Расчет и конструирование механизмов приборов вычислительных систем - Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М.

Автор: Красковский Е.Я. Дружинин Ю.А. Филатова Е.М.

Теги: приборы, устройства, аппараты с механизмами передачи или с подвижными механизмами общее машиностроение машиноведение автоматика кинематика вычислительные системы электромеханика издательство высшая школа

ISBN: 5-06-000693-X

Год: 1991

Похожие

Атлас конструкций элементов приборных устройств

Конструирование компиляторов для цифровых вычислительных машин

Аналоговые вычислительные машины с последовательным выполнением операций

МРБ-571. Запоминающие устройства

Текст

>> - Е.Я.Кргскозский
г ; j ЮАЛ’суж’/нин
E.V.Oi/ггтозг
РАСЧЕТ
И КОНСТРУИРОоАп'/Е
ХЕ/ХДЧ/З^ОЗ
ПРИБОРОВ
rl w ' < I ; Q) lO/T^
СИСТЕМ
'/ЗДАН'/Е BTO°OE.
ПЕоЕ°А50тАииЮЕ '/ flOr’O.r’uEIJ,JOE
Под редакцией Ю. А. Дружинина
Допущечо Государственным комитетом ССС°
по народному образованию в качестве
учебного пособия для студентов
приборостроительных специальностей вузов
Москва «Высшая школа» 1991
ББК 34.41
К 78
УДК 681.1.001.66
Рецензент: кафедра «Детали машин» Куйбышевского политехнического
института им. В. В. Куйбышева (зав. кафедрой д-р техн. паук. проф. Ю. А. Ере-
мин)
Красковский Е. Я., Дружинин Ю. А., Филатова Е. М.
К 78 Расчет и конструирование механизмов приборов и вычис-
лительных систем: Учеб, пособие для приборостроит. спец.
вузов/Под ред. Ю. А. Дружинина.— 2-е изд., перераб.
и доп.— М.: Высш, шк., 1991,—480 с.: ил.
ISBN 5-06-000693-Х
В учебнике изложены основы теории, методы расчета и проектирования механиз-
мов вычислительных систем, приборов и автоматики. Рассмотрены общие воирои
структуры, кинематики и динамики механизмов, даны основы расчетов деталей
механических систем на прочность и жесткость. Уделено внимание вопросам
надежности и точности электромеханических систем и вибр тащите.
Второе издание (1-е в 1983 т.) значительно переработано, введены новые
методики расчетов, т рафо-аналитические методы заменены аналитическими, больше
внимания уделено динамике, изложены основы расчета деталей на ишос.
2004030000 (4309000000)—062 ББК 34.41
К--------------------------137—90
UUl(Ul)—91 6Ф6
Учебное издание
Красковский Евгений Яковлевич, Дружинин Юрий Аркадьевич.
Филатова Елена Михайловна
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПРИБОРОВ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Занетутощий редакцией А. В. Дубровский. Редактор Л. Н. Шатунова. Младшие
редакторы Т. Ф. Артюхина, Н. М. Иванова. Художник А. С. Александров. Худо-
жественный редактор С. Г. Абемн. Технический редактор Л. Ф. Попова. Корректор
В. В. Кожуткина.
ИБ № 8228
Изд. № ОТ-721. Сдано в набор 25.01.90. Подл, в печать 02.11.90. Формат 60 х 88’/16.
Бум офсетная № 2. Гарнитура Тип. Ганмс. Печать офсетная. Обьем 29,40 усл. печ. л. 29,40
уел. кр.-отт. 30,25 уч.-изд. л. Тираж 20 000 экз. Зак. № 3782. Цена 1р. 30 коп
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Нег.шнная ул., д. 29 14.
Отпечатано с диапозитивов ордена Октябрьской Революции и ордена Трудовою Красною
Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Государственною комитета СССР по
печати. 113054, Москва, Нт вая, 28 в Московской типографии № 4 Государственною
комитета СССР по печати. 129041, Москва, Б. Переяславская ул, 46. Зак. 740.
ISBN 5-06-000693-Х
< Коллектив авторов 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга написана как учебное пособие но дисциплине «Механиз-
мы устройств ЭВМ»; в пей также отражена тематика курсов
«Прикладная механика». «Теория механизмов и детали приборов»,
«Конструирование периферийных устройств ЭВМ», «Констру-
ирование механизмов РЭА» и близких к ним. Дисциплина
«Механизмы устройств ЭВМ» относится к общеивженерному
циклу и изучается параллельно с математикой и другими
общенаучными курсами. В результате изучения данной дисцип-
лины студент должен ясно понимать назначение и ущройство
механизмов, применяемых в его узкой специальности, знать
основы расчетов, а также иметь представление о надежности,
точности и динамических свойщвах механических систем.
Сейчас все большее число вузов получают право составлять
для себя учебные планы и программы изучаемых дисциплин.
Поэтому авторы не ориентировались на какую-то определенную
учебную программу, а подбирали материал в соответствии
с перспективами развития механических устройств ЭВМ, при-
боров, автоматических систем и роботов. Хорошо понимая, что
пухлая книга одним своим видом удручающе действует на
студента, авюры считали возможным опустить некоторые воп-
росы, но все же представили дощаточио полный вариант курса.
Изложение построено так, что, опустив отдельные места или
даже один из разделов, се можно использовать при любом
варианте учебного плана.
Учебник включает в себя три раздела: основы теории
механизмов, расчеты на прочность и жесткость, проектирование
механизмов и их элементов. Объединение основ теории механиз-
мов, сопротивления материалов и вопросов проектирования
в одной книге представляет собой в данном случае единое
логическое целое. В отличие от традиционного стремления
к детализации сведений здесь сокращено количество понятий,
которые нужно усвоить. Больше внимания уделено не просто
формулам и частным методикам, а взаимосвязям, назначению
и принципам устройства механических систем, их месту в ком-
плексе с электротехническими и электронными системами. В гех
случаях, когда возникала необходимость выбирать между ма-
тематической строгостью и инженерным обоснованием аналити-
ческих зависимостей, предпочтение отдавалось последнему, с тем
чтобы подробнее рассмотреть допущения, физический смысл
и области применения расчетных зависимостей.
3
Построение киши и методика изложения ориентированы на
комплексное изучение курса: параллельно с усвоением теории
студенты выполняют самостоятельнее задания, лабораторные
работы и курсовой проект.
Приведено много примеров. Они. во-первых, иллюстрируют
применение теории для решения реальных задач; во-вторых,
часть примеров —это алгоритмы, представленные не в общем
виде, а как решения конкретных задач.
По сравнению с первым (1983) изданием введены новые
методики расчетов, большее внимание уделено аналитическим
расчетам, динамике, изложены основы триботехники и виброза-
щиты. Изложение ориентировано на широкое использование
ЭВМ при изучении курса. Но программ и формальных ал-
горитмов здесь немного, так как они пределавлепы в учебном
пособии [8], которое составляет с настоящей киш ой единый
учебный комплекс.
▼ Условными значками, как этот абзац, выделены отдельные
проблемные вопросы для углубленного изучения под руково т-
ством преподавателя (например, динамика механических систем
с учетом динамической характеристики электродвигателя, износ
элементов кинематических пар, синтез рычажных механизмов
и др.), а также сведения, необходимые для практической работы
студентов (например, при курсовом проектировании, выполнении
лабораторных работ). А
Второй раздел (гл. 6 -12) написан Е. Я. Красковским, гл. 13,
16—18, 20. 21, 24 и § 3.6, 3.10— Ю. А. Дружининым, гл. 5, 25 —
Е. М. Филатовой, гл. 14, 15, 19, 22, 23 — Е. Я. Красковским
и Ю. А. Дружининым, гл. 1—4 — Е. Я. Красковским, Ю. А. Дру-
жининым и Е. М. Филатовой совмешно, гл. 26 — Ю. А. Дружини-
ным и Р. Д. Сухих.
Авторы признательны рецензентам за рекомендации и советы,
которые учтены при окончательной доработке книги. В работе
пал вторым изданием нам очень помогли замечания и пожелания
читателей первого издания.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Для современной организации материального производства
и научной деятельности характерно использование высокоэффек-
тивных автоматических систем в комплексе с электронными
вычислительными машинами. В такие системы наряду с элек-
тронными и электротехническими блоками входят различные
механизмы для преобразования движения и непосредственного
выполнения рабочих операций.
Так. в ЭВМ входят элек 1 ромехапические системы ввода
и вывода информации, магнитные диски и барабаны внешней
намят с механическим приводом. Например, на рис. 0.1 показана
схема механизма, применяемого в ЭВМ для перемещения магнит-
ной головки 2 относительно магнитной ленты 1. Магнитная
головка 2 закреплена на кронштейне 3, который может поворачи-
ваться относительно оси 4, установленной на панели 5. Рабочее
положение головки фиксируется пружиной 6. Для перемотки
и заправки лен ы 1 головка отводится от нее с помощью
привода, состоящего из электродвигателя 11. муфты 10, зубчатой
9 и червячной 8'-8 передач. При включении двигателя ролик
рычага 7. закрепленного на выходном валу червячной передачи,
нажимает на рычаг 12 головки и отводит се от ленты.
Широко применяемые в технике и научных исследованиях
электронные потенциометры, осциллографы, автоматические гра-
фопостроители имеют сравнительно
сложный электромеханический привод
для перемещения регистрирующей .тенты
и кареток самописцев с возможным
регулированием их скоростей в большом
диапазоне. В автоматических системах
управления движением поездов на же-
лезнодорожном транспорте применяют
механизмы (рис. 0.2, а) для перевода
стрелок и фиксации (запирания) их в тре-
буемом положении. Здесь э тектродвига-
тель 4 посредством муфты 5 приводит
во вращение вал 6 редуктора. Зубчатые
передачи 3 преобразуют и передают дви-
жение тта главный вал 2, который через
зубчатую реечную передачу 1—1р
(рис. 0.2, б) перемещает тягу 7, связанную
Рис. 0.1
5
Рис. 0.2
с остряками железнодорожной стрелки. Автоматическое запира-
ние, контроль и управление стрелочным приводом осуществля-
ются устройщвом 8. Характерно, чю привод скомпонован из
отдельных блоков (двигатель, редуктор, главный вал), установ-
ленных в такрытом корпусе.
Особенность развития современной техники и технолО1ии
заключается в замене человеко-машинных систем чисто машинны-
ми. Все большее число физических и умственных (логических
и вычислительных) функций человека передается техническим
средствам.
В машинах-автоматах преобразование энергии, материалов
и информации происходит без непосредственного участия че-
ловека. Дальнейшее развитие машин-автоматов привело к со-
знанию роботов, автоматически воспроизводящих двигательные
функции человека в производи венных условиях. В общем
случае робот (рис. 0.3, а) включает в себя механическую руку
(манипулятор) 2 с захватным устройством 1, систему управления 3
и датчики информации. Манипулятор 2 робота переносит деталь
с конвейера 5 (рис. 0.3, 6) и устанавливает ее на станке 6;
6
Рис. 0.3
по окончании обработки манипулятор переносит деталь к станку 4
и, установив, возвращается в исходное положение для захвата
следующей детали с конвейера 5.
Роботы могут быть снабжены техническими органами
«чувств» (сенсорными датчиками) и логическими устройствами
на базе ЭВМ.
Приведенные примеры, а их может быть много, свидетельст-
вуют о широком применении в современных ЭВМ и автоматиче-
ских системах различных передаточных и исполнительных меха-
низмов, от технического совершенства которых завися! свойства,
эффективность и надежность той или иной системы в це-
лом.
В создании современных авюмагизированных систем и их
эффективном использовании принимают участие инженеры разных
7
специальностей и их взаимодействие возможно лишь на основе
глубокой профессиональной подготовки в своей узкой области
знаний, а также в смежных областях. Например, инженер-элек!ро-
техник наряду с фундаментальной подготовкой по электронной
технике, ЭВМ и другим дисциплинам, профилирующим его
специальность, должен знать устройство механических систем,
используемых в данной области, общие методы их анализа
и синтеза, основы расчета и проектирования.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
ГЛАВА 1
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Используемые в технике системы соединенных между собой твердых тел
могут быть изменяемыми и неизменяемыми. Неизменяемой называют такую
систему тел, которая под действием внешних сил не изменяет своей конфигурации.
Это, например, несущие конструкции ЭВМ, платы приборов. Так, тела 1, 2,
3 (рис. 1.1, а) не могут двигаться относительно друг друга под действием силы F
или других нагрузок. Изменяемые, или подвижные. механические системы
(рнс. 1.1,6) допускают определенные движения тел 7, 2, 3 относительно закреп-
ленного тела 4. Такне системы, предназначенные для преобразования движения
одного или нескольких тел в требуемые движения остальных тел, называют
механизмами. Тела, составляющие механизмы, могут быть твердыми, жидкими
и газообразными. Наибольшее применение получили механизмы, состоящие из
твердых тел; в первом приближении эти тела считают абсолютно жесткими,
т. с. их деформациями пренебрегают. Одни механизмы преобразуют движение
входного звена в движение других звеньев по заданным траекториям или по
сложному закону, другие изменяют скорости и силы (моменты сил), но не
собственно закон движения.
§1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
Механизмы приборных, вычислительных, кибернетических уст-
ройств, средств автоматики, связи и систем управления весьма
разнообразны. Акад. И. И. Артоболевский, классифицируя меха-
низмы различного назначения [2]. разделил их по структурпо-
конструктивиым признакам на следующие основные виды: рыча-
жные, зубчатые, червячные, фрикционные, с гибкими звеньями,
кулачковые, винт-гайка и пр., в том числе комбинированные.
В справочниках (например, [3]) механизмы классифицируются
также по различным функциональным признакам, что позволяет
конструктору выбрать нужный механизм из ряда возможных,
отличающихся по принципу действия, но выполняющих одни
и те же функции. С раз-
витием науки о механизмах
их классификация продол-
жает совершенствоваться.
Механизмы бывают плос-
кие и пространственные. Пре-
имущественно применяют
Рис. 1.1
9
Рис. 1.2
плоские механизмы; все их ючки
движутся в одной или нескольких
параллельных плоскостях. Особен-
ность большинства механизмов
ЭВМ. автоматики и робототехники
состоит в превалирующем значении
точности их действия, от которой
зависят надежность и эффективность
работы всей системы. Такие ме-
ханизмы называют точными.
Рассмотрим некоторые из ме-
ханизмов, применяемых в технике.
Рычажные механизмы предназ-
начены для преобразования вращательного или поступательного
движения в любое движение с требуемыми параме!рами. На-
пример, в рычажпом грейферном механизме (рис. 1.2, а) кино-
съемочной камеры равномерное вращение диска / относительно
неподвижной платы 5 преобразуется в сложное неравномерное
движение вилки К. Ошрия вилки движутся по i раек тории abc
(рис. 1.2,6), переметая с остановками перфорированную ленту 4.
Когда острия движутся по прямолинейному участку ab траек-
тории. они входят в отверстия (перфорации) ленты и быстро
перемещают ее па одни шаг; при движении по криволинейному
участку boa острия выходят из отверстий и в это время лента
неподвижна. Подбирая различные длины рычагов /, 2 и 3, можно
получить разнообразные траектории и параметры движения вилки
(рабочего органа). Эта благоприятная особенность рычажпых
механизмов позволяет проект ировать их
для различных целей по одной и той
же схеме. Так, например, мехаштзм,
аналогичный рассмотренному, использу-
ется для перфорации ленточных носи-
телей информации, а также в сгарт-
стопном устройстве для протяжки
лен ты.
Рассмотрим рычажный механизм пе-
рфоратора (рис. 1.3). Ведущий эксцен-
трик 9 обеспечивает сложное плоско-
параллельное движение рабочего орга-
на- рычага 4, который может повора-
чивай ься вокруг оси В. При обесто-
ченном электромагни те 8 рычаг 5
действием пружины 6 зацепляется с ры-
чагом 4, устанавливая его гак, что он
нс может ударить по пуансону 3. Когда
подается сигнал управления, якорь 7
электромагнита поворачивает рычаг 5
Рис. 1.3
10
относительно оси D по часовой стрелке. При этом рычаги 5
и 4 расцепляются и во время этого рабочего хода рычаг 4
ударяет снизу вверх по пуансону 3, который и пробивает
в ленте / кодовое отверстие. Далее лента перемещается ба-
рабаном 2, вращение которого обеспечивается другим рычажным
механизмом.
Рассмотренные рычажные механизмы — плоские; примером
пространственных механизмов являю гея манипуляторы роботов.
Зубчатые механизмы используются для изменения параметров
вращательного движения, а также для преобразования вращатель-
ного движения в прямолинейное. Например, трехступенчатая
зубчатая передача стрелочного привода (см. рис. 0.2) уменьшает
угловую скороеib и увеличивает крутящий момент. Ведомая
шестерня 1 зацепляется с зубчатой рейкой 1р, вместе с которой
движется прямолинейно тяга 7.
Привод (рис. 1.4) используется для печати информации, по-
лучаемой от ЭВМ или датчиков систем автоматического регу-
лирования и управления. От элск i родвигателя 1 (рис. 1.4. а)
с помощью зубчатой передачи 2-3 приводится во вращение
главный вал 4, на котором жестко посажен барабан 16 с выпук-
лыми знаками (цифры оз 0 до 9 и знаки +, —). Движение
передастся цилиндрическим зубчатым механизмом 5-6 винту 8,
11
который передвигав! каретку 11 с печатающим молоточком
справа налево вдоль направляющей 12.
Работа устройства основана на принципе так называемой
«печати на лету». В момен г. когда печатающий молоточек 28
(рис. 1.4.6) находится против нужного знака на барабане, в катуш-
ку электромагнита 30 подается сигнал и молоточек ударяв! по
барабану. Так как между молоточком и барабаном помещены
бумажная 27 и красящая 29 лешы. го на бумаге остается
о!печаток соответствующего сигналу знака. Синхронизация печати
осуществляется синхрогенера тором 15.
После того как каретка // заняла крайнее левое положение,
электромагнит поворачивает рычаг 13. выводя его из зацепления
с вин I ом 8. Растянутая пружина 7 возвращав г каретку в исходное
крайнее правое положение (обратный ход), рычаг 13 снова
зацепляется с винтом 8 и начинается новый цикл. Для того
чтобы избежать удара в конце обратного хода, применен
центробежный тормоз. Он приводится во вращение с помощью
зубчатого колеса 10, двигающегося вместе с кареткой по непо-
движной зубчатой рейке 9. Красящая лента перематывается
с катушки 18 на ка! ушку 25, которая приводится во вращение
с помощью конической 24, цилиндрической 21 и двух винтовых
зубчатых передач 17 и 14. Ведущее колесо передачи 21 связано
с валом 20 электромагнитной муфтой 22, передающей вращение
только во время обратного хода каретки 11. Реверс красящей
ленты осуществляется по сигналу следящего электромеханическою
устройства. При этом траверса 26 смещается по стрелке А вместе
с катушками 25, 18 и ведомыми коническими колесами, в резуль-
тате чего колесо 19 входит в зацепление с соответствующим
колесом, закрепленным па валу 23; колеса передачи 24 выходят
из зацепления, и ведущей становится катушка 18.
Червячные механизмы (см. рис. 0.1, передача £-5') применяют
при необходимости передачи движения между перекрещивающи-
мися валами.
Фрикционные механизмы использую! в основном для тех же
целей, что и зубчатые, однако они отличаются тем] что движение
передается в них силами снеплспия (трения) рабочих поверхностей
прижатых друг к другу роликов. Эти передачи просты по
устройству. но из-за возможного проскальзывания роликов не
всегда обеспечивается требуемая точность преобразования движе-
ния. В вычислительных системах и приборах фрикционные
механизмы часто выполняю! функции рабочих органов, перемеща-
ющих носители информации. Особую группу фрикционных меха-
низмов составляют вариаторы, которые позволяю! плавно (бес-
стуненчаго) регулировать частоту вращения ведомого вала.
Широкое применение получили фрикционные механизмы с гиб-
кими звеньями. Например, ременная передача, состоящая из
шкивов /. 2 (рис. 1.5) и надетого на них с предварительным
12
натяжением ремня (либо шнура) 3,
позволяет преобразовать параметры
вращательного движения валов, на-
ходящихся на относительно большом
расстоянии друг oi друга. Передачи
гибкой связью очень часто использу-
ются в устройствах вычисли!ельных
систем, приборах, роботах. Например,
при тестировании ЭВМ применяются
привод перемотки магнитной ленты
(рис. 1.6). Первая ступень преобразо-
вания движения осуществляется фрик-
ционным механизмом 2-3. На одном
Рис. 1.5
валу с ведомым роликом 3 посажен
шкив 4. Ремень 5 передает энергию левой и правой бобинам б.
на которых намотана лента 1.
Кулачковые механизмы (рис. 1.7) предназначены для преобра-
зования движения кулачка I в заданное движение толкателя 2.
В общем случае как кулачок, так и толкатель могут совершать
прямолинейное, вращательное или сложное движение.
В перфораторе с кулачковым механизмом 1, 2 (рис. 1.7)
пуансон б пробивает кодовые отверстия в перфокарте 7. Пуансон
приводится в движение толкателем 2. Отверстие пробивается
только в гом случае, когда включается электромагнит 11, рычаг 9
поворачивается и конец гибкого стержня 10 занимает положение
Рис. 1.7
13
между годка гелем 2 и та-
релкой 4 пуансона. При
обесточенном электромаг-
ните сжатия пружины 8
с помощью рычага 9 отво-
дит стержень 10 влево.
В этом случае кулачковый
механизм работает вхолос-
тую. I. е. о 1 вере гия нс про-
биваются. Постоянный кон-
такт кулачка и толкателя
обеспечивается пружиной 3.
рис (8 а верхнее положение пуан-
сона 6 пружиной 5.
Механизмы винт-гайка преобразуют вращательное движение
в прямолинейное и наоборот. Гак, в приводе печатающего
устройства ЭВМ (см. рис. 1.4) при вращении винта 6 гайка —
рычаг 12 с печатающим молоточком 26 движется прямолинейно.
При небольших нагрузках применяется фрикционный механизм
винг-гайка, ход которого можно бессгупенчаго регулировать
(ход прямолинейное перемещение, coo i ве тс гвующее одному
обороту винта или гайки). На рис. 1.8 показана схема механизма
перемещения ра тиоизлучателя в устройстве контроля внутренних
дефектов деталей. Каретка / с излучателем установлена на валу
и перемещается вдоль контролируемой детали с помощью
фрикционного механизма 3-4. Вал 2 с гладкой поверхностью 3
(фрикционный винт) — ведущий. Роль гайки выполняют три
кольца 4, прижатые к поверхности 3 относительно большим
усилием, которое создает механизм 5. Зубчатые колеса 6 служат
для изменения хода винтового мехагпгзма 3-4: при вращении
колес поворачиваю гея эксцентрики 7 и изменяется угол гр (крайние
кольца поворачиваются в одну сторону, а среднее—в другую).
Комбинированные механизмы (см. [2, 3, 6. 13—15. 19]). включа-
ющие в различных сочетаниях механизмы, рассмотренные выше, име-
ют широкие возможности для воспроизведения различных движений
Системы, представляющие собой совокупность двигателей
(источников механической энергии), передаточных механизмов
и рабочих органов, а также коптролыю-регулирующих устройств,
называют машинами.
§ 1.2. СТРУКТУРА МЕХАНИЗМОВ
Все механизмы независимо от особенностей их конструкции
и функционального назначения имеют общую структурную
основу, для дальнейшего изучения которой рассмотрим следу-
ющие основные понятия и определения.
14
Рис. 1.9
звеньев: последние
Звенья, кинематические пары и ки- а)
нематические цепи. Тела, образующие
механизм, принято называть звеньями.
Звено представляет собой деталь или 1
соединение нескольких деталей, обра-
зующих жесткую систему. При этом б)
под деталью понимается изделие, из-
готовленное из одного куска материала
без каких-либо сборочных операций. На-
пример, в зубчатом механизме валик
и зубчатое колесо, жестко соединенные
штифтом, составляют одно звено, а са-
ми по себе валик, колесо и штифт—эго
детали (см. ниже рис. 13.5).
Неизменяемое звено механизма (пла-
ту, корпус) во всех случаях называют
стойкой, а звено, которому сообщается
движение для преобразования,- входным
(ведущим); остальные звенья выходные
(ведомые). В общем случае механизм
может иметь несколько входных и выхол
совершают требуемые, т. е. уже преобразованные движения*.
Соединение двух звеньев, допускающее их относительное
движение, называют кинематической парой, а точки, липин или
поверхности, по которым звенья соприкасаются, ее элементами.
В общем случае система звеньев, образующих между собой
кинематические пары, представляет кинематическую цепь. Цепь
может быть замкнутой (см. рис. 1.1.6), если каждое звено
входит нс менее чем в две кинематические пары, и незамкнутой,
когда имеются звенья, входящие только в одну пару (рис. 1.9, а,
б, где звенья обозначены цифрами). Если в цепи (рис. 1.9, в)
имеются звенья, совершающие пространственное движение, го
ее называют пространственной; в данном случае она замкнутая.
Итак, с точки зрения структуры (строения) механизмы можно
рассматривать как кинематические цепи, предназначенные для
преобразования движения одного или нескольких входных звеньев
в требуемые движения выходных.
Свойства и классификация кинематических пар. Свойства
любого механизма, особенности конструкции и возможность
осуществлять заданные движения во многом определяются видом
кинематических пар. образованных его звеньями. Так, в плоской
* Заметим, что в некоторые моменты движения механизма входное звено
может стать ведомым, а выходное ведущим. Это может произойти, например,
в том случае, когда вследствие определенных соотношений сил. действующих
на звенья, элсктродвшатель. соединенный с входным звеном, переходит в ге-
нераторный режим.
15
паре траектории точек звеньев, движущихся относительно друг
друга, лежат в параллельных плоскостях, а в пространственной
паре находятся в любых плоскостях или представляют собой
пространственные кривые.
По виду элементов различают низшие и высшие кинематические
пары. Низшими называют пары, элементы которых поверх-
ности. На рис. 1.10, а, б показаны низшие вращательная и по-
ступательная пары, образованные звеньями 1 и 2. Элементы
высших пар линия (рис. 1.10,8, г) или точка.
Использование в механизмах преимущественно тех или иных
кинематических пар обусловлено их свойствами. Так, например,
низшие пары могут передавать большие усилия но сравнению
с высшими, так как в них звенья соприкасаются по поверхностям.
Однако для низших пар характерно трение скольжения, а для
высших трение качения, при котором сопротивление движению
значительно меньше, и, кроме того, они обеспечивают большую
точность относительного движения звеньев. Высшие пары обра-
зуются, например, боковыми поверхностями зубьев колес, нахо-
дящихся в зацеплении, роликами фрикционных передач, кулач-
ком и толкателем. В механизмах с высшими нарами, в част-
ности в кулачковых, легко обеспечить требуемые движения
выходных звеньев, придавая элементам пар соответствующую
форму.
Низшие пары обладают свойством обратимости, т. е. вид
траекторий точек звеньев при их относительном движении
одинаков. Высшие пары этим свойством не обладают даже при
чистом качении. Так, траектория точки Ах цилиндра / (см.
рис. 1.10, г) при его качении по звену 2—циклоида, а точки А2
16
звена 2 при качении по цилиндру 1- эвольвента. Уравнения
и свойства этих кривых различны.
Важная характеристика кинематических пар, определяющая
свойства механизма, число степеней свободы. Числом степеней
свободы тела (или степенью свободы) называется число независимых
параметров, полностью определяющих ето положение. Положение
свободного звена на плоскости (рис. 1.11, а) определяется тремя
независимыми параметрами (координатами): положением любой
точки звена, например С(хс. у( ), и углом поворота продольной оси
звена (<р). Свободное звено в пространстве (рис. 1.11, б) имеет шесть
степеней свободы: поступательные движения определяются коорди-
натами ас, ус и zc, а вращательные— углами фх, фу, ф_.
Звенья механизма, образуя кинематические пары, 1ем самым
утрачивают возможность того или иного относительного дви-
жения. Такое ограничение движения принято называть условием
связи, а соединение со звеном, которое исключает данное
относительное движение, связью. Пусть два звена образуют
кинематическую пару. Обозначим W— число степеней свободы
одного звена относительно друз ого и 5 число условий связи,
наложенных кинематической парой. То1да для плоской и прост-
ранственной кинематических пар соответственно получим
W=3-S. И'=6-5.
Кинематические пары в зависимости от числа S условий связи,
накладываемых ими па относительное движение звеньев, деляг
на пять классов (табл. 1.1). Показанные на рис. 1.10 низшие -вра-
щательная («) и поступательная (б)—пары по числу связей
(5=5, PK=1) относятся к пятому классу: пара (в) по виду
элементов высшая, а по числу связей (5=4, 1К=2) относится
к четвертому классу (эту пару называют также парой качения
со скольжением).
Схемы механизмов. Так же как при решении большинства
инженерных задач, при анализе и синтезе механизмов изображение
17
Таблица 1.1. Классификация, ютскаемые движетя и условные обозначения
кинематических пар
18
объекта исследования упрощают (схе-
матизируют) настолько, что оно ста-
новится условным. Наиболее нагляд-
ное представление о структуре ме-
ханизма дает его структурная схема,
иод которой понимаю! изображение
всей совокупности составляющих эле-
ментов, определяющих функции ме-
ханизма. Для выполнения схем при-
меняют условные графические обо-
значения, усгаповлсшнле Единой си-
стемой конструкторской документа-
ции (ЕСКД)*. Простейшие из них
показаны на рис. 1.12: а шарнирное
соединение звеньев 7 и 2, б—-соедипе-
Рнс. I.
ние направляющей 7 и ползуна 2, в — контакт двух криволинейных
поверхностей, г— жесткое соединение стержней. Звенья обо-
значают арабскими цифрами, кинематические пары прописными
латинскими буквами, стойку штриховкой. Схему чертя! без
масштаба, обычно в виде развертки на плоскость, реже—в
аксонометрии. На рис. 1.13 показаны конструктивная (а) и стру-
ктурна.'! (б) схемы шкального механизма. Из схемы (б)
наглядно видно, что звенья 3 6 подвижны относительно
* ГОСТ 2.701 84 (СТ СЭВ 651 77) «Схемы. Визы и типы. Общие
требования к выполнению». ГОСТ 2.703—68 (СТ СЭВ 1187 78) «Правила
выполнения кинематических схем». ГОСТ 2.721 74 (СТ СЭВ 5679 86) «Обозначе-
ния условные графические в схемах».
19
стойки 7 (опорной платы). Чувствительный элемент механизма
мембрана, находящаяся под давлением, изображена в виде
ползуна 6, перемещающегося в неподвижной направляющей.
Ползун со стойкой образуют поступательную кинематическую
пару, звенья 3-7, 6-5. 5-4, 4-7- вращательные пары, а звенья
3-4 (зубчатое зацепление) —высшую пару. Значения измеряемой
величины отсчитывают по шкале/ с помощью стрелки 3,
жестко сое тинеппой с зубчатым колесом 2. В исходное положение
стрелка возвращается пружиной 8.
§ 1.3. СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ
Свойства механизмов во многом определяются видом и рас-
положением подвижных соединений звеньев—кинематических пар.
Если входное звено одно. т. е. преобразуется движение одного
двигателя, то механизм обладает одной степенью свободы.
Используют и более сложные механизмы, которые приводятся
в движение несколькими двигателями.
Число И' независимых движений, которые нужно задать
входным звеньям механизма, чтобы все его остальные звенья
двигались относительно стойки вполне определенно, называю!
числом степеней свободы или степенью свободы механизма.
Например, в шкальном механизме (см. рис. 1.13) перемещение
измерительной стрелки по шкале 1 полностью определяется
движением входного звена — ползуна б; следовательно, степень
свободы этого механизма 1F= 1.
Для плоских механизмов степень свободы может быть опре-
делена исходя из следующих соображений. Механизм состоит
из к звеньев, одно из которых — стойка. Как извещно. А—1
подвижных звеньев, будучи не связанными (до соединения
в кинематические пары), имели бы каждое по три (W/=3) степени
свободы. Но все звенья механизма соединены между собой
в пары V и IV классов, коюрые налагают ограничения на
относительные движения этих звеньев. Заметим, что в плоском
механизме все степени свободы кинематических пар выше IV клас-
са (см. 1абл. 1.1) не могут быть реализованы.
Структурная формула механизма. Если обозначить: р5 — число
кинема I ических пар V класса, каждая из которых накладывает
в плоскости по две связи, д4 число пар IV класса, которые
накладывают одну связь, го оставшееся число степеней свободы
механизма подсчитывается по формуле
1Г=3(А-1)-2р5-р4. (1.2)
Структурная формула механизма (1.2) впервые была предло-
жена акад. П. Л. Чебышевым в 1869 г.* Позднее аналогичная
* Чебышев П. О параллелограммах. Поли. собр. сон. Т. IV М. Л.. 1948.
20
зависимость получена проф. П. О. Сомовым (1887) и А. П. Ма-
лышевым (1923) и для пространственных кинематических цепей
общего вида:
5
l)-5p5-4/,4-3p3-2p2-Pl =6(Аг-1)- £ Sps, (1.3)
s-i
где к число звеньев механизма (включая стойку): 5—число
условий связи, налагаемых кинематической парой на относи-
тельное движение звеньев (оно coo i ветствует классу пары);
ps— число пар данного класса (5=1, 2, , 5; см. табл. 1.1).
Применение формулы (1.2) для структурного анализа меха-
низмов рассмотрим на следующих примерах. Грейферный меха-
низм (см. рис. 1.2) состоит из звеньев 1, 2, 3 и 5 (к = 4). Звенья
соединены во вращательные пары О, А, В и С (р$ = А) Высшие
пары в механизме отсутствуют (д4 = 0). Степень свободы этого
механизма по формуле (1.2): И7 =3(4 — 1) — 2-4 — 0= 1. Эго озна-
чает, что для грейферного механизма нужно задать только одно
движение, чтобы его рабочий орган (вилка А') двигался вполне
определенным образом, т. е. этот механизм должен иметь одно
входное звено.
Шкальный механизм (см. рис. 1.13) состоит из пяти звеньев
(к = 5), число кинематических пар V класса ps = 5, IV класса р4=1
(зубчатое зацепление звеньев 3-4). Степень свободы этого ме-
ханизма И/=3(5—1) —2-5 —1 = 1.
Число степеней свободы механизма может быть любым
целым числом (в отличие от степени свободы твердого тела,
которая не может быть больше шести). Среди существующих
механизмов наибольшее число степеней свободы имеют механиз-
мы роботов — И/тах = 8...10.
Пассивные связи и «лишние» степени свободы. Если при
расчетах по формулам (1.2) или (1.3) получено И'^О, то это
означает, что данная система соединенных звеньев жесткая, т. е.
двигаться относительно стойки не может. Но если при полученном
И7$0 система (механизм) все же движется, то это свидетельствует
о наличии в ней пассивных связей, которые не ограничивают
движения ведомых звеньев.
Рассмотрим, например, вал / (рис. 1.14,«), образующий со
стойкой 2 вращательную кинематическую пару V класса: вал
может поворачиваться на угол тр вокруг оси А А, степень
свободы И'=1. Обычно по конструктивным соображениям вал
устанавливают на двух соосных опорах 2 и 3 (рис. 1 14,6); опора
3 не накладывает новых ограничений на движение вала 7, т. е.
реальная степень свободы не меняется (И7=1). Однако расчет
по формуле (1.2) лает результат И7= —1, следовательно, вал на
двух опорах вращаться не должен. Такое противоречие получилось
потому, что формулой (1.2) не учитывается особое (соосное)
21
Рис. 1.15
расположение опор 2 и 3; по если вторая опора установлена
несоосно (рис. 1.14.«), то эта связь реально ограничивает движение
точки В и вал вращаться уже не может. Слсдова гельно, формула
(1.2) дает физически правильный результат в тех случаях, когда на
механизм не наложено никаких дополнительных ограничений.
Пассивная связь имеется и в механизме OABOt О2С (рис. 1.15,
а). Если убрать звено 4, которое связывает точку С со стойкой 5,
то траектория точки С по-прежнему будет окружностью с центром
в точке О,. так как контуры OABOt и ОХВСО2 параллело-
граммы. Следовательно, кинематические пары С. О2 и звено 4
образуют пассивную связь, не накладывающую ограничений па
движение механизма. Если равенство О A = Ot В—О2С не соблю-
дено, то рассматриваемая дополнительная связь (рис. 1.15, б)
наложит действительное ограничение на движение звена 4 и ме-
ханизм лишится подвижности.
Кроме наличия пассивных связей нужно учитывать, что не
все возможные относи 1ельные движения звеньев влияют на
основное движение выходного звена. Эту несущественную степень
свободы называют «липшей». Так, для кулачкового механизма
(рис. 1.16). в котором три подвижных звена образуют 1ри низших
и одну высшую пару, степень свободы Bz=3-3 —2 -3—1 • 1 =2.
Однако при заданном законе движения кулачка / движение
коромысла 3 вполне определено. Вторую, «лишнюю» степень
свободы вносит круглый ролик 2. поворот которого относительно
точки В не влияет на закон движения толкателя.
«Лишняя» степень свободы имеется также в пространственном
четырехзвеппом механизме (рис. 1.17), где 1 входное звено.
Здесь пары А и В относятся к V классу, а В и С—к III,
следовательно, по формуле (1.3) 1Т=6(4—1) —5-2 = 2. Так как
поворот звена 2 относительно собственной оси нс влияет на
движение выходного звепа 3. то дейс!ви тельная степень свободы
механизма равна единице. Подробнее об учете лих особенностей
и о синтезе механизмов оптимальной структуры см. [18, 19. гл. 2].
22
§ 1.4. ЗАМЕНЯЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
▼ При решении задач структурного, кинематического и точност-
ного анализа механизмов с высшими парами (например, кулачко-
вых, рычажно-кулачковых, зубчатых), а также для выявления
в них пассивных связей или «лишних» степеней свободы применя-
ют условную замену высших пар низшими. Каждая высшая
кинематическая пара заменяется кинематической цепью с низшими
парами. Механизм, полученный после такой замены, называют
заменяющим. Условия эквивалентности высшей пары и заме-
няющей ее кинематической цепи: степени свободы исходного
и заменяющего механизмов одинаковы (структурная эквивалент-
ность); относительное мгновенное движение звеньев, составля-
ющих высшую пару, не изменяется (кинематическая эквива-
лентность).
В плоских механизмах можно реализовать лишь один
вид пар IV класса пару качения со скольжением, вместо
которой в заменяющий механизм должна войти кинематическая
цепь с п звеньями и Дд5 тшзшими парами V класса. Найдем
п и Д/>5 в цепи из условия структурной эквивалентное! и.
Пусть исходный механизм состоит из к звеньев, одной высшей
(/>4=1) и />5 низших пар. Тогда соответствующий исходному
заменяющий механизм должен иметь (Ач-и) звеньев и (/?5 + Др5)
низших пар. Степени свободы исходного и заменяющего мс-
хантмов равны, т. е.
И/=3(А — 1)—2ps — 1 =3(А + и— 1)—2(р54-Д/?5),
или
Зп-2Др5=-1. (1.4)
В простейшем случае, когда заменяющая цепь состоит лишь
из одного звена, число в ней низших пар Д/?5 = 2, т. е. высшая
пара качения со скольжением заменяется одним звеном, входящим
в две низшие пары.
23
Рис. 1.18
Переход к заменяющему механизму для случая, когда высшая
пара образована кулачками 1 и 2 постоянной кривизны, показан на
рис. 1.18.а. При движении кулачков расстояния АО, АВ=/?, + R2
и ВОу не изменяются, поэтому такой кулачковый механизм можно
заменить четырехшарнирным механизмом АОВОХ с соответству-
ющими длинами звеньев 7, 2, 3. Заме!им, чго вращательные пары
А и В расположены в центрах кривизны кулачков и. таким образом,
перемещения, скоро! ги и ускорения выходного звена 2 заменяюще-
го механизма те же, что и радиуса Ох В кулачка 2, ч го и требуется
по условию кинематической эквивалентности.
При замене высшей пары, образованной профилями перемен-
ной кривизны (рис. 1.18,б), учитываем, что в окрестности точки
контакта С профили кулачков можно заменить дугами окружно-
стей* с центрами в точках А и В, которые лежат на нормали п—п
и являются центрами кривизны профилей. Поэтому проводим
нормаль п — п и в центрах А и В кривизны профилей размещаем
шарниры, связывающие дополнительное звено 3 со звеньями 7 и 2.
При движении профилей переменной кривизны размеры ОА, АВ
и OtB заменяющего механизма переменны, т. е. для различных
положений профилей заменяющие механизмы разные.
Методы исследования плоских механизмов с низшими парами
и их структурная классификация могут быть распространены на
механизмы с высшими парами путем замены высших пар. А
ГЛАВА 2
КИНЕМАТИКА МЕХАНИЗМОВ
При кинема 1 ичсеком исследовании механизма движение входных звеньев
задано: требуется определи1ь ipacKTopnii, скороси! и ускорения выходных
и иромежуючных звеньев вне зависимости от действующих сил. Решая так
* При такой 1амене не учитываются члены вюрого порядка малости
24
поставленную задач) анализа, получают основные кинематические характеристики
механизма — функцию положении и передаточные функции. Эти функции учи-
тывают 1 еомстрические связи, наложенные на звенья при сое тинснии их
в кинематические пары. Кинематические характеристики механизма используются
и при динамическом анализе, когда определяют дейсгнитстьный закон движения
ведущею звена (или ведущих звеньев, если степень свободы больше единицы).
Различаю! кинематические анализ и синтез механизмов. При а ализс ио
движениям входные звенья определяют угловые или линейные перемещения
выходных звеньев, линейные перемещения. скорости и ускорения точек звеньев,
а также передаточные oiношения механизма. Результаты такого исследования
используют для оценки соответствия полученных свойств механизма заданным,
а также для последующих динамических н ючностных расчетов. Например, при
исследовании i рейферною механизма (см. рис. 1.2) определю г, насколько траек-
тория рабочего органа (вилки А) отличается оз зрсбусмой горизонтальной
прямой, каковы скорости и ускорения внлки при заданной узловой скорости
входного звена.
При проектировании новых механизмов (синтезе) по заданным кинематическим
условиям выбирают схему и определяют основные размеры звеньев механизм;!.
В этой главе рассмотрены только вопросы кинематического анализа. Задачи
же син!ела решаются при изучении конкретных механизмов.
Кинематический анализ может быть выполнен анали|ическими и iрафо-анали-
тичсскими ме! одами.
Аналитические методы исследования кинемашки наиболее точны и универ-
сальны. Графоаналитические методы, уступая в точности аналитических!, дают
возможность наглядно представить картину изменения основных параметров
движения звеньев в виде планов, i рафиков и диаграмм.
§ 2.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА
Аналитические мег оды исследования кинематики механизмов
позволяют определить функциональные зависимости между па-
раметрами движения входных и выходных звеньев. Получаемые
при этом уравнения тают возможность вычислить перемещения,
скорости и ускорения выходных звеньев. Практическое решение
этих уравнений во многих случаях, особенно для простран-
ственных механизмов, например роботов и манипуляторов, очень
трудоемко. Однако широкое применение ЭВМ в инженерных
расчетах открыло путь к практическому использованию ана-
литических методов при решении большого класса задач кине-
матики. Далее, для простоты рассматриваем механизмы с одной
степенью свободы.
Функция положения, передаточные функции и передаточное
отношение механизмов. Функцией положения называют зависи-
мость между координатами Ч* и q соответственно входного
и выходного звеньев:
(2.1)
Фут кция положения—математическое выражение геометриче-
ских связей в механизме, обусловливающих определенное
преобразование движения (при анализе функцию положения
находят, а при синтезе она задана). Скорость и ускорение
выходных звеньев или их отдельных точек определяются
25
дифференцированием функции (2.1) но времени (нижний индекс
указывает переменную, по которой проводится дифферен-
цирование):
скорость
(2.2)
ускорение
(2.3)
Входящие в уравнения (2.2) и (2.3) производные Ч^ и Т" называют
первой и второй передаточными функциями или аналогами ско-
рости и ускорения. Они, как и функция положения (2.1), выражают
юлько структурные и геометрические связи механизма, т. с.
зависят только от положения входного звена.
Из уравнения (2.3) следует, что ускорение движения выходного
звена механизма можно рассматривать как сумму ускорений
двух движений: основного, определяемого скоростью движения
q’t входного звена, и дополнительного, обусловленного его
ускорением. При кинематических расчетах часто рационально
получить выражения для аналогов скорости и ускорения,
а реальные скорости и ускорения вычислять по формулам
(2.2) и (2.3), так как здесь четко разделены параметры
входного звена и механизма. Кроме того, аналоги используются
также и при динамических расчетах инерционности механизма
и приведенной силы (см. § 3.3, 3.4).
Если звенья к и т механизма вращаются, го первую
передаточную функцию (аналог скорости) называют переда-
точным отношением. Передаточное отношение от звена к к звену
т это отношение их угловых скоростей со или частот
вращения п:
ikm=Mi /<om = "k inm- (2.4)
индексы указывают порядковые номера звеньев, между которыми
определяется передаточное отношение. Отсюда следует, что
Ikm hnk
Покажем, что передаточное отношение ikm величина, обрат-
ная аналогу скорости 4х (здесь q = tpk). Так как угловая скорость
co = d<p/d/. то
d/ / d/ d<pm
Если движение звеньев относительно параллельных осей совпадает
по направлению, то соответствующему передаточному отношению
приписывают положительный знак, а при движении в противо-
положных направлениях отрицательный. Например, для зубча-
того механизма с внешним зацеплением (рис. 2.1.а) /цСО,
а с внутренним зацеплением (рис. 2.1,6) /12>0, где 1 и 2- входное
и выходное колеса.
26
Рис. 2.1
Все механизмы можно
условно разделить на две
группы [6]: передаточные,
имеющие линейную функцию
положения '¥ = a+bq (а, b—
константы), и преобразующие,
или исполнительные, функция
Ч* которых нелинейна. К пер-
вым относятся, например, зуб-
чатые передачи с круглыми
колесами, ко вторым— кулач-
ковые и рычажные механизмы,
зубчатые передачи с некруп-
ными колесами. Подробнее
кинематика этих механизмов рассматривается в соответствующих
главах книг и.
Если входное и выходное звенья вращаются, то линейность
функции положения означает, что передаточное отношение таких
механизмов постоянно. Механизмы с постоянным передаточным
отношением нс выполняют функционального преобразования
движения, а лишь изменяют в определенной пропорции угловую
скорость и крутящий (вращающий) момент. Из формулы (2.4)
следует, что угловая скорость выходного звена т
tOra = tOfc,'4m- (2-5)
Если абсолютное значение передаточного отношения больше
единицы, го такой механизм уменьшает угловую скорость
выходного звена и его называют редуктором. Эго наиболее
распространенные передачи, так как в среднем угловые скорости
двигателей находятся в диапазоне 50...500 рад/с. а рабочих
органов- 0,5...25 рад/с, поэтому необходим понижающий угловую
скорость передаточный механизм.
В точных механических системах, особенно с пружинными
двигателями, широко применяются .мультипликаторы переда-
точные механизмы с |4,„|<1, которые повышают угловую
скорость выходного звена. В приборах, например, с помощью
му тьтипликаторов небольшие перемещения датчиков преобразу-
ются в относительно большие углы поворота указателей, стрелок.
Рассмотрим несколько последовательно соединенных меха-
низмов. Передаточное отношение такой системы
т'общ G 1*2(/•••i„ JJ ij, (2.6)
j='
где /у- передаточное отношение /-го механизма.
Справедливость зависимости (2.6) покажем на примере двух-
ступенчатой зубчатой передачи 2-6 механизма печати ЭВМ (см.
рис. 1.4). Учитывая, что колеса 3 и 5 составляют одно звено
27
(w3 = (05), передаточное отношение от колеса 2 к колесу 6 запишем
в следующем виде;
he = ®2 : % ' — = г23 >5Ь ,
w, ш6
где ю2. о)6 — угловые скорости входного 2 и выходного б зубчатых
колес; /23, he передаточные отношения механизмов 2-3 и 5-6
cooibc гсгвенно.
Переда! очное отношение любого механизма зависит о г гот о,
какое из звеньев принято в качестве входного. Следовательно,
передаточное отношение характеризует механизм при определен-
ном направлении передачи энергии. Более обшей характеристикой
механизмов, предназначенных для преобразования вращательного
движения, является передаточное число
н=тах[|/12|: |/21|]>1- (2.7)
В отличие от передаточного отношения параметр и не зависит
от направления потока энергии и выбора входного звена,
а показывает лишь, во сколько раз механизм способен измени ib
угловую скорость. Передаточное число не содержит информации
о взаимном направлении угловых скоростей и о том, уменьшается
или увеличивается скорость.
С помощью формул (2.4) (2.7) решают задачи кинематики
в основном для механизмов с постоянным передаточным от-
ношением.
Пример 2.1. Найт скорость »13 перемещения тики рычат 13—механизма
печати (см. рис. 1.4), если известно, что за один оборот винта 8 тика
перемещайся на ход з|3 = 1,2 мм; передаточные отношения зубчатых механизмов
2-3 и 5 6 ijj=— 3. До=—2; частота вращения двитатезя / л, =2400 об мин.
Решение. По формуле (2.6) вычисляе1ся общее иередаючное отношение oi
двшателя к валу винта Л: /1в = 'г.з'5б= —3( —2) = 6, затем по формуле (2.5) час-
тота вращения винта: я8=Л|'f16 = 2400'6 = 400 об-'.мнн. Тогда линейная скорость
гайки 13
Г|л=3ц«н= 1.2'400=480 мм.мин=0.008 м/с.
Наряду с формулами (2.4)—(2.7) при исследовании кинема гики
механизмов часто используют метол векторного замкнутого
контура и метод преобразовании координат. Ниже применен
первый метод; методом преобразования координат выполнен
в гл. 21 кинематический анализ механизма манипулятора.
Практическое применение и особенности аналитического иссле-
дования механизмов. Рассмотрим механизмы, широко приме-
няемые в приборо- и машиносгроении.
Кулачковый механизм. Пушь кулачок 1 (см. рис. 1.16) вра-
щается с постоянной угловой скоростью то; профиль кулачка
выбран таким, что угловое перемещение коромысла 3 определя-
ется функцией ф = A sin2 <р, где ф = (0/. Дифференцируя эту функ-
цию, находим аналоги скороши и ускорения коромысла:
28
'К = Фф = 2Л sin <р cos q>; ф" = ф" = 2А cos 2ф.
В данном случае д',' = 0 и из формул (2.2) и (2.3) имеем
<о3 = со = A io sin 2ф; £3 = ф"со2 = 2Л(02 cos 2ф.
Синусный механизм (рис. 2.2, а). Исходные данные для кине-
матического анализа: угол поворота кривошипа 1 ф = ф(т) в фун-
кции времени t и длина г кривошипа. Точка А кривошипа
движется по окружности радиуса г; ее перемещение .г=гф,
окружная скорость t’4=d5/dr=rd9/d/ = r©1. Полное ускорение
точки А состоит из касательной o'i4=d2.v/dz2 = £lr и нормальной
Ол — oiir составляющих:
ал = vRi)2 + (а л)2 = r^/ei+wt
Касательное ускорение а‘А перпендикулярно радиусу ОА и на-
правлено по угловому ускорению Et; при Ej^O модуль вектора
г4 меняется. Нормальное, или центростремительное, ускорение
аА всегда направлено к центру вращения; вследствие наличия
ускорения а”А скорость vA изменяет направление. При равномерном
вращении кривошипа угловое ускорение ct = 0 и полное швейное
ускорение точки А аА — <а\г.
Ползун 4 синусного механизма шарнирно соединен с криво-
шипом и может перемещаться по направляющей звена 2, которое,
в свою очередь, движется в неподвижной прямолинейной направ-
ляющей 3. Любая точка звена 2 (например, точка В) совершает
возвра гно-прямолипейное движение. Из &ОАВ находим параметр,
определяющей положение звена 2:
}’в = /ЫПф.
Аналоги скорости и ускорения точки В определяют путем
последовательного дифференцирования функции положения:
ф^=(т5Шф)^ = гсо8ф; ф’ = — rsinQ.
Скорость гв и ускорение ав:
гв -=г(о1ео8ф; ав = фф<о2 + ф(||Е1 = — г((0281Пф —Е^озф).
24
Рис. 2.3
Тангенсный механизм. Положение точки А ползуна 2 (рис. 2.2,
б) определяется ординатой функция положения механизма
yx=/tgq>, где ф угол поворота звена 1. Скорость и ускорение
точки А:
va =<0[/Д:о82ф; ал = ф"<о? + фф£1 = /(£, + 2ы?,^ф)/со52ф.
Четырехшарнирный механизм (рис. 2.3,а). Известны длины
звеньев /2, /3, /4 и угол поворота ф^фДО входного звена
ОА в функции времени /. Для определения зависимости
<р3 = Фз(ф|) между углами поворота ф] входного и ф3 выходного
Звеньев, т. е. функции положения механизма, применим метод
замкнутого векторного контура. Условно припишем звеньям
механизма направления по рис. 2.1; проецируя векторный мно-
гоугольник OABOi на оси координат, получаем
/1СО5ф1+72СО5ф2 + /3СО8ф3 = /4;
sin ф14-/2 sin ф2 +/3 sin ф3 = О,
(2.8)
где ф2 — угол между звеном АВ и осью абсцисс. Исключив из
уравнений (2.8) параметр ф2, найдем в неявном виде функцию
положения Фз = Фз(ф|).
Дифференцируя систему уравнений (2.8) по времени с учетом
неизменности длин /; звеньев, получим линейную систему уравне-
ний для расчета угловых скоростей €02=<1ф2/с1/ и <о3=ёф3/ёт
(угол ф, и скорость то, при кинематическом анализе заданы,
а углы ф2 и ф3 определены из уравнений (2.8)):
/1<о15тф1 +/2(о28Шф2 + /3(о35тф3=0;
/^О^Овф, +/2(02СО8ф2-|-/3а)3СО8ф3=0.
(2-9)
Дифференцирование уравнений (2.9) приводит к линейной же
системе уравнений для угловых ускорений е2 = ско2/ск и £3 =
=dto3/dr:
Зи
/( Ej sin<Pj -Ь/jCDi COStpj +/2E2sin<p2 +
+ /2го2со8ф2 +/j£jSin(p3 + /2ЮзСО5<Рз = 0;
/^cosip, — /jWiSintPj +/2£2COS<p2 —
— /2w2sinq>2 +/3E3cos(p, — /3o>3sin(p2 =0.
(2.9 a)
В учебном пособии [8] приведены cooдвегсгвующне ФОРТРАН-
программы. На рис. 2.4 показаны графики зависимостей ф3(/),
ш3(г), £3(г) для случая, когда СЪ4=10мм. /4 Я =70 мм. ВС =
= 45 мм, Об?! =60 мм, (в1 = 1с-1, £( =0.
Кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 2.2. в). Исходные
данные при кинематическом
входного звена и размеры г,
вдоль прямолинейной на-
правляющей. то все его точ-
ки имеют одинаковые пе-
ремещения, скорости
и ускорения. Функцию по-
ложения лв(ф, г, /, е), ско-
рость и ускорение ползуна
найдем, проецируя замкну-
тый контур О АВ механизма
на оси координат:
.vB = гсовф +/cos Р;
г sin ф = с +/sin р. (2.10)
Получив из второго равен-
ства (2.10) явное выражение
для угла р. найдем функ-
цию положения
лв = г cos ф +
+ yfl2 — (г8Юф — е)2. (2.11)
Скорость ползуна
анализе функция ф = ф(/) для
/, е. Так как ползун 3 движется
d.xB
гв-—- по
8Щф +
cos<p(/sin<p —с)
v'72— (rsintp—е)'
(2.12)
Дифференцируя выражение
(2.12) но времени, получают
формулу для ускорения
ползуна. Зависимости
(2.11) —(2.12) верпы и в том
случае, когда звено О А
не кривошип, т. е. может
31
поворачиваться лишь па угол, меныпий 360
О А называется коромыслом, а весь механизм
ползунным).
(тогда звено
коромыс юво-
§ 2.2. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД ПЛАНОВ
Для плоских .механизмов, в частности рычажных, кинематический
анализ удобно выполнять методом планов скоростей и ускорений.
План скоростей (или ускорений) это векторная картина
скоростей (ускорений) характерных точек механизма для данного его
положения. Если план построен (в 1рафическом или аналитическом
виде), го по нему можно определить соответствующий вектор для
любой точки механизма. По сравнению с методами, описанными
в предыдущем параграфе, метод планов имеет два существенных
преимущества: во-первых, не нужно выполнять операции дифферен-
цирования, уравнения для искомых величин получают непосредст-
венно на основе теорем механики; во-вторых, можно очень наглядно
интерпретировать решение в графическом виде. Отметим также, что
в настоящее время графические и графо-аналитические методы
анализа механизмов вновь становятся актуальными: теперь эти
методы служат не для решения, а для тестирования задачи,
решенной с помощью ЭВМ на основе аналитических зависимое гей.
При реализации метода абсолютное движение звена в данной
неподвижной системе координат рассматривается как состоящее из
переносного движения вместе с определенной подвижной системой
координат и относительного движения в подвижной системе.
Исходя из такого представления абсолютного движения, составля-
ют векторные уравнения для искомых величин: решение уравне-
ний— графо-аналитическое или аналитическое. Выбор того или
иного способа решения векторных уравнений обусловлен структур-
ными особенностями механизма и целевыми установками анализа.
Основные теоремы. Метод планов основан на следующих
теоремах теоретической механики [23].
Теорема 1. При плоском движении твердого г ела его
мгновенное абсолютное перемещение можно представить (рис. 2.5)
как сумму переносного поступательного перемещении вместе
с любой точкой А этого тела и относительного вращения вокруг
Рис. 2.5
32
оси, проходящей через ту же точку А. (Именно так можно
рассматривать перемещение тела на плоскости из положения
А0В0 через промежуточное положение АВ' в положение АВ.)
Теорема 2. Абсолютная скорость vu движущейся точки
в каждый момент времени равна векторной сумме переносной
ve и относительной гг скоростей:
?u = re + rr. (2.13)
Теорема 3 (Кориолиса). Абсолютное ускорение аи в сложном
движении равно геометрической сумме переносного а,., относи-
тельно аг и кориолисова ак ускорений:
(2.14)
«* = 2[ыгхгг], (2.15)
где о\, угловая скорость переносного движения; t?r—относитель-
ная линейная скорость; произведение и —векторное.
Объединяя утверждения теорем 1 и 2, для абсолютной скорости
любой точки В можно записать следующее векторное равенство:
£в —+ (216)
где гл скорость любой точки А рассматриваемого твердого
тела; екл — относительная скорость точки В в ее мгновенном
вращении вокруг точки Л; линия действия этой скорости
перпендикулярна радиусу В А.
Если переносное движение поступательное (t£>t> = 0), то ускоре-
ние Кориолиса «ц = 0. О г носи тельное движение по теореме
1 вращение точки В вокруг точки А. Поэтому относительное
ускорение аг, в свою очередь, состоит из двух ускорений:
нормального а” = (л2г, направленного вдоль линии ВА к центру
вращения, и касательного а', направленного перпендикулярно
В А (на рис. 2.5 аг=аВА). Таким образом, выражение (2.14)
получит вид
аа = а(.+(ап+а‘). (2.17)
Рассмотрим векторный метод планов скоростей и ускорений
на примере четырехшарнирного механизма (см. рис. 2.3, а, а также
рис. 1.2). _
План скоростей. Абсолютная скорость точки А ' ьл = сйк1}
(/j длина звена ОА); вектор ьл±ОА и направлен по угловой
скорости Юр Для определения абсолютной скорости точки
В в соответствии с теоремой 1 рассмотрим движение звена АВ
как сумму поступательного переносного движения вместе с полю-
сом*— точкой А и относительного вращения вокруг полюса А.
Векторное уравнение (2.16) определяет абсолютную скорость
За полюс принимается точка, параметры движения которой известны.
2 Зак 740
33
точки В; здесь линия действия вектора гв перпендикулярна звену
ОГА, а вектора свл — звену АВ (в уравнении (2.16) векторы,
известны по модулю и направлению, подчеркнуты дважды,
а векторы, у которых известна только линия действия, - один
раз). При графическом решении уравнения (2.16) па чертеже
выбирают начало отсчета—точку /?,. (см. рис. 2.3, б), откладывают
о г нее в направлении скорости гл отрезок рга. Длину о i резка
pva выбирают из условия удобства дальнейших построений;
отрезок />,,а определяет масштабный коэффициент плана скоростей
который показывает, что каждый миллиметр чертежа изображает
единиц скорости; единица масштабного коэффициента -
(м/с)/м.м.
Продолжая графическое решение уравнения (2.16), из точки а плана
(см. рис. 2.3,6), которая изображает конец вектора vA, проводим
линию действия вектора vBA ± А В, а через начальную точку рс линию
действия вектора Точка b пересечения этих линий определяет
отрезок ptb, изображающий вектор ив. Отрезок ab изображает вектор
vBA; согласно уравнению (2.16) направление этого вектора — от точки
а к точке Ь. Векторный треугольник pvab - графическое решение
исходного уравнения; модули найденных векторов скоростей:
1’в = (/’./’) Mr- »;ви = (^)н„-
Угловые скорости звеньев 2 и 3 в их движении относительно
точек А и Ор
м2 = 1'вл/^2’ м3 = 1’в/(з’
где 12—АВ, 13 — ВОг—длины соответствующих звеньев. Для
определения направления угловых скоростей со2 и со3 векторы
ab и ргЬ переносим мысленно с плана скоростей па план
механизма в точку В и видим, что звено 2 вращается относи 1ельно
точки А по часовой стрелке, а звено 3 относительно точки
(?1—против часовой стрелки (см. рис. 2.3, а).
Определив скорость точки В, скорости точек С и М (или
любых других в данном положении механизма) находят без
составления уравнений и их решения; для этого используются
следующие свойства планов скоростей и ускорений:
1. Векторы, идущие из точки рг плана скоростей (ускорений),
представляют собой в масштабе ц,. абсолютные скорости (ускоре-
ния) соответствующих точек механизма; векторы, не проходящие
через полюс, есть относительные скорости (ускорения) точек
звеньев. Концы векторов абсолютных скоростей (ускорений) точек
Л, В, ... принято обозначать соответствующими малыми буквами
а, Ь, ... .
2. Отображения точек закрепленных шарниров О, Ог всегда
совпадают с начальной точкой />„.
34
3. Отрезки оа, ah, oYh па плане отображают звенья АО, АВ
и О^В механизма. Эго означает, что если, например, на звене
ЛВ (см. рис. 2.3. а) имеется точка С. лежащая па прямой АВ,
то соответствующая отображающая точка с на плане (см.
рис. 2.5,6) находи 1ся на прямой ah и при этом верно соотношение
ah':ac = l2IAC, что вытекает из уравнений = cd2Z2 = 1сл =
= oi2 (ЛС) = ц,.(ас), тогда вектор абсолютной скорости точки
С звена 2
Vc = Ml4-
4. Любые три точки А, В, Л/ звена, составляющие треугольник,
отображаются на плане в треугольник kabmnkABM'. на отрезке
ah можно пос трои 1ь два i реугольника, подобных данному; из
них искомое решение дает тот, у которого порядок обхода
вершин из точки а такой же, как в Л АМН (направление обхода
вершин на звене и на плане должно быть одинаковым). Таким
образом, на рис. 2.3,б получено отображение на плане точки
М—точка /»:
При тщательном выполнении построений средняя ошибка,
определения скоростей составляет 5 ... 7%, ускорений—до 10%.
План ускорений. Исходными данными для построения плана
ускорений механизма (см. рис. 2.3. а) являются известные абсо-
лютные ускорения точки А звена 1 и найденные скорости.
Ускорение точки А при tn^consl равно векторной сумме
нормального ускорения aA = it>\ll, направленного от точки А к точ-
ке О, и касательного a't=Elll J.OA:
uA = <inA+a‘A.
Выбрав начало отсчета ра плана ускорений (см. рис. 2.3. в),
показывают па чертеже отображения ускорений апл и а‘А векторы
pjii и п^а-, вектор риа плана изображает полное ускорение ал.
Масштабный коэффициент плана ускорений |(м/с2).мм]
Ва = «л/(рв«)-
Для определения ускорения точки В рассмо1рим абсолютное
движение звена АВ как сумму переносного и относительного
движений. С учетом выражения (2.17) векторное уравнение
абсолютного ускорения точки В получи! вид
йв==£л + 2®л"*"йвл‘ (2-18)
Вектор нормального ускорения апВА по модулю равен vBA'l2
и как цен трос греми тельный направлен по прямой АВ от точки
В к цен 1 ру огносительного вращения — точке А. Вектор касатель-
ного ускорения я'в1 перпендикулярен прямой АВ. В уравнении
(2.18) двумя чертами подчеркнуты ускорения, известные по
2*
35
модулю и направлению, а одной чертой — когда известна лишь
линия действия. Так как ни модуль, ни линия действия вектора
ав неизвестны, а у вектора авл известна только линия действия,
то векторное уравнение (2.18) решить нельзя: поэтому необходимо
иметь второе векторное уравнение.
Точка В принадлежит одновременно звеньям АВ и ВОХ (см.
рис. 2.3, а). Рассматривая движение звена ВОХ и принимая за
полюс неподвижную точку О2, запишем следующее уравнение
для абсолютного ускорения точки В:
ов = До1 + Яво,+Яво1=£во1+«во1, (2.19)
где вектор «во =^в/Л параллелен ВО{; линия действия вектора
Дво, -L ВО{.
Совместное решение векторных уравнений (2.18) и (2.19) дает
возможность определить искомый вектор абсолютного ускорения
точки В. Отрезок риа представляет собой первое слагаемое
векторного уравнения (2.18) — ускорение ал. От точки а отклады-
вают отрезок ст2 = аВА,\1а, изображающий вектор аВА, который
направлен параллельно звену ВА от точки В к точке А (гак
как звено 2 вращается относительно точки А, а вектор аВА—
центростремительное ускорение). Далее через конец отрезка ап2
проводят линию действия a'BALAB.
Аналогично графически реализуется уравнение (2.19). На
пересечении линий действия векторов авл и aBOi находится
искомая точка Ь; отрезок раЬ изображает вектор '«в; отрезки
п2Ь и п3Ь изображают соответственно векторы авл и aBOl-
Полученный план ускорений и система уравнений (2.18) и (2.19)
взаимно однозначно соответствуют друг другу, г. е. найденное
графическое решение удовлетворяет исходным уравнениям. Стрел-
ки векторов на плане ускорений поставлены в соответствии
с векторными уравнениями.
Если на звепе имеется дополни!ельная точка, например па
звене 2 точка С, то ее отображение с на плане ускорений
(рис. 2.3, в) находится на отрезке ab с учетом соблюдения условия
ahlac—l2IAC.
Отображение т точки М строится на основании четвертого
свойства планов:
1\АМВХ)/латЬ\ aM—(pjn}\\a.
Угловые ускорения звеньев в их относительном вращательном
движении можно найти, используя соответствующие касательные
ускорения:
£з = йВО1/Л-
Для определения направления углового ускорения е2 звена АВ
переносим вектор аВА в точку В (см. рис. 2.3, а) па плане
36
.механизма и видим, чю вектор поворачивает звено вокруг точки
А но часовой стрелке. Сопоставляя направления о)2 и е2,
заключаем, что звено 2 движется относительно точки А ускоренно.
Аналогично определяем направление ускорения с3 звена 01В.
▼ Векторное уравнение (2.16) и систему уравнений (2.18) (2.19)
можно решить аналитически при условии, что положение меха-
низма уже известно (углы гр2 и Фз 11а рис. 2.3,а). Введем любую
систему координат Оху и спроецируем эти векторные уравнения
па оси Ох и Оу:
1:вх = 1'лхА-1'ВЛх: i’B).= тЛу + vBAy; (2.16а)
[аВх = «Лх+«влх+"влх; «ву=ялу+«влу+"влу^ (2.18а)
["вл^^во^ + ^во^ "ву = «во1у+«во1у (2.19а)
Здесь кроме углов <р2, ф3 известны следующие проекции векторов-
1’лх= ыпфр vAy = Mtlx cosrpji
aAx = — w i/j cosrpj — e1/1 sinipj; aAy = sinrpj + £,/, cosrpj;
«во1х=ово1С08ф3 = гй3/3со8ф3; aBOi>, = wl/3sin(p3;
"влх= -«7Mcos(p2= —ro2/2cosrp2; апВлу= -iDl/2sin<p2
(считается, что сначала вычисляются все искомые линейные
и угловые скорости, а затем ускорения; величины (ри ср2, гр3
определяются как углы между ортом оси Ох и векторами
—> - — >----->
О А . ВА , О] В (см. рис. 2.3); положительное направление
отсчета всех угловых параметров против часовой стрелки).
Между проекциями искомых векторов существуют еле туюгцие
зависимости:
frBy = t’Bxtg(T3-W'2); 1влу = «7влх1ё(ф2+т1./2);
IflBO.y^rtBO.ltgta-K/2); “ВАу = ^xtg(<p2 + n,'2).
Поэтому уравнения (2.16а). (2.18а), (2.19а) запишутся так:
fi’Bx=^x + «W (2.166)
Н’вх 1g (Фз - 2) = гл, + vBAx tg (гр2 + п/2);
"вх = “ивл cosгр2+ «влх;
(2.186)
J aByF «лу - «вл sin<p2 + а'ВАх tg (ф2+л/2);
|«вх = «во1со8фз + г?во1х, (219б)
«Ву = "во, »1Пфз + "'во,х tg (фз - п'2).
ч.
Полученные системы уравнений линейны относительно неизвест-
ных гв,., vBAx и аВх, аВу, а'ВАх, иво х и легко решаю гея, например,
по правилу Крамера; проекции на ось ординат определяют из
соотношений (2.20).
37
Скорое ib и ускорение любой точки звена, например точки
М звена АВ (см. рис. 2.3, я), рассчитываются на основании
четвертого свойства планов:
1’лт = ,’л+,‘л/л’
'.ил = + (АМ 'АВ) vBA cos (Рм + (ф2 + п, 2));
'м>. = илУ + (АМ/АВ) vba sin (Рм+(ф2 + п/2));
а =а +а (2-21)
иМ аА^аМА'
=«лл + И М';А В) аВА cos (рм + фав,);
«му = «л> + (ЛМ/ЛД)явл sin (pw + фИл1).
Здесь положение точки Л/ относительно звена АВ определено
отрезком AM и углом LMAB, ф2 + п;2 и фП(м утлы
векторов твл и аВА с осью Ох (последний вычисляется по
известным проекциям вектора авл). ▲
Кривошипно-ползунный механизм. Для заданного положения
механизма (рис. 2.6. я) при постоянной угловой скорост и со, входного
звена 1 план скоростей (рис. 2.6,6) построен согласно уравнению
'’в=?л+»вл’ (2.16в)
а план ускорений (рис. 2.6, в)—согласно уравнению
«в = «л + «вл + «вл, (2.19в)
где гв абсолютная скорость точки В (параллельна оси направ-
ляющей х—х); vA — абсолютная скорость точки Л; vBA враща-
тельная скорость точки В относительно точки Л; яв абсолютное
ускорение точки В (параллельно х—х); аА абсолютное (нормаль-
ное) ускорение точки Л, «^ = «" (от(= const); авл— нормальное
ускорение точки В относительно точки Л, aBA = vBA.l2 (!2 = АВ);
явл— касательное ускорение точки В относительно точки А.
Поступательная пара ползун 3 стойка 4 определяет линии
действия скорости гв и ускорения яв; поэтому в отличие от
четырехшарпирного механизма для построения плана ускорений
38
здесь достаточно одного векторно-
го уравнения. Скорость и ускоре-
ние точки М найдены на основании
третьего свойства планов. Угловые
скорость и ускорение шатуна 2:
(j32 = VBAl^2^ E2=aBA!l2-
Рассмотрим аналитическое
решение векторных уравнений
(2.16в) и (2.19в) для кинематичес-
кой цепи шатун 2— ползун
3 в произвольной системе коор- р,,с’ 2-7
дина г Оху (рис. 2.7). Кроме параметров точки А известны
положение направляющей (угол у и отрезок а,) и длина АВ=12;
положение точки В и угол ф2 найдены уже до начала данного
расчета. С учетом соотношений между проекциями векторов
1:влу = ”влЛё(<Р2+л/2); rB). = t’BxtgY; а,ВАу = а'ВАх1^\(р2 + к/2);
aBy = aBxtgy (2.22)
спроецируем уравнения (2.16в). (2.19в) на оси координат:
»Вх = «’их + 1ВАх'- »Вх tgY = ° Ay + »вах tg (ф2 + л/2);
5 авх = аАх-авАСо$Ч>2 + аВЛх; aBxtgy= (2.23)
= аАу—аВл sin(p2 + «'B4xtg((p2 + n/2).
Эти уравнения позволяю! рассчитать все искомые проекции
скоростей и ускорений. В частном случае, когда ф2 = 0 или
* 1’вих = 0 и поэтому vBx = vAx. Так как cBy = vAy + vBAy, то
vBAy=l'Bx ^-vAy = vAxlgJ-vAy; (2.24)
«влх = 0; аВх = аЛх — аВлсо$(р2; дВЛ). = 0;
"B,="BxtgY; а‘вАу = а‘ВА = аВу-аЛу.
Вектод угловой скорости <о2 звена АВ связан с векторами
гвл и АВ зависимостью
свл = а2*АВ
(х знак векторного произведения). Следовательно,
^вих=-®2(ав)р СвЛу = (л2(АВ)х. (2.26)
Равенства (2.26) используются для определения знака id2 =
= vBAjl2. если 1’влу^В’ vBAy> H#)x = /2COS(P2 одного знака, то
о)2>0, т. е. угловая скорость направлена против часовой стрелки;
при vBA =0 ю2>(), если гВЛх и (A B)v = /2 sinip, имеют разные
знаки. Направление углового ускорения с2 определяется аналогич-
но с учетом соотношений:
а'вл=с2х~АВ; а‘ВЛх= -е2 (АВ)у; а'ВЛу = е2 (АВ)х.
39
SUBROUTINE GRUP1V fVAX.VAY.AAX.AAY.E2,GAMMA.FI2,
*VBX,VBY,ABX,ABY,VX,VY,AT.ATX,ATY.OMG.EPS)
TGAM=TAN(GAMMA)
TFI2=TAN(FI2)
Z=l.E-6
IF (ABS(FIZ).GT.Z.OR.ABS(FI2-3.14159)
*.GT.Z.OR.(FI2-6.2B319).GT.Z) GO TO 2
VX=0.
VBX=VAX
VBY=VBX*TGAM
VY=VBY-VAY
AN=VY*VY/E2
ATX=O.
ABX=AAX-AN*COS(FI2)
ABY=ABX*TGAM
ATY=ABY-AAY
AT=ATY
GO TO 3
2 0=l/TFI2+TGAM
IF (ABS(O).GT.Z) GO TO 4
STOP
4 VBX=(VAX/TFI2+VAY)/D
VBY=VBX*TGAM
VX=(VAY-VAX*TGAM)/O
VY—VX/TFI2
AN=(VX*VX+VY*VY)/E2
ABX=((AAX-AN*COS(FI2))/TFI2+AAY-AN*SIN(FI2))/D
ABY=ABX*TGAM
ATX=(AAY-AN*SIN(F12)-(AAX-AN*COS(F12))*TGAM)/D
ATY=-ATX/TFI2
AT=SQRT(ATX*ATX+ATY*ATY)
3 IF (SQRT(VX*VX+VY*VY).LT.Z) GO TO 6
IF (ABS(VY).LT.Z) GO TO 7
OMG=SIGN(SQRT(VX*VX+VY*VY)/E2,VY*COS(FI 2))
GO TO 8
6 OMG=O.
GO TO В
7 OMG=SIGN(SQRT{VX*VX+VY*VY)/E2.-VX*SIN(F12))
В IF (AT.LT.Z) GO TO 9
IF (ATY.LT.Z) GO TO 10
EPS=SIGN(AT/E2,ATY*COS(FI2))
RETURN
9 EPS=O.
RETURN
10 EPS-SIGN(AT/E2.-ATX*SIN(FI2))
RETURN
ENO
Phc. 2.8
40
Рис. 2.9
Программа на языке ФОРТРАН для расчета скоростей и ускоре-
ний точки В и угловых величин w2 и с2 приведена па рис. 2.8.
Здесь приняты следующие обозначения:
»Ау «Ах “ау ^2 Y
VAX VAY ААХ AAY Е2 GAMMA
<Pz ГВл VBy «Вх аВу i'BAx
EI2 VBX VBY АВХ ABY VX
ГВДу аВАх аВАу аВА «2 c2
VY ATX ATY АТ OMG EPS
Эта программа может быть использована для расчета кинематики
цепи шатун ползун, входящей в любой механизм.
Кулисный механизм (рис. 2.9, а). Абсолютное движение ползут!
2 рассматривается как сумма переносного движения вместе
с подвижной направляющей 1 (кулисой) и относительного
движения вдоль кулисы. Тогда для абсолютной скорости точки
Л г* запишем следующее уравнение (см. теорему 2):
£л2=£лл=£л|'*"£л2л1- (2-27)
где гл,, рл—абсолютные скорости точек А2 и А3; гл, = (01/о,|
скорость точки А{ кулисы, рассматриваемая по отношению
к ползуну 2 как переносная; гл>Л1 поступательная скорость
ползуна 2 (точки А2) относительно кулисы 1 (относительно
точки А^. Графически векюрное уравнение (2.27) представлено
па рис. 2.9, б для случая, koi да входным является звено /. Для
* Индекс указывает припадтсжность точки определенному звену.
41
абсолютного ускорения точки Л2 запишем следующее векторное
уравнение (см. теорему 3):
йл2=йл1+«*+йли1- (2.28)
где aAi ускорение точки кулисы, равное при io, = const
нормальному ускорению аА = u>llOA; ак — кориолисово ускорение
точки A; алл—ускорение1 точки А2 относительно точки
кулисы.
Так как угловая скорость переносного движения <of = (Oi/0,
ю ускорение ак в рассма!риваемом случае отлично от нуля
[см. формулу (2.15)]. Вектор со, перпендикулярен плоскости
чертежа, г. е. моду ib кориолисова ускорения
"1 = 203,1^, =2wt («,«3)рР,
где ц,,— масштабный коэффициент плана скоростей; ака3— отре-
зок плана (рис. 2.9, б). Направление ускорения ак получают,
учитывая, что это результат векторного произведения: вектор
ак направлен в ту сторону, в которую окажется направленным
вектор скорости гЛ2Л1, если его повернуть на 90° по направлению
угловой скорости (Df = (D,.
План ускорений для кулисного механизма (рис. 2.9,в) построен
согласно (2.28) и уравнению
где а”АО и а'Ло —нормальное и тангенциальное ускорения ючки
А О1носительнЬ точки Ot.
Большинство рычажных механизмов состоит из входных
звеньев, стойки и двузвенпых кинематических цепей типа 2-3 на
рис. 2.3, 2.6, 2.9. Поэтому выполненные выше расчеты и построе-
ния являются отдельными шагами при определении скоростей
и ускорений более сложных механизмов. Например, ведомая
кинематическая цепь 2-5 механизма па рис. 3.5, а аналогична
цепи 2-3 на рис. 2.3, а и цепь 3-4 (см. рис. 3.5, а) аналогична
цепи 2-3 на рис. 2.6.
При кинематическом анализе такого механизма (см. рис. 3.5, а)
сначала рассматривают цепь 2-5 и по уравнениям типа (2.16)
для скоростей и (2.18), (2.19) для ускорений находят vc
и ас (см. вектор р,.с па рис. 3.5,б). Величины ив и ав
точки В звена АВС определяют па основании третьего свойства
планов. Затем записывают и решают уравнения типа (2.16в)
и (2.19в) для цепи 3 4
vd — г в + гпв; = +
в которых скорость гв и ускорение ав известны как результат
предыдущего расчета цепи 2-5. Решения всех векторных уравнений
выполняются либо графически, либо аналитически с помощью
программы типа представленной на рис. 2.8.
42
ГЛАВА 3
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Движение звеньев любого механизма происходит под действием различных
по своей природе сил. Установление общих зависимостей между силами
и параметрами движения (перемещениями, скоростями и ускорениями) составляет
главную цель динамических расчетов.
Задача динамического анализа— найти законы движения звеньев при известных
силах и моментах сил, массах и моментах инерции звеньев; кинематические
характеристики механизма считаются определенными в ходе предыдущего кинема-
тического анализа. Обратная задача динамическим синтез: здесь требуется
обеспечить заданное движение рабочих звеньев, подбирая их инерционные
параметры, силовые воздействия и кинематические характеристики.
Эти задачи решают при определении сил, действующих на звенья механизмов,
расчете мощности двигателей систем автоматики, ЭВМ. следящих и иных приводов,
ретулировании скорости движения звеньев механизма, расчете быстродействия.
Методы решения задач динамики могут быть аналитическими, графо-аналити-
ческими и экспериментальными (исследование моделей или натурных образцов)
и основываются на энергетическом анализе системы, применении принципа
Даламбсра или уравнений Лагранжа, исследований аналогий в различных
приближениях, в том числе вероятностных.
Пренебрегая деформациями звеньев и влиянием зазоров в кинематических парах,
для машины с одной степенью свободы ищут закон движения ведущею звена
(например, ротора электродвигателя), а законы движения ведомых звеньев определяют
кинематически по известным функции положения и передаточным функциям.
Динамическая расчетная модель такой системы состоит из одного звена («звено
приведения»), которое условно считается обладающим переменной массой («приведен-
ная масса») и которое движется под действием расчетной условной силы («приведенная
сила»). Приведенная масса обобщенная инерционная характеристика механизма;
приведенная сила заменяет реальные действующие па звенья силы и моменты сил.
Поставленная так динамическая задача решается с помощью уравнений Лагранжа
второго рода Те же уравнения используются и при нескольких степенях свободы.
Достоверность решения во многом зависит от правильного учета механической
характеристики двигателя: для установившегося движения в математической
модели используется статическая механическая характеристика, а при резких
изменениях сил и их моментов динамическая.
§3.1 . СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗВЕНЬЯ
Определение действующих на звенья сил имеет важное практи-
ческое значение как для обеспечения заданного движения меха-
низма, так и для расчета звеньев па прочность, жесткость
и износостойкость. На рис. 3.I показаны силы и моменты сил*,
которые действуют па звенья 1 ... б механизма в одном из его
положений (ведущее звено 1 зубчатой передачи 1-2, ведомое—
ползун б).
Все силы и моменты сил, которые могут действовать па
звенья механизмов, удобно классифицировать следующим об-
разом (рис. 3.1).
* Основное обозначение для сил F (англ, force), для моментов сил — И
(англ moment) и для вращающих, или крутящих, моментов— Т (англ, torque).
Для более компактной записи формул далее используется одно обозначение для
моментов—М, сели это не приводит к недоразумениям.
43
Рис. 3.1
силы—это силы воздействия соеды па
Движущие силы Fa
и .моменты сил Тл,
приложенные к веду-
щим звеньям механиз-
мов и обеспечивающие
заданное движение.
К ним относятся кру-
тящий (вращающий)
момен г, развиваемый
электродвигателем, да-
вление воздуха на по-
ршень пневмодвигате-
ля и т. д. Например,
к шестерне 1 приложен
момент Гд, развивае-
мый электродвигате-
лем. В измерительных
приборах движущие
чувствительный элемент;
закон изменения движущих сил в этом случае определяется
измеряемыми пар метрами.
Силы Fp и моменты сил Л/р полезных или рабочих сопротивле-
ний. приложенные к ведомым звеньям. Для преодоления этих
сопротивлений и предназначен механизм. К полезным сопротивле-
ниям, например, относятся давление газа или жидкости па
поршень насоса, силы сопротивления перемещению носителей
информации. Так, механизм, показанный на рис. 3.1, предназначен
для преодоления силы сопротивления Fp, которая приложена
к ведомому ползуну 6 и направлена противоположно скорости
его движения.
Вредные сопротивления, вызывающие непроизводительную за-
трачу движущей энер1ии. Эго главным образом силы зрения
Ff и моменты Mj сил трения в кинематических парах.
Силы тяжести G, приложенные в центрах масс звеньев.
Эти силы могут как способствовать, так и препятствовал ь
движению в зависимости oi направления скорости их центров
масс. Работа сил тяжести за один цикл движения механизма
равна пулю, поэтому при решении некоторых задач динамики
их не учил ывают.
Силы FK и моменты сил инерции звеньев, возникающие
при изменении скорости по модулю или направлению. При
движении с большими ускорениями давления звеньев в кинема-
тических парах и напряжения от инерционных на1рузок могут
значилельно превосходить давления, напряжения и силы трения
от действия других сил. На рис. 3.1 показаны силы FK и моменты
М„ сил инерции, которые возникают при движении звеньев (в
данном случае ведущее звено 1 вращается замедленно).
44
Силовое взаимодейст-
вие звеньев в кинемати-
ческой паре проявляется
в давлении на элементы
пары. Определение этих
давлений имеет важное
значение для расчета сил
трения, обеспечения тре-
буемой износостойкости
и прочности.
В инженерной практи-
ке широко применяют механизмы с жесткими звеньями, об-
ладающие одной степенью свободы. Для таких механизмов
методы определения сил и их моментов, приложенных к звеньям
и возникающих в процессе движения, излагаются в классической
теории механизмов [2, 19]. В особо быстроходных, а также
пространственных механизмах с несколькими степенями свободы
возникает необходимость учитывать упругие свойства звеньев,
точность изготовления элементов кинематических пар и другие
особенности.
Система, включающая двигатель М, механизм ПМ и рабочий
орган РО. называется машиной (рис. 3.2,«). Схема машины
может быть и более сложной (см. рис. 3.18, 3.19). Рабочий
орган—это либо отдельное звено (например, рычаг 7 на рис. 0.1),
либо исполнительный механизм, такой, как грейферный па рис. 1.2.
входной вал О которого приводится в движение двигателем
через зубчатый редуктор.
Назначение механизма заключается в преобразовании движе-
ния и сил. Характер преобразования движения определяется
функцией положения и ее производными (см. § 2.2). Связь сил
и моментов сил на ведущем и ведомом звеньях можно найти,
используя понятие mihobchhoto коэффициента полезного действия
(кпд), который равен отношению полезной мощности (на выходе)
к затраченной мощности (па входе):

(3-1)
где Рр. Ря — мощность па валу И рабочего ортана и па валу
1 двигателя (рис. 3.2.а). Мощность Р связана с крутящим
моментом Т и угловой скоростью со равенством
Р=7’со. (3.2)
Учитывая формулы (3.1) и (3.2), а также определение (2.4)
понятия передаточного отношения, для механизма с вращающи-
мися входным и выходным звеньями получим следующую зависи-
мость:
Гц — Г|оэ1т]/оэ11 — /[/щТ],
(3.3)
45
где 7\, Ти—крутящие моменты соответственно на ведущем
и ведомом звеньях; /1П передаточное отношение от ведущего
/ к ведомому // валу.
§3.2 . РАСЧЕТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА И ОСНОВНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
При динамических расчетах в качестве математической модели
чаще всего используют уравнение Лагранжа второго рода [23]
d№q,.) <К SU_
dr d4i
(3.4)
где К и U—кинетическая и потенциальная энергии механизма;
qp qj—обобщенные координата и скорость; t—время; QuJ
обобщенная сила или момент сил от некопсервагивных сил
(соответствует обобщенной координате J=l, 2, ...).
Уравнения (3.4) верны для так называемых голономных связей,
которые ограничивают возможные перемещения звеньев, но не
накладывают ограничений на скорости точек. Механические
системы с неголономными связями рассматриваются в специаль-
ной литературе.
Звенья механизма можно (с достаточной для практических
целей точностью) считать абсолютно жесткими и не учитывать
влияния зазоров в кинематических парах. В этих предположениях
количество обобщенных координат и количество уравнений,
определяющих закон движения, равно числу степеней свободы
механизма; в качестве обобщенных координат целесообразно
принимать перемещения входных звеньев.
Даже механизм с одной степенью свободы (см. рис. 3.1)
представляет собой достаточно сложную динамическую систему:
его звенья, имея определенные массы и моменты инерции,
нагружаются при движении многочисленными силами и момен-
тами сил. Для удобства выполнения динамического анализа
механизм с одной степенью свободы заменяется расчетной
динамической моделью, состоящей из одного звена, которое
называется звеном приведения. На рис. 3.2.6 показано звено
приведения ОгА. которым при динамических расчетах можно
заменить механизм, изображенный на рис. 3.1. При такой услов-
ной замене считается, что звено О2А обладает приведенной
(расчетной) массой жп, сосредоточенной в какой-либо точке,
например А, и па него действует приведенная (расчетная) сила
Fn. Энергетические параметры механизма и его расчетной ди-
намической модели идентичны. Приведенная масса т„ является
обобщенной характеристикой инерционности механизма, а дей-
ствие приведенной силы Fn энергетически эквивалентно действию
всех сил, приложенных к звеньям механизма. Параметры тп
46
и /•„ являются функциями положения звена приведения, а иногда
и времени. Для звена приведения на рис. 3.2,6 уравнение (3.4)
можно записать в следующей форме:
|3'5)
где .v и v-- перемещение и скорость точки А, в которой считается
сосредоточенной масса тп.
Так как звено приведения на рис. 3.1 вращается относительно
неподвижной точки О2, го часто вместо расчетной динамической
модели (рис. 3.2.6) удобнее использовать мотель на рис. 3.2,в.
Здесь обобщенная характеристика инерционности механизма —
приведенный момент инерции J„, а приведенная сила заменена
приведении м вращающим моментом сил Тп. Параметры динами-
ческих моделей (рис. 3.2,6, в) связаны соотношениями:
ЛK=fjOiA.
Уравнение движения для динамической модели механизма
(рис. 3.2,1?) аналогично уравнению (3.5):
J"t + °’5gw2 = ^ <36>
где <р и (о = оэ2 — угловые перемещение и скорость звена приведения.
Дифференциальные уравнения (3.5) и (3.6) движения механизма
могут быть решены относительно параметров v и то и, таким
образом, определяется закон движения звена приведения ф =
=J(jo(r)d/. Зная эту функцию, можно рассчитать параметры
движения выходных звеньев механизма по кинематическим зависи-
мостям. которые рассмотрены в предыдущей главе. Например,
в формулу типа (2.12) подставляется не постоянное значение
угловой скорости входного звена, а функция со1=(о1(г).
В ряде частных случаев вместо общих зависимостей (3.5)
и (3.6) используют уравнение движения, полученное на основании
теоремы об изменении кинетической энергии:
0.5Jn2oi2 —O,5JnltDi = РИд— И;, (3.7)
где JnV и (Oj приведенный момент инерции механизма и угловая
скорость звена приведения в начальный момент времени; Ju2
п <о2 - го же, в конце рассма i риваемого времени движения; 1УД
и И'с— работа соответственно сил движущих и сил сопротивления
за то же время.
§3.3 . ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ И МОМЕНТОВ СИЛ
Приведенная сила F„ (или момент Тп) механизма, как показано
в предыдущем параграфе, заменяет действие всех силовых
нагрузок на звенья.
47
Аналитический расчет. Приведенная сила определяется из
условия, что ее мгновенная мощное: ь равна сумме мгновенных
мощностей всех приводимых сил Fj и моментов сил
действующих на звенья механизма:
(3.8)
J
Так как мощность рассчшывагот по формулам
Р (/}) = Ffj cos (F%); Р [М]) = (3.9)
то из выражения (3.9) следует:
F„ = [t’Cos(Fnr)] ‘EE^cos^t'J+A/^.], (3.10)
j
л
где г и Vj—скорости точек приложения сил F„ и Fp (F„L’) = an,
Л
(FjVj) = a-- углы между соответствующими силой и скоростью;
Wj угловая скорость звена.
Линию действия силы F„ выбирают при построении расчетной
схемы; чаще всего угол а„ принимаю! равным пулю, и тогда
формула (3.10) имеет вид
F„ = г ~1 £ (FjVj cos + Мр^). (3.11)
j
Аналогично, приведенный момен! сил
гп = “ ’ E(fAcosotj + jW?b)- <3-12)
j
В формулах (3.11) и (3.12) отношения vyt = d.Vj/d.v, a^/i^dtpj/d.v,
гу(о = б.$уб(р, <в/оэ = бф7/бф первые передаточные функции меха-
низма (аналоги скоростей), где .sj — перемещение; ф,— угол пово-
рота. Поэтому приведенные силы Fn и момент Тп завися! как
О! внешних нагрузок, гак и от свойств механизма.
Рели в механизме все звенья вращаются, то, заменяя действую-
щие на механизм силы их крутящими моментами относительно
осей вращения, получим более простую расчетную формулу
Tn=G)-1 Е Е W»= Е (3.13)
j j
где i„j - передаточное отношение от звена приведения к звену j.
При расчетах приведенных силы Fn и момента Т„ иногда
необходимо учесть потери па трение. Однако не на всех этапах
расчетов имеются данные, позволяющие вычислить силы трения.
48
Влияние трения можно приближенно учесть с помощью формулы
(3.3). Если, например, к ведомому звену 2 зубчаюю механизма 1-2
(см. рис. 3.1) приложен крутящий момент Т2 сил сопротивления, а кпд
механизма— г). то расчетный крутящий момен! на ведущем звене 1
Л = Л('12П) *- (3.3а)
▼ Получим выражения для расчета величин /•’„ и Т„ в координат-
ной форме, рассматривая общий случай пространственного движе-
ния. Тогда расчетные формулы, аналогичные (3.11), (3.12). можно
вывести, рассматривая мощность как скалярное произведение
векторов:
P=F-v = Fxvx + Fyvy+Fa-.; (3.9a)
P=M • to = + Mywr + V/Z(o_, (3.96)
где (Fx, Fy, Fz). (t\. r}„ pz). (Mx, My, Mz), (n\, fov, co.) проекции
соответствующих векторов на оси декартовых координат.
Подставив равенства (3.9а), (3.96) в исходное соотношение (3.8).
получим:
Fn = «• ' Е(FXjl'Xj+Fyjv>j + Fzjvzj + Mxiaxi+Myi(£>yj + =
= *=xr..- (3.1 la)
J * \ /
rn = “ 1 E Е(^,1’ъ + ^Ч;) =
j к
= EEpKj^+^/r\ <312a)
j т \ 9<p у
d.v, d<pH d<pt( dstJ
где —, , —, —аналоги скоростей, полученные при
di d.v d<p dtp
кинематическом анализе и нс зависящие от закона движения;
при выводе этих зависимостей принято, что линия действия
силы F„ совпадает с линией действия скорости точки ее
приложения.
Формулы (3.11а), (3.12а) используются не только при простран-
ственном расположении сил. по и во всех случаях координатного
задания векторов сил, моментов сил и скоростей. А
Пример 3.1. Най>и избыточный момент на валу ведущей шестерни 1 системы
(см. рис. 3.1). Известны все указанные иа рис. 3.1 силы и моменты сил; трением
можно пренебречь; необходимые для расчета кинематические характеристики
считаются известными.
Решение. На звенья механизма дейсгвуе! плоская сисл ма сил и моменюв:
момент Т* дви1аге.1я. силы тяжести (j/ и инерции моменты сил инерции
/=2, ... 6. а также сила полезного сопротивления Л’р; силы Ff и моменты
Му (рения нс приняты в расче! но их малости.
Избыточный момен! — по а исбраичсская разность
ДГ=7',-ГПС (3.14)
49
Рис. 3.3
дикулярны плоскости О2ху: «) (0; 0: <о, = о),
ражение для расчета Тт будет таким:
движущего момента Тл и при-
веденного к валу О, двигателя
момента Тас сит сопротивления,
который в общем случае на-
правлен против угловой скоро-
сти ведущего звена 1. Чем
меньше избыточный момент,
тем более равномерно при про-
чих равных условиях вращается
ведущее звено.
Приведенный момент Тт
заменяет все рассматриваемые
силовые воздействия, кроме мо-
мента Г,. Найдем Тпс, исполь-
зуя формулу (3.12а). Так как
и механизм и система сил —
плоские, векторы угловых ско-
ростей и моментов сил перпен-
А/(0: 0; Мг = М). Следовательно, вы-
{56 т
Z Wh/0>+ Z ^нл>)^х>+(^+^»/)чад] + /Гр«:»Л (3.15)
У=1 j-2 J
где <Oj—угловые скорости звеньев; vSxJ. vSfJ проекции скорости vSj- центра масс
Sj звена _/; гп -скорость ползуна 6. параллельная оси г.
Зависимости (3.14) и (3.15) дают решение задачи.
Графо-аналитический метод расчета приведенной силы. В общем
случае, когда звенья механизмов совершают сложное движение,
расчеты приведенных силы и момента по формулам (3.11) и (3.12)
могут оказаться громоздкими (нужно определить значения скоростей
многих точек и звеньев). Для плоских механизмов этих трудностей
можно избежать, применив графо-аналитический метод «рычага»
Н. Е. Жуковского. Рычагом Жуковского (рис. 3.3) называют план
скоростей механизма (с точкой опоры в полосе р',), повернутый
относительно pv в любую сторону на 90° *. Такой план скоростей
считается жесткой системой, которая шарнирно закреплена в точке
p'v. Согласно теореме Жуковского, рычаг находится в равновесии,
если к нему в отображающих точках ** приложены силы которые
заменяются приведенной силой Fn, а также уравновешивающая сила
Fy=-Fn. (3.16)
Аналитически утверждение теоремы можно записать так:
(3 17)
j
Так как пока рассматриваются только силы, то общее выражение
(3.8) с учетом (3.16) заменится равенством
* Можно поворачивать на 90 нс план скоростей, а приложенные к механизму
силы.
** См. § 2.3.
50
Ж)+ЕЖ) = °- (3.8a)
j
Сравнивая формулы (3.17) и (3.8a), видим, что доказываемая
теорема верпа, если момент силы Fj па рычаге Жуковского
пропорционален ее мгновенной мощности, т. е.
*Л^,)==^(Л) (3.17а)
где к коэффициент пропорциональности.
Рассмотрим звено механизма (рис. 3.3, а), скорости vA и
точек Л и В которого известны; к звену в точке С приложена
сила Fj. План скоростей рассматриваемого звена построен на
рис. 3.3,6; соответствующий рычаг Жуковского представлен на
рис. 3.3, в. Момент силы Fj относительно точки р'г
МР\. (Fj}=Fj (p'v-Q = Fi M cosay.
Так как отрезок (/м) изображает скорость ve точки С. го
Тогда
Мр\. (Fj) = Fi )cos =(1 Ф.) P (Fj )
Следовательно, равенство (3.17a) справедливо; значит, верна
и теорема (роль коэффициента пропорциональности к nipaei
масштабный коэффипиен г плана скоростей р,,).
Теорема Жуковского может быть использована и в случае,
когда к звеньям механизма приложены не только силы, но
г моменты сил. Представим момент М, действующий на звено
1В (рис. 3.4,а), в виде пары сил F=M:(AB) и перенесем их
в точки а и b рычага (рис. 3.4,6); заменим пару сил F моментом
M' = M(ab}i{AB}^kjM, (3.18)
который будет одним из членов уравнения равновесия рычага.
Момеш М' называется приведенным к рычагу Жуковского
моментом сил, a к}=(аЬ\(АВ) коэффициентом приведения дейст-
вительных моментов сил к рычагу Жуковского (/ номер звена).
Формула (3.18) определяет лишь модуль М'\ направление этого
иск юра находится при переносе сил F па рычаг; моменты М и М'
могут быть направлены одинаково (рис. 3.4, б) или противоположно
(рис. 3.4, в).
Пример 3.2. Найти приведен-
ную силу механизма подачи пер-
i|n>Mipi ЭВМ (рис. 3.5.н). Движе-
ние oi ведущего звена кривоши-
нн / передается к рабочему ор-
пшу ползуну 4. который пере-
мещав । перфокарту в считываю-
щем устройстве. Основные силы
Н1>иеш1я нагрузка приложенная
к штупу, силы тяжести звеньев
Ь <>, и силы инерции F„,
/-„4. /'„s, момен|ы сил инерции
и.. WBJ и Ми5.
Рис. 3.4
51
Рис. 3.5
Решение. План скоростей, построенный для данного положения механизма,
представлен па рис. 3.5,6. В качестве звена приведения выбираем кривошип /;
линию действия приведенной силы Ри примем совпадающей с линией действия
скорости Vj, точки А кривошипа; так как приводятся силы сопротивления, то
сила Р„ направлена против скорости тд, а уравновешивающая сила Fy по
этой скорости. Заданные силы и моменты сил перенесем на рычаг Жуковского но
установленным правилам. Составив уравнение равновесия рычага Жуковского
(рис. 3.5,в). найдем уравновешивающую (приведенной) силу заданного механизма
1 [7-pAp + (-G2/i2-G3/i3-G\/iJ ь(Л.2Ли2 + Л<.Лз-^иЛ4 I /и5Л„5) +
+(-w'2+.w;34 vr„,)].
Размеры плеч h всех сил берут непосредственно с чертежа рычага Жуковскою,
а моменты сил М'л вычисляют по формуле (3.18).
§3.4. ПРИВЕДЕНИЕ МАСС И МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ЗВЕНЬЕВ
Приведенная масса механизма (мера его инерционности)
условно приписывается звену приведения, обычно ведущему. Этот
параметр характеризует сопротивляемость механизма всякому
изменению скорости движения.
52
Приведенной массой называют (акую расчетную массу, кото-
рая, будучи сосредо точенной в какой-либо точке звена приведения,
обладает юй же кинетической энергией, что и весь механизм.
По теореме Кенига [23] кинетическая энергия твердого тела
tf=0,5/nr.? + 0,5Js<o2,
где т - масса тела; Js—момент инерции его относительно
центра масс S; гх абсолютная скорость ючки S; то—угловая
скорость тела. Полная кинетическая энергия плоского механизма,
состоящего из п звеньев, среди которых одно неподвижно (стойка).
Км="£ *>0,5 "f (3.19)
j-i j=i
Кинетическая энергия звена приведения, приведенная масса кото-
рого сосредоточена в точке А (см. рис. 3.2, я),
Кп = 0,5шпг2, (3.19а)
где v = vA—скорость точки А, к которой приведена масса.
Приравнивая выражения (3.19) и (3.19а), получаем зависимость
для расчета приведенной массы
= £ (m^j+Jsj^]). (3.20)
1=1
Для звена приведения на рис. 3.2,6, вращающегося с угловой
скоростью 102 = (0. кинетическая энергия
Kn = 0,5./n(o2, (3.196)
где Jn — приведенный момент инерции механизма. Ею значение
с учетом формулы (3.19)
./п = (0“2 £ {mji Zj + JspnJ). (3.21)
।
Для плоского механизма, все звенья которого вращаются относи-
тельно осей О/, проходящих через центры масс Sj, формула
(3.21) принимает вид
Jn = G)-2 "£ Jo = (3.22)
j=i J j=t
где Jo_—момент инерции звена ошосигельно оси вращения Оу,
i„i—пёредаточное отношение о г звена приведения к звену /.
Например, для зубчатого механизма I—2 па рис. 3.1:
1 “ 1 "Ь t 2 •
Приведенные массы и момент инерции —функции положения
механизма и зависят от положения звеньев, по не зависят от
их скоростей и ускорений, так как в формулах (3.21) и (3.22)
отношения rSj!v, <оДг!, гоДго —первые передаточные функции
(аналоги скорое i ей).
53
Приведенная масса (момент инерции)
переменна, в частности, для бол1»,1ГИ,,ст-
ва рычажных и кулачковых механизмов.
Если отношения р$/г, со/1’ <или
оу.ю) при движении мехаиИзма пе
изменяются, го приведенные масса
и момент инерции также постоянны Для
механизмов, преобразующих вращатель-
ное движение во вращательное же- масса
»i„=const (или J„=const), если переда-
точное отношение этих механизм08 по-
стоянно. Это. например, многие фрикци-
онные, ременные и зубчатые переЛачи-
При выполнении практических Рас*
четов приведенных массы тп и момента
инерции Jn но формулам (3.20) и (3.21) массы и моменты
инерции JSj звеньев обычно известны. Параметр Jsj может быть
найден также экспериментально или аналитически:
Лу=Ш P(v, г, r)r2d.vdydz;
здесь р — плотность; г - расстояние от данной точки (х, У* ДО
оси, относительно которой определяю! момент иперпии-
В точной механике часто первостепенное значение имеют
быстродействие, малое время разгона и торможения. Повышение
быстродействия может быть достигнуто путем уменьшения при-
веденного к валу двигателя момента инерции всего механизма,
т. с. уменьшением ею инерционности.
Пример 3.3. Привод системы автоматическою pci улирования naPdx?e,P°5
технологическою процесса состоит из двшатсля и двухступенчат!! зубчатой
передачи (рис. 3.6. а). Моменты инерции звеньев относительно их осей вращения
колеса / с валом / J, =30 кг мм2, зубчатых колес 2 и 3, наса*снных на
промежуточный вал II /2 , =840 кг мм2: колеса 4 с рабочим валом 111
J4= 1400 кг-мм2. Передаточные отношения г12=4, /,4 = 5; общее всре',1а1очнос
отношение io=/12i34 = 20. Требущся определи 1ь приведенный момент инерции
редуктора относительно оси вращения колеса / вала двигателя и исследовать
возможность снижения инерционности механизма.
Решение. Пользуясь формулой (3.22), получим
.7nl=y1+J2 3/122 + 74i;2 = 30 ! 840 42+1400 202 = 86 кг мм2.
На значение приведенного момента инерции существенное влияние окатывают
быстроходные звенья. При заданном общем передаточном о сношении минималь-
ное значение J t можно получить путем более рациональною выбора iiePcaaT04'
ных отношении ci у пеней.
Обозначим J,, J2. Jit моменты инерции соответствующих зубчатых
колес; моменты инерции валов, подшипников и друтх мелких деталей из-за их
относительной мдлоши пе учитываем. На основании формулы (3.22) имеем
Л,1=*Л ♦ (^z+^.'l’iz2
Так как в первом приближении зубчатое колесо можно расематр11Ват1‘ ка4к
сплошной диск диаметром <1. го ею момент инерции nponopm«’m,eH “ •
Поэтому выражение для Jnl примет вид
54
[‘Л +(^2+^j)/i22 (3.22a)
где k коэффициент пропорциональное!и.
Для большинства зубчатых передач точной механики размеры шестерен
/ и 3 можно принять одинаковыми dl^.di. Диаметры ведомых колес 2 и 4
4z = 112’ ^4 = 4д34 == dt io. ii2.
Подставив ли равенства в формулу (3.22а), получим следующую функцию:
Л11=^1 О +,12 + ,122 + (*т724)*
условие минимума которой:
<,Л1/<,'12 = А‘/4(2'12-2'Г2'’-4'Г2!!^) = 0; /%-тЬ = 2'о-
Приближенное решение последнего уравнения при i12>2
'12 = V2'2- (3.23)
Таким образом, быстродействие привода^ двухступенчатой зубчатой переда-
чей можно увеличить, уменьшая приведенный момент инерции J оптимальным
выбором передаточных отношений ступеней: согласно формуле “(3.23). ( =3,05,
передаточное отношение второй ступени Ц4 = 4/Л, = 20'3 05 = 6,56. Во можно, что
приведенный расчет нужно будет повторить несколько аз, так как при изменении
передаточного отношения ступеней меняются и моменты инерции зубчатых колес.
3.5. ДВИГАТЕЛИ И ИХ МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Источником движущих сил являются электрические, пневма-
тические, гидравлические и пружинные двигатели. По назначению
двигатели подразделяют на приводные и исполнительные (упра-
вляемые). Первые используются в приводах, основной рабочий
период которых - установившееся движение. Исполнительные дви-
гатели предназначены для выполнения команд управления.
Минимальную массу на единицу Мощности имеют пневмодви-
гатели (кривая 3 на рис. 3.7), но с их помощью трудно обеспечить
высокую точность движения и регулирование скорости; сжимаемость
воздуха часто приводит к возникновению автоколебаний: к тому же
требуется компрессор и относительно высок уровень шума. Поэтому
в случае жестких требований к массе привода предпочтение отдают:
при мощности до 40 Вт - электродвигателям (кривая /), а при
большей мощное I и — гидро-
двигателям (кривая 2).
Электродвигатели рациона-
льно применять при необхо-
димости обеспечения на рабо-
чем органе ускорений до
2 рад/с . Рели нужно иметь
большие ускорения и длитель-
но действующие большие вра-
щающие моменты, го приме-
няют гидродвигатели.
В переносных приборах ча-
сто используют пружинные
55
двигатели, вращающий момент которых обратно пропорционален
углу поворота <р ведущего валика (рис. 3.8, а).
Электродвигатели получили наиболее широкое распростране-
ние. Развиваемый ими крутящий момент Тд зависит от угловой
скорости в) ротора. Эта зависимость Тл =ТК (<в) называется
механической характеристикой двига геля.
Весьма важными параметрами электродвигателей, особенно
при повторно-кратковременном режиме работы, являются крат-
ность пускового вращающего момента Тп по отношению к по-
минальному моменту Т„
L ~Т 1 Т
Лтт ' III 1 н
и электромеханическая постоянная времени пуска двигателя zM.
Электромеханическая постоянная времени количественно харак-
теризуй быстродействие двигателя. Физически величина tu равна
времени разгона двигателя до частоты вращения п = 0,633пх. где
пх частота вращения при холостом ходе. Для исполнительных
двигателей наряду с zM рассматривают время ZH разгона двигателя до
половины частоты вращения холостого хода. В табл. 3.1 приведены
значения электромеханической постоянной zM для асинхронных
элек I родвигателей малой мощности при круговом магнитном поле.
Для двигателей постоянного тока величина 1М обычно несколько
больше, чем для асинхронных двигателей с немагнитным полым
ротором. Чем меньше постоянная ZM, тем быстрее будут протекать
переходные процессы и тем скорее наступит установившийся режим.
Таблица 3.1. Значения электромеханической постоянной
tm, с, асинхронных электродвигателей
Тип электро 1ви1 а 1еля Частота тока, Гц
50 400—500
С немагнитным полым роторох! 0.006 0.03 0.025 0.1
С короткозамкнутым роторох! 0.2 -1,0 0.3 1,5
С ферромагнитным ротором 1.0 -2.0 1.0 3.0
56
Опыт эксплуатации электродвигателей в счетно-решающих
устройствах, автоматических системах и других показывает, что
час юта пуска и реверса элект родвигателя может достигать 10 раз
в секунду и более. Для подобных режимов работы электромехани-
ческая постоянная времени /м должна быть меньше 0,1 с. Для
сокращения времени пуска необходимо имет ь как можно меньший
приведенный момент инерции механизма и большую кратность
пускового вращающего момента. Последнее приобретает особое
значение, когда сопротивление от сил iрения в узлах привода
при пуске значительно превышает расчетное сопротивление при
установившемся режиме.
Остановимся кратко па общей характеристике распространен-
ных электродвигателей малой мощности. В точной механике
применяют в основном двигатели переменного (асинхронные
и синхронные) и постоянного гока и коллекторные универсальные.
Асинхронные двигатели просты по конструкции, надежны
в эксплуатации, имеют наименьшую стоимость и могут непосред-
ственно включаться в сеть переменною тока; однако их кпд.
ниже, чем у синхронных двигателей и двшагелей постоянного
тока. Асинхронные двигатели составляют около 90% всех
электродвигателей, применяемых в системах автоматики и ЭВМ.
Рабочая часть статической механической характеристики* нере-
гулируемых асинхронных двигателей— прямая 1 (рис. 3.8. б).
В качестве силовых используются трехфазпые асинхронные
двшатели, однако их быстродействие мало. Трехфазные двигатели
серии АОЛ имеют мощность от 50 до 600 Вт и синхронную
частоту вращения до 3000 об/мин.
При необходимости регулировать частоту вращения, например
в сервоприводах, используют управляемые асинхронные двигате-
ли. В качестве исполнительных чаще всего использую гея двухфаз-
ные асинхронные двигатели с немагнитным полым или ферро-
магнитным ротором. Эти двигатели имеют две статорные
обмотки: па одну обмотку (возбуждения) подается напряжение
постоянной амплитуды и фазы, а на другую обмотку (управле-
ния) переменный но амплитуде и фазе управляющий сигнал.
Ротор вращается только в случае, когда на обмотке управления
имеется соответствующий сигнал, о г амплитуды и фазы которого
зависят скорость и направление вращения ротора двигателя.
Промышленность выпускает несколько серий двигателей с не-
магнитным полым ротором (АДП, ЭМ, ДИД и др.) для частот
50. 400, 500, 800 и 1000 Гц. С увеличением частоты тока вес
и размеры двигателя уменьшают ся, а номинальная чае ю га
вращения увеличивается. Эти двигатели обладают следующими
* Статическая механическая характеристика это функция Тл = 7а(со) при
ус1ановиншемся цвижении, i.e. при медленном изменении параметров системы,
в юм числе внешней huiручки (<»»—угловая скорость ротора).
57
достоинствами: малый момент инерции ротора и высокое быстро-
действие; широкий диапазон регулирования 100...200);
быстрый реверс; плавность и бесшумность хода. Недостатками
их являются низкий кпд, большая масса и габариты (в 2—4 раза
больше, чем у двигателей с короткозамкну i ым ротором). Механи-
ческая характеристика двухфазных двигателей с немагнитным
полым ротором приведена на рис. 3.8, б (кривая 1а). Асинхронные
управляемые двигатели с ферромагнитным ротором имею! малый
пусковой момент и низкое быстродействие. Достоинством их
является высокая линейность характрисгик, что обусловливает
использование таких двигателей в автоматических системах.
В ряде исполнительных механизмов автоматики к двигателям
предъявляется требование — работать и в режиме короткого
замыкания. Этим требованиям удовлетворяют электродвигатели
серии ДАУ мощностью от 0,63 до 160 Вт при частоте вращения
2400 об мин.
Так как двухфазные двигатели чаще всего питаются от
однофазной сети, то в цепь их обмотки возбуждения ставится
конденсатор. Такие конденсаторные двигатели при ряде достоинств
обладают одним общим недостатком: их магнигное поле не
является в общем случае круговым, что приводит к неравномерности
угловой скорости в течение одного оборота ро гора и к возникнове-
нию вибраций. Учитывая это, конденсаторные двигатели не мог у г
быть использованы в гех случаях, когда отмеченный недостаток
существен (например, в системах звуко- и видеозаписи).
Асинхронные однофазные двигатели применяют относительно
редко. Кроме недостатков, присущих трехфазным двигателям,
однофазные имеют малый пусковой момеггт (А„=1 . .1,2). В серии
однофазных двигателей АОЛБ имеются двигатели мощностью
от 18 до 600 В г с синхронными частотами вращения 1500
и 3000 об/мин. Механические характеристики одно- и трехфазпых
двигателей аналогичны.
Синхронные двигатели применяются гам, где основное требова-
ние—строго постоянная частота вращения (регистрирующие
приборы непрерывного действия, киноустановки, магнитофоны
и т. д.). Синхронные электродвигатели имеют абсолютно жесткую
механическую характеристику (па рис. 3.8, б прямая 2, со = const).
Наиболее распространены реактивные синхронные двигатели. Они
просты по конструкции, стоимость их относительно невелика.
Другой вид синхронных двигателей гистерезисные, имеющие
большой пусковой момент и достаточно высокий кпд; они
плавно, без рывков входят в синхронизм. Однако ротор гисте-
резисного двигателя вращается неравномерно. В настоящее время
все шире применяются синхронные двигатели с постоянными
магнитами, которые обладают хорошими пусковыми и рабочими
свойствами. По характеристикам эти двигатели близки к синхрон-
ным с обмоткой возбуждения постоянного тока.
5К
Электрод вша гели посгояпиого тока обеспечивают плавный
пуск, реверс и регулирование час го гы вращения в широких
пределах. По сравнению с двигателями переменного гока ошг
имеют более высокий кпд и большую кратность пускового
вращающего момента (Лп = 4... 5, по может доходить до 10); их
габариты и масса меньше, чем у управляемых асинхронных
двигателей. К недостаткам электродвигателей посгояпиого гока
относятся: наличие коллектора якоря, что увеличивает массу
и момент инерции вращающихся частей, а также требует
периодического осмотра и ремонта; при скольжении щеток по
пластинам коллектора создается дополнительный момент сил
трения, возникают искрение, радиопомехи, для снижения которых
приходи 1ся применять специальные фильтры и экранирование;
31 и двигатели нельзя применять во взрывоопасной среде.
Быстродействие привода с двигателем постоянного тока можно
увеличить, используя двигатели с немагнитным полым ротором
и дисковые: эти двигатели выпускаются для мощностей до 2 kBi.
Полый якорь—это пластмассовый полый цилиндр, в который
запрессована обмотка из медною провода; снаружи якоря
расположен внешний статор, а в полости цилиндра внутренний.
Дисковый якорь имеет печатные обмотки, его продольный
размер уменьшается па порядок по сравнению с цилиндрическим
ротором. Момент инерции полого немагнитного и дискового
ротора в 3... 5 раз меньше, чем у традиционных двш агелен.
что и обеспечивает быстродействие привода.
Искрения и радиопомех можно избежать, применяя бесконтакт-
ные двигатели постоянного тока, у которых нет механического
коллект ора — коммута гора.
Маломощные электродвигатели постоянного тока могут иметь
параллельную якорю обмотку возбуждения, независимое и после-
довательное возбуждение. Выпускаются также двигатели с посто-
янными магнитами, которые эквивалентны двигателям с независи-
мым возбуждением. Двигатели с параллельным и независимым
возбуждением имени жесткие механические характеристики (см.
рис. 3.8, б, прямая 3). Двигатели с последовательным возбужде-
нием развивают весьма высокий пусковой момент, обеспечиваю-
щий быстрый разгон привода. Общий вид механической характе-
ристики этого двигателя показан на рис. 3.8, б, кривая 4. Так
как форма кривой 4 близка к гиперболе xr=const, то двигатели
с последовательным возбуждением потребляют из сети примерно
одинаковую мощность при всех стационарных режимах работы
(Tto=P = const). Благодаря этому свойству их используют в транс-
портных системах в качестве тяговых двигателей.
Двигатели постоянного тока позволяю! плавно менять частоту
вращения путем изменения напряжения питания. Так, при умень-
шении напряжения сети частота вращения снижается, чему соответ-
ствует переход от характеристик 3 и 4 к характеристикам За
59
и 4а. В настоящее время созданы двшатели постоянного тока,
в которых можно изменять частоту вращения ротора от 0,1
до 10000 об/мин [1].
Универсальные коллекторные электродвигатели работают как от
сети переменного тока частотой 50 Гц, так и от сети постоянного
тока. Так как коншруктивпо двигатели постоянного тока и универ-
сальные мало отличаются, го последние имеют такие же
механические характеристики и те же достоинства и недостатки, что
и двигатели постоянного тока. Промышленностью выпускаются
универсальные коллекторные электродвигатели мощное 1ью от
нескольких долей ватта до 600 Вт, развивающие относительно
высокий пусковой вращающий момент и допускающие значительные
кратковременные перегрузки. При малых мощностях (порядка 1 Вт)
они имеют большие частоты вращения (30000—40000 об/мин).
В различных электромеханических системах применяют шаго-
вые электродвигатели, которые преобразуют электрические им-
пульсы в угловое (или линейное) перемещение рабочих органов.
Шаговые двигатели используют в выходных устройствах цифро-
вых регуляторов интегрального типа. Они также выполняют
функции цифроаналогового преобразователя, в котором преобра-
зуют числовой импульсный код в угол поворота.
▼ Механические характеристики электродвигателей. При решении
задач динамики нужно знать зависимость крутящего момента
Гп на валу двигателя от ротора и других параметров системы.
Достоверность результатов динамического исследования в значи-
тельной степени зависит от правомерности схематизации динами-
ческих свойств двигателя. Статические механические характеристи-
ки используют в том случае, когда параметры системы, в том
числе внешние нагрузки, изменяются медленно. Характеристики
1 или 3 (см. рис. 3.8, б) в аналитической форме имеют вид
ТД = А-Ва. (3.24)
где А и В - константы.
При разгоне и торможении, а также при резких изменениях
сил сопротивления движению статическая характеристика уже
не отражает действительных свойств электродвигателя. В подо-
бном случае при расчетах параметров движения всей системы
используются динамические механические характеристики. Для
двигателей постоянного тока с независимым и параллельным
возбуждением, которые преимущественно применяются в приво-
дах вычислительных систем и робототехнике, динамическая
характеристика можез быть представлена в следующем виде:
Г,^+Тл+^-^=0. (3.25)
dz Vton
где /э электромагнитная постоянная времени двигателя, с;
v коэффициент крутизны статической характеристики. 1/(Н м):
60
m0—угловая скорость идеального холостого хода двигателя, 1/с.
При построении характеристики (3.25) приняты допущения о по-
стоянном магнитном потоке двигателя при данном токе воз-
буждения и о несущественном влиянии нелинейности щеточного
контакта на элсктрома! нигые процессы в якорной цепи.
Из двигаюлей переменного тока наибольшее распространение
получили асинхронные. Электромагнитные переходные процессы
в асинхронном двигателе описываются сложной системой нелиней-
ных дифференциальных уравнений. В [5] показано, что при
исследовании динамических процессов в механическом приводе
наиболее полной является такая математическая модель:
,2 Jd27'n_ -tasdr.) for,
3 ( d/2 dr dr J 3 [ dr
_5-JT -l + | 1+M Г =2TK-: (3.26)
J dr J у si J л v,
здесь 5 = (оэо — co); coo — скольжение ротора; co угловая скорость
ротора. 1?с; соо угловая скорость магнитного поля, 1 /с; постоян-
ные параметры двигателя: sK, Тк критические значения скольже-
ния и вращающего момента, Нм; /э = ((ОсЛ) 1—электрома! нит-
ная постоянная, с.
Среднее скольжение sm значительно меньше критического и
можно пользоваться линеаризованной динамической характеристикой:
Э+М+М'-'М (з-2ба)
где Gn = G/(l+^); (l+-)i v = ^(l +^)/[2(1 -C2)Tj
Часто, особенно на первых этапах исследования привода,
оказывается, чго модели (3.26) и (3.26а) требуют черезмерной
для этого этапа детализации параметров двигателя. Тогда более
целесообразно использовать упрощенную характеристику, матема-
1ическое выражение которой дифференциальное уравнение
(3.25), где величина v=.sK/(2TK)—условный коэффициент крутизны
статической характеристики. ▲
Расчет мощности двигателя и его выбор. Расчетная мощность
двигателя определяется на основании условия: двигатель должен
преодолевать сопротивления на рабочем ор1ане и в трущихся
парах передаточного механизма, обеспечивая при этом разгон
всей системы (быстродействие) в течение заданного промежутка
времени. Мощность Р на рабочем органе определяется по
формулам (3.9) или (3.9а), (3.96).
Если момент или сила сопротивления изменяются в процессе
движения, то в расчет принимается эквиваленшый момент сил
сопротивления, который определяется как среднее квадратическое
отдельных значений:
61
Т'экв — + + +G + — + 6t)' (3.27)
где Tj, .... Тк— последовательные значения момента сил сопротив-
ления в периоды времени .... tk. В случае непрерывного
изменения момента сил сопротивления эквивалентный момент
Т =
* экв
1 | Г2(г)<1г,
J
о
где tz— общее время цикла изменения момента.
Учет мощности, необходимой для преодоления сопротивлений
в самом передаточном механизме, приближенно может
осуществлен посредством введения в расчет кпд привода
^д = ^Р/По-
Электродвигатель выбирают по специальным каталогам,
торых содержатся их технические параметры. Исходные данные для
выбора электродвигателя: расчетная мощность, которая должна
соответствовать поминальной мощности двигателя по каталогу;
эксплуа гационные условия и требования, предъявляемые к двигателю
(род тока и др.); соответствие механической характеристики условиям
нагрузки (требование постоянства или возможность регулирования
частоты вращения и т. д.). С увеличением частоты вращения
двигателя его 1абари1Ы, масса, момент инерции ротора и стоимость
уменьшаются. Однако при этом, как правило, увеличивается общее
передаточное отношение привода, для реализации которого необ-
ходимо большее число передач. Это увеличивает общий момент
инерции системы и ее стоимость.
(3.27а)
быть
П.,:
(3.1а)
в ко-
§ 3.6. ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ
При рассмотрении движения механизма различают три основ-
ные стадии (рис. 3.9): разгон до номинальной скорости за время
Тр, установившееся движение в течение времени ty и выбег за
время Установившееся движение наиболее продолжительно
и характеризуется равен-
ством работы сил движу-
щих и сопротивлений за
время, кратное длительно-
сти цикла тц. Вследствие
этого мгновенная угловая
скорость со звена приведе-
ния (обычно входного) хотя
и изменяется в пределах от
comin до сотах, однако ее
среднее значение ют = const.
Уравнение движения меха-
62
низма (звена приведения) для любой стадии движения может
быть выражено в дифференциальной форме (3.4) или в виде
изменения кинетической изергии (3.7).
Для системы с одной степенью свободы и жесткими звеньями
математическая модель—уравнение (3.5) или (3.6). В периоды
разгона и торможения, а также при резких изменениях нагрузки
используются динамические характеристики (3.25) - (3.26а),
а в установившемся режиме — статическая (3.24). Если в качестве
звена приведения принять вал двигателя, то дифференциальные
уравнения движения будут такими:
для периода разгона
Jn<b+0,5(cJn/7<p)w2 = Тя-7ПС;
J, Тп + та = ~ (“ - w0)/(vw0);
(3.28)
(3.29)
для установившегося движения
Jn d)+0,5 (с Ja / д <р) со2 = (А - Вш) - Т„с', (3.30)
для торможения при выключенном двигателе
Jnw+0,5(cJn/fy)(fl2= -Гпс-Гт, (3.31)
где Тпс, Тг — приведенные к валу двигателя моменты сил
сопротивления и тормоза.
Динамические характеристики асинхронных электродвигателей
могут быть введены также уравнениями (3.26) или (3.26а), но
применению более точных моделей должна соо вегсгвовать
и высокая точность исходных данных. Если при установившемся
движении имеют место периодические резкие изменения нагрузки,
го вместо статической используется динамическая механическая
характеристика двигателя.
Пример 3.4. Найти время разгона гр до средней скорости <о11л привода систе-
мы автоматического регулирования (см. рис. 3.6.а). Вал / жестко связан с ротором
двигателя и шестерней 1. на валу ///. закреплен рабочий орган, к которому
приложен момент Тр сил сопротивления
7р= (3.32)
где Г—постоянная составляющая величины Гр; кг- крутизна среднего момента
сил сопротивления; и)ш угловая скорость ведомого вала ///; <0щт—средняя
скорость этого же вала в установившемся режиме. Передаточные отношения
'г: 11 'эд зубчатых колес постоянны.
Решение. Примем за гвено приведения вал 1 (см. рис. 3.6,6). Приведенный
момент инерции JD рассчитывается по формуле (3.22). Так как передаточные
отношения постоянны, то J^consi и Л/п/с<р=0. Приведенный к валу двигателя
момент Гпс сил сопротивлен я рабочего вала (с учетом трения в кинематических
парах механизма) определяется в соответствии с формулой (3.3а)
7'ik= ТД'оПо)
где 10=^2'34 и Чо общие тсрелаточпос отношение и кпд механизма.
Учитывая равенство (3.32), можно записать, что
63
Дифференциальные уравнения
ческо! о регулирования в период ран
Т = Т„„ 1 + г. 1 (Wl “ °l J-
ПС ОрI р4\ 1
тле Лр^^рД'оПо); Ар| = А.р'ч„; «>, = со,,,//„;
0)|П1 = <1>И1га;,0- мгновенная и средняя угловые
скорое! и вала /.
Правую часть динамической характеристики
(3.29) представим в виде
где постоянная составляющая момента дви-
1атсля
7'»4 = (("0-<°lJfcV
крутизна сiатической характеристики двига-
теля А.д=(\'<°о)“'-
ижения рассматриваемой системы автомата-
1 получим из общих зависимостей (3.28) и (3.29):
ЛД= ^-(^pi+A'pi(wi-«i„)); (3 33
Т. + Л'а= г«д-*д(“|-“J-
Постоянные составляющие Гпр1 и Тол приведены к одному валу и поэтому
их модули одинаковы. Исключив ш первого уравнения (3.33) величину 7д,
получим одно дифференциальное уравнение для периода разгона:
+ M'Pi/( *pi + A.J) «13 °>i=Wi™-
|дс tK=J„!(kpi+kJ)— механическая постоянная времени привода в целом. В боль-
шинстве случаев параметр tM»MPi/(Api+AJ, попому окончательное расче1ное
уравнение:
Мм«»1+»мй|-К0|=‘0|Я. (3.34)
Дискриминант характеристического уравнения + <„?-+1 =0 положителен при
Гм>4/,: в злом случае корни характеристического уравнения— действительные
отрицательные числа —8И Z2 = —8,; общее решение задачи о разгоне привода
имеет следующий вид:
‘О|=ю|ш4-С1 ехр(-г61)+С2ехр(-гб2). (3.35)
Константы С, и С2 определяются из начальных условий: например, если
в начальный момент времени г=0 ы—0, Тд=0. г. с. ш = 0, го закон изменения
скорости нрсдставляс1ся зависимостью
Wi=<0|m[l +(б1Схр(-гб,)-82схр(-гб1)).'(82-6|)]. (3.35а)
Качественная картина процесса разюиа представлена на рис. 3.10 (кривая / или
2). В рамках сделанных допущений время достижения поминальной узловой
скорости ш|п1 бесконечно; при практическом использовании решения (3.35а)
принимают, что разгон закапчивается при а>| = 0.95 o>lm. Тогда время радона
рассчитывается из уравнения
0,05 (8, —8,) -t-S, схр(—г62)—62ехр( —/8j)=0.
Если Гм<4г,. ю при выходе на установившийся режим колебания угловой
скорости имеют синусоидально затухающий характер (кривая 3 на рис. 3.10),
амплитуда колебаний превышает среднее значение скорости установившегося
движения [10]. Такой режим разгона, как правило, недопустим, так как резко
уменьшаются надежность и износостойкость системы.
V Влияние деформаций звеньев на динамический закон движения.
Высокие динамическая точность и быстродействие механизмов
требуют уточнения магматической модели и в первую очередь
учета влияния деформаций звеньев и зазоров в кинематических
64
парах. Число степеней свободы в такой
уточненной модели зависи< от того,
какие элеметы считаются податливыми
и зазоры в каких парах учитываются.
Учет зазоров в кинематических парах
приводит к вероятностной модели, ко-
торая требует очень подробных исход-
ных данных. Чаще всего влияние дефор-
Рнс. 3.11
маций звеньев оказывайся более существенным, чем влияние
зазоров. Поэтому остановимся на учете податливости звеньев;
здесь превалирует крутильная деформация, коюрая на порядок
больше изгибпых деформаций (см. § 22.4).
Первое приближение, позволяющее учесть подаишвосгь (не
абсолютную жесткость) звеньев, двухмассная модель (рис. 3.11),
где J, — момент инерции ротора двигателя Д; Jn приведенный
к валу двигателя момент инерции передаточного механизма ПМ
и рабочего органа РО: упрутовязкая связь УС двигателя с переда-
точным механизмом обла аег жесткостью и демпфированием
(коэффициенты и /?Е). Общая жесткость всей системы зависит
от жесткости ct отдельных элементов:
*
j
Так как движение звена приведения в рассма1ривасмой схеме
вращательное, то жесткости отдельных элементов- крутильные,
т. е. представляют собой отношения моментов сил к значениям
вызванных ими деформаций.
Обобщенные координаты расчетной схемы (рис. 3.11) -углы
Фп и <ры поворота вала двигателя и входного вала механизма.
В упруговязком элементе УС из-за наличия разности фд — фм
создается момсн г сил
Л с=(фл - Фм)+(Фд - Фм)-
Уравнения движения получим на основе дифференциального урав-
нения вращательного движения f<p = T и уравнений Лаграпжа (3.4);
И1 Фд = Л “ (Фд “ Фм) - (Фд - Фм); (3.36)
рпФм +°-5 («Л/^Фм) Фм = с£ (фд - Фм) + ^(фд- Фм)+ т»с, (3.37)
где 711С— приведенный к валу двшателя момент сил сопротивле-
ния па рабочем органе. В системе уравнений (3.36), (3.37) три
неизвестные величины; фд, фм, Тл. Добавив к этой системе
механическую характеристику двигателя (3.25) или (3.26), (3.26а),
получим систему трех уравнений с тремя неизвестными.
В общем случае решение дифференциальных уравнений движения
пе выражается в виде элементарных функций; решение ищут в числен-
ном виде с помощью различных приближенных методов. ▲
3 Зак. 740
65
§ 3.7. ТРЕНИЕ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ
Трение возникав! при относительном смещении звеньев, сос-
тавляющих кинема 1ические пары механизма, и представляет собой
сложный физико-химический процесс. Оно проявляется в сопро-
тивлении относительному смещению соприкасающихся поверхнос-
тей звеньев, на преодоление которого затрачивается энергия. Трение
отрицательно влияет на точность механических систем особенно
используемых для автоматического регулирования и измерений.
В зависимости от вида относительного движения звеньев
различают трашв скольжения и кстенич Пусть звено
1 (рис. 3.12, а) перемещается поступательно по звену 2 со
скоростью v. В этом случае трение поверхностей в зоне точки
называется трением скольжения. Если то же звено 1 перекатыва~
егся по звену 2, поворачиваясь с угловой скоростью со относитель-
но мгновенной оси вращения у, проходящей через точ*ку А контак-
га звеньев, то возникающее трение называется трением качения.
Мерой интенсивноеги сопротивления при трении принято считать
силу Ff или момент сил трения Mf. 1
Трение скольжения. Трение скольжения обусловлено в основном
деформациями микронеровностей (рис. 3.12,6) и межатомным
взаимодейс! вием материалов соприкасающихся поверхностей
и разделяющего их слоя смазки. Оно может быть стхзтм,
граничным и жидкостным. При сухом трении между движущимися
поверхностями нег смазки, при граничном—толщина масляной
пленки меньше суммарной высоты микронероввосгей соприкаса-
ющихся поверхностей. При жидкостном трении слой смазки
полностью разделяет трущиеся поверхности, поэтому они не
вступаю! в непосредшвенный контакт друг с другом; условия,
при которых возникает жидкостное трение, а также сопротивление
в этом режиме трения определяю тся на основе гидродинамической
теории смазки [20].
Сила трения скольжения направлена противоположно
относительной скорости — -------- —
скольжения; значение ее зависит от
бб
многих факторов. Однако в случае сухого или граничного трения
с достаточной для практических целей точностью используют
формулу
Ff=,ft'n. (3-38)
где / —безразмерный коэффициент трения скольжения, который
для конкретных условий считается постоянным; /•'„ сила нор-
мального давления между проскалыываюшими поверхностями
(рассчитывается при динамическом анализе механизма). Значение
коэффициента трения скольжения / зависит от материалов
трущейся пары, состояния поверхностей (шероховатость. xapaKiep
обработки), вида и количества смазки, а также скорости скольже-
ния и давления. Типичная зависимость коэффициента от скорости
для пары валик подшипник при наличии смазки представлена
на рис. 3.12,к. Наибольшее значение коэффициент f имеет в на-
чальный момент движения, когда микронеровности элементов
кинематической пары соприкасаются друг с другом (/=0,1 ...0.2),
затем трение переходит в граничное и но мере увеличения
скорости наступает жидкостный режим трепия {fv0,02...0,005).
При жидкостном Iрении во время движения отдельные слои
смазки сдвигаются друг относите шно друга, создавая силу
трения /'=рЛ dr'dz, где ц динамическая вязкость смазки. Па с;
А — площадь сдвигаемого слоя смазки, м2; dг;dz — изменение
скорости по высоте смазочного слоя (градиент скорости). При
расчетах сопротивления движению в режиме жидкостного трепия
в первом приближении используют формулу (3.38); в отличие
от сухого или граничного трения коэффициент /’ жидкостного
трения зависит от динамической вязкости смазки и, следователь-
но, от закона изменения температуры в слое смазки.
Во многих инженерных расчетах приходится учитывать гак
называемый коэфмфициент сцепления f0. Отт характеризует наиболь-
шее сопротивление относительному сдвигу контактирующих по-
верхностей звеньев в мгновение, предшествующее началу движе-
ния. т. е. при их относительном покое. Явление сцепления
широко используется в технике, например во фрикционных
передачах, муфтах и др. Сила сцепления F() определяется по
формуле, аналогичной (3.38): Fo = f0F„. при этом для большинства
материалов f0>f. Значения коэффициентов /0 и / для различных
материалов и условий трепия приведены в табл. 17.1. 24.3
и специальной литературе по вопросам трепия [20].
Рассмотрим сухое (или граничное) трение цапфы валика
в опоре при действии радиальной силы Ё(рис. 3.13). На элементах
контактных поверхностей возникают силы зрения скольжения
dFy, которые зависят от функции распределения давления у = у(а).
Теоретическое и экспериментальное изучение распределения давле-
ния показывает, что в первом приближении, приняв центральный
угол кон такта цапфы и опоры 180 , можно считать q = const.
.3*
67
dFf
q-const
ma,Ct>Sa
Выделим сектор, соогвет-
швующий элементарному уг-
лу da; площадь контакта эле-
мента dA — lrda, где г, I
размеры цапфы (рис. 3.13).
На этот элемент действую!
силы нормального давления
dF„ = qdA = qlrdix и трения
dFz=/dFe=/<?/rda. Сумма
проекций па вертикальную
ось всех сил, приложенных
к цапфе, равна нулю, сле-
дова гельно,
или
Рис. 3.13
(),5я
J (dF„cosa + dfzsina) = F,
0,5*
0,5л 0.5л
qlr[ J cosada+/ J sinada] = F,
-0,5я -0.5п
откуда после интегрирования получаем q = Fi(2!r).
Момент сил трения в опоре
Рис. 3.14
0,Зя
Mf = J dMf = f rdFz= j fqlr2d3.=0,5nfrF-fHrF. (3.39)
(Л) M) -0.5я
Для приработавшихся цапф распределение давления более точно
аппроксимируется функцией cos а (вместо ранее принятой
q = const, рис. 3.13), 1дс ^та, наибольшее давление, наблюдаемое
в центре площадки контакта цапфы и опоры. Тогда в формуле (3.39)
приведенный коэффициент трения /ц станет равным 4//л.
Аналогично определяется момент
сил трения цилиндрической пяты в опо-
ре, которая нагружена осевой силой Fx
(рис. 3.14). Хотя давление q является
функцией радиуса <7 = <7(р), достаточно
точные для инженерной практики ре-
зультаты получают, принимая q- const.
Так как площадь поверхности контакта
валика / и опоры 2 равна л (Л2 —г2),
то давление
0 = ?’я/[л(Я2 —г2)].
Выделим на поверхности пяты эле-
ментарное кольцо шириной dp па
расстоянии р от центра вращения.
Момент сил трения на этом элементе
поверхности
6»
d Mf — pd Fr= p (fqd A) л p/g2npd p.
Интегрируя эго выражение, получим момент сил трения в пяте
R
Mf= f dMf=2nqf\ p2dp=(2i'3]fFx(R3 — r3):(R2 — r2). (3.40)
(Л) о
Трение качения. Трение качения возникает при перекатывании
без проскальзывания одного тела по другому, например при
перекатывании цилиндра 7, нагруженного силой F, по плоскости
2 (рис. 3.15). Современное представление о природе трения качения
исходит из мпогопричипносги возникновения сопротивления.
Поясним суть этого явления. Цилиндр и плоскость при действии на
них нагрузки Г деформируются, в результате чего в зоне контакта
образуется миниатюрная площадка. Эпюра распределения давле-
ний q па площадке контакта при относительном покое тел имеет
симметричный вид (рис. 3.15,47). Однако при перекатывании
цилиндра по плоскости происходи г непрерывная упругая деформа-
ция поверхностных слоев, вследствие чего прежнее симметричное
положение эпюры давлений нарушается (рис. 3.15,6). Если в состоя-
нии покоя суммарная реакция F„ опорного элемента совпадает
е линией действия нагрузки F, то при качении эта реакция смещается
в сторону движения на небольшую величину к. Эго смещение (плечо
грепия качения) и определяет сопротивление перекатыванию.
Уравнения равновесия LA7o=0 при равномерном качении цилиндра
под действием сил F, F„ и движущего момента 7\ позволяют
получить следующую зависимость для момента сил трения качения:
(3.41)
Параметр (плечо) к условно называется коэффициентом трения
качения и выражается в единицах длины. Его значение зависит от
материалов контактирующих тел, твердости поверхностных слоев,
кривизны соприкасающихся поверхностей и условий нагружения.
Потери энергии на трение при качении значительно (на
один-два порядка) меньше,
чем при скольжении. По-
этому при проектировании
механических систем стре-
мятся заменить трение ско-
льжения трением качения
(например, используют под-
шипники качения, шарико-
вип । овые механизмы и др.).
Расчет сил и моментов
сил 1 рения в различных уз-
лах рассматривается далее
при изучении отдельных ме-
ханизмов.
69
Рис. 3.16
V Влияние треиня на точность
действия механизмов. В приборах
силы трения вызывают не только
энергетические потери, но оказы-
вают также отрицательное вли-
яние на точность их действия.
Рассмотрим это влияние па при-
мере гальванометра (рис. 3.16).
На рабочем валике 1 жестко
закреплена стрелка 2 для отсчета
но шкале 3 значений измеря-
емого параметра. Валик повора-
чивается на угол ф под дейст-
вием крутящею момента Тя. который возбуждается при измере-
нии электромагнитными устройствами прибора. Упругий элемент
(пружина) 4 создает противодействующий момент сил сопротив-
ления 7’с, автоматически фиксирующий положение измерительной
стрелки. Если трение в механизме прибора не учитывать, го
процесс измерения заканчивается при условии Тд=7'с. Момент
7'д = Гд(х. ф) функция двух переменных: измеряемого параметра
к и угла поворота стрелки ф. Значение момента Т^ТЦф)
зависит только от угла ф; чаще всего эта функция линейна:
7’с = ^ф.
Рассмотрим переход от измерения величины x=Xi. чему
соответствует угол ф, поворота стрелки, к измерению x2 = Xj+Ax,
когда ф2 = ф1 + Дф. Условия равновесия стрелки прибора без
учета сил трения имеют вид:
при .v=%i 7д(л1; ф1) = Аф1: (3.42)
при x=Xj+Ax 7д(х2, ф2) = А-ф2. (3.43)
Для малых значений Ах и Аф равенство (3.43) можно переписать,
разложив функцию 7\ в ряд Тейлора и опустив малые величины
выше первого порядка:
ТА*ч Ф1) + г7^₽,)Ал+^(^^Аф = А(ф1+Аф). (3.43а)
Решая уравнение (3.43а) с учетом (3.42). получаем приращение
угла поворо та стрелки:
Аф=гГ'(^Ах к-гТ^'- ^
СХ бф
1
Если же принять во внимание действие момента сил трения
Tf. то вместо условия (3.43) получим
<Р2) = А Ф2±*7
(знак плюс берется при Ах>0. минус при Ах<0).
70
Приращение угла поворота стрелки прибора при учете трения
в узлах механизма
(3.44)
Дф/ = Дф+Т/.
5<р
Здесь второй член в правой части уравнения есть погрешность
прибора, вызванная силами трения. С помощью формулы (3.44)
ведется аналитический расчет погрешности прибора, зависящей
от сил iрения.
Отрицательное влияние сил трения в опорах на точность
действия приборов можно минимизировать с помощью специаль-
ных устройств (см. § 23.7). ▲
§ 3.8. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ
Механический кпд представляет собой параметр, с помощью
которого оценивается полезный эффект использования энергии
в механизмах. Он учитывает в основном затрату энергии на
трение в кинематических парах и определяется формулой
(3.45)
где РИд, РГпс, W{ работа сил соответственно движущих, полезно-
го сопротивления и трения; ty=WfIWn—коэффициент потерь
энергии.
Если числитель и знаменатель уравнения (3.45) разделить на
время t, в течение которого совершается работа, то выражение
для кпд можно записать в виде
П = Рпс/Рд = Рр/Рл.
где Ед, Рт— мощность сил движущих и полезного сопротивления;
Рр —мощность па рабочем органе машины или прибора.
Значения кпд для различных механизмов определяют экспери-
ментально (при определенных условиях), на основании чего
составляют справочные таблицы (см., например, табл. 13.1).
Однако значение кпд любого механизма
зависит от реализуемой полезной на-
грузки и может изменяться от нуля
при движении в ненагруженном со-
стоянии (ХОЛОСТОЙ ход) ДО Г] max, КОТДа
используемая мощность на рабочем
органе достигает оптимального значения
(рис. 3.17). В приводах точных ме-
ханизмов полезные сопротивления могут
иметь значения, соизмеримые с со-
противлениями трения самого меха-
низма. В этих условиях кпд передаточ-
ных механизмов значительно ниже тех
71
Рис. 3.18
значений, которые соответ-
ствуют оптимальной на-
грузке и приведены в спра-
вочной литературе. Учиты-
вая это, действительные
значения кпд точных ме-
ханизмов часто определяют
опытным путем.
Расчет кпд. Механичес-
кие приводы обычно сосio-
яг из совокупности отдель-
ных механизмов, соединен-
ных между собой для переда-
чи энергии последовательно, параллельно или смешанным спо-
собом. Рассмотрим определение общего кпд привода при этих
видах соединений. Пусть энергия от двигателя М передается
к рабочему органу РО последовательно соединенными механиз-
мами I, 2....... т (рис. 3.18,а), кпд которых Лп т]2, ..., лт-
Мощность на выходе первого механизма Pi = P,rin второго
Лг = Pi Л 2 = Л1П1 Лг и т. д. Мощность на выходе последнего /н-го
механизма (равная мощности Рр на рабочем органе)
/>т = ^Р = Лт11Л2-Лт-
Общий кпд при последовательном соединении механизмов
Ло = /’Р//’я = Л1Л2-Лл.= Г| Лг (3.46)
j=i
Схема параллельного соединения механизмов показана на
рис. 3.18.б. Общий кпд для этою случая
Ло^рх/Л, (3.47)
т
где Ppv= £ Ppj суммарная мощность всех рабочих органов;
Рп— мощность двигателя.
Каждый составляющий систему механизм перелает лишь
определенную долю энергии двигателя, которую можно учесть
с помощью коэффициентов Р2 = Л12/Л.;
т
pm = PamfPa; при этом У Р;- — 1. Рабочие органы потребляют
мощность: Рр^ЛиЛ^^дКлр Л>2 = Л,Р2Л2; -i Л,т=ЛРтЛга-
Подставив значения Рр} в формулу (3.47), получим
Ло= Z РРЪ- (3.48)
7=1
Расчет кпд механической системы со смешанным соединением
рассмотрим на примере механизма печати ЭВМ, схема которого
72
изображена „а рис. 3.19. Рабочие
органы—ролик Б протяжки бумаги,
блок К печатающих колес и ролик
Л протяжки красящей ленты при-
водятся в движение электродвигате-
лем М. Здесь элементы привода
образуют смешанное соединение.
Энергия от вала двигателя Л/ переда-
ется на зубчатый механизм 1 и далее
распределяется двумя параллельны-
ми потоками: через последовательно
соединенные механизмы 2 и 3 к рабо-
чему органу Б: к передаточному
механизму 4, после которого поток
Рис. 3.19
энергии вновь разветвляется— через механизм 5 к рабочему органу
К и через передаточные механизмы 6 и 7 к рабочему органу Л. Если
заданы мощности РБ, и P.t на рабочих валах подачи бумаги,
печатающих колес и красящей лепты, а также кпд всех механизмов
(гц. г),.г]?)- <о необходимая мощность двигателя определится
следующим образом: мощность па ведущем валу механизма 4
Л=П41 lAns *з-РлЬбЛ-)
мощность двигателя
Л = пГ1 [Л,(тъъ)"' + = ПГ1 [ЛДПгПз) * + П4 1 (Л<П5 * +
+ Л1(п6П7)_1]-
Общий кпд системы
По = ^^/^д = П1/[₽б(П2Пз)_1 + ₽к(П4П5)" ^Рл^ПбП-) Ч-
где [3Б, рк. (3 [ — коэффициенты распределения энергии по соот-
ветствующим рабочим органам;
Рь = Ри!{Рь + Рк + PnY Рк = ^к/(Л. + Л< + Р.чУ Рл = Р.ч• (Рб + Рк + Л|)-
Кпд многих механизмов можно рассчитать, зная их основные
парамшры [см., например, формулы (15.14), (15.15). (16.6), (16.6')].
Самоторможение. Если при определенных значениях парамет-
ров механизме! возможен результа!
П^О. (3.49)
ю физически эго значит, что в данном случае механизм не
может передавать энергию. Такое явление называется самотор-
можением. При самоторможении движущая сила всегда меньше
приведенной силы сопротивления из-за развивающихся больших
сил I рения. Поэтому движение становится невозможным. Увеличе-
ние движущих сил пе приводи! к возникновению движения из-за
дальнейшего пропорционального роста сил трения.
Условие (3.49) является аналитическим признаком самотормо-
жения. Механизмы, для которых г] $0, называются самотормозя-
73
щими. Как правило, при изменении ведущею звена кпд самотор-
мозящего механизма становится положительным, т. е. преобразо-
вание движения этим механизмом возможно. Например, если
червячная передача 8-8' (см. рис. 0.1) при ведущем червячном
колесе 8 не работает из-за самоторможения, то при ведущем
червяке 8' это! механизм работоспособен. Самотормозящие
механизмы применяют в тех случаях, когда нужно обеспечить
передачу энергии только в одном направлении. Так, в манипулято-
рах, приводах радиолокационных антенн и многих других уст-
ройствах самотормозящие механизмы позволяют при выключен-
ном двигателе фиксировать в заданном положении рабочий
орган, который даже нагруженный уже не может привести
в обратное движение всю сисчему.
Самотормозящими могут быть многие механизмы, наиболь-
шее распространение из которых получили червячные и планетар-
ные передачи, а также механизмы винт-гайка.
§3.9. ИНЕРЦИОННЫЕ НАГРУЗКИ
И УРАВНОВЕШИВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ
Сила инерции звена —это реакция, возникающая при всяком
изменении относительного движения, т. е. при наличии ускорения.
Рис. 3.20
Сила инерции проявляется
в действии звена на связи,
которые наложены па него.
Как отмечалось ранее,
звенья могут совершать пря-
молинейное, вращательное
и сложное движения. При
прямолинейном движении
элементарные силы инерции
частиц звена (на рис. 3.1
ползуна) приводятся к глав-
ному вектору сил инерции
который приложен в цен-
тре S’ масс звена и направлен
противоположно его абсо-
лютному ускорению:
F„= -nias, (3.50)
где т— масса звена.
При вращотельном дви-
жении звена шносительно
оси Ол ускорение любой точ-
ки А состоит из нормальной
ап и касательной, или тан-
генциальной, а‘ частей:
74
«"л(0; — p«r cosot; — p<o2sinot); с/'л(0; — epsina; 8 р cosot),
где p = tf/l (рис. 3.20,«); a полярный угол точки .4.
Как в пространственных, так и плоских механизмах зве-
нья— пространственно протяженные тела. Поэтому при вращении
вокруг оси Ох. т. е. при «плоском» движении, момент сил
инерции — вектор пространственный. Для элементарной массы
Ат, расположенной в точке А. элементарные силы и моменты
сил инерции (рис. 3.20, а):
AFB——AmanA', AF 1,= — Ата д;
d Мвх=d Ги:у - d F„,.z; d Миу = (d F"z + d FBZ) .v;
dM„: = (dFnH>.+dFI„).v.
Инте! пируя по объему звена, получим, что в центре масс 5(ах.
ys, rs) звена приложена сила инерции (рис. 3.20.6)
F„[0; ((02zs-e.rs)m]; _ (3.51)
вторая инерционная нагрузка момент сил инерции Л/И(Л/ИА;
Мву: .Ии=):
Mbx=-Jxe; Л/иу=вгЛА-8/уА; (3.52)
1де т масса звена; Jyx= J jA'dm, ЛА= J zxAm: Jx= J [v2+z2)dm—
Ят) (m) (ml
центробежные и осевой моменты инерции звена*.
Если центр масс находится па оси вращения (rs=zs = р=0),
то такое звено называется статически уравновешенным', этот
термин возник потому, что в случае SeOx звено, установленное
в любом приложении, не буде! вращаться под действием своего
веса; если же ХфОх. то оно будет поворачиваться до тех пор.
пока центр масс не займет крайнее нижнее положение. Для
статически уравновешенного звена Ги = 0, но в общем случае
добиться равенств^! F„ = 0 при сложном движении невозможно.
В современных бышроходпых механизмах инерционные на-
грузки на звенья могут значительно превышать рабочие нагрузки.
Например, если зубчатое колесо массой щ=1к! насажено на
вал с эксцентриситетом ест = 0.5 мм и вращается равномерно
с частотой п = 20000 об/мин. го при утловом ускорении е = 0
на вал действует центробежная сила инерции
F„ = mans = тco2 eCI = 1 (3,14 • 2 • 104 / 30)20.0005 = 2193 Н.
Сложное движение звена можно рассматривать состоящим
из поступательного с ускорением as центра масс и вращательного
движений относительно оси, проходящей через центр S масс.
В этом случае, как и выше, элементарные силы инерции частиц
* Положительное направление отсчета у(лов, угловых скорое (ей и ускорений,
а также моментов сил против часовой стрелки для правых координатных
осей, по часовой стрелке —для левых.
75
t звена приводятся к главному вектору
FH=—mas и главному моменту А/и
(М мку, мйг).
Действие сил и моментов сил инерции
увеличивает потери энергии на трение, вызы-
вает упругие колебания и при неблагопри-
ятных условиях может стать причиной раз-
рушения звеньев. Поэтому при конструирова-
нии механизмов и приборов инерционные
нагрузки стремятся уменьшить. Этой цели
Рис. 3.21 служит статическая и динамическая балан-
сировка отдельных звеньев и уравновешивание механизмов в це-
лом с помощью специальных масс, называемых корректиру-
ющими. Рассмотрим балансировку звеньев, вращающихся от-
носительно неподвижной оси.
Статическая балансировка. Пусть центр масс S диска (рис. 3.21)
смещен относительно оси вращения на величину е„. При
вращении диска с постоянной угловой скоростью <о возникает
центробежная, сила инерции FH=m (w2ccr). Главный вектор
дисбалансов DCT = mecl характеризует статическую неуравновешен-
ность звена. Условие статической уравновешенности звена
D„=niCcl=O.
Обеспечение этого условия может быть достигнуто путем уста-
новки корректирующей массы тс (рис. 3.21) на расстоянии гс
от оси вращения так, чтобы создаваемая ею сила инерции
Fs=meu)2rc полностью уравновешивала силу инерции диска
F„=m(oze„. Значение статической корректирующей массы те
определяют из условия
тс Гс = тесг • тс — ,П ес1!Гс
Положение точки на диске для размещения массы шс находят
с помощью специальных установок для статической балансировки.
Динамическая балансировка. При уравновешивании сил инерции
звеньев, имеющих небольшую длину по сравнению с диаметром
(ролики, шкивы, зубчатые колеса и др.), можно ограничиться
только статической балансировкой. Однако при значительной
длине вращающихся звеньев дополнительно возникает моментная
неуравновешенность, суть которой рассмотрим на примере ротора
(см. рис. 3.20).
Допустим, что статическое уравновешивание ротора достиг-
нуто установкой дополнительной массы тс в плоскости Пх,
в результате чего центр масс $ ротора стал совпадать с осью
вращения. Силы в опорах В и С неподвижного звена зависят
76
от его веса и положения центра масс. При «/О 6 К _„
в опорах возникают дополнительные динамические \ (г/л}
силы, из-за тою что имеется неуравновешенный \ /
момент МИз грех его составляющих, величина /\ТгК
MHX=—e.Jx непосредственно на силы в опорах не / Д//’
влияет и уравновешивается моментами внешних М/ /кУ
сил, приложенных к вращающемуся звену. Сле-
довательно, для тою чтобы устранить динамичес-
кие добавочные силы в опорах, нужно урав- Г r/j )
повесить составляющие Миу, ,Ии2, добившись
равенства нулю центробежных моментов инерции v
Л*’ Ах- Рис. 3.22
Рассматривая вращение с постоянной скоро-
стью (е = 0) ста1ически уравновешенного звена (центр масс S'eOv),
заменим проекции Л/и>,, Л/и2 их векторной суммой моментом
Л/и11, который действует в плоскости // (см. рис. 3.20, б).
Для уравновешивания момента Л/И11 (без нарушения статическою
равновесия) разместим в торцовых плоскостях коррекции Пх и П2
ротора две массы та и т'л, гатя= г'ятя (рис. 3.20, в). Центробежные
силы инерции Гд=/идгд(о2 масс тд создают момент сил (шлгяш2)£, где
L длина ротора; если выбрать динамический дисбаланс m^L таким,
чюбы соблюдалось равенство Ма~Мт, то дополнительные
динамические силы в опорах обратятся в нуль, т. е. звено будет
динамически уравновешенным. Это означает, что центробежные
моменты инерции JfX=0. Jzx—0: следовательно, и при неравномерном
вращении (е # 0) динамические силы в опорах не возникнут [см.
выражения (3.52)].
При сложном плоском движении динамически уравновешен-
ного звена инерционные нагрузки (рис. 3.22) состоят из силы
инерции F„ и момента сил инерции Л/„, который имеет только
одну составляющую^
F„=-mas: Л/ „= -Де:
сила инерции приложена в центре масс X, а момент Л/и действует
в плоскости движения.
Динамическая балансировка звеньев осуществляется па балан-
сировочных ставках.
§3.10. ВИБРАЦИЯ И ВИБРОЗАЩИТА
Вибрация — эго колебания с небольшой (до I мм) амплитудой,
которые возникают вследствие неуравновешенности сил инерции
и передаю гея па корпус машины или прибора, на стойки ЭВМ
и т. д. Вибрация рабочего места вредно отражается на здоровье
человека, приводит к снижению долговечности и надежности
машин, искажает показания приборов. Влияние вибрации на
человека зависит oi частоты и амплитуды колебаний, продолжи-
тельности их действия. Так как резонансные частоты человека
77
в положении «сидя» и «стоя» находятся в диапазонах 4...6 и 10... 12 Гн
соответственно, ю наибольшие допускаемые виброперемещения па
рабочем месте нормируются в зависимое 1 и от частоты:
Частота. Гц ..... 12 3 45 6 7 8 9 10 11
Наибольшее безопасное
виброперемещепие, мм 0.6 0.5 0,4 0.2 0,1 0.08 0.07 0.05 0,045 0,04 0,035
Влияние вибраций можно уменьшить в основном следующими
тремя путями:
минимизацией неуравновешенных сил и моментов сил инерции,
т. е. статическим и динамическим уравновешиванием враща-
ющихся звеньев и механизма в целом;
установкой упругих виброизолирующих прокладок и амортиза-
торов, препятствующих распространению вибрации;
использованием динамических гасителей колебаний и активной
виброзащиты.
Статическое и динамическое уравновешивание вращающихся
звеньев было рассмо грено в § 3.9; соответст вующее уравнове-
шивание механизма в целом представляет более сложную задачу
как в теоретическом, гак и в практическом аспектах [2, 19].
Рассмотрим второй и третий способы виброзащиты.
V Упругая подвеска на амортизаторах (пассивная виброзащита).
Этот способ применяется с целью уменьшить воздействие меха-
низма на стойку (неподвижное звено); существенна и обратная
задача—защитить прибор или механизм от вибрации стойки*.
Конструкция типового амортизатора (рис. 3.23.а): корпус 1 ме-
ханизма или прибора через упругий элемент 3 опирается на
чашку 2, которая жестко связана с несущей конструкцией 4.
Резиновый элемент 3 соединяется вулканизацией со втулкой
5 и чашкой 2. Расчетная схема системы с амортизатором
показана на рис. 3.23. б. Сила сопротивления, возникающая в амор-
тизаторе при малых колебаниях, может быть представлена в виде
F3=by+cy, (3.53)
где у, у—перемещение амортизируемого объекта и его скорость
по отношению к основанию 4; с, b параметры амортизатора,
определяющие его жесткость (Н/м) и уровень демпфирования
(Н-с/м).
Рассмотрим действие такой пассивной виброзащиты; на меха-
низм массой т действует сила /•'(/). обусловленная движением
звеньев или иными причинами. Для вывода уравнений колебания
массы т применим принцип Дала.мбера. г. е. запишем условие
равновесия массы т под действием силы F и силы инерции
—ту, учитывая также реакцию F3 амортизатора:
* Здесь термин «стойка» понимается в широком смысле слова, т. е. охватывает
корпуса механизмов и приборов, несущие конструкции ЭВМ и пр.
78

