/
Автор: Дороговцев А.Я.
Теги: математика задачи по математике дифференциальные уравнения логарифмы точные науки
Год: 1995
Текст
МАТЕМАТИКА
СЕrо дня
'95
' ". , , I
C'J' '. ,'....,' с- >;::, '.,,; ::" H1<;;" \
M\.f", :t' ,J,., .' ,,, " r' п"'А;';\Л
\ ,. rC "'''')' ;--'l ',' '''; II rl,'" ,. .
' a СС 1 !"!Ос.:;:, ".;.:" ,) 1 1 r--',' . .:r"..r'''\1
\Jo. t . " .. ,, ,o \ , ,t:r,
L c <:'r .r:,.! :.: '" .. ',
Список о_меченных опечаток
Стр. 4 (аииотацИJI)
Стр. 5 (содержание)
Стр. 5 (содержание)
Стр. 19---25
Стр. 19---25
Стр. 77 (задача 7)
Стр. 77 (задача 9)
Стр. 78 (задача 13)
Стр. 80 (задача 23)
Стр. 80 (задача 24)
Стр. 79 (задача 18)
Рикатти
Рикатти
Т. Ф. Петрова
РИJl:атти
Т. Ф. Петрова
(А + 8)2" А2" + 82"
0,,+1:=01
f( Z ) J; {2 ( u ) du 1
о" = ! Lj=oOjO"j
€ I < О < e l
" I
L (%10+1 ZII) (ЕII+I ZIc)
"=0
sup
).
" l
Е (Е"+I ZIc)3
10=0
Риккати
Риккати
Т. А. Петрова
Риккати
Т. А. Петрова
(А + 8)2" = А2" + 82"
0"+1: = 01
/(Е) J; uf2( u) du 1
1 "
О.. = L.j=oajo" j
e 1 < о < e l
.. I
Е ({(ZIc+1) /(Е/о)(Е"+1 Xlc)
"=0
sup
).
" I
L (ЕIc+I Е,,)3
10=0
1
ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ
СОВРЕМЕННОЙ
МА ТЕМАТИКИ
2
КРАТКИЕ
СООБЩЕНИЯ
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
КРУЖОК
4
ЗАДАЧИ
И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИКА
СЕrо дня
'95
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ
СБОРНИК
Под редакцией доктора
физик()..математических
наук, профессора
Д.Я./]ороrОВЦЕВД
Киев
На.учное издательство
"TBiMC"
1995
21.1
М34
УДК 51
Математика сеrодн.R. 1995. Науч. метоД. сб.jПод ред.
проф. А. Л. Дороrовцева. Киев, Науч. и::эдат. "TBiMC",
1995. 114 с.
Настоящее и::эдание являетсв десвтым выпуском сборника
"Математика ceroДНJI" и содержит традиционные разделы
"Идеи и проблемы современной математики", "Краткие co
общенИJI", "Математический кружок". "Задачи и решения ::эа
дач". /
В первом деле доказывается один интересный фаltТ OT
носительно р шений неоднородноrо линейноrо уравнения по
рядка n, расiматриваетсв аналоr уравненИJI Рикатти в бана
ховом прост а.нстве и исследуетсв вопрос о существовании
оrраниченныt решений этоrо уравненИJI, изучается проблема
локальности оператора дифференцированИJI в пространстве
L2([a, Ь]).
Во втором разделе приведена общав теорема с достаточ
ным условием сходимости числовоrо ряда.
Третий раздел открывается элементарно и наrлядно напи
санной статьей об одном едином методе доказательства из
вестных неравенств.
В четвертом разделе содержится набор из 39 новых ::за-
дач, решения задач из предыдущих номеров, задачи четы-
рех студенческих олимпиад, а также задачи международноrо
студенчеСltоrо конкурса по математике (Пловдив, БолrарИJI) и
5б--rо математическоrо соревнованИJI им. В. Путнама (США).
Сборник содержит та.хже перечень всех статей из первых
девяти выпусltОВ.
@ Научное иццательство
"TBiMC", 1995
ВiАдРУl:оааио у Тllпоrрафii фiрми BlnOn. 252151, Киi.. .УII. 80nннс....а, 80. ФОР"lат 60"'90/16.
.цру. офсетн.ii. Зд,ано до друку 22.05.96. Но..ер о...о.пеННJI 6а 19&1.
Выпуск 10
Математи:в:а Сеrодня
1995
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
7
РАЗДЕЛ 1. ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Ю. Н. Балuцхий
Об оцеихе частных решений неоднородных ли
нейных дифференциальных уравнений 10
А. Я. ДОРО20вцев и Т. Ф. Петрова
Оrраниченные решения уравнения типа Рикат .
ти в банаховом пространстве 19
А. Ю. Пилиnенхо
О локальности операторов, :заданных на прост
раНствах интеrрируемых в квадрате ФУНКЦИЙ 26
РАЗДЕЛ 2. КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Б. Е. Слюсар'Чух
Общая теорема о сходимости числовых рядов 43
А. Я. ДОРО206цев и О. А. Ла20да
Об оrраниченных решениях одноrо ра:зностноrо
уравнения в банаховом пространстве 55
РАЗДЕЛ З. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Р. П. Ушахов
О едином подходе к доказательству классических
неравевств 61
В. Е. Слюсар'Чух
3Ma 67
В. В. Нехрашевuч
О предельном поведении итераций лоrарифма 70
СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ 4. ЗАДА ЧИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Новые оадачи . 76
Решения оадач ио прEщыдущих выпусков сбор.-
ника 84
Республиканский тур олимпиады "Студент и
НТП" по математике. Киев, 1990 92
Украинска.в: студенческая олимпиада по MaTeMa
тике (rруппауниверситетов, III V курсы). Киев,
1992/93 уч. roA 95
Задачи университетскоrо тура студенческой
олимпиады по математике. Киевский уии:верси
тет, 10 марта 1995 r. 97
УкраииСКЗJI математичеаЗJI OJIИМПИ&Да CTyдeH
тов III IV хурсов (rруппауввверситетов). Xaplr
КО8Ский университет, 26 апрeJI.I 1995 roдa. 100
International competition for university students in
mathematics August 2 7, 1995, Plovdiv, Bulgaria 102
Fifty ixth annual William Lowell Putnam. math
matical competition. Dесеmber2 З, 1995, USA 105
Перечень статей, опуБJIПО RA R1:n.IY в сборипе
"Математика ceroДВJI" оа 1983 1993 roды 108
Математика ceroДКJI, вып. 10 (1995), 7 8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий выпуск сборника "Математика сеrОДНJl" соде(r
жит следующие материалы.
Первый ра:здел сборника начинается статьей доктора фи:з.
мат. наук Ю. Н. Валицкоrо (Новосибирский университет), в ко-
торой доа:а:зывается следующий интересный факт относительно
решений неоднородноrо линейноrо уравнении ПОрJlдка n. Ока-
зывается, что в равномерной норме С[а, Ь] существует решение
с нормой, не превыmающей прои:зведения нормы правой части и
некоторой не :зависящей от постоянных коэффициентов посто-
янной. Рассматриваются оценки для упомянутой постоянной.
. В теории дифференциальных уравнений хорошо известна осо-
бах роль уравнении Риккати; в последнее время в свJlзи с ра:элич
ными приложениими интенсивно изучаются матричные и более
общие операторные уравнеНИJl типа Ринати. В статье доктора
фи:з. мат. наук А. Я. Дороrовцева и кандидата физ. мат. наук
Т. А. Петровой рассматривается аналоr уравнении Риккати в
банах:овом пространстве, и исследуется вопрос о существовании
оrраниченных решений зтоrо уравнения. .
Операции дифференцирования ЯВЛJlется локальной в том CMЫ
сле, что :значение прои:зводной в заданной точке не :зависит от
:значений функции в точках, лежащих вне любой окрестности
зтой точ:в:и. Каковы операции, имеющие такие свойства локаль
ности? Ока:эывается такой вопрос JlВJUlется ра:эумнbIМ (хотя и
требует уточвени.и) и ответ на Hero не тривиален. В статье
ассистента Киевскоrо университета А. Ю. Пилипенко исследу
етси вопрос о локальности оператора дифференцировании в про--
странстве L 2 ([a, Ь]). CTaTЬJI содержит новые ориrинальные ре-
зультаты.
Второй раццen сборника содержит статью доктора фи:э. мат.
наук В. Е. Свюсарчука, в которой приведена общa.s: теорема с
достатоЧНЬDrf УCDOвием сходимости чисоовоrо p.sдa. Теорема ин
тересва тем, 'что поовол.а:ет строить иерархию все более TOH
IИХ прИОR&lОВ сходимости числовых P.llДOB. В частности, все
@) TBiMC. Н.У.О8е 81Щ.8ИИUТ80
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
иrэвестные читателю приrэнаки сходимости являются частными
случаями этой теоремы.
Третий ра:эдел сборника открывается злемент<tрно и наrля
дно написанной статьей Р. П. Ушакова (учитель срсдней школы
x 173 r. Киева) об одном сдином Me oдe докanательства таких
иrэвестных неравснств, как неравенства Коши, Коши Буняков
CKoro, rельдсра, Минковскоrо и др.
В четвертом ра:зделс содержится набор иа 39 новых задач, pe
шения rэадач иrэ предыдущих выпусков сборника, а также аадачи
студенческих олимпиад.
Настоящее иrэданис является 10 выпуском сборника "MaTe
матика ссrодня". В связи с :этим в :этом выпуске публикуется
пере'lень статей иrэ первых 9 выпусков. Отмстим также, что в
ра:здсле новых зада'! Bcero было опубликовано 255 :задач, а также
были опубликованы аадачи основных студен'ICСКИХ олимпиад.
1
ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ
СОВРЕМЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
Нет ни одноrо BeCKoro довода, в силу кото--
poro одни раоделы математики более подхо--
дили бы для изучения природы, чем друrие.
ТУ2О ШmеЙ'Н2ауз
Математика CerOAHJI, вып. 10 (1995), 1[},--,18
ОБ ОЦЕНКЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ю. Н. ВАЛИЦКИЙ
1. Общее решение неоднородноrо линейноrо дифференциаль
Horo уравнения
у(n)(х) + Ply(n 1) (х) +.. . + рnу(х) == f(x) (1)
имеет, как известно, вид
у(х) == У(х) + уо (х),
rде У(х) некоторое частное решение :этоrо уравнения, а уо(х)
есть общее решение однородноrо уравнения. В случае, коrда
коэффициенты Рl, . . . , Рn постоянные, уо есть произвольная
линейнЗJI комбинация функций вида xke),;X, rде Лi корни ха-
раI<теристическоrо уравнения
л n + Рlлn l + ... + Рn lЛ+Рn == О,
(2)
а числа k целые не отрицательные, меньше кратности COOT
ветствующеrо корня Лi'
Ясно, что на данном отре:зке [а, Ь] среди решений уравне.-
ния (1) найдутся сколь уrодно большие по норме С[а, Ь], Т.е.
величина шах: х ly(x)1 может быть сколь уrодно большой дcr
статочно задать, например, подходящее значение у(а).
Мы постараемся, наоборот, пока:зать, что среди решений ypa
внения (1) найдутся "не слишком большие" по сравнению с пра
вой 'Iастью не:зависимо от значений кооффициентов (постоян
ных) Рl,' ., ,Рn' А именно, справедлив следующий факт.
@ TBiMC. lIау,ове видавництво
ОБ ОЦЕНКЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
11
Теорема. Д.л.JI "аждоzо натура.л.ЬНО20 n и aJI.JI "аждоzо oт
рез"а [а,.Ь]'существует nостОJlННаЕ М == М n та "aJI , 'Что .л.юбое
уравнение вида (1) с nостОJlННЫАСи "оэффициента.м.и и 02paHи
'Ченной правой частью и.м.еет решение у(х), ДЛЯ KOToporo
шах ly(x)1 м n sup If(x)l.
a x Ь a x Ь
До"азате.л.ьство. Пусть вначале отрезок [а, Ь] есть [0,1]. Далее,
ДJIJI простоты будем ПрЕЩПолаrать, что корни характеристиче
cKoro уравнения лl"", л n все ра:эличны. Тоrда общее решение
уравнения (1) можно :записать в виде
i X n Лk(х t) n
у(х)== L n. e (л л./ (t)dt+LСkеЛkХ.
о k==1 &:f.k k k==l
(3)
в том, что первое слаrаемое есть решение неоднородноrо ypa
внения (1), нетрудно убедиться прямой подстановкой в уравне.-
ние; поле:зно также :заметить, что к нему можно прийти методом
вариации прои:звольных постоянных. Осталось подобрать коэ
фициенты С 1 ,. .., Сп так, чтобы решение удовлетворяло требу
емой оценке.
Для этоrо во множестве {лJ выделим класс А следующим o
ра:эом. Отнесем к нему все лi, лежащие в левой полуплоскости,
Т.е. те, у КОТОрЫХ Re Лi < О, а :затем, если некоторые лi прина
длежат А, присоединим к А любое Лk, отстоящее от выпуклой
оболочки чисел лi на расстояние, меньше 1. Числа класса А об<r
:зна'IИМ аl, ... , ар, а остальные корни характеристическоrо ypa
внения 01, . . . , Ьn p' Ясно, 'ITO при всех :значениях i и j будет
Re ai < n, Re b j О и, кроме Toro, IЙi bjl 1. Следует также
:заметить, что линейная :замена х на 1 х приводит К и:змене
нию :знака всех слarаемых нечетноrо порядка в уравнении (1)
и тем самым к и:зменению :знака ко3ффициентов при нечетных
степеНJIХ в (2), а тоrда все корни этоrо уравнения и:зменят :знак.
Поэтому, не оrраничив3JI общности, можно считать, что чисел
b j не более [ ] и Re ai::; [ ].
Теперь в выражении (3.) пс>ложим C k == О, если COOTBeTCTBY
щее лk принадлежит А; если же лk rt А, 'То положим
(' е Лkt
С ::: - f 1" -,-' - iU) at
J(} 1i#( \,)
28
12
Ю. Н. БАЛИЦКИЙ
Построенное тахим образом решение уравнения (1) в ПРИНJIтых
обооначенИJIX имеет вид
i Z р eOk(Z t) f(t)
y )
о f; Пi#(аk ai) Пj(аk b j )
(1 n p еЬk(ж t) f(t)
Jx f; Пi#(Ь k b j ) Пi(Ьk ai) dt.
(4)
Оценим вдро (т.е. множитель при f(t)) в первом слаrаемом:
р
К 1 (Х, t) L exp[ak(X t)] п (ak ai) 1 П(аk bj) I.
k=1 i# j
Можно :заметить, что оно предСТa.вJIJIет собой ра:эностное OTH
тение р l ro ПрJJДl[а функции
еz(ж t)П(z bj) 1
j
в точках (аl' а2, . . . ,ар). Напомним, что ра:эностное отношение
дp \о( аl, . . . ,ар) фУRlЩИИ 'р( z) в точ:в:ах аl, . . . , ар определяется
по ИНДУIЦИИ следующим образом: .
дDrp(аl) Ч'(аl),
дkrp(аl"" ,ak+l)
дk 1rp(аl' а2"", ak l,ak+l) дk 1rp(аl,а2"" ,ak l,ak')
ak+l ak
:::
Чтобы оценить величину этоrо paoHocTHoro отношенШI, удоб.-
нее Bcero ВОСПОЛIOOватьCJI ио иовестнblМ интеrрапьным пред
ставленвем
дktp(аl".. ,akH)
{1 (t l l t. 1
::: 10 dt 1 Jo dt2.'. О rp(k) [(1 t 1 )al + (t 1 t2)a2
+ . .. + (tk l tk)Ok + tkOkH] dt.,
(5)
ОБ ОЦЕНКЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
13
в котором ПРОИ:ЭВОДНaJI берется по всему aprYMeHTY, стоящему
в квадратных скобках. Это представление леrко дока.:зывается
индукцией по k, пр оставляем читателю провести это дока:эа
тельство.
AprYMeHT функции <p(k) в процессе интеrрирования пробеrает
выпуклую оболочку точек а1, а2,', -, ak+1; обооначим ее С[а].
Ввиду :этоrо непосредственно
1 1 1 tl l tk l
l k<p(a1"" , aH1)1 тах 1<p(k)(z)1 dt 1 dt2'" dtk
zEC[a] О О О
1
== тах 1<p(k)(z)l.
k! zEC[a]
Применяя этот реоультат к ядру К 1 (х, t), получаем оценку
К ( t) 1 I dP l [ z(х t) П( b . ) l ]1
1 х, тах (р ) , d l е Z:J'
zEC[a] 1. zP .
:J
Если здесь выполнить дифференцирование и учесть, что в Ha
ших условиях имеют место неравенства
I Z ь . 1 > 1
:J ,
Ix tl 1,
Re z [ ], Re[z(x t)] [ ],
то увидим, что последняя величина не превьппает некоторой п
сто.внной, :эавИCJIЩей только от n, но не от расположения чисел
Лi и тем самым не от кооффициентов уравнения
К 1 (х, t) S M l).
Аналоrичво оценивается ядро К 2 (х, t) во втором слarаемом
выражеВWI (4), в I:ОТОрОМ 1: тому же Re [z(x t)] s о.
В итоrе ПOJlучаем искомый peoYJIЬTaT
ly(x)1 s Pn sup If(x)1
[0,1]
с посто.нной Pn, ()&Висящ('й лишь ОТ ()н&-чени.s n.
14
Ю. Н. ВАЛИЦКИЙ
в случае, коrда характеристическое уравнение имеет KpaT
ные корни, можно действовать таким же обраоом, трактуя со--
впадение корней как результат предельноrо перехода при Ma
лых воомущениях коэффициентов уравнении. При этом pao
ностные отношении, содержащиеCJI в выражениях ядер К 1 (х, t),
К 2 (х, t), аамеНJIТСЯ проиаводными по соответствующим пере
менным ai или b j ; окончательные же оценки останутся неи:змен
ными. Подробности предоставляем читателю.
Осталось получить оценку для прои:звольноrо отре:зка [а, Ь].
Замена t == =: отображает отре:зок [а, Ь] в [0,1]; при переходе
к переменной t в уравнении (1) ко;эффициент при k й проиаво--
дной (k == 0,1,... , п) делится на (Ь a)k. Умножал обе части
полученноrо уравнения на (Ь а)n, чтобы придать ему вид (1),
в котором коэффициент при старшей прои:зводной должен быть
равен 1, видим, что правая часть умножается на (Ь а)n, откуда
для построенноrо нами по описанному способу решения будем
иметь
ly(x)1 Рn(Ь а)n sup If(x)1
[а,Ь]
Тем самым теорема докаоана, причем BЫJlCHeHa :зависимость по
столнной М n от длины отре:зка:
М n == Рп(Ь а)n.
(Можно бьто вести рассуждения сраоу ДЛЯ отрезка прои:зволь
ной длины, но зто внесло бы усложнения.) О
2. Рассмотрим случаи, коrда постоянную Р n , а с ней и М n ,
можно оценить более или менее точно.
Для уравнении 2 ro порядка имеем следующее. Пусть корни
характеристичеСI<оrо уравнения (2) суть числа Л1 и Л2' В аави
симости от их расположения на комплексной плоскости, опреде
ля ем решение у(х):
если Re).l < О, IЛ1 Л21 < 1 либо Re Л1 Re).2 О, то
полаrаем
!О Х еЛ2(х t) еЛl(х t) .
у(х) == л). f(t) dtj
о 2 1
если Re Л1 < 0< Re Л2 и IЛ1 Л21 2 1, то
l Х еЛl (x t) 1 1 еЛ2(х t)
у ( х) == л л f( t) dt + -:л ). f( t) dt; ,
о 1 2 х 1 2
ОБ ОЦЕНКЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
15
наконец, если О Re .лl Re .л2, то
1 1 еЛ2(х t) еЛl(х t)
у(х) == .л.л J(t) dtj
х 2 1
Во втором случае, полыэуемся тем, что вещественные части
обоих пов:азателей отрицательны, непосредственно получаем
ly(x)1 == lЖ If(t)1 dt + i11f(t)1 dt 1. sup lf(t)l.
В первом и третьем случаях оцениваем ра:зностное отноше.-
ние черro производную в некоторой промежуточной точке , как
;это сделано вьппе ДJI.II произвольноrо n. Тоrда:
в M случае Re 2: О, 1 х t О, так что Re [ (x t)] О,
откуда
ly(x)1 == i11x tleRe[(x t)]lf(t)1 dt i 1If (t)1 dt 1. sup If(t)lj
в 1 M случае Re 1, так что Re[ (x t)] х t 1 t, и
Iy(x)l == i Ж (х t)еж tlf(t)1 dt
sup If(t)l i 1 (1 . t)el t dt == sup If(t) 1.
В итоrе Р2 1.
Рассмотрим простейшее уравнение у(п) == Z(X) при произ
вольном n, и оценим ДJ1JI Hero величину РП' ДЛЯ :этоrо напомним
некоторые факты из теории наилучmеrо приближения фУНКЦИЙ
мноrо'Шенами, построенной П. Л. Чебышевым.
Если f (х) функция, непрерывнав: на заданном отрезке [а, Ь],
то мноrо'Шен Рп(Х) степени n, ДJI.II KOToporo величина
тах If(x) рп(х)l
(а,Ь)
принимает наименьшее возможное значение среди всех прочих
мноrо'Шенов ТОЙ же степени, характеризуется тем, что вели
чина lJ(x) pn(x)1 достиrает максимума не менее чем в n + 2
16
Ю. Н. БАЛИЦКИЙ
точках Xa,Xl,'" ,Xn+l, причем :знаки ра:зности J(x) Рn(Х) В
этих точках чередуются.
Такой мноrочлен на:зывается мноrочленом наилучmеrо при
ближения к J(x), а совокупность точек {Ха,..., ХnН} иноrда Ha
:зывается 'Чебышевскuм альтернансо.м.
Составим мноrочлен Pn l(X) степени n 1 наилучmеrо при
ближения к функции Х N на отре:зке [ 1, +1]. Ра.:зность х n
Pn l(X) назbIВается мноrочленом, наименее отклоняющимся от
нуля. Леrко дока.:зывается, что таким мноrочленом является
функция
1
Тn(Х) == 2n 1 cos(narccosx).
Она на.:зывается мноrочленом Чебышева степени n; ее экстре
ма.л:ьные :значения на отре:зке [ 1, +1] равны поочередно :::I: 2nl 1 '
В:зяв для удобства в качестве отре:зка [а,Ь] отре:зок [ 1, +1],
рассмотрим уравнение уn == z(x). Пусть Уо(Х) какое--нибудь
ero решение. Тоrда, если Pn l (х) мноrочлен наилучшеrо при
ближения к Уо(Х) на [ 1,+1], то функция у(х) == Уо(Х) Pn l(X),
очевидно, решение Toro же уравнения. Обо:значим шах ly(x)1 ==
С; тоrда в точках чебьппевскоrо альтернанса Ха, Xl, . . . , Х п BЫ
ПОЛНJIются равенства Y(Xk) == ( l)kc (с точностью до :знака).
