Избранные труды. Том 4. Математика и математики. Книга 1. О математике - Колмогоров А.Н.

II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях

Абсолютная геометрия
Аддитивные величины

Аксонометрия
Алгебра в средней школе
Алгебраическое выражение
Алгоритм

Бесконечно удаленные элементы [совм. с Б Н. Делоне]

Бигармонические функции
Билинейная форма

Выборочный метод [совм. с Т.И. Козловым]

Гаусса распределение
Геодезическая кривизна
Геодезические координаты
Гистограмма

Дифференциальные уравнения [совм. с Б.П. Демидовичем и В.В. Немыцкин]

Доверительные границы
Достаточная статистика

Знаки математические [совм. с И.Г. Баммаковой и А.П. Юшкевичем]

Исключение неизвестных
Испытание
Исчерпывания метод

Малых чисел закон
Математическая статистика

Множеств теория [совм. с П.С. Александровым]

Основания геометрии
Поверхность [совм. с Л.А. Скорняковым]

III. Статьи о математике в других изданиях

Теория функций действительного переменного [1932 г.]

Институт математики и механики МГУ [1934 г.]

О некоторых современных течениях в теории вероятностей [1934 г.]

Теория и практика в математике [1936 г.]

Теория вероятностей и ее применения [1938 г.]

Об отделе информации в первом выпуске Успехов математических наук [1938 г.]

Одно замечание по поводу оснований геометрии [1938 г.]

Роль русской науки в развитии теории вероятностей [1947 г.]

Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром [1947 г.]

Основные задачи теоретической статистики [1948 г.]

Научная сессия отдела теории вероятностей Математического института АН СССР [1949 г.]

Проблемы теории вероятностей и математической статистики

Автор: Колмогоров А.Н.

Теги: математика история математики

ISBN: 5-02-033939-3

Год: 2007

Похожие

Избранные труды. Том 4. Математика и математики. Книга 2. О математиках

История отечественной математики. Том 4. Книга 2. 1917-1967 гг

Избранные труды. Математика и механика. Том 1

Избранные труды. Том 1. Математика. Механика. Физика

Текст

А.Н. КОЛМОГОРОВ
Избранные труды
Том 4
МАТЕМАТИКА
и
МАТЕМАТИКИ
Книга 1
О МАТЕМАТИКЕ
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА

А.Н. КОЛМОГОРОВ
Избранные труды
в шести томах
Том 4
МАТЕМАТИКА
и
МАТЕМАТИКИ
Книга 1
О МАТЕМАТИКЕ

МОСКВА НАУКА 2007
УДК 51
ББК 22.1
К60
Серия основана в 1932 г.
Редакционная коллегия:
Ю. С. ОСИПОВ (главный редактор), А. А. ГОНЧАР,
В. В. КОЗЛОВ, С.М. НИКОЛЬСКИЙ, Ю.В. ПРОХОРОВ,
В.А. САДОВНИЧИЙ, В.М. ТИХОМИРОВ, А.Н. ШИРЯЕВ
Ответственный редактор и составитель
А.Н. ШИРЯЕВ
Подготовка текста
Т.Б. ТОЛОЗОВА, Н.Г. ХИМЧЕНКО
Колмогоров А. Н. Избранные труды : в 6 т. /А.Н. Колмогоров ; Мат. ин-т
им. В.А. Стеклова РАН. - М. : Наука, 2005- . - ISBN 5-02-033939-3.
Т. 4 : Математика и математики : в 2 кн., кн. 1 : О математике. / [сост. и отв.
ред. А.Н. Ширяев]. - 2007. - 455 с. - ISBN 978-5-02-034080-0 (в пер.).
В четвертый том шеститомника Избранных трудов академика Андрея Николаевича
Колмогорова вошли его разнообразные статьи, объединенные общим названием “Мате-
матика и математики”. Открывает книгу “О математике” известная статья Колмогорова
“Математика”, вошедшая во все три издания Большой Советской энциклопедии (1938,
1954, 1974). В настоящую книгу включены 80 его математических статей из энциклопе-
дических изданий, а также 19 статей, написанных им в 1929-1965 гг. по разным вопросам
математики.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов, студентов и всех тех, кто
интересуется историей математики.
Тем план 2006 — 1-124
ISBN 5-02-033939-3 (с) Российская академия наук и Издательство
ISBN 978-5-02-034080-0(Т.4, кн.1) “Наука”, серия “Избранные труды” (разра-
ботка, оформление), 1932 (год основания),
2007
© Редакционно-издательское оформление.
Издательство “Наука”, 2007
ОТ РЕДАКЦИИ
В принципе, более или менее вся матема-
тика меня интересует.
А. Колмогоров
Настоящий том, следующий за первыми тремя томами избранных работ
А. Н. Колмогорова — по математике и механике (т. 1), по теории вероятно-
стей и математической статистике (т. 2), по теории информации и теории
алгоритмов (т. 3), — содержит разнообразные его статьи, которые могут
быть объединены общим названием
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ.
Для трех изданий Большой Советской Энциклопедии:
1-е изд.: тт. 1-65, том «СССР» / Гл. ред. О. Ю. Шмидт; 1926-1947;
2-е изд.: тт. 1-51 / Гл. ред. С. И. Вавилов (тт. 1-7), Б. А. Введенский
(тт. 8-51); 1949-1958;
3-е изд.: тт. 1-30 / Гл. ред. А. М. Прохоров; 1970-1978,
Колмогоровым написано в общей сложности более ста (!) статей. Все они и,
особенно, его знаменитая статья «Математика* (впервые опубликованная
в томе 38 первого издания БСЭ, 1938, с. 359-402), а также статьи о мате-
матиках, увидевшие свет в разнообразных специальных математических
и других изданиях, подтверждают, что Колмогорова интересовала имен-
но вся математика, а огромное количество таких публикаций (многие из
которых вошли в настоящую книгу) свидетельствует о том, что он рассмат-
ривал работу над такого рода статьями как свой, говоря его же словами,
«особенно ответственный долг».
Особенно активно Колмогоров работал во втором издании БСЭ, где
он с 1949 г. возглавлял Отдел математики, составляя словник, подбирая
авторов, редактируя, а иногда и переделывая представленные рукописи и
одновременно готовя свои собственные — большие и малые — статьи.
4
От редакции
Помимо энциклопедических изданий, Колмогоров публикует статьи и в
других изданиях (примером может служить статья Теория вероятностей,
написанная для сборника «Математика, ее содержание, методы и значе-
ние» [М., Изд-во АН СССР, 1956] и воспроизводимая в настоящем томе).
В настоящее издание вошла также ббльшая часть написанных А.Н.Кол-
могоровым статей о математиках, включая два больших эссе о классиках
науки — Исааке Ньютоне и Николае Ивановиче Лобачевском, содержащих
не только детальное описание, но и глубокий анализ их научного твор-
чества.
Несколько статей Андрей Николаевич посвятил другу всей его жизни,
выдающемуся геометру и топологу Павлу Сергеевичу Александрову. Ста-
тьи, посвященные С. Н. Бернштейну, И. Г. Петровскому, Дж. фон Нейману,
А. Я. Хинчину, П. С. Урысону, М. Г. Крейну, его ученикам И. М. Гель-
фанду, С. М. Никольскому, Б. В. Гнеденко и многим современным ему
математикам, дают представление об их математических достижениях, а
главное, позволяют почувствовать, с каким глубоким уважением он отно-
сился к своим учителям, коллегам и ученикам.
Из статей, где Колмогоров значится как один из коллектива авторов,
отобраны были лишь те, в которых видна его «рука» и явственно чувству-
ется «стиль» Андрея Николаевича.
Многие из публикуемых в этом томе статей были написаны А.Н. Кол-
могоровым более полувека назад. За это время в математике многое изме-
нилось. Изменились взгляды на содержание и системы преподавания мате-
матики. Публикуемые статьи воспроизводятся в их оригинальным виде без
каких-либо комментариев, давая тем самым возможность ознакомиться
с состоянием многих разделов математики, как они виделись Колмогоро-
ву, и самостоятельно оценить произошедшие со временем изменения во
взглядах.
I
Статья «Математика»
(Большая Советская Энциклопедия, 2-е изд.,
т. 26, 1954 г., с. 464-483)