сила тяжести тела 1 в исходном положении уравновешивается
соответствующей силой пружины, так что сумма этих сил равна
нулю и сила тяжести тела / в уравнение не входит.
Разложив силу F(t) в ряд Фурье, например по синусам,
рассматривают действие отдельных гармонических составляющих:
ту+by + су — Fm si п га t;
(3.55)
здесь Fa—наибольшее значение внешней силы на данной гармо-
нике частотой га. Установившееся решение уравнения (3.55) имеет
следующий вид:
г = «1 sin (raz — <p);
(3.56)
л, =Fw[(f—mra2)2+(6ra)2] ол; (p = artg[/»co'(c — лига2)], (3.57)
где at амплитуда колебаний массы т па амортизаторе; <р- от-
ставание по фазе смещения у ог возмущающей силы ^sinraz.
Эффективность действия амортизатора характеризуется коэф-
фициентами динамичности и передачи сил. Коэффициент динамич-
ности Р—это отношение амплитуды at вынужденных колебаний
тела I на амортизаторе к статической деформации амортизатора
под действием силы Fm:
IL \ / J \ / j
(3.58)
79
где (1)() = х/с/л1—собственная частша системы по рис. 3.23,
^ = 0,5Ь ст безразмерный коэффициент затухания (демпфиро-
вания). Коэффициент передачи сил П определяется как отношение
силы F3 амортизатора, передаваемой на стойку 4, к внешней
силе ____________
1+(2^;®(>)2. (3.59)
Чем меньше значения коэффициентов 0 и П, тем лучше
виброизоляция. Амплитуда установившихся колебаний массы 1 на
амортизаторе тем меньше, чем меньше значение 0; если параметр
демпфирования £>1/^/2, то виброзащита с помощью данного
амор<изатора эффективна при всех частотах со; при £$1/^/2
коэффициент р < 1 лишь при
(о/со0 > х/2(1 — 2£2), (3.60)
т. е. только в этом определенном диапазоне частот имеет смысл
примениib такую пассивную виброзащиту.
Амортизатор эффективно выполняет свою функцию при
значениях П < 1. На рис. 3.24 показан график зависимости
П= /7(<о/<оо); максимальное значение П - в резонансной зоне,
которая расположена в окрестности значения <>)/<оо=1, т. е. при
частотах возбуждения, близких к собственной частоте иэ0. Упругая
подвеска па амортизаторе
умепыпае! силу, передавае-
мую па стойку или от виб-
рирующей стойки па прибор
/, если выполняется условие
(о/соо > v 2. (3.61)
При малых значениях па-
раметра демпфирования с си-
ла F3 воздействия на стойку
уменьшается в отношении
примерно (со.'соо)2 по сравне-
нию со случаем жесткого со-
единения. Следовательно, для
уменьшения силы F3 должны
быть применены податливые
пружины, с тем чтобы со-
бственная частота а>() была
мала по сравнению со спек-
тром возбуждения {со}. Амор-
тизаторы с малым демпфиро-
ванием плохо работают
в условиях изменяющейся ча-
стоты внешних воздейс гвий,
так как при ч=0 собственные колебания системы слабо затухаю!
и полому представляют дополнительный источник вибрации.
При сильном демпфировании (£,>1) собственные колебания
являются апериодическими и быстро затухают; нормальную
работу обеспечивают и значения £, > I, koi да собственные колеба-
ния гармонические и затухают экспоненциально. Параметры
амортизатора - коэффициенты жесткости с и демпфирования b
подбираются так, чтобы во всем рабочем спектре частот величины
Р и // не превосходили заданных значений; ограничиваются
также амплитуда колебаний амортизируемою объекта и осадка
под действием собственного веса. Задача многокритериальна
и поэтому ее решение неоднозначно*.
Рассмотрим задачу виброизоляции в случае, когда колеблется
стойка, например кузов вагона или самолета, в которых установ-
лено оборудование, ЭВМ, приборы и т. д. Необходимо амортизи-
ровать колебания, зашшив от вибрации ли объекты, а также
рабочее место человека. Соответствующее возбуждение колебаний
массы 1 (рис. 3.23, в) называют кинематическим. В этом случае
движение г4(/) —переносное. а ко 1ебания (т) прибора 1 — абсо-
чюгное движение. Сила F3, возникающая в амортизаторе, зависит
только от относительного движения:
^з = ‘(У1-у4)+/>(у1-.г4):
соответ с 1венно уравнение колебаний массы 1
myt +byl+cyl =/>у4 + еу4; (3.62)
обозначив Лу4 + су4 = /•'(?), вместо (3.62) получим уравнение (3.55);
следовательно, все, рассмо i ренное для случая внешней силы
/•'(г), дейстующей на массу /, полностью относи 1ся и к случаю
кипема тического возбуждения.
Динамический виброгаситель. Применяется в гом случае, когда
возмущающая сила имее1 стабильную частоту. К основной массе
т (рис. 3.25. а), которая упругодиссипативно связана со стойкой,
прикреплена дополнительная масса тл. На массу т действует
внешняя гармоническая сила /•(r)=Fosintor; необходимо добиться
минимальной вибрации основной массы.
Аналогично предыдущему в соо1ветствии с принципом Далам-
бера запишем уравнения колебаний масс т и шд, пренебреги
в первом приближении диссипацией:
Г ту+(<• + сл)у - с гд = /-'о sin ы /; 63
|шдуд+сд(уд-у) = 0.
Амплитуды установившегося движения масс:
* См. статью И. И. Ву./ырсона «Об учете колебательных явлений в курсе
ГММ» ji Со. «Вопросы преподавания ГММ в условиях перестройки высшего
образования». Л., 1988.
81
«1=АГо|св-/?гдсо2|: ая=кРосд, (3.64)
где к - константа для данной системы, зависящая от масс
и коэффициентов жесткости с и ся упругих связей (рис. 3.25. а).
Из первого равенства (3.64) следует, что возможен случай я,=0
и >'(/) = 0, т. е. основная масса /и. к которой приложена сила,
может и не двигаться (это верно настолько же. насколько
выполняются сделанные допущения). Если собственная частота
дополнительной массы совпадает с частотой возмущения
УсдЛНд = а>. (3.65)
то колеблется лишь дополнительная масса ш,, а основная масса
т неподвижна. Амплитудно-частотная характеристика такой двух-
массной системы приведена на рис. 3.25, б кривая 7. В окрестности
точки (I; 0) кривая резко идет вверх, т. е. даже небольшие отклонения
в частоте со или погрешности параметров сд. тя приведут
к существенному снижению эффективности работы динамического
гасителя колебаний. Для toi о чтобы сделать гаситель работоспособ-
ным в достаточно широкой области частот возмущающей силы,
между массами /и и тя вводится демпфер с коэффициентом
демпфирования Ьд. Амплитудно-частотная характеристика динами-
ческого гасителя с демпфером представлена на рис. 3.25,6. кривая 2:
6д/(/нлХ/с/щ)=0,2; /лд//я = 0.05; стя=сят. Более подробные сведения
по выбору параметров динамического гасителя колебаний см. в [19].
Активная виброзащита. Для зашиты технических и биологи-
ческих объектов от вибрации в области низких частот рассмо цен-
ные выше устройства малоэффективны. В этих случаях, а также
для защиты от меняющихся во времени виброспектров при-
меняются автоматизированные системы, называемые активными.
Например, кресло пилота, машиниста или иной объект
1 (рис. 3.26) устанавливается на подвижную платформу 3, которая
жестко закреплена на штоке 6 силового i идроцилиндра 5 двойного
действия. Между платформой и виброизолируемым объектом
82
I размещен пассивный виброизо.пятор — аморти-
затор 2. обеспечивающий изоляцию при высоких
час ютах. В области низких частот его коэффици-
еш динамичности близок к единице, т. е. в этой
зоне амортизатор практически не работает и ви-
брозащига осуществляется активной частью си-
стемы. Сигналы от да 1 чиков Д ускорения
и относительного перемещения подаются в уси-
литель, который управляет движением золотни-
ка 4, регулирующего подачу рабочей жидкости
в гидроцилипдр 5 или слив жидкости: тем самым
Рис. 3 26
выполняется регулирование объекта 1 по ускорению, относи-
тельным скоростям и перемещениям. В этой системе авто-
матической виброизоляции можно получи 1ь закую небольшую
динамическую жесткость при замыкании цени обратной связи, что
собственная частота не превысит I Гц. Статическая же жесткость
весьма высока вследствие малой сжижаемости рабочей жидкости.
ГЛАВА 4
РЕГУЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ МЕХАНИЗМОВ
Для большинства механизмов наиболее продолжительным по времени является
усыновившссся движение, в течение которого рабочий ор>ан выполняет заданные
функции. Но даже в это время идеальное посюяиство мгновенной скорости
движения входного звена осуществить тру тио. гак как многочис 1енные причины,
связанные со структурой механизма или режимом сто работы, вызывают
непрерывное итменение (колебания) узловой скорости «> в течение каждою цикла
движения (рис. 4.1). Такие колебания скорости нарушают заданный режим
действия механической системы и вызывают вибрации звеньев, повышенный
износ, снижение точносш и другие вре тные явления. Например, колебания
скорости при нро1яжке лепты маюшофона искажаю! звучание. Из уравнения
(3.7) c.Teavei, что скоро» 1ь звена приведения может изменяться вследствие того,
что И\(т)^ И\(/). и из-за переменности приведенного момента инерции J„.
§ 4.1. НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
И СПОСОБЫ ЕЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
Главной задачей регулирования
мах является сс стабилизация
скорости движения в механиз-
или OIраничсние колебаний
в допустимых (заданных)
пределах. Далее рассмат-
ривается важный. хо 1 я
и частный, случай, когда
но крайней мерс одно из
звеньев механизма должно
в идеале иметь постоянную
скорость вращения при
установившемся движении.
83
Количественным показа гелем неравномерност и движения является
коэффициент неравномерности
5 = 2 we/wm=(wmax - comln)com, (4.1)
где от,,- амплитуда колебаний угловой скорости рассматрива-
емого звена;
a)m = 0,5((flmox + comin) (4.2)
средняя скорость его установившегося движения.
Опыт консгруировапия и эксплуатации систем автоматики,
вычислительной техники и приборов даег возможность усыновить
допустимые пределы колебаний угловой скорости. Например,
для электрических генераторов постоянною тока допустимый
коэффициент неравномерности [8] = 0,005...0,01, переменного то-
ка 0,003...0,005, для механизма телег айна — 0,005.
Коэффициент 8 характеризует степень неравномерност и движе-
ния лишь в первом приближении. Например, для двух тахограмм
(рис. 4.1, а, б) значения 8 одинаковы. Однако время цикла zul > f,l2,
г. е. среднее угловое ускорение =(сотах—а)т1п)//ц1 значительно
меньше ускорения Е2=(готи —comin)/fu2, поэтому с динамической
точки зрения эти движения не равноценны.
Если записать уравнение движения механической системы
в форме уравнений Ланграпжа [см. формулу (3.6)], го мгновенное
значение углового ускорения звена приведения
^ = (гпа-Тпе-0.5^ / J„. (4.3)
где Гпд, Т11(. приведенные крутящие моменты движущих сил
и сил сопротивления (7ПЛ— Т„с — Тп).
Динамическое воздействие неравномерности вращения тем
меньше, чем меньше а. Из формулы (4.3) следует, что е может быть
понижено путем увеличения постоянной составляющей приведенного
момента инерции или уменьшения разности моментов Тпя и Т„с.
Колебания угловой скорости входного звена могут быть
периодическими, непериодическими и с гучайпыми. Периодичес-
кими называются такие колебания, когда значения угловой
скорости повторяются через равные промежутки времени, обычно
кратные часто те вращения звена. Периодические колебания ско-
рое 1И наблюдаются в механизмах, в которых силы и приведенные
моменты инерции—периодические функции угла поворота вход-
ного звена. Непериодические и случайные колебания угловой
скорости вызываются соответствующими изменениями притока
движущей энергии и сил сопротивления.
При периодических колебаниях скорости коэффициент неравно-
мерности 8 ^[8] можно обеспечить пугем установки на одном
из быстроходных валов механизма инерционного колеса, называ-
емого маховиком. Для регулирования непериодических и слу-
чайных колебаний скорости применяются регуляторы скорости.
84
§4.2. МАХОВИКИ
Маховик представляет собой колеса (рис. 4.2: 1 — обод, 2 -
центр, 3- ступица) со значительным моментом инерции ,/м
относительно оси вращения. Влияние маховика на уменьшение
амплитуды колебаний угловой скорости своди 1ся к следующему.
Маховик устанавливается на быстроходном валу механизма
и вращается с утловой скоростью то. Всякое изменение скорости
влечет за собой возникновение момента сил инерции маховика
М„= — JMdco/dz, который препятствует изменению скорости.
Чем больше момент инерции маховика, тем больше момент
сил Ми, а следовательно, и сопротивление изменению угловой
скорости вала.
Маховик является аккумулятором кинетической энергии. Бели
в механической системе разнос гь работ №я сил движущих и IVC
сил сопротивления АИWn— И^О, го угловая скорость воз-
растает и маховик копит кинетическую энергию. Напротив, при
недостатке движущей энергии угловая скорое 1ь маховика снижа-
ется и он становится дополнительным источником движущих
сил. Это свойство маховика дает возможноегь использовать его
в технике как для регулирования скорости движения в механизмах,
так и в качестве инерционного двигателя различных i рапспортных
средств (или машин).
Расчеты момента инерции и размеров маховика. Основной
параметр маховика —момент инерции относительно оси враще-
ния. Определим требуемое значение для обеспечения заданного
коэффициента неравномерности движения в том случае, когда
деформации звеньев пренебрежимо малы. Динамическая расчетная
модель механизма изображена на рис. 3.2, в. К звену приведения,
момент инерции которого Jn. приложены приведенные моменты
сил движущих Тид и сил . сопротивлений Тпс (на рис. 3.2, в
Т =Т — Т )
Обычно приведенный момент инерции J„ механизма мал по
сравнению с моментом инерции Jv маховика,
поэтому величиной J„ можно пренебречь. Так
как го после установки маховика
па вал звена приведения уравнение (3.7) примет
следующий вид;
о,5/м((^-и>П=и;-и'с.
Бели принять w1=(Dmin, (i)2 = <'Ux. то с учетом
зависимостей (4.1) и (4.2)
Л. = A Hzmax /[0,5 (о)2 ах - loL,)]=Д J^max ([й] СО £).
где АИ/тах = (И/д — — наибольшая избыточ-
ная работа приведенного момента сил Тп за
промежуток времени, когда угловая скорость
изменяется от iolllin до сопых.
Ь
Рис. 4.2
85
Рис. 4.3
На рис. 4.3 изображены
возможные [рафики изменения
моментов Тцд, 7ПС и угловой
скорости в функции времени
t или угла поворота ср звена
приведения. Эти графики дани
наглядное представление о пе-
риодических колебаниях угло-
вой скорости вследствие изме-
нения приведенных моментов
сил сопротивления Т„к, сил
движущих Тпп и момента инер-
ции Ju. Обозначенный на гра-
фике угол <р, соответствует повороту звена приведения за время
одною цикла (в частном случае он может быть равен 2л).
Кроме рассмотренного метода определения момента инерции
маховика в инженерной практике применяют другие, например
метод касательных усилий, метод приведенных масс и работ
[2- 19].
Массу и размеры маховика определяют на основании найден-
ного момента инерции, имея в виду, что
JM = mio — mD2/4.
где /п— масса маховика (предполагается, что опа распределена
по ободу равномерно); D = 2i0 — диаметр инерции маховика,
который равен диамефу окружности, описываемой центрами
тяжести сечений обода (см. рис. 4.2). Величину mD2 принято
называть маховым моментом.
Диаметр D назначают конструктивно с учетом условия
прочности маховика. Если принять массу обода маховика шоб =
=0,9т, плотность материала 7800 кг/м3, соотношение размеров
обода с = 0,4Ь (см. рис. 4.2), то ширина обода (м)
b % 0.02 y/JjD1.
V Применение маховиков в качестве аккумуляторов механической
энергии. Как уже отмечалось выше, в некоторых системах точной
механики и транспортных средствах (троллейбусах, моторных
вагонах подземных дорог) маховики используют как инерционные
двигал ели, обеспечивающие действие всей системы. Перед началом
работы маховик разгоняйся от внешнего источника энергии до
частоты вращения (20... 30) 103 об/мин, а затем постепенно
отдаст накопленную энергию рабочему органу. Наибольшее
количество энергии, которую аккумулирует маховик массой 1 ki,
К=а [cj/y,
где [с]—допускаемое напряжение на растяжение для материала
маховика; у- плотность материала; а—безразмерный коэффици-
86
енг. зависящий oi формы маховика; для маховика
классической формы (см. рис. 4.2) «=0,4. Маховик,
используемый в качестве высокоскоростного инер-
ционного двига теля, в сечении имеет гиперболичес-
кий контур (рис. 4.4), для которого а— 1 (такой
контур маховика диктуется условиями его про-
чности).
Чтобы уменьшить потери энергии на трение
в самом двигателе, его помешают в вакуум
(10~2...10“б МПа), а опоры выполняют с магнит-
ными подшипниками, в которых вращающиеся
детали не соприкасаются с неподвижными*. При
таких условиях время выбега маховика может
составлят ь 10 су г. Использование новых компо-
зиционных материалов** позволяет получить эпе- Рис 44
ргоемкоегь маховиков порядка 30...60 Вт ч па
1 кг массы. Важной особенностью маховичных двигателей яв-
ляется их способность развивать большие мощности, отдавая
при необходимости накопленную энергию за короткое время.
Например, легкий вертолет с маховичным двигателем поднима-
ется в воздух в 5 раз быстрее обычной машины (т. е. развивает
в 5 раз большую мощность), хотя его маховик разгоняется от
двигателя мощностью всего в 1,5 кВт. Считают, что благодаря
этому качеству маховичные двигатели будут использоваться при
исследовании внешних плайе г солнечной системы, в условиях
которых солнечные батареи имеют небольшую мощность; ма-
ховик же, разогнанный до номинальной скорости маломощными
двигателями, обеспечивает необходимый уровеггь мощности. ▲
§4.3. РЕГУЛЯТОРЫ СКОРОСТИ
Система автоматического регулироваггия скорости движения
в механизмах и машинах представляет собой комплекс механичес-
ких и электротехнических устройств. Эта система обеспечивает
поддержание требуемой скорости звена (обусловленной режимом
работы машины) при установившемся движеггии. Схема автомати-
ческого регулятора скорости представлена на рис. 4.5. Основная
часть регулятора—чувст вительный элемент, или датчик, который
реагирует на изменение скорости звепа регулируемого механизма.
Сигнал с, датчика сопоставляется с соответствующим сигналом
с2 выбранного уровня скорости и при наличии рассогласования
(с,— с2) вступает в действие рабочий орган (РО) регулятора,
воздействующий на приток движущей энергии или па силы
сопротивления в регулируемой.системе. К первому тину относятся
* Подробнее о магнитных подшипниках см. гл. 23.
** См. § 13.3.
87
Рис. 4.5
га геля жестко закреплены якорь 2
которые электрически изолированы
регуля i оры электроконтакт-
ныс. с гахогепера юрами
и спусковые. Последние ис-
пользуют в основном в меха-
низмах часовою типа. Peiy-
ляторы второго типа —тор-
мозные— увеличивают при
необходимое!и силы сопро-
тивления и тем самым пре-
пятствуют росту скорости.
Электроконтактные регу-
ля юры. Регуля юры такою
типа применяют для ста-
билизации скорости в эле-
к гроприводах малой мощ-
носги. Устройство и при-
нцип действия элскгрокоп-
тактпого регулятора можно
проследить по рис. 4.6. На
валу / коллекторного дви-
и контакшые кольца 7, 8.
как от вала /. так и друг
от друта. Контакты 3 и 4 электрически связаны соответственно
с кольцами 7 и 8 и замыкаются силой F пружины 5.
При вращении вала 1 с угловой скоростью w на грузик
б массой /н, закрепленный на рычаге 9, действует центробежная
сила инерции F„=mr(o2. Если угловая скорость превышает
номинальное значение г>э„ом, то сила FU>F и рычаг 9 поверие гея
относительно точки О. контакты 3 4 разомкнутся. В этом
случае питание обмотки возбуждения двигателя происходит через
дополнительное сопротивление 10. вследствие чего скорость вала
двигателя снизится и контакты 3 4 вновь замкнутся. Таким
ооразом регулятор автоматически поддерживает угловую скорое 1Ь
электродвигателя, близкую к ®ном.
Схема элек i роконтактпо! о
Рис. 4.7
вибрационного регулятора
осевого действия изображена
па рис. 4.7. Как и в рассмот-
ренной выше схеме, принцип
действия осевого регуля юра
заключается в замыкании
и размыкании контактов в це-
пи питания двигаюля. При
вращении якоря .1/ шунтового
двигателя постоянного тока
вращается и валик 3 регуля-
тора вместе с грузами 1. При
8S
Рис. 4.8
увеличении угловой скорое in со возросшие силы инерции Fa
посредством рычагов 2 и 4 воздействуют на втулку 5. в результате
чего последняя перемешается вверх, рычаг 6 размыкает контакты
7—8 и в цепь питания включается дополнительное сопротивление
10. Это приводит к снижению скорости до заданного уровня,
силы инерции уменьшаю гея, втулка 5 смещается вниз, контакты
7- 8 замыкаются под действием силы сжатой пружины 9.
Процесс работы регулятора ноет периодический высокочасто гно-
вибрационный харак тер.
Электрокоптактные регуляторы позволяют поддерживать коле-
бания угловой скорости в весьма узких пределах: + (0,5... 1,5)%
от номинальной. Из-за зазоров и зрения в кинема тичсских парах
нечувствительность регуляторов осевого действия больше, чем
у радиальных.
Регуляторы, которые изменяют силы сопротивления, увеличи-
вая их в случае необходимости, называются тормозными. Они
применяются в приборах и механизмах малой мощности и от-
личаю гея простотой конструкции и высокой надежностью. Дей-
ствие утих регуляторов основано па том, что при увеличении
угловой скорости выше допустимой они создают тормозной
момент Л/рСГ, на преодоле-
ние которого затрачивается
избыточная часть движутце-
го момен га А Т= Т„п — 7’11С:
в результате номинальное
значение угловой скорости
восстанавливаегея. Особен-
но часто такие регуляторы
используют в системах
с пружинными двигателями,
которые без регуля торов не-
работоспособны.
Тормозные регуляторы.
Они могут быть с трением
твердых тел. азродинами-
чсским и магпитоиндукци-
оппым сопротивлением. На
рис. 4.8, а показан регуля-
тор радиального действия
с трением твердых тел,
применяемый, например,
в самописцах. На валике
1 жестко закреплена шестер-
ня 6. которая через пружин-
ную муфту 7 вращает вме-
сте с валиком свободно си-
дящую на нем втулку 8.
89
К втулке прикреплены плоские пружины 3 с грузиками 4 на
концах. Если валик неподвижен, то грузики нс касаются внут-
ренней поверхности чашки 5, жестко соединенной с платой
прибора. При вращении валика с угловой скоростью со пружины
3 изгибаются силами инерции FH = /n/co2 (т - масса грузика,
г—расстояние от его центра масс до оси вращения) и грузики
раздвигаются в радиальном направлении. По достижении неко-
торого значения со грузики коснутся неподвижной чашки 5 и каж-
дый грузик будет прижиматься к ней силой F„— F, где F —
сила упругости пружины. При этом возникает тормозящий момент
Mper=zf R(mru)2 — F)=ku>2 — к}: (4.4)
здесь к и к у - основные параметры регулятора; z—число грузи-
ков; f—коэффициент трения скольжения; А—радиус чашки.
Особенность конструкции рассматриваемого регулятора за-
ключается в том, что пружина 7 жестко соединена со ступицей
шестерни 6, а на втулку 8 надета с небольшим натягом*. Этим
достигается передача движения только в одном направлении.
Если шестерня 6 вращается в направлении навивки пружины 7,
то за счет сил трения движение передается на втулку 8 и,
следовательно, па валик /; при противоположном вращении
шестерни достаточных сил трения (сцепления) дтя передачи
вращения втулке 8 не возникает. При такой конструкции
регулятора увеличивайся надежность работы всей системы, так
как при резкой остановке двигателя грузики регулятора имеют
возможность вращаться и в системе не возникают инерционные
перегрузки. Размеры регуляторов (см. рис. 4.8, а) обычно при-
нимают в следующих пределах: Л = 5... 15 мм, I—12...25 мм,
W = 200... 1000 1/с. Сила упругости плоской пружины
F=3eEJгде е—прогиб конца пружины, мм; (/—«) —ее
расчетная длина, мм; Е - модуль упругости материала пружины,
МПа; /=ЛЛ3/12 — момент инерции прямоугольного сечения пру-
жины, мм4; b и h—размеры сечения, мм. В элекг ромеханических
системах автоматического регулирования и управления смещение
грузиков может преобразовываться в соответствующий элект-
рический сигнал.
Угловая скорость сокр валика регул я юра, при которой появля-
ется тормозной эффект, называется критической. Значение о\р на-
ходят из выражения (4.4), приравняв пулю момент Мрег:
о\Р = У^Д. (4.5)
Правильно рассчитанный и сконструированный регулятор
должен обеспечивать достижение минимальной угловой скорости
без торможения; тогда время разбега механизма и потери на
трение в регуляторе будут наименьшими. Угловую скорость
* Расчет параметров этой пружины см. в § 24.3.
ад
о\р можно изменять с помощью
подвижной втулки 2 (рис. 4.8. а).
При смещении се вдоль оси меня-
ется длина /— а консольной часш
пружины, а следовательно, и сила
F. Упрошенный регулятор того же
типа с навитым на валике червя-
ком показан па рис. 4.8, б.
Регулятор, изображенный на
рис. 4.9, используется в механиз-
мах номеронабирателей А ГС
и т. п. Вместе с валом / регу-
лятора вращаются рычажок
2 и грузики 4. которые с увеличе-
нием угловой скорости to пово-
рачиваю 1ся под действием сил инерции FK относительно осей
3 (точки А и В), преодолевая силу F сопротивления пружины
7. Тормозные вкладыши 6 прижимаются к внутренней поверх-
ности неподвижного барабана .5 с силой Fn. создавая momchi
сил I рения (момент регулятора):
MPC1=2FZ/?. (4.6)
где Ff сила трения одною трузика, Fr=[F„-, R— радиус
барабана.
Сила Fn опрсдс 1ясгся из уравнения динамического равновесия
грузика, например правого:
Е Мк=0: / F„a+F„b + Fq —Fnh = 0;
здесь F=mrift2 — центробежная сила инерции грузика (т его
масса); г. а. Л, q и Л размеры
(рис. 4.9). Подставив найденное
значение F„ в уравнение (4.6),
получим общую формулу для
определения тормозного момен-
та рассматриваемого регулятора:
Л7рС1 = 2 (ntгhсв2 — Fq)R I(bi J+
+ <7) = Aro2—A t. (4.7)
▼ Схема тормозного регулятора
осевого действия показана на
рис. 4.10. а. Втулка 2 жестко за-
креплена на валике /, а втулка
5 может смещаться в осевом
направлении. Втулки рычагами
8 и 9 шарнирно соединяются
с грузиками 4. При вращении
валика па грузики действуют
Рис. 4.10
91
центробежные силы инерции /и, вследствие чего втулка 5 вместе
с тормозным диском 6 перемещается вверх, i рсодолевая силу
сопротивления F пружины 3. При соприкосновении диска со
стойкой (тормозной колодкой) 7 возникает момент сил трения,
который вычисляется но формуле (3.40)
Л/ре1 = 2f(Fx - F) (Л 1 - R ?)/ [3 (Л 2 - Л J)] =
= fRn(Fx — F), (4.8)
где (ГЛ-F) — сила, прижимающая диск б к стойке 7; R,, R2 —
размеры, см. рис. 4.10, а. Чтобы рассчитать силу Fx, рассмотрим
структурную схему механизма регулятора па рис. 4.10, б, где указаны
действующие силы: FB движущая сила, a F'x реакция стойки 7,
направленная противоположно силе Fx. Значение F'x определим
с помощью теоремы Жуковского (см. § 3.3), сила F'x—уравновешива-
ющая. Пос г роив план скоростей (см. рис. 4.10, в), переносим силы FK
и F'x в точки h и (I соответственно, повернув эти силы па 90' (вместо
поворота плана скоросгсй). Условие равновесия Т,МР =0 дает
(bbt)Fu=Mf'x; F>0 5FM/lga.
Из ДАВС tga=(r—а), (0,5/); следовательно,
F>FM//[4(r-«)].
Так как число грузиков равно z, то Fx — zF'x. Подставив в формулу
(4.8) выражение для Fx, получим
Мре, = J Ru [0,25гшго)2/'(г — о) — Г]=Аго2— (4.9)
где /?,, R2, г, I, а — размеры на рис. 4.10, а (г, / - для положения,
когда диск соприкасается со стойкой 7).
Сдвигая в осевом направлении тормозную колодку осевого
регулятора, можно получить различные скорости установившегося
движения системы. Так регулируется, например, скорость съемки
в небольших кипосьемочных аппаратах. Легкость изменения
скорости и точность регулирования основные достоинства тор-
мозных регуляторов осевого действия. А
По такому же принципу, как и осевые тормозные регуляторы,
устроены тахометры и другие инерционные чувствительные
элементы. На рис. 4. II изображена схема тахометра. Здесь
вращению валика 6 с угловой скоростью оз соответств ег
опреде генное смешение втулки 5 от исходного положения. Это
смешение преобразуется рычажно-зубчатым механизмом 3 4
в поворот стрелки 2, которая указывает значение скорости го на
шкале 1.
Тормозные регуляторы с аэродинамическим сопротивлением
применяются в телеграфных аппаратах и других приборах. Схема
такого регулятора с самоустанав г гвающимся крылом показана
на рис. 4.12. При вращении валика I вместе с крылом 2 силы
аэродинамического сопротивления создают тормозной момент
92
МрС1 =А2(ф)<02, (4.10)
где к2 аэродинамический коэффициент, определяемый экспери-
ментально.
Крыло 2 под действием центробежных сил инерции F„
поворачивается против движения часовой стрелки относительно
оси О, преодолевая сопротивление пружины 3.
По мере увеличения утла <р поворота тормозной момент
регулятора растег.
Регуляторы рассматриваемого типа просты но конструкции,
имеют малые массу и габариты, дешевы, надежны в эксплуатации,
мало восприимчивы к ударам и вибрации, тормозной момент
не изменяется со временем. Их недостаток относительно малая
точность рет улировапия. Рекомендуемые рабочие частоты враще-
ния 2000... 5000 об/мин.
Принцип действия регуляторов с магнитоиндукционным со-
противлением основан на тормозящем действии матнитного поля
вихревых токов. Здесь диск / из
нсматнитного металла (рис. 4.13) вра-
щается между полюсами постоянного
мат нита 2. В диске индуцируются
вихревые токи, магнитное поле ко-
торых взаимодействует с полем маг-
нита 2. В результате создается тор-
мозной момент. Перемещая магнит
в радиальном направлении (изменяя
расстояние а), можно варьировать
тормозной момент, регулируя гем Рис. 4.13
93
самым угловую скорость в установившемся режиме. Для этой
же цели может быть применен магнитный шунт. Конструкция
регулятора проста, но он имеет огносюелыю большие габариты.
Основная отличительная особенность этого регулятора — линейная
зависимость тормозного момента от скорости, что и определяет
область его применения.
Расчет тормозных регуляторов. Расче! проводят с целью
определения параметров, обеспечивающих требуемую равномер-
ность движения. Тормозной момент большинства типов регуляторов
Мрет = ки2-к{. (4.11)
При расчете находят значения к и ки по которым подбирают
соответствующие размеры и параметры того или иного регуля-
тора [см. формулы (4.4), (4.7), (4.9), (4.10)].
Если угловая скорость валика регулятора больше <экр, при
которой начинается торможение [см. формулу (4.5)]. го в соот-
ветствии с общим уравнением движения (3.6) для системы
с регулятором запишем:
7" d7+°’5 W2 = Т" “ Т"л ~ ~ Л/₽ег = Д 7 "“ (4'12)
где ./п — приведенный к какому-либо звену момент инерции всей
системы; 7'11Л, Т„с. Мрсг приведенные к этому же звену моменты
движущий, сил сопротивления и регулятора.
При проектировании определенною типа регулятора уравнение
(4.12) решается для расчетной функции АТП= /(ср). Параметры
регулятора выбирают так, чтобы коэффициент неравномерности
пе превышал заданного значения.
Рассмотрим часто встречающийся случай, когда функция
п) = о)(<р) монотонна при переходе от максимальной узловой
скорости сотях к минимальной (Dmin и Jn = const. Тогда, считая
момент сил сопротивления постоянным, для установившеюся
движения
Тпдтах Тпс+.'Ирс1 (сОтах),
7 ид min 7~пс + 47рег (^min )•*
ИЛИ
7'пдтлх = Тпс + (к GJ- к!). (4.14)
min
где Г„дтак и 7,umill- соответственно наибольшим и наименьший
приведенные моменты движущих сил; значения узловых скоростей
сотах и a)min определяют из системы уравнений (4.1) и (4.2):
iomax=<o„, (1+8/2); (omjn = wm (1 — 5/2). (4.15)
С учетом равенств (4.15) из системы (4.14) получаем
к = (ТПД1пах - 7;„(min)/ (2Sco2): (4.16)
Л:1 = Г„с+О,5(1-5/2)25-1 (7'11дтах-Г1,лт111)-Г11дт!п. (4.17)
94
Рис. 4.14
Пример 4.1. Рассчитать пара-
метры тормозною рс!улятора пе-
реносного вибрографа (рис. 4.14.
где I объект). От пружинною
двигателя 5 через зубчатую переда-
чу 4 приводится во вращение
ролик 3 (рабочий орган), переме-
щающий бумажную ленту 2. Так
как вращающий момент пружин-
ного двигателя линейно уменьша-
ется (см. рис. 3.8. й). то даже ею
минимальное значение должно
быть больше, чем приведенный
к вату двигате гя момент сил со-
про1ивления. Та тасть энергии,
которая не используется на пере-
мещение бумаги роликом 3. переда-
стся зубчатым 6 и червячным
7 механизмами тормозному регу-
лятору 8. выполненному по схеме
рис. 4.8. 6. Исходные данные для
расчета: момент сил сопротивле-
ния. приведенный к осн // рабочего
органа 3. Тпс=6Н-мм; минималь-
ный вращающий момеш двигателя
Лт1„=200 Н мм; Т'Т . = 1,8;
частота вращения ролика 3 л3=60 об мин; частота вращения валика регулятора
и„ = 2800 об/мин: допустимый коэффициент неравномерности движения [61 = 0.1,
время работы прибора от одною га вола пружинного двигателя г= 1.8 мин;
число рабочих оборотов барабана двигателя л = 8; кпд перед и от двигателя
к регулятору т),„=0.65. от оси ролика 3 к регулятору т)зв=0,72.
Решение. Находим переда точное отношение от двигателя к оси регулят ора
/,в=(л/г)гля = (8; 1,8). 2800= 1 .-630.
Приведенный к оси регулятора минимальный момент двигателя
Т'*8?., =7'„,„1„ЦяП«=(200,630)0.65 = 0,206 Пмм.
Передаточное отношение от ролика 3 к оси регулятора 8
>3» ~"г «8 = 60,2800 = I /46.7.
Приведенный к оси регулятора момент сил сопротивления
Т"” = Т,3)гг’ и,.=(6 46.7)0.72 = 0.093 П мм.
Средняя угловая скорость вала /I регулятора
го = ли„/30=293 с *.
глЪ в*
Значение параметра к рассчитывается по формуле (4.16)
£ = 0.206(1.8-1) (2-0,1 •2932)=9.610"й кг м-м.м=9,6 г-мм2.
второго параметра- по формуле (4.17)
£,=0.093-, [0.5(1 -О,5 0,1)20,Г 1 (1,8-1)-1]0,206=0.631 Н-мм.
Следовательно, заданный уровень равномерности твижения обеспечивается при
следующих значениях основных параметров:
£ = 9,6 г-мм2; £, =0,654 Н-мм.
Прочие параметры регулятора определим, выбрав в качестве материала
грузиков свипеп, материала тормозного барабана бронзу; примем число грузиков
95
з=2, прогиб пружины е= I мм, длину пружины /=!0мм, радиус барабана
R — f> мм, расстояние от центра масс грузика до оси его вращения г=5,5мм.
а=0, коэффициент сухого трения свинца по бронзе /'=0,15, материал пружины —
сталь с модулем упругости fc’=2 10s МПа.
Так как тля регулятора данного imia k—zfRmr [см. (4.4)]. то масса одного
1рузика ш=А-1,,(г/Лг)=9,6.(2-0,15-6-5.5)й I г. Из равенства к, =zf R-3eE.ll 3 следует
J=bh\l2 = fc1/3,(3eFz/'/?) = 0,654103 (312105-2 0,15 6) 0,610 3 мм4.
Задавшись значением Ь=3 мм ширины пружины. получаем ее толщину
Л = 0,134мм. Окончательно приня)ы ближайшие стандартные параметры: b*h —
= 3 х 0,13 мм.
ГЛАВА 5
ТОЧНОСТЬ МЕХАНИЗМОВ
Вследствие неточное гей изготовления и сборки, зазоров в кинематических
парах, из-за деформаций звеньев и изменения скорости входного звена положение,
скорость и ускорение выходных звеньев отличаются от идеальных. Расчет
погрешностей различных механизмов имеет много общего. В настоящей главе
дан анализ точности рычажных механизмов с низшими парами; так как высшие
пары можно условно заменить низшими (см. § 1.4), то методика точностных
расчетов рычажных механизмов принципиально применима и к механизмам
с высшими парами. Специфические аспекты точностного анализа зубчатых
и червячных передач рассмотрены в соогветствутощих главах книги.
При анализе одною механизма отклонения размеров его звеньев от
поминальных значений считаются известными. Для оценки потрешностей большой
группы одинаковых механизмов применяются вероятностные методы расчета;
главные параметры погрешности в этом случае—математическое ожидание
и дисперсия ошибки серии механизмов.
§5.1. ПОГРЕШНОСТИ МЕХАНИЗМОВ
Точностью механизма называют его свойство обеспечивать
при заданных законах движения входных звеньев, расположение
и движение выходных * звеньев с погрешностями, пе превыша-
ющими их допускаемых значений.
Требования к точности механических и электромеханических
систем автоматики, приборов и вычислительной техники непре-
рывно повышаются. Точность - один из основных показателей
качества и критерий при выборе, изготовлении и эксплуатации
механизмов. Поэтому при проектировании контрольно-измери-
тельных приборов, информационно-вычислительных систем, стан-
ков-автоматов и роботов требуется расчетное обоснование их
точности. Например, точность попадания т очки D схвата (рис. 5.1)
в заданную точку рабочей зоны называют точностью позициониро-
вания робота и указывают в его паспорте. Максимальная
погрешность позиционирования в данной точке Ap = (Ax2 + Av2 +
+ Az2)1/2, где Ax, А у. Az соответствующие максимальные погреш-
* Здесь в да тее будем считать входные звенья ведущими, а выходные
ведомыми.
96
нос । и по осям неподвижной систе-
мы координат, позволяет судить
о пригодности, например, промыш-
ленного робота для выполнения
требуемых гехноло! ических опера-
ций, а средняя noi репшость Арт
характеризует точностные свойства
робота по всей рабочей зоне.
Виды погрешностей. Погрешно-
стью механизма называют раз-
ность между дсйС1ви1ельным и рас-
четным (идеальным) значениями
его выходного параметра. Разность
обусловливается в основном технологическими неточностями
размеров, формы, взаимного расположения элементов кинемати-
ческих пар и звеньев, т. е. так называемыми первичными погрешно-
стями (ошибками*), ihui яуатацшншымн погрешностями (отклоне-
ниями нагрузок, температуры и показателей износа от поминаль-
ных), динамическими погрешностями, обусловленными инерцион-
ными явлениями в самой кинематической пени, автоколебаниями,
вибрацией, а также структурными погрешностями (при выборе
приближенной схемы механизма). В зависимое!и oi характера
связей между входными и выходными параметрами, т. е. от вица
уравнений, описывающих поведение кинематической цепи, разли-
чают кинематические и динамические погрешности механизма.
Современные мето цы расчета погрешностей, их влияния па
кинематику и динамику механических систем, методы их уменьше-
ния и компенсации, а также основные тадачи точностных анализа
и синтеза механизмов основаны на теории точности механизмов,
теории веро чтиостей и математической статистике.
Идеальным называют механизм, воспроизводящий заданную
функцию его положения = Ч^ф), >'ДС и Ф координаты
ведущего и ведомого звеньев, абсолютно точно.
Реальным называют спроектированный или изготовленный
механизм, положения и движение звеньев которого всегда отлича-
ются о г идеальных (расчетных) из-за допускаемых или действую-
щих структурных, технологических и эксплуатационных погреш-
ностей. В реальном механизме Ч> = Т(<р)фЧ>0 и. следовательно,
первая <14* dq> и вторая d24’,d<p2 передаточные функции воспроиз-
водятся им тоже не точно.
Теоретический механизм—про го i ин реального механизма, от-
личающийся отсутствием технологических и эксплуатационных
погрешившей.
* В научной литературе по метрологии н 1еории ючности механизмов
вместо 1ермина «погрешность» употребляйся также 1ермин «ошибка» и соот-
ветственно iepxinni.i: «ошибка мехшпима». «первичная ошибка» и г. п.
•I Зак. 740
97
Конкретный готовый механизм, погрешности которого могут быть
измерены, называю) действительным. Погрешность схемы (струю у р-
ная погрешность) возникает в том случае, когда для получения
заданного движения звеньев выбран не идеальный, а механизм с более
простой схемой. Так поступают, если результирующая погрешность
реального механизма с упрошенной схемой будст меньше, чем для
механизма с идеальной, но сложной схемой.
Не рассматривая пока погрешность схемы, назовем погреш-
ностью положения механизма отклонение Дх (рис. 5.2, д) положе-
ния ведомого звена действительного механизма (показан на рисунке
тонкими линиями) от положения при одинаковом положении их
ведущих звеньев. Если ведущее звено действительного .механизма
займет неправильное положение (Дф^О. см. рис. 5.2, 6). то
отклонение Дхвм положения ведомого звена от положения того же
звена идеального механизма при Дф = 0 называют погрешностью
положения ведомого звена или конечной погрешностью механизма.
На рис. 5.2: Дг и Д/—отклонения длин звеньев 1 и 2 от их
идеальных (расчетных) значений и Дф—погрешность положения
ведущею звена (начальная погрешность механизма).
Во многих случаях, например при сравни тельных расчетах.
приходится определять погрешность перемещения механизма, под
которой понимают разность перемещений ведомых звеньев дей-
стви гельно! о и идеального механизмов при одинаковых перемеще-
ниях их ведущих звеньев. Обозначим координаты ведомых звеньев
Рис. 5.3
действительного и идеального
механизмов в начале перемеще-
ния соответственно Тн и Тон,
а в конце перемещения
и То» (рис. 5.3); погрешност и по-
ложения действительного меха-
низма в начале и конце пере-
мещения: ДТН и ДЧ\. Тогда
ТН = Т„„ + ДТН; Ч\ = ТОК + ДЧ\;
98
Vk - = TOk - То„ + (А- AT,,).
Но так как
(Тж-Тн)-(Т„ж-Тон) = АТП
- погрешность перемещения ме-
ханизма, то
ДТП = АЧ\.-ДТН, (5.1)
г. е. пшрешность перемещения
механизма есть разность погреш-
ностей положений его в конце
и начале перемещения. Если по-
грешности АТК и АТН проявля-
ются при одном и том же по-
Рис. 5.4
свободный (мертвый) ход
ложении ведущего звена, но при
различном направлении его дви-
жения, то выражение (5.1) определяе>
механизма, существенно влияющий на точность механических
систем с реверсивным движением. Свободный ход возникает
вследствие зазоров в кинематических парах или упругой деформа-
ции звеньев. Он проявляется в том, что при неподвижном
ведущем звене 1 (рис. 5.4), например кривошипно-ползунного
механизма, звено 3 получает возможность некоторою перемещения
А.тсп или же в том. что в начале возможного реверса ведущего
звена 1 звено 3 останется неподвижным.
Таким образом, при наличии погрешностей в механизмах
некоторой системы, вырабатывающей заданную программу, вся
остальная ее, например электротехническая, часть, даже
пе имеющая (в идеале) собственных погрешностей, будет
также выполнять эту неточную программу.
Так как. практически, результирующая точность любой слож-
ной механической системы в конечном счете определяется точ-
ностью составляющих ее простых грех-, четырех- и шесгизвенных
механизмов, то далее применительно к ним и излагаются
некоторые вопросы теории точности механизмов.
Задачи точностных анализа и синтеза механизмов. В настоящее
время наиболее полно разработаны следующие задачи точностно-
го синтеза [12J*.
точностной кинематический синтез—разрабатывают кинема-
тическую схему теоретического механизма по заданной функции
его положения и допускаемой структурной погрешности;
точностной метрический синтез — находя> размеры звеньев
теоретического механизма из условия минимизации его структур-
ной погрешности (для минимизации используются методы
* См. также: Грейм И. .4. Элементы проектирования и расчет механизмов
приборов. Л.. 1972.
4*
99
равномерного и квадратичного приближения функции положения,
полиномы П. Л. Чебышева и интерполяция);
расчеты допусков на размеры звеньев -допуски рассчитывают
исходя из заданной конечной погрешности реального механизма.
К точностному анализу относится значительно более широкий
круг задач:
точностной кинематический анализ— находят функцию поло-
жения механизма, а также функцию влияния первичных погрешностей
и положений звеньев на конечную погрешность механизма, строят
график погрешностей по.южений механизма (этот анализ выполняют
для выбранной кинематической схемы реального механизма, т. е.
с учетом заданных допусков на размеры звеньев или для
действительного механизма с учетом его измеренных погрешностей);
точностной метрический анализ —определяют связь первичных
погрешностей (в основном, векторных) метрических параметров
механизма с первичными погрешностями расположения звеньев,
уточняют график погрешностей положений механизма: определя-
ют линии действия и направления сил в кинематических нарах;
предварительно выбирают устройства, компенсирующие погреш-
ности, и систему регулирования механизма (этот анализ выполня-
ют после разработки конструкции механизма);
точностной технологическо-эксплуатационный ана.шз — опреде-
ляют степень влияния производственных погрешностей размеров
или формы деталей на точность преобразования движения
механизмом; определяют связь допуска с действительным рассеи-
ванием размеров деталей; окончательно выбирают допуски;
находят погрешности свободного хода, эксплуатационные по-
грешности, упругие и температурные деформации деталей (этот
анализ выполняют после выбора технологического варианта
изготовления деталей механизма, а затем снова уточняют график
погрешностей его положений);
компенсация погрешностей механизма -обосновывают оконча-
тельный выбор компенсаторов, воздействующих на те или иные
параметры механизма (например, на размеры и перекосы звеньев,
на эксцентриситеты); в результате уменьшается полная погреш-
ность и повышается технологичность и расширяются поля
допусков па метрические параметры.
Проектирование нового механизма начинают, в общем случае,
с точного синтеза, выполняемого методом итераций, г. е. на
каждой его стадии вводят коррективы по результатам соответ-
ствующего точностного анализа. Таким образом, прикладные
задачи точностных анализа и синтеза механизмов ставятся как
прямые и обратные. Их независимое итерационное решение
и приводит к ребуемому согласованию результатов.
Вопросы динамической точности механизмов разработаны
значительно меньше. Примером динамической погрешности мо-
жет служить инерционная погрешность, наблюдаемая обычно
J00
в быстродействующих рычаж-
ных механизмах, для которых
характерна переменная приве-
денная масса. Так, рассмотрим
тахограмму то = то (г) на рис. 5.5
(кривая 7) идеального рычаж-
ного механизма при установи-
вшемся режиме его движения.
Тахограмма имеет периодичес-
кий характер (Г=2л) (см.
рис. 4.1, а) и. следовательно,
постоянна только средняя ско-
рость ium, например ведущего
звена приведения.
Интегрируя кривую 7, по-
лучаем кривую 2 изменения
координаты ведущего звена
ф = ф(/), а затем можно по-
строить кривую 3 времени
т = т(ф), симметричную кривой
2 относительно биссек т рисы
прямого угла между осями
координат. Кривые 2 и 3. как
и кривая 7, имеют тот же
Рис. 5.5
период Т=2п, но для ясности
изображены в гех же координатах в масштабе увеличения. Из
кривых 2 и 3 видно, что даже в кинематически идеально
быстродействующем механизме в любой момент времени t (за
исключением точек перегиба) имеется погрешность Дф = Дф(т)
положения его ведущего звена. Например, в момент времени
?! (см. кривую 2) эта погрешность составляет Дф1- Соответственно
ей наблюдается и инерционная погрешность ДЧ/И = ДЧ'И [ф(/)]
положения ведущего звена или, что то же, инерционная конечная
погрешность механизма. Имея в виду общий смысл гахограммы
1, заключаем, что инерционная конечная погрешность рычажного
механизма обусловливается переменностью его приведенной мас-
сы и разности моментов сил движущих и сил сопротивления
ь течение одного цикла движения (см. § 3.2, 4.1). Как следствие
инерционной конечной погрешности, в механизме действует
и инерционная погрешность Д/и = Дти(фр)] времени его сраба-
тывания, например, от погрешности Д^ для положения ведущего
звена, определяемого углом ф, (см. кривую 2 на рис. 5.5).
Итак, в быстродействующих механизмах с переменной при-
веденной массой возникают дополнительные, инерционные, по-
грешности положения ведомых звеньев как результат динамичес-
ких явлений в самой кинематической цепи. Эти динамические
погрешности учитываются наряду с кинематическими и эксплуата-
ционными погрешностями.
101
§ 5.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
▼ Методы точностных анализа и синтеза механизмов могу г быть
аналитическими, графо-аналитическими и экспериментальными.
Аналитические методы приемлемы для тех механизмов, для которых
легко вывести функцию положения и вычислить частные производные
без необходимости учитывать noiрешности взаимного расположения
и формы элементов кинематических пар. Для плоских механизмов
с низшими парами, в которых основное влияние на точность
оказывают первичные погрешности размеров звеньев, удобны
методы преобразованного механизма и планов малых перемещений, как
весьма наглядные и достаточно точные при инженерных расчетах.
Имея в виду возможность построения заменяющих механизмов (см.
§ 1.4), Э1и же методы используют и для точностного кинематического
анализа механизмов с высшими парами, например кулачковых.
Для рычажных и фрикционных механизмов удобен метод
относительных погрешностей, дающий простое решение многих
задач. К быстродействующим вычислительным устройствам с зуб-
чатыми и кулачковыми механизмами, на точность которых
существенно влияют погрешности взаимного расположения
и формы элементов кинематических пар, применим метод плеча
и линии действии *.
Аналитический метод **. Обозначим координату ведомого звена
идеального механизма Ч*о, а координату ведущего звена — (р
и значения метрических параметров звеньев- qj, где /=1, 2, ...—
порядковый номер звена. Координаты Ч*о и (р могут быть
линейными и угловыми.
В идеальном механизме с го юномпыми связями (см. § 3.2),
применяемом для реализации функциональных зависимостей, не
содержащих дифференциальных операций, координата Ч*о всегда
некоторая функция многих переменных (но не скоростей):
^о = ^о(ф,9ь 9г, 9„), (5-2)
где параметры q^. q2, ..., qn полностью определяю! размеры,
форму и взаимное расположение звеньев механизма. Из-за
первичных (технологических) погрешностей параметры дейст-
вительного механизма отличаются oi идеальных значений и по-
тому положение действительного механизма определяется коор-
динатой
Т = Т0+ДТвм = Ч>(<р + Дф, 91+Д91 9„ + Д9„). (5.3)
|де ДЧ'вм — погрешность положения ведомого звена действитель-
ного механизма и Д<р — погрешность положения его ведущего
звена.
* Приборостроение и средства автоматики. Справочник. М.. 1963. Т. 1. С. 323.
** Метод рачработан акад. II Г. Бруевичем.
102
Погрешности обычно не более допусков на размеры звеньев,
т. е. малы но сравнению со значениями параметров qt. Пользуясь
малостью Д<р и Д<?г разложим функцию (5.3) в ряд Тейлора и,
ограничиваясь только нулевым и линейными его членами, получим
ачЛ
Ч' = Ч'о+ДЧ'вм = Ч'о(<р. .... 9я) + (^)Д<р+£
\ ф/о j-i
Mj-
(5.4)
откуда и найдем приближенное выражение для погрешности
положения действительного механизма:
= Лф+ f Му (5-5)
\'Ф/о j-AWo
Индекс «нуль» у частных производных указывает на то. что
они должны вычисляться для идеальных (точных) значений
параметров и обобщенной координаты <р. Формула (5.5) относится
к действительному механизму, имеющему погрешности, но выпол-
ненному по идеальной схеме. В общем же случае погрешность
ДЧ'вм зависит также и от структурной погрешности механизма,
если он выполнен не по идеальной, а по упрощенной (теоретичес-
кой) схеме. Тогда
(ГЦ/ \ ” /РФ \
Ч (56>
где ДТС= Ч/т —— hoi решность схемы; Тт -функция положения
теоретического механизма (прототипа данного действительного
механизма); То —функция положения идеального механизма.
Погрешность положения действительного механизма с идеаль-
ной схемой
л, /рф\
ДЧ>=£ Д Д9;, (5.7)
погрешность положения, вызванная только одной первичной
погрешностью Д<?к параметра qk,
= ) Мь- (5-8)
Отсюда, по смыслу, частная производная
является передаточным отношением погрешности ДЧ\ oi ведомо-
го звена к звену содержащему погрешность Дед.
Из формулы (5.5) следует, что погрешность положения ведомого
звена механизма равна сумме погрешностей, вызываемых независимо
103
каждой первичной погрешностью в oi-
дельносги. Для некоторых механизмов,
например для чегырехшарнирного (см.
рис. 2.3), непосредственное вычисление
частных производных (с 4х 'cqj)0 стано-
вится громоздким и тогда следует
перейти к определению ДТ или ДЧ-*ВМ
графо-аналитическим методом или ис-
пользовать ЭВМ.
Рис. 5.6
Пример 5.1. Извсшны длины L и / звеньев
кулисною механизма (рис. 5.6) и их первичные погрешности Д/. и Д/; ведущее
звено кривошип /. ведомое- кулиса 3. Определить погрешность положения
Дф действительного механизма.
Решение. Функция положения кулисного механизма
ф = arcig [/ sin <p. (L—I cos ф) J
При отсутствии погрешности на входе (Дф=О) погрешность
механизма (см. формулу (5.7)]
/ГЧА /ЯЧА
М4Д44Д/-
(5.10)
положения
где чашныс прои (водные
ANA /хшф
Jo L2 — 2£/ео.хф + /2’
/РТХ £&шф
yi'/Jo Л2 —2£соьф +12
Таким образом, погрешность положения кулисного механизма
Дф = [sin ф:'(! 2 — 2LIcos ф + Z2)] (L Л/—/Д£). (5.11)
Пример 5.2. Известны длины г и I звеньев кривошипно-ползунного механизма
(см. рис. 2.2, в и 5.2) и их первичные погрешности Дг и Л/, дезаксиал е=(),
ведущее звено—кривошип /, ведомое ползун 3. Определить по|рсшносгь
положения Длвм действительного мсханитма.
Решение. Функция положения механизма [см. формулу (2.11)] при <»=():
Хв = гСО5ф I (I1 — Г25Ш2ф)1/2.
Так как частные производные
\(4j0 (/2 — г2 sin2 ф)1,2 ’
то сот насно формуле (5.7), погрешность положения механизма
/Д/ , ГХШ2ф
А-Хв - 2 2 ~ 2 \ 172 + G-OS Ф 775 j 7 £ (ТД - (5.12)
(/ — гЭпгф)12 (/-—r2snr ф)1,2
Метод преобразованного механизма. Метод заключается в ин-
терпретации частной производной (с|'Р'г’<7)(> = ДЧ/./Д^. (см. фор-
мулу (5.9)] как отношения малых перемещений или скоростей
104
ведомого и ведущет о зве-
ньев преобразованного
механизма. В таком ме-
ханизме, с точно вы-
полненными звеньями,
реальное ведущее звено
закрепляют неподвижно,
а звено, имеющее по-
грешность. преобразуют
условно в ведущее с на-
правлением движения
в сторону действия рас-
сматриваемой первичной
погрешности. В преоб-
разованном механизме
аналог скорости ведомо-
го звена
Рис. 5.7
где <р — координа та веду-
щего звена исследуемого
механизма. По плану
скоростей преобразованного механизма определяют частную
производную (cT/u/Jo из соотношения отрезков плана, пропор-
циональных скоростям ведомого и ведущего звеньев.
Пример 5.3. Определить пот рсшность положения дсзаксиального кривошипно-
ползунного механизма (рис. 5.7, я). Пусть первичные noi рсшности для звеньев:
Лг — кривошипа 7, Д/ шатуна 2 и Де дезаксиала е.
Решение. Для определения частной погрешности Ах, положения ползуна 3.
вызванной первичной пот рсшностыо Дг, сделаем неподвижным кривошип
/ (рис. 5.7.6), а вращательную пару А та мен им пос тупа тельной и вращательной
парами так, чтобы дополнительный ползун 4 мог перемещаться по неподвижному
теперь кривошипу 7. моделируя действие пот рсшности Дг. При построении плана
скоростей (рие. 5.7,в) из полюса р проводим прямую, параллельную ОА,— линию
действия погрешности Дг и откладываем на ней в масштабе pVx (мм/мм) значение
Дг. Стрелка вектора ра должна указывать направление увеличения длины
г кривошипа, так как по условию Ак положительно. Далее, в соответствии
с методикой построения плана скоростей (см. рис. 2.6) из полюса р проводим
прямую, параллельную движению ползуна, а из точки а -линию, перпендикуляр-
ную шатуну АВ. Па пересечении них прямых получаем точку Ь. Отрезок pb
в'выбранном масштабе рЛд изображает погрешность Д-Xj положения механизма,
вызванную первичной пот рсшностыо Дг. Из рис. 5.7,в по теореме синусов
ДХ] Ar = sin [90 — (ф + ф)];8т(90 + ф).
откуда
А.х, = Ar cos (<р + ф) . cos ф.
(5.14)
105
Эта частная погрешность имеет знак плюс, так как увеличению длины кривошипа
г соответствует увеличение координаты хн.
Для нахождения частной потрешности Д.х2 ог первично!! потрешности Д/
с 1 роим второй преобразованный механизм (рис. 5.7,г) и из соответствующею
ему плана скоростей (рис. 5.7,д) находим
Да, = ДЛ cos ф. (5.15)
Эта погрешнощь |акжс имеет знак плюс, так как с увеличением длины / шатуна
координата .тв увеличивается
Преобразованный механизм и план скоростей для нахождения частной
по|решности Дх3 от первичной noiрешности Ле показаны на рис 5.7,е. .ж. откуда
Дл‘з= - Aetg(|3. (5.16)
Частной погрешности Дх3 приписываем знак минус, так как при увеличении
дезаксиала е координата л„ уменьшается. Полная но!решность положения
механизма
AvB= £ Д.г,,
з-1
или ит выражений (5.14) (5.16)
Дхв=Arcos (<р + ф),'сок ф + Д/.'cos ф — Де Tg ф. (5.17)
Гот же результа! можно получить, используя формулу (5.7).
Метод планов малых перемещений. Метод разработан проф.
В. А. Шишковым и заключается в учете влияния погрешностей
всех звеньев на погрешность положения механизма путем построе-
ния единого плана малых перемещений непосредственно но схеме
заданного механизма без каких-либо его преобразований.
При построении плана малых перемещений исходят из следую-
щего. Перемещение любой точки действительного механизма
обусловлено не движением его ведущего звена, а дефектным
(вследствие первичных погрешностей) перемещением всех его
точек относительно положений, которые они занимали бы
в идеальном или теоретическом механизме. Дефектные перемеще-
ния точек вызваны первичными погрешностями длин звеньев
и не зависят друг от друга. Влияние первичных погрешностей
дополняется перемещениями точек, обусловленными кинематичес-
кими связями в механизме; отклонения размеров звеньев настоль-
ко малы, что направления звеньев действительного и идеального
механизмов совпадают. Тем самым учитываются погрешности
только первого порядка малости. Элемент стойки, с которым
соединено ведомое звено, считается совпадающим со своим
идеальным положением. Дефектные положения элементов других
кинематических пар считаем заданными по отношению к системе
координат, связанной с этим «последним» элементом.
Итак, точка В любого звена АВ (рис. 5.8) может иметь
дефектное перемещение в двух направлениях по отношению
к, своему идеальному положению: нормальное перемещение
Sba вследствие потрешности длины звена и тангенциальное
106
перемещение S' ВА вследствие погрешности d <р углового положения
звена. Здесь имеется в виду возможная траектория точки
В в относительном движении вокруг точки А. Вектор нормального
перемещения SBA всегда известен по модулю и направлению
(это заданное отклонение длины звена), а для вектора танген-
циального перемещения S'BA обычно известна только линия
действия t—t. Аналогия плана малых перемещений с планом
ускорений ие соблюдается лишь в том, что нормальное перемеще-
ние S’b.4 может быть отложено как в направлении от точки
В к А, так и в обратном, в зависимости от заданного знака
погрешности длины звена.
Построим план малых перемещений для кривошипно-ползун-
ного механизма (рис. 5.9,«), если заданы погрешности положения
точки О {—So, +S£>) и длин звеньев О А и АВ ( + SAO; + 5вД
Для простоты счикзем. что угол <р, определяющий положение
ведущею звена, точен. Положение направляющей ползуна со-
впадает с идеальным.
От полюса плана (точки р на рис. 5.9.6) отложим в сторону
отрицательною значения оси х вектор рп0, изображающий
погрешность So положения точки О, и вычислим масштаб плана
в мм/мм ps = |Sq|:рп0. От точки по отложим в сторону поло-
жительных значений оси у отрезок п„о, изображающий ошибку
+ S Ъ- Таким образом, ось О вращения кривошипа имеет
смешение So, изображенное на плане вектором р&. Перемещение
точки А относительно своего идеального положения представим
состоящим из двух слагаемых: переносного поступательного
перемещения звена ОА вместе с точкой О и перемещения точки
А относительно точки О вследствие погрешности длины кри-
вошипа S пАо, т. е.
S л = So+S ло + S'Ao-
Тангенциальное перемещение S’AO в данном случае равно
нулю (по условию) и поэтому для определения перемещения
гдчки А остается прибавить на плане к вектору ~ро вектор
ww=S ло/Рх’ изображающий погрешность длины звена ОА. Вектор
оа должен быть направлен параллельно звену ОА в сторону
107
его увеличения (но условию). Вектор ph изображает абсо-
лютное перемещение точки А механизма. Перемещение точки
В состоит из переносною перемещения звена А В вместе с точкой
А и перемещения точки В относительно точки А. Относительное
перемещение, в свою очередь, состоит из нормальною и тан-
генциального перемещений, т. е.
SB = SA + SnBA + SlBA. (5.18)
На плане (рис. 5.9, о) век юр ah' = 5вл/Нч откладываем парал-
лельно звену АВ в сторону увеличения его длины по условию. Затем
от конца вектора ah' проводим линию, перпендикулярную звену
АВ, до пересечения в точке b с горизон!альной линией, проведенной
из полюса р. Эта горизонтальная линия на плане, параллельная оси
.с, представляет собой линию действия абсолкиного перемещения
точки В, а вектор ph изображает погрешносю положения токи В.
В данном случае наличие тангенциальною перемещения S 'йл объяс-
няется тем. что одно слагаемое S ВА еще не определяет полного
относительного перемещения точки В. Вследствие только нормаль-
ного перемещения SBA точка В шатуна займет положение,
соответствующее точке Ь' на плане, т. е. не совместимое со связями
в механизме. Так, если для наглядности план перемещений
совместить полюсом р с точкой В на плане механизма (рис. 5.9,6),
то видно, что точка h' пока приподнята над направляющей а—л
настолько, насколько она на плане приподнята нал горизонтальной
линией, проходящей через полюс. Чтобы точка h' совпала
с направляющей, пужно немного «повернуть» шатун А В по ходу
часовой стрелки. При этом точка В и получит малое тангенциаль-
ное перемещение S'BA, перпендикулярное звену А В.
Метод относительных погрешностей. Применительно к расчетам
точности рычажных механизмов различают два вида относитель-
ных погрешностей: радиальные и тангенциальные. Относительной
радиальной погрешностью называют частное от деления абсолют-
ной погрешности Дг радиального размера па его номинальное
значение г. Для относительной радиальной погрешности характер-
но, что независимо oi ппи-
надлежнощи ее к любому
звену погрешность в данной
последовательной передача
(рис. 5.10) имеет постоянное
передаточное отношение.
Выразим погрешность
положения механизма чер^з
погрешности длин всех ше-
сти плеч рычагов, где ве-
домое звено гь. Функция
положения механизма
108
Продифференцируем ее и заменим дифферепциа 1Ы малыми
приращениями:
Д56=Лг2 + Дг4 + Дг6 - Дг, - Дгл - Лг,^
После преобразований получим
Д56 — Sli(J}
X j вм/ rj вм £ j ВН|/ rj ВЩ )’
(5-19)
где п и т—соотвеютвенно количества ведущих и ведомых
звеньев цепи; /=1, 2. ... -порядковый помер звена. Из выражения
видно, что относительные ошибки звеньев умножаются на общее
передаточное отношение j61 =zr2r4r6^(rlr2r3). несмотря на различное
их расположение по цепи. Заменяя SI/61 = S6, получаем
п т
= £ ^G’BM. Г2ВМ~ £ ВШ 'ri Н!Ц’ (5.20)
j-1
т.е. относительная погрешность положения механизма равна
алгебраической сумме относительных радиальных погрешностей
его последова 1ельно ведомых и ведущих звеньев. Так как влияние
относительной радиальной погрешности любого звена одинаково,
то каждое звено должно быть изготовлено с примерно одинаковой
относительной погрешностью. Понятие относительной радиальной
погрешности имеет смысл только для передач рычажных, фрик-
ционных и с гибкой связью. Для зубчатых колес относительная
радиальная погрешность сохраняет свои особенности только
в пределах малых уыов поворота колеса (менее одного углового
шага).
Неточность расположения элементов кинематических пар. Откло-
нения действительного расположения элементов кинемаитческих
нар и их формы от идеальных также относя! к первичным
погрешностям механизма. При их рассмотрении, практически,
можно считать, что, несмотря на некоторые отклонения
размеров элемента пары в различных сечениях, в общем
форма элемента остается точной, т. е., например, элемент
вращательной пары цилиндр, а элемент поступательной пары
плоскость. При таком допущении пеючность элементов вра-
щательной пары своди 1ся к потрешпошям радиусов валика
и отверстия, а неточность элементов поступательной пары — к
погрешностям ширин направляющей и ползуна. Общее число
погрешностей механизма, обусловленных неточное 1ью элементов
кинематических пар. определяется числом и видом пар (вра-
щательные или поступательные). Чго же касается числа по-
грешностей. обусловленных неточностью расположения элементов
пар, то оно равно числу координат, определяющих положение
элементов. Так, например, положение элемента вращательной
109
пары определяется в просгра-
HciBe положением точки па
оси цилиндра и направлением
самой оси, т. е. пятью ко-
ординатами. Отклонение дей-
ствительного значения каждой
координаты о г идеального дает
первичную погрешность. Следовательно, каждый элемент шарнира
дае< в общем случае пять первичных погрешностей.
В четырехшарнирном механизме, имеющем восемь элементов
шарниров, в общем случае может возникнуть сорок первичных
погрешностей в связи с неточностью расположения элементов
пар. Путем правильного подбора технологических баз при
проектировании и изготовлении механизма число первичных
погрешностей может быть значительно уменьшено. Кроме того,
некоторые из таких погрешностей не вызывают погрешности
механизма. В плоских рычажных механизмах с низшими парами
действующими первичными погрешностями (т. е. вызывающими
погрешность механизма) являются погрешности длин звеньев,
радиусов элементов шарниров, ширин ползуна и направляющей
в поступательных парах и повороты осей поступательных пар
в плоскости механизма.
Во вращательной паре разность радиусов охватывающего
и охватываемого размеров элементов шарнира (рис. 5.11, я)
дает зазор*

