Текст
                    Рыбников К. А.
История математики
Рекомендовано Государственным комитетом Российской
Федерации по высшему образованию в качестве
учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению «Математика»
Издательство Московского университета
1994


ББК 22.1 г Р 93 УДК 510(091) (071.1) Федеральная целевая программа книгоиздания России scan AAW Рецензенты: кафедра математики Николаевского педагогического института, академик РАН В. А. Ильин Рыбников К. А. Р 93 История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 496 с. ISBN 5-211-02068-5. В учебнике даны очерки развития математических дисциплин, преподавание которых предусматривается учебными планами вузов: геометрии, алгебры и теории чисел, математического анализа, математики случайных событий, ситуаций и процессов, дискретной математики. Для студентов математических специальностей, научных сотрудников и преподавателей, желающих повысить свою квалификацию. 1601000000 (4309000000) -096 077(02)—94 Учебное издание 21—93 ББК 22.1г Рыбников Константин Алексеевич ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Зав. редакцией Л. А. Николова Редактор Е. Д. Мартынова Художественный редактор Л. В. Мухина Технический редактор Н. Я. Смирнова Корректоры Н. В. Иванова, М. А. Мерецкова ИБ № 6204 ЛР № 040414 от 27.03.92 Сдано в набор 05.04.93 Подписано в печать 19.01.94 Формат 60у90/1б. Бумага тип. N° 2 Гарнитура литературная. Высокая печать- Усл печ. л. 31,0 Уч-изд. Л. 35,27 Тираж 3000 экз. Заказ 1236. Изд. № 2302. Ордена «Знак Почета» Издательство Московского университета. 103009, Москва, ул. Герцена, 5/7. Серпуховская типография Упрполиграфиздата Мособлисполкома г. Серпухов, пр. Мишина, д. 2/7. ISBN 5-211-02068-5 © Рыбников К. А., 1994 © Издательство Московского государственного университета, 1994
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие „ 5 Глава 1. Возникновение и накопление математических знании § 1.1. Как складывались начальные элементы математических знаний ф 7 § 1.2. Математика стран древних цивилизаций 11 Глава 2. Формирование математической науки § 2.1. Первые математические теории 33 § 2.2. Аксиоматические построения и системы аксиом 45 § 2.3. Инфинитезимальные методы в математике древних 52 § 2.4. Математические теории и методы поздней античности ...... 63 Глава 3. О путях исторического развития математики § 3.1. О судьбе древнегреческой математики „ 75 § 3.2. Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока 76 § 3.3. Накопление математических знаний в странах Европы 85 § 3.4. Начало формирования алгебры 94 § 3.5. Прогресс вычислительных методов и средств _ 103 Глава 4. Как сложилась структура геометрии? § 4.1. Существует ли единая геометрия? 115 § 4.2. Геометрия, выросшая из измерительной и конструирующей практики 117 § 4.3. Геометрия в комплексных математических исследованиях 120 § 4.4. Аксиоматические системы геометрии 143 Глава 5. Формирование классических основ алгебры и теории чисел § 5.1. Что называют алгеброй? 161 § 5.2. С чего алгебра начиналась? 162 § 5.3. Алгебра — наука о решении уравнений 165 § 5.4. Новые идеи алгебры (К. Ф. Гаусс, Н. Г. Абель, Э. Галуа) 175 § 5.5. Начала теории групп 185 § 5.6. О других направлениях в истории алгебры 188 § 5.7. Очерк истории теории чисел 189 Глава 6, Математический анализ: начало пути § 6.1. Накопление идей анализа бесконечно малых 199 § 6.2. Исчисление бесконечно малых: «эмбриональный» период 200 § 6.3. Интеграционные методы 202 § 6.4. Дифференциальные методы 212 § 6.5. Открытие взаимосвязанности обеих групп методов 216 § 6.6. Теория флюксий 218 § 6.7. Исчисление дифференциалов 226 Глава 7. Математический анализ: первое столетие § 7.1. Обстановка и стимулы развития 237 § 7.2. Анализ функций 238 3
§ 7.3. Проблема обоснования анализа 251 § 7.4. Усовершенствование аппарата 261 § 7.5. Построение вариационного исчисления 287 Глава 8. Математический анализ: на пороге современности § 8.1. Усиление .роли теории переделов 300 § 8.2. Усовершенствование основ теории функций 307 § 8.3. Аппарат и приложения математического анализа в XIX веке 316 § 8.4. Начала теории дифференциальных уравнений 327 § 8.5. Формирование теории функций комплексного переменного 336 Глава 9. Из истории математики случайных событий, ситуаций и процессов § 9.1. Задачи о случайных событиях и их вероятностях 363 § 9.2. Построение исчисления вероятностей 368 § 9.3. Случайные величины 379 § 9.4. Случайные процессы 393 § 9.5. Из истории математической статистики 396 Глава 10. Из истории дискретной математики § 10.1. Постановка проблемы 399 § 10.2. Период накопления конкретных комбинаторных результатов 400 § 10.3. Первые теоретические построения 402 § 10.4. Идеи общей комбинаторной теории 404 § 10.5. Комбинаторика в научном наследии Л. Эйлера 407 § 10.6. Комбинаторный анализ К.-Ф. Гинденбурга 414 § 10.7. Дискретные методы математического исследования в XIX веке 417 § 10.8. Построение в XX в. общих комбинаторных теорий 438 Глава 11. Математика в России § 11.1. Постановка проблемы 456 § 11.2. Математика на Руси 456 § 11.3. Л. Эйлер и Петербургская Академия наук 458 § 11.4. Математическая жизнь в Петербурге XIX в. 459 § 11.5. Математика в Московском университете 475 § 11.6. Математическое творчество С. В. Ковалевской 485 § 11.7. Как начиналась советская математика 488 Заключение 489 Литература ,. 490
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга написана д^я того, чтобы служить учебником для студентов математических специальностей университетов и других высших учебных заведений. Она предназначена также для содействия в повышении квалификации широких кругов специалистов, применяющих в своей работе методы математического исследования. В большинстве глав книги, с 4-й по 10-ю включительно, описано, как сложились состав и структура тех математических дисциплин, которые преподают в высшей школе в настоящее время и которые тем самым являются основой высшей математической подготовки. Соответственно математический и исторический материал, рассматриваемый в этих главах, относится в основном к последним трем-четырем столетиям. Такое построение книги и лекционного курса теснее связывает их с другими математическими дисциплинами, яснее показывая их место в системе высшего математического образования. Что касается развития математической науки в течение многих предшествовавших веков, то оно отражено в сжатом очерке (главы 1—3). В нем освещены лишь принципиально важные особенности историко-научного процесса. Столь значительное сокращение материала — дело вынужденное. Оно, впрочем, может быть компенсировано привлечением дополнительной литературы. Последняя не столь уж и бедна и вполне доступна различным массовым категориям читателей. Столь же многочисленна и доступна литература о развитии математики в России. Это позволит в случае необходимости сгладить вынужденную неполноту текста гл. 11. Что же касается начальных знаний в области методологии математики, читатель может почерпнуть их из книг К. А. Рыбникова «Введение в методологию математики» (изд-во Моск. ун-та, 1979) и «Очерки методологии математики» (М., Знание, 1982). Автор испытывает чувство признательности к своим многочисленным коллегам, в общении с которыми вызревал замысел книги и происходили последующие усовершенствования. Особую благодарность он обращает к тем, кто в наибольшей степени способствовал осуществлению настоящего издания. Это академик В. А. Ильин, доктор физ.-мат. наук С. С. Демидов, кандидаты физ-мат. наук Г. С. Смирнова и Ю. А. Белый, а также сотрудники издательства. 5
ГЛАВА 1 ВОЗНИКНОВЕНИЕ И НАКОПЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ Для математиков любой специальности и уровня профессиональных занятий вопросы о том, как складывались первичные математические представления, какой вид они принимали, как проходили первые этапы их совершенствования, никогда не теряли своей актуальности. Не потеряют они ее и в будущем. Правильное освещение этцх вопросов необходимо при анализе логических основ и состава математики. Не менее необходимо такое знание для преподавания этой науки. Процесс формирования начальных математических понятий и регулярных приемов решения элементарных задач охватывает огромный по своей длительности промежуток времени. Его начало относится к тому далекому времени, когда человек перешел к использованию орудий для добывания средств существования, а затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот период с появлением качественно новых форм математического мышления, т. е. тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их содержание делаются достаточно богатыми, чтобы образовывать связные логически последовательные системы — начальные формы математических теорий. Последние появляются около VI—V вв. до н.э. Своеобразие проблемы состоит в том, что поиски начал математических знаний людей уводят в еще дописьменную древность. По мере продвижения в глубь истории резко убывает фактическая основа, на которую можно опираться в своих суждениях. Время и обстоятельства неумолимо уносят в небытие (или препятствуют извлечению из небытия) материальные свидетельства развития интеллектуальной жизни древних народов. Особенно большой вред нанесли (и продолжают наносить) различные завоеватели и колонизаторы. Давно уже нет на земле племен или иных устойчивых общностей людей, которые являлись бы живыми носителями отзвуков далекого прошлого. Очень мало осталось памятников культуры и других материальных источников информации о знаниях людей в ранние периоды их истории. Все, что известно, подвергалось и подвергается изучению археологами, этнографами, специалистами по сравнительному языкознанию, историками науки. Их усилия по восстановлению, описанию и сохранению этого незаменимого и невосполнимого материала, будучи объединенными, приносят, разумеется, свои плоды. Однако точно установленных фактов все-таки не очень много, и мало надежды на существенное обогащение фактической основы подобных исследований в будущем. 6
В настоящей главе мы предлагаем читателю сжатый обзор того, что оказалось возможным извлечь из имеющихся в наличии фактов, относящихся к ранним периодам развития математических знаний людей. Естественно, что прежде всего речь пойдет о процессах формирования начальных математических абстракций (числа, фигуры). § 1.1. КАК СКЛАДЫВАЛИСЬ НАЧАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИИ Начнем с описания того, как складывалось понятие о числе (на первых порах о числе натуральном, т. е. целом положительном). Представляется очевидным, что это понятие возникло и сформировалось в результате многократно применяемой в силу практической необходимости операции счета, перечисления предметов. Однако, несмотря на кажущуюся естественность, простоту, так сказать «изначальность», операция счета не является на самом деле первичной, простейшей. Она возникает и применяется на сравнительно уже высоком уровне развития математических элементов мышления. Ей предшествовало, как выяснилось, несколько ступеней усовершенствования логических суждений. Проблема воссоздания исторических ситуаций, приведших к появлению абстракции натурального числа, совсем не проста. Затрудняет, конечно, недостаточность и разрозненность имеющихся в наличии фактов. Кроме того, пути интеллектуального развития зесьма разнообразны, хотя мотивы, главным образом практические, в основном сходны. Все-таки, как бы ни была пестра и фрагментарна картина возникновения и начальных этапов математических знаний в ранние периоды истории человеческой цивилизации, в ней возможно проследить главные этапы интересующего нас процесса. На них мы и хотим сосредоточить внимание читателя. 1. История человечества со всей очевидностью показывает, что даже самые, казалось бы, изначальные понятия людей не являются врожденными (и уж тем более не ниспосланы «свыше»). Они суть отражения свойств и отношений реальных предметов объективно существующего мира. Приобретаются они в ходе активной деятельности людей. Именно благодаря труду и сопровождающей его членораздельной речи органы чувств и мозга человека достигли необходимого совершенства. В результате длительной эволюции в мозгу выработалась, среди прочих, способность создавать абстракции, необходимые для счета и измерения. 2. Начальная ступень соответствующих представлений состояла, по всей вероятности, в восприятии человеком свойства численности, количественности, конкретных наборов предметов. Вначале это множество предметов характеризуется с позиций его целостности, наличия всех элементов, его составляющих. Такой счет принято называть чувственным. Им для множеств, состоящих из небольшого числа элементов, владеют даже животные. Процесс 7
выделения свойства количественности из совокупности свойств конкретных множеств, осознания его особенностей и функциональной роли занял, по всей видимости, весьма длинный исторический период. 3. По мере перехода людей на более высокий уровень интеллектуального развития чувственный счет оказывался недостаточным. Появлялась необходимость сравнивать множества, сопоставляя, например, их численность поэлементно. Проявлялась эта необходимость преимущественно в процессе общения людей и выполнения ими операций обмена. Неравночисленность множеств предметов вынуждает к выработке понятий: больше, меньше и равно. 4. Числовая характеристика множеств выделяется и преобразуется в объект самостоятельного рассмотрения, что находит свое выражение в поисках множеств, играющих роль эталона при сопоставлениях. Это пальцы рук и ног, наборы камешков, раковин, палочек и других предметов. Кстати заметим, что латинское слово calculus в буквальном переводе означает: счет камешками. 5. Вводятся названия чисел, поначалу небольших. Постепенно число названий растет. Начинает складываться общее представление о числе, пока натуральном. 6. Натуральные числа сравниваются по величине, постепенно абстрагируясь при этом от других свойств. Формируется начальный отрезок ряда натуральных чисел, вначале короткий, но постепенно удлиняющийся. 7. Появляются записи, где фигурируют символические обозначения чисел и действий над ними, развивается символический аппарат. В последующем он совершенствуется в соответствии с основным требованием: быть удобным для записи и для производства вычислительных операций. 8. Складываются разнообразные системы счисления, для применения которых производится унификация символики. Для ранних периодов истории нашей науки характерно существование разнообразных числовых систем. Применяемой ныне повсюду десятичной позиционной системе нумерации предшествовали: а) Различные иероглифические непозиционные системы. В каждой из них строится система так называемых узловых чисел. Каждое такое число имеет индивидуальный символ — иероглиф. Остальные числа (их называют алгоритмическими) образуются приписыванием с той или другой стороны узлового числа других узловых чисел и их повторениями. Примерами таких систем являются: египетская, финикийская, пальмирская, критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитайская, староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя имеет систему узловых чисел I, V, X, L, С, D, М, построенную по десятичному признаку с заметным влиянием пятиричной системы. б) Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы алфавита, взятые по 9, используются соответственно для обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве придается отличи- 8
тельный знак, указывающий, что она используется как число. В случае, если букв алфавита оказывалось недостаточно, привлекались дополнительные буквы и знаки. Типичный пример алфавитной системы — греческая ионическая (древнейшая сохранившаяся запись, сделанная по этой системе, относится к V веку дон. э.)г (дигамма) 123456789 txX|AvEo7T^ (коппа) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 р в id ф^фшЭ (сампи) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Запись чисел по этой системе ясна из примера: /fr|i6=444„ Чтобы записывать числа, равные или большие тысячи, необходимо усложнять знаки, например: а=1000; р=2000 и т. д. Алфавитные системы удобны из-за краткости записи, однако они малопригодны для оперирования с большими числами и требуют больших усилий для запоминания. Примеры алфавитной системы, кроме уже описанной: древнеславянская (кирилица и глаголица), еврейская, арабская, грузинская, армянская. в) Позиционные недесятичные, а затем и десятичная системы.. Примеры позиционных недесятичных систем: вавилонская, индейская племени майя (на полуострове Юкатан), индийская, современная двоичная. Древнейшая известная запись в позиционной десятичной системе с нулем обнаружена в Индии. Она датируется около 500 г. н. э. (см.: И. Г. Баш маков а, А. П. Юшкевич: Происхождение систем счисления. Энциклопедия элементарной математики. М., 1951. Т. I. С. 11—76). Более общие классы чисел сложились, естественно, позднее. Их историю уже можно целиком проследить по письменным источникам. Об этом будет идти речь в последующих главах. Перейдем к вопросу о том, какими путями формировались начальные геометрические представления. Этот процесс имел, разумеется, свои особенности. Однако этапы развития, отмеченные выше, в основном имели место и в этом случае. Из оперирований индивидуально воспринимаемыми пространственными телами вырастали геометрические абстракции тела и фигуры, позволяющие идентифицировать их по сходству геометрических характеристик. Следующим этапом были сравнения множеств тел, а затем выделение абстрагированного эталона — идеального тела. На таком пути формировались геометрические понятия со своими специфическими (графическими, наглядными) изображениями. Последние и являлись символами, отображающими геометрическую определенность объекта, его пространственную особенность, абстрагируемую для изучения от всех других свойств материальных тел. 9
В самом деле, данные истории материальной культуры убедительно доказывают, что еще в эпоху, когда люди пользовались кремневыми орудиями для труда и охоты, они придавали им преднамеренно геометризированную форму: треугольников, ромбов, трапеций. Конечно, эти формы образовывались постепенно и не вследствие стремлений к «геометризации», а потому, что они оказывались наиболее приспособленными к определенному виду труда, к тому, чтобы рубить, скрести, резать и т. п. Дальнейший толчок развитию геометрических представлений дали ремесла: гончарное, строительное и др. Особенно сильное влияние оказало земледелие, когда задачи проведения границ участков, определения длин, площадей и т. п. сделались жизненно насущными. Появление орнаментов на изделиях знаменовало уже закрепление представлений о равенстве, подобии и симметрии. Минул огромный по длительности период человеческой истории, прежде чем смутные представления людей о количественно- сти и о формах, присущих конкретным вещам, преобразовались в понятия числа, геометрической фигуры и т. п. И когда это произошло, появился новый вид знания — математическое. Счет и измерение сделались важными средствами развития математических знаний и вычислительно-измерительной практики людей. «Число» и «фигура», исторически первые понятия математики, в наше время лежат в основе всех математических знаний. Сходство логического строя оснований математики и исторического процесса становления ее начальных понятий сделалось особенно наглядным в последнее столетие. За это время работа в области оснований математики в силу известных исторических причин и в условиях возрастающих требований к логической (математической) строгости была особенно активной. Она привела к тому, что в основания математики вслед за теориями действительного числа вошли теория множеств и сопредельные с нею логические средства доказательств. И вот тогда упомянутое сходство проявилось отчетливо. Оказалось, что привлечение самых тонких и глубоких логических суждений означало, по сути, апелляцию к первым движениям пробуждающегося научного сознания. Подобное соотношение между логической структурой основа- бий математики и историческим процессом формирования первичных математических понятий отнюдь не случайно. Оно является примером проявления на математическом материале общефилософской закономерности, известной под названием принципа единства исторического и логического. Существо этой закономерности, кратко говоря, состоит в следующем: логическое и историческое — это философские понятия, связанные с двумя способами рассмотрения исторически протекающего процесса. При историческом способе факты и события рассматривают и объясняют с учетом различных случайностей, сквозь которые прокладывают себе дорогу объективные закономерности. При логическом же способе исторические факты излагают в необ- 10
ходимой закономерной последовательности и с описанием связей, т. е. за исключением всего несущественного, случайного, нетипичного. В основном, в главном логическое совпадает с историческим. Ф- Энгельс доказывал, что логический способ рассмотрения, в сущности, является «тем же историческим методом, только освобожденным от исторической формы и от мешающих случайностей. С чего начинает история, с того же должен начинаться и ход мыслей, а его дальнейшее движение будет представлять собой не что иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и теоретически последовательной форме; отражение исправленное, но исправленное соответственно законам, которые дает сам действительный исторический процесс, причем каждый момент может рассматриваться в той точке его развития, где процесс достигает полной зрелости, своей классической формы (Маркс К-, Энгельс Ф. Соч., 2-е изд. Т. 13. С. 497). § 1.2. МАТЕМАТИКА СТРАН ДРЕВНИХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ Перейдем теперь к описанию математики тех времен, от которых дошли до нас первые письменные свидетельства или достаточна достоверные сведения о них. Это позволяет вести изложение несколько более конкретно, чем мы могли себе позволить до сих пор. На обширных пространствах, где в наше время располагаются Китай, Индия, страны Среднего и Ближнего Востока, а также прибрежные государства средиземноморского бассейна, т- е. в полосе, где природные условия особо благоприятны для жизни людей, издавна существовали государственные формирования человеческих обществ. Уровень их экономического развития и административного устройства повышался раньше и быстрее, нежели у других народов, живших в более суровых условиях. Развитие экономики сопровождалось относительно более быстрым ростом культуры и образованности. Об этом можно судить не только по дошедшим до нас прекрасным архитектурным памятникам и произведениям искусства, но и по письменным источникам. Среди последних сохранились (чаще всего в пересказах) такие, которые были посвящены целиком или в значительной степени трактовке математических задач или даже теоретических проблем математики. Далеки они, как правило, друг от друга по времени написания, по целям и обстоятельствам, разобщены территориально. Однако только из них можно почерпнуть информацию историко-на- учного значения. Ниже мы дадим краткий обзор содержания наиболее значительных источников и сформулируем те выводы и заключения, которые этим материалом могут быть обоснованы. Количество фактов можно было бы пополнить, взяв их из научных исследований, но, насколько оказалось возможным судить, такое добавление придавало бы выводам, быть может, несколько большую убедительность, но не заставляло бы их изменять. 11
Математика Древнего Египта. Наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках. Один из больших папирусов носит имя Райнда (Henry Rhind), приобретшего этот папирус в 1858 г. Его размеры: 525 смХЗЗ см. Он хранится ныне частично в Британском музее в Лондоне, частично — в Нью Иорке. Другой папирус, несколько более длинный, но гораздо более узкий (544 смХ8 см), приобретенный в конце прошлого века русским востоковедом В. С. Голени- щевым, принадлежит московскому Музею изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000 г. до н. э., к эпохе Среднего царства. Папирус Райнда представляет собою собрание 84 задач прикладного характера. При их решении производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольников, треугольников, (О \ 2 — d 1 , что соответствует я^3,1605.... Вычисляются также объемы параллелепипеда, цилиндра, пирамиды. Имеются задачи на пропорциональное деление; при решении одной из задач отыскивается сумма геометрической прогрессии. В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Райнда. Кроме того, в одной из задач (№ 14) правильно вычислен объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10) содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности. Вычислена боковая поверхность «корзины», т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания. Ниже дадим оценку уровня математических знаний, проявленных авторами папирусов — писцами. Ко времени написания папирусов уже сложилась система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида Ю* (&=0, 1, 2, ..., 7) установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались как комбинации узловых. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых фигурируют целые числа. Что -касается дробей,. то были в употреблении лишь дроби вида — (аликвотные) и неко- п 2 з торые индивидуальные, как, например, — и — . Все результаты, 3 4 которые следовало бы записать в виде дроби —, выражались п суммой аликвотных дробей. Для облегчения таких записей были составлены специальные таблицы, например таблица для чисел 2 ^11 вида — (я=3,..., 101). «Тривиальное» представление — = 1— п п п п в таблицах не встречается (вероятно, в силу очевидности). Под- 12
бор слагаемых также неоднозначен; по-видимому, таблицы складывались постепенно, в течение долгого времени и в дошедшем до нас виде являются просто сводкой достигнутых результатов. Общей особенностью всей техники вычислений является ее аддитивная устремленность; все вычислительные операции по возможности сводятся к сложению. При умножении, например, используется преимущественно способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания получающихся подходящих частных произведений (их мы отметили звездочками): 12X12 1 2 *4 *8 Вместе 12 24 48 96 144 — J_ — 3 5 30 Х10 1 *2 4 *8 1 3 7 2 8- 3 2 3 2 . 3 I 2 I 5 ! 5 1 1 ~5~ 1 -.1. .. 10 1 10 1 !о 1 30 1 • 30 1 -или 9 Вместе При делении используется как процедура удвоения, так и последовательного деления пополам. Естественно, что деление было самой трудной операцией. Поэтому, видимо, имеется большое разнообразие вычислительных приемов. Так, иногда в качестве промежуточного действия применялось нахождение или двух третей, или одной десятой доли числа. Например, 19:8 Т. € 1 *2 1 т .1 4 1 * 8 s. 19:8 = 1 8 16 4 2 J 2±± 4 8 1 16:3 т. 1 М 2 ¦4 2 3 • I 3 е. 16:3 = 3 6 12 2 1 = 51 3 | 4 : 15 т. 1 1 10 1 * 5 1 * — 15 е. 4:15 = 15 1 1 — г 3 1 1JL 5 15 Приведем пример еще одной задачи: «Сало. Годовой сбор 10 бе- ша. Каков ежедневный сбор? Обрати 10 беша в ро. Это будет 3200. Обрати год в дни. Это будет 365. Раздели 3200 на 365. Это Q 2 1 1 I 2 1 | . 0 2 1 1 8 "Т т 7T7Z - Обрати. Это беша и 8 ро. 3 Ю 2190 ^ 10 3 2190 64 3 10 2190 У 13
Делай как делается». 1 2 4 8 365 730 1460 2920 2 3 1 10 1 2190 1 243- 3 »{ 1 6 1 Вместе 8- ± ^ Здесь в левом столбце постепенно подбирается частное. Пер* вый результат: 8 дает разницу между частичным и истинным делимым 3200-2920=280. Сомножитель — дает: 365- ~ =243 —. Еще 3 зз 2 1 1 до 280 недостает 36 —. Выбирая — f получим уже разницу в —, 2 1 1 так как 36 36— =*—. Остается только подобрать число, ко- 3 2 6 1 1 торое, будучи умножено на 365, дало бы —. Это: —-. Таким 6 2190 образом, частное подыскивается постепенным подбором. Единого метода еще нет. Часто встречается операция хау, т. е. куча. Она соответствует решению линейного уравнения вида ax+bx-\ \-cx=d. При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне применяли умножения их на вспомогательные числа. Способы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, оснований судить о подобных приемах как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателе Исторические реконструкции во многом еще спорны и не подтверждены достаточным количеством фактов. Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы решения задач не единообразны. Математикой занимались специально подготовленные люди, писцы, считавшиеся весьма образованными. Однако материалов, которые позволили бы судить о развитии математических знаний в Древнем Египте, недостаточно. На их пополнение, надежды практически нет. Все описанное выше пред- 14
ставляет собой лишь один из примеров того, где, в какое время и в какой форме существовали математические знания. Математика Древнего Вавилона. Древний Вавилон — понятие собирательное. Оно обычно распространяется на государственные образования, располагавшиеся на Среднем Востоке, в междуречье Тигра и Евфрата, существовавшие в период примерно от 2000 до 200 гг. до н. э. Источниками сведений об этих государствах являются небольшие плоские таблички из глины. На них палочками с концами специальной формы выдавлены тексты. Таблички обожжены, что придало им высокую прочность. До нашего времени сохранилось около 100000 таких табличек. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50; зато математических числовых таблиц без текста гораздо больше — около 200. Вавилонская система математических символов имеет всего два основных элемента: «клин» V, числовое значение которого — единица, и «крючок» > с числовым значением 10. Комбинациями из этих знаков записывают числа от 1 до 59. Запись чисел —¦ слева направо поразрядно, начиная с единиц, по следующей схеме: ^=а0600+а1601 + а2602+.... Система записи чисел оказалась позиционной 60-ричной. Она не имеет нуля, один и тот же знак V (клин) может обозначать не только единицу, но и любое другое число вида 60±А: (где k — натуральное число). Различать числа, написанные по такой системе (ее называют неабсолютной), можно только исходя из кон-^ текста, из условий задачи. Содержание табличек показывает, что в вавилонской математике существовали многие регулярно применяемые единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения этих действий существовали таблицы умножения от 1x1 до 60x60. Если требовалось перемножать большие числа, то с помощью таблиц умножения отыскивали частичные произведения, которые затем суммировали. Деление сводилось к умножению с помощью таблиц обратных значений (так как Ь:а — Ь- — ). а Кроме таблиц умножения существуют таблицы квадратов целых чисел, кубов, обращенные, т. е. таблицы квадратных корней, таблицы чисел вида д3+/г2 и т. д. Виды задач разнообразны. Имеются исчисления процентов за долги, пропорциональное деление; в ряде текстов решаются задачи, сводящиеся, с нашей точки зрения, к решению уравнений первых трех степеней. Б. Л. ван дер Варден в своей книге «Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции» (М., Физматгиз, 1959) классифицировал все приемы решения задач, записанных в вавилонских табличках. Он пришел к. выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения уравнений и их систем: 15
а) уравнения с одним неизвестным: ах — b; х2 = а; х3=а; ^2(х+1)=а; б) системы уравнений с двумя неизвестными: х±у = а, ху=Ь; х±у=а, х2 + у2=Ь. Кроме того, вавилонянам были известны суммирование арифметических прогрессий, а также суммирования вида п п п ^2^2Ч(2п-1); 2** = ({ + 7") 2*' Наконец, упомянем еще об одной интересной табличке, хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В 1945 г. Нейгебауер и Сакс сообщили в печати, что в ней оказался перечень прямоугольных треугольников с целыми сторонами х, у, z, т. е. набор троек пифагоровых чисел: x2 + y2=z2. Реконструкция метода их подбора приводит к формулам x=p2—q2; y=2pq; z=p2+q2, известным в теории чисел как диофзнтовы. Геометрические познания вавилонян, по-видимому, превышали египетские. В их текстах тоже вычисляются площади и объемы простейших фигур и тел. Площадь круга вычислялась по формуле SKp=c2/12 (где с — длина окружности), откуда получается еще плохое приближенное значение числа я. Но встречаются и соотношения, напоминающие тригонометрические. Следует отметить, наконец, попытки вычисления сложных объемов, например, неравностороннего земляного вала (см. рис. 1). Применено, правда, весьма несовершенное усреднение v д ! /д + b | gl+&i \ h+hl в2^2 2 j 2 ' но сама попытка заслуживает внимания. Внимание ряда исследователей привлекает высокий (относительно) уровень и удельный вес вычислительных приемов и алгоритмических элементов в математических текстах древнего Вавилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те времена у вавилонян уже культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и являющиеся своеобразной алгеброй (Нейгебауер, Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки их математических достижений. Вавилонские математические традиции распространились на сопредельные государства Ближнего Востока; они могут быть прослежены вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 — ок. 30 гг. до н. э.). Примеры древнеегипетского и древневавилонского происхождения показывают конкретно, как происходил процесс накопления 16
математических знаний. Исходными пунктами являлись практические потребности. Они вызывали разработку правил арифметических действий, способов вычисления площадей и объемов несложных объектов, методоц решения отдельных классов задач, составление вспомогательные вычислительных таблиц, вычерчивание геометрических изображений и т. д. Математика древнего Китая. Научные знания у народов Китая имеют многовековую богатую историю. Столь же раннее происхождение и оригинальные пути своего развития имеет и китайская математика. Однако до сих пор не преодолена скудость и разрозненность достоверной научной информации о математических познаниях китайцев и тех путях, по которым проходило их пополнение. По утверждению китайского историка математики Ли Яня, ^математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э. В истории этой науки имеются сведения о десятичной системе счета, иероглифической символике чисел, об оперировании с очень большими числами, наличии вспомогательных счетных устройств (узелки, счетная доска), о применении циркуля, линейки и угольника и др. Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би (солнечных часах), является «Математика в 9 книгах» (главак, разделах). Это сочинение появилось как своеобразный итог математических достижений в Китае к началу нашей эры. Есть сведения, что оно было составлено выдающимся государственным деятелем и ученым Чжан Цаном (152 г. до н. э.), собравшим и систематизировавшим все известные к его времени математические знания. «Математику в 9 книгах» неоднократно перерабатывали и дополняли: в I в. до н. э. (Гэн Чоу-чан), в III в. н. э. (Лю Хуэй), в VI в. н. э. (Чжень Луань), в VIIв.н.э. (Ли Чунь-фэнь) и в иные времена. В результате этих переработок «Математика в 9 книгах» приобрела вид своеобразной математической энциклопедии со срав- лительно неоднородным содержанием. В VII—X вв. н. э. она сделалась основным учебником для поступающих на государственную службу и классическим сочинением, от которого отправлялись ученые математики в своих исследованиях» Текст его стал известен у нас совсем недавно. В 1957 г. он появился в сборнике «Историко-математические исследования» (т. 10, с. 425—586) в переводе и с комментариями Э. И. Березкиной. Позднее, в 1980 г., б издательстве «Наука» вышла книга того же автора «Математика древнего Китая». Части, составляющие «Математику в 9 книгах», имели вид отдельных свитков. Их содержание определялось их предназначением для чиновников различных ведомств: землемеров, строителей, сборщиков налогов и др. Позднейшие дополнения вносились в них не по признаку математической общности, а по единству темы. Изложение — догматическое: формулируются условия (всего 246 задач) и даются к ним ответы. После группы однотипных 17
задач формируется алгоритм их решения. Этот алгоритм состоит или из общей формулировки правила, или из указаний последовательности операций над конкретными числами. Выводов правил, разъяснений, определений, доказательств нет. Книга 1 называется «Измерение полей». Единицей измерения служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т.е. шагов, длиной примерно 133 см). Площади прямоугольных фигур вычисляются правильно. Из вычислений площадей круга, сектора и кольца видно, что принято я=3. Площадь сегмента вычисляется как ллощадь трапеции, большее основание которой совпадает с основанием сегмента, а меньшее основание и высота — каждое равно высоте сегмента. Система счисления десятичная, иероглифическая. Числа делятся на классы по 4 разряда в каждом. Особого знака для нуля при такой системе, очевидно, не требуется. В самом деле, знак нуля появился только в XII в. н. э. Он был заимствован, как мы думаем, из индийских источников. Чтобы придать побольше общности постановке задачи об измерении площадей, в этой же, первой, книге введены простые дроби и арифметические операции над ними. Правила действий обычные; особенностью является только то, что при делении дробей предварительно приводят их к общему знаменателю. Значение я = 3, употребляемое в первой книге, похоже, просто сохранилось в силу давней традиции. Китайские математики тех далеких времен умели и более точно вычислять значение я. Например, в I в. до н. э. у Лю Синя встречается я=3,1547, во II в. н. э. у Чжан Хэна я = У10- Это потому, что Чжан Хэн считал, что квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного квадрата как 5:8. В III в. н. э. при вычислении длин сторон вписанных многоугольников Лю Хуэй считал, что я=3,14. Он исходил из предположения, что площадь круга аппроксимируется снизу площадями вписанных многоугольников. Для аппроксимации сверху площади этих многоугольников увеличиваются на сумму площадей прямоугольников, описанных вокруг остаточных сегментов. Отсюда 52n<Sp<5n+ 2(S2n—Sn). Дойдя до 192 угольника, Лю Хуэй получил при R = 10. 596 == 313 — и 5Д92 = 314 — , откуда и заключил, что я = G25 " 625 = 3,14. В литературе встречается утверждение, что ЛюХуэй продолжил вычисления вплоть до 3072-угольника и получил я= = 3,14159. В V в. н. э. Цзу Чун-чжи (430—501), по свидетельству Вей Ши (643 г.) дал для я два подходящих значения дробей; 22 385 — и — , а также оценку значения я до седьмого знака: 7 113 3,141926<я<3,1415927. Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых культур» отражает идущию исстари практику взимания налогов 18
зерном, измеряемым в объемных мерах, и расчетов при переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при этом, — это задачи на тройное правило и на пропорциональное деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на определение стоимости предметов, число которых может быть дробным. Задачи на пропорциональное деление, деление пропорционально обратным значениям чисел, а также простое и сложное тройное правило составляют содержание и следующей, 3-й, книги «Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических прогрессий здесь еще нет. Впервые они появились в VI в. у Чжан Цяю Цзяня. В 4-й книге «Шао гуан» (адекватный перевод названия автору настоящей книги неизвестен) вначале речь идет об определении стороны прямоугольника по данным величинам площади и другой стороны. Затем следуют правила извлечения квадратных и кубических корней, отыскания радиуса круга по известной его площади. Правила сформулированы специально для счетной доски: подкоренное число разбивается на разряды соответственно по 2 и 3 знака, затем последовательно подбираются промежуточные значения для корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске. При решении задач, связанных с вычислением элементов круга или сферы, принимается я = 3. Только в последней задаче, где УШара= 1644866437500 чи и требуется найти диаметр по 3 / 27 формуле ^ = 1/ — V принято ^ = — (d = 143000 чи). В книге 5 «Оценки работ» собраны задачи, связанные с расчетами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях. Книга 6 «Пропорциональное деление» начинается группой задач о справедливом (пропорциональном) распределении налогов. Математические методы здесь те же, что в книге 3, где речь шла о распределении доходов между чиновниками разных рангов: пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в 6-ю книгу входит серия задач на суммирование отдельных арифметических прогрессий и задач о совместных работах лиц с разной производительностью труда. «Избыток — недостаток» — так называется 7-я книга. В ней подобраны задачи, приводившие к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения — метод двух ложных положений. И в этом случае задачи расположены по возрастающей степени трудности. Метод еще не сформулирован четко, рассредоточен по задачам конкретного типа. Приведем примеры. В задаче № 18 утверждается, что 9 слитков золота весят столько же, сколько 11 слитков серебра. Если же переложить по одному слитку, то вес золота и вес серебра будет различаться 19
на 13 ланов (16 ланов=1 цзинь). Задача определения весов слитков сводится к системе уравнений 9х=11у; 8х + у+13=10у + х9 которая решается по правилу двух ложных положений. Именно по- 5 7 лежим х\ = 3 цзиня, х2 = 2 цзиня. Тогда У^Я— цзиня, у2=.1 — И 11 цзиня. Подстановка этих значений во второе уравнение (в котором все члены перенесены в одну сторону, пусть в левую) дает соответственно: z\ = —49/(11-16) цзиня (недостаток) и г2= = + 15/(11-16) цзиня (избыток). Действительное значение х находится по правилу .*№—X2Z1 Z2—21 15 9 53 и равно 2 — цзиня. Соответственно у = — х~\— цзиня. 64 11 64 В задаче № 16 говорится, что из яшмы (удельный вес, скажем, =а) и камня (удельный вес Ь = а—1) составлен куб, общий вес которого (Ро) и объем (Vo) известны. Веса Pi и Р2 и объемы Vi и V2 яшмы и камня соответственно находят из системы Vl + V2=V0i aV{ + bV2=PQ, которая решается подстановками: Vi = V0 и V2 = Vq. Усовершенствование складывающихся в 7-й книге правил решения систем линейных уравнений и распространение их на системы с большим числом неизвестных изложены в правиле «Фан- чэн», которому посвящена вся 8-я книга. В задачах этой книги фигурируют системы до 5 линейных уравнений с положительными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней — фан-чэн. Состоит он в следующем: пусть дана система линейных уравнений й\\Х\ + #12#2+--. + #ln*n = &b #21*1 +#22*2+ •••• + #271*71 = ^2> #nl*l + #n2*2 + --- + annXn =&п. В соответствии с китайским способом письма (справа налево, по столбцам — сверху вниз) составляется расширенная матрица системы ат ¦ #п2 • «ЯП • • и» .. . . аи • • я22 • Я2г» • ь, <hx аы ат h 1 20
Эту матрицу преобразовывают так, чтобы все числа левее и выше главной диагонали стали нулями: ГО ... О ап I О ... a,, alt\ \К . . . »; 6х_| Преобразование проводят обычным для теории матриц путем, но при этом оперируют только со столбцами; столбцы и строки матрицы здесь еще неравноправны. Преобразованная матрица соответствует ступенчатой системе уравнений: anXi + a{2X2 + .-. + annxn = bu а'ъХ%+...+а2пхп==Ь2У откуда последовательно определяются корни уравнений. В процессе преобразования матрицы появились отрицательные числа. Для их сложения и вычитания было введено особое правило «чжэн-фу», которое можно перевести как правило «плюс- минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки иного цвета или формы, а в случае записи — иероглифы разных цветов. Практическую основу последней, 9-й, книги составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных треугольников. Математически эта часть особенно интересна общей, почти алгебраической, формулировкой правил. Помимо элементарных приемов применения теоремы Пифагора в ней имеется метод нахождения пифагорейских троек, т. е. целочисленных решений уравнений x2-\-y2=z2: х=а% i/ = (a2-p2)/r, г=(а2+р*)/г. Некоторые задачи сводятся к полным квадратным уравнениям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным в наше время формулам. Например, задача № 11 о размерах двери с известными диагональю и разностью между длиной и шириной сводится к двум уравнениям: х2+у2=с2; у—x=k или к полному квадратному уравнению: 2x2 + 2kx-\-k2—с2=0- Сформулированное в тексте правило, если переписать символически, будет V 2 *~ 2 21
Выводов и доказательств, как и в других сочинениях, нет. Существует гипотеза (Э. И. Березкиной), что правило было получено из следующих соображений: x\,2=z±-kl2t xl + xl = 2z* + 2(k/2)* = c\ откуда z = -,/c»--2(fe/2)a Мы остановились подробно на обзоре содержания «Математики в 9 книгах», так как это сочинение является самым значительным, и, пожалуй, единственным крупным памятником древней китайской математики, имеющим к тому же энциклопедический характер. Оно показывает, что в течение многих веков математика Китая развивалась преимущественно в вычислительно-алгоритмическом духе, создав существенные элементы алгебраического подхода к решению задач. Причины того, что математика Китая (ниже мы узнаем, что и математика Индии) приобрела такие особенности, коренятся в общественно-экономических условиях жизни общества. Последние были таковы, что эти государства в качестве одной из основных функций вынуждены были принять на себя организацию общественных работ в области ирригации, транспорта и оборонительных сооружений. Постоянные заботы о календаре и об общности и строгости религиозных установлений усугубляли эту направленность научных занятий. Феодальный уклад жизни и давление религии определяли медленный, застойный характер развития всех наук, в том числе и математики. Вычислительно-алгоритмическую направленность китайская математика сохранила и в последующие времена, вплоть до XIV века. Наибольшие успехи были достигнуты снова в области арифметики, методов вычислений и алгебры. В VII в. у Ван Сяо Туна появились задачи, сводящиеся к кубическому уравнению. Речь идет о следующем: в прямоугольном треугольнике известны про- изведение катетов: ху = Р = 706 — и разность между гипотенузой 9 и одним из катетов: |/*2+-*/а— *=Q=36~ .Требуется найти стороны треугольника. О Р2 Ван Сяо Тун для решения уравнения х3 + — х2 =0ссылается, как на общеизвестный, на метод, который используется и для извлечения корня. Ссылки на этот метод имеются и в «Математике в 9 книгах», и в позднейших работах. Но подробное разъяснение метода нашлось только в работе математика XIII века Цинь Цзю Шао «Девять разделов математики». Сущность этого метода, получившего название метода «небесного элемента» (так называлась неизвестная величина х), тако- 22
ва: дано уравнение в общем виде Рт(х)=0. Для определенности пусть Рт(х)=аАх4 + агХъ + С12Х2+а1х+ао. Первую цифру р корня отыскивают подбором. Делают подстановку х=у+р. Получается вспомогательное выражение q>(y)=Aiy*+A3yZ+A2y2+Aly+Ao. Последовательность операций по нахождению коэффициентов выразим схемой + «4 1 1 + + G3 а*Р а3 *\Р а3 ЧР #2 агр Яг, а"зР а2 а3р =л3 а-т. a'lP a'i HP a\ = л2 a'\P a'o •=Ai Путем подбора снова находят первую цифру корня вспомогательного уравнения у(у)—0, или, что то же самое, вторую цифру корня уравнения Рп(х)=0. Пусть это будет q. Подстановка y—z+q приводит к уравнению ij)(z)=0, коэффициенты которого находят вновь по приведенной схеме и т. д. Цинь Цзю Шао демонстрирует этот метод на примере: —х4 + 763200*2—40642560000=0, корень которого х=840. Этот же метод без изменений применялся к извлечению корней любой степени. При этом решается уравнение хп—а=0. Таким способом найдены, например, ]/l75576, У 1336336 и др. Метод небесного элемента был крупным достижением, завершившим развитие алгебраических элементов самобытной математики Китая в средние века. Китайские математики применяли его охотно и искусно. Например, Чжу Ши-цзе (ок. 1300 г.) находил этим методом не только целые, но и рациональные корни. Например, в уравнении 576*4—2640*3 +1729х2 + 3960с— 1695252 = 0 он подбирает целую часть корня, равную 8, проделывает подстановку х=у+8 и получает 576*/4 + 15792*/3 + 159533*/2+704392//—545300=0. 23
Затем, чтобы привести уравнение к виду, в котором коэффициент при высшей степени неизвестности равнялся бы единице, он делает подстановку у ¦ 576 и, определив из нового уравнения, что ооА 384 2 0 2 z=384, заключает последовательно, что и~ — =-,ах = 8-. 576 3 3 Метод небесного элемента по своей математической сущности эквивалентен методу Руффини — Горнера, открытому в Европе к началу XIX в. В средние века в математике Китая все больше выявлялись и формировались алгебраические элементы как в части создания общих алгебраических методов, так и в усовершенствовании символики. В «Драгоценном зеркале четырех элементов» (1303 г.; четыре элемента — это неизвестные, образно названные: небеса, земли, мужчины, вещи) Чжу Ши-цзе решал задачи, приводящиеся к системам 4 уравнений с 4 неизвестными. Обращает на себя внимание аригинальная символика. Например, формула ах + Ьу+\ + cz + du у него записывается в виде о 1 Рис. 2 Рис. з а полином x2 + 2xy + y2+2yz + z2 + 2zu+u2 + 2ux —фигурой (рис.З), Свободный член, если он есть, размещают в центре этой схемы. Другим крупным достижением математиков средневекового Китая было регулярно применяемое суммирование прогрессий ? = п(п + 1) *==! У к2= п(п+\)(2п + 1) ^ известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя (XIII в.). Своеобразные приемы вычисления таких сумм покажем на примере вычисления числа ядер, сложенных в пирамиду с квадратным основанием. Пусть для определенности в пирамиде насчитывается 5 слоев. Тогда количество ядер 5 = 12+22-Ь32+42+52. Из соотношений: 12=1; 22=1 + 3; 32=1+3 + 5; 42=1 + 3+5+7; 52=1 + 3+5 + 7 + 9 следует, что S = 5-l+4-3 + 3-5 + 2-7+l-9, или в общем виде: S=n-l + {n—1)-3 + {/г—2)-5+... +1-(2/г—1), 24
чему на таблице соответствует часть, помеченная крестиками. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + 0 0 0 0 0 + + + + + + + + + + + + -ь + + + + + + + + 0 0 0 0 0 + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 + -b + + 4- + -f 00 o + + + -f + + + -f + o Прибавив еще 2S = 2n2+2(n—1)2+2(п—2)2+ ... +2-12, повторяя таблицу с обеих ее сторон, получим 35= (2п+ l)nf (2п+1) (п—1) + ... + (2п+,1) 1 = = (2п+1)п(п+1)/2, откуда, наконец, 5 = п(л+1)(2л+1)/6. Наряду с этими результатами в сочинениях китайских математиков можно найти элементы комбинаторики, в том числе треугольник биномиальных коэффициентов, известный нам под названием «арифметический треугольник Паскаля». Существуют примеры исследований теоретико-числового характера. Например, Сунь Цзы (III в. н. э.) решал задачу нахождения числа, которое при делении на 3, 5, 7 давало бы соответственно остатки 2, 3, 2. Это задача на решение линейной системы сравнений с попарно взаимно простыми модулями: 'Srf^ U=3. *=5, ,3=7 I" х = r3(mod <73) Сунь Цзы находит вспомогательные числа Nu N2, #з> для которых Niq2qs^l (mod?i), 35N^l (mod3), 2Л^1 (mod3), ^2?i?3=l(mod^2), т. e. 21A^l(mod5), или N2=l(mod5), N$qiq2-1 (mod^3), 15#3= 1 (mod7), #3=1 (mod7). Тогда #i = 2, ЛГ2=1, #3 = 1, #i<72?3 = 70, #2^1^3 = 21, JV3<yi<72=15, 25
x=(Niq2qb+N2qiqz + Nzqiq2) {modqiq2qz), *= (140 + 63+30) (modl05)^233(modl05), x=233—105/. При t=2 наименьшее значение x равно 23. Аналогичные задачи решались и в более поздние времена. Так, Цин Цзю Шао (XIII в.) решал задачу, сводящуюся к следующей системе сравнений: x^32(mod83), #^70(modll0), jc^32(modl35). Практический подход к задачам геометрии, который преобладает в «Математике в 9 книгах», сохранялся в китайской математике на протяжении всего рассматриваемого исторического периода. В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая видное место занимает сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) «Математика морского острова», имевшее вначале характер комментария и добавления к последней части «Математики в 9 книгах». В окончательном виде в «Математику морского острова» входят задачи на определение размеров недоступных предметов и расстояний до них. Решаются они, как было уже упомянуто, применением теоремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток систематического дедуктивного построения математических теорий в научном наследии Китая не обнаружено. Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в науке Китая начинается длительный период застоя. Добытые ранее знания не развиваются и даже забываются. Математика «прирастает» преимущественно за счет усвоения иностранных источников. В 1583 г. в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед за которым Китай наводнила целая армия священнослужителей и монахов. Видимо, не без их содействия в 1606 г. там впервые появились «Начала» Евклида, а в 1650 г. — таблицы логарифмов Влакка (Флакка). Оригинальное же развитие китайской математики под давлением интервентов, колонизаторов и законсервировавшихся феодально-монархических форм государственного правления практически прекратилось. Математика древней Индии. В математике древней и средневековой Индии много сходного с математикой Китая. Индийская математика тоже является наукой древней, издавна составляющей часть культуры. В ней также преобладали вычислительно- алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем; геометрия индийцев также практическая. Эта общность (или сходство) характера математических знаний и путей их совершенствования не случайна. Она отражает сходность путей исторического развития обеих великих стран и давние всесторонние связи между ними. В Индии к началу нашей эры уже сложилась развитая феодальная система организации общества. Длительная консервация феодальных отношений 26
усугублялась кастовым расслоением социальных групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки. Самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно уже умершем языке — санскритском. В них мы находим геометрические построения, составлявшие важную часть ритуалов при постройке и использовании культовых сооружений: храмов, алтарей и др. В них можно найти первичные подходы к квадрирова- нию круга, применение теоремы Пифагора. Встретилась и арифметическая задача о нахождении пифагорейских троек натуральных чисел. Числовая система с давних времен определилась как десятичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию большими числами, что нашло свое отражение в легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать. Он строил числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждому промежуточному результату. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, должны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда придумал, в частности, шкалу чисел, возрастающих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, до 107+9"46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к громадным числам было своеобразной математической традицией в индийской науке. Наиболее яркий период, оставивший самые значительные образцы математических достижений, — это V—XII века нашей эры. В эти времена жили и трудились выдающиеся ученые — математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта (род. в 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. в 1114 г.,) и другие. От Ариабхатты, например, дошло до нас сочинение в стихотворной форме по астрономии и математике. В нем сформулированы правила арифметики, геометрии и тригонометрии. Брахмагупта, также стихами, написал огромное сочинение в 20 книгах «Усовершенствованная наука Брахмы», в котором 12-я книга была посвящена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и неопределенным уравнениям. Значительное математическое содержание имеют две книги Бхаскары «Лилавати» и «Виджаганита». Первую из них Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах книги он описывает: искусство измерений; арифметические действия над целыми числами и дробями, включая извлечение корней; способ обращения, способ ложного положения и другие специальные приемы решения задач; задачи о бассейнах и смесях; суммирование рядов; планиметрию; вычисления различных объемов; задачи неопределенного анализа; задачи комбинаторики. 27
Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из 8 отделов: арифметические действия над положительными и отрицательными числами; неопределенные уравнения 1-й и 2-й степеней; линейные алгебраические уравнения; квадратные уравнения; системы линейных уравнений; неопределенные уравнения 2-й степени. Главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в догматической форме. Среди арифметического материала обращает на себя внимание широкое распространение правила обращения: задумывается число, но противнику или ученику сообщают лишь последовательность операций над ним и конечный результат. Решение задачи состоит в последовательном проведении всех операций в обратном порядке. Например, в сочинении Бхаскары «Лилавати» перед некоей красавицей (Лилава- ти означает: прекрасная) ставится задача: назвать число, которое,, будучи умножено на три, увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7, уменьшено на — частного, умножено о само на себя и уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10 дает 2. Среди других правил вычислительной практики индийских математиков есть также правила извлечения квадратных корней и действий с иррациональностями. Оперирование с большими числами (в качестве еще одного примера приведем задачу нахождения числа членов геометрической прогрессии из условий а{—3, q = 5, S=22888183593), помимо отработки единой числовой десятичной системы с нулем и числовой символики, привело к введению в математику представлений о бесконечно больших числах. Бхаскара вводил это представление, рассматривая выражения вида — и поясняя, что это есть тоже число, но не претерпевающее изменений (приращения или убывания), какое бы большое число мы к нему ни прибавляли или от него ни отнимали. Его, по выражению Бхаскары, можно уподобить вечному времени бесконечной цепи существований. Индийские математики ввели и правильно разъясняли поцятие отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения имущества на долг представляет собою убыток. То же правило соблюдается при делении. Квадрат имущества или долга есть имущество; имущество имеет 2 корня; один составляет прибыл ь^ другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индий- 28
ские математики не использовали их как равноправные элементы математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, как пишет Бхаскара, люди с ними не согласны. Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения многих задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторики. Алгебраические элементы — это прежде всего правила решения линейных уравнений, их систем и квадратных уравнений. Например, Ариабхатта формулирует задачу: капитал (обозначим его р) отдан в рост. Прирост за месяц, х, отдан снова в рост на t месяцев. Общий прирост равен q. Каков прирост за месяц? Соответствующей формулы tx2-{-px=pq Ариабхатта, разумеется, не пишет, но правило, сообщаемое им, есть общее для квадратного уравнения. В самом деле оно выглядит так: умножь сумму прироста и прироста на время и капитал, прибавь квадрат половины капитала, извлеки квадратный корень, затем вычти половину капитала и раздели остаток на время. Соответствующая формула, очевидно, будет х = Vqpt+pV*-p/2 ^ t Изобретение методов решения задач неопределенного, или дио- фантова, анализа является одним из высших достижений индийской математики. Появление подобных задач и поиски методов их решения — общая тенденция во всех древних математических культурах. Причина этого лежит, вероятно, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, например, в астрономии. В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновременно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: Ю960у=30х. Другие вопросы, например о периодах повторения иных явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели отыскивать целочисленные решения ряда видов таких уравнений 1-й и 2-й степеней. Мы уже обращали внимание читателей, что, как правило, в индийских источниках не воспроизводятся ни ход рассуждений, ни доказательства. Впрочем, то немногое, что известно, показывает наличие ряда теоретико-числовых методов. Например, известно, что корни неопределенного уравнения 1-й степени ах—Ьу=с получаются умножением на с корней уравнения ах—Ьу=1. rx i 2х 1 Пусть a>b\ a=bq-\-r\ qx-\ */= — ; y—qx-] ~qx+r. b b b Чтобы решение у было целым, необходимо, чтобы z было целым, т. е. задача сводится к решению уравнения rx—bz=l, коэффициенты которого меньше коэффициентов заданного уравнения (г<&, b<.a)t а вид уравнения не изменяется. Продолжая эту операцию, мы за конечное число шагов дойдем до уравнения 29
a—rnv—l. Возвращаясь к исходному уравнению, выразим х и у через^ v. Возможно, этот метод был получен по аналогии с процедурой нахождения общего наибольшего делителя или с алгоритмом непрерывных дробей. ^Приведем еще один пример решения неопределенных уравне- ?Г*м/ра1ТНИе *У=ах+Ьу+с преобразовывалось к виду {X—0)(y—a)=c + ab с помощью следующей геометрической интерпретации: Площадь всего «ачерченного на рис. 4 прямоугольника S=x-y. Площадь гномона: ax + by—ab. Не- заштрихованная часть: Si = — (x—b) X {у—а). В то же время Sx = xy—ax—by + ab = c + ab по условию. После этого правую часть представляют в виде произведения двух целых сомножителей. Рассмотрим, наконец, циклический метод Бхаскары для решения уравнений вида у*=х2+1. Вначале пробами подбирают числа Хи у и Ъи так, чтобы они удовлетворяли уравнению ах\+Ьг = =У1, и при этом ху и Ьх были взаимно просты, а Ьх — возможно меньше. Это можно сделать, хотя бы положив ух/хх**1/а. Теперь составляют соотношение (xxz+yx)/bx=x2f т. е. xxz+yx = bxx2. Из него получают целочисленные значения х2 и zh выбирая их так чтобы z—а было как можно меньше. Тогда (z2—a)/bx = b2 — целое, a xxz+b2 равно квадрату, т. е. yl, откуда ах\+Ь2=у1. Повторениями получают убывающую последовательность целых чисел Ь\, Ь2, ..., 1 и, наконец, ax\+\=y2k. Доказательства, как всегда, нет. Впервые его опубликовал лишь Лагранж. Что касается имени Пелля, то нам неизвестно, почему оно было присвоено уравнению. Но традиция и историческая достоверность не всегда совпадают. Рациональные решения индийские математики получали следующим образом: для произвольных хх, Ух и хъ у2 и соответственных ох и Ъ2 составляли уравнения я*1-0?-*1, ^(хУа-у^хУа+у^, a*2—yh=b2t Ь2=(х2Уа-у2)(хУа+уг), b\b2=(axxx2±yxy2)2—a(xxy2±x2yx). Полагая, что известен корень х0, у0: ах20—уЪ=Ь, из выражения для bxb2 получали: х=2х0у0; y=axl+yl или а(2*оУо)2 + Ь*=(ах1+у1)\ или a (?*j^Y + i = 1^А\\ К области алгебры и теории чисел в индийской математике отнесем, наконец, элементарные сведения из комбинаторики, треу- 30
п п гольник Паскаля, умение вычислять V. k и V k2 и другие сведения. Индийская геометрия несет в себе все черты прикладной науки. Есть чертежи, есть правила, иногда даже правил нет, под чертежом написано только: «смотри!». Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены полухордами. Тем самым вводятся в рассмотрение тригонометрические по существу функции: синусы, косинусы и синусы-версу- сы (sinvers а=1—cos а). В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствующих о наличии экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем. Считается в математике бесспорным индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета в этой системе. Можно проследить заимствование индийцами ряда геометрических сведений у греков. Но для суждений о связях и взаимных влияниях математики Индии и других стран еще мало материала. Наконец, выскажем общие суждения, характеризующие тот период истории математики, когда появлялись и накапливались математические знания. То, что было описано выше, дает нам основания утверждать, что в различных странах, обладающих древними цивилизациями, происходили сходные процессы накопления математических фактов: освоение вычислительных приемов и алгоритмов, способов определения размеров геометрических фигур и тел, отработка удобной символики. Процесс этот очевидным образом подчинялся внематематическим определяющим мотивам, непосредственным образом служил целям, вызываемым нуждами экономики и общественного устройства. Малочисленность источников, временная и территориальная разобщенность сведений о государствах древнего мира делают затруднительным, а то и невозможным детальное воссоздание путей последовательного совершенствования математических знаний в те далекие времена. Не последней причиной было то, что в более поздние периоды истории, в эпоху колонизации, т. е. грабежей и порабощения, были уничтожены почти все памятники культурной жизни коренных обитателей многих стран и даже континентов. История учит, что развитие всех форм деятельности человеческого общества происходит под воздействием единых мотивов экономического свойства. В области математических знаний это определяющее воздействие стимулирует множественность очагов их возникновения. Математика возникала и получала развитие во многих странах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собою, казалось бы, не связанных. При этом всегда действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение математики из практической деятельности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в качестве отдельной области челове- 32
ческих знаний, образование логически последовательных систем абстракций, применение последних к решению практических задач и так далее. Однако конкретные формы и способы осуществления и проявления общих закономерностей, характер математической науки в рассматриваемый период времени, соотношения и роль ее частей имели всегда (и имеют сейчас) много различий и особенностей. Все это необходимо принимать во внимание, чтобы получить адекватное понимание путей развития математики и обоснованное представление о перспективах. Следующий уровень развития математики будет характеризоваться тем, что из накопленных совокупностей математических знаний будут появляться математические теории. Для того чтобы это стало возможным, в рассмотренном здесь длительном периоде накопления математических знаний складывались следующие предпосылки: а) возможность предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами). На последующих ступенях исторического развития это привело к формированию числовых систем и геометрических построений. Открылись возможности построения систем абстракций, характерных для теоретической части математики; б) умение заменять конкретную задачу канонической задачей в достаточно общей постановке, решаемой по достаточно определенным правилам, охватывающим достаточно большую совокупность частных случаев. Термин «достаточно» рассматривается, понимается и определяется исторически в контексте складывающихся ситуаций. На этом пути появляются все усложняющиеся формы алгоритмов, а затем вырастающих из них математических исчислений — все то, что характерно для оперативной, прикладной, части -математики. Когда упомянутые предпосылки начинали действовать в заметных масштабах, а в обществе образовывались прослойки людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью математических оперативных приемов и суждений, тогда появлялись основания говорить о начале существования математики как науки, как специальной области научных исследований.
ГЛАВА 2 ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ Математические знания практического характера, как было показано, имеют древнее происхождение, множественность источников возникновения, тесные связи с практикой и зависимость от всех ее видов. Теоретическая же часть математики имеет истоки в научных и философских школах древней Греции. Вклад этих школ в развитие математики, более того, всей системы наук, настолько значителен, что «теоретическое естествознание, если оно хочет проследить историю возникновения и развития своих теперешних общих положений, вынуждено возвратиться к грекам» (Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М.: Политиздат, 1970. С. 340—341). В период VI—IV вв. до н. э., к которым относится материал, необходимый нам здесь для анализа, Греция представляла собой совокупность рабовладельческих государств — полисов (городов), ведущих оживленную торговлю как между собою, так и с другими государствами Средиземноморья: Египтом, Финикией, Персией и т. д. В полисах античной Греции техника, архитектура, наука и культура достигли высокого уровня, что с большой убедительностью демонстрируют сохранившиеся прекрасные исторические памятники и свидетельства. Дошедшие до нас труды античных ученых и сведения о них показали, что в древней Греции сложились основные типы мировоззрений, действовали многочисленные естественнонаучные школы. Ведущими среди этих натурфилософских школ последовательно являлись: ионийская (VII—VI вв. до н. э.); пифагорейская (VI—V вв. до н. э.) и афинская (со второй половины V в. до н. э.). В этих школах с большой широтой и обстоятельностью разрабатывались и математические проблемы. § 2.1. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ В математике древней Греции практические вычисления и задачи, связанные с необходимостью арифметических выкладок и геометрических измерений и построений, продолжали играть большую роль. Новое, однако, проявлялось в том, что эти задачи постепенно сделались частью знаний подневольных и наемных людей. Произошло фактическое, а затем общепринятое выделение их в отдельную область знаний, получившую наименование «логистика». К логистике были отнесены: операции с целыми числами, численное извлечение корней, счет с помощью вспомогательных устройств, например абака и счетов, вычисления с дробями, чис- 33
ленное решение задач, сводящихся к уравнениям линейным и квадратным, вычислительные задачи архитектуры, землемерия и др. В то же время набирал силу процесс накопления абстрактных математических фактов и соединения их в логически последовательные теоретические системы. Это формировалась подлинная [ха^щхатш)} (от греч. слова ^освчща — знание, наука). Особо заметным сделался этот процесс в школе Пифагора. Там происходило выделение из совокупности вычислительных знаний, из арифметики, тех фактов, которые относятся к общим свойствам операций с натуральными числами и к характеристикам самих чисел. Рассматривались вопросы о четности чисел, о делимости, вве- 1 п дены различные средние: арифметическое — У! аь> геометричес- *— 1 п f~~n п кое — 1 / f] ак и гармоническое — Л i • Рассматривались k=l ак пропорции: арифметическая, геометрическая и гармоническая / 1 1 1 1 ч (имеющая вид — ), получившая название из тога abed факта математической теории деления звучащих интервалов, что интервалы между тонами обратно пропорциональны высоте тона. Стали в этот период известными способы суммирования неслож- п ных прогрессий и суммы вида ^ (2k—\)—n2. Что касается теоремы Пифагора, то наряду с геометрическим доказательством был найден способ подбора неограниченной последовательности троек пифагоровых чисел, т. е. троек натуральных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению а2+Ь2=с2. Они имели вид: п, (п2—1)/2, (/z2+l)/2, где п — нечетное. Другое пра- : п, (—У — 1, /— Y + 1 мы находим у Платона (429—348 г. до н. э.), т. е. в более позднее, но достаточно близкое время. Результаты, полученные в школе Пифагора, относятся главным образом к теории чисел, или, как было принято до недавнего времени говорить, к теоретической арифметике. Обстановка, в которой эти результаты были получены, характеризовалась тем, что отдельным числам и числовым соотношениям приписывались таинственные, магические свойства, а само занятие теоретико-числовыми проблемами рассматривалось как удел «избранных» и «посвященных». В том же историческом периоде происходили абстрагирование геометрических сведений, их накопление и систематизация. Появились специальные сочинения, в которых излагалась сложившаяся к тому времени система геометрических знаний. Таковы, навило 34
пример, «Начала» Гиппократа Хиосского. В геометрических работах вводились и совершенствовались приемы геометрического доказательства. В том числе рассматривались теорема Пифагора, задачи о квадратуре круга, трисекции угла, удвоении куба, квад- рйровании несложных площадей, в частности ограниченных кривыми линиями. Одной из первых причин создания математических теорий явилось открытие иррациональностеи, вначале в виде установления геометрического факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия трудно переоценить. В математику было включено такое понятие, которое представляет собой геометрическую абстракцию, не имеющую достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. _Едва ли не первой обнаруженной иррациональностью явился У2. Можно предположить, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октавы, приводящей к пропорции 1:/г= =/г:2. Не последней, по-видимому, причиной явился характерный для пифагорейцев общий интерес к проблемам теории чисел. Логически строгое доказательство иррациональности V2 путем приведения ^проблемы к противоречию было найдено очень давно. Пусть У2=т/п, где тип — взаимно простые числа. Тогда т2=2п2. Отсюда следует, что т2 четное. Следовательно, т четное. Тогда п должно быть нечетным. Однако если т четное, то т2 делится на 4 и, следовательно, п2 четное. Четно, значит, и п. Получающееся формальное противоречие (число п не может быть одновременно, и четным и нечетным) указывает на неверность исходной посылки о рациональности У2. Исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностеи сразу же вызвали необходимость разработать теорию делимости. В самом деле, пусть У/г=р/^, где р и q — взаимно просты, а п есть произведение только первых степеней сомножителей. Отсюда p2=nq2. Если t — простой делитель п, то р2 (а значит, и р) делится на t. Следовательно, р2 делится на t2. Но в числе п содержится только первая степень t. Значит, q2 (равно как и q) делится на t. Но этот результат формально противоречит условию, что р и q взаимно просты. __ Вслед за иррациональностью У2 были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит (конец V в. до н. э.) доказал иррациональность чисел вида 1/п(п+1). Теодор из Кирены установил иррациональность квадратного корня из конкретных неквадратных чисел в отрезке [3, 17]. Теэтет (начало IV в. до н. э.) дал одну из первых классификаций иррациональностеи. С появлением иррациональных объектов в неокрепшей греческой математике возникли серьезные трудности как в теоретико- числовом, так и в геометрическом аспектах. Была фактически по- 35
ставлена под удар вся теория ^ZTucTelTcymnolrl оТк'рыГо звала дальнейшее развитие геометрических^«юрии. re:==^^ Ж?ГЖ?^^ -дано и полу- РезкиРпРямой. С ними были опреде^^^^^^зков вь1 ?ия. Сложение интерпретировало"-W™™*™»"* ^ читание - отбрасыванием от °;Р^п\^С™п0Рстроению двумерно- отрезку. Умножение отрезков ПРИВ°А™? * n?"Sпрямоугольник roPo6PL; "Р-3^— к по- со сторонами а я b. 1JP™ Bef ™ р /е большего числа со- строению параллелепипеда, а "Р^вреДнееН^0ГЛ°0 рассматриваться, множителей в геометрической алгеб^/* ^™о Рас Р Деление оказывалосьвозможным лишь при Условии, ^^ ность делимого не больше Ра3"Дрн°„™жения ПЛОщадей: прило- ровалось эквивалентной задачей прможения щ ре жить к отрезку-^^^^^^^^ ДрУ к другу шение задачи (см. ?нс-*>™™™ ? нового прямоугольника, прямоугольников ab и be и в построении но у уг0ЛЬНИКа 6с, Гние »S^^W?. означав приложе- ""ТгГмСесую алгебрувходила . с™7^™^1 XJ * аб ab Рис. 5 Рис. 6 36
Метод приложения площадей был распространен и на задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям. Примерами таких задач являются: определение сторон правильных вписанных многоугольников; так называемое «золотое» сечение отрезка прямой, т. е. деление отрезка а на 2 части х и а—х, удовлетворяющие соотношению а:х=х(а—х); выражение длин ребер правильных многогранников через диаметр описанного шара и др. Решение этого класса задач проводилось единым каноническим методом, имеющим следующие 3 разновидности в зависимости от вида квадратного уравнения: а) построить квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику ab. Существо метода заключается в замене прямоугольника разностью квадратов ADDG = rmMOuyCLGDlBlB = CB2—LG2. ab= (a-±HY - 1а- Если упростить обозначения, получим и в последующем — теорему Пифагора (см. рис. 7 и 8). Такое же построение было применено, когда искали среднее геометрическое: а:х=х:Ь. А С j 1 и в 6 Рис. 7 Рис. 8 б) Приложить к данному отрезку АВ=а прямоугольник AG, равный заданной площади S — b2, так, чтобы часть площади, недостающей до полного прямоугольника АК, была квадратом DK=x2 (рис. 9). По условию задачи Ь2 = (а—х)х, но (а—х)х = гномону CLD.B.B^ (а/2)2—(а/2—х)2. С помощью теоремы Пифагора отыскивается отрезок а/2—х, а затем —х. Этот тип приложения площадей называется эллип- L\ /\G С, D, Рис. 9 37
тическим (от греческого слова eMenJjig —¦ недостаток). в) Приложить к данному отрезку А В=а (рис. 10) прямоугольник АК, равный площади 5 = 62, так, чтобы избыток над прямоугольником AG был квадратом ВК=х2. Ь2=(а + х)х, но (а-Ьлг)л:=гномону CLGBiD{D = = (а/2+х)2-(а/2)2. Следовательно, b2 = (a/2 + x)2—(а/2)2, откуда с помощью теоремы Пифагора находится построением отрезок а/2+х, а затем — х. Этот тип приложения площадей называется гиперболическим (от греческого слова ФяерРоЛг) — превышение, избыток). Очевидно, что подобный метод давал только один положительный корень квадратного уравнения. Древние математики понимали необходимость так формулировать условия задач геометрической алгебры, чтобы они заведомо имели положительное решение. Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях накладывали ограничения (6iopic|Lioc; —диоризмы). Это обстоятельство сужало области применения методов геометрической алгебры. Возможности такого исчисления ограничивались еще больше из-за того, что ее объектами были образы размерности не выше второй. Средствами построения были только циркуль и линейка. Можно было представить себе в рамках геометрической алгебры операции с трехмерными образами. Этого, однако, не делалось, потому что даже такая, казалось бы, простая задача, как построение куба, объемом вдвое больше данного, не поддавалась решению циркулем и линейкой. Задачи же, приводящиеся к уравнениям степени выше третьей, как было сказано, в геометрической алгебре древних были просто невозможными. Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории была особенно подчеркнута выделением класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. Среди таких задач наибол-ее известны удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Задача об удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвестным ребром х, имеющего объем вдвое больше заданного, сводится к решению кубического уравнения: х3 = 2а3. Равносильной задачей является задача построения отрезка прямой длины у 2. Задача была популярной, о чем говорит дошедшая до нас издревле легенда о требовании оракула на острове Делос увеличить вдвое объем стоящего перед ним кубического жертвенника как условия для прекращения возникшей эпидемии. Многочисленные попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле рациональных чисел или же методами геометрической алгебры оказались, разумеется, неудачными. Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в. до н. э.). Он свел ее (точнее говоря, не эту, а несколько более общую задачу преобразования параллелепипе- 38
да в куб) к задаче о нахождении двух средних пропорциональных. В самом деле, пусть параллелепипед V=abc преобразован в другой того же объема, но с квадратным основанием V=a2b, что осуществимо средствами геометрической алгебры. Его надо преобразовать в куб без изменения объема: хг—а2Ь. Ребро х искомого куба определяется, по Гиппократу, из пропорции а:х=х:у=у:Ь. Вероятно, проблема удвоения куба воспринималась в этом случае как пространственный аналог задачи квадрирования плоских фигур. Постановка задачи по Гиппократу является обобщением соответствующей плоской задачи о вставке одной средней пропорциональной: а:х—х:Ь. Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних пропорциональных были разработаны различные новые для того времени методы. В большинстве они сводились к изучению геометрических мест: х2=ау; xy=ab; у2=Ьх. Две средние пропорциональные между а и Ь определялись как координаты точки пересечения двух из этих геометрических мест. Последние в свою очередь получили стереометрическую интерпретацию как сечения конусов вращения. История задачи об удвоении куба является одним из примеров того, как протекал в древности процесс обогащения математических методов. Именно таким образом конические сечения появились в математике и стали средством решения проблем, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки. Впрочем, для удвоения куба применялись и другие способы. Эратосфен, например, построил прибор (мезолабий), удобный для приближенного решения. Однако ни один из методов не повлиял так сильно на развитие античной математики, как метод конических сечений. Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с решением проблемы: возможно ли вообще решить ее построениями, выполняемыми только циркулем и линейкой. Вместе с развитием алгебры в последующие века задача приобрела алгебраическую форму: может ли операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения высказал впервые Декарт в 1637 г. Но только лишь еще через 200 лет задача удвоения куба получила окончательное разрешение. В 1837 г. Ванцель доказал, что кубические иррациональности не входят ни в поле рациональных чисел, ни в те его расширения, что образуются посредством присоединения квадратичных иррацио- нальностей. Другой знаменитой задачей античности, не поддававшейся решению средствами геометрической алгебры, была задача о трисекции угла, т. е. о разделении произвольно задаваемого угла на 3 равных части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к решению кубического уравнения, что делается очевидным из тригонометрического соотношения cos<p=4cos3((p/3)—3cos(<p/3) или (в алгебраической форме) а=4л;3—Зх. Многочисленные попытки произвести точную трисекцию угла с помощью только циркуля и ли- 39
нейки не были (и не могли быть) успеш- j с ными и приводили в лучшем случае к: «— \ 1 осознанию необходимости искать другие, ^р\ * принципиально иные, новые методы. А Уже в V в. до н. э. Гиппий из Элиды \/\ \ применил для решения задачи о трисек- Us \ _| ции угла трансцендентную кривую — AG D квадратрису, определяемую следующим Рис И образом. Пусть в прямоугольнике ABCD (рис. 11) сторона ВС равномерно смещается параллельно самой себе до совпадения со стороной AD. За это же время и также равномерно сторона АВ вращается вокруг А по часовой стрелке до совпадения с AD. Геометрическое место пересечений движущихся сторон образует кривую — квадратрису, наличие которой позволяет свести задачу деления угла не только на 3, но и на любое число равных частей к задаче деления отрезка АВ (или CD) на равные части. Точка G (AG = = 2r/jt) пересечения квадратрисы со стороной AD доопределялась по непрерывности умозаключениями, которые могут служить примером одной из первоначальных форм метода пределов. Другим примером решения задачи о трисекции угла был метод вставок. Под вставкой понимается построение отрезка прямой,, концы которого находятся на заданных линиях и который (или его продолжение) проходит через заданную точку. Примеры вставок, применявшихся для трисекции угла (ZABC) см. на рис. 12 и 13. Вставками являются: на рис. 12 DE = 2AB(DF=FE=AB; ZABF=ZAFB = = 2ZAEF=2ZCBD, ZCBD = l/3ZABC); на рис. 13 FE=AB(ZDEF=42ZBFC = 42ZFCB = 43ZABC). Осуществлялись вставки механически с помощью скользящей линейки, на которую заранее нанесен размер вставки. Линейку вращали вокруг неподвижной точки, заботясь, чтобы одна метка двигалась по одной из заданных линий до тех пор, пока другая метка не попадала на другую линию. Задача о трисекции угла имеет столь же долгую историю, как и задача об удвоении куба, Рис. 12 40 Рис. 13
Сведение ее к кубическому уравнению отмечено в истории впервые в X в. Строгое же доказательство невозможности точной трисекции угла циркулем и линейкой есть простое следствие упомянутого результата Ванцеля. Третьей знаменитой задачей древности является квадратура круга, т. е. задача об отыскании квадрата, равновеликого заданному кругу. Эту задачу в античной Греции рассматривали в обоих аспектах: точном и приближенном. Последний подход привел к введению метода исчерпывания площади круга вписанными или описанными правильными многоугольниками и далее к приближенным вычислениям числа я. Огромное же количество попыток точно квадрировать круг не приводило к успеху и не могло привести вследствие трансцендентной природы задачи. В самом деле, пусть отрезок г0 — радиус данного круга. Тогда сторона равновеликого квадрата г = г0Ул. Задача сведена к численному, а в условиях древнегреческой математики к графическому умножению отрезков длины г0 и Уя соответственно. Такое умножение можно выполнить лишь, если второе из чисел будет корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратичных радикалах. Следовательно, строгую и полную трактовку проблемы квадратуры круга можно получить только после выяснения арифметической природы числа я. Решение же этой проблемы растянулось на много веков. Только в конце XVIII в. И. Ламберт и А. Лежандр сумели доказать, что я не является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа, т. е. тот факт, что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, была доказана в 1882 г. Линдеманом. Упомянем, к слову, что в геометрии Лобачевского для некоторых значений радиуса кривизны пространства квадратура круга допускает разрешимость в квадратичных иррациональностях. Античные математики, стремившиеся теоретически полно и точно разрешить проблему квадратуры круга, этого, разумеется, не знали. Но их усилия принесли математической науке большую пользу, обогатив ее новыми методами и фактами. Так, был разработан метод исчерпывания, являющийся ранним предшественником метода пределов. Были введены в математику различные трансцендентные кривые, в первую очередь* квадратриса. Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями. Мы имеем здесь в виду луночки (мениски) Гиппократа Хиосского, образованные дугами окружностей. Исследования Гиппократа о луночках опираются на теорему, что площади подобных сегментов кругов пропорциональны квадратам диаметров. Первая из_ квадрируемых луночек вырезана иа полукруга дугой радиуса гУ2, опирающейся на диаметр. Луночка оказывается равной площади равнобедренного треугольника АСВ, гипотенузой которого служит диаметр круга (рис. 14). Разновидностью этого результата является теорема, что если на сторонах 41
0 fc25> Рис. 14 Рис. 15 прямоугольного треугольника как на диаметрах построить окружности, то сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника, т. е. квадрируема (рис. 15). Другой вид луночек появляется, когда вокруг трапеции _ео сторонами 1, 1, 1, УЗ описывают окружность, а на стороне УЗ строят сегмент, подобный сегментам, отсекаемым остальными хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной трапеции. Наконец, в третьем типе луночки (см. о них: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. М., Физматгиз. 1959. С. 183— 190; Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.; Л., ГТТИ, 1938. С. 60—61) внешняя дуга меньше полуокружности. Обнаружение квадрируемых луночек вызвало к жизни проблему: насколько велик класс квадрируемых луночек и каков его состав? Все ли их виды найдены? Существуют ли другие типы луночек, площади которых тоже выражаются посредством квадратичных иррациональностей, составленных из входящих в их построение линейных элементов? Ответ на эти вопросы был дан лишь спустя много веков. Только в 1840 г. немецкий математик Клаузен нашел еще 2 квадрируемые луночки. Полностью вопросы о них были решены тогда, когда в 30—40-х гг. советские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, пользуясь методами теории Галуа, показали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг соизмеримы, то других квадрируемых луночек, кроме пяти уже найденных, не существует. Отношения числовых мер этих луно- 2 3 3 5 5 чек: —, —, —, —, — . 1 ' 1 ' 2 1 3 Открытие явления несоизмеримости, как выше было указано, поставило перед трудными задачами всю метрическую часть геометрии, теорию подобия и те разделы математики, где приходится пользоваться начальными формами понятий непрерывности, предельного перехода и т. п. Теория рациональных чисел и их геометрических аналогов уже не могла служить основой этих разделов математики. В силу такой ситуации, появление иррациональностей обусловило необходимость создания общей теории, способной выработать понятия, сформулировать определения и 42
ввести операции, применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин. Этой теорией была общая теория отношений величин. Самой, вероятно, ранней формой этой теории античности являлся алгоритм попеременного вычитания, часто именуемый алгоритмом Евклида. Пусть даны 2 отношения а:Ь и c:d. Поиск общей меры величин, участвующих в отношениях, приводит к следующим цепочкам соотношений: а\Ь c\d а—п0Ь = Ь\у с—m0d=du b—nibi = b2y d—midi = d2i bx—n2b2 = bZy di—m2d2 = dz. В случае если члены отношения соизмеримы, эта цепочка конечна; несоизмеримость делает процесс бесконечным. Эквивалентом алгоритму попеременного вычитания является представление отношений посредством непрерывных дробей. Например: а . Ь\ ,1 , 1 Ь 1 г т+ ~т— 01 7*2+ . . . Сравнение последовательностей п0, пь п2у ... и т0, ть m2j ... позволяет устанавливать между отношениями понятия равенства и неравенства, сравнивать их по величине Пусть k—1 элементов обеих последовательностей совпадают. Тогда: а) если tik>mkf то a:b<c:d, если k нечетно, и a:b>c\dt если k — четно; б) если же пк<тк, то a:b<c:d в случае четности k и a:b>c\d в случае его нечетности. Однако попытка ввести операции над отношениями, определенными таким образом, сразу же наталкивается на серьезные математические трудности. Например, чтобы ввести умножение отношений, требуется найти способ определения неполных частных непрерывной дроби-произведения через неполные частные непрерывных дробей-сомножителей. Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь приемлемой формулы. Тем более не было ничего, что могло бы помочь развить общую идею в те далекие времена. Наконец, не было выработано четких представлений об общем понятии величины. Можно быть уверенным, что именно в силу таких или подобных обстоятельств алгоритм попеременного вычитания не сделался основой общей теории отношений. Другая концепция античной общей теории отношений связана исторически с именем Евдокса Книдского (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.). Ему же приписывают построение развитой математической теории пропорций. Что же касается общей теории отношений, то: а) в ней сформулировано описание общего понятия величины посредством 5 аксиом. 1. Если а = 6 и с='Ь, то а —с. 2. Если 43
а=с, то a+b=c + b. 3. Если a = ct то а—Ь=с—Ь. 4. Совмещающиеся (при наложении) равны. 5. Целое больше части; б) введена аксиома однородности: а и Ъ могут находиться между собою в отношении, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. Это означает: для любых конечных а и b существуют целые тип, такие что па>Ь и mb>a. Эта аксиома имеет целью не допускать в общую теорию отношений так называемые неархимедовы величины, примером которых в те времена были роговидные углы (углы между кривыми и их касательными). Отйошения в теории Евдокса введены через определение их равенства. Именно: равенство двух отношений a:b = c:d считается установленным, если из трех возможных условий таШпЬ соответственно вытекают три следствия mcMnd для любой пары натуральных чисел т и п. Существует предположение, что подобное определение возникло как абстракция процедуры измерения и сравнения отрезков посредством их рациональных приближений. Эта гипотеза находит подтверждение, когда в теории Евдокса речь заходит об отношениях порядка. Именно a;b>c\d, если существует пара натуральных чисел тип такая, что ma>nb и mc^sid. Отсюда следует, что c:d^m/n<.a:b, т. е. между двумя неравными отношениями существует (его можно вставить) рациональное число. Можно полагать, что современная идея рациональных приближений действительных чисел имеет в своих истоках теорию отношений Евдокса. Что касается алгебраической части теории, то в ней введена только одна операция составления отношений, являющаяся предтечей операции умножения действительных чисел. Если существуют 2 отношения а.Ь и b:ct то из них можно составить отношение а\с. Это отношение называли двойным. Возможно составление и более сложного отношения, например тройного. В случае, если надо составить отношения а:Ь и c\d, необходимо преобразовать одно из них (например, второе), предварительно отыскав четвертую пропорциональную: c:d=b:x. Введение только одной операции объясняется тем, что теория Евдокса применялась лишь в учении о подобии, где служила основой теории пропорций, а также при определении площадей и объемов. Мы уже упоминали о некоторых аналогиях и преемственности между античной теорией отношений и современными теориями действительного числа. Наибольшее основание для подобных сравнительных суждений дает теория сечений, построенная Р. Де- декиндом. В самом деле, каждая пара архимедовых величин а и Ь, участвующих в отношении а:Ь, по теории Евдокса, производит разбиение пар целых чисел на классы. Те пары, для которых справедливо ma>nb, могут быть включены в один класс, те же, для которых справедливо обратное соотношение та<пЬ — в другой класс. Пару т0, п0, осуществляющую равенство тф—пф, можно отнести в -один из двух предыдущих классов. Сам Дедекинд не отрицал возможности подобной аналогии, указывая лишь на то, что в теории Евдокса не учтен фактор непрерывности. 44
Однако различия между теорией отношений Евдокса и теорией сечений Дедекинда этим замечанием не исчерпываются. Дело в том, что первая из них осуществляет разбиение пар целых чисел на классы, но не доказывает обратного. Именно не доказывается, что любому такому разбиению соответствует некоторая пара архимедовых величин, определяющих это разбиение. Кроме того, не определяются условия, которым должны удовлетворять множества пар целых чисел, чтобы быть классами разбиения, т. е. не быть пустыми, не пересекаться и обладать свойством односторонности любого элемента одного множества по отношению к любому элементу другого множества. Наконец, у Дедекинда предварительно определены все четыре действия арифметики, тогда как у Евдокса введена только одна операция, а множество пар целых чисел осталось неупорядоченным. Иначе говоря, вещественные числа Дедекинда образуют поле, тогда как отношения Евдокса образуют группу. Дальнейшее историческое развитие античной теории отношений пошло по пути трактования отношений как обобщенных чисел и отождествления их с дробями. Так поступали Архит, Архимед, Герои и многие другие математики. В этом сказалось воздействие практики, требовавшей усовершенствования вычислительно-алгоритмических методов решения задач и распространения этих методов на все более широкие классы чисел. Мы так подробно обсудили этот пример для того, чтобы показать, что математические теории античности имеют зачастую много общего с современными математическими теориями. Однако надо всегда уметь выделять специфику этапов их исторического развития, чтобы не впадать в какую-либо из двух нередко встречающихся ошибок: отождествления прошлого с настоящим или нигилистического отрыва настоящего от прошлого, того отрыва, который делает исследователя слепым перед будущим. § 2.2. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И СИСТЕМЫ АКСИОМ Первые математические теории, абстрагированные из совокупности конкретных задач и из методов их решения, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это в свою очередь возбудило у древнегреческих математиков стремление систематизировать факты математики и логически последовательно построить ее основы. Подобная работа — необходимый закономерный акт любой науки, служащий отправным пунктом ее дальнейшего развития. В античной математике процесс систематизации и обобщений дал значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс являлся частью аналогичного процесса, происходившего во всей системе естественнонаучных знаний и нашедшего яркое выражение в философских воззрениях Аристотеля. Огромное влияние на математику тех времен оказали и успехи логики. Сложившиеся 45
основные формы мышления уже были систематизированы и изучены, были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки. Последняя стала принимать формы логически последовательных, усложняющихся систем высказываний, покоящихся на некоторых исходных началах. Нигде и никогда в истории человеческого знания в сравнимые эпохи аналогичный процесс, насколько известно, не происходил. Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математических доказательств были главными причинами того, что математика ранее других наук стала излагаться как дедуктивная наука, принявшая вид логической последовательности теорем и задач на построение, заботящаяся о том, чтобы число исходных положений было минимальным. Геометрическая форма общих идей греческой математики, как мы уже указывали, ведет свое происхождение от осознания факта большей полноты множества отрезков прямых по сравнению с множеством рациональных положительных чисел. Те сочинения, в которых описывались первые системы математики, назывались «Началами». Исторически самые ранние «Начала», о которых дошли до нас сведения, были написаны Гиппократом Хиосским. Встречаются упоминания о «Началах», принадлежащих и другим авторам. Но все эти сочинения были оставлены, забыты и утеряны практически с того времени, когда в III в. до н. э. появились «Начала» Евклида. Последние получили всеобщее признание как система математических фактов, строгая логическая последовательность которой оставалась непревзойденной свыше 20 веков. Все это время люди изучали геометрию по Евклиду. До сих пор его «Начала» лежат в основе всех систематических школьных курсов геометрии. Научные математические исследования в очень большой степени опираются на систему Евклида, нередко подражая даже форме его суждений. О самом Евклиде мало что известно. Жил он около 300 г. до н. э. в городе Александрии, входившей, как и сейчас, в состав египетского государства. Последнее образовалось в результате распада мировой державы Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как центра торговли и технических усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев к организации научно-учебного центра — Музейона (что означает: прибежище муз). С течением времени в Музейоне было собрано свыше 500 тысяч сочинений, в большинстве научных. Работу в этом раннем прообразе современных академий на условиях государственного обеспечения постоянно или временно вели почти все крупнейшие ученые эллинистического мира, в том числе Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и многие другие. Благоприятное влияние Музейона на развитие науки длилось около 7 веков. В начале нашей эры оно начало падать в результате разрушительных завоевательных войн римлян. Позднее Музейон был разорен и уничтожен под влиянием реакционного христианства, а «языческие» ученые разогнаны или убиты. 46
Когда Евклид готовил свои «Начала», он, по всей видимости,, не ставил перед собой цель составить энциклопедию математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился изложить только основы математики в виде единой логически совершенной математической теории, основанной на минимальном числе исходных положений. В этом смысле «Начала» являются ранними предшественниками современного способа аксиоматического построения математических теорий. «Начала» состоят из 13 книг, каждая из которых представляет последовательность теорем. Иногда к этим книгам присоединяют — 14-ю и 15-ю, но считается установленным, что они написаны позднее и другими авторами, хотя по содержанию близки к последним из книг Евклида. Первая книга начинается с определений, аксиом и постулатов. Определения также введены в книгах 2—7, 10, 11. Аксиом и постулатов нигде, кроме первой книги, нет. Определения — это предложения, с помощью которых автор вводит математические понятия, поясняя их. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» и т. п. Эти определения в ходе истории много раз подвергались критике за их неполноту и недостаточную логическую определенность. Однако более совершенной или хотя бы равноценной системы определений так и не появилось. Дело свелось к тому, что в наше время при аксиоматическом построении математической теории единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные не- разъясняемые сущности. Что же касается определений Евклида, то их следует рассматривать как исторически сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в математику освящено традицией. Это — не столь уж редкий, если не сказать наиболее часто в истории науки встречающийся, способ введения математических определений. Аксиомы, или общие понятия, у Евклида — это предложения» вводящие отношение равенства или неравенства величин. Аксиом — пять. 1. Равные одному и тому же равны и между собой. 2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. 3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны. 4. Совмещающиеся (друг с другом) равны. 5. Целое больше части. В число исходных положений «Начал» входят постулаты, т. е. утверждения о возможных (или допускаемых) в данной теоретической системе геометрических построениях. С их помощью Евклид обосновывает все алгоритмические операции и построения. Постулатов тоже пять. 1. Через 2 точки можно провести прямую. 47
2. Отрезок прямой можно продолжать неограниченно. 3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если 2 прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей, и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место. В различных изданиях «Начал», а ранее того переписчиками и комментаторами система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась. Почти всегда это было неудачно и отвергалось. За многие века, конечно, по мере усовершенствования средств логического анализа и критериев строгости, постепенно вскрывались действительные недостатки системы исходных высказываний «Начал». Это логическая перегруженность определений, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие критериев для пересечения окружностей и прямых (теорем существования) и другие более мелкие недостатки. Первые реальные успехи в создании систем аксиом геометрии, удовлетворяющих требованиям строгости, близким и современным, были достигнуты лишь к концу XIX в. в работах Паппа (1882), Пеано (1889) и Пиери (1899). Первая редакция наиболее распространенной в настоящее время и общепризнанной системы аксиом геометрии появилась в «Основаниях геометрии» Д. Гильберта (1899). Позднее Гильберт сам внес в свою систему необходимые усовершенствования. Сейчас она состоит из следующих пяти групп аксиом: а) 8 аксиом соединения или принадлежности; б) 4 аксиомы порядка; в) 5 аксиом конгруэнтности или движения; г) 1 аксиома параллельности; д) 2 аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты. Эти 5 групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую, плоскость и отношения между ними, выражаемые словами: принадлежит, лежит между, конгруэнтен. Определений и постулатов современная аксиоматическая система геометрии не имеет. Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая геометрия отвлекается от качественных особенностей изучаемых объектов и исследует лишь все возможные виды логических связей между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обозначали в течение многих веков своей истории, но и совсем негеометрической, казалось бы, природы. «Начала» Евклида далеки от подобных постановок задач геометрии. В них рассматриваются более низкие, первые, ступени абстракции пространственных свойств предметов материального мира. Укажем теперь на некоторые характерные особенности методов математических суждений и форм изложения «Начал»: 48
а) метод рассуждений Евклида — всегда синтетический. Для доказательства теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, которое в конечном счете опирается на систему исходных высказываний. Из него он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь рассуждений: приняв искомую теорему за доказанную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до того, как будет получено заведомо верное утверждение: в «Началах» в качестве доказательства не употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом; б) доказательства теорем строятся по единой схеме, состоящей из следующих частей: формулировка задачи или теоремы (jiporaaig — предложение); введение чертежа для наглядного разъяснения постановки задачи или теоремы (ехФеаьс; — изложение); формулировка по чертежу искомого (бюрю[ход — определение); проведение вспомогательных линий (xaxaoxevr] — построение); доказательство в собственном смысле (ano6ei^ig — доказательство); объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу или же адекватно поставленной теореме г {aojLutepaaiLia — заключение). В несколько иной форме эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как классический образец математического рассуждения, в известной степени обязательный в математике; в) средства геометрического построения — циркуль и линейка — принципиально не употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» речь не идет об измерении длин отрезков, площадей фигур, объемов тел, а об их отношениях. Впрочем, достаточно ввести единичный объект, чтобы вопрос об измеримости не возникал. Первые 6 книг «Начал» — планиметрические; из них книги 1—4 содержат ту часть планиметрии, где для доказательства теорем не требуется соображений из теории пропорций. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают эту книгу теорема Пифагора и обратная ей. Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом, что они составляют геометрический аппарат для интерпретации алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Это называют теперь геометрической алгеброй. Третья книга составлена из теорем о свойствах круга и окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов. Четвертая книга посвящена теоремам о свойствах правильных многоугольников, вписанных и описанных, а также построениям правильных 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. 49
В пятой книге развита общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа в форме, соответствующей методу дедекиндовых сечений. Геометрические теории, в которых необходимо использовать теорию отношений, сосредоточены в 6-й книге. В ней, например, доказаны теоремы об отношениях площадей прямоугольников и параллелограммов,, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобия фигур и об отношении площадей подобных фигур. Здесь же помещена группа теорем об эллиптическом и гиперболическом приложениях площадей (производимых в книге 2 на прямоугольниках) на параллелограммах. Она дает метод геометрического решения задач, которые интерпретируются алгебраическими уравнениями вида ax±bx2/c = S (где а, Ь, с — данные отрезки, 5 — заданная площадь, х — неизвестный отрезок), и представляет собой по сути, обобщение результатов геометрической алгебры. Следующие три книги (7—9-я) часто называют арифметическими, несмотря на их геометрическую форму. Первая из них — седьмая — начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. Такой алгоритм в школе применяется при отыскании общего наибольшего делителя. В научном отношении такой алгоритм применяется как один из способов построения теории действительного числа. Затем следуют несколько теорем о делимости. Наконец, излагаются факты теории пропорций, которые получают продолжение в последующих книгах. В этой теории, по существу, вводятся целочисленные геометрические прогрессии, показывается, что отношения членов непрерывной пропорции являются формой степени чисел, вводится понятие среднего пропорционального, дан способ отыскания суммы членов геометрической прогрессии. Значительную часть 9-й книги составляет учение о простых числах. Доказывается, что простых чисел может быть неограниченно много. В ряде теорем рассматриваются свойства четности и нечетности. Книга завершается замечательной теоремой: если число 5 видач] 2А является простым, то число S\=S-2n совершенно ное, т. е. равное сумме своих делителей, включая единицу и исключая самого себя. Вопрос о том, исчерпывают ли числа данного вида все множество совершенных чисел, остается нерешенным к сейчас. Десятая книга содержит громоздкую и сложную классификацию всех 25 видов биквадратичных иррациональностей (т. е. выражений вида Vya ± ]/fc > гДе а и b —соизмеримые отрезки). Они понадобятся автору «Начал» позже, при исследовании правильных многогранников, отношения ребер которых к диаметру описанного шара именно так и выражаются. Кроме этого в 10-й книге имеются и другие важные предложения: а) основная лемма метода исчерпывания (если от заданной величины отнять часть„ 50
