БИБЛИОТЕКА ПО АВТОМАТИКЕ
Выпуск 283
И. М. ВИТЕНБЕРГ и Р. Л. ТАНКЕЛЕВИЧ
АНАЛОГОВЫЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ
ВЫПОЛНЕНИЕМ ОПЕРАЦИЙ
(ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ)
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1968

6П2.154
В 54
УДК 681.142.333
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
И. в. Антик, А. И. Бертинов, А. А. Воронов, Д. А. Жучков,
Л. М. Закс, в. С. Малов, В.'Э. Низе, О. В. Слежановский,
Б. С. Сотсков, Ф. Е. Темников, А. С. Шаталов
Витенберг И. М. и Танкелевич Р. Л.
В 54 Аналоговые вычислительные машины с после-
довательным выполнением операций. М., «Энер-
гия», 1968.
128 с. с илл. (Б-ка по автоматике. Вып. 283)
Рассматриваются принципы построения и математические возмож-
ности нового класса 'аналоговых вычислительных машин — АВМ с по-
следовательным выполнением операций; описываются методы реше-
ния некоторых типов уравнений в частных производных, наиболее
пригодные при использовании АВМ с последовательным выполнением
операций; приводятся методические указания по подготовке задач и
программированию указанных АВМ при решении уравнений в част-
ных производных.
Книга может быть полезна специалистам, использующим средства
•аналоговой вычислительной техники для решения различных задач, а
TaKJjce студентам высших учебных заведений и научным работникам.
3-3-13
246-68 6П2Л54

ВВЕДЕНИЕ
ABM с ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ВЫПОЛНЕНИЕМ
ОПЕРАЦИЙ
Вследствие глубокого проникновения методов и средств вычис-
лительной техники в практику научных исследований, инженерных
и экономических расчетов перед вычислительной техникой встает
все большее и большее количество задач. Возникает необходимость
отыскания и использования наиболее рациональных направлений
построения и применения средств вычислительной техники. Изучение
задач вычислительной техники и аналоговой техники, в частности,
приводит к выводу о целесообразности двух основных линий даль-
нейшего развития средств аналоговой техники: построение анало-
говых и аналого-цифровых вычислительных систем, предполагающих
возможность реализации сложных вычислительных процессов, и по-
строение специализированных машин для решения частных задач.
Оба направления в развитии аналоговой техники тесно связаны
между собой.
Использование схемы моделирования как объекта оптимизации
вызвало к жизни аналоговые вычислительные машины (АВМ)
с периодизацией решения, оснащенные устройствами автоматизации
поиска оптимального варианта. Исследование задач статистического
анализа, когда АВМ используется в качестве объекта случайных
воздействий, приводит к необходимости введения в ее состав аппа-
ратуры для образования и анализа случайных сигналов. С другой
стороны, появление аналоговых запоминающих устройств дает
возможность реализации методов последовательных приближений
при решении интегральных уравнений.
Из приведенных примеров следует, что в состав аналоговой
вычислительной системы должны входить устройства, последова-
тельно используемые при вычислениях, а caiM вычислительный про-
цесс должен быть соответствующим образом организован. Органи-
зация вычислительного процесса неразрывно связана со структурой
системы, а наиболее общему представлению о системе соответствует
определение «аналоговая вычислительная машина с последователь-
ным выполнением операций».
Действительно, решить математическую задачу — значит, тем
или иным способом установить соответствие между элементами
вектора X в пространстве задания исходных переменных и элемен-
тами вектора Y в пространстве решений задачи. Можно полагать,
что такое соответствие уст1анавливает некий математический опера-

тор Q, отображающий пространство задания переменных в про-
странство решений (y=rQX).
Отображение Q материализуется с помощью различных вычис-
лительных средств. Способ реализации оператора является основ-
ным признаком, по которому можно дифференцировать разнообраз-
ные вычислительные средства. Для наших целей интерес представ-
ляет разделение способов реализации оператора Q и, следовательно,
вычислительных средств на два больших класса. К первому классу
относятся методы и средства, предполагающие непосредственное,
осуществляемое в один прием, отображение рассматриваемого типа.
В случае применения методов и вычислительных средств второго
класса оператор Q представляется в виде некоторой функции
вспомогательных операторов Qi, 1Q2, ...» Qn'
Q=<D(Qu Q2, .... Qn). (1)
Решение задачи получается в результате последовательного воздей-
ствия операторов из множества {Qi} на исходные значения пере-
менных и промежуточные результаты по некоторому плану, состав-
ленному в соответствии с видом функции Ф. В этом случае говорят
о «вычислительном процессе». Известно, что такой порядок выпол-
нения элементарных операций, обеспечивающий однозначное отобра-
жение исходных данных в требуемое решение задачи, есть алгоритм
ее решения.
Методы первого класса обеспечивают получение решения зада-
чи одновременно с окончанием ввода исходных данных в вычисли-
тельное устройство. Все «традиционные» аналоговые вычислитель-
ные средства, предназначенные для решения систем алгебраических
уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и некото-
рых типов уравнений в частных производных, относятся к первому
классу. Любое аналоговое устройство представляет собой физиче-
скую модель некоторого конкретного класса математических задач,
т. е. с его помощью производится непосредственное, одновременное
с вводом исходных данных отображение этих величин "в искомое
решение задачи.
Основное место среди вычислительных устройств второго класса
в современной вычислительной технике занимают цифровые вычис-
лительные машины (ЦВМ). В качестве элементарных здесь исполь-
зуются арифметические операторы сложения, вычитания, умножения
и деления, выполняемые над числами, образующие вместе с логи-
ческими операторами некоторое множество (//,). Ко второму клас-
су вычислительных методов и средств относятся также АВМ
с операционными усилителями, оснащенйые устройствами' автома-
тической оптимизации и предназначенные для решения, например,
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
При постановке подобной задачи на АВМ этого типа оператор Q
представляется в виде функции Ф от операторов решения задачи
Коши и некоторых логических операторов, осуществляющих сравне-
ние аналоговых величин.
Анализ вычислительных методов и средств первого и второго
классов позволяет сделать следующие выводы:
1. Вычислительные устройства первого класса —это узкоспе-
циализированные вычислительные машины, в то время как вычис-
лительные средства второго класса при удачном выборе множества
элементарных операторов могут давать 'решение самых разнообраз-
ных задач. Единственное условие возможности получения решения
4

с их помощью — алгоритмическая разрешимость задачи на выбран-
ном мьюжестве {Qi} (таким удачным с этой точки зрения набором
элементарных операторов обладают получившие широкое распро-
странение ЦВМ).
2. Вычислительные устройства первого класса обладают зна-
чительно большим быстродействием по сравнению с машинами вто-
рого класса, что и является причиной широкого распространения
для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и
некоторых типов уравнений в частных производных АВМ с опера-
ционными усилителями и сеточных моделей.
Максимальный эффект по универсальности может быть достиг-
нут лишь в рамках средств и методов второго класса, а необходи-
мость увеличения быстродействия требует принятия более совершен-
ного, чем {Ui}, набора элементарных операторов. Набор операторов,
обеспечивающих максимальное быстродействие, можно получить,
взяв за основу математические операции, выполняемые АВМ с опе-
рационными усилителями. К множеству операторов {Pi} отнесем
линейные операторы умножения на постоянный коэффициент, сум-
мирования, интегрирования непрерывных функций, а также нелиней-
ные операторы, например операторы функционального преобразова-
ния произвольного вида, перемножения или деления. Из элементов
множества {Pi} могут быть составлены разнообразные операторы
для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
образующие некоторое подмножество.
При реализации на АВМ различных вычислительных процессов
используются отдельные подмножества аналоговых элементарных
операторов {Ai} множества {Pi}. Конкретный вид множества уста-
навливается в соответствии с планом вычислительных операций при
решении определенной задачи.
Таким образом, АВМ с последовательным выполнением опера-
ций есть вычислительная система общего типа, состав которой обес-
■ печивает возможность реализации аналоговых операций, относящих-
ся к множеству {Лг}, в необходимой последовательности. Вычисли-
тельная система на наиболее высоком этапе ее развития предпола-
гает автоматическую реализацию некоторого заданного вычисли-
тельного процесса. Такую способность, составляющую основную
характерную черту системы, определяемую понятием управляемости,
обеспечивает введение специального управляющего органа, который
в дальнейшем будем называть (возможно не очень точно) устрой-
ством управления групповыми операциями К
Основу машины (рис. 1) составляет аналоговое операционное
устройство ЛОУ, включающее в себя блоки для реализации элемен-
тов множества {Pi}. Набор этих блоков должен быть достаточно
широк для образования на их основе множеств (Л»}, позволяющих
решать достаточно большой класс задач. Принцип построения АОУ
должен обеспечивать возможность образования различных элемен-
тов множества {Рг} посредством коммутации блоков вручную или
автоматически. АОУ должно обладать устройствами связи с раз-
личными блоками АВМ с последовательным выполнением операций.
Операционные блоки АОУ, помимо обычных требований по точности
^ Термин «групповые операции> не связан с одноименным понятием
в теории программирования ЦВМ, а выражает лишь тот факт, что функции
устройства управления распространяются на «крупные» (групповые) аналого-
вые операции.

выполнения операций, должны обладать достаточно широкой поло-
сой пропускания частот для обеспечения высокого быстродействия.
Важной частью АВМ с последовательным выполнением опера-
ций является аналоговое запоминающее устройство (ЗУ), предна-
значенное для запоминания исходных данных,- промежуточных ре-
зультатов, а в некоторых случаях — результатов, подлежащих
выводу из машины. Принципиально ЗУ может использоваться и для
хранения информации о порядке выполнения операций. Информа-
цию, которая подлежит запоминанию, можно разделить на две
группы. К первой следует отнести числовую информацию {гг}, ха-
I Адтоматияескии. I
I ввод
^ополнительнсья
1 аппаратура.
Местное
^ {(/строаство
^^\иправления
ЗУ
ЗУ
/у
уместное
устрой,
ство
ипрабле-
ная Sy
1
Мл^хране
ная частей \
.У У г о
Рис. 1. Блок-схема АВМ с последовательным выполнением операций.
рактеризующую, например, значения функции одной переменной
при некоторых значениях данной переменной, передаточные коэффи-
циенты операционных блоков и т. д. Вторая группа включает в себя
информацию, представленную в виде непрерывных функций одной
переменной {/J. Каждый элемент той и другой группы хранится
в некоторой отдельной части ЗУ, называемой ячейкой. В отличие
от ЦВМ в АВМ с последовательным выполнением операций ЗУ,
представляющее собой совокупность некоторого числа ячеек, долж-
но обеспечивать возможность двустороннего доступа к содержимо-
му ячеек в некоторый момент времени. Это означает возможность
одновременной записи информации в некоторые ячейки ЗУ и парал-
лельной выборки информации из любых ячеек.
Кроме указанных выше устройств, АВМ с последовательным
выполнением операций, как и любая другая вычислительная маши-
на, содержит устройства ввода и вывода информации (электронно-
лучевые индикаторы, светолучевые осциллографы, цифровые вольт-
метры и т. д.). Если устройства для автоматического ввода не
являются обязательными (ввод данных можно осуществлять вруч-
ную, например, с помощью шнуровой коммутации), устройства для
автоматического вывода информации непременно включаются в со-
став любой АВМ в том числе в АВМ рассматриваемого типа.
В состав АВМ с последовательным выполнением операций мо-
гут входить устройства, применение которых не является обяза-
6

дельным, но которые исторически возникли как средства, расширяю-
щие возможности АВМ, и могут быть использованы в составе
устройства управления групповыми операциями. Сюда относятся,
например, устройства автоматической оптимизации, устройства для
статистической обработки информации и т. д.
Информация, перерабатываемая операционным устройством во
время выполнения каждой операции, поступает из запоминающего
устройства, куда отсылаются и результаты выполнения отдельных
операций. В некоторых случаях происходит обмен информацией
между АОУ и дополнительными устройствами (например, при ре-
шении краевых задач устанавливается связь между АОУ и
устройством автоматической оптимизации). Организация таких свя-
зей, осуществляемых в некоторый момент времени для реализации
заданной операции, а также подготовка АОУ к выполнению этой
операции составляют основные функции устройства управления
групповыми операциями. Устройство управления групповыми опера-
циями должно обладать возможностью реализации различных ви-
дов программ. Среди них основными являются простые, открытые
программы с условным переходом и замкнутые программы, исполь-
зующие условный и безусловный переходы.
Так же как и в ЦВМ, программы решения вычислительных за-
дач на АВМ с последовательным выполнением операций могут со-
держать подпрограммы. В этом случае функцией устройства управ-
ления групповыми операциями является подключение в определен-
ный момент времени устройств, входящих в состав дополнительной
аппаратуры.
Таковы общие черты осуществления принципа управляемости
АВМ с последовательным выполнением операций, которые реали-
зуются с помощью устройства управления групповыми операция-
ми УУГО.
в приведенной на рис. 1 блок-схеме между отдельными устрой-
ствами АВМ с последовательным выполнением операций сущест-
вуют односторонние или двусторонние связи. Пунктиром обозначены
блоки, включение которых в АВМ с последовательным выполне-
нием операций не является обязательным, хотя и приводит к су-
щественному увеличению их возможностей.
Приведенная на рис. 1 схема — наиболее общая схема любой
вычислительной системы, так как использует общий принцип орга-
низации вычислительного процесса. Упрощение вычислительного
процесса до процесса, требующего применения лишь одного груп-
пового оператора, приводит и к упрощению вычислительной систе-
мы до аналоговой вычислительной машины обычного типа. Суже-
ние набора элементарных операторов в операционной части системы
до арифметических и логических операторов приводит к ЦВМ {АОУ
в этом случае вырождается в арифметическое устройство^). В на-
стоящее время имеется большое количество структур, каждую из ко-
' Подобная общность в структуре ЦВМ и АВМ с последовательным вы-
полнением операций свидетельствует о принципиальной возможности исполь-
зования описанных в последующих главах методов решения уравнений в ча-
стных производных на АВМ для их постановки на ЦВМ. Оставляя в стороне
вопросы сравнения производительности и эффективности использования вы-
числительных средств различных типов при решении уравнений в частных
производных, отметим, что целесообразность решения задачи на той или иной
вычислительной машине в большом числе случаев определяется конкретными
условиями, в которых она ставится.

торых можно рассматривать как частный случай вычислительной
системы общего типа.
Существующие аналоговые вычислительные структуры с после-
довательным выполнением операций можно разделить на две
основные категории. К первой категории следует отнести структуры
неявного типа, т. е. АВМ, в которых запоминание результатов про-
межуточных вычислений, выполнение команд условного и безуслов-
ного перехода и ряд других операций, выполнение которых необхо-
димо при организации разветвленного вычислительного процесса,
производится с помощью специальным образом построенных ана-
логовых схем. К числу подобных схем относятся так называемые
динамические запоминающие устройства и схемы сравнения. Как
правило, АВМ, содержащие дополнительные схемы в аналоговой
части, называют итерационными АВМ. В понятие итерационная
вкладывается способность АВМ, работающей в режиме периодиза-
ции, передавать информацию из одного операционного цикла
в другой параллельный или последующий цикл и выполнять необ-
ходимый минимум логических операций. К числу аналоговых машин
этого типа относятся машины DYSTAC фирмы Computer System
(США), IDA фирмы Beckman Instruments (США) и IACSH фирмы
ХИТАТИ (Япония).
Вторая категория структур предполагает использование в вы-
числительной системе любой АВМ, дополненной различными сред-
ствами управления и запоминания полученной информации. Количе-
ство структур этого типа достаточно велико и определяется коли-
чеством " возможных направлений применения средств аналоговой
вычислительной техники.
На рис. 2 приведены возможные структуры аналоговой вы-
числительной системы с последовательным выполнением операций.
Часть из них — полностью автоматизированные структуры, а часть
структур предполагает активное участие человека — оператора О
в вычислительном процессе. В наиболее простом случае (структу-
ра 1) управление последовательностью выполнения операций, оцен-
ки результатов и запоминания промежуточных данных осуществ-
ляет человек-оператор. В наиболее сложном случае выполнение
всех функций анализа, запоминания и управления возлагается на
ЦВМ, так что структура 6 является аналого-цифровым комплексом.
Промежуточными структурами 2—5 являются структуры, в которых
аналоговая машина дополняется специальными устройствами ти-
па аппаратуры автоматической оптимизации ААО или устройств
запоминания информации (ЗУ) с различной степенью автомати-
зации. Каждая из рассматриваемых структур может более или менее
рационально использоваться при организации сложных вычислитель-,
ных процессов. Так, например, ЗУ, входящее в состав ЦВМ, не при-
способлено для одновременного воспроизведения многих функций,
а потому при появлении такой необходимости целесообразно ис-
пользование структур 3 и 4. Необходимость полной автоматизации
во многих случаях не очевидна и является следствием подготовлен-
ности вычислительных методов.
Удачный выбор вычислительной структуры непосредственно
связан с видом задачи, подлежащей решению с помощью данной
структуры. В этой связи особое место занимают уравнения в ча-
стных производных, так как в большинстве случаев попытки реше-
ния их с помощью АВМ с операционными усилителями наталки-
ваются на необходимость организации разветвленного вычислитель-
8

ного процесса. Именно поэтому основное содержание этой книги
посвящено методам решения уравнений в частных производных
в предположении, что в распоряжении исследователя имеется или
может быть «собрана» вычислительная система с последователь-
ным выполнением операций, принадлежащая к одной из структур
из числа показанных на рис. 2. Реализация всех описываемых ниже
методов может быть осуществлена с помощью обычных средств
аналоговой техники. Естественно, что применение более совершен-
ных структур и переход к режиму периодизации решений могут
повысить эффективность ряда методов.
АбМ
А до
АВМ
/У
АВМ
\ /
5 Г
^ ASM
/f/fO —1
\ /
УУГО
ASM
О, вм
Рис. 2. Некоторые типы структур АВМ с последовательным выпол-
нением операций.
О — оператор; ЛЛ О — аппаратура автоматической оптимизации; УУГО
устройство управления групповыми операциями.
Из сказанного выше следует, что процесс постановки и реше-
ния той или иной задачи, описываемой уравнениями в частных про-
изводных, в большинстве случаев не ограничивается подготовкой и
набором на машине системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, так как помимо этой операции процесс решения задач
математической физики должен включать в себя выбор метода ее
решения и анализ этого метода с целью определения порядка, в ко-
тором необходимо выполнять основные операции на АВМ. Этот
порядок, по существу, является программой выполнения операций
на АВМ при решении данной задачи. Последовательность выпол-
нения'операций может быть записана в виде блок-схемы програм-
мы, графическое изображение которой представляет собой времен-
ную последовательность операций подобно тому, как это принято
в вычислительной математике для ЦВМ.
Особенностью АВМ является возможность параллельного вы-
полнения нескольких операций. Это учитывается при составлении
блок-схем программы либо объединением всего комплекса одно-
временно выполняемых элементарных операций в одну комплекс-
9

ную операцию (например, решение системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений), либо графическим изображением этого по-
ложения при параллельном выполнении, например, операций вы-
числения и запоминания. На рис. 3 приведена блок-схема простой
программы вычисления кратного интеграла, ^в которой использу-
ются основные обозначения, принятые в работе ^
—./??/7«tovfl имформацим
V Интервал
) (лмтегриривамия
тт
Рис. 3. Блок-схема программы выполнения операций^при вычислении
а Ъ
интеграла / = J eft/ J f (:^; y[)dx по выражению
с а
п b
I^h^^ \F(x,y)'dx.Tji,eh = —^.
« — число прямых в области; i — номер дорожки 1^г^/г + 1; у—номер вре-
менного этапа 1 ^ / ^ /; ^—-номер операции.
* В книге изложены результаты работы, проводившейся в НИИСчетмаше
при участии авторов.
Авторы пользуются случаем выразить глубокую благодарность сотрудни-
кам НИИСчетмаша, участвовавшим в работе, а также А. В. Шилейко и
Ф. Б. Поволоцкому за полезные замечания, сделанные ими при просмотре-
рукописи.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
АНАЛОГОВЫХ СРЕДСТВ
1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ и КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Большинство известных в природе явлений и процессов раз-
виваются во времени и в пространстве. Физические законы, опре-
деляющие их поведение, имеют ярко выраженный непрерывный ха-
рактер, что предопределяет дифференциальную форму их математи-
ческого представления.
Широкий круг задач математической физики, имеющих важное
научное или инженерное значение, сводится к необходимости ре-
шения разнообразных дифференциальных уравнений в частных про-
изводных. Теория электрических и магнитных полей, распростране-
ние тепла и диффузионные процессы, теория упругости, строитель-
ная механика и строительная физика, газо- и гидродинамика,
распространение волн, квантовая механика, теория относительности—
таков далеко не полный перечень крупных отраслей науки и тех-
ники, в которых возникают задачи, требующие для своего описания
применения уравнений в частных производных. Рассмотрим не-
сколько типичных примеров.
Во многих силовых полях (например, в поле сил ньютоновского
или кулоновского притяжения) работа, необходимая для перемеще-
ния тела из некоторой фиксированной точки Л в точку Р, является
однозначно определенной функцией U{P), называемой потенциалом
данного поля. При этом само, поле характеризуется вектором а
(вектор напряженности), который связан с U(P) выражением
ди ди ди
a = gradf; = l^+j^ + k^, (1)
где X, у, а:—декартовы координаты пространства.
Если в поле отсутствуют источники и стоки энергии, то
И

Подставляя в (2) выражение (1), получаем так называемое урав-
нение Лапласа
divgrad(/=0 (3)
или
При наличии источников или стоков с плотностью / из урав-
нения
diva=/
следует уравнение Пуассона
дЮ dJU
Уравнения Лапласа (4) и Пуассона (5) описывают поле, в ко-
тором отсутствует движение энергии. Случай переменного во вре-
мени поля представляется при рассмотрении, например, явления не-
стационарной теплопроводности. Уравнение движения энергии
в общем случае связывает пространственный перенос энергии (ди-
вергенцию вектора поля а) с изменением объемной плотности энер-
гии ф в единицу времени i
diva + -|f = 0. (6)
Это фундаментальное уравнение, выражающее закон сохране-
ния энергии, может быть применено при описании явления тепло-
проводности, если использовать закон Фурье, установившего, что
поток тепла q через единицу поверхности в единицу времени про-
порционален градиенту температуры Т и коэффициенту теплопро-
водности X
q=_^gradr. (7)
Подставляя уравнение (7) в уравнение (6) и вводя коэффи-
циент объемной теплоемкости для записи объемной плотности
'/Силовой энергии, получаем уравнение теплопроводности (урав-
нение Фурье) 1 при условии ^=const
при наличии тепловых источников в области теплопереноса их
плотность / дополняет правую часть уравнения (8).
Аналогичным образом, используя уравнение движения энер-
гии для описания распространения волновых колебаний в упругой
среде, можно получить следующее уравнение, называемое волновым:
—^ Подобное уравнение получается и при описании явления диффузии.
Решение его позволяет определить концентрацию вещества в среде. Вывод
этога уравнения основан на законе Фика, аналогичном закону Фурье.
12

здесь ,ф — потенциал скорости упругой среды;
— коэффициент, характеризующий скорость распростране-
ния волны.
Уравнения (4), (8) и (9) относятся соответственно к трем
основным группам математической классификации линейных урав-
нений в частных производных второго порядка и могут быть запи-
саны в общем виде
/=1 7=1 i = l
где ai}=aij{xu Х2, ..., Хп) {aij=^aji) и bi = bi(xi, х^у ...,^п). Справа
в уравнение входит известная функция
/ = |/(^Ь Х2у Хп).
Левая часть уравнения представляет собой линейную комби-
нацию искомой функции V{xx, Х2, Хп) от п независимых irepe-
менных й ее частных производных первого и второго порядка. При
f=0 уравнение (10) называется однородным, в противном случае—
неоднородным уравнением.
Тип уравнения (10) определяется значением корней характери-
стического уравнения
«„1 Unz ... Л„п—^
=^0. (11)
Возможны три комбинации корней этого уравнения:
1. Все п корней имеют одинаковый знак.
2. Один из корней имеет знак, противоположный знаку осталь-
ных п—1 корней.
3. Один из корней имеет нулевое значение, а другие имеют
одинаковый знак.
Первый случай характеризует уравнения эллиптического, вто-
рой—гиперболического и третий — параболического типа. Если
коэффициенты aij постоянны, то уравнение в частных производных
принадлежит к одному из указанных выше типов при любых значе-
ниях аргументов. В случае переменных коэффициентов уравнение
может принадлежать к различным типам в зависимости от значе-
ний аргументов.
Все уравнения в частных производных, использующиеся при
решении физических задач, содержат не более четырех независимых
переменных: три пространственные координаты и время. В соответ-
ствии с этим уравнения подразделяются на стационарные, не со-
держащие в качестве независимой переменной время, и нестацио-
нарные: искомая функция, определяемая этим уравнением, зависит
'от времени. Из рассмотренных выше уравнений уравнение Лапласа
(4) принадлежит к стационарным уравнениям, а уравнения тепло-
проводности (8) и волновое (9) —к нестационарным.
По количеству независимых пространственных переменных урав-
нения подразделяются на одномерные, двумерные и трехмерные.
Соответствующие двумерные и одномерные уравнения получаются
путем простого отбрасывания производных dW/dz^ или
13

Для линейных уравнений второго порядка, содержащих две
независимые ^переменные, вида
д'С/
[уравнение (12) для упрощения записывается в форме однородного
уравнения без первых производных dU/dxi и dU/dx2] можно кон-
кретизировать критерии отнесения к тому или иному типу.
Характеристическое уравнение для выражения (12) имеет вид:
=0 (13)
ИЛИ
Х2 _ (а,, + ^22) X + л, А2 - «?2 = О- (14)
Корни характеристического уравнения можно записать следующим
образом:
Кг = 4" K^ti + ^22) ± V(^11 + ^22)' - 4 (а,,а,, - а\,)]. (15)
Таким образом, тип уравнения (12) можно охарактеризовать зна-
ком выражения
^ = «ai«22-4- (16)
Возможны следующие три случая:
1. D>0; sign Xi = sign — уравнение принадлежит к эллипти-
ческому типу.
2. D<0; sign =7^sign Л,2 —уравнение принадлежит к гипербо-
лическому типу.
'3. D = 0; Xi = 0; l2#0 — уравнение принадлежит к 'параболиче-
скому типу.
Отсюда, в частности, следует эллиптичность двумерного уравне-
ния Лапласа
g^+^ = 0-.D=l>0;
гиперболичность одномерного волнового уравнения
и параболичность одномерного уравнгния теплопроводности
ди ^ ^ ^
Отсутствие смешанных производных по пространственным коорди-
натам не имеет принципиального значения — простым линейным
преобразованием пространственных координат всегда можно свести
линейные уравнения, содержащие смешанные производные, к виду
(4), (8) или (9), который называют канонической формой записи
уравнений второго порядка.
14

в большинстве случаев уравнения с переменными коэффициен-
тами, принадлежат к одному определенному типу во всей области
задания искомой функции. Это относится, например, к уравнениям
Лапласа, теплопроводности и волновому-уравнению с переменными
коэффициентами:
д
дх
ди
Л, {X, у, z)^
ди_
ду
+
+
dz
ди
^3 У' 2)
= 0:
д Г
dJT
ди
Л,{х. у, z)^
+
д Г
ду
^2 (-^. у* ^)
+
+
д Г
dz
^3 У' ^)
ди
dt '
дх
ди
А {х> У> г) ^
+
д Г
ду
ди
^2(^. У» ^)-^
+
+
д Г
dz
ди
^3 У' 2) ^
(17)
(18)
(19)
записанным для процессов, происходящих в неоднородной или
анизотропной среде, характеристиками которой являются величины
Ai{x, у, z), Л2{х, у, г), Лз(х, у, z). Смысл этих коэффициентов мо-
жет быть легко понят при рассмотрении вывода, например, уравне-
ний теплопроводности (6)—(8). Для среды с переменным коэффи-
циентом теплопроводности после (7) последует уравнение, имеющее
вид (18).
Исключение составляет, например, уравнение Трикоми
д^и , д^и ^
(20)
описывающее движение, происходящее на околозвуковых скоростях.
Для этого уравнения полуплоскость у>0 является зоной эллиптич-
ности, полуплоскость t/<0 —зоной гиперболичности, а прямая у=
= О —зоной параболичности.
В последнее время все большую актуальность приобретают
нелинейные уравнения в частных производных второго порядка,
в которые входят нелинейные функции искомой переменной. Появ-
ление этих уравнений связано с исследованием процессов, характер
протекания которых существенно зависит от значения искомого
потенциала. Для нелинейных уравнений также возможна классифи-
кация по трем группам, как это было сделано для линейных урав-
нений в частных производных. Для примера рассмотрим нелинейное
уравнение с неизвестной функцией U(xi^ Х2) двух независимых пе-
ременных:
ди ди д^и дЮ
дх,' дх^' дх^дх^'
d4J_
дхХ
= 0.
(21)
15