где &qs и &qk — погрешности радиусов охватываемого и охваты-
вающего элементов шарнира; csk—толщина слоя смазки. Для
поступательной пары (рис. 5.11,6) &qs и Aqk— погрешности полу-
ширин охватываемого и охватывающего элементов.
Вычислим погрешность положения четырехшарнирпого меха-
низма (рис. 5.12. а), т. е. найдем погрешность угла поворота
коромысла 3. Первичные погрешности длин стойки, кривошипа,
шатуна и коромысла обозначим Д/о, Д/р Д/2 и Д/3, а зазоры
в кинематических парах О, А, В, О — соответственно Д^10, Д<?2ь
Д^2з и Д^зо- Механизм с зазорами в кинематических парах
показан условно на рис. 5.12, б. Направления относительного
смещения элементов шарниров совпадают с направлениями
реакций в кинематических парах. Поэтому при расчете погрешнос-
ти механизма должны быть заранее известны действующие на
него силы и предварительно определены все реакции, например,
кинетостатическим методом (см. § 20.3). На рис. 5.12,6 направле-
ния реакций показаны векторами /?10, R32, Ri2 и R30.
* Cootbctctbvct половине зазора по ЕСДП СЭВ, см. ГОСТ 25 346 82
(СТ СЭВ 145 75).
ПО
Рис. 5.12
По формуле (5.5) погрешность положения коромысла 3
Дф=(^ф/с/0)0 А/о+(Рф/(’/1)0 А/1 +((чф/?/2)о AG 4-(?Ф? с/3)0 Л/3 +
+ (гф/^ю)о Д4ю +(^/^12)0 Д412 +(^/^32)o Д4.32 +
+((" ф / г<?зо) А^зо + ((?ф / £<р)0 Аф.
На рис. 5.12, в показаны планы малых перемещений, с помощью
которых могут быть определены, например, погрешности Дф! и Дф2):
Аф! = А /, cos а21 /(/3 sin а32); Аф 12 = А</2 cos у2i /(/3 sin а32),
происходящие о г погрешностей A/t и Д</21. Для построения этих
планов четырехшарнирный механизм должен быть соответственно
преобразован. Угол а32 между звеньями 3 и 2 четырехшарнирного
механизма показан на рис. 5.12, а. угол y2i- определяющий
направление относительного смещения звеньев 2 и /, отсчитывают
от теоретического направления звена 2. Аналогично вычисляют
и все остальные составляющие погрешности. Суммарная погреш-
ность положения коромысла
Аф=(cos я2Л/()—cos oil 2А/i — А/2 + cos а32 А/3 — cos у юАд!0 +
+cosy21A</21-cos у23Аб;23+008 730^30 4-/1 sin Я12Аф)/(/3 sin а32).
Эта noipeniHOCTb нс должна превышать допускаемой для
данных условий работы механизма.
§ 5.3. ТОЧНОСТЬ СЕРИИ МЕХАНИЗМОВ
Из изложенного следует, что в общем случае первичные
погрешности могут быть скалярными (погрешности длин звеньев),
люфтовыми (перемещение звена всле хствие зазоров в кинематичес-
ких нарах) и векторными (эксцентриситеты вращающихся звеньев,
перекосы осей шарниров и поступательных пар). Поэтому сум-
марная погрешность положения механизма
о
111
где индексы i, j и г от-
носятся соответственно
к люфговым, скалярным
и векторным погрешностям.
Для нескольких однотип-
ных реальных механизмов
все первичные погрешности
Д<7,-. Лд}, Д</, будут независи-
мыми и случайными. То же
можно сказать и в отноше-
нии всех частных производ-
ных. Таким образом, част-
ные погрешности как соста-
вляющие суммарной погре-
шности серии однотипных механизмов рассеиваются в своих
значениях, подчиняясь тем или иным законам распределения.
Большой практический интерес представляет проверочный расчет
результирующей погрешности положения серии механизмов теоре-
тико-вероятностным методом, если предельные отклонения (допус-
ки) размеров звеньев и законы их распределения известны.
Рассмотрим эту задачу в простейшем виде, г. е. с учетом
только пшрешностсй длин звеньев, па примере кулисного меха-
низма (см. рис. 5.6). Пусть для серии таких (одинаковых по типу
и размерам) механизмов требуется определить с выбранной
доверительной вероятностью математическое ожидание М(Дф)
и среднее квадратическое отклонение <т(Дф) погрешности положе-
ния, где ф угловая координата ведомою звена кулисы 3.
Погрешности Д/ и AL длин звеньев / и L должны быть заданы,
например, допустимыми верхним ES и нижним EJ предельными
отклонениями от их номинальных значений (рис. 5.13), г. е. Д/ или
AL есть допуск T=ES—EJ размера соответствующего звена. Закон
распределения погрешностей Д/ и AL будем считать нормальным
(кривая 2 на рис. 5.13). Тшда ма гема i ичсское ожидание первичной
погрешности одною размера Л/ (Aq) = EQ и ее среднее квадратичес-
кое отклонение ст(Д^)=Г,'6. Это обеспечивается выбором техноло-
гического процесса обработки детали, при котором предельное
рассеяние размеров практически равно допуску (брак 0,27%),
и наш ройкой станка па середину поля допуска Ес = 0.5(ЕЛ’+EJ}.
Если же станок дает система i ическую погрешность с. то
Л/ (£) = 0.5Т+ EJ+ с = Ес + с.
Обращаясь к зависимости (5.7), заметим, что частные произ-
водные (сф/сб/Д)—не случайные величины и их значения известны
для каждого положения механизма. Поэтому харашерисгики
рассеяния, например погрешности положения Дф механизма,
легко определить на основе свойств ма гема гического ожидания
М и среднего квадратического отклонения ст:
112
М(Дф) = £ (?ф/с<77)0Л/(Д^); (5.21)
j=«
Z (^Ф/^)п2(Д^)],?2.
(5.22)
Для кулисного механизма (см. рис. 5.6) функция положения
и ее погрешность имеют вид (5.10) и (5.11), а математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение погрешности
М (Дф) = [sin а/(L 2 — 2LIcos а+12)] [LM (Д/) — 1М (ДД)]; (5.23)
а(Дф) = [ |sin2 а | / (Д 2 —2L/cos <р+12)] [L 2с2 (Д/)+12а2 (ДД)]1'2. (5.24)
Если закон распределения погрешностей Д</7 характеризуется,
например, эмпирической кривой 1 (рис. 5.13). то в эти формулы
следует представить соответственно
Л/(Д(/;) = £с4-аТ/2 и ст(Д^)=ЛТ/6. (5-25)
где коэффициенты: а - относительной асимметрии кривой 1 и к -
относительного рассеивания, вычисленные по экспериментальным
данным. На рис. 5.14 показан пример точностного кинематическою
113
анализа кулисного механизма (а) методами: б планов малых
перемещений (для положений 1, 2 и 3) и « - теоретико-ве-
роятностным (для 12 положений). На рис. 5.14, в кривые изобража-
ют: 7— идеальную характеристику ф = х|/(<р) механизма; 2 его
действительную характеристику ф + Дф; 3 магема1ическое ожи-
дание Л7(ф) положения реального механизма; 4 и 5— предельные
характеристики рассеяния Л/(ф)±Зо(Дф), где ф и ф— угловые
координаты кулисы и кривошипа. На кривых 2 и 3 погрешности Дф
и Л7(Дф) отложены от кривой 1. а на кривых 4 и 5 + Зо(Дф) —
от кривой 3 с большим увеличением. •
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ГЛАВА 6
ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
При проектировании, исследовании и использовании механических систем
возникает определенный круг задач (например, по кинематике), которые решаются
без учета деформируемости материала звеньев ( деталей). В этом случае в мо (ели
механической системы в качестве звеньев правомерно и пелесообра jho использо-
вать абсолютно твердые тела.
Однако в механизмах при определенных условиях деформации могут вызывать
существенные нарушения точности действия механизмов и поломку деталей. Для
предотвращения подобных явлений и целенаправленного выбора материала деталей
мотель механической системы должна строиться с учетом свойств деформируемо-
сти. Такая модель изучается в механике твердого деформируемого тем.
Раскрытие физической сущности деформируемости материала, его свойств
и особенностей, проявляющихся в реальных системах, составляет сложную задачу
процесса познания материи. В инженерной практике эта задача наиболее часто
конкретизируется в необходимости расчета элементов механических систем
и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основой этих расчетов
служит научная дисциплина сопротивление материалов. являющаяся частью меха-
ники твердого деформируемого тела.
Деформации и напряжения в деталях, поперечные размеры которых существен-
но меньше их длины, изучаются инженерной дисциплиной «Сопротивление
материалов». Другая задача «Сопротивления материалов» определение механи-
ческих характеристик материалов. Для расчетов тел при любом соотношении
их размеров необходим значительно более сложный математический аппарат,
который применяется в теории упругости.
В сопротивлении материалов при построении обшей теории расчета прини-
мается ряд допущений (гипотез), с помощью которых реальным телам приписы-
ваются, хотя и идеализированные, но достаточно достоверные свойства. Например,
считается, что тела обладают свойством упругости, а их материал —однородный,
сплошной (без пустот) и изотропный. Однородным принято называть тело,
материал которого в любых точках обладает одинаковыми свойствами. Изотроп-
ность -это идентичность свойств материала во всех направлениях, проходящих
через данную точку тела. Некоторые материалы не обладают изотропностью
(например дерево, текстолит), поэтому их называют анизотропными.
§ 6.1. ДЕФОРМАЦИИ ДЕТАЛЕЙ
В сопротивлении материалов изучаются деформации и напря-
жения. возникающие в реальных твердых телах (деталях и элемен-
тах конструкций) под действием различных нагрузок, а также
общие методы расчета деталей на прочность, жесткость и устой-
чивость (как при постоянных, так и переменных нагрузках).
115
Рис. 6.2
Механические характеристики материалов необходимы для
оценки прочности и сопротивляемости деформациям.
Деформацией тела называется изменение его первоначальных
размеров и формы, возникающее под внешним воздействием,
в частности под действием внешних сил. На рис. 6.1,а показан
стержень, растянутый силой F. и его продольная деформа-
ция удлинение А/. Если деформация после снятия нагрузки
исчезает, г. е. тело полностью восстанавливает свою первоначаль-
ную форму и размеры (рис. 6.1,6), то она называется упругой.
Если же после снятия нагрузки исчезает не вся деформация,
то оставшаяся ес часть А/Ост называегся остаточной (рис. 6.1,«).
Прочностью детали называется ее свойство выдерживать
определенные нагрузки без каких-либо повреждений. Жесткость
характеризует сопротивляемость детали деформации.
Принято различать следующие виды деформаций тела (детали,
элемента конструкций) при разных способах нагружения (они
иллюстрируются примерами деформаций деталей механизма
перемотки магнитной лен гы. рис. 6.2): осевое растяжение (лента
/ растягивается силой F); деформация осевого сжатия аналог ич-
на растяжению, но противоположна ей по направлению: сдвиг
(муфта 6 закреплена на валике 4 с помощьго штифта 5, который
и подвергается деформации сдвига); кручение (деформация валика
между правым подшипником 2 и муфтой 6, вызываемая крутящим
моментом ТУ. изгиб (валик 4 подвергается изгибу силой F на
участке между подшипниками 2).
Перечисленные виды деформаций называются простыми. Одна-
ко многие детали механических систем под действием различных
силовых нагрузок могут подвергаться одновременно нескольким
деформациям. Например, валик 4 (см. рис. 6.2) на участке между
роликом 3 и правым подшипником 2 испытывает изгиб и круче-
ние. Подобное сочетание нескольких простых деформаций принято
называть сложной деформацией
Рассмотрешгая классификация деформаций необходима для расчета
деталей, несущих различного рода нагрузки, на прочность и жешкость.
116
§ 6.2. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ.
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
Пусть тело (деталь) подвергается деформации приложенными
к нему внешними силами F и F', направленными вдоль ei о оси
(рис. 6.3,а). Эти силы равны 2Г= | У7'|, поэтому гело находится
в состоянии относительного покоя. В результате деформации
растяжения в материале тела возникаю! межатомные силы
вну 1 реннего взаимодействия, которые оказывают сопротивление
деформации. Если значения внешних сил F и F’ не превышают
допустимых, то тело под их воздействием деформируется,
в результате чего внешние силы уравновешиваются внутренними
силами взаимодействия частиц его материала. Если же силы F и F'
окажутся достаючно велики, то они преодолеют внутренние силы
и тело разрушится. Меру ингснсивности внутренних сил в какой-
либо ючке тела принято называть напряжением в этой точке.
Для выяснения физической сущности напряжения и определе-
ния его значения применим так называемый метод сечений.
Мысленно рассечем данное тело (рис. 6.3, а) поперечной плос-
костью а— а и отбросим правую часть. Взаимодействие соприка-
сающихся но этому сечению частей тела заменим внутренними
силами, которые уравновешивают внешние силы, например, силу
F для левой части тела (рис. 6.3,6). Рассмафиваемая часть
находи !ся в равновесии под действием силы F и внутренних
сил, которые для данной части тела являются внешними;
следовательно, теперь внутренние силы в плоское!и а—а можно
определить из уравнений статики.
Если внутреннюю силу, действующую на тлеменгарную пло-
щадку АЛ, окружающую точку М сечения 1ела, обозначить AF то
lim \Fii^A=p
A 4—о
(6.1)
представляет собой напряжение в точке М сечения.
В общем случае через выбранную точку М можно провести
множество сечений, следовательно, и напряжение д, являясь
векторной величиной, может иметь различное направление по
отношению к плоскости сечения. Пусть, например, плоскость
Рис. 6.3
117
сечения тела, проходящая через точку .V/. расположена под
углом а к первоначальному поперечному сечению (рис. 6.3,в).
Для обеспечения равновесия отсеченной части приложим внут-
ренние силы (напряжения) ра, которые должны быть направлены
параллельно линии действия силы F. Напряжения могут быть
разложены на составляющие по нормали к рассматриваемому
сечению и в плоскости сечения:
да = ст+т, (6.2)
где су=ра cos я — принято называть норма./ъным напряжением,
а т =ра sin а— касате гъным напряжением.
При определенном положении сечения относительно линии
действия внешних сил одна из составляющих нормальное или
касательное напряжение — может обратиться в нуль.
Вернемся теперь к сечению тела, изображенному на рис. 6.3,6. Так
как это сечепие нормально вектору внешней силы F, то в его точках
действуют только нормальные напряжения су. Равнодействующая
R внутренних сил но всему сечению тела, уравновешивающая
внешнюю силу /'’(|7?| = |F|), определится путем интегрирования
R = f cyd/1. (6.3)
(И)
Для рассматриваемого примера справедлива используемая
в курсе сопротивления материалов гипотеза плоских сечений.
Согласно этой гипотезе деформация (удлинение) продольных
волокон материала тела между двумя поперечными сечениями
одинакова; следовательно, и напряжения во всех волокнах (точках
поперечного сечения) одинаковы, т. е. с = const; тогда
/? = су J dA = uA, откуда o = R/A. (6.4)
И)
Таким образом, напряжение в какой-либо точке сечения численно
равно внутренней силе, приходящейся на единицу площади сечения.
В СИ за единицу напряжения принят паскаль Па (1 Па=1 Н.м2).
Обобщая приведенные положения, можно сделать следующие
выводы: 1) действие внешних силовых нагрузок на летали
механических систем и элементы конструкций может вызывать
в них как простые, гак и сложные деформации; 2) в результате
деформаций в материале деталей возникают внутренние силы,
интенсивность которых принято выражать нормальными о и ка-
сательными т напряжениями; 3) для определения значений этих
напряжений используется метод сечений.
§ 6.3. ДЕТАЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Механические системы независимо от их функционального
назначения содержат ряд общих деталей, которые принято
называть типовыми. Их можно разделить па следующие основные
их
группы: детали для переда-
чи и преобразования вра-
щательною движения (зуб-
чатые, червячные и винто-
вые колеса, ролики фрик-
ционных передач, кулачки,
кривошипы и др.); детали
и устройства для поддер-
жания и соединения враща-
ющихся частей оси и ва-
лы, различные подшипники
и муфты; детали со специ-
альными упругими свойст-
вами— чувствительные элементы, пружины и т. п.; крепежные
детали для разъемных соединений, например винты, штифты,
шпонки; детали и устройства корпусов и плал механизмов.
При изучении деформаций и напряжений многообразие форм
деталей и их элементов можно свести к следующим простейшим
тинам (схемам) в зависимости от характерных геометрических
признаков и воспринимаемых нагрузок.
Брус- тело, у которого длина значительно больше размеров
поперечного сечения. Прямой брус (с прямолинейной осью),
подвергающийся деформации растяжения или сжатия, независимо
от его функционального назначения принято называть стержнем
(рис. 6.4, a). Fcjih брус подвергается изгибу, то его называют
балкой (рис. 6.4,6). Наконец, в случае деформации кручения или
сложной деформации изгиба и кручения брус обычно называют
валом (рис. 6.4,в).
Оболочка (рис. 6.4, г)—тело, имеющее один размер значитель-
но меньше двух других и ограниченное в общем случае
криволинейными поверхностями. Оболочки подвергаются слож-
ным деформациям. Плоские оболочки называют плитами или
пластинами.
Массив — тело, у которого все 1ри измерения одного порядка.
Это фундаменты, опорные плиты и др.
ГЛАВА 7
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Растяжение и сжатие простые деформации. При растяжении деформациям
и напряжениям приписывается тнак плюс, а при сжатии — минус. В зоне упругих
деформаций наблюдается пропорциональная зависимость между деформацией
и силой, вызвавшей се. Это -один из основных законов природы, который
называют jokohom Гука. Экспериментальное изучение растяжения и сжатия
позволяет получить основные механические характеристики материала, используе-
мые при расчетах на прочность и на жесткость.
119
§ 7.1. ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Осевым растяжением стержня (рис. 7.1. а) называется деформа-
ция его силами F. линия действия которых совпадает с продоль-
ной осью стержня. Деформация растяжения проявляется в измене-
нии длины и поперечных размеров стержня. Для количественной
характеристики деформации растяжения используются следующие
величины:
абсолютное уд.мнение
Д/=/,-/<>, (7.1)
где 70 - начальная длина стержня; 1Х -длина деформированного
стержня:
относительное удлинение
(7.2)
относите льнах поперечная деформация
ei =Д^'^о = (^1 — ^о) (7.3)
где Ао, Л, начальный и конечный размеры поперечного сечения
стержня. Для различных материалов относительная поперечная
деформация с, определяется через продольную деформацию
(относительное удлинение) с следующей зависимостью:
г., = -Не, (7.4)
тде |т коэффициент Пуассона, являющийся физической констан-
той материала. Например, для стали ц = О,25...О,33, бронзы —
0.32. .0,35, алюминия 0,32...0,36 (коэффициент Пуассона всегда
положителен, поэтому знак минус в формуле (7.4) указывает,
что при растяжении стержня его поперечное сечение уменьшается
и. наоборот, при сжатии увеличивается).
При деформации растяжения в любом поперечном сечении
стержня, перпендикулярном его оси (рис. 7.1,6). возникают только
нормальные напряжения ст, значение которых может быть найдено
с помощью метола сечений (см. § 6.2). Так как напряжения
распределяются по сечению равномерно (o=const), то из условия
равновесия отсеченной части стержня следует, что равнодействую-
щая внутренних сил упругости R = F=cA. откуда
120
o = F;A. (7.5)
где F сила, вызывающая растяжение; А площадь поперечного
сечения стержня.
Если направления сил F противоположны показанным на
рис. 7.1, я, го стержень испытывает деформацию осевого сжатия.
Все расчетные формулы для растяжения и сжатия одинаковы,
по деформациям и напряжениям при сжатии приписывается знак
минус.
При сжатии длинных деталей, у которых длина /0 значительно
больше поперечных размеров (/0»7), возпикаез особая деформа-
ция продольного изгиба, в результате которой может произойти
потеря устойчивости первоначальной формы равновесия — выпучи-
вание. В этом случае в материале детали создавши сложное
напряженное состояние, которое рассматривается в гл. 11.
§ 7.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
Механические характеристики служат для количественной оцен-
ки свойств материала, определяющих сопротивление деформациям
при статическом и динамическом действии нагрузок. Они широко
используются при расчете деталей механических систем и элемен-
тов конструкций на прочность и жесткость в целях обеспечения
требуемой их надежности и долговечное in.
Конструкционные материалы, широко применяемые в машино-
и приборостроении, принято делить па две группы; пластичные
и хрупкие. К пластичным относятся такие материалы, у которых
наибольшее относительное остаточное удлинение при разрыве
образца составляет более 5%, г. е. е0СТ = (Д/70) !()()> 5%. Если
это условие не соблюдается, то материал считаемся хрупким.
Пластичные материалы — низкоутлеродисзая сталь, алюминий,
медь и некоторые другие. Чугун и металлокерамические матери-
алы относятся к хрупким. В зависимости от того, пластичен
или хрупок материал при заданных внешних условиях (тем-
пература, давление и др.), определяются условия и возможности
его применения, режимы технологической обработки и ряд других
факторов.
Диаграмма растяжения. Определение значений механических
характеристик для данного материала обычно осушешвляется
путем растяжения стандартного стержня (образца, рис. 7.2,и)
круглого или прямоугольного сечения на специальной лаборатор-
ной машине, условная схема которой показана на рис. 7.2,6.
При постепенном растяжении образца машина автоматически
регистрируй! нагрузку F и обсолю!ное удлинение А/, записывая
диаграмму (i рафик) растяжения в коордипашх F, Ы (рис. 7.3).
Для количественного выражения механических характеристик
материала испытуемого образца использую! условную диаграмму
121
Рис. 7.3
мация растет быстрее нагрузки и
«напряжение — деформа-
ция», изображаемую в от-
носительных координатах
g = FIA0 и е=Д///0. где Ао
и /0—начальные площадь
сечения и длина образца.
Для низко- и среднеуг-
леродистых сталей наиболее
характерны . следующие
участки диаграммы растя-
жения (рис. 7.3, а):
на участке АО дефор-
мация А/ растет пропорци-
онально растягивающей на-
грузке F. Если эту нагрузку
спять, то удлинение А/ пол-
ностью исчезнет. Напряже-
ние, соответствующее точке
А диаграммы,— предел про-
порциональности оп.
На участке АВ диаграм-
ма растяжения становится
криволинейной. Однако до
точки В деформации еще
упругие; напряжение в этой
точке называется пределом
упругости <ту.
На участке ВС дефор-
в точке С материал начинает
«течь», т. е. удлинение А/ расте! без увеличения нагрузки F.
Напряжение, соответствующее точке С диатраммы, называется
пределом текучести от. Бронза, специальные стали и некоторые
другие материалы не имеют ярко выраженной зоны текучести.
Для таких материалов за о, принимают напряжение при
остаточном относительном удлинении
еост=(А/,70) 100 = 0,2%.
В случае полной разгрузки образца из пластичного материала,
прошедшего зону текучести (на рис. 7.3 липия СО'), в нем
наблюдается остаточная деформация О'О. При повторном нагру-
жении этого образца (липия О'С на диаграмме совпадает с СО'
и параллельна О А) предел пропорциональности материала об-
разца значительно возрастает. Это явление принято называть
иак icnoM. Оно широко используется в качестве технологического
способа упрочнения различных деталей.
На участке CD внутренняя структура материала образца
изменяется, благодаря чему сопротивление деформации вновь
растет. Наибольшее напряжение, наблюдаемое
в точке D диа1раммы,— предел прочности или
временное сопротивление а„; за точкой D в образце
возникав суженная зона (шейка), поэтому дальней-
шая деформация протекает при уменьшающейся
нагрузке F. В точке М происходит разрыв образца.
Истинная диаграмма напряжений, в которой
отражена зависимость между деформацией а и дей-
ствительным напряжением в образце о' = F А', где
А' площадь сечения образца в зопе шейки,
показала на рис. 7.3 штриховой линией DM'.
Диаграмма растяжения хрупких материалов
Рис. 7.4
имеет только
одп\ характерную точку D (рис. 7.3,6), в которой и насгупае!
разрушение образца. Такой же вид имеет диаграмма сжатия.
Определение твердости. Твердостью называется свойство мате-
риала оказывать сопротивление механическому проникновению
в его поверхностные слои некоторого стандартного достаточно
жесткого тела. Твердость определяется наиболее распространенны-
ми методами Бринелля или Роквелла. Метод Бринелля заключает-
ся во вдавливании закаленного шарика в поверхность испытуемо-
го образца (рис. 7.4). Отношение силы F, под действием которой
вдавливается шарик, к площади А поверхности лунки, сделанной
шариком, и составляет число твердости по Бринеллю (МПа)
НВ = Г/Л.
При испытании по методу Роквелла в поверхность образца
вдавливается острый алмазный конус (шкала С) или стальной
шарик (шкала В). С учетом значений силы F и глубины
проникновения в образец конуса (керна) по шкале прибора
определяют число твердости HRC по Роквеллу.
Между числами твердости и временным сопротивлением
материала сущееreyei эксперименталию установленная зависи-
мость. Например, для углеродистой стали ов = (0,35...0,4)НВ.
§ 7.3. ЗАКОН ГУКА
Английский ученый Р. Гук в 1660 г. установил, что при
осевом растяжении (или сжатии) тела в пределах упругости
наблюдается определенная зависимость между деформацией А/
и нагрузкой F:
M=FIo:'(EA), (7.6)
где /0 —первоначальная длина тела (стержня); А— площадь его
поперечного сечепия; Е— модуль упругости материала при растя-
жении.
Зависимость (7.6) может быть выражена в относительных
величинах деформации и нагрузки. С учетом формул (7.2) и (7.5)
получим
123
t=<yE или o = £e. (7.7)
Зависимости (7.6) и (7.7) выражают закон Гука при одноосном
напряженном растяжении (сжатии).
Модуль упругости Е—важная механическая характеристика
упругих свойств материала. Для пояснения его физической
сущности и определения значения обратимся к диаграмме «напря-
жение—деформация» образца (см. рис. 7.3). Отметим па участке
ОА диаграммы (область упругих деформаций) точку К. Относи-
1ельную деформацию и напряжение для этой точки обозначим
£к и ак. Из выражения (7.7) следует, что ок = £ек. Эго уравнение
прямой в системе осей а - е, здесь £- угловой коэффициент,
численно равный тангенсу угла наклона линии упругой деформа-
ции образца к оси деформаций е. Следовательно,
£=tga.
Если мысленно представить, что в процессе упругой деформа-
ции образец удлиняется на всю первоначальную длину (ск = 1).
то £=ок. Следовательно, модуль упругости представляет собой
напряжение, которое должно бы возникнуть в материале образца
при его упругом относительном удлинении, равном единице.
Значения модуля упругости некоторых материалов (МПа):
сталь Е=(2 ... 2,2) 105; бронза (0,9 ... 1,15)10®; алюминий 0,7-10®;
текстолит 0.67 -104; капрон 103.
Закон Гука справедлив и в общем случае, когда на тело
действует сложная система сил. Например, для двухосного
напряженного состояния обобщенный закон Гука может быть
выражен следующим образом. Пусть элемент тела подвергается
растяжению в двух взаимно перпендикулярных направлениях
(рис. 7.5). На площадках элемента возникают нормальные напря-
жения и о2. Если эти напряжения имеют экстремальные
значения, например o,=oma:(, a o2 = omin (opoj, то такие
площадки и напряжения на них называют главными. На главных
площадках касательные напряжения т всегда равны нулю.
Относительные деформации элемента Et и е2 по направлениям
главных напряжений определяются с помощью закона Гука для
одноосного напряженного состояния по
1 формуле (7.7); эффект поперечной деформа-
ции учитывается коэффициентом Пуассона щ
я . (7-8)
2 oj ! 2 .
—* — I -------- с2 = е2> 2 + е21 ! - (о2 - ц О1 )/£;
s' здесь Elf! и е12 —относительные дефор-
, в мации элемента по направлению 1 — I,
, вызываемые действием напряжений соот-
вегс1венно Oj и о2; е2>2 и е2 t—то же,
Рис. 7.5 по направлению 2 — 2.
124
Если известны деформации £t и £2, то главные напряжения
определяются из уравнений (7.8)
о1 = £(е1 + Р£2)'(1 -р2);
(7-9)
o2=£(£2 + jie1)/(l-p2).
Зависимое!и вида (7.8) и (7.9) принято называть обобщенным
законом Гука при плоском напряженном состоянии.
§ 7.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
Зависимости (7.5) и (7.6) используют для расчета деталей
механических систем на прочность и жесткость. Условие прочнос-
ти детали в расчетном сечении
ор = ЛЛ«[о]. (7.Ю)
где ор—расчетное напряжение; F—-растягивающая сила: А —пло-
щадь поперечного сечения детали; [ст]—допускаемое напряжение
при деформации растяжения или сжатия.
Допускаемым напряжением [о] называется такое наибольшее
напряжение, при котором обеспечивается надежность работы детали
в течение заданного срока службы. Выбор значения [о] определяет,
с одной стороны, степень безопасности действия проектируемой
механической системы, а с другой - поперечные размеры детали,
следовательно, массу и габаритные размеры всей системы *.
Ориентировочно (для приближенных расчетов на прочность)
допускаемое напряжение может быть найдено следующим образом.
Условие, исключающее опасное состояние в материале детали
(или элементе конструкции), может быть выражено неравенством
[°] = °оп/^ (7.11)
где стоп— опасное напряжение, в качестве которого для пластичных
материалов принимается предел текучести, а для хрупких матери-
алов предел прочности (так как диаграмма растяжения образцов
из хрупких материалов не имеет четко выраженной площадки
текучести); п—коэффициент запаса прочности, значение которого
зависит от конкретных условий работы, точности расчета и других
факторов. Приближенно можно принимать л=1,5 ... 5. В реальных
условиях детали различных механизмов подвергаются действию
переменных (по времени) нагрузок. В таких случаях прочность
детали характеризуется так называемым пределом выносливости
ее материала.
Условие прочности (7.10) дает возможность решать следующие
практические задачи:
* Подробнее см. в § 12.4.
125
по заданной расчетной силе F,
вызывающей растяжение или сжа-
тие детали, и допускаемому напря-
жению определить необходимую
площадь сечения (поперечные раз-
меры) детали A^F.[oj;
для существующих конструкций
деталей, когда известны размеры
и несущие нагрузки, неравенство
(7.10) используется для проверки
прочности.
Работоспособность подвергаю-
щихся растяжению (сжатию) деталей
и элементов конструкций определя-
ется не только прочностью, но и значением абсолютного удлинения
Д/. Например, при чрезмерном удлинении управляющего тросика
прочность его сохраняется, а точность воздействия на рабочий
орган можег быть нарушена. У смене достаточной жесткости
представляет собой неравенство, вытекающее из закона Гука:
Д/=Г70/(£/1)^[А/],
где [Л/] — допускаемое абсолютное удлинение.
(7.12)
Пример 7.1. Проверить прочность и определить удлинение каждого из четырех
стальных тросов, удерживающих мачту радиостанции (рис. 7.6) при ветровой натрузке.
Ветровая нагрузка F= TOGO Н условно сосредоточена на шарнирном узле С. Высота
мачты Л=100м, диаметр троса d—6 мм; допускаемое напряжение [<т] = 80МПа;
модуль упругости стали £ =2,2 1()5 МПа. Остальные данные приведены на рис. 7.6, а.
Решение. 1 Сила Fp, действующая со стороны троса, определяется из условия
равновесия сил, действующих па мачту (рис. 7.6,6, где R реакция мачты):
LA'=0: £р sin зоткуда
Fp = F sin a = 1000 0,5 = 2000 H
2. В соответствии с третьим законом Ньютона на трос действует сила, равная Fp,
но противоположно ей направленная. Поэтому условие прочности [формула (7.10)]:
ар=£р. .4=2000 4,(п-62) = 70.7$[а] = 80 МПа.
3. Абсолютное удлинение троса длиной l„ = l cosa= 115.5 м определим по
формуле (7.6)
Д/О=£р/О,(£4)=2000-115,5-1000 (2,2 103 - тс 62 4) = 37 мм.
Относительное уд ншсннс
с=(А //<,) 100 = (37 10 3; 115,5) 100 = 3,2%,
что меньше допускаемой погрешности инженерных расчетов (обычно ~5%).
следовательно, такая деформация не окажет влияния на работоспособность
системы.
§ 7.5. НАПРЯЖЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ
При колебаниях температуры детали, закрепленные между
жесткими опорами, испытываю! деформации сжатия или растяже-
ния. Пусть металлический стержень длиной /0 зажат между
126
двумя абсолютно жесткими
опорами (рис. 7.7. а- а). При
повышении температуры па А/
стержень должен удлини 1ься на
Д/, = а/0Ат, или
£f = А/,//0 = аА/, (7.13)
где а температурный козф-
фициен! линейного расшире-
ния (для стали а =
= 12 10-6 С~1). Так как рас-
сматриваемый стержень зажат
и пе может удлини 1ься. ю
в его материале возникнут
напряжения сжатия, значение
которых определится по зако-
ну Гука:
осж=-££{=-£аА/. (7.14)
Аналогично может быть найдено напряжение ор при растяже-
нии летали вследствие изменения температурных условий.
Пример 7.2. Биметаллический чувствительный элемент 1ерморелс состоит из
двух спаянных между собой пластинок, изт отопленных из разных материалов,
и применяется в качестве датчика темпера туры. Материал первой пластинки
сплав инвар ЭН-36, а второй латунь ЛМц58 2. Модули упругости материалов
пластин £, = 1.5- И)5 МПа, Е2 = Ю5 МПа; температурные коэффициенты линейною
расширения соответственно я, =1.3 И)'6 С 1 и а, = 21 10-6 С” ‘. Допустимое
напряжение па растяжение-сжатие дтя пластин [{^=60 МПа. [от2=40 МПа.
Размеры поперечною сечения />хб = 3 х0.4 мм, длина элемента /„=50 мм. Найти
напряжения в составных частях элемента при повышении температуры на А/= 20' С.
Решение. Так как пластинки спаяны между собой по всей поверхности
соприкасания, то их линейные .деформации должны быть одинаковыми. Вследствие
же различных температурных коэффициентов линейною расширения при измене-
нии температуры в пластинках вошикпут напряжения с, и а2. Полную
относительную деформацию пластинок найдем, пользуясь соотношениями (7.7)
и (7.13);
eii=£i Гт-,1 = <Т|.'£, 4 а, Ат; cL2 = a2'^2 + a2Af-
Приняв во внимание, что получим
dj/E, +al.Xt=cj2;E2-‘- я,А/. (7.15)
Напряжения с, эквивалентны силе £,=0,/!, которая действует на первую
пластинку; аналогично, сила £2 = а?.4 действует па вторую пластинку (.4=/>S—
п.юшадь поперечного сечения пластинки). Так как биметаллический элемент не
подвсртается действию внешних сил, то из условия его равновесия Fl = —F1:
<7i = — <т2. Решив уравнение (7.15), получим
а, = I I =(а2 “ат )д f д т + дг)-
Следовательно, пластинка из инвара растянута, а из латуни сжата. Подставив
числовые значения, подучим
а1=|<т2|= |,18А/=23.6 МПа,
г. с. действующие напряжения меньше .допускаемых.
127
ГЛАВА 8
ИЗГИБ
Деформация поперечного изгиба происходит под действием сил, при юженньгх
перпендикулярно оси стержня (оа.ки). и моментов сил, плоскость действия
которых проходит через эту ось. Другой возможный случай продольный изгиб,
когда сжатый стержень теряет устойчивость и изгибается продольной силой
(см. гл. 11).
В сечениях ба тки возникают нормальные и касательные напряжения, зависящие
от внутренних усилий ог изгибающего момента Л/и и от поперечной силы Q.
Для определения значений Q п Мя обычно строят их эпюры; построение этих
графиков нужно потому, что функции Q и АТИ нс во всех точках непрерывны
и чифферегшируемы.
Для расчета напряжений и реформаций при изгибе недостаточно одной
простейшей характеристики сечения— площади. Используются более сложные
геометрические характеристики плоских сечений моменты инерции и моменты
сопротивления.
§8.1. ВИДЫ ИЗГИБА И ИХ ОСОБЕННОСТИ
Деформацией изгиба принято называть всякое искривление
продольной оси детали, возникающее в результате действия
силовых нагрузок. Многие детали механических систем и их
элементы, например валики, оси, зубья колес зубчатых передач,
подвергаю гея деформации изгиба. На рис. 8.1, а изображен валик
.механизма с насаженным на него роликом. Под действием силы
F валик прогибается на величину /‘(рис. 8.1,6). которая называется
стрелой прогиба. При деформации изгиба в материале валика,
как и при ранее рассмотренных деформациях, возникают до-
полнительные внутренние силы взаимодействия частиц материала,
оказывающие сопротивление деформации. В случае нарушения
условия прочности на изгиб может произойти поломка валика.
Наиболее широко распространен поперечный изгиб, при котором
силы, вызывающие деформа-
цию детали, перпендикуляр-
ны ее оси (рис. 8.1,6). Деталь,
по iBepi ающаяся поперечному
изгибу, независимо от ее ра-
бочего назначения принято
называть балкой. Опоры бал-
ки, посредством которых на-
грузка передается па корпус
или другую детаиш, имеют
важное значение как для рас-
чета па прочность, так и для
обеспечения нормальной ра-
боты (в механизмах такими
опорами являются нодшин-
Рнс. 8,1
ники).
128
'Гилы опор и опорные реакции.
Принято различать три типа опор:
шарнирно-подвижная опора
(рис. 8.2.а), допускающая некоторый
поворот продольной оси балки от-
носительно опоры и поступательное
перемещение вдоль опорной поверх-
ности. Нагрузка этой опорой может
восприниматься только по нормали
к опорной поверхности; такую же
линию действия имеет и опорная
реакция R. Для валика опора этого
типа может быть осуществлена по-
средством подшипника качения, сво-
бодно посаженного в корпусе (на
рис. 8.1, а — правая опора); схема ги-
ческое изображение шарнирно-подви-
жной опоры показано на рис. 8.2, t5;
шарнирно-неподвижная опора
(рис. 8.2, в), допускающая только поворот балки, ограниченный
определенными пределами. Если в качестве такой опоры ис-
пользуется подшипник качения (см. левую опору на рис. 8.1, а),
то его наружное кольцо должно быть закреплено в продольном
направлении. Реакция этой опоры слагается из составляющих
R и Rz. Схема рассматриваемой опоры изображена па рис. 8.2,<•;
опора е жестким защемлением конца балки (рис. 8.1, г), е),
исключающая возможность любого относительного перемещения
ба тки. Такие одноопорные балки называют консольными. Реакции
жссткозащсмленной опоры: составляющие Rx, R. и реактивный
момент Му.
В инженерной практике при конструировании балок (в том
числе валиков механизмов) их опоры обычно выполняют так,
чюбы общее число опорных реакций пе превышало возможного
числа уравнений равновесия. Например, для плоской системы
сит можно составить три уравнения равновесия:
2У=0, LZ=0 и ЕМу = 0. (8.1)
Следовательно, в этом случае число неизвестных опорных
|реакций не должно превышать трех. Этому условию удовлетво-
ряют балки с одной шарнирно-подвижной и одной шарпирно-не-
[одвижпой опорой, а также консольные (рис. 8.2, е). Если указан-
ное условие пе удовлетворяется, го реакции опор не могут
рыть найдены юлько с помощью уравнений равновесия. Такие
(балки называются статически неопределимыми. В подобных
Жлучаях опорные реакции определяют пу1ем составления допол-
пиельных уравнений, учитывающих деформации балок. Реакции
Латически неопределимых балок зависят не только от значений
S 1ак. 740 129
и места приложения
внешних сил, но и ма-
териала балки, формы
и размеров ее попереч-
ного сечения, темпера ty-
ры внешней среды.
Внешние nai рузки,
вызывающие поперечный
изгиб балки, удобно раз-
делить на ipn группы
(рис. 8.3): сосредоточен-
ные силы F;, Н; сосредоточенные моменты пар сил М,, Ним;
распределенные по длине балки нагрузки интенсивностью
c/i Н/мм— равномерная (</ = const) и неравномерная (</ = г/(л)). Эти
силовые нагрузки могут действовать как в одной, так и в разных
продольных плоскостях балки.
Пример 8.1. Рассчитать реакции балки (валика мсхапи<ма). (см. рис. 8.3) при
следующих исходных данных: силы = I (X) 11. /'2=150 Н, Л3 = 100 11. распределен-
ные нагрузки ^!=0. </, = 5Н/.мм. сосредоточенные изгибающие моменты Мг —
= 1000Нмм, Л/2 = 2000 Н -мм, длина /=20 мм.
Решение. В ширн ирно-неподвижной опоре А возникают две составляющие
реакции RA и в опоре В только вер1икальная RB. И» уравнения £Х=0
следует, что Ад=0. Для определения реакций RA и Ru составим следующие
уравнения;
£Мх = 0; Р\ 1.2/-/'-2/+М|-^22/)3/+Яв4/+/--35/-Л/2=0;
£ Мв=0; Г, 5.2/- 4/+ 3/+ Л/, +(<?2 2/) /+f, /- М2 = 0;
(при составлении уравнений равновесия положшельное направление моментов
принято против часовой стрелки; распределенная нагрузка </, заменена лквивалент-
ной сосредоточенной силой д22Д действующей в середине соответствующего
участка). Из этих уравнений определяем реакции;
RB=(-Р\ 1,21+ Р21- M, + 42Ы1 ~Fj 5/+ *И2)Д4/)=45 11;
/?1=(F15,2/+F23/+.W1+922/2 + F3/- W2)(4/) = 305 Н.
Полученные резу платы можно проверить с помощью уравнения £Z=0:
-F,+ RA- F2-(l22l+ RB+ F}= -100 + 305- 150-200 + 45+ 100 = 0;
равенство нулю суммы проекций сил на ось аппликат свидетельствует о правиль-
ности выполненных расчетов.
Виды поперечного изгиба. Если все внешние нагрузки, включая
и реактивные, располагаются в одной из плоскостей симметрии*
балки, го такой поперечный изгиб принято называть плоским.
Это одна из npocibix деформаций. При плоском изгибе дефор-
мация (искривление) продольной оси балки всегда проi екает
в плоскости действия силовых нагрузок. Балка может также
подвергаться изгибу, когда плоскость действия силовых нагрузок
не совпадает с плоскостью деформации продольной оси. Такой
* В общем случае—в одной из главных плоскостей инерции
130
из1 иб называется косым.
В случае же. когда силовые
нагрузки действуют на балку
в различных плоскостях, мо-
же г происходить пространст-
венный изгиб, при котором
искривленная продольная ось
становится пространственной
кривой; это сложная деформация (см. гл. 10).
В данной главе рассмотрим плоский изгиб; другие виды
изгиба изложены в следующих главах. При плоском поперечном
изшбе (рис. 8.3, 8.4, а) в любом поперечном сечении балки
возникают внутренние силы взаимодействия, статическим эк-
вивалентом которых являются изгибающий момент МИ и попереч-
ная сила Q. Если силовые нагрузки, действующие па балку (или
се элемент), таковы, что в любом сечении балки действуст
только постоянный изгибающий момент, а поперечная сила
равна нулю (рис. 8.4.о), то изгиб называйся чистым.
§ 8.2. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ
Рассмотрим чистый из1иб балки моментами пар сил М,
приложенными в продольной плоскости симметрии балки (рис.
8.5,а). Под действием этих моментов балка деформируется:
верхние слои материала балки сжимаются, а нижние —растягива-
ются (рис. 8.5.б). Длина волокон, лежащих в плоскости, перпенди-
кулярной плоскости самого изгиба в проходящей через продольную
ось балки, при деформации изгиба не изменяется. Совокупность
этих волокон образует гак называемый нейтральный слой ()О1.
В классической теории изгиба на основании теоретических
и экспериментальных исследований приняты следующие исходные
допущения:
поперечные сечения балки,
плоские до деформации, остают-
ся плоскими и нормальными
продольной оси балки и в са-
мом процессе деформации;
балку условно можно пред-
ставить состоящей из совокуп-
ности продольных мате-
риальных волокон или их сло-
ев. При чистом изгибе эти
слои волокон подвергаются
деформациям простого растя-
жения или сжатия. Так как
рассма 1 риваются деформации
131
в пределах упругости, го для их характеристики справедлив
закон Гука;
все волокна какого-либо слоя, равноудаленного от нейтрально-
го слоя, деформируются одновременно и одинаково. Это означает,
что деформации волокон и возникающие в них нормальные
напряжения для данного слоя балки остаются постоянными.
Для определения напряжений в поперечном сечении балки
(см. рис. 8.5.а) выделим элемент длиной d.x и, пользуясь приняты-
ми допущениями, рассмотрим его деформацию. Относительное
удлинение волокна Ьс или слоя, удаленного от нейтральной оси
па расстояние z (рис. 8.6 а),
£: = (bi — dx)/dx,
где d.v=pda; 6с =(p-t-z)da; р — радиус кривизны оси элемента,
значение которого можно считать постоянным в пределах
элемента dx; da—элементарный центральный угол, соответствую-
щий длине дуги элемента d.v. Искомое относительное удлинение
волокна можно представить в виде
ez = [(p+z)da-pda]/(pda) = z/p.
При чистом изгибе продольные волокна балки, как оговорено
в допущении, подвергаются деформации растяжения или сжатия.
В результате в поперечном сечении элемента возникают только
нормальные напряжения аи2, значение которых в слое, располо-
женном па расстоянии z от нейтральной оси, может быть
найдено с помощью закона Гука:
a„=£cz = £z/p, (8.2)
где Е— модуль упругости материала балки при растяжении.
Из выражения (8.2) следует, что напряжение аиг распределяется
по сечению элемент неравномерно: если по ширине сечения
132
ои_ = const, го по высоте оно изменяется пропорционально
расстоянию z от нейтрального слоя (см. рис. 8.6.в).
Зависимое ib напряжения стИ2 от изгибающего момента М,
действующего иа рассматриваемую, например, левую часть балки
(рис. 8.6.6), может быть найдена следующим образом. Момент
М должен быть уравновешен моментом внутренних сил
взаимодействия в данном сечении балки. Это условие выражается
уравнением равновесия 'ЕМу =0. из которого для рассматриваемой
левой части балки
МИ=|(ОИ2<Ы)2.
(А)
Подставив значение ои_ из формулы (8.2). получим
Л/и=(£/р)| z2d/l. (8.3)
„ (Л)
Здесь учтено, что радиус кривизны р не зависит от положения
элементарной площадки d/1 внутри сечения и поэтому р вынесено
за знак интеграла. Величина | r2d/l =Jy называется осевым
(Л)
моментом инерции поперечного сечения балки. С учетом этой
величины уравнение (8.3) примет вид
Eip=M„;Jy. (8.4)
Подставив значение Е’р в формулу (8.2), найдем искомую
зависимость напряжения от изгибающего момента в данном сечении
аи; = Ег>р = МИ:Му. (8.5)
Выводы: при чистом изгибе деформация балки протекает
в виде растяжения и сжатия ее продольных волокон; удлинение
или укорочение волокон происходит гем больше, чем дальше
они расположены от нейтрального слоя;
в любом поперечном сечении балки возникаю! нормальные
напряжения аи., значения которых изменяются по высоте сечения
пропорционально расстоянию z or нейтрального слоя;
наибольшие напряжения наблюдаются в наиболее удаленных
от нейтральной оси поверхностных слоях балки, например
в нижнем — раст ягивающие, а в верхнем слое - сжимающие (рис.
8.6,в). Значения этих напряжений определяют но формуле (8.5):
= Ми’тах А’
где Л/гтлх=И\, осевой момент сопротивления поперечного
сечения. Следовательно, наибольшие напряжения при изгибе
(оитах)г = ои = ^и/И/у; (8.5 а)
в том случае, когда внешние силовые нагрузки действуют
на балку в горизонтальной плоскости лг. изгиб происходит
в этой же плоскости, поэтому формулы (8.5) и (8.5 а) преоб-
разуются к виду
133
^иу = ^иг/Л; (оитаЖ=аи = Л/и/И'г: (8.6)
моменты инерции Jy. J. являются геометрическими параметрами
поперечного сечения балки, которые характеризуют сопротивляемость
деформации изгиба. Сущность и методы количественного определения
этих параметров рассматриваются в следующем параграфе.
§ 8.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
До сих пор при деформациях растяжения и сжатия площадь
поперечного сечения была едино венной характеристикой. до-
статочной для расчета детали на прочность и жеечкоегь. При
изгибе и кручении (этот вид деформации рассматривается ниже)
площадь ссчсния уже не может характеризовать сопротивляемость
балки Э1им деформациям. В качестве иллюстрации этого положе-
ния рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения
(рис. 8.7). Нетрудно видеть, что при одних и тех же площади
сечения А и силе F сопротивляемость балки изгибу в положении
па рис. 8.7, а значительно выше, чем в положении на рис. 8.7,6.
В теории изгиба и кручения используются следующие геоме-
трические характеристики плоских фигур (поперечных сечений
деформируемых тел. рис. 8.7,в):
1) осевые моменты инерции плоских фигур, представляющие
собой интегральную сумму произведений элементарных площадей
dX фигуры па квадрат расстояния их до соответствующих осей:
Jy=\z2dA\ Jz=\y2dA-. (8.7)
(Л) (А)
2) полярный момент инерции плоской фигуры, который опре-
деляется аналогично
Jp=jp2d/1 (8.8)
(р расстояние элементарной площадки до начала координат).
Приняв во внимание, чго р2 = у2 +z2, и используя выражения
(8.7) и (8.8), получим
J р = Jу-\- J г~, (8.9)
Рис. Х.7
134
3) центробежный момент
инерции сечения J,.., представ-
ляющий собой интеграл вида
Jyz=fj’zd/1; (8.10)
(Л)
4) осевые и полярные мо-
менты сопротивления
у *^у/-тах’ Wz 2>) max
и;=/р/рП1Ох (8.Н)
1’нс. 8.8
(-max’ Утах’ Ртах — наибольшие расстояния точек сечения до осей
у, г и до начала координат).
Оси г и z плоской фигуры (рис. 8.7.в) можно расположить так, что
центробежный момеш инерции относительно этих осей обратится
в нуль. Такие оси координат называются главными осями инерции
сечения. Момеш ы инерции сечения Jy и J. относительно главных осей
имеют экстремальные значения: один из них, например, Jy = (J,.)max,
а второй Как правило, начало главных осей инерции
совмещают с центром тяжести сечения. Такие оси называют главными
центральными осями инерции сечения. Если плоская фигура имеет оси
симметрии, то главные центральные оси инерции совпадают с ними.
Определим геометрические характеристики для простейших
видов сечений.
Прямоугольное сечение. Пусть в прямоугольном сечении высо-
той h и шириной b (рис. 8.8.а) оси /, z—главные центральные
оси инерции. Выделим элемент площади сечения d/1 = 6dz па
расстоянии 2 от оси г и найдем момент инерции сечения
относительно оси / на основании формулы (8.7)
0,5Я
Jy=jz2dA = f z26dz =/э/г3/12. (8.12)
(Л) -0.5/1
Аналш ично.
J j2d/l-Л63/12. (8.12а)
(Л)
Единица момента инерции в СИ —м4.
Моменты сопротивления нрямоуюлыюго сечения балки вы-
числяют по формулам (8.11):
= Jy/zmax=bh 3/(12 0,5Л)=bh 2/6;
(8.13)
W/z=A/ymM = AZ>2/6.
Круглое сечение (рис. 8.8,6). Выделим в сечении круга радиуса
г элементарное кольцо радиусом р, шириной dp и площадью
d/1 =2npdp. Полярный момент инерции этого сечения может
быть найден по формуле (8.8):
135
Jp = j p2d>l = jp22npdp = nr4/2. (8.14)
(Л) о
Осевые моменты инерции круглого сечения равны между
собой, поэтому на основании выражения (8.9) получим
J =Jy = J_ = {),5J р = пг41А. (8.15)
Осевой момент сопротвления сечения
wy =- №г = W = J ir= nr 3/4.
Часто момент сопротивления выражают через диаметр се-
чения:
И/=п(0,5т/)3/4%0,1</3. (8.16)
Полярный момент сопротивления сечения, используемый в рас-
четах при деформации кручения (эта деформация рассматривается
в следующей главе), определяется аналогично:
И'р = Jp !г=пг3/2 * 0,2(/3. (8.17)
Сложное сечение. В инженерной практике широко применяют
детали сложного сечения, которое можно рассматривать как
составленное из нескольких простых сечений. При определении
геометрических характеристик таких сечений использую г анали-
тические зависимости между моментами инерции относительно
параллельных осей. Пусть, например, для плоской фигуры
(рис. 8.9,«) площадью А известны моменты инерции Jy и Jz
относительно главных центральных осей г и z. Требуется
определить моменты инерции этой фигуры относительно новых
осей у,, z,. которые параллельны главным центральным и рас-
положены па расстояниях а и b от них (см. рис. 8.9. а). Пользуясь
формулами (8.7), имеем
Л1= f zjdA — f («+z)2d>1= f a2dA + J 2azdA + f z2dA.
(*O (Л) (Л) M) (Л»
136
Эти интегралы имеют следующие значения:
[ л2с1Л = л2Л; f z2dJ=Jy; j 2azdA=0.
(П (Л) (Л»
гак как f-d/1 представляет собой статический момент сечения
относительно оси г, проходящей через его цен1р тяжести.
Учитывая это, получаем
Jyl = Jy + a2A; Jzl=Jz+b2A. (8.18)
Пример 8.2. Определить момеш инерции Jy и момент сопротивления Wv
сечения балки, составленной из трех прямоугольных полос. Сечение балки
и размеры полос в мм показаны на рис. 8.9, б.
Решение. I. Искомый момент инерции сечения балки
Jy =Jiy+J 2у + •/}>'.
где момент инерции вертикальной полосы 1:
Jly=b, h 1 /12 = 12 1003/12 = I О6 мм4 = 100 см4;
J2y и J3y моменты инерции горизонтальных полос 2 и 3. приведенные к це-
нтральной оси составного сечения:
,/2v=J3,.=b2 hI • 12 л- a 2 (A2 h2)=60 I О3/12 + [(100 +10)/2] 2 - (60 10)=
= 182 104 mm4= 182 cm4.
Таким образом. ./y=+ J2>.= 100 + 2-182 = 464 см4.
2. Момент сопротивления сечения балки определяется по формуле (8.12):
П;=Л/-п,„=464:6=77,3 см3.
3. Для прямоугольного сечения с высотой й=120мм момент сопротивления
1И.=77,3 103 мм3 обеспечивается при следующей ширине Ь:
Wv=bh2;(>; 6 = (>И;./Л2 = 6-77,3- 1О3/1202 = 32,2 мм.
Масса балки из определенною материала и заданной длины пропорциональна
площади поперечного сечения. Поэтому балка с составным сечением по рис. 8.9.6
легче аналогичной балки прямоугольного сечения в
ЛЛ 32.2-120
----- -----=--------- ---=1.6 раз;
2b2h2+hlhl 2-60-10+12100
соответственно уменьшается и материалоемкость.
§ 8.4. ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ.
ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ И ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА
Среди других видов деформаций изгиба, которым подверга-
ются детали механических систем, плоский поперечный изгиб
встречается наиболее часто. Он отличается от чистого изгиба
гем. что в сечениях балки одновременно действуют как изги-
бающий момент, гак и поперечная сила. Однако зависимости
(8.2) и (8.5). полученные при рассмотрении чистого изгиба,
справедливы и для плоского поперечного изгиба.
Прежде чем перейти к расчету на прочность, определим
изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях балки.
Изгибающий момент и поперечная сила Q, являясь
137
ста гическим эквивалентом
внутренних сил взаимодейст-
вия, определяют вид и значе-
ния напряжений, возникаю-
щих в поперечном сечении
балки: Л/и— нормальные на-
пряжения ои, которые рас-
считывают по формулам
(8.6) или (8.6а); Q— касатель-
ные напряжения т, их опреде-
ление рассматривается ниже.
Пусть на балку действу-
ют внешние силы Fx и F2
(рис. 8.10,я). Опорные реакции RA и RB могут быть найдены
из уравнений равновесия статики (8.1.). Для рассмотрения на-
пряженного состояния балки применим метод сечений (см. гл. 6).
Мысленно рассечем балку поперечной плоскостью т—п. Влияние
одной части балки на друтую заменим поперечной силой
Q и моментом Л/и, коюрые эквивалентны всем внутренним
силам взаимодействия. Так как вся балка находится в равновесии,
го сила (2 и момент Л/и должны иметь такие значения, при
которых в равновесии остается и каждая из двух частей балки.
При этом можно рассмотреть равновесие любой из частей балки
(по любую сторону от сечения). Определение силы Q и момента
Л/и рассмотрим, например, для левой отсеченной части балки
(рис. 8.10.6). На основании уравнений равновесия имеем:
Z^=0; RAxи = 0; MH = RAx-Ft(x-/J;
SZ=0; RA—Fl—Q=0; Q=Ra-F1.
Выводы: при поперечном изгибе балки в результате дейс1вия
внешних нагрузок в ее сечении возникают внутренние уси-
лия изгибающий момент М„ и поперечная сила Q:
изгибающий момент М„ в каком-либо сечении балки равен
алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, прило-
женных но одну сторону сечения и взятых относительно оси.
проходящей через центр тяжести 5 и перпендикулярной плоскости
изгиба:
М„ = EF;.v,. +T.RjXj + ЕЛ/,-. (8.19)
где Ff, Rj. внешние нагрузки (включая и распределенные),
действующие на рассматриваемую часть балки; xt, х}— расстояния
от линии действия сил до плоскости сечения; знак изгибающего
момента принимается положительным, если изогнутая балка
обращена выпуклостью вниз (нижние волокна растянуты, рис.
8.И,а), и отрицательным, если выпуклость балки направлена
вверх (строго говоря, знак Л/„ обусловлен выбором направления
вертикальной оси z сечения);
138
поперечная сила (? равна
алгебраической сумме про-
екций на ось. перпендику-
лярную оси балки, всех сил,
приложенных к рассматри-
ваемой части балки:
(8.20)
знак силы Q в сечении т
п (рис. 8.11,6) считается по-
ложительным, если равно-
действующая F внешних сил.
приложенных к левой части
балки, направлена вверх,
а к правой части вниз.
Важную роль в i сории
изгиба играет дифференци-
альная зависимость между
изгибающим моментом М„
и поперечной силой Q, ко-
торая была установлена
Д. И. Журавским *. Пусть
на балку (рис. 8.12,а) дей-
ствует распределенная на-
грузка интенсивностью q.
Выделим из балки
(рис. 8.12,6)
'Q+dQ
бесконечно
Рис. 8.12
малый
элемент длиной
и составим уравнение его равновесия:
Т.МЛ =0; + —(;V/H + dA/H)+gdx-d.v/2 = 0.
Член </(d.v)2/2 как величину второго порядка малости
учитываем. Тогда Qdx = dA/„. откуда
d.v
нс
Q = dM„/d.v.
(8.21)
Второе уравнение равновесия сил. действующих на элемент,
имеет вид
LZ=0; e-</dx-(C+d(?)=0-
откуда
d(? /d.v = d2 M /d.v2 = - q. (8.22)
Таким образом, поперечная сила в каком-либо сечении балки
равна производной оз изгибающего момента в этом сечении
по абсциссе .v. Если балка имеет распределенную нагрузку
интенсивностью </, то дифференциальные зависимости выражают-
ся формулой (8.22).
* Д. И. Журавский (1821 1891) профессор Петербургского института ин-
женеров путей сообщения, руководил проектированием и постройкой железно-
дорожных мостов на первой в России двххпугнон линии Пстсрбурт Москва.
139
§ 8.5. ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
При расчете на прочность какой-либо летали (которую можно
рассматривать как балку) необходимо прежде всего определить
изгибающий момент Мн и поперечную силу Q, которые действуют
в наиболее опасном ее сечении (опасным считается то сечение,
в котором возникают наибольшие напряжения). Эта задача
решается с помощью эпюр, представляющих собой графики
функций Ми = Мк (х), Q = Q (л-).
Рассмотрим, например, консольную балку, на которую дей-
ствует сила F (рис. 8.13,а). Изгибающий момеш в сечении па
расстоянии х от опоры — F(! —х), т. е. представляет собой
линейную функцию от х. Графическое изображение ее показано
на рис. 8.13.Р. из которого следует, что опасное сечение балки
находится у заделки. Аналогично построена и эпюра поперечной
силы Q (рис. 8.13.в).
Правила построения эпюр.
1) Значения изгибающего момента Мк и поперечной силы
Q вычисляют по формулам (8.19) и (8.20); при этом к внешним
нагрузкам, действующим на балку но одну сторону от сечения
(правую или левую), относят и реакции опор.
2) Знаки Л/и и Q условно принимают согласно ранее
установленным правилам (см. рис. 8.11). Положительные
значения Мк и Q откладывают вверх от оси эпюры,
а отрицательные-- вниз.
3) В общем случае балка па различных ее участках может
быть нагружена сосредоточенными силами и парами сил, а также
распределенной нагрузкой интенсивностью q=q(x). Следователь-
но, вид каждой из функций Л/и = Л/и(х) и Q = Q(x) по всей
длине балки может быть не одинаковым. Тогда балку делят
на участки так, чтобы все внутренние точки каждого из них
несли одинаковую по характеру нагрузку и поэтому вид функций
Ми и Q оставался бы неизменным в пределах участка, а сами
функции непрерывными и дифферен-
цируемыми. Разделение балки па со-
ответствующие этому правилу участки
упрощает построение эпюр и опре-
деление изгибающего момента и по-
перечной силы в сечениях балки.
4) Зависимости (8.21) и (8.22) ис-
пользуют для контроля правильности
построения эпюр Л/и и Q. Поясним
эго на примере.
На рис. 8.14 показан элемент эпю-
ры изгибающих моментов в виде
квадратичной параболы. Какой долж-
на быть эпюра поперечной силы па

<9
Эпюра
Рис. «.13
4
140
этом же участке? Пользуясь
геометрической интерпретаци-
ей производной, имеем
0(x) = dMH/dx = tgaA.
где аА- угол, составленный
касательной к эпюре изгиба-
ющих моментов в данном се-
чении и осью абсцисс эпюры;
измеряется он от оси эпюры Рис g J4
против движения часовой *'5"
стрелки. На этом основании получим = C2 = tga2’
^)3 = tga3. Отложив эти ординаты на графике (Q3 — со знаком
минус), получим элемент эпюры Q, точно соответствующий
заданной эпюре Ми. В рассмотренном случае действующая на
балку распределенная нагрузка согласно формуле (8.22) имеет
интенсивность <7 = const.
Если в пределах данного участка поперечная сила Q в какой-то
точке обращается в пуль, го на эпюре изгибающих моментов
в этой точке имеет место экстремум.
5) В точке приложения сосредоточенной силы па эпюре
поперечных сил образуется скачок, равный значению этой силы,
и излом па эпюре Ми; в точке приложения сосредоточенного
момента скачок на эпюре изгибающих моментов, равный
значению сосредоточенного момента.
Порядок построения эпюр и некоторые их особенности
рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 8.3. На валик механизма протяжки магнитной ленты действует сила
F. Расчетная схема валика представлена в виде балки (рис. 8.15,о), подшипники
валика моделирую 1ся шарнирными опорами А и В. Построить <пюры изгибающих
моментов и поперечных сил. для того
чтобы иайги опасное сечение н рас-
считать ва 1ик на прочность.
Решение. Эпюры и Q строим
в следующем порядке.
1 Определяем опорные реакции бал-
ки:
1Л/Л = 0, RB = Flx 'к Г7 = 0, RA = F—RB.
Условие ХХ=0 показывает, что го-
ризонтальная реакция в шарнирно-непод-
вижной опоре А Ях = 0. При поперечном
изгибе эта реакция всегда равна нулю,
так как действующие силы перпендику-
лярны оси балки.
2. Для построения эпюр изгибающих
моментов н поперечных сил разделим
балку согласно правилу 3 на участки
и составим уравнения моментов для ннх.
На участке 1 -2 проведем сечение
на расстоянии х от точки А,
141
рассмотрим равновесие левой отсеченной части; изгибающий момент W„ в .чайном
сечении ранен моменту внешних сил. чсйствуюших па отсеченную часть
относительно точки Л’ сечения, г. е Л/и=Ллл получаем уравнение прямой,
откуда находим при х=0 Л/и1=0; при х=1, .Ия2 = Лл/|. Для удобства здесь
и залсс индекс «и» заменен обозначением точки сечения, в которой определяется
изгибающий момент (Ии). Мн2 и т. д.).
Выполнив аналотичное сечение на участке 3-4 и рассматривая левую часть
балки (/, = <=/), получим уравнение М„= RAx— F[x—Ц), откуда MKi = RAll. .W„4=0.
По полученным значениям строим эпюру изтибающих моментов (рис. 8.15. б).
3. Составив уравнения для функции б(.г) по участкам, строим эпюру
поперечных сил. Здесь Ст=^2 = Лл; Qs — Q^— RA — F= ~ R«- Для удобства все
вычисления значений и Q оформим в следующем виде:
Точки............
Л/,...............
Q.................
12 3 4
О /, /, /
О RAlt RAt, О
Я, R, RB RB
4. Правильность построенных эпюр проверим с помощью дифференциальной
зависимости (8.21). На первом участке балки
G(x)=d.W„/dx = /?4;
па втором участке
C(v)=dpx.x-F(.x-/1)J/dA-=«, l-=-RB.
Опасное сечение находится в точке приложения силы F. где наибольший
изт ибающий момент.
Пример 8.4. На балку тействует распределенная нагрузка интенсивностью
<7=const (рис. 8.16.«). Построить эпюры V,, и Q и найти опасное сечение.
Решение. 1. Опорные реакции балки /?л = /?н = (),5<//.
2. Функция изгибающет о момента па всем протяжении балки одинакова
и имеет вид
М„ = Rax—(</.х)0.5 г=0.5<//х — 0.5</л2.
Эта зависимость представляет' собой уравнение кривой второго порядка (квадра-
тичной параболы). Наметив па схеме точки 1. 2. 3, находим:
” г1»<
Рис. 8.16
при ,т=0 Mt=0: при г=0.5/ Л/М2=(1/8)<7/‘;
при т=/ 1/н5=0.
3. Для построения эпюры поперечных
сил составим уравнение
Q (х) = Ra — qx = 0.5ql -qx = q (0.5/— л).
Так как это — уравнение прямой, то вы-
числяем:
при г=0 0, = RA-l\5ql;
при <=0.5/ (/2 = (); при x=l Q3=—RB.
По полученным значениям и Q строим
эпюры изгибающих моментов и поперечных
сил (рис. 8.16, б).
4. Для проверки соответствия эпюр ис-
пользуем дифференциальные зависимости:
(2(л)=d.W„/ d.v=0,5«y/(l -2л,7)= <Д0.5/-.х);
d£?;d.c= —у—const.
При этом ординаты эпюры поперечных сил
численно представляют собой tga. где я
142
угол между касательной к эпюре Л/„
и се осью. Так как в точке 2 (7(х)=0.
то именно ттесь функция Л/и имеет
максимальное значение и л о сечение
является опасным.
Пример 8.5. Консольная балка на-
гружена сосредоточенными силами Ft
и F2 (F2 >/-!). моментом М и рас-
пре деленной нагрузкой интенсивностью
</=const (рис. 8.17,«). Построить эпю-
ры М„ и Q и найти опасное сечение.
Решение. 1. Опорные реакции батки
(в заделке) находим из уравнений рав-
новесия:
ZZ=0. Лл=Л-7’2 + ?(/-/2); ЕЛ/л=О;
Мл = F, l-M-F2y-l2) + 0.5Ч (/-12) \
2. Для построения эпюры изгиба-
ющих моментов разделим балку на
зри участка и составим для них урав-
нения равновесия (при расчетах кон-
сольных балок удобнее рассматривать
ту часть балки, которая ие включает
опору, в данном случае правую часть,
для которой правило знаков протнвопо
части):
па участке 1-2 (О^х^/,)
Рис. 8.17
использованному выше для левой
Л/и=—/-'[X; при х=0 А/„!=0; при х=/, Л/и2= —F,Z,;
на участке 3-4 (/t^x^/2)
M„=—Flx + M: при v = /j Ми3= — Flll + М: при x — l2 MBi=—Fil2 +М;
на участке 5-6 (/2<$х^/)
Л/„= -F\x + М + F2(x-I2)-0.5q(x-I2)2;
последняя зависимость представляет собой уравнение квадратичной параболы.
Значения момента Л/и в соозветствутощих точках:
при х=/2 Л/н5= — Ftl2 + M;
при х=/ .Wm6=-F1/+A/ + F2(/-/2)-0,5t/(/-/2)2 = -.Wx.
Построенная по этим точкам эпюра изгибающих моментов показана на
рис. 8.17. 6.
3. Строим эпюру поперечных сил Q. составляя также уравнения равновесия
тля соответствующих участков балки: на участках 1-2 и 3-4 Q(x] = F,, сле-
довательно. =Q2 = Q3 — Qa = 1 участке 5-6 g(v) = Ft —F2 + q(x-l2) это
уравнение прямой; при х=/2 Qi = Fi— F2. при х = / Q6=Ft — F2 + q(l—т2)=
Построенная по этим точкам эпюра Q представлена па рис. 8.17, б.
4. При проверке правильности построения эпюр по дифференциальным
зависимостям необходимо обратить внимание на следующие особенности. Прямые
1-2 и 3-4 эпюры Л/я должны быть параллельны, гак как поперечная сила па
этих участках постоянна. Нулевой ординате на эпюре Q соответствует экстремум
на эпюре Мв.
Опасное сечение находится под силой Г2, где наибольшее по модулю
значение изгибающего момента.
143
§ 8.6. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
При поперечном изгибе балки в се сечениях под действием внешних
нагрузок возникают нормальные ст и касательные т напряжения,
которые в общем случае создаю! сложное напряженное состояние.
Нормальные напряжения определяют на основании теории
чистого изгиба [см. формулы (8.5) и (8.6)]. Эпюры этих напряжений,
например, для балки круиюго сечения показаны на рис. 8.18, а.
Максимальные нормальные напряжения возникают в точках
поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтрального слоя:
п =Мz U=М • И
где Ми— изгибающий момент в рассматриваемом сечении балки;
Wy осевой момент сопротивления сечения.
Касательные напряжения действуют в плоскости поперечного
сечения балки, их равнодействующая представляет собой по-
перечную силу Q = ftdA. Распределение касательных напряжений
по сечению балки впервые было исследовано Д. И. Журавским.
Им установлено, что для простых сечений касащльпые напряже-
ния изменяются по высоте сечения (вдоль линии действия силы
Q) по параболической зависимости. Эпюры этих напряжений
показаны на рис. 8.18,6. В точках поперечного сечения, наиболее
удаленных от нейтрального слоя, касательные напряжения равны
нулю. В точках же, лежащих у нейтрального слоя (круглое или
прямоугольное сечение), они доегжают наибольшего значения:
для круглого сечения ттах = 4Q/(3A);
для прямоугольного сечения т1Пах = 1,5(2.Л, где Q поперечная
сила в данном сечении: А —его площадь.
В общем случае нормальные и касательные напряжения создают
в определенной точке сечения сложное напряженное состояние,
коюрое может стать опасным по условию прочное!и балки. (Эта
задача подробно рассма !ривается в учебниках по сопротивлению
материалов.)
Для балок просплх сечений, например прямоугольного и круглого,
касательные напряжения незначительны но сравнению с нормальными
и их можно не учитывать. Это положение проиллюстрируем па примере
144
а)
Fl
«в
2
гр в
5' 4
6)
3
6
.5
«а
*5
iiiiniiiii
46штш.
Рис. 8.19
Эпюра Q
2‘г
Эпюра
балки прямоугольного сечения
(рис. 8.16). Из эпюр изгибающих
моментов и поперечных сил следует,
что Л/ити=^/2/8. Qmu=ql<2. Тогда
Тпмх = (3 2)е.пах ДАЛ)=(3,'4)<У7.(ЛЛ);
Q - М I IV =
итах и max ! rr у
=ql2 6;(8bh 2) = (3/4)гУ/2!(bh 2);
тПИх/птм = [(3/4)9/ДЛЛ)] [(3.4)x
x <//2,'(АЛ2)] = Л'7«: 1,
где h. b размеры поперечного
сечения; / длина балки (/»й).
Таким образом, балки про-
стых поперечных сечений можно
рассчитывать только но нор-
мальным напряжениям, г. е. со-
гласно условию прочности
аи = Л/и/И^[пи], (8.23)
где [стн]—допускаемое напряжение при деформации изгиба,
значение которого ориентировочно можно принимать на 20%
больше, чем при растяжении; в формулу (8.23) подставляется
абсолютное значение изгибающего момента Л/н (без учета знака).
Пример 8.6. На плик механизма (рис. 8.19. а) действую! нагрузки 7-^ЮОН,
Z72 = 8() Н. Л/=400 Н-мм. Размеры валика: /=8()мм, /,—/, = 25 мм. Определить
диаметр валика, если допускаемое напряжение [аи]=80МГ1.т
Решение. 1. Опорные реакции валика вычисляем из уравнений era гики:
= [Г. I2 - К2 (I-- /2)+А/ ]/(/, +12) = (2500 - 2400 + 400) 50 = 10 11;
д„ = Г1 + Г2-Ал = 100 4-80-10=170 Н.
2. Для определения опасного сечения валика строим яноры из!ибаюших
моментов и поперечных сит (рис. 8.19.6). Опасным является сечение в опоре
В, гак как здесь изгиб тощий момент наибольший по модулю:
Мя=М - F2 (/ - lt -12)=400 - 80 (80 - 50) = - 2000 Н мм.
3. Иг условия прочности (8.23) найдем диаметр валика. учи!ывая. что для
круглого сечения И'~0.1 </’:
Л/н(0.1 ртн ]) = V’OOO (0.1- 80)%6.3 мм
ближайшее большее значение диаметра валика выбирают по ГОСТ 6636 69.
§ 8.7. ПРОГИБ БАЛОК. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ
При изгибе балки се продольная ось, прямолинейная до
деформации, искривляется, образуя гак называемую упругую
линию балки (рис. 8.20). Прогибом балки z в каком-либо сечении
называют перемещение центра тяжести этого сечения в на-
правлении, перпендикулярном исходному положению продольной
145
оси балки. Наибольший
прогиб (для балки по
рис. 8.20, а — перемещение
ее концевого сечения) назы-
вают стреми прогиба f.
Прогибы определяют пу-
тем составления и решения
дифференциального уравне-
ния изогнутой оси балки.
Кривизна изогнутой оси бал-
ки (упругой линии) в любом
сечении може! быть выраже-
на на основании полученной
ранее зависимости (8.4):
к=1>р = МИ.'(Е^), (8.24)
где МИ изгибающий момент в рассматриваемом сечении; Е—
модуль упругости материала балки при растяжении; Jy—осевой
момент инерции сечения.
В дифференциальной геометрии доказывается, что кривизна
к любой кривой, обладающей гладкостью (существованием
первых двух производных), выражается зависимостью (в той же
системе координатных осей, что и па рис. 8.20):
I____ d2z/d.i:2
р ~ [J+(dc;dv)2]1-5’
(8.25)
Приравняв правые части уравнений (8.24) и (8.25), получим
общее уравнение упругой линии балки
(d2z'dx2)[I + (dz/dx)2] tS=±M„!(EJ>). (8.26)
Это нелинейное дифференциальное уравнение не решается в эле-
ментарных функциях (оно решается с помощью эллиптических
интегралов первого и второго рода). Однако в определенной
области значений dz/dx его можно упростить. Принимая во
внимание, что производная dz/dx представляет собой тангенс
угла 0 наклона касательной к упругой линии в рассматриваемой
точке (это угол поворота сечения, которое считают нормальным
к изогнутой оси балки), имеем
dz/dx = tg0«0,
так как при упругой деформации балки угол 0 достаточно мал;
квадратом производной dz dx ввиду его малости по сравнению
с единицей можно пренебречь. Тогда уравнение (8.26) примет вид
d2 z/dx2 = ± MJ(EJy). (8.27)
При выбранном положительном направлении изгибающих момен-
тов (см. рис. 8.11) знак плюс в правой части выражения (8.27) будет
в том случае, когда ось аппликат z направлена вверх, а выпуклость
изогнутой положительными моментами оси балки вниз.
146
Например, рассчитаем прогиб балки (рис. 8.20,«). для которой
Л/в = — F(l—x). После первого интегрирования дифференциального
уравнения (8.27) имеем
dz-d v= [ - 1/(FJ,.)] J M„d.t = [F/( FJy)] (lx—x2i2) + C.
после вюрого интегрирования
= [F (EJy)] (lx2/2 - x3/6) + Cv + D. (8.28)
где С и D — постоянные инте! рирования, значения которых могут
быть найдены из |раничных условий: при .г=0 угол поворот
сечения балки G = dz/d.v равен нулю, следовательно, С=0. Второе
граничное условие нро!иб z балки в заделке (при х = 0) также
обращается в нуль, откуда и постоянная D — 0.
Наибольший upoi иб f балки имеет место при х = 1. Подставив
ло значение х в формулу (8.28), получим
f= zmax = [F FJ,.)] (/3/2 - Z 3/6) = Fl* $EJy\ (8.29)
Для других видов балок и их нагружений общее решение
дифференциального уравнения (8.27) позволяет найти изогнутую
ось балки при любом ее загружепии. Отыскание этого решения
и использование ею для определения прогибов дается в учебниках
по сопротивлению материалов. Например, для схемы балки
(рис. 8.20, б) наибольший прогиб [7]
,/=f/!(/2-/2)1-5/(V3/fj,);
для балки (см. рис. 8.16)
/= 5^/4/(384FJ,,).
Расчет балок па жесткость заключается в определении значения
наибольшего прогиба/и сопоставлении его с допускаемым. Условие
достаточной жесткости, например, для балки на рис. 8.20, а имеет вид
/=F/3/(3FJy)<[/], (8.30)
где [/] —допускаемое значение стрелы прогиба, зависящее от
конкретных условий работы балки.
ГЛАВА 9.
СДВИГ И КРУЧЕНИЕ
Сдвиг и кручение iipocibic .деформации, возникающие во мшлих деталях
механизмов. Закон Гука при сдвиге включает новую механическую характе-
ристику' -модуль упругости при сдвиге, зависящий от модуля упруюсти Е при
рас i яжснии-сжатии и от коэффициента Пуассона. При кручении происходит
сдвиг соседних слоев материала деформируемой Детали. Формулы для напряжений
и деформаций при кручении, полученные в рамках допущений сопромша, дня
круглою сечения являются вполне точными и с точки зрения теории упругости.
Расчетные значения для стержней иной формы в случае жестких требований
к точности корректируются соо1встсгвующими поправочными коэффициентами.
147
§ 9.1. ЧИСТЫЙ СДВИГ.
ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Некоторые детали механических систем (заклепки, штифты
и др.) подвергаются такому нагружению, при котором их
деформация протекает в виде относительного смешения попереч-
ных сечений. Пусть, например, на деталь 1 (рис. 9.1, а) нормально
к ее продольной оси действуют две близко расположенные силы
F и F’, которые равны по модулю, но противоположны’ по
направлению. Выделенный в зоне деформации этой детали
элемент (рис. 9.1.6) иллюстрирует относительное смещение его
граней, которое называется чистым сдвигом.
Количественными характерно!иками деформации сдвига яв-
ляются: Az—абсолютный или линейный сдвиг; Az/Ах относи-
тельный сдвиг, являющийся мерой перекоса углов элемента
(рис. 9.1,6). При деформации элемента в пределах упругости
значение Az/Ax мало и его можно выразить через угол сдвига
Az/Ax=tgy«Y. (9.1)
При чистом сдвиге на гранях элемента возникаю! касательные
напряжения т (рис. 9.1,6). Как следуш из опытов, напряжения
т распределяются по площади сечения АЛ равномерно; их
значение может быть найдено из условия, что равнодействующая
внутренних сил уравновешивает внешнюю нагрузку F.
Для поперечного сечения детали
F= f тбЛ = т f cL4,
(л> (л>
откуда
т = РЛ, (9.2)
где F—нагрузка, вызывающая деформацию сдвига: А — площадь
сечения При достижении касательными напряжениями некоторого
предельного (опасного) значения топ в материале детали возникает
гичных .материалов), либо
разрушение (срез), если ма-
териал хрупок. Условие про-
чности на сдви! (срез) выра-
жается неравенством
г = /7Л^[т], (9.3)
где [т] — допускаемое напря-
жение ([т]=т„п/л); для пла-
стичных материалов (сталь,
бронза и др.) можно пригш-
ма1ь [т]=(0,5...0,6) [о ], для
хрупких [т]-(0,8...1) [ор];
[<тр ] допускаемое напряже-
ние при растяжении.
148
Рис. 9.2
Рис. 9.3
Закон Гука. При деформации опытных образцов на сдвиг
в пределах упругости (аналогично опытному определению механи-
ческих характеристик при растяжении) установлено, что каса-
тельные напряжения т пропорциональны значению относительного
сдвига у (рис. 9.2). Точка В на рисунке соответс твуе г пределу
упругости tv материала образца. Для любой точки К прямой
О В tk'7,. = G, следовательно,
x = Gy. (9.4)
где G— коэффициент пропорциональности, который называется
модулем упругости при сдвиге.
Зависимость (9.4) выражает закон Гука при сдвиге. Подробное
рассмотрение напряженного состояния при деформации сдвига
показывает, что между модулями упругости при растяжении-сжа-
тии Е и при сдвиге G и коэффициентом Пуассона существует
следующая связь:
G=0,5E/(1+m). (9.5)
Если принять коэффициент Пуассона для стали ц = 0,3. то G%0,4£.
Пример 9.1. Зубчатое колесо 1 (рис. 9.3) насажено на валик 3 и закреплено
на нем с помощью ппифта 2. При нагружении валика крутящим моментом
Г штифт подвергается деформации сдвига по сечениям 4. Требуется определить
диаметр <1Ш штифта, если известны крутящий момент Т= 1300 II-мм, диаметр
валика б/=10мм. допускаемое напряжение на сдвиг [г] = 50 МПа
Решение. Крутящий момент Т заменяется парой сил F. вызывающих сдвш
в сечениях 4 штифта. Условие прочности штифта неравенство (9.3):
т = /•’(
где F=T;d сила, вызывающая сдвиг (срез) штифта: A = Tid„, /4— площадь его
поперечного сечения. Следовательно,
б/„, ч/477(пф]) = v/4~1300/(3,14-10-50) = 1,8 мм.
По ГОСТ 6636 69 принимаем ближайшее стандартное значение d„,=2 мм.
149
§ 9.2. КРУЧЕНИЕ. ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
К деталям механических систем, подвергающимся деформации
кручения, прежде всего относятся валы различных типов и конст-
рукций. Валом принято называть стержень крутого сечения,
который служит для поддержания вращающихся частей и работа-
ет как на кручение, так и на изгиб. В механизмах приборов и ЭВМ
размеры валов малы, поэтому их часто называют валиками.
Пуст ь, например, валик 3 (рис. 9.4. а) через муфту 4 нагружен
внешним крутящим моментом Т, который действует в плоскости,
нормальной продольной оси валика. В результате в валике между
муфтой 4 и правой опорой 1 возникает деформация кручения.
Заметим, что элемент валика между правой опорой / и колесом 2
подвергается совместной деформации кручения и изгиба, в резуль-
тате которой в материале валика возникает сложное напряженное
состояние. Оно рассмотрено в следующей главе.
При кручении происходит местный чистый сдвиг (см. §9.1).
Представим, например, валик как круглый цилиндр, состоящий
из концентрически расположенных слоев—трубок (рис. 9.4, б).
При действии па валик внешнего крутящею момента Т каждый
из этих слоев поворачивается относительно соседних слоев, т.е.
отдельные элементы подвергаются деформации чистою сдвига.
Мерой деформации кручения принято считать либо угол
поворота ф концевою сечения валика относительно другого
сечения, отстоящего от первого на расстоянии /. либо угол
закручивания на единицу длины 0 = аф/<1лс, который принято
называть относительным углом закручивания (при однородном
кручении 0 = ф//),
Теоретические и экспериментальные исследования деформации
кручения дают основание принять в качестве исходных положений
для расчета следующие гипотезы:
1) поперечные сечения вала, плоские до деформации, остаются
в процессе деформации плоскими и перпендикулярными продоль-
ной оси вала;
2) радиусы сечений, прямые до деформации, остаются такими
же и после деформации, г е. не искривляются;
Рис. 9.4
150
3) расстояния между поперечными сечениями вала (d.v или
I на рис. 9.4. б) в процессе деформации не изменяются;
4) если деформация сдвига поперечных сечений относительно
продольной оси вала протекает в пределах упругости, то
правомерно использовать для расчетов закон Гука.
Расчет напряжений и деформаций. Для рассмотрения напряжен-
ного состояния вала, подвергающегося кручению моментами Т,
выделим из элемента вала длиной d.v часть, ограниченную
цилиндрической поверхностью радиуса р (рис. 9.5, а). Относитель-
ный сдвиг, измеряемый на этой поверхности.
yp = W/d.v = pd(p/d.v = 0p, (9.6)
где 0 = d(p/d.v относительный угол закручивания, являющийся
мерой интенсивности деформации кручения.
Ранее было установлено, что при деформации сдвига в попереч-
ном сечении детали возникаю! касательные напряжения т. Для
рассматриваемого элемента вала значение касательных напряжений
можс! быть найдено на основании закона Гука [формула (9.4)]:
тр=(7ур=(70р. (9.7)
Интенсивность закручивания 0 и напряжение тр в сечении
элемента вала зависят от крутящего момента Г. Так как внешний
момент Т уравновешивается моментом внутренних сил взаимо-
действия частиц материала вала, го равнение равновесия элемен-
та по рис. 9.5, а имеет вид
LA/X = O; Т- J (Tpd.l)p = 0.
(-41
Принимая во внимание равенство (9.7). получаем
Т= f G0p2d/J = GO J p2d/f = G'6Jp.
(A) (А)
откуда
0=T(GJp). (9.8)
151
Здесь Jp = J p2d/l — полярный момент инерции сечения элемента
(Л)
(см. § 8.3). Подставив значение 0 в уравнение (9.7), получим
формулу для определения касательных напряжений
тр = СРГ(6'./р)=Гр;7р. (9.9)
Формулы (9.8) и (9.9) дают i очное решение задачи для вала
крутлого поперечного сечения; для сечения иной формы эти
зависимости являются приближенными.
Выводы: при деформации кручения в поперечном сечении
вала возникают касательные напряжения т, значения которых
изменяются вдоль радиуса сечения пропорционально расстоянию
р от центра сечения. Эпюры напряжений приведены па рис. 9.5. б.
Такое распределение напряжений имеет место на каждом из
радиусов сечения;
наибольшие касательные напряжения тП1ах действуют в точках
поперечного сечения, расположенных у поверхностного слоя вала,
когда р = г; согласно равенслву (9.9)
^=^T!Jp)r=Twr (91°)
где Wp=Jp.r—полярный момент сопротивления сечения. На
основании уравнения (8.17) Wp = itr3/2~0.2т/3;
условие прочности вала в опасном сечении при деформации
кручения выражается зависимостью
тк = 77И;«], (9.11)
где [т] допускаемое напряжение, значение которого может
быть принято [т] = (0,5 ... 0,6) [ор]; [ор]—допускаемое напряже-
ние при растяжении;
количественной характеристикой деформации кручения являет-
ся угол поворота концевого сечения <р или относительный угол 0.
Условие достаточной жестко-
сти вала при действии крутя-
щего момента Т па основании
равенства (9.8) имеет вид
e=7/(Gj„K[e], (9.12)
где [0] допускаемое значе-
ние относительно утла закру-
чивания.
Рис. 9.6
Пример 9.2. В передаточном ме-
ханизме (рис. 9.6. а) 1рансмиссионпый
вал I воспринимав крутящий момент
Г, и распределяет его между зубча-
тыми передачами 2 и 3 (Т2 и Т,)
и муфтой 4 (Г4). Определить диаметр
этого вала в наиболее опасном сече-
нии по условиям прочности и до-
152
шагочной жесткости на кручение, если Г2=800 Н-мм, Т3 = 600 Н • мм,
7'4=400 IJ • мм: допускаемые напряжения [т]=40МГЬ и относительный угол
закручивания [0] = 10 4 рад,-'мм. Модуль упругое!и (7=0.8-105 МПа.
Решение. Опасное сечение пала, в котором действует наибольший крутящий
момент 7',, определится путем пошроспия эпюры моментов. При построении
эпюр соблюдается следующее правило: кру гящпй момент в любом сечении
вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, расположенных
по одну сторону от этою сечения. Значение момента 7’. действующею на
данном участке вала, откладывается в виде ординат о г оси эпюры, параллельной
оси вала (рис. 9.6,о). Знак момента принимается по условию: если смотреть
с правого торца вала, то положительным считается направление крутящего
момента по часовой стрелке. Эпюры крутящих моментов для рассматриваемого
примера приведена на рис. 9.6,б. Нетрудно видеть, что расчетное значение
момента в опасном сечении 7 = 7г1+74=1000 Н мм.
2. Условие прочности вала
т,= Т1Гр=Г-(0,2т73)<[т].
откуда _______
</> Г.(0,2[т])= ^,'1000 (0.2-40) = 5 мм.
3. В точных устройствах требуется ограничить не только напряжения, но
и деформации. Из условия жсшкости (9.12) получим размер вала 1 </4):
X 7;(С-0.1 [0] = 1000/(0,8-10'-0,1 -10 4)л6 мм.
Расчеты по условию жесткое и обычно дают большие значения размеров
поперечного сечения, которые уменьшаю! упругие погрешнееih и увеличивают
точное 1Ь действия механизма.
ГЛАВА 10
СЛОЖНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Многие детали механических систем подвергаимся одновременно нескольким
простым деформациям, нанрнмер изгибу и кручению (см. валик 4 на рис. 6.2),
сжа1ИЮ. изгибу и кручению и т. д. При таком комбинированном деформировании
в деталях возникает сложное напряженное состояние.
При прочностных расчетах нормальные и касшельные напряжения заменяют
условными приведенными норма >ьными напряжениями, исходя из гипотез о ме-
ханизмах разрушения (теорий прочности). В инженерных расчетах чаше всего
применяют энер|етическую теорию прочности.
Одна из сложных деформаций возникает в зоне взаимодействия двух тел,
де действуют местные контактные напряжения (напряжения смя|ия). Решение
задачи о контактных напряжениях выходит за рамки сопромата, его получают
методами теории упруюсти. Если размеры плота тки контакт малы по сравнению
с размерами тел, то в этих ус ювиях верпы зависимости, полученные Г. Герцем.
Для тел с близкими значениями кривизны поверхностей решаю! системы
уравнений теории упругости (например, для зубьев зацепления Новикова или
внутренне! о эвольвент ного).
§ 10.1. ПОНЯТИЕ О ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ
▼ Основами расчетов деталей па прочность при сложном
напряженном состоянии являются: принцип независимости дейст-
вии сил, который позволяет считать, что общий результат
от действия на дета ib нескольких сил равен сумме частных
153
Рис. 10.1
результатов, полученных от каждой силы в отдельности; теории
u.iu гипотезы прочности, с помощью которых сложная ком-
бинация деформаций детали может бьпь условно заменена
равноопаспой (эквиваленпюй) простой деформацией, например
рас гяжением.
Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных сложных
деформаций, остановимся кратко на том, что представляют
собой теории прочности. Возникновение и развитие теорий
прочности обусловлено необходимостью обеспечения надежной
работы деталей и элементов конструкций при комбинированном
их деформировании. В сечениях таких деталей возникают как
нормальные, 1ак и касательные напряжения. Определение на-
иболее опасных напряжений или их сочетаний, которые могуч
стать причиной разрушения деталей, составляет суть теорий
прочное и.
При линейном напряженном состоянии (осевом растяжении,
рис. 10.1. ст) прочность элемента может быть легко проверена
непосредственно путем проведения опыта. При сложном напря-
женном состоянии элемента (рис. 10.1,6) его материал сопротив-
ляется иначе, чем при одноосном напряженном состоянии.
Возникновение предельного состояния материала (текучесть или
разрушение) зависит от соотношения значений напряжений а,.
а2, о3. Так как число возможных комбинаций этих напряжений
велико, то и соответствующих им предельных состояний элемента
гоже может быть множество. Для каждою соотношения напряже-
ний c2/ai> аз/а1 необходимо опытным путем устанавливать
значение предельною напряжения, что очень трудоемко. Кроме
того, постановка опытов при сложном напряженном состоянии
значительно труднее, чем, папример, при линейном напряженном
состоянии (при простом растяжении).
Теоретическое решение проблемы проверки прочности элемен-
та при сложном напряженном состоянии состоит в тс м, что
гипотетически устанавливается причина наступления предельного
154
состояния материала, которая может оьиь оценена количественно
некоторым фактором <рШ1. эквивалентным (равпоопаспым) как
при линейном, так и сложном напряженном состоянии. Таким
образом, опасное значение фактора ф„п можно определить из
опыта при любом напряженном состоянии. Разумеется, проще
выполнить такой опыт при простом растяжении.
При рассмотрении сложного напряженного состояния фактор
троп, свидетельствующий о наступлении предельного состояния
в материале, определяют теоретически. Тогда условие, харак-
теризующее нспаступление предельного состояния материала
в локальной области (условие прочности), может быть выражено
формулой
Ф^[<р] = Ф0П1.7<, О ° ’)
где к коэффициент запаса прочности.
Существует несколько гипотез, в каждой из которых выбирают
свой фактор <р011 и па основе этой гипотезы строят теорию,
дающую возможность определить значение <р. При этом достовер-
ность той или иной гипотезы (теории) проверяют с помощью
эксперимента со сложно напряженными образцами: гем самым
оценивают, насколько близки предполагаемое и установленное
опытом опасные состояния.
Остановимся кратко па некоторых вопросах теорий (гипотез)
прочности с точки зрения использования их для расчеш деталей
механических систем па прочность при сложном напряженном
состоянии. Рассмотрим элемент детали при объемном напряжен-
ном состоянии (рис. 10.1,6), когда он подвергается, например,
растяжению или сжатию в грех взаимно перпендикулярных
направлениях.
1. Через каждую точку тлеменга всегда можно провести три
такие ортогональные площадки, па которых касательная составля-
ющая напряжений равна нулю. Такие площадки называют
главными, а действующие на них нормальные напряжения -глав-
ными напряжениями. Их принято обозначать о,, с2 и с3, имея
при этом в виду, что Главные напряжения экстре-
мальны для данного элемента: имеет наибольшее значение
(ai=amax)- a cfj -наименьшее (o3 = oinin).
Наибольшие касательные напряжения в какой-либо точке
элемента детали возникают на площадках, делящих двугранный
угол между главными площадками с напряжениями Oj и о3
пополам:
(10.2)
II. Относительная деформация элемента (в пределах упругости)
по направлениям главных напряжений может быть найдена на
основании обобщенного закона Гука:
155
Е!=£' * [ol-m(o24-o3)];
е2 = £ ' [ст2 —р(о,+о3)]; >
Ез = £"’ [о3-ц(с, + о2)].
(Ю.З)
Если известны главные деформации е15 с2, е3 элемента (они
могут быть найдены теоретически или эксперимен1ально). то
главные напряжения определяются на основании уравнений (10.3):
о,=£[Е14-р(е2 + £з)](1-М2)_'; j
о2=£[Е2+м(ч+ез)](1-и2)-'; f (Ю-4)
о3 = £[£3 + р(с1 + £2)](1-ц2Г1.
111. При упругой деформации элемента происходит изменение
его размеров и формы, в результате чего механическая энергия,
затраченная на деформацию, переходит в потенциальную. Так
как эквивалентом энергии является работа, то потенциальная
энергия деформации численно равна работе внутренних сил
материала, которые оказывают сопротивление перемещению. На
этом основании, панример, при одноосном растяжении, когда
о2 = о3=0, имеем следующее выражение для определения потен-
циальной энерти (рис. 10.2):
£=0,5/?Д/=0,5(ст1Л)с,/0/£=0,5£“*о^/0, (10.5)
где R — ^iA - равнодействующая внутренних сил; Д/=о1/0.,£—
абсолютная деформация элемента. Потенциальная энергия дефор-
мации элемента, отнесенная к единице его объема,
и=£/И=0,5£ *а?Л/о/(Л/о) = а?./(2£)=0,5а1Е1, (10.6)
где V объем элемента; е^о^/Е—относительная деформация
элемента.
При объемном напряженном состоянии на главных площадках
элемента действуют главные напряжения В этом
случае значение удельной потенциальной эне-
ргии может быть найдено на основании
формулы (10.6):
Н = 0,5(с,£1+О2£2-|-О3£3).
Рассмотренное кратко напряженное состо-
яние элемента детали может быть исполь-
зовано для пояснения теорий прочности.
1. Теория наибольших нормальных напряже-
ний. Согласно этой теории отсутствие пре-
дельного состояния материала в локальной
области при сложном напряженном состоянии
детали считается обеспеченным, если наиболь-
IS6
шее (по абсолютному значению) нормальное напряжение отах
не превышает допускаемого [ср] для данного материала при
простом растяжении. Следовательно, в этой теории в качестве
фактора <р [формула (10.1)] принимается напряжение оР Условие
ирочнош и детали ио этой теории
^тах^Ьр]- (10.7)
Для пластичных материалов, широко используемых в приборо-
строении. первая теория прочности опытами не подтверждается,
поэтому в инженерных расчетах практически не применяется.
Эта теория может быть использована лишь для хрупких матери-
алов, не находящихся в условиях всестороннего сжатия.
2. Теория наибольших деформаций. Эта теория основана па
предположении, что материал детали при сложном напряженном
состоянии утрачивает свойства прочности тогда, когда наиболь-
шая относительная деформация сгаах превысит допускаемую [г.],
поэтому в качестве фактора ф принята деформация еР Условие
прочности выражается неравенством
£тах«Ь (10.8)
которое после преобразований на основании формулы (10.3)
получит вид
°Пр = °1-м(<Ъ + <\чК[>р]- d°-9)
Напряжение опр учитывает влияние всех трех главных напряжений
и поэтому называется приведенным.
Вторая теория прочности современными экспериментальными
исследованиями, так же как и первая, не подтверждается (за
исключением некоторых хрупких материалов).
3. Теория наибольших касательных напряжений. В этом случае
в качестве фактора ф, определяющего прочность материала,
принимаю! касательное напряжение. Соответствующее условие
на основании формулы (10.2) получает вид
ттах = 0-5(о,-<УЛ)^[т]. (10.10)
Условие (10.10) после преобразований получит вид
опр = ч/о2 + 4т2^[о]. (10.11)
Третья теория прочности находит экспериментальное подтвер-
ждение для материалов, находящихся в пластическом состоянии.
Однако точность расчетов по пей не все!да достаточна.
4. Энергетическая теория прочности. Согласно этой теории два
напряженных состояния (сложное и эквивалентное ему условное
простое растяжение) считаются равнооиасными, если удельная
потенциальная энергия изменения формы детали при деформации
одинакова. Условие прочности по четвертой теории, например
при совместном действии изгиба и кручения, имеет вид (про-
межуточные теоретические выкладки опускаются)
157
+ (10.12)
Для пластичных материалов энергетическая теория прочности
наиболее полно и точно но сравнению с другими теориями
подтверждается экспериментальными исследованиями, поэтому
ее широко применяют в инженерных расчешх. ▲
$ 10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ
Пусть па балку действует сила F, составляющая ут ол 7 с осью
симметрии сечения (рис. 10.3,а). Балка имеет прямоугольное
сечение, в котором высот a h больше ширины Ь, вследствие чего
и главные центральные моменты инерции сечения различны
(Jy= =bh3/l2; J2=hb3l\T). Когда а=^0, Jy=£J., балка испытывает
так называемый косой изгиб, при котором плоскость деформации
(плоскость расположения изогнутой оси балки) не совпадает
с плоскостью действия сит. Это частный случай пространст-
венного изгиба.
Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного
сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (см. эпюру
напряжений на рис. 10.3.6). Для определения наибольших напря-
жений в опасном сечении (в котором действует максимальный
изгибающий момент) и последующего расчета балки на прочность
разложим силу F на составляющие F. и Fy по направлениям
главных осей инерции сечения (рис. 10.3,а). Если приняв во
внимание, что отношение изтибающих моментов, создаваемых
силами Fz и Fy, сохраняется постоянным во всех поперечных
сечениях балки, то правомерно данный косой изгиб заменить
комбинацией двух плоских поперечных изгибов во взаимно
перпендикулярных плоскостях. В этом случае эпюры напряжений
Рис. 10.3
158
в опасном сечении A BCD балки
moiут быть построены на ос-
новании правил и формул, по-
лученных ранее для плоского
поперечною изгиба. Максималь-
ные напряжения в точках опас-
ного сечения, наиболее удален-
ных от соответствующих ней-
тральных осей (см. эпюры
рис. 10.4), следующие:
в вертикальной плоскости
в горизонтальной плоскости
Рис. 10.4
на
vy
где Л/н, Л/г - изгибающие моменты соответщвснно в верти-
кальной и горизонтальной плоскостях балки; И7,. W. — осевые
моменты сопротивления сечения. Так как растягивающим напря-
жениям приписывается знак плюс, а сжимающим — минус, то
нетрудно видеть, что точки В и D опасного сечения балки
наиболее напряженные. Возникающие в них нормальные напряже-
ния ои. и а на основании принципа независимости действия
сил суммируются. Таким образом, в случае косого изгиба балки
прямоугольного сечения условие прочности в опасном сечении
получает вид
птах = оиг + оИ)=К./И/>.+
+ Мг;И'1<[ои].(10.13)
В механических систе-
мах широко применяют
детали, например валы
передаточных механиз-
мов. которые подверга-
ются из! ибу силовыми
нагрузками, действующи-
ми в разных плоскостях,
часто взаимно перпенди-
кулярных (рис. 10.5). Та-
кой изгиб принято пазы-
ва гь пространственным,
при котором изогнутая
ось балки— пространст-
венная кривая; его част-
ный случай — рассмо т-
ренный выше косой изгиб.
159
Рассмотрим сначала случай, когда на вал в одном и том же его
сечении действуют силы Л и Fy (рис. 10.5.а). Эти силы создаю!
в опасном сечении изгибающие моменты MS — FJY и =Fylx.
которые действуют cooi ветственно в вертикальной и горизонталь-
ной плоскостях. Очевидно, чго силы F. и Fy можно геометрически
сложить и получить равнодействующую F=y/F? + Fy, которая
должна быть приложена нод углом а к вертикальной оси г. Так
как для балки круглого сечения моменты инерции Л =то
согласно формуле (10.13) tgP = tgot. Из этого следует, что
плоскость действия силы F совпадает с плоскостью деформации
изгиба. Таким образом, рассматриваемый случай нагружения
приводится к схеме обычного плоского поперечного изгиба.
Рассмотрим изгиб вала, когда вертикальная Fz и горизонталь-
ная Fy силы приложены в разных поперечных сечениях (рис. 10.5, *7)
и не могут быть приведены к одной плоскости, г. с. заменены
одной равнодействующей, как это сделано в предыдущем примере.
Для нахождения опасного сечения вала и расчета его на
прочность необходимо построить эпюры изгибающих моментов
отдельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 10.5,
в). Наибольшее напряжение в любом сечении т - и балки:
ои = .Wp/ W = Ч/Л7£+Л77/(О, \d3), (10.14)
где М расчетный изгибающий момент в данном сечении
вала; Л/„, Мг изтбающие моменты в вертокальной и го-
ризонтальной плоскостях.
Для вала постоянного диаметра опасно то сечение, в котором
действует наибольший момент Мр.
§ 10.3. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ (СЖАТИЯ)
Дана консольная балка прямоугольного сечения (рис. 10.6.а),
которая подвергается осевому растяжению силой F. и плоскому
Рис. 10.6
поперечному изгибу от си-
лы Fz. Для определения
опасного сечения балки, ко-
торое характеризуется на-
иболее напряженным состо-
янием. построим эпюры из-
гибающих моментов Ми
и внутренней продольной
силы RX = FX. Из рис. 10.6,6
видно, чго наиболее опасно
сечение A BCD балки. Зада-
ча определения наибольших
нормальных напряжений
сти, ор и последующего рас-
чета балки на прочность
160
Рис. 10.7
решается с помощью принципа независимости действия сил.
Сотласно этому принципу, рассмотрим отдельно изгиб и рас-
тяжение. Эпюра напряжений ои показана па рис. 10.6, в. При
этом ои = Л/„ И7 =6F,li(bh2), где Л, b, I—размеры поперечного
сечения и длина балки. Эпюра нормальных напряжений ор при
деформации растяжения представлена на рис. 10.6,в:
ор = ЛдМ = Fx/(bh). (10.15)
Сложив векторы напряжений (в каждой точке они действуют по
одной прямой), найдем, что максимальные напряжения возникают
в точках А и D поверхностного слоя опасного сечения, наиболее
удаленных от нейтрального слоя. Условие прочности балки имеет вид
ота1[ = пв + ор = Л7и..И/>. + Тд.//1 <[ои]. (10.16)
Так как при любом знаке изгибающего момента в сечениях
балки возникают и растя! ивающие. и сжимающие напряжения,
то в формулу (10.16) подставляют абсолютное значение М„.
Представляет практический интерес деформация балки, возни-
кающая при ее внецентренном сжатии или растяжении. Такая
деформация характерна для деталей червячных, косозубых, кони-
ческих и других передач. На рис. 10.7, а показана схема червячной
передачи, состоящей из червяка / вала с винтовой нарезкой
и червячного колеса 2. В их зацеплении возникают силы, одна
6 Зак 7«1»
161
из которых— окружная сила колеса Fx — приложена на расстоянии
е =di2 от продольной оси вала червяка и направлена параллельно
этой оси (d—делительный диаметр червяка). Таким образом,
сила Fx вызывает внецептрепное сжатие вала червяка (рис. 10.7,6).
Силу Fx приведем к оси вала, приложив в его центре две силы,
равные но модулю Fx и направленные противоположно друг другу.
При ном силы, помеченные на рис. 10.7,6 двумя черточками,
образуют пару сил — изгибающий момент Ma = Fxe. В результате
внецептрепное сжатие заменяется двумя простыми деформациями:
изгибом под действием момента Л/и и осевым сжатием силой Fx. Из
эпюр М„ и RX = FX следует, что опасным является сечение АВ в зоне
зацепления червяка и колеса. Эпюры напряжений ои и для этого
сечения показаны па рис. 10.7, в. На основании принципа независи-
мости действия сил условие прочности вала червяка примет вид
Л/н Fx Fxe 4/'х р -] ... .
°тах ~ ° и + °сж Щ + 7 = ОД?1 + тй/1 [°"]’ (Ю. 17)
Отметим, что кроме деформаций изгиба и сжатия правая часть
вала подвергается кручению.
§ 10.4. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ
Элементы валов передаточных механизмов и других деталей
механических систем под действием приложенных к ним силовых
нагрузок могут подвергаться одновременно деформациям изгиба
и кручения (а в ряде случаев еще и осевого растяжения или
сжатия). Например, на вал действуют сосредоточенная сила
F и крутящий момент Т (рис. 10.8,а). Эти нагрузки вызывают
деформации изгиба и кручения элемента вала между правой
опорой В и точкой приложения силы F. В сечениях вала
действуют как нормальные, 1ак и касательные напряжения, т. е.
напряженное состояние материала вала сложное.
Рис. 10.8
162
Для определения положения опасного сечения вала и действу-
ющих в нем напряжений построим эпюры изгибающих и кру-
тящих моментов (рис. 10.8,6). Нетрудно видеть, что наиболее
напряженное (опасное) сечение вала—сечение 3, в котором дейст-
вую! изгибающий момент Mlt=RAll и крутящий момент 7 (по-
перечную силу Q и вызываемые ею касательные напряжения нс
учитываем, см. § 8.6). Эпюры нормальных и касательных напряже-
ний в опасном сечении показаны на рис. 10.8,«. Наибольшее
значение этих напряжений определяется по формулам (8.5а)
и (9.10), где И;.^0,1Л3, Ирл0.2</3.
Так как векторы напряжений ои и тк расположены в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях, то расчет такого вала
па прочност ь проводится путем условной замены сложного
напряженного состояния равноопасным ему одноосным. Соответ-
ствующее условное напряжение принято называть эквивалентными
или приведенным о11р. Критерии равноопасности действительного
сложного напряженного состояния и эквивалентного ему условно-
го одноосного растяжения устанавливают па основании теорий
(гипотез) прочности; условие прочности вала в опасном сечении
согласно формуле (10.12): qj t
o11p = v/oJ+3T3<[o].
Если валик одновременно подвергается деформации изгиба,
кручепия и сжатия, го условие прочности -у
o.ip = V(о.. + )2 + 3т[о] ^<10.18)
При у гочненных расчетах к напряжениям кручения добавляются
касательные напряжения, вызываемые поперечной силой Q, дейст-
вующей в данном сечении (см. § 8.6).
§ 10.5. КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
ВзаимодсйеЯвие двух прижатых друг к другу упругих юл
сопровождается объемным сжатием их элементов в области
соприкасания. В результате деформации поверхностных слоев
материала тел образуется п.ющадка контакта. Напряжения,
возникающие на площадке контакта, а также вблизи нес.
пазывают контактными.
По контактным напряжениям осуществляю! расчет на проч-
ность многих деталей и узлов механических систем. Например,
подшипники качения (рис. 10.9, а) передают нагрузку F от
вала корпусу механизма через внутреннее и наружное кольца,
между которыми помещены юла качения шарики или ролики.
В зоне контакта юл качения и беговых дорожек колец
возникают контактные напряжения. Зубья зубчатых и червячных
передач (рис. 10.9,6) при нагружении силой /'также подверг аю гея
6*
163
контактной деформации. Ролики фрикционных передач
(рис. 10.9,«). нагруженные силой F и вращающим моментом
Г, испытывают в зоне контакта сложную деформацию (под
действием нормальных и касательных сил) и рассчитываются
по условию контактной прочности.
Определение контактных напряжений для тел различной
конфигурации («контактная задача») рассматривается в теории
упругости. Выдающаяся роль в 1еоретической и практической
разработке вопросов контактной прочности принадлежит Г. Герцу
и профессору Ленинградского института железнодорожною транс-
порта Н. М. Беляеву. Рассмотрим кратко основные расчетные
формулы (без вывода) для не-
коюрых час I пых случаев кон-
тактного деформирования тел.
Контакт цилиндрических тел.
Пусть два упругих цилиндричес-
ких ролика радиусов г( и г2
соприкасаются по линии, совпа-
дающей с их образующими
(рис. 10.10). В идеальном случае,
когда сжимающая ролики сила
/•’=(), их контакт осуществляется
по линии. По мере увеличения
силы F поверхностные слои ро-
ликов деформирую 1ся, вследст-
вие чего образуется площадка
кон 1 акта в виде узкой по юсы
длиной / (равной длине образу-
Рис. 10.10 ющей ролика) и шириной а. При
164
равномерном распределении нагрузки F вдоль образующей / роли-
ка ширина площадки контакта
« = 2,26 /7 Г —[^(1-Ц5)+£2(1-р?)Ж^2). (10.19)
V I r,+r.
1де Ey и Е2 —модули упругости материалов роликов; щ,
р2 — коэффициенты Пуассона. Если оба цилиндра сделаны из
материалов с коэффициентами ц1=ц2 = 0,3, то
« = 2,156
IГ » ! r2 F-t + Е2
у / Г] + г2 Fi h2
(10.20)
Возникающие на площадке контакта нормальные напряжения
а распределяются по ее ширине а по эллиптической зависимости
(рис. 10.10), достигая наибольшего значения отах в точках оси
площадки (вдоль образующей):
1 Е г2уг2 Е,Е2 /шэп
Omax=— /j -- -----------77. (Ю.21)
х. лу I rtr2 £\(l-jq)+E2(l-n;)
если p,=p2 = 0,3, ю
°тах = он = 0.418 /Г(10.22)
\ I A,T E2 rir2
зависимость (10.22) обычно называют формулой Герца—Беляева.
Из формул (10.21) следует, что контактные напряжения о*
не являются линейной функцией сжимающей силы F, они
увеличиваются медленнее, чем сама сила F. Это происходит
потому, что с ростом силы увеличивается и площадка контакта
(ее ширина а). Расчет по формулам (10.19) (10.22) правомерен
лишь при условии, что ширина площадки контакта мала по
сравнению с радиусами кривизны соприкасающихся поверхностей
роликов. Если это допущение не выполняется (например, в со-
единении вал—втулка подшипника скольжения), го для расчетов
используют интегральное уравнение Штаермана **.
Проверку прочности материала роликов рекомендуется прово-
дить в наиболее опасной точке, расположенной на глубине, рав-
ной 0,4 а от центра площадки контакта. Наибольшее касательное
напряжение в опасной точке на основании формулы (10.10)
^тах ^,5 1 <Tjj~0,3 Отах,
где Ср о3 главные напряжения в этой точке.
* Обозначение <тн принято при расчете губчатых передач и указывает на
то, что исходные зависимости основаны на теории Г. Герца.
** См.: Гати Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.
М., 1980.
165
В соснветствии с четвертой (энергетической) теорией прочности
условие отсутствия предельного состояния материала в опасной
точке зоны контакта имеет вид
onp = 0.6oniJX