Содержание
I. Определение предмета математики, связь с другими на- 8
уками и техникой
II. История математики до 19 в. 12
1. Зарождение математики (Египет, Вавилония) 13
2. Период элементарной математики (Древняя Греция, эллини- 15
стическая и римская эпоха, Китай, Индия, Средняя Азия и
Ближний Восток, Западная Европа до 16 в., Западная Европа
в 16 в., Россия до 18 в.)
3. Период создания математики переменных величин (17 век, 29
18 век)
III. Современная математика 39
1. Расширение предмета математики 39
2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и 43
математической логики
3. История математики в 19 и 20 вв. (Начало и середина 19 в. 48
Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР)
Комментарий (отв. ред.). Настоящая статья воспроизводится по вто-
рому изданию Большой Советской Энциклопедии (т. 26, 1954 г.). В первой
редакции статья была опубликована в БСЭ, изд. 1, 1938, т. 38, с. 359-402.
Последующие переиздания: БСЭ, изд. 3, 1974, т. 15, с. 467-478; Математи-
ческая энциклопедия, 1982, т. 3, с. 560-564 (по материалам статьи в БСЭ-2).
8
I. Статья «Математика»
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ
С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ
Математика (греч. р.афЕца'П.ка, от цафЕца — знание, наука) — наука о
количественных отношениях и пространственных формах действительного
мира.
«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы
и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма
реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно
абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из
внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отно-
шения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержа-
ния, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф.,
Анти-Дюринг, 1953, стр. 37). Абстрактность математики, однако, не озна-
чает ее отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи
с запросами техники и естествознания запас количественных отношений
и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расши-
ряется, так что данное выше общее определение математики наполняется
все более богатым содержанием (см. об этом ниже, особенно раздел III —
Современная математика).
Математика и другие науки. Приложения математики весьма раз-
нообразны. Принципиально область применения математического метода
не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математиче-
ски. Однако роль и значение математического метода в различных случа-
ях различны. Никакая определенная математическая схема не исчерпыва-
ет всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания
конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны,
выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой фор-
мы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установ-
ленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и
полнее охватывающих явления. Если все трудности изучения какого-либо
круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый
новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качествен-
но новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний
план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления мо-
жет быть лишь затемнен математической схематизацией. Если, наоборот,
сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений
охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в
пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и
сложные проблемы, требующие специального математического исследова-
ния, в частности создания специальной символической записи и специаль-
I. Статья «Математика»
9
ного алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства
математического метода.
Типичным примером полного господства математического метода явля-
ется небесная механика (см.)а, в частности учение о движении планет. Име-
ющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготе-
ния почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За
исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам
точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел —
замена их «материальными точками». Но решение возникающей здесь за-
дачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в
случае п = 3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый резуль-
тат, полученный при помощи математического анализа принятой схемы
явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: ло-
гически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений,
и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из
принятой схемы.
С переходом от механики к физике еще не происходит заметного умень-
шения роли математического метода, однако значительно возрастают труд-
ности его применения. Почти не существует области физики, не требую-
щей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто
основная трудность исследования заключается не в развитии математи-
ческой теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и
в истолковании результатов, полученных математическим путем. В этом
смысле современная квантовая физика (см. Квантовая механика, Кван-
товая электродинамика), несмотря на употребление глубокого и своеоб-
разного математического аппарата, в меньшей степени может рассматри-
ваться как сфера господства математического метода, чем некоторые от-
делы классической физики (классическая термодинамика, теория электри-
чества и т. п.).
На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность ма-
тематического метода охватывать и самый процесс перехода познания дей-
ствительности с одной ступени на следующую, более высокую и качествен-
но новую.
Классическим образцом может служить соотношение между макроскопиче-
ской теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распреде-
ленным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмот-
рения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории
‘Здесь и далее мы сохранили выделение курсивом ссылок на статьи энциклопедии,
пометка «(см.*)» со звездочкой будет означать, что статья воспроизведена в настоящем
томе. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
10
I. Статья «Математика*
плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному уравнению
с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального
уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение
различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с
очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку де-
ло идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных
масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь неболь-
шое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет
определенный смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотре-
ния микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под
действием толчков молекул растворяющего вещества. Точные количественные
закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако
математическая теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о мало-
сти перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений
частицы за два последовательных промежутка времени) получить определенные
количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения ве-
роятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежут-
ки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень
велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных ча-
стиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от
других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для пере-
мещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным
уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведенный пример
достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга законо-
мерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего
вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономер-
ностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффу-
зии) через посредство статистики случайных явлений.
В биологических науках математический метод играет более подчинен-
ную роль. Если и удается описать течение биологических явлений мате-
матическими формулами, то область пригодности этих формул остается
весьма ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений грубо при-
ближенным. Объясняется это не принципиальной невозможностью матема-
тического изучения биологических явлений, а их большим качественным
разнообразием.
В еще большей степени, чем в биологии, математический метод усту-
пает свое место непосредственному анализу явлений во всей их конкрет-
ной сложности в социальных науках. Здесь особенно велика опасность, аб-
страгировав форму течения явлений, пренебречь накоплением качественно
новых моментов, дающих всему процессу существенно иное направление.
Существенным остается значение математики для социальных дисциплин
(как и для биологических наук) в форме подсобной науки — математиче-
ской статистики. В окончательном же анализе социальных явлений момен-
ты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают
I. Статья «Математика»
11
столь доминирующее положение, что математический метод отступает на
задний план.
Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геомет-
рии, как будет видно из исторического очерка, возникли из непосредствен-
ных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических
методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своем развитии
на те же запросы практики математического естествознания (астрономии,
механики, физики и т. д.). Прямые же связи математики с техникой ча-
ще имеют характер применения уже созданных математических теорий к
техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых
общих математических теорий на основе непосредственных запросов техни-
ки. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими ра-
ботами; изучение многих новых типов уравнений с частными производны-
ми впервые начинается с решения технических проблем; операторные ме-
тоды решения дифференциальных уравнений развиваются на почве элек-
тротехники и т. д. В новейшее время из запросов электротехники возник
новый раздел теории вероятностей — теория передачи информации. Задачи
синтеза регулирующих и счетно-решающих устройств привели к развитию
новых разделов алгебры. По преимуществу под непосредственным воздей-
ствием технических нужд возникли начертательная геометрия и номогра-
фия. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов
приближенного решения дифференциальных уравнений играли техниче-
ские задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы
приближенного решения дифференциальных уравнений с частными произ-
водными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического полу-
чения численных решений приобретает ббльшую остроту с усложнением
технических проблем. Все ббльшие требования к вычислительной техни-
ке предъявляют, впрочем, и теоретические научные исследования, даже в
таких молодых областях естествознания, как, например, геофизика. По-
этому все большее значение приобретает механизация численного решения
математических проблем. Техника сама приходит теперь на помощь мате-
матике; вслед за простейшими счетными машинами, планиметрами и ин-
теграфами появляются гармонические анализаторы, интегрирующие ма-
шины для решения дифференциальных уравнений, машины для решения
систем линейных уравнений и другие машины для решения разнообраз-
ных математических задач. Каждая из таких машин предназначена для
решения отдельного строго определенного класса задач, и создание новых
машин для решения новых типов задач возможно лишь в результате со-
знательной работы ученого. Машинная вычислительная техника является
мощным вспомогательным средством научного исследования.
12
I. Статья ^Математика»
II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в.
Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой
науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только
после накопления достаточно большого фактического материала и возник-
ло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие математики до
этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-
5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В тече-
ние этих двух первых периодов математические исследования имеют дело
почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий,
возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в свя-
зи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к
счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных
участков, определению размеров отдельных частей архитектурных соору-
жений, измерению времени, коммерческим расчетам и т. п. Первые шаги
механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого
ученого Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления
бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом основных
математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до ши-
рокого развития математического изучения явлений природы в 17-18 вв.
систематически предъявляла математике свои особые и очень большие тре-
бования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее раз-
витие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело математика
до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной
математики», преподаваемой в начальной и средней школе.
В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математи-
ков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих ма-
тематически изучать движение, процессы изменения величин, преобразо-
вания геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребле-
ния переменных величин в аналитической геометрии французского ученого
Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления на-
чинается период математики переменных величин, который можно условно
назвать также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что
ни в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее развитие
элементарной математики.
Дальнейшее расширение круга количественных отношений и простран-
ственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необхо-
димости отнестись к процессу расширения предмета математических ис-
следований сознательно, поставив перед собой задачу систематического
изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количествен-
ных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком
I. Статья «Математика»
13
Н.И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впослед-
ствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в
этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строе-
ние математики столь важные новые черты, что математику в 19 и 20 вв.
естественно отнести к особому периоду современной математики.
1. Зарождение математики
Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел
к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Толь-
ко на основе разработанной системы устного счисления (см.) возникают
письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы вы-
полнения над натуральными числами четырех арифметических действий
(из которых только деление еще долго представляло большие трудности).
Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят
к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разра-
ботке приемов выполнения арифметических действий над дробями. Таким
образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древней-
шую математическую науку — арифметику (см.). Измерение площадей и
объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астро-
номии, вызывают развитие начатков геометрии (см.). Эти процессы шли
у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Осо-
бенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление ариф-
метических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии
на основе развитой техники арифметических вычислений появились также
начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригоно-
метрии.
Египет. Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта состоят по
преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, ре-
цептов для их решения, которые иногда удается понять, лишь анализируя число-
вые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения
отдельных типов задач, так как математической теории в смысле доказательств
общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, напри-
мер, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближен-
ных. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в
соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отноше-
ний, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й
половины 2-го тысячелетия до н. э. состояние египетской математики того време-
ни может быть охарактеризовало в следующих чертах. Преодолев все трудности
действий с целыми числами на основе системы счисления, понятной из примера
П<?^АПШ = 2323,
14
I. Статья «Математика*
египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробя-
ми, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически реша-
лись задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь запи-
саны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам
вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольни-
ка и трапеции, объемы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием.
Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось
открытие способа вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным осно-
ванием, соответствующего формуле
v = |(а2 + аб + 62).
Правила вычисления площади круга и объемов цилиндра и конуса соответству-
ют иногда грубо приближенному значению тг = 3, иногда же значительно более
точному тг = ( — ) — 3.16... См. также Папирусы математические.
Вавилония. Математических текстов, позволяющих судить о математике в
Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные ма-
тематические тексты (см.) охватывают период от 2-го тысячелетия до н. э.
(эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греческой
математики. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета
вавилонской математики; дальнейшие тексты, несмотря на наличие некоторых
новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о ее застое. Вавилония времен
династии Хаммурапи получила еще от шумерского периода развитую смешанную
десятично-шестидесятиричную систему нумерации, заключавшую уже в себе по-
зиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц
разных шестидесятиричных разрядов). Например:
= 34-60 + 25 = 2065.
Аналогично обозначались и шестидесятиричные дроби. Это позволяло совершать
действия с целыми числами и с шестидесятиричными дробями по единообразным
правилам. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению.
В более поздних текстах вычисление обратных чисел доводится до восьмого ше-
стидесятиричного знака. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произ-
ведений, квадратов, квадратных и кубичных корней. Большое количество хозяй-
ственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной
хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили
также расчеты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времен династии
Хаммурапи, посвященных решению задач, которые с современной точки зрения
сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степени. Существует пред-
положение, что такие более отвлеченные научные интересы, не ограничивавшиеся
непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию
общих алгебраических методов решения задач, возникли в «школах писцов», где
ученики готовились к счетно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода
позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначны-
ми числами в связи с развитием в 1-м тысячелетии до н. э. более точных мето-
дов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы
I. Статья ^Математика»
15
эмпирически найденных зависимостей, в которых можно видеть прообраз идеи
функции. Вавилонская клинописная математическая традиция продолжается в
Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху вплоть до 1 в.
до н. э. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих
за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов
и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астроно-
мии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.
2. Период элементарной математики
Только после накопления большого конкретного материала в виде раз-
розненных приемов арифметических вычислений, способов определения
площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная нау-
ка с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости системати-
ческого развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей
форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что этот процесс
начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение,
заключавшееся в систематическом и логически последовательном построе-
нии основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними
греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия
вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической тео-
рии. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел (см. Чисел тео-
рия). Создается систематическое учение о величинах (см.) и измерении.
Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия
действительного числа (см. Число) оказывается, как будет видно из даль-
нейшего, весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и
отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим аб-
стракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или
геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном
общечеловеческом опыте. Даже в наше время, когда их реальное содер-
жание и практическая польза общепризнаны, эти математические понятия
воспринимаются начинающими не без труда и обычно только в результате
систематического школьного обучения. Естественно, что их формирование
потребовало от человечества больших усилий.
Создание алгебры (см.) как буквенного исчисления завершается лишь
в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обо-
значения для неизвестных появляются у греческого математика Диофанта
(вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение
буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. французским
математиком Ф. Виетом.
16
I. Статья «Математика»
Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке
тригонометрии (см.) как плоской, так и сферической.
Период элементарной математики заканчивается (в Западной Европе в
начале 17 в.), когда центр тяжести математических интересов переносится
в область математики переменных величин. Естественно, что этот переход
был подготовлен предшествующим развитием математики. Еще в матема-
тике древнего мира на материале изучения тригонометрических функций
и при составлении их таблиц формируются представления о функциональ-
ной зависимости. Но, например, представление об угловом аргументе, из-
меняющемся от 0 до 4-оо, и тригонометрических функциях от такого аргу-
мента возникает только в 16 в. (у Виета). Греческие математики (особенно
Архимед) подходят к идеям анализа бесконечно малых, но это течение не
получает развития; интерес к нему после неясных попыток английского
математика Т. Брадвардина (14 в.) и итальянского математика Николая
Кузанского (15 в.) возобновляется лишь в конце 16 в. (фламандский уче-
ный С. Стевин). Таким образом, весь период до 17 в. остается в основном
периодом элементарной математики.
Начало рассматриваемого периода развития математики (греческая, эл-
линистическая и римская математика) относится к эпохе рабовладельче-
ского общества, вторая же половина — к эпохе феодального (в Китае, Ин-
дии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Западной Европе). После
бурного расцвета, греческая и эллинистическая математика, все более от-
рываясь от практики в условиях господства рабовладельческих отношений
и подчиняясь ограничительным тенденциям идеалистической философии,
приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их
большими гидротехническими сооружениями, развитием мировых торго-
вых центров, возросшими потребностями в крупных геодезических работах
и более практическими тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сра-
щивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная
сторона математики.
В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской
математики оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма
нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15-16 вв.) быстро
возрастают запросы к математике со стороны инженеров, строителей, ху-
дожников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в
университетах возможности более свободной научной критики и научной
конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразреши-
мыми задач и более смелое развитие теории.
Древняя Греция. Развитие математики в Древней Греции приняло суще-
ственно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной
техники, искусства решения задач алгебраического характера и разработки ма-
I. Статья «Математика*
17
тематических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут
и превзойден уровень вавилонской математики, то уже гораздо раньше матема-
тика в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического разви-
тия. Появилась потребность в отчетливых математического доказательствах, бы-
ли сделаны первые попытки систематического построения математической тео-
рии. Математика, как и все научное и художественное творчество, перестала быть
безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создается теперь
известными по именам математиками, оставившими после себя математические
сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохраненных позднейшими ком-
ментаторами). Это изменение характера математической науки объясняется более
развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств,
приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отста-
ивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от
религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении
явлений природы, что поставило перед математикой новые задачи.
Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя
высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; нача-
ло же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет первых
греческих геометров и философов Фалеса Милетского (конец 7 в. — 1-я половина
6 в. до н. э.) и Пифагора Самосского (6 в. до н. э.). В школе Пифагора арифме-
тика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются
простейшие арифметические прогрессии [в частности, 14-3-1-54-1-(2м— 1) = п2],
изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геомет-
рическое и гармоническое). Более изысканные вопросы теории чисел (например,
разыскание так называемых совершенных чисел) связываются в школе Пифаго-
ра с мистическим магическим значением, приписываемым числовым соотношени-
ям. В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения
неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетво-
ряющих соотношению а2 4- Ь2 = с2. В области геометрии задачи, которыми зани-
мались греческие геометры 6-5 вв. до н. э. после усвоения египетского наследства,
также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства,
землемерия и навигации. Таковы, например, вопросы о соотношении между дли-
нами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом «теоре-
мой Пифагора»), соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре
круга, трисекции угла и удвоении куба (см.). Новым, однако, является подход к
этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не
ограничиваясь приближенными, эмпирически найденными решениями, греческие
геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений про-
блемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство
несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й половине 5 в. до н. э.
философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах, куда соби-
раются ученые из различных концов греческого мира. Здесь протекает основная
деятельность Гиппия Элитского и Гиппократа Хиосского. Испробовав элементар-
ные средства решения задачи о трисекции угла, Гиппий Элитский около 420 до
н. э. решает эти задачи при помощи построения специальной трансцендентной
кривой — квадратрисы (см.), которую Динострат (4 в. до н. э.) затем применяет
18
I. Статья «Математика»
к решению задачи о квадратуре круга. Первый систематический учебник геомет-
рии приписывается Гиппократу Хиосскому (2-я половина 5 в. до н. э.). К это-
му времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не
пренебрегавшая такими логическими тонкостями, как доказательство случаев ра-
венства треугольников и т. п. Отражением в математике первых, хотя бы и чисто
умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось
едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э. — разыскание
всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простей-
ших тел, могущих служить основными камнями мироздания. На границе 5 и 4 вв.
до н. э. знаменитый философ-материалист Демокрит, исходя из атомистических
представлений, создает способ определения объемов, послуживший позднее для
Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых. В 4 в. до н. э.
в обстановке политической реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха
известного подчинения математики ограничениям, выдвинутым идеалистической
философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления»,
а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизме-
римых отрезков, площадей и объемов, Аристотель налагает общий запрет на при-
менение арифметики к геометрии. В самой геометрии проводится строгое ограни-
чение построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки; найденные
в эту же эпоху решения так называемой делийской задачи об удвоении куба объ-
являются лежащими вне геометрии, так как они прибегают к более сложным
конструктивным средствам. Наиболее значительным конкретным достижением
математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логическому
анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского (1-я половина 4 в. до
н. э.), разработавшего теорию пропорций и давшего первое доказательство теоре-
мы об объеме пирамиды, известной в качестве эмпирического факта египтянам с
начала 2-го тысячелетия до н. э., см. выше). По поводу этого доказательства им
было сформулировано общее допущение (называемое часто аксиомой Архимеда),
лежащее в основе метода исчерпывания (см. Исчерпывания метод). В стороне
от главного течения математики 4 в. до н. э. следует отметить начало матема-
тической разработки механики у Архита Тарентского (2-я половина 5 в. — 1-я
половина 4 в. до н. э.) — полководца и автора одного из упоминавшихся решений
задачи об удвоении куба.
Эллинистическая и римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении се-
ми столетий основным центром научных и особенно математических исследова-
ний являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых
культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее
по своей широте государственного покровительства науке, греческая математи-
ка достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греческой
образованности и научных интересов во всем эллинистическом и римском ми-
ре, Александрия с ее «музеем», являвшимся первым научно-исследовательским
институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь боль-
шой притягательной силой, что почти все крупнейшие ученые стекались сюда.
Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным
Сиракузам. Наибольшей напряженностью математического творчества отлича-
ется первый век Александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат
I. Статья «Математика»
19
Эвклид, Архимед (см.), Эратосфен и Аполлоний Пергский. Сложные гидротех-
нические сооружения (например, архимедов винт), требования военной техники
(метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архи-
меда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и карто-
графии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также разработка
точных астрономических измерений и вычислений (Юлианское приближение к
длине года, равное 3651 дней), наконец, развитие механики и оптики — все это
поставило перед математикой множество новых задач. 3 в. до н. э. явился веком
плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного
развития математики вширь с глубиной теоретической мысли. В частности, воз-
никший из прикладных нужд интерес к приближенному измерению величин и
приближенным вычислениям не привел математиков 3 в. до н. э. к отказу от ма-
тематической строгости. Все многочисленные приближенные извлечения корней
и даже все астрономические вычисления производились ими с точным указанием
границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окруж-
ности в форме безукоризненно доказанных неравенств
3|?d<p< 3}tZ,
где р — длина окружности с диаметром d. Это отчетливое понимание того, что
приближенная математика не есть «нестрогая» математика, было позднее надол-
го забыто.
В своих «Началах» Эвклид собрал и подверг окончательной логической пе-
реработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. «Начала»
Эвклида). Вместе с тем в «Началах» же Эвклид впервые заложил основы систе-
матической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя
законченную теорию делимости. Наконец, «Начала» содержат во второй, шестой
и десятой книгах своеобразную геометрическую замену алгебры, позволившую
в геометрической форме не только решать квадратные уравнения, но и произво-
дить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений. В сти-
ле этой же «геометрической алгебры» Архимед сформулировал свою теорему о
сумме квадратов членов арифметической прогрессии. Из геометрических работ
Эвклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее
значение для дальнейшего развития математики имело создание законченной тео-
рии конических сечений (см.). Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось
определение разнообразных площадей и объемов (в том числе площадей парабо-
лического сегмента и поверхности шара, объемов шара, шарового сегмента, сег-
мента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и
сегмента параболоида); архимедова спираль (см.) является лишь одним из приме-
ров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя
и продолжался рост объема научных знаний, александрийская наука уже не до-
стигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что,
несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствование математиче-
ского аппарата, вполне усвоенные лучшими умами предшествующих поколений
идеи Аристарха Самосского (конец 4 в. — 1-я половина 3 в. до н. э.) о движении
Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звезд были отвергнуты.
В математике зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристиче-
20
I. Статья «Математика*
ских приемах Архимеда (сообщенных им в специальном сочинении <0 методе»
с указанием на их нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным
заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего развития.
Существенным недостатком всей математики древнего мира было отсутствие
окончательно сформированного понятия иррационального числа. Как уже было
указано, это обстоятельство привело философию 4 в. до н. э. к полному отри-
цанию законности применения арифметики к изучению геометрических величин.
В действительности, в теории пропорций и в методе исчерпывания математикам
4 и 3 вв. до н. э. все же удалось косвенным образом осуществить это применение
арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разреше-
ние проблемы путем создания фундаментального нового понятия (иррациональ-
ного числа), а постепенное ее забвение, ставшее возможным с постепенной утратой
представлений о математической строгости. На этом этапе истории математики
временный отказ от математической строгости оказался, однако, полезным, от-
крыв возможность беспрепятственного развития алгебры, допускавшейся в рам-
ках строгих концепций эвклидовых «Начал» лишь в чрезвычайно стеснительной
форме «геометрической алгебры» отрезков, площадей и объемов.
Значительные успехи в этом направлении можно отметить в «Метрике» Геро-
на (см.) (вероятно, 1 в.), известного особенно своими работами по геодезии, соста-
вившими основу грандиозной практической деятельности римских геодезистов.
Это замечательное сочинение, являющееся первым самостоятельным изложением
приемов вычислительной геометрии, содержит, между прочим, так называемую
формулу Герона (известную, впрочем, еще Архимеду)
s = х/р(р-а)(р-6)(р-с)
для площади треугольника (под знаком корня произведение четырех отрезков —
выражение, геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое
развитие настоящего алгебраического исчисления встречается лишь в «Ариф-
метике» Диофанта (см.), посвященной в основном решению уравнений. Здесь
формулируется правило перенесения членов из одной части уравнения в другую,
производится умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, да-
ются общие приемы решения квадратных уравнений, решаются также некоторые
задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределенные
уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные
решения; однако при умножении алгебраических выражений употребляет пра-
вило для умножения «отнимаемых» чисел, предваряющее позднейшие правила
действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой ариф-
метике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона,
рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрических
или механических приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в
древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть математики.
К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется тре-
бований полной строгости формулировок и доказательств; Гиппарх (2 в. до н. э)
первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала
сферической тригонометрии создаются Менелаем (1 в.) и Клавдием Птолемеем
(2 в.). Птолемею же принадлежит инициатива систематического употребления
I. Статья «Математика»
21
широт и долгот для обозначения географических мест, что явилось, по-видимому,
первой формой употребления системы координат.
В области чистой математики деятельность ученых последних веков древ-
