u
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО УРАВНЕНИЯМ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по уравнениям
с частными производными
Под редакцией
А. С. Шамаева
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2005
УДК 517
ББК 22.161.1
С23
Авторы:
Т. Д. Ветцель, А. Ю. Горицкий, Т. О. Капустина, В. А. Кондратьев,
Е. В. Рццеыр, О. С. Розанова, Г.. Д.. Чечквд, С. Ша^аев,
; Т. А. Шапошникова	,
Сборник*' задан! по уравнениям с частными произ-
С23 водными / Ве’нтцель Т. Д., Горицкий А. Ю., Капустина
Т* Я* и др.; Под редакцией А. С. Щамаева. >— М.: ВИДОМ.,
ДабЬраторйЯ знаний, 2005, —fl&8 с.: ил.. ‘	' л f ’
ISBN 5-94774-260-8	!
Сборник содержит материалы для упражнений по курсу диффе-
ренциальных уравнений с частными производными для университе-
тов и технических вузов с повышенной математической программой.
Ко всем задачам даны ответы, к отдельным задачам — решения.
Представлены также варианты задач письменного экзамена по урав-
нениям с частными производными, предлагавшиеся на механико-
математическом факультете МГУ.
Для студентов, аспирантов и преподавателей математических
факультетов вузов.
УДК 517
ББК 22.161.1
По вопросам приобретения обращаться:
«ВИНОМ. Лаборатория знаний» (095) 955-03-98
e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
ISBN 5-94774-260-8
8 Коллектив авторов, 2005
БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2005
Оглавление
Предисловие................................................ 4
Список обозначений......................................... 6
Введение....................................      ?.	.	8
1.	Вспомогательные сведения из функционального ана-
лиза ..........................................   8
2.	Общие понятия теорий уравнений с частными произ-
водными .....................................     8
3.	Уравнения	гиперболического типа..................  9
4.	Уравнения	параболического типа.;........9
5.	Уравнения	эллиптического типа...................  10
Глава 1. Вспомогательные сведения из анализа...........	11
1.1. Обобщенные функции; и фундаментальные решения 11
1.2. Пространства Соболева .........................  13
Глава 2. Общие понятия террин уравнений .................. 17
2.1.	Классификация уравнений. Характеристики...	17
2-2- Корректность постановки задач....................	22
Глава 3. Уравнения гиперболического типа.................  26
3.1.	Задача Коши для волнового уравнения............. 27
3.2.	Смешанная задача для полуограниченной струны ..	31
3.3.	Ограниченная струна. Метод Фурье................ 34
Глава.4. Уравнения параболического типа..................  39
4.1. Краевая задача............................       39
4.2. Задача Коши...............................       45
Глава 5. Уравнения эллиптического типа.....	50
5.1.	Гармонические функции..........................  50
5.2.	Классическая постановка основных краевых задач..	55
5.3.	Обобщенные решения ..............V.............. 65
Глава 6. Решения отдельных задач.......................... 69
Ответы................................................. 105
Экзаменационные варианты............................... 111
Литература............................................. 156
Профессорам кафедры дифференциальных
уравнений механико-математического
факультета МГУ А. С. Калашникову,
С. Н. Кружкову, Е. М. Ландису
посвящается
Предисловие
В пособии собраны некоторые задачи, предлагавшиеся студен-
там механико-математического факультета МГУ на письмен-
ных экзаменах по уравнениям с частными производными и
уравнениям математической физики в 1994-2003 годах. При
подготовке данного издания было уменьшено количество стан-
дартных задач, которые можно найти в существующих учебни-
ках и учебных пособиях. Кроме того, при наличии нескольких
близких по формулировкам задач включалась, как правило,
лишь одна из них. В задачник также не включались теоре-
тические вопросы из программы курса (определения, поста-
новки задач, формулировки и доказательства теорем), которые
обязательно присутствовали в любом экзаменационном вари-
анте. Для того чтобы у читателя' возникло представление об
этих экзаменах, в конце задачника приведены некоторые ва-
рианты с указанием условий проведения экзамена й критериев
оценок.
В составлении вариантов экзаменационных заданий участ-
вовали преподаватели кафедры дифференциальных уравне-
ний механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ло-
моносова: Т. Д. Вентцель, А. Ю. Горицкий, А. С. Калашников,
В. А. Кондратьев, С. Н. Кружков, Е. М. Ландис, Е. В. Радке-
вич, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, Т. А. Шапошникова. От-
бор задач 1994-1998 годов и их редактирование выполнены
А. С. Калашниковым. В окончательном составлении сборника
принимали участие Т. Д. Вентцель, А. Ю. Горицкий, Т. О. Ка-
пустина, О. С. Розанова, Г. А. Чечкин.
Задачи разделены на пять тематических разделов. В каж-
дом разделе приведены основные факты, относящиеся к дан-
Предисловие 5
ной теме. К отдельным задачам даются подробные решения, и
ко всем задачам (кроме задач на доказательство) — ответы.
Курс уравнений с частными производными, как показывает
практика, является традиционно одной из самых трудновос-
принимаемых студентами математических дисциплин. Поло-
маем эту традицию?!
Список обозначений
N — множество всех натуральных чисел.
Z — множество всех целых чисел.
Z+ = N U {0} — множество всех неотрицательных целых чисел.
R — множество всех действительных чисел.
R+ — множество всех положительных действительных чисел.
R_ — множество всех отрицательных действительных чисел.,
Rn — n-мерное действительное линейное пространство.
(®1,..., хп) — декартовы координаты в Rn.
(р, в) — полярные координаты в R2.	'
Q — область (т. е. связное, открытое множество) в R”, ограни-
ченная, если не оговорено противное.
— граница области Q.
и — единичная внешняя нормаль к <Х1.
В™(х°) = {ж е Rn | |х — ж°| < а} — n-мерный шар радиуса а с
центром в точке х°.
S™(х°) =	(х°) = {х € Rn | |ж — ®°| = а} — сфера радиуса а
с центром в точке х° в Rn.
Qq = Q х (0,Г] = {(я, t) € Rn+1 | х 6 О, 0 < t < Т} (область Л
может быть неограниченной).
Q%° = Q хR+ = {(ж, t) G Rn+1 | x € fl, 0 < t < +oo} (область Q
может быть неограниченной).
Пг = Rn х (0,Т] = {(x,t) е Rn+1 | x € Rn, 0 < t T}.
Ati = uX1X1 4- Ua;2a;2 -I-h uXnXn — оператор Лапласа.
Lp(Q)— пространство функций, суммируемых в р-й степени в
области Q.
Loo (П) — пространство функций, ограниченных и измеримых в
области Л.
Список обозначений 7
I/p, loc(^)— пространство функций, принадлежащих Lp(Qi) для
любой ограниченной подобласти Oi, такой что Qi С Q.
LPi ioc(Rn)— пространство функций, принадлежащих про-
странству LP(B”(O)) при любом а > 0.
С1 (О,) — множество функций, I раз непрерывно дифференциру-
емых в области Q.
Cb(Q) = C'(Q) Г) Lqo(Q)— множество ограниченных непрерыв-
ных в области Q функций.
С°°(Я) —множество бесконечно дифференцируемых в обла-
сти Q функций.
7?(Q) = Cq°(Q) —множество бесконечно дифференцируемых в
области Q функций, равных нулю в окрестности 9Q.
7?(Rn) = Cq°(R”) — пространство бесконечно дифференцируе-
мых финитных функций в Rn.
Н1 (Q) — пространство функций, принадлежащих простран-
ству £г(О) вместе со своими обобщенными производными
в смысле Соболева первого порядка.
Н1 (П) — пополнение множества Cq°(Q) по норме HL(Q).
ТУ (Rn) — пространство линейных непрерывных функционалов
наР(Кп).
8 G 7?'(Rn) — «дельта-функция», т. е. функционал, определяе-
мый формулой .
<5, <р> = <^(0) Vv>eP(Rn).
8хо € 2>/(Rn), где х° € Rn, — «сдвинутая дельта-функция»:-.
(8хо,<р) = (р(х°) ^ЕР(Г):
0(ж) — 0-функция Хевисайда: 0(ж) = f ,°'ЛЯ ж
(.0 для х < 0.
х+ = тах{ж, 0}; х- = тах{—х, 0}.
шп — площадь единичной сферы Sf (0) в Rn.
V — оператор градиента в R", Vit = (	,...,	.
\ иХ\ иХп /
Введение
Укажем некоторые определения и теоремы, которые необхо-
димо знать, чтобы решать задачи настоящего сборника, а
также учебники, в которых можно найти эти факты. Номера
задач, приводимые в последующих. пунктах, приведены для
примера и могут не охватывать всех задач на данную тему.
1.	Вспомогательные сведения
из функционального анализа
1.	Определение обобщенных функций, основных операций над
ними и фундаментального решения дифференциального опе-
ратора. [5, гл. II, §§ 5-7] (задачи 1.1—1.5, 2.17 б))
О
2.	Определение пространств Н1 и Н1. [20, гл. III, § 5] (за-
дачи 1.8-1.16, 1.19-1.21)
3.	Неравенство Фридрихса. [20], [22] (задачи 1.17-1.19)
2.	Общие понятия теории уравнений
с частными производными
1.	Классификация линейных уравнений второго порядка и при-
ведение их к каноническому виду. [23, гл. I, § 6] (задачи 2.1-2.4,
2.7-2.Э, 2.14, 2.15, 2.17 а))
2.	Определение характеристик. [23, гл. I, § 3] (задачи 2.5-2.7,
2.11-2.13, 3.3, 3.4)
3.	Теорема Коши—Ковалевской о существовании и единствен-
ности аналитического решения задачи Коши. [23, гл. I, §§ 10,11]
(задачи 2.16, 2.22 а))
4.	Корректность постановки задач для уравнений с частными
производными. [23, гл. I, § 8] (задачи 2.17—2.23)
4. Уравнения параболического типа. 9
3.	Уравнения гиперболического типа
1.	Постановка задачи Коши для одномерного уравнения коле-
баний. Формула Даламбера. Область зависимости. [23, гл. II,
§§ 11-13] (задачи 3.1-3.2, 3.5-3.12)
2.	Задача Коши для волнового уравнения в случае двух и трех
пространственных измерений. Формулы Пуассона и Кирхгофа.
Использование симметрии в начальных условиях. Область за-
висимости. [23, гл. II, §§ 12, 13] [22, § 5.1] (задачи 3.13—3.23)
3.	Краевые задачи для полуограниченной струны. Условия
согласования для начальных и граничных значений. Метод
продолжения начальных значений и сведение краевой задачи к
задаче Коши. [29, гл. II, §§ 2, 4] (задачи 3.24—3.28, 3.31, 3.32)
4.	Постановка основных краевых задач. Энергетическое тож-
дество для решений краевых задач. [23, гл. II, § 18] (за-
дачи 3.33 3.36)
5.	Решение краевых задач с помощью метода Фурье. Перио-
дичность решений краевых задач. [23, гл. III, § 20], [29, гл. II,
§ 3] (задачи 3.37—3.40)
4.	Уравнения параболического типа.
1.	Постановка задачи Коши и основных краевых задач. [23,
гл. IV, §§ 38, 40], [22, § 4.3]
2.	Принцип максимума в цилиндре. Единственность решения
первой краевой задачи [23, гл. IV, § 38], [22, § 4.4] (задачи 4.1,
4.3, 4.6, 4.7, 4.20, 4.21)
3.	Решение краевых задач методом Фурье. [23, гл. IV, § 39]
(задачи 4.8-4.19)
4.	Принцип максимума в слое. [23, гл. IV, § 40], [22, § 4.4]
(задачи 4.27, 4.31)
5.	Теоремы о стабилизации для решения задачи Коши. [22,
§4.5] (задачи 4.33-4.36)
10 Введение
5.	Уравнения эллиптического типа.
1.	Определение гармонических функций. Теоремы о среднем.
Теорема Лиувилля. [23, гл. III, § 30], [22, §§ 3.5, 3.9] (задачи 5.1,
5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.15, 5.42)
2.	Принцип максимума. Теорема о нормальной производной.
[23, гл. III, § 8], [22, § 3.5] (задачи 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13,
5.28, 5.33, 5.18)
3.	Формула Грина. Теорема о потоке. [23, §§ 30, 33], [22,
§§ 3.3, 3.5] (задачи 5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.43)
4.	Теорема об устранимой особенности. [23, Гл III, § 30], [22,
§ 3.10] (задачи 5.16, 5.17, 5.34, 5.35)
5.	Теория потенциалов. [23, гл. III, § 34], [22, § 3.12] (за-
дачи 5.36, 5.37)
6.	Обобщенные производные в смысле обобщенных функций
и в смысле Соболева. Обобщенное решение задачи Дирихле.
Вариационный метод решения задачи Дирихле. [22, § 1.13], [20,
гл. IV, § 1] (задачи 5.48, 5.49, 5.50, 5.52, 5.51)’
Для изучения курса уравнений с частными производными
и решения предлагаемых в данном сборнике задач в качестве
основной литературы рекомендуется использовать [5], [20], [22],
[23] и [29]. Для желающих получить более полную информа-
цию о предмете в конце книги приведен'расширенный список
литературы.
ГЛАВА 1
Вспомогательные сведения
из функционального анализа
1.1. Обобщенные функции
и фундаментальные решения
Обобщенными функциями называются элементы про-
странства P'(R”) (или 2У(П)), т. е. пространства линейных
непрерывных функционалов над P(Rn) = Co°(Rn) (соответ-
ственно над 2>(О) = Cq°(Q)). Действие функционала / GТУ на
<р G Т> обозначается /(</?) или (/,
В пространстве обобщенных функций выделяется класс
регулярных обобщенных функций, т. е. обычных функций
f(x) 6 Li,ioc(Rn) (или /(ж) € £1,100(0)), действие которых
определяется так:
(/, <р) = j f(x)<p(x)dx 'itpe'D
(интегрирование идет по пространству Rn или по области О
соответственно). Обобщенные функции, не являющиеся регу-
лярными, называются сингулярными. Примером сингуляр-
ной обобщенной функции является 5-функция.
Производной обобщенной функции f € ТУ по перемен-
ной Xi называется обобщенная функция, определяемая равен-
По индукции определяются производные обобщенной функции
произвольного порядка.
Фундаментальным решением дифференциального опе-
ратора £ называется (вообще говоря, обобщенная) функция £
такая, что £(£) = 5, т. е. (£(£), 9?) = 9?(0) V<p € Р.
Приведем примеры фундаментальных решений некоторых
дифференциальных операторов.
12 Глава 1. Вспомогательные сведения из анализа
Фундаментальное решение. оператора Лапласа £ = Д в
пространстве размерности п имеет вид
5п(ж) = w„(2-n)|xF-2’	П>3’
^г(®) = г-Ь|х|,	п = 2.
27Г
Для оператора теплопроводности £ =	— а2Д фундамен-
тальным решением является функция
2
t) =________ е-Ьк
^X,t)	(2а^п 6	'
д2
Волновой оператор £ =	— а2Д в зависимости от раз-
мерности n, п — 1,2,3, пространственной переменной х имеет
следующие фундаментальные решения
£1(ж,<) = ^0(at-|®|),	n=l,
(	&(at - М)
2ка^аЧ*-]х?’	’
£з(®,	П = 3'
В отличие от случаев одной или двух пространственных пе-
ременных, £3 является сингулярной обобщенной функцией,
действие которой на основные функции определено равенством
(£з,^) = [ —( [ <p(x,t)dSx}d,t V<p(x,t) е P(R4),
J 4ira2t \ J	/
1R	|x|=at
dSx — элемент площади на сфере S„t(0).
Задачи
1.1.	Пусть и(х, у) — характеристическая функция квадрата
д2и
(—1,1) х (—1,1). Найти qx'q~ в смысле теории обобщенных
Функций.
1.2. Пространства Соболева 13
1.2.	При каких значениях параметра a е R1 функция ...
.	. fl при t < ax,
u(x.t) = <
[О при t > ax,
является решением уравнения щ = их в смысле теории обоб-
щенных функций?
(z,t) € R2,
1.3.	Пусть функция у(х) е 1>'(R) и удовлетворяет уравнению
у' = у как обобщенная функция. Докажите, что у(х) есть
регулярная обобщенная функция Сех,С = const.
1.4.	Найти все фундаментальные решения оператора
' ах2 ах
1.5.	Найти фундаментальное решение оператора
£п(х,У) = ихх(х,у) -иуу(х,у),
обращающееся в нуль при у < О.
1.6.	Доказать, что функция
Е(ж,ж0) = —	> г = |ж — я?0|,
является фундаментальным решением оператора
Д + с, где с = const >0; п = 3.
1.2.	Пространства Соболева
Обобщенной производной в смысле Соболева функции и(ж)
по переменной х^ в области Q называется функция v(x) (обо-
значение: п(ж) = ди/дх{), удовлетворяющая интегральному
тождеству
J v(x)<p(x)dx = — J и(х) dx V9? € Со°(П).
Q	П
14 Глава 1. Вспомогательные сведения из анализа
Пространством Соболева Яг(П) называется простран-
ство функций и(х), принадлежащих пространству вме-
сте со своими обобщенными производными du/dxi, i = 1,..., n,
в смысле Соболева первого порядка.
Пространство H1(Q) является, банаховым (т. е. полным
нормированным) пространством. Норма в нем определяется
следующим образом:
1Мя1(П) = П'и11л^г(П) + 11^“11{£з(П))п = [ (|М2 + У? I I )<&•
Я	i=1	’
О
Пространством Соболева Я1(П) называется замыкание
подпространства Со°(П) в пространстве Н1(П).
Неравенство Фридрихса. Для любой ограниченной об-
ласти Q существует константа С (Q), такая что
f |u|2dx < С(П) f 221 Jr |?</ж Vu е Н1 (Я).
Я	Q i=1
В силу неравенства Фридрихса следующий функционал в
И1 (Я)
м^1(П) = Р<а(П))~=7Е|^Г^ ; С1-1)
Я *-1
задает норму, эквивалентную исходной норме пространства
ЯХ(П).
О
Пространство ЯХ(Я) является гильбертовым относительно
скалярного произведения
[u,V] = (Vu, Vv)(b2(n))n -	~ dx.
я i=1	•
Пространство Н1 (Q) также является гильбертовым со скаляр-
ным произведением
= (u,v) + [и, v], где (u,v) = f u(x)v(x)dx
n
— стандартное скалярное произведение в L2(^)-
1.2. Пространства Соболева. 15
Задачи
1.7.	Пусть /(ж) G ЯХ(П), а(ж) G С°°(П). Доказать, что функ-
ция /(ж)а(ж) является дифференцируемой в смысле Соболева,
и для нахождения ее производных первого порядка справед-
лива обычная формула Лейбница. Верно ли, что /(ж)а(ж) G
Я^П)?
1.8.	Пусть f G Я1(В”(0)). Возможно ли, что f $ Дх/В^О))
а) при п = 3; б) при п = 2; в) при п = 1?
1.9.	Пусть и(ж) — ограниченная в Bf(O) функция, гладкая в
Bf (0) \ {0}. Можно ли утверждать, что и 6 Яг(В^(0))? '
О
1.10.	а) Доказать, что всякая функция из Я1((0,1)) является
непрерывной.
б) Всякая ли непрерывная функция и(х) на отрезке [0,1],
О
такая, что u(0) = и(1) = 0, принадлежит Я^/О, 1))?
1.11.	Пусть и € С^Г^ПЯ1^) и и(х) = 0 приж € д£1. Доказать,
что и G Я1(П).
1.12.	При каких а функция «(ж, у) = 11п(ж2 4- у2)|а принадле-
жит пространству Я1(П), если
а)	П = B2/2(0)j
б)	П = В2(0)\В2/2(0)?
1.13.	При каких а функция и(х,у) = |1п(ж2 4- ху 4- 2у2)|а
принадлежит Яг(П), где Q = (—1/4,1/4) х (—1/4,1/4) ?
1.14.	а) При каких а и п функция /(ж) = 11п|ж||а/|ж|2
принадлежит пространству Яг(В”у2(0))?
б) Тот же вопрос для пространства Я1(В”(0)).
16 Глава 1. Вспомогательные сведения из анализа
1.15.	При каких а,(3 функция /(ж) = |ж|а cos/Зх принадлежит
О
пространству Н’1((—1,1))?
1.16.	При каких а, /3 € R функция f(x) = |ln |а;||“ dos(j0|«|), где
о
х = (si,... ,хп), принадлежит пространству В1(В"/,2(0))?
1.17.	Пусть
D = {(®i,..., xn) е Rn | х2 Н---1- Xn-i < аХп, 0 < хп < +оо}.
Доказать, что для любой постоянной С > 0 найдутся такая
О »
ограниченная область Q С D и такая функция f G B1(Q), что
J f2(x)dx > С J |Vf(x)\2dx.
Q	Q
1.18.	Справедливо ли неравенство Фридрихса в полосе
П = {(ж,2/) | 0 < ж < 1, —оо < у <+оо} С R2?
1.19.	Пусть Q = В”(0). Справедливо ли следующее утвержде-
ние: существует постоянная С > 0 такая, что
|«(0)| < С||и||Я1(<5) У^бС00^)?
О
1.20.	Рассмотрим в пространстве Ях((—1,1)) множество А
гладких финитных функций у>(х), удовлетворяющих условию
9?'(0) + а<р(0) = 0, а € R. Найти коразмерность замыкания А
О
множества А в /Г1((—1,1)).
1.21.	Построить пример ограниченной области П на плоско-
сти R2, такой что функции C°°(Q) не составляют всюду плот-
ного множества в пространстве B1(Q), т. е. C°°(Q) 0 B1(Q).
ГЛАВА 2
Общие понятия теории
уравнений с частными
производными
2.1. Классификация уравнений. Характеристики
Линейное уравнение второго порядка имеет вид
п	п
У OijUXiXj 4- У OiUXi +аи = д(х), х G Rn, сц = ад.
lj=l	1=1
(2.i)
Вектор 7 = (71,... ,7п) имеет характеристическое на-
правление, если	п
У °v'7i7j = О-
ij=l
Поверхность Ф(ж) = 0 называется характеристикой урав-
нения (2.1), если нормаль к этой поверхности и = имеет
характеристическое направление в каждой точке, т. е.
А	ЭФ дФ	п
/	а д	О*
' J OXi OX,
Если матрицу (а^) привести к диагональному виду, то в
соответствии со знаками диагональных элементов, уравнения
подразделяются на эллиптические (когда все элементы нену-
левые и одного знака), гиперболические (когда все элементы
ненулевые и ровно один отличается по знаку от остальных),
параболические (когда существует ровно один нулевой, а
остальные элементы одного знака). Остальные типы мы не
называем.
У уравнения второго порядка с двумя независимыми пере-
менными
Q'li'U'xx “Ь ^^12^ху + fyffiUyy 4“	4“ b2Uy 4~ ct/> = /?(ж, ?/)
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА МГУ
18 Глава 2. Общие понятия теории уравнений
характеристиками являются кривые, которые наедятся из
уравнения
«11 (ф)2 2ai2</xx/y + <i22(daj)2 .=? Q,
называемого характеристическим, Если ац 0, то ищем
решение в виде у = у(х), где
dy 012 i VD г» 2
, D = Oj2 — ®и«22 — дискриминант.
dec Оц
В зависимости от знака дискриминанта возникают три случая.
Гиперболический случай: D > 0, два семейства харак-
теристик £(ж,у) = С и т](х,у) = С. При замене
Г С = €(®,у),
1 т] = ‘П(х,у'),
уравнение приводится ко второй канонической форме
и^ 4- младшие члены = 0.
В случае замены	'
J а = С + 1?,
1 0 = £~ri
уравнение приводится к первой канонической форме
иаа ~ ирр + младшие члены = 0.
Параболический случай:. D = 0, одно семейства харак-
теристик £(х, у) = С. Любой невырожденной заменой вида
Г С = С(®,у),
| 17 = 17(3?, 3/),
где rj(x, у) — некоторая функция от двух переменных, уравне-
ние приводится к канонической форме
Um 4- младшие члены = 0.
Эллиптический случай: D < 0, действительных харак-
теристик нет, но есть два семейства комплексно сопряженных
характеристик £(ж, у) ±iT](x,y) = С. Для приведения к кано-
нической форме (только к первой) необходимо сделать замену
Г € = ^(®,у),
1 J? = y(x,y).
2.1. Классификация уравнений. Характеристики 19
В этом случае уравнения приводится к виду
+ Uw + младшие члены = 0.
Задачи
2.1.	Существует ли уравнение вида
п
, Лу(®1, • • •, ®n) ^XiXj 0, aij € 67 (R ),
i,j=l
являющееся эллиптическим на непустом множестве D С R”,
D / R”, и гиперболическим на его дополнении Rn\D?
2.2.	Верны ли следующие утверждения: если уравнение
п
ау(®1, • • •, ®n) 'U'xtXj 0,	€ 67 (R ),
»J=1
— гиперболическое (эллиптическое, параболическое) в точке
(ж1,..., хп), то оно является гиперболическим (соответственно
эллиптическим, параболическим) также в некоторой окрестно-
сти этой точки?
2.3.	Для каких из трех уравнений на плоскости
Uf = Ида:,	= ЗДва,	= 'U’xx
существует непостоянное решение с ограниченными и замкну-
тыми линиями уровня?
2.4.	При каких (ж, у, z) € R3 уравнение
ttxj, + (Зж + у - z)uxz + (Зж - у + z)uyz = 0
является гиперболическим?
2.5.	Найти характеристики уравнения ихх — y2Uyy = 0, прохо-
дящие через:
а)	точку (1,2);
б)	точку (1,0).
20 Глава 2. Общие понятия теории уравнений
2.6.	а) Найти все характеристики уравнения
Uxy Нуу	^У “
б)	Найти его общее решение.
2.7.	а) Определить тип уравнения 2uxx+ uxy = 1.
б)	Найти его характеристики.
в)	Найти его общее решение.
2.8.	а) Определить тип уравнения
ихх 2auxy Зси Uyy + auy 4- ux = 0	(2.2)
в зависимости от действительного параметра а.
б)	Привести уравнение (2.2) к канонической форме.
в)	Найти общее решение этого уравнения.
2.9.	а) Найти все а, при которых существует линейная замена
переменных (х,у) —► (t,z), переводящая уравнение
Uxx “Ь 4?Uxy OtUyy s О-	(2.3)
— в уравнение струны ut( = uzz,
— в уравнение теплопроводности щ = uzz.
б)	Те же вопросы об уравнении
Uxx 4” ^Uxy ~~ &иуу OlUx Qi Uy — 0.
в)	Пусть функция u(x,y) G C2(B2(0)) удовлетворяет урав-
нению (2.3) при некотором значении а < —10. Возможно ли
при этом и С°°(В2(0))?
г)	Тот же вопрос для а > 10.
2.10.	Пусть Q = {(а?, у) G R2 | х2 + (у — 2Z)2 < I2}, функция
u € C2(Q) удовлетворяет уравнению
2иха: 4- S1&ny = о в области Q.
а)	Возможно ли, что u C3(Q) в случае I > 0? Ответ
обосновать.
б)	Тот же вопрос в случае I < 0.
2.1. Классификация уравнений. Характеристики 21
2.11.	На плоскости (t,x) G R2 рассматриваются уравнения
щ — их = 0,	(2.4)
2utt — (а 4- l)2«tx + 2<*uxx = 0.	(2.5)
а)	Найти характеристики уравнения (2.4).
б)	При каких а любое бесконечно дифференцируемое ре-
шение u(t,x) уравнения (2.4) является также и решением
уравнения (2.5)?
Для каждого из найденных в п. б) значений параметра а:
в) найти характеристики уравнения (2.5);
г)	указать некоторое решение u(t,x) уравнения (2.5), кото-
рое не является решением уравнения (2.4), или доказать, что
такого решения нет.
д)	Тот же вопрос об ограниченном решении.
2.12.	Найти характеристические плоскости уравнения
Utt'— Нхх 4" Нууу
проходящие через прямую t — 0, у = х.
2.13.	Найти все характеристики уравнения
Uxx 2Uyy 4“ 2otUyz "J- О Uzz +	4~ и — 1
при каждом a G R.
2.14.	Найти общее решение уравнения
ихх “Ь 2иху 4“ 2uxz 4“ Нуу -J- 2uyz 4~ uzz и — 0.
2.15.	а) Привести к виду, не содержащему несмешанных про-
изводных второго порядка, следующее уравнение:
П-ex 4* иХу 2иуу 4- 3(ж 4* у)их 4- 6(я» 4~ у)му 4* 9tz — 0.
б)	Найти общее решение исходного уравнения.
2.16.	При каких вещественных а и /3 теорема о существовании
и единственности аналитического решения нехарактеристиче-
ской обобщенной задачи Коши применима к следующей задаче:
Нху 4-	4* и — ху,	~ Ну |£ —— 0)
где S задается уравнением ах + (Зу = 1?
22 Глава 2. Общие понятия теории уравнений
2.17.	а) Найти все значения а, для которых существует функ-
ция и(х,у), принадлежащая C1(R2)DC'2({a; > 0})ПС'2({ж < 0}),
удовлетворяющая уравнению
аихх + иху + Uyy = 0 при ж / 0
и условиям
“L=0 ~ 11	'“®1а:=0 = ^’
но не принадлежащая С2(В2(О,уо)) ни при каких уо € R и
а > 0.
б)	Найти все а, для которых при любой f G Li)ioc(R)
функция и(х,у) = f(x + у) удовлетворяет в 1/(R2) уравнению
из пункта а).
2.2. Корректность постановки задач
Определение корректности. Пусть задано уравнение Lu = f
с дополнительными условиями BjU = у,-. Эта задача постав-
лена корректно в паре линейных нормированных пространств
Eq и Ei, если
1)	для всех наборов данных € Ei существует реше-
ние и € Во;
2)	это решение единственно;
3)	существует такая постоянная К, не зависящая от
что Мео
Подчеркнем, что пространства Eq, Ei не обязаны быть банахо-
выми, т. е. полными.
Задачи
2.18.	Рассматривается задача
«и = ихх, (х, t) € й := {(ж, t) | 0 < t < 2s, 0 < х < +оо};
“14=0 = °’	“14=2® = ^(ж)> о < ж < +оо;
<р € C2(R+) П £сс(К+),	¥>(0) = 9?'(0) = <р"(0) = 0.	(2.6)
2.2. Корректность постановки задан 23
Корректна ли она в паре пространств (Eq, Bi), где
Ео = С2(П) П £оо(П),	||и||Еь = sup |и(ж,*)|,
п
Bi = {у?(ж) | <р удовлетворяет (2.6)},	= sup |<р(ж)|?