(10.23)
где [пн]—допускаемое контактное напряжение.
контакт сферических гел. При сжатии силами F двух упругих
шаров радиусов г, и г, (рис. 10.11. и) в зоне соприкасания
образуется площадка контакта в виде круга радиусом гк. Нормаль-
ные напряжения ст распределяются на площадке контакта по
закону эллипсоида. Эпюра напряжений показана на рис. 10.11,6.
Значения радиуса гк контура площадки контакта и наибольшего
напряжения о1Пах, действующего в ее центре (для стали ц.=
= р2 = 0.3):
(10.24)
Опасная точка в зоне контакта сферических тел расположена
на линии действия силы F на глубине, равной приблизительно
половине радиуса площадки контакта.
В механизмах приборов применяют опоры валиков «па
кернах» (рис. 10.11.в), в которых сферический конец ватика (керн)
опирается па вогнутый сферический подпятник. В ном случае
в формулах (10.24) необходимо вместо суммы г1+г2 поставить
разность г1—г2.
166
ГЛАВА 11
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ
Стержень, сжатый осевой силой, может изогнуться, сели сила превышает
некоторое критическое значение. Эю явление называется потерей устойчивости.
Как правило, возникновение продольного ияиба—аварийная ситуация, так как-
no сравнению со сжатием резко возрастают напряжения в сечениях стержня.
Исключение составляют лишь некоторые элементы измерительных и резулиру-
юших устройств, например биметаллическая пластинка термореле.
§ 11.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
V При осевом сжатии короткого стержня, длина которою
одного порядка с размерами поперечного сечения (рис. 11.1. о),
прочность его характеризуется значением возникающих в опасном
сечении напряжений сжатия асж. Когда зги напряжения достигают
предела текучести ог материала, то сжатый стержень утрачивает
свою работоспособность. Такие стержни рассчитывают по усло-
вию прочности
ст„=Мфсж]. (11.1)
где F- сжимающая сила; А — площадь сечения стержня; [осж] —
допускаемое напряжение, значение которого выбирают с учетом
необходимого запаса прочности.
Сжатие стержня, имеющего достаточно большую но сравнению
с его поперечными размерами длину (рис. 11.1,6), может сопро-
вождаться искривлением про дольной оси, в результате чего
возникает изгибающий момент и дополнительное напряжение
от иззиба. Такие стержни рассчитывают как но условию прочности
(11.1). так и по условию устойчивости.
Пусть стержень с шарнирными опорами (рис. 11.1,6) сжима-
ется силой F. До icx нор. пока сила F сравнительно мала, ось
стержня сохраняет первоначальную прямолинейную форму. Если
этот стержень отклонить в
а заюм силу, вызвавшую
отклонение, убрать, то
стержень вновь вернется
к своему исходному пря-
молинейному положе-
нию. Такое сое оянис
сжатого стержня принято
называ i ь ктойчивым.
Критическая сила.
Сжимающая стержень си-
ла F может быть посте-
пенно увеличена до зна-
чения, при котором лю-
бое, даже самое малое
Рис. 11.1
167
Рис. 11.2
форма стержня перестает бы
отклонение прямолинейного
стержня в сторону уже не исчеза-
ет стержень остается искрив-
ленным (рис. 11.1,в). В лом слу-
чае первоначальная прямолиней-
ная форма равновесия сжатого
С1ержня является неустойчивой.
Возникает новая устойчивая, но
уже искривленная форма стерж-
ня. Значение сжимающей силы
при ко юром прямолинейная
ть устойчивой, принято называть
критическим F*p, а деформацию стержня — продольным изгибом.
Критическая сила это наименьшая из сил, способных удержать
стержень в искривленном состоянии.
Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия опас-
на, поэтому сравнительно длинные стержни, подвергающиеся
продольному изгибу, должны рассчитываться как на прочность,
так и на устойчивость. Условие устойчивости запишется в виде
оу = /эЛ<а,1 (11.2)
где допускаемое напряжение [oy] = oKp//7y = Fltp;(/4/7y);
<\р = ^кР/Л (Н.З)
— критическое напряжение; А площадь поперечного сечения
стержня; п — коэффициент запаса, для стальных стержней п =
= 1,8... 3.
Формула Эйлера для определения критической силы. Задача
определения критической силы и критического напряжения в по-
перечном сечении стержня впервые была решена академиком
Петербургской академии паук Л. Эйлером (1707 1783).
Пусть стержень под действием сжимающей силы FKp (рис. 11.2)
находится в состоянии нейтрального равновесия, которое характе-
ризуется отклонением на величину у от первоначального положе-
ния. Дифференциальное уравнение изогнутой продольной оси
стержня тля малых деформаций в пределах упругости па
основании формулы (8.27) имеет вид
EJ
dS-
d.v2
м.
где M„=FKpy— изгибающий момент в сечении па расстоянии
х от шарнирно закрепленной опоры стержня; J—осевой момент
инерции поперечного сечения стержня; Е модуль упрут ости
материала стержня.
Решив эго уравнение, Эйлер вывел формулу для определения
критической силы:
FKp = n2£Jniin//2.
(11.4)
I6S
Соответс!вующее этой сипе критическое напряжение в попереч-
ном сечении стержня
= /•;„//! = П 2 Е Jmin/( А l2)=n2EiX\ (11.5)
где А и Jmin —площадь и минимальный момент_____инерции
поперечного сечения; E=Ei— гибкость стержня; i=v Лшп.'Л—ради-
ус инерции сечения.
Для гонких и длинных стержней критическое напряжение
может оказаться значительно меньше допускаемо! о напряжения
при сжатии [<\ж |. Например, для стального стержня круглою
сечения диаметром т/=4 мм и длиной /=200 мм при Е=2х
х105МПа и [осж]=150МПа получим: радиус инерции сечения
стержня /==v/4nt/4/(64nJ2)= 1 мм; гибкость стержня Х =
= ///=200; значение критического напряжения по формуле (11.5)
o4, = n2£/V = 49.3 МПа<[осж], г. е. в этих условиях стержень
разрушится о г потери устойчивое! и.
§ 11.2. ПРОВЕРКА СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Стержни, подвергающиеся продольному изгибу, рассчитывают
по условию прочности при сжатии (I l.l) и по условию устойчивос-
ти (II .2).
При прочих равных условиях значения критической силы или
критического напряжения, используемые в расчетах на устой-
чивость, зависят от способа закрепления концов стержня
(рис. 11.3, а— д).
Влияние способа закрепления концов стержня на его устойчи-
вость учитывают nyieM введения условной расчетной длины
Рис. 11.3
169
стержня lp = kvl, где к, коэффициент приведения длины, тогда
расчетная гибкость С1ержня, входящая в формулу Эйлера (11.5),
k = kyl!i. (11.6)
Коэффициент А показывает, какую расчетную длину шарнирно
опертого стержня нужно иметь для юго. чтобы значение £кр для
него равнялось критической силе для стержня длиной /, закреплен-
ного другим способом. Поясним это на примере стержня, один
конец которого жестко защемлен, а второй свободен и нагружен
осевой сжимающей силой F (рис. 11.3, д). Сравнивая схемы
деформаций стержней па рис. 11.3,д и а, можно заметить, что при
небольшом выпучивании изогнутая ось стержня, защемленного
одним концом, находится в тех же условиях, что и одна из частей
стержня с шарнирно закрепленными концами, но уже двойной
длины /р = 2/, Ау = 2. Значения коэффициента Ау для других
способов закрепления концов стержня приведены’на рис. 11.3.
Применение формулы Эйлера (11.5) для определения крити-
ческого напряжения правомерно лишь при условии, что деформа-
ция сжатого стержня в момент потери им устойчивости упругая,
т. е. когда напряжение сжр не превышает предела пропорци-
ональности оп для данного материала:
или я2Е/Х2 < сп. (11.7)
Из формулы (11.7) можно найти наименьшее (предельное)
значение гибкости стержня, при которой расчет на устойчивость
по формуле Эйлера дает достоверные результаты:
Xnp > v/72£/q„. (U.S)
Например, для стержня из стали СгЗ (предел пропорциональности
стп = 200 МПа, модуль упругости £=2-105МПа) предельная гиб-
кость по формуле (11.8)
лпр=ч/зГ14Т72-16*7200 = 100.
Если стержень обладает гибкостью меньше предельной, то
расчет его па устойчивость по формуле Эйлера вести нельзя.
Значение критического напряжения для таких стержней может
быть найдено по эмпирической формуле Ясинского
сжр=ц—A?v, (11.9)
где а и b - коэффициенты, зависящие от материала стержня;
например, для стержней из стали СтЗ при гибкости 40<7. < 100
« = 310 МПа, 6= 1,14 МПа.
Таким образом, в расчетах стержней па устойчивость важную
роль играет гибкость, определяемая по формуле (11.6). Из этого
положения вытекает практический вывод: для повышения устойчи-
вости сущееIвенное значение имеет форма поперечного сечения,
определяющая радиус инерции сечения стержня. Именно поэтому
170
наиболее часто применяются стержни кольцевого или коробчатою
сечений, у которых при меньшей площади сечения А момент
инерции сечения получается достаточно большим.
Пример 11.1. В качестве датчика темпсра!уры используется биметаллический
термоэлемент, состоящий из двух спаянных пластинок. Размеры пластинок
и механические свойства их материалов нриве гены в примере 7.2. Один конец
термоэлемента закреплен в приборе так. чго коэффициент приведения длины
ку = 2. В исходном состоянии ось термоэлемента прямолинейна. При изменении
темпсраз урн i ермо >ле.мсн i изгибается и переключает контакты реле.
Определи lb чувствительность да!чика. т. с. минимальное изменение темпе-
ратуры Дгжр, па которое он реагирует.
Решение. Вследствие различных температурных коэффициентов линейного
расширения материалов пластинок термоэлемент! в пластинке из .тазуни возникает
напряжение сжатия ст,= —1.18ДГ, МПа (см. пример 7.2).
При определенном значении Д/ = А/Жр напряжение ст2 превысит критическое
напряжение <\£1. определяемое по формуле (11.5), в результате чего термоэлемент
потеряет устойчивость и его ось изо!нстся, В тгом случае
| ст2 |= 1,18Д/,р=ст1[р=л2А';л2;
). = Ау/0.\. Jrnin:A = kflt>. v(2S)'Mf2-2b8)=2- 50; v 0,8'-3;( 12 0.8-3)=432.5;
<тжр=3,142-105;'432.52 = 5,26 МПа;
Д Тжр=стжр; 1,18 = 5.26 T. 18=4.5 С
Если требуется увеличить чувствительность термоэлемента, то наиболее
просто это с гелать. уменьшив размеры поперечного сечения пластин. А
ГЛАВА 12
ПЕРЕМЕННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ.
ВЫБОР ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Детали механических систем, работающие в условиях переменных напряжений,
могут «негапно разрушаться при напряжениях, которые значительно .меньше
допускаемых при статическом нагружении.
Фундаментальными исследованиями проблем прочности установлено, что при
переменных напряжениях в материале деталей возникают микротрешипы, которые
постепенно развиваются и значи гслыю ослабляют сечение детали. Это в конечном счете
приводи! к разрушению. На поверхности излома детали наблюдаются две ярко
выраженные зоны: гладкая — результат постепенного разви!ия трещины, и грубозернис-
та след внезапного разрушения. Такое явление называют уста гостью материала.
Полученные в предыдущих главах расчетные формулы пе учитываю! эффекта
концентрации напряжений, когда в местах резкого изменения конфигурации
летали напряжения существенно возрастают по сравнению с расчетными. Значения
действительных напряжений вычисляются в теории упругости или эксперимен-
тально. а в формулы сопромата вводятся соответствующие ко>ффициенты. Все
эти особенности учитываются при расчетах допускаемых напряжений.
§ 12.1. УСТАЛОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
При переменных напряжениях пределы текучести <т, и проч-
ности су„ уже пе достаточны для подпой характеристики сопротив-
ляемости .материала.
I7I
о61
Рис. 12.1
Дополни тельной харак герис ги-
кой свойств материала, определя-
ющей возможность воспринимать
мноюкратное действие переменных
напряжений без разрушения, явля-
ется предел выносливости <TR. Он
представляет собой наибольшее
значение переменного напряжения,
при котором материал детали не
разрушается, как бы пи было ве-
лико число циклов напряжений.
Циклы напряжений. Значение
предела выносливости для одного
и того же ма!ериала зависит от
ряда факторов, в частности от
закона изменения напряжений во
времени. Наиболее часто в деталях
механических систем напряжения
изменяются по циклическому закону, близкому к синусоидальному
(рис. 12.1, а).
Основные параметры цикла переменных напряжений:
o„jn- максимальное и минимальное напряжения цикла;
Gni = 0.5(cymax + o[ni ) — среднее напряжение цикла;
(Уа = 0.5 (отах — omin) — амплитуда напряжений цикла;
Ra = nmin/<5mils- козффициепт асимметрии цикла напряжений
(характеристика цикла).
На практике встречаются обычно два вида циклов переменных
напряжений:
отну левой цикл (рис. 12.1,6), параметры которого сП1ах = а;
amin= 0: пт = суо = 0.5су; Ло=(); предел выносливости для эюго
цикла обозначается Oq. где индекс отображает значение характе-
ристики цикла (Лп = 0);
симметричный цикл (рис. 12.1. я), для которого птах = с;
cyniin=—с: пт = Ф п0 = и: Rn= — 1- Такой цикл напряжений
наблюдается, например, при вращении вала, подвергающегося
изгибу какой-либо неподвижной нагрузкой. В его поперечном
сечении в одних и тех же продольных волокнах действуют то
сжимающие, то растягивающие напряжения. Предел выносливости
при симметричном цикле (но аналогии с огнулевым циклом)
обозначается о При прочих равных условиях симметричный
цикл наиболее опасен.
Предел выносливости материалов. Предел выносливости оттого
и того же материала зависит от вида информации: изгиб,
растяжение (сжатие), кручение. Для каждого вида деформации
его определяют жсперименталыю в условиях действия перемен-
ных напряжений (по отнулевому или симметричному циклу).
При испытаниях каждому уровню максимальных напряжений
172
соотвеютвует определенное
число циклов напряжений, по
достижении которого образец
разрушается. Наибольшее из
таких максимальных напряже-
ний. при котором с заданной
вероятностью неразрушения
образец или деталь может
выдержать практически неог-
раниченное число циклов Л\
принимают за предел выносли-
вости.
Рассмотрим, как определя-
ется предел выносливости при
изгибе серии образцов из ста-
ли в условиях симметричного
цикла напряжений. Образец (валик) / помещают в испытательную
машину (рис. 12.2, а) и через подшипник 2 нагружают сизой
Е так. чтобы получить наибольшее напряжение, равное примерно
0,6пв материала. Затем включают двигатель 3. валик вращается,
подвергаясь деформации изгиба при переменных напряжениях.
и при достижении некоторого значения числа циклов разрушается.
Число оборотов образца за время испытаний до его разрушения
представляет собой число циклов нагружения Л',-.
Испытывая другие образцы этой серии, значение силы F по-
степенно снижают, при этом растет число циклов Л',, необходимое
для их излома. Далее строят графическую зависимость между
напряжением стах и числом циклов /V,-— кривую выносливости
(рис. 12.2.6). Кривая асимптотически приближается к горизон-
1али. Если образец выдержал Л'о = 107 циклов, го считается, что
он может выдержать теоретически неограниченное число циклов
на1ружений. Число циклов No называют базовым: соответст-
вующее ему максимальное значение переменного напряжения
Q-! представляет собой предел выносливости при симметричном
цикле. Для закаленной стали принимают ^,= 108.
Многочисленные испытания на усталоеib образцов из раз-
личных материалов при разных деформациях показали, что
значение пределов выносливости зависит от предела прочности
(временного сопротивления) су„ материала при растяжении. Напри-
мер. для среднеуглеродистой стали при различных видах деформа-
ций пределы выносливости могул быть определены по следующим
эмпирическим зависимостям:
Отнучевой цикл Симметричный цикл
Растяжение
(сжатие) ... сто = 0.52ст, а ,=0,36а.
Изгиб ...... ао=0,6ств ст_|=0.43ст.
Кручение го=0.32ст, т_1=0.22а,в
173
Для образцов из цветных металлов кривая выносливости
(рис. 12.2,6) может иметь асимптотой ось циклов Л'. Это
означает, что при определенном (хотя и большом) числе циклов
N предел выносливости образца становится равным пулю.
Учитывая это. для цветных металлов вводится понятие условного
предела выносливости, значение которого определяется при
заданном числе циклов Л’у.
§ 12.2. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
Ранее при рассмотрении деформаций тел на основании
соответствующих допущений для каждого вида деформации
получался определенный закон распределения напряжений по
поперечному сечению. Например, при растяжении и сжа1ии это
распределение равномерное, при изгибе и кручении линейное.
Значения напряжений, определяемые по приведенным выше рас-
четным формулам сопротивления материалов для каждого вида
деформаций, принято называть номинальными.
В действительности закон распределения напряжений по
поперечному сечению детали может отличаться от номинального.
Особенно большие отклонения от поминального распределения
наблюдаются вблизи точек приложения сосредоточенных сил
и всевозможных конструктивных особенностей деталей—выточек,
отверстий, переходов от одного размера сечения к другому
и г. д. Эти и другие причины порождают так называемые
местные напряжения, значения которых могут значительно
превыша гь поминальные напряжения.
Так, например, при осевом растяжении силами F пластинки
(рис. 12.3. а) возникающие в сечении т — п нормальные напряже-
ния распределяются равномерно. Если в пластинке есть отверстие
или выточка (рис. 12.3, б, в), го распределение напряжений измепя-
174
сгся: у краев отверстия и выточки местные напряжения значи-
тельно возрастают, достш ая наибольшего значения стах; это
явление распространяется лишь на малую часть сечения. Подоб-
ная картина наблюдается и при других деформациях. На
рис. 12.3, г. о показаны эпюры напряжений при изгибе гладкого
и ступенчатого валиков, на которых видно заме!ное увеличение
нормальных напряжений сутах вследствие резкого изменения
размеров сечения валика.
Возникновение более высоких местных напряжений птах, ттах
по сравнению с похтналытыми сун, тн называют концентрацией
напряжений, а причины, порождающие их (отверстия, выточки
и др.), концентраторами напряжений. Количественной мерой
концентрации напряжений служит эффективный коэффициент кон-
центрации соответственно нормальных и касательных напряжений:
А'о = СУтах/су11; Кт = ттах/тн. (12.1)
Известны два основных метода определения значений коэф-
фициентов концентрации напряжений: теоретический и экспери-
ментальный. Суть теоретического метода состоит в использовании
теории упругости для определения напряжений в любой точке
сечения детали, на любой проходящей через нее площадке.
Разделив найденное таким пуюм значение наибольшего напря-
жения на номинальное, получают теоретический коэффициент
концентрации напряжений. Теоретический коэффициент концентра-
ции напряжений не учитывает различную чувствительность мате-
риалов к наличию концентраторов, являющихся в конечном
счете причиной возникновения трещин и разрушения, поэтому
он иолучаеюя выше экспериментального.
Экспериментальный метод основан на проведении испытаний
специальных моделей или образцов, которые подвергают соответ-
ствующей деформации (например, изгибу, кручению). Один из
образцов делают гладким, без каких-либо концентраторов напря-
жений. а второй с заданным концентратором (выточкой, гал-
телью или др.). Определив опытным путем пределы прочности
или выносливости образцов из одного и того же материала
с различными конценграгорами и без них. получают значения
так называемою эффективного коэффициента концентрации на-
пряжений. Детали механических систем, как правило, подверга-
ются деформациям при переменных напряжениях, поэтому при
симметричном цикле
/Со = су_1/(о J,; X>r_i/(i: Jx, (12.2)
при отпулевом цикле
где су_,, су0; т_,, т0--пределы выносливости образцов при
нормальных и касательных напряжениях без концентраторов
175
1,5
^6>кт
I
напряжений; (o_,)K, (c0)t; (т.^. (т)Ок— то
же, но для определенного вида концент-
ратора напряжений.
При расчетах предпочтение отдается
эффективным коэффициентам концентра-
ции (Кп, Кх), полученным эксперимен-
тальным путем. Их значение зависит
оз многих факторов, но наиболее су-
щественным является радиус закругле-
0 2 0 3 ~p]d ,,ия в концентраторе (резкость изменения
' формы детали). Ес in. например, переход
Рнс- ,2-4 (ступень) от одного диаметра валика
к другому сделан резко, под прямым углом (рис. 12.3, г)), то
значение коэффициента концентрации наибольшее, при плавном
закруглении перехода талтелью оно снижается. На рис. 12.4
приведены графики изменения эффективных коэффициентов кон-
центрации Ка, Кх для валика с галтелью радиуса р при
cooiношении = 1,25. Для других деталей и концентраторов
напряжений значения Кп и Кх приведены в справо той литера гуре.
При копструировашти деталей механических систем стремятся
снизить влияние концентрации напряжений путем применения плавных
переходов и закруглений, устранения чрезмерной разности в жесткости
сопря1аемых частей, снижения шероховатости поверхностей и др.
§ 12.3. РАСЧЕТ ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
▼ При расчете и конструировании элементов механических систем
и конструкций стремятся обеспечить требуемую надежность
и долговечность в сочетании с экономичностью, минимальными
массой и габаритами. Это достигается комплексным подходом
к проек ировапию (выбору расчетной схемы, определению нагру-
зок, подбору материалов и др.), важнейший компонент которого
установление оптимальных значений допускаемых напряжений.
В инженерной практике применяют два метода определения
допускаемых напряжений: табличный и анали i ический.
Табличный метод. Этот метод — приближенный (ориентировоч-
ный). Суть его состоит в том, что для определенных материалов
и группы деталей со сходными условиями работы опытным
(статическим) путем составляют таблицы допускаемых напря-
жений. При проектировании новых деталей используют таблицы
допускаемых напряжений для подобных деталей.
Расчетный метод. Он разработан советскими учеными и те-
оретически учитывает рял специфических особенностей в работе
материала деталей, влияющих на прочность и надежность.
В общем случае допускаемые нормальные и касательные напряже-
ния могут быть найдены по формулам
I76
И = <7ПредОК<ЛТ«0); (12‘4)
где супрел, ^прсд- предельные напряжения, значения которых зависят
or материала (сгаль, цветные металлы и т. д.) и вида напряженного
состояния; Км — масштабный коэффициент, учитывающий влияние
на прочность размеров детали*; Ао, Кх— коэффициенты концентра-
ции напряжений (см. § 12.2); А,— технологический коэффициент; я„,
л,—запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям.
Рассмотрим входящие в формулу (12.4) величины подробнее.
В качестве предельных напряжений (супред, тпрся) принимают одну
из .механических характеристик материала: в случае статического
действия на!рузки (или при постоянных напряжениях) для
пластичных материалов (сталь, ряд сплавов)— предел текучести
су,, тт, а для хрупких —предел прочности су„, тв. При действии
переменных напряжений при пульсирующем или симметричном
цикле в качестве предельного напряжения принимают предел
выносливости соо1ве1ствующего цикла, т. е. су(). т0 или ст_,. t_j.
Ранее отмечалось, что значения механических характеристик,
принимаемых в качестве предельных напряжений, для одного
и того же материала зависят от вида деформации. Например,
для постоянных напряжений при деформации изгиба принимают
опрсц=1,2от. а при кручении тпрса = О,7сут, где стт - предел теку-
чести при растяжении. Ориентировочные cooi ношения механи-
ческих характеристик при переменных напряжениях приведены
в § 12.2.
Необходимость учета масштабного коэффициента Км обу-
словлена следующим. При опытном определении предела выно-
сливости установлено, что с увеличением диаметра образца от
7 до 70 мм предел выносливости снижается на 30.„40%. Это
объясняется тем, что в сечении крупных образцов увеличивается
вероятноеib неоднородности структуры материала из-за различ-
ных включений типа газовых пузырей и других, снижающих
прочность. Кроме того, у образцов большого диаметра более
благоприятны условия для развития усталостных трещин, так
как градиент изменения напряжений при изгибе мспыний, чем
у образцов малого диаметра. Масштабный коэффициент
Ам = (о-i)d.(cy Jo, (I2-5)
где (су Jd- предел выносливости образца заданного диаметра
d; (су_Jo — предел выносливости образца диаметром с/=7 мм.
Для деталей точной механики с небольшими размерами
поперечных сечений (с/<20 мм) можно принимать Ам=0,9... 1.
Технологический коэффициент Ат учитывает влияние качества
механической обработки поверхностей деталей на их прочность.
* Строго говоря, значения Ки при циклических Hai ручках для нормальных
и касательных напряжений различны.
177
Для шлифованных поверхностен принимают Kr— 1... 1,05; для
грубообработанных К^ — 1,5... 1,8. Применением химико-термичес-
кой обработки поверхностей (цементации, закалки и др.) или
упрочнением путем наклепа технологический коэффициент может
быть заметно снижен: даже до значений Лт<1.
Введение в расчет запасов прочности н„, «т связано с невоз-
можностью точного учета многочисленных факторов, влияющих
на прочность и надежность. Это и приближенность выбора
расчетной схемы нагружения деталей и напряженного состояния,
отклонения механических свойств материала и технологии обрабо-
тки от нормативных и многое другое. Часто запас прочности
определяется как произведение сомножителей ип t = n1/72n3, каждый
из которых отражает определенное отклонение расчетной сово-
купности характеристик и факторов от действительной: nt — учи-
тывает неточности в выборе расчетной схемы нагрузок, особенно
динамических, и напряженного состояния (и, = 1,1... 1,5); п2 по-
правка на отклонения принимаемых в расчете на прочность
механических характеристик материалов от действительных (п =
= 1,1... 1,2); п3 —учитывает степень ответственности детали и ее
влияние на общую надежность работы механизмов (и3=1...3).
Таким образом, значения запасов прочности могут колебаться
в значительном диапазоне (1.2...5 и более). В случае необхо-
димости достоверные их значения определяются на основании
натурных испытаний деталей и ти путем моделирования.
Пример 12.1. Опреде тить допускаемое напряжение для ступенчатого валика
пере даточного механизма, подвергающегося деформации изтиба. если дано:
диаметр валика d= 14 мм, предел прочности материала ств = 6()0 МПа. В материале
валика возникают переменные напряжения, изменяющиеся по симметричному
циклу.
Решение. Допускаемое напряжение определим по формуле (12.4). Примем:
предел выносливости ст 1=0.43 сто=0,43-600 = 258 МПа (см. § 12.2); масштабный
коэффициент (см. §12.2) для d-14 мм Л'м=0.9; коэффициент концентрации
напряжений К„=1.3; технологический коэффициент Л, = 1.0; запас прочности
и„ = П|П,н3 = 1.3-1.1 1.8 = 2.6. В этом случае [о„1 = а (Л'„К1ия) = 258-0.9,’(1.3х
х 1 2.6] = 69 МПа.
Следовательно, при расчетах данною валика на пзтиб напряжения не должны
превышать 69 МПа.
В заключение отметим, что в инженерной практике при
конструировании ответственных механизмов и приборов возникает
необходимость более точного расчета их деталей па прочность
и жесткость. В этом случае могут быть использованы методы
расчета по предельным состояниям, по действительным запасам
прочности и по предельным состояниям, по действительным
запасам прочности и др. Некоторые специфические особенности
расчета конкретных деталей механических систем рассматри-
ваю гея в последующих главах. Л
178
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ
ГЛАВА 13
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Цель проектирования любого устройства -создание эффективной и надежной
системы, выполняющей все заданные функции. В процессе проектирования делают
необходимые расчеты (кинематические, динамические, на прочность и жесткость, на
и зное, т ехнико-экономические и др.), разрабатывают чертежи и технологию
производства, изготовляют и испытывают макеты и натурные обратны. В частности,
при испытаниях на надежность уточняются основные ее параметры: вероятность
безотказной работы в течение заданного времени, интенсивность отказов.
Надежность и зкономичность проектируемо!о устройства во многом зависят’
от правильного выбора материала деталей; при этом учитываются прочностные
характеристики, стоимость. износостойкость, технологичность и друтис свойства.
Все более широкое применение комгиничнаипых материале обусловлено тем,
чго их свойства можно ретулировать путем выбора компонентов армирующих
волокон и наполнителя. Некоторые сплавы обладают памятью; деформированная
деталь из такою сплава после назрела восстанавливает первоначальную форму.
Изменяя температуру, можно управлять копфитурацией .деталей.
Все ра змсры деталей выполняются не абсолютно точно по номиналу; более тот о,
если действительные размеры всех звеньев и их деталей были бы равны номинальным,
го такой механизм не будет работать. Точность изготовления деталей регламентируется
системой допусков и посадок. На работоспособность механических устройств оказывает’
влияние нс только точность изготовления, но и шероховатость поверхностей детали.
В процессе эксплуатации элементы кинематических пар. а также и неподвижные
соединения, изнашиваются: соответственно изменяются условия работы и дейст-
вующие силы. Интенсивность износа зависит от его вида (коррозионный,
абразивный и нр.), от материалов деталей, смазки и ряда других факторов.
§ 13.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Проектирование современных электромеханических систем
комплексная научно-техническая и экономическая задача, при
решении которой необходимо учитывать многолетний опыт
изготовления и эксплуатации подобных систем в СССР и за
рубежом. Проектом какого-либо механизма, прибора или машины
(в общем случае изделия) принято называть совокупность
гехнико-экопомических расчетов, схем, чертежей и других конст-
рукторских документов, которые содержат данные об устройстве
и принципе действия изделия, основных параметрах кинематики
и динамики, надежности, эффективности и экономичности, а также
указания но технологии изготовления, сборке и испытаниям.
179
Этапы проектирования. Система проектирования предусматри-
вает следующие стадии разработки проекта: техническое задание,
техническое предложение, эскизный и технический проекты, раз-
работку рабочей документации.
Техническое задание обычно составляется заказчиком с целью опре-
делить основное назначение разрабатываемого изделия, его технико-
экономические характеристики и требования (скорость, производитель-
ность. специфические особенности работы будущего издания и др.).
В техническом задании могут быть предусмотрены требования к тех-
нологии изгот втения. автоматизации регулирования и управления,
технике безопасности, эстетике и эргономике. В задании намечается
порядок проектирования и состав конструкторской документации.
Техническое предложение представляет собой совокупность кон-
структорских документов, содержащих гехнико-экономическое обо-
снование выбора варианта построения проектируемой системы. С этой
целью разрабатывают несколько вариантов решения поставленной
в техническом задании задачи, проводят их анализ и сравнительную
оценку с учетом существующих подобных изделий, а также патентных
материалов. Важный элемент этой стадии проектирования выбор
структурных схем переда точных механизмов, что определяет как
основные свойства, так и надежность проектируемой системы.
Техническое предложение после согласования и утверждения является
основанием для последующего проектирования.
В эскизном проекте разрабатываются принципиальные конст-
рукторские решения принятого варианта, дающие общее пред-
ставление об устройстве и принципе действия системы, а также
проводятся расчеты основных параметров и размеров. В сложных
и ответственных случаях разрабатываются макеты и модели
отдельных узлов проектируемой системы для экспериментальной
их проверки и отработки.
Технический проект наиболее ответственная часть проектиро-
вания, в которой даются окончательные технические и конструк-
торские решения. Графическая часть технического проекта состоит из
чертежей общего вида, сборочных и монтажных чертежей, схем
и спецификаций, которые служат основанием для разработки рабочей
конструкторской документации. В необходимых случаях изтотселя-
ются и испытываются макеты и модели отдельных узлов.
Расчетно-пояснительная записка к проекту должна содержать
необходимые расчеты по кинематике и динамике системы, расчеты
на прочность, надежность и точность взаимодействия деталей
и узлов.
Рабочая документация включает все необходимые для изготов-
ления и испытания опытного образца (или опытной партии)
изделий, выпуска установочной серии или организации серийного
производства. Для сокращения сроков проектирования допуска-
ется совмещать стадию технического предложения со стадиями
эскизного и технического проектов.
180
Все виды конструкторских документов чертежи, схемы, рас-
четно-пояснительные записки, спецификации и др,— регламенти-
руются ГОСТ 2.102 68...2.109 —73. а правила учета и хранения
проектной документации, дублирования, внесения в нее необхо-
димых изменений ГОСТ 2.501 68...2.503 74. Качеству про-
ектной документации уделяе!ся большое внимание, так как oi этот о
зависят качество самого изделия, стоимость и сроки ияотовления.
Выбор того или иного вида механизма зависит от предъявляемых
требований, к которым относя гея: надежность и долговечное! ь
элементов механизма; простога конструкции, ее компактность; малое
сопротивление движению, особенно во время пуска; наименьшая
инерционность (быстродействие механизма); бесшумность; техноло-
гичность и унификация деталей, а также снижение стоимости.
Сравниib соответствие отдельных видов передаточных меха-
низмов этим требованиям в первом приближении можно с по-
мощью табл. 13.1. Из таблицы, например, следует, что при
необходимости реализовать большое передаточное число с по-
мощью наименьшего числа звеньев предпочтительнее применить
червячную передачу. В других подобных случаях может быть
применена планетарная зубчатая передача, которая позволяет
реализовать передаточное чисто порядка 1000 и более.
Таблица 13.1. Ориентировочные значения основных xapaKicpiicniK механических
передач вращательного движения
Виды перс там Передаточное число «• кпд при по- минальной ши рузке Относм- гсльныс раз- меры ** Огпосм- тельпая стои- мость**
часто вс।рсча- юшсеся наиболь- шее
Цилиндрические >убч«п ые: прямозубые 3...5 10... 12 0 90 0.98 1 1
косозубыс Конические зубчатые 4...7 2...4 12... 15 5... 10 0.88... 0.94 1,2 1,3
Винтовые зубчатые I...4 8... 10 0.75..0,9 1,4 1.3
Червячные: однозаходныс самотормо- 1ЯЩИС однозахо;щыс веса мотор- МОЗ Я1 цис 30... 100 30...60 5s 300 До 300 <0,5 0.5 ...0.7 0.5 од
лвухзаходиые мио! озаходныс Ременные: и лоскоремс! < пые 15..40 10...20 2...4 50...60 30...40 5...7 0.7...0.8 0.80...0.90 0.80...0.95 0,6
к ли переменные 3...6 8... 10 0.90... 0.95 2...7 0.7
кру г лоре мен ныс 2...3 6 0,8...0,9 1-1,5 0.5
Фрикционные 2...4 8... 10 0.75...0.90 0.7
* См. формулу (2.7).
** Относительные размеры и стоимость иерсчач сопоставимы при одинаковых
передаточных числах и силовых нагрузках.
181
Принципы конструирования. При проектировании механизмов
необходимо соблюдать следующие основные принципы: техноло-
гичность. наиболее короткую кинематическую цепь, компактность,
статическую определимость.
Понятие технологичности включает обеспечение минимальной
трудоемкости изготовления и сборки, меньшей себестоимости
и материалоемкости и др. Увеличением iехноло!ичноети деталей,
узлов и конструкции в целом дос!игае!ся существенное удешевле-
ние проектируемой системы. Предусмотрены следующие виды
техноло!ичноети: производственная, эксплуатационная, при техни-
ческом обслуживании и ремонте, технологичность заготовки,
детали и сборочной единицы. При проектировании изделия
учитываю! все указанные аспекты iехнологичноети. Количествен-
ные показатели произволе! венной технологичности отдельной
детали—трудоемкость изготовления и коэффициент использова-
ния материала А.и = «7д.>л3. где тл и т3 соответственно массы
готовой детали и заготовки. Чтобы повысить технологичность,
иногда целесообразно расчленить труднообрабатываемые сложные
детали на ряд простых по конфигурации, соединяемых затем
сваркой, запрессовкой и друтими методами.
При прочих равных условиях конструкция тем точней, чем выше
производственная tcxhojioi ичпость. В качестве примера сравним
технологичное 1 ь вращательной кинема! и ческой пары и кулачково-
го механизма. Первую составляют две детали (см. рис. 1.10, а),
которые просто и точно обрабатываются. Основная же деталь
второго механизма кулачок 1 (см. рис. 1.7) одна из наименее
технологичных. Поэтому ошибка кулачковых механизмов на
порядок выше ошибки рычажных (см. рис. 1.1... 1.3), все кинемати-
ческие пары которых выполнены по типу пары рис. l.lO.a.
Второй принцип конструирования— наиболее короткой кинема-
тической цепи— требует минимального числа кинематических пар
и звеньев механизма для выполнения заданных функций меха-
низма. Например, механизм винт-гайка по схеме па рис. 13.1, а
предпочтительней механизма па рис. 13.1,6, 1ак как последний
имеет больше элементов и поэтому дает большую ошибку.
Принцип компактности часто выражает эргономические тре-
бования. Так, при проект ировапии цилиндрической зубчатой
передачи с передаточным числом //=15 целесообразно применять
двухступенчатую передачу (например. ut = 3 и и2 — 5). Это позво-
ляет уменьши гь тобариты по сравнению с одноступенчатой
передачей почти в 2 раза. Но при такой конструкции нарушается
принцип наиболее короткой кинематической цепи. Окончательное
решение всегда компромиссно.
Принцип статической определимости требует наложения мини-
мального числа связей, так как наличие избыточных (или
пассивных) связей (см. § 1.3) приводит к возникновению деформа-
ции и снижению точности системы.
Техническое совершенство машины или прибора определяется
технико-эксплуа рационными параметрами (производительностью,
энергоемкостью, материалоемкостью и др.), надежностью, а также
рядом технических и экономических факторов (унификация и стан-
дартизация. патентоспособность, эстетический и эргономический
уровень и ряд других). Недостаточное внимание к этим требова-
ниям неизбежно приводит к снижению качества и экономичноеги
создаваемых изделий.
Стандартизация одно из эффективных средств ускорения
технического прот ресса, повышения производительности труда
и улучшения качества изделий. Каждая новая машина, прибор,
в том числе и находящиеся на уровне изобретения, должны
иметь максимум стандартных и унифицированных элементов,
проверенных па практике и надежных в эксплуатации. В приборо-
и машиностроении применяются государственные общесоюзные
стандарты (ГОСТы), отраслевые стандарты и нормали, а также
нормы предприятий.
Оценить уровень стандартизации изделия можно с помощью
коэффициента
КСТ=(ЕС+ ЕУ + ЕЗ+Е77) ЕД,
где ЕС, ЕУ, ЕЗ. Е/7 соответственно число типов стандартных,
унифицированных, заимствованных и покупных деталей и узлов:
ЕД общее число типов деталей и узлов в изделии*. Уровень
стандартизации изделия тем выше, чем ближе коэффициенз К„
к единице.
Патентоспособность. В настоящее время все более возрастает
значение патентоспособности изделия. При проработке техни-
ческого предложения и па дальнейших этапах проектирования
проводится патентный поиск, который заключается в просмотре
всех патентных материалов СССР и других высокоразвитых
стран по данной тематике за период 30...50 лет. Во время
патентного поиска выявляются прогрессивные технические реше-
ния для возможного использования в проектируемом устройстве.
Попутно рассматриваются вопросы о целесообразности закупки
лицензий по зарубежным патентам. Патентные материалы по-
могают решить вопрос о том, является ли проектируемое изделие
(или какие-либо его части) изобретением.
При расчетах крепежные детали (винты, болты, гайки и пр.) не учитывают'.
183
В гом случае, когда проектируемое изделие предполагает
экспортировать, наряду с погснюспособносгью важное значение
имеет патентная чисто г а. В патентно чистом изделии не должно
быть технических решений, которые защищены патентами в стра-
не-импортере. при необходимости использования зарубежных
изобретений закупаются лицензии.
§ 13.2. НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Проблема надежности — одна из важнейших в машинно-
и приборостроении. Постоянное усложнение механических систем
ЭВМ и автоматики сопровождается одновременным повышением
требований к надежности отдельных узлов и деталей. Кроме того,
при конструировании сложных электромеханических устройств
ставится и решается задача создания систем повышенной надеж-
ности при максимальном использовании типовых и стандартных
элементов. Понятие надежности комплексное, оно учитывает все
этапы эксплуатации изделия, в том числе подналадку, хранение,
транспортирование и профилактические мероприятия.
Надежность это свойство изделия выполнять свои функции,
сохраняя эксплуатационные показатели в заданных пределах
в течение требуемого промежутка времени или требуемой на-
работки. Надежность включает такие понятия, как безотказность,
ремонтопригодность, сохраняемость, а также долговечность сос-
тавляющих изделие частей. Этими свойствами во многом опреде-
ляется эффективность действия любой электромеханической систе-
мы. ее техническое совершенство и экономичность.
В теории надежности отказом называется событие, в результа-
те которого происходит нарушение работоспособности механизма
или прибора. Основной показатель надежности—вероятность
безотказной работы p(i) в пре телах данного о i резка времени
t или требуемой наработки. Если, например, вероятность безот-
казной работы прибора в течение г=Ю4 ч составляет р(/) = 0,92.
то это означает, что в среднем за время / из ста приборов
восемь выйдут из строя, т. е. откажут из-за каких-либо повреж-
дений, нарушений регулировок и других причин.
Ремонтопригодность это приспособленность системы к пре-
дупреждению, обнаружению и устранению отказов и неисправнос-
тей. Ремотпопрш одност ь характеризуется или средним временем
вынужденного простоя для профилактики, отыскания места отказа
и его устранения, или вероятностью выполнения необходимого
ремонта в заданное время. Высокая степень ремонтопригодности
может быть достигнута при использовании в конструкциях легко
заменяемых блочных элементов и узлов.
Сохраняемостью называют свойство системы находиться в ис-
правном состоянии в течение срока хранения и при транспорти-
ровании. Ухудшение или изменение свойств и параметров отдель-
184
них элементов системы может про-
исходи! ь в результате старения
и ряда случайных причин. В ме-
хапи мах с объективно .малым ко-
эффициентом рабочего использова-
ния свойство сохраняемости имеет
особо важное значение.
Долговечностью называется
свойство сохранять работоспособ-
ность до предельного состояния
с необходимыми перерывами для
профилактических мероприятий и ремонтов. Количественный пока-
затель долговечности ресурс, или срок службы, т. е. время от
начала эксплуатации системы до момента ее технической непри-
годности вследствие износа и старения. Чем больше срок службы
составляющих систему элементов, тем выше ее долговечность.
Безотказность работы системы Рассмотрим один из основных
критериев надежности подробнее. Возникновение отказов и рас-
пределение времени между соседними отказами имеют случайный
характер, поэтому при расчете количественных показателей безот-
казности используют законы теории вероятностей и математиче-
ской статистики. Частоту отказов принято характеризовать интен-
сивен тью отказов a(z), которая определяется как вероятность
отказа в единицу времени. Параметр л(/) равен отношению числа
отказавших изделий за некоторый достаточно малый промежуток
времени Л/ к числу рабоювших в начале этого периода*.
Обработка экспериментальных данных об отказах механиче-
ских систем (в зом числе систем автоматики и ЭВМ) позволила
выявить наиболее характерную качественную картину зависимости
интенсивности отказов от времени (рис. 13.2). В начальный
период z, интенсивность отказов высокая, что обусловлено
приработкой элементов; постепенно значение X(z) снижаезся до
и сшбилизируется. Для некоторых типов систем в период
г, максимум не наблюдается (штриховая линия на рис. 13.2).
В течение основного рабочего периода t2 интенсивность отказов
л(/) = Х0 практически постоянна. В третьей фазе z3 работы
изделия интенсивность отказов быстро растет вследствие износа
отдельных элементов. В начале периода z3 вся система или
отдельные лимитирующие ее работоспособность элементы долж-
ны быть заменены новыми либо отремонтированы.
Для расчетов надежности электромеханических систем в тече-
ние основного рабочего периода в первом приближении использу-
ется хороню согласующийся с опыт ными данными экспоненциаль-
ный закон распределения времени между отказами, который
* Точнее, л(<)
предел -и ого oi ношения при Д/->0.
185
характеризуется постоянной интенсивностью отказов Х(/). Для
начального периода работы системы более достоверным может
оказаться нормальный закон распределения вероятности. Основ-
ные количественные показатели экспоненциального закона распре-
деления вероятность безотказной работы p(t) и среднее время
наработки па отказ t,„ определяются по формулам
р(т)-ехр -fX(/)d/ =ехр( — Хо/);
о
г„= f ехр(—X/)d/ = Xo
о
(13.1)
Используемые в автоматике и ЭВМ электромеханические
системы состоят из элементов (двигателей, передаточных механиз-
мов, муфт, опор и др.), которые соединяются меж чу собой
последовательным, параллельным или смешанным способами.
Опы тные значения интенсивности отказов л() часто встречающихся
элементов механических систем приведены в табл. 13.2. Так как
большинство количественных показателей надежности получают
в лабораторных условиях, то для приближения к реальным
условиям работы в расчет вводят поправочный коэффициент
интенсивности отказов А\, ориентировочные значения которого
для различных условий эксплуатации следующие:
Таблица 13.2. Итенсивиосгь отказов X,, элементов механических передач, 10s ч
Наименование Средняя Наименьшая Наибольшая
Двигатели:
асинхронные 0.860 0.450 1,120
постоянного тока 0.936 0.500 1.310
Передачи:
зубчатые одност у пен ча гые 0.012 0.001 0,020
червячные и зубчатые .многоступенчатые 0,090 0.080 0.600
ременные 0,380 0,014 1.500
Червячные редукторы 0.020 0,011 0.036
Коробки передач 0.068 0.005 0,430
Дифференциальные механизмы 0.040 0.012 0.168
Корпус редукторов 0.020 0.010 0,040
Подшипники качения 0.050 0,002 0,100
Подшипники скольжения 0.020 0,001 0,040
Валы и оси Муф гы: 0.035 0,015 0,062
разные 0.040 0,006 0,110
упругие 0.070 0,003 0,135
фрикционные пре. (охранительные 0.030 0.007 0,090
тлсктромагни i ныс 0.060 0,045 0,093
Аморти шторы 0,010 0.030 0,320
11ружпны 0.010 0.004 0.022
186
Лабораторные и блат отстроенные помеще-
ния ............................. I
Стационарные наземные устройства .....К)
Аппаратура смонтирована в:
защищенных отсеках кораблей..... 17
автомобилях ...................... 25
железнодорожных ватинах, локомоти-
вах ............................. 30
самолетах ...................... 120... 150
ракетах .......................... 900... 1000
Расчетное значение параметра к связано с табличным значе-
нием л() зависимостью
Х = А-До-
Пользуясь этими данными, с помощью формул (13.1) можно
определить вероятность безотказной работы ру(г) каждого элемен-
та /. а затем сравнить падежное!и нескольких вариантов проекти-
руемой системы. Вероятность безотказной работы всей системы
при последовательном соединении т независимых элементов
т
/Ъ(')=7Л - Рп,(>)= П (13.2)
г = 1
Для экспоненциального закона формула (13.2) после подста-
новки значений pj{t) имеет ви т
т т
Pv(/)= П р,-(/) = П ехр( —Х7-/) = ехр( —?vL/), (13.3)
7=1 7=1
где Xl = LX,7— интенсивность отказов всей сисюмы.
При наличии в системе или отдельном ее узле т параллельно
соединенных резервирующих элементов вероятность безотказной
paooibi
т
/,(/)=!- П [1-дМ
j= 1
Например, если в системе предусмотрены два независимых
привода к рабочему органу, каждый из которых имеет /;? = 0,9.
то вероятность безотказной работы всей системы становится
равной /,(;)= 1—0,12 = 0,99, т. е. резко возрастает. Подобное
резервирование, усложняющее систему, должно иметь технико-
экономическое обоснование.
Пример 13.1. Ориентировочно рассчитать, какой процент радиолокаторов вый-
дет из строя в течение 500 ч работы ит-за отказа привода азимутальною
вращения, схема которого приведена на рис. 13.3. Радиолокаюры работают
в стационарных наземных условиях.
Решение. Радиолока юр приводится во вращение двумя независимыми механиз-
мами: поиск осуществляется с помощью привода /-2-3-7, а при слежении включаются
оба двигателя, их вращение преобразуется редукторами.? ибн дифференциалом 7.
187
Рис. 13.3
Выход из строя любого эле-
мента вызывает потерю нормаль-
ной работоспособности всей систе-
мы. Значит, при расчете надежности
все семь элементов считаются со-
единенными последовательно.
В первом приближении откаты эле-
MCHiOB независимы, а закон рас-
пределения вероятности безотказ-
ной работы экспоненциальный. Тог-
да вероятность безотказной работы
рассчитывается по формуле (13.3)
Pi(')= П Р,(')=ехР(-М-
где 7 число элементов привода.
По табл. 13.2 находим интенсивность отказов каждого элемента (ч ’):
<oi=Ao4 = 0.936-10 s; >.02 = Х05=().070-10~5: л(13=ХЛ6 = 0,090 • 1О~5;Хо7 =0.040-10 \
Средняя интенсивность отказов всей системы ХОт=ЁХПз=2.232 -10 5 ч *. С учетом
реальных условий эксплуатации принимаем поправочный коэффициент А'х= 10.
Расчетная средняя интенсивность отказов Xy=A; Xor = 2,232 10~* ч *. Вероятность
безотказной работы привода в течение 500 ч составит д1(т) = схр(—500-2,232 х
х 10-4)=0.890. т. с. в течение без откатов 500 ч проработает в среднем ~90%
приводов радиолокаторов.
Такая вероятность беюткатной работы нс удовлетворительна. Рассчитаем,
сколько часов в среднем может проработать привод при вероятности безотказной
работы />£=0.99:
ръ (г) = 0,99=exp (—XjT);
/= ->.£ 1ln/>s= -1п 0.99/(2,232 • 10"*)=45 ч.
Следовательно, для обеспечения требуемого уровня надежности необходимо
черет 45 ч выпо тнять профилактическое обслуживание установки.
Требования к надежности конструкции отражают в техни-
ческом задании на проектирование и в технической характеристике
изделия. Например, к устройству печати ЭВМ предъявляют
такие требования:
Среднее время безотказной работы, ч........... 100
Период времени между профилактическими ре-
монтами, ч.................................. ^100
Работа без капитального ремонта, ч........... 104
Число ошибок на 106 знаков..................... <1
Уточненные показатели надежности получают путем испыта-
ния машин, приборов и их элементов па безотказность и долговеч-
ность. Отдельные данные о надежности также можно получить
на основе анализа результатов эксплуатации. Но основную
информацию получают путем постановки специальных фор-
сированных испытаний на надежность, что позволяет разработать
мероприятия по повышению надежности системы на этапе
технического предложения и эскизною проекта. Выбор рациональ-
ных схем одно из важнейших средств создания надежно ра-
ботающих систем. Можно выделить следующие направления
повышения надежности: создание схем с возможно меньшим
ISK
числом кинематических цепей и входящих в них последовательно
соединенных элементов; это наряду с повышением надежности
системы позволяет уменьшить ее массу и габариты; создание
схем с ограниченными последствиями отказов отдельных элемен-
тов и резервирование важнейших элементов.
Повышение надежности достигается также путем использования
оптимальных для данных условий конструкционных материалов,
применения методов упрочнения поверхностей, максимально широко-
го применения ст андартных деталей и узлов, создания благоприятных
условий работы элементов (например, использование закрытых
зубча тых передач, работающих со смазкой, вместо открытых передач).
§ 13.3. КОНСТРУКЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИХ ВЫБОР
Основные материалы в приборо- и машиностроении—это
различные сплавы, пластмассы, спеченные, керамические и ком-
позиционные ма гериалы.
Железоуглеродистые сплавы —чугуны и стали. В точной механике
чугуны применяют относительно редко. Стали- основной конструк-
ционный материал, из которого изготовляют большинство деталей.
Наиболее широко применяют стали углеродистые обыкновенного
качества по ГОСТ 380—71 (марок С гЗ, С г5,...) и стали качественные
конструкционные по ГОСТ 1050—74 (марок 20. 35, ...). Из сталей по
ГОСТ 1050 74 изготовляют, например, зубчатые и фрикционные
колеса, валы, шпонки и т. д. Легированные стали имеют повышенные
механические характеристики (см., например, табл. 14.1), но стоимость
их существенно выше, чем сталей по ГОСТ 380 —71 и 1050—74.
Твердость и износостойкость поверхности стальной детали
могут быть повышены закалкой (при содержании углерода
в стали 0,3...0,5%). Другие способы поверхностного упрочнения
таких сталей— азотирование и цианирование. При этом поверх-
ностный слой глубиной 0.2...0.7 мм насыщается азотом и угле-
родом.
Детали, испытывающие нагрузки с толчками и ударами,
изготовляют из низкоуглеродистых сталей марок 15, 20, 15Х
и др. Их поверхностное упрочнение достигается закалкой или
цементацией (насыщение поверхности углеродом).
Основные свойства сталей —высокая прочность, пластичность,
nei кая свариваемость. Механические характеристики стали зависят
от количественного соотношения составляющих компонентов
и термообработки. Существенный недостаток сталей большая
плотность (7.8 г/см3). Многие стали обладают малой коррози-
онной стойкостью, а специальные нержавеющие стали с высокой
коррозионной стойкостью весьма дороги. При корродировании
стальные детали несколько увеличивают свои размеры, что
неблагоприятно для точных приборов и устройств. Применяя
титановые сплавы вместо сталей, получают конструкцию.
189
в 2...3 раза более легкую, с шикую к коррозии, размеры
которой не меняются при корродировании. Однако высокая
стоимость титановых сплавов существенно ограничивает область
их применения.
Медные сплавы —это различные латуни и бронзы. Латунь
сплав меди и цинка, а также многокомпонентные сплавы на той же
основе (см., например. ГОСТ 1711 80, 15527 70). Бронзой
называют сплав меди с оловом и другими элементами (кремний,
никель, алюминий). Состав и механические характеристики бронз
см., например, в ГОСТ 18175 — 78. а также табл. 14.1. Медные
сплавы обладают высокой коррозионной стойкостью, стабильными
механическими характеристиками и хорошими антифрикционными
свойствами. Поэтому их используют при необходимости умень-
шить потери в узлах трения, в упругих элементах и г. п.
Из различных бронз и латуней изтотовляют. в частности,
вкладыши опор скольжения, червячные колеса, детали фрикционных
муфт, направляющие прямолинейно! о движения, небольшие зубчатые
колеса, платы, детали лицевых панелей, мембраны, сильфоны и г. д.
Прочность медных сплавов (особенно латуней) ниже, чем сталей,
а стоимость выше (латунь стоит примерно в 6 раз дороже стали 45 но
ГОСТ 1050—74, а бронза — в среднем в 10 раз дороже этой же стали).
Алюминиевые сплавы делятся на литейные (АЛ) и деформируе-
мые (АД). Общее положительное качество алюминиевых спла-
вов их небольшая плотность. Алюминиево-кремнистые сплавы
называются силуминами (например, сплавы AJI2. АЛ6 и др.);
их применяют для изготовления методом литья средпепагружсн-
ных корпусных и других деталей. Алюминиево-магниевыс и алю-
миниево-медные сплавы (дюралюмины) используют д тя нагру-
женных деталей. Из а помипиевых сплавов часто изготовляют
тонкостенные корпуса, кронштейны, платы с приливами и реб-
рами жесткости, корпусные штампованные детали, шкалы, детали
оптических приборов.
Спеченные материалы. Новые физико-механические свойства
материалов можно получить, если спекать при высокой температу-
ре порошки железа, цветных и тугоплавких металлов, а также
неметаллические порошки. В частности, спеченные материалы
обладают меньшей, чем исходный материал, массой за счет
пор между частицами при удовлетворительной прочности. Спечен-
ные материалы особенно часто применяют в опорах механизмов
(см. § 23.2).
Спеченные неметаллические материалы называют керамикой.
По способу изготовления, опре юляющему свойства конечного
продукта, керамика разделяется на две группы: прессованная
при температуре спекания 1700...2400 С и прессованная при
невысокой температуре, спекаемая затем без давления. Материалы
первой группы (бориды, нитриды и их комбинации) обладают
большой плотностью, высокой прочностью (предел прочности
190
при сжатии до 3400 МПа. при растяжении —до 900 МПа) и хоро-
шим сопротивлением тепловым ударам. Материалы второй
группы более пористы и имеют поэтому меньшую плотность.
Достоинства керамических материалов: сохранение прочностных
свойств при температуре более 800 С, относительно малая
плотность (в среднем 40% плотности стали), химическая
стойкость, невысокая стоимость. Недостатки керамики: низкая
пластичность, хрупкость, iрудность обработки.
Применяют керамику в тех случаях, когда система должна
работать в условиях высоких температур, особенно при резких
ее изменениях, в химически активной среде (например, в опорах
скольжения).
Пластмассы. Широкое использование пластмасс в качестве
конструкционных материалов как в приборо-, так и в машиностро-
ении связано с их специфическими свойствами. Разные пластмассы
часто обладают нс похожими друг на друга свойствами. В целом же
можно отметить следующие достоинства пластмасс: небольшая
плотность в сочетании с достаточной механической прочностью,
коррозионная стойкость; антифрикционные качества, в том числе
возможность работы без смазки или с одноразовой смазкой; легкая
обрабатываемость и др. Меныпие прочность, предел текучести
и модуль упругости пластмасс по сравнению с металлами в основном
компенсируются небольшой массой пластмасс (табл. 13.3).
Таблица 13.3. Основные свойства н применение пластмасс
Наименование и стандарт Предел прочности, МПа. при Плот- ное 1Ь, I /смл Примеры применения
растя- жении сжа- тии ИИ и- бс
Полиамид 610, ГОСТ 10589—73 50...60 70...90 45 1.15 Зубчатые и червячные колеса, кулачки, втулки подшипников, панели
Фенопласт 03-010- 02, ГОСТ 5689 79 68 156 71 1,4 Ручки, клавиши, махо- вички
Пресс-материал АГ-4С, ГОСТ 20437 75 550 — 450 1,7... ...1,8 Стойки, корпуса, шки- вы, маховички, платы
Текстолит конст- рукционный ПТК (ПГ). ГОСТ 5—78 98 245 (155) 156 1,3... ...1.4 Платы, панели, зубча- тые и червячные колеса, ползуны
Текстолит электро- технический, ГОСТ 2910—74 50 88 1.3... ...1,45 Пла гы, стойки, кор- пусные детали, втулки, подшипники
Фторопласт-4 мар- ки А. ГОСТ 10007-80 24,5 12 13,7 2,1... ...2,3 Втулки, подшипники, сальники, электроизоля- ционные детали
Стекло органиче- ское .листовое марки СОЛ, ГОСТ 15809-80 69 137 126 1.35... ...1.4 Защитные стекла, шка- лы, указатели, панели, оптические детали
191
Область применения пластмасс расширяется в связи с разра-
боткой новых модификаций, наполнением опыта переработки
и применения; постоянно снижается стоимость пластмассовых
деталей. С помощью литья под давлением можно изготовлять
пластмассовые детали сложной формы; процесс изготовления
аналошчных металлических деталей очень трудоемок. Приме-
нением деталей сложной формы можно уменьшить количество
деталей в изделии, упростить ею сборку и снизить стоимость.
Так, использовав пластмассу для изготовления деталей счетной
электрической машины, удалось сократить число деталей с 1500
до 550.
Все пластмассы делятся па две группы: термореактивпые
и термопластичные. К термореакгивным относятся текстолит,
гетинакс, бакелит и ряд других. Пластмассы второй группы
при определенных темпераiype и давлении переходят в пластичес-
кое состояние и легко формуются. В технике наиболее широко
используются следующие виды термопластов: полиамиды, поли-
формальдегиды, поликарбонаты и акрилопласты. Для изгоювле-
ния зубчатых колес, подшипников, кулачков и г. д. применяют
полиамиды, обладающие высокой износостойкостью, механи-
ческой прочностью, химической стойкостью к органическим
растворителям, маслам и щелочам. Хорошие антифрикционные
свойства имеют полиамиды. Капрон обладает повышенной меха-
нической прочностью, дешев, однако большое (до 11%) влагопо-
глощепие может вызвать искажение размеров деталей, работаю-
щих во влажной среде. Хотя и в меньшей степени, но этот
недостаток присущ многим полиамидам.
Полиформальдегиды отличаются высокой прочностью при
умеренных температурах (предел прочноши около 70 МПа),
вязкостью, влагостойкостью, а по сопротивлению ползучести
превосходят большинство термопластов; но износостойкость их
в среднем в 2...3 раза ниже, чем у полиамидов. Поликарбонаты
характеризуются большой ударопрочностью, высокой стабиль-
ностью размеров (можно формовать детали с допуском
+ 0,25 мм). Акрилопласты обладают гибкостью, износо- и во-
достойки, химически малоактивны.
Эпоксидная смола один из новых синтетических материалов.
Детали из эпоксидной смолы изготовляют литьем, их масса
и стоимость меньше, чем металлических (масса меньше па 80%).
Коррозионная стойкость эпоксидной смолы выше, чем у латуни
и других цветных сплавов, и приближается к стойкости нержаве-
ющей стали; предел прочности при изгибе около 77 МПа,
допустим нагрев до 130 С, хорошая просгранетвенная устойчи-
вое гь.
Композиционные материалы состоят из армирующих волокон
и наполнителя. Армирующие волокна высокопрочных материа-
лов —графит, бор, стекло, сталь, бериллий, вольфрам и др.— несут
192
большую часть нагрузки. Наполнителями служат металлы, пласт-
массы, стеклопластики, эпоксидная смола и т. д. Композиционные
материалы конструкционного назначения отличаются высокой
прочностью и жесткостью. Например, введение борных волокон
в алюминий приводит к увеличению модуля упругости в 3,5 раза
и предела прочности до 1200 МПа (вдвое выше, чем у самого
прочного алюминиевого сплава). Высокая демпфирующая способ-
ность (табл. 13.4) обеспечивает вибропрочность конструкций.
Вследствие этого предел выносливости боралюмипия в 10...12 раз
выше, чем у алюминия, и в 5 раз выше по сравнению с алюмини-
евыми сплавами. Ряд композиционных материалов, свойства
которых иллюстрирует табл. 13.5, эффективно используют в авиа-
ции и космической технике для изготовления корпусов летатель-
ных аппаратов.
Таблица 13.4. Сравните льны с механические характерно ihkh i ра шниоиных и ком-
позиционных ма । е риалов
Материал Плотность, г/см3 Сопротив- ление ус- i а/гости при рас гяженли о (> МПа (на базе 10' циклов) Лот арифми- ческий декре- мент затуха- ния колеба- ний 6 Параметр вибронроч- посги а ,6, МПа
Сталь 30 7.8 200 0,06 12
Сталь 18ХНВА 7.8 550 0.06 33
Титановый сплав ВТ8 4.5 500 0,03 15
Углентастики:
КМУ-1Л 1,4 300 1,5 450
КМУ-ly 1,4 500 1,5 750
Боропластик КМ Б-) 2,0 400 0,8 320
Боралюминий ВКА-1 2,65 600 0,7 420
характерно икн некоторых композиционных
Таблица 13.5 Механические
материалов
. Ма гериа i Модуль упругос- ти 10“5, МПа Длительный предел прочности. МПа Сопротив- ление ус- талое! и при растя- жении п_1э МПа
1000 ч 100 ч
20* С 200‘ С 20 С 100 с
Углепластик КМУ-1в Боропластик КМБ-1м Боралюминий ВКА-1 Алюминий, упрочнен- ный стальной проволо- кой КАС-1 (плотность 1.8 2.7 2.4 900 1370 380 960 1200 600 400 400 600
4,5 г/см3) 7 Зак. 7 jo 1.05 -— — 1300. .1700 400 350 193
Рис. 13.4
Важное достоинство ком-
позиционных материалов —
возможность регулирования
их свойств путем выбора
компонентов, их концентра-
ции, ориентации волокон.
Созданы материалы с раз-
ной прочностью в разных
направлениях.
Открыта способность не-
которых сплавов запоми-
нать форму: деформирован-
ная деталь при изменении
температуры принимает ис-
ходную форму*. На рис. 13.4,w кривая / иллюстрирует зависи-
мость деформации £ от нагружающей силы F (см. также рис. 7.3);
под действием силы F образуется остаточная деформация е, —
деталь припимас! новую форму, отличающуюся от исходной.
При нагреве происходит возврат к исходной форме в диапазоне
температур (/,, t2)~ кривая 2. Этот эффект, называемый одинар-
ным. используется, например, в штекерных соединениях микро-
электронных элементов: в деформированном виде соединение
легко осуществляется, а после нагрева деформация исчезает
и получается неразъемное соединение.
Другой класс сплавов «с памятью» обеспечивает двойной
эффект—детали Moryi многократно принимать две определенные
формы в зависимости от температуры. При нагреве (рис. 13.4,6)
температурные деформации е линейны и исходная форма не
изменяется от точки О до точки А, соответствующей температуре
12. Дальнейший нагрев до температуры /4 приводит к изменению
формы — начало процесса изменения в точке А, завершение—в
точке В. Если температура повышается и дальше, го новая
форма нс изменяется, а имеет место обычная линейная тем-
пературная деформация (участок ВЬ). При охлаждении новая
форма сохраняется при температурах (>гл. Если необходимо
вернуться к исходной форме де шли. ее охлаждаю! и после точки
С в области (73, г() происходит резкое изменение формы,
которое завершается в точке D.
Детали из сплавов с двойным эффектом в системах управления
предохраняют их от перегрева или переохлаждения, изменяют
цвет в оптических устройствах накопления информации; тепловые
двигатели, созданные на базе материалов с памятью, преобра-
зовывают изменение температуры во вращательное движение;
в манипуляторах механическая рука с несколькими приводами
* См.: Maschinenmarkt. 1987. Т. 93. № 9. С. 58 61
194
может быть заменена лентой с памятью формы для осущест-
вления необходимых перемещений.
Наличие большого количества разнообразных конструкци-
онных материалов позволяет оптимизировать параметры про-
ектируемого изделия так. чтобы оно удовлетворяло всем постав-
ленным требованиям. Но именно ввиду обширности номенк-
латуры материалов их выбор представляет непростую инже-
нерную задачу. Так. в машино- и приборостроении используют
до 400 марок сталей, столько же марок цветных сплавов, около
200 видов пластмасс, более 150 видов композиционных матери-
алов, около 40 типов резин, 60 типов керамики и т. д. Каждый
материал характеризуется, как минимум, 20 параметрами. Если
же учесть возможные виды термообработки, вариации состава
и другие факторы, в том числе экономические, то всему
множеству материалов соответствует массив данных обьемом
около 500 тыс. чисел. В эшх условиях выбор оптимального
материала возможен лишь с помощью ЭВМ.
Пример. Рассмотрим один из вариантов решения задачи выбора оптимального
материала. Идеальный ия данных условий материал характеризуется заданным
набором параметров (А\, А'2, .... А'„); кроме того, ижестны критические значения
(наибольшие наименьшие А}П11„) требуемых свойств материала. С помощью
ЭВМ ищут такой материал, шачения параметров которого У2...... У„
минимнзируег функцию
iw л-н
т=1
при естественных ограничениях вида A'Jllljn^ Уу^Ар„ах. Весовые коэффициенты
hj учитывают относительную важность каждого параметра.
§ 13.4. ТОЧНОСТЬ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ
Необходимая надежность и высокое качество механизмов
и приборов обеспечиваются рядом мероприятий, среди которых
важное место занимает выбор целесообразной точности изго-
товления. Параметры деталей отличаются от расчетных раз-
мерами, формой, относительным расположением поверхностей
и т. д. Несмотря на указанные отклонения, работа устройств
должна удовлетворять поставленным требованиям в отношении
эксплуа гационных показа гелей.
Взаимозаменяемое! ь. Основа современного серийного и мас-
сового производства в приборо- и машиностроении взаимо-
заменяемость деталей и узлов механизмов, машин и приборов.
Взаимозаменяемость — это принцип конструирования, производ-
ства и эксплуатации, обеспечивающий возможность качественной
сборки (или замены при ремонте) независимо изготовленных
сопрягаемых деталей и узлов без предварительного подбора или
подгонки по месту. Взаимозаменяемость обеспечивается системой
стандартов «Допуски и посадки». Одновременно учитывают также
7*
195
требования функциональной взаимозаменяемоегн, которая рас-
пространяется на кинематические, физико-механические и другие
параметры.
В СССР с 1977 г. введена в действие «Единая система
допусков и посадок СЭВ» (ЕСДП СЭВ): СТ СЭВ 144 75. СТ
СЭВ 145 75 и др. До этого применялась национальная система
допусков и посадок, условно называемая «Системой ОСТ».
Це 1ь введения международных стандартов — повышение эф-
фективности совместных проектно-конструкторских работ стран
СЭВ. углубление специализации и расширение международной
кооперации.
Кроме стандартов СЭВ сущес т вую г и другие системы допусков
и посадок. Во Франции, Италии, Японии, Англии, США, Канаде
и ФРГ действует система ИСА (ISA) Международной федерации
по стандартизации. На базе стандартов ИСА создана более
прогрессивная система ИСО (ISO), основанная па тех же
принципах, что и система ЕСДП СЭВ.
При изучении допусков и посадок в основу классификации
деталей положена их геометрическая форма. Соответственно
различают следующие соединения деталей: гладкие (цилиндриче-
ские, конические, плоские), резьбовые, зубчатые и червячные,
шпоночные и шлицевые. В данном параграфе рассмотрены
гладкие цилиндрические соединения (сопряжения). Сведения о точ-
ности изготовления других сопряжений приводятся при изучении
соответствующих механизмов и узлов.
Размеры деталей, полученные из расчетов, называют расчет-
ными. Их. как правило, требуется округлять до ближайших
значений по ГОСТ 6636 - 69 (СТ СЭВ 514—77) или ведомствен-
ным нормалям. Эти размеры, указываемые па чертежах, на-
зываются поминальными. Размеры могут быть сопряженными
и свободными. Сопряженный ра мер - общий для двух соединен-
ных между собой деталей. Например, на рис. 13.5 размеры 012,
06, 010 сопряженные, a Jj. d2, L, lx—свободные. Охваты-
вающие поверхности носят общее название отверстие, а охва-
тываемые—вал (хотя не все такие поверхности цилиндрические).
Действительные размеры детали, полученные при обработке,
в большей или меньшей мере отличаются от номинальных.
Такие отклонения oi номинальных размеров часто делаются
преднамеренно и регламентируются системой допусков и посадок.
Если сопряженные размеры выполнять всегда точно по номиналу,
то многие соединения оказались бы неработоспособными. Так,
в подшипнике скольжения необходимый для работы узла зазор
между валиком У и втулкой 2 (рис. 13.5) осуществляется именно
вследствие отклонения размеров oi номинала.
Действительный размер Д должен находиться в интервале
Пт1П^ Д^Птлх
196
Рис. 13.5
где 77min и /7тах — наименьший
и наибольший предельные (воз-
можные) размеры годной де-
тали. Разность
Нmax ^min б
называется допуском размера,
а интервал [//„lin, Птах] по-
лем допуска.
Система допусков и поса-
док состоит из трех взаимо-
связанных частей: точность
выполнения размеров опреде-
ляется квалитетамн; вид соединения двух деталей (подвижное,
неподвижное) характеризуется рядом посадок; по способу об-
разования посадок различаю! систему отверстия и систему вала.
Квалитеты. Абсолюпюе значение допуска 8 данного номиналь-
ною размера устанавливается выбранным по шандартам квали-
гетом. Квалите! показывает относительную точность изготовления
детали. Для деталей размером 1...500* мм предусмотрены 19 квали-
1егов. Квалитеты 01, 0, 1, 2, 3, 4 и 5 используют при изготовлении
особо точных де 1 алей, эталонов длины, калибров и др. Допуски на
размеры сопряженных поверхностей деталей механизмов и прибо-
ров назначают по одному из квалитетов 5... 13. Квалитеты
5 и 6 применяют для ответственных деталей в высокоскоростных
узлах механизмов, точных кинематических цепях, гам, 1де точность
определяет нагрузки и их распределение (например, для деталей
отсчетных передач, в частности для посадки всех подшипников
качения точности выше нормальной). Однако выполнение де талей
и узлов с такой iочноегью дорогостоящая операция.
В большинстве случаев 6, 7 и 8-й квалитеты обеспечивают
требуемую высокую i очноеib. Так. по 6-му и 7-му квалитетам
выполняются элементы деталей, сопрягаемые с кольцами под-
шипников качения нормальной точности. Квалитеты 8, 9 и 10
..рименяюг для соединения валов с насаживаемыми на них
деталями (зубчатыми колесами, шкивами, муфтами и др.) при
относительно небольших скоростях и нагрузках. По квалитеДам
11, 12 и 13 назначают допуски на сопряженные поверхности
грубых механизмов; по квалйтетам 12 и 13 -на размеры
свободных (несонряжепных) элементов деталей. В отдельных
случаях для этой цели используют 14... 17-й квалитеты.
Посадки. Различные комбинации допусков отверстия и вала
дают возможность получить требуемый характер соединения
* Для размеров менее I м.м см. ГОСТ 3047 66, менее 0.1
8809 -71. О1 500 до 3150 мм ГОС! 25. 347—82 (С Г СЭВ 144
ю 10 000 мм ГОСТ 25.348 82 (СТ СЭВ 177—75).
мм 1 ОСТ
75), от 3150
197
Рис. 13.6
деталей, т. е. определенную
посадку. По разности между
действительными размерами
отверстия и вала до сборки
можно судить о свободе от-
носи тельною перемещения де-
талей либо о прочности их
неподвижного соединения. Fc-
ли разность между размерами
вала и отверстия положитель-
ная, то имеет место натяг
и при сборке образуется непо-
движное соединение. Если раз-
мер отверстия больше размера
вала, го получают соединение
с зазором. допускающее относительное смещение деталей.
Система отверстия и система вала. Получение различных
посадок путем одновременного изменения по сравнению с но-
минальным размером вала и отверстия усложнило бы изготов-
ление детали. Поэтому один из размеров -вала или отвер-
стия— принимается за основной, допуск которого не зависит от
типа будущей посадки. Поле допуска основной детали направлено
в тело детали (отверстие на рис. 13.6, и и вал на рис. 13.6,6).
В системе отверстия (СА) основная деталь отверстие, допуск
которого нс зависит от посадки, а определяется лишь квалитегом
и номинальным размером. Разные посадки получают путем
различного расположения полей допусков валов. На рис. 13.6, а
показаны поля допусков валов, обеспечивающие посадку с на-
тягом (вал 1) и с зазором (вал 2).
В системе вала (СВ) допуск вала не зависит от посадки.
Требуемый характер сопряжения получается путем различного
расположения полей допусков отверстий (см. рис. 13.6.6, где
соединение вала со втулкой 3 дает посадку с зазором, а со
втулкой 4 посадку с натягом).
В матико- и приборостроении применяют в основном систему
СА, так как получить вал с различным расположением поля допуска
технологически проще, чем отверстие. Систему СВ используют
относительно редко, например, если на гладкий валик насаживается
несколько деталей с различными посадками, а также если вал не
обрабатывается в процессе данного произволе!ва (сопряжение вне-
шнего кольца подшипника качения с корпусом, соединение какой-либо
детали с валом двигателя и т. п.).
Посадки, образованные по системе отверстия или по системе
вала, подразделяют на три группы—с зазором, переходные
и с натягом. Если узел часто разбирается и собирается или
если требуется осуществить подвижное соединение, то для
образования посадок с зазором по стандартам СЭВ применяют
198
следующие поля допусков: Л; /7; g, G',fg, FG: f, F; ef, EF; e, E: d,
D; cd, CD; с, C; b. В: а. А (в порядке увеличения получаемого
зазора). Ноля допусков для валов обозначаются малыми латински-
ми буквами, а для отверстий большими. Посадки J, F, ..., Ь,
В обеспечивают возможность относительного движения сопрягае-
мых детален. Например, сопряжение вала / со втулками 2 и 5 на
рис. 13.5 осуществляется посадкой /7 (СЛ, квалигег 7). Посадка а,
А допускает относительное перемещение деталей даже при
больших перепадах температуры. В стандартах СЭВ посадки не
имеют названия, гак как pei ламентируется расположение поля
допусков отверстия или вала, а не характер соединения. Используя
стандартную систему образования посадок СЛ или СВ. полу-
чают определенную посадку. Поэтому шифр поля допуска,
подобный указанным выше, является и шифром посадки. Напри-
мер, шифр И для отверстия указывает его поле допуска как
основной детали в системе отверстия: но этот же шифр для
отверстия в системе вала означает пе только поле допуска, ио
и тип посадки. Такую посадку применяют главным образом для
неподвижного соединения, если нужно при сборке и регулировке
обеспечить легкое относительное перемещение. Сравнительно
высокую точность соединения дает посадка (см. рис. 16.9).
Посадки с небольшим зазором Hllgb применяют, обеспечивая
точное относительное вращение при небольших частотах; при средних
частотах для этой же цели используют посадки H8.-f8 (см.
рис. 15.4, соединение детали 8 с валом), при больших частотах —
свыше 600... 1000 об/мин— посадки ЕП;е1, //7/е8, Htyett.
При использовании переходных посадок получают небольшие
зазоры или натяги. К ним относятся посадки по стандартам СЭВ—п,
.V; т, М; К. К; js. Js, j, J (в порядке убывания средних натягов
и увеличения средних зазоров). Посадки п, N и т, М надежно
фиксируют относительное положение детали, но для передачи
крутящего момента нужно предусмотреть дополнительное устройство
(шпонку, штифт и др.). Посадки k. К; js, Js и /, J применяют
в аналогичных условиях, по при сборке они требуют меныних усилии.
С помощью переходных посадок часто осуществляют соединение
зубчатых колес, шкивов и прочих деталей с валиком; по переходным
посадкам kl и «9 выполнены соединения зубчатого колеса 4 (см.
рис. 13.5) с валиком 1 и втулки 2 с платой 3 (квалитеты 7 и 9).
Для посадок с натягом предусмотрены следующие поля
допусков: р, Р; г, R; s, S; t, T; и, U; v, V; x, X; г, У; z,
Z; za, ZA; zb, ZB; zc, ZC (в порядке увеличения натяга).
Посадки с натягом обеспечивают надежное неподвижное соедине-
ние деталей без дополнительного крепления (см. рис. 13.5 по
посадке с натягом г7 соединяется полумуфта 6 с валиком 7).
Но в точной механике этими посадками пользуются редко, так
как при сборке требуется приложить относительно большие
силы, которые могут вызвать остаточные деформации деталей.
199
На чертежах допуски и посадки чаще всего обозначают
шифром. В системе СА па чертеже детали допуск отверстия
указываю!' после поминального размера заглавной латинский
буквой /7, допуск вала малой латинской буквой шифра посадки
(см. обозначения допусков деталей на рис. 13.6, а, 14.10; цифра
справа от шифра поля допуска -квалигет). Значения полей
допусков определяют по справочникам или непосредственно по
таблицам стандарта ГОСТ 25347- 82 (СТ СЭВ 144 —75).
Наряду с простановкой допусков и посадок в виде шифра
применяются, особенно на чертежах рабочего проекта, цифровые
обозначения поля допуска, а также обозначение шифром и циф-
рами одновременно: 05”Олнз или 05А6((1Олнз).
В системе СВ шифр допуска вала обозначают малой буквой
А, шифр допуска отверстия заглавной латинской буквой шифра
посадки (см. обозначения на рис. 13.6.6, 22.1, в).
Допуски размеров низкой точности, повторяющиеся мною-
крагно. обычно указывают на чертежах в виде специальной
записи, например: «Неуказанные предельные отклонения размеров
выполнять: охватывающих— по /713, охватываемых — по А13»
или «Неуказанные предельные отклонения размеров: отверстий
7/14, валов А14. прочих +/Г14 2», 1. е. для прочих размеров
плюс-минус половина допуска 14-го квализета.
На сборочном чертеже вид сопряжения указывают после
номинального размера дробью, в числителе которой записывают
поле допуска отверстия, а в знаменателе поле допуска вала.
На рис. 13.5 показано соединение валика 7 с полумуфтой
6 в системе СА, квалигет 7-й, посадка с натягом: в числитель
дроби записывается 7/7, а в знаменатель г7.
Пример 13.2. Определи! ь предельные размеры, зазоры или патя!и в сое ш-
нспиях при писачках по сиысмс швсрстия Hl-fl, Hl'jl, Hlisl, номинальный
размер—08.
Решение. В поса jkc с зазором H1.-J 7 использованы поля допусков седьмого
квалигета. По данным справочника [24] при поминальном размере 8 мм находим
поля допусков 087/7;/'7(о0'015/“о.!»’?)- Предельные размеры, мм:
отверстия //mak = /)mll = 8+0.015 = 8,015; /7т1„ = Dmi„ = 8-0 = 8;
вала 77mB, = rfmax = 8 + (—0.013)=7,987; /7п„„=т/т10 = 8+ -0.028 = 7,972.
(заметим, чю вал. выполненный точно по номинальному paiMcpy 8 мм. был
бы в данном случае забракован). Возможные зазоры, мм:
$га., = - 4™. =0,043; Smln = Dmin - =0.028.
Посадка Hlikb—переходная; величины и Dmin ос!аются прежними,
так как в системе отверешя поле допуска отверстия нс зависит от посадки
(в данном случае ноле отверстия всегда //7). Предельные размеры вала (мм)
рассчи1ывак>1ся по ею полю допуска 08у7( 2o;8os):
</mal = 8+0.01 =8.01: = 8-0,005 = 7,995.
Наибольшие возможные натяг ‘и зазор (мм):
А», = - Dmin = 0,01; = ©ma, - =0.02.
200
+О.О38Х
+0.023/’ d'
Посадка HT'sl—с на i hi ом; 08л 7
= 8,038, = 8,023. Натяги (мм):
Л'т„ = <„ - Dmi„ = 8,038 - 8 = 0,038;
Amjn = - Ртак = 8,023 —8.015=0 008.
Особенности посадок подшипников качения.
Поле юпуска размера d подшипников
(рис. 13.7) по абсолютному значению такое
же, как и для отверстия в системе СА. Но
расположено поле допуска не в тело, а в про-
тивоположную сторону от пулевой линии.
Поэтому при применении переходных посадок
Рис. 1.3.7
сопряжение внутреннего кольца с валом получается с натягом,
исключающим относительное проворачивание. Поле допуска
размера D наружного кольца (рис. 13.7) такое же, как у обычного
вала в системе СВ. Соединение внутреннего кольца подшипника
качения с валом осущесп шегся в системе СА, а наружного
кольца с корпусом или с другой деталью —в системе СВ. Для
соединения подшипника с валом в основном используют поля
допусков и, т, к, js, j*, а для сопряжения наружное кольцо
корпус 7/, G. F, при таких полях допусков получают непо-
движное соединение вал — внутреннее кольцо подшипника, а в со-
единении наружное кольцо — корпус имеется небольшой зазор
(см. рис. 16.9,t5).
В приборостроении при малых нагрузках большей технологич-
ности узла можно добшься путем применения для вала нолей
допусков Л, g, /, а для отверстия в корпусе — А, Л/, К, Js,
J (см. рис. 16.9, а : в конструкции червячного редуктора применены
такие поля допусков).
На сборочном чертеже сопряжения кольца подшипника качения
указывают шифром поля допуска только сопряженной с этим
кольцом детали; например, па рис. 16.9, а обозначено: 06Л7,
015А7.
Точность формы и расположения поверхностей. Точность дета-
лей механизмов характеризуется не только допуском на их
размеры, но также точностью формы и расположения поверхно-
стей. К отклонениям от номинальной формы поверхности
относятся овальность, кону сообразность. бочкообразность и др.
(рис. 13.8, а). Допуски формы и расположения поверхностей
назначают по ГОСТ 24642-81, 24643- 81, 14140—81. Для
отклонения формы установлено 10 степеней точности, а для
различных отклонений расположения поверхностей от 10 до
12. Эти отклонения указываю! на чертежах в тех случаях, когда
они должны быть меньше допуска на размер (см. рис. 13.8,а).
* Не ниже 7-го квалигеы.
201
Рис. 13.«
Наиболее употребительные обозначения отклонений показаны
на рис. 13.8,о в соответствии с ГОСТ 2.30879—допуск
круглости (отклонение от окружности не должно превышать
0.01 мм); в— допуск цилиндричности; г допуск параллель-
ности (нспараллельность поверхности, указанной стрелкой,
относительно базы А нс должна превышать 0.1 мм), д—до-
пуск перпендикулярности; е — допуск соосности; ж—допуск
биения.
Шероховатость поверхности. Неровности поверхности детали
называются шероховатостью поверхности. Если отношение шага
микроперовностей к их высоте больше 50. то такая совокупность
неровностей называется волнистостью, которая возникает при
колебаниях в процессе обработки поверхности. ГОСТ 2789 73
(СТ СЭВ 638—77) предусматривает шесть параметров шерохова-
юсти — три высотных и три вдоль средней линии профиля
поверхности. Главные параметры - высотные: среднее арифмети-
ческое Ra абсолютных значений отклонений профиля от его
средней линии в пределах базовой длины /; высок! шерохова-
тостей R, по десяти точкам (сумма средних арифметических
абсолютных отклонений пяти высших и пяти низших точек
в пределах длины /); наибольшая высота профиля Rmm па базе
/. Ранее действовавший ГОСТ 2789 68 определял 14 классов
шероховатости. Самая грубая поверхность соответствует 1-му
классу шероховатости; поверхность, выполненная по 14-му клас-
су,—самая чистая. Для классов 6... 12 количественной характе-
ристикой шероховатости служит параметр R а для классов
1...5 и 13, 14- Rz.
202
Класс....... 1 2 3
max 320 160 80
R„. R., мкм
min 160 80 40
I, мм....... 8
456 7 8 9 10 11 12 13 14
40 20 2.5 1.25 0.63 0.32 0.16 0.08 0.04 0.10 0.05
20 10 1.25 0.63 0.32 0.16 0.08 0.04 0,02 0.05 0.025
2.5 0.8 0.25 0.08
Шероховаюсть поверхности оказывает существенное влияние
на работоспособность деталей механизмов и приборов. Уменьше-
ние шерохова ости снижает потери на трение, повышает износо-
стойкость и сопротивление усталости. Выбор параметров шерохо-
ватое! и поверхности связан с осуществляемой посадкой и требуе-
мой точностью размеров: чем более шероховата поверхность,
тем менее надежно соединение деталей. Это происходит потому,
что фактическая площадь контакта сопрягаемых поверхностей
растет с уменьшением их шероховатости. Кроме того, при
больших высотах микроперовностей выступы па сопряженных
поверхностях ломаются, быстро изнашиваются, средний зазор
в соединении растет (натяг уменьшается), что приводит к измене-
нию xapaKicpa посадок. В первом приближении считается, что
значение параметра шероховатости R. должно удовлетворять
условию R. ^(0.1 ...0,25)5, где 8 —допуск на размер. Более
подробные рекомендации приведены в табл. 13.6.
Таблица 13.6. Рекомендуемые шероховатости ыя различных квалигегов и посадок
Поля допусков Номинальные размеры, мм
I — 10 10 30 30 80 80 120
W6, G6, #5. Кб. А6. Мб. т5. и 5 Л 5. л 5. у, 6 Ш. С 7. 17. g6, f6 /,7, KI, Ml, Nl.~ Rl. h6. f,6. к б, тб. пб, г б 0.16 0.32 0,08—0.16 0.32 - 0.63 0.16 0,32 0.16 0.32 0.08—0.16 0.63- 1.25 0,32 0.63 0.32 0.63 0.16- 0,32 0.63—1.25 0.32 0.63 0.32 -0.63 0,32 0,63 0.63-1.25 0.63-1.25
Допустимую шероховатость поверхностей обозначают услов-
ными знаками (рис. 13.8). которые располагают па выносных
линиях видимою контура. В верхней части знаков проставляю!
допустимые (наибольшие) значения параметров Ra или R..
Указывая значение R,. перед числом записывают обозначение R,
(см. поверхность 08 на рис. 14.10.5); для параметра Ra только
число. Знак па рис. 13.9.а применяют для поверхностей, вид
обработки которых конструктор нс регламентирует. Если повер-
хность образована удалением слоя материала (резание, сверление
и г. д.), то шероховатость указы-
ваю! зпаком, изображенным на
рис. 13.9,6. Когда поверхность об-
разована без удаления материала
(литье, штамповка, экструзия и др.),
используют знак (рис. 13.9.в), если
а} 5) в)
V V V
г)
W)
Рис. 13.9
203
у данного знака не приведены значения Ru или R., то это
указывает, что поверхность оставлена в состоянии поставки.
В тех случаях, когда все поверхности должны иметь одинако-
вую шероховатость, соответствующий знак проставляется в пра-
вом верхнем углу чертежа. Если же одинаковой должна бьнь
шероховатость лишь част поверхности дегали. го в правом
верхнем углу чертежа наносят обозначение шероховатости, кото-
рая должна быть у большинс!ва поверхностей, и в скобках
проставляют знак по рис. 13.9. г: па изображении детали простав-
ляют знаки шероховатости у тех поверхношей, шероховатость
которых отлична от преобладающей. Отсутствие на чертеже
обозначений шероховатости означает, чю 1ребования к шерохова-
тости поверхности по данному чертежу не нормируются.
§ 13.S. ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МЕХАНИЗМОВ
▼ В процессе рабо1ы механизмы изнашиваю!ся, изменяются
форма и размеры элементов кинематических пар. растут зазоры
в них. Все это увеличивает кинематические погрешности, наруша-
ется нормальный режим смазки, возникают вибрации.
Износ сложное явление, наблюдающееся при огносительном
движении соприкасающихся поверхностей: износ не исчезает даже
если поверхности полностью разделены слоем смазки. Согласно
современным взглядам, при нормальном режиме рабо!ы постепен-
но накапливаются дефекты кристаллической решетки материалов
во внешнем слое рабочих поверхностей, что приводит к росту
напряжений и к образованию микро трещин. Коррозиошю-электро-
кинетические процессы увеличивают интенсивноеib износа; су-
щественную роль играет также расклинивающее действие смазки
в микроIрещинах (эффект Ребиндера). Наиболее распространенные
виды износа деталей механизмов адгезионный, абразивный,
усгалостый и коррозионный.
Адгезионный износ. Возникает при контакте тел, особенно
при скольжении. Это результат последовательною образования
и разрушения фрикционных связей, возникающих из-за меж-
молекулярного и межатомного взаимодействия пленок оксидов,
покрывающих поверхности тел. На рис. 13.10,а показан контакт
поверхностей / и 2; реальную площадь контакта, которая
значительно меньше поминальной, составляю! соприкасающиеся
микронеровности. При таких контактах развиваются высокие
давления, так что при движении необходимо преодолевать силы
межмолекулярных и межатомных связей. Е< ,и при движении
разрыв фрикционной связи происходит по кривой типа anb
(рис. 13.10.д), то частица вещества отрывается от основного
тела — в этом и заключается адгезионный износ. Принципиально
возможно смещение и по линии cd раз чела поверхностей; в этом
случае износ отсутствует. Уравнение адгезионною износа.
204
8n6 = -jA'F„.^HB. (13.4)
где 8об—объем изношенного материала на пути .v; к—безразмер-
ный коэффициент износа (табл. 13.7, значение к—это вероятность
того, что при контакте отрывается частица материала); F„—нор-
мальное усилие прижатия поверхностей; НВ твердость более
мягкой поверхности (см. § 7.2).
Адгезионный износ в значительной степени определяется
свойствами и состоянием поверхностей соприкосновения. Наличие
смазки ослабляет силы межатомного взаимодействия и уменьшает
количество фрикционных связей. Большое влияние на интенсивность
износа оказывает металлургическая совместимость контактирующих
металлов, г. е. степень взаимною притяжения атомов этих металлов;
понятие совместимости выражает способность к образованию
прочных фрикционных связей. В табл. 13.7 совместимость учтена
понятиями «однородные», «частично разнородные» и «разнородные»
металлы; к первым относятся, например, такие пары: Al —Ni,
Л1 Си; примеры частично разнородных пар А1—Mo, Ag—Мо,
Си—Ag, бронза сталь: разнородных —Си Mo, Ag Ni. Адгези-
онный вид износа преобладает в правильно сконструированных
опорах скольжения. В гл. 23 на рис. 23.8 приведены результаты
расчета износа опор скольжения по формуле (13.4); коэффициенты
износа к взяты из табл. 13.7 и уточнены экспериментально.
Таблица 13.7. Коэффициеиты адгезионного износа
Наличие смазки Пара фения
металлы неметалл по металлу
одинаковые <) инородные частично разнородные разнородные
Без сматкн Плохая смазка Хорошая смазка 5 10 3 10 3 Ю"4 2 10'-' 4 10 4 4-10~5 4 • 10 "4 8 10 5 8-10 6 510’’ 10 5 10 6 10"5 ЗЮ"6 10 6
Абразивный износ. Это результат воздействия твердых мик-
ронеровносз ей одной поверхности или абразивных частиц, кото-
рые понадают в зону контакта либо со смазкой, либо как
205
продукты износа других видов. Относительно твердая частица
или микронеровносгь 1 (рис. 13.10, б) образует микробороздку
2 в более мягком материале 3. Линеаризированное уравнение
абразивного износа аналогично (13.4):
6об = Л1/’пл7НВ, (13.4а)
где коэффициент А, абразивного износа зависит от среднестати-
стических формы, размеров, твердости абразивных частиц и от
материалов соприкасающихся тел; в уравнении (13.4а) не учюна
возможность изменения абразивных частиц со временем.
Отметим, что обычно абразивный износ не хараюерен для
нормального режима эксплуатации.
Усталостный износ. Этот вид износа возникает вследствие
многократного деформирования поверхностных слоев тел при
относительном скольжении, качении или ударах; при качении
это основной вид износа. На поверхностях контакта и под
пленкой оксидов возникают микротрещипы. их развитие приводит
к отделению частиц материала.
Коррозионный износ происходит при электрохимических и дру-
гих немеханических процессах, возникающих в узлах механизмов,
вследствие разрушения поверхностной пленки. Уравнение кор-
розионного износа:
8о„ = (лЛфГп/НВ)0-5А:^/(6г), (13.46)
где к2— константа, зависящая от скорости восстановления по-
врежденной пленки оксидов; Аф- фактическая площадь контакта;
V— скорость скольжения. Как следует из зависимости (13.46),
коррозионный износ в большей мере определяется химическими
процессами (константа А2). чем чисто механическими параметрами
НВ). В частном случае неподвижного соединения (например,
прессового, штифтового) возникает особый вид коррозионного
износа — фреттипг-коррозия.
Аппроксимируя уравнения износа разных типов зависимостью
(13.4), получим однотипные коэффициенты износа к (на рис. 13.11
цифры 1...5 соответствуют номерам столбцов табл. 13.7: 6—аб-
разивный износ, обусловленный высокой твердостью микронеров-
ностей одного из контактирующих тел; 7, 8— то же, при высокой
и низкой концентрации абразивных частиц).
Эти данные позволяют в первом приближении сравнить
интенсивносгь износа разных видов. Сопоставление условий,
в которых изнашиваются элементы кинематических пар. показы-
вает принципиальную возможность уменьшить адгезионный износ
на 2 3 порядка, заменяя одинаковые или однородные материалы
разнородными; например, можно один из однородных материалов
пары покрыть тонким слоем другого материала так. чтобы
пара трепия стала разнородной. Существенно влияние смазки:
даже плохая смазка уменьшает износ на порядок.
206
ю'1 Ю'г io1 10~1' К'5 to'6 к
Рис. 13.11
Реальные конструкции испытывают одновременно все виды
износа, хотя часто один из них доминирует. Если износ оценивать
толщиной 8Л разрушенною слоя, го при скольжении скорость
износа можпо рассчитать так [19]:
^idt = knpmv\ (13.5)
где А'л— коэффициент линейного износа; р—удельное давление,
определяемое по поминальной площади контакта; г- относитель-
ная скорость; ш=1...3—показатель степени, постоянный для
данных условий, зависящий от вида взаимодействия (упругое,
пластическое или микрорезание); п—показатель степени, опреде-
ляемый видом доминирующего износа; для приработавшихся
кинематических пар
Изменение скорости с1бл/с1/ износа во времени аналогично
зависимости интенсивности отказов X от времени / (см. рис. 13.2).
В период г, приработки деталей скорость износа относительно
велика, так как происходит интенсивное изменение микро-
и макрогеометрии поверхностей, устанавливается так называемая
равновесная шероховатость поверхностей контакта. В основной
рабочий период /2 скорость износа практически постоянна
(исключение составляет лишь случай абразивного износа с измене-
нием размеров абразивных частиц). Третий период носит
207
название катастрофического износа, который наступает либо при
отработке расчетною ресурса, либо в результате резкого неблаго-
приятного изменения эксплуатационных условий.
Пример 13.3. В механизме выдвижения руки промышленного робота износ
поступательной кинематической пары оказался недопустимо высоким. Кинемати-
ческая пара составлена из высокоуглеродистой стали и бронзы, г. е. из частично
разнородных материалов. Экспериментально полученный коэффициент износа
к = 5,5 • IO"5. Требуется выясни 1ь причину большого износа, если следов коррозии
или абразивного износа не обнаружено.
Решение. Так как доминирующим оказался адгезионный износ, то рассмотрим
данные табл. 13.7. Для частично разнородных материалов получим следующие
возможные коэффициенты износа: без смазки—40-I0-5, при плохой смаз-
ке— 8-10~\ при хорошей—0,8-10~5. Сравнивая эти значения с эксперименталь-
ной /с=5,5 10~5, приходим к заключению о плохой работе системы смазки
механизма выдвижения руки робота (неудачный температурный режим, неверно
выбрана вязкость смазки или недосгаючно се количество). А
ГЛАВА 14
ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Зубчатые передачи наиболее распространенные механизмы приборов, авто-
матических систем и внешних устройств ЭВМ. Основную массу составляют
механизмы с постоянным передаточным отношением, ио используются и некрут-
лыс колеса, их передаточное отношение—функция угла noeopoia входного звена.
Размеры всего механизма определяет модуль зацепления; за рубежом выпускаются
также питчевые колеса, которые невзаимозаменяемы с модульными.
Изготовление зубчатых колее осуществляется методами копирования и отиба-
ния; последний наиболее производительный и точный. Отодвигая режущий
инструмент от центра заготовки или переместив сто к центру, получают
различные по эксп туатациоппым свойствам передачи с повышенными износо-
стойкостью, прочностью, кпд и др.
Если зубчатая передача выполняет только кинематические функции, то
рассчитываются се геометрические размеры исходя из значения модуля, выбран-
ного по технологическим, экономическим или иным критериям. В случае
преобразования силовых параметров производится расчет на прочность. Основные
виды деформаций зубьев изгиб и смятие в зоне контакта. Даже при постоянной
нагрузке соответствующие напряжения переменны. Основой для определения
изгибных напряжений служат формулы сопромата, а для контактных напряже-
ний теория Герца.
§ 14.1. ОСОБЕННОСТИ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ
Зубчатые передачи обладают- рядом существенных достоинств:
имеют относительно малые габариты, в любой момент передаточ-
ное отношение поддерживается постоянным (круглые колеса)
или изменяется по заданной зависимости (некрупные колеса),
кпд передач достаточно высок.
Простейшая зубчатая передача (рис. 14.1,о) представляет собой
трехзвенный механизм, состоящий из колес 1 и 2 с нарезанными
на них зубьями и корпуса (стойки) 3. Меньшее колесо обычно
называют шестерней (в приборах — трибом). При вращении колес
относительно своих т еометрических осей окружности диамег-
208
Рис. 14.1
pOB</„,t и dK2 кается одна по другой без скольжения, что
является отличительной особенностью зубчатых передач. Эти
окружности называют начальными.
По взаимному расположению осей зубчатые передачи разделя-
ются па цилиндрические—с параллельными осями (рис. 14.1, о,
б, в, г), конические—с пересекающимися осями (рис. 14.1.6)
и винтовые—со скрещивающимися в пространстве осями
(рис. 14.1, е). В зависимости от расположения зубьев относительно
образующей начального цилиндра передачи подразделяются
на прямозубые (рис. 14.1,я). косозубые (рис. 14.1,6). шевронные
(рис. 14.1, л) и с криво/инейными зубьями. По сравнению
с прямозубыми последние три вида зубчатых передач обес-
печивают повышенную нагрузочную способность и плавность
209
хода; шевронные передачи применяю! только при болыпйх
мощностях (десятки и сотни киловатт). I
Зацепление зубчатых колес может быть внешним (рис. 14. Ко,
б, в), внутренним (рис. 14.1, г) и реечный (рис. 14.1,.ж). Наиболее
часто используются передачи с внешним зацеплением, так как
они технологичны в изготовлении. Реечная передача позволяет
преобразовать вращательное движение колеса 2 в прямолинейное
смещение рейки 7 (или наоборот).
По профилю (очертанию) зубьев различаю! передачи: зволь-
вентные, циклоидальные, с цепочным и часовым зацеплением,
а также с пространственным зацеплением Новикова. Эвольвент ные
передачи получили преимущественное применение, гак как техно-
логия образования их зубьев легко поддается автоматизации;
передачи с таким зацеплением допускаю! небольшие погрешности
мсжосевого расстояния (без из енепия переда!очною отношения).
Достоинства циклоидального зацепления: меньшие по сравнению
с эвольвентным ipeiine и износ; лучшие условия преобразования
сил в ускорительных механизмах. Однако колеса с циклоидаль-
ными зубьями труднее нарезать, а сборка передачи !ребуст
высокой точности. Часовое зацепление упрощенное циклоидаль-
ное; оно имеет легкий ход и применяется преимущественно
в часовых механизмах. Цевочное зацепление (рис. 14.1, з) также
чайный случай циклоидального; одно из колес такой передачи
вместо зубьев имеет пальцы-цевки. Передачи с зацеплением
Новикова допускают при тех же шбаритах значительно большие
нагрузки по сравнению с передачами других видов, но точность
их невысока и потому их в приборостроении не применяю!.
В приборах находят применение зубчатые передачи с некруглы-
ми колесами (рис. 14.1, и), у которых мгновенное передаточное
отношение изменяется по заданной функции.
Рассмотренные зубчатые передачи имеют неподвижные геомет-
рические оси колес. Кроме них широкое применение нашли
планетарные и дифференциальные передачи, у которых сателлит-
ные зубчатые колеса вращаются как относительно своих геометри-
ческих осей, так и относительно неподвижных осей центральных
колес (см. рис. 15.1). Планетарные передачи при небольших габа-
pniax позволяю! получить значительные (до 104) передаточные
отношения. Дифференциальные механизмы имеют две степени
свободы и используются в автоматических системах для сложения
движений.
Перспективный вид передачи волновая (рис. 14.1,к). В одной
ступени такой передачи может быть реализовано передаточное
отношение в диапазоне 70...300; другое достоинство—возмож-
ное гь преобразования механического движения между герметиче-
ски изолированными средами.
Выбор гой или иной передачи обусловлен общей схемой
механизма, а также технологическими и экономическими особен-
210
ностями. В точных механизмах применяю! в основном такие
же типы зубчатых передач, как и в общем машиностроении,
однако условия их работы различны. Зубчатые колеса силовых
передач работают при больших нагрузках на зубья, поэтому
при проектировании их рассчитываю! на прочность и долговеч-
ность. Зубчатые колеса приборов и других подобных механизмов
используют для передачи и преобразования движения, силовые
же нагрузки в них малы. В таких передачах прочностные расчеты
имеют второстепенное значение, параметры же колес назначают
исходя из условий технологии изготовления, получения необходи-
мых общих размеров, плавности хода и кинематической точности.
Вместе с тем в приводах ряда автоматических систем, например
для перевода железнодорожных стрелок, наводки антенны радио-
локатора и т. п., нагрузки на зубчатые колеса могут быть
значительными. В этих случаях наряду с расчетами геометрии
и кинематики приводя! расчеты колес на прочность и долговеч-
ность.
§ 14.2. ПАРАМЕТРЫ ПРЯМОЗУБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛЕС
На рис. 14.2 представлено зацепление двух прямозубых цилинд-
рических колес. Начальные окружности шешерни 1 (dw () и ко-
леса 2 (т/„.2) при вращении катятся одна по другой без скольжения.
Внешняя окружность зубчатого колеса, очерчивающая вершины
зубьев, называется окружностью вершин (d„), а окружность,
ограничивающая основание впадин, называется окружностью
впадин (df). Очертание зуба в плоскости поперечного сечения
принято называть профилем зуба.
Как показано на рис. 14.2, пара зубчатых колес собирается с ра-
диальным зазором (с) между окружностями вершин одного колеса
и впадин другого. Этот зазор нужен для того, чтобы зуб не
заклинился во впадине, а также
для компенсации температ ур-
ных деформаций и ошибок из-
гоювления и сборки. Для этих
же целей стандартами установ-
лен определенный боковой за-
зор между соседними зубьями,
который получается вследствие
отрицательных допусков на то-
лщину зубьев. При геометри-
ческих же расчетах зубчатой
передачи боковой зазор прини-
мается равным нулю. Закруг-
ленный переход боковой поверх-
ности зуба в окружность впа-
дин получил название галтели.
211
Модуль зацепления. Расстояние между соответствующими
точками двух соседних зубьев, измеренное но начальной окруж-
ности диаметра т/и., называется начальным тагом pw. Если число
зубьев колеса ~. то длина окружности, по которой измерен
шаг, zpw — itdw. а ее диаметр
dw=zpjn. (14.1)
Отношение
называется модулем. Для ограничения количества зуборезного
инструмента модули стандартизованы.
Модуль, измеряемый в мм, основной параметр зубчатого
зацепления, с помощью которого определяют размеры передачи.
Модуль может назначаться исходя из технологических и конст-
руктивных условий, а в передачах со значительными силовыми
нагрузками— на основании расчета зубьев на прочность и обя-
зательно согласовывается с ГОСТ 9563—60 (СТ СЭВ 310 -76):
I-й ряд 0,2 0,25 0.3 0,4 0.5 0,6 0,8 I 1,25 1.5 2
2-й ряд 0.22 0,28 0.35 0,45 0.55 0,7 0,9 1.125 1,375 1,75 2,25 ...
При назначении модуля передачи первый ряд следует предпо-
читать второму.
Геометрические элементы. Стандартным значение модуля будет
лишь для одной окружности, которая называется делительной'.
из формулы (14.1) следует, что диаметр делительной окружности
(делительный диаметр)
d=mz. (14.2)
Элемент зуба, расположенный с внешней стороны делительной
окружное!и, называется dt капельной головкой зуда, а с внутренней
стороны этой окружности - делительной ножкой зуба. В точной
механике чаше всего используется зацепление колес, в котором
делительные и начальные окружности совпадают.
Для зацепления, широко применяемого в точной механике
(такое зацепление составлено из колес, нарезанных без смешения,
см. § 14.5). размеры элементов шестерни и зубчатого колеса
могут быть найдены по следующим зависимостям (см. рис. 14.2):
высота делительной головки зуба ha=h„nr.
высо 1 а дели!ельной ножки зуба hf=(ha+c*)m; > (14 3)
радиальный зазор с = с*т; | v
начальный диаметр
dw=d=mz\ (14.4)
диаметры вершин и впадин
da = d+2ha = m(z + 2h'a)', (14.5)
212
dj = d—2hf = m [z —2(Л* + с*)]; (14.6)
радиус галтели
P/=p}m:
межосевос расстояние
ак = 0,5 (</и. 1 + dw 2)=0,5 т + z2), (14.7)
где h’a— коэффициент высоты головки зуба (для нормальных
зубьев 11*а— 1, для укороченных /?* = 0,8); с* коэффициент радиаль-
ного зазора (если Ля=1, то для т5=1 с* = 0,25; для 0,5<т<1
с* = 0,35: для 0,1^т<0.5 с‘ = 0,4); коэффициент р} равен 0,384
при т~^\, 0,38...0,44 при т<1.
Для аналогичного внутреннего зацепления цилиндрических
колес (см. рис. 14.1. г) геометрические размеры колеса с внутрен-
ними зубьями нормальной высоты могу! быть найдены
но формулам:
с/и.2 = d2 = mz2', da 2 = d2 — 2m +15,2/n/z2;
d f2=d2+2h f=ni[z2 + 2(l +<*)].
здесь слагаемое 15,2ш/г2 учитывав! технологические особенности
нарезания внутренних зубьев.
Межосевое расстояние
aw = 0.5 (dw 2 - dw,) = 0,5 т (z2 - с,).
Так как в этой передаче зубья шестерни имею т выпуклый про-
филь, а колеса — вогнутый, то нагрузочная способность передачи
внутреннего зацепления больше, чем при внешнем зацеплении.
Кроме того, при прочих равных условиях передача внутреннего
зацепления обладает большей плавностью и обеспечивает лучшие
условия образования слоя смазки между зубьями. Однако изготов-
ление колес с внутренними зубьями сложней, чем с внешними.
Питч. В странах с дюймовой системой единиц вместо модуля
т используется питч u = z.d. где диаметр d делительной (питчевой)
окружности выражен в дюймах. По питчу можно рассчитать
модуль, мм: т = 25.4 п. Зубчатые колеса метрической и питчевой
систем невзаимозаменясмы, так как стандартным модулям соот-
ветствуют нестандартные питчи, и наоборот. Например, стандарт-
ные питчи 50. 30 и 25 соответствуют модулям 0,508, 0,847, 1.016.
§ 14.3. ПЕРЕДАТОЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Передаточным отношением какого-либо механизма принято
называть отношение угловых скоростей со входного и выходного
звеньев этого механизма. Начальные окружности пары сопряжен-
ных колес перекатываются друг по другу без скольжения
213
благодаря наличию зубьев; скорости гР1 и iP2 точки Р,
принадлежащей соответственно шестерне 1 и колесу 2 (см.
рис. 14.1. «). равны друг другу. С учетом формулы (14.1) получаем
выражение для передаточного отношения от шестерни 1 к ко-
лесу 2:
j _ tol vf 1 dw t _ 72/>н.."П _ -2 (14 8)
12 “2 у,>2/(0.5<.2) dwl z,’
где zt, z, числа зубьев шестерни и колеса.
Для силовых цилиндрических прямозубых передач значение
переда 1 очного числа и (см. § 2.1), как правило, не превышает
7, а для передач приборов нтах = 8...12 (см. табл. 13.1). В быст-
роходных передачах в целях снижения динамических нагрузок
и вибраций в зацеплении рекомендуется назначать д. 1я и не
целые числа (с тем чтобы одни и те же зубья шестерни и колеса
встречались в зацеплении как можно реже).
Для многоступенчатых зубчатых передач общее передаточное
отношение гобщ определяется по формуле (2.6). Например, для
двухступенчатой передачи 1-2-3-4 (см. рис. 3.6) с учетом зависи-
мости (14.8)
1общ = Z1 2 г34 — -2 1 -з)-
Передаточное отношение зубчатого механизма, состоящего
из к последовательно соединенных между собой ступеней вне-
шнего зацепления,
к
»<Л,ц = П //-1)*.
I* 1
Здесь множитель ( —1)* учитывает направление вращения ведомо-
го звена механизма в сравнении с ведущим.
Выбор числа ступеней. При проектировании привода с задан-
ным общим передаточным отношением /об11| встает важная
инженерная задача —выбор оптимального числа ступеней передач
и распределение между отдельными ступенями. Это может
быть сделано с учетом соблюдения условий обеспечения наимень-
ших габаритных размеров всею механизма или получения
наименьшего приведенного к ведущему валу момента инерции.
Одно из решений этой задачи рассмотрено в § 3.4; для мелкомо-
дульных двухступенчатых передач передаточное отношение
первой ступени рассчитывают по формуле (3.2):
При выбранных передаточных отношениях числа зубьев шесте-
рен можно назначить в соо!вегсгвии с требованиями к механизму.
Это достаточно сложная и многовариантпая задача, которая
достаточно корректно решается только с помощью ЭВМ. Алго-
ритмы и программа оптимизационного синтеза одно-, двух-
214
Рис. 14.3
и трехступенчатых передач точной механики приведены, например,
в [8]; критериями оптимизации служат габаритные ограничения,
минимизация массы, приведенного момента инерции или угловой
погрешности.
Основная теорема зацепления. Условие нормальной работы
зубчатой передачи с круглыми колесами — обеспечение постоянно-
го передаточного отношения. Это возможно лишь при определен-
ном очертании сопряженных профилей зубьев шестерни и колеса.
Пусть, например, шестерня / и колесо 2 находятся в зацеплении
(рис. 14.3, л); rwl и rw2 —- радиусы их начальных окружностей.
Линии NN и КК—нормаль и каса тельная в точке С соприкоснове-
ния профилей зубьев шестерни и колеса: и vC2A.O2C—
скорости точки С, принадлежащей зубу шестерни 1 и зубу
колеса 2 соответс твенно.
Суть основной теоремы зацепление состою в том, что для
обеспечения условия /= const сопряженные профили зубьев должны
быть очерчены такими кривыми, у которых нормаль AW в любой
точке С взаимного касания зубьев (рис. 14.3,а) всегда проходит
через постоянную точку Р па линии центров колес <^1О2-
Докажем эту теорему.
Векторы гС1 и гС2 могут быть разложены на составляющие
по линиям Л'Л' и КК:
215
l'(l~ l’ci Н’сь 1’C2 —rC2 + l’C2-
Очевидно, что нормальное зацепление возможно лишь при
условии Vci=^c2- В противном случае зуб шестерни либо
врежется в зуб колеса, либо отстанет от пего. Из подобных
треугольников (па рис. 14.3. а они заштрихованы) следует, что
!OlBi = vCilOl С=о1(01С)/01 С,
откуда t’c1=w1(O1fi1). Аналогично, Гс2 = а)2(6*2^2)- Учитывая
равенство Vri=t’c2> можно записать
Ю1((71В1) = <о2((92в2).
Так как прямоугольные треугольники О^В^Р и О2В2Р подобны,
то окончательно получаем
/(,)2 = О2В2'О( fi1 = O2P/(?1/’ = rM,2/rw1 — il2.
Следовательно, если точка Р пересечения нормали NN с линией
центров не меняет своего положения, то (12 = const, что и тре-
бовалось доказать.
Постоянную точку Р на линии центров колеса принято
называть полюсом зацепления. Эта точка определяет радиусы
начальных окружностей гк1 и rw2.
Теореме зацепления удовлетворяют профили зубьев, очерчен-
ные различными кривыми; наиболее простой и удобный по
технологии нарезания зубьев—эвольвентный профиль, впервые
предложенный Л. Эйлером.
В основной теореме зубья рассматриваю гея как абсолкнно
жесткие, т. е. их деформации пе учитываются. Для малона!ружей-
ных передач деформации зубьев меньше погрешностей изготовле-
ния и требования теоремы полностью отвечают практике. Однако
синтез относительно высокопагружснных зацеплений выполняют
с учетом деформации профилей; в результате получают профили,
пе удовлетворяющие основной теореме, по дающие при расчетной
нагрузке оптимальные по ряду параметров передачи.
§ 14.4. ЭВОЛЬВЕНТНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ
Большинство применяемых в настоящее время зубчатых
передач имеет эвольвентный профиль зубьев. Эвольвептная кривая
Э( может быть получена как траектория любой точки прямой
NN (например, точки С на рис. 14.3), если перекатывать ее без
скольжения по основной окружности радиуса OlB1=ret (для
колеса — но окружности радиуса О2В2 = гь2).
Главные свойства эвольвенты:
нормаль в любой точке С эвольвенты это касательная
к основной окружности:
радиус кривизны эвольвенты в точке С отрезок СВ{, т. е.
основная окружность является геометрическим местом центров
216
кривизны. Первое свойство определяй линию действия сил
в зацеплении, лак как силы от одного тела к другому передаются
по нормали. Второе свойство используется при расчете контакт-
ных напряжений в зубьях (напряжения зависят и от радиусов
кривизны соприкасающихся тел).
Найдем в полярной системе координаты любой точки С(0 ,
г;) эвольвенты (рис. 14.3,6). Из физической картины образования
эвольвенты следует, что длина отрезка В, C=rhtga. равна длине
дуги B/Co = r(,(0i+aJ) (так как скольжение отсутствует). Следова-
тельно, полярный угол точки С
= (14.9а)
Этот угол называется эвольвентной функцией или инволютой
и обозначается inva;. Из ДО, В, С определяем радиус-вектор О, С:
r^^C^/cosa,, (14.96)
Для точки эвольвенты, лежащей на делительной окружност,
угол ос, равен стандартной величине a = 20 (а уГОд профиля’
исходного контура, см. § 14.5). Поэтому радиус основной окруж-
ности rh связан с модулем т и числом зубьев z зависимостью
rb=rcosa=0,5wzcosa. (14.10)
Как отмечалось выше, одно из важных положительных
свойств эвольвснтпого зацепления состоит в том, что пе-
редаточное отношение постоянно даже при изменении межосевого
расстояния (в процессе эксплуатации или при монтаже). Докажем
это. Из рис. 14.3,а следует, что углы LB^O^C-y.^ и LoclCvci
равны, т. с. J
V — В*‘ • © — <С1 — р<>| COsai/- cci _»ci
11 cosa,/ 1 О, C 0,0 О, В, rbl'
Аналогично, (о2 = «с2/гь2- Учитывая равенство получаем
= так как "Ри изменении межосевого расстояния
радиусы rh основных окружностей остаются прежними, то не
меняется и передаточное отношение.
Линии зацеплении -это геометрическое место точек контакта
пары зубьев шестерни и колеса во время из зацепления (рис. 14.4)
Из основной теоремы зацепления следует, что в эвольвентой
зубчатой передаче линия зацепления — нормаль NN. В точке
а пересечения нормали AW с окружностью вершин колеса 2
пара зубьев вступает в зацепление и в точке а' (пересечение
нормали с окружностью вершин зубьев шестерни /) эта пара
выходит из зацепления. Отрезок аа', по которому перемещается
точка контакта профилей зубьев в процессе их зацепления,—
рабочая часть линии зацепления Соответствующая ей дуга
начальной окружное!и DD' (рис. 14.4) называется дугой зацепления.
217
Коэффициент перекрытия. Во время зацепления одной пары
зубьев колесо поворачивается на угол трг Отношение этого угла
к угловому шагу зубьев называется коэффициентом перекрытия
с. Чем больше коэффициент перекрытия, тем более благоприятны
условия работы передачи. Расчет коэффициента перекрытия для
цилиндрических прямозубых колес проводят по формуле [2,
14, 19]
£=(n/ncosa)-1 [х/ rl x-rll±Jrl2-rl2 + aw sin aw]; (14.11)
верхние знаки относятся к внешнему зацеплению, нижние - к
внутреннему. Теоретически минимально необходимое для нор-
мальной работы значение параметра е равно единице. Но
с учетом неточностей изготовления и сборки Emin^l,l. Наиболь-
шее возможное его значение для цилиндрической прямозубой
передачи внешнего зацепления — около двух. Зная е, можно
рассчитать среднее число пар зубьев, которое находится в зацеп-
лении. Из приведенного выше определения следует, что
e=.v,,'/V
где s^DDi—длина дуги зацепления: pw—начальный inai.
▼ Пусть моменту начала зацепления данной пары зубьев соот-
ветствует точка I) начальной окружности
_ радиуса rw, (см. рис. 14.4 и 14.5), а момен-
____*7''"'^'%' ТУ ВЬ1ХО-'1а из зацепления—точка D'. Так
7 как в момент входа в зацепление нреды-
г/__дутая пара зубьев из зацепления еще не
✓X вышла (при е>1), го на участке DDt
\? / зацепление двухпарное; далее, па участке
х z Dj D2 в зацеплении находится лишь данная
Рис. 14.5 пара зубьев: на участке D2D' зацепление
218
вновь двухпарное. Слеловатольно. од-
нопарнос зацепление имеет место только
на участке
D, Г>2 = DD, -DDX = DD2 -
относительная продолжительность одно-
парного зацепления
ц ( = D j D2 /х3 = 2/е — 1,
а двупарпого
ц2= 1 —щ =2(1 —е-1).
Среднее количество зубьев, находящихся
Рис. 14.6
в зацеплении,
е=1 ц1 + 2-|1,=3-2£ *.
Например, если £=1.67, то р( = 0,2, т. е. 20% времени зацепление
однопарное, а 80% времени—двупарпое; в среднем в зацеплении
находится Ё=1,8 пар зубьев. ▲
Силы в зацеплении прямозубой передачи. В точке С кон такта
зубьев (рис. 14.6) действует нормальная к профилю зуба сила
Д,; ее линия действия линия зацепления Л;Л'. которая нормальна
к профилям соприкасающихся поверхностей. Для ведомого колеса
сила F„ создае! момент Т = F„rw cos а „„ направленный в сторону
вращения; для ведущего колеса направление силы Fn противо-
положно.
Силу F„ часто представляют в виде суммы составляющих:
Л=7;+7;.
где F,&T!rw окружная сила, перпендикулярная оси А А зуба;
Fr=Frtgaw—радиальная, или распорная, сила, направленная к це-
нтру колеса.
По линии KKA.NN действует сила трения Ff=fFn. где
f—коэффициент [рения скольжения.
§ 14.5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
И РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
ПРЯМОЗУБОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПЕРЕДАЧИ
Различают два способа образования зубьев: копирование
и огибание. При копировании профиль инструмента представляет
собой точную копию изготовляемого зубчатого колеса (или его
части). В приборостроении по способу копирования изготовляют
зубчатые колеса штамповкой. Недостаток этого способа — относи-
тельно низкая точность получаемых параметров зацепления.
Способ огибания (обкатывания) основной как в общем машино-
строении, так и в приборостроении. Достоинства метода: высокая
219
Рис. 14.7
точность, одним инсфументом данного модуля нарезают колеса
с разными числами зубьев, большая производи[ельность и воз-
можность автоматизации процесса.
Большую часть зубчашх колес в настоящее время изготовля-
ем нарезанием. Инструментом може> служить инструментальная
зубчатая рейка 1 с прямолинейным профилем зубьев (рис. 14.7,а)
или колесо е эвольвенгными зубьями, называемое долб.чком. Зуб
рейки представляет собой равнобокую трапецию со скругленными
углами вершин и впадин. Пираме фы режущего инструмента —
рейки ст андар жзованы и определяются производящим исход-
ным конфром; основные параметры рейки угол профиля а,
коэффициент высо1ы головки Л’ и коэффициент радиального
зазора с* (в cooibcicibhii с ГОСТ 13755—81 и 9587 81 а = 20
220
h„=\, с" см. с. 213). Линия ММ, но которой толщина зубьев
равна ширине впадины, называется делительной прямой.
С кинематической точки зрения инструментальная рейка
аналогична рейке зубчато-реечного зацепления. При нарезании
зубьев рейкой воспроизводится такое относительное движение
заготовки и рейки, как и при работе реечного зацепления (см.
рис. 14.1, ж). В процессе нарезания рейка 1 движется с небольшой
скоростью v прямолинейно, а заготовка 2, предварительно обто-
ченная по радиуйу ги. вращается е узловой скоростью
ю2 = с,(0,5алг2).
Режущее движение рейки возвра тно-поступательное, параллель-
ное оси заготовки (перпендикулярно плоскости чертежа); при
движении в одном направлении срезается часть материала
заготовки, обратный ход холостой.
▼ Другая возможность осуществить ют же процесс — нарезание
зубьев червячной фрезой 1 (см. рис. 14.7,6), которая в осевом
сечении пре вставляет собой рейку с прямолинейным очертанием
зубьев. Вращение фрезы вокруг своей оси дает возможность
одновременно осуществить режущее движение фрезы-рейки и по-
ступательное перемещение ее режущих кромок: кроме юго,
осуществляется движение подачи но стрелке А.
Зубчатые колеегт можно изготовить также долочком I (рис. 14.7,
в), который в принципе является зубчатым колесом с режущими
кромками. При нарезании долбяк 1 и заготовка 2 вращаются
с угловыми скоростями то,, w2; отношение <o1.'(o2 = /12=z2/r1
(Zj, z2— числа зубьев долбяка и заготовки). Долбяком можно
нарезать колеса с внутренними зубьями, которые нельзя получить,
используя инструмент альттую рейку.
Отпой из перспективных разновидностей нарезания колес
методом огибания является накатка зубьев, которую применяют
в основном при изготовлении мелкомодульных колес. Инструмен-
том служит зубчатое колесо 1 (рис. 14.7,?) с числом зубьев г,
и модулем т; заготовка 2 выполнена из более мягкого материала,
чем инструмент /. В процессе образования зубьев относительные
движения инструмента и заготовки т кие же, как если бы
в зацеплении находились обычные зубчатые колеса: инструмент
вращается с угловой скоростью оо1, а заготовка —со скоростью
g)2=wiz1/z2, где z2— получаемое число зубьев колеса-заготовки.
В результате инструмент 1 выдавливает на заготовке 2 зубья
соответствующего профиля; число зубьев определяется соотноше-
нием (Dj 'со2 и может быть любым. Разогрев заготовок колес
с модулем т >0,8 мм часто осуществляется токами высокой
частоты.
Изготовление и применение колес со смещением инструмента.
При изготовлении зубчатых колес делительная прямая инструмен-
тальной рейки может касаться делительной окружности колеса
221
или отстоит от ^той окружности на рас-
/ | \г стояние h=xm (х- коэффициент смеще-
f \ пия). Если делительная прямая не пересека-
/_______ет делительную окружность, то коэффици-
\ РА епт А считается положительным; в против-
\ ' / / ном случае х <0.
J I / Колеса, зубья которых образованы при
J \J rf х — 0, носят название колес без смещения. При
х получают зубча гые колеса со смещением.
4 —Выбирая определенные коэффициенты смеще-
ния, можно в широких пределах управлять
Рис- ,4-8 качественными характеристиками передачи.
Габариты зубчатой передачи определяются ее межосевым
расстоянием, которое зависит от модуля зацепления /», передаточ-
ного отношения i и числа зубьев zt шестерни. Значение модуля
обусловлено прочностью зубьев и технологическими условиями,
а переда!очное отношение кинематикой привода. Следователь-
но. сокращение габаритов передачи может быть достигнуто
уменьшением числа зубьев z{ шестерни. При нарезании рейкой
колес с коэффициентом х=0 и числом зубьев z <zmin = 17 (при
ot = 2O /т* = 1) зубья получаются подрезанными (рис. 14.8): ниже
ючки А эвольвентный профиль срезается и прочность ножки
зуба уменьшается; кроме того, уменьшается степень перекрытия
зацепления. Чтобы устранить подрезание, режущий инструмент
отодвигают от центра заготовки па размер b (см. рис. 14.7.6).
Если смещение применено для предотвращения подрезания
ножки зуба, го коэффициен! х, шестерни определяю! из условия
-'1 « (“ min ~ 1 ) “ min
где коэффициент высоты головки зуба; Zj— нарезаемое
число зубьев; zmin = 2A*'sin2a.— наименьшее число зубьев, при
котором нет подрезания.
Проектируя передачу, можно за счет выбора коэффициентов
лд и х2 повысить ее контактную прочность и выносливость — при
максимальном коэффициенте суммы смещений л1 = х1+х2. Увели-
чение изгибной прочности достигается таким подбором коэффици-
ентов смещения, при которых коэффициент формы зуба YF
максимален (см. также § 14.8). Можно создать наиболее износо-
стойкую передачу, так как соответствующий выбор коэффициен-
тов Xj 2 уменьшает скольжение профилей или делает его более
равномерным (тогда при износе не искажается исходная форма
эвольвенты зуба).
При выборе значений коэффициентов смещения нужно обеспе-
чить условия существования данной передачи: коэффициент
перекрытия должен быть больше минимально допустимого,
подрезания зубьев не должно быть, толщина зуба на окружности
вершин Sto>O.25w для кинематических передач и Л’1о^0,4/и для
222
силовых, необходимо избежать интерференции зубьев, когда
профили «накладываются» друг на друза и передача заклини-
вается.
Наиболее удобным методом выбора коэффициентов смещения,
учитывающим все указанные условия, является метол «блокиру-
ющих контуров» (см. [19]).
Если известны (выбраны) коэффициенты смещения, ю пара-
метры передачи рассчитываю гея по следующим формулам:
inva„. =2.\vtga'(z1 +z2) + inva; (14.12)
межосевос расстояние
hw = 0,5/h(zj +r2)cosa'CosaK; (14.13)
радиусы начальных окружностей
/•и. = rcosa,cos3c„,; (14.14)
радиусы окружностей впадин
rf =r — m(h*a + c*—x)', (14.15)
так как радиальный зазор в зацеплении должен быть равным
с*т, то при известных л12 и ои. радиусы окружностей вершин:
rai.i=aK-T]2A-c*m. (14.16)
В некоторых случаях необходимо выполнить прямозубую
передачу с точно заданным межоссвым расстоянием ак при
определенном модуле и числах зубьев. Тогда угол зацепления
определяется из формулы (14.13):
аи. = arccos[/H (z, + z2)cosa/(2«„)];
коэффициент суммы смещений
л\ = л1+.r2 = (inva,v. -iinx)(cj + z2) (2lga), (14.12a)
выбрав коэффициенты v, , так. чтобы величина была равна
вычисленной по формуле (14.12а), получим передачу с точно
заданным межосевым расстоянием.
В приборостроении часто применяют так называемое равно-
смещенное зацепление, которое может быть осуществлено при
условии zt + z2 >2zmin. В этом случае относительный сдвиг для
колеса х2 = — Для равносмещенпой передачи угол зацепления,
радиусы начальных окружностей п мсжосевое расстояние aw
равны соответствующим параметрам зацепления, составленного
из колес без смещения [см. формулы (14.3) — (14.7)]. А
§ 14.6. КОСОЗУБЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ
Косозубые цилиндрические колеса отличаются от прямозубых
тем, что оси их зубьев составляют некоторый угол р с осью
колеса (рис. 14.9, а). Благодаря косому расположению длина зуба
223
/, больше ширины hw колеса:
/,=/>„/cos р.
i. е. коншктныс напряжения уменьшакися по сравнению с пря-
мозубыми колесами. Косозубые передачи обеспечиваю г более
плавный и бесшумный ход, допускают более высокие нагрузки
и скорое 1 и. Кроме того, косозубые передачи даю г возможность
получить строго определенное межоссвое расстояние (например,
в соосных передачах) путем выбора соответствующего угла
наклона линии зуба р.
Геометрические параметры. В юрцовой плоскости Г Г (рис.
14.9. а) шаг зацепления
р, = АС=птг,
а в нормальном сечении AW шаг
ms и ти —торцовый и нормальный модули зацепления; стандарт-
ным является нормальный модуль. Из ЛА ВС следует, чю
Pt=Pjcosfr,
поэтому /M, = mn,cosP- (14.17)
Делительный угол наклона линии зуба но начальному (дели гель-
ному) цилиндру в большинстве передач принимается р = 8...15'.
Значения диаметров косозубого колеса (или шестерни), нарезанных
без смещения, и другие размеры определяют но формулам,
аналогичным (14.2) —(14.7), приведенным ранее для прямозубых
колес:
делительный диаме гр d=dw = mt~ = (m„ /cos P)r;
диаметр вершин зубьев da = d+2m„;
диаметр впадин: для т„^1 имеем dj=d— 2,5/нп; для 0,5^/н„<1
имеем df=d—2.7ni„.
Межосевос расстояние косозубой цилиндрической передачи
при хх=0:
224
aw = 0,5 (dw (+ dw2)=(2i + z2)m„ /(2 cos p). (14.18)
В косозубом зацеплении увеличивается дута зацепления на
величину bw lg Р (рис. 14.9, а), вследствие чею растет и коэффи-
циент перекрытия:
=£+bw tg р.у?, = е + bw sin P/(twi„). (14.11а)
где £—коэффициент торцовою перекрытия, рассчитываемый
по формуле (14.11). в которую вместо угла aw в нормальной
плоскости нужно подставить угол зацепления в торцовой
плоскости:
a„,$ = arctg(tg ''cos р);
второй член в равенстве (14.11а) называется коэффициентом
осевого перекрытия.
Использование косозубых колес в соосных передачах (рис.
| 14.9, б) дает возможность легко обеспечить требуемое межосевое
расстояние. Пусть, например, задано межоссвое расстояние
«„1 первой ступени передачи. Необходимо обеспечить соосность
(ам>1= aw2) при заданных числах зубьев колес z3, z4 для второй
ступени и определенном ее модуле т„. Если применить косозубую
передачу z3 — z4. то из условия соосности получим требуемый
делительный угол наклона линии зуба второй ступени [см.
формулу (14.18)]:
cosP = >nn(z3 + c4)/(2tfwl).
Силы, действующие в зацеплении (рис. 14.9, в). Нагрузка F„,
воспринимаемая зубом, направлена но нормали к его рабочей
новерхносто и может быть разложена на составляющие:
Fn = F1 + F, + Fx,
где F, окружная сила в торцовом сечении, линия действия
которой касательна к начальной окружности. F,= T/rw; Fr—ра-
диальная (распорная) сила, направленная по радиусу к ueHipy
колеса, Fr = F, tg oclv /cos P; Fx осевая сила, параллельная оси
! зубчатого колеса, Fx = F,tgp. Эти силы вызывают сложную
деформацию зубьев и нагружают валы и подшипники передачи.
§ 14.7. КОНСТРУКЦИИ И МАТЕРИАЛЫ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Типовые конструкции мелкомодульных зубчатых колес по-
казаны па рис. 14.6. Металлические зубчатые колеса (рис. 14.10,
а, б, в) получают путем механической обработки или штамповки
заготовок с последующим нарезанием зуба. Колеса могут быть
дисковыми (рис. 14.10, о), с односторонней или двусторонней
ступицей (рис. 14.10,6, в). При разности размеров d„ —б/,>18мм
в торцах дисков колеса MoiyT делаться выточки и отверстия
для снижения массы и момента инерции колеса. Число отверстий
8 Jan 740 225

Рис. 14.10
в диске равно 3 или 6 (в зависимости от размера колеса),
диаметр отверстий — 5...10 мм. В соответствии с ГОСТ 13733 —77
зубчатые колеса по рис. 14.6, а— в должны иметь следующие
размеры (мм) (в скобках —для косозубых колес):
d...........0.8 1
......... з
1...........3; 4
/>..........
1.2 1.6 2
3.5 4,5 5
5; 6
2,5 3 4
6 7 8
6...10(8...12)
0.6...2.5
5 6 8
9 10 14
10...16(12...18)
При относительно большом диаметре (rfo>80 мм) и необходимости
применять цветной сплав или синтетический материал для изготовления
зубчатого венца используется конструкция сборного колеса по
рис. 14.10,г l^dl; Л%(6...10)ли]. В ряде механизмов
применяют блоки зубчатых колес, свободно вращающихся на осях.
У колес с малым числом зубьев (шестерни или трибки)
часто расчетный диаметр окружности впадин близок к диаметру
вала. В этом случае зубья нарезают непосредственно на валу.
226
В качестве примера па рис. 14.10, д показан чер1еж вала-шестерни
печатающего механизма ЭВМ.
Выбор материала для изготовления зубчатых колес обустовлсн
особенностями их работы. Для цилиндрических и конических колес,
работающих с небольшими окружными скоростями (до 3 м/с), обычно
применяют качественные конструкционные стали марок 20...35; при
повышенных окружных скоростях сталь 45, 50, легированные с тали
20Х, 40Х, 12ХНЗА и др. Для изготовления валов-шестерен и трибов
применяют также инструментальные стали У8А, У10А.
Повышение долговечности зубчатых передач, особенно при
значительных силовых нагрузках, может быть достигнуто, если
зубья малого колеса (шестерни), нагружаемые чаще, выполнить
с более высокой твердостью рабочих поверхностей по сравнению
со вторым колесом. С этой целью для изготовления шестерни
выбирают более качественный материал или предусматривают
упрочггенис зубьев.
Из цветных металлов для изготовления мелкомодулыгых
зубчатых колес применяют бронзы БрОФЮ-1. БрАЖ9-4, а для
тихоходных передач — латунь ЛС59-1. Положительное качество
цветных металлов—пониженные потери на трение.
Основные механические характеристики материалов для изго-
товления зубчатых колес приведены в табл. 14.1.
Таблица 14.1. Механические свойства материалов, применяемых для изготовления
зубчатых колес
Наименование материала Марка Ире teji прочнос- ти При рас I яжс- нии ов, МПа Модуль уиру- юсги Е. МПа Среднее до- пекаемое на- пряжение при базовом чис- ле циклов, МПа
[П'г1‘ К,, ]
Сталь углеродистая, обыкно- Ст5 5ОО...62Й 140 350
венного качества. ГОСТ 380 71 Сгб 600...720 150 370
Сталь углеродистая, качсст- 35 540 160 400
венная. ГОСТ 1050 74 40 580 170 430
45 610 (2...2.2Ц05 180 450
50 640 190 490
50Г 660 200 700
Сталь легированная, конст- 20Х 800 160 450
рукционная. ГОСТ 4543 71 40Х 1000 200 550
I2XH3A 1000 330 1150
Бронза оловянная, ГОСТ 5017—74 БрОФЮ-1 420...5 5С 50 145
Бронза алюминиево-желези- стая. ГОСТ 493 79 БрАЖ9-4 400 (0,9... 1,05) 105 80 180
Бронза алюминисво-март ан- цовистая,, ГОСТ 18175—72 БрЛМц9-2 400 J 85 180
«*
227
Предо икение табл. 14.1
Наименование материала Марка Предел прочное- IH при растяже- нии су,, МПа Модуль упру- гости Е, МПа Среднее до- пускаемое на пряжение при базовом чис ле циклов. МПа
1<Ъ ]* 1°й ]
Латунь свинцовая, ГОСТ 15527 70 ЛС 59-1 200 0.93 105 145 265
Те стопит конструкционный. ГОСТ 5 78 птк. пт 98 (5...7) 10’ 45 55
Полиамид, ГОСТ 10589 87 610 50...60 1,210’ 30 40
* Для нереверсивных передач.
Зубчатые колеса из синтетических материалов. В точных
механизмах, в частности в механизмах ЭВМ. широко применяют
зубчатые колеса из синтетических материалов (см. табл. 14.1
и 13.4). Эти материалы обладают высокой упругой податливостью
(жесткость в 20...50 раз меньше, чем в перетачах из металлических
колес), износостойкостью, демпфирующей способностью, коррози-
онной стойкостью и другими свойствами, обеспечивающими
плавную, бесшумную работу передач при высоких скоростях
движения. Экспериментально установлено, что уровень шума
полимерной и металлонолимерной зубчатых передач на всех
скоростных режимах значительно ниже уровня шума стальных
колес. Использование зубчатых передач из син готических мате-
риалов во внешних устройствах ЭВМ позволяет уменьшить шум
почти на 70%, чго улучшает условия работы операторов. Кроме
того, при выполнении шестерни из металла, а колеса из
синтетического материала хорошо гасятся динамические колеба-
ния и интенсивно отводится (через металлическую шестерню)
1еплота, образующаяся вследствие зрения зубьев. При проекти-
ровании комбинированных передач ширину металлической шес-
терни назначают несколько больше ширины колеса, чтобы
предотвратить неравномерный износ его зубьев по длине.
Момент инерции зубчатых колес из синтетических материалов
в 4...5 раз меньше, чем у одинаковых по размерам металлических
колес; следовательно, время разгона и выбега (остановки) ме-
ханизма может быть значительно сокращено. Эта особенность
зубчатых передач из синтетических материалов весьма существен-
на для механизмов, у которых пуск и остановки повторяются
десятки раз в секунду. Зубчатые колеса из синтетических ма-
териалов могут работать без смазки. При этом для повышения
износостойкое!и зубьев и снижения коэффициента трения целе-
сообразно перед сборкой выдержать колеса в масле.
228
Геометрия зацепления и мето-
дика выбора основных парамет-
ров (числа зубьев, передаточного
отношения, модуля) металличес-
ких и синтетических колес при-
нципиально одинаковы. Некото-
рые особенности этих расчетов,
связанные в основном с техноло-
шей изготовления, рассмотрены
в специальной литературе [11].
Конструкции колес из син-
тетических материалов имеют
некоторую специфику. На
рис. 14.11, ст показана конструк-
ция зубчатого колеса механизма
печати ЭВМ, состоящего из ме-
Нис. 14.11
таллического центра I и синтетического венца 2 (из полиамидной
смолы). Смола заливается на обод втулки под давлением. На
рис. 14.Н,р показана одна из конструкций зубчатых колес из
текстолита (механизм фотоввода ЭВМ). Такие колеса можно
крепить на валах с помощью шпонок, при этом напряжение
смятия не должно превышать 7,5...10 МПа. В других конструкциях
пластмассовых колес для падежного их крепления на валах
применяют металлические втулки или фланцы.
§ 14.8. ПРОЧНОСТНЫЕ РАСЧЕТЫ
В устройствах вычислительной техники, роботах и приборах
используются кинематические и силовые зубчатые передачи,
которые работают в принципиально различных условиях. Кине-
матические передачи (например, в механизме поворота шкалы
прибора) практически не нагружены внешними силами, но
в процессе работы здесь возникают крутильные и изгибные
колебания. Расчеты таких передач выполняются на износостой-
кость.
Поломки зубьев силовых передач чаше всего возникают
вследствие усталости материала; образуются микро трещины,
которые постепенно увеличиваются. Интенсивность развития
усталостных явлений зависит в первую очередь от уровня
напряжений в зубьях, подвергающихся деформации изгиба и смя-
тия в зоне контакта. При недостаточной прочности происходит
быстрый износ и разрушение зубьев. Для предотвращения
OIмеченных явлений и обеспечения высокой надежности и необ-
ходимой долговечности передач проводил расчет зубчатых колес
па прочность с учетом усталостных явлений.
Возможны два вида расчета: проектный и проверочный. При
проектном расчете обычно определяют один из следующих
229

