/
Текст
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию................................. 10
Некоторые обозначения ......................................... 12
Принятые сокращения в библиографических указаниях.............. 12
ЧАСТЬ первая
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I. Линейные и квазилинейные уравнения.................... 13
§ 1. Введение.................................................. 13
1.1. Общие понятия, обозначения и терминология............ 13
1.2. Замечания о решениях................................. 14
§ 2. Линейное однородное уравнение с двумя независимыми перемен-
ными: f (х, y)p-\-g[x, у)? = 0.................................. 15
2.1. Геометрическая интерпретация......................... 15
2.2. Замечания об интегралах и линиях уровня ............. 17
2.3. Характеристики и интегральные поверхности............ 19
2.4. Решение уравнения посредством характеристик.......... 20
2.5. Решение уравнения посредством комбинирования характери-
стических уравнений ...................................... 21
2.6. Частный случай: р -J- f [х, у) q = 0................. 23
2.7. Функциональная зависимость и якобиан................. 26
2.8. Главный интеграл; решение задачи Коши................ 29
2.9. Замечания об использовании разложений в ряды......... 32
2.10. Методы решения...................................... 32
§ 3. Линейное однородное уравнение с п независимыми переменными:
п
^fv(r)pv~0 ............................................ 32
V=1
3.1. Определения и замечания ............................ 32
3.2. Характеристики и интегральные поверхности........... 33
3.3. Решение уравнения посредством комбинирования характери-
стических уравнений....................................... 34
3.4. Фундаментальная система интегралов; задача Коши..... 34
3.5. Редукция уравнения в случае, если известны частные инте-
гралы ..............................•..................... 36
п
3.6. Частный случай: р -J- 2 fv (х> У) <lv = ®............ 38
V—1
3.7. Решение задачи Коши.................................. 41
3.8. Множители Якоби...................................... 42
3.9. Методы решения....................................... 43
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
п
§ 4. Общее линейное уравнение: 2 А(г)^ + /о(г)г = /(г) .... 44
V=1
4.1. Определения............................................ 44
4.2. Сведение общего линейного уравнения к однородному ... 45
4.3. Теорема существования и единственности . ........... 46
4.4. Неравенство Хаара...................................... 47
4.5. Дополнения для случая п — 2............................ 48
п
§ 5. Квазилинейное уравнение: 2 fv (r< z) Pv = g (r< z).......... 49
V= I
5.1. Геометрическая интерпретация........................... 49
5.2. Характеристики и интегральные поверхности.............. 50
5.3. Решение уравнения посредством характеристик............ 51
5.4. Сведение квазилинейного уравнения к линейному однород-
ному ....................................................... 54
п
5.5. Частный случай: р 2 fv (х> У. z) Qv = g (х- У, г) 55
v= 1
5.6. Решение задачи Коши.................................... 57
5.7. Разложение в ряды...................................... 58
5.8. Методы решения......................................... 59
§ 6. Система линейных уравнений.................................. 59
6.1. Частный случай: pv — fv(r), v=l,..., п ......... 59
6.2. Общая линейная система: определения и обозначения .... 61
6.3. Инволюционные системы и полные системы................. 62
6.4. Метод Майера для решения якобиевой системы...... 64
6.5. Свойства полной системы................................ 66
6.6. Однородные системы..................................... 67
6.7. Редукция однородной системы............................ 68
6.8. Редукция общей системы................................. 73
6.9. Методы решения......................................... 74
§ 7. Система квазилинейных уравнений........................... 74
7.1. Частный случай......................................... 74
7.2. Общая квазилинейная система............................ 76
Глава 11. Нелинейные уравнения с двумя независимыми пере-
менными ......................................................... 78
§ 8. Общие понятия, обозначения и терминология . . .......... 78
8.1. Геометрическая интерпретация уравнения ................ 78
8.2. Геометрическая интерпретация характеристик............. 80
8.3. Определение полосы..................................... 82
8.4. Вывод характеристической системы....................... 82
8.5. Другие выводы характеристической системы............... 84
8.6. Обыкновенные и особые плоскостные элементы............. 87
8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности......... 88
8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы.............. 89
§ 9. Метод Лагранжа............................................... 90
9.1. Первые интегралы....................................... 90
9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов.............. 92
9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла........... 95
9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов нз
двух неочевидных первых интегралов.......................... 96
9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла .... 97
9.6. Решение задачи Коши.................................... 99
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 10. Некоторые другие методы решения...........................101
10.1. Нормальная задача Коши...............................101
10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 103
10.3. Частный случай: р — f (х, у, z, q)...................104
10.4. Представление решения степенным рядом в случае анали-
тических функций...........................................106
10.5. Более общие разложения в ряды........................107
10.6. Методы решения........................................ПО
§11. Решение частных видов нелинейных уравнений с двумя незави-
симыми переменными.........................................................111
11.1. F (х, у, г, р) = 0 и F (х, у, z, q) = 0.......................Ill
11.2. F{p, ?) = 0...................................................Ill
11.3. F(z, p, ?) = 0................................................112
11.4. p = f(x, q) и q = g{y, p).....................................113
11.5. f(x, p) — g(y, q) и F [/(a, py(z)), g(y, ?<р(г))]=О . . 113
11.6. /(x, p) + g(y, q)—z...........................................113
H-7. P = f\^ • 9J и . P, Q. xp + yq — г j = 0......................113
11.8. F (xp -4- yq, z, p, q) = 0..................................114
11.9. pF 4- q2 = f (x2 -|- y2, yp — xq)...........................114
11.10. F[f(x)p, g(y)q, г]=0.......................................114
11.11. / (p, q) = xp-f- yq; f однородна no p, q...................115
11.12. z — xp -f- yq -f- f (p, q) и F (p, q, z — xp— yq) = O .... 116
11.13. F(x, y, p, ?) = 0..........................................117
11.14. F (x, y, z, p, ^)=0. Преобразование Лежандра............118
11.15. F (x, y, z, p, ^) — 0. Преобразование Эйлера..............119
11.16. F(xp— z, y, p, q) = f>.......................120
11.17. xf(y, p, xp — z)-\-qg(y, p, xp — z) — h(y, p, xp — z) . . 120
11.18. qf (и) = xp — yq; xq f (u) = xp — yq; xf (u, p, q) 4-
+ Уё («. P,q) = h («. Р, q), где и = xp 4- yq — z................120
Глава III. Нелинейные уравнения с n независимыми перемен-
ными ...............................................................121
§ 12. Нелинейное уравнение с п независимыми переменными: F (г, г, р)=0 121
12.1. Общие понятия, обозначения и терминология....................121
12.2. Характеристические полосы и интегральные поверхности . 123
12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь
производные искомой функции..................................124
12.4. Представление решения степенным рядом в случае анали-
тических функций..............................................126
12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 126
12.6. Частный случай: р = f (х, у, z, q).....................128
12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из полного 130
12.8. Метод Якоби............................................133
12.9. Частный случай: р = f (х, у, q)........................134
12.10. Приложение к механике.................................136
12.11. Оценка Нагумо.........................................137
§ 13. Решение частных видов нелинейных уравнений с п независимыми
переменными.........................................................138
13.1. F(p) = 0...............................................138
13.2. F (z, р) = 0...........................................139
13.3. F [у*! (л',, pi <р (г) )./„ (хп, ря<р (г) )] = 0.......139
13.4. Однородные уравнения..................................140
13.5. F (г, z, р)—Ь. Преобразование Лежандра............... 140
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
7г — I п
13.6. 2Pv/v= s %v/v—/л+ь где 1 < k < п и 7v =
V=1 V—k
= fy(xl...x^-t, pk, .... pn, 2 A/>v —И................141
v=k )
13.7. z = Xip,+...+JC„p„ + /(pi,...,/>„)..................142
§ 14. Система нелинейных уравнений..............................142
14.1. Частный случай: pv = fv (г, у, z, q), v = 1, ..., m.142
14.2. Теорема существования и единственности для якобиевой
системы в области аналитических функций...................143
14.3. Теорема существования и единственности для якобиевой
системы в области действительных функций. Метод Майера
для решения якобиевой системы.............................143
14.4. Скобки Якоби и Пуассона.............................145
14.5. Общая нелинейная система............................146
14.6. Инволюционные системы и полные системы..............147
14.7. Метод Якоби для инволюционной системы, не зависящей
от г......................................................148
14.8. Применение преобразования Лежандра..................150
14.9. Метод Якоби для общей системы.......................152
часть вторая
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания......................................154
Глава I. Уравнения, содержащие лишь одну частную производ-
ную .......................................................155
Глава II. Линейные и квазилинейные уравнения с двумя незави-
симыми переменными.........................................157
1-12. f(x, y)p+g(x, у)? = 0..............................157
13—19. / (аг, у) р -|- g (х, у) q = h (х, у) ............161
20—31. f(x, y)p-\-g(x, y)q = hi(x, y)z-[-li0(x, у).......162
32—43. f (х, у) р~\~ g (х, у) q = h (х, у, г)............165
44—59. f (х, у, г) S У, г) Я = I1 (А У, z); Функции /, g ли-
нейны относительно z ......................................169
60—65. f (х, у, z)p-\- g (х, у, z) q = h (х, у, г); функции /, g по z
не выше второй степени.....................................173
66—71. Прочие квазилинейные уравнения.....................174
Глава III. Линейные и квазилинейные уравнения с тремя неза-
висимыми переменными.......................................176
1—19. f (х, у, z) wx g (А у, z)wy-]~ h (х, у, г)даг = 0; функ-
ции f, g, h степени не выше первой...................176
1—6. Одночленные коэффициенты.............................176
7—11. Двучленные коэффициенты.............................177
12—19. Трехчленные коэффициенты...........................177
20—41. f (х, у, z) wx -|- g (х, у, z)wy-^-/i(x, у, г)даг = 0; функ-
ции /, g, h степени не выше второй.........................181
20—27. Одночленные коэффициенты...........................181
28—38. Двучленные коэффициенты............................182
39—41. Трехчленные коэффициенты...........................183
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
42—59. f(x, у, z) wx g (x, у, z)wy-\-h(x, у, z) wz = t), про-
чие случаи...........................................184
60—64. Общие линейные и квазилинейные дифференциальные
уравнения.................................................189
Глава IV. Линейные н квазилинейные уравнения с четырьмя и
более независимыми переменными.................................191
Глава V. Системы линейных и квазилинейных уравнений . . . 196
1—2. Две независимые переменные..........................196
3—9. Три независимые переменные..........................197
10—17. Четыре независимые переменные и два уравнения .... 199
18—23. Четыре независимые переменные и три уравнения .... 201
24—29. Пять независимых переменных и два уравнения........204
30—32. Пять независимых переменных и три или четыре уравне-
ния ................................................207
33—36. Прочие системы.....................................208
Глава VI. Нелинейные уравнения с двумя независимыми пере-
менными .......................................................210
1—13. ар2-}-..........................................210
14—20. / (х, у, z) р2 +................................212
21—33. apq.............................................214
34—42. f (х, у) pq 4-..................................217
43—48. f(z)pq+.........................................222
49—54. (..)р2 + (..) pq-}-.............................223
55—68. ар2 4~ — f (*, у, г)...........................225
69—74. f (х, у) р2 4- g (х, у) q2 = h (х, у, г)........228
75—80. f (а, у, г) р2 4* g (х, у, z) q2 = h (х, у, z)..230
81-88. (..)p2-f-(..)^4-(..)/,4-(..)?4-.................231
89-111. {..) р2q2 +(..)р9+.............................234
112—127. Уравнения третьей и четвертой степени относитель-
но р, q.............................................241
128—139. Прочие нелинейные уравнения....................243
Глава VII. Нелинейные уравнения с тремя независимыми пере-
менными ......................................................246
1—7. Уравнения с одним или двумя квадратами производных 246
8—14. Более двух квадратов производных с постоянными коэф-
фициентами ........................................248
15—21. Остальные уравнения с квадратами производных .... 249
22—31. Уравнения с производными в более высоких степенях . . 252
Глава VIII. Нелинейные уравнения с более чем тремя незави-
симыми переменными...........................254
Глава IX. Системы нелинейных уравнений..................259
R&C
ТЭуиамаы.
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
LOSUNGSMETHODEN UND
LOSUNGEN
VON
DR. E. KAMKE
II
PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ERSTER ORDNUNG
FUR EINE GESUCHTE FUNKTION
4. VERBESSERTE AUFLAGE
LEIPZIG 1959
Э. КАМКЕ
СПРАВОЧНИК
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Н. X. РОЗОВА и Б. Ю. СТЕРНИНА
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Н. X. РОЗОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966
517.2
К 18
УДК 517.945
АННОТАЦИЯ
Книга Э. Камке является единственным в ми-
ровой литературе справочником по дифферен-
циальным уравнениям в частных производных
первого порядка для одной неизвестной функции.
В ней дается конспективное изложение важней-
ших разделов теории и собрано около 500 урав-
нений с решениями.
Книга предназначена для широкого круга
научных работников и инженеров, сталкиваю-
щихся в своей практической деятельности с
дифференциальными уравнениями. Значение это-
го справочника особенно велико в связи с тем,
что в настоящее время на русском языке нет
книги, в которой бы всесторонне и полно осве-
щалась теория вопроса.
Э. Камке
Справочник по дифференциальным уравнениям
в частных производных первого порядка
М., 1966 г., 260 стр. с илл.
Редактор М. И. Войцеховский
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод Корректор 3. В. Ав/понес ва
Сдано в набор 29/XII 1965 г. Подписано к печати 20/1V 1966 г. Бумага бОхЭО1/^.
Физ. печ. л. 16,25. Условн. печ. л. 16,25. Уч.-изд. л, 14,2. Тираж 30 000 экз.
Цена книги 85 коп. Заказ № 3.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект,
167-65
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга посвящена уравнениям в частных производных
первого порядка для одной неизвестной функции.
Указанные уравнения стоят несколько изолированно в общей тео-
рии дифференциальных уравнений. Это объясняется, пожалуй, тем,
что, как правило, классические проблемы физики и техники при-
водят к дифференциальным уравнениям (или системам) в частных
производных второго (или более высокого) порядка. Это, естественно,
определило больший интерес к уравнениям в частных производных
порядка выше первого и интенсивное изучение таких уравнений и
систем. Что же касается дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка, то они встречались главным образом
в геометрических задачах. Результаты теории этих уравнений, необ-
ходимые геометрии, были в основном получены довольно давно, и
интерес к этому разделу математики заметно упал.
Указанное обстоятельство в свою очередь определило то место,
которое стали отводить дифференциальным уравнениям в частных
производных первого порядка для одной неизвестной функции в сло-
жившейся системе математического образования. Поскольку интегри-
рование каждого такого уравнения в принципе сводится к интегри-
рованию некоторой системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений, то сами эти уравнения стали занимать лишь несколько вто-
ростепенных параграфов в курсах обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Однако в самое последнее время интерес к дифференциальным
уравнениям в частных производных первого порядка вновь сильно
возрос. Этому способствовало два обстоятельства. Прежде всего,
оказалось, что так называемые обобщенные решения квазилинейных
уравнений первого порядка представляют исключительный интерес
для приложений (например, в теории ударных волн в газовой дина-
мике и т. д.). Кроме того, далеко вперед шагнула теория систем
дифференциальных уравнений в частных производных. Тем не менее
до настоящего времени на русском языке не существует моногра-
фии, в которой были бы собраны и изложены все факты, накопив-
шиеся в теории дифференциальных уравнений в частных производ-
ных первого порядка, если не считать известной книги Н. М. Гюн-
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
11
тера, давно уже ставшей библиографической редкостью. Настоящая
книга до некоторой степени восполняет этот пробел.
Имя профессора Тюбингенского университета Э. Камке знакомо
советским математикам. Ему принадлежит большое число работ по
дифференциальным уравнениям и некоторым другим разделам мате-
матики, а также несколько книг учебного характера. В частности,
его монография «Интеграл Лебега — Стилтьеса» была переведена на
русский язык и вышла в 1959 году. Три издания на русском языке
в 1951, 1961, 1965 годах выдержал «Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям», представляющий собой перевод пер-
вого тома «Gewohnliche Differentialgleichungen» книги Э. Камке
«Differentialgleichungen (Losungsmethoden und Losungen)».
«Справочник по дифференциальным уравнениям в частных произ-
водных первого порядка» — перевод второго тома той же книги.
Здесь собрано около 500 уравнений с решениями. Помимо этого
материала, настоящий справочник содержит конспективное (без до-
казательств) изложение ряда теоретических вопросов, в том числе
таких, которые не включаются в обычные курсы дифференциальных
уравнений, например теоремы существования, единственности и др.
При подготовке русского издания была переработана имеющаяся
в книге обширная библиография. Ссылки на старые и малодоступные
иностранные учебники были по возможности заменены ссылками на
отечественную и переводную литературу. Были исправлены все за-
меченные неточности, ошибки и опечатки. Все вставки, замечания и
дополнения, внесенные в книгу при редактировании, заключены
в квадратные скобки.
Этот справочник, созданный в начале сороковых годов (и с тех
пор неоднократно переиздававшийся в ГДР без всяких изменений),
несомненно, уже не отражает в полной мере тех достижений, которые
имеются сейчас в теории дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка. Так, в справочнике не нашла никакого
отражения теория обобщенных решений квазилинейных уравнений,
развитая в известных работах И. М. Гельфанда, О. А. Олейник
и др. Можно привести примеры не вошедших в книгу последних
результатов, касающихся непосредственно затронутых в справочнике
вопросов. Не освещена в справочнике и теория уравнений Пфаффа.
Однако, думается, что и в этом ее виде книга окажется несомненно
полезным путеводителем по классической теории дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка.
Приведенная в книге сводка уравнений, решения которых можно
записать в конечном виде, очень интересна и полезна, но, конечно,
не является исчерпывающей. Она была составлена автором на
базе работ, появившихся до начала сороковых годов.
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х, у; х,, хп; уь уп — независимые переменные, г= {*,.........хп}
а, Ь, с; А, В, С — константы, постоянные коэффициенты,
®, ® (-«> У)> ® (И — открытая область, область на плоскости (х, у), в про-
странстве переменных xt,...,xn [обычно—область непрерывности
коэффициентов и решения. —Прим, ред.],
g— подобласть ®,
F, f — общая функция,
£’ — произвольная функция,
z; z (х, у); z = ф (xt, ..хп) — искомая функция, решение,
dz dz дг дг
р~ дх ' ду ' Pv~ dxv ’ ~~ dyv ’
v, ц, k, n — индексы суммирования,
(т \ m\
n ) n\(n — m)\ '
/ ^11 • • • г1и \
det | zkv\ — определитель матрицы I...I.
\ • • • гпп 1
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ
УКАЗАНИЯХ
[При ссылках на следующие книги указывается только фамилия автора:
Гюнтер — Н. М. Гюнтер, Интегрирование дифференциальных уравнений
первого порядка в частных производных, ГТТИ, 1934.
Камке — Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, «Наука», 1964.
Курант — Р. Курант, Уравнения с частными производными, «Мир», 1964.
Петровский — И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, «Наука», 1964.
Степанов — В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физмат-
гиз, 1959.
Камке, DGlen—Э. Камке, Differentialgleichungen reeller Funktionen,
Leipzig, 1944.
Сокращения наименований периодических изданий соответствуют обще-
принятым и потому при переводе опущены; см., однако, Кам к е. —
Прим, ред.]
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
[Вопросам, рассматриваемым в первой части, посвящена следующая ли-
тература:
Н. М. Гюнтер, Интегрирование дифференциальных уравнений пер-
вого порядка в частных производных, ГТТИ, 1934;
В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физмат-
гиз, 1959;
Ф. Т р и к о м и, Лекции по уравнениям в частных производных,
ИЛ, 1957;
И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, «Наука», 1964:
Р. Курант, Уравнения с частными производными, «Мир», 1964;
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958;
Л. Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения, Гостехиздат, 1957;
П. К. Рашевский, Геометрическая теория уравнений с частными
производными, Гостехиздат, 1947. — Прим, ред.]
ГЛАВА I
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Введение
1.1. Общие понятия, обозначения и терминология. Общее
(неразрешенное) дифференциальное уравнение в частных произ-
водных первого порядка для одной неизвестной функции
z = z (Хр .... хп) п независимых переменных имеет вид
dz дг \ ...
F х,......хп, z, — , ..., — = 0. (1)
\ 1 " dxt дхп) ' '
Здесь F— заданная функция “2п-\~ 1 аргумента. Решением, интег-
ралом или интегральной поверхностью этого дифференциального
уравнения (1) называется любая функция г = ф(Х!, .... х„), непре-
рывно дифференцируемая в некоторой области ®(хг.....хп) и об-
ращающая в этой области соотношение (1) в тождество.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка, разрешенное относительно одной из производных (нор-
мальная, или каноническая форма уравнения), имеет вид
дг дг дг \
.....Уп’ Z,d^‘ (2)
14 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |1.2
Здесь f — заданная функция 2п-|-2 аргументов; независимые пере-
менные обозначены теперь через х, ylt уп, искомой является
функция z = z(x, уь у„).
Введем сокращенные обозначения1):
дг дг дг .
р = -д—, р., — д— , 9,, --- -5—, v - = 1...п; (3)
r dx ‘v dxv ,v dyv
тогда дифференциальные уравнения (1) и (2) будут выглядеть соот-
ветственно следующим образом:
.... хп, z. рх, .... рп) = 0 (1а)
И
P — f(x, У!.......у„, z, 9!....9„). (2а)
Эти уравнения можно записать еще короче в векторной форме:
F(r, z, р)—0 (16)
и соответственно
P = f(x, у, z, q); (26)
здесь г, р, у, q означают следующие векторы:
г^\хъ .... хп\, p={Pi........................рп},
У={У1.......Уп\. 4={<h.........Чп}- а)
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно относительно неизвестной функции z и ее производных,
и квазилинейным, если оно линейно относительно производных
(линейность по z здесь не предполагается)2). Общий вид квазили-
нейного уравнения
2 А (г. z)pv = g (г, z) (4)
V-1
и линейного
п
2 А О) Л+/о (*• А = / (г); (5)
V- 1
здесь использованы сокращения (3) и (За). Если в последнем случае
также еще /0 = f = 0, то дифференциальное уравнение называется
однородным.
1.2. Замечания о решениях. Каждое дифференциальное урав-
нение в частных производных первого порядка находится в тесной
>) [Иногда их называют обозначениями Монжа. — Прим, ред.]
2) [В некоторых книгах можно встретить и иную терминологию. —
Прим. ред.\
2.1] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 15
связи с некоторой системой обыкновенных дифференциальных урав-
нений— системой так называемых характеристических уравнений
данного дифференциального уравнения в частных производных. Ре-
шение последнего строится из решений этой характеристической
системы-, оно однозначно определено, если задана начальная кривая
xx = xx(t), ..., xn = xn(t), z = z(t), (6)
сама не являющаяся характеристикой, и, кроме того, для точек этой
дг дг
кривой заданы значения производных -т—, ..., -т—, (Для линейных
(jXf^
и квазилинейных уравнений достаточно только начальной кривой (6).)
Строгая формулировка этого фундаментального предложения, которая
будет дана ниже, содержит еще ряд дополнительных предположений.
Существенное влияние на решения и, в частности, на однознач-
ность решений оказывает вид области, в которой ищется решение
(см. п. 2.6 (д)). Поэтому в общей теореме, которая будет сформу-
лирована впоследствии, на область налагаются необходимые ограни-
чения. Они не являются наиболее общими, но будут по возможности
просто описывать область (все пространство, параллельная полоса
или прямоугольный параллелепипед). При специальных методах реше-
ния отказываются от задания области, так как при применении их
на конкретных примерах получают область гораздо более точную,
нежели на основании общих рассмотрений.
§ 2. Линейное однородное уравнение
с двумя независимыми переменными: f(x, у) p~\~g(x, у) q = 0 *)
2.1. Геометрическая интерпретация. Простейший тип дифферен-
циального уравнения в частных производных первого порядка—ли-
нейное однородное дифференциальное уравнение для одной не-
известной функции z~z (х, у) двух независимых переменных-.
f(*. У)< + г(х, 9)^ = 0 <1>
или
f(x, y)p + g{x, y)g = O. (la)
Здесь для сокращения положено
*) Изложение следует книге Камке, DOlen, стр. 296—321. [См. также
литературу, указанную перед § 1.—Прим, ред.]
16 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 12.1
Дифференциальное уравнение всегда будет рассматриваться в некото-
рой области ®(х, у), в которой коэффициенты f (х, у) и g(x, у)
определены и непрерывны').
Пятерку чисел х0, у0, z0, р0, q0 мы будем называть плоскостным
элементом {элементом прикосновения), связывая с этими числами
плоскость
z — г0 = (х — х0) ро + (У — У о) %
в трехмерном пространстве переменных х, у, z. Точка (х0, у0, z0),
через которую проходит эта плоскость, называется точкой-носи-
телем, числа р0, q0 называются направ-
ляющими коэффициентами плоскостного
. |2со,Уо'’Т’ элемента. Плоскостные элементы с общей
V точкой-носителем (х0, у0, z0) образуют, оче-
~ видно, семейство плоскостей, проходящих
/"/ \ J через одну точку (Хф, у0, z0) (разумеется,
/ ' исключая плоскость, перпендикулярную
/к координатной плоскости XOY). Если
Lx 2=ф(х, у)—непрерывно дифференцируемая
поверхность, то плоскостной элемент
Рис. 1.
х, у, ф(х, у), фх(х, у), фу(х, у)
определяет (для допустимых значений х и у) касательную плоскость
к этой поверхности* 2) (рис. 1).
В силу дифференциального уравнения (1) или (1а) с каждой
точкой (х0, у0, z0) можно связать плоскостные элементы х0, у0, z0, р, q,
направляющие коэффициенты р, q которых удовлетворяют уравнению
f(x0, y0)p + g(x0, yo)q=O.
Получаем3) пучок плоскостей (кроме плоскости, ортогональной
к плоскости XOY), которые проходят через горизонтальную
прямую
х —х0 = /(х0, Уф)/, у — y0 = g(x0, y0)t, z = z0
*) От вида этой области может существенно зависеть решение рас-
сматриваемого дифференциального уравнения; см. пп. 2.6 (г) и 2.6 (д). К ука-
занным здесь предположениям часто присоединяют еще другие, дополни-
тельные. Для разрешимости дифференциального уравнения (1) одного
указанного в тексте предположения о коэффициентах, вообще говоря, не-
достаточно; см. О. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928), стр. 549.
2) [Напомним, что если поверхность задана уравнением z = ф (х, у),
то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в некоторой точке
(х0, Уо, z0 = ф (х0, у о)) имеет вид
Фх (х0, Уо) (х — х0) + фу (х0, Уо) (У — Уо) — {г — z0) = О,
т. е. вектор (фх (х0, у0), фу (х0, у0), —1) является нормалью к данной поверх-
ности в рассматриваемой точке. •— Прим, ред.]
в) В предположении, что | f (х0, у0) | -ф-1 g (х0, у0) I > 0, т. е. что рас-
сматривается регулярная точка (см. п. 2.8 (д)).
2.2] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 17
(t— параметр) (рис. 2). Таким образом, в силу дифференциального
уравнения (1), каждой точке отвечает пучок плоскостей1). Интеграл
уравнения (1) с геометрической точки зрения есть любая непрерывно
дифференцируемая поверхность z = x\~(x. у), которая в каждой своей
точке (х0, у0, z0) имеет одну
из плоскостей соответствую-
щего пучка своей касательной
плоскостью.
2.2. Замечания об инте-
гралах и линиях уровня.
(а) Каждое дифференциаль-
ное уравнение (1) имеет, оче-
Рис. 2.
видно, тривиальное решение
z = const. В дальнейшем нас будут интересовать лишь нетривиальные
решения.
(б) Если 2 = ф(х, у) — интеграл уравнения (1) в ® и если
А < ф(х, у) < В2), то для каждой непрерывно дифференцируемой
на интервале А < и < В функции 2 (и) сложная функция х (х> у) —
= 2(Ф(х, у)) тоже является интегралом уравнения (1).
Аналогичным образом получаем: если ф! (х, у)....ф,„ (х, у) —
интегралы уравнения (1) в ® и S2 (zz1...и,п) — некоторая произ-
вольная функция, определенная для значений фг., v—1, .... т,
и имеющая непрерывные частные производные -первого порядка, то
сложная функция
Х(х, у) = 2 (ф! (х, у), .... фт(х, у))
также является интегралом уравнения (1). В частности, функции,
полученные умножением интегралов уравнения (1) на постоянные,
а также линейные комбинации3) интегралов являются снова интегра-
лами рассматриваемого уравнения.
(в) Особенность дифференциальных уравнений в частных произ-
водных первого порядка состоит в том, что их решения вполне
определяются интегральными кривыми некоторых систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. Для дифференциального уравне-
ния (1) к этому результату можно прийти следующим путем.
Любое решение z =ф(х, у) изображается поверхностью в (х, у, z)-
пространстве, лежащей над плоскостью XOY. Точки этой поверх-
’) [Эти пучки и их оси называются соответственно пучками Монжа
•и осями Монжа; точка пространства вместе с направлением оси Монжа,
проходящей через эту точку, называется характеристическим линейным
элементом. — Прим, ред.}
2) Случай, когда А = — со, В — + со, не исключается.
3) Линейной комбинацией функций фь ..., фт называется выражение
вида А]!])! -[- ... -)-Атфт с произвольными постоянными At, .... Ат.
2 Э. Камке
18
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(2.2
нести, лежащие на одной и той же высоте с над плоскостью XOY,
т. е. соответствующие фиксированному значению с функции ф(х, у),
образуют некоторую кривую, называемую линией уровня (рис. 3).
Уравнение линии уровня имеет вид
-V = ф] (/), у = <р2 (0, z = с,
t — параметр,
где функции (f! и <р2 непрерывно диф-
ференцируемы и таковы, что
Ф(ф1(О- Ф2(0) = с.
После дифференцирования этого соотно-
шения по t получается:
4^ (<₽i. ф2) <₽; + Фу (фл. Ф2) Ф2 = 0.
Так как функция ф удовлетворяет уравнению (1), то имеем:
/(Ф1. ф2)фх(<Р1, Ф2) + ^(Ф1, Ф2)фу(Ф1, Фг) = 0.
Если |Фл-| + |фу| > 0 всюду, то из этих двух соотношений еле-
дует, что
Ф1'«г(фР Ф2)~ ф2/(фР ф2) = 0.
При условии, что переменная t изменяется нужным образом, ясно-
что предыдущее соотношение выполняется, если ')
ф! = / (фР Ф2> Фг = S (фР Ф2)-
Итак, проекции линий уровня на плоскость XOY заданы этими
двумя не зависящими от ф дифференциальными уравнениями и, сле-
довательно, для всех интегральных поверхностей одинаковы.
На основании сказанного можно теперь предложить следующий
способ отыскания интегральных поверхностей: находим интегральные
кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений
x'(t) = f(x, у), у’(t) = g(x, у)
(которые представляют собой проекции линий уровня искомой поверх-
ности) и поднимаем эти кривые на подходящую высоту так, чтобы
они образовали некоторую непрерывно дифференцируемую поверх-
ность а —ф(х, у). Этот принцип является важнейшим при конструи-
ровании интегральных поверхностей, и именно таким образом факти-
чески строятся (см. пп. 2.3, 2.4, 2.5) интегральные поверхности
дифференциального уравнения (1). Делая необходимые обобщения,
мы на этом пути получим также решения некоторых более общих
уравнений.
’) При этом предполагается выполненным условие ] / (х, у) | +1 g (х, у) |> 0,
а также, что и <р2 нигде не обращаются в нуль одновременно.
2.3] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 19
2.3. Характеристики и интегральные поверхности. Идеи
п. 2.2 (в) осуществляются следующим образом. В силу предположе-
ния п. 2.1 относительно функций f и g, через каждую точку (Ё,, т])
области ® проходит по крайней мере одна интегральная кривая')
х = <Pi (О. У = Ф2 (О. (2)
удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений
x'(t) — f(x, у). y'(t) = g(x, у). (3)
Каждая такая кривая или соответствующая ей пространственная
кривая
X = <P1(Z), у = (р2(/), z = c, (4)
с произвольной константой с называется характеристической кри-
вой или просто характеристикой'1) дифференциального уравне-
ния (1). Дифференциальные уравнения (3) называются по отношению
к уравнению (1) характеристическими уравнениями^) или хара-
ктеристической системой.
Справедливы следующие утверждения:
(а) Каждый интеграл 2 = ф(х, z) уравнения (1) постоянен вдоль
каждой характеристической кривой (2), т. е. ф(<Р1(О. q?2 (О) = const-
Константа меняется в зависимости от выбранной характеристической
кривой.
(б) Каждая характеристика (4), которая имеет хотя бы одну
общую точку с интегральной поверхностью уравнения (1), целиком
лежит на этой поверхности. Таким образом, каждая интегральная
.поверхность построена из характеристик..
(в) Если две интегральные поверхности уравнения (1) имеют
•общую точку, то они имеют общей и всю характеристику, прохо-
дящую через эту точку.
(г) Функция ф(х, у) заведомо есть интеграл уравнения (1), если она:
(а) непрерывно дифференцируема в ® и
(Р) вдоль каждой характеристической кривой (2) постоянна.
Из (а) и (г) следует:
’) При этом допускаются также «кривые», которые состоят только
из одной точки, т. е. для которых функции (t) и <р2 (О являются одновре-
менно постоянными.
2) [В отличие от (4), кривые (2) называют иногда проекциями характе-
ристических кривых — см. Курант, стр. 72, 79. Следует отметить, что
строго установившаяся терминология здесь отсутствует, и потому в различ-
ных книгах можно встретить термины, отличные от используемых здесь,
или те же термины, но употребляемые несколько в ином смысле. В соот-
ветствии с оригиналом мы будем кривую (2) называть характеристической
кривой, а кривую (4)—характеристикой.—Прим, ред.)
3) [Автор называет их также уравнениями Лагранжа.—Прим. ред.\
2'
20
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.4
(д) Интегралы уравнения (1) — непрерывно дифференцируемые
функции z = ф (х, у), которые в своей области определения вдоль
каждой характеристической кривой принимают постоянные значения.
2.4. Решение уравнения посредством характеристик. Если
известны характеристики, то в ряде случаев предложение п. 2.3 (д)
легко приводит к полному обозрению интегральных поверхностей.
Покажем это на нескольких примерах:
(а) ар 4- bq = 0.
Из характеристических уравнений х' — а, у’ = b следует: x = af-j- А
у—Ы-}-В (А, В — произвольные постоянные). Таким образом характери-
стические кривые и характеристики
образуют семейство параллельных
прямых. Поэтому интегральными по-
верхностями данного уравнения яв-
ляются всевозможные гладкие цилин-
дрические поверхности, образующими
которых служат эти параллельные
прямые (рис. 4).
(б) лр4-у<г = 0.
Из характеристических уравне-
ний х' = х, у' = у получаем:
х — Ае(, у = Be1
(А, В — произвольные постоянные).
Следовательно, характеристические
кривые — это лучи, лежащие в плоскости XOY и выходящие из начала коор-
динат. Интегральными поверхностями являются те непрерывно дифферен-
цируемые поверхности, которые могут быть построены параллельным пере-
мещением этих лучей вдоль оси г (рис. 5). Единственными интегральными
поверхностями, существующими
в области @ (х, у), содержащей
начало координат х = 0, у = 0, являются плоскости г = const. В любой области
плоскости XOY, не содержащей начала координат, имеются еще и другие
интегральные поверхности (коноиды, рис. 5).
(в) yp — xq = 0.
Из характеристических уравнений х' — у, у' — — х находим: хх' ф- у у '=0
или х2 ф- у2 = const, т. е. все характеристические кривые являются концен-
трическими окружностями с центром в начале координат. Интегральные
2.5] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 21
поверхности — те непрерывно дифференцируемые поверхности, которые могут
быть построены параллельным перемещением этих окружностей вдоль осн гг
т. е. все гладкие поверхности вращения, имеющие ось г в качестве оси
вращения и не имеющие ни в одной точке вертикальной касательной пло-
скости ') (рис. 6).
2.5. Решение уравнения посредством комбинирования харак-
теристических уравнений. Этот метод будет изложен на двух при-
мерах.
(а) аУР~г bxq — 0.
Для каждого решения х — х (t), у = у (t) характеристической системы.
х' = ау, у' — Ьх
справедливо соотношение
Ьхх’ — ауу' — 0 или (Ьх* 2 — ау2) — 0,
показывающее, что функция ф (х, у) = Ьх2 — ау2 постоянна вдоль каждой
характеристической кривой. Кроме того, эта функция непрерывно дифферен-
цируема, и значит, в силу п. 2.3 (г), поверхность г — Ьх2 — ау2 является
интегральной поверхностью 2).
(6) ахр -|- byq — 0.
Характеристические уравнения
х' = ах, у' — by
*) Интегральной «кривой» характеристической системы является в этом
примере еще само начало координат. Как и в предыдущем примере, рас-
сматриваемое здесь уравнение не имеет нетривиального гладкого решения
в области @ (х, у), содержащей начало координат. Два последних примера
показывают, что решение существенно зависит от вида тон области, в кото-
рой мы ищем решения; см. далее пп. 2.6 (г), 2.6 (д), 2.8 (д).— Прим. ред.
2) [Точнее, одним из интегралов. Вид полученной интегральной поверх-
ности зависит от знаков коэффициентов а и Ь. Рис. 7 дает представление
об этой поверхности в случае, когда а и b одного знака (гиперболический
параболоид), а рис. 8 — в случае, когда а и b разных знаков (эллиптический-
параболоид). При а = 1, Ь=—1 см. п. 2.4(b). — Прим, ред.]
22 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2.5
показывают, что для х =/= 0, у =/= 0, т. е. для каждого из четырех квадрантов
^плоскости XOY, справедливо соотношение
Ь —---а—= 0, или -^г!п(|л|6| у |-а) = 0.
х у dt '
Таким образом, функция -ф(л, у) = In ( |л|6 | у |“°) вдоль каждой характери-
стической кривой принимает постоянное значение. Кроме того, эта функция
непрерывно дифференцируема, а потому, в силу п. 2.3 (г), она является инте-
гралом. На основании п. 2.2 (6) из этого интеграла можно получить более
простой; положив й (и) — , находим % (х, у) = | х |6 | у
(в) Как показывают приведенные примеры, иногда можно удачно,
комбинируя характеристические уравнения, найти интегрируемое выра-
жение, первообразная которого не зависит от параметра t. Этот метод
в ряде случаев оказывается полезным, однако он не содержит общего
доказательства теоремы существования решения. Кроме того, остается
•еще открытым вопрос, как из отдельного интеграла получить всю
•совокупность интегралов; по этому вопросу см. п. 2.8.
(г) Если нужно найти интегральную поверхность уравнения (1),
проходящую через данную пространственную кривую (задача Коши).
то можно воспользоваться замечанием п. 2.2 (б).
Так, если в примере (а) требуется найти интегральную поверхность,
проходящую через параболу г = 4а2, у = х, то ищут непрерывно дифферен-
цируемую функцию £2 (и) такую, чтобы равенство
г = й(6л2— ay2)
было справедливо при г — 4л2, у = х. Подстановка дает:
Дп
4л2 — й ( (Ь — а) х2) или1) й (и) —
.Итак, искомый интеграл представляется в виде
г = -г±^(*х2-ау2).
Если в примере (б) требуется найти интегральную поверхность, прохо-
дящую через ту же параболу, то функцию Q (и) выбирают так, чтобы (при
х > 0, у > 0) равенство
z = Q(xby~a)
было справедливо при г = 4л2, у = х. Подстановка этих значений в равен-
ство дает нам 4л2 = Q (и), где и = хь~а. Отсюда следует
2
й (и) = 4и^~° ,
.а потому искомый интеграл при a=f= b дается формулой
2ft Ча
г~ 4л 6-0 у а~ь .
') [Если b =f= а\ в противном случае задача неразрешима. — Прим, ред.)
2.6] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 23-
2.6. Частный случай: p-\-f(x, y)q = Q. Если во всей рассмат-
риваемой области ® коэффициент f =£ 0, то, разделив все члены
дифференциального уравнения (1) на f и обозначив g/f через /, мы
получим уравнение специального вида
р+/(х, у) 7 = 0. (5>
Первое из характеристических уравнений (3) в этом случае имеет
вид х'(/)=1; в качестве его решения можно взять x~t. Тогда
второе характеристическое уравнение (3) можно записать в форме
Q = f(S,y). (6>
Всюду до конца этого пункта мы будем предполагать, что функция
f(x, у) в области ® (х, у) имеет непрерывную частную производную fy.
(а) Основнаятеоремасуществования. Пусть <р(х, Е,, т]) —
характеристическая функция дифференциального уравнения (6), т. е.
у = <р(х, т]) — проходящая через точку (Е,, т;) интегральная кривая
уравнения (6)1). Тогда для всех точек (Е,, г]), для которых функ-
ция <р(х0, Е,, л) при фиксированном х0 существует, справедливо соот-
ношение
>+/«• 4)^ = 0.
т. е. функция ф(х, у) = <р (х0, х< У) при
фиксированном х0 является интегралом
уравнения (5) в области существования
функции <ро(х0, х, у), и при этом фу > 0.
Пусть I — некоторый кусок прямой v
х — х0, лежащий в ®. Обозначим че- Рис. 9.
рез G (/) с ® область существования
функции <р(х0, х, у); очевидно, что область G(l)— это та подоб-
ласть @, которая заметается интегральными кривыми уравнения (6),.
проходящими через I (рис. 9). Область G (Z) будем называть харак-
теристическим полем дифференциального уравнения (5).
(б) Задача Коши. Пусть задана кривая2)
х = х0, у — ф, z — со (г]) (а < г] < р), (7>«
проекцией которой на плоскость XOY является отрезок I. Задача
Коши (задача с начальными данными) для дифференциального урав-
нения (5) состоит в нахождении интегральной поверхности, прохо-
дящей через заданную начальную кривую (7).
*) [См. Камке, стр. 59. — Прим. ред.\
2) [Это — плоская кривая, лежащая в плоскости х = х$, параллельной!
плоскости YOZ. Для такой кривой в оригинале употребляется термин Nor—
malkurve. — Прим. ред.}
54
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.6
Если в характеристическом поле G (/) имеет место неравенство
А < <р < b и если функция ю (и) непрерывно дифференцируема для
А < и < В, то требуемая интегральная поверхность существует и при-
том только одна ’), а именно:
ф(х, у) = ®(<р(х0, х, у)).
Легко установить аналитически, используя п. 2.2(6), что
<р (х0, х, у) является интегралом в области G (/) и что <р (х0, х0, у) — у,
а потому ф(х0, у) — со (у). Можно также строить интегральную по-
верхность геометрически: провести через начальную кривую (7) харак-
теристики
у = ф(х, хо, t[), Z = (001)
и исключить т]. Для этого достаточно использовать первые два урав-
нения (7), что сразу приводит к соотношению z = (o(<p(xo, х, у)).
Пример. р-|-2xq — 0.
Характеристическое уравнение (6) превращается в у' — 2х. Таким обра-
зом, ф (х, т]) = х* 2 — £2 Д- т); следовательно,
г=-а(х20 — х2Д-у)
— искомая интегральная поверхность, проходящая через кривую (7).
Далее, если есть какой-нибудь интеграл ф(х, у), фу > 0 на
характеристическом поле G (I), то все интегралы можно получить
из формулы х(х, у) = со(ф(х, у)), где а>(и) пробегает все непре-
рывно дифференцируемые функции, определенные для значений ф.
Если ® — некоторая полоса 2)
а < х < £, —оо<у<-|-оо
и если функции f или fy ограничены в ®, то О(/) совпадает с ®.
В этом случае можно задать значение интеграла на любой прямой
х — х0, а < х0 < Ь, и он тем самым будет однозначно определен и
будет существовать во всей области ®.
(в) Обобщенная задача Коши. Кривая (7) специального
лида может быть заменена произвольной пространственной кривой
х — и (s), y — v (s), z = w ($), $ — параметр;
функции и, v, но непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют
*) Если рассматривать только такие интегральные поверхности, область
-определения которых совпадает с характеристическим полем данного урав-
нения. Если области @ и G (/) таковы, как на рис. 9, то в некоторых слу-
чаях можно продолжать интегральную поверхность также за пределы G (I),
но в этой получившейся расширенной области условия (7) уже не будут
выделять однозначное решение.
2) Случаи а — — оо, 6 = -(- со допускаются, т. е. в качестве @5 может
•фигурировать вся плоскость XOY или полуплоскость.
2.6] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 25
неравенствам ’)
\и'\-|- |v'| > 0, v' Ф f (и, v) и'. (8)
Для решения этой задачи следуют описанному в (б) геометрическому
методу: в достаточно малой окрестности кривой x = u(s), y — v(s}
интеграл может быть записан параметрически соотношениями
у ~ <р (х, и (s), v (у)), z — -w (у).
Пример. Пусть для дифференциального уравнения примера (6) задана
начальная кривая
х = у, у = 2s, z = w (s).
Первое из неравенств (8) выполнено для всех s; второе для s 1. Так как
(х, g, т]) = х* 2— Jj2 —Н т}> то параметрическая запись интеграла выглядит так:
у = х2 — s2 -|- 2s, z = w (s).
Из первого уравнения получается
s = 1 ± Кх2 — у + 1,
причем верхний знак берется для s > I, т. е. для х > 1, а нижний — в про-
тивоположном случае. Окончательно:
г = <о(1 ± Ух2 — у-f-l) для У < х2Д-1.
.(г) О существовании нетривиального интеграла
в произвольной области. Во всей
циальное уравнение (5) может не иметь не-
тривиального (см. п. 2.2 (а)) интеграла, даже
если функция /(х, у) имеет в этой области
производные сколь угодно высокого порядка
по х и у, а сама область является одно-
связной2). С другой стороны, имеют место
следующие предложения:
(Г]) Если область ® односвязна и огра-
ничена и если функции /(х, у) и (х, у)
непрерывны при приближении к границе
области ®, то дифференциальное уравне-
ние (5) имеет во всей области® интеграл ф(х, у), причем фу > О
всюду в этой области3).
(г2) Пусть функция /(х, у) в области ® (на рис. 10 эта область
ограничена сплошной линией) ограничена. Пусть а — нижняя, b — верх-
няя грани (случаи а =— оо, £ = -|-оо допускаются) абсцисс х то-
чек (х, у)С®. Тогда в каждой подобласти g области ® (на рис. 10
*) Смысл этих условий состоит в том, что проекция х = и (s), у = v (s)
заданной кривой на плоскость XOY является кривой без особых точек, нигде
не касающейся характеристических кривых уравнения (5).
2) См. Т. Wazewski, Mathematica 8 (1933), стр. 103—116.
s) См. L. D. Rodabaugh, Duke Math. Journal 6 (1940), стр. 362 —
— 374; там же рассмотрен случай многосвязной области.
области ® дифферен-
Рис. 10.
26
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.7
подобласть ограничена пунктирной линией), которая принадлежит
внутренности полосы а < х < Ь, существует интеграл ф(х, у)
уравнения (5), причем фу > 0 всюду в этой подобласти ’).
д) О продолжаемости интегральных поверхно-
стей. Для обыкновенного дифференциального уравнения у' — f (х, у)
•с непрерывной правой частью любая интегральная кривая, будучи
задана в произвольно малом интервале, допускает продолжение в обе
стороны вплоть до границы области непрерывности функции /(х, у).
Соответствующий вопрос для дифференциальных уравнений в част-
ных производных может быть поставлен так: допускает ли интеграл
уравнения (5), заданный в подобласти g области ®, распространение
на большую подобласть области ®? Ответ на
этот вопрос, вообще говоря, отрицателен.
В самом деле, пусть, например, задано диффе-
ренциальное уравнение
р 4- xq — 0.
Его характеристические кривые — параболы 2у =
= х2-|-С (рис. 11). Если дифференциальное уравне-
ние сначала рассмотреть в полуплоскости у > 0,
то можно так построить решение, что оно будет
Рис. II. принимать разные значения на левом и правом кус-
ках каждой параболы, расположенной ниже параболы
:2у = х* 2 (на рис. 11 этн куски изображены сплошной чертой, а участки этих
парабол в полуплоскости у < 0 — пунктиром). Интеграл, полученный таким
образом в полуплоскости у > 0, не может быть продолжен в интеграл
во всей плоскости, поскольку этот последний должен принимать постоянное
.значение вдоль каждой из парабол 2у = х2-|-С.
Следовательно, если требуется найти решение уравнения (5) в не-
которой области, то из того, что нам удастся построить решение
для ее маленькой подобласти, мы получим мало пользы (если, ко-
.нечно, речь не идет об аналитических функциях).
2.7. Функциональная зависимость и якобиан. В обыкновенных
-линейных дифференциальных уравнениях фигурирует понятие линей-
ной зависимости функций. В уравнениях с частными производными
употребляют общее понятие функциональной зависимости и критерий
зависимости функций в этом более общем смысле2).
Две непрерывно дифференцируемые функции «(х, у), v(x, у)
функционально зависимы, если существует такая непрерывно диф-
ференцируемая функция Q (и), что имеет место соотношение
v (х, у) = й {и (х, у)).
*) См. Е. Kamke, Jahresbericht DMV 44 (1934), стр. 156—161; см.
также п. 3.6 (в) и Е. Kamke, Math. Annalen 99 (1928), стр. 602—615.
2) [См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального н интеграль-
ного исчисления, т. I, Физматгиз, 1962. — Прим, ред.\ .
2.7] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 27
Более общо ') для таких функций справедливо равенство
F(u(x, у), v(x, у)) = 0, (9>
где F (и, -и) имеет непрерывные частные производные первого по-
рядка и
1^1 + 1^1 > °- (Ю).
Дифференцируя (9) по обеим независимым переменным
мы, в силу (10), получаем:
«„ uv
х у ==0. (11>
Чг vy
Обратно, если для функций и(х, у) и г»(х, у) выполнено усло-
вие (11), то они функционально зависимы.
В дальнейшем нам потребуется понятие функциональной зависи-
мости для функций многих переменных.
Определение 1. Функции
«1(*1....Хд)......7Zp(Xj....xq), (12>
о которых мы будем предполагать, что они определены в некоторой
ограниченной замкнутой области 23 (Xj......xq) пространства q
переменных xv ...,xq, называются функционально зависимыми,
если существует функция F (иг..ир) со следующими свойствами:
(а) она определена во всем пространстве переменных иг, . . ., ир
и имеет там непрерывные частные производные первого порядка;
(Р) она не равна тождественно нулю ни в какой подобласти про-
странства переменных иА...ир,
(у) в области 23 имеет место соотношение
Ф(Хр .... xq) = F (^(Xi.....xq).....ир(хъ .... х?)) = 0.
Определение 2. Функции (12), заданные в открытой об-
ласти, называются функционально зависимыми, если они зависимы
в смысле определения 1 в каждой ограниченной замкнутой под-
области.
Определение 3. Якобианом, определителем Якоби или
функциональным определителем для п функций
«1(^1....хп)......ип(хг.....хп), (13)
') При F (и, v) == v — £2 (и) соотношение (9) переходит в предшествующее
ему равенство.
.28
ГЛ.1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.7
от п независимых переменных, имеющих непрерывные частные про-
изводные первого порядка в некоторой области ® (хр .... х„), на-
зывается определитель
J(xlt .... х„) =
д(и., ..., и„) __
д (xt.....хп)
du
дх
dut
дип
дхх
дип
' дхп
Критерий Якоби функциональной зависимости функций.
(а) Если функции (13), заданные в открытой области ®(Х].х„),
имеют непрерывные частные производные первого порядка, то они
функционально зависимы тогда и только тогда, когда их функцио-
нальный определитель
J(xx, .... х„) = 0>).
Примечания. 1) Зависимы ли функции (13), легко устанавливается
с помощью приведенного критерия. Подход, основанный на явном отыскании
функции F, довольно труден.
2) Вообще говоря, не следует отказываться от сложного определения
зависимости и, в частности, от анализа в определениях 1 и 2, даже если
предложение (а) выполнено. Рассмотрим пример (п — 2):
и (х, у) = sin х, )
ц (х, у) = sin х2. |
(*)
"Функциональный определитель, очевидно, тождественно равен нулю. Если
во всей плоскости переменных х, у было бы выполнено условие (у) в опре-
делении 1, т. е.
Ф (х, у) = F (и (х, у), v (х, у) ) == О,
то тогда мы получили бы
F (и, v) == 0 в квадрате [« К 1, |» |
В самом деле, в силу (*), F (и, v) обращается в нуль на всюду плотном
-множестве точек квадрата, и остается лишь использовать непрерывность
этой функции Однако, тождественное обращение функции F (и, v) в нуль на
квадрате противоречит условию ((5).
Этот пример, в частности, показывает, почему для открытых и замк-
нутых множеств были даны разные определения 1 и 2.
(б) Если функции (12) имеют в ®(хр ..., х?) непрерывные част-
ные производные первого порядка, то при условии, что р > q, они
функционально зависимы.
') Хотя этот критерий был известен давно, впервые его четко сформу-
лировали и строго доказали К. Knopp und R. Schmidt, Math. Zeitschrift
25 (1926), стр. 373—381. См. также A. Ostrowski, Jahresberlcht DMV
36 (1927), стр. 129—134.
2.8] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 29
(в) Функции (12) при условии, что функционально неза-
висимы в ® в том случае, когда функциональная матрица1)
(dut dut \
£*7....^7 \
I
дир ' ' дар I
дх: ’ ’ ’ дхр /
в ® имеет ранг р, т. е. если в ® существует хотя бы одна точка,
в которой по крайней мере один минор порядка р этой матрицы
отличен от нуляJ).
(г) Если функции «!(*!, .... х„+1)......ип(хх.......х„+1)
имеют в ®(Xj, .... х„+1) непрерывные частные производные первого
и второго порядка, то они функционально зависимы в том слу-
чае, когда функциональная матрица
d(ui, ип)
........х„+1)
в каждой точке
области ® имеет наивысший ранг п — 1, т. е. когда каждый опре-
делитель порядка п во всей области равен нулю2).
2.8. Главный интеграл; решение задачи Коши. Возвращаясь
к общему уравнению (1), предположим, что функции f(x, у) и g(x, у),
как и раньше, непрерывны в ®(х, у) и, кроме того, ни в какой
подобласти области ® не обращаются одновременно в нуль.
(а) В этих предположениях любые два интеграла дифференциаль-
ного уравнения (1) функционально зависимы в области ®.
(б) Назовем главным интегралом в области ® такой интеграл
уравнения (1), который ни в какой подобласти этой области не по-
стоянен. Верно следующее предложение:
Если ф(х, у) — главный интеграл дифференциального уравне-
ния (1) в области ®(х, у), то множестао всех интегралов в ®(х, у)
состоит только из тех функций у(х, у), которые имеют в ® непре-
рывные частные производные первого порядка и которые функцио-
нально зависимы с ф.
Если ®—характеристическое поле и фу 0, то все интегралы
можно получить из формулы /(х, у) = ®(ф(х, у)), где ®(ц)
) При р = q — п левая часть следующего равенства, согласно опреде-
лению 3, имеет двойное значение — она означает, с одной стороны, функ-
циональную матрицу, а с другой, — функциональный определитель. В после-
дующем, однако, всегда будет ясно, что именно имеется в виду.
2) См. О. Doetsch, Math. Annalen 99 (1928), стр. 590—601; А. В. Brown,
Transactions Araeric. Math. Soc. 38 (1935), стр. 379—394; A. Sard, Bulletin
Americ. Math. Soc. 48 (1942), стр. 883—890; M. Kneser, Math. Zeitschrift
54 (1951), стр. 34—51, 55 (1951/52), стр. 400; E. Камке, Math. Zeitschrift 39
(1935), стр. 672—676.
30 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ '2J8
пробегает все непрерывно дифференцируемые функции, определенные
для значений ф.
(в) Если функции f и g в односвязной области ® k раз непре-
рывно дифференцируемы (k^> 1) и если там |/| -f- |g-| > 0, то в каж-
дой ограниченной подобласти £ ®, не имеющей общих то» ек
с границей ®, дифференциальное уравнение (1) имеет главный инте-
грал ф(х, у); функция ф(х, у) является k раз непрерывно диффе-
ренцируемой и удовлетворяет неравенству |фх| -|- |фу| >01).
(г) Если отыскивают интегральную поверхность уравнения (1),
проходящую через данную непрерывно дифференцируемую начальную
кривую
x — u(s), y — v(s), z = 'W(s) (14)
(задача Коши), то (см. п. 2.6 (б)) единственное решение можно
найти лишь тогда, когда проекция кривой (14) на плоскость XOY
x — u(s), y~v(s) (15)
нигде не касается ни одной характеристической кривой, т. е. когда
выполнено неравенство
и' (s) g (и, -v) — z>' (s) / (a, v) Ф 0.
Если это предположение выполнено, то через каждую точку кри-
вой (15) проводят характеристическую кривую2)
x = qx(t, u(s), u(s)), у = %(t, и (s), v(s')),
т. е. строят то решение характеристической системы (3), которое
при Z=0 проходит через точку x — u(s), y~v(s)\ эти характери-
стические кривые образуют характеристическое поле. Теперь три
уравнения
X = <p1(f, U(s), y(s)). У == Ф2 (^» u(s)> ®(®)). Z==W(S) (16)
дают параметрическую запись искомой интегральной поверхности
в указанном характеристическом поле, содержащем кривую (15). Два
первых уравнения (16) определяют непрерывно дифференцируемые
функции t — t (х, у), s — s (х, у); вторая из них вместе с третьим
уравнением (16) дает явное уравнение интегральной поверхности.
) Е. Камке, Math. Zeitschrift 42 (1937), стр. 287—294, 41 (1936),
стр. 56—66).
2) [См. обозначения в п. 2.6 (а) или Камке, стр. 59 и 67. Поскольку
правые части характеристической системы (3) не зависят от параметра I,
то характеристические функции имеют как раз указанный здесь вид (см. при-
мечание 2) на стр. 52). Для справедливости приводимого в настоящем пункте
результата надо потребовать, чтобы коэффициенты уравнения (1) были не-
прерывно дифференцируемы.— Прим, ред.}
2.8] § 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 31
Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
УР 4-х? = 0,
проходящую через начальную кривую
x — s, у — as, z = со (s) (a ± 1).
Из характеристических уравнений
*'(0 = у. у'(0 = *
немедленно находим решение, которое при t = 0 проходит через произволь-
ную точку х = £, у = тр
X==-Mp'g< + —e~f' У = ~е* —^~^е~*.
Поэтому первые два уравнения (16) имеют вид
1-4-а . , 1—а 14-а . 1—а
х =—se'-|-------g—se *, y =—1—se*--------?—se *.
Отсюда получаем x -|-y = (1 -|-a) se*, x — у = (1 —a) se~*, и, следовательно,
л* 2 — у2 = (1—a2) s2. Окончательно, согласно третьему уравнению (16), по-
лучаем при (у2 — х2) (а2 — 1) > 0 уравнение искомой интегральной поверх-
ности в виде
причем верхний знак следует брать при s > 0, а нижний — в противном
случае.
(д) Дифференциальное уравнение с особой точкой. Точка (х, у)
называется особой для дифференциального уравнения (1), если в ней
f — g=(J, и регулярной, если в ней |/|4-|g'| > 0 *). Пусть в не-
которой окрестности U начала координат определены и непрерывно
дифференцируемы функции / и g. Пусть f (0, 0) —g(0, 0) = 0, но
|/|4~|£| > 0 в0 всех остальных точках окрестности U, так что
начало координат является изолированной особой точкой для диффе-
ренциального уравнения (1) и точкой покоя2) для характеристиче-
ской системы (3). Если отличные от точки покоя траектории си-
стемы (3) в некоторой специально подобранной окрестности U начала
координат плоскости XOY все без исключения замкнуты, то диф-
ференциальное уравнение в U имеет главный интеграл ф(х, у), причем
| Фл | +1 Фу I > 0 вне начала координат 3).
') См. также п. 8.6.
2) [Характеристическая система (3) является автономной, поскольку
ее правые части f и g не зависят явно от независимого переменного t.