большую ее половины, с остатком повторить то же и т. д., то можно получить сколь угодно малую величину); б) способ нахождения неограниченного числа пифагоровых троек, т. е. чисел х> у, г, удовлетворяющих условию x2-\-y2=z2\ в) отыскание общей наибольшей меры 2 и 3 рациональных чисел (соизмеримых величин) и др. Последние три книги (11 —13) «Начал» стереометрические. Первая из них открывается большим числом определений, что естественно, так как в предыдущих книгах стереометрические объекты не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимных расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о многогранных углах. В конце книги рассматриваются отношения объемов параллелепипедов и призм. Исследование объемов других тел (пирамид, цилиндров, конусов и шаров) требует обязательного выполнения предельного по своей сущности перехода. В 12-й книге отношения объемов этих тел найдены с помощью метода исчерпывания (такое название этого метода существует с XVII в.). Идея этого метода, являющегося, по существу, ранней формой метода пределов, состоит в следующем: устанавливается, что подобные правильные многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги «исчерпываются» последовательностями правильных вписанных 2п-угольников (м = 2, 3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются неизменными. После неявного перехода к пределу доказывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Последняя, 13-я, книга содержит построения 5 правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранни- ка), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра (20-гранника). Там же находятся отношения объемов шаров как кубов их радиусов. И наконец доказывается, что других правильных многогранников не существует. Внимательный обзор содержания «Начал» может раскрыть многое, что необходимо знать образованному математику. Язык «Начал» геометрический. Но в этом сочинении обнаруживаются элементарная геометрия, основы теории рациональных чисел, общая теория отношений величин, опирающиеся на нее теория пропорций, теория квадратичных и биквадратичных иррационально- стей, элементы алгебры, метод исчерпывания. Мы здесь стремились показать, что в «Началах» дана система, позволяющая видеть в них античного предшественника современного аксиометри- ческого построения математических теорий. В то же время для историко-научных изысканий важно, что «Начала», их логическая структура, отражают исторический путь формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры, до более сложных: теории отношений, метода исчерпывания, классификации иррациональностей. В то же время хотя изложение «Начал» геометрическое, но в них нет известного в те времена материала, например: теории конических сечений, алгебраических и 51
трансцендентных кривых. Наконец, в них совершенно отсутствуют вычислительные методы. Мы еще не раз будем обращаться к этому сочинению. Оно замечательно и многогранно. Уже более двух тысяч лет из него черпается материал для школьных учебников по геометрии. В дискуссиях, которые ведут в педагогическом мире о преподавании геометрии, часто обращаются к «Началам». К сожалению, слишком часто различные стороны этого многопланового сочинения смешиваются или нечетко выделяются. Это ведет к путанице, порождаемой незнанием истории и логики развития математики. § 2.3. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИКЕ ДРЕВНИХ При построении математических теорий в древней Греции рано выделился особый вид задач и теоретических проблем, для решения которых оказывалось необходимым исследовать и применять бесконечные процессы и предельные переходы, используя при этом особые понятия: например, непрерывность, бесконечность и др. Уже одно из первых (а возможно и первое) открытий теоретического характера — обнаружение несоизмеримости величин — поставило задачу рационального объяснения подобных проблем и способов их решения. В упомянутом случае речь идет: а) о неограниченной продолжаемости процесса нахождения общей меры; б) о бесконечной малости последней; в) о том, что общая мера должна содержаться бесконечное множество раз в сравниваемых величинах. С этой группой проблем вскоре были сближены проблемы геометрические, решение которых приводило к аналогичным затруднениям (определение большинства площадей и объемов). Некоторые из ученых древней Греции искали выход из этих затруднений в том, чтобы применить в математике атомистические философские воззрения. Наиболее ярким примером подобного подхода является натурфилософское учение Демокрита. Последний считал, что все тела состоят из малых атомов — первовели- чин. Тела различаются между собой по форме, положению и способу соединения составляющих их атомов. В математическом плане он вводил рассуждения о бесконечно малых и о применении этого понятия к вычислению площадей фигур и объемов тел. Однако слишком мало известно о математической трактовке подобных идей. Гораздо больше известно о возражениях их противников. Мы имеем здесь в виду апории Зенона Элейского, т. е. логические парадоксы, к которым приводят попытки получать не-* прерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц. Среди апорий наиболее известны: 1) дихотомия, т. е. невозможность осуществить движение, так как путь делим пополам, еще раз пополам и так далее до бесконечности; поэтому отправляющийся в путь обязан последовательно преодолевать бесконечно много участков пути (математически это сводится к отрица- 52
нию факта, что J " ^'ll 2) Ахиллес, который не может дог- нать черепаху, так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только что она находилась, т. е. исчерпывать бесконечную последовательность отрезков пути (математически это оказалось возражением против уже известного в то время факта, что оо 2 1 п = ; , 3) полет стрелы делается невозможным, если время считать суммой дискретных мгновений, а пространство — суммой дискретных точек. Апории Зенона убедительно показали, что если искать точные доказательства и логически исчерпывающие решения задач, нельзя пользоваться понятием «бесконечность», опираясь на наивные атомистические соображения. Для подобных целей необходимо разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с суждениями о бесконечно больших и бесконечно малых величинах соображения о предельных переходах. Одним из самых ранних методов такого рода является метод исчерпывания. Изобретение его приписывают Евдоксу. Примеры его употребления приведены в 12-й книге «Начал» Евклида и в ряде сочинений Архимеда. Метод применялся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых, нахождении подка- сательных к кривым и т. п. Математическая сущность метода (разумеется, в виде, несколько отличном от формы излржения древних греков) состоит в проведении следующей последовательности операций: а) если необходимо, например, квадрировать фигуру В (рис. 16), то в качестве первого шага в нее вписывают последовательность других фигур А\, Л2, ..., Ап, ..., площади которых монотонно возрастают и для каждой фигуры в этой последовательности могут быть определены; б) фигуры Ak (?=1, 2, ...) выбираются таким образом, чтобы положительная разность В—Аи могла быть сделана сколь угодно малой; в) из факта существования и способа построения вписанных фигур делается вывод об ограниченности сверху значений этой последовательности и о том, что они исчерпывают искомую площадь; Affl Рис. 16 Рис. 17 53
г) неявно, обычно с помощью иных, привлеченных к этому соображений, отыскивается или просто указывается А — предел последовательности площадей вписанных фигур; д) доказывается (для всякой задачи наново), что В=А. Доказательство ведется, как правило, от противного. Пусть ВфА. Тогда либо В>А, либо В<А> Допустим, В>А. Выберем такой элемент Ап последовательности, чтобы В—Ап<сВ—А. Это возможно для любой фиксированной разности В—А. Но тогда должно следовать, что Ап>А, а это невозможно. Противоположное допущение: В<А тоже приводит к противоречию, потому что можно подобрать такое Ап, чтобы А—Ап<.А—В. Но в таком случае должно получиться, что Ап>Ву а это также невозможно. Методом исчерпывания доказывается, таким образом, единственность предела. В сочетании с другими методами и соображениями он полезен для его нахождения. Однако решения вопроса о существовании предела и алгоритма его определения метод исчерпывания дать не может. В качестве примера применения метода исчерпывания приведем нахождение квадратуры параболы в сочинениях Архимеда. Пусть требуется найти площадь S косого параболического сегмента ABC, отсекаемого хордой АС. Касательная к параболе в точке В диаметра ВО, сопряженного с данной хордой, параллельна последней: MBN\\AC (рис. 17). Первой фигурой Ai последовательности исчерпывающих фигур является ААВС. Вторая фигура А2 получается добавлением к ААВС двух треугольников: ADB и ВСЕ. Для их построения делят АС на 4 равные части и проводят FD\\OB и GE\\OB. Аналогично далее будем строить А$, Л4, .... Из свойств параболы получается: AABC=4(/AADB + ABCE). В самом деле, примем ОВ и MN соответственно за оси х, у косоугольной системы координат. Координаты точки Е (|, у/2) удовлетворяют условию: (*//2)2 = = т\, откуда 1=у2/4т GE=x-t = y--Jt==±«L = !x=:±OB. т Am 4 т 4 4 Так как GK=l/20Bf то КЕ = 1/АОВ и GK = 2KE. Теперь уже можно сравнивать площади треугольников. ACKG = 2AKCE = ABCE, OBC=4AGKC=4ABCE. Аналогичные рассуждения приведут к соотношению ААОВ = —4AABD и упомянутое свойство параболы окажется доказанным. Итак, если Л1 = Д, то 4 4 42 4 4 Теперь потребуется доказать, что указанная последовательность фигур действительно исчерпывает параболический сегмент, т. е. 5—Лп<е, где п = п(г). 54
Для этого описывается параллелограмм AMNC, где А/И||МС|{ \\ВО\ Ai = 1/2Samnc, но S<SAmnc, значит, Ax>l/2S и S—A{<:l/2S. Фигура А\ исчерпала больше половины площади S, а последующие фигуры будут исчерпывать больше половин соответствующих остатков площади S. Удовлетворена основная лемма: если от данной величины отнять часть, большую, чем ее половина, затем таким же образом повторять вычитание, то остаток может быть сделан сколь угодно малым. Следующим шагом должно быть нахождение предела последовательности вписываемых фигур. В сочинениях древних авторов обычно этот шаг не разъясняется. Однако данный случай является исключением. Архимед доказывает, что Ы* 3 3 4"-»' а поскольку вычитаемое может быть сделано сколь угодно малым, то утверждается, что S = 4/3A. При этом он опирается на следующую любопытную теорему. Пусть S=A + B + C + D+E; причем A:B = B:C = C:D=D:E = = 4:1. Тогда S=A/^A—l/3E. В самом деле: */3S=43(A+B+C+D+E)=43A+4,(A+B+C+D+E)^ -45E=ysA+43S-43Et или S — 4/3Л — Х13Е, что можно распространить на любое число слагаемых. Решение завершается традиционным доказательством от противного единственности результата. Математическая строгость метода исчерпывания оставалась непревзойденной в течение многих веков. По существу, только в XIX в. были поставлены и начали получать разрешение проблемы, непосредственно вытекающие из его сущности. Однако при большой глубине и значимости метода, форма его и употребление долгое время были весьма несовершенными. Метод развивался только в связи с конкретными задачами, на их материале. Он не стал общим абстрактным методом с развитой системой исходных понятий и с единообразными алгоритмами. Единственность предела доказывалась всякий раз заново. Этот недостаток не был случайным, частным. Дело в том, что всякая попытка ввести этот способ доказательства раз навсегда для определенного достаточно широкого класса задач неизбежно влекла за собой необходимость разъяснения ряда понятий инфинитезимальной природы. Потребовалось бы дать рациональное объяснение понятия бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величины и других, не менее сложных, понятий. Связанных с этим трудностей математики еще долго не могли преодолеть. Предельные же переходы, совершавшиеся фактически в силу интуитивных, эмпирических или каких-либо иных соображений, получали в методе исчер- 55
пывания первые теоретические оформления, — исторически ранние, первичные формы позднейшей теории пределов. Как мы уже упоминали, метод исчерпывания был в античной математике общеупотребительным. Он лежал в основе многих ин- финитезимальных суждений и выдающихся конкретных достижений. Особенно богатый материал, позволяющий судить об инфи- нитезимальных методах в древней Греции содержится в сочинениях Архимеда, которому принадлежит приведенный здесь пример квадрирования параболического сегмента. Архимед (287—212 гг. до н. э.) был уроженцем города Сиракузы (в южной части острова Сицилия). Его отцом был местный астроном и математик Фидий. Для усовершенствования своих знаний Архимед некоторое время работал в Александрии, в Му- зейоне в сотрудничестве с другими учеными. Возвратившись в Сиракузы, он продолжал интенсивные научные занятия. В конце жизни участвовал в защите родного города от римских завоевателей, руководя постройкой оборонительных сооружений и изобретая губительные для врага орудия. Во время взятия Сиракуз Архимед был убит, а его библиотека и инструменты разграблены. Из научного наследия Архимеда история сохранила 10 сравнительно крупных и несколько более мелких сочинений математического содержания. Из них видно, что главной особенностью творчества Архимеда является сохранение тесной связи математических методов с задачами механики и вообще физики. Ниже мы расскажем об этом подробнее. Кроме того, будут освещены инфинитезимальные методы Архимеда: метод интегральных сумм и дифференциальные методы. Многочисленные изобретения и открытия Архимеда широко известны. Ему принадлежат архимедов винт, система рычагов, блоков и винтов для поднятия и передвижения больших тяжестей, определение состава сплавов с помощью взвешивания их в воде^ планетарий, метательные орудия и многое другое. Известны и теоретические работы Архимеда: «О равновесии плоских фигур»^ где, в частности, введены законы рычага, «О плавающих телах», «Книга опор» и др. Связи математики и механики в творчестве Архимеда с особенной силой проявились в его сочинении «Послание к Эрастофе- ну (Эфод)», найденном в 1908 г. Это была работа о механическом методе решения геометрических задач. Пусть, например, необходимо вычислить объем шара. Одновременно с шаром строят конус и цилиндр, радиус основания и высота которых равны диаметру шара. Через все эти тела проводят сечение, параллельное основаниям, на некотором произвольном фиксированном расстоянии от них (вертикальный разрез см. рис. 18) AK2=OK2+OA2=OK2+OL2. В то же время АК2= =АВОА. Следовательно, OK2+OL2=AB-OA. Таково же соотношение между величинами, пропорциональными слагаемым nABWA=nOK2AB + nOL2AB. 56
м к fv J/l т А о\\ . с \\ 1 Рис. 18 Рис. 19 ^°пЛГ1Л,И соотношение между горизонтальными сечениями шара, цилиндра и конуса. v * п»^Ыу соотношению Архимед дает механическую интерпретацию, основанную на правиле рычага, или, что то же самое дву- плечных весов. Именно, если принять точку А за точку опоры рычага, то элемент цилиндра, закрепленный в О, уравновесит элементы шара и конуса, закрепленные в Т (АТ=АВ) Переходя к объемам тел как к суммам всех произвольных сечений параллельных друг другу, он получает Р 1/цплЛС= (Vm+VK0B)A Т= <ТШ+ VKOil)2AC, отсюда Но так как VMH=4aV Vm=V2VW-VK0H. ЦНЛ) то Vm=*LVt /б"цил или ^ш = 1/6тг(2г)2-2=4/зтс''*. Тот же способ механический аналогии Архимед применил в сочинении «О квадратуре параболы». Параболическая пластинка представляется подвешенной к одному плечу неравноплечного рычага и разделенной на элементы, каждый из которых уравновешен соответствующей нагрузкой на другом плече В соответствии с научной традицией своего времени Архимед переводил доказательства, полученные методом механической аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обязательным завершением последнего в каждом отдельном случае доказательством от противного. Механические и физические аналогии и в последующие века часто применялись, притом с успехом, для решения трудных математических и нематематических задач. Перейдем к описанию того инфинитезимального метода который можно охарактеризовать как метод интегральных сумм Наиболее яркие примеры применения этого метода можно найти в сочинениях Архимеда: «О шаре и цилиндре», «О спиралях» «О коноидах и сфероидах». Существо этого метода в применении например, к вычислению объемов тел вращения состоит в следующем: тело вращения разбивается на части. Каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить. Сумма объемов описанных тел будет больше а 57
сумма объемов вписанных тел — меньше объема тела вращения. Теперь остается выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность сумм их объемов могла бьпъ сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел цилиндров, расположенных подходящим образом (рис. 19). В качестве примера приведем решение задачи вычисления объема эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах». Так называют тела, образованные вращением конических сечений вокруг большой оси. Коноидами называют параболоиды и гиперболоиды вращения, сфероидами — эллипсоиды вращения. Смысловой оттенок в названиях обусловлен наличием или отсутствием безгранично удаляющихся ветвей. Конкретному решению задачи предпослана лемма: если дан сегмент коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной оси, или сегмент сфероида, отсеченный тем же способом, то можно вписать в него и описать вокруг него фигуры, сложенные из цилиндров равной высоты таким образом, чтобы описанная фигура превосходила вписанную меньше чем на любую телесную (объемную) величину. Доказательство очевидно. Дано тело вращения ABC и телесная величина е>0. Архимед делит ВО на п равных частей и строит вписанные и описанные цилиндры, сумму объемов которых соответственно обозначают VQ п И V вп> Их разность равна объему цилиндра АА\, т. е. тса2Ь/п, который подбором достаточно большого числа п может быть сделан сколь угодно малым. Теперь можно предположить, что на данном рисунке изображен сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его объем. В таком случае п-1 Von=Kha*+nhxl+*hxZ+ ... +Khx?_l=«h J *2» (*•=*). ft—о где xi — радиус основания соответствующего цилиндра. Задача, таким образом, сведена к суммированию квадратов натурального ряда чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям: из h -^— = 1, имеем x2=a2(b2—y2)fb2 и для каждого се- а2 Ь2 чения х\ =?<*8-*2). 4=^2-№),.... *S-i=? (ба-[(п-1)Л]2), откуда fe»0 I v—i где v —• последовательные натуральные числа. Для нахождения 58
сумм их квадратов Архимед применил геометрические оценки вида л-1 3 V—1 2 ^ (/г+1)3*2 < данные им в сочинении «О спиралях». Фактически он производит оценку вида п3Л3 =f<2]w*< (/г-Н)3Л3 v=l откуда (так как /гЛ = 6) -<»*<- + - + -+-, что, до известной степени, эквивалентно оценке для cx*dx. Из 1; zn тта26 С-т) тса2Ь. этих оценок Архимед получает Аналогично Увп<2яа2Ь/3. Но так как согласно лемме Von—VBn<e, то искомый объем сегмента У==2яя2й/3, т. е. равен удвоенному объему конуса с теми же основанием и высотой, что и сегмент. Единственность предела Архимед доказывает, как и во всех других случаях, приведением к противоречию. Приведенный пример показывает, что в античной математике вложились элементы определенного интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, по своей сущности эквивалентных суммам Дарбу. Другим примером метода интегральных сумм может служить определение площади первого винка архимедовой спирали, имеющей в полярных координатах уравнение р—ф. Спираль вводится кинематически как траектория точки, подвергнутой двум равномерным движениям: вращению луча вокруг точки и движению точки вдоль луча от центра (рис. 20). Для определения площади первого витка окружность (г=а) делится на п частей. Вслед за тем строятся две последовательности вписанных и описанных круговых секторов, радиусы которых: 2а За па = а. Их пло- Рис. 20 59
щади: S =— (6=1» 2,... tri). Эти последовательности, взятые в п. двух совокупностях, образуют фигуры, площади которых соответственно больше или меньше площади витка спирали: На основании оценок, приведенных в предыдущем примере,. 7ВП< =—, а также Усп>—. л3 з з з Но разность между аппроксимирующими суммами может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, площадь первого витка спирали о — — . Казалось бы, сходство метода интегральных сумм древних и определенного интегрирования, в особенности сумм Дарбу, полное. Такое впечатление усиливается в силу того, что мы модернизировали форму изложения. Поэтому, необходимо рассказать и об их различии. Дело в том, что метод интегральных сумм древних опирается на интуитивное, строго не определенное, понятие площади и не использует арифметико-алгебраический аппарат. В нем не введены и не определены необходимые общие понятия: предела, интеграла, бесконечной суммы и т. п. и не изучены условия применимости высказываемых теорем. Метод применяется для каждой конкретной задачи без выделений и оформления его общетеоретических основ. Наряду с методом интегральных сумм в античной математике были разработаны методы, которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциальные. Примером подобных методов может служить метод нахождения касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях». Задача построения касательной к любой точке Р спирали решается обычным для того времени способом определения величины соответствующей подкасательной ОТ (рис. 21). Предварительно доказывается лемма, что угол ZOPT<Cn/2 (ZPOT—я/2 по построению). Затем рассматривается дифференциальный треугольник AFPR, образованный радиусом-вектором OQ, близким к данному (ОР), дугой PR окружности радиуса ОР и продолжением касательной FP. Этот треугольник прямоугольный (ZPRF=kI2) и приблизительно подобен АОРТ, ибо ZPTO=ZFPR. Отсюда — = — или, если перейти на более привычную 60
Рис. 21 нам символику (ОР=р, PR=pAw, FR=Ao). —L = -2- откуда рДф Or €>Г< Дф Ар Это общее соотношение в случае архимедовой спирали р=ф примет вид: ОТ2=р2 или ОГ=рф. Таким образом, дифференциальный метод Архимеда заключается во введении достаточно малого треугольника, образованного приращением полярного радиуса-вектора касательной FR, соответствующей малой дугой окружности PR и отрезком касательной PF. Он играет роль дифференциального треугольника, что дает основание причислить метод к разряду инфинитезимальных. Наряду с другими задачами и методами древнегреческой математики дифференциальный треугольник Архимеда явился объектом настойчивого исследования ряда выдающихся математиков XVI—XVII вв. Паскаль и Барроу ввели его в математику явно: первый — в составе своих интеграционных методов, второй — при нахождении касательных к кривым и при доказательстве взаимной обратности задач вычисления квадратур и проведения касательных. Лейбниц использовал этот треугольник как один из отправных пунктов при создании исчисления дифференциалов. К инфинитезимальным методам относятся и другие, сравнительно многочисленные приемы древних. Отметим сочинение Ди- нострата (IV в. до н. э.), который, отыскивая точку, в которой квадратриса встречается с осью абсцисс, нашел, по существу, значения пределов lim ф—о sin ф . ф ~ lim^P *>->0 ф 1. Ординаты точек квадратрисы, как известно, пропорциональны значениям соответствующих углов. Исходя из этого и обозначив ОА=г, получим для некоторой произвольной точки Н (HL=y) — = —, откуда ~ = — (см. рис. 22). Учитывая, что у является у <р те ф 61
линией синусов для круга радиуса ОН и линией тангенсов для круга радиуса OL, получим г. ф ф При ф-^-0 будет ОН-+ОК и OL-+OK. Следовательно, Ф—0 " s in ф Ф-*о n tg ф Тот факт, что 0/C=2r/jt, Динострат доказывает от противного,, опираясь на непрерывность квадратрисы и неравенство sir^< <ф<*ёф, доказывая тем самым оба замечательных предела. Пусть ОК<.2г/к. На квадратрисе тогда найдется точка Я, для которой ОН=2г/п для соответствующего угла ф. Тогда ордината 2г гф этой точки # = — совф и одновременно у—-1- из свойства квадратрисы. Отсюда должно следовать, что sir^=*p, а это невозможно. Предположение, что ОК>2г/п, таким же образом приводит к невозможному заключению: ф=1§ф. Инфинитезимальные методы были разработаны и для решения экстремальных задач. В сочинении Архимеда «О шаре и цилиндре» (кн. 2, предл. 4) поставлена задача разбиения шара радиуса а на 2 сегмента, объемы которых находились бы в заданном отношении т/п. Показано, что высота большего сегмента удовлетворяет пропорции 4а2: х2 =(3а—х): . Показано также, что 771+Я эта задача может быть обобщена: разделить отрезок а на 2 части х и a—х так, чтобы S:x2=(a—х):с, где 5 — заданная площадь, с — заданный отрезок. Чтобы эта последняя задача не имела отрицательных решений, надо на область значений Sue накладывать ограничения. Из более поздней рукописи стало известно, что Архимед, отыскивая (в геометрическом виде) решение уравнения x2(a—x)=Scf правильно находил, что максимум его левой части в области 0O<a достигается при х = 2а/3. Тем самым он решил экстремальную задачу. Наконец, упомянем, что в математике древней Греции рассматривались и задачи вариационного характера. У Архимеда подобная задача встретилась только один раз — в заключительном предложении сочинения «О шаре и цилиндре». Здесь рассматриваются изоповерхностные сегменты различных шаров и доказывается, что сегмент, имеющий форму полушара, имеет наибольший объем. Немного позднее появилось сочинение Зенодора, в котором теория изопериметрических фигур была строго и полно развита для многоугольников, круга и в некоторой степени для многогранников, простейших тел вращения и для сферы. Предложения экстремального характера были широко известны в те времена, появляясь не только в математической, но и в механической и даже общей натурфилософской трактовке. 62
Инфинитезимальные методы математиков древней Греции по* служили отправным пунктом многих исследований ученых XVI и XVII вв. Особенно часто изучали методы Архимеда. Один из основателей математического анализа Лейбниц по этому поводу писал, что, изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков. Инфинитезимальные методы образуют ту часть античной математики, которая формировалась под непосредственным влиянием практических запросов. Эти методы выходили за рамки существовавших в те времена замкнутых математических систем, базирующихся на минимальном числе аксиом. В них складывались понятийные и алгоритмические основы будущего дифференциального и интегрального исчисления. Противоречия между подобными методами и аксиоматическими системами являются историческими примерами противоречий, являющихся движущими силами развития математической науки. § 2.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПОЗДНЕЙ АНТИЧНОСТИ В сложном и многообразном наследии ученых древней Греции мы выделяем преимущественно те стороны, которые привели к созданию математических теорий, поскольку это является наиболее яркой, характерной чертой математического творчества в эпоху греческой античности. В то же время именно математические теории, о которых идет речь, составили классическую основу многих частей позднейшей математики, вплоть до современной, чта придает им не только историческое значение. Со времен Евклида и Архимеда античная математика начинает сильно изменяться как по форме, так и по содержанию. В силу причин, которые будут описаны ниже, процесс формирования математических теорий замедляется, и, наконец, прекращается. Время угасания было длительным, обозначилось не сразу. Младшие современники Архимеда и ученые более позднего времени оставили в своих работах блестящие примеры теоретических исследований и даже высоко развитых математических теорий. Первое место среди них по уровню теоретического развития и полноте рассматриваемых фактов занимает теория конических сечений. Ранее мы упоминали, что конические сечения вошли в античную математику как средство решения задач, не поддающихся решению методами геометрической алгебры. Для их получения пользовались геометрическими местами точек пересечения поверхности конуса (соответственно, остро-, тупо- или прямоугольного) плоскостью, перпендикулярной одной из его образующих. При помощи этих кривых (эллипса, гиперболы и параболы) Менехм (IV в. до н. э.) дал решение задачи об удвоении куба. Не сохранилось сведений о том, как впервые были найдены свойства конических сечений, являющиеся геометрическими экви- 63
валентами их алгебраических уравнений. Однако задача обнаружения этих свойств разрешима элементарными средствами, в чем убеждают имеющиеся реконструкции. Пусть, например, дан прямоугольный конус с вершиной в точке Т (рис. 23). Его сечение вдоль оси — КТС, след кругового сечения, параллельного основанию, — GH, след сечения, перпендикулярного образующей, — АР. Перпендикуляр к сечению Рис. 23 Рис. 24 КТС в точке Р до пересечения с поверхностью конуса обозначим у. Тогда y2=PG.PH=V2~AP-AB=2APAL. Если обозначить АР= =ху AL=p, то получим уравнение параболы у2—2рх. В случае, если конус не прямоугольный, то в чертеж добавляют только точку А{ пересечения со второй образующей или с ее продолжением. Обозначая в этом случае АР=х, А\Р=хи отрезок до оси AL=p (полупараметр), АА{==2аи получим ?/3 -— 2AL AAi АР* АгР или у 2 р 2 = —XXv Эта реконструкция убедительно демонстрирует возможность вывода свойств конических сечений элементарными геометрическими рассуждениями. При этом получается уравнение, отнесенное к осям, причем параметр 2р получает удобную геометрическую интерпретацию (полупараметр р равен отрезку AL от конической поверхности до оси). Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений сделались предметом теоретического исследования. Им посвящали сочинения. Однако все эти сочинения были забыты, когда появился трактат Аполлония, не имеющий себе равных по полноте, общности и систематичности изложения теории конических сечений. Аполлоний (ок. 260—170 гг. до н. э.) — младший современник и научный соперник Архимеда. Продолжительное время он провел в Музейоне в Александрии. Затем возвратился на родину в г. Перг (в Малой Азии), где сделался активным главой научной школы. Из многочисленных математических сочинений Аполлония «64
до нас дошли в основном только 7 из 8 книг (частей, глав) трактата «Конические сечения». Текст первых четырех книг — на греческом, на языке оригинала. Книги 5—7 сохранились в переводе на арабский язык. Книга 8 утрачена; предполагаемое содержание ее восстановил английский астроном и физик Э. Галлей (1656— 1742), исходя из содержания первых семи книг и сведений, сообщенных комментаторами Аполлония. Теорию Аполлоний развивает на основе достаточно общих исходных посылок. Он сразу вводит обе полости произвольного конуса с круговым основанием и рассматривает произвольные плоские его сечения (рис. 24). Каждую из получающихся при этом кривых он рассматривает по отношению к некоторому диаметру и семейству хорд, с ним сопряженных. Из образующегося класса кривых выделяет канонические формы, в которых диаметры перпендикулярны к сопряженным с ними хордам. Аполлоний тут же указывает, что эти канонические формы есть сечения конусов вращения. При таком способе рассмотрения обеспечивается единообразие подхода ко всем видам конических сечений. При этом в рассмотрение включаются сразу обе ветви гиперболы. Отнесение к диаметрам и сопряженным с ними хордам содержит в себе идею координатного метода, хотя и в несовершенной форме. Свойство кривых, являющееся геометрическим эквивалентом их алгебраического уравнения, формулируется с применением средств геометрической алгебры. Пусть даны конические сечения: эллипс и гипербола (рис. 25 и 26). Диаметр у обоих обозначим АВ. Если из точек А и С оси провести перпендикуляры к ней АЕ—2р и CF, то квадрат, построенный на CD, будет равен прямоугольнику AF: CD2=CF-AC. Но CF = ±-СВ Iиз ^ = CF 2? 2а ) И поэтому CD2=AC'CB'Pla. Положив АС=х, СВ=2а—х, в случае эллипса и СВ — 2а+х для гиперболы получим соответственно уравнения у2=(2а—х)хр/а, у2=(2а+х)хр/а. А 2р ( х Ь? 1 2а~х J С У1 ** Рис. 25 Рис. 26 65
В первом случае прямоугольник CF используется с недостатком, во втором — с избытком. Если нет ни недостатка, ни избытка, то мы имеем параболу, т. е. простое равенство квадрата прямоугольнику. Геометрическая алгебра играет при этом примерно такую же роль, какую играет алгебра в аналитической геометрии. Разумеется при подобных заключениях об использовании алгебры и координатного метода в теории конических сечений Аполлония не следует забывать, что, во-первых, системы координат у Аполлония еще неотделимы от своих индивидуальных кривых; во-вторых, не введены еще координаты для всех точек плоскости, как принадлежащих данной кривой, так и не принадлежащих; в-третьих, здесь нет еще и речи о сведении задачи соотнесения точек осям координат к вычислениям, так как нет вообще стремления сводить геометрические задачи к алгебраическим. В качестве примера стиля рассуждений в трактате Аполлония приведем определение параболы (у2=2рх): «Если конус пересечен плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая пересекает основание конуса по прямой, перпендикулярной к основанию треугольника по оси, и если, кроме того, диаметр сечения параллелен той или другой из двух сторон треугольника по оси, то всякая прямая, которая проводится от сечения конуса параллельно общему сечению текущей плоскости и основанию конуса до диаметра, взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику, заключенному прямо из диаметра, отрезанного от нее до вершины сечения и некоторой другой прямой, которая имеет к прямой, взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение^ какое квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику,, заключенному между остальными двумя сторонами треугольника. Такое сечение называется параболой» (книга 1, предложение 11). Вслед за этим впечатляющим примером дадим краткий обзор содержания трактата. Состоит он, как было сказано, из 8 книг. Первая книга, помимо основных определений и описаний, включает в себя теоремы о проведении касательных. Речь идет о проведении в каждом случае опорной прямой, т. е. прямой, проходящей через точку (х0, уо) конического сечения у2=2рх±х2 таким образом, чтобы для всех других точек (х, у) прямой удовлетворялось неравенство Р _ Р 9 2рх н= — х3 2рх0+ — *о а а Во второй книге содержится теория главных осей, асимптот и сопряженных диаметров. Доказывается, что у эллипса, гиперболы или параболы имеется только одна пара взаимно перпендикулярных осей, что если соединить прямой точку пересечения двух касательных с серединой хорды, соединяющей точки касания, та эта прямая будет диаметром и др. Наконец, описываются способы построения центров и осей данного конического сечения. 66
Третья книга начинается группой теорем о площадях фигур, образуемых секущими, асимптотами и касательными. Среди них имеется, например, такая широко ныне известная теорема: «Если из точки проведем две касательные к коническому сечению и проведем параллельно им две секущие до их пересечения, то отношение квадратов, построенных на касательных, будет равно отношению прямоугольников, построенных на секущих и их внешних отрезках». В этой же книге находятся теоремы о полярах и полюсах и о получении конических сечений с помощью двух проективных или томографических пучков. Наконец, с использованием свойств соответствующих площадей рассматриваются специальные способы проведения касательных, а также теория фокусов эллипса и гиперболы. Следующая, четвертая, книга начинается группой предложений, относящихся к гармоническому делению отрезков. Затем подробно рассматривается вопрос о наибольшем числе точек пересечения и соприкосновения двух конических сечений. Группу, состоящую из первых четырех книг трактата Аполлония, исследователи характеризуют как посвященную основным свойствам конических сечений. Следующие же книги считают относящимися к специальным проблемам этой теории. В пятой книге решаются экстремальные задачи, вроде задачи о кратчайшем расстоянии от данной точки до конического сечения. Здесь появляются элементы позднейшей теории разверток в виде определения геометрического места центров кривизны. Шестая книга содержит разбор проблемы подобия конических сечений и обобщения задачи о построении семейства конусов, проходящих через данное коническое сечение. В последней из сохранившихся, седьмой, книге исследуются вопросы, связанные с функциями длин сопряженных диаметров и других параметров. Например, доказывается, что для эллипса (соответственно гиперболы) сумма (соответственно разность) квадратов сопряженных диаметров равна сумме (соответственно разности) квадратов осей. Другой пример: площадь треугольника, образованного двумя сопряженными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, постоянна. Разработка диоризмов (ограничений, налагаемых на условия задач) в конце 7-й книги указывает, что 8-я книга, возможно, содержит задачи, примыкающие к теоретическому материалу 7-й книги. Так и трактовал 8-ю книгу Э. Галлей, когда работал над воссозданием ее утерянного текста. Мы уделили здесь сравнительно много места аннотации содержания трактата Аполлония о конических сечениях, чтобы продемонстрировать с уважением и восхищением, сколь высокого уровня достигла эта часть математики в античности. Естественно, что те, кто создавал в позднейшем аналитическую и другие геометрии, отправлялись во многом от идей и результатов Аполлония. Математические теории, которые до сих пор мы описывали, имели своим предметом геометрические объекты. Геометричность формы с течением времени сделалась непременным атрибутом ма- 67
тематических теорий. При этом геометричность как бы негласно идентифицировалась с общезначимостью математической теории, ибо представлялось, что геометрические величины имеют преимущество наибольшей общности в мире математических величин. Разумеется, нет оснований утверждать, что геометрические формы исчерпывали когда-либо всю совокупность видов математической деятельности. Древнегреческие математики применяли большой комплекс арифметических вычислительных методов, особенно при решении практических задач. Эти методы входили и в теоретические работы, дополняя математическую теорию ариф- метико-алгебраическими и теоретико-числавыми элементами. Серьезным препятствием для вычислительной практики являлись неудобство алфавитной системы счисления и неразработанность символики. В течение определенного времени требования практики также не были достаточными, чтобы стимулировать широкий размах вычислительных операций с большими числами. Вслед за сравнительно ограниченным набором чисел, получающих названия, наступал «психологический барьер», после которого множества представлялись неисчислимыми, а числа — невыде- ляемыми для использования. Чтобы устранить подобное несовершенство и показать неограниченную продолжаемость натурального ряда чисел, Архимед написал специальное сочинение, которое назвал «Псаммит» (исчисление песка). В нем он построил систему чисел и показал, что она может быть продолжена сколь угодно далеко для пересчета любого конечного множества предметов. Числовая система Архимеда построена по десятичному принципу: единицы (монады), десятки (декады), сотни (гекады), тысячи (хилиады), десятки тысяч (мириады) и т. д. Мириада рассматривается как основа дальнейшего счета вплоть до числа мириады мириад (108). Числа от 1 до 108 образуют первую октаду (от слова окто — восемь), а числа, в нее входящие, названы первыми. Далее следуют вторая октада (108—108-2), третья (108-2'— 108'3) и т. д. до октады чисел октадных (103108 ), замыкающей первый период. Она является исходной единицей второго периода. Октада единиц этого периода (Ю8108-Ь8) будет единицей вторых чисел второго периода и т. д. Далее следуют единицы чисел третьего периода (102'8108), четвертого (10з81°8) и т. д., до октады чисел октадных октадного периода (1010а'81°8). Получающиеся огромные числа воспринимались как своеобразные трансфиниты древности, шкала роста которых могла быть неограниченно продолжаема. Их с избытком хватило даже для такой задачи, как определение порядка числа песчинок, которые могут заполнить всю вселенную. Чтобы сделать задачу более определенной, Архимед, исходя из гелиоцентр истских воззрений Аристарха Самосского, определяет вселенную как шар, в центре которого находится Солнце. Радиус шара простирается от Солнца до неподвижных звезд. В целях 68
дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр вселенной во столько же раз больше диаметра Солнечной системы, во сколько раз этот последний больше диаметра Земли. Архимед использует экспериментальные данные астрономов, округляя их в сторону увеличения. Единица измерения вселенной — песчинка — принята за 0,0001 зернышка мака, которых требуется 40 штук, чтобы сравниться с шириной человеческого пальца. Подсчеты Архимеда показали, что искомое число песчинок будет не превышать 1063 штук, или тысячи (103) мириад (104) чисел восьмых (1087) первого периода. Архимеду приписывают и другую задачу, в которой требуется оперировать с чрезвычайно большими числами, — так называемую задачу о быках Гелиоса (бога Солнца). Обозначим для сокращения буквами б, ч, р, п — число быков соответственно белой, черной, рыжей и пестрой масти, а буквами б'', ч!, р', п! — число коров соответственно тех же мастей. В стихотворной форме ставится задача определения численности стада, исходя из условий: 1) 6=(4t+4j*+p, 4) б'-{Ч9+ЧА)(ч+ъ')9 2) ^=(1/4+1/5)п+я, 5) *,=(1/4+1/5)(/i + n/)> 3) п=(Ч,+Ч7)б+р, 6) п'=(Чъ+Чв)(р+р'), 8) б+ч=П (точный квадрат), 9) л+р=Д (треугольное число), 10) б+ч+п + р — А (также треугольное число). Первые 7 условий составляют систему из 7 уравнений и с 8 неизвестными. Наименьшее числовое решение: все поголовье = 50389073 головы. Три последних условия подобраны так, что они сводят задачу к нахождению наименьшего целочисленного решения неопределенного уравнения х2—4729494г/2=1, которое выражается только 206545-значным числом. Вычисление значений чисел иррациональных или трансцендентных вызвало к жизни идею приближения их рациональными числами. Например, в сочинении Архимеда «Измерение круга» число я вычисляется с помощью последовательностей правильных вписанных и описанных многоугольников и дает приближения 3 — < тс < 3 —. Оценки сверху и снизу вводятся также для вычис- ч/О- 1351 /I/O ^265 ления УЗ, именно: —<]/3<— и значении других квадра- 780 133 тичных иррациональностей. В основном существуют лишь исторические реконструкции способов нахождения этих оценок; в античных источниках сведения об этом совершенно недостаточны. 69
Уровень вычислительно-практических приложений развитых в те времена математических теорий, насколько можно видеть из имеющихся источников, оставался постоянно сравнительно низким. Это объясняется: а) оторванностью от практики, являющейся делом подневольных людей; б) обязательностью геометрической формы; в) ограниченностью применяемых методов; г) слабым еще развитием астрономических наблюдений, стимулировавших позже развитие тригонометрии. Вслед за временем жизни Евклида, Архимеда и Аполлония наступила эра поздней греческой античности. Для математических теорий и вообще для математических знаний это было время коренного изменения как в содержании, так и в форме за относительно короткий исторический срок. Сочинения ученых этого периода отражают процесс замедления, а затем и прекращения образования новых, и усовершенствования существующих математических теорий. Результаты, подчас очень важные по содержанию и красивые по форме, делаются все более частными, а затем и редкими. Такова, на наш взгляд, тенденция развития. Чтобы это утверждение не было воспринято упрощенно, приведем разнообразные примеры. Прежде всего следует упомянуть конхоиду Никомеда, циссоиду Диоклеса и другие специальные кривые. В математике времен поздней античности и последующего владычества Рима все большее место занимают практические задачи: методы их решения имеют по большей части вычислительный характер. Ярким примером работ подобного направления являются математические сочинения Герона из Александрии (ок. 60 г. н. э.), в особенности «Метрика». Стиль этой работы — рецептур- но-справочный; для решения определенных классов задач формулируются правила. Справедливость рецептов подкрепляется примерами. В «Метрике» содержатся правила для точного или приближенного вычисления площадей геометрических фигур и объемов тел, правила численного решения квадратных уравнений и извлечения квадратных и кубических корней (естественно, приближенного). В частности, в этом сочинении находится известная формула Герона для вычисления площади треугольника по трем его сторонам: SA == Vp(P—a)(p—b(p—c) ( а, b, с — стороны, р= ^±±tc\ Наконец, значительную часть содержания «Метрики» занимает описание приемов землемерия и геодезических инструментов. В других сочинениях Герона: «Механика», «Пневматика», «Диоптрика» — систематически излагаются главные достижения ученых античности в области прикладной механики. «Метрика» в этом ряду сочинений играет вспомогательную роль математической энциклопедии. Значение прикладной вычислительной математики еще более возрастает вследствие той большой работы, которую математики вынуждены были исполнять в связи с составлением астрономичес- 70
ких таблиц. Среди последних одно из главных мест занимают таблицы значений хорд (эквивалентные таблице синусов) Птолемея Клавдия (ум. ок. 170 г. н. э.). В ней данные приведены для углов от 0° до 180° с частотой 30". На основе преимущественного роста вычислительной части математики, а возможно и вследствие иных дополнительных влияний, в математике поздней античности стали складываться алгебраические элементы суждений и начальные формы алгебраической символики. Это обстоятельство наиболее явно отражается в математическом научном творчестве Диофанта. Из математических сочинений Диофанта, жившего и работавшего в Александрии (вероятнее всего, в III в. н. э.), сохранилось только 6 книг «Арифметики» (хотя во введении говорится о 13 книгах) и отрывки из книги о многоугольных числах. Понятие многоугольного числа возникло в научной школе Пифагора как следствие интерпретации геометрическими образами теоретико- числовых соотношений. Если обозначать единицы, составляющие натуральные числа, точками и располагать их на плоскости, то частичные суммы арифметических прогрессий (вида #i = l, d=n—2) могут быть изображены в виде семейства подобных многоугольников (рис. 27), а соответствующие числа точек называются многоугольными. Ко времени * *иш.д* • * * жизни Диофанта эта идея бы- ла распространена и на трех- *• • • • • • • • мерные образы. При этом по- п~^ л"4 ручались пространственные Рис числа, изображаемые семейством подобных параллелепипедов (кубов), пирамидальные числа (частичные суммы последовательностей многоугольных чисел) и т. д. В первой книге «Арифметики» Диофанта введены основные понятия и действия арифметики, правило знаков при умножении, правила действий с многочленами, решения линейных уравнений. В последующих 5 книгах рассматриваются главным образом неопределенные уравнения и их системы (это означает, что число неизвестных превышает число уравнений). Такие системы и сейчас называют диофантовыми. Они допускают по большей части бесконечно большое число решений. Символика Диофанта основана на сокращениях слов. В истории алгебраической символики она отражает переход от словесных выражений алгебраических зависимостей («риторическая» алгебра) к ступеням сокращений («синкопическая» алгебра). Следующей ступенью уже будет символическая алгебра. Неизвестная величина х в уравнениях Диофанта представлена специальным символом д. Форма этого символа у различных переписчиков разная, что принципиально существа дела не меняет. Неизвестное, которое Диофант обозначает g, входит в уравнение 71
с коэффициентом, то оно обозначается gg, что соответствует множественному числу. Для степеней х применяли специальные символы (синкопы): для х2—Д* (от слова 6dvafiig — степень), для х3—К* (от слова: %Ф(5од), хА—ДД*, х5—ДКЛ Знак сложения отсутствует, для вычитания введен специальный знак, похожий на перевернутую букву «пси» ¦— ф. Равенство записывается словом taog — равный, часто буквами ш. Свободные члены уравнения имеют сопровождающую букву \i° (от слова juto'vag — единица). Система записи чисел алфавитная. Символика, впрочем, не строго однообразная, имеет модификации. Приведем примеры: . О ' г а) Киа^7]фДу8М'саска, что означает: хъ+8х—(5х2+1)=х; »/ о б) KvaiaM'P<ka, что означает: хъ=2—х. Посредством такой символики в книгах 2—6 «Арифметики» записаны решения около 130 задач, приводящихся в большинстве к неопределенным уравнениям 2-й степени и принадлежащих (по современной классификации) более чем к 50 различным типам. В. каждом отдельном случае находится только один набор рациональных корней. Общих методов решения неопределенных уравнений или их классификации у Диофанта нет. Нет также доказательств. Справедливость полученного результата подтверждается только подстановкой в условие задачи. Общая теория диофантовых уравнений 1-й степени: ах + Ьу=1у где а и Ь — взаимно простые целые числа, была построена б XVII в. французским математиком Баше де Мезириаком. Он же издал в 1621 г. сочинения Диофанта на греческом и латинском языках со своими комментариями. Над созданием общей теории диофантовых уравнений 2-й степени трудились многие выдающиеся ученые: П. Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К- Гаусс. Их усилиями к началу XIX в. было в основном исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с 2 неизвестными и с целыми коэффициентами: ax2+bxy + cy2+dx + ey + f=0. Диофантовы уравнения до сих пор являются предметом исследования. Их так же, как и ранее, определяют как неопределенные алгебраические уравнения или их системы с целыми чаще всего коэффициентами, для которых разыскивают целые или рациональные решения. Более общая точка зрения на эти уравнения состоит в том, что их решения разыскивают в алгебраических числах. Фундаментальные исследования по теории диофантовых уравнений провели советские ученые: А. О. Гельфонд, Б. Н. Делоне,. Д. К. Фаддеев, В. А. Тартаковский. Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чисел, которая изучает приближения действительных чисел числами рациональными. Эти приближения называют диофантовыми. К теории диофантовых приближений относят также вопросы, отш> 72
сящиеся к решению в целых числах неравенств (или их систем) с действительными коэффициентами, и вопросы теории трансцендентных чисел. Центральное место в теории диофантовых приближений занимают методы академика И. М. Виноградова и полученные им результаты. Таким образом, сочинения Диофанта послужили по существу отправной точкой многих теоретико-числовых и алгебраических исследований. По отношению же к античной математике они означали усиление алгебраических тенденций. К характерным чертам математики поздней античности относится также появление сочинений, являющихся просто пересказом и комментариями классических работ. Преобладание комментариев, несомненно, является признаком упадка научного творчества. Однако сочинения комментаторов принесли большую пользу истории математики, сохранив в отрывках или в пересказе, сведения о многих классических и важных сочинениях. Иногда комментарии оказываются единственным источником сведений об утерянных сочинениях или о забытых достижениях античных математиков. Одним из ранних комментаторов явился Гемин Родосский (ок. 100 г. до н. э.). По свидетельству Прокла (V в. н. э.), Гемин обстоятельно излагал историю так называемых высших кривых: спиралей, конхоид, циссоид и др. Ему принадлежит также одно из исторически первых делений наук на теоретические (геометрия и арифметика) и практические (астрономия, механика, оптика, геодезия, методы вычислений). Другой крупный комментатор Теон из Александрии (IV в. н. э.) составил комментарии к «Началам» Евклида и к астрономическому трактату «Альмагест» Птолемея. Его дочь Гипатия (370—418) тоже с успехом комментировала сочинения Архимеда, Аполлония и Диофанта. Особое место в ряду комментаторов занимает Папп из Александрии. Случай помог нам узнать время его жизни. Оказалось, что 18 октября 320 г. н. э. он наблюдал солнечное затмение, о чем сообщил в своем комментарии. Кроме комментариев к сочинениям Евклида и Птолемея он написал большое сочинение «Математическое собрание», в котором подробно и со знанием дела рассказал со своими замечаниями о многих замечательных открытиях предшественников. Из 8 книг «Математического собрания» до нас дошли только 6 (книги 3—8). Пропавшие книги, по- видимому, содержали обзор греческой арифметики, на что указывают сохранившиеся отрывки. Третья книга посвящена истории решения задач удвоения куба и трисекции угла. Папп дает при этом и свое решение первой из них, сводящееся к построению двух средних пропорциональных величин. Задачи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны и поверхностей, составили четвертую книгу. Описание учения Зенодора об изопериметрических свойствах плоских фигур и поверхностей занимает первую половину 5-й книги. Во вторую ее 7 о
половину вошло учение о правильных числах. Астрономии Папп посвятил 6-ю книгу. В ней содержатся комментарии к «Оптике» и «Феноменам» Евклида, к сочинению Аристарха «О величинах и о расстояниях», к «Сферике» Феодосия и др. Седьмая книга — самая большая и самая разнообразная по содержанию. Вначале идет разъяснение методов анализа и синтеза у древних, приводятся примеры. Затем следует знаменитая задача Паппа: пусть на плоскости произвольным образом расположены п прямых. Найти геометрическое место точек, для которых произведение отрезков, проведенных от них под одними и теми же углами к /г/2 прямых, имело бы данное отношение к произведению отрезков, проведенных тем же способом к другой половине прямых. Для большого класса случаев Папп доказал, что искомым геометрическим местом являются конические сечения. Гораздо позднее, в XVII в., Декарт при построении своей аналитической геометрии решил эту задачу. Вслед за задачей Паппа в 7-й книге приведена теорема, известная теперь как теорема Гюльдена: объемы тел, образованных вращением линии или поверхности, относятся как произведения площадей образующих фигур на длину окружности, описываемой их центрами тяжести. Остальное место в 7-й книге занимают комментарии к трудам Аполлония о трансверсалях и ангармонических отношениях. Последняя, 8-я, книга посвящена практической механике и связанным с ней геометрическим задачам и теоремам. Среди последних имеется, например, следующая теорема: если 3 материальные точки, находящиеся в вершинах треугольника, двигаются по его периметру одновременно в одном направлении со скоростями, пропорциональными длинам сторон, то положение центра тяжести не меняется. Наш обзор истории создания и расцвета теоретической части математики является, разумеется, неполным. Он и не может быть иным. Слишком велик объем дошедших до нас фактов, разнородны и многочисленны направления. Однако уже можно, по нашему мнению, делать обоснованные выводы. Математика Древней Греции является началом становления математической науки и образования в ней всех ее основных частей. Главными особенностями этого исторического периода являются формирование немалого числа математических теорий, их бурный рост и затем приостановка на длительный срок. В рамках математических теорий греческой античности возникли и получили развитие элементы более поздних математических наук: алгебры, аналитической геометрии, анализа бесконечно малых, теоретической механики. В ее составе сложились основы аксиоматического метода и математической логики. Однако оторванность математических теорий от практики, узость их геометрической формы, особенности господствующей идеологии предопределили ограниченность области и времени их развития.