параметров: межосевое рассюяпие ан„ диаметр делительной
окружности d или модуль зацепления т. Проверочный расчет
предусматривает определение но заданным нагрузкам и размерам
колеса (найденным на основании геометрического расчета) наи-
больших контактных и изгибных напряжений, сопоставление их
с допускаемыми.
Основной режим нагружения зубьев—циклический: поэтому
далее приведены зависимости для расчета зубьев передач па
выносливость по контактным и изгибпым напряжениям. Зубчатые
передачи вычислительных систем и приборов часто выполняются
открытыми, работают в условиях полусухого трения. Эго приво-
дит к значительному износу, который обычно опережает процесс
усталостного выкрашивания поверхности зуба. Поэтому для
открытых передач прежде всего выполняется расчет па изгиб.
Для передач, работающих при жидкой смазке, основной расчет —
на контактную выносливость.
Расчеты на прочность и выносливость прямо- и косозубых
передач меюдически одинаковы; вывод формул показан на
примере прямозубой цилиндрической передачи.
▼ Расчет зубьев на изгиб. Цель расчета обеспечить выносливость
зуба при изгибе, г. е. предотвратить ею усталоегный излом.
В первом приближении зуб рассма/ривают как балку, защем-
ленную одним концом (рис. 14.12,г/)*. Наиболее опасно положение
зуба в том случае, когда нагрузка F„ действует на вершину
зуба, что соответствует моменту начала или конца зацепления
пары сопряженных зубьев. Окружная составляющая Ft вектора
F„ перпендикулярна оси зуба и вызывает его изгиб. Радиальная
составляющая Fr, направленная вдоль оси зуба к центру колеса,
сжимает зуб.
* Более точное решение этой задачи получают с помощью методов /еории
упругости.
230
(14.19)
При совместном действии этих деформаций трещины возни-
кают на растянутой стороне зуба; расчетное напряжение в сечении
на расстоянии х от точки А [см. формулу (10.17)]
С_МЛХ)6л .
где M„(x) = F,x—изгибающий момент в рассматриваемом сече-
нии; lVy(x) = bwsx >6- осевой момент сопротивления сечения, пря-
моугольного в плане; bw—ширина зубчатого венца; sx— пере-
менная по высоте толщины зуба; bwsx — площадь сечения зуба.
Максимальное значение функции (14.19) определяют с помощью
ЭВМ. Если для опасного сечения ВС. в котором напряжение
достигает наибольшего значения, обозначить
бх/s х — lg /'sx = УFi m,
то с учетом выражения (14.19) искомое опасное напряжение
где расчетная окружная сила
Л = [Т/(0,5(/)]^р^..
(Г—крутящий момент на данном звене, Н мм; KF$— коэффици-
ент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по
длине зуба; KFv—коэффициент динамичности). Окончательный
вид формулы проверочного расчета*:
для шестерни
сГ1=27’1 Epi YpKFpKFt;/(rndxbw)^[<3Fl]',
для колеса
<5р2~ °F1 Ур2 ! ^Fl [nF2],
(14.20)
(14.21)
где J, =mzx /cos 0— делительный диаметр (0 —делительный угол
наклона зубьев); Z>w = \|/bllrf1 — рабочая ширина зубчатого венца;
Фм — коэффициент ширины венца, 0,1 0,5, причем меньшие
значения принимаются для консольно посаженных колес или
расположенных несимметрично относительно опор); Ур—коэф-
фициен г, учитывающий влияние формы зуба, для внешних зубьев**:
у =Г2-8Г1-—Л / Д'Го,545 -—- + 5'73х (‘±7П, (14.22)
F 1+Л-2/ / J |_ 2 Z2 z3 Z + 6.V
где z— число зубьев, для косозубых колес вместо г в формулу
(14.22) подставляется эквивалентная величина z3 = r/cos30; х—ко-
эффициент смещения (см. § 14.5).
* Эти же формулы используются при расчете косозубых цилиндрических
передач (расчетный модуль m нормальный); влияние осевой силы F, (см.
рис. 14.9. в) и другие особенности косозубой передачи учитываются с помощью
коэффициентов, входящих в соответствующие зависимости.
** Для внутренних зубьев см.: Курсовое проектирование деталей машин'Под
рсл. В. Н. Кудрявцева. Л., 1983.
231
Для косозубых передач в расчет вводится коэффициент
Ур=1-р 140; при р^42 Гр = 0,7; (14.23)
значения величины KFfi при твердости поверхности $350 НВ
(обычно твердое!ь поверхности зубьев равна 80...200 НВ):
Фы...................... 0,2 0,3 0,4 о,5
Kff для консольного коле-
са...................... 1,17 1,25 1,35 1,45
То же. для колеса, располо-
женного между опорами... 1,05 1,08 1,10 1,13
Значение коэффициента динамичности KFv ориентировочно
можно принять равным 1,1 для быстроходных (г >0,5 м/с) колес
высокой точности (6-я или 7-я ступень); для колес менее точных
или при ударной нагрузке Кг„— 1,2...1,3. Допускаемое напряжение
[оу ] = &FR К FC Кы. iC'S’k ] = [° F ] KFl KFL, (14.24)
где <5fr — предел выносливости при изгибе, для углеродистых
и легированных сталей при твердости поверхности зуба $350 НВ
1,3511В+100. МПа (НВ — число 1вердости по Бринеллю)
(см. § 7.2); KFC = 1 для нереверсивных и К7Г = 0,65 для реверсивных
передач; KFL — NFn/NE—коэффициент долговечности (NF =4х
х 10° базовое число циклов напряжений; NK=ft)nL действи-
тельное число циклов; // — частота вращения, об'мин; L — долго-
вечность передачи, в среднем 5000... 10 000 ч; при NE>NF KFL=\,
при >2,08 принимают KFL = 2,08): ] — коэффициент безо-
пасности, равный 2,2, а для особо ответственных передач — 2,5;
ориентировочные значения величины [c'f ] приведены в табл. 14.1.
При расчетах число зубьев zt шестерни назначают с учетом
следующих соображений. При нарезании зубьев без смещения
червячной фрезой с углом исходного контура а=20 (наиболее
распространенный способ) для предотвращения подреза ножки
зуба число зубьев должно быть не менее 17; при укороченных
зубьях =0,8), а также для несиловых передач можно допустить
zmin = 14. Дальнейшее уменьшение возможно лишь при исполь-
зовании колес, нарезанных со смещением (см. § 14.5).
Для обеспечения необходимой плавности хода, что особенно
важно в быстроходных передачах, число зубьев шестерни реко-
мендуется назначать в зависимости от часто1Ы вращения п;
например, при 1000 об/мин ? = 22...26, при п< 1000 об/мин
z=22...17 (см. также [8]).
Если шестерня и колесо изготовлены из одинаковою мате-
риала, то проектный расчет передачи на прочность ведут по
шестерне, так как ее зубья нагружаются в и раз чаще по
сравнению с зубьями колеса [н передаточное число, см. формулу
(2.7)]. Модуль зацепления вычисляют по формуле
232
YFl ГрЛГгрА'/„/(21фм[сГ1]), (14.25)
которая непосредственно следует из неравенства (14.20).
Проектный расчет выполняется по той же формуле (14.25)
и в случае, котда колесо изготовлено из менее прочного
материала, чем шестерня: если У, ' [of i ]< У2/[°F2 L то п под-
коренное выражение вместо У, [аГ1 ] подставляется отношение
y2y[<W
Расчет зубьев по контактным напряжениям. Цель этого расче-
та— предотвратить усталостное выкрашивание поверхностей зубь-
ев, т. е. обеспечить контактную вынос.швостъ зубьев. В качестве
расчетного примем положение пары зубьев шестерни / и колеса 2
в зоне полюса зацепления (когда в зацеплении находится только
одна пара зубьев). Зуб шестерни действует па зуб колеса силой
Fn. которая направлена вдоль линии зацепления (нормаль NH
к профилям зубьев па рис. 14.12,6). Как отмечено в § 10.5.
в результате деформации объемного смятия поверхностных слоев
зубьев образуется контактная площадка размерами а и Ц
{1г—длина зуба, равная ширине bw венца прямозубого колеса,
или /^^ cosp для косозубого). Из обшей формулы (10.21)
следует условие прочности зуба:
= 0.399х/£и (£11р ; Рпр) < [о„]. (14.26)
Расчетная нагрузка па зуб
F„ = [Т/ (ги. cos ocj] КИр Kllr Кн„ (14.27)
где Т крутящий момент на валу. И-мм: К1/р. KlJv - коэффици-
енты. аналогичные по физическому смыслу коэффициентам £гр,
KFv. использованным при расчетах на изгиб: коэффициент К/1а учи-
тывав! влияние погрешностей зацепления с ростом окружной
скорое I и.
Приведенный модуль упругости
£пр = 2£, Е2 . [£, (1 - р ?) + Е2 (1 - р I)]. (14.28)
где £,, р, и £2, р2 — модули упругости и коэффициенты Пуассона
шестерни 1 и колеса 2 соответственно.
Приведенный радиус кривизны
Рпр* = РГ' ±РГ' -
знак плюс при касании выпуклых профилей (внешнее зацеп-
ление). знак минус — при касании выпуклого и вогнутого профи-
лей (внутреннее зацепление). Из свойшв эвольвенты (см. § 14.4)
следует, чго радиусы кривизн для расчетной точки Р (см. рис.
14.1 и 14.3):
р, = BtP=rwi sina,,.; p2 = B2P=rM.2sina,v. поэтому
приведенный радиус кривизны для внешнею зацепления
233
Рпр* 1 =(1 +Zi2)/(0,5rfK,1f12sinaK,). (14.29)
Зависимость для проверочного расчета па контактную выносли-
вость получим, подставив в исходную формулу (14.26) величины
(14.27) и (14.29) и введя коэффициент ze для учета влияния
степени перекрытия е:
О 7QR7 7 /-----------------------------
</Л^7Ан,.ЛГ„а(1+/12)Епр/(^/12)<[он].(14.30)
«1Г1
Формулы для расчета параметров, входящих в (14.30), приведены
в табл. 14.2. Контактные напряжения в зубьях шестерни и колеса
одинаковы и определяются левой частью неравенства (14.30).
Поэтому при расчете колеса, когда оно выполнено из менее
прочного материала, в условии прочности (14.30) изменяется
лишь значение допускаемого напряжения, которое рассчитывается
по формуле
[oh] = ^hr^r^hl/[«Sh] = [o'„]ZkK'w,, (14.31)
где uIIR— предел контактной выносливости; ZR —коэффициент,
учитывающий влияние шероховатости поверхности зубьев:
Параметр шероховатости..........
Значение, мкм................... 0,63...1.25
............................. I
1,25...2.5
0,95
10.. .40
0,9
Таблица 14.2. Формулы к расчету на контактную выносливость пплинлрическнх
передач*
Наименование пар шетра
Передача
прямозубая косозубая
Коэффициент Z„
Коэффициент Zt, учитывающий
степень перекрытия е
Коэффициент КНр распределения
нагрузки по длине зуба
Коэффициент динамичности KHv
Коэффициент Х„„, учитывающий
влияние погрешностей
Коэффициент KHL долговечности***
Базовое число циклов NHo
Предел контактной выносливости
стП|!, МПа (для углеродистых и леги-
рованных сталей при твердости 350
НВ
Коэффициент безопасности [5Н]
у 2,sin 2а„
V(4-s)/3
v 2cosP;sin2a„
е-°-’
1 + (Х’гр — I); 2
1+(КГг- 1)/2
1 | 1+(СТ-6)’-35/50**
V',V„0 '(60nL)
зонв2 *-4
2НВ + 70
* Более подробные данные см.: Курсовое проектирование деталей мапшп I
Под ред. В. Н. Кудрявцева. Л., 198.3.
** СТ—степень точности; формула верна для СТ>6.
*** При Nf>N„a X„t=l, при .>2.6 Х„1 = 2.6.
234
[п'п] -допускаемое напряжение при базовом числе циклов,
ориентировочные значения згой величины приведены в табл. 14.1.
Выразив через модуль величины = г|/м/иг,. по-
лучим формулу для проектного расчета зубчатой передачи:
тп^ --------«Н о Mlv Mia ( -Ь /1 2 ) ^пр / (Л 2 Фм 1 ] *) (14.32)
-I
Так как на aiane проектного расчета величина е неизвестна, ю
коэффициент Zc принят равным единице, что идет в запас
прочности. Как и при расчетах на изгиб, в формулу (14.32)
подставляются параметры шестерни, зубья которой испытывают
в и раз большее число циклов. Если же рассчитывается колесо, го
по аналогии с проверочным расчетом па контактную выносливость
в выражение (14.32) подставляется допускаемое напряжение для
материала колеса, а параметры Т,, остаются без изменения.
Если зубчатая передача работает в условиях обильной смазки, то
ее рассчитывают по контактным напряжениям, а расчет на изгиб в
этом случае проверочный. Передачи, работающие в условиях ограни-
ченной смазки или совсем без смазки, рассчитывают только на изгиб.
Пример 14.1. Рассчитать на выносливость косозубую цилиндрическую передачу
внешнего зацепления механизма печати ЭВМ при следующих исходных данных:
крутящий момент на шестерне Т, = 520 Н- мм, передаточное отношение ц2 = 4,3,
часто!а вращения и, =2100 об/мин. угол наклона зубьев 0=10 , шестерня и колесо
выполнены без смещения, передача реверсивная, работает в масляной ванне,
требуемая долговечность /.=6000 ч.
Решение. В качестве материала шестерни I выбираем стать 45 с закалкой
зубьев до твердости 250 НВ; лтя колеса 2—та же сталь, но без закалки,
термообработка — нормализация. Модуль упрутости стали £, =£2=2,1 105 МПа,
коэффициент Пуассона |1, =ц2=0,3; приведенный модуль упругости рассчитывается
по формуле (14.28): £ир=2,31 • 10 МПа.
Так как передача быстроходная (и, =2100 об/мин), принимаем z,=26,
z2=z1t,2 = 26-4,3= 111.8л 112. Число зубьев эквивалентных (прямозубых) шестерни
колеса:
г,,=26/005-' 10 л28; z,2= 112/cos3 10 л118.
Колеса работают в условиях обильной смазки, поэтому определяем нор-
мальный модуль зацепления но расчету на контактную выносливость. С учетом
относительно высоких скоростей и условий работы механизма назначаем: седьмую
степень точности, параметр шероховатости £„=0,63 мкм. Весь механизм располо-
жен внутри закрытого корпуса, т. с. колеса установлены между опорами.
Расчет выполняется по формуле (14.32); коэффициент ширины фы принимаем
равным 0,2; при выбранной величине Л„ параметр ZK = I. По данным табл. 14.2
находим следующие значения величины (а„ = а = 20 ):
ZH= x/2cos p/sin 2а„=ч/2 cos 10 / sin 40 = 1,75;
A„p= I +(£,p- l)/2= 1 +(1,05- l)/2= 1,025; KHr= I +(1.17- l)/2= 1,085;
= 1 + (С Г- 6)1 3S/50 = 1.02; NH „, = 30 11В 2-1 = 30 2502-1 = 3,26 • 106;
o/,«, = 2HB + 70 = 2-250+70=570 МПа; [SH] = [Sf]/2=2.2/2= 1,1.
Действизельнос число циклов и для шестерни и для колеса больше базовою
числа Л'ип. поэтому Кктл = 1. ^кь2=1- Допускаемые напряжения [формула (14.31)]:
[ст„1] = 57О-1 I/1,1 =518,2 МПа, [a//2] = [c)f2]ZJiA'„L2 = 460 -1 1=460 МПа
(величина [ет'Н2 ] взята из табл. 14.1).
235
По формуле (14.32) рассчитываем значение нормального модуля, подставив
сюда меныпее из двух допускаемых напряжений:
m„Ss0,860cos 10 26 ч/520 -1.752 -1.025-1.085 1,02(7+4.3)^2.31 105/(4,3 0.2-4602) =
= 0.745 мм.
Соыасно ( Т СЭВ 310 76. принимаем т,=0.8чм; начальный диамегр dwl =
.cos 10' =21,22 мм. ширина зубчатою веппа />„ = фм=4.5 мм.
Проверяем выносливость зубьев на изгиб. По полученным выше значениям
г,. используя завис мость (14.22). рассчитываем коэффициенты формы зуба
(коэффициенты смешения ,xl=.v2=0): >FI=3.91. PF2 = 3.69.
Допускаемые напряжения по деформации изгиба [формула (14.24)]: передача
реаерсивная. т. с. А>с = 0.65; действительное число циклов Л'ы,2 = 60 nL больше
базово о i'V0=4 I О6 — Л'н. ] .2 = 1;
0^1 = 1.35-250+100 = 447,5 МПа; [Sf] = 2.2;
foF1] = 447.5 -1,1 2,2 = 203.4 МПа;
из табл. 14.1 [a'F2 ]= 180 МПа. тогда [gFj ]= [a'F2 ] I I = 180 МПа.
Проверка выносливости на изгиб:
oF, = 2 - 520 .3,9 (1 - 10,140) 1.05 1.1. (0,8 21.22 • 4.5) = 57.08 < 203.4;
<tF2 = 57.08 3.69'3.91 = 53,87 < 180,
т. с. выносливость тубьсв шестерни и колеса обеспечена. Таким образом, для
рассматриваемой передачи можно принять значение модуля и/,,=0.8 мм. А
§ 14.9 КОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ
Конические передачи применяют для преобразования враща-
тельного движения между валами, оси которых пересекаются под
некоторым углом L (рис. 14.13). Наиболее часто этот угол составляет
90'. Конические колеса могут иметь прямые, косые и криволинейные
зубья. В точных механизмах преимущест венно применяют прямозу-
бые колеса. Конические колеса изготовляют из такого же материала.
что и цилиндрические, однако
технология нарезания зубьев
более сложная. Кроме того,
валы и подшипники конических
передач нагружаются как ради-
альными, так и осевыми сила-
ми. что несколько усложняет
конструкцию этих узлов. Стои-
мость конических передач выше
по сравнению с цилиндрически-
ми, поэтому применение их
должно иметь технико-эконо-
мическое обоснование.
Геометрические параметры.
Цель геометрического расче-
та— определение основных па-
раметров и размеров коничес-
ких колес. Конусы АОВ и ВОС
сопряженных колес (рис. 14.13),
Рис. 14.13
236
коюрые при вращении катятся один по другому без скольжения,
называются начальными (делительными) конусами. Их вершины
находятся в точке пересечения геометрических осей колес. Углы 5,
и 5,, составленные образующими делительных конусов и их осями,
называююя углами делительных конусов, при этом 81+62=Х.
Окружности диаметров del и т/е2, полученные при п ресечении
делительных конусов и конусов АО^В и ВО2С, представляют собой
делительные окружности. По этим окружностям определяют модуль
зацепления конических колес, который стандартизован.
Модуль часто назначается по конструктивно-технологическим
условиям изготовления колес и сборки механизма, а в силовых
передачах — на основании расчета на прочность. Геометрический
расчет ортогональной конической передачи (£ = 90) ведется на
основе следующих зависимостей:
внешний делительный диаметр de = mcz;
углы делительных конусов 5, =arctgr1/г2; 52 = 90г — 5^
внешнее конусное расстояние Re=wez/(2sin5);
коэффициент ширины зубчатого венца Л^Ь(, = 6/7?е^0,3;
ширина венца зубчатого колеса b = KbeRe, b^\0me;
диаметры окружностей вершин и впадин
^ael.2 = ^1.2 + 2/HCOS5ii2: ^fel.2 = ^1.2 — 2Л j-COS8i-2,
где внешняя высота hfe ножки зуба равна: 1,40т,, при 0,1 ^т< 0,3;
1,35/нр при 0,3^/н<0,5; l,25«ie при 0,5^т< 1; \,2те при т^\
[средний окружной модуль т—те (1 — 0,5ЛГЬе)]_
V Расчет на прочность. Важное требование при проектировании
конических передач — обеспечение необходимой надежности и дол-
говечности при заданных условиях работы. Критериями надеж-
ности и долговечности зубьев конических колес, так же как
и цилиндрических, является контактная и изгибная выносливость
рабочих поверхностей зубьев.
Расчетные формулы выводятся принципиально так же, как
для цилиндрических зубчатых передач. При проектировании
конических передач модуль зацепления по расчету на изгиб
может быть найден но следующей формуле:
те(14.33)
Если модуль зацепления и размеры элементов конической
передачи определены на основании геометрического расчета, то
проверку выполняют по следующим условиям:
^ = A „Ап A (>4.34)
deImrb[l — Khc)
Qf2 = oFi Гг2/Yfi $[ctF2]; (14.35)
cH1 x/Tl(\+il2)KllfiKnvE1E2/[bil2(\—Kbe)(El + Е2)]фя].
(14.36)
237
Рис. 14.14
В формула х (14.33)—
(14.36) значения параметров
те же. что и в формулах
(14.20) (14.25), (14.30)
(14.32); коэффициент YF
формы зуба принимают в за-
висимости ог эквивалентного
числа зубьев /cos5. А
Типовые конструкции ко-
нических колес (рис. 14.14).
Конические колеса малых
размеров d<10 мм изго-
товляют со сплошным дис-
ком (рис. 14.14, а). При
d>70 мм в целях снижения
массы и момента инерции в диске колеса предусматривают
отверстия и выточки (рис. 14.14, о, в). Количество и размеры
отверстий определяют так же, как и для цилиндрических колес.
Диаметр выточки D2 = d—2S (для колес с модулем ш^0,5 мм
S=6... 10 мм; для колес с ш^1 мм S=8... 12 мм). Обычно ступица
колеса располагается с противоположной стороны делительного
конуса (рис. 14.14, б), ио может быть и так, как показано на
рис. 14.14. в.
§14.10. ВИНТОВЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Винтовые передачи преобразуют вращательное движение меж-
ду скрещивающимися валами. Вследствие точечного контакта
зубьев винтовые передачи обладают сравнительно небольшой
нагрузочной способностью и используются в основном в приборо-
строении. Простейшая и на-
иболее распространенная
конструкция винтовой пе-
редачи показана на
рис. 14.15; она состоит из
двух цилиндрических косо-
зубых колес, оси которых
скрещиваются под углом
L = 90 . В такой передаче
делительный угол Р, накло-
на зубьев входного колеса
обычно больше угла Р2 на-
клона зубьев выходного ко-
леса; направление наклона
зубьев одноименное. От со-
отношения углов р, и р2
зависят основные нарамет-
Рис. 14.15
238
ры винтовой передачи: торцовый модуль ш,. передаточное
отношение il2, коэффициент полезного действия. Торцовые мо-
дули входного mti и выходного «1,2 колес в общем случае не
равны между собой, тогда как нормальный модуль тп, по
которому подбирают инструмент для нарезания зубьев, для
обоих колес должен быть одинаковым. Связь между углами
Р и торцовыми модулями такая же, как для косозубых цилин-
дрических колес:
т,=тп‘ cosp.
В устройствах автоматики, ЭВМ и приборах применяют
также и винтовые передачи с осями колес, которые скрещиваются
под углом L#90'. Возможны такие передачи: входное колесо
/ косозубое, выходное 2 -прямозубое (рис. 14.16. а); колеса
с одноименным направлением наклона зубьев (рис. 14.16, б);
колеса с разноименным направлением зубьев (рис. 14.16, в).
Передаточное отношение винтовой передачи
/i2 = /-W2COsP2/(rK,1cosP1)=z2/r1.
В реверсивных ортогональных винтовых передачах углы Р,
и Р2 обычно назначают одинаковыми: р,=р2 = 45.
При одноименном направлении зубьев наиболее высокий кпд
можно получить при следующих значениях углов р, и Р2:
р, =0,5(E+arctg /): P2 = O,5(S — arctg/),
где f—коэффициент трения скольжения, arctg/«3 .
Если оба колеса одного диаметра, а кпд не имеет решающего
значения, то для одноименного направления зубьев углы pt
и р2 могут быть найдены из соотношений
cosP^cosP^/u; Р,+р2 = Е; tgPj =(/12-cosZ)/sinZ:
tg Р2 = (i j/2—cos E)/'sin S.
При известных значениях. L. tnn, i12 и межосевого расстояния
aw углы наклона зубьев определяют из следующих соотношений:
«K, = 0,5(z1Hjn/cosP1+z2«in/cosP2); Pj + P^E; z2 = z1i12-
239
Геометрический расчет, расчет на прочность винтовых передач
выполняют по формулам для косозубых цилиндрических колее.
Пример 14.2. Делительные углы наклона зубьев шестерни 1 и колеса
2 £, = 15, Р2 = 75 . Определить диамшры начальных окружностей колес и угол
Е между осями, если нормальный модуль т„=0,8мм, передаточное отношение
1'12 = 2. число зубьев шестерни £,=20, колеса нарезаны без смещения.
Решение. Торцовые модули: ш,| =/»„ cos Р, =0,828 мм; ш, 2 =<»„/cos Р2 = 3.088 мм.
Диаметры начальных окружное!ей совпадают с делительными диаметрами:
dwi=d1=mltzt =0.828-20= 16,56 мм;
dw2 = d2 = ш,2=2 = ,ni 2 (-1' 1 z) = 3,088 20-2 = 123,65 мм.
Если направление зубьев колес одноименное, то Е = р1 + р,=90'; при разноименном
направлении Е = р2 — р, =60с (см. рис. 14.16).
§14.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
V Наряду с рассмотренными применяю 1ся специальные виды
зубчатых механизмов.
Зубчатые передачи с переменным передаточным отношением.
Для приведения в движение с заданной переменной скоростью
рабочих и управляющих органов механизмов приборов, а также
для воспроизведения функциональных зависимостей применяют
зубчатые передачи с переменным передаточным отношением.
В этих же целях применяют кулачковые и рычажные механизмы.
Но по сравнению с кулачковыми зубчатые механизмы с перемен-
ным передаточным отношением обладают большей точностью
(при серийном производстве) и более высоким кпд. Преимущества
рассматриваемых зубчатых механизмов по сравнению с рычажны-
ми заключаются в относительной простоте синтеза и возможности
получи 1ь кинематически точное решение задачи.
Существует две разновидности рассматриваемых зубчатых
механизмов — передачи с круглыми колесами и переменным шагом,
передачи с некруглыми колесами. Достоинства колес с переменным
шагом, предложенных Л. Л. Малкиным, относительная простота
изготовления и возможность нормальной работы с зубчатыми
рейками и круглыми колесами постоянного шага. Линия выступов
колес переменного шага — окружность, а форма центроиды определя-
ется требуемой функцией передаточного отношения. Однако область
существования таких колес весьма ограничена возможным п од резани -
ем и заострением о i дельных зубьев; поэтому зубчатые передачи
с переменным шагом пе получили широкого распространения.
Чаше всего применяют зубчатые механизмы с некруглыми
колесами (см. рис. 14.1, и, 14.17). При воспроизведении с помощью
зубчатого механизма монотонно возрастающей функции у= /(,v)
переменные .v и у моделируются соответственно углами поворота
(Pj входного и ф2 выходного колес (рис. 14.17):
ф 1 = I (-V —-Vmin); ф2 = k2 (Y) — /X-Kmin)], (14.37)
240
ГДе Ztj—ф1тах(л'щах -Vmin) Й
/с2 “ф2тлх ( Утах J'min) * — М<1С-
штабные коэффициенты (ф1тах
и фгтах—наибольшие возможные
углы поворота колес 1 и 2). Произ-
вотпые воспроизводимой функции
должны быть непрерывными в диа-
пазоне изменения аргумента (.xmin;
Vmax). Некруглые колеса могут вос-
производить и немонотонные фун-
кции, но с помощью кулачковых
механизмов это делать проще.
Выполним расчет центроид не-
крупных колес (рис. 14.17). которые
моделируют функцию y=f(x). По
известным межоссвому расстоянию
Рис. 14.17
«и.=Г1+г2 и передаточному отношению in =r2ir\' можно пайти
радиусы-векторы г, и г2 центроид ведущего 1 и ведомого 2 колес.
Так как передаточное отношение Г12 = то11.'(о2=бф1,ёф2, то урав-
нения центроид колес получают следующий вид:
(14.38)
Производную дф^/тЗфг найдем из выражения (14.37):
дф^Аддх; <3ф2 = A:2_r'd.x; бф1/ёф2 = ^|/(А2у')- (14.39)
Из уравнений (14.38) и (14.39) получим окончательно
Линии вершин и впадин зубьев некруглого колеса очерчены
кривыми, эквидистантными его центроиде. Передаточное отноше-
ние г|2 некрутлых колес должно быть гладкой функцией с огра-
ниченными положительными значениями. Для того чтобы на
цетроидах не было вогнутых участков и зубья колес можно
было нарезать инструментом реечного типа, необходимо со-
блюдать следующие неравенства:
1 + /12 + г 12 0: 1 + й2 + (й2)~ — Й 2 Й 2 0-
Возможная ошибка Ду воспроизведения функции у=/(.г) обуслов-
лена ошибками углов поворота входною и выходного звеньев
механизма, возникающими вследствие погрешностей изготовления
и сборки, а также ввода в механизм аргумента функции.
Пример 14.3. Рассчитать центроиды некрутых зубчатых колес / и.’ механизма
привода токосъемной щетки 4 функционального потенциометра (рис. 14.18)
непрерывной намотки, отрабатывающего нелинейную зависимость выходного
сопротивления Л = Л0/’(<р1), где <р( — угол поворота входного твена /: Я(1- полное
241
сопротивление потенциометра Чтобы получить
ребуемую функциональную зависимость без
некруглых колее, каркасу 3 1Ю1еициомстра
нужно бы ю бы придать специальный сложный
профиль. Применение нскруглых колес позволя-
ет выполнить каркас в виде простой свернутой
прямоугольной полосы и тем значительно упро-
С1И1Ь намотку проволочного сопротивления.
Решение. При повороте щ тки 4 на у юл
Ф2 сопротивление на выходе Я=(/>+е) р(и.'Л )х
х/)ф2=сф2. где D—средний диаметр каркаса:
b и е- высота и толщина каркаса, р и А
удельное сопротивление и площадь поперечного
сечения провода; и—число витков, приходяще-
еся на единицу длины каркаса.
Так как Я=Я0/'(ф(). то сф2 = Л0/(ф|),
откуда функция положения ведомого звена
Ф2 = Л0/(ф1)с.
Передаточное отношение зубчатого ме-
ханизма
«12=^Ф1/^Ф2 = ‘[ЛО/'(Ф|)] '
На основании формул (14.38) получим радиусы-
'•1=ан.Лп/'(ф1)/(Л0/'(ф1) + с); г2 = ан.с/(Я0/'(ф1) + с);
межоссвос расстояние ак выбирается из конструктивных особенностей механизма
Рассмотрим частный случай, когда воспроизводится параболическая зависи-
мость ф2=0.2(ф, +1)2. т. е. Я0/с=1. Угол ф,€[0;4] рад. Передаточное отношение
/,,=2.5 (ф, + I).
Мсдуль т зубчатых колее из соображений удобства изготовления и сборки
примем равным 0.8 мм. Наименьший разиус кривизны центроид по условиям
отсутствия подрезания зубьев
—г,„. =m(sina)-2 = 8.5zT7 = 6.8 мм; а —20
• min 1 mln 2 min ' /
Возможные наименьшее и наибольшее мсжосевые расстояния (мм);
"»• = Gт.п ( 1 + '12-1 = |0-2:
^ = '-lm.n(l+G2mJ = 23-8-
Несколько увеличивая, принимаем межоссвос расстояние ан.=42 мм.
Уравнения центроид колес найдем по формуле (14.38):
+/12)=42(ф1 + 1)/(ф, +3.5); Г2 = '12 '( I +',2) = 105; (ф, + 3,5).
Результаты расчета: Фь рал .... ... 0.0 1.0 2,0 3.0 4.0
Ф2. рал .... ... 0.2 0.8 1.8 3.2 5.0
гь мм ... 12.00 18,67 22,91 25.85 28.00
г2, мм ... 30.00 23,33 19,09 16.15 14.00
'12 ... 2.50 1,25 0.833 0.625 0.50
Подученные центроиды нскруглых колес представлены па рис. 14.17.
В различных системах точной механики с успехом используют-
ся зубчатые передачи, которые обладают рядом преимуществ
по сравнению с обычным эвольвентпым зацеплением.
Цилиндроконические передачи. Такие передачи представляют
собой пространственный механизм (рис. 14.19). образованный
242
зацеплением специального конического или торцового колеса
2 с цилиндрическим или коническим колесом 1. Специальное
колесо 2 чаще всего нарезается долбяком, зубцы этого колеса
имеют неэвольвентный профиль. Оси колес могут пересекаться
(рис. 14.19, а) или перекрещиваться (рис. 14.19, о) иод прямым
углом; в общем же случае угол 5 между осями может быть
любым. Цилиндроконические передачи обладают высокой точно-
стью, малым мертвым ходом при длительном сроке службы,
работаю! плавно и бесшумно, могут быть выполнены и с пере-
менным передаточным отношением. Эти достоинства определяют
их применение в системах точной механики. В качестве примеров
применения таких передач па рис. 14.20, а представлено простое
и надежное в работе реверсивное устройство приборов, а на
рис. 14.20, б—дифференциальный механизм. При необходимости
устранения бокового зазора, который образуется по мере износа
зубьев, применяют передачу, изображенную на рис. 14.20, в.
243
Pm. 14.21
счетчиках и т. п.
Часовое зацепление
(рис. 14.21, а). Это наиболее
распространенная разновид-
ность циклоидального заце-
пления. Ножка зуба колес
этого зацепления очерчена
отрезками прямых, в кото-
рые вырождаются гипоцик-
лоиды па радиусах произ-
водящих окружностей Rl 2,
равных половинам радиусов
делительных окружностей
г12. Головки зубьев очер-
чены дугой или пересека-
ющимися дугами окружно-
стей (рис. 14.21, б). Основ-
ные достоинства часового
зацепления: особо легкий
ход вследствие малых углов
входа зубьев в зацепление,
небольшие размеры, про-
стота изготовления, возможность реализации одной парой колес
больших передаточных чисел («<12... 20), высокий кпд. Важное
преимущество часовых колес—благоприятные условия передачи
сил в ускорительных передачах. Такое зацепление широко при-
меняют в часовых механизмах, тахометрах, трубках взрывателей,
Модуль т передач часовым зацеплением назначается в преде-
лах 0,08 ...0.5 мм, число зубьев шестерни (триба) z = 6... 18.
Межосевое расстояние определяется так же, как и для эвольвепт-
ных передач, по формуле (14.7).
Гипоидная передача. Передача состоит из двух конических
зубчатых колес (рис. 14.22), оси которых скрещиваются и смещены
друг относительно друга на величину Ё=(0,2...0,3) 100 мм
(j2 начальный диаметр колеса в среднем торцовом сечении).
Гипоидные передачи рабо i оспособпы в большом диапазоне
передаточных чисел (от 1 до 10 и более) и успешно конкурируют
с червячными, винтовыми и коническими передачами.
Достоинства гипоидных передач: плавность и бесшумность,
малая чувствительность к небольшим погрешностям изготовления
и сборки, хорошая прирабатываемое гь. Благодаря тому что
в зацеплении участвует одновременно большое число зубьев,
уменьшается влияние неточности изготовления.
В приборостроении гипоидные передачи применяют в исполни-
тельных механизмах различных автоматических устройств.
Тороидная передача. Тороидное зацепление относится к про-
странственным. Зубья одного или обоих колес нарезаю! на
244
различных частях поверхности тора. Главная особенность и пре-
имущество конических тороидных передач (рис. 14.23) — возмож-
ность нормальной работы даже при непрерывном изменении
угла 5 между осями колес от 0 до 180 . В отличие от других
передач такого рода передаточное отношение остается при этом
постоянным (обычно i=l). Используются тороидальные передачи
в механизмах с переменной структурой (в перенастраивающихся
манипуляторах и т. п.).
§14.12. ТОЧНОСТЬ
Точность преобразования движения зубчатыми передачами
зависит как от точности выполнения геометрических элементов
передачи, так и относительного их расположения. Кроме того,
на точность зубчатого механизма влияют упругие деформации
зубьев, валов, опор и других элементов передачи. Но степень
влияния этих деформаций на ошибку при прочих равных условиях
определяется точностью выполнения геометрических элементов
передачи.
Качество работы зубчатых передач зависит в основном от
следующих фак торов:
кинематической точности передачи, которая характеризует
постоянство передаточного отношения за один оборот ведущего
и ведомого колес; кинематическая погрешность одного колеса
ДГХ (рис. 14.24) представляет собой наибольшее в ючепие одного
оборота отклонение 5ф угла
поворота ф зубчатого колеса
при зацеплении с точным ко-
лесом;
плавности хода передачи,
которая характеризует постоян-
ство передаточного отношения
в пределах поворота колеса на
один зуб (на угловой шаг);
плавность хода оценивается ци- .
клической погрешностью
Рис. 14.24
245
Рис. 14.25
Af’=p /л)Е«7, многократно повторя-
ющейся за оборот колеса
(рис. 14.24);
степени контакта сопряженных
зубьев колес, определяющей пол-
поту прилегания рабочих поверх-
ностей зубьев.
Для сравнительной оценки точ-
ности изгоювлепия зубчатых колес
и сборки передачи ГОСТ 9178—72
(для 0,1^/п<1 мм) и 1643 72 (для
bi^Imm) предусмотрено 12 степеней точности, по которым
определяют допуски и отклонения. Первые три степени будут
использоваться в перспективе. Степени 4 и 5 особо точные
зубчатые колеса, к которым предъявляют высокие требования
по постоянству передаточного отношения и плавности хода.
Применение этих степеней точности должно быть обосновано
соответствующим расчетом и разрешено руководителем пред-
приятия. Степень 6 высокоточные отсчетные зубчатые колеса,
углы поворота которых соответствуют отсчетным значениям
с большой цепой деления. Кроме того, эту степень точности
используют для высокоскоростных передач при окружных ско-
ростях более 8 м/с. Степень 7 -точные колеса, предназначенные
для плавной работы при окружных скоростях 5...8 м/с. Наиболее
часто назначают 8-ю степень — это колеса средней точности,
удовлетворительно работающие при окружной скорости до 5 м/с.
Для каждой степени точности установлены определенные
нормы кинема!ической точности, плавности хода и контакта
зубьев. Количественно кинематическая точность характеризуется
радиальным биением зубчатых венцов и накопленной погреш-
ностью шага. Плавность работы зависит оз погрешностей
профилей зубьев и наибольших отклонений шага зацепления.
Нормы контакта зубьев определяю! допуски па погрешность
направления зубьев, нспараллельноеть и перекос осей колес.
При зацеплении зубья соприкасаются только по одной рабочей
поверхности (рис. 14.25); боковой зазор измеряемый по норма-
ли к профилям зубьев, образуйся за счет отрицательных допусков
на толщину зуба. Боковой зазор существенно необходим для
работы передачи, он позволяет компенсировать темперагурные
деформации, влияние неточностей межосевого расстояния, проги-
бов валов и зазоров в опорах. Наличие зазора j„ обеспечивает
нормальные условия смазки. Зазор не должен быть меньше
Ул min ,/nmin 4"/л min 6fw2sin Ctw (э(| A/f A^2) '1 (0.01 ...0,3) WZn,
где /J,min. ,/Lmin—минимальный боковой зазор, необходимый
соответственно для компенсации температурных деформаций
и нормальных условий смазки; aw— межосевое расстояние, мм;
246
at, a2 — температурные коэффициен-
ты линейного расширения матери-
алов колес и корпуса, °C-1; Д/j,
Д/2—отклонение установившейся тем-
пературы колес и корпуса от 20° С.
Значение бокового зазора опре-
деляется видом допуска на боковой
зазор и видом сопряжения зубьев.
По ГОСТ 9178 —72 установлено
пять видов сопряжений: Н—с на-
Рнс. 14.26
именыпим, G, F—с нормальным, Е, D—с увеличенным зазором
и четыре вида допусков — h,g,f,e. Вид сопряжения определяет
расположение поля допуска (рис. 14.26). Каждому сопряжению
соответствует один допуск на боковой зазор H—h', G—g; F—f’,
Е—е\ D — d. На рис. 14.26 показано относительное расположение
допусков на боковые зазоры, а соответствующие им минимальные
боковые зазоры — в табч. 14.3.
Таблица 14.3. Наименьшие боковые зазоры зубьев
Zimin’ 1,0 ГОСТ 9178—72
Вид сопряже- ния Межосевое расстояние, мм
<12 12... 20 20...30 30...50 50...80 80..120
н 0 0 0 0 0 0
G 6 8 9 11 13 15
F 10 11 13 16 19 22
Е 16 18 21 25 30 35
D 22 27 33 39 46 54
Наличие бокового зазора j„ между сопряженными зубьями колес
обусловливает гак называемый кинематический мертвый (свобод-
ный) ход зубчатой передачи. Мертвый ход пары сопряженных
зубчатых колес определяется углом поворота Дф одного колеса при
неподвижном втором колесе. Он особенно проявляется в реверсив-
ных передачах и снижает точность действия механизма, вызывает
вибрации и другие вредные явления. Учитывая это, при проектирова-
нии передач точных измерительных устройств и некоторых других
проводят расчет мертвого хода механизма, а также предусматривают
средства для его уменьшения. При отсутствии зазоров в подшипни-
ковых узлах значение мертвого хода рассчитывается по формуле
Дф=Уп/(гс°5а), (14.40)
где г—делительный радиус колеса a—угол профиля (обычно
равен 20е).
Если величина j„ в мкм. г—в мм, а результат Дф нужно
получить в угловых минутах, то формула (14.40) записывается
в следующем виде:
Дф = 3.44/п/(гсо8а). (14.40а)
247
Рис. 14.27
Пример 14.4. Для трехсгуненчатой прямозубой
передачи 'рис. 14.27) рассчитать наименьшие возмож-
ные мертвые ходы Афп1 (приведенный к шестерне I)
и Лф116 (приведенный к колесу б). обусловленные
боковым а юром в зацеплении. Вид сопряжения
зубьев Р, с нормальным боковым зазором: переда-
ТОЧ1ПЛС отношения 712 = 5.1. 7,4=4,2, т’56=3.3; модули
всех колес и;--0.6мм. чиста’нбыгн шестерен равны
20. угол профиля а=20
Решение. Так как боковой зазор зависит от
значений межосевых расстояний, то вычислим их
в м.м: = 0,5^7.’, (1+/12)=0.5-0,6-20(1+5,1)=
= 36,6; а ‘=0.5-0,6-20(1+4.2) = 31,2; я,,=0,5х
х 0.6-20(1+13)=25.8.
По табл. 14.3 находим наименьшие боковые
зазоры (мкм): ;„п111ъ12=;лт!п,4=16, ynmin56=I3. На-
именьший мертвый ход каждой ступени, приве-
денный к се шестерне (хтл. мин): Аф1-> = 3.44уит1п/
(0,5/H”1coso) = 3,44-16/(О,5 -0.6-20 0.94) = 9.76;
Лфз4 = Дф|2, Дф56 = 7.93. Физический смысл вели-
чин Аф: это тот угол, на который может повернуться шестерня данной ступени
при неподвижном сопряженном колесе. Так как утлы поворота ф,х и ф,ых входного
и выходного звеньев связаны соотношением
ф.х = ф»ыж'.ж .ЫГ
то у! ол поворота входной шестерни 1 при неподвижном колесе 6
Афп1 = Аф12+Лфз4/12+Аф561|2 7з4.
Наименьший мертвый ход ступени 1-2. приведенный к колесу этой ступени.
Аф 12к /лпЧл ('**2 COSАф12 '12»
япя других ступеней: Афз4г=Афз4/7з4; Аф,6,=Аф56/756.
Угол поворота выходного колеса 6 при неподвижной шестерне 1, т. е.
приведенный к звену 6 мертвый ход всего механизма по рис. 14.27:
Л Л , Дф34ж । Аф,2« ( д Афзд. Лф|2 | .
Лфп«=Лф5ь«+—:-----I"-—:----1 Лф5{| + —;--Ь-—— 1 / 756.
'56 '5б'34 \ '34 '12'34//
Этот же резу штат можно получить и прошс:
ДФп6 = ДФп1 /»16 = ДФп1 '('!2'34'56)•
Подставив в формулы для Лфп1 и Афп6
значения величин, получим наименьший мерт-
вый ход трехсгуненчатой зубчатой передачи:
звено приведения — шестерня /
Дф . = 9.76+9.76 -5.1+ 7.93 (5.1 -4,2)=
= 229,4 yi.j. мин = 3 49'24":
звено приведения—колесо 6
Дфп6=[7,93+ 9.76/4,2+ 9.76.(5.1 -4.2)].'3.3=3 15".
Передачи без кинематического ме-
ртвого хода можно получить следу-
ющим образом: одно из колес зубча-
той передачи разрезают плоскостью,
перпендикулярной оси вращения, на
две части (рис. 14.28); обе части со-
248
едипяцн пружиной гак. чтобы они стремились повернуться
относительно друг друга. Благодаря такому устройству кине-
матический мертвый ход устраняется полностью. Однако при
этом появляется дополнительный .мертвый ход, обусловленный
упругими свойствами пружины. Применяются также другие
конструкции, уменьшающие мертвый ход.
Кроме кинематического мертвого хода в ряде передач сущест-
венное значение может иметь упругий мертвый ход. Он обуслов-
лен 1лавным образом крутильными деформациями валов, расчет
которых рассмотрен в гл. 22.
ГЛАВА 15
ПЛАНЕТАРНЫЕ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
И ВОЛНОВЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Планетарные механизмы включают зубчатые колеса, оси которых пере-
мещаются в пространстве. По сравнению с другими передаточными механизмами
с одной степенью свободы планетарные редукторы и мулы индикаторы имеют
меньшие табари! ы п массу, передают энергию несколькими поток. ,и. В диф-
ференциальных механизмах два входных звена. Такие .механизмы применяют
для сложения движений, в том числе в устройствах управления.
Волновые зубчатые передачи структурная разновидность планетарных, у ко-
торых кЪлесо с подвижной осью сделано гибким и деформируется при работе.
Волновая передача допускает в несколько раз большие на|рузки. чем другие
зубчатые механизмы; передаточное число одной ступени от 50 до 300 при
относительно высоком кпд. Возможно передать движение из гсрмс1изированпото
пространства через 1ибкую часть его оболочки. Очень широко применяю!
волновые передачи в манипуляторах.
Другой относительно новой разновидное >ью планетарных передач является
механизм с двумя коническими колесами, одно из которых закреплено на
выходном валу жестко, а второе шарнирно связано с входным валом и образует
вторую кинематическую пару со стойкой.
§15.1. ПЛАНЕТАРНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Отличительная особенность рассматриваемых механизмов со-
стоит в том. что он содержит сателлиты—зубчатые колеса
2 (рис. 15.1), которые вращаются как относительно собственных
осей, жестко закрепленных на водиле h, так и вместе с водилом
относительно общей геометрической оси центральных (или сол-
нечных) колес 1 и 3. Оси центральных колес обязательно
располагаются на одной линии, т. е. механизм должен быть
соосным.
Планетарные механизмы имею! одну степень свободы, а диф-
ференциальные - две. В последнем входными могут быть любые
два из трех звеньев I, h, 3 (рис. i5.l.a); движение выходного
звена зависит от законов движения входных звеньев и параметров
механизма. Например, в передаче, изображенной на рис. 15.!.«,
249
Вид A
вращение воцила h определяется двумя независимыми парамет-
рами—углами поворота ср, и ф3 центральных колес 1 и 3.
В приборо- и машиностроении планетарные передачи, обла-
дающие одной степенью свободы, используются в качестве
редукторов или мультипликаторов. По сравнению с аналогичными
по назначению устройствами, содержащими механизмы с не-
подвижными геометрическими осями колес, планетарные передачи
позволяюI осуществить большие передаточные числа (до нес-
кольких тысяч) при малом количестве колес. Кроме того,
в силовых планетарных передачах благодаря применению нес-
кольких сателлитных колес (рис. 15.1,6) значительно снижаются
нагрузки на зубья и, как следствие, габариты и масса привода
(в 1,5...3 раза). Многосателлитные передачи имеют еще одно
достоинство (которое определяет их применение и при малых
нагрузках)—валы центральных колес оказываются разгружен-
ными от изгибающих сил. При ном не только можно уменьшить
размеры валов ио диаметру, но и значительно снизить нагрузки,
передаваемые на стойку (плату, корпус прибора и т. д.).
Недостатки планетарных передач: относительно большой мерт-
вый ход. высокие требования к точности изготовления, уменьше-
ние кпд с ростом передаточного числа. Но для механизмов
с малыми силовыми нагрузками последний недостаток обычно
не имеет существенного значения.
Выбор структурной схемы и конструкции планетарной передачи
зависит прежде всего от ее назначения и условий работы.
В силовых передачах первостепенное значение имеют высокий
кпд и минимальные габариты, поэтому для них могут быть
использованы схемы на рис. 15.1,6 и 15.2, а с несколькими блоками
сателлитов 2—2. Передачи с малыми нагрузками чаще строят
по схемам на рис. 15.2, а, 6, которые при малых размерах
250

Рис. 15.4
ляет в приборных передачах лишь
водило и его вал выполняются за
позволяют осуществить
большие передаточные
числа; схема на
рис. 15.2, в используется
реже. В планетарных ме-
ханизмах на рис. 15.1,6
и 15.2, а, б, в ведомым
или ведущим могут быть
центральные колеса и во-
дило. Типичные констру-
кции приборных плане-
тарных механизмов ука-
занного типа представле-
ны па рис. 15.3 (а— по
схеме рис. 15.1; б—
рис. 15.2, а; в - рис. 15.2,6).
О гметим следующую
особенность конструкции
на рис. 15.3,6: числа
зубьев колес в парах 2'-3
и 1-2 отличаются только
на 3...6 зубьев, поэтому
имеется лишь один блок
сателлитов 2'-2; мсжосе-
вое расстояние aw состав-
несколько миллиметров:
одно целое в виде экс-
центричного вала с эксцентриситетом, равным aw (см. также
рис. 20.13, в).
Планетарные передачи широко применяют в коробках ско-
ростей тля ступенчатого изменения угловой скорости на выходе
при неизменной угловой скорости ведущего звена. Одна из
конструкций планетарных редукторов коробки скоростей прибора
изображена на рис. 15.4. Корпус 1 ретуктора вместе с крышкой
2 и входным валом 3 представляет собой водило, которое
вращается относительно корпуса коробки скоростей. В водиле
на подшипниках 4, 5, 6 размещены центральные колеса 8 и 9,
а также блок сателлитных колес 10, посаженный на оси 11.
При выключенном соленоиде (на рисунке не показан) диск 12
электромагнитной фрикционной муфты прижат к корпусу 1 по-
средством пружины 7 и угловые скорости ведущего и ведомого
валов становятся одинаковыми. Когда соленоид фрикционной
муфты включен, ее диск 12 перемещается направо и происходит
сцепление с неподвижным корпусом коробки скоростей. Так как
диск 12. связан со ступицей колеса 8 соединением типа шпо-
ночного, то цешральпое колесо 8 также останавливается и ме-
ханизм становится планетарным. Получение необходимого ко-
252
личества щупсней угловой скорости ведомою вала привода
достигается включением в действие нескольких планетарных
редукторов с различными передаточными отношениями.
В схемах на рис. 15.2, а—в сателлиты 2 и 2' жестко посажены
на вал и Передаточное отношение между ними /22- = 1- При-
меняются планетарные механизмы, сателлиты которых связаны
дополнительной передачей; на рис. 15.2, г показана схема одной
из таких передач: сателлиты 2 и 2' свободно посажены на ось
/ и связаны между собой с помощью колес 4, 5, 6 и 7, ось
1 и вал 11 закреплены па водиле h. Введение непрямой связи
сателлитов позволяет создать оптимальные в кинематическом
и динамическом отношениях планетарные механизмы, по они
значительно сложнее механизмов, показанных на рис. 15.2. а в.
Если сателлиты 2 и 2' связаны планетарной передачей
(рис. 15.2, д), го кроме отмеченных выше особенностей непрямой
связи сателлитов такой бипмнетарный механизм позволяет синте-
зировать очень сложные траектории точек сателлита 5.
Дифференциальные механизмы. В вычислительных системах
дифференциальные механизмы применяют в качестве сумматоров
непрерывного действия. Независимые переменные х и у модели-
руются углами поворота <pf и <р3 центральных колес (см.
рис. 15.1, а), функция z = kxx+kyy моделируется углом поворота
фл водила (кх, ку константы).
В некоторых системах автоматики не все степени свободы
дифференциального механизма реализуют одновременно. Типич-
ным примером является привод азимутального вращения антенны
радиолокатора (рис. 15.5. а). Антенна 1 закреплена на водиле
h конического дифференциального механизма. В режиме обзора
двигатель 5 выключен и центральное колесо 8 дифференциала
неподвижно; вращение антенны от двигателя 3 осуществляется
с помощью колес 2-10 с неподвижными осями и планетарной
конической передачи 9-4-8-h с одной степенью свободы. При
обнаружении объекта радиолокатор переводится на режим сопро-
вождения: включается двигатель 5, обеспечивающий переменную
угловую скорость. С помощью передачи 6-7 приводится во
вращение центральное колесо 8, и водило h с антенной / движутся
под действием двух источников энергии, т. е. передача исполь-
зуется как дифференциальная. Конструкция основной части при-
вода - конического дифференциала показана на рис. 15.5,6.
Дифференциальные механизмы используют также в целях
предохранения механической части от поломок в аварийной
ситуации. Рассмотрим работу такого устройства на примере
привода контроллера. Здесь двигатель 1 (рис. 15.6) через муфту
2 вращает водило h дифференциального механизма Л-3-4-5-6.
Центральное колесо 5 в нормальном режиме работы заторможено
устройством 7, и дифференциал работает как планетарная
передача; от ведомого центрального колеса 4 зубчатая передача
253
8-9 и червячпый механизм 10 передаю! движение валу 11
с жестко закрепленным на нем ротором контроллера. В тот
момент, когда рабочий орган занял одно из крайних положений,
кулачок 12 переключает контакты так, чго вращение двигателя
возможно лишь в обратную сторону. Кулачок 12 одновременно
ограничивает угол поворота вала 11. Поэтому в аварийной
ситуации, когда переключатель 13 не сработал и ротор двигателя
254
вращается в прежнем направлении, все звенья от вала 11 до
центрального колеса 4 включительно останавливаются. В диф-
ференциальном механизме опять используется лишь одна степень
свободы, а энергия передастся тормозному устройству 7 планетар-
ной передачей h-3-4-6-5 с иными параметрами, чем при нор-
мальной работе.
Из дифференциального механизма можно получить передачу
с одной степенью свободы закреплением одного из центральных
колес. Например, остановив колеса 3 дифференциала на
рис. 15.1, а, получим планетарную передачу (см. рис. 15.1,6).
Замкнутые дифференциальные передачи. Другая возможность —
связать оба ведущих звена дифференциала дополнительной свя-
зью. Подобные передачи называют замкнутыми дифференциаль-
ными. По сравнению с планетарными они обладают более
широкими кинематическими возможностями и используются в ка-
честве редукторов или мультипликаторов. Если, например, цен-
тральные колеса 1 и 3 дифференциала на рис. 15.1, а соединить
передачей 2"-3" (рис. 15.7. а), то получим механизм с одной
степенью свободы; соответствующая конструкция представлена
па рис. 15.7,6.
Замкнутая дифференциальная передача (рис. 15.8, а) применена,
например, в механизме 1ранспортировки перфокарт раскладоч-
но-подборочной машины, которая сортирует массивы перфокарт
по заданному признаку. Здесь входное звено — ва i 1 с жестко
закрепленным на нем водилом h. Центральное колесо 6 жестко
посажено 'па ведомый вал //. В первой части цикла, когда
перфокарта должна двигаться равномерно, правая полумуфта
сцепной муфты 2 заторможена тормозом 3, колесо 5 неподвижно,
а сателлиты 7 обкатывают его с постоянной угловой скоростью,
г. е. передача используется как планетарная. Во второй части
цикла включается муфта 2. колесо 5 начинает вращаться
с переменной угловой скоростью, так как передаточное отношение
мальтийского механизма /-/' переменно (см. также рис. 20.4, в).
В дифференциале движения водила Л и колеса 5 складываются;
в результате ведомый вал II вращается с переменной угловой
скоростью, перфокарта перемещается неравномерно но заданному
закону.
▼ Механические устройства используются в кибернетических
и управляющих системах. Основными элементами этих механи-
ческих устройств, обеспечивающих управление скоростью, положе-
нием рабочего органа и крутящим моментом, являются дифферен-
циальные, планетарные и дифференциальные замкнутые меха-
низмы.
Рассмотрим работу механической системы управления
(рис. 15.9), включающую два дифференциальных механизма (см.
рис. 15.1. а): силовой Дг с двигателем Mv и управляющий Д2
с двигателем управления М2. Основное назначение системы —
255
Рис. 15.7
управлять угловой скоростью вала IIс помощью сигнала небольшой
мощности о г двигателя Л/2- О г ношение мощностей двигателей Мх
и М-, в различных режимах изменяется в диапазоне от 10: 1 до
100:1. Дифференциалы Д, и Д2 связаны передачами 1-2 и 3-4.
Основной двигатель вращает с постоянной угловой
скоростью со, ведущий вал I и жестко скрепленные с ним
256
водило Aj и колесо 5. Одно-
временно передача 3-4 обес-
печивает вращение водила Л2.
движение которого складыва-
ется в дифференциале Д2
с вращением центрального ко-
леса 8, приводимого от ма-
ломощного двига геля управ-
ления М2. От ведомого звена
9 дифференциала Д2 вращение
передается центральному ко-
лесу 7 силового дифференци-
ала . Движения колеса
7 и водила hx складываются,
результатом чего является
вращение ведомого централь-
ного колеса 5 с валом II.
Рис. 15.9
Когда сигнал управления достигает наибольшего значения,
двигатель М2 сообщает колесу 8 определенную критическую
угловую скорость (1)8 = ci\p. В резулыате указанного выше пре-
образования выходных скоростей гл, и гл8 колесо 9 останавли-
вается. Вследствие этого неподвижно 1акже колесо 7, а энергия
ог силового двигателя .И|к ведомому валу II передается планетар-
ным механизмом А, -6-5. В этом случае вал II вращается
с наивысшей угловой скоростью гл11кр.
Если сигнал управления нулевой, то двигатель М2 выключается
(со8 = 0) и энергия силового двигателя преобразуется дифферен-
циальной замкнутой передачей, включающей дифференциал Д^.
центральное колесо 7 и водило А( которою связаны передачами
1-2, 9-10-А, и 3-4. Ведомый вал II вращается с минимальной
угловой рабочей скоростью wIImin. Параметры механизма могут
быть подобраны так, что при нулевом сигнале управления
ведомый вал останавливается.
В общем случае, когда 0 < w8 <wKp, угловая скорость ведомого
вала II зависит от сигнала управления (скорость <о8) и находится
в интервале (о)11п1;п, го1111р). Увеличение угловой скорости го8
сверх критической ведет к резкому росту требуемой мощности
двигателя М2. А
§ 15.2. КИНЕМАТИКА ПЛАНЕТАРНЫХ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Основная задача кинематического анализа планетарных и диф-
ференциальных передач—определение угловых скоростей ведомых
звеньев. Для этого нужно иметь уравнение для передаточного
о т ношения.
9 Тик 74(1
257
Рис. 15.10
Рассмотрим планетарную пере-
дачу (см. рис. 15.2. а). Применим
метод обращения движения (метод
Виллиса), сообщив всей системе
вращение с угловой скоростью ми-
нус то, (wfc угловая скорость во-
дила Л). Тогда водило оказывается
неподвижным, а передача превра-
щается в соосный зубчатый меха-
низм с неподвижными осями об-
ращенный механизм (рис. 15.10). Уг-
ловые скорости звеньев исходного
и обращенного механизмов:
Планетарный механизм Обращенный механизм
Колесо / ..........<О) <о*
Колесо 3 ............0 о)з’= -шь
Водило ............<оъ 0
Примечание. Верхний индекс в скобках указывает неподвижное звеио.
Передаточное отношение обращенного механизма от звена
1 к звену 3
/<1',3» = СО(1'”/М<3',» = ((01 — <0Л). (—соЛ)= -Wj, (о„+ 1 = -ЛА’+ 1-
Следовательно, искомое передаточное отношение от центрального
колеса 1 к водилу h
(15-1)
Передаiочное отношение в обратном направлении
/Т.МО-'Ч1 -«ТП-1- (is.ia)
При расчете передаточного отношения обращенного меха-
низма с неподвижными в пространстве осями нужно учитывать
знак передаточного отношения. Так как в рассматриваемой
передаче оба зацепления внутренние, то в соответствии с форму-
лами (2.6) и (14.8)
№=Щ№з = г--.
-I z2'
Следовательно, передаточное отношение плане i арной передачи
на рис. 15.4, а
(15-2)
г1г2’
где Zj—число зубьев звена с номером /'(7=1, 2, 2', 3).
В общем случае передаточное отношение между каким-либо
центральным колесом к планетарной передачи и водилом h при
неподвижном центральном колесе п определяется выражением
258
(15.3)
которое обобщает формулу
(15.1) (i[hll) — передаточное от-
ношение между центральными
колесами к и «.при останов-
ленном водиле Л, т. е. переда-
точное отношение обращенно-
го механизма). Например, для
передачи на рис. 15.2, б опять
получим выражение (15.2); для
передачи па рис. 15.2, в переда-
точное отношение
Рис. 15.11
а для передачи
на рис. 15.1, б
,(3)_
11 ь —
;(3)_ I । , I -
Ил— 1
(15-4)
(15.5)
Пример 15.1. Определить перешеечное отношение механизма счетчика вре-
мени работы телетайпа (рис. 15.11) и частоту вращения ведомого вала //.
Исходные данные: частота вращения ведущею вала / равна: «| = 160 об..мин.
числа зубьев колес: z( = z31=18; Z2• — Z2; = 16; z2=z2i=22; zl=z,1=25.
Решение. Как видно из схемы на рис. 15.11. механизм состоит из двух
одинаковых последовательно соединенных планетарных передач по схеме на
рис. 15.2, и. Поэтому, воспользовавшись формулой (15.2), получаем
*> it ин I —
1
22- 1Х\
2546/
= 104.
Частота вращения ведомого вала
ии = П|.7|н= 160/10000 = 0.016 об.'мин.
I. е. вал 11 поворачивается на один оборот более чем за час.
Пример 15.2. Вывести зависимость для расчета передаточного отношения от
вала 1 к валу // механизма, схема которого показана на рис. 15.2, д.
Решение. Бипланегарный механизм (рис. 15.2, <>) получен преобразованием
схемы, показанной на рис. 15.2,6,—введена связь между сателлитами 2 и 2'
в виде плантарной передачи А,-5-4-6 (см. схему на рис. 15.1,6). Из общей
зависимости (15.3) и формулы (15.5) следует:
_______-1~2'-4____
-1-2-4 — г22з(-а + -б)
Угловую скорость ведомого звена дифференциального меха-
низма проще всего рассчитать также с помощью метода обраще-
ния движения. Так как в дифференциальном механизме оба
центральных колеса подвижны, то. сообщив всей системе враще-
ние с угловой скоростью шЛ, получим следующее выражение
9*
259
для передаточного отношения обращенного механизма (с непо-
движным водилом):
:<Ю_
<О|-иЪ.
iu3-<ofc’
(15.6)
где (оЛ. (0[, ш3— абсолютные угловые скорости соответствующих
звеньев дифференциального механизма. Передаточное отношение
(Уз выражается через числа зубьев колес, две угловые скорости
опре делены законом движения двух входных звеньев; поэтому
в уравнении (15.6) одно неизвестное — угловая скорость выходного
звена. Например, если центральные колеса I и 3— входные звенья, то
угловую скорость выходного водила h вычисляют из уравнения
1 •(*> ,<31 + ;U>- (15.6а)
•—'и /з* •
Для дифференциального механизма на рис. 15.1, а это выражение
с учетом числа зубьев принимает вид
(О.Г. + W,Z3
Ц,= 3
*1 г-л
(15.66)
Аналогично получают зависимости для расчета передаточного
отношения замкнутой дифференциальной передачи. В отличие от
предыдущего здесь yiлевые скорости tOj и ш3 жестко связаны
друг с другом. Так, для механизма на рис. 15.7 эта связь имеет
следующий вид:
С учетом выражений (15.5) и (15.66) угловую скорость выходного
водила и передаточное отношение рассматриваемого замкнутого
дифференциального механизма вычисляют но формулам:
гтт> —
<01
V Пример 15.3. В приводе вращения радиолокационной антенны (см. рис. 15.5)
частота вращения ротора двигателя 3 равна н}— 1000 об 'мин. двигателя 5—oi
и5 = 500 об .мин до «sm„x = 1700 об.’.мнн. Числа зубьев колес: z2 = 15, г10 = 84,
z6=20, z7 = 50. z8=z9. О рсдслить диапазон возможных час ют вращения водила
fi с антенной /. если колеса 2 и 7 вращаются в одну сторону.
Решение. Частоту вращения водила находим по аналогии с зависимостью
(15.6а):
Переда i очные отношения:
;»» = ,• ,•(«> = .• (1 1
'2/1 'т-ю'ч* b.HlV ‘vgl _ * 1 _ I
-2 \ -9 -i/_
-10 «4
—— 2=-------2=-11,2;
z2 15
260
т'ы? = = <6, (1 - ДО) = 2t6, = 2|=2 26= 5;
тчесь учтено, что передача 2-Ю цилиндрическая внешнего зацепления (A. i,i<0,
см. § 2.2) и что механизм 9-4-Х с остановленным водилом изменяет направление
вращения (колеса 9 и Л вращаются в разные стороны).
С учетом этих формул получим искомые частоты вращения ангеппы:
, "з 1700 1000
^=-^4 (мГ“ТП + -Т-=4Ь’21 обмин:
<2* <6* —И,/ J
500 1000 ,, „ с
”‘п’,,=ТТГ2+~= 55,36 об;МИН-
Пример 15.4. Найги закон изменения угловой скорости выходного вата II
механизма транспортировки перфокарт (см. рис. 15.8) при следующих исходных
чанных: передаточное отношение мальтийского механи ма с четырьмя прорезями
и двумя цевками аппроксимировано зависимостью
[ —{cos[2(<p,—л 4)]}"1. О^тр,<л.2. п^тр,<Зл/2;
/1 I <
[х (крест неподвижен), п,'2<ф,<л, Зл/2 < <р, < 2л.
тде ф|— угол поворота вата I с цевкой /; числа зубьев колес z6 = 20. :8 = 60,
z4 = 25, z} = 75; угловая скорость от, вала I равна 20 с-1.
Решение. Утловуто скорость ю„ для той части цикла, когда крест Г
неподвижен, а механизм й-7-6-8 планетарный, найдем, используя зависимость
(15.5):
Wii=co6=-5gj=<oiiSl=coi( 1 4—]=2()[ 1 +—)=80 с 1
'*6 \ W \ 2Ч/
Во второй части цикла при условиях 0^<р,<л.''2, л^<р,^3п:2 механизм работает
как замкнутый дифференциальный. Угловую скорость выходного вала 11 опреде-
лим так же, как это было сделано при выводе формулы (15.6):
тыНшб-ЮтМюв-«*);
сон — ю, (/',,345).
<о6=(о>в — <о8) les + со,,=со* [т<!я (< т т •) йз)—+1 ]•
Так как (45= — z,;z4; i'H= —:Й!:Ь, го окончательное выражение для утловой
скорости (с'1) выходного вала 1Г.
со,, = <оь = to, {- cos [2 (ф, - n.4)] z4z8(z<z6) + z8 •’ + 1} = 20 {- cos [2 (tp, - л/4)] + 4}.
График функции со„=/(ф,) представлен па рис. 15.8,о. А
При выборе числа зубьев колес для обеспечения необходимого
пере (атомного отношения механизма нужно соблюсти следующие
условия: соосности, сборки и соседства, отсутствия интерферен-
ции и самоторможения.
Условие соосности предусматривает совпадение геометрических
осей центральных колес; для передачи на рис. 15.1,6 условие
соосности
fw 1 + Г н’2 — f м'З — f w2->
откуда для передачи, состоящей из колес, нарезанных без
смещения,
’.3 = zi +2-2;
261
для передачи на рис. 15.2, б
Гк I + fw2 = fw2' + I'wS,
ИЛИ
W112(Z1 +32) = /И2-3(22+33),
(15.7)
где rWj—начальные радиусы; пиг. mi-z — модули зацепления
соответствующих пар колес, для косозубых колес эти модули
торцовые (см. § 14.6).
Условия соосности для схем на рис. 15.2,а. в\
W12(z1 -z2) = m2 з(=з-з2.); n«12(z1 4-z2) = ,H2-3(z3-zr).
При несоблюдении условия сооспосги можно, не изменяя
значений модулей и чисел зубьев, выбрать нужный для соосности
угол Р наклона зубьев или коэффициент суммы смещений
(см. § 14.5).
Условие сборки дает возможность равномерно распределить
несколько сателлитов по окружности центральных колее. Необхо-
димое гь этого обусловлена гем, что установка в механизм
первого сателлита определяет такое взаимное расположение
центральных зубчатых колес и водила, при котором установка
остальных сателлитов может оказаться невозможной. В передаче,
изображенной па рис. 15.1,в, угол между осями сателлитных
колес <pfc = 2n.'^ (47—число сателлитов); при повороте водила на
этот угол центральное колесо повернется на угол
ф ,=(pfc м’=—(1+
9 \ -\)
а сателлитные колеса должны поменяться местами (относительно
центрально! о колеса /). Это возможно при условии, что длина
дуги (),5ф|Г/н,| без остатка делится на шаг т. е. отношение
£=0,5ф]j,vl !pw должно быть целым числом. Для передач по
схеме рис. 15.1,6 и 15.2, а. б, в условие сборки (после преоб-
разований) получит соответственно следующий вид:
(-1 + = £; (ztz2. ±z2z3):(qz2.) =Е’ (15.8)
здесь верхний знак берется при расчетах механизмов с разноимен-
ными зацеплениями, а нижний — с одноименными.
▼ Условие сборки (15.8), полученное В. В. Добровольским, пред-
полагает наиболее простую технологию сборки планет 1рных
механизмов: после установки одного блока сателлитов водило
поворачивают на \:ц оборота относительно неподвижного зубча-
того колеса 3 и следующий блок ставят пгт место предыдущего
в том же положении. Однако целый ряд фактически собираемых
механизмов критерий (15.8) отвергает как невозможный; даже
для механизма с одним блоком сателлитов, который не может
не собираться, условие (15.8) дает иногдгт отрицательный резуль-
262
гат; например, для механизма по схеме рис. 15.2,6 при ~i—:2 = 30
имеем z2=z3=18, Е=(30 • 30—18 • 18)/30= 19,2#щелому числу.
Известны условия сборки Петрова [19] и Меррита [9, 19]:
(-1=2-± ?2-з) (1 <15-8а)
(z,z2 ±z2z3);(^L)=E, (15.86)
где Е- целое число, если передача собирается; п— любое целое
число, подбираемое с таким расчетом, чтобы значение Е по-
лучилось целым; L- наибольший общий делитель чисел z2 и гг.
Наибольшее число вариантов сборки дает уравнение (15.86); при
этом нужно дополнительно рассчитывать, какие конкретно зубья
сателлитов с какими впадинами центральных колес должны
зацепляться.
Учет условия (15.8) или его аналогов необходим при двухвен-
цовом сателлите, который изготовляется цельным или венцы
жестко фиксируются в одном блоке при сборке. В конструкциях
приборов при штифтовом креплении венцов возможна сборка
передачи и в случае невыполнения условия (15.8): при сборке
венцы поворачивают друг относительно друга, подбирая необхо-
димое положение. А
Условие соседства устанавливавi наибольшее возможное число
сателлитных колес при отсутствии касания (задевания) вершин
их зубьев. Касание отсутствует при соблюдении неравенства
()ХС)2 = О2О2 = О2С)} >da2 (см. рис. 15.1,в); так как
О1О = д„,12 = гти.23=«„„ то условие соседства
sin — (15.9)
^тях
Для нулевых колес с коэффициентом высоты головки зуба
Л‘ = 1, а также для равносмещенной передачи (л'£ = о) неравенство
(15.9) принимает следующий вид:
sin 2L>El1A", (15.9а)
</max Ч *”2
где i/niax — наибольшее возможное количество сателлитных колес.
В механизмах, выполненных но схемам на рис. 15.2, условие
(15.9) должно выполняться для каждого из зацеплений 1-2 и 2'-3.
Выполнение условия соседства проверяют при ц>2 для механиз-
мов по схеме на рис. 15.1 и внешних зацеплений (см. рис. 15.2),
при </>2 — для внутренних зацеплений.
Дополнительные условия. Кроме рассмотренных специфических
условий нужно соблюдать все ограничения, налагаемые на числа
зубьев передач с неподвижными осями. Для внешнего зацепления
такое ограничение — возможное подрезание зубьев (см. § 14.5),
а для внутреннего — их интерференция, т. е. пересечение профилей
и заклинивание зубьев. Чтобы в зацеплении колеса 2 (2') (см.
263
рис. 15.2, а, в), имеющего внешние зубья, с колесом 1 (3),
имеющим внутренние зубья, не было заклинивания, необходимо
при подборе числа зубьев выполни гь неравенство:
-2(2)^" — -----77V ,
2zI(i)sin а—4ло
при угле профиля рейки а = 20_ и h*a=\
„ г?(3|~34
“2(2 ) .
Для предотвращения интерференции при нарезании внутренних
зубьев без сдвига инструмента разность чисел зубьев должна быть не
менее г1(3)—з2(2э^8 при z1(3|=27...79 и zI(3)-z2(2-,>7 при z1(3)^80.
Эти ограничения часто приводят к увеличению габаритов
передачи. Применение цевочного зацепления и зацепления Новико-
ва позволяет применить колеса BHyipeiniero зацепления с мепыпим
числом зубьев. Поэтому цевочное зацепление часто применяю!
в приборных планетарных передачах.
Условие отсутствия самоторможения ц>0 нужно выполнить для
того направления передачи энергии, при котором данная псрехача
используется; расчетные формулы для кпд приведены в § 15.3.
Выбор чисел зубьев колес планетарной передачи, которые
бы удовлетворяли всем приведенным выше условиям, является
сложной задачей. Для удобства ее решения можно соединить
уравнения, выражающие передаточное отношение и условия
соосности и сборки, в одно общее уравнение. Такое общее
уравнение для выбора чисел зубьев планетарной передачи по
схеме на рис. 15.1,6 может быть представлено в следующем виде:
z1:z2:z3:E=zJ(l:A:B:C); (15.10)
Л =0.5((‘Д'-2); В = (‘Д>-1; С=^<Г’. (15.11)
Здесь Zj число зубьев центрального колеса, которое должно
быть для пулевых колес не меньше 17 и кратным полученным
значениям А, В, С. Выбрав с учетом этого число зубьев z3,
из уравнения (15.10) находят числа зубьев остальных колес
и проверяют их по условию соседства (15.9).
Для плане!арной передачи по схеме на рис. 15.2,6 при одном
блоке стеллитов выбор чисел зубьев колес может быть проведен
с учетом двух условий: обеспечения заданного передаточного
отношения и соосности передачи. Первое условие выражается
зависимое 1ыо (15.2), из которой следует:
z3 = Z1(l-/‘A»)z2./z2. (15-12)
Орисншровочно можно принять для схемы на рис. 15.2,6:
z2 I
264
Выбрав число зубьев центрального колеса и отношение
чисел зубьев сателлитов г2 /г2, определяют по формуле (15.12)
шачеиие г3, которое должно быть целым числом.
Условие соосности рассматриваемой передачи (см. рис. 15.2, *5)
выражается уравнением (15.7); соблюдение этого условия может
быть обеспечено выбором соответствующего модуля зацепления
в горой ступени передачи:
21 + г2
Z2+Z3
Для удобства согласования значения модуля со стандартным
вторую ступень часто выполняют косозубой с углом наклона
зубьев р23. В этом случае нормальный модуль зацепления,
подлежащий согласованию со стандартом (см. § 14.6).
^П2’3="'12(-1+"2)СО8-^2-- (15.13)
Подбор чисел зубьев с учетом всех названных условий часто
целесообразно выполнять с помощью ЭВМ, что позволяет
удовлетворить и ряду дополнительных требований —минимизации
массы и габариюв. максимальному' значению кпд и т. п.
В литературе приведены программы расчетов [8]. Другая возмож-
ность решения задачи подбора чисел зубьев — использование
таблиц, составленных для широкого диапазона параметров.
Пример 15.5. Для плане гарной передачи (см. рис. 15.1.(5) подобрать числа
зубьев, если дано i\*'=5 и q = 3.
Решение. На основании общих зависимостей (15.10) и (15.11) имеем: /1 = 1,5;
В=4; С =5/3;
1,5:4:5/3).
Так как z2 и k целые числа, то с3 должно быть кратным 2 и 3.
Принимаем (с учетом получения минимальных габаритных размеров передачи)
z, = !8. Тогда z2 = Azl=27; с,= Яс, =72; £=Cz, = 30.
Пример 156. Подобрать числа зубьев планетарной передачи (см. рис. 15.2,5).
если дано 4,?= 100; <?=1. модули зацепления /и,2=ш2-3 = 0.5 мм.
Решение. Из уравнения (15.12):
z, (I -0.01);,- „ z,z,.
z3=— -------- =0,99 —.
Г2
Приняв с2=33: е,=50; z2. = 34. получим
z3=50 0,99 -34'33=51.
Выполнив первое зацепление (z,z2) передачи косозубым, а второе прямозубым,
на основании уравнения (15.13) получим необходимый по условию соосности
угол наклона зубьев
о гкуда
Р12= 12 30'.
265
Пример 15.7 Для передачи примера 15.6 подобрать числа зубьев при тЙ^б.
Решение.
Приняв Zj=36; z2 = 30; z2 =38. получим ;л = 38.
§ 15.3. КПД ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ
Кпд зависит от затрат энергии на трение в узлах механи ма.
Поэтому кпд в известной степени (по износу и точности действия)
определяет надежность и долтовечпость механических систем.
Чем выше кпд, тем экономичней проектируемый привод.
Кпд планетарных передач зависит от их тина, значения
передаточного отношения и выбора ведущею звена. Непроизво-
дительная затрата энергии в планетарных передачах обусловлена
трением в зацеплениях, подшипниковых узлах, а также потерями
при перемешивании и разбрызт иваиии масла. Теоретически
наиболее просто можно определить по 1 ери энергии лишь
в зацеплениях.
Рассмотренный при кинематическом исс тедовании пиане гарной
передачи метод обращения движения позволяет выразить переда-
точное отношение планетарной передачи ® через передаточное
отношение простой передачи. Эта же идея может быть использо-
вана и для опредетения кпд планетарной передачи. В первом
приближении учитываем только потери в зацеплении. Пусть
в планетарном механизме с неподвижным колесом п = 3 (см.
рис. 15.2,а) энергия передается от центрального колеса к= 1
к водилу h. Согласно общему определению
Ру Ру Ру
где Рк — мощность на ведущем звене, которым является централь-
ное колесо к: Ph— мощность на ведомом звене (водиле Л);
РуР—мощность, затрачиваемая на преодоление сил трения в за-
цеплении. Применив метод обращения, условно остановим во-
дило. в результате чего получим простую зубчатую передачу
с выхо нтым звеном п. Так как при этом относительное движение
соприкасающихся зубьев не изменяется, то и потери эисрт тш
в зацеплениях колес остаются неизменными. Кпд передачи
с остановленным водилом
<’ =
И*'-ЛР
Г Iм
откуда
Лр=Л'"(1-пЭД.
Здесь мощность на ведущем колесе к обращенного механизма.
266
Приняв во внимание, что
Р^ = Тк 14'" I = Тк |(ок-о„|: Рк = Тк | юк |,
где Тк и о)к— вращающий момент и угловая скорость на валу
колеса: со,, -угловая скорость водила Л, получим
ПЙ’ = I - р-Р= 1 1 -I 1 -/й’|(1 -4'-’). (15.14)
Если ведущее звено - водило, а весомое — центральное колесо
к, то
Кпд q!,V обращенной зубчатой передачи определяют но
методике, изложенной в § 3.8. При этом для одноступенчатой
передачи можно воспользоваться формулой
г] = I —2.3/|zi 1 ±z£11,
где/=0,05...0,10 коэффициент трения в зацеплении; z2 — чис-
ла зубьев (верхний знак относится к внешнему зацеплению,
а нижний- к внутреннему). Гак как кпд любого механизма
зависит от степени нагружения и других трудно учитываемых
факторов, то более точное значение г] может быть найдено
(или проверено) опытным путем.
Пример 15.8. Определить кпд планетарной передачи (см. рис. 15.8,6), если
дано: чис а зубьев колес: z, = 100; z,=zr = 20; z3=99; кпд пары зубчатых колес
0=0.95.
Решение. На основании формулы (15.2)
7 - QQ•?П
= 1 - - ' 1 = 1---= 0.01: /й‘ = 100
'* z,zr 100-20
кпд обращенного механизма Ц*У=т)Й=т//,Ь)!г,'э=0,952 = 0,9.
кпд планетарной передачи:
а) ведущее звено -центральное колесо 1 [формула (15.14)]:
ПЙ= । -11 -П?Л=1 “11 - Ю0|(1-0.9)= -8.9;
знак минус свидетельствует о том. что такая ускоряющая передача обладает
свойством самоторможения, т. е. преобразование движения от колеса / к водилу
невозможно:
б) ведущее звено—водило (передача замедляющая) [формула (I5.I5JJ:
цй'={1 4-11 -nW)1,’1 = {1 I 11 - 1001(1 -0.9)}-1 =0.09.
Низкий кпд планетарных передач при больших передаточных
числах является существенным недостатком. Однако для передач
с малыми силовыми нагрузками это допустимо.
Кпд различных планетарных передач колеблется в очень
широких пределах от 99 до 5...8%. Как правило, кид умень-
шается при увеличении передаточного числа. Рационально спроек-
тированные планетарные передачи могут иметь высокие значения
267
кпд. Например, одна из плашяарпых передач с передаточным
числом 50 имеет кпд, равный 90%, т. е. больше, чем у об-
ращенного механизма. Наибольшие значения кпд имеют передачи
по схеме на рис. 15.1,6 (редуктор Джемса), хотя при такой
схеме передаточное число обычно не превышает 8.
Расчеты потерь в дифференциальных и дифференциальных
замкнутых механизмах выполняются по специальной методике
с учетом циркуляции мощности [2J.
§ 15.4. ВОЛНОВЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Волновая зубчатая передача — механизм, кинематика которого
аналогична кинематике планетарных и дифференциальных меха-
низмов. Но в отличие от них здесь одно из колес выполнено
гибким и упруго деформируется в процессе зацепления. Возмож-
ность использования таких механизмов указана в pa6oiax
И. И. Артоболевского и Ф. М. Куровкина. Практически волновые
зубчатые передачи нашли применение с начала 60-х годов.
Благодаря многим положи гельпым свойствам волновые передачи
используются, например, в системах управления самолетов
и ракет, в механических системах ЭВМ, в приводах ра-
диолокаторов и т. д.
Простейшая волновая передача является модификацией плапе-
I арпой. состоящей из зубчатых колес / и 2 и водила
Л (рис. 15.12.tt).
Движение к валу I or сателлита 2 передает карданный
механизм 3 (см. § 24.4). Передаточное отношение планетарного
механизма в соответствии с формулой (I5.la):
/1.У-(1-/Й) ' = —^. (15.16)
z2
Чем меньше разность чисел зубьев Az = z1—z2, гем большее
переда!очное число може> быть реализовано. Например, если
Zj = 3()3, г2 = 300. то передаточное отношение /IV = — 100; чтобы
получить такое же замедление вращения с помощью цилиндричес-
кой зубчатой передачи с неподвижными осями, потребуется не
менее шести зубчатых колес. Уменьшение разности чисел зубьев
и применение внутреннего зацепления способствуют уменьшению
потерь на трение вследствие малых скоростей относительного
скольжения зубьев. Однако использовать колеса / и 2 с разностью
Дз = 2...3 при обычных эвольвенгных зубьях нельзя из-за интер-
ференции профилей (зубья колеса 2 заклиниваются во впадинах
колеса /).
Интерференция не происходит при (если 2^80), г. е.
получить передаточные числа 100 и более по схеме рис. 15.12,а
можно лишь при больших габаритах (z, 700). Кроме того.
268
Рис. 15.12
применение карданного механизма усложняет конструкцию пере-
дачи и снижает ее надежность. Этих недостатков можно избежать,
если сделать колесо 2 гибким. При сборке гибкое колесо
2 (рис. 15.12,6) свободно входи! внутрь жесткого колеса /. Водило
h с роликами вставляется внутрь колеса 2, деформируя его гак, что
в соответствующих зонах зубья колес / и 2 входят в зацепление по
всей высоте; в зонах, наиболее удаленных от деформирующих
роликов, зубья вовсе не касаются друг друга. Получается передача,
кинематически аналогичная планетарной но схеме на рис. 15.12,<7,
но с совпадающими осями колес /, 2 и водила А. Такой механизм
может обеспечить передаточное число от 50...60 до 250...300 при
кпд соответственно порядка 0,9...0,7.
В волновых передачах водило Л называется генератором во.т,
гак как при его вращении зона зацепления зубьев перемещается,
создавая последовательную волновую деформацию гибкого колеса
2 (рис. 15.12,6).
Волновые передачи обладают рядом существенных достоинств
по сравнению с обыкновенными зубчатыми и планетарными
передачами. Из-за малой разности чисел зубьев гибкого и жест-
кого колес в зацеплении находи гея одновременно не менее
четверти общего числа зубьев (часто значительно больше).
Поэтому нагрузочная способность волновой передачи в несколько
раз выше, чем у других зубчатых передач.
269
Мпог онарность зацеп сния — одно из основных достоинств
волновой передачи, которое определяет и другие ее преимущества:
плавность хода, бесшумность, стабильность кинематических ха-
рактеристик под нагрузкой. Кпд волновых передач относительно
высок. В отличие от планетарных передач кпд существенно не
снижается при увеличении передаточного числа. При ориентиро-
вочных расчетах кпд волновой передачи
г]^ 600 (600 + г?)~1.
где и—передаточное число механизма.
Волновые передачи экономичнее планетарных также и потому, что
при малой разности чисел зубьев колес можно получить передачу
с достаточно высокими показателями работы при невысокой точности
изготовления зубьев. Нагрузки на опоры валов волновых передач
малы, так как при симметричном генераторе h реакции со стороны
гибкого звена замыкаются на генераторе и не передаются на опоры.
Важная особенное 1Ь волновых механизмов—возможность пе-
редачи движения иг герметизированного пространства наружу
или наоборот.
Недостатки волновых передач: относительно большой упругий
.мертвый ход и технологические трудности изготовления ее
элементов.
В зависимости от числа деформирующих элементов генератора
волн, создающих зоны зацепления, передачи могут быть двух-
и многоволновыми (рис. 15.12,в). Генератор волн Л выполняется
как в виде рычага с роликами, так и в виде кулачка К специальной
формы (рис. 15.12.г). Генераторы первого типа используются
преимущественно в нссиловых передачах, а второго типа—в
силовых.
В качестве генераторов волн применяют не только механичес-
кие. но также электромагнитные, гидравлические и ппевматические
устройства. В системах, которые должны обеспечивать высокое
быстро цейс I вис. применяют электромагнитные генераторы: гибкое
колесо из ферромагнитного материала деформируется вращаю-
щимся магнитным полем. Малая инерционность такой системы
(с большой угловой скоростью вращается только магнитное
поле) дает возможность получить время разгона порядка 10“3 с.
Применение электромагнитных генераторов позволяет значитель-
но уменьшить габариты всего привода и упростить его конструк-
цию; одновременно возрастают электрические потери, в результа-
те чего общий кпд не превышает 0,12...0,15.
В волновых передачах гибким может быть также колесо /.
В этом случае колесо 2—жесткое, а генератор волн охватывает
колесо I снаружи (см. рис. 14.1,к). Чаще всего ведущим звеном
является водило.
Как в точной механике, так и в общем машиностроении
волновые передачи получили широкое распространение. В ггрибо-
270
Рис. 15.13
pax и системах автоматики их применяю! в приводах лентопро-
тяжных устройств, механизмах настройки приборов радиоэлект-
ронной аппаратуры и др.
Одна иг простых конструкций волновой передачи для малых
нагрузок представлена на рис. 15.13.0. Здесь на ведущий вал 7 жестко
посажен генератор волн 2 с двумя роликами 3. При вращении
генератора волн деформируется гибкое колесо 4. стакан которого
закреплен на ведомом валу 6. Жесткое колесе 5 неподвижно.
Если в планетарной передаче (см. рис. 15.2.о) сателлиты
2 и 2' выполнить гибкими и изменить конструкцию водила, то
получим более сложную волновую передачу, схема которой
изображена на рис. 15.12, Э. Здесь может быть реализовано
передаточное число порядка К)5 при относительно небольших
массе и габаритах передачи. Конструкция прибора с передачей
такого типа представлена на рис. 15.13.(5: ведущий генератор
/ деформирует двухвепцовый пластмассовый стакан 2; жесткое
колесо 3 неподвижно; колесо 4— ведомое.
Волновые механизмы постепенно вытесняют другие устройст-
ва. предназначенные для передачи движения из или внутрь
герме 1изированного iipocipaiicrBa. Их используют в аэрокосмичес-
ких устройствах (рулевые механизмы ракет, приводы поворота
солнечных панелей спутников, антенн), в приводах вентилей
трубопроводов для агрессивных жидкостей и др. Для передачи
движения из или внутрь герметизированного пространства
2 (рис. 15.14) часть его оболочки 7 выполняется в виде гибкого
зубчатого колеса 3: жесткое колесо 4 ведомое, генератор волн
5— кулачкового типа с гибким подшипником (6 корпус; 7- -
фланец).
Передаточное отношение волновых передач определяется с по-
мощью метола обращения движения. Например, для схемы на
рис. 15.12.(5 передаточное оiношение рассчитывается по формуле
(15.16), а для схемы на рис. 15.12.Э— по формуле (15.2).
Нормальная работа волновой передачи возможна при условии,
что модуль разности чисел зубьев 1^ — z2| равен или кратен
271
Рис. 15.14
числу волн деформации. Наибольшая деформация 5 гибкого
колеса связана с его параметрами следующим образом:
5 = |r/1-r/2| = »r|z,-z2|,
где и <7,—делительные диаметры соо1встствешю жесткого
и гибкого колес; т— модуль зацепления.
Зубья колес волновой передачи могут иметь как эвольвенгное,
так и прямолинейное очертания. Зубья в отечественных передачах
выполняют звольвентными с углом профиля 20 и широкой
впадиной. В гмериканских волновых передачах использую г угол
зацепления, равный 30 , чю позволяет увеличить кпд механизма
(при соответствующем ухудшении работы по ряду других ггара-
ме гров).
ГОСТ 23108 78 па одноступенчатые волновые редукторы
предусматривает передачи с диаметрами гибкого колеса 50...
...240 мм, передаточными отношениями 80...315, крутящими .мо-
ментами 22,4...6300 Н м. Например, передача типоразмера В3-280
имеет диаметр гибкого колеса 80 мм, массу 9,2 кт при следующих
возможных сочетаниях параметров:
272
Передаточное число ............... 80
Модуль зацепления, мм ........... 0,5
Кру । яший момент на ве томом валу,
11м .............................. 90
100 125
0,4 0,3
100 112
160 200
0.25 0,2
125 140
В несиловых передачах точных механизмов значение модуля
выбирают из конструктивных соображений. Толгцина стенки
металлического гибкого звена
A = 0,07J,
1 / Е
где <7( делительный диаме(р жесткого колеса; г2— число зубьев
гибкого колеса; Л^б = 0,915 —0,00065г2 + 10~сг2 — коэффициент де-
формации гибкого звена; [р]—допускаемое давление на зубья,
равное 60...65 МПа: Е—модуль упругости, МПа.
Материалами для изготовления гибких колес служат стали
20Х2Н4А, 40ХН, 40ХНМА, 30ХГСА и др., а также подшипнико-
вые стали типа ШХ15. В передачах с малыми нагрузками
используют различные синтетические материалы, например полиа-
миды. Для пластмассовых колес толщина стенки тибкого колеса
определяется соотношением АлО,ОЗ<7/2 (df2 — диаметр окружнос-
ти впадин гибкого колеса). Толщина стенки не должна быть
меньше половины высоты зуба.
В случае больших нагрузок проводят прочностной расчет
элементов волновой передачи.
§ 15.5. ПЛАНЕТАРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
С ДВУМЯ КОНИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
Как показано выше, планетарные механизмы с двумя колесами
(см. рис. 15.12,д) могут обеспечить большие передаточные числа
при достаточном кпд. На этих же исходных посылках строится
новый класс механизмов — планетарные передачи с двумя коничес-
кими колесами*.
Схема и конструкция такого редуктора представлены на
рис. 15.15. Входной вал 1 с жестко насаженной на пего втулкой
является водилом h механизма. С водилом шарнирно связано
коническое колесо-сателлит 2 внутреннего зацепления, ось которо-
го составляет угол 0 с осью редуктора. Жестко скрепленный
с колесом 2 шаровой палец 3 скользит в пазу 4. Центральное
колесо 5 насажено на выходной вал 6 и входит в зацепление
с сателлитом 2, ось которого прецессирует относительно оси
передачи. С движением прецессии складывается поворот сателлита
2 вокруг своей оси. При этом зона зацепления перемещается
по колесу 5, обеспечивая ею медленное вращение в направлении
* Их называют 1акжс волновыми передачами с жесткими звеньями.
273
вращения водила. В конструкции
на рис. 15.15 предусмотрен сфе-
рический шарнир 7. соединя-
ющий колесо 2 с ведомым ва-
лом. Это пассивная связь, на
движение не влияющая.
Кроме рассмотренной переда-
чи применяют аналогичные ме-
ханизмы, у которых сателлит
2 имеет внешние зубья, а колесо
5- внутренние. Здесь колесо
5 вращается в направлении, про-
। ивоноложном вращению води-
ла. В механизмах, выполненных
по схеме на рис. 15.15. водило —
входное звено, так как при пере-
даче движения от центрального
колеса к водилу чаще всего про-
исходит самоторможение. При-
сачеллит которых связан со стойкой
зубчатой муфтой, сильфопом и др.
с коническими колесами может быть
меняют также передачи,
нс шаровым пальцем, а
Планетарная перечача
выполнена и двухступенчатой (рис. 15.16). Здесь центральное
колесо 1 неподвижно, а на водиле 2 шарнирно закреплено
колесо .? с двумя зубчатыми венцами. С выходным колесом
4 зацепляется венец 5 колеса 3.
Рассматриваемые механизмы обладают многими достоинства-
ми волновых передач с гибкими звеньями: возможность получения
больших перетаточных ч г сеч (от 50 до 200...750 по схеме на
рис. 15.15 и до 1О5...1О6 при использовании двухступенчатой
1’ис. 15.16
274
схемы, как на рис. 15.16); достаточно высокие значения кпд (порядка
80. .85% для одноступенчатой передачи). По сравнению с волновыми
передачами с гибким звеном планетарные передачи с двумя
коническими колесами обладают более высокой надежностью
и долговечностью, так как у них нет гибкого звена. Передачи
с коническими колесами внутреннего зацепления могут работать без
интерференции профилей даже при разности чисел зубьев, равной
единице. Это и даст возможность создавать малогабаритные передачи
из нескольких конических колес с весьма большими переда точными
числами. Недостатки рассматриваемой передачи относительная
сложность изготовления конических колес с внутренними зубьями
и небольшое периодическое изменение передаточною отношения.
При расчете передаточного отношения механизма нужно учес ть,
что структурно это рычажно-зубчатая передача. Первичное преоб-
разование движения осуществляется прост ранствснным рычажным
механизмом h-3-4 (см. рис. 15.15). Выходное звено рычажного
механизма — колесо 2 вращается относительно собственной оси.
Oi колеса 2 зубчатый механизм 2-5 передает вращение валу 6.
▼ Передаточное отношение одноступенчатой передачи (рис. 15.15)
определим методом обращения движения (см. § 15.2). Передаточ-
ное отношение обращенного механизма (с остановленным водилом)
;№) |<В5—<0 J
'52-----= Г=-----
(15.17)
где z2 и z5— числа зубьев колес 2 и 5.
Здесь не все векторы угловых скоростей параллельны друг
другу; поэтому в формуле (15.17) разности в числителе и знамена-
теле нужно учитывать как векторные. Абсолютное вращение
звена 2 с утловой скоростью со2 есть сумма переносного
прецессирующего движения вместе с водилом (с угловой ско-
ростью соА) и относительного вращения вокруг собственной оси
с угловой скоростью
w2/, = w2 — 0)ft. (15.18)
Из уравнений (15.17) и (15.18) следует:
“5 = ®2Л‘?+сой;
^=1
w*
>5h —
- 5 W*
-5 °<P* -5 *
(15.19)
где ф2Л и фЛ — углы поворота колеса 2 относительно собственной
оси и водила. Характер вращения колеса 2 относительно
собственной оси и значение производной (ф2Л)^, зависят от
движения пальца 3, т. е. от формы паза 4 (см. рис. 15.15).
В существующих конструкциях центр пальца 3 движется в плос-
кости, проходящей через ось редуктора. Для этого частного
и указанным видам паза
случая связь углов ф2А и фА
имеет вид
Ф2А = arctg (tg фА cos 0).
Тогда производная
<|52«
Зависимости (15.19) и (15.20)
полностью решают вопрос
о мгновенном передаточном от-
ношении механизма для паза
рассматриваемого вида. Среднее передаточное отношение одно-
ступенчатой планетарной передачи с двумя коническими колесами
Ъ15 —

