АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
НАУЧНОЕ НАСЛЕДИЕ
П.Л.ЧЕБЫШЕВА
ВЫПУСК ПЕРВЫХ
МАТЕМАТИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА* ЛЕН ЯН ГРАД
'94-5

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
первого выпуска
академик С. Н. Бермштейн
АВТОРЫ СТАТЕЙ .
первого выпуска:
И, И. Axuescp, С. Н. Вернгитейп, И. М. Виноградов,
В. В. Голубев, В. Л. Гончаров, Б. В. Делоне

ОТ РЕДАКЦИИ
Предлагаемый сборник статей имеет целью облегчить читателю изучение
всего богатого научного наследия П. Л. Чебышева, включая последующее
развитие его идей, и состоит из двух выпусков: первый посвящен математи-
математическим работам (отв. редактор — академик С. Н. Бернштейн), второй — изо-
изобретениям и исследованиям П. Л. Чебышева по теории механизмов и машин
(отв. редакторы — академик Н. Г. Бруевич и член-корреспондент АН СССР
И. И. Артоболевский).
Теория и практика тесно связаны в творчестве П. Л. Чебышева. Но,
независимо от их фактических или возможных приложений, математические
исследования П. Л. Чебышева представляют огромную научную ценность и
именно они в первую очередь обессмертили имя нашего великого соотече-
соотечественника и оказали решающее влияние на дальнейшее развитие науки.
С другой стороны, его изобретения и своеобразные исследования в области
техники до сих пор не получили должного распространения. Без сомнения,
отделение теории от практики при анализе трудов П. Л. Чебышева является
несколько искусственным, но мы надеемся, что чтение статей обоих выпусков
будет полезно для восстановления утраченной после смерти П. Л. Чебышева
связи между математическим и техническим направлениями его творчества.
Однако в основном статьи первого выпуска имеют в виду лиц, достаточно
знакомых с важнейшими достижениями современной математики, между тем
как второй обращается к кругу читателей с соответствующим инженерно-
техническим образованием.

В. П. АХИЕЗЕР
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИНОМОВ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Автор «Теории сравнений", творец теории наилучшего приближения
функций— П. Л. Чебышев — является также творцом общей теории ортогональ-
ортогональных полиномов (или полиномов Чебышева), играющих весьма важную роль
в современном анализе и его приложениях.
Создавая новые теории, Чебышев начинал с детальной разработки кон-
конкретного вопроса, который ему представлялся „не любопытным или интерес-
интересным, г важным и необходимым" с точки зрения научных или практических
приложений и который требовал изобретения новых приемов и методов
исследования.
Таким вопросом при построении теории ортогональных полиномов явилось
параболическое интерполирование по способу наименьших квадратов, а ме-
методом исследования, изобретенным Чебышевым *, — разложение -в непрерыв-
непрерывные дроби функций вида
*
Еу.к f w(x)dx
где
Исследования Чебышева были подхвачены и продолжены рядом ученых,
среди которых прежде всего должны быть указаны А. А. Марков и
Стильтьес.
Работы Стильтьеса показали, что строгое и общее рассмотрение боль-
большинства относящихся к теории полиномов Чебышева вопросов требует при-
применения так называемого интеграла Стильтьеса, и мы в настоящей статье,
конечно, не можем отказаться от этого важного орудия.
В тех случаях, когда переход от суммы или обычного интеграла к инте-
интегралу Стильтьеса совершается без внесения существенных изменений в рас-
рассуждения, это современное изложение не может рассматриваться как припи-
приписывание Чебышеву фактов, найденных позже него.
* Иногда в литературе этот метод связывают с именем Гейне {31], но первенство,
несомненно, принадлежит Чебышеву. Чебышев обычно исходил из суммы, а результаты
распространял на интеграл, как предел суммы [4]. Гейне прямо рассматривал интеграл.

Н. И, Axueaep
§ 1. Построение ортогональных полиномов
Существуют два пути для построения ортогональных полиномов *. Отправ-
Отправным пунктом для первого пути является непрерывная дро5ь или, что то же
самое, якобиева матрица
3 =
а0 Ьо О 0 0...
i0 а, *, 0 0. . .
0 bi а2 Ь2 О. ..
где числа bt~^>0 и at вещественны. Отправным пунктом дчя второго пути
является позитивный функционал в пространстве полиномов или, что то же
самое, позитивная ганкелева форма - ¦ •
<. *=о
1. Начнем с первого пути. Имея якобиеву матрицу ^, рассматривают
уравнение в конечных разностях
Yk^=Kz-ak)Yk-b\_Jk_x (k= 1,2,3,...), 0)
где z есть параметр, или уравнение
: *^ir*-i'-h«A + *A+i ««Я (А = 1, 2, 3. ...), (bbis)
которое переходит в уравнение (I), если положить
. Я = П, Y^gjp-Lf-Yt (k = 1,2,3,...). B)
С помощью уравнения A) строятся две системы полиномов. Полиномы пер-
первого рода Sk(z) отвечают начальный условиям '
S0(z)=\, S,{z)r=z — au.
Для полиномов второго рода
/?„(*) = О, /?,(лг) = 1.
Легко видеть, что
Полиномы Sk(z), Rk{z) получаются с помощью преобразования B). Соотно-
Соотношения A) и начальные услозия показывают, что полиномы Sk(z) являются
знаменателями, а полиномы Rk(z)-^числителями подходящих дробей непре-
непрерывной дроби
— !— . C)
г-— ал —
Равным образом, из A) вытекает, что
* Из монографий по ортогональным полиномам см. Н. Ахиезер и М. Крейн [22с],
С. Н. Бернштейн [23 к], К. Поссе [40], Сегё [45], Щохат [48), Щохаг и Тамаркин [47].

Общая теория полиномов П. Л. ЧгЗышева
Определим теперь в пространстве полиномов однородный и аддитивный
функционал © с помощью равенств
@{.ЗДЗД}=г№ (I, 4 = 0, 1,2, ...) "E)
и найдем числа
st=©{**}. D = 0. 1, 2 so=l). . , F)
Легко доказывается, что функционал 2 позитивен, т. е. для всякого поли-
полинома КB)^= 0, удовлетворяющего условию Л"(^)^0(—оо<^<<^оо), имеет
место неравенство " ' ' ' "
©{А"(г)}>0.
Отсюда, если ?,- вещественны и не все равны нулю,
Таким образом, отправляясь от якобиевой матрицы ^, мы пришли к позитив-
позитивному функционалу © в пространстве полиномов и тем самым к позитивной
ганке левой форме Н.
. /\ . ¦¦¦ ...
Полиномы Sk(z) назовем ортонормироваккыми г.оликомарш или поли:о-
мами Чебышева относительно построенного позитивного функционала S.
Полиномы Sk(z), будучи ортогональными,
®{S,{z)St{z)}=0 (i^=k),
уже не нормированы.
Приведем теперь ряд важных соотношений, доказательство которых не
представляет никакого труда.
G)
о
о
ь0 о* ... о
а{ — z Ьх ... О
bl а2—z... О
а
0
Q
о
. о
,... sb
s,...
**-*«*-! —
= 0,1,2,...),
...S
1 г ... г*
Я_1 = 1 D = 0,1,2,...)
ft+1
(9)
A0)
D = 0,1,2,...),
= ?4=l°*±l D = 0, 1,2, ^..).
A2)
2. Перейдем ко второму пути для построения полиномов Чебышева. Те-
Теперь нам дана позитивная форма Н, причем мы можем считать, не нарушая

Н. И. Ахиезер
ебщности, что so=l. Определим в пространстве полиномов однородный и
аддитивный функционал 2 с помощью формул F). Этот функционал пози-
позитивен в силу позитивности формы И. Далее, мы можем построить полином
Sk(z) = 2*-\-..-,
удовлетворяющий условиям
@{^ (*)*'"}= О (/ = 0,1,2, ...,*—1), A3)
и назвать его ортогональным полиномом степени k относительно функцио-
функционала ®.
Искомый полином Sk(z) определяется однозначной может быть представ?
лен в виде (9).
Найдя полиномы Sk(z), мы можем всякий полином K(z) разложить по
полиномам Sk(z). В частности, должно иметь место разложение
zSk{z) = Sk+1 {z)^rAkSk(z) + BkSk_l (zh A4)
которое имеет вид соотношения A).
Умножая обе части A4) на гк~г и беря затем от обеих частей функцио-
функционал <2>, находим
_Рк.2Рк
ач — -JZ •
ик—\
Таким образом, Вк^>0, и мы можем положить
*• = *!-.•
Полагая далее
мы замечаем, что нами получена якобиева форма %, служившая ранее исход-
исходным пунктом.
Итак, между классом всех вещественных якобиевых матриц 3. Ддя кото-
которых b^U, и классом всех приведенных (so=l; позитивных ганкелевых
форм Н существует взаимно однозначное соответствие, и оба пути для по-
построения полиномов Чебышева оказываются эквивалентными.
§ 2. Интегральное представление позитивного функционала
Однородный и -аддитивный функционал 2>, заданный в пространстве всех
полиномов, назовем позитивным в интервале (и, Ь) (—оо^.и<^Ь=^оо), если
для всякого многочлена К(г), удовлетворяющего условиям
имеет место неравенство
Аналогично «водится понятие о позитивном функционале в пространстве
полиномов степеней, меньших п, а также понятие о функционале ненега-
ненегативном.
Не трудно привести примеры позитивных и ненегативных функционалов.

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева
А. Пусть для функции w (х) ;э= 0 (и<^х <^ Ь) существуют интегралы
(моменты)
ь
sk = ] x*w\x) dx (* = 0, 1, 2, ...; *„ >О).
-а
Функционал
ь
<5}\ A5)
в пространстве всех полиномов позитивен относительно интервала (а, Ь).
В. Пусть
*1<>2<---Otf («Он -
и
¦Функционал
.-ЛГ
©{*(*)} = 2 д, *(*,) A6)
1=1
позитивен относительно интервала (а, А) в пространстве полиномов степени
<^2Л/и лишь ненегативен в пространстве полиномов степени г^л при n^2N.
Этот же функционал относительно интервала (дг,, дгд,) позитивен только
в пространстве полиномов степени <^2N—2.
Приведенные случаи не исчерпывают всех позитивных функционалов,
# естественно возникает вопрос о том, каково „представление" всякого
позитивного функционала.
Полный ответ на этот вопрос был получен около четверти века тому
назад в результате ряда исследований, начало которым положил Стильтьес [44]
м которые связаны, с иченами Гамбургера [30], Риса [42], Карлемана [25] и
Неванлинна [38].
Относящееся сюда предложение * гласит:
Теорема. Всякий позитивный относительно интервала (а, Ь) функ-
функционал @ в пространстве полиномов степени <^л(^оо) допускает, по
крайней мере, х>дно представление
ь
®{K{z)) = \K(x)do(x), A7)
а
где а (дг) есть неубывающая функция с бесчисленным множеством точек
роста, для которой существуют все моменты
*
\хЧа(х) <* = 0, 1,2, ...).
С помощью представления A7) функционал ©, первоначально заданный
в пространстве полиномов степени <^ л, оказывается расширенным на более
широкое функциональное пространство, в частности, при я<^оо он расши-
расширяется на пространство всех полиномов с сохранением позитивности относи
тельно интервала (а, Ь).
* См. также Н. Ахиезер и М: Крейн [22с].

10 -Ш^-" " И, И. Ахигзер
• Если я<^оо, то функционал 3 допускает представления вида A7), для
которых а (х) имеет конечное число точек роста, т. е. представления вида A6).
¦Среди этих представлений выделяются представления с минимальным числом
точек роста, так называемые канонические представления *; это минимальное
число точек роста внутри интервала (а, Ь) не меньше, чем п ~ . Расширен-
яый функционал уже не позитивен, а лишь ненегативен.
Будем называть последовательность {s,-}j~l позитивной относителйно
интервала (<?, h), если позитивен относительно этого интервала функционал ©,
определяемый в пространстве полиномов степени <^л уравнениями
©{**}= sk (А=0, 1,2, ..., л —1).
Необходимые и достаточные условия для позитивности последозательно-
сти, а тем самым и функционала получаются очень просто; для этого нужно
только использовать общий вид неотрицательного полинома на данном интер-
интервале (а, Ь). Таким путем, например, доказывается уже отмеченный в § 1 факт,
что последовательность .{s/}§° позитивна относительно всей оси (— ос,.эо)
.в том и только том случае^ если позитивна форма
Сопоставление указанных только что обстоятельстве основной теоремой
приводит к следующей важной проблеме, которая называется
Проблема моментов. Дана последовательность {s(}*(«^ эа), по-
позитивная относительно данного интервала (а,Ь)[—оо <а<^&«^ <х>). Тре-
Требуется найти сосохупность всех неубывающих функций
для которых
st*=\x'da{x) (i= 0, 1,2, .,.,«).
Ниже мы увидим, что Чебышев вплотную подошел к этой проблеме, роль
которой в современном анализе недооценить невозможно.
Возвращаясь к рассмотрениям § 1, заметим, что после нахождения инте-
интегрального представления позитивной последовательности \st\f соотношения
•ортогональности
&{} '
которым удовлетворяют полиномы Чебышева, принимают вид
ь
что является выражением известной из элементов анализа (ряды Фурье, инте-
интегральные уравнения) ортогональности функций St(x), Sk{x) относительно
неубывающей функции распределения <з{х).
* Подробности относительно канонических представлений см. Н. Ахиезер и
М. Крейн [22с]. . . ..

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева И
§ 3. Подход П. Л. Чебышева
Не владея основной теоремой § 2, Чебышев не мог исходить ни из про-
произвольно заданной якобиевой матрицы ^, ни из произвольно заданной пози-
позитивной ганке левой формы Н.
Исходным пунктом для него должна была быть последовательность {st\,
фактически заданная своим интегральным представлением; а поскольку в то
время понятия об интеграле Стильтьеса еще не было, Чебышев должен был
исходить из последозательности вида
*
sk=\xkw(x)dx (w(*)s*0, A = 0, 1,2, ...) " (Щ
а ¦ ¦
или вида
! (fc>°. * = 0, 1,2,"..., 2.V-1).
Ограничимся рассмотрением первого случая, как более типичного
Имея последовательность A8), Чебышев строит ряд
который является формальным разложением интеграла
ь
Cw(x)dx
J г—х '
Этот ряд (или, что то же, интеграл B0)) Чебышев раскладывает в не-
непрерывную дробь вида *
' • B1)
л ' В
г Л| — - -г—
Предполагать эту дробь сходящейся мы не имеем никаких оснований, но
и надобности в сходимости как этой дроби, так и ряда A9). также нет, так
как дробь B1) нужна Чебышеву исключительно ради ее подходящих дробей.
Чебышев устанавливает, что числа Bt положительны. Поэтому непрерывная
дробь B1) может быть отождествлена с непрерывной дробью C). Нужно
только убедиться в том, что при формальное разложении ряда A9) в непре-
непрерывную дробь B1) величины At, УВ!+1 выражаются через коэффициенты sk
теми же формулами, что и величины а{, blt которые мы рассматривали в § 1.
С этой целью возьмем подходящую дробь А-го порядка
}
г —Ал —
г-А,-.
Мы предполагаем, чго sn = 1

12 И. И. Ахиезер
причем фл(г) = г*-(-•••., а значит <t>k(z) = zk-1-\ . Непрерывная дробь
вида B1), которая получается в результате разложения степенного ряда
вида A9), обладает следующим свойством, которым Чебышев постоянно
пользовался в своих исследованиях: разложение в ряд по убывающим степе-
степеням z подходящей дроби
совпадает с рядом A9) дб члена
включительно.
Но это означает, что
Отсюда, если положить
^W^^+ft-i^-'+fti-i^-'-b •• + />.. . B2)
получаются следующие уравнения
I PcSk
Исключая из B2) и B3) неизвестные р(, находим для фЛ(г) выражение
Sk~lSk- • -S2k-\
1 Z .. .Zk
которое совпадает (см. формулу (9)) с выражением полинома Sk(z).
Таким образом, знаменатели подходящих дробей для дроби B1) совпа-
совпадают с знаменателями подходящих дробей для дроби C), чем и доказывается
наше утверждение.
Мы видим, что переход от ряда A9) к непрерывной дроби C) в том
виде, как им пользовался в рассматриваемом нами вопросе Чебышев, является
не чем иным, как своеобразным описанием указанного выше соответствия
между классом позитивных форм Н и классом якобиевых матриц %. В совре-
современной математике непрерывные дроби играют ничтожную роль (например,
по сравнению с рядами), и математику нашей эпохи рассмотрение в духе
тех, которым посвящен § 1 настоящей статьи, значительно ближе, чем дей-
действия над непрерывными дробями; но в XIX в. интерес к непрерывным дробям
был велик. Этот интерес вызывался скорее не непрерывными дробями как
таковыми, а теми оригинальными и подчас неожиданными применениями,
которые непрерывные дроби находили при решении некоторых трудных во-
вопросов анализа. Типичный пример представляет знаменитый мемуар Абеля [20]_

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 13
Но особенно много и притом весьма разнообразных приложений мы на-
находим у Чебышева, чье математическое творчество связано теснейшим обра-
образом с непрерывными дробями и в этом отношении непосредственно примыкает
к Гауссу [29], Яко'ж [33] и Абелю [20].
§ 4. Некоторые замечательные системы ортогональных политшов,
построенные Чебышевым
А. Тригонометрические полиномы Чебышева 1-го рода [2,4]
^ (я= 1, 2, 3, . ..).
Соотношения ортогональности
1
i- Г Т, (х) Тк (х) Чт== = 0 {1ф *)•
1С
—1
Непрерывная дробь
1 Г 1 dt
2,- '
В. Тригонометрические полиномы Чебышева 2-го рода [2]
1 sin (к f 1)агс cos x ,
t/.W — гй sinarccosAr
Соотношения ортогональности
—0 1 2 >
— \и({х)ил{х)У1— x*dx=O AфЩ.
—i
Непрерывная дробь
1
У\ — t2 , л г——:— 1
С. Полиномы Чебышева [4] — Эрмита [32]
"v ' л! dx" л! '
Соотношения ортогональности
If* ~т
\ f-f I у-\ f-f I v-\ о ti v П I!—A- b\

14 ' Н. И. Ахиезер
Непрерывная дробь
оо ,
г —
Л
¦ D. Полиномы Чебышева [4] — Лагерр'а [36]
_ IЛ I -~" - ^^ •* -——— !(; " I , Л ——
" г*' я V" /7'
Соотношения ортогональности
Непрерывная дробь
j[ Z.,. (х) Lk {x) e~xdx = 0 (i=?k).
о
г —3-
Е. Ко не ч н о-р аз постный аналог полиномов Лежандра [2,4].
Функция распределения а(х) имеет конечное число N точек роста
скачки одинаковы
а (х{ -\- 0) — о (лг;. — 0) = 1,
так что
f{x)do(x)=, 2/@.
Полиномы имеют вид
/Л(лг) = А! А*(^) (X~kN) (* = °»1.2,..., N—1).
Оютношения ортогональности
S
15=0
При этом
Если Pft(/) есть полином Лежандра степени А, то при фиксированном
llm N~ktk(Nx)=PkBx— 1).
JV-юо

Общая теория полиномов П. Л. Чебыи ева 1>
, § 5. Ряд Фурье — Чебышева
В этом параграфе Мы рассмотрим в общем виде основную проблему, ко-
которую впервые поставит и. решил Чебышев для указанных в §3 конкрет-
конкретных реализаций позитивного функционала ©.
Пусть s(t) (a<^t<^b\¦—оо^д<?=^ос) есть неубывгющая функция,
имеющая конечные моменты люСого порядка
ь
sk=y*d3(t) (? = 0,1,2,...).
а
Число точек роста функции o(t) может быть как конечным, так и беско-
бесконечным. Мы будем предполггать, что имеет место второй случай. Что ка-
касается первого случая, с которым приходится иметь дело при интерполиро-
интерполировании, то его можно рассматривать, как вырождение случая второго*.
Будем пользоваться введенным в § 1 обозначением Sn(t) (я = 0,1,2,...)
для ортогональных полиномов (с равным 1 старшим коэффициентом). Кроме
того, будем применять обычное- обозначение L? для пространства всех функ-
функций }(t) (a<^t<^b), удовлетворяющих неравенству
*
и (f,g) для скалярного произведения
ь
(/, 5) = j/W m do (t) (/, g € Ц).
ч
Проблема Чебышева [1] гласит: Дана функция f (l) ? L?; среди всех
многочленов Pn(f) степени п требуется найти тот, для которого величина.
а
имеет минимум.
Решение. Искомый многочлен равен
а минимальная „погрешность" равна
2
Многочлен fn(t) есть отрезок (сумма Фурье—Чебышева) ряда Фу,, ье—Чебышева,
который сопоставляется функции f(t):
* Относительно приложений к интерполированию по предложенной Чебышевым
схеме см. классический курс А. А. Маркова [37е].

16
Н. И. Ахч'езер
Сумма Фурье — Чебышева может быть представлена в виде
/« (() = \кя с *)/(*) dcs (*). <24>.
где
Кп (А х) = ?J^L<>,.@5,(лг) = -%=!
. B5)
Формулы Чебышева [1] B4), B5), указанные им для кусочно-постоянной з(х),
в литературе часто называются формулами Блюменталя[24] и Кристофеля[26] —
Дарбу [27J.
Величина Min §л есть квадратичный функционал от /. Соответствующий-
билинейный функционал имеет вид
где
Чебышеву [12] принадлежат два интересных представления величины
Ra(f, 5)-
Первое из них имеет вид
ъ ь ь
1 Г Г С
,—rwt \ <*а (хо) \ йз (х{) ¦. ¦ \ da (xa+l)
а а а
1
1... 1
X ± • ¦ ¦ JC jj-^1
nx^nt::^)
Ь Ь
а а
1 1 ... 1
-Vj JC>* • * • X ^
yfl „Л v"
14
ь
l l ... l
д-Л Д-Я _ д-Я
1
t
B6)
Второе выражение получается из первого, если f(t), g(t) имеют конечные
производные порядка л-f-l, и имеет вид
где ?, 7) ^ (a,b).
Что касается доказательства формулы B6), то его достаточно провести
для случая g(i)= f{t). Проще всего исходить из того, что
р (f л—MinE —Q{№ '¦t"-t'j
а Gil, /f ^2 fni *
где 0{(р!,«2> •••»?*} есть обозначение определителя Грама, для которого
известно следующее представление *:
* См., например, Полиа-Сеге [39].

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева
17
{<Pi.«Pj. •¦••?*} =
К рассмотренной общей проблеме примыкают две минимум-проблемы отно-
относительно многочленов.
Проблема 1 (частный случай общей проблемы). Среди всех много-
многочленов
найти тот, для которого величина
Mo
имеет минимум (Чебышев [1]).
Решение. Искомый многочлен равен Sn (/), причем
Min ln=-J=^-
ип-\
Проблема 2. Среди всех многочленов степени п, удовлетворяющих
условию
где г— данкое комплексное число, найти тот, для которого величина
ь
имеет минимум.
Решение: Искомый многочлен равен
Кп(г,г) '
причем
ln{z)
= Min J
§ 6. Одна общая экстрелуп-проблепа Чебышева
относительно полиномов
Пусть в пространстве полиномов степени sg: n даны два однородных и
аддитивных вещественных функционала ? и ®, из которых второй позитивен
относительно данного конечного или бесконечного интеграла (а, Ь), Тре-
2 Научное наследие Чебышева. Вып. I

18 Н. И. Ахиезер
буется найти максимум Ма и минимум jio величины
когда Pa(t) пробегает совокупность S$n всех неотрицательных в интервале
(а, Ь) вещественных полиномов степени sg: п.
Решение этой проблемы Чебышева [11] зависит от того, конечен или
бесконечен интервал (а, Ь), а также от того, четно или нечетно число п.
Ограничимся рассмотрением случая а==—1, Ь=\.
Пусть полиномы Uk(t), Vk(t), Wk(t) степени k с равным 1 старшим ко-
коэффициентом определяются из условий
[ (t==O,l,...,A—1; ft = l,2,...).
{A— z2)Wlt(z)zi}=0
Положим
©{A—гIГ|(*)}
Легко проверяется, что
п (А — Di КМ-Ъ
Jh.iM
Di_1 5,A) '
Заметим теперь, что всякий полином Pim_±(i) € $2m-i имеет вид
Поэтому M2m_v \Lzm_i суть максимум и минимум формы
где
при условии, что
Л2 — 1 Я» — 1
1 = 0 j=0
Аналогично трактуется случай п — 2т. Разница лишь в том, что
/и—1
т /- /и—1

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 19
Отметим здесь один частный случай общей проблемы, рассмотренный Чебы-
шевым [9].
Задача о монотонных полиномах. Среда всех полиномов п-ой
степени с равным 1 старшим коэффициентом, изменяющихся монотонно
в интервале (— 1,1), найти тот, максимум модуля которого в интервале
(—1,1) имеет наименьшее значение.
Решение. Примем для определенности, что л = 2от и что речь идет
о полиномах, монотонно возрастающих. Пусть L2m есть искомый минимум
максимума модуля. Тогда
1 мах
1
и значит в данном случае
-1
Так как здесь*
* 2(*-+-l)
и простой подсчет показывает, что
при условии, что
B*+2I
_. 1 Г1-3-5- ••B*-НI
I 1.2-3--Л J
т—1
2
i=0
то
/ _оГ 1-2-3---/Я 12
2и»~~'5 L 1-3.5---B«—1> J '
а искомый полином равен
t
2т \(\ + t)U2m_^()dt—L2m.
§ 7. Некоторые теоремы о нулях ортогональных полиномов
Простейшие свойства нулей ортогональных полиномов дает следующая
Теорема 1. Пусть функционал S позитивен относительно интер-
интервала (а,Ь) и пусть Sk(z) (* = 0,1,2, ...) — ортогональные полиномы от-
относительно @, a Rk(z) — полиномы второго рода. Тогда
а) при любом вещественном т нули полинома
* Pk(t) есть полином Лежандра
2*

20 Н. И. Ахиезер
вещественны и различны, и по крайней мере п — 1 из них находятся внутри
интервала (а, Ь);
b) все нули полинома Sn(z) лежат внутри (а, Ь);
c) нули полиномов Sn(z;Tr), Sa{z;z"), где т'^т", перемежаются,
в частности, перемежаются нули Sn (z) и Sa_1 (z);
d) нули полинома Rn(z) вещественны и перемежаются с нулями Sn(z);
e) если
нули полинома Sa{z), то для всякого полинома F2n_l(z) имеет место
„квадратурная формула"
где
f) если положить
то матрица \\Фт(хi)\\ортогональна.
Введем в рассмотрение якобиевы формы
я—1 я—2
/=0 1=0
отвечающие матрице /, а также две последовательности ганкелевых форм
;_" \ («=i,2,...),
i,k=zo c+k+1 * )
причем последовательность { $;} ^, как всегда, позитивна относительно не-
некоторого интервала (а, Ь).
Пусть полиномы Sk(z) (k = 0, I, 2, ...) ортонормированы относительно
последовательности {^}§°.
Введем треугольную матрицу
аы (А = 0,1,2,...; / = 0,1, .... k)
с помощью разложений
k
~~ ito ы 1 —,,,....
Теорема 2. Если
я-1
Ч/ = 2 а« ^й (/ = 0,1,2, ... , л — 1),

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева
21
я-1
0
л-1
2
л—2
л-1
я—1
2)
i=0
Доказательство вытекает немедленно из соотношений A-bis), E) и F).
Формула (8), а также теорема 2 показывают, что нули полинома
?0 sl
sl...sn
= (— 1)"
S* -2-Oq Sn "ii| • • • о j 'ZS
So ZS, So ZSo •-. S
n-\
1 z... zn
образуют спектр якобиевой формы -/„(т^, 1i»-*-» Чл-i)-
В связи с этим 'Представляет интерес примыкающая к 'общей проблеме
§ 6 и доказанная Чебышевым для частного случая
Теорема 3 (Чебышев [11]). Наибольший и наименьший из нулей по-
полинома Sa(z) равны соответственно максимуму и минимуму отношения
п-1 п—1
V с. .
i, A=0
/=0
Переходим к двум предложениям Чебышева, 'касающимся последователь-
последовательностей { st }2"^'1, позитивных относительно интервала @, оо). Иначе говоря,
речь будет итти о случае, когда позитивны не только форма Нп, но и форма Gn;
в этом случае нули полиномов Sk(z) (k= 0,1,2,..., п) положительны.
Теорема 4 (Чебышев [17]). Если точка (s0, slt..., s2n_1) не выхв'
дит из области Д 2п-мерного пространства, в которой обе формы Нп
и Gn позитивны, то нули полинома Sn{z) 'суть возрастающие функции
от 5,, s3,..., s2n_j и убывающие функции от s0, s2, ... , s2n_2.
Доказательство этой теоремы, .данное Чебышевым, состоит в сле-
следующем. Дадим моменту sk приращение h, оставляя остальные моменты без
изменения. Новый ортогональный полином будет
где
2
|"=0
есть некоторый многочлен степени п—1, обращающийся в нуль при А = 0.
Если
нули полинома Sn(z), которые по условию все положительны, и если |А| до-
достаточно мало, то расположенные в порядке роста корни z{=^zt(h) поли-
полинома 51* (z) обращаются при /г = 0 в 2,-@) =гд;л
Надлежит доказать, что
(O) =(—!)*-».

22 Н. И. Ахиезер
Но это соотношение эквивалентно следующему
sign's 4@)л?=(—1 )»-*-'.
С другой стороны, легко показать, что 6я(лг) удовлетворяет уравнению
К(*) = -* (jr3/Г».! (*,*) [Sa (z) + 6„ (*)]^, B7)
где символ
представляет вычет функции F(z) относительно точки 2 = 0. Из B5) и B7)
находим, что
Поскольку же корни полинома
по условию положительны, то этот полином имеет вид
2л-1
где 5;>0.
Отсюда
sign 2 4 @) ^ = (— 1 J"-* sign ^.j (*,) = (— 1) -*-' ,
и теорема доказана.
В связи с теоремой 4 естественно возникает следующая задача: пусть
формы Нп и Оп позитивны и пусть дано положительное число А; требуется
найти нижнюю грань L(h) всех тех Н^>0, для которых позитивны обе формы
при любых вещественных е,-, удовлетворяющих неравенствам |г,-|^А:'.
Чебышев [17] показал, как функция L(h) может быть оценена сверху.
Результаты Чебышева получили дальнейшее развитие в работе А. А. Мар-
Маркова [37Ь]*.
Из других статей, примыкающих к этому кругу вопросов, отметим ин-
интересную статью М. Г. Крейна [34].
§ 8. Неравенства Чебишева — Маркова
Мы уже упомянули в § 2, что Чебышев вплотную подошел к проблеме
моментов. Остановимся на этом вопросе подробнее. В небольшой заметке [8],
представляющей доклад, который Чебышев сделал в 1873 г. на конгрессе
* Этот мемуар Маркова совсем нздавно A940) переведен на английский язык
Шохатом и напечатан в Duke Math. Journal G, p. 85—96).

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 23
Французской ассоциации для преуспевания наук (Association franchise pour
l'avancement des sciences) в Лионе, знаменитый математик обратил внимание
на одну проблему, которая восходит к Бьенэме A833) и на основе решения
которой может быть построен .заслуживающий особенного внимания" ме-
метод в теории вероятностей. Эту проблему Чебышев сформулировал следую-
следующим образом: „пусть f(x) неизвестная функция,]подчиненная одному только
условию сохранять знак -j- между пределами интегрирования; требуется по
величинам интегралов
А А А
[ f (х) dx, \ xf(x) dx, \ х* f(x)dx,...
определить предельную величину интеграла
а
\/(x)dx,
где
В конце заметки Чебышев приводит механическую интерпретацию ука-
указанной проблемы, если число заданных интегралов равно трем: „даны длина,
вес, место центра тяжести и момент инерции материальной прямой линии с
неизвестной плотностью, изменяющейся при переходе от одной точки к дру-
другой; требуется найти наиболее тесные пределы для веса некоторого отрезка
этой прямой".
Эта механическая интерпретация послужила основанием для терминологии,
которая окончательно установилась после работ Стильтьеса.
Чтобы сделать возможным подход к решению своей проблемы, Чебышев
принял, что число заданных моментов конечно (равно 2т), и для того слу-
случая, когда а есть корень некоторого алгебраического уравнения степени т
дал без доказательства точные неравенства, которым удовлетворяет
а
\f(x)dx.
<Г
Этот многочлен <b(z) есть знаменатель подходящей дроби для той непре-
непрерывной дроби, в которую разлагается интеграл
А
f f(x)dx
о
иначе говоря, ф(.г) есть ортогональный полином степени т относительно
веса f(x)@^x^ А), для построения которого нужны только первые 2т
моментов
А
sk=^x*f{x)dx (k = 0, I, 2, ..., 2m—1).
о
Современная формулировка проблемы Чебышева, показывающая, что эта
проблема является типичной проблемой моментов, такова: дана позитивная
относительно интервала (а, Ь) последовательность

24 И. И. Ахиезер
пусть 9К8 есть совокупность всех неубывающих функций о {х)
для которых
^ (ft = 0, 1, 2, .... д—1);
а
требуется найти
Л1E)= Sup \do(x), B8)
m($)= Inl \ ds{x), B9)
где ? — заданная точка из интервала а<^
Общее решение проблемы Чебышева дал впервые А. А. Марков [37а]
через 11 лет после появления заметки Чебышева. Маркову принадлежат
также важные обобщения чебышевской проблемы.
Сам Чебыше-в опубликовал несколько статей [13, 14, 16, 18], посвящен-
посвященных поставленной им проблеме.
Одна из статей [14] заканчивается следующим важным примером: пусть
0( — оо<лг<оо) и
оо оо
Г x*f(x) dx = -L Г x*e-x2dx (ft = О, 1, 2, ..., 2л — 1); C0)
тогда при
—-L Г
— ЗK ]/"« — 1
Это неравенство было значительно уточнено в работе Н. Сонина [43], ко-
который показал, что
Однако уже из приведенного неравенства Чебышева вытекает, что если
равенства C0) имеют место для любого т, то
результат весьма важный для теории вероятностей, который Чебышев [15J
пытался использовать для доказательства своей предельной теоремы.
Как видно из приведенного примера, Чебышев не исключал возможности
того, что две функции могут иметь одинаковые моменты любого порядка
и быть все же различными (случай неопределенной проблемы моментов по
установленной Стильтьесом терминологии).
Заканчивая этот параграф, приведем один любопытный пример *, сооб-
сообщенный Чебышевым [19] в письме к С. Ковалевской.
* Предоставляем читателю доказать оба неравенства рассматриваемого примера
с помощью элементарных оценок.

Общая теория полиномов II. Л. Чебышева 25
Дана функция Ф(?) (<^>0), которая при ^ = 0 обращается в оо и от-
относительно которой известно, что
где F(z) — некоторая (неизвестная) функция, удовлетворяющая неравенству
Тогда при любых р^>0, а^>0:
Ф" (?)
ф'(р)
1 . Ф (с)
-1ог ф^
1
§ 9. Вывод неравенств Чебышева — Маркова
Дадим вывод неравенств Чебышева — Маркова для того случая, когда
число заданных моментов четное, а распределение массы ищется на конеч-
конечном отрезке, за каковой мы примем интервал (— 1, 1).
Итак, дана последовательность {s{}02m~1, позитивная относительно ин-
интервала (— 1, 1).
Пусть Ш2т есть совокупность всех неубывающих функций в(х), для
которых
г
st= \ xld<3(x) (i = 0, I, 2, ..., 2m—1)
—i
Проблема 1. Внутри интервала (—1,1) дана точка S. Требуется
найти
ряF)= Sup {a(& + 0) — o(? — 0)};
иначе говоря, требуется найти максимальную массу, которая может
быть сосредоточена в данной точке ? при таком распределении масс по
интервалу, для которого моменты s{ (i — 0, I, 2, ..., 2т—1) заданы.
Решение*. Величина pm(S) равна
где ^2/n-i есть совокупность всех вещественных полиномов степени ^ 2т— 1,
не принимающих отрицательных значений в интервале (— 1, 1).
Этот результат показывает, что рассматриваемая нами проблема сво-
сводится к общей проблеме §6.
Воспользовавшись обозначениями и результатами §6, не трудно получить
явное выражение функции ри($).

26 Н. И. Ахиезер
В самом деле, из сказанного в § 6 вытекает, что
т—1 т—1
CT_t j^
I *=0 J I '=0
Отсюда не трудно вывести, что
где
„A) /?\ __ Д>и-1 \
Лт-2 «.-iff) S'm (S) - 5m E) 5^_t E) -
Эти формулы можно представить в виде
откуда
Нули лгА(Л=1, 2,..., m) полинома Sm(x) и нули ^/й (A=l, 2,...,m — 1)
полинома Wm_t{x) удовлетворяют неравенствам
Пусть Е(~г) есть система интервалов
( —1, лг,>, О,, лг2>, ...,
и ?W — система интервалов
<^1. У1>, <*2>У2>> •¦•' <хш> V-
Точка ? принадлежит ?(-1), если
^л, E)^.-1 F)<о,
и принадлежит ЯA^, если
5(S)r(
Поэтому
Рт ~~ I Р(от°E). если 5 6?()-
В аЛ2/л существует одна и только одна экстремальная функция <зо(х), для
которой
* Мы следуем здесь статье Н. Ахиезера и М. Крейна [22d]r

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева
27
Единственными точками роста функции о0 (х) являются нули полинома
в+1({) Sm(t) Sm_,(t)
sm+i (t; 5, i) =
если ???4-!), и нули полинома
Sm(\) S^
Jm + I
/;?, —1) =
если ? ???W.
Проблема 2 (Чебышев [8]). При условиях проблемы 1 определить
Е ?
ЛТE)= Sup \ «а (л:), m(?)^ Inf \ da(x).
Решение получается с помощью найденной экстремальной функ-
функции о0(лг), а именно
J J О V •
Для доказательства, которое принадлежит А. А. Маркову [18а], обозначим
точки роста функции <?0 (л:), лежащие внутри интервала (— 1, 1) через
и построим полином Ф(г) степени sg 2т—1 по следующим условиям (фиг. 1):
А,
/ а, а2 а, а^
(Ь)
Ф(а1) = 1, Ф'(о1) = 0
Ф(о,) = 1, Ф'(а«) = 0
Ф(«*_',) =Г, Ф'кЛ^
Ф 1
Легко показать, что полином Ф(г) удовлетворяет неравенствам

28
Н. И. Ахиезер
Его график схематически изображен на фиг. 1. Мы замечаем, что для лю-
любой функции в{х)?Ш2т
I 1 1 Н-о
^<to(*)*sf <b{x)do(x)=\\ <i>(x)d<jo{x)= f da0 (x),
откуда видно, что
I/
Фиг. Ч
Аналогично доказывается, что
Е-0
«(?)= ^ d<,
— 1
Для этого нужно построить^ полином Ф(г), удовлетворяющий усло-
условиям (a), (b) и, кроме того, следующим двум:
Фиг. 2 изображает схематически его график.
§ 10. Квадратурные фориулы с одним фиксированным узлом.
Примеры
Результаты предыдущего параграфа позволяют построить квадратурную
формулу с минимальным количеством узлов, верную для любого многочлена
степени ^2т—1, если один из узлов, назовем его $, задан.
Примем для определенности, что ? ? ?("Ч. В таком случае точки роста
экстремальной функции во(х) совпадают с нулями полинома Sm+1 (x; ?, 1),
которые обозначим через
Если а (л:) g ЗК2/и» то для любого многочлена F(x) степени^ 2т—1 имеет
место искомая квадратурная формула
1 т
\ F(x)da(x) =

Общая теория полиномов П. Л. Чебышеяа
29
где Y<a) есть некоторое неотрицательное число, которое обращается в нуль,
если Sm(?) = 0, в каковом случае приведенная здесь формула переходит
в формулу, указанную в § 7.
На вычислении коэффициента у^1* мы здесь останавливаться не будем.
Аналогичная формула имеет место при Z^EW.
Имея в виду дальнейшие приложения, рассмотрим два примера на на-
нахождение функции pm(S).
Пример 1. Пусть
— 1
0>
В этом случае
( 2т —
=1. 2. 3, ...),
где
и
cos у
. 1
sin у
1
2* sin 9
= 0, 1, 2, ...),
/l=cos_6,
Поэтому *
Пример 2. Пусть
2 sin у
= [ хЧх (А==0,\'-1,'2, ..., 2/и—1).
C1)
В этом случае приходится иметь дело с полиномами Лежандра.
Приведем окончательную формулу
9т( }~ A -V)Plti)-ZPmii)Pn?)+m(m+l)P'ify + \PmfyP'm(l)\- C2)
Эта формула играет важную роль в исследованиях С. Н. Бернштейна, о ко-
которых мы будем говорить ниже.
§ 11. Два простых приложения неравенств Чебышева — Маркова
Мы видели выше, что между каждыми двумя нулями полинома Sm(x)
лежит один нуль полинома 5ш+1(лг). Стильтьесу принадлежит более общее
предложение: между каждыми двумя нулями полинома Sm(x) лежит по край-
крайней мере один нуль полинома 5ч(лг), если п~^>т.
* См. статью [22 d].

30 И. И. Ахиезер
В ¦ свою очередь теорему Стильтьеса содержит, как частный случай,
следующая общая
Теорема 1. Если неубывающая функция в (х) € ЗКг»» имеет более т точек
роста, то а{х) не может оставаться постоянной в открытом интервале
между двумя соседними нулями полинома Sm(x).
Доказательство. Обозначим нули полинома Sm{x) через
*1<>2<- -От-
Построим экстремальную функцию о0(лг)бЗКгт в предположении, что S рав-
равняется ^одному из корней xk. Функция во(х) имеет точно т точек роста,
каковыми являются числа хг.
Пусть функция а(х)?Ш2т имеет более т точек роста. Тогда, в силу
неравенств Чебышева — Маркова,
Xk+O хъ+0 k
а(*, + 0)—о(—1)= С do{x)< С *,W=jp,D
k Jffc + i—0 jrj + ,—О
2 ?«(¦*/)=" \ *oW< \ doix) = o(xk+l — 0) — a(— 1).
Поэтому
и теорема доказана.
В качестве второго приложения докажем одну теорему Эрдеш—Туран Г2
которая приведена также в книге Сеге [45].
Теорема 2. Рассматривается функция в(х){—1<л:^1), для ко-
торой
w
«^(д:) — ортогональный полином относительно функции распределе-
распределения я{х), и Arft = cos6ft, xk+i==cosbk+1(x!l<^xll+i) два соседних нуля поли-
полинома Sm{x), то
Доказательство. Имеем
Поэтому
где 2R2m есть совокупность неубывающих функций т(дг), для которых
1 1
(А = 0, 1, 2, ..., 2m—1).
Л
В силу неравенств Чебышева — Маркова можем яаписать

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 31
Но
* P(t)dx(t)
J
= Inf z±
pioesB,,,-,
Отсюда, применяя соотношение C1), получаем, что
и теорема доказана.
§ 12. Квадратурные формулы П. Л. Чебышева
Выше мы уже говорили о построении некоторых квадратурных формул
в связи с неравенствами Чебышева — Маркова. Однако для практических
целей эти формулы мало пригодны, так как и узлы и коэффициенты в них,
вообще говоря, иррациональные числа.
Подходя ко всякой приближенной формуле прежде всего с точки зрения
ее практичности, Чебышев обратил внимание на квадратурные формулы, в
которых все коэффициенты имеют одинаковые значения или, по крайней
мере, значения, одинаковые по модулю.
„Важность приближенных формул этого рода, — говорит Чебышев [7],—
побуждает меня предложить некоторые соображения, касающиеся таких
формул".
В соответствии со сказанным, предметом исследования Чебышева являются
квадратурные формулы двух родов. Квадратурная формула первого рода
имеет вид
1
С F(x)p(x)dx = k[F(x1) + F(xi)-\ \-F(xn)], C3>
-1
где р(х) — заданная функция, для которой
1
C4)
Квадратурная формула второго рода соответствует случаю, когда условие
C4) не выполняется, и имеет вид
\ F(x)q(x)dx = k[F{xx)-\ \-f(xm) — F(xm+i) F(x2m)] C5>
— 1
1
q(x)dx=0).
Начнем с рассмотрения первой формулы. Поскольку в нее входит «—(-1
параметров (коэффициент k и лежащие в интервале (—1, 1) числа

32 Н. И. Ахиезер
xv jc2, ..., xn), Чебышев ставит требование, чтобы формула была точной
для всякого многочлена степени sg: п. Это требование приводит к следую-
следующей системе уравнений:
хг -I— хг -4- • • • -\— хг '--'¦ — .s (г = 0 12 п)
где
1
sr — { xrp (x) dx,
для решения которой Чебышев прибегает к искусственному приему. А именно,
полагая
и замечая, что, с одной стороны,
п
f *г' __ V4 ^ __ ^! |_ j?l _1_ -?i--4- ... 4- Sn 4- ...
] \z) r—\z~~Xr
а с другой стороны,
l
Г PWdx _ ?о i ?l _l_ 4- —"_ -4-
J z—x г'г*1 1~ гп+1 "Г "'
—l
он приходит к соотношению
l
Г p(xLx____hf(z) l
) z — x
—l
откуда
l
1 j /» (X) log (Z - *) fl?X= log igl+ О
—l
« значит
l
-^ ^ р(лг) log (г—лг) d*
Таким образом, для нахождения полинома /(г), а тем самым и абсцисс хг.
надлежит из разложения в ряд по убывающим степеням z функции
¦- \ p(x)yo%(z-x)dx
С
выделить целую часть
Се -1
1
?- ^ р (X) log B —X) dX
/{г)=:ЕСе -1
На этом исследование заканчивается, и Чебышев переходит к примерам.
В первую очередь он применяет свой общий метод к случаю Эрмита

Общая теория полиномов 17. Л. Чебышева 33
(р (х) = ,_ j и весьма изящным путем находит, что
I
f\z) = к^г! cos s arc cos z,
как этого и следовало ожидать.
Затем Чебышев полагает />(*)= 1, что соответствует случаю Гаусса [29].
Здесь должны получиться уже новые формулы, так как в формуле Гаусса
коэффициенты при значениях функции не одинаковы.
Так как
1
^
то для функции f(z) получается выражение
Гаусс построил свою формулу для значений л от 1 до 7. Может быть, этим
объясняется, что Чебышев фактически находит f(z) только для в=2, 3, ..., 7;
он определяет нули f(z)— они лежат в интервале (—. 1, 1)—и квадратур-
квадратурные формулы построены. Если бы Чебышев взял для и лишь одно следующее
значение (в = 8), он получил бы многочлен f(z) с мнимыми корнями, так
что при в=8 формула Чебышева невозможна.
Оказывается, что при и = 9 формула Чебышева снова существует.
Вопроса о том, для каких значений и все корни уравнения /(.г)=О:лё^
жат в интервале (—1, 1), Чебышев не ставил. Этот вопрос.решил недавно
академик С. Н. Бернштейн [23b, d], доказав, что при яЗз. 10 квадратурная
формула Чебышева с весовой функцией р (х) — 1 невозможна *. Ниже мы
подробно остановимся на исследованиях С. Н. Бериштейна ¦•*. .
Переходим к рассмотрению квадратурной формулы Чебышева второго
рода. Так как в эту формулу входит 2т-\- 1. параметров и, в силу, условия
относительно q{x), свободный член роли не играет, то Чебышев требует,
чтобы формула C5) была точной для всякого многочлена степени sg: 2т-j-1.
Полагая
•••B — х2т),
он снова рассматривает интеграл
1
q (x) dx
* Интересный вопрос о том, как располагаются в комплексной плоскости нули
полинома /(г), исследовал Р. О. Кузьмин [35], который нашел асимптотическое пове-
поведение нулей при я -»- оо. ' '
** См. также Н. Ахиезер [21]. . .
3 Научное наследие Чебышева. Вып. I

34 ¦ ft. И. Ахиезер
и находит, что
1
Cg(x)dx ,/»'(*) ф'(
откуда
и значит
— - I
1
q(x) \oz,(z—x)dx
На основании этого соотношения можно вывести правило для нахождения
многочленов <р(.г), ф(г) и того уравнения, которому должен удовлетворять
коэффициент к. Это правило Чебышев формулирует следующим образом-
ЯС этой целью разлагаем выражение
1
-т Ч (х) log (г—х) их
¦ *i,
е
в непрерывную дробь, останавливаясь на частном^ соответствующем подхо-
подходящей дроби, для которой числитель и знаменатель — m-ой степени. Прирав-
Приравнивая нулю коэффициент при — в полном выражении этого частного, мь»
получим уравнение, которым определится величина постоянной k, а подставляя .
найденную таким путем величину k в числитель и знаменатель нашей под-
подходящей дроби, мы получим искомые функции ф(г), <р {z)u.
На этом и здесь общие рассмотрения заканчиваются, и Чебышев перехо-
переходит к примерам.
Для первого примера он полагает д(х) = х и получает следующие фор-
формулы:
j xF(x)dx = 0,23937 {F @,89224) -j-F @,50030) —
— F (— 0,50030) — /=¦( — 0,89224)},
1
j xF(x)dx = 0,32363 {/=¦ @,84905)-f
-)-/:'@,18093)—.f(—0,18093)—/=•( — 0,84905)}. ' ' '
Для второго примера Чебышев берет д (дг) = , и строиг две квадра-
квадратурные формулы, которые оказываются весьма удобными для вычисления.