Построим мноrочлен Qn(x) степени n по данным
Qn(Xk) == Y(Xk)
(k==O,l,...,n).
Применв.я n ра:з теорему Ролля к ра.:зности Qn(X) y(x), обна
руживаем, что на промежутке ( 1, +1) найдется точка € такая,
что Q n)({) == у({). Осталось оценить снизу величину Q n).
Для 3Toro введем в рассмотрение мноrочлен Чебышева Тn(Х).
В точках Xk выполняются неравенства
Ic. 2n lTn(x)1 IQn(x)l,
и так как :значения Qn(Xk) равны поочередно +с и C, то ра:з
ность Qn(X) 2n lcTn(x) между каждыми соседними точками
Xk, Xk+l MeНJ[eT онак или обращается в нуль в некоторых из них
и имеет тем самым n корней на отре:эке [ХО,Хn]' Будучи MHcr
rочленом степени n, эта ра:зность вне [Хо, Хn] сохраняет :знак,
ОБ ОЦЕНКЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
17
причем IQnl 12n lcTnl. Устремлля х к 00, видим, что пр ел'
отношения Qn(x)JTn(x) не менее 2n 1c; но зтот предел равен
отношению старших коэффициентов Qn и Тn, которые равны
соответственно .!. Q (n) и 1 и тем самым .!. Q (n) > 2n 1c. OT
n! n, n! n
сюда сразу получаем следующую цепочку:
шах Iz(x)l == тах lyn(x)1 lyn(€)1 == IQ n)(()1
2n 1n! с == 2n 1n! шах Iy(x) 1,
т.е.
1
( 1) ly(x)1 2n 1n! [ 1] Iz(x)l.
Тоrда ДЛJI класса уравнений у(n) == z(x) на отреоке [ 1,+1]
имеем
1
М n 2n 1n! '
Переходя к: отрroку [0,1], получаем
Рn (22n 1n!) 1.
Пусть теперь уравнение (1) ПРOlmвольноrо ПрJIДКа n не со-
держит члены с ПРОШJводной прядка ниже k. Выполняя замену
y(k) == z, можем выбрать z такое, что
тах Iz(x)1 Pn k sup 1[(x)l,
[0,1) [0,1)
а затем в качестве у(х) взять построенное выше решение ypa
внения y(k) == z. Тоrда
шах 'у(х)l (22k lk!) 1 тах Iz(x)l (22k lk!) 1 Pn k sup I[(x)l,
(0,1) [0,1) [0,1]
так что для Taк:oro класса ура.внений
Рn (22k lk!) 1 Pn k'
3. Важно отметить, что в общем виде дока:эанНaJI :здесь тео-
рема справедлива только ДЛJI уравнений с постоянными к:оэффи
циентами, даже при n == 1. Например, уравнение
18
Ю. Н. ВАЛИЦКИЙ
имеет общее решение вида
у(х) == ek(x2 x) {Х ek(t t2) dt
Jxo
(роль проиовольной постоянной иrрает Хо), так что для любоrо
решения имеем
{l (о.5
у(1) у(О) == Jo ek(t t2) dt > 2 Jo eO. 5kt dt,
а это явно не оrраничено как функция от k.
4. Интересно ХОТJI бы в какой то мере обобщить основной pe
зультат на уравнения с переменными коэффициентами. Напри
мер, выяснить, не найдется ли у проиовольноl'О уравнения (1),
rде Pk == Pk(X), решения, допускающеrо оценку максимума через
верхнюю rpaHb If(x)I, и наибольшее ио колебаний кооффициен
тов Pk(X) на данном отрезке.
Кроме Toro, стоит попытаТЬСJl уточнить оценку величины Рn
хотя бы для уравнений невысоких порядков. В частности, ясно,
что Р 1 1 действительно. Если Р > О, то уравнение у' + ру ==
f (х) имеет решение
у == lX e p(x t) f (t) dt,
для KOToporo шах Iyl sup 111. Однако можно выскааать rипcr
тезу, что Р 1 == ; в польоу этой rипотеоы свидетельствует то,
что при J(x) == 1 это уравнение имеет решение
1 ( Px ) 1. рж
у == р 1 е 2е ,
ДЛJl KOToporo Iyl , независимо от оначения Р; общий же слу
чай требует, рааумеется, докааательства либо контрпримера.
Отметим, что привсщенные результаты содержатся в сжатом
виде в статьях автора в сборниках научных трудов Института
математики Сибирскоrо отделения РАН.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ю. Н. ВалИЦКИЙ, ВОПРОСЫ ?Соррехтности задач акалuза (1989), НОВО-
сибирск, 44---49.
2. , Методы решени.в YC.I&OSKO "oppe"fflHbIX задач (1991), Новосиби
рек, 18 25.
Математика сеrодн.8, ВЫП. 10 (1995), 19 25
orp АНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА
РИКАТТИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А. Я. ДороrОВЦЕВ и Т. Ф. ПЕТРОВА
в теории дифференциальных уравнений хорошо известна occr
бая роль уравнения Рикатти. В связи с современными приложе
ниями интенсивно исследуются матричные и операторные ypa
внения типа Рикатти (см. [1] и имеющиеся там ссылки). В Ha
стоящей статье метод работы [1] применяется ДJШ ДОКа3атель
ства существования оrраниченных решений дифференциальноrо
уравнения типа Рикатти в банаховом пространстве.
1. ПредПОJlо:жеНИJl и предварительные факты.
Пусть (В, 11 . 11) комплексное банахово пространство с HY
левым элементом О, .с(В) банахово пространство оrраничен
ных линейнblX операторов, действующих из В в В, с оператор-
ной нормой, обо:эначаемой также символом 11 -11. Для функции
y:R ----+ В положим
Ilylloo :== sup lIy(t) 11 +00.
tER
Функция х: R ----+ В дифференцируема в точке to Е R, если
существует элемент у Е В такой, что
11 x(t = :o(t o ) yll----+ о,
t ----+ to.
Элемент у называетСЯ производной функции х в точке to и обcr
:эначаетc.s: символом x'(to). С помощью :этоrо определения класс
с 1 (R, В) опреде е'I'СЯ обычным образом, при этом непреры
вность функции х л точке to означает, что
Ilx(t) ::-(t,))1I О,
t ----+ to.
]8
@ T''- i .':::. Hf\Y.OBe ВИАавництяо
20.
А. Я. дороrОВЦЕВ и Т. Ф. ПЕТРОВА
Для оператора А Е .с.(В) и функции у Е C(R, В) рассмотрим
уравнение
dx ( t )
== Ax(t) + y(t),
t Е R,
(1)
относительно функции х Е C1(R, В). Уравнение (1) детально
исследовано; приведем нужные для дальнейшеrо факты о свой
ствах решений ypaвHeHКII (1) без докаоательства (подробности
см. в [2, 3]).
Рассмотрим оператор А, спектр KOToporo О'(А) не пересека-
ется с мнимой осью и состоит и:э fIJJYX множеств O' (A) и О'+(А),
rде
O' (A) == О'(А) n {z:Re z < О},
0'+ (А) == О'(А) n {z:Re z > о}.
При :этом О'(А) == О' (А) u О'+(А). Соrласно и:эвестной тео-
реме М. r. Крейна [3] описанная структура спектра оператора
А равносильна тому, что для любой функции У Е C(R, В) с
Ilyl/oo < +00 существует единственное решение уравнения (1)
х Е C1(R, В) с Ilxll oo < +00. Пусть Р+ и P спектральные
проекторы [2, 31, P и Р+ операторы и:э .с(В) такие, что
p == P'f,
P+P == P P+ == О,
РтА == AP'f,
(О нулевой оператор), и для которых B :== P B, В+ :== ВР+
JlВЛJlЮТCJI инвариантными подпространствами для оператора А,
причем спектр А в этих продпространствах совпадает с О' (А)
и О'+(А) соответственно. Введем Тa.Il:же операторы
А+ :== Р+А,
A :== P A,
при :этом A + А+ == А. С помощью спектральных проекторов
опредeJIJlетCJI оператороона-чная функция
{ etA _ P ,
G(t) :== tA
e +. Р+,
t < о;
t > О.
Известно [2, 3], что
I/G(t)1I { c e:t :
с+е ,
t < о,
t>O
(2)
УРАВНЕНИЯ ТИПА РИКАТТИ
21
с не:которыми не отрицательными c , с+ и положительными a ,
а+ числами. Эти отвечающие оператору А числа далее предпc:r
лarаютс.s и:ксированными. Положим также
c с+
х :== + .
a а+
с помощью ФУнкции G единственное решение х Е Cl(R, В),
Ilxll oo < +00, уравнения (1) ДЛЯ Функции у Е C(R, В), Ilvlloo <
+00 оаписывается в виде
x(t) == /и G(t s)y(s) ds,
t Е R.
(3)
Интеrрал в (3) понимаетCJI :ка:к предел интеrральнbIX сумм в В
(подробнее см. [4]).
2. ФормупИрОВltа теоремы.
Пусть
Ь: В х В ---+ В
фун:кция, линеЙНaJI по :каждой но переменнbIX и та.:кaJI, что
3С> о V{u,v} С В: Ilb(u,v)11 Cllull'llvll. (4)
Теорема. Пусть А оператор, удовлетвОРJlющий условшJtC
n. 1; Ь билuнеЙНaJI фун , 'К-ЦUН дм -которо'й выполнено Hepa
венство (4) с шслом С и фУН'К-ЦUН У Е C(R, В), Ilylloo < +00.
Предположим, "то выполнено неравенство
4 Cllvlloo 1.
ToztJa уравнение
t) == Ax(t) + b(x(t), x(t») + y(t),
t Е R,
(5)
имеет в -кассе Сl (R, В) решение х с Ilxll oo < +00.
22
А. Я. дороrОВЦЕВ и Т. Ф. ПЕТРОВА
з. Вспомоrательные утверждеИИJl.
Для функции у Е C(R. В) с Ilylloo < +00 уравнение
dxo(t)
== Axo(t) + y(t),
t Е R,
(6)
имеет единственное решение Хо Е C1(R, В) с Ilxlloo < +00, при
чем
xo(t) == L G(t s)y(s) ds,
t Е R.
(7)
Леrко проверить, что
Ilxolloo ::; xllylloo,
(8)
а Ilb(xo, xo)lloo < +00 соrласно оценке (4). Поэтому уравнение
dXl (t)
== AXl(t) + b(xo(t), xo(t)),
tE R,
(9)
имеет единственное решение Xl Е C1(R, В) с IIXllloo < +00; при
чем
xl (t) == L G(t s)b(xo(s), xo(s)) ds,
t Е R,
(10)
и
Ilxll\oo ::; Cx31Iyll . (11)
Построим теперь последовательность функций {Х n : n 2 О}
следующим обраоом.
Предположим, что ДЛЯ n 2 2 функции XO,Xl,...,Xn l уже
определены как единственные в :классе C1(R,B) nCoo(R,B) ре--
шения уравнений соответственно
dx k ( t )
== AXk(t) + Yk(t),
t Е R; 1 ::; k ::; n 1,
(12)
rAe
k l
Yk :== Lb(xj,Xk l j),
j=O
k 2 2.
УРАВНЕНИЯ ТИПА РИКАТТИ
23
При :этом
Ilxklloo k C !k 1 x 2k + 1 C k llyll::l,
1 k n 1.
(13)
Положим тз..:же УО :== У, Yl :== ь(хо, ХО) и отметим, что опре--
деленные выше решения ХО и Хl удовлетворяют оценке (13) при
k == О и k == 1 соответственно.
Функция Уп, построенная по Хо, Xl, . . . , xn 1, С помощью не--
равенств (13) допускает оценку
n l n l
IIYkl1 L IIb(Xj, Xn l j)11 С L IIXjll'llxn l jll
j=O j=O
n 1 cj. Cn j l
С" K2j+1Gj Ilyllj+1 2(n 1 1)
J + 1 ооn J
1=0
Х K2n 2j lcn j 11IylI j 1 (14)
n 1 C j Cn j l
== C n x 2n ll Il n С L 2(n j 1)
у 00 . + l ' .
. J n )
1=0
== n с :l K2nCnllyll , k 2.
Последнее равенство исполыэует тождество 11(а) из [5, с. 123].
Определим теперь функцию Х п как единственное в классе
c1(R,B) n Coo(R, В)
решение уравнения
dx n (t)
== Axn(t) + yn(t),
tE R,
(15)
при :этом
Xn(t) == L G(t s)yn(s) ds, t Е R, (16)
и с учетом оценок (8) и (14) имеем
Ilxnll oo n G i n l K2n+1cпIIYII +1. (17)
Таким образом, ДJlJI Х п справедлива оцепка (17), Т.е. оценка (13)
при k == n.
24
А. Я. дороrОВЦЕВ и Т. Ф. ПЕТРОВА
4. ДOl[вватепьство теоремы.
Докаэате.А.ьство. Рассмотрим функцию
00
x(t) == L xn(t),
n=о
t Е R,
(18)
построенную с помощью посл овательности функций, опр е-
ленных вьппе. Ряд в (18) сходится равномерно на R по мере в
силу оценки (17), так как
Ilxlla) :-:; f n C i n l n+1Cnllyll +1
n=О
а) СП
== L n nl (x 2 CIIYII00)n xllylla)'
n=О
Посколыу
2 2n
C 2n '" ,
V 7rn
то последний ря,ц сходитCJI, если
n ----t 00,
4x 2 Cllylla) :-:; 1.
Поотому х Е C(R, В). Соответствующий pJIДY (18) ря,ц и3 про--
иоводных та.кже сходится равномерно на R по норме, посколыу
а) 00
Ex (t) == Axo(t) + y(t) + Е (Ахnи) + yn(t)) ,
n=О n=l
tE R,
соrласно определению функций х n , n О, а потому с учетом
оценок (8), (17) и (14) получим
а)
Е IIx lla) :5 IIAllxllylloo + Ilylla)
n=О
+ IIAII f n С ;1 (x 2 CllyIl00)n xllylla)
n=l
а) СП
+ 2n 1 . ( Cllylloo) n < +00.
L..J n +
n=l
УР АВНЕНИЯ ТИПА РИКА ТТИ
25
Таким обра:эом, х Е С 1 (R, В) и
00
00
x'(t) Lx (t) Axo(t)+y(t)+ L(Axn(t)+yn(t)},
n O "=1
tE R.
(19)
Заметим теперь, что соrласно определению {Уn}
N N " 1
L yn(t) L L b(Xj(t),Xn 1 j(t»), N? 1, t Е R.
n=1 n 1 j O
Поскольку ДЛJI каждоrо t Е R
00 00
L L Ilb(xj(t),Xk(t)11 < +00
j=Ok O
С учетом условия (4) и оценок (17), то и ДJIJI каждоrо t Е R по
норме в В
00 N
Нт '" yn(t) lim '" b(Xj(t),Xk(t)
N 00 L....J N OO L....J
"=1 j,k=O
N N
J oo b( Xj(t), [;xk(t)) b(x(t),x(t).
Поэтому и:з равенства (19) следует
x'(t) Ax(t) + y(t) + b(x(t), x(t)),
Теорема дока:зана. О
tER.
ЛИТЕР А тур А
1. А. Я. Дороrовцев, О nериоди'Ческих и 02рани'ЧенНЫХ решенU8X оnера-
тОрК020 уравнеки.. PиКII:aти, УкраиНСКИЙ матем. жури. 45 (1993), ХI 2,
239 242.
2. Э. Хилле, Р. ФИJlЛИПС, Функционадьный ана.l&из и nO.l&Y2pYnnbl, "Ино--
страиИaJI литература", Москва, 1962.
3. М. ['. Крейн, Лекции по теории устойчивости решений дифференци
адьных уравнекий в банаховом пространстве, Киев, Институт мате.-
матики АН Украины, 1964.
4. А. Я. Дороrовцев, Периодuческuе и стационарные режимы беС?l:оне'Чко
мерных детерминированных и стожастuчеС?l:их дuнами'Ческих систе.м,
"Выща школа", Киев, 1992.
5. Дж. Риордаи, К О.А&бинаторные тождества, "Наука", Москва, '1982.
4
MaTeMaT'IK3 CerOДНJI, вып. 10 (1995), 2&--41
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕР А ТОРОВ,
ЗАДАННЫХ НА ПРОСТРАНСТВАХ
ИНТЕI'РИРУЕМЫХ В КВАДРАТЕ ФУНКЦИЙ
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
ВВЕДЕНИЕ
Основным объектом, рассматриваемым в данной статье, яв
ляются линейные неоrраниченные операторы, оаданные в пр
странстве интеrрируемых с квадратом функций. Исследованию
линейных неоrраниченнbIX операторов посвящена обширная ли
тература. Читатель, желающий rлубже поонакомится с ;этой T
матико:й, может обратиться к моноrрафиям [1 4]. Все необходи
мые определения и факты общеrо характера бу/1УТ приводиться
далее по мере надобности.
Пусть Н вещественное rильбертово пространство с нормой
11 . 11 и скалярным проиоведением (.,.).
Определение 1. Линейным оператором в Н наоывается пара
объектов: линейное множество 'D С Н и линейное отображ
ние А: 'D Н. Множество" 'D наоывается об!iастью определения
оператора А и в дальнейшем обо:значается 'D(A).
Определение 2. Линейные операторы в А и В наоываются pa
вными, если:
1) 'D(A) == 'D(B);
2) Vf Е 'D(A): А! == Bf.
3ам.е'Чание 1. Если далее rоворится, что А оrраниченный оп
ратор, то будем считать, что 'D(A) == Н.
Рассмотрим следующий пример линейноrо оператора, oaдa
BaeMoro дифференциальным выражением.
Пример 1. Пусть Н == .с 2 ([0; 1]). Положим 'D(A) == с(n) ([о; 1]),
n d k
Vf Е 'D(A): (Ап(х) == L Ok(X) d k f(x), Х Е [0,1],
k=O Х
@ TBiMC, Иау.ове вндавниuтво
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕР А ТОРОВ
27
rде {Йk: k == 0,..., п} оrраниченные фУНКЦИИ, А линейный
оператор. Однако следует отметить, что оператор В
УI Е V(B): (ВЛ(х) == t Qk(X) d:fx x) , Х Е [0,1],
k==O
rде V(B) == С(n+1) ([о; 1]), не равен оператору А, поскольку их
области определения не.совпадают.
Оператор А из примера 1 имеет следующее важное свойство.
Значение оператора (Ап(х) на функции 1 Е V(A) в точке Х
зависит только от значений функции 1 в произвольно малой
окрестности точки х, Т.е. имеет место свойство локальности
действия оператора А. Это свойство и ero модификации изу
чаются в данной работе.
Пусть Н == L2([ajb],J,.t), oo а < Ь 00, rде J,.t конечная
мера, заданная на В([а; Ь)) а алrебре борелевских множеств,
А линейный оператор на Н.
Определение 3. Оператор А на:зывается локальным на V(A),
если ДJlJI любых 1,9 Е V(A) и произвольноrо интервала (c;d) с
(а; Ь) из равенства
1 .1(c;d) == 9' l(c;d) (mod J.L)
следует равенство
AI' l(c;d) == А9 . l(c;d) (mod J.L).
Очевидно, что операторы А и В из примера 1 будут локаль
ными на V(A) и V(B) соответственно.
Пример 2. Пусть {J,g} с н == L2([a; b],J,.t). Рассмотрим ли
нейный оператор А:
V(A) == {>'/: л Е R},
А(лf) == >'9.
Леrко видеть, что А локальный на V(A), Т.е. свойство локаль
ности тесно связано с областью опррделения оператора.
Упражнение 1. Описать все оrраниченные локальные линей
ные операторы на Н, rде Н == L2([a; b],J.L), J.L конечная мера.
Упражнение 2. Описать все локальные o!! paTOpы с плотной
областью опррделения в случае Н == .c 2 (R, J.L), rде J,.t дискре
ная мера, СОСРf>доточенная r. цр.Iых точках.
48
28
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
2. О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРА, ДИАrОНАльноrо
ОТНОСИТЕЛЬНО РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ
Упражнения 1 и 2 пока.оывают, что при некоторых дополни
тельных условиях локальные операторы допускают простое опи
сание. Однако В' упражнении 1 рассматривались только оrрани
чецные операторы, а в упражнении 2 мера имела специальный
вид. В данном пункте сделана попытка описания всех локальных
операторов, ЯВЛЯЮЩИХС.II функциями от HeKoToporo дифференци
альноrо оператора 2 ro ПОР.IIДКа.
В некоторых случаях дифференциальный оператор 2 ro по-
рлдка имеет собственный базис в пространстве .с 2 ([а; Ь), J.I).
Примером такой ситуации .lIвл.иется оператор :задачи Ш TypMa
Лиувилля. Рассмотрим на [а, Ь) следующую краевую :задачу:
(р : ) qu + ЛjYU == О,
Ro(и) == Rl(U) == О,
rде {p,p,q} С СОО([а; Ь)), р > О, р> О, q О,
(1)
.Ro(и) == и(а) cos Q + и'(а) sin а,
Rl (и) == и(Ь) cos /3 + и'(Ь) sin,8.
Краевую :задачу (1) можно переформулировать следующим
обраоом. Найти собственные функции и собственные :значения
оператора L
Lи == ( (р : ) + qu) ,
rде 'D(L) == {и: .Ro(и) == R1(и) == О, вторая ПРОИ:ЗВОДНaJI от u
оrраиичена и может не существовать только в конечном числе
точек}.
Здесь исходным rильбертовым пространством являетс.II
.с 2 ([а; Ь], 1-&),
JJ(dx) == pdx.
И:звестно несколысо свойств собственных функций {и n : n О}
и соответствующих им собствеиных :значений {лn:n О} опе-
() JIUКАЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ
29
ратора L (в дальнейшем считаетCJI, что 11'11.11 == 1, n о; 11'11.11 ==
и: и 2 (х)р(х) dx)1/2):
1. Все собственные числа неотрицательны и их можно упо
рядочить:
О ло < Лl < Л2 < . . . ; л п 00, n 00.
2. Собственные функции {и n : n О} обра:зуют ортонорми
рованный бaDИС.
з. {иn:n o}cCOO([a;b]).
При мер з. Рассмотрим пространство .с 2 ([0; 1Т]). Пусть краевая
задача имеет вид
еРи
dx 2 + ли == о, (2)
'11.(0) == '11.( 1Т) == О.
Здесь р == 1, р == 1, q == о, Q == {3 == О.
Решением задачи (2) является система функций
{ у2/1Т sin nх: n 1},
Л П == n 2 { у2/1Т siпnх:n 1} бааис в .с 2 ([0; 1Т]).