ГЛАВА 3 О ПУТЯХ ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ По установившейся в истории математики периодизации время, протекшее от начала формирования математической науки {VI—V вв. до н. э.) до появления анализа бесконечно малых (XVII в.), относят к единому периоду математики постоянных величин. Это огромный промежуток времени: более двух тысяч лет. Выделение исторических периодов столь значительной длительности становится оправданным, если удается найти какую-либо общность в математических знаниях. Эту общность отражают в названии периода, что практически никогда не снимает условность, неточность названия. В данном случае название периода нельзя считать удачным. Этот временной промежуток нередко называют также периодом элементарной математики. Так делают потому, что в наши дни большинство научных достижений тех времен отражено в программах по математике для общеобразовательных средних школ. Однако при этом не учитывают многие замечательные достижения, остающиеся «за бортом» подобного определения. Кроме того, даже попытка, определить, что следовало бы отнести к элементарной математике, встречается с трудностями совсем не элементарными. Более того, однозначно и логически строго определить понятие элементарности невозможно. Оно, это понятие, относительно, субъективно. В разное время и в различных обстоятельствах, в него вкладывают различное содержание. Общепринято считать, что если какое-либо математическое суждение называют элементарным, то это означает, что понять его и разумно воспроизвести под силу ученику общеобразовательной средней школы. § 3.1. О СУДЬБЕ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ Как было ранее описано, около 3 тысяч лет тому назад, из совокупности вычислительных и измерительных знаний людей, начала формироваться и приобретать самостоятельность математическая наука. Это происходило на берегах и островах Средиземного моря. Главными творцами математической науки были гре- коязычные ученые. Уровень теоретических изысканий достиг такого совершенства, что и сейчас математика в своих основах сохраняет очевидные связи с идеями и методами античной науки. Прошло около тысячи лет, и первые столетия нашей эры стали свидетелями упадка, а затем и полного прекращения научной, в том числе математической, деятельности на цветущих берегах Средиземноморья. Только через тысячу примерно лет разрознен- 75
ные остатки науки и культуры древних греков вновь привлекли внимание и вызвали восхищение в человеческом обществе. История науки показала, что развитие математики не происходило «гладко», логически последовательным путем. Ход исторического развития математики в основном был обусловлен происходившими грандиозными переменами в экономической, общественной и культурной жизни народов этого региона. Самое непосредственное и разрушительное воздействие оказывали бесчисленные войны. В IV в. до н. э. Филипп Македонский (ок. 382—336) завоевал материковую Грецию, а в 332—323 гг. до н. э. его сын Александр (356—323) осуществил завоевательный поход, покорил Египет, страны Ближнего Востока и достиг Индии. Громадная империя Александра после его смерти распалась. Новыми государствами — их назвали эллинистическими (от эллин, т. е. грек) — управляли полководцы Александра. В одном из них, в столице Египта Александрии, в 331 г. был основан Му~ зейон (прибежище муз). Правители Египта Птолемеи пригласили в Музейон самых крупных ученых, основали библиотеку (к I в. н. э. в ней было до 700 000 рукописей). Музейон на несколько столетий сделался научным центром всего известного грекам мира. Но уже в конце III века до н. э. началась новая серия завоеваний, сопровождающих на этот раз создание Римской империи. В 212 г. до н. э. римляне штурмом взяли Сиракузы и убили Архимеда. К 146 г. до н. э. они завоевали всю материковую Грецию, а также Карфаген. В 31 г. до н. э. войска Цезаря вступили в Александрию и сожгли часть библиотеки Музейона. Вслед за римлянами сокрушительные удары «языческой» науке нанесли христиане. Лозунгом религии были слова Тертуллиа- на (II в. н. э.): «Нам после Христа не нужна никакая любознательность; после Евангелия не нужно никакого исследования». Под давлением христианских церковников закрывались школы и храмы. В 391 г. сожжена значительная часть библиотеки. Последние группы ученых Александрии были разогнаны. В 418 г. первую женщину-математика Гипатию растерзала толпа религиозных фанатиков. Библиотека была практически уничтожена. Оставшиеся в живых ученые собрались в Афинах, но в 529 г. их деятельность была запрещена официальным указом римского императора Юстиниана. Греческая наука прекратила существование. § 3.2. МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ И БЛИЖНЕГО ВОСТОКА На обширных территориях, от северо-запада Индийского полуострова до северного побережья Африки и юга Испании, с давних времен существовали многочисленные, порою мощные, государственные образования. Созданные главным образом путем завоеваний, огромные, но не связаные в единый хозяйственный организм,, они не обладали государственной устойчивостью и имели сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные тради- 76
дии населяющих их народов развивались в таких условиях сравнительно медленно. Начиная с VII в. по всем этим землям прокатилась волна завоевательных войн, начатых под давлением острого хозяйственного кризиса племенами, населявшими Аравийский полуостров. Эти войны приняли форму борьбы за господство новой религии — ислама (или, как ее иначе называют по имени основателя, магометанства). В течение пары веков образовалась колоссальная область торгового обмена и экономических связей. Возникли новые и укрепили свои позиции старые города, ставшие центрами тор- ховли, ремесел и административного управления. Господствующее положение и объединяющая роль стали принадлежать исламу. Арабский язык сделался языком официальных документов, религиозных сочинений, научных и учебных трактатов, художественных и поэтических произведений. Сложившиеся условия хозяйственной и политической жизни благоприятствовали развитию математики. Математические знания потребовались для нужд административного управления, ирригации, строительства и ремесел. Торговые связи между народами, осуществляемые посредством длительных путешествий по морям, горам и неизведанным местностям, также способствовали развитию географии, астрономии и математики. По этим причинам многие восточные правители и целые династии проводили политику государственного покровительства наукам. Строили обсерватории, собирали библиотеки древних сочинений, которые разыскивали всюду и переводили на арабский язык. В аппарате государственного управления появились специально оплачиваемые ученые. В результате сложилась своеобразная система математических знаний. Преобладающее место в ней заняло создание разнообразных вычислительных методов и измерительных средств для нужд торговли, административного управления, землемерных работ, картографии, астрономии, для составления календаря и т. п. В эту систему влились также данные античной греческой науки, классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и иных. В ней вместе с тем получили место и развитие сведения из математики народов Индии и Китая, а также коренного населения стран Ближнего и Среднего Востока. Освоение и переработка многочисленных источников и подготовка квалифицированных математиков потребовали, разумеется, немалого времени. Для арабской математики (как мы будем иногда ее называть для краткости, несмотря на необоснованность этого термина) характерна своеобразная многоплановость, пестрота в постановках задач, в методах их решения и даже в символике. Складывающаяся под столь многообразными влияниями математическая наука приобрела так много оригинальных черт, что сделалась качественно отличной от своих источников. Рассмотрим по возможности конкретно вопрос о характерных особенностях математики средневекового Востока и о достигну- 77
том там уровне развития математических наук. Вопрос о дифференциации материала по отдельным странам и о возможных взаимных влияниях ввиду его специфичности и неразработанности затрагивать здесь не будем. В вычислительной практике арабоязычных народов равноправно действовали обе системы счисления: десятичная и 60-ричная. Первая была заимствована из Индии не позднее VII в. и быстро получила широкое распространение. Из арифметического трактата Хорезми (IX в.) «Об индийских числах», переведенного в XII в. на латинский язык, десятичная система сделалась известной в Европе. Параллельно сохранялась и применялась (в работах по астрономии и тригонометрии) 60-ричная система, унаследованная от вавилонян. В духе математиков древнего Вавилона составлялись и использовались при вычислениях вспомогательные таблицы,, например таблица умножения чисел от 1X1 до 59X59. Даже в сравнительно позднее время (ок. 1427 г.) в обсерватории узбекского хана астронома Улугбека под г. Самаркандом были в употреблении обе системы счисления. Для удобства вычислений были разработаны правила перевода чисел из одной системы в другую. Регулярные правила существовали для вычислений с дробями: простыми и десятичными. К слову заметим, что в Европе десятичные дроби впервые появились лишь около 1585 г. в сочинениях фламандского инженера и математика С. Стевина, В арсенале арабских математиков накопилось много вычислительных приемов и алгоритмов. Приведем некоторые из них, чтобы продемонстрировать уровень вычислительной техники. 1. Получение 17 верных знаков числа л с помощью вписывания в окружность и описывания около нее правильных многоугольников. Вычисления были проведены в первой половине XV в. аль- Каши и были доведены до определения длин сторон правильного 3-228-угольника. Только более чем через 150 лет, в 1593 г., в Европе Ф. Виет нашел лишь 9 правильных десятичных знаков я с помощью правильных 3-217-угольников. Результат аль-Каши был повторен в 1597 г. ван-Роуменом, а позднее превзойден. 2. Вычисление корней из чисел методом, известным ныне как метод Руффини — Горнера. Есть основания предполагать, что этот метод был воспринят в итоге тесных научных связей с китайскими математиками. В трактовке метода было отмечено, что ПОЭТ, f— следов ательное вычисление знаков корня у q = a, be... связано с отысканием последовательных разностей q—ап\ q— (а-\ } ; q— [а-\ г —\ ; - • . • 4 j [ 10 j ч ( 10 100 j При этом обнаружен и сформулирован ряд биномиальных разложений вида (а+1)и-ап=С1па"-*+С1а«-*+ . . . +С;->а+1, (а+Ь)п—an=>Clnan-lb+C2nan-2b2+ . . . +С»-*аЬп~х+Ья9 78
высказано правило образования биномиальных коэффициентов В Европе таблица биномиальных коэффициентов для п^.17 была опубликована лишь в 1544 г. (Штифель), а упомянутый метод переоткрыт Руффини (1804) и Горнером (1819). 3. Приближенное извлечение корней. Известный еще в древности прием Yq=zVT*+r~T + -~ я где Т — целое, был распространен к XV в. (аль-Каши) на случай любого натурального показателя корня. Основой этого приема было линейное интерполирование, т. е. рассуждения типа: положим Тогда n/~ ( xx=Tnt ух-=Т \ ц—\/х\ при Xх *г \х = х1 + г. У*—Vi y = y1+UZE (*-*i) = Г+- По-видимому, от индийцев было воспринято правило у Я — = уqzn /г, примененное как в десятичной (z=lOk), так и в 60- ричной (z=60k) системах счисления. Распространение подобных приемов приближенного извлечения корней отмечено в Европе лишь с середины XII в. 4. Суммирование арифметических и геометрических прогрессий, включая нахождение сумм вида v ак (?=1, 2, 3, 4). Напри- а=1 мер: Преобладающая роль вычислительной части математики оказала влияние на трактовку многих теоретических вопросов. Особенно интересен вопрос о понимании алгебраических иррациональ- ностей. Стремление к производству операций над ними характерно для всей арабской математики. Например, в сочинениях Хорез- ми (IX в.) уже встречаются действия над квадратичными ирраци- ональностями. Аль-Кархи (XI в.) ввел многие преобразования иррациональных выражений, в том числе Аль-Баки (ок. 1100 г.), как и аль-Кархи, комментировал 10-ю книгу «Начал» Евклида, поясняя ее теоремы числовыми примерами. В силу частого применения вычислений и действий с выражениями, содержащими иррациональности, различие между ними и 79
рациональными числами начинает стираться. Представления о числе как о собрании единиц были дополнены представлениями о нем как об- отношениях непрерывных величин. Была осознана адекватность геометрических несоизмеримостей с арифметическими иррациональностями. Последние вошли в класс чисел на основе разработанных для них правил выполнения операций. Вместо двух обособленных понятий — числа и отношения — возникла новая, более широкая концепция действительного положительного числа. Уже в XIII в. (Насирэддин, 1201 —1274) этот факт был засвидетельствован с большой определенностью: «Каждое из отношений может быть названо числом, измеряемым единицей, так же как предшествующий член отношения измеряется последующим членом» (Мухаммед Насирэддин Туей. «Трактат о полном четырехстороннике». Баку. Изд-во АН АзССР, 1952. С. 22). Идея создания единой концепции действительного числа путем объединения понятий рационального числа и отношения, появившаяся у математиков поздней греческой античности, получила на Ближнем Востоке некоторое завершение. В Европе подобная идея не появлялась довольно долго. Только с XVI в., в связи с бурным развитием вычислительных средств (в первую очередь логарифмы, логарифмическая линейка), математики начали ее осознавать. Однако высказана она была лишь И. Ньютоном в 70-х гг. XVII в., а опубликована была еще позднее (1707 г.) в его «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное — кратной долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» (И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948. С. 8). Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики отразилось и на ее структуре. В ней сравнительно быстро впервые в истории выделилась в качестве самостоятельной части математики алгебра. В этом факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера математики различных народов. Именно: геометрическая алгебра древних греков, группы однотипных задач в древнем Вавилоне и попытки выработать для каждой из них единый алгоритм, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й степени и (вероятно) другие. В сочинениях математиков средневекового Востока эти алгебраические элементы были впервые выделены и собраны в новый специальный отдел математики, был сформулирован тезис о предмете этой новой части математической науки и даже построена систематическая теория. В качестве примера такого подхода приведем высказывание среднеазиатского (термин условный) математика Омара Хайяма (ок. 1040 — ок. 1123 гг.): 80
«Алгебра есть научное искусство. Ее предмет — это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество индивидуально- определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных... Алгебраические решения, как это хорошо известно, производятся лишь с помощью уравнения, т. е. приравниванием одних степеней другим» (см. сб.: «Историко-математические исследования». М., Физ- матгиз, 1953. Вып. 6. С. 15—172). Европейские ученые начали ознакомление с алгеброй в начале XII в. Источником (вероятно, самым ранним) их сведений об алгебре явилось сочинение «Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» Мухаммеда бен-Муса аль-Хорезми (далее сокращенно: Хорезми), жившего в первой половине IX в. (по другим сведениям: 787 — ок. ?50). Название книги в переводе означает, что это книга о (математических) операциях джебр (восстановления) и кабала (приведения). Первая из этих операций, название которой послужило впоследствии названием алгебры вообще, состоит в переносе членов уравнения на другую сторону от знака равенства с изменением знака. Вторая операция состоит в приведении подобных членов уравнения. Решение алгебраических уравнений трактуется как самостоятельная наука. В книге содержатся систематически изложенные решения уравнений первых двух степеней: ax=b, х2+Ьх=а, ах2=Ь, х2+а=Ьх, ах2=Ьх, Ьх+а—х2. Хорезми находит и описывает решения этих уравнений как в числовой, так и в геометрической форме. Метод нахождения геометрических решений состоит в приравнивании площадей, специально подобранных для геометрической интерпретации уравнения. Например, пусть дано уравнение: х2+ах=Ь. . Производим разбиения площади S квадрата .—. г^Ц (см. рис. 28). Запишем эти разбиения анали- II \Ф тически: S-*+4(i)f+4±,= [J 'Ч V4/ 4 Рис.28 81
В то же время * = (* + *)'¦ (* + 7p+'f x^—al2+ l/ b+ j. Книга Хорезми приобрела широкую известность. Термин «алгебра» укоренился в математике. Осталось в математике и имя самого аль-Хорезми в латинизированной форме: алгоритм. Вначале это слово обозначало имя ученого, затем — нумерацию по позиционной системе, а в наши дни —¦ всякую систему вычислений,, производимых по строго определенным правилам и заведомо приводящих к решению поставленной задачи. В ходе исторического развития науки изменялось содержание понятий, вложенное в эти термины, но сами термины сохранились. Кстати добавим, что сам Хорезми не претендовал на приоритет. Видимо, оба приема — джебр и кабала — были уже известными в его время. Алгебраические арабские трактаты IX—XV вв. содержали рассмотрение и кубических уравнений. К последним приводили разнообразные задачи: а) рассечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание стороны правильного 9-угольника; г) отыскание стороны правильного 7-угольника и др. Одна из задач оптики: найти на заданной окружности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки А, отразился в другую заданную точку В, —¦ приводила к уравнению 4-й степени. В методах решения этих уравнений отразилось многообразие средств, вообще присущее математике арабских ученых. Ряд трактатов содержит попытки численного решения; в других видно влияние греческой античности. Решения в последних находятся с помощью пересечения конических сечений. Численные методы решения уравнений варьировались от способа проб (Бируни, 972— 1048) до изящного итерационного быстро сходящегося метода аль-Каши (ок. 1420). Расскажем о нем подробнее. В самаркандской обсерватории Улугбека, хорошо для того времени оснащенной, среди других исследований составлялись таблицы синусов с частотой Г и с точностью до 9-го знака. Решающую роль в этой работе играли, как известно, точность вычисления синусов малых дуг, скажем, sin Г. Исходя из измеренных значений sin72° и sin60°, Каши нашел sin3°. Для нахождения затем 4 4 sinl0 он получил, исходя из соотношения cos <р = 4 cos 3cos — кубическое уравнение: л;3+0,7850393433644006 = 45л:. Поясним метод Каши на уравнении, записываемом в общем виде: x* + Q^Px или * = ?±2-. Первое приближение в силу малости х (а тем более л^) берется в виде: xi^Qfp=a. Результат вычисляется приближенный, та- 62
кой, чтобы остаток от деления R был того же порядка малости, что и я3. Второй шаг: положим *-« + * « + yeJ«±?+*. у = Щ±«^ Величина R имеет порядок а3. Она велика по сравнению с аъу. Новое приближение получается, если пренебречь в числителе членами, содержащими у. Третий этап: y—b + z\ операции повторяются в том же поряд ке, как и на втором этапе. По этому способу получаются следующие последовательные приближения: о Процесс сходится при Зл:2<г<1, что в данном случае имеет место ввиду малости х. Этим методом было найдено 17 верных знаков для sinl0 в десятичной системе. Результат же аль-Каши был получен в 60-рич- ной системе. Такая степень точности позволила составить таблицы тригонометрических функций с точностью до 9-го знака. Сравнимый уровень техники и точности приближенных вычислений в Европе был достигнут лишь к концу XVI в. Другое направление в решении кубических уравнений основывалось на получении геометрического образа положительного корня путем пересечения подходящим образом подобранных конических сечений. В сочинениях подобного типа авторы также отчетливо выделяли алгебру как особую математическую дисциплину, систематизировали все виды алгебраических уравнений первых трех степеней по расположению членов относительно знака равенства, находили условия существования положительных корней уравнения, — словом, создавали элементы общей теории алгебраических уравнений. Большим недостатком алгебры оставалось отсутствие развитой символики, словесное описание действий. Это задерживало дальнейшее ее развитие. 83
Помимо выделения алгебры в самостоятельный раздел важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез разнообразных элементов тригонометрической природы, таких как: исчисление хорд и таблицы их значений у древних, в особенности результаты Птолемея и Менелая; операции с линиями синуса и косинуса у древних индийцев; накопленный опыт и проблемы астрономических наблюдений и измерений. На основе этого разнородного материала математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все тригонометрические линии. В связи с задачами наблюдательной астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с высокой точностью и необходимой частотой. Данных накопилось при этом так много, что сделалось возможным изучать свойства как плоских, так и сферических треугольников, накопить способы их решения. Получилась стройная, богатая фактами система тригонометрии, как плоской, так и сферической. Примером такой системы является, например, сочинение Насирэддина (1201—1274) «Трактат о полном четырехстороннике». В нем: 1) развита теория отношений величин; 2) изложена достаточно общая теория фигур, составленных из четырех попарно пересекающихся прямых; 3) собраны методы решения плоских треугольников; 4) решена задача об определении сторон и углов сферического треугольника. По мере того как выяснялось практическое значение тригонометрии, последняя тоже изменялась. В ней стал преобладать материал об алгебраических зависимостях тригонометрических функций, о вычислительных методах и о возможностях тригонометрии. Из-за отсутствия удобной символики еще задерживалось чисто аналитическое построение тригонометрии. Итак, тригонометрия в математике средневекового Востока сделалась относительно самостоятельной частью. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях плоских и сферических треугольников и о способах решения этих треугольников. Алгоритмические вычислительные средства стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один только шаг: введение специальной символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный для нас аналитический облик. Но для того чтобы этот шаг был сделан, понадобилось еще много времени и изменение обстоятельств, в которых существовали тригонометрические знания. Они сделались вновь благоприятными, начиная с XVI в. в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания. В конце XVI в. начало входить в употребление принятое теперь название — тригонометрия. В нашем описании арабской математики относительно мало уделено внимания геометрии. Это объяснимо: не геометрические интересы были, по нашему мнению, главными, определяющими в общем потоке математических достижений. Но дошедшие до нас математические сочинения среднеазиатских и ближневосточных математиков той поры неопровержимо свидетельствуют о высоком 84
уровне их геометрических знаний. Математическая арабская литература была богата переводами сочинений Евклида, Архимеда, Аполлония и других авторов античной Греции и комментариями к этим сочинениям. Арабские рукописи сохранили многие научные достижения древних. Нередко именно они оказываются единственным источником немаловажных сведений о предшествующих им временах развития математики, а также научной основой математического творчества европейских ученых эпохи Возрождения. В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочинениях О. Хайяма (XI в.) и Насирэддина (XIII в.) имеются попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении допущений, эквивалентных этому постулату. Имена обоих ученых с полным правом могут быть включены в длинный ряд предшественников неевклидовой геометрии, подвергавших строгому логическому анализу системы исходных высказываний геометрии Евклида. Примерно с середины XV в. развитие математики в описываемых нами здесь районах замедлилось и вскоре практически прекратилось. Причины этого заключаются в наступившем экономическом и вообще всестороннем разобщении обширных территорий, о которых шла в этой главе речь. Народы Средней Азии, Ближнего Востока и Северной Африки в силу исторически сложившихся условий оказались задержанными на феодальной стадии общественного развития, жили в обстановке войн и политических неурядиц, подвергались растущему колониальному нажиму сильных капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе математики, оказался остановленным на долгое время. § 3.3. НАКОПЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В СТРАНАХ ЕВРОПЫ На европейском континенте математика не имеет столь раннего начала, как во многих странах Востока. Мы не будем описывать здесь математику римлян из-за относительно низкого уровня научно-теоретического развития и слабого влияния на последующее развитие науки. Не без сожаления мы оставим в стороне науку Византии (IV—XV вв.), трудная историческая судьба которой воспрепятствовала развитию древнегреческого научного наследия. Начнем наш обзор с того времени, когда успехи математического образования и науки в Западной Европе сделались заметными. Это соответствует эпохе развитого средневековья и в особенности эпохе Возрождения. Начало эры средних веков, или эпохи феодализма, в Европе относят к V в., к тому времени, когда перестала существовать западная Римская империя. В течение V—X вв. протекал длительный процесс становления феодальных отношений. Европа была раздроблена на великое множество мелких владений. Экономика 85
имела натуральный характер, торговый обмен был слаб и нерегулярен. На XI—XIV вв. приходится пора расцвета феодализма. За это время происходит разделение труда между городом и деревней, ремеслом и земледелием. Растут города и укрепляются товарно-денежные отношения. В XII—XV вв. в обстановке войн и территориальных захватов складываются более крупные государства и нации. В XIV в. феодальный мир потрясают крестьянские войны, в которых за религиозными мотивами явно проглядывает их антифеодальная сущность. В XV—XVII вв. происходит созревание в недрах феодализма капиталистических отношений и разложение феодального уклада. Начало этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культурном и идеологическом развитии ряда стран Западной и Центральной Европы известно под названием Возрождение. Техника средневековой Европы, вначале примитивная, приобретает к концу этого периода массовое распространение, и уровень технических достижений быстро растет. Например, добыча руд и металлургия, начатая в VIII в., набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превратилась в заметную область европейской промышленности. В том же веке были открыты свойства магнитной стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, а шлифовка и амальгамирование стекла для изготовления очков, зеркал, подзорных труб были введены в XIV в. Около 1100 г. изобретены часы с колесным, позднее — с колесно-пружинным механизмом, а через 100 лет — часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а книгопечатание было изобретено в середине XV в. В период XIII—XIV вв. все шире стал применяться порох. Эти примеры показывают, что технические достижения европейских народов вначале слабые и редкие, накапливаются и создают условия для ускорения технического прогресса и для смены всей системы экономических, политических, научных и культурных отношений и воззрений. Аналогичную картину вначале замедленного, затем все более ускоряющегося развития и, наконец, коренного, революционного преобразования представляют естествознание и математика средневековой Европы. В V—XI вв. уровень математических знаний в Европе был очень низким. Сколько-нибудь крупных математических открытий или сочинений не обнаружено. Даже образованные люди были редки. По всей вероятности, единственными обладателями математических знаний, превышающих обычные запросы, были немногочисленные ученые — монахи, хранившие, изучавшие и переписывавшие естественно-научные и математические сочинения древних. Церковь накладывала сильнейший отпечаток схоластики и на эти островки знания. Основной предпосылкой развития математических знаний в Европе была организация учебных заведений. Одну из первых школ организовал в г. Реймсе (Франция) Герберт (940—1003), сделавшийся позднее римским папой под именем Сильвестра II. 86
В школе Герберта, помимо прочих наук, учили счету с применением счетной доски-абака, усовершенствованного заменой камешков или пластинок, каждый из которых имел значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами. В то время существовало много способов счета. Среди приверженцев сложившихся разнообразных счетных вычислительных традиций основными были абакисты (абацисты) и алгоритмики. Первые в основном отличались требованием обязательного применения абака и 12- ричной римской нумерации. Алгоритмики предпочитали индийские цифры, некоторые из них вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли и 60-ричные дроби. В спорах формировались системы счисления и приемы вычислений, все более близкие к привычным нам. Через 100 лет, в XII—XIII вв., появились в Европе первые университеты. Самыми ранними из них были итальянские университеты в Болонье и Салерно. Вслед за ними были основаны университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367) и др. Это были учебные заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе их стояли отцы-настоятели (ректоры), во главе подразделений (факультетов) — деканы. Студенты начинали обучение на подготовительном «факультете искусств», затем продолжали его на одном из основных факультетов: богословском, юридическом или же медицинском. Математика входила составной частью в 7 свободных искусств, изучавшихся на факультете искусств. Весь цикл этих искусств состоял из двух концентров: тривиум и квадривиум. Первый составляли: грамматика, т. е. искусство писать без ошибок с целью, адекватного выражения своих мыслей; риторика, т. е. искусство устного выражения мыслей; диалектика, т. е. умение вести дискуссию, обоснованно отстаивая свою точку зрения. Квадривиум включал в себя: арифметику, геометрию, астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов. Уровень математической подготовки выпускников университетов был крайне низок. Доходило до того, что в ряде университетов вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалось только... дать клятву, что он знает содержание первых 6 книг евклидовых «Начал». Так как университеты были подчинены церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в бесплодные умствования и споры, все больше оправдывая тот смысл, который мы часто сейчас вкладываем в слово «схоластика». Вообще, система средневекового образования в течение нескольких веков была сложившейся, но все более недостаточной предпосылкой дальнейшего развития математической науки. При таком положении дел естественно, что математические знания людей наращивались и совершенствовались не в европейских учебных заведениях. Они, в большинстве, привносились извне. Это были сохраненные остатки математики римлян и гречес- 87
ко-византийской науки. Но в большей части математические и вообще научные знания пополнялись из переводов арабских рукописей на латинский язык —универсальный язык всех научных сочинений тех времен (в настоящее время сохранившийся только в медицине, фармацевтике и частично в биологии). Таким путем европейцы узнавали «Начала» Евклида, «Альмагест» Птолемея, другие труды математиков Древней Греции, сочинения математиков Ближнего Востока. Деятельность переводчиков научной литературы бывала очень активной. Например, Жерар (1114—1187) из Кремоны перевел с арабского более 80 сочинений. Однако поскольку научные трактаты существовали в рукописном виде, в единицах экземпляров, а число людей, подготовленных для их понимания, было незначительным, то переоценивать значение этой работы не следует. Некоторое оживление в математике наступило в XIII в. Вызвано оно было в основном двумя обстоятельствами: борьбой против схоластики и богословия, начатой Роджером Бэконом (1214— 1294), и математическими трудами Леонардо Пизанского (ок. 1200 г.), чаще известного математикам как Фибоначчи (что означает: сын Боначчио). Первый из них в резко критической форме противопоставлял догматам, основанным на вере, опыт как единственный источник научного познания. По Р. Бэкону, в центре всей опытной науки находятся знания природы. Вообще все науки основаны или должны быть основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т. е. имеют математизированную форму. В философских воззрениях Бэкона математике отведена роль азбуки всей натуральной философии, т. е. всего естествознания. Роль математики повышалась вместе с ростом прогрессивных сил в философии и в обществе вообще. Заслуги Леонардо перед математикой и ее историей были совсем другого рода. Он получил хорошее математическое образование в Алжире, где жил его отец — один из торговых представителей богатого и сильного итальянского города Пиза. По торговым делам Леонардо объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, пополняя при первой же возможности свои знания. Около 1202 г. он сам написал «Книгу об абаке». Эта книга была подлинной энциклопедией математических знаний народов, живших в то время на берегах Средиземного моря. Более 200 лет она была непревзойденным для европейцев образцом математических сочинений. Новые успехи в математике в эпоху Возрождения существенно опирались на информацию, собранную Леонардо. В «Книге об абаке» 15 разделов. В первых семи отделах описана арифметика целых чисел и обыкновенных дробей (т. е. арифметика рациональных чисел). Система счисления — десятичная позиционная. Разделы 8—И описывают приложения арифметики к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи, где фигурируют монетные пробы. Разделы 12 и 13 состоят из наборов разнообразных 88
задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммирования арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел. Здесь же помещены задачи нахождения целочисленных решений неоднородных линейных уравнений. Предпоследний, 14-й, раздел посвящен вычислениям квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями», т. е. с выражениями вида #±V6. Завершается «Книга об абаке» 15-м разделом, в котором кратко изложена «алгебра и аль-мукабала», в виде, близком к алгебре Хорезми. Там же помещены задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к теореме Пифагора. Другое сочинение Леонардо, «Практическая геометрия», написанное около 1220 г., посвящено измерениям площадей фигур и объемов тел вплоть до площади круга и объема шара. Доказательства соответствующих теорем воспроизведены из работ Евклида и Архимеда. Встречаются задачи, свидетельствующие, чта начала тригонометрии были известны Леонардо. Известно еще одно сочинение Леонардо, где рассматриваются свойства чисел., отыскиваются суммы вида 2*. S*1. S(2*+i). b=zi ft«l k=Q а также рациональные решения системы неопределенных уравнений у2—х2-\-а\ z2=x2—а. Наконец, сохранились сведения об участии Леонардо в публичных состязаниях по математике и о решении им трудных задач. Его имя и доныне звучит в математике как название для возвратных последовательностей (см. например: А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. М., ГТТИ, 1950). Время, начавшееся после Леонардо и длившееся вплоть до эпохи Возрождения (т.е. XIII—XV вв.), в математику не внесло как будто ярких идей, больших открытий, коренных преобразований, историки науки мало о нем пишут. Однако в эти «вспомогательные» столетия в математике происходил интересный, но мало изученный процесс накапливания предпосылок. Математические знания распространялись среди все более многочисленных кругов образованных людей. Идеи и результаты, собранные в сочинениях Леонардо и других математиков, содержание переводимых сочинений античных авторов, наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач — все это вело к новому подъему науки. Но государи и князья, светские и церковные, задерживали стремление к прогрессу науки и общества всеми средствами: угрозами, церковными проклятиями и даже физическим уничтожением своих идейных противников. В этих нелегких условиях в математике наметились дза главных направления, в которых были достигнуты наибольшие успехи. 89
Это были значительное усовершенствование символики и формирование тригонометрии как самостоятельной части математики. Еще современник Леонардо, генерал доминиканского монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237 г.), изображал буквами произвольные ч}исла. Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами пока еще во всех случаях обозначался третьей буквой {а-\-Ь=с, ab=d и т. п.). Профессор Парижского университета Николай Орезм (или Орем, 1328—1382) обобщил понятие степени, ввел дробные показатели степени, распространил на них правила производства операций и применил специальную символику. В его работах уже проглянула идея логарифма. Например: Ljl 2-27 1 . з3 = Ьр 3-3 2 83 = » 2-р 3-8 {р от слова potence=CTeneHb). Кстати заметим, что в одном из своих сочинений Орем ввел в прямоугольнике долготу и широту и использовал введенные таким образом рудименты прямоугольных координат для графического изображения интенсивности физических процессов в зависимости от времени. При этом он отмечал, что изменение в области экстремальных состояний самое медленное. В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке помимо дробного показателя степени ввел также отрицательные и нулевые показатели, отрицательные числа вообще, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет еще специального символа для неизвестной величины, большинство символов образовано сокращением названий (синкопическая алгебраическая символика). Например: 53т обозначает Ьх~г (т — сокращение слова minus); вообще akm обозначает аугк. Знаком радикала служит Rx (от слова га(Нх=корень), знаком ело- жения — р (от слова plus). Так что выражение у 24 -j- |/*37— 20л:-2 взятое н:ами наугад, в символике Шюке имело бы вид: Rl24pR2x 37m2Wm. Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV—XVI вв. коосисты. Так называли математиков южной части Западной Европы. Название происходит от латинского слова cosa, т. е. вещь. Этим словом в Италии обозначали неизвестную величину в уравнениях. Коссисты разработали несколько систем символов, удобных для записи математических действий. Некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к идее логарифмирования. Какое бы, однако, большое значение ни имела сложившаяся в средние века тенденция совершенствования формы, решающей роли в дальнейшем развитии алгебры и вообще математики она 90
иметь не могла. Новый шаг был связан с успехами в алгоритмической, оперативной части, т. е. с решением нового класса алгебраических уравнений. Об этом речь будет идти далее. А теперь продолжим обзор средневековой европейской математики. Успехи тригонометрии в эти времена, о чем мы выше упоминали, явились практически следствием успехов астрономии. По существу, тригонометрия еще не отделилась от астрономии. А эту науку культивировали и почитали, в том числе и ее астрологическое ответвление. Факты тригонометрического характера сталп известными в Европе из источников главным образом арабских. В XV в., когда дальние плавания стали осуществляться, когда стало расширяться представление о мире и знаний о нем прибавлялось, резко возрос интерес к занятиям астрономией. Это была пора, непосредственно предшествующая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг Африки (1498), первому кругосветному плаванию (1519), появлению гелиоцентрической теории Коперника (1473—1543). Для тригонометрии наступили счастливые времена. Ее формирование практически завершилось, когда в 1461 г. вышло в свет сочинение «Пять книг о треугольниках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была рассмотрена отдельно от астрономии, как самостоятельная часть математики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436—1476), более известный в истории науки как Региомонтан (латинизированное производное слово от названия города Кенигсберг (ныне в Германии), где он родился). В этой книге систематически рассмотрены все задачи решения треугольников, плоских и сферических, по заданным элементам. При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него иррациональности, возникающие как следствие геометрических несоизмеримостей, и приложил трактовки алгебры к решению геометрических задач. Тем самым была существенно нарушена античная традиция и открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее задач. Региомонтан продолжил работу по составлению таблиц тригонометрических функций. Его таблица синусов была составлена с точностью до седьмого знака и имела частоту одна минута. Так как десятичные дроби еще не были введены в математику, Региомонтан выбрал величину радиуса образующей окружности очень большую: 107. Он же ввел в практику тригонометрические функции, получившие в XVII в. названия тангенс и котангенс, и составил таблицу их значений. Своеобразная линия развития научных знаний сложилась на территории Восточной Европы, в славянских землях, на Руси. Своеобразие прежде всего состояло в том, что накопление знаний, в том числе математических, происходило с привлечением науки Византии. Кстати заметим, что этот путь развития математики в сочинениях по истории науки освещен еще слабо. Термином «Русь средневековая», мы здесь будем называть весь комплекс русских княжеств, ведущее место в котором последова- 91
тельно занимали: Киевская Русь (X—XII вв.), Владимиро-Суз- дальское объединение (XII—XIII вв.), Новгород (XIII—XV вв.). Тяжелая историческая судьба русского народа привела к тому,, что непосредственных свидетельств состояния наук на Руси средневековой осталось очень мало. Обработка данных, добытых археологами, этнографами, историками, дает скупые результаты. Наличные материалы позволяют дать лишь следующую общую» характеристику начальных этапов развития математики на нашей Родине. Уже в начале Хв. на Руси существовала письменность. Тесные связи с Византией способствовали ускорению в приобретении знаний. Математическое, в частности, образование находилось на уров» не европейского. При дворе киевского князя Владимира Свято- слашча (ум. 1015 г.) было налажено обязательное книжное учение. При Ярославе Мудром (978—1054) тоже действовала школа. От тех времен до нас дошли замечательные письменные источники: «Русская Правда», «Повесть временных лет», «Слово о полку Игореве», разнообразные сочинения летописцев. Архитектурные памятники и археологические раскопки дают новые подтверждения относительно высокого уровня техники и культуры русских людей. Практические (хозяйственные, торговые, календарные и проч.) сведения математического характера и расчеты записывались посредством десятичной алфавитной системы нумерации, сходной с греческой алфавитной системой. К слову заметим, что эта старо* славянская нумерация используется и в наше время в церковных книгах. Эта система практически не ограничивала величины чисел; Встречаются иногда и очень большие числа. Для них придумывались индивидуальные названия. Например, в обычном, «малом», счете 104 называлось неведием, позднее — тьмой, 105 — легионом, 10Б — леодром. По другой системе, «великого» счета, тьма — 106$ легион — 1012, леодр — 1024, ворон — 1048, колода — 1096 (или 1049), после чего простодушный летописец заявлял: «Сего же числа несть больше». Помимо вычислений практического характера очень рано начинают встречаться теоретические вопросы и задачи, составленные числолюбцами. Древнейшей сохранившейся специально математической рукописью являются записи Кирика, новгородского дьякона, датируемые точно 1131 г. (по старому церковному летоисчислению 6642г. от сотв. мира). Примерами таких задач, собранных из разных рукописей, являются: вычисление, сколько месяцев, недель, дней и даже часов протекло от сотворения мира; задачи на вычисление сумм прогрессий, образуемых с помощью предположений о прогрессирующем приплоде стад; вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным измерений Эратосфена (Зв. до н. э.) и связанное с этим вычисление приближенного значения числа я; трудная задача о вычислении дат религиозного праздника Пасхи. Последний наступает в первое воскресенье после весеннего 92
полнолуния. Весенним считается полнолуние, наступающее между 2\ марта и 18 апреля. Задача состоит в сравнениях периодических шкал солнечных лет, лунных месяцев с учетом Метонова цикла (19 солнечных лет, равны по продолжительности 235 лунным месяцам), семидневных недельных периодов, периодов обращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца. Получается громоздкая периодичность дат Пасхи и связанных с этим праздником постов с общим циклом длительностью 532 года (великий индиктион). Общий со всеми европейскими государствами ход развития науки и культуры на Руси был насильственно прерван в первой половине XIII в. вследствие нашествия татаро-монгольских орд (Батый, 1240) и крестоносцев (1242г., битва на Чудском озере). Русский народ истекал кровью, но отстоял свою национальную и государственную самостоятельность. Битва на Куликовом поле в 1380 г. была началом конца иностранного ига. Окончательно оно было свергнуто к 1480 г. Однако нападения иностранных интервентов, болезненный процесс ломки феодального уклада и становление единого многонационального государства заняли еще пару столетий, с XVI до XVIII в. Эти обстоятельства сильно задерживали рост хозяйства, культуры и науки. Определилось длительное и сильное отставание России от европейских стран во всех областях, в том числе и в науке. Попытаемся подвести краткие итоги. В течение V—X вв. в Европе постепенно сложилась система образования, пополнявшая слои относительно образованных людей. Ученые, занимавшиеся математикой, и (в меньшем объеме) студенты университетов имели возможность усваивать достижения античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего Востока и Средней Азии. Была широко распространена практика перевода арабских рукописей научного содержания на латинский язык — универсальный язык средневековой науки. Математика развивалась под влиянием практических запросов техники и мореплавания. Поэтому вначале медленный темп научной жизни заметно ускорился. Стимулирующее воздействие на развитие математики оказали прогрессивные течения средневековой философии, идеологическая борьба против засилья церкви и феодалов, против застывших схоластических догм. Определение места математики как азбуки (основы) натуральной философии (т.е. естествознания) укрепило ее положение и ускорило процесс создания в математике фундамента основных знаний, накопления предпосылок для новых успехов. Наибольшие успехи определились в формально-символической части алгебры и в тригонометрии. Был также высказан и введен в научный обиход, особенно в XV—XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое значение для последующего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени, начальные идеи теории логарифмов. Необходим был практический успех, хотя бы небольшой, чтобы вся масса накопленных предпосылок пришла в движение. В конце средневековья (XV—XVI вв.) в странах Западной Европы как математика, так и естествознание вообще развивались в 93