R+
2.19.	Корректна ли краевая задача:
Ut = ихх>	С®)^) € Q := (0,1) х (0,2];
u|t=0 = </>(®)>	0 х 1;
uL=o = uL=i =	0 < t < 2,
в паре пространств (Bo,Bi), где
Eq = {u(x,t) | u G C$(Q) П C(Q)},	||и||во = max|u(x,t)|,
Q
Er = {<p(x). | G С1 ([0,1]), <p(0) = <p(l) = 0}, .
llv’llBi = тах|<р(ж)|?
2.20.	Корректна ли задача Коши для уравнения
utt = ихх
в полосе Q :=	(0 < Т < +оо) с условиями
u|f=0 = <^1(ж), ut\t=Q = <р2(х), ж€К,
в паре пространств (Bo,Bi), где
Eq = {u(x,t) | u € C2(Q), sup|и(ж,t)| < +oo},
Q
||u||e0 =зир|и(ж,*)|,
Q
Bl = {Ф(ж) = (<^1(ж),</?2(ж)) I <P1 G C2(R), (P2 € C^R),
sup |^(®)| < +oo (j = 1,2)},
IR
||Ф||Б1 = 8Пр|<Р1(ж)| +8Пр|^2(ж)|?
R	R
24 Глава 2. Общие понятия теории уравнений
2.21.	Корректна ли задача Коши для уравнения
в полосе Q :=	(0 < Т < +оо) с условием
Ч=о = ^(4 х € R’
в паре пространств	где
Ео = {u{x, t) | u G C^(Q) П C(Q) П Loo(Q)}>
El “ I S? € C(R) n.L°°(R) О = 0,1,... ,р)},
||tt||jEo =sup|u(z,t)|,
Q
р
iipU=22 sup
J=O R
dj(p(x)
dxi
p G N фиксировано?
2.22.	Рассматривается задача Коши для уравнения
uu = ux
с условиями
«t|t=0 = <Р2(®).
4=0 = ¥>1(4
а)	Применима ли к ней теорема Коши—Ковалевской в слу-
чае аналитических <pi и <р2?
б)	Корректна ли эта задача в паре пространств (Eo,Ei),
где
Ео = {u(x,t) | и G C%(Q) П Lco(Q)},	Q = Qr,
Ei = (Ф = (^1,<р2) I € C(R) П Loo(R) (i = 1,2; j = 0,1,2)},
v	i ах**	j
2	2
||и||еь = sup I4M)I,
Q
иф||в1 = I2£sup
i=lj=o R
dVi(Xl)
dxi
?
2.23.	Рассматривается краевая задача
щ + aux = 0,	(ж, t) 6 Q := R+ х R+;
«lt=o = X € K+;	и|г=0 = p2(i), t G R+-
2.2. Корректность постановки задач 25
Найти все а, при которых эта задача корректна в паре про-
странств (Eq,Ei), где
Ео = C\Q) П Loo(Q)}» hll^b = sup |u(a:,t)I,
Q
E\ = {Ф = (0,<7i, 52) I gj € C1(R+) П£оо0&+) (j = 1,2),
51(0) = 02(0), 52(0) + «5'1(0) = 0},
ll^lki = sup |51 (ж) | + sup |52(*)|-
R+	R+
2.24.	Рассмотрим задачу Коши в полосе П = Rjx [0, уо] в R^>y:
Д« + и = 0 в П, иб^ЩПС^П), '
^=0 = ^(ж)>	= ^(ж)>
где <р(х), V'(ж) — ограниченные непрерывные функции на R*.
Корректна ли эта задача в паре пространств u G Eq,
Ф = (<p,V>) € Ei, где
Ео = С(П),	||и||£о = sup |u(x, t) |,
П
Ei = C(Ri) х C(R^), ЦФЦ^ = sup |<р(х)| + sup|?
R	R
ГЛАВА 3
Уравнения
гиперболического типа
Если гиперболическое уравнение на функцию и двух перемен-
ных приводится к виду	_ q
то его общее решение имеет вид
“ = /(£) +рОО-
Задачи
3.1.	Существует ли функция и € С2(В2(0) \ {0}), удовлетворя-
ющая в В2(0) \ {0} уравнению «Х1а:1 = Ur2®2 и неограниченная
3.2.	Пусть функция и(х) € С2(К2) удовлетворяет уравнению
«Xi®! = «®2®2 в ®2> и и(х) = 0 ПРИ всех х е Bf(O). Найти
наибольшее множество в R2, на котором необходимо и(х) = 0.
3.3.	Рассмотрим задачу Коши на плоскости (x,t) с данными
на характеристике {t = х} для волнового уравнения
utt = ихх, «|t=a. = <р(х), u®|t=a. = Ф(х).
Придумать такие гладкие функции <р(т), ф(х), чтобы данная
задача не имела решения.
3.4.	Привести пример функций <р, ф € C2(R) таких, что задача
Коши
ихх + 5иху — &и>уу = 0, н|у_6х = У’Се), ^1^=6® = ^’(ж)
а) имела бы решение. Единственно ли это решение?
б)	не имела бы решений.
3.5.	Пусть Q = [0,1]_х [0,1], / € C2(5Q). Единственно ли
решение «(ж, t) е C2(Q) следующей задачи:
ид = u®®, (®>^) € Qi	=
3.1. Задача Коши для волнового уравнения 27
3.1. Задача Коши для волнового уравнения
Классическим решением задачи Коши для волнового уравне-
ния	„
Utt — а2 + f(x> £) (° >0), же Rn, t > 0,
, Ч=о= 4t=o= ^(4
где ^(ж), ^(ж), /(ж, t)—заданные функции, называется функ-
ция u(x, t) G С2(ж G Rn, t > 0) Г1 Сг(х G Rn,t > 0).
Если выполняются условия	_
¥>(ж) G C^R1), ^(ж) € ^(R1), /(ж, t) G C^R1 х R+) (n = 1);
<p(x) G C^R”),^) G C^R”),/^,^ G C2(Rnx R+) (n = 2,3),
то решение задачи Коши существует, единственно и задается:
при п = 1 формулой Даламберй,
u(x, t) = рр(ж + at) + <р(х — at
. z ч	X-^dt
t x+a(t—T)
x+at
О х—a(t—т)
при п = 2 формулой Пуассона
д
dt

|f-x|<at
1
2тга J	у/(at)2 —1£ — ж|2 _
If—a|<at
t	' ' ' 
f f f&r)<£dT .
1J J y/(a2(t — r)2 — \^ — x\2 ’
. 0 |f—x|<a(t—t)
при n = 3 формулой Кирхгофа
u(x, t)
|f-x|=at	|£-rr|=at
t
f f^dSidr.
0	|C~®|=a(t-T)
28 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Замечание. Решение однородного волнового уравнения в лю-
бой точке (ж, t) зависит от значений начальных функций риф
при n = 1 — на отрезке [ж — at, х + at];
при п = 2 — в круге с центром в точке х радиуса at;
при п = 3 — на сфере с центром в точке х радиуса at.
и не зависит от их значений вне данного множества.
Задачи
3.6.	Пусть u(x,t), (x,t) Е R х R+, — решение задачи Коши
Utt = uxx, u|t=0 = 0, ut|t=0 = (1 + аг2)“е/?а:2.
Найти все О', /3, при которых sup \u(x, t)| < +оо.
RxR+
3.7.	Пусть и(х,^, (х, t) Е R х R+, —решение задачи Коши
Utt = uxx, гл|д==0 = 0, ut\t=Q = (х3+ а2х4)(1 + х2')/3.
Найти все а, /3, при которых существует конечный lim u(0, t).
t—>+оо
3.8.	Найти все комплексные а, при которых ограничено реше-
ние u(x, t) в полуплоскости R х R+ задачи
. utt = uxx, u|t=0 = 0, ut|t=0 = (1 + x2)lmaeax2
3.9.	Пусть u(x,t\a), (x,t) € R x R+,— решение задачи Коши
utt = a2uxx, u|t=0 = 1 + x2 , ut|t=0 = 0.
Доказать, что u(x, t; a) убывает no a.
3.10.	Пусть гд(а:,<), (x,t) € R x R+) —решение задачи Коши
utt = a2uxx, u|t=0 = cp(x), ut|t=0 = tl>(x),
причем p(x) = ф(х) = 0 для |х|	1.
Доказать, что для любого xq существуют такие числа to и с,
что u(xq, t) = с при всех t > to. Найти эти числа.
3.11.	Пусть u(x,t), (я, t) Е R х R+, —решение задачи Коши
Utt =	ti|t=0 = ф(х), ut It=o = 0,
причем |<£>(а:)|	1 для всех х € R, <р(х) = 0 для |х| > 1.
3.1. Задача Коши для волнового уравнения 29
Найти нижнюю грань множества таких значений т, что
при всех > т, х 6 R и любых <р с указанными свойствами
выполняется неравенство |и(гМ)|	1/2.
3.12.	Пусть {uk(x,i)} (fc = 1,2,...) — последовательность
функций класса С2, удовлетворяющих соотношениям
ufclt=0 > О ПРИ < х < +оо,	0 при — оо < х
dui. I ~
-«г . = О, х е К-
at lt=o
При каких a > 0, /? > 0 найдется такое то, не зависящее от к,
что Uk{x, t) = О для (х, t) 6 (—оо, то] х [О, А:] (к = 1,2,...)?
3.13.	Найти решение u(x,y,t) в R2 х R+ задачи:
utt =uxx + uyy,	гд|(=0 = е-®2 + arctg у, ut |t=0 = cos x + sin y.
3.14.	Найти решение u(x, t), x = (ari, x%,хз), в R3 x R+ задачи:
utt = &xu, u|t=0 = 0, ut|t=0 = |a:|7.
3.15.	Найти решение u(x, t), x = (xi, x%, хз), в R3 x R+ задачи:
utt = kxu, u|t=o = O, ut\t=Q = 1 + (a.i+a.2 .> xgR3-
3.16.	Найти решение задачи Коши
Utt = 4(uxx + Uyy + uzz), t > 0,	u|t=0 = >p(x, y, z), Ut|t=o = 0
при следующих функциях <p(x,y,z):
а) = sin x + e2x, 6) <fi=(yz)2, в) = (Зх — у + z)e3x~v+?.
3.17.	Пусть u(x,t) — решение в R3 x R+ задачи Коши:
Utt =	ti|t=0 = 0,	tit|(=0 = (1 + 4|s|2)-1/2.
Найти lim u(0, t).
t-»+oo
30 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
3.18.	Пусть и(ж1,Ж2,<) —решение в R2 х R+ задачи Коши:
Utt = Ujjxj + Ux2X2i Ч=о =	^lf=0 ~ V,(®1>®2) € C (R ),
где ^(ж1,жг) > 0 в B2(0), -0(rri,rca) = 0 в R2 \ B2(0).
а)	При каких (xi,X2,t) функция u(xi,X2,t). равна нулю?
б)	Найти *lim tu(xi,X2,t) в случае, когда
= (1 - ж? - жг)+-
3.19.	Пусть u(xi,X2,t) — решение в R2 х R_|_ задачи Коши:
utt = uxixi 4"“4x2X2)	u|t=0 = 0> Uf|^_Q = 1ф(х1,Х2) € С (R ),
где i/>(xi,X2) = 0 при (ж1,жг) € [0,1] х [0,2], ^(жх.жг) > 0 при
остальных (ж1,жг).
а)	Описать с помощью неравенств множество всех значе-
ний (xi,X2,t) G R2 х R+, для которых и(ж1,Ж2,<) = 0.
б)	Нарисовать это множество.
3.20.	Пусть u(x,t) — решение в R3 х R+ задачи Коши:
utt = ^xu, u|t=0 = °> *4=0 =5 ^(ж)> 	°
где ^>(ж) = 0 при 0.9	|ж| ^.1„ “Ф(х} > 0 для остальных х.
При каких (х, t) функция u(x, t) равна нулю?
3.21.	Пусть {ue(x,y,t)} (Ь < е <— семейство функций
класса С2, удовлетворяющих соотношениям
d2ue _ d2ue 92ue
£ 9t2 ~ 9х2 + 9у2 ’
и4=о = О’
I п= 0 при х2 + у2 £~q>
ot lt=o
(a;,y)GR2, О С t < e"m;
(х,у) eR2;
|	>0 при х2 + у2 > s~q.
ot lt=o
При каких т > 0, q > 0 найдется такое р > 0, не зависящее от е,
что ие(х, у, t) = 0 для ж2 + у2 р2, 0 < t Е~т (0 < е < |)?
3.22.	Пусть и(ж, t) — решение задачи Коши
Utt — Ди, х € R , t > 0,	и|^_д — 0, ut|^_Q — ^(ж),
3.2. Смешанная задача для полуограниченной струны 31
причем ^(ж)	0. При каких п € {1,2,3} справедливо утвер-
ждение: если множество {ж G Rn | ^(ж) = 0} связно, то и
множество {(ж,<) 6 Rn х 1Ц. | u(x,t) = 0} также связно?
3.23.	Пусть ,и(ж,<) € C2(R3 х (0,+ро)) А С1^3 х ДО,+оо)) —
решение задачи Коши для волнового уравнения
utt = Au, u|t=0 = 0,	= у?(ж) e Cq°(R3). •
Может ли носитель функции и лежать в цилиндре
В3(0)х[0,+оо)?	'
3.2.1 Смешанная задача для полуограниченной струны
Смешанной, или начально-краевой, задачей для полуограни-
ченной , струны называется задача о , нахождении . функции
и(ж,<), удовлетворяющей уравнению
ч utt = a?uxx (а>0),
начальным условиям при t = 0
4=о = ^ж)> 4=o = 1
и граничному условий) при ж = 0
«Uo = M(tj
или «4=0 = 4*)
или (их - mt) 1^0 = /z(t)
(условие I рода),
(условие II рода),.
(условие III рода).
В случае когда p(t) = 0, краевое условие называется однород-
ным. Рассматриваются и другие виды граничных условий.
Для существования классического решения ueC,2(R+xR+)
нужны дополнительные условия согласования начальных и
граничных условий в точке (0,0}. Например, классическое
решение задачи с граничным условием I рода существует, если
д(0) = у>(0) (= н(0,0)),	д'(0) = ^(0) (^ (0,0)),
/i"(0) = aV(0) (utt(0,0)=a4I(0,0)).
Общее решение однородного уравнения струны имеет вид
и(х, t) = /(ж-at) + g(x + at)-,
f(x — at) — волна, бегущая вправо, g(x + at) — влево.
Функции /(£) и д(£) при положительных значениях аргу-
мента определяются из начальных условий, и тем самым при
32 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
х > at решение находится по формуле Даламбера
u(x, t) = i 1\р(ж 4- at) + <p(x - at)] + 4 / V’(C)
L	J £Лл J
x—at
Для нахождения решения при 0 < х < at ищем функцию
/(£) при £ < 0 из граничного условия при х = 0. Например, в
случае условия первого рода имеем
4=о = /(““О + 9(at) =	/(С) = м(-£/а) - р(~С), С < 0.
В случае граничного условия второго или третьего рода функ-
ция /(С), С < 0> является решением обыкновенного, диффе-
ренциального уравнения первого порядка и зависит от од-
ной произвольной постоянной, которая находится из условия
непрерывности решения u(x,t) на главной характеристике
х = at.
Замечание. Если уравнение является неоднородным, то ’
следует найти любое частное решение неоднородного уравне-
ния w(x,t), представить искомое решение u(x,t) в виде суммы	|
u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), и подставить ti(x,i) в уравнение,	|
начальные и граничное условия. Тогда для новой неизвестной |
функции v(x,t) получится однородное уравнение с новыми ']
начальными и граничными данными.
Частные случаи.
Для однородного граничного условия первого рода	j
4=о = °
общий метод дает тот же результат, что и метод нечетного про-
должения начальных условий. Функцию u(x,t) можно найти
по формуле Даламбера как решение задачи Коши (х € R) с
нечетно продолженными в область х < 0 функциями <р и V’
ф(х) = (	^(ж) = (
[ —</?(—ж), х < 0,	ж), ж < 0;
полученное решение следует рассматривать только при ж 0.
В случае однородного граничного условия второго рода
“4=о - о
3.2. Смешанная задача для полуограниченной струны 33
удобно применить метод четного продолжения начальных
условий. Функцию «(ж, t) можно найти по формуле Даламбера
как решение задачи Коши (ж G R) с четно продолженными в
область х < 0 функциями риф
ф(х) = [ ^Х\	= (
[ <р(—х), х <Q. v '	[ ф(—х), х < 0;
полученное решение рассматривать только при ж > 0.
Условия согласования здесь переписываются в виде условий
на гладкость в нуле функций ф G C2(R) и if) € CX(R).
Задачи
3.24.	Пусть u(x, t) — решение в R+ х R+ задачи:
Utt = uxx,	= 0,
.	(— sin3 ж, я < ж < 2тг, .
ик=° | О, Ж^(7Г,2тг), t=o
а)	Найти множество {(ж,£) € R+ х R+ | и(ж,£) 0}.
б)	Нарисовать это множество.
в)	Нарисовать графики и(ж,—), и(ж, —).
А	£
3.25.	Прикаких А = const и т?(ж) существует функция и(ж, t) G
С2(К+ х R+); являющаяся решением в ВЦ. х R_|_ следующей
задачи:
utt = uxx, (ut + Xux)\x=Q = 0, u\t=Q = <p(x), ut|t=Q = 0?
Найти эту функцию.
3.26.	При каких <р G C2(R) и ф € C2(R) существует решение
и € (72(R2) в R2 задачи:
Un = uxx, u|t=x = <р(х), щ |t=x = ф(х)?
3.27.	При каких Айю существует решение u G (72(R+ х R+)
в R+ х R+ краевой задачи:
utt = uxx, u|i=Q = coswt, u\t=0 = Ae~x2, ut|t=o = O?
Найти это решение.
2—3206
34 Глава 3. Уравнения гиперболического тина
3.28.	В четверти плоскости R+ х R+ рассматривается задача
utt = ихх, (их - и) 1^ = a(t), u|t=0 = <р(ж),	|t=0 = 0.
а)	Пусть <р(ж) и a(t) —2тг-периодические функции, равные
нулю на отрезке [тг/2; Зтг/2]. Найти и нарисовать максимальное
множество, на котором функция u(x,t) заведомо равна 0.
б)	Пусть <р(х) = (соз+(ж))^, (где f+(x) = тах(0,/(ж))).
Найти необходимое и достаточное условие на функцию a(t)
и константу /3 > 0, при которых существует классическое
решение этой задачи.
3.29.	При каких к, а и /3 существует решение u(x,t) G С2(Г>)
в D = {(ж,4) | kt х < +оо, 0 < t < +оо} следующей задачи
utt = uxx, u\x=kt = at&, 4=0 = u‘lt=0 = 0?
Единственно ли оно?
3.30.	Ищется решение и(х, t) задачи
«« =	u|1=I = vW £ С2([0,1]),
»U=*)eCI(|0,l/21),
О х
О < х
<1;
<1/2.
Здесь <p(fc)(0) = V’^(O) = 0 для к — 0,1,2.
а)	Описать с помощью неравенств множество всех значе-
ний (ж, t) G R2, для которых однозначно определено решение
и(ж, t) этой задачи.
б)	Нарисовать это множество.
в)	Найти решение и(х, t) рассматриваемой задачи.
3.3.	Ограниченная струна. Метод Фурье
Задача Штурма—Лиувилля
Рассмотрим спектральную задачу для дифференциального
оператора Штурма—Лиувилля
L =	(р(х)	- д(ж), L[u] = (риУ - ди,
3.3. Ограниченная струна. Метод Фурье 35
где q > 0 на [0, /] и р(х) > ро > О на [О, Z], следующего вида:
{Lfu] = —Ли, при х G (0,1),
«|®=о =0,
«|x=Z = 0.
Теорема 1.
1)	Оператор L является симметрическим отрицательно
определенным, т. е.
(L[u], v)L2(0,i) = («,ЬМ)ь2(о,1), №Ь«)ь2(o,i) -х2(и,и).
2)	Если L[u] = —Хи, L[v] = —Xv, то функции и(х) и v(x) —
линейно зависимы; если L[u] = —Хи, L[v] = — p,v и Л / р,
то (u,v)L2(0>i) =0.
3)	Обозначим Хк и Хк(х), к € N, собственные значения
и собственные вектора оператора L, т. е. LpOj =
—ХкХк, Хк	0. Тогда множество {Х^} образует пол-
ную ортогональную систему в Ьг(0,1), а |Хк| —> +оо.
Метод Фурье
Изучение собственных колебаний ограниченной струны с за-
крепленными концами приводит к задаче
иа = а?ихх, х е (О, I), t > 0, u|I=o = «|x=z = 0,	(3.1)
Ч=о = Р&Ъ «tlt=o = ^(®),	(3-2)
Это так называемая смешанная, или начально-краевая, задача
для уравнения струны. Решение этой задачи ищется в классе
функций u(x,t) G C2((0,Z) х R+JnC^lOji] х R+).
Краевые условия в (3.1) в каждом из концов х = 0 и
х = I могут быть заменены (независимо друг от друга) на
условия одного из трех видов, указанных для полуограничен-
ной струны. Соответственно, для существования классического
решения задачи (3.1)-(3.2) необходимо выполнение условий
согласования в двух точках: (0,0) и (/, 0).
Решение начально-краевой задачи на отрезке, как правило,
строится стандартным методом Фурье в виде разложения в
ряд по собственным функциям Хк(х) соответствующей задачи
36 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Штурма—Лиувплля. В случае однородных краевых условий I
и II рода на обоих концах базисные функции Xk имеют вид:
Xk(x) = sin^ (fceN)
Xo(x) = l, Xk(x) = cos^p-
тг(к - i )x
Xk(x) = sin---—
Xk(x) = cos----—
в случае u|i=0 = «|я=г = 0;
в случае i^l^o =	= 0;
в случае = «,1^ = 0;
в случае Ux|I=0 = uL=l = °-
Например, решение задачи (3.1)-(3.2) дается формулой
°О	_	,	,
z . v-a / А Kkat . „ . irkat \ . тгкх
щх, t) = 2 уАк cos ——F Bk sin —j— J sm -p
k=i 4
l	l
Ak = j[ <p(x) sin dx, Bk = Г ip(x) sin dx.
I J	I	ZTTKa j	i
о	о
Интегралом энергии для рассматриваемой смешанной
задачи называется функция
I
E(t) = / [I + т dx-
о
В случае, если в обоих концах х = 0 и х = I имеются однородные
краевые условия I или II рода, выполнено энергетическое
тождество:
E(t) = const
для любого-классического решения u(x,t) этой задачи.
Задачи
3.31.	Пусть u(x,t) — решение в	х R+ задачи:
Utt ~ uxxi их|а;_р = 0,
.	(sin3 х, 7г <х < 2тг, .
и|<-» = 1о,	^(я,2»),	“,|"=» = 0-
а)	Нарисовать график и(х, 2тг).
3.3. Ограниченная струна. Метод Фурье 37
б)	Тот же вопрос дляслучая, когда уравнение рассматрива-
ется для х € [0,2тг], t € R+ и ставится дополнительное условие
и| „ = 0.
1х=2тг
в)	Тот же вопрос для случая, когда последнее условие
заменяется условием их]х=2п = 0.
3.32.	Указать все значения постоянных а, /3 и 7, при которых
существует решение u € C2(Q) смешанной задачи
utt = ихх, «1^ = Ч1=7Г = 0,
ult=o = ах* + @х3 + s*n	Ut Uo = 7 cos ж
в квадрате Q = [0, л] х [0, тг]. Найти это решение.
3.33.	Пусть и(х, t) — решение в [0,1] х смешанной задачи
utt = 4ихх, и|ж=0 =	= 0,
u|t=0 = 4 sin3 яж,	“tlt=o = 30®(1 — х).
1
а)	Найти f Q), где f(t) = f [u?(x,t) + 4u2(a;,t)] dx.
0
б)	Найти «(ж, 2).
3.34.	Пусть «(ж, t) —решение в [0, тг] х R+ смешанной задачи
utt = ихх, ,w|2._q =	= 0, ^lf=o = sin х, щ |t_g = 0.
Верно ли, что |«t(ж, ^)| > 100 на множестве, мера которого
больше 1?
3.35.	Пусть «(ж, t) — решение в [0,1] х R+ смешанной задачи
utt — ихх, '“Ij.-q = ulI=i = 0, ult=o = 0’ utlt=o = х (1 — х}-
1
Найти lim I [u^(x,t)+u2(x,t)]dx.
t^^OQ J
0
38 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
3.36.	Пусть u(x, t) — решение в [0,1] х смешанной задачи
utt = uxx, = и|ж=1 = 0, u|t=0 = 0, ut|t=0 = ж2(1 - ж)2.
1/2
Найти lim J [ti2(ж, t) + u2(x, t)] dx.
о
3.37.	Пусть u(x,t) — решение в [0, я] х R+ смешанной задачи
Utt = UxX + sin х cos 5ж sin tot,
4=o = 4=,r = °’ “11=0 = 4=o = °-
Найти все ш, для которых sup |u(x,t)| < +оо.
Q
3.38.	Пусть u(x, t) — решение в [0,1] х R+ смешанной задачи
utt = uxx, 4=о = °» 4=i=sina<> 4=о = °> 4=о = ax>
Найти все а, для которых sup |и(ж, t)| < +оо.
Q
3.39.	а) Найти все к > 0, для которых при некоторой функ-
ции <р(х) € С°°((0,7г)) существует неограниченное решение в
[О, тг] х R+ задачи
Utt ~ Quxx )	^|х=о = (ux	“ О,
«11=0 = °’	«4о =
б)	Для к = 1 описать все функции <р(х) 6	для
которых решение u(x, t) этой задачи ограничено.
3.40.	Пусть u(x, t) G С2((0, тг) х (0, +оо))ПСх([0, тг] х [0, +оо)) —
решение в [0, тг] х R+ краевой задачи:
Utt = UXX, 4=0 = Ж 4=ir = 0> «11=0 = 4=0 = °-
/(f) —гладкая функция и f(t) —> 0 при t —* оо. Может ли
решение этой задачи неограниченно возрастать по времени,
т. е. по переменной П
ГЛАВА 4
Уравнения
параболического типа
4.1. Краевая задача
Первой смешанной, или начально-краевой, задачей для урав-
нения теплопроводности в ограниченной области П называется
задача о нахождении функции и(х,	т > о
или Т = +оо, удовлетворяющей условиям
щ = a,	= 0» ult=o =
где ip{x) —заданная функция. Краевое условие может быть и
неоднородным.
Если вместо условий на значения функции и при х е Ш
заданы значения ее нормальной производной или линейной
комбинации самой функции и ее нормальной производной,
задача называется соответственно II и III краевой.
Принцип максимума в цилиндре. Если функция и(х, t) G
C2(Q>C(Q£) удовлетворяет уравнению теплопроводности в
цилиндре Qq, то свое максимальное (и минимальное) значение
в Qq она принимает либо на нижнем основании цилиндра t = О,
либо на его боковой поверхности х € 9Q.
Решение данной задачи, как правило, строится методом
Фуръе. Например, решение одномерной по пространственной
переменной х € (О, I) задачи
щ = а2ихх,	= «1^ = 0,	u|t=0 = <р(х)
дается формулой
ОО
u(x,i) =
fc=l
I
о
40 Глава 4. Уравнения параболического типа
Задачи
4.1.	Может ли отличное от постоянной решение первой крае-
вой задачи для уравнения теплопроводности принимать наи-
меньшее значение во внутренней точке?
4.2.	Пусть u G CXi}(Q) — решение в Q := [0,1] х [0,1] задачи
ut = uxx, u|x=0 = u|x=1 = 0, u|t=0 > 0.
1
Может ли функция f(t) := j u2(x,t)dx иметь максимум
о
внутри интервала (0,1)?
4.3.	Пусть u G (Q) Г) C{Q} — решение в Q := (—1,1) х (0,1]
уравнения
Щ = ихх + q(x, t) и, где q G C(Q).
Обозначим M := maxu; т := шахи, где Г := Q \ Q.
Возможно ли, что М > т, если:
a) q(x,t) = 0; б) q(x,t) > 0; в) q(x,t) < 0, М > 0?
4.4.	Пусть Q := (0,1) х (0,1]. Существует ли функция u(x,t)
со следующими свойствами: u G (Q) Г) C(Q);
ut = ихх, (®>t) € Q;
ti|t=0 = 2sm7r®,	«|t=1 = 3sin7raj,	0 x 1;
u| „ = sinTTt,	ttl , = sinTrt 4-2sin7rt,	0 < t < 1?
,T=U	l2C=l	’
4.5.	Пусть Q =_j(a;,t) G R2|®2 + t2 1}. Существует ли
функция и G C2(Q), удовлетворяющая уравнению
ut = ихх + 1 в Q и условию хих = tu на dQ?
4.6.	Пусть функция u(x,t) G (Q) Г) C3(Q) является реше-
нием в Q := (0,3) х (0,1] краевой задачи
ut = uxx, u|i=0 = e-t/4, u|x=3 = 2e-t/64, u|f=0 = д/ж 4-1,
Верно ли, что и(х, t) в Q убывает по t?
4.1. Краевая задача 41
4.7.	Пусть функции uk(x,t) € C^(Qk) П C(Qk), к = 1,2,
являются решениями в Qk := Q^_k к^ краевых задач
(«fc)t = (ик)хх,	= 0, Ufc|t=0 = <р(х),	|ж| к.
Здесь <р G 2,2]); (р(х) О при |®| < 1 и <р(х) = О при
1 < |ж| < 2; О.
Доказать, что ui(x,t) < U2(x,t) V(z,i) е [—1,1] х (0,Т].
4.8,	Пусть и € Cx,t(Q) Г) C(Q) — решение в Q := Q^_
краевой задачи
«t = ихх, 4=±я- = 0, Ч=о = sin2 х-
7Г
Найти lim / u(x.t)dx.
t->+oo J v ’
0
4.9.	При каких условиях на функцию <р € Cq°((O, 1)) любое
решение u(t,x) в полуполосе задачи
а)	Щ = ихх, 4=0 =	= О,
б)	щ = ихх, их Ij.-.Q = их [а:_1 = О,
обладает свойством u(t, х) —* 0 при t —> +оо?