Каждую функцию f Е .с 2 ([а; Ь], Jl) можно представить в виде
00
f(x) == L oncnun(x),
п=о
rде cn == cn(!) == f: f(x)un(x)p(x) dx.
Рассмотрим оператор А, диarональный относительно сист
мы {и п : n о}, т.е. ДJ1JI J:аждоrо f Е 'Р(А) действие оператора
А на f имеет вид
00
(А!) (х) == L Опcnип(х),
п=о
rде {оп: n о} фи:в:сированная последовательность действи
тельных чисел,
(3)
V(A) = {! Е .c 2 ([ajb],p): t.a c < оо}.
дли читателей, знакомых со спектральной теорией, отметим,
что А фувкЦИJI от исходsоrо ,цифференциальноrо оператора L.
30
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
Теорема 1. Пусть оператор А, задан:н.ый фор.м.УJ/ОЙ (3), J1вJ/Я
етсл J/ox;aJ/bltblM на 'Р(А) и существует l Е N: liII1n ......oo I: I <
00. ТО2да существует .м.НО20'Ч,J/ен Р степени не выше l тах;ой,
",то а n == Р(>'n)'
Для докanательетва нам понадобится некоторые вспомоrат
льные утверждении.
Утверждение 1. Фующии {и n : п О} и.меют аси.мптоти'Ч,е
ское поведение при n 00 в зависи.м.ости от краевых усдовий:
fi. ( mr [Ж r;;W ) ( 1 )
и n (х) == V ; sш -----; J а V pw dt + О ;;
(4)
в сд у",ае sin а == sin /3 == о;
fi ( mr [Х r;;W ) ( 1 )
иn(х) == V ; cos -----; Ja V p[i) dt + О ;;
(5)
в СJ/у'Ч,ае sin а :1 О, sin /3 :1 о;
и.(Х) ЛSin((n+ ) [ /; : dt)+ОШ (6)
в случае sin а == О, sin /3 :1 о;
и.(ф Л COS ((n+ H [ /; : dt) + О Ш (7)
в СJ/у'Ч,ае sin а :1 О, sin {3 == О. Здесь s == J: dt.
Асимптотические формулы для первой прои:зводвой от 'и n (х)
получаются дифференцированием по х rлавнbIX частей формул
('1) (7) и заменой величины O(ljn) на величину 0(1).
Дока:эательство см. в [5].
Ио утверждения 1 следует, что liII1n......oo >.njn 2 == 11"2/82. По-
:этому liII1n ......ool>.nljn 2l < 00, если и только если liП1n ......ооl>.nl/>. <
00.
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ
31
Утверждение 2. Пустt> f и,меет на [с; d] непрерывную n ю
nроизвоiJную. ToziJa существует nосдеiJоватедt>'Ностt>
{Sn,m(x,J):m 1},
уiJов.л.етв ор.нюща.а ус.л.овШl,м:
1) Sn,m(x, J) ,мНОZО'ЧJ&ен степени n на отрезках (c+i d c ,
с+ (i + l) d C ), i:= О,...,т 1;
2) Sn,m(x, J) Е C(n l)([c; d]), т 1, nриче,м n л nроизво-
дная ,может не существоваmt> то.л.t>хо в точхах вида
(с + i d C ), i := О,. . . ,т 1;
3) Ilf(i) (х) SЮт(Х, J)llc"" ([c;d]) ----t О, m ---+ 00, i := О, ... , n.
Докanательство см. в [6].
За,мечание 2. Пусть Р мноrочлен степени n:
n
Р(х) := L ak xk .
k=O
Тоrда Ухо Ух
n p(k) ( )
Р(х) := L k'x O (х xo)k
k=O
n ( n (i) ( ) )
:= {; р i'XO Ct( l)ix k xk,
Т.е.
n (i)
:= '"' ( l) i C k р (Хо) i k
ak 1', ХО .
t.
i=k
(8)
И3 (8) и утвержденИJI 2 следует, что для любоrо хо Е [с; d] :коэф-
фициенты при xk мноrочленов, составляющих Sn,m(X, Л, имеют
пределы по последовательности отре:эков {[с + jm d c , С + ит +
l) d C ]:m 1}, :каждый mэ которых содержит точку ХО, pa
n . k ' k
вные Li=k( l)ICi i! о x , причем сходимость равномерна
на [с; d].
Определим операторы Ln: LO := 1, Ln+1 u := L(Ln и ),
'D(L n +1):= {и:и Е 'D(L),Lи Е V(L n )}.
32
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
Упражнение з. Пусть J Е V(L n ), J(x) == L =o CkUk(X). ДOKa
зать, что (L n Л(х) == L o Л СkUk(Х), причем L =o с л n < 00.
У?l:азание. Применить интеrрирование по частям.
Из упражнения 3 следует, что V(L ' ) С V(A).
Упражнение 4. Пусть {f;fn,n l} С V(L ' ),
fn f, n 00 в [,2 ([а; Ь], IL),
L / fn L ' f, r ([ Ь] )
n 00 в J..,2 а; ,IL.
Тоrда AJn Af, n 00 в [,2([a;b],IL).
Указание. Использовать упражнение 3.
ДО?l:азатеА.ьство теоре..4СЫ. Оператор А локальный, поэтому
существуют функции h o ,..., h 21 на [а; Ь] такие, что для произ
вольной J Е V(A) и прошэвольноrо интервала (С; d) с [а; Ь] из
равенства f(x) . I(c;d) (х) == xk . I(c;d) (mod /L) ДJUI HeKOToporo
k == О,. . . ,21 следует
(АЛ(х)' I(c;d)(x) == hk(x) .1(c;d)(x) (mod IL).
Очевидно, что существует СIЮЛЬ уrодно малое > О, < Ь;а ,
такое, что
det I l u(j) ( а + )ll j =o,2/ 1:- О
1 1=0,2/'
det I l u j)(b )II =O,2/ 1:- О.
1 1=0,21
Рассмотрим пространство:F == {f: f I[a,a+ )== f I(b <:.b)== О, f Е
С(Щ([а; Ь])}, :F<: с V(L/).
Пусть f E:Fo J(x) == L =OCkUk(X). Выберем ПОСЛЕЩователь
ность функций {S2/,m(X, п: m 1} иа утверждения 2 ДJ1Я OT
резка [a+ ,Ь E]. Доопределим {S2/,m(x,f):m l} на [а,а+Е),
(ь , Ь] как линейные :комбинации функций ио,..., и2, так, чтобы
полученные функции {В2/,т(х,п:т l} принадлежали классу
с(2/)([а; Ь]). (Это можно сделать ЕЩИнственным образом.) T
/ (k) (k)
rда {S21,m(X, Л: т 1} С V(L ), IIS 2I ,m J (x)ll.coo([a;b) О,
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕР А ТОРОВ
33
m ---+ 00, k == О, . . . ,2l. Поэтому
S21,m ---+ f,
I 1
L S21,m ---+ L f,
т ---+ 00 в .с 2 ([а; Ь], J,L),
m ---+ 00 в L2([a;b],J,L).
Отсюда (см. упражнение 4) AS 21 ,m ---+ Af, m ---+ 00, в .с 2 ([а; Ь], J,L).
Однако и:з локальности оператора и :замечания к утверждению 2
следует, что
. kf(i)(x) . k
(AS 21 ,m)(X) ---+ hk(x) ( l) Ci i! Xl
k O i k
21
== L f(k)(x)Pk(X),
k O
Vx Е [а + Е,Ь Е] (rnod /J),
rде Pk некоторые и:змеримые функции.
Для любоrо f Е V(L 1 ), Е > О существует 9 Е :F E : (f у) .
1[(a+2E,Ь 2E) == О. И:з локальности оператора А и произвольности
Е > О следует
(Аf)(х) == tPk(X) ddx x) (mod J,L).
k O
(9)
Заметим, что (9) можно переписать так:
1 ' l d
(Аf)(х) == L qk(x)(L k f)(х) + L qi(x) dx (L k f)(х) (rnod /J),
k O k O
(10)
rде qk И qk выражаются через Pk.
Подставляя в (10) функции {и п : n О}, получаем, что фун
кции Qk, qk непрерывны на [а; Ь] (все функции определены с точ
ностью до меры О). .
Докажем, что qk == О, k == O,...,l 1. Предположим, что зто
не так. Пусть ko == rnaxoSi9 1{i:Qi i- О}; ХО Е [а;Ь], Е> О такие,
0$
34
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
что qk o I( + ) '" о. Тоrдз. '</х Е (ХО Е, ХО + Е)
Xo E,Xo Е
I I
(оп f;л qk(Х))UП(Х) == (Аиn)(х) f;Qk(X)(Lkun)(x)
l 1 I l
== '" Qk(X) d d (Lkun) == '" qk(Х)Л d d Un '" qkо(Х)Л О d d Un '
Х Х п--+оо Х
k O k=O
Из асимптотических предста.влений (4) (7) следует, что можно
подобрать последовательность {и п : n по} такую, что: Х п
ХО, n 00,
'</n ПО: иn(хп) == о.
Тоrда lu (xn)1 '" п в " Л 00, n 00, и мы получаем проти
воречие с тем, что
0== I ( ОП t л qk(ХП») un(xn) 1 == I Е qk(Хп)Л d n Ix=x n I
k O k O
'" IqkО(ХП)Л О d:; Iж х..1 '" Iqk o (хо)л О d;x n Ix x..1 00,
при n 00, т.е. qk == о, k == о, . . . , 1 1.
Из (10) следует
I
апип(х) == L Qk(X)Un(x),
k O
n o.
Отсюда Qk(X) == const == Qk. И значит, ап == р(л п ), rAe Р(х) ==
l k
L..,k O Qk X .
Теорема до:в:азана. О
3а.м.е'Чание 3. Из доказательства теоремы следует, что
'</! Е V(L'): А! == P(L)f.
3а.м.е'Чание 4. Результаты, аналоrичиые теореме 1, были полу
чеиы в [7, 8].
О ЛОКАЛЬНОСТ ОПЕР А ТОРОВ
35
3. О ЗАМЫКАЕМ ОСТИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
ЛОКАЛЬНОСТЬ В CTPOrOM СМЫСЛЕ
В данном пункте докапывается, что оператор d ' rде 'D( d ) ==
C l) (R) множество финитных непрерывно дифференцируе.-
мых функций, замыкаем в L2(R) и ero замыкание D имеет свой
ство локальности, даже более сильное, чем требуется в опреде.-
лении 3.
Нам понадобится следующее известное определение.
Определение 4. Пусть дан линейный оператор А в Н. А на:зы
вается замкнутым, если для любой последовательности {/n: n 2:
1} из сходимости при n 00: /" / и А/n 9 следует, что
/ Е 'D(A) и А/ == у.
Если оператор А оrраничен, то из условия / n j, n 00
сразу следует существование предела liП1n оо Afn == А/, Т.е.
оrраниченный оператор всеrда замкнут.
Упражнение 5. Пусть Н == -С2([а; Ь]), А линейный оператор
наН,
У/ Е 'D(A): (АЛ(х) == :: '
'D(A) == C(1)([ajb]).
Доказать, что А не является :замкнутым оператором.
Пусть А не :зам ут. ПопытаемCJI ero "замкнуть", Т.е. по-
строить оператор А, добавив к 'D(A) те элементы j Е Н, ДЛЯ
которых существует последовательность иn: n 2: 1} С 'D(A) Ta
кал, что
jn j, n 00,
3 Нт Afn == 9 Е Н.
n --+ 00
При этом полarаем А/ == g.
Заметим, что привед на.я вьппе процедура, вообще rоворя,
некорректна, поскольку А! может зависеть от последовательно-
сти иn:п 2: 1}.
Определение 5. Оператор А допускает замыкание .А (или :за .
мъпаем), если приведеННaJI выше процедура корректна.
Это требование ра.вНОСИJlLНО Ст'дующем}".
s-
36
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
ОпреДЕтение 5'. Оператор А :замыкаем, если и:з Toro, что
In о, n 00, иn: n 1} С Р(А) и liII1n oo Aln == 9 Е Н,
следует 9 == О.
Упражнение 6. Докаоать, что определения 5 и 5' зквивален
тны.
Упражнение 7. Пусть Н == .с 2 ([а; Ь]),
\/1 Е Р(А) == С([а; Ь]): (Ап(х) == I(a).
ДОКа3ать, что А не замык ем.
Следующее определение является обобщением определения З.
Определение 6. Пусть А линейный оператор на Н, rде Н ==
.с 2 (Х, F, р), (Х, F) измеримое пространство.
А На3ывается локальным оператором в CTporoM смысле на
Р(А), если для любоrо множества Д Е F и для любых 1, 9 Е Р(А)
из равенства 1. J: A == 9:n: А (rnod р) следует равенство АI . :n:А ==
Ag . :n:А (rnod р). Очевидно, что если Х == [а; Ь], F == В([а; Ь])
и А локален в cTporoM смысле на Р(А), то он локален на Р(А).
Обратное не верно.
Пример 4. Пусть Н == .c2([ 1; 1], >. + J.L), rде >. мера Лебеrа,
а J.L приписывает единичную массу точке о; А производная,
Р(А) == С(1) ([ 1; 1]); А локален на Р(А), однако не локален в
CTporoM смысле, поскольку из равенства 1:n:{Q} == g:n:{Q}, вообще
rоВОрЯ, не следует 1'(0) == 9'(0).
PaCCMOTp M пространство .c 2 (R). На множестве C l)(R)
финитных непрерывно дифференцируемых функций определим
оператор дифференцирования d '
Покажем, что d замыкаем в .c 2 (R) и ero :замыкание является
лохальным оператором в CTporoM смысле.
Далее используется следующее вспомоrательное утверждение.
Лемма 1. Пусть Н 2'UЛьбертО60 пространство, Т Jlи
не'йный оператор на Н. Т доnус'К:ает за.мы'Кание тО2да и тOJlЬ
'Ко mozaa, Kozaa оБJlасть оnредеJlенШI соnрнжеННО20 оператора
Р(Т.) nJlотна в Н.
. ДОК&J<l.Тельство см. в. [9].
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕР А ТОРОВ
37
Следствие. Оператор d эа.мЫ7Сае,м, в .c 2 (R).
Действительно, для любых f, 9 Е c l) (R)
( d f'9) L: 2 (R) == L( d f(X»)9(X)dX
== LJ(x)( d g(X»)dx== (f'( d: ).g)L:2(R)'
Т.е. C l)(R) с V(( d ).)' c l)(R) плотно в .c 2 (R), поэтому d
замыкаем. Далее через D будем обооначать замыкание опера
d
тора dx '
Следующая теорема содержит известный факт в удобной фор.-
мулировке.
Теорема 2. Пусть f Е V(D). Tozaa f абсодютн.о н.enpepы
вн.а.
ДО7Сазатедьство. Пусть f Е V(D), TorAa существует последо--
вательность
иn:n 1} С c l)(R):
'N ---t f, n ---t 00;
rlb.. Df
dx , n 00.
Выберем подпоследовательность {! nk : k 1} такую, что
fnk(X) ---t f,
k ---t 00 (mod л).
(11)
Дnи любоrо (а; Ь] С R:
{ (D J)(x)R[a;b](X) dx == liт { ( d d fnk (х» ) I[a;b](X) dx
J R k......oo J R Х
i b d
== d (Jnk (х» dx == Нт (fnk (Ь) fnk (а».
а Х k......oo
И3 этоrо равенства и (11) следует, что существует а Е R:
f(b) == f(a) + .1 Ь (Df)(x) dx
38
, .А. Ю. ПИЛИПЕНКО
ДЛЯ почти всех Ь (mod л). Это :значит, что f абсолютно непре--
рывна с плотностью D f.
Теорема дока:зана. О
3аме'Ча'Нuе 5. Функции ио .c 2 (R) определены с ТОЧНОСтью до
меры О, по:этому теорему 2 лtЧи.!.е сформулировать так: п ть
f Е 1)(D), тоrда существует f, f == f (mod л) такая, что f
абсолютно непрерывна,
Vx Е R: лх) == Ла) + l Х (Dj)(t) dt.
Лемма 2. ЕС./lи ФУ'Н1{;Ц'/J..JI f аБСО./lют'Но uenpepblBHa 'На (а; Ь], то
nочтu везде она 'имеет оне'Ч'Ную nроuзводную f' (х) (в обы'Ч
ном смысле: f'(x) == limh---+oo f(x+hZ f(x) , -к;оторано-к;азываетс.6
су uруемой фун-к;цuей,
Vx Е [а; Ь]: J(x) == f(a) + lX f'(t) dt.
Дока:зательство см. в [10].
Из леммы 2 следует, что 'т/ f Е V(D) почти для всех х суще.-
ствует f'(x) == (DJ)(x).
Теорема з. Оператор D .40-к;аль'Ный в стРО20М САСысле.
До-к;азате./lьство. D линейный оператор, поэтому достаточ
но доказать, что и:з
'т/! Е V(D), 'т/А Е B(R),
следует Df. [А == О (mod л).
Действительно, ДЛЯ почти всех х Е А
f . [А == О
3{Х n : n 1} С А, х n '1 х:
lim х n == х.
n---+оо
Поэтому для почти всех х Е А
(D л(х) == lim J(x n ) f(x) == О,
n---+оо Х N Х
Т.е. D f . 1.4, ;::- О (mod л). Теорема 3 дока:зана. О
Ниже будет показано, что оператор дифференцирования :эа
мыкаем в .c 2 (R,J1.), rде J1. имеет непрерывную плотность р(х).
Докажем вспомоrательное утверждение.
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ
39
Утверждение 3. Пусть оператор аифференцuроваНUJ1 эа.мы
кае.м в nространствах !2(A k ,{1.k), k 1, еДе Ak Е B(R), Ak n
Al == 0, k i' l. Tozaa оператор дuфференцированtJ.Jl эа.мыкае.м
в пространстве C 2 (R,{1.), zae {1. == $k==l{1.k .мера на B(R),
{1.(R \ U;;o==l A k ) == о, J-L IB(A k )== JLk.
3а.ме'Чанuе 6. Здесь начальной областью определения оператора
дифференцирования в !2 (Ak, {1.k) считается множество функций
f Е !2(A k ,{1.k) таких, что существует 9 Е c l)(R):g' :n:Ak == f,
:n:.4 k . * Е .c 2 (Ak, J-Lk),
3а.ме'Чанuе 7. Во избежание не точности в определении опера
тора дифференцирования будем считать, что каждая точка мно--
жества Ak .является предельной ДЛЯ Ak.
Доказательство утвержденин З. Предположим противное. То--
rда существует ип: n 1} С c l) (R),
fn O,
dfn
dx g,
n 00 в !2(R, J-L),
n 00 в C 2 (R, {1.),
rде 9 i' О.
Поэтому дnя каждоrо k 1:
f n . :n:A k О,
n 00 в !2(A k , {1.k).
Но 9 # О, значит существует k: 9 . IA k i' О,. Следовательно, опе.-
ратор дифференцирования не замыкаем в C 2 (A k , JLk)' Получили
противоречие.
Утверждение 3 доказано. О
Теорема 4. Пусть .мера J-L имеет непрерывную плотность р.
Tozaa оператор дuфференцированtJ.Jl эа.мыкае.мв C 2 (R,{1.).
Доказательство. Рассмотрим множество А == {х:р(х) > О}.
А открытое, поскольку р непрерывная фУНКЦИЯ. А можно
представить в виде
()о
А == U (оп; Ь п );
n:al
(ai; b i ) n (aj; b j ) == О, i '" j.
40
А. Ю. ПИЛИПЕНКО
Покажем, что fж :замыкаем в .с 2 ( (а п , Ь п ), 1-') (Tor да и:э утвержде
ния (3) будет следовать, что fx оамыкаем в .c 2 (R, 1-')).
в свою очередь, (а п , Ь п ) == UkEz(Cn,k; Cn,k+l]; Cn,k == Ьn an +
k(rk' n) . для дока:эательства теоремы достаточно пока:эать,
что fж оамыкаем в .c 2 «Cn,k;Cn,k+l],I-'), k Е Z, n 1.
Пусть ип:п 1} С c l)(R) ТaIие, что
fn O,
f g,
n.......; 00 в .c 2 «Cn,k;Cn,k+l],I-'),
n .......; 00 в .c 2 «Cn,k; Cn,k+1], 1-').
Сходимость в .c 2 «Cn,k; Cn,k+1], 1-') :эквивалентна сходимости в
L: 2 «Cn,k; Cn,k+l]), поскольку
о < inf р(х) 5 sup р(х) < 00.
жЕ(сn,,,;Сn,"+l] жЕ(с n ." jC n '''+1]
АНaJIоrично следствию ио леммы 1 можно пока:эать, что fx :замы
каем в .c 2 «Cn,k; C n ,k+1]), П03тому 9 == о на (Cn,k; Cn,k+l] (mod А).
Но Л'" 1-' на (Cn,k; Cn,k+l], оначит, 9 == О (mod 1-') на (Cn,k; Cn,k+l],
Теорема докшэана. О
Упражнение 8. Доказать, что оамыхание оператора дифф
ренцировани.я в .c 2 (R, J.L), rде 1-' имеет непрерывную плотность,
локально в cTporoM смысле.
Указание. Восполыэоваться рассужденИJlМИ теорем 2 и 3.
Упражнение 9. Решить упражнение 8, если J.L имеет плотность
р и существуют k 1 ,k 2 :O < k 1 5 k 2 такие, что k 1 5 р(х) 5 k 2
(mod л).
в :заключение, хочу поблarодарить А. А. Дороrовцева, под
чьим руководством была написана эта статья.
ЛИТЕР А тур А
1. Ю. М. Бере:эа.нСI:ИЙ, ['. Ф. Ус, 3. ['. Шефте.пь, Функционадьный анадuэ,
"Выща Шl:ола", Киев, 1990.
2. Л. В. Ка.нторович, ['. П. АJ[ИnОВ, Функциональный аналиэ в 'НOpMиpo
ванных nространствах, "Физматrиз", Москва, 1959.
О ЛОКАЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ
41
3. Ф. Рисс, В. Надь, Ле'II:ЦUU по Функцuонадьному анадuзу, "ИЛ", MOCItBa,
1954.
4. Е. Хилле, Б. Филлипс, Функцuонадьныl1 aHa.l&U3 u nO.l&Y2pynnbl, "ИЛ",
Москва, 1962.
5. ['. Н. Положий, YpaвHeHUН математи"ес"о11 фuзuJtU, "ВЫСШaJI школа",
Москва, 1964.
6. С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин, Сnдайны в вЫЧUС.l&uте.l&ЬНОй матема-
ти"е, "Наука", Москва, 1976.