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 35
интегралов вида
1С
j cos nb F (cos 6)йГ6 (я= 1, 2, 3, ...).
Через 22 года после мемуара Чебышева появилась замечательная. статья
А. А. Маркова [37 с], посвященная одной новой проблеме моментов. В этой
статье Марков также занимается вопросом о построении квадратурных фор-
формул типа C5), но он требует, чтобы формула была точной для любого
многочлена степени ^ 2т, тем самым несколько ослабляя требование Чебы-
Чебышева. Благодаря этому Маркову удалось указать весьма широкий класс
функций д{х), для которых квадратурная формула C5) (точная для много-
многочленов степени <; 2т) существует при любом т. Более того, при любом т
Марков строит бесчисленное множество своих квадратурных формул, а именно
по одной для каждого k из некоторого интервала.
Отметим также, что для своих формул Марков нашел выражение оста-
остаточного члена.
Вот две формулы Маркова для веса д(х) — х:
-3- V I35J/+
1 +
1306
2296350
Марков занимался также квадратурными формулами вида
/я+1 т
\ F{x)g(x)dx = k[ Д Пх{) — .2 F(y,)], C6>
верными для любого многочлена степени ^2от-(-1, где g(x) заданная
функция, удовлетворяющая условию
1
—1
Любопытно, что формула C6) при g(x)<=], в отличие от квадратурной
формулы Чебышева первого рода, существует при любом т.
Приведем три формулы для этого веса, найденные Марковым:
1
4-^"(&).
—1
3*

36 Н. И. Ахиезер
-1
В монографии по проблеме моментов, написанной М. Г. Крейном и
мною [22 с], даиы необходимые и достаточные условия для существования
квадратурных формул Маркова и исследована связь, которая существует
между формулами Маркова и Чебышева.
§ 13. Исследования академика С. Н. Бернштейна о квадратурных
формулах с положительными коэффициентам
С. Н. Бернштейн, как мы выше уже упомянули, показал, что при
первая квадратурная формула Чебышева для веса р(х) = 1 невозможна. Метод
Бернштейна оказалася столь сильным, что позволил доказать невозможность
формулы также и при.в = 8, что уже было обнаружено раньше при попытке
фактического построения формулы. Кроме того, этот метод дал возможность
доказать ряд важных предложений относительно квадратурных формул с лю-
любыми положительными коэффициентами.
В основе метода С. Н. Бернштейна лежат два предложения, являющиеся
следствием неравенств Чебышева — Маркова.
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн [23с]). Пусть р(х) (—Кдг<1) — ве-
вещественная функция, для которой
Если имеет место квадратурная формула
С/(*)/> (*)<** = 5>/(*,),*А>0. (—l<*i <*,<...О„<1), C7)
-1 t-i
верная для всех многочленов f{x) степени ^2/я—1, то
Pt^?m(Xt)> C8)
где рт(х) есть введенная в § Э функция для последовательности
1
st= f xtp{x)dx (/ = 0,1,2, ..., 2т —\).
¦ -1
Если хотя бы для одного i в C8) имеет место знак =^, то он имеет
место для всех i, причем п = т, и узлы xk совпадают с корнями поли-
полинома Sa(x), ортогонального относительно последовательности {Sf}^"—1.
Теорема 2 (С. Н. Бернштейн [4с]). Если при условиях теоремы 1
а~^>т, то
где $j и ?т суть наименьший и наибольший корни полинома Sm(x).

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 37
Аналогичные теоремы установлены также для случаев, когда имеет место
одно из равенств
¦*! = —1, Х„=\
или оба.
Приведенные теоремы приводят к необходимым условиям для существо-
существования квадратурных формул с положительными коэффициентами.
Наибольший интерес представляет случай р(х) — \. В этом случае функ-
функция рш (х) выражается через полиномы Лежандра [см. формулу C2)]. С по-
помощью этой формулы, а также некоторых оценок для полиномов Лежандра
и для нулей этих полиномов С. Н. Бернштейн доказал упомянутую выше
теорему о невозможности квадратурной формулы Чебышева при п—8
ия^Ю, а также следующее предложение:
Теорема 3. В квадратурной формуле Котеса
верной для всех многочленов степени п, среди коэффицентов Ct непременно
должны быть отрицательные числа, если п ^10.
С. Н. Бернштейну принадлежат также некоторые достаточные условия
для того, чтобы формула квадратур, пригодная для многочленов данной сте-
степени, имела положительные коэффициенты.
Благодаря этому им дан общий метод для построения формул квадра-
квадратур, в которых коэффициенты суть положительные рациональные числа с воз-
возможно малым общим знаменателем, а также формул, в которых узлы суть
рациональные числа с возможно малыми знаменателями.
Приведем несколько формул этого рода, указанных С. Н. Бернштейном [23g,h].
1° Для многочленов 11-й степени справедлива формула „
f
где
f /(*) dx = -L { 2 A, [f{xt) +/(- xt)] + Bf @) }
2° Для многочленов 11-й степени справедлива формула
1
Г 1
Jt Х~ 8
• 1 г /• i
3° Для многочленов 13-й степени справедлива формула
1
у (л) их — -jTj у \,Xi) -f-y ^л2; -ру ^ х1) -fj \ л,
1

Н. И. Ахиезер
4° Для многочленов 11-й степени справедлива формула Котеса с поло-
положительными коэффициентами, если за узлы принять
±1; ±0,9; ±0,8; ±0,6; ±0,4; 0.
§ 14. Об одной биортогональной системе функций Чебышева
Заканчивая настоящий обзор, мы хотим еще остановиться на одной инте.
ресной биортогональной системе функций, построенной Чебышевым.
Напомним, что биортогонеиьной системой функций относительно данной
неубывающей функции я(х) (—lsSJtsgl) называют систему, состоящую из
двух последовательностей
удовлетворяющих условию
1
J ak(x)vm
Имея какую-нибудь функцию f(x), для которой существуют встречаю-
встречающиеся далее интегралы, мы можем сопоставить ей чисто формально следую-
следующий ряд:
/(*)- 2 Akuk(x), D0)
4 = 0
где
1
Л= \f(x)vi(x)d(s(x), D0-bis)
и затем поставить вопрос.о сходимости этого ряда и о возможности исполь-
использовать его отрезки дня приближенного представления функции f{x),
Чебышев [2] рассмотрел случай а(х) = х. Руководствуясь теми же со-
соображениями, которые в дальнейшем привели его к квадратурным формулам
с одинаковыми коэффициентами, Чебышев построил биортогональную систему,
для которой функции vk{x) кусочно постоянны и принимают . всего два зна-
значения -J-1 и —1. Точнее говоря, он построил систему, для которой
^(*) = signQft(x), D1)
где Qk(x) есть многочлен А-ой степени с простыми корнями, лежащими
в интервале (—1, 1).
Эти функции имеют вид
«*(*)= sign f!l^ilii = sign sin (А-1-1)?, (ft = 0,1.2, ...), D2)
где
;t = cos <p.
Соответствующими функциями ufc{x) при этом оказались полиномы от х,
именно
. * +1
1 (ri\ 5Ш —И— ?
(* = C0S(P)' (А = 0,1,2, ...). D2-bis)

Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 39
Здесь d пробегает все нечетные делители числа А-J-l, причем d=\ к
d = k-{-}, (если k-{-\ нечетно) не исключаются, a ji(a) есть функция Мё-
Мёбиуса, т. е. jxA) = 1, р.(а) = О, если а делится на квадрат, отличный от
единицы,}! (а) = (—1)г, еспи а^>1 и не делится ни на какой квадрат,
отличный от единицы, причем г есть число простых делителей числа (к про-
простым делителям единица не относится).
Через 40 лет, занимаясь некоторыми общими вопросами, А.А. Марков [37d]
«ашел второй интересный случай, для.которого ,
^Система Маркова имеет вид
vo=-\, wft=signcosA:cp, D3)
d/k . •
(* = cos<f>), (?=1,2, ...),
где d пробегает все нечетные делители числа k, не содержащие квадратных
множителей, а h есть число простых множителей' вида 4т-\-1, содержа-
содержащихся в d. •
Ряды по функциям Чебышева и Маркова напоминают ряйы Фурье по одним
синусам или одним косинусам.
Переходя от многочленов и интервала (—1,1) к тригонометрическим
¦суммам и интервалу (—тт, тт), можно объединить обе системы в одну, кото-
которая порождает ряды, соответствующие тригонометрическим рядам общего вида.
Будем называть биортогональную систему C9) системой Чебышева—Мар-
Чебышева—Маркова относительно функции распределения а(х), если uk(x) есть полином
степени А, а vk(x) имеет вид D1), где Qft(jf) — многочлен степени k.
Исследования А. Маркова содержат следующую теорему: биортогональ-
яая система Чебышева—Маркова для данной функции распределения в (у) един-
единственна; полином Qk(x), входящий в выражение функции vk{x), есть тот из
полиномов степени k с равным 1 старшим коэффициентом, для которого
система полиномов uk(x) после нахождения функций vk(x) получается при
ломощи процесса, аналогичного процессу ортогонализации Е: Шмидта.
Сравнительно недавно Радемахер [41] рассматривал систему функций
w»(<p)*= sign sin B«cp) (л = 1,2, ...),
Это ортогональная, но, очевидно, не полная система, играющая важную роль
в некоторых рассмотрениях, касающихся рядов со случайными, коэффициентами.
Система Радемахера является частью системы Чебышева, и можно ожи-
ожидать, что система Чебыщева, содержащая sign всех синусов, есть система
полная. Это, действительно, справедливо, но на доказательстве мы не оста-
остановимся.

40 Н. И. Ахиезер
В заключение отметим, что при рассмотрении рядов D0) по биортогональ-
ным функциям Чебышева—Маркова естественной метрикой является метрика
пространства LK
В самом деле, из формулы D0-bis) вытекает, что
•1
= J
где Pk_t(x) — произвольный полином степени k—1.
Поэтому
\У
где Ek{f(x)} есть погрешность наилучшего приближения функции f{x)
в метрике Z.J с помощью полинома степени.А — 1, и если f(x) есть функция
абсолютно монотонная, то в этом соотношении имеет место знак = при
любом k [23 m].
Отсюда, между прочим, вытекает, что если абсолютно монотонная функ-
функция f(x) разложена в ряд по полиномам uk{x) биортогональной системы
Чебышева — Маркова, то коэффициенты этого разложения представляют по-
погрешности наилучшего полиномиального приближения функции f(x) в мет-
метрике Lo.
В связи с этим полезно следующее разложение, указанное Чебышевым *:
*v "
а-х JUy
*=о
где д^>1, а функции uk(x) определяются формулой D2-bis).
На основании приведенного разложения сразу получаются точные выра-
выражения для Ea{f(x)} в случае а(х) = х, если f(x) есть одна из простей-
простейших аналитических функций с той или иной типичной особенностью в точке
X = а, для погрешности наилучшего приближения которых в метрике С
известны лишь асимптотические формулы, найденные в свое время С. Н. Берн-
штейном [23i].
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Работы Чебышева
1. О непрерывных дробях, 1855. Соч., т. I, стр. 203—230 **.
2. Об интерполировании в случае большого числа данных, доставленных наблюде-
наблюдениями, 1859. Соч., т. I, стр. 387—469.
3. Об интерполировании по способу наименьших квадратов, 1859. Соч., т. I,
стр. 473—498.
4. О разложении функций одной переменной. 1859. Соч., т. I, стр. 501—508.
5. Об интерполировании, 1864. Соч., т. I, стр. 541—560.
6. О разложении функций в ряды при помощи непрерывных дробей, 1866. Соч.,
т. 1, стр. 617—636.
7. О квадратурах, 1873. Соч., т. II,. стр. 165—180.
* Точнее говоря, у Чебышева приведено разложение функции -j.
** Соч. — Собрание сочинений П. Л. Чебышева, изданное под ред. А. А. Маркова
и Н. Я. Сонина, том I, СПб., 1899; том И, СПб., 1907.

Общая теорий полиномов П. Л. Чебышева 41
8. О предельных величинах интегралов, 1873. Соч., т. II, стр. 183—185.
9. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля, 1873. Соч., т. II, стр. 189—215.
10. Об интерполировании величин равноотстоящих. 1875. Соч., т. II. стр. 219—242.
И. Об отношении двух интегралов, распространенных на одни и те же величины
переменной, 1882. Соч., т. II, стр. 377—402.
12. Об одном новом ряде, доставляющем предельные величины интегралов при раз-
разложении подннтегральной функции на множители, 1883. Соч., т. II, стр. 405—417.
13. О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных
вычетов, 1885. Соч., т. И, стр. 421—440.
14. Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов,
1886. Соч., т. И, стр. 443—478.
15. О двух георемах относительно вероятностей, 1887. Соч., т. И, стр. 481—492.
16. О суммах, составленных из значений простейших одночленов, умноженных на
функцию, которая остается положительной, 1890. Соч., т. II, стр. 561—610.
17. О разложении в непрерывную дробь рядов, расположенных по нисходящим
степеням переменной, 1892. Соч., т. И, стр. 613—666.
18. О суммах, зависящих от положительных значений какой-либо функции, 1894.
Соч., т. II, стр. 681—698.
19. О суммах, составленных из коэффициентов рядов с положительными членами,
1886. Соч., т. II, стр. 733—735.
Работы других авторов
20. Abel N. Sur l'integration de la formule differentielle f<!^-, R et p etant
У R
des fonctions entieres. Journ. f. Math., 1826.
21. A x и е з е р Н. И. Про теорему акад. С. Н. Бернштейна вШносно квадратурно!
формули П. Чебишова. Журн. 1нст. Матем. АН УРСР, № 3, 1937.
22. Ахиезер Н. И. и Крейн М. Г. а) С. R. Acad. Sc. Paris 102, 1935.
b) О некоторых формулах квадратур П. Чебышева и А. Маркова. Сборник, посвя-
посвященный памяти акад. Д. А. Граве, ГТТИ, 1940.
c) О некоторых вопросах теории моментов. Харьков, 1938.
d) Оценки для коэффициентов в квадратурной формуле Гаусса. Тр. Одесского
гос. универ. 1938.
23. Берн штейн С. Н. a) Sur une ргоргШё des polynomes de Tchebycheff.
ДАН СССР, 1927.
b) О формулах квадратур Котеса и Чебышева. ДАН СССР, 14, 1937.
c) О формулах квадратур с положительными коэффициентами. Изв. Акад. Наук
СССР, 1937.
d) Sur la formule de quadrature approchee de Tchebycheff. С R. 203, 1936.
e) Sur les formules de quadrature a coefficientes поп negatifs et abscisses equidistantes.
C.R. 204, 1937.
f) Modifications de la formule de quadrature de Tchebycheff. C. R. 204. 1937.
g) Примеры формул квадратур с положительными коэффициентами и рациональными
абсциссами. Тр. Ленингр. Инд., инст. 1937.
h) Примеры формул квадратур, аналогичных формуле Чебышева. Тр. Ленингр. Инд.
инст., 1938.
i) Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных
функций одной вещественной переменной. Москва, 1937.
к) О многочленах, ортогональных в конечном интервале. ГНТИУ, 1937.
1) Деяш застосування параметричного методу до вивчення квадратурних формул.
Зап. НД1 мат. i мех. ХДУ и Хармвського математ. Товариства, 15, 1938.
гп) Об одном свойстве многочленов Чебышева. ДАН, СССР 1927.
24. Blumenthal О. Uber die Entwicklung einer willkiirlichen Funktion nach
den Nennern des Kettenbruches fur \ fJ&^.. Diss. Gottingen, 1898.

42 Н. И. Ахиезер
25. С а г 1 e m a n T. Sur les equations integrates singulieres a noyau reel et syme-
trique. Uppsala, 1923.
26. С h г i s t о f f e 1 E. B. a) Uber die Gauss'sche Quadratur und eine Verallgemei-
nerung derselben. Journ. Math. 55, 1858.
b) Sur une classe particuliere de fonctions entieres et de fractions continues. Ann,,
di Matem. 2, 8, 1877.
27. D a r b о u x G. Memoire sur l'approximation des fonctions de tres grands nom-
bres. Journ. de Math. 3, 4, 1878.
28. E rd б s and T u r a n. On Interpolation I, II. Annals of Math. 2, 38, 39, 1937—1938.
29. Gauss C. a) Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1 + ^- x -f- • • •
C. Gott. rec. 2, 1813. T
Ъ) Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. С Gott.
rec. 3, 1816.
30. H a m b u r g e r H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems
I, II, III. Math. Ann. 81—82, 1920—1921.
31. Heine E. a) Mittheilung Uber KettenbrUche. Journ. Math. 67, 1867.
b) Handbuch der Kugelfunktionen, 2 Aufl., 1878—1881.
32. H e r m i t e Ch. Sur un nouveau developpement en slrie de fonctions
С R. 58, 1864.
33. Jacob i С G. I. Uber Gauss'neue Methode, die Werte der Integrate'naherungs-
weise zu finden. Journ. f. Math. 1, 1826.
34. К р е й н М. Г. а) О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных
колебаний валов. Мат. сб., 40, № 4, 1933.
Ь) Об одном специальном классе целых и мероморфных функций. Статья VI в [22 с]
35. Кузьмин Р. О. С. R. Acad. Sc. Paris, 201 A935), 202 A936).
оо ¦ ¦ ¦¦
36. Laguerre E. Sur l'integrale \ ^ZLdx. Bull, de la Soc. Math. Fr. 7, 1879.
37. M a p к о в А. А. а) О некоторых приложениях алгебраических непрерывных
дробей, СПб., 1884.
Ь) О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби. Приложе-
Приложение к LXXIV тому Зап. Акад. Наук, 1894.
¦ с) Новые приложения непрерывных дробей. Зап. Атсад; Наук, 1896.
d) О предельных величинах интегралов в связи с интерполированием. Зап. Акад.
Наук, 1898.
e) Исчисление вероятностей. Москва, 1924.
38. Nevanlinna R. a) Asymptotische Entwicklungen beschrSnkter Funktionea
und das Stieltjessche Momentenproblem. Acta Fennicae, Ser. A, 18, 1922.
b) Uber beschrSnkte analytische Funktionen. Acta Fennicae, Ser. A, 32, 1929.
39. Полна и Cere. Задачи и теоремы из анализа, I—II, Москва, 1937—1938.
40. П ос се К. Sur quelques applications des fractions continues algebriques. СПб.
1886.
41. Rademacher H., Einige SStze uberReihen von allgemeinenOfthogonalfunktio-
nen. Math. Ann. 87, 1922.
42. R i e s z M. Sur le .probleme de moments I, II, III. Ark f. mat. astr., och fys.
16, 17, 1922—1923.
43. Сонин.Н. О точности определения предельных величин интегралов. Зап.
Акад. Наук, 1892.
44. Stieltjes Т. ftecherches sur les fractions continues. Ann. de Toulouse, 8—9,
1894—1895; имеется русский переьод.
45. SzegO G. Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 23, 1939.
46. Shohat I. Theorie generale des polynomes orthogonaux de Tchebychef. Mem.
des Sc. Math., 61, Paris. 1934.
47. Shohat I. and T a m а г k i n I. The Problem of Moments, Math. Surveys, 1,1943,

С. Н. БЕРПШТЕЙН
О РАБОТАХ П. Л. ЧЕБЫШЕВА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Число работ П. Л. Чебышева по теории вероятностей невелико — всего
четыре: магистерская диссертация .Опыт элементарного анализа теории ве-
вероятностей* [1], изданная в Москве в 1845 г.; вслед за ней. в 1846 г.
в „Journal fur die reine und angewandte Mathematik* появляется статья «De-
«Demonstration elementaire d'une proposition generate de la theorie des probabi-
lites» [2]; после более чем двадцатилетнего перерыва, в 1867 г., Чебышев
публикует одновременно в „Математическом сборнике" и в „Journal de ma-
thematiques pures et appliquees" работу „О средних величинах* [3] и, на-
наконец, снова проходит более 20 лет до напечатания в 1887 г. его последней
работы—„О двух теоремах относительно вероятностей" [4] в „Приложении
к Запискам Академии Наук", т. 55, № 6.
Работы [2], [3] воспроизведены в I томе A889) и работа [4] — во II томе
A907) Собрания сочинений П. Л. Чебышева, изданного С.-Петербургской
Академией Наук. Магистерская диссертация [1] не вошла в упомянутое со-
собрание сочинений, так же как и курс лекций Чебышева по теории вероят-
вероятностей, читанных в С.-Петербургском университете с 1860 по 1882 г., ко-
которые лишь недавно были опубликованы по сохранившимся записям A879 —
1883 г.) его знаменитого ученика академика А. М. Ляпунова.
То обстоятельство, что Чебышев, едва окончив университет, выбирает
предметом своей магистерской диссертации теорию вероятностей, свидетель-
свидетельствует о его особом интересе с самых ранних лет к этой своеобразной об-
области математики. :
2. Как известно, теория вероятностей при своем зарождении была далека
от общего движения наук о природе, и единственным экспериментом, на
котором выросли и уточнились ее важнейшие понятия и основные принципы,
были азартные игры. На этой почве Яков Бернулли более 200 лет тому назад
открыл свою знаменитую теорему, которая дает Ключ к пониманию процесса
возникновения массовых закономерностей из независимых индивидуальных
случайностей и представляет первую точно доказанную, хотя и весьма част-
частную, формулировку закона больших чисел. Важнейшим следующим этапом
развития теории вероятностей были классические исследования Лапласа и
в первую очередь предельная теорема Муавра—Лапласа, которая устанавливает

44 С. Н. Бернштейн
предельный закон вероятностей
—оо
для уклонения числа л: появлений некоторого случайного события Е от ма-
математического ожидания а=гпр числа х при я опытах, соответствующих
элементарной схеме Бернулли, в которой Е имеет постоянную вероятность р
(при этом дисперсия о2 числа л: равна, как известно, пр{\—р)). Таким об-
образом, закон больших чисел и нормальный закон 0(х) Лапласа, имеющие
фундаментальное методологическое значение, были установлены в'своей про-
простейшей форме еще в XVIII столетии; крупной заслугой Лапласа было также
и то, что он предугадал чрезвычайную общность этих законов, и из узкой
сферы азартных игр вывел теорию вероятностей на широкую арену научного
естествознания.
Благодаря влиянию Лапласа первая- половина прошлого столетия знаме-
знаменуется повышенным интересом к теории вероятностей и увлечением ее при-
приложениями; но многие из этих приложений были недостаточно обоснованы,
и некоторые из них, поддерживаемые даже самим Лапласом и Пуассоном, были
столь явно ошибочны, что впоследствии Джон Стюарт Милл вполне заслуженно
квалифицировал их как „математический скандал". В результате таких неудач
увлечение сменяется разочарованием, и среди западноевропейских математиков
становится широко распространенным убеждение, что теория вероятностей
является лишь своего рода математическим развлечением, не допускающим
существенных научно обоснованных приложений и едва ли заслуживающим
внимания серьезных ученых.
3. Иначе отнесся к назревшему в теории вероятностей кризису Чебышев.
Со свойственным ему практицизмом, не останавливаясь на глубоком фило-
философском обосновании теории вероятностей как метода научного исследования,
которое стало возможным лишь в наше время, Чебышев понял, что если су-
существуют реальные случайные явления (азартные игры), На которых с макси-
максимальной точностью подтверждаются простейшие математические выводы теории
вероятностей, то содержание и более общие выводы теории вероятностей
должны найти практическое применение подобно тому, как из применимости
формул геометрии к вычислению площади прямоугольника вытекает также
применимость ее формул и в случае более сложных, достаточно точно опре-
определенных плоских фигур. Необходимо лишь в терминах тех же основных по-
понятий строить более гибкие теоретические схемы, точно математически опре-
определенные, приспособляя эту конструкцию к свойствам наблюдаемых в дейст-
действительности случайных.событий и величин. «Наука о вероятностях, известная
под именем теории вероятностей, — говорит Чебышев в своей диссертации, —
имеет предметом определение вероятности события по данной связи его с со-
событиями, которых вероятности известны*. В частности, стержневыми пробле-
проблемами для Чебышева были две основные задачи, от решения которых зависела
дальнейшая судьба теории вероятностей: точная формулировка и строгое
математическое доказательство, соответствующие ¦ возможно широкому классу
случайных явлений, во-первых, закона больших чисел и, во-вторых, предельной

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 45
теоремы для сумм независимых случайных величин. Из этих двух вопросов,
далеко не одинаковой трудности, поставленных в молодые годы, первый был
им блестяще решен в работе [3], а второй был предметом глубоких размыш-
размышлений Чебышева до конца его жизни, и лишь в мемуаре 1887 г. „О двух
теоремах теории вероятностей" он получил по существу полное решение.
В настоящем очерке мы постараемся проследить в общих чертах, насколько
это возможно на основании рассмотрения опубликованных им работ, главные
этапы творческого пути Чебышева в этом направлении.
i. На первой работе Чебышева [1] мы долго останавливаться не будем;
она важна только своей целеустановкой: точно формулировать общие тео-
теоремы теории вероятностей и доказывать их, выдвигая на первый план нера-
неравенства и оценку погрешности предельных формул. Таким образом, закон
больших чисел, так же как предельный нормальный закон, имеют для Чебы-
Чебышева смысл не как математические характеристики некоторых бесконечных
множеств, а как приближения к количественным отношениям, наблюдаемым
в достаточно многочисленных реально существующих объединениях тех или
иных случайных элементов; при этом существенно, чтобы слово »достаточно"
было вполне определенно математически расшифровано.
Основные положения теории вероятностей, указываемые Чебышевым в на-
начале диссертации, не отличаясь по существу от принятых его предшествен-
предшественниками, сводятся к следующему: «Если из определенного числа различных
событий при известных обстоятельствах одно необходимо должно случиться
и нет особенной причины ожидать какого-либо из этих событий преимущест-
преимущественно перед другими, то такие события отличаем названием случаев равно-
возможных. Итак 1 и 0 суть пределы вероятности событий, из которых
первого оно достигает, увеличиваясь, для событий необходимых; второго,
уменьшаясь, для событий невозможных. Для всех же других событий, в ко-
которых нет необходимости и невозможности, вероятность остается отличной
от 1 или 0. Здесь приближенно мы считаем несомненным, что события будут
или не будут иметь места, если вероятности их мало разнятся от 1 или 0.
Таковы все заключения, выводимые из наблюдений и свидетельств".
Не может быть сомнения в том, что Чебышев ясно видел недостаточность
использованного им „элементарного алгебраического метода": в частности,
теорема Пуассона (закон больших чисел) доказана была им в работе [1]
лишь для случая ограниченного числа различных вероятностей. Повидимому,
в поисках новых путей он только во время печатания диссертации нашел
общее элементарное доказательство теоремы Пуассона с соответствующей
оценкой погрешности, представляющее первый пример экстремального рас-
рассуждения, характеризующего всё дальнейшее творчество Чебышева. Изло-
Изложению этого доказательства посвящена работа [2] 1846 г.,* являющаяся
* В подзаголовке к этой работе, напечатанной в Journ. fflr die reine u. angew.
Math., значится: Extrait d'un memoire russe sur l'analyse eleraentaire de la theorie des
probabilites. Здесь, очевидно, имеется в виду диссертация [1], хотя главная часть этой
заметки в диссертации отсутствует; из этого можно заключить, что работа [2] фигури-
фигурировала при защите П. Л. Чебышевым его диссертации, которая состоялась в Москве
в 1846 г.

46 С. Н. Бернштейн
ценным оригинальным добавлением к диссертации. Приведу текстуально ха-
характерное для П. Л. Чебышева начало статьи: „Предметом этой заметки
будет доказательство следующего предложения: можно всегда назначить столь
большое число испытаний *, при котором будет сколь угодно близка к досто-
достоверности вероятность того, что отношение числа повторений некоторого
события Е к числу испытаний не уклонится от средней арифметической ве-
вероятностей события Е свыше данных пределов, как бы ни были тесны эти
пределы.
Это основное предложение теории вероятностей, заключающее как част-
частный случай закон Якова Бернулли, было выведено Пуассоном из формулы,
которую он получил, вычисляя по приближению величину одного довольно
сложного определенного интеграла («Recherches sur la probability des juge-'
ments», Chap. V). Однако, как ни остроумен способ, употребленный знаме-
знаменитым геометром, он не доставляет предела погрешности, которую допускает
этот приближенный анализ, и вследствие такой неизвестности величины по-
погрешности доказательство не имеет надлежащей строгости".
Доказательство Чебышева основано на следующем замечании: вероят-
вероятность Рт, что событие Е при у, испытаниях случится не менее чем т раз,
равна некоторому выражению, которое симметрично относительно всех рь,
где pk (k = 1, 2,..., р.) есть вероятность Е в k - ом испытании, и линейно
относительно каждого из чисел рк (например, р^ и рг); таким образом,
где U, V, W уже не зависят от рх и pz. Из этого равенства видно, что если
0<<* = /?!-jr-/?2<; 1, то Pm=^U-\~ Va-f- WpiP2 достигает наибольшего зна-
значения либо при p1=pi = ^, либо при Pi = 0; случай а^>\ приводится.
к предыдущему заменой написанного выражения Рт аналогичным выражением,
составленным при помощи ^i—1—Ри to—1—Pi-,Отсюда без труда полу-
получается такая теорема специфически „чебышевского" типа: наибольшая вели-
величина, которую может иметь Рт в случае, когда Pi-\~p^-\-' • • 4-/^— & со~
ответствует величинам ри..',Р^ данным уравнениями
' Pt=Pt = '--=P9 = O, pf+1 =•••=-pf+, = l,
P
где р^О, 5^0 означают определенные числа.
Таким образом,
(У —Р —«)» ( S-c \ж-«/|> —S—рХр-д-рГ
—o)!(|i — т — р)Ц|»— Р — о/ Kv—p — aJ L
I р. —ст —р S — g _i 1 .
"Гот—в+1 * ji —5 — р" "" J '
.
* Следовало упомянуть, что испытания независимы (поскольку фактически Чебы-
шев здесь, как и во всех своих работах, рассматривает лишь независимые события).
Принципиальная ошибка Пуассона, фактически исправленная Чебышевым, заключалась
в том, что он применял свою теорему без разбора ко всяким событиям.

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 47
заменяя прогрессией члены суммы, убывающие быстрее, чем в геометрической
прогрессии с знаменателем *~~^п~~? • ~_^ , находим
— o)!()i — m — p)! \ji— р — о/ \р — р — а)
p)! \ji— р — о/ \р — р — а) m—S'
После этого Чебышев замечает, что при m~^>S-\-\ правая часть неравен-
неравенства увеличивается с уменьшением целых чисел р^>0 и 0^>0; отсюда
полагая р=±о = О, получаем простое неравенство
где рщ есть вероятность, что число появлений события Е равно т, когда
все вероятности pt (i = I, 2, ...,ji) равны р.=р=-—(т. е. когда схема
Пуассона превращается в соответствующую схему Бернулли). Благодаря
аналогичной оценке вероятности Р'п, что событие Е произойдет не более
чем m<^S—1 раз, доказательство заканчивается без труда; таким образом,,
те же полученные в работе [1] для случая Бернулли весьма точные значе-
значения нижней границы числа jx испытаний, достаточных для того, чтобы вероят-
вероятность выхода уклонения из данных пределов была меньше некоторой произ-
произвольно малой величины, оказываются применимы к общему случаю Пуассона.
Возможно, что мысль о существовании неравенства вида A) появилась у
Чебышева в связи с фактом, который вряд ли ускользнул от его внимания,
что дисперсия числа появлений события Е при р. независимых испытаниях,
соответствующих данной средней вероятности р=— , максимальна, когда
все вероятности равны. Как бы то ни было, своеобразное остроумное до-
доказательство этого неравенства является лишь изящным эпизодом в твор-
творчестве Чебышева, не связанным с методом математических ожиданий или
моментов, которые он создал значительно позднее. В то время он еще был
далек от этих методов, которые открылись ему в связи с решением кон-
конкретных проблем из других областей математики; „трансцендентные" методы
Лапласа его не удовлетворяли, а обычные алгебраические методы оказались
слишком слабыми для того, чтобы существенно расширить поле надежных
приложений теории вероятностей.
5. Как известно, в течение ближайших лет после защиты магистерской
диссертации Чебышев написал ряд замечательных работ по интегрированию
алгебраических функций посредством элементарных функций и обессмертил
себя классическими открытиями по распределению простых чисел, разрешив
задачи, не поддававшиеся усилиям величайших математиков.
Решение задач об алгебраических интегралах привело Чебышева к углуб-
углубленному изучению свойств алгебраических непрерывных дробей, которые
вскоре сделались его излюбленным орудием исследования, оказавшимся в
руках Чебышева исключительно мощным и плодотворным. Трудно, однако,
предположить, что Чебышев тогда уже предвидел, как аппарат непрерывных
дробей будет им использован в теории вероятностей: впервые эта мысль
могла явиться после того, как в 1855 г. Чебышев применил непрерывные

Ф8 .С. Н. Бернштейн
дроби к интерполированию по способу наименьших квадратов [6]. Было бы
большой натяжкой относить к теории вероятностей работы Чебышева о спо-
способе наименьших квадратов, прямой задачей которых являлось целесообраз-
целесообразное изменение техники вычислений, позволяющее уточнять в случае надоб-
надобности полученные приближенные выражения наиболее простым и экономным
образом; формально-алгебраические преобразования не имеют при этом
никакого теоретико-вероятностного значения. Глубокое теоретическое значе-
значение интерполирования по способу наименьших квадратов заключалось для
Чебышева не в том,' что при более или менее произвольных допущениях
его можно связать с теорией вероятностей; самым важным в его глазах
было то, что этот способ является естественным конструктивным подходом
к задаче разложения произвольной эмпирической функции в ряд полиномов
(сходящийся в некотором смысле наилучшим образом) в данном промежутке
любой длины, между тем как ряд Тейлора — Маклорена достаточно хорошо
аппроксимирует функцию лишь при малых значениях независимой переменной.
Благодаря созданному им аппарату непрерывных дробей Чебыщев при помощи
алгебры выходит далеко за пределы классической алгебры в необъятную
область общей теории функций; теперь вся область ненадежных „трансцен-
„трансцендентных* методов анализа доступна его точным надежным методам расши-
расширенной алгебры, и с их помощью он соответствующим образом должен
поставить и со всей алгебраической строгостью разрешить вышеупомянутые
основные проблемы теории вероятностей.
Действительно, параболическое интерполирование функции ср (jc) по ее
значениям в т точках х{ по способу наименьших квадратов заключается,
как известно, в том, что определяется полином Рп{х) степени п<^т.г\-\
по условию, чтобы средняя квадратичная ошибка (при данных весах 92 (•?())
была возможно мала. При т конечном минимум /', уменьшаясь с возраста-
возрастанием п, обращается в нуль, когда п=т—1, и Рп(х) становится тогда
интерполяционным полиномом Лагранжа. Принципиально важное и практически
очень полезное: упрощение решения этой алгебраической задачи, на деталях
которого мы здесь не будем останавливаться, осуществленное Чебышевым,
Заключалось в том, что он представил интерполяционный полином Лагранжа
Pm-i (¦*)¦ в виде
Pm-i(*)=^Z А*Ь (*). C)
где ijk{x) — полиномы степени k^m—1, построенные так, что полиномы
*(*) (л<«—1) D)
для всякого я<^/и— 1 обращают в минимум среднюю квадратичную ошиб-
ошибку /2; оказывается, что этим свойством обладают знаменатели фг- (х) после-
последовательных подходящих дробей непрерывной дроби, возникающей из

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 49
5], которые таким образом являются ортогональными полиномами при
весе б2 (х), т. е. удовлетворяют условиям
V V (*,) ф, (xt) ф, (дг(.) = 0 (s^t). E)
В скором времени Чебышев распространяет свои выводы на случай, когда
т—«-оо, т. е. конечная сумма B) превращается в интеграл, и, аналогичным
образом разрешая задачу обращения в минимум интеграла
*
F)
строит на базе алгорифма непрерывных дробей общую теорию разложения
произвольной функции в ряд по ортогональным полиномам. Таким образом,
нельзя не признать, что Чебышев является основоположником этого цен-
центрального направления современной теории функций. Правда, полученные
Чебышевым разложения по важнейшим ортогональным полиномам носят по
преимуществу формальный характер, между тем как условия их сходимости
не были им освещены с надлежащей полнотой; по аналогии с тем, что в
случае т конечного минимум средней квадратичной ошибки 1% обращается
в нуль при п = т—1, в примерах, рассматриваемых им, Чебышев утверждал
без доказательства, что минимум /„2 стремится к нулю для п—»оо также и в
случае F).
6. Эти общие идеи Чебышева приходят в соприкосновение с теорией
вероятностей в его статье „О разложении функций одной переменной",
доложенной Академии Наук 26 A4) октября 1859 г., где Чебышев впервые дает
разложение произвольной функции F(x) на всей вещественной оси по поли-
полиномам
являющимся, как показывает Чебышев, знаменателями подходящих дробей
00
Г k_ Г ?^_
V ТС „I X И V '
— 00
Разложение это имеет вид
*%А,§(х), (9)
о
где
t=YT J e~^^!
— со
Разложение (9), если /(х) ^=F(x)e 2 (k^-~) есть плотность любого нор-
4 Научное наследие Чебышева. Вып. I

50 ¦ С. Н. Бернштейн
мированного ( \ xf(x) = 0, Л f(x)dx= \ x2f(x)dx=\) закона, по-
— 00 —ОС —00
лучает вид
и после почленного интегрирования дает
* _? SL
х. A0-bis>
1
— 00
Формула (Ю-bis) применяется в мемуаре Чебышева „О двух теоремах теории
вероятностей", где коэффициенты At выражаются посредством моментов
1 "
величины Х„ =у=. V и,., являющейся нормированной суммой независимых
величин и;. Естественно поэтому предположить, что, найдя формальное раз-
разложение (Ю-bis), Чебышев еще в 1859 г. видел более или менее ясно путь
к доказательству предельной теоремы теории вероятностей, которое должно
было бы установить некоторую границу для
X
1
е
стремящуюся к нулю, когда число п слагаемых ut неограниченно возрастает.
ее
Поскольку коэффициенты А1=-п I ty,(x)f{x)dx полностью определяются
— ос
моментами, т. е. математическими ожиданиями Xnk{k^ /), очевидно также,
что эти математические ожидания приобретают особое значение. Несомненно,
.однако, что Чебышев вполне отдавал себе отчет в том, что проблема ана-
анализа, стоящая перед ним, того же порядка трудности, что и задача при-
придать необходимую строгость „трансцендентным" методам Лапласа.
7. С 1860 г. преподавание теории вероятностей в Петербургском уни-
университете переходит от академика Буняковского к Чебышеву, что, очевидно,
является дополнительным стимулом для направления его размышлений в эту
область. Однако в течение ряда лет предельная теорема для сумм незави-
независимых величин, невидимому, не поддавалась усилиям Чебышева, попрежнему
оставаясь недосягаемой целью. Значительно позднее, в курсе лекций
1879/80 гг. по теории вероятностей, записанном А. М. Ляпуновым, Чебышев,
не упоминая о методе моментов, излагает студентам метод Лапласа и, обра-
обращая внимание на его недостаточность, говорит: „этого предела не может
дать сколь-нибудь удовлетворительным образом математический анализ в
настоящем своем состоянии".
Напротив, первую задачу — дать общее элементарное доказательство
закона больших чисел, доступное среднему студенту, — Чебышев блестяще
разрешил в 1866 г. Благодаря введению полной четкости в математические

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 51
.определения и рассуждения теории вероятностей и, в частности, благодаря
точному установлению общих .свойств математических ожиданий, он лриходит
к своему знаменитому выводу так называемого неравенства Чебышева, из ко.
торого непосредственно вытекает данная Чебышевым классическая форму-
формулировка закона больших чисел:
, ъЕели математические ожидания квадратов [независимых] величин
Cj, и2, и3, ... не превосходят данного конечного предела, то вероятность,
что средняя арифметическая N таких величин от среднего арифметиче-
арифметического их математических ожиданий разнится меньше чем на какую-нибудь
данную величину, с возрастанием числа N до оо приводится к единице*
Статья [3] «О средних величинах", содержащая это исследование Чебышева,
была доложена Академии Наук в 1866 г. и напечатана в 1867 г. в «Ма-
«Математическом сборнике", т. II, и в том же году—в Журнале Лиувилля,.
т. XII. В том же томе Журнала Лиувилля была воспроизведена статья фран-
французского математика Бьенэме (Bienaime), которая содержала в несколько менее
общей форме неравенство, подобное неравенству Чебышева. Это обстоятель-
обстоятельство в некоторой мере лишает нашего великого соотечественника приоритета..
А. А. Марков в своем курсе „Теория вероятностей" (стр. 89, изд. 4-ое, 1922)
называет вышеупомянутое неравенство неравенством Бьенэме—Чебышева и
на стр. 92 мотивирует это следующим образом: „Мы соединяем с этим замеча-
замечательным простым неравенством два имени Бьенэме и Чебышева по той причине,
что оно впервые ясно высказано и доказано Чебышевым, но основная идея,
доказательства была значительно раньше указана Бьенэме, в мемуаре кото-
которого „Considerations k l'appui de la decouverte de Laplace sur la loi de-
probability dans la methode des moindres carres" (Comptes Rehdus, XXXVII
A853); Journ. de Liouville, II 'serie, XU A867)) можно найти и самое нера-
неравенство, обставленное только некоторыми частными предположениями".
Упомянутая работа Бьенэме имела своей целью защитить теоретико-вероят-
теоретико-вероятностное обоснование Лапласа метода наименьших квадратов, оспариваемого-
Коши. Познакомившись с этим мемуаром Бьенэме, Чебышев повйдимому на-
нашел мысли, близкие к своим собственным. В связи с этим приведем полно-
полностью начало доклада Чебышева „О предельных величинах интегралов" [8], про-
прочитанного в августе 1873 г. в Лионе на Конгрессе Французской ассоциации,
для преуспевания наук: „В мемуаре весьма интересном во многих отношениях,
который был прочитан Бьенэме в: Академии Наук в 1833 г. и который был.
напечатан в Comptes Rendus и воспроизведен в Журнале Лиувилля B-я серия,
т. XII, 1867) под заглавием „Considerations к l'appui de la decouverte de Lap-
Laplace sur la loi de probability dans la methode des moindres carres", знаменитый
ученый предлагает метод, заслуживающий особенного внимания.
Этот метод состоит в определении предельной величины интеграла
а А А
\f(x)dx по величинам интегралов \f(x)dx, \xf(x)dx, ... , где
» о о
a f(x) неизвестная функция, подчиненная только одному условию — сохра-
сохранять знак -\- между пределами интегрирования. Простое и строгое дока-
доказательство закона Бернулли, находящееся в моей заметке под заглавием.
4*

52 С. Я. Бернштейн
«О средних величинах», представляет один из результатов, легко получаемых
из метода Бьенэме, при помощи которого он сам пришел к доказательству
одного предложения о вероятностях, из которого закон Бернулли вытекает
непосредственно".
Фактически мемуар Бьенэме не содержит других результатов применения
рекомендуемого им здесь метода, который, с другой стороны, в полной
мере соответствовал собственному ходу мыслей Чебышева. Вот почему
Чебышев, подготовленный своими предыдущими исследованиями к решению
¦общей задачи, поставленной Бьенэме, усматривая в ее решении верный
-путь к доказательству предельной теоремы, продолжает свои размышления
в этом направлении, результатом которых является открытие знаменитых нера-
неравенств Чебышева, опубликованных в упомянутой статье [8].
Пусть
в в в
г С I*
со= \ f{x)dx, Ci=i]xf(x)dx,..., cm=\xmf(x)dx,
А А А
так что имеет место формальное равенство
f(x)dx__ca . ct ¦ i _?m__i (И)
A
Если t-~- есть одна из подходящих дробей, получаемых при разложении
в
\ __ Х в непрерывную дробь, и если гх, zz, ..., zt, zl+l, .. ., zn, ..., zm
'a
ч:уть корни уравнения (степени т) ф(г) = О, расположенные в порядке воз-
растания, то всякий раз, когда между пределами х — А, х — В функция
f(x) остается положительной, величина интеграла \/(x)dx удовлетворяет
неравенствам
п—1
при этом пределы неравенства A2) не могут быть сближены.
Неравенства A2) являются, коротко говоря, выражением того факта,
"я
что крайние значения \f(x)dx для всех возможных положительных
¦функций f(x), для которых разложение A1) в непрерывную дробь
имеет ту же самую подходящую дробь °-~ (т. е. те же моменты
с0, ... , ст), соответствуют случаю, когда непрерывная дробь A1) конечна.
8. Из этой фундаментальной теоремы видно, что, установив неравенства
^12), Чебышев нашел общий метод для решения основного для теории
вероятностей вопроса, в какой мере данные математические ожидания по-
последовательных степеней, или так называемые моменты случайной величины
(которые, как известно, не произвольны, но должны всегда удовлетворять

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 5У
некоторым условиям), определяют закон вероятностей этой величины. Кроме-
того, эти неравенства открывают путь для ответа на вопрос, определяется
ли однозначно закон вероятностей f(x) случайной величины, если известны
математические ожидания всех ее степеней (проблема единственности в тео-
теории моментов). Действительно, из неравенств A2) следует, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы с увеличением т разность между соседними
корнями zt, г1+х знаменателей ф(г) степени т соответствующих подходящих
дробей для любого / стремилась к нулю, так как в этом и только в .этом
случае всякое вещественное число а является пределом гг и разность между
левой и правой частями A2) стремится к нулю. Таким образом, ключ к
доказательству предельной теоремы был теперь найден Чебышевым: более
00
углубленное исследование непрерывной дроби у — \ г_х dx, важнейшие
— ос
свойства которой, как мы видели (стр. 49—50), были ему известны уже в 1859 г.,
должно показать, что нормальный закон вероятностей однозначно определяется
совокупностью всех присущих ему моментов. Затем остается еще уточнить
доказательство факта, который, как увидим дальше, стал для него, пови-
¦димому, несомненен уже в молодые годы при изучении классиков и служил
ему все время путеводной звездой, а именно, что при возрастание числа и
независимых величин их, и2, , и„
м п
в!
п п
где ВЯ = М. О. BН,-J —2 м- О- и? » М. О. и,- = 0, имеют пределами соот-
соответствующие моменты степени / нормированного нормального закона Лап-
Лапласа — Гаусса.
Однако, Чебыщев, не имевший до сих пор соперников в созданных им
новых областях математики, не спешил ни с публикацией доказательства
своих неравенств 1873 г., ни с преодолением последних препятствий, отде-
отделявших его от давно намеченной цели; работы всего следующего десяти-
десятилетия относятся к другим направлениям его многостороннего творчества,
по большей части посвященным также 'давно стоящим на очереди исследо-
исследованиям и конструкции механизмов на основе созданной им теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля.
Между тем в 1883 г. в „Сообщениях Харьковского математического об-
общества" появилась статья А. А. Маркова „Доказательство некоторых нера-
неравенств П. Л. Чебышева", содержащая общий, весьма остроумный и простой
вывод вышеуказанных неравенств Чебышева. После появления этой замеча-
замечательной статьи А. А. Маркова, так глубоко проникшего в сущность идей и
упростившего методы своего учителя, Чебышев немедленно приступает к за-
завершению своего многолетнего исследования о предельном законе для суммы
большого числа независимых величин. , ¦

54 С.-И: Бернштейн
9. Решающий шаг в этом направлении сделан в работе „Об интеграль-
интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов", доложенной
Академии Наук 30 A8) ноября 1886 г.
После некоторого видоизменения выражений, стоящих в левой и правой
частях неравенств A2), вытекающего из тождественных зависимостей
между числителями и знаменателями последовательных подходящих дро-
дробей, Чебышев применяет здесь свои неравенства к оценке крайних пределов,
между которыми должен быть заключен интеграл
J
f(x)dx (/(*)> 0),
— оо
если
^ f(x)dx=l, Jj*/(*) At = 0, j **/(*)Лс = Jj,...
— oo —oo —oo
oo oo
Г 9m •>.<•/ \j 1-3 •••{2m — 3) Г ,_ ,,
.... J *«-»/(*)<** = ^_, \ *»-Vi
Вышеупомянутое преобразование неравенств A2) приводит к выводу, что если
две функции f(x)^0, /t(x)^0 удовлетворяют условиям A4) (т. е. опре-
определяются моментами до Bт—• 1 )-го порядка включительно), соответствующим
нормальному закону -~= \ е dx, то при любом пг
У'2к J
— 00
¦V
f(x)dx— J f1(x)dx <
,2 **** ,/ 2~
где Tl=:-q-j- , обозначая через ф/(г) = е —j-j— указанные выше
оо ——
у Г *
знаменатели подходящих дробей, возникающих из \r— j j^z~x~dx.
Любопытен прием, посредством которого Чебышев получает нужную ему
нижнюю границу суммы
которая бесконечно растет с увеличением т (откуда вытекает, что закон
вероятностей, обладающий всеми нормальными моментами, должен быть
тождественен нормальному закону). Из уравнения в конечных разностях
,(*) = О (фо(«)=1),
определяющего полиномы фДгг), которое связывает знаменатели последова-
последовательных подходящих дробей, без труда получается уравнение для T((v):

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 5 ч
которое Чебышев решает, вводя производящую функцию
Для определения ft(t) после простых преобразований получается дифферен-
дифференциальное уравнение
откуда
где постоянная С=1, так как б(О) = Го=1. Из A7) сразу видно, что ряд
00 . т—\
неотрицательных чисел 2 Tt расходящийся, т. е. Sm_1 = 2 Tt бесконечно
2 2
о о
растет при т—>-оо. Но для дальнейшего этого недостаточно, так как вообще
для Чебышева, как мы видели, более существенное значение, чем предель-
предельная формула при т.—»-оо, имеет ее погрешность при т конечном, именно
в этом главная цель и достоинство его неравенств A2).
Интересно отметить, что прием, посредством которого Чебышев получает
нижнюю границу для >Sm_i, применимый к любому степенному ряду с не-
неотрицательными коэффициентами, связывается у него с простым частным
случаем неравенств A2), который в сущности лежит в основе его класси-
классического доказательства закона больших чисел; при этом следует также
обратить внимание на то, что Чебышев здесь вводит, в других только обо-
обозначениях, интегралы Стильтьеса: ;,Чтобы приложить к суммам
¦— говорит Чебышев,— то, что там* было дано для интегралов, мы пред-
представляем эти суммы под видом интегралов
or> m—i
\ Yt'dx, \ Yt'dx,
о l>
изображая через Y функцию, равную нулю при всех величинах х, не смеж-
смежных с 0, 1, 2,..., а при величинах х, бесконечно близких к 0, 1, 2,...,
и> 1
имеющую такие значения, при которых интегралы \ Ydx, \ Ydx,
о 14
о
2
j Ydx,... с приближением ш к нулю беспредельно приближаются к величинам
j
2— ш
* т. е. в неравенсгвах A2). — С. Б.