от
же
чи
Среднее передаточное отношение двухступенчатой передачи
водила Л к колесу 4 (см. рис. 15.16) рассчитывают по гой
зависимости, которая получена выше для планетарной переда-
ем. рис. 15.2,«):
Пример 15.9. Найти мгновенное и среднее перс та точные отношения планетар-
ного механизма (см. рис. 15.15) при ведущем водиле. Исходные данные: г,=97;
г5=100; утол 6 = 4 14.
Решение. По формулам (15.19) и (15.20)
отношения:
рассчитываем значения
передаточного
ф». рад ......................... 0 0,5 I 1,5 2 2.5 3
i ........................... 29,94 31,07 33,72 35.55 34.46 31.74 30,04
фь. рад ........................ 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6.28
i" ........................... 30.54 32,93 35,29 35.05 32,50 30.32 29.94
По лим данным на рис. 15.17 построен график зависимости 4з=1к$(ф«).
Среднее переда точное отношение тА5= 100 (100—97)= 33,33. Следовательно, наи-
большее относи тельное изменение передаточного отношения
A/J5-^ = 1^Z^!=o,1O2=1O.2%.
<hs 33.33
Как укатывалось выше, колебание мгновенного передаточного отношения
рассматриваемых передач является их недостатком. Однако планетарную передачу
с двумя коническими колесами можно выполнить так, чтобы мтновенное
передаточное отношение нс менялось. Для этого необходимо выполнить паз 4,
в котором движется пален .3, специальной формы. Изменяя форму паза, можно
получить любой достаточно гладкий закон движения ведомою звена*.
* С.м.: Дружинин Ю. Л.. Ст.хну Р. Д.. Линии С. Е. Передаточное отношение
планетарной передачи с двумя коническими колесами; Со. '1ММ. Вып. 31.
Харьков, 1981.
276
ГЛАВА 16
ЧЕРВЯЧНЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Червячные передачи применяют для преобразования вращательною движения
между двумя скрещивающимися валами. Они позволяю! получить в одной
ступени большие передаточные числа (до 5(М)), обладают плавным и бесшумным
ходом, могут обеспечить само торможение. Передача синтезирована из двух
механизмов винг-шика и косозубос цилиндрическое зацепление; червяк это
нин। с числом заходов от одного до пяти, червячное колесо косозубое
цилиндрическое, конструкция венца которого имеет некоторые особенности.
В приборах применяю 1ся упрощенные червячные передачи.
§ 16.1. ВИДЫ И ПРИМЕНЕНИЕ
На рис. 16.1,0 представлена конструкция червячной передачи.
Входным звеном чаще всего является червяк 1, который представ-
ляет собой винт; выходное звено — червячное колесо 2. Преобразо-
вание движения в обратном направлении возможно в несамотор-
мозящих передачах, которые применяют, например, в регуляторах
скорости (см. рис. 4.8.0 и 4.12). Кроме указанных выше достоинств
червячные передачи обеспечивают малые габариты и массу
приводного механизма, а также небольшой мертвый ход. К не-
достаткам червячных передач относятся сравнительно низкий
кпд при больших передаточных числах, повышенный износ
относительно высокая стоимость изготовления и строгие требова-
ния к точности изготовления и сборки.
Рис. 16.1
277
Червячные передачи применяют в системах автоматики и ЭВМ
как самостоятельно, так и в сочетании с другими механизмами.
Например, в приводе переключа теля кон гак гов радиозонда
(рис. 16.2) трехе тупенчатый червячный механизм связывает вал
/ электродвигателя Л/ с валом II. па ко юром жестко закреплен
переключи!ель. При этом обеспечивав!ся общее передаточное
число 12800.
Червячные передачи могут быть с цилиндрическим (см.
рис. 16.1) и глобоидным (рис. 16.3) червяком. Последние обеспечи-
вают повышенную нагрузочную способност ь, по в точной механи-
ке практически нс используются. В зависимости от способа
образования боковых поверхностей витков цилиндрические червя-
ки подразделяют на архимедовы, конволютные п эвольвентные.
Благодаря относительной простоте изготовления наибольшее
распространение получили архимедовы червяки, у которых про-
филь витка червяка в осевом сечении - - равнобедренная трапеция,
т. е. профиль такой же, как и у рейки эвольвентою зацепления
(рис. 16.4). Поэтому зуб червячного колеса в сечении />- Б
очерчивается эвольвентой. Конволютные червяки применяют вмес-
то архимедовых при больших углах подъема линии витка. Виток
этого червяка в торцовом сечении имеет профиль в виде
эвольвенты. В тех случаях, когда требушея увеличить к.п.д.
механизма, используют червяки с эволъвентным профилем в осе-
вом сечении.
Если червяк выполнен так, чю точка, движущаяся вдоль
линии витка на рис. 16.1,6,- поднимается вверх и смещается
слева направо, то такой червяк называют правым. В том случае.
koi да линия витка навита в про1ивоноложтюм направлении,
червяк — левый. В червячных передачах, отличающихся лишь
видом червяка (правый или левый), при одинаковом вращении
ведущего звена ведомые звенья вращаются в разные сiороны
(см., например, схему па рис. 17.2).
В зависимости от особенностей конструкции червячного колеса
передачи подразделяются на следующие типы:
278
Д-A
Рис. 16.4
Рис. 16.5
цилиндрический червяк I сопрягается с червячным колесом
2, зубья которого имеют вогнутую форму и охватывают червяк
(рис. 16.5,я); угол скрещивания осей валов передачи 90ось
червяка лежит в средней плоскости колеса; это наиболее распрост-
раненный вид червячных передач;
цилиндрический червяк сопрягается с прямозубым цилиндри-
ческим колесом (рис. 16.5.6); угол скрещивания Х = 90’ — у (у —
длительный угол подъема средней линии вигка червяка);
цилиндрический червяк сопрягается с косозубым колесом
(рис. 16.5.в); угол скрещивания 90 ; такой тип передачи применя-
ют преимущественно в приборах с малыми нагрузками на зубья.
В первой из рассмотренных схем контакт зубьев линейный,
что благоприятно в отношении нагрузочной способности и ми-
нимизации износа. В передачах (рис. 16.5,6, в) контакт зубьев
точечный, что определяет небольшую нагрузочную способность
и повышенный износ.
Угол между осями валов червяка и червячного колеса чаще
всего равен 90 (ортогональная передача). В приборостроении
и ЭВМ находят применение также пеортогональные передачи
(рис. 16.5,6).
Преобразование движения в червячной передаче сопровождает-
ся скольжением витков червяка по зубьям колеса, что вызывает
значительное трение и износ соприкасающихся поверхностей.
Эта особенность предопределяет выбор материала для изготов-
ления червяков и колес, обеспечивающих наименьшие трение
и износ. Так как витки червяка на1ружаются значительно чаще,
279
чем зубья колеса, то для изготовления червяков применяют
стали марок 20; 45; 15Х; 40ХМ; 40ХН; 12ХНЗА и др.; рабочие
поверхности витков подвергают закалке до твердости 45...65
HRC. Червячные колеса изготовляют обычно из бронзы или
синтетических материалов. Лучшими антифрикционными свойст-
вами обладают бронзы БрОФЮ—1, БрОНФ—10 1 — 1. из
которых изготовляют червячные колеса (или венцы колес)
ответственных передач при скорости скольжения, превышающей
3 м/с. Безоловяниые бронзы типа БрАЖ9— 4, БрАЖНЮ—4 4
менее дороти, но механические свойства их ниже первых, поэтому
они применяются для менее ответственных передач. В механичес-
ких системах автоматики и ЭВМ широко применяют червячные
колеса из синтетических материалов: полиамидов, капрона, кап-
ролона, текстолита и др. Колеса из этих материалов отличаются
хорошими антифрикционными свойствами и достаточной изно-
состойкостью (см. табл. 13.3).
§ 16.2. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И КОНСТРУКЦИИ
При проектировании червячных передач размеры и параметры
их элементов определяют на основании геометрического и про-
чностного расчетов.
Передаточное отношение назначают по заданным условиям
на проектирование, учитывая, что посредством одноступенчатой
червячной передачи можно реализовать передаточное число
в пределах 6...300 и более. Передаточное число может быть
как целым, так и дробным; выбор целых чисел способствует
более быстрой приработке зубьев колеса и повышению изно-
состойкости передачи.
Передаточное отношение. Чтобы вывести зависимость, связы-
вающую передаточное отношение червячной передачи с ее
параметрами, рассмотрим движение точки А (см. рис. 16.1.6).
Так как червяк является винтом, то точка А. расположенная
на его делительном цилиндре диаметром а\, за один оборот
червяка перемест илась бы в механизме винт-гайка вдоль об-
разующей ММ вместе с гайкой на ход резьбы s = zxp (д—шаг
резьбы, см. рис. 16.1,6, г, число заходов червяка). Червяк
вращается с частотой nt (об;мин). Поэтому за одну минуту
путь точки А вдоль образующей делительного цилиндра
/71=ли1=(г1д)и1. (16.1)
За это время точка А, принадлежащая червячному колесу 2,
переместится на расстояние
/72=(лг/2)/ы. (16.2)
где п2 частота вращения колеса, об/мин; d2 — mz2—делительный
диаметр колеса; z2 число его зубьев. Передаточное отношение
280
найдем, приравняв выражения (16.1) и (16.2) (с учетом соотноше-
ния между шагом р и модулем ли=р/п):
11 2 = П! ; п э = П (121(-1Р) = ^2 / (-1Р ' П ) = т22 / (-1 т ) ~ - 2 / 21 • (16-3)
Геометрический расчет. Цель i еомет рпческого расчета червяч-
ных передач — определение или выбор размеров элементов червя-
ка и колеса. Исходные тайные модуль зацепления /н, число
витков (заходов) червяка Зр г. е. число нитей резьбы, навитых
на делительный цилиндр диаметром <7,. передаточное отношение,
а также коэффициент диаметра червяка
q=dli т.
(16.4)
Стандартным для червяка является осевой модуль т, ко-
торый равен торцовому модулю червячного колеса. Значения
параметров т и q назначаются в зависимости от конструкторско-
технологических условий в соответствии с ГОСТ 19672 74 (СТ
СЭВ 267—76):
т мм .. 0.1: (0,12); 0.125;
0,5; (0.6); 0.63;
Ч ............ 6.3: (7.1): 8.
(25)*
(0,15);
0.Х;
(9):
0.16;
1;
10;
0.2:
1.25;
(П.2);
0.25: (0.3): 0.315: 0,4:
(1.5); 1.6: 2;
12.5: (14); 16: (22.4);
Меньшие значения
чах для oi раничения
q применяются в быстроходных переда-
окружных скоростей, большие для по-
вышения жесткости червяка при высоких передаточных от-
ношениях.
Стандартный угол профиля червячного зацепления а = 20
(см. рис. 16.4).
Найдем связь между геометрическими параметрами червяка.
С этой целью развернем на плоскость делительный цилиндр
диаметром dx, разрезав его вдоль образующей Л/М (см. рис. 16.1.
б). При этом пить а резьбы оiобратится в гипотенузу ВВХ
треугольника ВВВХ, горизонтальный катет которого- развертка
окружности диаметра dx. острый угол у—де.пнельный угол
подъема линии витка, т. е. угол, который составляет касательная
к винтовой линии в точке В с горизонтальной плоскостью. На
рис. 16.1. б показан двухзаходпый червяк (з, =2); при его развертке
вторая винтовая линия 6 отображается в прямую СС,. Из
t\BBBx найдем, учитывая определение модуля т=р/п,
tgy=s/(ndt)=ztp;(ndl\^zlmidi = zxiq. (16.5)
Полученная формула связывает угол у, число витков червяка
и коэффициент диаметра червяка q.
В первом приближении параметры передачи выбирают
с помощью графиков (рис. 16.6): слева от заштрихованной
зоны расположена область самотормозятих механизмов.
* Значения в скобках применяют лишь в случае особой необходимости.
281
справа — несамо i ормозяших; в заштрихованной зоне в за-
висимости от примененных материалов и других условий
могут существовать как самотормозящие, так и нссамо-
гормозящис передачи: кпд растет с увеличением угла у.
Число ви1ков червяка назначается в пределах Zj = l...5. а число
зубьев червячного колеса г2 определяется по формуле (16.3);
рекомендуется принимать z2 не менее 28. Для больших значений
передаточного числа (60 и более) в целях снижения размеров
передачи принимают Z] = l или 2. Назначая zx, можно использо-
вать следующие рекомендации:
Передаточное число и .... >28 14...60 9...30 7...20
z, ...................... 12 3 4
Точность передачи снижается с увеличением числа витков
так как возможная разность хода витков червяка порождает
периодические ошибки в движении колеса. Учитывая это, в от-
счетных передачах отдают предпочтение однозаходпым червякам.
Геометрический расчет элементов червячной передачи (см.
рис. 16.4) проводят по формулам, приведенным в табл. 16.1. Эти
зависимости аналогичны гем, которые использованы для расчета
цилиндрических колес (см. § 14.2, 14.6); здесь коэффициент высоты
головки зуба ha = 1, радиального зазора с* = 0,2 (ГОСТ 19036 —81).
Учтено также что в сечении Б Б (см. рис. 16.4) червячное
колесо такое же, как цилиндрическое косозубое с углом у наклона
зубьев; отличие между ними состоит' только в том, что
стандартный модуль червячного колеса (торцовый) равен осевому
модулю /» червяка (у косозубого цилиндрического колеса стан-
дар т ттый модуль — нормальный).
282
Таблица 16.1. Формулы для расчета червячной передачи
Элементы передачи Формулы для расчета
Червяк
Чисто заходов z, = l-5
Коэффициент диаметра червяка Делительный утол нодьема линии <7=-i
ви гка
Делите тьный диаметр, мм dx = qm
Диаметр окружноеш вершин, мм dal = (</+2)m
Диаметр окружности впадин, м.м dfx=(q-2,4)m
Осевой шаг, мм p=nm
Д шна нарезанной чаши, мм 1) a = 20’
Угол профиля в осевом сечении Червячное колесо
Число зубьев Делительный диаметр в средней z2 = ^i'i2>28
ПЛОСКОСТИ, мм d2 =mz2
Диаметр окружности вершин, мм da2=^2 1 2)w
Диамшр окружноши впадин, мм Наибольший диамшр окружное in df2-(z2 — 2.4)m
вершин, мм da^d„2 + 2m (при rt = 1) du^d„2i I.5ot (z,=2.3) d„^da2 + m (z, =4.5)
Ширина обода, мм B=nt (</ 4- 2,5) sin 8—0.25/1
Угол боковых скосов 8 = 20-50
Межоссвос расстояние, мм a„=0,5(dt4 d2)
Коэффициент перекрытия зацепления e=[^o2 — d2 cos2 a)0,5 — —</2sina] (2itOTCOSa) 1 +2.-(л sin 2 a)
Кпд передачи. При определенном модуле и числе витков
значение параметра q определяет жесч кость червяка и кпд
передачи: чем больше значение q, тем большей жесткостью
обладает червяк. Кпд при ведущем червяке определяют по формуле
т| 12=(0.95... 0.97) tgY/tg(Y + <p'), (16.6)
где q>' = arctg/' приведенный угол трения, соответствующий приве-
денному коэффициенту f трения скольжения (зависит от материала,
шероховагосIи трущихся поверхностей, смазки и ряда других факто-
ров). При ориентировочных расчетах можно принимать /'=0,05...0,1,
<р' = 3...6' и считать, что кпд тцз принимает следующие значения:
г, .... 12 3 4
ц,2 ... 0.65...0.70 0.70...0.80 0,80...0.86 0,85-0,90
Хороню выполненная передача может иметь кпд, значительно
превышающий ориентировочные значения.
При ведущем колесе
г]2, =(0.95...0.97)tg(Y-<p')'tgY. (16.6')
Механизм будет самотормозящим, г. е. передача энернш от
червячного колеса невозможна в том случае, когда выполняется
неравенство (см. §3.8). При ведущем червяке механизм
работает, хотя значения кпд могут быть и небольшими. Найдем
283
верхний предел кпд г]12 при ведущем червяке для само тормозящей
передачи. Из условия т)21 ^0 следует неравенство у^ф', так как
все рассматриваемые углы — острые. Тогда при замене в формуле
(16.6) tg(y + <p') на tg2y знаменатель уменьшается, i. е. т]12^
(0,95...0,97)tgy,: tg2y = (0,95...0,97)(1 — tg2у)/2<0,5. Следовательно,
кпд самотормозящей червячной передачи при ведущем червяке
(когда возможно движение) не может превышать 0,5.
Пример 16.1. В червячной передаче механизма внешней памяти ЭВМ на
машигной jeHie (см. рис. 17.2) угол у = 5 42'38”. число заходов г, = 2, передаточное
отношение (12=40, модуль ли=0.8 мм. Рассчитать делительные диаметры и диамет-
ры окружностей вершин, впадин червяка / и колеса 2, межосевос расстояние,
козффипиенг перекрытия и кпд передачи.
Решение. По формуле (16.4) рассчитываем коэффициент диаме1ра червяка:
^=zl('tgy = 2 lg5 42'38" = 20;
топа размеры червяка (здесь и дальше все линейные величины в мм):
с/, = <?ли=20-0,8 = 16;
<4! = d, + 2 h > = 16+2 1 0.8 = 17,6;
dti = d, -2 (Л+c')nt = 16-2 (I + 0,2) 0.8 = 14.08.
Параметры колеса 2:
z, = z1/12 = 2-40 = 80; </,=ли;2=0,8-80 = 64;
dll2 = d2 + 2h’l,ni = e^ + 2-1 0.8 = 65,6:
<//2 = т/2-2(Л;+с')ш=64-2(1 +0,2)0,8 = 62.08.
Межосевое расстояние
a„. = (J, +</,), 2 = (16 + 64) 2 = 40.
Коэффициент перекрытия рассчитываем при стандартном значении yuia
профиля а=20 :
е=(ч/65,62-642cos220"-64sin20 ):(2n0,8cos20 ) + 2, (nsin40 )= 1,903.
т. с. зацепление почти вес время двупарное (£^2).
При вычислении кпд надо учесть, что входное звено червяк; принимаем
значение приведенного утла трения <р' = 6" и используем формулу (16.6):
r)12=0,95tg5 42'38'/tg(5 42'38"-t-6 ) = 0.458;
так как rj12<0,5, ю передача самотормозящая (движение может передаваться
только от червяка к колесу).
Силы в зацеплении распределены по линии контакта зуба колеса
с витком червяка. Существенную роль играют силы трения, которые
зависят от скорости скольжения в каждой точке контакта и от ряда
других факторов (режимы работы, смазки, коэффициента перекрытия
и др.). В первом приближении все распределенные нагрузки заменяю!
сосредоточенной силой, приложенной в полюсе зацепления (точка А на
рис. 16.1). Сила Fnl действует на bhikh червяка 7. сила Fn2— па зубья
колеса 2. На рис. 16.7, и показаны проекции этих сил —окружные
радиальные Fr и осевые Fx составляющие. Окружные силы касательны
к делительным окружностям и вычисляются по формулам:
FtX = Tv^.5d^ Fl2 = r2./(0,5J2),
где Г,—крутящий момент на червяке, Т2 -го же, на колесе;
did2 делительные диаметры; для ведущего звена окружная сила
284
Рис. 16.7
направлена против скорости точки приложения, а для ведомого —
по скорости. Так как колесо червячной передачи такое же, как
в косозубой цилиндрической, угол наклона зубьев которой Р = у,
то радиальную и осевую силы находим по формулам § 14.6:
FJ.2 = Fl2tga/cosy; Fx2 = Fl2tg7.
Потери па трение учитываются при расчете момента сил на
ведущем звене по известному моменту па ведомом:
Л = т2 /(z± 2 п 12) (ведущий червяк);
Т2 = Т1('21П 21) (ведущее колесо).
Силы трения практически не влияют на положение линии действия
силы Fnl, г. е. линия действия полной силы Fnl(Fxl,FfI, — Fri)
нормальна к рабочей поверхности витка червяка. Эта поверхность
получена вращением прямой пп (правый профиль, см. рис. 16.7, б)
или л, (левый профиль) вокруг оси х с одновременным смещением
вдоль этой оси на величину e = r1tgy. Для правого профиля и правой
навивки винтовой линии уравнения винтовой поверхности:
x=e(p + ptga; j = pcos<p; z = psin<p.
где угол <р поворота прямой пп и радиус р — независимые
переменные; начало отсчета <р — от плоскости ху.
Вектор нормали к поверхности
i J к
•vp Ур -р
-v<₽ -v<₽ *ф
п =
(16.7)
1де т, /, к - орты осей х, у, z (вторая и третья строки содержат
частные производные координат). Для точек контакта (рис. 16.7,
а) угол <р = 90” при правой навивке. Поэтому из определителя
(16.7) получим следующие координаты вектора нормали:
«х = р; Hy = ptgY: «z= — ptga.
285
Напряжения силы Fnl и вектора нормали п совпадают,
поэтому проекции Fni можно записать в таком виде:
F„i (F„nx п: Fnny и: F„nz.n),
где п модуль вектора нормали. Выразив осевую Fxl и радиаль-
ную Frl составляющие через окружную силу Fl}=F„ny!n. получим
расчетные формулы:
Fxl = F„nx n=-{Fltnny)nx:n = Fl} Igy; (16.8)
FrA = F,,nJ.:/?). = FI1tga,tgy. (16.9)
Эти зависимости, выведенные для правою профиля витка
и для правой навивки, верны и для всех других случаев.
Расчет на прочность. При проектировании мелкомодульных
малогабаритных передач, работающих с незначительными силовы-
ми нагрузками, расчет на прочность обычно не делают. Размеры
таких передач определяют, исходя их геомщрического расчета
и конструкторско-техполо! ических условий. Как и в .мелкомодуль-
ных зубча1Ых передачах, главными условиями работоспособности
здесь являются ограниченные вибрации и интенсивность износа.
Но в тех случаях, когда нагрузки относительно велики, целесооб-
разно проверить зубья на прочность.
Расчет червячных передач основан на тех же исходных принципах,
что и цилиндрических зубчатых передач. В качестве расчетного звена
принимают червячное колесо, гак как его изготовляю! из менее
прочного по сравнению со стальным червяком материала.
Расчет подразделяется на проектный и проверочный. Цель проект-
ного расчета определение модуля зацепления т (или делительного
диаметра колеса т/2, мсжоссвого расстояния aw), при котором
обеспечиваются необходимые прочное!ь и долговечность элементов
передачи. При проверочном расчете — по заданным нагрузкам и раз-
мерам передачи, полученным па основании геометрического расчета,
определяют действительные напряжения в зубьях колеса и сравнивают
их с допускаемыми. Для червячных передач, работающих в масляной
ванне, значение модуля рассчитывают по контактным напряжениям
с последующей проверкой на из!иб, а в открытых червячных
передачах (работающих с консистентной смазкой или без смазки) —по
условию прочности зубьев колеса на изгиб.
Формулы для расчета червячных передач па прочность выводят
гак же, как для цилиндрических зубчатых передач (см. § 14.8):
проектный расчет на выносливое !Ь
по контактным напряжениям
1,188 (16.10)
на изгиб
1,145 зх/ Г2 YF2KFpKFr cos у, (q~2 [<yF2 ]). (16.11)
Соответствующие форму !ы для проверочного расчета'.
(7п2 = Ь295,д/2 Т2Кн^Кн, ^np'^t (16.10а)
286
<3F2 — 1.5T2 К;..2ХгрА7, .cosy (/Ht/jc/J < [oF2]. (16.1 la)
В формулах (16.10) -(16.11a):
Г2 крутящий момент на колесе. Нмм; KHV. К1и, KFfi.
KFl. коэффициенты, физический смысл которых рассмотрен при
расчете цилиндрических зубчатых передач (см. § 14.8),
кНР=1 +(--2/е)3(1 - /П1.тта1),
где Тт, Т1Пак средний и наибольший крутящие моменты; 0—коэф-
фициент деформации червяка, значения которого принимают
в зависимости от числа заходов ij и коэффициента диаметра червяка q:
Ч =10 9=12 <7=14 <]= 16 </=18
1 108 151 190 230 280
2 86 125 152 193 222
3 76 НО 134 165 198
4 70 101 123 150 190
£пр —приведенный модуль упругости [см. (14.28)];
Y, 2 коэффициент, учи тывающий влияние формы зуба, значе-
ние которого зависит от эквивалентного числа зубьев z, = z2/cos3y:
20 24 26 28 30 32 35 37 40 45 50 60 80 100 150 300
Т„ .... 1,98 1.88 1,85 1,80 1,76 1,71 1,64 1,61 1.55 1,48 1,45 1.40 1.34 1,30 1,27 1.24
допускаемое напряжение па контактную выносливость
[сН2] = 0.9ов28х/Ю7'Лнт-
где ов2 предел прочности, равный 200...300 МПа для бронзовых
колес; NHji=f!f)n2L— число циклов нагружения; п2 частота вращения
колеса, об/мин; L—долговечность передачи, ч; при 60zt2L >2,5- 107
принимается NHE = 25-107, при 60л,£ < 10’ принимается Л'//£ = 10";
допускаемое напряжение на изгионую выносливость при соот-
ветственно нереверсивной и реверсивной передаче:
[oF2]= (0.25пт+0,08аЛУЙГ Л^;
[or2] = 0,16aBV10fc/A,Ft2,
где сгт — предел текучести материала колеса, ориенптровочпо
с, %0,6сгп; Л'н 2~60zz2/z: »1?и 60л2Л < 5 • 105 принимают NEE2 —
= 5 105; при ббл2Л > 25 • 107 принимают NFE2 = 25 107.
Пример 16.2. Рассчитать на прочность закрытую червячную передачу, рабо-
тающую с жидкой смазкой при следующих исходных данных: крутящий момент
на вату червячною колеса 7’2 = 750 11-мм; частота его вращения л. =400 об,мин;
передаточное отношение /12 = 7; передача реверсивная; 7’,/Лпях = 0.8.
Решение. Выбираем основные параметры передачи: чисто витков червяка zl =4 (гак
как передаточное число «=7, см. §2.1); число зубьев колеса г2=Л <|2 = 4-7 = 28. чго
допустимо (t2n,in=28); делительный утол подье.ма витка у вы< раем так, чтобы получит ь
более высокий кпд (см. рис. 16.6): при <у= 10 у=21 48'05'' [см. формулу (16.5)].
Выбираем материалы звеньев: сталь 35 для червяка, бронзу БрОФЮ I тля
червячного котсса их модули упругости (МПа) и коэффициенты Пуассона:
Д=2,0-105, /г2=0,92-IO5, р, =0.3, jt2=0,29: приведенный модуль упругости
287
Рис. 16.8
/?пр= 1.38 105. Долт «вечность передачи примем равной £=7000 ч. Число циклов
•V/le=- А>е=60л2£=60-400-7(ЮО=16.8-105. Предел прочности для бронзы ов2 st
250 МПа.
Допускаемые напряжения (МПа):
[cth2J=0.9-250^ IO7/(h5,8~107)= 158;
[oF2] =0.16 • 250 ’/'О6/(16.8-Ю7) = 38.
При 9=10 и £[=4 0=101. тогда £HP=£fp= 1+(4/101)3(1 —0.8)^ 1. По данным
§14.8 принимаем A'„, = Kf,.= 1,25. Рассчитываем модуль по формуле (16.10).
Так как передача работает в жидкой смазке, то основной расчет на
контактную выносливость:
т 1,188 ^.'750 1 1,25 1,38 • 105.'(lu"2F7158j= 1,205 мм.
Принимаем ближайшее стандартное значение т= 1,25 мм.
Проверка выносливости па изгиб: </, =qm— 10-1.25= 12.5; d2=mz2 — 1,25-28 =
=35; £,=28/0,928=35; коэффициент fF2 = l,64: oF2=l,5-750 1.64-1 -1,25 cos?: (1.25 х
x 12.5 35) = 3.90 <38. г. e. выносливость на изгиб обеспечена.
Конструкции червячных передач. Червяки обычно изготовляют
за одно целое с валом (рис. 16.8,а}, но ино1да, например при
288
посадке непосредственно на вал двигателя, червяк выполняют
и в виде отдельной детали (рис. 16.8,6). В малогабаритных
передачах, несущих незначительные силовые нагрузки, червячные
колеса делают цельными (рис. 16.8,«): размеры конструктивных
элементов приведены в табл. 16.3.
Находят применение также колеса, состоящие из .металли-
ческого центра и синтетического венца (например, из по тиамидной
смолы, залитой на обод втулки под давлением). Червячные
колеса в силовых передачах часто делают составными: зубча-
тый венец / из бронзы, а центральная часть колеса из ста-
in или чугуна (рис. 16.8, г). Венец насаживают на колесо с на-
тягом (поля допусков типа г, л) и закрепляют стопорными
винтами или штифтами. Диаметр стопорных винтов
т/в = (1,2... 1,5)ш, их длина /в = (0.3...0,4)£?2. Отверстия под винты
и штифты сверлят и нарезают одновременно в ступице и ободе.
Випты или штифты (4...6 шт., а при незначительных осевых
нагрузках 2...3 шт.) устанавливают в шахматном порядке с обеих
сторон колеса.
Червячные передачи применяют в закрытом и открытом
исполнениях. На рис. 16.9. а представлена конструкция закрытого
малогабаритного червячного редуктора, применяемого в ленто-
протяжном механизме ЭВМ; здесь в корпусе / червяк 2 установлен
на опорах 3; на ведомом валу 4 с помощью штифта б жестко
посажено червячное колесо 5. Открытая передача (рис. 16.9,6)
конструктивно проще и дешевле передачи, размещенной в закры-
том корпусе.
Рис. 16.9
В точной механике при малых нагрузках применяют упрощен-
ные червячные передачи. В регуляторах скорости часто ис-
пользуют червяки, изготовляемые путем навивки проволоки / на
гладкий валик 2 (рис. 16.10, см. также рис. 4.8, о), червячное
колесо 3 косозубое цилиндрическое. Диапазон передаточных
отношений 1 .'20... 1/30. Главное достоинство такой передачи —
относительная простота изготовления (например, колесо штам-
пуют из топкого листа). К упрощенным относятся и передачи
па рис. 16.5. б, в. Основные преимущества механизма на
рис. 16.5, в колесо проще изготовить, передача нечувствительна
к осевому смещению червяка. Здесь в отличие от обычных
червячных передач стандартным является нормальный модуль
колеса, а осевой модуль червяка вычисляю! по формуле
т = тп’cosy.
290
Пример 16.3. В приводе вибрографа при-
менен упрощенный червячный механизм (см.
рис. 16.10). Найги диаметр навиваемой проволо-
ки </п и велика если угол у = 7'31'30". число
заходов z,=2. коэффициеш высоты головки
h'a= I. коэффициент радиальною зазора с* = 0,5,
модуль /и = 0.315 мм.
Решение. Диаметр делительного цилиндра
червяка определяем с учетом формулы (16.5):
dt =wi^ = zn;1.'tgy = 0.3l5 -2 '0,125 = 5.04 мм.
Высота вигка червяка должна быть равна
диаметру d„ навиваемой проволоки:
h = dtl—ha+hf=mh'a+т (6J+с* )=
=0,315(1 + 1 +0.5)=0,788 .мм;
диам :тр валика
rf,=</1-2/»/=5,04-2 0,315(1 +
+ 0,5)=4,095 «4,1 мм,
тде Ло, Лу высота головки и ножки витка.
Рис. 16.10
§ 16.3. ТОЧНОСТЬ
▼ Червячные передачи должны удовлетворять следующим экс-
плуатационным требованиям: обеспечивать постоянное переда-
точное отношение при любом угле поворота; иметь минимальный
мертвый ход, который зависит от боковых зазоров между
поверхностями витков и зубьев червячного колеса, а также от
жесткости элементов передачи; иметь достаточный контакт рабо-
чих поверхностей витков червяка и зубьев колеса. Эти 1ребовапия
обеспечиваются при соответствующей точности изготовления
червяков и червячных колес, точности монтажа передач, норм
контакта и наименьших боковых зазоров и т. д.
Низкая точность изготовления червячных передач вызывает
недопустимое увеличение мертвого хода, вибраций, шума и при-
водит к быстрому износу. Точность изготовления червячных
передач регламентирована ГОСТ 1913 79. Предусмотрены сле-
дующие виды норм точности: кинематическая точность (ограни-
чивается погрешность угла поворота колеса за один оборот);
плавность работы передачи (ограничивается циклическая погреш-
ность. многократно повторяющаяся за один оборот колеса);
пятно контакта зубьев (нормируются размеры пятна контакта
в целях обеспечения передачи наибольшего крутящего момента);
гарантированный боковой зазор. В каждом конкретном случае
к передаче предъявляют различные требования. Например, для
отсчетных передач главным требованием является кинематическая
точность, а для быстроходных- плавность.
Мелкомодульные червячные передачи изготовляют по 5... 10-й,
а передачи с модулем > 1 мм по 4...9-й степеням точности.
Степени 4 и 5 предназначены для передач особо высокой
Н>* 291
кинематической точности; 6-я степень установлена для передач
высокой кинематической точности, работающих при частотах
вращения п свыше 4000 об;мин; 7 и 8-я—для передач средней
кинематической точности (7 — при п 2000 об,, мин, 8- при
н < 2000 об/мин); 9 и 10-ю степени точности применяют для
тихоходных передач. Наиболее распространены передачи, изготов-
ленные по 7 и 8-й степеням точности. Степени 1. 2 и 3 пред-
усмотрены на перспективу.
Для червячных передач, так же как и для зубчатых цилиндри-
ческих, установлены нормы бокового зазора: с уменьшенными,
нормальными и увеличенными зазорами. Необходимое сопряжение
выбирают в зависимости от условий работы передачи (необходи-
мая точность, допустимый мертвый ход, влияние изменения
температуры; темпера гурные деформации, особенно при конструи-
ровании точных огечегных передач с большим переда точным
числом). От боковою зазора /л между зубьями колеса и витками
червяка зависит мертвый ход передачи. Он может быть выражен
утлом поворота колеса при неподвижном червяке. Если зазор
в опорах валов равен пулю, го значение мертвого хода (мин)
Дфк =Jni (0,5 cl2 cos» cosy ) = 7,32ул/(т/2 cosy),
где а = 20 —угол профиля: }п—ъ мкм: d2 в мм.
Для устранения мертвого хода применяют червячные колеса
специальной конструкции, например двойные колеса с пружинами,
посредством которых в сопрягаемых зубьях устраняется зазор
(но типу колес на рис. 14.28). Изменение межосевого расстояния
путем перемещения опор вала червяка (с помощью пружин)
также позволяет устранить мертвый ход. ▲
ГЛАВА 17
ФРИКЦИОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Фрикционные механизмы широко применяются как во внешних устройствах ЭВМ.
так и в приборах блат о ларя простоте конструкции и достаточной надежности.
Фрикционные передачи могут бьнь с неподвижными осями и плане тарными. Основной
недостаток лих механизмов- их передаточное от ношение (в общем случае первая
передаточная функция) непостоянно из-за проскальзывания; но при малых натрузках
отрицательное влияние проскальзывания минимизируется увеличением силы прижатия.
За счет фрикционных сил преобразуется движение в (шрштюра*! передаточное
отношение i которых может иметь любое значение в определенном диапазоне
(диапазон регу.шрованн-ч). Здесь возможно и непрерывное, изменение величины
i в зависимости от внешних условий, поэтому с помощью вариаторов синтезируют
оптимальные но эффективности системы.
§ 17.1. ВИДЫ И ПРИМЕНЕНИЕ
Фрикционными называют механизмы, в которых энергия от
входного звена к выхо що.му передается силами трения. При-
меняются как передачи с постоянным передаточным отношением
21)2
Рис. 17.1
(рис. 17.1, а), так и фрикционные вариаторы, которые обеспе-
чивают плавное изменение передаточного отношения (рис. 17.1. г5).
Достоинсгва фрикционных передач—простота конструкции и вы-
сокая надежность, плавность передачи движения и бесшумность;
в отличие от зубчатых фрикционные передачи не являются источника-
ми вибрации; при возникновении перегрузок происходит пробуксовка
и тем самым предотвращается поломка узлов самой передачи
и связанных с ней механизмов. Основной недостаток фрикционных
передач— возможное проскальзывание соприкасающихся звеньев, чго
приводит к нежелательному изменению передаточного отношения;
кроме того, имеется упругое проскальзывание из-за деформации
звеньев в зоне контакта, а гакже геометрическое ско.гьжение.
Например, в лобовом вариаторе (см. рис. 17.1, б) линейные скорости
звеньев 1 и 2 могут быть равными лишь в одной точке С; во всех
других точках контакта этих звеньев неизбежно геометрическое
скольжение, которое складывается с упругим. Скольжение вызывает
износ деталей, понижает кпд, поэтому при проектировании механизма
его стремятся всемерно уменьшить.
Фрикционные механизмы применяют в приводах многих
систем ЭВМ и автоматики: вариаторы различных конструктивных
схем используются для интегрирования и дифференцирования
функций, для корреляционного и гармонического анализа и т. п.
Современные конструкционные материалы и смазки открывают
новые перспективы использования фрикционных передач.
293
Рис. 17.2
В зависимости от особенностей конструкции и назначения
фрикционные механизмы можно разделить на следующие группы:
1) для преобразования вращательного движения с парал-
лельными (рис. 17.1, а), пересекающимися (рис. 17.1, в) и скре-
щивающимися осями;
2) для преобразования вращательного движения в поступа-
тельное или наоборот (рис. 17.1.?), а также для поступательного
перемещения промежуточного тела ленты 3, зажатой между
ведущим I и прижимным 2 роликами (рис. 17.1, б)), такие
механизмы широко применяют в качестве рабочих органов
различных лентопротяжных систем. Рассмотрим, например, схему
лентопротяжного механизма накопителя па магнитной лете
ЭВМ (рис. 17.2). Информация записывается или считывается
магнитной головкой 1 с магнитной лентой 2. Движение от
электродвигателя 3 преобразуется червячными механизмами 4.
на выходных валах которых посажены тянущие ролики 5 и б.
Ролики вращаются навстречу друг другу, так как червяки
редукторов имеют разные направления навивки. Лепта движется
только в юм случае, когда левый или правый прижимный
ролик 7 прижат к тянущему ролику пружиной 8. Отвод ролика
7 осуществляется при включении соленоида 9; его сердечник
втягивается в катушку, перемещая ролик 7.
§ 17.2. ФРИКЦИОННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
С ПОСТОЯННЫМ ПЕРЕДАТОЧНЫМ ОТНОШЕНИЕМ
Простейший фрикционный механизм для преобразования
вращательного движения состоит из двух цилиндрических роликов
(см. рис. 17.1, о), прижатых друг к другу силой F. Если возника-
ющая сила сцепления Ff превышает окружную силу Ft, то
вращение от ролика / передается к ролику 2. Передаточное
отношение цилиндрической передачи
'i2=®1/a>2 = (i’I/r1)/(f2/r2) = r2/(r1(l-e)). (17.1)
где ?! и г2— радиусы роликов; t^, v2 окружные скорости
роликов (i.’i #и2); £=|и, —т21/1?! — коэффициент упругого нроскаль-
294
зывапия роликов; в механизмах приборов
г. = 0,0001.0,02, а в силовых передачах
к=0,02...0,06. Аналогично рассчитывают
передаточное отношение других фрикци-
онных передач с неподвижными в про-
странстве осями роликов.
Планетарные фрикционные механизмы.
Фрикционные механизмы выполняю! также
и по планетарным схемам. Особенно ши-
роко используют фрикционные плантар-
ные передачи в радиоаппаратуре как ме-
ханизмы настройки. На рис. 17.3. а пока-
зана схема редуктора, которая обеспечи-
вает небольшое (в 6...8 раз) замедление
вращения. При грубой настройке вращение
рукоятки 2 непосредственно передается ва-
лу 7, Рукоятка 2 |рубой настройки жестко
связана с водилом h, которое конструк-
тивно выполнено за одно целое с сепа-
ратором 8. Точную настройку осуществ-
ляют рукояткой /. с которой жестко связан
центральный конический ролик 4 Шарики
6 играют роль сателлитов и контактируют
одновременно с роликом 4 и неподвиж-
ным кольцом 5. При вращении рукоятки
Рис. 17.3
1 происходит преобразование движения от центрального ролика
4 к водилу Л. которое вращается вместе с валом 7. Пружина
3 создает осевую силу F. необходимую для фрикционного
сцепления.
Схема рассматриваемой передачи аналогична планетарному
зубчатому механизму па рис. 15.1,6. Передаточное отношение
/Й = /17=| +Г5/'Г4;
(17.2)
Рис. 17.4
формула (17.2) идентична зави-
симости (15.5) (г4 и г5 — размеры
по рис. 17.3, а).
Для преобразования движе-
ния при мощностях до несколь-
ких сотен ватт используют пла-
нетарный фрикционный редук-
тор. изображенный на рис. 17.4.
Структурная схема этого меха-
низма такая же, как планетар-
ного зубчаюго на рис. 15.2. а.
Здесь водило Л — входное звено;
ролики-сателлиты 1 и 2 жестко
связаны между собой и свободно
295
посажены на осях 3. которые установлены в радиальные
пазы водила. При быстром вращении водила центробежные
силы прижимают ролики 1 и 2 к поверхностям выходною
4 и неподвижного 5 фрикционных цилиндров.
Передаточное отношение механизма определяют по аналогии
с формулой (15.2):
'^ = [1 —r2r5.(r4ri)] *,
где Г) - радиусы соответствующих звеньев.
При проектировании фрикционных механизмов после расчета
параметров кинема гики определяют действующие нагрузки и раз-
меры элементов. С увеличением развиваемой окружной силы Ft
проскальзывание роликов возрастав i и когда Ft превышает силу
сцепления Fj. возникает буксование, сопровождаемое интенсив-
ным местным износом фрикционных поверхностей. Работу фрик-
ционной передачи с минимальным проскальзыванием обеспечи-
вает сила прижатия F (см. рис. 17.1. а). Ее рассчитывают гак,
чтобы выполнялось неравенство
F^PF,; (17.3)
для цилиндрической передачи условие (17.3) можно записать
в виде /F^PFi 'T!. откуда
^РЛДгтЛ (17.4)
где Fj=fF —сила сцепления; Ft—Tl:rl развиваемая окружная
сила; 1\—крутящий момент на ведущем ролике; Р— коэффициент
запаса; для фрикционных механизмов, применяемых в приборах,
Р = 2...3; /- коэффициент трения скольжения (табл. 17.1).
Таблица 17.1. Среднее шачение коэффициента f сухого грсния скольжения
Наименование материалов ipyiHMXCfl нар Коэффицисн । / Наименование материалов трущихся нар Коэффициент ./
Ci аль—сталь (или чугун Медь - медь 0.20
серый) 0.15...0,20 Медь латунь 0,27
Сталь алюминий 0.18...0,20 Медь алюминий 0.27
Сталь бронза оловянная 0,16 Латунь латунь 0.16
Сталь латунь 0,19 Латунь алюминий 0.27
Сталь бумага 0,20 Латунь рифленый цинк 0.5
Ci аль—резина 0,35...0.40 Бронза бронза 0.20
Сталь текстолит 0,20-0.25 Бронза алюминий 0.22
«таль ферадо 0.30..0.35 Алюминий алюминий 0,22
Сталь красная медь 0.15 Резина — бумага Рифленая латунь —бумага 0,39 0.42
Силовые фрикционные передачи в основном работают со
смазкой в условиях жидкостного трения. В этом случае расчет
коэффициента трения и других параметров ведется на основе
эласгогидродинамической теории. В наиболее ответственных слу-
296
чаях значения коэффициен-
тов трения проверяю 1ся
опытным путем.
Увеличить нагрузочную
способное гь передачи при
неизменной силе прижатия
F можно путем применения
клиповых фрикционных по-
верхностей (рис. 17.5, о).
В этом случае силы нор-
мального давления на по-
верхности контакта
(рис. 17.5,6)
/>/7(2 sin (0,5у)),
а общая сила сцепления
Fz=2F„/=Fz/sin(0,5y)
в (sin (0,5у))“1 раз превышает соответствующую силу фрикционной
передачи с цилиндрическими поверхностями контакта. При умень-
шении угла у нагрузочная способность передачи возрастает, но
во избежание заклинивания принимают у > 15". Для нормальной
работы передачи с клиновыми поверхностями необходим ради-
альный зазор с (рис. 17.5, а), равный 1...2мм.
В планетарных передачах условие (17.3) должно выполняться
для всех фрикционных пар, входящих в состав механизма.
Например, для механизма настройки на рис. 17.3, а обе нор-
мальные силы Fnl} и Fnl), действующие па шарик 6 , должны
создавать силы сцепления, которые предотвращали бы про-
скальзывание. Из условия равновесия конуса 4
£Z=0; F„p=F/(zsina),
где z число шариков.
Из уравнения равновесия шарика 6 (см. рис. 17.3.6)
£У=0; F„B=Fnftcosoc = F/(ztga); (17.5)
£A/z = 0; FlB = FrPcosa= 7\cosa/'(zr4), (17.6)
где 74 крутящий момент на конусе 4; г4—радиус (см.
рис. 17.3, о).
Условие (17.3) контакта в точке В: PF1B <Fz=/’FnB, а в точке £)
РЛ» т- е-
p(FlB/cosa) cosot).
С учетом равенств (17.5) и (17.6) условие работы фрикционных
пар рассматриваемого механизма
F> pr4sina/(r4/).
297
Материалы. Маюриалами для изготовления деталей фрикционных
передач служат сталь, бронза, алюминий, различные пластмассы,
гсгинакс, текстолит, резина и др. (см. табл. 17.1). Из сталей наиболее
часто применяют шарикоподшипниковую марку ШХ15. закаливае-
мую до 1вердосги 1IRC60. Детали, изготовленные из нее. могут
работать как со смазкой, гак и без нее. Для повышения коэффициента
трения применяют покрытые резиной металлические ролики, при
малых нагрузках с этой же целью использую г рифление поверхностей
контакта. Весьма благоприятно сочетание роликов из металла
и текс юли га или гстинакса: коэффициент трения достаючно высок
и очень стабилен, а интенсивность шума наименьшая по сравнению
с другими возможными сочетаниями материалов. При выборе
материалов обращают внимание пе юлько на значение коэффициента
трения, но также на износостойкое гь и ос га точные деформации, так
как от этих факторов зависит падежная работа сишемы.
Расчеты на прочность деталей фрикционных передач про-
водятся даже в случае малых на[рузок, так как основные
напряжения возникают от силы прижат ия F. Характерная особен-
ность большинства приборных передач—значительная сила при-
жатия, которая возволяст свести проскальзывание к минимуму.
Основной вид разрушения поверхностей фрикционных ко-
лес - выкрашивание наружных слоев материала. Поэтому расчет
металлических фрикционных пар ведется по напряжениям ап
смятия в зоне контакта; для цилиндрических поверхностей
^H = V^[nrnp((l-и?)•%+(! -рП/£2)Л] '• (17.7)
Здесь Fn сила нормального давления. глр— приведенный радиус
кривизны соприкасающихся тел, (г.^1 | = 1г, 1 ±т^1 |; г12— ра-
диусы соприкасающихся поверхностей (знак плюс относится
к внешнему касанию, минус—к внутреннему); ц, 2 и Е1 2 коэф-
фициент Пуассона и модуль упругости роликов 1 и 2 (см.
рис. 17.1, а); b ширина роликов (длина площадки контакта).
Если оба ролика стальные (|т~0,3), ю условие прочности
вытекает из формулы (10.22):
о„=0.418 7(Гв/Л)£)7пр^[о„], (17.8)
где [<тн]—допускаемое напряжение смя1ия, МПа. которое для
стальных роликов твердости ^300 НВ принимается равным (1,5 ...
... 1,7)ст„1 или [<тн]:^(2,2 ... 2,6) НВ (а_!—предел усталости при
симметричном цикле), при твердости >300 НВ рекомендуется
принимать для стали [оп]st 2,6 НВ.
Если соприкасаются стальные шаровые поверхности (или шар
и плоскость), го условие прочности [см. формулу (10.24)]:
о„ = 0,388 \fF~E2г~2<ан]. (17.9)
При использовании формул (17.8) и (17.9) для звеньев из
различных материалов ошибка может достигать 10%.
298
Неметаллические колеса и колеса с неметаллической облицов-
кой рассчитывают но давлению />:
где [р]—допускаемое давление. Н'мм;
Кожа ......... 15 ... 25 Тскстолш ...... 20 ... 50
Ферадо........ 4 ... 5 Резина ........ 10 ... 30
Пример 17.1. Определив необходимую силу прижатия роликов цилиндричес-
кой фрикционной передачи (см. рис. 17.1. а) н проверить их на прочность, если
дано: мощность на входном ролике Г] =25 Вт; угловая скорость i»1 = 100c *;
радиус г, =25 мм; ширина ролика Л = 5 мм; среднее относи 1ельнос упругое
скольжение е = 0,75%; передаточное отношение i,2=2,2: коэффициент запаса Р=3;
маюриал роликов сталь 35 твердостью 300 НВ; передача работает без смазки.
Решение. По табл. 17.1 принимаем коэффициент сухого трения стали по
стали / = 0,15. На звено / дейечвует крутящий момент
7, = Р, /со, = 25.100= 0.25 Н .м = 250 11 мм;
необходимая сила прижатия по формуле (17.4):
Р=3 250.(0.15 -25) = 200 Н.
Прочное! ь роликов проверяем но условию (17.8). Радиус ролика 2 находим
из формулы (17.1);
г2 = ' I' 12 (1 - к)=25 • 2,2 (1 - 0.0075) = 54.6 мм;
приведенный радиус кривизны
rllp = r1 Ti-’O'i + г2) = 25-54.6/(25+54.6) =17,15 мм.
Модуль упругости стали /?=2-105 МПа. Расчетное напряжение смя!ия в зоне
контакта роликов
а„ = 0,418 ч/(200'5)(2 105 ’17,15) = 288 МПа.
Для твердости 300 НВ допускаемое напряжение [п„] = 2,5 -НВ = 750 МПа;
следовательно, прочность передачи обеспечена.
§ 17.3. ФРИКЦИОННЫЕ ВАРИАТОРЫ
Бо 1ьшую группу фрикционных передач составляют вариато-
ры, допускающие плавное изменение передаточного отношения
в определенном диапазоне. В приводах вариаторы используют
для регулирования скорое i и рабочего органа но заданной функции
или для поддержания постоянной его скорости при изменяющейся
yiлевой скорости ротора двигателя, а также как механические
вычислительные устройства. В последние 15 лет объем произ-
водства вариаторов во всем мире возрос в 3 раза, так как
механическое регулирование угловой скорости экономично и на-
дежно.
Наиболее проста схема лобовою вариатора (см. рис. 17.1,6):
при сдвиге ролика 2 по стрелкам А изменяется расчетный ради-
ус Tj диска I и передаточное отношение il2. Один из основных
параметров вариаторов - диапазон регулирования
Д I 'max 1I1 'min L
299
Рис. 17.6
Рис. 17.7
где /тах и /min— наибольшее и наименьшее передаточные отноше-
ния Диапазон регулирования лобового вариатора ... 4.
Вследствие наличия существенного f еометрического скольжения
его кпд невысок; применяется этот вариаюр при небольших
нагрузках. Входным звеном может быть и диск 1 и ролик 2.
Основные схемы. Лобовой вариаюр применяют в качестве
интегратора * во многих малых вычислительных приборах:
планиметрах, гармонических анализа юрах, стилы ьес-плапиме трах
и пр. Передаточное отношение лобового вариатора
Ч2 = 'w2 =dq>i/dф2 = r2jr^ (17.10)
где ср, и ф2 - угол поворота соотвеювепио диска 1 и ролика 2
(см. рис. 17.1,6), а rt и г2— расчетные радиусы диска и ролика.
Если радиус rt изменять в зависимости от угла ф15 то
в соответствии с уравнением (17.10)
d<P2 = ri(<Pi)r2 ld<Pi- (17.11)
Проинтегрировав выражение (17.11), получим
Ч>1.
Ф2 = ''2 ' f Г1(ф1)т1ф1, (17.12)
о
где ф1к—конечное значение утла поворота ролика 1. Зависимость
(17.12) показывает, что угол поворота 2 пропорционален значению
определенного интеграла от функции г, (ф2). При интегрировании
диск 1 входное звено, его расчетный радиус изменяезся по
закону, определяемому подынтегральной функцией.
Модификацией рассмотренного двухдискового лобового вариа-
тора является шариковый вариаюр (рис. 17.6). Здесь с диском 1
контактируют шарики 2, находящиеся в специальной каретке 3,
которая может передвигаться по стрелкам А с помощью винтово-
го механизма. При этом изменяются расчетный радиус диска /
и передаточное отношение ii4. = r4,:rl (г4 - радиус валика 4).
* Применение лобового вариатора в качестве вычислителя ржа элементарных
функций также основано на нахождении значений определенных интегралов.
300
Рис. 17.8
Благодаря точечному контакту здесь отсутствует геометрическое
скольжение и ошибка в 1.5 ... 2 раза меньше, чем у двухдискового
вариатора. Поэтому шариковый вариатор чаще применяют в роли
интегратора. При интегрировании независимая переменная —угол
поворота диска /, а значение интеграла пропорционального углу
поворота валика 4. В блоке с коническим дифференциалом
шариковый вариатор выполняет также операцию дифференциро-
вания.
Схема вариатора с параллельными осями звеньев I и 3 предс-
тавлена на рис. 17.7. Передаточное отношение it2 = r2lri изменя-
ется при перемещении промежуточного ролика 2 вдоль оси А.
Диапазон регулирования этого вариатора Д=5 ... 6. Геометричес-
кое скольжение в такой передаче может играть существенную
роль. Поэтому при повышенных требованиях к точности проводят
уточненные расчеты передаточного отношения с учетом проскаль-
зывания.
В силовых приводах применяю! вариатор (рис. 17.8, а).
С торцовыми поверхностями звеньев 1 и 2 соприкасаются роли-
ки 3, свободно вращающиеся относительно осей 4. При синхрон-
ном повороте осей 4 относительно ючки О3 изменяются расчет-
ные радиусы гг. г2 и передаточное отношение ii2=r2:ri- Кпд
вариатора до 0,9 ... 0,96, вариатор надежно работает при передаче
мощностей до 10 кВт, диапазон регулирования 8 ... 10. Увеличить
диапазон регулирования можно, использовав схему (рис. 17.8, б),
конструктивной особенностью которой является узел передачи
крутящего момента от вала к звену 1 с помощью шариков 5
(на рис. 17.8,в вверху показано положение шарика при холостом
ходе, а внизу— при передаче нагрузки). Когда диск 1 поворачива-
ется на небольшой угол относительно вала, появляется осевая
сила F, обеспечивающая силу сцепления во фрикционном контакте.
Сила F пропорциональна передаваемому крутящему моменту,
301
Рис. 17.9
поэтому все звенья механизма нагружаются лишь такой осевой
силой, которая необходима для передачи данной полезной
нагрузки. Особенно благоприятно отражается соответствие осевой
силы и передаваемой мощности па долговечности подшипниковых
узлов.
Важная задача при проектировании фрикционных передач —
уменьшение геометрического скольжения. Его можно свести
к минимуму, используя точечный контакт во фрикционной паре.
При этом уменьшения нагрузочной способности можно избежать,
применяя многопоточную схему передачи энергии. Обе эти идеи
реализованы в вариаторе (рис. 17.9). С дисками 1 и 2 соприкасают-
ся шарики 3, вращающиеся относительно осей А— А. С по-
мощью механизма 4 угол наклона осей А — А может синхронно
изменяться, вследствие чего изменяются радиусы и г2, а также
передаточное отношение вариатора. Диапазон pei улирования
такой системы около 10, кпд=0,7 ... 0,95, передаваемые мощнос-
ти—0,015 ... 10 кВт.
Планетарные вариаторы. Большую, быстро развивающуюся
и перспективную группу составляют планетарные вариаторы.
Фрикционные планетарные вариаторы выполняют по тем же
схемам, что и зубчатые планетарные передачи. Так как при
увеличении диапазона регулирования снижается кпд передачи,
вариаторы с широким диапазоном регулирования используют
преимущественно при малых нагрузках.
В схеме планетарного конического вариатора (рис. 17.10, а)
последовательно соединены два планетарных механизма (по схеме
рис. 15.2,»). Выходным звеном каждой ступени является централь-
ный конический ролик /. От входного водила й, вращение
передается сателлит у 2, образующая а а копуса которого
302
Рис. 17.10
параллельна оси передачи. С сагеллиюм контактируют централь-
ные ролики 1 и 3. Ролик 3 не вращается, но может смещаться
вдоль оси передачи (по стрелкам Б): при этом движении расчет-
ный радиус г'2 изменяется. Передаточное отношение от вала /
к валу II рассчитывается на основании формул (15.3) и (2.6):
6-п = [1+''2М'1''2)]“2>
где rj расчетные радиусы колес на рис. 17.10, а.
Планетарные вариаторы с коническими колесами выполняют
также с 1ремя центральными колесами. Это позволяет получить
широкие пределы регулирования и приемлемые значения кпд во
всем спектре передаваемых мощностей. Рассмотрим схему такого
планетарного вариатора, который автоматически изменяет переда-
точное о 1 ношение в зависимости от момента сил сопротивле-
ния па ведомом звене. С входным валом 1 вариаюра
(рис. 17.10.б) с помощью несамотормозящею винтовою соедине-
ния связан регулирующий диск 1. Сателлиты 2 свободно вращают-
ся относительно водила /? и входят во фрикционный контакт
с центральным диском /, неподвижным 3 и ведомым 4 роликами.
Oi ведомого ролика 4 к валу II движение передается через
специальную муфту 5 (см. рис. 17.8,«). Свободно вращающийся
относительно оси механизма ролик б предназначен для передачи
реактивных сил от сателлитов к корпусу вариаюра. Передаточное
отношение вариа гора
= + г12 Г3'(Г1 Г3г)] 'П —r42 r3;(,’4r32)J- (17.13)
где Гу—радиусы звеньев на рис. 17.10,6.
Рассматриваемый вариатор автоматически обеспечивает крутя-
щий момент Тп на ведомом валу, равный моменту Тс сил
сопротивления. Это достигаемся осевым смещением диска /,
благодаря чему изменяется расчет ный радиус г12 сателлита. При
увеличении момента Тс диск 1 замедляет свое вращение по
303
отношению к валу / и механизм винт-гайка смещает ведущий
диск по стрелке Б. При этом увеличивается радиус г12, т. е.
в соо1встствии с зависимостью (17.13) передаточное отношение
растеI. Одновременно возрастает и крутящий момент Тп на
выходе. Процесс регулирования заканчивается при условии Тп =
= Тс. Бели внешняя нагрузка Тс уменьшается, то пружина 7
перемещает диск I в обратном направлении так, что передаточное
отношение уменьшается, а скорость па ведомом твене paciei.
§ 17.4. ФРИКЦИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Фрикционные волновые передачи и вариаторы получили развшие
благодаря относительно простой конструкции, малому' проскальзыва-
нию. плавности хода, бесшумности, большой нагрузочной способно-
сти и кинематической гибкое!и. Фрикционные волновые передачи
аналогичны зубчатым волновым. Простейшая такая передача cociohi
из жесткого фрикционного колеса 7, гибкого колеса 2 и генератора
волн Л (рис. I7.l I а). Передаточное о i ношение определяют гак же, как
и для зубчатых волновых. Например, для передачи на рис. 17.11,а
при неподвижном жестком колесе и ведущем генераторе волн
(де t/j —диаметр фрикционной поверхности жесткого колеса;
d2—то же, гибкого в нсдеформированпом состоянии.
Разность диаметров гибкого и жесткого колес може! быть
принята очень небольшой. Поэтому в одной ступени передачи
на рис. 17.11,а можно получить передаточное число до 104.
Применение более сложных схем (типа схемы на рис. 15.12, д)
позволяет еще более расширить диапазон передаточных чисел
фрикционных волновых передач.
Рис. 17.11
304
Рис. 17.12
Как и в обычной фрикционной передаче, нагрузочную способ-
ность можно увеличить, применяя колеса с клиновыми фрикцион-
ными поверхностями (рис. 17.11.6). Здесь жесткое колесо 2 не-
подвижно. гибкое колесо 3 деформируется генератором волн 1,
жестко посаженным на входной вал 4. Вращение гибкого колеса
передается на вал 5.
На базе фрикционных волновых передач созданы вариаторы
с диапазоном регулирования до 1000. Основной принцип по-
строения волновых вариаторов заключается в том, чго изменяется
длина периметра гибкого звена, г. е. в итоге изменяются
расчетный диаметр d2 и передаточное отношение [см. формулу
(17.14)].
Пример конструкции волнового фрикционного вариатора пред-
ставлен на рис. 17.12. Здесь неподвижное жесткое колесо выпол-
нено в виде узкого цилиндрического кольца 4. а 1ибкое — в виде
конуса 3. Генератор состою из шариков 6 и некрупных конических
дисков 2 и 5. Изменение передаточного отношения достигается
осевым смещением блока 1 вместе с i ибким колесом 3, вследствие
чего изменяются периметр и расчетный диаметр того сечения
гибкою эчеменга. с которым контактирует кольцо 4.
ГЛАВА 18
ПЕРЕДАЧИ ГИБКОЙ СВЯЗЬЮ
Для приведения во вращение вала, находящегося на относительно большом
расстоянии от входного звена, используют передачи с гибкой связью. Эж
передачи могут служить шкже для преобразования вращательного движения
в поступательное (или наоборот). В большинстве случаев движение преобразуется
за счет сил iрения. Кроме того, применяют передачи зябкой связью с зацеп ientie.ii
и непосредственным соединением.
305
§ 18.1. ВИДЫ И ПРИМЕНЕНИЕ
Во фрикционных передачах гибкой связью механическая энер-
гия передается от входного шкива 1 (см. рис. 1.5) к выходному
2 с помощью гибкого звена ремня 3. Такие передачи обес-
печивают передаточное число до 7...К), обладают плавным ходом,
демпфируют и сглаживаю! колебания крутящего момента, имеют
низкую стоимость, не нуждаются в смазке, работают в широком
темпера 1урпом диапазоне (от —30 до +80' С). Все эти благо-
приятные особенноеги обусловливают широкое применение ремен-
ных передач в системах автоматики и ЭВМ.
Передачи гибкой связью с зацеплением работаю! без проскаль-
зывания и поэтому применяю !ся гам. где нужно иметь строго
4,,.ксироваппое положение выходною звена при заданном переме-
щении входного звена.
Передачи гибкой связью с непосредственным соединением
служа! для преобразования движения с высокой точностью па
относи!ельно больших расстояниях и используются в точных
отсчетных и других механизмах. Например, передача для линеари-
зации шкалы прибора (рис. 18.1,а) состоит из некруглых шкивов
/ и 3, которые связаны между собой гибкой лептой 2. Концы
ленты ЖСС1КО закреплены па кулачках, что исключает возмож-
ность проскальзывания и обеспечивает точное перемещение ве-
домого звена.
В состав вспомогательных устройств приборов входят также
трособлочпые механизмы, в которых для передачи движения
используются как силы трения, гак и непосредственное соединение
гибкого троса со входным и выходным звеньями. На рис. 18.1,6
представлена схема грособлочпого механизма настройки радио-
приемника. Входное звено валик /, выходные - указатель 2 шка-
лы 3 и шкив 4, на валике которого закреплена подвижная
часть конденсатора переменной емкости. Эти звенья соединяются
между собой тросиком б. Связи 6-1 и 6-4 фрикционные,
а 6-2 — непосредственным соединением. Устройства подобного
типа позволяю! просто и точно осуществить прямолинейное
Рис. 18.1
306
движение указателя 2 относительно шкалы 3. Для предотвращения
проскальзывания тросик 6 несколько раз оборачивается вокруг
валика /; натяжение тросика осуществляется пружинами 5. При
передаче враща1ельного движения аналогичные механизмы в слу-
чае малых нагрузок могут иметь большое передаточное число
до 30...40.
§ 18.2. РЕМЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
В устройствах вычислительной техники, в приборах и роботах
ременные передачи применяют для преобразования движения
между относительно удаленными валами. Например, в приводе
одного из азфавитно-цифровых печатающих устройств ЭВМ
ременные передачи применяются во всех трех основных ме-
ханизмах: вращения цифрового барабана, перемещения красящей
ленты и протяжки бумаги. Здесь цифровой барабан 13 (рис. 18.2)
приводится во вращение от двухскоростного двигателя 11 ремен-
ной передачей, состоящей из шкивов 10 и 14, соединенных
ремнем 12. Перемотка красящей ленты 9 с катушки 8 на
катушку / осуществт тется о г двигателя 5 ременной передачей
4 и фрикционными роликами 3. 6, 7. В обратном направлении
лента 9 перематываемся после установки промежуточного ролика
6 в положение 2. Бумажная лента 15 перемещается в стартстопном
режиме транспортными барабанами 16 и 17, которые получают
вращение от двигателя 20 через двухступенчатую передачу 19-18.
Ременные передачи используются также для приведения в дви-
жение нескольких рабочих органов, вращающихся в разных
направлениях. Так, в механизме перемещения магнитной ленты
системы внешней памяти ЭВМ ременная передача обеспечивает
вращение тянущих роликов 3 и 2 в противоположных направлени-
ях (рис. 18.3). Здесь входной 1 и выходные 4 и 5 шкивы
Рис. 18.2
307
Рис. 18.3
охватываются ремнем 6; ро-
лик 7 натяжной. На цилин-
дрических поверхнос1ях тяну-
тцих роликов имеются проре-
зи; прижатие магнитной ленты
8 к одному из тянущих ро-
ликов обеспечивается создани-
ем разрежения воздуха внутри
ролика.
Виды ремней. Ремни в по-
перечном сечении могут быть
плоскими (рис. I8.4.H), клиповыми (рис. 18.4.6), круглыми
(рис. 18.4, в). Наиболее проста в конструктивном отношении
передача с плоским ремнем; в ней можно применять шкивы
меньших диаметров по сравнению с другими ремеппыми передача-
ми, г. е. плоскоременпая передача наиболее компактна. Ее
недостатки относительно высокий уровень проскальзывания,
а также большие силы в опорах. Материалом для плоских
ремней служат хлопчатобумажные ткани, кожа, различные син-
тетические материалы. В приборах применяют также плоские
ремни толщиной до 0.25 мм из полиэфирной пленки.
Клиновые ремни применяют для увеличения нагрузочной
способности и уменьшения проскальзывания по аналогии с жест-
кими клиновыми фрикционными колесами (см. рис. 17.5). Кли-
поременные передачи используют обычно для мощностей более
30 ...50 Вт. Для больших мощностей передачу выполняют с не-
сколькими ремнями (иногда до 20...25). Давление па опоры
клипоремеппой передачи примерно в 1,3 раза меньше, чем
в плоскорсменной; следствие этого - меньшие потери в опорах
и их большая долговечность.
Передачи с круглым ремнем (пассиком) используют в звуко-
и видеозаписывающих приборах, системах контроля и г. д. В ка-
навке шкива (рис. 18.4,«) круглый ремень деформируется, чем
достигается тог же эффект, что и при клиновом ремне. Кругло-
ременные передачи работают при меныпих натяжениях по
сравнению с другими видами ремней, допускают большие
Рис. 18.4
308
Рис. IS.5
неточности взаимного положения шкивов, могут работать в раз-
ных плоскостях без скручивания, дешевле клиноременных передач.
Круглые ремни изготовляют в основном из нитриловых резин
или неопрена. Первые обеспечивают хорошие упругие свойства
и удовлетворительно сопротивляются абразивному износу, но
плохо переносят атмосферу озона и ультрафиолетовое излучение.
Неопреновые ремни имеют обратные свойства. Наилучшая форма
канавки шкива полукруг. Наибольшую долговечность ремня,
а также минимальное проскальзывание обеспечивает канавка
такого же радиуса, как номинальный радиус ремня.
Расчет ременных передач. Передаточное отношение механизма
(рис. 18.5)
где г, и г2—расчетные радиусы шкивов 1 и 2; е = 0,005...0,02—
относительное упругое скольжение ремня.
При проектных расчетах задаются значением радиуса г, и из
формулы (18.1) получают значение г,. Минимальный размер
rmin шкива зависит от толщины гибкого звена и его жесткости.
Для круглых ремней наименьший диаметр малого шкива рекомен-
дуется принимать rmin = 2c/ при частоте вращения до л =3000
об/мин и rmin = (2,5...4)cZ при больших н; для плоских ремней rmin =
= (12...25)6; для клиновых ремней rmin = (2,5...4)A, где с/. 6 и й—
размеры ремней по рис. 18.4.
Кроме размеров rt и г2 при геометрических расчетах определя-
ют углы обхвата ремнем шкивов ос, и а также длину ремня
L. После того как межосевое расстояние а определено из
конструктивных соображений, значения а,, а2 и L можно
рассчитать но формулам, полученным по рис. 18.5:
309
a. = л — 26 = л — 2arcsin———%л —2——^ГаЯ; (18.2)
а о
а2 = n + 20 = n + 2arsinr—L1 гл+2—— ; (18.3)
а а
L = г. (л — 20) + г2(л-Ь 20) 4-2а cos 0 ~ 2а +п(г2 + г1)+
+ (г2-т.)2/а, (18.4)
где 0 угол (см. рис. 18.5); [а,] — наименьший допускаемый угол
обхвата малого шкива; для плоских ремней [аг] = (5/6)л; для
крутых и клиновых [а, ] = (0,5 ...0,7)л.
В соответствии с формулами (18.2) (18.4) на рис. 18.6
построены кривые, с помощью которых можно найги значения
а,, а2, L/а, зная значения параметров (г2—rj/a и г,/а.
Для нормальной работы передачи ремень должен иметь
предвари!ельное натяжение Fo. Когда шкивы не вращаются, обе
ветви ремня натянуты одинаково. При передаче энергии натяжение
ведущей ветви Fl>F0, а ведомой F2<F0. В случае предельной
нагрузки натяжения F\ и F2 связаны формулой Эйлера:
F, =F2exp(/a1). (18.5)
где /’—коэффициент трепия между шкивом и ремнем*: при
ориентировочных расчетах можно принимать /=0,3; otj—угол
* Для клиноременных передач вместо /' в формулу (18.5) нужно подставить
приведенный коэффициент трения, равный /(sin 0.5?) а для крут лоременных
передач 1 .Ilf.
310
обхвата ремнем малого шкива, рад (в трособлочных передачах
этот угол может быть больше 2л).
Для малонагруженных ременных передач верны формулы
Понселе:
Л=Го + 0.5Дг; F2=Fo-0,5Ft. (18.6)
где FI = 7’1/r1 передаваемая окружная сила; 1\- крутящий мо-
мент на ведущем шкиве. В случае передач, работающих при
больших нагрузках, связь указанных параметров более сложная.
Решив совместно уравнения (18.5) и (18.6), получим наиболь-
шую окружную силу
Лтах = - 1) = 2Fo . (18.7)
Однако при реализации такой силы передача работает неустой-
чиво, поэтому обычно Ft<FlmiX. При уменьшении силы Ft по
сравнению с F/niax натяжение ремня изменяется только в пределах
углов дуг скольжения ас1 и ас2, когда ремень скользит относи-
тельно шкива растягиваясь или сжимаясь. В пределах углов
дуги покоя ап1 и ап2 натяжение постоянно и скольжение
отсутствует (см. рис. 18.5). С учетом наличия дуг покоя формулы
(18.5) и (18.7) примут вид
Ft =F2efa^\ (18.8)
В передачах приборов проверочный расчет ремня не проводят
ввиду малых нагрузок. В этом случае по известным геометричес-
ким размерам передачи и значению момента Тх на входном
шкиве определяют минимальное предварительное натяжение рем-
ня Fo, обеспечивающее работу передачи без пробуксовывания.
Расчет рекомендуется вести в следующем порядке: определяют
передаваемую окружную силу F^T^r^, по формуле (18.2) или
по графику (рис. 18.6) находя! угол oq обхвата малого шкива;
угол ас1 дуги скольжения определяют из соотношения
<(0,8...0.85)а,; необходимое предваригельное натяжение рас
считывают на основании зависимости (18.9):
Fo=0,5F,
e/e«i + l
—Г
(18.10)
Если передаточное отношение меньше единицы, то в формулу
(18.10) вместо угла ас1 подставляют значение ас2. Чтобы ведомая
ветвь ремня была натянута, должно выполняться неравенство
Fo>(O,6...0,7)Ft.
В силовых приводах механических систем проводят расчеты
ремня и шкивов на прочность.
311
Пример 18.1. Определить размеры шкивов, длину и минимально необходимое
натяжение ремня плоскоременной передачи 10-14 АЦПУ (см. рис. 18.2). седи
передаточное отношение i]014=1,4; мощность на шкиве 10 равна 50 Вт; угловая
скорость ы10= 100 рал/е; мсжоссвос расстояние передачи и=100мм: толщина
ремня 6=1 мм: котффипиент трения между1 ремнем и шкивом /=0.28; среднее
относительное проскальзывание е=1%.
Решение. Радиус входного шкива 10 находим из эмпирическою соотношения
rmjn=(12...25)6. принимая Гц>=206 = 20 мм. радиус ведомого шкива г14 =
= г107.п ,,(1 —с) = 27,7 мм. Параметры а10 и /. определим с помощью трафиков
(рис. 18.6):
Г.'J *’ = д р = 27,7 ~ 20 = 0.077; — - 0,2;
а 100 а
Яю = 3 рад>[з1(,] = (5-6)л; /,/0=3.5; L = 350 мм.
(Вычисления но соответствующим формулам тают а|О=2,988 рад и L = 350.4 мм.)
Угол дуги скольжения принимаем яс1О=0,8 а,о^2,40 рал Момент на ведущем
шкиве 7'1О=Р1о/(о1о=0,5 Н м = 500 П мм. Окружная сила F.= 7'1о/г1о = 500.-20 = 25 Н.
Искомое предварительное натяжение рассчитываем но формуле (18.10):
ехр (0,28 • 2.4) + I
схр(0,27 2.4)—1
И.
По полученным значениям сил и F,, вычисляются силы натяжения ветвей
ремня [формулы (18.6)].
§18.3. ПЕРЕДАЧИ ГИБКОЙ СВЯЗЬЮ С ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
Передачи гибкой связью с зацеплением выполняют цепными,
с перфорированной ленгой и зубчатым ремнем. Их применение
позволяе т полностью избежать проскальзывания; давление на валы
значительно меньше, чем у фрикционных передач гибкой связью.
Цепные передачи состоят из ведущей и ведомой звездочек,
охватываемых бесконечной цепью. Передаточное отношение
6
Рис. 18.7
пульсирует относительно среднего
значения i с амплитудой (0.003...0,02) z.
В точной механике цепные передачи
почти нс используют. Исключение
в этом отношении составляют робо-
ты, где с помощью цепных передач
приводятся в движение звенья мани-
пулятора от двигателей, расположен-
ных на основании робота. На рис. 18.7
показано применение цепной передачи
в приводе вращения кисти 5 мани-
пулятора. Цепи 2 и 3 связывают
двитатель / с осью 4 поворота кисти.
Если двитатель разместить непосред-
ственно на звене 6. убрав цепи, то
при движении манипулятора при-
шлось бы перемещать и все приводное
устройство, что серьезно ухудшало
312
Рис. 18.8
бы энергетические, инерционные и точностные характеристики
робота. По сравнению с ременными передачами ценные обес-
печивают высокую жесткость, что весьма важно для нормального
функционирования робота.
В передачах перфорированной лентой зубчатые барабаны
/ соединены гибкой перфорированной лентой 2 (рис. 18.8, а),
которую изготовляют чаще всего из стали. Минимальный радиус
г барабана связан с толщиной 8 стальной ленты зависимостью
/=1208. Широко применяется передача перфорированной лентой
в принтерах персональных ЭВМ. Здесь лепта имеет не только
tpancnopTHbie перфорации, но и кодовые; такая лента служит
синхронизатором, передавая процессору информацию о положе-
нии печатающих валиков (рис. 18.8,8).
Электродвигатель 6 через червячную передачу 5 вращает
ролик 4 протяжки бумаги и шкив 1, с которым зацепляется
перфолента 2, играющая роль синхронизатора; необходимое
натяжение обеспечивается растянутой пружиной 3. Фото датчик
Ф передает соответствующую информацию процессору.
В приводах автоматических устройств и ЭВМ широко приме-
няю! передачи с плоским зубчатым ремнем (рис. 18.9, а). Здесь
ремень имеет зубья, которые зацепляются с зубьями шкивов 2.
Передача компам на, проскальзывание полностью отсутствует,
шум и вибрация меньше, чем у зубчатой цилиндрической
передачи, изготовленной с высокой степенью точности; обеспечи-
вается строго фиксированное о i носителыюе положение шкивов.
Например, в устройстве печати персональной ЭВМ применены
три зубчаго-ременпые передачи (рис. 18.9,8): главный вал ///
приводится в движение от электродвигателя I с помощью
двухступенчатого зубчато-ременного механизма 2-3. На валу III
закреплен шкив 4 третьей передачи с зубча !ым ремнем 5,
который перемещает печатающую головку 6.
В робототехнике зубчаго-ремепные передачи часто используют
для связи с датчиками положения и скорости. На рис. 18.10
приведена схема мехашпма подъема платформы промышленного
313
Рис. 18.9
робота. При включении двигателя М гайка механизма 1-2
перемещается по стрелкам Б, рычажный механизм О А ВС подни-
мает или опускае! платформу 4; контроль движения по скорости
осуществляется тахогенератором 77’, potop которого вращается
зубчато-ременной передачей 5; кон [роль положения обеспечивает
датчик ЦП, приводимый во вращение аналогичной передачей 3.
Зубчатые ремни делят на две группы: силовые, используемые
в общем машиностроении при мощностях до 500 кВт и окружных
скоростях до 80 м/с; кинематические, предназначенные для приме-
нения в приводах ючпой механики. Зубчатые ремни изготовля-
ются в основном из армированного неопрена или полиуретана.
Зубья ремня имеют прямолинейное очертание, а зубья шкивов —
прямолинейное или эвольвеитиое. Для устранения сбегания ремня
со шкива последний имее! боковые фланцы; возможно выполнение
фланцев только на одном из шкивов. Шкивы изготовляют из
стали, цинковых сплавов, алю-
Рис. 18.10
миния или пластмасс.
Зубчато-ременная передача
может обеспечить передаточ-
ное число до и =12, ее кпд
г) = 0,9...0,98; основные харак-
теристики ремня модуль т,
определяемый, как и в зуб-
чатых передачах, отношением
шага к числу п; общая тол-
щина Н: высота зуба 1г, тол-
щина вершины зуба s, угол
профиля у = 25 и ширина Ь
314
ремня (см. рис. 18.5, а). Для устройств вычислительной техники
применяются модули 2; 3 и 4 мм, которым соответствуют
следующие размеры ремня (мм):
т h s Н Ь
2 1,2 2 3 8; 10; 12,5 16
3 1,8 3 4 12,5; 16; 20: 25
4 2.4 4 5 20; 25; 32: 40
При проектировании кинематической передачи с зубчатым
ремнем рассчитывают лишь геометрические размеры шкивов,
необходимые для получения требуемого передаточного отноше-
ния: расчетный диаметр шкива D = mz. число зубьев шкива
Zj>15 для малых модулей /и, число зубьев большого шкива
z2=zz'i2.
§ 18.4. ВАРИАТОРЫ С ГИБКИМИ СВЯЗЯМИ
На основе фрикционных передач с гибкой связью сконструиро-
ваны вариаторы. Например, плоскоремепная передача на
рис. 18.11 обеспечивает переменную угловую скорость выходного
вала П. Здесь па ведущем валу I посажен диск 3 с радиальными
прорезями 4, в которых свободно установлены оси малых шкивов
5. Шкивы соединены со своими осями муфтами свободного
хода. При синхронном радиальном смещении осей шкивов
5 изменяются расчетный радиус г3 и передаточное отношение
механизма; расчетный радиус шкива 1 нс меняется. Ролик
б с пружиной 7 обеспечивает необходимое натяжение ремня 2.
Клииоременпые вариаторы. Клиноремеппую передачу также
можно преобразовать в вариатор. Для этого на вал насаживают
полушкивы / и 2 (рис. 18.12,«), которые могут смещаться
в осевом направлении один относительно другого. В исходном
положении I расчетный радиус входного шкива г10, выходного
г20. а переда точное отношение т'о = г2о/гН). При перемещении
полушкива 2 в положение 11 расчетный радиус входного шкива
увеличивается до гп. Если радиус второго шкива в эго же
время уменьшается до г21, то передаточное отношение падает
до 11=Г21/ГП.
Для обеспечения передачи требуемой мощности натяжение
ремня должно быть примерно постоянным, что дошигаегся
применением натяжного ролика Р с пружиной //. Натяжной
ролик используется также, если один шкив раздвижной, а вто-
рой— обычный.
Диапазон Д регулирования клиноременного вариатора опреде-
ляется геометрическими размерами ремня 3 и минимальным
радиусом шкива rmin. Для клиновых ремней Дтах = 2.5. Увеличить
диапазон регулирования до 8... 10 можно путем увеличения
отношения ширины b ремня к его высоте Л и уменьшения
315
Рис. 18.12
радиуса rmin. Увеличение параметра b/h дос1игается применением
так называемых широких ремней (рис. 18.12. б), а уменьшение
rmin применением клиновых ремней с гофрами (рис. 18.12, в),
которые имеют в 1,5...2 раза меньшую изгибную жесткость и при
одинаковом уровне напряжений допускают меньшие значения rmin.
Часто применяют вариаторы, у которых подвижная часть
шкива 1 перемешается принудительно с помощью механизма 5,
а подвижная часть шкива 2 пружиной 3 (рис. 18.13). При
уменьшении расчетного радиуса г(шкива 1 уменьшается натяжение
ремня 4 и осевая сила Fx, с которой ремень действует на
подвижную часть шкива 2, становится меньше силы F„ пружины
3. В результате пружина перемешает звено 2 слева направо
и расчетный радиус т2 растет; соответственно меняется переда-
точное отношение.
Клиноременные вариаторы получили большое распространение
благодаря относительно простой конструкции, а также из-за
того, чго по сравнению с другими вариаторами они имеют
наиболее высокий кпд и наименьший шум.
316
Клиноремеппые вариаторы применяют как составную часть
систем автоматического регулирования и управления. Вариатор
может автоматически изменять свое передаточное отношение
в зависимости от значения крутящего момента или угловой
скорости (рис. 18.14). При увеличении угловой скорости со, вала
/ грузики 2 центробежного регулятора АВС расходятся под
действием растущих центробежных сил инерции, а полушкив
/ смещается влево; передаточное отношение т//у уменьшается
так, чю угловая скороегь вала II остается неизменной. При
уменьшении ш, пружина 3 сближает грузики, передаточное
отношение растет до тех пор. пока скорость вала не достигает
номинала.
Пример 18.2 В клинорсмснном вариаторе входной шкив с принудительным
перемещением, а выходной разрезной пружинный. Межосевое расстояние а—
= 150 мм. В исходном положении (см. рис. 18.12, а) радиус входного шкива
317
г1О = 30 мм, радиус выходного шкива
r2O = 76 мм, (ii2)o = 2.53. Требуется найти
передаточное отношение (fl2)t при увеличе-
нии радиуса входного шкива до гп = 50 мм.
Решение. Длина ремня L в обоих
положениях прак|ически постоянна. Тог-
да расчетный радиус г2, входного шкива
во втором положении определяется с по-
мощью формулы (18.4):
2
, v 2О — '101 П , / , \ , V21 'll)
+--------=2а + кг21 +гп)+--------.
а а
Отсюда г21=60,Змм. Искомое передаточ-
ное отношение (без учета упругого про-
скальзывания) (f2i)i =r21/rI, =60,3/50= 1,206.
▼ Силовой расчет. В автома гичес-
ких системах с клиноременными
вариаторами регулирующий эле-
регулятор и т. д.) перемещает
мент (пружина, центробежный
подвижную часть шкива, преодолевая осевую силу Fx, с которой
ремень действует на шкив. Поэтому один из основных расчетных
параметров—значение силы Fx. Выведем формулу для расчета этой
силы, считая коэффициенты трения постоянными и пренебрегая
радиальной составляющей силы трения.
Из ремня, охватывающего шкив, выделим элемент /, соответ-
ствующий центральному углу da (рис. 18.15). Этот э 1емент
растягивается силами F и F+&F, и на него действуют элементар-
ные силы dF„ нормального давления со стороны шкива. Используя
условие равновесия £z=0, получим: — Fsin(da/2) — (F+dF) х
xsin(da/2) + 2dF„sin(y/2) или, пренебрегая бесконечно малыми
второго порядка,
dF=F da—.
2 sin 0,5?
Осевая составляющая силы dF„
dFx=dF„ cos 0,5Fctg da.
Элементарные силы dFx параллельны оси вращения,
взаимно параллельны. Их равнодействующая
a
Fx= dFx = 0,5 | Fctg^da,
т. е.
(18.11)
о
где a—угол охвата, который состоит из угла скольжения ас
и угла дуги покоя au. Углы ас и an определяются из формулы
Эйлера (18.5):
318
=Г2ехр(/ас); ас
11 ri
- In —
/ 1'2
а„ = а-а,
Так как в пределах дуги скольжения на1яжснис Л' переменно,
а в пределах дуги покоя F—Fx для ведущею шкива и F=F2
для ведомого, го из формулы (18.11) получим:
для ведущего шкива
а . »
F*i=|clg^
О a f
для ведомого шкива
fX2 = I etg -^+ C2an2J.
Сопоставление полученных формул с экспериментальными
данными показывает, что при расчетах систем автоматического
управления они могут быть использованы при значениях коэффи-
F — F
циенга тяги <р = - \ , 2 $=0.2. т. е. пракшчески во всем диапазоне
работы клипоременной передачи. А
ГЛАВА 19
КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Кулачковые механизмы предназначены для преобразования движения входного
звена, обычно вращающегося кумчка. в гаданный вид движения выходного
звена (ino.iKunie.i» или короныг ю). Преимущественно применяются плоские кулач-
ковые механизмы. При синтезе профиля плоского кулачка необходимо ограничить
наибольший угол давления, от которого швисят шпери на трение, износ
и размеры кулачка.
§19.1. ВИДЫ И ПРИМЕНЕНИЕ
Рассмотрим устройство и принцип действия простейшего
кулачкового механизма (рис. 19.1). При вращении кулачка 4 с уг-
ловой скоростью со толкатель 3 совершает определенное воз-
вратно-нос тупа юльное движение относительно стойки 2. Пос-
тоянный контакт толкателя с кулачком обеспечивается пружиной
1. Это трехзвеппый механизм с двумя низшими (кулачок — стойка,
юлка гель стойка) и одной высшей (кулачок—толкатель) кине-
матическими парами. Степень свободы механизма по формуле
(1.2): И7=3(3- 1)-2-2- 1 = 1.
Кулачковые механизмы дают возможность легко воспроиз-
вести требуемую функцию s = s (ср) положения выходного звена,
если придать кулачку соответствующий профиль (ср — угол
319
Рис. 19.1
Рис. 19.2
поворота кулачка). Например, толкатель 3 (рис. 19.1) может
двигаться с периодическими остановками при непрерывном
вращении кулачка 4. Для этою часть профиля abc выполняют
в виде дуги окружности с центром в точке О. Когда
острие А соприкасается с дутой abc, толкатель остановится,
гак как в этом случае радиус-вектор ОА =r0 = const. Благодаря
подобным качествам кулачковые механизмы получили широкое
применение в приборах и особенно машинах-автоматах для
привода рабочих органов, а также программного управления.
Рассмотрим кулачковый грейферный механизм (рис. 19.2),
предназначенный для быстрого перемещения перфорированной
ленты на шаг с пос тедующим относительно долгим высгоем.
Кулачок / образует кинематическую пару с рамкой 2, которая
составляет часть толкателя 3. При вращении кулачка толкатель
переметцаегея по стрелкам А\ направляющими служат винты 4. Зуб
6 грейфера закреплен на упругой планке 5 толкателя; при рабочем
движении зуб входит в перфорации ленты 7 и быстро перемещает ее
вниз на шаг. При движении вверх зуб 6 за счет скоса выходит из
зацепления с лентой и скользит по межперфорационной перемычке.
В это время лента не движется. В крайнем верхнем положении
толкателя зуб б входит в зацепление с лептой и процесс повторяется.
Кулачковые механизмы делятся на плоские, звенья которых
движутся в параллельных плоскостях, и пространственные.
Плоские кулачковые механизмы. Рассматривая схемы
(рис. 19.3, а д) наиболее широко применяемых плоских кулачко-
320
Рис. 19.3
вых механизмов, нетрудно заметить, что движение кулачка
4 и толкателя 3 или коромысла 5 может быть возвратно-
поступательным, вращательным или сложным (на схемах вид
возможного движения звеньев показан стрелками).
Для нормального действия кулачковых механизмов необходим
постоянный контакт кулачка с ведомым звеном. Такой контакт
достигается в результате их силового или геометрического
замыкания. Силовое замыкание в большинстве случаев обеспечи-
вается пружиной I (рис. 19.3,й,б). а геометрическое (рис. 19.3,д)
с помощью паза в кулачке, который направляет движение ролика
толкателя. В кулачковом механизме с рамкой 2 (см. рис. 19.2)
замыкание также геометрическое.
Звенья кулачкового механизма (кулачок и толкатель) при
движении скользят одно по другому, чго вызывает их износ.
При этом наибольшему износу подвержен остроконечный тол-
катель (см. рис. 19.1). В целях уменьшения износа часто в качестве
промежуточного звена вводят ролик (см. рис. 19.3, б. в, д), который
перекалывается по кулачку. Однако при большой угловой ско-
рости кулачка ролик может перекатывайся со скольжением.
Поэтому в некоторых случаях целесообразно оформить толкатель
в виде «грибка» (рис. 19.3, а) или придать ему вид плоской
тарелки 3 (рис. 19.3, ?).
1 1 Зак. 7411
321
Кулачковые механизмы, предназначенные для преобразования
вращательного движения кулачка в возвратно-поступательное
движение толкателя, бывают центральные и смещенные, или
дезаксиальные. Центральны» называют такой кулачковый меха-
низм, у которого линия действия вектора скорости толкателя
проходит через центр вращения кулачка. Если же линия действия
скорости толкателя проходит на некотором расстоянии е оз оси
вращения кулачка (рис. 19.3, «,<)), то механизм называется смещен-
ным-, смещение е принято называть эксцентриситетом механизма
Пространственные кулачковые механизмы. Наибольшее приме-
нение они нашли в счетно-решающих устройствах и машинах-ав-
томатах. На рис. 19.3, е приведена схема копоидного механизма
с толкателем, который имеет две степени свободы: перемещение
s толкателя 1 является функцией двух независимых переменных
<р и х (<р — угол поворота коноида 2).
Основным достоинством кулачковых механизмов является
возможность с их помощью воспроизвести широкий класс законов
движения, удовлетворяющих определенным условиям, в том
числе движение с остановками. Кулачковые механизмы просты
по конструкции и имеют сравнительно высокий кпд.
К недостаткам кулачковых механизмов относятся: большие
давления в месте контакта высшей пары, из-за чего механизм
может передавать лишь сравнительно малые усилия: большие
динамические нагрузки при больших скоростях; высокая трудоем-
кость изготовления кулачков со сложным-лрофилем.
§19.2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ И СИЛОВОЙ АНАЛИЗ
Расчеты кулачковых механизмов разных типов основаны на
одних и тех же принципах и имеют много общего. Методика
расчета рассматривается на примере плоского дискового кулачко-
вого механизма с толкателем (см. рис. 19.1, 19.3, в, д). Особенности
расчета других плоских, а также пространственных кулачковых
механизмов приведены в специальной литературе [2, 17, 19].
Фазы движения толкателя. График перемещения толкателя
имеет в общем случае вид, представленный на рис. 19.4. При
повороте кулачка на угол <ру происходит подъем толкателя
{фаза удаления). Затем во время поворота на угол <р толкатель
останавливается — наступает фаза дальнего стояния. Следующая
фаза —0дза возврата, во время которой толка!ель возвращается
в исходное положение (угол поворота <р„), после чего останавлива-
ется в фазе ближнего стояния (угол поворота <р6).
Кинематический анализ. Определим перемещения, скорости
и ускорения выходного звена но заданному закону движения
входного звена и форме профиля кулачка.
Пусть, например дан механизм (рис. 19.5), в котором кулачок
очерчен кривой r = ro+0,5^max(l — costp), где г0 — минимальный
322
радиус-вектор профиля кулачка; smax наибольшее перемещение
толкателя 7; <р—угол поворота кулачка 2.
Перемещение выражается функцией s = r—го = 0,5лтах (1 — cosep).
Скорость и ускорение толкатедя при вращении кулачка с угловой
скоростью го определяются путем дифференцирования функции
л’(ср) по времени г.
V., - ds/dt = 0,5^П1ах sin cpdtp.'d г = 0,5^maxo) si п <р; (19.1)
aT=dt’/d/ = 0.5.vn,ax [w2cos(p+(osin<pdw/dz]. (19.Г)
Если co^const, то анализ кинематики целесообразно проводить
на ЭВМ. Например, при расчете параметров л. гт, «т механизма
(рис. 19.5), кулачок 2 которого вращается со скоростью
io = dep/d i = (1 4- 0,25 sin (ronz)),
угол поворота кулачка определяется функцией
1
<р= j rod/ = со()т+0,25(1 —cos (го0/));
о
сначала находят период Т цикла (одного оборота кулачка) из
уравнения
2 л = о)оТ+ 0.25 (1 — cos (о() Г)),
затем в зависимости от требуемой точности выбирают таг Дг
расчета и вычисляют значения s, рт и ат.
Силовой анализ. Рассмотрим силы, действующие на звенья
кулачкового механизма (рис. 19.6): Q сила сопротивления, кото-
рая складывается из силы полезного сопротивления и силы
пружины или другого замыкающего устройства при силовом
шмыкании механизма; Л\, N2—усилия в кинематической паре
юлка гель—направляющая; =f(Nl + TV2) сила трения толка-
1сля в направляющей (/ коэффициент трения скольжения);
/„- тат—сила инерции толкателя.
и*
323
Рис. 19.6
Линия действия силы Fa
в контакте кулачок толка-
тель совпадает с нормалью
пп к профилю кулачка в точке
А. Векторы этой силы и ско-
рости толкателя составляют
угол а, который принято на-
зывать углом давления.
Движущая сила Fa при пе-
ремещении толкателя с уско-
рением а1 может быть найдена
с помощью уравнений равно-
весия толкателя:
£^=0; -Fflsina4-^-7V2=0;
£У=0; Fscosa-Q-J{Nl +
+ N2) — таЛ = 0;
£Л/в = 0; F.j’sina—N2b = 0.
Решив эту систему уравне-
ний относительно РД, получим
Fa = (Q+ zraT)/[cos a - f( 1 4-
+ 2y(7>)sina]. (19.2)
Если пренебречь силами трения в точке А, то к кулачку
приложены сила — Fn (воздействие толкателя) и движущий момент
Тк. При равномерном вращении кулачка из условия его равновесия
£Л/О = 0 получаем
Л=л/О(гд)
(направление момента Тк уже учтено на рис. 19.6). Момент силы
Fa( — Fasina; FMcosa), приложенной в точке Л(е;л + <). относитель-
но начала координат системы Оху.
TK — Fs[s+c)s\n3. + FJiecos<x=F!l [(л+ x/rg-e2) sina+ecosa], (19.3)
Формула (19.3) позволяет в первом приближении рассчитать
значение крутящего момента, который нужно приложить к кулач-
ку для преодоления известной силы сопротивления Q.
Влияние угла давления на другие параметры кулачкового
механизма. Пусть известны угловая скорость го кулачка и радиус-
вектор р, определяющий положение точки А касания кулачка
и толкателя относительно оси вращения кулачка
(рис. 19.7). Скорость гт поступательного движения толкателя
может быть найдена с помощью векторного уравнения
324
где —окружная скорость точки
А кулачка; i’tli—скорость толкате-
ля относительно профиля кулач-
ка; линия действия этого вектора
совпадает (а при роликовом тол-
кателе параллельна) с касатель-
ной к профилю кулачка в точке А.
Рассмотрим кулачковый ме-
ханизм (рис. 19.7), в котором е —
эксцентриситет; г0—наименьший
радиус профиля кулачка, называ-
емый также радиусом основной
шайбы кулачка; л—перемещение
толкателя при заданном положе-
нии кулачка. Эксцентриситет е—
величина алгебраическая; если
система координат имеет начало
в шарнире О, ось ординат у па-
раллельна линии действия тол-
кателя, а ось % направлена так, РлС. 19.7
что в системе Оху вращение
кулачка положительно*, то при е>0 точка В на рис. 19.7
расположена на положительной полуоси х.
Зависимость между углом давления а и другими параметрами
кулачкового механизма может быть установлена следующим
образом. Построим Л OAD, подобный треугольнику скоростей точки
А (стороны их взаимно перпендикулярны). Из прямоугольного Д BAD
tga= BD/AB=(OD — e)/(c+s).
Длину отрезка OD найдем из соотношения сходственных сторон
подобных треугольников:
ODjOA = — vJ/(v»OA), (19.4)
откуда 0£> = tt/cil Подставив значение с=(го — с2)0,5 и OD в вы-
ражение (19.4), получим
tga=(t\/(o-c);[(/-g-e2)o-5+^].
Гак как rT = ds7dr, co=d<p/dz, то отношение t'T/(0=d.s7d(p — аналог
скорости толкателя. С учетом этого представим зависимость
для угла давления в данном положении механизма в виде
tga =
ds,'d<p— е
y/^l-e2+s
(19.5)
Из формулы (19.5) можно сделать следующие выводы:
* При вращении кулачка против часовой стрелки система Оху правая, по
часовой стрелке —левая.
325
уменьшение угла давления а может быть достигнут
путем увеличения радиуса основной шайбы кулачка г0 и эк-
сцентриситета е;
наличие эксцентриситета е при прочих равных условиях дает
возможность увеличить скорость толкателя при его удалении
от оси кулачка, так как
vr=i\sin (а + P)/cosа. Р = arcsin е!р;
при расположении эксцентриситета е слева от оси вращения
кулачка, а также при движении толкателя вниз (вращение кулачка
на рис. 19.7 против хода стрелки часов)
tga = (rT,.w + e).[(ro —f2)°-5+.s] и 1^ = 1* sin (a — P)/cosa; (19.5а)
при е>0 углы давления в фазе удаления уменьшаются и условия
передачи сил улучшаются по сравнению со случаем е = 0; при
холостом ходе в фазе возврата углы давления больше, чем при
е = 0; сказанное имеет практическое значение лишь при геометри-
ческом замыкании, так как при силовом в фазе возврата
толкатель движется под действием пружины.
Нормальное действие кулачкового механизма возможно при
условии
где акр—критический угол давления, который характеризует состо-
яние, когда движение толкателя в направляющей становится уже не-
возможным вследствие самоторможения (заклинивания) (см. § 3.8). В
силовом аспекте эго значит, что необходимая для движения толкателя
сила при Из равеншва (19.2) определяется значение
критического угла давления: F^cc при [cosa—/(l+2y/Z>)sina]-»0.
т. е. наибольший возможный угол давления не можш превышать
a < акр = arcig {bi[f (b+ly)]}. (19.6)
Как видно из правой части выражения (19.6). величина акр
уменьшается по мере увеличения f и у. В большинстве конструк-
ций кулачковых механизмов наибольший угол давления amax
обычно пе превышает 30 .
Условие передачи движения от толка! ел я к кулачку. В не-
которых приборах, например счетчиках частоты вращения, секун-
Рис. 19.8
домерах, необходимо иметь
ус тройство, позволяющее
нажатием кнопки или ры-
чага повернуть ось указа-
тельной стрелки из любого
положения в исходное (на-
чальное). Это может быть
осуществлено с помощью
кулачкового механизма, по-
казанного на рис. 19.8.
326
Сила F пажа гия рычага 1 на кулачок
2 направлена по нормали к профилю
кулачка в точке А, где возникает сила
трения Ff=fF(f -коэффициент трения
скольжения), которая препятствует вра-
щению кулачка.
Вращение кулачка возможно при со-
блюдении условия, что вращающий его
момент TK=Fpsiny превышает момент
Tf=(JF)pcosy силы трения, т. е.
tgy^Z (19.7)
где у — угол, образуемый радиусом-век-
тором р точки А контакта и линией
действия силы F, которая совпадает
с нормалью к профилю кулачка.
Итак, для обеспечения передачи дви-
жения от рычага (толкателя) к кулачку
необходимо, чтобы профиль кулачка был очерчен кривой, у ко-
торой любая точка контакта с толкателем удовлетворяет условию
(19.7). Такими кривыми являются, например, логарифмическая
спираль, спираль Архимеда и др.
Определение силы пружины для замыкания механизма. В общем
случае на звенья кулачкового механизма могут действовать силы
(рис. 19.9): внешняя нагрузка Q на ведомое звено (толкатель),
сила инерции F„, сила трения Ff. сила тяжести G и динамические
нагрузки, возникающие вследствие неточностей изготовления.
Нормальная работа кулачкового механизма возможна лишь при
непрерывном контакте толкателя с кулачком. Это, как отмечалось
ранее, достигается геометрическим или силовым замыканием.
Сила, развиваемая пружиной, должна преодолевать силы,
стремящиеся оторвать толкатель от профиля кулачка. Для
быстроходных механизмов наиболее опасны (в смысле отрыва
толкателя оз кулачка) силы инерции. На рис. 19.9 изображен
кулачковый механизм в положении, когда сила инерции толкателя
достигает наибольшего значения Flimax= — та^, {т— масса толка-
теля, йтах — наибольшее по модулю ускорение в фазе возврата).
Расчетная сила пружины
Fnp=P(FI1-G-(2+Fz),
где Р—коэффициент запаса, принимаемый равным 1,3... 1,5.
§ 19.3. СИНТЕЗ
При синтезе кулачковых механизмов требуется определить
форму кривой, очерчивающей плоский кулачок, или форму
поверхности коноида, или форму паза пространственных пазовых
уменьшение угла давления а может быть достигнут
путем увеличения радиуса основной шайбы кулачка г0 и эк-
сцентриситета е;
наличие эксцентриситета е при прочих равных условиях дает
возможность увеличить скорость толкателя при его удалении
от оси кулачка, так как
rr=rKsin(a+P)/cosa. 0=arcsinp/p;
при расположении эксцентриситета е слева от оси вращения
кулачка, а также при движении толкателя вниз (вращение кулачка
на рис. 19.7 против хода стрелки часов)
tga = (rT,.w + e).[(ro —f2)°-5+.s] и 1^ = 1* sin (a — P)/cosa; (19.5а)
при е>0 углы давления в фазе удаления уменьшаются и условия
передачи сил улучшаются по сравнению со случаем е = 0; при
холостом ходе в фазе возврата углы давления больше, чем при
е = 0; сказанное имеет практическое значение лишь при геометри-
ческом замыкании, так как при силовом в фазе возврата
толкатель движется под действием пружины.
Нормальное действие кулачкового механизма возможно при
условии
где акр—критический угол давления, который характеризует состо-
яние, когда движение толкателя в направляющей становится уже не-
возможным вследствие самоторможения (заклинивания) (см. § 3.8). В
силовом аспекте эго значит, что необходимая для движения толкателя
сила при а-»^. Из равеншва (19.2) определяется значение
критического угла давления: F^-tcc при [cosa—/(l+2y/Z>)sina]-»0.
т. е. наибольший возможный угол давления не можш превышать
a < акр = arcig {bi[f (b+ly)]}. (19.6)
Как видно из правой части выражения (19.6). величина акр
уменьшается по мере увеличения f и у. В большинстве конструк-
ций кулачковых механизмов наибольший угол давления amax
обычно не превышает 30 .
Условие передачи движения от толка! ел я к кулачку. В не-
которых приборах, например счетчиках частоты вращения, секун-
Рис. 19.8
домерах, необходимо иметь
ус тройство, позволяющее
нажа гием кнопки или ры-
чага повернуть ось указа-
тельной стрелки из любого
положения в исходное (на-
чальное). Это может быть
осуществлено с помощью
кулачкового механизма, по-
казанного на рис. 19.8.
326
Сила F пажа гия рычага 1 на кулачок
2 направлена по нормали к профилю
кулачка в точке А, где возникает сила
трения Ff=fF(f -коэффициент трения
скольжения), которая препятствует вра-
щению кулачка.
Вращение кулачка возможно при со-
блюдении условия, что вращающий его
момент Тк=Fpsiny превышает момент
Tf=(JF) pcosy силы трения, т. е.
tgy>Z (19.7)
где у — угол, образуемый радиусом-век-
тором р точки А контакта и линией
действия силы F, которая совпадает
с нормалью к профилю кулачка.
Итак, для обеспечения передачи дви-
жения от рычага (толкателя) к кулачку
необходимо, чтобы профиль кулачка был очерчен кривой, у ко-
торой любая точка контакта с толкателем удовлетворяет условию
(19.7). Такими кривыми являются, например, логарифмическая
спираль, спираль Архимеда и др.
Определение силы пружины для замыкания механизма. В общем
случае на звенья кулачкового механизма могут действовать силы
(рис. 19.9): внешняя нагрузка Q на ведомое звено (толкатель),
сила инерции F„, сила трения Ff. сила тяжести G и динамические
нагрузки, возникающие вследствие неточностей изготовления.
Нормальная работа кулачкового механизма возможна лишь при
непрерывном контакте толкателя с кулачком. Это, как отмечалось
ранее, достигается геометрическим или силовым замыканием.
Сила, развиваемая пружиной, должна преодолевать силы,
стремящиеся оторвать толкатель от профиля кулачка. Для
быстроходных механизмов наиболее опасны (в смысле отрыва
толкателя оз кулачка) силы инерции. На рис. 19.9 изображен
кулачковый механизм в положении, когда сила инерции толкателя
достигает наибольшего значения Flimax= — ma^, (m— масса толка-
теля, йтах — наибольшее по модулю ускорение в фазе возврата).
Расчетная сила пружины
Fnp=P(FI1-G-(2+Fz),
где Р—коэффициент запаса, принимаемый равным 1,3... 1,5.
§ 19.3. СИНТЕЗ
При синтезе кулачковых механизмов требуется определить
форму кривой, очерчивающей плоский кулачок, или форму
поверхности коноида, или форму паза пространственных пазовых
Выбрав допускаемые уг-
лы давления [ot]v, [a]D в фа-
зах удаления и возврат,
проводят касательные КуК'у
и К„К'п к ветвям графика под
углами [а]г [а]в к вертика-
ли. Если вз'ягь центр враще-
ния кулачка на пересечении
касательных в точке О, то
наибольшие значения теку-
щих углов давления будут
в положениях s=sy и
трис. 19.11 непосредствен-
но следует, что в любом
положении Sj толкателя (точ-
ки а и а' на графике) углы
аОт и а'От равны углам
давления а,- и не могут бьпь
больше допускаемых. Иско-
мые величины получают из
чертежа: го=ОА„; е=ОЕ.
Точку О можно взять
и в зоне, заштрихованной
на рис. 19.11; тогда величина г0 несколько увеличится, а наибольшие
углы давления не достигнут допускаемых.
Для случая силового замыкания угол давления должен
учитываться только в фазе удаления, так как при возврате
толкатель движется под действием замыкающей механизм силы
F„p. При силовом замыкании задается один допускаемый угол
давления [а],,, проводится касательная к ветви, соответствующей
фазе удаления. Если эксцентриситет е = 0, то центр вращения
кулачка — точка О' (см. рис. 19.11), го — О'Ао. Вводя ненулевой
эксцентриситет, можно уменьшить размеры механизма; наимень-
ший размер г0 и соответственно наибольший эксцентриситет
е получаются в том случае, когда в точке Ао угол давления
равен допускаемому (LnyOm = /_шОЛо = [а]>. см. рис. 19.11).
Расчет координат профиля. В том оощем случае, когда
толкатель снабжен роликом, сначала рассчитывается центровой
профиль Ц траектория центра ролика (рис. 19.12); затем — рабо-
чий профиль Р,, по которому катится ролик. Если кулачковый
механизм имеет паз для ролика (см. рис. 19.3, <)). то нужно
рассчитать и второй рабочий профиль Рг. Для механизма
с острым толкателем (см. рис. 19.1) рассчитывается только
центровой профиль.
Для вывода расчетных формул применим метод обращения
движения, который заключается в том, что всему механизму
условно сообщается вращение с угловой скоростью, равной
330
скорости (о вращения кулачка и противоположно ей направленной.
В результате кулачок останавливается, а толкатель вращается
и одновременно перемещается в направляющей. На рис. 19.12
показан толкатель в исходном A0D и промежуточном A'}D'}
положениях; последнее соо гве тс твуе г повороту кулачка на угол <р^.
Если за полярную ось принять ось Ох', то формулы для полярных
координат точки A'j центрового профиля легко получаююя из схемы
г;= v-vJ + r^ + z^Oo-e2)0,5;
₽, = Ф,— (х,— Xo)(Xo = arcsin(e.r0); x;=arcsin(e/r;)). (19.9)
В этих формулах автоматически учитывается знак эксцептриси те га
е; направление отсчета углов противоположно направлению
вращения кулачка. Радиус-вектор rtj рабочего профиля Pj
находим из £\OAjB по теореме косинусов:
Г u = Уг? + /?2-2г^рсо80? (19.10)
где Рр — радиус ролика; 0j=arcsin((d.v7-/d(p)cosaj/rj); полярный угол
вектора
Pij—Pj + Oij—0;; 01j = arcsin(d^/d<pcosay/r1j). (19.10а)
Для механизма с геометрическим замыканием радиус-вектор
второго профиля Р2 определяется из £\ОВС'.
r2j= Уг^+4Я^-4гиДрсо8§? (19.11)
где 8;=л — 10^| —101>—Gj|; полярный угол вектора
₽2j = Pij±larcsin (2ЯР sin8;/?у J | (19.1 la)
(знак плюс—для фазы возврата, минус—для фазы удаления).
Выбор радиуса ролика. Радиус ролика целесообразно выбирать
возможно большим для уменьшения контактных напряжений
и износа. Но если радиус ролика
радиусу кривизны р^,, центро-
вого профиля Ц, го на рабочем
профиле получится осчрая точка
(рис. 19.13, профиль Р\)’, в слу-
чае Яр>рПйп рабочий профиль
Р'[ имеет самопересечения. Так
как оба эти профиля не могут
быть выполнены, то при выборе
шачения Rp должно выполнять-
ся условие:
*P<0,7pmin. (19.12)
Кроме того, для радиуса ро-
лика и наименьшего радиуса
г„ кулачка нужно обеспечить
соо гношение
кр оудет равен минимальному
Рис. 19.13
331
Яр<0.4го. (19.12а)
Величины R должны удовлетворять одновременно обоим усло-
виям (19.12) и (19.12а). ▲
Синтез кулачкового механизма, рассмотренный выше, требует
проведения многократно повторяющихся расчетов, что естественно
приводит к необходимости использовать ЭВМ. В учебном пособии
[8 ] представлены соответствующие алгори гмы и программы на языке
ФОРТРАН-4. Этот комплект включает расчет функции перемещения,
величин то и е, полярных координат центрового и рабочих профилей,
радиуса Rp для механизмов с толкателем и коромыслом.
§19.4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
▼ При работе кулачкового механизма в зоне контакта кулачка
с ведомым звеном возникают сложные явления, сопровожда-
ющиеся деформацией и износом поверхностных слоев. Износ
трущихся деталей —одна из главных причин снижения точности
воспроизводимого движения, а также возникновения вибраций
и других вредных явлений. Кроме того, при чрезмерно больших
напряжениях в зоне контакта может наступить усталостное
выкрашивание частиц материала у поверхности деталей и их
разрушение. В целях недопущения этого детали кулачкового
механизма рассчитываются на контактную прочность и износо-
стойкость (долговечность).
При действии нормальной силы F в зоне контакта кулачка
1 и ролика 2 толкателя (рис. 19.14) поверхностные слои этих
звеньев деформируются, в результате чего образуется площадка
контакта. Условие прочности кулачка и ролика может быть
выражено зависимостью (14.26)
= 0,399 < [он]. (19.13)
где F—нормальная сила взаимодействия кулачка и ведомого
звена (например, ролика толкателя); Ь— толщина кулачка (или
ролика); — приведенный модуль упругости материалов кулачка
и толкателя [см. формулу (14.28)]; рп - приведенный радиус
кривизны профиля кулачка (р ) и ролика толкателя (гр) в ючке
их контакта, pn = rppK'(rp + pJ; [сгя]—допускаемое контактное
напряжение, например для бронзового кулачка и стального
ролика толкателя [сгн]=400 МПа. При вращении кулачка сила
F и радиус кривизны профиля рг непрерывно изменяются,
поэтому и напряжения, определяемые по формуле (19.13), раз-
личны вдоль профиля кулачка.
Метод расчета деталей кулачкового механизма на долговеч-
ность более прщрессивный. В основу его положено 1ребование
обеспечения работоспособности кулачкового механизма в течение
заданного срока службы. Потеря работоспособности наступает
332
тлавным образом вследствие износа тру-
щихся деталей. Многочисленными опы-
тами установлено, что при выполнении
условия (19.13) износ деталей пропорци-
онален работе сил трения скольжения
(или мощности сил трения), т. е.
Ь=к^р=к2Ртр,
где 8 - характеристика износа в весовых
или линейных единицах (например, тол-
щина изнашиваемого слоя); И/р, Ртр—
работа и мощность сил трения сколь-
жения; kt, к2—коэффициенты пропор-
циональности, устанавливаемые опыт-
ным путем.
Мощность, развиваемая силами тре-
ния скольжения в любой точке профиля
кулачка,
Рис. 19.14
где F— нормальная сила, прижимающая толкатель к кулачку;
/-коэффициент трения скольжения; гС|(-скорость относитель-
ного скольжения толкателя. Например, для центрального кулачко-
вого механизма с поступательно движущимся толкателем (см.
рис. 19.6) i’c, = rT,sina. где гт- скорость толкателя, а—угол
давления. В этом случае
РтР =/FfT/'sina.
Анализ приведенных выражений показывает, что величина,
характеризующая износ поверхностного слоя профиля кулачка,
изменяется по длине профиля кулачка. Это является причиной
неравномерного износа кулачка и преждевременной по i ери точ-
ности. Снижение износа может быть достигнуто рациональным
подбором материалов трущихся деталей, обладающих низким
коэффициентом трения и высокой износостойкое [ью. На практике
часто применяют следующие сочетания материалов: толкатель
(ролик) - закаленная сталь, кулачок фосфористая бронза, плас-
тики на основе термореактивпых смол, толкатель - нейлон,
кулачок — закаленная сталь. А
Пример 19.1. Определить наибольшее напряжение на площадке контакта
плоского кулачка 4 и роликовою толкателя 3 (см. рис. 19.3,»). если известны:
наибольшая нормальная нагрузка на кулачок F=80 Н; радиус профиля кулачка
в точке, соответствующей этой нагрузке, р, = 30.м.м; наименьший радиус профиля
г,=20 мм; нагрузка, соответствующая этому радиусу, /'’=50 11; радиус ролика
гр = 8 мм: толщина кулачка А = 5 мм. материал кулачка и ролика—сталь с модулем
упругости £4=£р=2.1 Ю5 МПа.
Решение. Контактное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке [см.
формулу (10.22)],
333
E 2£4£ p,-4-r„ /80 2(2.1 IO5 2 30 + 8
а„=0.418 / - p-——=0,418 ~ ----7------=305 МПа.
\]bEt + E„ (vp V 5 2-2,1 IO5 30-8
Контактное напряжение для наименьшею радиуса профиля кулачка
о„ = 0.418 х/(50 5)(2.1 1О’)(2О + 8).(2О-8) = 253 МПа.
Необходимо иметь в виду, чю расчетная длина линии контакта кулачка
и ролика может изменяться вследствие возможных перекосов ролика относи гельно
кулачка. В этом случае размеры площадки контакта уменьшатся, а напряжения
заметно возрастут.
ГЛАВА 20
РЫЧАЖНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Рычажные механизмы состоят из рычагов (стержней) и ползунов, соединенных
в кинема 1 ическис пары. Эти механизмы применяют в различных устройствах
автома|нки и ЭВМ благодаря их простоте, универсальности, малым потерям
па трение и более высокому, чем у зубчатых и кулачковых механизмов, кпд.
Они предназначены для преобразования движения, воспроизведения различных
функций и вычерчивания кривых, выполнения лог ических операций и т. п.
Рычажные механизмы преобразуют движение с высокой точностью, так как
элементы их низших и высших кинематических пар—простые поверхности
(плоскость, цилиндр или сфера)
Рычажные механизмы исполнительные и применяююя как при небольших
нагрузках, так и при значительных силах сопротивления. В их состав-входят
одна или несколько структурных групп, ведущие звенья и стойка. Механизмы
одной струк।урной схемы могут воспроизводить разные законы движения ведомых
звеньев. При небольших нагрузках длины звеньев находят, выполнив кинематичес-
кий синтез. Приведенный ниже алгоритм такою синтеза для четырехшарнирною
механитма применяется и к более сложным механизмам с несколькими структур-
ными труппами шатун коромысло.
Для расчета на прочность и на износ ые.ментов рычажных механизмов требу-
ется знать силы, действующие в кинематических парах. Алгоритмы расчета стро-
ятся отдельно для каждого типа структурных трупп; по этим алгоритмам вычисля-
ются силы в кинематических парах любого структурно-сложного механизма.
§ 20.1. РЫЧАЖНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ПРИБОРОВ,
СИСТЕМ АВТОМАТИКИ И ЭВМ
Схема одного из наиболее простых рычажных механизмов
представлена па рис. 20.1, а. Ползун 3 движется возвратно-прямо-
линейно по направляющей 7V7V. Движение о г звена 1 к ползуну 3
(или наоборот) передает шатун 2. Если звено 1 поворачивается
относительно точки О на 360', то его называют кривошипом,
а механизм— кривошипно-ползуиным.
Условия существования кривошипа для механизма (рис. 20.1):
параметры г, /, е—см. рис. 2.3, в и 20.8.
Если звено О А не может совершать полный оборот вокруг
точки О, го механизм называется коромыслово-ползунным. Именно
в этой форме его применяют в самопишущих манометрах
(рис. 20.1, б; см. также рис. 1.14). При изменении давления газа
мембранная коробка 3 деформируется. Перемещение ее верхней
334
Рис. 20.1
части передается шатуном 2 коромыслу 1, на левом плече которого
закреплено перо, вычерчивающее па вращающемся бумажном
диске 4 кривую изменения давления. Механизм преобразует малые
деформации мембранной коробки в значительные перемещения пера.
Изменяя длину звеньев, получают разные законы движения
рычажных механизмов. Эта их особенность позволяет применять
одну и ту же схему механизма для различных целей. Так,
например, в § 1.1 рассматривалась работа кривошипно-коромыс-
лового механизма О А ВС в качестве грейферного (см. рис. 1.2).
Этот же механизм используют и для подачи перфокарт; ведомое
звено—коромысло СВ—совершает качательные движения отно-
сительно точки С (рис. 20.2), а перфокарта перемещается захва-
том D.
В зависимости от соотношения длин звеньев четырехшарнир-
ный механизм может быть одно- и двухкривошипным при усло-
виях:
-/,+/2+/3-/4>0; + + -/1-/2+/3+/4>0; (20.1)
-/1 + /2 + /3-/4>0; /1 + /2-/3-/4>0; /1-/2 + /3-/4>0; (20.2)
если условия (20.1) и (20.2) не выполнены, то механизм двухкоро-
мысловый (здесь длины звеньев обозначены — OA = l1, АВ=12,
BC-l3, OC=IJ.
Рычажные механизмы обеспечивают точное перемещение и при
больших силах сопротивления движению. На рис. 20.3 показана
335
Рис. 20.2
схема сервопривода установки для исследования плазмы. Здесь
в механизме 2-6 (входное звепо ползун 6) опора А предназначена
для поддержания в начале и конце рабочего цикла тороидального
кольца 1, внутри которого плазма удерживается магнитным
полем после включения установки. Механизм за несколько
миллисекунд убирает опору А в положение А', и тогда кольцо 1
свободно виси 1 в магнитном поле. Затем, когда магнитное поле
разрушается и кольцо начинает падать, опора А подхватывает
его и механизм обеспечивает замедленное движение и остановку
кольца, помещая энергию падения.
В кулисном механизме (рис. 20.4, а) ползун 2 перемещается
по подвижной направляющей — кулисе 3; часто центр А шарнира
расположен на оси кулисы. Входным может быть как звено 1,
так и кулисы. На рис. 20.4, б приведен пример использования
кулисного механизма в тумблере для фиксации детали 3 в крайних
положениях.
В устройствах автоматики и ЭВМ возникает необходимость
перемещать
рабочий орган
Рис. 20.3
с остановками при непрерывно
работающем двигателе (например,
в печатающих механизмах многих
ЭВМ во время печати бумага должна
быть неподвижна). Для этой цели
применяют кулисный механизм пе-
ременной структуры, называемый ма-
льтийским (рис. 20.4. в). Здесь входное
звено 1 вращается непрерывно. Когда
цевка 2 входит в зацепление с маль-
тийским крестом 3, последний начи-
нает вращаться. Повернувшись на
угол р, крест останавливается и оста-
ется неподвижным до тех пор, пока
цевка войдет в зацепление со сле-
дующей прорезью креста.
336
Рис. 20.4
Рычажные механизмы осуществляют и просiранеiвенное пре-
образование движения. Например, пространственный одпоподвиж-
пый механизм (см. рис. 20.1, в) обеспечивает заданный закон
перемещения ползуна 3 вдоль направляющей AW, ось которой
скрещивается с осью входного кривошипа (или коромыс-
ла) 1. На рис. 20.2, б приведена схема механизма ориентации
оптической оси рефлектора телескопа; механизм включает в себя
два пространственных чегырехшарнирных механизма (рис. 20.2, а).
Поворот фу рефлектора 3 вокруг оси Оу выполняется механиз-
мом OlAiBl С—С, а вращение ф2 относительно оси Ог механиз-
мом О2 А2В2С2-
Плоские и пространственные рычажные механизмы применяют
в манипуляторах робототехнических систем (см. гл. 21).
Рычажные механизмы с одной и несколькими степенями
свободы являются основной частью систем, воспроизводящих
функциональные зависимости, как относительно простые, гак
и достаточно сложные. Для пояснения принципа использования
механизма в качестве вычислительного устройства рассмотрим
кривошипно-коромысловый механизм (см. рис. 20.2,«). Здесь
угол <р, поворота звена 1 моделирует изменение независимой
переменной д^А^ф^ а угол ф3 поворота звена 3—изменение
функции у— f(x) — ky<p3 (кх, kf- масштабные коэффициенты). Дли-
ны звеньев механизма подбирают так, чтобы получить функцию
положения (см. § 2.2) <р3 = ку ‘./(ф^х Задачу определения длин
звеньев решают при синтезе механизма.
В качестве примеров простейших вычислительных механизмов
в § 2.2 рассматривались синусный и гашенсный механизмы,
воспроизводящие функции синуса и тангенса.
Для вычисления функции от т переменных применяют
механизмы со степенью свободы W=m\ каждое ведущее звено
моделирует изменение одной независимой переменной.
Различные магсма1ичсские операции—суммирование, умноже-
ние и т. д.— могут быть осуществлены с помощью рычажных
механизмов. В суммирующем механизме (рис. 20.5, а) перемещение
337
Рис. 20.5
л’3 выходного ползуна 3 связано со смешениями л! и л2 ползунов 1
и 2 зависимостью
х3=(б71+о2)-1(д2х1+я1х2).
Во множительном механизме (рис. 20.5, о) перемещения х,, х3
входных ползунов /, 3 и х2 звена 2 связаны соотношением
х2=В-1х1х3 (б = const), г. е. механизм воспроизводит операцию
умножения.
Из рычажных механизмов строятся логические системы управ-
ления, которые получают информацию преимущественно в виде
механического воздействия. Например, при сортировке деталей на
группы в зависимости от точности изготовления их размеры
контролируются специальными щупами. Полученная таким путем
информация анализируется логическим блоком. Оптимально
с экономической точки зрения построение логического блока из
рычажных механизмов, выполняющих элементарные логические
операции булевой алгебры. При логическом сложении перемен-
ных А и В (операция «А или В») входной сигнал А подается на
коромысло 1 (рис. 20.6, а), которое поворачивается из положения
0 в положение а; тогда коромысло 3 из положения 0 перемещается
в положение б. То же происходит при подаче сигнала В на второе
входное звено—коромысло 2 или при одновременной подаче
сигналов А и В. Для логического умножения («и А, и В») применяют
механизм на рис. 20.6, б: звено 3 займет положение б под
действием сжатой пружины 4 только при одновременной подаче
сигналов А и В (звенья 1 и 2 переходят в положение а). Подобным
же образом выполняет операцию «отрицание А» механизм на
рис. 20.6, в. «ни А. ни В» (отрицание логической суммы)—меха-
низм на рис. 20.6. г и многие другие, более сложные.
338
Рис. 20.6
Применение рычажных механизмов в устройствах точной
механики и ЭВМ нс ограничивается приведенными случаями.
В специальной литературе [2, 3. 13. 19] подробно рассмотрены
многочисленные устройства, включающие рычажные механизмы.
Общие приемы кинемагического, динамического и точностного
расчетов таких механизмов освещены в гл. 2, 3, 5. Специальные
вопросы структуры и синтеза механизмов, воспроизводящих
требуемое движение и расчет усилий в кинематических парах,
рассмотрены ниже.
§ 20.2. СТРУКТУРА И СИНТЕЗ
Основная задача синтеза механизма — выбор таких его пара-
метров. при которых осуществляется заданное движение рабочих
звеньев. Для этой цели MoiyT быть пригодны механизмы
различных типов, и решение такой задачи мпоговариантпо.
Научные методы выбора оптимального варианта схемы механиз-
ма находятся в стадии разработки и пока более развиты методы
определения метрических параметров уже выбранной схемы.
Поэтому задача синтеза механизма решается, как правило,
в следующем порядке:
1) построение структурных схем (структурный синтез);
2) определение длин звеньев и расположения кинематических
пар для нескольких вариантов схем по заданным условиям
(метрический синтез);
339
Рис. 20.7
3) выбор оптимальной схемы на основе сравнительного кине-
матического. динамического и точностного анализа.
В результате устанавливается соответствие принятых метричес-
ких параметров механизма кинематическим, динамическим и точ-
ностным требованиям.
Проектирование рычажных механизмов, воспроизводящих тре-
буемое движение, начинают с выбора рациональной структурной
схемы. Рациональным в первом приближении можно считать
механизм с наименьшим числом звеньев, обеспечивающий с задан-
ной точностью требуемое движение. Вопросы синтеза рычажных
механизмов — одни из весьма сложных. Поэтому в данном
параграфе ограничимся рассмотрением только плоских механиз-
мов с низшими кинематическими парами.
Структурный синтез. Первый этап синтеза—построение струк-
турной схемы механизма, который осуществляя бы заданные
движения ведомых звеньев и имел необходимое число степеней
свободы. Основы теории структуры кинематических цепей за-
ложены в грудах П. Л. Чебышева, П. О. Сомова, Л. В. Ассу-
ра, А. П. Малышева, И. И. Артоболевского, В. В. Добровольско-
го. Л. В. Ассур доказал, что все рычажные механизмы с низ-
кими нарами устроены одинаково—путем последоваюлыюго
присоединения к входному звену (или звеньями) и стойке про-
стых кинематических цепей, называемых структурными группа-
ми. Следовательно, рычажные механизмы состоят из стойки I,
входных звеньев типа 2 или 3 (рис. 20.7, а) и структурных
групп.
340
Структурная группа — это такая кинематическая цепь, степень
свободы которой после присоединения внешних поводков к стойке
равна нулю. На рис. 20.7, б представлены наиболее часто использу-
емые структурные группы. Чтобы проверить, является ли,
например, кинематическая цепь 4-5 структурной группой, присое-
диним свободные поводки 4 и 5 к стойке внешними кинематичес-
кими парами В и D. Степень свободы полученной системы по
формуле Чебышева (1.2) И/=3(3 — 1) — 2-3 — 0 = 0, т. е. кинемати-
ческая цепь 4-5—действительно структурная группа. Для плоских
кинематических цепей с низшими парами из формулы (1.2)
получаем аналитическое условие, которому должна удовлетворять
структурная группа:
Зк = 2р5, (20.3)
где к и р5— число звеньев и кинематических пар, составляющих
структурную группу.
Синтезируют структурную схему рычажного механизма путем
присоединения структурных групп к входным звеньям и стойке.
Одноподвижный механизм получим, присоединив к любому из
звеньев на рис. 20.7, о какую-либо структурную группу. На
рис. 20.7, в, г показаны примеры синтезированных- таким образом
механизмов. Если требуется построить более сложные механизмы,
то присоединяют дополнительные структурные группы. Так,
используя группы 4-5 и 6-7, получают шестизвенпый механизм
(рис. 20.7, д).
Синтез механизмов с несколькими степенями свободы осу-
ществляют аналогично: к ведущим звеньям присоединяют ряд
структурных групп; на рис. 20.7, е представлена полученная
таким образом структурная схема механизма с двумя степенями
свободы.
Наличие зазоров в кинематических парах увеличивает погреш-
ность. Так, плоский четырехзвенный шарнирный механизм (см.
рис. 20.2, а) с учетом зазоров обладает четырьмя дополнительны-
ми степенями свободы, которые искажают передаточные функции
системы. Одним из возможных путей устранения влияния зазоров
в кинематических парах является замена шарниров парами
четвертого класса. Именно так выполнен кулисный механизм
с мальтийским крестом (см. рис. 20.4,в: пара 2-3 — четвертого
класса). На рис. 20.1.? показана разновидность коромыслово-
ползунного механизма с высшей парой 1-3 (пружина 5 служит
для постоянного замыкания кинематической пары).
При структурном синтезе нужно также учитывать, что плоский
механизм представляет собой пространственную конструкцию,
гак как точки звеньев движутся не в одной, а в параллельных
плоскостях. В реальных механизмах ориентация кинематических
пар не может быть идеальной. Например, оси шарниров А, В,
С, D (см. рис. 20.7, я) не строго параллельны. Поэтому каждый
341
реальный плоский механизм имеет три избыточных связи и,
строго говоря, статически неопределим: при движении звеньев
такого механизма появляются упругие деформации, что уменьша-
ет надежность системы из-за роста сил трепия и износа элементов
пар. Избыточные связи устраняют, повышая подвижность некото-
рых пар; с этой целью в шарнирах вместо радиальных подшипни-
ков устанавливают сферические (см. гл. 23), т. е. нары пятого
класса заменяются парами третьего класса; на рис. 20.!.<) приведе-
на одна из возможных структурных схем кривошипно-ползунного
механизма без избыточных связей.
Метрический синтез. Для выбранной схемы параметры движе-
ния выходных звеньев зависят от ориентации кинсмаз ичсских
пар и соотношений длин звеньев, определение которых составляет
главную задачу метрического синтеза механизма.
Различают кинематический, динамический, кинетоупругостати-
ческий и упругодинамический виды метрического синтеза. Метри-
ческий кинематический синтез—эго создание механизма, удовлет-
воряющего различным комбинациям заданных положений, отно-
шений скоростей, ускорений и г. д„ при допущении, что упру-
гостью и инерционностью звеньев можно пренебречь. Движения
входных звеньев считаются известными (заданными).
При динамическом синтезе те же задачи решают с учетом
инерционности звеньев. При кинетоупругостатическом и упругоди-
намическом синтезе учитывают различные комбинации не только
кинематических параметров, но и сил, моментов сил, напряжений,
деформаций и г. д.; здесь учитывается упругость звеньев.
Главная сложность при решении задач синтеза заключается
в том, что необходимо учитывать множество конфликтующих
и к тому же случайных факторов, анализировать и количественно
оценивать большое число вариантов. В наиболее полной постанов-
ке с учетом как кинематических, так и динамических условий
задачи синтеза решают с применением методов нелинейного
программирования в особенное!и поисковых методов оптимиза-
ции, метода использования взвешенной разности и т. д. В прибо-
ростроении и точном машиностроении наиболее часто требуется
выполнить кинематический синтез, а также ретшпь некоторые
задачи динамического син!еза; при этом основные условия
кинематические, а динамические—дополнительные.
В самом общем виде задача метрического кинематического
синтеза ставится так: найти длины звеньев механизма, при
которых параметры движения выходных звеньев являются задан-
ными функциями oi параметров движения входных звеньев;
дополнительно вводится ряд ограничений. Пусть, например,
кривошипно-коромысловый механизм (рис. 20.7, в) должен воспро-
изводить функцию <р5 = Г(<р2) (фг и Ч>5 углы поворота входного 2
и выходного 5 звеньев). Если механизм используется как вычисли-
тельный, то функция F(ip2) задается. Когда механизм выполняет
342
определенные технологические операции (протяжка лен гы и г. п.),
функцию F(ip2) строят по известным характеристикам технологи-
ческого процесса.
Условия задачи синтеза подразделяются на три категории:
главное (воспроизведение с определенной точностью функции
f(qb)). обязательные и желательные. К обязательным относится
требование положительности значений искомых для звеньев.
Желательными являются, в частности, условия типа требований
к кпд, минимизации износа элементов кинематических пар и т. п.
Одно из существенных желательных условий — ограничение угла
давления, т. е. угла между вектором силы, приложенной к ведомому
звену (без учета сил трения), и вектором скорости точки приложения
этой силы. Например, если на ведомое звено ВС (см. рис. 20.2)
действует сила R23 со стороны шатуна 2, то угол давления — а.
Разложив силу R23 па составляющие Z?23 = /?23cosa±BC
и Л23 = /?23s*na (направлена вдоль оси звена), получим, что сила Л23
преодолевает момент сил сопротивления М3. Составляющая же
/?"з вызывает появление дополнительных сил трения в шарнирах В
и С. Поэтому при проектировании стремятся уменьшить значения сил
типа R.23, что требует уменьшения углов давления а. При больших
углах а может произойти самоторможение механизма (см. § 3.8).
При синтезе используют в основном те же уравнения, что
и при кинематическом анализе. Так, для замкнутого контура
ABCD механизма (рис. 20.7, е), проецируя длины звеньев lt = AD,
12 — АВ, 1^ = ВС и l3 = DC на оси координат, получим уравнение
типа (2.8):
/2 cos ф2 + /4 cos ф4 = /, + /5 cos <р 5;)
/25Шф2 + /481пф4 = /551Пф5; J
СО8Ф2 + p4cos ф4 = щ cos ф5;)
8тф2 + р48тф4 = ц58Н1ф5, J
где ф4, ф5— углы на рис. 20.7, в, соответствующие повороту
входного звена на угол ф2; р4 = /4//2, Mi=/i/72, —относи-
тельные длины звеньев (длину кривошипа 12 = АВ выбирает
конструктор).
Так как воспроизводимая функция ф5 = Г(ф2) задана, то
в системе двух уравнений (20.4а) четыре неизвестные величины:
щ. ц4. ц5, ф4. Записав уравнения (20.4а) для трех положений
(ф2 = ф21, <₽22’ ФгзК получим систему из шести уравнений с шестью
неизвестными (щ, ц4, ц5, ф41, ф42, ф43). Решение системы (20.4а)
дает механизм, который воспроизводит функцию Т(ф2) по трем
точкам, т. е. точно воспроизводятся три положения. Во всех
других точках области определения функция Т(ф2) моделируется
механизмом приближенно — выполняется нелинейная интерполя-
ция функции Г(ф2).
343
В систему уравнений для определения искомых параметров
механизма (ци р4, ц5) можно включать продифференцированные
несколько раз уравнения (20.4а); тогда синтезируемый механизм
будет воспроизводить и дифференциальные свойства функции F(<p2)
(например, точные значения функции в двух положениях и произ-
водной (скорости) в одном из них; в одном положении воспроизво-
дятся функция и четыре ее производных - см. пример 20.2).
Если не удается получить функцию с требуемой точностью,
то приходится применять более сложный механизм (см. например,
рис. 20.7, ж). Спроецировав длины сторон двух замкнутых конту-
ров ABCD и DCFE на оси координат, получим систему'
кинематических уравнений, аналогичную (20.4а):
cos<p2 + p4cos(p4 = pi +|i5cos(p5;
sin<p2 + p4sin<p4 = p5sin<p5; I (20 46)
p5cos(p5 + p14cos(p14 = pDrcos(p1 +p)5cos(p15; Г
p5sin<p5 + p14sinipi4 = p£)£sin(p1 + pj5sin(p15.
Здесь десять неизвестных: ц4, ц,, р5, Ни» Фо Ф4- Ф5’
Ф14; угол <р15 задан функцией <p15 = F((p2). Ход решения задачи
синтеза этого механизма аналогичен вышеизложенному: уравнения
(20.46) записываются для семи положений; решая систему из
28 уравнений, получают параметры механизма, точно воспро-
изводящего заданную функцию в семи точках; включение в си-
стему уравнений продифференцированных исходных соотношений
(20.4) позволяет учесть при синтезе и дифференциальные свойства
функции F.
Кроме задачи дискретного воспроизведения, во многих случаях
требуется построить механизм так, чтобы полученная функция
Ед(ф2) с необходимой точностью аппроксимировала заданную
функцию F на определенном отрезке изменения независимой
переменной. Приближение функций F и Fn может быть равномер-
ным или в среднем, например, в среднеквадратическом. В послед-
нем случае систему уравнений (20.2) записывают для большого
числа п положений и рассчитывают значения искомых параметров
с учетом обязательных и желательных условий, минимизуя сумму
невязок:
Z (Лф2)-^я(ф2))2 = т'П-
j=i
Ввиду сложности задачи расчеты ведут на ЭВМ с помощью
различных оптимизационных процедур, часто итерационного типа.
Сборки рычажных механизмов. Дополнительную трудность
при анализе и синтезе представляет наличие у рычажных
механизмов с заданными или полученными при синтезе длинами
звеньев нескольких сборок. Так, при данном положении входного
344
Рис. 20.8
звена 2 чегырехшарнирный механизм имеет две конфигурации,
т. е. две сборки— A BCD и A BCD (рис. 20.7. в): при известном
положении точки Е (см. рис. 20.7.д) центр ползуна б можег
находиться в точке К или К"; поэтому у механизма (рис. 20.7, д)
всего четыре возможные сборки.
При метрическом синтезе может оказался, что функция
воспроизводится достаточно хорошо, но на разных участках
области определения воспроизведение осуществляется разными
сборками. Этот случай называется дефектом ветвления. Так как
разные сборки - эго разные механизмы, как правило, не переходя-
щие друг в друга, то решение задачи синтеза с дефектом
ветвления не имеет физического смысла.
Решение задач синтеза в указанном виде весьма сложно
с математической точки зрения. Поэтому на практике при синтезе
рычажных механизмов широко используют таблицы, графики
и номограммы, составленные с помощью ЭВМ.
Рассмотрим несколько примеров синтеза, когда можно полу-
чить явное решение задачи.
Пример 20.1. Спроектировать кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 20.1, а,
<): 20.8), обеспечивающий поступательное перемещение ползуна на размер Н\
заданы (или выбраны) длина кривошипа ОА=г и отношение А=<рр.'<рх, где <рр,
<рх—углы поворота кривошипа О А при рабочем и холостом ходах.
Решение. Так как <рр+<рх = 2л, то по значению параметра к можно
рассчитать углы:
<рр = 2 лА/(А-|- 1): <рх = 2п,.(А + I)
Далее рассмотрим крайние положения механизма (рис. 20.8), котла кривошип 1
и шатун 2 составляет одну прямую. Из Л ОВВХ в соответствии с теоремой
синусов имеет
ОВ ВХВ 1+г _ Н
sin(z_ ОВХВ) sin(z.^OB|)’ sin(n—а2) sin(<pp-n)
Углы а, и а2 по рис. 20.8 это углы давления и должны быть ограничены.
Так как oqcaj, то достаточно наложить ограничение лишь на угол
а2^[а]=30 ... 40'’. Приняв определенное значение а,, получим искомые размеры
шатуна АВ и эксцентриситета е:
1= Н sin а2 .-sin (фр—л)—г = Л/ sin [a],sin [л (А- — 1 ),'(А + 1)] — г;
е=(/—rjsin [а].
345
Рис. 20.9
V Пример 20.2. Спроектировать чстырехшарнирный механизм, воспротводящий
заданную функцию z—f(u) при ие[а. В]. Входное звено О А (рис. 20.9, а),
выходное—ВС.
Решение. Выбрав максимальные углы поворота <р1пш, входного звена и <р3т4к
выходною, рассчитаем масштабы:
к„ = Ф1 /(*“а): к.=ФЭт„/(/(В)-/(а))-
Связь углов <pj. <р3 с переменными и. z:
Так как нужно синтезировать механизм для воспроизведения функции f(u} на
заданном отрезке ие[и, В], то результатом решения может быть только интерполяция
функции z=f(u). Считая, что /(и) дифференцируема нужное число раз и может быть
практически достаточно точно представлена на отрезке [а. В] с помощью ряда
Тейлора, ищем размеры механизма, который точно воспроизводил бы значение
функции и некоторых се производных в нескольких положениях; эго гарантирует
достаточно точную аппроксимацию функции z=f(uj на всем отрезке [а, В], если она
не имеет существенных особенностей в заданной области определения.
Припишем отрезкам, изображающим звенья механизма, направления по
и t
рис. 20.9, а и, записав уравнение замкнутости £ /j=0, продифференцируем его
J=1 ~
два раза по времени. Обозначив проекции векторов на оси координат
X^/jCOStPj, jj^sinep,.
346
получим следующие зависимости для данного положения> механизма*:
£ф3т’3=0: £ф3л3=0;
Ё 4-<PMj)=0; L (фЛу-Фу>3)=0: (20.5)
они инвариантны ио отношению к повороту осей координат Выберем такой
масштаб изображения механизма, чтобы длина шатуна АВ получилась равной
единице; координатные оси поверием так, чтобы ось шатуна была параллельна
оси абсцисс. В этих осях и для такого положения шагу на х2 = 1, у2=0, ф2 = 0.
При метрическом синтезе нужно считать, что <о1=ф1 = 1. £1=Ф|=0, все
последующие производные также равны нулю (т. с. рассматривается только
основное движение, см. § 2.1). С учетом отмеченного выше уравнения (20.5)
перепишем в виде
-'чт> + ФзоЛзо = ~ Фгтн
, >ло+фзоУзо=0; 2 (205а)
—Л’то + Фзо-¥зо — ФзоУзо — — Фго-
^хо + ФзоХзо + ФзоУзо ~ ~Фм,
где индекс «0» указывает па значения в повой системе координат, когда шатун
параллелен оси абсцисс, при <pj = 1, ф!=0. В системе (20.5а) четыре уравнения
и шесть неизвестных: х10, т10, х30, у30, ф20, Фзть при данном значении
независимой переменной и углы <рх. ф3 и их производные определены видом
функции z =f(u) и выбранными масштабами ки, к..
Решение задачи синтеза строится дальше по такому алгоритму: выбирают
значения ф20, ф20 и из системы уравнений (20.5 а) рассчитывают величины х10,
у10, хз«' Узо и искомые длины звеньев:
Л = чМто+У то; /3 = ч/х эо +У зо; /2= Г (20.6)
длина сгойки ОС и положение центра шарнира С находим из векторною
равенства:
74 = ОС=71+/2 + /з.
При конструировании реальная длина шатуна L, принимается из технологичес-
ких, эргономических и других соображений; реальные длины остальных звеньев:
0 = 1.3, 4). (20.6а)
Найдем функцию положения механизма, рассматривая такую его конфигура-
цию, когда входное звено О А повернулось на угол Аф, из исходного положения
ф10; угловая координата выходного звена ВС — (Фзо + Дфз)- Гак как шарниры
О w С неподвижны, то сумма проекций векторов в исходном и новом
положениях неизменна (рис. 20.9. б):
Л-10 + 1 + х30=/ J соб(ф 10 + Дф j )+cos Дф 2 + /Зсов(ф 30 + Дф 3);
У1о+Узо=Л«и(фхо+Дф1)+«тЛф2+/з»1п(ф30+Дф3).
Исключив .из этих равенств угол Дф2. получим связь входного Дфц и выходного
Дф3 перемещений:
(/1+Х1о + хю*зо +>’io>’3o)(J-^sA<pl) + /5+-v3o+(Flo+.vJ0ylo-y30xlo)sinA<pl-
— Р 3 +-Х 10 *30 + *30 + У !0Тз0 “ (* 10* 30 +.У 10 1?Зо)СО5^Ф 1 + () 10*30 ~
* См. аналогичные системы уравнений (2.8), (2.9) и (2.9а), которые записаны
в развернутом виде.
347
-Л-10/з<>)мпДф1]сО5Дфз + [.Г10»',0 + Гз0->-1( Л-зо+Ь,1<)л-з0-л-10>'з||:о8Дф1 +
+ (-'10-'зо + г10Лзо)»тДф1]мпДфз=0, (20.7)
где xJ0, yj0 зависят or (ф20, ф20).
Выбор значений ф20. ф20 можно осуществить так, чтобы были удовлетворены
некоторые дополнительные условия.
а) При двух значениях и,. и2 независимой переменной значения функции
:=/(«) будут zt и z2. С учетом масштабов к„, kz это соответствие в терминах
чегырехзвенника сформулируется гак: в одном положении Дф, =аи
Дфз = г(н1)Аг =Р,; во втором Дф,=а2; Лф3 = Р2. Подсзавив эти пары значений
(а,, Рз) и (а2. Р2) в функцию положения (20.7) вместо (Дф2, Дф,), получим
систему уравнений, которая определяет параметры ф20, ф20:
°т 1Ф20 + о |2<Р2<1 + а хзфго + а 14.Ф20 + а гзФгоФго +
.+°1бФ2о + Д17ф2О=0; . .. (20.8)
а21Ф2о+а22Ф2о+а2зФ2о+Й24Ф2о+а25Ф20Ф2о +
+ «26Ф2О + «27 Ф20 = 0. (20.9)
Решение системы- значения ф20, ф20, при которых в двух заданных положениях
Лф^а,. Дф,=а2 точно воспроизводится функция г=/(н). а в исходной
положении (ЙВЦО.т) —значение функции и ее двух первых производных (последнее
будет в рассматриваемом решении всегда, так как математическим выражением
этого факта являются уравнения (20.5 а)).
6) В начальной точке должен быть пятикратный узел. т. е. нужно точно
воспроизвести значение функции z и се четырех первых производных. Следователь-
но, в исходном, положении известны ф30, <pJ0, ф’з0, ф 30. Третье и четвертое-
дифференцированные уравнения замкнутости E/j = O тают соотношения из четырех
скалярных - уравнений (л гя решения задачи нужны только три):
Зго~Зф2Оф2О—j-’зо ф зо —З-Х30Ф30Ф30 +.3’зоФзо = 0; (20.10)
- -<io+ Фio-ф2о + *зо Ф’зо-ЗузоФзоФзо--*зоФзо = 0; (20.11)
-V1O—4 Ф20Ф20 — Зф2О +ф20—Тзо Ф 30 —-v30(4ф ЗоФзо + Зфзо) + бу30фф30 +
+ -<зоФзо = 0. (20.12)
Исключив из этих уравнений параметр <р20 и определив величины ф20, ф20,
из системы (20.5 а) и уравнений (20.6) и (20.6 а) находим длины звеньев.
в) В начальном положении можно требовать наличия четырехкратного узла
(воспроизводятся значение z и первые три производные), а в любой другой
точке н=и, (Дф1=А„к1=я) должно быть Дфз=Л2г(к1) = р. Параметры _ф2о. ф20
находят из системы уравнений (20.8) и (20.10), в которых известны <р30, ф30,
Фзо и Дфз.
г) В начальном положении должен быть трехкратный узел (точные значения
z, z, z обеспечиваются.-при выполнении равенств (20.5а)) и два простых узта
при н=и,, н=к2(Дф,=а1 и а2). Значения параметров ф20, ф20 получают из
системы уравнений (20.8), (20.9).
Пусть требуется спроектировать четырехшарнирный механизм для воспроизве-
дения функции z=ln« вблизи точки н0 = 5,5 и ие[1, 10]. Ф1 т„ = 90", Фзтд,=60'.
Масштабы:
ки =(10- 1)/(л/2)=5,7296 рад kz = (In 10-In 1),'(л/3) = 2,19881 рад *.
Зависимости меж гу переменными и н z и углами ф, и ф3:
и=ЛиФ1 + 1; г=£,фз.
348
Считаем, чго исходному положению механизма (рис. 20.9,б) соответствует
значение независимой переменной н0 = 5,5. Связь углов на входе механизма
и на его выходе:
Агг<Рз = 1п(/с„ср1).
Производная:
Аггф3 =А„;и; Агг<рз=— к2и 2: к. <р 3 — 2к '3; kzip% = — 6к tu ~л. (20.13)
При и =5.5 <рзо =0.47377. <р30=—0.49355. ф’30 = 1.02829. ф30=—3,21365. Под-
ставив эти значения в систему (20.5 а) и решив ее относительно параметров
т10. З'ю- хзо’ Узо- получим зависимости для расчета искомых при синтезе
величин (ф20=с, Ф2о = с):
л10 = — (0.38632е2 + 0,61367е +0.76477с);
у10= -0.76477с 2+0,76477с +0.38632с;
х30 = 0,81540с2 —0.81540с + 1,61422с; (20.3 0)
у зо = 1.61422е 2 - 1,61422е - 0,81540с.
С учетом равенств (20.56) функция положения (20.7) в данном случае будет
такой:
[ - 0.81464е4 + 1,58650е3 - 0.15821 с2 - 0,61367е - 0,08467ес- 0,81464с2 - 0,76477с] х
х (1 - cos Дф,) + 3,27059с4 - 6,54118е 3 + 4,08599е 2 - 0,81540с+3,27059с 2 + 1,61422с+
+ [0,00002с 4 + 1,61417с 3 - 2,37896с 2+0,76477е - 0.81540сс+0.00002с 2 + 0,38632с] х
х sin Дф, — {1,72107с4—4.25754е3 + 3,35187е2-0.81540с- 1,61421ес+1,72107с2 +
+ 1.61422с - [ - 1,54952с4+2.28364е 3 - 0,73412е 2 - 1,61421 ес - 1,54952с 2 ] cos Дф, +
+ [0.00002е4 + 1.61417с3 — 1,61419е 2—0,81540ес+0,00002с 2 ] sin Дф,} cos Дф3 +
+ {-0.00002е4 - 1,61417с 3 + 3,22841 с 2 -1,61422с+0.81540ес - 0,00002с 2 - 0.81540с+
+ [0,00002с4 + 1,61417е 3 - 1,61419е2 - 0,81540ес + 0,00002с 2 ] cos Дф, + [ - 1,54952е4+
+ 2.28364с 3 - 0,73412с2 - 1,61421сс- 1,54952с 2 ] sin Дф,} sin Дф3=0. (20.7а)
Все необходимые для синтеза уравнения получены. Если нужен механизм
с узлом третьего порядка в точке Дф, = 0 и с однократными узлами при
Лф1 = а1, Дф|=я2, то за точку Дф,=0 целесообразно принять положение при
повороте от начала отсчета на угол <р, =40":
(н=5, фз=41.9381 ); Дф,=а=-20 (ф,=20', <р3 = 28,6272', н = 3. Дф3= 13.3109'");
Дф, = Р=20 (ф,=60, к=7, фз = 50,7058J, Дф3=8,7677 ).
Подставив Дфз в уравнение (20.7а), получим основные расчетные соотношения
для определения ф20, ф20:
3,02е4—9.16с3 —7,63е2+ 13,75е2—26.67ес+3,02с2 + 22.17с=0; (20.8а)
1 _40е4 - 4.1 Ое 3 +13.18с 2 - 10,48с + 17.80ес + 1,40с 2 -12.57с=0. (20.9а)
Кривые / и 2, построенные по уравнениям (20.8а), (20.9а) в плоскости е- с,
показаны на рис. 20.9, в; их пересечение в точках (0; 0) и (0; 1) не даст
физически значимого решения по равенствам (20.5а). Пересечения кривых в точках
D и Е определяют величины ф2о, ф2о. Для которых выход Дф3 при Дф1 = +20'’
имеет точно заданное значение, а в точке Дф,=0—узел третьего порядка. По
уравнениям (20.5а) и (20.6) вычисляются длины звеньев для механизмов D и Е:
Р-/, =0,037, /2=1, /3 = 1,008. /4=0.028, лг=0,008;
£-/,=2,27, /2=1, /3 = 2,885, /4 = 1.77, хс=0,94.
349
Рассмотрим следующую возможность— узлы четвертого и пятого порядка,
подставив в уравнения (20.10) (20.12) вычисленные значения <р50... <р 30 [см. (20.13)]:
i10—Зег—0.92l95i’jo + 0,70149.r3o=0; (20.10а)
< 1 о + е 3 - Ф 2о - 0-92195л ,о - 0,70149у зо=0: (20.11 а)
-х,о+Зе2+4е ф2П-е*+2,62907л30 - 2,54897у30 = 0. (20.12а)
Исключив величину ф20 уравнений (20.11а) и (20.12а), заменив (.vj0, .ijn)
многочленами (20.56). получим:
1.68101е(е- 1)+3<'<+2,27044с=0; (20.106)
Зс4 - 4.55231 е 3 - 5,56163е2 + 7,11397с - 9,01200ес+9,37508с+Зс2 = 0. (20.126)
Уравнения (20.106), (20.126) отображаются на плоскости е с кривыми 3 и 4.
которые кроме точек (О; 0), (0; 1) пересекаются в точках F и (/. Подставив
координаты точек пересечения в равенства (20.5а), рассчитываем длины звеньев
для механизмов с узлом пятою порядка:
/-»/, = 2,06, /2=1, /з=1,92, /4 = 0,96, хс=-0,41;
6-/, =4,85. /2=1, /з=9,15, /4 = 3,70, хс=—2,31.
Механизм; реализующий узлы четвертого порядки.-- -определяется точками-»
пересечения' кривых (1. 2) и (3. 4); все чти точки нс дают удовлетворительных .
решений. Таким образом, реально существуют четыре механизма, схемы которых
оказа ты- на рис. 20.9, г. Погрешность 5(Лф3), которую дают полученные-
механизмы, показана па рис. 20.9. <).
§ 20.3. СИЛОВОЙ АНАЛИЗ
При расчетах на прочность, выборе подшипников и для
решения задач кинетоупругостатическот о и упругодинамического
синтеза рычажных механизмов необходимо знать значения давле-
ний в кинематических парах, т. е. силы, действующие на элементы
кинематических пар.
Расчет давлений в кинематических парах выполняют на основе
принципов освобождения от связей и Даламбера. Согласно
принципу освобождения от связей можно О1брасывать связи,
заменяя их действие соответствующими силами —реакциями
связей; при такой замене характер движения сищемы не меняется.
Из принципа Даламбера следует, что если к действующим на
механическую систему силам добавить силы инерции и моменты
сил инерции (см. § 3.9), ю эта система будет находиться
в равновесии, т. е. при расчетах .можно использовать уравнения,
статики. Поэтому подобные , расчеты называют кинетостати-
ческими-.
Обычно кинетостатический анализ механизмов сначала выпол-
няют без учета влияния сил трения. Затем по найденным
дав тениям в кинематических парах рассчитывают силы трения.
При необходимости дальнейших уточнений пересчитывают давле-
ния в кинематических парах с учетом найденных сил трения,
осуществляя итерационный процесс.
350
Рис. 20.10
Рассмотрим плоские кинетические пары. Пренебрегая трением,
можно считать, что во вращательной паре (рис. 20.10, а) сила
R12 давления звена 1 на звено 2 проходит через центр А шарнира.
Модуль и направление этого вектора зависят от значения
и направления сил. приложенных к звеньям пары. В поступатель-
ной паре без трения (рис. 20.10, б) сила R0l (давление звена 0
па звено 1) перпендикулярна направляющей х—х, т. е. известна
линия ее действия, но не известны направление, модуль и точка
приложения (расстояние й). В высшей паре без трения (рис.
20.10, в) реакция /?01 приложена к звену / в точке С контакта
и направлена по общей нормали и—п к соприкасающимся
профилям. Таким образом, для определения реакции в каждой
из низших пар необходимо найти по две скалярные неизвестные
величины, а в высших парах—только одну.
Условия статической определимости кинематической цепи. С по-
мощью уравнений статики можно рассчитывав только статически
определимые системы (см. § 8.1). т. е. такие, для которых
совпадают число скалярных уравнений статики и число искомых
величин. Рассмотрим плоскую кинематическую цепь с низшими
парами, состоящую из к звеньев. Для каждого ее звена, на
которое действуют силы, расположенные в плоскости движения,
можно сошавить три скалярных уравнения равновесия. Для
к звеньев число уравнений ЗА. Если количество низших пар
цепи равно р5 (включая концевые), то при определении давлений
в кинематических парах число скалярных неизвестных составит
2р5. Поэтому кинематическая цепь статически определима в том
случае, когда удовлетворяется условие ЗА = 2р5. Это условие
совпадает с формулой (20.3), которая аналитически определяет
структурную группу. Следовательно, структурная группа статичес-
ки определима.
Расчет сил в кинематических парах. Учитывая статическую
определимость структурных групп, давления звена на звено
определяют отдельно для каждой структурной группы, а затем
для входных звеньев. Расчеты начинают для группы, присоеди-
ненной к механизму последней. При выделении из механизма
группы действие отброшенной его части заменяют соответству-
ющей силой. Эти силы подлежат определению.
351
Рис. 20.11
Приведем алгоритмы расчета для наиболее распространенных
С1руктурных групп. Группа 6-7 на рис. 20.7,6 вместе с вращающимся
входным звеном образует кривошипно- или коромыслово-ползунный
механизм (см. рис. 20.1 и 20.6, а, б), а с входным ползуном
двухползунный механизм (см. рис. 20.6, г). На рис. 20.11, а показана
общая схема i руппы рассматриваемого типа —здесь ось пп
направляющей i не проходит через центр шарнира К. Группа
включает три кинема гические пары — шарниры Е, К и поступи тель-
ную парудюлзун—направляющая. На звенья 6 и 7 действуют силы
тяжести 6ь(0; — G6) и G7(0; — G7), производственного сопротивления
Ci ((?!>.; (?1Д а также искомые силы в кинематических парах: /?>6—
воздействие звена /, к которому присоединена группа, на шатун 6,
R,7- воздействие направляющей i па ползун 7 (па рис. 20.7, <• /=5,
/= 1). Так как в первом приближении силы и момент сил трения не
учитываются из-за их относительной малости, то сила Я,7 перпенди-
кулярна оси пп направляющей; точка К2 приложения силы
Ri7 неизвестна. Силу в шарнире Е разложим на составляющие:
нормальную /?"6, линия действия которой совпадает с осью ЕК
шатуна, и касательную Ё]ЬЕЕК. Направление всех искомых сил
показано на рис. 20.11 произвольно; если при расчетах будет получено
отрицательное число, го это значит, что реальное направление
противоположно указанному па рис. 20.11. Сила в кинематической
352
паре К как внутренняя для структурной группы на рис. 20.11, а не
показана.
Для того чтобы было можно использовать для расчета
уравнения статики, в соответствии с принципом Даламбера
прикладываем к звеньям группы силы инерции Еи(,(Еи(>х', ^иб»)
и ^«т(Е1Гх; ^вту) в центрах масс звеньев и момент сил инерции
МиЬ к шатуну 6 (определение инерционных нагрузок см. § 3.9).
Из условия равновесия звена 6
YMK = Q (сумма моментов относительно точки К всех сил
и моментов сил. приложенных к звену б, равна нулю) получим
величину Rjf,, так как составляющая R"6 проходит через точку
К и ее момент равен нулю:
~~ ^je !ек+(^ибх (у к ~ З'хб) ~ ^ибу (л’к -Vs б)) + Gf, (— л'з (,) + Л/и6=0
(20.14)
(1ик~ расстояние между центрами шарниров Е и К). При
написании уравнения (20.14) использована зависимость
MK(F) = Fx (ук-ySh)-Fy (xK-xSb) (20.15)
для расчета момента силы F(FX; Fy), приложенной в точке
*$б(*хб; )’«(,), относительно точки К(хк; гк) и учтено, что сила
Ge (0; — Gf,) параллельна оси Y; положительное направление
моментов— против часовой стрелки. Координаты всех точек
группы определяются при кинематическом анализе (см. § 2.2, 2.3).
Для группы 6-7 распишем следующие условия равновесия:
2Х=0 (сумма проекций па ось X всех сил, приложенных
к звеньям 6 и 7, равна пулю);
- sin ф6 — /?"6 cos <р6 + FHbx + Fulx + Qlx- Rn sin ф,- = 0;*
(20.16)
ХУ=0 (то же. на ось К);
Л J6 cos ф6 - R'lf, sin ф6 - Gf, - G7 + F„6v + F„,y + Q, „ + R, 7 cos ;=0 *.
(20.17)
Разрешив систему уравнений (20.16), (20.17) относительно /?"6,
Л,7, получаем:
Л“6 = [ —7?;6sin (ф6 — ф1) + (/?,ибл + Л17х + С?1х)сО8ф; +
J +^Иб> + /?И7, + С1>-С<)-67)5тф1.].со8(ф6-ф;); пп1ол
Я.7 = [ - Л)б + (ГВбх+Ги7х+Стх) sin ф6 - (FKby +
+ Faiy + Qiy - G6 - С7) cos Ф6]/СО8 (ф6 - ф,-)
(углы ф6 и ф,- см. рис. 20.11, а).
При ф6 — ф,-= я/(2А) (А=1, 2, ...) решения не существует.
Физически гто объясняется гем, что в гаком случае ЕКЕпп,
* Проекции сил Q и составляющие 7?' и R" величины алгебраические;
в частности, в соответствии с рие. 20.11, а Си<0. (?i,.<0, /'и7><0.
12 Зак. Tin
353
угол давления равен 90 . т. е. движение невозможно (при абсолютно
жестких звеньях, отсутствии зазоров в кинематических парах и без
смены входного звена); отменим еще, что такое положение
механизма — пограничное между двумя сборками (см. § 20.2).
Для того чтобы найти силу в кинематической паре 6-7,
рассмотрим равновесие звена 7; действие шатуна 6 на ползун 7
учитывается в виде силы Л67(Л67х; /?67у), приложенной к точке
К'. Т.МК (сумма моментов сил, приложенных к ползуну 7, равна
нулю);
^<7^1+(С1х(}'к— Укз) — £?1у(ХК — *Кз)) + (^н7х(.Гк—J's?)-^и7у(ХК~
-xS7))+G7(xK-xS7) = 0; (20.19)
ХУ=0 (звено 7); — /?(781п<р,-+21х+Л17х+/?б7х = 0; (20.20)
ЕУ=0 (звено 7); Fi7cos(p( + 2lv + F„7v — G74-/?67у = 0.(20.21)
Равенством (20.19) определяется положение точки К2, в которой
приложена сила Ri7; из уравнений (20.20), (20.21) вычисляется
сила Я67(/?67х; Я67у). Уравнения (20J4), (20.18), (20.201 (20.21)
позволяют рассчитать искомые силы Rjb(Rxjb, R"b), Rn, Rbi(Rb-jx,
Rbly) в кинематических парах структурной группы 6-7, включа-
ющей шатун и ползун.
В частном случае, когда центр масс S7 ползуна совпадает
с точкой К и через нее проходят линии действия всех внешних
сил, приложенных к ползуну, решение задачи упрощается, плечо
А1=0, силу Ri7 находят из условия ЕЛ/е=0 (звенья 6 и 7); сила
Rjb(Rjbx, Rjby) определяется из условий Е.¥=0 (звенья 6 и 7),
ЕУ=0 (звенья 6 и 7); наконец, из уравнений (20.20). (20.21)
ВЫЧИСЛЯЮТ Rbi(Rb7x, /?67у).
Рассмотрим алгоритм расчета сил в кинематических парах
структурной группы, схема которой представлена на рис. 20.11,6
(см. также рис. 20.7, в). Эта группа входит в состав четырех-
шарпирного механизма (см. рис. 1.2, 1.3, 20.2, а) и многих других
механизмов приборов, вычислительных и робототехнических сис-
тем. На рис. 20.11,6 показаны силы, приложенные к звеньям 4
и 5 структурной группы: силы тяжести 64(0; — G4), G5(0; — G5);
производственного сопротивления Q2(Qix^ Qiy'-, сила Rk.$ =
= —R5k—действие звена К предыдущей группы jia звено 5*;
в* центрах шарниров В и D—искомые силы Л7-4(/?}4; Л"4),
Ri5(Rx5', Д"з1 представленные касательной и нормальной со-
ставляющими; показаны также силы инерции Уи4, F„s и моменты
сил инерции Л/и4, Ми5. Из условия равновесия УА/с = 0 (звено 4)
найдем /?}4:
— R^Bc+G^Xf- — Xj-4) + (Fk4x(J'c — >S4) —
— F„4).(xc—х54))+Л/и4=0; (20.22)
* Если считать, что рассматривается механитм, представленный на рис. 20.7, д,
ТО /l=6, Axs = 7?65-
354
аналогично, из условия равновесия для звена 5 определяем
силу Я-5:
ZMC = O (звено 5); -Я-5/,х + G5(.v(.-xS5)+(FB5X(j’t— Tss)-
~^н5у (ЛС ~ AS5 )) — Л/Я5 + (Як5х Ьс ~J?) ~ &К5у (АС ~ Л'е)) +
+(02Х (>’с- Ун) - Qiy (а-с - хп)) = 0 (20.23)
(1нс, Idc—реальные длины соответствующих отрезков). Группа
в целом также должна удовлетворять условиям кинетостатики:
ЕА"=0 (звенья 4 и 5); — Я"4cosф4-ЯJ4sillф4 + Pи4x +
+^:'в5x+ ^К5х + Qix~ Я"?cos <Ps ~ Я; 5 sin Ф5 = 0; (20.24)
ЕУ=0 (звенья 4 и 5); — Я"48Шф4-|-Я)4со5ф4 + Я,н4>.+
+ Рн5>. + RK5>. + Q2y-G4-G5- R"s sinф5 + Я cos<p5 =0. (20.25)
Из системы уравнений (20.24) и (20.25) вычисляются величины
Я"4, Я"5 (углы <р4 и ф5 рассчитываются из уравнений (20.4)
при кинема гическом анализе):
Я"4 = [ — Я}4 COS (ф5 — ф4) — Я;5 + (Яи4х +
+ Ян5х+ Як5х+^2х)х'П ф5 — (Ги4). + Г„5^,—
I - G4-65 + ЯК5>, + е2>.)со8ф5]'8т(ф5-ф4);
Я?5 = [Я J4 - ЯТ5 cos (Ф5 - Ф4)+(Ри4у +
+ ^н5у — ^4 ~ ^5 + Ях 5>, + COS ф4 — (Fh4x+
+ Яи5х + RK 5х+(?2х) sin <p4]/sin (ф5 - ф4).
В том случае, когда ф5 — ф4=яАг(Л = 0, 1, 2...), решения (20.26)
не существует, движение невозможно (ситуация полностью анало-
гична гой. когда нет решения (20.18)).
Силу Я54(Я54х; Я54>,)=—Я45 определяют из уравнений кинето-
статики звена 4 или 5:
LA"=0 (звено 4); — PJ4sin<p4 — Я"4со5ф4 + Рн4х4-Я54х = 0;
(20.27)
ЕУ=0 (звено 4); Я}4со8ф4-Я"451пф4-|-Ри4з, —G4 + P54y=0.
(20.28)
Уравнения (20.22), (20.23), (20.26)...(20.28) позволяют вычислить
значения сил Я/4(Я}4; Я"4), Я/5(Я?5; Я"5), Я54(Я54х; Я54>), т. е.
провести полный силовой анализ структурной группы 4-5 по
рис. 20.7, в.
Третья из наиболее распространенных структурных групп — ки-
нематическая цепь 8-9 па рис. 20.7, г, которая входит в состав
кулисных механизмов (см. рис. 2.7, 20.4). На рис. 20.11, в схема
этой группы показана в том общем случае, когда центр шарнира
ползуна Я не лежит па оси направляющей Л/Р; NNtl.MP. Здесь
к звеньям приложены силы тяжести G\, G9, инерции F„s, Fh9,
производственного сопротивления Q3 и момент сил инерции
И„9; действие отброшенных звеньев i и j заменено силами
12'
355
Rjg(Rxj4; R"g) и Ris(Rie', R'is)- Хотя расчетные схемы рис. 20.11, б,
в очень похожи, но порядок расчета иной из-за того, что точка
приложения силы Т?й9 неизвестна, поэтому каждое звено рас-
сматривается отдельно (рис. 20.11, г). Кроме указанных выше
сил па ползун действует сила Л98 о г звена Л; гак как на первом
этапе расчетов трение пе учитывается, то Л9Й±Л/Р. К направ-
ляющей приложена сила /?89= —Л9й. Условия кинетостатики:
LX=0 (звено 8); — /?-8cos(p94-/??8sin(p9 — /?9й8Шф9 + /ги8х = 0;
(20.29)
£У=0 (звено Л); — /?J8sin(p9 — 7^"bcos(p94-/?98cos<p9+f„8). — G8 = 0;
(20.30)
T.MN = О (звено 8); - Я98Л8 + (F„8x(j\ - J’S8)- /,и8). (,vN- .г58)) +
+ G8(.y„-xS8) = 0; (20.31)
ZX=0 (звено 9); — /?}9sin<p9 — /?'-9cos(p94-/?98sin(p94-/’il9v + 2Jjl. = 0:
(20.32)
ЕУ=0 (звено 9); /?}9со.чф9 — /?"9sin<p9 — Л98соьф9 — G9 + Fh9). 4-
+ бз,=0; (20.33)
ZA/v = 0 (звено 9); — R9li(lM!fl —Л8) 4-(/\,9х— Узэ)-
— Xg9)) + б9 (лм ~ -VS9)+(Сзх(Ум — Ур)—Qsy(\и — хР)) + Л/и9 = 0. (20.34)
Решая уравнения (20.31) и (20.34), получим
^98 = [Fи9ж(>'м —3’59)- Р«9у(хм~ХЯч)У^д[хм — Лх9) +
+ Qix (Ум ~Ур) ~ Q3y (Л М “ Ч>) + Ри8х( J’\ ~ J’s 8 ) — РH»y(xN —AS8) +
+ GH(.vN-xS8)]//Af.v, (20.35)
(Imn—реальная длина оiрезка MNt).
Йз системы уравнений (20.29), (20.30) и (20.32), (20.33) находим:
Я’8 = F„8a cos ф9 + (F„8, - G8) sin ф9:
Л”8 = Я98 4-(F„8v - G9) cos ф9 - f„8x sin ф9;
R'j9 = Rg$+(F„(Jx + Csjsin ф9 + (^9 — Pи9у~ Сзу)СО5ф9;
Rj9=(Ги9у + Qiy- Gg) sin Ф9 + (F„9a + Qix) COS ф9.
Кинетостагическое исследование механитма закапчивается си-
ловым расчетом ведущего звена О А. Если к нему приложен
движущий крутящий момент Т (рис. 20.12,а), го значение
момента определим из условия (Ajj h2 плечи сил):
Z.V/o = 0; Ра~ ^21^21 ~
Давление Л61(/?61х; /?6i>) в шарнире О находим из условий:
ЕХ=0; /?21х + Лпх+Л61х=0;
ЕУ=(); Я21,+ГИ1У-Gj + A61v = 0.
Часто энер1ия к ведущему звену О А передается зубчатым
механизмом. В случае цилиндрической зубчатой передачи движу-
щая сила Fa приложена в полюсе зацепления и направлена по
356
линии зацепления Л'Л;
(рис. 20.12,(5). Расчш сил Fa
и /?hI ведется па основе урав-
нений:
ZWo=0: ^=Лд-'(/?21Л21-
-СМ
^=0; Я611=-Я21д-
ЕУ=0; /?6i>= — ^2iy~^Hiy +
+ G1 — Fuy.
Графо-ападитический метод
силового расчета. Силовой
анализ рычажных механизмов
часто выполняют i рафо-ана-
литическим методом: уравне-
ния £Л/ = () решают в анали i ическом виде, а вместо условий
£У=0, £У=0 записываю! их векторный аналш LFy=0; эти
векторные уравнения решаются графически.
Рассмотрим метлику графо-аналшического решения па примере механизма
на рис. 20.1.3, а. К его звеньям приложены полезная нагрузка /•’„ и силы веса.
В соответствии с принципом Даламбсра вводим силы инерции 1'и]. приложив
их в центрах масс а также моменты сил инерции. Расчет начинаем
с последней присоединенной структурной группы 4-5. Действие звена 3 на звено
4 заменяем силой RM, а действие направляющей на ползун 5 силой Я65,
перпендикулярной направляющей (рис. 20.1.3, б). В данном случае все известные
силы приложены в ючке D, совпадающей с центром масс ползуна 5 и рас-
положенной на оси направляющей. Поэтому из условия равновесия потзуна
(рис 20.13,6, в) имеем 1Л/„ = 0; Я65Л = 0; так как Я„5#0, то плечо й = 0.
('илу Я65 находим из условия равновесия всей структурной группы 4-5 (Л = 0):
1Л/С = 0; Л65=Лб5 ((''5Л5 + ЛЛ ~F.shui -/н4Ли4 + б4Л4- 51 в4)
(Л05. Л5, hf, Л„5, Лв4, Л4 п.чечи сил Rbi, (>’,, 1р и т. д. относительно точки
С: их обычно берут с чертежа, подщавляя в уравнение реальные значения).
Силу Л34 определим, записав векторное уравнение равновесия для группы 4-5:
2/^=0; Лй5 ч (js += Лр+jFb4+ 64 +Лз4 = 0. (20.36)
Уравнение (20.36) прост решип. графически, построив в маошабс к (Н<мм)
многоугольник сил, который замыкается искомым давлением Я.(4 (рис 20.13,6).
Мочуль силы A’t4 = (w/>)Ap, где ah о1резок, изображающий искомый вектор.
Чтобы найти давление в кинематической паре 4-5 (шарнир /)), рассмотрим
равновесие ползуна 5. заменив воздействие звена 4 силой Я45 (рис. 20.13, в):
£/ = 0; /р + б} З-Аиз + Rbs + Ra = 0.
Графическое решение уравнения представлено на рис. 20.1.3, в.
Определив давление в кинематических парах ыруктурной группы 4-5,
рассмотрим I руппу 2-3 (рис. 20.13, г). Кроме внешних сил и инерционных
нагрузок, на нес действуют реакции отброшенных связей силы Я12, Jib} и Я41
После ший вектор известен, 1ак как по третьему закону Ньютона Я«з=—ЯЛ4.
Силы Ли и Я6Л разложим на касательные (Я'иСЛВ. Я'ъ, 10,5) и нормальные
.357
составляющие (Л"2, направленную вдоль АВ, Льз— вдоль ОВ). Касательные
составляющие находим путем рассмотрения по отдельности равновесия звеньев
2 и 3 (рис. 20.13, г):
ЪМв=0 (звено 2); Л,12 = Л|2 (F,2h„2-G2h2-Xf„2)-,
ТМв=0 (звено 3); Rei-h^'(F„3h„3 + G3h3+Ri3hi3-MKS).
Векторная сумма всех сил, приложенных к ipyiine 2-3. равна пулю:
Л”2 + R\2 +G2+Fh2 V G3 + F„3 + A4j + Л'бз + Лбз=0.
Графическое решение этого уравнения выполнено на рис. 20.13, г с учетом того,
что здесь неизвестны лишь модули сил А^2, RB3 (линии дейовия их известны).
Давление Лз2 = — R23 в кинематической паре В рассчшаем из условия
равновесия звена 3 или 2: например, для звена 2 имеем (рис. 20.13,0)
ZF=0 (звено 2);
358
/?32 + G3 + F„2 + 7?iz— 0.
Искомая сила Ri2 замыкает соответствующий векторный многоугольник (рис.
20.13. д).
Графо-аналитический расчет ведущего звена О А включает аналитическое
вычисление движущею момента Гл или движущей силы F„ по уравнениям
ЕЛ/0 =_0 и -Графическое решение одного из векторных уравнений:
(Li + + Л61 = 0 (случай на рис. 20.12,«);
Я21+ГИ1 4 Гд+Яо! =0 (случай на рис. 20.12, б);
соответствующие планы сил показаны на рис. 20.12.
Учет потерь на трение. Вычислив давления RtJ в кинематических
парах, рассчитывают силы Ff и моменты сил Mf трения:
Ff=fRij; Mf=Jnri}Ri}, (20.37)
где f—коэффициент прения в поступательной паре; /ц—приве-
денный коэффициент трения в цапфе, см. с. 68; г —радиус цапфы.
Общая мощность Pf, поглощаемая силами грения:
где Рц — мощность сил трения в паре i—j; vif и (о,7—линейная
и угловая относительные скорости элементов кинетической пары.
Наличие сил и моментов сил трения не изменяет количества
неизвестных при силовом расчете структурных групп. Поэтому
значения сил А, можно уточни/ь следующим образом: к нагруз-
кам, показанным на рис. 20.11, добавляются силы и моменты
сил трения, рассчитанные по формулам (20.37), в которых
использованы силы Я,-, первого приближения. Затем по рассмот-
ренным выше алгоритмам силового расчета вычисляют значения
сил Кц с учетом потерь на трение. Таким же образом получают
и последующие приближения; однако не следует добиваться
очень небольших расхождений между значениями двух
последовательных приближений, так как коэффициенты трения
редко известны достаточно точно.
ГЛАВА 21
МЕХАНИЗМЫ ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ
Главное механическое устройство промышленных роботов манипулятор.
В состав манипуляторов входят в основном рычажные, зубчатые, волновые
и зубчато-ременные механизмы. При кинематических расчетах пространственных
рычажных механизмов применяют матричный метод анализа, который хорошо
приспособлен для решения задачи на ЭВМ и даст достаточно обозримые
зависимости.
§ 21.1. МЕХАНИЗМЫ МАНИПУЛЯТОРОВ
Тенденции современного производства к выпуску средне-
и мелкосерийной продукции требуют создания робототехнических
систем допускающих быструю переналадку при смене объектов
359
Рис. 21.1
Ручной
труд
Роботы
Жесткая
аВтонатизация
Количество изделий
Рис. 21.2
производства. Олпа из основных частей такой системы про-
мышленный робот. Согласно определению ГОСТ 25 686 85, про-
мышленный робот ло автоматическая машина, состоящая из
манипулятора и перепрограммируемого устройства управления,
предназначенная для выполнения рабочих операций но типу тех,
коюрые выполняет рука человека. На рис. 21.1 показана схема
промышленною робота, включающая устройство управления 6,
манипулятор 1 и датчики 4 состояния внешней среды (фиксируется
положение детали 3 па конвейере 2). На рис. 21.1 датчик
4 — часть системы технического зрения, данные которой об-
рабатываются процессором 5.
Роботизация производственных процессов выполняется чаще
всего с целью улучшения качества изделий за счет исключения
влияния на процесс производства психофизиологического со-
стояния и квалификации рабочего, лчя освобождения ею от
выполнения монотонных и вредных для здоровья технологических
операций. При решении вопроса о роботизации важен размер
партии изделий: для небольшой партии могут быть экономичны
ручные методы, при массовом производстве наиболее выгодна
жесткая автоматизация (рис. 21.2: ордината кривой себестои-
мость единицы продукции без учета стоимости оборудования,
применяемого для изготовления этих изделий).
Основными преимуществами роботов по сравнению с другими
видами автоматизации являются технологическая гибкость, высо-
кая экономичность при средних объемах производства; на одной
производственной линии можно изготовлять различные изделия
или разные модификации изделий. Роботы удовлетворяют важному
критерию эффективности современного производства при их
использовании время перестройки технологического процесса
минимально. Промышленные роботы применяют для обслужи-
вания станков, перемещения деталей, сборки, окраски, сварки.
Кроме манипуляторов (см. рис. 21.1) все больше используются
транспортные роботы. Автоматические транспортные тележки
являются частью гибких автоматизированных производств и мо-
гут быть двух типов: одни двигаются по монорельсу или
360
Рис. 21.3
двухрельсовой колее, друг ие способны перемещаться по произвольно
заданным траекториям и применяются для контроля технологичес-
кого оборудования в опасной для человека среде. Например, такие
роботизированные тележки контролируют течение технологических
процессов на АЭС, установленные на них манипуляторы перемеща-
ют контейнеры с радиоак1ивными веществами.
Проектирование манипуляторов начинают с выбора числа
степеней свободы W. Считается, что практически M/min = 3;
увеличение числа степеней свободы повышает универсальность
системы, но одновременно растет и ее стоимость. Современные
промышленные роботы имеют до 8... 10 степеней свободы.
На рис. 21.3 показаны схемы типичных промышленных ро-
ботов с пятью степенями свободы, т. е. с пятью независимыми
движениями (движение захвата детали не включается в общее
число степеней свободы). Движения выполняются с помощью
различных механизмов. Главной отличительной особенностью
тих механизмов является повышенное требование к точности.
Рычажные механизмы манипуляторов отличаются тем, что
кинематическая цепь манипуляторов- открытая (рис. 21.4. а, см.
также рис. 0.3). Здесь четыре независимых движения (степени
свободы): возможны повороты фх. фу, фг относительно коорди-
натных осей и смещение s вдоль звена 4; кроме того, звенья
1 и 2 схвата могут синхронно поворачиваться относительно оси А.
Схема более сложного манипулятора показана на рис. 21.4,6.
Здесь семь независимых движений; грузоподъемность манипуля-
тора 500 Н. а ошибка отработки заданного перемещения не
превышает +1 мм.
Для работы в опасных для человека условиях (радиация
н др.) или в недоступной ему зоне применяют копирующие
манипуляторы (рис. 21.5). Рабочие операции в опасной зоне
361
Рис. 21.6
А выполняет силовая рукоять-манипулятор 2, копирующая движе-
ния задающей рукояти 1. Оператор находится в зоне Б и управля-
ет движением задающей рукояти, наблюдая за перемещениями
силовой рукояти по телевизионным каналам связи.
В схватах промышленных роботов также применяются ры-
чажные механизмы; на рис. 21.6 показаны схемы схватов, каждый
их которых включает два симметрично расположенных одинковых
механизма. Входное звено / схвата на рис. 21.6. а ползун;
механизм 1-С-В-А -ползунно-коромысловый. Рабочее движение
схвата на рис. 21.6. б обеспечивают два кулисных механизма
1-2-3 с входным ползуном 1.
Для поворота кисти используются также зубчатые механизмы
(рис. 21.7). Здесь кисть 1 поворачивается относительно оси А—А
зубчатой передачей 12-2. Вращение рычагов 10 и И схвата
осуществляется зубчато-рычажным механизмом, состоящим из
рейки 8 и неполных зубчатых колес 9. Вращение передается
гайке 7 конической передачей 13-14 и планетарным механизмом
h-4-3-5-6. Механизм винт-гайка преобразует вращение гайки
в прямолинейное движение винта 7в вместе с рейкой 8.
Как правило, в механизмах манипуляторов применяются
шариковинтовые механизмы винт-гайка, в которых между ви гка-
362
Рис. 21.7
Рис. 21.8
ми винга и гайки помещены шарики. Трение скольжения
заменяется трением качения, что на порядок уменьшает потери
энергии, при этом увеличивавiся кпд, расчет точность.
Типичная струк1урная схема манипулятора в целом пред-
ставлена на рис. 21.8. Поворот манипулятора вокруг своей
оси выполняется от двигателя Л, через волновую передачу h-1.
Рычажный механизм ACDEB имеет две степени свободы: зве-
но АВ поворачивается на угол qjj относительно точки А при-
водом. состоящим из двигателя Д3 и передаточного механизма
//Л/3; вращение преобразуется в прямолинейное движение ме-
ханизмом 3 винт-гайка. Звено EF вращается относительно точки
В (угол <р2) рычажным механизмом — параллелограммом CDEB',
привод Д2-ПМ2-3' поворота звена DC аналогичен приводу
д,-пм2-з.
Механизм поворота па угол ф3 кисти 4 относительно точки
/•'- см. рис. 18.7. Как отмечено в § 18.3, одна из современных
енденций при создании промышленных роботов состоит в том,
что двигатель и передаточный механизм устанавливаются либо
на основании, либо на поворотной платформе, тогда при
движении основных звеньев манипулятора (АВ, EF, кисть 4—
рис. 21.8) пе нужно преодолевать сил тяжести привода. Энергия
oi двигателя к кисти и другим звеньям передается механизмами
с 1ибкими связями (цепными, ременными или грособлочными).
363
Схваг 10 рассматриваемого манипулятора относительно оси
Б Б вращается с помощью двигателя Д4. зубчатой передачи
5-6 и планетарного конического механизма 7-8-9.
Таким образом, наиболее часто в промышленных роботах
используются рычажные механизмы, зубчапле, особенно волновые
и реечные, передачи с гибкими связями (см. § 18.3).
§21.2. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ РОБОТОВ
▼ При структурном синтезе стараются добиться большой зоны
обслуживания при минимальном числе звеньев, максимальных
быстродействии и точности, учитывают также возможность
использования для управления наиболее простой ЭВМ.
Кинематический анализ и метрический синтез механизмов
роботов проводят принципиально так же, как и механизмов
с замкну!ой кинематической цепью. В наиболее компактном
виде кинема 1ические уравнения для анализа и синтеза можно
получи п». используя матричный метод. Рассмотрим его на
примере манипулятора (см. рис. 21.4. а). Необходимо определи!ь
положение точки А крепления схвата в неподвижной системе
координат xyz. Свяжем с каждым звеном механизма свою
систему координат. Перемещению одного звена относительно
другою соотвс।ствуст определенное преобразование координат.
Выполнив последовательно преобразования координат при пе-
реходе от стойки к схвату. получим искомые кинематические
уравнения.
В общем виде переход от прямоугольных координат (.г, у, z)
к другой ортогональной системе координат (.vt, г,, zt) задается
уравнениями:
.х = «о1 + «ii-3"i + а\2j’i 4-fluZj;
у —^02^^21 + «22.1’1 + «23^1»
z —«оз + «3iл 1 + «32.Г( +ai3zt,
или в матричной форме
«12 «1з\
«22 «23 I
«32 «33/
(21.1)
где «о|, «02» «оз — координаты начала системы .v,. у,.
в исходных координатных осях xyz.
Для того чтобы преобразования координат можно было
выполнять только путем перемножения матриц, не складывая
их. применяют так называемые однородные координаты. Тогда
вместо выражения (21.1) нужно записать следующее матричное
равенство:
364
«11 «12 «13 «01
«21 «22 «23 «02
«31 «32 «33 «03
0 0 0 1
-и
Jl
*1
1
ч. У
(четвертые строки этих матриц служебные).
Найдем преобразования систем координат чтобы в итоге
установить связь координат в неподвижной xyz и подвижной
А‘з>’з2з системах звена 3 манипулятора (см. рис. 21.4. а).
Система Xjj'jZ, может только поворачиваться вокруг оси
z, поэтому связь «старых» координат (х, j, z) с «новыми»
(х5, у5, zs) имеет вид*
x=x5cos<pz+y5sinq>2; у= — .r,sinq>2+ r5cosq>2; z = z5,
или
Звено 4 вмест X у Z 1 е с сис coscp —sin <р 0 0 лемой г sintp2 0 0 coscp2 0 0 0 1 0 0 0 1, координат . ЧП Г ' тт *4 in hj ’S 1 1 ’t (21.2) поворачивается
вокруг оси г4, параллельной x5, на угол Ч
*5 Ч 0 0 О' V
У5 Z5 1 = 0 cosq>x sinq\ 0 0 — sin фЛ. costp^ Л 0 0 0 1 3'4 •^4 1 (21.3)
Звено 3 смещается вдоль направляющей 4 на величину s и но-
ворачиваегся относительно нее па угол фу:
х4 cos<p.. 0 — sin ср o' А3
>4 *4 = 0 1 sin ф 0 0 COS ф V 0 Аз -3 (21.4)
1 0 0 0 1 1 < J
Подставляя последовательно (21.4) в (21.3). затем (21.3) в (21.2),
получим связь координат в системах х3У'323 и xyz:
X J’ z 1 = СО5ф2 81Пф2 — МПф2 СОБф2 0 0 0 0 ч. 0 0 0 0 1 0 0 1 Г1 0 0 0 ч. 0 СО5фл — 8Щфх 0 0 sin фх СО5фх 0 0 0 h 1 X
X СО5ф„ 0 0 1 8Шф.. 0 0 0 -ЯПф 0 СО5ф 0 Г \ С А3 ' >’з *3 I1 J • (21.5)
* Учтено, что положительное направление oicreia углов- против движения
часовой стрелки, а системы координат лт. <5г5, y4zd—левые.
365
Как известно, произведение матриц (тг1У)(/>17) = (с|;) определяется
правилом умножения строки на столоец. т. е.
4
Cij= £ dik^kj = ail^lj + ai2^2j + ai3^3j^~ai4^4i-
1 = 1
Поэтому вместо выражения (21.5) запишем
окончательно:
где
Гц Г12 Г13 г 14
Г21 г 22 г 2.1 Г24
Г31 Г32 Г 33 г34
^с41 Г42 ГДЗ C44
Уз
~з
1
<*! 1 = cos(pv,cosq>j + sin <pxsin cpA.sin ср2; ci2 — cos cp^sin <p_;
(21.6)
c*]4 = 3cos(prsin<p,;
c13 = — sincp>1cos<p2+sin(pvcos(pv,sin(p::;
c2i = — cos(p3,sinq>.: + sin(pxsincp)1cosq):::
<22 = cos фд cos ф2; c24 = .vcos фд. cos ф2;
c23 = sin cpj.sin <p2 4- sin cpA.cos(p,.cos ф2;
c31 = coscpxsin(p>,; c32=—sin<pA; c33 = cosq)<.cosq)>.;
C34 =—5SIH фх + Л: C41 = C42 ~ T*43 =(): £*44=1.
Преобразование (21.6) позволяет найти координаты любой
точки звена 3 и схвага 1-2 в неподвижной системе xvz, если
известны координаты этой ючки в системе x3v3z3:
х = Ci 1 л3 4- с । 2у3 4- Ci 3z3 4- С] 4;
У==г21х34-с22г34-с23г34-с24; (21.7)
См х3 4- с32у3 4- с33з3 4- с 34-
Так. в системе x3y3z3 точка А имеет координаты (0:/;/;3).
следовательно, ее координаты в неподвижной системе
.у = I cos фх 4- Л3 (—sin фусо8 ф2 4- si п фд. cos ф v si п ф2) 4- s cos фд si n ф„;
cos фхcos ф. 4 Л3 (sin фу sin ф2 4- sin фхсо8фусо8ф2); (21.8)
z = — (/4- з) sin фА 4- Л3 cos фд cos фу 4- h.
Параметры движения фд, фу. ф2, л задаются устройством
управления робота, а длины /, Л3, Л определяются конструкцией
манипулятора. Следовательно, уравнениями (21.8) и (21.7) одно-
значно решается задача определения положения точки А крепле-
ния схвата, а также любой точки звена 3 и схвата 1-2. Эти
же зависимости являются основными при расчете системой
управления («мозгом») робота необходимых величин фд., фу. ф.,
з для того, чтобы переместить схват манипулятора в заданное
положение.
Формулы для расчета скоростей и ускорений любых точек
получают дифференцированием уравнений типа (21.7). ▲
366
ГЛАВА 22
ВАЛЫ И ОСИ
Вал (в приборах -валик) представляет собой вращающийся стержень, пред-
назначенный для поддержания деталей механизмов зубчатых колее, фрикцион-
ных роликов и др. Валы учавствуют в передаче энергии. Оси служат для
поддержания вращающихся частей и по конструкции сходны с валами, но не
участвуют в передаче механической энергии. Гибкие валики передают только
крутящий момент; их обычно используют для передачи энергии между движущи-
мися друг относительно друга звеньями.
Валы и оси изготовляются преимущественно ступенчатыми. Определение
размеров вала обычно начинается с предварительного расчета на кручение или
на кручение и изгиб. Затем проектируется весь механизм, в состав которого
входит вал. Получив таким образом все размеры вала, выполняют его
проверочный расчет. В общем случае вал пол действием сил от закрепленных
на нем элементов передач подвергается сложной деформации пространственного
изтиба, кручения и сжатия или растяжения.
Деформации валов и осей приводят к ухудшению условий работы передач,
а во многих случаях и к возникновению вибраций. При расчетах деформаций
и колебаний валов и осей широко пользуются номограммами.
§22.1. КОНСТРУКЦИИ
На рис. 22.1, а представлена типовая схема вала с насаженны-
ми на него муфтой /, зубчатым колесом 2 и подшипниками
качения 3. Элемент вала I подвергается кручению моментом
Т, элемент II — кручению, изгибу и сжатию нагрузками Т, Fr
и а элемент III—только изгибу.
Оси служат для поддержания вращающихся частей механизма
и по конструкции схожи с валами, однако они не участвуют
в передаче механической энергии, поэтому работают только на
изгиб. Схема и конструкция вращающихся осей с насаженным
зубчатым колесом показаны на рис. 22.1, <?, а схема неподвижной
оси— на рис. 22.1. г.
Виты валов и осей. По конструкции различают гладкие,
ступенчатые, гибкие и специальные валы. Гладкие валы и оси
(рис. 22.1, в) изготовляют относительно редко, в основном если
вал передает крутящий момент, но не натружен поперечными
силами. Их применяют и в том случае, когда детали насаживают-
ся по системе вала. Ступенчатая форма вала (рис. 22.1,6)
определяется условиями сборки, гак как уступы между ступенями
используются для осевой фиксации насаженных па вал деталей.
Ступени необходимы и для того, чтобы при сборке каждая
деталь проходила на свое место без натяга.
При конструировании ступенчатого вала в местах изменения
его диаметра выполняю! плавным переход —галтель (рис. 22.2).
Чем больше радиус г галтели, гем меньше концентрация
напряжений. Рекомендуется принимать отношение rid не менее
0,1. Размер г должен быть меньше радиуса галтели детали,
которая насаживается на вал. Эго необходимо для правильной
367
Рис. 22.1
посадки детали и разгрузки вала оз дополнительных сил в месте
изменения его диаметра.
Гибкие проволочные валики используют в системах управления,
приводах измери1елытых приборов, спидометров, тахометров,
манипуляторов атомных реакторов. приводах дистанционного
контроля и др. Гибкий валик I (рис. 22.3) передав! только
крутящий момент и допускав! значительное искривление своей
геометрической оси; оси вращения ведущего и ведомого звеньев
moi ут перекрещиваться под любым углом. Гибкие валики
изготовляют путем навивки на сердечник 3 проволоки 2 гак,
чтобы витки ее плотно прилегали дру< к другу. Затем на этот
слой навивают следующий, но с образ ным направлением навивки,
на второй слой навивают третий и т. д. Вращение вала, если
смотреть со стороны ведущего конца, должно быть противо-
положно направлению навивки внешнего слоя. Кпд передач
гибкими валиками около 0.9. Гибкие валы стандартизованы;
368
в приводах управления и кошроля исполыуют валики по ГОСТ
11625 — 75 (табл. 22.1). Подбор валиков выполняют по допусти-
мому крутящему моменту и расчетной скорости. При вращении
вала в направлении навивки витков внешнего слоя допустимый
крутящий момент не должен превышать половины крутящего
момента, указанного в табл. 22.1; при работе в неискривленном
положении допустимый крутящий момент может быть увеличен
в 3...7 раз. Промышленность выпускает гибкие валики диаметром
0,75...60 мм. Стандартные валики могут работать в интервале
температур 40... 100 С со средним ресурсом около 108 оборотов;
валики малых диаметров допускают частоты вращения до
10000... 18000 об/мин и выше.
Таблица 22.1. Основные характеристики гибких валиков для
приводов управления и контроля
Гии вала ио ГОСТ 11625—75 Номиналь- ный диаметр вала с/, мм Минималь- ный допусти- мый радиус кривизны rmiri. мм Расчет на я частота вращения об мин Максималь- ный раечст- иый момент ("Г11 '"mini* II-мм Масса валика длиной 1 М. KI
ВУ-З 3 100 7200 50 0.05
ВУ-4 4 125 4800 150 0,08
ВУ-6 6,1 150 3200 300 0.19
ВУ-8 8,3 160 2500 400 0,35
ВУ-10 10,1 200 2100 1200 0.52
Примечания: 1. Обозначения, указанные в таблице, относятся к валикам
правого вращения. Для валиков левого вращения к обозначению добавляю!
букву Л, например ВУ-ЗЛ.
2. Гараи трустся ресурс в 4* 10" циклов, или 600 ч работы.
Если длина гибкого валика больше I м, to его рекомендуется
заключать в специальную оболочку (броню) и использовать
смазку (К 17 и др.).
Материалы. Для валов и осей част о применяют стали марок
20...30 (см. табл. 14.1). Неответственные. малонагруженпые валы
и оси можно изготовлять из сталей марок СтЗ. Ст4 и Ст5.
Углеродистые стали подвергаю! нормализации. Конструкционные
легированные стали 40Х, 45ХН, 40Г, 50Г, 30ХГТ, 35ХГС и другие
применяют при необходимости ограничить массу и габаритные
размеры вала, повысить стойкость шлицевых соединений, а также
в случае предьявлепия особых требований к качеству поверхност-
ных слоев вала или зубьев, нарезанных на валу.
При работе в средах с повышенными температурами для
валов используют нержавеющие стали 1X13, 3X13 (/^600 С),
сложнолегированные стали аустенитного класса 1XI8H3T,
Х23Н18. 4ХМН14В2М (i^800'JC) и сплавы на никелевой основе
Х15Н60, Х20Н80 (is$950 С) и др. Кроме способности работать
369
при высоких температурах жаропрочные стали и сплавы обладают
высокой износостойкостью в абразивных средах.
В точной механике валы и оси изготовляют и из алюминиевых
сплавов; для уменьшения массы, а также если вал должен быть
изолятором, широко используют синтетические материалы: ами-
нопласт МФ. фенопласт К18-2, текстолит, винипла г, органическое
стекло, полиэтилен, фторопласт, полистирол и другие термопласты.
В качестве примеров использования материалов укажем на
валики из стали 30 быстропечатающего механизма ЭВМ серии
ЕС; ряд валиков перфоратора-коптрольпика выполнен из высоко-
качественных сталей ШХ15 и У10А. Гибкие валики изготовляют
из углеродистой пружинной проволоки классов ПА, II, III (ГОСТ
9389—75). а 1акже из бронзовой или медно-никелевой проволоки.
Валы и оси весьма ответственные детали механизмов, безотказ-
ность действия которых определяет надежность и долговечность
всей механической системы. Поэтому они должны быть достаточ-
но прочными, жесткими, износостойкими и вместе с тем техноло-
гичными в изготовлении. Для соблюдения этих условий необходи-
мы обоснованный выбор материала и конструкций валов и осей,
соответствующий расчет их па прочность и жесткость с учетом
динамических нагрузок и колебаний. Последнее имеет существен-
ное значение для ва тиков и осей с относительно малой жест-
костью и вращающихся с большой угловой скоростью. Совпаде-
ние частот собственных и вынужденных колебаний может вызвать
резонансные явления и поломку валиков и осей.
Методика проектирования. Валы чаще проектируют по следую-
щей методике. В зависимости от условий и особенностей работы
механизма, характера и значений нагрузок для изготовления
вала выбирают материал с подходящими механическими свой-
ствами. Затем для определения размеров вала по диаметру
проводят приближенный (или предварительный) расчет, в ос-
новном на кручение. После этого разрабатывают конструкцию
вала с размещением на нем опор и всех вращающихся деталей
и их креплений, в результате чего выявляют форму вала
и необходимые размеры но длине. Последний этап — проверочный
расчет па прочность и жесткость, а в отд тьных случаях
(быстроходные валы малой жесткости) на колебания. Расчет
осей является частным и более простым случаем, чем расчет
валов, так как ось не передаст крутящих моментов.
§ 22.2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ
Прежде чем приступить к расчету валов и осей какого-либо
механизма, необходимо составить расчетную схему, дающую
представление о возможных деформациях. В общем случае валы
могут подвергаться сложной деформации кручения, изгиба и сжа-
тия (растяжения). Силы, действующие па вал, зависят от
приложенных крутящих моментов и размеров зубчатых и других
передач: при расчетах валов эти силы известны. Но точки
приложения сил и размеры вала по длине определяются только
после конструирования вала и в целом узла, частью которого
является вал. Поэтому на первой стадии проектирования невоз-
можно провести полный рас чет ва ia с учетом совместного
действия всех деформаций. Однако О1дельные элементы этих
валов часто подвергаются только кручению. Ориентировочные
радиальные размеры такого вала удобно определять по расчету
на прочность или жесткость при кручении с последующим
уточнением размеров после разработки конструкции вала.
Большинство соединительных муфт передают на вал только
крутящий момент. Поэтому часть вала с насаженной муфтой
работает лишь на кручение (например, участок / на рис. 22.1, а).
Условие прочности такого участка диаметром с!ы имеет вид
[см. формулу (9.11)]:
тк=77(0,2^)<тД (22.1)
где тк напряжение при кручении, МПа; Т крутящий момент,
приложенный к валу. Н-мм; [тк]—допускаемое напряжение при
кручении. МПа. значение которого зависит от рола материала
и условий работы узла (см. § 12.3; например, для стальных валов при
предварительных расчетах можно принимать [тк] = 10...30 МПа).
Из уравнения (22.1) находим диаметр вала под соединительную
муфту
О1.13/г (0.2 [т«]): (22.2)
здесь коэффициен! 1,1 учитывает ослабление вала шпоночным
пазом или отверстием под штифт. Для возможности соединения
валов двигателя и передаточного механизма типовой муфтой
необходимо, чтобы размеры их диаметров были близки друг
другу. С этой целью часто полученный расчетный диаметр вала
передаточного механизма увеличивают.
Диаметры вала dn под подшипники и <4 под зубчатое
колесо (или шестерню) определяют конструктивно с учетом
технологических и монтажных удобств, например, по следующим
соотношениям:
</„ = (1,15... 1,4) (4 = (1.15...1.4)’<4, (22.3)
или
<7п = т/м4-(0.5...3) мм; (4 = (/п + (0,5...3) мм. (22.3а)
Если вал нс имеет участка под муфту (вал // на рис. 22.4),
ю ориентировочный расчет его размеров может быть сделан
путем сравнения с валом I по условию равпопрочности на
кручение:
— Т, — Тц i(0,2d^n).
371
Кис. 22.4
В соответствии с законом преоб-
разования крутящих моментов
[см. формулу (3.3)] Тп = 77/12!].
поэтому получим
64п = 64/ V /121!' (22.4)
где /12 и 1]—-передаточное от-
ношение и кпд ступени 1-2.
Все диаметры должны быть
стандартными (см. ГОСТ 6636 —
69). что обеспечит требуемое со-
единение детали и вала без под-
топки.
В точных механизмах более важным условием надежной
работы валика может оказаться его достаточная крутильная
жесткость, характеризуемая углом ф поворота сечения валика
[см. формулу (9.12)]:
0 = ф/= Т/(0. h/4Gk[0]; (22.5)
из формулы (22.5) найдем необходимый диаметр валика
VW,1G’[9]), (22.6)
где I—длина валика; G —модуль упругости при сдвиге, МПа:
[0] допускаемый угол закручивания валика на единицу длины;
единых норм на допускаемые углы закручивания нет. однако
по опытным данным можно принимать [6J = 0,005...0,015 рад на
1 м длины вала.
Условие достаточной жесткости особенно существенно для
отсчетных механизмов, в которых угол закручивания не должен
превышать допустимую погрешность прибора.
Пример 22.1, Выполнить предварительный расчет валов редуктора (рис. 22.4)
исполнительного устройства системы автоматического регулирования гехполо-
нгческого процесса. В качестве материала выбрана сталь марки 45; мощность
на ведущем валу / 1\- 125 Вг. ею частощ вращения и,-955 об.'мин; нередаючные
отношения /|2=4, /,4 = 5,25: кпд каждой ступени с учетом потерь на трение
в подшипниках г)==О-У-‘’: допускаемое напряжение на кручение [т„] = 30 МПа.
Решение. Находим кру1яший момен! на валу 1:
Т^Р,. <>!=9550 Г, я, = 1250 11 мм.
Момен 1Ы на валах II и HI рассчитываем по формуле (3.3):
7’„= 7|«12т)= 1250-4-0.95=4750 Н-мм:
Гц, = =4750-5.25 0,95 = 23 690 Н-мм.
Диаметры под соединительные муфты определяются по формуле (22.2):
1.1 V Т' (0.2[тж]) = bl V1250 (0.2-30) = 6.52 мм;
<1н> I-' V23690-(°-2'30)= 17.4 мм.
В соответствии с ГОСТ 6636--69 принимаем rfM| = 6.5 мм, г/м1(| = 18мм.
Диаметры под подшипники и колеса [см. (22.3) и (22.3а)J (мм):
372
<, = 7; rfnlli=20; <, = 8.5; <„, = 22.
Размер вала // под зубчатые колеса находим из зависимости (22.4):
<„ = 8,5 V4 0.95x14 мм.
Iona <„=12 мм.
После завершения предварительного расчета приступаю г к конструированию
узла, а затем выполняется проверочный расчет данного вала.
Пример 22.2. Выполнить предварительный расчет валиков одноступенчатой
цилиндрической отсчетной передачи. Материал валиков сталь 40. мощность
на входной шестерне 1 7^ = 12,5 Вт. частота се вращения =955 об мин,
передаточное отношение /,2=4, кпд т) = 0.95.
Реше/ше. Так как передача отсчетная, т. е. к ней предъявляются высокие
требования по точности, то предварительный расчет целесообразно выполнять
но условию жесткости (22.6). Примем [01 —0,01 рад.;м= 1 10' 5 ра 1,'мм. Модуль
упрутости при сдвиге для стали 40 GxO.9-105 МПа (см. §9.1).
Крутящие моменты на валах шестерни / и колеса 2:
Г, = 9550Р, /л, =9550-12.5; 955= 125 Н мм:
Т2 = Т,Т|2П= 125-4-0,95 = 475 Н-мм.
Диаметры под соединительную муфту находим по формуле (22.6) (мм):
<, = !. 1 V125.'(0,1 0.9 105-1-10 5) = 2,12;
< г = 1,! < 475/(0.! - 0,9 • 105 ! 10 ’5) = 3,0.
В соответствии с ГОСТ 6636 69 <, =2,5 мм, <2 = 3 мм. Остальные диаметры
(мм): <! = 3; <2 = 4; <,=4; <2 = 5.
После предварительного расчета вала приступают к его
конструированию с учетом требований, предъявляемых ко всему
проектируемому узлу в целом. Затем строя г расчетную схему
и выполняют проверочные расчеты прочности и жесткости.
§ 22.3. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАСЧЕТЫ
При конструировании вала или оси ряд размеров назначают
из конструктивно-технологических условий. Поэтому следующий
этан проверка прочности сконструированного вала (оси).
Методика проверочного расчета прочности включает следующие
этапы: определение нагрузок: составление расчетной схемы вала,
дающей представление о размещении на нем всем вращающихся
деталей и опор: определение опорных реакций валов и построение
эпюр изгибающих и крутящих моментов; расчет напряжений
в опасном сечении и проверка прочности. Расчет оси отличается
только гем, что здесь нет напряжений кручения.
Действующие нагрузки. На валы и оси действуют силы от
насаженных на них звеньев передач, патрузки на рабочих органах
и неуравновешенные силы инерции. Первые силы обычно непо-
движны относительно стойки механизма и вызывают в валах
и осях изгибные напряжения, изменяющиеся но симметричному
циклу. Неуравновешенные силы инерции вращаются вместе с ва-
лом и вызывают постоянные напряжения изгиба.
373
Точкой предложения сил or зубчатых механизмов можно
считать полюс зацепления Р. В общем случае рассматриваю!
действие на валы окружной Ft, радиальной (распорной) Fr и осевой
Fx сил, которые являются составляющими полного нормального
давления Fn (рис. 22.5, а; см. также рис. 14.6, 14.9, 14.12 и 16.7).
Окружная сила касательна к начальной окружности зубчатого
колеса; для ведомых колес она направлена в сторону вращения
колеса, для ведущих —против вращения. Линия действия радиаль-
ной силы проходи! через геометрическую ось вала, а направле-
ние — от точки контакта зубчатых колес к оси вала.
Линия действия осевой силы параллельна оси вала. Направле-
ние осевой силы зависит от направлений вращения и наклона
зубьев (правое или левое), а для червяка — от направления
навивки. Если наблюдатель видит с левого горца звена, что оно
вращается по ходу часовой стрелки, го для ведущего косозубого
колеса (винтового, червячного, червяка) с левой навивкой (левые
зубья) осевая сила Fx направлена так, как показано на рис. 22.5, б.
При изменении направления вращения или навивки осевая сила
будет направлена в противоположную сторону.
В соответствии с третьим законом Ньютона для ведомого
звена направления сил противоположны соответствующим силам
на ведущем звене.
В цилиндрической прямозубой передаче осевых сил нет;
полная нормальная сила действует вдоль линии зацепления NN
(рис. 22.5, в). При расчете валов ременных и цепных передач
принимают что линия действия силы F„ совпадает с биссектрисой
угла, образуемого ветвями гибкого звена.
Формулы для расчета действующих сил приведены в табл. 22.2,
где приняты следующие обозначения: Т—крутящий момент на
звене; tn. z - модуль и число зубьев колеса; угол зацепления;
для колес, нарезанных без смещения, угол зацепления равен
углу профиля зуба инструментальной рейки а, обычно а=20 ;
т„ модуль в нормальном сечении зубьев колеса; Р угол
наклона зубьев; dcp—начальный диаметр в среднем сечении
конического колеса; <рЬ2 — половина угла при вершине начального
конуса конического колеса / или 2; il2 передаточное отношение;
374
d—делительный диаметр червяка или червячного колеса; у де-
лительный угол подъема линии витка червяка; к — коэффициент,
учитывающий дополнительное натяжение ремня в момент поста-
новки или под1ягивания (к =1,5 для плоскоременных передач
без натяжного ролика, к—\ для всех прочих ременных передач);
Го—предварительное (начальное) натяжение ремня.
Таблица 22.2. Формулы для расчета сил, действующих на валы
Наименование механизма Силы, действующие на валы
полная нор- мальная Г„ окружная F, радиальная (распорная) Fr осевая Fx
Цилиндрическая передача: прямозубая г т F,tgaK 0
0.5mzcosa„. 0.5mz
косозубая ♦ TcosP 0.5ш„2 tga». ' COSp T,tgP
Коническая прямо- зубая передача: для шестерни / « Г fjtgacostpj f.tgasinip.
0.5</ср
для колеса 2 « » 7, lgacos<p. /,tgasin<p2
Коническая прямо- зубая ортогональная передача (<р = <рi + +Ф2 = 90): для шестерни 1 * т F,tg«n2 1
0.5<4Р Л ig я —— \Z 1 +/T2
д зя колеса 2 * 1 K,tgCtl|2
+ '?2
Червячная передача; тля червяка 1 ♦ т 0.5J ,. tg««. T <1 ~ sin у T’rlTgy
для колеса 2 • » ‘₽а» F’2 cosy Л21₽у
Ременная передача 2AF0 — —
* При расчете валов на прочность нс используется.
Все нагрузки передаются на вал в виде сип. распределенных
в местах сопряжения насаженной на вал детали. При построении
375
Рис. 22.6
расчетной схемы эту распределенную натрузку заменяю! сосредо-
точенной силой, что идет в запас прочности.
Построение расчетной схемы. Расчетную схему строят после
разработки конструкции валов, размещения на них всех вращаю-
щихся деталей и определения размеров валов по длине. Крутящий
момент для шпоночного соединения ступицы детали с валом и
при коротких (l^d) шлицах принимают приложенным в середине
длины шпонки или ступицы. В случае длинных шлицев учитывают
их деформируемость, что веде! к постепенному линейному
возрастанию крутящею момента по длине. Для штифтового
соединения момент считается при тожепиым к оси штифта.
Например, если крутящий момент воспринимается муфтой 4 и пе-
редастся валом 3 зубчатым колесам 2 и 7. го эпюра крутящих
моментов Т будет такой, как на рис. 22.6, а.
Вал рассматривают как балку, лежащую на опорах подшип-
никах. Подшипники условно заменяют шарнирными опорами.
Центр шарнира при радиальных подшипниках качения считается
расположенным на поперечной оси подшипников (рис. 22.6, б);
для опор скольжения место опирания принимают на расстоянии
/] ^0.5т/ от кромки подшипника со стороны силового поля. Для
опор с радиально-упорными подшипниками расчетный пролет
/ зависит не только от расстояния между опорами, по и угла
контакта подшипника и выбранною варианта установки подшип-
ников (рис. 22.6. см. также рис. 23.13):
/=Zo + 0.5Z4tg₽,
376
где верхний знак соответствует схеме па рис. 22.6. «, нижний -на
рис. 22.6, г: параметры /0 и /)ш—см. на рис. 22.6, «, г.
Изгиб вала, на который насажены зубчатые колеса, шкивы
и пр., в общем случае пространственный. Поэтому расчет ведется
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Силы, действующие
в зацеплениях, приводят к геометрической оси вала и проецируют
на расчетные плоскости. Полученные проекции представляют
собой расчетные нагрузки в соответствующих плоскостях.
Изгиб будет плоским и расчет ведется в одной плоскости
только для валов, на которых насажено одно прямозубое
цилиндрическое колесо, шкив ременной или звездочка цепной
передачи.
Проверочный расчет прочности валов в общем случае выполня-
ют на статическую прочность и усталость.
Расчет на статическую прочность проводят по наибольшим
кратковременным нагрузкам. Вал рассчитывают на совместное
действие изгиба, кручения и сжатия (или растяжения); влиянием
касательных напряжений от поперечных сил при расчетах валов
пренебрегают. Дтя валов точных механизмов, несущих незначи-
тельные нагрузки, можно ограничиться приближенным расчетом
но эквивалентным (приведенным) напряжениям, учитывающим
но энергетической теории прочности все виды деформаций.
По четвертой теории прочности (см. § 10.1) условие прочности
вала в опасном сечении для общего случая деформирования
имеет вид
Опр=Ч/(Пи + Ое)2 + 3Тк<[°И]- (22.7)
где С7пр- приведенное напряжение, МПа; сти— напряжение изгиба,
МПа. в общем случае пространственного (см. § 10.2), вычисляемое
но формуле (10.14):
ои = Мр/1У=Л7р/(0,Ы3) (22.8)
(Л/р- расчетный изгибающий момент, Нмм; W—осевой момент
сопротивления сечения вала, мм3; d диаметр сечения, мм);
ас— напряжение сжатия (или растяжения), МПа, вычисляемое
но формуле (7.5):
at = Fx'(лт/2/4); (22.9)
тк—напряжение кручения, МПа, вычисляемое по формуле
(9-11):
тк=Г IFp=F/(0,2J3) (22.10)
(Т—крутящий момент, Н мм: полярный момент сопротив-
ления сечения вала, мм3);
[<уи ] — допускаемое напряжение изгиба (см. § 12.3, например,
для углеродистых сталей можно принять [си] = 40...60 МПа; для
легированных сталей- 70...80 МПа, для винипласта 12... 15 МПа).
377
Расчетный изгибающий момент в общем случае пространствен-
ного изгиба балки круглого сечения
Мр=7Ии>. + Л/и2г, (22.11)
где Л7Н>. и Л/и.— изгибающие моменты в расчетных плоскостях
Оху и Oxz в рассматриваемом сечении; при плоском изгибе
значение Л/р равно изгибающему моменту в плоскости изгиба.
Проверке подлежат ге сечения, где расчетный момент Л/р
достигает наибольшего значения, а также места резкого уменьше-
ния диаметра вала. При выборе опасных сечений учитывают,
что в участке вала, охватываемом деталью, напряжения изгиба
меньше расчетных, так как вал и ступица детали изгибаются
вместе.
Если оказывается, что условие (22.7) статической прочности
вала не выполнено, то вал конструируют заново, увеличивая
поперечные размеры. При жестких требованиях к габаритам
всего узла бывает необходимо сохранить исходные размеры
вала, тогда применяют материал с более высокими характеристи-
ками прочности.
Рассмотрим особенности составления расчетных схем и прове-
рочного расчета валов основных типов передаточных механизмов.
Прямозубая цилиндрическая передача. На рис. 22.7 изображена
схема промежуточного вала двухступенчатой зубчатой передачи
по рис. 22.4. Возникающие в зацеплении колес силы рассчитывают
по формулам табл. 22.2. Эти силы после приведения их к оси
вала составляют расчетные нагрузки; ра шальные силы Fr2 и Fr3
вызывают изгиб вала в вертикальной плоскости дт, а окружные
силы Fi2 и Fl3— в горизонтальной плоскости ху. Опорные
реакции вала в этих плоскостях RAz, RB: и RAy, RBy определяют
с помощью уравнений статики. Построив эпюры изгибающих
моментов в вертикальной Л/Иг и горизонтальной Л/Иу плоскостях,
а также эпюру крутящего момента Г, находят положение
опасного сечения (ступень вала под шестерней) и проверяют
выполнение условия прочности (22.7).
Косозубая цилиндрическая передача. Отличается от прямозубой
более сложной системой сил, возникающих в зацеплении колес.
Воспринимаемая зубом сила F„ нормальна к его рабочей
поверхности и может быть разложена па составляющие
(рис. 22.8,а): окружную силу Ft, радиальную Fr и осевую Fx
(см. табл. 22.2). Эти силы, приведенные к оси вала, вызывают
следующие деформации: изгиб в вертикальной плоскости xz
силой Fr и моментом M=Fxdwf2', изгиб в горизонтальной
плоскости Ду силой F,\ сжатие (или растяжение) силой Fx;
кручение на участке между муфтой и колесом моментом Т.
Сосредоточенный изгибающий момент М появляется на расчетной
схеме при приведении силы Fx к оси вала; алгоритм приведения
рассмотрен в § 10.3 (см. рис. 10.7).
378
Рис. 22.7
Рнс. 22.8
Построив расчетную схему (рис. 22.8,6) и определив опорные
реакции вала в вертикальной RA:, Rttz и в горизонтальной RAy,
RBy плоскостях, построим эпюры моментов Л/нг и М„у, а также
сжимающей силы Fx (рис. 22.8, в). Проверяем выполнение условия
прочности в нервом опасном сечении- ступени вала под колесом.
Другие опасные сечения—это места резкого уменьшения диаметра
вала в зоне действия крутящего момента.
Коническая передача. Под действием крутящего момента
Т в зацеплении конических колес (рис. 22.9, а) возникает
пространственная система сил, которая вк i очает окружную
F,, радиальную Fr и осевую Fx силы (расчетные формулы
см. в табл. 22.2). В результате приведения этих сил к оси
вала найдем следующие его деформации: изгиб в вертикальной
плоскости xz силой Fr и моментом M = Fxdcpjl (см. рис. 22.9,6);
изгиб в горизонтальной плоскости .ху силой F, (рис. 22.9,в);
осевое сжатие вала силой Fx; кручение моментом Т. Для
определения положения опасного сечения и расчета действующих
в нем напряжений необходимо найти опорные реакции
и построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной
374
Рис. 22.9
Рис. 22.10
М„с и горизонтальной Мку плоскостях, сжимающей силы
Л и крутящего момента Т. Опасными будут сечения
вала под зубчатым колесом, !де Л/нг = Л/нг1 и сечение
у подшипника В, !де Л/р=х/л7^7+Л/^2 [см. формулу (22.11)].
Червячная передача. Здесь два вала червяка 1 и червячного
колеса 2 (рис. 22.10,а). Нагрузки па зги валы образую! силы
в зацеплении червяка и колеса: Ftl, Ft2 окружные, Fxl. Fx2 осе-
вые и Гг1, Fr2 радиальные.
Методика проверочного расчета валов червяка и колеса
одинакова, поэтому рассмотрим расчет лишь ва 1а вервячного
колеса, расчетные схемы которою приведены на рис. 22.10,б, в\
силы Ft2, ir2 и Fx2 вызывают следующие деформации: изгиб
в вертикальной плоскости az силой Fr2 и моментом М=Fx2d2i2
и в горизонтальной плоскости хт силой Fi2', сжатие на участке
между колесом и подшипником В силой Fx2; кручение на участке
вала между колесом и муфтой моментом Т. Построив эпюры,
определяют опасное сечение вала и действующие в нем напряже-
ния, которые подставляют за!ем в формулу (22.7).
зко
В некоторых передаточных
механизмах для уменьшения
габари I ных ра' меров валы
располагают в корпусе по про-
странственной схеме, как это
сделано, папример, в редук-
торе автоматического стрелоч-
ного привода (рис. 22.11,а).
Построение расчетой схемы
промежуточного (второго) ва-
ла такой передачи имеет не-
которые особенности. Пусть,
например, ступень 1—2—ко-
созубая, а 3—4 прямозубая.
В точке А на колесо 2 дей-
ствуют силы: окружная Fl2,
радиальная Fr2 и осевая Fx2,
которая перпендикулярна
плоскост и чер гежа на
рис. 22.II,а; в точке В к
Fl3 и радиальная Fr3 силы. В
Рис. 22.11
•лесу 3 приложены окружная
действующие силы необходимо
представить в виде составляющих, лежащих в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях, например в координатных плос-
костях O2xz и которые параллельны соответственно
векторам сил Fl2 и Fr2. В результате разложения сил F,3 и Fr3 по-
лучим силы, параллельные выбранным расчетным плоскостям:
F^’ = F*3 + F% = F,3 sin 5 + Fl3 cos 8;
F^ = F<5’ - F{>1 = Fl3 sin 8 - Fr3 cos 8,
где угол 8 определяется при конструировании редуктора.
Расчетная схема промежуточного вала, позволяющая опреде-
лись опасное сечение и действующие в нем напряжения, показана
па рис. 22.11, б.
Планетарная передача. Расчетные схемы валов этой передачи
могут быть весьма разнообразными в зависимости от схемы
и конструкции самой передачи. Рассмотрим расчет валов пла-
нетарной передачи (рис. 22.12. а), схема сил которой изображена
па рис. 22.12,6. На ветущее центральное косозубое колесо 1 со
стороны сателлита 2 действуют окружная Fl2i, радиальная
Fr21 и осевая Fx2l силы, значения которых вычисляю! но
формулам:
Fi21 = F,21 = Fi21 tga„,/cos Р;
Fx2L — F<21 tg P.
где Г[—крутящий момент на валу колеса /; /<и—коэффициент,
учитывающий неравномерность распределения нагрузки между
381
сателлитами, ориентировочно fcB=l,2: г/,— начальный диаметр
колеса /; q—число сателлитов.
Если ^>1. то аналогичные силы будут действовать на
центральное колесо /ив точках С, В, ... Главный век гор этих
сил qFx^ направлен вдоль оси вала /, а главный момент равен
крутящему моменту Tt. Следовательно, в этом случае вал
/ подвергайся только кручению и сжатию или растяжению; его
расчетная схема представлена на рис. 22.12,». Определив напряже-
ния от кручения и сжатия, находят приведенное напряжение
в опасном сечении по формуле (22.7) и сравнивают его с допускае-
мых!. Если колеса прямозубые, то вал / подвергается лишь
кручению.
В системах точной механики часто использую! планетарные
перс чачи с одним сателлитом (<?=1). В этом случае на вал
382
I действуют такие же силы, как и на вал косозубой или
прямозубой передачи.
При расчете сил, действующих на ось III сателлита 2, необходимо
учесть затраты эперти на >рение, так как код планетарных передач
может быть невысоким. Силы, действующие на сателлит 2 со
стороны ведущего колеса /, определяют по формулам:
Л12 = Л21Т113Л'> Лл2 = Л12 tgttw'^'OS Р: F,12 = F(I2 tgP,
где qVh кпд передачи (при неподвижном колесе 3). Из условия
равновесия сателлита £Л/д. = 0 имеем, что F,i2 = F,32. Второе
условие равновесия LP=0 позволяет найти окружную силу,
действующую со стороны водила h на сателлит 2:
Fft2 = Fl32 + Л12 — ~Ft i2 — Thk„/(0,5 (dwi + ^2))’
где Th крутящий момент на валу II водила Л; dw2 —начальный
диаметр колеса 2.
Радиальные силы Frl2 и Fr32 (рис. 22.12,6) направлены навстре-
чу друг другу и равны но модулю; поэтом) па ось III радиальная
сила не действует. Из условий равновесия сателлита £Л/у = 0
и имеем:
Лхзг= Fx j 2 = kt 12 tg Р; F=Fjc324-Fx12 = 2/;,12 tgP-
Следовательно, ось III изгибается силой Fh2 и растягивается силой
F (рис. 22.12,?). Условие прочности имеет вид [см. формулу (10.17)]
0„р = Л/и/(0,14,)+F/fWg.M) = 2Fr 12 [10/3/7/1311 + tg Р/ (л<Л2н/4)] < [<|,
где /3 и dm указаны на рис. 22.12,?.
При построении расчетной схемы вала II водила силы
F2h=—Fh2 и Fx2h=—F, действующие па водило со стороны
сателлита 2, приводят к 1еометрической оси вала II. В случае
ц> 1 получаем момент Th, скручивающий вал II. и силу qFX2h-,
сжимающую (или растягивающую) его; если </=1, то вал
скручивайся моментом Th и изгибается в плоскости ху силой
F2h- а в плоскости xz— моментом M = Fx2h (dKl+dw2)i!2
(рис. 22.12,6); условие прочности в опасном сечении выражается
формулой (22.7).
Во многих планетарных передачах, используемых в приборах
и выполненных по схеме па рис. 22.13, а с одним блоком
сателлитов, водило Л, вал II и ось блока сателлитов выполнены
как одно целое (см. деталь h на рис. 15.3,6). Расчет 1акого
вала существенно отличается от изложенного выше. Рассмотрим,
например, случай ведущего водила, передаточное отношение
Д*'<0. Схема сил, действующих в зацеплении, представлена на
рис. 22.13,6. Окружная сила Ftl2 = [Г, /(0,5</и. 1)] Г][* (колесо / —
ведомое); сила F(43 находится из условия равновесия блока
Обоснование того, что здесь нужен общий кпд передачи, с.м. в [11].
383
сателлитов (LA1X = O); F/43 = — Ftl2dw2idw3, где dw2 и dw3—началь-
ные диаметры колес 2 и 3.
Вал // (рис. 22.13,в) в плоскосш xz изгибают силы Fri2.
F,43 и сосредоточенные моменты АУ, и ЛЛ от осевых сил F\i2,
Fx^3, а в плоскости л г—силы Fll2 и F/43. Точный расче!
напряжений изгиба вращающегося вала с эксцентриситетом
достаточно сложен, хотя наличие эксцентриситета в худшем
случае ведет к увеличению наибольшего напряжения ин иба на
20% но сравнению со случаем, когда жсценгриситст ан, = ().
Поэтому вал II рассчитывают как обычный, но расчетный
изгибающий момент увеличиваю! па 20%:
A/p=1,2x/M^. + A/L-
1X4
Пример 22.3. Проверить прочность вала // планетарной передачи (рис. 22.13,а)
исполнигслыюго механизма системы автоматического регулирования при следую-
щих исходных данных; мощность на ведущем валу // водила Л Ря = 35 Вт,
частота его вращения яй = 2700 об-'мин; передаточное отношение и кпд механизма
i^=—5Q, nfi’=0, 2; размеры вала II. мм; </,=6, d2=H, /,=37, /2 = 3, /3 = /4 = /3=6;
числа зубьев колее; С]=50. z2=45. z3=45, ?4 = 51; зацепление 1-2 — прямозубое,
3-4 косозубое, модуль зацепления 1-2 /п12 — 1 мм, нормальный модуль зацепления
3-4 /илз4=0,8 мм; угол наклона зубьев колес 3 и 4 0=16 42'; угол зацепления
в нормальном сечении «„=20 ; допускаемое напряжение на изгиб для материала
вала [<тв] = 60 МПа.
Решение. Определяем крутящий момент Th на валу водила и момент Г,
на ведомом валу:
7й=9550Л;ий=9550-35/2720= 123 II мм;
Л = 7^1,?= 123 • 50 0,2= 1230 Н • мм.
Определим силы, действующие в зацеплениях (рис. 22.13,6). Осевая сила
/^12 = 0. окружная сила F,22. действующая на колесо 1,
F,2i = Г, /(0,5m12z1)=1230,(0,5 • 1 50)=49,2 Н.
Так как колесо 2 ведущее по отношению к колесу 1, то окружная сила
Л12 = Лг1' пй’ = 49,2./0,2 = 246 Н.
Сила
F,4.3 - F, 12dw2 Idwi = F,! 2m 12z2/(m„34=3 /cos 0)=294,5 H.
Радиальные и осевые силы определим по формулам табл. 22.2:
Cri2 = F,i2tga„=246 -0,364 = 89,5 11;
Л-43 =-С<43 igajcos 0 = 294.5 • 0,364/0.958 = 111.9 Ы;
Сх4з=Лаз tg Р = 294,5 0.30 = 88,4 11.
Сосредоточенный и31ибающий момент =0, а момент, вызванный силой Р'хЛЗ,
М2 = Лх43 0,5г/к4 = 88.4 0.5 0,8 51.0,958 = 1882,4 Н -мм.
Построив расчетную схему вала и эпюры из1ибающих и крутящего моментов
(рис. 22.13,в), определяем, чго опасными являются сечения 1—1 и 2 2. Расчетный
изгибающий момент и напряжения в сечении 1 1:
.Мр1 = 1,2х/л/1~4 М$..= 1Д/6362 + 7932= 1220 Н-мм;
ов1 =Чо (°.1^i)= 1220/(0,1 6А) = 56.5 МПа;
т, 1 = Л,/(0,2т/ J) = 123/(0,2 - 63) = 2,85 МПа;
стс 1 = /’’x43/(^f /4) = 88,4/(к • 62,'4)=3,1 МПа;
стпр1 =^'(п»1 + °с1)2 + 3^1 =59,80 М11а<60 МПа.
То же, в сечении 2—2\
Л/р2 = 1,2Ч/1740.42 + 1399,62 = 2680 Н • мм;
ои2 = 2680/(0.1 113)=20,15 МПа.
Так как крутящий момент и осевая сила в сечении 2- 2 тс же. что
и в сечении 1 1, то тж| >т,2, ос| >ос2; поэтому ct„pi>gup2. Найденное приведенное
напряжение не превышав! допускаемого, т. е. прочность вала водила обеспечена.
Расчет ио приведенному запасу прочности. Достоверность
расчета валов на прочность зависит от степени точности
определения допускаемых напряжений [сти] и [тк], которые
13 Зак. 740
385
зависят от многих факторов. Расчет допускаемых напряжений
приставляет собой самостоятельную, часто непростую задачу.
Если рассчитывать вал на статическую прочность по приведенному
запасу прочности, го проверить прочность можно, не вычисляя
допускаемых напряжений. Статическая прочность считается обес-
печенной, если действительный приведенный запас прочности
«пр не менее допускаемого [и]. Это условие выражается формулой
«Пр = «с«т/ ч/«п + «т2 2* [« L (22.12)
где па, пх—запасы прочности по нормальным и касательным
напряжениям,
ио=стт/(<ти + <тс); пх = хТ1тх. (22.13)
Значения пределов текучести ст.г и тт однозначно определяются
выбором материала, а напряжения изгиба сти, сжатия (растяжения)
стс, кручения (в каждом из опасных сечений) находят но
формулам (22.8)- (22.10) после того, как вал сконструирован
и в соответствии с расчетными схемами nocipoeHbi эпюры
изгибающих и крутящих моментов.
Значение допускаемого запаса прочности [и] зависит от
материала вала и точности расчетов. Если, например, валы
изготовлены из очень пластичных материалов (отношение предела
текучести ст, к пределу прочности при растяжении о„ пе более
0,6), а силы и напряжения определены с высокой точностью,
то [л]= 1,2... 1,4. При меньшей пластичности материала вала
(стт/ств = 0,8...0,9) и пониженной точности расчетов [и]= 1,6... 1,8,
а в ответственных случаях [л] = 3 и более.
При длительном действии переменных нагрузок кроме расчета
на статическую прочность выполняют расчет на усталость.
В качестве основного условия прочности используют неравенство
(22.12), но запасы прочности па и пх рассчитывают в зависимости
от характера изменения нагрузки (см., например, [11]).
Пример 22.4. Проверни, статическую прочность вала с насаженным косозубым
колесом (см. рис. 22.8), рассчитав приведенный запас прочное! и. Исходные
данные: материал вала сталь марки 30 (ГОСТ 1050—74), механические харак-
теристики которой: о„ = 455 МПа, ог=280 МПа. т,=200 МПа; поминальный
крутящий момент 7’=220 Н-мм; кратковременные нагрузки могу! в 1.45 раза
превышать поминальные; диаметр начальной окружности зубчатого колеса
<(н. = 30 мм; диаметр участка вала под колесом т/=5мм; расстояние между
опорами вала 1= 100 мм; зубчатое колесо расположено посредине между опорами,
уюл наклона зубьев р=15. угол зацепления = 20'. HaipyjKu известны лишь
ориентировочно и не oi раничиваются специа |ьными устройствами.
Реш чие. Расчетная схема вала построена на рис. 22.8,6. По формулам
табл. 22.2 рассчитываем силы в зацеплении:
7-,= I,457’,(0.5</J= 1,45-220 (0,5 -30) = 21.3 Н;
rr = f,iga„.''cosp=21,3-lg20 /cosI5“=8 Н;
Fji=FItgP = 2l,3 lgl5 =5,7 Н.
386
Сосредоточенный изгибающий момент M=FX•0.5</й,=5,7 0,5 • 30 = 85,6 Н • мм.
Построив по ним данным эпюры из1ибак>|цих Л/и . Мю. и крутящего Т моментов
(см. рис. 22.8, в), находим опасное сечение — ступень под колесом. Напряжения
и запасы прочности в этом сечении рассчитываются но формулам (22.8) (22.11):
°и = \ А/2(. + Л/2г/(0,к/3) = ч/532,52 + 242,62/(0,1 -53) = 468 МПа;
ос = Fxi{nd1;4) = 5,7;(3.14 52;4) = 0,29 МПа:
па = о,: (ои + ос) = 280 (46,8 + 0,29) = 5.95;
т„.= 1,45Г(0,2т/3)= 1,45 -220 . (0.2-53) = 12.8 МПа;
ит=т,/т = 200/12.8 = 15,7; п =лЛ.\./л2-гп2 = 5,95- I5.7.. v 5.952+ 15.72 = 5,56.
О।ношение от-о,=0.615. I. е. । соответствии с условиями работы допускаемый
коэффициент запаса прочности [л)=2...3. Рассчитанный приведенный запас
прочности больше допускаемого. счсдова1ельно. прочность вала обеспечена.
§ 22.4. ЖЕСТКОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ И ОСЕЙ
Работа механических систем автоматики и ЭВМ часто лимити-
руется условиями достаточной жесткости их деталей. Нагрузки,
действующие на валы, вызывают их изгиб и закручивание. В тех
случаях, когда жесткость вала недостаточна и деформации
достигают недопустимо больших значений, резко ухудшаются
условия работы передаточных механизмов, например зубчатых
и червячных передач.
Жесткость валов и осей. Выясним, какая из двух основных
деформаций вала изгиб или кручение, оказывает наибольшее
влияние на общую жесткость системы. С этой целью рассмотрим
вал / длиной / с насаженным на него зубчатым колесом
2 (рис. 22.14). Вал скручивается моментом T—FrK и изгибается
силой F. Считая, что момент Т передается валом от левого
торца к зубчатому колесу, найдем угол поворота сечения по
формуле (9.8):
Ф = 77, / (G./J = 32ПМ/,. (G л J4); (22.14)
при этом точка А смещается па
Д/к = ги.ф = 32Fr2wl, i(G л</4), (22.15)
где G— модуль упругости второго
момент инерции сечения: d - диа-
метр вала.
Прогиб вала под колесом, рав-
ный перемещению точки А при
изгибе, определяется зависимостью
(см. § 8.7)
6 = FI1 ;{kEJ) = MFI3,(л A £W4), (22.16)
где параметр А' зависит от рас-
положения колеса 2 относительно
опор 3: Е—модуль упругости
13* 387
Рис. 22.16
формации отдельных ступеней
первого рода; У=тгт/2/64
осевом момеш инерции
сечения вала.
Из формул (22.15)
и (22.16) следует, чго от-
ношение перемещений
точки А, которые выз-
ваны деформациями кру-
чения и изгиба,
х=Д/к/5=Л(£/6')х
х
Для стального вала от-
ношение £/G%2,5; если
колесо посажено посреди-
не, ю к = 48 и т = 3...30,
так как г2/1/(2/3)%0,1... 1.
В других случаях пара-
метр х также существен-
но превышает единицу;
поэтому при проектирова-
нии точных механизмов
г. гавкая задача—обеспе-
чение крутилыюй жест-
кости.
При проверочном рас-
чете крутильной жестко-
сти ступенчатого вала де-
складываются. Общий угол
т TI
<2217’
где lj—длина участка вала диаметром </,, передающего крутящий
момент Ту, т — число таких участков.
Полученный угол (рЕ сравнивают с допускаемым значением.
Угол <pL, например, определяет размер упругою мертвого хода
<рм и ограничивается его допускаемым значением [<рм].
В местах резкого изменения диаметра вала часть его материала па
большем диаметре не участвует в передаче крутящего момента.
Поэтому ступенчатый вал имеет меньшую жесткость, чем эго следует
из формулы (22.17). Чтобы рассчитать реальный угол <рх, в формулу
(22.17) вместо lj нужно подставить эффективную длину (рис. 22.15):
/,; = /ДД/; (22.18)
здесь знак плюс относится к меньшему диаметру, а знак-
минус— к большему; для стальных валов параметр Д/ определяют
по кривым рис. 22.15.
'88
Прогибы валиков и осей
ог действующих сил вычисля-
ют по методике, изложенной
в § 8.7. Например, для вала,
изображенного на рис. 22.16,
прогиб в середине пролета
8 = /71(3/2-4/])-(48EJ), (22.19)
прогиб под силой F
(22.19а)
(/ и --пролеты по
рис. 22.16).
Предельно допустимая де-
формация зависит от условий
Рис. 22.(7
работы насаженных на вал
или ось деталей (зубчатых колес, подшипников и г. д.). Хотя
общеустановленных или расчетных норм допустимых деформаций
нет, в машине- и приборостроении наибольшее значение прогиба
часто принимают [5] = 0,003/ (/ расстояние между опорами).
Прогиб вала или оси приводит к увеличению межосевого
расстояния зубчатых передач, что вызывает нарушение их нор-
мального действия. Например, для цилиндрической зубчатой
передачи прогиб вала снижает коэффициент перекрытия на
Де — (8, + 82)/ (л т cos “»•)»
(22.20)
где 5,, 82 прогибы под шестерней и колесом; т—модуль
передачи; аи—угол зацепления.
Рассчитав действительный прогиб 8, одного вала по формуле
(22.19а), можно из равенства (22.20) определить допускаемый
прогиб для другого вала из условия ограничения параметра Де:
[82]= [Де] лги cosaw — 8,.
Допускаемое изменение коэффициента перекрытия ориентировочно
принимается [Де] = е—(1,05... 1,15) (е расчетный коэффициент
перекрытия).
Пример 22.5. Рассчигать упругий (свободный) .мертвый хот зубчаюй передачи
1-2 (рис. 22.17) привода указателя 3 шкалы 4, обусловленный деформацией
гладкого валика II диаметром d. Известны следующие параметры передаточного
механизма: ru.2, /, угол яп. (см. рис. 22.17); к ведомому валику 11 приложен
момент сил сопротивления 7'с; колесо 2 расположено посредине между опорами.
Решение. Общий упругий мертвый ход является следе гнием закручивания
валика моментом Тс и изгиба валика—балки на двух шарнирных опорах сила-
ми. действующими в зацеплении колес.
Упругий мертвый ход фмг от закручивания валика II равен удвоенному
углу <р поворота сечения под дейсгвием момента Гс, гак как угол поворота
валика при реверсе (изменении направления вращения) в 2 раза больше ф, рад
[см. формулу (9.8)]:
<РМ, = 27;4,(Gn</4/32)* 20F,rw24/(Gr/‘),
389
Рис. 22.18
где Г, = Tcirw2—окружная сила в зацепле-
нии; G модуль упругости при сдвиге.
Изгиб валика II -плоский поперечный,
его вызывает нормальная сила Л„; плоскост ь
изгиба паралл’тьна плоскости зацепления.
Подставив в формулу (22.19а) /]=0.5/.
F=F„ = F, соьз„.. 2 = л//4.64, получим upoi иб
под ко зесом:
6 = A',a>s 1 я,,. •/3.;(48Гл</4-64)ч:
^0.424Г,/3 .'(£i/4cosair).
где Е мо tyjib упругости при растяжении-
сжатии.
Для восстановления конiакта зубьев не-
обходимо смешение зуба вдоль линии зацеп-
ления на величину 5. т. с. поворот на утол
Фи (рад);
Фи=й/кн2сохаи)-
С учею.м реверса мертвый ход. вызывг
емый изгибом валика II, <р = 2<рн. Общий
упругий мертвый ход (рад} нз- за дефор-
маций валика II:
= + = 4[20ги 2/. G + 0.424/3 . (£гк 2 cos2 aH)J.
Колебании валов и осей. Валы оси с насаженными деталями
под действием периодически меняющихся сил совершают вынуж-
денные колебания. Крутильные колебания валов и изгибных валов
и осей — одна из причин нарушения нормального действия
передаточных механизмов. Эти колебания особенно опасны
в резонансной зоне, когда частоты собственных и вынужденных
колебаний совпадают.
Рассмотрим вращение вала с насаженным на него диском
(рис. 22.18,а). Под действием силы тяжести G лиска (или другой
постоянной силы) вал прогнекя на величину 8, вследствие чего
при вращении с угловой скоростью <л возникает центробежная
сила инерции F„ - пгс <л2 8, где тс масса диска (массу вала
обычно не учитывают). Сила Ек вызовет дополнительный прогиб
вала на величину Д8. Общий прогиб 8,_ вала с насаженным
посредине диском
8г = 8+До = (С + ЕК)Р/(48EJ) = (G + F„)c *. (22.21)
где <- = 48EJ/~3 коэффициент жесткости вала при изгибе. Подста-
вив в формулу (20.21) значения F„ и G = /Hcg, получим
(22.22)
Когда на вал насажено зубчатое колесо, то кроме силы
тяжести на вал действуют силы в зацеплении и общий прогиб
показывается равным
8Z = const (c/mG — w2)-1. (22.23)
390
Из формул (22.22), (22.23) следует, что при стремлении аг
к c/mG прогиб 6L резко возрастает. Практически это означает,
что в случае равенства
ю = j = ч/с/тс (22.24)
прогиб вала имеет хотя и конечное, но относительно большое
значение, что может привести к его разрушению.
Угловая скорость а>кр1, определяемая по условию (22.24),
называется первой критической угловой скоростью вала или первой
собственной частотой вала. Вращение вала со скоростью а>кр| ве-
дет к резонансным явлениям, следствие которых—чрезмерное
увеличение прогиба вала (амплитуда колебаний) и его разрушение.
После того как угловая скорость вала и становится больше
о\р1. прогибы уменьшаются (рис. 22.18,6); чем быстрее осущест-
вляется переход через критическую скорость, тем безопаснее
условия работы вала.
Для валиков малых диаметров, широко применяемых в точных
механизмах, коэффициенты жесткости с имеют О1носителыю
небольшие значения, поэтому критическая угловая скорость часто
находится в диапазоне рабочих угловых скоростей.
При уточненных расчетах критической угловой скорости массу
вала ти учитывают, применяя метод Рэлея [23]. Тогда выражение
для а>кр1 примет вид
<окр 1 = >Jc[[ma +1ImJ 35).
Если зубчатое колесо насажено на вал не посредине, го
поворот сечения под колесом при изгибе приводит к возникнове-
нию гироскопического изгибающего момента. Пренебрежение
этим моментом приводит к снижению расчетного значения
критической угловой скорости.
Реальная колеблющаяся механическая система имеет бесконеч-
ное число собственных частот и критических угловых скоростей.
Но влияние высших частот на колебания быстро уменьшается,
поэтому при практических расчетах рассматривают лишь три
первые собственные частоты. Рабочими диапазонами для вала
являются следующие угловые скорости от:
<о^(0,6...0,75)со1[р1; l,4o\pt^а>^(о,р20,7;
1,3a>Kp2 < о» 0.8о>кр3,
где (окр2 и а>кр3 — соответственно вторая и третья критические
скорости. Первая критическая скорость определяется по формуле
(22.24); значение второй и третьей критических скоростей чаще
всего получают не из авали i ического расчета, а из эксперимента.
На значение первой критической скорости влияют тип опор
и изгибающая нагрузка F. Учесть это влияние можно с помощью
номограммы (рис. 22.19). которая построена для стальных валов
391
2-«Л-
10*-
6000 -
310*-
2'10*-
10*-
6000-
3000-
3000 -
1500 -
1000 -
1500-
1000-
500 -
Рис. 22.19
и связывает критическую частоту вращения «^ = 30(0^!/л с рас-
стоянием / между опорами (или с вылетом / консоли), силой
F, изгибающей вал, и диаметром d вала (в качестве параметра
d для ступенчатого вала принимают расчетный диаметр гладкого
вала, эквивален гпый в отношении изгибной жесткости реальному
валу). На шкале 1 отложены значения пкр для вала с подшип-
никами, не имеющими возможности самоустановки. на шкале
2 -для вала на самоустанавливающихся или очень коротких
подшипниках. На шкале 3 отложены значения нкр для консольного
вала. С помощью номограммы можно по любым трем заданным
параметрам найти значение четвертой величины. Рассмотрим
использование номограмм па примерах.
Пример 22.6. С помощью номограммы рис. 22.19 найти критическую частоту
вращения вма. на консоль которого посажено зубчатое колесо Исходные
данные: </=2,8 мм; /=14.мм; F=20 Н.
Решение. Соединяем прямой линией точки </=2.8 на шкале 3 с точкой
F=20 па шкале 5. Эта линия пересекается (см. рис. 22.19) с вертикальной
прямой 4 в точке 4. Затем проводим прямую черет точки А н /=14 (шкала
392
5) Ю пересечения со шкалой точке пересечения соответствует значение
критической частоты л =6500 об.мин.
Пример 22.7. Найти критическую частоту вращения для вала на двух опорах
с насаженным посредине шкивом круглоремспиой передачи. Пехотные данные:
г/=2.8 мм; /=35 мм: Г=2() Н.
Решение. Прямая от точки <7=2,8 (шкала 3) до точки 7'=20 (шкала 5) та
же. что и в предыдмпем примере. Через точку .4 и точку /=35 на шкале
5 проводим прямую до пересечения со шкалой 3; затем в >гой точке
восстанавливаем перпендикуляр к линии шкалы 3. Если опоры нс самоустанав-
лнваются. то по шкале / считываем значение п= 12000 об мин. Для самоустапав-
ливающихся опор на шкале 2 имеем пжр = 6000 об/мин.
Критические скорости при крутильных колебаниях валов
рассчитывают аналогично. Значение низшей критической скорости
в первом приближении
(окр1=А74, (22.25)
где ск—коэффициент крутильной жесткости всего вала, определяе-
мый из формул (22.17) и (22.18):
( т
U=t
-момент инерции (динамический) вала с насаженными на
него деталями.
Формула (22.25) перепишется в виде
(0кр 3 1 ,6%
если принять ск—в Н-мм/'рад, G— в МПа, А — в кг-мм2.
ГЛАВА 23
ОПОРЫ ВАЛОВ И ОСЕЙ
Опоры валов и осей передаю! нагрузки от вращающихся частей па корпус
или плату. Точность действия и надежность работы механизмов во многом
зависят от особенностей конструкций опор, значения и стабильности возникающих
в них сопротивлений вращению.
Опоры скольжения применяют при необходимости получить небольшие
радиальные размеры. Исиоль ю ван не пористых вкладышей, пропитанных смазкой,
позволяет существенно уменьшить сопротивление вращению при очень простой
конструкции onopnoi о у зла. Подбором параметров смазки и размеров подшипника
скольжения (например, с помощью номограмм) можно добиться работы в гид-
родинамическом режиме даже при больших нагрузках; вал и неподвижная часть
опоры полностью разделяются слоем смазки, износ таких опор происходит
только в периоды разгона и выбега. Ес «и нужно получить малый момсн сил
рения, а вал вращается с небо тыпой скоростью, то в приборах применяются
опоры па центрах и на кернах. Дальнейшего уменьшения по ерь на трение
можно добиться с помощью магнитных и ртгтных опор, а также используя
опору «Ро шмайт».
Подшипники с трением качения обеспечиваю! высокую точность и небольшой
момент сил сопротивления, особенно в период разгона механизма. При
393
проектировании опор механизмов автоматики и ЭВМ с часто повторяющимися
пусками и реверсами указанное свойство подшипников качения может иметь
первостепенное шачснпе.
§ 23.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОПОР И ИХ ВЫБОР
Опоры, предназначенные для восприятия радиальной или
комбинированной (радиальной и осевой) нагрузки, принято назы-
вать подшипниками, а опоры, воспринимающие осевые нагруз-
ки,—подпятниками. По характеру взаимодействия элементов
опоры можно разделить на 1ри основные группы: опоры грепия
скольжения, опоры качения и специальные опоры (с упругими
элементами, магнитные и др.). Классификация опор приведена
па рис. 23.1.
Выбор того или иного типа опоры определяется в основном
условиями работы, габаритными ограничениями, требуемой дол-
говечностью и стоимостью.
Опоры скольжения с граничным и сухим трением просты по
конструкции, обладаю! небольшими размерами по диаметру
и сравнительно высокой надежностью при действии динамических
нагрузок. Однако сопротивление вращению, особенно в период
разгона механизма, велико; коэффициент трения может изменять-
ся в очень широких пределах - 0.001...0.1 и более. Опоры
скольжения с сухим и граничным трением находят применение
при малых нагрузках и скоростях. Для снижения потерь энергии
па трение, особенно при больших нагрузках, в ряде конструкций
элементы опор скольжения разделяются слоем жидкости или
газа. Благодаря этому относительно большое сухое грепие
заменяется малым внутренним трепием жидкости или газа.
В зависимости от способа образования промежуточного слоя
опоры могут быть гидро- или аэродинамическими и гидро- или
аэростатическими. В динамических опорах разделяющий слой
создается вращающейся цапфой вала, а в статических — внешним
источником, например компрессором. (Цапфой называют чашь
валика, соприкасающуюся с опорой.)
Опоры с трением качения (подшипники качения) —универсаль-
ные опоры валов передаточных и многих других механизмов.
Достоинство их заключается прежде всего в малом сопротивлении
относительному движению, особенно в период разгона механизма.
При проектировании опор механизмов автоматики с часто
повторяющимися пусками и реверсом указанное свойство подшип-
ников качения может иметь первостепенное значение. Специализи-
рованные заводы выпускают подшипники качения стандартных
типов с размерами внутреннего кольца под вал от долей
миллиметра до 500 мм. Благодаря типизации и массовости
производства подшипники качения имеют сравнительно неболь-
шую стоимость, удобны для монтажа и обслуживания. В приборах
394
Опоры балов и осей
Рис. 23.1
для сокращения размеров опор по диаметру применяют миниа-
1юрные шарикоподшипники, в которых внутреннее кольцо отсут-
ствует и шарики непосредс! венно опираются па цапфу валика.
При высоких частотах вращения валов (15...20 тыс. об/мин)
обычные стандартные подшипники качения менее надежны по
сравнению с подшипниками скольжения жидкостного трения, так
как на площадках качения колец вследствие динамических
нагрузок возникают высокие контактные напряжения, которые
могут стать причиной их разрушения. Для подобных условий
используют специальные высокоскоростные подшипники качения,
допускающие частоту вращения порядка 100 тыс. об/мин и более.
Скорости такою порядка развиваются в центрифугах, высоко-
частотных электрошпинделях и др.
Специальные опоры применяют при необходимости значитель-
но уменьшить потери на трение: эго магнитные, с трением
ynpyrociи, ртутные и др. В магнитных опорах нагрузка от
вращающихся частей, передаваемая на корпус, уравновешивается
силами взаимодействия магнитных полей специальных магнитных
395
Рис. 23.2
ванных цапф 4. которые
устройств, которые закрепляются на
подвижной и неподвижной частях
опоры.
Схема простой магнит пой опоры
показана на рис. 23.2, о. Основные эле-
менты— магниты 3 и 2, закрепленные
на оси вращающеюся звена и в непо-
движном корпусе. Благодаря разно-
именному расположению полюсов ма-
гнитов между ними возникает сита,
которая уравновешивает вес враща-
ющегося звена. Центрирование валика
и передача на опору возможных не-
больших радиальных нагрузок осуще-
ствляется с помощью топких полиро-
свободно входят в трафитовые втул-
ки 7.
Магнитные опоры имеют весьма малое сопротивление относи-
тельному движению, почти не подвергаются износу, пе требуют
смазки и облазают высокой долговечностью, могут работать
в вакууме и при высоких температурах. В серийных конструкциях
чаще всею используют электромагниты. Нагрузочная способность
магнитных опор —от 102 до 1,5 • И)4 Н. С помощью этих опор
можно реализовать высокие частоты вращения валов (до
К)6 об/мин). Однако магнитные опоры сложны в изготовлении
и сравнительно дороги. Применение их целесообразно в приборах
и машинах непрерывного и продолжительного действия (напри-
мер, в электросчетчиках, приборах времени, маховичных двига-
телях и др.).
Опоры с трением упругости типа растяжек и подвесов
применяют в высокочувствительных измерительных приборах,
в которых подвижная система должна иметь ограниченный угол
поворота со строго стабильной функцией изменения противодейст-
вующего момента. Эта опора состоит из упругой ленты или
проволоки, закрепленной на стойке. Подвижная часть прибора
крепится к упругому элементу (см. рис. 23.1).
Ртутные опоры обеспечивают весьма малое трение и практи-
чески пе изнашиваются. Принцип их действия основан на
использовании капиллярных явлений, создающих в ртути значи-
тельные силы поверхностного натяжения. Наиболее проста капель-
ная ртутная опора (рис. 23.2,о). В цилиндрическое углубление
неподвижной части 5 залита ртуть 4, которая образует шарообраз-
ную каплю. Сферическое очертание опорного элемента 3 легкой
подвижной части / увеличивает контактную поверхность опоры.
Отверстие 2 служит для удаления воздуха, ухудшающего прилега-
ние ртути к опорной поверхности. Натрузка F, с которой
действует на каплю ртути подвижная часть опоры, уравноветни-
Т96
вается силами поверх-
ностного натяжения ка-
пли. Чтобы обеспечить
задаштую точность дви-
жения и исключить раз-
рушение самой капли,
осевые нагрузки пе
должны превыша гь
0,03...0,04 Н. а радиаль-
ные—0,001 Н.
В тех случаях, ког- Р||С 2з.З
да необходимо резко
уменьшить трение в шарнирах измерительных устройств без
применения смазки, в подшипниковых узлах используют изоб-
ретенный относительно недавно механизм типа «Ро.юмайтл.
Простейшая опора «Роламайг» (рис. 23.2,в) состоит из роликов
2. обтянутых лептой 3. и роликов 5, контактирующих со стойкой
7. Гак как лента 3 растягивается относительно большими силами,
то роликам 3 и 5 обеспечивается почти чистое качение: поэтому
сопротивление вращению вала 4 минимально.
Принципиально так же можно резко уменьшить трение
и увеличить точность измершельных приборов с поступатель-
ными парами. Например, в записывающем механизме (рис. 23.3. а)
перо закреплено в точке С рычага 2', жестко связанного с кулисой
2. Соединение входного звена 1 с кулисой 2 и рычагом записи
2' (рис. 23.3.6) выполнено с помощью роликов 5 и 6. контак-
тирующих друг с другом через металлическую ленту 4. Ес
концы прикреплены к раме 3 в точках D и Е. Центр ролика
5 перемещается вдо гь оси кулисы 2. По i ери на трение и износ
практически имеются только в шарнирах О, А, и В.
Нужный тин опоры выбирают по табл. 23.1. Если цапфа
вращается с постоянной скорое 1ью. то опору общего применения
выбирают по диаграмме (рис. 23.4), учитывая нагрузку Е, частоту
вращения п и диаме i р цапфы d (на рисунке: 1 опоры сухого трения
из самосмазывающихся материалов: 2 - опоры граничного трепия из
пористых материалов, пропиганных смазкой; 3—подшипники
качения; 4 — гидродинамические опоры). Кривые ограничивают
сверху область, в которой данный гип опоры обеспечивает
долговечность около 10000 ч при определенном диаме тре d цапфы.
Прямая а ограничивает справа область допустимых скоростей
стандартных подшипников качения, прямая 6— то же. специальных
। азо турбинных подшипников, прямая в —область допустимой
прочности вала.
Пример 23.1. Выбрать тип опоры при следующих исходных данных: /-'=100 Н,
п = 1000 об мин. 4=5 мм.
Решение. На рис. 23.4 в системе координат п F точка А (1000 об/мин;
100 Н) находится ниже кривых 4= 5 мм для опор граничного трения со
397
о Таблица 23.1. Опоры вращательного движения
Тип опоры Качество работы при Точность радиальной фиксации Значение пускового момен i а Конструкция
температуре наличии влаги наличии ныли, грязи СИ 1ЬНОЙ вибрации
высокой низкой
Сухого трения с вкладышем из само- смазывающсгося ма- териала Хорошее Хорошее Хорошее. но возмож- на корро- И1Я Хорошее, но лучше использо- вать уплот- нения Хорошее Невысокая Большое Очень прос гая
Граничною трения с вкладышем из по- ристого ма1ериала, прописанного смаз- кой Плохое, так как смазка окисляе гея Удовлетво- рительное, может имет ь по- вышенный момент пуска Хорошее Т рсбую гея уплотнения » Хорошая Небольшое Достаточно простая
Подшипники качения Хорошее до 150 С Хорошее Хорошее при нали- чии уплот- нений Очень хо- рошее при наличии уплотнений Удовлетво- рительное » Очень не- большое »
Гитро- и аэродина- мические Хорошее, верхний предел температур ограничен смазкой » Хорошее Хорошее, но тре- буются упло!нения и филь гра- ция смазки Хорошее Удовлетво- рительная Небольшое »
Тип опоры Качес I во рабо i ы при
гемнсратурс наличии влаги наличии пыли. I ря 1И
высокой низкой
Гидро- и тическне аэроста- Очень хо- рошее при I азоной смазке » в Хорошее: очень хо- рошее при газовой смазке
Mai нишам Хорошее » Удовле1во- ритсдыюе Хорошее
Рту гные » Хорошее до гемпе- ратуры за- мерзания piyiH Хорошее Плохое
С трением упруюсти Очень хо- рошее Очень ршпее хо- Очень хо- рошее Очспь хо- рошее
Типа «Роламаит» » в в »
Предо iwenue nuutt. 23.1
ТОЧНОС1 ь радна лыгой фиксации Значение пускового момента Конструкция
СИЛЬНОЙ вибрации
в в Наимень- шее из всех возможных Сложная
Уловлет во- ри ГСЛЫ1ОС в Очень не- большое Достаточно простая
Плохое Невысокая » в
У10вле1ве- рительное — Простая
Очень хо- рошее Очень хо- рошее Небольшое Сложная
Рис. 23.4
вкладышами из пористых материалов, пропитанных смазкой, и для подшипников
качения. Поэтому именно эти (на типа опор могу! использоваться в рассмат-
риваемом случае.
§ 23.2. ОПОРЫ СКОЛЬЖЕНИЯ
Подшипники и подпятники скольжения применяют в системах
точной механики, как правило, в целях получения малогабаритной
конструкции утла. Используют большое число типов опор
скольжения, различающихся между собой принципом действия
и особенностями конструкции. Выбор и разработка той или
иной конструкции опор скольжения зависит от условий работы —
нагрузки, частоты вращения цапфы вала, допусшмого сопротивле-
ния вращению и др. Ниже рассмотрены особенности конструкций
и расчет часто встречающихся типов опор скольжения.
Цилиндрические подшипники скольжении. Наибольшее распрост-
ранение получили цилиндрические подшипники скольжения
(рис. 23.5,л). Здесь для снижения момента трения и износа
соприкасающихся элементов цапфы вала 7 и корпуса 2 примепя-
400
Рис. 23.5
ют вкладыши (втулки) 3, изготовляемые из антифрикционных
материалов. Крепление втулки в корпусе осуществляют посадкой
с натягом или стопорным винтом. При разработке подобных опор
необходимо иметь в виду, что даже при незначительных прогибах
валиков, а также из-за монтажных погрешностей возможны
перекосы геометрических осей подшипника и вала, вследствие чего
нагрузка по длине подшипника распределяется неравномерно. Для
устранения или снижения влияния этого вредного явления
рекомендуется сокращать длину подшипника, назначая отношение
//</=0,5... 1.5, а в необходимых случаях вместо цилиндрических
втулок принять самоустанавливаюшиеся вкладыши 4 со сферичес-
ким очертанием наружной поверхности (рис. 23.5, а).
Конструкция подшипника, выполненная непосредственно в пла-
те 2 корпуса, показана па рис. 23.5,6. Такие подшипники
применяют для малогабаритных узлов механизмов, в которых
плата изготовлена целиком из антифрикционного материала
(латуни, дюралюминия Л1АТ и др.). Для улучшения технологич-
ности конструкции, а также при использовании шальных плат
втулку 3 из антифрикционного материала запрессовывают в плату
и дополнительно завальцовывают (рис. 23.5,6). Для предотвраще-
ния заклинивания при перекосах и уменьшения моментов сил
трения применяется «оливирование»: отверстие для цапфы выпол-
няется скругленным (см. рис. 23.5,в).
По виду трения различают подшипники скольжения с сухим,
граничным и жидкостным трением. Кроме того, цапфу и подшип-
ник может разделять слой газа.
Опора сухого трения при малых нагрузках может быть
конструктивно выполнена в плате корпуса (рис. 23.5,6). Но
401
в основном конструкции подшипников сухого трения выполняют
с вкладышем из антифрикционных самосмазывающихся син-
тетических материалов. Обычно принимают отношения длицы
1 подшипника и толщины 8 стенки вкладыша к диаметру цапфы
d в пределах //т/л 0,6... 0,5; 8ут/л0,07...0,1.
Преимуществами вкладышей из пластмасс кроме свойства
самосмазываемости являются высокая демпфирующая способность,
небольшая масса, технологичность, способность работать в услови-
ях высокой влажности. Недощатки: невысокая прочность нестаби-
льность размеров, особенно при нагреве низкая теплопроводность.
Поэтому при длительном и напряженном режиме работы без смазки
такие вкладыши выходят из строя. Для повышения 1еплопроводно-
сти применяют металлические вкладыши с нанесенным на их
трущуюся поверхность тонким слоем капрона, нейлона, фгоропла-
ста-4 и других материалов со специа. ьными присадками. Например,
слой фторопласта толщиной порядка 0,05 мм придает подшипнику
высокие антифрикционные свойства (коэффициент трения фторопла-
ста-4 по стали /=0.05). а бронзовая основа — высокую прочность
и теплопроводность. Применяют и более сложные композиции,
состоящие из металла, синтетического материала и других
наполнителей. В узлах трения атомных реакторов при высоких
температурах используют керамику и керметы (спеченный материал
из карбидов титана и вольфрама на кобальтовой основе; см. § 13.3).
При граничном трении в зоне контакта цапфы и неподвижной
части опоры имеется смазка, но она не полностью разделяет
поверхности скольжения. Часто в подшипниках выполняют от-
верстия для подвода смазки и специальные смазочные канавки
(рис. 23.5,а). Материалами вкладышей могут служить латуни
ЛС59—1Т. ЛС63 — 3, бронзы, например, оловянные БрОЦС4—
4—2. БрОЦС4—4 5, а также синтетические материалы.
Широко применяют подшипники скольжения, вкладыши кото-
рых изготовлены из металлокерамических пористых материалов,
пропитанных маслом. Эти материалы получают из металлических
порошков с присадками методом спекания под давлением.
Сообщающиеся поры занимают 10...40% общего объема. При
пропитке поры заполняются смазочной жидкостью, которой
хватает на весь ресурс работы подшипника (3000...5000 ч).
Резкого уменьшения износа, увеличения точности и стабильнос-
ти момента трения в опорах скольжения можно добиться
применением подшипников из рубина, агата, корунда и других
камней.
В подшипниках жидкостного трени.ч поверхности полностью
разделены слоем смазки. В гидро- и аэродинамических под-
шипниках разделяющий слой образуется при установившемся
движении, когда в зазор между вращающейся цапфой вала
3 и подшипником / нагнетается жидкая или газообразная смазка
2, захватываемая микронеровностями цапфы (рис. 23.6, а). Равпо-
402
Рис. 23.6
действующая R распределенных гидродинамических сил q уравно-
вешивает внешнюю нагрузку F. Передача силы через слой смазки
возможна только при определенном соотношении значений нагрузки
и частоты вращения. Износ цапфы и подшипника происходит
в основном в период разгона и выбега. Гидро- и аэродинамические
подшипники применяют в турбинах, электрических генераторах,
опорах сил! но нагруженных зубчатых передач и в ряде других узлов.
В гидро- и аэродинамических опорах слой жидкости или
газа, передающий нагрузку от цапфы к неподвижной части
опоры, создается вследствие избыточного давления подаваемой
жидкости или газа. В таких опорах износа практически нет,
моменты сил трения малы, отсутствует вибрация, достигается
высокая точность (ошибка положения менее 25 мк.м); поэтому
их применяют в тех случаях, когда нужно сохранить высокую
точность действия узла во время всего периода эксплуатации
системы. Так. гидростатические опоры используют в приводах
оптических и радиотелескопов, где нагрузки относительно велики
и требуется очень высокая и стабильная точность работы.
Аэростатические опоры хорошо работают также при средних
и малых нагрузках и больших частотах вращения (до 105 об/мин),
особенно при высоких и сверхвысоких температурах. На
рис. 23.6, б представлена типичная конструкция аэростатической
опоры, в которой между неподвижной / и подвижной 3 частями
подшипника образуется аэростатический зазор; специально очи-
щенный воздух подается через отверстия 4: утечку воздуха по
торцу опоры предотвращают манжеты 2. Примеры применения
аэростатических опор: гироскопы, профилографы и другие из-
мерительные приборы, высокоточные шлифовальные станки.
Расчет цилиндрических подшипников скольжения. Задача рас-
чета— определить размеры и другие параметры, в том числе
характеристики материалов, при которых обеспечиваются необхо-
димый режим трения, работоспособность и долговечность элементов
403
опоры. Для подшипников сухого и граничного трения может бьпЬ
использован приближенный метод расчета —по удельному давлений),
на теплостойкость и допускаемое значение момента (или мощности)
трения. Условие работоспособности по удельному давлению'.
P=F;(ld)^\_p-\, (23.1)
где F—нагрузка на опору, Н; rf, /—диаметр и длина вкладыша,
мм; [р] — допускаемое давление, МПа, значения которого для
различных материалов приведены в табл. 23.2.
КРитеРий теплостойкости предусматривает обеспечение нор-
мального теплового режима работы опоры. Принимая во вни-
мание, что интенсивность тепловыделения пропорциональна раз-
виваемой удельной мощности сил трения, критерий теплостой-
кости выражается условием
pv~7d 60 -1000 ~ 19,1 -103/