7. А. А. Дороrовцев, О .l&о"а.l&ЬНЫЖ диа20Надьных операторах, Р_ды Фурье:
Теория и приложенИJI, Ин т мат ки АН Уира.нны, Киев, 1992, стр. 27 30.
8. А. Ю. Пилипенко, О .l&о"адЬНЫЖ операторах дuаzона.llЬНЫЖ относитедь-
НО системы nO.l&uKOMOB Эрмuта, Укр. мат. журн. 47 (1995), 1'(1 4, 555
561.
9. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математuчес"ой фиэu"u,
т. 1, "Мир", Москва, 1977.
10. М. П. Натансон, Teopua Функцuй вещественной nеременн.ой, "Наука",
Москва, 1974.
2
КРАТКИЕ
СООБЩЕНИЯ
МатемаТИIИ всеrда стремятся представить
выIистaJшиоовавmиеcJI результаты своих
ИСCJН>Дований в виде дедуIТИВНОЙ общей те.-
ории, а отдельные математичеСIие явленИJI
испольоовать в Iачестве примеров I ней.
Р. Курант
Математиlt3 сеrодн.в, вып. 10 (1995), 43 54
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О
СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
В. Е. СЛЮСАРЧУК
в настоящей статье приводится одно общее утверждение о
сходимости числовоrо ряда
00 + al + 02 + . . . + а п + . . .
(1)
с положительными оп (п О), частными условиями rютороrо
явл.иются признаки Коши, Даламбера, Раабе, Бертнара, raycca
[1,2] и друrие при:энахи [3, 4]. Эта работа являеТСJl дополнениям
к исследованиям, проведенным автором в [З 6].
1. 8спомоrАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ИНЕРАВЕНСТВА
Формулировка OCHoBHoro результата и ero обоснование ocy
ществл.вютCJI с помощью функций
v. ( ) 1 Pm 2(x)(Lm 1(X))Z
m х, у, z == n
Pm 2(y)(Lm 1 (y))z
(т 1),
rде
Lo(x) == 1 + Х,
Lm(x) == 1 + lnLm l(X) (т 1),
P l(X) == 1,
\
m
Рт(х) == п Lk(X)
k O
х О, у О,
(т О),
z 1.
Кроме этих функций та.хже исполъ:эустса неравеНСТ80
f ( h(b) h(a) ) :$ l Ь f.(h'(x))dx, (2)
Ь a Ь a а
@ TBiMC, H8YII088 811А88ННЦТIIO
44
В. Е. СЛЮСАРЧУК
rAe Функция f(x) выпукла и неотрицательна на oTproKe [а, Ь],
а ФУНКЦИЯ h(x) непрерывно дифференцируема на этом же OT
proKe. Напомним, что функция f(x) выпукла на [а, Ь] [7], если
для проиовольных Хl, Х2 Е [а, Ь], аl :> О, а2 > О (аl + а2 == 1)
выплняется неравенство
f(al x l + а2 Х 2) alf(xl) + a2J( x 2).
3аметим, что неравенство (2) вытекает ио определения выпу
клости Функции.
Упражнение 1. Проверить справедливость неравенства (2).
2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
ThopeMa 1. Пусть:
1) g: N U {О} ---+ N U {О} произвольное отображение, длл
котОрО20 g(n) n 1 д.и всех достато'Чно больших n;
2) J(x) nроuзвОЛЬНaR выпуклая и возрастающая 'На [О, +00)
фУНХЦШl, длн которой uнте2рал Jl OO '( ) dx сходится. Если
( ап ) n (n) Vm(n,g(n),z) f ( Vm(n,g(n),z) )
<1 +с:
ag(n) n g(n) п g(n) (3)
'т/n по
длл некоторых т,nо Е N, z Е (1, +00) и с: Е Н, то рлд (1)
сходuтсл. Если
( ап ) n (n) Vm(n, g(n), 1) f ( Vm(n, g(n), 1) )
>1 +с:
ag(n) п g(n) n g(n) (4)
'r/n по
дАЛ некоторых т, по Е N и Е Е Н, то рлд (1) расходитсл.
Дохйзательство. Сначала рассмотрим соотноmени.в:
l aVm(X,O,Z) 1 > m 1 + х
дх 1 +х
lim Vm(n,g(n),z) == О
п--+оо n ..:... g(n)
lim n g(n) f ( Vm(n,g(h), z) ) == О
п--+оо V m (n, g(n), z) n g(n)
'r/x О,
z 1,
(5)
Vz 1,
(6)
Vz 1,
(7)
ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 45
которые будем исполыювать для доказательства теоремы. Не--
равенство (5) вытекает иа определения функции \.-'m (х, у, z). Со--
отношение (6) вытекает иа выпуклости функции h(x) == х 2 , не--
равенств (2) и (5), а также иа соотношений
I Vm(n, g(n), z) \ 2 == I Vm(n, О, z) Vm(g(n), О, z) 1 2
n y(n) n g(n)
< 1 {n ( aVm(X, О, z) ) 2 dx
. n g(n) Jg(n) дх
< 1 {n ( т 1 + z ) 2 dx == (т 1 + z) 2 .
n g(n) Jg(n) 1 + х (1 + g(n»)(l + n)
Соотношение (7) вытекает иа сходимости интеrрала /100 ! ( ) dx
и монотонности функции J(x). Действительно,
{2Ж 1 1
J ж ! ( ) dx х! ( 2х ) > о
'\;fx 1,
и
1 2Х 1
Нт ! ( ) dx == о.
Ж--+\ОО ж х
Поэтому выполняется соотношение (7).
Пусть выполняется соотношение (3). Используя неравенство
1 х ехр{ x} (х Е R), получаем '\;fn по
1 Vm(n,g(n),z) +Е! ( Vm(n,g(n),z» )
n g(n) n y(n)
{ Vm(n, g(n), z) ! ( Vm(n,g(n), z) ) }
< ехр + Е .
n y(n) n g(n)
Поотому соrласно (3) '\;fn по
a n ех р { Vm(n,g(n),z)
II( ( ) ( Vm(n,g(n),z) )}
+ Е n 9 n! n g(n) ag(n).
(8)
46
В. Е. СЛЮСАРЧУК
Пусть р такое число, что Р по и 9(n) n 1 'Vn Р, и
9k(n) == 9(9(9(... (g(n))... ))).
...............
k раз
Тоrда 91(n) == g(n) и go(n) == n. для каждоrо n > р найдетCJI
'Ч сло /1 Е N, такое что 91' (n) Р и 911 1 (n) > р. Обооначим
l'
q(n) == L Vm(9k 1(n), gk(n), z),
k=l
( ) == ( ( ) ( ))! ( Vm(9k 1(n),9k(n),z) )
r n 9k 1 n gk n ( ) ( ) .
k=l 9k 1 n 9А: n
CorпacHo (8)
а n ехр{ q(n) + IElr(n) }ag.,(n) 'Vn р. (9)
Оценим q(n) и т(n). Из опр епенИJI ФУIIJ(ЦИИ Vm(x,y,z) BЫT
к:ает, что
"
11
L Vm(gk 1(n),9k(n), z) == V m (n,9v(n), z) Vm(n,p, z).
k=l
Учитывал неравенства (2) и (5), свойства, которые имеет фув
К:ЦИJl '(х), а тахже то, что gk l (n) > 9it(n) ДJUI k == 1,11 И n > р,
получаем 'Vn < Р
l'
т(n) == L(9k 1 (n) 9k(n))
k=l
х! ( Vm(9k 1(n),O,z) V m (9k(n),O,z) )
9k 1(n) 9k(n)
l' { 9" 1 (n) ( aV. ( Х О Z ) )
L f т, , dx
k=l ,,,(n) дх
1 " f ( aVm(x,O,z) ) dx {" ! ( т 1 +z ) dx
о дх 10 1 + х
< 1 00 J ( т 1 + z ) dx
о 1+х
$(m 2+z)f{m 1+z)+(m 1+z) loo '(;) dx.
ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 47
Поэтому на основании (9)
а п $ ехр{ V m (n, р, х)}А
Уn > р,
rде
А == ехр { (т 2 + z)! (т 1 + z) + (т 1 + z) 100 f ( ) dx}
х шах { а 1 , . . . , ар}.
Таким обра:зом,
on {
ДЛЯ m == 1;
ДJLЯm;:::2
для всех n > р. Полученная оценка для й п rарантирует сходи
мость ряда (1), Tд.I< Xд.I< Z > 1, ФУНIЦИИ
(l+x) Z,
Pm 2(x)(Lm I(X)) Z, т 2: 2,
монотонно убывают на [р+ 1,+00), dX/Pm 2(X) == dLm I(X) и
несобственные интеrралы
{ОО dx
J p +l (1 + x)z'
1 00 dx
( ,т;::: 2,
р+l Pm 2(x)(Lm 1 x))z
CXOДJITCJI (см. интеrральный признд.I< Коши [1, 2]).
Пусть теперь выполняется соотношение (4). ПОСIОЛЫУ В силу
оrраничений на g(n) выполняется соотношение
Vm(n, g(n), 1) > О
n g(n)
для всех достаточно больших n, то соrласно (7) найдется тахое
ЧИCJJO nl ;::: по, что
V m (n,g(n),I) > IEI! ( vm(n,g(n), 1) ) > О
n у(п) n g(n)
Уn ;::: nl'
48
В. Е. СЛЮСАРЧУК
Используем неравенство 1 х ехр{ x х 2 }, которое спра
ведливо для всех достаточно малых х > О. На основании COOT
ношения (6) и проведенных выше рассуждений получаем
Vm(n, 9(п), 1) 1 ( Vm(n, 9(n), 1) )
1 +€
n 9(n) n y(n)
{ Vm(n,9(n),1)
> ехр
n 9(n)
1€11 ( n(n'9(n)' 1) ) 4 ( Vm(n,9(n), 1) ) 2 }
n 9(n) n 9(n)
Vn n2
для HeKoToporo достаточно большоrо числа n2 111. Из послс
днсrо неравенства и соотношения (4) имеем Vn n2
"п ::> ехр { Vm(n, у(n), 1)
1€I(n у(n»1 ( Vm(n, 9(n), 1» ) (10)
n 9(n) ..
4 (V m (n,9(n), 1»2 }
( ) ag(n).
n 9n
Пусть q такое число, что 9(n) n 1 Уn q и q n2. Обо-
:значим А == min{a1,...,a q }. Для каждоrо n > q найдется число
v Е N, ДЛЯ KOToporo О 9и(n) q и gll 1(n) > q. Соrласно (10)
Уn > q
а п ехр { t Vm(9k 1(n),gk(n), 1)
k=1
II( ( ) ( »)1 ( n(gk 1(n),gk(n),1» )
€ gk 1 n gk n ( ) ( ) ,
k=1 9k 1 n gk n .
t (Vm(gk l(n),gk(n), 1»2 }
1<=1 9k 1 (n) 9k(n) agи(n).
ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 49
ПОСКОЛЬКУ
v
2:: Vm(gk 1(n),9k(n), 1) == V m (n,9v(n), 1) Vm(n,O, 1),
k==1
( ( ) ( ))1 ( Vm(9k 1(n),gk(n), 1) )
gk 1 n gk n ( ) ( )
k==1 9k 1 n 9k n
1 00 1
т 1 f(;) dx + (т l)f(m),
t (Vm(9k 1 (n), 9k (n), 1))2
k==1 9k 1 (n) 9k(n)
== t (Vm(gk l (n), О, 1) V m (9k (n), 0,1)) 2
k==1 gk 1(n) 9k(n)
v 1 9k l(n) ( дУ: ( Х О Т )) 2
<2:: m " dx
k=1 9k(n) дх
< 1000 с :х )2 dx == т 2
на основании свойств ФУНКЦИЙ Vm(x, У, z), J(x) инеравенств (2),
(5), то Уn > q
а n ехр { Vm(n,O, 1)
Icl (т 100 1 ( ) dx + (т l)J(m)) 4т2 }А,
Т.е.
s
а n >
Pт 1(n)
Уn> q,
(11)
rде
S==AexP{ 4m2 lcl(m 100 1( ) dx+(m 1)1(m))}.
Неравенство (11) обеспечивает расходимость ряда (1), ПОСКОЛЬКУ
функция Pт 1 (х) возрастает на [q + 1, +00) и
1 00 dx 1 00 QLm l(X)
+oo
q+1 Pm l (х) q+1 Lm l (х) .
7
50 В. Е. СЛЮСАРЧУК
Теорем&. а.зана. О
Рассмотрим ФУНКЦИИ
Х.!:
U 1 (х, у, z) := ln ,
у.!:
x(lnx)Z
и 2 (х, У, z) := ln (1 ) '
у ny Z
xlnx(lnlnx)Z
U з (х, у, z) := ln 1 (l 1 ) ' . . . ,
ynynnyZ
U ( ) 1 (П 2lk(х)(lm 1(Х))Z
m Х, у, Z := n т 2
(Пk=О lk(y)(lm l(Y)z
rде lо(х) := х, 11(X) == lnx, l2(X):= lnlnx,... ,lm(x) := Jnln.. .l x.
(т 3),
m pll3
Упражнение 2. Покшэать, что в теореме 1 ФУНКЦИИ
Vm(n,g(n), z) И V m (n,g(n),1)
можно :заменить соответственно на ФУНКЦИИ
Um(n,g(n), z) И U m (n,g(n),1).
3. СЛЕДСТВИЯ
Очевидно, что частным случаем теоремы 1 является CJIЕЩУЮ-
щее утверждение.
Теорема 2. Пусть g: Nu {О} ---+ NU {О} nроuзвольное ото-
бражение, aAJ1 'КотОрО20 g(n) $ n 1 aAJ1 всех достаточно бо.l&Ь-
шux n. Еслu
( а )
limsup < 1,
n OO ag(n)
то рJlа (1) схоаити; еслu
а п . ag(n)
iJAJ1 всех достатО14НО больших n, то РJlд (1) pacxoдUmc./l.
ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 51
Упражнение з. Пока:зать, что прианаки Даламбера и Коши [1,
2] вытекают иа теоремы 2.
Частными случаями теоремы 1 ЯВЛЯЮТСJl также утверждеНИJl.
Признак Раабе. Если
liтinfn ( 1 ) > 1,
n---tcx> а п +l
то рвд (1) сходитй..-; еСol&и
n ( 1 ) ::; 1
°п+l
dJlJl всех достаточно больших п, то рад (1) расходитса.
Призив..: Бертрана. Еслu
liтinf ( n ( 1 ) 1 ) ln" > 1,
n---too а п +l
то рад (1) сходитсн; eC.LfJ
("( а::l 1) 1) lnn::; 1,
дАН всех достаточно больших ", то рвд (1) pacxoд1lТnCН.
ПрвонlUt I'aycca. Пусть
а п ОП
==л+ + ,
Оп+l ""2
zde л U постоанные, а ОП оzранuченн/U величuна. ТО2да
p.Jld (1) сходитСJI, eCJ&tJ л > 1 Ш&U л == 1, > 1, ирасходитсн,
eCJ&u л < 1 ш&и л == 1, ::; 1.
Эти прионаки получаются но теоремы 1, если у(") == " 1 и
mE{I,2}.
,.
52
В. Е. СЛЮСАРЧУК'
Упражнение 4. Проверить справедливость этоrо утвержде.-
нив.
Если в теореме 1 положить у(n) == О, ай == 1 и Е == О, то
приходи м К следующему утверждению.
Теорема З. ЕСАи
1 V'm(n,O,z)
"'n по
a.lUl нех:оторых т, n Е N и z Е (1, +00), то ряд (1) сходится.
ЕСАи
1 V'm(n,O,z)
"'n по
a.lUl нех:оторых т, n Е N, то ряд (1) расходится.
Иа этой теоремы, в частности, вытекают утверждения.
Теорема 4. Если
liminC l n (1 ) >.1,
n--+оо n n
то ряд (1) сходится; если
n
l (1 ) 1
nn
дЛJl всех достаточно боJtЬШих n, то ряд (1) расходитс.н.
Теорема 5. ЕСАи
liminC ( 1 у'а;; lnn ) > 1,
n--+оо ln ln n n
то ряд (1) сходитс.н; если
I n ( lnn ) '
1 yta; ;:51.
lnlnn n .
, .
д.и всех достато'чно больших n, то ряд (1) расх д тся:
ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 53
Теорема 6. Если
n ( nr;;--- ln n + lп ln N )
lim inf 1 v а n > 1,
n.......оо lnlnlnn n
то ряд (1) сходится; если
n ( 1 ln n + lп lп n ) < 1
ln ln ln пПп
для всех достато'Чно больших n, то ряд (1) расходится.
Список таких утверждений можно было бы продолжить. Ka
ждая из теорем 3 6 усиливает признак Коши.
Упражнение 5. Пусть q Е (0,1). Пок, а:эать что ряд (1) cx
дится, если
1 . аn
lmsup < q,
n.......оо а[чn]
и расходится, если
а n а[чn]
ДJI.И всех достаточно больших n ([qn] целая часть числа qn).
Указание. Применить теорему 1 в случае m == 1.
Упражнение 6. Пусть q Е (0,1). Покшэать, что ряд (1) cx
ДИТс.я, если
а n < (1 Zlnq )
q +
а[чn] ln n
ДJUI всех достаточно больших n, rде z > 1, и расходитс.я, если
а n > (1 lnQ )
q +
a[qn] ln n
ДJl.И всех достаточно больших n.
У"азание. Применить теорему 1 в случае т == 2.
54
В. Е. СЛЮСАРЧУК
ЛИТЕР А ТУР А
1. F. М. Фихтенrольц, Курс dllфферен.циаль'Но?-о 1; интпС Р(lЛЬ'НОi'.О ис'ш-
слен.uн, т. 2, "Наука", Моек па. 1966.
2. А. Я. Дороrопцев, Мате,М,атпи.tесх;ий анализ, "Вища школа" , Кисп, 1985.
3. В. Е. Слюсар'Чук: Новые nриэ'Нах;и сходи'м'ости числооых pllcJO!:l, PYKO
пись деп. в УкрНИИНТИ, Ровно, 1988.
<!. В. Е. Слюсарчук, Hex;oтnopыe nриэн.аки сходи'м'ости ЧILСЛООЫХ рядов,
Математика сеrодня'90 (1990), "Вища школа", Киеп, 94 105.
5. В. Ю. Слюсар'lУК, Денх;i оэ'Нах;и эбiжн.остi 'Iислових p.Bdie: Математика
сьоrодi'93 (1993), Ки'iв, "Вища школа", 163 176.
6. П. Ю. Слюеар'Чук, Hoei ознаХ;l; збiжн.осmi невласнux iн.те?-ралifj i чи-
слових рядiо: Математика сьоrодi'94 (1994), "Пища школа", КИIВ, 9G
109.
7. Р. П. Ушакоо, Б. 1, Хацет, Оnух;лi фУ'НI'щii' та xepieKocmi, "Вища шко
ла", КИIВ, 1986.
Математика cetoДНJI, вып. 10 (1995), 55 59
ОБ orp АНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ
одноrо PA3HOCTHOrO УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А. Я. ДороrОВЦЕВ и О. А. ЛАrОДА
Пусть (В, 11.11) комплексное банахово пространство, l.(B)
банахово пространство линейных оrраниченных операторов,
действующих в В, с операторной нормой, которая также обо-
Qначается символом 11 . 11.
Хорошо и:звестен следующий ре:зультат, впервые установлен
ный, по-видимому, В. Е. Слюсарчуком (см. также [1]). Пусть
А Е l.(B) фиксированный оператор. Для любой последова
тельности
{у(n): n Е Z} С В,
sup Ily(n)11 < +00
nEZ
уравнение
х(n + 1) == Ах(n) + у(n),
nЕ Z,
(1)
имеет единственное решение
{х(n): n Е Z},
sup Ilx(n)l1 < +00
nEZ
(2)
тоrда и только тоrда, коrда
и(А) n {z Е с: Izl == 1} == 0.
(3)
Здесь и(А) спектр оператора А.
Этот результат допускает обобщение на случай, Korдa опе
ратор А в (1) :зависит от n [2]; при этом условие (3) :заменя
eTCJI условием дискретной дихотомии последовательности оп
раторов. Условие дихотомии сложно ДJIJJ проверки. Поз'сому
@ TBiMC,- Наукове внд"вннцтво
56
А. Я. дороrОВЦЕВ и О. А. ЛАrОДА
в настоящей статье с помощью результатов и:з [1] рассматри
ваетс.ll случай уравнения (1) с периодически :зависящими от п
оператором.
Пусть {А(п): п Е Z} С С(В) ПОСЛf',Цовательность опера
торов, удовлеТВОРЯЮЩaJI для HeKoToporo фиксированноrо HaTY
ральноrо т 2 равенствам
А(п + т) == А(п),
п Е Z.
Ниже последовательность элементов {х(п): п Е Z} С В, которая
удовлетворяет соотношению (2), на:эывается оrраниченной.
Положим
D: == А(т I)А(1' 2)... А(I)А(О).
Теорема 1. ДJlJ1 тО20, чтобы iJJlJ1 'Каждой 02раниченной nOCJle
довательностu {у(п): п Е Z} С В уравнение
х(n + 1) == А(п)х(п) + у(п),
nEZ,
(4)
u.мeJlo единственное оzранuченное решение {х(п): п Е Z} С В,
необходимо и достаточно, чтобы
a(D) n {z Е с: Izl == 1} == 0.
(5)
Доказательство. Необходимость. Пусть {х(n):п Е Z} H
ственное оrраниченное решение уравнения (4), соответствую--
щее оrраниченной последовательности {у(п): п Е Z}. Torдa для
любоrо п Е Z имеем
х(п1' + 1) == А(nт)х(пт) + у(пт) == А(О)х(п1') + у(n1'),
х(п1' + 2) == А(nт + l)х(п1' + 1) + у(пт + 1)
== А(I)А(О)х(n1') + A(l)y(nT) + у(п1' + 1),
х(п1' + 3) == А(п1' + 2)х(пт + 2) + у(nт + 2)
== А(2)А(I)А(О)х(n1')
+ А(2)А(1)у(пт) + А(2)у(п1' + 1) + у(п-т + 2),
. (6)
х((n + 1)1') == DX(nT) + z(n),
(7)
ОБ orp АНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ
57
rде
T 2
z(n) :== L А(т 1).. . Аи + 1)у(nт + j) + у(nт + т 1). (8)
j,=O
Справедливы следующие утверждения:
1) посл овательность {z(n): n Е Z} оrрани'Чена;
2) для любой оrрани'Ченной после,цовательности {z(n): n Е Z}
существует оrра.ни'Ченная посл овательность {у(n): n Е
Z}, для которой выполнены равенства (8), а именно можно
положить
у(nт + т 1) == z(n)j
О 5, j 5, т 2;
у(nт + j) == О,
nЕ Z,
rде О нулевой элемент в В;
З) ра:эли'Чным решениям {х(nт): n Е Z} уравнения (7) OTBe
чают ра:эличные решения уравнения (4).