56 С. Н. Бернштейн
То, Тг, Т2,... Для функции Y, таким образом определенной, будем иметь
J Yt'dx=* ^7-/=Ч««).
т — Х
Yt'dx = Trt-TJ -j
о
Достаточно изменить обозначения Ydx--^=dT, где Г — соответствующая сту-
ступенчатая функция, чтобы получить интеграл Стильтьеса. Отсюда видно, что
введение интеграла Стильтьеса в теорию вероятностей ощущалось Чебышевым
как техническая необходимость, и в своих исследованиях он фактически полд*-
зовался аналогичным аппаратом.
Полагая т — 1 = flfД -f- 1, Чебышев находит,* таким образом, что
A8)
для любой функции b(t) с неотрицательными коэффициентами; неравенство
A8), очевидно, не может быть улучшено, так как вслучае ^{t) = Ta-\-Tm_ltm~l
оно приводится к T0~\-Tm_1im-1 ^To. Из A8) следует тем более, что
A9)
если m—1 = flr... -\-1. Подставляя в A9)] значение функции 6(*) =
q
= ¦¦ — р , Чебышев после небольших преобразований и упрощений
правой части A9), находит, что
откуда следует, вследствие A4), теорема:
Если функция /1(х), оставаясь положительной, удовлетворяет A3), то
(т. е. стремится к нулю с возрастанием т не медленней, чем величина
порядка —=. |.
* Неравенство A8) легко получить непосредственно, замечая, что
от—1 оо 1 оо
2 S
откуда

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 57
Как былр замечено выше, этот строго доказанный фундаментальный ре-
результат Чебышев имел право формулировать в общепринятых теперь обозна-
обозначениях интеграла Стильтьеса.
10. Последний шаг для завершения доказательства предельной теоремы
о суммах независимых случайных величин сделан Чебышевым в работе 1887 г.
„6 двух теоремах относительно вероятностей" [4]. Первая теорема, о кото-
которой здесь идет речь, это теорема, доказанная им в 1866 г. в мемуаре „О сред-
средних величинах" (закон больших чисел), которую Чебышев, как бы подвод»
итоги всем своим исследованиям по теории вероятностей, воспроизводит в
начале статьи, прежде чем приступить к доказательству и формулировке
второй теоремы.
Чебышеву оставалось лишь доказать, что
/ \2* /л Д2*+1
М.О. () ()
пред. -| = 1 -3- - -{2А—1), пред. —: = 0, B1}
п-юо Вп n-*<Xi к~^Ч
Вп
п
где М.О. и,- = 0, М.О.и| = аФ, M.O.u™=alfl\ Bn = ^af\ так как он счи-
1
тал очевидным, что если последовательность законов вероятностей Р„{х) та-
оо со
кова, что пред. \ xkdPn (х) — ck= л xkdP(x), где моменты ck однозначно
U-ЮС „"qq — JO
определяют некоторый закон Р(х), то Рп(х)—*Р{х). Это последнее свойство»
которое действительно не трудно установить, было впервые выведено с пол-
полной строгостью А. А. Марковым при помощи неравенств Чебышева. Надо
признать, что доказательство Чебышевым предельных равенств B1) не вполне
удовлетворяет требованиям строгости, которые он провозглашал в молодости
([1], [2J); здесь Чебышев применяет метод, основанный на преобразовании
Лапласа, отличный от его обычных методов зрелого возраста, и возможно,
что, если бы он не торопился с опубликованием этой последней работы,
появившейся всего несколько месяцев спустя после только что нами рассмот-
рассмотренной [9], он заменил бы весьма интересный эвристический ;трансцендент-
;трансцендентный" метод, вероятно, давно им найденный, более точным алгебраическим
доказательством.
Меняя несколько обозначения Чебышева, изложим ход его рассуждений,
отметив, в чем заключается его недостаток, и как, без особого труда,.
Чебышев мог бы его исправить.
Чебышев рассматривает функцию
л
s у ак п ак
т=Ъ
где s — произвольное постоянное. Существует ли это математическое ожи-
ожидание? Для чисто мнимых s оно, конечно, существует, но Чебышев этого не

58 С. Н. Бернштейн
оговаривает и, кроме того, без всяких объяснений разлагает в ряд
>
+— B3)
Однако ряд этот вообще не будет сходящимся ни при каких |«|^>0. Для
законности этого разложения при \ s|<^l, например, достаточно было бы
внести ограничение, что
(ту 2), B4)
Bl
где ~кп —>¦ 0 при я —- оо.
В таком случае из B3) следует, что
2В
„
Вп
-(8)
-5-1 л I»
ПГ^ I * I
полагая | s | ^ —.
Беря логарифм от B3), Чебышев получает формальное разложение
SUIc
Без условия B4) эта операция незаконна; но при условии B4) получаем
откуда
Таким образом, все коэффициенты, кроме первого, этого степенного ряда,
сходящегося при | s ] ^ ^-, будут стремиться к 0, если
42*1о. B7)
Но, вследствие B4),

\
О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 59
т. е. для каждого данного т
К
(я —оо),
откуда вытекает B7), так как (с^>)т^d%m>. Следовательно, пред. login{s) =
п-*оо
S1 1
se — при | s | <; -^, и, по свойству коэффициентов строки Тейлора, из этого
равенства вытекает, что все коэффициенты сходящегося при \s\ <: -s- ряда in {$)
стремятся соответственно к коэффициентам ряда е2 =Х* |^ 1 -З- • -('2i — 1).
Как мы видим, условие B4) достаточно для того, чтобы сделать вполне
строгим рассуждение Чебышева, не прибавляя к нему ничего существенного.
Таким образом, по справедливости следует считать, что предельная теорема
о суммах независимых величин по существу вполне доказана Чебышевым
при условии B4). Условие B4) охватывает все практически важные случаи.
Действительно, оно соблюдается, если*
"О-а (К~*° ПРИ п-—*°°), B8)
'п
так как тогда \а(^ \ ^.а1^{\VВ„)т~2 при /и>2 и
B4-bis)
К сожалению, Чебышев не ввел ограничения, подобного B4), и предельная
теорема в данной им чрезмерно общей формулировке неверна.
В 1898 г. А. А. Марков [17 Ь] посредством прямого алгебраического
вычисления показал, что предельные равенства B1) верны, если только
соблюдается условие
B9)
для всех целых /и^>2, которое несколько слабее ограничения B4), восполнив
таким образом и этот технический пробел гениального доказательства Чебы-
Чебышева, основанного на методе моментов.
11. Несомненно, самым ярким выразителем идей и направления Чебы-
Чебышева в теории вероятностей был А. А. Марков, наиболее близкий своему
учителю по характеру и остроте своего математического дарования. Если
Чебышев, в особенности к концу жизни, а также и в своих лекциях иногда
* Из условия B8), как показано было впоследствии, легко выводится самая общая,
форма предельной теооемы flic].

60 С. Н. Бернштейн
сам уклонялся от требуемой им четкости формулировок и строгости дока-
доказательств в теории вероятностей, то классический курс исчисления вероят-
вероятностей А. А. Маркова и его оригинальные мемуары, являющиеся образцами
точности и ясности изложения, в наибольшей степени содействовали пре-
превращению теории вероятностей в одну из самых совершенных областей
математики и широкому распространению, направления и методов Чебышева.
Как мы увидим дальше, глубокий анализ в духе Чебышева зависимостей
между наблюдаемыми случайными явлениями позволил Маркову позднее рас-
расширить существенным образом область теории вероятностей, введя в рас-
рассмотрение зависимые случайные величины.
В мою задачу не входит обзор всех современных достижений теории
вероятностей, которые были бы невозможны без твердой математической
базы этой теории, возведенной трудами Чебышева и закрепленной Марковым.
Я хотел бы лишь отметить этапы дальнейшего развития проблем, связанных
с законом больших чисел и предельной теоремой, которые все непосред-
непосредственно примыкают к исследованиям Чебышева и'развивают его идеи.
Остановимся сначала вкратце на законе больших чисел. Простое заме-
замечание А. А. Маркова [17d], непосредственно вытекающее из неравенства
Чебышева [3], что для применимости закона больших чисел к величинам
ТУ
«!, и2, ..., и„ (М. О. к,- = 0) достаточно, чтобы -^§—>0, где Вп=
= М. О. (й] -j-ИгН ЬйпJ» привело его и впоследствии других авторов
к целому ряду интересных достаточных условий для применимости закона
больших чисел как в случае независимых, так и зависимых величин и(. При
этом, вводя вспомогательные величины и'( по условию, что к|=к/, когда
|и,|^?я (/s?/z) и и!= 0, когда | к,\~^>Ln, Марков получает возможность
доказать применимость закона больших чисел также и в ряде случаев,
когда М. О. и\, а следовательно, и Вп не существует. Например, он сле-
следующим образом обобщает теорему Чебышева [3]: Если для некоторого
/7^>1 М. О. \и;\р<^Ь, где L — некоторая постоянная, то к независимым
величинам и\ применим закон больших чисел.
Из других обобщений, получаемых аналогичным образом, отметим заме-
замечательную по своей простоте и максимальной общности (в некотором смысле)
теорему А. Я. Хинчина [21Ь]. Если все независимые величины и, подчиняются
одному и тому же закону вероятностей, причем М. О. а, существует, то
к величинам к,- применим закон больших чисел.
Вывод более или менее общих необходимых условий для применимости
закона больших чисел к независимым величинам также опирается на нера-
неравенство Чебышева и на простое замечание [lid], что закон больших чисел
не может быть применим к величинам ut в частном случае, когда законы
вероятностей а{ симметричны и таковы, что существует число с~^>0, обла-
обладающее свойством, что вероятность неравенства | ut | ^ сп по крайней мере
для одной из величин и{ (i^n) не стремится к нулю с возрастанием п.
Существенное дополнение к неравенству Чебышева дает следующая тео-
теорема А. Н. Колмогорова [13], основанная на соответствующем развитии
классического рассуждения Чебышева.

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 61
Вероятность осуществления всех неравенств (/ = 1,2, ..., п)
где и1 — независимые величины, больше, чем 1 -^. Эти неравенства Кол-
Колмогорова распространены были С. Н. Бернштейном [llg] на зависимые
величины ut, обладающие свойством, что М. О. «,= 0, каковы бы ни были
значения ии ..., ut_x.
Задача определения более точной, чем 1 -^, верхней границы вероят-
вероятности неравенства Чебышева
2 ^
при любом я по необходимости требует введения некоторых более или
менее значительных ограничений. Отметим [lib], например, оценку вероят-
вероятности Q, что
2 C0)
эта оценка
V
верна для всех я, ^^>0, если ^^-о/Т2» ПРИ условии
|М. О. я™ |<i- cfHm-tm!,
где Н—некоторая постоянная. Доказательство представляет также некото-
некоторое развитие идей классического рассуждения Чебышева. Кроме того, та же
оценка получается и для зависимых величин при условии, что М. О. ui = 0
и М. О. u2. = cf\ каковы бы ни были предшествующие значения uk (k<^i),
и эта же оценка сохраняется [llg] при замене неравенства C0) соответ-
соответствующими неравенствами, как в теореме Колмогорова.
12. Столь же фундаментальное значение имеют работы Чебышева для
дальнейших исследований об условиях приложимости предельной теоремы.
Здесь необходимо сначала остановиться на случае, когда величины ut неза-
независимы. Мы уже говорили о тех уточнениях доказательства Чебышева, осно-
основанного на методе моментов, которые внес А. А. Марков, придав рассужде-
рассуждениям Чебышева безупречную строгость при условии, что величины и{ не
только имеют моменты, т. е. математические ожидания любой степени, но,
кроме того, удовлетворяют требованию B9).
Таков результат, полученный А. А. Марковым [17с] в 1898 г. Вскоре
(в 1901 г.) ограничение B9) было замечательным образом ослаблено
А. М. Ляпуновым [16а, Ь].
А. М. Ляпунов, как известно, был также одним из ближайших учеников
Чебышева, испытавшим на себе его глубокое влияние. Известно, например,
что проблема фигур равновесия вращающейся жидкости, которая занимает
центральное место в исследованиях Ляпунова, была ему предложена

62 • С.Н. Бернштейн
Чебышевым, что свидетельствует, между прочим, о том, что интересы
Чебышева выходили за пределы областей математики, в которых прояви-
проявилось его личное оригинальное творчество. Однако влияние Чебышева на
Ляпунова, который по силе дарования не уступал ни одному из своих
современников как в России, так и на Западе, было не столь исключи-
исключительным. Ляпунов лучше других представителей петербургской школы
понимал и умел ценить достижения западноевропейских математиков второй
половины прошлого столетия, которые ввели в точные рамки методы клас-
классического „трансцендентного" анализа, сделав их не менее надежными, чем
алгебраические методы Чебышева. Именно это обстоятельство было причи-
причиной того, что Ляпунов более независимо подходил к проблемам Чебышева,
чем другие его ученики. Между тем как Марков обострял методы вели-
великого учителя и, совершенствуя их, применял к новым задачам, Ляпунов,
размышляя над сущностью предельной теоремы вероятностей, понял, что
метод моментов не облегчает проблемы и лишь перемещает центр ее труд-
трудности. В самом деле, преобразование Лапласа, которым пользуется Чебышев
в своем последнем мемуаре 1887 г., заключается в рассмотрении матема-
математического ожидания
М. О. е'х = x(s)~ ] esxf {x) dx
—00
для произвольного значения параметра s.
Вместо совокупности моментов ст = М. О. хт, функция
00 m
l(s) = 1?dCj?r B2-bis)
о
сама может служить характеристикой плотности f(x) (или интегрального
X
закона вероятностей F(x)= I f{x)dx), если только ряд B2-bis) сходится,
— оо
что, как мы видели, является существенным условием также и для того,
чтобы соответствующая часть рассуждения Чебышева была правильной.
Но вовсе нет надобности пользоваться разложением B2-bis) в степенный
ряд; нет надобности даже предполагать, что моменты ck существуют, если
мы будем придавать s только чисто мнимые значения s = it, так как
интеграл
00 00 •
b{t) = l(it)= [ eltx/(x)dx = Г ettxdF(x) C1)
имеет смысл при всех действительных значениях t.
Функция b(t), которую теперь принято называть характеристической
функцией закона распределения величины х, однозначно определяет закон
вероятностей F(x) независимо от существования моментов ck; кроме того,
рассматривая специально случай, когда
1 "
х Y

О работах П. Л. Чебишева по теории вероятностей 63
Ляпунов доказал, что для" сходимости характеристической функции закона
-- "г ~-
вероятностей величины Ха к е 2 =_ I е*ые 2dx, т. е. к характерн-
характерную J
—оо
j г _*
стической функции нормального нормированного закона -—=• \ е 2 dx, до-
-V 2гс J
—or
статочно, чтобы хотя бы для одного
Г КМ.О.|й,|^8). C2)
Условие C2) является, таким образом, достаточным для того, чтобы
предельная теорема была применима к сумме независимых величин ut. Сле-
Следуя завету Чебышева, Ляпунов указал также верхний предел погрешности
предельного закона, порядок которой равен, например, ... '¦ в случае 5=1.
Таким образом, Ляпунов с полной строгостью установил совершенно
иным методом предельную теорему для сумм независимых величин при условии
значительно более общем, чем Марков.
Однако Маркову удалось реабилитировать метод моментов. Допол-
Дополнив его небольшим рассуждением, аналогичным тому, которое он применял
для обобщения условий приложимости закона больших чисел, Марков полу-
получил полное доказательство предельной теоремы при общем условии Ляпунова.
Впоследствии [11с], в 1926 г., пользуясь по существу тем же самым
замечанием Маркова, я дал еще более общее условие применимости пре-
предельной теоремы *, которое охватывает также и случаи, когда М. О. а2 не
имеет смысла. Например, если величины и, могут получать значения Ч-|/^Г
где т — любое целое положительное число с вероятностями Рт==
оо
=!=~2~г (М. О. а,- = 0, М. О. и| = -тУ^ — = оо), то вероятность
1
^ J/бл log л < >Г а, < ^-F 6л log я
I
t\ a
I rt _ *
имеет пределом —=. \ е 2 dt.
V 2jcJ
-о
В связи с этим примером следует обратить внимание на то, что предель-
предельная теорема, в зависимости от соблюдения тех или иных условий, имеет не
вполне одинаковый смысл. В то время как самый метод доказательства
* Феллер [20] показал, что это условие является также необходимым (при естест-
естественном предположении пренебрегаемости каждого слагаемого по сравнению со всеч
суммой).

€4 С. Н. Бернштейн
Чебышева и Маркова свидетельствует о том, что при условиях Маркова
все моменты суммы
1 "
стремятся к нормальным нормированным моментам (например, пред. М.О.Л=:
= 3), из доказательства Ляпунова этого совершенно не видно, и, поскольку
условие C2) не исключает того, что М. О. |a;j2+^ при bY~^>b не имеет
смысла, М. О. |ЛГЧ|2+8' будет также лишено смысла. Можно доказать [llh],
что условие Ляпунова с данным 5^>0 необходимо и достаточно для того,
чтобы М. О. \Хп\р (р^2-\-Ь) имело пределом соответствующий нор-
нормальный момент. В рассмотренном только что примере условие Ляпунова
не соблюдено ни для какого 5^>0; в этом случае имеем
пред. М. О.
У Ьп log n
—00
только для р<^2. Норвежским математиком Линдбергом [15] выведено
условие, достаточное для того, чтобы М. О. Х^—>-1 (/? = 2).
Вообще за последние 20 лет появилось немало работ, осветивших с раз-
разных точек зрения некоторые важные свойства нормального закона и условий
его приложимости к суммам независимых величин; но полученные здесь
результаты далеко не столь фундаментальны, как результат Чебышева и его
учеников Маркова и Ляпунова.
Следует, однако, отметить, что за это же время был поставлен и раз-
разрешен ряд совершенно новых вопросов, из которых принципиально наиболее
интересным является вопрос об общей форме предельного закона для сумм
независимых величин в тех исключительных случаях, когда этот закон не
является нормальным. Эти тонкие исследования, важнейшие из которых при-
принадлежат А. Н. Колмогорову, А. Я. Хинчину и П. Леви, основанные на соответ-
соответствующем применении метода характеристических функций Ляпунова, потребо-
потребовали углубленного изучения свойств характеристических функций и обнаружили
неожиданный факт, что так называемый закон Пуассона является в некото-
некотором смысле еще более универсальным, чем нормальный закон Лапласа [21с].
Любопытно, что закон Пуассона, который в статистике называют законом
малых чисел, играющий также значительную роль в физических приложениях
теории вероятностей, совершенно выпал из поля зрения петербургских мате-
математиков.
13. Переходя к вопросу о распространении основных законов вероятно-
вероятностей на зависимые величины, напомним, что сам Чебышев этим вопросом не
занимался, но, поскольку основоположником этой центральной области со-
современной теории вероятностей является А. А. Марков, последовательно раз-
развивавший здесь идеи Чебышева и, в частности, метод моментов, мы должны
вкратце на этом остановиться.

О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей 65
• Следуя Чебышеву в том отношении, что к каждой новой общей области
исследования надо подходить через рассмотрение соответствующих типичных
задач, имеющих ясное реальное значение, допускающих точную математичет
скую постановку, Марков обнаружил при этом глубокое чутье выдающегося
естествоиспытателя и устремил свое внимание на исключительно важный для
приложений класс зависимых случайных явлений, который он назвал «цепями»
и за которыми в науке утвердилось название цепей Маркова. Впервые такого
рода зависимости рассматривались при некоторых частных предположениях
известным английским биологом — статистиком Гальтоном; который пытался
на основе довольно обширного экспериментального материала облечь в мате*
матическую форму теорию наследственности Дарвина. ••• ¦•¦ ¦ -¦¦-.
Однако ни у Гальтона ни у физиков, которые, почти одновременно с Марког
вым, также пришли к построению вероятностных схем, аналогичных цепям
Маркова, мы не находим сколько-нибудь" удовлетворительного матема-тинв'
ского исследования их свойств.' близость идей Маркова ю идеям,. возник-
шим в то же время в различных областях естествознани», свидетельствует
об их жизненности и методологической важности. Действительно, цепь; >Mapf-
кова является вероятностным преобразованием обычного детерминированного
процесса, который характеризуется тем, что его динамическое состояние
в данный момент вполне определяет его дальнейшее течение, независимо
от всех предшествующих состояний. А именно, Марков называет цепью
последовательность случайных величин (или событий, или состояний) Х$
АГ2, ..., Хп..., характеризующуюся тем, что, после того как величина Хп
получила какое-нибудь определенное значение, вероятность, что следующая
величина Хп+1 получит то или иное значение, вполне определена и не зави-
зависит от того, каковы были значения предшествующих величин ЛТг(Г<^я).
Исключая случай^ когда цепь беспредельно приближается к детерминирован-
детерминированному процессу, Марков показал*, что зависимость между достаточно уда-
ленными звеньями цепи Х( и Xl+h настолько быстро ослабевает, что закон
вероятностей величины Хп при возрастании п стремится к закону, не зави-
зависящему от начального состояния Xt. Эта важная теорема при некоторых
весьма общих предположениях может служить оправданием гипотезы равно-
равномерного распределения вероятностей при установившемся режиме, лежащей
в-основе различных физических теорий. Распространение закона больших
чисел при тех же условиях также выведено Марковым (при помощи выше-
вышеуказанного обобщения неравенства Чебышева) как следствие из того, что
зависимость между отдаленными звеньями цепи весьма мала.
Более значительные трудности представляла задача о предельной приме-
применимости к сумме слагаемых, образующих цепь, нормального закона.
Метод моментов требовал вычисления математических ожиданий М. О.
А х, У
Fs- для всех целых положительных /и и доказательства, что они
* Тот же результат в некоторых частных случаях независимо от Маркова был
получен почти одновременно Пуанкаре [18].
5 Научное наследие Чебышева. Вып. I

66 С. И, Бернштейн
стремятся к соответствующим нормальным моментам.: Метод производящих
функций в простейших случаях приводил к цели, но алгебраический прием,
аналогичный тому, который Марков применил в 1898 г. к независимым вели-
величинам, оказался в данном случае очень громоздким, и только благодаря
своему мастерству Марков получил требуемый результат при довольно * общих
условиях.
Впоследствии результаты Маркова были обобщены в моих работах.
В основе этих работ лежит метод характеристических функций Ляпу-
Ляпунова, который, однако, непосредственно был здесь неприложим, так
как преимущество характеристической функции, заключающееся в том, что
для независимых слагаемых характеристическая функция суммы двух независимых
величин JCj -\- лг2 равна произведению характеристических функций каждого из
слагаемых, в случае зависимых величин отпадает. Поэтому нужно было при-
присоединить к этому методу идею секционирования цепи таким образом, чтобы
после удаления ряда промежуточных звеньев предельный закон вероятностей
всей суммы не отличался от предельного закона остающейся суммы, кото-
которая будет состоять из достаточно слабо связанных между собой, в некото-
некотором точном смысле почти независимых групп слагаемых. Эта идея применима,
очевидно, не только к цепям Маркова, но и к более общим классам зависи-
зависимых величин. Наиболее трудным и интересным является исследование случая,
когда цепь Маркова сингулярна, . т. е. весьма близка к строго детермини-
детерминированному процессу. Рассмотрение результатов, полученных в этом направ-
направлении, выходит из рамок настоящей статьи; замечу лишь, что направление
и многие полезные вспомогательные леммы в этих работах непосредственно
примыкают к проблематике Чебышева. Укажу, например, на следующую
теорему в стиле Чебышева [Ш]:
Дисперсия B(Sa) суммы величин Зв = Хх-\-Х2-{- • \-Хп для любой
цепи Маркова удовлетворяет неравенству
где bh означает среднюю условную дисперсию Xh, после того как известно
значение Xh_i и Xh+i; граница фактически достигается, когда величины
Xv Ха, ... детерминированы, а вешчины Х2, ХА, ... независимы.
Вопрос о предельном законе суммы Sn для случая, когда этот предель-
предельный закон отличен от закона Лапласа — Гаусса, представляет большой
теоретический и практический интерес: эти работы по большей части тесно
связаны с цепями Маркова, но область эта содержит также ряд новых идей
и слишком обширна для того, чтобы говорить о ней здесь.
Заканчивая краткий обзор дальнейшего развития идей Чебышева, в кото-
котором в первую очередь участвовали его знаменитые ученики Марков и Ляпу-
Ляпунов, мы видим, что трудам Чебышева и его школы теория вероятностей
обязана зрелостью, обеспечивающей ее надежное применение к самым разно-
разнообразным реальным явлениям, которой она достигла в наши дни; кризис
теории вероятностей, который остановил ее рост 100 лет тому назад, был

О работах Л. Л. Чебышева по теории вероятностей 67
преодолен гением Чебышева и его сподвижников, далеко опередивших в этой
области западноевропейских математиков.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Работы П. Л. Чебышева
По теории вероятностей:
1. Опыт элементарного анализа теории вероятностей. М., 1845.
2. Demonstration elementaire d'une proposition generate de la theorie des probabilites.
Journal fttr die reine und angewandte Malhematik, 1846.
3. О средних величинах, Математ. сборн., т. II, 1867.
4. О двух теоремах относительно вероятностей. Приложение к 55 тому Записок Импе-
Императорской Акад. Наук, № 6, 1887.
5. Курс лекций по теории вероятностей (читанный в С.-Петербургском университете
в 1879/80 г.; изд. Акад. Наук, 1936).
Прочие цитированные в настоящей статье работы П. Л. Чебышева:
6. О непрерывных дробях. Ученые записки Акад. Наук, т. III, 1855.
7. О разложения функций одной переменной. Собр. соч., т. I, стр. 501—508.
8. О предельных величинах интегралов. Journal de Liouville, т. XIX, 1874.
9. Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины интегралов. Собр-
соч., т. II, стр. 444—478.
Работы других авторов
Ю. Bernoulli. Ars conjectandi. 1713.
11. С. Н. Бернштейн. a) Sur le theoreme iimite du calcul des probabilites. Math.
Ann. 85, 1922.
b) Об одном видоизменении неравенства Чебышева и о погрешности формулы Лап-
Лапласа. Учен. зап. н.-и. кафедр Украины, отд. мат., вып. 1, 1924.
c) Sur l'extention du theoreme limitedu calcul des probaWlites aux sommes de quan-
tltes dependantes. Math. Ann. 97, 1926.
d) Теория вероятностей, 1-е изд. 1927, 2-е изд. 1934.
e) Addition a Particle .Sur les sommes de quantizes dependantes*. ДАН СССР, 1928.
i) Determination d'une Iimite inferieure de la dispersion des sommes des grandeurs
liees en chaine singuliere. Матеи. сборн., 1, 29—37, 1936.
g) О некоторых видоизменениях неравенства Чебышева. ДАН СССР, 17, 1937.
h) Несколько замечаний половоду предельной теоремы Ляпунова.ДАН СССР, 24,1939.
12. Bienaime. Considerations a 1'appui de la decouverte de Laplace sur la loi de
probabilite dans ]a methode des moindres carres. Journal de Liouville. 12, 1867.
13. A.H. Кол mo горов. Uber die Summen durch den Zufall bestimmten unabhangi-
gen Grossen. Math. Ann. 99, ,1928.
14. Laplace. Theorie analytique des probabilites. 1812.
15. Lindberg. Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlich-
keitsrechnung. Math. ZS., 15, 1922.
16. A. M. Ляпунов, a) Sur une proposition de la theorie des probabilites. Bull. Acad.
Sci. Petersbourg, 13, 1900.
b) Nouvelle forme du theoreme sur la Iimite des probabilites. Там же.
17. А. А. Марков, а) Доказательство некоторых неравенств П.Л. Чебышева. Сообщ.
Харьковского матем. о-ва, 1883.
5*

68 С. tft Бернштейн
b) Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. Изв. физ:-мат. о-ва.. Кл-
занск. универ. 8,1898.
c) Surlesracinesde l'equatlon «** —j-j- =0. Bull, de l'Acad. Sci. Petersbourg,
1898.
d) Исчисление вероятностей. 1900, 1913, 1924.
e) Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга.
Изв. Физ.-мат. общ. при Казанском универ. 15, № 4, 1906.
f) Распространение предельных теорем исчисления вероятностей на суммы величин,
связанных в цепь. Зап. Акад. Наук, 22, 1910.
g) Исследование общего случая испытаний, связанных, в цепь. Зап. Акад. Наук,
25,1911.
h) Об одном случае испытаний, связанных в сложную цепь. Изв. Акад. Наук, •
1911. .= ••>•¦
i) Об испытаниях, связанных в цепь ненаблюдаемыми событиями. Изв. Акад. Наук,
1912.
j) Recherches sur un cas reraarquable d'epreuves dependantes. Acta Math. 33..
k) Применение способа математических ожиданий к связанным рядам величин..
Изв. Акад. Наук, 1912. . , . •
18. Poincare. Calcul des probabilites. 1906.
19. Poisson. Recherches sur la probabilite des jugements. 1837.
20. Feller. Uber den zentralenGrenzwertsatzder Wahrscheinltchkeitsrechuang;Math.-Z,
40, 1935. • .,...,
21. А. Я. Хин чин. a) Sur la lob for le des grands nombres. C. R., 186, 1<928.
b) Sur la loi des grands norabres. C. R., 188, 1929. . ¦ '• :
.!', с) Предельные законы для сумм независимых случайных величин. М., 1938.

И. М. ВИ НОГРАДОВ и Б. Н. ДЕЛОНЕ
, РАБОТЫ П. Д. ЧЕБЫШЕВА ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
1. Среди многих и важных открытий, которыми Чёбышев обогатил раз-
разные области математики (теорию чисел, интегральное исчисление, теорию
вероятностей, теорию приближенного представления функций и математи-
математическую теорию механизмов), работы по теории чисел занимают одно из
первых мест.
' 'Традиция арифметических исследований существовала в нашей Академии
'Наук еще с времен Эйлера A707—1783). Сам Эйлер заинтересовался тео-
теорией чисел, повидимому, под влиянием члена Петербургской Академии
Наук Гольдбаха A690—1764). Первый том «Correspondence mathematique
ei physique de quelques c&ebres geometres de XVHI siecle", изданный
академиком Фуссом, среди 177 писем содержит много посвященных зада-
задачам теории чисел. Между прочим, в одном из писем 1742 г. Гольдбах вы-
' сказал предположение, что „всякое целое число... есть сумма трех простых
чисел"; это предположение для нечетных чисел было доказано совсем не-
недавно, в 1937 г.', И. М. Виноградовым [14 Ь]. * После Эйлера теорией
чисел1 занимался, например, Буняковский. Даже Лобачевский начал свои
математические исследования с работы по теории чисел [27J. В 1849 г. Ака-
Академия Наук предприняла издание сочинений Эйлера „Opera minora col-
le'cta", в качестве первых томов которого были изданы (внуками Эйлера
П. и Н. Фуссами) два тома „Leonardi Euleri commentationes arithmeticae col-
lectae".
Академик Буняковский, которому было поручено редактировать это из-
издание, привлек к работе также Чебышева. Особенно ценен составленный ими
совместно систематический указатель к обоим томам „Commentationes",
После первых трех работ Чебышева, которые относятся к анализу и
теории вероятностей, в 1849 г. появилась его докторская диссертация «Тео-
«Теория сравнений" [1], последнее (третье) приложение к которой, озаглавлен-
озаглавленное „Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной ве-
величины", содержало знаменитый первый мемуар Чебышева о простых числах.
Он был также напечатан в 1851 г. в „Memoires des savants etrangers de
l'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg" и в 1852 г. в Журнале
Цифры в квадратных скобках относятся а списку литературы в конце статьи.

7W И. М. Виноградов а Б. Н. Делоне
Лиувилля под названием: „Sur la fonction, qui determine la totalite des nom-
bres premiers inferieurs a une limite donnee" [2].
В 1852 г. в том же Журнале Лиувилля вышла вторая фундаментальная
работа Чебышева о простых числах — „Memoire sur les nombres premiers»
[3], напечатанная также в мемуарах нашей Академии в 1854 г.
Этими двумя работами Чебышев сразу стал в ряды самых первых миро-
мировых ученых. Мы начнем поэтому с этих работ Чебышева по простым числам.
2. Вопрос о простых числах возник, как известно, в древности. Эвклиду
(около 300 лет до н. э.) принадлежит теорема: Число простых чисел бес-
бесконечно. Свыше двух тысяч лет это было единственное строго доказанное
предложение в области тех построений, которые получили впоследствии
название теории распределения простых чисел. Эйлер, которого простые
числа чрезвычайно интересовали всю жизнь, не прибавил здесь ничего
строго обоснованного; он дал только иное доказательство теоремы Эв-
клида [20]. Однако ему принадлежит замечательное соотношение, известное
под названием тождества Эйлера, между суммой, распространенной на все
целые числа, и произведением, распространенным на простые числа.
Дирихле [19а] распространил теорему Эвклида на простые числа, за-
заключенные в арифметических прогрессиях. Однако никаких других теорем
в теории простых чисел Дирихле не дал. „Первый после Эвклида, кто по-
пошел верным путем в вопросе о простых числах и достиг важных результа-
результатов, был Чебышев", говорит известный знаток теории простых чисел Э. Лан-
Ландау [25 а]. Серре в своем «Cours d'algebre" [37], излагая содержание одного
из мемуаров Чебышева о простых числах, говорит: „Задача о числе простых
чисел, содержащихся в данных пределах, не была еще решена и, кажется,
представляет исключительно большие трудности. Чебышев —г- первый, кто
с успехом занимался этой проблемой". Отзывы других ученых (Эрмит, Лиу-
вилль и многие другие) содержат подобные же выражения восхищения.
Обратимся к рассмотрению первого мемуара Чебышева A848 г.) о про-
простых числах — „О числе простых чисел, не превосходящих данной величины".
Начинается он с указания на эмпирический результат Лежандра [26 а], пы-
пытавшегося определить число простых чисел, не превосходящих данной вели-
величины х выражением
log*—1,08366'
Чебышев утверждает, что формула Лежандра, несмотря на ее видимое
согласие с имеющимися таблицами простых чисел, является необоснованной
и неверной. В дальнейшем, при изложении содержания этого мемуара Че-
Чебышева, мы будем пользоваться принятым теперь обозначением тг (дг) для
числа простых чисел меньших х (Чебышев обозначает это число знаком
tp(jt)). Введенную впервые Эйлером функцию
П-Ч-=Е-7» s>1
Р ps п
(функция Римана для вещественного аргумента) будем обозначать знаком Z{s),
как теперь принято. Сначала Чебышев доказывает предложение, утвержда-

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 71
ющее, что для целого п и положительного р
приближается к конечному пределу, когда р стремится к нулю (теорема 1).
Необходимо заметить, что доказательство целиком базируется на свой-
свойствах С (s) для вещественного s. С точки зрения современной теории функ-
функций Чебышев основывается на поведении ?(s) вблизи ее полюса (разумеется,
речь идет у него все время о вещественном переменном). Именно, пола-
полагая s= 1 —(— р, Чебышев выделяет (с современной точки зрения) единст-
единственный полюс С (s) и прибегает к интегральному представлению функций
Z(l +p) и F(l-J-p), именно
— I х
~ 00
?е-хх?4х
о
Почти очевидно, что производная порядка п по р от дроби, стоящей в пра-
правой части этого равенства, при р, стремящемся к нулю, будет приближаться
к конечному пределу, что и отмечает Чебышев. Этот результат переносится
им тотчас на величину log p -\- log С A -\- р)- и ее производные любого порядка,
затем на выражение
1
также со всеми производными до какого угодно конечного порядка л. Итак,
Чебышев совершенно явным образом оперирует с С (s) и log С (s) и их произ-
производными, открывая таким образом дорогу тем глубоким исследованиям,
которые вскоре (через 7 лет) после появления мемуара Чебышева предпри-
предпринимает Риман, один из создателей теории функций комплексного переменного.
В дальнейших успехах теории простых чисел сыграло основную роль исполь-
использование функции С (•у) не только на вещественной прямой, но в некоторой
более широкой области плоскости комплексной переменной.
Доказав конечность вышеуказанных выражений и их производных при р,
стремящемся к нулю, Чебышев составляет подходящие сочетания этих про-
производных, именно
где суммирование по р распространяется на все простые, а по т — на все
натуральные числа. В виду предыдущего последнее выражение оказывается

72 И. М. Виноградов к Б. Н. Делоне
конечным при приближении р к 0; Так как легко видеть, что
к—2
то доказательство теоремы закончено ...
! Цще раз подчеркиваем, что Чебышев с, самого начала вводит
функцию C[s) . н, опирается на ее интегральное представление, вы-
выделяя полюс. Как, следствие теоремы I Небышеэ указывает, что и
при р приближающемся к нулю, стремится к конечному пределу, так как эта
сумма отличается от той, какая указана в формулировке теоремы I, на ко-
конечную величину. Из последнего следствия Чебышев выводит теорему II:
в пределах от дг = 2 до jc = oo функция' п{х) удовлетворяет бесчисленное
множество раз неравенству
ax
" log"x
и неравенству
как бы ни было мало положительное число а и при сколь угодно большом п.
Достаточно доказать одно из неравенств. Чебышев берет второе и ве-
ведет. доказательство от противного. Допустим,, что последнему неравенству
удовлетворяет конечное число целых чисел, наибольшее из которых есть Ь.
Положим, что х есть целое число, превосходящее 'тах(?, ех). Отсюда при
>n будем иметь
X
С dx
I .
I
ах
J log-t l log*л:1
2 & .
:ax
и, следовательно, для
В этом предположении, однако, оказывается, что предел суммы
при р, стремящемся к нулю, не существует, так как эта сумма возрастает
до ос. ' ' .......

