М. Л. КРАСНОВ, А. И. КИСЕЛЕВ, Г. И. МАКАРЕНКО
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЫКНОВЕННЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЙ
Допущена
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
ф
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1978
Краснов М. Л. и др.
К78 Сборник задач по обыкновенным дифференци-
альным уравнениям: Учеб, пособие для втузов.
/М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. —
3-е изд., перераб. и доп.— М.: Высш, школа,
1978. — 287 с„ ил.
В пер.: 65 к.
В данном издании по сравнению с предыдущим, вышедшим в
]9ь8 г, расширены параграфы, относящиеся к устойчивости по Ляпу-
нову, краевым задачам для дифференциальных уравнений, интегриро-
ванию уравнений с помощью рядов, интегрированию систем дифферен-
циальных уравнений. Добавлены упражнения теоретического характера.
Предназначается для студентов втузов.
20203—382
К 001(01)—78 29~78
517.2
ББК 22.161.6
© Издательство «Высшая школа», 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третье издание книги существенно переработано и дополнено.
Многие задачи заменены новыми; некоторые задачи, имеющие гро-
моздкие решения, изъяты из сборника; добавлено свыше 50 приме-
ров, разобранных в тексте; устранены замеченные опечатки и неточ-
ности в формулировках. Наиболее существенные дополнения отно-
сятся к следующим вопросам: 1) решение систем дифференциальных
уравнений; 2) исследование устойчивости решений по Ляпунову;
3) использование метода суперпозиции при решении линейных диф-
ференциальных уравнений л-го порядка; 4) асимптотическое инте-
грирование.
Для удобства пользования книгой иногда употребляется специ-
альный знак (♦), означающий, что решение примера или формули-
ровка замечания окончены.
При подготовке этой книги большую помощь как рецензенты
рукописи нам оказали проф. Б. А. Богатов и доц. А. И Шум (Ка-
лининский политехнический институт) и сотрудники кафедры высшей
математики МИЭТ (заведующий кафедрой проф. А. В. Ефимов).
Выражаем им нашу искреннюю благодарность. Мы признательны
Н. Н. Зарубиной за большой труд по изготовлению рисунков.
Хотя задачник выходит и третьим изданием, мы сознаем, что
он не свободен от недостатков. Все замечания и пожелания по его
улучшению будут приняты нами с благодарностью.
Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый сборник задач содержит упражнения по курсу
дифференциальных уравнений для втузов.
Особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно
подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показы-
вает опыт, слабо усваиваются студентами. Детально разобраны ме-
тод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи на-
хождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и неза-
висимость систем функций.
В задачник включено большое число задач на решение линей-
ных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, за-
дачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного
метода к решению дифференциальных уравнений и систем.
Во второе издание сборника внесены новые разделы: метод по-
следовательных приближений, особые решения дифференциальных
уравнений, уравнения с малым параметром при производной. Расши-
рен раздел, посвященный применению рядов к решению дифферен-
циальных уравнений, внесен ряд уточнений, исправлены замеченные
погрешности и опечатки, допущенные в первом издании.
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связыва-
ющее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х} и ее
производные у', у", т. е. уравнение вида
F(x, у, у' , у”,	, у(п}) =0.
Если искомая функция у=у(х) есть функция одной независимой
переменной х, дифференциальное уравнение называется обыкновен-
ным *>; например,
du
1)----Нху = 0, 2) у" + у' + х = cosx, 3) (х2 — у2) die —
— (х 4- у) dy = 0.
Когда искомая функция у есть функция двух и более независи-
мых переменных, например если у=у(х, t), то уравнение вида
J . ду ду	д'* у \
F х, t, у, — , — , , >, , . -т = 0
\	дх д!	dxk dt1 }
называется уравнением в частных производных. Здесь k, I — неотри-
цательные целые числа, такие, что k + l = m, например
dy __ Эу 0 ду д2 У
dt дх ' dt дх2 1
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, диффе-
ренциальное уравнение у'+ху=е* — уравнение первого порядка,
дифференциальное уравнение у"+ р(х)у=0, где р(х) — известная
Йнкция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравне-
е yi*>— ху"—х2 — уравнение 9-го порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на ин-
тервале (а, Ь) называется функция р = <р(х), определенная на ин-
тервале (а, Ь) вместе со своими производными до n-го порядка
включительно, и такая, что подстановка функции у=<р(х) в диффе-
ренциальное уравнение превращает последнее в тождество по х на
*> В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные
дифференциальные уравнения.
5
(а, Ь). Например, функция (/=sinx+cosx является решением урав-
нения у" + у — О на интервале (—оо, +оо). В самом деле, дифферен-
цируя функцию дважды, будем иметь
у' = cos х — sin х, у" —— sin х — cos х.
Подставляя выражения у" и у в дифференциальное уравнение, по-
лучим тождество
— sin х — cosx + sin х 4* cosx = 0.
График решения дифференциального уравнения называется ин-
тегральной кривой этого уравнения.
Общий вид уравнения первого порядка
F (х, у, у') =0.	(1)
Если уравнение (1) удается разрешить относительно y't то полу-
чится
У' = f (X, у)	(2)
— уравнение первого порядка, разрешенное относительно произ-
водной.
Задачей Коши называют задачу нахождения решения у=у(х)
уравнения y,;=f(x, у), удовлетворяющего начальному условию
У(х0)=уа (другая запись у\х^Ха=Уо).
Геометрически это означает, что
ищется интегральная кривая, прохо-
дящая через заданную точку
Мо(ха, у0) плоскости хОу (рис. 1).
Теорема существования и единст-
венности решения задачи Коши.
Пусть дано дифференциальное урав-
нение y'=f(x, у), где функция fix, у)
определена в некоторой области О
плоскости хОу, содержащей точку
(хо, (/о). Если функция f(x, у) удов-
летворяет условиям
a) f(x, у) есть непрерывная
функция двух переменных х и у в об-
ласти D;
df
6) f(x, у) имеет частную производную -—, ограниченную в об-
оу
ласти D, то найдется интервал (xo—h, xo + h), на котором существу-
ет единственное решение у=<р(х) данного уравнения, удовлетворяю-
щее условию у(ха) =уа.
Теорема дает достаточные условия существования единственного
решения задачи Коши для уравнения у'=f(х, у), но эти условия не
являются необходимыми. Именно, может существовать единственное
решение уравнения y'=f(x, у), удовлетворяющее условию у(х0)=уа,
хотя в точке (х0, у о) не выполняются условия а) или б) или оба
вместе.
1	df
Рассмотрим примеры. 1. у'=—Здесь f(x, у) = 1/уг, ~ =
У	ду
— —2!у3. В точках (хо, 0) оси Ох условия а) и б) не выполняются
df
(функция /(х, у) и ее частная производная — разрывны на оси Ох
б
и неограничены при но через каждую точку оси Ох проходит
едицста€нйм~нн1егральная кривая у— р^3(х—Хо)/ (рис. 2). ф
y'=^q/+e=i Правая н^сть уравнения f(x, у) =xy-ye~v и ее
частная производная дЦду=х—е~* непрерывны по х и у во всех точ-
ках плоскости хОу. В силу теоремы существования и единственности
областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение,
является вся плоскость хОу. ф
3'1,—	3 3/—-
3. у' — —у у2. Правая часть уравнения Цх, (/)= — У у2 опре-
2.	&
Рис. 3
делена и непрерывна во всех точках плоскости хОу. Частная произ-
3)	з ,—
водная — = 1/У У обращается в бесконечность при у = 0, т. е на
оси Ох, так что при у —0 нарушается условие б) теоремы существо-
вания и единственности. Следовательно, в точках оси Ох возможно
нарушение единственности. Легко проверить, что функция у^-
«=(х+с)3/8 есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравне-
ние имеет очевидное решение Таким образом, через каждую
точку оси Ох проходит по крайней мере две интегральные линии и,
следовательно, действительно в точках этой оси нарушается един-
ственность (рис. 3).
Интегральными линиями данного уравнения будут также линии,
составленные из кусков кубических парабол у = (х + с)3/8 и отрезков
оси Ох, например, ABOClt АВВ2С2, А2В2х и др., так что через каж-
дую точку оси Ох проходит бесконечное множество интегральных
линий, ф
Замечание. Условие ограниченности производной df/ду, фи-
гурирующее в теореме существования и единственности решения за-
дачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называ-
емым условием Липшица.
Говорят, что функция f(x, у), определенная в некоторой обла-
сти D, удовлетворяет в D условию Липшица по у, если существует
такая постоянная L (постоянная Липшица), что для любых yt, у2 пз
D и Любого х из D справедливо неравенство
l/(x, y2)—f(X, yl)\<L\y2 — y1\:
dj.
Существование в области D ограниченной производной — до-
ду
статочно для того, чтобы функция f(x, у) удовлетворяла в D усло-
7
вию Липшица (докажите это!). Напротив, из условия Липшица не
df
вытекает условие ограниченности^—; последняя может даже не су-
ществовать. Например, для уравнения y'=2|y|cos х, функция
f(x, У) = 2|y|cos х не дифференцируема по у в точке (х0; 0), Хо=#=
fe = 0, xtl, .... но условие Липшица в окрестности этой
точки выполняется. В самом деле,
I f (х, Уг) —f(x, yj | = | 2 | y2 | cos x — 2 | У11 cos x | =
= 2 | cos x 11 | y2 | — | y2 11 < 2 I y2 — У11,
поскольку | cos x | i 1, a | | y2 | — | y21 | < | y2 — y2 [.
Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной £ = 2.
Теорема. Если функция f(x, у) непрерывна и удовлетворяет ус-
ловию Липшица по у в области D, то задача Коши
/ (х, у), у |х=ж, = у0 , (х0, у0) £О
имеет единственное решение.
Условие Липшица является существенным для единственности
решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение
dx
f(x, y),
где
1(Х, у) =
4х3 у
х*~г у3
х2 + у3 > 0,
0	, х = у =0.
Нетрудно видеть, что функция f(x, у), непрерывна; с другой сто-
роны,
Если у=ал2, У = то
4	] — аб I
|/<х, Г)-Цл,„)| = -
и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содер-
жащей начало 0(0, 0), так как множитель при |У—у| оказывается
неограниченным при х->0.
Данное дифференциальное уравнение допускает решение
p = C2-V xi + Ci ,
где С — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует
бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному ус-
ловию у(0)=0.
8
Общим решением дифференциального уравнения (2) называете^
функция
у = Ч(х, С),	(3)
зависящая от одной произвольной постоянной С, и такая, что 1) опа
удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях пд-
стоянной С; 2) каково бы ни было начальное условие
У \х=хй = Уо •	И)
можно подобрать такое значение Со постоянной С, что решение //•»
= <р(х, Со) будет удовлетворять заданному начальному условию (4).
При этом предполагается, что точ-
ка (х0, уо) принадлежит области,
где выполняются условия сущест-
вования и единственности ре-
шения
Частным решением дифферен-
циального уравнения (2) называ-
ется решение, получаемое из об-
щего решения (3) при каком-либо
определенном значении произ-
вольной постоянной С.
Пример 4. Проверить, что
функция у=х+С есть общее ре-
Рис. 4
шение дифференциального уравне-
ния у'— \ и найти частное решение, удовлетворяющее начальному ус-
ловию р|х=о = О. Дать геометрическое истолкование результата.
Решение. Функция у=х+С удовлетворяет данному уравне-
нию при любых значениях произвольной постоянной С. В самом де-
ле, у'= (х + С)'=1.
Зададим произвольное начальное условие =ро. Полагая
х = хо и у = у0 в равенстве у = х + С, найдем, что С = у«—хо- Подставив
это значение С в данную функцию, будем иметь у^х+уо—Хо. Эта
функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив х =
=х0, получим у=Хо+уо—х0 = уа Итак; функция у=х+С является
общим решением данного уравнения.
В частности, полагая хо=О и уй — 0, позучпм частное решение
У=х.
Общее решение данного уравнения, т. е. функция у=х+С, опре-
деляет в плоскости хОу семейство параллельных прямых с угловым
коэффициентом £=1. Через каждую точку Л4о(хо, уо) плоскости хОу
проходит единственная интегральная линия г/=х + г/0—хо. Частное
решение у=х определяет одну из интегральных кривых, а именно
прямую, проходящую через начало координат (рис. 4).
Пример 5. Проверить, что функция у=Се* есть общее решение
уравнения у'~у = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее на-
чальному условию у|х = 1 = —1.
Решение. Имеем у = Се1, у' = Сех. Подставляя в данное урав-
нение выражения у и у', получаем Се’—CeY s О, т. е. функция у=
= Се’ удовлетворяет данному уравнению при любых значениях по-
стоянной С.
Зададим произвольное начальное условие г/|х_ж —Уо. Под-
ыгавив хо и уа вместо х и у в функцию у—Се*, будем иметь (/о=
=CeXj , откуда С=уое х\ Функция //=t/oe*'"*" удовлетворяет
начальному условию. Действительно, полагая х=х<>, получим у=
=уаех°~х° — уч- Функция у = Сех есть общее решение данного урав-
Так как с геометрической
нения.
При Хо=1 и у<>=—1 получим частное решение у=—ех-1.
С геометрической точки зрения общее решение определяет се-
мейство интегральных кривых, которыми являются графики показа-
тельных функций; частное решение есть интегральная кривая, про-
ходящая через точку Л/о (I, —1) (рис. 5). ф
Соотношение вида Ф(х, у, С)—
= 0, неявно определяющее общее ре-
шение, называется общим интегралом
дифференциального уравнения перво-
го порядка.
Соотношение, получаемое из об-
щего интеграла при конкретном зна-
чении постоянной С, называется част-
ным интегралом дифференциального
уравнения.
Задача решения или интегриро-
вания дифференциального уравнения
состоит в нахождении общего реше-
ния или общего интеграла данного
дифференциального уравнения. Если
дополнительно задано начальное ус-
ловие, то требуется выделить частное
решение или частный интеграл, удов-
летворяющие поставленному началь-
ному условию.
точки зрения координаты х и у рав-
dy
ноправны, то наряду с уравнением ~— =/(х, у) мы будем рас-
dx 1
сматривать уравнение — = —----- ;
d</ f (х, у) ’
1. Найти совпадающие решения двух дифференци-
альных уравнений:
а) У' = У2 + 2х — х4; б) у' =— г/2 — у + 2х + х2 + х4.
В следующих задачах
данные уравнения имеют
выделить области, в которых
единственные решения.
2.	у' = х2 + у2-
п г X
з.	у = —.
у
4.	у' = «/ + 3 \'Гу.
5.	у' = Ух — у
в. у' = |х2 — у — X.
7.	У = УТ=у2.
8.
х — у
9.	у' — sin у — cos х.
10.	у' = 1 — ctgy.
11.	у' =|Лзх — у— 1
10
12.	Показать, что для уравнения у'=|у|1/2 в каж-
дой точке оси Ох нарушается единственность решения.
13.	Найти интегральную линию уравнения у' =
= sin (х-у), проходящую через точку 0(0; О).
В следующих задачах показать, что данные функ-
ции являются решениями указанных дифференциаль-
ных уравнений:
.. sinx , .
14.	у = — , ху + у — COS X.
X
15.	у = Се~2л + — е\ у' + 2у -- е*.
3
16.	у = 2 + С У1 — х2, (1 —х2) у' + ху = 2х.
§ 2.	МЕТОД ИЗОКЛИН
Уравнение
y’=f(x, у)	(1)
определяет в каждой точке (х, у}, где существует функция f(x, у),
значение </, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной
кривой в этой точке.
Если в каждой точке области D задано значение некоторой ве-
личины, то говорят, что в области D задано поле этой величины. Та-
ким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле на-
правлений.
Тройка чисел (х; у; у') определяет направление прямой, прохо-
дящей через точку (х, у). Совокупность отрезков этих прямых дает
геометрическую картину поля направлений.
Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) мо-
жет быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы каса-
тельная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее о
направлением поля в этой точке.
Задача построения интегральной кривой часто решается введе-
нием изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек,
в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют од-
но и то же направление. Семейство изоклин дифференциального
уравнения (I) определяется уравнением
f(x,y) = k,	(2)
где k — параметр. Придавая параметру k близкие числовые значе-
ния, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых
можно приближенно построить интегральные кривые дифференци-
ального уравнения (1).
Замечание 1. Нулевая изоклина f(х, у) =0 дает уравнение
линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума
интегральных кривых. Для большей точности построения интеграль-
11
ных кривых находят также геометрическое место точек перегиба.
Для этого находят у" в силу уравнения (1):
„ df	df	df	df
у" = ~ + ~y =— + f(x. T"
dx	Oy	dx	dy
(3)
и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением
' <4>
dx	dy
и есть возможное геометрическое место точек перегиба.
Пример I. С помощью изоклин построить приближенно интег-
ральные кривые дифференциального уравнения у'—2х—у
Решение. Для получения уравнения изоклин положим у' —
~k, fe=const, тогда
2х — у = k, или у = 2х — ki
Изоклинами являются параллельные прямые. При k=Q получим
изоклину у=2х. Эта прямая делит плоскость хОу на две части, в
каждой из которых производная у' имеет один и тот же знак
(рис. 6).
Интегральные кривые, пересекая прямую у=2х, переходят из
области убывания функции у в область возрастания, и наоборот,
а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных
кривых, именно точки минимума.
Возьмем еще две изоклины;
у 2х + I, k = — 1 и у = 2х — 1, k = 1;
Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересе-
чения с изоклинами k =—1 и k=l, образуют с осью Ох углы в 135°
и 45° соответственно. Найдем
далее вторую производную
р" = 2—у' = 2— 2х + у.
Рис. 6
Прямая у=2х—2, на ко-
торой у"=0, является изокли-
ной, получаемой при k=2, и в
то же время интегральной ли-
нией, в чем можно убедиться
подстановкой в уравнение. Так
пак правая часть данного урав-
нения f(x, у)=2х—у удовлет-
воряет условиям теоремы су-
ществования и единственности
во всей плоскости хОу, то
остальные интегральные кри-
вые не пересекают эту изокли-
ну. Изоклина у—2х, на которой
находятся точки минимума ин-
тегральных кривых, располо-
жена над изоклиной у = 2х—2,
а поэтому интегральные кри-
вые, проходящие ниже изо-
клины у=2х—2, не имеют то-
чек экстремума.
Прямая у=2х—2 делит
12
плоскость хОу иа две ”аети, в одном из которых (расположенной над
прямой) у">0, а значит интегральные кривые обращены вогнуто-
стью вверх, а в другой у"<0 н, значит, интегральные кривые обра-
щены вогнутостью вниз. Интегральные кривые не пересекают прямой
у=2х—2, значит, она не является геометрическим местом точек пе-
региба. Интегральные кривые данного уравнения не имеют точек
перегиба.
Проведенное исследование позволяет нам приближенно постро-
ить семейство интегральных кривых уравнения (рис. 6).
Пример 2. Методом изоклин построить приближенно интеграль-
ные кривые дифференциального уравнения y' = sin(x + y).
Решение. Полагая у' = £, где & = const, получаем уравнение
изоклин sin(x-t-y) =Л, причем —При Л = 0 получим sin(x +
+у) =0, откуда
У =—х+ яп (п = 0, ±1, ±2,	(5)
Интегральные кривые в точках пересечения с этими изоклинами име-
ют горизонтальные касательные.
Определим, имеют ли интегральные кривые на изоклинах у =
= — х+лп экстремум. Для этого найдем вторую производную:
У" = (1 + y')cos(x + y) = [1 + sin (х + у)] cos (х + у).
При у = —х + лл имеем
у" = (1 + sin лп) cos яп = cos лп = (— 1 )'1 1
Если п четное, то у">0, и, значит, в точках пересечения с изоклина-
ми у = —х + лп, гг = О, ±2, ±4, .... интегральные кривые имеют мини-
мум; если же п нечетное, то у"<Q и интегральные кривые в течках
пересечения с изоклинами у——х + лл, л = ±1, ±3, .... имеют макси-
мум. Находим изоклины:
k =— 1, sin (х + у) =— 1-, у = — х—-^-4-2лп,	(6)
£=1, sin(x + y) = l; у =—х + ~+ 2лл,	(7)
П=0, ±1, +2, I
Изоклинами являются параллельные прямые с угловым коэффици-
ентом, равным —1, т. е. изоклины пересекают ось Ох под углом 135°.
л
Легко убедиться в том, что изоклины у=— х—— +2лп, п=0, ±1,...,
являются интегральными кривыми данного дифференциального урав-
я
нения (для этого достаточно подставить функции у =—х——^-+2nii
в уравнение y' = sin(x-by)).
Во всех точках плоскости хОу правая часть данного уравнения,
т. е. функция /(х, у) =sin(x + y), удовлетворяет всем условиям тео-
ремы существования и единственности, а поэтому интегральные кри-
вые не пересекаются, и, следовательно, не пересекают изоклин у=
л
= —х—+2лл. Далее производная у" обращается в ноль при
]+sin(x + y) =0, т. е. на изоклинах (6), и при cos(x + y) =0, т. е. на
изоклинах (6) и (7). При переходе (слева направо) через изокли-
13
иы (7) у" меняет знак с плюса на минус. Например, если рассмот-
реть полосу, заключенную между изоклинами у——х и у=—х+л,
л
то на изоклине у=—х+ —производная y"=Q, причем под изокли-
ной у">0. Значит, интегральные кривые обращены вогнутостью
вверх, а над изоклиной у"<0, значит, интегральные кривые обра-
щены вогнутостью вниз. Таким образом, изоклины (7) являются гео-
метрическим местом точек перегиба интегральных' кривых. Получен-
ные данные позволяют приближенно построить семейство интеграль-
Рис. 7
ных кривых данного уравнения. Для более точного построения
следует нанести еще несколько изоклин (рис. 7).
Пример 3. Методом изоклин построить интегральные кривые
уравнения у'^у—х2 + 2х—2.
Решение. Положим y' = k, fe=const. Тогда уравнение изоклин
будет
у — х2 + 2х — 2 = k, или у = хг — 2х + 2 +
Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии
х=1. Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, под-
ставляя в данное уравнение р=х2—2x+2+k и у'=2х—2, будем
иметь 2х—2 = х2—2х+2 + £—х2+2х—2, или 2х—2 =/г. Но это равен-
ство ни при каком значении k не может выполняться тождественно
относительно х.
Пусть fe=0. Тогда в точках пересечения с изоклиной у=
=х2—2х + 2 интегральные кривые будут иметь горизонтальные ка-
сательные. Изоклина у=х2—2х+2 разбивает плоскость хОу на две
14
части: в одной из иих /<0 (решения у убывают), а в другой
у'>0 (решения у возрастают). И так как эта изоклина не является
интегральной кривой, то на ней находятся точки экстремума интег-
ральных кривых, именно на той части параболы у=х2—2х+2, где
х<1— точки минимума, а на другой части этой параболы, где
х>1—точки максимума. Интегральная кривая, проходящая через
точку (1; 1), т. е. через вершину параболы у=х2—2x4-2, в этой точ-
ке не имеет экстремума. В точках изоклин у=х2—2x4-3 (А=1) и
у=х2—2x4-1 (&=—1) касательные к интегральным кривым имеют
угловые коэффициенты, соответственно равные I и —1.
Для исследования направления вогнутости интегральных кри-
вых найдем вторую производную:
у" = у’ — 2х + 2 = у — х2 + 2х — 2 — 2х + 2 = у — х2.
Она обращается в ноль только в точках, лежащих на параболе «/=ха.
В точках плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют усло-
вию у<х2, интегральные кривые вогнуты вниз (у"<0), а в точках,
где у>х2, они вогнуты вверх (у">0). Точки пересечения интеграль-
ных кривых с параболой у=х2 являются точками перегиба этих кри-
1S
вых. Итак, парабола у = х2 есть геометрическое место точек перегиба
интегральных кривых.
Правая часть исходного уравнения f(x, у) = у—x2-f-2x—2 во
всех точках плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы суще-
ствования и единственности, поэтому через каждую точку плоскости
Проходит единственная интегральная кривая уравнения
Используя полученные сведения, строим приближенно семейство
интегральных кривых данного уравнения (рис. 8). ,
Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изо-
клин могут быть особыми точками дифференциального уравнения
(I), т. е. такими точками, в которых правая часть уравнения (I) не
определена.
Рассмотрим уравнение y' = yjx Семейство изоклин определяет-
ся уравнением y!x = k. Это семейство прямых, проходящих через на-
чало координат, так что в начале координат пересекаются изоклины,
отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кри-
вым. Нетрудно убедиться, что общее решение данного уравнения
имеет вид у^Сх и точка (0, 0) является особой точкой дифференци-
ального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривы-
ми уравнения (рис 9).
Пример 4. Методом изоклин построить интегральные кривые
dp	у — х
уравнения ~ — == ~	।
dx	у + х
Решение. Полагая y'=k, £=const, получаем уравнение се-
у—х
мейства изоклин ——	Таким образом, изоклинами являются
У~х
прямые, проходящие через начало координат О (0; 0).
При k = — 1 получим изоклину р=0, при k=0 — изоклину у=х,
при 6= I — изоклину х=0.
Рассматривая «Перевернутое» уравнение
d-г _ у+ х
iy У — х
найдем изоклину у=—х, во всех точках которой интегральные кри-
вые имеют вертикальные касательные.
В точке (0, 0) пересекаются все изоклины данного уравнения
(особая точка уравнения).
16
С помощью полученных изоклин строим интегральные криаые
(рис 10)
17.	Найти угол а между интегральными линиями
уравнений у'=х+«/ и у' = х—у в точке М (2, 1).
18.	Под каким углом а пересекают ось Ох в точке
0(0, 0) интегральные линии уравнения у'=х2+у2+1?
19.	Найти точки экстремума интегральных кривых
уравнения у'—х-\-\.
20.	Найти точки перегиба интегральных кривых
уравнения у' = у—х2.
Методом изоклин построить интегральные кривые
следующих дифференциальных уравнений;
21, у’ = х + 1.	31. /=-Х±1.
22. у' = х + у.	32. у' =	, х~У
23. у’ = у — х.	33. у' = 1 — х.
24. у' = ^-(х-2</ + 3).	34. у' = 2х — у.
25. у' = (у-1)*.	35. у' = х2 + у.
26. у' = (у— 1)х.	36. у' = — у!х.
27. у' = х2 — у\	37. у' ~ 1.
28. у' = cos(x — у).	38. у' = 1/х.
29. у' — у — х2.	39. у’ = у.
30, у’ = х2 + 2х — у.	40. у' = у*.
§ 3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Пусть требуется найти решение у = у(х) дифференциального
уравнения
У’ = f (х, у),	(1)
удовлетворяющее начальному условию
У	|х=хи = Уо’	(2)
Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике
D ( |х — | < а, \у — у0| < *)
с центром в точке (х0, у0) для уравнения (1) выполнены условия
а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи
(1) —(2) (см. с. 6).
Решение задачи (1) — (2) может быть найдено методом после-
довательных приближений, который состоит в следующем.
2—456
17
Строим последовательность {*/nW} функций, определяемых ре-
куррентными соотношениями
х
t/a W = t/o + f /[Л yn-i(O]dt, «=1.2,.,,,	(3)
^0
В качестве нулевого приближения уо(х) можно взять любую функ-
цию, непрерывную в окрестности точки х = хо в частности уо(х) =
= уо—начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сде-
ланных предположениях относительно уравнения (1) последователь-
ные приближения {уп(х)} сходятся к точному решению уравнения
(1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале ха—h<
<х<хо+Л, где
/ Ь \
/i=min а, — , М = max | f (х, у) I,	(4)
\ М) (x,y1^D
Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения у(х)
n-м приближением уп (х), дается неравенством
W — Уп (х) | < MN>i - hn ,	(5)
п\
где N = max I —
ду
Применяя метод последовательных приближений, следует остано-
виться на таком п, для которого |yn+i—уп\ не превосходит допусти-
мой погрешности.
Пример 1. Методом последовательных приближений найти ре-
ду
шение уравнения —у, удовлетворяющее начальному условию
0(0) = 1.
Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей пло-
скости хОу выполнены условия теоремы существования и единствен-
ности решения задачи Коши. Строим последовательность {у„(х)}
функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое при-
ближение у0(х) si;
Уй (х) = I,
У1	(X) = 14- {/0 (0 d/ = I + х,
о
X	X
Уъ (х) = I + j yt (о а/ = 1 + j (1 + о d/ = 1 + х-ь -у,
О	о
х
Уз (х) = 1 + j Уз (/) dt = 1 +
о	о
18
вообще,
С	х х8	хп
yn(x) = 14-jyn_l(Od/ = l + — + — + ... + —.
о
Ясно, что уп(х)-*ех при л->оо. Непосредственной проверкой
убеждаемся, что функция у(х)=е* решает поставленную задачу
Коши.
Пример 2. Методом последовательных приближений найти при-
ближенное решение уравнения у'=х*+у\ удовлетворяющее началь-
ному условию #|х=о = О в прямоугольнике —l^x^l, —l^ys£l-
Решение. Имеем | f(x, у) | =х2+у2^2, т. е. М=2. За h берем
меньшее из чисел а = 1, Ь/М = 1/2, т. е. h = 1/2. Последовательные прп-
1 1
ближения согласно (4) будут сходиться в интервале—~< х
Составляем их:
Уа (х) = О,
X
Vi = J [1~ + Уо} d/ = у ’
О
V*) = j [/2+= j (t2+-у-)dt = т + -
о	0
о	0
x3 x* 2xu x18
= 3 ' "бЗ+ 2079 + 59535*
Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит ве-
личины
2 / 1 \»	1
7 22 = Т’
О! \ Z /	О
здесь
I df
N = max — = max | 2у I = 2<
d | ду о
Замечание. Функция f(x, у) должна удовлетворять всем
условиям теоремы существования н единственности решения задачи
Коши.
Следующий пример [7] показывает, что одной непрерывности
функции f(x, у) недостаточно для сходимости последовательных
приближений,
2*	19
Пусть фуйкция 1(х, у) определена следующим образом:
/ (х, у) =
О для х = 0, — оо	оо,
2х для 0 < х < 1, — ос < у < О,
2х — — для 0 < х <. ], 0 < у х2,
х
—2х	для 0 < х < 1, х1 < i/^+oo;
На множестве O^x^l, —oo<z/< + oo функция f(x, у) непрерывна
и ограничена постоянной Л1=2. Для начальной точки (х, у) = (0, 0)
последовательные приближения при O^x^l имеют вид
% W = О,
X
С /	4х2 \
I I 2х — — dx =— ха,
J \ х j
о
У1 W = \f(x, У о W) dx = х2,
о
х
У2 (*) = j / (х> х2) dx
о
и вообще
У2Я-1(Х) = Х'1- 1/2п(х}=—х‘11 п = 1,2, ;11 ,
Поэтому последовательность {(/п(х)} Дл'я каждого х¥=0 не имеет
предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим
также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей
{У2п-1(х)} и {i/2n(x)} не сходится к решению, поскольку
У?п-\ <*) = 2* /> / (х, х2) =— 2х,
У2п W =“ 2* *	— хг) = 2х.
Если же последовательные приближения сходятся, то получен-
ное решение может оказаться неединствепным, как показывает сле-
дующий пример: у'=г/1,3.
Возьмем начальное условие 1/(0) =0; тогда
У (х) = ]'у‘'3 (/) di.
о
Беря в качестве нулевого приближения уй функцию #о(х)==0, будем
иметь
У1 (X) Г. 0, у2 (х) = 0, . ; ; , уп (X) = 0, . , : ,
так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому
они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой сторо-
/ 2х
вы, функция у(х) = I — - I представляет собой также решение
этой задачи, существующее на полупрямой х^О.
20
В следующих задачах найти три первых последова-
тельных приближения:
41. у' =	X2 — у2,		-0.
42. у' =	X 4- у2,	^х=0 =	: 0.
43. у' =	х у,	4х=0 =	= 1.
44. у’ =	2у — 2хг	— 3,	Я-0
45. ху' =	= 2х — у,	f/!x=i	= 2.
§ 4. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Дифференциальное уравнение вида q>(y)dy = f(x)dx называется
уравнением с разделенными переменными.
Уравнение вида
Ф1 (х)Ф1(уНх = <р2(х)ф2(у)бу,	. х
в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются,на мно-
жители, зависящие только от х и только от у, называется уравнени-
ем с разделяющимися переменными.
Путем деления на произведение фi (Д) фг(х) оно приводится к
уравнению с разделенными переменными:
Ф1 (*) ,	% (у) ,
-----dx =-------dy,
ф2 (х) Ф1 (У)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Ф1 (х) , f Фз (У) ,	_
—TV dx — 1777 AtJ = С-
Фа (х) J Ф1 (у)
Замечание. Деление на ф|(у)фа(х) может привести к поте-
ре частных решений, обращающих в ноль произведение ф|(у)ф2(х).ф
Дифференциальное уравнение вида
~~ = f (ax + by+c),
dx
где а, b и с—постоянные, заменой переменных г = ах+Ьу + с преоб-
разуется в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить уравнение
Зе* tg у dx -f- (2 — ех) sec2 уду = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на произведение
tgy-(2—е*):
2 — ех t g у
21
Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его,
найдем
- 3 In 12 - е-Ч + In |tg у^Сг.
После потенцирования получим
l*g Ь>1
|2-е-Ч3
откуда
tgy
= еС‘- или l- o^a! = еС‘
I (2 - е-Ч3 |
= ± ес*.
(2 — еЧ3
Обозначая ±ес‘=С, будем иметь
—= С, или tgp —С(2 —еЧ3 = 0;
(2 — еЧ3
Мы получили общий интеграл данного уравнения.
При делении на произведение tgy(2—е1) предполагалось, что
ни один из множителей не обращается в ноль. Приравняв каждый
множитель нулю, получим соответственно
y = kit(k — O, ±1, ±2,	Х=1п2;
Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убежда-
емся, что y = kzt и х=1п 2 являются решениями этого уравнения. Они
могут быть формально получены из общего интеграла при С=0 и
С=оо. Последнее означает, что постоянная С заменяется через 1/С2,
после чего общий интеграл примет вид
tgg —	(2 — еЧ3 = 0, или С2 tgу — (2 — еЧ3 = °*
С2
Полагая в последнем равенстве С2 = 0, что соответствует С=оо, бу-
дем иметь, что (2—е*)3=0, откуда и получаем решение х=1п2 ис-
ходного уравнения. Итак, функции y=kit, k=Q, ±1, ±2, ... и х=1п2
являются частными решениями данного уравнения. Поэтому окон-
чательный ответ будет таким:
tgg—С (2 — еЧ3 = 0;
Пример 2. Найти частное решение уравнения
(1 + еЧ уу’ = еЧ
удовлетворяющее начальному условию //|1=о = 1.
Решение. Имеем
du
(1 + еЧ У ~ = еЧ
dx
Разделяя переменные, получаем
e*dx
Интегрируя, найдем общий интеграл
^- = ln(l + e*)+CJ
(1)
22
Полагая в (I) х=0 и р=1, будем иметь
1/2 — In 2 + С, откуда С = 1/2 — In 2,
Подставляя в (1) найденное значение С, получаем частное ре-
шение
/ 1 е* \2	Г / 1	\2
р2 — i + In —-— , откуда у — ± I/ 1 4- In I--------1— I •
\	/	г	\	"	/
Из начального условия следует, что у>0 (р|1—о = 1>0), поэтому
перед корнем берем знак плюс. Итак, искомое частное решение
Пример 3. Найти частные решения уравнения
у' sin х = у In у,
удовлетворяющие начальным условиям:
а) У |х=л/2 = е1 б) У= |х=п/2 = >*
Решение. Имеем
dp
——sin x = plnp.
dx
Разделяем переменные
dy dx
у In у sin x
Интегрируя, найдем общий интеграл
In I In pl = In | tg -у | + InCj
После потенцирования получим
X	Ctg±-
lnp=C-tg— , или у = e ‘ ,
что является общим решением исходного уравнения.
Ctg-£
а) Положим х = л/2, у=а, тогда е=е , откуда С=1. Иско-
мое частное решение р=е ;
л
б) полагая в общем решении
р=1, будем иметь 1 =
С- tgT
= е , откуда С=0. Искомое частное решение у=1. ♦
Заметим, что в процессе получения общего решения постоянная
С входила под знак логарифма, и, значит, С=0 следует рассматри-
вать как предельное значение. Это частное решение р=1 содержит-
ся, среди нулей произведения ylnysinx, на которое мы делили обе
Расти данного уравнения.
23
Пример 4. Найти такую кривую, преходящую через точку
(О, —2), чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке
равнялся ординате этой точки, увеличенной на 3 единицы.
Решение. Исходя из геометрического смысла первой произ-
водной, получаем дифференциальное уравнение семейства кривы»,,
удовлетворяющих требуемому в задаче свойству, а именно
dy
Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение
у = Се - 3,
(2)
Так как искомая кривая должна про-
ходить через точку (0, —2), т. е.
i/|x=o = — 2, то из (2) при х = 0 полу-
I чаем —2=С—3, откуда С=1. Иске-
/ мая кривая определится уравнением
о -----------------у-*- у = е — з.
Пример 5. Найти кривую, обла-
Р	дающхю тем свойством, что длина се
ис‘	дуги, заключенной между какими-ли-
бо двумя точками Р и Q, пропорцио-
нальна разности расстояний точек Р и Q от неподвижной точки О.
Решение. Если фиксировать точку Р, то дуга QP будет из-
меняться пропорционально разности OQ и постоянной ОР. Введем
полярные координаты, беря точку О за полюс и ОР—за полярную
ось (рис. 11). Дифференциал дуги кривой в полярных координатах
(ds)2 = (dr)2 (г d<()2.
Отсюда для нашей задачи имеем
/------dr 1 dr
к2 (dr)2 = (dr)2 + (г d<p)2, или d<p = у k2 — 1 -- =-->
r ar
Интегрируя, находим г=СеОЧ) (логарифмическая спираль).
Пример 6. Допустим, что при постоянной температуре скорость
растворения твердого тела в жидкости пропорциональна количеству
этого вещества, еще могущего раствориться в жидкости до насыще-
ния последней (предполагается, что вещества, входящие в раствор,
химически не действуют друг на друга, и раствор далек еще от на-
сыщения, так как иначе линейный закон для скорости растворения
неприменим). Найти зависимость количества растворившегося веще-
ства от времени.
Решение. Пусть Р — количество вещества, дающее насыщен-
ный раствор, п х — количество уже растворившегося вещества. Тог-
да получаем дифференциальное уравнение
dx
— = k(P — x),
at
где k — известный из опыта коэффициент пропорциональности, a t—
время. Разделяя переменные, найдем
24
Интегрируя, получаем
In | х — Р | = In С — kt, откуда » = P-|-Ce м.
В начальный момент /=0 имеем х = 0, поэтому С=— Р, тан что
окончательно
Х=Р(\
Пример 7. В цилиндрическом сосуде объемом Vo заключен ат-
мосферный воздух, который адиабатически (без обмена тепла с
окружающей средой) сжимается до объема V,. Вычислить работу
сжатия.
Решение. Известно, что адиабатический процесс характери-
зуется уравнением Пуассона
P/'Po = (Vo/V)ft,	(3)
где Vo — первоначальный объем газа, ро— первоначальное давление
газа, k — постоянная для данного газа величина. Обозначим через
V и р соответственно объем и давление газа в тот момент, когда
поршень находится на высоте Л, а через S — площадь поршня. Тогда
при опускании поршня на величину d/i объем газа уменьшится на
величину d V=Sdft. При этом будет выполнена работа
dlF—pSdh, или dlV = —pdV;	(4)
Находя р из (3) и подставляя в (4), получаем дифференциальное
уравнение процесса
. dV;
Vk
Интегрируя это уравнение, будем иметь
/» 17£
W=—р v£ I	\ . + С, k + 1,	(б)
0 GJ Vk (k— 1)V*-1
Согласно начальному условию W | v=v„ =0 из (5) получим
С= -p0V0/(ft- 1).
Таким образом, работа адиабатического сжатия (от Vo до V) будет
k - i L\ v J J
При V=Vj получаем
k -1 L\ Vi J J
Пример 8. Найти решение уравнения
х3 sin у-у' — 2,	(6)
удовлетворяющее условию
л
2
при х —► СО ,
У
(7)
25
Решение. Разделяя переменные и интегрируя, найдем общий
интеграл уравнения (6):
1
СОЗ у = — + Cl
к*
п
Условие (7) дает cos т. е- С=0, так что частный интеграл бу-
дет иметь вид cosp=l/x2. Ему соответствует бесконечное множество
частных решений вида
1
и «в ± arccos—~ + 2лп, п = 0, ±1, ±2,	(8)
х*
Среди этих решений имеется только одно, удовлетворяющее условию
(7). Этб решение найдем, переходя к пределу при х-><» в равен-
стве (8):
л
7
= ± ~—И 2л л,
= ± arccos 0 + 2лд, или —
откуда
_1_
2
+ -j- + 2л,
(9)
Нетрудно видеть, что уравнение (9)
причем корень л = 1/2, отвечающий
имеет два корня: л=0 и л=1/2,
знаку минус перед arccos —,
№
не подходит (п должно быть целым или нулем). Таким образом, ис-
комое частное решение уравнения (6) будет
1
у = arccos —
х2
Проинтегрировать уравнения:
46.	(1 + у2) dx + (1 + х2) dy = 0.
47.	(1 + у2) dx + ху dy .= 0.
48.	у' sin х — у cos х = 0, у | _ п = 1.
Х~~2
49.	(1 + у2) dx = х dr/.
50.	х|л1 -г- у2 + уу' + х2 = 0.
51.	х |Ч — У2 dx + yV 1 — х2 dy =» 0, у |*_о =» 1.
52.	е~у (1 +/) = !•
53.	у In у dx + х dy = 0, у |x=i = 1.
54.	у' = ах+!/ (а > 0, a =f= 1).
55.	ev (1 4- х2) dy — 2х (1 + еу) dx = 0.
56.	2х]Л — t/2 =/(1 4-х2).
57.	е* sin3y 4- (1 4- е2Х) cos У‘у' = 0.
58.	у2 sin х dx 4- cos2 х In у dy = 0.
59.	у' = sin (х — у).
60.	у' = ах 4- by + с (а, Ь, с — const).
61.	(х + у)2 у' = а2.
62.	у + ху' = а (1 4- ху), у i = — а.
а
63.	(a2у2)dx + 2х]/гах — х2 dy = 0, у}х^а = 0.
64.	у' 4- sin (х — у) = sin (х 4- у), У |х=л = -у <
65.	Найти такую кривую, проходящую через точку
(0, —2), чтобы угловой коэффициент касательной в лю-
бой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличен-
ной в три раза.
66.	Найти кривую, для которой площадь Q, ограни-
ченная кривой, осью Ох и двумя ординатами Х=0,
Х=х, является данной функцией от у : Q=a2 In (у/a).
67.	Материальная точка массой в 1 г движется пря-
молинейно под действием силы, прямо пропорциональ-
ной времени, отсчитываемому от момента t=0, и об-
ратно пропорциональной скорости движения точки.
В момент /=10 с скорость равнялась 50 см/с, а сила —
4 дин. Какова будет скорость спустя минуту после на-
чала движения?
68.	Доказать, что кривая, обладающая тем свойст-
вом, что все ее нормали проходят через постоянную точ-
ку, есть окружность.
69.	Пуля входит в доску толщиной /1 = 10 см со ско-
ростью ио=2ОО м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со
скоростью U] = 80 м/с. Считая, что сила сопротивления
доски движению пули пропорциональна квадрату ско-
рости движения, найти время движения пули через
доску.
70.	Корабль замедляет свое движение под действи-
ем силы сопротивления воды, которое пропорциональ-
но скорости корабля. Начальная скорость корабля
10 м/с, скорость его через 5 с станет 8 м/с. Когда ско-
рость уменьшится до 1 м/с?
27
71.	Доказ ать, что кривая, угловой коэффициент ка-
сательной которой в любой точке пропорционален абс-
циссе точки касания, есть парабола.
72.	По закону Ньютона скорость охлаждения како-
го-либо тела в воздухе пропорциональна разности меж-
ду температурой Т тела и температурой воздуха 7а,
Если температура воздуха равна 20 °C и тело в тече-
ние 20 мин охлаждается от 100 до 60°, то через сколь-
ко времени его температура понизится до 30а?
73.	Найти кривую, для которой угловой коэффици-
ент касательной в какой-либо точке в п раз больше уг-
лового коэффициента прямой, соединяющей ту же точ-
ку с началом координат.
74.	Определить путь S, пройденный телом за время
t, если его скорость пропорциональна проходимому пу-
ти и если тело проходит 100 м в 10 с и 200 м в 15 с.
75.	Дно резервуара, вместимость которого 300 л,
покрыто солью. Допуская, что скорость растворения со-
ли пропорциональна разности между концентрацией в
данный момент и концентрацией насыщенного раствора
(I кг соли на 3 л воды) и что данное количество чи-
стой воды растворяет 1/3 кг соли в одну минуту, найти,
сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.
76.	Некоторое количество нерастворимого вещества
содержит в своих порах 10 кг соли. Подвергая его дей-
ствию 90 л воды, нашли, что в течение 1 ч растворилась
половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли рас-
творилось бы в течение того же времени, если бы ко-
личество воды было удвоено? Скорость растворения
пропорциональна количеству нерастворимой соли и раз-
ности между концентрацией раствора в данный момент
и концентрацией насыщенного раствора (1 кг на 3 л).
77.	Найти кривую, обладающую тем свойством, что
отрезок касательной к кривой, заключенный между ося-
ми координат, делится в точке касания пополам.
78.	Некоторое количество вещества, содержащее
3 кг влаги, было помещено в комнате вместимостью
100 м3, воздух которой первоначально имел влажность
25%. Насыщенный воздух при той же температуре со-
держит 0,12 кг влаги на 1 м3. Если в течение первых су-
ток вещество потеряло половину своей влаги, то сколь-
ко влаги в нем останется по истечении вторых суток?
Указание Влага, содержащаяся в пористом веществе, испа-
ряется в окружающее пространство со скоростью, пропорциональной
28
количеству влаги в данном веществе, а также пропорциональной раз-
ности между влажностью окружающего воздуха и влажностью воз-
духа насыщенного.
79.	Некоторое количество нерастворимого вещест-
ва, содержащее в своих порах 2 кг соли, подвергается
действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяет-
ся. Через сколько времени растворится 99% первона-
чального количества соли?
80.	Кирпичная стена имеет толщину 30 см. Найти
зависимость температуры от расстояния точки от на-
ружного края стены, если температура равна 20° на
внутренней и 0° на внешней поверхности стены. Найти
также количество тепла, которое стена (на 1 см2) отда-
ет наружу в течение суток.
Указание. В силу закона Ньютона скорость Q, с которой
теплота распространяется через площадку А, перпендикулярную оси
dT
Ох, равна Q =—kS—, где k — коэффициент теплопроводности дан-
dt
него вещества (£ = 0,0015), Т — температура, t — время, S — пло-
щадь А.
81.	Показать, что уравнение = — при началь-
ном условии у|х=о=О имеет бесконечное множество ре-
шений вида у—Сх. Это же уравнение при начальном
условии у|х=0=уоу=0 не имеет ни одного решения. По-
строить интегральные кривые.
82.	Показать, что задача -^-=уа, у\х=о—^ имеет,
dx
по крайней мере, два решения для 0<а<1 и одно для
а=1. Построить интегральные кривые для а = 1/2, 1.
83.	Найти решение уравнения -^-=у|1п у\а, а>0,
dx
удовлетворяющее начальному условию у|х=0=0. Для
каких значений а задача имеет единственное решение?
84.	Показать, что касательные ко всем интеграль-
ным кривым дифференциального уравнения y'-\-ytgx =
— xtgx+1 в точках пересечения их с осью Оу парал-
лельны. Определить угол, под которым интегральные
кривые пересекают ось Оу.
Проинтегрировать следующие дифференциальные
уравнения:
85.	cosy'=0.	88. 1пу'=х.	90. е*' = х.
86.	е*' = 1.	89. tgy' = 0.	91. tgy' — х.
87.	sin у' = х.
29
0 следующих задачах найти решения уравнений,
удовлетворяющие указанным условиям:
92.	х2/ cos у + 1 = 0, у -> —— л, к -> + оо.
3
93.	х2у' 4- cos 2у = 1, у -> -у- л, х -> 4- оо.
94.	хау'—sini/=l, у-> 5л, х—>оо.
95.	(1Ч~х2)/----ycos22t/ = 0, у~>~л, х->— оо.
96.	еу = е4у у' + 1, у ограничено при х -> 4~ 00 •
97.	(х 4- 1) у' = у — 1, у ограничено при х -> 4- оо.
98.	у' = 2х(п + у), у ограничено при х оо.
99.	х2у' 4- sin 2у = 1, у л, х -> + оо.
4
§ 5. УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНЫЕ
И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
1°. Однородные уравнения. Функция f(x, у) называется одно-
родной функцией своих аргументов измерения п, если спра-
ведливо тождество f(tx, ty) s=tnf(x. у).
Например, функция f(x, у)=х2+у2—ху есть однородная функ-
ция второго измерения, так как f(tx, ty) = (tx)2+(ty)2—(tx)(ty) =
^t2(x2+y2—xy) = t2f(x, у).
При п=0 имеем функцию нулевого измерения. Например,
X2 — z/s
fix, у) = ———— есть однородная функция нулевого измерения
1	хг -f- у*
так как
f,,	. . _ (fx)2 -г- (ty)2 _	(х2 — у*) __ х2 — у2 _
/ (^х, ty)	—	—Г (х, у) i
(tx)2 4- (ty)2 t2 (ха 4- у2) х2 4- у2
ду
Дифференциальное уравнение видауу=/(х, у) называется од-
нородным относительно х и у, если f(x, у) есть однородная функция
своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всег-
да можно представить в виде
dy
dx
(I)
Вводя новую искомую функцию и = у]х, уравнение (1) можно
привести к уравнению с разделяющимися переменными:
du
х — = ф (и) — и.
39
Если u=ua есть корень уравнения <р(а)—и=0, то решением од-
нородного уравнения будет и=иц или у—и^х (прямая, проходящая
через начало координат).
Замечание. При решении однородных уравнений необяза-
тельно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку
У=их.	______
Пример 1. Решить уравнение ху'= Ух-—у2+у.
Решение. Запишем уравнение в виде
так что данное уравнение оказывается однородным относительно х
и у. Положим и—у/х, или у—ах. Тогда у'=ха'+а. Подставляя в
уравнение выражения для у и у’, получаем
Разделяем переменные:
du dx
- и* х
Отсюда интегрированием находим
arcsin и = 1п |х| + 1п Сх (Сх > о), или arcsin и = In С] |х|4
Так как Ci|x| = ±CtX, то, обозначая ±С! = С, получаем arcsin « =
= 1пСх, где |1п Сх| г£л/2 или е~я/2ССх^еп/2, Заменяя и на у/х, бу-
дем иметь общий интеграл
arcsin — = In Cxi
Отсюда общее решение: у—х sin in Сх.
При разделении переменных мы делили обе части уравнения на
произведение х У1—и2, поэтому могли потерять решения, которые
обращают в ноль это произведение.
Положим теперь х=0 и У1—п-=0. Но х^=0 в силу подста-

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция у=—х и
у=х также являются решениями данного уравнения.
Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых Са
однородного уравнения
У’ = Ф (У/х).
(2)
Показать, что касательные в соответственных точках *> к кривым,
определяемым однородным дифференциальным урванением (2), па-
раллельны между собой.
*1 Будем называть соответственными те точки на кривых Са , ко-
торые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.
31
Решение По определению соответственных точек имеем
У	У1
-----= — , так что в силу самого уравнения (2)
X	Xj
У =У1-
где у' и —угловые коэффициенты касательных к интегральным
кривым Са и Су в точках М и Л1, соответственно (рис. 12).
1 «
Проинтегрировать следующие уравнения:
100. ху' = у + х cos2 — ,
101.	(х— у) dx 4- хЛу = 0.
102.	ху' = у(\пу — 1пх).
103.	x2dy=(z/2— ху 4- x2)dx.
104,	ху' = у 4- YУ2 — х2.
105.	2xV = х2 4~ у2-
106.	(4х — 3y)dx4-(2j/ —
— Зх) dr/ = 0.
107.	(у — x)dx 4- {у 4-
4- х)Ау = 0.
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным.
А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
d»_____J ах 4- /и/ 4- с
dx ' \ atx 4- bty 4- Q
(3)
где a, b, c, ai, bt, Ci — постоянные, a f(u)—непрерывная функция
своего аргумента и.
Если C=Ci = 0, то уравнение (3) является однородным и оно ин-
тегрируется, как указано выше.
Если хотя бы одно из чисел с, Ci отлично от нуля, то следует
различать два случая.
la b |
1) Определитель Л= =£0.
lai &1I
Вводя новые переменные g и т] по формулам x=g+ft, y = t\+k,
где h и k—пока неопределенные постоянные, приведем уравнение
(3) к виду
dr) _ / ag 4- frn + а^ 4- 4~ с \
d£ \	4-	4- atft 4* M + <4 / *
32
(4)
a b I
. =0.
at
Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений
М+^ + ‘ = о. (A?t0)(
taj/i 4* brk 4- ci — О
получаем однородное уравнение
dr| _ / а§ + И \
d£ \ ai? 4* М/
Найдя его общий интеграл и заменив в нем £ на x—h, а г] на у—k,
получаем общий интеграл уравнения (3).
2) Определитель Д =
Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше
Of b\
метод неприменим; в этом случае *— =~~ = >-, и, следователь-
но уравнение (2) имеет вид
dy , / ax + by + c \
dx (ах 4- by) 4* cj ‘
Подстановка z=ax+by приводит его к уравнению с разделяющими-
ся переменными.
р Пример 3. Решить уравнение
(х 4- У — 2) dx 4- (х — у 4- 4) dy = 0.	(5)
Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических
уравнений
(х + у — 2 = 0,
(х — у 4-4 = 0,
Определитель этой системы
Д
— 2=#= О,
Система имеет единственное решение хо=—I, уо=3. Делаем замену
х=I, у=т)+3. Тогда уравнение (5) примет вид
*(54- n) dS4- (6- 0) di) = о,	(6)
Уравнение (6) является однородным уравнением. Полагая t] = u§,
получаем	X
(54-gu) dg4-(5-gu) (gdu4-ud?)=0,
откуда
(1 4- 2и — иг) d* 4- б (1 — и) du = 0.
Разделяем переменные
dE 1 — и
—— -4-------------du = 0,
g 14-2a-и»
Интегрируя, найдем
In 151 4- -у In |1 4- 2u - a«| = In С, или ga (I 4- 2и — а») = с\
3-456
33
Возвращаемся к переменным х, у:
(х+1)2 1+2
(У-З)М ,
(х + 1)* ]	1
или
х2 + 2ху — у2 — 4х + 8у = С (С = Cj + 14).
Пример 4. Решить уравнение (х+у+ l)dx+ (2х+2у—l)dy=O.
Решение. Система линейных алгебраических уравнений
х + у+ 1 =0,
2х + 2г/ — 1=0	Д-0’
несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем при-
мере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем под-
становку x+y = z, dy = dz—dx. Уравнение примет вид
(2 —z)dx + (2z — l)dz = O.
Разделяя переменные, получаем
2z — 1
dx —-------dz = 0, отсюда х — 2z — 3 In |z — 2| = С,
г —2
Возвращаясь к переменным х, у, получаем общий интеграл дан-
ного уравнения х+2у + 31п|х+р—2|=С
Решить следующие уравнения:
‘108. х + у — 2+ (1 — х)у/ = 0.
109.	(Зу — 7х-+ 7) dx — (Зх — 7у — 3) dy = 0.
 110. (х + у — 2) dx + (х —i у + 4) dy = 0.
111. (х + у) dx + (х — у — 2) dy = 0.
112. 2х + Зу — 5 + (Зх + 2у — 5)//= 0.
113. 8х + 4у + 1 + (4х + 2у + 1)у' = 0.
114. (х— 2у—1) dx + (Зх — 6r/ + 2)dy = 0.
115.	(x + y)dx + (x + y—l)dy = O.
Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой
переменного i/ = z“. Это имеет место в том случае, когда в уравне-
нии все члены оказываются одинакового измерения, если переменно-
му х приписать измерение 1, переменному у—измерение а и про-
d</
изводной —измерение а—1.
Пример 5. Решить уравнение
(х2у2 — 1) dy + 2хуя dx = 0.	(7)
Решение. Делаем подстановку y=zft, dy = aza~tdz, где а
пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя
в уравнение выражения для у и dy, получим
(x2zJ“ — 1) аг“~‘ dz + 2xz3a dx = 0,
34
или
(x’z3® 1 — z® *) a dz +2xzia dx =~ 0,
Заметим, что x223a—l имеет измерение 2+За—1=За+1, а“—1 име-
ет измерение а—1, xz3® имеет измерение 1+За. Полученное урав-
нение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы,
т. е., если выполняется условие За+1=а—1, или а =—1.
Положим у=\/г; исходное уравнение принимает вид
или
(г2 — х8) dz + 2zx dx = 0,
Положим теперь z = ux, dz=udx+xdu. Тогда это уравнение при
мет вид (и2—1) (udx + xdu)+2udx = 0, откуда
и (и8 + 1) dx 4- х (и2 — 1) du = 0.
Разделяем переменные в этом уравнении
Интегрируя, найдем
х (и* 4- 1)
1п |х| + In (и2 4-1) — In |u| = In С, или - = С>
Заменяя и через 1/ху, получаем общий интеграл данного уравнения
1 4- х2у2 = Су.
Уравнение (7) имеет еще очевидное решение р=0, которое полу-
чается из общего интеграла при С->оо, если интеграл записать
в виде у= (1-|-х2(/2)/С, а затем перейти к пределу при С->-оо. Таким
образом, функция (/=0 является частным решением исходного урав-
нения.
Проинтегрировать следующие уравнения;
116.	2ху' (х — у2} 4- У3 = О-
117.	4уй 4- х3 = бхуьу'.
118.	i/(l +]/х2у4+ l)dx4- 2xd(/ = 0.
119.	(х 4- у3) dx 4- 3 (у3 — х) у2 dy = 0.
120.	Найти кривую, обладающую тем свойством, что
величина перпендикуляра, опущенного из начала коор-
динат на касательную, равна абсциссе точки касания.
121.	Определить кривую, у которой отношение от-
резка, отсекаемого касательной на Оу, к радиусу-век-
тору равно постоянной величине.
3*
35
122.	Пользуясь прямоугольными координатами, най-
ти форму зеркала, отражающего параллельно данно-
му направлению все лучи, выходящие из данной точки.
123.	Найти кривую, для которой длина отрезка, от-
секаемого на оси ординат нормалью, проведенной в ка-
кой-нибудь точке кривой, равна расстоянию этой точки
от начала координат.
124.	Найти кривую, для которой произведение абс-
циссы какой-нибудь точки на величину отрезка, отсека-
емого нормалью на оси Оу, равно удвоенному квадра-
ту расстояния от этой точки до начала координат.
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
1°. Линейные уравнения первого порядка. Линейным дифферен-
циальным уравнением первого порядка называется уравнение, ли-
нейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно
имеет вид
du
-^- + p(x)y = q(x),	(J)
где р(х) и q(x)—заданные функции от х, непрерывные в той обла-
сти, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если q(x)^sO, то уравнение (1) называется линейным однород-
ным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и
имеет общее решение
— С р(х) ах
y = CeJ ।
Общее решение неоднородного уравнения можно найти мето-
дом вариации произвольной постоянной, который
состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
с w.-f'W" ,
где С (х) — новая неизвестная функция от х.