Точкой покоя этой системы (положением равновесия) называется такая
точка плоскости х, у, в которой обе правые части одновременно обращаются
в нуль. Если решение х = х (/), у = у(7) автономной системы изобразить
как кривую на плоскости х, у (рассматривая t как параметр), то эта кривая
называется траекторией. Подробнее см. Л. С. Понтрягин, Обыкно-
венные дифференциальные уравнения, «Наука», 1965.—Прим, ред.}
3) См. Н. Н. Alden, Americ. Journ. Math. 56 (1934), стр. 593 — 612;
E. Digel, Math. Zeitschrift 42 (1937), стр. 231 —237.
32
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(2.9
2.9. Замечания об использовании разложений в ряды. Для
доказательства существования решения могут быть привлечены сте-
пенные ряды или ряды более общего вида (см. пп. 5.7 и 10.5).
Однако итерационный метод, с большим успехом используемый в обык-
новенных дифференциальных уравнениях, здесь к цели не ведет.
Следует упомянуть еще методы, рассматриваемые далее в пп. 4.4
и 12.11.'
2.10. Методы решения. Имеются следующие методы решения
уравнения (1):
(а) Метод характеристик (см. п. 2.4).
(б) Получение отдельных интегралов и, в частности, главного
интеграла посредством комбинирования характеристических уравне-
ний (см. п. 2.5). Из найденного главного интеграла можно, согласно
п. 2,8(6), получить все интегралы.
(в) Если надо определить интегральную поверхность, проходящую
через данную начальную кривую (т. е. надо решить задачу Коши),
то можно, если уже известен главный интеграл (или таковой легко
находится), поступать по примеру п. 2.5 (г) или, если характери-
стическая система (3) легко интегрируется, поступать по примеру
пп. 2.6(6), 2.6(b) и 2.8 (г).
(г) Использование разложений в ряды (см. п. 2.9).
(д) Если ни один из указанных методов не приводит к цели
в силу непреодолимых аналитических трудностей, то можно харак-
теристические уравнения (3) или (6) решить приближенным методом,
а затем, следуя п. 2.8 (г), получить приближенное численное решение
данного уравнения (1) с частными производными.
§ 3. Линейное однородное уравнение
п
с п независимыми переменными: S/V(r) Pv — ®1)
V = 1
3.1 Определения и замечания. Линейное однородное диффе-
ренциальное уравнение в частных производных первого порядка
для одной неизвестной функции z~z (хр ..., х„) п независимых
переменных имеет вид (ср. с п. 1.1)
Sau......0)
V=1
') Изложение следует книге Kamke, DOlen, стр. 321 — 330. [См. также
литературу, указанную перед § \.—Прим. ред.]
3.21 § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 33
или, употребляя обозначения г вместо вектора с компонентами
дг
и pv_ —,
п
(1а)
v=l
Дифференциальное уравнение будет рассматриваться всегда только
в такой области ® (г) пространства переменных .... хп, в кото-
рой коэффициенты fv{r) непрерывны.
Каждое дифференциальное уравнение (1) имеет, очевидно, три-
виальное решение z = const; интегралы, отличные от тривиального,
мы будем называть нетривиальными.
Если фДг), .... фт(г)— интегралы уравнения (1) в ® и если
S2 («ь .... дга) — функция, определенная на области значений функ-
ций ф¥ и имеющая непрерывные частные производные первого по-
рядка, то, как легко установить, сложная функция
X(Н == й(Ф1 (г), • • Фт(Н)
также является интегралом уравнения (1).
3.2. Характеристики и интегральные поверхности.
(а) X арактеристическими уравнениями {характеристической
системой), соответствующей дифференциальному уравнению (1), на-
зывают систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
= v=l......п. (2)
Каждая интегральная кривая
*1 = Ф1 (7)...хп = <р„ (/) (3)
этой системы или также соответствующая ей кривая
*1 = Ф1 (/), .. ., хп = ф„ (0. z = с (4)
(с — произвольная постоянная) называется характеристикой ) диф-
ференциального уравнения (1).
(б) Между интегралами дифференциального уравнения (1)—с одной
стороны, и характеристиками — с другой, существует следующая
важная связь:
Функция ф(г), имеющая непрерывные частные производные пер-
вого порядка в ®, тогда и только тогда является интегралом диф-
ференциального уравнения (1), когда она вдоль каждой характери-
стической кривой (3) постоянна, т. е. когда ф (Ф1 (/), ..., ф„ (/)) =
= const для любой кривой (3).
') В отличие от (4), интегральные кривые (3) мы будем называть также
характеристическими кривыми.
3 Э. Камке
34 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [3.3
(в) Если две интегральные поверхности ^(г) и ф2 (г) уравне-
ния (1) имеют хотя бы одну общую точку (r0, z — c), то они также
имеют общей и всю характеристику, проходящую через эту точку.
3.3. Решение уравнения посредством комбинирования харак-
теристических уравнений. С помощью 3.2 (б) удается в ряде слу-
чаев отыскивать решение конкретного дифференциального уравнения
типа (1). Этот метод мы продемонстрируем на двух примерах.
, . dw . dw . . „ . dw „
(а) х Р у —s к (Х2 -к у2) = 0.
’ дх т (/у 1 ' дг
Искомая функция здесь w = w (х, у, г). Характеристические уравнения
имеют вид
х' (/) = х, у’ (/) = у, г' (() = х2 4 у2.
Из первых двух характеристических уравнений следует, что
ух —ху =0, или — = const,
у
вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому функция ф] = — —
интеграл в каждой из полуплоскостей у > 0 и у < 0. Из всех трех харак-
теристических уравнений, далее, получаем:
2хх' -f- 2уу' — 2г7 = 0, или х2 У2 — 2г = const,
вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому функция ф2 = х2 4-У2—
— 2г — также интеграл. Таким образом, функции ф] и ф2 образуют инте-
гральный базис (см. п. 3.4)
,,, dw dw , , . йг» .
(б) хг ------уг к (у2 — х) т— = 0.
' ’ дх J ду 1 ' дг
Первые два из характеристических уравнений
х' (/) = хг, у' (О = — уг, г' (t) = у2 — х
дают нам соотношение
ух' ху' = 0, или ху = const,
вдоль каждой характеристической кривой; все три уравнения дают другое
соотношение:
х' -|- у у' -к ?г' = 0, или 2х у2 -|- х2 = const,
вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому ф, = ху и ф2 = 2х 4-
4- у2 4"г2 — интегралы данного дифференциального уравнения, образующие
базис (см. п. 3.4).
Как показывают приведенные примеры, иногда можно, удачно
комбинируя характеристические уравнения, получить интегрируемую
комбинацию, первообразная которой не зависит от параметра t.
3.4. Фундаментальная система интегралов; задача Коши.
(а) Система п— 1 интегралов
Ф1(о......Фл-iU-) (5)
ЗЛ1 § з. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 35
дифференциального уравнения (1) в области ® называется фунда-
ментальной системой интегралов {интегральным базисом), если
функциональная матрица (см. п. 2.7(b))
в каждой подобласти области ® имеет ранг п.— 1, т. е. если там
по крайней мере один определитель (и — 1)-порядка хотя бы в одной
точке отличен от нуля.
В силу п. 2.7 (в) в каждой подобласти области ® функции
фр .... Фп-1 между собой функционально независимы. Обратно, из
п. 2.7 (г) следует, что п—1 дважды непрерывно дифференцируемых
интегралов, независимых в каждой подобласти, образуют в области ®
интегральный базис.
Если функции (5) образуют в области ® интегральный базис
дифференциального уравнения (1), то множество всех интегралов
уравнения (1) в этой области состоит из всех тех непрерывно диф-
ференцируемых в ® функций, которые функционально зависимы
с функциями (5).
Относительно выражения любого интеграла через интегральный
базис в некотором характеристическом поле см. п. 3.6(6).
Если (5) — фундаментальная система интегралов уравнения (1),
для которой функциональная матрица (5а) в к а ж д о й точке области ®
имеет ранг п.— 1, и если ф^, дважды непрерывно дифференцируемы,
то
л-1
^=2 Mv+««
v-1
— полный интеграл в смысле п. 12.1.
(б) Если требуется найти интеграл уравнения (1), обращающийся
при Xj = £ в некоторую данную функцию о (х2, .... х„) (задача
Коши) при условии, что известен интегральный базис (5) этого урав-
нения, то разыскивают непрерывно дифференцируемую функцию
2 («! ил-1) такую, чтобы
Й(Ф1, ..., ф„_1) = (0(Х2, ..., х„) для x, = g.
Тогда (см. п. 3.1)
ф(г) = й(Ф1(г)....Ф„-1(Г))
есть интеграл требуемого вида (ср. с п. 2.5(г)). Этот метод может
быть также использован для удовлетворения более общих начальных
условий.
Если в примере 3.3 (б) требуется найти интеграл w (х, у, z), прини-
мающий значение
w (х, у, z) = y2— z2 при х=-у,
3*
36 гл; I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [3.5
то определяют функцию £2 (и, v) так, чтобы
£2 (фь ф2) = у2— z2 при х = у,
т. е.
£2 (u, v) = у2 — z2 для и = у2, v = 2у -(- у2 -|- (*)
Если разрешить последние два уравнения (*) относительно у и г и подста-
вить результат в первое уравнение (*), то получится выражение для функ-
ции £2:
£2 (и, и) = 2 (и ± УН) — V.
Итак, искомый интеграл для ху > 0 имеет вид
w (х, у, г) = £2 (ф,, ф2) = 2 (ху ± Vху) — 2х — у2 — z2;
знаки или — требуется брать в зависимости от того, положителен или от-
рицателен у.
3.5. Редукция уравнения в случае, если известны частные
интегралы. Если уже найдены некоторые частные интегралы диф-
ференциального уравнения (1), то его можно свести к уравнению
с меньшим числом независимых переменных.
(а) Пусть в области ® известно k < п — 1 интегралов уравне-
ния (1):
'I’iW.....ШИ. (6)
и пусть в этой области функциональный определитель
^Фь.-'-Ф^^о. (6а)
d(xit ..., xk)^
Преобразованием независимых переменных
У1 = ф!(Х1......х„), .... уй = фй(хк ..., х„), (7)
Ул+1 = xk+l......уп — хп
область ® отображается взаимно однозначно *) на область ® (уъ ...
..., у„). При этом функции /й+1........которые зависели от xv,
перейдут в функции Д+1........fп, зависящие от yv.
После замены получается уравнение
п
S АО...........>">57 = ° <8>
относительно функции £, причем здесь уй+1........уп— независимые
переменные, a ........yk — параметры. Если
^+1(У1. Уп)...........Ч>п-1(У1.....Уп) (9)
*) Взаимная однозначность вытекает из условия (6а).
3.5]
§ 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ
37
— интегралы уравнения (8) в ®, которые по всем своим аргументам
имеют непрерывные частные производные и для которых в этой
области якобиан
с> (ipft+i, .... $„_,)
д(Ул+1...........Ул-1) '
то функции фд,+1.....Фп-н получающиеся из функций (9) преоб-
разованием, обратным к (7), вместе с функциями (6) образуют в ®
интегральный базис уравнения (1); другими словами, во всех точках
области ® якобиан
д(Ф1, ••• Фп-i) , п
d{xi...xn_i)^
По поводу редукции
п &W I
(б) Пример. —;--
' ' 1 ох 1 ду
Второе и третье уравнения характеристической системы
xz = l, у’— хг, г' = — ху
дают нам соотношение у у' -|- г г' = 0, которое показывает, что у 2 г2 — const
вдоль каждой характеристической кривой. Таким образом, в силу п. 3.2 (б)
•ф1 — у2 -ф г2 — интеграл.
Сделаем, далее, замену переменных (см. (7)):
х=х, у = у24~г2, г = г;
при этом преобразовании полупространство у > 0 взаимно однозначно ото-
бражается на внутренность параболического цилиндра у > г2, причем там
-dfy ф 0. Поэтому можно применить изложенный в (а) метод.
Уравнение (8) в данном случае принимает вид
дна — у Г----------------------= dw .
—— х у у — г2 —— — 0;
дх дг
при помощи мультипликаторов смотри п. 3.8.
dw dw
хг -----ху = 0.
J дг
(*)
его характеристическое уравнение (см. п. 2.6)
= — х W— г2
дх
(У — параметр) немедленно интегрируется разделением переменных. Решая
его. находим интеграл уравнения (*):
Arcsin —т=+ -q х2.
У у 2
В силу п. 3.1, синус этой функции — снова интеграл, т. е.
т г х2 . - f ' г2 х2
Vy 2 И У 2
есть решение уравнения (*).
38
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
13.6
Возвращаясь к переменным х, у, z, получаем интеграл для первоначаль-
ного дифференциального уравнения
ф = — 1 (у sin — -|- z cos —'j.
/у2 + ^ V 2 }
Согласно п. 3.1, любая непрерывно дифференцируемая функция интегралов
фиф! — снова интеграл; в частности,
__ х2 х2
ф2 = фУ ф1 = у sin -g--|-^cos-j-
— также интеграл исходного дифференциального уравнения.
Функции фн ф2, как легко можно показать, образуют во всем прост-
ранстве интегральный базис данного дифференциального уравнения.
(в) Для практического вычисления удобнее другая форма редук-
ционного метода. Мы рассмотрим ее использование на том же
примере, что и в (б).
Из характеристических уравнений было найдено, что у2 -J- г2 = с2 для
каждой характеристической кривой, т. е.
V«i — -г2.
Далее, из первого характеристического уравнения можно получить t = х.
Используя это, перепишем третье характеристическое уравнение н форме
уравнения с разделяющимися переменными:
следовательно,
вдоль каждой характеристической кривой, т. е. функция
2 Х^
Ф* У, г) — Arcsin , - - -4-
Уу® + *2 2
постоянна вдоль каждой характеристической кривой. Поэтому ф* — интеграл
данного дифференциального уравнения. Вместе с ф* интегралом является и
функция
1 / х2 х2 \
ф = sin ф* = I у sin--1- z cos — I,
/у2 Z2 2 2/
найденная раньше в (б).
п
3.6. Частный случай: y)qv = O. Если некоторый
V = 1
коэффициент уравнения (1) во всей рассматриваемой области не об-
ращается в нуль, то после деления всех членов уравнения на этот
коэффициент и несущественных преобразований можно привести
дифференциальное уравнение (1) к виду
л
д+2/vU. j>)<7v=o; 0°)
v-1
3.6] § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 39
здесь z — z (х, у) — искомая функция, р = , q = , а у
ох *У -у
означает вектор с компонентами уг, .... уп. Соответствующая урав-
нению (10) характеристическая система выглядит так:
y'v(x) = fv(x, у) (v=l................п). (11)
В этом пункте от коэффициентов fv(x, у) мы будем требовать,
чтобы они имели непрерывные частные производные по уц, р,—1 и,
в области ®(х, у).
(а) Основная теорема существования. При названных
предположениях характеристические функции <pv(x, £, 1],.....т]п)
системы (11) имеют1) в своей области существования непрерывные
частные производные первого порядка по всем п -|- 2 аргументам и,
согласно Линделёфу, удовлетворяют уравнению
д£ + А & ’ll................Tl„) — 0,
V=1
причем
д (<Pi........Фп) > о
При фиксированном х0 эти характеристические функции
У1.........................Уп) = <М*о. х, ур .... у„) (12)
(/г = 1.....п)
образуют интегральный базис дифференциального уравнения (10)
в каждой области, в которой эти функции существуют2).
Если I — открытый связный кусок плоскости х = х0, целиком
лежащий в ®, то область существования G (I) функций (12) (являю-
щаяся подобластью области ®), которая образована проходящими
через I интегральными кривыми системы (11), называется характе-
ристическим полем уравнения (10).
(б) 3 адача Коши. В задаче Коши требуется найти интеграл
2 = ф(х, у), принимающий на плоскости3) х~х0 заданное значе-
ние со (у), т. е. ф(х0, у) = <о(у).
Если характеристические функции (12) удовлетворяют в об-
ласти G (/) неравенствам Av < <pv < Bv и если функция <о (у) непре-
рывно дифференцируема для Av < yv < Bv (v—1.........n), то в об-
ласти G (I) существует единственное решение задачи Коши, а именно:
Ф(х, у) = <о(ф1(хо, X, у)........ф„(хо, X, у)). (13)
*) [См. Камке, стр. 59. —Прим, ред.]
2) Более общую теорему существования, когда коэффициенты уравне-
ния зависят еще и от параметра, см. в п. 4.3.
3) [Автор называет эту плоскость Normalebene. — Прим, ред.]
40 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [3.6
Легко установить аналитически, что правая часть равенства (13)
непрерывно дифференцируема по х и по yv и <pv(x0, х0, y) = yv,
а потому правая часть этого равенства х=х0 принимает значение о (у).
Геометрически интегральную поверхность можно построить так: про-
водят через каждую точку начальной поверхности
Оо- ....Л„. £ = ....1%))
характеристики
xo> ’ll...П») .....п,
/ \ (14)
* = .....Пл)
и исключают t]v. Для этого из первых п. уравнений (14), определяю-
щих характеристические кривые, находят
ilv = <lvOo- х> Ур • • •• Ул).
что после подстановки в последнее уравнение (14) как раз и дает
соотношение (13).
Пусть ® — полоса!)
а < х < Ь, —сю < ур .... у„<4-оо,
и пусть все функции f или 4^- ограничены в ®. Тогда если I
является плоскостью х = х0, а <. х0 < Ь, то G (/) совпадает с
В этом случае можно задать значение интеграла на произвольной
плоскости х = х0, а < х0 < Ь, и он будет однозначно определен
во всей полосе ®.
(в) О существовании нетривиального интеграла
в произвольной области. Для дифференциального уравне-
ния (10) во всей области ® может не существовать нетривиального
интеграла. С другой стороны, имеет место следующая теорема суще-
ствования 2):
Пусть функции /v(x, у) (у— 1, .... п) ограничены в ®(х, у)
и, кроме того, имеют там непрерывные частные производные по уц.
Пусть а — нижняя, Ь — верхняя грани (случаи а = — оо, оо
допускаются) абсцисс х точек (х, у)£®. Тогда в каждой подоб-
ласти g области ®, принадлежащей открытой полосе
а < х < Ь, —ею<у!........yn<-f-oo,
существует для уравнения (10) интегральный базис 1]\,(х,у) (v—1,...,«).
для которого во всей области ® функциональный определитель
д(Ф1. •••, Фл) > о
<> (У1.У„)
') Случаи а — — со, b = + со допускаются.
2) См.- Камке, Jahresbericht, DMV, 44 (1934), стр. 156—161.
3.7] § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 41
3.7. Решение задачи Коши.
(а) Для дифференциального уравнения (1) в общем случае нет
теоремы существования, аналогичной теореме п. 2.8 (в).
Пример. Рассмотрим уравнение (см. ч. II, 3.45)
[(** 2 + У2-1)* + у1^+[(*2 + У2-1)у-*]^ + 2г-^ = 0.
В односвязной области получающейся из х, у, г-пространства исключе-
нием точек оси г, коэффициенты дифференцируемы сколько угодно
раз и нигде одновременно не обращаются в нуль. Но каждая область, со-
держащая характеристику Jt2 —|— у2 = 1, г — 0, имеет подобласть, в которой
любой интеграл заданного дифференциального уравнения является константой.
(б) Обобщенная задача Коши (задача с начальными данными)
состоит в следующем: требуется найти интеграл уравнения (1), ко-
торый принимает заданное значение
z = u(tx....tn_r) (15)
в области g(r), заданной параметрически
•Vv = «v(^i...^„-1), V=l. • п.
Задача разрешима при следующих предположениях1). Рассмотрим
коэффициенты fv(r) в области ®(г), и пусть функции uv и и не-
прерывно дифференцируемы в области H(tv . .Точки
области g должны принадлежать ®, а в области Н определитель
/1(“1 «„) /„(«Р »• •• «„)
dut дип
dtt ’ ’ ’ ' ' dtt ¥=0. (16)
dut ди„
^П~1 ^n—1
Через точки области g проводят характеристические кривые2)
xv = <Pv(t. т, wj.....и„), v=l, .... п, (17)
которые определяют характеристическое поле 0(H) в области ®.
Уравнения (17) и (15) дают (в параметрической форме) искомый
интеграл в каждой такой части G (Н), которая содержит область ®
') См. Курант, стр. 78—83. Там же исследуется случай, когда опре-
делитель (16) обращается в нуль.
2) Поскольку правые части характеристической системы (2) не зависят
от t, получаем следующее выражение для интегральной кривой этой системы,
проходящей при t = r через точку (|п g„):
4>v (f, т. £i. • In) = <PV (* — T- °. £i. • • •, In), v = 1.n
(см. Камке, стр. 59 и 67). В дальнейшем аргумент 0 мы отбрасываем и
принимаем т = 0.
42 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (3.8
и в которой разрешение уравнений (17) дает t, tx......tn_x как
непрерывно дифференцируемые функции от х{......х„. В силу (16),
это заведомо возможно в достаточно малой окрестности области ®.
3.8. Множители Якоби. Хотя обычно теория множителей Якоби1)
рассматривается для дифференциального уравнения (1), тем не менее
предполагается, что один из коэффициентов этого уравнения не обра-
щается в нуль. Поэтому с самого начала мы будем записывать рас-
сматриваемое уравнение в форме (10).
Непрерывная и не обращающаяся в нуль в некоторой области ® (х, у)
функция М — М (х, у) называется множителем Якоби дифферен-
циального уравнения (10), если существуют непрерывно дифферен-
цируемые функции Ф1(х, у)......фя(х, У) такие, что для любой
непрерывно дифференцируемой функции z (х, у) справедливо равенство
МI — 4- У f (х v) — I = д{2’ (18)
| dx • У) Оуv J д(х, у!.....у„) " ' f
Легко убедиться, что
а функции образуют интегральный базис уравнения (10). Обратно,
якобиан (19) для каждого интегрального базиса ф,, ..., фя является
множителем Якоби уравнения (10), т. е. верно тождество (18).
Вне зависимости от знания интегрального базиса можно сформу-
лировать следующие предложения о множителе Якоби дифферен-
циального уравнения (10).
Если коэффициенты fv (х, у) в области ® (х, у) непрерывно диф-
ференцируемы по уц, то условие
4^ + У =0 (20)
дх 1 dyv ' 7
является необходимым для того, чтобы непрерывно дифференцируе-
мая в ® функция М (х, у) была там множителем Якоби уравнения (10).
Обратно, если коэффициенты /v во всем х, j-пространстве огра-
ничены, непрерывны и по уц дважды непрерывно дифференцируемы,
то любая, всюду непрерывно дифференцируемая функция М(х, j)=#0.
*) См., например, Serret-Scheffers, Lehrbuch der Differential- und
Integralrechnung, Bd. Ill, Leipzig und Berlin, 1924, а также E. Камке,
Journal fiir Math. 161 (1929), стр. 195—197. Поскольку множители (мульти-
пликаторы) Якоби не имеют большого значения для фактического решения
дифференциального уравнения (1), мы ограничимся здесь лишь несколькими
замечаниями.
3.9] § 3. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ 43
удовлетворяющая соотношению (20), является множителем Якоби
уравнения (10). В частности, если коэффициенты f непрерывно
дифференцируемы в области ® по уц и если в некотором характе-
ристическом поле 0(1) уравнения (10) выполняется равенство
У^=о.
ау,
V=I
то уравнение (10) имеет в 0(1) множитель Якоби М=1.
Знание множителей Якоби может быть использовано для нахо-
ждения последнего недостающего интеграла в интегральном базисе.
Действительно, пусть1) для уравнения (10) известен п—1 интеграл
’1’1 (*. J).Фи-! (*. J). у”~‘) 0 и множитель Якоби
М(х,у). Введем новые переменные (ср. с п. 3.5(a)):
z(x, у) — z(x, у), х = х,
уг = ^(х,у)......Уп-1 = Фп-1(х, у), у„ = уп;
тогда дифференциальное уравнение (10) примет специальный вид
йг . — - дг п
-= + £(*. У) Д=-=0.
дх ду„
Соответствующее характеристическое уравнение
У'п (х) = S' (х, у)
(У1.....y„_t — параметры) имеет интегрирующий множитель 2)
Л4: --‘’-у” —у-. Таким образом, после введения новых переменных yv
уравнение (10) может быть решено квадратурами.
3.9. Методы решения. Имеются следующие методы решения
уравнения (1):
(а) Изучение .интегральных поверхностей посредством характе-
ристик (см. п. 2.4).
(б) Получение отдельных интегралов или интегрального базиса
посредством комбинирования характеристических уравнений (см. п. 3.3).
Если найден один или более независимых интегралов, то, в силу
п. 3.5 (а), дифференциальное уравнение можно редуцировать к урав-
нению с. меньшим числом независимых переменных. Иногда для
получения полного интегрального базиса удается воспользоваться
') Точные предположения здесь не формулируются.
2) См. Камке, стр. 52.
44
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(4.1
множителями Якоби (см. п. 3.8). Из интегрального базиса можно,
согласно п. 3.4(a), получить все интегралы.
(в) Если требуется определить интеграл с данным начальным
значением (задача Коши), то можно, если уже известен интегральный
базис (или таковой может быть легко найден), поступать по при-
меру п. 3.4(6). Можно воспользоваться также методом пп. 3.6 и 3.7
(примеры см. в пп. 2.6(6), 2.6(b), 2.8 (г)).
(г) Использование разложений в ряды (см. п. 2.9).
(д) Если ни один из указанных методов не ведет к цели, в силу
непреодолимых аналитических трудностей, то можно характеристиче-
ские уравнения (2) или (11) решать приближенными методами, а затем,
используя начальные условия, получить приближенное численное
решение данного уравнения с частными производными.
§ 4. Общее линейное уравнение: S/v(r)Pv+/o(r)£=/(f)
V = 1
4.1. Определения. Общее {неоднородное) линейное1) диффе-
ренциальное уравнение в частных производных первого порядка
для одной неизвестной функции z — z (х{.....х„) от и незави-
симых переменных имеет вид (см. п. 1.1)
п
............+ .....X„)Z = f{Xi......хп) (1)
v=l
л дг
или, используя сокращенные обозначения Pv~~^— и г вместо
*1.....хп,
п
]£fv(r)pv+f0(r)z==f(r). (la)
V-1
Мы будем называть линейное уравнение укороченным ^), если
f(r) = 0. Это уравнение будет называться однородным, если, кроме
того, /о(г) = О (см. пп. 1.1 и 3.1).
Очевидно, верны следующие предложения: если ф] (г), ф2 (г) —
любые два решения уравнения (1), то z — ty^—ф2— решение соот-
ветствующего укороченного уравнения; если ф0—какое-либо реше-
ние уравнения (1) и если ф пробегает все решения соответствующего
укороченного уравнения, то г==ф0-|-ф пробегает все решения урав-
нения (1).
') [Иногда, впрочем, линейным неоднородным уравнением называют
уравнение типа § 5 (1); см., например, Степанов. — Прим. ред.\
2) Иногда под укороченным уравнением понимают однородное уравне-
ние в более узком смысле.
4.21 § 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 45
4.2. Сведение общего линейного уравнения к однородному.
(а) Сведение к (п-$- 1)-ч л е и и ° м у однородному урав-
нению. Поскольку уравнение (1) является частным случаем квази-
линейного дифференциального уравнения § 5 (1), оно, согласно п. 5.4,
приводится к («+1)-членному линейному однородному уравнению
S А (r)+ If (г) -fo(r)Z]^^O.
ЛШШЛ I/Лу
V=1
Характеристические уравнения
Г <(0 = /v. v=l............................п,
I z'(t) = f — zf0
этого последнего называют также характеристическими уравне-
ниями уравнения (1). Если первые п этих характеристических урав-
нений разрешены, то решения последнего уравнения находятся квад-
ратурами.
(б) Сведение к я-членному однородному уравне-
нию. Это и-членноё линейное однородное уравнение имеет вид
п
'Zf^p^Q. (2)
v=l
В соответствии с § 3 для уравнения (2) в области ® (г) может быть
получен интегральный базис ф,(г). .... фп-1(г)- Поскольку в об-
ласти ®(г)
д('Ф1, ф„_,) 0
d(xlt .... хп_х) ’
то после преобразования (ср. с п. 3.5(a))
У1='Ф1(>-)....У„-1 = Ф„-1(г). = (3)
область ® (г) взаимно однозначно отобразится на область ® (у),
а интегралы уравнения (1) будут непрерывно дифференцируемыми
по всем yv функциями z(r) = £(y), удовлетворяющими дифферен-
циальному уравнению
ёп (У) + So (У) С = ё (J): (4)
здесь gn, g0, g — функции, полученные преобразованием (3) из /п,
/0, /• Уравнение (4) — обыкновенное линейное неоднородное диф-
ференциальное уравнение первого порядка с независимой перемен-
ной уп и параметрами ур ..., уя-1; оно может быть проинтегри-
ровано в квадратурах.
46
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[4.3
Таким образом, в переменных (3) левая часть уравнения (1)
имеет вид
п л-1 л
2 A (f) Pv + /о (Г) Z = 2 2 А Йг + g^yn + £&>•
v=l А=1 v=l V "
причем внутренняя сумма справа после определения фй имеет значе-
ние нуль.
Отметим, что оба метода (а) и (б) сводятся один к другому.
4.3. Теорема существования и единственности. Такая теорема
верна в целом в некоторой определенной области лишь в случае,
когда один из коэффициентов fv не обращается в нуль *). Тогда
можно, разделив все члены уравнения на этот коэффициент, полу-
чить уравнение, имеющее один коэффициент, равный единице. Счи-
тая, что коэффициенты зависят еще и от параметра (такие уравнения
иногда встречаются; см. п. 6.4), можно записать исходное уравнение
в виде
п
£'+2A(ji:’ У> Х)^ + А(*. J. l)z = f(x, у, X), (5)
v=l V
здесь у означает набор у,, .... у„, а X — набор Xt.Xm.
Предположение. В области
—оо<У1......У„<+оо, ЛИ<ХМ<:Л*3)
функции fv 1) при каждом фиксированном X ограничены, а все
fv и f непрерывны. Далее, частные производные
z а . х df df
(v=0, 1.......п) и существуют, непрерывны
dfv dfv
«Ь’н ’ дХк
и k—1 раз
(/г^>1) непрерывно дифференцируемы по всем своим
аргументам. Наконец, рассмотрим в области
— оо<У1......у„<-|-оо, ЛцСХцСЛ*
k раз непрерывно дифференцируемую по всем т-\-п аргументам
функцию ю (у, X).
) См., однако, п. 5.6 (б) для п — 2.
2) В этом неравенстве один или оба знака равенства могут быть опу-
щены; случаи а — — оо, 6 = -j- оо не исключаются.
3) Это предположение можно заменить следующим: при каждом фикси-
рованном значении Л частные производные (v 1) ограничены.
'к
4.4|
§ 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
47
Утверждение. Для любых Е,, X из интервалов
я Ь, Ац Ajt 1)
уравнение (5) имеет в области
а-^х ^1>, —оо < ур уя<-|-оо
единственный интеграл
£ = ф(х, у; X)
с начальным значением
№ У I. Х) = и(у X).
Этот интеграл k раз непрерывно дифференцируем по всем т 4- п -ф- 2
аргументам.
Если
yv = <Pv(x. I, т)1..Др X), v=l...........п,
— характеристические функции * 2) системы
у С <х) = А *)• v =1.......«• (6)
и,
то параметрическое представление интеграла таково:
yv = <PvO- Д...........Др *). v=l
z = e~Fa
® (Д.
,., фп, X) eF dx ,
5
где
Fо — А (•'-> ?> г11> •
<р„, \)dx —
известная функция 3).
£
4.4. Неравенство Хаара. Пусть в области G, определяемой не-
равенствами 4 *)
£<х<с; av4- А(х — s)<yv<Pv — А(х — I), v=l...........п,
Pv — av> 2А(с — у.
*) См. подстр. прим. 2) на стр. 46.
2) То есть интегральные кривые системы (6), проходящие через точку
(L ill....Чп)-
3) См. Е. К a m k е, Math. Zeitschrift 49 (1943), стр. 275.
*) [Эта область напоминает усеченную пирамиду, и автор называет ее
Pyramidenbereich. — Прим. ред.\
48
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[4.5
задана непрерывно дифференцируемая функция z (х, у), удовлетво-
ряющая неравенствам
Ш<ЛЁШ + В|г| + С' Л>°'В>0- С>0;
~ И Cv) < z (|, у)< <0 (у),
причем функция <о (у) непрерывно дифференцируема при av<Iyv^Pv.
у = 1, ..., п, и такова, что
<о., >> О, v=l, .... п.
Тогда в области G имеет место неравенство Хаара *)
| z (х, у)| {ев^х-^ —
где yv=yv+^(x —|), v=l,
4.5. Дополнения для случая п = 2.
(а) Рассмотрим в прямоугольнике ABCD (рис. 12) со сторонами,
параллельными осям, непрерывно дифференцируемые функции f (х, у),
g {х, у), h (х, у), причем />0 (/<0).
Пусть, далее, L — непрерывно диф-
ференцируемая кривая с отрицатель-
ЧУ
Рис. 12.
Рис. 13.
ной (положительной) производной, соединяющая точки В и D (А
и С), и пусть на этой кривой задана непрерывно дифференцируемая
функция со(х). Тогда дифференциальное уравнение
P + f(x, y)g = g(x, y)z-\-h(x, у)
имеет в прямоугольнике ABCD единственное решение, принимающее
на L значение <о * 2).
(б) Пусть в трапеции 0<^x<io, | у | -|- Ах b (рис. 13) функ-
ции /(х, у), g(x, у), fy, gy непрерывны и таковы, что
l/КА 1Л1СВ, (fe, />0).
*) См. A. Haar, Acta Szeged 4 (1928), стр. 1Q.3, Atti Congresso Intern.;
Bologna, 1928, III, стр. 5—10; N a g u m о, Journal of Math. 15 (1938), стр. 51—56;
I. Szarski, Annales Soc. Polon 21 (1948), стр. 7—25, а также n. 12.11
э той книги.
2) См. A. Colucci, Atti Torino 64 (1928—29), стр. 219—234.
5.11 § Б. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 49
Тогда *) уравнение
P = f(x, y)q-+-g(x, у)
имеет в этой трапеции единственный интеграл, обращающийся в нуль
при х = 0; для этого интеграла справедлива оценка:
Cxk+1 , . DeaBxl+l
(A-f-1)! ’ (Z-f-1)! •
(в) Рассматривается * 2) уравнение
f(x, y)p-\-g(x, y)q=[ph(x, y)4-fe(x, у, p)] z.
Функции f и g в некоторой окрестности точки х = а, у = Ь пред-
полагаются регулярными аналитическими. Кроме того, предположим,
что функция k(x, у, р) разлагается в асимптотический ряд
СО
2 Yv(x- Y)P'V
v— 0
с коэффициентами yv(x, у), которые в той же окрестности являются
регулярными аналитическими. Если положить
z — и (х, у, р) е<1; Я р,
то из данного уравнения следует:
«Р (/Фл- + £фу — h) + fux 4- guy — ku = 0.
Если выбрать в качестве <р решение линейного дифференциального
уравнения
/Фх + ^Фу^Л.
то мы придем к уравнению
fux + guy = ku,
для решений которого можно получить асимптотическое представление.
п
§ 5. Квазилинейное уравнение: S/V(r» z)py — S(r, г) 3)
V- 1
5.1. Геометрическая интерпретация. Квазилинейное 4) диф-
ференциальное уравнение в частных производных первого
*) См. О. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928), стр. 554.
2) См. W. Sternberg, Sitzungsberichte Heidelberg, 1920, стр. 11.
3) Изложение следует книге Kamke, DOlen, стр. 330—341. [См. также
литературу, указанную перед § 1. — Прим, ред.]
4) [Иногда, впрочем, уравнение типа (1) называют почти линейным
(если функции fv не зависят от z) или даже просто линейным неоднород-
ным', см., например. Петровский и Степанов. Термин «квазилиней-
ное уравнение» часто используется для обозначения более широкого класса
уравнений. — Прим, ред.]
4 Э. Камке
50
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(5.2
порядка для одной неизвестной функции z — z (xlt ..., хп) п не-
зависимых переменных имеет вид (см. п. 1.1)
л
X ............Хп' dxv :
v= 1
, dz
или, используя обозначения pv = -^—
= g(*l.....х„. z) (1)
и г вместо вектора с компо-
нентами хг
Z)pv = g(r, z).
v= I
(la)
Очевидно, оно линейно относительно производных искомой функции,
в то время как сама эта функция может входить нелинейным образом.
Дифференциальное уравнение (1) будет всегда рассматриваться
лишь в такой области ®п + 1(г, z) («+ 1)-мерного г, z-пространства,
в которой коэффициенты fv и g непрерывны.
Достаточно наглядная геометрическая интерпретация возможна
лишь для п — 2. Если в этом случае записать дифференциальное
уравнение типа (1) в виде
/(*. У. z)^ + g(x, у, z)^ = h(x, у, г). |/|4-|g|>0,
то каждой точке (х0, у0, z0) пространства будет, в силу этого ура-
внения, соответствовать плоскостной элемент х0, у0, z0, р, q, на-
правляющие коэффициенты р, q которого удовлетворяют уравнению
f(x0. у0. za~)р + g(х0, у0, z0)q = h(xG, у0, z0).
Эго уравнение определяет множество плоскостей, проходящих через
прямую
x — x0 — f(x0, у0, zjt, y—y0==g(x0, у0, z0)t,
z — z0 = h(x0, у0, z0)t
(t — параметр), за исключением плоскости, ортогональной к плоско-
сти х, у. В силу дифференциального уравнения, таким образом,
каждой точке (х0, у0, z0) будет соответствовать, как и в п. 2.1,
пучок плоскостей, но общая прямая этих плоскостей теперь уже,
вообще говоря, не параллельна плоскости х, у (в отличие от
п. 2.1).
5.2. Характеристики и интегральные поверхности.
(а) Под характеристическими уравнениями квазилинейного
уравнения (1) понимают систему п -ф-1 обыкновенных дифференци-
альных уравнений
<Ю = Д,(г. ^), v=l, .... п, 1
z' (t) = g(r. z). /
5.3]
§ 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
51
(Следует заметить, что в последнем уравнении стоит g, а не —g.)
Каждое решение этой системы
Х1 = ф1(/)....х„ = ф„(/), г = ф(/) (3)
называется характеристикой дифференциального уравнения (1).
Кривая в r-пространстве, определенная первыми п уравнениями (3),
называется характеристической кривой.
(б) Между интегралами и характеристиками уравнения (1) суще-
ствует следующая связь (ср. с п. 3.2). Рассмотрим в ®„(г) непре-
рывнодифференцируемую функцию х(Г) и точку г, z = y(r), при-
надлежащую ®„+1. Если через любую точку (g1F ..., g„, О поверхности
z — х (г) проходит по крайней мере некоторый кусок Характеристики,
целиком принадлежащий поверхности, если
<р(О = х(Ф1(0. • • •• <1«(0)
для некоторого куска характеристики (3), проходящего через (g,. ...
•••• 0. то функция г —х(И в ®„ есть интеграл уравнения (1).
5.3. Решение уравнения посредством характеристик. Согласно
п. 5.2 (б), интегралы уравнения (1) являются непрерывно дифферен-
цируемыми поверхностями, которые можно построить из характе-
ристик. Если характеристики некоторого уравнения хорошо обозримы,
то можно на основании этого попытаться уже составить представле-
ние об интегральных поверхностях.
Проиллюстрируем это несколькими
примерами.
. . дг , дг
(а) й1Г + 6йУ = с-
где | а | +1 b | > 0.
Характеристические уравнения
х' (t) = а, у' (/) = Ь. г’ (О = с
показывают, что характеристиками яв-
ляются линии
х = at, y = t]-|-Sr, •? = £-!-с/
Рис. 14.
(t— параметр), причем £, т], £ могут быть взяты произвольно. Иначе говоря,
характеристики образуют семейство параллельных прямых, которые, в силу
условия | а | + | b | > 0, ие ортогональны плоскости х, у. Следовательно,
интегральными поверхностями являются всевозможные непрерывно диффе-
ренцируемые цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны
таким прямым ) (рис. 14); ср. с п. 2.4 (а).
(6) (лг-а)-^- + (У-0-^- = г-с.
Характеристические уравнения
х' (t) = x — а, у' (/) = у — Ь,
г' (f) — г — с
') [То есть параллельны вектору (а, Ь, с). — Прим, ред.]
4*
52
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[5.3
дают нам следующие характеристики:
х — a — Cie‘, у — b = С2е‘, z — с — С2е1
(где Съ С2, С3 — произвольные постоянные), т. е. характеристиками является
множество лучей, выходящих из точки (а, Ь, с). Поэтому интегральные по-
верхности— всевозможные непрерывно дифференцируемые коноиды с верши-
ной в точке (а, Ь, с) (рис. 15), ср. с п. 2.4 (б).
, . ,, , дг , , дг
(в) (bz — су) —4-(сЛ — az)-^- =
— ay — bx, I я | + | 6 | +1 с | > 0-
Характеристические уравнения
х' (/) — bz — су, у' (t) — сх — az,
z' (/) = ay — bx
показывают, что вдоль каждой характери-
стики
И
ах' 4- by’ -|- сг' = 0, или
ах -|- by -|- cz = const
хх' + У У' + zz' — °. или
х2 4~ у2 4~ г2 = const *)•
принадлежит плоскости ах-]- by
---------2; таким образом, она
Следовательно, квждая характеристика 1.-- - - - -
4- cz — Ci н одновременно шару х2 4* У2 4*
представляет собой круг, лежащий в этой плоскости (который может выро-
ждаться в точку). Интегральные поверхности
представляют собой всевозможные непрерывно
дифференцируемые поверхности вращения (или
части таковых), оси вращения которых проходят
через начало координат и ортогональны плоско-
сти ах 4- by 4- сг = 02) (рис. 16); ср. с п. 2.4 (в).
dz
(г) (bz — су4-Л)-д^-4-
+ (сх —az-]-В)-^= ay — bx 4-С.
Интегральные поверхности — винтовые по-
верхности; это показывается так же, как и в при-
мере (в). Поскольку вычисление проще в векторной записи,
положим
® = (а, Ь, с), V = (А, В, С), г = (х, у, г).
Тогда характеристические уравнения примут вид3)
то мы
(*>
’) Отсюда, в силу п. 5.2 (б), следует, что г —У С2— х2— у2 и, если
, „ С — ах — bv
с и, также z =-------------------интегралы данного уравнения.
2) [Иначе говоря, ось вращения проходит через начало координат па-
раллельно вектору (а, Ь, с). — Прим, ред.]
3) [Запись а X г означает векторное произведение векторов а и г.
Прим, ред.]
5.31
§ 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
53
Будем считать, что особые случаи, рассмотренные в примерах (а) или (в),
не имеют места (этого можно добиться, предполагая, что ® =# 0 и V =# 0).
Надо доказать, что каждая характеристика г = г (t) есть винтовая ли-
ния, ось которой параллельна вектору ® и проходит через конечную точку £2-
исходящего из начала координат вектора ’) ——— (рис. 17). Построим для
произвольной точки Р = Р(г) характеристики вектор
w = QP = г — ~
Ч)* 2
Квадрат расстояния р = р (/) от точки Р до указанной выше оси / равен-
с точностью до постоянного множителя 2)
I яХ Р\2
Р2 = (®Х«’)2=^®Хг — ®Х—) =
=(® X г)2 - 2 (® X г) (® X X -^) =
= (® X г)2 — 2 (® X г) [® (® V) — И®2] 4- const =
=(® X г)2+2 (® X г) И-)-const — (И-[-®ХП2+const.
В силу характеристического уравнения (*), по-
лучаем:
^-(F + 0Xr)2 = 2(V4-0Xr)(®Xr') =
= 2r' (® X /") = 0;
этим непосредственно устанавливается, что величина р2 постоянна вдоль лю-
бой характеристики. Таким образом, все точки характеристики равноуда-
лены от оси /. Далее, имеем:
г'2 = (F-|- ® X г)2 = const
и
•or’ = ® (И-|- X г) — vV — const.
Таким образом, касательная в любой точке кривой г (/) образует с векто-
ром d постоянный угол, т. е. характеристики — винтовые линии с фиксиро-
ванной осью /, параллельной вектору ® и проходящей через точку Q. Сле-
довательно, все интегральные поверхности являются винтовыми поверхно-
стями, которые можно построить из этих винтовых линий.
') [Запись ®2 означает скалярный квадрат вектора ®, т. е. квадрат его-
длины. — Прим, ред.}
2) [Как известно, модуль векторного произведения двух векторов чис-
ленно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются дан-
ные векторы. Следовательно, используя два выражения для квадрата пло-
щади параллелограмма QMNP (рис. 17), мы имеем:
(® X t®)2 = р2®2;
множитель v2 является постоянным (не зависящим от параметра t, т. е. от
выбора точки Р). Используемые ниже свойства векторного и скалярного-
произведений векторов доказываются в любом курсе аналитической геомет-
рии или векторной алгебры (см., например, Н. В. Ефимов, Краткий курс
аналитической геометрии, «Наука», 1965; Я. С. Д у б и о в, Основы вектор-
ного исчисления, ч. I, Гостехиздат, 1950). Запись vV означает скалярное
произведение указанных векторов. Все слагаемые, не зависящие от пара-
метра i, включаются в член const, вид которого не имеет значения и по-
тому не уточняется. — Прим, ред.]
.54 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [5.4
5.4. Сведение квазилинейного уравнения к линейному одно-
родному. Следуя методу п. 12.3 (а), дифференциальное уравнение (1)
может быть сведено к линейному однородному дифференциальному
уравнению ’)
п
, х dw । , ч dw ~
f^r' + (4)
V = 1
-с искомой функцией w — w(r, z). Если w(r. z)— интеграл этого
уравнения, то, разрешая уравнение w = 0 относительно Z, мы полу-
•чим, при необходимых предположениях, решение уравнения (1).
Точнее, верно следующее предложение. Пусть w = ip(r, z) —
интеграл однородного уравнения (4) в ®я+)(г, z). Далее, пусть
Х(г)— функция в ®„(г) со следующими свойствами:
а) она непрерывно дифференцируема в ®„;
Р) точки (г, z — %(r)) принадлежат области ®я+1;
У) Фг (r> X (г)) т= О ни в какой подобласти области ®я;
6) функция ф (г, х (г)) постоянна в области ®я. Тогда х (г) — инте-
грал * 2) квазилинейного уравнения (1) в области ®я.
Характеристическими уравнениями дифференциального уравне-
ния (4) являются, согласно п. 3.2, характеристические уравнения (2)
^квазилинейного уравнения (1).
п , . дг , . „ х дг
Пример, (у + г)2-^ — х(у-\-2г) -^=хг.
Требуется найти интегральную поверхность, проходящую через кри-
вую г = х2, у = 0.
Сначала попытаемся получить интеграл соответствующего линейного
-однородного дифференциального уравнения
, . dw , , _ . dw , dw п
(У+*)2-д£----х(у + 2г) -^- + хг-^^0. (*)
Характеристические уравнения этого.последнего уравнения
*'(0 = (У + *)2. у'У) = -х(У+2г), г’(Г) = хг
щам дают соотношения:
(У + z) z' + (У' + ?/) z~ хх' + уУ-—гг< ~ о»
т. е., в силу п. 3.3, уравнение (*) имеет интегралы
ф1 (-*> У > z) = (У + z) z, Фг (х< У > z) =* х2 + У2 — г’2.
’) Обратим внимание на то, что функция g(r, г) написана в левой
-части уравнения со знаком плюс.
2) По вопросу, можно ли этим методом получить все интегралы урав-
нения (1), варьируя интегралы ф уравнения (4), см. Kamke, DGlen, стр. 333.
5.5| § 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 55,
Более того, они образуют интегральный базис: для произвольной непре-
рывно дифференцируемой функции Q(u, v) выражение
ф (х, у, z) = Q (ф, (х, у, г), ф2 (х, у, г)) (**)
также является интегралом уравнения (*).
Если теперь разрешить уравнение ф = 0 относительно z и его реше-
ние z = % (х, у) удовлетворяет указанным выше предположениям, то % — инте-
грал исходного квазилинейного дифференциального уравнения. Этот интеграл,
должен при у = 0 иметь значение z = х2, причем интеграл z должен удо-
влетворять уравнению Q («, v) = 0. Следовательно, это уравнение, в част-
ности, должно быть справедливо при
и = ф, (х, 0, х2) = х4, v — ф2 (х, 0, х2) = х2 — х4;
нз этих соотношений следует: (и -ф- v)2 = и. Значит, например, для Q («, v) —
= («4-г')2 —и начальные условия выполнены и из (**) получаем:
Я3 = (х2 + у2 + уг)2 — (у -|- г) г.
Разрешая уравнение ф = 0 относительно г, мы получим интеграл исходного»
уравнения.
5.5. Частный случай: р Ц- 2/Дх, у, z')qy = g(x, у, г).
V = 1
(а) Если по крайней мере один из коэффициентов f уравне-
ния (1) во всей рассматриваемой области не обращается в нуль,
то делением на этот коэффициент мы получаем после несложных
вычислений уравнение в виде
п
дг । X? z , , дг
-^-+ЪМХ’У’ z)-=S^ = g(^y> гу, (5>
V=1
здесь у означает вектор с компонентами ур ..., уп и z = z (х, у) —
искомая функция. Характеристическая система для уравнения (5)
записывается так:
y'v{x) = fv(x, у, z), v=l, .... п, )
г f (6>
Z (x) = g(x, у, z) J
(здесь положено t — х).
(б) Имеет место следующая теорема существования для решения,
задачи Коши *)• В области
| х — £ | < а; у. z — произвольные (7)
рассмотрим непрерывно дифференцируемые функции /1Р .... g с
ограниченными частными производными первого порядка по у(1 и z.
Пусть абсолютные величины всех этих производных ограничены в сово-
купности константой А. Далее, пусть со (у)—функция, имеющая по
всем у(1 ограниченные непрерывные производные первого порядка. Пусть.
1) См. Kamke, DGlen, стр. 335—340.
56 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[5.5
.абсолютные величины всех этих производных ограничены в совокуп-
ности константой С. Тогда дифференциальное уравнение (5) в области
| х — £ | < min (а, а), у — произвольное,
где
1 . (, । «4-1 )
(м + 1)Л \ 1 м(С + 1)/
имеет единственный интеграл z = x(x, у) с начальным значением
X (ё- j) = ®(y).
Этот интеграл в параметрической записи выглядит так (Th....t]n —
параметры):
г = ф(х, Ли •••. Л». «Oli........Л»)).
54 = Ч4,(Х. ё. ’ll. Пп. ...........П„)). v=l..........п;
здесь
54 = <МХ. ё. Hi......Пп. £) V=1......«
2 = ф(Х, Т]1...Пп. О
-—интегральная кривая системы (6), проходящая через точку (Е,, т^ ...
• . И„. О-
Если привлечь получающиеся в п. 12.2 для дифференциального
уравнения (5) 2п Ц-1 характеристических уравнений, то нетрудно
показать, что введенное выше
число а можно увеличить, а именно
можно положить ’):
л(с+1) ’ если л=1:
а =_____J____1П
u (п—1)Л п<?4-1 '
если п 2.
Такое число а, вообще говоря,
должно быть введено, хотя ха-
рактеристики, как легко видеть,
в предположениях теоремы суще-
рнс |g ствования имеются во всей обла-
сти |х-—£|<о. В самом деле,
уже в случае п— 1 характеристическая полоса, которая должна лежать
в плоскости х, у, с удалением от точки х = Е, скручивается и пере-
стает лежать в плоскости х, у (рис. 18).
*) См. J. Perausowna, Annales Soc. Polon. 12 (1934), стр. 1—5;
T. Wazewski, Annales Soc. Polon. 12 (1934), стр. 6—15; E. Kamke,
Publications de 1’Institut Math, de 1’Acad. Serbe. 4 (1952), стр. 61—68.
5.6] § 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 57
(в) Если дифференциальное уравнение (5) задано не в специаль-
ной области (7), а в некоторой более общей области ®я+2(х, у, z),
то можно, по образцу п. 3.6 (в), рассмотреть в качестве области
определения коэффициентов область вида (7) или даже все х, у, z-
пространство и, таким образом, с помощью (б) вывести теорему
существования для подобласти области ®я+2 ’)•
(г) Пример.
дг . дг
---г -у— = г-
дх 1 оу
Требуется найти интеграл г (х, у) с начальным значением г (0, у) = <о (у)
при заданной функции <о.
Характеристические уравнения у' (х) = 1, г' (х) = г дают нам следую-
щее выражение для характеристики, проходящей через точку (g, т], £):
У = Ф1 {х, I, т], □ = х — g-ф-т],
г = Ф (х, g, т], О =
Поэтому, в силу начальных условий,
у = х -ф- т], г — ех& О])
— параметрическая запись искомого интеграла. Можно еще исключить
параметр тр выражение
г = ех<а (у — х)
даст искомый интеграл, даже если для функции <о выполнены не все пред-
положения теоремы существования.
5.6. Решение задачи Коши.
(а) Формулировка обобщенной задачи Коши для дифферен-
циального уравнения (1) дословно такая же, как и в п. 3.7 (6}
в области (3 (г), которая задана параметрически
xv = uv(tl, ..., tn_x), v=l........n;
требуется найти интеграл уравнения (1), принимающий заданное
значение
z = u{tl.....tn_J. (8>
Задача разрешима при следующих предположениях 2). Пусть коэф-
фициенты fv (г, z) и g (г, г) определены в области ® (г, z), пусть
функции uv и и в некоторой области Н(tx, .... /п-1) непрерывно
дифференцируемы. Множество точек •§(/", Z), где r£®, a z
’) См. О. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928), стр. 557.
2) См. Курант, стр. 78—83. Там же исследуется случай, когда опре-
делитель (9) обращается в нуль.
-58
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[5.7
определяется по формуле (8), должно принадлежать ®. Наконец,
определитель
fl (Uy . ., zz„, и), .. дил dtt ’ •• /„(«1. •• дип ’ ’ dtt un, и) =7=0 (9)
dui дип
dtn-i' '
;в области /7. Через точки множества $ проводят характеристики
xv = 4v(t, ui< ••• ип< и)> V=1........«• I
1 (10)
г = .....ип, и)-, j
первые п из этих уравнений определяют характеристическое поле G (77).
Уравнения (10) — параметрическая запись искомого интеграла в каждой
такой части О (77), которая содержит область ®, которая обладает
тем свойством, что точка (г, Z)£®, ив которой разрешение пер-
вых п уравнений (10) относительно tx......t доставляет нам
параметры как непрерывно дифференцируемые функции от перемен-
ных хр .... х„. В силу (9), такое разрешение заведомо возможно
в достаточно малой окрестности области ®.
(б) Для дифференциального уравнения
,. ч дг , . . дг h (х, У)
справедливо также следующее предложение ’).
Пусть коэффициенты /, g, h непрерывно дифференцируемы
с области ® (х, у), и пусть |/| + | д| > 0. Далее, пусть функции А (и)
для < и < и2 пробегает все действительные числа и имеет отлич-
ную от нуля непрерывную производную. Тогда указанное дифферен-
циальное уравнение имеет интеграл в любой односвязной подобласти
области ®, которая не имеет в конечной части плоскости х, у общих
граничных точек с ® и в которой функции f и g ограничены.
Для Х(и) = и, 1пи, tgw, ctgtz правая часть данного дифферен-
циального уравнения соответственно равна h, zh, Л cos* 2 г, —Л sin2 г.
5.7. Разложение в ряды. Если допустить комплексные перемен-
ные, то становится справедливой следующая теорема существования 2).
Пусть в дифференциальном уравнении (5) коэффициенты Д(х, у, z)
*) См. Е. Kamke, Math. Zeitschrift 41 (1936), стр. 66; М. СI b г а г i о,
Atti Accad. Lincei (6) 13 (1931), стр. 26—31.
2) [Это — частный случай общей теоремы Ковалевской. См., напри-
мер, Курант, стр. 50; Степанов, стр. 335; И. Г. Петровский,
Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961, стр. 22. —
Лрим. ред.]
6.11 § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 59"
и S (х> У> z) в некоторой окрестности точки (£, т^.....т]я, £)•
являются регулярными функциями переменных х, ух, . . уп, z,
т. е. они разлагаются в этой окрестности в абсолютно сходящиеся!
ряды, которые, естественно, являются степенными рядами от х —
yv—t]v, z—Кроме того, пусть со (у)—данная функция от ур ..., уя,
регулярная в некоторой окрестности точки (т)!...т]я), и пусть
«(’ll. • • •• т|„) = ?-
Тогда дифференциальное уравнение (5) обладает единственным инте-
гралом, являющимся в некоторой достаточно малой окрестности
точки (£, »][, ...» т]я) регулярной функцией от х, ур .... уп, кото-
рая принимает при х = £ значение
у) = ®(у).
Коэффициенты искомого степенного ряда
z = cv, V!.V (х — 5) (У1 — 1] 1)V| • • • (Уп — H„)V«
v- V!.vn
получаются подстановкой этого ряда в дифференциальное уравне-
ние (5) и приравниванием соответствующих степеней с учетом началь-
ных условий.
5.8. Методы решения. В ряде случаев можно прийти к цели
методами, указанными в пп. 5.3 и 5.4. Если на этом пути не удаетс»
получить решения, то можно (в случае, если задано начальное значе-
ние интеграла) решать приближенно соответствующие характеристи-
ческие уравнения и получить затем, следуя методам пп. 5.5 или 5.6_
приближенное численное решение.
§ 6. Система линейных уравнений *)
6.1. Частный случай: pv—fv(r), v=l,..., п. Простейшая!
система линейных дифференциальных уравнений с частными производ-
ными первого порядка для одной неизвестной функции п независимых,
переменных имеет вид
Д-А(г). v=l..............п,
где снова положено г вместо вектора с компонентами хр .... хп
’) Изложение следует книгам A. R. Forsyth, Theory of Differential
Equations, Cambridge, 1906; E. G о u r s a t, Lefons sur (’integration des equa-
tions aux derivees partielles du premier ordre, Paris, 1921. [См. также литера-
туру, указанную перед § 1. — Прим, ред]
60 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |6.1
и z — z (г) — искомая функция. Если функции /v в области ®(г)
непрерывно дифференцируемы, то каждое решение этой системы будет
.дважды непрерывно дифференцируемым. Тогда, поскольку *)
d*z д* 2г
dxtL dxv дху ЙАГц ’
.должны быть выполнены равенства
{условия интегрируемости).
Если это условие выполнено, то в каждой односвязной области ®
исходная система разрешима и, более того, можно еще удовлетво-
рить начальному условию: функция z в некоторой точке (glt .... £„)
области ® принимает значение £. Решение системы в этом случае
выглядит так:
(Х!..хп)
* = £ + J (/1^X1+ ... +fndxn),
Gi............U
причем интеграл берется по любой2) непрерывной спрямляемой кри-
вой, целиком лежащей в ® и связывающей точки .............£„) и
<*1.....Х„).
В случае конкретно заданной исходной системы можно подхо-
дить к решению несколько по-иному: сначала определяют все мно-
жество функций, удовлетворяющих первому уравнению системы, затем
определяют подмножество этих функций, удовлетворяющих второму
уравнению, и т. д.
Пример.
дг " дг
-д-- — Х2, -5-= X,.
dxt дх2
Условие интегрируемости выполнено. Из первого уравнения (считая х2
параметром) находим z — xtx2 -|- q> (х2), где <р — произвольная, гладкая функ-
ция. Далее, из второго уравнения получаем <р" (х2) = 0. Таким образом,
z === х^х2 —С.
') [В силу известной теоремы анализа, см., например, Г. М. Фихтен-
гольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, Физ-
матгиз, 1962. — Прим, ред.]
2) [Значение этого интеграла зависит лишь от начальной и конечной
точек и не зависит от выбора пути интегрирования; см. Г. М. Фихтен-
гольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III, Физ-
матгиз, 1962.— Прим, рей.]
€.2) § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 61
6.2. Общая линейная система: определения и обозначения.