Работы П. Л. Чебышеъа по теории чисел 73
Доказательство основано 'Чебышевым на рассмотрении этой суммы как
и» ?[-.(*+!)—W-f^rJ'-
т~*сск — 2 *
и применении к ней преобразования Абеля и неравенства A). .Итак, полу-
получается противоречие с теоремой I, ввиду чего может считаться доказанной
и теорема II.
На основании теоремы II Чебышев без труда выводит и теорему III:
выражение
при х—»-оо не может иметь предела, отличного от —1. Отсюда тотчас стано-
становится ясным, что эмпирическая формула
X
п {Х '-= log х—1,08366 '
полученная Лежандром на основании изучения имевшихся в его время таблиц
простых1 чисел, оказывается неверной, так как из этой формулы следовало бы
log*)=- 1,
08366.
В действительности же, согласно теореме III Чебышева, этот предел, если
рн. существует, может равняться только — 1. ,
; Далее. Чебышев доказывает теорему IV: если ^выражение ;
¦ 2
при л;—»¦. ос имеет пределом, количество конечное, отличное от нуля, или
обращается в оо, то f(x) не может представить ц(х) верно до количеств
порядка
X
; • к^я*' • ¦
Теорема V Чебышева утверждает следующее: если" функция тг(лг) может
быть выражена верно до количеств порядка
х
log"*
включительно, то такое выражение для тг(дг) есть
х | 1-х I Ь2'Л: , -^ , Ь2'3"-(я— \)х .^
logx 'log2* riog3.*^7 ^ Jog"x ' : ¦ ¦•
Доказательство несложно и опирается, с одной стороны, на теорему IV,
а с другой, — на тот факт, что алгебраическая функция от х, е*, logx
перестает менять свой знак при х, превосходящем некоторый предел. Послед-
Последнее обстоятельство и существенно, а потому распространяется на всё те

74 И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне
классы функций, для которых имеет место подобное свойство. Замечая затем,
что выражение B) есть значение
dx
log*
2
с точностью до количеств порядка
log"*'
Чебышев заключает, что этот интеграл способен выражать тг(х) верно до
количеств такого порядка, до какого эта арифметическая функция способна
выражаться алгебраически через х, ех, log*.
Показав, что эмпирическое приближение Лежандра к функции тг(лг)
неудовлетворительно, Чебышев доказывает необходимость изменить и осталь-
остальные формулы французского математика.
Более чем через два года после выхода в свет замечательного мемуара
Чебышева Гаусс в письме к Энке от 24 декабря 1851 г. [16] вспоминает,
что в молодости он занимался задачей о простых числах и также пришел
к мысли о натуральном логарифме. Однако дальше эмпирических проб Гаусс
не пошел.
3. Содержание мемуара 1852 г. („Memoire sur les nombres premiers")
поражает необычайной простотой метода в соединении с исключительным его
остроумием („l'analyse ingenieuse de M. Tchebychef", говорит. Серре). Пово-
Поводом к написанию работы явился так называемый постулат Бертрана. Неза-
Незадолго до того известному французскому математику Ж. Бертрану для
доказательст в& одной теоремы теории групп понадобилась такая арифмети-
арифметическая лемма: между п и 2л — 2 всегда находится по крайней мере одно
простое число (п ^> 3). Все старания Бертрана доказать лемму были тщетны, и он
принял ее в качестве постулата. Чебышев доказывает этот постулат. 3 основе его
доказательства лежит очевидное тождественное" соотношение между Т{х) =
=logA.2.3---Jt) и ${х) = Ъ(х)-\-Ъ<Ух)-\-Ъ(У~х)-\ ,где 0(лг) равно ло-
логарифму произведения простых чисел, не превосходящих х:
Чебышев составляет выражение
и замечает, что оно равно ряду
где знаки идут, попеременно чередуясь. Отсюда, так как <b (z) не может убы-
убывать с возрастанием z, следует знаменитее неравенство Чебышева
Пользуясь затем известной асимптотической формулой Стирлинга для Т(х)
и оценивая таким образом выражение, стоящее между знаками неравенства,

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 75
Чебышев получает
—4 log*— 1,
где
о2 л!Л
t =0,92129202...
3030
От неравенств для $(х) легко перейти к неравенствам для 8 (л:), причем
оказывается, что
C)
Предполагая затем, что между л и 2л — 2 нет простых чисел, т. е. что
в Bл — 2) = в (л), Чебышев доказывает с помощью неравенств C), что это
могло бы быть только для л<^160; после этого остается только проверить
непосредственным числовым подсчетом невозможность соотношения 6 Bл — 2) =
= в(л) и для малых чисел (для 3<^л<Ч60). Таким образом, доказательство
постулата Бертрана полностью завершено и притом самыми элементарными
средствами.
Неравенства Чебышева показывают также, что функция
х
log*
дает истинный порядок роста тт(дс), а это и само по себе представляет
результат первоклассного значения. Действительно, до Чебышева знали толь-
только, что tt(jc) с возрастанием х бесконечно растет, но как растет, остава-
оставалось неизвестным. Даже оценка тс (х) = о (х) не была выведена строго,
несмотря на старания Эйлера. Из неравенств же C) Чебышева следует, что
0,92129 < -^?L < 1,10555.
log*
Какое впечатление произвел второй мемуар Чебышева, видно хотя бы из
того, что Серре полностью изложил работу знаменитого русского математика
в упоминавшемся уже «Cours d'algebre superieure* (т. II, стр. 212—239)
с приложением к выводу теоремы Бертрана (т. II, стр. 319). Впоследствии
доказательство постулата Бертрана, данное Чебышевым, подвергалось неодно-
неоднократным попыткам обработки и упрощения. Особенно простую форму при-
приняло это доказательство в изложении знаменитого индийского математика
Рамануджана [34].
Во второй части мемуара „Sur les nombres premiers* Чебышев доказывает
теорему: если функция F (х) для всех достаточно больших х остается положи-
ОО
тельной, то сходимость ряда У' - , (суммирование по всем натуральным
п =2

76 И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне
i
числам) есть необходимое и достаточное условие для- сходимости ряда
00
2 F{p) (суммирование по всем простым числам).
р = 2
Доказательство основано на применении неравенств C).
4. Перейдем теперь к истории вопроса после Чебышева. Как уже отме-
отмечалось, Чебышев является основоположником теории распределения простых
чисел, и с этой точки зрения почти все последующие ученые, занимавшиеся
или занимающиеся этой теорией, находились под его влиянием. Здесь следует
отделить тех, которые шли непосредственно по пути Чебышева, целиком
используя его методы и не прибавляя к ним от себя ничего существенно
нового, от тех, кто вводил новые, более могущественные средства современ-
современного анализа или ставил новые задачи, касающиеся простых чисел, задачи,
которых наш знаменитый соотечественник не касался. Не имея в виду дать
полный обзор работ по теории простых чисел после Чебышева, мы все же
укажем основные факты и этапы развития этой теории. Займемся сначала
непосредственными последователями Чебышева. Одним из первых здесь должен
быть назван Мертенс, выступивший в 1874 г. с работой „Ein Beitrag zur
analytischen Zahlentheorie" (Journal fur die reine und angewandte Math., 78) [30].
Здесь автором выведены формулы
Р
E)
И fl — —) -4-р—j. (С—постоянная Эйлера), F)
которые впоследствии легли в основу фундаментальной работы норвежского
математика Виго Бруна [11]. Мертенс обобщил эти формулы, кроме того,
и на простые числа, заключенные в прогрессии ах-\-Ь, где а и Ь — взаимно
простые. Много занимался методом второго чебышевского мемуара известный
английский алгебраист Сильвестер. В двух работах [39 а, Ь] A-881 и 1892 гг.).
Сильвестер значительно сузил пределы, между которыми должно находиться
отношение
тт(дг):
при х большом. Чебышевское исследование, как мы видели, было основано
на изучении выражения
где
- . 7»= 2 log*,
к
и на соответствующем тождестве, связывающем G) с ф (л:) = 6 (лг) -|- 0 (V^at) —|—
-\-Ь(^/х)-\-' ••, где1 Ь(Х)= 2 1°ёР', Сильвестер вводит значительно более

Работы. П. Л. Чебышева по теории чисел 77
сложные, нежели G), комбинации количеств Т (—) для разных т; из них
ему удается установить неравенства более точные, чем у Чебышева. Так,
вместо чебышевских пределов 0,92129 и 1,10555, Сильвестер находит числа
0,95695 И 1,04423. Впрочем, дальше этого улучшения постоянных англий-
английский математик не пошел.
Дальнейшее сужение этих границ было получено Шуром в 1929 г. [48]
и Брейшем в 1932 г. [10].
Проследим, какие существенно новые идеи были дальше присоединены
к идеям Чебышева об использовании Z(s) в теории простых чисел. Толчком
мысли для самого Чебышева было, конечно, известное тождество Эйлера
Но Чебышев впервые пользовался интегральным представлением Z(s). Это
интегральное представление сводится к использованию ряда
i
i (8)
Дальнейшим важным шагом был переход в комплексную область и выражение
числа простых чисел меньших х при помощи контурного интеграла. Этим ша-
шагом, сделанным Риманом в работе „Ober die Anzahl der Prlmzahlen unter einer
gegebenen Grosse" [36], надолго определилось дальнейшее развитие теории
простых чисел в сторону применения методов современного анализа. Риман
задался целью явно выразить число простых чисел ^х через функциональ-
функциональные особенности ?(s) — полюсы и нули. Для того, чтобы получить асимпто-
асимптотическую формулу для числа простых чисел, особенно интересовавшую
Чебышева, нужны были некоторые сведения об этих особенностях. Риман
ничего не доказал об этих особенностях, но высказал знаменитое утвержде-
утверждение— так называемая гипотеза Римана (Riemannsche Vermutung) — о том',
что все нетривиальные корни ?(s) E = a-f-x/) лежат на прямой ?7 = шо" •
Таким образом, работа Римана не содержит доказательства асимптотического
закона простых чисел, т. е. предельного равенства
О.)
приближения к которому были, как мы видели, указаны Чебышевым и его
последователями (еще Гаусс искал, как было сказано, соотношение между
7т(дг) и интегральным логарифмом, сравнивая эмпирически рост этих двух
функций). Так называемая „явная формула" Римана для числа простых чисел,
не превосходящих данного х, дала также начало работам многих авторов
(впервые доказал эту явную формулу Мангольдт [28]). После Римана разви-
развитие теории простых чисел шло в разных направлениях. Адамар доказал

78 ¦ И. М. Виноградов и Б. И. Делоне
асимптотический закон (9), исходя из открытых им впервые общих свойств
аналитических функций, в приложении к ?(s) A896). В том же году по-
появилось и доказательство Валле-Пуссена [13], более сложное, но дающее
остаточный член. Формула Валле-Пуссена имеет вид
Очень много занимался вопросами теории простых чисел Ландау. В 1909 г.
Ландау выпустил свое известное сочинение „Handbuch der Lehre von der-
Verteihmg der Primzafilen" [25a], где собрано все, что было сделано по про-
простым числам к этому времени. Весьма любопытно отметить, что в обстоя-
обстоятельном вводном историческом очерке к этому сочинению более одной
трети посвящено Чебышеву. Участие в дальнейшей разработке теории про-
простых чисел принимали Стильтьес, Кох, Харди и Литтльвуд, Брун, Шнирель-
ман, Виноградов, Чудаков и многие другие. Следует особенно отметить
здесь результаты русских ученых. Академик И. М. Виноградов ввел в теорию
чисел свои методы оценок тригонометрических сумм и получил множество
важных результатов, в том числе решение знаменитой проблемы Гольдбаха
для нечетных чисел. Н. Г. Чудаков [50] и английские ученые Тичмарш [40]
и Ингам [40] применили метод Виноградова к функции С (s) и получили ряд
результатов, являющихся значительным шагом вперед в целом ряде вопросов.
Приведем некоторые новейшие результаты:
X
71 {х)=J *Ь+° {хе~*ogfx)
Ро+1— Ри=°(л4 ) (Чудаков), A2)
где рп и /?и+1 — соседние простые числа. Из этих соотношений видно, как
ушло вперед учение о простых числах со времен Чебышева. Формула A2)
заменяет постулат Бертрана, а A1) — чебышевские неравенства для п(х).
И все же, несмотря на эти значительные усовершенствования, несмотря иа
усилия многих десятков умов, часто первоклассных, вопрос о простых чис-
числах до сего времени не решен даже с точки зрения .некоторых чебышев-
ских утверждений, а работы Чебышева и до сих пор поражают своим необык-
необыкновенным остроумием и проникновением в существо вопроса.
Мы рассмотрели два основных мемуара Чебышева о простых числах
и историю связанных с ними исследований последующих математиков. Есть
нечто общее в творчестве Чебышева и Лобачевского. Обоим русским уче-
ученым — Лобачевскому и Чебышеву — было суждено после более чем 2000-лет-
2000-летних бесплодных усилий математиков всех народов одному—сдвинуть с места
глубочайший вопрос об основаниях геометрии, а другому — пробить брешь
в труднейшем вопросе арифметики о распределении простых чисел в ряду
всех натуральных чисел.
5. Перейдем теперь к другим работам Чебышева по теории чисел.

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 79
Во втором приложении к „Теории сравнений" Чебышев указывает неко-
некоторые такие формы простых чисел р, для которых можно сразу указать
хоть один первообразный корень. Он получает теоремы: если /7 = 22"-|-1,
то один из первообразных корней есть 3; если /> = 47V-f-l, где N—про-
N—простое, то один из первообразных корней есть 2; если p = 4-2mN-\-\, где
N— простое и превосходящее j^n > т ^ ®» т0 один из первообразных кор-
корней есть 3.
6. В работе „Sur les formes quadratiques" [4], напечатанной в Журнале
Лиувилля, Чебышев показывает, как можно применять теорию неопределен-
неопределенных квадратичных форм к вопросу о том, простое ли данное число, или нет.
До Чебышева применялись для этой цели только определенные квадратичные
формы.
7. В одном письме 1853 г. к академику , Фуссу Чебышев [5] высказы-
высказывает без доказательства одно в высшей степени интересное утверждение,
а именно: число тг3(лг) простых чисел меньших х вида 4л-{-3 ведет се.бя
иначе, чем число тг^*) простых чисел меньших х вида 4я-|-1. Он говорит:
„Исследуя выражения ограничений для функций, которые определяют число
простых чисел формы 4л-}-1 и формы 4/?-f-3 меньших некоторого очень
большого предела, я установил, что эти функции заметно отличаются друг
от друга своими вторыми членами, значение которых больше для чисел 4л-|-3,
чем для чисел 4л—}-1, а именно: если из числа простых чисел вида 4л -|- 3
вычесть число простых чисел вида 4л -(-1 и разделить затем разность на
-L?_, то можно найти такие значения х, для которых это отношение будет
сколь угодно близко приближаться к единице". Таблицы показывают опреде-
определенный численный перевес простых чисел вида 4п-\-3. Однако в 1914 г.
Литтльвуд показал, что неравенство тгх (х) ^> тг3 (х) выполняется для сколь
угодно больших значений х.
Чебышев указывает также, что
(bc_e-scjre-ic_!re-nc_e-\sc_e-i4cj[ )=оо.
?-¦0
В 1918 г. Ландау [25Ь] и Харди и Литтльвуд [42] показали, что это
утверждение эквивалентно гипотезе Римана для ряда
т. е. утверждению, что все нетривиальные нули этого ряда лежат на прямой
Re (s) = -g . С этой точки зрения утверждение Чебышева представляет осо-
особый интерес. Не касаясь вопроса о том, обладал ли Чебышев доказательст-
доказательством этого утверждения, мы должны заметить, что употребляемый им в этой
формуле абелев метод суммирования в теории простых чисел лег в основу
замечательных работ Харди и Литтльвуда 1917 года.
8. В бумагах, оставшихся после смерти Чебышева, нашелся отрывок до-
доказательства следующей замечательной теоремы'

80 И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне
¦ Если ji наибольший простой делитель чисел
l-f-22, l-f-4», l-f-62, ..:,
то отношение
1. ' '
• '¦ ¦ ¦¦ N
бесконечно возрастает с возрастанием N.
Эту теорему Чебышева приводит в своем курсе Эрмит. А. А. Марков [29]
восстановил доказательство этой теоремы Чебышева. Далее ее обобщил
И. И. Иванов, известный русской науке своим доказательством тождествен-
тождественности арифметических теорий Золотарева и Дедекинда.
Обобщение теоремы Чебышева, данное Ивановым, можно найти в его
докторской диссертации [22] ,0 некоторых вопросах, находящихся в связи'
со счетом простых чисел" (СПб., 1901), которая представляет подробное
изложение почти всех результатов того времени, полученных в Теории про-'
стых чисел элементарными методами, т. е. без применения теории функций
комплексного переменного и рядов Дирихле в комплексной области. Таким
образом, эта диссертация является в сущности непосредственным продолже-
продолжением чебышевских работ. Обобщение Иванова состоит в следующем: если
А к а целне и взаимно простые, a ji наибольший простой делитель чисел
Л + я-12, Л4-Я-22, _t A-\-aN*,' '
то отношение
JL '
N .
возрастает беспредельно вместе с N. > -
9. Заметка „Sur une transformation des series numeriques" [6] содержит
известное тождество Чебышева, вывод и некоторые приложения которого
и составляют основную цель этой небольшой статьи, совершенно элементар-
элементарной. Мы приводим это тождество здесь в той форме, в какой оно было
указано самим Чебышевым, именно
2 f(k) log A = f] F (/>) log/7, A3)
где
л=1 т— 1
Природа функции f(x) не играет роли (она может быть, например, раз-
разрывной). Важна лишь сходимость входящих в тождество A3) рядов.
10. Отметим еще одну работу Чебышева, связанную с теоретикочисло-
выми вопросами. В статье „Note sur differentes series" [7j (Journal de Liou-
ville, I ser., XVI A851), стр. 337 — 346) Чебышев дает принцип обращения
рядов, который в простейшей форме можно выразить следующим образом.
Введем общеизвестную арифметическую функцию Мебиуса ц(л): д(л) =
= (—1)*, где k—.число простых делителей я, если л не делится на квадрат
больший 1, jx (л) = 0 — в остальных случаях. Тогда, если имеем (сходящийся

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 81
соответственным образом, если он бесконечный) ряд
% A4)
то имеем и обратно
f(x)='Zli(n)aaF(nx). A5)
я=1
Если предположить, что ап = 1 для /я, делящегося на я, и ап = 0, если т не
делится на п(т — некоторое целое число), то найдем, вместо A4), равенство
F(x)=2 ftdx),
а вместо A5),—
2l) A7)
din
Положим здесь / (х) = (J) Г-? J и F(x) = b\J^\ и сделаем х = 1. Тог-
Тогда найдем следующий принцип обращения числовых рядов (где суммирова-
суммирование распространяется на все делители целого числа т): если справедливо
2
din
то имеет место
В соотношениях A8) и A9) не трудно узнать так называемый принцип об-
обращения Дедекинда для числовых рядов, опубликованный этим известным
немецким математиком спустя 6 лет после указанной статьи Чебышева
(R. D e d e k i n d. Abriss einer Theorie der hSheren Kongruenzen. Journ. fflr die reine
u. angew. Math. 54, 1857; Gesamm. Werke, I, S. 61). Как мы видим, прин-
принцип обращения Дедекинда есть только иная форма записи одного частного
случая принципа обращения Чебышева. Это правило обращения числовых
рядов поэтому по справедливости должно носить имя нашего знаменитого
соотечественника.
11. Перейдем теперь к большому мемуару Чебышева 1866 г., озаглавлен-
озаглавленному „Об одном арифметическом вопросе* [8]. Как известно, одним из са-
самых важных свойств непрерывных дробей] является то, что они дают наилуч-
наилучшие рациональные приближения к заданному вещественному числу. Именно,
если вещественное число а, рациональное или иррациональное, разложено
р
в непрерывную дробь, то подходящие дроби у~ обладают тем свойством, что
ника«ая рациональная дробь со знаменателем, не превосходящим Qa, не
р
может отличаться от а меньше, чем -?-, Этим воспользовался Гюйгенс при
построении планетария (модели солнечной системы), когда ему потребова-
потребовалось заданные отношения оборотов зубчатых колес с весьма большими чис-
числителями и знаменателями заменить, с возможно меньшей погрешностью,
отношениями меньших целых чисел.
6 Научное наследие Чебышева. Вып. I

82 И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне
Возникает вопрос, каково условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы дробь — была подходящей для разложения а в непрерывную дробь.
Это решает теорема Лежандра [26 bj: дробь — подходящая к а тогда и только
тогда, когда выполняется неравенство
я
— а
а
^
где—, — предпоследняя подходящая конечной непрерывной дроби, получаемой
от разложения самой — в непрерывную дробь. Так как q меньше, чем q, то
условие
во всяком случае обеспечивает то, чтобы — была подходящей к а дробью.
Но, как это показывают примеры, бывают такие а, у которых не всякая
подходящая удовлетворяет этому неравенству. Имеет, однако, место следую-
следующая теорема Валена [12]: из двух смежных подходящих дробей хотя бы для
одной неравенство B0) удовлетворяется. Остается еще вопрос, нельзя ли
уменьшить постоянную с = —. в неравенстве Лежандра—Валена. Ответ на
этот вопрос, и притом окончательный, дает теорема Маркова — Гурвица —
Бореля [46], [9а]: наименьшее с, при котором неравенство
допускает еще для любого а бесконечно много решений в целых числах р, qt
есть с= , при этом из трех последовательных подходящих дробей к а,.
по крайней мере, одна удовлетворяет этому неравенству с с = —=.
у 5
Во всех этих вопросах идет речь о наилучшем приближении к нулю при
помощи целых чисел х и у линейного однородного выражения у — ах,
в котором а -г- заданное вещественное число.
Начиная свой мемуар [8], Чебышев говорит: „Более трудный вопрос
пр?дставляет собою нахождение чисел х и у таких, чтобы разность у — ах
приближалась к b с заданной точностью, где b — некоторая данная величина,
отличная от нуля. Однако этот вопрос также может быть решен при
помощи непрерывных дробей". Далее, используя пары последовательных
подходящих, получаемых при разложении числа а в непрерывную дробь,
Чебышев доказывает теорему: если а любое вещественное иррациональное
число, то при любом вещественном b существует бесконечно много пар
целых чисел х и^"(где у =^0) таких, для которых удовлетворяется неравенство
Доказательство результата Чебышева было в дальнейшем значительно'
упрощено. Наиболее простое сейчас существующее принадлежит Коксма;
Оно следующее:

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 83
Существует, как известно, бесконечно много несократимых рациональ-
рациональных дробей -j , для которых ад—р = — , где 161< 1. Пусть д' наибольшее
целое число, не превосходящее bq. Так как ряд взаимно простые, можно
найти такие целые и и v, что uq — vp = q', причем | v | <: -f-. Для таких и и г»
Мы имеем поэтому
1<( — av —
Если положить и=у, v==x и принять во внимание неравенство |г>|=^4->
получается неравенство Чебышева.
Рассматриваемая работа Чебышева не перестает интересовать математиков
до самого последнего времени; она оказалась началом длинного ряда иссле-
исследований, которые и сейчас еще далеко не могут считаться законченными.
Первым, кто откликнулся на работу Чебышева, был Эрмит. В письме
к издателю Журнала Крелля Борхарду, напечатанному в 1879 г. в 88 томе
Журнала Крелля под заглавием „Sur une extension donnee k la theorie des
fractions continues par M. Tchebycheff» [43] Эрмит говорит: „Чебышев в лич-
личном со мною разговоре сообщил мне арифметическую теорему, которая
меня очень заинтересовала. Он установил... следующее весьма замечатель-
замечательное предложение: существует бесконечно много систем целых чисел х, у
таких, что линейная функция х — ау — Ь, где а и b— произвольно заданные
1 *
постоянные, по абсолютной величине меньше, чем -^— . Это, как вы видите,
обобщение основного результата теории непрерывных дробей на выражение
совсем иного вида, обобщение это открывает дорогу для многочисленных
дальнейших исследований". Сам Эрмит далее устанавливает, что при по-
помощи целых х, у можно всегда удовлетворить неравенству | х ¦— ау —
/Т J_
— *1*С У 27 * \У\' Правда, Эрмит, кроме условия, чтобы• уфО, кото-
которое, конечно, имелось у самого Чебышева по существу постановки задачи,
молча предполагает еще, что для всех целочисленных пар (х,у), кроме
(О, 0), у — ахфО, у — ах — Ь=^0 и b — не целое число**.
После Эрмита к задаче Чебышева, еще несколько ее модифицируя, воз-
возвращается Минковский. В работе „Zur Geometrie der Zahlen", 1896 [31b], он
замечает, что, подобно тому как вопрос о значении с в неравенстве
|л: — оу\<С—г> т- е- в неравенстве | (д: — лу)у\<^с, может быть обобщен
на вопрос о с в неравенстве[|(ал: -\- $у) (ух -(- Ьу) \ <^с, где аЬ — ру =. 1, вопрос
о значении с в неравенстве Чебышева может быть обобщен на неравенство
|(а*:-|-[1у — ^o){fx-\-by — 1o)I<Cci в котором ?0,ri0—произвольно заданные
о
* В мемуаре Чебышева,-собственно говоря, —.
** Без этих добавочных условий результат Эрмита не мог бы быть вёрбй, так К
в случае * = 0 противоречил бы теореме Гурвица^—Бореля, ' .... . .

84 И. М._ Виноградов и Б . Н. Делоне
вещественные числа. При этом Минковский вводит в рассмотрение пары (х,у)
с у=?0 и пару @, 0), тогда как в исследовании Чебышева естественно при-
принималось у -ф- 0, а в работе Эрмита, как мы видели, введены еще дальнейшие
ограничения. Минковский исследует вопрос в этой несколько измененной
форме и показывает, что с= т есть точное окончательное значение этой
постоянной в его случае. Свое исследование Минковский ведет геометрически
и дает как раз на задаче Чебышева один из лучших примеров введенных
им одновременно с Вороным в науку методов так называемой геометрии чисел.
Задача Чебышева в постановке Минковского имеет естественное обобще-
обобщение. Если у.—ап xt -\- а.гхг -| 1- ainxa -\-bl (i = 1, 2,..., л) — линейные
выражения от переменных xl,x2,...,xn с вещественными коэффициентами
и определителем |ай| = 1, то существует всегда такая постоянная с, завися-
зависящая только от п, что неравенству
можно удовлетворить целыми значениями xlt x2,...,xn (причем никакие системы
целых значений (х1,х2,...,хп), в частности и система @, 0,...,0), не
исключаются). Легко показать, что выражения yt могут быть такими, что это
.обобщенное неравенство Чебышева" не имеет целых решений при с<^^.
Существует предположение, что при с=щ она всегда имеет целые решения.
Минковский в своей работе доказывает это для л = 2.
Лишь в 1923 г. в большой работе в Math. Zeitschr. Ремаку [35] уда-
удалось при помощи очень сложных рассуждений, основанных на применении
глубоких исследований Вороного о параллелоэдрах [15], доказать это пред-
предположение для я = 3.
В 1939 г. в „Journal of the London Math. Soc." Дэвенпорт [17] значи-
значительно упростил вторую часть доказательства Ремака.
Хофрейтер [45] в 1940 г. сделал попытку обобщить метод Ремака на
случай л=4, однако в его выводах есть пробел.
В 1934 г. Чеботарев показал [49 а] (см. также [49 Ь]) при помощи очень
простых и остроумных соображений, что для любого л годится постоянная
с=—=—-|-е. Результат Чеботарева был вскоре улучшен Морделлем [32]
и другими.
Уменьшению постоянной с в неравенстве Чебышева \{у — ах — Ь)у\<^с
были в последнее время посвящены работы А. Я. Хинчина [44] A935 г.) и
Блихфельда A940 г.), но в них, как в работе Эрмита, ставились те или
иные дополнительные условия. Наконец Жогиным (Уч. зап. МГУ, 1944) была
получена точная постоянная с для задачи в постановке самого Чебышева
(т е. ь — любое вещественное, а — любое иррациональное число, уфО).
Она оказалась -т=, т. е. такой же, как в задаче Гурвиц — Бореля (где,
однако, требование, чтобы а было иррационально, несущественно). Геомет-
Геометрическое доказательство этого результата особенно ясно показывает его
непосредственную связь с теоремой Гурвиц — Бореля.

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 85
12. Подводя итог этому краткому обзору, необходимо отметить, что
все работы Чебышева по теории чисел отличались необычайным свое-
своеобразием и остротою мысли. Чебышевым блестяще начинается знаменитая
петербургская арифметическая школа, традиции которой с достоинством
поддерживаются и ныне математиками нашей страны.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Работы П. Л. Чебышева
1. Теория сравнений; СПб. 1849, 1879, 1901.
2. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины. Соч., *
т. I, стр. 28—48.
3. О простых числах. Соч., т. I, стр. 49—70.
4. О квадратичных формах. Соч., т. I, стр. 71—96.
5. Письмо П. Л. Чебышева к Фусу о новой теореме, относящейся к числу простых
чисел вида 4я-(-1 и 4я-|-3. Соч., т. I, стр. 697—698.
6. Об одном преобразовании числовых рядов. Соч., т. II, стр. 705—707.
7. Заметка о некоторых рядах. Соч., т. I, стр. 99—108.
8. Об одном арифметическом вопросе. Соч., т. I, стр. 639—684.
Работы других авторов
9. Е. Borel. a) Sur I'approximation des nombres par des nombres rationnels. C. R.
136, 1903.
b) Contribution a l'analyse arithmetique du continu. Journ. math, pures et appl. E),
9, 1903.
c) Lemons sur la theorie de la croissance. Paris, 1910.
10. В re u sen. Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulates. Math. ZS. 34, 1932.
11. V. В run. Le crible d'Eratosthene et le theorerae de Goldbach. Skrifter utgit av
Videnskapsselskapet i Kristiania, mat.-naturv. Kl. (I), 3, 1920.]
12. Vahlen. Ober Naherungswerte und Kettenbriiche. Journ. f. Math. 115, 1895.
13. Ch. J. de la Vallee-Poussin. Recherches analytiques sur la theorie des nombres.
Ann. de la Soc. sci. de Bruxelles 202, 183—256, 1896 (I part.); Memoires ccuronnes
de l'Acad. Roy. des Sci. de Belgique,'59, 1899—1900 (II part.).
14. И. М. Виноградов, а) Новый метод в аналитической теории чисел. Тр. Матем.
инст. им. Стеклова, т. X, 1937.
b) Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. ДАН СССР, 15,
1937.
c) Некоторые новые проблемы теории простых чисел. ДАН СССР, 16, 1937.
d) Новые оценки тригонометрических сумм, содержащих простые числа. ДАН СССР
17, 1937.
e) Новая оценка одной суммы, содержащей простые числа. Матем. сб. 2, 44. 1937.
f) Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел. Тр. Тбилис.
матем. инст. 3, 1937.
g) Новая оценка одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа.
Изв. АН СССР, сер. мат., 1938.
15. Г. Ф. Вороной. Recherches sur les paralleloedres primitifs. Journ. f. Math. 139,
1909.
16. Gauss. Werke. Guttingen, 1863, 1876.
17. Davenport, a) Note on a result of Siegel. Acta Arithm. 2, 1937.
* Соч. = Собрание сочинений П. Л. Чебышева, изданное под ред. А. А. Маркова
и Н. Я. Сонина, том I, СПб., 1899; том П, СПб., 1907.

И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне
b) London Math. Soc. 53, 1939.
18. R. Dedekind. a) Abriss einer Theorie der hoheren Kongruenzen. Journ. f. die reine
u. angew. Math. 54, 1857.
'b) Ober die Anzahl der Ideal-Klassen in den verschiedenen Ordnungen eines end-
lichen KOrpers. Werke, I.
19. L. D i r i с h 1 e t. a) Beweis einen Satzes fiber die arithmetische Progression. Ber.
flber die Verhandl. Kon. Preuss. Akad. Wiss. 1837.
b) Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes
Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktoren sind, un-
endlich viele Primzahlen enthalt. Abh. K6n. Preuss. Akad. Wiss. 1837.
20. L. Euler. a) Variae observationes circa series infinitas. Comm. Acad. Sci. Imp.
Petropolitanae 9, 1737, 1744.
b) Introductio in analysis infinitorum. I, Lausanne, 1748.
21. E. И. Золотарев. Теория целых комплексных чисел с приложением к интеграль-
интегральному исчислению. Полное собр. соч., т. I, 1931.
22. И. И. 'И в а н о в. О некоторых вопросах, находящихся в связи со счетом простых
чисел. СПб., 1901.
23. Н. von Koch. Sur la distribution des nombres premiers. Acta Math. 24, 190K
24. К о k s m a. Diophantische Approximationen. Berlin, 1936.
25. E. Landau, a) Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 1909.
b) Ober einige Sltere Vermutungen und Behauptungetf'in der Primzahlentheorie.
Math. ZS., 1, 1918.
26. A. M. Leg end re. a) Essai sur la theorie des nombres. Paris, 1798, 1808.
b) Theorie des nombres. Paris, 1830.
27. H. И. Лобачевский. Об уравнении хп — 1 = 0.
28. M a n g о 1 d t. Zur Riemanns Abhandlung „Ober die Anzahl der Primzahlen unter
einer gegebenen Grosse". Journ. f. Math. 114, 1895.
29. А. А. Марков. Lettre a M. Hermite. C. R. Acad. Sci. Paris, 120A895).
30. F. M e r t e n s. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, Journ. f. die reine u.
angew. Math. 1874.
31. H. Minkowski. a) Generalization de la theorie des fractions continues. Ann. Ecol.
Norm. 3, 13, 1896.
-b) Zur Geometrie der Zahlen. Berlin, 1896.
32. L. J. Mordell. Tschebychef's theorem on the product of non-homogeneous linear
forms. Vierteljahrschr. Naturforsch. Gesellsch. Zurich 32, 1940.
33. Mori mot o. a) Jap. Journ. Math., 3, 1926; 4, 1927; 5, 1928; 6, 1929.
b) Tdhuku Math. .lourn. 38, 1933.
34. S. Raman u jan. Collected papers. Cambridge, 1927.
35. Remak. Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes. Math. ZS. 18, 1923.
36. B. R i e m a n n. Ober die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Grosse. Monats-
hefte. Preuss. Akad. Wiss., 1859, 1860.
37. J. A. S e r r e t. Cours d'algebre superieure, II. Paris, 1879.
38. T. J. S t i e 11 j e s. Correspondence d'Hermite et de Stieltjes.
39. J. J. Sylvester, a) On Tchebysheff's theorem on the totality of prime numbers
comprised within given limits. Amer. Journ. Math. 4, 1881.
40. Titchmarsh. On Z(s) and я(дг). Quart. J. Math., Oxford Ser. 9, 1938.
41. J. Hadamard. a) Etude sur Ies proprietes des fonctions entieres et en particulier
d'une fonction consideree par Riemann. Journ. de math. 4, 9, 1893.
b) Sur la distribution des zeros de la fonction :(*) et ses consequences arithmetiques.
Bull, de la Soc. math, de France, 24, 1896.
42. Hardy and Littlewood. Contributions to the theory of the Riemann Zeta-fun-
ction and the theory of the distribution of primes. Acta Math. 41, 1917.
43. Ch. Hermite. Sur une extension donnee a la theorie des fractions continues par
. Tchebysheff. Journ. f. Math. 88, 1879.

Работы П. Л. Чебышева по теории чисел 87
44. А. Я. X и н ч и н. Neurer Beweis und Verallgemeinerung eines Hurwitzschen Satzes.
Math. Ann. 3, 1935.
45. Hof rei ter. Ober einen Approxiraationssatz von Minkowski. Monatshefte Math.
Phys. 40, 1933.
46. Hurwitz. Ober die genaberte Darstellung der irrationalen Zahlen durch rationale
Brtlche. Math. Ann. 39, 1891.
47. H. Г. Ч ебота рев. а) Записки по алгебре и теории чисел. Уч. зап. Казанского
ун-та, 94, кн. 7, 1934.
b) Beweis des Minkowskischen Satzes ilber Iineare unhomogene Forraen. Vierteljahr-
schr. Naturforsch. Gesellsch. Zurich 32, 1940.
48. H. Г. Чудаков. On zeros of Dirichlet's Z-functions. Матем. сб. 1, 1936.
49. Л. Г. Ш н и р е л ь м а н. а) Об аддитивных свойствах чисел. Изв. Донского Политехи,
инст. 14, 1930.
b) Ober additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann. 107, 1933.
50. J. Schur. Einige-Satze fiber Primzahlen. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1929.

В. В. ГОЛУБИВ
РАБОТЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА ПО ИНТЕГРИРОВАНИЮ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Исторические замечания. Теория функций комплексного
переменного в работах Чебышева
В научном творчестве П. Л. Чебышева одно из основных мест занимают
его работы по интегрированию, в элементарных функциях иррациональных
функций. Этому вопросу посвящено шесть больших мемуаров Чебышева [1],
[2], [3], [4], (J, [6]*, написанных в промежутке с 1853 по 1867 г.; наряду
с работами по теории чисел, по теории вероятностей, по кинематике меха-
механизмов и связанными с нею вопросами анализа и геометрии, вопросу об инте-
интегрировании иррациональных функций Чебышев уделял наибольшее вни-
внимание.
Впервые этим вопросом Чебышев занимается в своей диссертации pro
venia legendi, которую он защищал при вступлении в число доцентов
С.-Петербургского университета в 1847 г. Эта работа его называлась
„Об интегрировании помощью логарифмов". Возможно, что вопросами
интегрирования в элементарных функциях Чебышев заинтересовался
впервые в связи с работами по теории чисел. Действительно, написанная
два года спустя (в 1849 г.) его докторская диссертация „Теория сравнений"
посвящена теории чисел. Весьма вероятно, что занятия Чебышева теорией
чисел начались вскоре после защиты им его магистерской диссертации „Опыт
элементарного анализа теории вероятностей" A845). Связь его первых ис-
исследований по интегрированию иррациональных функций с теорией чисел
ясно выступает в тезисах диссертации. Указав в трех первых тезисах на за-
задачи, поставленные в диссертации, и на значение их для дальнейшего раз-
развития анализа, автор в следующих тезисах, характеризующих главное содер-
содержание работы, устанавливает их связь с вопросами теории чисел.
Основной пункт теории составляет здесь решение следующего вопроса
(тезис 4):
„Найти целые числа при условии, что сумма их произведений на неко-
некоторые иррациональные или комплексные числа равна нулю, если это воз-
возможно; в противном случае, если заданные числа таковы, что невозможно
* Цифры в квадратных скобках относятся к списку литературы в конце статьи.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 89
подобрать соответствующие целые числа, доказать невозможность постав-
поставленной задачи".
В дальнейших тезисах обсуждаются пути решения поставленной задачи.
Такое направление исследования, возникшее, возможно, с одной сто-
стороны, в связи с занятиями теорией чисел, а с другой стороны, несомненно,
вызванное глубоким изучением работ Абеля и Якоби, остается основ-
основным во всех дальнейших исследованиях Чебышева, посвященных рас-
рассматриваемому вопросу. Во всех этих работах методом исследования
являются: классический анализ в том виде, как его применяли Эйлер, Ле-
жандр и позднее Абель и Якоби, классическая теория чисел, как она сло-
сложилась в работах Эйлера и Лежандра и, пожалуй, в меньшей степени
в работах Гаусса, широкое применение теории непрерывных дробей, различ-
различного рода формальных преобразований и т. д.
Между тем, за двадцать лет, протекших со времени работ Лежандра,
Абеля и Якоби по теории эллиптических интегралов и интегралов алгебраи-
алгебраических функций, которым посвящены рассматриваемые здесь работы Чебы-
Чебышева, многое изменилось. Как раз работы Абеля и Якоби по теории эллип-
эллиптических функций, работы Абеля по теории интегралов алгебраических
функций („абелевых интегралов") и разработка Коши основ теории функ-
функций комплексного переменного и явились истоком тех новых направлений в ана-
анализе, которые так радикально изменили его методы в работах математиков
XIX столетия*.
Новые идеи, глубоко революционизирующие науку, по большей части
медленно и с трудом завоевывают в науке права гражданства. Даже сами
творцы новых направлений в науке принуждены излагать их языком старых
идей и понятий и не только для того, чтобы сделать их понятными широ-
широким кругам современников, но и потому, что самое создание новых теорий
идет медленно, вплетаясь непрерывно в методы и понятия, прочно утвердив-
утвердившиеся в науке.
Это замечание полностью относится и к указанным выше направлениям
исследований. Идеи Коши медленно и с трудом входили в обиход науки;
например, в работах Якоби по теории эллиптических, а позднее и гиперэл-
гиперэллиптических, интегралов и функций мы не найдем ничего, хоть отдаленно
напоминающего идеи теории функций комплексного переменного, в то время
как теперь мы рассматриваем теорию эллиптических функций всегда как
простейший пример приложения общих методов теории функций комплекс-
комплексного переменного; точно так же и в работах Абеля по теории эллиптических
функций мы почти не заметим влияния идей Коши, хотя Абель подробно
изучал работы Коши, высоко ценил их и лично знал их автора **.
* Классическая работа Коши, давшего пример .бесстрашному обращению с ком-
комплексными величинами' (Клейн), .Memoire sur les integrates definies prises entre des
limites imaginaires", появилась в 1825 г. Работы Абеля и Якоби по теории эллиптиче-
эллиптических функций относятся к 1826—1830 гг.
** В связи с этим интересно прочесть отзыв Абеля о Коши в его письме Гольм-
бое от24окт. 1826 г.: .Cauchy est fou, et aveclui il n'y a pas moyen de s'entendre, bien
que pour le moment il soit cefui qui sait comment les mathematiques doivent eire trai-

90 В. В. Голубев
Гениальный мемуар Абеля „Мемуар об общем свойстве весьма широкого
класса трансцендентных функций", положивший начало современной теории
алгебраических функций и их интегралов, претерпел вообще исключитель-
исключительную и странную историю: представленный в Парижскую Академию Наук
Абелем в октябре 1826 г., он не привлек никакого внимания и был напе-
напечатан только через 15 лет, в 1841 г.
Наконец* теория эллиптических функций, начало которой было положено,
конечно, работами Лежандра, не возбуждала никакого интереса в Париже,
тогдашнем центре научной математической мысли; научная мода вела тогда
умы французских математиков в совершенно иную область, в область урав-
уравнений математической физики. Мощный толчок развитию теории эллипти-
эллиптических функций дали работы ученых из глубокой научной провинции, чем в
те годы, несомненно, был Кенигсберг и тем более Норвегия.
Но к средине 40-х годов положение сильно изменилось. Как раз
к 40-м годам относятся работы Лиувилля по задаче о5 интегрировании
в элементарных функциях частных случаев интегралов от алгебраических
функций, значительно продвинувшие эту область анализа; с другой стороны,
к этому же времени относятся знаменитые лекции Лиувилля по теории
эллиптических функций, читанные им в College de France; эти лекции содер-
содержали первую попытку построения теории эллиптических функций, исходя из
общих соображений теории функций комплексного переменного. С Лиувил-
лем и с другим, тогда молодым французским ученым — Эрмитом, много
способствовавшим развитию общих методов теории функций комплексного
переменного, Чебышев был хорошо знаком. По его утверждению, их сове-
советам обязана была разработка соображений, положенных им в основу его
диссертации pro venia legendi, — его первый большой мемуар по интегриро-
интегрированию иррациональных функций [8]. Точно так же Чебышев был хорошо
знаком и с работами Лиувилля по теории эллиптических функций. Вот
оценка, которую он дает этим работам Лиувилля:
„Не останавливаясь на исследовании функций, определяемых тем или
другим интегралом, он начинает с исследования общих свойств функций и
разделяет их на два класса: функции вполне определенные и функции не вполне
определенные. Останавливаясь на первых, как наиболее простых, он пока-
показывает некоторые общие свойства нх; потом переходит к тому случаю, когда
они периодичны, он доказывает относительно их теоремы, тем более инте-
интересные, что они не зависят совершенно от вида функций или способа их
употребления, а единственно от их существенных свойств: полной определен-
определенности, непрерывности, периодичности.
На основании этого он строит теорию функций двойной периодичности,
предполагая их везде вполне определенными. Он разделяет эти функции
на классы по числу так называемых им нулей и бесконечностей, т. е.
числа величин независимой переменной, которые, в пространстве одного
tees. Се qu'il fait est excellent, mais tres brouille. D'abord je n'y compris presque rien;
maintenant j'y voisplus clair. И fait publier une serie des memoires sous titre „Exerci-
ces de mathematiques-. Je les achete et les lis assidument.. ."(Oeuvres de N. Abel. Christia-
nia, 1881, т. И, стр. 259). '

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр.' функций 91
периода, обращают рассматриваемую функцию в нуль и бесконечность.
Потом он показывает, что наименьшее число нулей или бесконечностей
есть два, и находит выражение функций с каким-нибудь числом нулей и
бесконечностей через функции, в которых эти числа имеют наименьшие
значения, т. е. равны двум. Остановившись на этих функциях, он находит
дифференциальное уравнение, которому они должны удовлетворять, исходя
из общих свойств периодических функций. Уравнение, которое он таким
образом получает, есть то самое, которое служит для определения обратных
эллиптических функций первого вида..." [8].
Мы видим здесь обычное современное изложение основ теории эллипти-
эллиптических функций как специального вида аналитических функций („функций
вполне определенных*, по терминологии Лиувилля). Это изложение стало
классическим с появлением курса Брио и Буке по теории эллиптических
функций [18]. Таким образом, уже в момент написания первого мемуара,
посвященного теории интегрирования иррациональных функций, Чебышев
хорошо знал основы общей теории функций комплексного переменного и
теории эллиптических функций в ее современном виде.
Однако, все эти исследования остались совершенно в стороне от инте-
интересующих нас работ Чебышева, хотя связь их с вопросами, которыми он
занимался, совершенно очевидна.
Среди работ, посвященных вопросам, отличным от рассматриваемых
в настоящей статье, можно указать только одну, содержание которой непо-
непосредственно связано с теорией функций комплексного переменного; это его
статья „Заметка о сходимости ряда Тейлора"*, напечатанная им в 1844г.
В научном творчестве Чебышева этот юношеский мемуар стоит совер-
совершенно изолированно по методу исследования; в нем автор со всею пол-
полнотою пользуется аппаратом теории функций комплексного переменного
в том виде, как она была создана Коши. В дальнейшем он нигде не воз-
возвращается к методам этой теории. :
Содержание этого мемуара состоит в следующем. Из классической фор-
формулы Коши
в случае, когда L — окружность с центром а, получаем при z — a
0rf<p. B)
Равенство B) и служит основою всего исследования Чебышева. Применяя
ту же формулу для значений производных f (а), )\(а),...,
* „Note sur la convergence de la serie de Taylor" (Crelle Journal fUr die reinp
und angew. Math. 28, 1844). Заметим, что из многочисленных публикаций Чебышева
в заграничных журналах в Журнале Крелля им напечатана, кроме указанной, только
одна работа — „Demonstration elementaire d'une proposition generate de la theorie des
prqbablliteV A846), причем обе эти статьи — его юношеские работы.

92 В. В. Голубев
получим
+*
/(») (а) =1
и отсюда интеграцией по частям Чебышев получает выражение для произ-
производной
f(n) И = з5-„ j е-"Р'У (а + R**) df, C)
которое при обычном выводе получается дифференцированием A) по z.
Для законности применения формулы A) нужно, чтобы f(z) была голо-
голоморфна внутри и на I (по терминологии Чебышева — конечна и непрерывна),
а потому автор делает заключение, что для законности применения фор-
формулы C) необходимо, чтобы все /<"> (г) были конечны и непрерывны внутри
и на L. Отсюда он делает следующий вывод: ряд Тэйлора
сходится или расходится, смотря по тому, больше или меньше \z\ модуля
того значения переменного, при котором становится бесконечною или пре-
прерывною по крайней мере одна из функций
Как известно, если /(г) голоморфна, т. е. конечна, однозначна и имеет
конечную производную внутри L и на L, то и все ftn)(z) автоматически
голоморфны; во времена Коши к этому еще добавлялось требование, чтобы
f(z) была непрерывна внутри L и на L.
Таким образом, добавочные требования, налагаемые Чебышевым на про-
производные высших порядков, в чем он пытается исправить и дополнить
Коши, излишни, и в этом отношении результат работы неверен.
Но в работе есть любопытное замечание. Указывая на недостаточность,
по мнению Чебышева, условий Коши, автор заканчивает статью так:
.Недостаточность этих условий \J(z) и /' (г) конечны и непрерывны внутри
L и на L. — В. Г.], мне кажется, получается от того, что Коши предполагает,
что величина интеграла может быть разложена в сходящийся ряд всякий
раз, когда разлагается в ряд под интегральная функция, что имеет место
только в частных случаях".
Таким образом, дело идет о возможности почленного интегрирования
ряда. Это замечание, сделанное много ранее введения Вейерштрассом поня-
понятия о равномерно сходящихся рядах, хотя и не приложимо в рассматривае-
рассматриваемом автором случае, где при выполнении условий Коши ряд всегда можно
почленно интегрировать, но указывает на большую изощренность молодого
автора (Чебышеву тогда было 23 года).
Мемуар „Заметка о сходимости ряда Тэйлора" стоит в научном твор-
творчестве Чебышева совершенно изолированно. Нигде в своих других работах
Чебышев не пользуется сколько-нибудь систематически методами теории

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 93
функций комплексного переменного. Из всего многочисленного набора раз-
различных соотношений, к которым приводит эта теория, Чебышев использует
кое-где только вычеты, которыми он пользуется для вычисления интегралов,
ловидимому, как удобным подсобным методом или даже просто удобным
способом записи [10]. Например, в мемуаре „О ряде Лагранжа* мы не най-
найдем никакого отзвука теории функций комплексного переменного, кроме
применения написанной выше формулы B), носящего чисто случайный харак-
характер; самый вывод формулы Лагранжа основывается на применении формулы
интеграции по частям, который применяется и для элементарного вывода
теоремы Тейлора; автор дает предварительно только некоторое формальное
обобщение теоремы об интеграции по частям. * Естественно возникает
вопрос, почему в своих сочинениях Чебышев избегает применения методов
теории функций комплексного переменного, с которыми, несомненно, он
был хорошо знаком, даже в вопросах, где такое применение казалось бы
совершенно естественным, как это имеет место в выводе теоремы о ряде
Лагранжа. В научном творчестве Чебышева это обстоятельство, несомненно,
не случайно.
Объяснение этому, повидимому, надо искать в том, что Чебышев считал
доказательства, в которые входят комплексные числа, не вполне строгими;
об этом он говорил на своих лекциях в Петербургском университете. **
Эти соображения Чебышева интересно сопоставить с идеями Кронекера, ко-
который был его современником. Как известно, Кронекер считает абсолютно
надежными только те теоремы, содержание которых сведено к соотношениям
между целыми числами.
Впрочем, идеи, близкие к настроениям Чебышева и Кронекера, вовсе не
были редким исключением. Отголоски подобных настроений можно найти
даже в известном курсе анализа Пикара, где находим следующее неожидан-
неожиданное утверждение***:
„После основного мемуара Римана изучение функций комплексного пере-
переменного было снова сведено к своей настоящей основе, т. е. к изучению
уравнения Лапласа или системы уравнений Коши — Римана. Эта точка зрения,
несомненно, философски более обоснована; она имеет большое преимущество,
так как оставляет в стороне всякий символ, и теория функций комплексного
переменного в конце концов является исследованием двух сопряженных функ-
функций двух действительных переменных, связанных уравнениями Коши—Римана".
Повидимому, взгляд на комплексные числа, как не вполне полноценные,
совершенно исчез только в математике XX в., характеризующейся чрезвы-
чрезвычайно широкими обобщениями понятия числа. В современных курсах, напи-
написанных уже в текущем столетии, как „Курс математического анализа" Гурса,
* Обзор различных методов доказательства теоремы Лагранжа см., например,
в книге: Ш. Эрмит. Курс анализа, 1936. стр.241. Элементарный метол Лапласа дан,
например, у Гурса, Курс математического анализа, т. I, п. 139.
** По сообщению Г. X. Херсонского, слушавшего лекции Чебышева в 80-х годах.
*** Е. Pi card. Traite d'aaalyse, II, 2-eme ed., 1905, стр. 7. Ср. также предисловие
акад. А. Н. Крылова к переводу .Курса анализа' Ш. Эрмита (замечание о А. Н. Кор-
кине).