4=0 = ^(4
4=о = ^(ж)
4.10.	Пусть и 6 C^t(Q)nC(Q) — решение в Q	задачи
ut = UxX + от, 4=0 = 4=1 = °>	4=о = 44
Найти все такие a € R, что для любой начальной функций
е <7([0,1]), <р(0) = <р(1) = 0, выполнено
t lim и(х, t) = 0 Vx е [0,1].
4.11.	Пусть ti(s, t) — решение в краевой задачи
Щ = ихх, «|я=0 = 4=ж = °’ “lt=o = ^(я)’
где € Ог([0, тг]), 9?(0) = 9?(тг) = 0. Указать класс всех таких
функций 9?(ж), для которых
t lim е1и(х,1) =0 V® G [О,тг].
42 Глава 4. Уравнения параболического типа
4.12.	Пусть u(x, t) — решение в полуполосе <Э(^37Г) задачи
Щ = ихх, «|я=0 = «|я=3т = 0,	u|t=0 = <р(х),
где € С1 ([О, Зтг]), <р(0) = <р(3тг) = 0. Указать класс всех таких
функций <р(ж), для которых
а)	существует конечный lim е^и(ж,4);
б)	существует конечный lim elu(x,t);
в)	существует конечный lim et2u(x,t).
4.13.	Пусть u(x, t) — решение в краевой задачи
Щ = Uxx> 'ula;=o =	4=тг/2 = 4> U(X> ®) = COs4 Х + 4 sin5 X.
Найти lim u(x,t).
t-»+oo '
4.14.	Пусть u G	П C(Q) — решение в Q := Q^, где
Q = (0,1) х (0,1), задачи
t*t = tljEjXl +
Ч1=о = Ч2=0 = °> 4^=1 =Ж2, 42=1=Ж1-
Найти t lim u(xi,X2,t).
4.15.	Пусть u(x, t) — решение в полуполосе задачи
ut = «хх, «|ж=0 = u|x=J = t, u|t=0 = <p(s),
где <p G C1 ([0, /]), y>(0) = <p(l) = 0. Найти lim t-1 u(x,t).
t—>+oo
4.16.	Пусть функции ui и t»2 удовлетворяют соотношениям
(Ufc)t = (ujfc)xx, 0<ж^тг,	0O< +oo;
u*lt=o = sin2 x ~ a.sin4 x (k = 1,2);
«1|я=о = «1|ж=^ = О, («2)г|я=о = («2)х|х=я = 0,	0 t < +оо.
При каких а справедливо неравенство
lim ui(x,t) < lim U2(x,t) Vs G [0,7rl?
t—+4-00	t—+4-00
4.1. Краевая задача 43
4.17.	Пусть функция и(х, t) — решение в Q^q2) задачи
ut = uxx, г^|х=0 = Wx|I=2 = 3,	u|f=0 = ж3 - Зж2 + Зя.
Найти lim u(x,t).
t->+oo '	’
4.18.	Пусть функция u(x,t) — решение в Q^2) задачи
ut = ихх, гМя-о = 11 Uxlx=2 = 13» ult=o ~х3 + х-
Найти lim u(x,t).
t-»+oo v '
4.19.	а) Найти все I > 0, для которых при некоторой функции
<р(х) £ С°°((0,/)) существует неограниченное решение в Q^iy
краевой задачи
ut = 2ихх, ц|ж=0 = (их - 3«)|х=/ = 0, tt|t=0 = <р(ж).
б)	Для I = 1 описать все функции <р(ж) е С°°((0,/)), для
которых решение этой задачи ограничено.
4.20.	а) Функция u(x,t) const удовлетворяет уравнению
Щ — ихх
в области Пу = {(ж, t) | 0 < t < Т, 0 < ж < 5 — ехр(—t)}.
Доказать, что максимум этой функции на Пт не может
достигаться ни во внутренних точках области Пт, ни при t = Т.
б)	Пусть и(х, t) является решением задачи
ut = ихх в области t > 0, 0<ж<5 — ехр(—t),
=0.	=^).	(41)
где <р(х) £ Со°((О;4)). Доказать, что |и(ж, t)| < Се-*/4.
в)	Привести пример функции <£>(ж) е Cq°((0,4)) такой, что
для решения «(ж, t) задачи (4.1) выполнено
max и(х, t) > e-t Vt > О
«€(0;5—exp(-t))
в предположении, что такое решение существует.
44 Глава 4. Уравнения параболического типа
4.21.	Пусть u(t, х) — решение в заДачи
щ = uxx, «1^ = uxlx=n = 0,	u|t=0 = <р(х),
где </?(0) = </(тг) = 0.
а)	Доказать, что sup |u(l,ж)| < sup |<р(ж)|.
0<Ш<7Г	0<Ш<7Г
б)	Верно ли, что sup |и(1,ж)| < - sup |<р(ж)| ?
0<Х<7Г	2 0<Х<7Г
4.22.	Пусть функция u(x,t) € C2(Q)AC(Q) является решением
в Q := Qq краевой задачи
ut = Ди + f{x), и|жеап = 0,	u|t=0 = О,
где f(x) 0 при х е Q. Доказать, что при фиксированном
жо € Q функция u(xq, t) является невозрастающей по t € (О, Т).
4.23.	Пусть u(x,t) G C2(Q) A (7(Q)— классическое решение в
Q := Q(o 1) краевой задачи
щ = ихх + г>(ж,t), г1|г=0 = и|х=1 - 0, u|t=0 = <р(ж) е С°°([0,1]),
г>(ж, t) — ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая
оценке |v| С, С > 0 —заданная постоянная.
Можно ли так выбрать функцию и(ж,4), что и(ж,<) = 0 при
всех t > <♦, t* — некоторая положительная постоянная?
4.24.	Пусть u(x,t) G C2(Q) Г1 С1 (Q) — классическое решение в
Q := краевой задачи
Щ = ихх + Зи, и|ж=0 = ul^ = О,
Доказать, что для и(ж, t) имеет место неравенство
|«(ж, t)| Ce~6t, С = const > 0.
4.25.	Пусть u(x,t) G C2(Q) А С1 (Q) — решение в Q :=
краевой задачи
ut = uxx, = 1, «х|х=1 = -1, Ч=0 У’С®) 6 Со°((°> !))•
Ограничено ли это решение на Q? (То есть растет ли темпера-
тура?)
4.2. Задача Коши 45
4.26.	Пусть u(x, t) — решение в Q := задачи
ut = uxx, 4=0 = /(t), 4=1=^)’ Ч=о = ^(ж)>
f,g,<p — гладкие функции, причем
/(<) —> а при t —> оо,	g(t) —► Ь при t —> оо.
Какой предел при t —»• оо в пространстве С[0,1] (если таковой
вообще есть) имеет решение u(x, t) этой задачи?
4.2.	Задача Коши
Классическим решением задачи Коши для уравнения теп-
лопроводности называется функция и G {(Пт) П С (Пт),
определенная в слое Пт = {(x,t) G Rn+1 | х G Rn, 0 < t Т} и
удовлетворяющая уравнению
ut = а2Джи + f(x, t) (а > 0),	(х, i) G Пт
и краевым условиям
Ч=о = ^(ж) 6 ^ьОК”),
где <р(ж), /(ж,/) —заданные непрерывные ограниченные функ-
ции.
Решение задачи Коши в классе ограниченных функций
существует, единственно и выражается интегралом Пуассона
= (2^Г /Иф [-	+
Rn
t
+ //(2.^-Т))“еХРЬ^]
0 Rn
Замечание. Пусть и{х, t) — решение задачи Коши
( щ = Ди в Rn х R+,
I4=0 =	(®1) • • • Ч>пЫ, X € Rn,
<Pfc(xjfe) G Cb(R), к = 1,...,п. Тогда u(x,t) = nufc(z,£), где
Uk(x, t) — решения задач Коши	fc=1
Г (uk)t = (,ик)хх В R X R+,
1«4=о=	®€R, fc = l, ...,п.
46 Глава 4. Уравнения параболического типа
Для ограниченных решений уравнения теплопроводности
справедлив принцип максимума в слое:
если функция u(x,t) е С2(Пу) Г)С'ь(Пт) удовлетворяет в слое
Пу однородному уравнению теплопроводности щ = о?ихх, то
inf и(ж,0) u(x>t) sup и(ж,0) V(rr,t) 6 Пу.
Для ограниченных решений уравнения теплопроводности
справедливы теоремы о стабилизации:
Пусть и(ж, t) —- ограниченное решение задачи Коши
Г и%— ихх	в R х
14=0 = ‘/’(я),	® € R,
¥>(ж) е Сь(В). Тогда
А | А
1.	Если Ига <р(х) = А±, то lim u(x,t) = —.
X—±ОО v	’ t->+oo v '	2
I
1 /”	A
2.	Если lim - / ip(x)&x = A, to lim u(x, t) = —.
Z—+4-oo I J	t—>+oo	2
-I
3.	Если ip(x) — периодическая функция, то lim u(x, t) = <po,
t—>+oo
где <po — нулевой коэффициент разложения функции <р(х) в ряд
Фурье, пространственное среднее.
Задачи
4.27.	Справедлив ли принцип максимума в слое для уравнения
щ 4- Ахи = 0 в том же виде,'в каком он справедлив для
уравнения теплопроводности?
4.28.	Доказать, что решение и(х, t) задачи Коши для уравне-
ния щ = ихх будет нечетным по х, если начальная функция
и(т, 0) — нечетная.
4.29.	При каких t > 0 существует интеграл, входящий в
формулу, которая дает решение задачи Коши
ut = Uxx, Ч=о = *44
если требование ограниченности <р(х) заменяется предположе-
нием	„ ,
Иж)| МеКх , М > О, К > О?
4.2. Задача Коши 47
4.30.	Доказать (используя интеграл Пуассона), что существует
решение u(x, t) G C2(R х R+) в R х R+ следующей задачи:
ut = uxx, u(x,t) -»ip{x) в 1,2(R) при t—>0,
где 9?(ж) — заданная функция из Lz($lx) (не обязательно непре-
рывная!).
4.31.	Единственна ли функция u(x,t) со следующими свой-
ствами: и G С^д(К х (0, Л]);
щ — uXXi
lim u(x, t) = 0 V® G R;
(x,t) G R x (0, h]-
sup|u(:r,i)| < +oo Vt G (0,/i]?
x6R
4.32.	Пусть G = {(re, t) | x G R,t G R_}. Найти все функции
u(x,t), принадлежащие C^’J(G), ограниченные в G и удовле-
творяющие в G уравнению щ = ихх.
4.33.	Пусть u(x,t) — решение в R х R+ задачи Коши
.	. я2 + sins:
и||=0= 1 + 2j, .
Найти lim u(x,t).
t-»+oo v '
4.34.	Пусть tt(s, t) — решение в R x R+ задачи Коши
щ = uxx, u|t=0 = arcctg x.
Найти lim u(x,t}.
t-»+oo
4.35.	Пусть u(x, t) — ограниченное решение в R x R+ задачи
Коши
ut = uxx, tt|t=0 = tp(x) G C(R) П £oo(K)-
l
Найти lim u(O,t), если lim - I tp(x)dx — A.
t—>+oo	I—>+oo I J
-I
48 Глава 4. Уравнения параболического типа
4.36.	Найти lim u(x,y,t), где и(х, у, t) — решение в R2 х R+
t—>4-оо
задачи Коши
щ = ихх + Uyy, u|t=0 = ip(x, у)
при следующих начальных условиях:
а) У) = ^2х2> б) <р(т, у) = sin2 у, в) р(®, у) =	•
4.37.	а) Решить задачу Коши в R3 х R+
щ = Ди — Зи, ult=o = е-(11+:Г2+®3\
б)	Найти lim u(x,t).
t—+<x>
4.38.	Пусть и(х, t) — решение в R х R+ задачи Коши:
I	— х%
Ut = Uxx, U|t=o = е .
00
Найти Jim J и{х, t) dx.
о
4.39.	Пусть и(ж, t) — решение в R x R+ задачи Коши уравнения
теплопроводности с «потенциалом»:
ut = ихх — и, u|t_0 = sin2 х.
Доказать, что существует постоянная А, такая, что
|u(x, t) — Ле“*| a(t)e-t,
где функция a(t) —* 0 при t —* оо. Найти постоянную А.
4.40.	Пусть положительная ограниченная функция удовлетво-
ряет уравнению
щ = Ди	в слое R3 х (0,1) и
и = 0	в кубе (0,1) х (0,1) х (0,1) х (0,1).
Верно ли, что и = 0 в слое R3 х (0,1)?
4.2. Задача Коши 49
4.41.	Пусть u € C2(Qj)nC(Q^) — решение в полосе задачи
Коши
Щ = ихх, u|t=0 = 0 и |u(a:,t)|	С|ж|.
Доказать, что и = 0 в QJ.
4.42.	Пусть П := R х R+ \ {(0,1)}—полуплоскость с одной
«выколотой» точкой; и(х, t) — решение уравнения теплопро-
водности в П и |и(ж, t)| < М при (®,t) G П. Доказать, что
особенность в точке (0,1) устранима, т. е. можно так доопре-
делить функцию u(x,t) в этой точке, что она будет решением
уравнения теплопроводности вйх R^..
4.43.	Найти решение «(я, t) € C(R+ х R) задачи:
Щ = ихх, (a;,t)€ R+xR, u|x=0 = cos5t, t e R;
sup|u(a:,t)| < oo.
ГЛАВА 5
Уравнения
эллиптического типа
5.1. Гармонические функции
Функция и € C2(Q) называется гармонической в области П,
если
Ди = 0.
Теорема о среднем. Если и(х) — гармоническая в обла-
сти П функция, то
и(ж0) =
|5й(х0)| /
3£(*о)
1 f
|Bg(x0)| J
Bg(xo)
и(х0) =
Принцип максимума. Пусть и(х) гармоническая в Q и
непрерывная в Q функция и u(xq) = М = max и, xq € П, тогда
и = М в Q.	°
Теорема Лиувилля. Если и(х) — гармоническая в Rn
ограниченная функция, то и = const.
Лемма Хопфа—Олейник о нормальной производ-
ной. Пусть гармоническая в шаре В функция и(х) отлична
от постоянной, и € С (Б) и пусть и(х) принимает наимень-
шее (наибольшее) значение в точке b G дВ. Если в точке Ь
существует производная где 7 — направление, образующее
07
острый угол (3 с внешней нормалью к границе шара дВ в точке
Ь, то
?<°	(?><>)•
ду	\ду /
5.1. Гармонические функции 51
Неравенство Харнака. Пусть и(х) — гармоническая в
шаре Вд(0) и непрерывная в Вд(0) неотрицательная функ-
ция, тогда
u(Q)Rn~2 Д"1*1  и(х) < u(0)Bn~2 -A+hL.
v '	(R + |х|)«-1	4 ’ v '	(R- И)*-1
Теорема об устранимой особенности. Если и(х) — гар-
моническая функция в Q \ {0} и
|«(л)| < а(ж)|£1(ж)|,
где а(ж) 0 при х —> 0, а £п(х) — фундаментальное решение
оператора^Лапласа, то функцию и(х) можно доопределить в 0
так, чтобы и(х) была гармонической везде в Q.
Теорема о потоке. Если и(х) — гармоническая функция
в Q, и € С1^), то
/|>=0'
да
где у — вектор внешней нормали к 5Q.
Задачи
5.1.	Найти все гармонические в R2 функции и(ж,у), для кото-
рых*
Uy(x,y) = Зху2 - х3.
5.2.	Найти все гармонические в Rn функции, принадлежащие
в2(кп).
5.3.	Найти все гармонические в R2 функции и(х,у), для кото-
рых
их(х, у) < иу(х, у) V (х, у) е R2.
5.4.	Пусть Q = {(ж, у) € R2 | 0 < х < 1, 0 < у < 1}, и € С2(П),
Ди = 0 в Q, ^1^=0 ~ и1у=1 = 0 ПРИ 0 ж 1-
1
Может ли функция f(x) := Jи2(х, у) dy иметь точку перегиба
внутри интервала (0,1)?	0
52 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.5.	Пусть «(ж) — гармоническая в В”(0) и непрерывная в
В”(0) функция, и(0) = 0. Найти связь между числами
J u(x)dx и J u(x)dx,
в+	в-
где В+ = {х е В«(0) | и{х) > 0}, В~ = {х € В” (0) | и(х) < 0}.
5.6.	Пусть u — гармоническая в В|(0) функция. Найти
2тг
uPp().,e)dO.
о
5.7.	Пусть «(ж) 6 С2(В1(0)) П С(В2(0));
Д«(ж) =0, х := (Ж1,®2) € В2(0);
u(x) = ж|, хе Si(0), ж2 > 0;
u(x) = Х2, хе 51(0), Х2 < 0.
Найти у* «(ж) dx.
*12/2(0)
5.8.	Пусть Д«(ж) = 1, хе В2(0)\В1(0). Что больше:
f ИЛИ f
S?(0)	S2(0)
5.9.	Пусть Qi С Пг; «fc € C2(£lk) Г) C(Qfc);
Дод(ж) = 0, хе И/.; «{.(ж) = /&(ж), ж € OQk (к = 1,2);
h(x1)<f2(x2) Уж^аПь Уж2еап2;
ж0 е П1 — произвольная точка. Что больше: «1(ж°) или «2(®°)?
5.10.	Пусть u е С2(В1 (0)) П C(Bi (0));
”Ь ^Х1Х2 "Ь ^Х2Х2	1> X .— (^1,3'2) € В1(0).
Может ли «(ж) иметь внутри В2(0)
а)	максимум;
б)	минимум?
5.1. Гармонические функции 53
5.11.	Пусть u G С2(П) Г) C(Q); q G C'(Q);
Ди(х) + q(x) u(x) = 0, г € Л; М = maxu(x); т = maxu(s).
я	дп
Возможно ли, что М > т, если
a)	q(x) = 0;
б)	q(x) > 0;
в)	q(x) <0, М > 0;
г)	q(x) <0, М < 0?
5.12.	Пусть Q = {(ж, у) G R2 11 < х2 + 2у2 2}; и € С2(П);
Д«(ж, у) = 0,	(х, у) G Q;
и(х, у) =х + у, х2 + 2у2 = 2;
—+ (1 - х)и(х, у) = 0, х2 + 2у2 = 1.
Найти max|u(s,y)|.
я
5.13.	Пусть Поо := R3\B3(0); щ € С2(Поо) Г) С(Поо);
Ди&(ж) = 0, ж G Поо (fc = l,2); гн(ж) < из(х) Vs G дПоо-
Следует ли отсюда, что i»i(s) < иг(®) Vs G Лоо?
5.14.	Пусть и € C2(Q) ПС1^);
Дц(ж) =0, х € О; Ofy" = Ф(х)> х е
Доказать, что “ф(х) обращается в нуль не менее чем в двух
точках на д£1.
5.15.	Пусть В+ := {ж = (жх,Ж2,жз) G В3(0) | хз > 0}, функция
и(х) определена и непрерывна в В+, равна нулю при хз = 0
и является гармонической в В^. Верно ли, что и(х) можно
продолжить до функции, гармонической всюду в В3(0)?
5.16.	а) Пусть Q С R2; Поо = R2\H; и G С2(Поо) П С(Поо) П
1^оо(Поо);
ДЦж) = 0, х = (si, жг) 6 Поо-
Доказать, что существует lim и(х).
|гг|—>оо
54 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
б) Найти этот предел в случае, когда fl = и
2тг
J «(cos О, sin О') <10 = 0.
о
5.17.	Пусть Q := {х = (ж1,жг,жз) € К3|ж2 + ж| < 1, |гсз| < 1};
L := {(0,0, жз) | |жз| < функция и(х) является гармониче-
ской и ограниченной в Q\L. Доказать, что функция и(х) может
быть продолжена до функции, гармонической всюду в Q.
5.18.	Справедлив ли принцип максимума для уравнения
*	Л	* д2	д2
Д« + «х + « = 0,	Д = -z-r +	,
ох2 ду2
в ограниченной области Q на плоскости в той же форме, как
для уравнения Лапласа?
5.19.	Пусть и(х) — гармоническая в R3 функция и
R3
Верно ли, что u(x) = const в R3?
5.20.	Существует ли положительная гармоническая функция
в шаре В3(0), такая, что
«(0,0,0) = 1,	«(0,0,1/2) = 10?
5.21.	Пусть функция «(ж), заданная в шаре В3(0), удовлетво-
ряет уравнению
Д« = А« (А = const < 0)
и «(ж) = 0 в шаре В3(0) радиуса 8, 8 = const, 0 < 8 < 1.
Доказать, что « = 0 в В3(0).
5.22.	Пусть К = {(г, 9?)| 0 < г < 1, 0 < <р < 7г/6} — круговой
сектор раствором 30°, «(г, (р)—гармоническая в К функция,
принадлежащая С1 (К). Доказать, что
|«(г, </?)| < Ст6, где С = const > 0.
5.2. Классическая постановка основных краевых задач 55
5.23.	Построить пример ограниченной в шаре В3(0) гармони-
ческой функции и(ж), такой, что |Vu| неограничен в В3(0).
5.24.	Пусть функция и(ж), х € R3, удовлетворяет уравнению
Ди = и(х) в R3,
а также оценке
|и(ж)| < С, хе R3.
Доказать, что и = 0 в R3.
5.25.	Пусть и(ж, у) — решение уравнения Лапласа в полупо-
лосе П = (0, l^x R+ на плоскости (х,у), R+ = {у > 0},
и е <72(П) П (7(11), удовлетворяющее граничным условиям
<=о = 4=1 = °’ У > °’
причем и(х, у) —♦ 0 при у —> +оо равномерно по х. Доказать,
что
|и(ж,у)|	Се-314'у, где С = const > 0.
5.26.	Пусть и(х,у) — гармоническая функция в полуплоскости
р = {у>о},иес(р),
|и(ж,у)|^М, ж€Й, у е R+ и
Ulj/=0 = 0
где М — некоторая постоянная. Доказать, что и = 0 в Р.
5.2.	Классическая постановка основных краевых задач
Формулы Грина
Если и, v е <72(П) Г) С1^), то
иДи dx = / v — ds — I VuVu dx,
J du J
j(vAu — vAv) dx = J (v^—u^^ds,	(5.1)
Q	dQ
где v —вектор единичной внешней нормали к границе обла-
сти д£1.
56 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Внутренняя задача Дирихле
Пусть Q G R” — ограниченная область, дО, — поверхность
класса С2.
Классической задачей Дирихле называется задача о нахо-
ждении функции и(ж) G C2(Q) AC'(Q):
Г Ди = /(ж), хе a,
I “Lean =	(5‘2)
где У (ж) G С(П), <р(ж) G С(сЮ)— заданные функции.
Решение внутренней задачи Дирихле существует и един-
ственно.
Внутренняя задача Неймана
Классической задачей Неймана в ограниченной области Q на-
зывается задача о нахождении функции «(ж) G C2(Q) Г) C1(Q):
{Ди = /(ж), ж G П,
ди| , ч	(5.3)
——	= <р(ж),	' '
dulxedsi h
где /(ж) G С(П), <р(ж) G С(ЭП) — заданные функции, v —
вектор внешней нормали к дП.
Условием разрешимости задачи Неймана (5.3) является
равенство на функции /(ж) и <р(ж)
//*	/* ди Г
f(x) dx = I Ди dx = I — dS = I <р(ж) dS,
Q	n	да	дЯ
(которое следует из формулы Грина (5.1) при и(ж) = 1). Реше-
ние задачи (5.3) не единственно, а определяется с точностью
до произвольной аддитивной постоянной: если Н1(ж) и иг(ж) —
решения (5.3), то их(ж) — иг(ж) = const.
Внешняя задача Дирихле
Пусть Q G Rn — ограниченная область с границей д£1 класса
С2, Qoo = Rn\Q.
Классической внешней задачей Дирихле в неограничен-
ной области Qoo называется задача о нахождении функции
5.2. Классическая постановка основных краевых задач 57
и(х) € С^^оо) И C’(Qoo), удовлетворяющей системе
Ди = /(ж), х € Qqo> ul®edfioo =
и условию на бесконечности
и(ж) —> 0 при |ж| —>оо (п > 3),	...
|и(ж)| < С при |ж| —» оо (п = 2),	' ‘ '
где f(x) е С(Ооо) nLi(Qoo)» ^(®) € С(Ш) — заданные функ-
ции, С —некоторая постоянная.
Решение внешней задачи Дирихле существует и единст-
венно.
Внешняя задача Неймана
Классической внешней задачей Неймана в неограниченной
области Г2оо называется задача о нахождении функции
u(x) е C2(Qoo) Г) С1(ПОО), удовлетворяющей
Ди = /(ж), х € Qoo,	„ = <р(ж)
и условию (5.4) на бесконечности; здесь f(x) G С'(Г2Оо)Г1^'1(^оо)>
<р(х) € С(Э£1) — заданные функции, и — вектор внешней нор-
мали к 5Qoo-
При п > 3 существует единственное решение внешней
задачи Неймана.
При п = 2 внешняя задача Неймана разрешима только при
дополнительном условии
j f(x) dx = У <р(х) dS;
Oqq	d^QQ
ее решение определяется неоднозначно, с точностью до произ-
вольной аддитивной постоянной.
Краевые задачи на плоскости
Решение краевых задач для уравнения Лапласа Ди = 0 в
круге или кольце можно получить, если перейти в полярные
координаты
л л	^2u > 1	. 1 ®2и П
-q^ + ~ дР + ? д^~°’
58 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
и применить метод разделения переменных. Общее решение
уравнения Лапласа имеет вид
«(р, в) — Ао + Во In р +	(ЛпРп +	cos пв+
п=1	р
+ (спрп + sin пв.
1
Так как функция и(р,в) должна быть ограничена в рассмат-
риваемой области, то
—	для задачи в кольце (7?i < р < R%) ненулевыми могут
быть все коэффициенты,
-	для задачи в круге (р < R) Bq = Bn = Dn = 0 (п =
1,2, ...),
—	для задачи во внешности круга (р > Я) Bq = Ап =
Сп = 0 (п = 1,2, ...).
Оставшиеся коэффициенты определяются из граничного
условия. Например, для решения внутренней задачи Дирихле
Ди = 0, р < R, иЦд = f{0),
разложив функцию f(0) в ряд Фурье по базису
{I,cosn0,sinn0;n = 1,2, получим
2тг	2тг
А°=^ f№cosne^
М J	7Г J
0	2ж‘	0
Сп = —[ f(O)sva.n0d6.
7ГКп J
0
Потенциалы
Рассмотрим область Q, граница которой удовлетворяет следу-
ющему условию Ляпунова (является поверхностью Ляпунова,
т. е.):
1)	В каждой точке границы существует определенная нор-
маль (касательная плоскость).
2)	Существует такое число d > 0, что прямые, параллель-
ные нормали в какой-либо точке Р границы, пересекают
не более одного раза часть границы, лежащую внутри
сферы радиуса d с центром Р.
5.2. Классическая постановка основных краевых задач 59
3)	Угол, образованный нормалями в точках А и В, удовле-
творяет следующему условию:
пд^пв < const | А — В|7,
где |А — В| — расстояние от А до В, 0 < 7 < 1.
Выше на с. 12, определены функции £п(х) — фундамен-
тальные решения оператора Лапласа в Rn. С помощью этих
функций определяются различные виды потенциалов.
Ньютонов потенциал.
щ(х) = У £n(x-y)f(y) dy.
я
Такой потенциал называют еще пространственным (п > 3)
или (логарифмическим) потенциалом площади (п = 2).
Потенциал простого слоя.
uz(x) = 'j £n(x-y)q(y) dsy.
да
Потенциал двойного слоя.
«з(®) = - [ d£n^Q~ т(у) dsy-
дЯ
Теорема о трех потенциалах. Любая функция и(х) из
класса С2(П) А СХ(П) представляется в сумму
и(х) = ui(®) + и%(х) + из (ж),
где f(y) = Ди(у), q(y) = -	, а т(у) = -и(у).
Теорема о потенциале простого слоя. Потенциал про-
стого слоя непрерывен в R”.
Теорема о скачке потенциала двойного слоя. Суще-
ствуют функции и% G С (О,) и и J € C(Rn\Q) такие, что
1)	U3 = из в О, U3 = из в Rn\Q,
2)	+	= и3 на 0Q,
А
3)	uj — U3 = т на 5Q.
60 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Аналогичное утверждение верно относительно нормальной
производной потенциала простого слоя.
Теорема о скачке нормальной производной потенци-
ала простого слоя.
ди2(х0)	ди2(х0)	, . w „
V XQ	*0
Вде	du3 . .	иг(1о + iv~) - ua(a:0)
аТ(lo) = Йо-------------1-------•
x0
Кроме того,
1 /Эц2(д0)	dua(a?o)\ _ Г д8п(х0 - у)
2 \ ди+ ди~ ) J дихо
дП
5.2.1.	Функция Грина
Функцией Грина первой краевой задачи (задачи Дири-
хле) в области Q называется функция вида:
G(x-, у) = £п(х - у) + д{х, у),
где х 6 Q, у € О, а д(х,у) при каждом фиксированном х G Q
является решением следующей краевой задачи:
' Д.уд(х,у)=0, yeQ,
ЯП = ~^Х~УУ
1»6оП
Теорема. Функция Грина обладает следующими свой-
ствами:
•	G(x‘, у) = G(y; х) — принцип взаимности;
•	G(x; у) 0 для всех х € G Q — неположительность.
Решение внутренней задачи Дирихле (5.2) определяется фор-
мулой
«(®) = J G(x; у) f(y) dy + J 9Gq^ ^(.У) dSy.
n	an
5.2. Классическая постановка основных краевых задач 61
Задачи
5.27.	Написать формулу, дающую решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в В”(0), и доказать, что функция,
определяемая этой формулой, непрерывна на S” (0).
5.28.	Существует ли функция С(ж;л°), определение которой
отличается от определения функции Грина задачи Дирихле
для области Q С R3 заменой условия
G(x; х°) = 0 при х € Ш
условием
ЭС(х;х°) _0
ди
при х G 3Q?
5.29.	При каких а существует решение и(р, 0) задачи Неймана
для уравнения Лапласа в круге Bf (0) с граничным условием
I	= a cos4 0 + a2 cos2 01
op lp=l
5.30.	При каких a,0 существует решение краевой задачи
для уравнения Лапласа в кольце B2(0)\Bj(0) с граничными
условиями
<?u|	— 1
+ au\ I = 01
°Р / 1р=2
Найти решение во всех случаях, когда оно существует.