обстановке бурных изменений, связанных в своей экономической основе с начавшимся разложением феодального общества и установлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения происходили в промышленности, где возникали мануфактуры с характерным для них разделением труда и введением машин. Невиданное ранее развитие стали получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые колониальным грабежом. В государственном отношении основные изменения состояли в том, что мощь и влияние феодалов были сломлены и заменены при поддержке горожан королевским правлением. Образованы крупные государ» ства, консолидировались нации. Расцвет культуры и искусства в Италии, Франции и других странах, изобретение книгопечатания (в середине XV в.) стали определять совершенно новый уровень умственных запросов и занятий все расширяющегося круга людей. «Исследование природы совершалось тогда в обстановке всеобщей революции, будучи само насквозь революционно: ведь оно должно было еще завоевать себе право на существование», — писал об этом Энгельс (К. Маркс, Ф. Энгельс. Соч., 2-е изд. Т. 20. С. 347). Определились новые крупные успехи в технике и во всех частях естествознания. В математике новая ступень развития прежде всего ознаменовалась достижениями в вычислительной практике и в решении алгебраических уравнений. § 3.4. НАЧАЛО ФОРМИРОВАНИЯ АЛГЕБРЫ Формирование алгебры началось с решения в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней. Ход этих событий известен, но по- прежнему освещается во многих статьях и книгах. В основном он был таков. Сципион дель Ферро (1465—1526) работал (с 1496 г, по 1526г.) профессором университета в г. Болонье (Италия). Однажды он нашел формулу, выражающую в радикалах положительные корни уравнений вида: хъ-\-рх=ц (р, <7>0). Свою находку он держал втайне, приберегая ее как оружие в научных диспутах. К концу жизни он сообщил ее своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла Наве и своему ученику Фиоре. В начале 1535 г. должен был состояться научный поединок Фиоре с Николо Тарталья (1500—1557). Последний был выходцем из бедной семьи; он зарабатывал себе на жизнь преподаванием математики и механики в городах Северной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и готовит своему противнику задачи» сводящиеся к решению кубических уравнений, Тарталья сумел заново найти эту формулу, что обеспечило ему победу в диспуте, состоявшемся 12 февраля 1535 г. Метод Тартальи, как (по-видимому) и метод Ферро, состоял в подборе подходящего вида алгебраической иррациональности для выражения корня уравнения xz-\-px=q (р, q>0). Предположив,, 94
Н. Тарталья (ок. 1499—1557) Чт0 ХГ--и~ *Vy п°Аставив это выражение в уравнение и положив р=3у uv, он получил систему: u—v=q, Ш)=*ръ№. н!шелПРеТИРУЯ " И V КЭК К°РНИ квадРатного Уравнения, Тарталья Вскоре Тарталья смог решитьуравнения вида x3=px+q (pt <?>0) подстановкой хш /u + */Z. Наконец, он заявил, что ура* 95
внения вида хъ-\-ц = рх сводятся к предыдущему виду, но способа сведения не обнародовал. Тарталья долго не публиковал свои результаты по двум причинам: во-первых, по той же, что останавливала и Ферро; во-вторых, из-за неспособности справиться с неприводимым случаем. Этот последний состоит в том, что существуют уравнения вида x3 = px-\-qy которые имеют действительный положительный корень независимо от того, имеет место неравенство i ) ^ I ~) или же нет* ФоРмУла Тартальи не давала решения во втором случае, так как не существовало возможности рационально объяснить сущность получающихся при этом мнимых чисел. Неприводимый случай получался у Тартальи и в уравнениях вида x* + q=px. Однако труд Тартальи даром не пропал. Сработал тот эффект в развитии науки, когда объективно накапливаются необходимые и достаточные условия для значительных результатов, их предвкушение начинает каким-то образом «носиться в воздухе», привлекая усилия многих ученых. И вот с 1539 г. решением кубических уравнений начал заниматься Джироламо Кардано (1501— 1576). Человек необычной и бурной судьбы, наполненной противоречивыми и нередко трудно объяснимыми поступками, богатый, образованный и талантливый, он страстно любил научные занятия. Философия и математика, медицина и астрология — все являлось объектом увлечений Кардано. Услышав об открытии, сделанном Тартальей, Кардано приложил много усилий, чтобы выманить сведения у осторожного и недоверчивого ученого. Наконец, желаемое осуществилось и Кардано украсил этим результатом широко задуманную книгу «Великое искусство (Ars magna) или о ¦правилах алгебры», самостоятельно разработав неполную информацию Тартальи. Книга Кардано — очень большое сочинение; в нем 40 глав. Она содержит не только правила алгебраических операций и методы решения уравнений первых трех степеней, но и элементы общей теории алгебраических уравнений. Так, Кардано ввел регулярный способ сведения полного кубического уравнения ахъ-\-Ьх2+сх-\- +d=0 с помощью подстановки x=X\ + h к ввду, в котором отсутствует член е квадратом неизвестного, и распространил этот способ на уравнения 4-й степени. В «Ars magna» (т. е. «Великое искусство») содержатся много теорем о взаимозависимости корней и коэффициентов уравнений: о числе положительных и отрицательных (у Кардано: «фиктивных») корней, об их сумме и другие. Например, если в уравнении все члены, стоящие в его левой части, имеют степени большие, нежели степени членов правой части» то уравнение имеет один и только один положительный корень. Наконец, у Кардано показана делимость алгебраического полинома Рп(х) на х—хи где Х\ — корень уравнения Рп(х)=0. Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем сведения его к кубической резольвенте. Метод 96
был найден Л. Феррари (1522—1565), учеником Кардано. Поясним его на примере задачи, которую решал сам Феррари. Она •была задана Кардано итальянским математиком Д. Колла. В задаче требовалось разделить число 10 на 3 части так, чтобы они составили геометрическую прогрессию, а произведение первых двух частей равнялось 6. 6 X3 6 V3 По условию: — : х—х : ~-; \-x-\-'-- = 10, откуда получаем 1 6 л: 6 х4 + 6х2+36=60л:. Дополним обе части, добиваясь, чтобы левая часть сделалась полным квадратом: (л;2+6)2=60х+6л;2. Добавим к обеим частям по 2(jc2 + 6)/+^2, где t еще предстоит определить. Получим (x2+6+t)2=60x + 6x2 + 2(x2+6)t + t2 или {x2+6+t)2=(2t + 6)x2+m+(t2+\2t). Условием того, что правая сторона является полным квадратом, является, как известно, равенство нулю дискриминанта. Это условие Феррари записал в виде 302=(2?+6) (?2+Ш), сведя задачу к решению кубической резольвенты. Очевидно, что метод Феррари является общим для уравнений 4-й степени. Кардано приводил к этому виду уравнение, не содержащее неизвестное в 1-й степени, подстановкой x=k/y. Мы не будем останавливаться на тягостном споре Тартальи и Кардано о приоритете. Спор этот породил огромную литературу. До наших дней к нему возвращаются, вновь и вновь выдвигают всякие оценки Тартальи, Кардано, обстоятельств, связей с другими историческими событиями. Историю науки эти писания чаще всего не обогащают. Важным оказывается то, что столь быстрые и поразительные успехи в решении уравнений 3-й и 4-й степеней тотчас вызвали постановку проблемы решения алгебраических уравнений любых степеней. Огромное число попыток, усилия ученых не приводили к успеху. С течением времени постановка задачи видоизменялась. В основном она стала трактоваться как проблема возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени п>5 в радикалах. В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет. Только в начале XIX в. норвежский математик Нильс-Генрих Абель (1802—1829) доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4-й, вообще говоря, в радикалах не решаются. Практически почти одновременно французский математик Э. Галуа (1811—1832) связал с каждым алгебраическим уравнением специальную группу подстановок его корней — группу Галуа — и свел проблему разрешимости алгебраического уравнения к исследованию структуры этой группы. В последующем мы осветим этот вопрос подробнее, равно как и более общую проблему: выразить 97
рационально корни заданного уравнения через корни другого, бо лее простого, уравнения. Современникам Кардано, чтобы продвинуться по пути создания общей теории алгебраических уравнений, необходимо было преодолевать два препятствия: громоздкость получающихся формул и неразъясненность неприводимого случая. Первое из них —• чисто практическое. Кардано даже предлагал отказаться от сложных формул и находить корни уравнений приближенно с помощью правила двух ложных положений, известного еще египтянам и, по существу, всегда применяемого в виде линейной интерполяции. Второе имеет более глубокие корни, а попытки его преодоления повели к весьма важным следствиям. Уже Кардано упоминал о мнимых корнях, называя их «софистическими»; на примере х+у=10; ху=40 он показал, что эти корни встречаются попарно, т. е. .ri,2=5±Y—15, но считал, что такие уравнения решать невозможно. Смелая попытка справиться с неприводимым случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» (1572) он формально ввел правила действий над мнимыми комплексными числами на основе тождеств: (dzi)-(±i)= — 1; (±i) -(+0 = 1. Затем он установил, что все выражения, содержащие «софистические минусы» Кардано, преобразуются к виду a+bi. На примере д:3=15д:+4 Бомбелли показал, что в неприводимом случае вещественный корень получа* стся как сумма двух комплексных чисел а + Ы и а—Ы. Метод Бомбелли состоит в следующем: пусть дано уравнение хъ=ах+Ь и имеет место (--) — (-—\ < 0. Следовательно, формула -Кт+YW^+W /(IFW »"- менима. Бомбелли исходит из того, что выражения вида V & ± КР* входящие в эту формулу, тоже могут быть преобразованы к виду p±Yq- Положив V a ±Y$ssP±VrQ > он для определения р и q получил два уравнения: р3 + Spq — а, р2 — q2 =» j/a2—р =» у. Для определения р из этой системы получается уравнение 4р3= = 3?р+а. В частности, если положить a~b/2, (J = (Ь/2)2 — (а/3)3* то f = #/3 и х~ р +Vq +р — Vq^ 2р- Конечно, эти рассуждения Бомбелли — всего только объяснение. Оно не облегчает решения неприводимого случая, ибо уравнение 4р3=3'ур+а того же типа, что и исходное. Но введение для конкретных задач общим образом определенных операций с комплексными числами выдвигает Бомбелли в число ближайших предшественников Гаусса в этой области. 98
Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с совершенствованием символики. Последняя, когда она достаточно хорошо отражает реальную сущность математических операций, активно воздействует на успехи математики и сама приобретает оперативные свойства. В истории математики символы можно уподобить орудиям труда, по которым многое можно восстановить и понять. В рассматриваемое нами время происходил активный переход от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения (синкопирования) слов, а затем — введения системы символов. Уже у Кардано этот переход очень заметен. На- пример, корень уравнения «cubus р 6 rebus aequalis 20», т. е. jc3 + 6*=20, находится по формуле: Rx иси 7?* l08plO\mRxcuRx 108m 10, т. е. VVl08 + 10- Vym - ю. Читатель уже успел, возможно, понять значение символов. Все-таки поясним, что Rx — знак корня (radix), R^ucti — это radix universalis cubica, т. е. общий кубический корень из всего выражения, доходящего до вертикальной черты или до конца записи. Символы в специальной литературе тех времен еще не устоялись, не всегда составляли единую систему даже в пределах одной книги. Но потребности науки заставляли настойчиво искать новых усовершенствований. Бомбелли, например, для последовательных степеней неизвестной величины х употреблял уже символы 1, 2, 3, ... Симон Стевин (1548—1620), фламандский математик и инженер, известный, в частности, тем, что ввел в европейскую математику аппарат десятичных дробей, тоже внес свой вклад. Степени неизвестных (первой, второй, третьей...) обозначал (Г) , (2), (3). . . . , х, х\ х\ ..., sec (Г), sec (2), sec (3) т. е. 0. у\ У3, «., ter (Г). ter (2), ter (3), . . . х z, z\ z\ .... Единую систему алгебраических символов, последовательно используемую, первым ввел, по всей вероятности, Франсуа Виета (1540—1603) — французский математик, юрист по образованию. Во время уроков, которые он давал в одной влиятельной семье, у него возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить неточную, по его мнению, систему Коперника. Но жизнь повела его по иному пути. Блестяще образованный, Виета быстро продвигался по служебной лестнице и наконец сделался близким советником королей Генрихов III и IV, которые ценили его, в частности, за умение прочитывать шифрованную переписку их политических противников. В период 1584—1589 гг. он был отстранен от придворных дел вследствие интриг своих недругов. Досуг свой он употребил на написание главного своего математичес- 99
кого сочинения «Введение в искусство анализа». Это очень обстоятельно написанное сочинение по новой алгебре. Оно осталось незаконченным, но выходило в свет с 1591 г. отдельными частями, даже после смерти Виеты. Замысел этого универсального сочинения был таков: успехи итальянских хматематиков в решении уравнений 3-й и 4-й степеней опирались на высокую эффективность алгебраических методов. Но число отдельных видов таких уравнений угрожающе быстро росло, достигая, например у Кардано, 66. Каждый из этих видов требовал для своего решения особых приемов. Необходимо было отыскать общие методы решения алгебраических уравнений. Последние в свою очередь должны быть записаны в общем виде с буквенными коэффициентами. Наконец, необходимо было сочетать эффективность алгебраических методов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виете и представлявшихся, по его мнению, образцами подлинно научного анализа. Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica numeralis. Исчисление с буквами получило название logistica speciosa — от слова species, т.е. члены математического выражения. Исчисление состоит из зететики — искусства решения уравнений; пористики — искусства доказательства правильности полученных решений; экзегетики — общей теории уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные — гласными, известные — согласными. Числа — безразмерны, положительны, рациональны (в случаях, когда речь заходит об иррациональности, Виета переходит на язык геометрии); величины же размерность имеют. Это геометрическое влияние на концепцию величины усиливается специальной терминологией: первая степень называется latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья — solidum (тело). Далее в этой градации фигурируют плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. п. величины. Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами. Последние, впрочем, разрешается подравнивать в смысле размерности посредством умножения на единицу необходимой размерности. Умножение и деление вызывают изменение размерности. Эти идеи Виеты отражали наличие непреодоленного еще в его время разрыва между числами и величинами. Этот недостаток, впрочем, принес и пользу. Труды Виета послужили предтечей ряда позднейших математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановых алгебр. Символика Виеты также еще отягощена грузом геометрических привнесений; она тяжела, с трудом понимается, перемежается сокращенными и даже несокращенными словами. Например: A cubus + B planum in A aequatur D solido, т. е. Д3+ВЛ=Д или*3+Ял;=Я, В parabola in A gradum — A potestate aequatuz Z homogenae, т. е. BAn—Am+n=Z. WO
Тем не менее благодаря даже такой несовершенной символике стало впервые возможным выражение уравнений и их свойств общими формулами. Объектами математических операций сделались не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виета в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяющего хорошо делать математические открытия». Кстати, символы Виета были вскоре усовершенствованы без особых трудностей его младшими современниками, в особенности Гэрриотом (1560—1621). В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог математике эпохи Возрождения. С особенной отчетливостью это проявляется в его алгебраических сочинениях. В них подробно, с большой полнотой собраны сведения об уравнениях 1—4-й степеней. Общий характер изложения таков, что оно не является сводкой частных методов, а выглядит как общая теория уравнений. Для этого он использовал богатый уже арсенал алгебраических преобразований. Последние во многом опираются на подстановки: x=y + k (чтобы исключить член, содержащий неизвестное во второй степени); x=y/k (для исключения члена, содержащего х в первой степени); x = ky (с целью устранения дробных коэффициентов); х = уа/Ь (чтобы придать коэффициенту при хп-1 заданное значение) и др. От радикалов он освобождался с помощью отъединения одного члена и возведения в степень обеих сторон уравнения. Например, всякое кубическое уравнение он преобразовывал к виду хг + Зах=Ь и применял затем подстановку a^P+tx, чтобы прийти к уравнению x* + 3tx2+3t2x=b. Из последних двух равенств, преобразованных к виду (x+t)*—t*=b, t*(t+x)z=a3y он получил квадратное, относительно tz уравнение: (t3)2+bt3=a3. Можно непосредственно подставить х—(а—t2)/t в исходное уравнение, чтобы получить тот же результат. Неприводимый случай кубических уравнений Виета свел к задаче о трисекции угла. Он показал, что всякое неприводимое уравнение может быть преобразовано к виду хг—Зл:=а. Сопоставляя его с тригонометрическим соотношением (2cos ф)3—3(2 cos <р) = = 2 cos Зф, Виета демонстрирует такое сведение. А задачу о трисекции угла он решает известным ему из античных источников методом вставок. При решении уравнений Виета разыскивает положительные корни. С помощью преобразования *=—у он подходит к проблеме нахождения отрицательных корней. Развивая результаты Карда- но, Виета высказывает ряд теорем о взаимной зависимости корней и коэффициентов уравнений, включая частные случаи теоремы, известной ныне под его именем. В связи с этим он представляет п уравнения как произведения биномов: Рп(х) = Л (х — хк) (но еще 101
п<Ъ). Полностью предложение о зависимости коэффициентов и корней уравнений было сформулировано Т. Гэрриотом и А. Жираром и опубликовано последним в 1629 г. Алгебру Виеты вскоре вытеснила алгебра Декарта. Об этом речь будет идти ниже. Однако известно, что Ферма, например, изучив алгебру Виеты, придерживался ее формы, когда строил аналитическую геометрию. К тому же мы думаем, что параллельное рассмотрение алгебраических операций и геометрических построений, регулярно проводимое Виетой, сыграло свою роль в выработке идей аналитической геометрии столетием позже. То, что представляло геометрический рудимент в алгебре Виеты и других математиков XVI в., послужило исходным пунктом развития новой науки — аналитической геометрии — в трудах ученых XVII в. Сопоставление алгебраической и тригонометрической задач при решении кубических уравнений, которое было нами отмечено, не было для Виеты ни случайной находкой, ни второстепенным эпизодом. Виета проявил интерес к алгебре именно в силу ее применимости и даже необходимости для задач астрономии и, следовательно, тригонометрии. И в дальнейшем у него тригонометрические и алгебраические результаты следовали одновременно, то и дело переплетаясь. Например, Виета не ограничился определением всех элементов плоского или сферического треугольника по трем заданным элементам. Ему принадлежат разложения тригонометрических функций кратных углов (дуг) посредством последовательного применения формул для синуса и косинуса суммы двух углов: cos та = cosm а — т т~~ cosm~2 а sin2 а -f- . . . , sln/яа = m cos*-"1 а sin а - - ~ cosm-Jccsm3a-K.. . l-2-з Уже после смерти Виеты стали известны многие найденные им рекуррентные соотношения, например: cos ma=2 cos a cos (m—l)a—cos (tn—2)a, sin m a=2cos a sin (m—1) a—sin (m—2) a, sin ma=2 sinacos (m— 1) a + sin (m—2)a, cosma=—2 sinasin (m— 1) a + cos (m—2)a. Кажется удивительным, что такие крупные результаты гониометрии были получены при недостаточно общем определении тригонометрических функций, без всякого намека на введение производящей окружности. Впрочем, так бывает в истории науки нередко. Результаты сначала появляются, существуют, а потом осмысливаются и получают удовлетворительную общую трактовку. Замечательным достижением Виеты является введение в математику задачи о нахождении бесконечного произведения. Если около правильного ^-угольника площади Sn описать круг радиуса г 102
и вписать в него круг радиуса рп, то после удвоения числа сторон n-угольника будет получаться: Sn:S2n = pn:r=cos nfn. Последовательно полагая п=4> 8Г 16, ..., будем получать S€: S8 = cos тс/4, S8 • S16 =* cos тс/8, Затем Виета «переходит к пределу», утверждая, что для п=с° получается круг, площадь которого Soo = nr2. Перемножив всю цепочку равенств, он получает 2/тс = cos (9072) cos (9074) cos (90°/8) . . . или 1=/|/{('-ь/!)-/?(1+^(1+]/1))-- Конечно, Виета не доказывает сходимости полученного бесконечного произведения, будучи интуитивно убежденным в справедливости своего «предельного» утверждения. На примере работ Виеты видно, что в европейской математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Эта наука содержала полную информацию о методах решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты завершили в принципе символическое оформление своей науки и начали попытки ставить и решать проблемы общей теории алгебраических уравнений. § 3.5. ПРОГРЕСС ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ К концу эпохи Возрождения математики испытывали огромные трудности с вычислениями. Прежде всего, эти трудности концентрировались вокруг задачи вычисления таблиц: сложных процентов, значений тригонометрических функций. С последними связана задача определения значения числа тс. Другой задачей являлась разработка алгоритмов, позволяющих надежно и удобно отыскивать значения корней уравнений с численными коэффициентами. Однако арифметика располагала пока еще только операциями над целыми числами и простыми дробями. Десятичные дроби были внове; их только-только вводили в практику. Впервые в Европе они появились в 1585 г. у С. Стевина в сочинении «La Dis- ше» («одна десятая»). Вычисления делались только вручную. Составление таблиц тригонометрических функций отнимало много времени и сил. К началу XVII в. уже существовало несколько таблиц. Их составляли, например, Коперник (1473—1543), Кеплер (1571—1630) с учениками и сотрудниками. Через 20 лет после смерти Ретикуса (1514—1576), ученика Коперника, появились законченные уже третьим поколением вычислителей большие таблицы «Opus Palatinum», где величины всех шести тригонометрических функций были вычислены с частотой 10". Обширные таблицы оставил Виета в огромном сочинении «Canonus mathe- 103
maticus». Бюрги, сотрудник Кеплера, много лет потратил на составление таблицы синусов с частотой 2"'. Количество примеров можно было бы умножить. Мореплаватели и астрономы, строители и конструкторы, преподаватели математики всех стран остро нуждались в таких таблицах, и они появлялись в разных местах и видах. Общей особенностью таблиц была громадная величина избранного для отсчета радиуса производящей окружности. Объясняется это отсутствием аппарата десятичных дробей. Результаты приходилось получать в целых числах и обеспечивать при этом высокую точность вычислений. Главные заботы вызывала необходимость вычислять с особенно высокой точностью значения синусов (или хорд) малых дуг, чтобы на вычислениях не сказывалось накопление ошибок. Для этого использовали унаследованный от древних математиков прием последовательного удвоения сторон правильных вписанных и описанных многоугольников. Виета, например для определения sin Г (одна минута=1/6© градуса) довел вычисления до отыскания сторон правильного вписанного многоугольника с 3-211 сторонами, а описанного — сЗ-212 сторонами. При этом в качестве соответствующего результата находились с высокой точностью приближенные значения числа л, Так, голландский математик и военный инженер Лудольф ван Цейлен (1539—1610) вычислил сначала 20, а затем 35 десятичных знаков этого числа, первым превзойдя результаты средневекового азиатского математика и астронома аль-Каши. К слову,, дальнейшие уточнения этого числа, вплоть до вычислений У. Шен- кса (1812— 1882), не пожалевшего труда для вычисления 707 десятичных знаков я (1874) и допустившего ошибку в 520-м знаке (что обнаружено лишь в 1945 г.), практическими потребностями не вызывались. Побудительной причиной для такого труда было, вероятно, или тщеславное стремление продемонстрировать свое вычислительное мастерство, или же наивная попытка «взять в лоб» непосредственными подсчетами проблему определения арифметической природы числа я. По вопросу об арифметической природе числа п упомянем, что в 1767 г. Ламберт доказал его иррациональность, а в 1882 г. Ф. Линдеман (1852—1939)—трансцендентность. Когда появились ЭВМ, то одной из первых была составлена программа, позволившая получить 100625 десятичных знаков для значения числа п (1961). Этот результат играет теперь роль контрольного при проверке вычислительных машин и при обучении программистов. Однако возвратимся к математикам XVI в., к их вычислительным трудностям и достижениям. Для облегчения вычислений таблиц математики придумывали частные приемы, в которых главную роль играли специально подобранные тригонометрические соотношения, а также разности различных порядков. Их основной целью было сведение вычислений к наиболее простым, по возможности, операциям, а именно к сложению и вычитанию. Та же цель преследовалась и при вычис- 304
лениях с тригонометрическими функциями с использованием таблиц. Вычислители, естественно, стремились избежать непосредственного умножения и деления многозначных чисел, сводя их к: сложению и вычитанию приемами, вроде таких: sin х sin у = - [cos (х—у) — cos {х+у)]9 cos х cos у = — [cos (х-—у) +cos(x+y)]. Подобные методы столь часто и регулярно применялись, что получили специальное название «простаферетические» от соединения двух греческих слов: простезис — прибавление, афайрезис — вычитание. Ими пользовались математики Ближнего Востока; в математике европейского Возрождения — Виета, Тихо-Браге, Вит- тих, Бюрги и многие другие. Простаферетические методы находили применение некоторое время даже после того, как были изобретены логарифмы и открылся иной, противоположный, путь — приведения к виду, удобному для логарифмирования. Логарифмы были изобретены в начале XVII в. Вообще-то говоря, их теоретические основы начали формироваться с давних пор. Мы имеем в виду идею сравнения двух прогрессий —геометрической и арифметической, а также обобщение понятия степени числа. Еще у Архимеда в «Псаммите» встречается запись последовательных степеней одного и того же основания: а0, а1, а2, а3, ..., по поводу чего высказано утверждение, эквивалентное следующему: ат-ап = ат+п. Аналогичные мысли высказывал Диофант. Орезм исходил из идеи сравнения геометрической прогрессии и арифметической, когда вставлял в последней дробные числа между натуральными и обобщил тем самым понятие показателя степени на дробные величины. Штифель систематически сравнивал действия над членами обоих сопоставляемых прогрессий и ввел дробные и отрицательные показатели степени. Чтобы воспользоваться этими мыслями для регулярного сведения арифметических операций к самым несложным, нужно было всего лишь составить таблицы, в которых сопоставлялась бы последовательность степеней чисел с последовательностью их показателей. Чтобы таблицы были достаточно частыми, их единое основание следует выбирать как можно более близким к единице. Но такие таблицы уже существовали. В начале XVII в. их составлял С. Стевин. Это были таблицы сложных процентов, т. е. значений чисел (1+г)п при различных процентных таксах: г=0.05; 0.04; и т. д. Чем меньше г, тем меньше разрыв между получаемыми значениями. Аналогичная таблица была положена в основу одной из первых таблиц логарифмов, составленной И. Бюрги. И. Бюрш (1552—1632) был родом из Швейцарии, работал мастером по ремонту часов и астрономических инструментов. Долгое время находился в Праге в астрономической обсерватории при Кеплере, помогал ему в наблюдениях и в вычислениях. Там для облегчения вычислений в течение 8 лет (1603 — 1611) он составил- свою таблицу логарифмов. 105
За основу Бюрги взял таблицы типа стевиновых: а(1 + г)п. Чтобы получить в таблице достаточно малый шаг, он положил г= 10~4. Стремление возможно долее не встречаться с дробями и не получать тем самым дополнительных вычислительных трудностей заставило его ввести значительный по величине дополнительный множитель а=108. Значениям членов получаемой геометрической прогрессии gfc=108(l + 10-4)fe, ? = 0,1,2,3,... Бюрги ставил в соответствие члены арифметической прогрессии: 0, 10, 20, 30,... Получились два ряда значений: 108; 108(1 + 10-4); 108(1 + Ю-4)2; 108(1 +Ю"4)3;... 0; 10; 20; 30; ... . Числа нижнего ряда были напечатаны красной краской и назывались красными; числа верхнего ряда — черной краской и назывались черными. Таким образом, в таблице Бюрги красные числа являются логарифмами черных, разделенных на 108, при основании у1.0001. Так как Бюрги ориентирует свою таблицу на красные числа, то она, по существу, является таблицей антилогарифмов, что принципиально существа дела не меняет. Вычисления черных чисел вследствие наличия множителя 108 доводились до 9-го знака. Они были доведены до так называемого полного черного числа, равного 109. Соответствующее ему полное красное число было найдено с применением интерполяции и оказалось равным 230270022, т. е. 1,000123027О02М08= 109. Из этого видно, какое громадное количество повторяющихся последовательных вычислений пришлось проделать прц составлении своей таблицы Бюрги, потратившему на нее, как мы сказали выше, около 8 лет. Бюрги долго не решался публиковать таблицы, несмотря на очевцдную их полезность при вычислениях. Только в 1620 г. он издал книгу «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как ими пользоваться при всякого рода вычислениях». Оригинал этих таблиц вместе с другими материалами архива Кеплера хранится в нашей стране в Пулковской обсерватории. Что же касается «обстоятельного наставления», то оно не было опубликовано вместе с таблицами, найдено позднее и увидело свет в 1856 г. Из-за своей медлительности Бюрги утерял приоритет. В 1614 г., на 6 лет ранее, чем вышла в свет его «Таблица...», в Англии, появилось «Описание удивительных таблиц логарифмов» («Canonis mirifici logarithmorum descriptio»). Автором этого сочинения был Джон Непер (1550— 1617), шотландский барон, серьезно занимавшийся различными науками, в особенности астрономией и математикой. Упомянутые таблицы были 8-значными таблицами логарифмов тригонометрических функций для значений аргументов от 0° до 90° с частотой Г. Принцип составления этих таблиц, которым Непер владел, по- видимому (как это можно заключить из его переписки), с 1594 г., был для своего времени новым. Метод сравнения прогрессий, как показано, дает последовательность дискретных значений. Их мож- 106
но, не испытав принципиальных 4 ^ трудностей, сгустить, но дискрет- * н +—¦+— ~^ ный характер последовательности Мв ;1' *'< ^ не изменится. Неотъемлемой частью Aj , , , » этого метода является интерполя- т* щ nh тз ция. Непер, напротив, исходил из р 2д функциональной зависимости, выразив ее в виде двух непрерывных шкал (рис. 29,). Пусть из точек А и А{ одновременно в направлении, указанном стрелками, начинают двигаться две точки: Мит, проходя соответственно положения М0, Ми М2у Ма, ... и т0, mif т2у т3, .... Начальная скорость обеих точек одинакова (для упрощения пока будем считать Vq^I). Затем точка т движется с постоянной скоростью ym=const, а движение точки М замедляется. Ее скорость будет пропорциональной остающемуся расстоянию до точки В (также для простоты изложения будем считать ЛВ=1). Такое определение (если обозначить АхГПъ^х, MkB=y) в переводе на более понятный нам язык эквивалентно дифференциальному уравнению ~ = — У> откуда х=—In у, или x=logi/5 у. Неперова система логарифмов оказалась системой с основанием 1/е. Введение логарифмической функции объективно хранило в себе большие возможности для способствования развитию идей анализа бесконечно малых. Но в 1614 г. Непер не владел подобными идеями. Ему были нужны таблицы, облегчающие вычисления. Поэтому он разделил АВ на 107 этапов прохождения соответственно за 107 временных интервалов (моментов). В первый момент v0—l, а в последующие ВМХ=\— — , MtM2=: — (\——\t 1 * 2 Ю7 у I07j !07 W Т 7Т и 1. Д. Образуются две последовательности значений: * ю7 у 10" J \ 107j 1 * Ю7 io7 io7 ~~107 Непер избегал операций с дробями и принял поэтому ЛВ=107, а не ЛВ=1, как это сделали мы выше. Не меняло существа дела тт то, что начальная скорость была иной: v0?=l. Нижние числа таблицы Непер назвал логарифмами верхних. Этот термин означает в буквальном переводе «числа отношения» 107
(от соединения двух греческих слов: Яо-уод— отношение,. ар1#|лос; — число). Название это он выбрал, чтобы подчеркнуть,, что логарифмы являются вспомогательными числами, измеряющими отношения соответственных чисел. Логарифмы Непера* несмотря на перспективную общую идею движения по непрерывной числовой шкале, все еще были таблицами сравнения элементов дискретных последовательностей. Как мы уже упоминали, таблицы Непера были таблицами логарифмов значений тригонометрических функций. Рассмотрим» какова была их структура. Прежде всего, отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбранных с интервалом Г. Они, таким образом,, давали и значения логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). Во избежание вычислений с дробями принято, что sin 90° соответствует величина 108. В специальной колонке под названием «разности» (differentiae) помещены разности логарифмов оинусов дополнительных углов, т. е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно^ что логарифмы обратных тригонометрических функций получаются простым изменением знака. Мы опускаем разные технические подробности арифметических подсчетов при составлении таблиц. Правила логарифмирования* по Неперу отличаются еще от принятых позднее. Они более громоздки, так как в них присутствует log 1=^0 (ибо было принято,, что sin 90° сопоставлено число 108). Например, рассмотрим правило логарифмирования произведения y=ab. Перепишем его в виде: — == —. Равенство отношений влечет равенство разностей а 1 «чисел отношений», т. е. логарифмов: log у—log a=log b—log 1, log #=log a+log b—log 1. Помимо того что во всех правилах Непера присутствует log 1=х^ определяемый из равенства l = v0 (1—1М))*> существенное осложнение при вычислениях вносит тот факт, что log 10=^=1. Поэтому приходилось всякий раз заново вычислять и мантиссу, и характеристику логарифмов чисел, отличающихся друг от друга только множителями вида 10±fe (k — натуральное число). Эти затруднения побудили Непера ввести идею десятичных логарифмов, т. е. к тому, чтобы с самого начала рассуждений вводить условия log 1=0, log 10= 1010. Аналогичная идея десятичной системы логарифмов возникла после ознакомления с таблицами Непера у преподавателя одного из лондонских колледжей Генри Бриггса (Н. Briggs, 1561—1631), с 1619 г. являвшегося профессором математики в Оксфорде, а затем в Лондоне. Он дважды ездил к Неперу в Шотландию, сдружился с ним. В совместных занятиях они разработали новую, практически более удобную, десятичную систему логарифмов, ос» нованную на сравнении прогрессий: ...0,01 0,1 1 10 100... ...—2 —1 0 1 2... 108
Бриггс взялся за разработку большой таблицы десятичных логарифмов. Уже в 1617 г. од опубликовал 8-значные таблицы логарифмов чисел от 1 до 103. Через 7 лет, в 1624 г., Бриггс сумел издать «Логарифмическую арифметику», содержащую 14-значные таблицы логарифмов для чисел 1—20000 и 90000—100000. Для пропаганды нового вычислительного средства он опубликовал несколько статей, разъясняющих методы вычисления таблиц и применение логарифмов в вычислительной практике. Один из методов Бриггса, как мы считаем, особенно интересен, и мы воспроизведем его. Бриггс исходил из того, что если из любого числа, например из 10, последовательно извлекать квадратные корни, то после достаточно большого числа извлечений (т = 2п) получится результат, сколь угодно близкий к единице. В таком случае результат еще одного, следующего, извлечения квадратного корня можно 2п+{г— будет записать так: |/ 10 = 1 +а, где а мало. Возведем обе 2Л/~ части равенства в квадрат: у 10=l+2a-fa2. Для п достаточно большого а? делается настолько малым, что его можно отбросить и это не скажется на принятой точности вычислений: 2n7T5-i«(^-i)y2. Умножив на 2n+1 обе части этого приближенного равенства, получим 2»W7ro-i)«2»(27ro-i), т. е. выражение, практически не меняющееся при дальнейшем возрастании /г. Если обозначить уЮ — х9 то log10 х=\12п и 2"(2^10-l) = (*-l)/log10* (А). Такое же значение х можно получить, если подставлять вместо 10 любое другое число: yaz&x. Тогда \og10xtt 2m . Подстановка в (А) даст откуда log,0a«2"(27a-l) /(2"(2j/l0-l)). Вычисление десятичного логарифма любого числа оказалось сведенным к последовательным извлечениям квадратного корня из этого числа. Зцачения степеней числа 2 и последовательных 109
извлечений квадратного корня из числа 10 вычисляются предварительно. Чтобы избежать заметного накопления ошибок, Бриггс заготовил 54-кратное извлечение квадратного корня с точностью до 32 десятичных знаков: "'/То « 1,000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35. Работами Непера и Бриггса вычислительные трудности, о которых мы здесь смогли дать лишь неполное представление, были преодолены. Логарифмы вошли в вычислительную практику и быстро распространились по всему миру. В 1628 г. голландец А. Влакк, книготорговец по основному виду занятий, закончил труд Бриггса, составив и издав 10-значные таблицы десятичных логарифмов для чисел от 1 до 105. Он же довел до конца работу по составлению 10-значных таблиц десятичных логарифмов тригонометрических функций с частотой череа каждые 10". Английский ученый Джон Спейдель к 1620 г. составил таблицы натуральных логарифмов, сразу же завоевавшие громадную популярность. В то же время (1620 г.) Эдмунд Понтер, профессор математики в Лондоне, разработал первый вариант логарифмической линейки. Он же принимал участие в составлении таблиц логарифмов, как десятичных, так и натуральных, и в применениях этих таблиц к астрономическим вычислениям. Очень быстро, меньше чем за столетие, таблицы логарифмов сделались незаменимым вспомогательным вычислительным средством повсюду. В 1650 г. иезуиты-миссионеры завезли их в Китай. В России регулярные издания таблиц логарифмов берут свое начало с 1703 г.; первыми переиздали таблицы Влакка. Логарифмическая шкала была описана в русской научно-учебной литературе впервые в 1730 г. под названием гунтерской (по имени упомянутого выше Э. Гюнтера). Мы уже имели возможность отметить, что в процессе решения чисто вычислительной задачи составления таблиц проявились эле>- менты грядущего анализа бесконечно малых. Это были идея логарифмической функции, выраженная Непером, а также отбрасывание несущественно малых величин, производившееся Бриггсом, Можно предположить, что такие идеи и приемы были характерны и для Кеплера, когда он смело оперировал с актуальными бесконечно малыми. В свою очередь применение элементов анализа бесконечно малых дало новый, более удобный способ вычисления логарифмов. Его разработал к 1667 г. член Лондонского королевского общества голштинец Кауфман (1620—1687), известный более под именем Н. Меркатора. Он исходил из замечательного соотношения, доказанного в 1647 г. Сен-Винсентом: если абсциссы точек Л и В на гиперболе у=1/х (рис. 30) соответственно пропорциональны абсциссам точек At и В{ на той же кривой, то площади криволинейных четырехугольников, расположенных под отрезками АВ и АХВ^ 310
(заштрихованные) равны. Эквивалентным этому является предложение: площадь 5 под гиперболой */=1/хнад отрезком [1, х] оси абсцисс равна In * в системе, основанием которой является число е такое, 4toS(1, e) = L Н. Меркатор перенес в рассуждениях Сен-Винсента ось ординат вправо на единицу. Уравнение гиперболы в новой системе координат стало У=1/{1+х). Площадь: S(0, х) = = 1п(1+л;). Разложив у=1/{1+х) в ряд, он получил у=1—х-\-хг—хг+.... Остаток при |#|<С1 может быть сделан при достаточном продолжении ряда как угодно малым. Далее Н. Меркатор использовал методы квадрирования площадей, ограниченных кривой у = хп, абсциссой и двумя ординатами. Эти ранние методы определенного интегрирования были к тому вре^ мени уже хорошо разработаны Ферма, Кавальери, Паскалем и др. Меркатор получает Рис. 30 S(0,x)=x-*T + ^- 4 + т. е. формулу для вычисления значения функции ln(l+#) при помощи степенного ряда. Определенное завершение теория логарифмических функций получила в сочинениях Л. Эйлера. Ему принадлежит общее определение логарифмической и показательной функций как взаимно- обратных, распространение понятия логарифма на случай комплексного аргумента, введение символа е для обозначения основания натуральных логарифмов и многое другое, что существенно сблизило оформление теории с привычной нам формой (см.: Л.Эйлер. Введение в анализ бесконечных. М., Физматгиз, 1961* Гл. 6—8). Математики XVII в. искали также и другие пути преодоления вычислительных трудностей. В разных городах Европы стали появляться механические устройства — первые вычислительные машины. Вероятно, самой ранней была машина немецкого профессора Вильгельма Шиккарда (1623), преподававшего в г. Тюбингене математику и астрономию. Схема этой машины и объяснения к ней обнаружены в архиве Кеплера, а затем — в фондах библиотеки г. Штудгарта. В печати эти материалы были опубликованы в 1958 г. Машина Шиккарда (рис. 31) состояла из трех частей: суммирующего устройства, множительного устройства и механизма памяти, т. е. записи промежуточных результатов вычислений. Первое из них представляло собой раннюю разновидность арифмометра, построенного на принципе использования зубчатых передач. На параллельных осях (указано было на чертежах 6 осей) на- 111
Рис. 31 Рис. 32 саживались по одной десятизубая и однозубая шестерни. Последняя служила для того, чтобы передать шестерне следующего разряда толчок, проворачивающий ее на 0,1 оборота после того, как предыдущая шестерня сделает полный оборот. Техническое оформление машины позволяло видеть в окошках, какое число набрано в качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результаты, вплоть до итогового. Для деления применялось повторное вычитание делителя из делимого. Оригинально разрешена в машине Шиккарда задача умножения чисел. На параллельных осях (их тоже было 6) насаживались цилиндры, на каждый из которых была навернута таблица умножения. На рис. 32 показана эта таблица в развернутом виде. Перед цилиндрами имелась панель с 9 рядами окошек по 6 штук в каждом ряду (по числу цилиндров). Окошки каждого ряда открываются и закрываются специальной фигурной задвижкой. Пусть необходимо перемножить 387 на 27. Все цилиндры устанавливаются вращением в такое положение, чтобы в верхнем ряду окошек появилось множимое: 000387. Частичное произведение 387-7 получается простым открыванием окошек 7-го ряда; в них появится 0002/1 5/6 4/9, что означает после несложного подсчета в уме: 2709. Второе частичное произведение 387-20 получается открыванием второго ряда окошек, что дает 0006 1/6 1/4, или 774, к которому справа надо приписать нуль. Оба частичных произведения: 2709 и 7740 — складываются на суммирующем устройстве. Последнее в своих окошках покажет сумму 10449. Третья часть машины состояла из 6 барабанчиков с нанесенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из панели с окошками. Поворотами барабанчиков в окошках фиксировали 'число, которое надо было запомнить. Конструкция машины выгля- 312
дела на схеме так (рис. 31) : 1 —множительное устройство, 2 — суммирующее, 3 — записывающее устройство для запоминания. Машина Шиккарда была построена в 1623 г. По всей вероятности, о ней никто не знал, кроме Кеплера и узкого круга друзей изобретателя. Поэтому до недавнего времени считалось, что первый арифмометр изобрел в 1642 г. Блез Паскаль (1623—1662). Арифмометр Паскаля, построенный на принципе десятизубых шестереночных передач, позднее (1673 или 1674) был усовершенствован Лейбницем. Долгое время счетные устройства были несовершенными и не могли найти широкого применения. Положение стало улучшаться с 1874 г., когда петербургский инженер Однер изобрел специальное устройство — колесо с убирающимися зубцами. В простейших вычислительных устройствах (например, кассовые аппараты) устройство типа Однера применяется и теперь. Многие вычислительные методы были разработаны в связи с численным решением алгебраических уравнений. С особенной силой эта связь проявлялась в сочинениях И. Ньютона и его предшественников и современников. Еще в молодости (ок. 1676 г.) Ньютон разработал способ приближенного нахождения корней уравнений, актуальный и в наше время. Совсем недавно интерес к многоугольнику Ньютона, изобретенному для разложения в ряд по дробным степеням аргумента х решения уравнения f(x, у)=0, вспыхнул в очередной раз. Именно в связи с проблемами вычислительного характера Ньютон вывел свою формулу степени бинома и распространил ее на случай дробного и отрицательного показателей. В 1673—1683 гг. Ньютон читал в Кембриджском университете лекции по алгебре. Его преемник по кафедре издал в 1707 г. эти лекции под названием «Универсальная арифметика». Они замечательны как своеобразный итог развития алгебры XVII в., как пример неразрывности арифметики и алгебры в те времена, как показатель ведущей роли вычислительных проблем и методов в развитии алгебры. «Все действия арифметики столь необходимы в алгебре, что они лишь совместно образуют полную науку вычислений, и поэтому я буду излагать их обе вместе», — писал Ньютон (И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М.; Л., Изд-во АН СССР, 1948. С. 7). Подготовительный аппарат алгебры — основные понятия и правила действий содержат разделы, посвященные операциям над арифметическими дробями. Геометрические интерпретации построения корней уравнений трактуются как вспомогательные для приближенной оценки величины корней. Материал общей теории уравнений также подчинен проблеме численного решения задач, приводимых к решению алгебраических уравнений. Практические цели, стоявшие перед математиками XVII в., привели к расширению арсенала вычислительных средств и приемов численного решения задач. Главными достижениями в этом плане являлись изобретения логарифмов и методов точного или 113
приближенного (если точное оказывается невозможным) вычисления корней алгебраических уравнений. Все эти нововведения обогатили элементарную математику. В то же время каждое из открытий несло в себе элементы, получившие развитие в неэлементарных ее частях: в математическом анализе и в высшей алгебре. В этом проявилась неразделимость развития всего состава математики и относительность, искусственность ее деления на элементарную и высшую, на различные дисциплины и т. д. Мы заканчиваем очерк путей развития математики за огромный исторический период: от первых веков нашей эры до XVII века. Это был период, условно называемый периодом математики постоянных величин, или, иначе, периодом элементарной математики. Часть современного математического образования, тесно связанная с рассмотренным материалом, относится к средней об-* преобразовательной школе. Последующие столетия были свидетелями формирования таких частей математики, которые легли в основу современного высшего математического образования. Для их описания мы применим иной порядок — тематический.