94 В. В. Голубев
п Курс Теории функций комплексного переменного" Бибербаха, в работах,
входящих в серию Бореля, мы не находим уже никаких отзвуков этих
сомнений.
§ 2. Работы Абеля по теории алгебраических функций. Генезис идей
Абеля. Их влияние на работы Чебышева
Работы Чебышева по интегрированию иррациональных функций стоят в
самой тесной связи с работами Абеля. Отсюда является весьма интересным
проследить генезис идей Абеля, относящихся к этим исследованиям.
Пожалуй, наиболее подробное освещение этого вопроса мы найдем в письме
Абеля к Лежандру, написанном 25 ноября 1828 г.:*
„Кроме теории эллиптических функций, есть две другие ветви анализа,
которыми я много занимался; это теория интегрирования алгебраических
функций и теория уравнений. При помощи специального метода я нашел
много новых результатов, которые обладают чрезвычайно большою общностью.
Я исходил из следующей задачи интегрирования:
Пусть дано некоторое число интегралов \ ydx, [y^dx, \y2dx, \y3dx
и т. д., где у, уи уг, ... — какие-нибудь алгебраические функции дг; найти
между ними все возможные соотношения, которые выражаются через алгеб-
алгебраические или логарифмические функции.
Я нашел сначала, что такое соотношение должно иметь вид
A ^ydx-\-Ax <\y1dx-\-A2'\jy2dx-] = u-\-B1\nvl-{-B2lnv2-\- ¦-.,
где A, At, А2, ..., Bt, В2, постоянные и и, vx, v2,... — алгебраические
функции х. Эта теорема чрезвычайно облегчает решение задачи. Но самый
важный результат следующий:
Если \ ydx, где у связан с х каким-нибудь алгебраическим уравне-
уравнением, может быть явно или неявно ** выражено при помощи алгебраических
и логарифмических функций, то всегда можно положить
пг/2-1 \-Am\nvm,
где Ах, А2,. ..,Ат — постоянные и и, vv v2,...,vm — рациональные функции
хну.
Например, если¦ у = —=, где г и R — рациональные функции, то во
V R
всех случаях, когда | -j=dx интегрируется,
где р, ри р2, ..., glt цг, ... — рациональные функции х.
Этим способом я свел к наименьшему возможному числу трансцендентные
* Oeiivres completes de N. Abel, II, Christiania, 1881, стр. 275.
** explicitement on implicitement — подчеркнуто Абелем.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 95
Г rdx
функции, содержащиеся в выражении \ . , где R — целая функция и
J у К
г—рациональная функция.
Именно, пусть р0, plt р2,..., рт-\ какие-нибудь целые функции пере-
переменного х, и рассмотрим коэффициенты при различных степенях х в этих
функциях как переменные. Пусть также а0, о1, а2,..., а1" корни уравне-
уравнения ат = 1, причем т число простое или составное, и положим
— , 2* — , . (m-l)k ¦- -
m -\-a p2 Rm -j- \-a R m .
Положив все это и составив произведение
so-s1-s2- • •sm^1 = Vx,
получим, как Вы видите, V как целую функцию х. Если теперь обозначить
через х1У х2, ..., х^ корни уравнения V—0, то трансцендентная функция
dx
: — a)R^
где —<^ 1 и а — какое-нибудь постоянное число, будет обладать следую-
следующим свойством:
R'm
где С — постоянное и R', so, Si, ..., sm — i — значения, которые принимают
соответственно функции R, s0, sv ..., sm_u если написать вместо х
число а.
Нет ничего проще, чем доказать эту теорему. Я дам доказательство в
одном из моих ближайших мемуаров в Журнале Крелля*. Из этой теоремы
получается замечательное следствие:
Г rdx
если положить w(x)= \ ^~, где г—какая-нибудь целая функция х,
J #Г
степень которой меньше — v—1, где v — степень Й, то функция w(x) та-
такова, что
w (xi) ~Ь w ixi) -\- •••+«> (лГц) = const.
Если, например, т = 2, л=^1, v = 4, то г=\, а потому
Это случай эллиптических функций первого вида.
* Напечатано не было. Часть этих результатов вошла в мемуар „Precis d'une the-
orie des fonctions elliptiques'. I partie, Oeuvres, I, стр. 528.
** Надо помнить, что Абель, следуя терминологии Лежандра, называет здесь эллип-
эллиптическими функциями эллиптические интегралы.

В. В. Голубев
Прекрасные приложения, которые Вы дали эллиптическим функциям при
интегрировании дифференциалов, заставили меня рассмотреть чрезвычайно
общую задачу такого рода, именно:
Найти, возможно ли выразить интеграл вида \ydx, где у есть какая-ни-
будь алгебраическая функция, через алгебраические, логарифмические и эл-
эллиптические функции следующим образом:
^ydx = алгебр, функция от х, lni^, 1пг/2, ..., E1(z1),E2(z2), ...,
причем vt, v%, ..., Zj, 2г2, ... — алгебраические функции самого общего вида
и IIj (Zj), П2 (z2), ... — какие-нибудь эллиптические функции, взятые в ко-
лечном числе;
Я сделал первый шаг в решении этой задачи, доказав следующую теорему:
Если возможно выразить \ydx, как только что сказано, то всегда можно
¦представить его в виде
где t, ty, l2, ..., уи Уъ, ...— рациональные функции хну. Если при этом
сохранить за функцией у наибольшую общность, то встречаются трудности,
превосходящие мои силы; их мне никогда не удастся одолеть. Поэтому я
ограничился частными случаями, в особенности случаем, когда у имеет вид
—=г, где г и R — какие-нибудь рациональные функции х; это уже доста-
точно общий случай. Я заметил, что I —^dx можно привести к виду
где все yv уг, ..., р, р', р", ... — рациональные функции х.
Я доказал эту теорему в мемуаре, который будет напечатан в Журнале
Крелля" [13].
Таким образом, в развитии научных идей Абеля исследование случаев
вырождения эллиптических интегралов и, в более общем случае, интегралов
от любых алгебраических функций самым тесным образом связан с его клас-
классическими исследованиями, которые привели его к так называемой теореме
Абеля. Основная цель этих исследований состояла в том, чтобы при помощи
линейных соотношений, связывающих абелевы интегралы некоторой области
алгебраических функций, свести их число к наименьшему возможному числу
линейно независимых интегралов. Это есть чрезвычайно общее развитие за-
задачи, решенной Эйлером и, может быть, намечавшейся в аналитической или
в геометрической форме еще у Фаньяно. *
* По истории этих исследований см., например, Е п п е р е г. Elliptische Funktionen.
Theorie tmd Geschichte. 1876.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 97
Поскольку соотношения, выведенные в общем случае Абелем, включают
в линейную связь между абелевыми интегралами члены, представляющие ал-
алгебраические функции или логарифмы от алгебраических функций, то, в част-
частности, возможен и такой случай, когда один абелев интеграл выражается
через алгебраические и логарифмические функции. Этот случай подробно и
изучал Абель, а позднее Чебышев. Так как несомненно, что работы
Абеля оказали самое сильное влияние на развитие идей Чебышева, то мы
остановимся подробно на истории появления работ Абеля по теории интегра-
интегралов от алгебраических функций.
В истории науки не часто можно найти пример столь странной судьбы,
какая выпала на долю одного из самых замечательных исследований, лежа-
лежащих в основе современной математики, каким является мемуар Абеля ,06
одном весьма общем свойстве трансцендентных функций", содержащий общее
доказательство теоремы, которая теперь носит название теоремы Абеля.
Упоминание об этом замечательном открытии впервые встречается в письме
Абеля Гольмбое от 24 ноября 1826 г. В этом письме Абель между прочим
пишет:
„Я только что закончил большой трактат об одном классе трансцендент-
трансцендентных функций, чтобы представить его в Институт, что будет иметь место
в ближайший понедельник. Я показал его Коши, но он едва соблаговолил
взглянуть на него. Я имею смелость сказать, не хвалясь, что это хороший
труд. Мне интересно услышать о нем мнение Института".*
Этот замечательный мемуар был в назначенное время представлен
в Академию Наук, никакого внимания к себе не привлек, напечатан в то
время не был и долго оставался неизвестным. О том, что с ним случилось,
мы узнаем из переписки Якоби и Лежандра.
Упоминание об этом мемуаре появилось в печати только через два года
в напечатанном в Журнале Крелля мемуаре Абеля „Замечания о некото-
некоторых общих свойствах одного класса трансцендентных функций* [15]. В этом
мемуаре дано весьма подробное доказательство теоремы Абеля дл» случая
гиперэллиптических интегралов; например, теорема IV дает известное свой-
свойство гиперэллиптических интегралов 1-го рода.**
Огромное значение этих исследований Абеля сразу же оценил Якоби.
В письме Лежандру от 14 марта 1829 г. мы находим следующие востор-
восторженные строки:
„Какое открытие сделал Абель своим обобщением теоремы Эйлера об
интегралах! Видели ли когда-нибудь что-нибудь подобное! Но как случи-
случилось, что это открытие, может быть, самое важное, какое сделано в мате-
математике в веке, в котором мы живем, сообщенное Вашей Академии два
года назад, могло ускользнуть от внимания Вашего и Ваших сочленов?"
Письма Якоби к Лежандру все проникнуты величайшим уважением
к нему, но здесь, упоминая о непонятном исчезновении этого классического
* Oeuvres de N. Abel, II, стр. 260.
** См. в современном изложении эти исследования, например, Е. Pi card, Traite
d'analyse, II, ch. XIV.
7 Научное наследие Чебышева. Вып. I

В. В. Голубее
исследования Абеля где-то в недрах Парижской Академии Наук, Якоби не
мог удержаться от упрека. Отвечая на это письмо 8 апреля 1829 г., когда
Абеля уже не было в 'живых,* Лежандр так объясняет это .необычайное
происшествие:
„Я не могу окончить это письмо, не ответив на замечание в Вашем
письме, касающееся прекрасного мемуара Абтеля, напечатанного в последней
тетради Журнала Крелля и представленного автором в Академию в послед-
последние месяцы .1826 года**. Тогда президентом Академии был Пуассон и до-
докладчиками по рассмотрению этого мемуара были намечены Коши" и я. Мы
заметили, что мемуар почти нельзя прочесть, так как он был написан блед-
бледными чернилами и неразборчивым почерком. Было условлено, что мы
попросим у автора экземпляр более четкий и удобный для чтения. На этом
дело и остановилось. Коши хранил рукопись, не занимаясь ею; автор;
г. Абель, повидимому, уехал, не позаботившись узнать, что случилось сего
рукописью. Второго экземпляра он не представил и ничего не сообщил.
Однако я просил г. Коши передать мне рукопись, которой никогда не было
в моих руках, и я посмотрю, что можно сделать, чтобы исправить, если
это возможно, то невнимание, которое было проявлено к труду, несомненно
заслужившему лучшей участи".
Но замечательный. мемуар Абеля в то время так и не был напечатан.
В 1830 г., в связи с революцией, Коши был выслан из Франции, как ярый
монархист, и рукопись мемуара Абеля попала к Жергону. Напечатана она
была только в 1841 г. по требованию норвежского правительства [14].
Когда через 30 слишком лет норвежское правительство постановило
издать полное собрание .сочинений Абеля, то один из редакторов, С. Ли,
получил в 1874 г. разрешение от Парижской Академии Наук просмотреть
рукопись мемуара Абеля, но оказалось, что после напечатания мемуара ру-
рукопись исчезла из архивов Академии ***. Такова необычайная судьба этого
гениального произведения.
Выяснение огромного значения исследований Абеля принадлежит Лежандру
и Якоби. О теореме Абеля Лежандр был самого еысокого мнения; вот, что
он писал об этой теореме Креллю. ****
„Вы увидите, как мне удалось получить из теоремы, доказанной Абелем,
совершенно новую теорию, которую я называю теорией ультраэллиптических
функций, гораздо более общую, чем теория эллиптических функций, но
с нею тесно связанную. Работая в этой области, я испытываю большое
удовлетворение, что мог оказать величайшее уважение гению АСеля, пока-
* Абель скончался 4 апреля 1829 г. Биографию Абеля см. N. Н. Abel, Мё-
moriale, publie a l'occasion du centenaire de sa naissance. Christiania, 1902.
** Это замечание Лежандра неточно. В письме дело идет о мемуаре „Remarque*
sur quelques proprietes generales d'une certaine sorte des functions transcendantes"
(Crelle Journ. Ill, 1828; Oeuvres, I, стр. 444), который существенно отличается от ме-
мемуара, представленного в Парижскую Академию Наук, как отмечает и сам Абель.
*** Oeuvres de N. Abel, II, p. 294.
•*** Письмо от 24 марта 1830. Переписку Лежандра с Якоби и Креллем см.
Jacobi, GesammeJte Mnthematische Werke, I.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 99
зав все значение прекрасной теоремы, открытие которой принадлежит ему
и к которой можно применить название „monumentum aere perennius". *
Исследования по теории ультраэллиптических интегралов, о которых
здесь говорит Лежандр, развиты им в дополнении к его .Теории эллипти-
эллиптических функций" [22]; в этой работе Лежандром дано подробное изложе-
изложение мемуара Абеля, напечатанного в 3-м томе Журнала Крелля.
Чтобы покончить с историей этой замечательной теоремы, заметим, что
в рецензии на книгу Лежандра [21] Якоби вводит два названия, прочно
укрепившихся в науке. Вот его слова:
...'. Лежандр дает трансцендентным I ¦> (x'_jv t где X—многочлен сте-
степени выше 4, название ультраэллиптических. Мы их будем называть абе^е-
выми трансцендентными, так как Абель впервые ввел их в анализ и при
помощи общей теоремы показал их значение. А эту теорему надо называть
теоремою Абеля, как прекраснейший памятник этого выдающегося ума*.
Название „теорема Абеля* прочно вошло в науку так же, как и назва-
название „абелевы интегралы", под которыми, однако, теперь понимают вообще
всякие интегралы вида \ R (х, у) dx, где R—рациональная функция х
и у, связанных произвольным алгебраическим соотношением, оставляя назва-
название Лежандра „ультраэллиптические* или, чаще, „гиперэллиптические"
интегралы для того частного случая абелевых интегралов, когда х и у свя-
связаны уравнением вида
который и рассматривали Лежандр и Якоби.
Нам нужно теперь выяснить влияние этих исследований знаменитого
норвежского математика на работы Чебышева по теории абелевых интегра-
интегралов. Несомненно, что ЧебыШев подробнейшим образом изучал работы Абеля;
плодом этого изучения является и его диссертация pro venia legendi
и его первые раСоты по теории абелевых интегралов. В них Чебышев непо-
непосредственно примыкает к исследованиям Абеля, продолжая и развивая их.
Самый метод исследования, основанный на формальных преобразованиях,
также представляет собою развитие методов, применяемых Абелем. Полу-
Полученные Чебышевым результаты представляют собою блестящее дополнение
к исследованиям Абеля.
Однако есть существенная разница в направлении исследований Абеля
и Чебышева. И постановка задачи, и метод доказательства, и полученные
Абелем результаты поражают своею необычайною общности. В его знаме-
знаменитом мемуаре о соотношениях между абелевыми интегралами он рассмат-
рассматривает случай самых общих абелевых интегралов; чрезвычайно интересно
проследить по его работам, как автор преодолевает, например, те затрудне-
затруднения, которые возникают при доказательствах, из-за того, что в то
время отсутствовало понятие жанра алгебраического соотношения. Отсут-'
ствие этого понятия, мало ощутимое в случае гиперэллиптических ингегрз-
* .Памятник тверже бронзы' (Гораций),
7*

100 В. В. Голубев
лов, представляет в случае общих абелевых интегралов огромные затрудне-
затруднения (например, при определении числа линейно независимых интегралов
первого рода). Эта общность исследований Абеля, несомненно, представила
большие трудности при уяснении основных идей его исследований; возможно,
что этим объясняется отчасти и первоначальный неуспех основного мемуара
Абеля. Понадобилась частная иллюстрация этих общих положений на при-
примере гиперэллиптических интегралов, чтобы можно было оценить важность
общих результатов. В том виде, как дает их Абель, границы - применения
его общих теорем остаются несколько в тумане. В этом отношении иссле-
исследования Абеля несколько напоминают исследования другого основоположника
современной теории алгебраических функций — Римана. Гениальные по
своей чрезвычайной общности идеи Римана с большим трудом проникали
в широкие круги математиков. Еще в 1894 г. в большом реферате по теории
алгебраических функций Брилль и Нётер утверждали относительно идей
Римана: „В такой общности становящееся неуловимым и улетучивающимся
понятие функции не допускает более никаких доступных проверке заклю-
заключений" [17].* В известном смысле подобные сомнения можно было приме-
применить и к некоторым исследованиям Абеля.
Совершенно иной характер имеют работы Чебышева. Прежде всего они
все посвящены решению совершенно частной задачи теории абелевых инте-
интегралов: выяснению случаев, когда абелевы интегралы вырождаются, выражаясь
при помощи элементарных функций. Как известно, когда интегралы, эллип-
эллиптические по виду, выражаются в элементарных функциях, их называют
псевдоэллиптическими; ** можно применить подобное название и к общим
абелевым интегралам и называть псевдоабелевыми интегралами все интегралы,
абелевы по виду, но выражающиеся в элементарных функциях. Таким обра-
образом, все работы Чебышева по теории абелевых интегралов посвящены вы-
выяснению случаев, когда абелевы интегралы превращаются в интегралы
псевдоабелевы. Но зато в решении этой частной задачи Чебышев разработал
методы, позволяющие дать эффективное решение: при помощи вполне точно
указанных алгебраических операций выяснить, выражается ли данный абелев
интеграл в элементарных функциях и, в случае положительного ответа,
найти в законченной форме его выражение в элементарных функциях.
Впрочем, отличие работ Чебышева от работ Абеля не ограничивается
только характером поставленных в них задач. Это отлично можно подметить
и в самом методе исследования. В исследованиях Абеля можно подметить
два основных метода; во-первых, это применение самых разнообразных,
иногда весьма сложных, алгебраических преобразований, подстановок и т. д.;
во-вторых, своеобразный метод, основанный на изменении коэффициентов,
входящих в рассматриваемые Абелем подинтегральные функции.*** Этого
* О развитии идей Абеля см. Ф. Клейн, Лекции о развитии математики
в XIX веке, 1937, стр. 135.
** Название принадлежит I. С. Malet (см. его .Two theorems on integration",
Ann. di Mat., 6, 1874).
*** Несомненно, про этот метод говорит Абель в цитированном выше письме
к Лежандру: .... A I'aide d'une methode particuliere j'ai trouve beaucoup de resul-

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр., функций 101
второго метода мы не найдем нигде в работах Чебышева, и с точки зрения
методов исследования они, ближе подходят к тем методам, которые в ана-
аналогичных задачах применяли Лежандр и еще ранее Эйлер, т. е. к типичному
классическому методу чисто формальных преобразований.
§ 3. Работы Дяувилля по янтегрврованяю алгебраических функций
Если влияние на работы Чебышева исследований Абеля совершенно
очевидно, то, повидимому, нет никакой связи между его исследованиями
и работами по интегрированию в элементарных функциях Лиувилля.
Это тем более странно, что с Лиувиллем Чебышев был лично знаком,
поместил в руководимом Лиувиллем журнале много своих работ и даже по
совету Лиувилля написал первое свое большое исследование „Об интегри-
интегрировании иррациональных дифференциалов". Может быть, здесь сказалась
одна черта научной работы Чебышева, отмеченная профессором К. А. Поссе
в его биографии: «Изучив глубоко труды великих математиков, Эйлера,
Лагранжа, Гаусса, Абеля и т. д., П. Л. Чебышев не придавал большого
значения чтению текущей математической литературы и утверждал, что
излишнее усердие в изучении чужих трудов ослабляет оригинальность его
собственных работ".*
Между тем, работы Лиувилля посвящены вопросам, чрезвычайно близким
по содержанию к рассматриваемым нами работам Чебышева, и сравнение их
с работами Чебышева совершенно необходимо для оценки значения и роли
исследований Чебышева.
Задаче интегрирования в элементарных функциях абелевых интегралов
посвящен ряд крупных исследований Лиувилля, относящихся к 30-м годам
XIX столетия, т. е. как раз к годам, непосредственно предшествовавшим
появлению работ Чебышева [23], [24], [25J, [26], [27], [28], [29], [30], [31].
Так же, как и работы Чебышева, работы Лиувилля являются продолжением
и развитием работ Абеля, и в своей совокупности они представляют собою
попытку систематического исследования случаев, когда интегралы от алге-
алгебраических функций выражаются или также алгебраически, или через эле-
элементарные трансцендентные функции.
В основе этих исследований Лиувилля лежит предложенная им классифи-
классификация элементарных трансцендентных функций, представляющая собою есте-
естественное обобщение известной классификации функций Эйлера [20]. Эта
классификация состоит в следующем.
Во-первых, выделяется класс элементарных трансцендентных функций,
куда входят показательная функция и логарифмическая функция, а также
тригонометрические и круговые функции, которые в свою очередь могут
быть представлены через показательные и логарифмические функции при
tats nouveaux, qui surtout jouissent d'une tres grand generalite...' В современной
учебной литературе см. доказательство теоремы Абеля у Р i с а г d, Traite d'analyse, II,
1905, стр. 437.
* Биографическая заметка К. А. Поссе о П. Л. Чебышеве, помещенная в .Словаре
русских писателей и ученых", составленном Венгеровым.

102 В. В. Голубев
помощи известных формул Эйлера. Лиувилль называет трансцендентной функ-
функцией первого рода такую функцию, у которой определяющая ее формула
содержит под знаком потенцирования или логарифмирования рациональные
или алгебраические функции. Так, например, sinx или arc sin x суть транс-
трансцендентные функции первого рода, потому что
arc sin
in x = jr \п{х-\- \/хг — 1).
Точно так же функциями первого рода будут
sin j/ х-\-\, arc tg -
где у связано с х любым алгебраическим уравнением и т. д.
Далее, трансцендентная функция есть функция второго рода, если под
Знаком потенцирования или логарифмирования стоят или алгебраические
функции, или трансцендентные функции первого рода и при этом эта функ-
функция не первого рода и не алгебраическая. Таковы, например, функции
1п1пл;, е'х, хх = ех1ах и т. д., ¦
но функции
еХах, sinarctge*,
хотя по виду и напоминают трансцендентные второго рода, но на самом
деле являются: первая — алгебраическою функцией, так как elnx = x, а вто-
вторая— функцией первого рода, так как
sin arc tg e* = —
V
Очевидно, что такую классификацию можно продолжить на функции
любого рода, причем при этой классификации алгебраические функции можно
рассматривать как трансцендентные функции рода нуль.
Опираясь на эту классификацию, Лиувилль доказывает следующую теорему:
Если интеграл от алгебраической функции \ydx может быть выражен
в конечном виде через элементарные функции, то он имеет следующий вид:
где t, и, v, .. ., w — алгебраические функции х, а А, В,..., К— постоянные. *
Этот результат Лиувилля может быть несколько уточнен. Именно, KiiK
указал Абель, функции t,u,v, ...,w суть рациональные функции х и под-
интегральной функции у.
Простейший случай здесь будет тот, когда в формуле Лиувилля все
А, В, ..., К равны нулю. В этом случае интеграл от алгебраической функции
сам является функциею алгебраическою. Этот случай подробно разобран
Лиувиллем.
* Достаточно подробное изложение этой части исследований Лиувилля можно-
найти в книге: В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математиче-
математического анализа, т. I, гл. XVII; I940.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр', функций 103
Прежде всего, опираясь на указанные выше теоремы, можно показать,
-что в этом случае интеграл должен иметь следующий вид:
У
¦где все Rk(x)— рациональные функции, а я есть степень относительно у
-того уравнения, которое определяет у как функцию х.
Опираясь на предыдущие выводы, Лиувилль показал, что путем конечного
числа алгебраических действий всегда можно выяснить, представляет ли
«нтеграл [ydx алгебраическую функцию, и если он является алгебраической
функцией, то найти его. В качестве весьма простого примера, характери-
характеризующего те методы, при помощи которых Лиувилль решает подобные, во-
вопросы, можно указать доказательство того, что In x или, в более общем
случае, функция вида Л In (л: — а)-\-В\п{х—?)+••¦ не может быть алге-
X
Сраической функцией. Действительно, если бы, например, 1пдг=1 — пред-
1
<5тавляла собою алгебраическую функцию, то, по предыдущим теоремам, In дг
должно было бы быть функцией рациональной.'невозможность чего не трудно
доказать, исходя из того, что нельзя подобрать такую рациональную функ-
функцию R0(x), чтобы она удовлетворяла условию
или, в более общем случае, нельзя подобрать такую рациональную функцию,
которая удовлетворяла бы условию
Подобным же образом из теорем Лиувилля и Абеля вытекает, что если бы
интеграл I ¦ представлял собою алгебраическую функцию,
то он должен был бы выражаться в виде
и путем непосредственного подсчета можно показать, что нельзя подобрать
никаких рациональных функций Ro (дг) и Rl (дг), удовлетворяющих условию
. — л;2) A — i
Подобным образом достаточно легко можно показать, что такие интегралы,
как ,
Г d? Л rf? Г- /* 1 —JC* .
JV(i— х*) A—AV)' )vx*— giX — gs' )V 1 —A2Jf2
si т. п. не могут быть алгебраическими функциями. *
* Изложение этих результатов Лиувилля можно найти, например, у G. H. Hardy,
The integration of functions of a single variable; русский перевод Г. Гард и, Инте-
Интегрирование элементарных функций, 1935, стр. 46—60.

104 В. В. Голубее
Следующим шагом является выяснение условий, при которых интеграл
от алгебраической функции, не являясь сам алгебраическим, представляет
собою элементарную функцию. Этот вопрос является неизмеримо более слож-
сложным. Как мы далее увидим, этому вопросу и посвящены исследования Чебы-
шева; в этом же направлении ряд результатов принадлежит и Лиувиллю.
Еще Лаплас отметил то обстоятельство, что если интеграл от алгебраи-
алгебраической функции выражается в элементарных функциях, то в выражение
интеграла не может входить показательных функций. Лиувилль дал этому
утверждению Лапласа строгое доказательство, сущность которого состоит
в том, что доказывается, что показательные функции не могут «быть исклк>
чены из элементарной функции при помощи дифференцирования. Это не трудно
доказать, если предположить, например, что элементарная функция является
многочленом относительно х и е*. * Доказательство становится гораздо
более сложным, если не делать никаких предположений относительно вида
элементарной функции [30].
Если воспользоваться теоремами Лиувилля и Абеля и применить их
к случаю, когда у связано с х соотношением
Г О
где X— многочлен, то получим, что интеграл вида \-^=dx, где Q—ра-
jV X
циональная функция х, в случае, если он выражается в элементарных функ-
функциях, должен иметь вид
где S, Т, а, р, ...— рациональные функции дг. Заменив здесь У~Х на —V~X,
получим еще
[JLdx = —
J У х
и, следовательно,
; }ух /Т 2 о — р/7' 2 i-
Если применить эту формулу, например,* интегралу I г х . ^llg ,то,
как показал Лиувилль, рассматривая, как и выше, всевозможные производные
от выражений
можно доказать, что эта производная ни при каких рациональных функциях
Т, a, (I, y> &, ... не может дать , а отсюда сейчас же
У [1 —*• X ) (] к X )
следует, что эллиптический интеграл I r- x не может быть вы-
J к A — х*) A — №хЦ
* См., например, Г. Гарди, Интегрирование элементарных функций, стр. 58.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 105
ражен в конечном виде в элементарных функциях. Доказательство,
данное Лиувиллем, и в этом случае имеет чисто формальный, алгебраический
характер, но, естественно, представляет, из-за обилия различных воз-
возможностей, встречающихся при различных Т, a, |J, ..., длинную цепь не
сложных по идее, но утомительных вычислений. Тот же метод может быть
приложен и к доказательству невозможности выражения в элементарных
Г Г j %ъ rfx
функциях таких интегралов, как \"|/ dx, \ — и т. д. [28].
Как уже было сказано выше, нельзя найти в работах Чебышева ничего-,
что указывало бы на влияние на его исследования работ Лиувилля. * Нет
никаких упоминаний о результатах исследований Лиувилля; точно так же и
метод исследования, применяемый Чебышевым, весьма мало похож на метод,
применяемый Лиувиллем, и, несомненно, он примыкает к тем методам, ко-
которыми пользовался Абель. Даже самое исследование вопроса у Чебышева
и у Лиувилля идет параллельно, но разными путями. В одном только, может
быть, можно отметить влияние Лиувилля на исследования Чебышева: в от-
отдельных своих частях исследования Чебышева являются решением задач,
представляющих естественное продолжение, следующий шаг тех вопросов,
решением которых занимался Лиувилль. Так, Лиувилль дал методы эффек-
эффективного решения вопроса о том, при каких условиях интеграл алгебраической
функции является также функцией алгебраической; работы Чебышева по-
посвящены в основном решению того же вопроса в предположении, что инте-
интеграл выражается в конечном виде в элементарных функциях, не являясь
алгебраическим.
§ 4. Работы Чебышева по интегрированию алгебраических функций
В предыдущих параграфах мы постарались представить то положение, в кото-
котором находились исследования по теории псевдоабелевых и псевдоэллиптических
интегралов в эпоху, непосредственно предшествовавшую появлению работ
Чебышева. Переходя теперь к изложению работ Чебышева, мы попытаемся
охарактеризовать их с точки зрения современных научных методов. Основой
всех дальнейших соображений послужат гениальные идеи, которые были
положены Риманом в основу теории алгебраических функций и прежде всего
введенное им понятие о многолистной поверхности наложения и исследование
на ней поведения многозначной функции.
Конечно, при этом необходимо помнить, что идеи Римана, которые были,,
несомненно, известны Чебышеву, ** остались совершенно в стороне от
научного творчества Чебышева. Идеи Римана вообще медленно и с тру-
трудом проникали в науку. Вейерштрасс принципиально не пользовался геоме-
геометрическими идеями Римана, предпочитая им чисто формальные, близкие
* О работах Лиувилля Чебышев упоминает вскользь только в гамом начале своего
мемуара ,Sur l'integration des differentielles irrationnelles".
** Диссертация Римана „Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen
einer veranderlichen komplexen Grosse' A851) и .Theorie der Abelschen Funktionen"
A859).

JOS В. В. Голубев
к алгебре, аналитические методы; только ученики Римана (Нейман, Прим
и некоторые другие) работали в направлении развития идей Римана. Уже
значительно позднее, в 70-х годах, среди петербургских математикоз, не-
несомненно испытывавших на себе влияние мощного научного творчества
Чебышева, мы можем видеть совершенно отрицательное отношение к научным
идеям Римана и весьма сдержанную оценку его роли в науке. * Тем инте-
интереснее сопоставить столь различные точки зрения.
С точки зрения идей Римана, приведенные выше результаты Абеля,
исходные для всей теории, приобретают большую наглядность. В самом деле,
га
пусть интеграл /= \ R (z, и) dz есть алгебраическая функция. В этом случае,
очевидно, все циклические и полярные периоды этого интеграла должны
быть равны нулю, и интеграл должен быть однозначной функцией на по-
поверхности Римана для функции и, имеющей особыми точками только полюсы;
отсюда следует, что / есть рациональная функция х и и, а потому, согласно
известным теоремам, может быть представлена в виде
где п есть степень относительно и того алгебраического уравнения, которое
связывает и и z. В частности, за и можно взять всю функцию R(z, и), ко-
которая, очевидно, сама есть алгебраическая функция г. Это и составляет
одну из исходных формул исследований Абеля и Лиувилля. **
Также можно сделать достаточно наглядным и решение следующей за-
задачи Абеля:
Найти все интегралы вида /= 1-т=-, где р и R — многочлены .и R не
имеет кратных нулей, которые выражаются суммою логарифмов от рацио-
рациональных функций z и u = VR . ***
Смысл этой задачи станет, пожалуй, особенно ясен, если к ней подойти
с гидродинамической точки зрения. Как известно, всякую однозначную функ-
функцию на поверхности Римана можно рассматривать как производную от
комплексного потенциала, определяющего некоторое течение на поверхности
Римана, т. е. как комплексную скорость этого течения, а соответствующий
интеграл Абеля — как комплексный потенциал течения.**** Предположение,
* Отношение к работам Римана, бывшее в те годы в Петербурге и, несомненно,
отражающее взгляды П. Л. Чебышева, интересно оценить по письму Е. И. Золотарева
к А. Н. Коркину от 18 июня 1876 г. (Е. И. Золотарев. Собр. соч., т. II, стр. 3Q8)
и ответному письму А. Н. Коркина (там же, стр. 311).
** Относительно приведенных здесь соображений см., например, Р. А р р е 11,
Е. Oou rsat [16j.
*** Относительно дальнейшего см., например, P. Appell, E. Goursat fl6],
стр. 354.
**** О гидродинамических соображениях, приводимых здесь, см. Е. K-iein,
Ober Riemanns Theorie der algi-braischen Funktionen und ihrer Integrate. Gesam-
melte math. Abh., Ill, стр. 499.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 107
что в выражение интеграла входят логарифмы, с гидродинамической точки
зрения показывает, что на поверхности Римана, соответствующей данной
функции, могут быть источники и стоки и вихри в течении, определяемом
потенциалом /. Требование задачи сводится к тому, что у рассматриваемого
течения нет более сложных особых точек, чем диполи или более сложные
комбинации источников и стоков.
Так как в случае функций рассматриваемого типа /, очевидно, не имеет
особых точек логарифмического типа в конечных точках поверхности Ри-
Римана, то такими точками могут быть только точки бесконечно удаленные;
при этом необходимо, чтобы бесконечно удаленная точка не была точкою
ветвления для и, а потому степень R(z) должна быть четная, т. е. иметь
вид 2р-\-2, где р—жанр соответствующей поверхности Римана. Отсюда,
пользуясь общими теоремами теории алгебраических функций, можно
показать, что интеграл может быть представлен при помощи одного лога-
логарифма, а степень р должна быть равна р. Таким образом, интеграл может
быть написан в виде
К S
где Р, Q, S—многочлены и А — постоянное.
Для каждого значения z мы имеем на поверхности Римана две точки,
лежащие друг над другом, и в них правая часть имеет два значения
.1 P + QVR~ .. P — QVR
Am——~ и Л In ^ , производные которых равны соответственно
-|—— и у=.. Отсюда следует, что сумма соответствующих логарифмов,
V R v R
как имеющая производную, равную нулю, есть постоянное, а потому
p + qVr p~-qVr~
Л * 5 —^'
где К—постоянное. Отсюда легко получим, что
— In jr= -j In К.
Далее легко показать, что многочлены Р и Q можно считать взаимно
простыми и Р взаимно простым с /?¦. Вводя обозначения, которыми пользовался
Абель, выведенную формулу можно написать в виде
Из предыдущего следует, что рациональная на римэновой поверхности
фун кция
при конечном z не имеет нигде ни нулей, ни полюсов, а потому многочлен
(а — ?]/?)= а2 —

108 В. В. Голубее
где а и р/? — взаимно простые, не имеет нулей при конечном z, а потому
есть постоянное, которое, очевидно, всегда можно сделать равным 1. Итак,
если интеграл можно выразить через логарифмы, то мы имеем
__ *
~ a
где о и ji — многочлены, удовлетворяющие условию
а2 —Р2/?=1.
Наконец, при z=oo на одном листе функция имеет нуль, а на
а— fly R
другом листе полюс.
В первом мемуаре [1], посвященном теории абелевых интегралов, Чебышев
обобщает задачу Абеля следующим образом.
Из исследований Абеля и .Лиувилля вытекает, что, если интеграл
'f(z)..dz .
выражается через алгебраические и логарифмические функции, то для него
имеем выражение вида:
где U, Vj, V2, ... —рациональные функции z и t = y/6{z) и Аи Аг, ...—
постоянные.
Здесь U как рациональная функция z и t может быть представлена в виде
U=re (z) + Г1 (*) * + г, (*) *Ч 1- г m_x (z)P-\
Заменяя в равенстве D) / последовательно через at, аЧ, ..,, ат~Ч, где
а — примитивный корень уравнения
ат — 1 = О,
или, что то же, рассматривая равенство D) на различных местах поверхности
Римана и складывая полученные равенства, приведем уравнение D) к виду
т 1
+ A2 In [ V2 (z, t) VI(z, t)..,- Vf-1 (z, am~H)] -f.., E)
В начале своего мемуара Чебышев показывает, как при помощи алгебраиче-
алгебраических операций можно определить алгебраическую часть интеграла, т. е.
функцию
1
Так как, с другой стороны,
т. е.
i(«)
В

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 109
то еще имеем
)' ' F)
где /i (г) и Ft (г) — многочлены.
Следовательно, вычитая из E) равенство F), получим равенство, анало-
аналогичное E), но не содержащее в правой части алгебраического члена:
n[V,(*;<) Vh{z,t)...vf~\z,<?«-4)W'-- G)
Итак, если первоначальный интеграл выражался через алгебраическую
функцию U и сумму логарифмов, то путем указанных преобразований пер-
первоначальный интеграл можно свести к другому интегралу, выражающемуся
через сумму логарифмических членов; мы имеем здесь обобщение указанной
выше формулы Абеля. Такие интегралы и рассматривает Чебышев. Постав-
Поставленный им основной вопрос, разрешению которого в основном и посвящен
мемуар, состоит в следующем. Предполагая, что интеграл выражается фор-
формулой G), определить число логарифмических членов в выражении инте-
интеграла.
Такая задача является прямым обобщением теоремы, высказаннрй Абелем
в конце его мемуара „Об. интегрирований дифференциального выражения
VR '
В этом мемуаре Абель сначала ставит вопрос, когда интеграл вида
I -r=.dx (р и R — многочлены) выражается в виде
JVR p-
и в конце мемуара делает следующее замечание:
«Если интеграл i ^= выражается через логарифмы, то его всегда можно
представить в виде
A ,
P-qVR
где А — постоянное, р и q — многочлены.
Я дам доказательство этой теоремы в другом случае" [12].
Абель в дальнейшем не дал доказательства этой теоремы. Выше мы
рассматривали эту задачу Абеля. *
Очевидно, что вопрос, поставленный Чебышевым, является широким
обобщением'задачи Абеля, как это и отмечает автор.
Основная часть мемуара [1] (§§Ш, IV, V и VI) и посвящена решению этой
задачи. Достаточно сложное исследование, основанное на систематическом
* Интересно отметить, что в письме, написанном Абелем Лсжандру значительно
позднее, он ничего не говорит об этом утверждении.

110 . В. В. Голубее
разборе различных случаев, которые здесь могут встретиться, приводят
Чебышева к следующим трем основным теоремам.
fix)
Теорема I. Пусть ^г-1 рациональная функция и в (х) многочлен,
Г \Х)
линейные множители которого. входят в степени ниже т. Если интеграл'
Г fix) dx . i
I e~~. — выражается только через логарифмы, то этот интеграл
J r W у в (х)
равен сумме членов вида
A In! <р (У в~М ) • у (ат/?(Г)
где <р (v^e (дг)) — многочлен от х и У В (х), и а — примитивный корень
уравнения
хт— 1=0,
и число таких членов, достаточных для выражения интеграла, не пре-
f (х)
восходит степени многочлена Fix), если ' ¦ степени ниже —1:
в противном случае число этих членов на единицу более степени F(x).
^сли здесь положить F(x) = \, то получим следующую теорему, пред-
представляющую непосредственное обобщение теоремы Абеля:
Теорема II. Если/(х) и 0 (х) многочлены и 6(х) не содержит ли-
линейных множителей в степени выше т — 1, то в случае, когда интеграл
\' выражается только через логарифмы, он имеет вид
jy&)
J Ув(х)
где <р (У® (¦*)) — многочлены от х и Уд (дг) а а ¦— примитивный корень
уравнения
хт— 1=0.
Если здесь положить /я = 2, то и получим теорему, указанную Абелем.
Теорема III. Интеграл \ т. не выражается в алгебраических или
• J у (Цх)
логарифмических функциях, если 6(л:) не имеет кратных линейных мно-
множителей кратности выше т— 1 и если степень f(x) ниже степени
х "
Мы постараемся теперь выяснить смысл этих теорем с точки зрения
приведенных выше соображений общей теории алгебраических функций. Для
этого рассмотрим функцию
/?— (8)
на поверхности Римана для функции t~y%(z) и выясним, какие точки на
поверхности Римана являются особыми точками, которые после интегриро-
интегрирования дадут логарифмы. Такими точками могут быть:
1) нули функции F(z), при этом соответствующие точки z будут давать
особые точки на всех т листах поверхности Римана. Так как значения

Работы П. Л. Чебышееа по интегрированию алгебр, функций 11Т
функции (8) на различных местах поверхности Римана отличаются, очевидно,
множителями вида — -т, ... или ат~1, ат~г, .... то и вычеты отличаются
на различных листах на те же множители.
2) в случае, если для бесконечно удаленной точки имеем разложение
вида
j— в-1 I g-2 i
то -получим еще особую точку логарифмического типа в интеграле от функ-
функции (8) на всех листах поверхности Римана. Такие точки получим только-
в случае, когда, по терминологии Чебышева, функция (8) в бесконечности
имеет степень — 1; в случае же, если степень меньше — 1, то таких особых
точек не: будет.
Заметим, что в точках, где 6(z) обращается в нуль, мы не получим
в интеграле логарифмических точек, так как в области таких точек функ-
функция (8) разлагается в ряд, все члены которого имеют дробные показатели.
Очевидно, что отдельные слагаемые формулы Чебышева и дают сово-
совокупность логарифмических членов для всех точек поверхности Римана,
лежащих друг над другом. При этом может оказаться, что некоторые нули
функции F (z) могут и не дать логарифмических членов, так как могут
обратиться в нули соответствующие вычеты. Таким образом в формуле Чебыч
шева число слагаемых, соответствующих особым точкам, лежащим на конеч-
конечном расстоянии, будет равно или меньше степени многочлена f(z) и, кроме
того, может быть, еще слагаемое, соответствующее бесконечно удаленной
точке. Таков смысл первой теоремы Чебышева.
Одною из основных трудностей, которую приходится преодолевать при
построении общей теории алгебраических функций, является отсутствие
простого аналитического аппарата, который позволял бы построить алгебра-
алгебраическую функцию по ее особенностям с такою же легкостью, с какою
строится, например, однозначная функция по главным частям ее разложе-
разложений в области особых точек. С точки зрения гидродинамических сообра-
соображений Римана — Клейна вопрос сводится к аналитическому выражению течения,
заданного его особенностями (источники, стоки, вихри, диполи и т. д.),
и в теории Римана эта задача, как известно, решается представлением
функции при помощи соответствующих элементарных абелевых интегралов.
Приведенные выше основные теоремы мемуара Чебышева (теоремы I и II)
дают, правда для весьма частного случая абелевых интегралов, чрезвычайно
четкое разложение абелева интеграла по его особенностям, размещенным
на поверхности Римана. Возможно, что и в более общих задачах теории
алгебраических функций можно получить интересные результаты, если
ввести разложения, напоминающие разложения по особенностям алгебраиче-
алгебраических функций и их абелевых интегралов, указанные выше, К сожалению,
мы в настоящее время не имеем анализа с современной точки зрения даже
и основных результатов Чебышева.
Возвращаясь к содержанию мемуара [1] Чебышева, заметим, что в случае,,
разобранном в теореме II, так же как и в более частном случае теоремы Абе;»:,.