Пример 1. Решить уравнение
у' + 2ху = 2х е—**.	(2)
Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмот-
рим однородное уравнение
у’ 4- 2ху = О,
соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение
с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид
у=Се~х\
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
у = С(х) е~Л	(3)
36
где С(х) —неизвестная функция от к. Подставляя (3) в (2), полу-
чаем С(х)=2х, откуда С(х)=х2+С. Итак, общее решение неодно-
родного уравнения будет
у = (х’- е~х\
где С — постоянная интегрирования.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное урав-
нение линейно относительно к как функции от у. Нормальный вид
такого уравнения
dx
——+ г(у)х = <р(у),
dy
dy 1
Пример 2. Решить уравнение —— =----------;—;——.
dx	хcosy4-sin 2у
Решение Данное уравнение является линейным, если рас-
сматривать х как функцию от у:
dx
—;— — х cos у = sin 2у.	(4)
dy
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала ре-
шаем соответствующее однородное уравнение
dx
—— — х cos у = О,
dy
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его
общее решение имеет вид
х = Ces,ny , С = const,
Общее решение уравнения (4) ищем в виде
х = С (у) esln у ,	(5)
где С(у)—неизвестная функция от у. Подставляя (5) в (4), по-
лучаем
С'(у) esln у + С (у) esl“ у cosy — С (у) esln у cosy = sin2y,
или
С (y) = e-’ln»sin2y.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
С (у) = J е— sln у sin 2у dy = 2 J е~ sln в cos у sin у dy —
= 2 [ sin у d (— е~ sin у) = 2 (— sin у е— sl" у +
+ J е—si" * cos у d у) = 2 (- sin у е“ sln у - е~ sl" ») + С}
итак,
С (у) = - 2 е- sln у (1 + sin у) + С.	(6)
Подставляя (б) в (5), получаем общее решение уравнения (4),
а значит, и данного уравнения;
к = С esl" у — 2 (I + sin у).ф
37
Уравнение (1) может быть проинтегрировано также следующим
образом. Полагаем
y=u(x)v(x),	(7)
где и(х) и и(х) —неизвестные функции от х, одна из которых, на-
пример и(х), может быть выбрана произвольно. Подставляя (7) в
(1), после преобразования получаем
vu' 4- (pv + o') и = q (x)t	(8)
Определяя v(x) из условия v'+pv = 0, найдем затем из (8)
функцию и(х), а следовательно, и решение y = uv уравнения (1).
В качестве v(x) можно взять любое частное решение уравнения
и'+ро=0, 0=00.
Пример 3. Решить задачу Коши:
х(х—1) у'+ у = х2(2х—1),	(9)
У|х=2 = 4-	0°)
Решение. Ищем общее решение уравнения (9) в виде
у= u(x)v (х);
имеем у'= u'v ~t-uv',
Подставляя выражения для у и у' в (9), будем иметь
х (х — 1) (u'v -г uv') 4- uv = х2 (2х — 1),
или
х (х — 1) vu' 4- [х (х— 1) о' 4- о] и = х2 (2х — 1),	(11)
Функцию о = о(х) находим из условия х(х—1)о'+о = 0. Беря
X
любое частное решение последнего уравнения, например v=-----j
и подставляя его в (11), получаем уравнение и'=2х—1, из которого
находим функцию и(х); п(х)=х2—х4-С. Следовательно, общее ре-
шение уравнения (9) будет
х	Сх
у = uv = (х2 — х 4- С)----, или у =------р 4- х2,
Используя начальное условие (10), получаем для нахождения С
2
уравнение 4 = С----j4-22, откуда С = 0; так что решением поставлен-
ной задачи Коши будет
£/ = х2.
Пример 4. Известно, что между силой тока i и электродвижу-
щей силой Е в цепи, имеющей сопротивление R и самоиндукцию L,
dr
существует зависимость E=Ri+L~ где R n L—постоянные. Если
ш
считать Е функцией времени t, то получим линейное неоднородное
38
уравнение для силы тока 7:
<О1 + Л((0 ™
ш L>	L
Найти силу тока i(t) для случая, когда E—E»=const и 7(0)=/».
Решение. Имеем
Используя начальное условие (13), получаем из
(14) С=10--±
так. что искомое решение будет

Отсюда видно, что при возрастании времени t сила тока /(/) при-
ближается к постоянному значению Eo/R.
Пример 5. Дано семейство Са интегральных кривых линейного
неоднородного уравнения у'+р(х)y=q(x).
Показать, что касательные в соответственных точках *> к кривым
Са , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точ-
ке (рис. 13).
Р е ш е н и е. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой С’л
в точке Л4(х, у). Уравнение касательной в точке М(х, у) имеет вид
П — <7 W (5 — х) = У I1 — Р (х) (5— х)],
где 5, г) — текущие координаты точки касательной. По определению,
•в соответственных точках х является постоянным, а у переменным.
Беря любые две касательные к линиям Са в соответственных точ-
ках, для координат точки S их пересечения, получаем
s=l+4-, 4=+a&.
Р (X)	Р (х)
(15)
*’ Соответственными точками кривых Са называются такие точ-
ки, которые лежат на одной и той же прямой, параллельной оси ор-
динат.
39
Отсюда видно, что все касательные к кривым Са в соответственных
точках (х фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
С /	!	1
\ + Р (х) Р (*)/ ‘
Исключая в системе (15) аргумент х, получаем уравнение гео-
метрического места точек S: /(£, л) =0.
Пример 6. Найти решение уравнения у'—y = cosx—sin я, удов-
летворяющее условию: у ограничено при х->4-оо.	£ X
Решение. Общее решение данного уравнения
у -- Сех + si п х.
Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при
С^О, будет неогранпчено, так как при х->4-оо функция sin х огра-
ничена, а е*-»--1-оо. Отсюда следует, что данное уравнение имеет
единственное решение r/=sin х, ограниченное при	которое
получается из общего решения при С = 0.
Решить следующие линейные уравнения. Решить,
где указано,-задачу Коши:
125.	у' -±2у = e~v.
126.	х~ + ху' = у, i/|x=1 = 0.
127.	tj — 2ху = 2хе<
128.	у’ + 2ху = е~х>.
- 129. у' cos х — у sin х = 2х, г/|л=0 = 0.
130.	ху'—2у = л3 cos х,
131.
1J2. у' х In х — у — 2>х? In2 х.
* 133. (2х — у2) у'= 2у.
134.	у' 4- ycosx — cos х, 1/|л=0=1.
135.	у'=--------*------.
2у1пу + у — х
136.	(е 2 —xyjdy — dx = 0.
• 137. у' — уех = 2хех.
138.	у' + хех у = е(1~х)еЛ.
139.	Найти силу тока 1(0 при условии, что £(0 =
= £0 sin 2лп/, 1(0) =/0, где Ео, /o=const.
40
140.	Конденсатор, емкость которого равна Q, вклю-
чается в цепь с напряжением £ и сопротивлением
Определить заряд q конденсатора в момент t после
включения.
141.	Точка массы т движется прямолинейно. На нее
действует сила, пропорциональная времени (коэффици-
ент пропорциональности k\). Кроме того, точка испыты-
вает сопротивление среды, пропорциональное скорости
(коэффициент пропорциональности k2). Найти зависи-
мость скорости от времени, считая, что в начальный
момент скорость равна нулю.
142.	Найти кривые, обладающие тем свойством, что
отрезок, который касательная в любой точке кривой от-
секает на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки каса-
ния.
143.	Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен полусумме коорди-
нат точки касания.
144.	Найти общее решение линейного неоднородно-
го уравнения первого порядка y'-\-p(x)y—q(x), если
известно одно частное решение у\(х).
145.	Найти общее решение линейного неоднородно-
го уравнения первого порядка y'+p(x)y=q(x), если
известны два частных его решения у\(х) и t/2(x).
146.	Показать, что линейное уравнение остается ли-
нейным при любой замене независимой переменной
х = ф(/), где <р(/) — дифференцируемая функция.
147.	Показать, что линейное уравнение остается ли-
нейным при любом линейном преобразовании искомой
функции y=a(x)z-|-p(x), где а(х) и р(х) — произволь-
ные дифференцируемые функции, причем а(х)=?^0 в
рассматриваемом интервале.
В следующих задачах найти решения уравнений,
удовлетворяющие указанным условиям:
148.	у' — у In 2=2sinJt(cosx—1) In 2, у ограничено при
Х-> + оо.
149.	у' — у — — 2e_jt, //-> 0 при х-> + оо.
150.	//sinx — ycosx =—t »_>о при х -> оо.
X2
151.	x2y'cos —--г/sin — = — 1, у-+1 при х->оо.
41
2
152.	2ху' — у = 1-----—, у -> — 1 при х -> + оо.
V X
153.	х2у’ + у = (х2 + 1)ех, у->-1 при х-> — оо.
154.	ху' + у = 2х, у ограничено при х->0.
155.	у' sinx + у cosx = 1, у ограничено при х->0.
156.	у' cosx — у sinx=—sin2x, «/->0 при х->л/2.
2°. Уравнение Бернулли. Уравнение Бернулли имеет вид
— + Р (х) У = <7 (*)
где «У=0, 1 (при я = 0 и п=1 это уравнение является линейным).
С помощью замены переменной z= ~п~_Т уравнение
Бернулли
.п—1
приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 7. Решить уравнение Бернулли Зу'+у = 1/у2.
Решение. Умножим обе части уравнения на у2:
Зу2у' + у3=^
Положим y3 = z, тогда Зу2у'= —. После подстановки последнее
dx
уравнение обратится в линейное уравнение
dz
dx
1,
общее решение которого
г = 1 4- Се—*;
Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения
у* = 1 + Ce-Xf
Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегри-
ровано также методом вариации постоянной, как и линейное урав-
нение, и с помощью подстановки у(х) =и(х)и(х).
Пример 8. Решить уравнение Бернулли
ХУ’ + у = У2 1П X;	(16)
Решение. Применим метод вариации произвольной постоян-
ной. Общее решение соответствующего однородного уравнения ху'-ь
имеет вид у—С/х. Общее решение уравнения (16) ищем
в виде
у = С(х)/х,	(17)
гдеС(х) —новая неизвестная функция.
Подставляя (17) в (16), будем иметь
In х
С (х) = С* (х) — .
42
Для нахождения функции С(х) получили уравнение с разделяю-
щимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегри-
руя, найдем
1 1ПХ 1	, „	,	X
С(х) ~ х + Т + > с(х)= l + Cx+inx •
Общее решение уравнения (16)
_________1
У 1 + Сх 4- In х
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью
удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравне-
ниям или к уравнениям Бернулли.
Пример 9. Решить уравнение i/'+sin у + х cos t/+x=O,
Решение. Запишем данное уравнение в виде
у' + 2 sin ~~ cos ~~ + х2 cos2-^- = 0;
у
Деля обе части уравнения на 2cos2 —
получаем
у'
2 cos2 —
2
btg^- + x = 0;
О 4 У
Замена tg — =z
dz у
, — —------------приводит это уравнение к линей'
dx „	„ у
2 cos2 —
2
dz
ному — 4-z=—х, общее решение которого
z = 1— ж 4-Се-*(
Заменяя г его выражением через у, получаем общий интеграл дан-
ного уравнения
tg“5- = 1 - х -к Се-\ ф
2	>
В некоторых уравнениях искомая функция у(х) может нахо-
диться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем
дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение
х	х
х j у (Z) dZ = (х + 1) J ty (Z) dz х> 0,
о	о
Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по х,
получаем
У у (t) dZ + ху (х) = У ty (z) dZ 4- (X + 1) ху (х),
о	о
43
или
У у (t) dt = J ty (0 dt 4- x2 У (x)>
о	о
Дифференцируя еще раз по х, будем иметь линейное однородное
уравнение относительно у(х)!
у (х) = ху (х) + х2 у' (х) + 2х(/ (х),
или
X2 у' (х) + (Зх—1) у (х) = О,
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
у = с~^ е-1М‘
X3
Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному урав-
нению.
Решить следующие уравнения Бернулли:
' 157. у' + 2ху = 2ху\
158. Зху2 у'— 2у* = Xs.
. 159. (х3 + еу) у' = Зх2.
Л 160. у' -\-2ху = у2 йх\
161.	у'—2уех = 2К_уе*.
• 162. 2у' In х + — — y~l cos х.
X
163.	2/sinx 4-г/cos х = y3sin2x.
, 164. (x4 + y2+ l)dz/ + xi/dx = 0.
165.	y'— у cos x = y2 cos x.
Следующие нелинейные уравнения с помощью заме-
ны переменных свести к линейным или уравнениям Бер-
нулли и решить их:
166.	у' — tgf/ = e*—.
cos у
167.	у’ = у(ех + 1пх/).
168.	у' cos у + sin у = х + 1.
_JC
169.	уу’ 4- 1 = (х— 1) е 2 .
170.	у' + х sin 2у = 2xe_,:, cos’ у.
44
С помощью дифференцирования решить следующие
уравнения:
171.	J ty(t)dt =	173. J ty{t)dt =	(jf).
0	a
x	I
172.	у (x) = j у (/) d/ 4- e\	174. J у (xi) dt = ny (x).
о	0
§ 7. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
Г. Уравнения в полных дифференциалах,
ференциальное уравнение вида
М (х, у) dx + N (х, у) dy = 0
называется уравнением в полных дифференциалах, если его
часть представляет
и(х, у), т. е.
Диф-
(1)
левая
полный дифференциал некоторой функции
ди	ди
М d х + jV dy = du £ — dx + — dy,
dx	dy
Теорема. Для того чтобы уравнение (1) являлось уравнением
в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в неко-
торой области D изменения переменных х и у выполнялось условие
дМ dN
dy ~~ дх "
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид и(х, у)=С или
j М(х, у) dx + J N (х0, у) dy = С,
#0	У»
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
(si п х у + ху cos ху) dx + х2 cos ху dy = О,
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравне-
нием в полных дифференциалах:
дМ д
— = — (si п ху + ху cos ху) = х cos ху + х cos ху —
(2)
(3)
— х2у sin ху = 2х cos ху — х2у sin ху.
dN	д	,
— = — (х2 cos ху) = 2х cos ху — х2у sin ху,
дх	дх
так что
дМ _dN_
ду ~ дх *
45
т. е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть
уравнение в полных дифференциалах и
ди	ди
М = — = sin ху + ху cos ху, N = — = х2 cos ху,
дх	оу
поэтому
и (х, у) = J (sin ху+ xycosxy) dx + ф (у),
где ф(|/) пока неопределенная функция.
Интегрируя, получаем
и (х, у) = х sin ху + ф (у),
ди
Частная производная — найденной функции и(х, у) должна рав-
няться х2 cos ху, что дает
х2 cos ху -f- ф' (у) = х2 cos ху,
откуда ф'(у) =0, так что ф(у) = С. Таким образом
и (х, у) = х sin ху + С,
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения
х sin ху = С;ф
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений
можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегриру-
емые комбинации.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
(х3 + ху2) dx + (х2у + у3) dy = 0,	(4)
дМ	дМ
Решение. Здесь — = 2ху, — = 2ху, так что условие (2)
ду	дх
выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в пол-
ных дифференциалах. Это уравнение легко привести к виду du=0
непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепи-
шем его так:
ха dx + ху (у dx + х dy) + у3 dy = 0»
Очевидно,
( х* \
Xе dx = d *— , ху (у dx -г х dy) = ху d (ху) = d
\ 4 /
I у* \
V’dy=d Р- ,
\ 4 )
Поэтому уравнение (4) можно записать в виде
d(Trd(~J+d(Tr°
или
(ху)2
4^2
= 0,
4
46
Следовательно,
х* + 2 (ху)2 + у* = С
есть общий интеграл уравнения (4).
Проинтегрировать уравнения в полных дифференци-
алах:
175.	х (2х2 + у2)+у (х2 + 2у2) у' = 0.
176.	(Зх2 + бху2) dx + (бх2у + 4у3) &у = 0.
177.	(—*— 4- —+—^dx4-
UZx2+y2 х У '
178.	^Зх2 tg у — dx + ^х3 sec2 у + 4у3 +	) dy = 0.
179.	(2х + -2 + dx = dy.
\ х2у / ху2
, on /sin2x .	\<	. /	sin2x\ , n
180.	F X dx + I у------------I dy = 0.
\ У 1	\ У2 )
181.	(3x2 — 2x — y) dx + (2y — x + 3y2) dy = 0.
182.	( - xy- + 2xy — dx +
\K 1 + xa	x )
4- (К 1 +x2 + x2 — In x) dy = 0,
183 x dx 4- у dy । x dy — у dx _ q
/x2 + y2	x2
184, f sin у + у sin x + —') dx +
\	x /
+ (x cos у — cos x + —'j dy s=s 0.
\	У /
l85/+sin-xcosa^ dX+ (— + sinyU = 0.
cos2 xy	\cos2 xy j
1S6.2^ +	- 0,	- 1.
187. у (x2 + y2 + a2) dy + x (x2 + y2 — a2) dx = 0.
188, (3x2y 4- y3) dx + (x3 4- 3xy2) dy = 0.
47
2’. Интегрирующий множитель. В некоторых случаях, когда
уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах,
удается подобрать функцию g(x, у), после умножения на которую
левая часть (1) превращается в полный дифференциал
du = g/И dx 4- pN dy.
Такая функция g(x, у) называется интегрирующим множителем. Из
определения интегрирующего множителя имеем
д	д
— (gM) = — (g.V)
ду	дх
или
ди	dg	/дМ	d,V \
N — — М— = — — — g,
дх	ду	\ду	дх /
откуда
..ding ..ding дМ dN
N—— — M——=— — — 	(5)
дх	ду ду дх
Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнение
в частных производных.
Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно
легко найти решение уравнения (5), т. е. найти интегрирующий мно-
житель.
dg
1.	Если g = g(x), то — =0 н уравнение (5) примет вид
дМ dN
d In g ду дх
•-  — = ————— .
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего
от у, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (6) была функ-
цией только х. В таком случа In g найдется квадратурой.
Пример 3. Решить уравнение (x+y2)dx— 2xydy = 0.
Решение. Здесь М=х+у2, N= —2ху. Имеем
дМ _ dN
ду дх 2y-j-2y	2
N — 2ху	х ’
следовательно,
ding	2	1
-----= ——, In g = — 21nx, g = —,
dx---x	xa
Уравнение
x + У1 .	n	ХУ a n
—— dx —2—dy = O
x’	x?
48
есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно
представить в виде
dx 2х</ dp — у2 dx „	, Л , , У* \ п
— —----------------= О, откуда d (In х — — ) = О
X	X2	\	X I .
и общий интеграл данного уравнения
х = С-е^. ♦
/dN дМ\ 1
2. Аналогично, если — — — — есть функция только у, то
\ дх ду j М
уравнение (1) имеет интегрирующий множитель р = р(у), завися-
щий только от у.	____
Пример 4. Решить уравнение 2ху In ydx + (х2+у2 У t/a+1)dt/ —0.
Решение. Здесь М—2ху In у, N = х2-[-у'1У у2+[.
Имеем
dN дМ
дх ду 2х —2х(1пу+ О 1
М.	2ху In у	у 1
следовательно,
dIn р	1	I
—— = -— , Р=—.
ду	у	У
Уравнение
2ху In ydx x2-f-t/2Kys+ 1 , Л
	1	dy = О
У-----------------У
является уравнением в полных дифференциалах. Его можно запи-
сать в виде d(x2 In у) +у V у2 + 1 dy =0, откуда
хг1пу + — (4/2+1)2=С.
О
Пример 5. Решить уравнение (3x+2i/ + (/!)dx-l- (х+4х(/+
+5y2)d(/ = 0, если его интегрирующий множитель имеет вид р =
~ф(х4-у2).
Решение. Положим г=х+у\ тогда р = <р(г), и, следова-
тельно,
---- — ---- . — = ---- f  = ------- . -- = ----
дх dz дх dz ду dz ду dz
Уравнение (5) для нахождения интегрирующего множителя будет
иметь вид
дМ dN
d In р дМ dN dlnp ду дх
4-456
49
Так как М=3х+2у+у2, N=x+4xy+5y2, то
дМ dN
ду дх 1	1
N — 2Му	х + у2	г ’
dlnp	1	, « „
и, значит,----= —, откуда р = г, т. е. р=х4-у2. Умножая дан-
аг	г
ное уравнение на p=x+i/2, получим
(Зх2 + 2ху + 4ху2 4- 2у* + у*) dx +
+ (х2 + 4х2у + бху2 + 4ху3 + 5i/4) dy = Oj
Это есть уравнение в полных дифференциалах и его общий интеграл
согласно (3) будет
J (Зх2 + 2ху + 4ху2 + 2у3 + у*) dx +
Ха
4-f (-*0 + 4jco у + 6х0У2Ч- 4х0 у3 + 5у4) dy = С, 
№
или
х3 + х2у + 2х2 у2 + 2ху3 + ху* + у6 = С,
где
С = С + Х0 У^ + 2Xq Уд 2Хд У0 + Х0 (/(J + Уд + Xq4
После несложных преобразований будем иметь
(х 4- у) (х + у2)2 = С,
Проинтегрировать следующие уравнения:
189,	(1 — x2y)dx + х2(у— x)dy = 0, р = <р (х),
190.	(х2 4- У) dx — х dy =	0, р = ф (х).
191.	(х + у2) dx — 2ху dy	= 0, р = <р (х).
192.	(2х2 у + 2у 4- 5) dx 4- (2х® 4- 2х) dy = 0, р = <р (х).
193.	(х41пх — 2ху3) dx +	3x2y2d«/ = 0, р	=	<р(х).
194.	(х 4- sin х 4- sin у) dx	4- cos у dy = 0,	р	=	ф	(х).
. 195. (2ху2 — Зу3) dx + (7 — Зху2) dy = 0, р = ф (у).
196.	(Зу2 — х) dx + (2у® — бху) dy = 0, р = ф (х 4- У2).
197.	(х2 4- у2 4- 1) dx — 2ху dy = 0, р — ф (у2—х2).
198.	xdx4-ydy 4-x(xdy — ydx) — 0, р =< ф (х2 4- у2).
50
$ В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
Is. Уравнения первого порядка n-й степени относительно у'.
Пусть имеем дифференциальное уравнение
(у')п + Pi (х, У) (у')п~1 + • • -+Pn~i (х, у) у'+рп{х, у) =0,	(1)
Решаем это уравнение относительно у'. Пусть
У' = h (х,у), у' = f2(x,y), ,,, ty' =fk(x,y) (k<n)
— вещественные решения уравнения (1).
Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интег-
ралов:
Ф1(х, у, С) = 0, Ф2 (х, у, С) =0, S1, , ФА(х, у, С) = 0,
где Ф«(х, у, С)=0 есть интеграл уравнения у'=},(х, у) (i=l, ..., k).
Таким образом, через каждую точку области, в которой у' при-
нимает вещественные значения, проходит k интегральных линий.
Пример 1. Решить уравнение уу'2 + (х—у)у'—х=0.
Решение. Разрешим это уравнение относительно y'i
, у — х ± У(х — у)2 ~t~ 4ху .	,	. х
У' =------------------------; У = 1. У = — — ,
У
2у
откуда
у = х + С, р2 + х2 = С2»
Пример 2. Решить уравнение 2у'г—2ху'—2у+х2=0.
Решение. Разрешим уравнение относительно у:
х2
у = у'2 — ху'+ — 1
Положим у'=р, где р —параметр; тогда получим
х2
У = Р2 — хр + —,
Дифференцируя (2), найдем
dp = 2р dp — р dx — х dp + х dx4
Но так как dy=pdx, то будем иметь
р dx = 2р dp — р dx — х dp + х dx,
или
2р dp — 2р dx — х dp + х dx = О,
2р (dp — dx) — х (dp — dx) = 0, (2p — x) (dp — dx) = 0,
Рассмотрим два случая: 1) dp—dx = 0, откуда p = x + C, где С —
произвольная постоянная. Подставляя значение р в (2), получаем
общее решение данного уравнения;
у = Сх + С 2 + y ,
(2)
(3)
4*
51
В равенстве р=х + С нельзя заменить р на у' и интегрировать
полученное уравнение у*=х+С (так как при этом появится вторая
произвольная постоянная, чего не может быть, поскольку рассматри-
ваемое дифференциальное уравнение является уравнением первого
порядка).
2) 2р—л = 0, откуда p=xj2. Подставляя в (2), получим еще од-
но решение
у = х2/4.	(4)
Проверим, нарушится ли свойство единственности в каждой точ-
ке решения (4), т. е. является лн оно особым (см. § 11). Для этого
возьмем на интегральной кривой (4) произвольную точку Afo(xo, </«),
где </о=Хд /4. Будем теперь искать решение, которое содержится в
общем решении (3) и график которого проходит через точку
/	*о
х0, —— I > Подставляя кооордипаты этой точки в общее решение
\	4 /
(3), будем иметь
~ = Сх0 + С2 + у , или (с +	= 0,
откуда С — —Xq/2. Это значение постоянной С подставим в (3). Тог
да получим частное решение
ха ХцХ *о
У~ 2 ~ 2 + 4 '
(5)
которое не совпадает с решением (4). Для решений (4) и (5) имеем
соответственно г/' = х/2, у'=х—Xq/2. При х=х» обе производные
совпадают. Следовательно, в точке Л10 нарушается свойство единст-
венности, т. е. через эту точку проходят две интегральные кривые
с одной и той же касательной. Так как х0 произвольно, то единствен-
ность нарушается в каждой точке решения (4), а это означает, что
оно является особым.
Проинтегрировать следующие уравнения:
199.	4/ —9х = 0.
200.	t/1 —2уу'= y2(e2V — 1),
201.	у’1 — 2ху' — 8х2 = 0.
202,	х2 у'1 + Ъхуу' + 2i/2 = 0.
203.	у'1 — (2х + у) у' + х2 + ху = 0.
204.	у'1 + (х + 2) еу = 0.
205.	/э — уу'2 — х2у' + х2у = 0.
206.	у'2 — у у' + ех = 0.
207.	у'2 — 4ху' + 2у + 2х2 = 0.
52
2°. Уравнения вида f(y, y'}=Q и f(x, y')=Q. Если .урав-
нения f(y, у') =0 и fix, у')=0 легко разрешимы относительно у', то,
разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными.
Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы отно-
сительно у’.
А. Уравнение вида f(y, у')=0 разрешимо относительно у;
У = <Р(У').
Полагаем у' = р, тогда у=<р(р). Дифференцируя это уравнение и за-
меняя dy на pdx, получим
pdx = q>' (р) dp,
откуда
, Ф' (Р) , f ф' (р) , , г
dx =------dp и х = I -----dp + Ct
P	J P
Получаем общее решение уравнения в параметрической форме
х= fS-^dp + C, у = ф(р).	(6)
J Р
! dy \*	/ dy \*
Пример 3. Решить уравнение у = а, I —— I + 6 —) (а. " —
\	/	\ 1ЛЛ* /
постоянные).
dp
Решение. Положим ~ =р, тогда у‘=ар2 + Ьр1, dy=*
dx
=2apdp+3bp2dp, или pdx=2apdp+3bp2dp. Отсюда dx=2adp+3bpdp
3
и х=-2ар+ — Ьр2 + С. Общим решение будет
3
х = 2ар + — Ьр2 + С, у —ар2 + bp3t
Б. Если уравнение вида f(y, у')=0 неразрешимо (или трудно
разрешимо) как относительно у, так и относительно у', но допускает
выражение у и у’ через некоторый параметр 6
dy\
dx ) ’
то поступаем следующим образом. Имеем dy=pdx=ip(Odx. С дру-
ф' (/)
гой стороны, d</ = <p'(OdZ, так что if>(Odx=9'(/)dt и dx= df;
отсюда
f Ф' (0
х = I —— a/t
J Ф(0
у = ф(Л> Р = Ф(О
Таким образом, получаем общее решение данного дифференци-
ального уравнения в параметрической форме
*-jvfd,+c''=’<0'
53
Пример 4. Решить уравнение	8+(р')зЯ—1.
Решение. Полагаем p=cos3£ p'=p=»sin8/,
. dy — 3 cos31 sin t dt n cos’ t ,
p	sin3/	sin2/
Отсюда
x = (7з~ —= 3/ + 3ctg/ + C}
J \ sin2/ /
общее решение
x = 3/ + 3 ctg I + Ci у = cos8/1
В. Уравнение вида f(x, у') =0. Пусть это уравнение разрешимо
относительно х:
х = <р(у');
dy
Полагая у'=р, получим dx=qp'(p)dp. Но dx= — и, следовательно,
Р
dy
— = 4>'(p)dp< так что
Р
dy = РФ' (Р) dp и у = Jр<р' (р) dp + С,
Таким образом, находим
х = ф(р), Р = ]’ф' (P)pdp + C	(7)
— общее решение уравнения в параметрической форме (р — пара-
метр).
Замечание. В формулах (6)
как производную. В них р является
Пример 5. Решить уравнение а
и (7) нельзя рассматривать р
просто параметром.
dp , , ( dy V
1—l’4 V = *»
dx \ dx /
dp
Решение. Положим ---= р, тогда
dx
х = ар+6р2, dx = a dp + Ibp dp,
dy=pdx=apdp+2Z>p3dp, у = р2 + Ьр3 +С(
Z	о
Итак,
а	2
х = ар + Ьр3, у = — р3 + Ьр3 + С — общее решение.
Z	о
Аналогично случаю Б можно пытаться решать уравнение
f (х, у') =0 методом введения параметра /.
54
Проинтегрировать следующие уравнения: ;
208.	у = у'1^'.	* 214. у'1 х = е1^'. У
209.	у = еу’1у. * 215. х(1 + у’* )3/2 а.
L • £.	—
210.	х =	In £/' + sin у'.	216.	z/5 у в=аз,
211.	х =	у'1 — 2у' + 2.	217.	х = у' + siny'.
212.	у =	у' \пу'.	-218.	у = у’ (1 + у' cosy').
213.	у—(у' — Г)еу’.	219.	у = arcsinу' +
+ In (1 +	).
3®. Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнение Лагранжа имеет
вид
t/ = xq>(t/') + iHy'b
Полагая у'=р, дифференцируя по х и заменяя dy на pdx, при-
водим это уравнение к линейному относительно х как функции р.
Находя решение этого последнего уравнения x=r(p, С), получаем
общее решение исходного уравнения в параметрической форме:
к = г(р,С) </ = т(/>,С)<р(р)+Ф(Р) (Р — параметр).
Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые ре-
шения (см. § 11) вида у = <р(с)х+ф (с), где с—корень уравнения
с = <р(с).
Пример 6. Проинтегрировать уравнение у=2ху + In у'.
Решение. Полагаем у'=р, тогда z/=2xp+lnр. Дифференци-
руя, находим
dp
р dx = 2р dx + 2-* dp 4--,
Р
dx	1	dx	2	1
откуда р —— =— 2х — — или ——  -------------х — — ,
dp	р	dp	р	р‘
Получили уравнение первого порядка, линейное относительно х; ’
решая его, находим
С	1
х = — — — ,
Р3	Р
Подставляя найденное значение х в выражение для у, получим
окончательно
С	I	2С
х = —— —, у = In р +---------------— 2,ф
Р3	Р	Р
Уравнение Клеро имеет вид
У = ху’ +Ф ((/')<
55
Метод решения тот же, что и для уравнения- Лагранжа. Общее
решение уравнения Клеро имеет вид
у = Сх + ф (С);
Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое по-
лучается исключением р из уравнений y—xp+ty(p), x + ty'(p)=0.
Пример 7. Проинтегрировать уравнение у=ху'+ — (a=const).
2у‘
Решение. Полагая y'=pt
получаем
а
у=хр-^‘
Дифференцируя последнее уравне-
ние и заменяя dy на рАх, найдем
р dx = р dx + х dp
а
2р*
dp,
откуда
dp/x — — = О,
\ 2p2J
Приравнивая нулю первый
множитель, получаем dp=O, отку-
да р=С и общее решение исход-
_ а
ного уравнения есть р=Сх+ — ,
однопараметрическое семейство прямых. Приравнивая пулю второй
множитель, будем иметь
х = й/2ра,
а
Исключая р из этого уравнения и из уравнения У = хр+——,
zp
получим yi = 2ax—это тоже решение нашего уравнения (особое ре-
шение).
С геометрической точки зрения кривая уг=2ах есть огибающая
семейства прямых, даваемых общим решением (рис. 14).
Проинтегрировать следующие уравнения:
220.	у = 2ху' + 1п у'.
221.	у = х(1+у') + у'г.
222.	у = 2x1/ + Ип у’.
223.	у~ху"----Д
У
224.	у — ~ ху' -f ey'.
225.	у = ху' +	,
У
226.	у = xtf + у" .
227.	ху" — уу'~у+ 1=0.
228.	у = ху’ + aV 1 +/*.
229.	х = -А- + Д-,
у' у'
56
230.	Найти кривую, каждая касательная к которой
образует с осями координат треугольник постоянной
площади S=2 а2
231.	Найти кривую, для которой отрезок ' касатель-
ной, заключенный между координатными осями, имеет
постоянную длину а.
§ 9. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
-y^~ + a(x)i/24-Z>(x)</+c(x) = 0,	(1)
dx
где а(х), b(x), с(х)— известные функции, называется уравнением
Риккати (обобщенным). Если коэффициенты а, Ь, с в уравнении
Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных,
и мы сразу получаем общий интеграл
J ау2 4 by + с
Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не инте-
грируется в квадратурах.
Свойства уравнения Риккати. 1°. Если известно ка-
кое-нибудь частное решение yi(x) уравнения (1), то его общее
решение может быть получено при помощи квадратур,
В самом деле, положим
У = У1 (*) + z (х),	(2)
где z(x)—новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1),
найдем
““ +	+ а (х) (г/? + 2уг + г2) + b (х) (у + г) + с (х) = 0,
dx dx	v  j /	i
откуда, в силу того что (/,(х) есть решение уравнения (1) получим
dz
—— + а (х) (2У1 г + га) + b(x) z = 0,
ИЛИ
dz
— + о (х) га + [2а (х) t/i + b (х)] г = 0,	(3)
dx
Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли
(см § 6).
Пример 1. Решить уравнение Риккати
у'-у2+2е*у = е2х+ех ,	(4)
зная его частное решение i/i = e*.
Решение. Положим </=e’ + z(x) и подставим в уравнение
(4): получим
57
откуда
1 1
— — = х — С, или z =-----------।
z	С — х
Таким образом, общее решение уравнения (4)
1
У — ^х Л „
3 С — х
Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практиче-
ски более выгодной подстановка
У^М+Т&’
которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному
и' — (2ayi + Ь) и — а.
2°. Если известны два частных решения уравнения (1), то его
общий интеграл находится одной квадратурой.
Пусть известны два частных решения yt(x) и уг(х)
(1). Используя тот факт, что имеет место тождество
= — а (х) у, — b (х) у — с (х),
dx	1
представим уравнение (1) в виде
1 d (у — z/i) , , ,	,
-------------:---=— а (х) (у + yi) — b (х),
У — У1 dx
или
d
— [In (у — й)] = — а (х) (у + j/i)— b (X),
ах
Для второго частного решения г/а(х) аналогично находим
-7- [In [у — №)] = — а (х) (у + t/a) — b (х),
dx
Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем
1п^
уравнения
(5)
(6)
d ’
dx
= а(х) fa — sa),
У— Уа1
откуда
У — Уi _ ^efa(x)(y,(x)—У1(х)] dx
У— У2 ~
Пример 2. Уравнение
dy	тг
dx	х1	3
т - const
(Л
имеет частные решения
1 т
= ~ + 7? •
1	т
У»- --- — ~ •
*	X3
58
Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного урав-
нения
и — у, — I — dx
------= С е J , откуда
У — Уз
х2у — х — т
х2у — х + т
Проинтегрировать следующие уравнения Риккати,
зная их частные решения:
232.	у' е~х + у2- 2уех = 1 - е2х, У1 = е*.
233.	у' + у2— 2t/sinx + sin2x — cosx = 0, z/1 = sinx.
234.	xy' — у2 + (2x -г 1) </ = x2 + 2x, уг = x.
235.	x2y' = x2y2 + xy + 1, y,. = — l/x.
236.	Найти общий интеграл уравнения Риккати,
когда отношение коэффициентов не зависит от х, т. е.
а(х) : Ь(х) : с(х) =т : п : р (т, п, р — постоянные).
237.	Доказать, что уравнение Риккати сохраняет
свой вид при любом преобразовании независимой пере-
менной x=<p(t), где <р(/)—любая непрерывно диффе-
ренцируемая функция, определенная в интервале (t0,
/1), причем <р/(г') =/=0 на (to, t\).
§ 10. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ СЕМЕЙСТВ ЛИНИЙ.
ЗАДАЧИ НА ТРАЕКТОРИИ
Г. Составление дифференциальных	уравнений	семейств	линий.
Пусть дано уравнение однопараметрического	семейства	плоских
кривых
у=Ф(х,а) (а — параметр)!	(1)
Дифференцируя (1) по х, найдем
/ = <р*(х,а) ;	(2)
Исключая параметр а из (1) и (2), получаем дифференциальное
уравнение
F(x,y,y') = 0,	(3)
выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение
(3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).
Если однопараметрическое семейство кривых определяется
уравнением
Ф (х,у,а) = 0,
69
то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая
параметр а из уравнений
t Ф(х,у,а) = 0
ЗФ	ЭФ ,
------I- — У =0.
I дх	ду
Пусть теперь имеем соотношение
Ф(х,(/,а1,а211, i ,ап) = 0,	(4)
где at, аг. ап — параметры. Дифференцируя (4) п раз по х и ис-
ключая параметры at, аг, .... ап из (4) и полученных уравнений, при-
ходим к соотношению вида
F(x,y,y',y",lll,y(n))^O,	(5)
Это дифференциальное уравнение заданного л-параметрического се-
мейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл урав-
нения (5).
Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гн-
х2 у2
пербол — — —— = 11
а* 1
Решение. Дифференцируя это уравнение по х, получаем
2х	к
— — 2уу’ = 0. или —- = уу';
а2	а2
Умножим обе части на х, тогда х21а2 = хуу'. Подставляя в урав-
нение семейства найдем хуу'—у!«1.
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства
линий
(X \
“TL где а — параметрt
1 — е “ )
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х:
у' = е~х/а.
К
Из выражения для у' находим а = —----и, подставляя это вы-
1п/
ражение для а в уравнение семейства линий, получим
х
у=—~—Г 0— У')> или 4-х(1 — у') =0.
1п У
Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства
прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное еди-
нице.
Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой
xcosa + у sin а — 1 = 0,	(G)
где а — параметр.
Дифференцируя (6) по х, найдем cos а + у' sin а=0, откуда у'-
= —ctga, следовательно,
1	У’
sin а = —---- , cos a = —-------- 	,
УТ+^	Г1 + /2
60
Подставив sin а и cos а в (6), получим
— - ХУ — 4- —У —1=0, или у = ху' 4- К1 4- у'2 •
V'+y'2	/1+у'1
Составить дифференциальные уравнения следующих
семейств линий:
238.	у = а/х.	244.	у = ах2 + Ьх + е.
239.	х2 —у2 = ах.	245.	у = Q х 4-	+ С3 X
240.	у = а^а.	246.	(х — а)2 + (у — Ь)2 =
241.	у = Сх —С —С2.	247.	у = С1е*4-С2е-л.
242.	У = еЛ (ах + Ь).	248.	у — asm (х + а).
243.	у2 = 2Сх + С2.		
2°. Задачи на траектории. Пусть дано семейство плоских кривых
Ф(х,у,а) = 0,	(7)
зависящее от одного параметра а.
Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол а
с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется
изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, а =
-=л/2, то — ортогональной траекторией.
Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изого-
нальные траектории.
А. Ортогональные траектории. Составляем дифференциальное
уравнение данного семейства кривых (см. п. 1°). Пусть оно име-
ет вид
F (х,у,у‘) = 0;
Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид
F (х,у, —	= 0<
\ У /
Общий интеграл этого уравнения
(х,у,С) = 0
дает семейство ортогональных траекторий.
Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных
координатах
Ф(р,ф,с) = 0,	(8)
дФ
где а — параметр. Исключая параметр а из (8) и——=0, получаем
о<р
дифференциальное уравнение семейства (8): F(p, <р, р')=0 Заменяя
61
в нем р' на —р2/р', получаем дифференциальное уравнение семейства
ортогональных траекторий
I	Р3 \
F р,<р,— —~ = О,
\	Р 1
Б. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кри-
вые данного семейства под углом а, причем tga=£. Можно пока-
зать, что дифференциальное ура
внение изогональных траекторий
имеет вид
У' — k
Х,Ц, -------
i+ky'
Пример 4. Найти ортогональ-
ные траектории семейства линий
y = kx.
Решение. Семейство ли-
ний y=kx состоит из прямых,
проходящих через начало коорди-
нат. Для нахождения дифферен-
циального уравнения данного се-
мейства дифференцируем по х обе
части уравнения y = kx. Имеем
y’ = k. Исключая параметр k из
системы уравнений
РиС- 15	( y = kx,
I у' = k,
будем иметь дифференциальное уравнение семейства ху'=у. Заме-
няя в нем у’ на —\!у', получаем дифференциальное уравнение ор-
тогональных траекторий —х!у'=у, или	Полученное урав
ненне является уравнением с разделяющимися переменными; ин-
тегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий х2+«/2=С
(С^О). Ортогональными траекториями являются окружности с
центром в начале координат (рис. 15).
Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к
семейству х2+у2—2ах.
Решение. Данное семейство линий представляет собой семей-
ство окружностей, центры которых находятся на осн Ох и которые
касаются оси Оу.
Дифференцируя по х обе части уравнения данного семейства,
найдем х+уу'—а. Исключая параметр а из уравнений х2+у2=*2ах,
х+уу'—а, получаем дифференциальное уравнение данного семейства
х2—у2+2хуу'=0. Дифференциальное уравнение ортогональных тра-
екторий есть
Xs — у2 2ху
или у' =
2ху
х2 — у2 *
Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем х2 +
+ у2—Су. Интегральные кривые являются окружностями, центры ко-
торых расположены на оси Оу и которые касаются оси Ох (рис. 16).
Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол
у=ах2.
62
Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейст-
ва парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения
У’ 2
по х: у'=2ах. Исключая параметр а, найдем --= ~ , или у =
0,у
--------дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в
х
уравнении у' на — 1/у', получим дифференциальное уравнение орто-
гональных траекторий
1 2у dy х
Интегрируя, найдем у2—— ——i-C, или —4-уг=С, где С>0.
Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).
Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемни-
скат р2=а cos 2<р.
Р е ш е н ие. Имеем
p2=acos2<p, рр'=—asin2<p.
Исключая параметр а, получим дифференциальное уравнение
данного семейства кривых
Р' = —р tg2<p,
Заменяя р' на — р2/р', найдем дифференциальное уравнение семейст-
ва ортогональных траекторий
— р2/р' = — ptg2<p,
dp
откуда-----=ctg2q>d<p. Интегрируя, находим уравнение ортогональ-
ных траекторий
р2 = С sin 2ф4
63
Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лем-
нискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол
±45° (рис. 18).
Найти ортогональные траектории для данных се-
мейств кривых:
249. у* + 2ах = О, а > 0.	256. хг + уъ = 2ау.
259. у = ахп, а — параметр.	!
257. х2-----у2 = а2.
251.	у = аеах, о = const.	3
252.	cos у = ае~х.
253.	х2 4- — у2 = а2.
2
254.	х2 — у2, = а2.
255.	х* + yk —ak.
258. р = а (1 4- coscp).
259. у1 = 4 (х — а).
Рис. 18
$ 11. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Решение р = <р(х) дифференциального уравнения
F(x,y,y'} = 0
(1)
называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство
единственности, т. е. если через каждую его точку (хо, уо) кроме
этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке (хо, уо)
ту же касательную, что и решение р = <р(х), но не совпадающее с
ним в сколь угодно малой окрестности (хо, Уо). График особого ре-
шения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1).
64
dF dF
Если функция F(x, у, у') и ее частные производныеи —- непре-
рывны по всем аргументам х, у, у’, то любое особое решение урав-
нения (1) удовлетворяет также уравнению
dF(x,y,y')
(2)
ду'
Значит, чтобы отыскать особые решения уравнения (1), надо исклю-
чить у' из уравнений (1) и (2).
Полученное после исключения (/'из (1) и (2) уравнение
ф (*,(/) = О
(3)
называется р-дискриминантом уравнения (1), а кривая, определя-
емая уравнением (3), называется р-дискриминантной кривой (корот-
ко ПДК).
Часто бывает так, что ПДК распадается на несколько ветвей.
Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь
решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым
решением, т. е. нарушается л« единственность в каждой его точке.
Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения
ху' +у'г — у = 0,	(4)
(5)
Решение, а) Находим р-дискриминантную кривую. В данном
случае
F (х,У>У') = ху' + у'* —у,
и условие (2) принимает вид
dF
—- = х + 2(/' = 0,
ду'
отсюда у' = —х/2. Подставляя это выражение для у' в уравнение
(4), получаем
х2
^ = ~ —
Кривая (5) есть р-дискриминантная кривая уравнения (4): она со-
стоит из одной ветви — параболы.
б)	Проверяем, является ли р-дискриминатная кривая решением
заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4),
убеждаемся, что (/ =—х2/4 есть решение уравнения (4).
в)	Проверяем, является ли решение (5) особым решением урав-
нения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Пере-
пишем (4) в виде у=ху'+у'\ Это уравнение Клеро. Его общее рг-
шение
у = Сх + С\	(6J
Выпишем условия касания двух кривых y = tii(x) и у=Уг(х)
в точке с абсциссой х=х0:
МГо) = М*9)> Мхв) = (*<»)•
(7)
5-456
i !
65
Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе
выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим
кривым в точке с абсциссой х=хо-
х2
Полагая </j (х) =—----, у2 (х) = Сх + С2, , находим, что усло-
4
вия (7) принимают вид
2
%0	Хп
----— = Сх0 + С2,	- С .	(8)
4	2
Подставляя С=—хо/2 в первое из равенств (8), получаем
х2	х2	х2	х2	х2
ло	ло	о	л0	л0
—-----=—-------+------, или — —- =—--------,
4	2	4	4	4
т. е при С=—Хо/2 первое равенство выполняется тождественно, так
как Хо есть абсцисса произвольной точки.
Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая
кривая семейства (6), а именно та, для которой С=—Хо/2. Зна-
чит, у=—х2/4 есть особое решение уравнения (4).
г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а осо-
бое решение (5) является огибающей этого семейства прямых
(рис. 19). ♦
Огибающей семейства кривых
Ф (х,у,С) = О
(9)
называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается
некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касает-
Рис. 19
ся бесконечное множество кривых
из (9) *>.
Если (9) есть общий интеграл
уравнения (1), то огибающая семейст-
ва кривых (9), если она существует,
будет особой интегральной кривой
этого уравнения. В самом деле, в точ-
ках огибающей значения х, у, у' сов-
падают со значениями х, у, у’ для ин-
тегральной кривой, касающейся оги-
бающей в точке (х, у), и, следова-
тельно, в каждой точке огибающей
значения х, у, у' удовлетворяют
уравнению Г(х, у, у')=0, т. е. огиба-
ющая является интегральной кривой.
Далее, в каждой точке огибаю-
щей нарушена единственность, так
как через точки огибающей по одно-
му направлению проходит по крайней
мере две интегральные кривые: сама
огибающая и касающаяся ее в рас-
сматриваемой точке интегральная
*) Будем говорить, что кривые Г1 и Г2 касаются в точке Af0, если
они имеют в этой точке общую касательную.
66
кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой
интегральной кривой.
Из курса математического анализа известно, что огибающая вхо-
дит в состав С-дискриминатной кривой (коротко СДК), определя-
емой системой уравнений
Ф(х,у,С) = 0,
дФ(х,у,С)	(10)
дС
ществуют ограниченные по модулю
Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней 1) су-
частные производные
(11)
ЭФ I
-т- <Л4,
дх |
где М и N — постоянные;
дФ	дФ
2) —— =/= 0 или —— + О,
дх	ду
Замечание. Условия 1) и
ветви СДК, на которых нарушено
(12)
2) лишь достаточны, а потому
одно из этих условий, тоже мо-
гут быть огибающими.
Пример 2. Найти особые решения дифференциального урав-
нения
ху'г —2yy'-j~4x = 0, х > 0,	(13)
зная его общий интеграл
Х* = С(у — С).	(14)
Решение, а) Находим С-дискриминантную кривую. Имеем
Ф(х,у,С) н С (у— С) — х2,
так что
ЭФ
s у—2С,
дС
отсюда С=у/2. Подставляя это значение С в (14), получаем
2 V 2 )
откуда
(у—2х)(у4-2х)=0, или«/=±2Х;
(15)
Это есть С-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых
у=2х и у=—2х.
б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из
ветвей СДК является решением уравнения (13).
в) Докажет что каждое из решений (15) является особым ре-
шением уравнения (13). В самом деле, так как
6»
67
то на каждой ветви СДК имеем
I дФ
| дх
= | — 2х
; 2b
(предполагаем, что решение у(х) уравнения (13) рассматривается
на отрезке 0<а^х^й),
I 6Ф‘ I
—— = | С ] < Л7; здесь N = max | С |,
I ду I	CSG
где G — область допустимых значении С.
6Ф
Заметим, что на любой из ветвей СДК	= —2х =Н= О в области
дх
х>0, так что выполняется одно из условий (12). Значит, условия
(11) и (12) выполняются, а следовательно прямые (15) являются
огибающими парабол (14).
Итак, установлено, что каждое из решении (15) есть особое ре-
шение. ♦
В вопросах отыскания особых решений оказываются полезны-
ми следующие символические схемы:
ПДК ; О З-П2 = 0,	(16)
СДК = О-У2-33 = 0.	(17)
Схема (16) означает, что уравнение р-дискриминантной кривой
может распадаться на три уравнения:
• 1) 0 = 0 — уравнение огибающей;
2)	3 = 0 — уравнение геометрического места точек заострения
(возврата);
3)	П = 0 — уравнение геометрического места точек прикоснове-
ния интегральных линий, причем множитель П входит в ПДК в
квадрате.
Схема (17) означает, что уравнение С-дискрнминантной кривой
может распадаться на три уравнения:
1)	0 = 0 — уравнение огибающей;
2)	У = 0— уравнение геометрического места узловых точек, при-
чем множитель У входит в СДК в квадрате,
3)	3 = 0 — уравнение геометрического места точек заострения,
причем множитель 3 входит в СДК в кубе.
Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части
ПДК и СДК фигурировали в соотношениях (16) и (17).
Из всех геометрических мест только огибающая есть особое ре-
шение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упро-
щается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.
В отношении других геометрических мест (точек заострения, уз-
ловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный ана-
лиз в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый
множитель входит в ПДК в квадрате (и совсем ие входит в СДК)
указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек
прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый
множитель входит в СДК в квадрате (и совсем не входит в ПДК),
то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец,
если некоторый множитель входит в ПДК в первой степени, а в
СДК — в третье)!, то возможно наличие геометрического места точек
заострения.
68
Пример 3. Найти особые решения дифференциального урав-
нения
2у (у'	2) — ху'1 =0;	(18)
Р ё hi еиис Особое решение, если оно существуем определяет-
ся системой
[ 2у (у' + 2) — ху = 0,	(19)
( 2у — 2ху' = О,
где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием
его по у’. Исключив у’, получим р-дискриминантную кривую
У2 Ч- 4хт/ = О,
которая распадается на две ветви
у = 0	(20 )
у =— 4х.	(21)
Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями
уравнения (18).
Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми
или нет, найдем огибающую семейства
Су —(С —х)2 = 0,	(22)
являющегося общим интегралом для (18).
Выпишем систему для определения С-дискриминантной кривой
(Су—(С — х)2=0,
(у —2(С —х)=0,
откуда, исключая С, получаем
у2Ч-4ху = 0, или у = 0 и у =—4х,
что совпадает с (20) и (21). В силу того что на линиях (20) и (21)
условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии у=0 и у =
= —4х являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые ре-
шения заданного уравнения.
(С— х)2
Интегральные кривые (22) суть параболы у =———, а линии
у=0, у =—4х — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).
Пример 4. Найти особые решения дифференциального урав-
нения
У'' = 4х2.	(23)
Решение. Дифференцируем (23) по у':
2у' = 0.	(24)
Исключая у' из (23) и (24), получим х2=0. Дискриминантная кри-
вая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравне-
ния (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом
точек прикосновения интегральных кривых
Решениями уравнения (23) являются параболы
у=х2+С, у = — х2 + С
69
и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей
(рис. 21).
Из чертежа видно, что прямая х — 0 действительно есть геомет-
рическое место точек прикосновения интегральных кривых уравне-
ния (23).
Пример 5. Найти особые
решения дифференциального урав-
нения
(2 —Зу)2 = 4(1 -у).	(25)
Решение. Найдем ПДК. Ис-
ключая у' из системы уравнений
(2 - Зу)2 - 4 (1 - у) = О,
|2у' (2 — Зу)- = О,
получаем
(2 — Зу)2 (1 — у) = 0;	(26)
Преобразовав уравнение (25)
к виду
Рис. 20
dx
2-Зу
находим его общий интеграл
I/2 (1 — У) = (х — С)2.
Найдем СДК. Исключая С из си-
стемы уравнений
Рис. 21
iy2(l-y)-(x-C)2 = 0,
| 2 (х — С) = 0,
будем иметь
у2(1- у) =0.	(27)
Итак, из (26) и (27) имеем
ПДК н (1 -у) (2 —Зу)г = 0,
СДК = (1 - у) у2 = О,
Множитель 1—у входит в р-дискри-
*минант и в С-дискриминант в первой
степени и дает огибающую, т. е. функция
у=1 есть особое решение дифференци-
ального уравнения (25). Непосредствен-
ной подстановкой убеждаемся, что у=1
действительно удовлетворяет уравнению.
Уравнение 2—Зу=О, входящее во
второй степени в р-дискриминант и со-
всем не входящее в С-дискриминант,
дает место точек прикосновения (П2).
Наконец, уравнение у=0, входящее
70
УЧ
Megmg тачек
орикоснэбенщ;
Рис. 22
Огибающая
Место узлоЗв^
точек , х
в С-дискрпмииант во второй степени и совсем не входящее в р-дис-
крпминаит, дает место узловых точек (У2) (рис. 22).
Пример 6. Найти особые решения дифференциального урав-
нения
2	2
Зу = 2ху— — у' .	(28)
х
Решение, а) Ищем р-дискриминантную кривую. Дифферен-
цируя (28) ио у', получаем
4	х~
О = 2х— — у', откуда у' =	:	(29)
Подставляя (29) в (28), найдем уравнение ПДК!
ПДК = бу — х3 = 0.	(30)
б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у' через р,
перепишем (28) в виде
2
Зу = 2хр ——р2.	(31)
х
Дифференцируя обе части (28) ио х и учитывая, что у' = р, будем
иметь
рх2 — 2р2 = (2х3 — 4рх) откуда
dx
(х2 — 2р) (р — 2х	-- 0.
\ dx /
Приравнивая нулю первый множитель х2—2р = 0, получаем (29), а
dp
соотношение р — 2х —— = 0 дает
dx
Сх = р2,	(32)
Исключая параметр р из уравнений (31) и (32), найдем общее ре-
шение уравнения (28):
(Зу + 2С)2 = 4Сх31	(33)
71
(34)
в) Находим С-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33)
во С, будем иметь
2С = х3 — Чу.
Подставляя (34) в (33), получаем уравнение СДК:
СДК н (6р — х3) х3 = 0.
Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что
бу—х3 = 0 есть огибающая семейства полукубическнх парабол (33),
а х=0 есть геометрическое место точек заострения (множитель х
входит в уравнение СДК в кубе) (рис.
23). Подстановкой в уравнение (28)
убеждаемся, что у = х3/6 есть решение, а
х = 0 решением не является (при х = 0
уравнение (28) не имеет смысла). Та-
ким образом, решение у=х3/6 есть осо-
бое (огибающая семейства интеграль-
ных линии).
В следующих примерах най-
ти особые решения, если они су-
ществуют:
Рис. 23
260. (1 + у'2 )у2-4уу'-
— 4х = 0.
261.	г/'2 — 4у = 0.
262.	y'J — 4хуу' + 8у2 = 0.
263.	у'2 — у2 = 0.
264.	у' =ц у2+а. При каком значении параметра а
это уравнение имеет особое решение?
265.	(ху' + у)2 -г Зх5 (ху'— 2у) = 0.
266.	у (у — 2ху')2 = 2у'.
267.	8г/'1 — 12г/'2 =--27(у-х).
268.	(у' — 1)2 = у2.
С помощью С-дпскримпнанта найти особые решения
дифференциальных уравнений первого порядка, зная их
общие интегралы.
у2	у 2
269.	у = у'2-ху' +~, у^Сх + С2+~.
72
270.	(ху' 4 у? = у2 у',
271.	угу’г + у2= i,
272.	у" -уу' 4-е* = 0,
у (С — х) = С2.
(x-Cf + y2=\.
у = Сех +-~ .
273.	Зху'2 —буу' + х + 2у = 0, х2 + С(х — Зу) + С2=0
274.	у = ху' -+Уа2у'2 4- Ь2, у = Сх+ Уа2С2 + Ь2.
§ 12.	РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Проинтегрировать следующие уравнения:
' 275. у' = (х-у)2+1.
" xsdnx-y' + (sinx— xcosx) у = sin X COS X— X.
е 277.	4- у cos х = у4 sin 2х, п=%= 1.
----dx
 278. (х3 — Зхг/2) dx + (у3 — Зх2у) dy = 0.
• 279. (5ху — 4у2 — 6х2) dx + (у2 — 8ху 4- 2,5х2) dy = 0,
< 280. (Зху2 — х2) dx + (3x4/ — 8у2 — 1) dy = 0.
* 281. (у — ху2 In х) dx 4- xdy = 0, р = <р(х-у)
(2ху ех‘— х sin х) dx 4 е*2 dy = 0.
, 1
У =----------1
2х — у2
х2 4- xz/' = Зх + «Л
хуу' —У2 =
dx	dy
Лои. ---------- —-----------;
»--- х2 — ху + у2 2у2 — ху
j 287. (2х — 1) 1/— 2у =.
4288. (x-y+3)dx + (3x + y+ l)dy = O.
в 289. у' 4- cos	= cos х—У
• 290. у' (Зх2 — 2х) — у (6х — 2) = 0.
о 291. ху2 у' — у3 =
о 292, [ 1 4- еу | dx 4-	(1----—'j dy = 0, у |x=i — 1.
---- \	/	\	У /
* 282-
*283.
>284.
• 285.
73
* 293. (л-2 + у2) dx — ху dy = 0.
*294. (х — у 4- 2) dx 4- (х — у 4 3) dy = 0.
й295. (xy24y)dx— xdy = 0.
л 296. (х2 4 у? 4 2х) dx г 2ydy = 0.
297.	(х— 1) (у2 — у + 1) dx = (у 4 1) (х2 4 х 4 1) dy.
298.	(х — 2ху — у2) у’ 4 У2 = 0.
• 299. у cos х dx 4 (2у— sinx)dy = 0.
^300. y'—l = e*+4
301. 2 (x5 4 2x3y — y2x) dx 4- (y2 4 2x2y — x4) dy = 0.
* 302. x2 yn y' = 2xy' — y, n 4=— 2.