Классификация уравнения (21) производится, в соответствии со
знаком выражения
^ дР дР /дР Y дЮ, ^ д'и
^ = '^ЖЖ-(1?);- = ^' * = ^2: 0 = ^, (22)
ТОЧНО так же, как это было сделано выше в линейном случае.
Нелинейные уравнения могут относиться к различным типам от-
носительно разных своих решений. Так, уравнение
эллиптично относительно решения \U=\ и гиперболично относи-
тельно решения U=—\,
Однако большинство встречающихся на практике нелинейных
уравнений имеет определенный тип для всех функций, принадле-
жащих к классу их решений. Примерами могут служить парабо-
лические уравнения, описывающие процесс влагопроводности мате-
риала при условии, что влага находится в капельной форме (кон-
денсационная фаза):
где ^ — коэффициент влагопроводности; или эллиптическое урав-
нение электростатического поля в электровакуумных приборах при
наличии объемного заряда
5^+^ = ^^- (24)
Краткий обзор уравнений в частных производных второго по-
рядка слгдует дополнить эллиптическим уравнением стоячих волн
Л?+.0? + Л? + ^ = О (25)
и телеграфным уравнением гиперболического типа
^2+^+^2(26)
Первое из этих уравнений является стационарным аналогом
волнового уравнения (9) \ второе описывает, в частности, колеба-
ния электрического тока или напряжения в распределенных средах
(например, в телеграфной линии).
Рассмотренные выше уравнения второго порядка встречаются
весьма часто, так как они относятся к наиболее общему классу
уравнений в частных производных, однако ими далеко не исчерпы-
вается все многообразие уравнений математической физики. В ряде
классических областей физики, таких как газо- и гидродинамика,
а также в некоторых новых ее отраслях, к числу которых относится,
например, магнитная гидродинамика, возникают задачи, описыва-
емые уравнениями первого порядка или их системами.
^ Это уравнение с ненулевой правой частью имеет важное значение
в квантовой механике, где оно называется стационарным волновым уравне^
нием Шредингера.
16

Примером такого уравнения является известное в гидродина-
мике уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения мас-
сы вещества, заключенного внутри замкнутой поверхности, при его
движении. Уравнение неразрывности имеет вид:
-g- + div(pV)=0 (27)
или
где р — плотность вещества, а I/, У, W—проекции вектора ско-
рости V,
При исследовании сложных физических явлений, связанных
с переносом энергии и массы вещества, для их математического
описания приходится привлекать систему уравнений в частных про-
изводных, содержащую в числе других уравнения первого порядка.
Среди них уравнения неразрывности, уравнения движения, уравне-
ния энергии. Основные математические трудности связаны именно
с системами уравнений первого порядка, а не отдельными уравне-
ниями, которые легко поддаются решению. Особенно часто встреча-
ются так называемые квазилинейные системы уравнений первого
порядка типа, например
ди ди
dt +^ дх -/2-
Искомые функции и их производные входят в эти уравнения
как сомножители, вследствие чего они занимают промежуточное по-
ложение между линейными и нелинейными уравнениями. Характер
уравнений и систем первого порядка позволяет отнести их к гипер-
болическому типу.
Среди уравнений высших порядков следует отметить так назы-
ваемые полигармонические уравнения, встречающиеся в теории
упругости, при описании процессов, связанных с нефтедобычей,
и т. д. Полигармоническое двумерное уравнение может быть запи-
сано в общем виде следующим образом:
"д^п + '^О^п+о^п-^^' (30)
где /г —целэе положительное число.
Часто встречается так называемое бигармоническое уравнение,
составленное для п = 2 (двумерный случай)
д^и д^и , д^и ^
dr-+^-d^^ + W' = ^' (31)
Это уравнение описывает стационарное состояние упругой среды.
Так же^^к и /тругир пплигярмг^ричегкир уравнения, оно имеет все
признаки э(1^1з^|яг«^н0бт§1 '
2 -673 17

Следует отметить, что на практике приходится часто встре-
чаться не только с системами уравнений первого порядка гипербо-
лического типа. В качестве примера можно отметить многочислен-
ные задачи теории тепломассообмена, которые возникают в тех
областях физики, где предмет рассмотрения связан с переносом
энергии (тепла) и массы диффундирующего ^1ли свободно движу-
щегося вещества. В нестационарной постановке эти задачи описы-
ваются параболическими уравнениями. Так миграция влаги
в ограждающих конструкциях (в двумерном случае) описывается
нелинейной системой двух уравнений вида
Гд^Т.д'Т
dU
dt
Vd4
X
+«3(Т)
дТ дТ
дх^ * ду^
+
дТ , дТ 1
дх + ду
X
дх^^ ду
дууУ
(32)
здесь — концентрация влаги, Г — температура, / — время.
Входящие в эти уравнения коэффициенты влаго- и теплопро-
водности «г являются нелинейными функциями температуры и кон-
центрации влаги и |[Л. 9].
Проведенное выше рассмотрение уравнений в частных произ-
водных в соответствии с их принадлежностью к тому или иному
типу имеет большое принципиальное значение, поскольку методы
решения, специфика постановки, а также физическое содержание,
отражаемое этими уравнениями, находятся в прямой связи с их
типом.
Постановка задачи в виде уравнения в частных производных
предполагает задание некоторых дополнительных условий, вытекаю-
щих из физического смысла задачи. Необходимость введения до-
полнительных условий чисто математически может быть объяснена
дифференциальным характером уравнений в частных производных,
с помощью которых задается только связь между производными
искомой функции. Отсюда следует неограниченность класса функ-
ций, удовлетворяющих данному уравнению. Дополнительные усло-
вия необходимы для выделения из бесчисленного множества функ-
ций единственной, согласующейся с конкретным физическим содер-
жанием задачи.
Первым этапом конкретизации задачи, в основу описания кото-
рой кладется уравнение в частных производных, в общем случае
является задание области изменения пространственных переменных
и времени. На границах этой области производится задание вели-
чин, характеризующих искомое решение. Пусть, например, требуется
определить стационарное распределение температуры U{x^ у) в не-
которой области G, ограниченной поверхностью Г. В общем слу-
чае искомая функция U(x, у, z) описывается уравнением Лапла-
са (13). Температура во всех точках внутри области G определится
однозначно, например, при условии, если на границе Г будут зада-
ны значения температуры iUr=f(r).
Такое введение граничных условий не является единственным
способом выделения требуемого решения данного уравнения в ча-
стных производных. На практике чаще других встречаются три
способа задания граничных условий. Первый из них, уже упомяну-
18

тый выше, называется первой краевой задачей. Второй способ со-
стоит в том, что на границе Г задается производная от U по
внутренней нормали к границе:
ди
йГ,=?:(о. (33)
Это — так называемая вторая краевая задача. Ее физический
смысл состоит в задании значений потока энергии или вещества
(в случае тепловой задачи — теплового потока). Как правило, по-
мимо значений нормальной производной для обеспечения однознач-
ности получаемого решения, необходимо задавать также собственно
значения искомой функции на некоторой части границы Г.
Наконец, существует третий тип краевой задачи, когда иа
границе области G задается линейная комбинация значений искомой
функции и ее нормальной производной:
ж +«с/г = ф;(Г). (34)
г
Этот тип краевой задачи соответствует специфическим условиям
обмена энергией или веществом на границе. В некоторых случаях
встречаются смешанные краевые задачи, когда на различных ча-
стях границы задаются условия разных типов.
Имеется некоторая специфика в задании граничных условий
для стационарных задач, описываемых уравнениями высшего поряд-
ка. Так, при решении бигармонического уравнения на границе обла-
сти чаще всего задаются одновременно значения искомой функции
и ее нормальной производной.
Решение задачи, описываемой уравнениями в частных произ-
водных, не всегда ищется на областях конечных размеров. В фи-
зике встречаются задачи, в которых дополнительные условия за-
даются на бесконечности. В качестве примера можно указать на так
называемую геофизическую задачу вертикального электрического
зондирования: определить распределение электрических потенциалов
на поверхности земли при пропускании электрического тока в глубь
земли. При возможности использования осевой симметрии среды
задача описывается уравнением Лапласа в цилиндрических коорди-
натах
дЮ , \ ди ,д^и ^
3^ + Т^+^^==^^ ^^^^
здесь V — искомый потенциал; р — радиальная координата, z —
координата по глубине.
Одно из двух необходимых дополнительных условий очевидно:
оно задается на поверхности земли из условий проведения экспери-
мента {например, равенство нулю нормальной производной
ди
•^(0) на границе земля—воздух
Второе недостающее условие
можно ввести на бесконечности, положив
lim f/(p. г) =0. (36)
Решение уравнений в частных производных для неограниченных
сред всегда сопряжено с дополнительными трудностями.
2* 19

при решении нестационарных задач, описываемых параболи-
ческими и гиперболическими уравнениями, кроме граничных условий,
необходимо знать начальное состояние процесса, определяемое на-
чальными условиями, т. е. условиями, отнесенными к некоторому
исходному моменту времени to. (При записи условия задачи обыч-
но полагают /о = 0.) Для параболических уравнений задаются на-
чальные значения неизвестной функции
U(0.x,y,z) = q{x,y,z),
При решении задачи диффузии в качестве начального условия
дается величина исходной концентрации вещества во всех точках
области.
Таким же образом определяется начальное условие и в случае
гиперболического уравнения первого порядка. Несколько сложнее
обстоит дело с заданием начальных условий при решении гипербо-
лических уравнений второго порядка типа волнового уравнения
(19) и телеграфного уравнения (26). Здесь для решения задачи
требуется знать не только U(0, х, у, г), но и значение ее производ-
ной по времени в начальный момент:
-^U(0.x,y,z) = p(x.y.z). (37)
Следует указать, что существует несколько специфический класс
задач, приобретающих в последнее время весьма серьезное значе-
ние. Это так 'называемые задачи с подвижной границей, или задачи
Стефана. В общем случае они ставятся следующим образом.
Область, на которой требуется найти решение задачи, делится на
несколько подобластей, на каждой из которых исследуемый процесс
описывается уравнениями определенного, присущего данной подоб-
ласти вида. Значения искомой функции на границах подобла-
стей связаны между собой заданными условиями, выражающими
чаще всего физические условия неразрывности потоков и потенциа-
лов на этих границах. Развитие процесса в случае задачи Стефана
сопровождается движением границ указанных, подобластей. Приме-
ры постановки подобной задачи можно найти во всех случаях ана-
лиза нестационарных тепловых явлений в многофазных средах.
Необходимость решения задачи Стефана возникает в связи с иссле-
дованием теплозащитных материалов для летательных аппаратов, при
входе которых в атмосферу происходит оплавление покрытия, так
что теплозащитный материал содержит две фазы: жидкую (рас-
. плавленную) и твердую. Условия распространения тепла в покрытии
меняются в соответствии с движением границы между этими
фазами.
Проведенный выше краткий обзор уравнений в частных про-
изводных и различных типов краевых задач для этих уравнений,
безусловно, не претендует на исчерпывающую полноту. Однако
именно с указанными выше задачами, представляющими широкий
практический интерес, и связаны основные направления в современ-
ной методологии постановки и решения задач математической
физики с помощью известных вычислительных средств.
20

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ НА АВМ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ
ВЫПОЛНЕНИЕМ ОПЕРАЦИЙ
Среди большого разнообразия существующих методов решения
уравнений в частных производных, удовлетворяющих заданным
краевым условиям, только небольшая их часть позволяет получать
аналитическое выражение для функции, являющейся решением дан-
ного уравнения. Подавляющее большинство применяемых на прак-
тике методов обеспечивает отыскание приближенного решения зада-
чи. Широкое распространение приближенных методов объясняется
серьезными недостатками методов точного решения краевых задач.
Основной недостаток этих методов — возможность использования
при решении весьма узкого класса краевых задач и уравнений в ча-
стных производных. Кроме того, табулирование решения данной
конкретной задачи с помощью его известного аналитического выра-
жения часто сопряжено со значительными трудностями.
Ниже приведен обзор основных методов решения уравнении
в частных производных с точки зрения возможности их постановки
на АВМ. Задачи оценки, отбора и развития методов, известных
в вычислительной математике, для постановки подобных уравнений
на АВМ с последовательным выполнением операций могут быть
решены лишь после анализа возможностей этих машин, с учетом
того, что АВМ с операционными усилителями наиболее успешно
использовались и используются для решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и выполнения ряда непрерывных опе-
раций над функциями одной переменной, в качестве которой вы-
ступает так называемое машинное время.
Основной отличительной чертой дифференциальных уравнений
в частных производных, которая предопределяет особый подход
к их решению на АВМ, является наличие более чем одной независи-
мой переменной. Поэтому главное требование к методам постанов-
ки этих задач на АВМ состоит в возможности представления иско-
мого решения в виде результата выполнения непрерывных операций
над функциями одной переменной.
Все многообразие методов, эффективных при постановке урав-
нений в частных производных на АВМ, удобно представить в виде
системы, содержащей пять основных групп методов (рис. 4): полной
дискретизации пространства, сканирования пространства, суперпози-
. ции, поточечного просчета поля и методы решения задач в спе-
циальной постановке.
Содержание методов первых двух групп (дискретизации и ска-
нирования пространства) сводится к замене тем или иным спосо-
бом пространственно-временного континуума, в котором определено
решение данной задачи, совокупностью принадлежащих ему
дискретно выбранных точек и непрерывных линий одного измерения,
на которых и строится приближенное решение исходной задачи.
Методы суперпозиции поля предполагают возможность пред-
ставлений решения в виде суммы (или интеграла) некоторых част-
ных решений задачи, образующих замкнутую полную систему функ-
ций и разложимых на функции одной переменной.
Методы поточечного просчета поля позволяют определять зна-
чение искомого поля в одной или нескольких отдельных точках;
при этом исключается необходимость полного просчета (даже при-
ближенного) всех значений поля.
21

Группа методов, предназначенных для решения задач б спе-
циальной постановке, включает в себя методы, не укладывающиеся
в рассмотренные выше группы. Общей для них является необхо-
димость использования разветвленных вычислительных процессов,
построенных на основе операций, выполняемых АВМ.
Рассмотрим более подробно содержание основных групп мето-
дов. Пусть требуется решить параболическое уравнение вида
= (38)
здесь L — дифференциальный оператор, содержащий частные про-
изводные по пространственным переменным (трем пере-
менным— в трехмерном случае);
и — искомая функция пространственных переменных и вре-
мени;
i — время.
Задачу требуется решить в некоторой области G, ограниченной
поверхностью Г, на которой заданы граничные условия первого,
второго или третьего рода. В области Q .выберем конечное число
точек /г, например, путем деления области на элементарные куби-
ческие объемы. В качестве требуемого конечного множества точек
Методы .
\даскретазаи,и,и\
пространства
Замкнутое
^оделирова -
миие поля
Частичное
моделирова-
ние поля
а)
Метод
вписывания
Методь!
\сканиробани.я
\пространства
Метод замнну -
\тогостнирова-
Методы приве-
\дени.я н ucmoui-
чавым формам
\дбиженая
г)
lidemod конечно -
разностных
операторов
с переменным
исаеом
Метод
сопряженая
прямоугольна
ков
б)
Методы
частичного
сканаробанит
пространства]
Конечно-раз-
ностные мето
ды решения нес-\
тацаона рных
задач
Простой,
итерсипибныи
метод
Метод
Швари,а
он:)
Рис. 4. Основные группы методов решения уравнений в частных

{gi} можно выбрать множество всех вершин кубов, полученных
путем деления G плоскостями, параллельными координатным пло-
скостям. Будем рассматривать функцию U(t, х, у, г), определенную
на этом дискретном множестве. Определим ее как решение вспомо-
гательной задачи, полученной из уравнения (38) с помощью замены
дифференциальных связей между значениями функции U в раз-
личных точках G конечно-разностными связями между значениями
в выбранных точках дискретного множества {gd}:
ди
-^ = Ш; (39)
здесь L — конечно-разностный оператор, приближенно аппроксими-
рующий оператор L (см. § 3).
Уравнение (39) представляет собой операторную форму записи
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решением ко-
торой является семейство функций {^7г(/)}, приближенно Определяю-
щих значения искомого поля в выбранных точках пространства как
непрерывных функций времени.
Таким образом, схема электрического моделирования уравнения
(38) по методу, использующему полную дискретизацию пространст-
ва и непрерывное представление функций во времени, должна со-
держать п операционных схем, выполняющих операции
dUi
^ = /«(^.i. УУг-и l^'i+V •••)'
1. 2,. . . ,
(40)
двойные
ряды
а)
Метод
Трефти^а
Метод
разделения
переменных
в)
Ш
Метод
\суперпозии^шА
Метод
прогрессивно
го просчета
поля
Метод
гар/^оничес - ^
шх фунщтйХ
\Sapuau,uoH-
ные методы
Метод
\Каиторович(г\
е)
X
Методы
PumUfCL-
Галеркима
Ж)
Методы
поточечного прос-\
чета поля
Методы реисени я
зада V в спей,а -
\альнои постановке
Разветвленные
вь/числитель -
ные про Одессы
Методы
Мои те -^(арло
Операцаон-
ные методы
а)
6)
Методы
I приведения к антег -
Хральным уравнениям
в)
производных на АБМ с операционными усилителями.
23

где функция li является /-й компонентой оператора L. Каждая опе-
рационная схема (рис. 5) состоит из функционального преобразова-
теля li и интегрирующего блока, соединенных последовательно. На
выходе интегрирующего блока образуется напряжение, являющееся
аналогом функции Ui(t). Все операционные сх§мы работают парал-
лельно, а выходы интегрирующих блоков связаны со входами функ-
циональных преобразователей U в соответствии с уравнением (40).
Операционные схемы, моделирующие узлы области G, прилегающие
к границе Г, содержат также входы, к которым подключаются на-
пряжения, пропорциональные граничным значениям искомой функции
Рис. 5. Операционная схема элемента модели полностью дискретизо-
ванного пространства.
(в случае краевой задачи первого типа) или выходы схем, модели-
рующих уравнения, выражающие заданные граничные условия (в
случае краевых задач второго и третьего типов).
Рассмотрим в качестве примера нелинейное двумерное диффе-
ренциальное уравнение типа
ди Г
d4J dJJ
(41)
решение которого требуется провести на квадрате (рис. 6). Нанесем
на рассматриваемую область сетку из п линий, параллельных коор-
у
t
\
ч
/
СС
h
\(4J)
Рис. 6. Сеточная область.
динатным осям, с одинаковым расстоянием между ними h (это рас-
стояние называют шагом сетки). В узлах сетки определим функцию
и, которую будем искать как приближенное решение уравнения (41).
Модель этого уравнения при решении его методом полной дискре-
24

тизации пространства топологически соответствует сеточной области,
показанной на рис. 6. Она представляет собой сеть операдионных
элементов, связанных между собой так же, как узлы исходной гра-
фической сетки. Каждый операционный элемент (рис. 7) в данном
случае представлен в виде электрической схемы, содержащей по-
следовательно соединенные функциона'льный преобразователь БЯ,
образующий зависимость X{Uij), блок перемножения БП, суммиру-
ющий блок 2 для образования конечно-разностного аналога произ-
[д'и , дЮ ] о , ^ ^
водных "^^п—и интегрирующий блок. Блок S может быть
настроен на выполнение операции
(cm. § 3).
Б н
6 n
f
Рис. 7. Операционная схема элемента модели для решения нелиней-
ного двумерного уравнения теплопроводности.
Рассмотренный выше случай можно определить как замкнутое
моделирование полностью дискретизованного пространства, т. е.
здесь используется полная модель искомого поля, замкнутая отно-
сительно граничной поверхности области G. На выходах модели об-
разуются параллельно все компоненты функции IJ\
Un (О' и,, (t) и,п (О ^/пГ(0. (i), ...,Unn (0.
Следует отметить, что замкнутое моделирование полностью ди-
скретизованного пространства лежит в основе принципа построения
так называемых сеточных АВМ, которые представляют собой пас-
сивную электрическую сеть, содержащую в зависимости от типа
уравнений, для решения которых она предназначена, соединенные
между собой сопротивления (эллиптические уравнения), сопротивле-
ния и конденсаторы (параболические уравнения) или конденсаторы
и индуктивности (гиперболические уравнения). Так для решения
уравнения Лапласа используется электрическая сетка, участок кото-
рой показан на рис. 8. Каждый узел этой сетки с четырьмя под-
ключенными к нему сопротивлениями представляет собой отдельный
операционный элемент, реализующий зависимость
i = 4- [^'i+i, i + Ui -ь i + и,,+ и,, ^-
(42)
25

которая по форме совпадает с одним из уравнений, полученных в ре-
зультате аппроксимации конечными разностями уравнений Лапласа.
Сеточные АВМ, несмотря на очевидную простоту их структуры,
существенно ограничены в своих возможностях (главным образом,
реп1ением линейных уравнений, которые могут быть приведены к ка-
ноническому виду) вследствие непригодности 'пассивной электриче-
ской схемы для аппроксимации дифференциальных операторов об-
щего вида. Применение активных линейных и нелинейных операци-
онных блоков, входящих в состав АВМ с операционными
усилителями, практически обеспечивает возможность построения за-
мкнутых моделей пространства при его дискретизации для решения
различных уравнений.
Рис. 8. Участок электрической сетки сопротивлений.
В некоторых случаях для получения решения удается использо-
вать модель пространства, отображающую некоторую часть области
G. Эта модель многократно используется для замещения различных
частей области G, участвуя в некоторой построенной тем или иным
образом итеративной процедуре. Метод частичного моделирования
полностью дискретизованного пространства в тех случаях, когда его
применение приводит к получению решения, позволяет сократить
объем требуемого оборудования, правда, при значительном увели-
чении времени решения.
Перейдем теперь к краткому рассмотрению методов второй груп-
пы, которые мы будем называть методами сканирования простран-
ства. Эти методы отличаются от рассмотренных выше возможностью
одновременного использования меньшего числа операционных элемен-
тов. Суть их можно проиллюстрировать на примере двумерного
эллиптического уравнения второго порядка, решение которого ищет-
ся на прямоугольнике G. В этом случае геометрически искомая функ-
ция интерпретируется интегральной поверхностью U{x, у) в прост-
ранстве трех измерений (рис. 9). Модель, с помощью которой ищет-
ся решение, в данном случае в отличие от метода полной дискре-
тизации пространства представляет собой образы точек, выбранных
не на всей области G, а лишь на линиях одного измерения. Прове-
дем плоскость параллельную одной из координатных плоскостей,
например UOy. Она пересекается с интегральной поверхностью
U{x, у) по некоторой кривой. Представим теперь, что плоскость .S
26

совершает поступательное движение от одной границы области G до
другой, и выберем п точек (/=1, 2, ..., п) на кривой сечения пло-
скостью S поверхности iJ(x, у). При движении плоскости 5 каждая
из п точек движется по траектории, принадлежащей поверхности
U{Xy у) и интерпретирующей геометрически приближенное решение
исходной задачи.
Применение метода сканирования пространства предполагает
задание некоторого закона движения системы материальных точек
в пространстве независимых переменных и определение значений
функций Ui для каждой из исследуемых точек сканируемого прост-
ранства.
Рис. 9. Геометрическая иллюстрация метода
сканирования.
В рассматриваемом случае для определения функции Ui пове-
дение каждой из п точек интегральной поверхности U(x, у) описы-
вается системой трех уравнений. Два уравнения из трех являются
уравнениями сканирования и используются для принудительного
перемещения системы материальных точек, т. е. для образования
координат в форме
Xi = п С"^);
Ул = (х);
(43)
(44)
здесь t —время, являющееся параметром в системе трех уравнений,
описывающей движение i-u точки. Выбор уравнений сканирования
в достаточной степени произволен. Важно лишь, чтобы траектории
сканирования не пересекались.
27

Третье уравнение системы используется для непосредственного
определения зависимости U и в матричной форме имеет вид:
DU = PU + F{z);
(45)
здесь D — дифференциальный оператор (в данном случае второго
порядка), ^ = "5;^ ' ^57' ^таков порядок рассматриваемого
уравнения в частных производных; Р —оператор внутренних связей,
определяющий взаимодействие между соседними точками простран-
ства, обусловленное внутренними силами поля, и F(x)—заданная
функция времени, характеризующая внешнее воздействие на иссле-
дуемое поле.
Если воспользоваться рис. 9, тр решение системы трех уравне-
ний для образования функций 'Ui можно представить как движение
точек, принадлежащих поверхности 1У, по вертикали при перемеще-
нии плоскости 5 от одной границы области G к другой. Это озна-
чает, что стационарная картина поля при сканировании становится
динамичной. Уравнением динамики для точек в плоскости S при ее
движении является уравнение (45).
Рассмотрим для примера уравнение Пуассона
дх^ • ду
(46)
решение которого будем искать на прямоугольнике G. Зададим урав-
нения сканирования по области следующим образом:
Xi{x)=k(x);
(47)
(48)
где /=1, 2, л.
Оператор внутренних связей зададим как трехдиагональную
матрицу Р конечно-разностной аппроксимации производной dW/dy^
в уравнении Пуассона (см. § 5), внешнее воздействие F(x) как
F(l/n)
F{2l/n)
f\i)
a D==
(49)
Как нетрудно убедиться, уравнение (45) определяет искомые
траектории Ui или, иначе говоря, приближенные значения искомого
решения на параллельных прямых (48), проведенных в области G *.
* Случай, когда решение уравнения в частных производных ищется в ви-
де семейства функций, определенных на параллельных прямых в области,
в литературе называется методом прямых. Такое определение мы не будем
использовать в дальнейшем, поскольку оно не отражает существа практиче-
ской стороны метода решения задачи и поскольку этот метод есть лишь ча-
стный случай метода сканирования.
28

Траектория каждой i-u точки поверхности U{Xy у) может быть
промоделирована на АВМ, если записать уравнение (45) в матрич-
ном виде
^ U=:D''PU-^D''^F. (50)
Схема моделирования уравнения (45) должна быть представлена п
операционными элементами, построенными в виде замкнутого кон-
тура с последовательно соединенными блоком, реализующим соот-
ветствующую строку матрицы Р, и двумя интегрирующими блоками
(рис. 10). Таким образом, метод сканирования позволяет использо-
вать лишь п операционных элементов, в то время как метод полной
дискретизации пространства при решении подобной задачи привел
бы к необходимости использования примерно операционных эле-
ментов.
Рис. 10. Схема моделирования уравнения
динамики по методу сканирования.
Практически перемещение плоскости 5 от одного конца обла-
сти до другого должно производиться многократно, так как началь-
ные условия для уравнения динамики (45) заданы не полностью:
известны лишь значения напряжения в начальный момент т=0 на
выходах одного из интеграторов. Эти значения соответствуют гра-
ничным условиям на том конце области G, с которого начинается
движение плоскости .S. С помощью многократного обхода области
можно доопределить начальные параметры траектории точек в по-
верхности и{х, у), с *тем чтобы ее координаты в конце движения
совпадали с заданными граничными условиями на этом участке гра-
ницы.
В зависимости от характера задачи возможны различные спо-
собы построения уравнения динамики и задания закона сканирова-
ния. Простейший случай представляется при использовании полно-
стью замкнутой системы уравнений динамики, т. е. охватывающей
всю область при однократном обходе, для решения задачи на обла-
сти, вписанной в прямоугольник (метод вписывания). Многократное
сканирование прямоугольника производится с целью удовлетворения
условий, заданных на границах «вложенной» в' прямоугольник об-
ласти. Если возможно представление области в виде прямоугольни-
ков с примыкающими основаниями, то система уравнений динамики
(45) моделируемся таким образом, чтобы отдельные ее уравнения
^включались при нахождении плоскости .S внутри прямоугольника
и отключались в противном случае (метод сопряжения прямоуголь-
ников). Первый и второй методы характеризуются простотой записи
уравнений (43) и (44), а именно:
(51)
29