112 В. В. Голубев
особыми точками логарифмического типа могут быть только точки поверх-
поверхности Римана, соответствующие z = oo; поэтому и число слагаемых в фор-
формуле Чебышева в этом случае равно единице.
Наконец, по поводу теоремы III заметим, что из нее, в частном случае
/я = 2 и 0B) — четвертой степени, получается найденный' Лиувиллем р«-
зультат, что такие интегралы, как! или I л/ ' v"z, не
выражаются в элементарных функциях.
Вторая часть мемуара (§ IX) содержит приложение общих теорем к слу-
случаю дифференциального бинома, т. е. к интегралам вида
где т, п, р — рациональные числа; такой интеграл может быть приведен
к более простому виду
Из элементов интегрального исчисления известно, что этот интеграл
выражается в элементарных функциях в следующих трех случаях: \) р —
целое; 2) q—целое; 3) p*\-q — целое.
Применением доказанных им общих теорем Чебышев дал замечательно
простое и короткое доказательство того, что интеграл дифференциального
бинома выражается в элементарных функциях только в трех указанных выше
случаях.
Таково в общих чертах содержание этого мемуара, который надо рас-
рассматривать, как основную работу Чебышева по теории абелевых инте-
интегралов.
К той же области исследования можно отнести еще две работы Чебы-
Чебышева, представляющие приложение общих результатов к частному случаю,
когда мы имеем под радикалом выражение, содержащее кубичный корень;
это его работы .Об интегрировании дифференциалов, содержащих кубиче-
кубический корень" [5] и „Об интегрировании простейших дифференциалов, содер-
содержащих кубический корень" [6].
В первом из этих мемуаров Чебышев дает общее исследование того
случая, когда интеграл вида
Г Pdx
выражается в элементарных функциях. Применение общих теорем Чебышева поз-
позволяет сейчас же получить ряд выводов для этого частного случая. Действительно,
по теореме II получим, что интеграл в рассматриваемом случае должен
изображаться формулой вида
$ =/Пп[ш (VW)T (« VR)T (а /Я )]- (9)
у R
где <р — многочлен от л; и \/'/?; для того чтобы привести интеграл к виду (9),
надо предварительно выделить из него алгебраическую часть, что, как ука-

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 113
зал Чебышев, всегда можно сделать путем конечного числа алгебраических
операций.
Так как <р является многочленом, то, повторяя те же рассуждения,
которые выше были применены к случаю задачи Абеля, не трудно показать, что
выражение
V C/Я~) -Г (a У#~) ¦ Г3 (<^УН)
остается конечным и отличным от нуля при всех конечных z, а отсюда можно
показать, что и
3/3/ 0°)
также остается отличным от нуля при конечных z. Но так как выражение
G) есть многочлен, то получаем, что
<Р (V~R) • <Р (<* У**) • <Р (а2 VR) = С,
где С—постоянное.
С другой стороны (р можно представить в виде
=х + y
где X, Y, Z—многочлены. Чебышев полагает R=-Rl-Rl, где /?j и /?2
содержат различные линейные множители. Отсюда получаем, что задача
интегрирования выражения D) приводится к решению следующей задачи:
найти решения уравнения A1), полагая, что
У1Щ A2)
где X, Y, Z — многочлены.
Не трудно и обратно показать, что если <р C|/# ) вида A2) удовлетворяет
уравнению A1), то
Info (У1Г)-Г (а3/# )•?" («а УЩ
есть значение некоторого интеграла вида
Очевидно, что уравнение A1) в рассматриваемом случае заменяет урав-
уравнение
а2 — ра#=1, A3)
которое мы имели в случае интеграла Абеля вида I ^—— .
Уравнение A3) — квадратное относительно неизвестных многочленов а
и р, и решение его может быть выполнено, как показал Абель, при помощи
непрерывных дробей. Разработке метода решения гораздо более сложного
уравнения A1) и посвящен в основном обширный мемуар Чебышева [5].
Вторая работа [6] посвящена применению разработанного метода к инте-
интегралам вида
J
где р постоянное.
8 Научное наследие Чебышева. Вып. I

114 В. В. Голубев
Чебышев указывает без доказательства, что этот интеграл выражаете»
в элементарных функциях в следующих случаях:
1) 6 = 0;
б) а* — 6 — ~~6~ '
4) когда R (х) имеет кратный корень;
и дает в этих случаях выражения для функций <р.
В заключение Чебышев приводит без доказательства следующий резуль-
результат: для того чтобы интеграл
можно было выразить в конечной форме, необходимо, чтобы, по крайней
мере, одному из уравнений
* о
можно было удовлетворить выражением X, рациональным относительно -д.
Ь~
В частности, если —j есть рациональное число, то необходимо, чтобы одно»
из Написанных уравнений имело рациональный корень.
§ 5. Работы Чебышева по теории псевдо-
псевдоэллиптических интегралов
К работам Чебышева по теории абелевых интегралов примыкает ряд его
исследований по изысканию случаев, когда эллиптические по виду интегралы
выражаются в элементарных функциях. Этой задаче посвящены три мемуара
Чебышева; кроме того, им написана заметка, содержащая оценку этих
работ [2], [3], [4J, [11].
Сущность этих исследований состоит в следующем. Мы видели выше,
., Codx
что, как впервые указал Абель, если интеграл вида \ г~- выражается в ко-
конечном виде, то имеет место формула
p—
причем р и q — многочлены, удовлетворяющие уравнению
pl — fR=\. A5)
Обратно, легко показать, что если мы найдем два многочлена, удовле-
удовлетворяющие уравнению A5), то найдется такой интеграл вида \ —=? , кото-
который выражается формулою A4). Следовательно, задача о выражении через
элементарные функции интеграла вида A4) сводится к нахождению много-

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 115
членов, удовлетворяющих уравнению A5). Абель показал [12], что если}//?
разлагается в периодическую дробь, то при помощи подходящих дробей
можно найти многочлены р и q, удовлетворяющие уравнению A5), а следова-
Codx
тельно* и такой многочлен р, при котором интеграл I Ъ==- выражается через
элементарные функции. Однако этот результат практически не решает вопроса
Cpdx
о возможности выражения заданного интеграла вида I -^= в элементарных
функциях, так как в случае, когда при обращении в непрерывную дробь-
выражения \^R (дг) мы не получаем дроби периодической, нельзя, очевидно,
утверждать, что периодичности мы вообще не получим при дальнейших
вычислениях. Общих критериев, позволяющих решить, будет ли дробь-
периодическая, или непериодическая, для случая любого многочлена R{x)-
в настоящее время нет. Но в частном случае, когда R (х) — многочлен
четвертой степени с рациональными коэффициентами, такой критерий был>
указан Чебышевым.
В этом случае многочлен р должен быть, по предыдущему, первой сте-
степени, и вопрос сводится к следующему: при помощи конечного числа дей-
действий Выяснить, можно ли в интеграле
Г , Х+А
при заданных а, Ь, с, d подобрать число А таким образом, чтобы интеграл
выражался в логарифмах.
В случае, когда a, b, c,d— рациональные числа, такой критерий и был
указан Чебышевым.
Прежде всего совершенно ясно, что возможны случаи, когда эллипти-
эллиптический интеграл рассматриваемого типа при некоторых значениях А не вы-
выражается в элементарных функциях. Таков, например, интеграл
Г
)
в случае, когда подкоренное выражение не имеет кратных линейных множи-
Jxdx
у , а , элементарный, а интеграл
Г dx
I Lr 3 , не выражается в элементарных функциях; этот интеграл
эллиптический при Л^Ои выражается в элементарных-функциях при А — О.
Очевидно, что при данных а, Ь, с, d может существовать только одно
число А, при котором интеграл выражается в элементарных функциях, если
это вообще возможно.
Действительно, если есть два таких числа А я Аи то разность соответ-
соответствующих интегралов, т. е.
Ух* + ах* -\- Ъх* -j- ex -+- d
также выражается в логарифмах, а это невозможно, если подкоренной
многочлен не имеет кратных множителей.
8*

116 В. В. Голубев
В работе [4] Чебышев указал без доказательства, сколько и какие
надо сделать операции для . нахождения числа М и функций р и q, при
которых интеграл выражается в виде
¦A)dx _,*!_
(R(x) = xi-\-axa-\-^x2-\-^x-\-Ь). Как он показал, дело сводится к нахожде-
нахождению целых решений двух неопределенных уравнений 2-й или 6-й степени.
Некоторые указания относительно метода доказательства даны им во втором
мемуаре, посвященном этому вопросу [4]; там же дан пример, весьма по-
подробно иллюстрирующий этот метод.
Полный вывод условий Чебышева впервые был дан в работе Е. И. Золо-
Золотарева „О методе интеграции г. Чебышева" [32].
Если сравнить эту работу с исследованиями Чебышева, то прежде
всего*'!надо отметить, что Золотарев пользуется методом, существенно
•отличающимся от тех методов, которыми пользовался Чебышев. В то время
как Чебышев в своих исследованиях остается на почве чисто алгебраических
¦преобразований, разложений в непрерывные дроби и т. п., т. е. тех же
методов, которыми пользовался Абель, а еще ранее Лежандр, Золотарев
¦систематически пользуется теорией эллиптических функций в той форме,
которая дана Якоби.
Золотареву принадлежит и дальнейшее развитие теории в этом направле-
направлении. Вторая часть его докторской диссертации „Теория целых комплексных
чисел" [33] посвящена решению задачи, поставленной Чебышевым, в случае,
¦когда коэффициенты многочлена R (дг) — х4 -f- о*3 -f- bx2 -f- ex -\- d суть
любые действительные числа.*
В предисловии к диссертации Золотарев следующим образом характе-
характеризует эту часть работы:
„... я прилагаю теорию комплексных чисел к одному вопросу интеграль-
интегрального исчисления. Этот вопрос состоит в том, чтобы узнать при помощи
•конечного числа действий, интегрируется ли дифференциал одного опре-
определенного вида в логарифмах, и поэтому относится к той части интеграль-
¦ного исчисления, которая обогащена исследованиями Абеля, Лиувилля,
'Чебышева, Вейерштрасса и др. Я особенно ценю это приложение теории
комплексных чисел, потому что оно выражает новую связь между интеграль-
интегральным исчислением и теориею чисел*.
В этой работе Золотарев также систематически пользуется теорией
эллиптических функций; повидимому, Вейерштрасс ** впервые обратил внима-
внимание на связь задачи об интегрировании псевдоэллиптических интегралов
в логарифмах с теорией деления эллиптических функций. В своей работе
Золотарев пользуется теорией эллиптических функций Якоби, при этом реше"
* Относительно развития идей Е. И. Золотарева см. его переписку с А. Н. Кор-
Коренным: Е. И. Золотарев. Полное собр. соч., т. II, стр. 210; письмо 27 от 10 ию-
июля 1873.
** Monatsberichte der Academie der Wissenschaften zu Berlin. 1857.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 117
ние поставленного им вопроса приводит к весьма сложным и громоздким
вычислениям; дело значительно упрощается, если это решение вести в функ-
функциях Вейерштрасса. Такое упрощение и было дано значительно позднее
И. Долбней [19].
Сущность метода, примененного им, состоит в следующем. Долбня берет
интеграл в виде
-(- 4а1хг 4" Ьа2х2 -)- 4а3х -\- а4
Тогда, положив
С dz
й= I г— 1
JV4z3 — g2z-~g3
где
a\az
j ' аз = —: з
«о «о
+ а4),
и, кроме того, введя v так, что
№ {v,g2,gs) — — a2,
заданный интеграл можно представить в виде
Г (x + H)dx _ J_ 1п Г Уа о(и + оI
J Va0x^ + 4aixs-i-6a2x2 + 4asx + ai Уч L ои J'
причем
Полученное равенство можно еще переписать в виде:
Г ix + H)dx ^ 1_ 1п ГУа °(и + РIm
J >Л<гол4-(-4в1-*84*6<г2-*3 + 4йзА' + в4 "гТ^Яо L ом J '
Но при г>=—¦?, -/^^ выражение
может быть представлено рационально через 'фи и ф'и.
Если взять
то У= —, и интеграл I „ "^ — выражается через
логарифмы от г и —]/4г8 — ^2г — ^3 и» следовательно, через логарифм от
некоторой алгебраической функции х.
Написанные выше условия налагают некоторую связь на коэффициенты
а2, аз> ai< так как периоды функции #> определяются через g2 и ?3, т. р

118 В. В. Голубев
через а2, а3, а4, то соотношение
связывает, в конце концов, эти коэффициенты.
Дальнейшее исследование этого вопроса показывает, что данный интеграл
может быть выражен при подходящем значении Н в элементарных функциях
в том случае, когда последовательности
S> Bv), %> (Щ, $ (8v),...,
»'Bv), 9'{4v), #'(Щ,...
периодические. *
Возвращаясь к Чебышеву, закончим обзор его работ по теории псевдо-
псевдоэллиптических интегралов мемуаром .„Об интегрировании дифференциалов,
которые содержат квадратный корень из многочлена третьей или четвертой
степени" [2]. Этот мемуар написан ранее рассмотренных выше мемуаров
и посвящен более общему вопросу. В мемуаре рассматриваются интегралы
вида:
Cf(x) dx
J '
где R — многочлен третьей или четвертой степени. Из указанных выше
соображений можно определить алгебраическую часть этого интеграла и число
членов, содержащих логарифмы. В мемуаре дается метод определения коэф-
коэффициентов при логарифмических членах входящих в них функций и приведение
при помощи алгебраических операций указанного интеграла к виду
J
* Как показал И. Долбня в других работах, аналогичный метод может быть при-
приложен и к вопросу о выражении в элементарных функциях интегралов
(х 4- Н) dx
h
h
— of {x — b? (x — cJ'
(x-\-H)dx
: — aJ (x — bK (x — cK
(x + Я) dx
: — aK {x — b}* (x — cM'
Основанием для этого служит то, что интегралы соответствующих дифференциальных
уравнений
Sf У= (дг - a)i {х - b)S (х ~ сK>
шN= {х ~ аK {х ~bY {х ~С)Ъ
выражаются в эллиптических функциях. (См. I. D о 1 b п i a, Oeuvres maiheraatiques,
стр. 81 и 96.)

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 119
По методу исследования этот мемуар близко стоит к мемуару Абеля об
odx
интегрировании дифференциалов вида •—=_-; так же, как и в мемуаре Абеля,
VR
в основном исследование ведется при помощи применения разложений
в непрерывные дроби.
§ 6. Общие замечания. Дальнейшее развитие теории
В научном наследии Чебышева его работы по интегрированию иррацио-
иррациональных выражений занимают не основное место. Работы Чебышева, от-
относящиеся к задачам аппроксимации функций, по теории вероятностей, по
построению карт и т. д., Несомненно, содержат гораздо больше оригиналь-
оригинальных и глубоких научных идей, наложивших яркую печать на дальнейшее
развитие науки. Рассмотренные здесь работы Чебышева не получили в последу-
последующем широкого продолжения. Даже в научном творчестве Золотарева,
который, как мы видели, продолжал разработку задач, поставленных и
частично решенных Чебышевым, мы встречаем уже совершенно иные ме-
методы, а потому и иное направление исследования.
Научное творчество Чебышева в области разобранных здесь вопросов
возникло на почве изучения трудов Абеля, методам которого Чебышев и
¦следовал полностью. Мы не найдем, как отмечалось выше, никакого влия-
влияния на работы Чебышева ни идей Коши и их дальнейшей разработки в тру-
трудах Лиувилля, Брио и Буке, ни идей Римана, который был современником
Чебышева, ни идей Вейерштрасса. Аппарат исследования, которым поль-
пользуется Чебышев,—это аппарат, разработанный Эйлером, Лежандром, Абе-
Абелем. Но этим аппаратом Чебышев владеет с неподражаемым искусством боль-
•шого, проникновенного мастера науки. Современные математики, повиди.
мому, совершенно утеряли это замечательное искусство формальных
преобразований, остроумнейших подстановок, сложнейших вычислений; неда-
недаром в учебниках по математическому анализу объем, занятый формулами,
все более и более сокращается, — достаточно сравнить курс Лакруа, или
более поздний, но еще примыкающий к старым традициям курс Бертрана
•с таким классическим сравнительно новым учебником, как курс Пикара.
Некоторые результаты, полученные Чебышевым в рассматриваемой нами
области, носят совершенно классический характер; такова, например, его
знаменитая теорема о случаях интегрируемости в элементарных функциях
дифференциального бинома. Другие результаты, не привлекающие к себе
внимания современных исследователей, вероятно, содержат в себе возмож-
возможности дальнейшего широкого и плодотворного развития; такова, например,
«го теорема о разложении псевдоабелевых интегралов в сумму логарифми-
логарифмических членов, о которой говорилось выше.
Наконец, и самый круг задач, которым посвящены рассматриваемые здесь
работы Чебышева, претерпел за последнее столетие интересную эволюцию.
.Изыскание псевдоабелевых и псевдоэллиптических интегралов, бывшее в свое
время одной из боевых, актуальных научных тем, привлекавших внимание
крупнейших математиков, как Лаплас, Лежандр, Абель, Лиувилль, Чебышев,

120 В. В. Голубее
Золотарев, с 80-х годов XIX столетия все более и более отходит на задний
план. Мы почти не находим никаких указаний ни на задачи этой области,
ни на по.лученные результаты в новых учебниках анализа, как курсы Гурса,
Пикара, Валле-Пуссена и других. Даже в большой математической энци-
энциклопедии, отражающей, несомненно, дух научного исследования первых де-
десятилетий текущего столетия, мы едва найдем 2—3 строки, касающиеся этих
вопросов.
Только за самые последние годы, повидимому, опять пробуждается не-
некоторый интерес к этим классическим вопросам; характерным для этого яв-
является включение этих вопросов в такие книги, как коротенький трактат
Гарди или .Курс математического анализа", В. В. Немыцкого,
М. И. Слудской и А. Н. Черкасова, о которых упоминалось выше. Может
быть, здесь сказывается наблюдающаяся сейчас в некоторых кругах матема-
математиков тенденция возвращения от функционально-теоретических методов к ме-
методам классической математики, восходящим еще к Эйлеру.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Работы П. Л. Чебышева
1. Sur 1'integration des differentielles irrationnelles. Journal de math. pur. et appl., ser. I,.
18, 1853.
2. Sur 1'integration des differentielles qui contiennent une racine carree d'un polyndme-
du troisieme ou du quatrieme degre. Memoires de ГАс. des Sc. de St.-Petersbourg.
VI serie. Sc. math, et phys. 6, 1857.
3. Sur 1'integration des differentielles irrationnelles. C. R. hebdom. des seances de ГАс,
des Sc. 2, 1860.
4. Sur 1'integration de la differentielle -¦
У
des Sc. de St.-Petersbourg 3, 1861.
5. Об интегрировании дифференциалов, содержащих кубический корень. Прилож.
к VII тому Зап. Акад. Наук, № 5. 1865.
6. Об интегрировании простейших дифференциалов, содержащих кубический корень.
Мат. сб. 2, 1867.
7. Note sur la convergence de la serie de Taylor. Crelle Journal fflr die reine und an-
gew. Math. 28, 1844.
8. Отчет экстраординарного профессора С.-Петербургского университета Чебышева о
поездке за границу. Журн. Минист. Народн. Проев., ч. LXXVHI, отд. IV.
9. Sur la serie de Lagrange. Journal de math, pures et appl., ser. II, 2, 1857.
10. О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных вы-
вычетов. Прилож. к 51 тому Зап. Акад. Наук М» 4, 1885.
11. Sur rintegration des differentielles qui contiennent une racine carree d'un polynSme-
du troisieme ou du quatrieme degre. Bull, phys.-mathem. 12.

Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебр, функций 121
Работы других авторов
12. N. Н. Abel. Sur l'integration de la formule differentielle %-U., R et p etant
des fonctions entieres. Oeuvres completes, I.
13. — Precis d'une theorie des fonctions elliptiques. Oeuvres completes, I.
14. — Memoire sur une propriete generate d'une classe tresetendue de fonctions transcen-
dantes. Oeuvres completes, I.
15. — Remarques sur quelques proprietes generates d'une certaine sorte de fonctions
transcendantes. Oeuvres completes, I.
16. P. Appell, E. Qoursat. Theorie des fonctions algebriques et de leurs in-
integrates, I. Paris, 1929.
17. Brill, No ether. Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in»
aiterer und neuerer Zeit. Jahresber. D.M.V. 3, 1894.
18. С. В riot, I. Bouquet. Theorie des fonctions doublement periodiques et em
particulier des fonctions elliptiques. 1859.
19. I. Dolbnia. Sur les integrales pseudo-elliptiques. Journal de math, pure? et appl.;:
Oeuvres mathematiques de J. Dolbnia. Paris, 1913.
20. L. Euler. Introductio in analysis infinitorum. Lausanne, Г1748; русск. перевод:
Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечно малых, т. I, ОНТИ, 1936.
21. С. Q. I. Jacob!. Anzeige von Legendre. Theorie des fonctions elliptiques. Troi-
sieme supplement. Journ. fur die reine und angew. Math. 8; Qesamm. Werke, 1»
22. A. M. L e g e n d r e. Theorie des fonctions elliptiques. Troisieme supplement. Strass-
burg.
23. J. Liouville. Memoire sur la classification des transcendantes et sur l'impos-
sibilite d'exprimer les racines de certaines equationes en fonction finie explicite des
coefficients. Journal de math. pur. et appl., ser. I, 2, 1837.
24.—Nouvelles recherches sur la determination des integrales dont la valeur est algebri-
que. Там же, З, 1838.
25. — Suite du memoire sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilite d'ex- .
primer les racines de certaines equations en fonctions finie explicite des coefficient?.
Там же, стр. 523.
26. — Note sur les transcendantes elliptiques considerees cotnme fonctions de leut module.
Journ. de math. pur. et appl., Ser. I, 5, 1840.
27. — Memoire sur les transcendantes elliptiques considerees comme fonctions de leur mo-
module. Там'же.
28. — Premier memoire sur la determination des integrales dont la valeur est algebrique.
Journ. de l'Ecole Polytechnique, 14, cah. 22, 1833.
29. — Second memoire sur la determination des integrales dont la valeur est algebrique.
Там же.
30. — Memoire sur les transcendantes elliptiques considerees comme fonctions de leur
amplitude. Там же, cah. 23, 1834.
31. —Memoire sur l'integration d'une classe des fonctions transcendantes. Journ. ftir die
. reine und angew. Math. 13, 1835.
32. E. И. 3 о л о т а р е в. Sur la methode d'integration de M. Tchebycheff. Math. Ann. 5,
1872; Поли. собр. соч. Е. И. Золотарева, т. I, стр. 85.
33. — Теория целых комплексных чисел с приложениями к интегральному исчислению.
Диссертация на степень доктора математики. С.-Петербург, 1874. Поли. собр. со-
сочинений, т. I, стр. 161.

В. Л. ГОНЧАРОВ
ТЕОРИЯ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
1. Приближенные формулы Понседэ
История математики свидетельствует, что нередко руководящая мысль
той или иной теории оказывается более или менее отчетливо высказанной,
хотя бы и мимоходом, предшественниками того автора, с именем которого
впоследствии теория становится связанной неразрывно.
Оригинальность метода приближения функции, принадлежащего Чебышеву,
можно считать достаточно установленной. Тем более любопытно проследить,
откуда был дан толчок, побудивший нашего гениального соотечественника
к его замечательным и глубоким построениям.
В этом нет ничего таинственного; сам Чебышев с исчерпывающей пол-
полнотой говорит, с какой целью им были предприняты его исследования по
приближению функций, и называют имя автора, чьи результаты были для
него исходными. Он сообщает: „Из многих предметов исследования, кото-
которые представились мне при рассматривании и сличении между собою раз-
различных механизмов передачи движения, особенно в паровой машине, где
и экономия в топливе и прочность машины много зависят от способов пе-
передачи работы пара, я особенно занялся теориею механизмов, известных
под названием параллелограмов... Предположивши вывести правила для
устройства параллелограмов прямо из свойства этого механизма, я встре-
встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало. Все, что
сделано в этом отношении, принадлежит члену Парижской Академии г. Пон-
селэ, известному ученому в практической механике; формулами, им найден-
найденными, пользуются очень много при вычислении • вредных сопротивлений
машин..." [6].* И в другом месте [1]: „Относительно метода приближен-
приближенных вычислений, о котором мы только что упомянули, мы' имеем только
изыскания Понселэ, который дал часто употребляющиеся линейные формулы
для представления таких трех выражений:
*"¦¦
В настоящий момент нас интересуют не приложения теории Чебышева,
а ее генезис. Упомянутые результаты Понселэ изложены (помимо недоступ-
* Цифры в квадратных скобках относятся к списку литературы в конце статьи.

Теория наилучшею приближения функций 123
лых для нас литографированных курсов) в его работе о приближенных зна-
значениях радикалов, напечатанной в журнале Крелля в 1835 г. [64]; они мало
известны нашему читателю, и представляется интересным дать здесь о них
некоторое' представление, остановившись на простейшем примере.
Имея в виду (по сообщению Резаля) упростить вычисление полезного
действия некоторых машин, Понселэ, в то время командир батальона и препо-
преподаватель инженерно-артиллерийской школы в Метце, ставит своей задачей
иайти приближенную формулу для уа?-\^Ь2 вида
таким образом, чтобы абсолютное значение относительной погрешности
зависящее, очевидно, только от отношения -г-, при любых значениях а и Ь
подчиненных ограничению -т-Зг* (где к — данное наперед неотрицательное
число), имела возможно меньший максимум. Другими словами, если восполь-
воспользоваться современной символикой, требуется так подобрать коэффициенты
а и р, чтобы выражение
Мах | г (х)'\,
где положено
ог4-В ,
1
было минимальным. Функция г(х) возрастает при лг<^-т- и убывает при
л^>-т-> и потому указанный максимум, который мы обозначим через F(a, jl),
равен наибольшему из трех чисел |г(&)|, '"(¦у) и 1г@оI< Положим
r = a cos а> 4- р sin а> = а ,
у № -f-1
= — а sin а> + Р cos ко = р';
тогда оказывается, что значения непрерывной функции F(a, $) в областях
(А), (В), (С), определенных неравенствами
(А) р«>4A —о), Р'*>4A—а'),
(В)Р«<4A—а), а'>а,
(С) рч<4A -а'), а'<а,
соответственно равны
?а —1. — г(оо) = 1 — а, —r(k) = \—a'.

124
В. Л. Гончаров
Последние же величины, как это очевидно геометрически, * обращаются
в минимум только в общей точке границ этих трех областей, т. е. при
cos-
Относительная погрешность е, равная значению F(a, $) в этой точке,
е=1 — а = \— а'=^К
дается формулой
?_t 2 со __1'/2(**+!) —
4 V2 {к- + 1) — 2k У к'~^1 + 1
Понселэ приводит следующую табличку:
A)
B)
Соотношение
между а и b
а и Ь произвольны
а>Ь
а>2Ь
ауЪЬ
а>4*
я>5*
а>6*
й>76
а>86
а>9й
а>106
Значение
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Значение
а
0,82840
0,96046
0,98592
0,99350
0,99625
0.99757
0,99826
0,99875
0,99905
0,99930
0,99935
Значение
Р
0,82240
0,39783
0,23270
0,16123
0,12260
0,09878
0,08261
0,07098
0,06220
0,05535
0,04984
Граница ошибки ?
0,17160 или 1
6
0,03954 или -L
0,10408 или =у
0,00650 или -L
154
0,00375 или ^L
ZOO
0,00243 или j|=
0,00174 иди gig
0,00125 или ±
0,00095 или -г—-
0,00070 или .у—
0,00065 или -^
* Будем трактовать параметры аир как декартовы координаты на плоскости.
Тогда вся плоскость Oaf разделяется прямой о = а' и взаимно конгруентными пара-
параболами— первой рз —4A — а) и второй, получающейся из нее посредством вращения
на угол о> около фокуса О — на три области: в области (А), лежащей вне обеих пара-
парабол, функция F(a, Р) равна Ya' -\- Р2 — 1 и достигает наименьшего значения в точке
границы Р, наименее удаленной от начала координат; в области (В), находящейся внутри
первой параболы и по ту сторону прямой а = а', которая содержит полуось а', функция
F(a, р) равна 1 —а, и, значит, достигает максимума опять-таки в точке Р; аналогично

Теория наилучшею приближения функций 125
Подобную же задачу для выражения У а? — Ь2 Понселэ решает примерно
тем же методом, причем вводит ограничение k^~^k'; что же касается
корня из суммы трех квадратов Уаг-\-Ьг-ре2, то соответствующую за-
задачу он сводит к первой согласно схеме
Заметим, что, помимо нескольких французских авторов ([50], [65]), более
обстоятельное решение этой последней задачи с ограничениями вида
&^ -j-s^k' значительно позднее было получено в духе Понселэ А. А. Мар-
Марковым [59].
Следующая выписка из рассматриваемой работы Понселэ интересна в двух
отношениях: во-первых, она свидетельствует о том, что Понселэ при поста-
постановке задачи следует еще более ранним авторам; во-вторых, в ней в не-
несколько неопределенных, осторожных выражениях указывается на возможные
•обобщения и намечается путь, по которому двинулся в дальнейшем Чебышев.
В связи с первой из рассмотренных им задач Понселэ высказывается следую-
следующим образом:
„Метод, который позволил нам получить общие выражения для а, {5 и г
¦через k и 0), очевидно, приложим ко всякой более или менее сложной функ-
функции двух переменных а и Ь, если ставится цель заменить ее приближенным
линейным выражением вида а.а-\-$Ь-[-у при условии, что формула для от-
относительной ошибки, возникающей при этой замене, такова, что в проме-
промежутке, в котором предполагается рассматривать значения а и Ь, имеется мак-
максимум или минимум. В некоторых случаях метод мог бы быть применен
также и к функциям какого угодно числа переменных а, Ь, с, d и т. д., если
•исходить из рассуждений, аналогичных тем, с помощью которых удалось Ла-
Лапласу и Фурье так определить значения неизвестных в ряде условных урав-
уравнений, чтобы наибольшая погрешность, возникающая при подстановке опыт-
опытных данных вместо самих' неизвестных, была возможно меньшей по абсолют-
иому значению.* В самом деле, вся трудность заключается в том, чтобы
в каждом данном случае найти аналитические выражения для пределов воз-
возможной ошибки; приравнять их абсолютные значения; и тогда становится воз-
возможным (если только число полученных таким образом уравнений ока-
окажется равным числу неопределенных величин а, [$, у, • • •) подсчитать те значения
неопределенных величин, которые удовлетворяют поставленным требованиям".
И далее:
„Эти замечания достаточно ясно показывают, что метод может быть при-
применен при самых разнообразных обстоятельствах: он позволяет заменить (если
и для области (С). Следует обратить особое внимание на то, что аналитические выра-
выражения, определяющие функцию F(a, [I) в различных областях, таковы, что минимумы
всякий раз достигаются на границе, в точке стыка трех областей.
* Понселэ цитирует .Mecanique celeste" Лапласа, Ed. 2, т. 2, стр. 126, и „Analyse
•des equations' Фурье, ч. 1, стр. 81.

126 В. Л. Гончаров
такая замена сама по себе возможна) всякую сложную функцию каких бы
то ни было переменных другой функцией, более простой и более пригодной
в смысле вычислений или аналитических преобразований. Рассмотренный
пример дает представление о средствах, которые должны быть пущены в ход
в каждом частном случае, и о тех преимуществах, которыми нередко обла-
обладает намеченная нами процедура по сравнению с более употребительными —
разложениями в ряды или непрерывные дроби".
Как ни скромны сами по себе задачи, рассмотренные Понселэ, из при-
приведенных слов можно усмотреть, что этот выдающийся ученый был доста-
достаточно дальновиден в своих суждениях относительно научной и практической
ценности и об областях применимости выдвинутого им принципа: выбрать
значения параметров с таким расчетом, чтобы максимум возможной ошибки,
был минимальным.
2. Мел yap „Theorie des mecanismes connus sous le nom de
parallel ogrammes*
Первый из двух основных мемуаров, в которых изложены исследования.
Чебышева по наилучшему приближению функций, был представлен в Ака-
Академию Наук в январе 1853 г., т. е. вскоре после возвращения из продолжи-
продолжительной заграничной поездки, во время которой Чебышев посетил важнейшие
научные и промышленные центры Европы и уделил равное внимание как
осмотру фабрик, заводов и всякого рода „интересных предметов по части-
практической механики", так и личному знакомству и „беседованию" со зна-
знаменитыми „геометрами", главным образом французскими.
Среди лиц, названных Чебышевым в его отчете, отсутствует имя Понселэ,.
но, без сомнения, во время своего пребывания в Париже или в Метце Че-
Чебышев соприкасался с кругом его идей. Труднее судить о том, было ли, и
в какой степени, направлено в эту сторону внимание Чебышева еще до его
заграничного путешествия. Во всяком случае характерно то, что все его>
сочинения, относящиеся к предшествующему периоду, посвящены отвлечен-
отвлеченным вопросам (из области теории чисел, интегрирования функций, теории
вероятностей), тогда как теперь Чебышев обнаруживает резко подчеркнутый
интерес к практическим применениям математических проблем. В частности
если принимать слова самого автора буквально, Чебышев предпринял свои
исследования с целью развития теории параллелограмов Уатта; впрочем, ого-
оговорено, что приложение полученных общих формул „не ограничивается
исследованием этих механизмов" и что „в практической механике и других
прикладных науках есть целый ряд вопросов, для которых они необходимы".
Так возникло сочинение, озаглавленное „Теория механизмов, известных под
названием параллелограмов", опубликованное в „Записках Академии Наук" на
французском языке.
„По краткости времени и обширности предмета,—говорит Чебышев,—
я успел' окончить только первую часть моей записки". Схема этой части та-
такова: после обширного вступительного абзаца исключительно технического
содержания, где выясняются недостатки (неточности хода) механизмов Уатта,

Теории наил\>чшего приближения функций 127
Чебышев ex abrupto переходит к решению чисто математической проблемы,
которой мы займемся сейчас, и лишь заключительные слова возвра-
возвращают нас снова к задаче, поставленной им во главу угла: „В следующих
параграфах мы покажем приложения выведенных нами формул к нахождению
элементов параллелограмов, удовлетворяющих условиям, при которых точ-
точность хода этих механизмов — наибольшая". Где эти следующие параграфы?
Их нет и следа. Вероятно, замысел не осуществился: несоединимое разъеди-
разъединилось, и в дальнейшем возникли, с одной стороны, капитальный и внутренне
законченный мемуар „Sur les questions des minima", который содержит
основы математической теории приближения функций и по отношению к ко-
которому „Теория механизмов" выглядит как предварительный эскиз, и, с дру-
другой стороны, обширный ряд позднейших статей и заметок о шарнирных ме-
механизмах, так занимавших Чебышева во второй половине его научной
деятельности.*
Переходя к анализу содержания мемуара [1], нужно заметить,,
что и в своей чисто математической части это сочинение несет элементы
неуравновешенности. Мимоходом Чебышев устанавливает здесь ряд матема-
математических фактов и формулирует утверждения первостепенной важности,
безусловно образующие фундамент его теории и несущие залог ее дальней-
дальнейшего роста; явно же предметом работы является довольно специальный вопрос
ограниченной общей значимости, хотя и трудно разрешимый, связанный с тяже-
тяжелыми выкладками и требующий большой математической проницательности.
Постановку его сам автор оправдывает приложениями, но эти приложения^
как мы видели, лишь упомянуты. Благоразумие и осторожность повелевают
действовать подобным образом в тех случаях, когда принадлежность полу-
полученных результатов не вполне бесспорна или сами результаты рискуют не
быть оценены предубежденными арбитрами.
В мемуаре [1] между прочим, повидимому, впервые поставлена
общая задача: дана непрерывная функция f{x); требуется определить поли-
полином данной степени таким образом, чтобы «предел его уклонений от f{x\
в данном промежутке был менее предела уклонений всех других полиномов
той же степени" [1J. Другими словами, обозначая данный промежуток через.
(а, Ь), требуется подобрать коэффициенты р. полинома степени п
Р(х)=рох° +лл-Ч Ь Ра
таким образом, чтобы зависящее от коэффициентов pt выражение
Max \f(x) — P{x)\
было возможно меньшим.
Как разыскать приближающий полином Р(х)? Разность
R(x)=f{x) — P(x),
* Интересен вступительный абзац к заметке „Об одном механизме* [7], свидртель-
ствующий о том, что и в позднейшие годы теория и практика у Чебышева были не-
неразделимы.

128 В. Л. Гончаров
„как известно" (так говорит Чебышев), необходимо обладает тем свойством,
что „между ее наибольшими и наименьшими значениями в пределах данного
промежутка встречается по крайней мере п-\-2 раза одно и то же чис-
численное* значение". Иначе говоря, если при а^х^Ь справедливо соотно-
соотношение \R(x)\^L, причем существуют точки х, в которых|R(х)| = L („точ-
(„точки отклонения"), то число таких точек не меньше, чем я-\- 2 (последнее число
на единицу больше числа параметров/?^. При этом вопрос о существовании и о
единственности полинома Р(х) Чебышев не обсуждает вовсе ни здесь, ни в
других местах, поскольку во всех конкретных случаях он находит решение и
притом только одно; точно так же нет никакого упоминания о числе точек
положительного отклонения {R (х) = -f- L) и числе точек отрицательного
отклонения (/? (лг)=—L) и об их взаимном расположении.
Чебышев не приводит доказательства приведенного им утверждения, и,
таким образом остается открытым вопрос, было ли указанное свойство
сформулировано кем-либо другим (во Франции, в школе Понселэ, в устной,
может быть, беседе), или установлено самим Чебышевым, но по кажущейся
простоте сочтено им не заслуживающим доказательства. Слова «как изве-
известно" могут быть истолкованы в обоих смыслах.
Далее, неявно, постулируя, сказали бы мы, дифференцируемость функ-
функции f(x), Чебышев намечает путь для нахождения полинома Р(х): в точках
отклонения дг;, кроме равенств
выполняется и равенство
(xi—a)(xi — b)R'{xt) = 0,
и таким образом получается не менее 2л -|- 4 уравнений, из которых могут
быть, теоретически говоря, определены и точки отклонения х, и коэффи-
коэффициенты р1 полинома Р(х), и, наконец, само отклонение L. Если бы рас-
рассматриваемая система привела не к одному, а к нескольким различным по-
полиномам Р(х), то, не располагая достаточными условиями минимума, Чебышев,
по ходу его мысли, должен был бы отобрать нужный полином посредством
непосредственного сравнения.
Впрочем, рассматриваемые частные случаи таковы, что или решение си-
системы алгебраических уравнений может быть избегнуто, или по меньшей
мере порядок ее может быть понижен. Положим для простоты а=—1,
Ь = -\-\. В рассматриваемом мемуаре мы встречаемся в сущности только с
одним частным случаем, когда
f(x) = xn+p (p целое ^1).
Из алгебраических соображений в этом случае следует, что дробь
R'2 (х)
может быть приведена к виду
(х*—1)А(х)
В2 (ху
т. е. абсолютное.

Теория наилучшего приближения функций 129
где А (лг) и В (лг) — многочлены степеней соответственно 2(р—1) и р—1.
Так Чебышев приходит к дифференциальному уравнению
dR В (х) dx .g.
Если р=\, то А(х) и В(лг) сводятся к постоянным, и интегрирование
уравнения, по использовании начальных условий и сравнении коэффициен-
коэффициентов при старших членах, дает результат
где, как теперь принято, положено
V D)
После этого ясно, что искомый полином имеет вид
Одновременно решена задача: найти полином степени п с данным коэффи
циентом <j0 при хп, который в промежутке (—1.+ 1) возможно меньше
отклонялся бы от нуля.
Такой полином есть
В случае />:=2 существенно новых обстоятельств не возникает, так как
Что касается случая р^З, то, не проводя решения до конца, Чебышев
указывает путь решения, причем замечательным образом пользуется резуль-
результатами своей диссертации 1847 г. pro venia legendi „Об интегрировании
помощью логарифмов" [14]. Усматривая из соотношения C), что интеграл
B(x)dx
У(х1-\)А(х)
может быть представлен в виде
он заключает о наличии р — 1 условий, которым должен быть подчинен по-
полином А (лг); еще столько же условий вытекает из того обстоятельства, что
в полиноме R{x) отсутствуют степени хп+1,..., ха*Р~1. Всех этих условий,
теоретически говоря, достаточно для вычисления R(x).
Перечисленные результаты, несомненно, первостепенной важности, выгля-
выглядят в мемуаре [1] как некоторый побочный продукт. Обратимся
* Заметим, что тригонометрическая форма полинома, наименее уклоняющегося от
нуля, встречается у Чебышева в его работе 1873 г. Обозначение Т„ {х) впервые было
употреблено С. Н. Бернштейном в его диссертации.
9 Научное наследие Чебышева. Вып. I

130 В. Л. Гончаров
теперь к той задаче, которую Чебышев выдвигает в своей работе в каче-
качестве главного ее предмета.*
Предположим вместе с ЧеСышевым, что данная функция f(x) — анали-
аналитическая в точке х = а, т. е. может быть представлена в окрестности этой
точки рядом Тэйлора:
Пусть р (дг, А)— многочлен степени я, осуществляющий в смысле Чебышева
наилучшее приближение функции f{x) на отрезке а — h^x^a-\-h. Считая
известными коэффициенты km, требуется найти разложение многочлена
(рх, К) по степеням я.
Если положим
F(x)==f(a + x) =%ктхт, Р(х, h)=p(a-^hx, ft),
о
то задача перефразируется следующим образом: считая известными коэф-
коэффициенты km, найти разложение по степеням А многочлена Р(х, я), осуще-
ос
ствляющего наилучшее приближение функции F(hx)^y^kmhm хт на фикси-
о
рованном отрезке —Isgjc<-|-1.
Мы не находим в [1] доказательства того, что многочлен Р(х, А), а также
соответствующее наименьшее отклонение L (я), являются аналитическими
функциями параметра h (при я = 0). В сущности оно и не нужно Чебышеву,
поскольку явно и притом с точки зрения возможных практических примене-
применений его интересует лишь решение приближенной задачи нахождения
многочлена PN{x, h) степени я относительно х и степени N относитель-
относительно я такого, что при я -»- О
Р(х, к) = Р„{х, h) +О {*»+*);
вопрос же о сходимости PN(x,h) к Р(х, И) при N—+ х> остается в стороне.
Поставленная задача решается Чебышевым в несколько этапов.
1. Пусть N—n. Обозначим через ^(лг) отрезок ряда Тэйлора функ-
функции F{x),
Тогда
Мах | 5 (Ад:) — F (hx) | = О (А"+П
и, следовательно, по определению полинома Р(х, к), точно так же
Max I P {х, А) — F(hx) \ — О (А"*1).
Значит,
Мах|Р(дг, А) —
откуда ясно, что Р(х, k)^
* Дальнейшее изложение этого параграфа несколько модернизировано.

Теория наилучшего приближения функций 131
2. Пусть йв+1=йв+а=...=?я+р_1=-О, но кп+рф0. Предположим,
что N=n-\-p. Многочлен Р(х, ft) должен иметь вид
Р (х, h) = S(hx) -f- О (hn+P)
или
Р (х, h) = S (hx) + h"+P Q (x, h),
где Q(x, h) — многочлен степени п относительно лг, причем мы будем по-
полагать
Q(x,h)=Q0(x) + ftQ1(x)-\ \-Н> <?„ (*) + О(А^]), (v = 0,l,2,...).
По определению Р{х, h), многочлен Q(x, ft) должен быть подобран таким
образом, чтобы выражение
, 00
Max \F(hx)— Р(х, А)| = Мах| 2 К hmxm — ftn+PQ{x, A)| =
= h*+PIfax \kn+px»+P-Q0(x)-JrO{h)\
l*l=?l
было возможно меньше; а для этого возможно меньше должно быть сде-
сделано выражение
\+— Q0(x)\.
Таким образом, полином Qq(x) степени п является наименее уклоняющимся
от функции kn+ xn+p, и он лишь множителем kn+n отличается от полинома
степени л, наименее уклоняющегося от хп+р, о нахождении которого мы
сказали раньше. Чебышев указывает, что случай р=1 „единственно имеет
значение в теории параллелограмов", и в этом случае, как мы видели, ре-
решение получается с помощью найденного Чебышевым тригонометрического
полинома
3. Ограничиваясь в дальнейшем предположением kn+1^=0, Чебышев
вычисляет многочлен Qx(x) следующим образом. По свойству P(x,h) мно-
многочлен степени п относительно х
Q1 (x,h) = Q{x> »>-<?<*>
обращает в минимум выражение
Max \F hx)-P{x, h)\=hUx\kn+2kx*+*-\-kn+1 %^-A Q^x, ft)
X | ^ J I X | ^ 1
и, следовательно, уравнения
имеют не менее п-\-2 общих корней. Первому из этих уравнений можно
придать вид
%4 = 0; E)
9»

132 В. Л Гончаров
что касается второго, то его нули отличаются от нулей (д:2 — lO"nii(x) на
величины порядка я, так что они имеют вид
xm(h) = xm + O{h), тле xm = cos^j (т=0, 1,..., й+1).
Примем во внимание, что
и
L (А) = L @) + HU @) + О (А«) = -l^-l + kV @) -J- О (А«)
Т,+г (хм (А)) = Та+1 {хт + О (h)) = Тп+1 (хм) + О (h) Т'а+1 (xm) + О (А*) =
= ( — 1
Положим в уравнении E) x = xir(h):
- 0.
Так как это — тождество относительно А, то коэффициент при h должен
равняться нулю
K^x^-QAxJ^i-irl Q. = L'(O)signkn+l),
или
Таким образом, многочлен
степени п-\-2 имеет те же корни, что и многочлен (л:2 —1O^+1(-*0, но
тогда эти многочлены отличаются только множителем:
kn+ 2 д:«+ 2 - Ql (х) — X Тп+ i (*) = ^ (*» — 1) Г +1 (дг)
и, значит,
Q, (*) = Ав+8х»+2 — \ТП+1 (*) — ji(*« — 1) Т'п+1 (х).
Однако многочлен Q1 (х) — степени л, так что коэффициенты при дгл+1 и
xn+z должны равняться нулю.[Отсюда получается 1 = 0, Ц = , ?\\*n>такчт0
4. Подобного рода вычисление Чебышев продолжает и дальше, придавая
ему рекуррентный характер и определяя далее Qz{x), Qs(x) и т. д. Зная
функции Qm(x), можно затем вычислить Q(x, A), P(x, h) и, наконец, p(x,h),
а также L{h).
Не останавливаясь на деталях, приведем для иллюстрации результат
рассмотренного Чебышевым примера, соответствующего допущению л = 4,

Теория наилучшего приближения функций 133
*6
*Ч
В этой формуле члены, содержащие h в различных положительных сте-
степенях, представляют собою те „изменения, которые следует внести в при-
приближенную величину f(x), данную ее разложением по восходящим степеням
х—а, когда требуется сделать наименьшим предел погрешностей между
х = а — h и x = a-\-h при h довольно малом".
3. Меяуар „Sur les questions des minima qui se rattachent a la
representation approximative des fonctions"
Через несколько лет идеи Чебышева созрели, и в 1857 г. он, вместо
продолжения мемуара [1], представляет Академии Наук новый мемуар,
составленный уже в чисто теоретическом плане и дающий полное
и развернутое изложение метода наилучших приближений. Он носит наиме-
наименование «Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным пред-
представлением функций" [4]. Мы находим здесь: 1) общую теорию, приводя-
приводящую к „необходимым условиям Чебышева", 2) применение ее к трем основ-
основным задачам („случаям"), которые в дальнейшем исследуются до конца.
Вопрос расширяется следующим образом. Дана функция F (x;pv,p2, .. .,рп),
зависящая от переменной х и параметров ри р2,, ..., рп. Переменная х
пусть заключена в постоянных пределах, которые, не ограничивая общности,
можно считать равными —1 и +1; что касается параметров, то системы
их значений берутся из некоторой открытой области (Р). Будем предполагать
функцию F непрерывно дифференцируемой как по переменной х, так и по
параметрам /?,*. Требуется найти необходимые условия, которым должна
удовлетворять система значений параметров р{ для того, чтобы выражение
Max \F<x; pu р^..., рП)\ F)
при этой системе значений параметров было меньше, чем при всякой иной,
достаточно близкой.
Обозначим указанный максимум через L и условимся называть „точками
отклонения" те значения х, при которых значение F оказывается равным
-\-L или —L. Пусть число точек отклонения конечно,** и сами точки
отклонения суть хи лг2, ..., х .
*¦ Это допущение имеется в подлиннике: .Чтобы упростить изыскания, мы оставляем
в стороне случай, когда F и ее производные относительно х и параметров перестают
быть конечными и непрерывными".
** Заметим, что множество точек отклонения может быть даже несчетным.

134
В. Л. Гончаров
Чебышев утверждает: если рассматриваемая система значений параметров
доставляет минимум, то имеет место одно из двух: или число точек откло-
отклонения по меньшей мере на единицу превышает число параметров
или же ранг матрицы
п
G)
где положено
меньше, чем ц.
Эта теорема доказывается от противного. Предположим, что }л =sc га, так
что наша матрица имеет не больше столбцов, чем строк, и что ранг ее равен
числу столбцов ji. В таком случае линейная система с п неизвестными
Nt,
К
=l, 2, ....
(8)
имеет нетривиальное (не нулевое) решение, каковы бы ни были числа Fk,
лишь бы они не все равнялись нулю. Пусть числа Nt, N2, ... , Л'п пред-
представляют собою решения системы (8) в предположении, что
^ = F(xk; pv рг Ря){==±1ф0).
Тогда можно подобрать значение о> таким образом, что система значений
параметров р1—4>NV р2 — a>N2, ... , р„ — шЛ/д дает выражению F) значение
меньшее, чем система значений рх, р%, .:. , ра. В самом деле, положим
Ф(лг, ia)~F(x; p1 — <oNl, ...,
тогда
i
Ф(х, io) = F(x; plt ... , ра) —
и, значит,
Ф(хк, m) = F(xk; ри ... , ра) — а>
J
ра —
Рп
где величины ег стремятся к нулю вместе с о>. Если возьмем <о положитель-
положительным и достаточно малым, то, очевидно, будем иметь
1ф(^. »)|<|Л|.
т. е.
\<\F[xkiPl, ...,Pn)\ (*=1, 2, ...,#.

