278
---вполне невырожденный 293
—	— невырожденный 293
Пейли — Випера — Шварца теорема
174
Первообразная обобщенной функции
40
—--	--порядка п 42
Планшереля теорема 111
Плюригармоническая функция 231
Плюрисубгармоническая функция 230
Поверхностный волновой потенциал
221
—	тепловой потенциал 228
Полиномы Бернулли 127
—	Эрмита 115
Полнота ЗУ(<7) 23
Положительно вещественная матри-
ца-функция 272
— определенная обобщенная функция
128
--- функция 128
Порядок обобщенной функции 23
--------- конечный 23
Потенциал бесселев 142
— волновой 219
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
317
Потенциал волновой поверхностный
22
— двойного слоя 83, 221
— запаздывающий 220
— логарифмический 83
— ньютонов 83
— объемный 83
— простого слоя 83, 221
— тепловой 225
------поверхностный 228
Преобразование Ганкеля 119
— Гильберта 153
— Коши — Бохиера 152
-------обобщенное 158
— Лапласа 134
— Пуассона 162
— Фурье обобщенной функции из 9'
105
----------с компактным носителем
107
------ свертки 108
------ функции из 9 103
Причинность 280
Простой слой 32
Пространство обобщенных функций
99(0} 19
--------- медленного роста 9 93
-------с компактным носителем 50
— основных функций 2D (О} 17
-------.У 90	_
— С* (О’), С“(О“), С* (О’), С (О),
tf(O), Со(О), С$(О), Со(О),
С\ eg, eg 13-14, 29, 62
— 9>(0), 9>, £>(а,Ь) 17
— 2D'(О) 22
— ё' 51
— Ж, 140
-	(С) 155
—	^(О*),	13
-	<?foc(tf), Пс 13
—	^140
-	9 90
— 9' 93
Прямое произведение 54, 98
Пуассона представление обобщенное
163
— преобразование (интеграл) 162
— формула 229
— ядро 160
Равенство обобщенных функций 21
Разложение единицы 19
Рассеяния матрица абстрактная 302
Регуляризация (средняя функция) 20,
80
Регулярные конусы 177
— обобщенные функции 27
Ряд Фурье Г17, 123
Свертка обобщенных функций 66
------- медленного роста 99
— функций 64
Сверточные алгебры 78, 124, 168
Сингулярные обобщенные функции
28
Слабая сходимость 22
Слабый предел 16
Сохоцкого формулы 33, 34
Спектральная матрица-функция 272
— функция 135
Спуска метод 199
Средняя функция (регуляризация) 20
Строго С-подобная поверхность 77
Суммируемая p-локально функция 13
Сходимость в 2D (О} 17
— в 9У(О) 22
- в 9>'(Г+) 78
— в 9 90
— в 9' 93
— к 1 в R" 65
— слабая 22
Теорема Бохнера — Шварца 132
— Герглоцта — Неванлинны 259
— Мальгранжа — Эренпрайса 192
— о кусочном склеивании 27
— Пейли — Винера — Шварца 174
— Плапшереля 111
— Фрагмена — Линделёфа 179
— Хёрмандера — Лоясевича 195
— Шварца 93
Тепловой потенциал 225
----- поверхностный 228
Трансляционно-инвариантный опера
тор 81
Умножение обобщенных функций 37
Уравнение в свертках 85
— Дирака 300
— переноса 301
Уравнения в сверточных алгебрах
87
— вращающейся жидкости и акусти-
ки 301
— магнитной гидродинамики 301
— Максвелла 298
— теории упругости 301
318
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Финитная обобщенная функция 26
— функция 13
Формула Грина 84
---для гармонических функций 85
— Кирхгофа —Пуассона — Даламбе-
ра 223
— Лейбница 40
— Пуассона 229
Формулы Сохоцкого 33, 34
Фрагмена — Лннделёфа теорема 179
Фундаментальное решение волнового
оператора 202
---из Ф' 180
--- из 9” 184
---оператора Кошн —Римана 205
-------Лапласа 48, 204
--- — переноса 206
------- теплопроводности 201
-------Шрёдингера 206
--- пассивного оператора 292
--- сверточного оператора 86
Функции Эрмита 115
Функция Бесселя 118
—	локально суммируемая 13
—	p-локально суммируемая 13
—	обобщенная 21
--- медленного роста 93
—	основная 17, 90
—	плюрнгармоническая 231
—	плюрнсубгармоническая 230
— положительно определенная 128
—	спектральная 135
—	финитная 13
—	характеристическая 12
—	Хевисайда 12
—	*-эрмитова 128
—	*-эрмнтово-сопряженная 128
Фурье коэффициенты 116, 123
— ряд 117, 123
Характеристическая функция 12
Хевисайда функция 12
Хёрмандера — Лоясевича теорема 195
Хёрмандера неравенство 207
Шварца обобщенное представление
179
—	теорема 93
—	ядро 177
Эллиптический оператор 210
Эрмнта полиномы 115
—	функции 115
Эрмитова матрица 271
—	*-эрмитова матрица 271
—	функция 128
— +-эрмитова матрица 271
Эрмитово-сопряженная матрица 271
+-эрмнтово-сопряженная матрица 271
*-эрмнтово-сопряженная матрица 271
---матрица 128
Юнга неравенство 65
Ядро Коши 145
— Пуассона 160
— Шварца 177
Василий Сергеевич
Владимиров
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
М., 1979 г., 320 стр. с илл.
Редакторы Ю. Н. Дрожжинов, В. В. Абеарян
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректоры М. Л. Медведская, О. А. Сигал
И Б № 11366
Сдано в набор 28.07.78. Подписано к печати 01.02.79. Т-05313*
Бумага 60X90Vr> тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая
печать. Условн. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 20,78. Тираж 10 000 экз.
Заказ № 1222. Цена книги 1 р. 63 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект 15,
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типогра-
фия № 2 имени Евгении Соколовой «Союзполнграфпрома»
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.