где
/
I — габаритный размер области G в направлении у.
Более общий случай имеет место при использовании метода ко-
нечно-разностных операторов с переменным шагом. Здесь возможно
изменение взаимного положения точек на плоскости в процессе ска-
нирования, так что оператор внутренних связей Р имеет перемен-
ную во времени структуру ^(т), а задание закона движения осу-
ществляется с помощью обобщенного дифференциального операто-
ра D, определенного на поле криволинейных направлений, построен-
ных в области О. Эти направления определяются уравнениями (43)
и (44), записанными в общем виде, так что траектории точек ска-
нирования в области G представляются семейством {yi{x)} попарно
непересекающихся кривых.
Для сокращения объема аналогового оборудования целесообраз-
но использовать частичное моделирование уравнений динамики, охва-
тывающее при сканировании лишь некоторую часть области. Спосо-
бы построения и задания закона сканирования могут быть те же.
Что и в случае моделирования полностью замкнутой системы урав-
нений динамики; сканирование всей области при частичном модели-
ровании осуществляется путем последовательного использования си-
стемы уравнений динамики на различных подобластях. Порядок пе-
рехода от одной подобласти к другой может быть различным. Так,
в случае простого итеративного метода полностью замкнутая систе-
ма уравнений динамики для данной области разбивается на отдель-
ные блоки с одинаковым числом компонент (уравнений), пересече-
ние которых составляет одну компоненту полного оператора внут-
ренних связей Р. Один такой блок и образует частичную систему
уравнений динамики. Порядок ее переключений при непрерывно-дис-
кретном сканировании области выбирается таким, чтобы частичная
система уравнений последовательно замещала блоки, на которые
разбивается полностью замкнутая система уравнений динамики. При
использовании метода Шварца область G разбивается на подобла-
сти с ненулевым пересечением, в каждой из которых производится
поочередное сканирование с соответствующим моделированием пол-
ностью замкнутой для данной подобласти системы уравнений дина-
мики. И в том, и в другом случае обход области осуществляется
многократно до тех пор, пока результаты предыдущего и последую-
щего полных обходов не будут равными (при заданной точности).
При решении нестационарных задач метод сканирования ис-
пользуется применительно к уравнениям, записанным для отдельных
временных слоев, которые легко получаются путем конечно-разност-
ной аппроксимации в неявной форме производных по времени d^'/dt^
(k=\, 2). Сканирование производится последовательно для дискрет-
но выбранных значений tj.
Следует отметить, что при решении задач на областях сложного
вида или на неограниченных областях уравнения (43) и (44) могут
быть построены таким образом, чтобы сканирование осуществлялось
неравномерно. Например, задание координаты дифференциальным
уравнением
dx
^ = (1-^)-^ (52)
30

позволяет получить такое движение, при котором неограниченная
область будет просканирована за конечное время.
Остановимся на одном очень важном вопросе, связанном с мо-
делированием уравнений динамики типа (45). Общим свойством всех
уравнений этого типа является неустойчивость определяемого ими
закона движения точек в поверхности U{x, у), т. е. при моделиро-
вании погрешность в задании начального положения точек приводит
к образованию накапливающейся ошибки. Неустойчивость усложня-
ет поиск недостающих начальных параметров траекторий точек. По-
этому большое внимание уделяется методам увеличения устойчиво-
сти. Суть этих методов состоит в введении тем или иным способом
некоторой вспомогательной задачи, для которой уравнение типа (45)
оказывается устойчивым.
Методы суперпозиции поля, как это следует из самого названия,
применимы к линейным уравнениям. При их использовании решение
задачи ищется в виде бесконечной суммы от частных решений или
песобственного интеграла. При этом в процедуре решения задачи
по любому из методов суперпозиции отчетливо выделяются три эта-
па: образование базисных решений, определение коэффициентов и
построение полного решения на выбранных элементах области. Для
постановки на АВМ наиболее удобны метод разделения перемен-
ных, метод гармонических функций, метод Трефтца, вариационный
метод Канторовича. Менее удобна, но принципиально возможна, по-
становка на АВМ задач с использованием методов Ритца — Галер-
кина и методов двойных рядов. Первая группа методов приводит
к необходимости решения обыкновенных дифференциальных урав-
нений при образовании базисных решений. 1<^ак правило, при этом
необходимо выполнять операции по подбору недостающих началь-
ных значений так же, как и в случае использования метода скани-
рования. В других случаях частные решения заданы либо полностью
априори (метод гармонических функций), либо частично (метод Кан-
торовича) либо определяются как решение вспомогательной задачи
(например, как решение простейшей задачи по методу сканирова-
ния — в случае применения метода Трефтца).
Определение коэффициентов, с которыми базисные функции вхо-
дят в полное решение, может производиться либо с помощью явных
зависимостей, либо путем минимизации некоторого функционала,
образованного из базисных решений. Образование решения на от-
дельных элементах поля, например на прямых линиях или на за-
мкнутых контурах, представляет собой операцию суммирования или
приближенного интегрирования функций одной переменной
(см. гл. 4).
Общую картину возможностей АВМ при решении уравнений
в частных производных дополняют методы поточного просчета по-
ля и методы решения задач в специальной постановке. Методы по-
точечного просчета поля в отличие от изложенных выше позволяют
отыскивать искомое решение непосредственно на некоторых частях
области без получения полной картины поля. На АВМ реализуется
модель оператора, отображающего граничные и начальные значения
задачи в решение на выбранных элементах поля. Сюда можно от-
нести метод приведения к интегральным уравнениям, операционные
методы, метод Монте-Карло.
Первые два метода позволяют детерминированно задавать опе-
ратор такого отображения, причем его реализация может быть мно-
гоэтапной. Метод Монте-Карло предполагает построение модели
31

некоторой блуждающей точки, которая как бы производит «ощупы-
вание» границы и граничных условий.
Определение методов решения задач в специальной постановке
провести затруднительно, поскольку этот класс задач не может быть
четко обозначен. Сюда относятся разнообразные случаи, все чаще
встречающиеся в практике, которые не укладываТОтся в рамки клас-
сических задач и методов их решения. Мы рассмотрим решение за-
дачи Стефана, описываемой дифференциально-логическим уравнени-
ем, а также решение эллиптико-гиперболической системы уравнений,
для решения которой используется итерационный метод ,(см. гл. 6).
По существу, методы пятой группы используют основные идеи, со-
держащиеся в методах I—IV групп, и требуют выполнения разветв-
ленных вычислительных процессов на основе операций, осуществляе-
мых АВМ.
ГЛАВА ВТОРАЯ
МЕТОДЫ ПОЛНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
ПРОСТРАНСТВА
3. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
ПРОИЗВОДНЫХ ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПЕРЕМЕННЫМ
Суть метода полной дискретизации пространства, как уже было
показано в гл. 1, состоит в отыскании приближенных значений, иско-
мой функции в некоторых точках дискретного множества, построе-
ного на области изменения пространственных переменных. Дискрети-
зация пространства связана с необходимостью конечно-разностной
аппроксимации частных производных по пространственным незави-
симым переменным.
От разностных выражений требуется, чтобы образуемые ими
значения как можно меньше отличались от значений производных
в соответствующих точках. Построение и анализ различных конеч-
но-разностных формул удобно производить, пользуясь разложением
функции в ряды Тейлора.
Пусть задана функция U(x, у). Для ее значений U{x, y+h)
можно построить следующий ряд:
U(x.y + h)==U{x.y) + h-^+-^^, + ^^,+ ... (53)
Аналогично
U(x.y-^h) = U{x,y)^h-^+-^^,~^ + ... (54)
Если в (53) пренебречь членами вытпе первого порядка, то после
преобразований получаем:
-Ту
32

Соответственно из (54) следует:
(56)
^^(.,.)=^^^^-^^--^^"Т^^Чо(/.).
dy
Правую часть выражения (55) без остаточного члена называют
конечной разностью «вперед» первого порядка, а в выражении
(56) — соответственно разностью «назад» того же порядка. Через
0(h) обозначены отброшенные члены ряда, имеющие порядок ма-
лости h.
Если ряд (54) вычесть из ряда (53), то после отбрасывания
членов выше второго порядка получаем следующее выражение для
центральной разности первого порядка:
^ + (57)
Как видно из записанных выражений, центральная разность первого
порядка отличается от разностей вперед и назад большей точностью
(погрешность порядка h^).
Производя различные преобразования рядов Тейлора, можно
осуществить замену конечно-разностными выражениями производ-
ных более высоких порядков. Например, для получения центральной
разности второго порядка, аппроксимирующей вторую производную,
достаточно сложить ряды (53) и (54) и ограничиться членами не
выше четвертого порядка:
^(..,)='"-''-b"-»g-'" + '""''-'->+0(.=, (58,
Получение более точной аппроксимации производных связано
с использованием большего числа членов ряда Тейлора. Получаемые
при этом конечно-разностные выражения содержат значения функ-
ции в большем числе точек. Так, аппроксимация второй производной
значениями функции в пяти точках может быть выполнена следую-
щим образом. Сложим ряды (53) и (54) и отбросим члены выше
шестого порядка:
и{х, y + h)^2U{x,y) + U{x,y--h) =
д^и /г* Л/
= ф2 (^, У) + Т2-^) + • • • (59)
Продифференцируем дважды ряды (53) и (54):
^2{X. У + Л) =1^2{х. y) + h-^Ax>y) + -Y^4(^' уУ*
— i^x.y^h) = {X, y)-hj^i (X. у) + — — (X, у).
3—673 33

Складывая их почленно, получаем выражение для четвертой
производной:
Подставляя (60) в (59), получаем следующее выражение:
U{x,y + h)-- 2U (X, y) + U(x.y^h) =
{дЮ ^ 1 дЮ
1 д^и 1
Заменяя теперь производные второго порядка, кроме первой,
выражениями (58), получаем:
^ У)=Ш^ [-^ {X, У - 2h) +Ш (X, y^h)-^
- Ш (дг. у) + Ш {X. уг\- h)^U(x. у + 2h)], (61)
Таким же образом производится замена конечными разностями пер-
вой и второй производных по X.
Полученные выше выражения могут быть непосредственно ис-
пользованы при аппроксимации дифференциальных операторов, вхо-
дящих в уравнение в частных производных. Решая двумерное урав-
нение теплопроводности
dt
методом полной дискретизации пространства с использованием ко-
нечно-разностных формул типа (58), можно получить следующую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
dt
(^/)=Ь2 M, (62)
где n — число внутренних узлов сетки, нанесенной на область;
h — шаг сетки по х;
I — шаг сетки по у\
а2 — коэффициент температуропроводности.
В уравнении (62) для узла /, / используются значения, взятые
в соседних точках сетки, расположенных в виде креста.
Некоторые возможные схемы расположения узлов сетки и спо-
собы конечно-разностного представления производных приведены
в табл. 1 [Л. 23]. Использование этих выражений позволяет методом
полной дискретизации пространства решать и более сложные по
34

сравнению с (62) уравнения в частных производных. Например, не-
линейное уравнение
dt dx [f-' dxj'^dy p dy
(63)
Х, = Х.(У);
K = h iU)
может быть дискретизовано путем последовательной замены входя-
щих в уравнение производных конечными разностями, например,
с помощью выражения (55). Для упрощения шаги по х н у выбра-
ны одинаковыми;
'да
dt
Г, ди
+
Г, d_U_
^2 dy
Ji.3
Используя выражение (56), получаем:
dU,
п, 3
dt
+ ^2 (Ui, i+i) Wi, i-ы - U^. Л - ^2 (U,,;) [f/,,- C/,. i -l]. (64)
Таким образом, аппарат конечно-разностных соотношений позво-
ляет провести дискретизацию принципиально любого дифференциаль-
ного уравнения в частных производных.
Вернемся теперь к общей постановке задачи, которую сформу-
лируем как первую краевую задачу для параболического уравнения.
Требуется найти функцию удовлетворяющую в области G урав-
нению
dU
= Ш (65)
(L —некоторый дифференциальный оператор) и принимающую на
контуре границы Г заданные значения
U(r)=f.
(66)
Построим на этой области, которую для упрощения будем изо-
бражать как двумерную (рис. И), квадратную сетку, проведя па-
раллельно осям X VL у прямые, отстоящие друг'от друга^на равном
расстоянии h. Из сторон квадратов построим контур Г, наиболее
удачно аппроксимирующий контур Г, который ограничивает некото-
рую область достаточно близкую к G. Приближенные значения
и функции и будут находиться в узлах области U. Точно так же
заданными считаются значения искомой функции не на Г, а_в узлах
контура Г. Перенос заданных граничных условий с Г на Г может
3* 35

5
а
с
!5
+!
:5
8.
с
37

+
IM
0)
I
a
с
+
+
1^
1
+
+
+
II
+
+
I
+
+
+
+
+
I
+
38

I
+
+
ё
+
I
+
+
+
-* -St
J
40
* >
1
I

быть осуществлен путем интерполяции значений между соседними
узлами, например по линейному закону (см. рис. И):
Л-д
или
В точках множества G частные производные, образующие диф-
ференциальный оператор L, заменяются конечно-разностными выра-
жениями, например по формулам табл. 1. В результате параболи-
ческое уравнение (65) в некоторой точке Phj[^ G заменяется обык-
новенным дифференциальным уравнением вида*
"^[^UilTs, i. V^-x,i. Ifu + uh Ptf.i-i. (67)
где Гг — конечно-разностное представление дифференциального опе-
ратора L в данной точке.
/
/
6
\
)
Ч
/
Рис. 11. Квадратная сеточная область и ап-
проксимация граничного контура.
Количество этих уравнений совпадает с количеством точек на ^.
Уравнения, составленные для внутренних точек, оказываются одно-
родными, а для точек, примыкающих к Л — неоднородными, по-
скольку в конечно-разностные выражения, составляющие эти урав-
нения, входят граничные значения, заданные на Г. При решении
второй краевой задачи система, составленная из однородных урав-
41

нений для внутренних точек области дополняется уравнениями
связи между граничными значениями dU/dn и значениями U в точ-
ках, примыкающих к Г. Эта связь может быть установлена, напри-
^мер, с помощью зависимости (см. рис. 11).
дп
^ д sin а + cos а,
где ди/дп — заданное значение нормальной производной в точке 0;
а — угол наклона нормали к оси х.
Следует отметить, что в случае стационарных задач обыкновен-
ное дифференциальное уравнение (67) заменяется алгебраическим
уравнением:
(68)
Схема электрического моделирования уравнения Лапласа может
рассматриваться как совокупность соединенных между собой опера-
ционных элементов, каждый из которых представляет собой узел
Рис. 12. Операционные элементы пассивных моделей, полученные
по методу полной дискретизации пространства.
сетки с подключенными к нему четырьмя сопротивлениями
(рис. 12,а). Пассивная электрическая цепь может быть использована
и при решении нестационарных уравнений (64) в случае, когда L
выражается оператором типа оператора Лапласа (сумма вторых
производных по координатам). Операционный элемент пассивной мо-
дели, полученной по методу полной дискретизации пространства,
в этом случае показан на рис. 12,6.
Приведенные выше схемы иллюстрируют принцип действия сеточ-
ных АВМ, которые широко используются для решения линейных
эллиптических, параболических и некоторых других видов уравнений
в частных производных. Возможности этих АВМ существенно огра-
ничены вследствие применения в них пассивных элементов. Это
прежде всего относится к нелинейным уравнениям различных типов,
гиперболическим уравнениям, а также к задачам, модель которых
предполагает использование отрицательных сопротивлений.
Метод полной дискретизации пространства обнаруживает при-
сущую ему универсальность при постановке задачи на АВМ с опе-
рационными усилителями или при добавлении к сеточной АВМ ак-
тивных элементов, т. е. операционных усилителей.
4-2

ЙеобходиМость в использовании активных элементов возникает,
например, при решении некоторых задач фильтрации. Так, устано-
вившееся распределение сорбционной влажности (для упрощения
в одномерном случае) описывается следующим уравнением:
(69)
После дискретизации пространства заменой входящих в уравне-
ние (69) производных соответственно центральной разностью перво-
го порядка и центральной разностью второго порядка можно полу-
чить для /-го узла следующее алгебраическое уравнение:
или
1 гГ2
= 0.
(70)
Первые два члена уравнения (70) совпадают по формуле с урав-
нениями Кирхгофа для участка цепи, а их знаменатели могут быть
интерпретированы как сопротивления этих участков. Что же касается
/у
>
>
Рис. 13. Схема моделирования уравнения (70).
третьего члена уравнения, то соответствующая ему цепь должна
содержать отррщательное сопротивление —1/^2. Если этот член урав-
нения представить в виде
то схема операционного элемента, моделирующего уравнение (70),
может быть выполнена так, как показано^ на рис. 13. Два блока
умножения на постоянный коэффициент на усилителях постоянного
тока используются для получения 2l}i. Как следует из уравнения
(70), величины сопротивлений схемы рис. 13 должны удовлетворять
следующим зависимостям:
1-м ,
43

Рассмотрим также постановку на АВМ с операционными уси-
лителями гиперболического уравнения:
Дискретизация пространства приводит к системе обыкновенных диф-
ференциальных уравнений второго порядка вида:
-^р Л2 т J2 (^^)
Модель этого уравнения показана на рис. 14. В ее состав вхо-
дят блок суммирования и два интегрирующих блока. На выходе
блока суммирования образуется напряжение, пропорциональное пра-
вой части уравнения (71).
f
t
f
Рис. 14. Схема моделирования уравнения (71).
Отметим, что известные эксперименты по построению пассивных
моделей для решения гиперболических уравнений, содержащие
LC-контуры, выявили невозможность их эффективного использова-
ния на практике из-за больших погрешностей в решении [Л. 13].
4. ЗАМКНУТОЕ И ЧАСТИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Метод полной дискретизации пространства используется в двух
основных модификациях: для построения замкнутых моделей всего
пространства и для просчета всего поля путем последовательного за-
мещения различных частей замкнутой модели моделью некоторой
части данной области.
Принцип замкнутого моделирования, по существу, имелся в ви-
ду при изложении материала i§ 3. Реализация этого принципа связа-
на с выполнением следующих основных действий:
1. Замена области G дискретным множеством а граничного
контура Г — контуром Г.
2. Представление частных производных, входящих в данное
уравнение, конечно-разностными выражениями (например, с исполь-
зованием материалов табл. 1).
3. Составление уравнений для внутренних узлов сетки и узлов,
прилегающих к границе (алгебраических уравнений —в случае ста-
ционарных задач и обыкновенных дифференциальных уравнений —
при решении нестационарных задач).
4. Построение-схемы операционного элемента — модели уравне-
ния для некоторого узла области U.
44

5. Расчет масштабов, используемых при моделировании физиче-
ских величин и передаточных коэффициентов блоков АВМ, входя-
щих в модель данного уравнения, выполняется по общепринятой ме-
тодике подготовки задачи к решению на АВМ с операционными уси-
лителями [Л. 4].
Очевидным достоинством метода построения замкнутой модели
полностью дискретизованного пространства является получение
одновременно всей картины поля в том же масштабе времени, в ко-
тором вводятся граничные условия. При постановке стационарных
задач решение получается практически мгновенно, одновременно
с включением модели.
Однако в ряде случаев высокое быстродействие замкнутых мо-
делей требует использования большого объема вычислительного обо-
рудования. Габариты модели особенно велики при решении задач
достаточно общего вида, когда в схему моделирования узловой точ-
ки необходимо включение блоков нелинейностей и активных элемен-
тов. Большой объем оборудования необходим и при решении задач,
допускающих постановку на 7?С-сеточных АВМ, но требующих про-
ведения аппроксимации области сеткой с малым шагом — электричек-
екая лупа (такая ситуация возникает, например, при решении так
называемых нефтяных задач [Л. 13]).
Значительное сокращение состава оборудования может быть до-
стигнуто при использовании метода частичного моделирования, при-
менение которого приводит к некоторому увеличению времени реше-
ния задачи. При постановке задачи, описываемой уравнением (65),
на некоторой области G метод частичного моделирования состоит
в разбиении сеточной области G на одинаковые подобласти Gj £ G;
/=1, 2, ..., k и построении модели каждой подобласти с исполь-
зованием разностного оператора L. Принципиальное отличие метода
частичного моделирования от метода замкнутого моделирования
полностью дискретизованного пространства состоит лишь в том, что
получаемая модель оказывается малоэлементной по сравнению с за-
мкнутой моделью.
С помощью частичной модели_производится последовательное
образование моделей подобластей Gi, G2, ..., Uk, так что процесс
решения задачи представляет собой некоторую итеративную проце-
дуру, состоящую в многократном обходе всей области G частичной
моделью до приближения по некоторой мере результатов предыду-
щей и последующей итераций. В каждой итерации при моделирова-
нии некоторой подобласти Gj в качестве граничных значений модели
используются соответствующие значения, полученные в предыдущей
итерации. Эти значения подлежат запоминанию.
Рассмотрим в качестве примера одномерное уравнение теплопро-
водности {Л. 21]
д^и ди
/7.2 ■^г-^ = -
дх^ dt
с граничными условиями
^(0, jc) = 0; [/(/, 0) = 0; f/(/, 1)= 1; 0<.v<l.
Промежуток (О, 1) разбивается на п разных частей с шагом
h=\ln. Заменяя производную d^U/dx^ центральной разностью вто-
45

рого порядка, получаем систему /г—1 обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений:
dU
/ = 2, 3, ...,(/2-2).
dt
Замкнутая модель полностью дискретизованного пространствен-
ного промежутка (О, 1) показана на рис. 15*. Из рисунка видно,
что каждый блок интегрирования, на выходе которого образуется
функция Ui{t), связан с двумя соседними блоками.
Рис. 15. Полная и частич-
ная модели полностью ди-
скретизованного промежут-
ка, на котором ищется ре-
шение уравнения теплопро-
водности.
а — обычный метод; б — итера-
тивный метод.
Разобьем схему моделирования этой системы уравнений, состоя-
щую из п—1 интеграторов, на k секций (см. рис. 15,а). Работа у-й
секции осуществима, если имеются выходы /—1-й и /+1-й секций.
* Для облегчения чтения соединения одноименных точек (1 и 1, ..., Y
и Y) на рисунке не показаны.
46

Если вычисления производятся итеративным способом по порядку,
начиная с первого блока, то значение функции на выходе /—1-й
секции образуется раньше, чем выполняются вычисления в у-й сек-
ции. Ее необходимо зафиксировать, например, в ЗУ и воспроизвести
в нужный момент. Вместо выхода /-fl-й секции вводится произ-
вольная функция. Во время вычислений в у-й секции выходное на-
пряжение в точке у (см. рис. 15,6) запоминается, а затем исполь-
зуется при вычислениях в /+1-й секции. В то же время запоминает-
ся выходное напряжение в точке а.
Л о рожна барабанов
V(0,t)\
Комму тирунзш,ее уст^ройство
с усилителями ^аписа-сттыванагк
X
к Л;
Рис. 16. Схема связей ЗУ с частичной моделью при решении. одно-
мерного уравнения теплопроводности.
По окончании вычислений, проводимых вплоть до k-k секции,
для исправления ошибки, образующейся в результате использования
произвольной функции, повторяют вычисления, начиная с первой
секции. При этом для у-й секции в качестве входа, поступающего
со стороны У+1-Й секции, используют выход у-Ы-й секции, получен-
ный в предыдущем цикле решения. Для этого производится запись
выхода в точке а. После многократных повторений вычислительный
процесс в конце концов сходится к искомому решению.
На рис. 16 показана схема связей ЗУ с частичной моделью для
реализации итеративного процесса при решении одномерного урав-
нения теплопроводности. Аналогичная схема используется и при ча-
стичном моделировании двумерной задачи, например двумерного
уравнения теплопроводности.
Эффективность применения метода частичного моделирования
полностью дискретизованного пространства определяется объемом
полной модели, т. е. числом обходов в одной итерации, и скоростью
сходимости. Метод эффективен при решении сложных уравнений на
однородной области, когда с его помощью удается избежать парал-
лельного использования большого числа однотипных и достаточно
сложных схем моделирования. С другой стороны, именно в этом
случае (например, при решении нелинейных уравнений) уменьшает-
ся вероятность сходимости итеративного процесса.
Любая из описанных во вводной части структур АВМ с после-
довательным выполнением операций может быть использована при
47

реализации метода частичной дискретизации пространства. Следует
обратить внимание на возможности существенного сокращения со-
става аппаратуры 'за счет специализации арифметического устройст-
ва и передачи функций запоминания оператору. По этому пути по-
шли проф. Л. А. Вулис и А. Т. Лукьянов, под руководством которых
был разработан электроинтегратор, представл^1ющий собой схему
одного «узла» исследуемого двумерного или трехмерного простран-
ства [Л. 14]. При моделировании используется конечно-разностное
представление частных производных как по пространственным, так
и по временной независимым переменным, что позволяет учитывать
различные граничные условия, зависимость коэффициентов уравне-
ния от значений искомой функции, координат и времени, наличие
источников, стоков и т. п. Отсчет данных, задание напряжений, со-
ответствующих значению искомой функции в соседних узлах, и из-
менение величин, моделирующих свойства среды, выполняются опе-
ратором вручную.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МЕТОДЫ СКАНИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА
5. СУЩНОСТЬ МЕТОДА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ НА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Методы сканирования пространства, так же как и методы его
полной дискретизации, используют конечно-разностное представление
дифференциальных операторов, входящих в уравнение. В отличие от
последних методы сканирования используют дискретное представ-
ление временной переменной, если она входит в уравнение, и непре-
рывное представление одной из пространственных переменных. Ме-
тоды сканирования могут быть использованы при решении как ли-
нейных, так и нелинейных уравнений в частных производных с гра-
ничными условиями различных типов. При реализации их на АВМ
требуется значительно меньший состав оборудования по сравнению
с методами полной дискретизации пространства. Правда, длитель-
ность решения задачи увеличивается, а процедура решения пред-
ставляет собой в некоторых случаях достаточно сложный вычисли-
тельный процесс. Однако в целом ряде случаев потребность в объ-
еме и составе вычислительного оборудования при постановке задачи
по методу полной дискретизации пространства намного превосходит
возможности конкретных вычислительных машин, поэтому необходи-
мо использовать и развивать другие вычислительные методы, в том
числе метод сканирования пространства.
При использовании метода сканирования исходная задача мо-
жет быть интерпретирована как задача о нахождении траекторий
точек, расположенных на интегральной поверхности, относящейся
к данному уравнению в частных производных, и совершающих не-
прерывное движение по этой поверхности при сканировании задан-
ной области по некоторым направлениям в соответствии с выбран-
ным законом движения (см. § 2, рис. 9).
48

Рассмотрим для определенности эллиптическое уравнение вида
д^и дЮ ди ди
где А, В» С, D, Е, F» Я —известные функции пространственных
переменных, заданные на прямоугольнике 0^х<,а, 0<г/<6 с гра-
ничными условиями:
На интегральной поверхности U(x, у), принадлежащей уравне-
нию (72), выберем систему п—1 точек (Ui, Хг, yi) с координатами
(<Pi(6//z); 0; b/n], [ф1(26/я); 0; 26/л], которые представляют со-
бой геометрическое изображение в пространстве (U, х, у) значений
граничной функции (pi(y)y взятых в равноотстоящих с шагом Ь/п
точках участка границы х = 0; 0<t/<6.
Предположим теперь, что совершается непрерывный обход (ска-
нирование) заданной области от участка границы (;^=0; 0<i/^6)
до участка (х=а\ 0<г/<6), так что выбранные нами точки на
интегральной поверхности участвуют в движении, как бы образуя
некоторую связанную механическую систему материальных точек.
Движение t-й точки можно задать в параметрической форме с по-
мощью трех уравнений, два из которых в случае равномерного по-
ступательного сканирования имеют вид:
% = (74)
y,=ib/n; (75)
здесь г — время, k — постоянный коэффициент.
Третье уравнение (по U) должно быть построено таким обра-
зом, чтобы траектория движения /-й точки лежала на интегральной
поверхности. Оно может быть получено из (72) подстановкой вместо
X и у уравнений (74) и (75) и конечно-разностной аппроксимацией
производных ио у с шагом h=bln. Если использовать формулы для
замены производных конечными разностями, приведенные в табл. 1
(§ 3), можно получить следующее уравнение, дополняющее систему
(74) и (75):
dUH+г dUH-г']
dz dz
+
+ -^C(z, у,) [Un+, -2Щ+и,.,] + Ш (z. у^) ^ +
+ (X, уО - С/й -f k'F (X, у,) и, =
= ^2 Я (х, у^); О < X < а/^ (76)
Уравнения (76) составляются для всех точек с номерами 1=2,
3, ..., /г—2. В уравнение для первой точки вместо Ui_i должна вхо-
дить известная функция ф4(:^), а в уравнение для п—1-й точки —
функция <p2(Jf).
4—673 49