4 303. [3 (x 4 У) - «21 У' = 4 (x 4 У) 4 b2.
• 304. (х —- у2) dx -- 2ху dy ~ 0.	
*305. ‘ 306.	ху' -г У = У2 In х, у |*=| = — , sin (In х) dx — cos (In у) dy = 0.
е 307.	, = 1 / 9y2 —6t/4 2
	У V х2—2х-,5 '
* 308.	(5х — 7у4 1) dy 4 (х 4 У— l)dx = 0.
’309.	(х 4 У + 1) dx 4 (2х 4 2у — 1) dy = 0, y|*«i=2.
*310.	у3 dx 4 2 (х2 — ху2) dy = 0.
• 311.	,	„ / 1/4 2 4 У = 2 -2-4—- ,
	\х4 у — 1/
312.	Показать, что кривая, симметричная относи
тельно	центра 0(0, 0) к интегральной кривой уравне
ния 4x2y"—y2 = xy2, также будет интегральной кривой
этого уравнения.
313.	Найти интегральные линии дифференциального
уравнения у'-\-ху"—у=0, являющиеся прямыми.
314.	Найти кривую, зная, что площадь, заключенная
между осями координат, этой кривой и ординатой лю-
бой точки на ней, равна кубу этой ординаты.
315.	Площадь, ограниченная кривой, осями коорди-
нат и ординатой какой-либо точки кривой, равна длине
соответствующей дуги кривой. Найти уравнение этой
кривой, если известно, что она проходит через точку
М (0, 1).
Глава II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 13. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
(2)
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
F (*. У, У’, У",	У{п}) = 0
или, если оно разрешено относительно у<п),
У<п) = f(x, у, y',41s, y(n-l)).	(1)
Задача нахождения решения у=<$(х) уравнения (1), удовлетво-
ряющего начальным условиям
У[*=*0 Уо< У — Уо>' ’ ’> У |х=х.“Уо
называется задачей Коши для уравнения (1).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Если в уравнении (1) функция f(x, у, у', у",	1
а)	непрерывна по всем своим аргументам х, у, у', у", ...,у(«—*)
в некоторой области D их изменения,
df
б)	имеет ограниченные в области D частные производные --,
ду
df df df
,;::, g (n—i) no аргументам у, у', у", .., у’"-1), то найдется
интервал х0—Л<х<хп-|-Л, на котором существует единственное ре-
шение у=<р(х) уравнения (1), удовлетворяющее условиям
У	= У о, У |х=х0 = Уо  • > >. У(П~' ’ !х=х„ = У о1-1 ’ -
где значения х=х0, у = уо, у'=Уо> , yin~’-'! = Уц1-содержатся в об-
ласти D.
Для уравнения второго порядка y"=f(x, у, у') начальные усло-
вия имеют вид
У |х=х„ = Уо> У |х=лг., = Уо<
где л'о, Уо, у0 —данные числа. В этом случае теорема существования
и единственности геометрически означает, что через данную
точку Afo(xo, уо) плоскости хОу с данным тангенсом угла наклона
касательной у0 проходит единственная кривая
Рассмотрим например, уравнение у" = sin у' + е—х1у и началь-
ные условия
У |х=х<, = У О’ У |х=х„ = У О’
75
= — х е
В данном случае f(x, у, у') ^sin у'-\-ё~х^у. Эта функция опре-
делена и непрерывна при всех значениях х, у, у'. Ее частные произ-
водные по у и у' равны соответственно
df 2 -х’-и df ,
„• с ,	— = coso'
ду	ду’
и являются всюду непрерывными и ограниченными функциями своих
аргументов. Следовательно, каковы бы ни были начальные условия
= Уй’ У |х=х, Уо
существует единственное решение данного уравнения, удовлетворя-
ющее этим условиям, ф
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка
(1) называется множество всех его решений, определяемое форму-
лой у=(р(х, С,, С2, .... С„), содержащей п произвольных постоянных
С], С2, .... Сп, таких, что, если заданы начальные условия (2), то
найдутся такие значения С,, С2, .... Сп, что y=q>(x, Ct, С2, Сп)
будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим
начальным условиям.
Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных
значениях произвольных постоянных Сь С2.... Сп, называется част-
ным решением дифференциального уравнения (1).
Уравнение вида Ф(х, у, Ci, Сг... Сп)=0, которое определяет
неявно общее решение дифференциального уравнения называется
общим интегралом уравнения. Давая постоянным Ci, С2........ Сп
конкретные допустимые числовые значения, получим частный инте-
грал дифференциального уравнения. График частного решения или
частного интеграла называется интегральной кривой данного диф-
ференциального уравнения.
Пример 1. Показать, что y = CiX-\-C2 есть общее решение диф-
ференциального уравнения у"=0.
Решение. Покажем, что у=С,х-)-С2 удовлетворяет данному
уравнению при любых значениях постоянных Ct и С2. В самом деле,
имеем у' = С|, у" = 0
Пусть теперь заданы произвольные начальные условия у|х=х, =
=Уо, у'\х=х =Уо- Покажем, что постоянные С, и С2 можно подобрать
так, что 'у = С[Х-)-С2 будет удовлетворять этим условиям. Имеем у =
= С|Х + Са, у' —Ct. Полагая х = х0, получаем систему
I Уо — CjXq -f- С3,
I !/q = Ci.
из которой однозначно определяются С|=уои Сг=уо-~хоуо-. Таким
образом, решение у=у0(х—х0)4-//0 удовлетворяет поставленным на-
чальным условиям. Геометрически это означает, что через каждую
:точку Л1о(«о, !/о) плоскости хОу с заданным угловым коэффициентом
проходит единственная прямая.
Задание одного начального условия, например у[х—Ха =Уо, опре-
деляет пучок прямых с центром в точке Af0(x0, t/0). т. е. одного на-
чального условия недостаточно для выделения единственного ре-
шения.
76
316.	Дифференциальное уравнение у" = 2у'У/ име-
ет два решения y\(x)=0, yi(x) sx3/3, удовлетворяю-
щих начальным условиям у|х=о=О, у/|.х=о=0. Почему
результат не противоречит теореме существования и
единственности решения задачи Коши?
317.	Могут ли графики двух решений данного урав-
нения на плоскости хОу касаться друг друга в некото-
рой точке (х0, уй} а) для уравнения у'=х2-\-у\ б) для
уравнения у" — х^-^-у2-, в) для уравнения у"' =х2+у2?
В следующих задачах показать, что данные функ-
ции являются решениями указанных уравнений:
318.	y = x(sinx— cosx), у" + у = 2 (cos х -h sin х).
319.	у = х21пх, ху"' — 2.
320.	х -t- С = у = у'\
п	[ х —— 1 е , .	.. и .
321.	{	(х — 1) у = 1.
= /е',
322.
;4
x = G + T,
у = с2 + 4-
О
у"у'= 1.
Показать, что данные функции являются общими
решениями соответствующих уравнений.
323.	у ~ Qs'hx+ Qcosx, у"+у = Q
324.	у =	+ С2е1Х + 1, у" — Зу' + 2у = 2.
Показать, что данные соотношения являются интег-
ралами (общими или частными) указанных уравнений.
325.	(х — Q2 Д (у — С2)2 — 1,
У"=(1+/)3/2.
326.	у2 = 1 + (1 - х)2, у'2+ уу" =1.
§ 14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допу-
скающих понижение порядка.
I. Уравнение вида y("> = f(x). После n-кратного интегрирования
получается общее решение
77
J. .J;w^+C,	+	4-
n
+ •••+C„_1x + Cn.
II.	Уравнение не содержит искомой функции и ее производны'х
до порядка k—1 включительно:
F (х, у'к1, y(fe+l) ,,:,, г/'!))=0.
Порядок такого уравнения мо?кно понизить на k единиц замени '
y(k>(x) =р(х). Тогда уравнение (1) примет вид
F (X, Р, р' р<П-к)) =0.
Из последнего уравнения, если это возможно, определяем p=f(x, Ct,
С2, .... Сп-к), а затем находим у из уравнения у''''=/(х,	С2, ,
Cn-k) fe-кратным интегрированием.
III.	Уравнение не содержит независимого переменного:
F (У, У’ У”,	</">)= 0;
Подстановка у’ = р позволяет понизить порядок уравнения на
единицу. При этом р рассматривается как новая неизвестная функ-
ция от у. р=р(у). Все производные-у', у",	i/(n> выражаются через
производные от новой неизвестной функции р по у.
У =~Г = Р<
dx
„ dp	dp dz/	dp
u = — =---------= p----
dx	Ay dx	Ay
,„ d / dp', A [ Ap\ Ay
У = — P — = — P — — =
dx \ Ay j Ay \ Ay / dx
Подставив эти выражения вместо у', у",	j/(n> в уравнение, полу-
чим дифференциальное уравнение (п—1)-го порядка.
IV.	Уравнение F(x, у, у', .... у,п 1) = 0, однородное относительно
аргументов у, у', у”.(/'">, т. е.
'F (х, ty, ty’ tyW) =tk F (x, y, y’ , , > ; yW) i
Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу под-
• f2dj:	л,
становкои y=eJ , где z— новая неизвестная функция от х: 2 —
=z(x).
V.	Уравнение, записанное в дифференциалах,
F (х, у, Ах, Ay, d2:/, ; ; ; , у) = 0,
в котором функция F однородна относительно своих аргументов х,
у, dx, Ay, А^у.Апу, если считать х и dx —первого измерения, а у,
78
dy, d2y и т. д. — измерения т. Тогда — будет иметь измерение
dx
d2//
in - 1, -—— — измерение т—2 и т. Д.
dx2
Для понижения порядка применяется подстановка х=е', у-=
= иет‘. В результате получается дифференциальное уравнение между
а и t, не содержащее явно t, т. е. допускающее понижение порядка
на единицу (случай III).
Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка
дифференциального уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения y"' = sin x+cos х.
Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение,
имеем:
у” = — cos х + sin х + Ci,
у' = — sin х — cos x + Cix + C2,
№
у — cos x — sill x + Ci — + C^x + C3i
In х
= — и выделить
х2
Пример 2. Найти общее решение уравнения у’"
решение, удовлетворяющее начальным условиям y|I=l = 0, y'|x=i = l,
i/"|x=i=2.
Решение. Интегрируем это уравнение последовательно три
раза:
У
С 1п х	In х
I-Cl,
X
У' = — In2 x — In X + C1X + C2
(1)
У = - ~ In2 x + Ci + C2x + C31
Найдем решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Подставляя начальные данные y|x=i = 0; y'|x=i = 1, у"|х=.1 = 2 в (1),
будем иметь
~‘+С2+С3 = °, Ci+C2 = l, -1Н-С1=2.
Отсюда С(=3, С2=—2, С3 = '/г. Искомым решением будет
х	3	1
У = -— 1п2х + — х2-2х+ — ,
Пример 3. Решить уравнение у"'= У" 1 + (у")2-
Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции у
и ее производной, поэтому полагаем у"=р. После этого уравнение
примет вид
79
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
_ -(х+с, )
р = ---------------------- ;
2
Заменим р на у"'.
«x+G __ Р-(*+С1)
., v	“	t:
Интегрируя последовательно, будем иметь
pX-f-Ct । „—_______________________________р—(x+Ct j
у' = ------1Т-------+ С2 и у = J-------1-------4- С2х + G,
ИЛИ
у — sh (х -|- С,) + С2х 4- С2.
Пример 4. Решить уравнение xyv—ylv=0.
Решение. Уравнение нс содержит искомой функции и ее про-
изводных до третьего порядка включительно. Поэтому, пола1ая
t/IV = р, получаем
dp п	IV <•
х-*-~—р = 0, откуда р — CiX, y =Ctx.
dr
Последовательно интегрируя, найдем
у'”=С1 ^-+С2, у" = С^ + Сгх + Сз,
X4	X2
== Ci + С2 — + С3Х + C4l
Xs.	X3	X2
y = Ct — -И С2 — + С3 — + Ctx + C5i
120	о	2
или
у —	4- С2х3 -f- С3Х2 -f- Cix 4- С^,
где Cl=C1/120, C2=C2/6, C3 = C3/2.
Пример 5. Решить уравнение (/"4-y'2=2e_f.
Решение. Уравнение не содержит независимого переменно-
dp
го х. Полагая у'=р, у" = р —. получаем уравнение Бернулли
dp
dp
Р — 4- Р2 = 2е-’.
dp
Подстановкой рг—г око сводится к линейному уравнению
4- 2z = 4е—у,
dp
общее решение которого z = 4e'“+Cie~2u. Заменяя z на р’^у'2, по-
лучаем
v- = ±	+ с^~2у.
dx
80
Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь
х -|- С2 = 3 — V4ev Н- Clt откуда с-'1 4- С\ = (х + С2)2,
гдеС,=С|/4
Это есть общий интеграл данного уравнения.
Пример 6. Решить уравнение хгуу"=(у—ху')2.
Решение. Данное уравнение однородно относительно у, у', у".
Порядок этого уравнения понижается на единицу подстановкой у =
f z dx
= eJ , где г — новая неизвестная функция от х. Имеем
, I 2 <|Г „ , , , С2
У = ze , у” = (г' + г2) е1
Подставляя выражения для у, у', у" в уравнение, получаем
» . , ,	2 f z dx / f z dx f г dxi2
x2(z' H- г2) e J = (e’	— хге ) >
r	2fzdr
Сокращаем на e 1	:
x2 (г’ + г2) = (I—хг)2, или х2г' + 2хг = 1.
Это уравнение линейное. Левую часть его можно записать в виде
(х2г)' = 1, откуда
I	С
х2г = х + Ci, или г = — 4- — .
х	х2
Находим интеграл:
С	С / 1	С. \	С,
I г dx =	— 4- — dx = In |х| — — 4- In Сг.
J	J \ x	x2 )	x
Общим решением данного уравнения будет
-	с1	__ с,
у = е' гйХ ~ elu lr| — Т + |1,С1 , или у = С2хе х ,
Кроме того, уравнение имеет очевидное решение у = 0, которое полу-
чается из общего при С2=0.
Пример 7. Решить уравнение х3у"=(у—ху')2.
Решение. Покажем, что это уравнение — обобщенное одно-
родное. Считая х, у, у', у" величинами 1-го, m-го, (т—1)-го и
(т—2)-го измерений соответственно и приравнивая измерения всех
членов, получаем
3 4-И — 2) = 2ш,	(2)
откуда т = 1. Разрешимость уравнения (2) является условием обоб-
щенной однородности уравнения.
Сделаем подстановку х=е‘, у=пе(. Так как
dy / du \
—	— 4- и ef
dy d/ \ df / dti
~:— =--------------;------= —~ 4- u,
dx dx	ef d/
"d7”
6-456
81
<1 / dy \ d2u du
d2y dt \ dt J dt2 ' dt __t / d2u i du \
dx2 dx	ez 6	\ ri/2 ‘ dt ) ’
d/
то данное уравнение после сокращения на множитель е2‘ примет вид
d2u ! du t du \2
d/2 ' "dt = \"dt / 1
du	d2u	dp	dp	_
Положив —=p, —— = p—.получим p------------------\-p = p2i Отсюда
d^	dZ2	du	du
dp
p = 0 пли — +l = p. Интегрируя второе уравнение, найдем
du
du
p = 1 + Cie", или — = 1 + C^e".
dt
Общее решение этого уравнения будет
Возвращаясь к переменным х и у, получаем общее решение данного
уравнения:
у — х In---------,
Сгх + Сг
Случай р=0 дает и = С или у=Сх— частное решение, которое полу-
чается из общего при С^е-0'; С2=0.
Замечание. При решении задачи Коши для уравнений выс-
ших порядков целесообразно определять значения постоянных С<
в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравне-
ния. Эго ускоряет решение задачи и, кроме того, может оказаться,
что интегрирование значительно упрощается, когда постоянные Ci
принимают конкретные числовые значения,в то время как при про-
извольных Ci интегрирование затруднительно, а то и вообще невоз-
можно в элементарных функциях.
Пример 8. Решить задачу Коши у"=2у2-, у|1=0=1, </'|х=о=1.
Решение. Полагая у' = р, получаем
откуда
р2 = у4 Ч- Ct, или'..	= Vу4 + С1;
dx
Разделяя переменные, найдем
х + С2= I (у4 + Cj) dy.
82
В правой части последнего равенства имеем интеграл от дифферен-
циального бинома. Здесь т=0, п = 4, р = —1/2, т. е. неинте!рпруемый
случай (см [11]).
Следовательно, этот интеграл не выражается в виде конечной
комбинации элементарных фхнкций. Однако если использовать на-
dy
цальные условия, то получим С, = 0. Так что -у- = у2, откуда, учи-
тывая начальные условия, окончательно находим у—----.
1 —х
Пример 9. Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны
пропорционален длине нормали.
|у"|
(3)
Решение. Пусть у=у(х) — уравнение искомой кривой. Ее
(1 -J- „-2)3/2
радиус кривизны R = ——'-У '-----> Длина нормали MN кривой
равна (рис. 24): MN= 1+у'2 ;
Определяющее свойство кривой выражается дифференциальным
уравнением
1+у'2	.
где k — коэффициент пропорциональности, могущий принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Перепишем уравне-
ние (3) в виде
2у'у"	2у'
1 + У'2 ky '
Интегрируя, находим
1П (1 + у'2) = (In |«/| + In или= 1' I
k	dx r '
Разделяя переменные и интегрируя еще раз, получаем
„ . С_________________________
— 1 .
х
^Г-1
общий интеграл исходного уравнения (3).
6*
83
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1)	k = — 1. Тогда будем иметь
и после интегрирования —
х + С2 = - УС^-у2:
Отсюда получаем (х-ТС2)2 + уг=С2. Искомые кривые — окружности
произвольных радиусов с центрами на осп Ох.
2)	k = —2. В этом случае приходим к уравнению
Полагая ц= —
у 2
(1—cos t), найдем что
Таким образом, искомые кривые определяются в параметрической
форме уравнениями:
x + Ct = ^-(l — sin/), у = -у- (1 — cost).
Это — циклоиды, образованные качением по оси Ох окружностей
произвольных радиусов.
3)	В этом случае имеем
откуда
^2	_ ^3
У +У У2— С, =с1е с‘ , у — У у2 — С] = сх е С‘
Складывая полученные равенства, будем иметь
это — цепные линии.
4)	k = 2 Тогда будем иметь
х + С2 = f-----, или х + С2 = 2Сх д /~ У
J -./jL .	V Сх
I С1
«4
Отсюда (x-f-C2)2 = 4Cl(</—Ci); это — параболы, оси которых парал-
лельны оси Оу.
Проинтегрировать следующие уравнения:
327.	yiv = х.
328.	у'" — х + cos х.
329.	/'(х + 2)5= 1; у(- 1) = -L_, у' (- 1) = - 1/4.
330.	/ = хе\ у(0) = /(0) = 0.
331.	у" = 2х 1пх.
332.	ху" = у'.
333.	ху" + / = 0.
334.	ху" = (1 + 2хг)у'.
335.	ху" = у' + х2.
336.	х In х-у" = у'.
337.	ху’ = /1п-^—-,
К
338.	2у" = -^- + 4: ИО	=
х у	5	2
339.	у'" =УГ1—у"\
340.	ху"' — у" = 0.
341.	/ = К1 +у'г,
342.	у’ = /\
343.	у" = У1-у'\
344.	у" = 1 + if.
345.	у" = /ГТ/.
346.	у" = у' In/; у (0) = 0, у' (0) = 1.
347.	/+/+2 = 0, у(0)=0, £/'(0) = —2,
348.	/ = / (1 + /).
349.	3/= (1 +/Т2.
350.	у"' + у"г = 0.
85
351.	уу" = у'\
352.	/ = 2г/г/'; г/(О) = г/'(О) = 1.
353.	Зу'у" = Чу- г/(О) = г/'(О)= 1.
354.	2/= Зг/2; г/(-2)=1, /(-2) = -1.
355.	yt/' + у'2 = 0.
356.	уу" = у' + у' <
357.	уу" = 1 + У'2-
358.	2г// = 1 + у’*.
359.	tfy" = — \\ г/(1)=1, /(1) = 0.
360.	уу" - У'2 = у2у'.
361.	/ = е2>'; г/(0) = 0, /(0) = 1.
362.	Чу у" — Зу/2 = 4/.
363.	у'" = Зуу'; у (0) = у' (0) = 1, у" (0) = 3/2.
364.	Найти плоские кривые, у которых радиус кри-
визны пропорционален кубу нормали.
365.	Определить форму равновесия нерастяжимой
нити, на которую действует нагрузка так, что на каж-
дую единицу горизонтальной проекции нагрузка одина-
кова (цепи цепных мостов).
366.	Найти время, нужное для того, чтобы упасть на
Землю с высоты 400 000 км (приблизительное расстоя-
ние Луны от центра Земли), если эта высота исчисляет-
ся от центра Земли и если радиус Земли равен при-
близительно 6400 км.
367.	Найти закон движения материальной точки
массы т по прямой ОА под действием отталкивающей
силы, обратно пропорциональной третьей степени рас-
стояния точки х=0М от неподвижного центра О.
368.	Тело массой т падает с некоторой высоты со
скоростью v. При падении тело испытывает сопротивле-
ние, пропорциональное квадрату скорости. Найти за-
кон движения падающего тела.
369.	Найти кривую, проходящую через начало ко-
ординат и такую, что площадь треугольника, образо-
ванного касательной к кривой в некоторой точке, орди-
натой этой точки и осью Ох, пропорциональна площа-
86
ди криволинейной трапеции, образованной кривой,
осью Ох и ординатой этой точки.
370.	Определить кривую, у которой радиус кривиз-
ны равен постоянной величине.
§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА
Г. Линейная независимость функций. Определитель Вронского.
Определитель Грама. Пусть имеем конечную систему из п функций
у2(х), .... уп(х), определенных на интервале (а, Ь). Функции
У\(х), Уэ(х), ..., Уп(х) называют линейно зависимыми на интервале
(а, 6), если существуют постоянные аь а2, ..., ап, не все равные нулю,
такие, что для всех значений х из этого интервала справедливо тож-
дество
“1У1 W + «2У2 W Н----Н ап уп (х) = 0.
Если же это тождество выполняется только при а| = а2 = ... = ап = 0,
то функции у\(х), у2(х). уп(х) называются линейно независимыми
на интервале (а, Ь).
Пример 1. Показать, что система функций 1, х, х2, х3 линейно
независима на интервале (—оо, +оо).
Решение. В самом деле, равенство а,-1 + а2х + а3х2-|-
+ а4х3 = 0 может выполняться для всех х£ (—оо, -|-оо) только при
условии, что ai = a2=a3 = a4=0. Если же хоть одно из этих чисел
не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен
степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более,
чем при трех значениях х из данного интервала.
Пример 2. Показать, что система функций е*1*, е*2*, е*’*, где
kt, k2, /г3 попарно различны, линейно независима на интервале
—оо<х<-|-оо.
Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система
функций линейно зависима на этом интервале. Тогда
cqe^1* + а^е*1* + age*1* = 0	(I)
на интервале (—оо, -|-оо), причем, по крайней мере, одно из чисел
(Xi, а2, аз отлично от нуля, например a3^0. Деля обе части тождест-
ва (1) на е*1*, будем иметь
«1 + Озе^2-*1'* + a3e(ft,—= 0.
Дифференцируя тождество, получаем
«2 (k2 — kJ	+ a3 (k3 — kJ	= 0,	(2)
Делим обе части тождества (2) на е<*!—
aa(fei!-fei) + aJ(fe1-*i)e<fc«-ft2>x =0,	(3)
Дифференцируя (3), получаем
«I (k3 — kJ (k3 — kJ Jk‘~k^x = 0
что невозможно, так как a3^=0 по предположению, k3^k{, k2^kk2
по условию, а	'
87
(4)
Наше предположение о линейной зависимости данной системы
функций привело к противоречию, следовательно, эта система функ-
ций линейно независима на интервале (—оо, 4-ос), е. тождество
(1) будет выполняться только при а1 = и2=а3 = 0.
Пример 3. Показать, что система функций eaxsin (Зх, еах cos 0х,
где Р#=0, линейно независима на интервале —оо<х<4-оо.
Решение. Определим значения а, и а2, при которых будет
выполняться тождество
aje0* sin Рх + o^e01* cos (5x = 0;
Разделим обе его части на е“х#=0:
ccj sin Рх + «2 cos fix = 0;	(5)
Подставляя в (5) значение х=0, получаем а2=0 и, значит, dj sin (Jxss
= 0; но функция sin рх не равна тождественно нулю, поэтому а, = 0.
Тождество (5), а следовательно, и (4) имеют место только при а,=
= а2=0, т. е. данные функции линейно независимы в интервале
—оо<х<4-оо.
Замечание. Попутно доказана линейная независимость три-
гонометрических функций sin Рх, cos Рх.
Пример 4. Доказать, что функции
/	Л \	/	л \
sin х, sin х Н-----, sin х — —
\	8 /	\	8 /
линейно зависимы	в	интервале	(—оо,	-Т°°)-
Решение. Покажем, чго существуют такие числа а,, а2, а3,
не все равные нулю, что в интервале —оо<х< + оо справедливо
тождество
(6)
/	л \	/	л \
a3 sin х 4- a2 sin х 4------------+ a3 sin х — —- = 0.
\	8 /	\	8 /
(7)
Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например,
х=0, х=л/4, х = л/2. Тогда получим однородную систему трех урав-
нений с тремя неизвестными ai, a2, a3:
a2 sin
Я	. Л
— — a> sin — = 0,
8	8’
1	, .Зя . л .
—— + a2 sin — + a3 sin — = 0,
V2	8	8
(8)
5л	3л
a3 + «2 sin — + a3sin— = 0;
О	о
Определитель этой системы
0
1
2
1
Зл
sin —
8
88
Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения,
т. е. существуют числа аь а2, а3, среди которых имеется по крайней
мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел
«1, а2, а3 возьмем, например, два первых уравнения системы (8)1
л	л
a., sin — — a, sin — = О,
2	8	3	8
3	л
-----h a2 sin — л + a3 sin — = О,
8	3	8
,,	„ я
Из первого уравнения имеем а2 = «з, из второго otj = —2 cos —г- -CQjj
8
Полагая a3=l, получим ненулевое решение системы (8):
aj = L
ах = — 2 cos , а.> = 1,
Покажем теперь, что при этих
будет выполняться для всех х £
ct! sin x + a2 sin
значениях	аь	а2,	«з	тождество (7)
(—оо, 4-оо)*).	Имеем
/	л	\
ч- ссд sin х — — =
\	о	/
л	л
= — 2 cos — sin х + 2 sin х cos —~ = Of
8	8
каково бы ни было х. Следовательно, система функций (6) линейно
зависима на интервале—оо<х<; + оо.
Замечание. Для случая двух функций можно дать более
простой критерий линейной независимости. Именно, функции ци (х)
и <р2(х) будут линейно независимыми на интервале (а, Ь), если их
„ /<Рх (*) , Д
отношение не равно тождественно постоянной ----------const на
\<₽2 (X)	/
<Р1 (х)
этом интервале; если же -------const, то функции будут линейно
Фа (х)
зависимыми.
Пример 5. Функции
л
ле 0<х<—, так как
2
интервале.
Пример 6. Функции
tg х и ctg х линейно независимы в интерва-
tgx
их отношение -----= tg2x^ const в этом
ctgx
тервале
sin 2х и sin х cos х линейно зависимы в ин-
si п 2х _
так как их отношение ------------------ =
sin х cos х
> Линейную зависимость функций sin х, sin
можно установить , если заметить , что sin
л
= 2 cos —— sin х, или sin
8
^0.
1	л
— 2 cos — sin x =
I	8
89
2 si n x cos x
------------s2 = const в этом интервале (в точках разрыва
si В X COS X
sin 2х
функции-----------доопределяем это отношение по непрерывности).
sin х cos х
Пусть п функций yjx), Уз(х), уп(х) имеют производные
(л—1)-го порядка. Определитель
 ,уп] =
Уг(х) У2(х)	//л(т)
у\ (х) У 2 (х)  у'п (х)
у\" ° (х)у^ 1>(х)  у'-"	(л-)
называется определителем Вронского для этих функций. Определи-
тель Вронского вообще является функцией от к, определенной в не-
котором интервале
Пример 7. Найти определитель Вронского для функций i/i(x) =
=е/?|Х, i/2(x) = ek-x, у3(х) = екаХ.
Решение. Имеем
еМ / ek,x
W' [У1, У2, </з] =
ktek‘x
k2x^x
k,ek>x
k^k‘x
k3ek'X
kf^x
= ^k‘+k‘+k‘)x (k2 - kJ (k3 - kJ (k3 - kJ.
Пример 8. Найти определитель Вронского для функций: i/,(x) =
/	л \	/	Л \
sin х, y2(x)=sin х + — , у3(х) = sin х — — L
\	О J	\	О /
Решение. Имеем
так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.
Теорема. Если система функций у\(х), у2(х),..., Уп(х) линейно за-
висима на отрезке[а, 6], то ее определитель Вронского тождествен-
но равен нулю на этом отрезке.
/	п \	/	л \
Так, например, система функций sinx, sin х + —- , sin х——-I
\	в /	\	о /
линейно зависима в интервале (— оо, + оо), и определитель Вронско-
го этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см примеры
4 и 8).
Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости си-
стемы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель
Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае,
SO
когда данные функции образуют линейно независимую систему на не-
ги горем интервале.
Пример 9. Рассмотрим две функции:
Графики их имеют вид, указанный на	рис 25
рис. 25.
Эта система функций линейно независима, так как тождество
ai!/i (*)+«2!/2(х) sO выполняется только при а| = а2=0. В самом де-
ле, рассматривая его на отрезке О, — , мы получаем агУгМ^О,
имеем
откуда «2=0, так как г/2(^)^0; на отрезке же , 1| i
atyt (х)==0, откуда «1=0, так как i/i(x)^<) на этом отрезке.
Найдем определитель Вронского W'fz/t, у 2] системы. На отрезке
10, —1
2
Таким образом, определитель Вронского W[ylt z/2]s0 на отрезке
[0, 1].
Пусть имеем систему функций yt(x), У2(х),уа(х), заданных на
отрезке [а, &]. Положим
ь
(Уе yi) = f yi (х) yj W dx> *’ I = 1 ’ 2- •1 •  n-
a
91
Определи t ель
(У к Уд (У|. Уд    (У1.Уп)
Г (У1 . V-2 . : • • , Уп) = (У2 , У1 ) (У2 , !/3) ' • ' (У2 • Уп)
(уп, Уд (Уп< Уд “• (Уп- Уп)
называется определителем Г рама системы функций {у к (х)}.
Теорема. Для того чтобы система функций уДх), у2(х),у» (х)
была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее опреде-
литель Г рама равнялся нулю.
Пример 10. Показать, что функции yi = x, i/i = 2x линейно зави-
симы на отрезке [0, 1].
Решение. Имеем
(Л1. Уд = j х2 dx = — ; (yL, уд = (,(/2, уд =
Г	2	С	4
2x2dx = —; (уг, Уд = \ 4хгбх = —;
2
3
Г (Ус< Уд —
_4
3
= 0,
£
3
следовательно, функции (д(х) и Уг(х) линейно зависимы.
Исследовать, являются ли данные функции линейно
независимыми в их области определения.
371. 4, х.
372. 1,2,х,х2.
373.	х, 2х, хг.
374.	еЛ, хеА, х2ех .
375.	sin х, cos х, cos 2х.
376.	1, sin х, cos 2x.
377.	5, cos2 x, sin2 x.
378.	cos x', cos (x + 1)> cos (x — 2).
379.	1, sin 2x, (sin x — cos x)2.
380.	x, (x > 0).
381.	lgax, lga x2 (x > 0).
382.	1, arcsin x, arccosx.
383.	5, arctgx, arcctgx.
384.	2л, arctg — , arcctg — .
2л	2л
ax- ax2 x at-
385.	e 2 , e 2 e 2 di.
o'
i
386.	x, x Mi U0>0).
387.	Показать, что система функций
</1 (*) .	, У2 (X) , ; , уп_1 (х) ,
определенных на интервале (а, Ь), линейно зависима
на (а, Ь).
388.	Показать, что если система функций
У1 W , У 2 W , .::,уп (*)
линейно независима на интервале (а, Ь), то и любая под-
система этой системы функций также линейно независи-
ма на (а, Ь).
В следующих задачах найти определитель Вронско-
го для указанных систем функций:
389.	1,х.
390.	х, — .
X
391.	1,2, х2.
392.	e-v, хе-Л
393.	еv, 2е\ е~х.
394.	2, cos х, cos 2х.
395.	sin х, sin (х + — 'j.
\	4 )
396.	arccos —, arcsin —
л	л
397.	л, arcsin х, arccos х.
398.	4, sin2.г, cos 2х.
399.	х, In .г.
400.	—, ет.
X
93;
401.	eA sin х, е' cos х.
402. e_3xsin2x, e-3,cos2x.
403, cosx, sinx.
404. sin ------xj, cos -------x
В следующих		задачах показать, что			данные функ-
пии линейно независимы, а				их определитель Вронско-	
го тождественно равен			нулю	и построить графики этих	
функций:					
405, уЛх) =	'х2 [о,		если если	— 1 < х < 0 < х < 1.	0;
!h W =	[°> .х2,		если если	— 1 <х< 0<х сп	0;
406. У1(х) =	[°, ,(х	— 2)2,	есЛи если	0 < х < 2; 2 < х < 4.	
У'2 (х) =	(х .0,	-2)2	если если	0 < х < 2; 2<х<- 4.	
407. ух (х) =	[х3, 0,		если если	— 2 <. х < 0<х<1.	0;
Уг(х) =	[0, :х2,		если если	— 2 << х < 0 < х <. 1.	0;
408. yi (x) = x2, y2 (x) = x jx|; — 1 < x -< 1.
409. Пользуясь определителем Грама, показать, что
системы функций задач 373, 377, 379 линейно зависимы-
на [—л, л].
2°. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициен-
тами. Рассмотрим дифференциальное уравнение
аог/(п) -Ь аг	• • + ап у = 0,	(9)
где а0, ai,..., ап — вещественные постоянные.
Для нахождения общего решения уравнения (9) поступаем так.
Составляем характеристическое уравнение для уравнения (9)
а0 X’1 + СЦ Хп—1 -ф • < • + ап = 0;	(10)
Пусть Х|, Х2,..., Хп корни уравнения (10), причем среди них могут
быть и кратные.
Возможны следующие случаи:
а)	Хь Х2.Х„ — вещественные и различные.
94
Тогда фундаментальная система решений уравнения (9) имеет вид
ек'х, е^х........е1"
и общим решением однородного уравнения будет
Уо.о = Ст ^‘Х + Ст &>"'х + • • • + Сп е п ;
б)	корни характеристического уравнения вещественные, но среди
них есть кратные. Пусть, например, Х| = Х2= .. = M = /., т. е. к являет-
ся ft-кратным корнем уравнения (10), а все остальные п—k корней
различные. Фундаментальная система решений в этом случае имеет
вид
е~'х, хе~-х, х^х.........?-’е7\ e^H\... , е%<
а общее решение
Уо.о = Cieb + Сгхе~х + С3 х^х 4--------Ск xk~x СКх +
+ С,Ч e^^ + ...+CneV.
в)	среди корней характеристического уравнения есть комплекс-
ные. Пусть, для определенности Xi = a + i|J, 12 = а—ip, к3=уЧ-/8,
/.,==>’—16, а остальные корни вещественные (так как по предположе-
нию коэффициенты a,, i=0, 1, 2, .... п, уравнения (9) вещественные,
то комплексные корни уравнения (10) попарно сопряженные).
Фундаментальная система решений в этом случае будет иметь вид
ea*cosf)x, ea*sinPx, e^cosfix, e?vsin6v, e7‘sX, e%x, . .. e*7’* ,
а общее решение
Уо.о = Cj eax cos Px + C2 e“* sin Px 4~ C3 evx cos 5x +
C4 eyx si n 6x 4~ C3e^hX 4“• • • 4~ Cn e n
г)	в случае, если li=a4~t'P является ft-кратным корнем уравне-
/ n 'l
ння (10)lft <— 1, то Х2=а—if также будет ft-кратным корнем, и
фундаментальная система решений будет иметь вид
erzzcosPx, e“*sinPx, xe*xcos$x, xeaxsin рх,
... , xk~1 eav cos Px, xk~~x e“*sinpx,	, e^',
а следовательно, общее решение
Уо.о = Ci е“* cos Рх 4- С^х sin Рх ф- С3 х елх cos Рх |-
4- С4 хе“* si п Рх 4- • • • + С2к_{ xk~x еах cos Рх +
4- C2k xk-1 е“* sin рх -4 C2k е^*+>х + • • -4- С* е*
Пример 1. Найти общее решение уравнения
у'"- 2у"-3у' = 0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение '
13 — 2X2— 31 =0.
95
Н кодим его корни: X, =0, Х2= —1, Х3 = 3. Так как они действитель-
н ,;с и различные, то общее решение имеет вид
До о = Cj 4~ С2 е— 1 + С3 e3Jr:
Пример 2. Найти общее решение уравнения
У'" + Чу" + У' = 0;
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
Х34-2Х24-Х = 0.
Отсюда Х[ = Х3 = —1, Z.3 = 0. Корни действительные, причем один ит
них, а именно Х = —1, двукратный, поэтому общее решение имеет вид
Уа.о = е~х + С2 хе—х 4- С31
Пример 3. Найти общее решение уравнения </'"4-4д"4-13д'=0.
Решение. Характеристическое уравнение
X3 4- 4Х2 4- 131 = 0
имеет корни X, = 0, Х2=—2—3/, Х3= — 2 + Зь
Общее решение
Уо о = Ct 4- С2 е—2 v cos Зх 4- С3 е~м si п Зх.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
yv - 4yw + Чу'" - 4у" 4- у' - Чу = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X3 - 214 4- 2Х3 — 412 4- — 2 = 0,
или
(X - 2) (X2 4- I)2 = 0
имеет корни Х = 2 — однократный и Х=±« — пара двукратных мни-
мых корней. Общее решение есть
Уо.а = С1 е2х 4- (С2 4- С3 х) cos х + (С« + С5 х) sin х.
Пример 5. Решить уравнение
У™ + 4у"' 4- %у" 4- 8у' 4- 4у = 0,
Решение. Составляем характеристическое уравнение
X* 4- 41’ 4- 8Х2 4- 8Х 4- 4 = 0 или (X2 4- 2Х 4- 2)2 = 0.
Оно имеет двукратные комплексные корни 1|=12 = —1—i, Х3 = Х4 =
——1+i и, следовательно, общее решение будет иметь вид
Уо.о ~ Ct е~х cos х 4~ С2 е~*’ si n х 4~ С3 х^~ ‘ cos х 4- С4хе~* si п х,
или
Уо,0 = е~х (Ct 4- С3х) cos х 4- е—х (С2 4* С4 х) sin х.
Составить линейные однородные дифференциальные
уравнения, зная их характеристические уравнения:
410.	9X2 — 614- 1 = 0.	413.	1 (1 4- 1) (1 4- 2) — 0.
411.	I2 4- 31 4- 2 = 0.	414.	(124- 1)2 = 0.
412.	212 — 31 — 5 = 0.	415.	13 = 0.
96
Составить линейные однородные дифференциальные
уравнения, если известны корни характеристических
уравнений, и написать их общие решения:
416. ^ = 1, X, = 2.	418.	= 3 — 21, Х2. = 3 + 2/.
417. Xj= 1, X, = 1.	419. Xt = 1, Х2 = 1, Х3 = 1.
Составить линейные однородные дифференциальные
уравнения, если заданы их фундаментальные системы
решений:			
420.	е-*, е1'	426.	е*, хе*, х2е*.
421.	1, е*.	427.	е*, хе*, е2*.
422.	е-2Х, хе-24	428.	1, х, е*.
423.	sin Зх, cos Зх.	429.	1, sin х, cos х.
424.	1, X.	430.	e2V, sinх, cosx.
425.	&х, е2*, ew.	431.	1, e_*sinx, e_tcosx.
Проинтегрировать следующие уравнения и, где ука-
зано, решить задачу Коши,
432.	у"-у = 0.
433.	3/' —2/ —8у = 0.
434.	у'"-Зу" + Зу'-у = 0,
У (0) = 1, у'(0) = 2, у" (0) = 3.
435.	у" + 2у' + у = 0.
436.	у" — 4у' + Зу = 0,
У (0) = 6, у' (0) = 10.
437.	у"'+ бу" + 11/ + 6у = 0.
438.	у" — 2у’ — 2у = 0.
439.	yvl + 2yv + ylv = 0.
440.	4у" — 8у' 4- 5у = 0.
441.	у'" — 8у = 0.
442.	y,v + 4/" + 10/ + 12/ 4- 5у = 0.
443.	/' - 2у' + 2у = 0, у (0) = 0, у' (0)	=	I.
444.	у - 2/ + Зу = 0, у (0) = 1, у' (0)	=	3.
445.	yiv + 2у'" + 4у" — 2у' — 5у = 0.
446.	yv + 4y,v + 5у" — бу' — 4у = 0.
7—456
97
4н7. yw+2/-y'-2z/ = 0.
4|8. y'"_2f + 2у' = 0.
449.	yiv — у = 0.
450.	if = 0.
451.	у’" — 3z/' — 2у = 0.
452.	2у"' — Зу” + у’ = 0.
453. у"' + у" = 0; у (0) = 1, у’ (0) = 0, у" (0) = 1.
3°. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффи-
циентами. А. Метод подбора. Пусть дано дифференциальное
уравнение
+	=	(Н)
с постоянными вещественными коэффициентами йо, а2,...,ап.
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (11) равно
сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и
какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Отыскание общего решения соответствующего однородного урав-
нения осуществляется по правилам, изложенным выше в п. 2°. Та-
ким образом, задача интегрирования уравнения (11) сводится к
отысканию частного решения уч.н неоднородного уравнения. В общем
случае интегрирование уравнения (11) может быть осуществлено ме-
тодом вариации произвольных постоянных (см. ниже, п. 5°). Для пра-
вых частей специального вида частное решение находится
проще так называемым методом подбора. Общий вид правой части
f(x) уравнения (11), при котором возможно применить метод под-
бора, следующий:
f (х) = еа* [Ре (х) cos + Qnl (х) sin 0х],
где Ре(х) и Q т(х) суть многочлены степени епт соответственно.
В этом случае частное решение н уравнения (11) ищется в виде
Уч.н = xs еах [рА (х) cos fix + Qk (х) sin 0х],
где k — max(m, е), Рк(х) и Qs(x) — многочлены от х k-н степени
общего вида с неопределенными коэффициентами, as — кратность
корня к=а-МР характеристического уравн/ния (если а±ф не яв-
ляется корнем характеристического уравнения, то з = 0).
Пример 1. Найти общее решение уравнения у"'—у"-\-у’—у=
= Х24-Х.	'
Решений. Характеристическое уравнение А?—А?-|-Л—1=0
имеет различные корни: X, = 1, А2 = —t, поэтому общее реше-
ние соответствующего однородного уравнения у0 0 будет
Уо.о = Сге1 + С2 cos х + С3 siп х.
Так как число ноль не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение данного уравнения уч.а надо искать
в виде (см. табл. 1, случай I (1)):
Уч.н = А х2 + х + Аэ,
98
Таблица
Сводная таблица видов частных решений
для различных видов правых частей*)
№	Правая часть диф. уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
I	Рщ (х)	1. Число 0 не является корнем характеристи- ческого уравнения	Р т (х)
		2. Число 0 — корень ха- рактеристического уравнения кратности S	xsPm(x)
II	/>6)^	1. Число а не является корнем характеристи- ческого уравнения	Рт (х) еах
		2, Число а является корнем характеристи- ческого	уравнения кратности s	Xs~Рт (х) еа*
III	Рп W cos Рх + + QmW 8Ш₽Х	1. Числа	не явля- ются корнями харак- теристического урав- нения	Pk (х) cos px + + Q*(x) sinpx
		2. Числа ±ф являются корнями характери- стического уравнения кратности s	{Pk (х) cos px -f- + Q*Ix).sin px)
IV	е“* [Рп (х) cos Рх + + Qm W sin ₽х]	1. Числа а±ф не явля- ются корнями харак- теристического урав- нения	(pk (x) cos Px + + Q* (x) sin Px) ea*
		2. Числа a±ip являют- ся корнями характе- ристического уравне- ния кратности s	Xs (p k(x) cosPx 4- + Qk (x) sin Px) e®*
*>’ Первые три вида правых частей являются частными случая-
ми IV вида.
99
где Ah Л2, Л3— неизвестные пока коэффициенты, подлежащие оп-
ределению Подставляя выражение для уч н в данное уравнение,
получаем
— Л] х2 ф- (2Л2 — Л2) х + (А3 — 2/lj — Л3) = х2 + х,
откуда
Л1 = -1,
2Л1-Л2=1,
. .4, - 2Л2 - Л3 = 0.
Решая эту систему, найдем Ai =—1, Л2 =—3, Л3 =—1, следова-
тельно, частное решение будет
Уч.н = — х2 — Зх — 1
н общее решение уе в данного уравнения имеет вид
У(1.п = Ci е v + С2 cos х + С3 si п х — х2 — Зх — 1;
Пример 2. Найти общее решение уравнения у'"—у"= 12х2ф-6х.
Решение. Характеристическое уравнение X3—Х2=0 имеет кор-
ни Х!=Х2 = 0, л3 = 1, а поэтому общее решение соответствующего од-
нородного уравнения будет
Уо.о ~ 01 О2 х ф- б?з еЛ,
Так как число 0 есть двукратный корень характеристического урав-
нения, то частное решение надо искать в виде (см. табл 1, слу-
чай I (2))
Кн = х2 (Л1 X2 + А2х + Л3) = А1 хА + Л2 X3 + Л3 х2.
Подставляя выражение для уч в в данное уравнение, будем иметь
— 12 Лх х2 + (24 Л1 — 6Л2) х + (6Л2 — 2ФЭ) = 12х2 ф- 6х,
откуда
— 12^=12,
24 Л! — 6Л2 = 6,
. 6Л2 — 2Л3 = 0,
Эта система имеет решение: Л]=—1, Л2=—5, Лз=—15, а значит
уч н = — х4 — 5х3 — 15x2i
Общее решение данного уравнения
уо н = С2 ф- С2 х + С3 ег — х4 — 5х3 — 15х2,
Пример 3. Найти общее решение уравнения </"ф-1/' = 4х2ех.
Решение. Характеристическое уравнение Х2ф-к=О имеет кор-
ни А| = 0, Х2= —1. Значит, общее решение уо.о соответствующего од-
нородного уравнения будет
Уо.о = Ci + С2 е ’С1
100
Так как а = 1 не является корнем характеристического уравнения,
то частное решение (/ч а неоднородного уравнения ищем в виде (см.
табл 1, случай II (1))
</ч.н = (Л1 х2 4- Л2 х + Л3) ех.
Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравне-
ния на е1, будем иметь
2At х- + (6Л4 + 2Л2) х + 2At + ЗЛ2 + 2Л3 = 4х2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и
правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для
нахождения коэффициентов Ль Л2, Л3:
2Л1 = 4,
6Л1 + 2Л2 = 0,
2Л| 4~ ЗЛ2 -|- 2Л3 = 0,
решая которую, находим Л1 = 2, Л3= —6, Л3 = 7, так что
Уч.н = (2х2 — 6х + 7) ех.
Общее решение данного уравнения
у (х) = Ct + С2 е-х + (2х2 — 6х + 7) е*,
Пример 4. Найти общее решение уравнения
у" + Ю«/' + 25(/= 4е-5х.
Решение. Характеристическое уравнение Х24-10Х-|-25=0 имеет
двукратный корень Xi=X2= —5, поэтому
!/о.о = (С3 + С, х) е-5<
Так как а= —5 является корнем характеристического уравнения
кратности s — 2, то частное решение у-л а неоднородного уравнения
ищем в виде (см. табл. 1, случай II (2))
1/ч.н = Вх^е—5Х; тогда
у'ц н = В (2х - 5х2) е-5х,
учм = В (2 - 20 х + 25х2)е~5\
Подставляя выражения для </чн, 4/ч.н» !/ч.н в исходное уравнение,
получаем 2Ве-5ж = 4е-бх, откуда В = 2 и, значит, уч в = 2х2е-5х. Об-
щее решение данного уравнения
У (х) = (Ci + С2 х) е-5* + 2х2 е-6х,
Пример 5. Найти общее решение уравнения
У" + 3</' -f-2t/=xsin х.
Первый способ. Решение. Характеристическое уравне-
ние Х24~ЗЛ+2 = 0 имеет корни Л(= —1, Х2= —2, поэтому
Уо.о = Ct е-х + С2 е-2Х.
101
Так как число i не является корнем характеристического урав-
нения, то частное решение уч в неоднородного уравнения ищем в ви-
де (см. табл. 1, случай III (1)):
z/ч.н = (Л,х + А2) cos х + (В1 х + В2) sin х;
тогда
^ч.н = (Ai + В2 + Bix) cosх +	— А2 — А1 х) sin х,
Уч„ = (2Bj — Л2 — А1 х) cos х — (2Ai 4- В2 + В± х) sin х>
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь
(2В, — А2 — А.! х) cos х — (2Л, + В2 + В, х) sin х +
+ 3 (Л, + В2 + В, х) cos х + 3 (В, — Л2 — Л, х) sin х 4-
+ 2 (Л, х + Л2) cos х + 2 (В, х + В2) sin х = х sin х,
или
[(Л, 4~ ЗВ,) х -|- ЗЛ, + Ла + 2В, -j- ЗВ2] cos х 4"
+ [(— ЗЛ, + В,) х — 2Л, — ЗЛ2 + ЗВ, + В2] sin х = xsin х.
Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно Ль Л2,
В,, В2
Л, + ЗВ, = О,
ЗЛ, + Л2 + 2В, + ЗВ2 = О,
— ЗЛ, + В,= 1,
—2Л,—ЗЛ2 +ЗВ, + В2 =0.
Решая эту систему, найдем Л]=—3/10, Л2=17/50, В1 = 1/10, Ва=
= 3/25 и частное решение уч.в запишется так:
/	3	17 X /1	3 \
Общее решение данного уравнения
У (х) = Сг е—к + Сг е~2х 4. /_ JL х 4. 21 cos х 4.
\ 1U ои ]
( 1	3 \
В случае, когда правая часть f(x) содержит тригонометрические
функции sin рх и cos рх оказывается удобным применять переход к
показательным функциям. Сущность этого приема покажем на приме-
ре. Решить дифференциальное уравнение
у" 4- У = х cos х.
Здесь А24-1 =0, Ai= —1, A2 = i и общее решение однородного урав-
нения имеет вид
Уо.о = Ct cos х + С2 sin х.
Частное решение неоднородного уравнения уч н надо искать в виде
Ь'ч.н = х [(Л, х 4- Л2) cos х 4- (В, х -Н В2) sin х].
102
Поступим так. Рассмотрим уравнение
г" + г = хе1х;	(12)
Легко видеть, что правая часть исходного уравнения есть ве-
щественная часть от правой части уравнения (12):
х cos х = Re (xe'-v)1
Теорема. Если дифференциальное уравнение с вещественными
коэффициентами L[y]=fi(x) +if2(x) имеет решение y=u(x)+iv(x),
то и(х) есть решение уравнения L[у] =ft (х), а о(х) — решение урав-
нения L[y] = f2(x).
Найдем гч н уравнения (12):
г«.н = (Ас + В) хе‘х — (Ах2 + Вх) е‘х,
г* н = 2Ае‘х + 2 (2Ах + В) ieix — (Лх2 + Вх) е'*,
Подставляя в уравнение (12) и сокращая обе части на е’1, будем
иметь
2Л + 4Axi + 2Bi = х,
откуда 4Ai=l, А=—i/4, Л + В»=0, В=—Л/»=1/4; так что
I	i	Г	\	.	!	i	1 \
гч и = — — х2 + — х е1* = — —х2 + — х (cosх+/ sin х)=
у	4	4	]	\	4	4/
xcosx+x2sinx , xsinx — x2'cosx
=--------"л--------Ь 1 ----л--------- •
4	4
Отсюда в силу теоремы
„ х cos х + х2 sin х
Уч.н = Re гчн =	- i
4
Этот прием порой значительно упрощает и сокращает вычисле-
ния, связанные с нахождением частных решений.
Второй способ решения примера 5. Решим этот пример
путем перехода к показательным функциям. Рассмотрим уравнение
г'+ Зг'+ 2г = хе'Л	(13)
Легко видеть, что правая часть исходного уравнения равна мнимой
части от хе'х:
xsin х = Im (xelx);
Ищем гч.в уравнения (13) в виде
г«.в = (Ах + В) е1х,
тогда
гч.н = Л е'* + i (Ах + В) е‘х, г* н = 2iAetx — (Ах + В) е1х1
Подставляя эти выражения в (13) и сокращая на е|Г, получаем
2Л» — Лх — В + ЗЛ + ЗЛгх + ЗВ» + 2Лх + 2В = х,
откуда
f л + зл» = 1,
12Л» + В ЗЛ + ЗВ» = 0;
101
так что
л 1	1	31 D >1(3+21)	6 , 17
1	31	10	10	1 + 31	50	50
Итак,
/1—31	6+ 17Z \	/5х + 6	17—15 х \
г".> =	~ пг + ~1г •)х
,	,	.	,	(5х + 6) cos х + (15х — 17) sin х
X (cos х + 1 si п х) =---------------—---------------4
+1
(5х + 6) sin х + (17 — 15х) cos х
50
отсюда
5х+6	, 17—15х
1/ч.н = 1m 2Ч.Н = —— sin х + ------—---cos х,
50	50
что совпадает с уч в, найденным ранее.
Пример 6. Найти общее решение уравнения i/"+4i/ = sin 2х.
Решение. Рассмотрим уравнение z"+4z=e‘21.
Имеем
sin 2х = 1те21Х , поэтому учн = //пгч н;
Характеристическое уравнение Х2+4 = 0 имеет простые корни Х112 =
= ±2i. Следовательно, частное решение ищем в виде (см. табл. 1,
случай III (2)):
2ч.н = Ах е2'*,
тогда
г” н •= — 4Ах е2,х + 4Ai е2'+
Подставляя выражения для гч н и zq „ в уравнение и сокращая
на е2|Х, получаем 4Ai=l, откуда А = —1/4, а значит
1	1	1
гч л = — — ix е = — х sin 2х — i —— х cos 2х>
4	4	4
Частное решение	данного	неоднородного	уравнения	будет
1
уч11 = Imz4 H = — — х cos 2xi
Пример 7. Найти общее решение уравнения у"—6i/'+9y =
= 25exsin х.
Решение. Характеристическое уравнение X2—6Х+9 = 0 имеет
корни Х)=Х2 = 3; общее решение уа.о однородного уравнения будет
Vo.o = (С! + С2х) е3+
Числа l±i не являются корнями характеристического уравнения,
поэтому частное решение у-, н ищется в виде (см. табл. 1, случай IV
О))
Уч.н = е* (a cos х + b sin х).
104
Подставляя выражение уч н в уравнение и сокращая обе части урав-
нения на е1, получаем
(За — 4b) cos х (4а	36) sin х = 25 sin х.
Отсюда имеем систему
За — 46 = 0, 4а + 36 = 25,
решение которой есть а=4, 6=3 и, следовательно,
Уч.к = е* (4 cos х + 3 sin х).
Общее решение данного уравнения
у (х) = (Сх + С2х) езх -f- е* (4 cos х + 3 sin х).
Пример 8. Найти общее решение уравнения
у" + 2у' + 5у = е—Л cos 2х.
Решение. Характеристическое уравнение Z24-2X-|-5 = 0 имеет
корни Л1,2= —l±2i, так что
Уо.о — (Сх cos 2х -J- С2 sin 2х) е—х.
Так как число а-Н'Р=—1-J-2Z является простым корнем характери-
стического уравнения, то уч в надо искать в виде (см. табл. 1, слу-
чай IV (2))
Vv.Th = х (A cos 2х + В sin 2х) е—х,	'
тогда
уч н = е—х [(Л — Ах + 2Вх) cos 2х + (В — Вх — 2Ах) sin 2х],
уч и = е—х [(— 2А — ЗДх + 4В — 4Вх) cos 2х 4-
+ (— 2В — ЗВх — 4А + 4Ах) sin 2х].
Подставляя выражения для уч н и ее производных в исходное урав-
нение и сокращая на е-х, будем иметь
— 4А sin 2х + 4В cos 2х = cos 2х,
откуда А =0, В = 1/4 и, значит,
Уч.н = 1 /4х е—х sin 2х.
Общее решение данного уравнения будет
у (х) = (Cj cos 2х -р С2 sin 2х) е—х + 1/4х е—х sin 2х;
Определить вид частного решения линейного неод-
нородного -дифференциального уравнения, если извест-
ны корни его характеристического уравнения и правая
часть f(х):
454.	Xj	=	1,	Х2 =	2;	f (х) = ах2 + Ьх + с.
455.	Xi	=	0,	Х2 =	1;	f (х) = ах2 + Ьх с.
456.	Xj	=	0,	Х2 =	0;	/ (х) = ах2 Ьх + с.
105
457.	Хх	=	1,	X2	=	2;	f (x) = e~* (ax + b).
458.	Xx	=	—	I,	X2	=	1; f(x) = e~* (ax +	b).
469.	Xx	=	—	1,	X2	=	— 1; f(x) = e~* (ax	+ b).
460.	Xx	=	0,	X2	=	1;	f(x) = sin x -j~ cos x.
461,	Xx = — i, X2 = i; f (x) = sin x + cos x.
462.	— 2i, X2 = 2i; f (x) = A sin 2x + В cos 2x.
463.	Xx = — ki; X2 — ki; f (x) = A sinkx-f-В cosfyx.
464.	Xx == 1, X, = 1; f (x) == e~* (Д sin x + В cos x).
465.	Xx — I — i, . X2 = — 1 + i; f (x) =
= er* (A sin x + В cos x).
466.	Xx = X2 =з X3 1; f (x) = ax2 bx + c.
467.	?., »= 0, X2 = 1, X3 = 2; f (x) = ax2 + bx~f- e,
468.	Xj = X, = 0, X3 =3= ]; f (x) —ax2 + bxi-c.
469.	Xx = Xi = X3 = 0; f (x) = ax2 + bx + c.
470.	Xr = i, X2 = — i, X3 — 1; f (x) = sin x + cos x.
471.	a) X2 = 0, X2 = 1,
6)	X2 = k, X2 = 1,
в)	Xj = X2 = k,'. , f(x) = (ax2 'rbx + cytf*,
г)	Х! = Хг5=0, X3= 1,	k=^0,
д)	X2 — X2 k, X3 — 1,
c) X^ — X2 — X-j — k
472.	a) Xr = X2 = 1, X3 = 2,	H(x) =tfsinx-f-
6)	X^ = — i, X2 = i, X3 =» 0	J + b cos x.
473.	a) Xx = 3 — 2i, X2 = 3 + 2i,
Xj = X4 = 0,	f (x) = e3* (sin 2x +
6)	Xx = X2 = 3 — 2i,	+ cos 2x).
X3 = X4 = 3 -f- 2r
Для следующих линейных неоднородных дифферен-
циальных уравнений определить вид частного решения:
474.	у" + Зу' = 3.
475.	у" — iy = (х — I)2.
106
476.	у" + Зу' = е* .
477.	у" + 7у' = е-7х.
478.	у" — 8у'	16у = (1 — х) е4х.
479.	у” — 10у' + 25// = е5*.