(а) Общая линейная система имеет вид1)
п
= ц=1.......т, (1)
й = 1
причем снова г означает вектор с компонентами хг.........хп,
a z = z (г) — искомая функция. Если под F^ понимать оператор 2)
п
то систему уравнений (1) можно записать короче:
F^z = gV, [i=l, ..., т. (1а)
Если система (1) может быть разрешена относительно каких-нибудь т
производных, то, обозначая независимые переменные через х1г.... хт;
ур .... ys — мы можем переписать систему в виде
у)-^+/’1,0(лу)^+^(лу) Р=1..............
(2)
Здесь г и у обозначают соответственно векторы с компонентами
X;, ..., хт и ур ..., уЛ. Система (2) называется явным или кано-
ническим видом системы линейных дифференциальных уравнений.
Интегралом системы (1) является любой интеграл, общий для
всех дифференциальных уравнений системы. Множество интегралов
есть, таким образом, подмножество интегралов каждого уравнения
в отдельности и поэтому может быть получено (см. п. 6.7 (б)) как
сужение множества интегралов отдельных уравнений.
В дальнейшем коэффициенты системы (1) или (2) будут предпо-
лагаться непрерывно дифференцируемыми в рассматриваемой области
®(г) или соответственно О (г, у).
Для каждого интеграла z системы (1) имеем (при любых у. и v):
Fv (F^z — g'1) — F* (Fvz — gv) = 0 (3)
) В параграфах, посвященных системам уравнений, целесообразно
функции снабжать индексами вверху, в то время как внизу ставится пере-
менная, по которой производится дифференцирование; например, /£’k =»
= df^k Р
= дхр
2) Очевидно, что (и, v) = vF^u -f- uF^v — /•*’ °uv.
62
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(6.3
(так как в скобках, в силу (1а), стоят нули). Отметим, что любая
дважды непрерывно дифференцируемая функция z после применения
к ней оператора F^ превращается в непрерывно дифференцируемую
(один раз) функцию. Уравнения (3) после выполнения необходимых
(см. (1)) операций снова приобретают вид (1)
Мы будем говорить, что уравнение (4) получено при помощи обра-
зования [р., ^-скобок1) из ji-го и v-ro уравнений системы (1).
(б) Имеет место следующий фундаментальный факт2): каждый
интеграл системы (1) должен также удовлетворять уравнениям (4)
для 1 |т, v т.
Для системы (2) уравнения (4) имеют вид
1 (/£/v*-/rz*)-^+zd<+
Р=1 Й=1 J
+{2«гй-/ЭТ-/Г+/:оЬ+
I = l \ yk yk v R J
+ +^г-№=о. (5>
fe=l \ yk yk J X |l
6.3. Инволюционные системы и полные системы.
(а) Система (1) называется инволюционной, если соответствующие
ей уравнения (4) удовлетворяются* для всех непрерывно дифференци-
’) Так как уравнения, получаемые при помощи образования [jx, vj-скобок
и [v, р]-скобок, отличаются лишь знаком, а уравнение, получаемое при
помощи образования [р, р]-скобок, есть тождество 0 = 0, то уравнения (4)
имеет смысл рассматривать для 1 р < v Z т. Отметим, что уравнения (4)
не являются частным случаем уравнений § 14, (14); в то же время приво-
димые ниже уравнения (5) есть частный случай уравнений § 14, (2). При-
меры см. в ч. II, 5.6 и II, 5.11.
2) Этот факт верен не только для дважды непрерывно дифференцируе-
мых'функций г, но н для функций, лишь один раз непрерывно дифферен-
цируемых. См. Е. Schmidt, Monatshefte f. Math. 48 (1939), стр. 426—432;
О. Perron, Math. Annalen 117 (1941), стр. 687—693; A. Ostrowski.
Commentarii math. Helvetic! 15 (1942), стр. 217—221.
6.3)
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
63
руемых функций г, т. е. если коэффициенты системы (1) удовлетво-
ряют так называемым условиям интегрируемости'.
п I
2 (fpfk— ц. v=l.....m; р = 0, 1, .... n,
\ xk xk / ।
M. v=l.....m- j
(6)
В частности, система (2) инволюционна, если выполнены ее условия
интегрируемости:
.....т-, р = 0, ...
ft-1 X yk yk f V |A
i{<r- -«: ....
fts=l X J V P-
(7)
Система (2) в этом случае называется также ниобиевой системой:
(б) Система (1) называется полной, если каждое из соответст-
вующих ей уравнений (4) для любой функции z является лишь
линейной комбинацией уравнений самой системы (1), т. е. если для
произвольной непрерывно дифференцируемой функции z
т
F" (Fvz — gv) — Fv (Fpz — £и) == У Хл. (r) (Fk z — gk)
й=1
с подходяще подобранными (не зависящими от р и v) функ-
ииями Xft(r).
(в) Для решения системы (1) ее преобразуют следующим обра-
зом в полную систему.
Если какое-либо из уравнений (1) в 65 (г) для произвольной
непрерывно дифференцируемой функции z является линейной комби-
нацией остальных, например,
3 Хр(г)(Д₽^ — gp)
для некоторых функций Xf)(r), то это уравнение можно опустить.
В этом случае система (1) сводится к системе с меньшим числом
64 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (6.4
(линейно-независимых) уравнений, которую мы будем называть при-
веденной *).
В силу п. 6.2 (б), каждое решение системы (1) должно удовле-
творять уравнениям (4). Поэтому систему (1) можно дополнить теми
из уравнений (4), которые не являются линейными комбинациями
уравнений (1). Получается снова система вида (1), но уже с т1
уравнениями. Если тг > т, то к полученной системе снова приме-
няют описанные рассуждения (коэффициенты системы (1) предпола-
гаются достаточно гладкими) и т. д. Если после конечного числа
шагов -мы уже не встретим новых уравнений * 2), то полученная система
будет полной. Эту систему, согласно 6.5 (в), можно преобразовать
в инволюционную. Примеры см. в ч. II, гл. 5.
Необходимое условие разрешимости полученной полной и, таким
образом, первоначальной системы состоит во всяком случае в том,
чтобы она, рассматриваемая как алгебраическая система уравнений
dz дг , _
для величин z, , .... , была разрешима. Если при этом
разрешении все zx^ оказываются равны нулю, то система не имеет
никаких решений, кроме тривиальных z = const.
6.4. Метод Майера для решения якобиевой системы. Пусть
в области
ар хрЬр, р=1............т3 * s), у произвольно (8)
) В литературе (см., например, Е. О о и г s a t. Lemons sur (’integration
des equations aux derivees partielles du premier ordre Paris, 1921; С. С a r a-
th eodory, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung, Leipzig und Berlin, 1935) встречается утверждение, что каждая
приведенная система состоит не более чем из n-j-2 уравнений, причем об
области, для которой должно быть верно это утверждение, ничего не гово-
рится. В доказательстве обычно утверждается, что если какие-нибудь п-|-3
уравнения охватываются матрицей коэффициентов
(7^, Г1......р = 1..................«+3
с числом строк, превышающим число столбцов, то некоторые строки полу-
чаются из других линейной комбинацией и, таким образом, для m > п -|- 3
некоторые строки системы (1) могут быть вычеркнуты. Что для каждой
фиксированной точки г0 в этом случае некоторые стр^и есть линейные
комбинации других, конечно, верно, но неверно, что это имеет место для
тех же строк во всей области ® (г) или хотя бы лишь в достаточно малой
окрестности фиксированной, но, вообще говоря, произвольной точки г0.
Последнее, однако, становится верным, если матрица имеет в точке г0 ранг,
наивысший среди рангов в некоторой окрестности точки г0.
2) В литературе (см. книги, указанные в сноске )) встречается
утверждение, что этот случай всегда наступает и что приведенная полная
система состоит всегда из n-j-2 уравнений. Это заблуждение покоится на
том же ошибочном заключении, которое было разъяснено в примечании *).
s) В этом неравенстве один или оба знака равенства могут быть опу-
щены; случаи ар.= — со, Ьр = -\-<х> не исключаются.
6.4|
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
65
коэффициенты системы (2) ограничены1), все и g41
непрерывно дифференцируемы, и пусть условия интегрируемости (7)
выполнены (т. е. система (2) является якобиевой; см. п. 6.3 (а)).
Далее, пусть задана функция ®(у), непрерывно дифференцируемая
по любому уц. Тогда якобиева система (2) в области (8) имеет
единственный интеграл z — ^>(r, у), удовлетворяющий начальному
условию
№. • • •• U-
ДЛЯ произвольных |р, удовлетворяющих условию йр Z>p,
р = 1....т2).
Доказать это проще всего применением метода Майера. При
этом методе независимые переменные хр представляются как функ-
ции от т -|- 1 аргументов и, аг...ит, а именно:
^p = &p4-««p> Р=1. m (9)
{преобразование Майера). Тогда из системы (2) для функции
% {и, «j.....иг, у) — z (г, у) получаем уравнение
2 и — S 2> у. Н- сУ"° 2> (Ю)
£ = 1 й
где
2 «р/рй- k = 0, 1, .... у, <^ = 2 upgp-
Р=1 Р=1
а из начальных условий для z следует, что
g(0, «р .... ит, у) = а(у). (11)
Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением
для 2. причем и, у выступают в качестве независимых переменных,
a «j.....ит — как параметры. Для решения задачи (10), (11) при-
меняются методы из § 4. Если найдено непрерывно дифференцируе-
мое по всем г —|—у1 аргументам решение 2 задачи (10), (11), то
z{r, у)= 2 (1. JCi —.......xr — lr, у)
является искомым решением системы (2).
Таким образом, якобиева система (2) преобразованием Майера
однозначно сводится к одному линейному дифференциальному
') Это предположение может быть заменено также требованием ограни-
ченности всех производных f^k для k > 1.
ур
2) Более общую теорему см. Е. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943),
стр. 275.
5 Э. Камке
€6 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (6.5
уравнению. Теоретически этот метод очень удобен, при решении же
конкретных задач можно поступать и по-другому.
_ dz.dzdz.dz .
Пример.-;— = -г~г-5—> -5—= —! искомая функция z — z(x,,
1 dxi 1 dy dx2 1 dy
x2, У)- Данная система инволюционна.
Для 2 (и, ut, и2, у) получается линейное дифференциальное уравнение
2 и — («1 -|- и2) (Zy + Z)- (*)
Соответствующим трехчленным линейным однородным уравнением для
= W (ы, у, Z) (см. пп. 4.2 или 5.4) является уравнение
^«-(ы1 + ы2)^у + («1 + “2) £^z = o.
Для него функции
(«i+«2)«4-y
образуют интегральный базис, и таким образом, решениями будут являться
функции
V = Z еу — £2 [(«1 + и2) и -}- у]
(где £2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция). Далее, для
уравнения (*) решениями служат функции
Z = е~ у£2 [(и1 ф- и2) и Ц- у].
Наконец, для исходной системы получаем интегралы
z — е~ у£2 (xt -|- х2 -|- у)
в случае, когда выбраны L = £2 = 0.
6.5. Свойства полной системы *).
(а) Каждая полная система (1) (см. п. 6.3 (б)) преобразованием
z(xx Х„)=Ч(У1.......Уп)- = ....хп), v=l........п,
переводится снова в полную систему, если функции xv дважды непре-
рывно дифференцируемы в области ®(г), эта область взаимно одно-
значно переводится в некоторую область у1( ..., уп-пространства,
и если
Если система (1) была инволюционной, то получающаяся после ука-
занного преобразования система также будет инволюционной.
(б) Каждая система, алгебраически эквивалентная полной системе,
является полной. Точнее, пусть (1) — полная система, и пусть функ-
) Результаты, приводимые здесь, можно найти в книгах: A. R. For-
syth, Theory of Differential Equation, Cambridge, 1906; E. Ooursat, Lefons
sur I’integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, Pa-
ris, 1921.
C.GJ
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
67
ции Лцл,(г) (р.. v=l, ..., m) непрерывно дифференцируемы в ®(г)
и det | Лрд, | 4= 0. Тогда если определить операторы и функции
т т
и ЛИ(г)=2 A^gk(r), р=1.................т,
k=l к=1
то система
Ghz =/гц (г), |1= 1, т,
— полная.
(в) Пусть в области ® (г) задана полная система (1), причем т
Если во всей области ® некоторый фиксированный минор порядка т
матрицы коэффициентов
(/’iV) (Ц = 1.......tn; v = 1......п)
отличен от нуля, например,
det | /gv | 4 0 (р, v = 1, ..., m),
/п dz
то система (1) относительно — ,
' ' дхх
дг
-s— однозначно разрешима
охт
и в этом разрешенном виде инволюционна.
6.6. Однородные системы. Система (1) называется однородной
системой, если все /,1° = 0 и все ^ = 0, т. е. если система имеет
вид
|Л=1, .... /п. (12)
v=l
При этом о коэффициентах /|lv пока предполагается, что они все
в области ®(г) непрерывны.
(а) Если ф1(г).... i|fe(r)— интегралы уравнения (12), то для
произвольной дифференцируемой функции Q(u1......uk), определен-
ной для значений фи, сложная функция й(ф*.......фй) является
интегралом уравнения (12).
$б) Если т < п и ранг матрицы коэффициентов (/uv) ни в какой
подобласти области @ не меньше т, то для любых п — m—|— 1 инте-
гралов i|?(r)..фп~т+1(г) системы (12) все определители порядка
п — m -ф-1 матрицы
д(ф\ ..., ф"~т+1)
...........*п)
обращаются в области ® в нуль.
(в) Если т < п и матрица коэффициентов (/Mv) ни в какой под-
области области ® не имеет ранг, меньший т, тх> п — т интегралов
5*
68 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ]6.7
ф1 (г)....ар"-'” (г) системы (12) называются интегральным базисом
{фундаментальной системой интегралов) системы (12) в том слу-
чае, если функциональная матрица
д(ф*...ф«-'”)
д (Xi..хп)
ни в какой подобласти области ® не имеет ранг, меньший п — т.
(г) Если система (12) имеет в области @ интегральный базис
ф1.....фп-т, то существует множество интегралов этой системы,
состоящее из непрерывно дифференцируемых функций ф(г), для
которых матрица
д(ф, ф1...фп~'”)
d(xi, ...,л„)
всюду в области ® имеет ранг, не превосходящий п—т.
(д) Для однородной якобиевой системы (2) (т. е. /и°=§-и = 0)
в предположениях п. 6.4 в области (8) существует интегральный
базис фЦг, у), ф5(г, 3>), т. е. функциональный определитель
(е) Пусть задана однородная якобиевая система (2) (т. е.
/и°= = О) в предположениях п. 6.4. Если ф1 (г, у).ф®(г, J)—k
раз непрерывно дифференцируемый интегральный базис, так что
справедливо неравенство (13), и уравнения
^ = Ф'’(го. У\ v=l........(И)
однозначно разрешимы относительно ух для фиксированного r0(|i.?г)
и для произвольных T]v, то множество k раз непрерывно дифферен-
цируемых интегралов ф(г, у) этой системы дается формулой
Ф(г ......ф*),
где Q («j....us) пробегает все k раз непрерывно дифференцируе-
мые функции, определенные для значений ф\ Предположение о раз-
решимости уравнений (14) выполнено, в частности, если фл? (г0, у) = yv;
этот интеграл в данном случае называется также главным инте-
гралом.
6.7. Редукция однородной системы.
(а) Пусть в области ® (г) для данной однородной системы (12)
с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами f"1 известно h
частных интегралов ф'(г), ..., 4>*(r), для которых
д(Ф‘. фй) о
д .....*й)
6.7|
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
69
Можно пытаться упростить эту систему посредством введения новых
независимых переменных
У1==Ф*(г), Уй==^(г). Уй+1 = *й+1........Уп = хп. (15)
Преобразованием (15) область ®(г) взаимно однозначно ото-
бражается на область ® (г); при этом функции /ц' (г) переходят в функ-
ции (у). Тогда решениями системы (12) являются непрерывно
дифференцируемые функции z (у) — t, (у), удовлетворяющие системе
п
У о, И=1.........т, (16)
-А» и у у
v=h+l
в которой ур ..., yft рассматриваются как параметры.
Если система (12)—полная или инволюционная, то то же самое
верно для системы (16) в случае, если функции ф¥ дважды непре-
рывно дифференцируемы.
Пример. Pi р2 — 2р3 — О,
XlPi + х2р2 — (х, 4- х2) р3 4- х4р4 = 0.
Система полная. Функция ф = xs 4- х2 4- -Ч есть, очевидно, интеграл.
После замены переменных
z(xt....Х4) = £(У1...У4). У1=-К14--*2 + -*3,
Уг = х2, у3 = х3, у4 = х4
приходим к системе
?у2 = 0, Уг?у2 4~ (Уз У1) £у3 "Ь У^у, ~ 0
и для нее находим (например, согласно (б)) интеграл 2Уг4~Уз—У1 таким
У 4
образом, для первоначальной системы получен интегральный базис
. . Х2 — Xt
Xi+x2 + x3, -±-—
х4
(б) Пусть для какого-нибудь из дифференциальных уравнений (12),
например для m-го, известен интегральный базис ф*(г), .... фл-1(г).
Тогда интегралом этого же уравнения будет также функция
^(ф1 ф"-1) при произвольной непрерывно дифференцируемой
функции £(yj......Ул-i)- Можно попытаться так сузить множество
таких функций £, чтобы выражения £(ф’.........ф"'1) удовлетворяли
также остальным уравнениям системы (12). С этой целью подста-
вляют z(r) — С(У1, .... Ул-1) с yv = i|?’(r) в систему (12) и иссле-
дуют получающуюся таким образом систему дифференциальных урав-
нений ДЛЯ ^(У!....Ул-1)-
Более точно, имеет место следующий факт. Пусть в обла-
сти ®(г) задана инволюционная система (12), коэффициенты которой
70
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(6.7
непрерывно дифференцируемы. Пусть, например, для т-го уравнения
дважды непрерывно дифференцируемые функции ф1 (г).........фл-1(г)
образуют интегральный базис:
д(ф‘....Ф"~‘) , о
d(xi,..., xn_t)
Посредством преобразования переменных
= • ••• Ул-1==Ф"_1(г). Уп = х„ (17)
область ® (г) отображается на область @ (ур .... у„); при этом
вместе с любыми двумя точками .... yn_v и (ур ..., yn_v у*)
к области О принадлежит также и соединяющая их кривая1). Нако-
нец, пусть ни в какой подобласти области ® коэффициенты fmn не
обращаются тождественно в нуль. Тогда интегралами системы (12)
являются функции z(г) = g(i|?, ..., ф"- ), где с (у,.Ул-1) — Ре"
шения системы
Л —1
У^^-=0. ц=1, .... /п—1, (18)
~ Уь
причем
п
и эти функции, после подстановки (17), зависят лишь от ур ..., уп_х.
Система (18), таким образом, снова инволюционна. В качестве при-
мера см. ч. II, 5.2.
(в) Пусть известен интеграл какого-нибудь из уравнений си-
стемы (12). Тогда можно попытаться найти, согласно п. 3.5, инте-
гральный базис для этого уравнения и далее применить метод (б).
Другой возможный метод решения принадлежит Якоби.
Пусть система (12), записанная в сокращенном виде (см. (1а))
с оператором
Диг = 0, р=1......т.
(19)
п
V=1
инволюционна, т. е. равенство
FpFaz = FaFpz
(1 <Со, p<Jm)
(20)
9 Если это не так, то область @ следует соответствующим образом
уменьшить.
6.7]
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
71
справедливо для всех дважды непрерывно дифференцируемых функ-
ций 2 (г). Далее, пусть ф1 (г)—достаточное число раз дифференци-
руемый1) интеграл первого из уравнений (19).
Попытаемся теперь по методу Якоби2) получить общее решение
двух первых уравнений системы (19), затем общее решение первых
трех уравнений этой системы и т. д. до получения общего решения
системы (19). В силу условий интегрируемости (20), имеем: У71/7^1 =
— Д2/7^1 = 0, так как по предположению Д'ф1 = 0. Поэтому функ-
ция ф2 = Д2ф] также удовлетворяет первому из уравнений системы (19).
Соответственно устанавливается, что аналогично конструируемые
функции
ф3 = Д2ф2, ф4 = №ф3, ...
все удовлетворяют первому из уравнений системы (19). На основании
п. 6.6 (б) и (е) можно заключить, что найдется такое число j^n— 1,
что функция ф; +1 представляется как непрерывно дифференцируемая
функция от ф1, ..., фЛ т. е.
ф>+1(г)=[/(ф*.....ФУ). (21)
причем
д (ф1, ..., ф/)
д (*i..Xj) *
Теперь так определим непрерывно дифференцируемую функцию
(У]......у?), чтобы сложная функция
х(г) = 'Ф(ф1....ф') (22)
удовлетворяла второму из уравнений (19)3), т. е. чтобы
2/ Vi?FyC =0.
V=] р=1 V
Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде
2 /V=o,
p=i р
или, в силу определения фр, в виде
2фР+,У =0;
p=i р
') Получить более точную формулировку предположений, при которых
описываемый метод ведет к цели, можно без труда.
2) См. Е. G о u г s a t, Lefons sur I’integration des equations aux derivees
partielles du premier ordre, Paris, 1921, стр. 77—81.
3) Функция у (г) удовлетворяет первому из уравнений (19), в силу 6.6 (а).
V(X*.....xft)
72 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (6.7
наконец, в силу (21), имеем окончательно:
.....ф?)чч=о.
р=1 р 7
Если положить
'1’1(Г) = У1, .... ^(Г) — Ур
то это уравнение приобретает вид
+^(у,........у,уг =о.
р— 1 р J
Если найдено нетривиальное решение W(у^ .... у]) этого линейного
однородного уравнения1), то функция (22) является общим решением
двух первых уравнений системы (19).
Теперь попытаемся, зная функцию %, получить общее решение
трех первых уравнений системы (19). Как и ранее, первые шаги сле-
дуют из соотношений (20): функции
Х* = Х-
удовлетворяют одновременно двум первым уравнениям системы (19).
Пусть k — такое наименьшее число, что
Х*+1 =
— непрерывно дифференцируемая функция первых k интегралов уР.
Найдем функцию Ф(ур .... уь) такую, что Ф(Х*(г)» •••• Х*(Й)
удовлетворяет также третьему уравнению системы (19). Для Ф полу-
чим снова некоторое однородное линейное дифференциальное урав-
нение, и т. д.
Если процесс преждевременно не оборвется, получают, наконец,
нетривиальное решение системы (19). Этот метод громоздок, но все же
во многих случаях бывает полезен, например, когда известно лишь
некоторое частное решение системы (12).
Пример. Пусть дана инволюционная система
/’з + л1/’4 = °- Рч + ^чР^®, /’1+(3^,+^з)/’4 = 0.
Непосредственно видно, что функция ф1 = является решением,
первого уравнения. Далее, имеем:
ф2 = /^ф1 = — х2, ф3 = /72ф2 = — 1;
’) Его характеристическая система
у[ (О = Уч, Уч (О = Уз- • • ; y'j-i tt) = Ур У, (О == U (у„ ..., УД
эквивалентна одному дифференциальному уравнению л-го порядка
У?’(О = U(ур у[,.... у(/-1)).
6.81 § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 73
следовательно, j — 2, U — —1. Тем самым для функции Ч7 (yj, у2) получено
дифференциальное уравнение Уг'^у, — Чгу2=0 с решением 'Г = 2уj 4~ yij.
Поэтому общим решением двух первых уравнением будет
X = X1 = 2 (л,л3 — х4) + 4-
Далее, находим:
х2 = F Y = - 6x1 х3 = ДУ = - 12х, = -
поэтому k = 2, %3 — V (х1, х2) == — V—24х2 , а для Ф получается дифферен-
циальное уравнение
У2фу, — 24у2ФУг = О
с решением
1 -
Ф(Уь У2) = У1+-—7=-(—у2)2-
зу 6
Таким образом, общее решение системы имеет вид Ф (х1, %2), т. е.
2 (л,л3 —x4) + 4 + 2%f.
6.8. Редукция общей системы. Пусть общая линейная система (1)
имеет в области ® (г) непрерывно дифференцируемые коэффициенты,
и пусть она там полная (см. п. 6.3 (б)). Пусть для соответствующей
линейной однородной системы (12), которая также полна, известен
интегральный базис ф'л+1 (г), .... фн(г):
<mm+1....ф”) , р.
(-^т+1...
Пусть область ® (г) преобразованием
У1 = ^1....Ут=хт, ут+1 = ф'п+1(г), • • У„ = ф"(г) (23)
взаимно однозначно отображается на область ® (у). Наконец, пусть
в области ® (г)
det | (г) | ¥= 0 (р, v= 1, ..., т). (24)
Тогда интегралы системы (1), будучи непрерывно дифференци-
руемыми функциями z{f) — £(у), удовлетворяют системе
т
S^lv(y) ^ + £/1°(Ж=^,1(У). Н=1...............т. (25)
V = 1
Здесь g,l\ h'1— функции, полученные из f^v и g^ соответственно
заменой переменных (23). Система (25) в случае, если фи дважды
непрерывно дифференцируемы, в силу 6.5 (а), снова полна и может
быть записана, согласно (24), в форме
= УИ(У)5 + 6и(у), Р=1........т.
74 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ и КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 16.9
В силу 6.5 (в), эта последняя система инволюционна. Если все ум- —О,
то получается
т
£= f^^(y)^+S(ym+1, .... у„).
ц = 1
где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
6.9. Методы решения. Если задана система (1), то прежде всего
надо установить, полна ли она. Если это не так, то ее дополняют,
согласно п. 6.3 (в), до некоторой полной системы. Затем решают
соответствующую однородную систему. Для этого в нашем распоря-
жении имеются методы п. 6.6 или метод Майера (см. п. 6.4). Этот
последний особенно полезен тогда, когда требуется найти решение
с заданным начальным условием. Если данная система не однородна,
то можно, согласно п. 6.8, использовать решение однородной системы.
§ 7. Система квазилинейных уравнений
7.1. Частный случай.
(а) Пусть для функции z — z (у) дана система
= Д v=l................п. (1)
Здесь г снова обозначает набор х,...х„, коэффициенты f
предполагаются в рассматриваемой области ®(r, z) непрерывно диф-
ференцируемыми1). Тогда каждый интеграл (1) дважды непрерывно
дифференцируем, а потому имеется соотношение
d2z ___ __.
dxv dxv дхц ’ v> I1 » ...» Л.
Отсюда вытекает, принимая во внимание уравнения (1), что для
каждого интеграла z системы (1) справедливы равенства
+ A7V=С + /IА 1 < н. v < п. (2>
V jx
’) Система (1) иногда записывается также в виде одного дифференциаль-
ного уравнения
dz = fV (r> z) dxv.
v=l
Однако следует иметь в виду, что это уравнение обычно понимают как со-
кращенную запись уравнения
v-1
для которого требуется определить функции z (/), (t), xn(t), удовле-
творяющие этому уравнению.
7.1]
§ 7. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
75
Если эти равенства выполняются тождественно относительно г п Z,
то (1) называется инволюционной системой. Равенства (2) назы-
ваются условиями интегрируемости системы (1).
Если функции fv в области
kv —М < (v—1.......n), \z — £| < Ь<со,
где (|1, .... Q — фиксированная точка, непрерывно дифференци-
руемы и ограничены, например | fv | А, и если выполнены условия
интегрируемости (2), то система (1) в области
kv —lvl<a (v==l.........n),
где
I b \
a= mm a, —г ,
\ nA J
имеет интеграл z — ф (г) с начальным значением
№••••. U = И- (1а)
(б) Интеграл этот может быть построен, например, последова-
тельным решением уравнений. Для этого сначала рассматривают
первое из уравнений (1) в специальной форме
= .............
с начальным условием
^(£1- & •••
Это обыкновенное дифференциальное уравнение; пусть его решение
z — ср1 (Xj) найдено. Второй шаг состоит в решении уравнения
- ^ = /2(х,. X,. Ь.....1„ V
с начальным условием
* (*!. |2, £3, .... U = (P1ki),
причем теперь Х] рассматривается как параметр. Это снова обыкно-
венное дифференциальное уравнение; пусть z — <р2 (хь х2) — его ре-
шение. На следующем шаге решается задача
дг ... z „ .
- ^ = /3ki. х2. х3, Ц, .... £я, Z),
Z(Xj, х2, £3......^) = ф2(х1> х2),
') См. A. J. М а с i n t у г е, Proceedings Edinburgh math. Soc. (2) 4
(1935), стр. 112—117; L. Bruwier, Bulletin Liege 8 (1939), стр. 105—116;
T. Y. Thomas, Annals of Math. 35 (1934), стр. 730—734; W. Mayer,
T. Y. Thomas, Math. Zeitschrift 40 (1936), стр. 658—661; P. Gillis, Bul-
letin Liege 9 (1940), стр. 197—212; W. VV i r t i n g e r. Monatschefte f. Math.
34 (1926), стр. 81—88.
76 гл. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |7.2
причем X], х2 рассматриваются как параметры, и т. д. Последним
шагом является решение задачи
...........................................
Z(Xt, = Хп-1).
где хъ .... — параметры. Ее решение z = ty(xx..........х„)
является, как устанавливается с помощью условий интегрируемости,
искомым интегралом системы (1).
(в) Интеграл системы (1), удовлетворяющий условию (1а), можно
искать, следуя методу Майера (см. п. 6.4). Если положить
2 («> «1.....«„) = .? (г);
xv^=lv-]-uuv, v = 1.......п,
то из системы (1) получаем уравнение
п
= (3)
v=l
а из начальных условий следует, что
g (0, «р .... «„) = £. (4)
Уравнение (3) можно рассматривать как обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение с параметрами ut, .... ин. Если *g — его решение,
удовлетворяющее начальному условию (4), то
2 = 2 (1. х,—........хп~ |„)
— искомый интеграл системы (1).
7.2. Общая квазилинейная система. Она имеет вид
^/"(Л 2) = z), р=1.......т, (5)
V=1
и является частным случаем теории § 14. Следовательно, справед-
ливо приведенное там утверждение. Преобразованием, указанным
в п. 12.3 (а), система (5) может быть приведена к однородной системе
^/HV(r г)-^- + §-м(г> р=1, .... т. (6)
7.2]
§ 7. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть функции {г, z), g]l (г, z) непрерывны в области ®й+1 (г, z)\
пусть ад = ф(г, z)— интеграл однородной системы (6) в ®и+1. Далее,
пусть х(г) непрерывная функция в ®„(г), для которой точка
(г, z = '/(r)) лежит в ®„J.1, коль скоро г принадлежит ®п, и для
которой
ф(г. X (/)) = const;
фг(г, х(Н)^0 ни в какой подобласти области ®„.
Тогда z = X(/‘) — интеграл системы (5) (ср. с п. 5.4). Иначе го-
воря, интеграл системы (5) получается из интеграла w = i]?(r, z)
системы (6) разрешением уравнения ф = 0 относительно z,
ГЛАВА II
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 8. Общие понятия, обозначения и терминология
8.1. Геометрическая интерпретация уравнения. Общее {нели-
нейное) дифференциальное уравнение в частных производных
первого порядка для одной неизвестной функции z~z (х, у)
двух независимых переменных имеет вид
dz дг
или, если снова использовать обозначения р — , а = ,
дх ч
F (х, у, z, р, q)~ 0; (la)
при этом F—F(x, у, z. р, q)— данная функция, которая предпола-
гается имеющей в области ®(х, у, z, р, q) пространства х, у, z, р, q
непрерывные частные производные первого порядка по всем пяти
переменным.
Уравнение, разрешенное относительно одной из производных,
имеет вид
p = f(x, у, z, q) или q~f(x, у, z, р); (2)
уравнение (1) называется уравнением, не разрешенным относительно
производной.
По поводу определения интегральной поверхности см. пп. 1.1
и 8.8.
Дифференциальное уравнение (1) каждой точке (х0, у0, z0) про-
странства х, у, z ставит в соответствие семейство плоскостных эле-
ментов х0, у0, z0, р, q (ср. с п. 2.1), направляющие коэффи-
циенты р, q которых связаны соотношением
Д(х0, у0, х0, р, 9) = 0.
.8.1)
§ 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
79
Плоскостные элементы, соответствующие в силу этого уравнения
точке (х0, у0, z0), определяют однопараметрическое семейство пло-
скостей, огибающей которого является, вообще говоря, невырож-
денная1) коническая поверхность с вершиной (х0, у0, z0) (рис. 19).
Этот конус2 3 *) называют конусом Монжа {направляющим конусом,
конусом Г) дифференциального уравнения (1) в данной точке.
Рис. 20.
Следовательно, в силу дифференциального уравнения (1), каж-
дой точке (х, у, z) (разумеется, в случае, если уравнение (1а) для
этой точки имеет вещественные решения р, qs)) ставится в соот-
ветствие направляющий конус. Само дифференциальное уравнение (1)
представляется геометрически полем конусов в пространстве
х, у, z (аналогично полю направлений на плоскости в случае обык-
новенного дифференциального уравнения) (рис. 20).
В этой геометрической интерпретации задача решения уравне-
ния (1) означает следующее: требуется найти такую непрерывно диф-
ференцируемую поверхность z~ ф(х, у), в каждой точке которой
плоскостной элемент х, у, z = ty{x, у), р = фх(х, у), q — фу(х, у)
*) [Если функция F линейна по р и q, т. е. в случае квазилинейного
уравнения, получается пучок плоскостей, проходящих через прямую, назы-
ваемую «осью Монжа» (см. пп. 2.1 и 5.1). Если функция F нелинейна, то
получается общий случай: возможные касательные плоскости к интеграль-
ной поверхности в точке (х0, у0, г0) определяются одновременно двумя
уравнениями
F {хй, уо, za, р, q) = О,
z — zD = р {х — х0) + q (у — у0),
т. е. они образуют семейство плоскостей от одного параметра, проходящих
через фиксированную точку. Огибающей такого семейства является конус.
— Прим, ред.]
2) [Точнее, рассматривается достаточно малая часть полости конуса,
соответствующая достаточно малой области изменения р и q. В целом
конус Монжа может состоять из нескольких отдельных полостей.
— Прим, ред.]
3) Если, например, F = р2 + tf2 +1, то не существует (вещественного)
плоскостного элемента, удовлетворяющего уравнению (1). При наглядном
истолковании обычно отказываются от таких случаев. Но они, помимо слу-
чайных ограничений из следующего пункта этой главы, которые ни в коем
случае не содержат теоремы существования, отнюдь не исключены. Примем,
далее, во внимание, что также случай F = 0 до сих пор не исключался.
80
ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[8.2
удовлетворяет уравнению (1а). Другими словами, в каждой точке
(х, у, z) интегральной поверхности z = ф (х, у) ее касательная пло-
скость одновременно должна быть касательной плоскостью направ-
ляющего конуса, соответствующего рассматриваемой точке >) (рис. 20).
Пусть данное дифференциальное уравнение (1) квазилинейно:
f{x, у. z)p + g(x, у, z)q = h(x, у, z), | f | +1 g | > 0; (3)
тогда направляющий конус, принадлежащий точке (х0, у0, z0), вы-
рождается в прямую линую
х —х0=/0Л у— y0 = g0t, z — zo = hot, (За)
где t—параметр, а /0, g^, h0 — значения функций /, g, h в точке
(х0, у0, z0). Семейство касательных плоскостей направляющего ко-
нуса превращается в данном случае в пучок плоскостей, проходя-
щих через эту прямую, кроме плоскости, перпендикулярной к пло-
скости х, у (см. пп. 2.1 и 5.1).
8.2. Геометрическая интерпретация характеристик. Линейные
и квазилинейные уравнения с частными производными первого по-
рядка можно сводить к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений постольку, поскольку их интегральные поверхности могут
быть построены из характеристик. Аналогичное сведение возможно
также для уравнения (1).
Для квазилинейного дифференциального уравнения (3) каждая
характеристика в каждой своей точке имеет касательной ось пучка
плоскостей, построенного для данной точки, т. е. каждой точке
пространства (х, у, z) поставлено в соответствие определенное нап-
равление, геометрически заданное осью соответствующего пучка.
Это поле направлений аналитически описывается характеристической
системой* 2). При переносе этого обстоятельства на дифференциаль-
ное уравнение (1) сразу же возникает осложнение, состоящее в том,
') [Таким образом, интегральная поверхность в каждой точке касается
соответствующего конуса Монжа. Ср. с геометрической Интерпретацией
интегральной кривой обыкновенного дифференциального уравнения.
— Прим, ред.]
2) [В самом деле, характеристическая система уравнения (3)
х' (О = / (х, у, г), у' (/) = ^ (х, у, г), z' (t) = h (х, у, z)
показывает, что в произвольной точке (х0, у0, z0) характеристики направ-
ляющим вектором касательной к характеристике служит вектор (/ (х0, у0, z0),
g (х0, Уо, z0), h (x0, Уо, z0)), являющийся одновременно направляющим
вектором оси (За) пучка плоскостей, соответствующего данной точке.
— Прим, ред.}
8.2] § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 81
что каждой точке пространства здесь соответствует направляющий ко-
нус с бесконечным множеством образующих *).
Однако если уже имеется интегральная поверхность z — ty(x, у)
нелинейного уравнения (1), то точке (х0, у0, z0) этой поверхности
однозначно соответствует некоторое направление, именно, на-
правление прямой, по которой плоскость, касательная к поверхности
г = ф(х, у) в точке (х0, у0, z0), касается конуса Монжа, построен-
ного в этой точке. Следовательно, это направление играет здесь
роль, аналогичную роли направления характеристики в линейном
случае. Прямая, имеющая данное направление, определяется только
тогда, когда известны направляющие коэффициенты р — ф^. (х0, у0)
и q — фу(х0, у0), или, в общем случае, два направляющих коэффи-
циента рй и qb, соответствующие точке (х0, у0, г0). Эти направляю-
щие коэффициенты в случае нелинейного уравнения (1) также под-
лежат определению, т. е. наряду с тремя функциями х (0, у(0, z(t)
необходимо еще найти две функции р (t), q (t).
Эти пять функций
* = *(0, y = y(0, z~z(t), p = p(t), q = q(t) (4)
играют в случае нелинейного уравнения (1) роль, аналогичную роли
характеристики уравнения (З)* 2). Для их определения необходимо,
согласно предыдущему, удовлетворить следующим условиям.
(а) В каждой точке х0=х(/0), у0=у(/0), z(t—z(t{) простран-
ственной кривой х~ х (t), у = у (0, z — z (0 ее касательная должна
быть образующей конуса Монжа, принадлежащего точке (х0, у0, г0)3).
([>) Так как интегральная поверхность должна будет строиться
из характеристик, то плоскостные элементы (4) должны быть пло-
скостными элементами интегральной поверхности (т. е. принадле-
жать интегральной поверхности).
*) [Направления образующих конуса Монжа, соответствующего неко-
торой точке, называются характеристическими направлениями. Если
в случае квазилинейного уравнения (3) каждой точке пространства соот-
ветствует единственное характеристическое направление — направление оси
Монжа, то в случае нелинейного уравнения (1) каждой точке пространства
соответствует однопараметрическое семейство характеристических направле-
ний,— Прим, ред.}
2) Сначала, быть может, несколько мешает, что z, р, q встречаются
в различных значениях, именно, во-первых, в качестве независимых пере-
менных, от которых зависит функция р (л, у, z, р, q) или рассматриваемая
область @ (х, у, z, р, q); во-вторых, символы г, р, q могут обозначать функ-
ции от х, у в дифференциальном уравнении (1), причем p~zx, q — z^ и,
наконец, в-третьих, символы z, р, q могут быть функциями независимой
переменной t в уравнениях (4). Однако, как вскоре будет видно, не со-
ставляет труда придерживаться этих различных значений, и поэтому обо-
значение их различными символами принесло бы ненужные усложнения.
3) [Пространственная кривая, имеющая в каждой своей точке характе-
ристическое направление (т. е. в каждой ее точке касательная является об-
разующей соответствующего конуса Монжа), называется фокальной кри-
вой или кривой Монжа. — Прим, ред.]
6 Э. Камке
82 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |8.3
(Р*) Это последнее требование будет, однако, заменено в анали-
тической формулировке определения характеристик более слабым:
Плоскостные элементы (4) должны принадлежать поверхности
2 = ф(х, у), для которой F(x, у, ф, фж, фу) постоянна* 1).
8.3. Определение полосы. Пусть плосностные элементы (4) при-
надлежат какой-нибудь непрерывно дифференцируемой поверхности
2 = ф(х, у). Подставим функции (4) в равенство г = ф(х, у):
= ф(х(О, У (О),
и продифференцируем получившееся тождество по t. Тогда мы при-
дем к следующему равенству, называемому условием полосы:
z’ (t) =р (О х'(0 + ?(0 /(0- (5)
Это приводит нас к определению полосы, не зависящему уже от
какой-либо поверхности г = ф(х, у). Под полосой понимается од-
нопараметрическое семейство плоскостных элементов (4), заданных
в интервале а < t < [> непрерывно дифференцируемыми функциями,
для которых выполняется условие (5)2 *). Пространственная кривая,
определенная тремя первыми функциями (4), называется носителем
полосы. Кривая-носитель может в частном случае вырождаться в
точку.
8.4. Вывод характеристической системы.
(а) Рассмотрим общее дифференциальное уравнение (1) при необ-
ходимых для дальнейшего предположениях о дифференцируемости и
‘) [Плоскостные элементы (4) принадлежат некоторой поверхности
г — ф (х, у), если выполнены следующие условия:
z (t) = Ф (х (О. У (t)). Ф^ (а (0. у (0) = Р (0.
Фу (А (0. У (0 ) = Q (0-
Иначе говоря, кривая х (<). У (0, г (0 лежит на поверхности z = ф (х, у),
а касательная плоскость в каждой точке этой кривой к поверхности имеет
направляющими коэффициентами значе-
lnlfi ait 1-71 ния р (/) и q (/). — Прим, ред.]
Р ° °' А)?' 2) [Равенство (5) показывает, что
/X. Г .Хх/'А)’’ вектор (р (t), q (t), —1) ортогонален
Л4* вектору (х' (t), у' (f), z' (t)), касатель-
'// -it иому к пространственной кривой х (t),
I--у (t), z(t). Следовательно, плоскостные
элементы (4) определяют простран-
Рис. 21. ственную кривую х (/), у (t), z (t)
и касающуюся ее в каждой точке
плоскость с направляющими коэффициентами р (/), q (t) (см. подстр. при-
мечание )• Таким образом, аналитически полосу можно определить как
совокупность плоскостных элементов, удовлетворяющих дополнительному
условию (5). Говоря геометрически, под полосой понимают конфигурацию,
состоящую из кривой и семейства касающихся ее плоскостей (рис. 21). —
Прим, ред.}
S.4| § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 83
условии | Fp| -ф-1 Fq | > 0. Из требования (а) п. 8.2 получаем соот-
ношение !):
х' (0 : у' {t) .z'(t) = Fp:Fq-.(pFp + qFq),
причем в Fp, Fq подставлены функции (4). Если это соотношение
выполнено, то касательная к кривой х (0, у (t), z {t) является обра-
зующей соответствующего конуса Монжа. Отсюда путем надлежа-
щего выбора параметра t получаем первые три уравнения (6). Из
требования ([>*) для некоторой поверхности z = ty{x, у), для кото-
рой F (х, у, ф, фг, фу) = const, частным дифференцированием по
х и у получаем два последних уравнения (6).
Это приводит нас к определению характеристической полосы, не
зависящему от каких-либо известных пространственных кривых или
поверхностей. Пусть функция F {х, у, z, р, q) имеет в области
<55 (х, у, z, р, q) пространства х, у, z, р, q непрерывные частные
производные первого порядка. Функции (4) со значениями в области ®,
непрерывно дифференцируемые при а < t < [>, определяют харак-
теристическую полосу {характеристику) уравнения (1), если
они удовлетворяют системе пяти обыкновенных дифференциальных
уравнений
х' (0 = Fp, у' (t) = Fq, z' (t) =p{t)Fp+q {t) Fq, |
p'{t)=-Fx-p{t)Fz. q'{t) = -Fy-q{t)Fz-, J U
при этом функции (4) подставлены в производные от F в качестве
аргументов* 2). Уравнения (6) называются характеристическими урав-
нениями {характеристической системой) дифференциального урав-
нения в частных производных (1).
Поскольку в предположениях об F получается, что правые части
системы (6) лишь непрерывны, то система (6) может иметь более
одного решения. Если же потребовать, чтобы функция F была
дважды непрерывно дифференцируема, то характеристическая по-
лоса будет лишь одна (см. далее п. 8.6).
(б) Если дано дифференциальное уравнение типа (2), например
p = f{x, у, z, q), (7)
то система пяти характеристических уравнений (6) сводится к трем
уравнениям. Первое характеристическое уравнение x'{t)= 1 позво-
ляет нам положить: t = x. Так как в дальнейшем для построения
интегральных поверхностей из характеристических полос будут рас-
сматриваться только такие плоскостные элементы (4), которые
*) [Доказательство можно найти в книгах Степанов или Курант. —
Прим, ред.]
2) [Отметим, что каждая полоса (см. п. 8.3), удовлетворяющая первым
трем из уравнений (6) и соотношению F {х, у, г, р, q), называется фокаль-
ной полосой. — Прим, ред.]
6*
84
ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[8.5
удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению (7), то
в третьем уравнении (6) можно заменить р на /. Окончательно для
определения функций у(х), z(x), q(x) получается три уравнения:
/(*)= — fq> z' (x) = f —qfQ, q'(x) = fv + qfz. (8)
Они называются характеристическими уравнениями дифферен-
циального уравнения (7),
Для определения характеристической полосы добавляют еще
одно уравнение
р(х) = /(х, у(х), z(x), q{x)). (9)
(в) Для квазилинейного дифференциального уравнения (3) первые
три из уравнений (6) имеют вид
x'(t) — f, y'(t) = g, z' (/) = pf -b qg.
В последнем из этих уравнений pf-\-qg может быть заменено на h,
так как для построения интегральной поверхности из характеристик
рассматриваются только такие элементы поверхности, которые удо-
влетворяют уравнению (3).
8.5. Другие выводы характеристической системы. Получение
характеристик с помощью требований (а) и (Р) или (р*) п. 8.2 имеет
преимущество в наглядности. Однако недостаток такого определения
характеристической системы состоит в том, что этот метод с трудом
допускает перенесение на общий случай (больше искомых функций,
независимых переменных больше двух, дифференциальные уравнения
более высокого порядка). ’ Поэтому здесь намечены еще три других
метода. Третий из них — самый короткий и легче всего переносим
на общие случаи.
(а) Ищутся плоскостные элементы (4), которые принадлежат
одновременно нескольким интегральным поверхностям, например
Z — ф(х. у) и г — ^(х, у). Эти интегралы предполагаются дважды
непрерывно дифференцируемыми. Кроме того, ни в каком подынтер-
вале интервала а < t < £ все три разности
~ Ххх- fcy ~ Xxv Фуу — Хуу
после подстановки х (/), у (t) не должны быть тождественно равны
нулю.
Тогда из уравнения (1) после подстановки интегралов и диффе-
ренцирования по х и по у следуют два уравнения для функции ф:
+ = 1 (10
а также два аналогичных уравнения с х вместо ф. Подставим теперь
сюда функции (4); тогда по предположению коэффициенты Fx, Fv,
8.5] § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 85
Fz, Fp, Fq, Фу уравнений (10) совпадают с соответствующими
коэффициентами, которые появляются в уравнениях для х- Получается
поэтому система
(Фхх Ххх) F р 4“ (Фух Хух) Fq ~ 0» 1
(Фху - Хху) Рр + (Фуу - Хуу) Fq - 0 J (п>
с подставленными сюда функциями (4).
С другой стороны, мы имеем:
2(/) = ф(х(0, у(0). )
р(0 = Фх(л:(0- У(О). ?(0=Фу(-*40. у(0). J '
и аналогичные уравнения остаются справедливыми для х вместо ф..
Отсюда следует после дифференцирования условие полосы
х' = рх' qy', (13>
также еще четыре соотношения: два для ф
Р' = Фхх*' + Фху/. / = Фух*' + Фуу/ (14)
и остальные два с х вместо ф. Из этих четырех уравнений следует:
(Фхх — Ххх) х' + (Фху — Хху) У’ = °-
(фух — Хух) х> + (Фуу — Хуу) у' = 0.
Так как ни в какой части интервала (а, [>) все скобки ^0 и так
как фху — фул., Хху — Хух> то сравнение этих уравнений с уравне-
ниями (11) дает
y'Fp — x'Fq = 0.
Если |х'| -ф- |у'|> 0, то выбором надлежащего переменного можно,
достичь того, чтобы были удовлетворены оба первых уравнения (6).
Но тогда, в силу (13), удовлетворится также и 3-е уравнение си-
стемы (6). Наконец, уравнения (10) после подстановки функций (4)
дадут соотношения
Р'(О = -^-фх(*(0. У(0) = —^х~ PFг,
/(0 = -^-фу(*(0, y(O) = -Fy-9Fz,
а это — два последних уравнения системы (6).
(б) Пусть z — ф(х, у) — дважды непрерывно дифференцируемая
интегральная поверхность дифференциального уравнения (1); пусть-
(4) — плоскостные элементы, принадлежащие этой интегральной по-
верхности. Если в уравнение (1) поставить г = ф, то получаются^
как и в (а), соотношения (10) и (12) — (14). Подставим теперь в (10)>
86 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.5
функции (4), а потом уравнения (14) прибавим к соответствующим
уравнениям (10); тогда получим:
Р' + Fx + PFz = 'Фхх (х' — Рр) + Фху (У' — PQ),
Q' + Ру 4- <}Pz = Фух 1Х' — Рр) -Ь Фуу (/ — Рд)-
(15)
Уравнения (13) и (15) справедливы для каждой полосы, принадле-
жащей интегральной поверхности. Оба уравнения (15) существенно
упрощаются, когда полоса выбирается так, что
Х' = Рр, У' = Рд.
т. е. когда получаются как раз характеристические уравнения (6).
(в) Пусть дана пространственная кривая х — x(t), y = y(t),
z — z (f). Возникает вопрос, когда она единственным образом
может быть дополнена до такой однопараметрической совокупности
плоскостных элементов (4), каждый из которой удовлетворяет урав-
нению (1)? Это как раз тот случай, когда р (/), q(t) могут быть
выбраны 'единственным образом такими непрерывно дифференцируе-
мыми функциями, что выполняется условие полосы
рх' -\-qy'—z'~0
и удовлетворяется уравнение
F(x, у, z, р, #) = 0.
Если числа Ро=р(?о). <Зо~Ч(^о) удовлетворяют обоим только
что написанным уравнениям, то, в силу теоремы о неявных функциях,
существуют (в некоторой окрестности значения /0) непрерывные
функции p(t), q(t), удовлетворяющие обоим этим уравнениям, если
только функциональный определитель
=#0.
(16)
Обратно, если это условие не выполнено, то
х' у'
= 0
(17)
для некоторой полосы (4); если, кроме того, |Fp|-ф-|F^| > 0 или
] х’ | -ф-1 у' | > 0, то при надлежащем выборе параметра t
х' = Fp, у' = F?.
Следовательно, условие, противоположное неравенству (16), приводит
непосредственно к первым двум из характеристических уравнений (6).
Третье из уравнений (6) является не чем иным, как условием полосы.
Оба последних уравнения получают, как в п. 8.4.
8.6| § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 87
8.6.. Обыкновенные и особые плоскостные элементы. Плоскост-
ной элемент хс, у0, z0, р0, д0 называется обыкновенным (регуляр-
ным, правильным) или особым (нерегулярным) для дифферен-
циального уравнения (1), смотря по тому, будет ли | Fpl-ф1 Fq | > О
или | Fp [ 4-1 Fg | = 0 в точке (х0, у0, z0, р0, q0).
Для каждой характеристической полосы, содержащей по крайней
мере один обыкновенный плоскостной элемент, ни кривая-носитель,
ни ее проекция на плоскость х, у не состоят только из одной точки.
Если характеристическая полоса содержит особый плоскостной эле-
мент., то она может иметь различные свойства, как показывают
приводимые примеры.
В следующих примерах 0, 0, 0, 0, 0 — особый плоскостной элемент;
исследуется характеристическая полоса, которая проходит через него при
/ = 0.
(а) р2-ф?2 = л:-фу.
Характеристические уравнения таковы:
х'— 2р, у' = 2q, г' = 2р2 ф-2ф, Р' = 1. ?'=Е
Из двух последних уравнений следует p—q=t, после чего из двух первых
находим х = у = t2. Кривая-носитель состоит, следовательно, не только из
одной точки.
(б) (/’-ф1)-* + ('И])У = г-
Характеристические уравнения таковы:
х' — х, у' = у, z' — xp-\-yq, р' =—1, q' = — 1.
Из двух первых уравнений следует х = у = 0, после чего из третьего нахо-
дим z = 0; в то же время оба последних уравнения дают p = q — —t. Кри-
вая-носитель состоит здесь только из одной точки, но ей соответствует бес-
конечно много направляющих коэффициентов.
(в) Р2 + ?2 — ХР~ У? + ^ = 0.
Характеристические уравнения таковы:
х'—2р — х, y’ = 2q — y, г' — 2р2 ф 2q2— xp~yq, р' =0, q' = 0.
Из двух последних уравнений следует р = q = 0, после чего из трех первых
находим х — у = z = 0. Характеристическая полоса состоит из единствен-
ного плоскостного элемента.
(г) р2 -ф q2 -ф х2 -ф у2 = 0.
Характеристические уравнения таковы:
х' = 2р, у'=2q, z’= 2р2-\-2q2, р'=— 2х, q' = — 2у.
Из них следует соотношение хх' -ф у у' -ф рр' -ф qq' = 0, или х2 -ф у2 ф
ф р2_|_q2 — о, т. е. х = у = p — q — Q. Из третьего характеристического
уравнения находим: z = С при любом С. Поэтому особыми плоскостными
элементами будут:
х — 0, у = 0, г = С, р - - 0, q = 0.
•88 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.7
-Одновременно это и единственные интегральные элементы. Следовательно,
как непосредственно видно из дифференциального уравнения, интегральной
-поверхности не существует.
8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности. Пло-
скостной элемент х, у, z, р, q называется интегральным элемен-
том дифференциального уравнения (1), если F (х, у, z, р, <у) = 0.
Полоса (4), (5) называется интегральной полосой, если она состоит
только из интегральных элементов.
(а) Функция F (х, у, z, р, q) постоянна вдоль каждой харак-
теристической полосы дифференциального уравнения (1), т. е.
F(x(t), y(t), z(t), p(f), q(t)') = const;
поэтому характеристическая полоса является интегральной полосой,
если она содержит хотя бы один интегральный элемент.
Для разрешенных относительно производной дифференциальных
уравнений (7) каждая характеристическая полоса всегда является
интегральной полосой: в этом случае справедливо уравнение (9).
(б) Если функция г = ф(х, у) в области ®(х, у) является дважды
непрерывно дифференцируемым интегралом дифференциального урав-
нения (1) и если
х0. Уо. Ф(*о. Уо). Уо). 'М-Хд- Уо) (18)
— любой плоскостной элемент этой интегральной поверхности, то
любая характеристическая полоса1) уравнения (1), которая содержит
-этот плоскостной элемент, принадлежит поверхности z — ф (х, у),
коль скоро две первые координаты х, у этой полосы являются точ-
ками области ®2).
Следовательно, дважды непрерывно дифференцируемые интеграль-
ные поверхности могут быть построены из характеристических полос.
(в) Если г = ф(х, у) и z — 'f{x, у) — две дважды непрерывно
дифференцируемые в области ®(х, у) интегральные поверхности
уравнения (1) с одним общим плоскостным элементом (18), то все
характеристические полосы уравнения (1), которые содержат этот
плоскостной элемент, одновременно принадлежат обеим интегральным
поверхностям, если-только (х(/), у (О) — точки области ®.
Если этот общий плоскостной элемент—обыкновенный, то обе
интегральные поверхности, в силу п. 8.6, имеют общую кривую,
-не вырождающуюся в точку.
') Если функция F дважды непрерывно дифференцируема или же
-благодаря каким-либо условиям гарантирована однозначная разрешимость
характеристических уравнений (6) при заданных начальных условиях, то
существует лишь единственная полоса такого рода.
2) Относительно ослабления условий о дифференцируемости см.
A. Haar, Acta Szeged 4 (1928); 103—114; Т. Wazewski, Annales Soc.
Polon. Math. 13 (1934), 10—12; Math. Zeitschrift 43 (1938), 521—532.
8.8] § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 8S
8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы.
(а) Частный интеграл уравнения (1) — не что иное, как неко-
торый интеграл дифференциального уравнения, т. е. какая-то функ-
ция z~ty(x, у), удовлетворяющая уравнению (1). Поэтому термин
«частный интеграл» означает, как правило, то же, что и просто-
«интеграл».
(б) Интеграл дифференциального уравнения (1) з = ф(х, у) назы-
вается особым, если он содержит только особые интегральные эле-
менты (ср. с пп. 8.6, 8.7), т. е. когда три уравнения
F(x, у, z, р. д) = 0. Fp = 0, Fg = 0 (19)
одновременно справедливы для
г = ф, р = фх, q = фу. (20)
Если подставить (20) в (19), то после частного дифференцирования
получается, что для дважды непрерывно дифференцируемых особых
интегралов имеют место соотношения
Fx~Ь pFz~ 0" Fy-\-qFz — §. (21)
Интеграл, который не содержит особых интегральных элементов,
может вполне называться обыкновенным. Произвольный интеграл
может, естественно, содержать как обыкновенные, так и особые пло-
скостные элементы.
Особые интегралы данного дифференциального уравнения (1) полу-
чаются, когда из уравнений (19) или (в случае, если ищут дважды
непрерывно дифференцируемую интегральную поверхность) из (19)
и (21) определяют все интегральные элементы х, у, z, р, q и иссле-
дуют, можно ли из них составить непрерывно дифференцируемые
поверхности г = ф(х, у).
Пример, pq — г.
Особые плоскостные элементы получаются из соотношений
г = pq, q = 0, р = 0;
следовательно, z — р = q — 0 при любом х, у, н эти элементы объединяются
в особую интегральную поверхность г = 0.
(в) Полный интеграл дифференциального уравнения (1) есть дву-
параметрическое семейство интегралов
г = ф(х, у, а, Ь), (22)
причем функция ф вместе с ф*., фу в некоторой области простран-
ства х, у, а, b должна быть непрерывно дифференцируема по всем
90 ГЛ- П. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [9.1
четырем аргументам, а функциональная матрица
0 (ф, фу)
0 (а, Ь)
в каждой точке этой области должна иметь ранг 2 *).
Роль полного интеграла, который, впрочем, определяется диффе-
ренциальным уравнением отнюдь не однозначно, основана на том, что
из него одним только процессом дифференцирования и исключения
можно вывести все интегралы уравнения. Говоря грубо, полный инте-
грал приблизительно соответствует интегральному базису линейного
однородного дифференциального уравнения (см. п. 3.4).
(г) Общим интегралом называется интеграл уравнения (1), кото-
рый зависит от одной произвольной функции. При этом зависимость
понимается так, что в (в) входит Ь — <р (а) с произвольной функ-
цией ф. Отметим, что более подходящим было бы требование, чтобы
интеграл зависел от произвольной данной начальной полосы.
§ 9. Метод Лагранжа
9.1. Первые интегралы. Пусть задано квазилинейное уравнение
/(х, у, z)p-\-g(x, у, z)q = h(x, у, г); (*)
если ву==ф(х, у, z)— интеграл соответствующего однородного урав-
нения
, . . dw . , . dw , , , . dw n . .
/(*. У. z)-^-\-g(x, у, z)-^--\-h(x, у, z)-^ = 0, (**)
то, согласно п. 5.4, интеграл уравнения (*) можно получить, раз-
решая уравнение ф = С относительно z. При этом интегралы ф урав-
нения (**) являются непрерывно дифференцируемыми функциями,
постоянными вдоль каждой характеристики уравнения (**)• или, что
то же самое, вдоль каждой характеристики уравнения (*).
Метод Лагранжа* 2) для уравнения
F(x, у, г; р, q) = 0 (1)
состоит в реализации аналогичного подхода для дифференциального
уравнения (1).
(а) О функциях F (х, у, z, и, v), G(x, у, z, и, v), И (х, у, z, и, v),
которые встречаются ниже, будем предполагать, что все они непре-
рывно дифференцируемы в области @(х, у, z, и, v).