Уравнения типа (76), составленные для п—1 .выбранных точек,
образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений, ко-
торые можно рассматривать как уравнения динамики связанной ме-
ханической системы материальных точек.
Решение этих уравнений совместно с уравнениями (74) и (75)
определяет траектории, принадлежащие интегральной поверхности.
По существу, функции L^i(t), L^2(t), ..., Un-\(x) после замены t=
=xlk представляют собой приближенные решения исходного урав-
нения на равноотстоящих прямых у = Ь/Пу у = 2 Ь/п, . ,, , у =
—-—Ь, проведенных в заданной области.
r(Z>
4
4<
Рис. 17. Схема моделирования уравнения динамики (76).
Близость этого решения к точному определяется так же, как и
в случае использования методов полной дискретизации пространст-
ва, главным образом, шагом, с которым проводится конечно-разност-
ная аппроксимация. Однако методы сканирования обеспечивают
принципиально ббльшую точность, поскольку получаемое решение не-
прерывно по одной из пространственных переменных.
Методы сканирования позволяют свести краевую задачу для
уравнений в частных производных к задаче динамики, описываемой
системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение по-
добной задачи доступно аналоговым вычислительным средствам
с операционными усилителями. На рис. 17 показана схема модели-
рования уравнения (76). В ее состав входят два интегратора Jii
и jai' блок суммирования для образования второй производной
d^4/dz^» промежуточные блоки суммирования ll^i — H^^, блоки пе-
ременных коэффициентов Л-'(т,«/«); B('z»yi)\ С {z, yi); D{x,yi);
Е (t, Ун); F (t, y^i) и генератор;2Функции Н (т, уч),
50

в схемы моделирования крайних уравнений системы, кроме того,
должны входить генераторы функций фг, d^2ldx и ф4, d^ijdx. Схе-
ма моделирования системы существенно упрощается в случае посто-
янства коэффициентов, входящих в исходное уравнение. Пусть для
упрощения все коэффициенты в однородном уравнении (72) посто-
янны и равны единице. Тогда г-е уравнение динамики запишется
в виде
d^U,i
dz^
2h
dU, + , dU,_dUi.,
dz + dz '~ФГ
+
+ 1
2/Г2 [(2 + Л) f/,+, - (4 - 2/1^) f/, + (2 - Л) t/, . J = 0
или, записывая вс-ю систему в векторной форме,
DU -f PU = Ф;
здесь D — дифференциальный оператор,
d^ ^ k
(77)
(78)
0 =
dv
2h dz
Q;
Я —оператор внутренних связей,
_4 + 2/г2 2 + h О .
2 — h —4 + 2h^ 2 + h ,
2/г2
О
О
О
Е =
2h^
0
0
I
0
0 0 .
1 0.
. . 0
. .0
0
0 0.
. . 1
2h
1
—1
2h
0 .
-1.
0
0
0 . .
(2-
h
~~ k
-4+2/i2
. 0
.0
dz
В общей форме схема моделирования показана на рис. 10.
На рис. 18 показана схема моделирования одного уравнения си-
стемы (78). Она включает в себя два интегратора и блок суммиро-
вания. При решении той же задачи по методу полной дискретиза-
ции пространства требуется значительно больший объем оборудова-
ния.
В случае, если на всей границе или на некоторых ее частях за-
даны граничные условия второго или третьего рода, к системе (78)
обычно добавляются уравнения, выражающие заданные граничные
4* . 51

условия. Пусть, например, ''на участке (t/ = 0; О^х^а) границы
рассматриваемого здесь прямоугольника заданы граничные условия
третьего рода:
dy
Заменяя входящую в это выражение производную разностью вперед
первого порядка, получаем уравнение, которое должно быть добав-
лено к системе (78)
(U,-U,) + 2ahU,^2Hz)h, (79)
Рис. 18. Схема моделирования уравнения динамики (78).
Уравнение (79), присоединенное к системе (78), образует систему п
уравнений, содержащую п неизвестных функций.
Точность решения задачи при сохранении того же шага можно
повысить путем использования разностных выражений более высо-
кого порядка. Это относится к построению как самих уравнений
динамики, так и дополняющих их уравнений на границах при реше-
нии краевой задачи второго или третьего рода.
Так, например, вместо трехдиагональной матрицы Р в системе
(78) может быть использована более точная аппроксимация диффе-
ренциальных выражений, содержащих производные по у, если для
конечно-разностного представления второй производной по у вос-
пользоваться формулой (61). При этом оператор внутренних связей
приобретает вид пятидиагональной матрицы.
Более точную аппроксимацию производных можно получить,
пользуясь более точным представлением оператора. Например, ее
можно получить из выражения, которое было использовано в § 3:
U, + ,-2U,+U,,, = h^
b_d4h
6 dy^
1 d^i^.
12 dy^
12 dy^
(80)
Пусть речь идет о решении уравнения Лапласа. Тогда для
каждой точки сканирования справедливо равенство
d4h
dx
dMi
' dy^ '
(81)
Подставляя (81) в (80), получаем /-е уравнение динамики для
случая равномерного сканирования х = kz:
5 аю, 1 d^,^, 1 dv,.,_
&4F^l2^:^^l2 dx2 /jsCt/rf+i-St/rt+t/i-,). (82)
52

в векторной форме в случае задачи Дирихле система запишется
следующим образом:
DU + PU = Ф;
D =
1
12 di^
10 1 О
1 10 1 ,
ООО
Ф = -
—2 10...
1 —2 1 . . .
. 10
О
О
О О О ... —2
1 d^
Л2 W
О
О
Схема моделирования каждого уравнения динамики этой системы,
так же как и в предыдущем случае, содержит два интегратора и
блок суммирования.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: при решении
эллиптических уравнений второго порядка по методу сканирования
схема моделирования уравнения динамики содержит два интеграто-
ра и блок суммирования со входами, коммутируемыми различным
образом в зависимости от вида исходного уравнения и принятого
способа аппроксимации. При решении уравнений в частных произ-
водных с переменными коэффициентами или нелинейных уравнений
схема моделиройания дополняется блоками переменных коэффици-
ентов или блоками образования нелинейных зависимостей.
Остановимся кратко на самой процедуре моделирования. Выше
при описании общего содержания метода сканирования указывалось,
что суть метода состоит в построении таких траекторий выбранных
точек в пространстве (U, х, у), чтобы они лежали на интегральной
поверхности, принадлежащей исходному уравнению в частных про-
изводных. Однако уравнению в частных производных соответствует
бесчисленное множество поверхностей решения, а выбор одной из
них производится с учетом дополнительных условий, к числу кото-
рых принадлежат граничные условия.
При использовании метода сканирования это проявляется в мно-
гозначности траекторий сканирования, устранение которой может
быть произведено заданием всех начальных компонент движения.
При решении краевой задачи первого рода начальное положение
движущихся по интегральной поверхности точек определяется, как
указывалось выше, граничными значениями ^i(b/n)» (2^/^)» • • •»
Гп—\ \
^п-\ b 1 на той части границы, с которой начинается движе-
ние. В то же время начальные скорости движения точек
dz
(0) ус
ловиями задачи не определены. Их значения должны быть выбраны
53

таким образом, чтобы в койце движения на участке грайицы (Х = а\
^<,У<.Ь) положения точек соответствовали граничным значениям
Такой выбор начальной скорости, приводящий к решению кра-
евой задачи для полученной системы уравнений динамики, может
быть произведен различными методами. Из многочисленных спосо-
бов решения краевой задачи укажем на метод минимизации модуль-
ного
п—\
или квадратичного
п-\
/ = 1
функционалов, состоящий в поочередном изменении варьируемых па-
раметров (начальных скоростей точек) до достижения частных ми-
нимумов выбранного функционала. В подавляющем большинстве
случаев этот процесс минимизации сходится к глобальному мини-
муму, соответствующему в нашем случае удовлетворению гранич-
ных условий на участке (х=а, О < <^Ь).
При реализации методов сканирования в случае краевой задачи
первого рода начальные значения напряжения заданы на интегра-
торах JaU' (см. приведенные выше схемы моделирования). Для
удовлетворения граничных условий в конце интервала интегрирова-
ния (эти условия связывают значения напряжений на выходах ин-
теграторов Jai с заданными значениями) производится вариация
начальных значений напряжения на выходах интеграторов J^^.
В случае краевых условий второго рода на участках границы
(х=0, 0<1/<6) и (х=а, 0<f/<6) задаются начальные значения
напряжений на выходах интеграторов Jit. Начальные напряжения
на выходах интеграторов Jii подбираются так, чтобы выполнялись
условия в конце интервала интегрирования. Аналогично производит-
ся решение третьей краевой задачи.
Рассмотрим теперь применение метода сканирования к решению
нестационарных уравнений. Пусть для определенности задано урав-
нение теплопроводности
ди__ ^ [дЧ1 d4J\
на прямоугольнике 0< х^а\ 0<:У^Ь со стационарщ>]МИ гранич-
ными значениями <pi (О, t/); «Ра (^. 6); <Рз(^»^)' ?4(^»0) и начальным
распределением f {х, у» 0) [Л. 8].
Выберем некоторые фиксированные моменты времени tu ^2, ..
tmy так чтобы tj—tj_i = l для всех /.
54

Тогда путем замены производной dUldt конечной разностью на-
зад первого порядка уравнение теплопроводности может быть пре-
образовано к системе неоднородных эллиптических уравнений
/ = Э, 1, 2 т.
Последовательно решая эти уравнения для различных моментов
времени, начиная с первого, можно поэтапно определить распреде-
ление температуры в рассматриваемые моменты времени. Каждое
уравнение системы (83) решается методом сканиров^ания так, как
это было показано выше. Функции U\,j, U2,jt ..., Un-i,j для /-го
временного слоя должны запоминаться и вводиться затем в каче-
стве функций неоднородностей при решении уравнений динамики для
следующего y+l-ro временного слоя.
Таким образом, решение нестационарного уравнения по методу
сканирования выполняется по некоторой разветвленной вычислитель-
ной программе, блок-схема которой показана на рис. 19. Много-
кратное решение системы уравнений динамики производится в два
цикла. Первый цикл состоит в решении краевой задачи — подборе
недостающих начальных значений. После окончания его выполняют-
ся операции второго цикла, состоящие в переходе к следующему
временному слою. Полная автоматизация решения нестационарных
задач может быть выполнена при наличии устройства для запоми-
нания функций, устройства автоматической оптимизации для реше-
ния краевой задачи и устройства управления групповыми операция-
ми для реализации программы в целом.
6. МЕТОДЫ СКАНИРОВАНИЯ НА ОБЛАСТЯХ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА
Осуществляемый при использовании методов сканирования пе-
реход от пространственной переменной к временной позволяет суще-
ственно сократить требуемый объем аналогового оборудования,
а в некоторых случаях получить решение задач, невыполнимое с по-
мощью других методов. Однако в некоторых случаях возникают
трудности, связанные с видом области и неустойчивостью получаю-
щихся уравнений динамики. Дело в том, что при решении системы
обыкновенных дифференциальных уравнений по методу сканирова-
ния схему моделирования удается построить сравнительно легко
лишь для задач, решение которых ищется на прямоугольных обла-
стях. Если решение задачи требуется найти на области, ограничен-
ной криволинейным контуром, то среди лежащих в области отрез-
ков прямых Ук, вдоль которых происходит сканирование, могут су-
ществовать такие отрезки, проекции которых на ось Ох на некото-
рых участках имеют нулевые пересечения с соседними. На таких
участках моделируемая динамическая система оказывается неопре-
деленной. Значительные трудности возникают также и при решении
задач на многосвязных областях.
Ниже рассматриваются некоторые модификации метода скани-
рования, позволяющие распространить метод на области произволь-
ного вида. Можно указать на ряд способов постановки и решения
56

^f2
У7
ь
^ D
В С
Г 6
с
г'
подобных задач, относящихся прежде всего к самой процедуре элек-
трического моделирования. К их числу относятся способ сопряже-
ния прямоугольников, метод вписывания и метод конечно-разност-
ных операторов с переменным шагом.
Способ сопряжения прямоугольников предполагает возможность
разбиения заданной области на прямоугольные подобласти. Рас-
смотрим область, показанную на рис. 20, составленную из двух пря-
моугольников ABGH и CDEF. Пусть на этой области требуется ре-
шить задачу Дирихле для эллиптического уравнения с постоянны-
ми коэффициентами. Для каждого из прямоугольников ABGH и
CDEF^ можно составить систему уравнений динамики, например,
с трехдиагональной матри-
цей «оператора внутренних
сил».
В систему уравнений,
составленную для области
ABGH, должны входить
функции, заданные на сто-
ронах АН и BG. На первой
в качестве такой функции
используются заданные на
этой стороне граничные
условия. Что касается сто-
роны BG, то на ее отрезках
ВС и FG также использу-
ются заданные граничные
условия. В качестве функ-
ции, заданной на отрезке
CF, используется функция,
являющаяся решением си-
стемы, составленной для
прямоугольника C^DEF\ В
этой системе используется
граничная функция на стороне DE и часть (на отрезке CF') функ-
ции, которая получается в результате решения системы, составлен-
ной для прямоугольника ABGH. Построенные таким образом систе-
мы уравнений динамики для двух частей заданной области оказы-
ваются полностью определенными и могут быть решены средствами
аналоговой техники.
Моделирование системы уравнений, - составленной для области
ABGH (для случая рис. 20 эта система состоит из четырех уравне-
ний), начинается в момент, соответствующий точке А. В схему мо-
делирования четвертого уравнения подается граничная функция, за-
данная на отрезке ВС. В момент, соответствующий точке С, вклю-
чается система для области C'DEF\ В этот же момент к схеме мо-
делирования четвертого уравнения системы для ABGH вместо гра-
ничной функции, заданной на ВС, подключается функция, образую-
щаяся на выходе схемы моделирования пятого уравнения, принад-
лежащего к системе для C'DEF\ В момент, соответствующий точке
F, производится выключение системы для CDEF, а к схеме моде-
лирования четвертого уравнения подключается граничное условие,
заданное на FG.
Для обеих систем требуется решить краевую задачу. В данном
случае начальные условия берутся из условий на ЛБ и CD, а гра-
ничные условия образуются из условий на EF и GH. При решении
57
Рис. 20. Область, на которой ищется
решение эллиптического уравнения по
методу сопряжения прямоугольников.

краевой задачи требуется подобрать недостающие начальные усло-
вия с тем, чтобы удовлетворить заданным граничным условиям. Для
этого обе системы решаются многократно так, как это было показа-
но выше, при различных начальных условиях до определения зна-
чений, удовлетворяющих краевой задаче.
Приближенное решение краевой задачи для эллиптических урав-
нений на области, ограниченной криволинейным контуром можно
найти, если разбить эту область на прямоугольники. Граница фигу-
ры, составленной из прямоугольников, должна достаточно хорошо
аппроксимировать контур заданной области. Таким образом, для
решения краевой задачи на области, ограниченной криволинейным
контуром, требуется предварительно провести ступенчатую аппро-
ксимацию границы этой области. На полученный контур области,
составленной из прямоугольников, переносятся граничные условия,
заданные на контуре исходной области. Перенос может осуществ-
ляться различными способами, но так, чтобы отклонение получен-
ных условий от заданных было минимальным.
Метод сопряжения прямоугольных подобластей применим также
и в случае решения задач Неймана и третьей краевой задачи на об-
ластях сложного вида, контур которых может быть аппроксимирован
ступенчатой функцией. Процедура моделирования та же, что и
в случае задачи Дирихле. Отличительной чертой метода сопряжения
прямоугольников с точки зрения его приборной реализации является
необходимость раздельного включения интеграторов. Так, если ска-
нирование производится по переменной х, представленной в аналого-
вой схеме временем интегрирования, i-я схема интегрирования ис-
пользуется для образования зависимости U(x, yi), а i-i-1-я схема—
для образования U(x, yi+i). В момент, соответствующий дгг, вклю-
чается i-я схема интегрирования. На входы схемы поступает зна-
чение функции на границе, пересчитанное по интерполяционной фор-
муле к прямой уг-1, т. е. значение функции на границе поступает на
вход i-й схемы как функция времени. В момент, соответствующий
значению Xi+u включается i+1-я схема, а значение функции на гра-
нице заменяется значением функции U(x\ yi+i). Процесс поочеред-
ного включения интеграторов продолжается до тех пор, пока исчез-
нут нулевые пересечения проекций прямых на ось Ох. Если правая
граница области также криволинейна, отключение схем интегрирова-
ния и перевод их в режим «остановка» производится поочередно
с соответствующим переключением входов оставшихся схем.
Сущность метода вписывания состоит в специальном построении
аналитического продолжения искомого решения эллиптического урав-
нения за границы заданной области. С помощью этого метода не-
сколько иначе, чем в случае метода сопряжения прямоугольных об-
ластей, снимается основная трудность, возникающая при решении
краевых задач методом сканирования на областях произвольного
вида.
Пусть задана произвольная область G (рис. 21), 'на которой
требуется найти решение, например, задачи Дирихле для некоторого
эллиптического уравнения. Заданная область ограничена контуром Г.
Впишем область О в некоторую область \Q простого вида, ограни-
ченную контуром L. Сформулируем следующую задачу.
Требуется найти в области iQ решение заданного эллиптического
уравнения, удовлетворяющее значениям, заданным на замкнутом
контуре L внутри этой области.
58

'2(^) С
Будем исходить из факта существования решения задачи Ди-
рихле для области G. Решение сформулированной выше задачи су-
ществует, если через замкнутую кривую Г может быть осуществле-
но аналитическое продолжение решения задачи Дирихле для обла-
сти G. Достаточным условием аналитического продолжения, как это
доказывается в курсах теории функций комплексного переменного,
является наличие первых производных у кривой, через которую осу-
ществляется это продолжение. Если решение поставленной выше
задачи существует в области Q, то оно единственно в области G.
Аналитическое продолжение через контур Г может быть осу-
ществлено различными способами. Пусть Q есть область прямо-
угольного вида. Необходимо также наличие не более двух точек
пересечения прямых, параллельных
некоторой оси, например Ох, вдоль
которых производится сканирование
с контуром Л что не ограничивает
общности рассматриваемого метода,
. Граничные контуры Г и L могут
иметь общие точки. Для областей,
показанных на рис. 21, такими «точ-
ками являются а, с и d.
Задача в данном случае форму-
лируется следующим образом: найти
решение эллиптического уравнения на
прямоугольнике ABCD^ совпадающее
в точках контура Г с заданной на
этом контуре функцией Fr(x, у).
Определяем произвольным об-
разом граничные условия на сто-
ронах прямоугольника ВС и CD
с помощью функций р2(х) и р4(х),
устраняя тем самым множественность решений задачи. От функций
р2(х) И fiix) требуется лишь, чтобы в точках а, Ь, с и d они со-
впадали СО'значением функции Fr{x, у) в этих точках.
Составим схему моделирования системы уравнений динамики,
получаемой по методу сканирования. В схемы первого и последне-
го уравнений системы вводятся функции р2(г) и F4{x). Решаемая
здесь задача, по существу, является двухточечной краевой задачей.
Для ее решения необходимо подобрать такие значения начальных
напряжений на обоих интеграторах схемы моделирования каждого
уравнения, чтобы траектории сканирования проходили через задан-
ные точки — значения lFpCa:, у) в точках пересечения соответствую-
щих прямых с границей заданной области Г.
Таким образом, время сканирования при моделировании всех
уравнений системы в данном случае одинаково и соответствует дли-
не прямоугольника Q. При решении возникающей здесь двухточеч-
ной краевой задачи можно пользоваться тем или иным методом ми-
нимизации функционалов
i
(Х)
Рис. 21. Область, на кото-
рой ищется решение эллип-
тического уравнения по ме-
тоду вписывания.
ч,
или
§9

где Ei'— отклонения, взятые во всех точках пересечения прямых
с границей Г. Для решения краевой задачи значения получаемых
решений в точках, соответствующих границе Л запоминаются. Этим
точ^кам соответствуют моменты времени fi, f'u t'zj ^"2,..., ^'n, t''n-
Блок-схема программы выполнения операций по методу вписывания
показана на рис. 22.
Метод вписывания может быть распространен и на задачу Ней-
мана и третью краевую задачу. При этом схема и порядок модели-
рования остаются теми же, что и в случае задачи Дирихле. Отличие
^^оояередное тзмененае начальных уславший
Задание
начальных
условий
Peuienae
системы
уравнений
динамики, полу ченпии,
методом сканирования]
для прямоугольника
ТГТ
t t t
Запоминание
mm©
о иен на
удоблетво -
рения
еранияным
условиям
,1
Да
Останов
Рис. 22. Блок-схема программы выполнения операций по методу
вписывания, м —число прямых, пересекающих заданную область.
состоит в том, что при решении краевой задачи используются на-
пряжения, соответствующие производным функции решения или ли-
нейным комбинациям этих производных и самих функций решения.
Отметим также, что при вписывании заданной области в прямо-
угольник может оказаться, что Г п L имеют некоторые общие от-
резки. Это обстоятельство не усложняет порядок моделирования.
Требуется лишь, чтобы функции F^ix) и совпадали на этих
отрезках со значениями Ft(Xj у).
Метод конечно-разностных операторов. Рассмотренные выше
методы сканирования строились в предположении, что характер ска-
нирования позволяет определять значения искомой функции
U(Xy у) вдоль некоторого семейства прямых, параллельных одной
из координатных осей. Более общий случай представляется при ре-
ализации такого способа, при котором проекции траекторий скани-
рования на плоскость хОу образуют семейство кривых, которые
в параметрической форме в предположении равномерности движения
могут быть представлены следующим образом;
= Фв (
IrW. }
(84)
60

При этом требуется равенство нулю попарных пересечений yi.
Введем понятие конечно-разностного оператора с переменным
шагом (Л. 25]. Пусть дана функция и(х^ у). Для некоторой кривой
yi семейства (84), заданной на области определения этой функции,
построим следующее выражение:
Al (х) и [X (х), у^ (х)1 = j^-^ , (85)
где /iH(t)=f/i+i(t)—t/i(t) — шаг разности.
Будем называть выражение (85) разностью вперед, а Ai (t) —
соответствующим конечнофазностным оператором с переменным ша-
гом первого порядка. Аналогично, разность назад с переменным ша-
гом первого порядка запишем следующим образом:
л.(.)и«(.).м.)1-'"""",;й"""''
/^2Лх) = ^^«-|/«-1(^). (86)
Пользуясь разложением функции Щх, у) в ряд Тейлора в окрест-
ности кривой i/.f(x), можно лолучить разностну^о аппроксимацию
с переменным шагом производной второго порядка
и [У... (X)] = и + '-^+1 '-^+0 т, (87)
Ulyi.A^)]=U{y,)-h,—^ +
-ь|^+0(..). (88)
Умножим равенства (87) и (88) на h,{z) и h,{z) соответственно
и сложим почленно. Получим:
^ [у^ (^)] = (^) и [У^ (^)] + О (Л^); (89)
где
Д ,2 (^) и [уг (X)] _ 2 j ^^^^ ± _^ I (90)
— центральная разность второго порядка с переменным шагом впе-
ред hi(x) и переменным шагом назад /12(t).
Точно так же производится аппроксимация центральным разно-
стным выражением с переменным шагом производной первого по-
рядка. Для этого ряды (87) и (88) умножаются на Л| и —соот-
ветственно и почленно складываются. Получающаяся при этом раз-
ность имеет вид:
.ht—ftt h,U{y,.,)
61

Аппарат конечных разностей с переменным шагом может быть
использован для построения системы уравнений динамики, если дви-
жение в области происходит по закону, описываемому уравнениями
(84). Рассмотрим для упрощения уравнение Лапласа
Связь между производными от искомой функции и (х, у) на кривой
yi (т) семейства (84) имеет вид:
'^[yi{'^)]=--^ly^i'^)]'
Заменяя правую часть разностным выражением (90), получаем:
^[yii^)]=-^U^)U[yi{^)]- (92)
Вводя вспомогательную функцию V, это уравнение можно записать
в виде системы двух уравнений первого порядка:
dU
-аГ1Уч{'')]=У[у,{^)];
-^[yA-^)]=-i^U^)U[yi(^)l
(93)
Переход к уравнению динамики производится с использованием
формулы для производных по параметру от функции двух парамет-
рически заданных переменных:
dU _ dU ^ JU_^_dy_
dz dx dz dy dz - ^^^^
Подставляя (84) в (94), получаем выражения для dU/dz и dV/dz:
dU:
dU
dU
dz
= ^dz
dy^
dV
dV
+ Vh
dV
dz
= ^dx
dy'
Запишем эти уравнения на кривой yi (z) и подставим в них правые
части уравнения (93) и выражения для разности с переменным
шагом, например центральной (91):
dU
^ [У, (X)] = kV [yi (X)] + ф',Д,, (Z) и [у, (т)]; (95)
dV
[Уг (X)] = - (Х) и [УЧ (^)] +Ф'^Д12 (Х) V [ys (X)].
Уравнения (95) представляют собой 1-е уравнения динамики,
полученные по методу сканирования с конечно-разностным операто-
ром с переменным шагом К
» Легко показать, что вместо двух уравнений (95) можно записать, как
это мы делали до сих пор, одно i-e уравнение динамики.
?2

Схема моделирования уравнений (95) показана на рис. 23. По-
мимо блоков интегрирования и суммирования в схему входят блоки
переменного коэффициента ур\(г) и блоки, реализующие разностный
оператор с переменным шагом Ai2(t), с помощью которых модели-
руется формула (91). Схема оператора Ai2(t) состоит из трех бло-
ков переменного коэффициента
+ \hl' ('^)- h,{hUh,) W « сумматора.
Моделирование системы уравнений (94) обеспечивает непосред-
ственное получение решения на области, имеющей вид криволиней-
ной трапеции (рис. 24,а). При решении задачи на области типа
22d
ЧФ)]
Рис. 23. Схема моделирования уравнений (95).
рис. 24,6 расстояния между всеми кривыми г/г(т) одинаковы и рав-
ны /г(т). Поэтому выражения для разностей с переменным шагом
существенно упрощаются. Так, например, центральная разность пер-
вого порядка записывается следующим образом*
Ai2(^)f/[l/^'c)] =
^[^.•-n(^)]-^[^i-t(T)]
в случае области общего вида (рис. 24,б) процесс решения за-
дачи по методу конечно-разностных операторов с переменным шагом
включает в себя выполнение некоторых логических операций. Раз-
ностные операторы с переменным шагом используются для устране-
ния неопределенности, возникающей на участках прямых, пересе-
чения множества абсцисс которых со множествами абсцисс сосед-
них прямых равны нулю.
Обозначим абсциссы точек пересечения прямой \ji{x) с грани-
цей заданной oблacтиJчepeз i и х"^.'Пусть отрезок (х'^_,, ^''ti-i)<
<(^'if.A:",i) и (A:':i+i.x'V+i)<(^'.i.^;"ti). Тогда в уравнениях (95)
должны быть использованы шаг вперед
(96)
63

и шаг назад
(97)
где ^"r» У'г. f/"r—уравнения левого и правого отрезков границы
ниже прямой t/K и левого и правого отрезков границы выше прямой
tffi соответственно.
в)
Рис. 24. Некоторые варианты выбора направления
сканирования с использованием конечно-разностных
операторов с переменным шагом.
В уравнения (95) вместо f/[y<+,(t)l, У[у*+,(х)]. 1/[у*_»(х)],
V[y<_,(t)] должны входить следующим образом определенные функ-
ции:
t/[l/>i+i('c)I. <х<^"ч+,; (98)
Уг[г/"кг(х)], x"«+,<x<a;":<.
64
(99)

(100)
Vlyi{'^)]\ (101)
здесь I/r и Vr — заданные граничные функции.
АналогичныхМ образом строятся уравнения (95) и для других
возможных случаев взаимного расположения отрезков (х'г, x''i)j
Таким образом, в процессе решения системы уравнений типа
(95) должно производиться переключение выходов соседних схем
моделирования и подключение граничных условий в соответствии со
взаимным расположением кривых в области, вдоль которых проис-
ходит сканирование. В схему моделирования должны быть введены
предварительно просчитанные переменные коэффициенты Tiu(x),
%2i(t), i|)^i(t). Процесс решения повторяется многократно для оты-
скания недостающих начальных условий. Автоматизация решения
задачи по методу сканирования с использованием конечно-разност-
ных операторов с переменным шагом возможна на таких АВМ, ко-
торые имеют запоминающее устройство, устройство для автомати-
ческого решения краевой задачи, а также устройство управления,
реализующее программу переключений. В основу работы блока
управления должна быть положена схема программы типа, показан-
ного иа рис. 25.
Рассмотренный выше метод позволяет отыскивать решение
уравнения > в частных производных на произвольном семействе не-
пересекающихся криволинейных направлений и на многосвязных об-
ластях (см. рис. 24,г). Он удобен при решении задачи Неймана и
третьей краевой задачи на области с криволинейной границей. При
этом кривые уг{х) проводятся таким образом, чтобы в точках пере-
сечения с границей области они были бы нормальны к границе. Это
условие требуется вьшолнить ввиду того, что в краевых задачах этих
типов значения нормальной производной заданы на границе. При
прямолинейном сканировании необходимо вычислять значения на-
правляющих косинусов нормали и производить «снос» нормальной
производной на ось Ох.
С помощью метода сканирования можно отыскать решение за-
дачи на неограниченной области. Пусть, например, требуется найти
решение эллиптического уравнения на полуполосе 0<г/<6; 0<
оо. Для обхода всей области за конечное время сканирование
должно быть существенно неравномерным. Это может быть достиг-
нуто, например, заданием координаты х в форме дифференциального
уравнения
-^ = (1(102)
решение которого имеет вид
x(t)=-ln(l—т). (103)
5-673 65