480.	4у" — Зу' = х е4 * •
481.	у" — 4у' = хе4х.
482.	у" 4- 25// = cos 5х.
483.	у" + У = sin х — cos х.
484.	у" 4- 16у = sin (4х 4- «)•
485.	у" 4- 4у' 4- 8у = е2х (sin 2х 4- cos 2х).
486.	у" — 4у' 4- 8у = е2х (sin 2х — cos 2х).
487.	у" 4- бу' 4- 13у = e-3*cos 2х.
488.	у" 4- k2y = k sin (kx 4- a).
489.	у" 4- k2y= k.
490.	y'" 4- У x.
491.	у"' 4- бу" 4- 1 ly' 4- бу = 1.
492.	у"' 4- //' = 2/
493.	у'" 4- у" = 3.
494.	ylv —у = I.
495.	yiv —у' = 2.
496.	yIV — у" = 3.
497.	yIV —у'" = 4.
498.	ylv 4- 4у"' 4- 4у" = 1.
499.	ylv 4- 2у'" 4- у == е4\
500.	ylv4- 2yw+y" = e-<
501.	yIV + 2у'" 4- у" = хе~*-
502.	yiv 4- 4у" 4- 4у = sin 2х.
503.	ylv 4- 4у" 4- 4у = cos х.
504.	yiv 4- 4у" 4- 4у = х sin 2х.
505.	yiv 4- 2/i2y" 4- п4У = a sin (их : '/).
506.	yiv — 2п2у" п4у = cos (пх а/.
107
507.	yiv 4y"' + by" + 4y' + y = sin x.
508.	y'v — 4yr" + by" — 4y' 4- у = e\
509.	yiv — 4y"’ 4- by" — 4y' + у = *ex-
Решить следующие линейные неоднородные уравне-
ния:
510.	у" + 2у' + у — -2.
511.	у" + 2у' + 2 = 0.
512.	у" + Оу — 9 = 0.
513.	у'" + у"={.
514.	by"' — 7 у" — 3 = 0.
515; yw — by'"+ 6 = 0.
516.	3t/IV + у"' = 2.
517.	yiv — 2у'" + 2у" — 2у' + у = 1.
518.	у" — 4у' + 4у = х2.
519.	у" 4~ 8у' = 8х.
520.	у" — 2ky' ~7 1г1 у = е*, (k + 1).
521.	у" + 4у' 4- 4у = 8е-2*.
522.	у" 4- 4у' + 3у = 9е~3х. ''
523.	7 у" — у' = 14х.
524.	у" + Зу' = Зхе~+
525.	у" + 5/ + by = 10 (1 — х) е~2*.
526.	у" + 2у' + 2у = 1 + х.
527.	у" + у' + у = (х -I- л2) е\
528.	у” + 4у' — 2у = 8 sin 2х.
529.	у" + у = 4х cos х.
530.	у" — 2ту' + t+y = sin пх.
531:	у 4- 2у' + by = e-x sin 2х.
532.	у" - а2у = 2 cos тх 4- 3 sin тх (т + а).
533.	у" — y' = exsinx.
534.	у" 2у' = 4еЛ (sin х -I- cos х).
535.	у" л- 4у 4- Ъу = 10e~2*cosx.
536.	4у"	8у' = xsinx.
108
537.	у" — Зу' + 2г/ = хе*.
538.	у" + у' — 2у = х2е4х.
539.	у" — Зу' + 2у = (х2 -f- х) е3*.
540.	у"' — у" -г у' —у = х2 + х.
541.	у™ _ 2 у"' + 2у" -2у' + у = &.
' 542. у -2у' +у = х3.
> 543. у™ + у" = х2 + х.
544.	у" + у = х2 sin х.
545.	у" + 2.у' + у = х2е~* cosx.
546.	у'" — у = sin х.
* 547. z/IV— 2у” + у = cos х.
548.	у'" — Зу" + 3у' —у = ехcos 2х.
549.	у" — А у' 4- 5г/ = е2х (sin х + 2 cos х).
Б Принцип суперпозиции. При нахождении частных
решений линейных неоднородных уравнений удобно пользоваться
следующей теоремой.
Теорема (принцип суперпозиции или наложения). Если ук(х)
есть решение уравнения
а0 (х) у(п) + 01 (х)	; i; + ап (х) у = fk (х),
k = I , 2, I ; ; , Ш,
tn
то функция у (х) = 2 Ук (х) является решением уравнения
*=1
Со (х) у(п) + 01 (X) у(п~; i,+ ап (х) у =2 fk (х).
А=1
Пример 9. Решить уравнение
у"— бу' + 9г/ = 4ех— 16езж;	(14)
Решение. Характеристическое уравнение X2—6Л 4-9=0 имеет
корни Л1=Л2 = 3, а поэтому общим решением уа □ соответствующего
однородного уравнения будет
УО.О=С^Х +С2хе’\
Для нахождения частного решения i/4 н уравнения (14) найдем
частные решения двух уравнений
у"—6(/'+ 9г/= 4ех,	(15)
у" - бу' + 91/ = — 16е3\	(16)
Уравнение (15) имеет частное решение yt вида //1=Ле* (см. табл. 1,
случай 11(1)). Подставляя выражение для yt в уравнение (15), най-
дем А = 1, так что i/i = ех. Частное решение уравнения (16) ищем в
109
виде y> = Bx-e'1J (см. табл. 1, случай II (2)). Находим уг =—8хге,х.
В силу принципа суперпозиции решений частное решение уч.я
данного уравнения будет равно сумме частных решений у^ и у»
уравнений (15) и (16)
Уч.и = У1 + У2 = ех — 8х%зх,
Общее решение уравнения (14)
у = (С, + С2х) езх + е* — 8х2е3*,
Пример 10. Решить уравнение
у"' — 2у" -\-2у' = 4 cos х cos Зх 4- 6 sin2x,	(17)
Решение. Используя известные тригонометрические тождест-
ва, преобразуем правую часть уравнения (17) к «стандартному» виду
4 cos х cos Зх 4- 6 sin2 х = 2 cos 4х — cos 2х + 3.
Исходное уравнение (17) запишется теперь так:
у'” — 2у" + 2у' = 2 cos 4х — cos 2х + 3,	(18)
Общим решением однородного уравнения у'"—2у"+2у'=0 будет
Уо,0 = Cj + (С2 cos х + С3 sin х) ех.
Для отыскания частного решения уравнения (18) используем
принцип суперпозиции. Для этого найдем частные решения трех
уравнений:
у"' — 2у" + 2у' — 2 cos 4 х,	(19)
— 2у" -|-2i/' = — cos 2х,	(20)
У"’ - 2у" 4- 21/' = 3.	(21)
Используя метод подбора, найдем частные решения ylt у3 и у> урав-
нений (19), (20) и (21) соответственно:
1 /	7 .	\
i/i = --- cos 4х — — sin 4х I,
65 \	4	/
1/1	3
Уг= — sin2x — cos2x), у3 = — х,
В силу принципа суперпозиции частное решение неоднородного урав-
нения (8)
1 /	7	\	1 / sin 2х	\	3
1/4.8=—^cos4x- —sin4xj-|-—^-y--cos2xj + -y х
Общее решение исходного уравнения
1 /	7	\
у = Сг 4- (С2 cos х 4“ С3 sin х) е* + —— I cos 4х-— sin 4х) 4-
65 \	4	}
1 / sin 2х	\	3
+	~— — cos 2х 4- — х,
10 V 2	^2
Определить вид частного решения линейного неод-
нородного дифференциального уравнения, если извест-
ПО
ны корни его характеристического уравнения и правая
часть f(x).
550.	a) Xj = — 1, 12 = 1, Х3 = 2,
б) Xj = 0,	= 2, Х3 = 3,
в) = Х2 = — 1, Х3 = 1,
г) Xj = Х2 = —	1,
f (х) = ае~х 4- Ье\
Пользуясь принципом суперпозиции, определить вид
частного решения следующих линейных неоднородных
дифференциальных уравнений:
551.	у" — у' — 2у = ех + е-2*.
552.	у" 4- 4у' — х + e~ix.
553	у" — у = х 4- sin х.
554.	у" — 2у’ + 2у =(1 4- sin х) е*.
555.	у'"—if’ = 1 4-ех.
556.	у"' + 4у' = е2х 4- sin 2х.
557.	у” 4- 4у = sinxsin2x.
558.	у" — 4у’ = 2 cos2 4х.
Решить следующие линейные неоднородные уравне-
ния, используя принцип суперпозиции для нахождения
их частных решений:
559.	у" — у’ — 2у = 4х — 2ех.
560.	у" — Зу' — 18х — 10 cos х.
561.	у" — 2у' + у = 2 + ех sin х.
562.	у" + 2у' 4- 2у = (5х + 4)ех + е~х,
563.	у" 4~ 2у' 4- 5у = 4е~* 4- 17 s 'п 2х.
564.	2у" — Зу’ — 2у — 5ех ch х.
565.	у" 4- 4у = х sin2 х.
566.	< 4- 2у"' 4- 2у" 4- 2у' 4- у = хе* + cosx.
567.	у" 4- у’ = cos2x 4 ех 4 х2.
568.	yv 4- 4у"' = е* 4- 3 sin 2х 4- 1.
569.	у" — 2у' 5у = 10 sin х 4- 17sin2x.
570, у" 4- у’ = х2 — е~х 4- ех.
111
571.	у" — 2у' —Зу = 2х + е~х — 2еЧ
572.	у" + 4у = е* т 4 sin 2х 4- 2 cos2x—1.
573.	у” + Зу' + 2у = бхе ~х (1 — е~х).
574, у" 4- у — cos22x 4- sin2 —,
575.	у" — 4у' -f- 5у = 1	8 cos х 4- е2\
576.	у" — 2у' + 2у = е sin2 ~,
577,	у" — Зу' = 1 г е* -4- cos х --- sin х.
578.	у" — 2у' 5у = е* (1 — 2 sin2x) 10х 4- 1.
579.	у" — 4у' 4- 4у = 4х + sin х ~h sin 2х.
580.	у" ---2у' 4- у — 1 4- 2 cos х +- cos 2х — sin 2х,
581.	£/" у' 4- у 4- 1 = sinx J - х 4- х2.
582.	у" 4- бу' ~9у = 18e~3* т 8sinx 4- бсозх.
583.	у” 4- 2у' 4- 1 = 3 sin 2х + cos х.
584.	у"’ — 2у" 4 у’ = 2х 4- е*.
585.	у" 4- у = 2 sin х sin 2х.
586.	у"' — у" — 2у’ = 4х 4- 3s in х 4 cos х.
587.	у"' — 4у’ = хе2х 4 sinx 4- х2.
588.	yv — ylv = xex—l.
' 589. yv 4- у"' = х+ 2е~\
В. Задача Коши Как известно, задача Коши для линей-
ного неоднородного уравнения
состоит в следующем: найти решение этого уравнения, удовлетворя-
ющее начальным условиям (данным Коши)
У (х0) = Уо, У’ (ХО) = уй , ; ;, yln~h (х0) = у^~'}-
Пример 11. Найти частное решение уравнения
У" — У= 4е\	(22)
удовлетворяющее начальным условиям
у (0) = 0, у' (0) = 1.	(23)
Решение. Находим общее решение уравнения (22)
У = С1ех -р С2е-Х + 2хек,	(24)
112
Для решения поставленной начальной задачи (22) — (23) (задачи
Коши) требуется определить значения постоянных СгиСгтак, чтобы
решение (24) удовлетворяло начальным условиям (23). Используя ус-
ловие у(0)=0, получаем С14-С2 = 0. Дифференцируя (24), найдем
у' = С1ех — Сг<Гх + 2е* + 2хе,
откуда, в силу условия у'(0) = 1, будем иметь С\—С2 = —1. Для оты-
скания Ci, С2 получили систему
Ci + C2 = 0,
С1-С2 = - 1.
решая которую находим Ct =—1/2, Cz= 1/2. Подставляя найденные
значения произвольных постоянных в общее решение (24), получаем
решение начальной задачи (22) —(23):
1	1 _г	X
у = — — е* + — е + 2хе или
у = 2хе* — sh х.
Пример 12. Найти частное решение уравнения
 у" + 4у' + 5у = 8cosx,	(25)
ограниченное при х-> —оо.
Решение. Общее решение данного уравнения
у = е—2х (Ct cos х + С2 sin х) + 2 (cos х sin х);	(26)
При х-> — оо величина е-2г->- + оо и при любых Ci и С2, не равных
одновременно нулю, первое слагаемое правой части (26) будет функ-
цией, неограниченной при х->—оо, а второе слагаемое — функцией,
ограниченной при всех значениях х. Следовательно, только при Ct =
= С2 = 0 имеем ограниченное при х->-—оо решение уравнения (25),
именно
у =-- 2 (cos х + sin х).	(27)
Более того, решение (27) уравнения (25) ограниченно при всех х:
|у| = [2 (cos х + sin х)| < 2 ([cos х| + [sin х|) < 4
для всех х $ (— оо, + оо).
Пример 13. Найти частное решение уравнения
у" — Зу' + 2у = 4 + 2е~х cos х,	(28)
удовлетворяющее условию у-+2 при х->- + оо.
Решение. Общее решение данного уравнения
у = Сге* + С2е2х + 2-|- е~* (sin х — cos х).	(29)
При любых значениях постоянных Ci и С2, не равных одновременно
нулю, решение (29) является неограниченной функцией при х-> + оо.
При С[ = С2 = 0 решением уравнения (28) будет функция у = 2+
+e-I(sinx—cos х) для которой, очевидно, выполняется условие
lim у = 2. Таким образом,
у = 2 (sin х — cos х) е—х
будет искомым частным решением.
8-456	113
В следующих задачах найти частные решения урав-
нений, удовлетворяющие заданным начальным усло-
виям:
590. / + у = 2(1 -х); у (0) = 2, у' (0) = - 2.
591. у" — бу' ~г 9у = 9х2 — 12х 4- 2; у (0) — 1, г/'(0)=3,
592. у" + 9у = 36е3*; у (0) = 2, у' (0) == 6.
593.	у" — 4г/' + 4г/ = 2e2jf; у (0) = у' (0) = 0.
594.	у" — 5у' 4 6г/ = (12х — 7) е~х; у (0) = у' (0) = 0.
595.	у" + у' = е-*; у (0) = 1, у' (0) = — 1.
596.	у" 4- 6г/' 4- 9г/ = 10 sinx; у (0) = у' (0) = 0.
597.	у” 4- у = 2 cos х; у (0) = 1, у' (0) = 0.
598.	у" + 4у = sin х; у (0) = у' (0) = 1.
599.	у" 4- у = 4xcosx; у (0) = 0, у' (0) = 1.
600.	у" — 4у' + оу = 2xV; у (0) = 2, у' (0) = 3.
601.	у" — бу' + 9у = 16e-t + 9х— 6; у (0) = у' (0) = 1,
602.	у" — у' = — 5e_jr (sin х 4- cos х); у (0) = — 4,
г/' (0) = 5.
603.	у" — 2у' -f- 2у = 4e*cosx; у (л) = пел, г/' (л) = е”.
604. у'" — у'=—2х\ у (0) = 0, г/' (0) = 1, у" (0) = 2.
605. у™ - у = 8ех; у (0) = - 1, у' (0) = 0, у" (0) = 1,
У"' (0) = 0.
606.	г/'" - у = 2х; у (0) = г/' (0) = 0, г/" (0) = 2.
607.	f/IV - у = 8е‘; у (0) = 0, у' (0) = 2, г/" (0) = 4,
у'"(0) = 6.
В следующих задачах найти частные решения урав-
нений, удовлетворяющие заданным условиям на беско-
нечности:
608.	у" — 4у' +5у = sin х, у ограничено при х-> 4- <».
609.	у" 4- 2г/' 4- 5г/ = 4 cos 2х 4- sin 2х, у ограничено
при х —* — оо,
610.	г/" — у = 1, у ограничено- при х-* оо.
611.	у" — у — —2cosx, у ограничено при х->оо.
114
612, у" — 2у' + у = 4е-х, у-> 0 при х
613.	у" 4- 4у' + Зу = 8ех + 9, У -* 3 при х -> — оо.
614.	у" — у' — 5у — 1, у--------- при х -> оо.
5
615.	у" + 4у' 4- 4у = 2ех (sin х + 7 cos х),
у-> 0 при х—>— оо.
616.	у" — 5у' + бу = 2е~2* (9 s>'n 2х 4- 4 cos 2х),
у-+0 при х —4~ оо.
617.	у" — 4у' +4у = (9х2 + 5х — 12)
у -> 0 при х -> 4- оо.
4°. Уравнения Эйлера. Линейные уравнения вида
a/1 УМ 4- х"-1 у(п~1> + „, + а„_1 ху'+ ап у = О, (30)
где все а, постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти
уравнения заменой независимого переменного х=е‘ преобразуются
в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
ьй y(tn} 4-	4-. . 4- ь„_! y't 4- ьп у (/) = о4	(31)
Замечание 1. Уравнения вида
аа (ах 4- Ь)п ум 4- а, (ах 4- Ь)п~' у'п~})+
4- > •  4- an_i (ах 4- Ь) у’ 4- ап у = О
также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным од-
нородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой пе-
ременных ах4-Ь = е‘.
Замечание 2. Частные решения уравнения (30) можно сразу
искать в виде у—хк, при этом для k мы получаем уравнение, кото-
рое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (31).
' Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера х2у"+2ху’~
—бу—0.
Первый способ. Делаем в уравнении подстановку х=е‘,
тогда
dy
dy	dt	dy
•' =------ =-------= e ---------,
dx	dx	d/
d/
dy' ! A2y dy \
dy' dl \ d/2 d/ )	_9t / d2y dy \
dx dx	e<	\ dt2 dt )
dt
8*
115
и уравнение примет вид
_ л
“г"	 61/ — О4
dZ2 d/ У
Корни характеристического уравнения Х,= —3, Х2 = 2, и общее реше-
ние последнего уравнения будет t/ = Cie-3,4-C2e21. Но так как х = е',
ТО y = CiX~3-\-C2X2 или
У =	+ С2х2.
xJ
Второй способ. Будем искать решение данного уравнения в
виде у = хк, где k — неизвестное число. Находим y' = kxh~', у" =
= к(к—l)xt-2. Подставляя в уравнение, получаем
x2k (k — 1) х*“2 4- 2xfex*-1 — 6х* = О,
ИЛИ
xk[k(k — 1)4* 2ft — 6] = 0.
Но так как хй^0, то k(k—l)4-2ft—6 = 0, или ft24-ft—6=0. Корни это-
го уравнения ft,= —3, k2=2. Им соответствует фундаментальная си-
стема решений 1/1 =х~3, у2=х2, и общее решение по-прежнему будет
р = С^х, 3 _|_ £2 х
Неоднородные уравнения Эйлера вида
У akXk у{к) = ха Рт(\пх)>
k=o
где Рт(и) — многочлен степени т, можно также решать методом под-
бора по аналогии с решением неоднородного линейного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой
частью вида еахРт(х).
Пример 2. Решить уравнение Эйлера х2у"—xy'+2y = xlnx.
Решение. Характеристическое уравнение k(k—1)—ft-|-2 = 0
или k2—2ft4-2=0 имеет корни ftj = l—/, ft2=l-]-i. Поэтому общее
решение соответствующего однородного уравнения будет
Уо.о — х (G cos In х + С2 sin In х).
Частное решение ищем в виде г/ч=х(Л1пх+В); имеем
у'ч = A In х + В 4- А, Уч~ AlXi
Подставляя в данное уравнение, получаем
Ах — х (A In х 4- А 4- В) 4- 2х (A In х 4- В) = х In х,
или
Ах In х 4- Вх = х In х,
откуда Л = 1, В = 0; Итак, i/q = xlnx.
Общим решением будет
у = х (Ci cos In х С2 sin in х) 4- х In х>
116
Проинтегрировать следующие однородные уравне-
ния Эйлера:
618.	х2/' 4- ху’ — у = 0.
619.	х2у" + Зху' + у = 0,
620.	х2у" + 2ху' + бу = 0.
621.	ху" + у’ = 0.
622.	(X 4- 2)2у" + 3 (х + 2) у’ - Зу = 0.
623.	(2х + 1)2у" — 2 (2х 4- 1) у’ +4у = 0.
624.	х2у’" — Зху" + Зу' =0.
625.	x2tf" = 2t/.
626.	(х I)2/" — 12/ = 0.
627.	(2х + 1)2у"' + 2 (2х + 1) у" + у' = 0.
Решить следующие неоднородные уравнения Эй-
лера:
628.	х2у" + ху’ + у = х (6 — In х).
629.	х2у" — 2у = sin In х.
630.	х2у" — ху’— Зу =
631.	х2у" — 2ху' +2у = х2 — 2х 4- 2.
632.	х2у" 4- ху’ — у = хт, |/n| #= 1.
633.	х2у” + 4х/ 4- 2у = 2 In2 х 4- 12х.
634.	(х4- 1)V+ 3(х+ I)2/ 4-(х 4- 1) у = 6 1п(х 4- 1).
635.	(х — 2)2у" — 3 (х — 2) у’ 4- 4у = х.
5°. Линейные дифференциальные уравнения с переменными ко-
эффициентами. Метод Лагранжа. Если известно частное решение
t/i (х) уравнения
у(п} 4-PiWJ/<n-1>+ 4-рл(х)у = 0,	(32)
то его порядок можно понизить на единицу (не нарушая линейности
уравнения), полагая y = yiz, где z— новая неизвестная функция, а
затем делая замену z' = u [можно непосредственно делать замену
и=(у1уЗ']-
Если известно k частных линейно независимых решений уравне-
ния (32), то порядок уравнения может быть понижен на k единиц.
Общее решение уравнения
у{п} 4- Pl (х) У(п~'}+ : I : 4- Рп (*) У = / (*)	(33)
есть сумма какого-нибудь его частного решения и общего решения со-
ответствующего однородного уравнения (32).
117
Если известна фундаментальная система соответствующего одно-
родного уравнения (32), то общее решение неоднородного уравнения
(33) может быть найдено методом вариации постоянных (метод Ла-
гранжа).
Общее решение уравнения (32) имеет вид
У =	+ 62i/2 + ... + Сп уп,
где С|, С-2, , 6„ — произвольные постоянные.
Будем искать решение уравнения (33) в виде
У = Cj (х) У! + С, (х) у-2 + ... + Сп (х) Уп,	(34)
где СДх), 62(х), ..., 6„(х) — некоторые пока неизвестные функции от
х. Для их определения получаем систему
р1с;+</.,с;+... +Упс; = о,
I </1 С] + t/2 ^2 + • • ‘ Уп Сп ~
(35)
#-*> с; + С2 + . 11 + у(п-" С'п = f (X);
Разрешая эту систему относительно (х), (=1, 2, ..., п, получаем
-у^- = Чт(х), i = l, 2, ,,,, п,
dx
откуда
Ci (х) = J <pi (х) dx + Ci, /=1, 2, .... п,
где С, —< произвольные постоянные. Внося найденные значения 6<(х)
в (34), получаем общее решение уравнения (33).
В частности, для уравнения второго порядка
У" + Pi (х) У' + Pi (х) у =/ (х)
система (35) имеет вид
У	, С( + у„ 62 = О,
, ,	, ,	(36)
У1	Cj 4- у2С2 = f (X).
Решая (36) относительное! и С2, получаем
> _ _ yzf (х)	, _ yj (х)
1 “ W [</1, №1 ’ 2 “ nz [f/1, №1 ’
откуда находим
С1 (х) = - fit/У(Y) dx+ с-(х) =
у2]	2 JW'ff/i, у2]
где Ci и 62 — постоянные интею 'роваппя.
118
Замечание. Для уравнения ao(x){/"+ai(x){/'3^a2(x)j/=f(x),
где аа(х)^ 1, а0(х) #=0, система (36) будет выглядеть так.
уА+у2с:>=о,
У1 С\ + У'1 С2 —	( - >
а0 \х)
Пример I. Найти общее решение уравнения xg"-\-2y';£xy=Qt
sin х
если t/i =--- есть его частное решение.
sin х
у— -------*z, где z — новая неиз-
X
Решение. Положим
Но
(37)

Но
вестная функция от х; тогда
У =y'i2+ У^', у = y'l z + 2t/f г + у1г",
Подставляя в данное уравнение, получаем
+ 2у\ + хуг) г + хуг г + 2 [ху\ + yj г = 0.
sin х
так как У\ --------есть частное решение данного уравнения, то
х
+ 2z/j + ху} =0, поэтому имеем
^1г"+2. (^1 + ^1)г' = °-
, - cos х sin х
у, =------' —-------— , а значитху, 4-t/1»=cos х, и уравнение (37)
>Х	X1
примет вид
г" sin х + 2z' cos х = 0.
Перепишем его в виде
г" „ cos.x
------Н 2 —--= 0.
г' sinx
Отсюда имеем (ln|z' | +2 ln|sin х|)'=0, откуда
In |г'|'+ 2 In (sin х| = In Ci или г' sin2 х = С1;
Интегрируя это уравнение, найдем z«f—Cictgx4-C2, и, следователь-
но, общее-решение данного уравнения будет
.	~ cos х	sin х
, у ;=*-* С] -f- С2 ,
X	X
или
COSX , sinx	[
------- + са----	^ = -С!.
X	X
2
Пример 2. Найти общее решение уравнения у" + — и' у =
х ~
= ^-, (*^0).
119
Решение. Общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид (см. пример 1)
sinx cos л
Уо.о — Ci 4* С-2
X	X
и, следовательно, его фундаментальная система решений будет
sin х	cos х
Будем искать общее решение данного уравнения методом вариации
произвольных постоянных:
sin х . cos х
ji = Ci (х)	 + С2 (х)	>
х	х
где С|(х), С2(х) — пока неизвестные функции от х, подлежащие опре-
делению. Для их нахождения составим следующую систему:
, sin х . cos х
Cj (х)------- + C2 (x)------ = 0,
1 X	X
x cos x — si n x ,	— x si n x — cos x 1
C1 W----------2--------C2 № -----------2-------- =--- •
1	X2	X2	X
Отсюда находим: C] (x)=cosx, C2 (x) =—sin x. Интегрируя, по-
лучаем
Cj (x) = sin x + Ci, C2 (x) = cos x 4- C2;
Подставляя эти значения C](x) и C2(x) в выражение для у, найдем
общее решение данного уравнения
~ sinx	~ cosx 1
У = Ci + С2 4~ i
X	XX
Пример 3. Решить уравнение у"-\-у~ 1/cos х.
Решение. Соответствующее однородное уравнение будет
= Его характеристическое уравнение Х2+‘1=0 имеет мни-
мые корни А)=—I, X2=i, и общее решение однородного уравнения
имеет вид
Уо.о = С± cos х + С2 sin х.
Общее решение исходного уравнения ищем в виде
у = Ct (х) cos х -J- С2 (х) sin х,	(38)
где СДх) и С2(х) — неизвестные функции от х. Для их нахождения
составим систему
cos х• С] (х) 4- sin х  С2 (х) = 0,
— sin х-С] (х) 4~ cos х-С2 (х) = —---,
cos х
120
Разрешаем эту систему относительно С( (х) и С2 (х);
Cj(x) = — tgx; С'2(х) = \,
Интегрированием находим
Ci (х) = In | cos х | + Cj, C2 (x) = x + C2;
Подставляя выражения Ci(x) и C2(x) в (38), получаем общее реше-
ние данного уравнения
у = С\ cos х -ф С2 sin х + cos х-In | cos х | 4- х sin х.
Здесь cos х In|cos х\ 4-х sin х есть частное решение исходного
неоднородного уравнения.
Пример 4. Зная фундаментальную систему решений yi = 1н х, у2=
=х соответствующего однородного уравнения, найти частное решение
уравнения
<1 — In х)а
х2 (1 — In х) у" + ху' — у =-------,	(39)
X
удовлетворяющее условию lim у~0.
Х-»-|-“
Решение. Применяя метод вариации постоянных, находим об-
щее решение уравнения (39):
1 — 2 In х
у = Cjlnx-'-CjXl----------.	(40)
4х
При х->4-°° первые два слагаемых правой части (40) стремятся
к бесконечности, причем при любых С>, С2, не равных нулю одно-
временно, функция Ciln х-]-С2х есть бесконечно большая функция
при х—>4-оо. Третье слагаемое правой части (40) имеет пределом
ноль при х—>-|-оо, что легко установить с помощью правила Лопи-
таля. Таким образом, функция у=(1—2 1пх)/4х, которая получа-
ется из (40) при С] = 0 и С2=0, будет решением уравнения (39),
удовлетворяющим условию lim у=0.
Х->4-оо
Проинтегрировать следующие уравнения, если изве-
стно одно частное решение z/i однородного уравнения.
636.	(2х + 1) у" + (4х — 2) у' — 8у — 0; у1 = е>пх.
637.	(х2—х)у"+(2х—3) у'—2у=0-, ух— рациональ-
ная дробь, в знаменателе которой стоят линейные мно-
жители — делители коэффициента при у".
638.	(Зх-}-2х2)у"—6(1+х)у'+6у=6;	yi— много-
член.
639.	х2 (In х — 1) у" — ху' + у = 0, у1 = х.
640.	у" + (tgx — 2ctgx)y' + 2ctg2x-y = 0; у, = sin х.
641.	у" + tgx-y' + cos2x-y = 0; yj = cos(sinx),
642.	(1 + x2) у" + xy' — у + 1 = 0; yY = x.
121
643.	х2 у" — ху' — Зу = 5х4, ух = — ,
X
644.	(х — 1)у" — ху' + у — (х — 1)2е*; У1 = ех.
645.	у" -1. - у' < ег-ху = е-3х; уг = cose-1.
646.	(х4 — х3) у" + (2х3 — 2х2 — х) у' — у =
647.	у" — у' + ye2v = хе2г — 1, уг = sinех.
648.	х (х — 1) у" — (2х — 1) у' + 2у = х2 (2х — 3), f/i=x2.
649.	Цепь длиной 6 м соскальзывает вниз со стола
без трения. Если движение начинается с момента, ког-
да 1 м цепи свисает, то за какое время соскользнет вся
цепь?
650.	Найти уравнение движения точки, если ускоре-
ние в зависимости от времени выражается формулой
a=\,2t и если при / = 0 расстояние $=0, а при / = 5
расстояние s = 20.
651.	Тело массы т скользит по горизонтальной пло-
скости под действием толчка, давшего начальную ско-
рость ц0. На’тело действует сила трения, равная — km.
Найти расстояние, которое тело способно пройти.
652.	Материальная точка массы т=\ движется
прямолинейно, приближаясь к центру, отталкивающему
ее с силой, равной k2x (х — расстояние точки от цент-
dx
ра). При t=0, х= а, =ka. Найти закон движе-
ния.
Проинтегрировать методом вариации постоянных
следующие уравнения:
653.	у" + у = -4- .
sin X
654.	=	,
е* + 1
655.	у" 4 У = Ц- .
COSJ X
656.	у'' + у =	1 - .
) sin5xcosx
122
657.	y"-2y' + y = -f-
658.	у" + 2у' +2у = —--------.
ех sin х
659.	у" + у =-Л“.
sin3 X
66 9. у” — у’ - е2х cos е\
661.	у’" + у=
х2
662.	ху" — (1 + 2х2) у' = 4х3еЛ
663.	у" — 2у' • tg х = 1.
664.	xlnx-y"— у' — 1п2х.
665.	ху" + (2х — 1) if = — 4х2.
666,	tf + у' tgx — cosxctgx.
Найти решения следующих дифференциальных
уравнений при заданных условиях на бесконечности:
€67. 4ху" + 2у' + у — 1, lim«/=l;
z/! = sin y2 = cos]/x.
668. 4ху" + 2у' + у =	, Нш у = 0.
669. (1 + х2) у" + 2x1/' = ——„, lim у =	,
1 “Г~ X*	Х~*-|-оо	О
у’ |х=о = 0.
670. (1 — х) у" + ху' — у — (х — I)2 ех, lim у = 0,
X—— оо
#|х=о=1; У1 = х, у2 = ^.
671. 2х2 (2 — In х) у" + х (4 — In х) у' — у =
= -(2~ ‘п_*)3- t lim у = 0, уг = In х, у2 =Ух.
Ух
672, у" + — у' — у = 4е\ lim у = 0, у' |Л=_! ==
X	—ОО
1	е*	е-х
--------; У1 = —, Уъ = —.
е-------х	х
673.	х3 (In х — 1) у" — х2/ 4- ху = 21п х,
123
lim# = O, yL = x, y2 = lnx.
674.	(x2 — 2x) y" + (2 — x2) y' — 2 (1 — x) у =
= 2(x—1), limr/= 1, r/t = x2, y2 = er.
Х-> + аз
6°. Составление дифференциального уравнения по заданной
фундаментальной системе решений. Рассмотрим линейно независи-
мую на отрезке [а, Ь] систему функций
. У1 (х), Уг	Уп(х),	'	(41
имеющих все		производные до		л-го порядка	включительно. Тогда
уравнение				Р(х)	
	У1 (х)	Р‘2 (X) .'	Уп(х)		
	у{ (х)	У2 (х) ‘ :	: Уп (X)	У (х)	= 0,	(42)
	(Г (х)	Р^’ (X)	‘ = У^ • • У fl	(х) У(пЧх)	
где у(х)—неизвестная функция, будет линейным дифференциальным
уравнением, для которого, как нетрудно видеть, функции yi(x),
Уг(х)... уп(х) составляют фундаментальную систему решений. Ко-
эффициент при р(п)(х) в (42) есть определитель Вронского U7[z/i, уг,
.... f/п] системы (41). Те точки, в которых этот определитель обра-
щается в ноль, будут особыми точками построенного уравнения —
в этих точках обращается в ноль коэффициент при старшей произ-
водной у{п>(х).
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение, для которо-
го функции yi(x)=ex, У2(х)=е~х образуют фундаментальную систе-
му решений.
Решение. Применяя формулу (42), получаем
ех е~х у
е* — е—х у'
ех е—* у"
— О или
1 1 У
1 -1 у'
1	1	у"
= 0.
(43)
Раскрывая определитель в левой части (43) по элементам третьего
столбца, будем иметь у"—у=0. Это и есть искомое дифференциаль-
ное уравнение.
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение, для которо-
го фундаментальную систему решений образуют функции yi(x) =
=е*2, у,(х)=е-хг.
Решение. Составим уравнение вида (42) j
2х ех±
(2 + 4№) е*3
Сх’ у
— 2хе~ *’ у'
(4х2 — 2) е—х1 у"
= 0 или
1	1	У
2к — 2х у'
2 + 4х4 4х2 — 2 у"
= 0,
124
Раскрывая последний определитель по элементам 3-го столбца, бу-
дем иметь
ху" — у' — 4х3у = 0.	(44)
В этом примере определитель Вронского W[yi, г/2]=— 4х обращает-
ся в ноль при х = 0. Это не противоречит общей теории, в силу кото-
рой определитель Вронского фундаментальной системы решений
линейного однородного дифференциального уравнения
У(п} + Pi (х)	+-^ + pn(x)ij = Q
с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами не обращается
в ноль ни в одной точке х отрезка [а, 6]. Записав уравнение (44)
в виде
р" - -у у' - 4х2р = 0,	(45)
видим, что коэффициент при у' терпит разрыв при х=0, так что в
точке х=0 непрерывность коэффициентов уравнения (45) нару-
шается.
Составить дифференциальные уравнения, для кото-
рых данные системы функций образуют фундаменталь-
ные системы решений:
675.	i/j (х)	= sh х, у2 (х) = ch х.
676.	«/, (х)	= х,	у2(х) = е\
677.	у} (х) = е\ у2 (х) = е*2Л
678.	у1 (х)	= 1,	у2 (х) = х,	у3 (х) = х2.
679.	уг (х)	= х,	у2 (х) = sin	х,	у3 (х) = cos х.
7°. Разные задачи. Пусть j/i, */г, Уп— фундаментальная си-
стема линейного однородного уравнения
р(П) +Pi (X) р<Г1-1) +;;;+/?„(%) У = 0.
Тогда имеет место формула Остроградского — Лиувилля
X
— j ₽,(/) dt
W (х) = W (х0) е х
где W'(x) = W'[y1, t/2,...,уп] — определитель Вронского, а хо—любое
значение х из отрезка [а, 5], на котором непрерывны коэффициен-
ты р)(х), рг(х),..., рп(х) уравнения.
Пример 1. Показать, что линейное дифференциальное уравнение
ху"—(х+2)у' + у=‘О имеет решение вида г/1 = Р(х), где Р(х) — не-
который многочлен. Показать, что второе решение у2 этого уравне-
ния имеет вид t/2=e*Q(x), где Q(x) —также многочлен.
Решение. Будем искать решение </i(x) в виде многочлена,
например, первой степени: yi—Ax+B. Подставляя в уравнение, най-
дем, что —2Д + В = 0. Пусть Л = 1, тогда В = 2; таким образом, мно-
125
гочлен ^| = х+2 будет решением данного уравнения. Перепишем дан-
ное уравнение в виде
„	х+2 ,	1
У"------у'+~у = О1
X	X
Пусть z/a(x)—второе частное решение данного уравнения, линейно
независимое с первым. Находим определитель Вронского системы
решений z/i=x+2, i/2:
х + 2 у2 , О1 ,«
1
“2, = (х + 2) у2 — у
У2
здесь х=/=—2. Применяя формулу Остроградского — Лиувилля, бу-
дем иметь
К1У1,Уг\ =
dt
(x + 2) z/2 — y2 = U7 (x0) e °
где xo — любое значение x, причем x»=#0, х»э£—2, или
(x + 2) z/' — y2 = Ax2 ex;
здесь A=	----— const i
Xq
Для нахождения y2 получили линейное дифференциальное уравнение
первого порядка. Деля обе части этого уравнения на (х+2)2,
ведем его к виду
при-
\х+ 2/	(x+ 2)2 *
Интегрируя, найдем
t/ x ______
—— = A ——- ex;	отсюда y2 — A (x — 2) e*.
680.	Показать, что линейное дифференциальное
уравнение (х2—l)z/"=2z/ имеет решением некоторый
многочлен z/i(x)=P(x). Показать, что второе решение
г/2 (х) этого уравнения имеет вид
yt (х) = Р (х) In+ Q (х),
где Q(x)—также многочлен.
681.	Найти общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка у" +
+pi(x)f/'+p2(x)t/=0, если известно одно его частное
решение у\=у\ (х).
682.	Пусть ух (х), y-i(x)—фундаментальная система
решений линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
До (х) у” + Pl W У' Н- Pi W У = 0.
126
Выразить коэффициенты ро(х), Р\(х), Pi(x) через у^х)
и У2(х).
683.	Доказать, что два решения уравнения у" +
+pi(x)y'+p2(x)y=Q с непрерывными коэффициента-
ми, имеющие максимум при одном и том же значении
х, линейно зависимы.
684.	Доказать, что отношение двух любых линейно
независимых решений уравнения у"+рЛх)у'+р2(х)у —
=0 с непрерывными коэффициентами, не может иметь
точек локального максимума.
685.	При каких значениях и р2 каждое решение
уравнения y"-\-piy'+p2y=0 (pi, P2 = const) обращается
в ноль на бесконечном множестве точек х?
686.	Пусть функции и(х) и о(х) являются соответ-
ственно решениями уравнений u"+p(x)u=Q и v"-\-
-f-q(x)v=O, удовлетворяющими условию и(а)=0,
о(д)=0 (р(х) и q(x), непрерывны на отрезке [a h]).
Доказать, что определитель Вронского этих решений
будет равен
[и (х), v (х)| = J [/? (/) — q (/)] и (/) и (/) d/.
а
687.	Доказать, что никакие два линейно независи-
мых решения У1(х)иу2(х) линейного однородного урав-
нения у"+р(х) y'+q(x) у=0 не могут одновременно
обращаться в ноль в одной и той же точке х0.
688.	Доказать, что, если уДх) есть некоторое част-
ное решение линейного однородного уравнения у" +
+p(x)y'+q(x)y=0, причем у{(х)^0, то уравнение
уДх)=0 не может иметь кратных корней.
> 689. Показать, что подстановка у = о(х) z(x) преоб-
разует линейное однородное уравнение у"+р(х) у'-\-
+q(x) у = 0 снова в линейное однородное уравнение.
Как надо подобрать функцию о(х), чтобы в преобра-
зованном уравнении отсутствовал член с первой произ-
водной?
690.	Доказать, что решение уравнения —-—\-k'2x—
At2
= удовлетворяющее начальным условиям х(0)=0,
х'(0)=0, имеет вид
t
х (/) == -^- ^ / («) sin k(t — и) dzz.
b
127
691.	При каких значениях р и q все решения урав-
нения y"+py'-[-qy=Q стремятся к нулю при х->4-оо?
692.	При каких значениях р и q все решения урав-
нения y"-\-py'-{-qy=^ (Р, Q = const) являются периоди-
ческими функциями ОТ X?
693.	Пусть функция у(х), является решением урав-
нения (14-х2)//"—х3у' = х24“4 на отрезке [а, 6], при-
чем это решение удовлетворяет краевым условиям
^(а)=0, у(Ь)=О.
Доказать, что для всех х из интервала (а, Ь) будет
у(х)<0.
694.	Доказать, что в случае /?(х)<;0 решения урав-
нения у"4-р(х) y'-]-q(x) у=0 не могут иметь положи-
тельных максимумов.
695.	Доказать, что в случае /у(х)>0 для любого ре-
шения уравнения y"-]-q(x) y = Q отношение t/'(x)/y(x)
убывает при возрастании х на интервале, где у(х)=/=0.
§ 16.	МЕТОД ИЗОКЛИН ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Метод изоклин (см. § 2) применяется также к решению некото-
рых уравнении второго порядка. Эго те уравнения, которые могут
быть сведены к уравнению первого порядка, например, уравнения
вида
d2x / dx
*dF' + Д d/
Введем новую переменную v =
нение (1) примет вид
dx
di
(1)
d2x	do
Тогда —- =v~— и урав-
d/2	dx
dn
dx v
(2)
Это уравнение первого порядка, в котором х является независимым
переменным, и для его решения можно применить метод изоклин.
Будем величину х понимать как перемещение какой-либо точки си-
dx
стемы, a ~~~ = v — как се скорость.
Плоскость переменных х, и называется фазовой плоскостью Та-
ким образом, уравнение (2) определяет скорость как функцию пере-
мещения. Строя поле изоклин для уравнения (2), мы можем вычер-
тить интегральную кривую, если задана начальная точка (хо, и о).
Такое графическое изображение скорости v как функции перемеще-
ния х: о = ц(х) называют фазовой картиной (фазовый «портрет»).
Кривые в плоскости х, v, изображающие эту зависимость, называют-
ся фазовыми траекториями. Мгновенные значения х и и являются
координатами точки фазовой траектории. Точка эта называется изо-
128
Сражающей точкой. С течением времени изображающая точка пере-
мещается по фазовой траектории. Заметим, что положительная ско-
рость вызывает возрастание перемещения со временем. В самом де-
dx	dx
ле, в силу подстановки и =---при и>0 и—;— >0, что означает
df	at
возрастание х при возрастании t. Таким образом, в верхней полови-
не фазовой плоскости, где е>0, изображающая точка должна дви-
гаться слева направо, а в нижней половине плоскости, где с<0
справа налево. Поэтому движение по фазовой траектории совершает-
ся по коду часовой стрелки.
Пример 1. Построить траектории в фазовой плоскости для урав-
нения
Решение Полагаем------------=о. Уравнение (3) принимает вид
at
do	do	х
о-----4- х = 0, или-----=——.	(4)
dx	dx	о
Уравнения изоклин для (4): —х/о = А. Строя изоклины, отвеча-
ющие различным значениям k, найдем, что фазовые траектории —
окружности с центром в точке (0, 0) (рис. 26).
Отметим, что замкнутые фазовые траектории соответствуют пе-
риодическим движениям. Легко видеть, что в случае уравнения (3)
мы действительно имеем периодическое движение. Решая (3) мето-
дами, изложенными выше, находим
х (() = Ci cos t + С2 sin t.
- 9-^456
129
Пример 2. Построить фазовые траектории для уравнения
Решение. Полагаем и=—;—. То, да уравнение (5) примет вид
си
da v — х
dx v '
V — X
Уравнение изоклин ----—k. Фазовые траектории имеют вид раз-
v
матывающихся спиралей (рис. 27). Из фазовой картины можно
усмотреть, что движение апериодическое, с амплитудой, неограничен-
но возрастающей со временем.
Построить фазовые траектории для следующих диф-
ференциальных уравнений:
696.	— + — + х = 0.
d/2 dt
697.	—+ 2— + 6x = 0.
di2	di
698.	— + 2— + X = 0.
di2	di
699.	— + (— У +	0.
dP \ di )
700.	— — 2/'—? + — — 2z = 0.
d/2	\ dt ) dt
701.	—x-exp^-^-j = 0 (expu = eu),
•mo d2x ,	/ dx \	n
702.	Fexp-----------—x = 0.
dt2	dt J
7OQ d2x	I dx \2	A
703.	f- x ----- = 0.
di2	\ di I
704.	— + (x + 2) — = 0.
di2	’ dt
-тле d-x	dx ,	2 A
705.	b x — x = 0.
di2	dt
§ 17.	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим для простоты уравнение второго порядка
У" + Pi (х) у' + (х) у = 0.	(1)
Коэффициенты pi(x) и р2(х) будем считать непрерывными в неко-
тором интервале (а, Ъ). Тогда каждое решение у{х) уравнения (1)
J30
будет определено во всем этом интервале. В дальнейшем вместо
уравнения (1) будем рассматривать уравнение вида
[р (*)</']'+4 W У = °.	р(*)>0.	(2)
Уравнения (1) и (2) могут быть преобразованы одно в, другое. Урав-
нения вида (2) называются самосопряженными.
Решение дифференциального уравнения
[р (*)</']' +?(*)» = «
полностью определяется начальными условиями у(хо)=уч, у'(х<>) =
=у0 . Однако во многих физических задачах приходится искать ре-
шения, заданные иным способом. Например, может быть поставле-
на задача: найти решение уравнения (2), принимающее в точках
а и Ь заданные значения у{а) и у(Ъ). Обычно в таких случаях зна-
чения решения ищутся только для х из (а, Ь). Таким образом, за-
данные значения у(а) и у(Ь) находятся на концах интервала, по-
этому задачи такого рода называются краевыми (граничными)
задачами. В дальнейшем мы положим в основу интервал (0, л) (основ-
ной интервал), что не уменьшает общности рассуждений.
Весьма общий вид краевых условий для уравнения второю по-
рядка следующий:
fia у (0) + ht у' (0) = А, /г0 г/(л) + у' (л) = В,	(3)
где ho, hi, k0, ki, A, В — заданные постоянные, причем ho, hi, ho, fei
не равны одновременно нулю.
Если Л = 5 = О, то краевые условия называются однородными,
например:
1)	У(0) = </(«) = 0,
2)	M(°) = </'(0), у' (л) = — ht у (л);	h0,/ц > 0,
3)	У' (0) = у' (л)=0,
4)	</(0) = у (л), у' (0) = у' (л).
Вообще говоря, краевые задачи не всегда разрешимы, т. е. не
всегда существует такое решение, которое принимает требуемые зна-
чения на концах интервала. Например, краевая задача
у" = 0, у (0) — у (л) = 1, у' (0) 4- у' (л) = 0
не имеет ни одного решения. Задача
У" + ty = 0, у (0) = у (л) = 0	(4)
имеет ненулевое решение только для целочисленных значений У X •
В самом деле, из общего решения дифференциального уравнения (4)
у= Сг ^/Г~'кх + С2 е—
вытекает, что краевые условия выполнимы в том и только в том слу-
чае, если Х=д2 есть квадрат целого числа п. Соответствующими ре-
шениями являются функции yn=sinnx.
Как видно из этого примера, если q в уравнении (2) есть функ-
ция параметра X, то при известных условиях существуют такие зна-
чения параметра, для которых однородная краевая задача для урав-
нения (2) имеет ненулевое решение. Эти значения X называются
9
131
собственными значениями, а соответствующие им решения краевой
задачи — собственными функциями. Последние определяются лишь
с точностью до произвольного постоянного множителя. Так, для
краевой задачи у" + Хр = О, у(0) = у(л)=0, числа I2, 22, З2, ... и функ-
ции sin х, sin 2х, ... являются соответственно собственными значе-
ниями и собственными функциями задачи.
Наряду с простыми собственными значениями, когда одному
собственному значению отвечает одна собственная функция (с точ-
ностью до постоянного множителя), существуют кратные собст-
венные значения, когда собственному значению Хо отвечают две или
более линейно независимые собственные функции.
При решении краевых задач (для линейных однородных диффе-
ренциальных уравнений) поступают так: находят общее решение
данного дифференциального уравнения
У=с1 У1.(х) + С2 уг (х) + : : •+ Сп tjn (х) ,
где </1(х), уг(х), уп(х) —линейно независимые решения. Затем
требуют, чтобы это решение у(х) удовлетворяло заданным гранич-
ным условиям. Это приводит к некоторой линейной системе уравнений
для определения Ci, С2, .... Сп. Разрешая эту систему, если возмож-
но, находят решение данной краевой задачи. При этом, если возни-
кает задача о нахождении собственных значений, условие наличия
ненулевого решения у системы, определяющей Ci, Сг, ..., Сп, являет-
ся условием, определяющим собственные значения. Это бывает не-
которое вообще трансцендентное уравнение для X.
Пример 1. Решить краевую задачу
</"-У = 0,	p'(0) = 0,	«/(!)=!.
Решение. Общее решение данного уравнения
р(х) = С1е2: + С2е-\	(5)
отсюда
у' (х) = G е* — С2 е-\	(6)
Полагая х=0 в (6) и х=1 в (5) п учитывая краевые условия, полу-
чаем для нахождения значений постоянных Ci и С2 неоднородную
линейную систему
iCi —С2 = 0,
I е + С2 е—1 = 1:
Определитель этой системы
А =
1
е
— 1
е—г
= е—1 + е = 2ch 1 #= О,
следовательно, она имеет единственное решение
1__ _ 1_________________
С1 ~ 2ch 1 ’	~ 2ch 1
Подставляя найденные значения Ct и С2 в (5), получаем решение
заданной краевой задачи
ех е~ *	ch х
уМ=^ГГ’ =
132
Пример 2. Найти собственные значения и собственные функции
краевой задачи
у''-Vy -.()	(Х^О),	(7)
1/'(0)=0,	р(л)=0.	.	(8)
Решена е. Общее решение уравнения (7)
у (х) = С, cos Xx + С2 sin Хх;	(9)
отсюда
у' (х) = — QX sin Хх 4-С2Х cos Хх,	(10)
Полагая х=л в (9) и х = 0 в (10) и учитывая краевые условия (8),
получаем для нахождения С, и С2 однородную линейную систему
( Ci cos Хл 4' С2 sin Хл = 0,
I	С2Х=0;	1
Система (11) будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда,
когда ее определитель равен нулю; приравняв его нулю, получаем
уравнение для нахождения собственных значений данной краевой
задачи:
I cos Хл sin Хл I
„	„	= 0, или X cos Хл •= 0.
| 0 X |
Так как по условию Х^О, то созХл=0, а значит собственные зна-
чения
,	2'1 + 1
Х = Х„ =----— , п = 0,1.2,,,,
Им соответствуют (с точностью до постоянного множителя С,, ко-
торый можно положить, равным единице) собственные функции
2я 4- 1
Уп W = cos —— х,
являющиеся решениями краевой задачи (7) — (8).
Замечание. Собственные значения рассмотренных выше за-
дач образуют возрастающую числовую последовательность. Если же
коэффициенты дифференциального уравнения имеют особую точку
на границе основной области или если основная область бесконечна,
например вся числовая ось, то спектр, т. е. совокупность собствен-
ных значений, может обладать иной структурой. В частности, могут
встретиться спектры, содержащие все числа какого-либо интервала
значений X, так называемые непрерывные спектры. Например, пусть
требуется решить уравнение (/"+Х(/=0 для интервала —оо<х< + оо
при «краевых условиях»: у(х) ограничено на бесконечности. Оче-
видно, в этом случае всякое неотрицательное число X является соб-
ственном значением с собственными функциями sin Укх и
cos У к х.
При решении задач математической физики, приводящих к за-
дачам на определение собственных значений, часто получаются диф-
ференциальные уравнения вида
[Р (*)</']' — <?(х)у4-Хр (х) у = 0,
133
но такие, что в концевых точках основной области могут иметь ме-
сто особенности дифференциального уравнения, например обраще-
ние в ноль коэффициента р(х). Для этих особых точек из самого ха-
рактера задачи возникают условия, например, непрерывности или
ограниченности решения или обращение его в бесконечность не вы-
ше заданного порядка. Эти условия играют роль краевых условий.
Типичным примером является уравнение Бесселя
п2
(ху')'——у+Хху = 0,	(12)
которое появляется в задачах математической физики. Здесь р(л) =
и сделанное выше предположение, что р(х)>0 во всей основ-
ной области	здесь уже не выполняется, так как р(0)=0.
Точка х=0 является особой точкой для уравнения Бесселя.
Требование, чтобы решение было ограничено в этой точке, бу-
дет специального вида краевым условием для уравнения Бесселя:
найти решение уравнения (12), ограниченное при х=0 и, например,
обращающееся в ноль при х=1.
Пример 3. Решить краевую задачу х2у"+2ху’—6t/=0; г/(1) = 1,-
у(х) ограничено при х-*0.
Решение. Данное уравнение является уравнением Эйлера.
Его общее решение имеет вид i/(x) =Ci/x3 + C2x2 (см. пример 1, п. 4°,
§ 15). По условию решение у(х) должно быть ограниченным при
х-»-0. Это требование будет выполнено, если в общем решении поло-
жить Ci = 0. Тогда будем иметь у(х)=С2Х2. Краевое условие у(1) = 1
дает С2 = 1. Следовательно, искомое решение у=х2.
706.	При каких условиях уравнение у"+ку=0 име-
ет ненулевое решение, удовлетворяющее условиям:
а) у’ (0) = у' (л) = 0, б) у (0) = у (л), у' (0) = у' (л)?
707.	При каких значениях X краевая задача у"+,
-|-Xt/=O, y(O)=t/(l)=O имеет тривиальное решение
М?
708.	Какая из следующих краевых задач разре-
шима:
а) у" — У = 0,	у (0) = 0,	у (2л) = 1,
б)у" + г/ = О,	z/(0) = 0,	//(2л) = 1?
709.	Решить краевую задачу у"-\-{^—<о2)«/=О,
У(0)—У(1),	у'(0) =у'(1). Рассмотреть случаи
X—ш2>0, X—0)2=0, X—о)2 <0.
710.	Найти решение уравнения ({/')2+1 =0.
проходящее через точки (0, 1) и (1, 2).
Решить следующие краевые задачи:
711.	у"-]- у = 0, у(0) = 0,
712.	y" — y = Q, у(О) = 0, /(1)=1.
134
713.	у" — 2у' +2у = 0, у (0) = О, у' (л) = е".
714.	у" + ау' = О,	z/(O) = e“,	у'(1)	=	О.
715.	у" + а2у = 1,	у'	(0) = а,	у' (л)	=	О (0<а<1),
716.	у" + у = 1, i/(O)	= О, //'(л) = 0.
717.	у" + Му = 0,	у'	(0) = 0,	/(л)	=	0.
718.	у" + Му = 0, у (0) = 0, у' (л) = 0.
719.	«/"'4-*/’ —/ —у = 0, r/(0)=—1, у' (0) = 2,
И1) = 0.
720.	у"'- М у = О, у (0) = у" (0) = О,
«/(л) = у"(п) = 0.
721.	ху” 4- у' = 0, у (1) = а/ (1), у(х) ограничено
при х^О.
722.	х2у™ + 4ху"' + 2у" = 0, у (1) = у' (1) = О,
у(х) ограничено при х->0.
723.	х3 у™ 4- 6х2у"' 4- бху" = 0, у (1) = у' (1) = О,
у(х) ограничено при х->0.
§ 18. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ
1°. Разложение решения в степенной ряд. Этот прием является
особенно удобным в применении к линейным дифференциальным
уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения
второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго
порядка
У” 4- Р (х) у' 4- q (х) у = 0,	(1)
Предположим, что коэффициенты р(х) и q(x) представляются в ви-
де рядов, расположенных по целым положительным степеням х, так
что уравнение (1) можно переписать в виде
У" 4- (ae4- aix4-a2x24-->0 у'4-(&о 4-М+ ****4- “ >) !/=0' (2)
Решение этого уравнения будем искать также в виде степенно-
го ряда
У = S Ck Хк:	(3)
*=0
Подставляя это выражение у и его производных в (2), получаем
оо	ОО	ОО	ОО	ОО
2 k (k — 1) ck xk~2 4- X ak xk у, kck хк~1 4-2 bkxk 2 Cft ** = °;
*=2	k=a	k=i	k=a	k=o
(4)
135
Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравни-
вая пулю коэффициенты при всех степенях х в левой части (4), полу-
чаем ряд уравнений:
х° 2- 1с2	+ b(jcn = О,
х1 3-2с3 4- 2а0с2 4- Q1<?1 + Ьощ 4- Ьгсй = О,
X2 4-Зс4 4- Зц0Сз -|- 2п4Сз 4" а1с1 4* ^0с24_^1С14_^2^0“^>
............................................................. (5)
Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним иско-
мым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты с0 и
Ci остаются произвольными и играют роль произвольных постоян-
ных. Первое из уравнений (5) дает Сз, второе дает с3, третье — сч
и т. д. Вообще из (k+ 1) -го уравнения можно определить ск+2, зная
Co, Cl, .... сА+1.
Практически удобно'поступать следующим образом. Определим
по описанной выше схеме два решения ijt (х) и у2(х), причем для
pi(x) выберем со=1 и <ч = 0, а для уг(х) выберем со = О и щ= 1, что
равносильно следующим начальным условиям:
1/1(0) = 1, 2/;(0)=0, у2(0)=0,	й(0)=П
Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решении
yi(x) и у2(х).
Если начальные условия имеют вид удУ)~А, у'(0) = В, то, оче-
видно,
У	= Лщ (х) 4- Ву2 (х).
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если ряды
р (4 = У Ok xk 11 ? W = У hf: xk
4=0	Л^О
сходятся при |х| <В, то построенный указанным выше способом
степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях х
и явится решением уравнения (1).
В частности, если р(х) и у(х) — многочлену от х, то ряд (3) бу-
дет сходиться при любом значении х.
Пример I. Найти решение уравнения
у" — ху' — 2у = 0	(6)
в виде степенного ряда.
Решепп е. Ищем yi (х) в виде ряда
У1	U) = 5 Q Л
л=0
тогда
У1	W = У, bCk х^1, у, (х) = У k (k — 1) Ck Xk~2.
4=1	4=2
Подставляя yi(x), y} (x) и у} (x) в (6), получаем
co	co	oo
у (k - 1) ken ?-2 - У kck xk - 2 у ck xk = 0;	(7)
k—'2	ft=l	A=0
136
Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты
при всех степенях х, получаем соотношения, из которых найдем ко-
эффициенты Со, С], сп, ... .