Таким обра:эом, если для любой оrрани'Ченной посл ователь
ности {у(n): n Е Z} уравнение (4) имеет единствеlIное оrрани
ченное решение {х(n): n Е Z}, то ДJ1JI любой оrра.ниченной по--
сл овательности {z(n): n Е Z} С в уравнение
и(п + 1) == Dи(n) + z(n),
n Е Z,
(9)
имеет единственное оrраниченное решение {и(п): n Е Z}. По--
:этому условие (5) выполнено.
Достаточность. Предположим, что условие (5) выполнено, и
пусть {у(n): n Е Z} С в проmзвольная оrраниченная после
довательность, по которой построим посл овательность {z(n):
n Е Z} по формулам (8). При :этом {z(n): n Е Z} также orpa
ниченная посл овательность, ДJlJI которой при условии (5) ypa
внение (9) имеет единственное оrраниченное решение {и(п): n Е
Z}. Построим теперь посл овательность {х(т): т Е Z} следу
ющим обра:эом:
х(nт) :== и(п);
58
А. Я. дороrОВЦЕВ и О. А. ЛАrОДА
х(nт + 1) :== А(О)и(n) + у(nт);
х(пт + 2) :== А(l)А(О)и(n) + А(1)у(nт) + у(пт + 1),
х(nт + k) :== A(k 1) ... А(О)и(n)
k 2
+ L A(k 1)... Аи + 1)у(nт + Лу(пт + k 1),
j=O
2$k::;r 1; nEZ. (10)
Последовательность {х(т): т Е Z} оrраничена и удоалетв<r
РJlет уравнению (4). Действительно, для любоrо n Е Z соrласио
определению (10) имеем
А(nт)х(nт) == А(О)х(пт) == х(пт + 1) у(nт);
А(nт + 1)х(nт + 1) == А(1)х(пт + 1) == х(пт + 2) у(пт + 1);
А(nт + k)x(nr + k) == A(k)x(nr + k)
== х(nт + k + 1) у(пт + k),
1 $ k $ r 1.
Единственность леrlО провеРJlетCJI [1].
Теорема 1 ДОIа:эана. О
дли решений уравненИJI (4) при выполнении условия (5) спра
ведливо следующее утверждение о непрерывной зависимости от
J(ооффициентов операторов.
Теорема 2. Пусть {А(п): n Е Z} периодичеС'КaJ1 с периодо,м
r 2 последовательность операторов из .с(В), удовлетвор.8
юща..в условию (5), а набор
{Вт(n):п Е Z} С .с(В),
т 1,
та'Ков, что
вор IIBm(n)11 ---+ О, т ---+ 00.
nEZ
Пусть {у(п): n Е Z} прouзвольна.в 02раниченна.в ПОC.l&едова
тельность. ТО2аа ди всех достато'4НО большиz т уравнение
Хт(n + 1) == (А(п) + Вт(n»Хт(n) + у(п),
пЕ Z,
ОБ orp АНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ
59
u.мeeт единственное 02раниченное решение {хт(п): n Е Z},
nриче.м
вир Ilxm(n) x(n)ll О,
nEZ
т oo,
2де {х( n): n Е Z} едикственное 02раничеНкое решение ypa
вKeKu.н (4).
Основанное на результатах [1] дов:а:затепьство теоремы 2,
а также обобщение теоремы 1 на случай замв:нутbIX операто--
ров и ДJIЯ непинейных уравнений, бурут приве,цены в следующей
статье.
ЛИТЕР А ТУР А
1. А. Я. Дороrовцев, Стационарные и nериоl1ические режи.мы бесконечно
.мерных детер.минированнЬ&х и стохастических дина.мических «<исте.м,
"Выща C!lJ:ола", Киев, 1992.
2. д. Хенри, rео.метрическая тeopuн nOollYAUHet1HbI.:l nараБОАи'Сеских ура-
внений, "Мир", MocJ:Ba, 1985.
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
КРУЖОК
Предмет I'еометрии сам по себе настолько
серье:эен, что следует считать удачей всякую
вооможность и:эложить ero хотя бы чуть :эа
нимательнее.
Б. Пас-к:а.л.ь
МатемаТИJ(а сеrодн.., вып. 10 (1995), бl б6
О ЕДИНОМ ПОДХОДЕ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ
КЛАССИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Р. П. УШАКОВ
Прив ем дока:эательства ряда классических неравенств с п
мощью одноrо простоrо принципа.
В работах [1] и [2] дока:эательство неравенств с помощью
зтоrо принципа получен с использование функций нескольких
переменных. В данной статье мы рассматриваем функции толь
ко одной переменной.
Теорема. Пусть М некоторое 'Числовое .ююжество, !i(X)
(i == 1,2,..., n) фунх:ции, определенные на .множестве М,
n
Р(х) == L !i(X),
i=l
хЕМ.
Каждан из фУН'lC'Ций !i(X) (i == 1,2,... ,n) и Р(х) docmuzaem
на .множестве М наu.меньшеzо (наибольшеzо) значени.н в одной
точх:е.
Tozaa
n
min Р(х) L min !i(X),
хЕМ хЕМ
i=l
(1)
Соответственно дм наибольших значений
n
maxF'(x) S Lmax!i(x).
хЕМ хЕМ
i==l
(2)
Равенство в (1) (соответственно в (2)) docmuzaemCJl в то.и
u тольх:о в то.и случае, x:ozaa точ'К:'U .иuнu.ку.иа (.иах:сu.ку.иа)
фунХ'Цuй Ji (i == 1,2,..., n), Р(х) совпадают.
Дох:аэателъство. Пусть
min !i(X) == Ji(Xi),
хЕМ
min Р(х) == Р(ХО).
хЕМ
@ TBiMC. НаУ8о.е ...д......цТ.о
62
Р. П. УШАКОВ
Тоrда fi(xo) fi(xi); minxElIf F(x) == F(xo) == L:7:1 fi(xo)
L:7: 1 /i(Xi) == L: =l minxEM li(X)' Равенство в (1) Достиrается
в том и только в том случае, :коrда li(Xa) == li(Xi) при i ==
1,2,.. . ,n. При :этом Xl == Х2 == ... == Х п == Ха, поскольку
Xi нственна.я точ:ка, в :которой фун:кция li(X) достиrает
наименьшеrо :значения.
Аналоrично до:ка:зывается инеравенство (2). О
При мер 1. Пусть li(X) == aiX, Х Е [ 1; 1], ai Е R, ai =F о,
i == 1,2,. . . , n,
F(x) == (t. ai )Х,
тах li(X) == lail == { 1(1)
xE[ l;l) f( I)
Х Е [ 1; 1],
при ai > о;
ори ai < о,
тах F(x) == I tai l .
xE[ l;l) i=l
Соrласно (2)
I t. ail t,la il .
(3)
Равенство в (3) достиrаеТСJI в одном из lJl1YX случаев: 1) Xl ==
Х2 == ... == Х n == 1 == ХО или 2) Xl == Х2 == ... == Х n == 1 == ХО, Т.е.
лишь в том случае, Korдa все ai числа одноrо :знака.
{Jа.мечание. Неравенство (3) СОра.вЕ>р,Ливо ДIIJI прои:звольных дей
ствитепьных ai (i == 1,2, . . . ,n), поскольку случай, :коrда некото--
рые и:з ai равны нулю, леrхо сводится к рассмотренному.
При мер 2. Пусть ДIIJI Х Е (о; (0)
fi(x) == +>'i lnx >'iЩХ + >'i,
n
ai > о, >'i >0, L>'i == 1.
i=l
3аl\fетим, что
' ( ) >'i
li Х == >'iai'
Х
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КЛАССИЧЕСКИХ НЕР АВЕНСТВ 63
f'(x) == О при х. == l/а.. При О < х < l/ai f'(x) > О, а при
х. > l/ai l' (х) < О. Значит,
шах f.(x) == f(l/a.) == . lna.,
жЕ(О;оо)
Р(х) ==lnx (t. .ai)X+l, х Е (0;00),
'"шах Р(х) == F (( t ia. ) I ) == ln t .ai'
хЕ(О;оо) .=1 i=1
Соrласно (2) имеем
n n
ln L ia. L л. ln а.
i==1 .=1
откуда
n n
L ia. П а;;
.=1 .=1
(4)
равенство в (4) достиrается лишь в случае, коrда а 1 1 == а2"1 ==
... == a 1 == ( =1 .ai) 1, Т.е. при аl == а2 == ... == а n . Мы
получили неравенство Коши с весовыми МНОЖИТeJlJIМИ. Полаrал
в (4) i == 1/n (i == 1,2,.. . ,n), получаем неравенство Коши
1 n ( n ) 1/n
?: ai Ц ai
1==1 1==1
Упр8.)ltиеви..
1. Докажите неравенство (4), ИСПОЛЬЗУJl функции
/i(X) == iаiеЖ >ЧХ i,
n
Х Е В, ai > О, Лi > О, L i == 1.
i=1
2. Докв..ите веравевство
n ( 1 n ) Е:'.:l О.
П a ' Е а. ,
i=1 n i=1
ai > О,
64
Р. П. УШАКОВ
исполыэуя функции fi(X) := ех aix ai, Х Е Н, ai > О.
3. Докажите неравенство Бернулли .
(1+a)n 1+na,
а > 1, n Е N,
испольоуя неравенство (4).
o.'I!'l:" b q
Пример З. Пусть fi(X) := + ;f:q, Х Е (о; 00), ai > о, b i > о,
i := 1,2, ... , n; + := 1, р > 1,
1 ( n ) 1 n
F(x):= Laf х Р + q Lb ,
р i==1 qx i==1
х Е (о; 00).
Испольоуя неравенство (4), получаем
1 Р ( bq ) 1/g
fi(X) (afxP) / 2.. := aibi:= min fi(x),
xlI . хЕ(о;оо)
Равенство достиrаетCJI при Xi := (bUaf). Далее
[ ( . n ) ] 1/" ( n ) 1/q
F(x) ar х Р :q Ь?
( n ) 1/,, ( n ) 1/ q
:= L af . L Ь? := min F(x).
i= 1 i==1 хЕ(О;оо)
Равенство достиrаеТСJI при
( n / n .....L...
ХО:= ?= Ь? L a f ) p+q .
t==1 t=1
СОI'ласно (1) имеем
t,a,b; (t.r)'" (t, Ь1 )11'
(5)
ДUКАЗА ТЕЛЬСТВО КЛАССИЧЕСКИХ НЕР АВЕНСТВ 65
при ai > о, b i > о, !. + !. == 1, р > 1. Мы получим неравенство
р q
rельдера. Равенство в (5) достиrаетCJI лишь при
1 .....L 1
(bиa ) p+q == (b /a ) p+q == ... == (b /a ) p+q
== ( t b 1 j t a f ) Ph,
1=1 1=1
Т.е. лишь в том случае, хоrда последовательности (af) и (Ь1) про--
порциональны. Полarа.я внеравенстве (5) р == q == 2, получаем
неравенство Коши Б уняховсхоrо
n ( n ) 1/2 ( n ) 1/2
Laibi Ea b ,
1=1 1=1 1=1
(6)
справедливое при любых действительных ai, b i .
Равенство в (6) достиrается лишь в том случае, хоrда посл
довательности (ai) и (b i ) пропорциональны.
УпражненИJI
4. Дока.:эать неравенство (6), исполыэуя функции
Ji(X) == a tg Х + b ctg х,
( 11' ) 2 2
Х Е о; '2 ' ai + b i 1- О.
5. Дока.:эать неравенство
t. ,ja l +ы1 [( t. ) 2 + (t. b ,) Т',
исполыэуя функции fi(X) == ai sinx + b i COSX, Х Е [о; 211'], а? +
b 1- о.
6. Дока.:эать неравенство МинковскоI'О
[t.( + Ь,),] 1/\; (t, a f ) 1/, + (t bf )'/',
(!,j > О, Ь, > О, р> 1.
66
Р. П. УШАКОВ
Равенство достиrается лишь в том случае. коrДi\ послсдош\
тельности (ai) и (b i ) пропорциональны.
У"аэаН1lе. Рассмотреть функции
fl(x) .,(л,х)I/, +.-l' ( л.)х] 1/,
Ых) Ь;(л,х)I/, +Ьи [1 ( л, )х] 1/',
1 1
q > 1, + == 1,
р q
ai>O, bi>O, Лi>О (i==I,2,...,n),
( ( n l ) l )
Х Е о; t; Лi ,
и применить неравенство rсльдера (5).
ЛИТЕРАТУРА
1. Э. Бсккенбах, Р. Бсллман, Hepa6eHCТn6a, "Мир", Москва, 1965, стр. З3 .
40.
2. Р. Алексеев, Л. КУРЛJlНДЧИК, Сумма минимумов и минимум суммы,
Квант 3 (1991), 49.
Математика сеrоднв, вып. 10 (1995), 67 69
ЗАДАЧИ
В. Е. СЛЮСАРЧУК
1. Пусть Р(х) и Q(x) произвольные мноrочлены с действи
тельными кооффициентами, для которых deg Р(х) < deg Q(x).
Обооначим через М множество всех корней мноrочлена Q(x), а
чере:э k(a) кратность корня а Е М. Каждому а Е М поставим в
соответствие мноrочлен Qa(X), ДJ1JI KOTOpOrO
Q(x) == (х a)k(a)Qa(X).
Докшэать справедливость равенств
Р(х) k(a) l А(т, а)
Q(x) == L L т! (х a)k(a) m '
аЕМ т=О
J Р(х) dx == С + k(a) 2 А(т, а)(х a)m+1 k(a)
Q(x) L L L m!(m+1 k(a))
аЕМ k(a) 2 т=О
+ L M (k(a)1 1)! (ReA(k(a) 1,а) ln Ix al
аЕ
Ima )
+ 1ш A(k(a) 1, а) arctg R I
Х еа
rде А(о,а) == %0«(1) , А(т,а) == ( d :С :«2» ))ж:=а (т 1) и С
проиовольна.в: ПОСТОJ[ННан.
2. Пусть ап, Ь п Е С (п 1), Вт == 2:::=1 Ь п (т 1) и да п ==
ап+l ап,
ДОJl:шэать утвержденИJI:
Теорема 1. Если nослеdовательность {апВп: n 1} JlBJUemCJl
С%оdJlщейcz, то р.вд 2: :=1 апЬ п С%оdщnс.в тоеда и только тo
еда, к:оеда схоаитс.в р.вд E =l (дап)Впо
@ TBIMC, НаУIIО8е .8А..Н'ЩТ80
68
В. Е. СЛЮСАРЧУК
Теорема 2. Пусть:
1) рва Е:'=l aп сходити абсолютно;
2) рва Е:'= 1 Ь п схоаитсв.
ТО2да рва Е:'=l апЬ п cxoдUти.
Теорема 3. Пусть:
1) рвд Е:'=l aп CXOдUтCB аБСOJ&ютНОj
2) liI11n--+оо а n == о;
3) существует число Р > О такое, что I E;==l b k I р дЛJl
всех n 1.
ТО2да рва Е:'=l апЬ п сходитсв.
Показать, что признаки АбeJ1Jl и Дирихле частные случаи
соответственно теорем 2 и З.
з. Пусть {ап:n 1}, {Ьп:п 1}, {cn:n 1} прои:звольные
последовательности, ДЛЯ KOTOpbIX а п > о, Ь п о, cn > О для
всех n 1, ряд E:==l ь n сходится, ряд E:=l(cn) l расходится и
E:==l Ь п < атСт для HeKoToporo m 1.
Доказать утверждение: если cn..J!n...... Cn+1 ..J!n..... для всех
Вn+1 аn+l
n 1, то ряд E ==l а п расходится.
Убедиться в том, что :это утверждение улучшает вторую ча
сть при:энака Куммера.
4. Пусть а(х) ис(х) непрерывнодифференцируемые, а Ь(х)
непрерывная на [1, +00) функции, для KOTOpbIX а(х )с( х) > о и
Ь(х) О ДЛЯ всех х 1 несобственные интеrралы J1+ 00 Ь(х) dx и
Jl+OO(C(X)) l dx соответственно сходятся и расходятся и а(х) х
с(х) > [1+00 b(t) dt для HeKoToporo х 1.
Дока:эать утверждение: если c(x) :( ] с'(х) : : для всех
х 1, то несобственный интеrрал [1+00 а( х) dx расходится.
5. Обооначим чере:э V множество заданных на интервале (а, Ь)
функций с конечным изменением на каждом отре:эке [р, q] с
(а, Ь).
Дока.:эать утверждение: непрерывная на интервале (а, Ь) фун
кция '(х) представима в виде разности двух выпуклых функций
тоrда и только тоrда, коrда функция f{x) ЯВЛJIется первообра
:зной на интервале (а, Ь) некоторой функции Ip(x) Е V.
ЗАДАЧИ
6!:!
6. Последовательность {ап: n 2: 1} на..'1ЫВi:l.стся выпуклой, если
д2 ап О ДЛЯ всех n 1 (здесь д2 ап == Дап+l Да n == а 11 +2
2а п +l + ап)'
ДОКа3ать утверждение: каждую последовательность {а,,: п
l} можно представить в виде Ра3ности двух выпуклых последо
ватсльностей.
Найти эти последовательности.
Математика сеrодНJI, вып. 10 (1995), 7(),,--74
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ
ИТЕРАЦИЙ лоrАРИФМА
В. В. НЕКРАШЕВИЧ
Последовательность {х n : n О} определяется для заданноrо
хо > -о с помощью равенств
Х n +1 == In(1 + х n ),
n o.
Леr:в:о проверить с помощью теоремы Штольца [1], что
Х n == + O( 2 )'
n ----t 00.
(*)
Этот результат может быть получен и классическим путем [2],
rде исследовано предельное поведение итераций синуса. Ниже
по:в:а:эыва.етCJI, что с помощью теоремы Штольца можно полу
чать и дальнейшие члены асимптотическоrо ра:зложенив для х n
при n ---+ 00.
Теорема. Пусть Хо > О. Существует число а == а(хо) Е R
такое, что
2 21nn а ( 1 )
х n == + 3 2 + 2' + о 2' '
ппп n
n ---+ 00.
(1)
Доказательство. Сначала докажем, что
2 2ln n ( ln N )
Х N == ;; + Зn 2 + о n 2 '
n ----t 00.
(2)
@ TBiMC, Нау"овс видавннuтво
О ПОВЕДЕНИИ ИТЕРАЦИЙ лоrАРИФМА
71
с помощью формулы Тейлора при n 00 имеем
1 1 Х" Xn+l Х" ln(l + Х n )
............... ....... ==
Хn+1 Х" XnXn+l Х" ln(1 + Х п )
2 3 4 2
+ + О ( х4 ) .! !lL + + О ( х2 )
2 Э 4 n 2 Э 4 n
2 х 3 ж 4 4 ж 2
Х" =t + =f + О(Хп) 1 + =f + о(х;)
!lL 5. ( 2 )
1 12 12 + о Х"
==
2 1 + + O(X )
х 2 ( 2 )
1 Х" + о Х"
== 2 12 + 1 + + O(X )'
Таким образом, 'С учетом (*)
1 1 1 Х" X 1
+ "' "'
Х n +1 Х" 2 12 24 6n 2 '
n 00.
Поотому pJIД
f ( !+ хп )
п=О Хn+1 Х" 2 12
сходитс.в:; пусть С1 ero сумма. Из равенств
1 1 1 Х" ( 1 1 1 Х" )
Xn+l Х" == 2 12 + Хn+1 Х" 2 + 12 '
n О,
CJlсщует, что
1 1 n 1 " 1
== LXk + С 1 + 0(1),
Х" ХО 2 12 k=O
n OO,
откуда
1 n 1 " 1 1
== LXk + С 1 + +0(1),
Х" 2 12 k=O ХО
Проверим теперь, что
n OO.
(3)
" 1
L Xk == 21'.. + О(1'п),
k=O
n 00,
(4)
72
В. В. НЕКРАШЕВИЧ
rде
n 1
1'n :== L k'
k=l
n 1.
в силу (*)
n 1
L Xk ---+ +00,
k=O
и по теореме Ш тольца и (*)
n ---+ 00,
n 1
1 . 1." l ' Хn+1 2
1Ш L.J Xk == 1т == .
n--+оо 1'" k=l n--+оо n
Тем самым (4) ДОlшзано.
И:э соотношений (3) и (4) слwет
1 n 1'n
Х n == '2 б + О(1'n),
n ---+ 00,
и потому
Х N == + + о (:z:) == + 21'n + О ( 1'n )
n lf- +О(1'n) n 3n 2 п 2 '
n ---+ 00. (5)
Поскольку 1'n == 'у + ln n + о( 1), n ---+ 00, r де 'у постоянная
Эйлера, то равенство (2) слwет иа (5).
И:э дока:занноrо соотношения (2) следует сходимость ряда
f ( Х n ) ;
n=1
пусть С 2 ero сумма. Следовательно,
n n 2
LXk == L k + С 2 +0(1),
k=l k==1
n ---+ 00,
или
n
LXk == 21'n + С 2 + 0(1),
k=l
n ---+ 00.
О ПОВЕДЕНИИ ИТЕРАЦИЙ лоrАРИФМА
73
с помощью этоrо представления И3 (З) находим
1 n /n 1
== +Cl (Xo +С 2 ) +о(1}
x n 2 6 12
n /n
==2 6+C+o(I}, n---+оо,
rде
1 . ( 1 n /n )
С :== C 1 (Xo + С 2 ) == 11m + .
12 n---+oo x n 2 6
Поэтому
x n == + 3 2"Y 4 + O ( ) ,
ппп n
n ---+ 00,
и, следовательно,
21on 4C / ( )
x n + 3 2 2 + о 2'
ппп n
n ---+ 00.
Положим теперь
2
а(хо} :== 4C + /.
3
О
Теорема доказана.
3a.uе-чан.uе. ФУНКЦИЯ а не JIВJlJIется постоянной. ФУНКЦИЯ
1
ln(1 + х)
1
х> О,
,
х
доопределенная значением в точке О, убывает внекоторой
окрестности О, так как ее производная в точке О отрицательна.
Пусть оначения Ха и Уо лежат в упомянутой окрестности и О <
хо < Уа. Тоrда из за монотонности послеДовательностей
Xn+1 == lп(1 + X n ), n о;
Yn+1 == 10(1 + Yn), n о,
в упомянутой окрестности лежат х n , Yn, n 1. Поэтому
1 1 1 1
>
10(1 + x n ) х n 111(1 + уn) Уn'
\.
10 .
74
В. В. НЕКРАШЕВИЧ
если x n < Yn' ПОСЛfЩllее неравенство следует из ХО < Уо при
n 1. Следовательно, последовательность
{ : n О }
х" уn
возрастает и ПОТОМУ
о < lim ( )
n--+oo Х" уn
. ( ( 1 n 'Yn ) ( 1 n 'Yn ) )
= ! X n 2" + б Yn 2" + б
1
= (a(xo) а(уо)).