ГЛАВА 4 КАК СЛОЖИЛАСЬ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ? Едва ли минуло 100 лет с того времени, когда всех тех, кто занимался математикой профессионально или просто имел солидные математические знания, начали называть математиками. До этого их всех называли одинаково: геометры. Это обстоятельство во всяком случае свидетельствует о том большом значении, которое придавали геометрии в течение многих веков. В научном «багаже» математиков, в том числе современных, находится в самом деле великое множество сведений, которые принято относить к геометрическим. Среди них, однако, есть немало таких, которые никак не могут быть согласованы с общечеловеческим интуитивным, но общепринятым представлением о геометричности. Более того, геометрические части математического мышления и действий разнородны уже до такой степени, что, естественно, все чаще и даже неминуемо возрастает сомнение в их научном единстве. § 4.1. СУЩЕСТВУЕТ ЛИ ЕДИНАЯ ГЕОМЕТРИЯ? Жизненный опыт каждого человека обязательно включает в себя геометрию. В счастливые дошкольные годы он постепенно знакомится с практической стороной геометрии, приобретает навыки измерений и построений. В школе он изучает иную геометрию, усваивает ее абстрактное содержание и не всегда остается убежденным в ее необходимости. Вокруг школьного курса геометрии неизменно кипят страсти. В диспутах подчас весьма причудливо сплетаются (и нередко запутываются) проблемы и суждения как относящиеся к содержанию этой учебной дисциплины, так и к ее роли, как средства воспитания логической строгости мышления и высказываний людей. В студенческие годы молодой человек сталкивается со многими геометриями. Почти всегда, в силу многолетней традиции, ему приходится начинать с изучения аналитической геометрии. Но за ней и одновременно с нею возникают векторы, геометрии дифференциальная, начертательная, проективная, аффинная и др. Их дополняют геометрические части алгебры, теории чисел, дифференциальных уравнений, теории функций как действительного, так и комплексного переменного и др. С возрастающей остротой вновь и вновь встает вопрос: да существует ли вообще единая наука — геометрия и если — да, то какая? 115
Как можно ответить на такой вопрос? Можно задаться целью расширить геометрическую эрудицию читателя, перечислить известные в научной литературе геометрии и классифицировать их по какому-либо общему признаку, например: а) по типу исследуемых пространств (сюда войдут: евклидоаа геометрия, геометрия Лобачевского, Римана и другие); б) по выбору изучаемых объектов (геометрии выпуклых тел, многогранников, поверхностей); в) по изучаемым свойствам (например изгибания поверхностей, их кривизны, свойства дискретности и непрерывности); г) по типам задач и методам их решения (например, геометрии элементарная, аналитическая, дифференциальная и др.). Если не забыть упомянуть о геометрии в целом, геометрии в малом, геометрии положения, дискретной, конечной, комбинаторной геометриях и т. д., то попытки подобной классификации убеждают только в том, что к нашему времени сложилась огромная, чрезвычайно разветвленная система геометрических теорий и геометрических частей других разделов математики. Эта разветвлен- ность достигла такой степени, что трудно (если вообще возможно) увидеть в этом наборе общее, основное. Помимо трудностей математических нарастают трудности более общие — методологические. Они группируются вокруг вопросов: что же такое геометрия, как ее определить, а также справедливо ли восходящее к Ф. Энгельсу понимание, что геометрию следует рассматривать как науку о пространственных формах предметов действительного мира. Чтобы ответ на эти вопросы был содержательным, не надо спешить с формулировками общего характера вроде: геометрия есть совокупность математических теорий об однородных объектах; геометрия есть наука об отражениях различных аспектов пространственных представлений о реальных объектах; геометрия есть наука об абстракциях пространственных форм (протяженности, удаленности, взаимного расположения) и т. п. В отрыве от конкретного математического содержания подобные формулировки обречены на бесплодие. Ведут же они либо к бессодержательным манипуляциям словами (т. е. к философствованию в худшем смысле этого слова), либо к нарочитой обедненное™ суждений (т. е. к формализациям весьма невысокого значения). В настоящей главе мы будем рассматривать вопрос о том, что следует называть геометрией в современной системе математических наук. Рассмотрение начнем с разъяснения путей, следуя которым геометрические знания людей достигли современного высокого теоретического уровня при столь большом разнообразии форм. Геометрические знания людей стали формироваться на весьма ранних этапах развития их мыслительной деятельности. Они накапливались под прямым воздействием практической необходи- U6
мости и трудовой деятельности и представляли собой абстракции форм предметов, с которыми приходилось иметь дело. Дальнейшее развитие геометрических знаний, а затем геометрической науки происходило в основном по следующим главным направлениям: — измерительная и конструктивная практика; — участие геометрии в комплексных исследованиях явлений и процессов материального мира разнообразными математическими средствами; — теоретические обобщения и построения геометрических систем. Эти направления трудно отделить друг от друга формально, абсолютно, взаимно исключающим образом. Этого и не нужно делать. Они поддаются выделению и рассмотрению таким же образом, как это делают при исследованиях функций, процессов и характеристик единого развивающегося организма. § 4.2. ГЕОМЕТРИЯ, ВЫРОСШАЯ ИЗ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ И КОНСТРУИРУЮЩЕЙ ПРАКТИКИ Первое из упомянутых направлений — исторически самое раннее — определилось в процессе решения геометрическими средствами практически необходимых задач. Оно проявлялось в течение всей истории математики. В рамках этого направления были порождены как практические, так и теоретически важные результаты и даже целые области математики. Приведем три примера: из практики измерения углов выросла тригонометрия, как плоская, так и сферическая; конструкторская и строительная деятельность людей породила начертательную геометрию; приемы технического и художественного проектирования получили теоретическое развитие в виде проективной геометрии. Что касается тригонометрии, то отдельного очерка о ней в настоящей книге нет. Сведения об ее истории приведены в предыдущей главе. Читатель, кроме того, может ознакомиться с ней; например, по главе 6 «Многоликая тригонометрия» в книге: Рыбников К. А. «Возникновение и развитие математической науки» (М., Просвещение, 1987). Книга предназначена для учителей и содержит очерки истории всех математических дисциплин, изучаемых в настоящее время в школе. Методы начертательной геометрии формировались главным образом в сфере технических приложений математики. Факты учения о перспективе накапливались с давних времен. Особенно сильно они были развиты художниками и архитекторами Древней Греции, а затем — эпохи европейского Ренессанса. Эти факты составили необходимую основу для создания тех разделов теоретической геометрии, в которых пространственные образы изучаются посредством комплекса отображений на плоскостях. Метод коор- 117
динат для построения перспективы и соответствующие начала аксонометрического проектирования впервые ввел Дезарг (1591— 1661) в 1636 году. С тех пор прошло более 250 лет, прежде чем произошло выделение начертательной геометрии в обособленную часть математики. Завершился этот процесс в работах Г. Монжа (1746—1818). В бурную эпоху Великой французской буржуазной революции в Политехнической школе для будущих военных и гражданских инженеров Монж читал лекции об ортогональных проектированиях на плоскости, т. е. начертательную геометрию. Это было проделано впервые, сильно подымало уровень мастерства инженеров революционной Франции и в течение нескольких лет даже считалось делом секретным. В 1798—1799 гг. Монж опубликовал полный курс начертательной геометрии («Geometrie descriptive»). В нем он систематически описал метод отображения пространственных образов с помощью двух ортогональных проекций на две взаимно перпендикулярные координатные плоскости. Этот метод он дополнил развертыванием проекционных плоскостей около оси проекций в одну плоскость и сведением пространственных построений и перемещений к соответствующим преобразованиям проекций. Учебник начертательной геометрии Монжа состоит из 5 глав. В первой главе разъяснены цель и метод начертательной геометрии, а также решения сравнительно элементарных задач относительно прямых и плоскостей. Затем, во 2-й главе, описаны построения касательных плоскостей и нормалей к поверхностям. Пересечения поверхностей рассмотрены в 3-й главе. Соответствующие этому задачи вынесены в 4-ю главу. Пятая глава посвящена исследованию кривизны линий и поверхностей. Книга Монжа не является элементарной и сейчас. Задачи, рассматриваемые в ней, зачастую совсем непросты. Так, он исследовал поверхности с ребром возврата, геодезические поверхности и линии наибольшего ската на них, поверхности одинакового ската и т. п., явно навеянные его дифференциально-геометрическими исследованиями. Влияние работ Монжа и близких к ним по содержанию учебников Лакруа было сильным и длительным. Их сочинения в XIX веке переиздавались много раз. Усовершенствования частного характера и разработка различных способов проектирования составили основное содержание работ по начертательной геометрии в дальнейшем. Эта разновидность геометрии со времен Монжа прочно вошла в перечень математических дисциплин, входящих в систему технического образования. Приведем теперь краткие сведения об истории проективной геометрии. Теоретический аспект технической перспективы и более общее понимание последней как одного из видов проективных преобразований были разработаны еще Дезаргом. Идея изучения проективных свойств геометрических объектов возникла в качестве нового подхода к трудовой античной теории конических сечений 118
с целью упростить и обобщить ее. Сочинение Дезарга «Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса с плоскостью» (1639) и Б. Паскаля «Опыт о конических сечениях» (1640) содержат решение этой проблемы и служат основой новой для того времени науки — проективной геометрии. Центральная проекция в ней обогатилась бесконечно удаленными элементами, связав тем самым воедино пучки сходящихся и параллельных прямых, равно как и плоскостей. Весьма плодотворным оказалось и понятие инволюции. Проективные и инво- люторные свойства конических сечений составили целую теорию, среди многочисленных теорем которой выделяются теоремы, названные именами их авторов —¦ Дезарга и Паскаля. Кроме того, Дезарг открыл много теорем о полюсах и полярах конических сечений. Вначале лишь немногие ученые восприняли идеи Дезарга и Паскаля. Даже их сочинения оказались утерянными. Лишь в 1845 г. М. Шаль (1793—1880) нашел копию сочинения Дезарга. От работ Паскаля по проективной геометрии сохранился лишь набросок. В последующем, в течение более чем столетия, оказалось возможным отметить лишь эпизодические применения проективных преобразований. В такой обстановке строгое и систематическое построение начертательной геометрии, проделанное Мон- жем к концу XVIII в., сыграло роль необходимой предпосылки для построения проективной геометрии. Сочинения Л. Карно «О корреляции фигур в геометрии» (1801) и «.Геометрия положения» (1803) вновь привлекли внимание ученых к полузабытой науке. Довершил (1822 г.) теоретическое построение и оформление проективной геометрии офицер наполеоновской армии Ж--Б. Понселе (1788—1867), который имел для этого достаточно времени в русском плену в Саратове. Выделив класс проективных преобразований фигур, Понселе уделил основное внимание соотношению между проективными и метрическими свойствами фигур. Дальнейшее развитие проективной геометрии проходило под знаком поиска решений этой проблемы. В XIX в., соответственно, образовались два направления. Приверженцы одного из них (в особенности Штаудт) стремились освободить проективную геометрию от всякого обращения к метрике. Другие (например, Мёбиус) всячески развивали аналитические методы. Противоречие это сгладилось в результате установившихся связей проективной геометрии с геометрией неевклидовой, с теорией функций комплексного переменного, когда раскрылись возможности проективной геометрии и ее подлинное место в системе математических наук. Общность, которой обладают проективные свойства, была использована А. Кэли и Ф. Клейном при рассмотрении различных геометрических систем с единой точки зрения с целью их классификации. Синтетико-геометрические устремления Шта- удта и других послужили основой аксиоматического построения проективной геометрии в начале XX века. 119
Эти примеры дополняют геометрический материал предыдущих глав. Они показывают, что даже в составе современной геометрии существуют ряд разделов, в которых практическое происхождение этой науки отчетливо проявляется. § 4.3. ГЕОМЕТРИЯ В КОМПЛЕКСНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Типичным примером второго из упомянутых выше направлений исторического развития геометрии является геометрия аналитическая. С ее изучения обычно начинают высшее математическое образование. В ней слитно действуют методы геометрии и алгебры. Свойства геометрических объектов выражаются в данном случае через посредство алгебраических выражений. Наоборот, алгебраические объекты интерпретируются геометрическими образами. Впрочем, с учетом высказанных ранее общих соображений операция измерения может рассматриваться как слитное функционирование методов геометрии и арифметики. Приоритет в создании аналитической геометрии принадлежит двум французским ученым: Р. Декарту (1596—1650) и П. Ферма (1601—1665). Сочинение первого из них «Рассуждение о методе», одна из частей которого названа «Геометрия», посвященное рассматриваемому нами вопросу, вышло в свет в 1637 г. Небольшая рукопись второго из них «Введение в теорию плоских и пространственных мест» была известна современникам с 1636 г., напечатана же лишь в 1679 г. Когда в математике, как и вообще в науке, наступает момент совершения значительного открытия, то оказывается, что все главные его элементы уже существуют. Создание аналитической геометрии исключением не является. Декарту, Ферма и их современникам уже были известны многочисленные описания конкретных кривых уравнениями. Известны были и рудиментарные способы введения координат. Но обстоятельства открытия, исходные идеи и формы открытия бывают различными, оригинальными и поучительными. Целью естественно-научных занятий Декарта было построение общего, универсального, метода для изучения всех проблем естествознания и для совершения открытий. В соответствии с общими особенностями мировоззрения Декарта метод должен быть строгим, суждения — четко дедуктивными, основывающимися на законах и правилах математики. Математика же сама должна быть такой, чтобы она соответствовала сущности природных явлений и процессов. Декарт утверждает, что природой материи является ее трехмерная объемность, а важнейшими свойствами — делимость и подвижность. Математика как средство изучения природы должна отображать именно эти свойства. Ее нельзя строить как только численную или как геометрическую. Она должна быть наукой универсальной, охватывающей все, что относится к порядку и ме- 120
Р. Декарт (1596—1650) ре. Все содержание математики должно рассматриваться с единых позиций и изучаться единым методом. Само ее название должно отражать эту всеобщность. Декарт предложил назвать ее универсальной математикой (Mathesis universalis). Именно такие общие установки получили конкретное выражение в ставшем знаменитым сочинении «Рассуждение о методе» (1637 г.). В нем даны общее описание метода и приложения его к диоптрике, метеоритике (учению о климате) и математике. Эта последняя часть, названная в трактате «Геометрия», является тем сочинением, где Декарт построил свою аналитическую геометрию. Для универсальной математики Декарта должна быть характерной взаимная интерпретируемость буквенной алгебры и геометрии кривых. Такая связь должна опираться на установление изоморфизма поля действительных чисел и поля отрезков прямых. Декарту для этого понадобилось только определить операции 121
над отрезками так, чтобы они в самом деле образовали поле. Суммы и разности отрезков для Декарта затруднений не представили. Определения умножения и деления отрезков, как известно, приводили ранее к изменениям размерности и к построению Ф. Виетой видовой алгебры. Декарт применил для преодоления этого затруднения прием построения четвертого пропорционального (см. рис. 33). Геометрическими интерпретациями алгебраических корней являлись построения 1, 2, ... средних пропорциональных. Все эти идеи еще более четко и последовательно были изложены в небольшом сочинении «Исчисление господина Декарта». В основу построения своей геометрии Декарт положил еще две идеи: введение переменной величины и использование прямолинейных (их так и называют: декартовы) координат. В соответствии с его унифицирующей тенденцией переменная величина фигурирует в двуединой форме: в виде текущей координаты точки, движущейся по кривой, и в виде переменного элемента множества чисел, соответствующих точкам данного координатного отрезка. «Геометрия» состоит из трех частей, названных «книгами». Первая из них, «О задачах, которые можно построить, пользуясь только кругами и прямыми линиями», начинается с кратких разъяснений только что изложенных общих принципов. Затем следуют правила составления уравнений геометрических кривых. Чтобы решить какую-либо задачу, нужно считать сначала ее как бы решенной и обозначить буквами как все данные, так и искомые линии. Затем, не делая никакого различия между данными и искомыми линиями, заметить между ними зависимость так, чтобы получить два выражения для одной и той же величины. Это и приводит к уравнению, служащему для решения задачи, ибо можно приравнять эти оба выражения. Далее доказывается, что все задачи геометрии, решаемые посредством циркуля и линейки, сводятся к решению уравнений не выше 2-й степени. Правила своей аналитической геометрии Декарт не формулирует в общем виде, а показывает их силу на решении трудных задач. В качестве такой задачи он выбрал задачу Паппа: на плоскости произвольным образом расположено несколько (скажем, п) прямых, например: MN, NK, ML, DA (рис. 34). Требуется найти геометрическое место точек, для которых произведение отрезков, Рис. 33 Ряс. 34 122
проведенных из них под одинаковыми углами к п/2 прямых, находилось бы в заданном отношении к произведению отрезков, проведенных тем же способом к другим п/2 прямым. Например: CBCD __ 1 CFCH ~ 2 * Одна из заданных линий (ML) и одна из искомых (ВС) принимаются за главные. Обозначим АВ=х и ВС=у. Так как углы треугольника ABR известны, то известно и отношение сторон: х п п Рассуждая таким же образом относительно треугольника DRC и считая, что CR:CD = n:c, получим п п па Выразим аналогично через хну длину отрезков CF, СН, подставим в условие CF-CH=2BCCD и получим уравнение искомого геометрического места. Декарт скупо разъясняет, что геометрическое место в случае задачи о 3 или 4 прямых представляет собой коническое сечение. В случае, когда число прямых больше четырех, Декарт установил, что для 2п или 2/г—1 прямых уравнение геометрического места имеет степень п относительно двух переменных хну. Задача Пап- па для 5 прямых (так как число прямых нечетное, то одно из расстояний возводится в квадрат) оказывается разрешимой с помощью циркуля и линейки, или, по терминологии Декарта, является плоской задачей. Такой же оказывается задача и для 6 прямых, но Декарт этого не упомянул. Вторая книга «Геометрии» названа «О природе кривых линий». Она посвящена более общему рассмотрению кривых, их классификации и выявлению их свойств. В свою систему Декарт счел возможным допустить лишь такие кривые, которые описываются циркулем и линейкой или несколькими последовательными движениями такого вида. Остальные кривые получили название механических (позднее у Лейбница: трансцендентных) и не были включены в класс допустимых кривых. Их свойства, считал Декарт, не могут быть найдены регулярными приемами. Все допустимые кривые, таким образом, могут быть построены с помощью некоторого шарнирного механизма, длина звеньев которого может изменяться. Относительно этого класса кривых Декарт высказал утверждение, что они описываются алгебраическими уравнениями, но никакого доказательства не привел. Тем самым Декарт предвосхитил одну из главных теорем кинематики механизмов (которую доказал впервые в 1876 году А. Кемпе), гласящую, что с помощью плоских шарнирных механизмов, в которых движение первых звеньев полностью определяет движение 123
остальных, можно описывать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной. Декарт, как бы мимоходом, высказывает замечание, что степень уравнения кривой инвариантна относительно выбора системы прямолинейных координат. Но гипноз принципа построения кривых лишь с помощью упомянутого механического приема сказывается еще слишком сильно. Поэтому, в основу классификации кривых Декарт кладет не степень уравнения, а число звеньев шарнирного механизма. Кривые оказываются разделенными по родам (genre) так, что к п-иу роду относятся кривые, выражаемые алгебраическими уравнениями степени 2п—1 и 2п. Этот неудобный принцип был заменен Ньютоном. Во второй половине 60-х гг. XVII в. И. Ньютон в ряде работ присоединил к аналитической геометрии конических сечений обширную область кривых 3-го порядка. Они, по Ньютону, могут быть приведены к 4 основным типам, которые подразделяются на 72 вида. Следствием было чрезвычайное обогащение теории алгебраических кривых такими методами, к которым восходит современная алгебраическая геометрия. Но возвратимся к Декарту. Он еще не может построить общую теорию кривых рода /г>2. Но для демонстрации силы и универсальности своего метода он вгновь обращается к задаче Паппа, исследуя разные ее постановки. Например, пусть задача поставлена для 5 прямых (рис. 35). Четыре из них: FG, DE, ВА, HI — параллельны, эквидистантны, а пятая, GA, перпендикулярна к ним. Найти точку С такую, что CFCDCH=CBCMAJ. Положим СМ=х, СВ = у, AE=EG=~ =AJ=:a. Тогда CF=2>a—y, CD=~ ^а—у, СМ=а + у. Уравнение искомого геометрического места имеет вид (2а—у)(а—у)(а + у)=аху, или yz—2ay2—a2y+2a*=axy. Для построения данной кривой Декарт использует специальный прием, рассматривая точки пересечения движущейся параболы и прямой (см. напр.: Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М., — Л.: ГТТИ, 1936. С. 206). Значительную часть второй книги составляют теоремы о проведении касательных и нормалей к алгебраическим кривым. Свой «метод нормалей» Декарт распространил на конические сечения и на так ныне называемые Декартовы овалы. Приложения этой группы теорем он видел в оптике. Мы не будем на этих вопросах останавливаться, так как они выходят за пределы собственна аналитической геометрии и относятся к геометрии дифференциальной. г G о \с i У Е \м 8 А Н J Рис. 35 124
Книгу завершает предложение о возможности распространения геометрии Декарта на трехмерный случай. При этом высказывается идея представления пространственной кривой с помощью проектирования ее на две взаимно перпендикулярные плоскости, общая прямая которых является одной из осей координат. Однако эта идея оказалась в сочинении Декарта единичной, неразвитой; к тому же в рассуждения Декарта вкралась ошибка. Он в этом единственном предложении аналитической геометрии в пространстве утверждал, что проекции нормали к пространственной кривой являются нормалями к проекции кривой. Это неверно даже для плоской кривой, не говоря уже о наличии в общем случае нормальной плоскости. Нет у Декарта речи о трех координатах точки в пространстве и об уравнениях поверхностей. Задача третьей книги «О построении телесных, или превосходящих телесные, задач» — построение общей теории алгебраических уравнений и связанных с этой проблемой геометрических интерпретаций. Алгебраическая символика Декарта уже несущественно отличается от современной. Всякое уравнение мыслится приведенным к виду Рп(х)=0, где Рп(х) —¦ полином с целыми коэффициентами, расположенный по убывающим степеням неизвестно- Р (х) го х. Из размышлений над проблемой делимости —-—=Р'~ Л*), х—а 1 тле а — корень уравнения, Декарт извлек вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе степени х. При этом он принял во внимание все виды корней: действительные (положительные), ложные (отрицательные) и воображаемые (комплексные.). Доказать такой вывод он еще не мог, так же как и другие математики в течение долгих последующих лет. Только в 1797 г. это сделал К.-Ф. Гаусс. Декарт показал, что уравнение имеет столько положительных корней, сколько имеется знакоперемен в последовательности коэффициентов, и столько отрицательных корней, сколько имеется повторений знака. Замечательной по глубине замысла является постановка проблемы приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения таких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и линейки) лишь, если оно приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й степени он свел к вопросу о приводимости его кубической резольвенты. Если речь идет об уравнении xA-\-px2+qx+r=Qy то его можно переписать в виде \ * ^ 2 2 2у)\ ^У 2^2 ?у) где вспомогательная величина у определяется из уравнения у*+2ру*+ (p2—4r)y*—q2=0, кубического относительно у2. 125
Этому утверждению в сочинении Декарта тоже нет доказательства. Из комментариев к «Геометрии», автором которых был профессор математики в Лейденском университете Ф. Скоутен (1615—1660), страстный приверженец Декарта, можно сделать вывод, что при этом был применен метод неопределенных коэффициентов. Сам Скоутен рассматривает уравнение х4—рх2—qx-{- -|-г=0 и переписывает его в виде (х2+ух+г) (х2—ух + v) = 0. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, он для определения yf z, v получает уравнения z—y2+v——р, —zy+vy—y, vz=r, ye-2py*+(p2-4r)y2~q2 = 0. Решение уравнений 3-й и 4-й степеней геометрическими средствами у Декарта сводится к задачам о построении (вставке) двух средних пропорциональных и о трисекции угла. Решает он эти уравнения с помощью пересечения двух подходящих конических сечений. Затем он распространил этот метод на уравнения 3-го рода (5-я и 6-я степени), подбирая специальные кривые, пересечения которых с окружностью при их движении дадут решения. Впрочем, замечания Декарта, касающиеся этого круга задач, не оказались достаточно ясными и определенными. Аналитическая геометрия Декарта имела еще много недостатков. Область ее развития была чрезмерно сужена априорными требованиями, вытекающими из общих идей Декарта. Неудачной оказалась классификация алгебраических кривых по жанрам (родам), а не по степеням уравнений, их выражающих. Декарт не довершил проникновения в геометрию алгебраического аппарата, не распространил свой метод на изучение свойств кривых, исходя из свойств соответствующих уравнений. Система координат задана осью абсцисс, из которой по мере необходимости выставляются ординаты. Поведение кривой прослеживается только в первом квадранте. Однако по сравнению с уровнем математической науки того времени появление «Геометрии» Декарта означало продвижение принципиального значения, что и сделало это сочинение классическим. Создание аналитической геометрии было в математике явлением революционным. Оно привело к взаимному проникновению методов алгебры и геометрии. Подобные научные открытия никогда не делались одним человеком. Декарт также не являлся единоличным открывателем аналитической геометрии. Говоря так, мы имеем в виду то, что одновременно с Декартом аналогичную систему взглядов и с не меньшим успехом развил в специальном сочинении французский математик П. Ферма (1601—1665). Идеи аналитической геометрии, т. е. введение прямолинейных координат и приложение к геометрии алгебраических методов, сосредоточены в небольшом сочинении Ферма «Введение в теорию плоских и пространственных мест», ставшем известным в научной 126
П. Ферма (1601—1665) переписке с 1636 г., но напечатанном впервые вместе с другими сочинениями Ферма лишь в 1679 г. Исходными пунктами этой работы явились изучаемые Ферма сочинения древних, в особенности Аполлония. Те геометрические места, которые представлялись прямыми или окружностями, назывались плоскими местами, а другие конические сечения (эллипс, гипербола и парабола) — пространственными. Метод координат введен так же, как у Декарта: задается одна ось — ось абсцисс. На ней выбрана начальная точка и откладываются отрезки, соответствующие значениям одной из переменных. Значения другой переменной, также изображаемые отрезками (ординатами), восстанавливаются из конца первого отрезка под выбранным для данной задачи углом (чаще всего прямым). Затем Ферма выводит уравнения прямой, окружности и всех конических сечений. Вначале он доказывает, что уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид ах=Ьу. Затем последовательно выведены: уравнение окружности с центром в начале координат; гиперболы, отнесенной к асимптотам; параболы, отнесенной к диаметру и касательной в его конце; эллипса; 127
гиперболы в случае, когда осями являются сопряженные диаметры. Замечательно, что Ферма подошел к рассматриваемым вопросам и с другой стороны. Он начал с общих выражений уравнений 1-й и 2-й степеней. Преобразованиями координат (переносы начала и повороты осей) он приводит их к каноническим формам, которым дает геометрическую интерпретацию. Например, пусть дано уравнение 2х2-\-2ху + у2=а2. Перепишем его в виде (x+y)2jr +х2=а2. Выберем новые оси х+у=0; х—0. Новыми координатами будут Х\=х12\ У\=х + у. Новый вид уравнения (2а2—х\)/уг = — 2. По Аполлонию, замечает Ферма, это эллипс, отнесенный к сопряженным диаметрам. Ферма, наконец, делает попытку распространить свои методы на 3-мерный случай. Он пробует рассматривать пересечения поверхностей плоскостями. Однако в рукописи у Ферма еще нет пространственных координат. Замысел остался неосуществленным. Сравнение рассмотренных выше работ Декарта и Ферма и их последействия показывает, что во «Введении» аналитическая геометрия вводится, пожалуй, последовательнее. Однако оно было поздно опубликовано, написано на тяжеловесном алгебраическом языке с применением несовершенной символики Виеты. Геометрия Декарта, напротив, написана ясно, читается легко даже сейчас, через много лет, без предварительной историко-научной подготовки. Ферма сам видел, что он находится только в самом начале нового раздела математики, но добавлял: «И все же мы не раскаиваемся в написании этого преждевременного и не вполне зрелого сочинения. Действительно, для науки представляет некоторый интерес не утаивать от последующих поколений еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки первоначально грубые и простые идеи как укрепляются, так и множатся. И в интересах самих изучающих составить себе полное представление как о сокровенных путях разума, так и о самопроизвольно развивающемся искусстве» (П. Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест/ Р. Декарт. Геометрия. М.; Л., ОНТИ; ГТТИ, 1938. Приложение. С. 147). Дальнейшая история аналитической геометрии показала, что идея Декарта о едином методе, объединяющем геометрию и алгебру, осуществилась, но не так, как это ему представлялось. Аналитическая геометрия вошла в систему геометрических знаний, не поглотив ни алгебру, ни геометрию. В течение первых 50—70 лет она переживала период утверждения и признания в обстановке дискуссий (порой, горячих) о правомерности, удобстве и возможностях ее методов. Вначале факты этой науки накапливались медленно. К 1658 г. завершилось обсуждение вопросов, связанных с исследованием полукубической параболы. В нем, кроме Ферма, принимали участие В. Нейль (1637—1670) и Г. ван Гейрат (род. 1633 г.). К 1679 г. Ф. Лагир (1640—1718) впервые опубликовал метод составления уравнений поверхностей. Однако только к 128
1700 г. вывели уравнение сферической поверхности и касательной плоскости к ней. Новый вклад в развитие аналитической геометрии был сделан в 1704 г., когда вышло в свет уже упоминавшееся нами сочинение И. Ньютона «Перечисление кривых третьего порядка». В нем последовательно проведена идея классификации кривых по степеням их уравнений. Она лучше соответствует потребностям аналитического аппарата. Геометрическая же трактовка состоит в определении возможного числа точек пересечения кривой с заданной прямой. Ньютон перенес на кривые 3-порядка ряд понятий и теорем, уже доказанных для конических сечений, соответственно видоизменив их. Так, например, он ввел диаметры кривых как геометрические места точек ряда параллельных прямых, алгебраическая сумма расстояний которых от точек их пересечения с кривой равна нулю. В случае перпендикулярности диаметра к сопряженным хордам вводится ось кривой. Если все диаметры пересекаются в одной точке, то эта точка им называется общим центром. Виды кривых определены Ньютоном с учетом конечных ветвей кривых, наличия или отсутствия диаметров, наличия и свойств бесконечных ветвей. Всего оказалось 72 вида кривых 3-го порядка, и каждому виду Ньютон дал название. Эти виды кривых записываются уравнениями четырех типов. Если обозначить ax*+bx2+cx+d=Ay то эти четыре типа уравнений будут такими: ху2+еу=А, ху=А, у*=А, у=А. Ввиду возрастающей громоздкости классификации Ньютон сосредоточился на особенностях кривых: узлах, точках заострения и др. Для облегчения этой задачи он использовал третье из указанных типов уравнений — уравнение полукубической параболы y2=axz + bx2+cx+d и показал, что каждая кривая 3-го порядка получается из нее посредством подходящего центрального проектирования. Такая проективная классификация, или, по выражению Ньютона, такое «органическое описание», выявляет все проективно различные кривые 3-го порядка, исходя из свойств корней уравнения ax3 + bx2+cxJrd=0. Именно если трд корня действительны и различны, то кривая состоит из двух различных ветвей; равенство всех трех корней свидетельствует о наличии точки возврата. Равенство двух корней указывает либо на двойную, либо на изолированную точку. Кривые, имеющие только одну ветвь, соответствуют наличию двух мнимых корней. Можно более не вдаваться в детали. Ясно, что принципы классификации кривых: 3-го порядка не оказались ни простыми, ни 129
универсальными. Но в этом сочинении примечательно усовершен* ствование системы координат. Введены равноправные оси, определены знаки функций во всех четырех квадрантах. Появились новые возможности и их подхватил и развил Стирлинг в книге «Ньютоновы кривые 3-го порядка» (1717). Стирлинг снабдил теоремы Ньютона доказательствами, а также существенно их пополнил. Ему, в частности, принадлежит вывод канонической формы уравнений кривых 3-го порядка путем выбора направления оси параллельно асимптоте. Общими свойствами алгебраических кривых успешно занимался Маклорен (1720), который развил ньютонов способ образования кривых. Специальные сочинения на эту тему издавали Ф. Николь (1731)» Мопертюи (1731), Брекенридж (1733) и другие. Впоследствии кривым 3-го порядка посвящали свои работы Штейнер, Сальмон* Сильвестр, Шаль, Клебш и др. Что касается систематического использования в аналитической геометрии пространственных координат, то существенное продвижение было достигнуто в книге А. Клеро (1713—1765) «Исследования кривых двоякой кривизны» (1731). Так назывались пространственные кривые. Каждую их точку Клеро проектировал ор« тогонально на 2 взаимно перпендикулярные координатные плос- кости. Пространственная кривая оказывалась заданной аналитически системой двух уравнений, а геометрически — как место пересечения двух цилиндрических поверхностей. Если задано единственное уравнение, то Клеро интерпретировал его как уравнение поверхности. Примерами у него в книге были в большинстве поверхности вращения: x2+y2+z2^a\ yjf+&=!lx9 y2+z2=ax, х4=а2(*/2+*2) и т. п. Приведение аналитической геометрии к виду, привычному в наше время, осуществил Л. Эйлер. В серии монографий, где он систематически строил математический анализ, аналитической геометрии посвящен целый том: «Введение в анализ бесконечных», т. 2, 1748. В основной части этого тома, состоящей из 22 глав, излагается аналитическая геометрия на плоскости. В 1-й главе введены прямолинейные координаты, как прямоугольные, так и косоугольные^ разъяснен способ составления уравнений кривых. Далее дано непривычное для нас определение понятия непрерывности кривых как свойства быть выраженной единым аналитическим выражением. Применяемое ныне определение непрерывности функций Эйлер называет связностью. Такое положение сложилось потому, что в предыдущем, первом, томе «Введения в анализ бесконечных:» (1748) функция определена как аналитическое выражение. Во второй главе излагаются преобразования систем координат, повороты осей и переносы начала. Здесь же содержится анализ уравнения прямой, проходящей через начало координат: ах+$у=0. 130
Следующие две главы посвящены классификации кривых по степеням их уравнений и выявлению свойств кривых. Еще две главы отведены специально исследованию свойств кривых 2-го порядка. При этом в гл. 5 речь идет о тех свойствах конических сечений, которые выявляются из общего вида уравнения 2-й степени, а в гл. 6 исследуются лишь канонические формы этих уравнений. Бесконечные ветви кривых и асимптоты рассмотрены в главах 7 и 8. Далее следует классификация кривых 3-го порядка (гл. 9 и 10). В соответствии с характером бесконечных ветвей эти кривые разделены на 16 видов. Эйлер сравнил свою классификацию с той, которую давал Ньютон, и показал большую полноту своей классификации. Классификация кривых 4-го порядка, проделанная в гл. 11, выявила уже 146 видов. Не продолжая этой бесперспективной работы, Эйлер вновь обратился к разработке общих методов исследования кривых по их уравнениям в гл., 12. Касательные (гл. 13) рассмотрены как к простым, так и к кратным точкам кривых. Интересна гл. 14 о кривизне кривых. В ней с самого начала вводится парабола, аппроксимирующая кривую в окрестности заданной точки; затем для этой параболы отыскивается круг кривизны. Длина радиуса кривизны кривой 0=At+Bu+Ct2+Dtu+Eu2+Ft*+Gt2u+Htu2+... в начале координат находится по формуле (а*+в*)Уа*+в* 2(А2Е—2В+В*С) В этой же главе Эйлер показывает, как находят точки перегиба первого и более высоких порядков, точки заострения. Чтобы добиться большей общности, он заменял аппроксимирующую параболу более общими классами кривых, например arm=sn. Глава 15 отведена для исследования свойств диаметров кривых и симметрии последних, а две следующие, 16-я и 17-я, посвящены исследованиям кривых по их свойствам. Речь идет о таких, например, задачах: исследовать кривую y2-P(x)y + Q(x)=0, если известно, что для данного значения аргумента х кривая имеет две ординаты tji и у2, связанные условием Другим условием является, например, то, что кривая имеет с данным лучом у=ах заданное число точек пересечения. Интересно, что Эйлер ввел здесь полярные координаты. *=rcos(p, i/=rsinq>. В главе 18 Эйлер собрал и систематизировал сведения о подобии и об аффинных свойствах кривых. По Эйлеру, кривые назы- 131
ваются аффинными, если их координаты связаны соотношениями X У х — — , у =з — . т п Это понятие удержалось в математике до наших дней. Наконец, в четырех завершающих главах (19—22) рассматриваются пересечения кривых (гл. 19), уравнения сложных кривых (гл. 20), трансцендентные кривые (гл. 21) и геометрическое решение тригонометрических уравнений (гл. 22). Для исследований применяются как декартовы, так и полярные координаты. Вряд ли нужны еще какие-либо доказательства, чтобы обосновать тот тезис, что аналитическая геометрия плоских кривых в руках Эйлера превратилась в науку, предмет и методы которой уже определились в смысле и объеме, весьма близком к современному. Однако Эйлер не удовлетворился двумерными задачами. Подобную работу он проделал и для аналитической геометрии в пространстве, опубликовав результаты в специальном «Приложении о поверхностях» к той же книге. Здесь Эйлер, со ссылкой на Клеро, ввел пространственные прямоугольные декартовы координаты. После выяснения вопросов о знаках координат, замечаний о возможности замены осей он приступил к исследованию поверхностей посредством сечений их плоскостями. Вначале он показал, что уравнение относительно двух переменных соответствует цилиндрической или призматической поверхности, а однородное уравнение — поверхности конуса или пирамиды. Затем он перешел к более общим классам поверхностей: а) выраженных уравнением F(x, у, Z(x))=0, однородным относительно своих аргументов (конусы, цилиндры, поверхности вращения); б) имеющих треугольные сечения, перпендикулярные к осям; в) имеющих аффинные соотношения между параллельными сечениями. Отправляясь от этих классов задач, Эйлер ввел метод сечений поверхностей произвольными плоскостями. Весь этот материал занял первые 3 главы «Приложения...». В главе 4 выведены формулы преобразования прямоугольных пространственных координат: х=р (cosgcosB—sin|cosr)sin9) + ^(cosgsin0-f- + s,ingcosT]COs9) —rsingsiirn+f9 y=—p (singcosO + cosgcosTisinG) — —4<7(sin?sin0—cos|cosr)COs8)—rcosgsinii +q> z=—psinrjsinO + tfsinTjcosG + rcosri + К Углы |, tj, 0 и поныне называют углами Эйлера (рис. 36). Они определяют повороты осей. Угол прецессии 0 есть угол вращения вокруг оси Or, при котором ось Ор переходит в линию On — линию узлов, определяющую пересечение координатных плоскостей 132
pOq и хОу. Угол нутации ц является углом вращения вокруг прямой On, при котором ось Or переходит в ось Oz. На- \. конец, угол собственного вращения \ с вокруг оси Oz переводит On в Ох. *> В этой же главе Эйлер ввел понятие порядка поверхности, доказал, что порядок кривой в сечении плоскостью не превышает порядка поверхности и рассмотрел случай распадения линий сечения. Исследование общего уравнения 2-й степени относительно 3 координат и приведение к каноническому виду, из- Рис- 36 ложенное Эйлером в гл. 5, дало впервые уравнения всех видов невырожденных поверхностей второго порядка: Ap2 + Bq2+Cr2=a2 (эллипсоид); Ap2+Bq2—Сг2—а2 (однополостный гиперболоид); Ар2—Bq2—Сг2—а2 (двуполостный гиперболоид); Ap2 + Bq2=ar (эллиптический параболоид); Ар2—Bq2—ar (гиперболический параболоид). В конце книги Эйлер рассмотрел представление пространственных кривых как пересечений двух поверхностей и разработал аналитический аппарат для их исследований. Напомним, что книга, обзор которой мы только что предприняли, вышла в свет в 1748 г. Вторая половина XVIII века привнесла в аналитическую геометрию лишь частичные усовершенствования. В основном эта часть математики уже сложилась. Упомянем лишь о наиболее значительных результатах. Г. Монж в 1771 г. (опубликовано в 1785 г.)в связи со своими занятиями проблемой развертывания поверхностей нашел условие перпендикулярности прямой ax + by + cz + d=0, aix+biy + c{z + di=0 к плоскости, проходящей через точку (х\, у и Z\)\ A(x—xl) + B(y—yl) + C(z—zl) =0. Затем Монж определил длину перпендикуляра, опускаемого из заданной точки пространства на заданную прямую. Наконец, ему удалось определить нормальную плоскость в любой точке кривой двоякой кривизны: у=у(х), z=ty(x). Лагранж в 1773 г. (опубликовано в 1775 г.) исследовал ряд задач, относящихся к трехгранной пирамиде, даже не прибегая к 133
чертежу. Вопрос о преобразовании пространственных координат привел Менье (1785) к известным под его именем формулам: z'—Z=/C0SCD + WSinG), х'—a:=[ucosco—^sincojsinn + wcos^t, yr—r/=[^coso)—feincojcosn—wsinn, где и, v, t — координаты прежние, х', у', zr — новые, х, у, z — новые координаты прежнего начала координат. Угол координатной плоскости uOv с новой обозначен здесь буквой я, а угол линии пересечения обеих плоскостей с новой осью у есть со. Содержание, методы и роль аналитической геометрии, как было уже сказано, определились полностью. Ее начали постепенно вводить в программы по математике для высших учебных заведений. Среди учебников выделялся своей систематичностью и ясностью учебник французского академика С. Лакруа (1764—1848), появившийся в 1798—1799 гг. Его переиздавали многократно; 25-е издание с добавлениями Ш. Эрмита (1822—1901) вышло в свет в 1897 г. Кстати, именно в учебниках Лакруа было введено название «аналитическая геометрия». Позднее аналитическая геометрия только видоизменяла свой облик. Это происходило главным образом под влиянием обобщений и видоизменений системы координат. Барицентрические координаты, которые в 1827 г. ввел А. Мёбиус (1790—1868), позволили привлечь к рассмотрению и бесконечно удаленные элементы. Из проективной геометрии были привнесены однородные координаты, а затем и проективные, как их линейные комбинации. Позднее Г. Дарбу ввел тетрациклические, а затем пентасферические координаты. На рубеже XX в. из механики в аналитическую геометрию были привнесены векторы. Аналитическая геометрия, завершив цикл своего научного развития, сделалась составной частью высшего математического образования. Дифференциальная геометрия. Эта математическая дисциплина также изучает геометрические объекты: кривые, поверхности и др. Ее своеобразие состоит в том, что она широко использует методы математического анализа, в особенности дифференциального исчисления. Отправными пунктами в ней являются тематика и результаты аналитической геометрии. Начала она свое существование одновременно с анализом бесконечно малых. В некотором смысле дифференциальную геометрию можно даже считать одной из его предшественниц, если включить в рассмотрение инфинитезимальные задачи относительно геометрических объектов. К началу XVIII века методами анализа бесконечно малых были установлены многие факты теории плоских кривых. Однако это не означало, что началось относительно самостоятельное существование дифференциальной геометрии. Все результаты еще входили в математический анализ, пополняя совокупность его приложений к геометрии. В основном рассматривались лишь функции от 134
одного переменного. Соответственно речь шла только о плоских кривых. Следующий этап истории дифференциальной геометрии ознаменован введением методов изучения пространственных кривых и поверхностей. Необходимой предпосылкой для этого является, очевидно, распространение средств аналитической геометрии на трехмерные задачи. Как было сказано выше, это было впервые осуществлено в 1731 г. в книге А. Клеро «Исследования кривых двоякой кривизны». В основном эта книга посвящена трехмерной аналитической геометрии, но ряд задач решен в ней методами дифференциального и интегрального исчисления. При этом Клеро рассматривал касательные и нормали к пространственным кривым, а также подкасательные и поднормали, ввел касательную плоскость к поверхности, содержащей данную кривую. Нормаль, согласно Клеро, является нормалью к касательной плоскости. Рассмотрены также геометрические места точек пересечения касательных и нормалей с координатными плоскостями. Пространственная кривая определена как пересечение двух цилиндрических поверхностей, характеризующихся проекциями на две координатные плоскости. Клеро развернул кривую на эти цилиндрические поверхности, решил ряд задач о спрямлении кривых, определил площади частей цилиндрических поверхностей, отграниченных заданными кривыми, нашел ряд кубатур. В этом круге вопросов он, разумеется, применял методы математического -анализа. Перенесение методов двумерной дифференциальной геометрии на трехмерный случай, осуществленное Клеро, в течение почти 50 лет не было превзойдено никем. Тем временем под воздействием задач геодезии и картографии, а также механики появлялись и множились публикации, содержащие решение задач дифференциально-геометрического характера. Сам Клеро также обнаружил новые факты в этой области. Побывав вместе с Мопертюи в геодезической экспедиции в Лапландии, он в 1733 г. опубликовал доказательство того, что вдоль геодезической линии на поверхности вращения произведение радиуса параллели (т. е. круга, перпендикулярного оси вращения) на синус ее угла с меридианом постоянно. Однако и в этой области, как и во многих других в то время, доминировали работы Эйлера. Серию своих исследований Эйлер начал (1728—1732) с изучения геодезических линий на поверхностях. Он вывел дифференциальное уравнение геодезической линии на поверхности, заданной уравнением Pdx=Qdy+Rdz, в виде Qd2x+Pd*y _dxd2x-\-dyd*y Qdx+Pdy ~ dt*+dz*+dy* и рассмотрел ряд частных случаев, относящихся к геодезическим линиям на поверхностях вращения. В 1736 г. Эйлер доказал, что 1Э5
точка, движущаяся по поверхности при отсутствии возмущающих сил, движется по геодезической. В том же году в статье о трактрисе он ввел натуральное уравнение плоской кривой и связал его с уравнением в декартовых координатах. Впоследствии после ряда частных результатов Эйлер пришел к двум достижениям: во-первых, к созданию вариационного исчисления (начиная с 1744 г.), так как задачи о геодезических — вариационные; во-вторых, к исследованиям по общей теории кривых и поверхностей. Классическая основа современной общей теории поверхностей,, однако, начала складываться далеко не сразу. Первые фундаментальные результаты в этой области, равно как и во всей трехмерной дифференциальной геометрии, оказалось возможным получить не ранее 1760 г. В статье Эйлера «Исследования кривизны поверхностей» (опубликована в 1767 г.) найдено выражение для радиуса кривизны следующим образом. Исследуемая поверхность z = z(x, у) рассекается произвольной плоскостью z=ax—Pf/+if- В сечении получается плоская кривая, радиус кривизны которой выражен довольно сложно: [аг+^+2ад+2$рМ*Р+?д)2+Р2+д2]У2 Н>2 Ш+^+^2 Ш+*¦-*»+*> О] ^ 1+аЧ-Р* где d% _ dz /dp\ д2г /dq\ d2z /dp\ d2z \dxjdx** [dyj ду*% [dy dx dy \4xJ dx* ^dyj <V \dyj дхду Затем через нормаль к поверхности проводится секущая плоскость. Выражение для радиуса кривизны этого произвольного нормального сечения получается еще более сложным вследствие того, что параметры аир являются независимыми. Они выражаются через параметр, определяющий сечение, т. е. через угол между горизонтальным следом нормальной плоскости и осью абсцисс. Из нормальных сечений выбираются два: главное, перпендикулярное координатной плоскости хОу, и перпендикулярное к главному. Для этих сечений выражение кривизны упрощается. Затем вводится угол ф между плоскостями нормального и главного сечений и вновь выводится общее выражение для радиуса кривизны: — (р2~\- g2)( l-hP*+<72)3/2 sec2 ф Ш {Р~Я *б Ф")2+ (!/?) {q+P <g фи)2+2 (jf) (p~q tg <PUX$+P tg cpn) Это громоздкое выражение Эйлер расписал для частных случаев: цилиндра z=Va2—у2; конуса z=l/n2x2—у2 и эллипсоида z2=a2—тх2—пу2, а затем преобразовал его к виду i L-\-M соз2ф+# sin29 136