Положим для определенности, что i/i(0)=l, i/j (0)=0. Тогда
легко находим, что
с0 = 1, И = 0;
Итак, имеем:
(8)
х“
х1
X2
Xs
X*
2с2 — 2со = О, отсюда
3 • 2с3 — 1 • Cj — 2cj = 0,
4-Зс4 — 2с2 — 2с2 = 0,
5-4с5 — Зс3 — 2с3 = О,
6  5св — 4с4 — 2с4 = 0,
и из (8) с2 = 1,
отсюда и из (8) с3 = О,
1
отсюда с4 = — ,
3
отсюда с6 = О,
с4 1
отсюда св = — = ——
5	о-о
Следовательно,
Л W = 1 + х2 + Xs + -у— Xе +,:, ,
О	10
Аналогично, беря
Уг (х) = ^Акхк
k=o
и начальные условия уг(О) =0, 1/2 (0) = 1, получаем
Л0 = О, Л = 1;
Подставляя (10) в (6), найдем
(10)
(И)
V k(k-\}Akxk~2(Ь + 2)ЛАх*=0,
k=Q	i=l
х°
х1
х2
X3
X4
X3
2Л2 = 0, Л2 = 0,
3-2Л3 —ЗЛ1=О, А3 =-у (в силу (11)),
4-ЗЛ4 — 4Л2 = 0, Л4 = 0,
5  4.4s — 5Л3 = 0, А3 =	<
б.5Л6—6Л4 = 0,	Л6=0,
1
7-6Л?— 7Л5 = 0, Ai =	,
2- 4-0
137
Очевидно, что
Дай — 0( И-1 =	-- I ,2,3 , ; ; 1 );
2Я , 2ЯТ1 2 4 6 . (2А) V	’**•'’
итак,
д;3
У г W = X + — +
Общее решение уравнения (6) будет иметь вид
у(х) = Ау1 (х) + Вуг (х),
где J/1 (х) и t/2(x) задаются формулами (9) и (12) соответственно,
а А и В —произвольные постоянные, причем //(0)=А, у'(0)=В.
Приведем еще один способ интегрирования дифференциальных
уравнений с помощью рядов, который оказывается более простым
применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пусть
дано дифференциальное уравнение
у(п) = f (х, у, y',ltt, у^-^)	(13)
и начальные условия
у1х^ = у0' /|х=х0 = %•“•• г'("_1>|х=х, = г'о’~1)‘	<14>
Введем следующее определение.
Функция <р(х) называется голоморфной в некоторой окрестно-
сти |х—Хо| <р точки х=хо, если в этой окрестности она представи-
ма степенцым рядом
ф w = 2~
k=0
сходящимся в области |х—х»| <р.
Аналогично, функция q>(xi, ха, ..., хп) называется голоморфной
относительно всех своих аргументов в некоторой окрестности
К —40)| < Pft ^=1> 2”--- ”)
точки (х{°>, х<°>,;, х^0*), если она представима степенным рядом
ф (ХГ х2,..хп) = 2	. kn h - х<°>)X
X(x2-x<“))^...(x/1-x;o))4
сходящимся в области
k-40)| < pk > k = i,2....n.
Теорема. Если правая-часть уравнения (13) голоморфна относи-
тельно всех своих аргументов х, у, у', ..., t/(n-1) в окрестности Й:
|х — х0| < R, \у — (/0| < Rv \у’ — г/о| <	.
138
точки (х0, yQ, */q,;;; ,t/Qrt уравнение (13) имеет единственное
решение
н
- / ч Vo
У (х) = Уо -гУо (/ — *о) + (х — х°)2 — ' +
у(п-|)	VI
---^у (х—Хо)"-1 +	OS (X — х0)*,
k—n
(15)
удовлетворяющее начальным условиям (14), и голоморфное в неко-
торой окрестности точки х~хо.
Ряд (15) сходится в области
Г ь
I* — х0| < р, где р = а [1 — е <п+1)аМ
здесь а и b — постоянные, удовлетворяющие условиям 0<а</?,
Q<b<Rи
М = max \f (х, у, у',.,,, у("-1))(<
Первые п+1 коэффициентов ряда (15) определяются начальными
условиями (14) и дифференциальным уравнением (13). Следующие
коэффициенты ряда определяются в силу дифференциального урав-
нения (13) путем его последовательного дифференцирования. На-
пример,
°п + 1 —
1/<п+1> (Хр)
(п + 1)!
где

Jt+D
dy(*> ‘J
__tf|	4.^.1	'  V # I
дх |х=х„ dy |x=x„	^^dy(k} |x-=*t
fe=i
•l/^’ (*o).
Замечание. Если уравнение (13) линейное
z/<n) + pt (x) yin~i} + • ‘ + pn (x) у = ф (x).
где рл(х) (fe=l, 2.n) и ф(х)—функции, голоморфные на всей
оси Ох, то ряд (15) сходится также на всей оси.
Пример 2. Найти решение уравнения
у"+1/ = 0,	(16)
удовлетворяющее начальным условиям
У 1х=о = 1 > У |х=о = 0»	(17)
139
Решение. Частное решение уравнения (16), удовлетворяющее
начальным условиям (17), ищем в виде ряда
У' (0)
!/W=y(0) + ^±x +
У” (0)
2!
У'" (0)
3!
(18)
где у(0) = 1, у'(0)=0.
Из данного уравнения находим, что у"(0) =— у(0) =— 1. Диффе-
ренцируя последовательно обе части уравнения (16) и полагая в по-
лученных равенствах х = 0, будем иметь;
у'"(0) = —у' (0)=0,
ylv(0)=-</"(0) = i,
( 0, если п = 2k — 1
= ((—1)\ если п = 26
(6 = 1,2,...),
Найденные значения у"(0), /"(0),... подставляем в ряд (18). Полу-
чим искомое решение в виде степенного ряда
, ха	х4 х6
У W — ~ 2!	4! — 6!
(-1)*
(26)!
х2/! + “1
(19)
Очевидно, что ряд, стоящий в правой части (19), сходится на
всей оси Ох к функции y=cosx, которая является решением постав-
ленной задачи Коши.
Пример 3. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тей-
лора решения у = у(х) уравнения y" = eIV, удовлетворяющего на-
чальным условиям у | >=о=1, у'|х=о = О.
Решение. Легко видеть, что правая часть уравнения, т. е.
функция е**', разлагается в степенной ряд по степеням х и у в
окрестности точки (0, 0), сходящийся в области —оо<х< + оо,
—оо<у< + оо (т. е. правая часть голоморфна).
Будем искать частное решение в виде ряда
Используя само уравнение, найдем у"(0) =ех|4 х=о= 1.
Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая
х = 0 в полученных равенствах, будем иметь
Г(0) = (!/+ху')е«|х=а = 1,
ylv (0) = [2у' + ху" -Ь (У + ху')2]	|ж=0 = 1.
Подставляя в ряд (20) найденные значения у"(0), у'"(0), ylv(0),
получим искомое разложение решения
х2 х3 х4
v	2!	3!	4!
В следующих задачах найти три первых члена раз-
ложения в степенной ряд решения данного дифферен-
те
пиального уравнения для заданных начальных условий:		
724.	у' = 1 — ху,	у |х=0 = 0.	
725.	, у — X	.	« у ==^—’	У х=о= у + х	|Х и	
726.	y' = sinxy,	у^=о=1.	
727.	у" + ху = 0,	у |х=0 = 0,	У |т=0	1 •
728.	у" — sin ху' =0, у |х=0 = 0,	у'\х-^= !•
729.	ху" 4- у sin х = х, у|х==л=1,	У' |х=л = °-
730.	у" In х — sin ху=0, у\х=е = е-1,	У' |х=е = °’
731.	у”' 4- х sin у = 0, у |х=0 = л/2,	У' |х=0 = °>
		Л,=о = °-
Проинтегрировать при помощи рядов следующие
дифференциальные уравнения:
732.	у' — Чху = 0, у (0) = 1,
733.	у" + ху’ + у = 0.
734.	у"-ху>+у.-1 = 0, у(0) = у’(0) = 0.
В задачах 735—738 найти шесть членов разложе-
ния z/(x).
735.	у" — (\ +х2)у = 0, г/(0) = -2, у' (0) = 2.
736. у" = х2у - у', у (0) = 1, у' (0) = 0
737. у" —уе* = 0.
738. у' = е>' 4- ху, у (0) = 0.
2°. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Уравне-
ние Бесселя. Точка х0 называется обыкновенной точкой дифференци-
ального уравнения
у" + Р (х) у' + q U) У =0,	(21)
если коэффициенты р(х) и q(x) голоморфны в этой точке;
в противном случае точка Л'о называется особой точкой дифферен-
циального уравнения (21).
Ряд вида
ОО
(Со^О),	(22)
fe=0
141
оо
где р — заданное число, а степенной ряд У, сьхк сходится в неко-
k=Q
торой области |х|</?, называется обобщенным степенным рядом.
Если р есть целое неотрицательное число, то обобщенный сте-
пенной ряд (22) обращается в обычный степенной ряд.
Теорема. Если точка х = 0 есть особая точка уравнения (21), ко-
эффициенты р(х) и q(x) уравнения представимы в виде
оо	оо
У а* Хк	у bk Xk
, >	*=о	, ' fc=°
Р (*) =----------.	<7 (*) = —.
х	х2
где ряды в числителях сходятся в некоторой области |х| </?, а ко-
эффициенты йо, Ьа и bi не равны нулю одновременно, то уравнение
(21) имеет хотя бы одно решение в виде обобщенного степенного
ряда
ОО
У = *р 2 Ck Xk (с0 #= 0),	-	(22)
/г=0
который сходится, по крайней мере, в той же области | х| </?.
Для определения показателя р и коэффициентов сь нужно под-
ставить ряд (22) в уравнение (21), сократить на хр и приравнять
нулю коэффициенты при всех степенях х (метод неопределенных ко-
эффициентов) .
При этом число р находится из так называемого определяюще-
го уравнения
р (р - 1) + аор + Ьо = 0,	(23)
где
а9 = lim хр (х), b0 = lim x2q (х).	(24)
х—о	х-»0
Пусть р1 и р2 — корни определяющего уравнения (23). Будем раз-
личать три случая.
1.	Если разность pi—р2 не равна целому числу или нулю, то
можно построить два решения вида (22)
ОО	оо
Ут = *р’ 2 с*** <со =/= °). !/а = *р2УЛ** Ив¥=0).
»=о	fe=0
2.	Если разность р<—р2 есть целое положительное число, то
можно построить, вообще говоря, лишь один ряд (решение уравне-
ния (21))
СО
У1 = *р‘ У, ckxk.	(25)
/г=0
3.	Если уравнение (23) имеет кратный корень р!=р2, то также
можно построить лишь один ряд — решение (25). Понятно, что
в первом случае построенные решения yi(x) и уг(х) будут линейно
независимыми (т. е. нх отношение не будет постоянной величиной).
Во втором и третьем случаях мы построили только по одному
142
решению. Отметим, что если разность pi—ра есть целое положи-
тельное число или ноль, то наряду с решением (25) уравнение (21)
будет иметь решение вида
Уг = Ayt (х) 1п х + хр2 у, Ak х*,
k=o
В этом случае 1/2 (х) содержит добавочное слагаемое вида
Ayi (х) In х, где </i(x) задается в виде (25).
Замечание. Постоянная А в (26) может оказаться равной
нулю, и тогда для у2 получим выражение в виде обобщенного сте-
пенного ряда.
Пример 4. Решить уравнение
2х2у" + (Зх — 2х2) </'— (х + 1) у = 0.
Решение. Перепишём (27) в виде
Зх — 2х2
9	2х2
(26)
(27)
У'-^У = 0
или
3 —2х
у" 4
----у' —------у = о,
2х У 2х2
Решение у(х) будем искать в виде
у(х) =хР2 CkXk (Со¥=О).
fe=0
Для нахождения р выпишем определяющее уравнение
р(р —1)+аор+Ьо = О,
где
,	3 —2х 3	/ х+1\	1
а0= ’’ГС-Т- = V 6o = ,1IP
х->0	2	2	х->0 \	1 j	1
3	1
Т; е; Р(Р—1) + ~ р —~ = 0, или
I 1
р2 + — Р — — = 0; отсюда рх =1/2, р.2 = — 1,
Согласно приведенному правилу, берем
1 оо	ОО
1/1 (х) = X 2 Ck xk, (X > 0); у., (X) = -у Ak xk.
ft=0	"Я?
Для того чтобы найти Со, Ci, .... Сп,.... надо подставить yi(x) и ее
производные У] (х) иг/j (х) в уравнение (27)-.
°° fe-p —	"	k___—
</i W — C&x 2 , y{ (x) =V(k + Ck X 2 ,
143
оо	3
У1' W + т)С*Х 2’
Подстановка yi(x), y{ (x), у, (x) в (27) дает
С-Э	3
/	1 \ k~~T
2х3\1к2-—СЛх	2 +
oa	*
+ (3x - 2x2) (ft + -y) Ck x 2 -
1 -(x+l)^Cftx 2 =0.	(28)
k=o
После преобразований (28) перепишется так:
2 k (2ft 4- 3) Ck x*+1/2 — 2 2 (ft + 1) Cftx*+3/2= 0,	(29)
k=0	fc=O
Так как ищется решение для х>0, то (29) можно сократить на х1;'2,
что дает
2 k (2k+ 3) Ckxk 2 (ft + l)Cfrxt+1 =0.
k=i	k=Q ,
Отсюда находим соотношения для определения коэффициентов
х1 1-5С± — 2-1С0 = О,
х2 2-7С2 — 2.2Ct =0,
х’ 3-9Cj — 2-ЗС2 = 0,
хп п (2ц + 3) CrI — 2/iC^-! = О,
(30)
(31)
Полагая в первом уравнении соотношений (31) Со = 1, получим
22
С[ = 2/5. Из второго уравнения имеем Сг=
23
5-7-9
5-7
Из третьего С3 =
итак,
и т. д. Легко заметить, что
5-7-9 ... (2« + 3)
(п= 1, 2, 3,.,,))
п
___(2x)ft _______
5-7-9 (2ft + 3)
(32)
С
144
Аналогично находим и коэффиценты Л*. Оказывается, что при Ао = 1
л = 1. ^^,...,Ak=^,
так что
1 VI хк	ех
Уг W = — 7 , — или у2 (х) = ------,	(33)
X k!	X
k=0
Общее решение уравнения (27) у(х) =Ау1(х) + Ву2(х), где А и В—
произвольные постоянные, а функции yi(x) и с/г (х) задаются фор-
мулами (32) и (33).
Пример 5. Взаимодействие двух ядер с хорошим приближением
можно описать с помощью потенциала мезонных сил У=Ае~ах/х
(притяжению соответствует А<0). Найти в виде ряда решение вол-
нового уравнения Шредингера
/ Др—aJC\
p" + fe(£-22£_j(/ = 0,	(34)
2т
где а. А, £ и k— — —постоянные (ограничиться тремя ненулевы-
ми коэффициентами ряда, отвечающего большему корню определяю-
щего уравнения).
Решение. Ищем решение у(х) данного уравнения в виде об-
общенного степенного ряда
У (X) = Хр 2 Q X* .
k=0
Коэффициенты Ао и Во определяющего уравнения р(р—1)+Аор+.
+ Во=О будут равны
Ао — lim хр (х) — 0, так как р (х) = О,
х^О
Во = lim x-q (х) = lim x-k (Е — ——— | —-
х->0	х-<-0	\ х . ]
= lim& (Вх2 —Ахе~ах) — О,
х-о
так что оно принимает вид р(р—1)=0, откуда р( = 1, р2 = 0.
Обобщенный степенной ряд для случая р=1
У (х) = х 2 ck xft = сах + dx3 + с2х3 + cjx4 Н-;	(35)
k=o
тогда
У' = Со + 2ctx + Зс2х2 + 4с3х3 + • • •,
У" = 2ct + 6с2х + 12CJX3 + • • • .
10-456
145
Кроме этого, имеем
е—ах
Подставляем в уравнение (14) ряды для у", у п е ах:
Г	/ 1
2Ci + 6с.2х + 12с3х2 + • • • + Л£ — kA I — — а +
L	\ х
а2д;	G?x^	\"
+ тг —~---------Н.. (сах + сгх2 + СцХ3 + -..) = 0,
х!	о!	у
Приравниваем нулю коэффициенты при всех степенях х;
х° 2с3 — kAc0 = О,
х1 6<?2 + (kE 4- а) с0 — kAct = О,
kE — akA с0 и т. д,
Ak
2
1 / A2k2	\ „ ,
— I—— —kE — akA lx2+
Из полученных равенств последовательно находим
Ak	Akct — (kE + аА) са
ci=TC<” С2=	6
ИЛИ
1 (A2k*
Са= 6 \ 2
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (35), получаем
У (х) = CqX
где со — произвольная постоянная.
Проинтегрировать при помощи рядов следующие
дифференциальные уравнения:
739.	4ху" + 2г/' + у = 0.
740.	(1 + х) у' — пу — 0.
741.	9х(1—х) у" — 12у’ + 4у = 0.
742.	Квантовый анализ эффекта Штарка (в парабо-
лической системе координат) приводит к дифференци-
альному уравнению
d	/1	т2	1	\
— (*9')+ — Ех+а— — — — Ех2 у = 0,
dx	\ 2	4г	4	у
где а, Е, F, т — постоянные. Используя наибольший из
корней определяющего уравнения, получить решение в
146
окрестности точки х=0 в виде ряда (найти первые три
коэффициента).
743.	В случае отсутствия азимутальной зависимо-
сти квантовомеханическое рассмотрение молекулярного
иона водорода приводит к уравнению
-у-1(1 — %2) у'] 4- (а + £х2) у = 0,
dx
где а, 0 — постоянные. Найти решение этого уравнения
в виде ряда (вычислить первые три ненулевых коэффи-
циента разложения).
Пример 6. Решить уравнение Бесселя
х2у" + ху’ + (х2 - р2) у = 0. х > 0,	(36)
где р — заданная постоянная.
Решение. Перепишем (36) в виде
1 х2 —р2
у" +—у' + —г~у = о.
х	х2
а0 = lim хр (х) = 1, 60 = lim x2q (х) = — р2
х->-0	х-»0
(см. формулы (24)). Определяющее уравнение для pi
р (р — 1) + 1 -р —р2 = О или р2 —р2 = О,
откуда pi=p, р2=— р.
Первое частное решение уравнения Бесселя (36) ищем в виде
оо
обобщенного степенного ряда у=х» У С*х\ Подставляя у, у’ и у"
k=0
в уравнение (36), получаем
оо
х2 S Ck(k + Р) (k + р - 1) xk+p-~ +
k—0
00	оо
+ х 2 Ck (ft + Р) + (х2 - Р2) 2 Ск xk+P = О,
А=0	fr=O
или после простых преобразований и сокращения на хр,
оо	оо
2 [(* + р)г -Р2) ck xk 4- 2 Ck xk+2 = 0.
A=0	k=0
10*
147
Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях х, будем
иметь:
хк [(й + р)2-р2]С4 + са_2 = о,
Первое из соотношений (37) удовлетворяется при любом значе-
нии коэффициента Со. Из второго соотношения (37) получаем Ci =0,
Со	Са
из третьего С2=- {2 + р)2_р2 = ~	+ р) ’113 четвеРтого Сг=0>
ИЗ пятого
с ___________£2_________________£о__________
4~	(4 + р)2-р2- 2*(1 +р) (2 + р)12 •
Очевидно, что все коэффициенты с нечетными индексами равны
нулю: C2ii+i = 0, k = 0, 1, 2,.... Коэффициенты с четными индексами
имеют вид
е______________(— 1)fe _____________
С^-22*(р+1)(р + 2) ..{P + k)-k\'
Для упрощения дальнейших выкладок примем,
где Г(у)—гамма-ф>нкцпя Эйлера. Гамма-функция Эйлера Г(у)
определяется для всех положительных значении (а также для всех
комплексных значении с положительной вещественной частью) сле-
дующим образом:
Г (v) = | е_* dx.
о
Гамма-функция обладает следующими важными свойствами:
1.	Г (v + 1) = уГ (V).
2.	Г(1) = 1.
Если k — целое положительное число, то
3.	Г (v + k + 1) = (v + 1) (v + 2) • •  (v + k) Г (v + 1),
4.	Г (k + 1) = k\
148
Пользуясь (38) и свойствами Г-функции, займемся преобразова-
нием коэффициента Сгл:
___________________(- l)fe_________________
С24-224(р+ 1)(р-Ь2) ... (рk)  kl-2Г> Г (р1)“
(-
2й+"’./у Г (р + k+ 1) ’
ибо (р +1) (р + 2) ... (p+k)T(p+l), согласно свойству 3, равно
T(p-l-fe+ 1). Теперь частное решение уравнения Бесселя, которое мы
будем в дальнейшем обозначать через /р, принимает вид

yS (—I)fe / х \^+р
й! Г (р 4- fe + 1) I 2 J
(39)
fc=0
Эту функцию принято называть Бесселевой функцией первого рода
порядка р.
Второе частное решение уравнения Бесселя (36) ищем в виде
У = х p'^iCkxk,
А.’—О
где р — второй корень определяющего уравнения. Ясно, что это ре
шейпе может быть получено из решения (39) путем замены р на —р,
так как уравнение (36) содержит р в четной степени и не меняется
при замене р на —р.
Итак,
2k—р
k\ Г (k + 1 —
k=a
Эту функцию называют Бесселевой функцией первого рода поряд-
ка —р
Если р не равно целому числу, то решения 1Р(х) и 1_р(х)
являются линейно независимыми, так как их разложения в ряды на-
чинаются с различных степеней х и, следовательно, линейная комби-
нация «1/р(х) +azJ_p(x) может тождественно равняться нулю лишь
при at = ct2 = O.
Если р есть целое число, то можно установить линейную зависи-
мость функции Jp(x) и /_р(х), а именно оказывается, что
/_,г (х) = (— 1)" J:l (х) (п — целое).
Итак, при целом р вместо /_р(х) надо искать другое решение, ко-
торое было бы линейно независимо от JP(x). Для этого введем но-
вую функцию
w=JpWc°S^-J pW|
sinpn
считая сначала, что р — нецелое число.
Очевидно, что так определенная функция Ур(х) является реше-
нием уравнения (36) (в связи с тем, что она представляет линейную
комбинацию частных решений /р(х) и /_р(х).
149
Переходя к пределу в (40) при р, стремящемся к цело-
му числу, получаем частное решение Ур(х) линейно независи-
мое от Jp(x) и определенное уже и для целых значений р.
Введенная здесь функция Ур(х) называется бесселевой функцией
второго рода порядка р. Таким образом, для всякого р, дробного
или целого, мы построили фундаментальную систему решений урав-
нения Бесселя (36). Отсюда вытекает, что общее решение уравне-
ния (36) может быть представлено в виде
у = AJp(x) + BYp(x),
где А н В — произвольные постоянные.
В случае, когда р не является целым числом, общее решение
уравнения Бесселя можно брать в виде
У = C±JP (х) + C2J-P (х),
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Замечание 1. Часто встречающееся уравнение
х2у" + ху' 4- (kW — р2) у = 0,	(41)
где k — некоторая постоянная (fe=/=0), приводится к уравнению
Бесселя
+ = Q <42)
dg2 dg
путем подстановки %=kx.
Общим решением уравнения (42) (при р отличном от целого
числа) будет
y = ctjp ® + ctj-p®,
а тогда общее решение уравнения (41) принимает вид
У = CJp (kx) + C2J—P (kx).
При p целом y = CtJp(kx) + С2Ур(6х).
Замечание 2. Обширный класс уравнений вида
х2 —— + ах	+ (6 + схт) у = 0,	(43)
dx2 dx
где а, Ь, с, ш — постоянные (с>0, т#=0), приводится при помощи
введения нового переменного / и новой функции и по формулам
/ /	а/3
U = — U,
’ \ ? /
/ t у/₽
X = ----
\ У 1
к уравнению Бесселя
d2u	du
+ t —+(/а-₽2)« = °.
d/2	d/
(a—I)8 —46
150
При с=0 или т=0 уравнение (43) является уравнением Эйлера.
Пример 7. Привести уравнение
d2y	dy
х2-^-Зх-^-+(х*-12)у = 0
dxJ	dx
к уравнению Бесселя и найти его общее решение.
Решение. В нашем случае коэффициенты
= —12, с= 1, т=4, поэтому
а — 1	„ т	а
а =----= —2, р= — = 2, —=1,
2	2	Р
(44)
равны а=—3, b —
2________i_
₽ “ 2 ’
2Vc I
V==T7’=T’ p =
(а— I)2 — 46	,
----------= 4.
т2
Введем новые независимую переменную t и функцию и по формулам
У =
и, или y = 2ut, где u = u(t),
I *
x = ------ , или x = у 2t ;
\ V /
(45)
(46)
тогда
d
---(2ut)
= /274 (2«0 = 2 V2 f -f- и
dx dx	di	\ dt
17
Аналогично находим
d2y	d2/z , „ du ,
—- = 4t2------h Ot----F2u.
dx2	dt2 dt
dy d2(/
Подставляя в (44) вместо х, у , —— их выражения через t
dx dx2
и и, получаем уравнение Бесселя
(Ри	du ,
' + + 4)“ = 0’
dt2	ш
общее решение которого
и = С^2(1) +С2У2(0.
Переходя к переменным х и у по формулам t=x2/2. и=у!х2, которые
получаются из (45) и (46), получаем общее решение данного урав-
нения
У~х2 (\J2
•2
I х2
11 2
151
Найти общие решения следующих уравнений Бес-
селя:
744.	х2у" + ху' + ^4%2----^-\у = 0.
745.	хгу" + ху' + (х2-----yj у = 0.
746.	у" +-Ly'+-Ly = 0.
х 9
747.	у" + —у' + 4(/ = 0.
X
748.	xV — 2xyf + 4 (x4 — 1) у = 0.
749.	ху" + у’ 4- -^-y = 0.
750.	у" + — у' + у = 0.
X
751.	у" + ±у' + 44 = 0.
3°. Нахождение периодических решений линейных дифферен-
циальных уравнений. Пусть дано линейное неоднородное дифферен-
циальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициен-
тами
У” + Р1У' + РгУ = f (х),	(47)
где f(x) — функция, периодическая с периодом 2л, разлагающаяся
в ряд Фурье
СО
f (х) = -у- + (ап cos пх + bn sin пх).	(48)
П = 1
Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде
со
у (х) •= -у+ М ' cos пх + sin пх).	(49)
7^1
Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффи-
циенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. При-
равнивая свободные члены и коэффициенты при cos пх и sinnx в ле-
вых и правых частях полученного равенства, найдем
„ «о .	(р2 — п-) ап — pyib„
с’о —-	; Щ .	,,	;
Р2	(р2 — п2 f + pl ;г
(рг — п^Ьп + р^пап
= 7------>,2 Г 9 9 >	« = 1.2, ... .	(50)
-Г Pin-
152
Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования
решения вида (49): если ао¥=О, то необходимо, чтобы р2=^=0. Под-
ставляя (50) в (49), получаем
|(р2— п2) an—Ptnbn] cos пх + [(р2— п2) &п+р1ИДч1 sin пх
(р2-«2)2 + Р1«2
(61)
Когда pi = 0 и р2 = «2, где п=1, 2,периодическое решение будет
существовать только при условии
ап = — I f (х) cos пх dx = 0,
л J
о
2л
Ьп = — I / (х) sin пх dx = 0.
л J
о
(52)
Коэффициенты А>, и В к при k=^n находятся по формулам (50), а
коэффициенты Ап и Вп остаются произвольными, так как выраже-
ние А п cos пх + Вп sin пх является общим решением соответствую-
щего однородного уравнения.
В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодиче-
ских решений не имеет (возникает резонанс). При ра = О и Оо = 0, ко-
эффициент Ло остается неопределенным и уравнение (47) имеет бес-
конечное множество периодических решений, отличающихся друг от
друга постоянным слагаемым.
Если правая часть f(x) уравнения (47) имеет период 2/=/=2л, то
надо разлагать /(х) по периоду 21 и искать решение уравнения (47)
в виде
А	/ плх	ппх \
У = ~ I A; cos — + В„ sin-j-j .
4=1
Формулы (50) при этом соответственно изменятся.
Пример 8. Найти периодические решения уравнения
Ж"! sin пх
у" + 4р = V ----~ •
п-
11=3
Решение. Имеем pi = 0, р2 = 4=22, а0 = 0, о„ = 0, Ья = 1/п2
(п = 3, 4,.. ). Функция
не содержит резонирующего члена 02 cos 2x + bz sin 2.г, значит, урав-
нение имеет периодические решения, притом бесконечное множество.
По формулам (50) находим коэффициенты
А = А: = 0, Bj = 0, Вп =	— , п = 3, 4,...,
п2 (4 — л2)
153
Все периодические решения даются формулой
у (х) = А2 cos 2х + В2 sin 2х —
\1 sin пх
п*(п* — 4)
где Л2 и В2 — произвольные постоянные.
Пример 9. Найти периодические решения уравнения у" + у =
= cos х.
Решение. В данном случае pi = 0, рг=1. Проверим выполни-
мость условий (52) Имеем
2л	2л
i cos х cos х dx = [ cos2 x dx = л 0;
b	b
2л
f cosxsinxdx = 0 (здесь ^=1),
b
Условия (6) существования периодического решения не выполняют-
ся. Следовательно, данное уравнение периодических решений не име-
ет. В самом деле, общее решение уравнения ^"4-i/ = cosx есть
и (х) = Cj cosx + С2 sin х + ~^~х sin х>
которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слага-
емого -ух sinx.
Пример 10. Найти периодическое решение уравнения у"—у =
= |sin х|.
Решение. Функция f(x) = |sinx|—периодическая с перио-
дом л. Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале (—л, л):
cos 2дх
4п« — 1
(—л, л).
Решение данного уравнения ищем в виде
у (х) = -у + (Л cos пх + Вп sin пх).
Имеем
= °- ^ = - 1 >’ а0 = 4/л>	а2л-1 =
4	1
а2/г =	, ,	. > Ьп = 0 (п = 1, 2,1 ।.) (
л 4п- — 1
Формулы (50) дают
А°=~Т' Л^-'=0’ Л2П=~Т 16^—1’ Sn==0‘
154
Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида
2г 4 cos 2пк
у(х) = — —J— — у ——---------- .
Л Л jg/gi 16па— 1
П=1
Найти периодические решения (если они существуют)
следующих дифференциальных уравнений:
752.	у" + Зу = 1 + ^nx+sinnx >
П=1
оо
7S3.	y" + y='gSl£L.
п=1
оо
734.	+ у =	.
п=‘2
755.	у" 4- у = cos х cos 2х.
оо
756.	у" + у' =
п=1
757.	у” + 4г/ = cos2x.
758.	у” — 4у' + 4г/ = л2 — х2, — л < х < л.
759.	у" — 4у = |cos лх|.
760.	у1' — 4 у' + 4г/. = arcsin(sinx).
761.	у" + 9г/ = sin3x.
4°. Асимптотическое интегрирование. Пусть имеем ряд (возмож-
но и расходящийся)
'’•+7-+^+-+ТГ+'--	<53>
Обозначим через Sn(x) сумму первых гг+1 членов этого ряда.
Будем говорить, что ряд (53)г представляет собой асимптотиче-
ское разложение функции /(х) для достаточно больших |х|, если
выражение
7?п(х)=хя(/(х) — Зп (х)}
удовлетворяет условию
lim Rn (х) = 0, или Ra (х) = о (—-}	(54)
\ х" I
(п — любое в ексирсзаиное), деже если lim |/?п(х) | =оо (х — фик-
155
сировано). То обстоятельство, что данный ряд есть асимптотическое
разложение функции [(х) (асимптотический степенной ряд), обозна-
чается так:
fM
п=й
Смысл асимптотического разложения состоит в том, что ряд
(53) может служить источником приближенных формул
~ , п = 0, 1, 2, ..
хп	•
так что разность Цх) — Sn (х) =рп (х) при |х|->-оо будет бесконечно
малой порядка выше п, т. е.
.. Рп (х)
lira ——=0, или lira ix|n рл (х) = 0.
|Х|-*-оо	1
|х|п
Пример 11. Рассмотрим функцию
(55)
Применяя n раз интегрирование по частям, получаем
1	2!
/г
х2
хп
п!
ех-‘
~—dl.
tn+l
Обозначим и,
!«-> (,г_ 1)!
---— и положим
хп
Sn (х) = —
I	2!
, + 3
X2	X'3
п
(— 1)" и!
ч,п.
т=0
Имеем
при т —» сю,
так что ряд Um будет
т=о
нако этот ряд может быть
при больших значениях х. В самом деле, фиксируем некоторое зна-
чение п:
расходящимся для
всех значений х. Од-
применен для вычисления значений [(х)
X
f-'dt,
f (х) - Sn (х) = (-1)'г+[ (п + 1)! f dt,
J in+2
X
156
отсюда, поскольку е*~‘^1 (i^x), будем иметь
-4-се	-4- со
Г* еЛ—1	п d/
1/(4 - S„(4I= (п+ 1)!	d/<(n+ 1)! I —— ~
J /п+2	J. 1п+2
X	X
— д.л+1 •	(56)
Для значений х, достаточно больших, правая часть этого неравенст-
ва может быть сделана как угодно малой. Так, для х^2п будем
иметь
| / (х) - Sn (х) | < -2„j, д2 ,
поэтому значение функции f(х) может быть вычислено с большой
точностью для больших значений х, если взять сумму надлежащего
числа членов ряда У ит. Из оценки (56) следует, что
т^О
Rn (х) = хп {/ (х) — Sn (х)} -» О при х -> оо
для всякого фиксированного л, так что ряд 2 ит дает асимптоти-
т^о
ческое разложение данной функции /(х).
Если выполняется условие (54), то для коэффициентов Ак ряда
(53) из (54) получаем
До = lim f (х), Ап = lim хп (/ (х) — Sn_j (х)), п = 1, 2, ... (57)
Отсюда следует, что если функция Цх) имеет асимптотическое раз-
ложение, то оно единственно.
Напротив, один и тот же ряд вида (53) может служить асимп-
тотическим разложением для разных функций. Напрпмер, для
функции
f (х) = еГх (0 < х < +°с)
в силу (57) асимптотическим разложением является ряд (53),
все коэффициенты Дп которого равны нулю: Л„ = 0 (/г = 0, 1, ...).
Очевидно, что этот же ряд является асимптотическим разложением
и для функции /(х)^=0. Говорят, что асимптотический ряд представ-
ляет не одну функцию, а класс асимптотически равных функций.
Операции над асимптотическими рядами.
1) Если
СО	со
/ (X) ~ 2 Ak - g (х) ~ 5 Bk x~k -	(58)
А=0	А=0
ТО
се
f (х) ± g (х) ~ 2 (Ла ± Вк) x~k.	(59)
А=о
157
2)	Если имеют меого асимптотические разложения (58), то
асимптотическое разложение функции f(x)g(x) может быть получе-
но путем формального перемножения разложений (58).
3)	Если функция f(x) имеет асимптотическое разложение
(60)
начинающееся с члена х~2, то имеет место асимптотическое разло-
жение
ОО
X
(х) dx ~
dx,
или
Ak
^(fe—Ox*-1 ’
(61)
т. e. асимптотическое разложение (60) можно формально интегри-
ровать почленно.
4)	Формальное почленное дифференцирование асимптотического
разложения, вообще говоря, недопустимо.
В самом деле, рассмотрим функцию
f (х) = е х si п ех , 0 < х < 4- оо,
Ее асимптотическим разложением является ряд с коэффициентами
А»=0, k = 0, 1, ..., в то время как производная функции Г(х) =
= —е~х sin e*+cos е* не имеет асимптотического разложения, по-
скольку f'(x) даже не имеет предела при х->-|-оо.
Однако если функция f (х) ~ Ао + —— + —; Дифференци-
руема, а функция /' (х) может быть разложена в асимптотический
степенной ряд, то
„	At 2А3 ЗА,
~762. Показать, что
4-00
f е-*'	..	1	2! , 4!
i ------di-------------4-----
J 1 + t1	X	X3 Xs
где х>0 вещественно.
763. Показать, что
ег z~a f е'х ха~' dx-- + ^=-5- +	+ ...
J	z г2	г3
2
для больших положительных значений г.
158
764. Найти асимптотическое разложение функции
f (х) = — + е~* sin е2х , 0<х<оо1
X
Показать, что производная f'(x) не имеет асимптотиче-
ского разложения.
Приложения к интегрированию дифференциаль-
ных уравнений
Пример 12. Рассмотрим дифференциальное уравнение
х"+’
(62)
(63)
расходящийся при всех значениях х, формально удовлетворяет дан-
ному уравнению, в чем нетрудно убедиться непосредственной провер-
кой. Уравнению (62) удовлетворяет функция *>
у — е~х J /-1ezd/,
причем интеграл в правой части сходится при х<0. Повторным ин-
тегрированием по частям находим
— оо
где
р„ = (п + 1)! е-х
d/;
При х<0 имеем
I Р« I < (п + 1)! е~х
— сю
(п + 1)!
I х |’,+2
Следовательно, взяв первые п членов ряда, мы совершим ошибку,
меньшую (п+1)-го члена. Нетрудно видеть, что в данном случае
Rn W = хп (/ (х) — Sn (x)j = хп рп (х) -> 0 при х — оо,
•> Функция, определяемая интегралом J — dt, называется
экспоненциал-интегральной функцией и обозначается символом Е1(х).
159
Поэтому построенный ряд является асимптотическим и может быть
использован дтя вычисления интеграла и тем самым решения уравне-
ния (62).
Пример 13. Если /v(x) есть решение уравнения Бесселя хгу"+
+ху'+(х2—v2)p=0, то, подставив вместо /v функцию х—12у(х),
обнаружим, что г/(х) будет удовлетворять уравнению
/ 1 \
I V2 — — \
у" +11  ------;----/ у = о.	(64)
\	х2	/
Для больших x(x»v) это уравнение естественно попытаться заме-
нить уравнением
у[ + У1 = °>	(б5>
которое имеет решение
yt = а0 sin х + b0 cos х,
Можно улучшить точность (для больших х) заменой постоянных а0
и Ьо разложениями по отрицательным степеням х:
ОО	оо
У апх~п, У ьпх~\
/1=0	11=0
Это означает, что решение уравнения (64) можно искать в виде
у (х) = У апх~п sin х+ у Ьп x'rl cos х.	(66)
/1=0	м=0
Подставив выражение (66) в уравнение (64), получим
Этот процесс можно продолжить и дальше. Существенно заметить,
1
что эти выражения приводят к точному результату для v = ±—,
3
±~,... (см. Бесселевы функции полуцелого индекса). Уравнение
(65) является, как говорят, предельным уравнением для уравне-
ния (64) (уравнение (65) получается из (64), если в коэффициенте
при у совершить предельный переход при х-*оо). Решение уравне-
160
ния (65) для больших х (особенно для v=±—~—) достаточно
хорошо определяет поведение решения исходного уравнения (65). ♦
Примеры показывают, что асимптотическое поведение решений
дифференциального уравнения не всегда можно вывести из поведе-
ния решении предельного уравнения.
Возьмем функцию (см. [16]).
у (х) = ха sin (хр 4- С), а > 0, 0 > 0	(68)
и сконструируем дифференциальное уравнение, для которого у(х)
будет решением. Имеем
у' = axa~l sin (хр + С) + Рха+р-1 cos (хр + C)j
У" = “	"" рЬё] +
+ Р (2а + Р — 1) х“+6-2 cos (хр + С).
Потребуем, чтобы а и р были связаны соотношением
Р(2а + Р—1)=0.	(69)
Тогда заданная функция у(х) будет удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению
У	" + [ х2-2р + Я < х2 ] У = °>	(7°)
Предположим, что 0<Р< 1, например, [3 = 1/2. Тогда из условия (69)
найдем а=1/4 и решение
у(х) =1/" хзш(Кх + с)
(71)
уравнения (70) при х->4-оо будет колеблющимся. С другой стороны,
поэтому предельным уравнением, соответствующим уравнению (70),
будет
У	" = 0.	(72)
Его общее решение
у = Ах + В	(73)
не содержит колеблющейся части.
Итак, асимптотическое поведение решения (71) дифференциаль-
ного уравнения (70) нельзя «угадать» по поведению решения (73)
предельного уравнения (72),
Приведем некоторые относящиеся сюда результаты. Пусть дано
дифференциальное уравнение
У	" + Pt (*) У' + Рг (х) У = 0,	(74)
11—456	161
где
fli	До
Pi W = ao 4---------------к ~ + ... .
x	x2
p2(x)=Z>e4-~ 4-~ 4-	,	(75)
X X
так что
lim pj (x) = a0> Km p2 (x) = b0.	(?6)
X-*oo	^-*oo
Предельное уравнение в данном случае имеет вид
у" + аоу’ 4~М = 0	(77)
и является уравнением с постоянными коэффициентами. Пусть Хц
Х2 — корни (которые мы для простоты предполагаем различными)
характеристического уравнения
Х24-аоХ4-6о = О,	(78)
Решения предельного уравнения — экспоненты е^'х, е*4*,
Оказывается [16], что асимптотическое поведение решений урав-
нения (74) аналогично не поведению линейных комбинаций экспо-
нент e1,Jt, e><J:, а поведению линейных комбинаций функций
е^хх°', еЛ2*х°2,	(79)
где показатели <rj, а2 определяются формулами
а1 М 4" &1	fli Х2 "Ь
а, =—------------;— , а,  -----------------------
До + 2X1	Оо 4~ 2Х2
(80)
Функции (79) зависят не только от аа и Ьа, т. е. не только от пре-
дельных значений Pi(x) и рг(х) при х->+оо, но также и от коэффи-
циентов аь bi, участвующих в правых частях равенств (75).
Теорема. Если характеристическое уравнение Х2+ДоХ4-Ьо=О
имеет различные корни Х| н Х2 и если
__ Qi Xj 4~ 8]	___ д, Х2 4~ Ь±
2Xj 4- До	2Х2 4- а0
то уравнение
у" + (а0-]-~4-,, .'j у' 4- (b0 + — 4- — 4- ...^ y = Q
( хх2 J \ хх2 )
обладает линейно независимыми решениями У\(х) и у^(х), которые
можно представить асимптотическими рядами:
yt (х) ~ емх°Д1 4- — 4- А 4- ..Д
(	X	X2	}
1 _ „	[	В,	В,	\
у2(х) ~ е^х°2 1 4-—4-—г 4-	,	(81)
\	X	X2	]	'	'
Если корни характеристического уравнения совпадают, то может
появиться логарифмический член. Решение yi(x) можно представить
162
асимптотическим рядом типа первого ряда (81), тогда как другое
решение у?(х) теперь представимо рядом вида
f к К	\
у2(х) ~ Ayi (х) In X 4- eMxai (/Со + ~+	+	(82)
Коэффициенты A,, Bit Ki могут быть при этом найдены известным
способом неопределенных коэффициентов путем подстановки выра-
жений (81) или (82) в уравнение и приравнивания нулю коэффициен-
тов при степенях 1/х. При этом формальное дифференцирование
асимптотических разложений, законность которого априори неясна,
приводит к правильным асимптотическим представлениям искомых
функций.
765. Показать, что уравнение и"+(1+ —|У=0 при
х->4-оо имеет два решения вида
sinx.
766. Показать, что уравнение у"—(1---— I г/=0 при
\ х2 /
х->+<ю имеет два решения вида
У1 (х) = (1 + Of-y))6*’ Vi (Х) ~ 0 + ОШ)®'**
Глава III
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 19. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
ц У\. Ур ... >У1 > У?. У2» ••• * У2 • • •• 1 Ул*
,Л=о а)
4 = 1,2, ... , п,
(kA (М (М
разрешенная относительно старших производных у\। 17,у2	,
называется канонической системой. Она имеет вид
у{*,) = /1(х, !/(, у[, ... , у{к‘-'\ у2, у2, ... ,
Ур!-1). ... , уп, Уп, ... ,	,
У2г) = fz (*> Ур Ур ... * у}*’-0. У2. У2.
У^'9. ... . Уп, Уп.......(2)
Ул 'п\ж> Ур Ур ... • У1 > У2* Уг* ••• >
и(*а—')	„	и^п~^
У'2	»	» Уп. Уп. ... . Уп •
Порядком системы (1) называется число р, равное
р = 4j + 42 + ... + 4n.
Пример 1. Привести к каноническому виду систему уравнений
У2У1 — |п (У1 — У1) = °-
е^2 _ У1 — й = 0.
Решение. Данная система имеет третий порядок, так как
41=2, 42=1 и, значит, р=3. Разрешая первое уравнение относитель-
но У\, а второе относительно у2, получим каноническую систему
У1 = У1 + е^‘ • У2 = 1п (У1 + У2) • ♦
164
Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка вида
dx*
— = fk(t< *1. *z, ... . *л). £=1.2........п,	(3)
<К
где t — независимая переменная, хь х>, ., хп — неизвестные функ-
ции от t, называется нормальной системой
Число п называется порядком нормальной системы (3). Две си-
стемы дифференциальных уравнений называются эквивалентными,
если они обладают одними и теми же решениями.
Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалент-
ной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет
одним и тем же
Пример 2. Привести к нормальной системе следующую систему
дифференциальных уравнений;
dr/
=0.
dt
dx
Решение. Положим х = хь— = хг, у=х3. Тогда будем иметь
dt
dxj	dp	dx3
-----= xn, — = — , и данная система приведется к следующей
d/---d/	d/
нормальной системе третьего порядка;
d%!
dx2
-----= х3,
dt---3
dx3	2х,
d/ - t3 ‘
Пример 3. Привести дифференциальное уравнение
d2 х , dx
"T7J" + p ~b (0 * = 0
dt1	dt
к нормальной системе
dx	dxf d2 x
Решение. Положим x = xlt — —хг, тогда ——= хг. — =
d/	dr dr
dx2
=------ , Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
dt
+ Р (0 х2 ч- q (/) Xi = 0.
dr
Нормальная система будет иметь вид
dxj	dx2
d/	d/
165
Решением системы (3) в интервале (а, Ь) называется совокуп-
ность любых п функций
X, =Ф1(0, Х2 = ф2(/), ... , xn=<fn(t),
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (а, Ь),
если они обращают уравнения системы (3) в тождества, справедли-
вые для всех значений t £(а, Ь).
Пример 4. Показать, что система функций xi =—1/Z2, х2=
=—t In t, определенных в интервале 0<Z<-J-oo, является решением
системы дифференциальных уравнений
— = ах?,
dZ
dx2___5
dZ Z
dxj	2	dx2
Решение. Имеем——=—, ---------- =—1—InZ. Подставляя в
dZ	ZJ	dZ
dxx	dx2
уравнение данной системы вместо xi, х2,- и - их выражения
dZ	di
через t, получим тождества
2 а 2
— 2 —= —,-lnZ-l=-lnZ-l,0<Z< + oo.
Проверить, являются ли данные системы функций
решениями данных систем дифференциальных уравне-
ний.
767.
Zdx< „ 9
— = — 2/Х|,
dZ 1
dx2 x2~rZ
, dZ t ’
,x2 = t In Zx
[^i = eZ-x,
d/
768.
<lx2 о x,
— = 2e *:
( dZ
769.
dx
Т = У’
dt x '
x, = Z,
x2 = 2ex,
x = e2C,
Jj = e'.
770.
У = x + e*«
г = e—S
166
Задачей Коти для /системы (3) называется задача нахождения
решения
*1 = Xj (Г), Х2 = Х2 (/), ; . ; , Хп = хп (I)
этой системы, удовлетворяющего начальным условиям
*1 (Zfl) = л'?’ Х2 Ы = х2’ • • • > хп (^о) = Хп’	И)
где /0 , х®, х°.. х®— заданные числа.
Теорема существования и единственности решения задаш Коши.
Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений (3)
и пусть функции /,(/, X., х2,.... Хп), 1 = 1, 2, ..., п, определены в некото-
рой п-]-1-мерной области D изменения переменных t, xt, х2, хп
Если существует окрестность Q точки Л40(/0, х°, х°, ..., х°), в которой
функции f, а) непрерывны, б) имеют ограниченные частные произ-
водные по переменным хь х2, хп, то найдется интервал ta—h<.t<
изменения t, в котором существует единственное решение
нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям (4).
Система п дифференцируемых функций
Х| = X; (t, Ci, С2,	, Сп), 1 = 1,2.....п	(5)
независимой переменной tun произвольных постоянных Ch С2, ....
Сп называется общим решением нормальной системы (3), если:
1) при любых допустимых значениях С(, С2... С„ система функций
(5) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области, где выпол-
няются условия теоремы Коши, функции (5) решают любую задачу
Коши.
Пример 5. Показать, что система функций
'xj (Г) = Ci е-‘ + С2 е3/,
х, (/) = 2Ci e~z — 2С2 е3<
является общим решением системы уравнений
dxj
— = *1 — х,,
dr 1	2
dxa
— = Хч — 4х
.dr 2
(7)
Решение. В данном примере область D есть
— аэ < Г < + оо, — сс лд, х2
Подставляя функции х,(Г) и х2(Г) из (6) в систему уравнений (7),
получаем тождества по I, справедливые при любых значениях по-
стоянных С], С2 Таким образом, условие 1), определяющее общее
решение, выполнено
Проверим выполнение условия 2). Заметим, что для системы
уравнений (7) условия теоремы существования и единственное, и
решения задачи Коши выполняются во всей области D, определяемой
соотношениями (8). Поэтому в качестве начальных условий можи 
167
взять любую тройку чисел t0, х'{, х^. Тогда соотношения (в) дадут
для определения Ct, Сг систему
х°= С] е-/°4- С2е'у«,
x°i = 2Cl е~*‘ — 2С2 е3/“.
Определитель этой системы Л=—4е2/“ ?40; следовательно, она од-
нозначно разрешима относительно Сь С2 при любых х®, х® и ^о- Это
равносильно тому, что разрешима любая задача Коши. Итак, систе-
ма функций (6) является общим решением системы уравнений (7).ф
Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях
постоянных Ci, С2, .... Сп, называются частными решениями.
Пример 6. Имея общее решение (6) системы (7), найти частное
решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям
Х](0)=0, х2(0)=—4.
Решение. Задача сводится к нахождению таких значений по-
стоянных С) и С2, чтобы выполнялись соотношения
O = Ci + C2, — 4 = 2Ci — 2С2.
Решая эту систему, находим Cj =—1, С2=1. Искомое частное решение
хх (/) = — е~(	е31', хг (i) = — 2е~* — 2е3/.
Замечания. 1. Не всякую систему дифференциальных урав-
нений можно свести к одному уравнению. Например, система
dx,
dx2
di ~Хг
распадается на два независимых уравнения. Общее решение в этом
случае получается интегрированием каждого уравнения в отдель-
ности:
= С\ е— хг = С2ег.
2. Если число уравнений в системе равно п, а число искомых
функций N, причем М>п, то такая система является неопреде-
ле н н о й. В этом случае можно выбирать произвольно N—п искомых
функций (лишь бы они были нужное число раз дифференцируемы-
ми) и в зависимости от них находить остальные п функций.
3. Если система состоит из п уравнений, а число искомых функ-
ций N, причем N<n, то эта система может оказаться несовмест-
но й, т. е. не имеющей ни одного решения, ♦
Пусть дана (для простоты) нормальная система двух дифферен-
циальных уравнений
dxj ,
~ = /1 (Л *i, х2),
dr
(9)
=	*1, х2).
of
168
Будем рассматривать систему значений t, Xi, х2 как прямоугольные
декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного
к системе координат OtxiX2. Решение
*1 = xi (О, *2 = Х2 (0.
принимающее при t = t0 значение х?, х®, изображает в этом простран-
стве некоторую линию, проходящую через точку Л)о(^о, х®, х°)- Эта
линия называется интегральной кривой (линией) нормальной си-
стемы (9).
Задача Коши для системы (9) получает следующую геометриче-
скую формулировку: в пространстве переменных (t, хь х2) найти ин-
тегральную кривую, проходящую через данную точку (t0, х®, х®).
Теорема Коши устанавливает существование и единственность такой
линии.
Нормальной системе (9) и ее решению можно дать еще такое
истолкование. Будем независимую переменную t рассматривать как
время, а систему значений функций хь х2 как прямоугольные декар-
товы координаты точки плоскости XiOxz. Эту плоскость перемен-
ных xiOx2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости ре-
шение
*1 = Xj (i), хг = х2 (/)
системы (9), принимающее при /=/0 начальные значения х®, х®,
изображается линией АВ (рис. 28), проходящей через точку Af0
(х®, х®) . Эту линию называют траекторией системы (фазовой траек-
торией). Очевидно, что траектория системы (9) есть проекция инте-
гральной кривой на фазовую плоскость.
Система (9) определяет в каждый момент времени i в данной
точке (хь х2) фазовой плоскости координаты скорости (ft, /2) дви-
жущейся точки.
Пример 7. Решить систему уравнений
dx	dp
— = У, ~~
dt	dt
= — х
(Ю)
при начальных условиях
х(0) = хо, у (0) = у0.
(И)
Решение. Дифференцируя один раз по / первое уравнение
системы (10) и подставляя в полученное уравнение ~~ «=—х, сведем
d2x
систему (10) к одному уравнению второго порядка — -|-х = 0, об-
щее решение которого
х = cos i + С2 si п t,
Так как у = —, то р =—С] sin /+С2 cos /; итак, общее решение си-
oi
стемы (10):
х — Ci cos/ + С2 sin/, р = — Cj sin/-ф С2 cos/.	(12)
169
Частным решением системы (10), удовлетворяющим начальным
условиям (11), будет
х = xQ cos t + у0 sin t, у =— х0 sin/+ уа cos/.	(13)
Исключая t из уравнений (13)
и почленного сложения), по-
лучаем фазовую траекторию
Х2+у2 = /?2>	(14)
где R =\/ГХд + уд. Это окруж-
ность, проходящая через точку
Ма(ха, у0). Представив уравне-
ния (13) в виде
х = R sin (I + а),
у — 7? cos (/ + а),	(15)
(путем возвышения в квадрат
где R— у *q+ Уо > sina = x0//?, cosa = yo//?, замечаем, что уравне-
ния (15) выражают зависимость от времени текущих координат точки
M(x(f), y(t)), или коротко M(t), которая начинает свое движение
при /=0 от точки Мо(хо, Уо) и движется по окружности (14)
(рис. 29, а).
Направление движения точки Л1(0 определим с помощью за-
dy
данной системы (10). При х>0, согласно уравнению-—=—х, вели-
<и
чина у убывает (как, например, в точке Л41 (/)), а при х<0 величина
у возрастает (как, например, в точке Мг(1)). Таким образом, точка
M(t) движется по кривой (14) по ходу часовой стрелки. Изменяя
произвольно начальные условия (И) (оставаясь, однако, в физически
допустимых пределах), т. е. изменяя как угодно положение началь-
ной точки Л10(х0, Уо), получаем всевозможные фазовые траекто-
рии (14).
170
Дадим теперь другое истолкование уравнений (15) (или, что то
же, уравнений (13)). В трехмерном пространстве возьмем правую
декартову систему координат Oxyz. Легко убедиться, что точка
A/(x(/), y(t), z(l)) (или коротко N(t)) с координатами (рис. 29, б)
х (/) = /? sin (/ +а), у (0 = R cos (i + а), г (0 = 1	(16)
начинает свое движение при 1 = 0 от начальной точки Л'о(хо, уо, 0)
и с возрастанием t поднимается по винтовой линии (16), располо-
женной на цилиндре (14), с образующими, параллельными оси Ог.
Очевидно, что точка No совпадает с точкой Мц и что при любом
t точка А<(/) проектируется в точку М (1) на фазовой траектории.
Так как точка Л1(0 движется по ходу часовой стрелки, то инте-
гральная кривая, описываемая точкой ?V(0, есть левая винтовая
линия на цилиндре (14). При различных положениях точки N0(xa,
Уо, 0) интегральные кривые системы (10), соответствующие различ-
ным значениям R = х% + у% , проектируются на плоскость хОу в
различные кривые (14), а интегральные кривые, соответствующие
одному и тому же значению R, проектируются в одну и ту же кри-
вую (14). ф
Интегралом нормальной системы (3) называется функция
ф(1, Xi, х2, .... х„), определенная и непрерывная вместе со своими част-
дф <?ф
ными производными первого порядка—, —, А=1, 2, ..., п, в области
dt дх^
D, если при подстановке в нее произвольного решения Xi(l), х2(1),
.... х„(0 системы (3) она принимает постоянное значение, т. е. функ-
ция ф(1, Х|, х2, .... хп) зависит только от выбора решения Х|(1), х2(0,
..., хп(1), но не от переменной 1.
Первым интегралам нормальной системы (3) называется ра-
венство
ф (1, хь х2,	, хп) = С,
где ф(/, хь х2, ..., хп)—интеграл системы (3), а С — произвольная
постоянная *>.
Пример 8. Показать, что функция
,	Хп
ф(1, хь х2) =	(17)
определенная в области D. 1^0, —оо<хь х2 < + °°, является ин-
тегралом системы уравнений
dx( Xi
At ~ t '
dx2 x2
T=*+-
(IS)
*> Иногда первым интегралом системы (3) называют интеграл
этой системы.
171
если общее решение этой системы есть
х, =CLt, х2 = Ct t2 + C2t.
Р е ш е н и е. Подставляя (19) в (17), получаем
С< t2+C«t
ф(/, xt, х2) = ф(С Cit, Cit2+C2t) = -+——Cit -c2
в области D. Следовательно, функция (17) является в области О
интегралом системы уравнений (18), а значит первый интеграл этой
Х2
системы будет	—Х[ = С, где С — произвольная постоянная.
Теорема. Для того чтобы функция ф(/, Xt, х2, ... хп) была ин-
тегралом системы (3), необходимо и достаточно выполнения условия
п
д\Ь
fk (t, х1, xt..Хп) — = 0
dxk
k=i
в области D.
Пример 9. Показать, что функция
xt
ф (t, х^, х2) = arctg — — t
х2
является интегралом системы уравнений
.	г2	а	х2
dxt _	xi	dxa	х2
di	х2	*	dt	Xj
Решение. В данном случае
*1	х2
fl (С *1. хг) = — . xi, х2) = —— .
х2	х±
Находим частные производные данной функции ф(/, х(, х2).
дф______5ф_____________х2 дф _ xt
dt ’ дХ1~ ^ + х2’ дх2 x2 + xf
Подставляя (23)	и	(24) в	левую часть	(20), получаем
dip	5ф	дф
+ fi (С xi, х2) - + f2 (/, хь х2) - = — 1-f*
dt	dxt
4*
Ag
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
Имеем
(24)
*р_ .	, ,
.... "	дх2 “	* ’
х2
-7^ + —•-7^=-1 + 1 =°
х2 + Х% Х1 X2 + х2
в области D: —oo<t<4-oo, х,#=0, х2^0.
Итак, функция (21) есть интеграл системы уравнений (22) и,
следовательно, первый интеграл системы (22) будет
х,
arctg— — t = С,
х,
где С — произвольная постоянная, ♦
<72
Нормальная система (3) имеет бесконечное множество систем
первых интегралов.
Интегралы фь ф2, фп системы (3) называются независимыми
относительно искомых функций х\, х2, хп, если между функциями
фь ф2... фп не существует соотношения вида ^(ф], ф2,	ф„)=0
ни при каком выборе функции F, не зависящей явно от хь х2, ..., ха-
Теорема. Для того чтобы функции фь ф2, ..., фп, имеющие част-
,	дф,
ные производные -—, i, Л = 1, 2, .... п, были независимыми относи-
dxk
тельно X], х2, ..., хп в некоторой области D, необходимо и достаточно,
чтобы якобиан этих функций был отличен от нуля в области D,
D (Фа. Фа.    . Фи)
D(xlt х2,	, хп)
дфд	Эф1	дф1
dx.	дх2	дхп
<Эф2	дф2	дф2
dx.	дх2	
дф„	5ф„	дф„
Зх,	дх2	0хп
Общим интегралом нормальной системы (3) называется совокуп-
ность п независимых первых интегралов этой системы.