4
ТахИМ обраоом, а(хо) < а(уо).
ЛИТЕР А тур А
1. А. Я. Дороrовцев, Математu'Ческut1 ана.llUЭ. Сборнu'К эада'Ч, "Вища
школа", Киев, 1987.
2. ['. Полиа, ['. cere, Задачu u теоремы uэ ана.lluэа, Часть первав, "H
у.а", Москва, 1978.
10.
4
ЗАДАЧИ
И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Каждый зн т, ЧТО оа.вима.тьCJI ма.тема.ти
J:ОЙ озна.чает не только чита.ть ДОJ:а:за.тепь
ства. иовестных теорем. Всю препесть Ma.T
ма.тИltи СОСТa.вJUПOт нереmеииые оада.чи.
rY20 ШтеЙН2ауз
МатемаТИ1Iа се['одня, вып. 10 (1995), 76 8:3
НОВЫЕ :ЗАДАЧИ
Решения предлаrаемых задач можно присылать по адресу:
253166, Киев 166,
а/я 26,
Научное издательство "TBiMC"
в письме должны быть указаны вуз и курс, на котором обуча
ется автор письма, фамилия, инициалы и ero адрес. Условия
ориrинальных задач, предлarаемых к публикации, следует при
сылать вместе с детальным решением в двух экземп.i1Jlрах.
1. Пусть {а п : n 2:: 1}, {Ь n : n 2:: 1} и {сп: n 2:: 1} последователь
ности действительных чисел, ДЛЯ которых при n ---t 00
2a + 2b + c + 2а п Ь n 2а п cn 2Ь n С п 4а п 6Ь п ---t 13.
Доказать, что эти последовательности сходятся и найти их пре
делы.
2. Пусть а положительно определенная квадратичная форма
на R m , {х(п): n 2:: 1} последовательность векторов из R m , ДЛЯ
которой
а(х<п») ---t О,
n ---t 00.
Доказать, что последовательность {Х<n):n 2:: 1} сходится в R m
с эвклидовым расстоянием и найти ее предел.
з. Для функции f: R З ---t R выполнены условия
'v'{x,y,z} с R З : J(x,y,z) =: J(y,x,z)
и
J(x,y,z) =: f(z,y,x).
Найти f.
@) TBiMC, Наукове ВИАавиицтво
НОВЫЕ ЗАДАЧИ
77
4. Для n Е N вычitслить интеrрал
1 21r in(Sin(. . (sin(si t + t) + 2t) + ... ) + nt) dt.
n
А. А. Курчен"о (Киев)
5. Докшзать, что последовательность
n 2 2 2 k
'" kn l n 2 n
a n :== 1 + L.) l) (n + 1)2 (n + 2)2 '" (n + k)2 '
k==l
n 1,
содержит подnоследовательность, сходящуюся к числу а Е [0,1).
м. Ф. rородний (Киев)
6. Существует ли плотное в [о; 1]2 множество, которое имеет
не более одной общей точки с любой rори:эонтальной и любой
вертикальной прямой? А. А. ДОР020вцев (Киев)
7. Пусть А и В матрицы одинаковоrо ршзмера с элементами
и:з С такие, что АВ+ БА == О (О нулева.я матрица). Докшзать,
что
"'N Е N: (А + B)2n A 2n + B 2n .
8. Найти
lim lon + b n + c n l1/ n
n--+ 00
ДJlII {о, Ь, с} С С.
9. Пусть ДJIJI действительных чисел 0),02, .. . ,оп
n
L ak == 1.
k==l
Найти наименьшее и наибольшее :значения сумм
n
L OkOk tl,
k=l
rAe ak+l :== 01.
78
НОВЫЕ ЗАДАЧИ
10. Для а > О, Ь > О положим
й1 :== й,
Ь 1 :== Ь;
йn+1 ==
йn + 2Ь n
3
Ь п +1 == v' й п Ь; ,
n 1.
Сходятся ли последовательности {ап:n 1}, {bn:n 1}?
11. Для функции f Е R([0,1)), неотрицательной и монотонно
неу6ывающей на [О, 1], докапать неравенства:
1. 2 f01 xf(x) dx f; f(x) dx,
2. 4 f01 х 3 J(x) dx Jo 1 J(x) dx.
12. Пусть f Е 0([0, +00)) и
f(x) 10% f 2 (и) dи 1, х +00.
Докапать, что
1
f(x) '" (3хр/3 '
х......т +00.
13. Пусть f Е 0([0, +00)) и
f(x) 10% f 2 (и) dи 1,
х +00.
Докапать, что
( 2 ) 1/3
f(x) '" 3х 2 '
х +00.
14. Доказать, что
1 % 1
и 1 / и d == х + 102 х + о(1п 2 х),
02'
х +00,
и найти СЛЕЩУющий член асимптотическоrо раоложеНИJl инт
rрала.
НОВЫЕ ЗАДАЧИ
79
15. Доказать, что
х2 Х3
( 1 + Х ) (1+ж) > 1 + Х + +
2 З! '
Х >0.
16. Функция f Е С([1, +00» такова, что для пюбоrо Х > 1 cy
ществует ПрЕЩеп
1 .-tж
lim f(и) dи ==: tp(x),
А--++оо А
tp(1) :== О,
причем функция tp непрерывна в точке 1. Найти функцию tp.
17. Найти
L;= (Xk+1 xk)sin21!' X k
su p
"n 1 ( ) 2'
>. L.Jk=O Xk+1 Xk
rде точная верхняя rpaHb берется по всем ра:эбиениям .>. == {хо,
Х1,... ,Xn 1,Xn} отрезка [0,1] таким, что О == ХО < Х1 < '" <
Xn 1 < ХN'
18. Пусть f Е С([О, 1]) и
11 f(x) dx == О.
Найти
L : (Xk+1 Xk)(Xk+1 Xk)
sup n 1 '
>. Lk=O(Xk+1 Xk)3
rде ниЖIUI.S rpaнb берется по всем ра3биениям'>' на отрезке [О, 1].
19. Вычислить интеrралы:
1 1 1 1
&) ln dx;
о Х 1 x
1 1 1 1
б) ln dx.
о Х 1+х
80
НОВЫЕ ЗАДАЧИ
20. Исследовать сходимость ряда
00 ( ( 1 1 1 1 1 )) 0
а) ln 2 1 2 + 3' 4 + . . . + 2n 1 2n '
aERj
00 ( ( 1 1 1 1 1 )) 0
б) 1 3' + 5 '7 + . . . + 2n + 1 2n + 3 '
aER.
21. Найти сумму ряда:
00 1
а) L n2(n + 1)2 j
n=l
зn 2 + 671 + 2
б) n 2 (n + 1)2(n + 2)2 '
n=l
22. Пусть а п а n +1 О, n 1. Докапать неравенства:
а п 71"2 6 а n
а) n2(n + 1) n(n + 1) ;
00 00
б) L anpn l (1 р) L nanpn l,
n=l n=l
о < р < 1.
23. Определить последовательность {а n : n О}, если
1 n
а n == 2 Lajanj, n 1,
j=O
ао == 1;
и
lim v'la n I < +00.
n---+оо
24. Пусть € l < а < e l. Вычислить сумму ряда
00 nn+la n
L .n!
n=l
через значение у корня уравнении у == ае У .
НОВЫЕ ЗАДАЧИ
81
25. Найти предел
. 1 l ( х 1 Х2 Х N ) 2
11т + + . . . +
n--+оо (..,fi}n Я" 1 2 n
2 2 2
Х е Жl :Z:2 ''' Жn dXl dX2.. . dx n .
26. для целых m О, n О вычислить интеrрап
r xmyne mвx(:z:2,,,2)dxdy.
Jю
А. .Н. ДОРО20вцев (Киев)
27. Пусть А самосопряженный компактный и В оrрани
ченный операторы в комплексном rильбертовом пространстве.
Предположим, что коммутатор
[А, В] :== АВ ВА
неотрицатепен. Доказать, что операторы А и В коммутируют.
28. Пусть А самосопряженный и В оrраниченный опера
торы в комплексном rильбертовом пространстве. Прсдположим,
что
[А, В] С о;
rде С оператор, коммутирующий с А. Докапать, что опсра
торы А и В коммутируют. А. Ю. Кокстактnинов (Киев)
29. Пусть
L('\) :== (,\2 + I)А + ,\ tg ,\В 1,
,\ Е { E с: Re 0,1-' =F Рт :== + 1I'(m 1),т Е N},
операторооначная: функции со :эначенИJlМИ во множестве всех
оrраниченных самОСОПРJlженных операторов в комплексном rи
льбертовом пространстве, причем А > о, В о, IIAII 1; I
единичный оператор. Число'\ напывается собственным значе
ние.АС L, если существует элемент хо =F о такой, что
Ц'\о)Хо == о.
11
82
НОВЫЕ 1АДА ЧИ
Элемент ХО ншэываетCJI со6стве"ны.м вe'Ктnopo.м, отвечающим
числу >'0'
Доказать, что собственные :значения L MorYT лежать только
на действительной положительной полуоси и имеют конечную
кратность.
30. Пусть
L(>'i)Xi == О, Xi ::1 О, Xi Ker В, 1 i п;
Рт < >'1 < >'2 < . . . < >'n < Pm+l
ДЛЯ HeKoToporo m Е N. Доказать, что собственные векторы
Xl, Х2, ... ,Хн линейно независимы.
31. Докшэать, что для каждоrо m Е N существует б > О такое,
что в интервале (Рт; Рт + б) нет собственных значений L.
32. Пусть А и в бесконечномерные операторы. Докшэать,
что в каждом интервале (Pm,Pm+l), m 1, лежит счетное число
собственных :значений L. Т. А. Me.llbHU!I: (Киев)
33. Совпадает ли множество всех частичных пределов последо--
вательности действительных чисел с множеством всех частич
ных пределов последовательности среди арифметических исхо--
дной последовательности?
34. Пусть {а n : n 1} произвольная последовательность дей
ствительных чисел. Докшэать существование такой последова
тельности действительных чисел {Х n : п 1}, для которой для
любоrо Р > о
п
n
lim 1/n L {Xk}P == lim l/п L {Xk + ak}P == 1/(р + 1).
n......оо n......оо
k=1 k=1
35. Пусть дл..и последовательности действительных чисел
{ап:n 1}
и борелевскоrо множества Д С R
n
V N (д) := I: XA(Xk),
k=1
n 1.
НОВЫЕ ЗАДАЧИ
83
Привести пример последовательности действительных чисел
{ап:n 1}, для которой:
1) для каждоrо интервала 1 с [О, 1]
lim v n (1) == +00;
п---+оо
2) для непересекающихся интервалов 11, 12 И3 отре:зка [О, 1]
отношение
v n (1 1 )/v n (1 2 )
сходится к а) О, б) +00. А. А. Дороzовцев (Киев)
36. Пусть K(N) число четверок (а, Ь, с, d) натуральных чи
сел, удовлетворяющих условиям:
а) а 4 + Ь 4 + с 4 == d 2 ,
б) max(a,b,c,d) N,
с) НОД(а,Ь, с, d) == 1.
Дока:эать, что
K(N) > 2 3/2 N 1 / 8 1.
37. Дока:зать, что число 1/7r arctan(I/2) иррационально.
38. Пусть 1 Е C([ 7r, 7r]), 1(0) == 1 и при всех х Е ( 7r, 'К) спра
вeдJlивы соотношения
I(x) < 7r Ixl,
sin (nf(x)) inx == О
5 е .
n
п=1
Дока:зать, что существует число с Е ( 7r, 'К), для KOToporo f(c) ==
О. В. В. ВО./l'Чков (Донецк)
39. для последовательности {а п } С R чере:з {Ап(1)} обооначим
последовательность ее средних арифметических, череп {Ап (2)}
последовательность ср('ДНих арифметических второй последова
тельности и Т.д. Пос'rроить оrраниченную последовательность
{оп} такую, что дм каждоrо k 1 п(}следовательность {А п (k)}
не имеет предела.. А. r. Кукуш (Киев)
11-
Матема.тив:а. ceroДНJI, вып. 10 (199Q), 84 91
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ
ВЫПУСКОВ СБОРНИКА
1. МС'92. Последовательности действительных чисел {аn:n
1}, {Ьn:n 1} и {cn:n 1} СВJюаны соотношением
За; + ЗЬ; 2а n Ь n 2а n 2Ь n + 1 = cn,
n 1.
Пр оложим, что cn---+ О, n ---+ 00. Докапать, что последова
тельности {а n : n 1} и {ь n : n 1} сходятся и найти их пределы.
Решение. Заметим, что
сп = (а n ь n )2 + 2 (а n ) 2 + 2 (Ь n ) 2,
n 1.
Следовательно, а n ---+ , Ь N ---+ , n ---+ 00.
1. МС'92. Пусть Xl, Х2, . . . ,Х n попарно рааличные вещест
венные числа. Докааать, что
а) матрица А с эдементами
( x' x ) 2
A i k = е .1 k ;
,
i, k = 1, . . . , n,
положительно определена;
б) матрица В с элементами
1
B'k = .
'. \1" 1 + (Xi Xk)2'
i, k = 1,. . . , n,
положительно опр еленаj
в) матрица С с !Элементами
Ci,k = \1" 1 + (Xi Xk)2;
i, k 1, . . . , n,
имеет n 1 отрицательное и одно положительное соб-
ственное значение.
@ TBiMC, Иау,ове видавництво
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ 85
Решенuе автора зада'Чu. а) Восполь:зуемся формулой
2 1 1 +00. 2
е Ж == еIЖUе U /4 dи,
2Vi oo
i==H.
Тоrда
е (Жj Жk)2 == {+оо еiЖjUеirkUе u2/4 dи
2Vi1 00 '
1 j +oo I n 1 2
(Ad, d) == L djеiЖjU e и2/4 dи > О
2Vi oo j=1
'Vd =i О, d Е Н N
б) В интеrрапе
1 +00 ж2 d vi
е x==
о 2
сделаем оамену Х == tи. Получим
! == {+оо e t2u2 dи.
t vi 10
Положим t == J l + (Xj Xk)2. Тоrда
2 1 +00 2 2 ( ) 2
В и и Ж' Жk d
jk == t= е е J и.
у п о
Теперь в силу а) оахлючаем, что
2 (+оо [ n ]
(Bd,d) == 10 e и2 L djdkе (UЖj UЖk)2 dи> О
..ft о j,k=1
Vd Е н n , d =i о.
в) Обооначим собствеННЬ1е числа матрицы С через >'1 Л2
. . . Л"; хорошо mэвестно, что
),,, == max(Cd,d).
Ildll=1
86 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ
В:эяв вектор d o == ( Jп , Jп , . . . , ,*), получим
1 n
Л N (Cd o , d o ) == C ik > О.
n
i,k==l
Для доказательства отрицательности остальных собственных
:эначений достаточно доказать, что матрица С отрицательно
определена на некотором пространстве размерности n 1. Мы
покажем, что (Cd, d) < О, если только d i- о и d 1 + d 2 + . . . + d n ==
О.
в интеrрале
1 +00 e x2 1
2 dx == ../ii
о х
сделаем :эамену х == tи. Tor да получим
1 [+00 1 e t2и2
t == vп J о и2 dи,
1 1 +00 1 [ 2 2 { ) 2 ]
C ik == .;:;r о и2 1 e и e и Zj Zk dи.
Отсюда при d i- О, d 1 + d 2 + . . . + d n == О следует
1 1 +00 и2 n
(Cd,d) == didke (иXj UXk)2 dи < О.
1.1.2
У" о i,k==l
12. МС'92. ДЛЯ последовательности целых неотрицатепьнbDC
чисел {а n : n 1} натуральная плотность ПОДПОCJЩЦовательн
сти индексов ее нулевых членов равна р, Т.е.
1 . L
р == Нт 1.
n......оо n
4i=O,i:5n
Вычислить предел cpeднero арифметическоrо подпосл ова
тельности последовательности чисел
1 1',/1. х
сп :== ctg . sin пх dx,
о 2
n 11,
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ 87
с индексами, пробеrающими последовательность {а т : m 1}.
Реше'fше автора задачи. Имеем
Cп+l Сп == {" ctg (sin (п + l)х sin пх) dx
10 J
{" Х Х ( 'х' )
== 10 2 ctg 2' sin 2 cos п + 2' х dx
== i 7r 2 cos f cos (n + ) х dx
== l7r (cos (п + l)х + cos пх) dx
( sin (п + l)х sin пх ) 1 7r
+ o.
п+l п о
Следовательно,
{7r Х
сп == сп 1 == . . . == Cl == 10 ctg 2' Sill х dx
{" х х х {7r Х
== 10 ctg 22 sin 2' cos 2 dx == 10 2 cos 2 2 dx
== l7r (1 + cosx) dx == (х + sinx) ' == 11'.
Итак,
{ о,
Сп==
11',
n == о;
n == 1,2,3,... .
Следовательно, синус :в:о..)ффицивнт Фурье Ь N фун:в:ции у == ctg
на отрюке [ 11', 11'] равен
{ О,
Ь n ==
211',
n == о;
n == 1,2,. ..,
и
. { о, om == о;
Ь а ==
т 211', а т 1: о.
88 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ
Поотому bl&l + bl&2 + .. . + bl&n == 27r(n v(n)), rде v(n) число
нулевых членов последовательности {а т }:= l' номера :которых
п. По условию Нт v n) == р. Следовательно,
lim .!..(bl&l + bl&2 + . . . + bl&n) == 27r(1 р).
"......оо n
15. МС'92. Пусть ct > о, (3 < 1, f Е 0([1, +00)) и f(x) й,
х ---+ +00, а > о. Найти
1 1 5 (n)
lim f(x) dx,
п......оо па О
rде в(п) :== E =1 k /3, n 1.
Решенuе автора задачu. Поск:олы:у ряд E =1 k fJ и интеrрал
fl+ oo f(x) dx, очевидно, расходится, то ДJIЯ нахождеНИJ[ ук:ззав
Boro предела можно воспольооватьcs: теоремой Штольцз.. Ита.к:,
1 / 5(n) 1 / 5(П+1)
1 == lim f(x) dx == lim ( 1) '(х) dx.
"......оо ПА 1 "......оо n + а п'" 5(n)
Далее, по теореме о СрЕЩНем оначении ДЛJI интеrралов
l lim f( ) 1
"......оо (п + 1)/3 (п + 1)0 п""
rде вn < < 8п+1 И ---+ +00 при n ---+ 00. Поэтому
1 == lim f( ) '" 1 == lim 1 .
"......оо n [(1 + ) 1] no 1(n + 1)/3 а "......оо по Чп + 1)/3
Следовз.тельно,
{ 1&
а'
1 == о,
+00,
о + {3 == 1;
о+{3> 1;
а + {3 < 1.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ 89
16. МС'92. Найти все целые функции j, удовлетворяющие ypa
внению на С
(f')2 + j2 == 1.
Решение автора зада'Чи. Первый способ. Если j решение
данноrо уравнения, то после дифференцирования тождества
[J(z)]2 + [J'(z)]2 = 1
получим j'(z)[J(z) + j"(Z)] = О. Отсюда следует, что либо
j'(z) = О, либо j(z) + j"(Z) = О. Поэтому в первом случае
j(z) = а и (с учетом уравнения!) а 2 == 1, а во втором случае
j(z) == (:1 cos Z + С2 sin z, причем c + c == 1.
Второй способ. В очерке А. И. Маркушевича "Целые функции"
(Москва, из во "Наука", 1975 r.) на с. 76 элементарным способом
ДОКа3ываетCJI, что если f и 9 целые функции, для которых
[J(z)]2+[g(z)]2 == 1, то существует такая целая функЦИJI h(z), что
J(z) == cosh(z) и g(z) == sinh(z). Поотому в рассматриваемом
случае, с одной стороны, j'(z) == sinh(z), а с друrой f'(z) ==
h'(z) sinh(z), Т.е. h'(z) = 1 или sin h(z) = О.
Следовательно, либо f(z) == а. cos(z + Ь), rде а 2 == 1 и Ь Е С,
либо f(z) == а (а 2 == 1).
Заме'Чание. То, что оба способа решения приводят к одним И
тем же множествам функций " очевидно.
17. МС'92. Пусть и rармоническая внекоторой ОДRОСВJШной
области G функция, причем i- о в С. Доказать, что функции
ди [( ди ) 2 ( ди ) 2 ] l
щ(х,у):== дх дх + ду ,
дv. ( ди ) 1
Vl(X,y) == ду Ul дх
ЯВЛJIютCJI rармонически сопряженными в этой области.
Решение автора зада'Чи. Через v(x, у) обозначим rармониче
ски сопряженную с 'и(х,у) функцию и положим j(z) == -и(х,у) +
iv(x,y) (z == х +iy). Как известно, j аналитическЗJI в G фун
кция И j'(z) == + i или с учетом условий Коши: Римана
Эйлера Даламбера, j'(z) == i : . ПОСКОJIЬку j'(z) также
11
90 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ
аналитична в G и I'(z) i- о (ибо 1- О), то аналитической в G
является и функция f'(z) ' Искомое утверждение следует теперь
из представления
1 .
( ) == и1(Х,У) +ZV1(X,y).
l' z
18. МС'92. Пусть р мноrочлен степени s 1, s Е N. ДOKa
зать, что при всех z с Re z > ! справедливо равенство
ds+1 ( 00 ( 1 ) k )
dz 8 +l LP(k) 1 :; == О.
k=O
Реше'Н:u.е автора задачи. Положим t == 1 и заметим, что
Re z > ! тоrда и только тоrда, коrда Itl < 1. Леrко проверить,
что сумма сходящеrося в Kpyre Itl < 1 ряда 2: =0 kmt k (т Е
N u {О}) представима в виде 2:::01 (1 )n (А п Е С). Позтому
00 s В
LP(k)t k == L (1 l t)l
k=O 1=0
(Bl С),
а 2: =op(k)(1 )k == 2:;=0 BIZI мноrочлен, степень KOToporo
не превыmает s.
19. МС'92. Пусть а фиксированная целая функция. Доказать
следующее утверждение: для Toro чтобы произвольная целая
функция 1 была представима в виде предела равномерно сходя
щейся на каждом компакте И3 С последовательности линейных
комбинаций степеней а, т.е.
f(z) == lim [c n) + c n)a(z) +... + c )an(z)],
"......оо
{ci n )} с С,
необходимо и достаточно, чтобы a(z) == az + ь, rде {а, Ь} с С и
а 1- О.