(23.2)
где г расчетная скорость скольжения, м/с; п — частота вращения
цапфы валика, об/мин; [/и?]—допускаемое значение критерия
теплостойкости, МПа • м с, устанавливаемое на основании опыт-
ных данных (см. табл. 23.2).
Табтица 23.2. Значения [р] и [рг] при стальных цапфах
Наименование млериала вкладыша Гр]. МПа И- МПа м с Наименование ма гериала вкладыша [р]- МПа [рг]. МПа м/с
Бронза: Резина 4 10
БрОЦС5 5—5 8 12 Текстолит 12 30
БрАЖ9 4 15 12 Капрон 5 10
Пористый бронзографит:
с = 0,1 м/с 15 1,5
г = 1 м/с 5 5
Условия смазки существенно влияют на допускаемое значение
[рг]: при периодической смазке табличное значение [ptl можно
увеличить на 50%, а при регулярной смазке на 100%.
Момент тРени.ч на контактной поверхности цапфы валика
[см. § 3.7, формула (3.39)]:
Mf—fnFdj2, (23.3)
где /ч приведенный коэффициент трения в цапфе, зависящий
от материала трущихся элементов подшипника и функции
распределения давления по поверхности кон гакiа; обычно
fu—(l,l...l,5)f (ориентировочные значения коэффициента трения
f приведены в табл. 17.1). При уточненных расчетах значение
/„ получают из эксперимента.
При комбинированной нагрузке, когда кроме радиальной
силы F опора воспринимает и осевое усилие Fx, к рассчитанному
404
выше моменту сил трения добавляется величина, вычисляемая
по формуле (3.40) (радиусы Лиг обозначены на рис. 23.5,б).
Температуру рабочей зоны подшипника определяют из условия,
что механическая энергия преобразуется в теплоту, которая
должна быть отведена и рассеяна во внешней среде:
/р = 3600ГГп/(7СЛ) + /в^[гр]. (23.4)
где В/п = Л//со тепловой поток в подшипнике, Вт; К—коэффици-
ент теплопередачи, для необдуваемых подшипников Х'=(3,5...5) х
х 104 Вт/(м1 • С); А - -площадь наружной поверхности подшипни-
ков, через которую происходит теплоотдача. м , температура
окружающей среды, 'С; [/р]—наибольшая допускаемая темпе-
ратура рабочей зоны подшипника, зависящая от рода материалов
трущихся элементов (ориентировочно [гр] = 80 С).
Выбор посадки в соединении вала с подшипником обусловлен
получением необходимого зазора; при больших зазорах умень-
шается зона контакта, вследствие чего возрастает износ и снижа-
ется точность взаимодействия, а при малых зазорах возможно
защемление цапфы вала и перегрев подшипников. Оптимальные
зазоры обычно получают при назначении полей допусков типа
d—f 8-го или 9-го квалитетов (см. § 13.4).
При ориентировочных расчетах гидродинамических опор ис-
пользуют графики (рис. 23.7) с логарифмическими шкалами;
405
дМПа
экспериментально.
средний относительный номи-
нальный зазор d:d между цапфой
и подшипником, а также вяз-
кое ib ц смазки выбирают по
рис. 23.7, а, б в зависимости oi
частоты вращения п, об/мин;
максимальная нагрузка Fmax за-
висит от диаметра d цапфы и от-
носительной длины Ijd
(рис. 23.7.«).
Долговечность опоры сухого
трения с вкладышем из синтети-
ческого материала или пористой
бронзы можно оценить с помо-
щью графиков (рис. 23.8), кото-
рые ограничивают сверху об-
ласти р, р, где износ пе превыша-
ет 25 мкм за 100 ч работы при
неподвижной относительно опо-
ры нагрузке и 12,5 мкм при вращающейся нагрузке (на рисунке:
кривая /—для синтетического антифрикционного материала
ПТФЕ; 2 -для термоплас гиков; 3 для ПТФЕ с наполнителями;
4—для пористой бронзы со свинцом и ПТФЕ). Эти данные
получены по модели износа, рассмотренной в § 13.5, и уточнены
Пример 23.2. Определи 1 ь необходимый зазор 6 между цапфой и biv.ikoh
гидродинамической опоры, вязкоегь смазки р и наибольшую возможную нагрузку
>’т1ж при следующих исходных данных: и=6000 об/мни. <7= 10 мм, /<7=1.5.
Решение. Частота вращения л = 6000 об/мин соответствует л=100об/с. По
рафикам (см. рис. 23.7, о. б) находим: lg(S/<7)= — 2,5; 1g р= —1.94. Следовательно.
6,'</=3,16-10“3, 6» 0,03 .мм: ц = 0,0115 Па-с. Для заданных условий из рис. 23.7, в
имеем: lgFm„ = 2.7, F^ = 500 Н.
Кроме цилиндрических опор скольжения в приборостроении
широко применяют 1акже опоры на центрах и на кернах.
Опоры на центрах (рис. 23.9) используют преимущественно
в приборах, когда необходимо получить малый момент трения,
а валики (или оси) воспринимают небольшую нагрузку (до
Рис. 23.9
406
20 Н), вращаясь с малой скоростью.
Конусную цапфу I изготовляют из
инструментальной стали с закалкой
рабочей поверхности, бронзы, ней-
зильбера и вставляют в о верстие
валика по посадке с натягом или на
клею. При необходимости конец
самого валика может быть заточен
на конус. Неподвижную часть 2 опо-
ры выполняют обычно из бропзы
или латуни с цилиндрическим отвер-
стием и конической зенковкой. Для
Рис. 23.10
возможности регулирования зазо-
ров в опорах одну из них делают винтовой—3 (рис. 23.9), а для
предотвращения защемления вращающихся элементов между
вкладышем 6 и винтом 4 может быть установлена пружина 5.
При назначении размеров элементов опоры могут быть
использованы следующие рекомендации: J=0,5... 1,5 мм; Lv3d;
2а = 60'; D=2...Sd; 20 = 90.
Опоры на центрах рассчитывают на прочность по контактным
напряжениям на рабочем пояске. Момент сил трения
Mf=0,5rf/ [л Fr/(4 cos а)+FJ sin а].
Опоры на кернах (рис. 23.10, а) предназначены для восприятия
осевой нагрузки, передаваемой вращающимся стержнем / через
собственно керн 2 на подпятник 3. Для регулирования зазоров
в опорах один из подпятников может быть вмонтирован в винт
4, который фиксируется гайкой 5. Острие керна имеет закругление
радиусом гг=0,01 ...0,15 мм, а радиус сферического очертания
опорной поверхности подпятника гп = (4...8)гк. В миниатюрных
опорах кернами могут быть заостренные концы самого валика
или оси. Благодаря практически точечному контакту опоры на
кернах отличаются малым сопротивлением относительному вра-
щению и поэтому широко применяются в измерительных при-
борах и других точных системах с малыми нагрузками. Матери-
алом для изготовления кернов может служить сталь У10А,
У12А, титан, кобальговольфрамовые сплавы, а для подпят-
ников— бронза, естественные или синтетические камни (агат,
рубин и др.) и твердые сплавы.
Расчет опор на прочность проводят по контактным напряже-
ниям (см. § 10.5). Момент сил трения при нагружении осевой
силой F
Mf=(3/\6)KfFa,
где f—коэффициент трения (ориентировочно /=0,7... 0,1); а—
= 1,11 yFEnp i(r~r — TjT1 )—радиус поверхности контакта (см. б
на рис. 23.10.6), мм; Епр—приведенный модуль упругости.
407
§ 23.3. ОПОРЫ КАЧЕНИЯ
Наиболее распространенный вид опор передаточных механизмов
систем автоматики и ЭВМ- подшипники качения, которые обладают
значительно меньшим сопротивлением вращению но сравнению
с подшипниками скольжения. Устройство простейшего шарикопод-
шипника показано на рис. 23.11. Внутреннее кольцо 4 насаживают
па цапфу валика, а наружное кольцо 7 устанавливают в корпус
механизма; между кольцами помещены тела качения—шарики 3,
относительное расположение которых фиксируется сепаратором 2.
Основные типы подшипников качения стандартизованы, их размеры
и необходимые характеристики приведены в каталогах.
Выбор типа подшипника качения обусловлен видом и разме-
ром нагрузки, воспринимаемой подшипником, частотой вращения,
необходимой надежностью и долговечностью его работы. Для
лучшей ориентации при выборе подшипников качения остано-
вимся кратко на сравнительных характерно i иках и особенностях
наиболее распространенных типов подшипников (табл. 23.3).
Радиальные подшипники способны воспринимать одновременно
с основной радиальной нагрузкой Frn и небольшую осевую
Fxn—до 70% от неиспользованной радиальной, т. е. ^0J(Q—Frn).
где Q —максимально допускаемая при расчетных условиях работы
радиальная нагрузка. Стандартом предусмотрен ряд конструкций
радиальных подшипников, например, с канавками на наружном
кольце для закрепления его в корпусе, фетровыми уплотнениями
для удержания консистентной смазки и др.
Радиально-упорные подшипники применяют при действии на
опору комбинированной нагрузки, в которой осевая составляющая
Fxr>O,36Frn. Угол контакта Р этих подшипников от 12 до
36°; чем больше Р, тем большую осевую нагрузку может
воспринимать подшипник. Для передачи осевой нагрузки в двух
противоположных направлениях обычно ставят радиально-упор-
ные подшипники в двух опорах вала (см. рис. 23.13,6,«) или
спаренные подшипники в одной опоре (см. рис. 23.20, б).
При сочетании высокой скорости и осевой нагрузки, например
в опорах червяков, предпочтительно применять радиально-упор-
ные подшипники с 0 = 26 и 36'.
В качестве
Рис. 23.11
тел качения используют шарики, ролики и иглы,
которые представляют собой длинные тонкие ролики.
Сферические (самоустанавливающнеся) подшип-
ники находят применение в опорах, в которых
вероятны значительные перекосы валов (до 3°)
вследствие изгибных деформаций и монтажных
погрешностей. Сферические подшипники способны
воспринимать преимущественно радиальную на-
грузку Frn и лишь небольшую осевую
Fxn^0,2(e-Fril).
408
409
Таблица 23.3. Сравни,е. ,ьиые характеристики основных типов подшипников качении
Тип подшипника. ГОСТ Схема Нагррка (1. мм С pej- пий приве- денный ко фмци- ен1 1 ре- ния Наибо- льший допус- 1ИМЫЙ перекос вала, град (Ьнисигельные Область применения
груло- подъ- емкие >ь преде- льная чаегота враще- ния СЮН- мости