Если известны k, где k<n, независимых первых интегралов си-
стемы (3), то ее порядок можно понизить на k единиц.
Проверить, являются ли данные функции ф первыми
интегралами данных систем дифференциальных урав-
нений.
Ф = -Га х2 е~‘.
772.
ф = (1 + х) е~* — е~у.
773.
dx _ у + I
d/	х + у ’
dy ___ х — t'
dt	x + у ’
а)	Фг = x + у — t,
б)	Фа = X + у+ t.
173
Для следующих систем дифференциальных уравне-
ний проверить, образуют ли данные пары функций си-
стемы независимых первых интегралов:
774.	dx dZ	y — x'	x + у + t = Ci,
	dy . dt	— • y—x ’	X2 + y2 + t2 = C2
	dx		t + у	x~y — c
775.	dt	x + y'	t — X	’
	dy		t X	— c,
	. dt	x+ y'	t-y
§ 20. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ
(СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ К ОДНОМУ УРАВНЕНИЮ)
Частным случаем канонической системы дифференциальных
уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное от-
носительно старшей производной.
х(я) = f (/, х, х',	, х(п~1)).
Введением новых функций
= х' (/), х2 = х" (t), .... х„_, = х(я-1) (О
»то уравнение заменяется нормальной системой п уравнений
dx »
d/ 1
4,-2
dt п~‘
4-i £
—	= x, Xr x2, ... , x,^).
Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная
сисггма п уравнений первого порядка
(4
—	= /1 G, xlt х2, ... , хп),
dr
dx.
J 77 = /2 О'- М, ...Хп),
dt
иЛи
—	=/п0- Xj, Xg..х„)
174
(1)
(2)
эквивалентна одному уравнению порядка п. На этом основан один
из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений —
метод исключения.
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух урав-
нений:
“ = ах 4- by + / (t), ^~ = cx + dy + g (/).
d/	di
Здесь a, b, c, d— постоянные коэффициенты, a f(t) и —задан-
ные функции; x(t) и y(t) — искомые функции. Из первого уравнения
системы (1) находим
1 /dx
у = ——[ — — ах
b \ di
Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть
di/
(2), а вместо— производную от правой части (2), получаем урав-
нение второго порядка относительно x(t)
d2x	dx
A — +fi— + Сх + Р (/) = °,
d/2	dt
где А, В, С — постоянные. Отсюда находим х=х(/, Ct, С2). Подста-
dx
вив найденное выражение для х и — в (2), найдем у.
dt
Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений
dx
— = у+ 1,
di
(3)
0)
(5)
dt/
— = x4- 1.
(d/ T
Решение. Из первого уравнения системы (3) находим z/=
dx
= — —1, тогда
dr
dy d2x
dT = <k2 '
Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линей-
ное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
второго порядка
d2x
— — х — 1 =0.
d/2
Общее решение уравнения (5)
х = Ci е' + Са е-1 — 1.
Находя производную по t от (6), получаем
(/ = “ — 1 = Ci ег + С, е-; — 1.
(6)
175
Общее решение системы (3):
х — Ci 4- С2 е—*—1, y~CLe'— С2е~1
Пример 2. Решить задачу Коши для системы
— = Зх + 8(/,
а/
dy	1
— = — х — Зу,
а/
х(0)=6, 1/(0) = -2.
Решение. Из второго уравнения системы (7) находим
„ dy
х = -3</- —,
(7)
(^
(9)
откуда
dx _ _ д d//  <Ру
8/ “	Ш	84
Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем
<Р(/
уравнение —; — у = 0, общее решение которого
<п2
У = Ci 4- С2 .
Подставляя (11) в (9), найдем
х = — 4Сх е^ — 2Сг е~?.
Общее решение системы (7)
х = — 4Ci е* — 2С2 е—\ у = С\ е'' 4- С2 .
(Ю)
(П)
(12<
При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений
для определения Сь С2:
г 6 = —4Ci-2Ca,
[- 2 = Ci 4- С2,
решая которую, найдем С,=—1, С2 = — 1. Подставляя эти значения
Ct и С2 в (12), получаем решение поставленной задачи Коши;
х = 4е^ 4~ 2е—*, у = —	.
Пример 3. Решить систему уравнений
dx
t ~ = — x+yt,
at
t2 — = — 2x 4~ yt.
di!
Решение. Из первого уравнения системы находим
176
так что
d'/
dl
х	1	dx Агх
— +— •------4 —
t2	t	At	At2
Подставляя
эти выражения для у и
Ау
— во второе уравнение, no-
di
лучаем
, d2x
I2 —
dl2
dx
d2x
dx	__ ___________
t — — х = — 2х + х + t — , или I2 — = 0,
dl	At	dl2
At
At2
d2x
Считая 1+0, из последнего уравнения имеем — = 0 и после ин-
тегрирования получим x=Ci-j-Cit. Теперь легко находим
dx Q + Cgl	Ct
i~ 0g—xcg -г	.
У t At t
dl
Общее решение данной системы
С<
х — Cj + Cgl, у — ~ + 2С2, t	0.
Методом исключения решить следующие системы
дифференциальных уравнений;
776.
dx А
— = — 9«,
dl
^ = Х.
At
777.
dx
dT
^- = x-t.
. At
778.
^ + 3х+ 4// = 0,
dr
—+2х+5//= 0, х(0) = 1, у(0)=4.
. dl
779.
dx	,г-
— = х + 5у,
at
± = -x-3y, х(0) = —2, 4,(0) = 1.
dl	*
12-456
177
780.	4 — —— + Зх — sin I, dt	dt dx .	, 	h у = COS t dt dx	,
781,	^=2, dt — X2. dt
	dx -T- = У + 2, dz
782.	7,7 "х + г'
	dz	, — = X + 1/. at
783.	d2x d/2 ~ У’ ^ = X ,di2
784. 	^ + A + x = 0, d/2	d/ +	= 0 d/	d/2
785.	d2x л . dV = 3jI + ^ Л__2х. . d/
= х2:г/,
<Рх
d/2
= — 2х + х, х(0) = х'(0) = 1, z/(0) =0
178
§ 21. НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ
КОМБИНАЦИЙ. СИММЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
л-;1), k = 1, 2, ... , п,
(1)
1°. Нахождение интегрируемых комбинаций. Этот метод интегри-
рования системы дифференциальных уравнений
dX£
.. — fk (f • Xl’ v2
dr
состоит в следующем, с помощью подходящих арифметических опе-
раций (сложения, вычитания, умножения, деления) нз уравнений
системы (1) образуют так называемые интегрируемые комбинации,
т. е. достаточно просто решаемые уравнения вида
Fit, и, — = О,
\ di )
где и—некоторая функция от искомых функций Х](/), х2(/).xn(t).
Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Ес-
ли найдено л независимых первых интегралов системы (1), то ее
интегрирование закончено; если же найдено т независимых первых
интегралов, где гп<л, то система (1) сводится к системе с меньшим
числом неизвестных функций
Пример 1. Решить систему
^ = 2(х;Чф.
dx2
Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем
d(xt+x2)
--------------= (%! + х2)2 2/,
dr
откуда
I	1
— ;-------= t2 — Сц, или -------;---+ I2 = Ci,
(2)
Х± 4“ Х2	Зц 4~ Х2
Вычитая почленно оба уравнения, получаем
d (Xi — х2)
-----Т.--- = 2i (Хц — х2)2,
di
откуда
------+/2 = Ci.
xi — х2
Итак, найдены два первых интеграла данной системы
'К (I, xlt х2) = Г- +
= С1(
ta (t, xlt х2) = t2 + —----------------= С2,
xt — х2
12*
179
которые являются независимыми, так как якобиан
	3ф1 dtp!		1	1
D Oh, ф2)	dxt dx2		(Xj + х2)2	(*1 + х2)2
b (xlt x2)	дф2 йф2		1	1
	дхг дх2		(*i — х2)2	(Х1 — х2)2
Общий интеграл системы (2)
Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получа-
ем общее решение системы (2):
Ci + G - 2/2	Са - Ct
X1 2 (Ci —(С2 — Z2) ’ Х* 2(Ci-Z2) (Cs-/2) *
Пример 2. Решить систему
dxx xt — Xj
d/	x3— t '
d-Ъ ^i —x2	...
d/	x3 — I
dx,
- = ^+1,
Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе,
d(x1 — х2)
получаем ---------= 0, откуда первый интеграл системы (4)
х1 — х2 = С1.	(5)
Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим
систему с двумя неизвестными функциями
dx2 _ Ct
dt x3 — t'
Из второго уравнения системы (6) находим
хз = (6-1 +1)6+62.	(^)
Подставляя (7) в первое уравнение системы (б), будем иметь
dx 2	С-,
77 =	 *2 = !п 1Сг ^ + С2| + С8;
lit Ci I -J- Cj
180
итак,
xt— х2 = С1, х2 = In |Cf t + C2| 4* C3, x3 = (Ci 4- 1) t 4- C2,
Отсюда находим общее решение системы (4):
хх = In |Ct t 4- C2| 4- C-'i 4" C3, x2 = In |Ct 14- C2| 4- C3,
хз= (Ci 4-1) t 4- Cit
Пример 3. Найти частное решение системы
dx _ i J_
di	у
dy 1
di x — t '
удовлетворяющее начальным условиям x|i=cl = l, у|<=о = 1.
Решение. Запишем данную систему в виде ,
d (х — i)
у------------= — 1,
7 di
Складывая почленно последние уравнения, получаем
d (х — i)	dy	d „
У------~ 4- (x — t) = 0, или — [(x — i) yl - 0.
di	dt	di
Отсюда находим первый интеграл (х—t)y = Clt Так как х—t^CJy,
dy	У
то второе уравнение системы примет вид — = —- , откуда у —
dt	Ci
= С2е</с‘. Итак,
(х— t)y = C2, y — C2ei/Cl,
откуда получаем общее решение
x=i+-^e-^, у = С^,
Полагая i = 0 в этих равенствах, найдем l=Ci/C2, 1 = С2, т. е. С[ =
=Са=1, и искомым частным решением будет
х = Z 4- е— у = е'.
Пример 4 (разложение вещества). Вещество А разлагается на
два вещества X и У со скоростью образования каждого из них, про-
порциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон
изменения количеств х и у веществ X и У в зависимости от времени
t, если при t — О имеем х = у=0, а через час х = а/8, y = 3aji, где
а — первоначальное количество вещества А.
181
Решение. В момент времени t количество неразложившетося
вещества А равно а—х—у. В. силу условия задачи будем иметь
dx
— =ki (а-х-у),
о/
(8)
уравнение на первое, получим
k‘2
— , откуда у= — x + Ct.
dt/
— = k1(a — x — y).
dt
Разделив почленно второе
dy _ k2
dx /?!
При Z = 0 имеем х = у = 0, поэтому из последнего уравнения нахо-
дим С?! = 0, а значит
у х-
Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение
dx
— + (*i + k2) x = kta,
at
общее решение которого
«1 + «2
(9)
Используя начальное условие х|1 = о = О, найдем С2=—--------------,
fei + й2
так что
х _ -Л1?.. - Г1 _ -<*,+*,)*
kt + k± L
Подставляя (10) в (9), будем иметь
k>a
(10)
1 _ e-(k,+k.2)t
г
Для определения коэффициентов kt и k2 примем за единицу вре-
а	3
мени час. Учитывая, что х—~ , у = ~ а при / = 1, найдем
8	8

1 _ е-(*.+*«)
^1+^2.
—----- Г1 _ p-U.+ W 1 = J_
/гИ-^l	J 8’
откуда
k2 = 3klf ki + k2 = In 2,
In 2	3
так что ky — — , k2 = —~ 1п2, и искомое решение системы (8)
4	4
и - За .	„
х = —(1-2-0, y=V<’~2 )•
4	4
2
8
182
Пример 5 (Равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть
имеются два сосуда объемов Vt и V? соответственно, наполненные
газом. Давление газа в начальный момент времени равно Р, в пер-
вом сосуде и Рг— во втором. Сосуды соединены трубкой, по кото-
рой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количе-
ство газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности
квадратов давлений, определить давления pi и рг в сосудах в мо-
мент времени t
Решение. Пусть а — количество газа, перетекающего в еди-
ницу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в те-
чение времени d/ из одного сосуда в другой протечет количество
газа a (р1 2— p2) d/. Это количество равно убыли газа за время d/
в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее вы-
ражается системой уравнений
(И)
o(p;_p|)=_W1fe.
где Ь — постоянный коэффициент.
Вычитая почленно уравнения системы (11), получаем
откуда
V1P1 + ViP2 = Ci.	(12)
Умножим обе части первого уравнения системы (11) на PiVt, а вто-
рого — на раУ2 и сложим почленно:
« (р? - Ра) (Рт + Р2	(pi ~ Ра
Учитывая (12) и деля обе части (13) иа pf, будем иметь
(13)
aCi
где =	,, • Обозначая p3/pi=z, получаем
Wi V2
1 — za
1 l-J—1_?
откуда In --------
= 2kt + In са
или
~~ = C2e2fti,	(14)
1 — z
Подставляя в (14) вместо г величину pj/pi, окончательно получаем
Р-^-^- = С,еы.	(15)
Pl — Pi
183
В начальный момент- времени
таи что из уравнения (12) имеем
Z = 0 имеем ₽i = Pi, р3=Р3,
Ct = РjVj 4- Рa^si
(16)
а из уравнения (15)
Из уравнений (12) и (15) находим искомые давления pi (О и p2(Z) в
любой момент времени t, при этом постоянные Ci и С3 определяют-
ся формулами (16) и (17).
Решить следующие
уравнений:
системы дифференциальных
787.
dx о . о
— = * + у2,
dt
^=2ху.
dt У
790.
— = у
dt	х —у’
dy __ х
dt	х — у'
788.
dx  ________1_
dt	у ’
dy __ J_
dt х '
791.
dx
----== Sin X cos у,
di--y
dy
~ cosxsiny.
dt	a
789.
dx ____х
dt	у
dy = У
dt	х *
792.
, dx
e' —
di	у
_ 1
di	x
793.
= cos2 X cos2 у + sin2 X cos2 y,
=------— sin 2x sin 2y, x (0) = 0, у (0) == 0.
dt 2
2°. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений.
Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы
дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее
в симметрической форме
dxj _________ dx2__________________ ____
fi(t,xitx2, .. ,,хп) f2(t,XltXt,...,Xn)
___________dxfl______ _ dZ
tn (i ,Xj, x2,... ,хл) 1
В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметри-
ческой форме, переменные Z, Xj, х2, .., хп равноправны, что в некото-
рых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.
184
Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допуска-
ющие разделение переменных, либо же используют производные про-
порции
а1 __ а2 __ _ а,п __ ^1а1 4~	4~ • • -4~	ат
bi b2	bm Xtbi X2a2 +..,+	am
где коэффициенты Xi, X2, .... Xm произвольны и их выбирают так,
чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо числитель
был полным дифференциалом, а знаменатель был равен нулю.
Пример 6. Найти общее решение системы уравнений
dZ dx	du
---=-----------=-----------.	(20)
lx — in t In t — lx
dt dx
Решение. Первая интегрируемая комбинация — =— ——— ,
Разделяя переменные и интегрируя, найдем первый интеграл
1(1п/ —1) + х2=Сь	(21)
Вторую интегрируемую комбинацию получим, используя производ-
ные пропорции (19). Для этого сложим числители и знаменатели
дробей системы (20):
dz _ dx _ dy ______________ dZ 4- dx 4~ dy
2x — In Z	In t — 2x	0	’
здесь X| = l, X2= 1, X3=l. Отсюда dZ+dx + dy =0, или d(Z+x+y)=O
и, значит,
t 4- x 4- у = C2.	(22)
Первые интегралы (21) и (22) дают общий интеграл системы (20)
х2 Z (InZ — 1) = Ci, x-j-y+t=C2,
из которого находим общее решение системы
х = ±/Ci4-/(lnZ— 1), у = С2 —ZT Kc!4-Z(lnZ — 1),
Пример 7. Решить систему уравнений
dZ	dx	dy
--------=----------=-----------.	(23)
4у — 5х 5Z — Зу Зх — 4t
Решение. Умножая в системе (23) числители и знаменатели
дробей соответственно на 3, 4, 5 и складывая числители и знаменате-
ли, получаем в силу (19)
3dZ	4dx	5dy 3dZ 4- 4dx 4~ 5dy
12y — 15x ~ 20Z — 12y = 15x — 20Z	6
(здесь X] = 3, X2=4, X3 = 5). Отсюда 3d/4£4dx-}-5dy=0 или d(3Z4-4x4-
H-5y)=0, а значит 3t-f-4x+5y = Ci— это первый интеграл систе-
мы (23).
Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соот-
ветственно на Xt=2/, Х2=2х, Х3 = 2у и складывая числители и знаме-
натели, получаем в силу (19)
2Z dZ	2х dx 2у dy 2Z d/ 4- 2х dx 4- 2у d//
8yZ—10xZ lOZx —бух 6xy —8Zy	0	•
185
отсюда
2/ d/ 4- 2х dx + 2</ dy = 0 или d (/2 4- х2 + у2) О,
и, значит, второй первый интеграл будет /2-|-х2+у2 = С2.
Совокупность первых интегралов, которые являются независи-
мыми, дает общий интеграл системы (23):
3/ + 4х 4- 5у = Cj, t2 + х2 у2 - С-..
Итак, система (23) решена.
Решить следующие системы дифференциальных
уравнений:
794	df	_	dx	_	dy
t	X	ty
795. _A_ = A. =	.
xy	yt	xt
796	d*	=	_	dy	= dP _ _ d<?
I/	x q 	p ‘
dx _ di/ _ dt
xt — yt xy '
798 d) = dx = dy
t2 — x2 — y2 2tx 2ty *
799. I A. = .?* ~_1у_
I dZ 2y — 3x
 dy _ 4x — 2t
( d/ 2y — 3x
800. It dx = (t — 2x) dt,
\t dy (tx- ty^- 2x — t) d/.
801	{= dx _ dy
x2 — 2xq — x2 x + у x — у ‘
§ 22. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОРОДНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ. МЕТОД ЭЙЛЕРА
Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами
называется система дифференциальных уравнений вида
п
^\^aikxk(t), i = \,2,...,n,	(I)
dt
где коэффициенты а1к — постоянные, a xft(/)—искомые функции
йт t,
186
Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного
уравнения
dX
— = ЛХ,	< (2)
аг
где
Одностолбцовая матрица
называется частным решением уравнения (2) в интервале (а, 6),
если выполняется тождество
—- = AY (О для a<t<b.
аг
Система частных решений
х<’>(0'
42) (о
хр (о
(здесь в записи х£ нижний индекс указывает номер решения, а
верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной
на интервале (а, Ь), если ее определитель Вронского
W (О = V(XltXt, ...» Хп) =
хр (О х<'>(0 .... х£” (О
хр (Охр (О ,.,.х<2> (/)
¥=0.
хР (Охр (0 ...,хР (О
для всех t £ (а, Ь).
187
Теорема. Если система частных решений однородного уравнения
(2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения
имеет вид
X (/) = С! Xi (/) + С2 Х2(0 + ••. Н- Сп Хп (О,
где С|, С2. .... С„ —произвольные постоянные.
Линейные системы можно интегрировать различными способами,
рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахож-
дения интегрируемых комбинаций и т. д
Для интегрирования однородных линейных систем с постоянны-
ми коэффициентами применяется также метод Эйлера.
Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных
дифференциальных уравнении;
dr
----- = ах + Ьц + сг,
dt
dy
—— = а3х + bty + щг,
dr
<tz
—— = а2х+ b2y+c2z.
dZ
(3)
Решение системы (3) ищем в виде
x = kart, y=p.erl, z = vsrt, X,p,v и г — const,	(4)
Подставляя (4) в (3) и сокращая на ert, получаем систему урав-
нений для определения X, ц и v:
(а — г) X + b[i + cv = 0,
+ (&i — г) р + cty = О,
а >Х -|- 6,,и. + (с» — г) v = 0.
0)
Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель А ра-
вен нулю,
а — г b с
А = at &i — г а = О,
Ь, сг—г
Уравнение (6) называется характеристическим.
А Пусть корни и, г2 и г3 характеристического уравнения — ве-
щественные и различные. Подставив в (5) вместо г число г( и решив
систему (5), полечим числа Хь р, и v,. Затем положим в (5) г = гг
и получим числа Х2, JJ.2, v2 и, наконец, при г = г3 получим Хз, рз, v3.
Соответственно трем наборам чисел X, р и v получим три частных
решения
х3 = Xt еГ1?,
х2 = Х2ег^,
= Х2 ег’\
(/i=Pier^, z1 = v1er't,
у.2 = р.2еГг(, z2 = v2er<
t/з = Из е''1'', z3 = v3 ef,\
<88
Общее решение системы (3) имеет вид
х = Cj С2 К2 /=' -I- С3 13 еЧ
У — 01 Pi ег,/ 4- с2 р2 С3 ц3 ег‘\
2 = Cj vx Z1' 4- С2 v2 ег'' 4- С. v3 er,t.
Пример 1. Решить систему
dx
—- = Зх — у 4- 2,
и/
dl/	, е
—~ =— х + Ьу — г,
QI
. d2
— = *—у+ За.
d/
Решение. Составляем характеристическое уравнение
3—г —1	1
— 1 5—г —1
1 —1 3—г
= 0.
или г3—11г2+36г—36=0.
Корням ri = 2, г2=3, г3=6 соответствуют числа
Л1=1,	Р1 =	0,	Vi=—1;
Х2 = 1 (	р 2	1 ,	v2 1 Ц
Л3 ~ 1,	р3 =	— 2,	v3 = 11
Выписываем частные решения
Xi = е2?,	Л = 0.	2i =	—е^,
х2 = е3*,	у2 = е3*,	z2 =	е3\
х3 — е4<,	уз =— 2eet,	г3 =	е"'.
Общее решение системы:
х = Cj е* 4- С2 е3' 4- С3 е»',
у=С2е3‘— 2С3 е«',
z=—CjeaZ4- С2 е’^Сзе»*.
Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического
уравнения комплексные.
Пример 2. Решить систему
189
Решение. Выпишем систему для определения X и ц:
1(1 — г)Х — 5ц = О,
12Х —(» + /) ц = 0.
Характеристическое уравнение
имеет корни г^—31, г2 =—31. Подставляя г,=31 в (8), получаем дза
уравнения для определения и ц(:
(1—30^ — 5111=0,	2Х,—(1-{-3i)Ui =0,
из которых одно является следствием другого (в силу того, что оп-
ределитель системы (8) равен нулю).
. Возьмем Xi = 5, Ц1 = 1—31, тогда первое частное решение запи-
шется так;
х1 = 5е317, Л = (1— 3()е3‘7.
(9)
Аналогично, подставляя в (8) корень г2 ——31, найдем второе частное
решение:
х2 = 5е-317 , у2 = (1 + зо е“3‘7 .
(Ю)
Перейдем к новой фундаментальной системе решений:
*1 + *2
Xi —
2i
У1 + У 2
(II)
Пользуясь известной формулой, Эйлера е^=л{1 =cosa/±t sin at, из
(9), (10) и (11) получаем
Xj = 5 cos 3/, х2 = 5sin 3/,
Pi = cos 3t + 3sin 3t, y2 = sin 3/ — 3cos 3t,
Общим решением системы (7) будет
х = Ci*! + С2 х2 = 5СХ cos 31 + 5С2 sin 3/,
У = Ci iji + Сг у2 = Cl (cos 3/ + 3sin 3/) -f- C2 (sin 3/ — 3cos 30.
Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было
бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами
х = С\ Re Xi С2 Im xlt у = Re + C2/m i/i,
где Re г и Im г обозначают соответственно действительную и мни-
мую части комплексного числа г, т. е. если z=a-J-W, то Rez=a,
Im z = b.
В. Случай кратных корней.
190
Пример 3. Решить систему
dx
—— = 2х + и,
d/
dy .
----- = 4it — х.
dt
(12)
Решение. Характеристическое уравнение
I 2 —л 1 I
1=0, или г2 — 6г + 9 = 0
имеет кратный корень г!=г2=3.
Решение следует искать в виде
х = (Xj +М) е3/, у= (Х34- p2Z) е’<	(13)
Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем
3 (Xj 4* Pi 0 4* Pi = 2 (Xj -J- PiO + (X2 + Pa^) •	(14)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и пра-
вой части (14), получаем:
3Xj -|- pi = 2Xt 4" Х2,
3pi = 2pi 4~ р2,
откуда
Х2 = Х14~Рп Ра = Р1 *	(16)
Величины Xi и р( остаются произвольными. Обозначая их соответст-
венно через Ci и С2, получаем общее решение системы (12):
х = (Ct 4- C2t) e3t, у = (С, 4- С2 4- С^) .
Замечание. Легко проверить, чго если (13) подставить во
второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15).
В самом деле, из равенства
р, 4- 3 (Х2 4- p2z) = 4 (Ха 4- р2/) — (X, 4- рр)
получаем два соотношения для определения Х2 и р3 через Xj и рр
р2 4~ ЗХ2 = 4Х2 — Xlt
ЗРа = 4р3 - рь
откуда Х2=Х14~Р2, Р2 = Рь
Пример 4. Решить задачу Коши для системы
dx
~Z~ = 8U>
dz
dy
— - 2г,
d/
dz
—— = 2x -f- 8y — 2z
dz
(16)
с начальными условиями x(0) = —4. y(0)=0, z(0) = l.
191
Решение. Характеристическое уравнение
— г 8 О
О —г —2
2 8 —2—г
= 0. или (г + 2) (г2+ 16) =0.
(17)
Корни уравнения (17): Г| =—2, г2 = 4(, г3 =—4i. Действительному
корню /"i = —2 отвечает решение
= М 2t, yt = pte 21, zi = Vje_2C
Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на е~2‘, получаем
— 2Xt = 8p1,	—2(1! = —2vj —2vj = 2Xj + 8p.t — 2vP
(18)
откуда Xi=—4pb Vi = pi. Полагаем, например, gi = l, тогда >.( =—4,
v(=«=l и частное решение (18):
xt=— 4e—2i,	уз = е~2‘, zt = e“2/.	(19)
Комплексному корню г2=4£ отвечает решение
*2 = Л2е4(/,	?/2 = Ц2е4‘7. z2 = v2e4‘7,
подставив которое в (16) и сокращая на e4i‘, получим
4<Х2 — 8р2,	4ф2 = — 2v3, 4tv2 = 212 4-8р2 — 2v2,
откуда —2<цг, v2 =—2ip2, так что, например, при [li—i имеем
К2=2, v2=2 и частное решение
x2 = 2e“z, у2 = (e4iZ, z2 = 2e4li.	(20)
Корню г3 — —4/ соответствует решение, комплексно сопряженное
решению (20), т. е.
лг3 — 2е ilt, у3 = — te 4,t , z3 = 2e ilt.	(21)
Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение
х = — 4СХ e“2Z 4- 2C2 e4'7 + 2C3 e-4‘7 ,
у = Ct e~2t + C2 i e'tlt — C3 i e~iil,
z = С-з e~2t 4- 2C2e4l? + 2C3e—4,7 .	(22)
Выделим, наконец, решение с начальными условиями х(0)=—4,
у(0) =0, г(0) = 1.
Из (22) при /=0 имеем
-4=-4С14-2С2 + 2С3,
0 =	4* C.2i — C3l,
1 = Сз 4- 2С2 4- 2С3,
откуда Ci = 1, С’а=<72, Сз = —(72;
итак,
х=—4е 21ie4lt — is 4lf,
р = е-24-^-е«'-^-е-%
г = е-2/4-Сеш-«е-4".
192
Воспользовавшись формулами Эйлера е~Л'^ = соз atJzi sin at, окон-
чательно получим
х= — 4е~21 — 2sin4/,	у — е~и—cos 4/, г = с"2<—2sin4Z.
Методом Эйлера найти общее решение данных си-
стем, и где указано, выделить решение, удовлетворяю-
щее поставленным начальным условиям.
802.
Idx Q
~ = $У~х,
СИ
dy ,
-7~ = * + у.
dt
803.
dx
---— х — у,
dt
dy
—— = у — X.
dt
804.
dx n ,
— = 2x + у,
at
- = x —3г/, x(0) = ^(0)=0.
at
805.

806.
807.
dx ,
— = x 4- y,
dt
= 4y — 2x, x(0) = 0, £/(0)=—1.
dz
dx A t-
---— 4x — 5y,
dZ-*
Ж=Х) X(O)=O, y(0) = l.
dz
~==—4-2,
(u
dy	.
-^- = x—y + г,
at
dz । .
— = X -Ь у — 2.
dt
13-456
193
~ = 2х — i/ + z,
d/
808. 7“ “ X	2y “ Z’
= x — у + 2z.
dt	*
809.
dx n .
— = 2x— y + z,
al
ty .
V“x+Z-
2г — 3л-, *(0)-0, 9(0)=0, s(0)=l
$ 23. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пусть имеем неоднородную линейную систему с постоянными
коэффициентами
п
“ = Oik Xk (0 + Л(0> Г = 1,2,...,л,
й=1
которую короче можно записать в матричном виде
где F — одностолбцовая матрица, элементами которой являются
функции
Теорема. Общее решение X(t) неоднородной линейной системы
равно сумме общего решения Хо.а(1) соответствующей однородной
dX
системы ——= АХ и любого частного решения Хч.я(1) данной не-
си
однородной системы
п
X (О = хо.о (0 + х,.„ (0 = 2 Ск xk & + хч.н (0,
*=i
где Сь С2... Сп — произвольные постоянные.
Рассмотрим некоторые методы интегрирования неоднородных
линейных систем.
Г. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагран-
жа). Проиллюстрируем этот метод на примере системы трех неодно-
родных уравнений. Пусть задана система
194
х' 4- O1jc+ Ьгу + e,z = fj (0,	(1,1)
у' + а2х ~h Ьгу -j-	=	/2 (/),	(1,2)
z -J- азх 4“ &зУ 4* ез? = /з (0 	(1,3)
(1)
Будем предполагать, что общее решение соответствующей одно-
родной системы уже найдено:
X = С1-Х1 4- б?2*2 4~ С3Х3,
У — С1У1 4“ С2у2 4~ С3у3,	(2)
z = С12] 4- С2г2 4- С3г-„.
Решение неоднородной системы (1) ищем в виде
х = Cj (/) х2 4- С2 (/) х2 4- С3 (/) х3,
У = С1(0У1 4- C2(f)y2 4- C3(f)y3,	(3)
z = ^(Ог! 4* C2(t)z2 4 C3(t)z3,
где C2(t), Сз(0 — пока неизвестные функции.
Подставим (3) в (1)-. тогда уравнение (1.1) примет вид
Cj х( 4- С'2 х2 4- Cj х3 4- Сг (xj 4- <4 \ 4- \ уг 4- et zj +
4- С2 (х; -4 а, х2 4- Ь^у, 4- е2 z2) 4- С3 (х' 4- аг х3 4- \ у3 4*
4-е12з)	(4)
Все суммы, стоящие в скобках, обратятся в ноль (в силу того, что
(2) есть решение соответствующей однородной системы), так что
будем иметь
с;х14-С;х24-СзХ3 = /1(0.	(5)
Аналогично из (1, 2) и (1, 3) после подстановки в них (3) получим
С1 У1 + С2 Уг + С3 Уз ~
Cl г1 4- г2 С3 гз — fg •	r г ,
Система уравнений (5), (6), линейных относительно Clt С>, С3, имеет
решение, так как ее определитель
А =
Х1 х2 Х3
У1 У-i Уз
Zi г2 г3
=40
в силу линейной независимости частных решений соответствующей
однородной системы. Отыскав Cx{t), C2(t), С3 (/), затем с помощью
интегрирования найдем C,(Z), C2(f), C3(f), а тем самым и решение
(3) неоднородной системы (1).
Пример 1. Методом вариации постоянных решить систему
dx
-----4 2x4'4!/= 1 4-46
13
195
Решение. Сначала решим соответствующую однородную си-
стему
dx
— + 2х + 4у = 0,
dy
d/
(8)
Из второго уравнения системы (8) имеем
dy	dx	dy	d2y
x = у—------, так что----==-----—-------.
dt	dt	dt	di2
dx
Подставим эти выражения для х и--------в первое уравнение
мы (8):	dZ
d2y	dy
-ТГ+ ~6у = 0;
dt2	dt
общее решение этого уравнения
y=Cie2' + C2e-3Z.
dy
Так как х = у—, то будем иметь
х =— Ci e2z + 4С2о 3^«
Общее решение однородной системы (8) есть
х =- Cj е2/ + 4С2 е"Л у = С( е2/ + С2 е“3'.
Решение неоднородной системы (7) ищем в виде
х =- Cj (/) е2' + 4С2 (/) е'3', у = Сг (t) е2/ + С4 (/) е~3?.
систе-
0)
Подставив (9) в (7) и приведя подобные члены, получим
-GJ (г) e2t + 4С2 (/) е“3/ =1+4/,
Су (/) е2* + С2 (/) e~3t = у t\
откуда
c;(<) = (6^-4/-i)e-2Lt
Интегрируя, найдем
(0 =- 4" V + Зг2) е-2' +
С2(0=-^-(2/ +/2) е3'+С2,
it\__(З/2 + 8/ + 2) е3^
с2 (0------------jo--------
(10)
196
где С, и С2 — произвольные постоянные. Подставляя (10) в (9), по-
лучим общее решение системы (7)
х =- Ct е2' + 4С3 е~3' -Н + Л У = e2z + С2 е~3г - -у t*.
Методом вариации произвольных постоянных найти
общее решение следующих линейных неоднородных си-
стем:
—+ 2х —г/=-е2',
dt	а
+ Зх - 2у = бе2'.
At
---— х + у — COS t,
dt-а
-^-=—у—2х Ч-cost + sint, х(0) = 1, у(0) = —2,
d/
812.
4r=‘g'-4.
а/
813.
-^=-4x-2!,+ ^-1.
814.
dx
----= У>
dt а
dy	,	1
dt	cos t
2°. Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора).
Этот метод применяется для решения неоднородной системы линей-
ных уравнений тогда, когда функции стоящие в правой части
системы, имеют специальный вид: многочлены Р*(0, показательные
функции е“(, синусы и косинусы sin pt, cos pt и произведения этих
функций. Исходя из вида правой части системы, находят частное
решение неоднородной системы х*г (см. табл. 1 в § 16, 3°).
197
Пример 2. Найти общее решение неоднородной системы
—;— = х — 2у 4- ez,
d/	J i •
dy	.
-7- =*+ 4y4-e2Z.
(И)
Решение. Найдем сначала общее решение соответствующей
однородной системы
dx
—;— = х — 2у,
dt	у
Ау л. л
— = х + 4у.
d.t~
(12)
Характеристическое уравнение имеет вид
I________2
= 0, или X2 — 5Х 4-6 = 0,
1	4 — X	г
Корин этого уравнения Xi=2, Х^=3. Корню Х(=2 соответствует част-
ное решение системы
x1 = p1e2Z, y1 = v1e2Z.
Подставляя X! и у, в (12), получаем систему уравнений для нахож-
дения щ и V,:
— щ —2v1 = 0,	p!-|-2vi = 0.
Отсюда имеем, например, gi=2, vi=—1, так что первое частное ре-
шение однородной системы (11) есть
= 2e2Z, yi - — e2Z.
Корню Х2=3 соответствует частное решение
x2 = p2e3Z, y2 = v2e3Z.
Числа ц2 и v2 находим из системы
( — 2g2 — 2v2 = 0,
I Ц2 + v2 = 0,
которой удовлетворяют, например, числа 112=1! v2=—1. Тогда вто-
рое частное решение системы (12) есть
x2 = eaZ, у2=—e3Z.
Общее решение однородной системы (12):
х= гС^ + ^е*,	у=— Сг e2Z — С2е3'.
Методом неопределенных коэффициентов находим частное решение
неоднородной системы (11). Исходя из вида правых частей п(/)=е*
и	записываем вид частного решения (см. табл. 1)
хч.н = К е< + (Lt 4- М) е*. у,.н = Л’ ez 4- (Pt 4- Q) е*.
(13)
198
Подставляя (13) в (11), будем иметь
Л'е* 4- 2 (Lt + Л1) е2/ + Le2/ = К.^ + (Lt + М) е* — 2Уе* —
— 2 (Pt + Q) е2/ + е*,
Net -|- 2 (Pt + Q) е2' + Р е?‘ = К е‘ + (Lt 4- М) +4Уе' +
+ 4(P/ + Q) е2/4-е2',
Приравнивая коэффициенты при ef, e2i и /е2( в обеих частях этих
тождеств, получаем из первого:
е* К = К - 2/V + 1,
е2< 2Л4 4-L = Л1 — 2Q,
/е2' 2L = L — 2P,
из второго:
е' У = К4-4Лф
е2< 2Q 4- Р = М + 4Q 4-1
/е2' 2P = L±4P.
Решая эту систему уравнений, находим К=—3/2, L = 2, М — О, У=1/2,
P=—i, Q = — l.
Значит, частное решение (13) имеет вид
*ч.н = —ег 4-2/е2/, уч.н= ~ez — («4- 1)е2/.
Общее решение неоднородной системы
3
х = 2С, e'2t 4- С2 e3i — — ez 4- 2t е2/,
I/= — Gj e2'— C2 e3/4-e'— (/4-1) e2'.
Пример 3. Решить систему
Решение. Характеристическое уравнение
1 —Л 2 1
I = 0, или Л2 — X — 2 = 0.
1 — х|
Корни характеристического уравнения Х = — 1, Л2 = 2. Общее решение
соответствующей однородной системы:
х = Сг е~1 4- 2С2	у =— Ci е~‘ -ф С2 е2/.
19У
Найдем частное решение неоднородной системы (14), имея в
виду, что /,(/) =0, /2(/) =—5 sin t. Запишем хч н и у-, н в виде
хч н = -4 cos I + В sin /, i/4JI = Л1 cos / 4- N sin t
и подставим в систему (14):
— A sin t + В cost = A cost + В sin t + 2.11 cost 4- 2Л/ sin t,
— Л1 sin t + N cos t = A cos t + В sin t — 5 sin t.
Приравниваем коэффициенты при sin t и cos t в обеих частях
равенств:
— А = В + 2.V,
В = Л+ 2Л1,
— 711 = В — 5,
N = А,
отсюда А =— 1, В=3, 741 = 2, Л/ = — 1, так что
хч.н = — cos t + 3 sin /, ;/чн = 2cos t — sin t,
Общее решение исходной системы:
х = х+ хч н = Ci е~‘ 4-2С2 е2/ — cos t + 3 sin t,
'/ = '/ + Ич.в =— Ci C~‘ + C2 e2/ 4- 2cos t — sin t.
Пример 4. Решить систему
dx	,
= x + 2y + 16/ ez,
о/
dV	(]5)
d/
Решение. Характеристическое уравнение
1	“ X 2 , = 0, или Л2 + Л — 6 = 0.
2	— 2 — Л
Корни характеристического уравнения Л] =2, Х2=—3. Общее решение
однородной системы, соответствующей системе (15):
x = 2C1e2t + C2e-3Z, у = Cj e2z - 2С2 е~3/.
Частное решение неоднородной системы уравнений (15) ищем
в виде
-Чв = (At + В) е‘,	1/ч и = (Mt + N) ez.	(16)
Подставим (16) в (15) и сократим на е(:
At + В + А = At + В + 2Mt + 2N -J- 16/
Mt + N 4- М = 2At + 2В — 2/14/ — 2^,
отсюда Л =—12, В = —13, Л4 = —8, Л/ = —6; итак,
*ч.н = ~ (12/ 4- 13) ez, 1/ч.н = —(8/4-6)ez.
Общее решение исходной системы:
х = х Лч.н ~ е^ 4- б?з е — (12/ 4~ 13) е^«
У = у+'Л<.н = Cj е2/— 2С2 е-3/ - (8/ + 6) е*. ф
Проинтегрировать неоднородные линейные систе-
мы с постоянными коэффициентами.
815.	dx ~di~ ~ У' ^=1-Х. Л
816.	— = 3 — 2у, dt —= 2х — 2/. dt
817.	dx	, . , 	= — о 4- sin t. dt	tr г	» dy	,	4 -2- = X + COS t. dt
818.	dx	... 	= x + у + e% dZ	* dy	,	t = x + у — e*. dt
819.	= 4x - 5y + 4t - 1, ^- = x-2y+t, x(0)=y(0)=0, dt
820.	d-*	। — = у — x + е(, di	a -^- = x-y + e‘, x(0) = i/(0) = l. о/
821.	~ |ic"	| S’ 1	+ II	II •	*"ьЬ
201
dx . du i „	. .
2----------— + 2y —Sint,
dt dt
— = 2x + у — 2г + 2 — t,
dt
d</ i
—— =1 — X,
d/
— — X + y — Z + I — t.
dt	a
824.
-J- + x + 2y = 2e-S
d/
dr
+	x(0) = z/(0) = z(0) = 1.
dr
3°. Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера).
Этот метод служит для построения интегрируемых комбинаций при
решении систем линейных уравнений с постоянными коэффициента-
ми. Покажем его применение для решения систем двух уравнений:
dx
—— = alx + b1y +?!(/),
at
dy	x	<17>
— = a2x + b2y + f2 (/).
Умножим второе уравнение на некоторое число X и сложим почлен-
но с первым уравнением:
d (х + Ху)
Т = (Д1 + Д'Дг) х + (t»i + М>2) у + f2 (/) -f- Xf2 (/),
Перепишем последнее уравнение в виде
d (х + Ху)	I	bi + Xb2 \	г
— (Я1 +	(х+	.	//) + ft (0 + Xf2 (/),	(18)
ar	\	rij “Г Adj /
Выберем число X, так, чтобы
Тогда (18) приводится к уравнению, линейному относительно
х+ Л(/,
d (х ^i/)
Т = (Bi + (х + Ху) + fi (0 + Xf2 (t).
202
интегрируя которое, получаем
х + Ку = е<^+Ха^ {с + } Hi (0 + Xf2 (f)]e~,а'+^=>' df}. (20)
Если уравнение (19) имеет различные вещественные корни Kt и
К2, то из (20) получим два первых интеграла системы (17), и, значит,
интегрирование этой системы будет окончено.
Пример 5. Решить методом Даламбера систему
d v
— = 5х + 4у + е‘,
at
dy	<21>
—-y- = 4x+5z/ + 1.
df
Решение. Выберем К по формуле (19): 4 + 5Х=Х(5+4Х), от-
куда Х1,2 = ±1.
Тогда по формуле (20) для случая А=1 будем иметь
х + у = е<5+4’ {Ct + J (?+ 1) е-<5+4 • dz} =
= е9‘ {Сг + J (е~8< + е"«) df} = Ct е9' —р —.
Для Х=—1 аналогично получаем
X — у = е(5—4,< {са + f (е* — 1) е-(5“4и df} = С2 е' + fe' + 1.
Итак, имеем два первых независимых интеграла системы (21):
(* + у + "в-6*+ *9~)е~9< = С1>	~у~** ~е-< = С”
Интегрирование системы закончено.
Замечание. Если правые части нормальной системы уравне-
ах + by + cz + Р (f)
ний имеют вид------------------ , где а, Ъ, с — постоянные, а
P(f) многочлен от f, то подстановка f=eT приводит к системе с по-
стоянными коэффициентами.
Пример 6. Решить систему уравнений
dx
t—=---2x+2y+t,
at
t-^- = -x-Zy + t\
df
Решение. Сделаем замену переменного f=ет . Тогда
dx	dx	dt	1	dx	dy	1	dz/
df	dr	df	t	dt	df	t	dT
н система примет вид
dx
— = -2x+2z/ + eT,
dr
dy
dx
—’5z/-[-e2T.
(22)
203
Для решения системы (22) применим метод Даламбера. Умно-
жим второе уравнение системы на А и сложим почленно с первым]
(х 4- А(/) = (— 2 — А) х 4- (2 — 5Л.) у 4- ет + A e2t
dr
или
(х 4- Ку) = (— 2 — А) [х 4- — „ 4 у 4- ет 4- А е2т.
аг	L — 2 —А
Выберем А так, чтобы коэффициент при у в квадратной скобке
2 —5А
равен А, т. е.—  г =А, или А2—ЗА + 2 = 0, откуда А=1, Аа=2.
«£ — А»
Ai=l из (23) получаем
ат
(23)
был
При
откуда, согласно формуле (20), будем иметь
х 4- у = е—Зг (Ci 4- f (ет 4- е2т) е3г drl.
После интегрирования получаем
х4-</=С1е-3т4-4-ет+4-е2т.	(24)
4	5
При k2=2 из (23) аналогично находим
X 4- 2у = С2 е~4г + 4- еХ 4- 4-	(25)
h	л
Решая систему (24) — (25) относительно х и у, получаем общее ре-
шение системы (22):
х = 2C^~ix — С2 e~4t 4- 0,3 ет 4- ~±г е2т,
15
(/ = -<?! е~3г 4-С2е~4г —0,05 ет 4--^еЧ
15
Возвращаясь к переменному /(ег =Г), получим общее решение дан-
ной системы
<3	+ 10	15 '
Ct Са _ / 2Р
t3 + /’	20 ' 15 *
Решить методом Даламбера
уравнений:
следующие системы
825.
—— = 5х 4- ^у,
-^- = х + 2у.
dt
826.
dx с ,
тг = 4х + 3^
ш
204
-^- = 2x-4z/+l,
827.
Ay
dt
— X + 5y.
829.
----- - 2x + 4y + cos /,
dz---*
— = — % — 2w + sin t.
dt	3
§ 24. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
Iе. Общие сведения о преобразовании Лапласа
Оригинал и изображение. Функцией-оригиналом на-
зывается комплекснозначная функция /(/) действительного перемен-
ного I, удовлетворяющая следующим условиям: 1) /(/)=0, если
/<0;
2) /(/) интегрируема на любом конечном интервале оси /;
3) с возрастанием t модуль функции /(/) растет не быстрее не-
которой показательной функции, т. е. существуют числа Л1>0 и
so^O такие, что для всех t имеем
|/(/)|<Л1еЧ	(1)
Изображением функции-оригинала по Лапласу называется
функция F(p) комплексного переменного p=s + ia, определяемая ра-
венством
4-00
f(p)= p(/)e-₽'d/	(2)
о
при Rep>so. Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).
Преобразование (2), относящее оригиналу /(/) его изображение
F{p), называется преобразованием Лапласа. При этом пишут /(/) ==
= F(p).
Свойства преобразования Лапласа. Всюду в
дальнейшем считаем, что
/(Z)=F(p),	g(/) = G(p).	(3)
I.	Свойство линейности. Для любых комплексных постоян-
ных а и 3
а/ (0 + Pg (0 =?= aF (р) + PG (р).	(4)
II.	Теорема подобия. Для любого постоянного а>0
/(а/) = —
а
(5)
III.	Дифференцирование оригинала. Если f'(t) есть оригинал, то
Г (t) = pF (p)-f(O).	(6)
Обобщение. Если f(t) п раз непрерывно дифференцируема
на (0, 4-оо) и если /(п)(0 есть оригинал, то
f(V(t) = pnF(p-)-pn-lf(P)-pn-2f' (0)-...-f<n~l>(0). (7)
IV.	Дифференцирование изображения равносильно умножению
оригинала на «минус аргумент», т. е.
F'(p) = -tf(t).	(8)
Обобщение:
Fw(p)^(-Wlnf(n.	(9)
V.	Интегрирование оригинала сводится к делению изображения
на р:
С	F (р)
/(OdZ=—— >	(10)
J	Р
о
VI.	Интегрирование изображения равносильно делению на t
оригинала:
f с , 1(f)
f(p)dp= ——	(И)
р
оо
(предполагаем, что интеграл J F(p)dp сходится).
р
VII.	Теорема запаздывания. Для любого положительного чис-
ла т
f(t-i;) = e-pxF(p),	(12)
VIII.	Теорема смещения (умножение оригинала на показатель-
ную функцию). Для любого комплексного числа X
ewf(0 = F(p-X).	(13)
IX.	Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изоб-
ражений F(р) и G(p) также является изображением, причем
г
F (р) G (р) == J f (т) g (t — т) dr,	(14)
Интеграл в правой части (14) называется сверткой функций f(t) н
g(t) и обозначается символом
t
(f * g) = J f (т) g (I — т) dr,
206
Теорема IX утверждает, что умножение изображений равносилье
но свертыванию оригиналов, т. е.
F(p)G(p) = (/•£).	(15)
Отыскание оригиналов дробно-рациональных
изображений. Для нахождения оригинала /(/) по известному
А(р)
изображению F(p), где F(p)—~—- есть правильная рациональная
В\Р)
дробь, применяют следующие приемы.
1)	Эту дробь разлагают на сумму простейших дробей и нахо-
дят для каждой из них оригинал, пользуясь свойствами I—IX преоб-
разования Лапласа.
2)	Находят полюсы р», k=l, 2, .... m, (см. [2]) этой дроби и их
кратности пк- Тогда оригиналом для F(p) будет функция
m
1	д'1*-1
fit) = > .--------------- lim —---------
(«к — 1 )1 Р—Pk (jp"*—1
[F(p) (Р — Pk)"k (16)
где сумма берется по всем полюсам функции F(t).
В случае, если все полюсы рк функции F(p) простые, т. е. л*=1,
k=l,2,т, последняя формула упрощается и принимает вид
т
on
k=\
Пример 1. Найти оригинал f(t), если
F ._____________р + 2________
Р~ (р-|-1) (р — 2) (р2 + 4) *
Первый способ. Представим F(p) в виде суммы простей-
ших дробей
________Р 2_______________А В Ср Ч~ Д
(р + 1) (р — 2) (р2+4) “р+1 + Р-2	Р2+4
и найдем неопределенные коэффициенты А, В, С, D. Имеем
р + 2 = А (р - 2) (р2 + 4) + В (р + 1)(р2+4) +
+ (Ср+О)(р+1)(р-2).
Полагая в последнем равенстве последовательно р=—1, р=2, рт.
= 2(, получаем— 15А=1, 24В=4,
(2Ci + D) (2i + 1) (2i — 1) = 2 + 2i,
откуда А= —1/15, В=1/6, С= —1/10, D= —2/5; значит,
f(p) = _J-------L_+
15 Р+1	6 р —2	10 р2 + 4‘
207
Находя оригиналы для каждой из простейших дробей и пользуясь
свойством линейности, получаем
1 , 1 1 1
f (О = — — е~ +~7 е —-77'COS 2/ — — sin 2/,
15 о 10	5
Второй способ. Найдем полюсы рк функции F(p). Они
совпадают с нулями знаменателя В(р) = (р4-1) (р—2)(р24-4). Та-
ким образом, изображение F (р) имеет четыре простых полюса pi =
= — 1, р2 = 2, Рз = 2/, р4=—21. Пользуясь формулой (17), получа-
ем оригинал
f (о=V1 =X1----------------------=
2j 4р1-Зр1 + 4р-4
k=i	k=i
1	1	2/ , — 1 4“ 2i ;>// , — 1 —2i ________
-—-------e 4--------e 14---------------e r4-------------e =
15	6	20	20
1	,, 1	_f 1	1
= — cr‘ — —— e ‘ —-----------cos 21--------sin 2/,
6	15	10	5
Пример 2. Найти оригинал f(t), если F(p)= -
Решение. Данная дробь F(p) имеет полюс
Л! = 3 и полюс р2 = 1 кратности «2 = 2. Пользуясь
получаем оригинал
f.A _L|- d2 г р + 2
2 Д dp2 р3 (р — I)2
+Д Р>(Д?.>.
2 p-о dp2 L(P— О р-i <
Г 2p 4- 16	2Z(p4-5)	/2(р4-2)'
(p-1)3 + (p -1)2 .
P4-2
P3 _ I)2
Pi=0 кратности
формулой (16),
pV'
p3
_ —— lim ,
2 p-0 IL (Р-0*
/ (p + 2)
4- lim
p->i
(p-1)3
3p2 4- 5p '
e"'
P3
P‘
ep' = 8 4-5/4-12 4-(3/ — 8)e/,
2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется найти
решение дифференциального уравнения второго порядка с постоян-
ными коэффициентами
x'z(/) + a1x'(l) + a2x(/) = /:(/),	(18)
удовлетворяющее начальным условиям
х(0) = х„, х' (0) = хь	(19)
Будем считать, что функция f(t) и решение х(1) вместе с его про-
изводными до второго порядка включительно являются функциями-
 208
оригиналами. Пусть x(t) = X(p),f(O ==Г(р). По правилу дифферен-
цирования оригиналов с учетом (2) имеем
х' (I) = рХ (р) — х0, х" (/) = раХ (р) — рх0 — х£.
Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь
свойством линейности преобразования, получаем операторное урав-
нение
(р2 + aiP + а2) X (р) = F (р) + х0 (р + di) + xt.	(20)
Решая уравнение (20), найдем операторное решение
Ir, , F (Р) + *о (Р + аг) + Х1
х (₽) =-------;----------------
р2 + О1Р 4- а2
Находя оригинал для Х(р), получаем решение уравнения (18), удов-
летворяющее начальным условиям (19).
Аналогично можно решить любое уравнение n-го порядка с по-
стоянными коэффициентами и с начальными условиями при /=0.
Пример 3. Решить уравнение
х' + * = 1,	(21)
х(0) = 1,	(22)
Решение. Пусть x(t) = Х(р), тогда по правилу дифференци-
рования оригинала имеем
х' (/) = рХ (р) — х (0) = рХ (р) — 1 i
Известно, что 1 = 1/р, поэтому, переходя от данной задачи (21) —
(22) к операторному уравнению, будем иметь
рХ (р) — 1 4-Х(р) = 1/р,
откуда
(р + 1) X (р) = 1 + — или X (р) = — ,
Р	Р
следовательно, х (/)	1.
Легко видеть, что функция х(/)=е1 удовлетворяет данному урав-
нению и начальному условию задачи.
Пример 4. Решить уравнение х"—5х'4-4х=4, х(0) =0, х'(0) =2.
Решение. Так как 4==4/р и по условию х0=х(0)=О, xi =
= х'(0)=2, то операторное уравнение будет иметь вид (р!—5р*Ь-
4
4-4)Х(р) = — +2. Отсюда находим операторное решение
Р
2р + 4
х (р) =	.
р (р2 — 5р 4- 4)
Разлагаем правую часть на элементарные дроби!
Переходя к оригиналам, получаем искомое решение
х (0 = 1 — 2е; + е4/.
14—456
£09
Пример 5. Решить уравнение
х 4- 4х + 4х = 8е~2', х (0) = 1, х (0) = 1,
______________________9/ .	8
Решение Так как 8е ~ И П° Условию Xe=Xi = I, то
операторное уравнение будет иметь вид
8
(р2+4р + 4)Х(р)=-^-^ + р + 4 + 1,
и, следовательно, операторное решение
у,.	Р2+7р-Ц8
<Р) (р + 2)8 *
Разложим правую часть на элементарные дроби:
8	3	1
Х(Р)= (р + 2)з + (р + 2)’ + р + 2 '
Переходя к оригиналам, получим решение поставленной задачи
х (0 = 4/2e~2/ + Э/е"2' + е-2/.
Решить следующие уравнения:
830.	х' + Зх = е-2/, х(0) = 0.
831.	х’ — 3x = 3t®+3P + 2f + 1, х(0) = —1.
832.	х' — х = cos I — sin i, х (0) — 0.
833.	2х' + 6х = le~3t, х (0) = — 1 /2.
834,	х' + х = 2 sin t, х (0) = 0.
835.	х" = 0, х (0) = 0, х' (0) = 0.
836.	х"	= 1,	х (0)	= 0, х' (0) = 0.
837.	х"	= cos t, х	(0) = 0, хг (0) = 0.
838.	х"	+ х'	= 0,	х (0) = 0, х' (0)	= 0.
839.	х"	+ х'	= 0,	х (0) = 1, х' (0)	= —	1.
840.	х"	— х'	= 1,	х (0) = — 1, х'	(0) =	— 1.
841.	х" + х = t, х (0) — 0, х' (0) = 1.
842.	х" + 6х' = 12/ + 2, х (0) = 0, х' (0) = 0.
843.	х" — 2х' + 2х = 2,	х (0) = 1,	х' (0) =	0.
844.	х" + 4х' + 4х = 4,	х (0) = 1,	х' (0) =	—	4.
845.	2х" — 2х' = (/ + 1)	е\ х (0) = 1/2, х’	(0)	= 1/2.
846.	х" + х — 2 cos t, х	(0) — — 1,	х' (0) =	1,
210
847.	х" + Зх' + 2х = 2t2+ 1, х (0) = 4, х' (0) = —3.
848.	х" + х = 2е', х (0) = 1, х' (0) = 2.
849.	х" — 4х' 4- 4х = (t — 1) e2t, х (0) = 0, х' (0) = 1.
850.	4х" — 4х' + х = е*/2, х (0) = — 2, х' (0) — 0.
851.	х” + Зх' + 2х = е-* + e"2i, х (0) = 2, х' (0) = — 3,
852. х" — х' — 6х = бе3* 4 2е-2*, х (0) = 0, х' (0) = 4/5.
853.	х" + 4х' + 4х = /2е-2*, х (0) = х' (0) = 0.
854.	х" — х' = 2 sin t, х (0) = 2, х' (0) ~ 0.
855.	х" 4- 9х = 18 cos 3t, х (0) = 0, х' (0) = 9.
856.	х" 4- 4х = 4 cos 2t--l- sin 2t, x(0)=0, x'(0)=l/8.
857.	x" 4- 2x' 4- 3x = t cos t, x (0) = — 1/4, x' (0) = 0.
858.	x" — 4x' 4- 5x = 2e2/ (sin t 4- cos t), x (0) = 1,
x' (0) = 2.
859.	x'" — x" = 0, x (0) = 1, x' (0) = 3, x" (0) = 2.
860.	x"' — 4x' = 1, x (0) = 0, x' (0) = — 1/4, x" (0) = 0,
861. x'" 4- x"—2x = 5e*, x (0) = 0, x' (0) = 1, x" (0) = 2.
862.	x" 4- x = 8 sin^i 4-	x(0) = 0, x' (0)=—4.
863.	x" 4- 4x = 2 cos21, x (0) = 0, x' (0) = 0.
3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Пусть требуется найти решение си-
стемы двух уравнений с постоянными коэффициентами
dx
—— = 0;.t4-M+ fi(0.
dr
d(	(23)
= ЯгХ 4- t>2y + /2 (0 >
dt
удовлетворяющее начальным условиям
х(0) = хс, 1/(0) = у0.	(24)
Будем предполагать, что функции fi(0>	х(/), y(t), а также
х'(0 и y'(t) являются функциями-оригиналами.
Пусть
x(0==X(p), y(t) = Y(p),	FziPh
14
211
По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (24) имеем
*' (/) = рХ (р) — х0, у' (/) pY (р) — р0!
Применяя к обеим частям каждого из уравнений системы (23) пре-
образование Лапласа, получаем операторную систему
| рХ (р) = atX (р) + biY (р) +	(р) 4- х0,
[ pY (р) = а2Х (р) + b2Y (р) 4- F2 (р) 4- уП1
Эта система является линейной алгебраической системой двух урав-
нений с двумя неизвестными Х(р) и У(р). Решая ее, мы найдем
Х(р) и У(р), а затем, переходя к оригиналам, получим решение
x(i), У (0 системы (23), удовлетворяющее начальным условиям (24),,
Аналогично решаются линейные системы вида
п
~~ = аы xi +	(0. а = const, х (0) =х°,й=1,2,,..,л1
/Н т	41 I	И	ril	п
1=1
Пример 6. Hain и решение системы
dx
— = — 7х + у 4-5,
dt
----= — 2х — 5у — 37/,
d/
удовлетворяющее начальному условию х(0)—0, у(0)=0.