него мира (кроме Диофанта) все более сосредоточивается на комментировании
старых авторов. Впрочем, Паппу (вероятно, конец 3 в.) среди обширных коммен-
тариев на «Начала» Эвклида удалось установить теорему (позднее названную
теоремой Гюльдена) об объеме произвольного тела вращения. Труды ученых-
комментаторов этого времени [Паппа, Прокла (5 в.) и др.], при всей их универ-
сальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объеди-
нению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, включенной в астроно-
мию тригонометрии и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона,
популярной у геодезистов, в единую, способную к большому развитию науку.
Китай. С окончательным упадком культуры греко-римского мира центр на-
учного прогресса на долгое время переносится на Восток. На дальнейшее развитие
математики в Европе наибольшее влияние оказали работы математиков Индии,
Средней Азии и Ближнего Востока. Однако хронологически во многих вопро-
сах первенство принадлежит математикам Китая. Уже «Арифметика в девяти
главах», составленная по более ранним источникам во 2-1 вв. до н. э. Чжан Ца-
ном и Цзин Чоу-чаном, обнаруживает наличие у китайских математиков высоко
разработанной вычислительной техники и интерес к общим алгебраическим ме-
тодам. В этом сочинении впервые описывается способ извлечения квадратного и
кубичного корня из целых чисел, совпадающий в существенном с современным
школьным способом.
Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как
примеры, служившие для разъяснения отчетливо воспринятой схемы исключе-
ния неизвестных в системах линейных уравнений. Например, система уравнений,
которая в современной записи имела бы вид:
Зх + 2у 4- z = 39,
2х 4- Зу 4- z — 34,
х 4- 2у -4- 3z = 26,
вводится при помощи условий «три пачки зерна первого сорта вместе с двумя
пачками второго и одной третьего составляют 39 мер» (и точно так же для второго
и третьего уравнений).
Система записывается в виде таблицы
1 2 3 1-й сорт
2 3 2 2-й сорт
3 1 1 З-й сорт
26 34 39 меры
Числа второго столбца умножаются на «число первого сорта» третьего столбца,
т. е. на 3, и из них вычитаются дважды числа третьего столбца. Затем числа
третьего столбца вычитаются из умноженных на 3 чисел первого столбца. В ре-
22
I. Статья «Математика»
зультате этих двух операций получается таблица
4 5 2-й сорт
8 1 3-й сорт
39 24 меры
Тем же способом, в котором без труда можно узнать способ исключения неизвест-
ных при помощи «уравнивания коэффициентов», решается полученная система
уравнений с двумя неизвестными, что дает таблицу
36 3-й сорт
99 меры
откуда: z = || — 2| и т. д. В тех случаях, когда описанный алгоритм приво-
дит, в современной терминологии, к отрицательным числам, в «Арифметике в
девяти главах» рекомендуется метод «чжэн-фу» («чжэн» означает «прибавляе-
мый», «фу» — «вычитаемый»; такие числа изображались различными цветами:
чжэн - красным, фу — черным). Отрицательных решений уравнений в китай-
ских источниках не имеется, но с отрицательными коэффициентами китайские
математики обращаются с большой свободой. В последнем отделе «Арифмети-
ки в девяти главах» формулируется чисто арифметически теорема Пифагора и
решается ряд задач на ее применение.
В связи с календарными расчетами в Китае возник интерес к задачам такого
типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при
делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между' 2 и 6 вв.) и более
полно Цинь Цзю-шао (13 в.) дают изложенное на примерах описание регулярного
алгоритма для решения таких задач, найденного много позднее немецким матема-
тиком К. Гауссом (1801). Примером высокого развития вычислительных методов
в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в.), который
показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах
3.1415926 < тг < 3.1415927.
Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Гео-
метрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встре-
чаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 в.). Изложение
методов решения уравнений четвертой и высших степеней было дано в работах
математиков 13-14 вв. Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе. Употреб-
ляемый ими «метод небесного элемента» в существенном совпадает с методом,
известным ныне под названием метода Горнера (по имени английского ученого,
вновь открывшего его в 1819). Любопытным следствием высокого развития имен-
но приближенных вычислительных методов является то, что в трактате Цинь
Цзю-шао «Девять отделов математики» (1247) биквадратное уравнение решается
по общей схеме, причем в промежуточных вычислениях фигурирует полное урав-
нение четвертой степени. К 14 в. средневековая китайская математика достигла
своего высшего развития. Связи ее с греко-римской, индийской, среднеазиатской
и средневековой западноевропейской математикой мало изучены, однако их на-
личие доказывается тем, что ряд задач повторяется в математических рукописях
I. Статья «Математика»
23
различных стран с точным совпадением числовых данных. Например, указанная
выше китайская задача на решение системы сравнений
х = 2 (mod 3), х = 3 (mod 5), х = 2 (mod 7)
точно повторяется в «Книге об абаке» итальянского математика Леонардо Пи-
занского (1202).
Индия. Расцвет индийской математики относится к 5-12 вв. [наиболее извест-
ны индийские математики Ариабхата (конец 5 в.), Брамагупта (7 в.), Бхаскара
(12 в.)]. Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является
введение в широкое употребление современной десятичной системы нумерации и
систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данно-
го разряда (лишь в некоторых случаях аналогичный знак в шестидесятиричной
системе встречается в поздних вавилонских текстах) и разработка на этой осно-
ве более совершенной вычислительной техники, включая близкие к современным
приемы деления многозначных чисел (эта операция не представляла, конечно,
для математиков древнего мира принципиальной трудности, но осуществлялась
более сложным образом). Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, на-
зываемых теперь «арабскими», не вполне выяснено. Второй, еще более важной
основной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно
оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательны-
ми числами. «Вычитаемые» числа (обозначаемые точкой наверху) у индийцев
(в отличие от Диофанта и подобно китайцам) получают право стоять отдельно.
Например, уравнение
ya va 3 ya 10 ry 8 I (3х2 + IOx _ 8 = х2 +
ya va 1 ya 0 ru 1 I
может быть преобразовано (по Брамагупта) в
ya va 2 ya 10 I ("9 = " 10l)‘
О реальном истолковании отрицательных чисел (с противоположностью имуще-
ства и долга) у индийцев встречаются лишь отдельные упоминания, обычно же
при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозмож-
ными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные
числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерыв-
ных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потреб-
ностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное
значение.
Брамагупта дал общее правило решения квадратных уравнений (объединяя
при помощи употребления отрицательных чисел различные случаи, рассматри-
вавшиеся Диофантом, в один). Бхаскара указал на двузначность квадратного
корня, занимался исследованием иррациональных выражений вида + \/б, де-
лал преобразования типа:
\/10+ У24 + До+ УбО = Д + Д + Д
24
L Статья «Математика»
владел приемами освобождения дроби от иррациональности в знаменателе, решал
некоторые частные случаи уравнений высших степеней. Наконец, Брамагупта и
Бхаскара дали общие методы решения в целых числах неопределенного уравнения
первой степени с двумя неизвестными, а также уравнений вида: ax2 + b — су2 и
ху = ах + by 4- с.
В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий
синуса, косинуса, синус-верзуса.
Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и кратковремен-
ное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели
к тому, что в течение 9-15 вв. ученые Средней Азии, Ближнего Востока и Пи-
ренейского полуострова пользовались арабским языком. Наука здесь развивается
в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения
и государственной поддержки больших научных начинаний [например, точное
измерение дуги меридиана по повелению халифа аль-Мамуна в начале 9 в., стро-
ительство в 13 в. обсерватории в Мараге для азербайджанского ученого Насирэд-
дина Туси внуком Чингисхана Хулагу-ханом, учреждение библиотек (библиотека
в Кордове содержала в 9 в. 600 тыс. томов)]. Блестящим завершением этой эпохи
явилась в 15 в. деятельность узбекского астронома Улуг-бека, который при своем
дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста ученых и организовал долго
остававшиеся непревзойденными астрономические наблюдения, вычисление ма-
тематических таблиц и т. п.
До недавнего времени в западноевропейской науке господствовало мнение,
что роль «арабской культуры» в области математики сводится в основном к со-
хранению и передаче математикам Западной Европы математических открытий
древнего мира и Индии. Действительно, сочинения греческих математиков впер-
вые стали известны в Западной Европе по арабским переводам. Однако все более
выясняется, что в действительности вклад математиков, писавших на арабском
языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной со-
ветской Средней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азер-
байджанских), в развитие науки значительно больше.
В 1-й половине 9 в. среднеазиатский ученый Мухаммед бен-Муса Хорезми
впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин «алгебра»