^ ^ Ч
I
5;
Подпрог-
Решение
рамма
Id
пере-
группы
ключе
уробненай
HULL
X
1С.
Лодпрог-
\рамма
переклю
ченай
И^есие-
маеЗ-а
Рис. 25. Блок-схема программы выполнения операций по методу ко-
Таким образом, вся область будет просканирована за конечное время
т=1. В случае неравномерного движения при построении уравнения
динамики следует учитывать уравнение для х.
7. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ,
ПОЛУЧАЕМЫХ ПО МЕТОДУ СКАНИРОВАНИЯ
При решении уравнений в частных производных по методу ска-
нирования необходимо иметь в виду неустойчивость движения, опре-
деляемого уравнениями динамики. Мы будем пользоваться опреде-
лением устойчивости нулевого решения по Ляпунову (Л. 15], которое
формулируется следующим образом.
Система дифференциальных уравнений движения считается
устойчивой, если для любого 8>0 можно указать такое 6, что при
начальных условиях, меньших по модулю числа б, значения искомого
решения на протяжении всей области интегрирования по модулю
меньше е.
Неустойчивость системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений при постановке их на АВМ с операционными усилителями
проявляется в возрастании ошибки решения с увеличением времени
интегрирования. Источниками этих ошибок могут служить погреш-
ности в задании начальных условий, неточность установки пара-
метров схемы и внутренние источники шумов. Следует отметить, что
подобные трудности возникают при решении неустойчивых диффе-
ренциальных уравнений не только на АВМ, но и на других вычисли-
тельных машинах и в том числе на ЦВМ. Иными в этих случаях яв-
ляются лишь источники погрешностей.
66

0
.1
геиление
п-й груп-
f7bt
ОдразоОамие
и ои^енка
(p^HHUfUOHCL ли.,
характеризу
Ю(цего откло-
нен и. 9 от
заданMbix
краевых
условий
нечно-разностных операторов с переменным шагом.
Неустойчивость решаемой на АВМ задачи затрудняет получение
решения, особенно в случае краевой задачи, методы решения кото-
рой основаны на подборе недостающих начальных значений. Пр;1
случайным образом выбранных компонентах начального вектора мо-
жет получаться резко меняющееся напряжение, что приводит к вы-
ходу блоков машины из нормального режима работы.
Известно, что нулевое решение (т. е. решение с нулевыми на-
чальными условиями) однородного линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами является неустойчивым
по Ляпунову, если среди характеристических чисел этого уравнения
имеются числа с положительными вещественными частями. Пока-
жем, что система уравнений, получающаяся по методу сканирова-
ния, неустойчива. Рассмотрим для определенности уравнение Пуас-
сона
-^+-^ = ^(л:, t/); 0<л;<а; 0<t/<6
с граничными условиями (73).
Пусть осуществляется равномерное прямолинейно?, сканирование
Получается следующая система п— 1 уравнений динамики: .
5*
(104)
67

где
2
-1
0 .
. . 0
р =
— 1
2
—1.
. .0
0
0
0 .
. . 2 J
Можно показать, что корни характеристического уравнения по-
рядка 2 соответствующего системе (104), имеют вид
[Л. 27].
/тс
hi =± 2р cos •
(105)
т. е. что половина корней характеристического уравнения имеет по-
ложительные вещественные части. В соответствии с указанным выше
критерием^можно сделать вывод о неустойчивости полученной си-
стемы уравнений динамики.
Вопросы решения неустойчивых систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений средствами вычислительной техники являют-
ся наиболее серьезными из общего числа вопросов, возникающих
при постановке и решении любой задачи. Рассмотрим несколько спо-
собов устранения трудностей, связанных с неустойчивостью.
Метод выделения неустойчивой части решения в виде сомножи-
теля. В работе |[Л. 16] описан метод решения неустойчивой систшы
уравнений, состоящий в том, что переменные исходной системы за-
меняются произведением новых переменных на возрастающую экс-
поненту. Беря за основу этот метод, предложенный для решения
задачи Коши, можно перейти от прямого решения краевой задачи
для неустойчивых систем типа (104) к некоторой последовательно-
сти операций, связанных с решением только устойчивых уравне-
ний. При этом краевая задача переносится на устойчивую систему
уравнений.
Запишем однородную часть системы (104) в виде системы урав-
нений первого порядка
^с;(.) = лс/(х), (106)
где (х) — вектор-столбец переменных С/^ (х);
Л—матрица коэффициентов правых частей.
Собственные числа матрицы Л, которые определяются уравне-
нием
(107)
(108)
AU = W.
являются корнями характеристического уравнения
|Л—Х£|=0.
где £ —единичная матрица.
Пусть некоторые собственные числа Я имеют положительные ве-
щественные части. Тогда найдется такое положительное число (х,
при котором X можно представить в виде
+ (109)
где V содержит отрицательную вещественную часть,
Подставляя (109) в (108), получаем:
(A-iyE)U = AV = XV, (ПО)
68

Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
для которой матрица из коэффициентов правых частей есть А':
-^V(z)=A'V(z), (111)
Подставляя выражение для Л' в (111). получаем:
Это уравнение совпадает с уравнением (106) при
и{1)=.^{^)е^\ (ИЗ)
В силу (109) система (111) является устойчивой.
Вернемся теперь к неоднородной системе уравнений, которую
запишем в матричной форме
dU(i)
-^-=AU(z) + F(z), (114)
Подставляя выражение (113) для U {%) в (114) и разделив обе
части уравнения на е^^, получаем
-^V (т) = (X) + f (X) е-^\ (115)
Соответствующая этой системе однородная система оказывается
устойчивой.
Покажем теперь, как изменяются начальные и граничные усло-
вия при переходе к устойчивой системе. В силу установленной за-
висимости между переменными Ui{x) и Vi{x) получаем:
1^^(0) = а,(0) е-^^ = гр,(у,);
Ун{а) = (а) е~ = (t/,) е'^^
(116)
Таким образом, вычислительный процесс при решении неустой-
чивой системы (114) с заданными краевыми условиями по методу,
изложенному выше, разбивается на следующие этапы:
1) определение величины pi, при которой однородная система
(106) является устойчивой, и построение матрицы Л'*;
2) построение функций е^'^ и ;
3) образование граничных условий и функций неоднородности
для системы (115); *
4) решение краевой задачи для системы (115);
5) отыскание решения исходной системы с помощью выражения
(113).
Получение решения исходной системы связано с умножением
решения системы (115) на функцию е^'^, В качестве генератора
этой функции можно использовать диодный функциональный блок
* Этого этапа можно избежать только в редких случаях, когда известны
или могут быть сравнительно легко найдены корни характеристического урав-
нения (например, в случае уравнения Пуассона, выражения для корней кото-
рого приведены выше).
69

или магнитный барабан, на который предварительно записываются
табличные значения этой функции (использование табличных значе-
ний как раз и предлагается в работе [Л. 16]). бдиако оба варианта
можно считать приемлемыми только в том случае, когда заранее
известна величина
Возможен другой подход, заключающийся-в том, что функция
ищется как решение дифференциального уравнения
-^ = ^4^) (117)
с начальным условием
чК0) = 1.
Однако это уравнение является неустойчивым.
Вместе с тем если произвести замену независимой переменной
/=—т,
сопряженное по отношению к уравнению (117) уравнение
~^ = -Н^Ф(0 (118)
оказывается устойчивым. Если выбрать начальное условие для по-
следнего уравнения в виде
ф(0) = в-»^«,
то решения уравнений (117) и (118) оказываются связанными за-
висимостью
г1)(/)=ф(-т).
При наличии в составе АВМ запоминающего устройства на маг-
нитном барабане для отыскания функции е^'^ достаточно найти
решение уравнения (118), записать его на барабан и воспроизвести
искомую функцию, изменив направление считывания. Первый этап
решения задачи сводится к моделированию однородной системы при
нулевых начальных условиях и нахождению величины приводя-
щей к построению матрицы А' устойчивой однородной системы. Для
этого (рис. 26) составляется схема электрического моделирования
системы (114). Матрица Л, составленная из коэффициентов правых
частей системы уравнений (114), и единичная матрица Е образуют
настраиваемый на первом этапе решения оператор Л\ Практически
это означает подключение величин— i|xV(t) на дополнительный
вход сумматора в каждой схеме моделирования уравнения первого
порядка.
При включении модели в режим интегрирования с нулевыми
начальными условиями схема оценки качества решения вырабаты-
вает величину [1, которая обеспечивает вьшолнение необходимого
условия устойчивости V(x)<e для любого момента времени, напри-
мер для конца интервала интегрирования (в предположении, что
внутренние шумы в модели в начальный момент времени достаточно
малы). Величина 8 выбирается в пределах погрешности решения
электромодели.
Таким образом, выделение из неустойчивой системы уравнений
устойчивой части решения в виде сомножителя можно использовать
в схеме электромоделировання исходной системы уравнений.
70

На втором этапе схемой электромоделирования производится
решение уравнения (118) и результат решения (функция е''^'^) при
наличии _^ЗУ записывается на одной дорожке магнитного барабана
с одновременной записью на второй дорожке инверсной функции
На третьем этапе производится решение в режиме периодиза-
ции краевой задачи для неоднородной системы уравнений (115) при.
начальных и граничных условиях (116). Для этого в соответствии
с (116) преобразуются граничные условия Vi(a), что обеспечивает-
ся блоком перемножения, в который вводится с магнитного барабана
величина е~~^^ (последняя ордината записанной функции е~~^^).
Функции неоднородности считываются с дорожек магнитного
барабана, умножаются на е""**^ и периодически в течение каждого
оборота барабана вводятся в схему электромоделирования. За время
dt
71
I
-fJL, V(X)
6П
Схема
ои^енка
качества
реиленая
Рис. 26. Схема моделирования системы (114).
одного оборота барабана происходит решение системы (115) и осу-
ществляется один из частичных тактов поиска недостающих усло-
вий, удовлетворяющих граничным условиям (116). После окончания
этого этапа отыскивается решение исходной системы уравнений
(114). Инверсная функция е^^, обеспечивающая обратное преобразо-
вание, вводится в^блок перемножения со второй дорожки магнитного
барабана.
Следует отметить, что для реализации метода выделения не-
устойчивой части решения в виде сомножителя можно использовать
АВМ общего назначения, производя вручную переход от одного
этапа к другому, а для воспроизведения функции — диодный функ-
циональный преобразователь.
Метод представления решения в виде суммы возрастающей и
убывающей функций. Существенный недостаток изложенного выше
метода cocTcfHT в необходимости умножения решения устойчивой
системы на возрастающую экспоненту, показатель которой может
71

оказаться весьма большим. В этом случае точность решения исход-
ной системы резко уменьшается с возрастанием т.
Метод, изложенный ниже, принципиально свободен от указан-
ного недостатка. Суть его состоит в отыскании решения в виде сум-
мы решений двух систем уравнений, одна из д^оторых имеет только
возрастающие частные решения, а другая — только убывающие. Пер-
вая может быть приведена к системе, имеющей только убывающие
частные решения, если произвести инверсию независимой перемен-
ной, что равносильно изменению направления сканирования. К со-
жалению, такое представление решения легко осуществляется лишь
в случае систем с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим систему уравнений динамики достаточно общего
вида, записав ее в матричной форме:
(PV_
(119)
Здесь а — постоянный коэффициент или столбец постоянных ко-
эффициентов; матрица Р имеет отрицательные вещественные собст-
венные числа, среди которых нет кратных. Тогда существует такая
невырожденная матрица L [Л. 15], что
здесь Л — диагональная матрица собственных чесел,
Л = (Xi, Ag... . . Хп); Xi<0. (120)
Вводя новый базис LU=V получаем расщепленную систему
уравнений второго порядка:
f,=Lf.
Каждое уравнение системы (121) можно записать в виде
где
; А =
о 1
X, 2а
О
(121)
(122)
(123)
(124)
виду
72
Далее можно осуществить приведение (123) к диагональному
A = Q-^Q.Q;
(125)

здесь Q — диагональная матрица собственных значений,
|а + — X О
О а-- Ya^,
1
щ 0
0
—
Q =
1 —
to, — (On О), — 0)„
(0, — (0« COt — co«
(126)
Таким образом, можнэ говорить о двух системах уравнений я-го по-
рядка, записанных в векторной форме:
-Ж
2
(127)
(128)
к. = QV,; 2, = (со,,, (0,2 co,„);
Vi^QV^; Qj = (o)2„'<o„ fi)j„).
Умножая системы (127). (128) на' L слева и принимая LVi=Vt;
= V^. получаем:
Используя (120), (126), можно записать:
dV,
■^ = [aE+Va'E-P] V,-
-[aE-Va'E-P]-' F;
dV^
dt
= [a£— Ya^E — P] Kg —
--[пЕ+fa''E — P]-^ F.
(129)
(130)
73

Вследствие отрицательности собственных значений Р система
(129) имеет возрастающие частные решения,, а система (130) —
убывающие частные решения. Функции от матрицы Р, входящие
в уравнения (129) и (130), могут быть вычислены предварительно.
После этого производится набор схемы моделирования для уравне-
ния (130) и уравнения
dz
+ [aE-Va^E--P]'■'^ F,
(131)
получаемого из (129) заменой направления сканирования z = — z.
Достаточно иметь одну схему интегрирования, содержащую схемы
моделирования матриц
Va^E — Р; аВ и [аЕ ± f'a^E — Р]''
(см. рис. 27).
Эта схема при соответствующих положениях переключателей
моделирует либо уравнение (130)-—положение /, либо уравнение
(131) — положение 2.
1 2
-1
аЕ
Рис. 27. Схема моделирования уравлений (131) и (130)
Порядок решения задачи на АВМ строится с учетом того, что
и есть линейная комбинация функций Vi и Ка- Эта комбинация
отыскивается одновременно с решением краевой задачи, проводи-
мым с помощью несколько модифицированного метода рела1^саций.
Устанавливаются произвольные начальные значечия и решается урав-
нение (130) (переключатели ставятся в положение /). Устанавли-
ваются начальные условия ^(6) —V^/^ (6)* и решается уравнение (131).
* Здесь Ь — длительность интегрирования.
74

Затем снова решается уравнение (130) при начальных условиях
/7(0)—^У^(Ь). Процесс продолжается до выполнения условий:
U(0)--Vi^^ {b)^V[^Hb)'
, Метод обеспечивает значительно большую точность по сравне-
нию с первым методом, однако он требует весьма большой подгото-
вительной работы по выполнению операций над матрицами и при-
меним лишь к уравнениям с постоянными коэффициентами.
Итеративный метод решения уравнения с переменными коэффи-
циентами. Попытка формального применения метода расщепления
матрицы второго порядка к решению уравнения с переменными- ко-
эффициентами приводит к простой итеративной процедуре. Пусть
одно неоднородное уравнение второго порядка типа (121), но с пе-
ременными коэффициентами расщепляется на j,Ba уравнения пер-
вого порядка путем введения нового базиса U=QU. Получается
система двух связанных уравнений первого порядка:
(132)
Здесь
(Oreo's
(©1 — «2) «2 (cOi — (О2) COj
((Oi — iOj) Щ ( <0i — CO2) (Oi
.Остальные обозначения имеют тот же смысл, что и при исполь-
зовании метода представления решения в виде сумм возравтающей
и убывающей функций.
Система (132) может быть записана в виде
dU,
dz
(133)
(134)
(Oi(0'2
^^ = (С0,-С0,)С02 ^
_ <02<Д^
« («1 — ^2) ^1 '
Можно решить эти уравнения раздельно, организуя итератив-
ный процесс. Произвольным образом задают функцию U{^^ и ре-
шают уравнение (133), которое, очевидно, представляет собой воз-
растающую функцию [coi-С1)макс<0]. Рсшение его проводят, меняя
направление интегрирования. Полученную функцию U^) можно ис-
пользовать для решения уравнения (134), которое представляет со-
75

бой убывающую функцию t/y^ [(0)2 —С2)>0]. Процесс продолжа-
ется до достижения требуемой близости решений Ъ[^~^\ U\^j и
При моделировании уравнений (133) и (134) можно пользовать-
ся одной и той же схемой моделирования, коммутируя входы сум-
матора в соответствии с видом уравнения, решаемого в данном цик-
ле. Схема в основном соответствует схеме рис. 27. Все коэффициен-
ты в уравнениях (133) и (134) представляют собой переменные ве-
личины, поэтому для их моделирования должны быть использованы
блоки переменных коэффициентов.
Метод, использующий специальную подстановку. Пусть требует-
ся решить уравнение с переменными коэффициентами
d^U ^ dU ^
В [Л. 20] при решении однородных уравнений подобного вида для
устранения трудностей, связанных с неустойчивостью, предлагается
использовать подстановку
и (т) = ехр J t; (s) ds или v = U'/U. (135)
В случае неоднородного уравнения эта подстановка приводит
к интегро-дифференциальному уравнению вида
dv V
^-=—[у2_2лу_р,]_ехр\ф«(5)^5. (136)
0^
Однородная часть этого уравнения устойчива. Решение его про-
изводится путем многократного моделирования с целью решения
краевой задачи, условия которой выводятся из заданных с помощью
уравнения (135).
Данный метод оказывается наиболее эффективным и наиболее
простым при решении одного неустойчивого уравнения второго по-
рядка с переменными коэффициентами.
Метод расщепления системы уравнений с дальнейшим исполь-
зованием подстановки v=U'IU. Эффективность метода, изложенно-
го выше применительно к одному уравнению второго порядка, при-
водит к мысли о целесообразности его распространения на систему
уравнений, получаемую по методу сканирования. Непосредственное
применение этого метода для решения системы уравнений невоз-
можно. Возникает серьезная проблема расщепления матрицы п-го
порядка. Эта задача облегчается в случае уравнений в частных про-
изводных, поскольку характер собственных чисел матрицы Р изве-
стен, а само решение этой задачи может быть получено с привлече-
нием средств аналоговой техники.
76

Первая часть задачи состоит в отыскании собственных чисел
{Ki}. Можно представить себе систему устойчивых уравнений второго
порядка типа
(137)
которая будет рассматриваться как конечно-разностная система
уравнений, описывающая одномерный волновый процесс и построен-
ная по методу полной дискретизации пространства. Здесь Р харак-
теризует анизотропию одномерной среды. Устанавливая в схеме
рис. 28 нулевые начальные значения и воздействуя на нее гармони-
ческой функцией, можно путем подбора резонансных частот опреде-
лить собственные числа Xi матрицы Р.
f
f
Xf(t)
Рис. 28. Схема моделирования уравнения (137).
Вторая часть задачи состоит в нахождении матрицы L, исполь-
зуемой для преобразования Р к диагональному виду. Рассмотрим
систему устойчивых уравнений первого порядка
(138)
с произвольными начальными значениями. Собственные векторы этой
системы можно воспроизвести с помощью уравнения
(139)
где Я/ — определенные выше собственные числа матрицы.
Используя схему моделирования уравнений (138) и (139), путем
подбора начальных значений во второй схеме можно минимизиро-
вать разность 8 между соответствующими решениями этих уравне-
ний. Таким образом, последовательно варьируя параметры схем,
определяют все элементы матрицы L. |После приведения системы
к диагональному циду для ее решения может быть использована
подстановка (135).
Выбор одного из описанных выше методов производится в за-
висимости от конкретного вида задачи, с учетом точностных харак-
теристик используемых вычислительных средств. В ряде случаев не-
обходимость в использовании каких-либо дополнительных приемов
вообще не возникает. Иногда достаточно ограничиться методом вы-
деления неустойчивой части в виде сомножителя.
Полезно провести предварительно грубую оценку степени не-
устойчивости. Для этого одно if3 уравнений системы заменяется
уравнением с постоянными коэффициентами, значения которых пре-
вышают максимальные значения соответствующих переменных коэф-
фициентов, и определяются корни соответствующего ему характери-
стического уравнения. Если произведение значения положительного
77

корня на время интегрирования близко к единице,, то задачу можно
решать без использования дополнительных приемов*. Если это произ-
ведение больше единицы, но меньше 5—10, можно использовать ме-
тод выделения неустойчивей части в виде сомножителя; при вели-
чине этого произведения, превышающей 5—10^ целесообразно поль-
зоваться более сложными методами.
8. МЕТОДЫ ЧАСТИЧНОГО СКАНИРОВАНИЯ
Методы частичного сканирования предполагают, что" за один
обход просматривается лишь часть искомого решения. Таким обра-
зом удается уменьшить состав оборудования при решении сложных
задач, а также находить решение на областях сложного вида. При-
менение метода частичного сканирования приводит к итеративному
процессу отыскания решения.
Простой итеративный метод решения системы уравнений дина-
мики, получаемой по методу сканирования, приводит к вычислитель-
ной процедуре, аналогичной той, которая используется при частич-
ном моделировании полностью дискретизованного пространства (см.
§ 4). Схем'а моделирования системы уравнений динамики разбивает-
ся на k секций, для каждой из которых решение выполняется
последовательно. Каждая секция содержит т схем моделирования
уравнений указанной выше сисгемы.
Предполагается следующий порядок выполнения операций, со-
ставляющий основное содержание итеративного процесса при реше-
нии краевых задач для эллиптических уравнений Ч
1. Решается краевая задача для первой секции. В качестве
функции У^щ^\, которая при параллельном решении заданной си-
стемы должна представлять собой выход т-Ы-й схемы моделиро-
вания, задаетея произвольная функция, удовлетворяющая краевым
условиям. Такая функция может бьггь, например, линейной. Перед
началом итеративного процесса она записывается на второй дорож-
ке ЗУ. В результате решения, проведенного в первой секции, обра-
зуется функция и^гп* которая появляется как выход последней схе-
мы моделирования первой секции. Во время решения в первой сек-
ции производится запись этой функции на первую дорожку ЗУ.
2. Решается краевая задача для второй секции. В качестве функ.
ции в схему моделирования подается функция, полученная на
предыдущем этапе и записанная на первой дорожке ЗУ. В качестве
функции задается произвольная функция, удовлетворяющая
краевым условиям. Эта функция может быть линейной и проведенной
через заданные точки. Перед началом решения ее предварительно
записывают на четвертой дорожке. Полученная в результате решения
во второй секции функция JJ^^ записывается в ЗУ на третьк) до-
рожку. Кроме того, на вторую дорожку вместо записывается
.
» Приведенная ниже программа построена для АВМ, включающей в свой
состав ЗУ на магнитном барабане. Подобная программа может быть предло-
жена и для АВМ общего назначения, при использовании которой эффектив-
ность метода, естественно, падает.
78

3. Аналогично проводится решение для всех других секций.
В последней секции в схему моделирования в качестве функции
^(ILi)m подается функция, полученная на предыдущем этапе и за-
писанная на 2(^—3)-ю дорэжку. Полученная в результате решения
в k'fL секции функция записывается в ЗУ на 2(^—1)-ю
дорожку. Этим этапом заканчивается первый цикл итерации. В ре-
зультате первого цикла итераций были образованы функции С/^/^ .
часть из которых, необходимая для использования в дальнейших
итерациях, записывается в ЗУ.
4. (При выполнении второго цикла итерации операции, описан-
ные выше, выполняются в том же порядке. На каждом этапе схе-
мы .моделирования связаны с теми же дорожками ЗУ, что и на со-
ответствующих этапах первого цикла. Отличие состоит в том, что
на этих дорожках оказываются записаннымн функции, получен-
ные в результате первой итерации. На использованных дорожках
производится запись информации, от1Носящейся ко второй итера-
ции. После окончания второй итерации может быть произведена
третья итерация и т. д. до момента, пока результаты последую-
щих итераций не оказываются достаточно близкими.
Ввиду простоты описанного выше итеративного процесса схема
управления системой моделирования достаточно проста. Блок-схема
программы для метода простых итераций показана на рис. 29.
Следует отметить, что при переходе от одной секции к другой
в схеме изменения не 'происходят только в случае уравнения
в частных производных с независящими от у коэффициентами.
В (противном случае в каждой секции необходимо вводить в ка-
честве переменных коэффициентов различные функциональные за-
висимости. Связи в схеме моделирования не меняются в зависи-
мости от номера секции, благодаря чему не требуется производить
перекоммутацию при переходе от одной секции к другой.
Альтернирующий метод Шварца. Этот метод используется для
отыскания решения задачи по методу сканирования на подобла-
стях с пересечением. Пусть G —некоторая область, ограниченная
контуром Г, и /(М) есть кусочно-непрерывная функция, заданная
в точках М контура Г. Требуется найти функцию 11{х, у) удовле-
творяющую данному эллиптическому уравнению и заданному кра-
евому условию. 'Пусть теперь G представлена как сумма двух об-
ластей Gi и G2:
которые имеют некоторую общую часть — пересечение G\ Граница
области G\ обозначается через Г\, а области G2 — через А-
Обозначим через Yi часть границы области Gi, лежащую внут-
ри G2, и через у\ — оставшуюся часть' Гь Аналогично назовем Y2
часть границы области Ga, лежащую внутри Gi, н Y2 — оставшуюся
часть границы А. Альтернирующий метод Шварца позволяет по-
строить последовательные приближения к решению задачи в об-
ластях Gi и G2. Ниже приводится описание этого метода (Л. 17].
Рассмотрим область Tj\. Граничные значения здесь задаш
только на части Yi ее контура Г\. Зададим произвольно на Yi
функцию ф(М), подчинив ее единственному условию, чтобы вместе
со значениями /(Л1) на Yi она давала бы кусочно-непрерывную
функцию на всем контуре области Gi.
79

I
I
t
I
1
О
s
H
с
s
s
s
i
s
cx
с
О
Q.
О Я
CO
Is
<1>
с
о
«
s
я
§
с
n
IS
о
о

Построим функцию Uv{x, у)у являющуюся решением задачи
Дирихле для заданного эллиптического уравнения в Gi ,при гра-
ничном условии
Эта функция принимается за первое приближение к U{x, у)
в области Gi. По найденной функции Ui\(x, у) строится функция
УЛх, у), являющаяся решением задачи Дирихле для данного
эллиптического уравнения в области G2 при граничных условиях
г/) на 7,.
функция Vi{x, у) есть первое приближение к V.{x, у) в обла-
сти Gi. с помощью функции Vi{Xy у) строится второе приближе-
ние и^{х, у) к функции Щх, у) в области G как решение задачи
Дирихле для данного уравнения при граничном условии
Функции Uk{x, у) и Vh{x, у), которые представляются ^-мн
приближениями к искомому решению U{x, у) в областях Gi и G2,
определяются через предыдущие приближения как решения задачи
Дирихле для заданного эллиптического уравнения при граничных
условиях
Unix, I
f(M) на
Vk^i(x, у) на Yi.
Таким образом, в каждой из областей Gi и G2 оказались по-
строенными последовательности приближений к искомому реше-
нию Щх, у):
иг{х. У), и,(х. у) Uf,{x, у) в
Уг{х. У)* У2{х. У) Ук{х. У) в G^.
Обе эти последовательности сходятся на G к U{x, у). Отыскание
решения в каждой из областей Gi 'и G2 может осуществляться по
методу сканирования, например путем вписывания этих областей
в прямоугольные области.
Рассмотрим решение задачи Дирихле для некоторого эллипти-
ческого уравнения. Разобьем область G на две подобласти Gi и G2,
которые впишем в прямоугольные области Qi и Q2. Для каждой
из этих областей задача Дирихле может быть решена по методу
вписывания.
Технические принципы построения решения для этого случая
мало отличаются от принципов построения схемы моделирования
по методу вписывания. Перед началом решения записывается про-
извольная функция ф(М), заданная на yi- Решается заданное
эллиптическое уравнение на области Q.
6-673 81