Решение. Так как 5 = 5/р, —37/=—37Ip1 и Хо=Уо=О, то
операторная система будет иметь вид
5
рХ (р) =-7X(p) + Y (р) 4- — .
Р
37
PY (р) = - 2Х (р) - 5У (р) - — ,
р2
Решая ее, получаем
5р2 + 25р — 37 у _	— 47р — 259
р2(р24-12р4-37)	’	(Р) ” р2(р24- 12р4- 37) *
Разлагаем дроби, стоящие в правых частях, на элементарные^
Х(р) =
У(р) =
или
Л(р) =
Y (р) =
1	1	Р + 6
р	р2	р24- 12р4-37 ’
1	7	Р + 5
р	р2	Р24- 12Р4-37 ’
1	1	р 4-6
р	Р2	(Р4-6/4-1 ’
1	7	р + 6	1
р	р2	(р + 6)2 +1 (р + 6)2+ 1 *
212
Переходя к оригиналам, получим искомое решение
х (t) = 1 — t — е—б< cos t, у (t) = 1 — It + e—6i cos t	e—s? sin/j
В следующих задачах решить операционным мето-
дом системы уравнений:
864.	— + «/ = 0, d/ х (0) = 2, у (0) = 0, + х = 0, d'
865.	—+ х —2t/ = 0, dt du	х(0) = z/(0) = 1. -J- + x + 4^ = 0,
866.	dx — = — у, dt Аи	х(0) —#(0) = 1.
867.	’ — + 2у = 3/, dt du	х(0) = 2, у(0) = 3. d/
868.	dx .	,	, 	F х = у 4- е, dt	У d„	х(0) = у(0) = 1, di *
869.	1 dx	du	- , 		 	 — sin f, d/	dt	i	t я	я	x(0)=—, «(0) = ——. dx । du	,	' ' о	'	2 		— = COS /,	2	2 dt	dt dx 	= У — 2, dt	u
870.	dy -^- = x + y, x(0) = l, 1/(0) = 2, 2(0) = 3. dz	, 	= X + 2, dt
2й
871.
dx л 1
ТГ"4»+г-
—-г.
d/
dz .
---= 4У,
d/
л(0) = 5, у(0) = 0, 2(0) = 4.
J£.+ 2-^-+x+«/ + 2 = 0,
d/ d/ ' *
_^L+_^. + x + 2 = 0,	x(0) = y(0) = 1,
d/ d/	’	г(0) = —2,
J£__2^_z/ = O,
di dl 9
	— + 4z/ + 2x = 4/+ 1,
878.	‘du	3	x(Q) = у (0) = 0. ±L + x_y = ±t*t dl	2 ^- + y-2x = 0,
879.	x(0) = 2, //(0) = 3. —— + x — 2y — — 5ег sin t, dt
873.
dx
d/
d2x
d/2
----2x + 2u= 1—2/,
d/	*	x(0)=y(0)=>
I- 2	+ x = 0,	= x' (0) = 0.
d/
874.
d2x
-----= V.
d/2
d2(/ _	х(0) = у(0) = 1, У(0) = 2,/(0) = 0.
dt2
-=x-4y, x(0) = 2, у(0) = 0,
-5g- = - x + y, x' (0) = -ГЗ , y' (0) =
d/a	d/	’ X(O)= 1, 1/(0) = 0,
J!sl + J£_=i,	V(0) = 2, z/'(0) = -1.
d/	dz
—— + x 4- у = 5,
d/2 ТУ	x(0) = i/(0) = x' (0) =
---4x-3^ = -3, =l/'(0) = 0.
214
Глава IV
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 25. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
с!х,-
~7—= /iUl, *2> ,,,, х„, /), 1=1, 2, я,	(1)
а/
Решение <[ч((), 1=1, 2,...,я, системы (1), удовлетворяющее на-
чальным условиям ф1(/о)=Ч>ю, t=l, 2, ...,п, называется устойчивым
по Ляпунову, если для любого е>0 существует б(е)>0 такое, что
для всякого решения х,(/), 1=1, 2,...,я, системы (1), начальные
значения которого удовлетворяют условиям
ki (/0) — <Р/о1 < б. (=1, 2, я,	(2)
имеют место неравенства
\*i (О — Ф/(01 <е> i =	(3)
для всех t^t0.
Если при сколь угодно малом 6>0 хотя бы для одного реше-
ния 1=1, 2,...,п, неравенства (3) не выполняются, то реше-
ние ф1(/) называется неустойчивым.
Если кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выпол-
няется также условие
lim |х/(/) — ф; (/)| = 0, I = 1, 2, ,,,, я,	(4)
I -» со
то решение	1 = 1, 2,..., я, называется асимтотически устойчи-
вым.
Исследование на устойчивость решения <р,(/), 1=1, 2,..., я, си-
стемы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого
(тривиального) решения х,= 0, i = l, 2, .., я, некоторой системы, ана-
логичной системе (1),
бх/
= П(*1, хг, lil5xn, /), i = 1, 2, ,,,, я,	(Г)
где Г,(0, 0, ...,0, /)=0, 1 = 1, 2,..., я.
Говорят, что точка xi = 0, 1=1, 2...я, есть точка покоя систе-
мы (1').
Применительно к точке покоя определения устойчивости и не-
устойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя х, = 0,
1=1, 2,..., я, устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было е>0,
можно найти такое 6>0, что для любого решения х, (/), i= 1, 2,.... я,
216
начальные данные которого xlo = xl(tt!), i=l, 2,.... п, удовлетворя-
ют условию
|х1о| <6, 1 = 1,2, ; ; ; , П,	(2)
выполняются неравенства
|Х| (/)| < е, 1=1, 2, Я;	(3)
для всех t^t0.
Для случая я = 2 геометрически это означает следующее. Каким бы
узким ни был цилиндр радиуса а с осью О/, в плоскости t—t0 най-
дется б — окрестность точки (О, О, /0) такая, что все интегральные
кривые
*1 = *1(0, Х2 = Х2(/),
выходящие из этой окрестности, для всех будут оставаться
внутри этого цилиндра (рис. 30).
Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также ус-
ловие lim|x, (/) | =0, !=1, 2,...,я, то устойчивость асимтотическая.
Точка покоя Х/ = 0, 1=1, 2, ..., я, неустойчива, если при сколь
угодно малом б>0 хотя бы для одного решения х,(/), 1 = 1, 2,..., я,
условие (3') не выполняется.
Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову,
исследовать на устойчивость решение уравнения
dx
— =1-Н-х,	(5)
dZ
удовлетворяющее начальному условию
х (0) = 0.
Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное урав-
нение. Его общее решение х(1) = Ce~‘-f-t. Начальному условию
х(0) = 0 удовлетворяет решение
л (0	(6)
уравнения (5). Начальному условию х(0)=хв удовлетворяет реше-
ние
х(/) =х0 е“'+
Рассмотрим разность решений (7) и
(6) уравнения (5) и запишем ее так:
X (/) — ср (0 = е '+/—/ =
= (х0 — 0) e-z.
Отсюда видно, что для всякого е>0
существует б>0 (например, б=е)
такое, что для всякого решения х(Г)
уравнения (5), начальные значения
которых удовлетворяют условию
|%о—0| <б, выполняется неравенство
|х(/) — ср (1)1 = |х0 —0|е z < е
Рас 30
217
для всех 1^0. Следовательно, решение <р(/) = / является устойчивым.
Более того, поскольку
lim |х (0 — <р (0 | =lim |х0 — 0] е-г = О
/-♦-{-оо
решение <р(/)=/ является асимптотически устойчивым
Это решение <р(/) является неограниченным при /->+«>. ф
Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения
дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.
Пример 2. Рассмотрим уравнение [6]:
-^- = sin2x,	(8)
dr
Оно имеет очевидные решения
X = kn, k = 0, ± 1 , ± 2, . ; ; ,	(9)
Интегрируем уравнение (8):
ctgx = C—t, или ctgx=ctgxo—t,
откуда
х = arcctg (ctg x0—I), x^kn.
(10)
Все решения (9) и (10) ограничены на (—оо, +<ю). Однако ре-
шение	неустойчиво при	так как при любом
jtoe(O, л) имеем 11гпх(/)=л Следовательно, из ограниченности ре-
/->-4-00
шений дифференциального уравнения, вообще говоря, не следует
устойчивости их (рис 31).
Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем
Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову,
показать, что решение системы
Рис 31	удовлетворяющее начальным усло-
виям х(0)=0, у(0)=0, устойчиво.
Решение. Решение системы (И), удовлетворяющее задан-
ным начальным условиям, есть x(t}~0, i/(/)==0. Любое решение
этой системы, удовлетворяющее условиям х(О)=хо, г/(О)=уо, име-
ет вид
х (0 = х0 cos t — Уо sin t> У (О = хо sln + Уо cos С
Возьмем произвольное е>0 и покажем, что существует 6(e) >0
такое, что при |хо—0|<6, |уо—0|<б имеют место неравенства
|х (/) — 0| = |л'о cos t — i/a sin /| < e,
\y (/) — 0| = |x0 sin t 4- уй cos <| < e,
для всех /JsO.
218
Это и будет означать, согласно определению, что нулевое реше-
ние x(f)sO, (/(/)= 0 системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем,
очевидно,
|х0 cos t — у0 sin /| < |х0 cos /| + |//0 sin /| < |х0| + |у0|,	(12)
|х0 sin t + yQ cos /| < |x0 sin /| + |j,0 cos 11 < |x0| + 11/0|
для всех t. Поэтому, если |x«| + |уо| <е, то и подавно
|х0 cos t — у0 sin /| < е, |х0 sin t + i/0 cos < в	(13)
для всех t.
Следовательно, если, например, взять б(е)=е/2, то при |хо|<в
и 1</о| <6 в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех
<^0, т. е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво
по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.
Теорема. Решения системы линейных дифференциальных урав~
нений
dxi VI
ац (/) xt + fi (/), i = l, 2, n,
/=
либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.
Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые
решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчи-
выми.
Пример 4. Рассмотрим нелинейное уравнение
dx
(14)
Оно имеет очевидные решения «р (/) =—1 и <p(f) = 1.
Решение <₽(/)=—1 этого уравнения неустойчиво, а решение
<р(/) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при
<-►+00 все решения уравнения (14)
...	(1 + х0) е2»-^ — (1 — х0)
Х (О	t .	(-*0	— 1)	*
(1 + х0) е2(^ + (1-х0)
стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение
<р(/) = 1 уравнения асимптотически устойчиво.
Исходя из определения устойчивости по Ляпунову,
исследовать на устойчивость решения следующих урав-
нений и систем уравнений:
880.	— = х +	х(0)=1.
881.	—— = 2/(х+1), х(0) = 0.
d/
882.	х(1)=1.
ш
210
883.	— = 2 + f, х(0) = 1.
d/
884.
885.
* dx	1 о
-----= x — 13//,
d/---*
dy
dz
x (0) = у (0) = 0.
= Tr-2//(
dx	n
----= —x — 9y,
dZ---a
d„	x(Q) = y^) = Q.
-.-—- = x-y,
dZ
§ 26.	ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ
Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами
dx	,
—— = аих + а1гу,
dZ
(1)
dy ,
—— = а21х + а22у,
at
причем
ан а12
а21 а22
Точка х = 0, у = 0, в которой правые части уравнений системы (1)
обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).
Для исследования точки покоя системы (1) надо составить ха-
рактеристическое уравнение
alt — А. а12
а2£	а22 — А
= 0
(2)
и найти его корни А, и А2.
Возможны следующие случаи:
1.	Корни А,, А2 характеристического уравнения (2) веществен-
ные и разные:
а)	Л1 <0, А2<0. Точка покоя асимптотически устойчива (устой-
чивый узел, рис. 32);	•
б)	Ai>0, А2>0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел,
рис. 33);
в)	А[>0, А<0 Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).
2.	Корни характеристического уравнения (2) комплексные:
Ai=p + iy, А2=р—iq;
а)	р<0, у=/=0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчи-
вый фокус, рис. 35);
б)	р>0, <7=г^0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус,
рис. 36);
220.
в)	р = 0, <7^=0. Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).
3 Корин Л, = к2 кратные:
а)	?ч = ?.2<0 Точка покоя асимптотически устойчива (устойчи-
вый узел, рис. 38, 39).
б)	к) = Х2>0 Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел,
рис 40, 41).
221
Пример 1. Определить характер точки покоя (0, 0) системы
dx
—— = — у,
dt	v
а=2«+?,
dr
Решение. Составляем характеристическое уравнение
|5 —1
I 2
1-1
= 0, или I2 —61 + 7 = 0,
Его корни 11 = 3+ V2>0, 12=3— }^2>0 вещественные, разные,
положительные. Следовательно, точка покоя (0, 0) — неустойчивый
узел.
Связь между типами точек покоя и значениями корней характе-
ристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этою
введем обозначения о = —(пн + йга), Д=йца22—anflai. Тогда харак-
теристическое уравнение запишется в виде 12+с1 + Д = 0.
Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми коорди-
натами Д и а и отметим на ней области, соответствующие различным
222
типам точек покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации
следует, что условиями устойчивости точки покоя являются ReX|<0,
ReX2<0. Они выполняются при Д>0 и о>0, т. е. для точек, кото-
рые находятся в первой четверти.
Если Х| и комплексные, то точка покоя будет .типа фокуса.
Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвя-
ми параболы о2=4Д и не принадлежат оси ОД(с2<4Д, а^=0).
Точки полуоси о=0, для которых Д>0, соответствуют точкам
покоя типа центра.
Рис. 42
Точки, расположенные вне параболы о2=4Д (о2>4Д), соответст-
вуют точкам покоя типа узла.
Область плоскости ОДо, где Д<0, содержит точки покоя типа
седла.
Исключая особые случаи (прохождение через начало коорди-
нат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или не-
устойчивый (рис. 42). Устойчивый узел может перейти либо в седло,
либо в устойчивый фокус. Случай равных корней X|=Xj соответству-
ет границе между узлами н фокусами, т. е. параболе а2=4Д.
Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний
d2x , „ dx
— +2а — + Р.-0	(3)
с учетом трения и сопротивления среды (при а>0).
Решенае. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему
системе уравнений
~^~ = — 2ау — ₽3х,
at
аз
Для определения характера точки покоя (0, 0) системы (4) состав-
ляем характеристическое уравнение
|	‘	1=0, или I2 + 2аХ 4- р2 = 0;
|- р2 -2а-Л I
отсюда
Х1>2 = -а ± Ка2-Р2 .	(5)
Рассмотрим следующие случаи: а) а = 0 (сопротивление среды
отсутствует). Из (5) получаем Xt,2 = ±ip. Точка покоя устойчива —
центр (все движения являются периодическими);
б)	а>0, а2—р2<0. Корни Xt и Ха — комплексно-сопряженные,
причем ReX<0. Точка покоя — устойчивый фокус (колебания зату-
хают) ;
в)	а<0 (случай «отрицательного трения»), а2—Р2<0. Корни Х(
и Х2—комплексно-сопряженные, причем ReX>0. Точка покоя — не-
устойчивый фокус;
г)	а>0, а2—Р2>0 (сопротивление среды велико а^р). Корни
Х| и Х2 — действительные и отрицательные. Точка покоя — устойчи-
вый узел (все решения затухающие и неколеблющиеся);
д)	а<0, а2—Р2^0 (случай большого «отрицательного трения»).
Корни X, и Х2 действительные и положительные. Точка покоя — не-
устойчивый узел.
Определить характер точек покоя для следующих
систем дифференциальных уравнений:
887.
dx о
-^- = 3» + s
j!l=_2x+j,.
аг
890.
dx q i 5
----= — 2x + — y,
dt	1 *
= 7x — 3y.
dt
dx	. „
----= — х + 2w,
dt
dy i
-^-=xA-y.
ас
891.
dx „
-----= 3x — y,
dt
dy ,
~~~ = x + У-
dr
888.
889.
d к	in
----= — x + 3 г/,
dr
dx n
dt	J
^L = 3x-y.
dt
224
893. При каких значениях а точка покоя (О, О) си-
стемы
-^- = -Зх+«9,
устойчива?
Пусть имеем систему линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами:
п
dx,	„
IT = 2^aiiX" £ = 1,2’
/=1
п (п> 2)i
(6)
Для нее имеют место аналогичные типы расположения интегральных
кривых около начала координат (обобщенное седло, обобщенный
узел и т. д.)
Теорема. Если все корни характеристического уравнения для
системы (6) имеют отрицательную вещественную часть, то точка по-
коя системы (6) х<=0, i—1, 2, п, асимптотически устойчива. Если
хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положи-
тельную вещественную часть, что точка покоя неустойчива.
Пример 3. Будет ли устойчива точка покоя (0, 0, 0) системы
dx
d7
= — х + г,
dy
dt
— — 2у — г,
dz
= У~г-
at
Решение. Составляем характеристическое уравнение
— 1 — К 0	1
0	— 2—X	—1
0	1	— 1 — А
= 0
или (1+Х) (Л2 + ЗХ+3) =0. Корни этого уравнения ^= — 1, Х2,з =
з Рз
=—± i—-— имеют отрицательные вещественные части. Сле-
довательно, точка покоя данной системы асимптотически устойчива.
15—456
225
Исследовать на устойчивость точку покоя 0(0, О, 0)
систем:
894. а)
В)
Ах	,	। г-
—	= — х + у + 5?,
а/
1Г = -2» + г’ <5)
-	^- = —3z;
d/
dx
"dT — Х'
-у- = 2х — i/,
df	а
dz ,
— — X у — 2\
аг
dx о
At	а
-	^- = х — 2у,
At
= X + Зу — 2.
At
§ 27. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Метод функций Ляпунова состоит в непосредственном исследо-
вании устойчивости положения равновесия системы
dx,-
-Г~ = Л-(Лх1, х2,	х„), 1=1, 2, .,,, п,
At
при помощи подходящим образом подобранной функции V(t, Xi,
х„)—функции Ляпунова, причем делается это без предваритель-
ного нахождения решений системы
Ограничимся рассмотрением автономных систем
dx,-
= /,-(Xi, х2, .,,, х„), i=l, 2, п,	(1)
dr
для которых х, = 0, i=l, 2, ..., п, есть точка покоя.
Функция V(x,, х2....Хп), определенная в некоторой окрестности
начала координат, называется знакоопределенной (определенно-по-
ложительной или определенно-отрицательной), если она в области
|х,-| < Л, i = 1, 2, ,,,, п,	(2)
где h—достаточно малое положительное число, может принимать
значения только одного определенного знака и обращается в ноль
лишь при х,=х2 = ... = хп=0. Так, в случае л = 3 функции
V = ху + Xj + Х3 и V = X] + 2хт х2 + 2^2 + *з
будут определенно-положительными, причем здесь величина Л>0
может быть взята сколько угодно большой.
Функция Г(х,, хг, ..., хп) называется знакопостоянной (положи-
тельной или отрицательной), если она в области (2) может прини-
226
мать значения только одного определенного знака, но может обра-
щаться в ноль и при х? +х| 4- ... + х^=#=0. Например, функция
У(ХГ *2’ Хз)=Х1+Х2 + 2х1Х2+Х3
будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию
У(х1, хг, х3) можно записать так:	Хг, х3) — (х1+х2)2+хз, от-
куда видно, что она обращается в ноль и при Х|+х!; + xj( т£0,
а именно при хз=0 и любых х, и х2 таких, что х,=—х2.
Пусть V(x!, хг, ..., х„) есть дифференцируемая функция своих
аргументов и пусть Xi, х2 ..., х„ являются некоторыми функциями
времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений
(1). Тогда для полной производной функции V по времени будем
иметь:
п	п
dVz	VI дУ	dx,-	VI 3V r
— = 7,T~'V =	*“•	<3>
d/	dxt	dZ	dxi
Z=1	i=i
dV
Величина ----, определяемая формулой (3), называется полной про-
at
изводной функции V по времени, составленной в силу системы урав-
нений (1).
Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если для си-
стемы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределен-
ная функция V(xt, хг, ..., хп) (функция Ляпунова), полная производ-
dV'
ная —;— которой по времени, составленная в силу системы (1), есть
at
функция знакопостоянная, знака противоположного с V, или тож-
дественно равная нулю, то точка покоя xj = 0, i= 1, 2, ..., п, системы
(1) устойчива.
Теорема 2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчиво-
сти). Если для системы дифференциальных уравнений (1) существу-
ет знакоопределенная функция V (xt, х2, ..., х„), полная производ-
ная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть так-
же функция знакоопределенная, знака, противоположного с У, то
точка покоя х, = 0 системы (1) асимптотически устойчива.
Пример 1. Рассмотрим систему
dx
-7- = У>
at
(<)
dy
dZ
— X.
Выберем в качестве функции V(x, у) функцию У—х^+у1. Эта функ-
ция определенно-положительная. Производная функции V в силу си-
стемы (4) равна
dl/	dx	dy
—— = 2х —— + 2у — = 2ху — 2xys0.
at	at	at
15*
227
Из теоремы 1 следуе'1, что точка покоя 0(0, 0) системы (4) устойчи-
ва. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы
(4) — окружности и они не стремятся к точке 0(0, 0) при
Пример 2. Рассмотрим систему
(5)
Беря опять И(х, у)=х2+у2, найдем
dV
— = 2х (у — л3) 4- 2у (— х — Зу3) = — 2 (х4 + Зу4);
функция.
dl/
Таким образом, —— есть определенно-отрицательная
dZ
В силу теоремы 2 точка покоя 0(0, 0) системы (5) устойчива асимп-
тотически.
Общего метода построения функций Ляпунова нет. В простей-
ших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде
V (х, у) = ах2 + by2, V (х, у) — ах*-'г by*,
V (*> У) = ох4 + by2 (а > О, b > 0) и т; Д;
Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устой-
чивость тривиальное решение у=0 системы
dx
= — х — 2у + х2у2,
dy_________ у _ х3у
6t ~Х 2	2
Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде 1/=аха+
+ 6у2, где а>0, 6>0 — произвольные параметры Имеем
dV	дУ
dt	дх
dx	ЭР dy
= 2ах (—х — 2& + х2У2) +
df	ду dt
4- 2by (х — у — -у х3у j = — (2ах2 4- by2) 4-
4~(2ху — х3у2) (Ь — 2а);
dV
Полагая 6 = 2а, получим, что~^~ =—2а(х2+у2)^0. Таким образом,
при всяком а>0 и Ь=2а функция V=ax2+2ay2 будет определенно-
dV
положительной, а ее производная ——, составленная в силу данной
df
системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпу-
нова следует, что тривиальное решение yseO данной системы
устойчиво асимптотически.
228
Если бы в указанной выше форме функцию V(x, у) не уда-
лось пайти, то ее следовало бы поискать в форме V=ax‘‘ + byi или
V= axl + by2 и т. д.
Теорема 3 (теорема Ляпунова о неустойчивости). Пусть для си-
стемы дифференциальных уравнений (1) существует- дифференци-
руемая в окрестности начала координат функция 1/(х1, х2, хп)
аг
такая, что и (0, 0, .... 0)=0. Если ее полная производная-, состав-
dl
ленная в силу системы (1), есть определенно-положительная функ-
ция и сколь угодно близко от
начала координат имеются точки,
в которых функция V(xi, Х1, ..., Хп)
принимает положительные значе-
ния, то точка покоя х( = 0,
1 = 1, 2, п, неустойчива.
Теорема 4 (теорема ЧеЦаева
о неустойчивости). Пусть для си-
стемы дифференциальных уравне-
ний (I) существует непрерывно
дифференцируемая в некоторой
окрестности точки покоя Xt = 0,
1=1, 2, .... п, функция o(xi, Хг,....
.... Хп), удовлетворяющая в неко-
торой замкнутой окрестности точ-
ки покоя условиям: 1) в сколь
угодно малой окрестности Й точки покоя х< = 0, ( = 1, 2, ..., п, су-
ществует область Qi, в которой v(xi, х2, .... хп)>0, причем о—О
в тех граничных точках Йь которые являются внутренними для Й
(рис. 43);
2) точка покоя 0(0, 0..... 0)	является граничной точкой обла-
сти Й1;
3) в области Й[ производная ——, составленная в силу системы
dt
(1), определенно-положительная.
Тогда точка покоя х,=0, 1=1, 2, ..., п, системы (1) неустойчива.
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя х=0, у=0
системы
dx
------= х.
df
dy
d/
= — У:
Решение. Возьмем функцию и(х, у) =хг—уг. Тогда
du
d7
ди dx
дх d/
ди
~Г~ — 2хг2у3
есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно
близко к началу координат найдутся точки, в которых и>0 (напри-
мер, и = х2>0 вдоль прямой у—0), то выполнены все условия теоре-
мы 3 и точка покоя О (0, 0) неустойчива (седло).
220
Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя х=0, у=0
системы
dx ,	.
-5—»’+*
dt
Решение. Функция о=х4—у4 удовлетворяет условиям теоре-
мы Четаева:
1)	и>0 при |x|>|i/|;
2) ——= 4 (№ — I/8) — определенно-положительная в области,
Следовательно, точка покоя х=0, у = 0 неустойчива.
Исследовать на устойчивость тривиальные
решения
систем:
895.
— = — Зу — 2х3,
dt у
-4^- = 2х— Зу3.
& у
= х + 2ху\
-^ = -2у + 4х2у.
898.
dx	хх3
— = —у-------,
d/	2	4 ’
dy _ х_______У
899.
dx	. о
— = у + х3,
аг
= — х + у3,
dt
= у + х2г/2---------- X5,
dz » 1	»	4
= — 2х — х3у------------- у3.
dt	v 2 ?
230
901.
dx
di
X,
-^7- = xy* — 2x3 — y,
-J- = 2x2z/3 — z/’ + 2x.
Ш
904.
906.
908.
-77-	= _ 2y — x(x — y)*,
at
A = 3x—
909. Пусть u = u(xb X2, ..., xn) дважды непрерывно
дифференцируемая определенно-положительная функ-
ция такая, что
Исследовать на устойчивость тривиальное решение
Xi=0,	х„=0 системы дифференциальных уравнений
dxt	ди
dt	dxt ’
dxn	du
dt	dxn
231
§ 28. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
dx,-
=	*г,	х„), i=l, 2, п,	(1)
и пусть х, = 0, 1=1, 2, .... п, есть точка покоя системы (1), т. е.
/1(0, 0, ..., 0) = 0, i=l, 2, ..., п. Будем предполагать, что функции
h (xi, хг, .... хп) дифференцируемы в начале координат достаточное
число раз.
Разложим функции f, по формуле Тейлора по х в окрестности
начала координат:
п
х2, silt хп) = 2 Oil xj 4- Ri (Xj, X2 . Xn),
1=1
dfi(O, 0,	0)
здесь aj=--------, a Rt—члены второго порядка ма-
лости относительно хь х2... хп.
Тогда исходная система (1) запишется так:
п
dx, V
xj +Ri(X1, х2,	х„), i= 1, 2, , п. (2)
Вместо системы (2) рассмотрим систему
dx,- '«h
= ^^auxj, (i=l, 2,	и), (atj = const),	(3)
называемую системой уравнений первого приближения для систе-
мы (1).
Справедливы следующие предложения.
1	Если все корни характеристического уравнения
an — X Oji	012 fl 22 —	* 1 *	01л	= 0	(4)
• •	•  • • • •			
ал1	ЯП2 •’•	&пп —		
имеют отрицательные вещественные части, то нулевые решения х,=
= 0. i=l, 2, ..., п, системы (3) и системы (2) асимптотически устой-
чивы.
2	. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (4)
имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение си-
стемы (3) и системы (2) неустойчиво.
Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устой-
чивость по первому приближению.
В критических случаях, когда вещественные части всех корней
характеристического уравнения (4) неположительны, причем веще-
ственная часть хотя бы одного корня равна нулю, исследование иа
232
устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно
(начинают влиять нелинейные члены R,).
Пример 1. Исследовать на устойчивость по первому приближе-
нию точку покоя х=0, у=0 системы
’. dx dy
Х = ^Г’ у==^г
(б)
(6)
нелинейные
больше или
для системы
2 —А
3
x = 2x + у — 5y2,
.	x3
у = Зх + у + —
Решение. Система первого приближения
(х = 2х + у,
I у = Зх + у,
члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок
равен двум. Составим характеристическое уравнение
(6):
1 I
1=0, или X2 — ЗА—1=0,
1 — А
(7)
Корни характеристического уравнения (7) Ai =
3— V 13
Аа =------------- вещественные и А]>0. Следовательно, нулевое ре-
шение х=0, у=0 системы (5) неустойчиво.
Пример 2. Рассмотрим систему
dx 8
----= V — х8.
dt а
dy	э
dt	У
(8)
Точка покоя х=0, у^О системы (8) асимптотически устойчива, так
как для этой системы функция о=х24-у2 удовлетворяет всем
виям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В
ности,
= 2х (у - х3) + 2у (- х - у3) = - 2 (х4 + у4) < 0,
dr
В тс же время точка покоя х^0: у=0 системы
dx
----= у + х3,
d/
dy	13
---- = — X + у3
dt
усло-
част-
(9)
неустойчива в силу теоремы Четаева [20]: взяв и=х2+у2, будем
du
иметь —— = 2 (х4 + у4) 0,
ш
3
233
Системы (8) и (9) имеют одну и ту же систему первого прибли-
жения
dx
^Г = г/’
dy
d/
= — х.
(10)
Характеристическое уравнение для системы (10)
1-Х И Л
. = 0, или
1—1—А.
Х2+ 1 =0
имеет чисто мнимые корни, так что дей-
ствительные части корней характерис-
тического уравнения равны пулю.
Для системы первого приближения
(10) начало координат является цент-
ром. Системы (8) и (9) получаются ма-
лым возмущением правых частей систе-
мы (10) в окрестности начала. Однако
эти малые возмущения приводят к то-
Рис. 44
му, что замкнутые траектории превра-
щаются в спирали, в случае (8) при-
ближающиеся к началу координат и образующие в точке 0(0, 0)
устойчивый фокус, а в случае (9) — удаляющиеся от начала коор-
динат и образующие в точке 0(0, 0) неустойчивый фокус. Таким
образом, в критическом случае нелинейные члены могут влиять на
устойчивость точки покоя.
Пример 3. Рассмотрим замкнутый контур с нелинейными эле-
ментами (рис. 44); уравнение контура
l_^ + /?Js + _Lx + Jx> 4Ц = о,	(11)
d(« d( 7 С	dt )
-г	; ,	dx
Здесь х — заряд конденсатора и, следовательно, —ток в цепи;
R — сопротивление; L — индуктивность;
нелинейные члены, имеющие степень не
Уравнение (11) эквивалентно системе
dx
С — емкость; g х, —— —
\ Ш /
ниже второй, g(0, 0) =0.
dy
dt
1 R 1 ,
У).
(12)
для которой начало координат 0(0, 0), есть точка покоя.
Рассмотрим систему первого приближения
dx
и = у’
dV 1 R
dt LC L J
(13)
234
Характеристическое уравнение для системы (13) имеет вид
/?Х	1
= 0, или Ха + —-—|-—- = 0,
Lt	LtLt
(14)
/?2	4
Если — < — , т> е> < ~q • т0 Уравнение (14) имеет
комплексные корни с отрицательной действительной частью р=—~~
4L
и, значит, начало координат 0(0, 0) для систем (13) и (12) асимпто-
тически устойчиво.
4L
Если /?2>—, то начало координат также асимптотически устой-
чиво (все параметры R, L, С положительны).
Асимптотическая устойчивость точки покоя видна из физических
соображений: при положительном омическом сопротивлении с воз-
растанием t ток неизбежно исчезает.
Исследовать на устойчивость по первому приближе-
нию нулевое решение х=0, у—О следующих систем:
х = х + 2у — sin у2,
910.
у =—х — Зу + х'е2 —1/.
х — — х + Зу + х2 sin у,
у =—х— 4у 4-1 —cos у2.
х =— 2х 4- 8sin2у,
у = х — Зу + 4х3.
[х = Зх — 22 sin у 4- х2 — у3,
|г/ = sin х — 5у 4- е*’ — 1.
1х =— 10х 4- 4е& — 4 cos у2,
,у = 2ех-2-у + х\
х = 7х 4- 2 sin у — у1,
у = еЛ — Зу — 1 4- у- х2.
X = — -у X 4- -у sin 2у — X3 у,
у=—у — 2х + х^ — у\
233
917.
х = хех — Зу + sin х2,
\у = 2х + уе 2 — У1 cos х.
918.
x = -^-sinx — 7у(1—у) 3 4-х®,
2
у = —-х —3^cos# — П^5.
О
919.
х =«= — (е* — 1) — 9г/ 4~ х4,
4
У = 4- X — sin у + yli.
о
920.
х = 5х 4- у cos у ——,
3
У = Зх 4- 2у 4- 4" — У3 е’ •
14
921.
922.
х = 4г/ — х8,
'у = — Зх — /.
х =— 2у — х5,
'у = 2х — уа.
§ 29. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПО ОТНОШЕНИЮ К ИЗМЕНЕНИЮ ПРАВЫХ
ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим дифференциальные уравнения
У' = f (х, у),
У' =f{x, у)+Ъ{к, у),
(0
(2)
где функции f(x, у) и 9(х, у) непрерывны в замкнутой области G
плоскости хОу и функция f(x, у} имеет в этой области непрерыв-
df
ную частную производную .
Пусть в области G выполняется неравенство |9(х, у) | ^е. Если
у=<р(х) и ^=ф(х) есть решения уравнений (1) и (2) соответственно,
236
удовлетворяющие одному и тому же начальному условию Ч>|Л=Л
=г/<>. то
|q> (х)—ф (*) I < “77 (е11 Iх *•! — 1),
(3)
где М = max
df
dy
Из оценки (3) видно, что если возмущение 6(х, у) правой части
(1) достаточно мало в области G, то на конечном интервале измене-
ния х разность решений уравнений (1) и (2) будет малой по абсолют-
ной величине. Это позволяет приближенно решать сложные диффе-
ренциальные уравнения путем замены их разумно выбранными урав-
нениями, решаемыми проще. Последнее обстоятельство может быть
существенно использовано при решении дифференциальных уравне-
ний, связанных с задачами физики или техники.
Пример. В квадрате Qj— — < х < —; — —
найти приближенное решение уравнения
у' = sin (ху),
удовлетворяющее начальному условию
£
2
И)
(5)
и оценить погрешность.
Решение. Заменим уравнение (4) уравнением
У' = ху,
!/|х=0 = °>’-
(6)
(7)
Уравнение (6) при начальном условии (7) имеет решение у—
= 0,1-е* ;2 , которое для всех ге[—1/2; 1/2] не выходит из основно-
го квадрата Q.
Б силу теоремы существования и единственности решения урав-
нение (4) при начальном условии (5) имеет единственное решение
</ = ф(х) ив качестве приближенного решения задачи (4) — (5) мож-
но взять #=0,1 -е*!/2 —решение задачи (6) — (7).
Оценим разность
Л = | tp (х) — ф (х) |, — 1/2 < х < 1/2,
где ф(х) =0,1-е*'/2 —решение задачи (6) —(7). В данном случае
I df I	1
f(x,y)=xy и —— = | х | « —. По формуле Тейлора |slnz—z|<:
I I	*
|z|3
-у , поэтому в квадрате Q
. .	. I *£/13	1	1
"	6	4»-6	384
Воспользуемся оценкой (3), взяв
1
8 =----- ,
384
M— max

237
1 / -Т 1 *1	.1	1
л = I Ф W — Ч" (*) I < 77^ И ~ Ч < ~ .
Нетрудно видеть, что решение ф(х) задачи (4)—(5) не выходит из
основного квадрата Q
Насколько разойдутся решения данных уравнений,
удовлетворяющие одному и тому же начальному усло-
вию z/|x=x» = i/q на заданных интервалах (х0=0):
923.	у' = —+ х2,
1	+ х
у' = —у------4 х2 + 0,01 sin х на [0,1].
1	+ X
sill у
924.	у' — е +*' ,
sin У
^ = е-т+г- + ^ на [0 2].
10 (4 4-Х4)
925.	у' = -i- arctg ху,
у' = — arctg ху 4- 0,001 е-* на [0,11.
3
§ 30. КРИТЕРИЙ РАУСА—ГУРВИЦА
Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными вещественными коэффициентами:
ав УМ + <h + ... +a„i/ = 0(a0, alt ... , ап =
= const, а0>0). (1)
Нулевое решение у = 0 уравнения (1) асимптотически устойчиво,
если все корни характеристического уравнения
f (X) в а0 V + 01 К"-1 4- ... ап = 0	(2)
имеют отрицательные вещественные части.
Критерий Рауса — Гурвица. Для того чтобы все кор-
ни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необ-
ходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диа-
гональные миноры матрицы Гурвица
Ох а0	0	0	0	0	...	0	\
а3 аг	аг	аа	0	0	...	0	1
а6 а4	а3	аг	а!	а0	...	0 I.	(3)
0 0 0 0 0 0 ... ап
238
Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали вы-
писываются коэффициенты многочлена (2), начиная с 0ц и кончая
ап- Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечет-
ными или только с четными индексами, причем в число последних
включается коэффициент ао. Все остальные элементы матрицы, отве-
чающие коэффициентам с индексами, большими п или меньшими О,
полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы
Гурвица имеют вид
а4 а0 0 ,|,0
а3 а2 at 0
a6 a4 а3 .., 0
0 0 0 ап
Таким образом, условие Гурвица гласит для устойчивости ре-
шения у=0 уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись соотношения
Д4 > 0, Д2 > 0, ... , Д„ > 0,	(4)
Так как Дп=апДп-ь условие Дп>0 может быть заменено тре-
бованием ап >0.
Пример. Исследовать на устойчивость нулевое решение урав-
нения
р,У+5/'+ 13/+ 19//' + Юр = 0,	(5)
Решение. Составляем характеристическое уравнение
f (X) г. 5Х3 + 13Х2 4- 19Х + 10 = 0.
Здесь ao= 1, ai=5, а2=13, аз=19, а4=10. Выписываем диагональные
миноры Гурвица
д4 =	5 19 0 0	1 13 10 0	0 0		= 4240 >0, Д, =		5 19 0	1 13 10	0 5 19	= 424 > 0,
			5 19 0	1 13 10						
					Д2 —	5 11 19 13 Г		= 46	>0, Д4 = 5 > 0,	
т. е. Л1 >0, Д2>0, Дз>0, Д4>0 Следовательно, тривиальное реше-
ние i;s0 уравнения (5) асимптотически устойчиво.
Вычисление можно, например, организовать так. Составляем
сначала старший минор Гурвица Дп. По нему легко выписываются
все младшие миноры Дп-1, ..., Дь Затем начинаем вычислять после-
довательно Дь Д2 и т. д. Если встретился отрицательный минор, ре-
шение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.
239
Исследовать на устойчивость нулевое решение сле-
дующих уравнений:
926.	у'" — 3/ 4- 2у = 0.
927.	у™ 4- 4г/ 4- 7у + бу' + 2у = 0.
928.	у"' 4- 5 у" + 9/ 4-5у = 0.
929.	у™ — 2у 4- У 4- 2/ — 2г/ = 0.
930.	у"' + 7 у 4- 17// 4- 17у 4- 6г/ = 0.
931.	у"'— Зу" 4- 12/ — Юг/ = 0.
932.	у™ 4- 5у" 4- 18г/" 4- 34/ 4- 20f/ = 0.
933.	у14 4- 7у + 19г/ 4- 23г/' 4~ 10г/ = 0.
934.	/v 4- Ну + 41г/ 4-61/4- 30г/ = 0.
935.	yv 4- 3z/IV — 5г/’ — 15г/" 4- 4/ 4- 12г/ = 0.
936.	yv 4- 7ylv 4- 33г/" 4- 88/ 4- 122/ 4- 60г/ = 0.
При каких значениях а будет устойчиво нулевое ре-
шение уравнений:
937.	ут 4- 2у" 4- аг/' + Зг/ = 0.
,	938. /v + аг/ 4- 2г/ 4- г/ 4- Зг/ = 0.
939.	/v 4- 2г/ 4- аг/ 4- У 4- У = 0.
При каких значениях а, 0 будет устойчиво нулевое
решение уравнений:
940.	у"' 4- аг/'' 4- Р/ 4- у = 0.
941.	/v 4-Зг/ 4-аг/ 4-2г/ 4- рг/ = 0.
§ 31. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ
УСТОЙЧИВОСТИ (КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА!
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение гг-го поряд-
ка с постоянными вещественными коэффициентами
алУ(п} +а1У<п-"+ ;i. 4-«„y = 0.	(1)
Его характеристическое уравнение
f (X) = а0 А/1 4- о-i 1 4- •:. 4- ап — 0.	(2)
Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении
корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоско-
240
сти и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого реше-
ния уравнения (1). Полагая получаем
f (ссо) = и (а>) 4- iv (со),
где
и (со) = ап — ап_2 о? + ап_4 со4 — ,; ,
V (со) = an_t со — о„_3 со3 4- ,;. .
Величину f(i(») при заданном значении параметра о» можно изобра-
зить в виде вектора на комплексной плоскости к, о с началом в на-
чале координат.
При изменении со в интервале
(—оо, 4-°°) конец этого вектора опи-
шет некоторую кривую — так назы-
ваемую кривую Михайлова (рис. 45).
Так как функция и(со) четная, то
кривая Михайлова симметрична от-
носительно оси Ои и поэтому доста-
точно строить часть кривой, отвеча-
ющую изменению параметра со от О
до H-оо.
Если многочлен f(X) степени п
имеет т корней с положительной ве-
щественной частью и п—т корней с
отрицательной, то угол ср поворота
вектора f (ссо) при изменении со от О
я
до 4-°° равен ср= (л — 2m) -у ,
Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо
и достаточно, чтобы т = 0.
Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого у=0
решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы 1) вектор
f (ico) при изменении со от 0 до +оо совершил поворот на угол ср =
л	п
=п —, т. е. сделал — оборотов против часовой стрелки;
2 ,4^0?	4
2) годограф f (ico) при изменении со от 0 do + <х> не проходил
через начало (0, 0).
Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (1)
необходимо, чтобы все корни уравнений и (со) =0, и(со)=0 бы-
ли вещественными и перемежающимися друг с другом, т. е. между
любыми двумя корнями одного уравнения должен находиться корень
другого уравнения.
Пример. Исследовать на устойчивость нулевое решение с/ = 0
уравнения yiv +у"'+4у" + у'+у=0
Решение. Составляем характеристический многочлен
f (1) = V 4- V 4- 4V 4- X 4- 1.
Далее,
f (ia>, = со4 — ico3 — 4<ог 4- ico 4- 1, и (со) = со4 — 4со* 4- I,
v (со) -— со3 4- и = со (1 — со) (I 4- со)
16—456
241
Построим кривую (рис. 46)
Л	л,
Угол поворота радиуса-вектора <р = 4—= (п — 2т) —. Отсюда
п—2т = 4 и так как п=4, то т = 0, т. е. все корни характеристическо-
го уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, травиальное ре-
шение у^О асимптотически устойчиво.
Исследовать на устойчивость с помощью критерия
Михайлова нулевое решение следующих уравнений:
942.	2ут + 7у" + 7у' + 2у = О
943.	у"' + 2у" + 2у' + у = 0.
944.	2у™ + \3у" + 28/ + 23/ + бу = 0.
945.	3/v + 1 Зу" + 19/ + 1 \у + 2у = 0.
946.	2yw + 6/" + 9у" + 6/ + 2у = 0.
947.	у" + \у"’ + 16i/" + 24й' + 20г/ = 0.
948.	у1 + 13t/lv + 43г/"' + 51/'	40/ + 12^ = 0,
949.	у"’ + г/=0.
242
950.	ylv + у"' + y' + у = 0.
951.	/ + 3yIV + Чу"’ + у" + Зу' + Чу = 0.
952.	у1 + у™ + у'" + у" + у' + У = 0.
953.	2yIV + 11 у'" + 21/ + 16/ + 4у = 0.
954,	yvl + yv + t/1V + у" + у' + У = 0.
955.	2/v + 9/' + 32/ + 54/ + 20у = 0.
956.	6/v+ 29/" + 45/ + ЧАу' + Ay = 0.
957.	yv + yIV + Чу'" + Чу" + Чу' + Чу - 0.
958.	/' + / + 3/v + Чу'" + Ay" + Чу' + Чу = 0.
959.	/ + 2ylv + у'" + 2/ + у' + 2у = 0
§ 32.	УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
Возьмем дифференциальное уравнение
Х(/), 8),	(I)
dr
где е — параметр.
Если функция F(/, х, е) в некоторой замкнутой области измене-
ния t, х, е непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет
условию Липшица по х:
|F(/,x2> в)— F(t, xit е)| < rV|x2 —хх |,
где W не зависит от t, х, е, то решение уравнения (1) непрерыв-
н о зависит от е.
Во многих задачах физики приходится рассматривать уравнения
вида
е-^7 =/(/,*),	(2)
dr
где е — малый параметр.
Разделив обе части уравнения (2) на в, приведем его к виду
dx	1 .
— = — f(t, х),	(3)
d/	е
откуда видно, что правая часть (3) терпит разрыв при е=0, так что
теоремой о непрерывной зависимости решений от параметра е вос-
пользоваться в этом случае нельзя.
Вопрос ставится так: при каких условиях для малых значений
dx
|е| в уравнении (2) можно отбросить член е —— и в качестве при-
nf *
16*
243
ближения к решению дифференциального уравнения (2) рассматри-
вать решение так называемого «вырожденного уравнения»
/ (Л х) = 0.	(4)
Пусть для определенности е>0 и пусть вырожденное уравнение (4)
имеет лишь одно решение х=<р(1). В зависимости от поведения
х) вблизи решения х = <р(/) уравнения (4) решение x(t, в) диффе-
ренциального уравнения (2) при е-»-0 стремится к решению х = ф(/)
вырожденного уравнения, либо быстро удаляется от него.
Рис. 47,
Рис. 48
В первом случае решение х = <р(/) уравнения (4) называют
устойчивым, во втором — неустойчивым.
Именно, если при переходе через график решения х = <р(/) вы-
рожденного уравнения (4) функция /(/, х) с возрастанием х прй
фиксированном t меняет знак с + на —, то решение вырожденного
уравнения х=<р(/) устойчиво и им можно приближенно заменить ре-
шение х(/, в) уравнения (2) (рис. 47).
Если же функция f(t, х) меняет знак с — на + , то решение х=
= ср(О вырожденного уравнения (4) неустойчиво и заменять реше-
ние х(/, в) дифференциального уравнения (2) решением вырожден-
ного уравнения (4) нельзя (рис. 48).
Достаточные условия устойчивости или неустойчивости выража-
ются следующими предложениями.
1.
шение
2.
Если---------<0 на решении х=<р(/) уравнения (4), то
дх
х=<р(0 вырожденного уравнения устойчиво.
df (t, х)
Если--------- >0 на решении х = ге(/) уравнения (4), то
дх
ре-
де-
шение х = <р(х) вырожденного уравнения неустойчиво.
Если вырожденное уравнение f(t, х) =0 (4) имеет несколько ре-
шений х=ф;(/), 1 = 1, 2, ..., т, то каждое из них должно быть ис-
следовано на устойчивость. При этом проведение интегральных кри-
вых дифференциального уравнения (2) при е->0 может быть раз-
личным в зависимости от выбора начальных условий — начальной
точки (to, Хо).
Возможен также полуустойчивый случай, когда функция f(t, х)
при переходе через кривую х = <р(/) не меняет знак (например, если
244
Рис. 49
Х=ф(О есть корень четной кратности вырожденного уравнения (4)).
В этом случае при малом е интегральные кривые уравнения (2) о
одной стороны кривой х=ф(<) стремятся к этой кривой, а с дру-
гой — удаляются от нее.
В первом случае мы говорим, что начальная точка (to, хо) при-
надлежит области притяжения полуустойчпвого решения х = ф(<),
а во втором случае — области отталкивания.
В полуустойчивом случае, как правило, нельзя заменять реше-
ние исходного уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4).
Можно указать критерии, когда интегральные кривые уравне-
ния (2) при соответствующем выборе начальной точки (tn, Хо) при-
ближаются к решению x=q>(t) вырожденного уравнения и остаются
в его окрестности при t>fo, однако это
справедливо лишь при отсутствии воз-
мущений уравнения (2).
Приведем эти критерии.
Пусть в окрестности полуустойчи-
вого решения x=<p(t) вырожденного
уравнения (4) функция f(t, х)>0. Если
<р'(/) >0, то интегральные кривые урав-
нения (2), приближающиеся к кривой
х = ф(0, не могут пересечь эту кривую
и остаются в ее окрестности при t>ta
(начальная точка (to, хо) должна нахо-
диться в области притяжения полуус-
тойчивого решения х=ф(/); если (/о,
Хе) находится в области отталкивания,
то соответствующая интегральная кри-
вая уравнения (2) быстро удаляется от кривой х=ф(/)) (рис. 49).
Если ф'(0<01 т0 интегральные кривые, приближающиеся к графи-
ку функции х=ф((), пересекут его и с другой стороны кривой
х=ф(/) быстро удаляется от нее. Если ф'(0>0 при ta^.t<tl и
ф'(0<0 ПРИ t>h, то при достаточно малом в интегральные кри-
вые, выходящие из точки (to, Хо), принадлежащей области притяже-
ния корня х=ф(/). остаются вблизи кривой х=ф(/) при /а+6<5
<t<.tt, 6>0; в окрестности точки t = ti они пересекают кривую
х = ф(<) и затем удаляются от нее.
Если в окрестности полу устойчивого решения х — ф(0 функция
f(t, х) ^0, то для справедливости высказанных утверждений знаки
у производной ф'(0 надо заменить противоположными.
Пример 1. Выяснить, стремится ли решение x=x(t, е) уравне-
dx
ния е — = t2—х (5), е>0, удовлетворяющее начальному условию
at
х|<=^ =хо, к решению вырожденного уравнения x = t2 при t>ta и
df (t, х) д (t2 —х)
Решение. Имеем ------------=---------=— 1 < 0, так что ре-
дх	дх
шение вырожденного уравнения x = t2 устойчиво и, следовательно, ре-
шение исходного уравнения x=x(t, е), выходящее из любой началь-
ной точки (to, хо), стремится к решению вырожденного уравнения
при е-<-0 и t>to (рис. 50).
В этом можно убедиться непосредственной проверкой. Решая
дифференциальное уравнение (5) как линейное неоднородное, при
заданном1 начальном условии х|^=^ —Хо, найдем
- 245
i-t.
x(t, e)= (x0 — ^ + 2e/0 — 2e2) e e + ? —2e/ + 2ea,
откуда непосредственно видно, что при t>to, т. е. t—/о>О и е-»-0
имеем x(t, е)-*/2.
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение вырожден-
ного уравнения для уравнения
е 77 = х (ех — 2).
at
Решение. Вырожденное уравнение х(ех—2) =0 имеет два ре-
шения
’.) х = 0, 2) х = In2,
Имеем
df(t, х)
дх
;0=(eI-2+xe«)|x=0 =-1,
так что решение х=0 устойчивое;
Sf (1’ *’ 1	= (е* - 2 + хе%=1п2 = 2 In 2 > 0,
дх |х=1п2	1 1
так что решение х=1п2 вырожденного уравнения неустойчивое
(рис. 51).
Пример 3. Исследовать на устойчивость решение вырожденного
dx
уравнения, отвечающего уравнению е~- = (х—/)г. Вырожденное
уравнение (х—f)2=0 имеет корень x=t второй кратности. Функция
/(/, х)г (х—/)г>0 в окрестности этого корня, <р(0=/ и <p'(0 = l>
>0. Следовательно, решение x=t —полуустойчивое, и если на-
чальная точка (to, х«) лежит в полуплоскости под прямой x=t (об-
ласть притяжения корня х=/), то интегральная кривая х=х(/, в),
выходящая из точки (fo, Хе), будет при оставаться в окрест-
ности линии x*=t (рис. 52),
246
Исследовать на устойчивость решения вырожден-
ных уравнений для следующих дифференциальных
уравнений:
960.	е— = х —1\
dt
961.	Е — = х(/4+ 1 — х).
сИ
962.	е-^- = (х-0(х-еО.
963.	е —=
at
964.	е —— =xt.
dt
965.	е-^—=(х— /)(1п х — t2 — 1)(
а/
966.	Е — = (/ + х)»>
dt
967.	е — = х —1+ 1.
ОТВЕТЫ
1. Если у(х) является решением дифференциального урав-
нения, то оно обращает его в тождество. Поэтому, если урав-
нения а) и б) имеют совпадающее решение, то их левые, а
значит, и правые части тождественно равны: у2+2х—jc4=i
=—у2—y+2x+x2+xi. Отсюда
Вторая функция не удовлетворяет уравнению
должна быть отброшена. Получаем: у=х2. 13.
1	л
= arctg—. 18. а= — 19. Точки экстремума
а) и, значит,
у=0. 17. а =
интегральных
кривых находятся на прямой х=—1. 20. Точки перегиба инте-
гральных кривых находятся на параболе у^х2+2х.
Рис. .43
Рис. 55
248
Рис. 60
Рис. 61
Рис. 64
41. z/o(x) = 0, yi(x) = 1 X , уг (x)= -i- (33 — I4x +
о	I zb
№
+ 42 r» - 7x* - 2x’). 42. ya (x) = О, У1 (x) =
x&
W = T + 20 * 43‘ %(*) = 
!/i(x) = 1 +*+ V’ ='+* + *’ +"Г 
2	О
2
44.	уй (х) = 2, 4/1 (х) = 2 + х — — х\
О
2	1
{/s (х) = 2 + х + х2 —х? —	• х4,
3	4
45.	уа (х) = 2, yt (х) = 2х — In х, yt (х) = 2 + In2 х,
250
46.	arctg x + arctg у = С, или x + у = С (1 — xy).
47.	x2 (1 + у'2) — С. 48. y = sinx. 49. (/ = tglnCx,
50. ]A +x2 + Vl + у2 = C. 51. ]A — x2 +
+ /1 — У2 = 1, У = 1. 52. ex = C (1—е-У),
53. y=l. 54. ах + а-У = С, 55. 1 + e? = C (1 + x2),
56. у = sin [C + In (1 + xa)], 57. arctg e* = ;^2-1- C,
ly — x я \
58. y=(l+Cy+ln y) cos x. 59. x+C=ctg I—— + — I,
60. b {ax + by 4- c) + a = Cebx.
/	Ц \	1
61. X 4-y = atg C +— . 62. y = —----------,
\	a /	x
63. t/ = atg 1/— -1 . 64. tg-L = e2sinx.
V x	6 2
65.	y'3y, y== — 2езл,
x
Г	у	a2
66.	I ydt = a2 In , у =------ (гипербола),
J	a a — x
о
du	t 67. — = 20 — . dt	и	, v = 50	29 cm/c.
dy 69. m — = ku2, dt	z	—Op) _	3 У1 40 In 2,5 C Ц, Oj In — Oe
du
70. ni — = — kv\
5 In 10
t = —------------c.
in \8
72- — =^(T-TO)J
/ 1 V/20
T = 20 -}- 80 I —	; t = GO мин.
\ 2 /
У	d-S	,,,
73.	у’ = n— ; у = Cxn. 74. —= feS; S = 25-2//5.
x	dZ
75.	18,1 кг; — = k — — — , k — коэффициент пропор-
ar \ □	oUUj
r dx	/10—x	1 \
шюнальности. 76. 5,2 кг; --= kx ------—------ .
dz I 90	3 J
ds
77. xy = C. (C^O), 78 . 0,82 кг; — = /c.s(s+6)
d/
2
79. 32,2 мин. 80. T = — x; 864 000-4,2 Дж;
V
251
—- = — — , где Q = const. 83. у = 0, для а < 1
dx kS
решение единственно,
л
85. у = — (2n + 1) к + С, п = 0, ас 1, ас 2, .., ,
86. у = С. 87, у = (— 1)" (х arcsinх + V1 — х2) 4-
4-	лях + С, п =0, =±= 1, ас 2, ... 88. у = е* + G,
89. у = лях + С, п = 0, ас 1, ас 2, ... .
90.	у = х(1пх—1) + С. 91. y = xarctgx—
— — In (1 4-х2) + ллх4-С, /1=0, ас 1, ас 2, .., ,
92.	у = arcsin --— — 4- 5л,
\ 2 х /
/2	1 \
93.	y=arcctg | — + —— |+ Зя,
к *	/3 )
94.	y = 2arctg^l- — j +	.
I [ л	\	7
95.	у = — arctg I — 4- arctg х ) + — л.
96.	у = 0. 97. у=1. 98. у = — л.
19	У . „
99. у = arcctg—+ — л, 100, tg—=1пСх,
2х 4	х
101. у = х(С — 1пх), 102. у = хе1+с*.
103. (х — у) In Сх = к. 104. у 4- У^у2 — х2 = Сх2, у = х,
у = — х. 105. 2х = (х — у) In Сх.
106, у2—Зху 4-2х2 = Г?; 407. у2 4- 2ху — х2 = С,
J08. у=^+(х — 0 1пС (х — 1L
Н>У %х	)!: (х —	= С.
ПО. у2—2ху—х2 — 8у4~4х = С. 111. у2—2ху—х24~4у=С.
112, у2 4-Зху 4~ х2 — 5х — 5у = С, ИЗ. Д4х 4-2у 4-1)Д=
= 4x4- С. 114. х4~3у—In |х — 2у| = С,
115. (х4-у— 1)24-2х=С. 116. у2 = х!пСу2.
117. Сх* = у« 4-х3. 118. Кх2у44- 1 = Сх2у2—1,
у3
119. 2arctg -у = In (х2 4- у«) 4- С, 120. х2 + у2 = Сх,
252
121.
1 I
y=—l Сх.1-* —
и 2 \
122.
124.
126.
128.
130
132.
135.
137.
139.
142.
145.
149.
152.
155.
t/2 = 2Cx + C2,
1 / 1 \
123.
х2 + у2 = Сх*. 125. у = Се~2х + е-*»
у = х — х3, 127. у — (С + х3) ех\
у=(С+х)е-х>. 129.// = —.
COS X
sin л
у = Сх2 + жа sin х. 131. у =----— .
cos2*
w2
У = (С + х3) Inх. 133. х = Су —	. 134. у=\л
С
х =— ~}-у]пу. 136. х=(С + //)е 2 .
У
у = (С + х3) ее* , 138. у = (С+х)
Е Г	I -~
‘ = Та',	—ЛГ Р? si П 2wl/+2 njlL{е L~
/?2 + (2пл£)2 [	\
'll - —
— cos 2nntу] + /0 в L . 140. q = QE (1 — е—
т _ do
+ — е т ; т — = kxt — k2 v, v (0) = 0.
J Cu
у = Cx — x3; у — xy' = x3. 143. у = C x — x;
,	х 4~ У ...	, .	. , । „ —f₽(x)dx
y — xy'= -y- , 144. y(x) = уг (x)+Ce J ,
У = У1 W + C ly3 (x) — //j (x)J. 148. у = 2sin \
sin x	x + 1
у = e x, 150. //=-------------- ; 151. у = ------------—,
X cos —
X
1 —
y=-— — 1. 153.// = ex + eA . 154. y=x.
x	J
y =-----j 156. // = cosx, 157. u =--------
«nx	* l+Ce*2
253
158. у3 = Xs + Сх2: 159. х3 е-У = С+у. 160. у= -----.