Теория наилучшего праближения функций 135
Отсюда, пользуясь соображениями непрерывности, легко заключить, что при
достаточно малом положительном ш справедливо будет также неравенство
Max \F(x; pi — oiNi, ... , рп — <оЛГп)|< Max \F(x; pv ...р„)\.
l I |^1
Доказанная теорема является для Чебышева основной: она открывает
путь к вычислению искомой системы значений параметров. Если число fi
точек отклонения на единицу или более превышает число параметров п, то
в точках отклонения выполняются соотношения
Их число равно 2;л, и, следовательно, если смотреть на вопрос с опреде-
определенной, свойственной Чебышеву точки зрения, с их помощью могут быть
вычислены \L-\-n-\-\ неизвестных л^, ... , х^, рх, ... , рп и L Если же
число точек отклонения не превышает числа параметров га, то недостающие
п — Ц~Ь1 уравнений получатся, когда напишем, что ранг матрицы G) соот-
соответствующим образом понижен.*
Задача, которую Чебышев рассматривал в [1] и к которой здесь
снова возвращается („первый случай"), соответствует допущению
/7=р1дгл-1-|-/72л:0-2-| -\-рп—f(x)
(вместе с Чебышевым мы Герем степень приближающего полинома равной
п — 1). При этом
и так как все числа xk различные, то матрица G) принимает вид
1 — 1 урт — 1 vn — 1
Х*
и 1 ... 1
и ранг ее обязательно равен jji. Поэтому в данном случае число точек откло-
отклонения непременно по крайней мере на единицу превышает число параметров.
Таким образом заполняется пробел, оставшийся в „Теории механизмов" [1].
„Второй случай" Чебышева соответствует более общему допущению
F(x)=?(x) {Plx"-i+p2x»-*+ . .. JrPn^f{x)),
где р(лг) — данная функция, положительная в основном промежутке („вес"
или „обложение" у позднейших авторов). Легко проверить, что понижение
ранга матрицы G) невозможно и в этом случае. Заметим, что Чебышев
имеет в виду только вес вида
где А (х)—полином, не обращающийся в нуль в основном промежутке.
* Простыми примерами, иллюстрирующими понижение ранга матрицы, могут служить
такие: 1) F(x, p)=z(x — p? — ! ~^Х1 при р = 0, 2) F (х, р) = 1—х* -рх прир = 0.
Их геометрический смысл очевиден; в обоих случаях имеется лишь одна точка откло-
отклонения.
** Вспомним первую задачу Понселэ, где входит вес p(jc) =
У *2+1

136 В. Л. Гончаров
„Третий случай" связан с приближением данной функции рациональной
дробью с переменными коэффициентами
\V f
J \ >•
-1 -|
В этом случае, как показывает проводимое Чебышевым вычисление, число
точек отклонения хк может и не превышать числа параметров п, но только
при том условии, что наилучшее приближение осуществляется дробью, у ко-
которой п-\-\—ц старших коэффициентов как в числителе, так и в знаме-
знаменателе обращаются в нуль.
Отметив, что „с помощью обыкновенных способов алгебры" задачи общего
рассматриваемого им типа „требуют выкладок совершенно невыполнимых",
Чебышев останавливается далее на специальных примерах, в которых ему
удается свести решение к „вопросам неопределенного анализа".
Прежде всего иное решение (без применения дифференциальных уравне-
уравнений) получает задача об определении полинома Р(х) данной степени п, наи-
наименее уклоняющегося от нуля, при заданном старшем коэффициенте, скажем,
равном единице. Именно, отношение x*S~l— представляет собой точный
квадрат многочлена Q{x) степени я— 1, на единицу низшей, так что
Это тождество может быть переписано в виде
Q (х) Q(x) [Р(х) + Q(x)V ха — lj '
откуда ясно, что тгу^ является подходящей дробью при разложении
У хг — 1 в непрерывную дробь
ух 1-х {2х |2д.
Указанное обстоятельство позволяет вычислить как многочлен Р(х), так и
многочлен Q(x) с точностью до постоянного множителя, который, впрочем,
легко определяется из дополнительного условия.
Подобного же рода рассуждение Чебышев применяет далее при опреде-
определении полинома Р (х), наименее уклоняющегося от нуля (с тем же дополни-
дополнительным условием) в случае произвольного веса вида (9), где
А(х)= Й (* — «,)¦
Тождество A0) на этот раз обобщается следующим образом:
Р2 (х) — (л:2 — 1) Q2 (х) = ?2Л2 (х).
При подборе самого общего вида полиномов Р{х) и Q(x) и константы L,
удовлетворяющих этому тождеству, Чебышев пользуется таким приемом: он

Теория наилучшего приближения функций 137
исходит из „частного" решения
( /щ /ш)
и показывает, что любое решение Р(х), Q{x), L должно обладать тем свой-
свойством, что полиномы Р0(х)Р{х)— (х2 — l)Q0{x)Q(x) и P0(x)Q(x) —
— P(x)Q0(x) делятся на Л2(лг), а соответствующие частные
. Рп(х)Р(х) — U2 — 1)Оп(х)СНх)
удовлетворяют тождеству
X* (х) — (л:2 — 1) Р (х) = (L0L)K
Но все решения этого последнего тождества известны из „первого случая".
Отсюда получаются сейчас же полиномы Р(х) и Q(x), причем входящий по-
постоянный множитель определяется дополнительным условием.
Третья задача, рассматриваемая Чебышевым в мемуаре о наименьших ве-
величинах, так же как и вторая, является обобщением первой, но отличается
гораздо более сложным содержанием. Среди всех рациональных дробей
,уг—\ с заданными степенями числителя и знаменателя (причем коэффициенты
не только числителя, но и знаменателя теперь выбираются произвольно)
требуется выделить ту, которая дает наименьшее отклонение от заданного
полинома и (х), степень которого на единицу больше, чем заданная степень
числителя определяемой дроби.
Исходя из выведенных им необходимых условий, касающихся точек откло-
отклонения, Чебышев заключает, что искомые полиномы U(x) и V{x) непременно
удовлетворяют тождеству вида
[и(лг) V(х) — U[x)Y — L?V*(лг) = (л:2 — 1) Г2 (х),
где W(x) полином. Дальнейшее исследование связывается с разложением
одной из функций
V u(x)-L ИЛИ У [u
[uW-LUx-1)
в непрерывную дробь вида ^о+пг+г^Н •, где ^(. обозначают полиномы.
В результате чрезвычайно тонкого анализа получается точно формулирован-
формулированное правило, позволяющее последовательно вычислить сначала наименьшее
отклонение L, а затем и самую дробь ^—^ .
К мемуару о наименьших величинах естественно примыкает, не внося ничего
принципиально нового, позднейшая работа Чебышева „О функциях, мало

138 В. Л. Гончаров
удаляющихся от нуля при некоторых значениях переменных" A881 г.) [10].
Здесь решены следующие задачи:
1) Среди рациональных полиномов степени п, принимающих в точке
х = Н(Н~У'\) данное значение М, найти наименее уклоняющийся от нуля
в промежутке |лг|<1.
п
2) Среди всех тригонометрических полиномов* Ао-\- 2(Атcosmx-f-
m=I
-\-Bms\n mx) степени я, принимающих в точке лг=лг1 значение М, найти наиме-
наименее уклоняющийся от нуля в промежутке |дг|^лг0 @<^лг0<^лг1
Решения этих задач выражаются через полиномы, а именно:
4. Наилучшее приближение в нормированном линейном пространстве
Вернемся к основной задаче Чебышева, но ради лучшего проникнове-
проникновения в существо возникающих вопросов придадим ей более прозрачную, более
отвлеченную форму.
Принято говорить, что некоторая совокупность элементов образует
метрическое пространство R, если каждой паре элементов а и b из R
сопоставлено действительное число Ь (а, Ь), называемое расстоянием между
а и Ь; при этом предполагается, что расстояние Ь(а, Ь) обладает свойствами:
1° Ь(a, b)^*Q; b{a,b) — O в том и только в том случае, если a—t>,
т. е. если а к b совпадают,
2° 8 (в, *)=&(*, а),
3° $(а, b) sS:b(a, с) -f Ь(с, Ь) („свойство треугольника").
Множество элементов Е пространства R называется ограниченным, если,
каков бы ни был элемент а из R, множество чисел Ь(а, х), где х пробегает
элементы Е, ограничено. Из свойства треугольника вытекает, что необхо-
необходимое и достаточное условие ограниченности множества Е заключается в
существовании, по крайней мере, одного элемента а0 такого, что множество
чисел й{ао,х), где х?Е, ограничено.
Последовательность элементов {хп} имеет предел а, если limЬ(а,хп) =0.
л-* оо
Всякая последовательность элементов или не имеет предела, или имеет
только один предел.
Расстояние Ь(х,у), как следует из свойства треугольника, есть непре-
непрерывная функция каждого из переменных элементов х и у.
Множество Е назовём компактным, если из каждого его бесконеч-
бесконечного и ограниченного подмножества можно выделить сходящуюся, т. е. име-
* Следует обратить особое внимание на то, что тригонометрическая проблема, хотя
и и поздней работе, но все же представлена у Чебышева.

Теория наилучшего приближения функций 139
ющую предел, последовательность. * Множество Е называется замкнутым, если
оно содержит пределы всех сходящихся последовательностей, образованных
из его элементов.
Пусть Е какое-нибудь множество элементов пространства R, а элемент
того же пространства. Нижняя граница L расстояний Ь (а, х), где х пробе-
пробегает множество Е, называется расстоянием элемента а от множества Е:
L== L(a,E) = lnib (а, х).
Если элемент х0 множества Е обладает тем свойством, что его рассто-
расстояние от а равно расстоянию множества Е от а,
то говорят, что элемент х0 доставляет наилучшее приближение элемента а
на множестве Е или посредством множества Е. Сама величина L тогда
называется величиной наилучшего приближения или просто наилучшим
приближением.
Возникают вопросы:
1) Существует ли во множестве Е элемент х0, приближающий эле-
элемент а?
2) Является ли этот элемент х0 единственным?
Остановимся сначала на первом вопросе.
По определению нижней границы, возможно указать такую последователь-
последовательность элементов {хп\ из Е, что
iim 5 (а, ха) = L.
л-» оо
Очевидно, множество, составленное из элементов последовательности {хп\,
ограниченное. Если множество Е компактно, то из последовательности {хп\
можно выделить сходящуюся последовательность {хРп\; пусть хРп—*хи.
Если, кроме того, множество Е замкнутое, то элемент д:0 также принадле-
принадлежит множеству Е. Тогда, вследствие непрерывности расстояния, b(a,xo) = L,
и, следовательно, элемент лг0 доставляет наилучшее приближение.
Итак, если множество Е в метрическом пространстве R компактное
и замкнутое, то, каков бы ни был элемент а из R, во множестве Е можно
найти элемент дг0, доставляющий наилучшее приближение элемента а.
В особенности интересен тот случай, когда пространство R линейное.
Это значит, что в нем определены: 1) операция сложения, 2) операция умно-
умножения на скаляр (действительное число); эти операции подчинены всем зако-
законам обычной алгебры. Сумма элементов а и Ъ обозначается а-\-Ь\ произве-
произведение элемента а на скаляр \ обозначается Ха; для нулевого элемента про-
пространства введем обозначение 6.
* Заметим, что мы требуем существование сходящейся последовательности во теся-
ком ограниченном бесконечном подмножестве, в отличие от обычного определении
компактного множества.

140 В. Л. Гончаров
Система элементов ах, а,, ..., ап линейного пространства называется
линейно независимой, если из равенства
следует Х1 = Х2 = • • • = ХД—0. Пространство называется бесконечномерным,
если в нем существуют линейно независимые системы элементов с любым
числом элементов; в противном случае оно — конечномерное, и тогда наи-
наибольшее число линейно независимых элементов есть число измерений или
размерность пространства.
Пусть рассматриваемое линейное пространство имеет р измерений, и
есть система линейно независимых элементов, ему принадлежащих; тогда
система х, ех, е2, ..., ер, где х— произвольный элемент пространства,
не является линейно независимой, и, значит, между названными элементами
существует зависимость вида
где 5ц &2> • • • > % — однозначно определенные скаляры. Таким образом,
элемент р-мерного линейного пространства определяется значениями р ска-
скалярных параметров (координат), от которых элемент зависит линейно.
Линейное пространство называется нормированным, если в нем введена
метрика с помощью нормы: каждому элементу а сопоставлено число ||«{|
(норма элемента а), обладающее свойствами:
1° ЦаЦЗгО; |а| = 0 в том и только в том случае, если а = Ь,
2° |Х|И|
з°
Пространство называется строго нормированным, если соотношение
влечет за собой Ха =¦ \tf> с неотрицательными скалярами X и ц.
В нормированном линейном пространстве метрика вводится на основе
следующего определения расстояния:
Ь{а, Ь)=\а — Ь\.
Все свойства расстояния при этом выполняются, так как следуют из свойств
нормы.
В конечномерном линейном нормированном пространстве произвольный
элемент лг, как мы видели, определяется конечным числом параметров ?f.
Норма элемента л при этом есть непрерывная функция этих параметров.
В самом деле, пусть $Г —»¦!•,¦(/ = 1, 2, ..., р); тогда, полагая лг<") =2 ?i"J ei>
получим:
р ."
1 1

Теория наилучшего приближения функций 141
и, следовательно,
Отсюда вытекает, что конечномерное линейное нормированное простран-
пространство непременно компактно и замкнуто. Для доказательства рассмотрим
в р-мерном пространстве параметров ?, замкнутое множество точек, для ко-
которых
На этом множестве, которое обозначим через К, непрерывная функция ||х||
параметров $(. достигает своего наименьшего значения Ь. Это значение Ь
положительно, так как |]д:|| обращается в нуль только при х = 0. Итак, если
наибольшее из абсолютных значений параметров равно единице, то норма элемен-
элемента больше или равна Ь. Пусть теперь имеется ограниченная последовательность
р
элементов {х("Ц; предположим, что | *<"> || <^ М. Пусть хМ =2 Ч '«,-; рассмот-
рассмотрим последовательность {У2}, где положено
Тогда элементы у№ принадлежат множеству Л" и, по доказанному,
т. е.1^1>8, откуда следует
Но это значит, что |?(?;|<^у ПРИ всех значениях /или, значит, можно
выбрать такую последовательность индексов {»*„}. что- ^тп)—>$,
р
{/ = 1,2,..., р), и тогда х^т^—>х, где х = 2^А- Этим доказывается ком-
компактность. Замкнутость получается еще проще. * Действительно, пусть эле-
элементы последовательности {х^}, имеющей пределом я, принадлежат
р-мерному линейному нормированному пространству L. Предположим, что
e.(iz=l, 2, ..., р) — система линейно независимых элементов из i и что
р
=2?(?Ч- Выберем последовательность индексов {та\ таким образом,
р
2
р
л( —ух, значит, * = 2^А» откуда ясно, что х принадлежит L.
Собирая вместе полученные результаты, можно высказать утверждение:
если некоторое множество L в линейном пространстве R представляет собою
также линейное, и притом конечномерное, пространство, то каков бы ни был
элемент а из R в множестве L можно найти элемент л0, доставляющий наи-
наилучшее приближение элемента а.
Переходя ко второму вопросу — о единственности наилучшего приближе-
приближения,— отметим здесь следующее достаточное условие, при котором един-
* Доказательство необходимо, конечно, лишь в том случае, если рассматриваемое
конечномерное линейное пространство есть истинная часть линейного пространства /?.
р
что ^mn) —S/ (* = 1, 2, ... р). Тогда л(и|1|) —*25А и. с другой стороны,

142 В. Л. Гончары
ственность непременно имеет место: это условие заключается в том, что
пространство R строго нормированное.
Предположим, напротив, что в пространстве L имеется два различных
элемента хо и лго, доставляющих наилучшее приближение а, так что
Тогда
сп — а лг0 а
~2 I 2
При этом равенства быть не может, так как, вследствие строгой нормиро-
ванности, отсюда вытекало бы
—
2
а
*о-
2
а
равенство X' = V невозможно, ибо лго=^хо; если же \'=?\", то тогда
Л -*0 А -*0 А -*0 А -*0 г,
что также исключено. Так получается противоречие:
Изложенным результатам можно придать несколько более общий вид.
Множество L элементов линейного пространства, очевидно, само есть
линейное пространство, если элемент \a-\-\ib принадлежит L всякий раз,
как элементы а и b принадлежат L, каковы бы ни были скаляры ). и ;л.
Условимся называть множество элементов М линейного пространства R
линейным множеством, если элемент \а -j- цЬ принадлежит М всякий раз,
как элементы а и Ь принадлежат М при условии, что скаляры X и ц связаны
соотношением а —j— jj. = 1.
Всякое линейное пространство есть линейное множество; обратное утверж-
утверждение справедливо, если рассматриваемое линейное множество содержит
нулевой элемент, и только в этом случае.
Если х пробегает элементы линейного пространства L, и а произвольный
элемент/., то у=х -\- а пробегает элементы некоторого линейного множества Ж.
Обратно, если у пробегает элементы некоторого линейного множества М
па — один из элементов этого множества, то х^у — а пробегает элементы
некоторого линейного пространства.
Рассмотрим теперь следующую обобщенную задачу: найти элементу^
данного линейного множества М, доставляющий наилучшее приближение
нулевого элемента. Можно сказать иначе: найти элемент у0 линейного мно-
множества М, ^наименее уклоняющийся от нуля".
Предыдущее замечание приводит эту обобщенную задачу к ранее рас-
рассмотренной задаче. Соответствующим образом обобщаются автоматически
и результаты, касающиеся существования и единственности приближения.
Всему сказанному выше можно придать „геометрическую" интерпретацию,,
введя в рассмотрение так называемое основное тело Минковского.

Теория наилучшего приближения функций 143
Основным телом (Eichkorper), иначе единичной сферой, К называется
совокупность элементов х линейного нормированного пространства R, норма
которых не превышает единицы:
Отметим следующие свойства основного тела:
1) если элемент а принадлежит К., то всякий элемент \а, где 1Х|^1,
также принадлежит К;
2) К—выпуклое тело: если а и b принадлежат К, то при условиях
\,\у^0, \-\-ц=\ элемент \a-\-\ib также принадлежит К;
3) в частности, если пространство R строго нормированное, то свойство 2)
усиливается в том смысле, что элемент \a-\-)ib не только принадлежит К,
но и является внутренним по отношению к К, т. е. все элементы, доста-
достаточно близкие к 1а-\-цЬ, также принадлежат К.
Наряду с основным телом К^К^ введем в рассмотрение „подобные"
ему тела Кх @ <^ X <^ оо), определяемые неравенствами
Ясно, что тела К\ также обладают свойствами 1)—3).
Будем называть линейтое множество L опорным по отношению к телу Kv
если минимум нормы элементов множества L как раз равен X. Это значит,
что, во-первых, существует хотя бы один элемент, общий множеству L и
телу Кх, и, во-вторых, как бы мало ни было е^> 0, у множества L и тела Кх_
нет общих элементов.
Из свойства 2) вытекает, что множество точек, общих некоторому ли-
линейному множеству и телу Кх, есть также выпуклое множество. Из свой-
свойства 3) вытекает, что в строго нормированном пространстве опорное линей-
линейное множество с соответствующим телом Кх имеет лишь один общий элемент.
Если же пространство не является строго нормированным, то будет ли один
общий элемент, или их будет бесконечное множество (впрочем, непременно
выпуклое), это зависит от выбора линейного множества L.
Обратимся к конкретным реализациям изложенных выше общих схем.
Такого рода конкретные реализации принимают те или иные очертания,
смотря по тому, какова природа элементов, образующих пространство R,
и что надлежит понимать под „суммой", „произведением на скаляр" и „нормой".
В интересующих нас приложениях роль элементов играют функции одной
или нескольких переменных, действительных или комплексных, заданные в одной
и той же фиксированной области (D); „сложение" элементов есть сложение
функций в обычном смысле; „умножение на скаляр" есть умножение функции
на постоянную; что касается, наконец, „нормы", то она может определяться
различными способами, и в зависимости от ее определения получается то или
иное „функциональное пространство". Конечно, множество элементов про-
пространства стоит в зависимости от выбора нормы.
С другой стороны, роль элементов могут играть также точки, скажем,
й-мерного эвклидова пространства (системы чисел, образующие их координаты);
тогда „сложение" есть „геометрическое" или „векторное" сложение, при ко-
котором складываются отдельно координаты с одинаковыми номерами; «умножение

144 В. Л. Гончаров
на скаляр" заключается в умножении всех координат на постоянное число;
о выборе нормы можно сказать то же, что для случая функциональных про-
пространств.
В зависимости от природы элементов и выбора нормы пространства полу-
получают те или иные наименования. В следующей таблице перечислены те про-
пространства, о которых упоминания будут встречаться далее. Для большей
определенности мы ограничимся для функциональных пространств случаем
одной независимой действительной переменной и даже допустим, что упо-
упомянутая область (D) сводится к фиксированному отрезку (—1, + 1).
Пространства, обозначенные буквами С или с, ради краткости мы будем
называть пространствами с „чебышевской" нормой, или пространствами
Чебышева; пространства, обозначенные буквами L или / — пространствами
со „степенной" нормой, или степенными пространствами.
В случае степенных пространств И*Цр), L№ функции, различающиеся
между собою лишь на множество меры нуль, считаются одинаковыми; таким
образом, элементами в этом случае являются классы функций.
Свойство треугольника очевидно для пространств Чебышева. Для сте-
степенных пространств при s~^\ оно вытекает из так называемого неравен-
неравенства Минкрвского; особенно важен случай s=2 по двум причинам: во-
первых, потому, что метрика пространств ?<2> и № есть непосредственный
аналог эвклидова пространства и, во-вторых, потому, что условия экстре-
экстремума в этом случае — линейные. Если $<М, то степенные пространства
оказываются дефектными в том смысле, что перестает быть справедливым
свойство треугольника. Несмотря на это, в случае конечномерных линейных
множеств существование наилучшего приближения все же обеспечивается. *
Степенные пространства при s~^>l являются строго нормированными**
и этим, как мы видели, обусловливается единственность наилучшего при-
приближения. Такого рода утверждение, однако, было бы уже неверно как для
степенных пространств при s=\, так и для пространств Чебышева. В этих
обстоятельствах легко отдать себе отчет с полной наглядностью, если при-
принять во внимание, что в случае точечных пространств /^(р,-) при s~^> \
основное тело — гладкое, опорные плоскости сводятся к касательным; при
.s - 1 и в случае чебышевского пространства св(р) основное тело является
выпуклым многогранником, так что опорная плоскость может совпасть
с „гранями* или „ребрами"; наконец, для степенных пространств при s<^\
теряется и выпуклость.
Случай чебышевского првстранства С для нас особенно интересен. Он
является в известном смысле иредельным, так как норма пространства L<-s)
* При доказательстве нужны только следствия из свойства треугольника: 1) усло-
условие ограниченности множества и 2) непрерывность нормы. То и другое вытекает из
„расширенного свойства треугольника': должна существовать функция <р (а), ваданная
в промежутке 0^н<<х, положительная, возрастающая и непрерывная, обладающая
свойствами <р@) = 0, lim ?(и) = ов и такая, что <р(Ц а + Ъ ||)<f (|| а |||) + т (Ц * ||). Для
и-* оо
случая степенных пространств при 0<$<1 можно взять: у(и)=
** См., например, f48], стр. 148, теорема 200.

° Функциональные
J пространства
л
X
° обозначение
3
S
ъ
¦р
л
з ? (р)
С
элементы
Функции f{x), для которых
интеграл
щх)\/(х) \sdx
—г
существует.
р(лг) — положительная функ-
функция (вес).
Функции f(x), для которых
существует
\\f(x)fdx
-t
Функции f(x), непрерывные
на (-1, +1).
р(лг) — положительная функ-
функция (вес) . ¦
Функции f(x), непрерывные
на (-1, +D
норма
+1 1
+1 i
Max {p(.v) |/(лг) |}
Max \f(x) |
Точечные п - мерные
пространства
обозначение
(Л»1)
элементы
Точки с координатами
Р/>0(/=1, 2 л)
Точки с координатами
Точки с координатами
Р,>0 (/=1, 2 я)
Точки с координатами
норма
4
1

146 В. Л. Гончаров
в результате предельного перехода при s—>-оо превращается в норму про-
пространства С. Имеет ли задача приближения элемента а посредством линей-
линейного пространства L только одно решение, зависит, вообще говоря, и от
элемента а и от пространства Д. Однако Хаар [47] указал характеристит
ческое свойство конечномерных пространств L, для которых единственность
приближения обеспечивается при произвольном элементе а: это свойство
заключается в том, чтобы всякий элемент р-мерного пространства L был
функцией, имеющей не свыше р—1 нулей в основном промежутке. Системы
функций, порождающие такого рода пространства, С. Н. Бернштейн [27]
назвал системами Чебышева. Простейшим примером могут служить как раз
рассмотренные Чебышевым пространства полиномов данной степени с про-
произвольным весом.
На случай функций нескольких переменных, как и на случай функций
комплексного переменного, утверждение о единственности приближения
посредством полинома данной степени не распространяется. Первые контр-
контрпримеры были указаны Тонелли [72].
5. Необходимые и достаточные условия приближения
в проблемах Чебышева
В своих основных мемуарах [1] и [4] Чебышев имеет дело исключительно
с пространствами, которые мы обозначили через С или С (р), причем разыскивает
приближение данного элемента — непрерывной функции—посредством конеч-
конечномерного пространства полиномов данной степени п. Отправляясь от „из-
„известного" факта, заключающегося в том, что отклонение не менее п-\-2
раз достигает своего наибольшего значения, и развивая ряд вытекающих
отсюда" следствий, он с неизбежностью приходит к формуле для иско-
искомого полинома. Тонкое рассуждение Чебышева, основанное на теории непре-
непрерывных дробей, было воспроизведено Бертраном в его „Calcul differentiel *
в 1864 г., и тем самым „полиномы Чебышева" получили широкую извест-
известность. Но прошло почти полстолетия, прежде чем было замечено, что ори-
оригинальный вывод Чебышева допускает значительное сокращение. В самом
деле, можно сформулировать довольно простые необходимые и достаточные
условия того, что данный полином решает задачу наилучшего приближения,
и тогда остается лишь проверить, что полиномы, указанные Чебышевым»
этим условиям удовлетворяют. Что „длительные рассмотрения, связанные
с теорией непрерывных дробей", могут быть избегнуты, впервые, повидимому,
заметил в 1901 г. Блихфельд, который отметил [40] то, что график откло-
отклонения характеризуется в данном промежутке наличием „по меньшей мере
п-\-2 чередований двух родов максимумов", оговорив при этом, что ему
не известны подлинные работы Чебышева, в которых указанное свойство
могло бы быть сформулировано самим Чебышевым. Действительно, в рабо-
работах, вошедших в собрание сочинений Чебышева, нет никаких упоминаний
о чередовании знаков отклонения, из чего не следует, конечно, что самый
факт чередования знаков не был ему известен.
В 1902 г. появилась в Гёттингене диссертация Кирхбергера [53], в кото-
которой вопрос о знаках был рассмотрен с полной обстоятельностью, и даже

Теория наилучшего приближения функций 147
для случая функций многих переменных. Для случая одной переменной
современная формулировка условий приближения была дана Э. Борелем
в его монографии „Lemons sur les fonctions de variables reelles et les
developpements en series de polyn6mesu A905) [41]: для того чтобы поли-
полином Р(х) степени п осуществлял наилучшее приближение к функции f(x)
в некотором промежутке, необходимо и достаточно существование в данном
промежутке по меньшей мере и-)-2 точек х{ таких, что хг <^хг<^• • • <^ хп+%
и Д (д\) = е (— 1)''L (е = + 1 или — 1), где R (х) = /(х) — Р(х). Достаточность
условия вытекает из такрго соображения: если отклонение /?(лг) = /(лг)—
—Р(х), где Р(х) данный полином степени я, удовлетворяет условию, nQ(x)
другой полином той же степени, причем во всем промежутке \f(x) — Q (x) |< Ly
то в точках дг; полином Р(х) — Q(x) степени п имеет те же знаки, что
и R (х) и, следовательно, обращается в нуль по меньшей мере /г —J— 1 раз,
что невозможно. Минимальное свойство полинома ^„^co
(—1^д:^1) следует отсюда мгновенно, ибо
Тп (cos л~^+1я) = е (— \)Ч, (i = 1, 2, ..., п+ 1),
где
Указанные условия приближения обобщаются на случай многих перемен-
переменных, хотя становятся при этом громоздкими и трудно применимыми.
Пусть приближение функции / осуществляется в некоторой области (D)
п
обобщенными полиномами вида 2 c№i> где fi — функции, непрерывные
в (D), a ct — произвольные параметры (ради краткости опускаем переменные
аргументы).- Тогда необходимым и достаточным условием для того, чтобы
полином Р указанного вида был одним из полиномов, наименее уклоняю-
уклоняющихся от / в (D), является несуществование полинома Q того же вида,
который во всех точках множества А, в которых /—P==-\-L, принимал бы
положительные значения, а во всех точках множества Д, в которых / — Р —
= —L, принимал бы отрицательные значения. Действительно, если поли-
полином Р — один из наименее уклоняющихся, то при существовании полинома ф„
обладающего указанными свойствами, для достаточно малых положительных,
значений \ полином Р-—\Q отклонялся бы от / в (D) меньше, чем Р„
с другой стороны, если бы существовал некоторый полином Q, отклоняю-
отклоняющийся от / в (D) меньше, чем Р, то полином Р—Q был бы положителен,
в точках А и отрицателен в точках А. В частном случае, когда имеется
п
лишь одна независимая переменная, и „полиномы" V cifi образованы из
i=i
„чебышевской" системы функций <р,-, то формулированное выше условие
равносильно требованию существования не менее я—|— 1 точек отклонения
с чередующимися знаками (условие Чебышева — Бореля). В другом частном
случае, когда число независимых переменных произвольно и приближающие
10*

148 В. Л. Гончаров
полиномы линейные, дело сводится к несуществованию (п — 1)-мерной пло-
+
скости, отделяющей множество Д от множества Д (условие Кирхбергера).
6. Приближение по истоду наименьших квадратов и иеиуар
„О функциях, наименее уклоняющихся от нуля*
Если в работах Чебышева содержится явно и в общем виде сформули-
сформулирована задача наилучшего приближения данной функции / (дг) полиномом Ра (х)
•степени и в пространстве С, т. е. с нормой, равной модулю-максимуму, то
аналогичная задача в пространстве И2\ т. е. с нормой, равной квадратному
корню из интеграла от квадрата разности, была уже решена задолго до
того: в самом деле, полином Рп (х), обращающий в минимум интеграл
"г1
\ [f(x)-Pn(x)fdx,
— 1
представляет собою не что иное, как сумму и членов разложения функ-
функции /(дг) в ряд Лежандра. Чебышев подошел очень близко к аналогичной
задаче в пространстве I? (р), т. е. при произвольном весе; однако, в качестве
нормы, вместо интеграла, вводит сумму, распространенную на последова-
последовательность точек в данном промежутке. Таким образом он находит в мемуаре
1855 г. „О непрерывных дробях" [2] тот полином Рп(х), который обращает
в минимум сумму
1=1
Интересно, что выбор именно второй степени мотивируется теоретико-
вероятностными соображениями, именно, чтобы погрешности данных интер-
интерполяций f(x) „имели наименьшее ' влияние на искомую величину". Уже из
исследований Гаусса вытекало, что при допущении нормального закона рас-
распределения ошибок обработка наблюдений должна совершаться по методу
«аименыдих квадратов.
Результаты Чебышева без существенных изменений переносятся на случай
интеграла
+1
Pn(x)?dx.*
-1
Искомый полином Р„(х) представляет собою сумму п членов разложения
функции f (х) в ряд, расположенный, как мы теперь говорим, по ортогональ-
ортогональным полиномам последовательно возрастающих степеней Фп(лг) (л = 1,2,...)
/(дг) - 2 с'ф,(*), с,= f р(х)/(х)Ф,(х)dx,
v=0
—1
» См. Соч., т. II, 1907, стр. 200-

Теория наилучшего приближения функций
причем система полиномов {Ф>(аг)} вполне определяется весом р(л?) согласно
условиям
1, i = k.
В частности, заметим следующее обстоятельство: из всех полиномов
степени п со старшим коэффициентом, равным единице, Ра(х) = ха-\—•»
минимализирует интеграл
тот полином, который отличается от Фя (дг) только постоянным множителем.
Чтобы в этом убедиться, достаточно представить Ра(х) расположенным по.
ортогональным полиномам Ф^Длг).
Если р(дг) = const, то полиномы Фу (х) с точностью до постоянных мно-
множителей превращаются в полиномы Лежандра Л, (л:), определяемые, как
известно, разложением
V\ — 2sx-\-s* ?*o v
-Более общий случай р(лг)=—¦—^ был рассмотрен Якоби в 1859г.;
соответствующие полиномы Ф„(лг) лишь постоянными множителями отличаются,
от полиномов J(bv)(x)t называемых полиномами Якоби и определяемых раз-
разложением
Свойство ортогональности полиномов Якоби было, между прочим, выведено
Чебышевым непосредственно из этого разложения в заметке 1869 г. ,0 функ-
функциях, подобных функциям Лежандра" [8].
Обе теории —связанная с пространством С теория равномерного, „чебы-
шевского" приближения и связанная с пространством L№ теория квадрати-
ческого приближения — приведены во взаимное соприкосновение в мемуаре
Чебышева 1872 г. „О функциях, наименее уклоняющихся от нуля" [9].
Здесь, как и раньше, разыскивается многочлен со старшим коэффициентом,
равным единице, Р(х)=х"-)-••¦, по требованию минимализации модуля-
максимума в промежутке (— 1,-j-l), однако с дополнительным ограничением:
в рассматриваемом промежутке полином Р{х) должен быть монотонным,
т. е. или возрастающим, или убывающим. Его наибольшее и наименьшее
значения, следовательно, равны по абсолютному значению, но противопо-
противоположны по знаку, так что искомый модуль-максимум равен абсолютной вели-
величине интеграла

150 В. Л. Гончаров
Констатируя, что все нули производной Р' (лг), лежащие внутри промежутка,
должны быть четной кратности, и что вне промежутка не должно быть
вовсе нулей, Чебышев приходит к заключению, что многочлен Р (дг) сте-
степени п— 1 имеет вид
1)ро
где числа р и р0 могут иметь значения 0 или 1. Таким образом, получается
+i
L = -i п [ (х — 1У (х -f- 1 )Р° IP {х) dx.
—i
Теперь уже ничего не стоит минимализировать этот интеграл, рассма-
рассматривая множитель (л:—1)р(а:Ц-1)р° как вес; нужно только различать четыре
случая, соответствующие возможным системам значений р и р0 в зависи-
зависимости от четности л и от того, является ли полином Р{х) возрастающим
«ли убывающим.
(—?./Р)
Многочлен U(x) отличается от многочлена Якоби J ' (х) только по-
2
стоянным множителем, а последний Чебышев определяет, исходя из найден-
найденной раньше производящей функции. Нет необходимости приводить де-
детали и точный результат вычислений. Заметим только, что ограничение
монотонности оказывает не слишком сильное влияние на искомое откло-
нение L: если без ограничения монотонности оно в точности равно ^ГТ'
то при указанном ограничении оно при п ¦—*¦ со равно асимптотически -^- ,
т. е. увеличивается всего в-9 я раз. Это естественное с точки зрения со-
современной исследовательской практики сопоставление не ускользнуло от
внимания Чебышева; в своем мемуаре он делает, кстати сказать, не асим-
асимптотическую оценку результата, а точную оценку неравенством. Как бы то
ни было, отмеченные обстоятельства свидетельствуют, что, вопреки букваль-
буквальному содержанию его работ, а также распространенному мнению, к вопросам
асимптотики Чебышев не был безразличен.
7. Применения теории наилучшего приближения у Чебышева.
Позднейшие работы Чебышева
Высказывания самого Чебышева о взаимоотношениях между математиче-
математической теорией и ее приложениями позволяют достаточно уяснить себе не
только движущие импульсы его творчества, но и занимаемые им научно-
философские позиции. „Сближение теории с практикой,—говорит он,—
дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого
выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им
новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах, давно
известных... Если теория много выигрывает от новых приложений старой
методы или от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием
новых метбд, и в этом случае наука находит себе верного руководителя

Теория наилучшего приближения функций 151 v
в практике". Без всякого сомнения, когда Чебышев писал эти слова, он
в первую очередь имел в виду созданную им теорию наилучшего прибли-
приближения. Вместе с тем, если работы Чебышева первого периода по своей
тематике принадлежали — по традиции его великих предшественников — к от-
отвлеченным областям науки и если несколько позднее, как мы отмечали, он
сделал резкий поворот в сторону практических приложений, то еще позднее
обе тенденции подают друг другу руки и объединяются в некотором гар-
гармоническом равновесии. Необходимо, кроме того, заметить, что приложения
понимаются Чебышевым широко и своеобразно: они не ограничиваются об-
областью технических наук, а относятся к самым различным формам челове-
человеческой деятельности или же служат внутренним потребностям самой мате-.
матики (составление таблиц, интерполирование, квадратуры, решение уравне-
уравнений); они оцениваются критически с точки зрения соотношения между
использованными „средствами" и достигнутой „выгодой".
Едва ли в сочинениях Чебышева с исчерпывающей полнотой отразилась,
вся совокупность вопросов, к которым он имел случай применить вырабо-
выработанные им и освоенные с несравненным совершенством методы приближения:
вернее, что на страницах его работ мы можем найти лишь известную часть
таких применений. Сделав эту оговорку, перейдем к рассмотрению того, что
самим Чебышевым указывается явно.
I. Кинематика механизмов. Уже было указано, что это — исходный
пункт теории приближения функций полиномами или, вообще говоря, функ-
функциями того или иного вида, содержащими некоторое число параметров.
Это — та излюбленная' сфера, к которой на протяжении нескольких деся-
десятилетий постоянно направлялась мысль Чебышева. Однако рассмотрение
многочисленных относящихся сюда заметок не входит в задачи настоящей
статьи.
II. Решение алгебраических уравнений (отделение
корней). В мемуаре [4] указывается около десятка теорем F—11,
15—19), выводимых как следствие из основных предложений о наи-
наилучшем приближении. Эти теоремы утверждают, при определенных
предпосылках, существование в некотором промежутке по меньшей мере
одного нуля рассматриваемого полинома; длина промежутка в условиях
теорем зависит, с одной стороны, от значения полинома в центре промежутка,
и с другой — от частных предположений, касающихся коэффициентов или
нулей полинома. Так, теорема 10 говорит, что если полином f(x) =
__д.2я+1_|_ ... _|_д^ не содержит членов четной степени, то он имеет хотя бы
один нуль в промежутке | х | <^ 2 ( ЦУ JSn+I. В качестве примера приведем
доказательство, причем допустим, конечно, что КфО. Если бы полином /(х)
не имел нулей в указанном промежутке, то то же было бы справедливо и
относительно полиномов /(х) — 2К и [/(лг) — АГ]2—J<2=e/(x)[/(x)— 2К};
так как при х = 0 последний полином отрицателен, то он был бы отрицателен
и во всем промежутке | д:|<^ 21'^JjiT^i, так что /(дг) — К в этом проме-
промежутке отклонялось бы, от нуля менее чем. на | К|; но это невозможно, так

1$2 В. Л. Гончаров
\ 2* (^—J^1} ^
как тогда полином ^Г\Щ/\ 2* (^—J^1} ^х2"*1-] при |*|<О откло-
отклонялся бы от нуля меньше чем на ^ . Приведем еще формулировку теоремы 9,
крторая исходит из иной предпосылки: если полином степени « со старшим
коэффициентом, равным единице, f(x) =xn-{- • • • , не имеет мнимых корней,
то, каково бы ни было (, существует действительный корень в промежутке
п /~ \ f it) \
\'х — t\<C.4 у —^—• Позднее, в мемуаре 1872 г., опираясь на результат,
касающийся монотонных полиномов, Чебышев сужает промежуток, заменяя
его следующим: \х—*|<4[/ 2<д_1)ж-
Ш. Интерполяция (оценка остаточного члена). С целью
уменьшить предел погрешности интерполяционной формулы Лагранжа Чебышев
предлагает в качестве узлов интерполяции [скажем, в промежутке (— 1,-j- 1)]
выбирать нули полинома Тп (х) = cos n arc cos x, так как для данной функции
я
f(x) остаточный член имеет вид Rn = ^п+1ЩРа(х), где Рп (дг) = П (х — •*,.), а
дг. (i = l, 2,..., п) — узлы, и, следовательно, | Rn | ^Ma+1 Мах| Рп(х) \, где
уИв+1=Мах|/("+') (дг)|, то выбор Рп (х) = Гп (х) оказывается наиболее вы-
выгодным. Здесь отчасти предвосхищен позднейший результат Рунге, в силу
которого при я —» оо интерполяционный процесс Чебышева сходится для любой
функции f{x), регулярной в основном промежутке (чего нельзя утверждать^
например, относительно ньютоновского процесса с равноотстоящими узлами).
IV. Правило для приближенного определения расстоя-
расстояний на поверхности Земли.** Приведем его полностью: я 1) взяв,
разность широт и долгот двух мест, должно выразить их в минутах;
2) удвоить разность широт; 3) из двух цифр — разности долгот и удвоенной
разности широт — надо помножить меньшую на 3, а большую на 7 и сло-
сложить одно произведение с другим; 4) итог, разделенный на 3, даст искомое
расстояние в верстах».
Не трудно догадаться, что здесь идет речь о применении приближенной,
формулы Понселэ |Л*2 -J- b2 -v- aa -f- {№ к инфинитезимальной формуле
где As — длина дуги большого круга, связывающего две точки, R — радиус
Земли, в верстах равный 5971, и — широта, Аи и Дг/ — разности широт и
долгот в радианах. Параметр Понселэ k, очевидно, взят равным единице.
Дальнейшая обработка формулы, вероятно, произведена следующим образом;
= R cos и |/ Дг/2 -f- ( ~V — R cos и
— #cosa(aMin {Av, 2Ди} -f (j Мах {Дг/, 2Да}) =
=cosa(l,67Min{AV, 2AU}-\-0,68 Мах {AV, 2AU}),
* Дальнейшее улучшение этого результата имеется у А. А. Маркова [58J.
** Напечатано в .Месяцеслове на 1869 год", изд. Акад. Наук [13].

Теория наилучшего приближения функций 153
. , 7 3
где AU и AV—разности широт и долгот в минутах. Коэффициенты -g- и -g-
в формулировке правила показывают, что cos и был принят примерно равным
0,53, что соответствует широте 58°.
V, Приближенные квадратуры. Применениям наилучшего при-
приближения функций к этому вопросу посвящены две поздние работы Чебышева:
„О приближенных выражениях квадратного корня переменной через простые
дроби* A889) [11] и „О полиномах, наилучше представляющих значения
простейших дробных функций при величинах переменной, заключающихся
между двумя данными пределами" A892) [12]. „При вычислении квадратур,—
говорит Чебышев, — нередко приходится заменять функции, представляющие
затруднения для интегрирования, их приближенными выражениями". В первой
из названных статей решается задача наилучшего относительного при-
П D
ближения выражения -р= рациональными выражениями вида А-\- 7. г i -
С и ,
и дается специальное применение к вычислению интегралов вида I -у— ах,.
в частности для интегралов, родственных эллиптическим,
*'"* г/г @<р<1).
Г
JK1
Во второй статье для промежутка | д: | sg; h устанавливается приближенное
равенство
1 1
Н — х „. (Н\ х — Н
в том смысле, что среди всех многочленов степени п-—1 стоящий справа
дает наименьшую относительную погрешность в промежутке | х I sg; h. Это
дает далее Чебышеву возможность заменять приближенно интегралы вида
+* +А
( -._ dx линейными комбинациями интегралов вида I xkf(x)dx.
— А —А
VI. Черчение географических к а р т. Если требуется изобразить
на карте некоторую часть земной поверхности, ограниченную определенным
контуром, то имеется возможность выбора между бесконечным множеством
проекций, обеспечивающих подобие в бесконечно малом и сохранение одного
и того же масштаба в каждой данной точке по всем направлениям. Это —
так называемые конформные проекции. Однако, как вытекает из Theorema
egregium Гаусса, среди конформных проекций шара на плоскость нельзя
найти такую, для которой масштаб сохранял бы постоянное значение, одно
и то же для всех точек изображаемой части поверхности.
В сообщении, прочитанном 30 A8) января 1856 г. и опубликованном под
наименованием „Sur la construction des cartes georgraphiques* в „Известиях
Академии Наук" [3], Чебышев поставил задачу нахождения такой конформной
проекции, для которой логарифм масштаба менялся бы в возможно более

154 ' В. Л. Гончаров
тесных пределах, т. е. возможно менее уклонялся бы от некоторой сред-
средней величины. Не приводя доказательства, он высказал утверждение, что при
выполнении выставленного требования масштаб на контуре карты должен'
быть постоянным (осуществимость последнего условия, заметим, вытекаэт
из принципа Дирихле). Утверждение Чебышева гораздо позднее доказал
акад. Д. А. Граве. * '
Проблема сводится к нахождению функции U, гармонической в заданной
области (D), и притом по условию — наименее уклоняться от заданной функ-
функции <р. Простейший случай-—тот, когда Д<р, где А — оператор Лапласа, не
меняет знака в области (D), т. е., как теперь говорят, функция у субгар-
субгармоническая или супергармоническая. В интересующей нас картографической
задаче приходится иметь дело как раз с супергармонической функцией.
В указанном простейшем случае, как оказывается, искомая функция U
лишь постоянным слагаемым отличается от гармонической функции Uo, на
контуре совпадающей с функцией <р (так что внутри контура ?
Что касается постоянной С, то легко видеть, что она определяется равенством.
2 (D)
S. Экстремальные задачи, решенные Е. И. Золотаревым,
А. А. и В. А. Марковыми и И. И. Ахиезером
Еще при жизни Чебышева исследования по наилучшему приближению
функций продолжались другими авторами — его учениками.
Так, в 1868 г. Е. И. Золотарев в своей диссертации [78] рассмотрел
задачу о многочлене вида
Pa{x) = x"+alx*-1-{-pax"-*+---4.pH (а, дано),
наименее уклоняющемся от нуля в данном промежутке; оказалось, что.,
решение выражается, вообще говоря, через эллиптические функции, подобно
тому как в простейшей задаче Чебышева — через тригонометрические. К этой
задаче приводится другая: минимализировать в данном промежутке много-
многочлен вида •
при дополнительном условии
В 1884 г. А. А. Марков обобщил [56] .второй случай" Чебышева на
случай веса вида
где f(x) — данный многочлен четной степени.
* См. [45|; доказательство упрощено в [46J; оно воспроизведено в статье Н. Г.Че-
Г.Чеботарева в .Сборнике, посвященном памяти академика Д. А. Граве", 1940.

Теория наилучшего приближения функций 155
В 1889 г. он же дал ответ [57] на вопрос, поставленный Д. И. Менде-
Менделеевым в его сочинении „Исследование водных растворов по удельному
весУ" (§ 86): предполагая, что модуль-максимум полинома Рп(х) степени я
в промежутке | х | ^ 1 равен 1, найти верхнюю границу для модуля-макси-
модуля-максимума его производной в том же промежутке. Марков показал, что эта верх-
верхняя граница равна я2; как легко проверить, она достигается полиномом
Чебышева в точках +1. В частности, отсюда следует, что полином Та(х)
является решением такой задачи: среди полиномов вида Рп(х)—рохп-{- • • •-{-
-\-рн, которые в промежутке |лг|^1 по модулю не превосходят единицы,
найти тот, для которого значение Р'пA) = про-\-(п—*1)/>± -j '-\~Pn-i ста-
становится наибольшим. Эта задача эквивалентна следующей: среди всех поли-
полиномов Рп(х)=роха-\- ••• -\-рп, коэффициенты которых связаны линейной
зависимостью про-\-(п—I)/?!-f- - • • -f-Pn_i == 1> найти тот, который в про-
промежутке | х | «g 1 наименее уклоняется от нуля.
В 1892 г. В. А. Марков, младший брат А. А. Маркова, сформулировал
[60] в общем виде задачу о нахождении полинома Рп (х) степени я, наименее
уклоняющегося от нуля, в промежутке | х | ^ 1 при заданной линейной зави-
зависим лети между коэффициентами
что равносильно вычислению максимума \л^>о~\~'" ~^ГапРп\ ПРИ условии
Мах \Р (х)\^\. В частности, им найдены при этом условии, верхние
pi—*) (С\\
границы " =|/jJ; другими словами, найдены многочлены степени л,
(л — k)\
наименее уклоняющиеся от нуля, если задан коэффициент при произвольной
степени. Кроме того, в связи с рассмотрением задачи о наименьшем уклоне-
уклонении при условии PW{Z)—1 (где ?—заданное значение лг) В. А. Марковым
найдены точные верхние границы для выражения Мах [Р(*>(л:)| в предпо-
ложении Мах | Р (х) | = 1,
Вопросом об определении полинома степени п, наименее уклоняющегося
от нуля, при двух линейных зависимостях между коэффициентами (обобще-
(обобщение задачи Золотарева: pQ = l, pt = j) занимались в дальнейшем А. П. Пше-
борский [62] и другие авторы.
Ближе к нам по времени исследования по наилучшему приближению в
классическом направлении, намеченном Чебышевым и Золотаревым, были
успешно продолжены Н. И. Ахиезером, который в своей основной работе
1928 г. [15] получил ряд новых точных результатов. Из них назовем лишь
немногие:
1. Решение задачи Золотарева о минимализации полинома с двумя задан-
заданными коэффициентами.
Рп (X) = X" 4- О!*»" [+Р2Х*~* -f
при произвольном весе чебышевского вида р (лг) = д-г~\ <где ^{х)—полином.