Решение автора задачи. Сперва покажем, что a(z) не может
быть трансцендентной функций. Действитеп:ьно, в противном
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫПУСКОВ 91
случае в силу малой теоремы Пикара (см., например, А. И. Map
кушевич, Целые функции. М.: Наука, 1975, с. 56) она при
нимала бы каждое свое :значение (:за исключением, во:зможно,
одноrо) в бесконечном множестве точек. Во всяком случае, cy
ществовали бы по крайней мере две такие точки zl и z2, zl i- z2,
что !(Zl) == !(Z2) для любой целой функции !(z). Поскольку
последнее нево:зможно, то a(z) мноrочлен. Если ero степень
n 2, то по основной теореме алrебры a(z) имеет n (с учетом
кратностей) корней. В силу и:зложенноrо естественно предполо--
жить, что все они равны между собой. Итак, пусть Zo един
ственный корень мноrочлена a(z) кратности n 2. Тоrда после
дифференцирования ука:занной равномерно сходящейся последо--
вательности аналитических функций получим, что любая целая
функция f(z) удовлетворяет соотношению !'(Zo) == о, что He
во:зможно. Следовательно, a(z) == az + Ь (а, Ь Е С) и, очевидно,
а i- о.
Наоборот, пусть a(z) == az + Ь (а, Ь Е С, а i- о) и /(z)
прои:звольная цела.я функция. Тоrда функция J( Z b ) также
целая и по теореме Тейлора
/ ( z Ь ) == f !k zk ,
k=O
причем степенной ряд сходится равномерно на каждом компак
те. Следовательно,
n n
!(z) == Нт '"' !k(aZ + b)k == Нт '"' /kak(Z)
n......оо L...J n......оо
k=O k O
и, очевидно, сходимость полученной последовательности также
равномерная на :каждом :компакте из С.
12-
Математика сеrодня, вып. 10 (1995), 92 94
РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ТУР
ОЛИМПИАДЫ "СТУДЕНТ И НТП"
ПО МАТЕМАТИКЕ. КИЕВ, 1990
КИЕВ, 1990
III V КУСЫ
1 ЭТ АЛ
1. Дана последовательность мноrочленов {Рn(Х):n 1}, х Е R,
rде ро(х) == 2, Р 1 (х) == Х и для любоrо n 1 выполнено равенство
Pn+l(X) + Pn l(X) == хРn(х),
хЕ R.
Доказать, что существуют три действительнbIX числа а, Ь и с
такие, что для: всякоrо n 1 выполнено соотношение
(х 2 4)(P (x) 4) == (аРп+! (х) + ЬРn(х) + CPn l (х))2,
хЕ R.
2. Пусть J выпуклая и непрерывная на [0,1] функция и число
h Е (0,1/2). Докапать, что
1 1 2h ( 1 ) 1/2
О и(х + 2h) 2J(x + h) + J(x)) 1/2 dx s: 8h 111II1n h '
rде
11111 == max{lJ(x)l: х Е [о,I]}.
з. Пусть { o, . . . , (n} нroависимые одинаково распределенные
rауссовские случайные величины такие, что М (о == О, М (5 == 1.
Доказать, что для любоrо ОТРе3ка [а,l1] с R вероятность Toro,
что мноrочлен o +6х+'" + (n хn имеет корень на [а,,В], больше
нуля.
4. Доказать, что если реrулярнал И однолистная в Kpyre Izl < 1
фУНКЦИИ J(z) == z + C2z2 +... имеет действительные КооффИЦИ
енты, то 'CN 1 S: n, n 2.
@ TBiMC, H"YI<Olle ВИДВIIНИUТВО
(IJIИМllИЛДА "СТУДЕНТ И НТП"
93
11 ЭТАП
1. Пусть {Рп:n О} последовательность выпуклых MHoroy
rльников, вложенных дpyr в дpyra по следующему правилу: Ka
ждая сторона мноrоуrольника Р" ршэбивается на три равные
части и ломаная, соединяющая соседние внутренние точки ршэ
биения, обршэует мноrоуrольник Р П + 1 ' Дока:эать, что если РО
правильный треуrольник со стороной 1, то
lim s(Pn) == vз 7 3 '
n --+ 00
rде s(P) площадь мноrоуrольника Р.
2. Пусть дифференциальное уравнение
у'" + р(х)у" + q(x)y' + т(х)у == О,
xER,
имеет решения Уl, У2 И уз на всей вещественной прямой такие,
что уНх) + y (x) + y (x) == 1, х Е R. Положим
f ,2 ,2 ,2
== У 1 + у 2 + у 3'
Найти все константы А и В такие, что f есть решение дифф
ренциальноrо уравнения у' + Ар(х)у == Вт(х).
3. Пусть { n: n 1} последовательность нroависимых оди
наково распределеннЪ1Х случайных величин таких, что P{€l ==
1} == Р{6 == 1} == 1/2 и
"'Х Е С([О, 1]): f(x) == nl MX( + t 3; 1 ).
k=O
Докапать, что li1I1n--+0о f( сов В (. {nv'2})) == О.
4. Числа Бернулли Вп, n О, опредешuoтся соотношением
00
z ВП n
е:: 1 == L...J n! z .
п=О
ДОItIl3&ТЬ, что
I Вп+l Zn I 1
L...J ( 1)' , 1 + ln(l + z),
n + . n. 71'
п=О
z О.
9<1
ОЛИМПИАДА "СТУДЕНТ И НТП"
5. Пусть I Е C 2 (R+) . такая функция. что f + f" и f' (или
f) оrраничсны на R+. Докааать, что тоrда и f (или COOTneT
ствснно f') оrраничена на R+ и выполняется нераnснство
111111 IIf'lll 111" + fll,
r.це 11.11 . обычная SUp HopMa 11911 == sup{19(:I:)I:x Е R+}.
Математиltа сеrодн., вып. 10 (1995), 95 9б
УКРАИНСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (rРУППА
УНИВЕРСИТЕТОВ, III V КУРСЫ).
КИЕВ, 1992/93 УЧ. rод
1 ЭТАП
1. На rиперболе у == 1jx, Х # О, взяты две точки М и N, сим
метричные относительно начала координат. Окружность с цeH
тром в М, проходящая черс:э точку N, пересекает rиперболу
еще в трех точках. Докшэать, что эти точки лежат в вершинах
правильноrо треуrольника.
2. Пусть ао > а2 > ... > а n > О. Докшэать, что для любоrо
t Е (0,27r)
t ak sin ( k + ) t > О.
k==O
3. Пусть О m n 1, т, n Е N, ak неотрицательные, не
все равные нулю, целые числа, k == О, 1,..., n,
n
P(X) :== L) l)n kakP(x + k) == О
k==O
для любоrо мноrО'ЧJIена Р степени n 1 т. Докшэать, что
n
L ak 2n т.
k==O
4. Последовательность {Х п : n 1} действительных чисел pery
лярна, если для любой f Е С(Н) существует
1 n
lim L f(xk),
n......оо n
k==l
Дои:а:зать, что реrулярнаи последовательность оrраничена; остЗr
ется ли последовательность реrулярной после произвольной r
рестаНО8КИ ее членов?
@) TBiMC, Иау.аве 8НД88ннцтва
96 УКР АИНСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
11 ЭТАП
1. Дока:эать, что двумерная сфера не может быть разбита на
шестиуrольники так, чтобы любые два иа них пересекались не
более чем по одному ребру; какая ориентируемая аамкнутая по--
верхность допускает такое ра:эбиение?
2. Интеrральный модуль непрерывности суммируемой по Ле--
беrу функции f определяется равенством
1 1 h
WL(t5, f) == sup If(t + h) f(t)l dt.
0 h:S6 о
Дока:эать, что для любой непрерывно дифференцируемой на
[0,1] функции g(t) интеrральный модуль непрерывности фун
кции fa(t) == g(t)/It al cr (О < Q < 1, О < а < 1) удовлетворяет
неравенству W L (15, f а) < с6 1 о, r де константа с аависит только
от функции g(t).
З. Пусть 2::=0 anz n имеет положительный радиус сходимости.
Дока:эать, что существует целая функция A(t) зкспоненциаль
HorO типа такая, что А(п) == а n , n Е N.
4. 6, 6 случайные величины, принимающие аначения на
[0,1], таковы, что длл всяких пуассоновских случайнbIX величин
V1, V2, не::эависимbIX между собой и от (6,6)
M Vl V2 M Vl M V2
<"1 <"2 <"1 <"2'
Дока:эать, что 1 И 6 неаависимы.
Математика сеrоднв, ВЫЛ. 10 (1995), 97 99
ЗАДАЧИ УНИВЕРСИТЕтскоrо
ТУРА СТУДЕНЧЕСКОЙ
ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ.
КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, 10 МАРТА 1995 r.
1 (1 курс). Док &3ать , что
'<in Е N
3! t(n) > 1: (t(n) 1) ln t(n) == n
и вычислить предел
Нт ( t(n) ln n ) .
n--+оо n
2 (1 курс). Для оrраниченной последовательности {а п : n 1} С
R пусть
1
А п :== (al + а2 +.. . + а п ),
n
n 1.
Предположим, что множество А всех частичных пределов по--
следовательности {а п : n 1} совпадает со множеством всех ча
стичныхпределов {А п : n 1}. Док&3ать, что А есть отрезок
или точка. Если А есть отрroок или точка, то выполняется ли
предположение задачи?
3 (1 курс). ФункцИJI f: R R имеет примитивную F на R и
'<ix Е R: 2xF(x) == f (х).
Найти f.
4 (1 курс). Пусть f Е С([О, 1]). Док&зать, что
3с Е (0,1): l С f(x) dx == (1 c)f(c).
@ TBiMC, HaY.OB 811.цаВИIIЦТВО
13
98
ЗАДА чи УНИВЕРСИТЕтскоrо ТУРА
5 (1 2 курсы). Последовательность {Аn: n:::: 1} матриц размера
m х rn с действительными элементами удовлетворяет Соотноше
нию
2 3
Аn+ 1 == Аn Аn + '41, n :::: о,
Ао == А,
rде 1 единичная матрица, А заданная положительно опре
деленная симметричная матрица, для которой tr А < 1. Найти
liШn---tоо Аn.
6 (1 2 курсы). Для оrраниченной последовательности {хn:п >
1} С R и числа а выполняются соотношения
1 n . .
liш L х З == аЗ ,
n---+оо n k
k=1
j == 1,2.
Доказать, что
. 1 n. .
11т SШХk == sша.
n---too п
k=1
7 (1 4 курсы). Пусть F произвольный четырехуrольник пло--
щади 1, а G Kpyr радиуса -тr 1/2. Пусть а(n) для каждоrо n :::: 1
есть наибольшее число фиrур с непересекающимися внутренно--
стями, подобных F, имеющих площадь 1/n, которые можно раз
местить в С. Аналоrично определяется Ь(n) для F по С, n :::: 1.
Доказать, что
limsup Ь(п) < lim а(n) == 1.
n---too n n---+оо n
8 (1 4 курсы). Определить максимальный периметр выпуклоrо
кусочно--rладхоrо контура диаметра d.
9 (2 курс). Дока:зать, что в классе С l (п) уравнение
у'(х) (2 + cosx)y(x) == arctg х,
xER
имеет единственное оrраниченное на R реЩЩiИе.
ЗАДА чи УНИВЕРСИТЕтскоrо тур А
99
10 (2 курс). Найти все решения :задачи Коши
{ у'(х) == fox sin (у(и)) du + сов х, х О,
у(О) == О.
11 (3 курс). Ряд J(Z) == 2::'=0 cnz n имеет радиус сходимости 1
и
Сп == О,
n == km + [, т Е N, k 2.
Доказать, что f имеет по крайней мере две особые точки на
единичной окружности.
12 (3 4 курсы). В кольце К == {z Е с: 1 :::; Izl :::; 2} paCCMa
тривается множество W всех rармонических функций u таких,
что
r д ди ds == 27r,
1s 1 n
n внутреНJlЯ нормаль. Пусть и. Е W такова, что
3j :== {z Е с: Izl == Л, j == 1,2,
D(u.) == min D(u),
uEW
rде
D(u) :== //к (и' + и' ) dx dy.
Дока:зать, что и. постоянна.а: на 31 и на 32'
13 (3 4 курсы). Каждое натуральное число не:зависимо от oc
тальных с вероятностью 0.4 является ловушкой. Независимо от
этоrо :за.а:ц прыrает по натуральным числам, начиная с 1 и дела.а:
в единицу времени прыжок вправо на О, 1, 2 с вероятностью ,
нroависимо от величины предыдущих прыжков. Доказать, что
:заяц попадет в ловушку с вероятностью 1.
14 (4 курс). Пусть Н rильбертово пространство и {Аn: n
1} С С(Н) таковы, что
"Х Е Н: IIAnxl1 О,
n OO.
Доказать, что
IIAnKl1 ---+ О,
n ---+ 00,
ДЛЯ. вюбоrо компактноrо оператора К.
IЗ.
Математиltа сеrоднв, вып. 10 (1995), 10(),,--101
УКРАИНСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА СТУДЕНТОВ III IV
КУРСОВ (rРУППА УНИВЕРСИТЕТОВ).
ХАРЬКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ,
26 АПРЕЛЯ 1995 rОДА
у СЛОВИЯ ЗАДАЧ
1. Точки 6, . . . , Ek,. .. бросаются в отре:зок [о; 1] поспедователь
нЬ так, что 6 равномерно распределена на [о; 1], 6k равно-
мерно распределена на [6k 1; 1], 6Нl равномерно распреде
лена на [о; 6k], k == 1'2,.... Найдите математическое ожида
нне k'
2. В лоrической формуле
(P 1 'Тll (Р 2 172 (Р з 17з(. .. (Pn l1Jn lPn)", ))))
{1Jk} одинаково распределенные случайные элементы, прини-
мающие :значения лоrических операций "и", "или", "следует"
с вероятностями Ql, q2, qз соответственно, {P k } одинаково
раСПРЕЩеленные случайные элементы, принимающие лоrические
:значения "истина" и "ложь" с вероятностями r и 1 r COOTBeT
ственно. Найдите вероятность Toro, что формула принимает
:значение "истина", если {"1k} И {P k } нroависимы в совокупно-
сти.
З. Докажите, что ДJlJI любоrо тетраодра найдетс.и плоскость, КО-
торал делит пополам ero объем, площадь поверхности и длину
каркаса.
4. На плоскости расПOJIOжена I13ra невырожденной кривой вто-
poro ПОрJIДICа. С помощью циркуля и линейки ОПРlЩеJI те вид
КРИВОЙ (ЗJIJJипс, rипербола ИJШ парабола). " .
@ ТИil..iс, H ;.o.e " .HIIЦT.O
УКРАИНСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 101
5. Докажите, что существует А континуальное подмножес
тво (0,1), удовлетворяющее следующим условиям:
а) двоичная эапись любоrо элемента иэ А содержит беско
нечно мноrо единиц;
б) для любых двух ра.:зличных элементов иэ А при перемно
жении соответствующих раэрядов их двоичных записей
получается конечное число единиц.
6. Пусть М произвольное подпространство в с[о; 1] кораэ
мерности 1, Р произвольный проектор на М. Докажите. что
IIPII 2.
7. Найдите все аналитические функции f: D D, (D ==' {z Е
с: Izl < 1}), имеющие не меньше двух неподвижных точке.
8. В rильбертовом пространстве L2(T. р) найдите все оrрани
ченные операторы, коммутирующие с оператором умножения
М и операторами сдвиrа В>.. (Т == {z Е с: Izl == 1}, р мера
Лебеrа на Т, (Mu)(z) == zu(z), (S>..u)(z) == u(лz), л Е Т).
9. Существует ли целая функция, абсолютно интеrрируемая на
всей вещественной оси и не стремящаяся к нулю на плюс беско
нечности?
Математика сеrодня, вып. 10 (1995), 102 104
INTERNATIONAL COMPETITION FOR
UNIVERSITY STUDENTS IN MATHEMATICS
AUGUST 2 7, 1995, PLOVDIV, BULGARIA
FIRST ОАУ . AUGUST 4, 1995
Problem 1 is worth 10 points, Problems 2, 3, and 4 are worth
15 points, Problem 5 is worth 20 points and Problem 6 is worth 25
points. Уои Ьауе 5 hours.
Problem 1. Let Х Ье а nonsingular matrix with columns Х 1 , Х 2 ,
...,Х n ' Let У Ье а matrix with columns Х 2 ,Х з ,...,Х n ,0. Show
that the matrices А == У x l and В == X ly have rank n 1 and
have only O's for eigenvalues.
Problem 2. Let f Ье а continuous function оп [0,1] such that for
every х Е [0,1] we have J: f(t) dt 1 / . Show that Jo 1 j2(t) dt
1
З'
Problem 3. Let f Ье twice continuously differentiable оп (О, +00)
such tha.t limx o+ fl(X) == oo and limx o+ fll(X) == +00. Show
that
lim f(x) == О.
x o+ fl(X)
Problem 4. Let Р: (1,00) R Ье the function defined Ьу
2
l Х dt
Р(х): == l '
х n t
SllOW that F is olle--to-one (i.e. injective) and find the range (i.e. set
of values) оС Р.
Problem 5. Let А and В Ье real n х n ma.trices. Аээише that
there exists n + 1 different real numbers t}, t 2 ,... , t n +1 эисЬ tha.t
the matrices
C i ==A+tiB, i== 1,2,...,n+l,
are nilpotent (i.e. Ci == О). Show that both А and В ше nilpotent.
@ TBiMC, Нау.он ........и.QТ.О
INTERNATIONAL COMPETITION IN MATHEMATICS 103
Problem 6. Let р > 1. Show that there exists а constant Кр > О
such that for every х, у Е R satisfying Ixl 2 + lyl2 == 2, we have
(х у)2 Кр (4 (х + у)2) .
SECOND DAY AUGUST 5, 1995
Problems 1 and 5 а) are worth 10 points, Problerns 2, 3, 4, and
5 Ь) are worth 15 points, Problem б is worth 20 points. Уои have 5
hours.
Problem 1. Let А Ье 3 х 3 real matrix such tllat the vectors Аи
and и are orthogonal for еасЬ colurnn vector и Е R З . Prove that:
а) АТ == A, where А Т denotes the transpose of the matrix А;
Ь) there exists а vector v Е R З such that Аи == v х и for every
и Е R 3 , where v х и denotes the vector product in R 3 .
Problem 2. Let {Ь n , n О} Ьс а seque nce of posit ive real numbers
such that Ь о == 1, Ь N == 2 + ";bn l 2 J 1 + v'bn l ' Calculate
00
L Ь n 2 n .
n=l
Problem 3. Let all roots of ап n th degree polynornial P(z) with
complex coefficients lie оп the unit circle in the complex plane. Prove
that аН roots of the polynornial 2zP'(z) nP(z) lie оп the sarne
circle.
Problem 4.
а) Prove that for every Е > О there is а positive number n and
real numbers Лl, . . . , л n such that
шах I X tЛ1ох21он I < Е,
жЕ[ I,I] 10==1
Ь) Prove that for every odd continuous function f оп [ 1, 1]
and for every Е > О there is а positive integer n and real
numbers J1.1 : . . , ,J1.n such that
шах I f(X) tJ1. k x 2 k+ 1 / < Е.
жЕ[ I,l] 10==1
104 INTERNATIONAL COMPETITION IN MATHEMATICS.
Recall that f is odd means that f(x) == f( x) for аН
х Е [ 1, 1].
Problem 5.
. а) Prove that every function of the form
N
ао ""
f(x) == 2" + cosx + L...J а n cos(nx)
"=2
with laol < 1, Ьзs positive a.s weH a.s negative values in the
period [О, 27r).
Ь) Prove that the function
100
Р(х) == L cos (n3/2х)
n=1
has at least 40 zeros in the interval (0,1000).
Problem 6. Suppose that ип(х), n 1} is а sequence of continu
оuз functions оп the interval [О, 1] such that
(1 fm(x)fn(x) dx == { 1,
10 О,
if n == т,
if n =/: т,
and
sup{lfn(x)l:x Е [0,1] and n 1} < +00.
Show that there exists по subsequence ип,.} of {fn} such that the
limi t
lim /п,,(х)
k oo
exists for аН х Е [0,1].
Математика сеrоднв, вып. 10 (1995), 105 107
FIFTY SIXTH ANNU AL WILLIAM
LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL
COMPETITION. DECEMBER 2 З, 1995, USA
EXAMINATION А
Problem Аl. Let 5 Ье а set of real numbers which is closed under
multiplication (that is, if а and Ь ме in 5, then so is аЬ). Let Т and
и Ье disjoint subsets of 5 whose union is 5. Given that the product
of апу three (not necessarily distinct) elements ofT is in Т and that
the product of апу three elements of и is in и, show that at least
опе of the two subsets Т, и is closed under multiplication.
Problem А2. For what pairs (а, Ь) of positive real numbers does
the irnproper integral
100 ( Vvx+a ..;x v ..;x VX b ) dx
converge?
Problem АЗ. The number d 1 d 2 ... d 9 has nine (not necessarily
distinct) decirnal digits. The number еlе2 ... eg is such that each of
the nine 9 digit numbers formed Ьу replacing just опе of the digits
d i in d 1 d 2 . . . d 9 Ьу the corresponding digit ei, 1 S i S 9, is divisible
Ьу 7. The number /112'" /9 is related to ele2. .. е9 in the same
way: that is, each of nine numbers forrned Ьу replacing one of the
ei Ьу the corresponding /i is divisible Ьу 7. Show that, for each i,
d i /i is divisible Ьу 7. [For example, if d 1 d 2 . .. d 9 == 199501996,
then е6 mау Ье 2 or 9, since 199502996 and 199509996 ме multiplies
of 7.].
Problem А4. Suppose we have а necklace of n beads. Each bead is
labeled with an integer and the Sllffi of ш! these labels is n 1. Prove
that we сап cut the necklac to fOHn а string whose conseql1itive
TDi IC. Нау...... .М.....М'щТ.о
14
106 PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION
labels Xl, Х2,. . ., Х п satisfy
k
x.<k l
L.., 1 ,
i==l
for k == 1,2,.. . , n.
Problem А5. Let Xl, Х2, . . . , Х п Ье differentiable (real valued)
functions of а single variable t which satisfy
dXl
& == allXl + al2 x 2 + . . . + alnX n ,
dX2
dt == a21 x l + а22 Х 2 + .. . + а2п Х n,
dxn
& == anlXl + а п 2 Х 2 + . . . + аппх n
for some constants aij О. Suppose that for аН i, Xi(t) О a.s t
00. Are the functions Xl, Х2, . . . , Х n necessarily linearly dependent?
Problem А6. Suppose that еасЬ of n people writes down the nит
bers 1, 2, 3 in random order in опе column of а 3 х n matrix, with
аН orders equa11y likely and with the orders for different columns
independent of еасЬ other. Let the row sums а, Ь, с of the resulting
matrix Ье rearrenged (if necessary) so that а Ь с. Show that for
some n 1995, it is at least (ош times a.s likely that both Ь == а + 1
and с == а + 2 as that а == Ь == с.