) Также еще требуется, чтобы через х, у, ф, фл-, фу доставлялись сразу
все интегральные элементы уравнения (1). Однако это требование, пожалуй,
нигде последовательно не проводится. Благодаря ему практическая полез-
ность полных интегралов становилась бы излишне осложненной.
2) [Этот метод иногда называют методом Лагранжа —Шарпи\ см.
Степанов, стр. 381—392. — Прим, ред.]
9.1]
§ 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА
91
Функция G(x, у, z, и, -и) называется первым интегралом урав-
нения (1), если она постоянна вдоль каждой характеристики уравне-
ния (1), т. е. вдоль каждого решения x(t), y(t), z(t), u(t), v(f)
характеристической системы дифференциальных уравнений (см. п. 8.4)
x'(/) = F„, y'(t) = Fv, z'(t) = uFtt + vFv, |
u'(t) = — Fx — uFz, v’ (t) = — Fy—vFz. J
Согласно n. 3.2, это означает, что функция G является интегра-
лом линейного однородного дифференциального уравнения
„ dw . „ dw . , „ . с \ dw
F„ -5-k -л-----k («F„ + vFtd “5--
“ dx 1 ® dy ' v “ 1 dz
-(Fx + uFz)^-(Fy+vFz)^ = G. (3)
Подставляя в («3) интеграл G, мы приходим к соотношению
[F(x, у, z, и, v), G(x, у, z, и, ti)|sO в G; (4)
выражение
[F, G] = —[О, F] = (FX + «FZ)GB +
+ (Fy + vFz) Gv - (Gx + uGz) Fu - (Gy + vGz) Fv (5)
носит название скобок Якоби. О функциях F и G, удовлетворяющих
соотношению (4), говорят также, что они находятся в инволюции
друг к другу.
В силу п. 8.7 (а), функция F(x, у, z, и, V)— очевидный первый
интеграл уравнения (I)1)- Для получения остальных его первых инте-
гралов надо решить линейное однородное дифференциальное уравне-
ние (3) (см. § 3).
(б) Для дальнейшего оказывается очень полезно ввести еще одно
понятие интеграла дифференциального уравнения (1). Функция
G(x, у, z, и, v) будет называться специальным первым интегра-
лом2) уравнения (1), если она постоянна вдоль каждой характери-
стической интегральной полосы уравнения’ (1). Функция G тогда и
только тогда является специальным первым интегралом уравнения (1),
когда соотношение (4) выполняется для каждого интегрального эле-
мента х, у, z, и, v этого уравнения.
Пример, (хр 4- yq — z)2 = (р2 4- q2) f (х2 4- у2).
Характеристические уравнения таковы:
х' = Чх (хр 4- yq — z) — 2р/,
у' = 2у (хр 4- yq — z) — 2qf,
z' = 2 (хр 4- yq) (хр 4- yq — z) — 2 (р2 4- q2) f,
P' = 2x(r24-?2) f, q' = 2y (p2 + q2)f.
*) Это, впрочем, видно и непосредственно из уравнения (3), решением
которого является w = F.
2) [В подлиннике — Vorintegral im weiteren Sinne. — Прим, ped.]
92 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |9.2
Из двух первых уравнений следует:
у'р — х'д = 2 (ур — xq) (хр + у? — г),
а из двух последних —
ур' — xq' = 0.
Складывая эти два уравнения, получаем:
Ограничиваясь только характеристическими интегральными полосами, можно
привлечь к преобразованию характеристических уравнении еще и исходное
дифференциальное уравнение. Именно, исходное уравнение и третье харак-
теристическое уравнение дают соотношение
z' = 2z(xp-\-у q — z).
Таким образом, уравнение (*) принимает вид
(ур — хд)' г'
yp — xq z ’
откуда видно, что In | ур — xq | — In | z | или, что то же самое,
УР — хд
z
— специальный первый интеграл (поскольку для его образования было
использовано само дифференциальное уравнение).
(в) Если функция G является специальным первым интегралом
дифференциального уравнения (1) и если p=U (х, у, z), q—V (х, у, z)
в области ® (х, у, z) — общее непрерывно дифференцируемое
решение одновременно обоих уравнений F — 0 и 0 — 0, то
[F, G] = 0 в ®,
если скобка Якоби вычислена для p = U, q = V. Если О и Н—спе-
циальные первые интегралы дифференциального уравнения (1) и если
функции z — \\>(x, у), p=U(x, у), q—V(x, у) являются общими
решениями в области ®(х, у) одновременно трех уравнений F—0,
0=0, Н—0, то
[F, О] = 0 и [F, #] = 0 в ®,
если скобки Якоби вычислены для z — ф, p=U, q = V.
Таким образом, решать дифференциальные уравнения (1) можно
по-разному, в зависимости от того, два или только один специальный
первый интеграл удается разыскать (кроме очевидного первого инте-
грала F).
9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов. Если, кроме
очевидного первого интеграла F дифференциального уравнения (1),
известны еще два специальных первых интеграла G и Н, то, со-
9.2|
§ 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА
93
гласно методу, намеченному в п. 9.1, мы будем поступать следующим
образом. Разрешим уравнения
F(x, у, z, и, г/) = 0, G(x, у, z, и, 0 = 0, 1
Н(х, у, z, и, v) — G | (6)
относительно z, и, v. Если при этом получаются непрерывные функ-
ции и — и(х, у), v — v(x, у) и. непрерывно дифференцируемая
функция z = z(x, у), то проверим, будет ли zx = u, zy = v. Если
это так, то функция z (х, у), очевидно, является, решением уравне-
ния (1) и, более того, — общим решением трех уравнений
F{x, у, z, р, 0 = 0, G(x, у, z, р, 0 = 0, |
Н (х, у, z, р, 0 = 0. )
(а) Два уравнения вида (1) не всегда имеют одно общее решение,
как показывает тривиальный пример р — 0, р=\. Справедлива
следующая теорема: если функция ф(х, у), определенная в области
®(х, у),—дважды непрерывно дифференцируемый интеграл обоих
дифференциальных уравнений
F(x, у, z, р, 0 = 0, G(x, у, z, р, q)—0, (8)
то ф удовлетворяет в ® и дифференциальному уравнению
[Д(х, у, z, р, q), G(x, у, z, р. 0] = О. (9)
Таким образом, необходимым условием одновременной разрешимости
обоих уравнений (8) является наличие общего решения для трех
уравнений (8), (9)1).
(б) Для проведения намеченного выше метода надо еще потре-
бовать соответствующих условий для функций F, Н и G, Л/-(анало-
гичных условию (9)), а также функциональной независимости трех
уравнений (6) в том смысле, что функциональный определитель
функции F, G, Н относительно z, и, v отличен от нуля. Тогда
имеет место следующая теорема:
Пусть функции
г = ф(х, у), u — U(x, у), v — V(x, у) (10)
непрерывно дифференцируемы в области ® (х, у) и удовлетворяют
там уравнениям (6). Далее, пусть для функций (10) скобки Якоби
равны нулю:
[Д, G] = 0, [Д, Я] = 0, [G, tf] = 0 в ®(х, у), (11)
') Уравнение (9), так же как и оба уравнения (8), отнюдь не будут
новыми условиями. Если, например, G является первым интегралом уравне-
ния (1), то, в силу 9.1, уравнение (4) выполняется даже тождественно для
всех пяти переменных.
94 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с двумя ПЕРЕМЕННЫМИ [9.2
а в каждой подобласти области ®
д {г, и, v)
(12)
Тогда
U (х, у) = фх (х. у). V (х. у) = фу (х, у),
следовательно, функция ф(х, у) является общим интегралом уравне-
ний (7) в области @(х, у) и, в частности, интегралом дифферен-
циального уравнения (1).
Предположения (11) и (12) сохраняются, если мы заменим функ-
ции G кН на G — а, Н — Ь, где а, b — произвольные постоянные.
Функции (10) можно в этом случае получить путем решения уравнений
F (х, у, z, и, -у) = 0,
G(x, у, z, и, v) = a,
Н(х, у, z, и, v) = b.
(13)
и, таким образом, в некоторой области получается полный инте-
грал z = ty(x, у; а, Ь) уравнения (1).
(в) При применении (б) к решению конкретного дифференциаль-
ного уравнения (1) сначала составляют характеристические уравне-
ния (2) (которые пишутся так же, как в § 8, (6), с буквами р, q
вместо и, v). Далее стараются, комбинируя эти уравнения, получить
такие две непрерывно дифференцируемые функции G и Н, которые
постоянны вдоль каждой характеристики или вдоль каждой характе-
ристической интегральной полосы, т. е. получить два первых инте-
грала— собственных или специальных. При этом нужно обратить
внимание на то, чтобы три функции F, G, Н были функционально
независимы друг от друга. Оба первых уравнения (11) заведомо
выполняются (тождественно по х, у, z, и, v) для собственных первых
интегралов уравнения (1), а также и для специальных первых инте-
гралов. Наконец, разрешают уравнения (6), или более общее (13),
относительно z, и, v. Подстановкой найденной функции 2 = ф(х, у)
в уравнение (1) или проверкой выполнения всех остальных предполо-
жений (б) можно определить, является ли функция 2 = ф(х, у)
интегралом дифференциального уравнения (1).
Пример.
РЯ = г. (14)
Для него характеристическими будут следующие уравнения:
х' (/) = », у' (/) = и, г' (/) = 2iw, «'(/) = u, v' (t) — v.
Из них следуют соотношения
и' — у' ~ 0, •о' — хг = 0, u'v — uv' = 0,
а поэтому функции и — у, v — х и, если можно ограничиться областью,
в которой v =f= 0, — являются непрерывно дифференцируемыми функциями,
§ 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА
95
9.3]
постоянными вдоль каждой характеристики уравнения (14), т. е. эти три
функции являются первыми интегралами. Уравнение (14) имеет, кроме того,
очевидный первый интеграл z — uv. Любая непрерывно дифференцируемая
функция от указанных первых интегралов снова есть первый интеграл.
Если теперь положить
F = г — uv, G — и — у, Н — —---1,
1 v
то уравнения (6) имеют решение z = у2, не являющееся, однако, интегралом
уравнения (14). Это, впрочем, не противоречит теореме (б), поскольку здесь
{G, 77] = -£#=О.
Если положить
F = г — uv, G = х — v, Н = у — и,
то из уравнений (13) получим полный интеграл
г = (х —а) (у — *).
Если мы выберем первые интегралы
F — z — uv, G = a(x— v) + y—и, Н = ~,
то из уравнений (13) получаем полный интеграл
г = ^(ах4-у-*)2.
9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла. Если для
дифференциального уравнения (1) найден только один первый инте-
грал G в собственном или специальном смысле, независимый от оче-
видного интеграла F, то также удается получить полный интеграл.
С этой целью разрешают уравнения
F(x, у, z, и, г/) —О, G(x, у, z, и, v)~a (15)
при произвольном а относительно и, это дает, вообще говоря,
числовую систему х0, у0, z0, и0, v0, которая удовлетворяет обоим урав-
нениям, причем функциональный определитель ¥= 0 в окрест-
ности этой точки. В этом случае оба уравнения (15) имеют в окрест-
ности точки (х(), у0, z()) непрерывно дифференцируемое решение
u=U(x, у, z), v=V (х, у, z). Используя это решение, образуют
систему дифференциальных уравнений
^ = U(x, у. z), ~ = V(x, у, z) (16)
и ищут ее решение z = ty(x, у). Так как из предположений следует
условие интегрируемости
uy+vuz=vx+uvz
в окрестности точки (х0, у(), г0), то (ср. с п. 7.1) такое решение
существует, и при этом можно выбрать для ф(х0, у0) еще одно
96 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |9.4
произвольное значение b в достаточно малой окрестности z0. Тогда
функция г = ф(х, у; а, Ь) будет общим интегралом уравнений (16)
и полным интегралом уравнения (1). Область существования этого
интеграла, вообще говоря, оказывается больше, чем ожидалось по
предположениям.
П р и мер 1. pq — z.
В п. 9.2 (в) были найдены первые интегралы и — у, v — х, Если
положить Q = и — у, то уравнения (15) приобретают в этом случае сле-
дующий вид:
uv = г, и — у = Ь,
т. е. надо решить систему (см. (16))
дг ..it дг г
дх У’ ’ ду у + ^’
ее решение
г=(х4-а)(у4-/>).
Тот же результат получают со вторым из первых интегралов; с третьим
получают полный интеграл в виде
1 / V \2
г = -j-[ах + —-4-й] .
4 \ 1 а 1 }
Пример 2. (хр + УЧ — г)2 = (р2 + q2) f (х2 -J- у2).
В п. 9.1 (б) был найден специальный первый интеграл (ур — xq)/z. Если
приравнять его к А, то, разрешая это и исходные уравнения относи-
тельно р, q, получаем:
д In г _ Ау х х
дх г2 "Г г2—/ г2 (г2 — f) v '
d In г Ax । у , у •,/-„
ду ~ + r2 — f * г2(г2 — /) ' К'
где г2 = х2 -j- у2, R = (А2 г2) f — A2f2. Отсюда можно найти In г, введя
вместо х, у полярные координаты.
9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов
из двух неочевидных первых интегралов. Может случиться, что
наряду с очевидным первым интегралом получаются два специальных
первых интеграла О, Н, которые, однако, не находятся в инволюции.
Тогда путем специального выбора в (13) констант а, b иногда удается
добиться получения однопараметрического семейства интегралов исход-
ного уравнения (1).
Пример. pq = х-\-у г.
Из характеристических уравнений
•*' = <7, У' = Р, г’= 2pq, р’=р-\-\у q'=.q^-\
находим первые интегралы
Р-94-х-у,
9.5]
§ 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА
97
которые, однако, не находятся в инволюции. Если написать, несмотря на это,
уравнения (13):
pq = х + у + г, р — q-j-x — у = 2а, р + 1 = (> (?+1).
то получим:
(Ь— 1)Р=6(у— x)-\-2ab— 6 4-1. (6 — 1)'7 = У — х4-2а—6 4"1- (*)
Так как р — zx, q = zy, то должно быть ру = qx; это условие, примененное
к уравнениям (*), показывает, что b = — 1. Для этого значения имеем:
2гх = у — х 4- 2а — 2, 2zy = х — у — 2а — 2,
следовательно,
г = — 4-а(х — у) — (х4-у) 4- 1 — а2.
Тем самым найдено однопараметрическое семейство интегралов заданного
уравнения.
9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла.
(а) Пусть
z — ty(x, у; а, Ь) (17)
— полный интеграл дифференциального уравнения (1) в окрестности1)
точки (х0, у0, а0, Ьо). Метод, которым из него можно образовать
специальные интегралы, геометрически сводится к конструированию
огибающей поверхности ко всему множеству или к некоторому под-
множеству интегральных поверхностей, входящих в полный интеграл."
Аналитически этот метод реализуется вариацией постоянных.
Если
а — а(х, у), £ = р(х, у) (18)
— непрерывно дифференцируемые функции, то из (17) после част-
ного дифференцирования следует:
— Фх I Фд^х “4“ ФбРх’ % у Фу I Фд®у 1 ФдРу»
и если
Фа“х + ФА = °- Фд«у + Фй₽у = °- (19)
то эти две функции (18), будучи подставлены в (17), дают интеграл
дифференциального уравнения (1).
(б) Уравнения (19) удовлетворяются тривиальным образом, если
фо = фй — 0. Если же эти уравнения тождественно удовлетворяются
по х, у, то получают особую интегральную поверхность как оги-
бающую совокупности интегральных поверхностей. Впрочем, для
получения этих интегральных поверхностей есть прямой метод (см.
п. 8.8(6)), в общем, более удобный.
1) Предполагается, что все дальнейшие рассуждения проводятся в не-
которой достаточно малой окрестности этой точки.
7 Э. Камке
98
ГЛ. И. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[9.5
(в) Более важным является следующий случай1). Если Ф(а, Ь),
а (х, у), р (х, у) — непрерывно дифференцируемые функции и если
выполняются условия
|Фа| + 1фй1 > 0, Ф(а(х, у), р(х, у)) = о, |
фа(х, у; а, р)Ф6(а, р) —фй(х, у; а. р)Фа(а, Р) = 0, J (
то функция
z = ф(х, у; а(х, у), р(х, у))
— также интеграл уравнения (1), являющийся огибающей поверх-
ностью к поверхностям (17) с дополнительным условием Ф(а, Л) = 0.
Если функция Ф дана, то оба уравнения (20) служат для вычисления
функций а, р, если, конечно, решения этих уравнений существуют.
Пример, pq = г.
Согласно п. 9.2 (в),
а =. (х — а) (у — Ь)
— полный интеграл. Если взять
Ф (а, £>) = Ха -|- р£> (| X | 1 р | > 0),
то первое из условий (20) выполняется. Уравнения (20) имеют в данном слу-
чае вид
Ха 4~ Р₽ = 0, X (х — а) — р (у — ₽) = 0,
откуда получается
_ Хх —ру _ _ Хх —ру
2Х ’ Р 2р *
Таким образом, если Хр #= 0, то получается интеграл
(г) Пусть х(х, у) — интеграл дифференциального уравнения (1).
Он, в силу (а), получается из полного интеграла (17), если выбрать
подходящим образом непрерывно дифференцируемые функции а (х, у),.
р(х, у):
ф(х, у; а, р) = х, = = Ху (21)
И
фаал+ф„р^ = 0, фаау 4- ф^Ру = 0. (22)
1) К этому случаю можно прийти следующим образом. Если алРу—аурх=А0>
то из (19) следует, что фа — ф6 = 0, так что имеет место предыдущий случай.
Если же, напротив, ajly—аурх = 0, то функции а (х, у), Р (х, у), в силу 2.7 (а),
зависимы. Если эта зависимость осуществляется посредством функции Ф (а, Ь),
то мы приходим как раз к случаю (в) с предположениями (20).
9.6]
§ 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА
99
Практически для вычисления функций а, р используют соотноше-
ния (21), а затем проверяют, удовлетворяют ли эти функции уравне-
ниям (22).
Рассмотрим уже решавшийся в (б) пример. Положим:
ф (х, у, а, Ь) — {х — а) (у — Ь), % (х, у) = I
тогда уравнения (21) приобретут следующий вид:
. . . (Ах ру)2 Ах 4- РУ Ах 4- РУ
В итоге получаем:
. . Ах — цу , „ , . ру — Ах
в = а(х,у)=—* = р(х,у)=-!^—.
Для этих функций уравнения (22) также выполнены.
9.6. Решение задачи Коши. Пусть в окрестности точки т0 задана
интегральная полоса
х = о1(т), у = «2 (г), z = co3(t), р = а4(т), д = а5(х), (23)
это означает, что справедливы следующие равенства:
®3 = + ®5®2
(24)
(условие полосы) и
^(®1.....®5) = 0.
(25)
Требуется найти интегральную поверхность, содержащую полосу (23) ’)•
Попытаемся получить эту интегральную поверхность из выраже-
ния (17) для каждого интеграла. Введем функцию t(x, у) такую, что
а = a(t), b — р(7), t~t(х, у); здесь все функции непрерывно диф-
ференцируемые. Функция ф(х, у), которая получается из (17) после
подстановки этих функций, является (ср. с п. 9.5) снова интегралом
уравнения (1), если
фа(х, у; а, р)а'4-ф6(х, у; а, Р)Р' = О (26)
для а (7),
если
р(7), t = t(x, у). Она содержит начальную полосу (23),
«3(т)==ф(х, у; а(т), р(т)),
«4(т) = фл(х, у; а(т), р(т)),
®5(т)=Фу(л:, у; а(т), Р(т))
(27)
’) Если задать вместо начальной полосы некоторую начальную кривую
для интегральной поверхности, то ее можно дополнить до начальной полосы (23),
для которой справедливы равенства (24) и (25).
7*
100 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (9.6
ДЛЯ X — Oi(t), У = Ы2(т) И
^(©1, ю2) — т. (28)
Уравнения (27) служат для определения функций а(7), р(/); уравне-
ния (26) и (28)—для определения функции t(x, у).
Если соотношения (27) выполнены для т = т0, х — o)j (т0), у == <а2 (т0)
и только для двух чисел а0, Ьо вместо а (т), р (т) и если, кроме того,
^p(®i(To)......®5(то))#=О, фо¥=0, фй¥=0, фафуб ф6фуо ¥= 0
ИЛИ
^(®1СГо)......ю5(то))¥=О, фа=£0, фй#=0, Фафд* — ФйФ^^О
при х = со1(то), у = со2(то)> а = а0, b — b0, то функции а(/), Р(/)
определяются однозначно из (27) как непрерывно дифференцируемые
в окрестности т0 функции, удовлетворяющие условиям а (т0) = а0,
₽(то) = ^о- Далее, еще нужно определить 7(х, у) из (26); тогда (28)
удовлетворяется само собой.
Пример 1. pq = z.
В силу п. 9.2 (в), z = (х — а) (у — Ь) — полный интеграл. Ищется инте-
гральная поверхность, которая содержит интегральную полосу
х — 0, y — t, z = t2, р — ^-, q — ‘2t.
Соотношения (24) и (25) удовлетворяются, а уравнения (27) имеют вид
ti = — a[t — b), L = t — b, •% = — а
и дают:
а(<)= —2/, ₽(0 = у-
Уравнение (26) имеет вид
2(у~4)~4(х+2о=о
и дает:
Таким образом,
х п а У х
а = --2у, ₽ = |—
откуда получаем искомый интеграл
Пример 2. pq = аху.
Дифференциальное уравнение допускает разделение переменных (см.
п. 11.5); этим методом можно найти полный интеграл
z = Ax2-\--^y2-\-B.
ЮЛ] § 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 101
Ищется интегральная поверхность, которая содержит начальную кривую
X = I, у = Т], £• = <» (1]), -ОО < Т] < + СО,
и, следовательно, (см. примечание ’) на стр. 99) начальную полосу
У = П. г = ®(1]), = =
причем предполагается, что ь/ (ц) =# 0.
Если поставить А, В вместо а, Р, то уравнения (27) примут вид
.«в-ЛЧ-ст-м-s. У7¥=2<
и, следовательно,
л аг1 о i х вё2г1 Я , , х , х
А = о- , . В — о (т]) — -, --<5- о О]), (**)
2®' (ц) ' 1 2со' О]) 2 "
а уравнение (26) переписывается так:
(т;м" — o') [ац2 (-*2 — ё2) — (У2 — Я2) ®/2 ] — 0- (***)
Если 1]®" — ®' т^= 0, то нужно определить т; как функцию от х, у:
at]2 (xs — £2) = (у2 — т;2) в>'2,
и подставить в соотношения (**) и (*). Так, например, для ®(т;) = т] получают:
z = y/fl(x2-g2) + l.
Если же цсо" — ®' = 0, то ® = at]2 -|- Р с произвольными константами а, р.
Дифференциальные уравнения (***) здесь не могут служить для определе-
ния т; = т; (х, у), но теперь из (**) получают:
и, таким образом, искомым интегралом, как подтверждает проверка, служит
функция
г = ^(*2-£2)+«У2 + ₽-
§ 10. Некоторые другие методы решения
10.1. Нормальная задача Коши1)* Под задачей Коши для диф-
ференциального уравнения
F(x. у, z, р, q) = 0 (1)
понимают задачу нахождения интегральной поверхности z = ty(x, у),
содержащей данную интегральную полосу
х = <В1($), y = G2(s), -г = й3($), р = <в4($), 9 = ы5(5). (2)
’) См. Е. О о и г s а t, Lemons sur I’integration des equations aux derivees
partielles du premier ordre, Paris, 1921, стр. 20.
102 ГЛ. И. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [ЮЛ
Здесь <bv (s) — непрерывно дифференцируемые при а < s < р функ-
ции. О функции F снова делаются предположения, уже сформули-
рованные в п. 8.1. Далее, пусть
FP (“1....“□) ®2 — (®i....®б) =# 0, (3)
это неравенство означает, что если кривая-носитель полосы (2) и
кривая-носитель характеристической полосы § 8, (6) проектируется
на плоскость х, у, то проекция первой не должна касаться проек-
ции второй. Наконец, условимся обозначать интегральный элемент,
определяемый полосой (2) для s = s0, через х0, у0, z0, р0, qQ.
Из условия (3) следует, в частности, что полоса (2) содержит
только правильные интегральные элементы (см. п. 8.6) и | со' | |>0.
В случае, если <о'(у) =£ 0]), это неравенство справедливо также и
в окрестности этой точки; в этом случае можно преобразовать задачу
Коши (1), (2) в «нормальную задачу Коши» специального вида* 2):
р = f (х, у, z, q), х — 0, у-'t], z(0, у) = 0. (4)
Для выполнения этого преобразования уравнение т) = ю2(у) раз-
решают относительно у и выбирают tj в качестве независимого пере-
менного. Тогда начальные условия (2) переписываются в виде
-* = РСП). У = 'П. г = а(т]), р = т(т]), ^ = о>(т|). (5)
Если теперь подвергнуть непрерывно дифференцируемую функцию
z(x, у) преобразованию
Z(X, К)— z(x, у) — о(у), Х = х — р(у), К = у,
то из дифференциального уравнения (1) получится уравнение
F(X4-p(K), Y, Z + O(Y), Zx, Zy — Дхр'(К) + о'(Г)) = 0
для Z, которое, благодаря условию (3), можно разрешить относи-
тельно Zx. При этом получится первое из уравнений (4) с большими
буквами вместо маленьких. Из трех первых уравнений (5) получаются
последние три уравнения (4); последнее уравнение (5) переходит
в уравнение Zr (0, К) = 0, вытекающее из последнего уравнения (4);
предпоследнее уравнение (5) представляет собой следствие первого
уравнения (4).
*) Если (у0) 0, а ш2 (у0) — 0, то следует поступать аналогичным
образом.
2) Под нормальной задачей понимается начальная задача, которая вклю-
чает в себя дифференциальное уравнение в явной форме р — f (х, у, г, q)
и некоторое начальное условие х — у = >], z (£, >]) = <в (>]) при фиксиро-
ванной g и переменном >] , или же q = f (х, у, г, р) и х = у = т], г (£, т]) =
= <в (£) при фиксированном т] и переменном g.
IO.2| § 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 103
10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик
Коши1)- В § 9 были уже изложены некоторые методы, с помощью
которых в ряде случаев можно решить данное дифференциальное
уравнение (1). Однако там ничего не сказано о том, при каких общих
условиях интеграл данного уравнения существует.
Следующая теорема существования относится к задаче
Коши.
Пусть левая часть F (х, у, z, р, q) уравнения (1)—дважды непре-
рывно дифференцируема в области ®(х, у, z, р, q). Пусть при
а < s < р
х==х0(з), y=^y0(s), z=zo(s), Р — Po(s), q = q0(s) (6)
— интегральная полоса дифференциального уравнения (I)2), для ко-
торой
(71
причем в Fp и Fq подставлены функции (6)3). Тогда задача отыска-
ния интегральной поверхности уравнения (1), содержащей полосу (6),
разрешима «в малом»; более того, полученный интеграл даже дважды
непрерывно дифференцируем 4).
Получить этот интеграл — решение задачи Коши — можно сле-
дующим путем: поскольку функция F дважды непрерывно диффе-
ренцируема, то правые части характеристической системы § 8,
(6) непрерывно дифференцируемы; следовательно, ее решение одно-
значно определено некоторыми начальными значениями х0, у0, z0,
jp0, Чо ПРИ — 0- Пусть этими решениями будут:
x = x(t, х0, .... %)....q=q(t, х0, .... q0).
В качестве упомянутых начальных значений выбираются элементы
данной интегральной полосы (6), т. е. строятся функции
X (s, t) = x(t, x0(s)...q0(s)), .... Q(s, t) =
= q{t, x0(s)...q0{s)).
Эти функции в области их существования дают исключительно
интегральные элементы дифференциального уравнения (1). Благодаря
условию (7), уравнения
х = X (s, t), у — Y (s, t)
*) [См. Курант, стр. 88—91; Степанов, стр. 393—406. — Прим, ред.]
г) Можно также исходить’из некоторой непрерывно дифференцируемой
пространственной кривой х — х0 (з), у = у0 (s), z = z0 (s) и — коль скоро это
выполнено — так добавить непрерывно дифференцируемые функции р0 (з),
q0 (s), чтобы функции (6) удовлетворяли условию полосы и уравнению (1).
3) Относительно геометрической интерпретации (7) см. 10.1. Из нера-
венства (7) следует, что начальная полоса (6) содержит лишь регулярные
плоскостные элементы.
4) Существует ли только один интеграл — зависит от вида области.
104 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |Ю.З
в каждом подынтервале a<cto-<s-<po<p могут быть однозначно
разрешены относительно s, t для всех достаточно малых t\ получаем
две функции s = s(x, у), t = t(x, у). Подставляя эти две функции
в соотношение z — Z (s, t), мы получим искомый интеграл дифферен-
циального уравнения (1).
Пример, pq = 1.
Пусть для этого дифференциального уравнения задана начальная инте-
гральная полоса
х = s, у — s8, z = 2s3, р — s, q == 1 (s > 0).
Из характеристических уравнений
x'(t)—q, y'(t) = p, z'(t)=2pq, p'(t)=Q, q’(t)=Q
без труда определяется характеристика с начальным значением ха.qQ
при t = 0:
x==x0 + 90f, у = Уо + М z = 2pBqJ + z0, p — Pa, q — q&
После подстановки уравнений начальной полосы получаем:
x = l-|-s, y = sZ-|-s3, z_=2t-\-2s3, p — s, <7 = 1.
Из второго и третьего уравнений получаем соотношение г = 2—, а из двух
первых уравнений следует, что у = xs3. Таким образом, искомым интегра-
лом будет:
г = 2/ху для х > 0, у > 0.
10.3. Частный случай: p—f(x, у, z, q). Если дано дифферен-
циальное уравнение, разрешенное относительно одной из произ-
водных:
P = f(x, у, z, q) (8>
и для него ищется интегральная поверхность, которая проходит
через данную кривую, лежащую в плоскости, параллельной пло-
скости у, z1), то при надлежащих предположениях можно дагь
оценку области определения интеграла.
(а) Пусть в области
|х—< а, у, z, q— любые, (9>
функция / (х, у, z, q) дважды непрерывно дифференцируема. Далее,
пусть ее частные производные не превосходят по абсолютной вели-
чине числа Л(Л>1). Пусть, наконец, функция о(т)) определена
для всех Tj, дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет
неравенству
I®' СП) I + И (П) IК В.
*) [См. п. 2.6 (б) и примечание ') на стр. 23. — Прим, ред.]
I0.3|
§ 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
105
Тогда дифференциальное уравнение (8) имеет ровно одну интеграль-
ную поверхность г = ф(х, у), содержащую начальную кривую
х = |, у = г]. z = a (т]), — оо < г] < оо.
Эта поверхность существует по крайней мере в области
| х —< min (а, . —оо<у<4-оо,
и там дважды непрерывно дифференцируема.
Эту интегральную поверхность получают методом характеристик
Коши. Определяем для характеристических уравнений
y'M = — f9, z' (x) = f —qfg, q'{x) = fy+Qfz (1°)
интегральные кривые
у = Y (х, т]), z = Z (x, n). q — Q. {x, tj), (11)
проходящие через начальные точки (х = |, у = т], z = <в (д),
q = а' (т])), и разрешаем первое из уравнений (И) относительно тр
получаем функцию т]=х(х, у). Тогда z = Z(x, у.(х, у)) — искомый
интеграл; следовательно, иными словами, оба первых уравнения (И)
дают этот интеграл в параметрическом представлении1).
(б) Если функция / задана не в области (9), а в какой-нибудь
конечной области, то удается доказать аналогичную теорему
существования в случае, когда область определения функции f можно
так продолжить до области вида (9), чтобы там были выполнены
предположения теоремы (а)2).
(в) Во многих случаях методом, изложенным в (а), получают
интеграл даже в более широкой области, несмотря на то, что до-
больно сильные ограничения относительно производных функций /
и (0 иногда не выполнены.
Пример 1. p — q2', <в (я) = Я2-
Из характеристических уравнений
у’ — — 2q, z' — — q2, q' = О
*) Камке, D. Glen, стр. 352—358; там предполагается еще, что | f | < А;
это предположение не является необходимым, поскольку функция f оцени-
вается по теореме о среднем через производные.
Другие результаты относительно области существования интеграла см.
Т. Waz'ewski, Annales Soc. Polon Math. 13 (1934), стр. 1—9; 14 (1935),
•стр. 149—177. По поводу предположений о дифференцируемости функций f
и w см. там же: 13 (1934), стр. 10—12; Math. Zeltschrift 43 (1938),
•стр. 521—532. Относительно однозначности интеграла см. А. Н а а г, Acta
Szeged 4 (1928), стр. 103—114. Исторические замечания содержатся у Serret-
Scheffers, Differential- und Integralrechnung III, S. 719 f.
2) См. Камке, D. Glen, стр. 359—362; T. Wazewski, Annales, Soc.
Polon. 14 (1935), стр. 149—177.
106 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С двумя ПЕРЕМЕННЫМИ [10.4
следует:
q = 2i], г = л2 — 4 (х — g) л2, у = л — 4 (х — g) Л-
Из последнего уравнения получаем:
для
так что
У2
Пример 2. р = In q (q > 0); <в (л) = л2 (л > 0).
Из характеристических уравнений
следует:
q = 2t], г = (1п2л —1)(х —D + ’l2. У = + Я-
Из последнего уравнения получаем:
= + х —
(квадратный корень надо брать положительным, чтобы у = л для х = £).
F У2
Отсюда находим для х — g < интеграл в параметрическом представлении
г=(1п2л — 1)(х— 5) + л2. У - ~ + П-
10.4. Представление решения степенным рядом в случае
аналитических функций1). Рассмотрим снова задачу с начальным
условием для дифференциального уравнения (8). Встречающиеся
функции и переменные могут быть теперь комплексными.
Пусть в окрестности точки (х0, у0, z0, <?0) функция /(х, у, z, q)
является аналитической функцией комплексных переменных х, у, z, qy
т. е. она разлагается в абсолютно сходящийся степенной ряд
f (х, у, z, q) = 2 «х, к, и, V (х — хо)И (У — Уо)К (z — Zof (q —
и, X, и, v
Далее, пусть со (у) в окрестности значения у— у0— регулярная
функция комплексного переменного у и
to(So) = z0, о'(у0) = %. ’
Тогда в достаточно малой окрестности точки (х0> у0) дифференциаль-
ное уравнение (8) имеет ровно одно решение z — ф (х,_ у), которое
’) См. J. Horn, Partielle Differentialgleichungen, Berlin und Leipzig,
1929, стр. 161—166; О. Perron, Math. Zeitschrift 5 (1919), стр. 154—160.
I0.5|
§ 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 107
в этой окрестности является аналитической функцией, т. е. предста-
вляется абсолютно сходящимся рядом
ф (X, у) = 5 сц, V (* — *о)м (у — УоЛ
И, V
и которое при х = х0 принимает значение
Ф(*о. У) = ®(У)- (12)
Коэффициенты с v искомой функции z можно записать так:
где индекс «0» означает, что производная вычислена при значениях
х — хй, у = у0. Но из начального условия (12) следует, что
а из уравнения (8) находим:
Уо’ z°'
или, после v-кратного дифференцирования по у,
/ dl+vz \ / dv , /
L, . v = TV/ х> У- z(x'
\ дх dyv Jo \ dyv \
dz(x, у) И
ду / /о ’
v= 1, 2, ...
Дифференцируя соотношение (8) по х и затем v раз по у, получаем
/ d2+vz \
1—z-----1, V—0, 1, 2, ... Таким образом, мы можем получить
\ дх? dyv /
значения всех производных функций z в точке (х0, у0) и тем самым
найти- все коэффициенты с разложения интеграла ф(х, у).
10.5. Более общие разложения в ряды ’). Переменные теперь
снова предполагаются действительными. Пусть дано дифференциаль-
ное уравнение, разрешенное относительно одной из производных:
ОО со
р=2 2 /и,v(x- y)Av;
ц=0 v=0
(13)
отыскивается интеграл этого уравнения, который при х — 0 равен
данной функции со (у)'.
Формально процесс решения проходит так. Подставим
г=5фР(*. У) (14)
p=i
') См. О. Perron. Sitzungsberichte. Heidelberg, 1920. Abh. 9.
108 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 110.5
в дифференциальное уравнение (13); при этом пусть
Ф1(0. У) = ®(У); Фр(0. У) = 0 Для р>2; (15)
тогда функция z заведомо удовлетворяет начальному условию. После
подстановки (14) в (13) и проведения необходимых выкладок полу-
чаем:
V_____и!_______„в, (16>
Jj дх Pi!...Pr! V11...VJ 'в.у'п \ду / " \ду )
р=1
Здесь суммирование производится по всем числам р 0, v 0,
рц —... + pr = p, Vi+ ... +v« = v. Правая часть уравнения (16)
после упорядочения приводится к следующему виду:
СО со
StsHSm*. л <17>
Р=1 Р=1
при этом в каждом слагаемом <ор должно быть собрано конечное
или бесконечное число членов правой части уравнения (16) таким
образом, чтобы <»! не содержало функций <рр, а каждое <ор содержит
лишь функции фр ..., фр_р
Уравнение (17) (а вместе с ним и уравнение (13)) формально
выполняется, когда функции фр выбраны так, что
^£- = <й р= 1, 2, ...
дх р г
Прежде всего имеем:
^- = И1(х, у), где g>i(x, у) = /00(х, у),
откуда, в силу (15), получается:
Ф1(*. У)==//оо(^. У) dx 4- <в (у),
о
Теперь на основании (16) может быть найдена функция ®2; она за-
висит только от <pi(x, у) и потому дает возможность определить
ф2 — J" (d2dx.
о
Далее может быть вычислена ы3; так как она зависит, самое большее,
от уже известных теперь фх, ф2, то можно найти
Фз= J <в3сГх.
о
10.5)
§ 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 109
Продолжая таким образом, мы получим формальное реше-
ние (14).
Этот метод приводит к истинному решению, т. е. ряд (14)
равномерно сходится1) в области
0 х а, 0 у й
(18)
и удовлетворяет там уравнению (13), если выполняются следующие
условия:
(а) функции v(x, у), Fgv(jc, у) непрерывны в области (18),
имеют там непрерывные частные производные любого порядка по у,
причем для них выполнены неравенства
I ду"
I .
ду"
(га —0, 1,2,...);
стоящие справа производные растут (или постоянны) монотонно по х
при фиксированном у;
(Р) функции <в (у), (2 (у) непрерывно дифференцируемы сколько
угодно раз при 0<^у<^й и удовлетворяют неравенству
|®<П)(У)| <2(П)(У) (га = 0, 1, 2, ...);
(у) дифференциальное уравнение
имеет в области (18) интеграл z(x, у) с непрерывными частными
производными
д"г д" дг z а 1 о \
з~тг> s~n s— (n = v, 1,2, ...),
ду" ду" дх v ... /.
удовлетворяющий условиям
дпг дп д?
*(0. У) = 2(У). -^>0. ^>>0 (га = 0, 1, 2, ...).
В частности, для специального вида функций
Abv
_2
b
FH,v(x,y) =
’) Выполняются также равенства
дл<рр д"+1г ут ^"+1фр
Ну" = 21 ду" ’ ду"дх = 21 ду"дх '
р р
стоящие в их правых частях ряды сходятся также равномерно.
ИО гл. И. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [10.6
получаем: если коэффициенты /ц> v(x, у) непрерывны и области (18),
имеют там непрерывные частные производные любого порядка по у
и если, кроме того, для с > 0 и А > 0 справедливо неравенство
то описанный выше метод дает при <о (у) ~ 0 интеграл (14), обра-
щающийся в нуль при х = 0 и существующий в области
0<х<а(у), а(у)= minja,fl —0<у<й.
Упомянутые выше предположения выполняются, в частности, если
для коэффициентов / v существует разложение
, (*. У)=Ё Д‘>. W у*. I /»>, |< f tv) С t") •
й=0
Пример, р = 92; г (0, у) = еу.
Если искать интеграл z в виде
ОО
г = (у) xv; ®0 = еу,
v=O
то получается ряд
(19)
v=0
здесь
, о 16 50
с0 — Cj —1, Cg — 4 сз — “у*» с4 = -g-, .,.,
(v-H)cv+1 + l= (r+l)(s+ l)crcs.
r+i=v
Ряд (19) сходится по крайней мере для I хеу | <
О
10.6. Методы решения.
(а) Если никаких начальных условий не дано, то для отыскания
интегралов уравнения (1) можно применить метод Лагранжа, который
состоит в том, чтобы попытаться получить нетривиальный первый
интеграл (см. п. 9.1) и действовать дальше, согласно п. 9.3, или,
если удается получить два таких первых интеграла, согласно п. 9.2.
На этом пути можно получить даже полный интеграл. Для уравне-
ний специальных видов можно использовать методы, излагаемые
в § И-
11.2] § 11. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ш
(б) Если требуется найти поверхность, проходящую через данную
начальную кривую или через данную начальную полосу, то поступают
следующим образом:
(а) если известен полный интеграл, то действуют согласно п. 9.6;
(0) можно использовать метод п. 10.2; при известных условиях
можно ограничиться приближенным решением характеристических
уравнений и получить искомую интегральную поверхность прибли-
женно;
(у) особые интегралы находятся в соответствии с п. 8.8 (б);
(6) приближенное решение может быть найдено также использо-
ванием развитого в пп. 10.4, 10.5 метода разложения в ряды.
§ 11. Решение частных видов нелинейных уравнений
с двумя независимыми переменными
11.1. F (х, у, z, р) = 0 и F (х, у, z, q) — 0. С первым уравне-
нием можно обращаться как с обыкновенным дифференциальным
уравнением1) с независимой переменной х и параметром у. Вместо
постоянной интегрирования в этом случае в ответе появится произ-
вольная непрерывно дифференцируемая функция от у. Второе урав-
нение рассматривается аналогично.
11.2. F(p, 0) = О. Для каждой пары чисел а, Ь, которые удовле-
творяют уравнению F (а, Ь) = 0, плоскость
z = ах + by + с
при любом с является интегралом. Если функция F дважды непре-
рывно дифференцируема в окрестности точки р — а0, q = b0 и если,
кроме того, | Fp| |F9| > 0, то эти плоскости для всех значений а, Ь,
лежащих достаточно близко к точке (а0, Ьо), составляют полный
интеграл рассматриваемого дифференциального уравнения.
Из характеристических уравнений
x'(t) = Fp, y'(t) — Fq, z'(t) —PFp-\-qFq, р' (0 = 0, /(0 = 0
находим характеристику, проходящую при t — 0 через плоскостной
элемент х0, у0, zQ, а, Ь:
р = а, q = b,
х,— х0 = Fp(a, b)t, у — у0 = Fq(a, b) t,
2 ~ z0 = (aFp-\-bFq)t.
(1)
Если \Fp(a, Z>)| + |F9(a, £)| >0, то эта характеристика — прямая
*) [He разрешенным относительно производной; см., например, Степа-
нов, стр. 104—139. — Прим, ред.}
112
ГЛ. И. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
(11.3
линия, принадлежащая плоскости
2 — Zo = а (X — х0) Ч- b (у — у0)0.
Таким образом, регулярными интегральными поверхностями яв-
ляются все непрерывно дифференцируемые поверхности г = ф(х, у),
которые могут быть построены из таких прямых (1), причем выпол-
нено дополнительное условие F (а, Ь)~0. Эти интегральные поверх-
ности — развертывающиеся поверхности. Если ограничиться дважды
непрерывно дифференцируемыми интегральными поверхностями, то мы
не получим никаких других регулярных поверхностей.
Наконец, надо еще исследовать, имеются ли особые интеграль-
ные поверхности, содержащие отдельные особые элементы.
11.3. F(z, р, 0) = О. Для произвольных а, Ь, |д| + |й| > О,
сделаем подстановку:
£ = £(□. 6 — ахЧ-йу.
Тогда р = аЦ (J), q — b^^Q, и, таким образом, из дифференциаль-
ного уравнения с частными производными получается обыкновенное
дифференциальное уравнение
F(L дС', ^') = 0.
Разрешим его относительно £':£' = /(£); тогда при / 4= О
Jq" — 6 + с — ax-j-by-j-c
— полный интеграл исходного уравнения.
Получающиеся решения — цилиндрические поверхности, образую-
щие которых параллельны плоскости х, у, поскольку решение z
есть функция только ах-\-Ьу.
Пример. 9 (ргг -|- qz) = 4.
Указанная выше подстановка дает:
+ ±2,
откуда получаем:
£
(а2£ + £2) 2 = ± «2 (I + с) при а 4= О,
С=±-^-Ч-с при а = 0,
и, следовательно, решения имеют вид соответственно
2
+ 62)3 = а4 (ах -|- by -|- с)2, z = ± у + с.
о
11.71 § И. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 113
11.4. p—f(x, q) и q—g(y. ру. Если в первом уравнении рас-
смотреть q как параметр: q = a, то получится полный интеграл
z — У / (х, a) dx ау Ь.
Аналогично полный интеграл второго уравнения записывается так
z — J g(y, a)dy-\-ax-Y-b.
Эти полные интегралы являются цилиндрами с образующими па-
раллельными плоскостями уг и xz соответственно.
11.5. /(х, p) = g(y, q) и F[f(x, pq(zy), g(y, ?q>(z))] = 0.
Эти дифференциальные уравнения—с разделяющимися перемен-
ными.
При решении первого дифференциального уравнения полагают:
/ (х. Р) = а, g (у, q) = а
для любой постоянной а и решают эту систему дифференциальных
уравнений; получается полный интеграл исходного уравнения. Другая
форма этого метода: выполняется подстановка z — и (х) + v (у); тогда
для и, v получают обыкновенные дифференциальные уравнения
f(x,u') = a, g(y,v') — a.
Метод п. 9.3 приводит к такому же результату.
О решении второго, более общего дифференциального уравнения
см. п. 13.3.
11.6. /(х, />) + £" (у, #) = £. После подстановки z — и (х) -J- v (у)
получают:
/(х, и'(х)) —й(х) = -у(у) —g(y, v' (у)).
Решив обыкновенные дифференциальные уравнения
/(х, и'у—и —a, v — g(y, v') — a
с произвольным а, мы получим для данных дифференциальных урав-
нений полные интегралы.
11.7. p=f[^, q) и Р, Q, хр 4-yq -z)=0. Первое
из этих дифференциальных уравнений — частный случай второго.
Из характеристических уравнений следует:
xp' (t)~\-yqr (0 = 0
и, далее,
—хр—у9) = 0,
8 Э. Камке
114 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [Н.8
т. е. z — хр — yq — первый интеграл. Поэтому, согласно п. 9.3,
получают интегралы данных дифференциальных уравнений, разрешая
оба уравнения
относительно р, q и вычисляя по ним г.
11.8. F (xp~\~yq, z, р, q) — 0. Из характеристических уравнений
следует, что q/p — первый интеграл. Следовательно, согласно п. 9.3,
получаем полный интеграл данного дифференциального уравнения,
решая систему дифференциальных уравнений
F(p(x-\-ay), z, р, ар)~0, q = ap.
11.9. />2+92—/(x2+j>2, ур— xq). Из характеристических урав-
нений вытекает, что ур—xq — первый интеграл. В силу п. 9.3,
полагая ур — xq — a, можно определить z из соотношений
yR
ау . xR ах
р = -^--\-------, q =-----------
2 г 1 г * г
где
г = х2 + у2, R2 = rf (г, а) — а2.
Отсюда получается полный интеграл
z^= — aarctg-^H- J ^dr ^b.
Рассматриваемое дифференциальное уравнение можно также пре-
образовать к полярным координатам р, &, положив
г(х, у) — С(р, О), х — рcos&, y = psint>.
Тогда получается дифференциальное уравнение
-Со)
типа 11.4; отсюда при =— а находим:
С——«& ± Г — уЛр2/(р2. а)—a2dp-\-b.
•J р
11.10. FJ/(x)p, g(y)q, z] — 0. После замены в этом уравнении
переменных
‘(мми. 6=] 12>
11.11) § II. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц5
приходим к дифференциальному уравнению типа 11.3:
F&. 0 = 0.
(a) (/ (х) P]°v (У) ?I₽V hv (г) = 0.
V“1
Заменой переменных (2) это уравнение приводится к виду
(£)==0.
v=l ъ
I Г) \а I а \ь ™
Пример. — Ц-1 - Z‘ = Z«*.
1 \ COS2 X I 1 \ sin2 у )
Замена переменных
Z (X, у) = С (g, Т1), g = J + sin2x, 7]=-^- —-lsin2y
приводит к уравнению
(3)
(б) S avpa^vzyv = 0. !) (av + ₽v + Yv) Z — (av + pv) = 6
V=1
для фиксированных (не зависящих от v) чисел Z и 6.
Это—однородное уравнение. Замена z~uy- в случае, если все
av= const, приводит к уравнению типа 11.2:
11-1 v х у
Если же av— av(x, у), то та же замена приводит к уравнению
типа 11.13.
Пример. Написанное выше дифференциальное уравнение (3) как раз
л, а — b . ас „ i
рассматриваемого типа. Для Z = ——-——, о =------------—- и £ = и
получаем:
7“и° + Х6и| = 1.
(в) Если для дифференциального уравнения (б) имеет место усло-
вие: av + Pv + Yv = 6 — фиксированное (не зависящее от v) число,
то это уравнение подстановкой z — еи приводится к типу 11.2:
2 aXVK5v===0-
11.11. f(p, q) — xp~\-yq\ f однородна no p, q. Пусть f (p, q) —
однородная функция n-R степени.
) Обобщением этого уравнения является случай 13.4.
8*
116 гл. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (11.12
Два последних характеристических уравнения § 8, (6) данного
дифференциального уравнения имеют вид р' = р, q' = q. Отсюда
следует, что — первый интеграл. Для q=ap из дифференциаль-
ного уравнения получается соотношение
/(р, арУ = хр-]-аур,
т. е.
«) — x-j-ay,
и, следовательно,
I_
/х-4-ау\ п-1
q = ap, .
Таким образом,
> п
и — 1 /х-4-ау\Т^Т ,
Z =------(-F75 т) /(1. <0 + #
п \/(1, а); / к • > ।
— полный интеграл.
11.12. z = xp-^yq-\-f{p, q) и F (р, q, z— xp—yq) — 0.
Это — дифференциальные уравнения Клеро *).
Если функция F (и, v, w) определена в точке (а, Ь. с) и равна
в ней нулю: F (а, Ь, с) —0, то z — ax-\-by-\-c, очевидно, является
решением второго дифференциального уравнения.
Если второе дифференциальное уравнение разрешить относительно
z — хр—yq, то тем самым оно сведется к первому дифференциаль-
ному уравнению.
Дифференциальное уравнение
Z=xp-\-yq-\-f{p,q) (4)
имеет для каждых двух чисел а и Ь, таких, что значение f(a, by
определено, интеграл
z = ax-\-by-!r f (а, Ь). (5)
Если функция / дважды непрерывно дифференцируема, то эти пло-
скости составляют полный интеграл.
(а) Если при фиксированном а производная fvv(a, т») 0 в не-
котором интервале < v < v2, то
у = —/Да, V), z = ax-+-vy-}-f(a, v)
— параметрическое представление интеграла. Если при фиксирован-
ном b производная fuu(u, b] #= 0 в некотором интервале иг < и < и2,
то интеграл имеет вид
х~ — fu(tt,b), z = ux-\-by-{-f(tt,b).
*) [См. Курант, стр. 102—103. — Прим, ред.]
11.13] § 11. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц7'
(б) Пусть функция f (и, v) непрерывно дифференцируема в об-
ласти ®(и, v)-, пусть, далее,
д (/а< /к) t л
д (и, V)
и область ®(и, v) однозначно отображается на область ®(х, у)
функциями
х = —/в(и, -у), У=—Л(«, г»).
Тогда дифференциальное уравнение (4) имеет в области ®(х, у>
нелинейный интеграл, который параметрически задается уравнениями.
х = —/„(и, -л), у = — fv(u, -у), z = ux-\-vy-+-f(u, V)
(особый интеграл). Он, однако, иногда не существует (см. при-
мер, ч. II, 6.7).
Каждая развертывающаяся поверхность, имеющая на каждой своей
прямой точку касания с особой интегральной поверхностью, является
интегральной поверхностью. Поверхность, проходящую через данную-
начальную кривую, геометрически получают так: определяют пло-
скости, которые одновременно касаются начальной кривой и особой
поверхности, и затем строят огибающую их поверхность.
11.13. F(x, у, р, ^) = 0. Характеристические уравнения § 8, (6)
без «условия полосы» имеют вид
x'(O = Fp, y'(/)==F9, — Fx, q'(t) = — Fy. (6)
Это — так называемые канонические уравнения (см. п. 12.10); они
образуют разрешимую систему. Если решение этих уравнений (6).
найдено, то из условия полосы
z' (0 = Р (t) х' (0 4- q (/) у' (О
можно затем получить недостающую функцию z (t) квадратурами.
Если известно однопараметрическое семейство интегралов z =
= ф (х, у, а), которые дважды непрерывно дифференцируемы по всем
трем аргументам, и если, кроме того, | Фвл-1 +1 Фау I > 0. то функ-
ция Z — ф(х, у, а) -\-Ь является полным интегралом, а характери-
стические кривые х = х (0. у = у (0 удовлетворяют уравнению
фа = const. (7)
Свойство (7) находит применение при решении уравнений движения,
механики (см. ч. II, 6.65).
118 ГЛ. И. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (11.14
11.14. F (х, у, z, р, 0) = О. Преобразование Лежандра ’). Пусть
функция z(x, у) дважды непрерывно дифференцируема в области
ЧЬ(х, у), пусть
д (zx, zy)
ф 0 ни в какой подобласти области ®, (8)
>и пусть область ® (X, Y) взаимно однозначно отображается функциями
X — zx(x, у), Y = Zy(x, у) (9)
«а область ® (X, Y). Если сделать замену
Z(X, Y) = xzx~\~yZy — z, (10)
-то Z по-прежнему будет иметь в области ® непрерывные частные
-производные второго порядка. Преобразование
х — Zx, у — Zy, z = XZx~\-YZy — Z (11)
•называется преобразованием Лежандра {дуальным преобразо-
ванием).
С его помощью (поскольку для интеграла выполняются указанные
предположения) дифференциальное уравнение
F(x, у, z, р, q) — 0 (12)
переходит в уравнение
F(ZX, ZY. XZx+ YZy — Z, X, Г) = 0, (13)
которое иногда проще первоначального дифференциального уравне-
ния (12). Если Z=Z(X, К) — интеграл уравнения (13), то соотно-
шения (11) дают параметрическое представление соответствующего
интеграла z(x, у) дифференциального уравнения (12).
При преобразовании (11) некоторые интегралы могут пропадать.
Например, в дифференциальном уравнении Клеро (4) пропадают пло-
ские интегральные поверхности (5), потому что для них не выпол-
няется неравенство (8). По этой же причине пропадают * 2) разверты-
вающиеся поверхности в п. 11.12 (а). Напротив, в п. 11.12(6)
•преобразование Лежандра применимо. Преобразованное уравнение
Z——f{X, Y)
уже не является дифференциальным, однако, непосредственно дает
решение. Переходя к первоначальным переменным, получаем решение
дифференциального уравнения Клеро в параметрическом виде
х=-/х(Х, Г), y = — fy{X,Y), z = хХyY f (X, Y),
•совпадающее с указанным в п. 11.12,(6).
') [См. Курант, стр. 43—49. — Прим. ред.\
2) О том, как получать интегралы, теряющиеся при этом методе реше-
ния, см ч (I. 6 36.
11.15) § 11. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц<>
11.15. F (х, у, z, р, q) — 0. Преобразование Эйлера. Пусть
функция z(x, у) дважды непрерывно дифференцируема в области
®(х, у), пусть zxx Ф 0, и пусть область ®(х, у) может быть по-
средством взаимно однозначного преобразования
X = zx (х, у), Y = y
отображена на область F). Определим функцию
Z(X, Y) — xzx— z-,
она дважды непрерывно дифференцируема в области ®. Преобра-
зование
X = zx, Y = y, Z~xzx—z, Zy— — zy
и обратное ему преобразование
х — Zx, y—Y, z~XZx— Z, zy —— Zy
называются преобразованием Эйлера.
С помощью этого преобразования дифференциальное уравнение-
F(x, у, z, р, ?) —0
переходит (коль скоро интегралы удовлетворяют указанным предпо-
ложениям) в дифференциальное уравнение
F(ZX, Y, XZx — Z, X, —ZY) = Q.
которое иногда проще первоначального.
Если это преобразование применить к дифференциальному урав-
нению Клеро (4), то плоские интегральные поверхности (5) пропа-
дают, потому что для них не выполняется неравенство zxx ¥= 0 (или
zyy 0). Напротив, преобразование Эйлера в п. 11.12(a) применимо-
и переводит уравнение Клеро в дифференциальное уравнение
Z — YZy — f(X, — Zy),
которое может быть рассмотрено как обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение с параметром X и которое имеет решение
Z = — bY — f{X, b),
приводящее к выражению
z = xX + bY-\-f (X, b), x=—fx\X,b),
для интеграла уравнения Клеро, тождественному со вторым из реше-
ний, указанных в п. 11.12(a).
120
ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ fll.IB
11.16. F (хр— z, у, р, q)=0. Подстановка z = Сх 4- и (у) при-
водит к обыкновенному дифференциальному уравнению
F (— и (у), у, С, а' (у)) = 0
для функции и (у).
Для решений z, удовлетворяющих условию zxx =/= 0, дифферен-
циальное уравнение переводится преобразованием Эйлера в уравнение
F(Z, Г. X, — Zr) = 0
типа 11.1.
11.17. х/(у, р. хр—z)-\-qg(y, р, xp—z)—k(y, р. xp—z).
Преобразованием Эйлера из данного нелинейного дифференциального
уравнения получают квазилинейное уравнение
f(Y, X, Z)Zx — g(Y. X, Z)Zy = h(Y, X. Z).
11.18. qf(u) = xp—yq\ xqf(u) = xp—yq-, xf(u. p, 0) +
-4~yp(«, P> q)=h(a, p, q), где u = xp-\-yq — z. Преобразова-
нием Лежандра из этих нелинейных дифференциальных уравнений
получают квазилинейные уравнения:
Yf (Z) — XZx-+- YZy = 0.
rzx/(z)-xzx+yzr=o,
/(Z, X, Y)Zx-j-g(Z, X, Y)Zy = h{Z, X, Y).
ГЛАВА III
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П НЕЗАВИСИМЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 12. Нелинейное уравнение
с п независимыми переменными: F (г, z, р) — 0.
12.1. Общие понятия, обозначения и терминология. Общее
{нелинейное) дифференциальное уравнение с частными производ-
ными первого порядка для одной неизвестной функции
z = z (Xi х„) п независимых переменных имеет вид
е* ( dz дг \ л .,
.....*«’ z' dTf...... д^)-0,
а уравнение, разрешенное относительно одной из производных*
записывается в форме
дг ,{ dz дг \ ,п.
-d^=f\x' ................-^7..................(2>
С помощью сокращенных обозначений
дг дг дг
р~ дТ’’ /’v — 'd^’ 9v—dy7’
а также г для вектора с компонентами xt, .... хп, у—для уь ...» у„,
р— для pt.....рп и q—для qv.......qn уравнения (1), (2) можно
записать короче:
Г (г, z, р) = 0 (1а)
н
p_f{x, у. z, q) — G. (2а)
О функциях F и / предполагается, что они в рассматриваемой
области своих 2п -f-1 (соответственно 2/г 2) переменных непре-
рывно дифференцируемы.
Под плоскостным элементом здесь понимается система 2/г —|— 1
чисел
хг.....хп, г, р,.....рп или, короче, г, г, р\ (3)
122
ГЛ. III. нелинейные уравнения с П ПЕРЕМЕННЫМИ
(12.1
первые «4-1 чисел называются носителем плоскостного элемента,
последние п чисел называют направляющими коэффициентами
<ср. с п. 8.2).
Плоскостной элемент (3) называется обыкновенным (регуляр-
ным, правильным) или особым (нерегулярным) по отношению к диф-
ференциальному уравнению (1), в зависимости от того (ср. с п. 8.6),
п
•будет ли в точке (г, г, р) 2 | Fpv | > 0 или Fp^ ~ ... — FPn == 0.