Шарикоподшипник радиальный, ГОСТ 8338—75 Роликоподшипник радиальный, ГОСТ 8328—75 ш L гл Радиальная, осевая сторонняя) Радиальная небольшая (дву- I...360 15...320 0.002 0.003 0,5 0.25 1,0 1,7 1,0 0.8 1,0 2.2 Передачи цилинд- рические зубчат ые, фрикционные и ре- менные То же
Шарикоподшипник радиально-упорный. ГОСТ 831—75 и гя т Радиальная и посюронняя) осевая (од- 6...240 0,005 0,3 1.2 1,0 1.4 Передачи косозу- бые конические, червячные
о
Тип подшипника, ГОСТ
Схема
Нагрузка
Роликоподшипник
радиально-упорный,
ГОСТ 333—71
Радиальная н осевая (од-
носторонняя)
Шарикоподшипник
сферический,
ГОСТ 5720—75
Радиальная
Шарикоподшипник
упорный.
ГОСТ 6874—75
Осевая
Продолжение табл. 23.3
d, мм Сред- ний привс деипый коэф- фици- ент фе- ния Нан(м> ЛЫ11НЙ допус- 1ПМЫЙ перекос вала, град 01 носит единые Область применения
грузо- подъ- емность преде- льная часкна враще- ния стои- MOLlb
15. .320 0,01 0.2 1,7 0.5 2,0 То же
5. .200 0.003 3,0 1.0 1.0 2.4 Валы. подверга- ющиеся перекосам
10. .500 0,004 0,5 3,0 0,28 1,5 Валы, тихоходные с большими осе- выми нагрузками
Упорные подшипники пред-
назначены для восприятия чи-
сто осевой нагрузки и удовлет-
ворительно могут рабо тать при
сравнительно небольших часто-
тах вращения, так как возника-
ющие центробежные силы ине-
рции шариков, удерживаемых
сепаратором, пропорциональ-
ны квадрату их скорости.
Роликовые подшипники при
ковыми выдерживают большие
Рис. 23.12
одинаковых размерах с шари-
пагрузки (примерно в 1,6 ра-
за), по их точность и предельные частоты вращения ниже,
чем у шарикоподшипников. При ограниченных размерах диа-
метров (например, в карданных соединениях) могут быть ис-
пользованы игольчатые подшипники совмещенного типа, в ко-
торых ролики малого диаметра (иглы) опираются непосредст-
венно па цапфу.
Элементы стандартных подшипников выполняют из высо-
кокачественных сталей. Однако для специальных условий (ра-
бота узла в агрессивных средах, в химических и медицинских
аппаратах) применяют пластмассовые подшипники качения, ко-
торые работают без смазки в диапазоне температур от —55
до +110'С.
Серии подшипников. Основной размер подшипников качения,
ио которому осуществляют их выбор по каталогам,—это диаметр
d внутреннего кольца (рис. 23.12). Другие размеры (диаметр
D наружного кольца и его ширина В) для одного и того же
значения d могут изменяться в зависимости от выбранной
размерной серии. Стандартом установлены следующие серии
подшипников (см. рис. 21.11), отличающихся габаритами и тех-
ническими характеристиками: сверхлегкая—1; особо легкая—2:
легкая —легкая широкая 4; средняя — 5; средняя широкая —
6; тяжелая 7. При этом с увеличением габаритов нагрузочная
способность подшипников растет, а быстроходность снижается.
Более высокой быстроходностью обладают шарикоподшипники
с бронзовым или текстолитовым сепаратором.
Точность подшипников. Точность взаимодействия звеньев про-
ектируемых механизмов во многом зависит от допусков на
размеры элементов их подвижных соединений. С учетом этого
ГОСТ 520—71 предусматривает пять основных классов точности
подшипников качения: 0, 6, 5, 4 и 2-й (в порядке повышения
точности). Увеличение точности подшипников приводит к росту
его стоимости:
Класс точности ................
Сравнительная стоимоиь ........
0 6 5 4 2
I 1,92 10 20 до 100
411
В большинстве случаев испо 1ьзуют подшипники нормальной
точности — класса 0. Примере м применения подшипников 6-го
класса являются опоры магнитных дисков устройств ввода-вывода
информации ЭВМ.
§ 23.4. ПОДБОР И РАСЧЕТ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
При подборе подшипников качения определяют требуемый
его гип в зависимости о г действующих нагрузок, условий работы,
точности функционирования узла и ряда других данных. Затем
по диаметру цапфы вала находят в каталоге* нужный подшипник.
Выбор серии зависит от уровня нагрузки; в точной механике
в основном используют почшиппики сверхлегкой и особо легкой
серий.
Расчет подшипников качения предполагает проверку или
определение долговечности Lh, которая характеризует вероятный
ресурс работы подшипника в зависимости от нагрузки, скорости,
температуры и других факторов, а также определение момента
1репия. Под расчетной долговечностью Lh понимают время (ч),
в течение которого гарантируется 90%-ная надежность работы
подшипников при определенных условиях эксплуатации. Если
частота вращения п кольца подшипника более 1 об/мин, то
расчет ведут по динамической грузоподъемности **, для
н < 1 об/мин рассчшывцется лишь статическая грузоподъемность.
При расчетах по динамической грузоподъемности обычно
задаются требуемой до повечностью работы Lh (ч) (в первом
приближении 5...7 тыс. ч) и проверяют выбранный подшипник
по условию
(23.5)
где —наибольшая возможная для данных нагрузок и усло-
вий работы долговечность подшипника. Кроме наибольшей
долговечности (ч) используют долговечность в миллионах оборо-
тов внутреннего кольца подшипника:
L = 60-10’6лЛЛтах. (23.6)
Параметр L в соответствии с ГОСТ 18854—82 и 18855 —82
и международной методикой ISO рассчитывают по эмпирической
формуле
L=(CiF3y, (23.1)
где С —динамическая грузоподъемность данно! о подшипника,
Н, которая представляет собой радиальную нагрузку, соответству-
* См., например: Подшипники качения: Справочник-каталог / Под ред.
Б. Н. Нарышкина. М., 1984.
** При 1 <п < 10 принимаю! в качестве расчетного значения и=10.
412
юшую долговечности L— \ млн. об.; F — расчетная (эквивалент-
ная) динамическая нагрузка, Н; р— степенной показатель (для
шарикоподшипников р = 3, для роликовых—р= 10/3).
С учетом формул (23.5) -(23.7) условие работоспособности
данной опоры качения принимает вид
Lh [105/(6«)](С/Гэ)^, (23.5а)
или
Cp=(6lQ-5nLh)l!l,F^C, (23.56)
где Ср—расчетная динамическая грузоподъемность подшипника,
Н; динамическую грузоподъемность С можно либо взять из
каталога, либо рассчитать по данным ГОСТ 18855 82.
Значение расчетной динамической нагрузки определяется следу-
ющими соотношениями:
для радиальных и радиально-упорных подшипников
F3=(XVFtn+YFxn)K6Kt- (23.8)
для упорных подшипников
F,=FxnK0Kr, (23.8а)
где FrB и Fvn радиальная и осевая нагрузки, Н; полная реакция
опоры Frn, например при пространственном изгибе вала или оси.
равна геометрической сумме реакций опоры в расчетных плос-
костях*, т. е. для опоры А на рис. 22.9, 22.10 Frn = R^. + R^y;
Хи Y— безразмерные коэффициенты радиальной и осевой
нагрузок, зависящие от типа подшипника и способа нагружения
(их значения указаны в каталогах подшипников и ГОСТ 18855—
82; для шариковых подшипников значения коэффициентов
X и Y приведены в табл. 23.4); V— кинематический коэффициент
учитывающий повышение числа нагружений тел качения в случае
вращения наружного кольца (если вращается внутреннее кольцо,
го Г=1. а при вращении наружного кольца К=1,2); Къ—динами-
ческий коэффициент безопасности, учитывающий кратковременные
дополните шине нагрузки на подшипник; для передаточных
механизмов с возможными незначительными перегрузками и толч-
ками А^б=1,1. ..., 1,5; —температурный коэффициент, который
зависит от теплового режима работы подшипников, при темпера-
туре t < 125' С Кт=1, при / = 200'С Кт=1,25.
При росте осевой нагрузки и Frn= const происходит выборка
радиального зазора и нагрузка более равномерно распределяется
между телами качения. Поэтому осевая сила не оказывает
влияния на значение эквивалентной нагрузки F} до тех пор,
пока отношение FxlJ(VFru) меньше параметра е (значения е при-
ведены в табл. 23.4). При Fx„,'(VFrn) коэффициенты У=0, Х=1.
* О расчетом схеме для определения радиальной силы, действующей на
опору, см. § 22.3.
413
Таблица 23.4. Значения коэффициентов радиальной и осевой нагрузок
Гил подшипника Угол р, 1рач Параметр е
Л Y X Y
Шариковый ради- альный 0 0,518(Гхп/Со)ОД4>0.19 1 0 0 56 (1 — л);'С
Шариковый ради- 12 0,631(ЛП 'СО)°-175 >0.3 1 0 0,45 (1 — X) е
ал ьно-у норный 18...20 0.57 1 0 0,43 1
24...26 0.68 1 0 0,41 0,87
28 ...36 0.95 1 0 0,37 0.66
Примечания: I. Параметр Со статическая грузоподъемное!ь подшипника,
значение которою принимается по данным каталогов или рассчитывав 1ся по
методике ГОСТ 18854 82.
2. Если при расчетах по формулам параметр е получается меньше 0.19 или
0.3, то его значение принимается равным 0.19 или 0,3.
В радиально-упорных подшипниках и в радиальных шарико-
подшипниках возникают при действии радиальной силы осевые
реакции опоры:
для шариковых подшипников Ra = eFrn;
для роликовых подшипников Ra — 0,83 eFrn.
Возникновение осевой реакции поясним на примере ради-
ально-упорного подшипника (рис. 23.13, а): сила Fra вызывает
реакцию F внешнего кольца, направленную от пего по нормали NN,
проходящей через точки контакта тел качения с внешним кольцом
и центры шариков. Радиальная сост авляющая F'ra силы F равна Frn,
а осевая Ra — реакция подшипника. При ориентировочных расчетах
осевую силу Ra вычисляют из силового треугольника (рис. 23.13, а),
увеличивая полученное значение на 30%; Ra л l,3Frntgp.
Расчетная осевая нагрузка на опору в формуле (23.8) равна
алгебраической сумме осевых реакций Raa и Ran левого и правого
подшипников и осевой силы Fx, действующей на вал от
закрепленных на нем деталей. Например, при указанном на
рис. 23.13.6 направлении силы Fx осевую нагрузку воспринимает
левая опора; расчетное значение этой нагрузки FX11 = FX—Ra„ + Ran;
при противоположном направлении силы Fx осевая нагрузка,
воспринимаемая правой опорой, Fxn = Fx + Ra„ — Ran. В конструк-
ции (рис. 23.13,6) осевой силой нагружен левый подшипник:
FX„ = FX
Если подшипники работают в условиях действия переменных
нагрузок, а также изменяющейся частоты вращения п, то
расчетная динамическая нагрузка может быть найдена по формуле
^ = [f^(/)«(z)dz/f«(/)dz]‘!Р-
Если при расчете условие (23.5а) или (23.56) не удовлетво-
ряется, то. оставляя неизменным диаметр внутреннего кольца
414
d, можно выбрать подшипник
иной серии, с повышенным
значением динамической гру-
зоподъемности С. или другой,
более подходящий тип под-
шипника. При этом расчетная
частота вращения п не должна
превышать допускаемую [и],
значение которой приводится
в каталогах.
Если частота вращения
п 1 об/мин, го расчет про-
водят только на статическую
грузоподъемность ио условию
F0 = max [(X0Frn+
+ YFxn)- Frn]<C0
(JV0, F коэффициенты, значе-
ния которых принимают на
основании данных ГОСТ
18855— 82).
При проектном расчете
подшипников качения конст-
руктору приходи гея рассмат-
ривать много вариантов опор,
выбирая среди них оптималь-
ную. Выбрать оптимальный
вариан г с учетом многих огра-
ничений можно с помощью
ЭВМ. Соответствующий алго-
ритм (л 1 об, мин) приведен
па рис. 23.14. В памяти ЭВМ
записана информация о всех
стандартных подшипниках.
В соответствии с исходными
данными (нагрузки, условия
работы) выбирают один из
подходящих типов иодшипни- Р , ,
ков и проверяют выполнение и ’
заданных ограничений (минимально или максимально допустимые
диаметры цапфы вала, наружного кольца и т. д.). Для подшип-
ников, которые удовлетворяют этим ограничениям, рассчитывают
требуемую динамическую грузоподъемность Ср по формуле
(23.56) и проверяют условие Ср < С; затем вычисляют функцию
цели (минимизация массы, размеров или стоимости подшип-
никового узла и др.) и выбирают оптимальный подшипник
рассматриваемого 1ипа. Аналогичные расчеты проводят для всех
415
Рис. 23.14
других подходящих типов подшипников, в резулыате чего
получают оптимальное решение задачи.
В опорах систем точной механики наряду с динамической
грузоподъемностью важным параметром является момент трения
в опоре. Для подшипников, несущих сравнительно малые нарузки,
момент трения
Mf = Mf0+к (1,25 Frn +1,5Fxn),
где Frn, Fxn — радиальная и осевая нагрузки, Н; Mf0 — момент
трения ненагруженного подшипника; к =0,005...0,01 мм — коэффи-
циент (плечо) трения качения.
416
Пример 23.3. Выбрать подшипни-
ки для вала, несущего косозубое
1 и прямозубое 2 колеса (рис. 23.15).
если известны силы, действующие
в зацеплениях: Flt = 200 II: В, ,=70Н:
/'х1=50Н; В,2=600 Н; /•’г2=210 И;
диаметр начальной окружности колеса
J </и1=45мм; частота вращения вала
л = 800 об/мин; диаметр вала под под-
шипники </=10 мм; размеры вала по
л типе, мм: /t = 30. /2 = 20; /=80; требу-
емый срок службы подшипника
Lh= 10000 ч: рабочая температура не
превышает 100' С.
Решение. Так как осевая нагрузка
невелика (FJF, < 0,36), то в качестве
опор примем радиальные шарикопод-
шипники. Определим реакции опор
из условий равновесия сил:
в вертикальной плоскости xz:
Рис. 23.15
X-Wa=0; BBz = (Fi1/j4-Fi2(/, + /2)),7=450 Н;
£Z=0; ЛЛ1=В„-гВ(2-Яв. = 350 Н;
в горизонтальной плоскости ху:
1^=0; Лв,=(Т;2(/1+/2)-Тг1<1)'2-Л,/1=91 Н;
I У=0; RA=Frl-Frl-RAf=49 Н.
Суммарные реакции опор:
*'г„л = Ra = vR2a, + R2a, = 353 Н;
^пв = Яв = л/яГ+Я^=459 Н.
Подшипники выбирают по наибольшей нагрузке, которая в данном случае
воспринимается правой опорой. Эту опору сделаем неподвижной, с тем чтобы
опа воспринимала осевые силы. По диаметру вала под подшипник </=10мм
принимаем по каталогу шарикоподшипник № 100. однорядный радиальный особо
легкой серии диаметров 1, ширин 0: наружный диаметр 0 = 26 мм. ширина
В=8 мч динамическая грузопо ьемность С=3600 Н. статическая грузоподъем-
ность Со = 2000 Н. Выполним проверочный расчет подшипника.
В соответствии с ГОСТ принимаем следующие значения параметров Г=1, так-
как вращается внутреннее кольцо подшипника, а наружное неподвижно; Кб = 1,1 —
условия работы обычные, об особых требованиях в условии задачи ничего нс
сказано; А\ = 1—рабочая температура не превышает 100 С. Значения коэффици-
ентов X и Y завися! от параметра е; рассчитаем его значение по формуле табл. 23.4
для радиального подшипника, принимая в первом приближении силу Fxl вместо
осевой нагрузки на подшипник, которая должна включать и осевую реакцию опоры:
е = 0,518(ГЛ1.'Со)°-24 = 0.21.
С учетом значения е найдем осевую реакцию опоры В: /?Л=еГг„=0,21 -459=96,4 Н.
Полная осевая нагрузка на опору В - алгебраическая сумма сил и Fxlt
FXB-4f>,4 Н.
Уточним значение е по найденной силе /\п:
<•=0.518 (46.4/2000)°-24 = 0.2099 *0,21.
Практически одинаковые значения е в первом и втором приближении
позволяют принять е = 0,21. Вообще же число приближений при расчетах
параметра е может быть значительно большим.
14 Зак. 730
417
Отношение /’xn,'(l/Fru)=0,l()l <с, поэтому по табл. 23.4 принимаем А'=1.
У=(). Определяем расчетные значения динамической натрузки /•', и динамической
1 ру зоподъс.мности Ср:
/•’3=(ХГЛ;П+ УГдп)Л6Лг=(1 1 -459 + 0-46,4)1.1 1 = 504.9 Н:
СР=(6- 10М.Л),₽Г>=(6-800 10 5 10000)’ 3 = 3953,2 II.
Полученное значение Ср больше динамической грузоподъемное ги С=3600
подшипника № 100. Поэтому нужно подобрать друюй подшипник. В принципе
можно либо увеличить диаметр вала иод подшипник до 4= 12 мм (подшипник
№101, С=4000 Н). либо при заданном диаметре вала 4= 10 мм выбрать
подшипник более тяжелой серии: в легкой серии диаметров 2, ширин 0 подшипник
№200 имеет следующие характеристики: г/=10мм, 0=30 мм, В=9 мм, С=
=4690 Н, Со = 2660 II. Проверочный расчет нужно провести снова, так как
значение параметра е изменяется и поэтому moi уз измениться все другие
расчетные величины:
е=0,518(ГЛ1/С1|)°-24=0,1995; /?о=0.1995 459 = 91,6 II;
Fx„ = 41,6 Н; е = 0,518 (41,6 2660)°-24 = 0,191.
Принимаем е=0,191, отношение Ггп.(Г2-ги) = 0.091 <е, тогда .¥=1, У=0.
Поэтому рассчитанное выше значение Ср = 3953,2 не изменяется. Так как
Ср < С=4000, то принят ый подшипник № 200 будет нормально работать в течение
заданного срока службы.
§ 23.5. НЕСТАНДАРТНЫЕ И ВЫСОКОСКОРОСТНЫЕ ПОДШИПНИКИ КАЧЕНИЯ
В системах автоматики, вычислительной техники и в приборах
применяют различные нестандартные и высокоскоростные под-
шипники.
Нестандартные подшипники. Если диаметр вала меньше 1 мм,
то используют миниатюрные подшипники, которые обеспечивают
повышенную точность, бесшумную и безвибрационную работу,
а также незначительный момент трения—порядка (1...8)10~3 Н-мм.
Типовые конструкции малогабаритных подшипников приведены
на рис. 23.16. Наименьшие диаметры цанф — около 0,3 мм. Осо-
бенность большинства подшипников этих типов—отсутствие
внутренних колец, роль которых играет цилиндрическая или
коническая цапфа валика с конусностью 45...90 . При повышенной
нагрузке на опору контактной части вачика и опорного кольца
придают сферическое очертание.
Качество работы подшипников, в особенности миниатюрных,
во многом зависит от движения верчения шариков. Отношение
скорости чистого качения к скорости общего движения шарика
является критерием качества опоры и называется коэффициентом
кП качества подшипника (рис. 23.16). Чем ближе кп к единице,
тем меньше потери на трение и выше долговечность опоры
(для стандартного радиального шарикоподшипника А’п=0,97... 1).
У миниатюрных подшипников коэффициент качества понижен.
Для сокращения размеров опор применяют также насыпные
подшипники без сепараторов со втулками (чашками), прямо-
угольной или галтельной формы (рис. 23.16 и 23.17, а, б).
418
кп=0,7...0,8
кп=0,7...0,8
к„=0,7... 0,8
Ап= 0,7... 0,85
кп=0,7...0,85
Рис. 23.16

кп=0,7...0,85
и др. (рис. 23.17,«). Камни
агрессивных средах, способны вы-
1емпературы, обладают большой
Рис. 23.17
До
Шарики насыпных подшипников изготовляют из гех же
мшериалов, что и у стандартных подшипников (сталь ШХ6,
ШХ9 и ШХ15), а также из бериллиевой бронзы БрБ— 2.
Для равномерного распределения нагрузки между шариками
разница их диаметров не должна превышать 0,25 мкм. При
особых требованиях к насыпным подшипникам применяют раз-
личные камни—агаты, рубины
могут работать в вакууме,
держивать резкие перепады
И
419
Рис. 23.18
контактной выносливостью (при этом уровень динамических
воздействий должен быть невысоким).
Расчет нестандартных подшипников на долговечность про-
водится путем сравнения расчетной па!рузки с допускаемой.
Высокоскоростные подшипники качения отличаются точностью
изготовления и харак i еризуются допускаемым значением пара-
метра быстроходности [т/сря]. мм об/мин, где т/ср = О,5(£>+т/)—
средний диаметр подшипника, мм; п частота вращения кольца,
об/мин. В зависимости от параметра быстроходности, подшипни-
ки качения подразделяют па следующие группы: нормальные
[т/ср»1 <0,6-106; скоростные [</ я] = (0,6...1,2)106, высокоскорост-
ные [<ри] = (1.2...2)10(1; сверхскоростные [4Zcpn] = (2...3)106.
Отечественные высокоскоростные подшипники успешно рабо-
тают при и = 150 тыс. об мин и более. Рекорд скорости л = 560 тыс.
об мин (полученный при коротком ресурсе работы) принадлежит
шарикоподшипнику с диаметром внутреннего кольца т/=3 мм.
Специальные типы подшипников надежно работают при тем-
пературе узла до 800 С.
В качестве высокоскоростных используют следующие основные
типы шарикоподшипников: однорядные радиальные (рис. 23.18, а),
их предпочтительно применять при отсутствии осевой нагрузки;
радиально-упорные (рис. 23.18. б), а также ipex- и четырех-
точечные радиально-упорные (рис. 23.18, в), которые применяют
при значительной осевой нагрузке; например, при > (),36ГГП
выбирают подшипники с углом контакта |1= 12', а при Fx > 0,lbFrn
Р = 26 . При стесненных габаршах но диаметру могут быть
использованы подшипники совмещенного типа (рис. 23.18, г),
в которых вну!реннее кольцо отсутствует, а беговые дорожки
шариков выполнены непосредственно на цапфе вала. Достигаемое
при этом уменьшение среднего диаметра </ср подшипника приво-
ди! к снижению центробежных сил инерции и i ироскопических
моменюв верчения, что благоприятно сказывается па способности
подшипника работать при высоких скоростях. Все типы высоко-
скоростных подшипников относятся к лет кой и особо лег кой
сериям, так как в подшипниках средней и тяжелой серий
возникают значительные инерционные нагрузки. При [<4ри] >
>500000 мм -об, мин применяют подшипники с массивным сепа-
ратором из латуни, бронзы, текстолита или полимерных смол.
420
Использование для сепараторов синтети-
ческих материалов, обладающих высокой
удельной прочностью и малым трением
(особенно при добавках дисульфида молиб-
дена), способствует повышению быстро-
ходности и ресурса работы подшипников.
В высокоскоростных узлах используют
также комбинированные опоры качения,
состоящие из двух подшипников
(рис. 23.19). Относительная часюта враще-
ния колец каждого из подшипников
Рис. 23.19
1 и 2 вдвое меньше частоты вращения вала 3. Соответственно
возрастает ресурс опоры.
Обеспечение надежной работы высокоскоростных подшипников
гребуе! высокой точности изготовления и монтажа опор. Про-
мышленность выпускает подшипники с допусками в 2 3 раза
меньшими, чем в высшем классе 2. Только при таких условиях
возможна надежная paooia подшипников в диапазоне частот
120^—200 тыс. об/мин.
§ 23.6. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОДШИПНИКОВЫХ УЗЛОВ
Выбор схемы уоановки подшипников и компоновка под-
шипникового узла определяются условиями работы и характером
нагрузок, действующих на опоры. Подшипниковые узлы про-
ектируют в следующем порядке: выполняют эскизную компоновку
уз за; выбирают посадки наружного и внутреннего колец, способ
их осевого крепления, тип уплотнения: выполняют рабочий
чер1еж узла.
Особое внимание при проектировании обращают на строгую
соосность посадочных мест и достаточную жесткость узла, что
необходимо для предотвращения защемления тел качения. Это
может произойти >акже из-за наличия дополнительной осевой
нагрузки вследствие неточности изготовления и сборки, а также
удлинения вала с ростом температуры. Чюбы избежать защемле-
ния тел качения, между наружным кольцом радиального под-
шипника и крышкой узла оставляю! зазор, благодаря которому
наружное кольцо може! перемещаться в осевом направлении:
опора такого типа называется пмваюи/ей. На рис. 23.20,а при-
ведена конструкция опор одного из валиков перфоратора-кон 1-
ролышка ЭВМ; менее нагруженная правая опора сделана плава-
ющей, а левая неподвижной. Наружное кольцо подшипника
неподвижной опоры чаще всего фиксируют крышкой 2. Для
этой же цели при небольших осевых нагрузках используют
стандартные разрезные пружинные упорные кольца 2 прямо-
угольного сечения, коюрые устанавливают в канавке, сделанной
421
Рис. 23.21
в корпусе (рис. 23.21, а). Размеры этих пружинных колец при-
ведены, например, в [II].
Если опору устанавливают на двух радиально-упорных под-
шипниках, го их ставят враспор. т. е. оба наружных кольца упираются
в крышки подшипниковых узлов. Такая установка подшипников
применена, например, в одном из узлов быстропечатающего
механизма. Для нормальной работы узла необходимо регулировать
зазоры между телами качения, для чего применяют прокладки ] (см.
рис. 23.13.(5) из латунной и железной фольги толщиной 0.05;
0.1 и 0,15 мм. В тех случаях, когда узел должен работать в режиме
частых реверсов, установка подшипников враспор не рекомендуется.
Вместо этого одну опору со сдвоенными радиально-упорными
подшипниками (см. рис. 23.20, б) выполняют жесткой для восприятия
осевых усилий в обоих направлениях, а другую опору — плавающей.
В конструкциях приборов часто весь передаточный механизм
монтируют на плате 2 (см. рис. 23.13,«). Втулку 3 вместе
422
с установленными на ней подшипниками, валом 4 и зубчатыми
колесами 5 и 6 устанавливают в отверстие платы и закрепляют
винтами. Зазоры в шарикоподшипниках регулируют осевым
смещением колеса 5 перед штифтовкой.
При больших нагрузках на опоры вращающееся кольцо
подшипника необходимо закреплять на валу в осевом направле-
нии, что существенно повышает надежность работы опор. Для
этой цели часто используют упорные пружинные кольца 3 и втул-
ки 1 (рис. 23.21, а), установочные кольца 4 (рис. 23.21,6) и другие
средства.
Смазка подшипников качения может быть жидкой, консистентной
или твердой и необходима для того, чтобы уменьшить трение
в опорах и предохранить подшипники от коррозии. Для подшипников,
работающих при [^ср«] < 3 105 мм - об/мин, применяют как жидкие,
зак и консистентные смазки; при больших значениях параметра [б/срл]
рекомендуется применять жидкие смазки. Вязкость смазки должна
быть тем выше, чем больше нагрузка на опору. В точной механике
в качестве жидкой смазки часто используют приборное масло МВП.
а из консистентных - смазки ГОИ-54п и ЦИАТИМ-201.
Применение твердых смазочных материалов целесообразно
в подшипниковых узлах, работающих в специальных условиях
(высокие температуры, вакуум, космическая техника, радиация).
В качестве твердых смазок используют дисульфид молибдена, графит,
синтетические материалы. Чаще всего сепараторы подшипников
изготовляют либо целиком из синтетического самосмазывающегося
материала, либо с добавкой дисульфида молибдена или графита.
Уплотнительные устройства. Для предотвращения утечки смаз-
ки и защиты узла от проникания пыли, грязи и абразивных
частиц применяю! различные уплотнительные усзройства. В прак-
тике конструирования наибольшее распространение находят кон-
тактные и лабиринтные уплотнения. Простейшее контактное
уплотнение состоит из войлочного или фшрового кольца 3 (см.
рис. 23.20) прямоугольного сечения. Деформируясь в трапеце-
идальной канавке крышки 2 кольцо прижимается к валу. Размеры
такого уплотнения стандартизованы. В других конструкциях
в качестве контактного уплотнения используют манжету 5 (рис.
23.21,6) из кожи или синтетического материала. Уплотнения
этой группы применяют при [t/cpn] < 1,2• 104 мм-об/мин. Для
более высоких часто! вращения предпочтение отдают лабиринт-
ным уп югнениям, которые подразделяют па гребенчатые
(рис. 23.22, я) и прямоточные (рис. 23.22,6). Герметичность гре-
бенчатого лабиринтного уплотнения значительно выше, чем
прямоточного, по последнее конструктивно проще и дешевле.
Герметичность уплотнения повышается с уменьшением зазора
Д (Д » 0,1 ...0,3 мм) и увеличением глубины h камеры.
Недостаток контактных уплотнений— их относительно не-
большая долговечность; уплотнения же лабиринтного типа не всегда
423
1
Рис. 23.22
обеспечивают нужную герметичность. Указанных недостатков
лишены новые уплотнения, в которых используют магнитные
жидкости, представляющие собой суспензию какой-либо жидкости
с микроскопическими твердыми магнитными частицами. Конст-
руктивная схема уплотнения подшипникового узла с помощью
магнитной жидкости показана на рис. 23.22, в. В корпусе I из
немагнитною материала устанавливают кольца 3 из магнитного
материала, между которыми расположен кольцевой постоянный
магнит 2. В зазор между стальным валом 5 и кольцами 3 помещена
магнитная жидкость 4, которая и образует герметичное уплотнение.
Осевую фиксацию узла осуществляют кольцом 6. Уплотнения такого
рода могут работать при частотах вращения до 120000 об/мин. не
изнашиваются, почти не требуют ухода. На качество их работы не
влияют состояние поверхности вала и его эксцентриситет. При
достаточной напряженности магнитного поля уплотнение с магнит-
ной жидкостью выдерживает избыточное давление до (2...3) 105 Па.
В целях упрощения конструкции подшипниковых узлов, а так-
же для уменьшения их габаритов и массы применяют подшипники
со встроенными уплотнениями типа 60000 и 80000 с одной
и двумя защитными шайбами (рис. 23.23, а), типа 160000 и 180000
с односторонним и двусторонним уплотнением (рис. 23.23, б),
а также подшипники тина 20000 и 30000 со встроенными
фетровыми уплотнениями (рис. 23.23,в).
Выбор посадок подшипников имеет существенное значение для
работоспособности опоры. Посадки внутренних колец осуществля-
ют ио системе отверстия: поле допуска отверстия под вал
внутреннего кольца остается постоянным, а разные посадки
424
Рис. 23.24
получают вследствие различных полей допусков вала (рис. 23.24).
Но характер посадки отличается от обычного, так как расположе-
ние поля допуска отверстия внутреннего кольца иное, чем
в системе отверстия. Посадку наружного кольца в корпус
осуществляют по системе вала.
Вращающееся кольцо подшипника должно иметь неподвижное
соединение с сопрягаемой деталью, для чего используют поля
допусков js, к, т. п (последние два применяют лишь при
действии на опоры больвшх сил). Натяг выбирают тем меньшим,
чем выше частота вращения и точность подшипника. Неподвиж-
ное кольцо подшипника обычно устанавливают в отверстие
с полем допуска Н', в некоторых случаях для этой цели
применяют поле допуска Js (например, при посадке в корпус
неподвижного кольца упорного подшипника). В приборостроении
в целях упрощения сборки используют поля допусков Л и js
для вала, а для отверстия в корпусе—Js, К, М, N.
Для подшипников класса точности 0 применяют 6-й и 7-й
квалитеты, для подшипников более высокой точности необходимы
4-й и 5-й квалитеты точности*.
* Особенности посадок подшипников качения отмене ты также в § 13.4.
425
§ 23.7. СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ МОМЕНТА СИЛ ТРЕНИЯ В ОПОРАХ
В системах точной механики особое значение имеет момент
сил трения в опорах. Так, наличие трения в опорах гироскопов
приводит к искажению показаний прибора. Поэтому для повыше-
ния точности действия механизмов принимают специальные
конструктивные меры, направленные на уменьшение момента
сил трения в опорах.
Рассмотрим вал I, смонтированный на опорах
2 и 3 (рис. 23.25, я). В каждой опоре j (7 = 2,3) создается момент
сухого или граничного трения
М rji = -fuRfi,5 Jsignw,-i,
где /ц—приведенный коэффициент трения в цапфе (см. рис. 3.13);
Rj радиальная нагрузка па опору: d—диаметр вала; функция
signwp имеет модуль, равный единице, а ее знак совпадает со
знаком угловой скорости (ол вала относительно опоры j.
При неподвижных опорах 2 и 3 скорости сод равны угловой
скорости с)! вала и общий момент сил трения, препятствующий
вращению вала, Mr=Mf21 + МГ31 = —flFrdi'l, так как R2 + R2 = Fr.
Если втулки 2 и 3 вращать в противоположных направлениях
с равными по модулю скоростями w2 = | ю31 » ю, (рис. 23.25, б),
то моменты сил трения Mf2i и Л//31 будут разнонаправленными.
Это происходит потому, что знаки относительных угловых
скоростей со21 =0)!+ со2 % со, и <о31 =ю1 — ю3 ~ — <п3 противополож-
ны. Если сила Fr расположена посредине между опорами, то
участок вала 1 между ними будет скручиваться моментом
Рис. 23.25
426
Л//21 = |М?311, а общий момент трения, препятствующий враще-
нию вала. Mf=Mf21+MJ3l^0. Вращение втулок 2 и 3 обеспе-
чивается дополни тельным приводом (рис. 23.25, в). Oi двигателя
.V/ вращение к втулке 2 передается зубчатым механизмом 7-8,
а к втулке 3 колесами 6-5-4. Промежуточное колесо 5 необ-
ходимо для того, чтобы направления вращения втулок 2 и 3 были
противоположными.
Применяют и другие способы уменьшения трения в опорах.
Например, момент трения в опоре вала 1 (рис. 23.25. г) умень-
шается при вибрации втулки 2 в осевом направлении. Осевые
нагрузки воспринимают шарики 3, а плоская пружина 4 играет
роль упругого элемента.
ГЛАВА 24
муфты
Валы отдельных механизмов, двигателей и рабочих органов соединяются
муфтами. Конструкции муфт очень разнообразны — от простейшей муфты в виде
втулки, закрепленной па концах соосно расположенных валов, до достаточно
сложных устройств типа шарнира Гука, кот да оси соединяемых валов движутся
друт относительно друга. Назначение муфт шире, чем просто соединить два
вала; с помощью муфт управления производится включение в действие и от-
ключение всего механизма ити отдельных сто частей, система предохраняется
от перегрузки и т. д.
§24.1. МУФТЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТОЧНОЙ МЕХАНИКЕ
Муфтами называются устройства для соединения валов
между собой или для соединения валов со свободно сидящими
на них деталями (шкивами, зубчатыми колесами и т. д.).
Классификация муфт по функциональному признаку приведена
на рис. 24.1.
Муфты для постоянного соединения валов могут быть глухими
(жесткими) и подвижными (компенсирующими). Глухие муфты
просты по конструкции, по требуют точной соосности валов.
Компенсирующие муфты допускают небольшие относительные
смещения валов (рис. 24.2): осевое Дт. радиальное, или парал-
лельное, Дг и угловое Дат (перекос), которые вызываются
погрешностями изготовления и монтажа соединяемых элементов.
Кроме того, компенсирующие муфты с упругими элементами
демпфируют крутильные колебания.
Муфты управления позволяют управлять движением ведомого
звена. Муфты, предназначенные для периодического включения
и выключения ведомой ветви привода, носят название сцепных
или муфт включения. Другая разновидность муфт управления
муфты свободного хода, которые передают движение лишь
в одном определенном направлении. К муфтам управления
относятся и предохранительные, способные автоматически
427
Рис. 24.1
Рис. 24.2
разъединять валы, если развиваемый кру-
тящий момент превышает допускаемое зна-
чение; они предохраняют определенную часть
механизма от перегрузок. Особую группу
муфз включения составляют электромаг-
нитные, которые благодаря своему бы-
стродействию получили широкое применение
в системах автоматики и ЭВМ. Отдельные
виды электромагнитных муфт позволяют
регулировать частоту вращения ведомого
звена, а также осуществлять его торможение.
§ 24.2. МУФТЫ ДЛЯ ПОСТОЯННОГО СОЕДИНЕНИЯ ВАЛОВ
Глухие муфты жестко соединяют валы между собой, при
этом требуют высокой точности в отношении соосности, ак
как несовпадение геометрических осей валов вызывает изгиб
валиков и муфты или даже заклинивание узла. В точной механике
часто применяют глухие втулочные муфты (рис. 24.3). Втулка
I муфты сопрягается с валиками 2 по посадкам типа Hlh
7...9-го квалитетов и закрепляется посредством штифтов 3 или
шпонок. Ориентировочные размеры: £>=1,5т/; /=(3...4)</. Втулку
рассчитывают па кручение, а в местах соприкосновения со
штифтом — на смятие.
428
Компенсирующие муфты широко применяют в различных
приводах. Наиболее простые расширительные муфты (рис. 24.4)
допускают осевое смещение валов, но требуют строгой соосности
и применяются при незначительных нагрузках и сравнительно
малых частотах вращения.
Поводковые муфты (рис. 24.5, а) используют при диамет-
рах валов 4... 12 мм, они допускают небольшие осевые и ради-
альные смещения соединяемых валов. Муфты этого типа состоят
из полумуфт / и 2, каждая из которых неподвижно соединена
со своим валом штифтом. На фланце одной нолумуфты закреплен
палец 3, входящий в паз фланца второй полумуфты. Палец
может быть цилиндрическим или сферическим; последний наряду
с параллельной допускает и угловую несносность валов. Размеры
поводковых муфт даны в табл. 24.1.
При песоосности валов зависимость между углами поворота
нолумуфг становится нелинейной. Кинематически муфта представляет
собой кулисшлй механизм (рис. 24.5, б). Считая звено / входным,
из треугольников ОУАВ и О2АВ найдем угол поворота звена 2;
<р2 = arctg [с, sintpj. (г, coscpj —Ду)]. (24.1)
где Ду параллельная несоосность валов; с1=О1А.
Рис. 24.5
429
Таблица 24.1. Размеры поводковых муф| (рис. 24.5, a), vim
<1 D D, В ь С <1, С С, 1 h
4 9 7 10
4 35 8 2 4 4 12 15 4 3
6 25 12 7 10
6 35 12 15
8 30 15 12 3 5 5 8,5 12 5 4
8 35 4 4 12 15 4
10 35 18 13 4 5 5 10.5 14 5 5
12 35 22 6 6 10 6
Следовательно, поводковая муфта дае1 ошибку Л(р = <р-> —<р( в угле
поворота выходного звена. Учитывая малость величин А у и Дф. из
формулы (24.1) после преобразований получаем
Д<р% Aysinq>1/<-1.
Недостатки поводковых муфт возникновение в валиках ра-
диальной изгибающей нагрузки о г передаваемой поводком силы
и увеличивающийся по мере износа трущихся частей мерный
ход, который образуется вследствие зазора между пальцем
и пазом. Допускаемый угол перекоса валов Да (рад) зависит
от зазора 5 в соединении пальца с пазом и ширины фланца
Ь, Да = 8,7>. Если перекос валов превышает рассчитанное значение
Дос, го применяют шаровой палец (рис. 24.5, а), допускающий
в 2...2,5 раза больший перекос.
Плавающие (крестовинные) муфты используют при частотах
вращения до 300 об/мин и диаметрах d валов 4... 18 мм. Характер-
ная особенное!ь кресговинной муфты — поддержание постоянного,
равного единице значения передаточного отношения при радиаль-
ном смешении валов до Д г=(0,01 rf+0,25) мм. Эти муфты нор-
мально работают также при перекосах валов до 1 '. Крестовинная
муфта состоит из трех частей (рис. 24.6): полу муфт ы 1 и 3 с ради-
альными пазами насаживаются на концы соединяемых валов,
а средний диск (крестовина) 2 вставляется своими выступами
в пазы нолумуфт (сопряжение типа Н d 8...9-го квалитетов).
Детали крестовидной муфты изготовляют из стали, выступы
и пазы цементируют, а для снижения трения на их рабочие
поверхноши наносят консистентную смазку. К недостаткам
плавающих муфт следует отнести износ пазов вследствие трения
между нолумуфтами и крестовиной, чю ведет к увеличению
мертвого хода, а также сравнительно невысокий кпд около 0,96.
Рекомендуются следующие размеры плавающих муфт (рис. 24.6), мм:
d ......... 4 5
D, ....... II II
D ........ 20 20
6 7 8 9
II 14 14 17
20 26 26 32
10 12 14 18
17 20 26 40
32 38 48 60
430
Большую группу компенсирующих муфт составляют упругие
муфты. Благодаря наличию упругих элементов они демпфируют
колебания в приводе при частых пусках и реверсах механизма,
сопровождаемых значительной неравномерностью вращения, и ча-
стично амортизируют динамические нагрузки.
В точной механике для соединения валов в среднескоростных
ступенях механизмов часто применяют упругие мембранные
муфты. Они могут компенсировать значительный перекос валов —
до Зг, а также параллельную несоосность порядка 0 3...0,7 мм.
По сравнению с ранее рассмотренными эти муфты обла-
чают более высокими компенсирующими свойствами. На рис. 24.7
представлена конструкция мембранной муфты, которая со-
стоит из двух поводков 1 и двух тонких пружинящих колец—
мембран 2. Мембраны с поводками и между собой соединены
заклепками 3. Применяют также муфты с одной мембраной,
которая приклепывается непосредственно к поводкам. Мембра-
ны изготовляют из стали 65Г, кремнистой стали, фосфори-
стой бронзы, текстолита и других синтетических материалов.
431
Рис. 24.8
Для диаметров валиков
4... 12 мм мембранные муф-
ты нормализованы. Кру-
тильную жесткость мемб-
ранной и других ynpyi их
муфт рассчитывают из усло-
вия отсутствия резонанса
при соблюдении ограниче-
ний на упругий мертвый ход.
Пружинная упругая муфта
обладает хорошими демпфи-
рующими свойствами и ком-
пенсирует перекосы до 5...6’.
Здесь в выступах 1 полумуф-
гы 2 (рис. 24.8) установлены
упоры 3 с пружинами 4. Упо-
ры соприкасаются с высту-
пами 5 второй полумуфгы 6.
Эластичная муфта имеет
относительно простую конст-
рукцию (рис. 24.9), что и определяет ее распространение в системах
автоматики, ЭВМ, приборах и т. д. Здесь между нолумуфтами 3 находится
упругая промежуточная шайба 2 из резины или кожи, в отверстия которой
входят пальцы 1 и 4. Деформируясь, шайба 2 амортизирует динамические
нагрузки, а также компенсирует несоосность и перекосы валов.
Прочностной расчет этих муфт заключается в проверке прочности пальцев
и упругих элементов. Пальцы рассчитывают на изгиб:
ои = 0,5П/(0,1(0,5т72)3)<(уи],
где F— T/(0,5Dz)—сила, приходящаяся па один палец; /. d,
D -размеры муфты (рис. 24.9); Т—передаваемый муфтой крутя-
432
щий момент; z- число пальцев; [ст,,]— допускаемое напряжение изги-
ба для материала пальца. Упругие элементы проверяют на смятие:
ак = /.(/г/)^[п„].
где [стя]— допускаемое контактное напряжение смятия для мате-
риала упругого элемента.
В сишемах автоматики и ЭВМ находя! также применение
упругие муфты с резиновой звездочкой и упругие втулочно-пальцевые
муф1Ы, которые обладают хорошими эксплуатационными качествами.
§24.3. МУФТЫ УПРАВЛЕНИЯ
Муфты управления могут быть следующих типов (см. рис.
24.1): включения, свободного хода, предохранительные и др.
Муфты включения, называемые также сцепными, осуществляют
передачу движения от ведущего вала к ведомому по команде
управляющего органа и работают в режиме «включено — выклю-
чено». Некоторые типы электромагнитных муфт управления
могут выполнять и более сложные команды: изменение частоты
вращения ведомого вала и реверс.
Электромагнитные муфты разновидность управляе-
мых муфт, широко используемых в следующих системах автома-
тики и различных приводах ЭВМ. Главное достоинство этих
муфт—возможность осуществлять управление дистанционно с по-
мощью сигналов относительно малой мощности. Электромаг-
нншые муфты легко обеспечивают управление по программе,
записанной на магнитной ленте или другом носителе информации,
а также непосредсiвенно по сигналам ЭВМ. Другая важная
особенность электромагнитных муфт—высокое быстродействие,
в резулыагс чего можно получить значительные ускорения
ведомою вала (до 50000 рад/с2). Для этого в системе устанав-
ливают постоянно вращающий маховик; в момент включения
муфты быстрый разгон рабочего органа до номинальной угловой
скорости осуществляется в основном за счет кинетической энергии
маховика (см. § 4.2). Время разгона гр, обеспечиваемое муфтой
в диапазоне угловых скоростей 100... 1400 рад/'с. значительно
меньше времени разгона, которое может дать серводвигатель.
Существующие конструкции электромагнитных муфт по виду
связи между ведущим и ведомым элементами подразделяются
на муфты с механической (кривой /, рис. 24.10) и электромехани-
ческой (кривые 2 и 2а) связью и муфты со связью через
электромагнитное поле (кривая 3).
В муфтах с механической связью передача энергии осуществля-
ется посредством сил фрикционного сцепления. Схема однодиско-
вой электромагнитной муфты с механической связью показана
на рис. 24.11. а: на вал 1 неподвижно насажена полумуфта
2 с электромагнитом 5; полумуфга 4 вращается вместе с валом
433
5, но может перемещаться в осевом
направлении. При прохождении тока
через катушки электромагнита возникает
магнитное поле, притягивающее полуму-
фту 4 к полумуфте 2, в результате между
фрикционными дисками создав!ся мо-
мент фрикционного сцепления Mj, если
крутящий момент Г, передаваемый валом
7 на вал 5 (или наоборот), меньше Mf, то
муфта работает без проскальзывания.
Недостаток схемы (рис. 24.10. а) —
необходимость подвода тока к враща-
Рис. 24.11
ющейся катушке электромагнита. Этого можно избежать, ис-
пользуя конструкцию с неподвижным электромагнитом
1 (рис. 24.11, о). Здесь ведущая полумуфта 3, имеющая фрикци-
онное кольцо 4, вращается вместе с валом 2. При включении
электромагнита 1 возникает осевая сила, обеспечивающая фрик-
ционное сцепление ведомой полумуфты 5 с кольцом 4 и передачу
крутящего момента от вала 2 к зубчатому колесу (или друтому
звену), жестко соединенному с полумуфтой 5.
Однодисковые муфты просты и надежны, но габариты их
относительно велики. Более эффективны в этом отношении
многодисковые муфты: оптимальное число дисков—6... 10. Ма-
гни гопроводы муфт изготовляют главным образом из магнитных
материалов, а рабочие диски—из фрикционных материалов па
основе металлических порошков.
Электромагнитные фрикционные муфты получили наибольшее
распространение при мощностях до 250 Вт; они просты по
конструкции, могут применяться при частотах вращения до
10000 об/мин (многодисковые—до 4000 об/мин), время их сраба-
434
1 2 3
Рис. 24.12
2 3
Рис. 24.13
магнита. В результате взаимо-
тывания 9... 260 мс (одноди-
сковые) и 28...200 мс (мно-
годисковые). При прерывис-
той нагрузке, требующей
быстрой фиксации в отдель-
ных позициях, фрикционные
дисковые муфты обеспечи-
вают наивысшую скорость
реакции и лучшую механи-
ческую характеристику. Они
особенно эффективы, когда
нерабочие периоды относи-
тельно велики, гак как име-
ют небольшой тормозной
момент и не выделяют те-
плоты на холостом ходу.
Механическую часть эле-
ктромагнитных муфт рас-
считывают по гой же ме-
тодике, что и обычных фри-
кционных муфт.
Повышение быстродейст-
вия возможно при исполь-
зовании фрикционных эле-
ктромагнитных муфт с маг-
нитоэлектрическим управле-
нием [11]. В этой системе
ток подводится к катушке,
находящейся в поле постоянного
действия магнитных полей катушка смещается в осевом направле-
нии, включая муфту. Быстродействие составляет в среднем около
0,5 мс. Муфты с магнитоэлектрическим управлением применяют
в механизмах перемещения перфолент и друтих носителей ин-
формации в ЭВМ.
Дальнейшее повышение быст родействия (до 0,2 мс) позволяют
получить пьезокристаллические муфты. Их дейшвие основано
на изменении размеров кристалла под действием постоянного
тока. При подводе тока к кристаллам 1 полумуфты 2 (рис. 24.12)
происходит увеличение диаметра £>2- чт0 ведет к фрикционному
сцеплению полумуфт 2 и 3. Недостаток этих муфт— большой
тормозной момент при нулевом сигнале управления.
К муфтам с электромеханической связью относятся магнито-
порошковые и магнитожидкостпые. Принцип их работы основан
на зависимости вязкости магнитных частиц от интенсивности
магнитного поля. Схема высокоскоростной муфты такого типа
показана на рис. 24.13, а. Пространство между полумуфтами
1 и 2 заполнено магнитными частицами 3 в жидком или
435
порошкообразном состоянии. При нулевой напряженности маг-
нитного поля электромагнита 4 вязкость заполнителя небольшая
и полумуфты механически не связаны. При подаче сигнала
управления на электромагнит 4 частицы 3 образуют массу
большой вязкости, механически связывая полумуфты / и 2. При
увеличении интенсивности магнигного поля вязкость заполнителя
растет, благодаря чему увеличивается значение передаваемого
крутящего момента (переход от характеристики 2а к харак-
теристике 2, см. рис. 24.10). Изменение температуры практически
не влияет на работу муфты; быстродействие рассматриваемых
устройств до 3 мс; частота вращения может достигать
12000 об/мин. Жидкостные муфты работают более плавно, чем
порошковые, но требуют более сложной конструкции уплотнений.
Если требуется упростить подвод тока и существенно умень-
шить момент инерции муфты, то применяют муфты с неподвиж-
ным электромагнитом. На рис. 24.13, о показана конструкция
электромагнитной порошковой муфты-тормоза с неподвижными
электромагнитами, которую используют в механизмах перемеще-
ния ленточных носителей информации ЭВМ. Здесь на ведомом
валу 1 жестко закреплено кольцо 2. Пространство между этим
кольцом и неподвижной частью 3 муфгы, а также между горцами
валов / и 4 заполнено магнитным порошком 5. При включении
неподвижного электромагнита 6 вязкость порошка в золе между
торцами валов резко возрастает, чем обеспечивается механическая
связь ведущего и ведомого валов. При необходимости быстрой
остановки ведомой части механизма электромагнит 6 выключается
и одновременно включается электромагнит 7, чем обеспечивается
фрикционная связь кольца 2 и вала 7 со стойкой 3.
Муфты с электромеханической связью можно применять
практически при любых мощностях, они работают без вибраций,
могут быть отрегулированы так, что их характеристики будут
линейными. ’ Так как в узле нет трущихся поверхностей (кроме
уплотнений) и подвижных в осевом направлении частей, то срок
службы таких муфт обычно значительно больше, чем у фрикцион-
ных электромагнитных. Магнитные силы муфгы легко регулиру-
ются во всем диапазоне мощности. Обычно в системах точной
механики для питания об.мотки электромагнита достаточно юка
в несколько миллиампер; это расширяет возможности применения
таких муфт, поскольку нет необходимости в сложных электронных
схемах. В качестве заполнителей используют порошки из кремнис-
тою или карбонильного железа, а также различные смеси. Один
из недостатков муфт с электромеханической связью необходи-
мость применения уплотнений, в качестве которых используют
лабиринтное уплотнение и уплотнение с прокладкой из углерода
или синтетического ма териала (см. деталь Л рис. 24.13, б). Харак-
теристики некоторых нормализованных магнитопорошковых муфт
приведены в табл. 24.2.
436
Таблица 24.2. Характеристики матигопорошковых муфт
Наименование napaMetpa Тип муфты
БПМ-0.5 М БПМ-1 М БПМ-2 М БПМ-5 М БПМ-10 М
Наибольший передаваемый момент, Н-мм Н аибольша я часто га вращения, об/мин 50 ПО 300 600 1000
1000 1000 2000 2000 2000
Остаточный момент трения. Н-мм 12 15 30 30 40
Время срабаи>1вания (по момен гу), мс 13 15 15 20 30
К муфтам со связью через электромагнитное поле относятся
гистерезисные, индукционные (асинхронные и синхронные), а так-
же конденсаторные. Эти муфты обладают высокой надежностью
и долговечностью; вращение ведомого звена плавное, остаточное
торможение невелико. Однако кпд таких муфт относительно мал.
Зубчатые и кулачковые муфты обеспечивают надежное
соединение и высокую частоту включения (до 1000 циклов в час),
имеют небольшие размеры, но требуют точной соосности соединя-
емых валов. Включение и выключение этих муфт производится
во время остановки валов или при небольшой частоте вращения
(до 100 об;мин).
Конструкция зубчатой муфты (рис. 24.14, а) состоит из полу-
муфты 1 с внутренними иолумуфтами 2 с внешними эвольвен гными
зубьями. При перемещении полумуфты 2 в осевом направлении по
стрелке А муфта выключается, так как зубья полумуфт выходят из
зацепления; при обратном движении муфта включается. Чаще всего
зубчатые муфты применяют для соединения валов со свободно
насаженными на них зубчатыми колесами и друтими деталями.
Кулачковые муфты имеют зубья на торцах полумуфт
и обеспечивают безлюфтовое соединение. При осевом смещении
Рис. 24.14
437
полумуфыл 1 (рис. 24.13, о) ио стрелке А зубья (кулачки)
полумуфт входят в зацепление, чем достигается включение
муфты. Наименьшее число зубьев 2...3, наибольшее—около
60; с увеличением передаваемой нагрузки и уменьшением
времени включения число зубьев должно увеличиваться. Ма-
1ериалом для зубчатых и кулачковых муфт служат терми-
чески обработанные стали, обычно легированные, 20Х или
20ХН2, зубья цементируют на глубину 0,3...0,5 мм и закали-
вают до твердости 54...60 HRC. Расчет муф> рассматриваемо-
го типа включает проверку прочности зубьев на смятие и
изгиб.
Фрикционные муфгы включения широко распространены
в приборостроении благодаря простоте конструкции; они пред-
назначены для плавного включения па ходу и обладают предохра-
нительными свойствами, ограничивая нагрузки на ведомые звенья.
Схема однодисковой фрикционной муфты показана на рис. 24.15,
а. Полумуфта 1 неподвижно закреплена на валу 2, а полумуфта
3 имеет возможность смешаться в осевом направлении (по
стрелке А) относительно вала 4. Применяемые для фрикционных
пар материалы представлены в табл. 24.3. При использовании
пары сталь-—сталь желательна смазка; хорошие резу штаты без
смазки дает применение бронзы или бронзографига.
438
Таблица 24.3. Характерноика материалов для фрикционных муфт
Материалы фрикционной пары Условия работ ы Средние зна- чения коэф- фициента зрения / Допускаемое давление 0), МПа Наибольшая рабочая тем- пература, <’
С1 аль—сталь Со смазкой 0,08 0,6... 0.8 250
Сталь—чугун То же 0,06 0,6...0.8 250-300
Чугун — чуч ун То же Без смазки 0,15 0,25... 0.4 250-300
Сталь бронза Со смазкой 0,05 0.4 150
Сталь—текстолит То же 0,1 0,5...0,6 100
Сталь—фибра » 0,12 0,3... 0,4
То же Без смазки 0,2 0,3... 0,4
Сталь прессованный асбест То же 0,3 0.25-0,3 150..250
Сталь—металлокера- мика » 0.08 0.3 550
То же Со смазкой 0.04 0.4 550
Задача расчета фрикционной муфгы— определить наибольший
крутящий момент, который она может передать, и необходимую
силу прижатия F. Момент сил трения (момент сцепления),
возникающий между дисками 1 и 3 (см. рис. 24.15, а) под
действием силы F, рассчитывают так же, как момент сил трения
в цилиндрической пяте [см. формулу (3.39)]:
Л//=(1/3)Т/(£>5-</3)/(£)2-с/2), (24.2)
где f коэффициент трения скольжения между дисками муфты;
Dad- размеры на рис. 24.14, а. Для нормальной работы муфты
необходимо, чтобы передаваемый крутящий момент Т был
меньше или A/Z=PT (Р= 1,15... 1,25— коэффициент запаса
по сцеплению). Из формулы (24.2) при принятом значении
Т находят силу прижатия
Т=ЗРГ(£>2 —</2)/[/(Z)3—t/3)]. (24.3)
Нагрузочная способность муфты определяется допускаемым
значением удельного давления (см. табл. 24.3):
p = F/[n(D2-t/2)/4] = 12Jr-,p7’/[/(D3-J3)]^[p]. (24.4)
При необходимости увеличить нагрузочную способность при-
меняют многодисковые (рис. 24.15, б) и конические фрикционные
муфты (рис. 24.15, в), в которых при том же значении силы
прижатия передаваемый крутящий момент Т значительно возрас-
тает. Угол у конуса выбирают больше угла трения, чтобы
обеспечить падежное размыкание конусов при выключении муфты;
обычно у = 8... 12'. При расчетах конических фрикционных муфт
в формулы вместо параметра / подставляют приведенный
коэффициент трения /sin "10,5у.
Предохранительные муфты. Здесь сигналом управления служит
передаваемый крутящий момент Г; когда его значение превышает
439
расчетное, муфта автомати-
чески разъединяет ведомый
и ведущий валы, предохра-
няя механизм от перегрузок.
Предохранительные
свойства фрикционных
муфт заключаются в про-
скальзывании полумуфт
в случае, когда T>Mf. На
рис. 24.16, а показана ти-
пичная конструкция предох-
рани I ельной фрикционной
муфты. Фрикционные диски
3 могут смещаться в осевом
направлении относительно
полумуф1ы 7, но не враща-
ются относительно нее.
Аналогично соединены дис-
ки 4 с пол у муфтой 6. Сила
F пружины 2 прижимает
диски 3 и 4 друг к другу;
при этом создается момент
сцепления Mf. Если крутя-
щий момен I Т< то му-
фта передает вращение. Ре-
1’ис. 24.16
гулирование силы F осуществляется шайбой 5.
Недостаток фрикционных муфт рассмотренного типа — повы-
шенный износ в результате проскальзывания при перегрузках. От
этого недостатка свободна муфта (рис. 24.16. 6). Фрикционные
диски 5 и 4 связаны соответшвенно с полумуфтой 7 и втулкой
6 так же, как в конструкции на рис. 24.16, а. С полумуфтой
3 жестко связано кольцо 2. В конических отверстиях втулки
6 и кольца 2 помещаются шарики 7. Когда передаваемый момент
становится больше предельного, шарики выходят из гнезд, втулка
б перемещается вправо, сжимая пружину 8. В результате сила
прижатия дисков 4. 5 падает до нуля и муфта выключается.
Расчет фрикционных предохранительных муфт проводят но
формулам, аналогичным (24.3) и (24.4).
В качестве предохранительных муфт используют также пружин-
но-кулачковые, пружинно-шариковые и муфты со срезными штиф-
тами. В последних штифт разрушается в том случае, когда крутящий
момент превышает допускаемый. Предельное значение передаваемого
момента кулачковых муфт с торцовыми зубьями зависит от формы
зубьев и силы прижатия полумуфт пружиной (см. рис. 24.14).
Пружинно-шариковые (или роликовые) предохранительные му-
фты обладают более стабильным предельным моментом, чем
фрикционные и кулачковые. В шариковой муфте (рис. 24.17)
440
полумуфты 1 и 2 соединяются шарика-
ми 3, прижатыми к полумуфге 2 пружи-
нами 4. Сила прижатия каждого шарика
F= Ттлх v^irfJ2-l/(0.5£>z),
где — предельный передаваемый
крутящий момент; й?ш, d0, D—раз-
меры па рис. 24.16; z -число шари-
ков. По заданному значению Т„м рас-
считывают силу F пружины 4 (при
малых угловых скоростях центробеж-
ные силы инерции не учитывают).
Муфты свободного хода передают
вращательное движение лишь в одном
направлении, часто их называют так-
же обгонными муфтами, так как связь
Рис, 24.17
валов автоматически
прерывается, как только угловая скорость ведомого звена пре-
высит скорость ведущего. По конструкции муфты свободного
хода подразделяют на фрикционные, храповые и пружинные.
Фрикционная муфта свободного хода (рис. 24.18. «) сосюит из
Рис. 24.18
441
звездочки /, обоймы 2 и несколь-
ких шариков или роликов 3,
которые отжимаются пружинами
4 в суженную часгь пространства
между звездочкой и обоймой.
Если ведущая звездочка 1 враща-
ется по ходу часовой стрелки,
то шарики (ролики) заклинива-
ются, в результате чего внешняя
обойма 2 также начинает вра-
щаться. Если (D2>(Dt, го муфта
выключается. Кпд фрикционных
муфт свободного хода равен
0,8...0,95.
Храповые муфты свободного
хода используют для односто-
ронней передачи движения oi вала к насаженной па пего детали
(или наоборот) при небольших нагрузках и угловых скоростях.
Такую муфту, например, применяют в механизме телефонного
номеронабирателя (рис. 24.18, б), где она соединяет зубчатое
1 и ведомое червячное 7 колеса, свободно насаженные на ось
2. При вращении колеса I проiив хода часовой стрелки шарнирно
соединенная с ним пальцем 5 собачка 4 зацепляется с храповым
колесом 6: вращение передается на червячное колесо 7 и им-
пульсную звездочку 8. Пружина 3 обеспечивает постоянный
контакт звеньев 4 и 5. При вращении колеса 1 в противоположную
сторону собачка скользит по зубьям храповика и движение
к червячному колесу не передается. Недостаток храповых муфт—
шум при холостом ходе и удары при включении.
Муфты свободного хода с цилиндрической пружиной находят
широкое применение в тихоходных передачах приборов благодаря
простой конструкции, надежности и бесшумности работы. Типич-
ная конструкция такой муфты представлена на рис. 24.19: на
ведущий вал 2 диаметром D с натягом порядка 0,1 мм надета
винтовая пружина 3; один конец ее входит в отверстие в диске
зубчатого колеса 1, свободно сидящего на валу. Если направление
вращения вала совпадает с направлением навивки пружины, то
витки последней под действием сил iрения плотно охватывают
вал и зубчатое колесо вращается вместе с валом, пока крутящий
момент Т не превышает развивающегося тормозного момента
сил трения
М=kx (2£J(Z>—Z>(,)Z>o 2)ехР(2ля/);
при противоположном вращении вала пружина скользит по его
поверхности, создавая небольшой тормозной момент
М f2 = k2(2EJ[D — Do)Do2).
442
В формулах: Е — модуль упругости материала пружины; J==
=л<?4-64 —осевой момент инерции сечения витка пружины диамет-
ром d; Do внутренний диаметр пружины в неде<нормированном
состоянии; п — число витков пружины: f коэффициент трения
кх и к2- коэффициенты,
их значения принимают
между валом и витками пружины;
зависящие or параметров п и /;
в соотвеютвии с рис. 24.20.
§24.4. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ШАРНИРЫ
Универсальные шарниры, называемые также шарнирами Гука
(или карданными соединениями), могут передавать вращение
между двумя валами при значительно больших углах перекоса
Да между пересекающимися осями валов, чем эго допускают
какие-либо другие муфты. В процессе работы угол Да может
изменяться.
Структурно универсальный шарнир представляет собой про-
странственный четырехзвеппый механизм (рис. 24.21, п); на валах
1 и // закреплены звенья 1 и 2 специальной формы (вилки),
соединенные между собой крестовиной 3. Нормальная работа
механизма обеспечивается при углах Да ^20'; при малых нагруз-
ках угол Да можно увеличить до 45". Недостаток такого
механизма— переменность передаточного отношения, которое
определяется формулой
«12 = (1 — cos2 <Pt sin Да)/cos Да; /12inin = cosAa; ii2max=cos '1 Да,
где <Pj— угол поворота звена /. Постоянное передаточное отноше-
ние, равное единице, можно получить при двойном универсальном
443
Рис. 24.21
лик 2 с шаровым концом 3. Вилка 4.
1, имеет два паза П, в которых ось
шарнире (рис. 24.21, б), ког-
да углы Да одинаковы для
обоих шарниров, а вилки
2 и 2' промежуточного ва-
лика 4 лежа г в одной плос-
кое in. Такое устройство да-
е г возможность передать
•энергию между параллель-
ными или пересекающимися
под углом 2Да валами.
В приборостроении при-
меняют стандартные уни-
версальные шарниры для
диаметров валов 4... 15 мм;
их кпд зависит от угла Да
и колеблется в пределах
0,95...0,62 для значения
Да=0... 18‘. Конструкция
универсальных шарниров,
применяемых в точной ме-
ханике, предсгат юна на
рис. 24.22. Здесь звено 1 яв-
ляется кресювипой, относи-
тельно оси В В которой
может поворачиваться ва-
жестко соединенная с валом
В В може! перемещаться
поступательно и вращается. Конструкция верхнего шарнира на
рис. 24.22 позволяет при регулировке вращать вал I относительно
валика 2. Элементы шарниров выполняют обычно из углеродис-
1>нс. 24.22
444
юи стали, а в специальных случаях иг жаропрочных или
нержавеющих сталей, а также из бронзы. Ниже приведены
основные размеры в мм (обозначения на рис. 24.22) универсальных
шарниров, применяемых в точной механике, и наибольшие
значения передаваемого крутящего момента Т (Н-мм):
d ........... 4 6 8 Ю
D ........... 8 10 12 15
D, ......... 12 15 19 23
В ........... 3 4 5 6
17
1.6
180
21 26 30
2.0 2,5 3,0
320 920 3860
Кроме шарнира Гука, лающею переменное передаточное
отношение, предложен ряд конструкций, обеспечивающих i—
= 1 = const. Однако широкого применения подобные устройства
не получили из-за сложности конструкции.
ГЛАВА 25
СОЕДИНЕНИЯ
В общем случае «вено механизма иредставляе) собой сборочную единицу,
состоящую из нескольких неподвижно соединенных деталей, которые moivi быть
изготовлены из различных материалов, различными tcxho.ioi ичсскими способами
и на различных предприятиях. Рациона илю сконструированные соединения
упрощают И31 отовление механизмов, обеспечивают надежность их работы и вза-
имозаменяемость деталей или друз их составных частей при обслуживании
и ремой те.
Неразъемные соединения выполняют нулем механическою деформирования
элементов крепежных и ти основных деталей (например, клейкой, в тытовкой,
гибкой, кернением, чеканкой, соединением с натягом), физико-химическими
способами (сваркой, пайкой, склеиванием, соединением замазками), погружением
деталей в расплавы материалов (заформовкой). а также комбинированными
способами. Такие соединения могу! быть разобраны лишь путем разрушения
или большого остаточного деформирования основных или крепежных деталей.
К разъемным относят резьбовые, штифтовые, шпоночные, шлицевые, штыко-
вые (байонетные), фрикционные и друтие соединения. Все они мотут быть
собраны и разобраны мноюкратно и без ущерба для их функциональных свойств.
Вид соединения выбирают в зависимости от предъявляемых технико-экономи-
ческих и зстстнческих требований, а также технологических вотможностей
преднриятия-изт отовите тя.
§25.1. ЗАКЛЕПОЧНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
Заклепочное соединение выполняю! нугем пластического дефор-
мирования крепежных деталей (заклепкой) и потому оно надежно
работает при вибрационных и щпамических нагрузках. Его
применяют (как и соединения вальцовкой, гибкой) для деталей,
изготовленных из различных, грудпосваривасмых или термически
обработанных материалов, выпускаемых в виде лент, полос,
труб или листового проката. Например, при изготовлении
ушка заводной пружины (рис. 25 I, а) на ее наружном конце
сверлят и развертывают два отверстия, а затем их совмещают
445
Рис. 25.1
и вставляют заклепку 1 (рис. 25.2). Закладную головку 2 заклепки
удерживают нижней обжимкой 3, а свободный конец осаживают
верхней обжимкой 4 до образования замыкающей головки
5. Требуемая для этого сила F создается давлением клепальной
машины.
Различают прочные, плотные и плотно-прочные заклепочные
соединения. Оз первых требуется только механическая прочность
(см. рис. 25.1, а, б, в), от вторых— непроницаемость для жидкости
(рис. 25.1, г корпус подшипника заполнен масло.м) и от треть-
их прочность и герметичность, которые достигаются частым
размещением заклепок и подчеканкой соединения.
Материал заклепок — низкоуглсродистая сталь Ст2, СтЗ, 15,
20, легированная сталь 09Г2, нержавеющая сталь, латунь Л63,
медь М3, алюминиевые сплавы Д18. АД1. Заклепки изготовляют
обычного и повышенного качества, нормальной и повышенной
точности. Различные покрытия придают им коррозионную стой-
кость.
Для соединения деталей, изготовленных из хрупких или
неметаллических материалов (картон, кожа, асбест), применяют
полу пустотелые (ГОСТ 12642—80, рис. 25.3, а) и пустотелые
(ГОСТ 12639—80, рис. 25.3, б) заклепки.
Заклепочные соединения выполняю! внахлестку (рис. 25.4) или
встык с одной или двумя накладками и
в один, два или более параллельных
Обычно
Рис. 25.2
расположением заклепок
или шахматных ряда,
диа ме 1 р J = (1,8... 2) .vnlill,
где .vmin — наименьшая из толщин
.у и .$! соединяемых деталей.
Длина части стержня для форми-
рования замыкающей головки
зависит от вида головки. Шаги
между заклепками выбираются
исходя из назначения соединения
и удобства клепки: Г = (2...8)</,
G=(1,35...2)J. г2 = (1.5...2) J.
446
Рис. 25.3
6)
В нагруженных соединениях прочность заклепок и материала
деталей (основного материала) должна быть проверена. В нахлес-
точном соединении (рис. 25.4), нагруженном сдвигающей силой
F, основной материал рассчитывают на прочность при растяжении
в сечении I - /, ослабленном отверстиями для заклепок, и на
смятие поверхностей отверстий, соприкасающихся со стержнями
заклепок. Выбранные заклепки проверяют на срез и па смятие.
Условие прочности для основного материала при растяжении
о = или
o = F/[(Z>-24)(Zs)HIJ4o], (25.1)
а для заклепок при срезе т = /г1/Я1,^[т], или
t = 4Fj /(пл^)«$[т], (25.2)
где 2г/0)(Ел)им наименьшая площадь-петто основною
материала в сечении I—/; b, s и л, — размеры сечений деталей;
~ наименьшая сумма толщин основного материала по
одну сторону заклепки: Jo = J+(0,5... 1) мм—диаметр отверстия
для заклепки; Fi=Fjz—сила, приходящаяся на одну заклепку;
Al=ndo/4 — площадь поперечного сечения поставленной заклепки;
z—количество заклепок, п —число
п=2); [о] и [т]—допускаемые
материала при растяжении и для
заклепок на срез. Условие прочно-
сти для основного материала и за-
клепок при смятии oH = F1 /Асы, или
OH = F1 /[Jo (5ЧМ] <Ос°м]’ <25-3)
где Ам = ^о(^л')нм — наименьшая
условная площадь поверхности смя-
тия основного материала и заклеп-
ки; [с„] —меньшее из допускае-
мых напряжений при смятии;
[<тн]—для основного материала
или [<^н] —Для заклепки. Для
стальных деталей Гон]=(1,5...2)[о],
где [с]% 100 МПа—допускаемое
напряжение при растяжепии.
срезов одной заклепки (здесь
напряжения для основного
Рис. 25.4
447
Рис. 25.5
Допускаемые напряжения для заклепок определяют по эмпири-
ческой зависимости
[р'] = ау[о], (25.4)
где допускаемые напряжения [/>'] = [т'] при срезе, [о„] — при
смятии и [а']—при растяжений (отрыве головки); коэффициенты
учитывают: у= 1/(1—0,3/?)< 1 - переменность напряжений, Л —
асимметрию цикла напряжений (см. § 12.1) и а вид деформации
заклепки (а = 0,8... 1 — при срезе. 1,7...2,0 при смятии и 0,6—при
отрыве головки).
V В общем случае силы, приходящиеся на наиболее нагруженную
заклепку, определяют из условия равновесия внешних и внутренних
сил, действующих на соединение. На рис. 25.5, а показан кронштейн,
к которому внецентрепно приложена растягивающая его сила F.
Перенеся F в центр С заклепочного соединения 1, 2, 3. получим
действующие на соединение крутящий момент T=Fa и сдвигающую
силу F. Наиболее нагружена заклепка /, гак как на нее передается
суммарная сдвигающая сила <21 = Сг+Сг> где и Qr—T;2a.
По силе Qi эгу заклепку рассчитывают па прочность по формулам
(25.2) и (25.3) и для всех остальных принимают гот же диаметр.
На кронштейн (рис. 25.5, б) действует внецентренная сжимаю-
щая сила F. Перенеся F в центр С заклепочною соединения
/, 2, 3, 4, получим действующий на него изгибающий момент
M — 2Fa и сжимающую силу F. Наиболее нагруженными будут
заклепки 3 и 4, гак как па каждую из них передается суммарная
растягивающая сила F3A = FM — Ft, где FM = М i(2a) и Ff = F/4.
По силе Г3.4 проверяют диаметр выбранных заклепок из расчета
на растяжение (отрыв головки) по условию прочности
o=4F/(n</o)^tCT ]• (25.5)
При соединении вальцовкой вставленных одна в другую деталей
края одной из пих отгибаю г по контуру наружу (развальцовывают,
448
Рис. 25.6
рис. 25.6, а, <5, г) или внутрь (завальцовывают, рис. 25.6, в). Цилин-
дрические или плоские цапфы па деталях предварительно засвер-
ливают или надпиливают (рис. 25.6, г).
Соединения гибкой показаны на рис. 25.6: д-—соединение
наружного конца заводной пружины с барабаном, е — соединения
листовых деталей лапками.
§25.2. СВАРНЫЕ, ПАЯНЫЕ И КЛЕЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
В точной механике широко используются неразъемные соедине-
ния: сварные, паяные и клеевые.
Сварные соединении. Основные достоинства этого соединения —
экономия материала, малая трудоемкость и технологичность
процесса, недостатки — малая вибропрочность, а также необ-
ходимость термообработки швов. Тонкие листовые детали (тол-
щиной до 0,05 мм) соединяю! газовой сваркой, при которой
исключается их прожигание и коробление.
Нагруженные стыковые сварные соединения рассчитывают на
прочность как целое сечение основного металла, но по пониженно-
му допускаемому напряжению, которое определяют для сварного
шва с учетом технологии его выполнения и характера нагрузки.
Так, при действии на стыковые соединения растягивающей силы
/•’ поперечный шов (рис. 25.7, а) рассчитывают на растяжение из
условия прочности o = F//1^[aJ, или
о=Г/(/Л)«], (25.6)
Рис. 25.7
а продольный шов (см. силы F' на рис. 25.7, б) — на срез из
условия т = Г'/^^[т'], или
т = Г (/А)«|, (25.7)
где А-(Ь—2с)Л, 1=Ь-2с и Л—расчетные площадь, длина
и высота шва; с —поправка на непровар в начале и конце шва
при зажигании и обрыве дуги (см. рис. 25.7, «); [o'] и [т'] —
допускаемые напряжения при растяжении и срезе для стыкового
шва. Обычно c^s при 5^5 мм и с = 0.5л- при а>5 мм, где
то пцина соединяемых элементов; h=s для нормального шва
и h — ^,1 s—для вогнутого (механически обработанного).
Однако в деталях механических систем простое напряженное
состояние сварных швов встречается редко. Для стыковых швов,
работающих при сложной деформации, расчетные условия проч-
ности остаются теми же, что и для основного металла, т. е.
где а,кв — наибольшее из эквивалентных напряжений
в опасной точке шва, определяемых по четвертой и первой
теориям прочности. Первую теорию прочности применяют для
учета возможной литой (хрупкой) структуры шва.
Угловые швы при перегрузке разрушаются по сечению I I
(рис. 25.8, а, б), близкому к биссекторному. Поэтому для унифика-
ции расчетных формул все угловые швы как при простом, так
и нри сложном сопротивлениях рассчитывают условно только на
срез в биссекторном сечении. Для нормального шва (рис. 25.8, в)
расчетную высоту принимают р = О,1к, для усиленного (рис. 25.8,
г) р=к и ослабленного (рис. 25.8, <)) р = О,35к, где к — 3>, 4, 5,
... мм стандартный катет шва (ГОСТ 8713 70. ГОСТ 5264 —69).
Если сила F действует на нахлесточное соединение в плоскости
расположения угловых швов (рис. 25.8, «, б), то для них условие
прочности при срезе т = Г'Л/-1^[т'], или
т = £/[0,7А(Е/)«ф'], (25.8)
где A[-t=0,lk (11)—суммарная биссекторная площадь сечения
всех швов: к и 11 катет и суммарная длина швов; [т']—до-
пускаемое напряжение для нахлесточного соединения при срезе.
Допускаемые напряжения для сварных соединений определяют
так же, как и для основного металла (см. § 12.3). с учетом
450
Рис. 25.8
шва в качестве концентратора напряжений или приближенно по
формуле (25.4), в которой принимают а = 0,5...0.6 при срезе.
0,75... 1.0 при сжатии и 0,6... 1,0 при растяжении с учетом качества
сварки. Коэффициент y=l,(l—О.ЗА) для стыковых, 1.(1,3 — 0,ЗА)
для угловых и 1 /{1,6 — 0,6А) для точечных швов; в формулу
(25.4) подставляют у^1.
Паяные соединения. Пайка процесс получения неразъемного
соединения элементов деталей с нагревом ниже температуры их
автономного расплавления путем смачивания и заполнения зазора
между ними расплавленным припоем и сцепления их при
кристаллизации шва. Таким образом, в отличие от сварки
элементы деталей соединяются за счет сил адгезии, легирующих
и диффузионных процессов.
Легкоплавкие припои (оловянно-свинцовые, ГОСТ 21930 76,
21931—76) с температурой плавления /п<300' С применяют для
ненагруженных соединений, от которых фебуется в основном
высокая электропроводное 1Ь или герметичность. Среднеплавкие -
(медпо-цинковые, ГОСТ 23137 78, Гпл<600 С и серебряные,
ГОСТ 19738—74, /пл<900'С) позволяют получить соединения,
которые но прочности близки к сварным и заклепочным или
их превосходят. Качественная пайка достигается очисткой со-
единяемых элементов паяльными флюсами. Хорошие результат
даю1 припои в виде паст, например, из оловяпио-свиниового
порошка, флюса, растворителя и связующего вещества, предот-
вращающего осаждение металлических частиц.
На рис. 25.9 показаны паяные соединения а листовых (/...6),
б—корпусных (1...4) и в—стержневых (1...4) деталей. Область
применения паяных соединений в технике все более расширяется,
так как они могут рабо<ать при высоких давлениях, температурах,
в кислотах и вакууме. С помощью высокоплавких (/пл< 1850'С)
и тугоплавких (гпл> 1850"С) припоев изготовляют камеры сгора-
ния жидкостных реактивных двигателей и ядерпых реакторов.
15*
451
Рис. 25.9
Прочность паяного шва пропорциональна площади соприкасания
соединяемых элементов (капиллярный участок шва). Поэтому
стыковым соединениям следует предпочитать нахлесточные с наклад-
ками, в замок, телескопические и аналогичные. Паяные соединения
рассчшывают на прочность так же, как и сварные. Предел прочности
па срез паяного соединения стальных деталей ап = 25...35 в случае
низкоплавкого и 250...500 МПа в случае высокоплавкого припоя.
Запас прочности при статических напряжениях принимают л = 2,5...3.
Клеевые соединения. Основные виды этих соединений показаны
на рис. 25.10, где а—каркас индукционной катушки, б—стекло
в металлической оправке, в магпит с полюсными наконеч-
никами.
Рис. 25.10
452
Склеивают преимущественно легконагруженные детали из
однородных или разнородных материалов (черные и цветные
металлы, пластмассы, текстолит, кожа, стекло, дерево, резина,
ткань). Клеевые соединения выполняют встык, вскос, а для
усиления внахлестку, с накладками, в паз и дополняю! заклепоч-
ными или сварными швами. Для большинства соединений
требуются нагрев и последующее сжатие склеиваемых поверхнос-
тей. Наибольшее применение полечили клеи эпоксидные, на
основе кремнийорганических соединений и неорганических поли-
меров, клеи-расплавы. Клеи на основе органических соединений
дают швы с пределом прочности при сдвиге тв=18...2О МПа
при нормальной температуре, но они чувствиiельны к нагреву.
Клеи из неорганических полимеров теплостойки, но хрупки (гв =
Соединения замазками эго соединения деталей из разнородных
материалов (металл, стекло, пластмасса, керамика) с помощью
жидкой или тестообразной массы, которая со временем затверде-
вает. Затвердевание происходи! вследствие физических (плавкие
замазки, сургуч, канифоль) или химических (гипсовые и бакелито-
вые замазки) изменений. Некоторые соединения замазками
Рис. 25.12
453
показаны на рис. 25.11: а - подушка ножевой опоры; б баллон
лампы в цоколе; в стекло в металлической оправке. Кон-
фигурация и ориентация деталей должны исключать передачу
растягивающих сил и изгибающих моментов на замазку. На-
ибольшее применение получили быс гросхватывающисся гипсовые
замазки, бакели гошеллачпые мастики с высокими электроизо-
ляционными свойствами, свинцово-i лицериновый цемент, устой-
чивый против кислот, щелочей, масла, бензина и температурных
изменений.
При заформовке более тугоплавкую деталь погружают в на-
ходящийся в литейной форме расплавленный или размягченный
ма1ериал другой детали, затем затвердевающий. Применяют
также горячую опрессовку деталей пресс-порошками (рис. 25.12).
Для повышения надежности и устойчивости работы приборов
элементы их схем заформовывают или заливают в блоки
прозрачными эпоксидными смолами.
§ 25.3. СОЕДИНЕНИЯ С НАТЯГОМ
Соединения с гарантированным натягом неподвижны, не
требуют дополнительного крепления деталей и неразъемны
(рис. 25.13, а...е). Неподвижность обеспечивается силами сцепления
(трения), возникающими на сопряженных поверхностях вследствие
их упругопластической деформации, создаваемой натягом при
сборке деталей. Эти соединения пригодны для передачи как
малых, так и весьма значительных, в том числе динамических
и вибрационных, нагрузок.
Детали из твердых или неэластичных материалов (например,
из эбонита) требуют точных посадок и во избежание их
разрушения натяг должен быть меньше, чем для деталей из
Рис. 25.13
454
Рис. 25.14
пластичных .материалов. Высокая точность требуется и для
соединений малого диаметра. В этих случаях рифленая (накатная)
поверхность вала (рис. 25.13, г...е) позволяет выполнить соедине-
ние при больших расчетных натягах и меньшей точности
обработки сопряженных поверхностей. При опасности ослабления
посадки она может быть усилена, например, крепежным винтом
(рис. 25.13, ж).
▼ Мелкие соединения выполняют путем нагревания охватыва-
ющей или охлаждения обезжиренной охватываемой детали. Натяг
Amin = <4.14-^тах (рис- 25.14, а), где dmia — наименьший предельный
размер вала и £)тах — наибольший предельный размер отверст ия
до сборки, определяет минимальную нагрузку, которую может
передать прессовое соединение. Если соединение нагружено осевой
силой Fa и крутящим моментом Т (рис. 25.14, б), необходим
пагяг который создает па сопрягаемых поверхностях
давление
Аы„ > x/Fa+(2T/D)i/(fnDl), (25.9)
где D - номинальный диаметр сопряжения: I— посадочная длина;
и f коэффициент трения (сцепления) материалов (для стали
/*=0,1 ... 0,15). Это давление гарантируется натягом
^min > Anin 2) (Cl IEX + C2!E2) + 1,2 (Rz, + Rz 2), (25.10)
где Е,, E2 и C15 C2 — модули упругости и коэффициенты
жесткости соединяемых деталей: С, = ПЛ + X 2)/(1 ~ X i)] — И i. С2 =
= [(1 +Хг)/(1 -Х2)] + Ц2. Xi = <4/2> и X2 = 2W "i и — внутренний
диаметр охватываемой и наружный диаметр охватывающей
деталей; р, и р2 коэффициенты Пуассона (для стали ц%0,3);
Rzi и Rz2—максимальные высоты неровностей на поверхностях
вала и отверстия.
По полученному значению минимального натяга Nmin подбира-
ют подходящую посадку, определяют для нее максимальный
натяг 7Vmax и. исходя из этого, рассчитывают по формуле (25.10)
возможное максимальное давление р^ на контактирующих
455
поверхностях, которые необходимо знать для проверки сопряга-
емых деталей па прочность.
Расчетные условия прочности для вала и втулки
^l~U7Pmax/(l-Xl)<aTl И ^2~1.7^тах/(1-Х2)^От2, (25.11)
где а, । и ат2 — пределы текучести их материалов. Для посадок,
выполняемых за счет температурных деформаций, температура
нагрева для охватывающей детали /2 = (1,2...1,5) 7Vniax/{a2£) х
х Ю3)] + /0 или температура охлаждения для охватываемой детали
G = ^o —[(^max + ^cf.)/(0,i Ю3)]. где NmBK - требуемый максималь-
ный натяг, мкм; а1 и а2—температурные коэффициенты линейно-
го расширения, I/CC; Sc6%(0,5...0,6)/Vrnax— необходимый сбороч-
ный зазор; г0 темпера гура помещения при сборке. ▲
§ 25.4. РЕЗЬБОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Резьбовые соединения получили наибольшее применение вследст-
вие их простоты, универсальности, удобства сборки и разборки
и надежности в работе. Соединения выполняют ввинчиванием
деталей, имеющих наружную и внутреннюю резьбу (рис. 25.15),
а —одна в другую, б—с использованием резьбовых муфт и чаще
всего посредством резьбовых крепежных деталей—винтов, болтов,
шпилек, гаек и шурупов (рис. 25.16). Винт (нарезанный стержень
с головкой или без нее) предназначен для ввинчивания в одну из
соединяемых деталей (рис. 25.16,о). Болт (рис. 25.16,6) -- эго винт,
чаще с головкой иод ключ, используемый в соединениях с гай-
кой 2, так как он проходит через гладкие сквозные отверстия
в деталях. Шпильку 2 (стержень, нарезанный с двух концов,
рис. 25.16. в) посадочным концом ввинчивают в деталь 5 до
затяжки резьбы, затем устанавливают деталь 4, шайбу / и на
свободный конец шпильки навинчивают гайку 3. Шайба предохра-
няет поверхность детали от повреждений при затягивании гайки
и способствует равномерному распределению остаточного давле-
ния. Шпильки применяют в часто демонтируемых соединениях, где
нет места для размещения головки болта или нельзя сверлить
сквозное отверстие. Шурупами (рис. 25.16, г) соединяют деревян-
ные детали между собой или деревянные с металлическими.
Рис. 25.15
456
Государственными стандартами предусмотрен сортамент кре-
пежных деталей различного назначения, отличающихся конструк-
тивным исполнением, видом и диаметром резьбы, точностью,
длиной, классом прочности и видом искры 1ия.
В резьбовых соединениях применяют главным образом ци-
линдрическую треугольную метрическую резьбу (рис. 25.17), пра-
вую однозаходпую, профиль и размеры которой для диаметров
1...600 мм установлены СТ СЭВ 180 75 и СТ СЭВ 182—75,
а диаметры и шаги—СТ СЭВ 181 75. Одному и тому же
номинальному диаметру ре?ьбы может соответствовать крупный
и несколько мелких шагов. Резьбы с мелким шагом меньше
ослабляют сечение дез алей и меньше концентрирую! напряжения.
Кроме того, они более герметичны и лучше центрируют сое-
динение.
Кроме этих резьб существует гак называемая дюймовая резьба,
используемая иногда при ремонте импортного оборудования.
резьба для объективов и микроскопов с углом профиля 55
и специальные. Метрическую часовую резьбу с узлом профиля
50 применяют для диаметров до 1 мм. Кроме того, есть
круглые резьбы, которые лучше работаю! при динамических
нагрузках и менее чувствительны к загрязнению (например,
накатанные на зонкостенпых цоколях электроламп).
Размеры деталей разьбового соединения назначают, исходя из
особенносзей его конструкции. Диаметр d бол iob (вин iob, шпилек)
принимают обычно примерно
равным наименьшей ,vmin из
юлщип соединяемых элемен-
тов деталей. Длина / болта
определяется суммарной тол-
щиной элементов, а также
толщиной шайбы и высозой
гайки, если они ешь (см.
рис. 25.16,(5). Глубина свин-
чивания отверстия с резьбой
/,=(1...2)т/ в зависимости от
прочпосзи материала детали.
Рис. 25.17
457
ный осевой силой Fa, работает на
прочности
При расчетах на прочность
различают болты (шпильки)
незатянутые (собранные без
предварительной затяжки)
и затянутые (собранные
с предварительной затяжкой).
Незатянугый болт или шпиль-
ка (см. рис. 25.16, в), нагружен-
расгяжение и для пего условие
a = 4F0/(nd?)^[a], (25.12)
где rct/f/4— наименьшая площадь поперечного сечения винта;
dt — внутренний диаметр резьбы и [о] = 50...70 МПа—допуска-
емое напряжение для стального винта. При проектном расчете
наружный диаметр винта dm 1,25 d{. Незатянутый винт (болт),
нагруженный сдвигающей силой F (рис. 25.18, а), должен быть
настыл/ (с точно обработанным стержнем), так как его ставят
в развернутые отверстия деталей плотно (без зазора). Такой
болт рассчитывают как заклепку по формулам (25.2) и (25.3).
Черный болт (с необработанным стержнем) ставят в отверстие
с зазором (рис. 25.18, б) и при нагружении его сдвигающей
силой F он должен быть предварительно затянут. Детали соединя-
ются за счет сип трения (сцепления), возникающих на их
прижатых друг к другу поверхностях. Требуемая сила затяжки
болга Fa = Fl(fz), где /=0,15...0,2 — коэффициент трения между
деталями, z—число болтов. Стержень болта работает на рас-
тяжение под действием силы Fa и па кручение под действием
момента затяжки. Работа болта при сложном сопротивлении
учитывается увеличением силы Fa на 30%, и тогда диаметр
болта может быть определен из формулы (25.12), в которую
вместо Fa следует подставить ],3F.'(fz).
Если винт (болт), нагруженный осевой силой Fo, должен
быть затянут еще до приложения нагрузки, то для него расчетная
рила Fop = 7:’o(l+а), где а = 1,3...2—коэффициент, учитывающий
требуемую остаточную затяжку после приложения силы Fa.
Следовательно, стандартный диаметр
1.25 {4 1.3Fa(1 + а)/(л [о])}12 (25.13)
и требуемая предварительная затяжка 7?an = F0(l +а—£), где Е, — ко-
эффициент жесткости стыка, принимаемый при стальном стыке
0.1, при медных — 0,35 и при резиновых прокладках— 0,85.
Момент предварительной затяжки болга
7'.. = /;’On(^/2)[tg(X+p)+/n/(J2cosP)],
где d2 — средний диаметр резьбы; X и р—углы подъема витков
и трепия; D—средний диаметр опорной поверхности головки; Р—
458
Рис. 25.19
угол между опорной поверхностью головки и осью болта (Р = 90
для плоской головки и 45' для потайной и тюлупотайной);
/=0,15...0.2 коэффициент трения в резьбе.
Крепежные резьбы само тормозящие, так как X<p%arctg
(//cos0,5a), где а угол профиля резьбы. Однако для предотвра-
щения самоотвинчивапия при тряске, вибрациях и динамическом
нагружении резьбы стопорят, т. е. применяют се кернение,
шплинтование, обвязку головок винтов проволокой и др.
На рис. 25.19 показаны способы стопорения: а — контргайкой,
б пружинной шайбой, в— деформируемой шайбой с лапкой,
г—упругой шайбой, д — каплей лака или краски, соединяющей
винт с неподвижной деталью.
§ 25.5. ШТИФТОВЫЕ, ШПОНОЧНЫЕ И ШЛИЦЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Эти соединения относятся к разъемным.
Штифтовые соединения. На рис. 25.20 показаны: а—цилиндри-
ческие, б—конические, в—разводные, г насечные и д пружин-
ные штифты. Их изготовляют из углеродистой стали 30, 50,
А12, У8, У10. легированной стали, цветных металлов и применя-
ют как крепежные установочные и направляющие детали.
Цилиндрические штифты устанавливают в отверстия соединя-
емых деталей (см. рис. 25.20) с натягом (посадки Н7'пб, Н$/и8);
отверстия сверлят и развертывают в обеих деталях совместно.
Для этого детали временно скрепляют установочным винтом.
На рис. 25.21,я показаны цилиндрические штифты, фиксирующие
точную установку деталей 3 и 4, соединенных винтом 2. В часто-
разъемных соединениях в съемной детали отверстие выполняют
для переходной посадки [Klih6. MTihb), а в основной для
прессовой (178/Л6, 5 8,7т 6).
Соединения коническими штифтами прочнее и более точны,
но изготовление штифтов и отверстий для них сложнее. Крепеж-
ные шрифты 1 соединяют детали 2 и 3, нагруженные сдвигающей
силой F (рис. 25.21.6) или крутящим моментом Т (рис. 25.21,в —
ж). В отверстия конические штифты забивают или запрессовыва-
ют; самоторможение обеспечивается конусностью Л = 0,02 штифта.
459
Рис. 25.20
Рис. 25.21
Однако полная гарантия от выпадения штифта достигается
применением замыкающих соединение пружинных колес 4
(рис. 25.21, в), разводных штифтов (рис. 25.21, е) или конических
штифтов с резьбовой цапфой (рис. 25.21,ж).
Штифт, нагруженный сдвигающей силой F (рис. 25.21,6),
работает на срез двух поперечных сечений, а контактирующие
поверхности штифта и отверстий в деталях на смятие. Поэтому
такие штиф1Ы рассчитывают на прочность по формулам (25.2)
и (25.3) как заклепки. В формулы вместо т/(, нужно подставлять
d—диаметр цилиндрического или мепыпий диаметр конического
штифта.
Расчет на срез шптфтового соединения, нагруженного крутя-
щим моментом Т (см. рис. 9.3), рассмотрен в § 9.1. При необходи-
мости он может быть дополнен проверочным расчетом на
смятие поверхностей отверстий во втулке из условия прочное!и
460
Рис. 25.22
ан = 2Лр111б/(£>-б/)1^Го111, где duAD-d}- условная площадь
смятия: D- диаметр вгутки и ртн]^2[ст] = 150.,.180 МПа
допускаемое для нее напряжение при смятии (сталь).
Штифты пружинные (см. рис. 25.22, д) устанавливают в нена-
гружеппых соединениях, а цилиндрические пасечные штифты
(см. рис. 25.20,г) там, где не требуется развертывание отверс-
тий, но точность установки деталей при этом снижается.
Шпоночные соединения валов 3 с насаженными на них деталя-
ми 2 показаны на рис. 25.22, где шпонки 2, а - призматическая
(ГОСТ) 23360 78 (СТ СЭВ 189— 75), б призматическая направ-
ляющая с креплением на валу, в цилиндрическая и г, д—нестан-
дартные призматические скользящие. Шпонки а и в устанавливают
в неподвижных, а, б, г и д — в подвижных вдоль вала соединениях.
Направляющей для скользящей шпонки служит паз вала. Мате-
риал шпонок — чистотянутая сталь 45 или 50 с временным
сопротивлением разрыву ств = 600 МПа.
Шпоночные соединения применяют для валов диаметром не
менее 8... 10 мм. Пазы на валах фрезеруют, а в ступицах деталей
прорезают долбяками или протяжками; отверстие для цилиндри-
ческой шпонки сверлят и развертывают в собранных ступице
и вале совместно. В неподвижных соединениях вал и ступицу
сопрягают по переходным посадкам (Ill/к6, или с неболь-
шим натягом (Н7/р6). а в подвижных—с зазором
461
Рис. 25.23
HlifX). В зависимости от ха-
рактера сопряжения узких (ра-
бочих) граней призматических
шпонок с пазами в ЕСДП
СЭВ установлены гри типа
соединений (рис. 25.23): сво-
бодное (подвижное) («), нор-
мальное (б) и плотное (в) при
одном допуске h 9 на ширину
любой шпонки и допуске h 14 па глубину пазов / в вале и
в ступице. Цилиндрическую шпонку ставят с натягом (Я7/г6).
Шпоночные соединения применяют в основном при единичном
и мелкосерийном производстве изделий, так как они просты,
удобны при монтаже, надежны и дешевы. Их недостатками
являются необходимость осевой фиксации деталей (бурты, устано-
вочные кольца), ослабление вала пазом, концентрация напряже-
ний, а также непригодность для точных центрирования и угловой
установки деталей. В точных зубчатых передачах шпоночное
соединение следует заменить штифтовым. Так, при диаметре
вала <7=8 мм зазор между шпонкой и боковой стенкой паза
в нормальном соединении может дос!игать 20 мкм и тогда
угловая ошибка колеса составит 2 -0,02/8=0.005 рад % 17'.
Размеры А х Л призматических шпонок принимают по ГОСТ
23360—78 в зависимости от диаметра d вала, а длину />1,3 d— в
соответствии с длиной ступицы или ее ходом.
В соединениях, нагруженных вращающим моментом Т (см.
рис. 25.22,а), рабочие трапи пазов в ступице рассчитывают па
смятие под действием силы F=2Tjd. Из условия прочности при
смятии он = /'7Л1.м^[сгн] получаем для призматической шпонки
расчетную формулу
сн^4Г(<//рЛ)^[пн], (25.14)
<де Лсм%/1/р/2 площадь поверхности смятия; И и /р—высота
и расчетная длина шпонки; [сгн] = 8О...15О МПа допускаемое
напряжение при смятии для стальной ступицы; lp=l—b при
скругленных и /р = / при плоских торцах шпонки. Условие
прочности сечения 1 1 при срезе и изгибе обеспечивается в этом
случае размерами стандартных шпонок.
Аналогично, расчетная формула для цилиндрической шпонки
сгн=477(<7</1и/р)^[а11], (25.15)
где Лсм = </ш7р/2 — условная площадь смятия; <7Ш и /р—диаметр
и расчетная длина шпопки.
Шлицевые соединения (рис. 25.24) применяют в крупносерийном
производстве. Они представляют собой многошноночпые соединения,
в которых шпоночные выступы (шлицы) выполнены за одно целое
с валом. По форме шлицев различают соединения прямобочные (СТ
462
Ряс. 25.24
СЭВ 188—75), эвольвентные (СТ СЭВ 269—76) и нестандартные треу-
гольные. Чаще применяют прямобочные соединения с числом шлицев
6, 8, 10. 12, а в приборостроении -треугольные с числом шлицев
15...70 и утлом профиля 2ад = 60, 72 и 90 (вместо прессовых посадок).
Шлицевые соединения передают значительно большую нагрузку,
чем шпоночные (в частности, эвольвентные), обеспечивают лучшее
центрирование, а в подвижных соединениях—лучшее направление
деталей. Центрирование возможно по наружному диаметру Z),
внутреннему d или боковым поверхностям шлицев. Обычно
подвижные соединения при длинных или твердых ва. гах центрируют
по внутреннему (рис. 25.24, а}. а неподвижные - по наружному
(рис. 25.23, б) диаметру. Центрирование по боковым поверхностям
шлицев (рис. 25.23, в) применяют при необходимости передать
большую нагрузку, но точность соединения при этом низкая.
Расчетное условие прочности для всех шлицевых соединений
q„ = F(zJcm)^[qh]- ияи
сг„= 77(гс<ргЛ/)^[<ун]. (25.16)
где Т—вращающий момент; F= Tire—действующая на шлицы
окружная сила; rc=DB+4/a)/4—средний радиус соединения; гр — ко-
эффициент, учитывающий неравномерность распределения нагруз-
ки по шлицам; z — число шлицев; hl условная площадь смятия
одного шлица; h=(DB— da-1 и / высота и длина шлица;
<р = 0.7...0.8: [сгп] = Зэ...12О МПа—допускаемое напряжение при
смятии для неподвижных и 15... 40 МПа для подвижных под
нагрузкой соединений в зависимости от режима работы.
Профильные соединения 1, 2 (рис. 25.25. а), цилиндрические или
конические, хорошо центрируют вал и ступицу и передают большие
нагрузки. Соединение 3 с винтом и лыской представляет собой
упрощенное профильное соединение. Соединение 4 с квадратным
концом вала применяют для посадки маховичков или рукояток.
Соединения па рис. 25.25,6: 1—клеммовое. 2— с тарельчатой пружи-
ной и 3 —коническими кольцами -фрикционные и могут быть
использованы для предохранения деталей механизмов от перегрузок.
463
Рис. 25.25
Легко собираются и разбираются байонетные соединения 1...4
(рис. 25.25. в). В полой цилиндрической детали этого соединения
имеются две или три прорези, открытые с торца, а во второй —
сюлько же штифтов. Де шли соединяются при заходе штифтов
в прорези и последующем их относительном повороте.
ГЛАВА 26
КОРПУСА, ШКАЛЫ, ФИКСАТОРЫ И СТОПОРЫ
Корпуса механизмов и приборов предназначены для размещения элементов
передач, обеспечения их правильного взаимного положения, необходимой гермети-
зации и бл:н оприяюых условий смазки Корпуса должны быть прооыми по форме
технолотчными в изготовлении и сборке, достаточно прочными и жес1кими
На корпусе, плазе или иной несущей конструкции прибора кренятся неподвижные
шкалы. Если шкала движется, го чаше всею она жестко соединена с одним из валов
передаточною механизма. На корпусе же укрепляются фиксаторы: например.
464
Л определенном положении юлжен быть зафиксирован переключатель коробки
скоростей и другие детали управления. В тех случаях, когда угол поворота или
линейное перемещение детали нужно oi равичить. применяют ограничители движения.
§ 26.1. КОРПУСА
В технической литературе передаточный механизм, заключен-
ный в корпус и являющийся самостоятельной сборочной единицей,
называют редуктором (это понятие отличается от кинематическо-
го определения редуктора, см. § 2.1).
Корпуса выполняют закрытыми и открытыми. Закрытые
корпуса применяют в тех случаях, когда необходима защита
механизма от влияния окружающей среды. При жидкой смазке,
как правило, используют закрытое исполнение.
Наиболее простой закрытый корпус имеет цилиндрическую
форму (см., например, корпус 6 волнового механизма на рис. 15.14,
корпус б планетарной передачи на рис. 15.16). Цилиндрический
корпус закрепляется на плате или другой несущей конструкции
с помощью фланца (см. поз. 7 на рис. 15.14). Прикрепив таким
образом редуктор к электродвигателю, получают единый агре-
гат— иотор-редуктор. Если же корпуса двигателя и ре-
дуктора составляют одно целое, то такой агрегат называется
редукторным электродвигателем (РЭД). Пример конструкции
стандартного РЭД представлен па рис. 26.1. В общем кор-
пусе 1 расположены электродвигатель и планетарный редуктор
465
с ведомым водилом 3; вал 6 двигателя соединен с центральной
шестерней 4 зубчатой муфтой 5. Вся конструкция с левого торца
закрыта крышкой 2. Очень компактной получается конструкция
редукторов в цилиндрическом.корпусе, когда оси зубчатых колес
расположены не в одной плоскости. Примером может служить
редуктор монеторазменного автомата (рис. 26.2): пятиступенчатая
зубчатая передача 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 размещена в литом цилин-
дрическом корпусе //, который закрыт крышкой 12.
Материалом для .штых корпусов в точной механике служат
легкие алюминиевые сплавы АЛ2, АЛЗ (ГОСТ 2685—75). медные
466
в
Рис. 26.5
сплавы (минимальная толщина стенок соответственно 1,5 и 2 мм),
а также синтетические материалы (фенопласт К18-2, ФКПМ15Т
и др.). Толщина стенок литого корпуса 5%(0,03aw+1)> 1.5...3 мм
(п„.— межосевое расстояние). Высокопрочные легкие антикоррози-
онные корпуса и их элементы штампуют из шалей (08КП и др.),
дюралюминия (Д1, Д16) и синтетических материалов (рис. 26.3) —
текстолита, стекло текстолита СТК-41 и др. Толщину стенок
металлических штампованных корпусов принимают равной 0.5 ...
...2 мм, пластмассовых — 0.7...2 мм. а при высоте стенки бопыпе
40 мм 3 ... 8 мм. Как штампованные, так и литые конструкции
корпусов применяют в серийном и массовом производстве.
При единичном и мелкосерийном производстве экономически
целесообразно собирать корпус из отдельных деталей простой
формы. На рис. 26.4 показана трехскорос гная коробка скоростей,
элементы корпуса которой скреплены винтами Z и 2. Широко
применяют также сварные, паяные и клееные корпуса. Толщина
элементов всех этих корпусов 0,7...0,8 толщины соответству-
ющих элементов литых конструкций. Небольшие корпуса изготов-
ляют из одной заготовки путем ее механической обработки.
Например, такой корпус имеет червячный редуктор на рис. 16.9. а.
Во многих случаях, особенно при малых нагрузках и отсутст-
вии жидкой смазки, используют открытую компоновку механизма.
Так. в открытой червячной передаче на рис. 16.9,6 на основании 4
закреплены стаканы 5 опор червяка и втулка 3, в которой на
опорах 1 установлен вал 2 червячного колеса.
Открытые передачи монтируют также на платах. Компоновка
механизмов на одной плате отличается большой простотой
и может применяться как в единичном, так и массовом
производстве. Пример конструкции шкального механизма на
плате 2 приведен па рис. 26.5. Подшипниковые узлы смонтиро-
ваны в стаканах 3, 6 и па кронш тейне 5. Стаканы прикреплены
к плате винтами и после регулировки радиальных зазоров
в зубчатых передачах фиксируются штифтами 4. Вращение от
467
двигателя 7 передастся шкалам 1 и 8 цилиндрическими зубчатыми
колесами.
Компоновка механизма на двух платах очень характерна для
приборостроения (рычажно-зубчатые микрометры, индикаторы,
приборы времени и т. д.). На рис. 26.6 показана конструкция
цилиндрической зубчатой передачи, смонтированной между плата-
ми 3 и 2, 4\ здесь верхняя плата состоит из двух частей, каждая
из которых закреплена на несущей нижней плате 3 с помощью
грех колонок 1. На рис. 26.7 показаны типовые конструкции
колонок и способы соединения их с платами.
468
§ 26.2. ШКАЛЫ ОТСЧЕТНЫХ УСТРОЙСТВ
Для отсчета измеряемой величины при выводе ее из чувстви-
тельного элемента с помощью передаточного механизма и при
вводе (задании) применяют шкальные и цифровые отсчетные
устройс гва
Шкала (рис. 26.8) представляет собой деталь с отметками
(рисками), соответствующими ряду значений изменяемой величи-
ны. Деление шкалы это участок между двумя соседними риска-
ми. Отношение длины деления к соответствующему значению
измеряемой величины называется масштабом шкалы. Число
единиц измеряемой величины, приходящееся на одно деление
шкалы, называется ценой делении. Часть рисок обозначается
соответствующими цифрами. Риски составляют градуировку шка-
лы. Различают шкалы прямолинейные и круговые; последние
могут быть дискового (рис. 26.8, а), барабанного (рис 26.8.6),
спирального и других типов. Ряд шкал стандартизован
ГОСТ 5365—73. Находят применение как линейные (равномер-
ные), гак и функциональные (неравномерные) шкалы, когда при
равной цене деления расстояния между соседними рисками
различны.
При расчете шкалы цена а ее деления нс должна превышать
погрешности измерения Д.г. Число делений и равномерной шкалы
зависит от интервала измеряемой величины .ve[vt, л2].
Длину b деления шкалы, г. е расстояние между соседними
рисками, обычно назначаю! 1.. 5 мм Общая длина L развертки
круювой равномерной шкалы и ее диаметр
L=nb — (x2 — л'] )b. a. Dm = L/n — nb,n.
Значение D составляет 30...80 мм.
При выбранном диаметре £)шф шкалы и заданной длине
b деления фактческое число делений
«Ф = лД111ф/6.
Если Пф<п. то шкалу преобразуют — применяют дополнитель-
ную шкалу, соединенную с основной специальным механизмом,
например зубчатым масштабным преобразователем. На рис. 26.5
Рис. 26.8
469
основная шкала 8 предназначена для точного огсчега. Шкала 1
грубого отсчета связана со шкалой 8 двухступенчатым зубчатым
преобразователем. Цены шкал согласовываются через передаточ-
ное отношение i8l преобразователя гак, чюбы при повороте шкалы
точного отсчета на один оборот шкала грубого отсчета поворачи-
валась на угол <рг, соответствующий одному делению, т. е. г81—иг
(иг - число делений шкалы грубого отсчета, которое может быть
нанесено на всей ее длине при выбранной длине деления шкалы Ьг).
Корпус, кронштейны и основания шкальных устройств делают
обычно литыми (из сплавов алюминия типа AJI2, АЛ9) или
штампованными (из сплавов Д16, Д16АТ). Сами шкалы и указа-
тели выполняют из дюралюминия (Д16АТ), латуни (Л62), белой
жести или пластмасс (например, оргстекла). Шкалы и риски
окрашивают в кон растные и неутомительные для глаз цвета
(желтая шкала черные риски или черпая шкала белые риски).
Длину делений шкал, ширину и высоту рисок назначают
в соответствии с ГОСТ 5365—73. Ширину рисок шкалы и указа-
теля выполняют одинаковой. Крепление шкалы должно позволять
небольшое ее смешение при юстировке — установке на пуль.
Указатель отсчетов по шкале выполняют оптическим в виде
светового пятна или, чаще, механическим в виде стрелки или
индекса со штрихом. Значение измеряемой величины оценивается
по относительному положению указателя и шкалы.
Форма и размеры стрелок для щитовых электроизмерительных
приборов определены ГОСТ 3051—69. Чаще всего их делают
штампованными, толщиной 0,1...0,2 мм или круглыми из грех
трубок диаметром 0,05...0,1 мм. Конец стрелки должен быть не
толще ширины штриха шкалы.
Общая абсолютная ошибка A(pv отсчета по шкале измеряемой
величины определяется погрешностями передаточного механизма
Дфп, масштабного преобразователя Дфч и погрешностью снятия
отсчета Дф0:
Дф£=Дфп + Дфм + Дф0-
Необходимо, чтобы соблюдалось условие
Д фЕ < 2 Д Xi Dn, % 6,9 103 Дх/Лш,
где Дфх в мин; Дх—предельная ошибка измерения, мм.
Погрешности переда точною механизма и масш табного преоб-
разователя определяются видом механизмов, точностью изготов-
ления и сборки их деталей. Эти вопросы были рассмотрены
выше. Погрешность снятия отсчета Дф0 складывается из неточ-
ности установки шкалы, погрешности нанесения на ней рисок
Дфр и собственно погрешностей снятия отсчета Дфпр. При
круговой шкале неточная ее установка с эксцентриситетом
с относительно оси поворота вызывает погрешность (мин),
зависящую ог угла поворота ф:
470
А ф, = 2 e> [sin (ф + Ро) - sin Р0]/Яш ~
v 6,9 -10 3 е [sin (ф + Ро) - sin ро] -Dni.
где Афг — в мин; Ро — фазовый угол между вектором эксцентриси-
тета и линией, соединяющей ось поворота шкалы с риской
указателя (индексом).
Погрешности, вызванные неточностью нанесения рисок, опре
деляются классом точности и приведены в табл. 26.1.
Таблица 26.1. Допуски на гравировку рисок круговых шкал, мин
Контролируемый размер Класс точности
I 2 3
От риски к риске ±3 ±5 ±8
Между любыми рисками шкалы ±5 ±8 ±12
И наконец, погрешность снятия отсчета, обусловленная парал-
лаксом (погрешность оптического наблюдения за рисками шкалы
и указателя при их расположении в разных плоскостях, когда
глаз наблюдателя расположен пе перпендикулярно шкале):
А фпр=[2 х lg Р/(л/)ш)] * 2,2 • 10 3 х tg Р/£>ш,
где Афпр — в мин; х—расстояние между плоскостями шкалы
и указателя, мм; Р —угол зрения, град.
§ 26.3. ФИКСАТОРЫ И СТОПОРЫ
Фиксаторы применяют для точной установки и удержания одной
летали относительно другой, например рычага переключателя
относительно корпуса. Их выполняют с жесткой и упругой фиксацией.
Последние менее надежны, но обеспечивают большее быстродействие.
Поворотный фиксатор с жесткой фиксацией показан на рис. 26.9.
Здесь в стакане 2 рычага 6 установлен подпружиненный фиксатор 4.
Его конец заходит в фиксирующие отверстия 5 корпуса. Для
изменеш!я положения деталей связанных с рычагом 6 (па чертеже не
показаны), фиксатор за головку 1 вытятвают из отверстия вверх,
преодолевая сопротивление пружины 3, и поворачивают рычаг 6.
Затем фиксатор 4 отпускают и вводят в новое отверстие.
Для упругой фиксации чаще всего применяют шарики
(рис. 26.10). Шарик / прижимается пружиной 2 к фиксирующей
впадине 3. Для перевода в другое положение нужно со стороны
рукоятки 4 приложить определенную горизонтальную силу, чтобы
вертикальная составляющая реакции впадины 3 превысила силу
упругости пружины 2.
Ограничители движения, или стопоры, служа т для ограничения
смешения деталей в заданных пределах. Наиболее простой
471
механический ограничитель вращательного движения зубчатый.
Стопорение осуществляют посредством кулачков 1 и 2, жестко
закрепленных на сцепляющихся зубчатых колесах 3 и 4 (рис. 26.11).
С помощью такого устройства легко ограничить число оборотов
п стопориваемого колеса 3. При определенных параметрах устрой-
ства через п оборотов кулачок 1 упирается в кулачок 2 и вращение
становится невозможным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Андре П.. Кофман Ж.-М., ЛотФ., Тайар Ж.-П. Конструирование роботов.
М„ 1986.
2. Арнюоо ганский И. М. Теория механизмов и машин. М., 1975.
3. Ар/>> олевский И. И. Механизмы в современной технике: Справочное посо-
бие. М., 1981.
4. Ванторин В. Д. Механизмы приборов и вычислительных систем. М., 1985.
5. Вейц В. Л., Вербовой II. Ф., Куценко В II., Мартыненко А. М. Динамика
асинхронных электроприводов: Препринт-420 АН УССР, Киев, 1985.
6. Bohuikui :. А. Расчет и конструирование точных механизмов систем
и приборов. М„ 1981.
7. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М„ 1977.
8? Дружинин IO. А., 3\йов В. А., Лавров В. IO. Проектирование механизмов
вычислительных систем и приборов с помощью ЭВМ. М., 1988.
9. Ковылин IO. Я. Геометрический синтез типовых соосных зубчатых механиз-
мов. Томск. 1981.
10. Коювскии М. 3. Динамика машин. Л., 1980.
II. Красковский Е. Я., Румянцев В. В., Дружинин Ю. А. Проектирование пере-
даточных механизмов систем автоматики и ЭВМ. Л., 1972.
12. Куцоконь В. А. Точность кинематических цепей приборов. Л.. 1980.
Ч. Левитскач О. Н.. Левитский Н. И. Курс теории мсханитмов и машин.
М„ 1985.
14. Машнев М. М., Красковский Е. Я., Лебедев П. А. Теория механизмов и ма-
шин и детали машин. Л., 1980.
15. Милосердии Ю. В.. Семенов Б. Д.. Крючко Ю. А Расчет и конструирование
механизмов приборов и установок. М.. 1985.
16. Пономарев С. Д., Андреева Л. Е. Расчет упрут их элементов машин и при-
боров. М„ 1980.
17. Попов С. А. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин.
М.. 1986.
18. Сулих Р. Д., UpvjtcuHuu Ю. А., Акксеев А. А. Структурный синтез механиз-
мов. В 3 ч. Л., 1982- 1990.
19. Теория механизмов и матпин'Под ред. К. В. Фролова. М., 1986.
20. Трение, ишашивапис и смазка: Справочник'Под ред. И. В. Краге гьского.
В. В. Алисина. М., 1978.
21. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. В 3 ч.
М., 1975 1981.
22. Элементы приборных устройств Под ред. О. Ф. Тищенко. М., 1982.
23. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. М., 1984.
24. Якушев А. И. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измере-
ния. М., 1979.
473
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амортизатор 78. 80
Аналог скорости 26
— ускорения 26
Балансировка динамическая 76
— статическая 76
Балка 119, 128, 158, 230. 376
— консольная 129
— статически неопределимая 129
Брус 119
Вал 119, 150, 367
- гибкий 368
Вариатор фрикционный 293, 299
---- волновой 305
клиноре.менный 316
— с гибкой связью 315
Вероятность безотказной работы 186
Взаимозаменяемость 195
Виброзащита активная 82
— пассивная 78
Винт 14, 182, 277, 280, 456
Водило 249, 295, 302, 383
Генератор волн 269, 304
Гибкость стержня 170
Грузоподъемность подшипника динами-
ческая 412
---- статическая 414
Группа структурная 341
Двшатель гидравлический 55
— пневматический 55
- пружинный 55
электрический 55
----асинхронный 57
---- постоянного тока 59
----синхронный 58
Деформация 116
Диапазон регулирования 299, 305, 315
Допуск 197
на гравировку рисок шкал 471
Жесткость 126, 147, 152
— вала 372, 387
Жуковского рычаг 50
Зазор 198
— в гидродинамической опоре 406
— в зацеплении боковой 211, 246
Зазор в зацеплении радиальный 211
Закон Гука 125, 149, 155
Замыкание кинематических нар 321
Запас прочности приведенный 386
Зацепление Новикова 210
равносмещснное 223
— цевочное 210
— циклоидальное 210
часовое 210, 244
— эвольвентнос 210, 216
Звено 15
— приведения 46
Изгиб 128
косой 158
— плоский 130. 377
— поперечный 128
- продольный 167
пространственный 131, 158. 377
— чистый 131
Износ 204, 333
Интенсивность отказов 185
Квалитет 197
Класс кинематической пары 17
— точности подшипника 411
шкалы 471
Концентрация напряжений 174
Коэффициент высоты головки зуба 212
диаметра червяка 281
— запаса прочносги 125
неравномерности движения 84
псрекрьпия 218, 225, 283
полезного действия 45, 71
---- перст чи планетарной 266
зубчатой 267
червячной 283
Пуассона 120. 165, 298
- — радиального зазора 212
— смещения 222
суммы смещений 222
— трения качения 69
скольжения 67, 296, 359
формы зуба 231, 238. 287
Критическая угловая скорое>ь вала 391
Лагранжа уравнения 46
Линия зацепления 217
Манипулятор 6, 194. 359
474
Манипулятор копирующий 361
Масса приведенная 46. 52
Машина 45
Маховик 85
Метод обращения движения 258, 266,
330
— определения погрешности 102
— замкнутого векторного контура 28,
30
преобразования коорчипаг 28, 364
сечений 117
Механизм 9
грейферный 10
дифференциальный 253
заменяющий 23
— зубчатый II, 208
идеальный 97
кривошипно-ползунный 31. 334
— кулачковый 13, 28, 319
кулисный 41. 336. 429
логический управления 338
мальтийский 336
обращенный 258
планетарный 210, 249
с двумя коническими колесами
273
- реальный 97
рычажный 10. 3.34, 361
фрикционный 12, 292
чстырехшарнирный 30. 335, 337,
346. 443
Модель динамическая механизма 46
Модуль зубчатою зацепления 212
нормальный 224, 282, 290
— торцовый 224
— гацепления осевой 282, 290
— упругости 104, 149, 165
привеченный 233. 298, 332
Момент инерции сечения осевой 133
- — полярный 134
------центробежный 135
твердого тела динамический 47.
75
сопротивления 135
Мощность 48, 49
— расчетная двигателя 61, 73
Мультипликатор 27. 249
Муфта 427
— игу хая 427
— компенсирующая 429
— предохрани гельная 439
свободного хода 441
------пружинная 90, 442
— электромагнитная 433
Надежность 184
Наклеп 122
Напряжение 117
Напряжение допускаемое 125, 145, 148.
152, 166, 178. 232, 287. 298, 332
касательное 118, 148, 152
кон гак г ное 163. 233, 298
нормальное 118, 144
— приведенное 157. 377
Нарезание зубьев 219
Натяг 198
Оболочка 119
Окружность впадин 211
— выст удов 211
— делительная 212
- начальная 209, 211
Опора магнитная 87, 395
— на кернах 407
— на центрах 406
«Роламайт» 397
- ртугнан 396
— скольжения 400
----гидродинамическая 402
— гидростатическая 403
с трением качения 394, 408
— шарнирно-неподвижная 129
— шарниргго-ггодвижная 129
Ось 367
балки изогнутая 145
— инерции главная 135
центральная 135
Отношение передаточное 26, 53. 54, 213
замкнутой дифференциальной пе-
редачи 260
— планетарной передачи 258
— последовательно соединенных ме-
ханизмов 27
----погрешности 103
----шарнира Гука 443
Пара кинематическая 15
----высшая 16
ггизгггая 16
Патен г оснособность 183
Передача гипоидная 244
— замкнутая дифференциальная 255
— зубчатая 11. 209
виггтовая 210, 238
— волновая 210, 268
----коническая 236
— ременная 13. 307
— тороидная 244
фрикционная 12. 292
волновая 304
----планетарная 295, 302
---- трособлочная 306
червячная 5, 277
пилиндроконичсская 242
Питч 213
Подрезание зуба 222
475
Поле допуска 197
Полюс зацепления 216
Посадка 197
подшипника качения 201, 424
скольжения 405
Предел выносливости 172
пропорциональное! и 122
— прочности 123
текучее!и 122
упругости 122
Принцип Даламбсра 43. 350
компактности 182
наиболее короткой цепи 182
независимости действия сил 153
освбождения от связей 350
статической определимости 183
технологичности 182
Прогиб балки 145
вала 387. 389
Растяжение осевое 120
внецентренное 161
Ре1улятор скорости тормозной 89
----магии гоиндукционный 93
— с трением твердых 1ел 90
---элекгроконтактный 88
Редуктор 27, 249, 465
Ремень 308
зубчатый 314
Ремонтопригодность 184
Робот 6, 360
Самоторможение 73, 261
Сборка рычажных механизмов 244
Связь голономная 46
— пассивная 21
Сдвиг 148
Сжание висцсн!репное 161
— осевое 119
Сила в кинематической парс 351
инерции 44, 74
поперечная 137. 140
приведенная 46
трения 67
уравновешивающая 50
Синтез механизмов кулачковых 327
рычажных 339. 346
структурный 340
Соединение заклепочное 445
клеевое 452
— паяное 451
- резьбовое 456
Соединение сварное 449
шлицевое 462
Стадии разработки проекта 180
Стандартизация 183
Степень свободы 17. 249
Стержень 119
Твердость 123
Теория прочности 154, 157
Точность механизмов 96
зубчатых передач 245
подшипников качения 411
рычажных механизмов 104. 108
серии механизмов 111
червячных передач 291
шкальных устройств 470
Триб 208
Угол давления 324. 343
наклона зубьев 224, 238
подьема винтовой линии 281
Уплотнение контактное 423
— лабиринтное 423
с магнш пой жидкостью 424
Условие сборки 262
соосности 261
соседе гва 263
Усталость материалов 171
Функция передаточная 26
положения 25
Характерно шка двигателя механическая
56, 60
---динамическая 60, 64
— — статическая 60
Хол свободный мертвый 99, 247
Цапфа 68
Цикл огпулсвоп 172
— симметричный 182
Червяк архимедов 278
— глобоидный 278
Число передаточное 28
степеней свободы 17. 20
Шарнир Гука 443
Шероховатость поверхности 202, 234
Шпонка 461
Штифт 149. 459
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................... 3
Введение ......................................................... 5
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
Глава 1. Механические системы ............ ......................
§ 1.1. Классификация механизмов ............................ 9
§ 1.2. Структура механизмов .............................. 14
§ 1.3. Степень свободы .................................... 20
§ 1.4. Заменяющие механизмы ............................... 23
Г л а ва 2. Кинематика механизмов ................................ 24
§ 2.1. Аналитическая кинематика ........................... 25
§ 2.2. Векторный метод планов .......................... 32
Глава 3. Динамика механических систем .......................... 43
§ 3.1. Силы, действующие на звенья ........................ 43
§ 3.2. Расчетная динамическая модель механизма и основные
уравнения движения ................................. ... 46
§ 3.3. Приведение сил и моментов сил ...................... 47
§ 3.4. Приведение масс и моментов инерции звеньев ......... 52
§ 3.5. Двигатели и их механические характеристики ... ..... 55
§ 3.6. Движение механизма под действием приложенных
сил -...................................................... 62
§ 3.7. Трение в кинематических нарах ...................... 66
§ 3.8. Коэффициент полезного действия ..................... 71
§ 3.9. Инерционные нагрузки и уравновешивание звеньев ..... 74
§ 3.10. Вибрация и вибро защита .......................... 77
Глава 4. Регулирование скорости механизмов ..83
§ 4.1. Неравномерность движения и способы ее ограниче-
ния ....................................................... 83
§ 4.2. Маховики ...................................... 85
§ 4.3. Регуляторы скорости ................................ 87
Глава 5. Точность механизмов 96
§ 5 I Пот ретнности механизмов 96
§ 5.2. Методы определения потрешностей ................... 102
§ 5.3. Точность серии механизмов ......................... Ill
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА
ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
Глава 6. Деформации н напряжения .............................. 115
§ 6.1. Деформации деталей ................................ 115
477
§ 6.2. Понятие о напряжениях. Метод сечений ................. 117
§ 6.3. Детали механических систем ............... 118
Глава 7. Осевое растяжение и сжатие .... 119
§ 7.1. Деформации и напряжения .............................. 120
§ 7.2. Механические характеристики материалов . 121
§ 7.3. Закон Гука ....................... ... .......... 123
§ 7.4. Расчеты на прочность и жест коси...................... 125
§ 7.5. Напряжения, во шикающие при изменении температу-
ры .......................................................... 126
Глава 8. Изтиб .................................................. 128
§ 8.1. Вилы изтиба и их особенности ............... 128
§8.2. Напряжения при чистом изтибе ........................ 131
§ 8.3. Геометрические характеристики плоских сечений ........ 134
§ 8.4. Плоский поперечный изгиб. Изгибающий момент и попереч-
ная сила .................................................... 137
§ 8.5. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил ........... 140
§ 8.6. Напряжения при поперечном изгибе. Расчеты на проч-
ность ....................................................... 144
§ 8.7. Против балок. Расчеты на жесткость ................... 145
Глава 9. < твит и кручение . ................... 147
§9.1. Чистый сдвит. Деформации и напряжения ................ 148
§ 9.2. Кручение. Деформации и напряжения .................... 150
Глава 10. (ложные деформации ....................................... 153
§ 10.1. Понятие о теориях прочности ...................... 153
§ 10.2. Пространственный изгиб .............................. 158
§ 10.3. Совместное действие изгиба и растяжения (сжа-
тия) ........................................................ 160
§ 10.4. Совместное действие изгиба и кручения ............. 162
§ 10.5. Контактные напряжения ............................... 163
Глава II. Про «ильный изгиб ........................................ 167
§ 11.1 Устойчивость сжатых стержней .................. 167
§112. Проверка сжатых стержней на устойчивость ........... 169
Глава 12. Переменные напряжении. Выбор допускаемых напряжений .. .. 171
§ 12.1. Усталость материалов ............................... 171
§ 12.2. Концентрация напряжений и се влияние на прочность
материалов ................................................ 174
§ 12.3. Расчет допускаемых напряжений ...................... 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Глава 13. Основы проектирования механических систем ................ 179
§ 13.1 Общие вопросы проектирования ........................ 179
§ 13.2. Надежность механических систем ..................... 184
§ 13.3. Конструкционные материалы и их выбор . ........... 189
§ 13.4. Точность изтоговления деталей ...................... 195
§ 13.5. Износостойкость механизмов ......................... 204
Глава 14. Зубчатые иеретачи ...................................... 208
§ 14.1. Особенности зубчагых передач точной механики ....... 208
478
§ 14.2. Параметры прямозубых цилиндрических колес ..........
§ 14.3. Передаточное отношение. Основная теорема зацеп-
ления .......................................................
§ 14.4. Эвольвент ныс цилиндрические передачи ..............
§ 14.5. Основы теории изготовления зубчатых колес и расчет
геометрических параме1ров прямозубой цилиндрической пе-
редачи .....................................................
§ 14.6. Косозубые цилиндрические передачи ..................
§ 14.7. Конструкции и материалы зубчатых колес .............
§ 14.8. Прочностные расчеты ................................
§ 14.9. Конические передачи ................................
§ 14.10. Винтовые зубчатые передачи .........................
§ 14.11. Специальные виды зубчатых передач ..................
§ 14.12. Точность ...........................................
211
213
216
219
223
225
229
236
238
240
245
Глава 15. Планетарные, дифференциальные и волновые зубчатые меха-
низмы ............................................................. 249
§ 15.1. Планетарные и дифференциальные механизмы ......... 249
§ 15.2. Кинематика планетарных и дифференциальных меха-
низмов 257
§ 15.3. Кпд планетарных передач .......................... 266
§ 15.4. Волновые зубчатые передачи ....................... 268
§ 15.5. Планетарные механизмы с двумя коническими коле-
сами ...................................................... 273
Глава 16. Червячные передачи ...................................... 277
§ 16.1. Виды и применение .................................. 277
§ 16.2. Основные параметры и конструкции ................... 280
§ 16.3. Точность ........................................... 291
Глава 17. Фрикционные механизмы ................................... 292
§ 17.1. Виды и применение .................................. 292
§ 17.2. Фрикционные передачи с постоянным передаточным отно-
шением ..................................................... 294
§ 17.3. Фрикционные вариаторы .............................. 299
§ 17.4. Фрикционные волновые передачи ...................... 304
Глава 18. Передачи гибкой связью ................................... 305
§ 18.1. Виды и применение ................................... 306
§ 18.2. Ременные передачи ................................... 307
§ 18.3. Передачи гибкой связью с зацеплением ................ 312
§ 18.4. Вариаторы с гибкими связями ......................... 315
Глава 19. Кулачковые механизмы ..................................... 319
§ 19.1. Виды и применение ................................... 319
§ 19.2. Кинематический и силовой анализ ..................... 322
§ 19.3. Синтез ............................................. 327
§ 19.4. Расчет на прочность и долговечность ................. 332
Глава 20. Рычажные механизмы ....................................... 334
§ 20.1. Рычажные механизмы приборов, систем автоматики и
ЭВМ ....................................................... 334
§ 20.2. Структура и синтез ................................. 339
§ 20.3. Силовой анализ ..................................... 350
Гла ва
21. Механизмы промышленных роботов
359
§ 21.1. Механизмы манипуляторов ............................ 359
479
§ 21 2. Матричный метод кинематического анализа рычажных ме-
ханизмов роботов ....................................... 364
Глава 22 Валы и оси ...... ............ ... 367
§ 22.1. Конструкции ........... . ................. . .. 367
§ 22.2. Предварительный расчет ... . ..... 370
§ 22.3 Проверочные расчеты . . . .. 373
§ 224. Жесткость и колебания валов и осей .............. . 387
Г л а ва 23 Оиоры валов и осей . 393
§ 23 1 Общая характеристика опор и их выбор ............. 394
§ 23 2 Опоры скольжения .... . ... 400
§ 23 3 Опоры качения . . . . . 408
§ 23.4. Подбор и расчет подшипников качения .... 412
§ 23.5. Нестандартные и высокоскоростные подшипники ка
чсния 418
§23.6 Конструирование подшипниковых узлов . 421
§ 23 7 Способы уменьшения момента сил грения в опо
рах . . ... 426
Глава 24 Муфты . ....... 427
§ 24 1 Муфты, применяемые в точной механике .... 427
§ 24.2. Муфты для постоянного соединения валов .... 428
§ 24.3. Муфты управления . . .. . . 433
§ 24 4 Универсальные шарниры ........................... 443
Глава 25 Соединения ...... 445
§ 25.1 Заклепочное соединение ... . ......... 445
§ 25 2 Сварные, паяные и клеевые соединения .... . 449
§ 25 3 Соединения с натягом .... ............... 454
§ 25 4 Резьбовые соединения . . . ........ . 456
§ 25 5 Штифтовые, шпоночные и шлицевые соединения ....... 459
Г л а ва 26 Корпуса, шкалы, фиксаторы и стопоры 464
§ 26 I Корпуса . ......... . .... 465
§ 26 2. Шкалы отсчетных устройств . 469
§ 26 3. Фиксаторы и стопоры 471
Список литературы . ...... 473
Предметный указатель ...... ... . .... 474
4