EXAMINATION В
Problem Вl. For а partition -тr of {1,2,з,4,5,6, 7,8,9}, let -тr(x)
he the number of elements in the part containing х. Prove that for
апу two partitions -тr and -тr', there are two distinct numbers Х and
у in р,2,3,4,5,6, 7,8,9} such that -тr(x) == -тr(y) and -тr'(x) == -тr'(y).
[А partition of а set 5 is а co11ection of disjoint subsets (parts) whose
union is 5.]
Problem В2. Ап ellipse, whose semi axes Ьауе lengths а and Ь,
ro11s without slipping Ьп the curve у == csin(x/a). How are а, Ь, с
related, given that the ellipse copletes опе revolution when it tra
verscs опе period of the сшуе? .
PUTNAM MATHEMATICAL COMPEТITION
107
Problem ВЗ. То each positive integer with n 2 decimal digits we
associate the determinant of the matrix obtained Ьу writing the
digits in the odrer across the rows. For example, for n == 2, to the
integer 8617 we associate det ( ) == 50. Find, as а function of n,
the sum of аН the determinants assocciated with n2 digit integers.
(Leading digits ате assumed to Ье nonzero; for example, for n == 2,
there ате 9000 determinants.)
Problem В4. Evaluate
8 2207 11
2207 . . .
2207
Express your answer in the form а + :Vё , where а, Ь, с, d ате inte
gers.
Problem В5. А game starts with four heaps of Ьеапв, contain
ing 3,4,5 and 6 heans. The two players move alternately. А move
consists of taking either
а) опе Ьеап from а heap, provided at least two beans are left
behind in that heap, от
Ь) а complete heap of two or three Ьеапв.
The player who takes the last heap wins. То win the game, do you
want to move first or second? Give а winning strategy.
Problem В6. For а positive real number о, define
8(0) == {[по]: n == 1,2,3, ... } .
Prove tl1at {1, 2, 3,.. . } cannot Ье expressed as the disjoint union
of three sets 8(0), 8(13), and 8('У). [Ав usual, [х] is the greatest
integer S х.]
Математика сеrоднs, вып. 10 (1995), 108 113
ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ,
ОПУБЛИКОВАННЫХ В СБОРНИКЕ
"МАТЕМАТИКА СЕI'ОДНЯ" ЗА 1983 1993 I'ОДЫ
ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
1. С. Б. Белый, Об од-н.ой эадаче uэ ра,исеевской теории 2рафов 5 (1989),
28 38.
2. В. И. Боrачев, О. ['. СМОЛJlНОВ, В. Шахермайер, Неnрерыв-н.ые 'суже-н.uн
.l&и-н.ейных отображений 7 (1992), 115 126.
3. В. В. Булдыrин, Ю. В. Кооаченко, Фу-н.кционаяы Бер-н.штей-н.а u эксnо-
нен uаль-н.ые нераве-н.ства d./U pacnpede.l&eHUU сумм С.l&учай-н.ых ве.l&ичин
9 (1994), 55 79.
4. Ю. Н. Валицкий, Оди-н. способ решенuн систе,иы .l&инейных уравне-н.ий с
Maтpи eй Вандермонда 5 (1989), 39 47.
5. С. В. Востоков, И. Б. Фесенко, Основ-н.ые noмнтuн теории nО.l&ей l\:.I&ac
сов и за"он оэаи.мности 6 (1990), 8 31.
6. , Э.l&.I&unтuческие кривые и форма.l&ьные 2рУnnЫ 8 (1993), 8 31.
7. С. ['. I'иНДИКИН, Ко,иn.l&еI\:СНЫЙ ,иuр Роджера Пенроуэа 1 (1993), 16 33.
8. , о nольэе "оорди-н.ат u искусстве сцеnливать 2unерБО.l&оиды 4
(1988), 31 52.
9. М. Ф. rородиiй, Об,иеже-н.i i nерiодич-н.i розв 'яэJtU .l&iнiй-н.О20 рiзни евD20
pieМНHМН в банаховому npocmopi 8 (1993), 114 132.
10. И. И. Данилюк, О эадачах со свободной (-н.еизвестной) 2pa-н.и eй 7
(1992), 74 85.
11. А. А. ДорОl'овцев, Эде,иенты стохастичеСК02D дифферен uа.l&ЬН020 иc
чиС.l&енШI' 4 (1988), 105 131.
12. , О стохастических UHme2pa.l&bHb&X nредстав.l&ениях 9 (1994), 80
92.
13. А. Я. Дороrовцев, Э.l&ементы анаяиэа векторнь&х функ ий 2 (1986),
105 128.
14. , Э.l&еме-н.ты анаяиэа веюnорных функ ий 3 (1987), 46 74.
15. , Об одном методе доказатеяьства существова-н.uн 02ра-н.ичен-
'Н.ых u nерuодических реше'Н.uй 6 (1990)'39---48.
16. А. Я. Дороrовцев, Н. А. Денисьевский, ПОС.l&едоватмь-н.ые nрuб.l&uженuн
в MOde.llJlX с n02решносmв,иu 8 (1993), 63 77.
17. Ю. А. Дрозд, Теорема о 'Четырех "вадратах 1 (1983), 88 93.
18. А. А. Евдокимов, С. А. Малюrии, Код "змен в нщи"е" и пути в pe
шет"е на торе 3 (1987), 108 1l6.
@ TBiMC, НаУВО8е 8идаВНИЦТ80
ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ ЗА 1983 1993 rоды
109
19. r. П. Еrорычев, ИсторU8 u дохаэате.llьство 2иnотеэы Ван дер Вар-
дена о nерманентах 2 (1986), 44 75.
20. , Комбинаторные сум.мы. Инте2ра.l&ьное nредстав4ение u в ы'Чи-
С.llение 4 (1988), 53 75.
21. А. В. Иванов, Современные nроб.llемы приХ.l&адной статистшеи c.l&y-
чайных nроцессов 2 (1986), 128 150.
22. В. В. Ива.нов, ТОnO.ll02uчеСХaR степень 3 (1987), 24---46.
23. С. д. Ивасишен, С. д. Эйдепьма.н, ПараБО.l&ическuе ypaвHeHUН: примеры,
эада'Ча Коши, свойства решений 3 (1987), 74 108.
24. , Линейные nараБО.llическuе эадачи: примеры, теоремы о хор-
peКТnHocти 4 (1988), 76 104.
25. Л. А. Калужнин, "Мнимые ra.llya" и 2рУnnЫ nодстановох 1 (1983), 54
67.
26. О. И. Клесов, Кратные суммы С.llучайных ве.l&ичин и эа"оны БО.l&ьших
'ЧUСМ 1 (1992), 146 168.
27. В. И. Колчинский, Сходимость эмnирическuх мер 3 (1987), 131 156.
28. , Метри'Чесхая энтропШl компактных множеств 6 (1990), 49
76.
29. А. Ю. Конста.нтинов, АБСО.llютная сходимость рндов и nреобраэованuй
Фурье 6 (1990), 31 39.
30. В. С. Коропюк, MameMaml Ka в современном мире 1 (1983), 12 16.
31. А. И. Криворучко, Что такое раэ.мерность пространства в mono.l&o-
2ии 1 (1992), 40---45.
32. А. В. Кужель. Метод обобщений в математическом творчестве 1
(1983), 68 88.
33. , Математичесхие струхтуры 2 (1986), 8 26.
34. , Современное noннmиe .l&инии 3 (1987), 8 24.
35. , Сnектра.llЬНЫЙ ана.llUЭ в а.l&uбрах. 1 5 (1989), 62 83.
36. , Сnехтра.llЬНЫЙ ан4.IIUЭ в а.lluбрах. 111 (1992), 126 146.
37. А. ['. КУКУШ, Асимnтотичесхие свойства оценки бесконе'ЧномеРН020
параметра Нe.IIuнейной ра2рессии 5 (1989), 84 105.
38. В. Э. л.нце, О нестандартно.м аН4.IIuэе 2 (1986), 26--44.
39. Т. А. Мельник, Cneктnpa.l&bHble эадачи теории усредненин 7 (1992), 86
115.
40. М. 1. Нarнибiда, IHme2p4.llbHi оператори в nросторах аН4.IIiтичнux у
lI:1Jуэi фумкцiй 8 (1993), 77 98.
41. М. 1. Нarнибiда, С. С. ЛИНЧУК, Об эхвuв4.llентности дифференциальных
операторов в пространстве анадuтичесхux в II:1JYze фУН7Сций 5 (1989),
47 2.
42. В. Б. Невзоров, Рекорды: четыре nредстав.llенин и дес.вть задач 3
(1987), l17 131.
43. И. В. Орлов, Дифференциа.l&ьное исчиС.l&ение в бесхонечномерных nро-
странствах 7 (1992), 45 74.
44. В. r. Пивоваров, Математичесхие MOde.l&U в естествоэнанuи 5 (1989),
9---28.
110 ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ ЗА 1983 1993 ['ОДЫ
45. Н. Б. Пивоваров, С. А. Шаповалов, Пути раэвитин современной вы'Чu
C.l&Ume.l&bHO техних;и 7 (1988), 6 30.
46. И. В. Протасов, ЦиК.I&ическuе uэмеренuн и решетrtки 7 (1992), 26---39.
47. Б. Н. Пшеничный, Оnтuмиэацин U ана.l&UЭ 7 (1992), 9 25.
48. Л. Я. Савельев, Инте2ра.l&Ы CmU.l&mbeca 2 (1986), 75 105.
49. ю. С. Самойленко, В. Л. Островский, Пари об.меженux самосnряженux
onepamopie эв 'нэаних квадратuчнuм сniввiдношеннн.м 8 (1993), 98 1l4.
50. А. В. Соболев, В. И. Соболев, Монотонность и неnодвuжные точки
He.l&UHeUHbIX раэрывных операторов 9 (1994), 40 55.
51. П. Е. Соболевский, ю. Т. Сильченко, ПОЛУ2РУnnЫ.l&uнейных операторов
8 (1993), 34 63. ,
52. Р. М. Триrуб, Преобраэование Фурье и е20 nри.мененин 9 (1994), 8 40.
53. С. Ю. Трофимчук, Оценка средне20 неnрерывН020 nроцесса по наб.llюде-
ниям с nроnусх:ами С.l&учайной d.l&ume.l&bHOCmu 6 (1990), 76 93.
54. Н. З. Шор, ['. А. Донец, О эада-ч.е четырех красок 1 (1983), 33 54.
НЕРЕШЕННЫЕ МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
1. ['. П. Еrорычев, Три проблемы ко.мбинаторики 9 (1994), 93 95.
2. В. Д. Котрляр, Одна эада-ч.а теории упаковок 8 (1993), 133 136.
3. М. И. Кратко, О комбинаторной nробмме Поста 1 (1983), 11l 1l2.
4. А. ['. Кукуш, Восстановление .меры по ее эначенин.м на шарах 1 (1993),
1l2 114.
5. Н. Н. Леоненко, М. И. Ядренко, О некоторых нерешенных пробдемах
ана.l&uэа и теории вероятностей 5 (1989), 106 130.
6. А. П. Макаров, Об одной эадаче 2идpoдuHaMиx:и 5 (1989), 130---131.
7. В. Н. Пшеничный, О эадаче выбора неnрерывН020 .l&инеЙН020 ce.l&eKmopa
3 (1987), 157 159.
8. М. Рожкова, Об одной теоретико--ч.иС.l&овой эадаче П. Эрдеша 1 (1983),
l14 115.
9. М. И. Ядрен ко, Н. Н. Леоненко, О некоторых нерешенных эадачах ана-
.l&uэа, комбинаторuх:и IL теории вероятностей 1 (1983), 94 111.
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
1. А. В. Безулiк, Одна eKcmpeMa.l&bHa фор.мУ.l&а d./U оцiнх;и iHme2pa.l&a 8
(1993), 153 162.
2. И. А. Волошина, О нех;оторых оптимальных фор.м.У.l&ах nриб.l&ижеНН020
вы'ЧиС.l&енин UHme2pa.l&OB 7 (1992), 169 179.
3. , Оnmимальнi Фор.мУ.l&1L наближеНО20 об'ШС.l&еннн х:ратних iHme
2ралiв эа доnо.м020Ю iHme2pa.l&ie меньшоi' x:pamHocmi 8 (1993), 137 15Z.
4. М. Ф. rородний, 02рани-ч.енность решений одН020 раэностН020 уравн(.-
нин в бес'К:оне-ч.номерно-м nространстве 9 (1994), 128 IЗ5.
5. Н. А. Денисьевский, Сущесmвооание02раНILчеННО20 решеНILН He.l&иHeu
'/1,0<'.0 раЭltОСТnliО20 уравне1i1lЯ на Z 9 (1994), 1З5 13 .
ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ ЗА 1983 199З ['ОДЫ
111
б. В. П. Заставный, О нех;оторых свойствах одН020 класса радиальных
положительно определенных функций 9 (1994), 1l8 127.
7. О. Е. КирнасОВСКИЙ, Свойства 1Сомnоэиционных степеней МН020'мена
х 2 2 над nроиэвольными nолнми 9 (1994), 140 151.
8. И. Л. Кутовенко, О непрерывности векторных функций в терминах
1Соординат 5 (1989), lЗ2 IЗ5.
9. А. Б. Певный, Положительно определенные функции и МН020мер,."ан
UHmepnO.IUqUH 9 (1994), 11 (),,--1l8.
10. В. Е. Слюсарчук, Новые nриэнаки сходимости нес06стве""ных инте-
2pa.ll(jfj и 'ЧиС.llOвых рндов 9 (1994),9&--110.
11. А. А. Шор, Веронтностнан характериэацU8 некоторых Функциона.llЬ-
ных свойств nОС.l&едовательностей случайных вели'lин 7 (1992), 179
188.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
1. С. В. Бурцев, Еще раз о эадаче У.ltама 3 (1987), lБО lБ9.
2. И. А. Волошина, Об одной оnтима.ltЬНОЙ квадратурной фор.м.уле 6
(1990), 105 110.
3. В. Ф. ЕмеЛЬJlНОВ, Б. А. Рубнич, Об одном критерии диФФеренцируе.м.о-
сти 4 (1988), 142 146.
4. А. А. Курченко, Вариант докаэательства правила раскрытин Heon
ределенности 00/00 4 (1988), 139 142.
5. В. А. ЛИВИНСКИЙ, Преде.ltьное поведение од,."ой последовательности 4
(1988), 146 151.
6. В. Э. Jlянце. Т. С. Кудрик, О функцинх дискретной переменной 4
(1988), lЗ2 139.
7. М. В. Маркин, О сильной непрерывности функций, эаданных ,."а KO.м.
nакте, со эначе,."ин""и в банахово,м nростра,."стве с баэисом 6 (1990),
11O 1l8.
8. И. В. Орлов, Проиэводная с nара""етро"" 2 (1986), 151 159.
9. , Теоре""а Ла2ранжа и ее обобще,."ин в совре.м.енной .м.aтe.м.a
тике 3 (1987).
10. И. А. Переход, В. Н. Касаткин, У,."иверса.ltЬНЫЙ аЛ20ритм реше,."Ull ли
неt'!ных диофантовых урав,."ений и ,."еравенств 6 (1990), 119 125.
11. В. Е. Слюсарчук, Нех;оторые nриэнаки сходи.м.ости чиС.llовых Р1lдов 6
(1990), 94 105.
12. ,Денкi оэнаки эбiжностi числових pHdie 8 (1993), 16З 176.
13. Й. Стоянов, Некоторые эадачи а,."алиэа, pewaeMbIe методами теории
веронтностей 8 (1993), 176 194.
14. П. И. Этинrоф, О свойствах пределов последовательностей с двойным.
индех;со"" 3 (1987), 186 206.
112
ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ ЗА 1983 1993 ['ОДЫ
ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. А. Бакан, Об одном. з-к:сnерим.ентаJ&ЬНО,м свойстве ,мНО20"менов Чебы-
шева 1 (1983), 167 173.
2. А. М. Вершиlt, А. А. ЛодItИН, Студен'Чес-к:ий м.атем.ати'Чесхий -к:он-к:урс
в ЛениН2радс-к:о,м 20сударственном. университете 6 (1990), 126 142.
3. М. Ф. rородний, О не-к:оторых свойствах равно,мерно непрерывных
ФунICЦШ] 1 (1983), 17З 175.
4. А. А. Дороrовцев, Зам.е'ЧанU8 -к: теореме ТеnJ&ица 1 (1983), 175 180.
5. А. Я. Дороrовцев, А. ['. Куltуш, Иэбранные эада'Ча университетС-К:020
тура oJ&UMnuadbI "Студент и нау'Чно-техни'Чес-к:ий nР02ресс" по мате-
м.атихе 1 (1983), 125 165.
6. А. Кн_зюк, Об оtЖом. обобщении ",е.АС.МЫ Ри.loCана Либе2а 1 (1983), 18(),,--
183.
7. В. В. Ковтунец, А. С. Раухма.н, СтуденчеС-К:aR математичеС-К:aR OJ&UM-
nиада в Ровенс-к:ом пединституте 7 (1992), 189---192.
8. А. Ю. Константинов, А. ['. КУКУШ, Математи'Чес-к:ая OJ&UMnuada в Ки-
евс-к:ом 20сударственном университете, 199028 (1993), 125 209.
9. С. Кужель, ФОРМУJ&а d./U nроuзводноt1 n 20 nорнд-к:а Фун-к:ции f = ; и
ее nримененин 1 (1983), 183 186.
10. А. ['. КуItУШ, Задачи OJ&UMnuadbI "Студент и нау'Чно техки'Ческuй nро-
2ресс" по математи-к:е 2 (1986), 180 183.
11. В. Е. Л_нце, Коди де-к:аном був Стефан Ванах 7 (1992), 211 215.
12. Н. И. Нarнибида, Избранные задачи университетсхих туров по Ма-
темати"е "Студент и НТП" в Черновицхом университете 6 (1990),
143 155.
13. Н. А. HlI3apeHItO, Всесоюэный тур oJ&uмnuadьa "Студент и наУ'ЧНО-
техкическuй nРО2ресс" по математшее, 1986 2 4 (1988), 152 162.
14. Н. А. HlI3apeHItO, А. А. Дороrовцев, Задачи ресnуБJ&и"анскux туров
OJ&UMnuadbl "Студент и научно-техническut1 npozpecc" по .IoCaтe.loCa
mUlI:e 5 (1989), 13б lб5.
15. Й. Сто_нов, Неско.llЬКО задач, хоторые npeдno.llazaemcн решить тео-
peти"o в еронтностными рассуждеНU8ми 7 (1992), 193 19б.
16. В. М. Тихомиров, А. А. I'pиrорьвн, С. В. КОНJIrин, Из опыта npoвeдeHUН
мос"овских студен'Чесхux oJ&UMnuad 1 (1983), 116---124.
17. ['. А. '!'ро_н, С. А. Altor1JlH, Задачи университетСК020 тура одимnиады
"Студент и нау'Чно техни'Ческuй nР02ресс" в Ереванском yнивepcи
тете. 198523 (1987), 207 217.
18. Всесоюзный тур o.lluмnиaды "Студент U НТП" по математике. Ере-
ван (Севан), 4 10 ceHf1UI6p.1989 26 (1990),180---184.
19. Задачи 6 (1990), 15 164.
20. З;],Jачи 7 (1992), 19б 20l.
21. Задачи 8 (1993), 209 214.
22. РешенlU эадач 3 (1987), 2 2ЗО.
23. РеШfтlU эadач 6 (1990), 164 179.
24. РешенlU эadач 9 (1994), 152 lбl.
ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ ЗА 1983 1993 [,ОДЫ
25. Решения эада-ч. иэ предыдущих выnусх;ов сборни-к:а 5 (1989).170 171.
26. Решения эада-ч. иэ предыдущих выnусх;ов сборни-к:а 7 (1992). 202-20:1
27. Решения эада-ч., оnублих;ованных в сборних;е "}vfameMamU1l:(L (:t ,щt}НН",
19832.2 (1986), 198 203.
28. Решения эада-ч., оnубли-к:ованных в сборних;е "Матем.ати'К:а сс,щdНR",
19832.9(1994).
29. Решения эадач ВсеСОЮЭНО20 тура олим.nиады "Студент и научно-тех-
ни-ч.ес-к:ии nрО2ресс" ПО м.атематих;е 1 (1983), 187 190.
30. Решения эадач ВсеСОЮЭН020 тура олимпиады "Студент и научно-тех-
ни-ч.есх;ии nрО2ресс" ПО м.атематих;е 2 (1986), 204 206.
31. Решения эадач ВсеСОЮЭН020 тура олимпиады "Студент и наУЧНО-ТТIех-
ничес-к:ии nр02ресс" ПО м.атем.атих;е, 19872. 5 (1989), 172.
32. Решения эада-ч. ЛениН2радСХ;020 20родС'К:020 тура олимпиады "Сту-
дент и НТП" по математих;е. 19875 (1989), 173.
33. Решения эада-ч. студенчеС'К:020 х;онх;урса 1988/1989 y-ч.еБНОёО ёО()а 1
(1992), 206 210.
34. Решения эада-ч. математичесх;ои олимпиады для студентов 1 .2 кур-
сов университетов Ух;раины 9 (1994), 179 182.
35. Задачи математи-ч.есх;ои олимпиады для студентов З 5 КУРСОН уни-
верситетов Ух;раины 9 (1994), 182 18З.
36. Задачи матем.ати-ч.есх;ои олим.nиады для студентов унив ерСШТ!С1l!rl
2. София, Mry, лrУи МФТИ. София 19882.5 (1989),175.
37. Зада-ч.и ресnублих;аНСХ;О20 тура олимпиады "Студент и НТП" по ма-
тем.атих;е. Днеnроnетровс-к:, 19908 (1993), 241 215.
38. Зада-ч.и ресnублих;аНСХ;О20 тура олим.nиады "Студент и НТП" по ма-
тем.атих;е. Киев, 19885 (1989), 174.
39. Зада-ч.и ресnублих;аНС-К:О20 тура олимпиады "Студент и НТП" ПО ма-
тематих;е. Киев, 1989. Институт матем.ати-к:и АН УС С? 6 (1!J90),
177 179.
40. Зада-ч.и ресnублих;аНС'/\:020 тура олим.nиады "Студент и НТП" по ма-
тематих;е. Латвиисх;ая ССР, 1989 2. 7 (1992), 204 206.
41. Новые эада-ч.и 1 (1983), 166 167.
42. Новые эада-ч.и 2 (1986), 194 198.
43. Новые эада-ч.и 3 (1987), 223 22б.
44. Новые эада-ч.и 4 (1988), 162 166.
45. Новые эада-ч.и 5 (1989), 165 169.