Очевидно, что для дифференциального уравнения (2) имеются только
•правильные плоскостные элементы.
Плоскостной элемент (3) называется интегральным элементом
уравнения (1), если он (ср. с п. 8.7) удовлетворяет уравнению (1а).
Функция г~ф(х, у) есть интеграл уравнения (1), если она непре-
рывно дифференцируема и если все плоскостные элементы, которые
можно с ее помощью сконструировать,
*1.....хп, ф, ф^, .... фХд (4)
или, короче1).
г, ф, егаёд-ф (4а)
являются интегральными элементами уравнения (1).
Об определениях частного интеграла, общего интеграла см.
я. 8.8.
Интеграл 2 = ф(г) уравнения (1) называется особым, если он
содержит только особые интегральные элементы поверхности (4),
т. е. если величины (4) одновременно удовлетворяют п-j-l уравне-
нию2)
F = 0, FPi = 0...... ^„ = 0- (5)
Подставим функцию ф в уравнение (1) и продифференцируем полу-
чившееся соотношение частным образом по xv; тогда получится, что
(дважды непрерывно дифференцируемый) особый интеграл, кроме
п 4- 1 уравнения (5), должен также удовлетворять еще п уравнениям
FXV + P4FZ = V, v=l........п. (6)
Следовательно, особые интегралы дифференциального уравнения (1)
можно получить, найдя непрерывно дифференцируемые функции
z = ф, удовлетворяющие уравнениям (5), или дважды непрерывно
дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнениям (5), (6).
') [Если дана функция F (х, у), то grad^F = {FX1 (х, у),..РХп (х, >)}
ее вектор-градиент по х. — Прим. ред.\
2) Отсюда ясно, что для дифференциального уравнения (2) особых инте-
гралов не существует.
12,21 § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С И ПЕРЕМЕННЫМИ 123
Полный интеграл уравнения (1) есть «-параметрическое семей-
ство интегралов
г = ф(х1, .... х„, аг....а„) = ф(г, а), (7>
здесь а означает вектор с компонентами , ап) таких, что
функция ф вместе с производными ф, в некоторой области про-
странства г, а имеет непрерывные частные производные по всем 2«
аргументам xv, av, и функциональная матрица
........^„) „
д (а,...ап)
в каждой точке рассматриваемой области имеет ранг п.
12.2. Характеристические полосы и интегральные поверх-
ности. Под полосой (ср. п. 8.3) понимают однопараметрическое
семейство плоскостных элементов
r = r{t). z = z{t), p = p{t), (9)
таких, что эти вектор-функции непрерывно дифференцируемы по t
в интервале а < t < р и выполняется условие полосы ’)
z' (t) = г' {t) • р (0 (10>
или подробнее
п
z'{t)=^x^{t)pv{t). (10а>
V=1
Полоса называется интегральной полосой дифференциального
уравнения (1), если она (ср. с п. 8.7) состоит только из интеграль-
ных элементов.
Характеристической полосой {характеристикой) дифферен-
циального уравнения (1) называется (ср. с пп. 8.4, 8.5) полоса (9).
которая удовлетворяет характеристическим уравнениям {харак-
теристической системе)
r'{t) = P, z'{t)=pP, р'{t) — — X — Fzp-, (11>
здесь
P = (FPi, .... FPn) = gradpF, X = (FXi.....Fx^ = grad,F. (12>
Первые n этих уравнений образованы по аналогии с § 8, (6);
(п-|-1)-е уразнение есть условие полосы (10); последние п уравне-
ний получаются (ср. с п. 8.4) из условия, чтобы полоса (4) принад-
лежала интегральной поверхности z — ф.
*) Это условие является необходимым для того, чтобы плоскостной
элемент (9) принадлежал некоторой непрерывно дифференцируемой поверх-
ности г = ф (г). [Символ а Ь означает скалярное произведение векторов.
а и Ь.—Прим, ред.}
124 гл. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ |12.3
Для дифференциального уравнения (2) в качестве характеристи-
ческих уравнений берутся уравнения
У(х) = —Q, Z(x) = / — qQ. q' (x)=Y + fzq-, (13)
здесь
<2=(/<?,• • • • > A„)=ёгЧ /• r=(А,......A„)=gfady /
(а) Функция F(r, z, p) вдоль каждой характеристической
полосы уравнения (1) постоянна; характеристическая полоса является
интегральной полосой, если она содержит хотя бы один интеграль-
ный элемент (ср. с п. 8.7); функция F есть (очевидный) первый
интеграл (ср. с п. 9.1) уравнения (1).
(б) Если г = ф(г)— дважды непрерывно дифференцируемый
в области ®(г) интеграл уравнения (1) и если
г0, -го = ф(Го), Ро==(егас1Ф)/-=Го О4)
— произвольный плоскостной элемент этого интеграла, то все харак-
теристические полосы, содержащие этот плоскостной элемент, при-
надлежат интегральной поверхности, коль скоро точки г этой харак-
теристической полосы принадлежат области ®(г).
Таким образом, дважды непрерывно дифференцируемые интеграль-
ные поверхности могут быть построены из характеристик.
(в) Если Z —if (r) и 2 = х(г) в области ®(г)—два интеграла
дифференциального уравнения (1) с общим плоскостным элементом (14)
и если функции ф, х дважды непрерывно дифференцируемы, то все
характеристические полосы уравнения (1), содержащие плоскостной
элемент (14), одновременно принадлежат обеим интегральным поверх-
ностям, если только точка r(t) принадлежит области ®.
Если этот общий плоскостной элемент регулярный, то обе инте-
гральные поверхности имеют общую кривую, не вырождающуюся
в точку.
12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь
производные искомой функции.
(а) Пусть чю = <р (г, г) — непрерывно дифференцируемая функция
л_|_ 1 независимого переменного Ху..хп, z и г — ф(г)—непре-
рывно дифференцируемая функция, для которой
Ф(г. Ф(г)) = 0 и фг(г. Ф(г))¥=0!).
Если г = ф(г) — интеграл дифференциального уравнения (1), то из
соотношения <р (г, ф (г)) — 0 после частного дифференцирования сле-
дует:
v=1’ •••• п-
’) Для каждого интеграла г = ф функция с такими свойствами всегда
существует, например, <р = z — ф.
12.3]
§ 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
125
т. е. для z — ^> справедливо равенство
F .... х г,--------------~,
_ = 0.
4>z /
Если, обратно, w —<р(г, г) при <pz =£ 0— интеграл дифференциаль-
лого уравнения
хь ...» X , z.-------------------М = 0 (15)
1 п wz wz / v
и если равенство <р = 0 справедливо для непрерывно дифференци-
руемой функции z~ty(r), т. е. <р(г, ф(г))^0, то ф — интеграл
уравнения (I)1).
Итак, находя интегралы <p(r, z) уравнения (15), удовлетворяю-
щие условию tpz =И= 0, и разрешая относительно z уравнение <р — 0,
мы получаем интегралы уравнения (I)2).
Дифференциальное уравнение (15) уже больше не содержит саму
искомую функцию •w.
Пример, xypq == г.
Преобразованное дифференциальное уравнение (15) имеет вид
xywxwy — zw2z = 0.
Из характеристических уравнений получаются первые интегралы: xwx
и ywy. Следовательно, можно составить инволюционную систему
А В /~АВ
wx =—, wv — , wz— I/ ----------,
x x y у г V z
из которой находим
w = А 1п| X | H-В In I у | +2 УАВ^ + C.
Следовательно, искомые интегралы
z= 4JB (Л1п|л| + В1п|у1 + С)2-
(б) Пусть u~u(r, t) — непрерывно дифференцируемая функция
от п -J-1 независимого переменного, удовлетворяющая соотношению
и = tut -ф- с (с — константа), (16)
и ut = z — интеграл уравнения (I)3). Тогда функция и удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению
/ их их X
F\xi.....хп.^~т...........-г) = °>
1) Для примера см. п. 5.4.
2) Можно ли этим способом получить все интегралы уравнения (1) —
зависит от того, справедлива ли для уравнения (15) теорема существования,
в силу которой для каждой непрерывно дифференцируемой функции г — ф (г)
имеется интеграл w = <р (г, z) уравнения (15), который обращается в нуль
для этих значений.
3) Если z (г) — интеграл уравнения (1), то очевидно, что функция
и = tz (г) const обладает требуемыми свойствами.
126 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СП ПЕРЕМЕННЫМИ (12.4
в которое сама функция и не входит1). Обратно, если и — интеграл
этого уравнения и если уравнение (16) имеет непрерывно дифферен-
цируемое решение t — 1 (г), то z~ut (г, х (г))—интеграл уравне-
ния (1).
Пример. Для приведенного в (а) примера преобразованное уравнение
выглядит теперь так:
хуихиу — t2ut — 0.
Оно снова имеет первые интегралы хих, уиу. Следовательно, можно соста-
вить инволюционную систему
А В АВ
х у У t2
из которой находим:
м = Л In | х |-|-В In | у | — 4^- + С-
Уравнение (16) имеет вид
AR
Л1п| х|4-В 1п|у =
„ , АВ
Если теперь найденное отсюда г подставить в соотношение z = щ = ,
то для z снова получается выписанное выше в (а) выражение.
12.4. Представление решения степенным рядом в случае
аналитических функций. Если встречающиеся функции и пере-
менные—комплексные, то для дифференциального уравнения (2) имеет
место обобщение теоремы п. 10.4.
Пусть в окрестности точки (х0, у0, zQ, q^) задана аналитическая
функция f(x,y, z, q) своих 2п.Ц-2 переменных. Пусть далее,
ю (у) — аналитическая функция в окрестности значения у0, и пусть
г0 —со(уо), <fo = (grad<>))y=yo.
Тогда дифференциальное уравнение (2) в достаточно малой окрест-
ности точки (х0, у0) имеет ровно одно аналитическое решение z —
— ф(х, у), которое при х = х0 принимает значение ф(х0, у) = ю(у).
Коэффициенты степенного ряда для ф могут быть получены при-
менением' к ф обычного метода степенных рядов и приравниванием
коэффициентов при соответствующих степенях с учетом начальных
условий2).
12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик
Коши. Для дифференциального уравнения (1) можно доказать общую
теорему существования (ср. с п. 10.2) с помощью метода харак-
') Этот метод сведения уравнения (1) к уравнению, не содержащему
неизвестной функции, известен под названием метода Якоби — Майера.
2) См. О. Perron, Math. Zeitschrift 5 (1919), стр. 154—160.
12.5| § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ СП ПЕРЕМЕННЫМИ 127
теристик Коши *). Для этого полезно обобщить понятие полосы,
данное в п. 12.2.
(а) Под k-мерной полосой (k^n) понимается /г-параметриче-
ское семейство плоскостных элементов
r = r(tx.....tk), z=-z{tx......tk), p=p(tlt .... tk), (17)
которое имеет следующие свойства:
(а) функции г, z, р непрерывно дифференцируемы в области
..........tky,
(Р) справедливо условие полосы
дг дг , .
дГ = Р-дГ’ ...............k' <18>
V V
(у) матрица
<?(%,, ..., хп)
d(tb .... tk)
имеет в каждой точке области Н ранг k.
Последнее условие есть выражение того, что полоса действи-
тельно fe-мерна. Условие (18) является необходимым для того, чтобы
плоскостные элементы (17) принадлежали непрерывно дифференци-
руемой поверхности z ~ z (г), /г-мерная полоса называется инте-
гральной k-мерной полосой уравнения (1), если она содержит только
интегральные элементы уравнения (1).
(б) n-мерная интегральная полоса определяет («в малом») дважды
непрерывно дифференцируемый интеграл уравнения (1). Так как для
нее определитель
д(хх, ..., хп) „
Й(Л, ^J'
то первые п из уравнений (17) могут быть однозначно разрешены
относительно .......tn в окрестности каждой точки (710, . .., £я0),
а потому функция z(tb .... 7fi) превращается в непрерывно диф-
ференцируемую функцию от ..., хп с частными производными
Pi, •••, Рп- которые в свою очередь также непрерывно дифферен-
цируемы (в силу (18)).
Таким образом, для дифференциального уравнения (1) существо-
вание интеграла «в малом» вытекает из существования п- мерной
интегральной полосы.
(в) Пусть функция F (г, z, р) дважды непрерывно дифференци-
руема в области ® (г, z, р). Пусть, далее,
г=г0 (7,..../„_1), z = z0(tx....7„_!), p=p0(tr......tn_x) (19)
*) [См. Курант, стр. 105—111; Степанов, стр. 406—420.—
Прим, ред.]
128 ГЛ. HI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ [12.6
— данная (ге—1)-мерная полоса дифференциального уравнения (1),
определенная в области W„_i = полученные,
согласно формулам (19), величины должны принадлежать области
Наконец, пусть определитель
dti........... dtx
¥=0;
(20)
d*oi дхоп
dtn-i ^п—1
здесь в функции Fp первой строки подставлены функции (19),
a xOv— компоненты вектора r0(<i, .... fn) = (х01, .... хОп).
Так как функция F дважды непрерывно дифференцируема, то
правые части характеристических уравнений (11) непрерывно диф-
ференцируемы. Их решение r(t), z(t), p(t), следовательно, одно-
значно определено начальными значениями r0, z0, р0, принимаемыми
при t = 0. Определим, далее, функции (будем писать tn вместо Z):
<$(Л, •••• Л>) — r(^> го(Л...........2о(^1................*П-1).
Po(zi. • • •• ^-1)).
2 (*1.......tn) = z(t, г0(^..........tn_J. z0(tx........tn_x),
Ро(*1........*я-1)),
(Л.......го(Л.....................^л-1)> 2о(Л.........^n-l)>
Po(^l.......^n-l))-
Эти функции о?, 2>, <9° образуют re-мерную интегральную полосу
в области Нп ((,. ..., („), которая совпадает с областью Нп_у при
/л = 0. Область Нп определена, так как для каждой точки (#р ...
..., tn~i) из H„_j можно определить интеграл изменения перемен-
ной tn, который содержит значение /„ = 0 и в котором существует
решение (21) характеристических уравнений (11).
12.6. Частный случай: p=f(x, у, z, q). Если дано дифферен-
циальное уравнение (2), то при надлежащих предположениях можно
указать некоторые оценки для области существования решения (ср.
с п. 10.3).
(а) Пусть функция /(х, у, г, д) в области
|х— а, у, z, q— произвольны,
(22)
12.61 § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 129
дважды непрерывно дифференцируема по всем 2п-|-2 аргументам,
и пусть в этой области справедливы оценки
IIMIAJ 1Л1. |/,,| '
Иуцуу1‘ Hvl’ l-^Wvl’ 1-^*1’ l-^Vvl J
Пусть, далее, функция ю(у) дважды непрерывно дифференцируема
по всем yv и удовлетворяет неравенству
| % | + Jj | ®Vv| < В, fi = 1....п. (24)
Наконец, пусть определены числа
О <₽ <-jln (! + 2/г(В-Ь~1)) И a = min(a. ₽)• (25)
Тогда дифференциальное уравнение (2) имеет в области
|х—С а, у — произвольно, (26)
ровно один дважды непрерывно дифференцируемый интеграл z —
= ф (х, у), который при х = | принимает значение
№>)=®Су)- (27)
Доказательство дает одновременно метод для фактического по-
строения интеграла. Находим характеристики дифференциального
уравнения (2), т. е. интегральные кривые системы (v=l, .... п)
y'v (х) = — z' M = f — Д 9И/?И> < W = /yv + .
которые при х = | проходят через точки
Ch.....V “(’ll......’ij- %.......“nJ-
эти характеристики существуют для любого T]v в интервале |х—||<^а;
обозначим их через
yv=Fv(x, 111....Пл). z = Z(x, ih.......11Д
= ’ll...........Пл)-
Можно показать, что первые п из этих уравнений однозначно раз-
решимы относительно 11V для любого yv и что это 2n -f- 1 уравне-
ние дает, таким образом, для искомого интеграла г — ф(х, у) и его
производных фу^ == параметрическое представление (с парамет-
рами 1Ц, ...» 11
9 Э. Камке
130
ГЛ. HI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СП ПЕРЕМЕННЫМИ
|12.7
(б) Если / удовлетворяет предположениям не во всей области (22),
а, например, в конечном кубе, то можно поступить, как намечено
в п. 10.3 (б)1).
(в) Сделанные в (а) предположения о функциях f и ю могут быть
ослаблены2).
(г) Если функции /, со зависят еще от параметров Ац, р, — 1, ...
..., т, то можно доказать следующее3).
Пусть функция 4) f (х, у, г, д, к) в области 5) | х — 1| <^ а\ у,
z, q — любые; A* /г >- 1 раз непрерывно дифференци-
руема по всем 2п + тЦ-2 аргументам х, уи, г, дн, кн. Далее, пусть
выполнено условие (23), и в области
у — любое; Ац -С Ац
(28)
функция со (у, A) k раз непрерывно дифференцируема по уК, кК. На-
конец, пусть справедливо неравенство (24) и числа а, р выбраны
согласно (25).
Тогда дифференциальное уравнение
p = f(x, у, z, д, к)
имеет в области (26) при данном к ровно один дважды непрерывно
дифференцируемый интеграл г = ф(х, у, к), который при х = £
принимает значение ф(|, у, к)—<о(у, к). Функция ф(х, у, к) в об-
ласти
I х — 11 а; у — любое; А, С А„
(29)
k раз непрерывно дифференцируема по всем своим п -J- т -|- 1 аргу-
менту х, уи, к*.
12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из
полного.
(а) Существование полных интегралов6). Пусть
функция / (х, у, z, д) дважды непрерывно дифференцируема в об-
ласти |х — у, z, д — любые, и пусть выполняются неравен-
’) См. Т. Wazewski, Annales Soc. Polon 14 (1935), стр. 149—177.
2) См. T. Wazewski, Annales Soc. Polon 14 (1935), стр. 149—177;
T. Wazewski, Math. Zeitschrift 43 (1938), стр. 521—532; E. Digel Math.
Zeitschrift 44 (1938), стр. 445—451.'
s) См. E. К a m k e, Math. Zeitschrift 49 (1943), стр. 256—284.
4) В соответствии с принятыми ранее обозначениями А означает вектор
с компонентами Аь ..., Zm.
6) Здесь, а также в неравенствах (26), (28), (29) знак равенства может
быть опущен без всяких дополнительных оговорок.
?) См. L. Bieberbach, Theorie der Differentialgleichungen, Berlin,
1930, стр. 301—314.
12.7|
§ 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
131
едва (23). Тогда для любого b > 0 найдется а > 0 такое, что диф-
ференциальное уравнение (2) в области
|х —£|<а, | yv | < b, v = 1.....п,
имеет полный интеграл.
Это следует из п. 12.6 (г), если считать функцию f не завися-
щей от %, и положить
<о(у, X) = X0+SMv
v=l
Если ф(х, у, %) — интеграл, существующий в силу п. 12.6 (г), то
в точке х = Е,
^(ф, фУ), .... фУв
д (^о> ^1 ^л)
таким образом, якобиан отличен от нуля также и в некоторой
окрестности значения х = £.
В том случае, когда о функции f известно лишь то, что она
в окрестности точки (£, _у0, z0, q0) дважды непрерывно дифферен-
цируема, также можно доказать, что дифференциальное уравнение (2)
в достаточно малой окрестности точки ((, у0) имеет полный интеграл.
Для дифференциального уравнения (1) полный интеграл суще-
ствует в окрестности каждого регулярного плоскостного элемента,
если функция F в этой окрестности дважды непрерывно дифферен-
цируема.
(б) п олучение частных интегралов из полного.
Пусть ф(г, а) — полный интеграл дифференциального уравнения (1);
здесь a~(at......е„). Подставим вместо констант av непрерывно
дифференцируемые функции аУ (г) ’) и положим2)
W (г) = ф (г, а1 (г), .... а” (г)).
Тогда
W — ф + 2 Ф„ • v — 1, ..., п.
xv * xv k = l ак xv
') Для нумерации используются верхние индексы, внизу пишется аргу-
ъ
мент, по которому производится дифференцирование, например: а* — —.
xv дхч
2) Результат будет справедлив в достаточно малой окрестности неко-
торой точки; в каждом конкретном примере область допустимых значений
функций ak (г) требует отдельного изучения.
9*
132 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СП ПЕРЕМЕННЫМИ [12.7
Следовательно, 'F— интеграл уравнения (1), если
= 0, v=l........п, (30)
Л = 1 ak xv
причем в производные подставлены функции ak = а* (г). Таким
образом, если выбирать непрерывно дифференцируемые функции aft(r),
удовлетворяющие условию (30), то указанный способ дает нам
частные интегралы.
Если для всех Л= 1, 2.......п
Фа (г. а1 (б....ап(г)) = 0») (31)
/г
то W— особый интеграл уравнения (1).
Пусть для т (m<Zn) непрерывно дифференцируемых функций
Ф0 (а), р = 1, .... т и п непрерывно дифференцируемых функций
av(r), v= 1.....п справедливы равенства
Фр(а......0=0, р=1, 2............т, (32)
и, следовательно,
2^Д = 0, v=l, .... п. (33)
причем в функции Ф^ подставлены значения ак = ак. Далее, пусть
для т функций %р (г), р == 1.....т справедливы равенства
т
Ф„ (г, а1....а")=2ХрФС , k — \.............п. (34)
к р= 1 R
Тогда уравнения (30) являются следствиями (33), и, следовательно,
функция V есть интеграл уравнения (1).
Практически при данных Фр исходят из п-\-т уравнений (32)
и (34) для п-\-т функций ак, %р. Если из этих уравнений найдены
непрерывно дифференцируемые функции ak, то их надо только под-
ставить в функцию ф вместо аргументов ak.
Пример. Рассмотрим снова пример п. 9.5 (в):
pq = z, ф = (х — а) (у — 6).
Пусть т = 1 и Ф (а, Ь) = аА -|- ЬВ, где А, В — произвольные постоянные,
не равные нулю. В этом случае уравнения (32) и (34) имеют вид
аА -|- fiB — О, р — у — Л Л, а — х = ЛВ,
*) Условие (31) справедливо, если имеет место равенство (30) и опре-
делитель -vy—’ =/= О, однако условие (31) проще, чем это комбини-
о (*1....хп)
рованное условие.
,2.8) § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 133
и, следовательно,
Ах — By о Ах — By
«=--2-л---; ₽=—г,-
Таким образом, интеграл
ЧТ = 4ЯВ(Лл + Ву)2-
(в) О существовании данного интеграла среди
интегралов, определенных посредством полного
интеграла. Пусть z = y. (г)— фиксированный интеграл диффе-
ренциального уравнения (1). Если для выбранных соответствующим
образом непрерывно дифференцируемых функций ак (ц) справедливы
соотношения
Ф(г. а1....а") = х(г)> I
(г, а1....а") = Х- (г), v—l........п, | (35)
xv V J
то этот интеграл находится среди частных интегралов, определяемых
методом (б) из полного интеграла ф(г, а).
Практически поступают так: из уравнений (35) вычисляют функ-
ции ak и исследуют, выполняется ли для них уравнения (30).
12.8. Метод Якоби1)- Пусть F1 — левая часть дифференциаль-
ного уравнения (1) — дважды непрерывно дифференцируема. Дополним
это уравнение «не зависящими» друг от друга уравнениями того же
типа
Д2=0.......Fk—0
до инволюционной системы2) k уравнений. В общем случае полу-
чается k — п или k — п 1. (Если z само не входит в систему,
то k — n.) Эта система строится способом, изложенным в § 14.
По сравнению с п. 14.9 (г) в рассматриваемом случае одного диф-
ференциального уравнения (1) нет ничего нового, только изучаемая
там первоначальная система т уравнений здесь состоит только
из одного уравнения.
Чтобы получить систему k уравнений, разыскивают прежде всего
дважды непрерывно дифференцируемую функцию F2, которая состоит
в инволюции с функцией F1, т. е. является решением линейного
однородного дифференциального уравнения (см. пп. 9.1 и 14.4)
[F1, Z] = 0,
') Более подробно см. в § 14.
2) Определение см. в п. 14.1 (б).
134
ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
|12.9
или, что то же самое, постоянна вдоль каждой характеристической
полосы уравнения (1). Такие функции называются первыми интегра-
лами уравнения (1). Их часто удается найти, комбинируя характе-
ристические уравнения, как это всегда пытаются делать при реше-
нии дифференциальных уравнений с частными производными. Если
при этом удается получить даже больше таких функций: F2....Fv,
находящихся в инволюции друг к другу, то все эти функции можно
использовать для построения инволюционной системы ’)•
Если найдены функции F2, .... Fk (где k — n или ft = «4-1),
то каждую функцию Fv для v 2 можно заменить через Fv —
с произвольными константами Av. Тогда на основании п. 14.3 полу-
чается даже полный интеграл уравнения (1).
12.9. Частный случай: p=f(x, у, q).
(а) Для дифференциального уравнения
p=f(x,y,q), (36)>
в котором у опять означает совокупность у]...........yn; q—сово-
dz dz ,
купность qv .... qn\ p = -^ — ; qv=^—, а сама искомая функция
ox v
z — z (x, у) отсутствует, понятие полного интеграла может быть-
усилено. Именно, под полным интегралом здесь понимается инте-
грал, зависящий от параметров а и « = («,........«„):
г = ф(х, у, а)-\-а.
который в рассматриваемой области дважды
цируем по всем 2«4- 1 аргументам х, у,
равенству
d(ab
непрерывно дифферен-
а и удовлетворяет не-
(37>
ч йл)
(б) Если функция f (х, у, q) в окрестности точки (х0, у0, q0)
дважды непрерывно дифференцируема, то уравнение (36) имеет
в окрестности точки (х0. у0) полный интеграл в указанном выше
смысле.
Его можно получить следующим путем. Найдем решения характе-
ристической системы уравнения (36) (см. § 12, (13)):
y'v(x) = —fl}v(x, у, q), q'v(x) = fy^(x, у, q) (v=l......«);(38>
п
= . (39).
V=1
’) Если только все они функционально независимы, т. е. выполняются
необходимые условия § 14, (21) и (24).
92.9]
§ 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
135
Пусть (6, а) — произвольная точка в достаточно малой окрестности
точки (у0, <70). Решение уравнения (38), которое для х — х0 при-
нимает значение (&, а), имеет вид
yv = Kv(x, Ь. a), qv — Qv(x, Ь, a), v=l.....п. (40)
Если положить z (х0) -а-b, то из (39) следует, что
X [ п \
z — Z (х, Ь, а) — ab ф- f I QvFqv—Fldx, (41)
jr0 'V=l '
причем большие буквы F, Fg^ означают значения функций /, fg^
после подстановки в них Yv, Qv. Разрешая первые п уравнений (40)
•относительно Ь, мы получим (для значений х, у, а, принадлежащих
достаточно малой окрестности точки (х0, у0, <?0)) вполне определен-
ную дважды непрерывно дифференцируемую функцию Ь — В (х, у, а).
С ее помощью из (41) находим полный интеграл уравнения (36)
z — ф (х, у, а) + а = Z (х, В, а) -|- а,
для которого ф (х0, у, -а) = а -|- ау.
(в) Если для дифференциального уравнения (36) найден полный
интеграл *), то решения характеристических уравнений (38) можно
получить из него только с помощью дифференцирования и исклю-
чения.
Пусть f (х, у, q) — функция, дважды непрерывно дифференцируе-
мая в окрестности точки (х0, у0, ^0); пусть г = ф(х, у, а)-|-а
в окрестности точки (х0, у0, ас) — полный интеграл уравнения (36),
дважды непрерывно дифференцируемый по х, у, а, и пусть в точке
(х0, у0, а0) выполняются условия
%v = ^0V v=1-
л;
....Ч) , 0
д(Д1...«л)
Разрешим уравнения
фй (X, у, a) = b , v== 1, .... п (42)
V
относительно у в некоторой окрестности точки (х0, а0, &0), где
^ = ^(хо- «о- 6о)- v==1.........................
пусть результат будет у — Y (х, а, Ь). Положим, далее,
Qv(x, а, &) = фу^(х. У, а).
Тогда функции
У = у (X, а, Ь), q — Q (х, а, Ь)
’) Что иногда удается сделать без решения характеристической системы.
136 ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ |12.10
являются решениями уравнений (38). Таким образом получаются
все интегральные кривые системы (38), проходящие в достаточно
малой окрестности точки (х0, у0, q0).
12.10. Приложение к механике1). В механике конечного числа
материальных точек характеристические уравнения (38) (называемые
уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями) за-
писываются в виде 2)
где функция Гамильтона
^3 = ^3 (t, qx......qn, рь .... рп)
—данная функция, a qv~qv(t), pv—pv(f) — искомые функции. В силу
п. 12.9 можно получить решения канонических уравнений из полного
интеграла z — z (дх.....<?я) соответствующего уравнения с частными
производными
d? . ап1. дг дг \ . ....
"чт—Н 333 11, о.» . .., qn, "4— । •. ., -4—I — 0. (44)
dt 1 \ " dqt ' dqn) v '
Это дифференциальное уравнение называется в механике уравнением
Гамильтона — Якоби, в геометрической оптике — уравнением
эйконала.
Пример. Пусть материальная точка (х, у) движется в плоскости
х, у под действием силы тяготения со стороны массы, закрепленной в на-
чале координат. Движение происходит согласно уравнениям3)
= y"(t) = Uy, где = .
Fx2-|-y2
С помощью функции Гамильтона
(х, у, р, ?) = у (/>2 + 92) — и (х, ,у)
эту систему можно свести к канонической системе
х'(0 = №> у'(0 = №> Р'(0= —№. Ч’ (0 = — «^Гу-
Уравнение в частных производных (44) для , функции г = г (i, х, у)
имеет вид
1 + 2 \.Zx+Zy) у-х2_^у2 •
*) [См. Степанов, стр. 412—416; Курант, стр. 111—138, а также
Ф. Р. Г а н т м а х е р, Лекции по аналитической механике, Физм атгиз, 1960;
И. М. Гельфанд и С. В. Фомин, Вариационное исчисление, Физ-
м атгиз, 1961. — Прим, ред.]
2) Здесь буквы pv, qv имеют уже не тот смысл, какой мы придавали
им до сих пор.
3) [Массы предполагаются единичными. Обозначения переменных в этом
примере отличаются от обозначений, принятых по всей книге. — Прим, ред.]
t2.ll) § 12. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С П ПЕРЕМЕННЫМИ 137
или, если подставить £ (t, р, &) = z (t, х, у), где х = р cos if, у = р sin О,
Для этого дифференциального уравнения, согласно п. 13.3, имеем полный
интеграл
р __________________________________________________
+ f -]/2Д4- 2£i_-^rfp+C. (*)
•» » Р Р
Ро
Решая теперь уравнения
дА дВ ’
получаем искомые функции
х (t) — р cos О, у (0 — Р sin О.
Если в выражении (*) для g взять знак +, то кривая, проходящая при t = ta
через точку (р0, г%), запишется в следующем виде:
р
р
О —,% = В J
Ро
rfp
р* 2 Vr'
„„.,2л2 В1
где Я=2Д + -^-----
Второе из этих уравнений определяет траекторию пути, а первое —-
время движения. Если проинтегрировать второе уравнение, то для В О
получим:
В2 ,
О "&о — arcsin ~ ^2р-----1 j ~т" »
•• Следовательно, траекторией является коническое сече-
2 1 । 2АВ2
где е2 = 1 4-
ние
_ В2
Р Л2 [14-е sin (© — &<))] •
12.11. Оценка Нагумо 1). Пусть функция f (х, у, z, q) опре-
делена в области ®(х, у, z, q) и удовлетворяет там условию Лип-
шица
п
|/(х. у, z, q) — f(x, у, z, q)\<A 2 |?v —?v|. (45)
v-l
Пусть для всех v= 1, .... п функции av(x), bv(x) в интервале
непрерывно дифференцируемы, av(x) < bv(x) и2)
<,< — А.
>) См. М. Nag urn о, Journal of Math. 15 (1938), стр. 51—56; J. Szarski,
Annales Soc. Polon. 22 (1950), стр. 1—34.
2) Существенно, что здесь стоит константа Липшица А из (45).
138 гл. III. нелинейные уравнения с П ПЕРЕМЕННЫМИ (13.1
Обозначим через g область
£<х<с; flv(x)<yv<^v(x), v=l........................п. (46)
Пусть функции и (х, у»), v (х, у) непрерывно дифференцируемы
в g и системы значений х, у, z, q принадлежат области ® при
z — u, qv=u и при z = v, q =v . Наконец, предположим, что
yv yv
ux>f(x. у, и, Uyt.......иУпу •ox<f(x. у, V. Vye .... Vyny
причем в каждой точке области g знак равенства может иметь место
самое большее в одном из этих двух неравенств, и, кроме того,
« (I. J) > ® (L У) Для av (|) < yv < by (g).
Тогда
и(х, У)>‘«(Х, у)
во всей области д.
Это неравенство Нагумо может быть использовано для оценки
решения дифференциального уравнения (2).
Пусть правая часть этого уравнения определена в области ®,
удовлетворяет там неравенству (45), и пусть область g определена
условиями (46). Предположим, что в ® существует интеграл ф (х, у}
с начальным значением ф(£, у) = (о(у), но саму функцию ф вычислить-
сложно или она нам неизвестна.
Если нам удастся заключить функции /, со между двумя функ-
циями /v(x, у, z, q), (ov(y) так, что
/1 < / < ® < ®2.
и если для дифференциальных уравнений p = fu p = f2 можно вы-
числить интегралы ф,(х, у), ф2(х, у) с начальными значениями
Ф1 (&> 30 — И1 (УУ Фг )) — и2 (30> т0 в области g имеется оценка
Ф1 (х, у) < ф(х, у) < ф2 (х, у).'
Отсюда получается неравенство Хаара п. 4.4.
§ 13. Решение частных видон нелинейных уравнений
с п независимыми переменными
13.1. F(p) = O. Если константы Av таковы, что
.........................А) = о,
п
если F непрерывно дифференцируема и если 2 |FP |^0, то
V- 1 v
z — A>+Axi+ ••• +А*л
— полный интеграл.
13.31 § 13. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 139
13.2. F (z, р) — 0. Если сделать подстановку
г —£© |=Д1ЛГ1+ ... +
то из данного уравнения с частными производными получается для
£=£(£) обыкновенное дифференциальное уравнение
F&, А£.......А&) = 0.
13.3. F [/1 (Xi, pjtp (z) ), .. ., /„ (х„, р„<р (z))] = 0. Это — диф-
ференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Пусть
постоянные Av таковы, что
F{A,.....An) = G.
Разрешим уравнение
/v(xv- Py&=Av
относительно pv<p:
p^(z) = gv(xv, Av).
Тогда
п
f q>(z)dz='£f gv(xv, Av)dxv-]-A0
V=1
— интеграл данного дифференциального уравнения.
Рассмотрим частные случаи.
(а) Л (xp pt) /2 (х2, р2) ... /„ (х„, рп) = а.
При а —0 дифференциальное уравнение справедливо для всех
таких z, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений
Р») = 0. (1)
Если это уравнение разрешить относительно рь\
Рь = <Рл (Xk)’
TO
z = f .....Xk-V xk+i' Xn)
— решение уравнения (1), причем 2—произвольная непрерывно диф-
ференцируемая функция.
При 0 подберем константы Av так, что А1 ... Ап — а. Если
уравнения
f V Ру)
разрешить относительно pv:
Pv = %(xv* Av)<
то
n
z~ Ao-j-^j J" tpv(xv, Av)dxv
V=1
— полный интеграл.
140 гл. 111. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ [13.4
(б) /1(Хр Pl) + fl{x2' Рг) + ••• +/л(хп’ Рл) = 0.
п
Пусть постоянные Av выбраны так, что 2 Д = 0. Тогда, разре-
V = 1
тая уравнения
/v(xv, pv)=Av
относительно pv:
PV Ф-V C^V*
мы получаем полный интеграл в виде
п
z=£f 4>v(XV Д)dxv+ Д-
v—1
13.4. Однородные уравнения. Пусть левая часть уравнения
F (г, z, р) = 0
становится однородной по z, pt....рп. если z заменить выбран-
ной надлежащим образом степенью za.
Если а #= 1, то подстановкой z —та?-, где % = , мы при-
ведем уравнение к виду
F(xx.....хп, К~а, wXt, .... wxJ — 0,
не содержащему неизвестной функции.
Если а—1, то, полагая z — ew, мы получаем:
F(xb .... хп, 1, wXi.....wx^=0.
Уравнение F(r, p)—zc, где левая часть — однородная по pv ...
..., рп функция степени т, есть частный случай однородного ура-
т
внения при а — — .
13.5. F(r, z, р) = 0. Преобразование Лежандра. Пусть в об-
ласти ® (г) функция z (г) дважды непрерывно дифференцируема.
Пусть для 1 Д k п область ® (г) можно преобразованием
Xi=:xi, ..., = X^Zjc^r), . . ., X„ = zX/t(r) (2>
взаимно однозначно отобразить на область ® (X). Наконец, пусть
в области ®
det I zVv I 0 (м' v к)-
Если положить
Z (X) = х Хр z, — z (г). (3)
р= k р
13.6] § 13. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 141
то, наряду с уже приведенными соотношениями (2), (3), получаются
также уравнения
*xv = —Zxv. v=l, .... k— 1, (4)
xv=Xv, v—1........k—1; xv — Zxv(X), v—k.....n,
n
z{r)=^XeZx~Z{X). (5)
p= k p
Преобразование (4), (5) называется преобразованием Лежандра.
С помощью этого преобразования (коль скоро интегралы удовле-
творяют указанным предположениям) дифференциальное уравнение
F(r, z, р) = 0 (6)
переходит в уравнение
/ п
F *1.....Хь-ъ Zx , .... Zx ,2 XpZx—Z, —Zx. ...
\ R П p=k p 1
..... — Zxk-i’ ...^£Гя) = 0 (7)
которое иногда проще первоначального уравнения. Если можно найти
интеграл Z (X) уравнения (7), то (5) — параметрическое представле-
ние интеграла уравнения (6).
При этом преобразовании некоторые интегралы' могут пропасть
(именно те, для которых указанные вначале предположения не вы-
полняются). Следовательно, требуется еще исследовать, имеются ли
подобные интегралы.
Если вместо (6) рассмотреть дифференциальное уравнение
F(r, р) = 0,
в которое неизвестная функция z не входит, то соответствующее
преобразованное уравнение имеет вид
F(X\, .... Хъ-х, Zx...Zx .—Zx , ...
\ R П 1
.... —............A’„) = 0.
fe-l n
13.6. 5^v/v— fn+V 1<*<я и
V=1 v—k
(n \
xv • • • > xk-v Ph' • • Pn' SXVPV~zl - ПРИ преобразо-
v-k /
вании Лежандра (4), (5) данное дифференциальное уравнение пере-
ходит в квазилинейное дифференциальное уравнение
п
ГДе Fv = fv(*l...^п, Z).
v=l V
142 гл. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ |13.7
В частности, все сказанное справедливо для уравнения
у f и + 1» f у f V | Pl* • • • • Pn* ^vPv % ) •
V=1 \ V=1 /
представляющего собой частный случай уравнения 13.6 при k— 1.
13.7. 2 = ^+ . . . + xnpn+f[pv .... р„). Это — дифферен-
циальное уравнение Клеро. Если f определена и дважды непрерывно
дифференцируема в точке (Л]...........Ап), то
z — A1x1-ll~ ••• Апхп-\-f(Аь ..., А„)
— полный интеграл.
§ 14. Система нелинейных уравнений
14.1. Частный случай: pv~fv (г, у, z, q), v — 1, . . ., т. Пусть
дана система г дифференциальных уравнений, разрешенных относи-
тельно всех г производных:
Pv-=/v(r. У. Z, q), v = 1, .... nr, (1)
здесь г = (х1, ..., хт), у = (У!........ys), q = (qt........qs),
дг дг , . ,
— z = z(x,y)— неизвестная функция.
чай s = 0 допускается.)
где
(Слу-
(а) Если функции fv в рассматриваемой области @(г, у, Z, q)
непрерывно дифференцируемы -по аргументам xv, yv, z, qv, то каждый
дважды непрерывно дифференцируемый интеграл z — ty(r, у) удовле-
творяет
т(т— 1)
——- уравнениям
(1 v^m), (2)
куда следует подставить z = ф, qn — фу .
Следовательно', для данной системы (1) всегда можно написать
еще несколько уравнений (2), которые также обязаны удовлетво-
ряться, если система имеет дважды непрерывно дифференцируемое
решение.
(б) Если уравнения (2) становятся тождествами при подстановке
величин г, у, z, q, то соответствующая система (1) называется
инволюционной системой или якобиевой системой или вполне инте-
14.3)
§ 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
143
грируемой системой. Уравнения (2) называются условиями инте-
грируемости системы (1).
14.2. Теорема существования и единственности для якобие-
вой системы в области аналитических функций. Пусть функции
/v (г, у, z, q) являются регулярными аналитическими в точке (г°, у’,
г°, q°) и в окрестности этой точки удовлетворяются условия инте-
грируемости (2). Далее, пусть дана функция со (у), регулярная ана-
литическая в точке у°, причем справедливы соотношения:
со (у9) = z°, со (у9) = q° ii=l......у.
Тогда система (1) в достаточно, малой окрестности точки (г°, у0)
имеет ровно один регулярный аналитический интеграл 2' = ф(г, у)
с начальными значениями ф(г°, у) = со(у).
14.3. Теорема существования и единственности для якобие-
вой системы в области действительных функций. Метод Майера
для решения якобиевой системы.
(а) Пусть при фиксированных £ функции fv (г, у, z, q) дважды
непрерывно дифференцируемы в области
| xv — К а\ у, z, q — любые, (3)
и пусть справедливы неравенства
I f I, I f I f I, I f I, I f I, I f
IrVvl I wl Vvl 1 гг| r«vl
Предположим, что выполнены условия интегрируемости (2). Пусть,
далее, функция со (у) непрерывно дифференцируема по любому уц
и удовлетворяет неравенству
|% | + vS|®vv| H=l. •••.«• (5)
Наконец, пусть выбраны числа 0, а, удовлетворяющие условиям
° < Р < ^4 1П О + 2s (В +1) ) И «=min(fl, ₽). (6)
Тогда система (1) имеет в области
|xv — £v|<a; у —любое (7)
ровно один дважды непрерывно дифференцируемый интеграл z = ф (г, у)
с начальным значением ф(^....£т, у) = со(у)1).
*) См. Е. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943), стр. 267—275.
144 гл. Ш. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ [14.3
(б) Для фактического решения данной системы (1) часто с успе-
хом может использоваться метод Майера. Преобразование Майера
(см. п. 6.4) состоит в следующем: т независимых переменных х1г .... хт
посредством соотношений
*р —£р = ккр. Р=1........т- (8)
представляются как функции от т-\-1 независимого переменного
и, ах, .... ит, причем | и | 1, | «р | а; очевидно, что хр прини-
маются все значения в области | хр— Вместо системы (1)
теперь рассматривается одно уравнение
dZ V ( , ? А . 2 dZ dZ\
du + Ь......иат + 1т> У> Z dyt’ dys)'
p=i
в котором и, yb ..., ys являются независимыми переменными,
а и,, .... ит — параметрами. Если Z = 4r(«, у ut, .... ит) — инте-
грал дифференциального уравнения (9) с начальным значением
4^(0, у иь .... ит) = оу(у),
не зависящим (это важно!) от uv, то
2(Г, J») = 4r(l, y Xj —- ....xm —
— искомый интеграл системы (1).
(в) Пример. Pi = q2-}-y. p2 = q2 + y.
Система инволюционная. Если выбрать = ^ = 0 и положить xv — uuv,
то уравнение (9) принимает вид
zu. = (“1 + иг) (zy + у)-
Для этого дифференциального уравнения из соответствующих характеристи-
ческих уравнений находится интеграл
2 .
Z = A(uiAru2)u — — (A—y) 4-В.
О
Если А, В не зависит от иь то Z, как это и требуется, не зависит
от и2 при и == 0, Если подставить uuv~xvt то для исходной системы
получается интеграл
з
2 У
z = A (Xj-f-Xj) — (А — у) -|-В.
О
(г) Пусть функции f1 (Z, у z, q, X) (здесь X = (Xi, . Zft))
в области
|xv — у, z, q—-любые; Лр<Хц<Лц
k раз непрерывно дифференцируема (k 1) по всем т + 2s k + 1
аргументам xv, yv, z, qv, Xv; этим же свойством по предположению
14.41 § 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 145
обладают функции , fv f' . Далее, пусть выполняются неравеп-
ства (4) и условия интегрируемости (2). Предположим, что функ-
ция со (у, 1) в области
у — любое; A(1<Z|X<A* (10)
k раз непрерывно дифференцируема по yv, Zv, так же как и ее произ-
водные соу^. Далее, пусть выполнено (5). Наконец, пусть р, а снова
выбираются в соответствии с (6).
Тогда система
Pv = f(r, у, z, q, 1), v= 1......т
при фиксированных Zv имеет в области (7) ровно один дважды непре-
рывно дифференцируемый интеграл г = ф(г, у, X) с начальным зна-
чением
• • •• U- У- М = ®(у. М-
Функция ф(г, у, X) вместе с ее производными ф , ф( в области
lxv — у —любое; Atl<XM<A,l (11)
k раз непрерывно дифференцируема по всем т -1~ у -1- k аргумен-
там xv, yv, Zv.
(д) Если
5
® (.V. М — ^0 + ^-аУо-
П-1
то, применяя (г) к системе (1), правые части которой не зависят
от X, мы получим для этой системы полный интеграл z = i|'(r, у, X)
в достаточно малой окрестности значений хр = £р, т, е. интеграл,
для которого
<?(Ф. ФУ1. •••, ФУя)
d (Хо, Xi, —, Х5)
(е) Если система (1) задана не в области (3), то пытаются так
расширить область существования функций fv и со, чтобы теорема (а)
была применима.
14,4. Скобки Якоби и Пуассона. В более общих системах
нелинейных уравнений (12) роль условий интегрируемости (2) играют
уравнения (13). Некоторые свойства этих уравнений будут сейчас
приведены.
Пусть функции F (г, z, у), О (г, z, у), Н (г, z, у) — непрерывно
дифференцируемые функции своих 2n-j-l переменных г, Z.y1)
в области ®(r, z, у),
’) Здесь снова r=(xj...х„), у = (уь .... у„).
10 Э. Камке
146 ГЛ- HI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ (14.5
(а) Скобка Якоби [F, О] определяется так
IF. О1-Д((Г,,+УЛ)О^-(О,,+УА)М.
или если использовать сокращенное обозначение
~~=FX + >\Л-
dxv xv 1 x v z
TO
n
V=1
(б) Очевидно, что [F, C] = О для любой постоянной С;
[F, F] = 0, [F, G] = —[G, F].
(в) Для дважды непрерывно дифференцируемых функций спра-
ведливо соотношение
[ [F, О], //] + [ [О, Н], F] -НРЛ П 01 =
= FJO, H]-\-Gz[H, F]-\-Hz[F, О].
(г) Соотношение [F, Z] = 0 при данной функции F есть линей-
ное однородное дифференциальное уравнение для неизвестной функ-
ции Z = Z (г, z, у).
(д) Если функции F, О, Н не зависят от переменной z, т. е.
речь идет о функциях F (г, у»), G (г, у), Н {г, у), то скобка Якоби
[F, О] переходит в скобку Пуассона (F, G), которая определяется так:
п п
(F, Q)=^y^(Fx Gy — Fy Ох .
V / Ху У у Уу -<yj fl
V=1 V=1
(e) Из (в) получается соотношение
((F. О), Н) + ((0, Н), F) + ((W, F), G) = 0.
(ж) Если F — дважды непрерывно дифференцируемая функция и
если ф] (г, у), ф2 (r> JV) ~ дважды непрерывно дифференцируемые инте-
гралы дифференциального уравнения (F, Z) = 0, то скобка Пуассона
(фр ф2) — также интеграл этого дифференциального уравнения.
14.Б. Общая нелинейная система. Пусть дана нелинейная
система дифференциальных уравнений
Fv (г, z, р) — О, V—1...т (12)
*) [Иногда это выражение носит название скобок Майера-, см. Степа-
нов, стр. 385—387. — Прим, ред.]
14.6)
§ 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
147
{как всегда, здесь г = (х1.....х„), р=(р1........Р„), z=z(r) —
искомый общий интеграл т уравнений (12)). Относительно функ-
ций Fv предполагается, что они в рассматриваемой области @ (г, z, р)
непрерывно дифференцируемы по своим 2га -]- 1 переменным.
Каждый дважды непрерывно дифференцируемый интеграл си-
стемы (12) удовлетворяет также уравнениям скобок
|/Л Fv] = 0, 1<н,
(13)
при этом FH,v(r, z, р) = [/7Й, Fv]—скобки Якоби, определенные
® п. 14.4 (а). Следовательно, данной системе (12) можно всегда
поставить в соответствие уравнения (13), которые необходимо должны
удовлетворяться, если система вообще разрешима.
14.6. Инволюционные системы и полные системы.
(а) Система (12) называется инволюционной системой, если
Fv]==0, l<|i, v<m.
(14)
для всех значений г, z, р. Уравнения (14) называются условиями
интегрируемости системы (12). Для случая системы (1) это опре-
деление только тогда совпадает с определением данным в п. 14.1 (б),
когда все правые части системы не зависят от переменной z.
(б) Система (12) называется полной системой, если
[F*. F'| = 0, 1 < р, v < т.
для всех систем чисел (г, z, р), которые удовлетворяют т урав-
нениям (12).
(в) Для того чтобы получить интегралы системы (12), эту систему
дополняют до полной системы (ср. с п. 6.3 (в)) уравнениями (13)
{точнее, лишь теми из уравнений (13), которые не являются «алге-
браическими следствиями» уравнений (12) в смысле (б)). К попол-
ненной так системе потом снова применяют метод образования скобок,
и так далее. Необходимое условие для разрешимости данной системы
состоит, очевидно, в том, что каждая расширенная система «алге-
браически разрешима», если г, z, р рассматриваются как числа.
Пример. р,р2 = х3х4, р3р4 = х,х2.
Сюда искомая функция г не входит. Путем образования скобок Пуас-
сона получают уравнение
Х1Р\. + хгРч — х3р3 — х4р4 = 0.
Система трех уравнений теперь полная. Если все же продолжить процесс
дальше и образовать, например, скобки Пуассона первого и третьего
уравнений
2 (х3х4 — р,р2) = 0,
то, как легко видеть, это уравнение является следствием первого уравнения.
10*
148
ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
[14.7
(г) Пусть система (12) с т^п полная. Пусть уравнения (12)
удается разрешить относительно ри ..рт, т. е. система функ-
ций ри:
Рц = /ц(Г- Pm+i........Р„). Н=1. .... т, (15)
которые существуют в области ®(r, z, рт+1, .... рп) и там непре-
рывно дифференцируемы, обращает уравнения (12) в тождества. Далее,
пусть определитель
d(Fl, .... Fm)
д СР.....Рт)
(после подстановки в него выражений (15)) ни в какой подобласти
области @ не равен тождественно нулю. Тогда (15) — инволюционная
система в смысле п. 14.1 (б).
(д) Если система (12) в области @(r, г, р) инволюиионна
в смысле (а) и если функции Fv в области @ дважды непрерывно
дифференцируемы, то линейные однородные дифференциальные
уравнения
[р*4, Z] = 0, ц=1, .... m.
образуют полную систему в смысле п. 6.3 (б).
14.7. Метод Якоби для инволюционной системы, не завися-
щей от Z. Речь идет о системе
Fv (г, р) — 0, v=l, ..., т, (16)
т <^.п, в которую искомая функция z явно' не входит и которая
в области @(г, р) инволюционна. Предположим, что нам удалось
дополнить эту систему п — т уравнениями
Fm+1 (г, р) = 0, . . ., Fn(r, р) = 0 (17)
так, что полученная система п уравнений является инволюционной
системой. Пусть эта новая система (16), (17) может быть разрешена
относительно переменных р1....рп:
Pv = f(r), v=l, .... п,
(18)
причем определитель (в который подставлены выражения (18))
д(?1.....Fn) , 0
д (Pi....Рп)
(19)
ни в какой подобласти рассматриваемой области г-пространства.
В силу п. 14.6 (г), система (18) является инволюционной, следо-
вательно, Г = fv и,
xv J хц
таким образом, применим метод п. 6.1. Тогда
14.71
§ 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
14»
каждое решение системы (18) есть, в частности, решение системы (16)..
Так как уравнения
Fm+' = Am^ .... Fn=An,
где Av — произвольные постоянные, вместе с уравнениями (16) обра-
зуют инволюционную систему, то вместо (18) получаем зависящую,
от Av систему
Pv = fV(r; Ат+1.....А„), v= 1........п, (18а>
интегралы которой зависят от Av, из этих интегралов можно полу-
чить полный интеграл системы (16).
Следовательно, по существу надо лишь найти уравнения (17),
т. е. подобрать дважды непрерывно дифференцируемые функции
Fm+l, .... Fn. Это делается постепенно. (При этом предполагается,
что F11 дважды непрерывно дифференцируемы.) Прежде всего надо
разыскать такое Z=Fm+1, чтобы условия интегрируемости
(F1, Z) = 0, ..., (Fm, Z) = 0
были тождественно выполнены по г, р. В силу п. 14.4 (г), эти урав-
нения образуют линейную однородную систему дифференциальных,
уравнений, а именно (см. п. 14.6 (д)) полную систему. Чтобы полу-
чить нетривиальное решение этой системы, можно использовать методы
из § 6. Найдя такое решение Z — Fm+1, решают линейные уравнения,
(F\ Z) = 0, р=1.........ш+1,
и т. д. При этом надо следить за тем, чтобы условие (19) было
выполнено.
Пример. В п. 14.6 (в) было установлено, что система
РхР2 — х3л4 = 0, paPi~ jqx2 = 0,
XiPi + х2р2 — хара — xtpt = О
полна. Разрешая ее относительно р1г р2, ра, получаем (см. п. 14.6 (г) и (а) >
инволюционную систему, а именно:
Р1 = ^з, р2 = ^1, А =
Pl х2 r Pi
(*>
а также и вторую систему, которая следует из (*) заменой xip^ на х2р2^
и наоборот. Следовательно, достаточно рассматривать указанную выше
систему (*).
Итак, решим линейные дифференциальные уравнения
z)=0, (р2-^-, z)=0, z)=0;
\ Pi / \ х2 j \ Pi )
150
ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
(14.8
-они имеют вид
Z
' Pi
ZK-—Zxi
x2
у 1 *1*2 у । *2
Zr 4-^Z±^Zr =0,
' Pi Pi Pz
Х4Р4 у | Pi у ______
^2 Zp2 i" Z^~ °’
л2 л2
~^~Zx. + — Z„ +— Zn =0-
p\ x' Pl p' Pl Pz
Интеграл этой линейной системы, очевидно, Z = —-----А. Присоединяя
х2
вытекающее отсюда уравнение Z = 0 к трем уравнениям (*), получаем:
Pi:=JT’ Pl = Axi, Рз = ^' Р1 = Ах2-
-а отсюда, наконец, находим полный интеграл
z— Axtx3 -f~ —x2xt -j- В,
а также интеграл, получающийся после замены xt на х2 и х2 на х{.
14.8. Применение преобразования Лежандра.
(а) Иногда независимые переменные и производные могут быть
при надлежащей перенумерации так подразделены на два класса
.... xk_t, pt...pk_i и xk, .... х„, pk.......рп,
что зависимость левых частей Fv системы (16) от ру ..., рк-.\
проще, чем зависимость от хт, .... хк_ь и, напротив, зависимость
от xft, .... х„ проще, чем от pk, .... рп. В таком случае реко-
мендуется применять преобразование Лежандра. После применения
•его система (16) переходит в систему
^(Хр .... Pk...........Р„, -Рх......-Pk_b Xk........Xn) = Q,
и эти уравнения теперь зависят от производных Pv более простым
образом, чем от Xv.
(б) При решении методом Якоби (см. п. 14.7) мы предполагали,
что определитель (19) не обращается в нуль. В ряде случаев бывает,
что при редукциях к инволюционной системе п уравнений с помощью
уравнения (17) это предположение нарушается. Однако если хотя бы
HP п
д(Р....Рт) * ’
-то систему (16), (17) можно иногда перевести с помощью преобра-
зования Лежандра (см. п. 13.5) в такую, для которой предположе-
ние (19) выполнено.
14.8]
§ 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1ST
Именно, если для выбранного надлежащим образом k > т спра-
ведливо неравенство
W'-------Fn)
д(Р1.....Pk-vxk.....хп)
то система (16), (17) переходит после преобразования Лежандра
в инволюционную систему
ф1(Х, Р) = 0.......ФП(А\ Р) = 0,
для которой
д(ф«,..., ф”) п
.... Рп) •
(в) Пример.
У2Р3 + хр + Зуд = 0. (*)
Дифференциальное уравнение может рассматриваться как система (16)
с т — 1, п — 2. В силу п. 14.7, можно разыскать второе уравнение, находя-
щееся с первым в инволюции. Из характеристической системы данного’
уравнения (*) получаются первые интегралы (ср. с п. 12.8)
ур3 — const и -^2 — У ~ const. (**)'
и каждое из этих двух уравнений образует вместе с данным, в силу п. 12.8,
инволюционную систему.
Если выбрать первое из получившихся соотношений (**), то мы придем
к системе
и, таким образом, найдем полный интеграл данного дифференциального-
уравнения:
—- Аа
г — Аху 3-----5— у В.
О
Если выбрать второе из получившихся соотношений (**), то мы придем'
к системе
—у = д у2р34-хр + Зу^ = 0. (***)
Здесь разрешение относительно р, q сложнее. Если ввести посредством
преобразования Лежандра р, q как новые независимые переменные, т. е.
положить
х = Р. р = Х, у— Y, q = — Q, z — XP—Z,
то из уравнений (***) получим:
Г = Д r2X3-f-XP —ЗГ(? = 0.
Отсюда находим:
Р = А2Г(Г4-Л), Q= 1-Х3 (2Г4-Л).
О
152
ГЛ. III. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П ПЕРЕМЕННЫМИ
[И.9
Из первого уравнения (****) имеем:
г = 4-лзг(г+^)+й(Г),
О
-а из второго уравнения (****) следует, что Q.' (Y) = 0, следовательно,
г₽1-№Г(Г+Л)+В, х = Р = А'2Г (Г+Л).
О
Наконец, делая обратное преобразование, находим окончательно:
2 - --
г =-=-х2 (у2 +Лу) 2 В.
О
14.9. Метод Якоби для общей системы.
(а) Если дана общая система
Fv(r, z, р) = 0, v=l.........т, (12)
то ее можно преобразованием п. 12.3 перевести в систему, в кото-
рую искомая функция не входит, и затем после некоторых преоб-
разований типа п. 14.5(b) применить метод п. 14.7. Тот факт, что
искомая функция сама в получающиеся уравнения не входит, несет
-с собой тот недостаток, что число независимых переменных возра-
-стает на единицу.
(б) Предположим, что система (12) полная, и пусть т = «-|-1.
Пусть, далее, система (12) удовлетворяется функциями
г = ф(г), pv = ipv(r), v=l.........п, (20)
которые в области ®(г) непрерывно дифференцируемы и для кото-
рых определитель (после подстановки выражений (20))
d(F\ ..., Гп+1)
д (г, Pt..рп}
ни в какой подобласти области ®. Тогда функция ф дважды непре-
рывно дифференцируема и фх^ = фг (v—1.........«), следовательно,
•ф— интеграл уравнения (12).
При имеет место следующее обобщение1). Пусть
-система (12) полная и удовлетворяется функциями
г = ф(г), рц = фц(г, рт......рп), р=1.........т — 1, (22)
.которые в области ® (г, рт, .... рп) непрерывно дифференцируемы
м для которых определитель
с) (Г1, ..., Fm)
д (z, pi, .... pm_i)
(21)
’) См. С. R u s s у a n, Communications Kharkoff (4) 8 (1934), стр. 57—60.
14.9)
§ 14. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
155
после подстановки выражений (22) ни в какой подобласти области ©
не равен тождественно нулю. Тогда .г = ф(г)— интеграл уравне-
ния (12).