5.31.	Существует ли гармоническая в В2(0)\{0} функция
и(х,у), удовлетворяющая условию
dul
х -у21
5.32.	Найти решение и(х, у) следующей задачи:
Ди = 0, р>1;	^1	= х(1 — у); inf и(х, у) = 0.
<701р=1	р>1
62 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.33.	а) Единственно ли решение следующей задачи:
и G С2(П\ где Q =
Ди(ж) = 0, х G П;
- aiu(s) = /Дж), х G Sf (0);
^ + a2u(x) = f2(x), ж G S2(0);
otk = const >0 (k = 1,2)?
б) Тот же вопрос при ak = const <0 (fc = 1,2).
5.34.	Найти все такие a > 0, что решение и(х,у) задачи
Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости R+ х R,
удовлетворяющее неравенству
|гл(ж, у)| < М(1 + х + |з/|)“
где М = const > 0, единственно.
5.35.	Найти все такие a > 0, что решение и(х,у) задачи
Дирихле для уравнения Лапласа в области
{(х,1()ек2||1(|<^},
удовлетворяющее неравенству
|«(ж, 3/)| < М(1 4- X2 + у2)*,
где М = const > 0, единственно.
5.36.	Найти значения в точках отрицательной полуоси Оу
логарифмического потенциала простого слоя и(х,у), распре-
деленного на отрезке ж = 0, 0 у 2 с плотностью, равной
единице.
5.37. Найти
lim [ (£2
Х2+у2—»ОО J
$2+п2=1
- 2т?2) In [(ж - С)2 + (у - T?)2]ds.
5.38.	Пусть В = В2(0). Существуют ли две различные функ-
ции щ(х,у) со следующими свойствами: щ G С2(В);
__ du •
Ди, = 0 в В, —— щ = Зж на дВ (г = 1,2)?
оу
5.2. Классическая постановка основных краевых задач 63
5.39.	а) Пусть К = {1 < |ж| < 2} — «кольцевая» область
в R2. Единственно ли решение и € С2 (К) Г) С1 (К) следующей
краевой задачи:
Ди = 0 В К, ^1^ = <Р1(Ж1>Ж2), «||Х|=2 = (Р2(Х1,Х2),
<Р1> <р2 — произвольные непрерывные функции на окружностях
{|ж| = 1} и {|ж| = 2} соответственно?
б)	Найти решение поставленной в п. (а) задачи, если
tpi — cos 0, ip2 = sin в
(0 —полярный угол на плоскости).
5.40.	а) Доказать, что решение задачи Дирихле в полосе
П = {(®, У) I 0 < х < 1, -оо < у < 4-оо}
Ди = 0 в П, и|1=0 = <pi(y),	^1Ж=1 = <р2(у),
<Pi,<P2 Е CQR1), неединственно.
б)	Единственно ли решение предыдущей задачи с дополни-
тельным условием
и(ж, у) —* 0 при |у| —► оо?
5.41.	Пусть Q — ограниченная область с границей dQ
класса С1. Может ли решение и G C2(Q) Л C1(Q) краевой
задачи '
Ди —и = 1 в Q, ^1 =0,
dn\dQ
(п — внешняя нормаль к dQ) быть строго положительным в Q?
5.42.	Пусть К — В2(0), и(х, у) — решение задачи
Ди = х2у, и|ак- = 0.
Найти и(0,0).
5.43.	При каждом ли a € R1 задача
Ди = 1 в К = {(г, <р) | 1 < г < 2},
du I . /ди ,	\ I .о
asL1_=sm*'’ (aS + QU)L = s,n
и G С2(/Г)ПС1(К’), имеет хотя бы одно решение? (п — внешняя
нормаль к границе кольца К.)
64 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.44.	При каких а € R1 краевая задача
Ди + 2и = х — а в Q, u|aQ = О,
Q = (О, тг) х (0,7г), имеет хотя бы одно решение?
5.45.	Пусть Q — ограниченная область на плоскости, и(х) €
c2(fi).
Ди = 0 в Q,
<р(х) — непрерывная функция на дО, и
lim u(x) = <р(жо)
яей
для всех xq € (XI кроме единственной точки ®* G (XI. На-
зовем такую функцию «решением задачи Дирихле Ди = О,
и|ап = <р(х) кроме одной граничной точки х*». Единственно ли
решение такой задачи Дирихле?
5.46.	Пусть Q С R3 — внешность единичного шара. Един-
ственно ли решение u(x) € C2(Q) П C(Q) внешней задачи
Дирихле
Ди(ж) = 0, |т| > 1,	u||x|=1 = О
при дополнительном условии
а) у |и«)|2<й;=О(1)	6) у |u(£)|2d£ = o(l)
при |х| —> +оо?
5.47.	а) Найти решение и(р, 0) задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в В2(0) с граничным условием
оо
“|р-1 =
к=1
где р и q — заданные натуральные числа.
б)	При каких р, q это решение принадлежит пространству
Н'(В?(0))?
5.3. Обобщенные решения 65
5.3. Обобщенные решения
(5-5)
на dQ.
Задача Дирихле
Рассмотрим задачу Дирихле в области Q в классической по-
становке	, .	.	„
Г Ди = / в Q,
[ и = ip
Пусть / G L2(Q), Ч> € я1 (О).
Функция и G Я1(П) называется обобщенным решением
краевой задачи (5.5), если
У VuVv dx = — j fvdx
n	n
для любой v G Я*(П) и u — G Я1^).
Вариационной постановкой задачи (5.5) называется
следующая минимизационная задача:
inf о /
«€№($}), w—9>€Я*(П) *-
п
или
inf /
юбЯ^П) * п
п
п
Задача Неймана
Рассмотрим задачу Неймана в области Q в классической по-
становке
Ди = /
ди ,
-г-^ф
ди
в О,
на дО.
(5-6)
Пусть f G L2(O), ф G Ь2(Ш).
Функция u G Яг(П) называется обобщенным решением
краевой задачи Неймана (5.6), если
п
dQ
VuVv dx = I ipv
для любой v G Я1(П).
3—3206
66 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Вариационной постановкой задачи (5.5) называется
следующая минимизационная задача:
inf /
шеЯЦй) L J
й
SI
д(1
Третья краевая задача (задача Фурье)
Рассмотрим третью краевую задачу в области Q в классиче-
ской постановке ' ж ' '
| Ди = / в Q,
{ ди .	„	(5.7)
— 4- au — С на ail.
< ди
Пусть f € Хг(П), С € Lz(dQ,).
Функция и € brl(Q) называется обобщенным решением
третьей краевой задачи (5.7), если
J VttVv dx + a J uv ds = j <£v ds — j fv dx
й	эй эй й
для любой v € ЯХ(П).
Вариационной постановкой задачи (5.7) называется
следующая минимизационная задача:
inf
адея^й)
У |Vw|2da: 4- a J w2
й	ай
ай
ds 4- 2
dx
Минимизант
Последовательность {од} называется минимизирующей для
функционала F, если Р(од) —> тп при к —> оо и m = inf F(v).
Отметим, что задача Неймана имеет единственное решение
с точностью до аддитивной постоянной. Для однозначной раз-
решимости задачи часто предполагают, что у решения нулевое
среднее по области. При таком допущении задача становится
однозначно разрешимой и в этом случае можно применять
общую схему исследования и классической постановки, и обоб-
щенной, и вариационной.
Если последовательность {од} является минимизирующей,
то существует такое и € ЯХ(П), что од —> и при к —» оо и
F(u) = m.
5.3. Обобщенные решения 67
Метод Ритца
Рассмотрим вариационную постановку задачи Дирихле. Пусть
F(w) = J |Vw|2ds + 2 J fw dx. Рассмотрим линейно неза-
ft	ft
висимую систему фх,... фу,..., конечные линейные оболочки
О
которых плотны в Л1(Г2).
к
Тогда {и*;}, ujt = У2 азФз> будет минимизирующей по-
J=i
следовательностью, к = 1,2,..., если су —решения системы
линейных уравнений
СК1 j Vфх^фх<1х + аг у*	+... + Ojt J ^7фк^7ф\<1х =
ft	ft	ft
= - J /фх dx
ft
<
oi jЧфх^фкЛх + &2 j ЧфъЧфкЛх +... + ak J	=
Q	Q	Q
= -J f<t>k dx
<	ft
Задачи
5.48.	Пусть u G C(Bf(O)); u(x,y) > 0, x2 + y2 = 1;
в B2(0) существуют обобщенные производные в смысле Собо-
лева ихх и Uyy, причем
uxx + Uyy С 0 почти всюду в В2(0).
Доказать, что и{х,у) 0 V(z,y) G В2(0).
5.49.	Пусть u G C(Bf(O)); в Bf(O) существуют обобщенные
производные в смысле Соболева и Uyy, причем
uxx + Uyy = 0 почти всюду в Bj (0).
Доказать, что |u(x, у)| max |и| У(х,у) Е B2(Q).
68 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.50.	а) Сформулировать определение обобщенного решения
задачи Дирихле для уравнения
Дн = /г в Q
с условием
и = У на дО..
б)	Найти обобщенное решение этой задачи в случае, когда
h(x)=0, f (ж) = |ж|2, П = В?(0), п^З.
в)	Тот же вопрос в случае, когда Q = В"(0)\{0}.
5.51.	Пусть В = 31(0), t = {х G R4 | х^ = 0, ж2 = 0, жз = 0,
0 < Ж4 < |} — отрезок в R4, Q = В \1. Найти обобщенное
решение задачи Дирихле и(ж):
y"(V«,Vv)^ = 0 VvgBx(Q),
Q	°,
u - <р(ж) G B1(Q),
<p(x) G Cq°(B) и <р(ж) = 1 при ж G €.
5.52.	Найти
inf j |grad ш(ж)|2с(ж
£2(0)
на множестве {w G Bx(Bi(0)) | w — f G B'1(B2(0))}, где
/(ж1,ж2) = ж|.
5.53.	Вычислить
inf I (|Vw|2 — 2ад)</ж,
w-(|z|-1)€H1(Q)
если П = {ж = (ж1,ж2) 11 < |ж| < 2}.
5.54.	Вычислить
inf I (|Vw|2 + 2(ж2 — X2}w)dxy
если Q = B2(0).
ГЛАВА б
Решения отдельных задач
Задача 1.5. Найти фундаментальное решение оператора
£и(а:,у) = ихх(х,у) - Uyy(x,у),
обращающееся в нуль при у < 0.
Решение. Сначала решим (в обобщенных функциях) урав-
нение
С£(х, у) ~ £хх — £уу = 6(х, у),
сделав замену переменных (поворот на тг/4):
х-у	х + у
z = —,	w =—.
х/2	>/2
Тогда производные пересчитываются следующим образом:
Э2	д2 _2 д2
дх2	ду2 dzdw
При ортогональных преобразованиях 5-функция остается 6-
функцией, и уравнение в новых координатах примет вид
д2	11
^£(z,w) = -S(z,w) = -6(z)-<i(w).
Интегрируя сначала по переменной z при фиксированном w, а
потом наоборот, имеем
Аг(2,») = 1(е(г)+ед«,),
lz VU	£
£(z,w) = | (0(z) + Ci)(0(w) + C2).
Теперь среди всех найденных фундаментальных решений
надо выбрать то (или те), которое при у < 0 обращается в
ноль. Заметим, что обобщенная функция £(z,w) — регулярная,
70 Глава 6. Решения отдельных задач
кусочно постоянная, равная в I, Ц III и IV четвертях (отно-
сительно координат (z,w)) соответственно (Ci + 1)(С2 + 1)/2,
(С1 + 1)62/2, Ci (Сг + 1)/2 и O1O2/2. Полуплоскость у < О
пересекается с тремя из четырех (кроме II) этих четвертей.
По условию там £(z, w) = 0, т. е.
(Ci + 1)(02 + 1)/2 = Oi(O2 4-1)/2 = OiO2/2 = 0 4=»
01 = О, О2 = -1.
Таким образом, искомое решение единственно и имеет вид
1 e(z)(e(w) -1) = -1 e(z)©(-w).
Возвращаясь к старым координатам, имеем
£(®>у) = ~1е(~^)е( Ж/БУ) = -1	- у)-
Л» \ yZ '	' N **	'	"
Произведение двух ©-функций равно нулю везде, кроме мно-
жества
х — у > О, -х-у>0	<=Ф у < х < -у 4=Ф	|т| < у,
где оно равно единице. Таким образом, ответ записывается в
виде
£(х,у) = --©(у- |ж|).
&
Задача 1.12. При каких а функция и(х,у) = 11п(х24-у2)|а
принадлежит пространству Л1 (Я), если
а) Я = В2/2(0);
б)Я = В22(0)\В^(0)?
Решение.
а)	Функция и = 11п(х2 + у2)|“ = |21пт|“, где г = у/х2 + у2,
в области Я = В2/2(0) имеет особенность лишь в начале
координат. Эта функция принадлежит пространству Тг(Я) при
любом а, так как
1/2
У11п(х2 + y^^dxdy = 2л J |21nrj2ardr < +00
п	о
ввиду того, что 11пг|2от —»• 0 при г —»• +0.
Глава 6. Решения отдельных задач 71
Далее имеем:
Vti = а|2 In г|“-1 2 Vr,	| Vu| = С .
Функция и € Н1^), если сходится следующий интеграл:
1/2
У |\7u\2dxdy = 2яС2 J	) rdr =
п	о
1/2
о /* llnrl2^’^
= 2тгС / J!--------dr = [замена на s = — In г]
о
+оо
= 2тгС2 У ds.
In 2
Последний интеграл сходится при 2(а — 1) < —1, т. е. a < 1/2.
(Строго говоря, случай a = 0, т. е. когда С = 0, рассматрива-
ется отдельно.)
б)	В области Q = B2(0)\Bj/2(0) у функции u = |21nr|tt и
ее производных особенности могут быть лишь на множестве
г = 1, где логарифм обращается в ноль.
Так как Inr = ln(l + (r—1)) ~ (г —1) при г 1, то интеграл
2
У11п(ж2 + y2)|2Qdrdy = 2тг j |21nr|2ardr
й	1/2
сходится тогда и только тогда, когда
2
У |r — l|2adr < +оо,
1/2 .
т. е. при a > —1/2. В этом случае и G £г(^)-
Исследуем, когда
2
У | Vu|2dsdy = 2тгС'2 J 1*пг^---< ^-qq.
й	1/2
72 Глава 6. Решения отдельных задан
Подынтегральная функция при г —> 1 эквивалентна |?— 1 |2(а	,
поэтому интеграл сходится тогда и только тогда, когда
2(а - 1) > -1, т. е. а > 1/2.
(На этот раз отдельно рассматриваемый случай а = 0 этому
неравенству не удовлетворяет, но в ответ должен быть вклю-
чен.)
Ответ: а) а < 1/2; б) а > 1/2 или а = 0.
Задача 1.15. При каких а,/3 функция f(x) = |ж|а cos [Зх
О
принадлежит пространству £Г1((—1,1))?
О
Решение. Известно, что Н1 (а, Ь) состоит из функций
f(x) € Н1(а, b) таких, что /(а) = /(&) = 0 (см. задачу 1.11).
О
Так как функции из Я1 (а, Ь) непрерывны, то Я1(а, Ь) состоит
из непрерывных на (а, 6) функций, таких, что f(a) = f(b) = 0,
для которых конечна их Ях-норма.
1)	f(x) непрерывна на (0,1) при а > 0.
2)	Условия на /3 того, что /(±1) = 0, выглядят так:
(3 = 4-Trfc, к G Z.
А
3)	В окрестности каждой точки то интервала (—1,1), за ис-
ключением, возможно, zq = 0, /(ж) является непрерывно
дифференцируемой, поэтому ее Я1-норма конечна в
окрестности каждой такой точки. Осталось исследовать
точку xq = 0 и концевые точки.
Так как f(x) ~ |ж|а при х —>
6	1, если сходятся интегралы
1
2 '
0, то /(ж) е Я1(—5, 5), 6 > 0,
6	5
J |x|2adx и J |x|2a“2dx, что
о	о
имеет место при а >
Глава 6. Решения отдельных задач 73
Далее, при х —> 1 — 0 функция /(ж) ~ cos/Зж. Сделаем
замену z = 1 — х. Тогда при х —> 1 — 0 (z —» 0 + 0), учитывая
найденные значения /3, имеем, что
У (г) = cos(—0z + (3) = cos /3z cos /3 + sin (3z sin 0 =
= (—l)fcsin|Y^ +7rfc)z] ~ Ckz, Ck =	+ *Л
Таким образом, /(ж) € Ях(1 — <5,1) 6 > 0, <5	1, если
s	<5
f(z) € Н^О, <5), т. е. сходятся интегралы Ск J z2dz и Ск J dz.
о	о
Их сходимость имеет место при всех значениях к.
О
Подводя итог, получим, что /(ж) е В1(—1,1) при
1	тг
a>^	/?=^(l + 2fc), k(=Z.
Задача 1.19. Пусть Q = В3(0). Справедливо ли следую-
щее утверждение: существует постоянная С > 0 такая, что
1«(0)| < С||и|1Я1(<г) VW(x)eC°°(Q)?
Решение. Утверждение неверно. Пусть и(ж) — произволь-
ная функция из Co°(Q), не равная 0 в начале координат,
продолженная нулем вне Q. Таким образом, u € C°°(R3),
и(ж) = 0 при |ж| >Т, и(0) / 0.
Рассмотрим последовательность функций Un(x) = и(пх).
Имеем Un € C°°(Q), ип(ж) = 0 при |ж| > 1/п, «п(0) = «(0),
Vt4n^) = nVti(ra). Из неравенства Фридрихса для функции
ип(х) G Cq°(Q), получаем
ll«nllHi(Q) = j (l«n(^)|2 + IV«n(x)|2)d* <
Q	r
C(C(Q) + 1) J \^Un(x)\2dx =
Q r
= (C(Q) + 1) n2 / ^и(пж)|2</ж.
|x|<l/n
74 Глава 6. Решения отдельных задач
Сделаем замену переменных у = nx, dx = dy/n3 (так как
размерность пространства равна трем):
|»|<1
Таким образом, построена последовательность функций {ttn},
Un G C°°(Q), для которых значение в нуле постоянно и не равно
нулю, и при этом ||г*п||н1((}) —» 0 при п —» оо. Следовательно,
ни при какой константе С > 0 мы не можем утверждать, что
|и(0)| < С||«||я1(<2) для всех функций и € C°°(Q).
Задача 2.8. а) Определить тип уравнения
Uxx %аиху За У'уу 4~ аиу “1“ их = 0	(2.2)
в зависимости от действительного параметра а.
б) Привести уравнение (2.2) к канонической форме.
в) Найти общее решение этого уравнения.
Решение.
a)	D = 4а2. Уравнение гиперболическое при а / О,
параболическое при а = 0.
б)	Если а 0. Характеристики: £ = у 4- Загс, у = у — ах.
Каноническая форма: 16а2и^ч — 4аи^ = 0.
Если а = 0, то Uxx +их = 0.
в)	Если а 7^ 0. Каноническая форма: 16а2и^ — 4аи^ = 0.
Интегрируем по £. Имеем Ааи^ + и — С {у). Далее интегрируем
по у и подставляем выражения для £ и у. Имеем
и(х, у) = F(y 4- Зат)е *а 4- G(y — ах).
Если а = 0, то
и(ж, у) = F(y) + G(y)e~x.
Задача 2.10. Пусть П = {(я, у) G R2 | х2 4- (у — 2l)2 < I2},
функция и € С2 (О.) удовлетворяет уравнению
sign у
2ихх 4—Uyy = 0 в области Q.
ЛА
Глава 6. Решения отдельных задач 75
а)	Возможно ли, что u C3(Q) в случае I > 0? Ответ
обосновать.
б)	Тот же вопрос в случае I < 0.
Решение.
а)	При I > 0 круг Q радиуса I и с центром в (0,21) лежит
в полуплоскости у > 0, в которой уравнение является эл-
липтическим и в переменных (z,w) = (ж/\/2, ух/2) становится
уравнением Лапласа uzz 4-	= 0. Таким образом, функция
u(z, w) является гармонической, и, следовательно, бесконечно
дифференцируемой как в переменных (z,w), так и в исходных
переменных (ж, у). Ответ: невозможно.
б)	Если I < 0, то круг О лежит в полуплоскости у < 0,
в которой уравнение гиперболическое — оно является уравне-
нием струны
Uyy = 4Я1ХХ.
Примером решения и € C2(Q)\C3(Q) может служить, напри-
мер, tt(i, х) = f(y — 2х) или и = f(y + 2т), где функция одного
переменного /(£) является класса С2, но не С3 в окрестности
точки £ = 21. Скажем, /(£) = |£ — 2Z |3.
Задача 2.11. На плоскости (f,x) € R2 рассматриваются
уравнения
щ - их = 0,	(2.4)
2utt - (а + l)2«te + 2auxx = 0.	(2.5)
а)	Найти характеристики уравнения (2.4).
б)	При каких а любое бесконечно дифференцируемое решё-
ние u(t, х) уравнения (2.4) является также и решением
уравнения (2.5)?
Для каждого из найденных в п. б) значений пара-
метра а:
в)	найти характеристики уравнения (2.5);
г)	указать некоторое решение u(t,x) уравнения (2.5), кото-
рое не является решением уравнения (2.4), или доказать,
что такого решения нет.
д)	Тот же вопрос об ограниченном решении.
76 Глава 6. Решения отдельных задач
Решение.
а)	Найдем характеристики уравнения (2.4):
dx + dt = 0 <==> х +1 = const.
Общее решение уравнения (2.4) имеет вид u(t,x) = f[x+t), где
/(£) — произвольная гладкая функция одной переменной.
б)	Подставим общее решение уравнения (2.4) в уравне-
ние (2.5): utt = utx = ихх = f"(x +t),
[2 - (а + l)2 + 2a]f"(x + t) = 0.
Уравнение (2.5) должно выполняться для любой бесконечно
дифференцируемой функции /(ж +t), следовательно,
2 - (а + I)2 + 2а = 0 <=> а = ±1.
1. Случай а = 1.
в) При а = 1 уравнение (2.5) имеет вид utt — %Щх + ихх = 0.
Его характеристиками будут линии
dx2 + 2dxdt + dt2 = 0	^ = —1	4=> х +1 = const.
dt
г) Уравнение (2.5) имеет одно семейство характеристик,
следовательно, это уравнение параболического типа. Заменой
переменных £ = х 4-1, д = t, оно приводится к каноническому
виду
Щ/г) = 0-	(2-5’)
Общим решением уравнения (2.5') является функция u(£, rf) =
/(£) + », <?(£), тогда общим решением уравнения (2.5) будет
функция н(<,ж) = f(x + t) + tg(x + t). Решение уравнения (2.5),
которое не является решением уравнения (2.4), —это, напри-
мер, функция u(t, х) = t{x 4-t).
д) Функция u(t,x) = f(x+t)+tg(x+t) будет ограниченной,
только если g(x + t) = 0, и f(x + t) ограничена. Следовательно,
любое ограниченное решение уравнения (2.5) является реше-
нием уравнения (2.4).
2. Случай а = — 1.
Глава 6. Решения отдельных задач 77
в)	При а = — 1 уравнение (2.5) принимает вид иц — ихх = 0.
Его характеристиками будут линии
dx2 — dt2 = 0 <=>	= ±1	4=Ф х ± t = const.
dt
г)	Уравнение (2.5) имеет два семейства характеристик,
следовательно, это уравнение гиперболического типа. Заменой
переменных £ = x+t, г/ = x—t, оно приводится к каноническому
виду
= 0.	(2.5”)
Общим решением уравнения (2.5") является функция н(£, rf) =
/(О + тогда общим решением уравнения (2.5) будет
функция u(t,a:) = f(x +1) + д(х — t). Функция u(x,t) = х — t
является решением уравнения (2.5), но не является решением
уравнения (2.4).
д)	Функция и(х, t) = sin(® — t) служит примером ограни-
ченного решения уравнения (2.5), которое не является реше-
нием уравнения (2.4).
Задача 2.24. Рассмотрим задачу Коши в полосе
П = R* х [0, у0] в R2 у:
Ди + н = 0 в П, и G С2(П) Г) СХ(П),
^=0 = ui4=o =
где 9?(ж), ^(х) — ограниченные непрерывные функции на R|.
Корректна ли эта задача в паре пространств и 6 Eq, Ф =
(</7,V>) G El, где
Ео = С(П),	||и||д, = sup |it(s, t) |,
п
Ei = C(RX) х C(RX),	||Ф||Ei = sup |</>(ж)| + sup[ф(х)|?
R	R
Решение. Докажем, что задача некорректна. Для этого
построим пример, аналогичный примеру Адамара. Будем ис-
кать частное решение уравнения в виде и(х,у) = X(x)Y(y\
78 Глава 6. Решения отдельных задач
где функция Y(y) должна быть неограниченной при у > 0.
Подставим и(х, у) в уравнение:
X"(x)Y(y) + X(x)Y"(y) + X(x)Y(y) = 0,
Y"(y) _ X"(x)	, _
Y(y) X(x) 1-Л‘
Для функции У (у) получим уравнение Y" (у) — XY(y) = 0,
которое имеет неограниченное решение при А > 0 : У (у) =
е\/А2/ Тогда решением уравнения Xz/(a;) + (A-H)X(a:) = 0 будет
функция Х(х) = Asin(VA + 1 х) + Bcos(>/A + 1 х). Возьмем
А = п2, п € N, и рассмотрим последовательность функций
un(x,у) = —т епуsin(Vn2 + 1 х).
п
Функции Un (х, у) будут решениями задач
Atin + un = 0, xeR1, у € (О,ур),
иДт.О) = <рп(х) = — sin(\/n2 + la;),
(х, 0) = ^n(s) = - sin (л/п2 + 1 х).
оу	п
При п —» оо последовательность начальных функций стре-
мится к нулю по норме пространства CfR1) : тах|</?п(ж)[ —► 0,
max|V>n(:r)| —> 0, но последовательность решений Un(x,y) не
стремится к нулю. Нарушается условие непрерывной зависи-
мости решения от начальных данных из определения коррект-
ности, следовательно, задача является некорректной.
Задача 3.4. Привести пример функций € C2(IR)
таких, что задача Коши
ихх 4- 5uxy - Quyy = 0,	и|у=6а. = <р(х), Uy\y=6x = $(х)
а)	имела бы решение. Единственно ли это решение?
б)	не имела бы решений.
Решение. Найдем характеристики уравнения
Пхх “1“ §UXy 6Uyy 0.
Глава 6. Решения отдельных задач 79
Имеем
(dy)2 — Sdydx — 6(<1т)2 = 0, у + х = Ci, у — 6х = С2,
и запишем его общее решение
и(х, у) = f(y + х) + д(у - 6т),
где /(£), g(i]) 6 С2(R) — произвольные функции одной пе-
ременной. Подставим общее решение в начальные условия,
заданные на одной из характеристик
(“1»=6» =/Р*)+9(°) =?М.
1ч1,.б1=т)+9,(о)=т
Необходимое условие разрешимости системы (6.1) имеет вид
<р'(х) = 7ip(x) + const,
причем из системы (6.1) найти можно только функцию /(£), а
функция д(т]) не определяется.
а)	Пример начальных данных, при которых задача Коши
имеет решение:
<р(т) = 7т2,	i/>(x) = 2т.
Решение задачи неединственно:
u(t, т) = | (т 4- у)2 + д(у - 6т),
где д(т}) G С2(R)—любая функция, удовлетворяющая усло-
виям р(0) = </(0) = 0.
б)	Пример начальных условий, при которых задача Коши
не имеет решения:
<р(т) = т2,	i/>(x) = 2т.
В этом случае система (6.1) противоречива.
Задача 3.14. Найти решение u(x,t), х = (т1,Т2,тз), в
R3 х R+ задачи:
utt = &xu, «|t=0 = 0, ut|f=o = |т|7.
Решение. Перейдем в сферические координаты. Так как
начальные условия задачи зависят только от |т| = г, то и
80 Глава 6. Решения отдельных задач
решение, в силу единственности, является функцией только
переменных г и t.
Для функций, зависящих только от радиуса, оператор Лаг
пласа в пространстве х € Rn имеет вид
д = д2  П~1 9
х dr2 г dr'
Следовательно, задача для функции u = u(r,t) перепишется
так	2
ип = urr + -Ur, г > 0, t > 0;	u|t=0 = 0, «t|t=0 = г7.
Домножим уравнение на г:
run = rurr 4- 2ur,
и сделаем замену v(r, t) = ru(r, t). Тогда vu = run, vr = rur+u,
vrr = ritrr + 2иг. Так как u(0,t) ограничена, то v(O,t) = 0.
Получим задачу для функции v(r,t)
vtt = Vrr, г > 0, t > 0;	v|t=0 = 0, vt|t=0 = r8,	v|r=0 = 0.
Применим метод д’Аламбера для полуограниченной струны,
продолжив начальные условия нечетно в область г < 0 (см.
теорию к параграфу 3):
Тогда
u(r,t) = - v(r,t) = — [(r + t)9- |t-r|9], г / 0.
Найти u(0, t) можно либо как lim u(r,t'), либо по формуле
г—>0
Кирхгофа
“(03) = ^ J
ni=t	ia=t
• 47Tt2 = t8.
Ответ:
=	[(И + 09-|*-И|9], ж/0;	u(0,t)=t8.
Глава 6. Решения отдельных задач 81
Задача 3.27^ При^ каких значениях Аиш существует
решение и G C2(R+ х R+) в R+ х R+ краевой задачи:
utt = uxx, u\x=Q = coswt, u|t=0 = Ае-х2, ut|t=o = 0?
Найти это решение.
Решение. Общее решение уравнения струны имеет вид
и(х, t) = f(x -1) 4- g(x -i-t).
При x > t решение определяется по формуле Даламбера:
u(x,t) = f(x -1) 4- g(x +1) =	(е~(х~^2 4- e_(®+^2).
£
При x < t имеем
u(x, t) = f(x -t) + g(x 4-1) = /(® - i) 4- у e-(x+t)2,
£
где падающая волна g(£) та же, что при х > t, а отраженная
волна /(£), С < 0, находится из граничного условия:
«Ь-о = /(“*) + у е“‘2 = cos wt Ф=> /(С) = cos wC -	е~?
Тогда при х < t
и(х, t) = у (e~(a:+t)2 — е~(х~^2) 4- coswfx — t).