156 В. Л. Гончаров
2. Решение задачи о минимализации полинома
Ра(х) = хп -(- JjA:" —|—ст2лг"~2 "^"/'з-^" ~г~ *"" "ЬРя
с тремя заданными коэффициентами при постоянном весе.
1 3. Решение основной задачи о минимализации полинома с одним заданным
коэффициентом
яля случая пары промежутков — l^Ar^a; Р =S л: е? 1 (— 1<^а<^ $4<^-{-1).
Из дальнейших результатов Н. И. Ахиезера отметим следующие:
1. Решение задачи о минимализации полинома Ра(х) на двух промежутках
при дополнительных условиях вида Pa{xi)—yi (/ = 1, 2, ... ,/) [17J.
2. Существенное улучшение метода Чебышева, .примененного им при
приближении полинома дробной функцией с переменными коэффициентами в
числителе и знаменателе („третий случай" Чебышева): не прибегая к непре-
непрерывным дробям, Н. И. Ахиезер получает наименьшее уклонение как корень
алгебраического уравнения, а коэффициенты определяются из линейной систе-
системы уравнений [16].
В методологическом отношении работы Н. И. Ахиезера выделяются тем,
что в них он, подобно Е. И. Золотареву, широко использует аппарат эл-
эллиптических функций, что естественно связано с характером самих проблем;
с другой стороны, доказательства базируются на теории функций комплекс-
комплексного переменного, в том числе привлечены и некоторые новейшие резуль-
результаты в этой области.
В качестве примера такого рода доказательств приведем решение основ-
основной задачи Чебышева („первый случай").
Согласно необходимым условиям минимума, искомый многочлен
"-1 -\ \-Ра
принимает в промежутке —1 ^Sлг =^с —f- 1 экстремальные значения -4-L в
точности »-f- 1 раз; поэтому многочлен у2 — L? степени 2и имеет в этом
промежутке, считая по кратности, 2я нулей. Рассмотрим, как в области (D),
получающейся из расширенной комплексной плоскости посредством удаления
отрезка (—1, + 1), ведет себя функция комплексной переменной
г-_ У + Уу2-*-3
(знак радикала подобран по условию: 7] = ос при у=оо); тогда имеем
Функция jj переменной дг регулярна в области (D), так как в ней у2 —
— /,2=т^0; она не имеет нулей в (D) и имеет единственный полюс дг = оо
кратности л; на границе области принимает значения, по модулю равные
единице, ибо из |_у|г?:? следует
= 1.

Теория наилучшего приближения функций 157
Положим
(знак радикала взят по условию: [5.= оо при дг=оо); область (D) в плос-
плоскости х, в силу этих соотношений, отображается на внешнюю часть единич-
единичного круга | ?| ^ 1, и если рассматривать jj как функцию ?, то оказывается, что
эта функция регулярна при |$|^> 1, имеет полюс кратности п в точке S=oq,
а на границе, при |?| = 1, получается |ij| = l; отсюда следует, что
где с — константа с модулем, равным единице. При замене Е на-г значение д:,
а следовательно, и значение у, не меняются, откуда ясно, что с = ±\-
Итак,
У = ± 7 (&" + &-") = ± j\(x + КГ=**)» +(х — 1/T=x*r}=±Wa(x),
причем сравнение старших коэффициентов показывает, что следует взять
знак -(- и что
t). Связь наилучшего приближения с дифференциальной природой
функции. Работы С. Н. Бернштейиа
Новое идейное содержание было влито в теорию наилучшего прибли-
приближения функций в первом десятилетии текущего века.
Исходным пунктом послужило предложение, установленное в 1885 г. гла^
вой берлинской школы математиков Вейерштрассом: какова бы ни была
функция f(x), непрерывная в данном промежутке а ^ х <: Ь, и как бы мало
ни было наперед заданное число ?^>0, можно указать такой полином Р(х),
что выполняется неравенство
Мах| P(x) — f(x)\*&e. (И)
Вводя в рассмотрение последовательность значений {ея}, имеющую пре-
пределом нуль, заключаем, что в рассматриваемом промежутке функция f(x)
является пределом равномерно сходящейся последовательности полиномов;
так как, с другой стороны, Вейерштрассом же было показано, что предел
равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть функ-
функция непрерывная, то установленное Вейерштрассом свойство в точности
эквивалентно непрерывности функции в рассматриваемом промежутке. Еще
иначе можно сказать, что „множество полиномов везде плотно в простран-
пространстве С" или что „система степеней 1, х, х2, . .. ,хп, ... обладает свойством
полноты".
Открытие Вейерштрасса, несмотря на его глубокое принципиальное зна-
значение, не сразу было оценено и не сразу вызвало отклики: объяснить это
можно, с одной стороны, тем, что оно не показалось поразительным, так
как смутные представления о том, что „произвольная" функция может быть

158 В. Л. Гончаров
представлена в виде аналитической формулы, были подготовлены Фурье, Ди-
Дирихле и Риманом, а с другой стороны, тем, что если теорема Вейерштрасса
была первым камнем в фундаменте функционального анализа, то прочная база
для дальнейшего развития нового направления мыслей еще не была создана.
Сдвиг произошел вскоре после появления работ Лебега и монографии
Бореля „Lecons sur les fonctions de variables reelles" [41]. Возник вопрос, ка-
какова зависимость между числом е в неравенстве A1), т.е. „отклонением"
полинома Р(х) от функции f(x) и степенью Р(х), и очень скоро было
справедливо усмотрено, что этот вопрос решается в зависимости от диф-
дифференциальных свойств функции /(х). Нижняя граница чисел s в неравенстве
A1) при заданной степени п полинома Р(х) есть не что иное, как рас-,
смотренное Чебышевым наименьшее уклонение полинома Р(х)от функ-
функции f(x). Обозначая это уклонение (ecart) через Еа (/), мы видим, что по-
последовательность чисел {?„(/)} не возрастающая и, согласно теореме
Вейерштрасса,
Um ?„(/)=•<).
л ->оо
Если Чебышева интересовало точное вычисление ?„(/) при заданном rty
а также нахождение соответствующего однозначно определенного поли-
полинома Р(х), то с новой, теоретико-функциональной, точки, зрения было су-
существенно выяснить порядок убывания величин Ea(f). Таким образом,, на
первое место выступает асимптотическая сторона задачи наилучшего при-,
ближения.
Не удивительно, что в первую очередь внимание было привлечено к не-
непрерывным функциям, имеющим особенности простейших типов: таковыми,
являются функции, графики которых имеют угловую точку (например, / (лг) = | х ;
с точкой х — 0). Далее на очереди стояли более общие классы функций.
не обладающих свойством дифференцируемое™ в данном промежутке, вроде
/(х) =¦ |х |* (s^>0). В 1903 г. Бельгийская Академия Наук, по предложе-.
нию своего сочлена Валле-Пуссена, объявила конкурсную тему: „Пред^
ставить новые исследования, касающиеся разложения функций действитель-.
йых или аналитических в ряды полиномов". Со стороны Валле-Пуссена по-
последовало следующее уточнение поставленного вопроса: „Возможно или нет
представить ординату полигональной линии, или, что сводится к тому
же, |аг| в промежутке (—1,-4-1) посредством полинома степени п с при-.
ближением более высокого порядка, чем —?" Другими словами, можно п\\
соотношение Еп(\ х\ ) = О ( — ] заменить более точным Еп(\х\) = о (-А ?
Исследования в указанном направлении были начаты самим Валле-Пуссе-
ном. В работе, опубликованной в 1910 г. [74], он устанавливает прием, по-
позволяющий дать оценку Еп(\х \) снизу, тогда как всякий приближающий по-
полином, очевидно, дает оценку сверху, и с его помощью приходит к, неравенству
там же рассматривается и приближение функции |дг| 2.

Теория наилучшего приближения функций 159
Еще через год Бельгийской Академии была представлена работа, решаю-
решающая полностью поставленный вопрос. Валле-Пуссен в своем отзыве выска-
высказался о ней в том смысле, что она представила собою „наиболее суще-
существенный вклад из всех, какие были сделаны в области разложения функций,
"действительного переменного в ряды полиномов как по числу, так и по зна-
значительности содержащихся в ней результатов". Это была работа fl9], став-
ставшая позднее докторской диссертацией С. Н. Бернштейна, ныне академика.
Отметим вкратце наиболее существенные результаты этой работы.
1) Вопрос, поставленный Валле-Пуссеном, получает отрицательный ответ:
существуют положительные числа А и В такие, что
2) Если?я(/) = О (—— ), то функция f(x) имеет непрерывную произ-
производную порядка р.
3) Если En(f) =¦ О (рп), где 0<р<^1, то функция f{x) регулярна не
только на основном отрезке (—1,-|-1), но и внутри эллипса с фоку-
фокусами + 1 н суммой полуосей р. Справедлива и обратная теорема: если функ-
функция /(дг) регулярна в эллипсе, включая контур, с фокусами +1 и суммой
полуосей р, то
?„(/) = О (р").
4) Как средством доказательства С. Н. Бернштейн пользуется теоремой,,
имеющей большой самостоятельный интерес: если Рп (х) — полином степени я,,
то из соотношения
Мах |/\,(*) |<1
— 1 s
следует неравенство
5) Устанавливается верхняя граница для Еп (/) в зависимости от верх-
верхней границы |/(я+:1) (дг)| в рассматриваемом промежутке.
6) Указывается регулярный прием для приближенного вычисления En(f\
(параметрический метод с использованием аналитического продолжения).
7) Приводится критерий полноты системы функций
хш\ л:02,..., Д...@=еа1<а2<...<аЛ< ...).*
В то самое время, когда вопрос о связи между дифференциальной при-
природой функции и порядком наилучшего приближения посредством полиномов сте-
степени п ставился во Франции, он привлек к себе внимание, притом в более широкой,
постановке, и в Гёттингене. Здесь при ближайшем участии Э. Ландау была так-
также объявлена конкурсная тема соответствующего содержания, и уже в 1911 г.
появилась диссертация американского математика Д. Джексона [51], в ко-
ряда
* Исчерпывающую формулировку см. [61] и [68]: условие полноты—расходимость.
1
X1-

160 В. Л Гончаров
торой автор, ограничиваясь действительной областью, доказывает ряд тео-
теорем, направленных в сторону, обратную основным теоремам Бернштейна: из
положительных предположений, касающихся дифференциальных свойств при-
приближаемой функции, выводятся заключения относительно порядка малости наи-
наилучшего приближения Ea(f).*
В совокупности, из результатов С. Н. Бернштейна и Д. Джексона, уже
в 1912 г. создалась довольно законченная теория, основные линии которой
составили предмет обзорного доклада С. Н. Бернштейна на Международном
математическом конгрессе в Кэмбридже [21].
Около, этого же времени Бернштейн [20], опираясь на „второй случай*
Чебышева (взвешенное приближение), нашел точное значение Еп ( _ ),
где \а\^>\, и асимптотическое значение Еп ( __а)к) • Отсюда получилось
и асимптотическое значение Еа{/) для произвольной функции f(x), регуляр-
регулярной на отрезке — 1 =^ д: sg; -\-1 при условии, что на наименьшем эллипсе
с фокусами +1, на котором функция перестает быть регулярной, не пере-
переставая быть регулярной внутри эллипса, имеется лишь одна алгебраическая
особенность; если таких особенностей несколько, картина усложняется.
Все достигнутые в течение немногих лет замечательные успехи приводили
к мысли, что порядок убывания Ea(f) может быть положен в основу единой
классификации функций действительного и комплексного переменного. Со-
Соответствующие идеи нашли свое отражение в мемуаре С. Н. Бернштейна
„Sur la definition et les proprietes des fonctions analytiques d'une variable
reelle" [22], напечатанном в 1914 г. в „Math. Annalen". Рассматривая алге-
алгебраический многочлен как основную элементарную базу в теории функций,
Бернштейн положил начало тому направлению в теории функций, которое
он позднее назвал „конструктивным".
Несомненно, первая мировая война оказала тормозящее влияние на даль-
дальнейшее развитие теории приближения функций. Но уже в 1919 г. выходит
в свет превосходная монография Валле-Пуссена „Lecons sur l'approximation
des fonctions d'une variable reelle" [75J, содержащая в синтетической форме
связное и систематическое изложение накопившихся, начиная от Вейерштрасса,
фактов и теорем, принадлежащих теоретико-функциональной теории прибли-
приближения. Отметим одну особенность этой книги. В ней впервые четко со-
сопоставлены и исследованы во взаимной связи две аналогичные задачи: задача
приближения функции, заданной на отрезке действительной оси рациональ-
рациональным полиномом степени п, и задача приближения периодической функции,
с периодом 2тс „тригонометрическими полиномами" степени п (у Валле-Пус-
Валле-Пуссена они еще носят название „тригонометрических сумм"). Тригонометри-
Тригонометрические полиномы, как мы видели, в частных задачах встречаются впервые
у Чебышева в 1881 г.
* В этой связи отметим, кстати, новейший, очень точный результат Н. И. Ахие-
зера и М. Г., Крейна [18], определивших верхнюю границу наилучшего приближения
посредством тригонометрических полиномов степени п для совокупности периодических
функций /С*), удовлетворяющих неравенству Max |/W (л:)

Теория наилучшего приближения функций 161
Другим капитальным вкладом в теорию приближения явилась вышедшая
несколько лет спустя французская монография С. Н- Бернштейна „Lemons sur les
proprietes extremales et la meilleure approximation des fonctions analytiques
d'une variable reelle» [27], созданная на основе лекций, читанных в Сорбонне
в 1923 г.; в переработанном виде она вышла значительно позднее на русском
языке под названием „Экстремальные свойства полиномов* [35]. В ней, с одной
стороны, собраны результаты, полученные ранее Чебышевым, братьями Марко-
Марковыми и самим автором; с другой стороны, содержится и большое количество
нового материала, о котором частично будет сказано ниже; покуда же отме-
отметим такие частные вопросы, как асимптотическое определение наименьшего
уклонения от нуля полинома степени п при каком угодно числе заданных стар-
старших коэффициентов, с произвольным весом; затем нахождение последующих
членов асимптотических разложений для наименьшего отклонения от нуля
элементарных рациональных функций; наконец, углубленное исследование
наилучшего приближения функции с существенной особенностью.
Совсем недавно С. Н. Бернштейн вернулся к вопросу о наилучшем при-
приближении простейших функций, не обладающих свойством неограниченной
дифференцируемое™, \x\s (s^>0), и доказал [37] асимптотическое равен-
равенство при п —>¦ оо вида
где fi(s) — непрерывная функция переменной s, естественно обращающаяся
в нуль при всех целых значениях 5. Он установил также [38] более общее
соотношение
и нашел метод асимптотического вычисления En(f) для любой функции f{x),
имеющей в основном промежутке конечное число „угловых точек". Таким обра-
образом, случай „алг'сбраико-логарифмических особенностей" на самом основном
промежутке был рассмотрен столь же обстоятельно, как и тот случай, когда
подобного рода особенности находятся вне промежутка.
10. Дальнейшие результаты по вопросам наилучшего приближения
функций
Мы остановимся в этом разделе на некоторых новейших исследованиях,
более или менее свободно примыкающих к основной линии, намеченной Че-
Чебышевым, иногда выходящими в точном смысле за пределы его круга идей,
но во всяком случае несущих на себе отпечаток характерного чебышевского
стиля. Очень важно вместе с тем отметить, что идеи Чебышева всё в боль-
большей степени проникают и в первоначально чуждые им области теории функ-
функций и функционального анализа.
В 1928 г. С. Н. Бернштейн [30], обобщая понятие возрастающей функ-
функции, ввел понятие функции кратномонотонной. Именно, функция называется
кратномонотонной порядка /z-j-1 в данном промежутке, если в этом про-
промежутке все ее производные, до порядка h-r\- 1 включительно, неотрицательны.
И Научное наследие Чебышева. Вып. I

162 В. Л. Гончаров
Уже для кратномонотонных функций самого общего вида f(x) возникают
некоторые экстремальные проблемы: так, Бернштейном были найдены границы
для / <*> (л;0), где х0 — внутренняя точка промежутка, при заданных значе-
значениях / (х) на концах промежутка. Не будем останавливаться на абсолютно моно-
монотонных и регулярно монотонных функциях, открывших новую главу в современ-
современной теории функций действительного переменного, и отметим далее, что Берн-
штейн перенес на случай полиномов я-ой степени, обладающих свойством кратной
монотонности порядка h-{-\ [29], основные задачи Чебышева (найти поли-
полином, наименее уклоняющийся от нуля при заданном старшем коэффициенте)
и Маркова (найти полином, наименее уклоняющийся от нуля при заданном
значении производной в некоторой точке). Как мы видели, Чебышев рассма-
рассматривал первую из этих задач для случая просто монотонных полиномов, при-
причем решение оказалось связанным с полиномами Якоби; последнее имеет место
и в более общем случае кратной монотонности. В дальнейшем целая серия
самых разнообразных вариантов классических проблем была рассмотрена
учениками С. Н. Бернштейна — Я. Л. Геронимусом и В. Ф. Бржечка — для
случая монотонных и кратномонотонных полиномов.
Получила развитие и разработка классических проблем в пространстве И1),
или L.W (р). Уже Чебышев в мемуаре „Об интерполировании в случае боль-
большого числа данных, доставленных наблюдениями" [5] пришел к интегралам
от абсолютного значения функции; далее в 1873 г. Коркин и Золотарев [55]
(не по побуждению ли Чебышева?) решили, задачу об определении полинома
я-ой степени с заданным старшим коэффициентом по условию обращения
в минимум интеграла от абсолютного значения. Оказалось, что искомый поли-
полином, с точностью до множителя, равен
.... sin (я -j-l) arc cos x
unW=—7f=s—'
Следующий, более общий, результат был сформулирован в 1927 г. Берн-
Бернштейном [28], который установил, что при довольно общих предположениях
наименее уклоняющимся в смысле пространства Z.0) от данной непрерывной
функции является тот интерполяционный полином, узлы которого суть нули
полинома Ua+i (jc). Отсюда, между прочим, сейчас же вытекает, что много-
многочлен Ра(х) с заданным старшим коэффициентом, определяемый по условию
минимализировать полную вариацию, т. е. интеграл
j
опять-таки с точностью до множителя, совпадает с многочленом Чебышева
Та(х). В 1934 г. и позднее исследования в этом направлении были продол-
продолжены Я. Л. Геронимусом, В. Ф. Бржечка и Н. И. Ахиезером.
Начало разработки идей Чебышева для случая обобщенных полиномов и для
пространств более общего типа было положено статьей американского математи-
математика Юнга в 1907 г. [77]. В 1913 г. Г. Полна доказал [63], что полином сте-
степени я, наименее уклоняющийся от данной функции в пространстве

Теория наилучшего приближения функций 163'
(k — целое), при k—>-оо стремится к полиному, наименее уклоняющемуся
от той же функции в смысле чебышевского пространства С. Он отметил,
между прочим, что мысль ввести в рассмотрение степенные нормы принад-
принадлежит К. Рунге (корни ее еще глубже: вспомним так называемый „метод
Греффе"). Теорией приближения в степенных пространствах более настой-
настойчиво занялся в двадцатых годах Джексон, причем поставил наилучшее при-
приближение в зависимость от аналитических и дифференциальных свойств
функции. *
Более или менее ясно, что в общем случае пространств 1№ нельзя рас-
рассчитывать на получение конкретных решений задач чебышевского типа:
может итти речь или о вопросах экзистенциального характера, или об оцен-
оценках приближения, или о нахождении сходящихся алгорифмов. В этом послед-
последнем направлении работал, в частности, Е. Я. Ремез.
А. Н. Колмогоров поставил вопрос [54] о наилучшем (в чебышевском
смысле) выборе базы „обобщенных полиномов" в произвольном метрическом
пространстве относительно наперед заданного класса приближаемых функций
и указал решение для одного класса в пространстве Z.<2).
Не раз случалось, что привлечение комплексной области проливало свет
на явления, наблюдающиеся в действительной области. То же произошло
и с теорией наилучшего приближения. В 1919 г. Г. Фабер [43] ввел поня-
понятие полинома Чебышева
A2)
наименее уклоняющегося от нуля на данном замкнутом односвязном мно-
множестве М точек в комплексной плоскости; он установил связь полинома Та (z)
с конформным отображением дополнительного множества на область, внеш-
внешнюю относительно некоторого круга (вопрос имеет отношение к известной
в теории потенциала константе Робэна), исследовал расположение нулей
полиномов Tn(z) и определил эти полиномы для некоторых специальных
множеств М. Так, если М — эллипс с фокусами +1, то соответствующий
полином A2) совпадает с обыкновенным полиномом ^—^ cos n arc cos z. Но
самый замечательный результат, касающийся перенесения на комплексную
область проблемы В. А. Маркова нахождения полинома, наименее уклоняющегося
от нуля при заданном значении производной в некоторой точке, был полу-
получен Г. Сеге [70]. Это обобщение позволило уяснить то обстоятельство, что
в случае отрезка (—1, 4-1) .неравенство Мах I Л, (•*)!=< 1 влечет за
собой ограничение порядка п для производной во внутренних точках (нера-
(неравенство С. Н. Бернштейна) и вместе с тем ограничение порядка и2 в край-
крайних точках (неравенство А. А. Маркова). Рассматривая области, ограничен-
ограниченные конечным числом аналитических дуг, Сеге устанавливает, что верхняя
граница | Р'я (z0) |, где точка z0 принадлежит М, зависит от контура М и
положения точки z0: для точек z0, лежащих внутри М, как явствует из ин-
интеграла Коши, названная граница имеет вид —^, где S — расстояние г0от
* Отметим монографию этого автора [52J.
II»

164 В. Л. Гончаров
контура; если zQ лежит на контуре, но не является крайней точкой анали-
аналитической дуги (так что контур в этой точке имеет касательную), то на-
названная граница— порядка О(п); наконец, если z0 — точка стыка двух ана-
аналитических дуг, причем угол между касательными (внешний относительно М)
равен опт, то граница — порядка О(п'). Для крайних точек отрезка (— 1, -f-1)
значение а равно 2, чем и объясняется повышение порядка.
Систематическое перенесение методов равномерного чебышевского при-
приближения на комплексную область было предпринято, начиная с 1930 г.,
Джексоном и Уолшем (J. Walsh). Вышедшая в 1935 г. книга последнего из
названных авторов „Interpolation and approximation by rational functions in
the complex domain» [76] содержит богатый относящийся сюда материал.
Остановимся теперь на вопросе, родственном упомянутой выше проблеме
В. А. Маркова, а именно на теореме С. Н. Бернштейна, привлекшей в
последнее время к себе пристальное внимание. В своей наиболее примитив-
примитивной формулировке теорема относится к тригонометрическим полиномам
степени и и читается следующим образом: если Ма — модуль-максимум по-
полинома, М'п — модуль-максимум его производной, то
М'а^пМп. A3)
Если применить эту теорему к четному (косинусному) полиному от перемен-
переменного в и сделать замену cos6=x, то получается неравенство для рацио-
рационального полинома степени"и
" у 1 _ х*
обратно, из неравенства A4) легко выводится неравенство A3). Из целого
ряда доказательств теоремы Бернштейна следует особенно выделить наиболее
простое и изящное, предложенное М. Риссом [66]. Как показал Бернштейн [31],
в асимптотической форме неравенство A3) сохраняется и для взвешенных
максимумов: в предположении, что Ма= Мах р(дг) |Рл(;с)|, М' =
= Мах р(лг) |Р'(л)|, мы получаем
причем еп зависит только от и и стремится к нулю при п—»-оо.
Неравенство А. А. Маркова переносится на пространство Hs\, именно
в форме
где
]Y { j
и A (s) зависит только от 5 [49].
Комплексный аналог теоремы Бернштейна выведен им также [27] в виде

Теория наилучшею приближения функций 165
где положено
Ма = Ма^ | Рп (z) |, М; = Мах^ | Р'а (z) |.
Ван-дер-Корпут и Шааке [73] сформулировали аналог неравенства A3) для
случая бинарных форм данной степени: если, например, /(дг, у) — форма
степени п, то неравенство A3) имеет место при условии, что
Ими получены и уточнения неравенства A3), например следующее: если Ма
обозначает модуль-максимум тригонометрического полинома Sn(x) степени га,
то при всех х справедливо неравенство
С. Н. Бернштейн получил формальное обобщение своей исходной теоремы,
К
установив верхнюю границу для отношения тр, где положено
п
п
2 {ат cos mx -\- bm sin mx)
Л1„=Мах
—„ m
m=0
la-.m{amcosmx-}- bmsinmx)
при некотором ограничении, налагаемом на положительные константы \t [34].
Г. Соколов специально разобрал случай ~btt-m = ma (т = 0, 1, ..., п) [67j.
Следующее далеко идущее обобщение неравенства Бернштейна сделано
им самим в 1923 г. [23]: пусть /(д:) = ^-^хп целая функция, для которой
lim \/\аа\ конечен и равен k; тогда если верхняя граница М модуля/(лг)
«->00
на всей действительной оси конечна, то то же можно утверждать относитель-
относительно верхней границы М'п модуля /' (д:) на всей оси, и притом М' =sg kM.
Заметим, наконец, что тригонометрические функции являются характе-
характеристическими функциями дифференциальной системы простейшего вида; это
обстоятельство позволило Э. Карлсон, ученице Джексона, перенести [42] нера-
неравенство Бернштейна на случай дифференциальной системы более общего
вида в форме
где положено
Ма = Мах | Sn (х) |, М'п = Max | S'a (x) |.
л
Sa(x)—.сумма вида ^akvk(x) с произвольными коэффициентами ak, и
^
vt, v2, ..., vk, ...—характеристические функции, соответствующие харак-
характеристическим числам дифференциальной системы, расположенным в порядке

166 В. Л. Гончаров
возрастания; наконец, С— константа, не зависящая ни от га, ни от коэф-
коэффициентов ak.
Имеется ряд уточнений неравенства Маркова М'я^п2Ма, связанных
с теми или иными дополнительными ограничениями. *
Применительно к тригонометрическим полиномам
я
Sa(x) — aQ-\- 2 (amcosmx-\-bmsiamx)
общая постановка проблем типа В. А. Маркова заключается в том, чтобы
при заданной линейной зависимости между коэффициентами минимализиро-
минимализировать модуль-максимум Sa{x). В рамки этой проблемы не укладывается, но
близка к ней проблема типа рассмотренного Л. Фейером [44]: среди не-
неотрицательных тригонометрических полиномов Sa(x) при заданной линейной
зависимости между коэффициентами минимализировать свободный член
«o= ) Sa(x)dx.
—ж
Фейер нашел путь для решения этой проблемы, представляя неотрицатель-
неотрицательный тригонометрический полином в виде квадрата модуля алгебраического
полинома от комплексной переменной z=eib. Бернштейн подошел [32] к
проблеме Фейера с классическими методами Чебышева без перехода в ком-
комплексную область, причем применение этих методов и в данном случае ока-
оказалось вполне эффективным.
Около 1930 г. появились работы Бернштейна [33], [36], посвященные
системам ортогональных полиномов, определяемых весом вида
?(x) = t(x)q(x),
1 11 ч
где ff(r) — и *(•*¦) — функция, значения которой заключены между
У 1-х''
положительными пределами; с точки зрения настоящего, обзора эти работы
должны быть упомянуты, поскольку они выясняют взаимоотношения между
приближениями в различных функциональных пространствах. Исходным пунк-
пунктом является то обстоятельство, что норма 11^,(^I1 многочлена вида
Ра {х) = х"-\-р1ха~1 -\ \-р„ A5)
минималйзируется одним и тем же чебышевским многочленом
Т 1х) > ^
Р„(х)=-?Ьт в различных пространствах, а именно в пространствах Си
4W (q) при 5 ^ 1, ** притом,
* См., например, С. Н. Бернштейн [27J, стр. 47—50.
** Больше того, С. Н. Бернштейн показывает, что то же справедливо для любого
пространства с нормой вида
dx
— 1
где Ф — неубывающая конвексная функция.

Теория наилучшего приближения функций 167
если условимся обозначать норму/(дг) в пространствах С, С(р), Z.W,
соответственно через
N{f), N(?, f),
A6)
T (х)
то при Ра(х)= "_/ имеет место следующая зависимость:
V-
J—-J
С Н. Бернштейн обобщает этот результат таким образом. Многочлен Рп{х)
вида A5), имеющий минимальную норму в пространстве L?(tq) (т. е. много-
многочлен степени п из ортогональной системы, определяемой весом t(x)q(x)),
асимптотически минимализирует также норму в пространствах №> (tq)
при s^>2, а также и в пространстве C(t), причем имеет место асимптоти-
асимптотическое соотношение
f
Г I14-=r
Pn), A7)
по крайней мере в предположении, что функция подчинена некоторому огра-
ограничению ее дифференциальных свойств, близкому к условию Дини—Липшица.
Аналогичная проблема — исследование свойств систем ортогональных
полиномов, но в комплексной области — была успешно разработана Г. Сеге
[69], [71].
В руках Бернштейна проблематика Чебышева расширилась еще в одном
направлении, о чем необходимо сказать хотя бы вкратце. Чебышев и позд-
позднейшие авторы неизменно ограничивались рассмотрением конечною проме-
промежутка значений функции действительного переменного. Однако при надле-
надлежащих изменениях в постановке вопроса можно рассматривать проблемы
приближения и иа бесконечных промежутках (полуось или же вся ось). *
Подобного рода возможность достигается посредством введения веса,
который стремится к нулю при неограниченном возрастании переменной,
лритом быстрее, чем приближаемая функция и приближающий полином. Так,
например, в пространстве с квадратической нормой и весом е~х в проме-
промежутке @, со) получаются приближения посредством полиномов Лагерра;
точно так же при весе е"*1 в промежутке (— оо, -]- со) возникают прибли-
приближения посредством полиномов Эрмита. Вполне закономерно ставить анало-
аналогичным образом задачу и в случае чебышевского пространства, минимализируя
на бесконечном промежутке выражения вида
Мы{?(х)\/(х)—Рв(х)\},
где р(лг) — достаточно быстро убывающий вес. Другая возможность, также
испробованная Бернштейном, — рассматривать в бесконечном промежутке
приближения дробными рациональными функциями [26], [27].
* Так обстоит дело уже в простейшей задаче Понселэ.

168 В. Л. Гончаров
Дать исчерпывающий перечень вопросов, выросших на протяжении почти
столетия из нескольких задач наилучшего приближения, выдвинутых Чебы-
шевым, представляется нелегким делом. Заканчивая настоящий обзор, мы
должны упомянуть еще о двух направлениях мысли, нашедших свое отраже-
отражение также на страницах работ С. Н. Бернштейна.
1. Обратная проблема теории наилучшего приближения.
Дана последовательность невозрастающих положительных чисел, имеющих
пределом нуль
Требуется построить функцию f(x) в основном промежутке, для которой
удовлетворялись бы равенства [39]
?„(/) = «„С* =°.1,2, ...).
2. Теория квазианалитических функций. Мы уже указывали,.
что в терминах наилучшего приближения может быть проведена унифицирую-
унифицирующая классификация функций действительного переменного. В частности,
можно, например, выделить так называемые квазианалитические классы
функций, обладающие тем свойством, что в их пределах каждая функция
определяется однозначно своими значениями в сколь угодно малом частном
промежутке. Простейший из квазианалитических классов есть класс аналити-
аналитических функций: он характеризуется неравенством
lim «/?„(/} <1.
а-* ее
Но, как показал Бернштейн еще в 1914 г., квазианалитическим оказы-
оказывается и гораздо более широкий класс функций f(x), характеризующийся
неравенством
он содержит даже недифференцируемые функции. В начале 20-х годов
Т. Карлеман и А. Данжуа выделили другой класс квазианалитических функ-
функций, состоящий из бесконечно дифференцируемых функций и характеризуе-
характеризуемый тем требованием, чтобы ряд
где Afn=Max]/t")(jc)|, был расходящимся. Как показал вскоре после того
Бернштейн [24], [25], этот класс может также быть характеризован в терми-
терминах наилучшего лриближения: именно, требованием, чтобы ряд
был расходящимся.

Теория наилучшего приближения функций 169
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Работы П. Л. Чебышева
1. Теория механизмов, известных под названием царалледограмсв. Соч.,т. I*, стр. 111—
143; Theorie des mecanismes connus sous le nom ae paraUelogrammes. Mem. Acad. Sci.
Petersb., t. VII, 1354.
2. О непрерывных дробях. Соч., т. I, стр. 203—230; Зап. Акад. Наук, т. III, 1855; Sur
les fractions continues. Journ. de math. (II) 3, 1858.
3. О построении географических карт. Соч., т. I, стр. 233—236; Sur la constuition des
cartes geographiques. Bull. Acad. Sci. Petersb., XIV, 1856.
4. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением
функций. Соч., т. I, стр. 273—378; Sur les questions des minima qul se rattachent
a la representation approximative des fonctions. Mem. Acad. Sci. Petersb. F), VII,
1859.
5. Об интерполировании в случае большого числа данных, доставленных наблюдениями.
Соч., т. I, стр. 387—469; Sur I'interpolation dans le cas d'un grand nombre de don-
nees fournies par les observations. Mem. Acad. Sci. Petersb. G), I, 1859.
6. Отчет экстраординарного профессора С.-Петербургского университета Чебышева
о путешествии за границу. Соч., т. II, стр. VII—XIX.
7. Об одном механизме. Соч.,'т. И, стр. 51—57; Зап. Акад. Наук, XIV, 1868.
8. О функциях, подобных функциям Лежандра. Соч., т. II, стр. 61—68; Зап. Акад.
Наук, XVI, 1870.
9. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля. Соч., т. II, стр. 189—215; Прилож.
к XXII тому Зап. Акад. Наук, № 1, 1873; Sur les fonctions qui different le moins
possible de zero. Journ. de math. (II), 19, 1874.
10. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной.
Соч., т. II, стр. 335—356; Прилож. к XL тому Зап. Акад. Наук, № 3, 1881.
И. О приближенных выражениях квадратного корня переменной через npqcTue дроби.
Соч., т. II, стр. 543—558; Прилож. к LXI тому Зап. Акад. Наук, № 1, 1889.
12. О полиномах, наилучше представляющих значения простейших дробных функций
при величинах переменной, заключающихся между двумя данными пределами. Соч.,
т. II, стр. 669—678; Прилож. к LXXII тому Зап. Акад. Наук, № 7, 1893.
13. Правило Чебышева для приближенного определения расстояний на поверхности
Земли. Соч., т. И, стр. 736; Месяцеслов на 1869 год, изд. Акад. Наук.
14. Об интегрировании помощью логарифмов. Напечатано по представлению акад.
А. Н. Крылова в Изв. Акад. Наук СССР, 8, 1930.
Работы других авторов
15. Н. И. Ахиезер. Ober die Funktionen, die in gegebenen Intervallen amiwenigstei»-
von Null abweichen. Изв. Каз. физ.-мат. о-ва, 3, 1928.
16. —Ober ein Tschebyscheffsches Extremumproblem. Math. Ann. 104, 1931.
17. — Ober einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Intervallen am wenigsten von
Null abweichen. Изв. Акад. Наук G), I, 9; II, 3; III, 4, 1932—1933.
18. H. A x и e з e p и M. К p e й н. О наилучшемириближении периодических дифферента
руемых функций посредством тригонометрических сумм. ДАН СССР, 15, 1937.
* Соч. — Сочинения П. Л. Чебышева, изданные под редакцией А. А. Маркова
и Н. Я. Сонина, т. Г, СПб., 1899; т. И, СПб., 1907.

170 В. Л. Гончаров
19. С. Н. Бернштейн. О наилучшем приближении непрерывных функций посред-
посредством многочленов данной степени. Сообщ. Харьк. мат. о-ва B), 13, 1912.
20. — Stir la valeur asymptotique de la mellleure approximation des fonctions analytiques
admettant des singularites dorinees. Bull. Acad. Belg., 1913.
21. — Sur les recherches recentes relatives a la meilleure approximation des fonctions
continues par des polynomes. Proc. 5 Intern. Math. Con. I, Cambridge, 1913.
22. — Sur la definition ef les proprietes des fonctions analytiques d'une variable reelle.
Math. Ann. 75, 1914,
23.— Sur une propriete des fonctions entieres. С R. Acad. Sc. Paris 176, 1923.
24. — Sur les fonctions quasianalytiques. С R. Acad. Sc. Paris, 177, 1923.
25. — Sur les fonctions quasianalytiques de M. Carleman. C. R. Acad. Sc. Paris, 179,
1924.
26. — Le problerae de ^approximation des fonctions continues sur tout Гахе reel et Tune
de ses applications. Bull. S. M. F. 52, 1924.
27. — Lecons sur les proprietes extremales et la meilleure approximation des fonctions
analytiques d'une variable reelle. Paris, 1926.
28. — Sur une proprietes des polyndmes de Tchebycheff. ДАН СССР, 1927.
29. — Sur les polyndmes multiplement monotones. Сообщ. Харьк. мат. о-ва D), 1, 1927.
30. — Sur les fonctions multiplement monotones. Зап. физ.-мат. вщд!лу ВУАН, 3, 1928.
31.'— Sur la limitation des derivees des polyn6mes. С R. Acad. Sc. Paris, 190, 1930.
32.— Sur l'application de la methode de Tschebycheff a une classe de problemes de
M. Fejer. Изв. Акад. Наук СССР, 1930.
33.— Sur les polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini.I—II. Journ. de math., 9,
1930; III—IV, там же 10, 1931.
34. — Sur un theoreme de M. Szego. Prace mat.-fiz. 44, 1935.
35. — Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных
функций одной вещественной переменной, ч. I, 1937.
36. — О многочленах, ортогональных в конечном интервале. ДНТВУ, 1937.
37. — О наилучшем приближении I x \Р при помощи многочленов весьма высокой сте-
степени. Изв. Акад. Наук СССР, 1938.
38. — О наилучшем приближении \х—с\Р. ДАН СССР, 18, 1938.
39.— Sur le probleme inverse de la theorie de la meilleure approximation des fonctions
continues. С R. Acad. Sc. Paris, 206, 1938.
40. H. F. Blichfeldt. Note on the functions of the form /(х)=Ф(*)-|-в,*а-1 +
4- ufXB.-* .{_ •••-(- а„ which in a given interval differ the least possible from zero.
Trans. Am. Math. Soc. 2, 1901.
41. E. Boiel. Lecons sur les fonctions de variables reelles et les developpements en
series de polyn6mes, Paris, 1905.
42. E. С а г 1 s о n. Extension of Bernstein's theorem to Sturm-Liouville sums. Trans. Am.
Math. Soc, 26, 1924.
43. G. Faber. Ober Tschebyscheffsche Polynome. Crelle Journ., 150, 1919.
44. L. Fejer. Ober trigonometrische Polynome. Crelle Journ., 146, 1915.
45. Д. А. Г р а в е. Об основной задаче математической теории построения географи-
географических карт. 1896. ч
46. — Demonstration d'un theoreme de Tchebycheff generalise. Crelle Journ., 140, 1911.
47. A. H a a r. Die Minkowskische Geometrie und die Annaherung an stetige Funktionen.
Math. Ann. 78, 1917.
48. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pdlya. Inequalities. Cambridge, 1934.

Теория наилучшего приближения функций 171
49. Е. Н i 11 е, G. S г е g б, J. D. Т а га а г к i n. On some generalizations of a theorem of
A. Markoff, Duke Math. Journ. 3, 1937.
50. M. Horvarth. Sur les valeurs approximaiives et rationnelles de la forme
Ухг+уг-{-гК Bull. Soc. Philomat. Paris, 4, 1867.
51. D. Jackson. Ober die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch
ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gege-
bener Ordnung. rjjss., G6tt..l911.
52. — The theory of approximation. New-York, 1930.
53. P. Ki rchberger. Ober Tschebyscheffsche Annaherengsmethoden. Diss.,G6tt. 1902;
Math. Ann. 57.
54. A. H. Колмогоров. Ober die beste Annaherung von Funktioneneinergegebener
Funktionenklasse. Ann. di Mat. B) 37, 1936.
55. A. H. Коркин и Е. И. Золотарев. Sur un certain minimum. Nouv. Ann. Math.
12, 1873.
56. А. А. Марков. Определение наибольшего и наименьшего значения некоторой
функции по условию наименее уклоняться от нуля. Со:,бщ. Харьк. мат. о-ва A) 1,
1884.
57. — Об одном вопросе Менделеева. Изв. Акад. Наук 62, 1889.
58. — Об одной алгебраической теореме Чебышева. Изв. Акад. Наук, 1903.
59. — Новый Случай задачи Понселэ о приближенном значении корня квадратного из
суммы квадратов. Изв. Акад. Наук 24, 1906.
60. В. А. Марков. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном проме-
промежутке, 1892; см. также Math. Ann. 77, 1916.
61. Ch. H. Mflntz. Ober den Approximationssatz von Weierstrass. Schwarz-Festschrift,
1914.
62. А. П. П ш е б о р с к и й. О некоторых полиномах, наименее уклоняющихся от нуля
в данном промежутке. Сообщ. Харьк. мат. о-ва. B) 14, 1913.
63. G. Р 6 1 у a. Sur un algorithme toujours convergent pour obtenir les polynOmes de
meilleure approximation de Tchebycheff pour une fonction continue quelconque.
С R. Acad. Sc. Paris, 157, 1913.
64. J. V. Poncelet. Sur la valeur approchee lineaire et rationnelle des radicaux de
la formeУ~Ж+?, Vat — b* etc., Crelle, 13, 1835.
65. M. H. R ё s a 1. Sur un theoreme de Poncelet et sa generalisation par M. Horvarth. Bull.
Soc. Math. Fr. 1, 1873.
€6. M. R i e s z. Formule d'interpolation pour la derivee d'un polynome trigonometrique.
C. R. Acad. Sc. Paris. 158, 1914; Eine trigonometrische Interpolationsforrael und
einige Ungleichungen fur Polynome. Jahresb. D. M. V. 23, 1914.
67. Г. Соколов. О некоторых экстремальных свойствах тригонометрических сумм.
Изв. Акад. Наук СССР 7, 1935.
68. О. Szdsz. Ober die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von
Potenzen. Math. Ann. 77, 1916.
69. G. S z e g 0. Ober die Entwicklung einer analytischen Funktion nach den Polynomen
einer Orthogonalsystems. Math. Ann. 82, 1921.
70.— Ober einen Satz von A. Markoff. Math. Ztschr. 23, 1925.
71. —Orthogonal polynomials. Am. Math. Soc. Coll. Publ. 23, 1939.
72. L. Tonelli. Ipolinomi d'approsshnazione di Tchebycheff. Ann. di Mat.C) 15, 1908.
73. J. G. Van-der-Corput, G. Schaake. Ungleichungen fur Polynome und trigo-
trigonometrische Polynome, Compos. Math. 2, 1935.

172 В. Л. Гончаров
74. С h. d е 1 а V а 11 ё е Р о и $ s i n. Sur les polyndmes d'approximation et la represen-
representation approchee d'un angle. Bull. Ac. Belg., 1910.
75.— Lecons sur Papproximation des fonctions d'une variable reelle. Paris, 1919.
76. J. L. W a 1 s h. Interpolation and approximation by rational functions in the complex
domain. Am. Math. Soc. Coll. Publ. 20, 1935.
77. J. W. Young. General theory of approximation by functions involving a given number
of arbitrary parameters. Trans. Am. Math. Soc. 8, 1907.
78. E. И. Золотарев. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях,
наименее и наиболее отклоняющихся от нуля. Прилож.к XXX тому Зап. Акад. Наук,
1877; Собр. соч. Е. И. Золотарева, вып. 2.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От редакции , 3
Н. И. Ажиеаер. Общая теория полиномов П. Л. Чебышева 5
§ 1. Построение ортогональных полиномов 6
§ 2. Интегральное представление позитивного функционала 8
§ 3. Подход Чебышева 11
§ 4. Некоторые замечательные системы ортогональных полиномов, построенные
Чебышевым 13
§ 5. Ряд Fourier — Чебышева 15
§ 6. Одна общая экстремум-проблема Чебышева относительно полиномов . ... 17
§ 7. Некоторые теоремы о нулях ортогональных полиномов 19
§ 8. Неравенства Чебышева — Маркова 22
§ 9. Вывод неравенств Чебышева—Маркова 25
§ 10. Квадратурные формулы с одним фиксированным узлом. Примеры 28
§ 11. Два простых приложения неравенств Чебышева — Маркова 29
§ 12. Квадратурные формулы Чебышева 31
§ 13. Исследования акад. С. Н. Бернштейна о квадратурных формулах с положи-
положительными коэффициентами 36
§ 14. Об одной биортогональной системе функций Чебышева 38
Цитированная литература 40
С. И. Бернштейн. О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей.. . 43
И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне. Работы П. Л. Чебышева по
теории чисел 69
В, В. Голубев. Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебраиче-
алгебраических функций . . 88
§ 1. Исторические замечания. Теория функций комплексного переменного в рабо-
работах Чебышева 88
§ 2. Работы Абеля по теории алгебраических функций. Генезис идей Абеля. Их
влияние на работы Чебышева 94
§ 3. Работы Лиувилля по интегрированию алгебраических функций 101
§ 4. Работы Чебышева по интегрированию алгебраических функций 105
§ 5. Работы Чебышева по теории псевдоэллиптических интегралов 114
§ 6. Общие замечания. Дальнейшее развитие теории 119
Цитированная литература 120

174 Содержание
В. Д. Гончаров. Теория наилучшего приближенна функций 122
1. Приближенные формулы Понселэ 122
2. Мемуар .Theorie des mecanismes connus sous le nom de parallelogrammes'. . 12&
3. Мемуар , Stir les questions des minima quise rattachent a la representation appro-
approximative des fonctions* 133
4. Наилучшее приближение в нормированном линейном пространстве 138
5. Необходимые и достаточные условия приближения в проблемах Чебышева. . 146
6. Приближение по методу наименьших квадратов и мемуар ,0 функциях, наи-
наименее уклоняющихся от нуля" 148
7. Применения теории наилучшего приближения у Чебышева. Позднейшие ра-
работы Чебышева 150
8. Экстремальные задачи, решенные Е. И. Золотаревым, А. А. и В. А. Мар-
Марковыми и Н. И. Ахиезером 154
9. Связь наилучшего приближения с дифференциальной природой функции.
Работы С. Н. Бернштейна 157
10. Дальнейшие результаты по вопросам наилучшего приближения функций ... 161
Цитированная литература 169