(в) Пусть система (12) полная и т = п. Пусть система функций
pv = /v(r, г), v=l.....................п, (23)
которые существуют в области ®(r, z) и там непрерывно диффе-
ренцируемы, обращают уравнения (12) в тождества. Далее, пусть-
определитель (после подстановки выражений (23))
й(А...Рп)
(24)
ни в какой подобласти области ®. Тогда система (23), в силу 14.6 (г),
инволюционна, а именно имеет специальный вид п. 7.1.
(г) Пусть система (12) в области ®(r, z, р) инволюционна и
т п. Пусть возможно эту систему так дополнить уравнениями
Fv (г, z, р) = 0, v — т -ф-1.....п или п 4-1, (25>
что получающаяся инволюционная система (12), (25) имеет п или
«4~ 1 уравнение. В этом случае, можно использовать методы (в) и (б)
(разумеется, в случае, если остальные приведенные там предположе-
ния выполняются). При этом можно еще заменить нули в правых
частях (25) произвольными константами и получить полный интеграл,
системы (12).
Следовательно, при этом методе существенно суметь найти п — т
или п—т 4- 1 левых частей уравнений (25). Это делается шаг за
шагом, как описано в п. 14.7 (б), только встречающиеся там скобки
Пуассона надо заменить скобками Якоби.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Принцип довольно строгой лексикографической упорядоченности,
столь необходимый в справочнике по обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям, здесь не нужен. Он заменяется следующим прин-
ципом: Дифференциальные уравнения в частных производных объеди-
нены в отличающиеся друг от друга группы, и эти группы упорядочены
с учетом прежнего лексикографического принципа. Для линейных
дифференциальных уравнений указывается интегральный базис (глав-
ный интеграл), для нелинейных — полный интеграл.
Выражение й (иь . . ., иг) всегда означает произвольную непре-
рывно дифференцируемую функцию. У линейных и квазилинейных
уравнений для функций от трех независимых переменных последние
обозначаются через х, у, z, а искомая функция через у, z).
В других случаях независимые переменные обозначаются через х, у
или через х}....хп, искомая функция — через z, а ее производ-
ные — через р, q или соответственно рх...рп.
[Более подробные объяснения методов решения конкретных уравнений
можно найти в части 1 и руководствах, указанных там в прим, ред., а так-
же в следующих работах: Э. Айне, Обыкновенные дифференциальные
уравнения, Харьков, 1939; Н. М. Матвеев, Методы интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955; И. М. Гюнтер и
Р. О. К у з ь м и н, Сборник задач по высшей математике, т. II, М., 1959;
А. Ф. Ф ил и п п о в, Сборник задач по дифференциальным уравнениям,
М„ 1961.
При составлении настоящего справочного отдела автором были исполь-
зованы работы:
A. R. Forsyth, W. Jacobsthal, Lehrbuch der Differential gleichungen,
2 Aufl. Braunschweg, 1912; A. R. Forsyth, Theorie of Differential Equations,
Bd. 2 — 4, Cambridge, 1900— 1902; E. Ooursat, Lemons sur lintegration
des equations aux derivees partielles du premier ordre, 2 Aufl., Paris, 1921,
O. Julia, Exerfices d’Analyse t. 3 — 4, Paris, 1933, 1935, M. Morris,
О. E. Brown, Differential Equations, New York, 1935, а также многие другие
зарубежные издания, довольно старые и малодоступные. Ссылки на эти
книги и статьи, как правило, опускались. — Прим, ред.]
ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЛИШЬ ОДНУ ЧАСТНУЮ
ПРОИЗВОДНУЮ
I.I. F (х, у, z, р) = 0.
Так как в это уравнение входит только одна частная произ-
водная zx, то это дифференциальное уравнение можно рас-
сматривать как обыкновенное дифференциальное уравне-
ние для функции z(x, у), где у играет роль параметра.
[Для решения необходимо привлечь методы исследования обыкно-
венных дифференциальных уравнений первого порядка, неразрешенных
относительно производной. См. Камке, ч. I, § 3; ч. III, гл. I. — Прим.
ред.\
1.2. р=/(х).
z — J / (х) dx + й (у).
1.3. л- /(у).
£=:Х/(у)-4-й(у).
[1.3а. p=f(x, у, z).
Решение сводится к исследованию обыкновенного диффе-
ренциального уравнения первого порядка, разрешенного отно-
сительно производной; у следует рассматривать как параметр.
Решение удается выписать явно, если уравнение
dz ,,
у. Z)
удается проинтегрировать в квадратурах или известных функ-
циях.
См. Камке, ч. I, § 4; ч. III, гл. I. — Прим, ред.]
[1.36. p ^f(x, у).
z = ff(x, y)dx-]-Q(y),
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНУ ЧАСТНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ (1.4
при интегрировании у рассматривается как параметр.—Прим,
ред.]
S56
1.4.
1.5.
1.6.
хр=у.
z — у In х + 42 (у).
(ax-]-by-]-cz d) р = ах-4-0у-|- уг-|-6.
(См, Камке, ч. I, п. 4.6 (в).—Прим, ред.]
(ax+ by-]-cz)n р= 1; а4=0, с4=0, «> — 1.
Ищется интеграл, который при | х | -|-1 у | -> 0 также стре-
мится к нулю. Для новой неизвестной функции и(х, у) =
— ах -\--by + cz (х, у) из данного дифференциального уравне-
ния получается уравнение
ипих ___.
аип-{-с '
из которого получаем, если принять во внимание начальные
условия
и
f ип ди
J аип -фС
о
х + Ф(у),
(*)
где Ф(у)— произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция, удовлетворяющая условию Ф(0) = 0. Для достаточно ма-
лых | и | разложение подынтегральной функции в ряд и после-
дующее интегрирование дает:
(п 1) с
= хЧ-Ф(у).
Отсюда видно, что (*) — в самом деле интегралы желаемого
вида.
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1 — 12. f(x, y)p+g(x, y)q A)
2.1. ар + bq — 0.
Решение см. ч. I, п. 2.4(a). Можно также сделать преоб-
разование
г(х, у) — С(В. Л)> l=ax + by, t]—bx — ау,
тогда получается уравнение = 0 и. следовательно,
С — 2 (л), т. е. z = 2 (Ьх — ау).
2.2. ахр -4- byq = 0.
z — |x|6|y|-a — главный интеграл; см. ч. I, пп. 2.4(6),
2.5 (б).
2.3. ayp-\-bxq = §.
z — bx2 — ay2—главный интеграл; см. ч. I, пп. 2.4(a),
2.5(a).
2.4. («1 х + biy 4- й) р + (а.х 4- Ь<у 4- с J q = 0.
Характеристические уравнения:
х' (/) = ахх 4- bty 4- q, у' (t) — а2х 4- Ь2у 4~ с2-
Отсюда для любых чисел 1, р следует:
кх' 4- р.у' = (ахк 4- а2р) х 4- (Ьхк 4- &2р) У 4- с А 4- с2р. (1)
Числа X, р могут быть определены так, что для подходящего
числа S они являются нетривиальным решением системы
ахк -1- с2р — sk, bxk 4- b2p = sp. (2)
158 гл. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.4
Тогда из (1) получается:
\х' + цу'==у(Хх-|-[гу)-|-с1Х-|-с2[х. (3>
Число s при этом надо выбрать так, чтобы оно являлось кор-
нем уравнения
(A) (о,—£2)2 + 4a2t>i ¥=0. Тогда уравнение (4) имеет два
различных корня у,, у2 и каждому из них соответствует реше-
ние ptv системы (2). Далее, если
(Аа) агЬ2— a^bi=/=0, то у=#0 и У2#=0, и из уравнений (3)
следует:
________4~ 1ЧУ'_____________________Ъгх' 4~ УгУ'_____
S] (Х,х -|- щу) -|- с,Х, -J- с2ц, s2 (А2х Игу) -|- с,А2 -|- с2р2
Это уравнение можно проинтегрировать и прийти к функции,
которая постоянна вдоль каждой характеристики; получается
интеграл
z = ।5| ~~Ь ^|С| + ^|Сг
I s2 (А2х РгУ) 4* ^2ci 4* Й2С2 lf|
(Аб) ахЪ2— o2t>1 = 0, то уравнение (4) имеет корни у,=
= 0,4-62 и у2=0, а уравнения (3) имеют вид
4~ Щу' = (А-1ЛГ 4- р,у) 4” 4- НА>
Х2х' 4- р2у' = Х2с, 4- р2с2.
Если Х2с, 4- ц2с2== 0, то последнее уравнение дает интеграл
z — Х2х + |12у.
Если Х2сг~1- р,2с2^0, то оба уравнения (5) можно поделить
на это выражение; тогда новые левые части совпадут и обра-
зуют интегрируемое уравнение. Из него получается интеграл
z = Si — In I (М + Н1У) + + НА I-
Б) (а, — 62)2 4- 4а2Ьг — 0. Уравнение (4) имеет двойной ко-
рень у = i (о, 4-62); для этого значения у имеем уравнения (2)
и (3) с соответствующими числами X, р, не равными нулю
одновременно.
(Ба) у=£0. Тогда можно так выбрать линейную функцию
ах 4- ру 4- Y, что Для каждой характеристической кривой
d а* 4-РУ-Fy ] zc\
di s (Хх4-рУ)4"с1^ + с2И * ' )
(5)
2.6]
1—12- / (х, у) p+g (х, у) «=0
159
Вследствие (3) в данном случае
(кх' 4- цу') (ах' 4- Ру') — $ (ах 4- РУ Ч- У) (кх' Ч~ цу') —
= (кх' 4- ру') [$ (кх 4- ру) 4- Сук 4- с2р];
это соотношение справедливо, если
ах' 4~ РУЛ — $ (ах Ч~ РУ Ч~ Y) = $ (^х Ч- НУ) Ч~ Cjk 4- С2Н-
После подстановки характеристических уравнений получаем:
a (а(х 4- byy 4- Cj) 4- р (а2х 4- Ь2у 4“ сг) — 5 (ах Ч- РУ Ч- У) —
— $ (кх 4- Ру) 4- Сук 4- с2р.
Отсюда для а, р, у имеем уравнения
(at — s) а 4- а2Р = ^s,
^ia Ч~ (^2 — s) Р —
Суа 4- С2Р — «у — Сук 4~ с2Ц.
(7)
Так как $40, то из последнего уравнения получаем у, если
оба предшествующих уравнения разрешимы. Определитель коэф-
фициентов левых частей двух первых уравнений (7) равен нулю,
и между коэффициентами левых частей существует та же самая
зависимость, что и между правыми частями, а именно
(ау — s)ii = byk, а2ц~(Ь2 — s)k.
Вследствие того, что 2$ = а1Ч-^2, эти оба уравнения являются
просто уравнениями (2). Поэтому числа а, р, у можно выбрать
так, чтобы они не были нулями и удовлетворяли уравнениям (7);
следовательно, из (3) и (6) имеем:
кх' 4- ру' _______ d ах 4- ру ч- у
s (Лх Ц-МУ) + с4 Ц-сгМ dt s (Лх Ц-му) Ч~ с4 Ч~ С2М ’
а потому
z — In | $ (Хх 4- НУ) Ч~ Ч- сгН I — s
ахЧ-РУЧ-У
s (Хх -|- ру) 4- Сук -j- с2Р
— интеграл.
(Бб) $ = 0. В этом случае главный интеграл уравнения —
легко находимый полином не выше второй степени.
2.5.
х2р4-у^ = 0.
2.6.
1 1
z—-------.
У X
(х2—у2) р 4- 2xyq = 0.
Характеристические уравнения — окружности х2 4~ У2 = су.
т-к х2 ч* у2
Главный интеграл z~--
160 гл. И. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |2.7
2.7. (Азх — Ai)p+(Aiy — A2)q — 0.
Av = av+bvx 4-cvy; см. 4.9.
2.8. axmp + bynq — 0.
Главный интеграл
z = b(n—\)xl~m— a (tn — l)y1-n для тф\, n=f=\-,
z^blnlxl+jf^-j- y1-n
для m — 1, n =f= 1, и соответственно для m 1, n — 1.
2.9. pcosy + ^sinx —0.
z = cos x sin y.
4
2.10. Vf(x) p+Vf(y)q = 0, f(t)= ^avt\
v=o
Частный случай уравнений 2.11, 4.12 (см. также Камке,
ч. III, 1.71).
z = [У? (У) ) ~ «4(Х + У)2 — «з(* + У)-
Замена z(x, у) = С(В, 11)- В = —» т] = — переводит это урав-
X у
нение в такое же уравнение с £, т], £ вместо х, у, Z и
с / (/) = a0t4 ... + а4- Поэтому
*гУ7(У) + у2У7(*) У _
ху(х-у) )
— тоже интеграл первоначального уравнения, который, естест-
венно, зависит от предыдущего.
2.11. /(х) р +) <7 =--0.
г — f dx f dy
J fix) J g(y)
для f ф 0, g 0.
2Л2. fyp-fxq = 0, f=f(x,y).
Это уравнение означает, что ищутся те непрерывно диф-
ференцируемые функции, для которых функциональный опре-
делитель
д(г, Г) п
д(х,у) и-
Согласно ч. I, п. 2.7, это функции, функционально зависящие
от /, т. е. все функции вида й(/(х, у)).
2.171 13—19. f{x, y}p+g(x, y)q**h(x, у) 161
13—19. f{x, y)p-{-g(x, y)q — h(x, j)
2.13. ap-\-bq = c; Дифференциальное уравнение цилиндрической
поверхности (см. ч. I, п. 5.3(a)).
2.14. ар + bq = х2—у1.
Если, согласно методу ч. I, п. 5.4, построить соответ-
ствующее трехчленное однородное уравнение, то
Ьх — ay, Sabz — Ьх3 + ау3
— его базис. Отсюда получаем интеграл данного неоднородного
уравнения
z = ~5аЬ ^Ьх3 ~ ау3> + Q(PX~
Если, согласно методу ч. I. п. 4.2 (б), построить соответ-
ствующее двучленное однородное уравнение, то Ьх — ау — его
главный интеграл. Если теперь применить преобразование
z(x, У) = С(х, у), х = Ьх — ау, у = у,
то получается обыкновенное дифференциальное уравнение
у
откуда
(*+«У)3 ? | 2 /-Ч
• 362« 3
что приводит к найденному выше интегралу.
2.15. арbq — f (х).
z = -~ J f (x)dx-}-Q(bx — ay).
Интеграл, который при х — у равен нулю:
г = 4- J f(t)dt.
bx—ay
Ъ—а
2.16. xp-\-yq = ax.
z — ах 4- 2 ?
2.17. xp-\-yq = a yrx2-j-y2; частный случай уравнения 2.18.
Характеристики — прямые у = Ах, z = а }/х2-|-у24-В.
11 Э. Камке
162 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 12.18
Интегральные поверхности получаются, например, винтовым
движением какой-нибудь из этих прямых вокруг оси Z'.
z = а }/х2 4- У2 4~ .
2.18. хр -4-yq = У'х2+у2 f (]/ х’ 4-j2).
Характеристики
у —Ах, z =/{Ух2Ау2)-\-В\
интегральные поверхности имеют уравнение
2.19. ур— xq=yex"'A
Преобразованием z(x, у) = £(£, т]),
£ = х2А у2, т] = у из данного уравнения получается обыкно-
венное дифференциальное уравнение
откуда
z = хех’+у* 4- 2 (х2 4- у2).
20—31. f(x, у)р4~£(*. y)9 = ^(x, y)z + hQ(x, у)
2.20. р 4-0 = az.
Если построить, согласно методу ч. I, п. 4.2 (а), соот-
ветствующее трехчленное уравнение, то ze~ax, ге~°У — его
базис. Поэтому решения данного неоднородного уравнения по-
лучаются путем разрешения уравнения
2 (ze~ax, ге~аУ) = 0
относительно z. Например, получают для конкретных случаев:
А В
если 2(и, г,) — — 4-----1, то z ~ Аеах А Ве°У;
если 2 (a, v)—AuABv—1, то — = Ае~ах А Ве~аУ.
Если применить метод ч. I, п. 4.2 (б), то с помощью ре-
шения х — у соответствующего однородного уравнения и пре-
образования
z(x, у) = £(х, у), х = х— у, у —у
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению
£_ = а£, т. е. £ = 2 (х)
откуда
z = 2 (х — у) е“У.
2.25] 20—31. f(x. у) p+g(x. y)q=ht (x, y)z + h0(x, У) 163
2.21. p—yq ——z\ частный случай уравнения 2.23.
Интегральная поверхность, проходящая через кривую
2(y+^)chx = x24y24 1, 2 (у 4-z) sh х = х2 + у2 — 1,
или, что то же самое, через кривую
уг = 0, y-\-z — ex,
имеет уравнение z = 0.
2.22. 2р—yq— — z\ частный случай уравнения 2.23.
Если построить, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), соответ-
ствующее трехчленное однородное уравнение, то еху2, exz2— его
базис. Решение данного уравнения получается разрешением
уравнения
2(еЛу2, exz2) = 0 (1)
относительно z.
Если ищется интегральная поверхность, проходящая через
кривую
у — xz, х — 1п у, (2)
то уравнение (1) должно, в частности, выполняться для кривой
(2), т. е. должно быть
2 (У3. у31п~2у) = 0. (3)
В частности, если
2 (и, v) — — 3 -|- In и,
то из уравнения (3) получается
Зу
Z — ---------
*421ny ’
2.23. ар 4 W = bz.
z = | у |* 2 (| у
2.24. x(p— q)—yz-
Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответ-
ствующее трехчленное однородное уравнение, то
x-f-y, zexp[x—(х4-у)1пх]
— его базис. Поэтому интегралами данного дифференциального
уравнения являются функции
z = 2 (х -|- у) ехр [(х У) In х — х].
2.25. xp -\-yq — az-, дифференциальное уравнение однородных функ-
ций порядка а от двух независимых переменных (ср. с уравне-
нием 4.8).
Для с=2 интегралами являются функции 2— Лх2-|-Вху4С'№.
а также, например, только один раз непрерывно дифферен-
цируемая функция
-X2^yi лля х2 + у24 0;
0 для х — у = 0.
11
164 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.26
2.26. xp+yq = z— х2—у2-4-1.
Если построить, следуя методу ч. I, и. 4.2 (а), соответ-
ствующее трехчленное однородное уравнение, то
у_ £+je!±>!+1 (или *+*2+У2+1 )
х ’ х \ У I
— его интегральный базис. Следовательно, данное уравнение
имеет интеграл
z = — х2 — у2 — 1 хй .
2.27. (х—а)р-}-(у — b)q = z — с; дифференциальное уравнение
конической поверхности с вершиной в точке (а, Ь, с). См.
ч. I, п. 5.3 (б).
2.28. х(у-4~ 1)р + (у2— x)q—yz; см. уравнение 4.9, пример 2.
2.29. х(2у— х-4- 1)р—у(2х—у+ 1)^ = (у— x)z.
Если построить, пользуясь методом ч. I, п. 4.2 (а), соот-
ветствующее трехчленное однородное уравнение, то
г (*4-у —I)3
X у — 1 ’ ху
— его базис. Отсюда получаем интегралы данного уравнения:
2 = (х + 5,-1)2(^±^1Д).
2.30. xy2p+x2yq — (x2-\-y2)z.
Характеристические уравнения:
x'(t) = xy2, y'(t) = x2y, z' (f) = (x2+yZ)z.
Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответствую-
щее трехчленное однородное уравнение, то
х2 — у2,
ху
— его базис. Отсюда получаем уравнение интегральной поверх-
ности, для которой характеристики — асимптоты:
z = Cxy (х2— у2).
2.31. х(х2+Зу2) р+у (у2 + Зх2) q = 2z (х2+у2).
Если, следуя методу ч. I, п. 4.2 (а), построить соответ-
ствующее трехчленное однородное уравнение, то
ху х2 — у2
z2 ’ г
2.331 32-43. /(X y>p+ff(x. У)««Л(Х, у, г) 165
— его базис. Интегралы данного дифференциального уравнения
получают, разрешая уравнение
й(^. о
\ Z2 Z )
относительно z.
Для того чтобы найти интегральную поверхность, прохо-
дящую через круг x24-y2=r2, z — a, функцию 2 (и, v) нужно
определить так, чтобы
Й(и, w) = 0
для
XV X2--У2 0.9 9
и = , v = —, х2 4- у2 = г2, z — а.
Отсюда находят вид функции Й (и, v):
Й (и, -и) — 4а4и2 4- л2©2 — г4,
и для получения искомого интеграла остается разрешить отно-
сительно z уравнение
4л4х2у2 4- я2 (х2 — у2)2 z2 = r4z4.
<32—43. f(x, y)p + g(x, y)q = h(x, у, z)
2.32. p4-^ = ®2sin(x4-y).
Если, следуя методу ч. I, п. 5.4, построить соответствующее
однородное уравнение, то
х— у, 2е~г— cos (х 4- у)
— его базис. Интегралы данного уравнения получаются разре-
шением уравнения
2е~г = cos (х 4- у) 4~ (х — у).
Интегральная поверхность, проходящая через кривую х 4- у = О,
e*cos2x=l, имеет вид
е~г — cos х cosy.
2.33. р 4- 2q = 1 4- /у —х —z.
Если, следуя методу ч. I, п. 5.4, построить соответствую-
щее однородное уравнение, то
Ф1 (х, у, z) = 2x — у, ф2(х, у, z) = х 4- 2 Уу—-х— z
— его интегральный базис.
166 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.34
Если для данного дифференциального уравнения надо найти
интеграл г = ул(х, у) с начальным значением Xi(x> х) = 0, то
определяем функцию Q (и, -и) так, чтобы
Й (и, V) = О
для
и = ф1(х, х, 0) = х, v = ф2(х, 0) = х.
Такой функцией является Q — v — и. Чтобы получить иско-
мый интеграл, соотношение
ф2 — ф] = у — х-4~2|/у — х — z = 0
разрешаем относительно г.
Xi(x, у) = у — х — (2г^)2-
Эта функция для х у действительно есть интеграл требуемого
вида, хотя вычисления, в чем легко убедиться, прежде всего
требуют х > у.
Если для данного уравнения ищется интеграл ^(х, у) с на-
чальным значением Хг (0. У) = У, то его получают, разрешая
уравнение ф2 —0 относительно г:
JC^
у) = у—х-----д- для х <0.
Но в обоих случаях интеграл х (х, у) = у — х также удо-
влетворяет требуемым условиям. Итак, в обоих случаях имеются
два различных интеграла требуемого вида. Однако это
не противоречит общим теоремам из ч. I, пп. 5.4—5.6, так как
там требовалось, чтобы начальные значения и сама функция
г —Х(х. У) принадлежали той области пространства х, у, z,
в которой коэффициенты данного дифференциального уравнения
имеют непрерывные частные производные первого порядка. Эти
условия здесь не выполнены.
2.34. p-\-kq = (ax-\-by-\-cz)n.
Подстановка «(х, y) = ax-{-by-}-cz(x, у) приводит к диф-
ференциальному уравнению 2.35
их kuy = си" а + Ь.
2.35. ap-\-bq = zn-\-c.
Если построить, согласно методу ч. I, п. 5.4, соответствую-
щее однородное дифференциальное уравнение,то
2.36| 32—43. f(x, у) p+g(x, y}q=>h{x, у. z) 167
— его базис. Если z~ <р(х)—непрерывно дифференцируемое
решение уравнения
Z
f dz
а J jq^==x> <0
о
то
z = q> (х -|- 2 (Ьх — ау)) (2)
— решение данного дифференциального уравнения. Если
т = — п — четное положительное число и с > 0, то из (1) сле-
дует, что х есть функция от z, производная которой отлична
от 0 и которая при z = 0 принимает нулевое значение. Следо-
вательно, <р(0) —0.
Поэтому подходящим выбором функции Q можно из форму-
лы (2) получить произвольно много интегралов, которые при
|х|4"|у|—*0 стремятся к нулю.
2.36. xp-\-yq — z — a z2— х2—у*, х2-\-у2 <z2.
Из характеристических уравнений
x'(t) = x, y(t)^=y, z'(t) = z—a\Tz2 — x2— у2
следует: = Подставим это соотношение в третье урав-
нение; тогда при х > 0 имеем:
= = 1/И2 — 1 —С? ,
dx х' (0 х V \х} 1
и отсюда для функции и (х) = zfx получается обыкновенное диф-
ференциальное уравнение с разделяющимися переменными
хи' 4- а V и. -т- С2 — 1 =0,
интегрируя которое, находим:
ха(и 4- /и2 —С?—1 ) = С2.
Подставив сюда выражения для С1 и и, находим для соответ-
ствующего по ч. I, п. 5.4 однородного уравнения интегральный
базис
. 4’2 = х"-1 (z 4- ]/z2 —х2 —у2).
Кривые ф] — Сх, ф2 = С2— характеристики данного диффе-
ренциального уравнения. При а — 1 это параболы, которые
касаются конуса z2 = х2 4~ У2; сам этот конус также является
интегральной поверхностью данного дифференциального урав-
нения, но не принадлежит области 42 > х2 4~ У2> в которой
коэффициенты имеют непрерывные частные производные.
168 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.37
2.37. х2(р — q) = (z — х— у)2.
Если построить, согласно методу ч. I, и. 5.4, соответствую-
щее однородное дифференциальное уравнение, то
। х(г— х — у)
' * г — 2х — у
— его интегральный базис. Следовательно, интегралы данного
дифференциального уравнения — функции
(2х + у)й(х + у) —х(х-(-у) .
£2(х-ру)—х ’
кроме того, также z — 2x-\-y.
2.38. (х2 + 1) р+(у2+1) q = -у (у2 + 1) г2.
Если построить, согласно методу ч. I п. 5.4, соответствую-
щее однородное уравнение, то
1_У2
1 + ху z у
— его интегральный базис. Интегралы данного дифференциаль-
ного уравнения получаются из соотношения
2.39. ax2p-\-by2q — cz2, abc^O.
Если построить, согласно методу ч. I, п. 5.4, соответствую-
щее однородное дифференциальное уравнение, то
_1____1_ _1_____1_
ах Ьу ’ ах сг
— его интегральный базис. Следовательно, интегралами данного
дифференциального уравнения являются функции
2.40. (At—Лх)р+(Аг —)?==/(*), Av==av + &vx + cvy.
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее
данному уравнению в смысле ч. I, п. 5.4, есть уравнение 4.11.
2.41. ху2р + 2у30 = 2 (уг — х2)2.
Соответствующее (в смысле ч. I, п, 5.4) однородное урав-
нение 3.47 имеет интегральный базис
2.441
44—59. f{x, у, z)p+g(x, у, z}q*=h.(x, у, z)
169
Разрешая уравнение
2 , у ехр--—г) = О
\ у J г уг — х2}
относительно z, получают решения данного дифференциального
X2
уравнения. Кроме того, решением является также функция z = —.
2.42. (хуА-а2)(хр~ y^) = a(x2+y2)z2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
дифференциального уравнения интегральным базисом являются
функции
интегралы данного уравнения получают из соотношения
1 __а у2 — х2 . о .
г ~ 2 ху-\-а2
Интегральная поверхность, проходящая через круг х2-]-у2=г2,
Z = с, имеет уравнение
Т ~Т-^2' лу-f-a2 ± 2(ху+«2) Vr “4х У •
2.43. fp-\- gq — Az^-^-Bz-^-C, где /, g, А, В, С — данные функ-
ции ОТ X, у.
Если Zj, z2, z3, z4 — четыре различных интеграла, то их
двойное отношение
у — zi~zz . Zl-zt
z3— z2 z3— zi
есть решение уравнения
/^+§^ = 0.
44—59. f(x, у, z)p-t-g(x, у, z)q = h(x, у, z);
функции f, g линейны относительно z
2.44. p + zq — 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции хг—у, z составляют интегральный базис.
Решения данного дифференциального уравнения получают из
соотношения
2(xz— у, z) — 0.
Например, если 2 (и, v) = av— и—Ь или 2 (и, w) = w2-|_a,
то интегралы соответственно таковы:
170 гл. П. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [2.45
2.45. zp+q = a.
Характеристики этого уравнения — параболы
z— ау = А, z2— Чах —В.
Интегралы получают, разрешая относительно z соотношение
Q(z2— Чах, z — ау) = 0.
Например, для линейной функции 2 (и, v) отсюда получают
в качестве полного интеграла параболический цилиндр
(z + А)2 = Ча (х + Ау) + В.
2.46. zp-j-aq = x.
Для соответствующего (в смысле п. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции
-У. у.
(x-j-z)e °, (х — z)ea
составляют интегральный базис. Интегралы данного уравнения
получают из соотношения
( \
Q\(x-^-z)e а, (х — z)eaJ — O.
2.47. (1—z)p+(l+ z)q = Q.
Характеристики — прямые
(Д+1)г + (Д —1)у = В, z = A.
Интегралы получают методом ч. I, п. 5.4, разрешая соотношение
2(z, x(z+ l) + y(z— 1)) = 0
относительно z. Интегралами будут, например, функции
У~х+С
У+* '
2.48. (z -|- ех) Р+(z + еу) q = z2 — ех+у .
Подстановка z (х, у) = £ (£, ф, £ = ех, т] = еу приводит
к дифференциальному уравнению 2.56.
2.49, (bz — су + А) р + (сх—az-\- B)q = ay—Ьх-]-С-, дифферен-
циальное уравнение винтовой поверхности и поверхности вра-
щения см. ч. 1, п. 5.3 (в), (г).
2.53]
44—59. f (x, у. z) у, z) ? = Л (x, у, z)
171
2.50. [ft (x+y) — с (ж + г)] p + [c (y -j- г) — a (у + x)| q =
==a(z\x) — b(z+y).
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного диф-
ференциального уравнения функции ax.-j- by -|- cz, xy-^-yz-i-zx
составляют интегральный базис. Решения данного дифференциаль-
ного уравнения получают, разрешая относительно z уравнение
Q(ax-\-by-\-cz, ху yz + zx) — 0.
2.51. р — 4хг0 = 2х.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции y-j-z2, х2 — z составляют интегральный
базис. Решения данного уравнения получают, разрешая отно-
сительно z уравнение
2 (у z2, х2 — z) = 0.
Найдем интегральную поверхность, проходящую через ги-
перболу у -1- z = 5, х2 — z2 — 9. Так как гипербола должна
удовлетворять этому уравнению, то получаем соотношение
Q(z2 — z + 5, z2 — 2? + 9) = 0,
которое выполняется для 2 (и, ®) = ®— и — 4. Искомое реше-
ние z определяется из уравнения
х2 — z2 — у — 2 — 4.
2.52. xzp -{yzq == ху.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции , z2 — ху составляют интегральный базис.
Интегралы данного уравнения получают из соотношения
г2 = ху + 2(-£).
2.53. xzp-\-yzq = — х2—у2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции x2-\-y2-\-z2 составляют интегральный
базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая отно-
сительно Z соотношение
x2 + y24_2,2==2(|).
172 гл. И. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 12.54
2.54. xzp-\-yzq —x2-\-y2-\-z2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции
Ф1(*. У. г) = ^, Ых' У. *) = ^2-(z2 —2(х2+у2)1пх)
составляют интегральный базис.
Чтобы получить интеграл данного уравнения с начальным
значением z = y2 при х=1, так определяют функцию 2 (и, ®),
чтобы
2 (и, <и) = О
для
«==Ф1(1, у, у2) = у, ® = ф2(1, у, у2) = у*.
Таким образом, 2(и, ®) = и4— v, и поэтому
z2x2 = у4 + 2х2 (х2 -4- у2) In х
— искомый интеграл.
2.55. 2xzp + 2yzq = z2 — х2 —у2.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
, у х% -4- у2 -4- 2Г2
уравнения функции ---------1 1--- составляют интегральный
базис. Решения данного дифференциального уравнения полу-
чаются из соотношения
х2-ф- y2-J- z2= х2 .
2.56. x{z-\-x) p-\-y(z-\-y)q = z2— ху.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции y-J-ln|y|, y-f-ln|x| составляют интеграль-
ный базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая
относительно z соотношение
ag-Hn|y|, ^-Hn|x|) = °.
\л У /
2.57. (Аох—Л1) р + (Лоу — Л2) q = Aoz — Л3,
Л¥ = с¥4-^х4-с¥У + ^-г; см. 4.10.
2.58. x2zp-i~yexq = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции
z, z In у—
2.63]
66—65. f{x, у. z}p+g(x, у, у, z)
173
составляют интегральный базис. Интегралы данного уравнения
получают, разрешая относительно z уравнение
2 (z, zlny — j ~ cfxj = 0.
2.59. х2(у— г)р+/(г-х)^ = г2(х—у).
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции xyz, хуyzzx составляют интеграль-
ный базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая
относительно z уравнение
2 (xyz, xy-+-yz-\-zx)~0.
60—65. f(x, у, z)р+g-(x, у, z)q = h(xt у, z);
функции f, g no z не выше второй степени
2.60. (2у2 + z2) хр — (г + Зх3)у<? = (3x3z — 2у2) г.
Из характеристических уравнений легко получается, что
вдоль каждой характеристики выражение х3-)-у2— z постоянно.
Поэтому
z = х3 + у2 — С
— интеграл данного уравнения.
Интеграл, проходящий через параболу х = а, z — y2, полу-
чается из общей формулы при С=а3.
2.61. (х2 —у2 — z2) р + 2xyq = 2xz.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
jyS-l у2 1 z
уравнения функции --1 ---, — составляют интегральный
базис. Интегралы данного уравнения получают, разрешая отно-
сительно z уравнение
q(£ £±yl±^L\==o
\У У I
2.62. (Зх2 -4-у2 -4- z2) ур — 2х (х- + я2) Я — 2xyz.
Интегральный базис и, v соответствующего (в смысле ч. I,
п. 5.4) однородного уравнения приведен при рассмотрении
уравнения 3.44. Интегралы данного уравнения получают, разре-
шая относительно z уравнение 2 (и, v) — 0.
2.63. (ху —уг — z2) р (xz — ху—у2) q = ху Ц- xz+уг -\-у2—х2.
Для соответствующего (в смысле ч. 1, п. 5.4) однородного
уравнения функции х2-\- y2-{-2yz, x2-\-z2-\-2xy составляют
174 гл. П. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (2.64
интегральный базис. Интегралы данного уравнения получают,
разрешая относительно z уравнение
2 (x2-j-y2-(-2yz, x2-j-z2-(-2xy) = 0.
2.64. x2z2p+y2z2q — x2y2.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
Левая часть этого уравнения и аргумент функции 2 справа
образуют интегральный базис для соответствующего (в смысле
ч. I, п. 5.4) однородного уравнения.
2.65. ху (ху 4- 2г2) р -\-yz (yz — х2) q = z2 (yz — х2).
Интегралы получают разрешением относительно z уравнения
Оба аргумента функции 2 образуют интегральный базис для
соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного уравнения.
66—71. Прочие квазилинейные уравнения
2.66. (1 -4-Уг — х—y)p + q = 2.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
2 (2у — z, у + 2 У z — х — у) = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функ-
ции 2. Решением будет также функция z = x-\-y.
2.67. (х2 + z2 — 1)р4-(ху4-уг^г2У*24-у24-г2—1)Q = 0.
Коэффициенты определены и непрерывно дифференцируемы
в области
х24-у24~г2> 1. г2<1. (1)
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения функции
. , . . , . xy-j-p^l—z2 Yх2 -4- у2 -4- z2 — 1
Ф1(х, у, z)=z\ ф2(х. у, = Е------
образуют интегральный базис.
Если надо найти интегральную поверхность, проходящую
через окружность х = 0, у2 4- г2 = 1, то применение метода,
изложенного в примере ч. I, п. 5.4, невозможно, так как эта
2.71| 66-71. ПРОЧИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 175
окружность принадлежит границе области (1). Если все-таки
действовать по этому методу, то (поскольку поверхность ф2 — О
удовлетворяет начальным значениям) для искомого интеграла
из уравнения ф2 = 0 получается уравнение
22 = 1 — у2 при ху < 0.
Решением задачи является также z2 = 1 — х2 — у2.
2.68. р + (azn + Ь) q = с.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
/ zn+1 \
Qlz — ex, а —г—i—F bz — су I = 0.
\ «4-1 ' л/
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функции 2.
Исследование случая с — Ь см.: S. Finsterwalde г, Zeitschrift
flit Gletscherkunde 2 (1908), стр. 81 —103.
2.69. {p-\-kq)(ax-\-by-\-cz)n = 1; см. уравнение 2.34.
2.70. [y/(z)—х]р+у0==О.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
Q(z, 2ху — y2f{z)) — Q.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функции 2.
2.71. /у(х, у, г)р-/Дх,у, z)q = Q, 1Д1 + 141 > 0.
Интегралы получают, разрешая относительно z уравнение
2(2!, /(х, у, 2!)) = 0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения интегральный базис образуют оба аргумента функ-
ции 2.
Можно предложить иной путь решения. Согласно ч. I, п. 2.7,
данное уравнение означает, что функции z(x, у) и f(x, у, z(x, у))
для искомого интеграла z (х, у) должны быть функционально
зависимыми, так как
(х, у) Zx(f у f zZу) Zy (fx "4“ f zzx) == f yzx f xzy
При этом снова получается уже найденное выражение для инте-
гралов.
ГЛАВА HI
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1—19. /(х, у, z)<wx-\-g(x, yt z)vOy-\-h{x, yt z)wx = O;
функции /, g, h степени ие выше первой
1—6. Одночленные коэффициенты
3.1. амх -\-bwy -\-cwz = 0.
Ьх — ау, сх — az — интегральный базис.
3.2. awx + bywy-i-czwz — 0.
yae~bx, zae~cx—интегральный базис.
3.3. чах-\- bz4i}y-\-cywx = Q.
Интегральный базис: су2 — bz2 и, кроме того, (су -|- Az) е~Ах,
А~^Ьс, если Ьс > 0; су cos Ах -j-Az sin Ах, A = ]f—Ьс,
если Ьс < 0.
3.4. xwx byWy -|- cziVg — 0.
х^
Интегральный базис —, —. Если, в частности, Ь = с=1,
то это уравнение для однородных функций нулевого порядка;
интегральный базис в этом случае: £,
3.5. xwx-\- bziVy-^-cyiUz — Q.
Интегральный базис: су2 — bz2 и, кроме того, -су ~~аг-,
а — ]/^Ьс, если Ьс > 0;
х“ ехр (— arctg , a-rf — Ьс, если Ьс < 0.
3.6. zwx—xWy-\-ywz — Q.
Характеристические уравнения:
х' (t) = Z, у' (t) = — х, z' (t) = у.
3.12)
1—19. f (x, у, z) wx+g (x. у, z) wy+h (x, y, z) w2=0
177
Характеристический определитель
1
0
— s
— 1
— s
= — s3 — 1
— s
ние может быть решено тем же методом, что и уравнение 3.19.
7—11. Двучленные коэффициенты
3.7. ywx-j-xwy— (x+y)w. = 0.
Интегральный базис: х ~{-y-{-z, х2— у2.
3.8. x<u)x-{-(y-{-z)(<u)y — «,2) = 0.
3.9. xwx-lr(y~}-z')4iDy-\-(y— z)w2 = 0, частный случай уравне-
ния 3.19.
Характеристические уравнения:
х'(О = х, у' (t) = y + z> z'(t) — y— z.
Характеристический определитель
О
1 —s
1
О
1
1 —s
О
О
= (l-s)(s2-2)
—1 — s
имеет три различных корня. Методом, которым решается урав-
нение 3.19, может быть получен интегральный базис:
b + (V^2 —1)а:]х-Г2, [у — (/ 2 + 1) z] xv 2.
Интегралом будет, в частности, функция w = у2 — 2yz — z2.
3.10. (у — 2г) wx + (Зг — х) wy (2х— Зу) wz = 0.
Интегральный базис: Зх -}-2у -j- z, х2у2z2.
3.11. be (у — z)wx-j- са (z — х) wy + ab (х—у) — 0.
Интегральный базис: ax-\-by-[-cz, ax2-\-by2-\-cz2.
12—19. Трехчленные коэффициенты
3.12. xwJK + (ax4-6y)«>y4-(CJe+<b*_h/2:).®,« — 0; частный случай
уравнения 3.19.
12 Э. Камке
178
ГЛ. HI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
{3.13
Характеристические уравнения:
х' (О = х, у' (t) = ax-\-by, z’ (0 — сх 4- dy -J- fz.
Характеристический определитель
1 —s О О
а b — s О
с d / — s
= (1 — s)(b — s)(/-s)
имеет корни 1, b, f. Далее см. 3.19.
3.13. С2«>д.4-(ах4-6у)«>у4-(ах+6у + сг)«>г = 0; частный слу-
чай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения
x'(t) — cz, у'(t) = ахby, z' (t) = ах-\-by-\-cz.
Из них следует, что х' -\-у' — z' = O, т. е. Ф1 = х 4~ у — z —
интеграл данного уравнения. Для того чтобы применить изло-
женное в ч. I, п. 3.5(b), положим z— х — у~С. Тогда из
написанных выше характеристических уравнений получаются
следующие уравнения:
х'= с(х-\-у-\-С), у’ = ах -\-Ьу,
являющиеся характеристическими для дифференциального урав-
нения
с (х 4- у + С) ~ + (ах + by) ~ = 0.
Если их решить, согласно ч. I, п. 2.4, и подставить в решение
еще С — z — х — у, то мы получим еще один, не зависящий
от ф1 интеграл.
Если р2 = 4йс 4~ (Ь — с)2 0, то находим, например, что
ib _ + —с —Р)(ах + »у) , 2 ।
2acz + (b — c + f>)(ax + by) [ '
р
4- (Ь — с) (ах 4- by) z — (ах 4- бу)2)ь+с ,
если а=^Ь, и
ф2={с(х4-у)4-сг}ехр^^4-у)-^=^-|, если а — Ь.
3.14. 2(х— у)изх—(х —у— z)tt)y~ (х—у — ‘Аг)шг — 0\ част-
ный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
х'(0 = 2х—2у, y'(t) = — x~i~y-i-z, z'(t) =— х4-у4~3г.
3.17)
1—19. f(x, у, z) у, z) wу+Л (x, у, z) и>г=0
179
Характеристический определитель
имеет три различных корня. Далее см. 3.19.
3.15. 2(у — z) ivx — (4х — 3_у — г) wy-j-(12x— Зу — 9г)а>г = 0;
частный случай уравнения 3.19.
Интегральный базис:
Зх-Зу-г, ^У-^г .
Л 2х— у — г
3.16. (6х—4y-\-2z)u)x— (4х — 10у-4-6г)«>у +
-|-(2х—6у-[-11г)Ч!)х=0; частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
х' (t) = 6х — 4у -|- 2г, у' (t)~ — 4х 4~ 10у — 6г,
г' (0 = 2х — бу 11г.
Характеристический определитель
6 — s —4 2
—4 10 — s —6
= — (s — 3)(s — 6)(s— 18)
2 —6 11 — s
имеет различные корни. Для каждого из этих корней s можно
так определить числа а, р, у, что из написанных выше харак-
теристических уравнений будет следовать равенство
(ах -4- Ру Н- уг) = s(ax + ру + уг).
Таким образом, получаем систему обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений:
2х' Ц- 2у' + г' — 2х' + у' + 2г' х' — 2у' 4- 2г'
3 (2х-|-2у-|-г) ~ 6 (—2x4-у-4-2г) 18(х —2у4~2г) ’
Интегрированием этих уравнений получают интегральный базис
(2%4-2у-4-г)г (2х —у — 2г)3
2х — у — 2z ’ х — 2у 4- 2г '
3.17. (ах+у — г)wx— (x-f-ау — г) ч»у4- (а — 1) (у — х)чюг = 0;
частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
х’ (t) — ax 4* у — г, у' (0 = — х — ay 4~ z,
2!'(0 = (1 —a)x4-(a— 1)у.
12*
180
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[3.1»
Характеристический определитель
а —s 1
—1 —а — $
1 —а а— 1
— 1
1 =_S[s2 —(а + 3)(а —!)].
— s
Далее см. 3.19.
Можно также использовать то, что выражение z-]-y-]-x—
интеграл, и применить редукцию, согласно ч. I, п. 3.5.
3.18. (Ах-}-су-}-Ьг) wx-}-(cx-]-By-]-az) чюу-\-(Ьх-\-ау-\-Сг) чюг — 0;
частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
х'(t) — Ах-}-су -\-bz, у'(t)~cx + By -|-az,
z' (t) — bx-\-ay-]-Cz.
Характеристический определитель
А —s с с В — s b а b а C~s — [а2 (А = (А — s)(B — s)(C -— s) — — s) 4- b2 (В — у) 4- с2 (С — $)] 4- 2abc.
Далее см. 3.19.
3.19. (aix 4- biy -|- CiZ 4- di) ч»х 4- (a2x 4- b2y 4- c2z 4- d2) wy 4-
4" (03X 4- b3y 4- C3Z 4- </3) =0»
Ср. c 2.4. Характеристическая система:
x (t) — a{x 4- b-^y 4- c-yZ 4-
yz (f) = a2x 4- b2y 4- C2Z 4- ^2»
2/ (f) = a3x 4~ b3y 4- c3z 4- d3.
Решения этой системы зависят от корней характеристического
определителя *)
CL [ S' Ьу С {
^2 ^2 ® ^2 •
а3 Ь3 с3 — s
’) [См. Петровский, стр. 170—174; Степанов, стр. 283—297;
Камке, стр. 90. — Прим, ред.]
3.20] 20—41. /(х, у, z)wx + g(x, у, z)tay + *(x, у, z) wz=0 181
Если s — его корень, то можно найти числа а, р, у, не равные
одновременно нулю, для которых
ааг Р^г + У^з — as>
al>i 4-ДОг 4-V&3 =₽«.
ctci 4-pc24-YC3=Ys-
Тогда из характеристических уравнений следует, что
ах' -f-ру' -}-yz' = s (ах 4-f У 4-С2) 4~ (1>
где
D = adj -f- Р^г 4~ Т^з-
Если s = D = 0, то отсюда получают интеграл ax4-₽y4~Y2r
уравнения в частных производных.
Если характеристический определитель имеет два отличных
друг от друга и от нуля корня $j, s2, то получают два урав-
нения типа (1), а из них — соотношение
»1-У/4-Р1У'4-У1^' __ а2х'4~ РгУ'4~
Sj (a(x 4* Р1У 4’ Угг) 4" s2 (asX 4- ₽2y 4- у2г) 4- D2 ’
которое дает
(а1х4-Р1У4~У1г'4~^1/51)5а const"
(а2х 4- РгУ 4" У2г 4" ^2/si)s‘
левая часть в этом равенстве — интеграл уравнения в частных
производных.
Если характеристический определитель имеет три различ-
ных корня, то можно таким образом получить интегральный^
базис. Если имеются кратные корни, то в этом случае можно-
применить метод ч. I, п. 2.4. Впрочем, в этом случае можно
решать систему характеристических уравнений и исключением t
из решений находить интегралы уравнения в частных произ-
водных.
20—41. f(x, у, z)wx-\-g(x, у, z)wy-\-h{x, у, z)wx = 0;
функции f, g, h степени ие выше второй
20—27. Одночленные коэффициенты
3.20. ачих 4- xzwy — xyw* = 0.
С помощью метода, приведенного в ч. I, п. 3.5(6), полу-
чают интегральный базис:
019 . х2 . х2
У2 4-z, У sin 2^4- z cos 2^-.
Второй интеграл также можно заменить на х2 4- 2с arctg
г
У'
182
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32.
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (3.21
X21Vx — XyWy —y2Wg — 0.
Интегральный базис: ху, 3xyz— у3.
ax2wx 4- by2Wy 4- cz2wz — 0.
Любые две из функций
J_____1_ J_________1_ J____1_
by ах ' cz by ’ ах cz
образуют интегральный базис.
x2ivx + г-гиу + 2xzwz ~ 0.
Х^" Z2
Интегральный базис: — , у —
Z tjX
xywx+yzwy -Д-у2™* = 0.
Интегральный базис: у2 — z2. + г .
xzwx+yzwv + ху wz — 0.
Интегральный базис: г2 — ху.
y^<wx—xyWy + Зхгдаг = 0.
Интегральный базис: х24~У2» y3z.
yzwx — 2xzwy — 2xywz — 0.
Интегральный базис: 2х24~У2. 2x2-\~z2.
28—38. Двучленные коэффициенты
XWX +ywy Н- (х'! 4- у2) 1VZ = 0.
Интегральный базис: х24~У2— 2z,
Szwx — (2х— l)ywy4-(2x— l)2!We=fcO.
Интегральный базис: у г, х2 — х — 3z.
xywx -|- x2wy — (2х 4- z) ywz = 0.
Интегральный базис: х2 — у2, г24~^2.
xywx-\-y (у — а) Ч!)у 4- z (у — а) чю* = 0.
Интегральный базис: —, у~а .
r z х
xzwx 4- 2хуч»у — (2х 4- z) zwz = 0.
Интегральный базис: x(x-\-z), xyz.
3.33. ха»'*—l Cу2 — x)Wg — 0; см. ч. I, п. 3.3(6).
3.411 20—41. f(x, у, z')Wx + g(x. у, z)x»y + ft(jr, у, z) гиг=0 183.
3.34. 2xzwx— 2угч1>у 4~ (Зу2—х)тег = 0.
Интегральный базис: ху, 2х 4-3y24-2z2.
3.35. х(у — г) wx 4-у (г —_х) 4- г (х—y)wx — 0.
Интегральный базис: х 4- У 4~ z, xyz.
3.36. (xz 4- ji2) wx 4- (yz — 2x2) wy — (2xy 4- z2) wx = 0.
Интегральный базис: 2xz—у2, x24-yz.
3.37. be (x2 — a2) wx 4- c (bxy 4-acz) wy 4- b (cxz 4- aby) wz = 0.
Интегральный базис: ~Ьсг., ^У~сг .
r x— a x-j-a
Характеристики задают двухпараметрическое семейства
прямых
Z>y4~C2 = Cj(x— a), by—cz = C2(x~l~a)
в пространстве х, у, z.
3.38. а (у2 4- z2) wx4- х(bz — ay) wy —x(by 4-az) wx = 0.
Интегральный базис: x2-}-y2-[-z2, 2a arctg-^-4-Z>ln(y2-j-22)^
39—41. Трехчленные коэффициенты
3.39. xzwx 4-yzWy 4- (ax2 4- ay2 4- bz2) wx = 0.
Из характеристических уравнений следуют соотношения
г , п хх' 4- УУ' zz'
ху — X у = 0 и --------„ г. = =-=-----z-т—Г-5-.
л х2 4- У2 ах2 4- «У2 4" bz2
Второе из этих уравнений можно легко проинтегрировать, если1
сделать подстановку х24~У2 = «> z2 — v. Для исходного урав-
нения в частных производных получается интегральный базис
у а (х2 4- у2) 4- (* — 1)g2
X ’ (X2 4- y2)*
Во второй функции знаменатель может быть также заменен'
на х26.
3.40. ZxzWx 4- 2yzWy 4- (z2 — х2—y2)wz — 0; частный случай урав-
нения 3.39.
Интегральный базис: , -х -И".У .3~_f,
г х у
3.41. (Аох — A]) wx 4- (Аоу — А2) wy 4- (A^z — А3) wz = 0;
Av = av-^bvx-\-cvy-j-dvz; см. 4.9.
184 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [3.42
42—59. /(х, у, z)wx-\-g(х, у, z) wy -I- h (х, yt z) = 0;
прочие случаи
3.42. y2zwx 4- xz2Wy — xy2wz — 0.
Интегральный базис: x2-\-z2, y34-z3.
3.43. х(Ьу — cz2)iux4-у (cz2 — ax2) <wy-\-z (ax2 — by2) w* — 0.
Интегральный базис: ax2 -|- by2 -f- cz2, xyz.
3.44. (3x2 4- y2 4- z2)ywx — 2 (x2 4- z2) Xivy 4- 2xyzwz — 0.
T. » « x24-y24-z2 2x24-y2
Интегральный базис: --- -g-'---, ---
-3.45. I(x24-y2— l)x4-_yl Wx4-[(x24-_y2—l)y—xj wy-^-2zwz = 0.
Этот пример имеет принципиальное значение. Получается
небольшое формальное упрощение, если уравнение умножить
на —1. Характеристические уравнения после этого примут вид
х' (О = (I — х2 — у2) х — у, у' (t) = (I — х2 — у2) у 4- х>
z'(t) = ~2z. (1)
Точка покоя этой системы: х = у — z == 0. Кроме этого три-
виального решения, система (1) имеет, например, решения
х == у = 0, z = Се~2‘,
т. е. обе половины оси г. Если отбросить все три эти случая,
то для каждого решения будет справедливо неравенство
х2 4~ У2 ¥= 0.
Введем полярные координаты, т. е. выберем для каждого
решения x(t), y(t) двух первых уравнений системы (1) непре-
рывно дифференцируемые функции r(£)>0, 0(7) такие, чтобы
x = rcosf>, y = rsin(h
Тогда из системы (1) получаем новую систему
г' = (1 —г2)/-. O'=l, z'= — 2z. (2)
Очевидно, что можно выбрать 0- = /. Все решения системы (2)
тогда имеют вид
1—^- = Cle-2', z = C2e~2*.
Для Ci —С2 —0 это окружность r=l, z = 0. Для Cj=/=O
каждая из кривых асимптотически стремится к этой окруж-
ности при >оо как винтовая линия или спираль. Кривые,
у которых <0, С2 > 0, неограниченно приближаются к по-
ложительной полуоси z при t—>—оо.
3.481
42—59. f(x, у, z) wx+g(x, у, z)Wy + h (x, y, z)n>z*=O
185-
Если из всего, пространства х, у, z вынута отрицательная
полуось z вместе с нулевой точкой, то исходное дифферен-
циальное уравнение с частными производными не имеет особых
точек, т. е. все три его коэффициента нигде не обращаются
в нуль одновременно. Тем не менее это дифференциальное урав-
ние, кроме тривиальных интегралов z = const, не имеет ни одного-
интеграла, который существовал бы во всей только что ука-
занной односвязной области.
В самом деле, каждый интеграл постоянен вдоль каждой
характеристики. Если интеграл имеет на окружности г — 1 зна-
чение С, то, так как винтовые и спиралевидные кривые произ-
вольно близко подходят к этому кругу, он должен иметь то же
значение С также и на всех этих кривых, и таким образом —
также на положительной полуоси z. Следовательно, он имеет
значение С на всех характеристиках в рассматриваемой области
и, таким образом, во всей этой области.
Этот пример, автором которого является Е. Digel, был опублико-
ван Е. Kamke, Math. Zeitschrift 42 (1937), стр. 288. Аналогичный
пример построил Т. Wazewski, Mathematica 9 (1935), стр. 179.
3.46. 2xzwx 4- у (z 1) тоУ4-ху(г-|- 1)2«Ц? = 0.
Положим w(x, у, z) = £(x, s, z), где s = xy. Тогда диф-
ференциальное уравнение для t, имеет решение z — s. Метод
редукции ч. I, п. 3.5 теперь дает для исходного уравнения
интегральный базис:
г— ХУ 1 ХУ 1 1 ,
z ХУ> (г_лу + 1)2 ln z+i (г+1)(г-хУ + 1) ~2,ПХ
3.47. xy2wx 4- 2y3a>y 4- 2 (yz — л2)2 wx = 0.
Частное решение: —. Если к уравнению применить метод
редукции ч. I, п. 3.5, подставив w(x, у, z) — v(x, т], г),
Х^
т] = —, то оно перейдет в уравнение
xvx-\-2(z — №г = 0
с решением х2 ехр . Поэтому данное уравнение
интегральный базис
имеет
хг у
—, у ехр------—F
у х v zy— х2
3.48. х (у3 — 2х3) wx 4~ У (2у3 — л3) 4- 9z (л3—у3) <wx ~ 0.
Интегральный базис: x3y3z, -p-4~'j^2
186 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [3.49
3.49. х2 (ху — г2) wx 4- лу (лу — г2) wv -j-yz (yz 4- 2х2) чаг = 0.
Интегральный базис: —, у г*х
г х yz
3.50. х (z4 —3»4) «>* 4~з» (х4 — 2г1) ws 4- г (2з>4 — х4) wz — 0.
Интегральный базис: x4-}-y4-]-z4, x2yz.
3.51. х (у* — г") wx 4-з» (г" — хп) wy 4- г (хп —з»п) wz = 0.
Интегральный базис: xyz, хп-j- уп zn.
3.52. x«»*4-3»«»J,4-aprx24-3»2 wz = 0.
Интегральный базис:, a\/rx2-j-y2 — z.
3.53. xwx 4- yWy 4- (г — а улх24-з»24-г2) адг = 0.
Первые два из характеристических уравнений
х' (t) = х, у' (t) = у, z'(t)~z — a Ух2 4- у2 4- г2
у у
дают—= Ср т. е. ф] = ——интеграл. Если подставить в третье
характеристическое уравнение у = С}х, то для х > 0 получаем:
= 4$- = --а -|/с?4-1 + (-Г .
dx х (t) х г ' \х)
и отсюда, полагая z — хи (х), находим обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение
хи' 4- а VУ -|- Cl 4- 1 =0.
Из этого уравнения имеем:
ха(и 4- /«24-C|4- 1 ) = С2.
Подстановка выражений для и и приводит к интегралу
ф2 = (z 4~ V*2 4~ У2 4~ г2)'-
ф! и ф2 образуют интегральный базис.
3.54. г Уз»2 4-г2 «>* 4-«г х2~^-г2чюу —
— (х У у2 4- г2 4- ау У х2 4- г2) wz = 0.
Из характеристических уравнений находим, что
хх' 4- У у' 4- zz’ = 0,
следовательно,
Ф1(х, у, г) = х24-у2+^2
3.58] 42—59. fix, у, z) ii>x+g (x. y, z) + (x, y, z) t»z=0 187
— интеграл. Если теперь заменить х2-j-у2-j-z2 = г2 (см. ч. I,
п. 3.5 (в)) и исключить z из характеристических уравнений, то>
получим уравнение
ах' ____ у'
у г2 — х2 ~ Кг2 —
а отсюда — интеграл
ф2 = a arcsin — arcsin у, где г2 = х2у2z2.
Оба найденных интеграла гр1 и ф2 образуют базис.
3.55. ч»х—ywy ctg x\zWgCtgx = ~O.
Интегральный базис: yz, ysinx.
3.56. wxtgx-\rwytgy\-'iVgtgz--=O.
.. „ « sinx siny
Интегральный базис: ——, . .
r sin у sin z
3.57. wx ctg x 4- Wy ctgy 4- wx ctg z — 0.
.. „ , cosx cosy
Интегральный базис: -----, -— .
r cos у cos z
3.58. xwx 4- k 4-/(*, 5')1 «!« = 0.
Из характеристических уравнений
x'(t)=^x, y'(f) = y, z'(t)=z-\-f(x, у)
прежде всего получаем ~С}. Следовательно, tpi(x, у, —
интеграл. Тогда из третьего характеристического уравнения
имеем:
/(0=z4- / (х, 1х).
а после присоединения к этому уравнению первого характери-
стического уравнения получаем линейное дифференциальное урав-
нение
dz _ г' (Z) _ z_ fix, Ctx)
dx х' (i) х ' х
Отсюда
z==C2x+ х j f dt.
a
Следовательно, если подставить выражение для Clt то
х
z = C2x-l-x | f{t, ^tjt~2dt. (1>
a
188 гл. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [3.59
Функция ф2(х» z)> получающаяся после разрешения этого
уравнения относительно С2, является вторым интегралом исход-
ного уравнения.
Если, например,
,, . сху
f(X, У) = —7= zz,,. 7 — ,
/(С2 + Л:2)(С2 + У2)
то при а=0 уравнение (1) имеет вид
X
/у I I
z = C9x~\-cy ----......... ..... —
О j/ + t2)(c*
или после замены переменных t = xL,
1
I Г
z — C^x-\-cxy г................... =~;
о /(с2 + *Т)(‘2 + у2£2)
это эллиптический интеграл с постоянными пределами интегри-
рования.