Функция u(x,t) принадлежит классу C2(R+ х R+), если она
имеет две непрерывные производные на угловой характери-
стике х = t. Для этого функция /(С), задаваемая /(^) =
Ае~^2 /2 при > 0 и /(£) = — Аё~^2/2 4- cosw£ при £ < О,
должна быть класса С2 в нуле, т. е.
л+о)=л-о),	«=/ 4=1-4’	л=1’
/'(+0) —	(выполнено всегда),
/"(+0) =/"(-0)	-1 = 1-ш2 <=> ш = ±\/2,
82 Глава 6. Решения отдельных задач
так как
/'(+О) =	-£е-^=о = О,
/7—0) =	fCe~^2	—	I	= 0,
\	/7=0
/"(+0) = ( - е~? + I =-1,
\	/	7=0
/"(—0) =	— 2£2е-^2 — o)2cosw^|^ = 1 — ш2,
При найденных значениях Аиш получим дважды непре-
рывно дифференцируемое решение задачи:
,, _ f (e~(x+t)2 + e~(x~t)2)/2,	"	x^t,
~ t(e-(-H)2 -е-(®-‘)2)/2 4-со8(>/2(Ж-^), x < t.
Задача 3.33. Пусть u(x, t) — решение в [0,1] x 1R+ смешан-
ной задачи
utt = 4ura., «|я=0 = и|я=1 = 0,
tt|t=0 = 4 sin3 me, ut |t=0 = 30ж(1 — x).
а)	Найти /(|), где /(i) = j [u2(x,t)
б)	Найти и(ж,2).	°
+ 4и2(ж, t)] dx.
Решение.
i
a)	/'(*) = У t)utt(x, t) + 8ux(x,{)щх(х,t)]dx =
о
= { из уравнения = 4uxx } =
i
= 8 J [ttt(ж, t)uxx(x, t) 4- ux(x, t)utx(x, =
0
I JC=1
= {по частям} = 8ut(x,t)ux(x, t) —
lx=0
i	i
“8y* utxf.x.t^Ux^x.t^dx + 8 J ux{x^t}utx{x,t)dx =
о	о
Глава 6. Решения отдельных задач 83
'(!)=/
подстановка равна нулю из граничных условий:
<=0 = <=1 = 0 =5- ш|ж=0 = 4=1 = о.
Так как /'(t) = 0, то f(t) = const, и
1
/(|) = /(0) = j [uj(x,0) + ul(x,0)]dx.
о
Для того, чтобы найти их(х, 0), продифференцируем начальное
условие и(х, 0) = 4 sin3 лх по х. Получим
1
[(30гс(1 — ж))2 + 4(12тг sin2 тгх cos та)2]</ж = 30 + Збтг2.
о
б)	Найдем общее решение задачи методом Фурье:
ОО
u(x, t) = У [An cos 2irnt + Вп sin 2тгп4] sin тгпх.
Тогда решение u(x, t) 1-периодично по времени, и
ОО
и(ж, 2) = У [An cos 4-тгп + Вп sin 4тгп] sin ттх =
п=1
оо
= У А„ sin тх — и(х, 0) = 4 sin3 тгх.
п=1
Задача 3.39.
а)	Найти все к > 0, для которых при некоторой функции
<р(х) € <7°°((0,7г)) существует неограниченное решение в
[0,7г] х R+ задачи
ип = 9иЯх,	«1^=0 = («х - *«)|а.=я = 0,
Ч=о = °’ Ч=о = ^<ж)-
б)	Для к = 1 описать все функции <р(ж) € C'oo((0,Z)), для
которых решение u(t, х) этой задачи ограничено.
84 Глава 6. Решения отдельных задач
Решение.
а)	Разделяя переменные, получаем, что решение задачи
ищется в виде ряда
оо
u(t,ж) =
j=i
где система функций Xj(x) ф 0 —решение задачи Штурма—
Лиувилля
Х'!{х) = XjXj(x), Xy(0)=0, Х<(тг)-&Ху(7г) = О, (6.2)
а функции Tj(t) — решения задачи
Т" = QXjTj, 7у(0) = 0, Ту(О) = Уip(x)Xj(x)dx/X?(x)dx.
°	0	(6.3)
Растущие по t решения у задачи (6.3) могут быть лишь в
случае Xj 0, причем обязательно они и будут, если только
1у(0) Ф 0. Таким образом, необходимо понять, когда у задачи
Штурма—Лиувилля (6.2) бывают неотрицательные собствен-
ные значения Xj.
Ненулевое решение Ху (ж) задачи (6.2) с Xj = 0 с точностью
до умножения на константу имеет вид Ху (ж) = ж (как линейная
функция с нулевым значением в нуле) и существует только в
случае, если эта функция удовлетворяет граничному условию
в точке тг, т. е.
1 — fc?r = 0	4=> к = 1/тг.
В случае Xj = w2 > 0, ш > 0, ввиду условия Ху(0) = 0
это решение имеет вид Ху (ж) = shozr (опять-таки с точностью
до умножения на константу), и оно существует в случае, если
следующее уравнение относительно и> имеет решение
wchw7r — fcshwTr = 0	<=>• fcthw7r = o>,	(6-4)
что, в свою очередь, будет, если производная функции /(«) —
ArthwTT в нуле меньше 1, т. е. кл > 1. Заметим, что в силу
строгой выпуклости вверх функции /(ш) на положительной
полуоси уравнение (6.4) имеет не более одного решения и> > 0.
Глава 6. Решения отдельных задач 85
Следовательно, неограниченное по времени решение исход-
ной задачи существует при к 1/тг.
б)	Если к = 1, то, как указано выше, задача Штурма—Ли-
увилля (6.2) имеет ровно одно положительное собственное
значение Ai > 0, и решение u(t,x) будет ограничено тогда
и только тогда, когда соответствующая собственная функция
Xi(x) не будет участвовать в разложении этого решения, т. е.
Т{ (0) = 0. Это означает, что
7Г
/ <р(х)Х1 (x)dx = 0.
Задача 4.9. При каких условиях на функцию ip €
<7q°((0, 1)) любое решение «(£, ж) в полуполосе задачи
а)	щ = ихх,	«1^ = их|а;=1 = 0,	u|t=0 = <р(х);
б)	щ = ихх,	1^1^ = Ux|I=1 = 0,	tt|t=0 = у?(ж)
обладает свойством u(t, х) —> 0 при t —> +оо?
Решение.
а)	Найдем решение задачи методом Фурье
х V2'	-*2(п+1)2‘ • / ,
u(t,x) = 2_. 4>пе	81П7Г( п+ - 1ж,
п=0
где <рп — коэффициенты разложения функции <р(х) по базису
{sin?r (п + ж, п = 0,1, ...}. Следовательно, u(t, х)->0 при
любой функции <р(х) е Cq°(O, 1).
б)	При граничных условиях второго рода решение имеет
ВИД	оо .
u(t, х) = ipo +	ipn п * cos(7rnx),
П=1
где (рп ~ коэффициенты Фурье разложения функции (р(х)
по базису {1; cos(7rna;), п =	1,2,...}. Следовательно,
86 Глава 6. Решения отдельных задач
lim tt(t, х) =	а коэффициент <ро=0 при следующем условии
t—>оо
на функцию <р(ж):
У <р(х) dx = 0.
о
С точки зрения физики это условие означает, что предель-
ная температура стержня с теплоизолированными концами
равна среднему значению начальной температуры. Темпера-
тура стержня стремится к нулю с течением времени только
в том случае, если среднее значение начальной температуры
равно нулю.
Задача 4.21. Пусть u(t, х) — решение в задачи
Щ = ихх, u\x=0 = ux\x=n = Q, u|t=0 = <р(х),
где <р(0) = (я) = 0.
а)	Доказать, что sup |u(l, ж)| < sup |<р(®)|.
0<х<?г	0<х<тг
б)	Верно ли, что sup |u(l,ж)| sup |у>(ж)| ?
0<х<тг	2 о<х<тг
Решение.
а)	Продолжим функцию u(t, х) четным образом через
точку тг на множество х G (тг, 2тг), т. е. положим u(t, х) =
u(t, 2тг — х) при х € (тг,2тг). Построенная функция u(t,x)
является решением краевой задачи
Щ = йхх, т€(0,2тг), t > 0,
«|х=о = ^|х=2я = 0, гф=о = ф(х),
где функция ф(х) является аналогичным продолжением <р(ж)
на отрезок [0,2тг]. В силу принципа максимума для уравне-
ния теплопроводности в ограниченной области, решение й(£, х)
принимает максимальное по модулю значение при t = 0 (так
как й равно 0 на боковой границе х = 0 и х = 2тг). Итак,
sup |ti(l,z)| = sup |й(1,х)| < sup |^(ж)| = sup |9?(®)|-
0<х<тг	0<х<2тг	0<х<2тг	0<х<тг
Глава 6. Решения отдельных задач 87
б)	Неверно. Пример: ip(x) = sin(x/2); соответствующее
решение u(t,x) = e-t/4sin(®/2), тогда
sup |и(1,ж)| = е-1/4, sup |^(ж)| = 1,
0<Х<7Г	0<Т<7Г
е-1/4 > 1/2, так как е < 24.
Задача 4.33. Пусть u(x,t)— решение в R x
Коши	9 .
.	। ar + sin a:
Ut = 4uxx, u|t=0 =	•
Найти lim u(x,t).
t->+oo '
R+ задачи
R+ задачи
Задача 4.34. Пусть u(a;, t) — решение в R х
Коши
Ut = uxx, u|t=o = arcctg X.
Найти lim u(x,t).
t—++00
Задача 4.35. Пусть u(x, t) — ограниченное решение в
R x R+ задачи Коши
щ = uxx, u|t=0 = <p(x) € C(R) П Loo(R).
Найти
lim u(Q,t),
t-H-oo v ’
если	t
lim v [ <p(x) dx = A.
I-+OO I J
-l
Решение задач 4.33-4.35 основано на теоремах о стаби-
лизации:
Пусть и(х, t) — ограниченное решение задачи Коши:
( Ut ихх	в R х R^.,
I «1^0 = <р(х),	X е R,
ip(x) G C(R) П T^x/R). Тогда:
88 Глава 6. Решения отдельных задач
1.	Если
lim <р(х) = A, lim <р(х) = В, (6.5)
т—+4-00	т—+—оо
г	/ ja	А + В
то lim и(х, t) = —-— .
t-»+oo v ’	2
2.	Если	г
lim | I <p(x)dx = A,	(6.6)
l->+oo I J
-I
to lim u(x, t) = 4.
t—+oo 4	’	2
3.	Если <p(x) — периодическая функция, то lim u(x, t) = tpo,
t—+4-00
где <po ~ нулевой коэффициент разложения функции
<р(х) в ряд Фурье, т. е. пространственное среднее
функции </з(ж).
Доказательства.
1. Представим <р в виде суммы своей четной и нечетной
<р(х)	+ ч>(—х)	ф(х)	— ф(-х) _
составляющих 9?+ = -	—-	, </?_ =	’	—-	. В	силу
формулы Пуассона получим, что
ОО
и(х’*} = ^я J *’+Юехр(“
—оо
+ ^/v-(<)exp(—«-)*=	Р=м-]
—оо
оо
=-4= / 9?+(ж4-2у/4т/)ехр(-772)</т/ +
J
—00
00
+ -7= I <p-(x + 2y/tT])exp(-T]2)dTj =
J
—00
00
= -F= / ¥>+(2\/<г?)ехр(-»72)(/7? +
V^rt J
—00
00
+ -4= I ip-{2y/tvj)exp(~i]2)d7j +
J
—00
Глава 6. Решения отдельных задач 89
оо
(2л/?т?)j ехр(—7}2)d7} +
—ОО
оо
—оо
Второй интеграл ранен нулю, так как берется от нечетной
функции по симметричному промежутку. Третий и четвертый
допускают оценку по модулю величинами
:= |</?±(ж 4- 2Vt ту) - <p±(2Vtrf)| =
Если функция /(ж) непрерывна, то /(ж) = f(kx), к = const /
О, — тоже непрерывна, т. е. /(ж 4-Дж) —> /(ж), Дж —> 0. Выберем
в качестве /(ж) любую из функций <р±(х), в качестве к —
величину 2-^t, в качестве Дж — величину . Таким образом,
б± —> 0 при	—► 0, т. е. при t —> оо.
Рассмотрим оставшийся первый интеграл. Он может быть
преобразован как
f	4-	А + В
J I 2	2
л 2\ j А + В
ехр(-т/2)^ 4- ——
—ОО
В этом выражении интеграл стремится к нулю в силу (6.5)
при t —* оо. Таким образом, окончательно получим, что
lim u(x,t) =
t—+4-00	2
X
2. Обозначим F(x) = J <p(£)d£. Условие (6.6) означает, что
о
limf(0-FH)=A
i—оо	I
(6.6*)
Обозначим F+(x) и F_(x) четную и нечетную составляющие
функции Р(ж).
90 Глава 6. Решения отдельных задач
Согласно формуле Пуассона
оо
“(м) =	/ ”+К)иф [- <к +
—оо
оо
+ ^7й/ <p-(«)exP[-«^]de =
—ОО
= lim Ц= Р(£)ехр	-
1-+оо 2>/irt ' L 4t J l$=-z
ОО
—ОО
—оо
Обозначим эти выражения L, Ii, h и преобразуем их, сделав
замену ij —	.
L - JSLiTS F<x + 2^’) ехр("’,2С-. 
=И2'**’ -	ехр(-,2)+
+ f Нт° [f(s + 2y/tl) - F(2Vt J)] exp(-i2) -
-1 Km^	[f(-x - 2Vtl) - F(-2>/t0] exp(—/2) =
= . “So	exp(-,2) +, “So f(2^i, + MexpH2) -
~. “So	°2X} “PH2).
^i>^2 (0,1), (мы воспользовались здесь теоремой Лагранжа).
Если вспомнить, что функция <р ограничена, то получим, что
L = 0 для каждого фиксированного х. Далее,
ОО
-	1 f F(x + 2y/tT}) +F(-x-2y/tf))	,	2\j
h = ~T= / —---------------------------^7?exp(-7?2)d7/ =
—oo
Глава 6. Решения отдельных задач 91
оо
= 1 7	+ ч +
\6rt J	2
—ОО
1 +
'let J	2
—ОО
ОО
+ 1	7F(-x-2^)-F(-2^)i)exp(_^
y/ict J	2
—ОО
В первом из интегралов подынтегральная функция нечет-
ная, поэтому он равен нулю. Модули следующих двух интегра-
лов могут быть оценены с учетом теоремы Лагранжа как
1	7 ^±2^,)^^)^^^
j	2
—ОО
оо
J ±т <р( ± 2y/tri 4- 0x)q ехр(—т;2)</77
о
2 ® I /г\1 ( expt-»? )
~7= SUP И()| I------------
уя< $eR \	*
= ЭД sup |^(С)|,
V^t
0 € (0,1). Таким образом, в силу ограниченности ср в каж-
дой фиксированной точке х интегралы стремятся к нулю при
t —> +оо.
Далее,
2
—ОО
оо
/,= ’/	+ г^>) -/И» -	,exp(-^)d4 =
v6rt J	2
—оо
p(2^)-F(-2/i.,)4exp(_42)<i4 +
2ict J	2
—оо
00
1 f Гп/ . n /I 4 r,fn П \1	/
—оо
оо
j [F(-s -	-F(-2v/tJ7)]r?exp(-772)d?7-
—оо
92 Глава 6. Решения отдельных задач
Последние два интеграла стремятся к нулю при t —> +оо, как
было показано выше, а первый может быть преобразован как
оо
1 Г F(2^) - F(-2^) w 2
V^rt J 2у/1т]	' V '
ОО
+-4= / т}2 ехр(—J72)d7j.
уТГ J
—оо
Второе слагаемое равно нулю в силу того, что
оо
У r?2exp(-7?2)d7? =
а первое может быть оценено по модулю как

1
< ^sup
2 »?6R
2x/tj/
Но последнее выражение стремится к нулю при t —> оо в
силу условия (6.6*). Собрав вместе все оценки, получим, что
3. Обозначим 21 период функции ф(х), тогда
z х	г ikTtx
4>(х) = > , Cfcexp[-—
к=—оо
Ряд сходится равномерно в силу непрерывности (р(х\ что
позволяет его почленно интегрировать.
Глава 6. Решения отдельных задач 93
Представим решение задачи Коши согласно формуле Пуас-
сона:
оо
—ОО
_ СО f „Г £ “ж)2 1 лг ,
" 2VTt J eXPL 44 И +
—ОО
+оо °?
1 f Г 1 Г (С - х)21 ,е
+	L.*] exp[ — ]ezp[-
Л— оо _оо
Первый интеграл равен со. Покажем, что второй стремится
к нулю при t -* +оо. Действительно, выделяя полный квадрат
под знаком экспоненты, получим, что
oo
1 г
J
—oo
А
4t
oo
= 1 f
2y/iH J
—oo
4ikirt 4kn2t2
I2
/ /*•	/ । 2ikirt \ \ 2
(s~(>
Г 4ikirt
= exp[ —
4kir2t2
I2
I
Таким образом, u(x,t) —»• Cq = — /
-I
Задача 4.36. Найти lim u(x, y, t), где u(x, y, t) — решение
t—»4-oo
в R2 x R+ задачи Коши
ut = uxx 4- Uyy, u|t=0 = <p{x, y)
при следующих начальных условиях:
а) 4>(х, у) = х- , б) <р(х, у) = sin2 у, в) р(х, у) =	.
94 Глава 6. Решения отдельных задач
Решение. Здесь
<Р1	= l + 2z2 ’	= Sin2 У’
следовательно,
lim u(x,y,t) = lim ui(x,t) • lim u(y,f).
t—*oo	t—*oo	t-*oo
Ho
lim ui(x,t) = i (теорема 1),
t—>oo	2
7Г
a lim U2(y, t) =	/ sin2 ydy — (теорема 3).
t—+oo	2тг J	2
—7Г
Таким образом, ^lim u(x, y, t) = j .
Задача 5.3. Найти все гармонические в R2 функции
и(х,у), для которых
ux(x,y) <uy(x,y) V(t,j/)gR2.
Решение. Если и(х, у) — гармоническая функция в R2, то
и ее производные также гармонические функции. Поэтому
v = ux — Uy — гармоническая во всей плоскости. По теореме
Лиувилля — это константа. Таким образом, ux — иу = С.
Решаем это линейное неоднородное уравнение с частными
производными 1-го порядка стандартным образом. Уравнения
характеристик:
dx = —dy =	.
Эта система имеет два независимых первых интеграла.
х + у = С\, и — Сх = С2,
т. е. решение имеет вид и = Сх 4- <р(х + у) с произвольной
гармонической функцией ip. Таким образом,
О = <рхх + <Руу = ^Ар".
А это означает, что <р(х + у) = К\(х + у) + К% или и(х,у) =
Mix + М%у + М3. Так как их < Uy, то М\ < М^.
Глава 6. Решения отдельных задач 95
Задача 5.4. Пусть Q = {(ж, у) G R2 | 0 < х < 1, <0 < у < 1},
и е С2(П),
Ди = 0 в Q, и1у=о = uly=i ~ 0 при 0 х 1.
1
Может ли функция /(ж) := J и2 (ж, у) dy иметь точку перегиба
о
внутри интервала (0,1)?
1
Решение. Функция и2(ж, у) € C2(Q), поэтому jv?(x,y)dy
о
можно дважды дифференцировать по переменной ж. Тогда,
используя гармоничность функции и, имеем
1 1
/"(ж) = 2 У (u2 + uuIX) dy = 2 У (и2 - miyy) dy.
о	о
Интегрируя по частям второе слагаемое в правой части, с
учетом краевых условий получаем
1
/"(ж) = 2 J (u2 + и2) dy 0, хе [0,1].
о
Это означает, что перегиба быть не может.
Задача 5.7. Пусть и(ж) е С2(В2(0)) Г) С(В^(0));
Ди(ж) = 0, ж := 1 и(ж) = ж2, ж е S и(ж) = жг, ж е S Найти У и(ж) dx.	(Ж1,Ж2) е В?(0); ?(0), S2>0; ?(0), ж2 < 0.
96 Глава 6. Решения отдельных задач
Решение. Согласно теореме о поверхностном среднем для
гармонической функции при п = 2 имеем, что
«(°) =
s£(0)
где <тп — площадь единичной сферы в Rn, аг = 2тг. Подставляя
значения и(х) на окружности 5д(0) (с учетом того, что на раз-
ных ее частях эти значения задаются разными выражениями)
и переходя к полярным координатам, получим, что
и(°) = ±
27Г
Lo
2тг
1 _ 1
4 тг ’
С другой стороны, по теореме о пространственном среднем
u(0) =	[
v 7 a2R2 J
b2r(0)
1х.
Таким образом, J
b21/2W
1
4 '
Задача 5.8. Пусть Au(ar) = 1, х е В|(0)\В,(0). Что
больше:
J Ър или /
S2(0)	Sj(O)
Решение. Применим формулу Гаусса—Остроградского,
имея в виду, что
du	C2zn\ du du	O2fn\
ai = -ap при«е32(0);	= приз €5,(0).
где v — внешняя нормаль к границе области. Имеем
£2(0)\В2(0)	В|(О)\В?(О)	Sj(O)	В?(0)
Глава 6. Решения отдельных задач 97
И, следовательно,
[du ,	[ du ,	,	[du ,
/ — ds = / — ds + Зя > / -x- ds.
J dp J dp	J dp
$1(0)	S2(0)	S2(0)
Задача 5.11. Пусть u G C2(Q) П C'(Q); q G C(Q);
Ди(ж) + q(x) u(x) = 0, x G П;
M = тахи(ж); m = ioax.u(x).
Возможно ли, что M > тп, если
a) q(x) = 0;
б)	q(x) > 0;
в)	q(x) <0, М > 0;
г)	q(x) < 0, М < О?
Решение.
а)	Невозможно (принцип максимума);
б)	возможно, пример (в случае п — 1)
>/	Л	/ 7Г ТГ v
u + и = 0	при х G (- -, -),
при этом функция u = cos х является решением уравнения, для
которой верно утверждение;
в)	невозможно, так как если во внутренней точке жо G Q
достигается максимум (и(жо) = М), то Ди < 0;
г)	возможно, пример (в случае п — 1)
и" — и = 0 при ж G (—1,1),
при этом функция и — — ch ж является решением уравнения,
для которой верно утверждение.
Задача 5.12. Пусть Q = {(ж, у) G R2 11 < ж2 + 2у2	2};
u G С2(П);
Ди(ж, у) = 0,	(ж, у) G П;
и(х, у) = ж + у, ж2 + 2у2 = 2;
+ (1 - х)и(х, у) =0, ж2 + 2у2 = 1.
Найти max |и(ж,у)|.
п
4—3206
98 Глава б. Решения отдельных задач
Решение. По принципу максимума max|u(x,y)| достига-
п
ется на границе области. Следовательно, необходимо сравнить
значения решения на границе.
Покажем, что на участке границы гг2+2у2 = 1 выполняется
тождество и = 0. По лемме Хопфа—Олейник в точке макси-
Эи
мума £тяу € dfl (минимума € dQ) на границе — (£тах) 0
< °) • С учетом того, что
(1 — х) > 0 при х2 + 2у2 = 1
заключаем, что в точке максимума на этом участке гра-
ницы значение функции должно быть неположительным, а в
точке минимума неотрицательным. Это означает, что функция
должна быть нулевой константой.
Теперь найдем максимум решения на второй части гра-
ницы, т. е.
max х + у.
х2+2у2=2
Легко видеть, что максимум достигается в первом квадранте.
Это означает, что надо искать максимум функции f(y) =
у/2 — 2у%+у для положительных у. Он достигается при у = —=
и. равен \/3-
Задача 5.30. При каких а,/3 существует решение краевой
задачи для уравнения Лапласа в кольце В|(0)\В^(0) с гранич-
ными условиями
Найти решение во всех случаях, когда оно существует.
Решение. Общий вид решения уравнения Лапласа в
кольце:
оо
и(р, в) = Ао + Во In р +	(АкРк + ВкР~к} cos к0+
к=1
ОО
+ YACkPk + Dkp-k)sinke.
к=1
Глава 6. Решения отдельных задач 99
Соответственно,
М = — + X (кАкРк~г - кВкр-к~х) COSM+
р	р к=1
+ 22 (кСкрк~г — кВкР~к~г) sin кв.
к=1
Тогда в силу граничных условий
ОО	оо
Bq + 22 (kAjt — кВк) cos кв + 22 (kCh ~ fcPjt) sin кв = 1
fc=l	к=1	I
и
§ + V (Mfc2fc_1 - кВк2~к~1) coske+
£t	*	~
fc=l
+ 22 ^Ck2k~x - kDk2~k~1) sin кв+
k=l
(oo
Aq + Bq In 2 +	(А&2^ -J- -Bfc2 cos kO-t-
k=l
+ 22 (Ck2k + Dk2~k) sinкв\ =/3.
k=1 . '
Отсюда непосредственно следует, что
Во = 1,
р
^ + аАо + аВо1п2 = /?,
£л
Ак = Вк = 0, к Е N.
1 (
Таким образом, если d = 0, то (3 = - и решение имеет вид
и(р, в) = Ао + 1пр (т.е. с точностью до аддитивной константы).
0-х
Если a / 0, то Ао =------ — In 2, при этом /3 — любое и
a
“(<’.9) = ^2 + 1пГ
100 Глава 6. Решения отдельных задач
Задача 5.33.
а)	Единственно ли решение следующей задачи:
и € С2(П), где П = В|(0)\ВЗ(0);
Аи(х) =0, х G П;
- aiu(®) = Л(ж), х G Sf (0);
+ а2и(х) = f2(x); х G S%(0);
ajb = const >0 (fc = 1,2)?
б)	Тот же вопрос при а* = const <0 (к = 1,2).
Решение. Пусть щ(х) и и2(х) — два решения поставленной
задачи. Рассмотрим разность v(x) = ui(x) — и2(х), которая
является решением аналогичной задачи с однородными кра-
евыми условиями.
Применим первую формулу Грина для функции v(x).
Имеем
/л »	/	.	/	dv ,	/	Щ .9 •
vAv dx =	—	I	—v ds +	I	-£-v ds— I	Vw\ dx.
J	dp	J	dp J
я	S3(0)	5|(0)	n
С учетом граничных условий
«1 J v2 ds + a2 J v2 ds + J |Vv|2dx — 0.
s?(o)	s’(o) a
Таким образом, при оц > 0, а2 > 0 это тождество может
выполняться только для v = 0.
Если же «1 < 0 и «2 < 0, то решением задачи с однород-
ными краевыми условиями будет функция и(®) = Aq -|—при
ЭТОМ
Во + ai(A0 + Во) = 0,
и_а2(ло + ^)=0
И, следовательно, коэффициенты ai и а2 должны удовлетво-
рять соотношению
^ + а2 + ^ = 0.	(6.8)
В этом случае решение исходной задачи неединственно.
Глава 6. Решения отдельных задач 101
Легко увидеть, что в противном случае (если не выпол-
няется соотношение (6.8)) система (6.7) имеет только одно
нулевое решение, что приводит к совпадению ui и и2 (т.е.
единственности решения).
Задача 5.34. Найти все такие а > 0, что решение и(х,у)
задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости
R+ х R, удовлетворяющее неравенству
1Чж>зО1 -^(1 + ® + h/l)a>
где М -= const > 0, единственно.
Решение. Пусть существует два решения «1 и «2- Обозна-
чим v(x,y) = ui(x,y) — u2(xty). Легко видеть, что v удовлетво-
ряет однородной задаче Дирихле. Общее решение такой задачи
в полуплоскости имеет вид
ОО /	\
v(p, 0) = 52 ( CkPk + DkP~k ) sin кв.
к=1 '	'
С учетом условия
М |г»1| + |“2| < Mi(l + pcos0+ |psin0|)a М2(1 + р)а
к
заключаем, что решение имеет вид v(p,6) = ^3 Сьрк sin кв.
Здесь константа К равна целой части а. *-1
Таким образом, при а > 1 существует ненулевая функция
v и, следовательно, решение исходной задачи неединственно.
При а < 1 существует только нулевое и, поэтому решение
исходной задачи единственно.
Задача 5.35. Найти все такие а > 0, что решение и(х, у)
задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области
{(ж,у) €R2||y| < Д},
ч	I	у о >
удовлетворяющее неравенству
Щж, у)| < М(1 + х2 4- у2)*,
где М — const > 0, единственно.
102 Глава 6. Решения отдельных задач
Решение. Перейдем в полярные координаты. Область, в
которой рассматривается задача Дирихле, представляет собой
угловой сектор |0| < —, неравенство перепишется в виде
о
|и(г,0)| ^М(1 + г2)“.
(6-9)
Если w(r,0) —другое решение данной задачи Дирихле, то
v(r, 6) =	— w(r, 0) — гармоническая функция в данной
области, удовлетворяющая нулевым граничным условиям. Она
тоже подчинена неравенству (6.9) (возможно, с большей кон-
стантой), так как |v| = |u — w| < |и| + |ш|. Таким образом, нам
надо найти условия, при которых v — тождественный нуль.
Функция v имеет общий вид
v(r, О) = ^2(Л*,гк + Bkr к) cos кО 4- ^(Ср-* + Pfcr *) sin kO.
k=3	k=6
Так как в силу неравенства (6.9) эта функция ограничена в
нуле, то все коэффициенты В$, i = 3,..., и Di, i — 6,..., равны
нулю. Чтобы исключить решения задачи Дирихле с нулевыми
граничными условиями, отличные от тождественного нуля,
надо потребовать, чтобы рост |и(г, 0)| на бесконечности был
строго меньше, чем у г3. Таким образом, а < х.
Задача 5.45. Пусть Q — ограниченная область на плоско-
сти, и(х) € C2(Q),
Ди = 0 в Q,
— непрерывная функция на dQ и
lim u(x) = 9?(а?о)
Л—
жеП
для всех хо G dQ кроме единственной точки х* € dQ. На-
зовем такую функцию «решением задачи Дирихле Ди = О,
= tp(x) кроме одной граничной точки х*». Единственно ли
решение такой задачи Дирихле?
Решение. Рассмотрим область
Q = {0 < г < 1, 0 < <р < тг/2} С R2,
1
Глава 6. Решения отдельных задач ЮЗ
где (г, <р) — полярные координаты на плоскости, и граничную
точку х* = 0 € dQ. Рассмотрим задачу Дирихле
Д« = 0, х G Q,	х^о = О'
Решение данной задачи неединственно: гц(г, ф) = 0, иг (г, tp) =
(г2----)sin2v?.