Из известных граничных значений образуются уклонения, для
которых стро:ится некоторый функционал. Многократным решением
задачи производится минимизация этого функционала, в результате
чего образуется решение Ui{x, у),
Запоминаются значения функции в точках дуги уг- После этого
точно таким же образом производится решение краевой задачи для
области Q2. При этом для образования уклонений используются
заданные граничные условия и запомненные значения Ui{x, у) на
дуге Y2- Для отыскания функции Vi{x, у) используется та же схе-
ма моделирования, что и в случае области Qi. Подобные аперации
повторяются достаточное число раз до совпадения решений, полу-
чаемых на дугах Yb Y2 на различных этапах вычислений. Блок-
схема программы выполнения операций по методу Шварца пока-
зана на рис. 30.
изменепи.е недосптающссх »аяаль^ыл услпбссй.
Оценка. I ^l^f
удпблетборвни я \у
услоби ям
^еиление
системы ^^(^i
урабнений
динамики ««,
UJ Запоми наниеи^
Осленка
удовлетборем<
граничнь/м
услоби
Срабнение\Да\ ,
Uk и U^-i '^^АЛстано(\
Изменен и е иедоста /-ош, на: на ча ль нызс ус/го б и й
Рис. 30. Блок-схема программы выполнения операций по методу
Шварца.
Рассмотрим теперь метод частичного сканирования, который
позволяет уменьшить объем оборудования для моделирования, если
необходимо решить заданное уравнение в частных производных
с точностью, для 'получения которой достаточно иметь систему
уравнений динамики малого порядка п, но при этом требуется
найти решение вдоль направлений в области, число которых значи-
тельно больше п и равно, ^например, т. Пусть порядок т составляет
82

i
I
3
i
I
!
I
1^
t^l9Hh77HV62
У Г)иэдодшд1/дорп
VMHd 'no
IIIIHl I
^^^'^^ ^
(i -
I
~ LZ: p ^
в T)Hddogw3i/gogfi
a.
о
s
M
s
о
с
s
l=f
CO
с
о
«
s
s
3
n
IS
о
о.
и
о
§
s
a.
6*
83

п^, где ^ —целое число. Проводим сканирование в области сначала
с помощью п точек, решая при этом систему п обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Полученное решение запоминается в ЗУ.
Далее каждую подобласть между двумя ближайшими кривыми еще
раз сканируем с помощью п точек. В качестве граничных условий
используются решения, полученные на предыдущем этапе. Подобные
операции повторяются k раз. Для получения решения вдоль п на-
цравлбний с использованием схемы модели|рования уравнений дина-
мики требуется провести многократное сканирование. Схема моде-
лирования системы на каждом этапе остается одной и той же, а при
переходе к следующему этапу требуется лишь уменьшить в раз
коэффициенты, с которыми строятся разностные выражения.
Блок-схема программны, реализующей этот метод для случая
k=2, который можно называть методом прогрессивного просчета
поля, показана на рис. 31. При наличии в составе АВМ запоми-
нающего устройства и устройства управнения можно осуществить
автоматическое выполнение этой программы. Положим, что ЗУ
содержит дорожек. Тогда после первого этапа в ЗУ должны
быть записаны функции на дорожках п^-\ 2п^-\ ..., (п—1)п^-^
На следующем этапе заполняются дорожки п^-^, 2п^-^у ...,
{п—\)п^-^,..., при этом используются функции, записанные в первом
цикле. Вычисления производятся до тех пор, пока полностью не за-
полнится весь отведенный под решение задачи объем ЗУ. Для уста-
новки коэффициентов в схеме моделирования также может исполь-
зоваться ЗУ.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
МЕТОДЫ СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЯ
Основной чертой методов суперпозиции поля, применяемых
к решению линейных уравнений, является представление искомых
функции в .виде (бесконечных рядов. Члены рядов—это функции,
получаемые с помощью блоков и узлов аналоговой машины. Основ-
ным направлением применения методов суперпозиции является
теоретический анализ линейных уравнений в частных производных.
Гораздо меньшее распространение этих методов в расчетной прак-
тике объясняется прежде всего громоздкостью требуемых вычисле-
ний. По этой причине описанные методы почти пе используются при
решении краевых задач с помощью ЦВМ.
Применение методов суперпозиции может оказаться весьма
эффективным при использовании АВМ с операционными усилите-
лями. Решающими здесь являются возможность достаточно простого
образования с помощью АВМ функций одной переменной, которые
могут быть использованы в качестве членов ряда, а также простота
отыскания коэффициентов ряда с помощью различ'ных методов
поиска и возможность образования и изучения решения исходной
задачи в различных сечениях области. К числу методов, предпо-
лагающих построение функциональных рядов, относятся метод раз-
деления переменных, метод гармонических функций и метод Трефт-
ца. Для перечисленных методов характерно обязательное вьшолне-
ние следующих основных этапов.
J. Построение членов ряда, образующего искомое решение.
84

2. Определение коэффициентов в разложении граничной (или
начальной —в случае нестационарных задач) функции по значе-
ниям образованных в первом этапе членов ряда на граничном кон-
туре (или в начальный момент времени).
3. Построение искомого решения на произвольных контурах
внутри области (в произвольные моменты времени).
Различие указанных выше методов состоит, главным образом,
в способе образования членов ряда. Так, в случае метода разделе-
ния переменных в качестве частных решений (членов ряда) исполь-
зуются произведения функций, каждая из которых зависит только
от одной переменной. В случае метода гармонических функций чле-
нами ряда являются известные сферические функции 81п(1ф+'ф/).
Метод Трефтца предполагает выбор в виде членов ряда линейно-
независимой системы частных решений заданного уравнения в ча-
стных производных. Получение такой системы может производиться
с помощью метода сканирования, причем для упрощения — на пря-
моугольнике. Нео(^одимость построения функциональных йядов,
хотя и в несколько специфической постановке, возникает и цри |реше-
нии краевых задач вариационными методами, например, методами
Ритца — Галеркина или Канторовича.
Каждый из указанных выше методов имеет свои области при-
менения. Метод разделения переменных применим при решении раз-
личных краевых задач на областях, ограниченных прямыми, парал-
лельными координатным осям, включая и нестационарные задачи.
Решение эллиптических однородных уравнений для произвольной
краевой задачи на области, ограниченной произвольным контуром,
может отыскиваться с помощью метода гармонических функций.
Метод Трефтца, который может рассматриваться как обобщение
метода гармонических функций, позволяет получать решения ста-
ционарных краевых задач для неоднородных уравнений произволь-
ного типа. Вариационные методы могут быть применены в тех слу-
чаях, когда условия на границах области и в области длительное
время остаются неизменными, что облегчает выбор семейства функ-
ций.
Метод разделения переменных. Пусть задано уравнение
L[C/(x, t/)] = 0, (140)
решение которого ищется на области, допускающей представление
частного решения в форме
U{x, y) = X(x)Y{y). (141)
Такой областью для эллиптических уравнений является, например,
прямоугольнике Предположим теперь, что дифференциальный опе-
ратор L имеет вид, который допускает запись уравнения (140)
после подстановки в него (141) в виде
L [U (хГу)] =Р1Х {X)] + Q[Y (у)] = 0. (142)
где Р и Q — также дифференциальные операторы.
* Вопрос применимости метода разделения переменных не связан с тем,
к какому типу уравнений (эллиптических, параболических или гиперболиче-
ских) принадлежит решаемая задача.
85

Тогда можно построить два обыкновенных дифференциальных
уравнения, содержащих некоторый параметр К:
Р[Х(*)]-Х=0;.
QlYi{y)] + % = o.i( ^ '
Предположим, что краевая задача для исходного уравнения
такова (или может быть так преобразована), что после преобразо-
вания на одно из уравнений (143) оказываются наложенными ну-
левые граничные условия. Если при этом одно из уравнений систе-
мы (143), например первое, может быть записано в виде
NX^XX^O, (144)
где N — самосопряженный дифферендиальный оператор, то реше-
ния уравнения (144) образуют полную ортоЪнальную систему
функций {Xi(x)}y каждая из которых соответствует определенным
значениям параметра Xi. Эти значения параметра носят название
собственных значений, а соответствующие им функции Xi{x) —
собственных функций. Совокупность собственных значений состав-
ляет спектр краевой задачи. В" случае дискретного спектра, что
имеет место при ограниченности области, на которой ищется реше-
ние задачи, это решение может быть записано в виде суммы ряда
00
U{x. y)^y^CiXUx)Y,(y). (145)
i=0
где У»(«/)—-решение второго уравнения, получающегося после раз-
деления переменных, при Я, равном собственному значению Х{.
Таким образом, суть метода разделения переменных состоит
в отыскании собственных значений Xi, собственных функций ХДл:),
функций Yi(y) и коэффициентов С/, которые отыскиваются из
условия удовлетворения функций U{x, у) заданным граничным
условиям.
Последовательность выполнения операций при использовании
метода (разделения переменных проиллюстрируем примерами под-
готовки и решения двух задач: одномерного уравнения теплопровод-
ности и двумерного уравнения Лапласа. При решении одномерных
уравнений теплопроводности.
, д^и _ди
^ дх^ dt'
для (О, L) и .(О, tk) применение метода разделения пере-
менных приводит к системе двух обыкновенных дифференциальных
уравнений, в одном из которых независимой переменной является
координата, а в другом — время:
^^+Л?(х) = 0; (146)
^^ + },аЦ(П = 0, (147)
где и (х, t) = <( (х) ф (t) — собственные значения.
86

Общее решение представляет собой бесконечную сумму по пара-
метру X .частных произведений (х) = Вн sin Y^i х п (О =
(148)
/=1
Решение задачи распадается на несколько этапов (рис. 32)*.
На первом этапе определяются собственные значения Я/, начиная
от низшего, для чего используется первое уравнение системы (146).
В схеме электрического моделирования уравнения второго порядка
определение собственных значений производится последовательным
подбором значений hi, удовлетворяющих граничным условиям
y(0)=:y(L)=:0; -^(0)^0
На втором этапе определяются коэффициенты Л/ и В/. Обычно
значение коэффициента Bi принимается равным единице, а при
определении Л/ используется свойство ортогональности собственных
функций:
L
J (fit {X) (р, (л:) аГд: = О при / ф /;
1
ti {X) dx = N при / = /;
(149)
где — нормирующая постоянная, i и /-
числа, L — максимальное значение х» так что
L
• произвольные целые
A.^'j^^Uix, 0)^Ax)dx.
(150)
где
A^=J?? (х)
dx.
Определение коэффициентов Л/ может быть совмещено с опре-
делением собственных значений и выполнено непосредственно с по-
мощью схемы электрического моделирования.
На третьем этапе образуется зависимость от двух переменных
либо при фиксированных значениях либо при фиксированных зна-
чениях х. Для этого составляется схема электрического модели-ро-
ния, содержащая п схем для образования зависимостей (pi(x), п
схем для образования зависимостей Лгф/(/), п схем перемножения
для образования произведений Л^фг(л:)фг(0 и один выходной сум-
мирующий усилитель. Третий этап распадается на ряд частных
* При построении блок-схемы программы предполагается, что число чле-
нов суммы (148) конечно и равно т,
87

о
о.
R
S
g
s
n
О «
||
ii
3 '
сх,
IS
х
о
О
S
0U
88

циклов (^=1, ..m ),содержащих 'по два подцикла каждый.
В первом подцикле каждого цикла производится инте1гри,рование
по одной из переменных до образования значений (pi(Xk) или
Ai\i)i{tk) ъ зависимости от того, какая 'переменная фиксируется,
а во втором подцикле — интегрирование по другой переменной и
образование зависимостей U{Xk, t) или U(x^tk) соответственно.
Рассмотрим теперь порядок выполнения операций при решении
двумерного уравнения Лапласа "53^+"^ =0 на прямоугольнике,
ограниченном осью у (х =^ 0), прямой х = а и прямыми г/ = У: 6/2
с граничными значениями
Фх (^)1х=о;
Решение уравнения Лапласа будем искать в виде суммы U=
= [/1 + ^/2, где Ul удовлетворяет следующим граничным условиям:
С (л:) для у = 6/2
(f^i)rp.= < для У = -Ь/2
[ О для X = О и л: г= а;
а U2 удовлетворяет условиям:
(Фх {у) для л: = О
i>2{y) для х = а
О АЛЯ у = ± Ь/2.
Выбор функций Ul и Uz производится таким образом, чтобы
значение одной из двух переменных, используемых при образова-
нии функций Ul и U2,, было бы равно нулю на границах области.
Для образования Ui используем метод разделения пе|ременных
и представим Ui в ^виде произведения Ui = XiYi. Разделяя перемен-
ные, получаем:
^+^% = оЛ
т
Отыскание решения для U^ =^ XaY^i производится в следую-
щей последовательности (рис. 33).
1. Из первого уравнения системы (151) определяется первое,
низшее значение параметра Хц. Полученное значение запоминается
и вводится в схему моделирования второго уравнения.
2. Для образования граничных условий из второго уравнения
системы (151), решение которого будет производиться для Xi=Xiu
отыскиваются значения Yii{bl2) и Yn{—bl2) ряда, в который
раскладываются зависимости cpi(x) и ц>2,{х) соответственно.
89

Началь-
ные Н
условия
PeuL ени в
^ашу^установнс
Уапоиинание
Ои, енка
/
Выполнение
ре at ени я
f =/77-г 1
L. Решение И
ЧОценка W\
ре асе ния
Ша1
L \ началь-
уеловая !
Рис. 33. Блок-схема программы решения двумерного уравнения Ла
Так как решение отыскивается в форме
f/i = ^'п {у) Хгг W + ^12 {у) X,, {X) + ...
и так как
^1гр = Ъ (^) = У и W2) Хп (X) + У,, (6/2) X,, (х)+ ...
^2гр = Ь (^) = Уи (-6/2) (^) + Ухг (-Ь/2) (^) + ..о
то задача определения Уц (6/2) и Уц (—6/2) сводится к отысканию
постоянных коэффициентов, обеспечивающих наилучшее приближение
yii(6/2)A'ii(x) и У„(—6/2)Xia(A:) к (fi(x) и (ра(д:) соответственно.
Так как зависимости Х^х(х)* Х\г{х)*»> представляют собой систему
ортогональных функций, коэффициенты могут отыскиваться незави-
симо.
3. Решается краевая задача для второго уравнения (151). в ко-
тором \ = Хц, начальное значение переменной У^ = У^ (—6/2), а
конечное yii(6/2). Решением этой задачи является зависимость
У\\(У)- Пункты 1—3 повторяются до тех пор, пока не будут най-
дены.
Kv Хгш (X). Уи (У) Кп* Хгп (х) и Y.^iy).
4. В описанной выше последовательности выполняются апера-
ции определения завиоимасти U2{x, у) с той разницей, что для опре-
деления собственных значений используется второе, уравнение си-
стемы, подобной (151), а краевая задача решается для первого ypatB-
90

Решение
\3апи1^инами^
Решение
Ои,емпа у1а
.ресиени
Их.-, i
J
Вывод
решения
I вари ант
Останов
Вывод
реисени я
и вариант
ч
\Инди.каи,тя
листанов
пласа по методу разделения переменных.
нения. Вывод результатов решения производится аналогично опи-
санному для уравнения теплопроводности.
Метод гармонических функций. Этот метод пригоден при реше-
нии однородных эллиптических уравнений для произвольной крае-
вой задачи на области, ограниченной произвольным контуром Г.
Пусть задано однородное эллиптическое уравнение вида
L[U(x. у)]=0, (152)
и необходимо решить краевую задачу
P[Uir)]=^fis).
(153)
где L—-дифференциальный оператор, а Р —линейный алгебраиче-
ский или дифференциальный оператор.
Если задан бесконечный ряд решений уравнения (152) Ui(x,y,),
^ziXf у), то оператор Р[и(Г)] образует на контуре некоторую си-
стему функций дуги S
РШх^ У)]-ЗЛв)\ (154)
i = l, 2,...
В том случае, когда функцию f (s) можно разложить в ряд по
функциям (5)
00
f(s) = 5] C,?,(s), (155)
»=|
91

решение уравнения (152) можно записать в виде:
оо
^{х, 1/)=^ С^и,(х, г/), (156)
/+1
где Ui(x, г/)—сферические функдии.
Пусть для определенности требуется решить двумерное урав-
нение Лапласа
^ + ^.= 0, (157)
а краевое условие задано в форме задачи Дирихле
U{x. y)U = f{x. y) = f(<f). (158)
В качестве бесконечной системы функций, удовлетворяющей
уравнению Лапласа, выберем систему сферических функций {р* sin (^'<р-Ь
+ Ф^)}, записанных в полярных координатах (р—радиус-вектор, а
у —полярный угол). Если возможно разложение f (<р) в ряд по функ-
циям системы {р* sin (/ср + ф^)}
00
f(?) = S Kp^sin(r> + ^,)Ir. (159)
то решение краевой задачи можно записать в виде
00
U{9' = S ««Р'5Ь(/^ + Ф0. (160)
1=0
где <Xt — постоянные коэффициенты.
Таким образом, получение решения по методу гармонических
функций сводится к вьшолиению следующих операций (рис. 34):
1. Образование членов ряда, в который раскладывается гранич-
ная функция /(ф). Для этого можно воспользоваться методом ре-
шения определяющих уравнений.
2. Определение коэффициентов ряда (159) а/.
3. Выбор внутри области некоторого контура Ра(ф), на кото-
ром требуется получить значение искомого решения Uh{p, Ф) и,
образование значений гармонических функций на этом контуре.
4. Определение значений искомого решения на контуре рл (<р)
00
путем суммирования ряда Uk (р. 9) S"P* sin(/<f> + Ф<<).
1=0
Определять коэффициенты .ряда аг можно различными спосо-
бами. Широко используется метод ортогонализации ряда по линей-
но-независимым функциям. В этом случае определять коэффициен-
ты получаемого ряда можно, используя формулы для коэффициентов
ряда Фурье. Связанная с методом ортогонализации процедура вы-
числений оказывается весьма громоздкой и поэтому ее применение
нежелательно. Для отыскания коэффициентов может быть предло-
жен поисковый метод, состоящий р поочередном изменении значений
92

X
о
g
о
с
к
s
Он
>1
с ffl
S . о
t3 « a:
1-^
4j
1
о
Он
о
о
к
S
я
О)
а
Оч
и
о
Он
с
X
о
us
о
«=;
S
I
93

параметров, моделирующих коэффидиенты ряда, до получения тре-
буемого результата. Оценка близости ряда к задаиной граничной
функции осуществляется путем просчета значений некоторого функ-
ционала, который можно задать, например, в виде
о
п
-J] «tfPrsm(i>-f Ф,)}2^^ (161)
После определения значений а/, минимизирующих р., для полу-
чения решения задачи на некоторой кривой Ра(ф), достаточно
вместо блоков образования функций р,^(ф) и ее степеней установить
генераторы функций ph{^) и ее степеней.
Метод Трефтца. Метод Трефтца представляет собой некоторое
обобщение метода гармонических функций. Основная идея его со-
стоит в том, что решение заданной краевой задачи ищется в виде
ряда, построенного из функций, удовлетворяющих уравнению в ча-
стных (Производных, яо значение которых не совпадает с условия-
ми на границе области. В случае уравнения Лапласа функции, ко-
торые могут быть использованы как члены ряда, известны заранее.
Такими функциями и являются гармонические функции, так что
метод гармонических функций есть частный случай метода Трефт-
ца, имеющий место при решении уравнения Лапласа.
Если рассматривается уравнение произвольного вида, то вооб-
ще говоря, система функций, удовлетворяющих этому уравнению,
оказывается неизвестной. Поэтому метод Трефтца обычно приме-
няют очень редко и главным образом при решении уравнения
Пуассона с правой частью простого вида, позволяющей легко на-
ходить частное решение неоднородного уравнения, в то время как
в качестве базисных решений однородного уравнения берется си-
стема гармонических функций.
Предположим, что область, на которой требуется найти решение
уравнения Лапласа, вписывается в некоторую область простого
вида, например в круг единичного радиуса. Если задавать иа гра-
нице этого круга различные граничные условия, образующие орто-
гональную и полную систему функций (в качестве такой системы
может быть выбрана система тригонометрических функций), и
решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа с такими краевыми
условиями, то в результате решения получится система гармониче-
ских функций. Таким образом, если система функций, удовлетво-
ряющих уравнению Лапласа, была бы заранее неизвестна, то ее
можно было бы определить, задаваясь некоторой ортогональной и
полной системой граничных функций на контуре круга единичного
радиуса и решая задачу Дирихле для этих функций. В качестве
базисной системы, образуемой на контуре заданной области, исполь-
зуются значения решения задачи Дирихле для круга единичного
радиуса на границе заданной области.
Описанный подход к методу гармонических функций может
быть распространен на уравнения более сложного вида. Систему
линейно-независимых функций на границе заданной области, можно
получить, если проводить решение задачи Дирихле с ортогональ-
ными или даже просто линейно-независимыми граничными усло-
94

ВИЯМИ на областях различного вида, в которые «вкладываются»
заданные области. В качестве таких простых областей можно из-
брать прямоугольники. Отметим также, что решение задачи Дирихле
на "дрямоугольнике )Может быть легко получено методом сканирова-
ния (см. гл. 3).
При использовании метода Трефтца решение эллиптических
уравнений ищется как результат суперпозиции одного из решений
неоднородного уравнения U{x, у) и системы линейно-независимых
решений соответствующего однородного уравнения Ui{x, у),
U2(x, у),..., Unix, у)...
00
и {X, у) = и {X, y)+S^ C^Ui (X, у), (162)
i = l
где Ci — постоянные коэффициенты.
Уравнение эллиптического типа, для которого решение ищется
по методу Трефтца, может быть самого общего вида с проиаволь-
ными граничными условиями. Построение базисных решений в этом
случае представляет собой сложную задачу, поскольку в отличие
от метода гармонических функций эта система заранее неизвестна.
Если же эта система построена, то так же, как и в случае гармо-
нических функций, коэффициенты определяются по значениям функ-
ции на границе.
Образование членов ряда в случае использования метода
Трефтца производится следующим образом. Область G, на котО|рой
ищется решение краевой задачи, помещается внутрь прямоуголь-
ника й. Построение базисных решений выполняется в следующем
порядке.
'1. С помощью метода сканирования (см. гл. 3) отыскивается
решение заданного уравнения при некоторых произвольных гранич-
ных условиях, например, в форме задачи Дирихле с граничной
функцией Q(s), заданной на сторонах прямоугольника Q. Решение
этой краевой задачи принимается за U{x, у).
2. Для образования системы решений однородного уравнения
{^i(Xy у)] строится произвольная система линейно-независимых гра-
ничных функций {qi(s)} на сторонах прямоугольника Q. Система
{^iix, у)} получается как решение однородного уравнения «а пря-
моугольнике Q с граничными функциями {giis)}, которое осуществ-
ляется методом сканирования. Выше было показано, что примене-
ние метода сканирования особенно удобно в тех случаях, когда
решение К;раевой задачи от^юкивается на некоторых прямых, парал-
лельных одной из координатных осей, проведенных в заданной обла-
сти, так как при этом образуется система обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, для которых и решается краевая задача.
Решение этой системы средствами аналоговой техники проще всего
отыскивается на прямоугольнике, а потому область G втисывается
в прямоугольник Q. Следует отметить, что, применяя метод скани-
рования для получения частных решений заданного уравнения, т. е.
для образования членов ряда (162), можно избежать трудностей,
связанных с необходимостью решения краевой задачи. Поскольку
граничные функции Q(s) и qi(s) образуются произвольно, можно
задаться значениями функции и ее первой производной лишь на
одной из сторон прямоугольника Q.
95

3. Составляется ряд из значений полученных таким образом
функций и{х, у) и {Ui(x, у)} на границе Г области G
00
lU{x, y)]r=B'{s)+Y, CnBi{s).
i = \
Если граничное условие для исходной краевой задачи задает-
ся с помощью линейного оператора Р, то можно записать:
00
f(s)=pr(s) +5] C^PB^is),
где S —параметр дуги граничного контура Г области_0, на кото-
ром требуется провести разложение функций lf{s)—Pb (s)] в ряд
по функциям {P6.(s)}.
Для 'построения решения исходной г^раевой задачи на некоторых
линиях внутри области требуется определить значения базисных
функций на выбранных линиях. При использовании метода Трефтца
такими линиями могут быть прямые, вдоль которых методом ска-
нирования отыскиваются частные решения заданного уравнения.
Искомое решение образуется путем суммирования полученных на
этих линиях значений членов ряда, умноженных на определенные
ранее коэффициенты.
Способы отыскания коэффициентов рядов. Все описанные выше
методы сводятся к последовательному выполнению средствами ана-
логовой техники трех основных этапов. Наиболее сложной является
задача отыскания коэффициентов ряда.
При решении краевых задач методом разделения переменных
используется свойство ортогональности собственных функций, в со-
ответствии с которым коэффициент ряда определяется как деленное
на норму собственных функций скалярное произведение собствен-
ной и граничной (начальной —в случае нестационарных задач)
функций, как это было показано выше.
Несравненно более сложная задача возникает в случае неорто-
гональных рядов, которые образуются при решении уравнений
в частных производных методами гармонических функций и Трефт-
ца. Непооредственно воспользоваться простыми формулами метода
разделения переменных ттри этом не удается. В подобных случаях
широко применяется метод ортогонализации ряда линейно-незави-
симых функций, например при постановке задачи на ЦВМ. Суть
метода состоит в том, что строятся такие линейные комбинации из
членов заданного ряда, которые образуют ортогональную систему.
i Пусть дана система линейно-независимых функций, определенных
в интервале [а, Ь]: ф1(х), щ{х) ... Построим систему функций
^iW, "ФгМ ортогональных в этом интервале. Для такого
построения используется метод Грамма — Шмидта.
В качестве функции ^i(x) берется функция (pi{x). Функция
yi)2,{x) ищется в виде
96

а\ определяется из условия ортогональности i>i{x) и ФгС-^)- Для этого
обе части равенства (163) улшожаются на ^^^х) и интегрируются
b b
а\ (x)dx = - 5 Ф, {X) у,(х) dx. (164)
Пусть подобным образом определены функции ^i(:t), "^zix), ...,
il?„(;^). Тогда функция '^п+Лх) ищется в виде
Фп+1 (^):= а^-Ча (^) + (^) + ... +
+ л(;^-^)фп(х) + Фп+1(^). (165)
Коэффициент af"^"^ определяется равенством:
b
,2
ф^ (j^)c/a: =
==~5fe(^)yn+i(^)^^. (166)
Используя запоминающее устройство в АВМ с операционными
усилителями, можно определять коэффициенты и C'I^poить функ-
ции г|?,(;с). Коэффициенты разложения заданной функции в ряд по
ортогональной системе функций {^п(х)} оцределяются так же, как
и в случае метода разделения переменных.
Очевидно, что определение коэффициентов ряда линейно-неза-
висимых функций путем предварительной ортогонализации систе-
мы этих функций сопряжено со значительными трудностями, предпо-
лагает использование запоминающего устройства и требует больших
затрат времени. Вследствие этого наиболее целесообразно приме-
нение итеративного метода отыскания коэффициентов ряда линейно-
независимых функций. За меру близости ряда к раскладываемой
в этот ряд функции f(x) удобно принимать интеграл:
^dx. (167)
Задача состоит в отыскании значений коэффициентов щ^Си
при которых достигается минимум интеграла /. Найдем точки, в ко-
торых может существовать экстремум, приравнивая к нулю частные
производные функционала:
7-673 97

-§^= j f (x) W dx-a,^ (p2 (X) dx -
a a
b b
«1 j bi {X) ъ (^) — - «n j f 1 (^) и (^) —
-...=0;
0 о
= J f (^) f2 (^) - j (fl (л:) ^ W -
a a
b b
■ «2 j f 2 (^) cTa: - ...4^ (fn (^) Ь (^) - ... = 0.
(168)
Полученная бесконечная система алгебраических уравнений
может быть представлена в виде
b
Га= Jf(x)^(x)rfx, (169)
а
где Г —бесконечномерная матрица, которой соответствует опреде-
литель Грамма, а а н интеграл, стоящий в правой части выражения
(169), обозначают соответственно вектор и вектор-столбец.
В случае регулярности бесконечной системы (168) ее прибли-
женное решение можно отыскивать, рассматривая выделенную из
нее конечную систему
п b b
i=\ a
/=1, 2. V. ., n.
(170)
Если матрица, составленная из коэффициентов левой части си-
стемы (170), симметрична и положительно определена, то итера-
тивный процесс Гаусса — Эейделя, примененный для решения этой
системы, всегда сходится.
При рассмотрении задачи минимизации функционала (167) мож-
но ожидать, что итеративный процесс будет сходиться, если про-
водить поочередное отыскание частных минимумов функционала
/ по переменным а. Приближенные значения коэффициентов at
получаются при рассмотрении вместо бесконечного ряда некоторой
конечной его части.
Итеративный метод отыскания коэффициентов ряда линейно-
независимых функций значительно проще в приборной реализации,
чем метод, связанный с предварительной ортогонализацией задан-
ной линейно-независимой системы функций. Для реализации его вы-
числительной схемы дополнительно к устройствам образования чле-
нов ряда требуются лишь устройства для образования функционала
/, его оценки, а также устройства отыскания значений а/, миними-
98