3.59. (y—z) Vf(x) wx + (г—х) ^f(y) wy + (х~у) Vf(z) чюя = О,
6
/(0=W-
V=o
Функция
_ / (у—*)//(*) + (?—*)КЛу)-Нх—у) Ул*) V _
\ (у —г)(г —х)(х —у) /
— а6(х + у + г)2 —а5(х + у + г)
является интегралом. Замена
w(x, у, z)~ W(&, з], С). П = у. C = j
исходное уравнение переводит в такое же уравнение относи-
тельно е, з], С. W вместо х, у, z, w и с f*(t) = «(/6-Ь ... -|- а6.
Поэтому функция
_ /У2*2 (У—?) Vf (x)4-z2x2 (z—х) /77у)+х2у2 (х—у) // (z))2_
\ xyz(y — z) (z — х) (х — у) /
/I , 1 . 1\2 /1 1
°\Х 9 у ' Z J 1 \X 1 у ’ Z)
является также (вообще говоря, не зависящим от прежнего)
интегралом дифференциального уравнения; в этой формуле f (t)
снова имеет первоначальное значение. См. также 4.12.
3.63] 60-64. ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 189
60—64. Общие линейные и квазилинейные
дифференциальные уравнения
3.60. 2х‘а>х + Зу<ууН-вг«>г=6.
Частное решение: In | z |. Присоединяя к нему все решения
соответствующего однородного дифференциального уравнения,
получают все решения; интегральным базисом однородного урав-
нения являются функции
л3 у2
2 * 2 *
3.61. —
Интегральный базис соответствующего однородного урав-
нения:
JL —1
х у ’ х г'
Согласно ч. I, п. 4.2, частное решение данного уравнения
имеет вид
I л-In л . ylny . zlnz \
у \(* —у) (х—-г) ' (у—х) (у —г) ' (г —л) (z —у)/
Все решения данного уравнения получают, присоединяя к реше-
нию (1) все решения однородного уравнения.
3.62. xWx+ywy-\-zWx = aw-}-f(x, у, z).
Для соответствующего однородного уравнения функции
образуют интегральный базис. Если (ср. ч. I, п. 4.2)
произвести замену
w(x, у, z) = W& Т), □, с = = £=7.
то из данного уравнения получится обыкновенное дифферен-
циальное уравнение
и, следовательно,
vr=^{s(T], :)+/Га-1Г(ё. ёП.
3.63. (y+^ + w) + + + w) адг = 0.
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 5.4) однородное диф-
ференциальное уравнение для W = W(x, у. z, w) имеет вид
(у —|— Z но) Wх -J- (z х -f- но) Wу —(х —|- у -f- но) Wz = 0. (1)
190
ГЛ. III. линейные уравнения с тремя переменными
(3.64
Его характеристические уравнения
х' (t) = у 4- z Ц- но, у' (t) == z 4- х 4- но,
z' (t) = x 4- у 4- w, и/ (f) = 0
дают интегрируемую систему
* 4-у 4-г+7® x,_v, v,_z,
--------------z---== 2 *--= 2 -у- г .
। 1 । 3 х — у у — г
*4-у+2'4-'2 w
Так как очевидно, что W— но— интеграл, то интегралами
однородного уравнения (1) являются функции
w=s(уЕг>w> (x~yyi(x+y+z+^w)y
Разрешая уравнение — 0 относительно но, получают решения
исходного уравнения.
3.64. (zw — Jty2) wx 4- yzwy 4~ = «w.
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 5.4) однородное урав-
нение есть уравнение 4.5. Поэтому интеграл данного уравнения
получится, если разрешить уравнение
с / w z ( zw\ у2 \ п
2 —, —, х------j- exp— =0
\У У V У2 J г )
относительно но. Интегралом является также функция но — ~~г
она обращает в нуль первый коэффициент уравнения.
ГЛАВА IV
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧЕТЫРЬМЯ И БОЛЕЕ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
4.1 • А + (*3 — ха) Рг+(xi + х2+хл) Р3 + (xi + х2+ха) Ра = 0.
Интегральный базис:
*2—-*з + *4. (х3 — х^е~х\
(XjX3 — Х|Х4 — Xj — х2 — х4 — 1) е~х'.
4.2. (х3 4~ х4) Р2 (Х2 “Ь •*<) Р3 “Ь (хг “Ь хз) Ра — 0*
Интегральный базис: х, (х2 — х3), хг (х2 — х4),
4.3. (х2+х3 + х4) р, + (х, + х3 + х4) рг + (х, + х2+х4) р3 +
+ (*,+х2+хз) р4—о.
Интегральный базис: Xi~Хг-, .Xi Хз , (х — Х1)3 X
— Xf Х4 — Xi * 1
X (*1 + х2 х3 -|- х4).
4.4. х(х3р, + Xix2p2 + х|р3 + (х(х2 + ах3х4) р4 = 0.
Интегральный базис: —, —, х,~а--4-(а—1)х.х'_в.
Xi xt 1 Х3 4 1"
4-5. (х3х4 — х,х^) pt + х2х3рг + х|р3 + х3х*р4 = 0.
Очевидные интегралы: Далее, методом редукции
ч. I. п. 3.5 находим интеграл
Три найденных интеграла образуют базис.
4.6. х2х3х4р, 4- х3х4х,р2 x3xiX2p3 4- х,х2х3р4 = 0.
Интегральный базис: х\ — х\. х3 — х^, xl — х3
* 4 А »5 о 4
192 ’ гл. IV. ЛИНЕИНЫЕ*УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [4.7
4.7. (х2 + х3 + х4 + х5) Pi + (х3 + х4+х5+х() р2 +
+ (JC4 + х5 + X, + Х2) р3 + (х5+х4 4- Х2 + Х3) р4 +
+ (*1 + Х3 + Х3 + Xt) Р5 = О-
Интегральный базис:
_g —5xv v=l, 2. 3. 4.
s — 5xv+1
где s= Xj-j- ••• +-*5- См. также 4.3.
n
4.8. 2 X\P\ — az> уравнение однородных функций.
V = 1
Интегралы в области ®(хь ..., хп) — однородные по-
рядка а функции г = ф(Х!....х„) с непрерывными частными
производными первого порядка.
Как известно, функция ф (хь .... х„) в области ® назы-
вается однородной порядка а, если для каждых двух точек
(X]....х„) и (Zxj......^хп)’ принадлежащих области ®
вместе с соединяющим их отрезком, можно написать равенство
W*I.......... х„).
Пример однородной функции первого порядка, которая не
является полиномом: ф(х, у) — xsin^.
4.9. ^i(Aoxv — A\pv==0,Av = av0+'^iamixH; уравнение Хессе.
V=1 И—1
Это уравнение можно свести к уравнению с т -|- 1 незави-
симой переменной, но с линейными коэффициентами. Именно,
сделаем замену (введем однородные координаты)
Z (х4, .... Xm) = J (£0, ..., |m),
где
*-=¥: w
тогда
m
dz f ..V dz dt
dxv—^dt,v’ V~I.........m’ — ~~ ^"d&’
v = l
и, следовательно, исходное уравнение принимает вид
т т
где (2)
V=o Х=о
4.9)
ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ЮЗ
Каждое решение исходного уравнения дает такое решение
£(£0.....|т) уравнения (2), что из функции С подстановкой (1)
получается функция от х1, ..., хт,, т. е. £—однородная функ-
ция нулевого порядка. Наоборот, каждое решение £ уравне-
ния (2), которое обладает этим свойством, дает в результате
подстановки (1) интеграл первоначального уравнения. О решении
уравнения (2) см. 3.19.
Пример 1.
{х 1) ур 4- (у2 — х) q = 0.
(3)
Здесь xt = х, х2 = у, Ло == х2, At = — х2, А2 = xt, и уравне-
ние (2) имеет вид
К
52
Его интегральный базис: 5o4-5i> 5145^ интегралами являются все
функции 5? 4 5г)-
Теперь нужно так выбрать функцию й, чтобы из £ подстановкой (1)
-
получилась функция только от xt, х2; это выполнено для й(и, v) =—.
Окончательно получаем;
_ (5o45i)2
il+il ’
- —
X4 Г
Пример 2.
*(У 41)/>4(У2 — x)q = yz.
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 4.2 (а)) однородное уравнение,
если вместо х, у, г писать xt, хг, х3, имеет вид
*1(4г+0^ + (*2 —*1)^2 + *2*зРз = 0; (4)
это уравнение типа 4.9 с Ло = х2, At = — xlf Л2 = х,, Л3 = 0. Урав-
нение (2) здесь имеет вид
11 ^51 <%2 + <?5
Из его характеристических уравнений получаем интегральный базис
Si — 5з> £2 = 514 5s. 5з — 5о—514* (514 5г) in I Si I-
Каждая непрерывно дифференцируемая функция £ = й (£i, £2, £3) есть
снова интеграл.
Теперь надо найти такую функцию й, чтобы при подстановке (1)
получилась функция только от xlt х2, х3; это выполнено, например,
в случае, если
— = 5з — Ха
£2 5145а *14* х3
В случае
__1=3. 51 5о in 11 I
52 “514-52 11,1
13 Э. Камке
194 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (4.10
это не достигается из-за логарифмического члена. Но если добавить
сюда еще In I 1> то получится интеграл
В1-Во | I В» I _ *1-----1 ! . I *14~-*2 I
В> + В2 + I Bl | Г
Окончательно, для уравнения (4) имеем базис
* , ^1+1п|Л±Х I
*4-у х+у I * I
а для исходного неоднородного уравнения — интегралы
z — (* + у)^(-~7~ -ь In I ~ ~ IV
17 \x-f-y 1 I х |)
т-1 т-1
4.Ю. 2 (А\—A)Pv = V—А=а.о+
1 H-L
Согласно ч. I, п. 4.2, это неоднородное линейное уравнение
можно преобразовать в однородное уравнение 4.9.
т п
4.11. 2(А-Лх,)Д + 2Л(>р =
Vssl V = 1
т
*=1
Методом Хессе (см. 4.9) здесь также можно добиться,
чтобы первые коэффициенты стали линейными. Если положить
Z(X\.....хт, У1.....Ул) = £(1о......Im. У1....Ул),
где
v __11 v ___ Вт
Л1 — t » •••• лт— е •
So So
то из данного уравнения получится
т п
.....у«)^’==0,
V—о v=l
где
т
— 2 Cvxlx-
и=0
Если, в частности, п=1, /1=1. то в характеристических
уравнениях может быть выбрано в качестве независимого пере-
менного у= ур тогда характеристические уравнения образуют
линейную систему
В;(У) = <. v=l.......................т.
R. Н. J. G е г ш а у, Annates Bruxelles 59 (1939), стр. 139—144,
распространил изложенный метод на случай, когда ат является
функциями хр.
4.12] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
195
п _______ п п
4-12. = F(Z) = J[(/-xe).
V —1 V=0 fr=l
При преобразовании
................x„) = £Gi......I„). U = T-
AV
данное уравнение переходит в такое же уравнение с |v, £
вместо xv, г и с /* (Z) = a0t2n -ф- . • + й2п- Если для перво-
начального уравнения найден какой-нибудь интеграл, то второй
1
интеграл получают, заменяя х на — и а0, ..., а2п на
xv
а2п< ’ • •• а0-
Интегралами служат функции
2 - <->F »> S •
v==l
если а, р — два корня /(х);
z = F (с)
(C—xv)F'lxv)
F(C) a2nF(C>
для любого с.
ГЛАВА V
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1—2. Две независимые переменные
5.1. yp~xq, xp-\-yq — z.
Разрешая эти уравнения относительно р, q, получим
/> __ х д _ у
z №-J-y2 ’ г х24*У2 ’
следовательно,
z — с ]/~ х2 4~ у2.
5.2. [х(х—а) — z— с]р-\~У(•* — а)^ = (х—2а)г— сх,
х(у — Ь)р+\у(у — Ь) — z — c\q=(y — 2b)z — су.
Эту систему можно записать еще и в другом виде:
(х — d)(xp-\-yq~ 2г)=(гН-с)(р — х), 1
(у— t>)(xp + yq — 2z) = (z-]-c)(q — у). /
Отсюда следует, что
(z + с) [(у — 5) (р — х) — (х — a) (q — у)] = 0.
Поскольку z = — с при с ф 0 не является решением системы,
то должно быть равно нулю выражение в квадратных скоб-
ках, т. е.
(у — Ь) р — (х — a) q — ау — Ьх.
Исходная система может быть заменена этим и первым урав-
нением (1).
Теперь переходим к соответствующим (₽ смысле ч. 1, п. 7.2)
однородным уравнениям:
(у — b) <wx — (х — а) че>у 4- (ау — Ьх) = 0, (2)
[х (х — а) — z — с] чюх -|- у (х — а) 4-
4- K-v — 2а) z — сх] Wg = 0. (3)
5.4| 3-9. ТРИ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 197
Для уравнения (2) из характеристических уравнений получается
интегральный базис:
(х — а)2 + (у — b)2. z — ах — ау.
Если мы, следуя методу ч. I, п. 6.7 (б), сделаем замену
w (х, у. г) = £ (|р |2, £3), = (х — а)2 + (у — Ь)2,
t,2 = z — ax — by, Вз = г,
то уравнение (2) перейдет в уравнение £gs — 0. Эта же замена
превращает уравнение (3) в уравнение 2.4:
для которого легко находится интегральный базис:
5,-2§г-а8-6г
fe-02
Таким образом, решение исходной системы получим, раз-
решая относительно z соотношение
С, (г — ах — by — с)2 = С2 (2г — х2 — у2).
3—9. Три независимые переменные
5.3. pt— P2 = z, Pi — Р3 — Ъ см. ч- I. п- 6-4-
5.4. х1р1 + х2р2 + х3р3==0, х2р,— х,р2 — х3р3 = 0.
Это инволюционная система. Для первого уравнения функ-
ции —, — составляют интегральный базис. Если* следуя ме-
х3 х3
тоду ч. I, п. 6.7 (б), мы сделаем замену
г(хр х2, х3) = С(У!, у2, уз), У1 = ^-. У2 = ^. Уз= хз>
Л3 Л-з
то получим уравнение
с интегралом
С = arctg -4- In /у2-|-у|.
Поэтому интегральным базисом данной системы будет:
198 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |5.5
6.5. Зх1р14-4х2р24-5ХзР3 = 0, х,р2 4~ 2х2р3 = О.
Это полная система. Для первого уравнения функции
4 __5
X2Xj 3, Х3Х, 3
составляют интегральный базис. Отсюда для самой системы
методом ч, I, п. 6.7 (б) получаем интегральный базис:
5.6. (х2 х^ pt + (х3 х,) р2 4* (х, х2) р3 = О,
x2x3Pj + XgXtp2 + х,х, р3 = 0.
При образовании скобок возникает еще одно уравнение:
(х2 — х3) (х2 4- х3. — 2x0 Pi 4~ (*з — *1) (*з + — 2х3) р2 4-
4- (X! — х2) (X! 4- х2 — 2х3) р3 = 0.
Детерминант всех трех уравнений равен
. 3 (Xj — х2) (х2 — х3) (х3 — х0 (ЗД 4- х2х3 4- х3х,)
и ни в какой области не равен нулю тождественно; поэтому
р1=р2^р3=0, и, следовательно, данные уравнения имеют
лишь тривиальное решение z ~ const.
5.7. (х, х2) Р| 2 (Xj х2) р2 4~ 3 ^Х| 4~-Я-2 4~ 2х3) р3 — 0,
(Х2 + Хз) Pl + 2 (2xi — ЗХ2 — Хз) Рз — 3 (2Х1 + Х2 4- З*3) Р3 = °*
Это полная система. Для первого уравнения функции
2xj 4- х2,
Х| 4~2хг4~3-Хз
(*1 — х2)2
составляют интегральный базис. Если применить метод ч. I,
п. 6.7 (б), т. е. подставить во второе уравнение
, , - 01 X, 4- 2*2 + Зх3
г(хь х2, х3) = £(у!, у2), у1 = 2х14-х2, Уг = ~ (х, — х2Г ’
то получается уравнение
2^ — уХ =0,
откуда
2
У1 У2 ’
Следовательно, для данной системы интегральный базис полу-
чаем в виде
__ Зл!Хг ф- 2x^3 4- хгх3
Х| 4* 2х2 4* З.Х3
5.11] 10-17. ЧЕТЫРЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ДВА УРАВНЕНИЯ 199
5.8. х, (Xj + х2) р, + (Х2Х3 + xl — х\) р3 + 2 (х, Ц- х2) = О,
*2 (*i + *2) Pl + (л1*з + Х1 — *2) Рз + 2 (Х1 + хг) = °-
Это полная система. Каждое из соответствующих (в смысле
ч. I, п. 6.8) однородных уравнений можно легко решить. Если
применить метод ч. I, п. 6.7 (б), то для однородной системы
получается базис
(Xi+^ + ^aXXi+xg)
х(х2
Если исходную систему редуцировать с помощью преобра-
зования ч. I, п. 6.8:
z(xt, х2. х3) = С(У1, у2. уз).
у^х,. у2=х2, Уз= ^+^ + хз)(х,+хг) '
Х1Х2
то получается система
У1£у1 + 2 = 0. У£>у2 + 2 = 0.
откуда £ = — 1п(у|у|). Таким образом, решения заданной си-
стемы представляются в виде
z — — In (х|х|)+ решения однородной системы.
5.9. xiPi + x2p2 — х3р3+г = 0, х2р,— х,р2 + грз+х3 = 0.
Соответствующая (в смысле ч. I. п. 7.2) однородная си-
стема для функции «<(Х1, х2, х3, х4), где хА = г, является
полной: xywXl + xiwXa — x$wXt — = 0, X2is)Xl — Xi&x, -J-
-J-XsWjr, — Хзте^^О. Это с точностью до обозначений — си-
стема 5.12. Для нее интегральным базисом служат функции
Х1Х3 + х2х4. — х2х3 + XjX4.
Решения исходной системы получают, разрешая относительно z
уравнение
2 (xxz — х2х3, x2z -+- Х1Х3) = 0.
10—17. Четыре независимые переменные и два уравнения
5.10. р,+р2 — 2р3 = 0, х,р( + х2р2—(х1+х2)р34-х4р4 = 0; см.
ч. I, п. 6.7(a).
5.11. х1р1+х2р2 = 0, р,+р2 + х1(р3-|-р4) = 0.
При образовании скобок возникает уравнение
Pi + Р2 — *i (Рз + Pt> = °-
200
ГЛ. V. СИСТЕМЫ линейных и квазилинейных уравнении
[5.13
Комбинированием всех трех уравнений получаем:
Р14-Р2 = °. xiPi 4- х2р2 = 0,
и кроме, для Xj 4= 0
Рз “Ь Ра — 0.
Из двух первых полученных уравнений следует pt = р2 = 0 для
xi #= *2- т- е- искомое решение не зависит от хъ х2. Третье
полученное уравнение можно легко решить. Окончательно,
в качестве решения исходной системы получаем:
£ = 2(*з~ *4)-
5.12. х,р, — х2р24-х3р3 — х4рл = 0, x3pt 4-х4р2 — х2р4 = 0.
Это инволюционная система. Для первого уравнения функ-
ции х^х2, х2х3, х3х4 составляют интегральный базис. Если,
следуя методу ч. I, 6.7^6), сделать замену
*(*i. .... х4) = £(у1( .... у4), у.^хрс* у2 = х2х3.
Уз = *3*4* 34 ~ *4*
то первое уравнение примет вид £У4 — 0, а второе —
М + У1Уз) (еУ1 — Q + Уз (Уз - У1) = °-
Это последнее имеет интегральный базис
Следовательно, исходная система имеет в качестве интегрального
базиса следующие функции:
х 1*2 + *4*3’ *1*4 ~ *2*3*
5.13, — -4Р( 4- х2р2 | х4р3 | х3р1-=0, 2 (*3 | *4) Р2 Ь*2 (р34-р4) = 0.
Это инволюционная система. Для второго уравнения легко на-
ходится интегральный базис: xt, х3— х4, х'2—4х3х4. Если при-
менить метод ч. I, п. 6.7 (б), т. е. подставить в первое урав-
нение
*(*1.....*4) = Б(У1. Уз. Уз- У а)- У1 = *1. У2=*з~ х4>
Уз~х2 4*3*4, у4 = х4,
то получается уравнение
5.18] 18—23. ЧЕТЫРЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ТРИ УРАВНЕНИЯ 201
с базисом , у? (у3—у^. При этом для первоначальной системы
получается интегральный базис:
5.14. х3р, + xj)2—xip3-xipi = 0, х^ + х3р2 — х2р3 — х,р4 = 0.
Это инволюционная система. Базисом являются функции
XlX2-[-X3Xv *2 4-4-*2 4-*2.
5.15. 4~ ЛГ2Л'з) Pi "Ь (Л'3Л'4 Л'1Л'2) Рз (Х2 “Ь Xi) Pi ~ 0’
(х,х4 4- ХЛ) р2 — (х2 4- р.л 4- (х3х4 — х4х2) р4 = 0.
Если умножить первое уравнение на хь второе —на — х2 и
затем сложить оба уравнения, то, с точностью до множителя
х4х44~*2хз> получается первое из уравнений 5.12. Аналогично
из данной системы получается и второе уравнение 5.12. Сле-
довательно, написанная выше система может быть заменена
системой 5.12.
5.16. (х4 — х^ рх 4- (Xix3 x2xi) Рз “Ь (,Л'2Л'з Pi 0’
(•*4 Х1) Р-2 (Л'2Л'3 Л'1Л'4) Рз -Ь (Л'ГЛ'3 Л'2Х4) Pi ~
При х%—х3 =р 0 эта система эквивалентна системе 5.14.
5.17. P14-(*2+x4 — ^Xi)PS+(XlX2+XlXi+ Хз)/’4 = 0’
Р2 4" (Х3Х4 Х2У рз 4~ (Л'Г*'3Л'4 “Ь Х2 XlXi) Pi =
Образование скобок после отбрасывания лишнего множи-
теля приводит к уравнению
P3 + xiPi=°-
Тем самым данные уравнения можно упростить:
Р2 + -«2/’4==0> Р1 + (3^ + лг3)р4 = °.
Эти три выписанные уравнения образуют систему 5.18.
18 — 23. Четыре независимые переменные и три уравнения
5.18. pi 4- (Зх, 4-х3) р4 = 0, р2 4- х2р4 = °, pj4--*ip4 = 0-
Это инволюционная система. Применяя преобразования Майера
X] = ииь х2 = ии2, х3 — ии3.
202
ГЛ. V. СИСТЕМЫ линейных и квазилинейных УРАВНЕНИИ
(5.19
приходим к линейному дифференциальному уравнению для
функции z (х{......х4) = Z (и, Ир ..., п4):
zu + (3«2«f + SuHjHg + utty zx — 0.
Интегралами этого уравнения являются функции
2 п2ц2 _ х4),
поэтому исходная система имеет интегралы
2 (х3 + XjX3 + у х| — х4) .
5.19. xtpt— х2р2Н- х3р3—х4р4^0, х3р1-х1р3==0, х4р2-х2р4=0.
Это инволюционная система. Для первого уравнения функ-
ции xix2, х2х3, х3х4 составляют базис. Если, следуя ч. I,
п. 6.7 (б), сделать замену
z(xt, .... х4) = £(У1...у4), у1 = х1, у2 = х1х2,
у3 = х2х3 у4=х3х4,
то первое уравнение переходит в £У1 — 0, а два других—соот-
ветственно в
У2^ — У2У<£Л — УъУ&у, = °- УэУ&у, + У3уА, — У$у, = °-
Для первого из этих двух уравнений имеем базис у| + у3,
Уз
У<
Если еще раз применить то же преобразование, то для исход-
ной системы получается, наконец, интегральный базис:
(х1 + х^(х1 + х1)-
5.20. 2x^,4-Зх2р2 + 4ХзР3 + 5х4р4 = 0, р4 + 4х,р3 + бх2р4 = 0,
*2Рз + (2*3 —4*2)р4 = 0.
Это полная система. Для второго уравнения находится инте-
гральный базис (дальше он обозначен через у2, у3, у4). Если,
следуя методу ч. I, п. 6.7 (б), ввести
z(Xt....x4) = g(y,.....у4),
У1==хг Уг~ Х2> Уз = Х3 ~ 2хГ У 4 = Х4 ~ 5х1х2’
то из второго уравнения системы получается £У1 = 0, а из двух
других
+ЗД»=0. JА»+=о-
т. е. мы приходим к системе 5.5 с £, yv вместо z, xv_l.
5.23] 18-23. ЧЕТЫРЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ТРИ УРАВНЕНИЯ 203
5.21. х4р4-\-х2р2-\-х.Ар3 + х4р4 ==0, x2p2 + 2x3p3-\-3xipi = Q,
Зх-р2 4- 10x,x2p, 4- (15х,х34- 10х|) р4 = 0.
Система полная. Для первого уравнения функции х2/хА,
х3/х4, х4/х, составляют интегральный базис. Если положить
(согласно ч. I, п. 6.7(6))
Z (Xj....Х4) = £(У!.....у4).
х2 *з хь
= y2 = v-. Уз = Т7» =
xi xt xt
то первое уравнение системы перейдет в £У1 — 0, а два других—в
<,+2<,+3<. = 0’ 3^+10У2^+(15у34-10у1):У) = о. (1)
Для последнего из полученных уравнений (1) функции Зу3—5у^
9у4—45у2у34-40уЗ составляют интегральный базис. Применим
еще раз преобразование ч. I, п. 6.7 (б), именно, положим:
£==«(«,. s2, s3, s4), sl = y1, s2 = y2, s3 = 3y3 —5у^,
s4 = 9У4 — 45УгУз + 4°У>1
Тогда из последнего уравнения (1) получается ni2 = 0, а из
предпоследнего — уравнение
2s3«i? 4- 3s4us;— О
с интегралом s4/s|. При этом для исходной системы получается
базис
(9xfx4 — 45xjX2X3 4- 40х|)2
(Зх4х3 — 5х2)3
5.22. 2х2х1р1+х£х4р4==х%, 2х2р2 — х4р4 = 1,
X2X4P3 + X1-*3X4P4 — XiX3’ СМ- 5-23'
5.23. 2x2x|p14-xjx4p44-x^, 2х2р2 — x4p4^z,
Х2Х4р3 4- Х|Х3Х.р4 = x^x.4z
Система полная. Заменой и (хь .... х4) = In | z | она пере-
водится в систему 5.22 с неизвестной и вместо z. Для реше-
ния системы в каждом из обоих, видов после того, как она раз-
решена относительно производных, имеется метод Майера ч. I,
п. 6.4 редукции к одному дифференциальному уравнению.
Систему можно решать также методом первых интегралов
Якоби.
Если данная система переведена (согласно ч. 1, п. 7.2)
в однородную систему, то получается система 5.30 с z,
204
ГЛ. V. СИСТЕМЫ линейных и квазилинейных уравнении
[5.24
вместо х5, р5; решения первоначальной системы получаются
из уравнения w (хь .... х4, z) — 0 разрешением относительно г:
Z — x„x.Q (х.х? — х,х21
24—29. Пять независимых переменных и два уравнения
5.24. xlp1 — 2x5p2 + (x]xi-2xs)p3—2xixipi = 0, 2x^t 4- х{р5=0.
Образование скобок приводит к уравнению
ЗД -Ь Xj (1 — х5) р3 4- 2х5/?4 + xjp& — 0,
здесь опущен множитель 2хР Это уравнение, в силу второго
данного уравнения, можно заменить на р24~(1—х5)р3=0, и,
таким образом, всю систему можно заменить на
xjPi + (xix4 — 24) Рз — 2х1хлРл = °-
2х5р44-х2р5=0, Р24-(1 — х5)р3 = 0.
Теперь образование скобок приводит только к одному суще-
ственно новому уравнению, а именно, к р3 = 0. Следовательно,
должно быть также р2 = 0, и остаются уравнения
xiPi~ 2х4/’4 = °, 2х5Р4 4- х^р5 = 0,
которые образуют инволюционную систему и имеют базис
4*4—-4
5.25. |(xjx44-x2^)x54-x2] р, — |(x1x44-x2x5)x44-xjp24-
+ (*i*4 — Х1Х5) Рз = °» Х2/>4 — *1Ро = °*
Образованием скобок получаем:
(*1Х4 + *2*5) + Х2Р2) — (Х1 + Х1)Р3~
— [(ХХХ4 4- Х2Х5) х4 4- xj р4 — [(х,х4 4- Х2Х5) Х5 4- х2] р5 = 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная. Для пер-
вого уравнения можно обычным методом найти базис:
xtx4 4- х2х5 — х3, (х,х4 4- х2х5)2 4- х2 4- х2.
Он, как легко проверить, является одновременно интегральным
базисом для всей системы.
5.26. XjPj 4- х2р2 4- (х4х4 4- х2х5) р3 = 0,
|(*Л 4- х2х5) х4 4- X,] Р4 4- |(х,х4 4- х^) х5 4- х2] р5=0.
После образования скобок, если принять во внимание вто-
рое уравнение, получается р3==0.Легко проверить, что р3 = 0.
5.28J 24—29. ПЯТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ДВА УРАВНЕНИЯ 205
х^р^-]- х2р2 — 0, и второе из данных уравнений образует пол-
ную систему, уравнения которой можно решать порознь. Бази-
сом для данной системы служат функции
xt (x2xt — xtx5)2
х-2 xl -f- xf 4- 1
5.27. Xs X2X^ Vs) Л'4_ЬЛ'3Л'5+Л'2] P2~^~
4~ |(X1+^) Рз ~ 0’ (-V3X4+X1) /,4+('*3Л:5+Х2) Рб = °*
Образование скобок и прибавление первого уравнения, умно-
женного на 2х3, ко второму, умноженному на —1),
дает:
l(x2x4 — х2 4- (х3х4 4- Xi) х31 Pi 4- [(XjX5 — х2х4) Xi 4-
+ (Х3Х5 + хг) хз| Р2 — [(ХЛ + х2хз) хз + xi + 4] Рз = °-
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная, следова-
тельно, базис состоит из двух функций. Для второго уравне-
ния легко находится интеграл
х3х4 4- xt
X3XS 4- х3
Он удовлетворяет первому уравнению, а следовательно, и третьему.
Если теперь применить метод редукции ч. I, п. 6.7 (а), то нахо-
дится еще один интеграл:
х,х5 — х2х4
х3х5 4- xs
Эти две выписанные функции составляют интегральный базис.
Б.28. (х3х5 4- х2) рх — (х3х4 4- х.) д, 4- (х,х4 — х,х5) р3 = 0,
рс4 (Х,Х„ 4- хз-*5 4" -*2] Pi [*5 (Л'1Л'5 •*'2Л'4)Н_Л3Л'4~Ь Л'1|
Образование скобок и вычитание первого уравнения, умно-
женного на (XjX5— х2х4), дает:
(Х3Х4 4- Xi) Х3рл 4- (Х3р54-Х2) Х3р24-(Х2Х4—ХуХ5) (X^Pi — XtPi) —
— [*! + Х1 + (*4*4 + ^2^5) *з] Рз — (Х4 + Х1 + 1) X
X [(А'з^ч 4“ •*-1) /4 4~ (л;зЛ'5 4~ ^2) P5I ~ 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная. Для пер-
вого уравнения легко находятся решения
Х1 4“ Х2 4~ Х3' Х1Х4 4- Х2Л'5 Х3‘
для второго — решение
(XfXt 4- хах5 — х3у
х1 + ^+1
206 гл. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [5.29
Это последнее удовлетворяет также первому уравнению. Поэтому
исходная система имеет базис
Х1 + Х2 + Х3>
(xtxt + х2х5 — х3у
-*4 + ХЪ + 1
5.29. x2pt — ххр2 + 2х4р3 4- (х5 — х3) р4 — 2х4р5 = 0, х^ 4-
-ь + 1) Рг + (2*Л 4- ххя) р3 4- (2х2х4 + ^,х5) р4 4- Зх xsps=^0.
Образование скобок приводит к уравнению
(х2 4- 1) р, 4- x2xtp2 4- Зх,х3р3 4- (2х,х4 4- х2х3) р4 4-
4- (2х2х4 4- xtx5) р5 = 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная. Для пер-
вого уравнения функции
Xj 4“ Х3 4~ Х5’ Х3Х5-------Х4’ Х1Хз4~ 2XjX2X44- Х?Х$
составляют интегральный базис. Если применить преобразова-
ние ч. I, п. 6.7 (б) и положить
z(xt.....x5) = t,(y1........У5),
У1=ХГ У2 = Х1~1-Х2> Уз==Хз+Х5’ У4 = Х3Х5 — ХГ
У5 = -ф-34- 2х,х2х44- х22х5,
то из трех уравнений получаются: £У| = 0,
2х2 (У2 4“ О ?У2 4~ [2 (Х1Х4 4“ *2xs) 4- х2Уз15у» 4~
4- 4*2У4£у. 4- 12 (х(х4 4- х2х5) (У24- 1) 4- Зх2у5] £у, = О, (1)
2xi (Уг4- 1)?у24~12 (*чл;з4_л:2х4)4_л:1Уз]£уз4~
4~ 4х1У4?у< 4~ 12 (х1х34_ x2xt) (у24- 1)4~ Зх^] £у, = 0. (2)
Умножим сначала уравнение (1) на Хр уравнение (2) на —х2,
и сложим результаты. Далее, умножим уравнение (1) на х2,
уравнение (2) на xt и опять сложим. Окончательно получим:
£у,4-(у24-1)£уе=о. (3)
и если из второго уравнения мы вычтем уравнение (3), умно-
женное на 2у5, то придем к уравнению
2 (у2 4- 1) $у2 4- УзСу3 4- 4У4?у< 4~ Зу5£у5 = 0. (4)
Для него получается базис
Уз У4 Уб
ys4-i ’ (ys4-i)2’
(ys4-i)3’
6.32]
30—32. ПЯТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ТРИ УРАВНЕНИЯ
207
а отсюда, с помощью преобразования ч. I, п. 6.7 (б) для системы
уравнений (3), (4), —базис
у4 Уз (Уа +1) — у5
(Уг + Ъ2 ’ /(У2 + 1)3
Следовательно, функции
XgXg—-Х^ (xj + 0 *5 + (*2 +1) *з ~ 2xtx2x4
(>-Н*!+1)2 ’ /(^+4 + 1)3
являются базисом данной системы.
30—32. Пять независимых переменных
и три или четыре уравнения
5.30. 2xtp, — x3p3=-0, 2x2p2-x4p4-hxsp. = 0,
+ хзх4?4 + = 0.
Система полная. Для подсистемы, состоящей из двух пер-
вых уравнений, с помощью характеристических уравнений по-
лучают базис х4х|, х2х'|, х4х5. Если подставить теперь
г = У2. Уз). У1==*г4 У2=Х2Х1 У3=Х4Х5
в третье уравнение, то получится уравнение
Уг (£у, 4~ £у2) + Уз£у» — О
с базисом у! — у2, Уз/Уг- Поэтому исходная система имеет базис
х.х?— хх2 —— .
1 3 2 4 Х2Х4
5.31. 2x2xZpt+x?x^t+x£xsp.==0, 2х2р2-х4р4 + х5р. = 0,
Х2Х4Рз + XrW>4 + *1 W>5 = °'
Система полная. Линейной комбинацией первого и третьего
уравнений можно привести систему к виду 5.30.
5.32. р4 + 2xtp2-j-3x2p3-^4x3p4-j-5x4p5 = О,
xiPt + 2х2р2+ЗХдРз 4- 4х4р4 + 5xsp5=0,
*iP2 + Зф3 + (7х,х2-х3) р4 + (Ъх4х3-2х4 + 4х?) р. = О,
р2 +- Зх4р3 + (4х2+2х/) р4 + 5 (х3 4- xtx2) д. = 0.
Система полная. Для первого уравнения можно легко найти
базис у2.....у5. Далее, можно применить метод ч. I, п. 6.7 (б).
Именно, если положить
z 01......хз) = S (Ур - • •, у5), У, = xv У2 = Х2 — xl
у3 =. х3 — 3XjX2 + 2x3, у4 = х4 — 4XjX3 + 6xjx2 — 3xj,
у5 — х5 — 5XjX4 -j- 10-^Оз — * 0x|x2 4xJ,
208
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
(5.33
то первое уравнение примет вид £У1==0. После упрощения
остальные уравнения приводятся к виду
2Уг£у2 ЗУзСл + 4у4£У( 4~ 5у5^уЕ = 0,
2А.+(^-W,.=°-
Таким образом, получается система 5.20.
33“36. Прочие системы
5.33. (х, - х6) р, + (х5 - xt) рг + (х6 - х5) р._ = 0, (х2 - х6) рх 4-
+ (*з ~ хз) Рз+(-*6 - %) Р6 = 0, (х8 - х6) р, + (х. - х3) рг +
+ (хв — -*5) Р* = °. (*4 — *e) Pi + (*5 — *4) Pi+(*й ~ х5) Рз = °-
Система полная; ее базис:
Xi 4* ... -Ь Х6, XjX5 4- х2х6 4- х3х4.
5.34. Xjp( 4 х2р2 4- х3р3 4- х4р4 4- xsps 4- х$Р6 ~ 0,
хгРг 4- 2х2р3 4- Зх3р4 4- 4х4р5 4- 5хБр6 = О,
х2р2 4- 2х3р3 4- Зх4р4' 4- 4х5р5 4- 5х6р6 — 0,
Г1Х2р3 4- Зх-р4 4- (7х2х3 — х,х4) р5 4- (8х2х4 —2х4х54- 4х|) р6 = 0.
Скобки второго и четвертого уравнений приводят к суще-
ственно новому уравнению, а именно, к уравнению
х*р3 4- Зх,х2р4 4- (4XjX3 4- 2х|) р5 + (5хЛ 4- 5х2х3) р6 = 0.
Система, состоящая из этих пяти уравнений, полная. Можно
решить ее повторным применением метода ч. I, п. 6.7 (б). Для
первого уравнения функции v=2, ..., 6, составляют*
xi
базис. Далее, если положить
z(xP .... х6) = ?(У1...........У6).
= ....6), У1 = хр
то из данной системы получаем: = 0 и
Sy2 4~ 2У2?у3 4- Зуз?у< 4- 4у4£у5 4~ 5у5£Уб — 0,
Уг^у2 4- 2Уз^у, 4“ Зу4?У14- 4у5£у, 4~ 5у£у- — 0.
+(7ад—><)£,.+(8зд—2у5+=°-
£,.++(^+2уЭ £.,+(^+5ад)
т. е. систему 5.32.
5.36] 33—36. ПРОЧИЕ СИСТЕМЫ 209
6.35. 2pv = 0. 2
V=1 v = l
Образование скобок приводит к системе 5.36.
5.36. 2pv-o, 2\pv=o,
V-l v=l v = l
Эта система полная. Для первого уравнения базисом служат
функции xv— хп, V— 1, .... п—1. Если, согласно ч. 1,
п. 6.7 (б), положить:
z(xt.....хп) = и(У1, y„_i), Уу = хч — хп,
то из второго уравнения данной системы получается уравнение
п-1
2 УvKy = о>
V=1 v
его базис: yv/yn-i. v== 1....п — 2. Базисом двух первых
уравнений будут функции
Xv~Xn , 4^1........п — 2.
Хп -1 хп
Если теперь положить
z{х......х„)=:(ij,.... £„_2). u = xv~^nx ,
лп—1 лп
то из третьего уравнения получаем:
п-2
SMIv-1)^ = 0.
V=1
Для этого уравнения функции
образуют базис.
Таким образом, для данной системы базис образуют ангар-
монические отношения
Ху ‘ ХП—1 Хп 2 ___2
Ху хп Хп_2 хп
Если к данной системе присоединить еще одно уравнение
п
2 xvPv= т0 получившаяся система четырех уравнений будет
v l
иметь только тривиальный интеграл z = const. См. О. Pfeiffer,
Giornale Mat. 69 (1931), стр. 232—236.
ГЛАВА VI
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1 — 13. ар2+ . . .
6.1. р1 — aq-\-b; уравнение типа В(р, д)~ 0.
. . Л2 — b . о
z = Ax-f----— у-4-В.
Относительно получения интегралов из этого полного интеграла
см. ч. I, п. 9.5.
В случае а — 1, b = 0 через параболу z — х2, у — 0 про-
ходит интегральная поверхность
х2 1
г = где у<т.
6.2. р2-|-9 г + •* = 0; уравнение типа ч. I, п. 11.3 для функ-
ции z-}-x.
Если сделать подстановку
x—}~z(x, у) = £(£), £ = х + 2Ау,
то получим обыкновенное дифференциальное уравнение
= 1 — А ± У А2 — 2Л—
отсюда для определения полного интеграла получаем уравнение
/? + (Д— 1) In |1— А + Я| +^- + Лу^В.
где R2 — А2 — 2А — z — х.
6.3. р2 -|- aq — Ьх-}- су, уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл
+ -^-(Ьх-}-А)!г-}--^-—^-у-}-В, если b О,
z — Ax-}-^^------~у-}-В, если Ь — 0.
1—13. Of^+ ...
211
€.9]
6.4. p1 — axq 4* Ьху, уравнение с разделяющимися переменными.
. 2x . г—.— 2Лу — by2 . D
2== ± -у- VAX +~ У2а-' +B-
6.5. p2-\-xp = q‘, уравнение с разделяющимися переменными.
2==-4-У—± + ±4~Arsh4 + B
4^4 4 * । 4 Л 1
и для |х | > А > 0.
z = — ^-у — -у- ± -J/X2 — Л2 + (sign х)^- Arch | ~ | + В.
I X |
причем значение Arch j — | должно быть выбрано положитель-
ное.
6.6. р2 + хр—yq-{- 2z = 0.
Из характеристических уравнений получают первый интег-
рал р — 2Ау3, отсюда следует: Z — 2Лху34~<р(у)- Если под-
ставить это соотношение в данное уравнение, то определяется <р
и, таким образом,
z — 2Аху3 4* Л2у6 Ц- By2.
Полным интегралом является также
л 1 ( . В\2
2 = Лу2 — (х-Ьу) .
6.7. Зр2 4* хр-\- (у -|-2) q — z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z = Ах 4- By 4- 3 Л2 4- 2В.
Интегралом также является
z = --^ + B(y + 2).
Особого интеграла здесь нет.
6.8. р2 4“ аУР 4~ bq — G уравнение типа ч. I, п. 11.4.
2 = Ах + У —У2 + в-
6.9. р2 4* аУ2Я + аУг 4~ ЬУ* — О.
Полагая и (х, у) — yz (х, у), получаем уравнение с разде-
ляющимися переменными
I 3,6
их — — ау иу — by
14*
212
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[6.10
и отсюда — полный интеграл
Полным интегралом будет также
yz = — 1^-У4—|-у2(х + Л)2 4-В.
6.10. p2‘-\~ay2q = Ь; уравнение с разделяющимися переменными.
6.11. р2— ^q — x2—у2; уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл
2=±( где 2 Vx2+ А + 2 <р(х)} А 2у2 Ь 1п|у | + В,
<р(х) = Arsh для V л А U 1*1 sign х Arch для /—А Л>0, Л <0 и |х|> | Л|.
0 для , Л = 0;
при этом под Arch и надо понимать положительную ветвь.
6.12. р2azq ~ bz2; уравнение типа ч. I. п. 11.3.
z — В ехр ](х Лу)] /?], где /?=—± -1 Y а2 А2 Ц- 4Ь ,
Интегралом будет также функция
ь
г — Аеа У.
6.13. p2^az(yq— z) = 0.
Полагая
ln|z(x, у)| = £(х, т]), т] = 1п|у|,
из данного уравнения получаем уравнение типа ч. I, п. 11.2
1) = 0
с полным интегралом
14—20. /(х, у, z)p2-}- ...
6.14. хр2 = 9; уравнение с разделяющимися переменными.
z = 2 Ах + Ау + В.
6.18] 14-20. f[x, у, г)р»+ ... 21?
6.15. х2р-—yfy — z; уравнение типа ч. I, п. 11.6.
Полагая z = и (х) 4~ v (у), получаем:
х2«'2 — и = yW 4*
Уравнение имеет решение, если левая и правая части равны,
нулю. Таким образом, находим полный интеграл
z == А ехру 4- у (In х 4- В)2.
6.16. (xp4-z)2 = ?.
Полагая w(x, y) — xz, получаем уравнение 6.14
xw2 —
следовательно,
— полный интеграл. Если в данное уравнение подставить
z = u(x)4-u(y).
то получится уравнение
v' (У) — [хи' (х) 4- и (х) 4- v (у)]2,
которое удовлетворяется при
хи' 4- и = 0, v' — v2.
Отсюда получаем полный интеграл
_ А 1
z~ х У4-В'
6.17. xlpi-\-ayzq = bZ2,
Полагая z(x, у)==$(|, л)- & = 1пх, т] = 1пу, получаем
уравнение 6.12
$24-«Щ = ^2.
6.18. х(хЦ- 1)р2 — 2xzp —y294-z? = 0.
Перегруппируем члены уравнения
{хр — z)2 4- хр2 — y2q — 0;
следовательно, это уравнение типа ч. I, п. 11.17. С помощью-
преобразования Эйлера (см. ч. I, п. 11.15) из йёго получается
квазилинейное уравнение
X2Zx + Y2Zr^= — Z?,
214
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
16.19
решения которого получаются разрешением уравнения
X —---L .J-О ['J__Ц
Z X X Y J'
Отсюда для интеграла z первоначального уравнения получают
параметрическое представление
*=**-*• *= 4Иа'4-у)-'}.
±______L . qLL—Ч
Z~ х+^\х у)-
Для Q(u) — (A-]-l)u-\-B, в частности, получают полный
интеграл
±/рЩ)2.
«.19. j(j2+ 1)(хр —г)24 х(р- Ц 1)==(j2_|_ 1)0.
Преобразованием Эйлера ч. 1, п. 11.15 из этого уравнения
получаем квазилинейное уравнение
(A'24-l)Zx4-(E24-l)Zr= —E(/24-l)Z2.
Из решений
2 = И
Z ' \l-\-XY /
этого уравнения получаем решение первоначального уравнения
в параметрическом представлении:
где
7— 2 _ х~У
у*+Щи)' и~ 1+Ху-
«.20. z'p2 -j- azq = Ьх су.
Полагая и (х, у) = z2, получаем уравнение с разделяющи-
мися переменными
их — ibx = icy — 2аиу.
Из него находим полный интеграл
Л)Т +±у2-Лу + в.
21—33. cipq 4“ • • •
«.21. pq — a.
Характеристики этого уравнения — прямые линии. Полный
интеграл
z = а Ах 4- 4- В.
6.26]
21—33. apq+ ...
215-
6.22. pq — axy+b.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы
р2— ay2, q2— ах2. Из q2— ах2—А имеем:
z — у V ах2Аb f +
J у ax2 4- A
В случае b — 0 см. ч. I, п. 9.6, пример 2.
6.23. pq = уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Полный интеграл
2
z — (А2х у В)2~а, если а ф 2;
z = В ехр Ах 4- , если а — 2.
В случае а — 1 см. также ч. I, пп. 9.2 (в), 9.3, 9.5 (в).
6.24. pq — Axaybz?'t однородное уравнение.
Полагая z(x, у) = £(£. Л) и
( ха~^ 1 ( у^+1
—г-г, если а ф —1; I если b =£ —1;
|=' «+1 1) = ! *4-1
J 1пх, если а = —1; | In у, если Ь——1,
получаем р — xat%, q — ybt^ и, таким образом (см. ч. I, п. 11.3),.
h^=Alc.
2
Далее, если с Ф 2, это уравнение заменой С = и 2~с перево-
дится в уравнение 6.21:
*444 = Л(] — у)
Если с = 2, то после замены и = 1пС получаем уравнение-
6.25. pq-\-ap=bz', уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Полагая z(x, у) = £(£), — х Ау, получаем обыкновен-
ное дифференциальное уравнение
2Л£' — — а± V^AbZ-\-a2,
и отсюда — полный интеграл
b (хАу)В — /?4-а1п|/? — о|, где R2 — 4Abz-\-a2.
6.26. pq = ap-\-bq\ уравнение типа F(p, q) — Q.
z — Ах 4- By 4- С, где АВ = аА 4- ЬВ.
*216 гл. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.27
•6.27. pq-xp~\-yq.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
Р2 —2ур, q2 — 2xq, (р±?)2±2 (х±у)(р±?),
а отсюда — полные интегралы в различных формах
z = (х^лУ)г z^xv+x УУ+л + в;
z — ху 4* У Ух2 4" А 4~ В;
г=ху + | J VW+Ad^B,
где
6 = х4-у, Т] = х— у.
6.28. pq + xp+yq== z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
г == ах 4- by +
особый интеграл Z — — ху.
6.29. pq 4- аур 4- bxq = О, «6=4 0.
(а) В данном уравнении можно разделить переменные. При
этом подстановка
Р + Ьх = . д + ау _ J_
Ьх ’ ау А
приводит к интегралу
2 =^^1(6x2-^-у2) 4-В.
(б) Если данное уравнение записать в виде
JLJL4-cJL+6-*-=o,
х у 1 х у
то заменой
z(x, y) = £(L Т]), 1 = Х2, т]=#=у2
мы получим из него уравнение 6.26
2^4-ай + ^ч = 0.
По.чучается полный интеграл
2_Л(Х2__^_У2)_|_С.
т. е. тот же самый, что и в (а).
6.351
34 -42. / (л, у) ₽?+...
21Т
(в) Если ab > 0, то можно так определить числа а, р, что
й=±а2, Ь— ±р2, причем оба раза берутся верхние или оба
раза нижние знаки. Если положить
г(х, у) = £('£, п), £ = рх4~ау, т] = |3х - ау,
то получается уравнение 6.85.
Таким образом приходим к другому полному интегралу.
6.30. (р \-a) (qbz) — С', уравнение типа ч. I, п. 11.13.
Можно также воспользоваться тем, что q/p — первый инте-
грал, а дальше действовать согласно ч. I, п. 9.3.
6.31. p(q— siny) = sinx; уравнение с разделяющимися перемен-
ными.
z — A cos х — cos у--- В.
6.32. 2 (pqA-yp + xq)-\-x2-\-y =Ъ.
Из характеристических уравнений получим первый интеграл
Р+^Ч-хЦ-у и затем будем применять ч. I, п. 9.3. Если
положить
ta. ^+4+4. 4=.^.
то получается уравнение 6.74.
6.33. p(kq-\-axAr by -^-cz) = 1, с 4- О.
bk
Полагая u(x, у) =----— ах 4- by -|- cz (х, у), получаем
уравнение 6.30
(их — а) (си 4- kuj = с2.
34—42. /(х, y)pq+...
6.34. 2xpq — zq — a.
z2— 2(у — А)(Вх — а).
6.35. 2xpq — zq 4- ap — Q.
Из характеристических уравнений получают первый интег-
рал pq. Если разрешить уравнения pq = A и данное относи-
тельно р, q.’ro получим:
ар = — Ах+У a Az 4- Л2х2, zq —Ах + У a Az 4- Л2х2.
218
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ-УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[6.36
Эти уравнения легко решаются подстановкой г = х2м(х, у)
и затем о2 — аАи -|- Л2. В итоге получаем соотношение для
полного интеграла
2 3
(аЛг +Л2х2)2 —-% aA2(xz-f-ay) = Л3х34-В.
€.36. урд— zp + aq — O, а Ф О.
(а) Напишем характеристические уравнения
[ x'(t) = yq — z, у'(О = УР + «. (1)
I г' (0 — 2ypq —zp + aq, р' (t) = р2, q' (t) = 0.
Из них получим первый интеграл q. Если положить q — А,
определить р из данного уравнения и затем проинтегрировать,
то получается полный интеграл
z — Ay ± Y2о Лх + В. (2)
(б) Применим преобразование Лежандра ч. I, п. 11.14; при-
дем к обыкновенному линейному дифференциальному уравне-
нию для Z:
7 Z aY
(Y — параметр). Найдем Z, а затем, обращая преобразование
Лежандра, мы получим параметрическое представление
х = 2(Г) + ^, у = №'(П-~. z=XYQ'(Y) + -^. (3)
При этом, разумеется, предполагается, что X 0, т. е. что
zx =!= 0. Если же для решения zx — 0 в конечной области, то
из дифференциального уравнения следует также, что гу = 0,
и поэтому получается лишь тривиальное решение z = const.
Далее, предполагается, что при преобразовании Лежандра
d (гх, zv)
-^-¥=0. т. е. ^-^=#0.
Если же zxxzyv—22у = 0 в конечной области, то из данного
уравнения после дифференцирования по х и у следует:
zxx (у ~ *) + zxy (Угх+а) = zx>
zXy (yzy — Z) + zyy (yzx + a) = 0,
и отсюда 22 z,, = 0, z2 z = 0. Если в области z = 0, то это уже
рассмотренный раньше частный случай. Если, напротив, г2 =/= 0,
то, следовательно, zyy — z^x = 0, и отсюда zy — const, т. е.
6.36)
34—42. f (x, y)p?+ ...
219
z — Ay <p (x). Если подставить это в дифференциальное урав-
нение, то можно определить <р и снова получить полный инте-
грал (2).
А
Если в (3) положить 2 (F) == Y -ф- В, то можно исклю-
чить из (3) параметры X, Y и получить полный интеграл
z = (у ± VУ2 + а А).
(в) Преобразование Эйлера ч. I, п. 11.15 приводит к цели
в обеих формах — и
x = Zx, y — Y, z — XZx— Z, zx — X, zy =— Zy (bJ
и
x — X, y — ZY, z — YZy — Z, zx = — Zx, zy = Y. (b2)
(b1) С помощью этого преобразования из данного уравнения
получается линейное уравнение
X*Zx -\~(XY + a)Zy = XZ
с интегралами
Z=XS(2^h£).
\ X2 )
С помощью обратного преобразования для первоначального
уравнения получают интегралы в параметрическом представле-
нии
х = 2(н)—z—xX— X2(u),
2уА"-ф д
где и — ' х'—>.
Если исследовать, какие интегралы пропадают из-за пред-
положений X Ф 0 (т. е. из-за zx ф 0) и zxx =/= 0, то выясняется,
что таковыми являются лишь тривиальные интегралы z = const.
Если, в частности, положить 2 (и) = А (и) -ф- В, то снова
получают полный интеграл (2).
(в2) В этом случае данное уравнение превращается в урав-
нение
ZZx = aY,
следовательно,
Z2 = 2а XY -I- 22 (F).
Обратным преобразованием приходят к параметрическому пред-
ставлению
(г_уК)г=2„хГ+22(К),
220 гл. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.37
Полагая 2 (и) = Аи — В, получаем полный интеграл
__ By ах А-А
ах+А 2у •
(г) Чтобы получить интегральную поверхность, проходящую
через данную начальную полосу, можно для характеристиче-
ских уравнений (1) определить решения, которые при £ = 0
содержат интегральный элемент х0, у0, z0, р0 А 0, q0. Из двух
последних характеристических уравнений и первоначального
уравнения имеем:
9 = 9о. Т = Т----Z’ yPQ~zpA-aq = O. (4)
Р Pq
Если подставить эти выражения в два первых характеристиче-
ских уравнения, то получим уравнения
x'—-^~(Pot — 1), У'+Р!-Т=а>
, Ро Ро1-- 1
откуда
. /12 t \ 2роУо А-а , а , , ,.
х = хо + «9о(т--) y =
(5)
Затем из третьего уравнения (4) получаем:
г = —+“W-1’) <6>
Таким образом, характеристические уравнения проинтегриро-
ваны.
Если требуется получить интегральную поверхность, про-
ходящую через начальную полосу
X — Wj(S), y==CO2(s), Z = (03($), p = (04(s), <7 = G)5(s), (7)
то функции a>i должны удовлетворять дифференциальному урав-
нению в частных производных и условию полосы
й' = <о4со;Н-(оХ
Если, подставить в соотношения (5), (6) выражения
хо — ®р Уо — ®2» го ~ *»з> Ро ~ Ю4> 9о — ®в«
то получается интегральная поверхность в параметрическом
представлении с параметрами s, t.
€.37. byA~cz)= 1, *¥=©.
Из характеристических уравнений следует:
______q‘ , , =0. (1)
6.38|
34—42. f (x, y}pq+ ...
221
(a) fe-|-c¥=O. Тогда получается из уравнения (1)
и, следовательно,
z = — У — ~ ^У~Т Н- <р (х).
Если подставить выражение для z в исходное дифференциаль-
ное уравнение, то получается соотношение
(Сф4-лх)ф'= 1, (2)
или, если и(х) = с<р+ах,
ии' р
аи -|- с ’
здесь нужно различать случаи а ф 0 и а = 0.
(б) —0, т. е. k = — с. Тогда из уравнения (1) полу-
чается
? = 41пу + А’
и, следовательно,
z = у (In у — 1) 4- Лу + ф(х),
причем для <р снова получается уравнение (2).
Если АЦ-с4=0, то преобразованием
+ + п)’ т1=1пУ
можно свести данное уравнение к типу 6.30
a) <&==<?.
6.38. (х— y)pq + (x — z)p + (z— y)q = Q.
После преобразования Лежандра приходим к дифференциаль-
ному уравнению 2.29
X(2r-X-4-l)-^-r(2X-r+l)-^ = (r-X)Z
с интегралами
Z = (X + r —1)S(«), и = (*+^~1)3 ♦ (1)
Отсюда для первоначального уравнения получаем интегралы
в параметрическом виде
г = хА’4-уЕ —Z, x = 2(k) + -^-(2X —У4-1)е'(«),
У = й (и) + А(2Г _ X + 1) Й'(й)
(сюда надо приписать еще уравнения (1)).
222
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
|6.39
6.39. xypq—l', уравнение с разделяющимися переменными.
Полагая z(x, у) —С(|. "И). £ = 1пх, г]=1пу, получаем
дифференциальное уравнение 6.21 £^=1. Таким образом
находим полный интеграл
z = А 1п х 4--4- 4- В.
1 А 1
6.40. xypq — z2; однородное уравнение.
Полагая
z = ± ч), | = 1пх, ц = In у,
получаем уравнение 6.21 £^=1.
6.41. (х?+1)р(9 — l)4-jgfy = 0.
Можно разделить переменные
х2+1 __ у2? .
х “ 1 -~q ’
получается полный интеграл
z=±4-ln(x2+l)+B +
А • arctg-j при верхнем знаке;
А • Arth -4 или А • Arcth
л
при нижнем знаке.
6.42. [(1— х)2 — уЦ(1 — х)(1 — р) — z]q = a(l — х)2.
После замены z — (1—x)Z(«), и — — л)2 получается
обыкновенное дифференциальное уравнение для Z(«). Поэтому
интегралом, регулярным в точке х — 0, у = 0 и равным нулю
при у — 0, будет
о
43—48. /(z) pq + ...
6.43. zpq = ap-\-bz\ уравнение типа ч. 1, п.. 11.3.
—а 1п | д ± |/4.ДАг2 а21 ± 4- a2 — 2b(x-^-Ay-j-B).
6.44. zpq = xp-\-yq.
Из характеристических уравнений получается первый ин-
теграл-^- и (см. ч. I, п. 9.3) полный интеграл
^-^(Ах + ВуУ + С.
6.49)
49-54. (..)₽’ + (..) рц+ ...
223
6.45. zpq + х2ур + xy2q — xyz-
Полагая 22 = С(|. t]), | = х2, т] — у2, получаем дифферен-
циальное уравнение Клеро
а отсюда — полный интеграл
z2 = Ax2 + By2 + AB.
Функция z = 0 является особым интегралом.
6.46. (2 + a) pq = bz2\ уравнение типа чЛ, п. 11.3.
Полагая 2(х, у) = С(|). |= х Ц- Ау, получаем обыкновен-
ное дифференциальное уравнение
Л(С+л)С/2 = ^2;
из него находим:
в= ± j/4 J <
Интеграл легко берется, если сделать замену переменных
£-|-л = и2. Решением также является 2 = 0.
6.47. (а -|- ft) zpq -\-axq Ьур = 0; однородное уравнение.
Полагая
v2 «<2
2(Х, У) = £(|. п). 1 = П = -^-,
получаем уравнение типа ч. I, п. 11. 3.
(я-I-^ + ^ = 0;
из него находим полный интеграл
г’=с--<я^^2+вл-
6.48. z2pq = ху + а.
Полагая 2н(х, у) —г2, получаем уравнение 6.22
uxity = ху -|- а.
Для решения данного уравнения можно также воспользоваться
тем,; что оно имеет первые интегралы z2p2— у2, z2q2—х2,
{хр — yq) z.