\	г2/
Задача 5.46. Пусть П С R3 — внешность_единичйого шара.
Единственно ли решение и(т) € C2(Q) Г) C(Q) внешней задачи
Дирихле
Ди(х) = 0,	|ж| > 1, ul|x|=i = 0
при дополнительном условии
а) / |uK)|2de = O(l) б) У |u(f)|4 = о(1)
при |ж| —► +оо?
Решение. Известно, что решение внешней задачи Дирихле
в R3 единственно при дополнительном условии и(х) —> 0 при
|ж| —> +оо. Оценим и(х). По теореме о среднем для гармониче-
ских функций по шару с центром в точке х радиуса 1
2
1«(®)|2 =
1
(4тг/3)2
1 Г
4w/3 J
14-а|<1
[неравенство Коши—Буняковского]
f df- / 1“(«)12<г« = 4^7з J
Условие (а) эквивалентно условию |г»(гг)[ = 0(1) при |ж| —> +оо,
которого недостаточно для единственности решения в R3.
Решение такой задачи неединственно. Пример: ui(x) = О,
и2(ж) = 1 - |ж|-1, |u2(®)| < 1 при |ж| > 1,
Ди2(®) = о, |ж| > 1, и2 ||Х|=1 = О,
j |U2(£)|2«£< У </С = у = О(1) при |ж|->+оо.
и-х|<1	к-г|<1
Из условия (б) следует, что и(х) —> 0 при |ж| —> +оо, значит,
решение такой задачи единственно.
104 Глава 6. Решения отдельных задач
Задача 5.47.
а)	Найти решение u(p,ff) задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в В2(0) с граничным условием
ОО
“1р=1 = 22 fc-₽-1 sin(fc’0),
к=1
где р и q — заданные натуральные числа.
б)	При каких р, q это решение принадлежит пространству
H'lBfto))?
Решение.
а)	Общий вид решения задачи Дирихле в круге
ОО	. оо
и(р, 0) = Ао + 22 АпРп cos п0 + 22 Спрп sin пО.
п=1	n=1
Из граничного условия вытекает, что Ап = 0, п = 0,1,..., при
этом п = kq и Сп = к~р~1.
Таким образом, решение
и(р, 6) = 22 sin &9#-
fc=i
б)	Легко вычислить квадрат градиента решения (при р^О)
iv“(p, »)i2 =	) + 4 (2) = г k-^vk'-2-
4	7	х 7	к=1
Если и е Я1(В2(0)), то J |Vu|2da; < оо. Выберем 8 такое,
что 0 < 6 < 1, тогда
2тг 5
[ [^к-^-ук9~^ = 2^к-^^р^
оо fc=1	*=*
= 7Г 22 k~2p+q-262k9 7Г 22 fc-2₽+9-2 при <5-^1.
к=1
Ряд сходится, если —2р + q — 2 < —1, т. е.
6
о
Также можно проверить, что классический градиент функции
и является обобщенным в шаре #1(0) и что при получен-
ном соотношении сама функция и принадлежит пространству
L2(B2(0)).
Ответы
К главе 1
Ы« ^(1,1) +	—	—	1’2’ а = — 1-
1.4.	0(ж)(1 - е~х) + Ci + С2е~х. 1.5. -0(у - М)/2.
1.7.	Нет.	1.8. а) Да; б) да; в) нет.
1.9.	Нет, пример: и = sin(l/|a;|).
1.10.	б) Нет, пример: и = \/х — х2.
1.12.	а) а < 1/2; б) а > 1/2, а = 0.	1.13. а < 1/2.
1.14.	а) а любое, если п 7; а < —1/2, если п = 6.
б)	а > 1/2 или а = 0, если п > 7.
1.15.	а > 1/2, а = 0; /3 = (2к - 1)тг/2, к € Z.
1.16.	(3 = (2к — 1)тг, к € Z; а любое, если п > 3; а < 1/2, если
п = 2; а = 0, если п = 1.
1.18.	Да. 1.19. Нет. 1.20. 0.
К главе 2
2.1.	Нет.
2.2.	Да —для гиперболического и эллиптического; нет —для
параболического.
2.3.	Только у ин = ихх> пример: и = х2 +t2.
2.4.	2^у±3о;.	2.5. а) у = 2е±(ж-1); б) у = 0.
2.6.	а) х = Ci, х + у = С2; б) и = eyf(x) + д(х + у).
2.7.	а) Гиперболическое; б) х — 2у = Ci, у = С2\
в) и = ху + f(x - 2у) + д(у).
2.8.	а) Гиперболическое при а / 0, параболическое при
а = 0.
106 Ответы
б)	16 а2 — 4au$ = 0 при а 0; ихх 4- их = 0 при а = 0.
в)	и(х,у) = F(y + За®) exp ( у ) + G(y — ах) при
а / 0; и(х, у) =	F(y) 4- G(y)e~x при а = 0.	|
2.9.	а) а > —4; a G	0; б) а = 0; а = —4; в) нет; г)	да.	t
2.11.	a) x+t = С‘,б)	а = ±1; в) x+t = С при а = 1;	®±t = С
при а = —1; г)	пример: и = t(x 4-t) при а = 1;	и =	х — t	(
при а = —1; д) пример: и = sin(® — t) при а — —1; при i
а = 1 решений нет.
2.12.	x-y±tV2 = 0.
2.13.	z = С при а = 0; при а 0 0 действительных характери-
стик нет.
2.14.	и = exf(x — у,х — z) + е~хд(х — y,x — z).
2.15.	а) С = х 4- у, г) = 2х - у\ 4-	4- и = 0;
2х-у
б)	u = e(l+^-2l)[/(x + y)4- f	f
°	I
2.16.	ар 4- 3p2 0. 2.17.	a)	a	=	0; 6)	a =	-2.	|
2.18.	Нет. 2.19. Да. 2.20.	Да.	2.21.	Нет.	|
2.22.	а) Да;	s
б) нет. Контрпример:	•
и = 'Um(x,t) = Reexp{—y/in + im2t 4-	mx) =	I
Г r~ , m 1	/ 2, . m \	I
= exp{—ym 4- ~^= x] cos (mt 4-	x).	|
2.23.	a > 0.
2.24.	Нет. Пример: Un(x,y) = — enysin ^\/n2 4-1 x^ .
К главе 3
3.1.	Нет. 3.2. |®i ±®2|	\/2.
3.3.	Пример: <p(x) = l,il>(x) = x.
3.4.	a) <p(x) = 7®2, “ф(х) = 2x, нет;
6)	<p(x) = x2,ip(x) = x.	I
3.5.	Нет. 3.6. P < 0, а — любое; P = 0, a < —1/2.	I
Ответы 107
3.7.	а = О, /3 —любое; а / 0, /3 < —5/2.
3.8.	Rea < 0, Ima —любое; Rea = 0, Im a
А
1
3.10.	to =	с = У ф(х) dx.
-1
3.11.	1/a. 3.12. /3 > a/2 4-1-
3.13.	u(x,y,t) = (e“(x+t)2+e-(x-^2+arctg(y+t) + arctg(y —1) +
(cos x + sin y) sin t]/2.
3.14.	и(ж, t) =	[(t + |ж|)9 - |t - |ж||9], |ж| / 0; u(0, t) = t8.
„ 1 _	_ arctg(®i 4- x2 + x3 4-t>/3) - arctg(xj 4- x2 4- x3 - tVty
2>/3
3.16.	a) u(t,x,y,z) = sin ж cos 2t 4- е2г ch4t;
6)	u(t,x,y,z) = (yz)2 4- 4t2(y2 4- z2) 4- у t4;
в)	u(t, ж, y,z) = | [(Зж — у 4- z 4- 2-/111) ехр(3ж — у 4- z 4-
2\/111) 4- (Зж — у 4- z — 2\/il t) ехр(3ж — у 4- z — 2\/il t)j.
3.17.	1/2. 3.18. a) xl 4- x% (t 4-1)2; 6) 1/8.
3.19.	a) 0 t min{xi,i2> 1 — ®i, 2 — x%}.
3.20.	0 < t < 0.05, 0.9 4-1 < И < 1 -1; 0.9 t < 1, |ж|
min(l — t, t — 0.9).
3.21.	q > 1/2 4- m.
3.22.	a) n = 1,2; контрпример для n = 3 см. задачу 3.20.
3.23.	Нет.
3.24.	a) t 6 (тг — х, 2л 4-®), 0 х < л/2; t Е ((тг — а;)+,27г — ж)и
(л 4- х, 2л 4- х), л/2 < х < Зл/2; t G ((ж — 2л)+, ж — л) U
(л 4- ж, 2л 4- ж), ж Зл/2.
u(x,t) = <
3.25.	I) А / 1, <р G C2(R+), 9?'(0) = 0, А</(0) = 0;
| [<£’(ж + 0 +	“ *)] >	x^t,
^[<р(ж 4-1) 4-	«/’(t - ж) -	¥>(0)], ж < t;
II)	А = 1, у?(ж) = К = const;
108 Ответы
и(Х t) = lK'	X^t,
’ \K + f(t — x), x<t,
где f e С-2(Й+), /(0) = /'(0) = /"(О) = 0.
3.26.	y/(x) — 2^>(ж) = С.
3.27.	A = 1, ш = ±y/2; u(x,t) =
f | [e-<x+t)2 4- e~(x~],	x^t,
<
( ^[e-(a:+t)2 — e~^x~^2] 4- cos х/2(ж — t), x < t.
3.28.	6) 0 > 2, a(0) = 1/2, a'(0) = 1.
3.29.	a = 0, /2, fc —любые; a 0, /3 > 2, к < 1; решение
единственно при к — 1 и неединственно при к < — 1.
3.30.	a) 0 14- ж 2, 0 t - ж 1/2;
в) и(х, t) = y>((t + ж)/2) — v?(3(t — х)/2) 4- V>(£ — х).
3.32.	а = (3 = 7 = 0; u(x,t) = sinrccost.
3.33.	а) 30 4-36тг2;б) 4sin37rz.
3.34.	Нет. 3.35. 1/105.	3.36. 1/1260.
3.37.	ш {±4; ±6}. 3.38. а ±к-п, к G N.
3.39.	а) к 1/тг; б) см. решение.
3.40.	Да.
К главе 4
4.1.	Да. 4.2. Нет. 4.3. а) Нет; б) да; в) нет.
4.4.	Нет. 4.5. Нет. 4.6. Да.
1
4.8.	0. 4.9. а) При любой <р(х). б) J ip(x)dx = 0.
о
7Г
4.10.	а < тг2. 4.11. У <р(х) sinх dx — 0.
о
37Г
/кх
(р(х) sin — dx = 0 при к = 1,2;
о
в) tp(x) = 0.
Ответы 109
4.13.	1 + бж/я. 4.14. жхж2. 4.15. 1. 4.16. а < 4/3.
4.17.	Зж-2. 4.18. 4-оо.
4.19.	а) I > 1/3;
1
б)	j ip(x) sh(a>x)dx = 0, где ш > 0 —решение уравнения
о
w = 3thw.
4.20.	в) Например, произвольная <р(х) € Cq°((O, 4)), такая,
что <р(ж) max(O,sin(a; — 0,1))
4.21.	б) Нет. 4.23. Можно.
4.25.	Неограничено. 4.26. а(1 — ж) 4- Ъх. 4.27. Нет.
4.29.	t<l/4K. 4.31. Нет. 4.32. u(x,t) = C. 4.33. 1/2.
4.34.	7г/2. 4.35. А/2. 4.36. а) 1/2; б) 1/2; в) 1/4.
4.37.	а), б) и(*,ж) = е-(Ж1+а:2+хз)	4.38. у/тг/2.
4.39.	А = 1/2. 4.40. Да.
4.43.	«(ж, t) = cos (5t - л/5/2)
К главе 5
5.1.	и(ж, у) = ху3 — х3у 4- С1Ж 4- Сг- 5.2. «(ж) = 0.
5.3.	и(ж, у) = С1Ж 4- Сгу 4- Сз, где С\ < Съ- 5.4. Нет.
5.5.	Сумма равна нулю. 5.6. 0.
5.7.	7г/16 — 1/4.	5.8. Второй интеграл. 5.9. U2(®0)-
5.10.	а) Нет; б) да.
5.11.	а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 5.12. \/3.
5.13.	Нет. 5.15. Да. 5.16. б) 0.
5.18.	Нет. Пример: Q = [0,\/27г] х [0,2тг], и(ж,у) =
ехр(—ж/2) зш(ж/а/2) sin(y/2).
5.19.	Верно, и = 0.	5.20. Нет.
5.23.	Функция и(х), полученная по формуле для решения
задачи Дирихле с разрывной граничной функцией, на-
пример: Ди = 0, |ж| < 1; и||х|=1 = | J’ < J’
5.28.	Нет. 5.29. a G {-3/4; 0}.
110 Ответы
5.30.	I) а / 0, V/?; и =	+ In £; II) а = О, /3 = 1/2; и =
lnp + С.
к Qi тт к оо	3\/3 . cos#	sin2#
5.31.	Да. 5.32. и	= — + -------------
5.33.	а) Да; б) нет.	5.34. а < 1.	5.35.	а < 3/2.
5.36.	«(О, у) = 2 + (у	- 2) 1п(2 - у) - yln(-y).
5.37.	—оо.	5.38. Да.
1/4	\	2/1	\
5.39.	а)	Да;	б)	и(г,9) =	- [-г)	cos# +	- (- + г) sin#.
5 \г	/	5 \г /
5.40.	а)	Пример:	и(х,у)	= sin(7rx)	ехр(тгу). б) Да.
5,41.	Нет. 5.42. -1/25. 5.43. Нет. 5.44. а = тг/2.
5.45.	Нет. 5.46. а) Нет; б) Да.
5.47.	а) «(/?,#) = J} fc-p-1pfc’sin(fc9#); б) q < 2р + 1.
Л=1
5.50.	б) и(х) = 0; в) и(х) = 0.
5.51.	и(х) = 0. 5.52. тг/2. 5.53. 2тг. 5.54. -79тг/2520.
Экзаменационные варианты
2003 год, поток экономистов, основной экзамен,
лектор А. Ю. Горицкий
1.	а) (1+1) Найти все (3, при которых существует линейная
замена переменных (х,у) —> (t, г), переводящая уравнение
Uxx ^Uxy +	= 0	(1)
— в уравнение струны = uzz,
— в уравнение теплопроводности щ = uzz.
б)	(1+2) Те же вопросы для уравнения
- ^хх *^иХу + ^^уу + 2^W;p	/3 Uy — 0.
в)	(3) Пусть ограниченная функция и(х, у) G C2(R2) удо-
влетворяет уравнению (1) с некоторым 0 > 5. Может ли при
этом и const? Ответ обосновать.
г)	(2) Тот же вопрос для (3 < —5.
2.	а) (1+1) Описать все тг-периодические функции <р(х) и
ip(x), при которых решение u(t,x) задачи Коши
9«и = ихх, tt|t=0 = <р(х), «t|t=0 = ^(х)'	(2)
является периодической функцией по t. Найти этот период?
б) (2+1) Те же вопросы для задачи
9tttt = ихх + sint, u|t=0 = <р(х), tit|t=0 = V’t®)-
в) (3) Может ли период по t у решения u(t, ж) задачи
Коши (2) быть меньше 2тг при условии, что ср и <ф являются
тг-периодичными и не имеют меньших периодов?
3.	Пусть u(t, х) — решение в полуполосе (t, х) е (0, +оо) х (0, тг)
краевой задачи
Ut = UXX, Ux\ о =	= 0,	u|t=0 = Ч>(х).
112 Экзаменационные варианты
а)	(3) Доказать, что sup |u(l, ж)| < sup |<р(ж)|.
0<Х<7Г	0<Х<7Г
б)	(2) Верно ли, что для любого начального условия <р(ж)
выполнено
sup |и(1,ж)|<| sup |<р(ж)| ?
0<Х<7Г	Z 0<Х<7Г
в)	(3) Найти решение u(t, х) поставленной задачи с начальной
функцией <р(х) = (тг — х)(я + х).
4. а) (1+1) Дать определение производной в смысле Соболева.
О
Дать определение пространства Я1(Л).
б)	(2) Привести пример нигде не дифференцируемой (в
классическом смысле) функции, принадлежащей пространству
О
BX(Q), QcR2. Доказать ее принадлежность этому простран-
ству. Ответ обосновать.
в)	(3) Рассматривается функция f(x) = (|ж| sin(w|a;|))a в
единичном шаре В\ = {х € R3 | |гг| < 1}. При каких а и ш
выполнено f(x) € ЯХ(В1)?
Критерии оценок: «отлично» — 19 баллов; «хорошо» —
12 баллов; «удовлетворительно» — 5 баллов при максимально
возможной сумме 32 балла. Время написания —3 астрономи-
ческих часа.
2000 год, поток механиков, пересдача,
лектор А. Ю. Горицкий
Первая часть
1.	а) (1) Определить тип уравнения
ихх — 6иху + аиуу + 2ия + (3 - а)иу + и = 0	(*)
в зависимости от параметра а € R.
б)	(1) Привести уравнение (*) к каноническому виду при
а = 5.
в)	(1) Тот же вопрос для а = 9.
г)	(1) Найти общее решение уравнения (*) при а = 5.
в)	(1) Тот же вопрос для а = 9.
Экзаменационные варианты 113
2.	а) (1) Дать определение функции Грина задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в ограниченной области fl С R3.
б)	(2) В предположении, что существует классическое ре-
шение задачи
Ди(ж) = f(x), X е Q, и|ябап = ф(х),
вывести формулу, дающее это решение через функцию Грина.
в)	(1) Написать формулу Пуассона, дающее решение за-
дачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
3.	а) (1) Сформулировать постановку задачи Коши для урав-
нения теплопроводности.
б) (2) Сформулировать и доказать принцип максимума для
уравнения теплопроводности в слое и теорему единственности
для поставленной задачи Коши.
Вторая часть
1. Найти функцию u(x,y, z,t), являющуюся решением задачи
Коши	/ ди d2u д2и д2и
J dt дх> + ду* + dz2'
I Ч=о = е~х2 cos(2y - z).
2. Найти, при каких а и b имеет решение следующая задача
' Ди = г3 (а + cos2#), u = u(r,#), г < 1,
= Ь|#|,	-7Г < # < 7Г.
дт 1г=1
Условия проведения экзамена. Время написания пер-
вой части работы —1,5 астрономических часа. Для получения
оценки «удовлетворительно» необходимо и достаточно набрать
не менее 4 баллов из возможных 12. Для того чтобы претен-
довать на оценки «хорошо» и «отлично», необходимо набрать
не менее соответственно 8 и 10 баллов, и тем самым пройти на
вторую часть экзамена.
Далее, для получения оценки «отлично» или «хорошо» по
результатам второй части экзамена необходимо решить соот-
ветственно обе или одну из предложенных задач.
114 Экзаменационные варианты
1994 год, поток механиков, досрочный экзамен,
лектор А. С. Калашников
1.	(2) Существует ли уравнение вида
з
ж2> ®з) их.х^ = О
М=1
с непрерывными в R3 коэффициентами ау, являющееся эллип-
тическим на некотором непустом множестве Qi С R3, Qi / R3,
и гиперболическим на его дополнении П2 =	Ответ
обосновать.
2.	Ищется решение u(s,t) уравнения иц = ихх с условиями
и(х,х) = <р(т), 0 ж 1;	и(х, 2х) = ^(х), 0 < х < -у.
ЛА
Здесь е С2([0,1]), е С2([0, |]); <р«(0) = 0, ^<*>(0) = 0 для
fc = 0,l,2.
а)	(2) Описать с помощью неравенств множество И всех
значений (s,t) е R2, для которых однозначно определяется
решение и(т, t) этой задачи. Ответ обосновать.
б)	(1) Нарисовать это множество И. s
в)	(2) Найти решение и(ж, t) рассматриваемой задачи.
3.	(3) Пусть Q = {(г,0)|О < г < 1, 0 < 0 < р, (г,0)-
полярные координаты на плоскости. Найти функцию u(r, 0) со
следующими свойствами: и G С(П) П С2(Я);
Ди = 0 в Q; u(r, 0) = и(г, ) = 0, 0 г 1;
и(1,0) =тг0-402, О<0^.
4.	(3) Пусть Q = {х = (xi,х%) 10 < х\ < 1, 0 < х% < 1}, /(ж) =
sign(#2 — #1)- Верно ли, что / 6 Лг1(П)? Ответ обосновать.
5.	а) (1) Сформулировать определение обобщенного решения
задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
б) (2) Доказать ограниченность снизу квадратичного
функционала, соответствующего задаче Дирихле.
Экзаменационные варианты 115
в) (2) Доказать, что обобщенное решение задачи Дирихле
является решением вариационной задачи (обратное утвержде-
ние не доказывать).
6. а) (1) Сформулировать теорему Коши—Ковалевской.
б) (2) Доказать, что заключение этой теоремы становится
неверным, если начальные условия задаются на характери-
стике.
7. (4) Рассматривается краевая задача для уравнения ut =
Uxx в прямоугольнике Q = {(ж, t) 10 < х 1, 0 t 2} с
условиями
«|t=0 =	0 < х < 1,	= tz|a;=1 = 0, 0 О < 2.
Корректна ли эта задача в паре пространств (Eq, Ei), где
Ео = {u(x,t) |ц е C(Q) П С^((0,1) х (0,2])},
Huk =max|u(M)|;
Ei = {ф) | p G ^([0,1]), V’(O) = ¥>(1) = 0},
IMIbj = max|¥>(s)|?
Ответ обосновать.
1997 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор В. А. Кондратьев
1.	а) Сформулировать теорему Коши—Ковалевской.
б)	Доказать, что всякое линейное уравнение второго по-
рядка с постоянными коэффициентами можно привести к ка-
ноническому виду.
в)	В какой области уравнение
uxv + (Зж + у - z)uxz + (Зж - у 4- z)uyZ = 0
является гиперболическим?
2.	а) Как ставится внешняя задача Дирихле для уравнения
Лапласа?
б)	Доказать единственность решения внешней задачи Ней-
мана для уравнения Лапласа в Ж3.
116 Экзаменационные варианты
в)	Найти решение внешней задачи Неймана
All = 0, X2 + у2 > 1,	«1а.2+1/2=!1 = Z4-
3.	а) Дать определение интеграла, равномерно сходящегося в
точке.
б)	Доказать, что потенциал простого слоя — непрерывная
функция.
в)	Найти
lim f (^2-2»72)1п[(ж-С)24-(у-п)2]^л.
\х,у)->оо J
е2+ч2=1
4.	а) Как ставится смешанная краевая задача для уравнения
колебаний струны?
б)	Написать формулу Кирхгофа решения задачи Коши для
волнового уравнения. Доказать, что решение, построенное по
этой формуле, удовлетворяет начальным условиям.
в)	Пусть и(ж, у, z, t) — решение задачи Коши
utt = 4Ди, u|t=0 = <^(ж), щ|(=0 = 0,
где <р(х) отлична от нуля только внутри параллелепипеда
-1<х<1, -|<у<1, 0 < z < 1.
При каких t u(4, —1,2,£) / 0?
5.	а) Дать определение обобщенной производной по Соболеву
Э'“'и
дх^1 ... Эх“п
б)	Доказать полноту пространства H1(Q).
в)	При каких а функция
и(ж, у) = 1па(а;2 + ху + 2у2)
принадлежит Я1^), где. П — квадрат |х| < 1, |у| < 1?
Критерии оценок: «отлично» — три задания полностью;
«хорошо» — два задания полностью; «удовлетворительно» —
одно задание полностью. Время написания —3 астрономиче-
ских часа.
Экзаменационные варианты 117
1994 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор С. Н. Кружков
1.	Пусть u(t,x), х = (&i, &2> ®з)— классическое решение за-
дачи Коши в Щ. = [0,+оо) х R3 для уравнения uu = Au с
начальными условиями
Ч=о = utlt=o = ^(ж)’
причем &<р(х) = 0 и Дт/>(;г) = 0 для х G К\ = {ж : |®| < 1}.
а)	Вывести, что
u(t, х) = <р(х) + tip(x)
в конусе Ci = {(t,х) :	|ж|2 < (1 — t)2, 0 < t < 1}, не
применяя прямую проверку этой формулы (с учетом теоремы
единственности).
б)	Доказать, что если в R3 \ Ki <р(х) < 3 и ipfx) < 7, то
u(t,x) 10 в конусе Ci.
2.	Даны последовательность областей С |ж = (®i,®2) :
|ж| < — | на плоскости R2, m = 1,2,3,..., и последова-
m J
тельность Umfx) классических решений задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в {ж : |®| € Qm} таких, что |нт(т)|	1.
а)	Доказать, что если при m —> оо последовательность
um(x) в некоторой точке сходится к числу U, то um
тп —> оо равномерно в любом кольце ] х : 0 < 6 <
—> U при
(здесь m > m(<5)).
б)	В случае =
|ж= (®1,Ж2) : |®| <
при условиях

W77I
l|rr|=m
= 1
показать, что ит(ж) —> i при тп оо равномерно в любом
кольце |ж : 0 < 6 < |ж| <	} (здесь m > рекоменду-
ется сравнить и(х) с соответствующими решениями уравнения
Лапласа вида a In |s| + Ь (а и Ь — константы).
118 Экзаменационные варианты
1994 год, поток математиков, переедала,
лектор Е. М. Ландис
1.	u(x, t) € C2(R^t) — решение уравнения иц—а?ихх = 0 в R2>t.
На интервале {а < х < /3, t = 0} и = щ = 0. Где на плоскости
R2t решение и(х, t) необходимо равно нулю?
2.	и(х, t) — решение уравнения ut = ихх в полуполосе
П = {0 < х < I, t > 0}, непрерывное в П, u|x_Q = и|1=г = 0.
К чему стремится решение при t —» оо?
3.	Найти решение задачи
Ди = 2 в круге К = {(ж, у) | х2 + у2 < 1}, и\дк = sin 2<р.
4.	и(х, у) — потенциал двойного слоя гладкой замкнутой кри-
вой L С R2. Доказать, что
и(х,у) = о( 1	) при х2 + у2->оо.
\ у/Х* + У )
5.	В С Rn —открытый шар, и{х) непрерывна в В и Vs € В
Зрж > 0 такое, что шар B(s,px) радиуса рх с центром в точке
х содержится в В и
“(х) =
В(х,р®)
Доказать, что и(х) — гармоническая функция.
1998 год, поток математиков, основной экзамен,
лекторы Е. В. Радкевич, Т. Д. Вентцель
1.	Для уравнения иц = 4uxx рассматривается краевая задача
<=0 = 4=1 = °’	Ч=0 = ж(1-;с)> t4lt=0 = sin7rs.
1
а)	(1) Найти /(13), где /(i) = J [u2 + 4и2] dx.
о
б)	(1) Найти функцию и(х, 2) и нарисовать ее график.
2.	а) (1) Дать определение характеристики для уравнения
\ °djUXiXj = 0-
Экзаменационные варианты 119
б)	(1) Найти характеристики уравнения Uxx — У^иуу = О,
проходящие через точки (1,2), (1,0).
3.	а) (1) Сформулировать теорему об устранимой особенно-
сти.
б)	^2) Доказать, что в R2 для функции «(ж), гармонической
в R2 \ П, где Q — некоторая ограниченная область, ограничен-
ной в К2 \Я, существует предел lim u(x).
х—*оо
в)	(2) Найти этот предел в случае, когда Q единичный
круг,	2я
4=1 = /(</>),	/ /fa) dlP - °-
о
4.	Для уравнения цц — ^ихх = 0 ставится следующая задача:
। _Л ।	_ Г sin ж, же[7Г,2тг]	_
4=о“0’	4=0-| о, яг£[7г,27г] ’	f,t=0 °‘
а)	(1) Нарисовать график решения при t = 2тг.
б)	(1) То же при дополнительном условии 'и|а._2я = 0»
are, [0,2тг].
в)	(2) То же при дополнительном условии u'xlx_2jr = 0,
х е [0,2-тг].
5.	Рассматривается решение уравнения
ии =
(число пространственных переменных равно 2), удовлетворяю-
щее начальным условиям
[ г/>(х) в О,
4=о = °’ 4t=o = | о в R2 \ П,
где Q — ограниченная область в R2.
а)	(1) Где в пространстве (ar,t) функция u(x,t) равна
нулю независимо от функции t/>(ar), если Я —единичный круг
а:2 + аг2 < 1?
б)	(2) При = (1 — ||ж||2)2, П = {®2 + а;2 < 1} найти
lim tu(x,t).
t-*oo
6.	а) (1) Как ставится задача Коши для уравнения теплопро-
водности?
120 Экзаменационные варианты
б) (1) Доказать, что если начальная функция нечетная, то
решение u(x,t) удовлетворяет условию u(0,t) = 0.
в) (2) Доказать, что если начальная функция нечетная, то
решение u(x, t) нечетно по х.
Критерии оценок: «отлично» —16 баллов; «хорошо» —
13 баллов; «удовлетворительно» — 9 баллов при максимально
возможной сумме 20 баллов. Время написания — 3 астрономи-
ческих часа.
2001 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор Е. В. Радкевич
1.	а) (1) Дать определение слабого решения (решения в
смысле интегрального тождества) уравнения Хопфа.
б)	(2) Построить кусочно-постоянное решение с 5-ю лини-
ями разрыва.
в)	(2) Доказать, что не существует кусочно-постоянного
решения с 4-мя линиями разрыва.
2.	а) (1) Дать определение автомодельного решения и найти
автомодельные решения уравнения
Ut + U3tta: = 0
б) (2) Доказать единственность решения, удовлетворяющего
условию невозрастания энтропии, в классе автомодельных ре-
шений.
3.	а) (1) Сформулировать условие существования классиче-
ского решения задачи Коши для волнового уравнения.
б)	(3) Пусть и — классическое решение задачи Коши
tttt = uxx, 0 < t <Т, х € R1,
«Цо = ^(®)> «tUo = °;
a uN — классическое решение смешанной задачи
«# = «£,	0<t<T, я€[-ад,
TVi	N/ \ TVi с\ duN \	-
“ 1.-0 = ^	“<1.-0 = °' a7L„ = 0-
Экзаменационные варианты 121
При этом
>pN = <р	при х G (—М — a, М + а) и
tpN = 0	при х £ (—N + (3, N — /3)
для достаточно малых фиксированных а и (3 таких, что
М+а < N—/3. Доказать, что существует такое No, что u = uN
на отрезке [—М,М] при N > Nq.