зимующих этот функционал. Таким об\разом, определение коэффи-
циентов неортогональных рядов, представляющее собой сложную
задачу при постановке ее на ЦВМ, достаточно просто осуществля-
ется на АВМ с быстрой периодизацией 'решения при добавлении
к ней устройств автоматической оптимизации или при оптимизации
вручную (см. введение).
Вариационные методы. Основные проблемы механики наряду
с дифференциальными уравнениями в частных производных связа-
ны и с так называемыми минимальными принципами. Для стацио-
нарных уравнений в частных производных соответствующим ми-
нимальным принципом является принцип минимума потенциальной
энергии. В случае нестационарных задач имеет место принцип на-
именьших перемещений Гамильтона. Во многих случаях проблема
решения краевой задачи для уравнений в частных производных
оказывается эквивалентной проблеме нахождения функции, дающей
минимум интеграла, которым выражается потенциальная энергия
системы, или интеграла перемещений. Математически эта связь вы-
ражается тем, что для подобн-ых задач вариационного исчисления
о минимуме интеграла уравнениями Эйлера — Лагранжа как раз
и являются рассматриваемые нами уравнения в частных производ-
ных.
Таким образом, вариационные методы сводятся к отысканию
функций (в общем случае, нескольких переменных), минимизирую-
щих интегралы, для которых уравнения в частных производных
являются уравнениями Эйлера — Лагранжа. Отыскание таких функ-
ций обычно осуществляют с помощью прямых методов. К их числу
относятся такие широко известные методы, как методы Ритца и
Галеокина.
Для уравнения Пуассона может быть построен интеграл
'ди_
дх
+ 2F{x, у) и
dx dy.
который распространен на плоскую область G, ограниченную кон-
туром Г. Задача отыскания решения уравнения Пауссона сводится
к задаче нахождения функции U{x, у), непрерывной в области G,
вместе с частными производными первого и второго порядка, при-
нимающей на контуре Г заданные значения
Ms) = и Ах. у)
и дающей интегралу / минимальное значение.
К вариационной задаче можно овести и решение самосопряжен-
ного эллиптического уравнения
д Г
дх
ди
+
д Г
ду
ди
—CU = F,
которое является уравнением Эйлера для задачи о минимуме интег-
рала
+ CU' + 2FU
dxdy.
99

Основная идея метода Ритца состоит -в том, что рассматривается
семейство функций, зависящее от нескольких параметров, т. е.
и = Ф(х. у, а,, а, Дп). (171)
и такое, что при всех значениях параметров выполняются гранич-
ные условия. В классе функций семейства (171) ищется такая
функция, которая дает интегралу, соответствующему заданному
уравнению, минимальное значение. Подставляя в вы(ражение для
этого интеграла выражение (171) и выполняя необходимые опе-
рации интегрирования и дифференцирования, получим в качестве /
функцию п переменных 1{аи «2,..., cin). Так как требуется найти
минимум этого интеграла, числа ai должны удовлетворять системе
уравнений
d^ = 0;*='-2
Определяя из этой системы значения параметров ai, dz, ..., «п»
дающие интегралу абсолютный минимум, и выбирая в семействе
(171) фуницию, отвечающую именно этим значениям параметров,
получаем требуемое приближение:
U{x, у) = Ф(х, у, с,, с^. ....
Метод Галеркина — значительно более универсальный метод
по сравнению с методом Ритца. Смысл его состоит в том, что при-
ближенное решение однородного уравнения LU=0 с однородными
граничными условиями ищется в виде
U{x, y)==Y^ Q^,(x, УУ
i = l
где (pi{x, г/) —некоторая система заранее выбранных функций,
удовлетворяющих заданным граничным условиям, а С/ —неопреде-
ленные коэффициенты.
Пусть q)t(x, у) образуют часть линейно-независимой и полной
системы функций в данной области. Для того чтобы U пред-
ставляло точное решение данного уравнения, нужно, что-
бы L(U) тождественно равнялось нулю, а это требование равно-
сильно требованию ортогональности выражения L(U) ко всем
функциям системы (pi(x, у). Однако, имея только п постоянных
iCi, С2, ..., Сп) можно, вообще говоря, удовлетворить лишь п
условиям ортогональности. Записав эти условия, приходим к системе
уравнений:
II ^(Х' У)^п{х, y)dxdy =
и
L
а'
У! Ci?i(^, у)
^i(x, y)dxdy = 0, /=1.2...., л, (172)
которая служит для определения коэффициентов С. Подставляя их
в выражение для U, приходим к требуемому приближенному реше-
нию.
100

Таким образом, методы Ритца и Гале,рки1на поз1Воляют овести
решение уравнения в частных производных к решению системы
алгебраических уравнений. Для применения этих методов необхо-
димо предварительно задаться либо некоторым специального вида
параметрическим семейством функций, либо полной линейно-неза-
висимой системой функций. Эти функции должны быть функциями
того же числа переменных, что и в исходной задаче. По этой при-
чине применение АВМ с операционными усилителями вряд ли
целесообразно при решении уравнений в частных производных
описанными методами.
В некоторых частных случаях, особенно при построении спе-
циализированных машин, применение методов Ритца и Галеркина
может упростить схему машины. К таким частным случаям следует
отнести решение задач, где заранее известен характер изменения
членов ряда (^i{x, у). В этих случаях последовательность выпол-
нения операций с помощью оредств аналоговой техники при ис-
пользовании метода Галеркина сводится к ранее описанной после-
довательности, т. е. строится схема или схемы для образования
зависимостей фДа:, у), которые выбираются так, чтобы система ли-
нейно-независимых функций (pi(x, у) удовлетворяла граничным
условиям. Далее производится определение коэффициентов С, та-
ких чтобы обратить в минимум интеграл i(172). Вместо перехода
к системе алгебраических уравнений значения С могут быть опреде-
„делены также и методом поиска, в частности поочередным изме-
нением коэффициентов С с целью минимизации интеграла (172).
Последний метод в большей степени отвечает возможностям
средств аналоговой техники. После выполнения всех перечисленных
операций можно переходить к образованию основных функций на
интересующих направлениях.
Следует обратить внимание на то, что подобие ранее описан-
ных методов и вариационных методов является лишь внешним.
Методы разделения пе(ременных, гармонических функций и Трефтца
предполагают, что функции, являющиеся членами ряда, удовлетво-
ряют уравнению, но не удовлетворяют граничным условиям; по-
следние используются для определения коэффициентов. Примене-
ние вариационных методов предполагает, что система выбранных
функций должна удовлетворять условиям на транице, но может
не удовлетворять уравнению, решение которого отыскивается.
Метод Канторовича [Л. 17}. Этот метод более пригоден для
использования в АВМ по сравнению с другими вариационными
методами и занимает промежуточное положение между точным
решением задачи и методами Галеркина и Ритца. В последних
задача о минимуме двойного интеграла сводится к задаче о мини-
муме функции нескольких переменных. Вид решения выбирается
априорно, а затем подбираются наилучшие значения входящих
в него постоянных коэффициентов.
Основное содержание метода Канторовича состоит в переходе
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, причем ре-
шение отыскивается в такой форме, что в состав его входят не-
определенные функции одного переменного. Таким образом, задача
о минимуме двойного интеграла сводится к задаче отыскания ми-
нимума простого интеграла. Чисто математическое преимущество
этого метода состоит в том, что он обеспечивает более точное ре-
шение задачи, и в том, что в нем лишь часть выражения, дающего
решение, выбирается априорно, часть же функций определяется
101

характером задачи. Последняя отыскивается как решение системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, в. силу чего метод
оказывается удобным нри использовании АВМ с последовательны-м
выполнением операций.
-Пусть дано уравнение Пуассона
(173)
при граничном условии
U{x, г/)г=0,
(174)
где Г — лраница области G, иа которой ищется .решение уравнения
(173).
Для определенности можно положить, что область G ограниче-
на прямыми х=а и х=Ь и кривыми y=g{x), y=h(x).
Решение ищется в виде
и и {X, 1/) = ^ {X. у) f я {X) + Хо {X, у).
(175)
k=\
где 1к{Хь у) (k = 1, 2,п) равны нулю на контуре Г за исключе-
нием прямых X = а и X = Ь, а Хо{Ху ^) = О —всюду на Г. Подстав-
ляя выражение (175) в интеграл, соответствующий уравнению Пуас-
сона, находим:
Д''..=Я[(^)+(^)-+.™.]**:=
+
+
J,
Idy
fK +
+ 2P
dy
b
+
n -IV b
k=\ ji a
fk. rk)dx, (176)
где через Ф обозначено подынтегральное выражение внешнего ин-
теграла в выражении (176), а Р=Р{х, у). Б состав этого выра-
жения входят функции fk и /'ft; в остальном же оно представ-
ляет собой известную функцию от х (интегрирование по у пред-
полагается вьшолненным). Таким образом, задача свелась к на-
хождению минимума простого интеграла, для которого может быть
построена система обыкновенных дифференциальных уравнений
Эйлера:
d dФ дФ
dx df\
= 0; k=\. 2,..., п
(177)
Ю2

или в раскрытом биде
h (х)
d ^ dUn ^
Six)
Six)
dx dx *" dy dy
dy = 0;
(178)
k=l, 2 n
Уравнение (178) можно преобразовать к виду
hix)
h{x)
j L{Un)X.dy= I [^ + ^-pj^,dt/ = 0; (179)
six)
Six)
k=\, 2 /2,
аналогичному no форме уравнениям, полученным по методу Га-
леркина. Такая форма оказывается более удобной при составлении
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, из которых
определяются функции /л. На эту систему должны быть нало-
жены граничные условия fk(a) =fk(b) =0. В случае, если область
имеет более сложный вид, у(равнения для определения функций
fk(x) вместо (179) примут следующий вид:
I
дх^
ду^
Xk\dy = 0; k=\, 2 п. (180)
Здесь Gx обозначает сечение области G прямой A:=const. В работе
КанФоровича указывается, что если щ(у) есть система линейно-
независимых функций, полная в некотором промежутке, для обла-
сти, ограниченной црямыми х==а и х=Ь и кривыми y=g(x)\ i/=
= h(x) можно принять в качестве Xh{x, у) систему функций
X.:«i/) = yM(ft(V-f(i,)): k = \, 2 п. (181)
Если отыскивать решение эллиптического уравнения на АВМ
по методу Канторовича, то прежде всего необходимо привести
задачу к виду, удобному для моделирования, т. е. необходимо по-
строить систему линейно-независимых функций Xk{x, у), удовле-
творяющих граничному условию, и с помощью этих функций со-
ставить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, ко-
торая затем подготавливается для постановки на АВМ. Для этой
системы необходимо решать краевую задачу. После отыскания
функций fh{x) в соответствии с выражением (180) строится иско-
мое решение исходного уравнения. При этом функции (•*^» У)
могут быть предварительно записаны в ЗУ и затем использованы
для образования решения.
ЮЗ

Для более 'подробного оанакомления с особенностями моде-
ли|рования уравнения Пуассона по методу Канторовича запишем
систему (179) в следующем виде:
я п
S
/=1
Y^ftf« + ^fe-0; k=\. 2,..., л.
< = 1
=1
(182)
Здесь
gix)
h{x)
ft w
e{x)
ft W
Xk dy.
Значения переменных коэффициентов агл, P,7i, 7tA. (T/iмогут вво-
диться с -помощью предварительно подготовленной схемы и, в ча-
стности, с помощью запоминающего устройства. Схема моделиро-
вания системы (182) достаточно проста.
Если удается в качестве функций Хк(х, у) выбрать ортонорми-
рованные функции и если, к тому же ^ (л:) = const и А (.>^) = const,
то система (182) еще более упрощается в силу того, что
h{x) 1
g{x)
и принимает следующий вид:
п п
Если же избранная система функций {х, у) состоит из гармо-
нических функций, то в силу
дх^ ^ ду^
система (182) при условии ортонормированности %к принимает вид:
п 'h{x)
+ i ^x.^i/ = 0;^=l, 2,.... ,2. (184)
*=1 g{x)
104

в случае удачно выбранной системы функции Xh(x, у) схема мо-
делирования оказывается достаточно простой.
Следует отметить, что упрощения, о которых говорилось вы-
ше, не всегда легко осуществимы. (Как 'показано в работе Канто-
ровича, для многих задач достаточно использовать приближения
весьма низкого порядка, и при этом получается вполне приемлемая
точность.
ГЛАВА ПЯТАЯ
МЕТОДЫ ПОТОЧЕЧНОГО ПРОСЧЕТА
ПОЛЯ
В ряде случаев дри решении уравнений в частных производ-
ных нет необходимости в образовании полной картины поля и мож-
но ограничиться определением искомой функции в одной или не-
скольких наперед заданных точках поля. Наиболее ярким приме-
ром задач подобного типа является задача оценки динамических
качеств системы автоматического регулирования, в которой объект
регулирования описывается уравнением в частных производных.
При исследовании подобных систем достаточно знать характер из-
менения во времени функции в одной точке поля —там, где вклю-
чен измерительный элемент.
Ниже рассматривается возможность постановки и решения
средствами аналоговой техники уравнений в частных производных
т^ремя методами: методом сведения к интегральным уравнениям,
операционным методом и методом Монте-Карло. Метод перехода
к интегральным уравнениям и метод Монте-Карло наиболее удоб-
ны для решения стационарных задач, а операционный метод чаще
всего используется 'Дри решении нестационарных задач.
Метод приведения уравнений в частных производных к инте-
гральным уравнениям: В основе метода лежит использование не-
которых специальных функций, являющихся тармоническими функ-
циями и связывающих различные точки области, на которой ищется
решение краевой задачи. Так, функция
1пг = 1п У{х-1У-^(у-У1У (185)
на плоскости является гармонической функцией, поскольку она
удовлетворяет уравнению Лапласа. В пространстве трех перемен-
ных гармонической будет функция
^ ^ (186)
в выражениях (185) и (186) г —расстояние между точками
Р{х, у) я М(1, У]) в пространстве двух переменных или между точ-
ками Р(х, у, г) и М(|, т|, -ф) в пространстве трех переменных.
105

Для приведения уравнения в частных производных к инте-
гральному уравнению вводится понятие потенциала двойного слоя,
который выражается с помощью функции
So
V{x, у)
С COS Ф
о
(sydsr
(187)
здесь ф — угол, образованный вектором РМ, проведенным из точки
Р(х, у), лежащей в области G, в точку М(х, у), лежащую па кон-
туре Л и нормалью, построенной в точке М (рис. 35), а [i{s) —
произвольная функция дуги s гра-
ничного контура Г, которая носит
название плотности потенциала двой-
ного слоя.
Выражение для потенциалов
двойного слоя V(x, у) можно пре-
образовать к несколько иному виду,
если ввести в рассмотрение угол со,
образованный вектором РМ с поло-
жительным направлением оси ОХ.
Угол (О представляет собой функцию
параметра дуги 5, а с?(о —угол, под
которым элемент дуги ds виден из
точки Р. Из геометрических сообра-
жений ясно, что угол, под которым элемент ds виден из точки Р,
cos <р
Рис. 35. К образованию по-
тенциала двойного слоя.
есть cos ^ ds/r, т.'е.
ds = d(i>.
Поэтому выражение (187) можно записать в следующем виде:
So
V = j cos^ (s) cTs = J11 (s) dio =
=1
da
^K-(s) ds.
(188)
При этом a) = a)(s, x, y), a So есть полная длина дуги контура гра-
ницы Г.
В случае |х(5) = 1 потенциал двойного слоя выражается фор-
мулой y=Jc?0, так что в зависимости от положения точки Р по-
г
тенциал двойного 'слоя принимает следующие значения:
1
d(o
ds
ds =
JIZ, если P^^:£^
^О.^сли^Р^ не'^принадлёжит области О.
Можно искать решение задачи Дирихле в виде потенциала
двойного слоя. Требуется найти плотность n(s), так чтобы функция
did
U(x. у)
=1^
(S)
ds
■ds,
(190)
при стремлении к граничному контуру принимала значение fr{s).
106

Можню определить предел вы.ражения (190) для и(х, у) при
стремлении точки Р{х, у) к точке Ро, в которой дуга равна а, т. е.
к точке Ро[х(а), у (о)]. Имеем:
So
lim U(x, y) = \im [ [x(s)cf(o =
P-^Po P^Po J
0
So
с асо (5, X, у)
[|* is) -!*(<.)] \^ ds +
doijs, X, y) ^
+ ^^')\ Ts
= lim
P-*Po
f , , d(u(s, o)
0
в результате получается следующее интегральное уравнение:
So
С d(o
(191)
(192)
которое может быть приведено к следующему виду:
So
|^(a)-J k{s, o)i^(s)ds = -^f{o).
(193)
Если уравнение граничного контура задано в параметрической
форме x = x{s), y = y{s) (0<s<5o). то ядро в интегральном
уравнении Фредгольма второго рода ^(5, о) может быть записано
в следующем виде:
" , , \ din \ d У is)— у ((5)
°) —ir-5r=-irW^^'^^gx(s)-'(o)' (194)
ЧТО следует из очевидных геометрических соображений. Следует
отметить, что уравнение (193) можно рассматривать как некоторое
функциональное уравнение, составленное для функций относитель-
но некоторого параметра s.
После отыскания функции |i(s) можно найти решения исход-
ного уравнения Лапласа для случая задачи Дирихле, пользуясь
выражением (190). Решение уравнения (193) средствами аналого-
107

вой техники может быть выполнено любым из известных методов,
например методом последовательных приближений. -Для запомина-
ния приближений к искомой функции ^i(5) используется ЗУ. Кроме
того, в запоминающем устройстве может храниться информация
о ядре. Ее удобно запоминать в форме двух функций x(s) и i/(s),
причем для образования требуемого значения ядра используется
функциональное устройство, служащее для вычисления
1 , y(s)-y(^)
Для образования Up(x, у) с помощью вы-ражения (ШО) не-
обходимо предварительно построить функцию diufds, соответст-
вующую точке, в которой ищется решение задачи Дирихле. Эта
функция, записанная как функция параметра 5, также может быть
ало
ds
Схема
одраго бания
ядра к (3,6)
Схема
быполнения после
довательных \Л
приближений,
для реасения
урабнени'я (19S)
6П
f
Up(x,y)
Рис. 36. Блок-схема решения задачи Ди-
рихле по методу приведения к интеграль-
ному уравнению.
ЗУ —> запоминающее устройство; БП — блок пе-
ремножения.
помещена в запоминающее устройство. Интегрируя произведение
фуптш dio/ds и |х(5), получаем значение искомого решения в за-
данной точке. Для определения решения в другой точке требуется
построить функцию d(i)lds, соответствующую выбранной точке.
Блок-схема приборной реализации метода приведения уравнений
в частных производных к интегральному уравнению, показана на
рис. 36.
ди
Аналогично решается задача Неймана, для которой fг =
дп
однако здесь решение ищется в виде потенциала простого слоя
So
U(x, t/)== j^(s)ln-T^is.
о
108
(195)

Для определения jx(s) получаем следующее интегральное уравнение
So
[ cos <р
- ^К" {^) + \ —у- {s)ds == f г (а). (196)
о
При моделировании задачи 'Неймана методом приведения
к интегральным уравнениям отличие от 'рассмотренного выше слу-
чая моделирования задачи Дирихле состоят в том, что в запоми-
нающее устройство перед началом решения нужно помещать ©ме-
сто dmjds функцию In-i—•
Следует отметить, что методом щриведения уравнений в част-
ных производных к интегральным уравнениям можно решать не
только внутренние, но и внешние краевые задачи. Прн этом в ин-
тегральном уравнении меняется только з.нак .перед членом nti(a).
Операционный метод. Применение онерациоиного метода (преоб-
разования Лапласа) к решению диффдренциальных уравнений
в частных производных является следствием, с одной стороны, не-
обходимости автоматизации ряда технологических процессов, опи-
сываемых уравнениями в частных производных, а с другой сто-
роны, необходимости применения аналоговых машин для иссле-
дования систем регулирования. Операционный метод предполагает
переход от дифференциального уравнения для неизвестной функ-
ции к уравнению для ее изоб|ражения, которое будет уже не диф-
ференциальным, а алгебраическим. Решением алгебраического
уравнения является изображение искомой функции, по KOTQpoMy
можно определить искомую функцию. Лри переходе от функции
ф(0 к ее изображению \{р) и обратно можно воспользоваться
выражениями:
00
\{p) = p\e-P'^(i)di (197)
о
sVir
?W=2Sr»'° f '"^^dP- (198)
->oo J P
Для облегчения перехода можно воспользоваться таблицами и
основными свойствами изображений.
При применении операционного метода к решению уравнений
в частных производных искомую функцию считают функцией одной
из независимых переменных, - рассматривая остальные переменные
как параметры. Для изображения искомой функции получают диф-
ференциальные уравнения, содержащие на одну независимую пе-
ременную меньше чем исходное уравнение. Если искомая функция
является функцией двух переменных, изображение ее может быть
найдено решением обыкновенного дифференциального уравнения.
Искомая функция после этого может быть получена переходом от
изображения к 0|ригиналу любым из известных методов.
109

в качестве примера использования операционного метода рас-
смотрим описанную в [Л. 2] методику решения, задачи моделиро-
вания теплообменного аппарата. Если предположить, что вторичная
среда имеет одну и ту же температуру 9 * во всех точках аппарата,
а стенки теплообменника имеют весьма малую теплоемкость, но
значительную теплопроводность, то температура первичного тепло-
носителя 6, перемещающегося со скоростью и, может быть описана
уравнением
^9 ^9
^ + ^^ = ?(в*-в). (199)
где Р —постоянный коэффициент, определяемый конструкцией теп-
лообменника. .
Используя преобразование Лапласа и вводя оператор диффе-
ренцирования по в,ремени /?, преофазуем (199) к обыкновениому
дифференциальному уравнению, в котором независимой переменной
является координата х:
dx
+ _L(p + P)9 = i.p9*. (200)
Решенивм_этого уравнения является_ зависимость изображения тем-
пературы 9 от координаты х, т. е. 9(л:). Это решение может быть
получено как аналитически, так и с помощью схемы электрического
моделирования уравнения (200). Образование зависимости 9 (л:)
методом электрического моделирования выполняется в два этапа.
На, neipBOM этапе 'С_ помощью аналоговой машины отыскивается
семейство кривых 9(х) при различных значениях параметра /?.
Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение (201)
с заданным начальным значением 9(0) при нескольких величинах/7,
т. е. достаточно решить несколько дифференциальных уравнений
(200), отличающихся ^постоянными коэффициентами — (р + Р).
На втором этапе для выбранного значения х=Х(ь^кс подбира-
ется выражение, аппроксимирующее зависимость 9(р)х=зсфикс.
Вид этого выражения выбирается таким образом, чтобы построе-
ние схемы электрического моделирования передаточной функции
было возможно более простым. Полученная в результате аналити-
ческого решения (200) зависимость
9(^) = 9(0)^ +7+1^
Х8*
1-е
(201)
может быть использована для определения зависимости О (л:, t)
в любой выбранной точке теплообменника. Для построения системы
автоматического регулирования теплообменника, естественно, принять
значение л:=/(/—длина теплообменника), так что задача определе-
но

ния 0ВЫХ сводится К зздаче воспроизведения средствами аналоговой
вычислительной техники передаточной функции вида
евых = 9(0 = 9о^ ' +
1 — е
J+J^l^-- J. (202)
Постановка и решение задачи воспроизведения сложных переда-
точных функций средствами аналоговой техники изложены в целом
ряде руководств. Особенно большое затруднение вызывает воспро-
изведение иррациональных передаточных функций. Этому вопросу по-
священа работа [Л. 18].
В заключение следует еще раз подчеркнуть, что развитие опе-
рационного метода решения уравнений в частных производных свя-
зано с одним из направлений применения средств аналоговой тех-
ники—исследованием систем автоматического регулирования.
Метод Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло для ре-
шения дифференциальных уравнений в частных производных на АВМ
впервые было рассмотрено в работе Ку Чена, Казда и Уиндекнехта
[Л. 11]. Возможности метода исследовались на примере задачи Ди-
рихле для уравнения вида
дЮ дЮ ди ди
^ + ^2 ^ - ^ " ^2 ^ = 0; (203)
U=F(x, у) на границе С,
где Al и Лг — постоянные; Bi и В2 — произвольные функции пере-
менных X и у, а граница С представляет собой произвольную за-
мкнутую кривую.
Этот метод позволяет получить решение в виде значений функ-
ции и в некоторых точках поля. Вычислительный процесс исполь-
зует специально организованное случайное «блуждание» точки внутри
области, которое начинается в исследуемой точке поля. Это блужда-
ние заканчивается за конечный промежуток времени в точке грани-
цы С. Значение функции в этой точке фиксируется, и процесс
начинается снова. Можно показать, что если число блужданий доста-
точно велико, то среднее арифметическое зарегистрированных зна-
чений на границе сходится к значению искомой функции U в рас-
сматриваемой точке поля.
Для реализации блуждания используются две электрические
цепи, реакции которых на белый шум описываются следующими
уравнениями:
dx
dt
_dy_
dt
+:B,x = F,{t);
+ B,y = F,{t);
здесь Fi(t), /^2(0 — гауссовы белые шумы с нулевыми математиче-
скими ожиданиями и нулевой взаимной корреляционной функцией,
с дисперсиями, равными Ai и А2 соответственно.
Записанные уравнения задают движение точки в параметриче-
ской форме. Рассмотрим в качестве примера двумерное уравнение
111

ГШ2
Лапласа. В этом случае вторые члены в уравнениях исчезают, т. е.
для задания траектории блуждания достаточно использовать лишь
интеграторы.
Схема решения этого уравнения приведена на рис. 37. В схеме
используются два генератора случайных функций tlUi и ГШг, вы-
ходные напряжения которых поступают на интегрирующие усилите-
ли У и 2. Выходные напряжения усилителей поступают на входы
электроннолучевого индикатора
-||—. экран которого закрыт мас-
кой с границами, соответству-
ющими границам данной обла-
сти. Значения потенциала на
границе С заданы и равны
^^с{Ху у). Перед началом про-
цесса на интеграторах задают-
ся начальные значения перемен-
ных X и у (координаты точки,
в которой ищется решение).
При подходе изображающей
точки к границе области инте-
грирование выключается и по
значениям координат точки
границы (xi; r/i), к кото-
рой подошел луч на экране индикатора, определяется значе-
ние функции Uc{Xi, yi). Описанный процесс повторяется многократ-
но. Значение U(лго, г/о) определяется по формуле
Рис. 37. Схема решения двумер-
ного уравнения Лапласа методом
Монте-Карло.
1=1
(204)
где — количество «проб».
Для увеличения точности целесообразно в процессе решения на-
ходить текущее среднее и прекращать пробы в том случае, если
среднее значение, т. е. U(xq, уо), мало изменяется от пробы к пробе.
Для определения функции U в других точках области весь цикл
следует повторить.
Метод Монте-Карло может быть использован и для поточечно-
го просчета нестационарного поля. При этом в вычислительную про-
цедуру вносятся следующие изменения:
1. Длительность блуждания ограничивается моментом времени,
для которого требуется определить значение неизвестной функции.
2. Если точка заканчивает блуждание на границе в указанный
выше промежуток времени, то запоминанию подлежит выделенное
при этом значение граничной функции.
3. В противном случае для накопления фиксируется значение на-
чальной функции IB точке области, в которой закончилось блуждание
по истечении установленного времени.
Для решения двумерных нестационарных, а также трехмерных
стационарных задач для задания границы целесообразно использо-
вать нелинейные блоки АВМ и схемы сравнения. При решении мно-
гомерных задач (а тем более нестационарных) весьма эффективным
является совместное использование АВМ и ЦВМ; на последнюю це-
лесообразно возложить функции запоминания исходной информации
(например начальных и граничных условий) и накопления.
112