49-54. (..)P? + (..)W+ ...
6.49. ар2-\-bpq-=cz2-, уравнения типа ч. I, п. 11.3.
2 = Сехр[Мх + Ву)/?], где R2 = ~^aA\bB}-.
224 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.50
6.50. хр2 — pq-^-ajf — O.
Из характеристических уравнений получаем первый инте-
грал ре~У. Далее, рассматриваем систему
р— Aev, q — Ахеу
и отсюда находим полный интеграл
г== Ахеу — -^(у2±2у + 2)е-> + В.
6.51. x/^-^-ypq—l; уравнение с разделяющимися переменными.
Из системы уравнений
хр—у<1~—а
получают полный интеграл
z = /4x4-Л2'4- А 1п | /4х+^2 — Д | + в
6.52. ахр2 — (ay + ti)pq-+- су (ay -J- &)2 == 0.
Из характеристических уравнений получают первый инте-
гр ал • Из него и из данного уравнения составляют си-
стему
р = A (ay q — а Ах -|- -4 у,
которая определяет полный интеграл
z—Ax +
6.53. (z2+ \)ург xzpq — 4х2у; обобщенное уравнение.
Подстановка z(x, у) = £(|, г]), £ = х2, т] — у2 сводит дан-
ное уравнение к уравнению типа ч. I, п. 11.3
с2+ ос!1.
6.54. р2£2р<7 = z2; тип ч. I, п. 1,1.3.
Полагая z (х, у) = £ (£), £ = Ах By, получаем обыкно-
венное дифференциальное уравнение
(A^+AB^=i2,
и отсюда — полный интеграл
± (Ах + By -f- С) — R А In , где R2 =t АВZ14- Л2.
6.67]
55—68. op2 + Ь?2 = /(Х, у, z)
225
55—68. ар2-]- bq2~f(x, у, z)
6.55. р24~ q2 — а2', частный случай уравнения 6.56.
Интегралами будут, например, плоскости
z = Ах + By + С, где А2 -|- В2 — я2.
Характеристики, проходящие через каждую точку (Е,, 7], £),
образуют прямой круговой конус, ось которого параллельна
оси z и который сам является интегральной поверхностью.
Если имеется интегральная поверхность, z (х, у), которая
для фиксированного х = Е, содержит кривую
Х = Е,, у = 7], 2' = G>(T]) ДЛЯ -ОО < 7] <-|-00,
то £•(£, Т]) = го(7]), т. е. ^(Е,, 7]) = (У (7]). а потому, следова-
тельно, должно быть |сУ (7])К а', тогда, в силу уравнения,
7])= ± V а2— сУ2. Из характеристических уравнений
x'(t) = 2p, y'(f) — 2q, z'(t)— 2р2-\-2q2, р'= q' (Z) = 0
находим:
p — + d2 — сУ2, q — ,
x — t + ZtVd2— w'2, у = т]4-2/сУ, z = <o (т])-|— 2a2t.
Три последних уравнения можно рассматривать как пара-
метрическое представление искомого интеграла. Исключая пара-
метры t и 7], получаем:
если — с, то z = c + а(х — Е,);
если е)(т]) = </. 4-р1|, то z ~ а -|- ру ± (х— |)Кй2— Р21
если ro(T]) = Y + 4 V1 + (а + 011)2>
р
то
z = у4-j /[i4-p(x~Dl2+(«+0y)2-
6.56. ар24- bq2 ~ с, тип ч. I, п. 11.1.
Полный интеграл
z — Ах + By 4- С, где а А2 4- ЬВ2 = с,
или
z2 = {х — Ау . (у —В)2
с a b
6.57. р2q2 = ауЬ; частный случай уравнения 6.74.
о з.
г=^Ах 4- ^(ау4-/> — А2)2 4-В.
15 Э. Камке
226 гл. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |6.5»
6.58. рг4~<72 = л+.У; частный случай уравнения 6.74.
2 — о —
г = Лр +|(У- Л)2 +В.
6.59. р2 + ср — частный случай уравнения 6.74.
‘2z = х х1 ± Л2 ± Л2 { } -р 4- у 1Лу2 л: Л2 :р
r 1 Arch I А 1 * ' ' +
Л2
Arch )
д u Р^ + В,
Arsh а 1
причем аргумент функции Arch и больше 1.
6.60. р1 ср = х2 4- ху у2.
Полагая z(x, у) = £(£, q), 2|—х4-у. 2q=x— у, полу-
чаем уравнение с разделяющимися переменными
С2 — 6Е,2 = 2т]2 — с2.
Отсюда находим полный интеграл
J У 6£2 4- Л dl 4- J У 2-q2 — AdtiP-B.
Эти интегралы можно еще преобразовать при помощи гипер-
болических функций.
6.61. р2 4- ср = ахт Ьуп 4-с\ частный случай уравнения 6.74.
z — ± J* Уахт 4- A dx ± J У Ьуп 4- с — Ady.
6.62. p2 + q2=-r^=^b.
У х2-|-у2
Полагая z{x, у) — £(р, О), x = pcosO, y = psinO, полу-
чают уравнение с разделяющимися переменными
р2?2 — Ьр2 — ар = —
а из него — полный интеграл
г = ± J уР+^-_^г7р4-ЛО + В.
6.63. р24-<72=/(л); частный случай уравнения 6.74.
z — Лу 4- В ± J* У f (х) — Л2 dx.
6.64. р24_ <72 = /(Jta4~.y2); уравнение Гамильтона для плоского дви-
жения точки под действием центральной силы.
6.65) 55-68. ap^bq^f (jr, у, z) 227
Из характеристических уравнений следует:
{xq)'— {ур)' = О или xq — ур — А.
Обозначим г2 = х2)-у2; из этого уравнения и из первоначаль-
ного следует, что
Р = ± £ V^f{r^)-A\
q = ^±^V^f{r^)-A^
или при ер = г2
z = — A arctg у ± i |* Уe^f (ер) — Л2 dp -|- В.
6.65. р2-|~</2=/(х, у); тип ч. I, п. 11, 13.
Если представить уравнение в виде
p2 + g2 +U(x, у)~С, (1)
то это уравнение Гамильтона для плоского движения точки.
Характеристическая система уравнения (1) без среднего ура-
внения, т. е. без условия полосы, имеет вид
x’{f) = p, y'{t) — q, p'{t)= — Ux, q'{t) — — Uy.
Отсюда
x"{t)= — Ux{x, у), y"{f) = — Uy(x, у).
Следовательно, уравнения х — х (t), y = y{t) можно рассматри-
вать как уравнения движения точки с массой, равной 1, проис-
ходящего под действием потенциальной функции U (х, у).
Из характеристических уравнений следует:
P-±£-^U{x, у) = С.
п2 Г.
Значит, выражение --------кинетическая энергия, а написан-
ное выше уравнение есть выражение для закона энергии.
Если найдено однопараметрическое семейство интегралов
2 = ф(х, у, А) уравнения (1), причем |фЛх| + |фЛу| > О, то
траекториями этого движения будут кривые, удовлетворяющие
уравнению
фд — const.
Уравнение (1) имеет большое значение для геометрической
оптики. Если имеется неоднородная (но изотропная) среда
с коэффициентом преломления /(х, у) в точке (х, у), та
15*
228 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.66
характеристики уравнения — пути световых лучей, и уравнение
z = const задает фронт волны.
6.66. ар2 -j- bq2 = cZ', тип ч. I, п. 11.3.
с
Z = 4(^+W (Л% + ВУ'+ С)2; Z = °’
6.67. p24-Q,2== (x2-|-y2) г; однородное уравнение.
Полагая и (х, у) = 2 z , получают уравнение с разделяю-
щимися переменными
X2_y2_H2.
следовательно,
х2+ A dx-\- § У у2 —A dy 4- В.
6.68. р14- q2 = az2 4- b; тип. ч. 1, п. 11.3.
Полагая z(x, у) = £(£), '£,= Ах-\- By, получаем
+ f =1.
J Va^+b
В частности, если а—\, Ь — 0, то
2 = С ехр
Лх--|-Ву
Уа2 + в2
69—74. /(х, y)p24- Ar(-V’ y)q2 = b(x, у, z)
6.69. хр2—yq2 — х-\-у, частный случай уравнения 6.74.
Z = ± (/х(х4-Л) 4-41п -4!%+Л| +l4^- 'l ±
\ 2 VlX4-ZI -ГР4 У___________
± (/уИ~у) - A arctg ]/ j + в,
если х (х 4- А) > 0, у (А — у) > 0; знаки перед скобками
могут быть выбраны независимо друг от друга.
6.70. ах2р2 4~ by2q2 = гс; однородное уравнение.
Полагая z (х, у) = £(|, т|), | = 1пх, т] = 1п у, получаем из
данного уравнения
оЦ4-^2=^
а отсюда замена переменных
2
и2~с , если с =£ 2;
еи, если с —2
6.72)
69—74. f (x, у) ffl'rg (x, у) ?2=й (х, у, г)
229
аи2 -4- Ьи2 —
6 1 в
приводит нас к уравнению 6.56
2—eV , о
—2—I , если с #= 2;
1, если с = 2.
6.71. (х-1-ai) (x-j-аг) р2 — (У + «О (у+«2) q2 = a /x-f- at 4-
+ &]^y~t~a2 +<?(х—у); уравнение с разделяющимися пере-
менными.
Полный интеграл
* = f у +
•) ’ (х 4~ Я1) (х -J- а2)
4- f
J г (у + fll) (У + fl2)
Если уравнение Гамильтона 6.65
p^L+U(Xt у) = с.
4 * v г, r2
Рис. 22.
(уравнение движения точки с массой, равной 1, в плоскости х, у
под действием гравитационных сил, создаваемых массами mt, т2,
находящимися в точках х — ± 1,
у = 0) преобразовать к эллипти-
ческим координатам, то полу-
чится данное уравнение с 2а —
— тх -|- m2> 2/> = wij — »г2 и с
Z2 вместо х, у. При этом точке
(х, у) соответствуют как эллип-
тические координаты параметры
Zj, Z2 (Zj < Z2), определяющие
два конических сечения----—I-
л
у2
4----4-j- — 1 (рис. 22), которые
^2 “Т”
при фиксированном ах > а2
проходят через точку (х, у)
0, ах— л2 = 1.
6.72. 4у {а — х)(Ь — х)(с — хур2 — 4х(а —у)(Ь —у) (с —у) q2 —
^(х—у)ху.
Если поделить уравнение на ху, то можно разделить пере-
менные. Тогда получается полный интеграл
где
N (х) = {а — х){Ь — х) (с — х).
16 Э. Камке
230 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (6.73
Это уравнение встречается при отыскании геодезических
линий на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с.
6.73. (р2—1) sin2Х-\-q2 — 0; частный случай уравнения 6.74.
z — Л у + В ± [ ~\f 1---dx.
J 1 JI sin2 X
Это уравнение возникает при введении ортогональных геодези-
ческих параметрических линий на единичном шаре.
6.74. /(х) р2 -|- g (у) д2 = ф (х) + if (у); уравнение с разделяющи-
мися переменными.
2= J V f /±7Л',>’+В-
Уравнение встречается в дифференциальной геометрии при
изучении поверхностей Лиувилля.
75—80. /(х, у, z)p2-±-g(x, у, z)q2 — h(x, у, z)
6.75. ар2bzq2 = с2\ уравнение типа ч. I, п. 11.3.
b&z = — а А2 + (Ах + By + С))Т .
6.76. г(р2 — q2) — x—у.
Полагая z(x, у) == С (£,. т]), | = х— у, т] = х4~У. получают
уравнение
4^ = 1.
а из него подстановкой £ = и (|) т» (ц) находят интеграл перво-
начального уравнения
8^=1з(х-у)2 + Л] [3(х + у)4-В].
6.77. xzp2—yzq2 — X-{-y, однородное уравнение.
Замена неизвестной функции
и(х, У) = 4 z2
приводит к уравнению 6.69 с разделяющимися переменными
х(«2-1) = у(«2+1).
6.78. z2 (/>2+</2) = х2+у2; однородное уравнение.
Замена неизвестной функции 2и (х, у) = z2 приводит к урав-
нению 6.59
кх + “у = х2 + у2.
6-82| 81-88. <-.)р’+(..)42 + (..)р + (..)9+ ... 231
6.79. г2 (ар2 4~ bq2) = z2 4-с; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Применение метода ч. I, п. 11.3 приводит к полному инте-
гралу
(а424-йВ2)(г24-с) = (4х-|-Ву4-С)2. (1)
Если подставить г2 = и (х) -f- v (у), то можно разделить
переменные и получить полный интеграл в виде
(2)
Если а — —1, Ь —— 1, с — — г2 < О, то соотношение (1)
описывает цилиндрические поверхности, соотношение (2) — сферы
(х — Л)2 + (у — В)2 -j- z2 = г2.
Интегралами являются в этом случае также огибающие поверх-
ности, если они есть, к тем из этих сфер, центры которых
движутся в плоскости х, у вдоль одной кривой (при этом могут
появляться ребра возврата), т. е. трубчатые и каналовые
поверхности.
6.80. z2 (у2р2 -|- x2q2) == а2х2у2; однородное уравнение.
Замена переменных
2? (6. Л) = z2, 2£ —х2, 2т] = у2
приводит к уравнению 6.55
$-2 । с.2 2
fej 4- fell — а •
81-88. (.-)р2 + (-.)^ + (.-)/> + (- .И+ ...
6.81. р2 4- q2 4- хр -f-yq — Z — 1; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z = 4x4- By 4- А2 4- В2 4- 1;
особый интеграл 4г 4~ х2 4- У2 — 4.
6.82. р2 4- q2 — 2хр — 2yq 4- 2ху — 0.
Из характеристических уравнений получается первый инте-
грал p-j-q — х — у и затем полный интеграл
2г = х2 4- у2 4- А (х 4- у) ± (х — у) -Х~^-------- +
А2 л t. |х —у|/2 . „
+ —Arch J--------— П В,
+2/2 А ~
причем |х— у| > -v=- и функция Arch имеет здесь знак х —у.
16*
232
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[6.83
Если применить преобразование
у2 V2
Г) —--7=^
/2
то получается уравнение с разделяющимися
переменными
которое снова приводит к написанному выше полному интегралу.
6.83. р2 + ^2 — 2ур— 2xq — 1— х2— у2 или (р—y)2-^-(q—х)2 = 1.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы р — у и q— х и, таким образом, находят полный инте-
грал
z = xy-\- Ах-\-Ву-\-С, где Д2-|-В2=1.
6.84. р2 + q2 == 4 {хр+yq — z); уравнение Клеро.
Д2 _1_ /?2
Полный интеграл z = Ах-\-Ву----------£---; особый инте-
грал z = x2-]-y2. Частные интегралы:
В2 9 . л А2 (Ах А-By)2
х2-\-Ву----у2-\-Ах---------г,
6.85. ap2-\-bq2-\-2cxp-\-2dyq — k, ab^>G\ уравнение с разде-
ляющимися переменными.
Полный интеграл
z = и (х) Ц- г» (у) 4~ В,
где и, v удовлетворяют обыкновенным дифференциальным урав-
нениям
аи'2 -f- 2схи' — A, bv'2 -|- 2 dyv — k — А.
Если А = 0, то либо и —О, либо и-—-х2, либо функция
и(х) описывает комбинацию этих двух кривых.
Если с — 0, то нужно так выбрать знак числа А, чтобы
а А > 0; тогда и~ х .
Если Д 4= 0, с =4 0, то имеем:
и — — х2 ± — f ~\f х2 -]- dx.
2а a J г 1 с2
€.881 81-88.(..)p’ + (..)4’ + (..)p + (..)?+ ... 233
Преобразование интеграла приводит при а > 0 ’) к выражениям:
f Vx24-a2 dx = -^-|/х2 + а2+Arsh —.
Г Ух2— a2 йх = ^*Ух2—а2 — -^--Цр-Arch LLL для |х|>а;
при этом под Arch и для и > 0 понимается положительная ветвь
этой функции.
Таким же образом исследуется уравнение для v.
6.86. р2 — q2 — 2zp4- z’ = 1; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Полагая z(x, у) = £(£), £,= Ах-\-Ву, получаем обыкно-
венное дифференциальное уравнение
(Л2 — В2)£' = АС ± УВ2?2+Л2—В2;
для нахождения полного интеграла надо разрешить уравнение
Г Л 2_ R2
Лх 4- By + С — ------ dz.
J Az± УВ2г2-|-Л2 — В2
6.87. (х2 — 1) |х2 (хр — z)2 — х2р2 — q2] 4- x2z2 = 0.
Полагая z = u(x, у) У | х2 11, получаем уравнение
х2 (х2 — 1) и2 — и2 = 0.
При х2 < 1 должно быть их = иу = 0, и, следовательно, инте-
грал 2==СУ1—х2. При х2 > 1 дифференциальное уравнение
можно записать кай распадающееся уравнение
(х Ух2 — 1 их-|-иу)(х Ух2 — 1 их — иу) = 0;
каждый из множителей дает линейное уравнение. Для этих ура-
внений в качестве интегрального базиса находим функции
arctg Ух2 — 1 гр у;
следовательно, интегралы данного уравнения
z = Ух2 — 1 2 (arctg Ух2 — 1 ± у).
6.88. (zp 4- х)2 4- (zq 4-у)2 — a2z2 (р2 4- q2 4- 1) = 0.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы zp-\-x и zq4-у. Они дают два уравнения, которые
состоят в инволюции не только'с данным уравнением, но и друг
*) |_Где через а2 обозначено либо либо------—. — Прим. ред.
234
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[6.89
с другом. Поэтому можно применить метод ч. I, п. 9.2 и по-
лучить в качестве полного интеграла семейство полусфер
(х_Л)2_|_(у_ В)2+г2==Л2_+Д1 (2^0).
При а2 > 1 имеется особый интеграл
(а2 — 1) z2 •== х2 + у2.
89-111. (.-)р2 + (.+ )pq + • -
6.89. p2-\-q2 — apq‘, уравнение типа ч. 1, п. 11.2.
z = Ах By -|- С, где А2 -|- В2 — аАЬ.
6.90. xjP-{-yq2 = 2pq.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл
11с 1
—--— . Если положить его равным -д и использовать данное
уравнение, то находят:
4 = 1—4=2п1±±|ЛТТ7^,
А х х г А у у f
и при этом полный интеграл
Z = А (у — х) +
A In I — I ± А 12 У1 — ху -|- In
I У I \
1—У1—ху
1+/!^^
6.91. z(p — q)2-\~a(p-}-q)2 — Ь; уравнение типа ч. I, п. 11.13,
2
А*в-
6.92. (р2-|-4<72) ch2y— 4/>0chy • shy= 1.
Разрешая уравнение относительно р, получают уравнение
с разделяющимися переменными
„ .. , /1 — 4^2
р — 2q th у ± -—г——,
' ‘ х ch у
а отсюда — полный интеграл
z = Ах -]- у In ch у ± у У1 — A2 arctg sh у -|- В.
6.93. (ур — xq)2-{-а (хр-\-yq) = Ь.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы xp-\-yq, ур — xq. Если теперь положить ур — xq—A,
6.96|
89-111. (..)Р! + (..)92 + (..)Р<7+ ...
235
то из этого и исходного уравнений можно найти р, q и затем —
полный интеграл
z = ЬТ^а~ 1п + У^~А arct£ ЗГ + В-
Если применить преобразование
•г(х. У) = £(Р. fl). x = pcosfl, y = psinfl,
то получается уравнение с разделяющимися переменными
т. е.
h__ Д2
£=д^Н-А_А_1пр_|_в,
что приводит в старых переменных к уже найденному выше
выражению.
6.94. (ур — xq)2+az (хр+yq— z) = 0.
Замена переменных z (х, у) = t, (р, А), х = р cos А, у — р sin fl-
приводит к уравнению 6.13
^+йЦрСр-£)=о.
6.95. (ур — xq)2 — р2-\- q2-\- 1.
Из характеристических уравнений находят первый интеграл
/>2-|-<72. Полагают:
z (х, у) = £(р, 6), x = pcosA, y = psinA
и получают уравнение с разделяющимися переменными
а из него — полный интеграл
£ = о — A arctg -т- -J- ЛА + В, где о2 = р2(Л2—1) — А2.
6.96. (ур — xq)2 = а (х2 + у2) (р2 + q2 + 1).
Замена переменных
z(x, у) —£(р, fl), x = pcosA, y = psinA
приводит к уравнению с разделяющимися переменными
^ц=р>к+1).
разрешимому только для 0 а < 1. Если отбросить тривиаль-
ный случай а — 0 и приравнять левую и правую части послед-
236 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.97
него уравнения к А2, то получается полный интеграл
г=л/т47«+о+41п|4=4|+В, где =
(следовательно, необходимо требование р2 < А2).
6.97. (Xp + M)2 = (l-Z2)(p2+<Z2).
Особые интегралы: z = const и обе полусферы
х2 Д- у2 + г2 = 1 (z 5=5 0).
Это уравнение интересно тем, что первый интеграл p/q
находится легко, но метод ч. I, п. 9.3, несмотря на это, не при-
водит к полному интегралу. Дело в том, что указанные в ч. I,
п. 9.3 условия для функционального определителя не выполняются,
так как уравнение однородно относительно р, q, то при под-
становке р = Aq обе производные пропадают. Однако таким
методом получают еще семейство интегралов
г (Ax-j-By)2
Л2 В2 •
Чтобы получить полный интеграл, можно сделать преобра-
зование
z(x, у) = £(р, О), х= pcosO, y=psinO.
Тогда получается уравнение
(1_22)Ц = р2(52Ч_р2_1)^
Из исходного уравнения вытекает, что z2<Cl; следовательно,
£2<^1-, а отсюда, в силу написанного выше уравнения,
£2_|_р2—1>0. Поэтому написанное выше уравнение распа-
дается на два квазилинейных уравнения
У ± Р V£2+р2-1 £р=0.
Для соответствующего (в смысле ч. I, п. 5.4) однородного
уравнения получают интеграл
й(?, 1 (arctg 1/"—Р------1—б)).
V УЛ— С2\ Г 1— £2 ))
Следовательно, интегралы первоначального уравнения находятся
разрешением относительно z уравнения
Q (z, , 1 (arctg ~l/~л --1 — arctg —) ) = 0.
\ V1— г2 \ 6 г 1—г2 X//
6.100)
89-111. (..)p2 + (..)<Z2 + (..)p?+ ...
237
6.98. {хр 4-уд)2 = z2 (pq + 1).
Из характеристических уравнений находится первый инте-
грал q/p', теперь можно действовать по методу ч. I, п. 9.3.
Если положить
z(x, y) = Z(l), l = Ax-\-By,
то данное уравнение перейдет в обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение
^2 = ^(лвс/2+1).
являющееся однородным. Из него следует:
1п|£(£ ± УЬ2 — АВ&)\ = С
В
отсюда, после возвращения к старым переменным и разрешения
относительно z, получается полный интеграл.
6.99. (jp+yqf — z(xp-]-yg)=pg.
Посредством преобразования Лежандра ч. I, п. 11.14 полу»
чают квазилинейное дифференциальное уравнение 2.52.
XZZx-\-YZZy = XY.
Интегралы этого уравнения получают из соотношения
а интегралы первоначального уравнения задаются параметри-
чески:
2yZ = Z2 = Xr+s(^j.
6.100. (хр + уд)2 — а2 (р2+q2 -|- I) = 0.
Из характеристических уравнений получают первый инте-
грал q[p. Если положить q = ptg?l, то из данного уравнения
получается:
Р _ д = +____________________а___________
cos A sin А У(х cos Л -J- у sin А)2 — а2
следовательно,
* = aArch*co^ + ysinB+B.
а 1
238 ГЛ. VJ... НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С .ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 16.101
Можно также положить г(х, у) = £(р, •&), x = pcosO»
y=psiiT& и прийти к уравнению с разделяющимися перемен-
ными
Если в этом равенстве положить левые и правые части равными
А2, то получается:
£==а1п|/^±1 — Я arctg-J-АОВ, где о2 = -р^^.
6.101. (хр -+-yq)2+р2 + q2 — z (хр+yq) = 0.
С помощью преобразования Лежандра ч. I, п. 11.14 полу-
чают квазилинейное дифференциальное уравнение 2.53
XZZx + YZZy — — X2 — Y2.
Из решений
X2+Y2+Z2 = Q(u), а = -£- (1)
этого уравнения (где 52(a) — такая произвольная непрерывно
дифференцируемая функция, что 52 j > X2 Y2 в конечной
области X, Y) получается решение первоначального уравнения
в параметрическом представлении:
z=xX-]-yY — Z, х — —Q' (и),
у= "z+ zxz
Кроме того, интегралами являются функции z — const.
6.102. (xp-\-yq — z)2 = pq.
Дифференциальное уравнение распадается на два уравнения
Клеро
а = хр + у9 ± Vpq
с полными интегралами
z — Ах + By ± У АВ, АВ 0.
6.103. (хр -\-yq — zf- — ар2 -J- bq2 + с.
Уравнение распадается на два уравнения Клеро
z = х рyq ± У ар2bq2 -|- с
с полными интегралами
z — Ах -\-Ву + У аА2-\-ЬВ2~\- с.
6.105] 89-111. (..)р! + (..)9’ + (..)р<7+ ... 239
Особые интегралы получаются из соотношения
*+4+*=1.
а ' b ' с
6.104. (xp-\-yq— z)‘l — xpl-\~ yq'1.
С помощью преобразования Лежандра получают квазилиней-
ное уравнение 2.39
+ = (1)
его решения—функции
При этом решения первоначального уравнения получают в пара-
метрическом представлении с параметрами X, Y-.
z = [uQ'(u)—Q(u)]Z2, x = ^[l—Q'(u)], у = -^-2' (а),
где
=¥' z-[4+2(»)]".
Если рассматривать уравнение (1) как однородное (ч. I.
п. 11.10), т. е. положить
Z(X, Г) = и. п). ^ = 4- Ч =
то получается уравнение типа ч. I, п. 11.3
й-Нп+£2=0-
Для уравнения (1) получают полный интеграл
-Z = 4 + T^ С> гДе Л-]-В=1,
и отсюда — полный интеграл первоначального уравнения
Y— Cz = У Лх -+ /Ду — 1.
6.105. (хр+м —+ 1) —1](р2_|_^+1).
Если перейти методом ч. I, п. 12.3(a) к дифференциальному
уравнению, которое не содержит искомой функции, т. е. опре-
делить функцию z (х, у) из уравнения w (х, у. г) — 0, то для w
получается уравнение 7.20
(xwx -]- у®у + —
= [а2 (х2 -Ь у2 + z2 4- 1) — 1] (®2 -J- w2 4- w2)-
240 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.106
6.106. (хр + yq — z)2 — а2 (х2 + у2 + z2)2 (р2 -|- q2 -f-1).
Полный интеграл получают из соотношения
(х_Л)2-Ь(у_В)2 + (2_С)2=^
при условии, что
+ + =
особый интеграл
х2_^уг_]_ z2 = -^.
6.107. (xp ~\-yq — z)2=f(x2+y2)(p2 + q2).
Из характеристических уравнений получаем, что (у р—xq)/z—•
специальный интеграл. Если положить его равным А и исполь-
зовать первоначальное уравнение, то можно определить р, q и
затем, проинтегрировав, найти z. Ср. с 9.3, пример 2.
Если положить
1п |2(х, у)| = £(р, О), х — pcosO, у — psinO1,
то уравнение переходит в уравнение
(рСр— 1)2-/(р2)(^+-^Й).
в котором можно разделить переменные.
6.108. x2(xp-\-yq — z)2 = y2q; тип ч. I, п. 11.7.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл
q. Если положить его равным А2 (так как из уравнения
следует, что q'^-О'), то, используя начальное уравнение, можно
получить уравнения
откуда, проинтегрировав, имеем:
А2х2 . . . _
2 —----------------------------\-A-\-Bx',
это — конусы, вершины которых лежат на оси г.
6.109. (х2+у2 - 1) [(хр+yq - Z)2 - (р2+ ?2)[ + z2 = 0.
Подстановка
z(x, у) = £(£, Я). х —pcosO, y = psin(>
6.117] 112—127. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ ОТНОСИТ. P,q 241
приводит к уравнению 6.87
(Р2 - 1) [Р2 (р?р - S)2 - р2^ - £2 ] + Р2£2 = 0.
6.110. /(х, у) р2+g (х, у) pq\h (х, y)q3 = k (х, у).
В дифференциальной геометрии уравнение встречается в сле-
дующем виде:
£ ___2F — —-L G ( _ £G F2-
\dv) ди до^[ди) ‘ ’
при этом задаются основные величины Е, F, G.
6.111. (ЛР+/у«'-/г)2=(Л+^+/:-1)^2+«'2+1).
/=/(*, у, Z).
Геометрическую интерпретацию задачи см. S. Lie, Math. Annalen
5 (1872), стр. 198.
112—127. Уравнения третьей и четвертой степени
относительно р, q
6.112. ffi = aq-\-bx', уравнение с разделяющимися переменными
3 (h I Д Л I А I о
(^ + Л)3+ —у + В.
6.113. 5р3 + (х—2)р + (у-1)^ = 2‘ уравнение Клеро.
Полный интеграл
z ~ Ах + By + 5Л3 — 2 А — В.
Интегралами также являются:
г==-10(т£Г+с<У-1)-
Особого интеграла нет.
6.114. р3—ytq — x2—у2; уравнение с разделяющимися переменными.
г = 1п|у| — 2р-Н- J ^х2-Ь Л^х + В.
6.115. p3 = zq\ тип ч. I, п. 11.3.
г=4(х+лу+в>2-
6.116. p3 — az2q' тип ч. I, п. 11.3.
z = В ехр [± УаА (х -j- Лу)].
6.117. p3~q2', тип ч. I, п 11.2.
z — А2х-|- Л3у В.
242
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |6.П8
6.118. у2р34~ хр-4~Зу<7 = 0 см. ч. I, 14.8(b).
6.119. р2<у—х2у; уравнение с разделяющимися переменными.
, У2 ,,,
~ 2 + 2Л2 + В‘
6.120. (р24- a) q = (bz 4~ с) р; тип ч. I, п. 11.3,
z=та+ву+С)2+•
6.121. p‘(q-(-a) — (bz~\-c)q; тип ч. I, п. 11.3.
ЬВ (Ах + Ву 4- С) = AR + аЛ2 In | R — а А |.
где
R2 = 4bB2z 4- а2Л2 4- 4сВ2.
6.122. (xp4-y^4-z)^24-p2 = 0.
Из характеристических уравнений находят первый инте-
грал Если положить его равным Л, то получаются уравнения
л z 4* Л2 z 4* Л2
г Ах 4- У Ах 4- у
отсюда и из исходного уравнения получается полный интеграл
Л2 I в
z — — Л2 4- -з—i—.
1 A v —I— v
6.123. (xp-^-yq— z)34-27p^ = 0; уравнение Клеро.
Полный интеграл z = Ах 4- By 4- 3 АВ\ особый итеграл
yzx = 1.
6.124. (хр+yq) pq—xpl—yql—(x4- J + * — 1) Ptf + * (Р+tf)=0.
Уравнение можно записать как уравнение Клеро
РЯ
Z — хр4-У94
если знаменатель 4=0, т. е. если
гралы z — C. Полный интеграл
pq — p — q ’
исключены тривиальные инте-
АВ
z=Ax+By+AB_A_B,
или, при другом обозначении констант,
. г=(Л4-в-1)(^-4-^--1);
особый интеграл
z — (1^х + Y У + 0 •
6.129) 128-139. ПРОЧИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 243
6.125. 9(р2— 2z)2 = 4^3; тип ч. I. п. 1L3.
Уравнение можно решать и с помощью замены z = u(x)-\-
+ ®(У)-
Полный интеграл
(х + Ау (у + Д)3
z~ 2 3
особые интегралы:
_ (х+А)2
z —0 и z — -—.
6.126. z2p2q2=ylpl-\-x2q2', однородное уравнение.
Полагая
z(x, у) = £(£, П). £=*2. т] = У2.
получаем уравнение
4^ = ^
Отсюда находим тривиальный интеграл z — C и полный интеграл
г2 = + - (х2 + Ау2) 4- В.
6.127. (хр+yq — z)2 (хр1+у<72) = f^q2.
После применения преобразования Лежандра ч. I, п. 11.13
получается квазилинейное дифференциальное уравнение 2.64
X2Z2Zx 4- Y2Z2Zy = X2Y2.
Интегралы этого уравнения получают из равенства
Эти уравнения вместе с соотношениями
x = Zx, y = ZY, z — xX-\-yY— Z
дают параметрическое представление искомых интегралов z (х, у).
128—139. Прочие нелинейные уравнения
6.128. yf р 4~ Q — ах\ уравнение с разделяющимися переменными.
z Sax —1_ А2у 4- В для ах > А.
ОСЬ
6.129. Vfp24-^24- 4 -\-хр~\~УЯ~ z'i уравнение Клеро.
Полный интеграл
Z = Ах 4- By 4- VЛ2 4-В2 4-1;
244 гл. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |6.13
особый интеграл — верхняя половина (z > 0) сферы
х2 4- у2 Ц- z2 = 1.
Интегралы — те гладкие поверхности, все касательные плоскости
к которым отстоят от начала координат на расстояние, равное
единице.
6.130. J'/? —р 4- xp-\-yq = z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z = Ах By + У В — А
или, при других значениях констант,
z = (А — В2) х + А2у 4-В;
особый интеграл
1 х2
г===4Г—4Г для х>°- У>°-
6.131. (pq)“ = xp—yq.
Из характеристических уравнений получают первый инте-
грал pq. Если положить pq — А, то, используя исходное
уравнение, можно получить уравнения
Р = ± ^/4хуЛ + Л2“, 9 = 4'
и отсюда найти полный интеграл
л"'2=у|"|у|±'г±т|"1Ш1+в’
' где ____________
/?х=/4хуЛ1~2“+ 1.
6.132. (р*q2)a — xq—ур.
Из двух последних характеристических уравнений получают
первый интеграл p2-\-q2- Если положить его равным А, то для
определения полного интеграла получаются два уравнения
где А(х2-\-у2)-А2%
Можно также применить преобразование
z(x, у) = С(р, 6'), x = pcos6, y = psin6,
тогда получается уравнение
€.139] 128—139. ПРОЧИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245
Полный интеграл
6.133. (р1— q^f—yp- xq.
После замены переменных
z(x. y) = £(|, Л). 21 = х -}~у, 2т] = х — у
уравнение переходит в уравнение 6.131
6.134. (хр—yq)a=^pq', см. 6.131.
. г» \а / л \
6.135. I—4—) -н—%— I zc — Za-t'; см. ч. I, п. 11.10.
\ cos2 х / \ stir у /
6.136. ep = x(q-\-y); уравнение с разделяющимися переменными.
' V2
z — Ау — + х in (Ах) — х + В.
6.137. \^p-\-ayL(p-Yq) — 2ayz — 21пу = 6.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл
p/у2. Теперь можно действовать по методу ч. I, п. 9.3. Можно
также применить преобразование z=y1u(x, у); для и полу-
чится дифференциальное уравнение
С помощью обоих методов получаем полный интеграл
z = Аху2 — Л у3 + 1Пда"6 + В у2.
6.138. In(p(;)l-xp|-yQ = z; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z — Ах-(-Ву-(-\п(АВ), если АВ > 0;
особый интеграл
z =— 2 — 1п(ху), если ху > 0.
6.139 р — sinx^J тип- ч- t п- И-4-
z = Д- cos Ах — Ау-]-В.
/i
17 Э. Камке
ГЛАВА VII
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1—7. Уравнения с одним или двумя квадратами производных
7.1. P^ + 2x2x3p1 + 2xix3p2+2p3 = 0.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы
xl (
(Р1 + Р2)ехР-2- 15 (А— Рг)ехРу-----2)'
Если положить их равными 2А, 2В, то получаются уравнения
(2 \ 2
х3 \ А3
---2“) + В exp - g-,
(2 \ .2
х3 1 А3
—г/—в ехР Т ’
которые вместе с исходным уравнением образуют полную си-
стему. Из этих трех уравнений можно определить также р3 и
получить, таким образом, полный интеграл
z = А (X! + х2) е~х + В (X! — х2)еХ — АВх^ —
---j (А2е~2Х-^-BPe^dx^ +С, где 2Х — х^.
7.2. ар2+&р2 = х2р3; уравнение с разделяющимися переменными.
z = Axx-\-Bx2------------|-С.
7.3. Р{+р2 = «р3 + г2; тип ч. I, п. 13.2.
Подстановка
z —£(£), £ = Ахх+Вх2 + 2Сх3
приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению
(А2 + В2)?,2 = 2СЙ' + С2
7.7J 1-7. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ ИЛИ ДВУМЯ КВАДРАТАМИ ПРОИЗВОДНЫХ 247
с решением
|п I I = (с ± Ул2+^ + С2)+D-
7.4. р2 — Р2РЛ= z (р2 +рау, тип ч. I, п. 13.4.
Полагая £ = ln| z\, получаем уравнение ч. I, п. 13.1
^2 = ^Х ^Х 4" ^х ’
Х1 Л2 Лд Л 2 Л3
полный интеграл
1п|г| = Лх1 + Вх2 + СХз + £), где А2 = ВС -|- В 4- С.
7.5. а (р, — р2) р3 + &х3(х2р! + xtp2) = с.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы
2а (Л — Р2)~ Ьх2, р1 — р22, (х^х^ + р^.
Уравнения, образованные из первых двух интегралов
2a(Pi~ р2) — Ьх2 — А, р2 — р2 = В,
находятся в инволюции как с данным уравнением, так и друг
с другом. Поэтому, если эти три уравнения разрешить отно-
сительно pIf р2, р3 и затем проинтегрировать, то мы получим
интегралы исходного уравнения
*= L*2 Х + аВ^ф^Н-2с f ^-3 + С, где Х = Ьх\+А.
Ча Л. J Л л
7.6. 2pl(xap2 + x2pa) + 2xl + x2== 0.
С помощью преобразования Лёжандра
xv — ^xv = Pv ~ Xv
получают уравнение 7,1.
Pl 4 2Xi (Х3Р2 4- ХгР3) 4- 2Pi = 0.
7.7. x1zp1 (х3р2 4- х2р3) = а (х,р, 4- 2z).
В уравнении можно разделить переменные. Если положить
« = и(х1)о(х2, х3), то получается
а
xtu' 2м
м2м'
Первое равенство дает
и'
(я а\
Аи------
и 1
2а
17*
248
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[7.8
следовательно,
Ям2 2
exp = Вх\и.
Второе равенство приводит при w — чР к линейному дифферен-
циальному уравнению
Хз^2 + ХЛ3^2А
с интегралами
г»2 = 2 A In | х2 + х31 + 2 (х2 — х2).
8—14. Более двух квадратов производных
с постоянными коэффициентами
7.8. (Pj-Ь/>2)2 ~ 2р3 + г; ™п. ч. 1, п. 13.2.
Подстановка
z~ £©• & — ^Xj Ц- Вх2-\-Сх3
приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению
(Л + В)2С/2=2СС'+С;
его решение
2« — 2С1п|и+С| = ^ + О, где и2 = (А + В)21, + С2.
7.9. ар?+&р|+ср|= 1; тип ч. I, п. 13.1.
Полный интеграл
z — Лх1 + Вх2 + Сх3 + О, где аА2-\-ЬВ2-\-сС2 = 1.
7.10. ар2р3+&р3р1 + ср1р2 = й; тип ч. I, п. 13.1.
Полный интеграл
z = Ах1-\-Вх2-\-Сх^-\- D, где aBC-\-bCA-\-cAB — d.
7.11. a^ + a^+Ogp^z; тип ч. I, п. 13.4.
/ Э '.2 1 2 + А 1 г==Ау=1_ !_ и 4 2 avAv v=l 7.12. p2-bp2 + pg = x2 + x24-x2; переменными. 3 Z=^S + v-1 3 V (*v —А)2 ли z= 4av V=1 уравнение с разделяющимися ,, где А2 -f- Я3=0.
7.151 15—21. ОСТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТАМИ ПРОИЗВОДНЫХ 240
7.13. р* + р| + р| = *?+xl+xl + ххх2 + х*ха + Х3хг
Из характеристических уравнений легко получаются первые-
интегралы и с их помощью образуются находящиеся в инволю-
ции уравнения
2 (Pi — Р2)2 — (*1 — *г)2 - - А,
(Pl + Р2 Н- Рз)2 2 (Xj + х2 + х3)2 = В.
Из всех трех уравнений находят рг, р2, р3 и затем определяют
7.14. pl+P22+pl^2(x1p1Arx2p2+x3pa).
Из характеристических уравнений получают, например, пер-
вые интегралы p2/pj, P-dPi- Если при этом положить:
Ар2 = Врх, Ар3 = Сръ
то получается полная система трех уравнений. Из этой систем!*
находим:
2Я Вх2 "4“ Сх3)
Pi= H24-B2-j-C2 ’
следовательно,
__ (Лх,+ Вх2Ц-Сх3)2
я2 -4- в2 -4- с2
Уравнение можно решить и другим способом. Например»,
данное уравнение имеет интеграл
15—21. Остальные уравнения с квадратами производных
7.15. р, (Pi + P2) + -v1P2(-v3P2+p3) = a-vi-
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы р2, p3-i~x3p2. Если их положить соответственно рав-
ными А, В, то вместе с данным уравнением получаются три
находящиеся в инволюции уравнения
P2=A Рз = —Л*з + В, Pl^— ^±у/Г(а~АВ)х1+^
которые дают:
£
z = ~ ~2X1 ± з(а —ЯВ) ЛВ)х1 + “г)2 +
+ Ах2----2" хз Н- Вх3 "1“
"250
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
17.16
7.16. PI(p1 + P2) + -V1P2(x8p2 + p3) = x1z; тип ч. I, п. 13.4.
Подстановка г = ± w2 приводит к уравнению 7.15
Wx. 0% + «Q + (*3«Ч + ^х.) = ± Т- •
"7.17. tf + -W2 + xlxj>j>a + xrxlx3pl — x1z; тип ч. I, п. 13.4.
Подстановка z — ± и2 приводит к уравнению
91 Л'г9192 4“ Л'1^2?29з “Ь Л'1Л'2Л'з92 = •
здесь
^=\-
В этом уравнении можно разделить переменные. Если положить
х2^2~^’ Чз~}~ АХ3 —В’
то получается еще соотношение
91 + A(h + ABxi = ± -т •
Из всех этих уравнений получаем:
и ~ 2” Х1 3 (4ЛВ ± 1) I -*"2 И~ Вх3 j- Х3+С,
где
у2 —Л2—(4ЛВ±1)Х1.
•7.18. ах (х2р3 — х3Р2)2+ а2 (x3pt — ххр3)2+а3 (ххр2 — x2pt)2 = 1.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы
2 Ч- 2 XVP^ 2 Р\-
“7.19. z!plp2 + zp2p3-\-p3pl= 1; тип ч. I, п. 13.2.
J У ABz2 + BCz + AC dz = Лх1 + Bx2 4~ Сх3 + D.
-7.20. (ххрг + х2р2 + х3р3)2 =
= [«2(^+^+лз+1)-1]И+р|+р|)-
Замена переменных
z(xx, х2, х3) = £(р, <р, ф),
хх — р sin <р cos i|), x2 = psin<psini|), х3—pcosip
приводит к уравнению
t2
r2_i_____5l_
' sin2 <р
= (1—а2)
Р2 (р* +1) «.2
а2р2 -|- а2 — 1
7.21| 15—21. ОСТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТАМИ ПРОИЗВОДНЫХ 25£
Это уравнение с разделяющимися переменными. Если положить-
левую и правую части равными Л2, то получаются уравнения.
г А 1 -.Л , 1
г _ —_____— 1 / аг--------
р /1 — а2 р г р24-1
= (Л2 — Сф) sin2 <р.
(1>
(2>
В последнем уравнении переменные разделены. Если положить
левую и правую части равными В2, то получаются еще два
уравнения
^ = 5. (3>
С,= ±/Л’-^. (4>
Следовательно.
«=П=г'1+в*+/»+с-
где
II~ J р р2+1 dp —
= — 1п д Y1 — fl2 arctg а ».
2 а —а г У1 —а2
причем
о2 = а2
1
р2+1 ’
а
Г . и
/9 = А arcsin —г....
2 /Л2 —В2
В arctg—-—,
В cos <р
7.21
причем
и2 — A2 sin2 <р — В2.
2геХг(е~х'р1-3ге~х^р^1 = р^, тип ч. I, п. 13.4.
Замена w = z2, q = приводит к уравнению с разде—
v xv
ляющимися переменными
+ в_^2)2 = «"^з-
Отсюда полный интеграл
г2 = Аех> + Вех^ + (Л + В)2 ех* + С.
252
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[7.22
22—31. Уравнения с производными в более высоких степенях
7.22. pjp2p3 == XjXgXg; уравнение с разделяющимися переменными.
I Cx2 I где 8АВС=1.
"7-23. PiP2P3 = ххpv 4- х2р2 4- х3р3.
Из характеристических уравнений находим первые инте-
гралы p2lp\, PiJPi- Если положить
Лр2 = Вр1, Лр3 = Срь
то получаем три уравнения, образующие полную систему. Отсюда
находим:
з
и затем
2 -
z = ур= (Лх4 Вх2 4 Сх3)2 4 D.
7.24. р1р2р34-х1р14-х2р24-х3р3==г; уравнение Клеро.
Полный интеграл
z — Axt 4- Вх2 4- Сх3 4 АВС.
Особый интеграл zl = —4xjX2x3.
образовать уравнения
------- = В,
Pl Рз
составляющие инволюционную
Из характеристических уравнений легко получаются первые
интегралы. Если с их помощью
-L--L = A
Pi Рг
то получаются три уравнения,
систему, а из них можно определить рь р2, р3 и z. С помощью
преобразования Лежандра = Pv, pv = Xv уравнение перехо-
дит в линейное дифференциальное уравнение 3.61
Х1Р14- Х2Р? Х3Р3 — Х\Х2Х3.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы XjPj — х2р2, XiPi — х3р3. Если при этом уравнения
Х2Рч= xxpi-\-A, x^p^XiPi + B
присоединить к данному, то образуется инволюционная система.
Исключение приводит к кубическому уравнению для р\.
7.31| 22-31. УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ В БОЛЕЕ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЯХ 253
7.27. (alPl — z) (а2р2 — z) — г) = Plp2p3.
Для £(xj, х2, х3) —1п|г| из дифференциального уравнения
получается уравнение типа ч. I, п. 13.1
(of,1)№ - !)«,,- 1)=
с полным интегралом
С — Atxt ~Ь А2х2 + Д3х3-|- Ао,
где
1)(и2А2 1)(й3Д3 l)=r
7.28. zP1p2p3 = xtx2x3; тип ч. 1,.п. 13.4.
Пусть z = u1-. Тогда
№uiK~3u „ „ _ х х х
-*1 Л2 Ля 1 Z О
а 3
следовательно, для л — получается уравнение с разделяю-
щимися переменными
и„ и„ и„ /4\3
jq х2 х3 \ 3 /
Отсюда полный интеграл
3 _
|z3 =Axl + Bxl + Cxl+D для АВС—1.
7.29. azpx + bz2p2 -|- c£3p| = 1.
Для w=z2 получают уравнение типа ч. I, п. 13.1
Д' > Ь Г) . С Q «
"2 'J' "g- ^з — 1
(при этом qv = wx^. Поэтому полный интеграл данного урав-
нения имеет вид
z2 — Ахг Вх2 -|- Сх3-|- D,
где
|Л + |В2_|_£Сз=к
7.30. р2 + zp2 -|- z2p2 = z2Plpjp3\ это уравнение типа ч. I, п. 13.2
J . fiz — Axt -f- Bx2 Cx3 D.
7.31. p"~1~p% pg — 1; тип ч. I, n. 13.1.
z = Axx-^Bx2-\-Cxg-\-D, где Л"-|-Вл-|-С"= L
ГЛАВА VIII
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
«Л. Ptp2 + P3P4 + xiP1+x2P2 + x3P!, + x4p4 = z‘> уравнение Клеро.
Полный интеграл
z — Zj ^vxv-|- (AtA2 + Л3Л4).
Особый интеграл
. z = — xtx2 — х3х4.
8.2. p1p2p3p4 = xlp1-^xzpll-i-x3pa-i-xip1; частный случай 8ЛЗ.
Из характеристических уравнений получают первые инте-
гралы pjPi и из них — уравнения
AiPv=AvPi (v = 2, 3. 4),
которые вместе с данным уравнением образуют полную систему.
Четыре уравнения можно разрешить относительно pv, при этом
получается
_4
„__3 (А1лг14~ -ЬА-хч)3 । д
Z j г л0.
(А, ... А4)7
«.3. (Р1 — р2) (р3 4- х4) (р4 + х3) 4 х2р4+х4р2 = 1.
Переменные разделяются, после чего уравнения
(Рз-Ь*4)(Р4 + *з);=А x2plA-xlp2 + A(Pi— р2)= 1
можно решить с произвольной константой А. Для первого
уравнения легко находится полный интеграл
Z1 ~ Х3Х4 4 4 Х4'
Второе уравнение линейно, его интегралами являются
Z2 == I Х1 х2 I 4“ К**"! 4“ х%)> ---х2 — ^А)1,
8.6] ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ уравн. с более чем тремя переменными 255-
где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Интегралами данного уравнения будут функции z = zl-\-z2~-
8.4. = xtpt -|- хгр2-|- Xgpg+х4р4; частный случай 8.13. Про-
цесс решения см. в 8.2
___7 (.dt-Kt-J- ••• "Ь-44л4)8/7 , л
z-7 (Л. ... + л°-
8.5. (Pi + -v4p3)p4 + (p2+x5p3)p6 = 0.
Так как xlt х2, х3 не входят в уравнение, то можно про-
извести замену
г = Лх1Н-Вх24~Сх3-|-ц(х4, х5).
Тогда для и получается линейное однородное уравнение с глав-
ным интегралом
О4 4- А
и — „ 1—~
Схъ + В-
В более общем виде интегралы данного уравнения — функции
2 ^Лх14-Вх2 4-Сх3, X В ) ’
где 2 — произвольная непрерывно дифференцируемая функция^
Интегралами являются также функции
z — Ах । —|— Вх2 —|— (АО — ВС) х3 —j—
Ч- (Cxi ~Ь Ох2 -|- Е) (Вх4 — А х5) 4- Z7.
8.6. р, [р5 + xs (х4р4 + х5р5)| — р2 [р4 + х4 (х4р4 + xsp5)| Н-
+ РЗ(Х4Р5 — Х5Р4) = °-
Так как х2, х3 не входят в уравнение, то можно про-
извести замену
z=== Axt —Вх2 —Сх3 —и (х4, Хд).
Тогда для и получается линейное однородное уравнение с глав-
ным интегралом
(Axt 4- Bxs — С)2
В более общем виде интегралы данного уравнения — функции
z = q(aX1 + Bx2 + Cx3, +
\ ^+-*гб4-1 /
256 гл. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.7
где S — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Интегралами являются также функции
г = 2(Х1Х4 + х2х5 — х3, х4, х5).
«•7. ЛР4 + (Зх2 + 2х3) р2р4 + (4х2 + 5х3) Рзр4 +
+ [Х4 + Х5 (Pi — О] АРо 4- ХзР} = °-
При делении на р4 получается:
Pi + (Зх2 + 2х3 ) р2 + (4х2 5х3) р3
4-[*4+*5(А>— Р^Рб+ХБ~^ = °- (О
Из характеристических уравнений следует:
х4 -|- In | р2 — Р31 = const, 7х4 + In | р2 + 2р31 = const,
т. е.
р2— 2Ае~х‘-±-Ве~7х>, Рз =— Ае~х> + Ве~7х'. (2)
Далее, из характеристических уравнений следует:
In I — I = ЗАе~х< const,
I Pt I
т. е.
р5 = — Ср4 ехр (3 Ае~х>),
и, таким образом, если еще раз обратиться к характеристиче-
ским уравнениям,
р4 = D exp (с J* еЗАе~х< .
р5 = — С De3Ae~x' exp (с J* e3Ae~x'dx^ . (3)
"Так как уравнения (2) и (3) получены из первых интегралов
уравнения (1), то они с (1) в инволюции. Кроме того, оче-
видно, что они в инволюции и друг с другом. Поэтому уравне-
ния (1), (2), (3) имеют общие решения. Подставляя (2) и (3)
в (1) и интегрируя, получаем z — А (2х2 — х3) e_Jfi 4-
-\-B{x2-\-x2)e~71c'-\-D(x4—Сх5еЗЛе-ЛГ1)ехР (с j еЗЛе-х'йх1)-|-Е.
Можно поступить и так: из характеристических уравнений
•следует также
х4р4 + хБр5 = const, ер‘~р* — const,
т. е. вместе с (2)
__ С____________________________________ CD exp 34i~X|
дг4-|- Рхъ exp3Ae~Xl лг4-|- Dx$exp3Ae~Xl
€.10] ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 257
Оба эти уравнения, вместе с уравнением (2) и данным, нахо-
дятся в инволюции друг с другом. Из данного уравнения можно
определить р1 и получить наконец
z = A (2х2 — Хз) е~х' + В (х2 4- х3) е~1х> 4-
-|- С In | х4 4- Ох5 ехр 3Ae~Xi | — CD J* ехр 3Ае~х< dx14- Е.
С помощью преобразования Лежандра уравнение переводится
в линейное дифференциальное уравнение.
8.8. (x2Pl 4- х1Рг) х3 4- (Р, — Рг) Рз 4- (х4 4- р5) (х6 4- р5) х6] = а,
а^О.
Рёшая уравнения
/’5)(хб+л5)р6=А’ (1)
(х2р14-Х1Р2)х34-Л(р1—p2)p3 = fl, (2)
получают интегралы для произвольной константы А. Если
и(х4, х5, х6) и v(Xi, х2, х3)— интегралы этих двух уравнений,
то u-j-v— интеграл данного уравнения. Так как (1) не зависит
от х5, то решения получаются, если р5 = В считать констан-
той. Тогда (1) — уравнение с разделяющимися переменными, и
з^[^+С(х44-5)]24-^5-С1п(х6 + 5).
Решения (2) получаются из 7.5.
8.9. PiP.t • • • Рп = XjX2 ... хя; уравнение с разделяющимися пере-
менными.
п
2*= 2 АХ4-Д). где A^-.A ^l,
v=l
или
п
(z—£)"=(-§-) II (Ч—Мдля любых с.
V=1
8.10. р,р2 . .. = Xjp, 4 x pz | . .. 4-хгр„; это частный слу-
чай 8.13.
Из характеристических уравнений получаются первые инте-
гралы pjpx. Если при этом положить A}Pv = AvPi (v = 2.ri),
то получается полная система п уравнений, а из нее — полный
интеграл
__। 1 л
^ = ^о+-^-И1 ••• Л)1-" 4-^Л)"-1.
258 ГЛ. VIII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВН. С БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 18.11
8.11. рхрг ... рп = (a1Pl - z) (агрг -*)... (апрп — г).
ДляССх,....х„) —1п|г| получается уравнение 13.1 из ч. I:
(с1Сл-1 — 1) • •. (ап^хп — 9 = ’ ’ ’ ^хп с полным интегралом
До 4~ Axi4~ ••• Для (ai-At—1) ... (апАп—1)==
= А,...Ап.
п V
8.12. z = 2 *VP„ + (« 4- 1) (р,рл • • • P„)n+1; уравнение Клеро.
п 1
Полный интеграл z—2 Avxv“Ь4~ 1)(-^1 •••
V=1
особый интеграл z = —J.
xt ...х„
8.13. /(р,......P„) = xIp1-f- /—однородная сте-
пени т функция.
Из первых интегралов (v = 2, .... л) получаются
А
уравнения pv — -^-P\ (v=2........л), образующие вместе с
данным уравнением полную систему. Из этой системы
1
в.н/(р,....
Первые интегралы — функции Fv (pv) — Fr (р,), где Fv (p) =
__ f dp
— f (p) ’ Система, состоящая из данного уравнения и урав-
нений Fv(pv)— Fi(Pi) — A (v = 2, .... п), разрешается от-
носительно pv. Если pv = /-*v (хР ...» хл)—решения, то
хг • хп п
z = J* Pv dxv — интеграл данного уравнения.
I,, ln v=l
ГЛАВА IX
СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
9.1. F(p, q, z — хр—yq) = Q, G(p, q, z — xp—yq) — b.
Если F (a, b, c) — G (a, b, c) = 0, to z = ax -|- by -|- c —
общее решение.
9.2. P? + ^ + p1=/(X(4--^+j^), x£jOj—XjP2 = 0.
Система инволюционная. Второе уравнение линейное, и реше-
ния его вполне очевидны. Затем из них выбираются такие,
которые удовлетворяют также первому уравнению.
Интегральным базисом второго уравнения будет, очевидно,
Х|4-Х2, х3. Поэтому интегралами этого уравнения являются
также все непрерывно дифференцируемые функции £(|j, |2),
где |1 = угх| + х|, £2 —*3. Если эти функции удовлетворяют
и первому уравнению, то должно быть Ц + +1|).
Об этом дифференциальном уравнении см. 6.64.
9.3. р,р2==х3*4, р.Ар^ х^.
Образование скобок приводит к уравнению
X\Pi + Х2Р2 ~ ХзРз — х4Р4 = 0.
Три уравнения образуют полную систему. Разрешая ее относи-
тельно Pi, р2, р3, получают:
= - Х2Хз Pt ’ _ xtPt Р* х2 • xtx2 Pa = —L^-> 6 Pi
или
Pl= . Х*Р* xt ’ р2=^. 2 Pi *>“ Pi •
Теперь каждая из обеих систем инволюционная. Вторая полу- чается из первой подстановкой вместо х2 (а также рг вместо р2).
260
ГЛ. XI. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
[9.4
Преобразование А. Майера
z(xl, х2, х3, x4) = Z(u, их, и2, и3, х4),
Х1 = ии1, ' Х2--1>2 — ии2> Х3 = ии3
дает для первой системы
7 2uutu3 (ии2 4-1,2) t И2 7
U~ ZXt + 4 Х,‘
(Так как и должно пробегать интервал [0, 1], то теперь ясно,
что введение условия |2 =/= ® было необходимо.) Так как их, и2,
и3, |2— параметры, то это—дифференциальное уравнение 6.52.
Поэтому здесь получается Z = А (ии2 Ц- |2) х4 + Цз“|Ц 4- В,
следовательно, z = Ах2х4 4~ + В. Подстановка хх вместо
х2 дает интегралы z — Axix4-j- 4~ • Полными интегра-
лами являются также
z = 2]f ххх3(х2х4 — А)-}-В, 2 Yх2хъ(xix4 — Л) 4~
Применение преобразования Якоби см. в ч. I, п. 14.7.
9.4. ptp2p3 = p4, ^P^^+^s + P^.
Образование скобок дает уравнение Р\Р^Р4~ Р3- Если
рхр2 = 0, то отсюда следует, что все pv~0', тогда полу-
чается интеграл z — C. Если p3s0 или p4s0, то соответ-
ственно р4=0 или р3 = 0. Тогда остается уравнение х1р1 =
— х2р2 с главным интегралом ххх2.
Пусть все pv =/= 0. Тогда из трех уравнений следует:
Р1Р2 = ± 1. Рз = ± Р4< Х\Р\ = Х2Р2 + (*3 ± х4> Р 4‘
Это инволюционная система. Для последнего уравнения, в зави-
симости от выбора верхних или нижних знаков XjX2, хх (х3 4~ х^
или ххх2, х2(х3— х4) — интегральный базис, и он удовлетво-
ряет также второму уравнению. Остается так определить
t(li. I2X где 11 — xtx2 и £2 = х1(х34~х4) (соответственно
х2 (х3— х4)), чтобы £ удовлетворяла и первому уравнению.
Получается уравнение (ср. с 6.51) (Ы& 4* ) ?£, = ± 1
с первым интегралом . Из = Л£51 и предыдущего
уравнения получается = [±(|i 4~ -^Ь)] 2’> следовательно,
£=2 К±(|1+Л^2)+Ви____________________
z ——' 2 (Х3
z — 2 Ах2 (х4 — х3) — ххх2 4- В.