где t—lI— — — — — \дхУ ду дх% ' дхду* ду2)' равно как М, N. Отсюда следует, что равенство кривизн в локальной области поверхности определяется равенством величин L, Мг N. Когда tgq>=-F, соответствующий радиус кривизны достигает экстремума. Сечения, дающие для радиуса кривизны максимум f и минимум g, взаимно перпендикулярны. Эйлер делает еще одно, последнее, упрощение: пусть при достижении максимума / ф = 0. Тогда Af=0 и радиус кривизны будет 1 L+M cos 2ф Минимум g радиуса кривизны достигается в этом случае при Ф = я/2. Выразив L и М через fug, Эйлер, наконец, получил /+*-cos2(p(/-?) " Употребляемая в настоящее время формула для кривизны нормального сечения была получена Дюпеном из данного выражения только через 50 лет. В ходе построения общей теории поверхностей математический аппарат, как видим, необычайно усложнился. Преодолевать возрастающие в связи с этим трудности удавалось лишь немногим, а возможности приложений уменьшались. Но под непосредственным давлением картографической и геодезической практики работа продолжалась. В 70-х гг. XVIII столетия одной из главных проблем в этой области сделалось развертывание поверхностей. Понятие развертывающейся поверхности ввел Эйлер. В одной из работ 1771 г. о телах, поверхности которых можно наложить на плоскость, он исходил из соответствия между координатами (х, у, г) — точки развертывающейся поверхности и (t, и) —точки плоскости, с которой совместится указанная точка поверхности после развертывания. На плоскости берется элементарный прямоугольный треугольник с вершинами (t, и), (t+dt, и), (t, u + du). Ему соответствует элементарный треугольник на поверхности с вершинами (х, у, z), (x + tdt, y+mdt, z+ndt), (x+Xdu, y + \xdu, z+vdu), 137
конгруэнтный с ним (/, т, п, I, ц, v — соответствующие частные производные: — =/, — = X и т. д.). Условия конгруэнтности, а dt ди также равенства соответствующих отрезков привели к следующим условиям развертывания: dx2+dy2+dz2=dt2+du2, P+m2+n2=l, X2 + |x2+v2=l, ll + m\i+nv=0. Решение Эйлера содержало общую идею трактовки изгибания поверхностей. Оно повлекло ряд значительных результатов. Так, Эйлер доказал, что касательные произвольной пространственной кривой образуют развертывающуюся поверхность. Тенсо (1780) ввел точки перегиба и дал их классификацию. Точки плоского перегиба у него были поставлены в соответствие случаю, когда кручение равно нулю. Их можно было обнаружить по точкам перегиба Плоской кривой, по которой развертывающаяся поверхность, соответствующая пространственной кривой, пересекла координатную плоскость хОу. Другой тип — точки линейного перегиба, соответствующие случаю, когда кривизна равна нулю. Эти точки являются точками перегиба для всех проекций пространственной кривой. В них соприкасающаяся плоскость перпендикулярна плоскости проекций. Аналогичную классификацию точек перегиба ввел Монж (1771 г.; опубликовано в 1775 г.). Он же исследовал развертывание поверхностей. Попытки построения общей теории поверхностей и пространственных кривых методами, заимствованными из аналитической геометрии и дифференциального исчисления, продолжались и позже. Новые идеи ввел Эйлер (с 1782). Он рассматривал пространственные координаты х, у, z кривой как функции длины дуги 5 и направляющих коэффициентов осей подвижного триедра с помощью сферического отображения. Тем временем число людей, занимавшихся рассматриваемой здесь проблемой, быстро уменьшалось. Утяжеление математического аппарата не соответствовало раскрываемым возможностям. Это тревожило математиков и заставляло пессимистически оценивать перспективы развития общей теории поверхностей и пространственных кривых. А тем временем новые пути дальнейшего продвижения уже намечались. Это были: а) большее привлечение геометрических соображений, временно отодвинутых на второй план усилиями по созданию аналитического аппарата; б) расширение последнего за счет привлечения теории дифференциальных уравнений; в) перевод геометрических фактов на язык дифференциальных уравнений и геометрические интерпретации последних. Наибольшие успехи в этих направлениях были достигнуты в работах Монжа, его учеников и сотрудников. В течение короткого времени появились две значительные работы Монжа: «Мемуар о развертках, радиусах кривизны и раз- 138
Г. Монж (1746—1818) личных видах перегибов кривых двоякой кривизны» (1771 г.; опубликовано в 1785 г.) и «О свойствах многих видов кривых поверхностей» (1775 г.; опубликовано в 1780 г.). В них дано полное исследование свойств пространственных кривых и поверхностей, введено развертывание поверхностей, исследованы эволюты, эвольвенты, огибающие и т. п. В частности, в первой из работ показано, что пространственные кривые могут иметь неограниченно много эволют, что они все лежат на развертывающейся поверхности (имеется в виду развертка нормалей) и являются геодезическими линиями этой поверхности. Монж ввел также спрямляющую развертывающуюся поверхность и показал, что исходная кривая является ее геодезической. В этой же работе введены упомянутые выше два типа точек перегиба и много терминов, сохранившихся до нашего вре- 139
мени: ребро возврата, развертывающаяся поверхность, геометрическое место центров кривизны и др. Вторая работа в основном посвящена теории развертывающихся поверхностей. В ней, в частности, выяснено отличие линейчатых и развертывающихся поверхностей, найдена известная формула: rt—s2=0. Установлено, кроме того, что развертывающиеся поверхности могут трактоваться как геометрические места касательных к пространственным кривым, а также что они суть огибающие некоега двупараметрического семейства плоскостей. Однако классификация кривых и поверхностей по виду и по степеням их алгебраических уравнений и связанный с этим громоздкий аппарат не удовлетворяли Монжа. Новую классификацию поверхностей Монж ввел в своих лекциях для Политехнической школы, выходивших отдельными выпусками, а в 1801 г. изданных отдельной книгой. Главная идея книги состоит в том, что свойства и структура поверхностей проявляются яснее, если кроме уравнений задать способ их построения путем перемещения в пространстве заданной линии. При этом в качестве объекта изучения выступают не алгебраические уравнения, а дифференциальные уравнения в частных производных. Оказалось, что дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка соответствует большое семейство поверхностей. В него входят поверхности цилиндрические, конические, вращения и каналов. Последние образуются движением окружности постоянного диаметра, плоскость круга которой неизменно перпендикулярна заданной кривой, а центр передвигается по ней. Кроме того, к этому классу относятся поверхности склонов насыпей, т. е. такие, у которых линиями наибольшего спуска являются прямые постоянного наклона, а также винтовые, Рассматривая поверхности с разных позиций, Монж получал одновременно и дифференциальное уравнение поверхности и конечное уравнение как его интеграл. Например, рассматривая цилиндрические поверхности как такие, касательные плоскости которых параллельны образующей x=<*z, y=bz, он получил их уравнения Но в то же время из условия, что образующая цилиндрической поверхности параллельна задаваемой прямой, получается конечное уравнение этой поверхности у—bz=y(x—az)y где ф — произвольная функция. Последнее уравнение дает решение дифференциального уравнения цилиндрической поверхности. 140
Соответствующие результаты для конических поверхностей: (х — а) — +(у—Ь)— = z — c и у— =ф ( ]; ах ay z—с ( z—с J для поверхности склона насыпей: В этой работе введена геометрическая интерпретация характеристик как линий пересечения двух бесконечно близких поверхностей и выведено их дифференциальное уравнение. Дифференциальные уравнения 2-го порядка определяют семейства развертывающихся поверхностей, а также те линейчатые поверхности, которые описаны прямой, перемещающейся по двум пространственным кривым параллельно заданной плоскости, и классы поверхностей, кривизны которых удовлетворяют специальным условиям (резные, трубчатые, минимальные). Общие линейчатые поверхности определяются дифференциальными уравнениями 3-го порядка, равно как и более сложные поверхности, вроде поверхности, огибающей сферу переменного радиуса, центр которой движется по заданной кривой. Перевод фактов теории поверхностей на язык дифференциальных уравнений в частных производных Монж сопровождал разработкой геометрической теории этих уравнений. В частности, он дал геометрическую трактовку общей теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка. Полный интеграл таких уравнений f(x, у, г, а, Ь)=0 геометрически интерпретируется двупараметрическими семействами поверхностей. Если заменить b=q>(a), где ср — символ произвольной функции, то уравнению f(x, у, z, а, у(а))=0 соответствует однопараметрическое семейство поверхностей. Монж назвал их огибаемыми. Уравнение огибающей их поверхности получается исключением параметра а из уравнений /=-0, и f=0. да Отсюда при фиксированных значениях а получаются уравнения характеристик (образующих огибающих поверхностей, являющихся геометрическими образами общего интеграла). Все характеристики огибаются кривой, которую Монж назвал ребром возврата. Подобные соображения, отнесенные к уравнению f(x, у, z, р, q)=0 и к его полному дифференциалу Xdx + Ydy+Zdz+Pdp + Qdq=О, 141
привели Монжа к системе уравнений dx dy dz dp dq P "~ Q ~~ Pp + Qq ~~ ~~~~ X+pZ ~~ ~ Y+qZ Интегрируя их, Монж получал уравнения характеристик. Геометрические методы внесли также ясность в трактовку уравнения, названного впоследствии уравнением Пфаффа: Pdx+Qdy+Rdz=0. Если условие интегрируемости выполняется, то его решение геометрически представляется семейством поверхностей Кх» У> г) = С, на которых любые кривые ортогональны кривым dx dy dz р"~о"~1>' Если же это условие не выполняется, то, как показал Монж, при задании дополнительной зависимости <р(х, у, z)—Q уравнение Пфаффа определяет на поверхности ц(х, у, z)—Q однопараметри- ческое семейство кривых, ортогональных к тем же кривым dx dy dz p"~"q _/F' Теория характеристик Монжа, сведение задачи решения дифференциальных уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, геометрическая интерпретация решений, тесная связь и взаимодействие геометрических и механических методов — вся совокупность достижений Монжа вывела дифференциальную геометрию на новый этап. Он характеризуется введением в геометрию аппарата дифференциальных уравнений и дальнейшим расширением ее теоретических достижений и практических возможностей. В конце XVIII века исследование одной инженерной проблемы дополнило дифференциальную геометрию основами теории линейных конгруэнции, стоявшей некоторое время особняком. Речь идет о задаче, рассмотренной Монжем в 1781 г. в «Мемуаре о теории выемок и насыпей», опубликованном в 1784 г. (см. рис. 37). Постановка задачи такова: даны два равных объема, ограниченных неравными замкнутыми поверхностями. Элементы, заполняющие один объем, необходимо перенести в другой с соблюдением принципа наименьшей работы, и следовательно, стоимости труда. Траектории /? переносимых частиц образуют двупара- D /^^-v метрическое семейство прямых, удовлет- "'"V . -л%7^77мн^ воряющее условиям: а) через каждую >////^^ точку области D проходит одна и только одна прямая семейства; б) на каждой Рис. 37 прямой семейства находятся элементы 142
объема R (точка, отрезок); в) линейчатая поверхность, образованная прямыми семействами, высекает в D и в R равные объемы; г) )Jj rdV = min (dV — элемент объема D, г — расстояние меж- ду соответствующими точками объемов D и R). В плоском случае семейство прямых у=ах + Ь — однопарамет- рическое. Монж составил дифференциальное уравнение, приравняв элементарные площадки в фигурках D и R. Наличие общей касательной к D и R позволяет определить значение аддитивной: постоянной уравнения. Прямолинейные конгруэнции возникают в трехмерном случае. Монж доказал, что среди всех линейчатых поверхностей, образованных при этом, существует только 2 семейства развертывающихся поверхностей. Если поверхности нормальны друг к другу» то конгруэнция ортогональна к поверхности. На последней образуется ортогональная сеть линий кривизны. Нормали к поверхностям образуют вдоль этих линий развертывающуюся поверхность. Длина отрезка нормали от поверхности до пересечения с одной из двух бесконечно близких нормалей совпадает с длиной радиуса кривизны плоского сечения поверхности по линии кривизны. Монж, наконец, утверждал, что условию минимальности работы по перенесению грунта удовлетворяют именно нормальные конгруэнции. Доказательство этого факта появилось, однако, лишь через 100 лет (1886, Сен-Жермен и Аппель). В первой половине следующего, XIX, века продолжалось пополнение классического состава дифференциальной геометрии. Ученики и французские коллеги Монжа (Карно, Фурье, Ампер, Пуассон и др.) по существу привели эту науку в ее классической части к современному состоянию. В подтверждение отметим индикатрису и циклиду Дюпена (1813 и 1822 гг.), бинормаль Сен-Ве- нана (1845), направляющие косинусы Френе (1847) и Серре (1851). Новый этап дифференциальной геометрии ознаменован исследованиями Гаусса (1828) внутренней геометрии поверхностей, т. е. таких их свойств, которые инвариантны относительно изгибаний. Идеи Гаусса, а также работы о свойствах поверхностей постоянной гауссовой кривизны (Миндинг, 1839; Лиувилль, 1850) создали область соприкосновения дифференциальной и неевклидовой геометрий, о чем речь пойдет ниже. Связи разных областей и слитное действие их методов — характерная особенность науки, не только математической. Примеры аналитической и дифференциальной геометрии, которые мы со значительной подробностью здесь рассмотрели, имели целью показать читателю, как необходимо сочетать общее понимание проблемы с конкретной доказательностью суждений о ней. § 4.4. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ГЕОМЕТРИИ Третье направление, в котором шло и идет развитие геометрии», состоит в построении специфических абстрактных систем. Объек- 143
хами этих систем являются геометрические абстракции: точки, прямые и их отрезки, геометрические тела и др. Суждения об этих объектах обладают высокой степенью дедуктивности и основываются на задаваемой совокупности исходных высказываний — аксиом. Обозначилось это направление давно. Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач, а затем из совокупностей однотипных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Абстрактность предметов математического исследования и установившиеся логические приемы математических доказательств были основными причинами того, что математика приобрела черты абстрактной, аксиоматической, дедуктивной науки, включающей в себя логически последовательную совокупность теорем и задач на построение, использующую возможный минимум исходных положений. Напомним, что геометрическая форма таких систем теоретической математики установилась в Древней Греции (подробно об этом см. гл. 2). Исходными идеями этого процесса явились стремление к достижению наивозможно высшей общности результатов, установление факта, что среди математических объектов множество отрезков прямых обладает большей полнотой, нежели множество рациональных чисел. Сочинения, в которых строились первые общие системы математики, назывались «Началами». Одно из таких сочинений, — «Начала» Евклида, — получило всеобщее признание, а ее логическая строгость оставалась непревзойденной в течение свыше 20 веков. И все это время люди изучали геометрию по Евклиду. Его «Начала» до сих пор лежат в основе учебного курса геометрии. В научном плане для таких геометрических систем характерны следующие проблемы: обоснованность выбора понятий, логический анализ систем аксиом и обеспечение сложившегося уровня логической строгости математических суждений. В течение многих веков отправным пунктом в этих исследованиях была евклидова система основ геометрии, а их содержанием — ее критический анализ и попытка усовершенствования. В силу этих обстоятельств историю третьего направления развития геометрии принято начинать с описания евклидовой системы (см. гл. 3). Математиков, как ученых, так и учителей, тяжеловесная система Евклида не удовлетворяла практически никогда. Поэтому главным содержанием научных исследований по геометрии был критический анализ «Начал». Критика была пестрой, противоречивой, но в подавляющем большинстве случаев безуспешной. По справедливому замечанию Даламбера, нельзя было указать такого автора сочинения по основаниям геометрии, который не осуждал бы своих предшественников и современников в более или менее энергичных выражениях и не превозносил бы свои соображения или систему. 144
Положение начало серьезно изменяться в XVIII веке. Пригодность трактата Евклида для того, чтобы быть учебником геометрии, была поставлена под сомнение. Вопрос этот явился предметом широких дискуссий. В Англии и в ряде немецких государств результатом явились только методические усовершенствования. Структура же и стиль были сохранены. Во Франции же исходные установки создания школьного курса геометрии и в конечном счете всей системы основ геометрии определялись общими воззрениями французских энциклопедистов, в особенности Даламбера и Дидро. Появилось большое число школьных учебников, написанных французскими математиками. Авторы их Даламбер, Безу, Лежандр, Лакруа с разной степенью решимости отрывали преподавание геометрии от евклидовой схемы. Что же конкретно было сделано? Во-первых, в основы геометрии были введены метрика и движение, которых столь тщательно избегал Евклид. Во-вторых, была произведена широкая арифмети- зация, втом числе арифметизация теории отношений и пропорций. В результате этого отпала необходимость в пятой книге «Начал». Введение алгебраической символики и вообще алгебраических элементов сняло необходимость во второй книге. Употребление радикалов, в частности, упразднило в курсе геометрии сложную классификацию геометрических пропорциональностей, развитую в 10-й книге «Начал». Таким образом, евклидов трактат был переработан в курс элементарной геометрии, более живое изложение которого сделало его доступнее для учащихся. Влияние этих книг было велико. В них, по существу, был создан современный нам тип школьного учебника геометрии. То, что кажется нам теперь очевидным и изначально присущим последнему, было достигнуто лишь к концу XVIII в. усилиями главным образом французских математиков. В научном плане центром критического анализа в это время сделалась система исходных высказываний, особенно 5-й постулат о параллельных. Придирчивый анализ привел математиков к убеждению в неудовлетворительности всех «доказательств» этого постулата. А некоторые математики исходя из стремления доказать его путем приведения к противоречию получили необычные и нелепые результаты, являвшиеся на самом деле теоремами неевклидовой геометрии. At Ci Bj Так, итальянский ученый монах И. Сак- j [ I керри (1667—1733) рассматривал проблему следующим образом: из концов отрезка АВ восстановим перпендикуляры АА\ и ВВХ рав- I ной длины (рис. 38). Точки А\ и Ви а затем и середины С и С\ оснований получившегося I 1 1 прямоугольника соединим прямыми. Опреде- А С В ъ Рис. 38 лим величины углов Zi4=ZB=-~ по пост- 145
роению. Перегнем чертеж по СС{: СС^АВ, CCi±AiBl} ZA{ = = ZB{. Последующие предположения о величине этих равных углов получили у Саккери название гипотез прямого, тупого и острого углов. Гипотеза тупого угла быстро привела его к противоречию. По замыслу Саккери, таков же должен быть исход гипотезы острого угла, что дало бы доказательство постулата о параллельных. Однако случилось непредвиденное. Гипотеза острого угла при логически строгом ее развитии давала странные результаты, но к противоречию не приводила. Выводы Саккери, как выяснилось впоследствии, совпадали с первыми теоремами геометрии Лобачевского: сумма углов треугольника оказалась меньше 2d; площадь треугольника при увеличении его сторон не могла увеличиваться неограниченно; появилась необходимость в существовании некоторой абсолютной единицы длины и др. Примерно через 30 лет, в 1763 г., Г. Клюгель (1739—1812) произвел обзор многих попыток доказательства 5-го постулата и пришел к выводу, что Евклид правильно сделал, что поместил его в систему исходных высказываний. Около 1766 г. берлинский академик, швейцарец по происхождению Ж. Ламберт (1728—1777) опубликовал «Теорию параллельных линий», навеянную идеями Саккери и Клюгеля. Лам- берт модифицировал четырехугольник Саккери: он построил перпендикуляры AAi±AB, BBi±AB, A\B\l.AAi и свел тем самым задачу к определению величины угла В{. Гипотеза прямого угла привела к евклидовой геометрии, гипотеза тупого угла привела к противоречию. А гипотеза острого угла снова дала странные результаты, но ни к каким противоречиям не привела. Создание новых принципов преподавания геометрии и углубленное исследование системы исходных положений Евклида в ряде работ (в том числе тех, которые мы не упомянули) создали предпосылки для появления неевклидовых геометрий. Это событие произошло в следующем, XIX, веке, благодаря научному подвигу Н. И. Лобачевского и Я. Больяи. Для путей развития геометрии в части построения геометрических абстрактных систем оно, это событие, имело принципиальное значение. На смену представлениям о единственности такой системы пришла возможность построения новых систем. Предмет и состав теоретической геометрии получили неограниченно расширяемое поле развития. Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в Нижнем Новгороде в семье небогатого чиновника. Он окончил Казанский университет (1811) и работал в нем много лет. Вскоре (с 1816 г.) он уже был профессором, а еще через несколько лет — ректором (с 1827 по 1846 г.) того же университета. Благодаря во многом его усилиям Казанский университет превратился в первоклассное учебное заведение. Много сил Н. И. Лобачевский потратил на улучшение деятельности школ. Мировоззрение Лобачевского было материалистическим. При обсуждении основных понятий математики, в частности геометрии» 146
Н. И. Лобачевский (1792—1856) он подчеркивал их материальное происхождение, рассматривая их как отражения отношений вещей действительного мира. Математические абстракции не могут быть измышлены, они появляются как результат взаимоотношений человека с материальным миром. Научное познание имеет единственную цель: изучение реального мира. Критерием истинности научного знания является, по Лобачевскому, практика, опыт. Лобачевский не был узким специалистом в математике. Его научное наследие включает в себя работы по алгебре (например «Алгебра или вычисление конечных», 1834) и математическому анализу («Об исчезновении тригонометрических строк», 1834; «О 147
сходимости бесконечных рядов», 1841; «О значении некоторых определенных интегралов», 1852 и др.)- Он первым ввел различие между непрерывностью и дифференцируемостью функций, нашел метод численного решения алгебраических уравнений, известный под его именем. Однако наивысшую, можно сказать бессмертную славу Лобачевский заслужил своими работами по геометрии. Днем рождения неевклидовой геометрии принято считать 11 (по новому стилю 23) февраля 1826 г., когда на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета Лобачевский доложил свое сочинение «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Текст сочинения не сохранился. Через 3 года, в 1829 г., Лобачевский издал большую работу «О началах геометрии». В последующем Лобачевский развивал свою новую геометрию в ряде работ: «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834—1838), «Геометрические исследования» (1840, на немецком языке), «Пангеомет- рия» (1855). Отправным пунктом геометрических открытий Лобачевского был 5-й постулат Евклида о параллельных. Геометрия, в зависимости от того, используется ли в рассуждениях обращение к этому постулату или нет, разделяется на две части. Ту часть, в которой таких обращений не содержится, принято называть абсолютной геометрией. Лобачевский уже на ранней стадии своих размышлений обнаружил возможность такого расчленения геометрии и осуществил его. Вслед за этим он заменил 5-й постулат его отрицанием: предположил, что через точку О, не лежащую на заданной прямой ААи может проходить более чем одна прямая, лежащая в одной плоскости с заданной и не пересекающаяся с ней при продолжении. При этом обнаружилось, что формального противоречия не получается. Последовательность теорем складывается в новую ге- метрию, отличную от евклидовой, но столь же логически строгую и последовательную, несмотря на непривычность ее утверждений. В абсолютной части геометрия Лобачевского по существу не отличается от евклидовой. В той же части, где используется 5-й постулат, дело обстоит иначе. К ней относят следующие группы теорем: а) о расположении параллельных прямых; б) о сумме углов в треугольниках и многоугольниках; в) о площадях; г) о вписанных в окружность и описанных около нее многоугольниках; д) о подобии и конгруэнтности фигур; е) всю тригонометрию; ж) теорему Пифагора; з) измерение круга и его частей. В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида. Рассмотрим эти различия по возможности конкретно. Допущение, что через точку О вне прямой можно провести более одной прямой, не встречающейся с данной, приводит к выводу, что таких прямых бесконечно много. Они образуют пучок. В И8
Рис. 39 Рис. 40 пучке есть две крайние прямые: ОВ и ОВ\ (рис. 39). Они и считаются параллельными данной прямой. У параллельности оказывается необходимым ввести направленность (см. стрелки на рис. 39). В направлении параллельности прямые сближаются, в противоположном — удаляются. Угол параллельности а зависит от расстояния х следующим образом: где k — постоянная, зависящая от выбора единицы длины. Если л'-^0, то л(х)-+п12\ если же х->оо, то п(х)-+0. Наконец, прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся в обе стороны. Вслед за тем оказалось, что сумма углов треугольника меньше 2d. При увеличении длин сторон треугольника эта сумма уменьшается. Аналогичные явления имеют место и для многоугольников. Из-за этого появился еще один признак равенства треугольников по трем попарным равенствам их углов. Площади всех треугольников образуют множество значений с верхней гранью ся, где с — постоянная, зависящая от выбора единицы измерения площадей, равная отношению площади треугольника к его дефекту (разности суммы внешних углов треугольника и Ad). В геометрии Лобачевского, таким образом, не существует подобных треугольников и многоугольников. Допущение подобия эквивалентно постулату о параллельных. Длина окружности / растет быстрее радиуса г и равна k v ' Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллельных (рис. 40). Относительно пучков прямых вводятся циклы (иначе называемые основными или с-линиями). Это геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями пучка. Их положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из прямых пучка. Эти циклы соответственно будут: окружности, эк- видистанты (или гиперциклы) и орициклы (образы предельной окружности при г->оо). Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг избранной прямой, будут соответственно сферы, гиперсферы и орисферы. Здесь мелькнул первый проблеск связей между геометриями Евклида и Лоба- 149
Рис. 41 Рис 42 чевского. Оказалось, что на орисфере, если прямыми считать орициклы, осуществляются евклидовы планиметрия и тригонометрия. Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица длины (масштаб), а углы и длины взаимозависимы. Единицей длины является OR — длина абсолютной дуги орицикла (рис. 41). Это дуга, отсчитываемая от избранной точки О на одной из параллельных прямых пучка до точки R — пересечения орицикла с прямой пучка, параллельной касательной к орициклу в точке О. В настоящее время отрезок, равный по длине абсолютной дуге, называют также радиусом кривизны пространства Лобачевского. Вычислительный аппарат в геометрии Лобачевского основывается на оперировании с гиперболическими функциями. Например, теорема, аналогичная теореме синусов для треугольника в геометрии Лобачевского приобрела вид Sin а SinP Sin 7 sh ka sh kb sh kc Вся тригонометрия оказалась тригонометрией гиперболических функций. Совокупность ее формул оказалась подобной совокупности формул сферической тригонометрии в системе Евклида, но для сферы мнимого радиуса Ri. Вслед за тригонометрией Лобачевский разработал для своей системы аналитическую и дифференциальную геометрии. В итоге, в сочинениях Лобачевского была построена геометрическая система, не страдающая логическими погрешностями и столь же богатая фактами, как и геометрия Евклида. Тем самым показано, что мыслима не одна только система геометрии и что другие системы можно получать путем видоизменений и обобщений основных высказываний в геометрических разделах математики начиная с геометрии Евклида. Событие в жизни математики случилось грандиозное. Однако прием, оказанный геометрии Лобачевского, был более чем обескураживающим. На его сочинения ведущие ученые либо не обращали внимания, либо отзывались неодобрительно. В печати появлялись пасквили. Требовались незаурядное мужество и вера в научную значимость и достоверность полученных результатов, чтобы противостоять таким обстоятельствам. Лобачевский проявил необходимые качества, боролся настойчиво. Но когда он умер в 150
3856 г., то, как выяснилось, кроме безвестного Я. Больяи (1802— I860), построившего независимо свою систему неевклидовой геометрии, да авторитетного, но хранящего упорное на этот счет молчание К.-Ф. Гаусса (1777—1855), никто его при жизни не понимал. Каковы же тому были причины? Задача, которую не смог решить Лобачевский, — это задача обоснования построенной им геометрии. Можно сколь угодно далеко идти: по пути накопления ее фактов, но не получить абсолютной уверенности в строгости ее логической основы, значимости для практических приложений и не определить ее место в науке. Но поводы для убежденности были. Во-первых, слияние новой геометрии с евклидовой для бесконечно малых размеров. Во-вторых, широкое сходство тригонометрических формул в обеих геометриях. Лобачевский это видел, отмечал и надеялся на скорое открытие более широких связей новой геометрии с геометрией, уже существующей. Путь Лобачевского в поисках решения проблемы обоснования состоял в попытках отыскания материальных объектов, для которых осуществлялась бы его геометрия. Вспомогательный путь приложения геометрических фактов и соображений к математическому анализу, в частности к вычислению трудных интегралов, был также использован Лобачевским. Сосредоточимся на главных попытках. Требуется, скажем, измеряя углы треугольников, обнаружить, отличается ли их сумма от 2d, т. е. обнаружить дефект 6 = 2d—а. Лобачевский доказал, что этот дефект должен быть прямо пропорционален площади S треугольника и обратно пропорционален квадрату радиуса кривизны пространства, т. е. 8 =k — . г2 Чтобы дефект был заметен, надо выбирать треугольники самых больших размеров. Поэтому Лобачевский испробовал непосредственные измерения углов треугольников в космическом пространстве (рис. 42). С положения 3{ Земли на орбите с помощью зенитного телескопа фиксируется звезда А, выбранная так, чтобы ZC3{A = n/2, тде С —¦ положение Солнца. Если фиксировать положение той же звезды А из противоположной точки 32 орбиты, то ZC32A=d—2fi. Величина {} есть параллакс звезды, измеряемый обычно с большой точностью. Если в космическом пространстве действует геометрия Лобачевского, то можно определить угол параллельности со. Однако все измеренные отклонения неизменно оказывались в пределах допусков точности инструментальных измерений. Эксперимент искомых результатов не дал. Лобачевский писал о возможной геометрии, действующей «в глубинах вещества», но проверить это в его время никто не мог. 151
Теперь неудача космического эксперимента представляется вполне объяснимой. В 1931 г. астроном Шиллинг доказал, что современные средства астрономической наблюдательно-измерительной техники не помогут ни оправдать, ни опровергнуть предположение Лобачевского о геометрии космического пространства, если допустить, что радиус кривизны пространства превышает 60 световых лет. Неутешительные данные наблюдательной астрономии дополняет общая теория относительности, которая для изотропного мира дает значение радиуса кривизны 1,8-109 световых лет. Если же учесть, что геометрия космического пространства должна учитывать распределение движущихся масс, заполняющих это пространство и обладающих свойствами притяжения, то эта геометрия примет весьма сложную форму. Тем не менее, несмотря на неудачи с экспериментами, Лоба* чевский находился на верном пути. Его идеи — это идеи интерпретации. Данные всякой теории должны проверяться опытом. Геометрия Евклида возникла как обобщение многовекового опыта людей и подтверждена практикой. Возможная конструкция, созданная Лобачевским, должна опереться на систему реально существующих объектов, чтобы быть признанной непротиворечивой. Как это всегда, или почти всегда, бывает в истории науки, разгадка и здесь находилась рядом. В математике уже имелось все необходимое, чтобы решить проблему интерпретации геометрии Лобачевского. Необходимо было лишь привлечь данные теории поверхностей. Дифференциальная геометрия, о которой мы рассказывали выше, в начале XIX века получила новую область распространения в теории поверхностей. В трудах Гаусса, в особенности в его «Об* щих исследованиях о кривых поверхностях» (1828), была построена внутренняя геометрия поверхностей. Для этого Гаусс ввел криволинейные координаты и и v на поверхностях. Линейный элемент (дифференциал дуги), задаваемый формулой ds2=Edu2+2Fdudv + Gdv2, и гауссова кривизна а = дали возможность находить все элементы поверхности. Факты внутренней геометрии оказались инвариантными относительно изгибания поверхностей, т. е. таких деформаций последних, для которых линейный элемент остается инвариантным. С тех пор и до наших дней проблемы изгибания во внутренней геометрии поверхностей являются важнейшими проблемами общей дифференциальной геометрии. Около 1840 г. Ф. Миндинг (1806—1885), профессор университета в Дерпте (ныне Тарту, Эстония), изучал поверхности постоянной гауссовой кривизны. Среди поверхностей постоянной отрицательной кривизны он, в частности, рассмотрел поверхность вращения трактрисы, т. е. кривой, у которой длина отрезка а каса- 152
Рис. 43 Рис. 44 тельной от точки касания до базовой прямой OY постоянна (рис. 43) Кривизна этой поверхности поэтому такая поверхность названа псевдосферой. Миндинг показал, что для любого треугольника, сторонами которого будут геодезические линии на поверхности постоянной кривизны К, имеет место соотношение ctgЛsinC + cosCcosl/ЛrЬ=ctgУ7ГasinУK"&. В случае ТОО это одна из формул сферической тригонометрии. Если же /С<0, то после подстановки VK*=*-- вследствие ri того что sina' = ishXy cosix=chx, формула приобретает вид ctg A sinC-f cosCch — = cth —sh —. г г г Отсюда можно вывести все формулы гиперболической тригонометрии. Тригонометрия геодезических треугольников на поверхности постоянной отрицательной кривизны оказалась гиперболической тригонометрией. За 5 лет до выхода этой работы Миндинга, в 1835 г., Лобачевский в «Воображаемой геометрии» показал, что требование аксиомы параллельности (т. е. 5-го постулата) можно свести к вопросу о справедливости соотношений гиперболической тригонометрии. Результат Миндинга означал по существу, что внут- 15а
ренняя геометрия псевдосферы изоморфна планиметрия Лобачевского. Однако ни Миндинг, ни Лобачевский этого не заметили. Обнаружил этот факт впервые итальянский картограф и геометр Е. Бельтрами, внимательно изучавший сочинения Лобачевского. Однажды он увидел, что результаты одного из его исследований по дифференциальной геометрии содержат интерпретацию геометрии Лобачевского. Речь идет об исследованиях Бельтрами по картографии, вызванных необходимостью отображать поверхности на плоскости таким образом, чтобы все геодезические линии на поверхностях изображались прямыми на плоскости. Он нашел, что такого рода отображения возможно установить для сфер и для поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Среди последних он выделил псевдосферу и увидел, что линейные элементы (основные метрические формы) плоскости Лобачевского и поверхности псевдосферы оказались выраженными одной и той же формулой. Это означало изоморфность их внутренних геометрий. Образом прямых Лобачевского явились геодезические на поверхности, а движения интерпретировались изгибаниями поверхности на себя. Бельтрами опубликовал свои результаты в 1868 г. в статье «Опыт истолкования неевклидовой геометрии». Это была первая интерпретация геометрии Лобачевского. Она произвела большое впечатление. После нее положение этой части геометрии изменилось. Сомнения в ее непротиворечивости отпали, так как плоскость Лобачевского интерпретировалась на поверхности евклидовою пространства. Однако интерпретация была неполной, так как поверхность псевдосферы отображает лишь часть плоскости Лобачевского (см. рис. 44). Никакие комбинации бельтрамиевых поверхностей неполноту не устраняли. Вопрос об интерпретации всей плоскости Лобачевского оставался открытым еще довольно долго. Только в 1901 г. Д. Гильберт доказал, что в трехмерном пространстве не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и всюду регулярной. Из этого следовало, что осуществить интерпретацию типа Бельтрами всей плоскости Лобачевского невозможно. Следующая по времени интерпретация была проведена в 1871 г. Ф. Клейном в работе «О так называемой неевклидовой геометрии». Она основывалась на введенном А. Кэли проективном мероопределении на плоскости. Кэли ввел это понятие в 1859 г. в «Шестом мемуаре о формах». Формы — это однородные многочлены. Для геометрического истолкования теории форм Кэли привлек аналитическую геометрию проективного пространства, построенную Плюкером. С бинарной формой он связал систему точек прямой, однородные координаты которых обращают эту форму в нуль. Аналогично тернарная форма представляется кривой проективной плоскости. Если эта форма квадратичная, соответствующая кривая будет коническим сечением. Затем Кэли 154
Ф. Клейн (1849-1925) фиксирует одну из бинарных квадратичных форм и пару точек, соответствующую ей на прямой, и вводит абсолют как образ, относительно которого рассматриваются автоморфизмы. Для определения расстояния между двумя точками Кэли строит ангармоническое отношение этих двух точек и точек абсолюта. Логарифм ангармонического отношения и есть, по Кэли, расстояние. На плоскости абсолютом является кривая второго порядка; ее пересечение с любой прямой плоскости определит на последней проективную метрику. Клейн в упомянутой работе доказал, что проективная метрика Кэли, определяемая действительной кривой 2-го порядка, совпадает с метрикой пространства постоянной отрицательной кривизны. Теперь Клейн может (именно это он делает) отобразить плоскость Лобачевского на внутренность точки абсолюта, например внутрь круга. Точки плоскости отображаются на внутренние точки абсолюта, прямые переходят в хорды без конечных точек, параллельные прямые — в хорды с общим концом. Движением является 155
проективное преобразование, переводящее круг сам в себя, а хорды — в хорды. Расстояние, как у Кэли, [AM BN J В случае пространства (3-мерного) производится проективное отображение на внутренность сферы. Геометрия Лобачевского интерпретируется посредством абсолюта Клейна (рис. 45). Например, из точки О оказывается возможным провести 2 прямые ОМ и ON, не пересекающиеся с данной прямой MN и тем самым параллельные ей в смысле Лобачевского. С этих позиций геометрия Лобачевского оказывается относящейся к той подгруппе группы проективных преобразований, в которой абсолют отображается сам в себя. Модель Клейна явилась долгожданным полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского. После этой работы Клейна появились и продолжают появляться новые интерпретации. В них обнаруживаются новые связи геометрии Лобачевского с другими областями математики. Приведем для примера модель А. Пуанкаре, предложенную им в 1882 г. в ходе работы над задачами геометрической теории функций комплексного переменного (рис. 46). Здесь плоскость Лобачевского отображается то^е на внутренность круга, прямые — на дуги окружностей, перпендикулярных заданной окружности, и на диаметры. Движения интерпретируются комбинациями инверсий. Мы имеем в виду здесь гиперболические инверсии, т. е. такие преобразования точек плоскости относительно окружности с центром О и радиусом г, когда каждой точке М на луче ОМ ставится в соответствие точка М' такая, что ОМ>ОМг=г2. Отыскание интерпретаций означало доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Если сказать более точно, этим была доказана возможность сведения указанной проблемы к вопросу о непротиворечивости геометрии Евклида, а через нее — к данным человеческого опыта. Рис. 45 Рис. 46 156
В свою очередь, определившаяся равноправность по крайней мере двух геометрий евклидовой и Лобачевского — повела к появлению других различных геометрических систем, к необходимости выработать единые принципы классификации этих систем, к разработке аксиоматического метода и укреплению его положения как важнейшего метода всей геометрии и вообще всей современной математики. Феликс Клейн внес в классификацию геометрических систем идеи теории групп. Он отметил, что все движения, рассматриваемые в геометрии, образуют группу: результирующая двух движений есть движение, каждое движение можно сопоставить с обратным ему. Геометрии Евклида и Лобачевского имеют разные группы движений. В более общей постановке вопроса оказывается, что геометрия пространства вообще характеризуется группами движений этого пространства. Именно движение есть такое преобразование, которое позволяет сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Таким образом, выделяется совокупность свойств пространственных объектов, инвариантных относительно задаваемого движения. Наука об этих свойствах и является геометрией. Эти воззрения были развиты Клейном и сообщены в речи, произнесенной им в 1872 г. при вступлении на кафедру в немецком городе Эрлангене. Название лекции было «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». В дальнейшем она получила среди математиков известность как «Эрлангенская программа Клейна». По Ф. Клейну, для построения геометрии необходимо задать: я) многообразие элементов; б) группу преобразований, дающую возможность отображать элементы заданного многообразия друг на друга. Геометрия будет изучать те отношения элементов, которые окажутся инвариантными при всех преобразованиях данной труппы. С этих позиций возможны, например, следующие геометрии: а) геометрия Евклида, изучающая инварианты группы перемещений; б) аффинная геометрия, объектами изучения которой являются инварианты так называемых аффинных преобразований x'=diX+biy-\-Cu y'=a2X+b2y+C2 при условии *i Ъ2 В частном случае, когда рассматриваются ортогональные преобразования, будет иметь место: det=±l; в) проективная геометрия — наука об инвариантах дробно-линейных преобразований , _aix+biy+cx а^х+ЬзУ+Сз det= ФО. 157
У det= OiX+ЬгУ+Сз ФО. Ьг ь3 При такой постановке проблемы классификации геометрия Лобачевского рассматривается как частный вид проективной геометрии, где изучаются инварианты подгруппы проективных преобразований, переводящих в себя точки некоторого круга. Помимо уже указанных, в классификацию Клейна входят многие другие геометрии. Например, конформная геометрия охватывает группу таких преобразований, которые переводят круги в круги, а также сохраняют значения углов. Другим примером может послужить топология — геометрия групп непрерывных преобразований, т. е. таких, что сохраняют бесконечную близость точек, непрерывность объектов. Уже более столетия идея Клейна о том, что геометрию можно строить для любого многообразия, в котором установлена группа преобразований, является руководящей не только при классификациях, но и при построении новых геометрий. Однако она не являлась и не является единственной. В середине XIX века появился другой общий принцип. Впервые он был сообщен в 1854 г. Риманом в ставшей впоследствии знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (опубликовано в 1867 г.). Принято называть этот принцип метрическим. Согласно этому принципу для построения геометрии необходимо задать: а) многообразие элементов; б) координаты этих элементов (в общем случае п координат); в) закон определения расстояния между бесконечно близкими элементами многообразий. Этот закон задается исходя из предпосылки, что геометрическое пространство в бесконечно малых частях — евклидово» Это означает, что в самом общем виде задан линейный элемент дуги, определяемый дифференциальной квадратичной формой i, k Здесь gik=gik(xu ..., xn), gik=gkt, ds2^*0. Указанная форма очевидно, появилась как обобщение гауссовой квадратичной формы во внутренней геометрии поверхностей: ds2=Edu2+2Fdudv + Gdv2. Движения определены как преобразования, относительно которых линейный элемент ds инвариантен. Отсюда 2 gtkdXidxkz= 2 glk^dx^. i, k i. k 158
Вслед за ds остаются инвариантными длина кривой и другие соотношения, относящиеся к метрике пространства. Само понятие пространства приобретает весьма общие трактовки (например, фазовое пространство, пространство цветов и др.)- Это понятие быстро эволюционировало вплоть до современных представлений о римановых пространствах как общих дифференциально-геометрических многообразиях с необходимыми всякий раз уточнениями. Теорию римановых пространств в настоящее время называют ри- мановой геометрией (или римановыми геометриями). Б. Риман не построил аналитического аппарата, адекватного столь широко задуманной системе геометрий, базирующейся на метрических принципах. Только в начале XX века, когда в трудах итальянских математиков Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита оформилось тензорное исчисление, как синтез теории алгебраических форм и теории квадратичных дифференциально-геометрических форм, оказалось, что оно является наиболее подходящим аппаратом для решения проблем римановой геометрии. Широкие обобщения понятия расстояния между элементами и соответственно всех суждений метрического характера привели к введению понятия метрического пространства. Следует добавить, чтобы читатель избежал недоразумений,, что геометрия пространств постоянной положительной кривизны получила название геометрии Римана (или эллиптической). Идея Лобачевского о том, что мыслима логически не одна только геометрия Евклида, получила во второй половине XIX вв подтверждение. Возникли многочисленные геометрии. Воплотилась в жизнь в виде разнообразных интерпретаций, а затем к приложений и другая его идея: что истийность геометрии проверяется лишь опытом и что расширяющийся опыт требует введения не только евклидовой геометрии. Третья идея Лобачевского, как было рассказано выше, состояла в том, что новые геометрии могут быть построены путем видоизменений систем понятий и исходных высказываний евклидовой геометрии. Эта идея получила развитие в большом числе исследований по основаниям геометрии. Еще в 1866 г. Г. Гельмгольц ввел движение в качестве основного понятия геометрии. Г. Кантор (1871) и Р. Дедекинд (1872) исследовали понятие непрерывности и исходные высказывания о ней. Паш (1882), добиваясь решения проблемы включения метрической геометрии в проективную, исследовал две группы аксиом: порядка и принадлежности (так они названы в позднейшей классификации аксиом, осуществленной Д. Гильбертом). Вслед за Пашем эти группы аксиом исследовали Д. Пеано (1889) и Пиери (1899). Наконец, в 1899 г. появилось первое издание «Оснований геометрии» Д. Гильберта, в которых впервые была построена система аксиом, полная и достигающая уровня строгости, принятого в наши дни. К концу XIX в. в геометрии укоренился аксиоматический метод. Тогда же этот метод был распространен и на другие области математики. Но геометрические теории оказались, пожалуй, са- 159
мыми удобными для становления аксиоматической структуры. Вместо громоздкой системы определений, аксиом и постулатов, предлагаемых системой Евклида, сделалось возможным ввести лишь совокупность аксиом,, которая и будет служить описанием основных понятий и свойств, выделенных для исследования. В геометрии же сложились главные требования логической строгости, которым системы аксиом должны удовлетворять: требования полноты и совместности. Совместность есть комплексное требование: оно состоит из требований независимости и непротиворечивости. Последнее удовлетворяется построением интерпретаций и по существу этому построению эквивалентно. Независимость какой-либо аксиомы от остальных устанавливается заменой ее на отрицающее высказывание с последующим отысканием интерпретаций с целью установить непротиворечивость новой системы. Имеет смысл строить только совместные системы. Полноту системы аксиом стали понимать как свойство определять систему объектов с точностью до изоморфизма. Это требование не всегда удовлетворяется в современной математике. Аксиоматика теории групп, например, не может быть полной, так как существуют группы с неизоморфной структурой. Аксиомы геометрии, как и вообще математические аксиомы, не являются априорными и вечными истинами. Критерий их истинности лежит в практике. На каждом этапе исторического развития математики выявляется их относительность. Большая роль, которую сейчас играет аксиоматический метод в математике, отнюдь не означает ни его извечности, ни всемогущества. А что касается математического аппарата, то, по выражению Ф. Энгельса, «... выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., 2-е изд. Т. 20. С. 37). Как и в любой области науки, знание исторического пути и происшедших в ходе истории преобразований геометрии необходимо для понимания ее сущности, стоящих перед ней задач и перспектив. Геометрия возникла как та часть математики, которая преимущественно занимается изучением пространственных форм реально существующих предметов. Таковой она остается и сейчас, что находит свое отражение в ряде геометрических дисциплин. Участие геометрии совместно с другими частями математики в комплексных исследованиях раскрывает ее связи и обогащает методы и возможности. Высокая степень достигнутых в геометрии •абстрагирований и построение абстрактных геометрических систем находится в русле развития всей математики и не отменяет возможностей как теоретического развития, так и приложений.