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
ПРОЦЕССЫ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА АВМ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ВЫПОЛНЕНИЕМ
ОПЕРАЦИИ
Результаты проведенного в предыдущих главах анализа основ-
ных методов решения уравнений ib частных производных на АВМ
с операционными усилителями с последовательным выполнением опе-
раций свидетельствуют о возможности принципиально нового подхо-
да к использованию средств аналоговой техники В отличие от тра-
диционных методов моделирования задач динамики, допускающих
возможность непосредственного, осуществляемого в один прием ото-
бражения исходных данных в решение, большинство рассмотренных
нами методов предусматривает выполнение определенных вычисли-
тельных операций над непрерывными функциями в последовательно-
сти, соответствующей предварительно выбранному плану вычислений.
Это означает, что постановка уравнений в частных производных
на ВМ с операционными усилителями производится в соответствии
с общими принципами вычислительной математики: поставить зада-
чу на вычислительной машине — значит построить в классе опера-
ций, реализуемых в машине данного типа, такой вычислительный
процесс, -который отвечает методу, дающему решение задачи. Совер-
шенно естественно, что рассмотренными выше четырьмя основными
группами методов решения уравнений в частных производных не
ограничиваются возможности АВМ с последовательным выполнением
операций для решения задачи этого типа. Развитие методов вычис-
лительной математики для аналоговых машин происходит сейчас и,
очевидно, будет происходить и в будущем как в направлении попол-
нения указанных основных групп методов, так и в направлении раз-
работки новых специфических приемов и способов, учитывающих
особенности конкретной постановки задач.
Во многих случаях особенности постановки той или иной задачи
могут привести к необходимости разработки новых приемов или ал-
горитмов, отличающихся от рассмотренных выше. В классификацион-
ной системе, описанной в гл. 1, последние отнесены к пятой группе
методов. Общим для методов этой группы является необходимость
использования при их реализации разветвленных вычислительных
8—673 113

процессов, базирующихся на непрерывных операциях в классе функ-
ций. Не исключено, что в дальнейшем методы этой группы могут
быть подвергнуты конкретной систематизации.
Ниже рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих не-
обходимость специальной разработки методики решения: обратные
задачи, задача Стефана и система уравнений' с частными производ-
ными.
Обратные задачи для процессов, описанных уравнениями в ча-
стных производных. Решить обратную задачу — значит найти такие
характеристики или параметры процесса или явления, при которых
обеспечивается вьшолнение некоторого условия, наложенного на
решение уравнения. Наиболее общий «прямой» метод решения обрат-
ной задачи состоит в многократном решении прямой задачи при
различных значениях искомых параметров до получения требуемого
результата. Решение прямой задачи, описываемой уравнением в ча-
стных производных, может проводиться с использованием одного из
методов рассмотренных выше четырех групп.
К числу обратных задач относится так называемая геофизическая
задача вертикального электрического зондирования (ВЭЗ). Методы
БЭЗ часто используются при разведке рудных залежей. Для опреде-
ления мощностей горизонтальных слоев различных пород и их удель-
ных электрических сопротивлений сквозь землю пропускают постоян-
ный или переменный электрический ток и измеряют потенциалы на
поверхности земли. Отыскание указанных параметров слоев по ре-
зультатам измерений на местности производится путем многократно-
го решения прямой задачи для различных комбинаций мощностей и
удельных сопротивлений слоев, устанавливаемых таким образом,
чтобы осуществить приближение распределения потенциалов, полу-
чаемого в результате решения прямой задачи, к распределению, сня-
тому на местности.
Прямая задача ВЭЗ формулируется следующим образом. Имеется
несколько горизонтальных границ раздела между средами с различ-
ными удельными сопротивлениями рь рг.... В этом полупространстве
(нижний подстилающий слой считается неограниченным) точечным
источником тока / создается электрическое поле. Требуется найти
потенциал точки, расположенной на поверхности земли, если мощно-
сти каждого из слоев h2... заданы.
Задача сводится к отысканию решения при 2=0 уравнения
Лапласа
дЮ 1 ^.d4J__
^ дг^ (^^^^
где /7 — потенциал, г —расстояние от источника до горизонтали, е —
расстояние от поверхности земли по вертикали.
На уравнение наложены следующие граничные условия:
ди
-^(г. 0)=:0; (f/«)z=h, ={Ui+,)^=k, ;
тиЦг, z) = 0;
г, 2-*00
/ 1 ди,\ I 1 ди^^,\
дг )z=h^ + i dz Jz=h/
Решение этой задачи на АВМ вследствие ее линейности может
быть проведено с помощью одного из методов суперпозиции {Л. 24].
114

Наиболее подходящим является метод разделения переменных, пред
полагающий представление решения в виде
и (г, z)^W(r)Viz).
Уравнение (210) при этом сводится к системе
dW , I dW
~"5Г + '^'^ = ^'
dr^
dW
(206)
(207)
со следующими граничными условиями:
1. Обе функции должны быть конечны и обращаться в нуль на
бесконечности.
4.
Г 1 dV^ 1
Г 1
Ptf dz
dV
+ 1
dz
(208)
(209)
(210)
Поскольку уравнение (206) имеет неограниченный спектр соб-
ственных значений, общее решение уравнения (205) для первого слоя
с учетом функций источника можно записать в виде
^Л^' r)=\^[qe-^^ + ВАе-^^ -\-e^^)]]Am,r)dm, (211)
где ^ =, ^1^оЛ^' г) —функция Бесселя нулевого порядка.
Таким образом, решение уравнения (205) можно трактовать как
интеграл по т от произведения решения уравнения (206) на реше-
ние уравнения (207) с условиями на границах сред (209) и (210).
Во ищется из условия обращения функции V(z) в нуль на бесконеч-
ности или, что то же самое, из следующего условия на границе
подстилающего слоя:
(212)
Наиболее удобен при этом беспоисковый метод отыскания значе-
ния Во путем расщепления неизвестного начального вектора уравне-
ния (212), в соответствии с которым Во определяется формулой
Во = -
т
(213)
т
115

где и 1/2(2:) — решения уравнения (207) с начальными усло-
виями соответственно
V,(0) = 2; К',(0) = 0;
VAO)=U V'2(0) = -m.
Используя (212) и (213) и заменяя приближенно интеграл
в (211) суммой, можно записать искомое решение на поверхности
следующим образом:
l — r
U{0. r) = q^m^
m J
Jo(mi. Г). (214)
Таким образом, при решении прямой задачи ВЭЗ должны вы-
полняться следующие основные операции:
1. Установка т\.
2. Решение уравнения (212) при начальных условиях Vi(0)=2,
V'i(0)=0 и ^2(0)=^; У'2(0)=-ть
3. Отыскание Bq по формуле (213), а также (2Во-Ы).
4. Установка найденного значения (25о+1) в качестве начально-
го значения для уравнения (211) и решение уравнения (206) в тече-
ние времени, необходимого для определения требуемого значения г\.
5. Запоминание получаемого решения.
6. Повторение операций по п. 1—5 для /Пг, тз ... до тех пор,
пока разница между результатами, полученными для и тл_1, не
станет меньше некоторой малой величины.
7. Повторение п. 1—6 для каждого из требуемых значений г.
В результате выполнения перечисленных операций образуется
решение прямой задачи ВЭЗ для некоторой выбранной комбинации
удельных сопротивлений и мощностей слоев. Для решения обратной
задачи — подбора значений параметров слоев, при которых получае-
мое на машине решение в некотором смысле близко к распределе-
нию, снятому на местности, можно воспользоваться одним из извест-
ных методов поиска.
На рис. 38 показана блок-схема программы выполнения опера-
ций на АВМ при решении обратной задачи ВЭЗ.
Задача Стефана. При анализе процессов переноса массы или
энергии в широком диапазоне изменения параметров этих процессов
часто возникает так называемая задача Стефана. Суть этой задачи
состоит в том, что среда, в которой ищется решение задачи, состоит
из нескольких зон, отличающихся характером развития процесса,
причем положение границы между этими зонами меняется во време-
ни, движется. Поэтому задача Стефана иначе называется задачей
с подвижной границей.
Наиболее общий случай имеет место тогда, когда закон дви-
жения границы не задан, а определяется в процессе решения, напри-
мер при решении некоторых тепловлажностных задач. В рассматри-
ваемом материале влага в различных его частях находится как
в конденсационной, так и в сорбционной фазах (см. гл. 1). Сорб-
ционная фаза характеризуется неравенством U<Q, а конденсацион-
ная—неравенством t/>Q (Q —максимальная сорбционная влаж-
ность, постоянная для данного материала; [/ — концентрация влаги).
116

Рассмотрим решение этой задачи по методу полной дискретизации
пространства. В результате замены входящих в уравнения для этих
зон вторых производных по координатам конечными разностями по-
лучаем систему уравнений для сорбционной зоны:
-^ = h(Ui-t.v C/i+u. Uij, U,,,^,) (215)
и для конденсационной зоны
^ = f.(f/?_,;. t/f+,,;. Ul, Ul,_,. (216)
Начальное состояние модели, построенной по методу полной
дискретизации пространства, отвечает начальному (известному) рас-
пределению зон в материале. После включения модели в режим
интегрирования производится контроль значений функций U, обра-
зующихся на выходах интеграторов. В момент, соответствующий до-
стижению в одной из точек дискретизованного пространства значе-
ния максимальной сорбционной влажности Q, производится останов-
ка машины и замена модели уравнения для этой точки моделью
уравнения, описывающего противоположную фазу. Это означает, что
в зафиксированный момент времени через эту точку проходит гра-
ница между фазами. После переключений интегрирование продол-
жается до наступления следующей аналогичной ситуации. Такой
алгоритм решения задачи Стефана позволяет определить одновремен-
но как значения искомой влажности в каждой точке дискретизован-
ного пространства в функции времени, так и закон движения гра-
ницы.
Очевидно, что такой метод решения задачи Стефана позволяет
наиболее быстро получить решение, однако его реализация связана
с использованием большого объема аналогового оборудования. Если
применить для решения этой задачи методы сканирования, то коли-
чество блоков, осуществляющих операции сравнения и коммутации,
можно уменьшить до значения j^n, где п —количество интервалов
дискретизации пространства в случае использования рассмотренного
выше метода. Процедура решения задачи на машине при этом так
же, как и в предыдущем случае, характеризуется наличием операций
сравнения и переключения, которые в данном случае выполняются
в процессе сканирования.
Решение систем уравнений. Среди задач математической физики
особенно сложными являются те, которые описываются системами
уравнений в частных производных различных типов. Так, в задачах
магнитной гидродинамики часто встречаются эллиптико-гиперболи-
ческие системы уравнений. В подобные системы может входить, на-
пример, одно уравнение эллиптического типа относительно перемен-
ной L^o
LoiUo, Uu U2, f/n)=0 (217)
и n уравнений первого порядка, образующих относительно перемен-
ных Uq, Uu Un гиперболическую систему
L,{Uo. U„ U^ Un) = 0;
LAUo^U,,U, Un) = 0, ^ ^218)
Ln{Uo. U,, C/j..... C/n) = 0.
118

Если уравнения (217) и (218) нелинейны, трудно выбрать общий
метод решения полной системы. При решении этой задачи наиболее
целесообразно ориентироваться на метод сканирования, поскольку
он позволяет решить нелинейные уравнения и, кроме того, требует
для реализации меньшего состава оборудования, чем в случае
использования метода полностью дискретизованного пространства.
В то время как для решения системы (218) метод сканирования мо-
жет использоваться непосредственно без дополнительных приемов
вследствие устойчивости получающейся системы уравнений динами-
ки для решения уравнения (217) относительно переменной Uq не
обходимо использовать специальные приемы, позволяющие устранить
трудности, связанные с неустойчивостью системы уравнений динами-
ки, которая строится для (217) по методу сканирования.
Очевидно, что уравнение (217) и систему (218) требуется решать
раздельно. Получение решения полной системы (217) и (218) может
быть осуществлено путем согласования решений отдельных частей
этой системы. Такое согласование можно выполнить, например, по
методу Гаусса — Зейделя. Для этого зададим произвольным образом
функции Ui=l/l, f/2=^2'-*-* ^w'^^rt и подставим их в уравнение
(217):
L,(Uo, t/?, Ul) = 0. (219)
Проведем решение уравнения (219) и введем это решение в си-
стему (218):
kiiUl и,, и^,.,., ап)-0; г = 1, 2..... п. (220)
Решения этой системы U\, U^, .... U\ вместо с Uq образуют пер-
вое приближение к искомому решению полной системы. Описанная
итеративная процедура повторяется до достижения условия
Го-^о"'||<-; l|t/t-f/f-^ll<e;.... ||f^^-^^\ll<e. (221)
где 8 — некоторое наперед заданное малое число.
В качестве нормы, по которой оценивается близость приближе-
ний, целесообразно брать интеграл от квадрата разности сравнивае-
мых функций, т. е. проводить приближение в смысле среднеквадра-
тичного отклонения.
Указанный подход к решению систем уравнений в частных про-
изводных смешанного типа позволяет наиболее гибко и разумно
проводить решение отдельных ч,астей системы, относящихся к одному
определенному типу. На рис. 39 показана блок-схема программы
выполнения операций при решении системы типа (217) и (218).
Организация сложных разветвленных вычислительных процессов
является таким образом основой применения АВМ с последователь-
ным выполнением операций для решения задач, описываемых урав-
нениями в частных производных. Под организацией разветвленного
процесса следует понимать комплекс мероприятий, к числу которых
относятся выбор метода решения задачи, выбор рациональной струк-
туры аналоговой машины и разработка блок-схемы программы и ра-
бочих программ как аналоговых, так и цифровых узлов АВМ
(табл. 2).
119

Вопросам выбора метода решения задачи, а во многих случаях
и необходимости разработки метода были посвящены основные гла-
вы данной работы. Методические вопросы программирования анало-
говых и цифровых узлов АВМ с последовательным выполнением
операций достаточно широко освещены в литературе, а потому ниже
изложены лишь соображения по поводу выбора рациональной струк-
туры АВМ с последовательным выполнением операций.
Во вводной главе при определении АВМ с последовательным
выполнением операций было показано, что структура такой АВМ мо-
жет быть различной. Каждая из структур может использоваться при
реализации описанных выше методов решения уравнений в частных
Программа
решения
ирабнени. я
*-^ASa помина ние
Программа
реиления
системь!
(ггз)
^ \ Г
\9апомина ние
Оценка <
1=0,1,...уп.\
Ма
^3
Останов
Пересгод к н*Г-и итерации
Рис. 39. Блок-схема программы выполнения операций при решении
эллиптико-гиперболической системы уравнений в частных произ-
водных.
производных. Например, ЗУ, входящее в состав ЦВМ, не приспособ-
лено для одновременной записи и воспроизведения нескольких функ-
ций,, что необходимо при решении задач методами сканирования про-
странства. В то же время методы суперпозиции поля не исключают
применения в структуре АВМ запоминающего устройства, входящего
в состав ЦВМ, так как функции можно вводить и выводить последо-
вательно. Еще более целесообразно совмещение АВМ с ЦВМ
в общей структуре АВМ с последовательным выполнением операций
при реализации метода Монте-Карло, при котором аналоговая маши-
на с генератором шумов используется для моделирования движения
изображающей точки внутри области, на которой ищется решение,
и для определения координат точки выхода на границу, а ЦВМ
используется для управления, запоминания большого массива число-
вой информации и усреднения по множеству значений граничной
функции в точках выхода на границу. Применение аппаратуры авто-
матической оптимизации необходимо лишь при реализации методов
сканирования пространства, если для отыскания решения краевой
задачи, накладываемой на систему дифференциальных уравнений,
используются методы поиска. При использовании итерационных ме-
тодов более рациональным может оказаться применение динамиче-
ских запоминающих устройств [Л. 5].
Выбор структуры АВМ является сложной многовариантной за-
дачей, решение которой может производиться как качественно в свя-
зи с выбором метода решения, ограничивающим выбор структуры,
так и количественно, причем результаты количественной оценки раз-
личных структур могут в определенной степени повлиять и на выбор
метода решения.
120

t, (223)
Критерием количественной оценки структуры АВМ является зна-
чение экономической эффективности, рассматриваемое как отноше-
ние суммы уменьшения затрат (^)уз), которая может быть достигну-
та при применении средств вычислительной техники, к затратам, ко-
торые произведены для получения результатов (Dbt):
ЭЭ=^. (222)
Так как экономические результаты применения средств вычисли-
тельной техники являются следствием многоэтапного процесса улуч-
шения общей культуры и качества производства, что часто не дает
возможности количественно определить значение iDyg, сравнение
структур можно производить по величинам затрат, которые для
случая нескольких (до п) параллельно работающих устройств
в структуре могут быть определены по формуле
h 4/р + ^э + <п
L/=l
где С^^р — стоимость устройства, отнесенная к единице времени,
Сэ — стоимость эксплуатации оборудования и Сд jj — стоимость зара-
ботной платы персонала.
Отсюда следует, что экономическая эффективность пропорцио-
нальна производительности устройств FIi и обратно пропорциональ-
на затратам, которые следует произвести для решения поставленной
задачи.
Использование количественного критерия и оценка структур
с точки зрения их пригодности для приборной реализации рассмот-
ренных методов приводят к целочисленной задаче математического
программирования, где качественные характеристики структур опре-
деляют допустимую область решений.
Необходимость одновременного выбора методов и рациональной
структуры АВМ с последовательным выполнением операций при ре-
шении уравнений с частными производными является отличительной
чертой этого направления вычислительной математики для аналого-
вых машин.

ЛИТЕРАТУРА
1. Ameling W., Die Losung der partiellen Differentialgleichun-
gen und ihre Darstellungsmoglichkeiten auf den elektronischen Ana-
logrechnern, Elektronische Datenverarbeitung, 1962, № 5, S. 197.
2. Агеев M. Д., О моделировании теплообменных аппаратов,
сб. «Применение методов математического моделирования в инже-
нерных исследованиях», Доклады четвертой' межвузовской конфе-
ренции по применению физического и математического моделирова-
ния, Москва, МЭИ, 1962.
3. В а 3 о в В., Форсайт Дж., Разностные методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных, Изд-во и'ностр.
лит., 1963.
4. В и т е н б е р г И. М., Расширение возможностей и методы
повышения производительности аналоговых вычислительных машин.
Докторская диссертация, МИФИ, 1963.
5. Витенберг И. М., О методах повышения производитель-
ности средств АВТ, сб. «Аналоговая и аналого-цифровая вычисли-
тельная техника», изд-во «Машиностроение», 1965.
6. Витенберг И. М., Танкелевич Р. Л., Вопросы при-
менения АВМ с операционными усилителями для решения уравнений
в частных производных, доклад на II Всесоюзной конференции
по решению краевых задач (Киев), изд-во «Машиностроение», 1967.
7. Витенберг И. М., Танкелевич Р. Л., О макрострук-
туре АВМ, предназначенных для реализации разветвленных вычис-
лительных процессов», доклад на II Всесоюзной конференции по
аналоговой вычислительной технике (Москва), изд-во «Машино-
строение», 1968.
8. В и т е н б е р г И. М., Л а м и н Е. И., Т а н к е л е в и ч Р. Л.,
О применении новых технических средств для решения дифферен-
циальных уравнений в частных производных на аналоговых вычис-
лительных машинах, сб. «Вычислительная техника в управлении»,
изд-во «Наука», 1966.
9. Витенберг И. М., И в а ш к о в а В. К-, Лукьянов В. И.,
Танкелевич Р. Л., Нестационарный влажностный режим ограж-
дающих конструкцией зданий, сб. «Применение достижений совре-
менной физики в строительстве», Госстройиздат, 1967.
10. Витенберг И. М., Л а м и н Е. И., Танкелевич Р. Л.,
О рациональных структурах аналоговых и аналого-цифровых вы-
числительных систем, предназначенных для решения уравнений
в частных производных, Труды V Всесоюзной конференции — семи-
нара по теории и методам математического моделирования (Ленин-
град), изд-во «Наука», 1967.
11. Ку Чей, Казда Л., Уиндекнехт Т., Решение диф-
ференциальных уравнений с частными производными вероятностным
123

способом при помощи электронных моделей, Труды I Конгресса
ИФАК, т. 3, Изд-во АН СССР, 1961.
12. В и т е н б е р г И. М., О методах повышения эффективности
средств вычислительной техники при совместном использовании ана-
логовых и цифровых вычислительных машин. Труды V Всесоюзной
конференции — семинара по теории и методам- математического мо-
делирования, изд-во «Наука», 1967.
13. Волынский Б. А., Бухман В. Е., Модели для реше-
ния краевых задач, Физматгиз, 1960.
14. Вулис Л. А.,, Ж е р е б я т ь е в И. Ф., Л у к ь я н о в А. Т.,
Решение нелинейных уравнений теплопроводности на статических
электроинтеграторах. Труды I Всесоюзного совещания по тепло-
и массообмену, тепло- и массопереносу, т. V, Изд-во АН БССР,
1963.
15. Г а и т м а X е р Ф. Я., Теория матриц, Гостехиздат, 1953.
16. Гутенмахер Л. И., Электронный интегратор типа ЭЛИ,
Изд-во АН СССР.
17. К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И., Приближенные
методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949.
18. Л ы ч к и н а Г. П., Н е т у ш и л А. В., Тетельбаум И. М.,
Моделирование иррациональных передаточных функций, сб. «Вычис-
лительная техника в управлении», изд-во «Наука», 1966.
19. М а с к а у D. М., Fisher М. Е., Analogue computing at
ultrahigh speed, Chaptan and Hall Ltd., London, 1962.
20. M e л a M e д В. Г., Об одном методе численного решения
краевой задачи для уравнения y''-\-p(x)y'-[-q{x)y=0 на полупрямой.
Журнал вычислительной математики и математической физики,
т. 5, № 5, 1965.
21. Миура Т., И в ата Д., Последовательное вьшолнение вы-
числений с использованием аналогового запоминающего устройства,
«Кэйсоку то сэйге» (японск.), т. 1, 1962, № 8.
22. М и X л и н С. Г., Прямые методы в математической физике,
Гостехиздат, 1950.
23. П а н о в Ю. Д., Справочник по решению уравнений в част-
ных производных, Гостехиздат, 1949.
24. Суслов В. Е.,, Танкелевич Р. Л., Решение одной за-
дачи математической физики на АВМ с операционными усилителя-
ми. Труды I конференции молодых ученых Москвы, изд-во «Наука»,
1967.
25. Танкелевич Р. Л., О применении разностных операторов
с переменным шагом для решения уравнений в частных производ-
ных на АВМ с операционными усилителями. Сб. докладов на XXI
Всесоюзной научной сессии, посвященной 70-летию изобретения ра-
дио А. С. Поповым, изд-во «Советское радио», 1965.
26. Т р и к о м и Ф., Лекции по уравнениям в частных производ-
ных, Изд-во иностр. лит., 1957.
27. Ф а д д е е в а В. Н., Методы прямых в применении к неко-
торым краевым задачам. Труды математического института им.
В. А. Стеклова, т. XXVIII, 1949.
28. Н о W R., Н а п е m а п М., The solution of partial differential
equations by difference methods using the electronic differential ana-
lyser, Proc. IRE, vol. 41, 1953.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение. АВМ с последовательным выполнением опера-
ций 3
Глава первая. Уравнения в частных производных и
методы их решения с помощью аналоговых средств И
1. Основные типы уравнений в частных производных и
краевых задач . . . П
2. Методы решения уравнений в** частных производных
на АВМ с последовательным выполнением операций 21
Глава вторая. Методы полной дискретизации про-
странства 32
3. Конечно-разностная аппроксимация производных по
пространственным переменным 32
4. Замкнутое и частичное моделирование .... 44
Глава третья. Методы сканирования пространства . . 48
5. Сущность метода и его применение к решению задач
на прямоугольной области 48
6. Методы сканирования на областях произвольного
вида : : 56
7. Вопросы устойчивости уравнений динамики, полу-
чаемых по методу сканирования 66
8. Методы частичного сканирования 78
Глава четвертая. Методы суперпозиции поля . . 84
Глава пятая. Методы поточечного просчета поля . . 105
Заключение. Разветвленные вычислительные процессы
при решении уравнений в частных производных на
АВМ с последовательным выполнением операций 113
Литература ' 123

БИБЛИОТЕКА ПО АВТОМАТИКЕ
готовятся к ПЕЧАТИ
Алиев Т. М. и Степанов В. П., Развертывающие компенсаторы комп-
лексных величин.
Арутюнов О. С. и Цеймах Б. М., Датчики состава и свойств веще-
ства.
Баранов Л. А. и др.. Конденсаторные преобразователи и элементы
вычислительных машин.
Берлин Е. М. и др.. Системы частотного управления синхронно-реак-
тивными двигателями.
Бернштейн И. Я., Преобразователи частоты без звена постоянного
тока.
Брусенцов Л. В., Приборы для записи и анализа статистических
данных.
Бруфман С. С. и Трофимов Н. А., Тиристорные ключи переменного
тока.
Будянов В. П., Элементы автоматики на варисторах.
Вульфсон И. А. и др., Кодирование информации управляющих про-
грамм.
Гольдман В. С. и Сахаров Ю. И., Индуктивно-частотные преобразо-
ватели неэлектрических величин.
Гомельский Ю. С, Электрические элементы электрогидравлических
устройств автоматики.
Гринберг Л. С, Многообмоточные потенциометры.
Дейнеко В. И. и др. Туннельно-транзисторный комплекс элементов
вычислительных машин*
Дралюк Б. П. и Синайский Г. В., Системы автоматического регули-
рования объектов с транзисторным запаздыванием.
Дубровский А. X. и др., Проектирование схем на бесконтактных ло-
гических элементах ЭЛМ.
Ефимов В. М., Квантование по времени при измерении и контроле.
Жеребятьев И. Ф. и Лукьянов А. Т., Математическое моделирование
уравнений типа теплопроводности с разрывными коэффициен-
тами.
Жуховицкий Б. Я., Сигналы телемеханики и их преобразования.
Иванчук Б. Н. и др. Тиристорно-магнитные стабилизаторы напряже-
ния.
Ильинская Л. А., Элементы противопожарной автоматики.
Иконников С. И., Испытания магнитных элементов и автоматиче-
ских устройств.
Каган В. Г. и др.. Нелинейные системы с тиристорами (Электропри-
воды с полупроводниковым управлением).
Катыс Г. П. и др.. Информационные манипуляторы и роботы.
Климов В. В., Электронные счетчики на туннельных диодах.
Коршунов Ю. М. и Бобиков Л. И., Цифровые сглаживающие и пре-
образовательные системы.
126

Крайцберг М. Я. и Шикуть Э. В., Импульсные методы регулирова-
ния цепей постоянного тока с помощью тиристоров.
Лебедев М. Д., Состояние и развитие автоматических систем конт-
роля.
Либерзон Л. М., Родов А. Б., Шаговые экстремальные системы.
Любчик М. А., Силовые электромагниты аппаратов и устройств авто-
матики постоянного тока.
Милохин Н. Т., Частотные датчики систем автоконтроля и управ-
ления.
Мочалов В. Д., Магнитные интегрирующие схемы вычислительной
техники и автоматики.
Овчинников В. Н., Дискретные многоканальные системы ввода ин-
формации в цифровые вычислительные машины.
Панкратьев Л. Д. и др.. Импульсные и релейные следящие приводы
постоянного тока с полупроводниковыми усилителями.
Парфенов Э. Е. и Прозоров В. А., Вентильные каскады.
Рабинович В. И. и Цапенко М. П., Информационная оценка средств
измерения и контроля.
Рейнберг М. Г., Формирование знаков на экранах электроннолучевых
трубок.
Севумян Ю. Р., Логические элементы на тиратронах тлеющего раз-
ряда.
Серьезное А. И. и Цапенко М. П., Методы уменьшения помех в тер-
мометрических цепях.
Трухачев Б. С. и Удалое Н. П., Полупроводниковые тензопреобразо-
ватели.
Черкашина А. Г., Элементы автоматики на варикапах.
Чесноков А. Л., Решающие усилители.
Чудаков А. Д., Электрические моделирующие сетки и их примене-
ние.
Шапоров О. М., Техника работы на аналоговых установках непре-
рывного действия.^
Шегал Г. Л. и Короткое Г. С, Электрические исполнительные ме-
ханизмы в системах управления.
Шульгин Л. В. и др., Магнитомодуляционные преобразователи угла
в код.
Юдицкий С. А., Пневматические системы управления приводом ма-
шин-автоматов.
Ярославский Л. П., Устройства ввод—вывода изображений для циф-
ровых вычислительных машин.

Витенберг Исаак Моисеевич, Танкелевич Роман Львович
Аналоговые вычислительные машины с последовательным
выполнением операций
Редактор Т. И. Шилейко
Художественный редактор Д. И. Чернышев
Технический редактор Л. М. Фридкин
Корректор И. А. Володяева
Сдано в набор 20/XII 1967 г. Подписано к печати 13/III 1968 г. Т-00112
Формат 84X108789 Бумага типографская № 3
Усл. печ. л. 6,72 Уч.-изд. л. 8,27
Тираж 15 000 экз. Цена 41 коп. Зак. 673
Издательство «Энергия*. Москва, Ж-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Сошете Министров СССР.
Шлюзовая наб.. 10.