4.	(3) Д ля каких из трех уравнений на плоскости
Ut = иХх j Utt = UXx> Utt = Uxx
существует нетривиальное решение с ограниченными и замкну-
тыми линиями уровня?
5.	а) (1) Сформулировать лемму о нормальной производной.
б)	(3) Доказать, что гармоническая функция и G C1(Q),
= 0 на Г1, и = 0 на Гг,
ои
Г1 U Гг = д£1, тевп_1Г2 0, тождественно равна нулю.
6.	а) (1) Сформулировать теорему о среднем для гармониче-
ских функций.
б)	(2) Доказать, что функция и 6_С2(П), удовлетворяющая
теореме о среднем для любого шара К С Q, является гармони-
ческой.
7.	(3) Пусть С —конус {(ж,у) | а < /?}. Доказать, что не
существует общей константы в неравенстве Фридрихса для
всех ограниченных Q С С.
Критерии оценок: «отлично» —16 баллов; «хорошо» —
13 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 25 баллов. Время написания — 3 астрономи-
ческих часа.
2003 год, поток механиков, досрочный экзамен,
лектор Г. А. Чечкин
1. а) (2) Дать определение автомодельного решения и найти
автомодельные решения уравнения
/7/®\
+	=0	С1)
\ о / х
122 Экзаменационные варианты
б) (2) Построить какое-нибудь нетривиальное неэнтропий-
ное обобщенное решение задачи Коши для уравнения (1) с
начальным условием ,
4=о = °
2. а) (1) Определить тип уравнения
uxx — 2auxy — 3a2Uyy + auy + ux = 0	(2)
в зависимости от действительного параметра а.
б) (2) Привести уравнение (2) к канонической форме.
в) (2) Найти общее решение этого уравнения.
3. а) (1) Сформулировать вариационную постановку задачи
Дирихле с неоднородными краевыми условиями.
б) (1) Доказать ограниченность функционала снизу.
в) (3) Вычислить
inf [ (| Vw|2 — 2w) dx,
если О = {ж = (»1,Ж2) : 1 < |ж| < 2}.
Критерии оценок: «отлично» —11 баллов; «хорошо» —
8 баллов; «удовлетворительно» — 5 баллов при максимально
возможной сумме 14 баллов. Время написания —1,5 астроно-
мических часа.
2003 год, поток механиков, основной экзамен,
лектор Г. А. Чёчкин
Первая часть
1.	а) (1) Дайте определение обобщенного решения уравнения
'«*+(£) =°-	С1)
\ о /х
б)	(2) Пусть u(t, х) — кусочно гладкое финитное обобщен-
ное решение уравнения (1) с линией разрыва х = x(t). Обозна-
чим	оо
S(t) = / u(t,x) dx.
—оо
Докажите, что S(t) не зависит от t.
2.	а) (1) Дайте определение гармонической функции
б)	(1) Сформулируйте теорему Лиувилля для гармониче-
ских функций.
Экзаменационные варианты 123
в)	(3) Найдите все гармонические в R2 функции, для кото-
РЫХ	Uy (х, у) = i ху + i е(х+гу).
3.	а) (1) Дайте определение корректности постановки задачи.
б)	(2) Корректна ли задача Коши для уравнения
Ut ~ ~UXX^
Ответ обосновать.
Критерии оценок первой части:
4-7 баллов — «удовлетворительно»,
8-11 баллов — «допуск» ко второй части экзамена
Время написания —1,5 астрономических часа.
Вторая часть
4.	(2) Пусть G(x, у)—функция Грина Задачи Дирихле для
оператора Лапласа. Докажите, что G(x,y) = G(y,x).
5.	Рассмотрим задачу
{Д« = / в Q,
du I	дл	(2)
-х- = tb на ail.	'
ди
а)	(1) Дайте вариационную постановку задачи (2).
б)	(3) Докажите импликацию
Классическое решение (2)
4
' Обобщенное решение (2)
Ф
Решение вариационной задачи, соответствующей (2).
6.	Пусть Q = (О, Z) х (0,Т).
Рассмотрим краевую задачу
д2и д (,	, 5гД / . кх\
_ = _^(c°sl + 2)sj-(SmT> в Q,
< ult=o = sin ПРИ 0 < ж <
“*lt=0 = 0 при 0 Х
‘ «|в=0 = «|х=1 = 0 при 0 t < Т.
124 Экзаменационные варианты
а)	(2) Напишите схему метода Фурье для такой задачи
б)	(3) Докажите, что
I
£(t) = J [(cos ж + 2)(ux)2 + (sin ^)tz2 + (tit)2] dx
о
не зависит от времени.
Критерии оценок второй части:
0-4 — «удовлетворительно»,
5-8 — «хорошо»,
9-11 — «отлично».
Время написания —1,5 астрономических часа.
2003 год, поток механиков, пересдача,
лектор Г. А. Чечкин
Первая часть
1.	Рассматривается задача Коши
( ut + lnu ux = 0,
I “Uo = “о(ж)-
Построить решение (2+2 балла), проверить выполнение
условия Ранкина—Гюгонио и условия возрастания энтропии
(1+1 балл), если
( 4	при	х > 0,	( 4	при	х < 0,
а) и0(ж) = < ,	Л о) и0{х) = < ,
( 1	при	х < 0.	11	при	х > 0.
ч
2.	(2) Нарисовать график решения u(t, х) в момент t = тг для
начальной задачи
1	I _ I ( вшж, ж € [тг, 2тг],
utt = 7 Uxx'i w _ =	. = । n	г о 1
4	lt=o	lt=o ( 0, ж^[тг, 2тг].
3.	Пусть
П = |(ж,у) G R2 | 1 < х2 + 4у2 < 4J,
Г1 = {(я,у) € R2 X2 + 4у2 = 1|,
Г2 = {(ж,у) 6 R2 х2 + 4у2 = 4|.
Экзаменационные варианты 125
Рассмотрим краевую задачу в области Q:
' Ди = 0 в Q,
< X Ux + 4у Uy — у/х1 + 16у2и = 0
k х ux + 4у uy + у/х2 + 16у2и = 0
на Г1,
на Гг
(1)
а)	(2) Единственно ли решение задачи (1)?
б)	(1) Найти значение решения в точке (1,0).
в)	(1) Написать определение обобщенного решения за-
дачи (1). .
г)	(2) Написать вариационную постановку задачи (1).
Критерии оценок первой части:
4-10 — «удовлетворительно»,
11-14— «допуск» ко второй части экзамена.
Время написания —1,5 астрономических часа.
Вторая часть
4.	а) (1) Найти все характеристики уравнения
Uxy~Uyy-Ux + Uy = 0.
б)	(2) Найти его общее решение.
5.	(2) Найти max u(x, у), где и(х, у) — решение задачи Коши
я2+1/2=1
ди 2 ди 2	.	.	1
уТх+х = xai + y’	=
6.	(3) Найти решение задачи
ижх-utt = sin® + sint, 0 < х < 7г, t > 0,
I а I 1 I ж Эи I _
и = 0, и =1, и = -, —	=0.
1х=0	1о:=7Г	li—0 Я wt lt=0
7.	Имеется задача Штурма—Лиувилля
(р(х) X')' + q(x) X + XX = 0, х € [0,1],
ресЧМ), «€СЦ0,ф,р>«)>0, 9<о, хеС2(М).
а)	(2) Показать, что А > 0.
б)	(3) Доказать, что собственные числа стремятся к +оо.
126 Экзаменационные варианты
Критерии оценок второй части:
0-5 — «удовлетворительно»,
6-9 — «хорошо»,
10-13 — «отлично».
Время написания —1,5 астрономических часа.
2000 год, поток математиков, досрочный экзамен,
лектор А. С. Шамаев
1. а) (1) Напишите формулу Даламбера для решения уравне-
ния колебаний струны.
б)	(3) Пусть К = {(ж, у) G R2 | ж2 + у2 < 1} —единичный
круг в R2. Корректна ли задача: найти «(ж,у) G С2(К)Г>С(К),
такую что
uxx-um = 0 в К, и\9к = <р(х,у),
<р(х,у) € С(дК) — произвольная непрерывная функция?
О
2. а) (1) Дайте определение пространства Ях(^).
б)	(2) Докажите полноту пространства Н1 (Q).
в)	(3) Пусть Q = {|т| <1, х € R3}. Справедливо ли
следующее утверждение: существует постоянная С > 0, такая,
что для любой u(x) € C°°(Q)
|«(0)| < С||В||Я1(<Й?
Если «да»—докажите, «нет» — приведите опровергающий
пример.
3.	а) (3) Пусть К = {1 < |х| < 2} — «кольцевая» область в
R2. Единственно ли решение следующей краевой задачи:
Ди = 0 в К, uGC^JnC1^),
Й1|Я|=1 = ¥’1^1’Ж2)>	Ul|*l=2 = ^ЪХ2\
— произвольные непрерывные функции на окружностях
{|а:| = 1} и {|х| = 2} соответственно? Ответ обоснуйте.
б)	(2) Найдите решение поставленной в п. (а) задачи, если
<pi = cos#, = sin#
(0 — полярный угол на плоскости).
Экзаменационные варианты 127
4.	а) (1) Сформулируйте принцип максимума для уравнения
Лапласа.
б)	(3) Справедлив ли принцип максимума для уравнения
д2 д2
&и + их+и = 0;	Д=л-^ + яГ?>
ох2 ду2
в ограниченной области Q на плоскости в той же форме, как
для уравнения Лапласа? Ответ обоснуйте.
5.	а) (1) Сформулируйте теорему Лиувилля для уравнения
Лапласа.
б)	(3) Пусть и(х) — гармоническая в R3 функция и
R3
Верно ли, что ц(х) = const в R3? Ответ обоснуйте.
6.	а) (1) Дайте определение потенциала двойного слоя.
б)	(3) Докажите, что потенциал двойного слоя, создавае-
мый замкнутой поверхностью Ляпунова S и имеющий единич-
ную плотность, равен 0 вне S и 4тг внутри S.
7.	а) (1) Напишите формулу Пуассона для решения задачи
Коши для уравнения теплопроводности.
б) (3) Пусть и(х, t) — решение уравнения теплопроводности
с «потенциалом»:
ut = uxx — u, t>0, агЕЙ1,
удовлетворяющее начальному условию
4=o = sin2a;-
Докажите, что существует постоянная А, такая, что
|u(t, х) — Ae-t| < a(t)e-t,
где функция o(t) —> 0 при t —> оо. Найдите достоянную А.
Критерии оценок: «отлично» — 22 балла; «хорошо» —
15 баллов; «удовлетворительно» —10 баллов при максимально
возможной сумме 31 балл. Время написания — 3 астрономиче-
ских часа.
128 Экзаменационные варианты
2000 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор А. С. Шамаев
1.	а) (1) Сформулируйте определение характеристической
поверхности для дифференциального оператора второго по-
рядка.
б)	(3) Рассмотрим задачу: найти в секторе
К = {(ж, t)| х > 0, t > 0, t < 2х}
функцию и(х, t) G С2(К)ПС(К), удовлетворяющую уравнению
utt — ихх
и начальным и граничным условиям
Ч=о =	4=0 = ^(Ж)’ Ч=2х = °>
(pfx^ip^x) € С'°°([0,оо)). Имеет ли эта задача решение и если
«да» — единственно ли оно? Ответ обоснуйте.
2.	а) (2) Докажите неравенство Фридрихса.
б)	(3) Справедливо ли неравенство Фридрихса в полосе
П = {(ж, у) : 0 < х < 1, —оо < у < оо}?
Если «да»—докажите, «нет»—приведите опровергающий
пример.
3.	а) (2) Приведите классическую постановку задачи Дири-
хле в ограниченной области Q и докажите единственность
решения.
б)	(3) Докажите, что решение задачи Дирихле в полосе
П = {(а:, у) : 0 < х < 1, -оо < у < +оо}
Аи = 0 в П, 4=о = <Р1(у), и\х=1 = <р2(у),
<pi, <р2 G (ДИ1), неединственно.
в)	(2) Единственно ли решение предыдущей задачи с до-
полнительным условием
w(x, у)	0 при |у| —» оо?
Ответ обоснуйте.
4.	(3) Пусть Q = {х € R4, |ж| < 1}—шар в четырехмерном
пространстве, t = {х G R4 :	= 0, х2 = 0, хз = 0,
Экзаменационные варианты 129
О < Х4 < 1/2} — отрезок в R4, Qi = Q \ £. Найдите обобщенное
решение задачи Дирихле и(х):
j\\7u,Vv)dx = Q VvGtf^Qi),
u - <р(х) G Я1 (Qi),
tp(x) G C§°(Q) и tp(x) = 1 при x G t.
5.	(2) Существует ли положительная гармоническая функция
в шаре Q = {|ж| < 1}, х G R3, такая, что «(0,0,0) = 1,
«(0,0,1/2) = 10? Ответ обоснуйте.
6.	(4) Пусть «(4,ж) G С2(П) П С(П)—классическое решение
уравнения
«t = Uxx + v (*, ж),
где П = (0,+оо) х (0,1), v(t, х) — ограниченная измеримая
функция, удовлетворяющая оценке |«| С, С > 0 —заданная
постоянная. Пусть
«|{=0 = 9?(ж), где р(ж) G C^GO.l]),
Ч=о = 4=1 “° vt>0-
Можно ли так выбрать функцию v(t,x), что u(t,x) = 0 Vt > t*,
t* — некоторая положительная постоянная? Ответ обоснуйте.
7.	(3) При каких значениях параметра а € К1 функция «(t, ж),
равная нулю при t > ax и единице при t < ax, (4,ж) G R2,
является решением уравнения
= Ux
в смысле теории обобщенных функций? Ответ обоснуйте.
8.	(3) Пусть u(t,x) G С2(П) О С1 (П)— классическое решение
уравнения
щ = uxx + 3« в полосе П = (0,4-оо) х (0,1),
удовлетворяющее краевым условиям
4=0 = 4=1 = °’ * > °-
Докажите, что для «(t, ж) имеет место неравенство
|«(t,ж)| Се~ы,
где С > 0 — некоторая постоянная.
5—3206
130 Экзаменационные варианты
Критерии оценок: «отлично» — 22 балла; «хорошо» —
15 баллов; «удовлетворительно» —10 баллов при максимально
возможной сумме 31 балл. Время написания — 3 астрономиче-
ских часа.
2000 год, поток математиков, пересдача,
лектор А. С. Шамаев
1.	а) (2) Сформулируйте теорему Коши—Ковалевской.
б)	(3) При каких вещественных а существует решение
и(х, t) е С\К) П	К = (0,4-00) х (0,4-оо), •
следующей краевой задачи:
Uft — UXx В -К,
Ч=о = ^(ж)> “tlt=0 = ^(ж)>	Н®)» е ^((о, 4-оо)),
(их 4-а«)|а;=0 = 0 для t > О? .
Ответ обоснуйте.
2.	а) (1) Приведите формулировку строгого принципа макси-
мума для уравнения Лапласа.
б)	(2) Справедлив ли принцип максимума для уравнения
= Uxx?
Если «Да»—докажите, «нет» — приведите опровергающий
пример.
3.	(3) Пусть и(х, t) — решение задачи
utt = иХх в П = (0,тг) х (0,4-оо),
«|t=0 = ^(ж), ut|t=0 =	<р(ж), V’(z) € Со°(О,7г),
<=о = <=я = 0 для t>0>
и(х, t) G С2(П) П Сг(П) и u(x*,t) = 0 для всех t > t*,
t* = const > 0 и ----иррациональное число. Верно ли, что
ТГ
и(х, t) = 0 в П? Ответ обоснуйте.
4.	а) (1) Напишите формулу Пуассона для решения задачи
Коши для волнового уравнения в случае двух пространствен-
ных переменных.
Экзаменационные варианты 131
б) (2) Докажите, что функция, определяемая формулой
Пуассона, удовлетворяет начальным условиям при 4 = 0.
5.	(3) Пусть функция и(х), заданная в шаре
Q1 - {х € R3, |rr| < 1},
удовлетворяет уравнению
Au = Xu (А = const < 0)
и и(х) = 0 в шаре радиуса 6, Q$ — {х Е R3, |ж| < 5}, 6 = const,
0 < 6 < 1. Докажите, что и = 0 в Qi.
6.	(2) Пусть Q — ограниченная область с границей dQ класса
С1. Может ли решение краевой задачи:
Ди —и=1 в Q, irf&(Q)nCl@), ^|SQ = °
(п —внешняя нормаль к dQ), быть строго положительным в
Q7 Ответ обоснуйте.
7.	(3) Пусть Q = {х = (ж1,Ж2) € R2, |ж| < 1} —единичный
круг,
Q+ = Q П {si > 0}, Q_ = Qn{®i<0}
и функция и(х) 6 Лг1(<5) принадлежит классам C°°(Q+) и
C°°(Q_). Докажите, что функция и(х) непрерывна в Q.
8.	(3) Пусть положительная ограниченная функция удовле-
творяет уравнению
ut = Ди в слое (0,1) х R3 и
u(t,x) = 0 в кубе (0,1) х (0,1) х (0,1) х (0,1).
Верно ли, что и = 0 в слое (0,1) х R3? Ответ обоснуйте.
Критерии оценок: «отлично» —18 баллов; «хорошо» —
12 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 25 баллов. Время написания — 3 астрономи-
ческих часа.
2000 год, поток математиков, вторая пересдача;
лектор А. С. Шамаев
1.	а) (1) Сформулируйте неравенство Фридрихса.
б)	(3) Справедливо ли неравенство Фридрихса Для неогра-
ниченной области Я = {(ж, у) : х > 0, у > 0} на плос-
132 Экзаменационные варианты
кости? Если «да»-—докажите, «нет»приведите опровергаю- |
щий пример.	|
2.	(3) Рассмотрим следующую краевую задачу в области
Q = {(х,у) : 0 < ж2 + у2 < 1} на плоскости:
Дц(ж, у) = 0 в Л,
и{х, у) = <р(х, у) при ж2 + у2 = 1,
где <£>(ж, у) — заданная непрерывная функция,
lim (ж2 + у2) и(х, у) = а,
х—*0
у—>0
где а —заданное вещественное число. Существует ли решение
такой задачи? Если «да», то единственно ли оно? Ответ обое- *
нуйте.
3.	(3) Пусть u(t, ж) — решение задачи:
Utt = ихх
в полосе П = [0, +оо) х [0,1] на плоскости, ж € [0,1], t G [0, +оо),
и е С72(П),
“L=o =	4=0 = °’ Ч=о = “‘к=о = 0 Для ж е [0,1],
|<р(£)| < е, е — заданное число,	— гладкая функция. Можно
ли так выбрать функцию <p(t), чтобы решение u(t,x) данной
задачи было бы неограниченной функцией на П? Ответ обос-
нуйте.
4.	(3) Пусть Q — ограниченная область в Rn, п(ж) — функция
на Q, удовлетворяющая уравнению.
Ди — и = 0 в Q
из класса C2(Q) О С(П). Докажите, что если и = 0 на д£1, то
и = 0 в Q.
О
5.	а) (2) Докажите, что всякая функция из Н1 [0,1] непре-
рывна.
б) (3) Всякая ли непрерывная функция и(ж) на отрезке
О
[0,1], такая, что и(0) = и(1) = 0, принадлежит НЦО, 1]? Ответ
обоснуйте.
Экзаменационные варианты 133
6. (3) Найдите фундаментальное решение оператора
Ь “ dx2 + 2 dx
т. е. функцию и(х) такую, что
и" + 2и' — и = 5о(ж) в R1,
где Sq(x) — «дельта-функция»,
{6о(х), <Р) = <р(о) Щх) е CHR1).
Единственно ли такое решение?
7. (3) Пусть
т= — - —
. dt дх2
— оператор уравнения теплопроводности. Докажите, что функ-
ция	2
2л/тг?
где 0(t) = 0 при t < 0 и 0(t) = 1 при t > 0, удовлетворяет
уравнению
T£(t,x) = 6o(t,x)
в смысле теории обобщенных функций.	. ,
Критерии оценок: «отлично» —17 баллов; «хорошо» —
12 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 24 балла. Время написания —3 астрономи-
ческих часа.
2001 год, поток математиков, досрочный экзамен,
лектор А. С. Шамаев
1.	а) (1) Дайте определение характеристической поверхности
для дифференциального оператора второго порядка.
б)	(1) Постройте множества характеристических линий на
плоскости (®,t) для операторов
= Цц 4“ 3w^p 2Uxxt £ — Wt 4“
134 Экзаменационные варианты
2.	а) (2) Пусть u(t, х) — решение задачи
Wjf —-- Uxxi	t > 0? - X > О,
4=0 = °’	4=0=44 4=0 = °’
supp<p(a:) С (0,+оо), <р(х) € С2(0, оо). Известно, что суще-
ствует Т > 0, такое, что при t > Т, х € (0, оо) u(t,x) —
бесконечногладкая функция. Верно ли, что <р(х) — также бес-
конечногладкая функция? Ответ обоснуйте.
б)	(2) Пусть u(t,x) —решение задачи
Щ = uxx, t > О, х > О,
4=о = °>	4=о = 44
функция <р(ж)— та же, что в п. (а) и |^>| М. Известно,
что существует Т > 0, „такое, что при t > Т, х € (0,оо).
u(t, х) — бесконечногладкая функция. Верно ли, что <р(х) —
также бесконечногладкая функция? Ответ обоснуйте.
3.	(3) Пусть К = {(®, у) | х2 + у2 < 1} —единичный круг на
плоскости (х,у), ц(ж, у) — решение задачи
Ди = х2у, и\дк = 0.
Найдите и(0,0).
4.	(2) Докажите полноту пространства ЯХ(П).
О
5.	(4) Рассмотрим в пространстве Н1 (—1,1) множество А
гладких финитных функций <р(х), удовлетворяющих условию
+ <*¥>(0) = 0,
а € R. Найдите коразмерность замыкания А множества А в
б.	(4) Пусть д»(ж), иДж) (г = 1,2, .,.) — собственные значения
и собственные функции задачи Штурма—Лиувилля:
Z^Uj =	= Uf(l) = 0, ;	= 1>
£ = 4- (р(х) 4-} - з(4
Экзаменационные варианты 135
p{x),q(x) —гладкие функции,' удовлетворяющие оценке
p(x),q(x) а > 0, а = const > 0. Докажите неравенство
sup |ui(®)| < vW-
хб[0,1)	va
7.	(3) Пусть последовательность гармонических в Rn функций
{ип(ж)} слабо сходится при п —> оо к функции u*(x) е Iqoc(Rn),
т. е. V<p G D(Rn) •
/Un(x)<p(x) dx------> I u*(x)tp{x)dx.
n—>oo J
Rn	Rn
Верно ли, что и*(ж)—гармоническая функция? Ответ обос-
нуйте.
8.	(3) Пусть <р(ж) € ЬгО^1) О C(RT). Докажите, что решение
задачи Коши для уравнения теплопроводности
ut = uxx, t>Q, u|t=0 = $р(у),
х Е (—оо, оо), стремится к нулю при t —» оо равномерно по
х G (—оо,оо).
Критерии оценок: «отлично» —18 баллов; «хорошо» —
12 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 25 баллов. Время написания — 3 астрономи-
ческих часа.
2001 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор А. С. Шамаев
1.	(2) Пусть u(t,x) (х € R3) —решение задачи Коши для
волнового уравнения
щ = Ди в (0, 4-оо) х R3 и
Ч=о = °’ Utlt=o = y’C®)е ^(R3),
u G С2 ((0, +оо) х R3) П С1 ([0,4-оо) х R3). Может ли носитель
функции u(t,x) лежать в цилиндре {|ж| < Л} х [0,4-оо), если
У <р(х) dxj^Q?
R3
136 Экзаменационные варианты
2.	(3) Докажите, что потенциал двойного слоя с непрерывной
плотностью, создаваемый ограниченной поверхностью S 6 С1,
убывает на бесконечности как -х , где г — расстояние до неко-
7*
торой фиксированной точки О € S.
3.	(3) Пусть П = {(ж, у)| 0 < х < а, 0 < у < Ь} — прямоуголь-
ник на плоскости и С > 0 —некоторая постоянная, такая что
О
Vu(rc,y) 6 Я’1(П) справедливо неравенство Фридрихса
J u2dxdy	С J |Vu|2dr dy.
п	п
тт	x-v	а2Ь2
Докажите, что С >	+ р) 
4.	(3) Пусть
✓* —	® I L ®	।
С = а — + Ь — +с
dx2 dx
— дифференциальный оператор. При каких a, b, с G R1 суще-
ствует непрерывное на R1 решение уравнения
£и(ж) = 6(х),
где 6(х) — 5-функция (т. е. (5,<р) = у>(0)	€ Cq°(R1))?
5.	(3) Пусть и(ж) G Я1(—оо,+оо), т. е. u(x) € L2OR1) и
существует обобщенная производная по Соболеву их{х) =
v(x) € ЬгО^1)- Докажите, что и(х) — непрерывная функция и
и(х) —> 0, если |ж| —> оо.
6.	(3) Пусть К = {(г, <р)| 0 < г < 1, 0 < <р < тг/б} — круговой
сектор раствором 30°, u(r, <р) — гармоническая в К функция,
принадлежащая С1 {К}. Докажите, что
|u(r,<p)| < Сг6,
где С > 0 — некоторая постоянная.
7.	(3) При каждом ли a G R1 задача
Ди = 1 в К = {(г, <р)| 1 < т < 2},
9u|	.	(ди .	\|	.2
— =sm<p, (^- + агЧ =sin*9?,
ОП1г=1	\ОП /1г=2
и € С2(Л") А С1 (Л"), имеет хотя бы одно решение? (п —внешняя
нормаль к границе кольца К.)
Экзаменационные варианты 137
8.	(4) Постройте пример ограниченной в шаре {|х| < 1}, х €
R3, гармонической функции и(ж), такой, что |Vu| неограничен
в {И < !}•
9.	(4) Докажите (используя интеграл Пуассона), что суще-
ствует решение следующей задачи: u(t, х) € С2 ({t > 0} х Ri),
Щ = ихх в {t > 0} х R* и
u(t, х) —►ip(x) в L2(R1) при t —» 0,
где <р(х) — заданная функция из (не обязательно непре-
рывная!)
Критерии оценок: «отлично» — 20 баллов; «хорошо» —
14 баллов; «удовлетворительно» — 9 баллов при максимально
возможной сумме 28 баллов. Время написания — 3 астрономи-
ческих часа.
2001 год, поток математиков, пересдача,
лектор А. С. Шамаев
1.	(2) Струна, бесконечная в обе стороны, отклонена в началь-
ный момент времени так, что ее профиль имеет вид
о(0,ж)
х
и начальная скорость равна 0. Функция «(t, х) удовлетворяет
уравнению
Utt = UxX.
Нарисуйте график функции uQ ,х).
2.	(3) Докажите, что если потенциал простого слоя, создава-
емый замкнутой ограниченной поверхностью Ляпунова, равен
нулю вне этой поверхности, то плотность потенциала — нулевая
(плотность предполагается непрерывной).
138 Экзаменационные варианты
3.	(3) Рассмотрим задачу Коши в полосе П = [0, уо] х в R^)JZ:
Au + u = 0 в П, «^(ЩЛСНП),
“1^=0 = ^ж)>	^1у=о = ^(4
<р(х), ^(ж) — ограниченные непрерывные функции на R*. Кор-
ректна ли эта задача в паре пространств
Е1=С(1фхС(]14), Ez = C(n),	(^,^)еЕ1, иеЕ2?
Если «да» — докажите, «нет» — приведите опровергающий
пример.
4.	(3) Справедлив ли принцип максимума для гармонических
функций, заданных в полосе П из предыдущей задачи? Если
«да» — докажите, «нет» — приведите опровергающий пример.
5.	(3) При каких a € R1 краевая задача
Ди + 2и = х — а в Q, и|5й = О,
П = {(0, тг) х (0, тг)} имеет хотя бы одно решение? Ответ
обоснуйте.
6.	(4) Рассмотрим краевую задачу
utt = uXx в [0,1] х (0,+оо),
4=о = 0> ux\x=1 = f(t), u\t=Q = <p(x), ut\t=Q = ^x),
— гладкие финитные функции. Докажите, что
можно так выбрать гладкую функцию /(<), что решение
этой задачи u(t,x) будет неограниченной функцией в полосе
[0,1] х (0, +оо).
7.	(4) Рассмотрим краевую задачу
щ = ихх в [0,1] х (0, +оо),
Ч=о = Я*), 4=1 = я(4 wlt=o= ^(4
/,<?,</? — гладкие функции, причем
/(t) —> а при t —» оо,	g(t) —» b при t —» оо.
Какой предел при t —> оо в пространстве С[0,1] (если таковой
вообще есть) имеет решение u(t,x) этой задачи? Ответ обос-
нуйте.
Экзаменационные варианты 139
8.	(4) Постройте _пример области Q на плоскости R2, такой
что функции С°°(П) не составляют всюду плотного множества
в пространстве ЯХ(П), т. е. С°°(П) / Н1^).
Критерии оценок: «отлично» —18 баллов; «хорошо» —
13 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 26 баллов. Время написания — 3 астрономи-
ческих часа.
2001 год, поток математиков, вторая пересдача,
лектор А. С. Шамаев
1.	а) (1) Сформулируйте теорему Ковалевской о существова-
нии и единственности аналитического решения.
б)	(3) Пусть Q С Rn — область в йп и
Д2и = О в П,
и(х) € C4(Q). Докажите, что и(х) —вещественноаналитиче-
ская функция.
2.	(3) Пусть
щ — ихх в полосе П = (0,Т) х R*, и е С2(П)ПС(П),
н|4=0 = 0 V® G Rj и |xt(£,ж)| < С|а;|.
Докажите, что и = 0 в П.
3.	а) (1) Дайте определение пространства H1(Q).
б)	(3) Пусть и(х) — ограниченная в единичном шаре Ш =
{|а;| < 1}, х G R3, функция, гладкая в Ш \ {0}. Можно ли
утверждать, что и €	Если «да» — докажите, «нет» —
приведите опровергающий пример.
4.	(2) Существует ли решение уравнения
Нц ^хх — 0 в R ,
такое, что и G C2001(R2), но и & C2002(R2)?
5.	(3) Единичная сфера в R3 равномерно заряжена с по-
стоянной плотностью Q (потенциал простого слоя). Найдите
потенциал внутри и вне сферы.