С—х
161. V~y + 1 =Сее* . 162. у2 In х = С + sin Xi
163. у2 (С — х) sin х = 1. 164. yi + 2х2 у2 + 2у2 = С,
1
165. у=- _3|п х----166. sin у=(х+С) ех, z = sin у.
Ge — *
167. in у = (х+С) е*, 2=1п1/. 168. sin у = х+Се—х,
г = sin у. 169. х—2+Се—* = е*2/2, г=е6'''/2>
170. tg у = (С+х2) е"*2; г = tg yt 171. ху = С,
х2—д*
172. у= (х+ 1)е*. 173. у = 2 — (2+а2) е 2 .
1—Л
174. у = Схп. 175. х4 + х2(/2+ у* = С>
176. х3 + Зх2 1/2 + у4 = С. 177. Kx2+i/2+1п|х</| +
+ —= С. 178. х3 tg +	= С,
У	х2
sin2x х2 + и2
179. х’ у + х2 — у2 = Сху, 180. —— +------= С.
181. х3 -|- у3 — х2 — ху + у2 = С. 182. у 1 -f-x2 +
+ х2у — ylnx = С. 183. Ух2 + у2+— = С.
X
184. х sin у—у cos x+ln |x</|=Ci 185. tg ху—cos х—cos y=Ct
186. y=Xi 187. (х2 + у2)2 + 2а2 (у2 — х2) = С-.
188. ху (х2+{/2) = Ci 189. ху2 — 2х2 у — 2=Сх; р = 1/х2.
190. х — -^-=С; р = — i 191. х In |х|—у2=Сх-, р=1/х\
х	х2
1
192.	5 arctg х + 2ху = С; х = 0; р =	,
193.	^H-x’flnx—1) = Сх2; р=1/х4,
194.	2е* sin у + 2е* (х — 1) + е* (sin х — cos х) = С; р = exi
7
195.	х2— — — Зху=С- р.= 1/|/2. 196. (х+у«)2С=х — у2;
f1 = 7 J~ • ,97- 1 + у2 ~ *г = Сх: Иг = 1/^2;
(х + у2)3
Н1 = 7П7Т------198- !/-l =cFx2+</2;
(Н-f/3 — X2)2
254
_ 3
ц = (х2 + у2) 2 . 199. (у — С)а = х3,
200.
202.
In Cy = xzt2e 2, t/=0. 201. t/=2x24-C, y — — x’+Ci
X2
xy = C, x2y=C. 203. У = — + C, y=Ctx — X— 1,
204.
207.
X2
у = ——+С, у=Се*.
у = Сх+±-(х2-С2),
X2
205. y=~ + C,
206. y=Cex +-^-, y=&2ex/2.
(j
208.
х = ер (р + 1) + С,
у = р2ер, у — 0.
209.
x= In |lnp| + —------F C,
Inp
210.
X = In p + sin p,
,y = C + p (1 + sinp) +cosp.
x = p2 — 2p + 2,
211.
2
У + С = —p3—p2i
k	и
212.
(lnp+ I)2
2
213.
.У = (Р— 1) ер; у=—1.
214.
У = P In Pi
el/p
P2
= C + ei/p
215.
216.
'х = a cos31,
у + С — — a sin3!, p = tgi’.
' 'Г 1	\
х = 5 —tg31 — tg t H- t + (
I и	/
у = a sin51-.
х = р + sinp,
217.
У + с= — р2 + р sin р + cos pt
218.
х + C=ln |р| + sin р + р cos р,
у = А
Р
219.
х 4- С = 2arctg р — In
i 4- У i - р2
р
220.
у = arcsin р 4- In (1 + р2),
</ = +
( _L
I*	р2 р ’
I 2С
\У =------И 1пр — 2,
х = 2 (1 - р) 4- С <ГР,
1У = [2(1-р)+Се-₽1 (1 4-/0 +А
222.
С	cosp	sin р
Р2 Р2 Р ‘
2С 2 cos р
У =— —---------— sinp,
Р Р
/=о.
’ ср2 + 2р —1
Х“ 2р2(р—I)2	’
Ср2 4- 2р — 1	1
У~ 2(р—I)2	р *
223.
224.
ЗС
у = — — 2еР
9	2р2
225.	у = Сх +	4р3 = 27ах2. 226. у — Сх 4- С2,
С2
У = -4-‘ 227. у = Сх —; (у4~1)2 — 4х,
4	С
228.	у = Сх 4- а К1 + С2; х2 4- у2 = а2;
229.	х = Су 4- С2; 4х = — у2. 230. ху = ztz а2,
231.	х2/3 4- и2/3 = а2/3. 232. у = ех+ - ‘	,
С 4- е*
233.	p = sinx+^-., 234. у = х4-^.
235.	у = — —- 4— -----;—;— . 236. В этом случае
х (С — In х) х
du
_ [а (х) у2 4- b (х) у 4- с (х)];
266
dy . .Г a (x) b(x) 1
— = —C (x) —— y2 + —— у 4- I ;
dx	[ с (x)	c (x) J
dy ( m „ , «	. \
—— =—c(x) — y2 4----------у 4- 1 и переменные разде-
dx	\ Р Р 1
С .	1 f dy
ляются Имеем: С — I с (х) dx —------|-----— -----;—<
J	р J ту2 4- пу 4- Р
238. уху' = 0; 239. х2 4- у2 = 2хуу'.
240. ху' = у In у' 1 241. у'1 4-J/' — ху' 4- У = О,
242. у" — 2у' 4* У = 0. 243. уу'г 4- 2ху' = у,
244. у’" = 0, 245. у"'4- — у" = 0. 246. у"1 = (14V
247. у" — у=0, 248. у"4-у=0. 249. 2х2+у2=С,
250. х2 + пу2 = С. 251. 2х + <уу2 = С; 252. sin у=.Се-х;
253. у2 = Сх, 254. ху = С, 255. у =Сх, если k — 2;
1 1 1
----—-------	 —	, если k =/= 2,
хЛ~2	у^-С*'2
256. х2 + у2 = Сх. 257. ху3 = С,	258. р = С (1 —cos <р);
259. у=Се-г/2; 260. у2 = 4х 4- 4. 261. у = О,
4
262. // — 0, у = -^х2. 263. Особых решений нет;
264. а = 0, у = 0. 265. 4у 4~ х5 = 0. 266. 4ху2 4-1 = О,
4
267. у = х---— . 268. Особых решений нет.
269. у= х2/4.	270. у = 0; у = 4х. 271. у = ztz 1»
272.у = ±2ez/2. 273. у = х, у = — х/3.
х3 у2	1
274.	1- — = 1 . 275. у = х —------,
а2 Ь2	У х+С
sin х	, „
276. у = С-------к cosx; 277. у' = 2 sin х 4-
х
4-	4- Ce<n—1) sln х. 278. х* — 6х2 у3 4- у* = С,
279. 15х3 у — 24ху2 — 12х3 4- 2у3 = С.
280. бу 4- 12у3 - 9х2 у34-2х3 = С; 281. 2 4- ху In3 х = Сху)
И = „ „ 1 282; у = Се~*г 4- (sin х—х cos х) е—
X3 у3	'
17—456
257
4~ и	1	х^
283. г - С е2* J- L^L 4 --- 284. t,+C=2x — — 4~
2	4	2
+ 2 In |1 — х|. 285. у2 = Сх2 + х4.
286. у (у — 2х)3 = С (у — х)2. 287. у = С (2х — 1) + — .
X
2х+2
288. х + у - 1 = С е*+^-1; 289. In tg	=С— 2 cos -у.
290. у = С (Зх2 — 2х). 291. у» = Сх3 + х4.
-	у2
292. х+ уеу = I 4-е. 293. In |х| — — = С,
2х2
294. 1п|2х—2у4-5| —2(х4-у—2)=С. 295. х2у+2х=Су.
296. х- + у2 С е~х. 297. — In iL±2Lt_! _
2 у2-у 4-1
1/— /	2х+1 2у — 1 \
— V 3 I arctg —— + arctg-----— 1 = С>
\ К з Уз)
298. х = у2 (1 4- С е',у). 299. sin х 4- 2у In |у| — Су = 0,
300.	Зе'2у = С е~2х — 2 ех.
301.	х4-'гу2=С (х2+у). 302. — = 4- 4- 44 « * - 2‘
х у1 п 4- 2
303.	7 (Зу — 4х) 4- (4а2 — Зй2) In |7 (х 4- у) 4- а2 4- й2| = С>
у1
304.	хе* =С; 305. у (1 4- х 4- 1пх) = 1,
306.	у [sin (In у) 4- cos (In у)] = х (sin (In х) — cos (In x)]4-C,
307.	(х-1+/x2-2x4-5)3= C (зу-14-У 9y2- 6y4~2).
308.	(x—y) (x4-7y—4)=C. 309. x^2y+3 In |x4-y — 2| = 5,
,.	и 4- 2
310. y2=Ce^/A. 311. 2 arctg —-----F In C (y 4- 2) = 0,
x — 3
312. При переходе от кривой к симметричной ей кривой
относительно 0(0, 0), переменные х, у, у’ заменяются на —х,
—у, у' и данное уравнение снова удовлетворяется. 313. Для
тою чтобы прямая y=kx+b была интегральной линией дан-
ною сравнения, необходимо и достаточно в силу равенства
y' = k, чтобы у — kx + b^k + xk2, т. е. k = 0 или k=l и b = k. От-
сюда получаем два решения: у = 0 и у=х+1. 314. Зу2—2х = С.
315. y=chx и у=1. 317. а) не могут; б) не могут; в) могут,
327.	у = 4 4- Ci х2 4- Сгх2 4- С3 х-Ь С4.
258
328.	у = — — sin х + Cj х2 + С2 х 4- С31
329.	у =---------.	330. у = (х — 2) ех + х + 2,
'	12 (х + 2)3
х3	5
331. у = — In х — — х3 + Сг х + С2.
3	18
332. I/= С] х2 + С2. 333. y = Ct In |х| + С2:
X3
334. у = Cj ех + С2. 335. j/= —+C1x2 + Cg<
-+1
336. y=C1x(lnx—1)+С,; зз7, у=(С,х—С2)ес‘	+ С^,
1+7
338, у =-----х5/2_ 339. у = Са + С2х — sin (х + Сх).
5
340. у = С1 х3 + С2х + С3. 341. у == ch (х + С2) + С2.
342. у = С2 — In |Ci — Х|. 343. у = С2 — cos (Ct + х),
(x+Ci)3	, „
344. у = Сг — In [cos (Ct+x)|. 345. у = ——— — х+Са1
346. у = х. 347. у = —2х. 348. у = С2 — In ]l— е;;+с‘| 
349. (х + CJ2 + (у + С2)2 = 9.
350. у = (х + С2) In | х + Cj | + CjX + C3. 351. у=Сге£,х,
1	/	х \3
352. у =----------.	353. у = 1 + — .
К1-х	к	37
354. у —	.	355. у2—Cix + C2.
(х + 4)2
356. у = — (1 + С2ес,х). 357. у = С\ ch .
Ci	ct
358.
(Qx + С2)а
4
359 у =: ^2х — X2 ;
360. CiX 4- С2 = in J . 361. у = — 1п|х— 1|,
362. у cos2 (х + CJ = С2. 363. у =
364. (х —С,)2 —C2y2+feC22=0.
d2x	k
365. Парабола. 366. —— =———, где х — расстояние тела
at1	хг
17*
259
от центра Земли; /««122 ч.
X (/+С2)2 + С1; <?='—;
т
d2x	k
367. т ------= —
d/2	х3
d2x	/ dx V
368. m-------- mg — k I — ;
d/2	\ dz ]
m
x = — In
k
2
m
= — In ch a/;
k
369. Cx = y2k-' (k > 1/2). 370. (x + Cj)2 + (y4- C2)2 = R,
где R — const. 371. Да. 372. Нет. 373. Нет. 374. Да.
375. Да. 376. Да. 377. Нет. 378. Нет. 379. Нет.
380. Нет. 381. Нет. 382. Нет. 383. Нет. 384. Нет. 385. Да.
2
386. Нет. 389. 1.	390. ——	(х^О). 391. 0.
х
392. е-2х . 393. 0 . 394. —8 sin3 х. 395. — 1//Г.
396. -------- — « |х| < л. 397. 0 . 398. 0 . 399. 1— 1пх;
2/л2 — х2
X 1
х > 0. 400.------е1^; х + 0;	401. — е2*.
х3
402. —2е-^. 403.1. 404.1. 410. 9у" — бу’ + у = 0.
411. у" + Зу' 4- 2у = 0. 412. 2у" — Зу' —5у = 0.
413. у"'4-Зу"4-2у'=0. 414. y'v 4~2у" 4- у = 0. 415. ут=0
416.	у" — Зу’ + 2у = 0, у = Сх ех 4- С2е2*.
417.	у" -2у' 4- у = 0; у = (С, 4- С2х) е*.
418.	у" — бу' 4- 13у = 0; у = е8* (Сг cos 2х 4- С2 sin 2х).
419.	у'" - Зу” 4- Зу' - у = 0, у = e* (Cj 4- С2х 4- СэХ2).
420.	у" — у= 0. 421. у" —у' =0. 422. у"4-4у'4-4у=0,
423. у"4-9у=0. 424. у"=0, 425. у'"—6у"4-Ну'— 6у=0.
426. у'" — Зу" 4- Зу' — у = 0. 427. у"'—4у''+5у’ — 2y=0J
428. у"' — у" = 0.	429. у'" 4- у' = 0.
430. у"' — 2у" + у' — 2у = 0. 431. у'" 4- 2у" 4- 2у' =0,
4
------------------------------------------------X
432. у = Cje1 4- С^~х. 433. у = С^2* 4- С2е 3 .
434. у=е*(14-х), 435. у = е~* (Сх 4- С2х).
436. у = 4е* 4- ге3*, 437. у = С^~х 4- С3е-2х 4- Сэе-3*,
438. у = Cie(i~’/3~)х 4-С3е(’+/з >
439.	у	=	Ct 4- С2х 4- CjX2 4-	С4х3 4- е~х	(С5 + С6х).
440.	у	=	е* ^Ct cos -у-С.2	sin — j .	441. у = С,е2Л: Н-
4- с-* (с2 cos V3 х-|-С3 sin Кз х ) .
442.	у	=	е (Ct 3- С2х) + е (С, cos 2х	4- С4 sin 2х).
443.	у	=	е* sin х. 444. у =	е* (cos У 2 х 1^2 sin У	2х)	.
445.	у	=	Схех 4- С2е—х 4-	(С.	cos 2х	+	С4 sin	2х).
446.	у	=	Сх<-Х 4- С2е~2х +	(С.	4-	С4 cos	х + С5 sin х).
447.	у	=	С4ех + С2е~* + С^х.
448.	у	=	Ct+ех (С2 cos х +	С3 sin	х).	449.	у =	4~
4- С2е—х 4- Ct cos х 4- С4 sin х. 450. у = Ct 4- С.2х 4*
|-С.х2-1-----4С10х9. 451. y = e“x(Ct+C2x)4-C.,e2C.
452. у = Ct 4- С&х 4- С,ех/2; 453. у = х 4- е~г.
454. уч н = Л4х2 4- А2х 4- А). 455. уч.н — Aix:,+A2x2-|-A .х.
456. уч н = Д4х4 4-42х3 (-43х2.	457. Уч.н = е—*(А14-А.2х)
458. уч-н = е-* (Л4х 4- А2х2).	459. учд=е—r (ALx2 |-А2х3).
460. уч,н=А sin х4-В cos х. 461. уч.н=х(А sin х4~В cos х),
462. уч „ = х (Сх cos 2х 4- С2 sin 2х).
463. Уч.н=х(С1 cos /гх ; 6.2 sin kx). 464. уч.н=е—*(Ct cos x-f-
4- C2 sin x). 465. уч.н = xe~x (C4 cos x 4- C2 sin x).
466. Уч.н ~ Ci 4- C2x 4- C3X2. 467. Уч.н — Ctx4-C2x24-C3x1.
468. уч.н — CjX2 4~ C2x3 + C3X4.	469. уч.н= C1X3 4* C2xJ 4~
4-CjX3. 470. y4.H = x (Ct cos x 4~ C2 sin x).
471. а) уч.,, = (Ai 4- A2x 4- А3х2)	. 6) y4.H =(Cjx4-C2 xa-f-
+С3х3)е*\ в) y4 H=(C1x2+C2x34-CJx4) е^.г) y4.H=(Ct4-
4-C2x4- CjX2) ekx, д) y4.H = (Cix2 4- C2x3 + С3х<) e^,
e) Уч.н = (C1X" 4- c2x4 4- C3X6) e^x.
472. а) уч H=Ct sin x+CoCos x, б) уч.н=х(С1 sin x+C> cos x).
473 а) уч.н = x (C] sin 2x 4- C2 cos 2x) eM,
б) Уч.н = x2 (Ct cos 2x 4-C2 sin 2x) e3'. 474. уч,ц = Сх.
475. уч.„ = CjX 4- C2x2 4-CjX3.	476. y^H = Cexi
477. y4.H = Cxe—7X. 478. y4.H = (Cxx2 4- C,x3) eiX.
3
--- X
479. Уч.н = Cx2e6.x, 480. уч.н = (Сгх 4- C2x2) e 4	.
261
260
481. z/4„=(C1x4- С2х2)е4Х. 482. уч.н =x(Ci cos5x+C2 sin5x);
483. уЧА]~х (Cj cos x+C2 sin x).	484. (/ч.н= x(Cj cos 4x-\-
~i~C2sin4x). 485. y4 H =(CX cos 2x + C2 sin 2x) e2*.
486.	i/4 H = x (Ct cos 2x + C2 sin 2x) e2X.
487.	y4.H = x (Ci cos 2x + C2 sin 2x) e—3X.
488.	уч п=х (C\ cos kx--C2 sin kx).	489. i/4 H=C (C-—const).
490. H = Ci + C2x, 491. y4 H = С (C = const).
492. i/4.H — Cx. 493. y4 H = Cx2. 494. i/4-H = C(C=const),
495. i/4.H = CX; 496. уч н = Схг. 497. 1/ч.н = Сх3.
498. </4JI = Cx2. 499. y411 = Ce4x. 500. t/4>H = Cx2e-X.
501. y4 H = (CjX2 + C2x3) e—x. 502. i/4 H = Cj, cos 2x+
+ C2sin2x. 503. z/4.h = Ct cos x + C2 sin x.
504. y4„ = (Л2 + И2х) sin 2x + (Sx + B2x) cos 2x.
505. y4H — x2 (Cj cos nx + C.2 sin nx). 506. j/4 H = Ccosnx+
+ C2sinnx. 507. i/4.H = Cx sin x + C2 cosX;
508 i/4H = Cx4ex. 509. j/4 H = (CiX4 + C2x5) ex.
510. y= (Ci + C2x)e-X — 2.	511. у = Cj + C2e~2X — x.
512. у = Ci cos 3x + C2 sin 3x + 1,	513. у = Ct + C2x +
x2	ir" x 3
+ Сае-Х+—. 514. i/ = C1 + C2x + C3e5- —x2,
515.	у = Ci + C2x + CjX2 + C^ex + 4- x3 •
b
-- X3
516.	у — Ci + C2x + CjX2 + C4e 3 + ~~ 
517.	у = Ci cos x + C3 sin x + (C3 + C4x) e1 + 1,
518.	{/ = (c1 + Cx)e2x + ^- + -y-bT*
x'^	X
519.	y=--Ci + C2e-3X+ —	,
2	О
520.	у = (Q F C2x) efc c +	; 521. i/=(C1+C2x)e-2X+
(fe— I)2
9
-F4x2e-2X1 522. у = C^e-1' + C2e~x — — ^e-3X‘
X
523. у = Cj + C2e 7 — 7x2 — 98x. 524. у = Ct + Cae-3JC—
262
+ — 'к-3*. 525. у = C16-3*+ C2e—2X4-
\ 2	3 /
+ (20x — 5x2) e~2x. 526. у = (Ct cos x4-C2 sin x) e-*4-
x	( Уз Уз \
+ — . 527. у = I Cx cos —— x + C2 sin x I X
— — 1
X e 2 + — (x2-x+ l)e\
«28.	l6“s2*+12sl"2«.
529.	у = Cj cos x + C2 sin x 4- xcosx 4~ x2sin x.
2mn cos nx + (tn- — n2) sin nx
530.	у = (Cj + C2x) e'nx ----------------—----------------
(m2 + n2)2
531.	у — (Cj cos 2x C2 sin 2x) e~x — — xe~x cos 2x.
532.
2 cos tnx + 3 sin mx
у = Ct cos ax + C2 sin ax 4-------------------------
a2 — m2
(|a| =/= |m|). 533. у = C, + C2ex — — (cos x 4-
+sin x)e* .534. i/—Cj-pCae^2X+-(6 sin x — 2cos x)e*,
5
535. у = (C\ cos x + C2 sin x) e~2Л + 5xe~2X sin x.
536.
y = C1 + C2e~21 -	+ jcos x+ g - ^jsin x.
/ \
537.	у = Cje2X + C2ex — I — + x I ex.
538.	у = Ciex 4- C2e~2X 4- — fx2 — x 4- —,
18 V 18/
/ д<2	\
539.	у = Cxe* 4- C2e2* 4" (	— x 4~ 1 j e3X4
540. у = Cjex 4- C2 cos x 4- C3 sin x — (x2 4- 3x 4- 1):
541. у = (Ct 4* C2x) e* 4- C3 cos x 4- C. sin x 4- — er,
4
542. у = (Q 4- C2x) ex 4- x3 + 6x2 4- 18x 4- 24.
X4 X3
543.	у = Ci 4- CjX 4- C3 cos x 4- Ci sin x + — 4- — — x3.
263
Cj cos х Д С2 sin х —
/	X \	/	х1 2 \
544.	у = | Д + — — — cos х + С2 Д — sin х.
\	4	6/	\	4 /
545.	у = (Cj 4- С2х) е ~х 4- [(6 — х2) cos х 4- 4х sin х] е—\
/ J/J	/з \	*
546.	у = Сгех Д I С2 cos —— х ДС3 sin —— х I е Д
Д —(cosx— sinx). 547. z; = (Cj Д C2x) e* Д (C3 Д
4- Дх) е~*Д Y cos x. 548. у = (ДД Д%ДС3х2) e* -
eJT
— — sin 2x.	549. у =
8	y
x	\
— — cos x 4- x sin x le2*. 550. а) 1/=х(С1ех+С2е—*),
6) у = C16x 4- C.2e-X, в) у = x (C^ 4- C2xe~x),
i) у = Cjex 4“ C2x3e~x.	551. уч H = Де* Д Л2е~2x.
652. z/4 H = x (Дх 4- Д) Д Bxe~4*. 553. z/4.H = Дх ДД Д
4-	Д cos x 4- B2 sin x. 554. г/ч.н=Ле* Д хе* (Д cos х Д
Д/ijSinx). 555. 1'ч.н = Ах2 Д Вхех.	556. уч н =
=Ле2*Д х (Д cos 2х Д В2 sin 2х). 557. уч н cos хД
Д Д 51'пхД Д cos Зх Д Д sin Зх. 558. /;чн = ДхД
Д Д cos 8х Д Д sin 8х.	559. 1/= С^-’ДС2еи-
— 2хД 1 Де*.
560. у = Сг Д Де3* — Зх2 — 2х Д cos х Д 3 sin х.
661. у = 2 Д е* (Cj Д Дх— sinx). 562. у = (С]СО5хД
Д С2 sin х) е~* Д хе* Д е~*.	563. * у = (Cj cos 2х Д
Д С2 sin 2х) е~х Д е~х — 4 cos 2х Д sin 2х.
——	1
564.	у = Де2* Д С2е 2 Д — (2хе2* — 5).
4
х / cos 2х х \
565.	у=Сг cos 2хДС2 sin 2x4-1 —----— — sin 2х I,
8 \	4	2	/
566.	у = (Cj Д Сгх) е~х Д С3 cos х Д Д sin х — cos х Д
О
, 1 / х \ 1
+ —567. !/ = С1ДС2е-*Д-уе’-
1	1	х3
— — cos 2х Д — sin 2х Д — — х2 Д 2х.
264
668. у = С, + С^х + С ? 4~ С4 cos 2х + С6 sin 2х -|-4-
5
j^3 sill 2х
4- -h-------—---- . 669. y=(Cj cos 2x4-C2 sin 2x)ex4"
4~ cos x + 2 sin x + 4 cos 2x + sin 2x.	570, у = Cj 4-
H~ C2e—•’4-xe—1+—e* + —— —№ + 2x.	571. у =
2	3
=C’ie—x + C2e3X —	x 4—— — xe~x — xe3x.
672. у = Cj cos 2x + C2 sin 2x 4- x (— sin 2x— cos 2x 'l +
\ 4	/
+ e*. 573. у = C^~x + C2e-“ + 3(x2— 2x) e~*+
5
4- 3 (x2 + 2x) e~574. у = Ci cosx 4-C2 sin x—
1	x
— — cos 4x — — sin x + 1.
3	4
575. у = (Cj cos x +
+ C2 si n x) e2* + cos x — si n x + e2X 4------
5
576.
„ i n	, 1	x . V
у = Ci cos x + C2 sin x 4- — — — sin x e-
\	2	4/
577. у = Cj 4- C2e3Jt
cos x — 2 si n x ex x
+	5
678. y = \C1 cos 2x 4- C2 sin 2x 4- — sin2x | e* 4- 2x 4- L
\	4	/
679. y=(CJ4-C2x)ex4-— (4cosx4-3sinx)4~~cos2x4-x4-li
25	8
680.
. cos 2x 4-7sin 2x
У = (Ci 4- C2 x) e x 4- rs-------------4- sin x 4- 1,
581.
У = Ci cos
X
г2
— COS X 4-
4-r2 —x — 2,	582. у = (Ci 4-Ca x 4-9x2) e-3x 4-
4- sin x.
583. у = Ci 4- C2e—2X - —— 4-
□
, 2sin x 3	x
4- —r— — — (cos 2x + sin 2x) — — t
Do	2
265
584. // = С14-(С'24-С3х)ех4-х24-4х4- — х2ех.
585.
1 1
у = Cj cos х + С2 sin х 4-~ cos 3х + ~^~х sin х.
586. у = С\ 4- С2 е~х -}- С3 е2Х 4~ х — х2 4- cos х.
587. (/ = c14-C2e2X4-C3e-“4--ycosx--^---^-4-
е2Х
+ — (2х2 — Зх). 588. // = CjX3+С2х2+С3х +
+ C4+C5e^-^-4-f4"4x)e^. 589. у = С. +
24	\ 2	/
х^
4- С2 х 4- С3 х2 + С4 cos х 4- С5 sin х +	— е~х.
590. у = 2 — 2х.	591. г/= х2 4~ езх. 592. у = 2езх,
593. у = х9- е2х. 594. у = е2Х — езх 4- хе~х.
595. у = 1 — х е—х.	596. у = х +	е~зх 4-
1
4- — (4sinx— 3cosx). 597. у = cos х 4- х sin х.
5
598.	у = cos 2х 4- ~ (sin 2х 4- sin х).	599. у = х cos х 4-
4-x2sinx. 600. у = (cos х — 2sin х) е2Х 4~ (х—1)2ех,
601. у = х езх 4- х 4- е~х.	602. у = 2ех 4- (sin х —
— 2cos х) е—х — 4.	603. у = — [л cos х 4- (я 4- 1 —
— 2х) si п х] ех.	604. у = sh х 4- х2.
605.	у = cos х 4~ 2si n х 4* е~х 4- (2х — 3) ех.
4 Уз
606.	у = 2х —----е 2 sin -------х. 607. у = 2х е*.
' Уз 2
1
608. (/ = -^~cosx. 609. i/ = sin2x. 610. у = —1,
611. (/ = cosx. 612. у = е~х.	613. f/ = ex4"3.
614. у = — —. 615. у = (cos х 4- sin х) ех,
5
616. у = е—2Х cos 2х.	617. у = (х2 4- х) е~х.
С.	1
618. у = С1х , —619. (/ = — (Q4- С21пх),
-г х	х
266
620.
У = ~~ Cj cos
621. у = Cj 4- С2 In х. 622. у = Cj (х — 2) -J-С2 (х — 2)—3.
623. у=С1(2х+ 1) +С2 (2x4-1) In (2х+ 1). 624. у -~(\+
4- С2 х2 4- С3 х*.	625. у = Cj-Н С2 х3 4~ С3 1пх.
626. у = Сх 4~ С2 (х 4-1)-+ С3 (х 4-1)—2.	627. у = Cj 4"
1п (2х -|-1)	In (2х 4- к’
4-(2х-|-1) С2 cos------—-----4-C3sin----------1 ,
/2	]/2
628.	у = С\ cos In х 4- С2 sin In х -f-	(7 — In х).
С,	1
629.	у = Cj х2 4-------(-----(cos In х — 3 sin In х),
x	10
1
630.	y =— (Cj 4- C2 x4 4- In x 4- 21n2x). 631. у=Сгх +
C-,
4-C2x24- (x2 4- 2x) lnx4- 1.	632. (/ = (?!x 4--y-4-
xm	C, C«
+ -—633. y = -1- 4- -f-4-
m2 — 1	xx2
4- ln2x — 31ПХ.4- 2x 4- 7 .	634. у = —— [Cj 4-
x4- 1
4- C2 In (x 4- 1) 4- In2 (x 4- 1)]. 635. у = (x — 2)2 [Ci4-
3
4- c2 In (x — 2)] 4- X — — .	636. у = Cj (1 4- 4x2) 4-
4-C2e-2X.	637. (/= Cj (2x — 3) 4-C2x—2.
638. у = Ci x3 4- C2 (x 4- 1) — x. 639. у = Cj x 4- C2 In x,
640. у = Cj sin x 4-C2 sin2 x. 641. у — Cj cos (sin x) 4*
4- C2 sin (sin x).	642. у = Cx x 4- C2 V" 1 -(- x2 4- 1 <
Cj
643. у =------4- C2 x3 4- x4.	644. у = Cj x 4- (C2 — x 4*
№ \
+	645- </= Cicos (e—*) 4-C2 sin (e-*)'4-e-1,
646. у =	4- С2 e'/x —	4- 1. 647. у = Cj cos e*4-
4- С2 sin e* 4- x. 648. у = Ct (2x — 1) 4- C2 x2 4- x3.
d2x	k
649. —— = — x (x — длина свесившейся части цепи);
dZ2	т
267
t •= |/ — in (g 4-Кзб) c.	m = G.
d2S	d2S
650. ——=1,2/,	S=0,2/3 — t. 651. m——- =
dt£	dr
d2r
=—km, S =---------.	652. ----= klx, x = aekl.
2k	d/2
653.	у = (Ct — x) cos x + (C2 Ц- In | sin x |) sin x.
654.	</= Ct ex 4-C2 4~ (ex + I) In (I 4-e-x).'
cos 2k
655.	у = Ci cos x + C2 sin x —-----. 656. у = CL cos x
2cos x
4	-----
4-C2sinx4-------cosxVctgx. 657. у = (Ci -f-
3
-f- C2x) ex — e*l n 1 I -f ? 4- e'x arctg x.
688. у = (Ci — x) e—* cos x + (C2 + In | sin x |) e~* sin x,
669. у -= Ct cos x + C2 si n x 4-—— .	660. у = Ct ex 4-
sin x
Cg—cos, 661. у =Ci	e x+1 —K-h% ln|x|r
662. у = Ct e*' 4- C2 4=- (x® — 1) ex’, 663. y = Ct +
-b C2 tg x 4-	(1 4- x tg x).	664. у = Ct x (In x —
— 1) 4~ C2 + x (ln2x — 2lnx—2).	665. у = Ci X
666. у = Ct sin x 4-
4-C2 4-(In | sin x | — l)sinx. 667. y=l.
1 1 /
668. У = — .	669. y= —arctg2 x. 67Э. (/= I 1 + x —
y2 \	| — It! X
—----- e*.	671. у =-----------. 672. у = (x— 1)е\
2 I	Vx
673. y = — .	674.!/=!.	675. у" — у = 0;
x
•76. (X— 1) y" — xy' +y = 0.	677. (x — 1) у” — хгу' -f.
4-(xa_x4-l)j/ = 0,	678. y'" = 0.	679. xy”'—
— у" +xy' — у = 0,	681. у = Ct yt 4-
+ c2 [* —— е J Р'd* dx. 682. p0 (x) = W (x),
J
Pi(x) = — Г' (x), p2{x) =W' (i/py'a), где IV' (x) e
= W (i/j.i/a) — определитель Вронского.
1 Г
----1 ₽(.t) <i.r
685. Pi < 4p2.	689. v (x) = e 2 J .	691. p > 0,
q > 0.	692. p = 0, q > 0.
693. Допустим, что z/(jc) >0 на (a, b). Так как решение y(x)
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, то найдется
точка |е(о, Ь), в которой у'Ц) =0 и, значит,
Противоречие, так как в точке х = £ решение у(х) имеет мак-
симум и должно быть у" (£) <0. Следовательно, у(£)<0. Ана-
логично можно показать, что и в остальных точках g, если та-
ковые найдутся, будем иметь y(g)<0. Отсюда следует, что
у(х) <0 на (и, Ь).
706. а) Л = Л2, k = 0,1,2, б) А = 4й2, k = 0,1,2,
sh х
707. При любых А. 708. а) разрешима, у =-----------;
sh 2л
б) не разрешима. 709. 1) Л — <о2 > 0, у —
= С\ cos 2плх + С2 sin 2ппх; 2) А—<о2=О, ys C=const)
3) А, — со2 < 0, у = 0.	710. у =	1 + 4х — х2 .
sh х
711. у = a sin х. 712.i/ =------. 713. у = — e*sinx,
ch 1
„	_ 1 cos а (л — x)
714.	z/ = ea, 715.// =—- +---------;--------,	0<a<L
a2 sin ал
716.	у = 1 — cosx. 717. A = n, у = cos nx, n ~ 1,2,14
718.	А = n +	, у = sin	x, // = 0,1,,.,
719.	y=(x—l)e—x. 720. y = Csinnx, n = 0,l,2,;..}
C—произвольная постоянная. 721. у = 0,
722.	y = C(xlnx — x+1), C — произвольная постоянная,
723.	у- 0.	724. y = x-4--{-	725. у=1+
О 0-0
+ х-х2 + ..,,	726. у= 1	+	.
269
„	2х4 , 10х7	х’
727. y = r- —+ —	.	728. ,/ = %+ — 4-
2x5
5! +i,‘ ‘
(x-n)3
Зге +”
cos 1 — sin 1
Эе
(x — re)2
729. у = 1 4-	~	+
sin 1
“<*-e)24-
730. y = —
e
(x — e)3 + ,.,
л
731. y=~
xi , 2x°
4!	6!
732. у = 1 + x2 + ~ +
jc®	Г	x^
+ v + --- ; <=еГ)- 733. y = C! 1- —+
oi	L	“
x‘	(—l)nx2n 1 Г x3
+ 2-4 -,i’+ 2.4...2re +-'] + C2|x- b3 +
x3	(— 1)" х^Ч-1
+ 1-3-5	1-3.5.,.(2«+l)+“'
x2
У =
734.
3xe	3<5x8
—— 4-------4-1 • 4-
2'4! ‘ 6!	8!
(2n+ l)!!x2n+4
~ (2. + 4~ + ‘ ’ r*e(2"+!)'•' =
= 1 -3-5; . .(2n + 1),	735. </= —2-|-2x —x2 +
x3 x1 7x3	2г4
4--— —--------—... . 736.^=14----------
3	4	60	y 4!
2x3 , 2x6	 2x’ , 62x8
5! + 6! ~ 7! + 8!
/ x2 x3 x4 x5.
737. y= C, I + — 4--------4- —
J x\ 2^6	12	24
13x6
. 720
4-... )+
/	X3	X4	4- X‘ 4	X6	29x'
			
\	6	12	30	72	5040
x2 2x3	llx4	53x5	269xs
738. у x 4-	4- , 4- о	24 +	120 1	1	4-. 720
739. //= С1(1--^+^--4!1)4-СЛЛх(1--^- +
Й70
оо
Vn(n — l),..(n — k+ )	„
hi
k=0
741.
/	x
у = Cx 11 4 — +
\	о
1 -4x* 2
3-6
+
l-4-7xJ
3-6-9
+>..) +
8x	8-llx2	8-ll-14x3
— 4------------------------F
10	10-13	10-13-16
7
m
742. y= \l--~ +
l « + 1
E
4 (m + 2)
a2________
2 (m + 1) (m + 2)
где Co — произвольная пос-
тоянная,
m
P = T*
743
(	2 — a
у = Co x 1 4---------— x2 4-
I о
4-
(2 — ex) (12 —g)
120
JL
20
x4 4-i i. !, где Co—про-
извольная постоянная, p = 1,	744. у = C1J|y3(2x)4-
+ c2 J-i/з (2x). 745. у = Cj J1/2 (x) 4- C2 J_1/2 (x),
746. y = C. JQ +	747. !/=C1Je(2x)4-
\ О /	\ О j
+ СгУ9(2х).	748. у = x3/21J(x2) 4-
4" ^2 —5/4^	749. У — [Cj J^2 (j/x") 4-
+ C2J_I/2(y''x')]i	750. y— [C1J2(X)4-
4- C2 Y2 (x)J.	751. у = (Q J, (2x) 4- C2 (2x)].
1 VI cos nx 4- sin nx
U==~~ 2j ~ пз(„2_3)	•	753- Периодичес-
n=l
KHX решений нет. 754. у = C\ cos x + C2 sin x —
cos nx
n2 (n2 — 1) '	755' ПеРиодических решений
п=2
1-0	\.l COS nx 4- n si n nx
нет. 756. у = С — > ------------!--------
n3(n2-rl)
n=l
271
л2
757. Периодических решений нет. 758. у =--------- 4-
6
(п2 — 4) cos пх + 4п sin пх
/1=1
п2 (м24- 4)2
759.

n cos 2/inx
(fi2 n2 4- 0 (4n2 —
760.
У =
4n cos mx 4- (4 — ft2) sin nx
(2/i — I)2 (n2 4- 4)2
761.
768.
773.
776.
777.
Периодических решений нет. 764. [ (х)------. 767. Да.
х
Да. 769. Нет. 770. Нет. 771. Да. 772. Нет.
а) Да; б) Нет. 774. Да. 775. Нет,
( х = ЗС4 cos 3/ — ЗС2 sin 3/,
1 У = cos + G sl n 3t.
f x = Ct e' — C2 e~( +1 — 1,
778.
779.
780.
781.
782.
783.
784.
i x =— 2e~~l + 3e~11,
[ у = e—'	3e~11,
( x = (sin t — 2cos t) e—
( у = e~( cos t.
4 x = C4e—- + C2e~3/
[ у = Cte—1 + 3C2e—3' 4* cos t.
' x = (Cj — C2) cos t 4- (С2 4- C2) sin t,
у = C4 sin t — C2 cos t 4* C3if,
z —= Ci cos t 4- C2 sin t 4- C3e^B
x = C4e—1 + C2e2^,
у = C3e~' 4- C2e2',
z=-(C14-C3) e-'4-C2e2'.
(x = C-fi1 4~ C2e-' 4- Ca sin t 4- C4 cos t,
]_ у = Cie( 4- C2e—* — C3 sin t — C4 cos Д
Гх = С44-С2/4-С3/2,
C2	i3
J/ = -(Ci+2C3)Z--^- t3-C3— +Ct
Z	и
672
Р = (Cl + С2/) е'+ сзе-2',
( у = 2 (С2 — Ct — CJ) е‘ + С3е—2f,
			1 -M C
786. 1	х — ez, у = J — е2\	787.	<	1  t — Ct, И- у 1
			| l — c^. x — y
788.	г - Г р~°С‘ X —	t у = -%-е‘“\ * с2	789.	1	1 — - — = Ct, x	у 1 4- CiX = CBec'^.
( к2 — у2 = Ск 790. 1 1 х — у 4-1 — С2;		791.	x 4- у „ , tg 2 -Cte. tg^ = cz
792. !	у = Ctx, Ctx2 — С2 — 2е~1.	793.	f tg (x 4- y) = t, [ tg(x — y) =t.
794.	х = CJ, у = С2е<	795. 	t2 — x2 = Ct x2 — y2 — C2.
796.	СМ — СМ СМ М <о о II II II "а, %- g; + + 4-	797.	xy = Ci, , i1 Inx = C2 4- —- . 2C ]
798.	{х2 + y2 = CiX~t2, {у = С2х.	799.	r 2x 4- 31/ 4- 4z =Ci, (x24- y2 + t2 =C2.
800.	/	сг х = — 4- — > 3	I2 С2	(хг 4- у2 4- t2 = Ct, 801.	*	1 1 x2 — 2xy — y2 =Ca	
	У~С1	3	t2		
802.	f x = гС^' - 4Сае-3<, (!/ = C1c3-'4-C2e-sz. (x = 0,	803.	f x = Ci 4- C2sf , (x = e2t — e3t,
804.	[y = 0.	805.	у = e2^ — 2e3<,
Г х = — 5е2/ sinf,
[ у = е2> (cos I — 2 sin 0!
18—456
273
807.
* «4 С,е‘ - С2е-2'.
О
У = 4- Ge' + 2С2е-2',
О
2 = 4" С*е' - С^~2‘-
о
	х = С1е2‘ — С.,с3',	’ х = 1 — е—
808.	y = C1e2t — Ge',	809.	У == 1 — е-',
	z = С±е21 — Ge3' — С3е',	z = 2е-'— 1,
810.	х = ~4 е2' + 2Cie' + С2е—Л) 3 29	- ' Г"' — '
	У = ЛГ е2' + 3Cie' + С2е— О	
811.	( X = (1 — /) cos t — sin t, ( у = (t — 2) cos t + t sin t,
812.	f x = G cos t + G sin t + tgt, 1 У -- Ci sin t J C2 cos i —|- 2.
813 fX = С1 + 2С2е~' + 2е~/ In |е' — 1|,
( у = — 2Ci — 3<?se-i — Зе—' In |е' — 11,
814.	' x = G cos / + G sin t + cos t In | cos /| 4-1 sin t, у = — G sin t + G cos l — sin t In |cos t| + t cos /<
815. 	x = G cos t + G sin t + 1, у	Ci sin t 4- C2 cos t.
816. 	x = G cos 2/ 4- G Sin 2/ 4- t, у = G sin It — G cos 2/4-11
817.	x = — G sin t4- (G — 1) cos t, у = G cos / 4- G sin t.
818. .	x = C.e2' 4- C„ 4- e',	(x = — t, y = C1e2t — C2 — e';	' [y = 0.
820.	x = e',	J x = — G sin t 4- G cost -[-/» y = e'.	1 у = G cos / 4-G sin/4" I2 — 2
822.	x = — Cit 4- G — 2e~' — cos t — sin t, ^y = G — 2e—' 4- cos t. x = Ge' 4- C2 sin t 4~ G cos t,
823.	у = — Ge' 4- Geos t — G sin 14-1, г = G sin t 4- G cos t 4- 1;
824	x = e ,	. f	л (x = 4Cteer — C2e\ У = e ,	825. J 2=1	ty = Gs“'4-GG
826.	x = Ge2' 4- 4C2e7'. у = — 4Ge2' 4- 4Ge7\ x = 4Ge' 4- Ge6r —	•
827.	У = Ge' — Ge6' —	. 0
828.	' x = G®4' 4- Ge2' — e', у = Ge1' — C2e2' 4- e'.
829.	' x = G (1 4- 21) — 2C? — 2 cos t — 3 sin t, у = — Cxt 4- G 4- 2 sin
830. л	= e-2f — e-3'.	831. x = — (t3 4- 2/2 4-2/4- I)» /2 —2
832.	c = sin/4 833. x= л e 3/. 4
834.	= e—'	sin t — cos h 835. x = 0,
836.	x = —/2.	837. x = 1 — cos G 838. x = 04 2
839. 842.	c = e—G 840. x = — 1— t. 841. x = t. <=t-.	843. x = 11	844. x = 1 — 4/e-2f,
845.	t—	e',	846. x— (/ 4-1) sin/—cos/j
847.	к = /2 — 3/4- 4,	848. x = e' 4- sin /.
849.	/ /3	/2	\	/ /2	\ «= ——	4-/ e2'. 850. x== | — 4-/ — 2)e</2 к 6	2	)	\ 8	/
851.	«=(14-/) e-'4- (1 —/)e-2',
852.	/	t* x = — (6e3' — 2e~2');	853. x =	e—a/> 5	12
854.	x = e' -f- cos / — sin /1 855. x = 3 (1 4-/) sin 3/»
856.	I	1	\ к = /1 sin 2t 4- — cos 2/ : \	8	]
857.	x= (/ — 1) (cos / 4- sin/).
858.	x — e2' [(1 — t) cos / 4- (1 4- /) sin /],
274
18*
275
869.
862.
864.
866.
867.
868.
870.
872.
874.
876.
877.
878.
= t — l+2ez. 860 x = —H4.	861. x = /e/J
= 4Z (sin t — cos Z). 863. x = —(1 —cos 2Z+Z sin 2Z).
4
x — e1 4- e~z,	i x = 4e~2/ — 3e~;jZ,
j t 865. (	,	,
у = — ez + e-\	( у = Зе~3/ — 2e~2Z;
x = e' (cos t — 2 sin Z),
у — ez (3 sin t + cos Z),
5	13
x ~ — — + —“ cos It — 3 sin It,
4	4
у = Z 3 cos 2Z + —~ sin 2Z;
p = e(,
l У — e*.
11
x =— (sin z 4- cos Z) ,
y = — (sin t — cosZ) ,
x = 1 — ez,
У = — 2 4- 4ez — Zez, 87i_
2 = — 2 4- 5ez — Zez.
x= 1 4-3e2Z4-e-2Z,
у = e2Z — e_2Z,
2 = 2e2Z 4- 2e-2Z.
x = 3 — 2e-z,
У = e-z,
2 ~ е—* — 3.
zx=2(l-e-z-Ze-z),
( у = 2 — t — 2e-z — 2Ze-z.
x = ez 4" sin t,
t .	875.
у = e — sin t.
‘3
x= Z- —4-ez,
О
У = 1 4- -^7 z4 — ez.
x = cos i 4- e 3 i ,
у - — (cos Z — e—{ )
7
x= 12 (ch t — 1) — — Z-sh t,
y=7t-sht — 17(chZ — 1).
x = z24- z,
1	879 ( X = e/ <2 C0S “ sin
y = ~~^~t2‘	' (ji = ez (3cos Z 4~ sin Z)i
276
880. Неустойчиво. 881. Неустойчиво. 882. Устойчиво.
88.3. Устойчиво. 884. Устойчиво. 885. Устойчиво. 886. Неустой-
чивый фокус. 887. Седло. 888. Центр. 889. Устойчивый фокус
890. Устойчивый узел. 891. Неустойчивый узел. 892. Не-
устойчивый узел (дикритическин узел). 893. а<—1/г.
894. а) точка покоя асимптотически устойчива; б) точка
покоя неустойчива; с) точка покоя асимптотически устой-
чива. 895. V=2x2+3t/2, асимптотически устойчиво. 896. У =
= х4-|-(/4, устойчиво.
897.	У=х2——у2,	неустойчиво.
898. V — х-^у2, асимптотически устойчиво. 899. V = x2+y2, не-
устойчиво. 900. V=2x2-\~y2, устойчиво. 901. У = х2+у2, асимп-
тотически устойчиво. 902. V=x2—у2, неустойчиво. 903. У=
= х2-|--у у2, устойчиво. 904. У = х2+3у2, асимптотически устой-
чиво. 905. У = х4—у4, неустойчиво. 906. V = x4-|-2t/2, устойчиво.
907. И=хг—у1, неустойчиво. '908. V'=«3x2+2t/2, устойчиво.
9С9.ЙЗ условий, налЛ4емых на функцию.п(-И.........х"),	очевидно,
что данная система имеет тривиальное решение Х(=0,
х„=0. Принимая v за функцию Ляпунова, для производной
dt)
—— в силу системы получим
do
d/
Следовательно, тривиальное решение х = 0 данной системы
устойчиво по Ляпунову при ►-f-oo. Устойчивость будет асимп-
d”
готической, если ---- представляет собой отрицательно опре-
а!
деленную функцию. 910, Неустойчиво. 911. Устойчи-
во. 912. Устойчиво. 913. Устойчивой 914. Устойчиво. 915. Не-
устойчиво. 916. Устойчиво. 917. Неустойчиво. 918. Устойчиво.
919. Устойчиво. 920. Неустойчиво. 921. Исследование по пер-
вому приближению невозможно, так как корни характеристи-
ческого уравнения чисто мнимые. Однако существует функция
I/ = Зх2+4р2, удовлетворяющая всем условиям теоремы Ляпу-
dl' _______________________________________________________
нова об асимптотической устойчивости, в частности, —
= —(6.i44-8y*) <0. Следовательно, точка покоя х = 0, у = 0
асимптотически устойчива. 922. V=x2-j-y'J; решение х^0, у=0
асимптотически устойчиво. 923. Д<0,017. 924. Д<0,16.
925. Д <0,0012. 926. Неустойчиво. 927. Устойчиво. 928. Устой-
чиво. 929. Неустойчиво. 930. Устойчиво. 931. Неустойчиво.
932. Устойчиво. 933. Устойчиво. 934. Устойчиво. 935. Неустоп-
3
чиво. 936. Устойчиво. 937. а>~  938. Всегда неустойчиво.
5	2
939. а>—. 940. а>0, а0>1Э£а2. 941. а>—,0>О, 90-
277
—6а+4<0. 942. Устойчиво. 943. Устойчиво. 944. Устойчиво.
945. Устойчиво 946. Устойчиво. 947. Устойчиво. 948. Устойчи-
во 949. Неустойчиво. 959. Неустойчиво. 951. Неустойчиво.
952. Неустойчиво. 953. Устойчиво. 954. Неустойчиво. 955. Ус-
тойчиво. 956. Устойчиво 957. Неустойчиво. 958. Неустойчиво.
959. Неустойчиво. 960. Неустойчиво. 961. х=0 неустойчиво,
х=/‘+1 устойчиво. 962. x=t устойчиво, х = е‘ неустойчиво.
963. x = t при /<0 и х=—t при />0 устойчивы. 964. х=0
при /<0 устойчиво. 965. x=t устойчиво, х=е неустой-
чиво. 966, Неустойчиво. 967. Неустойчиво.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Некоторые формулы из дифференциальной геометрии
В декартовых координатах (рис. 65)
у' = tga
1.	Подкасательная ТР = —.
у
2.	Поднормаль PN=yy'.
3.	Длина отрезка касательной ТМ= —1 + у'2|
4.	Длина отрезка нормали MN= | y~\f 1	у'2 |
5.	Дифференциал длины дуги кривой dS= d*2 dy2
В полярных координатах (рис. 66)
dp
Р = Р(ф). Р' =—
d«p
6.	Угол Р между касательной и радиусом-вектором
1^ = 7"
279
7.	Полярная подкасательная ТО—
8.	Полярная поднормаль ON — р'
9.	Длина отрезка касательной ТМ =
Аур2+р<2
р
10.	Длина отрезка нормали MN= }/р2_|_ р'2
11.	Дифференциал длины дуги кривой dS = У р2+р'
d<p
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Основные оригиналы и их изображения
№	Оригинал / (i)	Изображение F (₽)= f U)
1	1	1 p
2	tn (л = 1,2,	nl
		pn+l
3	J“ (а > — I)	Г (Ц + 1) p“+*
4	If	1
	ел*	p — A
5	sin <о/	<0
		p2 + ft)2
6	COS <0/	p
		p2 F tt>2
7	sh Mt	(0
		p2 — (O2
з	ch <0/	p
		p2 — co2
9	sin (t — a) (a > 0)	1	ap
		P2+ 1
10	cos (t — a) (a > 0)	— ap
		P2 -Fl
11	t" eM, n= 1,2, :	n!
		(P-X)n+1
12	ta eM (a > — 1)	Г(а+1)
		(p-Ma+1
13	ex/ sin at	(0
		(p - A)2 + ю2
281
Орагинал f (/)
е1' cos «it
15	/sin со/
16	t COSCO/
jn (/) , П = 1 , 2 , ; . ,
Продолжение табл.-
ОО
Изображение F (р) ~ J f (О е—P^dt
О
18
19
20
p — A
(p —A)2 + co2
2pco
(p2 + co2)2
p2 — co2
(P2 -k <o2)2
(Kp2 + 1 — p)'1
/p2 +1
arcctg p
P
Erf f-— I (a > 0)
\2]6 J
P
In/
c = 0,57722 — постоянная Эй -
лера
ЛИТЕРАТУРА
1.	Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения,
ГИТТЛ, 1939.
2.	Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э.
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео-
рия устойчивости. М., 1968.
3.	Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. М., 1958.
4.	Гудыменко Ф. С., Павлюк И. А, Волкова В. А.
Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Киев, 1972.
5.	Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по выс-
шей математике, т. II, 1958.
6.	Д е м и д о в и ч Б. П. Лекции по математической теории ус-
тойчивости. М., 1967.
7.	КоддингтонЭ. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., 1958.
8.	К peep Л. И. Сборник упражнений по дифференциальным
уравнениям. М., 1940.
9	Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., 1974.
10.	Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкно-
венным дифференциальным уравнениям. М., 1970.
11.	Никольский С. М. Курс математического анализа, т. I,
II. М„ 1973.
12.	Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., 1964.
13.	П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. М., 1961.
283
14	Сансоне Дж. Обыкновенные Дифференциальные уравне-
ния, т. I, II. М., 1953.
15.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.,
1950
16.	Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М., 1962.
17.	Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. М., 1973.
18.	Филипс Г. Дифференциальные уравнения. М.—Л., 1950.
1950.
19.	Эл ьс гольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и ва-
риационное исчисление. М., 1965.
Стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .	.................................... 3
Из предисловия ко второму изданию.......................... 4
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка .	5
§ 1.	Основные понятия и определения............. 5
§ 2.	Метод изоклин............................. 11
§ 3.	Метод последовательных приближений .	.	17
§ 4.	Уравнения с разделяющимися переменными
и приводящиеся к ним...................... 21
§ 5.	Уравнения однородные и приводящиеся к
ним....................................... 30
1°. Однородные уравнения.............. 30
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным	.	32
§ 6.	Линейные уравнения первого порядка. Урав-
нение Бернулли............................ 36
Г. Линейные уравнения первого порядка	.	.	36
2°. Уравнение Бернулли................ 42
§ 7.	Уравнения в полных дифференциалах. Инте-
грирующий множитель........................45
1°. Уравнения в полных дифференциалах	.	.	45
2°. Интегрирующий множитель........... 48
§ 8.	Дифференциальные уравнения первого поряд-
ка, не разрешенные относительно производ-
ной ...........................................51
1°. Уравнения первого порядка n-й степени
относительно у'..................... 51
2°. Уравнения вида f(y, у')=0 и f(x, у') = 0 .	53
3°. Уравнения Лагранжа и Клеро............. 55
§ 9.	Уравнение Риккати .	.	....	57
§ 10.	Составление дифференциальных уравнений
семейств линий. Задачи на траектории ....	59
1°. Составление дифференциальных уравне-
ний семейств линий ........................ 59
2°. Задачи на траектории .................. 61
§ 11.	Особые решения дифференциальных уравне-
ний............................................ 64
§ 12.	Разные задачи............................ 73
Глава 11. Дифференциальные уравнения высших порядков . .	75
§ 13.	Основные понятия и определения ....	75
§ 14.	Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка.............................. 77
. .	§ 15. Линейные дифференциальные уравнения
n-го порядка....................................... 87
1°. Линейная независимость функций. Опре-
делитель Вронского,	Определитель Грама	87
285
Стр.
2°.	Линейные	однородные уравнения	с	по-
стоянными	коэффициентами	 94
|Д	3°.	Линейные	неоднородные уравнения с	по-
.	стоянными	коэффициентами............... 98
’'4°.	Уравнения	Эйлера...................... 115
‘ " 5°. Линейные дифференциальные уравнения с
переменными коэффициентами. Метод
Лагранжа ..............................117
6°. Составление дифференциального уравне-
ния по заданной фундаментальной систе-
ме решений.............................124
7°. Разные задачи................... 125
§	16.	Метод изоклин для дифференциальных	урав-
нений второго порядка 	 128
§	17.	Краевые задачи .	  130
§	18.	Интегрирование дифференциальных	уравне-
ний при помощи рядов	135
1°. Разложение решения в степенной ряд .	135
2°. Разложение решения в обобщенный, сте-
пенной ряд. Уравнение Бессетя	141
3°. Нахождение периодических решений ли-
нейных дифференциальных уравнений . .	152
4°. Асимптотическое интегрирование . . .	155
Глава til. Системы дифференциальных уравнений............ 164
§ 19.	Основные понятия и определения ....	164
§ 20.	Метод исключения (сведение системы диффе-
ренциальных уравнений к одному уравнению) 174
§ 21.	Нахождение интегрируемых комбинаций.
Симметрическая форма системы дифферен-
циальных' уравнений............................179
1°. Нахождение интегрируемых комбинаций 179
2°. Симметрическая форма системы диффе-
ренциальных уравнений......................184
§ 22.	Интегрирование однородных линейных систем
с постоянными коэффициентами. Метод Эй-
лера ..........................................186
§ 23.	Методы интегрирования неоднородных ли-
нейных систем с постоянными коэффициен-
тами ..........................................194
1°. Метод вариации произвольных постоян-
ных (метод Лагранжа)............... 194
2°. Метод неопределенных коэффициентов
(метод подбора) ................... 197
3°. Построение интегрируемых комбинаций
(метод Даламбера)......................202
§ 24.	Применение преобразования Лапласа к ре-
шению линейных дифференциальных уравне-
ний и систем...................................205
1°. Общие сведения о преобразовании Лап-
ласа ...............................205
2°. Решение задачи Коши для линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.........................208
Стр.
3°. Решедве систем линейных дифференциаль-
ных /равнений с постоянными коэффици-
ентами ...........................211
Глава IV. Теория устойчивости............................216
§ 25.	Устойчивость ио Ляпунову. Основные поня-
тия и определения..............................216
§ 26.	Простейшие типы точек	покоя............. 220
§ 27.	Метод функций Ляпунова.................. 226
§ 28.	Устойчивость по первому приближению . .	232
§ 29.	Устойчивость решений дифференциальных
уравнений по отношению к изменению пра-
вых частей уравнений .................... 236
§ 30.	Критерий Рауса—Гурвица...................238
§ 31.	Геометрический критерий устойчивости
(критерий Михайлова).....................240
§ 32.	Уравнения с малым параметром при произ-
водной .......................................-243
Ответы......................................'............248
Приложение 1. Некоторые формулы из дифференциальной
геометрии...........................................279
Приложение 2. Основные оригиналы и их изображения . .	283
Литература	..................................281
Михаил Леонтьевич Краснов,
Александр Иванович Киселев,
Григорий Иванович Макаренко
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Редактор А. Селиверстова
Художник Ю. Шлепер
•Художественный редактор В. Пономаренко
Технический редактор Н. Битюкова
Корректор Г. Чечеткина
ИБ 1125
Изд. № ФМ-618. Сдано в набор 09 02.78. Подп. в печать 09.06 78.
Формат 84ХЮ8*/з2. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Объем 15,12 усл. печ л 13,73 уч-изд. л.
Тираж 40 000 экз Зак № 456. Цена 65 коп.
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Владимирская типография Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д 7