ГЛАВА 5 ФОРМИРОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ОСНОВ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ § 5.1. ЧТО НАЗЫВАЮТ АЛГЕБРОЙ? Ответ на очевидный и обязательный вопрос: что называют алгеброй? — не может быть однозначным. Алгебра, которой обучают в школе и которой пользуется большинство, составлена из разнородного математического материала. Она несет на себе следы происхождения из вычислительной практики. В ней присутствуют вычислительная арифметическая часть, элементы комбинаторики, методы решения уравнений невысоких, как правило, степеней, изучение простейших классов функций, а также элементы теории чисел. Такой вид алгебра сохраняла до XVIII в., хотя термин «алгебра» для обозначения той части математики, в которой решают алгебраические уравнения, существовал уже в IX в. В сознании математиков все упомянутые части алгебры до такой степени прочно соединялись в единую науку, что для нее существовало специальное название: универсальная или всеобщая арифметика (см., например, кн.: Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки. М., Просвещение, 1987. Гл. 4: Как алгебра начинала свой исторический путь. С. 66—87). Современное понимание алгебраической науки разительно отличается от упомянутой только что «элементарной» алгебры. Притом термин «алгебра» имеет тоже неоднозначную трактовку: а) алгеброй называют ту часть математики, в которой изучают алгебраические операции над элементами множеств. Природа множеств при таком изучении к рассмотрению не привлекается. Поэтому стало рутинным рассматривать алгебру как учение об алгебраических операциях. Алгебраические операции трактуются как отображения во множестве элементов. Они бывают унарными, бинарными и вообще гс-арными; на множестве А последняя записывается Ап-+А. В случае п=0 соответствующая 0-арная алгебраическая операция трактуется как фиксация элементов множества А. Множества, для элементов которых определена система алгебраических операций, образуют универсальную алгебру; б) существует много видов алгебр, определяемых как выбором системы объектов, так и учетом их свойств: линейная, полилинейная, коммутативная, топологическая, гомологическая, булева и другие алгебры; в) алгебрами называют частные случаи операторных колец: алгебра над полем (линейная, векторная), над телом, коммута- 161
тивным кольцом, ассоциативная, неассоциативная, альтернативная и др. алгебры. Алгебраические теории современности многочисленны, разнородны и с трудом поддаются классификации. Попробуем, например, дать их классификацию, исходя из характера операций. Пусть задана только одна операция, бинарная, ассоциативная, с единицей, с обратным элементом. Основным понятием в этой постановке будет группа, а производными: полугруппа, квазигруппа, лупа. Если задать 2 операции (обычно называемые: сложение и умножение), то придем к кольцам, решеткам, полям. Операции над кольцами подчиняют условиям: при сложении должны удовлетворяться аксиомы абелевости, а умножение дистрибутивно относительно сложения. Сами кольца могут быть или не быть ассоциативными. В ассоциативных алгебрах рассматривают тела, если все ненулевые элементы образуют группу относительно умножения, а также поля, если умножение коммутативно. Тела и поля порождают коммутативную алгебру, а последняя — алгебраическую геометрию, где изучают геометрические объекты, связанные с коммутативными кольцами. Выделение алгебраических понятий и теорий отнюдь не хаотично, подчиняется строгой логике суждений, активно развивается. Так структура совокупности современных алгебраических теорий, на которую мы здесь бросили лишь беглый взгляд, сложилась в первые 2—3 десятилетия нашего века. Принято датировать ее начало 1930 годом, когда появилась знаменитая монография ван дер Вардена «Современная алгебра». § 5.2. С ЧЕГО АЛГЕБРА НАЧИНАЛАСЬ? Нет сомнений, что исходной была тематика элементарной алгебры. Выяснить и объяснить, как из нее вырос сложный комплекс алгебраических теорий, — в этом состоит задача настоящей главы. Напомним, что с давних пор в математической, преимущественно вычислительной, практике людей проявились тенденции к алгебраизации. Это выражалось в поисках общих суждений и правил оперирования с классами величин, а не с конкретными числами. Такие тенденции сопровождались введением символики начиная с обозначения величин буквами, а связей между величинами— формулами. Потребности решения задач выдвинули на первый план уравнения, их решение сделалось главной алгебраической задачей математики. Осознание своеобразия алгебраических тенденций и выделение в составе математики самостоятельной части — алгебры произошло ранее всего в средние века в математике стран Ближнего Востока и Средней Азии (см. гл. 3). Успехи в решении уравнений 3-й и 4-й степеней в радикалах были достигнуты в XVI в. в стра- 162
нах Западной Европы. Почти одновременно происходило усовершенствование алгебраической символики. Начало XVII века ознаменовано мощным усилием Декарта, связавшего в единой науке — аналитической геометрии — методы алгебры с геометрическими и как бы поглотившего в универсальной математике (Matfaesfe universalis) эти обе части (см. гл. 4). Однако упразднения алгебры не произошло. Она развивалась в дальнейшем самостоятельно; ее научной проблематикой сделалась по преимуществу теория алгебраических уравнений. Последняя включала в себя как формирование общей теории уравнений, так и накопление способов их решения, как численного, так и графического. Научная разработка этих проблем приводила к перестройке основ алгебры, связанной с расширением содержания понятия числа и к усовершенствованию алгебраического буквенно- символического аппарата. Предмет алгебры определился уже к началу XVIII в. В 1707 г. вышла в свет «Всеобщая арифметика» И. Ньютона. В ней алгебра была изложена в тесной связи с развитием методов вычислений, как высшая стадия арифметики. Геометрические вопросы были отнесены в область приложений. С самого начала Ньютон вводит операции как над числами (целыми дробными), так и над буквенно-символическими выражениями. Объяснив читателю технику тождественных алгебраических преобразований, Ньютон знакомит его затем с методами решения алгебраических уравнений. На большом числе примеров, взятых из геометрии, механики и других наук, он показывает, как задачи сводятся к составлению алгебраических уравнений, корни которых являются решениями задачи. Замыкают книгу сведения из общей теории уравнений, а также графические решения последних посредством геометрических построений. «Всеобщая арифметика» является краткой записью лекций по алгебре, которые Ньютон читал в Кембриджском университете в 1673—1683 гг. В ней нет доказательств. Она не представляет собрания всех алгебраических достижений Ньютона. В других его работах также содержится немало открытий в области алгебры. Среди них: обобщение формулы для степени бинома на случай дробно-рациональных показателей, сообщенное в одном из писем Ньютона Ольденбургу в 1676 г.; способ численного решения уравнений, известный под названием параллелограмма Ньютона, т. е. метод разложения у, заданного уравнением Рп(х, у)—0 (где Рп — полином), в ряд по дробным степеням х и др. Алгебраическая тематика «Всеобщей арифметики» была в центре внимания многих видных математиков XVIII в. Способы численного решения уравнений (как точного, так и приближенного) разрабатывали Галлей, Лагранж, Мурайль, Фурье и др. Многочисленные попытки дать строгое доказательство формулы бинома в ее наиболее общей форме прекратились лишь тогда, когда Гаусс в работе о гипергеометрическом ряде (1811) решил эту проблему. Параллелограмм Ньютона получил в работах Стерлинга, 163
де Гюа, Крамера и других многообразные приложения к теориям алгебраических кривых, аналитических функций и др.1 Вслед за «Всеобщей арифметикой» Ньютона появился ряд монографий, содержащих систематическое построение алгебры. «Трактат об алгебре» Маклорена (1748) явился еще лишь комментарием к книге Ньютона, которая, как было сказано, не содержала доказательств. В последующих же сочинениях, в особенности в знаменитой «Универсальной арифметике» Л. Эйлера, самостоятельность алгебраической науки выявилась еще более отчетливо. Продиктованная слепнущим Эйлером около 1767 г. «Универсальная арифметика» появилась в 1768—1769 гг. на русском языке. Помимо многочисленных переизданий, она была переведена на латинский, английский, французский и голландский языки. Ее влияние на построение курса алгебры в университетах и на определение алгебраической научной проблематики было очень заметным. Монографический характер этой книги и цели, которые ставил перед подобными сочинениями их автор, позволяют судить о состоянии алгебры во второй половине XVIII века. «Универсальная арифметика» состоит из двух частей. В трех отделах первой части Эйлер уделил основное внимание обобщенным формулировкам правил решения арифметических задач и усовершенствованию буквенно-символического аппарата алгебры. Так, в первом отделе разъяснены правила операций над числами и одночленами, над радикальными выражениями, комплексными числами. Здесь же введены логарифмы. Второй отдел посвящен операциям над многочленами. Кроме того, в нем приведены правила извлечения корней из чисел и из алгебраических полиномов. Наконец, вводятся ряды как средство представления дробно-рациональных функций и биномов с дробными и отрицательными показателями степени. Третий отдел — самый разнохарактерный по своему содержанию. В нем введено понятие действительного числа посредством алгоритма попеременного вычитания, фигурные (многоугольные) числа, пропорции и прогрессии (как арифметические, так и геометрические), периодические десятичные дроби и задачи на про- денты. Методам решения алгебраических уравнений и их общей теории посвящен первый отдел второй части. Здесь собраны описания методов решения алгебраических уравнений первых четырех степеней, а также систем линейных уравнений. Кроме того, описаны методы приближенного вычисления корней алгебраических уравнений. Последний отдел (второй отдел второй части) «Универсальной арифметики» содержит преимущественно описание методов нахождения целочисленных решений неопределенных уравнений. К 1 См., напр., Чеботарев Н. Г. Многоугольник Ньютона и его роль в развитии математики//Ч е б о т а р е в Н. Г. Собр. соч. Т. 3. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 47—80. 164
ним присоединены решения других задач теоретико-числового характера. Так, здесь обсуждена великая теорема Ферма и даны ее доказательства для п равного 3 и 4. Введены подстановки, обращающие квадратный трехчлен в точный квадрат (подстановки Эйлера). § 5.3. АЛГЕБРА — НАУКА О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ Таким образом, предмет алгебры и содержание в XVIII в. определились. Она превратилась в науку об алгебраических уравнениях. В нее также входила разработка буквенно-символического аппарата, необходимого для решения уравнений. Алгебра тесно взаимодействовала с арифметикой, сохраняя в своем составе численные методы. С другой стороны, происходило столь же тесное взаимопроникновение методов и задач алгебры и теории чисел, преимущественно в области неопределенного (диофантова) анализа. Современная элементарная алгебра в значительной мере сохранила в своей структуре эти особенности. Сравнение «Всеобщей арифметики» Ньютона и «Универсальной арифметики» Эйлера позволяет нам отметить начало и (в значительной степени) итог формирования алгебры в XVIII в. Теперь рассмотрим кратко эволюцию научного содержания этой обширной и важной части математики и процесс вызревания предпосылок нового, современного, этапа ее истории. В основе алгебраических исследований лежит понятие о числе (количестве, величине). Общность и поле приложений буквенно- алгебраических методов определяются степенью обобщенности понятия числа. В течение XVIII в. это понятие переживало период медленного развития. Оно постепенно осмысливалось, обогащалось, отставая, однако, от вычислительной практики и от требований задач, в особенности задач математического анализа. Понятие действительного числа включало в себя натуральные числа, положительные дроби, иррациональности. Последние имели дошедшее до нас со времен античной Греции общее определение через понятие отношения с привлечением геометрических интерпретаций. Именно число есть то, что относится к единице, как один отрезок прямой к другому, принятому за единицу. Однако общая концепция иррационального числа завоевала признание лишь к концу XVIII века. Большие споры еще кипели вокруг понятия отрицательного числа. В разноречивом хоре суждений преобладали противопоставления отрицательных и положительных чисел. Находились даже такие математики (Мазер, 1758; Френд, 1796), которые не признавали ни отрицательных чисел, ни мнимых. Правила действий с отрицательными числами еще не получали убедительных доказательств- Лишь в следующем, XIX в., удалось представить отрицательные числа включенными в единую числовую систему и дать этому представлению строгое и общепризнанное доказательство. 1вб
Мнимые числа появляются в алгебре в качестве корней уравнения. Их изучение, однако, продвинулось не по мотивам алгебраической необходимости, а под влиянием настоятельной потребности математического анализа. Именно в рамках анализа постепенно открывались и внедрялись правила операций с мнимыми и комплексными числами — придумывались, проверялись, формализовались. В 40-х гг. XVIII в. Даламбер и Эйлер доказали утверждение Бомбелли, что всякое выражение, содержащее мнимые величины, приводится к виду а + (И, где а и р — действительные. Очевидная полезность комплексных чисел вызывала усиление внимания к вопросу об их сущности. Однако проблема эта решению никак не поддавалась. Первым, кто разработал (в интересах геодезической и картографической практики) способ геометрической интерпретации комплексных чисел точками на плоскости, был датчанин К. Вессель (1797, опубликовано в 1799), землемер по профессии. Впрочем, его работа осталась незамеченной, равно как и сходная интерпретация Ж. Аргана (1806). Только в 20-х гг. XIX в., когда Гаусс и Коши ввели и обосновали операции над числами вида oc±fU\ ввели термин «комплексное число», нашли «модуль» (Коши, 1821), а иначе «норму» (Гаусс, 1828) комплексных чисел, определили понятие сопряженности комплексных чисел, положение последних в математике упрочилось. Комплексные числа вошли и в алгебру. Кстати, упомянем еще об одной арифметико-алгебраической трудности, преодоленной лишь к концу XVIII в. Речь идет о введении аппарата десятичных дробей. Еще в 1585 г. голландский инженер и математик Стевин ввел их и доказал их полезность. Но в течение более 200 последующих лет десятичные дроби употреблялись преимущественно в астрономической вычислительной практике. Понадобились усилия многих крупнейших математиков (Лагранж, Лаплас, Монж и др.), разработавших в период 1790— 1799 гг. единую десятичную метрическую систему мер (введена во Франции декретом от 24 апреля 1799 г.), чтобы аппарат счета с десятичными дробями приобрел актуальность и распространение. В XIX столетии, когда многие государства перешли на десятичную систему счисления, ее стали вводить и в школах. Та часть алгебры, что сосредоточивалась вокруг проблемы решения алгебраических уравнений, составляла ее главное содержание. Этой проблеме было посвящено огромное число работ. В безбрежном море книг и статей — печатных свидетельств колоссальных усилий многих людей, направленных на ее решение, — можно, пожалуй, выделить некоторые направления. Первое из них составляют попытки отыскания регулярного элементарного алгебраического алгоритма (вроде метода Тар- тальи для кубического уравнения или метода Феррари для уравнений четвертой степени), пригодного для решения уравнений степени выше четвертой. Авторами этих попыток руководила интуитивная убежденность, что такие корни существуют, что их ровно столько, сколько единиц в наивысшем показателе степени и 166
что алгоритм для отыскания корней, хотя бы действительных, существует, не может не существовать. Из большого числа работ этого направления выберем в качестве примера работы Э. В. фон Чирнгаузена (1651—1708) и Эйлера. Метод Чирнгаузена, опубликованный в 1683 г., состоял в следующем: пусть дано уравнение хп + а{хп~1 + ... +an-ix + an=0. Введем вспомогательное уравнение у=ЬхХп-2+Ь2хп-*+ ... +&„-! с неопределенными пока коэффициентами. Если из обоих уравнений удастся исключить х (а это возможно), то получим уп + схуп-1+ ... +сп=0. Коэффициенты сь съ ..., сп — суть функции коэффициентов Ьи Ъ2, ..., Ьп и аи аъ...,ап. Теперь подберем значения для Ьь Ь2,..:,Ьп таким образом, чтобы получить с\=с2—... =сп_1=0. Тогда yz=z у—сП9 и мы получим возможность заменить данное уравнение другим, степень которого будет ниже, т. е. п—2. Чирнгау- зен опубликовал этот метод, привел пример для /г=3 и этим ограничился. Позднее Эйлер проделал все необходимые выкладки для м=4. Для п^Ъ это оказалось, разумеется, невозможным. Попытки подбора значений Ьи Ь2, ..., Ьп приводили к уравнениям, степень которых была больше 5. Эйлер не раз пытался, используя приемы, восходящие к Тар- талье, подобрать для корней уравнений подходящие виды ирра- циональностей. В случае х*=ах+Ь соответствующее «радикальное» выражение известно. Это x—j/a-f-yp- Для уравнения х4=ах2+Ьх+с Эйлер получил кубическую резольвенту подстановками х = У"а •+• |^Р + Vy или х = yb + у г + у <р. Однако распространить (экстраполировать) этот или какой-либо аналогичный прием, как надеялся Эйлер, вообще на уравнения вида хп=а1хп"2+а2хп^ + ...+ап_ь п>4, подстановкой вида * = S У** не удалось. Около 1764 г. Эйлер обобщил эту подстановку, положив х = а0 + 2 Р* "Д. 167
Аналогичную форму подстановки одновременно применил Варинг (1734—1798). Однако и эта весьма общая подстановка, позднее использованная Абелем при доказательстве невозможности решения в радикалах общего уравнения пятой степени, не дали нужного результата. Число попыток отыскать решение уравнений степени /г^5 элементарно-алгебраическими средствами, напоминаем, было очень велико. По существу, это был единственный путь решения проблемы, доступный в те времена математикам. Он был равнозначен становлению позднейшей алгебраической теории резольвент. Кстати упомянем, что в ходе этих попыток сложился и распространился сам термин «резольвента». Он произошел из латинского aequatio resolvens, что означает: разрешающее уравнение. В современной математике употребление этого термина неоднозначно. Мы имеем здесь в виду алгебраический аспект: резольвента алгебраического уравнения Рп(х)=0 суть тоже алгебраическое уравнение g(x)=0, такое, что: а) его коэффициенты являются рациональными функциями коэффициентов уравнения Рп(х)=0; б) знание его корней позволяет найти значения корней уравнения Рп(х)=0, причем для этого не придется решать уравнения степени ^п. По-видимому, первый, кто ввел термин «резольвента», был Эйлер (ок. 1732 г.). Неудачи в поисках упомянутых алгебраических алгоритмов были, как мы думаем, одной из причин появления большого числа работ, посвященных приближенным методам нахождения корней уравнений. Методы эти были как численными, так и геометрическими. Последнюю разновидность алгебраисты, по существу, заимствовали из аналитической геометрии. Выбор кривых для геометрического решения уравнений определялся либо соображениями легкости их построения, либо минимальностью степени алгебраических уравнений соответствующих этим кривым. Например, многие математики (Лопиталь, Стирлинг, Бернулли, Ньютон, Крамер) пришли независимо к мысли находить корни уравнения a0xn + axxn-l+ ... +ап^х + ап=0 как точки пересечения кривой y=aoxn + aixn~l+ ... + ап-Хх с прямой у=—ап. Более поздние построения опирались на графическое суммирование кривых: у=а0хп; у=аххп~1; ..„; */ = = ап^{х+ап, для чего был даже придуман специальный прибор. Из численных приближенных методов упомянем метод Ньютона, который он продемонстрировал на примере уъ—2у—5=0. Обозначим целочисленную часть корня, с которой начинает Ньютон, буквой е для общности. Положив у=г+р, подставив это выражение в уравнение и отбрасывая в силу малости р все его степени выше первой, найдем приближение р в первом десятичном знаке. Затем, положив p—pi + q, повторяем всю операцию 168
сначала. При повторениях получаются последовательные приближения корня. Уточнение этого метода, произведенное Галлеем, состоит в том„ что берется первое приближение s корня уравнения Рп(х)=0. Затем величина е+р подставляется в уравнение, члены которого располагаются по степеням р: Рп{г + р)=Рп(г)+Ар + Вр2+ ...=0. Затем р определяется из квадратного уравнения Вр*+Ар + Рп(г)=0. Ньютон применял аналогичный метод к решению буквенных уравнений с двумя неизвестными f(x, у)=0, или, что то же самое,. к приближенному вычислению значения неявных функций. Связанное с этим разрешение уравнения относительно одного из неизвестных, т. е. представление f(x, у)—О в виде y=fi(x), где fi(x) есть степенной ряд, вообще бесконечный, Ньютон производил с помощью специального приема, получившего название параллелограмма его имени. Разновидности этого метода известны под названиями прямоугольника, треугольника, многоугольника, диаграммы, но эти названия неизменно связаны с именем автора метода. Численные методы решения алгебраических уравнений, как к всякие другие методы математики, должны иметь обоснование. В данном случае речь идет о следующих вопросах: определение числа корней (положительных, отрицательных, комплексных); отделение корней; определение границ областей, между которыми корни располагаются. Еще в XVII в. было рассмотрено решение этих вопросов на большом числе частных видов уравнений. Например, М. Ролль (1652—1719) в конце века показал, что между двумя корнями уравнения f'(x)=0 может находиться не более одного корня уравнения f(x)=0. Верхняя граница значений действительных корней уравнения xn + aixn~l + ... +ап=0, по Роллю, равна 1^1 + 1, где ak — наибольший по модулю отрицательный коэффициент уравнения. Пожалуй, в книге такого типа, как наша, нет необходимости перечислять частные результаты, доказывая утверждение, что для рассматриваемого здесь круга вопросов уже в XVIII в. был достигнут уровень, совпадающий с современным. Укажем лишь на еще один, редко применяемый, метод, принадлежащий Лагранжу. Пусть известно первое приближенное значение р корня х уравнения такое, что р<х<Ср+1. Подставим в уравнение х = р-\—. Новое уравнение будет иметь действительный корень у>1, так как 1 > — > 0. Тогда у 169
e(y) = g, т. e. y=*q + — . Повторяя этот прием, получим <г+ — . . . Z Если цепная дробь обрывается, то корень рационален. Если же он иррационален, то цепная дробь позволит оценить, с какой погрешностью осуществляется любое из последовательных приближений. Методы решения алгебраических уравнений, накапливаясь, практически открывали перспективы для нового развития теоретических частей алгебры. Будущее этой науки постепенно раскрывалось в исследованиях разнообразных, но группирующихся в основном вокруг двух проблем: разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (о чем шла речь только что) и доказательства основной теоремы алгебры. То, что алгебраическое уравнение может иметь столько корней, сколько имеет единиц его наивысшая степень, первыми установили Жирар (1629) и Декар (1637). Вскоре же постановка проблемы о числе корней уравнения естественным образом преобразовалась. Требовалось уже доказать, что всякое алгебраическое уравнение степени п имеет именно п корней. В качестве эквивалентного утверждения предлагалось доказать разложимость левой части уравнения в произведение линейных и квадратных сомножителей с действительными коэффициентами. Над решением этой и других связанных с нею проблем трудились многие математики: Даламбер, Эйлер, Лагранж, Гаусс и прочие. Первое по времени доказательство предложил Даламбер (1746). Фактически оно состояло в установлении того обстоятельства, ЧТО ГШП1-Г71 (х) 1=0. Однако доводы Даламбера были нестрогими, содержали в явном виде апелляцию к средствам математического анализа и не облегчали преодоление трудностей, с которыми здесь математики встретились. Полученное почти одновременно доказательство Эйлера (опубликовано в 1751 г.) опиралось на рассмотрение графиков кривых у=Рп(х), соответственно при четном п и при нечетном. При этом доказывалось, что уравнение Рп(х)=0 при n-нечетном имеет один вещественный корень или нечетное их число; при п-четном существует четное число корней или же их вообще нет. Если свободный член уравнения четной степени отрицателен, то уравнение имеет во всяком случае два вещественных корня разных знаков. Трудность тем самым была сведена к доказательству теоремы для уравнений четной степени: п=2т. Так как 2n_1<2m< <2П, то, домножая уравнение на 2п—2т линейных множителей вида х—а, видим, что доказательство достаточно провести для уравнений, степени которых имеют вид 2п. 170
Относительно уравнений последнего типа Эйлер высказал следующую теорему: левая часть алгебраического уравнения степени 2п (л>1, целое) разлагается на два множителя степени 2п~1 и наметил ход ее доказательства 1. При этом он нашел два важных свойства: а) рациональная функция корней уравнения, которая принимает при всех возможных подстановках корней k различных значений, удовлетворяет алгебраическому уравнению степени k, коэффициенты которого суть рациональные функции коэффициентов данного уравнения; б) рациональная функция корней уравнения, инвариантная относительно перестановок корней, есть рациональная функция коэффициентов исходного уравнения. Уточняя доказательство Эйлера, Лагранж ввел и разработал теорию подобных функций, т. е. функций, инвариантных при подстановках одной и той же группы и только при них. У Лагранжа речь идет о подобии симметрических функций корней уравнения в случае, если все 2k значений, которые они способны принимать при всех перестановках корней, различаются между собою. Относительно подобных функций Лагранж доказал, что они рационально выражаются друг через друга и через коэффициенты данного уравнения. Смысл доказательств Эйлера и Лагранжа с современной точки зрения таков. Пусть дано уравнение Рп(х)—0, Его коэффициенты — элементы поля D действительных чисел. К — поле Галуа данного уравнения. Степень К над D: n = 2r-k (k нечетное). По теореме Силова, существует подгруппа Н порядка 2Т группы Галуа G этого уравнения. Образуем q — поле элементов, инвариантных относительно подстановок из Н: DaqczK. Степень К над q есть 2Г; степень q над D — нечетное к. Поле q образуется присоединением к D корня v неприводимого над D многочлена Pi(x) степени k. Но k нечетно. Следовательно, q=Dz, так как единственными неприводимыми уравнениями нечетной степени над полем действительных чисел являются линейные уравнения. Рассмотрим К над D. Его степень 2г. Если /С=Д то т] — корень уравнения Р2(х)—0 Степени 21* с действительными коэффициентами, как в уравнениях, рассматривавшихся Эйлером. Известно, что группы порядка рг, где р — простые, г — натуральные числа, разрешимы; их нормальные делители имеют простые порядки р. Здесь же р=2. Значит, DcKi<=:...czKr=K9 где каждое из промежуточных нормальных полей является квадратичным по отношению к предыдущему. Соответствующие квадратные уравнения, которые нужно решать над предыдущим полем, чтобы получить последующее, имеют либо действительные, либо 1 Об этом см.: БашмаковаИ. Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математическне исследования. М.: ГТТИ, 1957. Вып. 10. С. 257—304. 171
комплексные корни. Пусть Ki — первое поле, совпадающее с полем комплексных чисел; последующие поля будут также совпадать с этим же полем. В противном случае все поля совпадут с полем D. Обратно, если исходить из К=КТ, то для отыскания корня уравнения Р2(х)—0 степени 2? надо решить над D одно уравнение степени 2Г~1. Его корни породят поле Kv-u а над ним — одно квадратное уравнение. Возможно повторение такого рассуждения для степени на единицу ниже и т. д. Элементы этих идей новой" алгебры явственно проглядывают в доказательствах Эйлера и Лагранжа. Другая группа элементов теории Галуа была накоплена в работах, где исследуется проблема приводимости уравнений. Ньютон первым вышел за пределы вопроса о приводимости уравнений над полем рациональных чисел. Он предложил алгоритм для решения вопроса о том, может ли уравнение «быть приведено при помощи кйкого-либо иррационального делителя, или, что то же самое... нельзя ли так разделить уравнение на две равные части, чтобы из каждой вы могли извлечь корень» (И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948. С. 270). Помимо постановки вопроса о возможности приведения уравнений над различными полями это рассуждение содержит некоторую идею грядущей теории Галуа. В самом деле, Ньютон ставит, по существу, вопрос о присоединении к полю рациональных чисел иррациональностей вида Ik и приводимости уравнения над этим расширенным полем. Иначе говоря, речь идет об отыскании квадратичных подполей поля разложения полиномов. Алгоритмы Ньютона, а вслед за ним и Варинга, для решения вопроса о том, распадается ли заданное уравнение на множители, если область рациональных чисел расширить присоединением квадратичной, биквадратичной или кубической иррациональности, просты, но громоздки. Ньютон и Варинг представляли полином всякий раз в виде произведения полиномиальных выражений с неопределенными коэффициентами, зависящими от иррациональностей исследуемого вида. Затем следовали попытки такого подбора неопределенных коэффициентов, чтобы требуемое разложение осуществилось. Подобные методы новых перспектив не открывали и совсем нередко из-за своей громоздкости приводили к ошибкам. Тем не менее они были полезны. В них фактически рассматривались поля алгебраических чисел, определялся общий вид элементов этих полей. Накопление предпосылок нового этапа развития алгебры в XVIII в. достигло кульминации в исследованиях Лагранжа, нашедших отражение в его «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений» (1771—1772). В этом сочинении Лагранж критически пересмотрел все накопившиеся к его времени методы и попытки общего решения алгебраических уравнений. К открытым 172
уже резольвентам он добавил еще одну, но весьма общего характера. Он рассмотрел алгебраическое уравнение вида xn + bixn~l + b2xn-2+,...= О и в соответствии с методом Чирнгаузена вспомогательное уравнение У = — (xn-l + fxn-2+gxn-z+'... +k) с неопределенными коэффициентами f, g, ..., k. Из обоих уравнений Лагранж исключил х: yn+Ayn-i + Byn-2+ _ +Ру+Т=0 и подобрал коэффициенты f, g, ... так, чтобы А = В=...=Р=0. Тогда решение заданного уравнения свелось к решению системы п уравнений уп=—Т и п—1 уравнений, в которые входят неопределенные коэффициенты f, g, .... Корни первого из уравнений Уг = V—Т, У&, yta2, . . . , ухап-{, где а, а2,..., ап_1—первообразные корни из единицы (корни уравнения уп—1=0). Подставив эти значения в выражение дляд; х=а0 + а1у + а2у2+ ...+ап-Хуп-\ он получил систему п уравнений: xi=a0+a1y1+a2y2i+ . . . +ап^у^; X2==ao+aiyia+a2yla2+ . . . +ал_1у1л~1аа-1; xn=a0+aly1a*-i+aa2pn-i + . . . +an-ty?-1 > Вследствие того что 1+а+а2+... =0, 1+а2+а4+ ... =0 он получил na0=xi+x2 + Xz+ ..., naiyi =x{+an-lx2+a2^n^xz+\..., na2yl=xi+an'2x2 + a2^-^xz + ... n Затем Лагранж упростил систему, учитывая, что ^ х^пл ~m> откуда а0 = . Положив п С\ с' с{п~~1, п п п 173
он получил линейную функцию корней уравнения названную позднее резольвентой Лагранжа. Функция G = tn при всех перестановках корней уравнения Рп(х)=0 I *1э Х%1 • • • » хп \ \ Xif ХН* • • * 9 Хгп ) принимает k^nl значений. Коэффициенты уравнения в*+ ^6*-!+ ... + Ьк = {] (в—9,) = О г—1 суть симметрические функции от 9; (t=<l, 2, ..., k). Последние в свою очередь являются симметрическими функциями корней xi (i=U 2, ..., /г). Следовательно, п корней хь можно определить через к^мХ корней 8*. Однако все известные для уравнений степени /г^4 способы отыскания резольвент приводят при п>5 к резольвентам степени 6>/г. Это заставляло Лагранжа сомневаться в том, что рассматриваемые им методы могут дать решения уравнений степени п^5. Все-таки он не оставлял мысли о том, что рассматриваемые им группы подстановок таят в себе решение проблемы. Они, как он писал, являются «дорогой к решению». К тому же на этом пути он нашел решения целого класса так называемых циклических уравнений, т. е. уравнений с циклической группой подстановок. В своих трудах Лагранж достиг весьма большой общности. Он рассматривал уравнения с произвольными буквенными коэффициентами. Относительно них он исследовал поля рациональных функций корней. Он ввел группу подстановок корней уравнений (симметрическую группу) и изучил соответствие между ее подгруппами и подполями поля рациональных функций, инвариантных относительно подстановок этих подгрупп. Наконец, Лагранж доказал и первые теоремы теории групп, например теорему, что порядок подгруппы является делителем порядка группы. Одновременно с Лагранжем подстановки корней уравнений с той же целью изучал Руффини (1765—1822). Он опубликовал в 1799 г. «Общую теорию уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени». Однако доказательство оказалось некорректным, так как Руффини исходил из посылки, что корни резольвент рационально выражаются через корни исходного уравнения. В последующих работах, вышедших в свет в 1801, 1802, 1806 и 1813 гг., он пытался эту посылку доказать, но полного обоснования так и не смог добиться. Все же к числу заслуг Руффини следует отнести систематическое исследование конечных перестановок и доказательство ряда важных теорем. Он же впервые ввел в своих работах термин «группа». В 1814 г. Руффини нашел и сфор- 174
мулировал правило приближенного вычисления корней уравнений,, переоткрытое в 1819 г. Горнером (ныне правило Руффинн — Гор- нера). В течение XVIII века алгебра, таким образом, развивалась как наука о решении алгебраических уравнений. В ней получили известное завершение проблемы, связанные с элементарно-математическими методами. Были разработаны основные предпосылки для получения общих результатов Абеля, создания теории Галуа и начала теории групп. На рубеже XIX в. алгебра оказалась в преддверии коренной реорганизации, сделавшей ее ассоциацией, немалого числа алгебраических наук. Предметом изучения при этом сделались объекты гораздо более сложной и абстрактной природы: группы, поля, кольца и т. п. История алгебры за рассмотренный период времени еще раз демонстрирует общую закономерность развития математической науки. Новые области математики рождаются в недрах старых, существующих, сформировавшихся областей. Их методы и понятия проходят период «эмбрионального» развития. Процесс выделения новой области, ее «порождения» характеризуется переворотом в методе и сопровождается формированием специфического набора понятий и символического аппарата. Последний играет двойственную роль: отражения сущности протекаемых процессов и оперативную. § 5.4. НОВЫЕ ИДЕИ АЛГЕБРЫ (К. Ф. ГАУСС, Н. Г. АБЕЛЬ, Э. ГАЛУА) На рубеже XVIII и XIX вв. в алгебраической части математики были сделаны открытия необычайной важности. Мы имеем в виду результаты, появившиеся в работах К- Ф. Гаусса, Н. Г. Абеля и Э. Галуа. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) добился своих первых успехов в алгебре, будучи еще совсем молодым человеком, во время обучения в Геттингенском университете (1795—1798). В марте 1796 г., раздумывая над задачей отыскания корней двучленного уравнения х11—1=0, он обнаружил связи между этой задачей и задачей о делении окружности на равные части. При этом он доказал, что правильный 17-угольник может быть вписан в окружность с помощью только циркуля и линейки. Соответствующий алгебраический факт, что уравнение х17—1=0 разрешимо в квадратных радикалах, Гаусс вскоре обобщил, найдя критерий такой разрешимости (уравнение разрешимо в квадратичных радикалах для простого п вида /г=22* +1) и дав его геометрическую интерпретацию. При доказательстве этой группы предложений Гаусс разработал методы, послужившие одним из отправных пунктов в построении теории Галуа, по собственному признанию ее автора. Так» Гаусс явно высказал идею о том, что целью исследований полино- 175
К. Ф. Гаусс (1777—1855) мов путем последовательного разложения на множители, вплоть до линейных, например: х—\ является выяснение их структуры. Гаусс установил, что уравнение Х—0 степени т=п—1, где п простое, неприводимо в поле рациональных чисел и нормально над ним, т. е. все его корни рационально выражаются через один из них. Оказалось, что эти корни имеют вид: а, ар, (ар)*\ ..., т. е. что группа автоморфизмов этого уравнения — циклическая. Оставался лишь один шаг, один логический ход, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы является ее нормальным делителем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также убежденность Лагранжа, что анализ подстановок корней алгебраических уравнений укажет путь к построению новой, более общей теории. 176
Через три года, в 1799 г., Гаусс получил в Гельмстедте степень доктора за диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры. Спустя много лет он вернулся к этой проблеме и дал еще три новых доказательства главной теоремы (в 1815, 1816 и 1849 гг.). Первоначальная формулировка этой теоремы, данная Жираром и Декартом, содержала, как было выше упомянуто, утверждение, что уравнение Рп(х)=0 может иметь столько корней, сколько единиц содержит его степень. В связи с последующим введением комплексных чисел а + Ы это понимание возможности переросло в уверенность, что корней уравнения Рп(х)=0 будет именно п, действительных и комплексных вместе. Что же касается доказательств, то вслед за неудачной попыткой Даламбера (1746) появились и другие. При этом предполагалось, что всякий полином может быть разложен на линейные множители п Оставалось доказать, что все корни xi (t=l, 2, ..., п) имеют вид a + bi (где а и Ъ действительные). Проблема состояла теперь в установлении разложимости всякого алгебраического уравнения с действительными коэффициентами в произведение вещественных множителей первой или второй степени. Здесь не место для рассмотрения тех доказательств, в которых содержатся явные апелляции к средствам математического анализа. Вообще говоря, полностью обойтись без использования соображений, связанных с понятием непрерывности, при доказательстве основной теоремы алгебры невозможно. Однако вопрос о чисто алгебраическом доказательстве основной теоремы алгебры был в то время весьма актуальным. Такое алгебраическое доказательство искал и Гаусс. В упомянутой нами докторской диссертации он критически пересмотрел все доказательства и обнаружил их общий недостаток: априорное предположение, что корни уравнений существуют. В действительности же существование корней нужно доказывать, иначе в рассуждениях нельзя будет избежать порочных кругов. Проблему существования Гаусс ставил для области комплексных чисел {a + bi}, так как, по его заявлению, это самый общий вид величин, который он смог себе представить. При этом он добавлял, что если бы были определены другие, еще неизвестные, числовые области, то проблему доказательства существования корней надо ставить и для них. Алгебраическое доказательство Гаусс начал с предпосылки о заданности области К комплексных чисел. Доказательство же состояло в установлении того факта, что каждое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень в области /С В иной, эквивалентнай, постановке требуется доказывать разложимость любого полинома, коэффициентами которого являются действи- 177
тельные числа, на вещественные множители первой или второй степени. Отказ Гаусса от предположения о существовании корней уравнения, а также его решение не привлекать к доказательству средств математического анализа сильно затруднили решение задачи. Гауссу пришлось, по существу, строить поля многочленов. Доказательство получилось громоздким и заняло специальный мемуар (1815). Оно потребовало введения ряда специальных понятий, многих лемм. Гаусс вынужден был заново строить теорию симметрических функций и доказывать их алгебраическую независимость. Это дало ему возможность ввести новый способ доказательства, получивший впоследствии (в работах Кронекера, Кёни- га и др.) название принципа Гаусса. Соотношение между элементарными симметрическими функциями Ф(А,ь Л2, ta ..)=0 может быть лишь тождественным. Пусть, например, дан полином,, разлагающийся на линейные множители п л»(*) = П (*-*«). г—I и между его коэффициентами установлено какое-либо соотношение. В силу принципа Гаусса это соотношение останется справедливым при подстановках коэффициентов любого другого полинома Qn(y)=0. Таким образом, все соотношения между коэффициентами разложимых многочленов верны для коэффициентов любых многочленов. Вслед за этим вводится понятие дискриминанта п и доказывается ряд лемм, которые в силу недостатка места и их частного характера приводить мы здесь не будем. Дальнейшее доказательство опирается на лемму: если Ци, х) « n^i+iAiMtVi*), /—1, 2, .... л, г и w — неопределенная величина, то dlu+w — , х—w — \ [ дх* ду ) делится на Q(x, и). Применяя эту лемму к многочленам, Гаусс получил широко ныне известное тождество: Q (u+w— , x — w—\ =6(и, x)Q(u%x9 w, аг,а2,..., ап), где 01 — целая функция, рациональная относительно своих аргументов. 178
С помощью этого тождества Гаусс построил затем поле, в котором вспомогательный многочлен Q(u, х) имеет линейный множитель, а заданный многочлен — множитель второй степени. Примерно через 50—60 лет Кронекер сумел использовать метод построения полей, данный Гауссом, и построить конструкцию поля разложения для любого полинома (1882; L. Kronecker. Werke. Bd III. S. 341—360; Bd II. S. 247—300). Оказалось, что если задан Рп(х) — многочлен с коэффициентами из поля k, над которым уравнение Рп(х)—0 неприводимо, то можно (не предполагая существования KzDk) построить поле разложения, т. е. ми* нимальное поле, в котором 4=1 Основная теорема алгебры после этого приняла следующую формулировку: поле любого полинома с вещественными или комплексными коэффициентами является подполем поля комплексных чисел или изоморфно этому подполю. Другим из замечательных алгебраических открытий начала XIX века было доказательство неразрешимости в радикалах уравнения пятой степени. Выше мы сообщали, что поиски подходящей формы иррациональности для решения отдельных классов алгебраических уравнений постепенно сменились уверенностью, что, по всей вероятности, это невозможно. Постановка задачи обернулась: оказалось необходимым исследовать наиболее общие выражения, в состав которых входят радикалы, с тем, чтобы выяснить, могут ли они являться выражениями корней алгебраических уравнений пятой степени. По этому пути пошел П. Руффини и его современники в самом конце XVIII в. Первое реальное продвижение удалось осуществить скромному молодому норвежскому математику Нильсу Генрику Абелю (1802—1829). За свою короткую жизнь он успел сделать так много открытий в математике, что по праву может считаться одним из наиболее выдающихся математиков. Начав с доказательства невозможности решения в радикалах уравнений пятой степени, Абель затем исследовал ряд классов специальных функций, в первую очередь эллиптических и гиперэллиптических. Ему принадлежат основополагающие результаты в общей теории аналитических функций. Еще в раннем возрасте (около 1820 г.) Абель заинтересовался проблемой разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Одно время ему казалось, что он нашел позитивное доказательство этой проблемы. Вскоре выяснилось, что доказательство ошибочно. Но именно оно сослужило юноше хорошую службу. Абель получил правительственную степендию и возможность выехать в Европу для усовершенствования в математических науках. Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуаре об алгебраических уравнениях, где доказывается невозможность 179
Н. Г. Абель (1802—1829) разрешимости общего уравнения пятой степени». В нем Абель, независимо от Руффини, шел тем же путем. Он стремился доказать, что наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не могут быть корнями общего алгебраического уравнения пятой степени. Интересно, что это доказательство Абеля страдало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось на посылку, что корни резольвенты должны рационально выражаться через корни данного уравнения. 180
Наконец, в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую» многовековая проблема получила удовлетворительное решение. В ней Абель исследовал уравнения пятой степени с переменными коэффициентами. Решения он трактовал как выражения корней через алгебраические функции коэффициентов. Этот вид функций, как уточнял Абель, образуется из аргумента посредством конечного числа четырех арифметических действий и операции извлечения корня, показатель которого является простым числом. Доказательство Абеля (описанное подробно, например, в кн.: Н. Г. Чеботарев. Теория Галуа. М.; Л., ГТТИ, 193/6. Т. 1) начинается с построения наиболее общего вида алгебраических функций: v = q0+qiPl/n+ ... + <7n-iP(n-1)/n, где п — простое число, qt — алгебраические функции того же порядка, что v, но степени не выше, чем п—1; р — алгебраическая функция порядка на единицу ниже, чем v, построенная так, что она не выражается рационально через #o, ..., qn-\- Затем во втором параграфе рассмотрены свойства алгебраических функций, удовлетворяющих данному уравнению, и доказано, что если уравнение алгебраически разрешимо, то его корню всегда можно придать такой вид, что все алгебраические функции, из которых он составлен, выражаются через рациональные функции корней данного уравнения. Следующий параграф посвящен вопр