6.	(4) Пусть функция и(х), х G R3, удовлетворяет уравнению
Ди = и(х) в R3,
140 Экзаменационные варианты
а также оценке
|и(ж)| < С, же R3.
Докажите, что и = 0 в R3.
7.	(4) Пусть функция у(ж) е P'(R) и удовлетворяет уравне-
нию у1 = у как обобщенная функция. Докажите, что у(х) есть
регулярная обобщенная функция, соответствующая функции
Сеж, С = const.
8.	(3) Пусть Я — произвольная область в R2, содержащаяся в
полосе [0,1] х R1. Докажите для О неравенство Фридрихса
j u2dxdy^ J |Vu|2 dxdy, и G ПХ(П).
n	Q
Критерии оценок: «отлично» —19 баллов; «хорошо» —
13 баллов; «удовлетворительно» — 9 баллов при максимально
возможной сумме 27 баллов. Время написания 3 астрономи-
ческих часа.
2002 год, поток математиков, досрочный экзамен,
лектор А. С. Шамаев
1.	а) (1) Дайте определение пространства HX(Q).
б)	(2) При каких a > 0 функция sinQT принадлежит
ТУ1 [0,7г]? Ответ обоснуйте.
2.	(3) Пусть и(х, t) — решение уравнения теплопроводности
щ = ихх в полосе П = [0,1] х R+,
R+ = {t > 0}, и € С2(П) Г) СХ(П), удовлетворяющее краевым
условиям
и начальным условиям
Ч=о = ^(ж)>	V’C®) € ^(0,1)-
Ограничено Ли это решение на П? (т. е. растет ли темпера-
тура?) Ответ обоснуйте.
Экзаменационные варианты 141
3.	(4) Пусть и(х, у) — решение уравнения Лапласа в полупо-
лосе П = (0, lj х R+ на плоскости (х,у), R+ = {у > 0},
и 6 С2(П) П С(П), удовлетворяющее граничным условиям
4=0 = 4=1 = °’ У > °>
причем и(х, у) —» 0 при у —> +оо равномерно по х. Докажите,
что.
|«(®,У)| < Се“314 к,
где С > 0 —некоторая постоянная.
4.	(4) Пусть и(х, у) — гармоническая функция в полуплоско-
сти Р = {у > 0},
|и(ж,у)| < М, tGR, yGR+ и и|у=о = о Уж G R*,
и € СДР), где М — некоторая постоянная. Докажите, что и = 0
в Р.
5.	(3) Рассмотрим задачу Коши с данными на характеристике
{t = ж} для волнового уравнения
utt = ихх на плоскости (ж,4),
«lt=x==^(4
Придумайте такие гладкие функции <£>(ж), i/>(x), чтобы данная
задача не имела решения.
6.	(3) Корректна ли задача
щ = ихх в П = (0,1) х R*, и G С2(П) П С(П), u|t=0 = </?(ж),
(<р(ж) — заданная функция) в паре пространств (Ец, Е±), где
Eq = C(R1) П B(R1), Ei = С2(П) П С(П) П В(П)
с нормами
||<р||£о =зир|^(ж)|,	= sup |«(ж,<)|.
(я,*)еп
Ответ обоснуйте.
7.	а) (1) Дайте определение потенциала простого слоя.
б)	(3) Докажите, что потенциал простого слоя убывает
С
при г —» оо как — , где i" — расстояние от текущей точки до
Г
поверхности S, S — ограниченная поверхность.
142 Экзаменационные варианты
Критерии оценок: «отлично» —17 баллов; «хорошо» —
12 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 24 балла. Время написания—3 астрономи-
ческих часа.
2002 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор А. С. Шамаев
Вариант 1, первая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(2) Решите краевую задачу
«tt tixx = 0, t < 2х, х > О,
4=2® = sin®> Ж>0>	4=0 = °’ “‘lt=0 = 1-
2.	(2) Решите задачу Дирихле в кольце К = {1 < |гг| < 3},
Д« = 0 в К, (^ + и)|	=1,	=2,
\дг /\г=1 дг!г=з
г — радиальная координата.
3.	(2) Дана задача Коши для волнового уравнения
иц —	ж), х € R3, t > 0,
4=о = (1 + М2)-1>	«t|t=0 = sinl4
Найдите величину «(10,0,0,0).
Вариант 1, вторая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	а) (1) Сформулируйте принцип максимума для уравнения
теплопроводности.
б)	(1) Сформулируйте теоремы о среднем для гармониче-
ских функций.
2.	(2) Найдите хотя бы одно решение уравнения
и" + и = 5q
в классе обобщенных функций.
3.	(2) Определите потенциал простого слоя и докажите, что
он убывает на бесконечности как щ .
Экзаменационные варианты 143
4.	(3) Единственно ли решение следующей внешней; задачи
Дирихле:
Ди = 0 в R3 \ О, u|an = v?(a:), у>(х) € С (Oft),
(1 + |rr|) и1 2(т) dx < оо?
R3\n
Ответ обоснуйте.
5.	(3) Докажите неравенство Фридрихса. Пусть Qi и Ог-две
ограниченные области и объем Qi больше объема Пг- Можно
ли на основании этого сравнить постоянные в неравенствах
Фридрихса для Двух областей? Ответ обоснуйте.
Вариант 2, первая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(2) Решите краевую задачу
“и ~ «жв = 0, ' х > 0, t > О,
/ du \ I
+ 2и) lx=o = Sin*’ * > °’	W|«=0 = ^‘=0 = °-
2.	(2) Решите краевую задачу
Щ = Uxx при 0 < X < 7Г, t > О,
ди I	ди\	i n
ОЯ 1®=0 дх\х=тг	t-°
3.	(2) Пусть u(t, х), х € R3, t > 0, — решение задачи Коши
utt = t >0,	u|t=0 - О, ut|t=0 = <р(х),
где <р(х) = 0 при 9 |аг| < 10 и <р(х) > 0 для других значений
х G R3. При каких значениях переменной t > 0 возможно
равенство u(t, х) = 0 для некоторого х Е R3? Ответ обоснуйте.
Вариант 2, вторая часть
(1.5 астрономических часа)
1. а) (1) Дайте определение характеристической поверхности
для уравнений с частными производными второго порядка.
б) (1) Что такое корректно поставленная краевая задача?
144 Экзаменационные варианты
2.	(2) Найдите хотя бы одно решение уравнения
и'" 4- и = <5(t)
в классе обобщенных функций.
3.	(2) Докажите, что потенциал двойного слоя, создаваемый
поверхностью S в точке х и имеющий единичную плотность,
равен телесному углу, под которым поверхность S видна из
точки х.
4.	(3) Сформулируйте и докажите теорему Лиувилля для
гармонических функций. Верна ли эта теорема, если исходная
гармоническая функция задана не во всем пространстве R3,
а в полупространстве {xi > 0}? А если еще дополнительно
известно, что и(0,Ж2,жз) = 0? Ответы обоснуйте.
°
5.	(3) Дайте определение пространств ЯХ(П) и Я1^). До-
кажите, что эти пространства не совпадают. Пусть и(х) €
C°°(Q) Г) С(П) и ц(ж) = 0 на dQ. Верно ли, что и е ЯХ(П)?
Ответ обоснуйте.
Вариант 3, первая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(2) Решите краевую задачу
utt - ихх = 0, х > 0, t > 0,
4=о = “‘к=о = °’ (ux + (sint)u)|a;=0 = sint, t>0.
2.	(2) Пусть u(t,x), х G R2 — решение задачи Коши
* .	.	.	( 1, |т| < L
ut = Au(t,x), u|t=o=in ||->г > L = const > 0.
I U) Ixl L,
Найдите u(10,0,0).
3.	(2) Решите краевую задачу
ии = uxx, 0 < x < тг, t > 0,
4=o = °’ «4=* = sin*> 4=0 = 41=0 = 0.
Экзаменационные варианты 145
Вариант 3, вторая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	а) (1) Сформулируйте строгий принцип максимума для
гармонической функции в области.
б)	(1) Сформулируйте теорему единственности задачи
Коши для уравнения теплопроводности.
2.	(2) Найдите хотя бы одно решение уравнения
u' + sint • и ~ 6о
в классе обобщенных функций.
3.	(2) Докажите, что потенциал двойного слоя поверхности S
определен для х G S, если S — поверхность Ляпунова.
4.	(3) Гармоническая функция u(xi, х%, ж3) определена в полу-
цилиндре
Ц = {ж| + ж| < 1} х {ж3 > 0}
и и = 0 при Ж1 + ж| = 1. Известно также, что и G С'1(Ц) и
u(a?) —> 0 при хз —» +оо равномерно по х\ и Х2- Докажите, что
тогда имеет место оценка
|«(ж)| Сехр (- жз) ,
где С > 0 — некоторая постоянная.
5.	(3) Дайте определение пространств Д’1(Г2) и докажите
его полноту. Пусть Q — ограниченная область в Rn, C'OO(Q) —
множество гладких в П функций, имеющих все производные,
непрерывно продолжающиеся на Q. Всегда ли это множество
функций плотно в Н1 (Л)? Ответ обоснуйте.
Критерии оценок: «отлично» —12 баллов; «хорошо» —
9 баллов; «удовлетворительно» — 6 баллов при максимально
возможной сумме 18 баллов.
146 Экзаменационные варианты
2001 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор Т. А. Шапошникова
Первая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	а) (2) Найти общее решение уравнения
5iXxx 4uxi/ uyy ~~ 0.	(*)
б)	(2) Найти решение уравнения (*), удовлетворяющее
условиям
t4(x,0) = 7x2,	u(x,^j=x2.
2.	(2) Решить задачу Коши
utt = Au - |т|, х е R3, t > 0;	i4|t==0 = 0, ut|t=0 = sin |®|.
3.	(2) В круге Q = {х2 4- у2 + 2х < 0} решите задачу Дирихле
Ли = 0 в Q, и|ац = 4ж3 + 6ж — 1.
4.	а) (2) Найти решение задачи Коши
щ = Ди, х € Rn, t > 0;	u|t_0 = е—Iх!2.
б)	(2) Найти lim u(x,t). Ответ обосновать.
|гг|—>оо
5.	а) (2) Найти решение задачи
«t = Uxx — 7, хе (0,тг), t > 0;
4=о = 1’ “х1х=я = °‘>	4=о = 0
б)	(2) Найти lim u(x,t). Ответ обосновать.
t—>оо
Вторая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(3) Пусть О = {(a;,t) | 0 < х < тг, 0 < t < +оо}, u G С2(О),
Utt = а2«ха: В О;
4=о = 0’ «®lx=w = /W; Ч=о = 4=0 = 0;
Экзаменационные варианты 147
/ € ^“([О, 4-оо)), /(0) = О, sup |/(t)| < +оо. Верно ли, что
(О,оо)
sup|u(a:,t)| < +оо?
П
Ответ обосновать.
2.	а) (3) Потенциал двойного слоя с плотностью сто(х) равен
нулю, когда х лежит вне замкнутой поверхности Г = д£1, то
есть при х € Rn \ Л. Верно ли, что <tq(x) = 0 на Г? Ответ
обосновать.
б) (3) Потенциал простого слоя с плотностью Цо(х) равен
нулю, когда х лежит вне замкнутой поверхности Г. Верно ли,
что до(я) = 0 на Г?
3.	(2) Найти какое-нибудь решение в ТУ2 системы
у = Ау + Ь6(х)-, у=(УЛ, А=Р *),
\!/2/	\О -2/	\2/
4.	(3) Пусть и(ж, у) — ограниченная, гармоническая на полу-
плоскости П = {(ж, у) G R2 | у > 0} функция, и € С(П).
Доказать, что
sup it = supu(x,O).
п R1
Критерии оценок: «отлично» — 21 балл; «хорошо» —
16 баллов; «удовлетворительно» — 8 баллов при максимально
возможной сумме 30 баллов.
2002 год, поток математиков, основной экзамен,
лектор Т. А. Шапошникова
Вариант 1, первая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(2) Найти характеристики уравнения
Utt = ихх 4" иууу
пересекающиеся с плоскостью t = 0 по прямой (/,ж) = 0, где
г = (/1,/2)^0.
148 Экзаменационные варианты
2.	(2) Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-
моугольнике 0 < х а, О.< У Ъ со следующими граничными
условиями
I	I п I л I • 5х • к
и = —	=0; и = 0, ti = sin —-—.
1я=0 ОХ 1х=а	12/=0	It/—Ь	2d
3.	(2) Пусть u(t, х) — решение задачи Коши
utt =	х = (±i, ®2) € R2, t > 0;
Ч=о = ^(ж)> “*lt=o = ^(ж)-
Функции <р и 'ф известны только в. прямоугольнике х\ € [0,а],
Х2 G [0, Ь]. Где можно определить u(t,x), t > 0? Нарисуйте в
Rt,a:i,®2 ЭТУ Область.
4.	(2) Решить задачу
, ut = UxX, х € (0,1), t > 0;
u|t=0 = 0; «1^=0 = Ai = const, г1|ж;=г = A2 = const, t > 0.
Найдите lim u(t, x).
Вариант 1, вторая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(4) Пусть Q = {(®i,iC2) | 0 < Xj < 1, j = 1,2}. Докажите,
о
что для любой функции v € НХ(П), удовлетворяющей условию
у* sinTT®! ‘ sin7rT2 • v(Xi, X2) dxi dX2 = 0,
Q
справедливо неравенство
mU> < и*С(Я).
2.	(3) Найдите потенциал простого слоя, распределенного с
постоянной плотностью (jl на цилиндре +	= R2, 0
Н} в точках, лежащих на оси х%.
3.	(3) Функция t) удовлетворяет уравнению теплопровод-
ности
щ = Ди
Экзаменационные варианты 149
в цилиндре Qoo = Q х (0, оо), х G П С Rn, t > 0; Q С {\x.j| <
j = l, ...,n);
u = 0 на x (0, oo);
u G C^iQoo) A (^(Qoo). Докажите, что
|u|^Coe-4nt, Cq = const > 0.
4.	(2) Найдите в ©'(R1) какое-нибудь решение системы
х = х -у, у = у-4х + 3<5(t).
00|
Вариант 2, первая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(2) При каких значениях a G R1 плоскость y+z = С = const
является характеристикой для уравнения
Uxx	“1“ Uyy Or uzz -Ь u — 0?
(Ответ обосновать).
2.	(2) Решите задачу
utt =	0 < х, у < 1, О 0;
и| « = «I , = Ч п = ttl , = 0;
•х=0	1 rr=l	|?/=1	’
u|t=0 = зтЗтгж sin7тгу, ut|t=0 = — 2sin7rx sin47ry.
3.	(2) Пусть u(t, х) — решение задачи Коши
utt =	х = (я?1, х2, хз), х G R3, О 0;
Ч=о = У’О®)’ Ч=о = ^(4
Функции и 'ф известны только в шаровом слое 1	|ж|	2.
Где известно решение u(t,x)7 (Ответ обосновать).
4.	(2) Решите задачу Коши
Ut = | uxx, х G R1, О 0;	4=0 = е“х2+2ж, x G R1.
150 Экзаменационные варианты
Вариант 2, вторая часть
(1.5 астрономических часа)
1.	(4) Найдите
mf | j" (|V«|2 + 2u)dx + j и2 ,
я	|®|=i
где П = {1 < |ж| < 2}, х = (х1,Х2,хз) € R3; М = (н €
Нг(£Г) | v = 0 при |ж| = 2}.
2.	(3) Найдите потенциал простого слоя, распределенного с
плотностью р = sin2 на цилиндре {ж2 4- х2 = Я2, 0 ^,жз < Н}
в точке, лежащей на оси хз.
3.	(3) Пусть и(х), х е R3, удовлетворяет уравнению
Ди = и в R3,
а также оценке
|и| < С, х 6 R3.
Докажите, что и = 0 в R3.
4.	(2) Найдите какое-нибудь решение из P^R1) уравнения
у" + 4у' + Зу = —<5(ж).
Критерии оценок: «отлично» —15- баллов; «хорошо» —
10 баллов; «удовлетворительно» — 6 баллов при максимально
возможной сумме 20 баллов.
2002 год, Олимпиада,
лектор А. С. Шамаев
1.	(2) Докажите, что
Д2(|ж|) = Со 5(ж)	,
и найдите постоянную Cq. Здесь ж = (ж1,Ж2,Жз) € R3 и |ж|2 =
х2 + х2 + х2.
2.	(3) Пусть и(ж, t) — решение краевой задачи:
utt = ихх в (0,7Г) х (0, +оо),
Ч=о = Л*)> 4=к = °’	4=о = 4t=0 = о,
Экзаменационные варианты 151
/(t) — гладкая функция и /(<) —> 0 при t —» оо, u G С2((0, тг) х
(О, +оо)) Г) С1([0, тг] х [0, +оо)). Может ли решение этой задачи
неограниченно возрастать по времени, то есть по переменной
t? Ответ обоснуйте.
3.	(2) Пусть u(t, х)— решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности
Щ = ихх, 'и1<=0 = «Х®),
€ C(R)AB(R). Является ли функция u(t, х) вещественно-
аналитической по переменной х при фиксированном t? Ответ
обоснуйте.
4.	(3) Докажите тождество
00 1 Г
22^ = / G(x,x)dx,
*=i 4 Jo
где {А,}— последовательность собственных значений задачи
Штурма—Лиувилля на отрезке [0,1], G(x,y) — ее функция
Грина.
5.	(3) Пусть Q — ограниченная область на плоскости, и(х) G
^(П),
Ди = 0 в П,
<р(х) — непрерывная функция на дП и
Inn и(х) = <р(х0)
хеп
для всех xq G QQ кроме единственной точки х* 6 д£1. На-
зовем такую функцию «решением задачи Дирихле Ди = 0,
u|afi =.у>(а?) кроме одной граничной точки х*». Единственно ли
решение такой задачи Дирихле? Ответ обоснуйте.
6.	(2) Корректна ли задача Коши на плоскости
Ди+^ = 0,	Д=^ + ^>	S6R, у>0,
ох	их2 оу2
«1у=0 = V’C®)’	"Л=0 = ^<Ж)?
Здесь tp{x),ip(x) — непрерывные ограниченные функции, реше-
ние и(х,у) рассматривается в пространстве С([0, уо] х R®) О
В([0, уо] х К®). Ответ обоснуйте.
152 Экзаменационные варианты
7.	(3) Пусть u(t, х) — решение уравнения теплопроводности в
полуплоскости с одной «выколотой» точкой
n={t>0} х ИД {(1,0)}
и |u(t,ж)| < М в П. Докажите, что особенность в точке (1,0)
устранима, т. е. можно так доопределить функцию u(t, х) в
этой точке, что она будет решением уравнения теплопровод-
ности вйх X {t > 0}.
2003 год, Олимпиада,
лектор А. С. Шамаев
1.	(2) Рассмотрим смешанную задачу для полуограниченной
струны
utt = uXx> t>0, х > 0,	<р(®)
4=0 = 44	4t=0 = °>	1
(ux + аи)!^ = 0.	0	12 3 х
Имеет ли отраженная волна задний фронт, то есть будет ли
расстояние от носителя решения до прямой х = 0 неограни-
ченно возрастать при t —> оо?
2.	(2) Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения
иц(<,ж) = Ди(<,ж), t > 0, х е R3,
4=0 = 44	4{=0 = 44	u(t,x)£0.
Может ли supp u(t, ж) принадлежать цилиндру {(t, ж) | t €
(0, оо), ж € D}, где D — ограниченная область простран-
ства R3?
3.	(3) Пусть гб(ж) — гармоническая функция в окрестности
точки {0} пространства Rn;
( \ V' V' p“ul
«(ж) = > У ——	ж —
< а! 1х=о
i=0 |а|=г
Экзаменационные варианты 153
разложение функции и(х) в ряд Тейлора в точке {0}. Верно
п ч	©°u| a
ли, что полиномы РЛх] = У —х — гармонические
z—' а! 1®=о
|«1=»
функции? Ответ обоснуйте.
4.	(3) Пусть u(t, х) — решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности
ut — uxx при t > 0,
u(t,®) е С2(П+) ПС'(П+), П+ = {(ж,4),<>0},
Ч=о =
ip(x) — ограниченная непрерывная функция, не равная тожде-
ственно нулю. Докажите, что не существует такого Т > 0,
при котором u(t,x) = 0, если Т t. (Иначе говоря, нагретый
стержень не может полностью «остыть» за конечное время.)
5.	(4) Пусть Q — ограниченная область в R2, и(х) — собствен-
ная функция задачи Дирихле, то есть
Ди(ж) + Хи(х) = 0,
и(х) = 0 для х € 5Q, Л = const.
Может ли множество a = {х | и(х) = 0, х € Q} быть отрезком
£ прямой линии, не имеющим общих точек с границей области
Л? Ответ обоснуйте.
6.	(6) Пусть К — единичный круг на плоскости с центром в
точке {0}. Докажите, что существует такая последователь-
ность гладких функций {v?n(®)}> VnC®) € что
кп|Я1(к) 0 при п оо,
но v?n(0) = 1 для любых п = 1,2, ... (то есть функции из Н1 (К)
не имеют «следа» в точке).
7.	(5) Пусть Ш — единичный шар в R3 с центром в нуле, ц(ж) —
такая вектор-функция в Ш, что
1)	ц(ж) = Vu(x), и (ж) — гладкая скалярная функция в Ш;
2)	divv(a;) = 0 в Ш;
3)	если продолжить v(x) нулем в R3, то полученная в
результате такого продолжения вектор-функция ад(ж)
также удовлетворяет равенству divw(z) = 0 в R3 в
смысле теории обобщенных функций. Найдите v(x).
154 Экзаменационные варианты
8.	(6) Пусть u(t, х) — решение задачи
«и = ихх в П,	П = [0, тг] х [О, оо),
4=0 = 4=» = ° v*>°,	4=0 = 44 4t=0 = 44
^(4 4е) е С§°[0,7г]. Мы наблюдаем движение струны с за-
крепленными концами в точке 1, то есть нам известна функция
u(t, 1) при t > 0, но не абсолютно точно, а с точностью 6, где
6 — любое положительное (но не равное нулю) число. Можно ли
по такому наблюдению восстановить с любой наперед заданной
точностью е > 0 функции *1>(х), Ответ обоснуйте.
2004 год, Олимпиада,
лектор А. С. Шамаев
1. (2) Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения в R3
иц =	4=о = 44 4=0 = °’
где
Г1 при. ®<1>(
- 1 О при |х| > 1.
(Шар «взрывается»). Нарисуйте u(t,r) в моменты времени
t = 1, t = 3 (решение, разумеется, зависит только от г = |ж|).
2. (2) Функция и(ж, t) является решением краевой задачи
й + й = и" на [0, тг] х [0j оо),
4=0 = 4=» = °’ 4=0 = 44 4=о = 44
Верно ли, что |и(ж, £) | —» 0 при t —> оо? Ответ обоснуйте.
3. (5) Пусть u(x, t) — гармоническая функция в цилиндре Ц =
О, х [0, оо), Q —область в Rn, и и = 0 на дО, х [0, оо). Пусть
также |и(ж, t)| М. Докажите, что |u(ar, t)| —> 0 при t —» оо.
4. (3+3) Пусть Ai и Аг — подмножества функций в С°°(К),
А? —единичный круг на плоскости, такие, что 4х=о = 0 и
<4 1Х1=о = ® соответственно. Найдите коразмерности замыка-
ний Ai и Аг этих множеств в пространстве Я1 (А).
5.	(4) Пусть А —единичный круг на плоскости (х1,агг), h и
/г — два отрезка гладких кривых, пересекающихся в точке О
Экзаменационные варианты 155
под ненулевым углом. Может ли кривая h U быть линией
уровня гармонической функции? Ответ обоснуйте.
6.	(5) Пусть Q —область на плоскости, М — замкнутое мно-
° . °
жество в Q и пространства Н1^) и Д1(П \ М) совпадают на
Л \ М. Докажите, что д(М) = 0.
7.	(5) Рассмотрим краевую задачу
u = u" + f(x,t) в [0,тг] х [0, оо),	|/(ж,<)| М,
<=о = 4=% = °> Ч=о =	4=о = ^(ж)> ‘
где М — заданная постоянная. Можно ли выбрать’/(я, t) так,
чтобы ц(х, t) = 0 для всех t > То? Ответ обоснуйте.
Упрощенный вариант: Тот же вопрос, если /(ж,4) = /(<).
8.	(3) Пусть и(х) — гармоническая в шаре Ш = {|а;| < 1}
функция,
lim u(x) = 0 Vxo € дШ\х*,
z* — некоторая фиксированная точка на дШ, и |u(x)| < М в
шаре Ш. Верно ли, что и(т) = 0 в Ш? Ответ обоснуйте.
9.	(3) Может ли решение уравнения теплопроводности
«t = uxx иметь такую линию уровня:
Литература
1.	Арнольд В. И. Лекции по уравнениям с частными производ-
ными— М.: Изд-во МК НМУ, 1995.
2.	Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными произ-
водными— М.: Мир, 1966.— 351 с.
3.	Бицадзе А. В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физике — М.: Наука, 1977. —222 с.
4.	Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач
по математической физике—2-е издание. — М.: Наука, 1972. —
688 с.
5.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 5-е
издание. — М.: Наука, 1988. — 512 с.
6.	Владимиров В. С. Сборник задач по уравнениям математиче-
ской физике — М.: Наука, 1982. —256 с.
7.	Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической
физике. — 2-е издание. — М.: Наука, 1979. — 320 с.
8.	Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка — М.:
Наука, 1989. — 463 с.
9.	Годунов С. К. Уравнения математической физики. Учебное
пособие для студентов физико-математических специально-
стей университетов. — 2-е издание. — М.: Наука, 1979. — 392 с.
10.	Годунов С.К., Золотарева Е.В. Сборник задач по уравне-
ниям математической физики. Учебное пособие. — Новоси-
бирск: Изд-во Новосибирского гос. ун-та, 1987. — 96 с.
11.	Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г.А. Уравнения с
частными производными первого порядка. Учебное пособие. —
М.: Издательство Центра прикл. исследований при мех-мат.
ф-те МГУ, 1999.-96 с.
12.	Егоров Ю. В. Лекции по уравнениям с частными производ-
ными. Дополнительные главы. Учебное пособие для студен-
Литература 157
тов, обучающихся по специальности «математика». —М.:
Изд-вб МГУ, 1985. -164 с.
13.	Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные
уравнения второго порядка параболического типа // УМН—
1962.—т. 17, вып. 3. — с. 3-146 (см. также Труды семинара им.
И. Г. Петровского. — 2001. — т. 21- с. 9-193.)
14.	Комеч А. И. Практическое решение уравнений математи-
ческой физики. Учебно-методическое пособие для студентов
университетов. —Мл Изд-во мех-мат ф-та МГУ, 1993.
15.	Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир,
1964.
16.	Ладыженская О. А. Краевые задачи математической фи-
зики— М.: Наука, 1973.
17.	Масленникова В. Н. Дифференциальные уравнения с частными
производными. Учебное пособие. —2-е издание. — М.: Изд-во
РУДН, 2000.-229 с.
18.	Мизохата С., Теория уравнений с частными производными—
М.: Мир, 1977.-504 с.
19.	Михайлов В. П. Лекции по уравнениям математической фи-
зики: учебное пособие для студентов вузов.— М.: Физматлит,
2001.-206 с.
20.	Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных про-
изводных. — М.: Наука, 1984.
21.	Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производ-
ными. I часть. — М.: Изд-во мех-мат. ф-та Моск, ун-та, 1976.
22.	Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными произ-
водными.— 2-е издание. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2005.-252 с.
23.	Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производ-
ными.— 3-е издание. — М.: Физматгиз, 1961. —400 с.
24.	Смирнов В. И. Курс высшей математики (для механико-ма-
тематических и физико-математических факультетов уни-
верситетов.—М.: Физматгиз, 1959.
25.	Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической фи-
зики. Учебное пособие. — 6-е издание. — М.: Наука, 1975.—
126 с.
26.	Соболев С. Л. Некоторые применения функционального ана-
лиза в математической физике. —3-е издание. — М.: Наука,
1988.-336 с.
158 Литература
27.	Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональный; про-
странств и обобщенных функций. — М.: Наука, 1989. —254 с.
28.	Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — 5-е изда-
ние. — М.: Наука, 1992. — 432 с.
29.	Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. — 6-е издание. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1999. — 798 с.
30.	Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный
курс. — 2-е издание — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1984. — 208 с.
31.	Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической фи-
зики-M..MU.HM0. 2001.-302 с.
32.	Эванс Л. К. Уравнения с частными производными— Новоси-
бирск.: Изд-во «Тамара Рожковская», 2003.
Учебное издание
Неащель Татьяна Дмитриевна,
Горицкий Андрей Юрьевич,
Капустина Татьяна Олеговна и др.
Сборник задач
по уравнениям с частными производными
Ведущий редактор И. Маховая
Художник О.Лапко
Корректор Н. Ектова
Оригинал-макет подготовлен О. Лапко
в пакете I^IJ^X 2g с использованием
кириллических шрифтов семейства LH
Подписано в печать 30.05.05 г. Формат 60 х 90/16
Гарнитура Computer Modern. Бумага офсетная^ Печать офсетная.
Усл.печ. л. 10,0. Тираж 1000 экз. Заказ 3206.
Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»
Адрес для переписки: Москва, 119071, а/я 32
Телефон (095)955-0398, e-mail: Lbz@aha.ru, http://wWw.Lbz.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в полиграфической фирме «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ:
О. А. Олейник. Лекции об уравне-
ниях с частными производными.
2-е издание, исправленное и до-
полненное. — М.: БИНОМ. Лабо-
ратория знаний, 2005. — 271 с.:
ил.
В книге излагаются основные факты,
относящиеся к уравнению Лапласа, уравнению
теплопроводности и волновому уравнению как про-
стейшим представителям трех основных классов уравнений с
частными производными. Первая глава содержит изложение
некоторых сведений из анализа и теории обобщенных функ-
ций.
Второе издание учебника дополнено доказательством тео-
ремы Ковалевской, смешанной задачей для уравнения колеба-
ний неоднородной струны, задачей Коши для волнового урав-
нения и теорией симметрических гиперболических систем.
Для студентов университетов и других вузов, изучающих
уравнения с частными производными.
издательство 119071, Москва, а/я 32
кимом	Телефакс (095) 955-0421
«БИНОМ.	955-0398
Лаборатория знаний»	955-0429
E-mail: Lbz@aha.ru
http://www.Lbz.ru