производят от названия сочинения Хорезми «Ал-джебр», по которому европей-
ские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных
уравнений. Вскоре после Хорезми впервые начинают систематически рассмат-
риваться задачи, приводящие к уравнениям третьей степени. Среднеазиатский
ученый Бируни (конец 9 в. — 1-я половина 10 в.) привел задачу о нахождении
стороны правильного девятиугольника к решению уравнения х3 4- 1 = Зх и по-
лучил приближенное решение этого уравнения в виде шестидесятиричной дроби.
Задача о построении правильного семиугольника была сведена к решению урав-
нения х3 4- 1 = 2х 4- х2. Ибн-аль-Хайтам из Ирака (конец 10 в. — начало 11 в.)
свел одну из задач геометрическоой оптики к решению уравнения четвертой сте-
пени. Таджикский математик Хайям (см.) (конец 11 в. — начало 12 в.) систе-
матически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил
условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хай-
ям в своем алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками
I. Статья «Математика»
25
точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски средне-
азиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как
геометрические (при помощи конических сечений), так и приближенные числен-
ные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с
употреблением нуля, математики Средней Азии и Ближнего Востока применяли
в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему
(по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии). На
этой основе ими была создана и единая система обозначения шестидесятиричных
целых и дробных чисел: запись
43; 0; 16; +8; 37
(знак 4- здесь отделяет целые разряды от дробных) обозначала число
43 • 602 + 0 60 + 16 +
Иранский ученый Абу-ль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся этой системой, напи-
сал сочинение о способах извлечения корней третьей, четвертой и пятой степеней.
Омар Хайям в недошедшем до нас сочинении изложил способы извлечения кор-
ней с любым натуральным показателем.
В связи с астрономическими и геодезическими работами большое развитие
получила тригонометрия. Сириец аль-Батани (2-я половина 9 в. — начало 10 в.)
ввел в употребление тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс,
Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрических функций, он же выразил словес-
но алгебраические зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через
10' с точностью до 1/604 и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для
сферических треугольников. Азербайджанский ученый Насирэддин Туси (13 в.)
(см. Насирэддин) достиг известного завершения разработки сферической триго-
нометрии, систематически рассмотрев все шесть случаев решения сферических
треугольников; сам он впервые нашел решение двух труднейших случаев (опре-
деление углов по трем сторонам и сторон по трем углам). Насирэддин перевел на
арабский язык и комментировал «Начала» Эвклида; комментарии к «Началам»
составил также Хайям. Их занимает принципиальный вопрос о доказуемости по-
стулата о параллельных. Собственные их сочинения написаны с большим вни-
манием к изложению строгих доказательств теорем. Принципиальное значение
имеет возникновение у Хайяма и Насирэддина ясной концепции действительного
(положительного) числа. Например, о произвольном отношении величин (соиз-
меримых или несоизмеримых) Насирэддин писал: «каждое из этих отношений
может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из
членов этого отношения определяется другим из этих членов».
В заключение следует специально остановиться на достижениях сотрудника
Улуг-бека самаркандского математика Гиясэддина Джемшида ибн-Масуда аль-
Каши (см.) (начало 15 в.). Он дал систематическое изложение арифметики де-
сятичных дробей, которые справедливо считал более доступными, чем шестиде-
сятиричные. В Европе аналогичного совершенства приемы вычислений с деся-
тичными дробями достигли только у фламандского ученого С. Стевина в конце
16 в. В связи с вопросами извлечения корней Джемшид сформулировал сло-
весно формулу бинома Ньютона, указал правило образования коэффициентов
26
L Статья «Математика»
С™ ~ С™_1 4- В «Трактате об окружности» (около 1427) Джемшид, опре-
деляя периметры вписанного и описанного 3 • 228-угольников, нашел тг с семна-
дцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц сину-
сов Джемшид дал весьма совершенный итерационный метод численного решения
уравнений.
Западная Европа до 16 в. 12-15 вв. являются для западноевропейской
математики по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Во-
стока. Тем не менее уже в этот период, не приведший еще к открытию особенно
значительных новых математических фактов, общий характер европейской мате-
матической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обу-
словивших возможность стремительного развития математики в последующие ве-
ка. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой
буржуазии итальянских городов привел к созданию и широкому распростране-
нию учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обсто-
ятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в.
первых латинских переводов греческих и арабских математических сочинений
итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои
«Книгу об абаке» (1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифмети-
ку, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой
успех; «Книга об абаке» распространяется с 1228 в новом переработанном вариан-
те. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники,
вроде изданного в 1494 курса арифметики, геометрии, пропорций и пропорцио-
нальности итальянского математика Луки Пачоли, получают еще более широкое
распространение. Наряду с этим практическим направлением, основными центра-
ми теоретической научной мысли становятся университеты. Прогресс алгебры как
теоретической дисциплины, а не только собрания практических правил для реше-
ния задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как
отношений несоизмеримых величин [английский математик Т. Брадвардин (1-я
половина 14 в.) и французский математик Н. Оресм (середина 14 в.)) и особенно
во введении дробных (Н. Оресм), отрицательных и нулевых [французский мате-
матик Н. Шюке (конец 15 в.)] показателей степеней. Здесь же возникают первые,
предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых
величинах [Т. Брадвардин и итальянский математик Николай Кузанский (1-я по-
ловина 15 в.)], о характере изменения функций вблизи максимумов и минимумов
(Н. Оресм) и т. п. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашел от-
ражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских
авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометриче-
ских таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака немецким математиком
И. Региомонтаном (И. Мюллером), являющимся также автором руководства по
тригонометрии «Пять книг о всевозможных треугольниках» (1461, опубликова-
но в 1533). Значительно совершенствуется математическая символика; например,
записи Шюке в конце 15 в., будучи отличными по форме, мало отличаются от
современных по своей лаконичности:
^4p4*pi‘pi вместо у/4х2 4- 4х 4- 2т 4- 1.
I. Статья «Математика*
27
Еще более существенным является развитие научной критики и полемики, вслед-
ствие чего, например, предложенный Николаем Кузанским в качестве точного, в
действительности же лишь приближенный метод спрямления окружности немед-
ленно нашел опровержение в специальном сочинении Региомонтана. Следует от-
метить также, что сосредоточенные поиски решения трудных задач, поощряемые
обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказатель-
ствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в сочинении «Цветок» (около
1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решенные им задачи, до-
казал неразрешимость уравнения: т3 4- 2т2 + Ют = 20 не только в рациональных
числах, но и при помощи простейших квадратических иррациональностей (вида
\/ a + \/b и т. п.).
Западная Европа в 16 в. Этот век был первым веком превосходства Запад-
ной Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие
польского астронома Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже
появляются первые исследования итальянского ученого Г. Галилея), так в целом
обстоит дело и в математике, несмотря на то, что в некоторых направлениях ев-
ропейская наука еще отстает от достижений среднеазиатских математиков 15 в. и
что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие
новой европейской математики, возникают лишь в следующем, 17 в. В 16 же веке
казалось, что новая эра в математики начинается с открытием алгебраического
решения уравнений третьей (итальянским математиком С. Ферро, около 1515, и
позднее и независимо итальянским математиком Н. Тартальей, около 1530) и чет-
вертой (итальянским математиком Л. Феррари, 1545) степени, которое считалось
в течение столетий неосуществимым (подробнее об истории этих открытий см.
Алгебра, Кардано формула). Итальянский математик Дж. Кардано исследовал
уравнения третьей степени, открыв так называемый неприводимый случай, в ко-
тором действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило
Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комплексными
числами. Он же предложил общие методы приближенного решения уравнений
любой степени. Дальнейшее развитие алгебра получила у французского матема-
тика Ф. Виета (см.), указавшего, например, способ составления уравнения ??-й
степени по его корням. Виет является основателем настоящего алгебраическо-
го буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвест-
ные). Из других достижений 16 в. следует указать разложение квадратных корней
в непрерывную дробь (итальянский математик Р. Бомбелли, 1572), первое точ-
ное аналитическое выражение для тг в виде бесконечного произведения (Виет,
1593), определение тригонометрических функций для аргумента, изменяющего-
ся до -boo (Виет, 1594). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии еще
ранее 16 в., излагается знаменитым немецким художником А. Дюрером (1525).
Виет применил алгебраические методы к исследованию возможности геометри-
ческих построений, являясь также тонким мастером в синтетическом решении
задач на построение [он восстановил (1600), например, утерянное решение зада-
чи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных]. Независимо
от Джемшида немецкий математик М. Штифель (1544) открыл закон образова-
ния биномиальных коэффициентов, а фламандский ученый С. Стевин разработал
(1585) правила арифметических действий с десятичными дробями.
28
I. Статья «Математика*
Россия до 18 в. Математическое образование в России находилось в 9-13 вв.
на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы. Затем оно
было надолго задержано монгольским нашествием. В 15-16 вв. в связи с укрепле-
нием русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли
потребности общества в математических знаниях. В конце 16 в. и особенно в
17 в. появляются многочисленные рукописные руководства по арифметике, гео-
метрии, в которых излагались довольно обширные сведения, необходимые для
практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела,
строительства и пр.).
В Древней Руси получила распространение сходная с греко-византийской си-
стема числовых знаков, основанная на славянском алфавите. Каждая буква, неза-
висимо от ее местоположения, обозначала одно и то же число, при этом над буквой
ставили знак (титло). Буквы от Л до 0 обозначали единицы (персты),
от | до У - десятки, от f до У — сотни. Те же буквы обозначали так-
же числа высших разрядов, но для этого употреблялись особые знаки. Так, для
обозначения тысяч перед соответствующей буквой ставился знак /. Славянская
нумерация в русской математической литературе встречается до начала 18 в., но
уже с конца 16 в. эту нумерацию все более вытесняет принятая ныне десятичная
позиционная система.
Наиболее древнее известное нам математическое произведение относится к
1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-
хронологическим расчетам, которые показывают, что в то время на Руси уме-
ли решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год
дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части
к решению в целых числах неопределенных уравнений первой степени. Арифме-
тические рукописи конца 16-17 вв. содержат, помимо изложения славянской и
арабской нумерации, арифметических операций с целыми положительными чис-
лами, также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило
и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством прави-
ла ложного положения. Для целей практического использования общих правил
в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания и излагался
так называемый дощаный счет — прототип русских счётов (см.). Подобным же
образом была построена и первая арифметическая часть знаменитой «Арифмети-
ки» Л.Ф. Магницкого (1703). В геометрических рукописях, в большинстве своем
преследовавших также практические цели, содержалось изложение правил опре-
деления площадей фигур и объемов тел, часто приближенных, использовались
свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.
Необходимо отметить, что русские математические рукописи до сих пор еще
недостаточно изучены. В последние годы (1950) удалось обнаружить ряд важ-
ных документов, которые показывают, что в 15-17 вв. в России интересовались
философскими проблемами математики — определением основных геометриче-
ских понятий (точки, линии, сферы и др.), вопросами, связанными с понятиями
бесконечности, непрерывности и пр.
I. Статья «Математика
29
3. Период создания математики переменных величин
С 17 в. начинается существенно новый период развития математики.
Ф. Энгельс по этому поводу писал: «Поворотным пунктом в математике
была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику во-
шли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необ-
ходимым дифференциальное и интегральное исчисление» (Энгельс Ф., Диа-
лектика природы, 1952, стр. 206). Круг количественных отношений и про-
странственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпыва-
ется числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это
было обусловлено явным введением в математику идей движения и изме-
нения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между
величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Одна-
ко, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения,
надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятель-
ным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие
функции (см.), играющее в дальнейшем такую же роль основного и само-
стоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа.
Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит
далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в мате-
матику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной,
дифференциала и интеграла (см.). Создается анализ бесконечно малых, в
первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального ис-
числения (см.), позволяющий связывать конечные изменения переменных
величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принима-
емых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в
форме дифференциальных уравнений (см.), и задача интегрирования этих
уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики.
Разыскание неизвестных функций, определенных другого рода условиями,
составляет предмет вариационного исчисления (см.). Таким образом, наря-
ду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются
уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.
Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с про-
никновением в геометрию идей движения и преобразования фигур (см.
Движение в геометрии, Преобразования геометрические). Одно и то же
движение или одно и то же преобразование может перемещать или преоб-
разовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изу-
чать движение и преобразования сами по себе. Например, в проективной
геометрии (см.) одним из основных предметов изучения являются сами
проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, созна-
тельное развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и началу 19 в.
30
I. Статья «Математика»
Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии (см.), прин-
ципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был
найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгеб-
ры и анализа и решения их чисто алгебраическими и аналитическими мето-
дами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения
(иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометриче-
ски, например, при графическом изображении функциональных зависимо-
стей (см. Координаты). Эта обратная возможность была, однако, ограни-
чена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонно-
сти рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как
части «чистой» математики, определяемой в качестве науки о числах, ве-
личинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию
же считать первой частью (предшествующей, например, механике) «при-
кладной» математики, применяющей результаты «чистой» математики и
вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрических
фигур и геометрических преобразований. На следующем этапе развития
такое подчиненное положение геометрии было вновь устранено.
Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вы-
текающим из возможности изучать левую часть уравнения F(x) = 0 как
функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о
числе действительных корней, дать методы их отделения и приближенного
вычисления, в комплексной же области привел французского математика
Ж. Д’Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. доста-
точно убедительному доказательству «основной теоремы алгебры» о су-
ществовании у любого алгебраического уравнения хотя бы одного корня.
Достижения «чистой» алгебры, не нуждающейся в заимствованных из ана-
лиза понятиях о непрерывном изменении величин, в 17-18 вв. были тоже
значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем
линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории дели-
мости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное
отделение собственно алгебраических фактов и методов от фактов и мето-
дов математического анализа типично лишь для более позднего времени
(2-я половина 19 в. - 20 в.). В 17-18 вв. алгебра в значительной мере воспри-
нималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произ-
вольных зависимостей между величинами и решения произвольных урав-
нений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.
Создание новой математики переменных величин в 17 в. было делом
ученых передовых стран Западной Европы. В 18 в. одним из основных
центров научных математических исследований становится также Петер-
бургская академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того
времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли), и посте-
I. Статья «Математика»
31
пенно складывается русская математическая школа, блестяще развернув-
шая свои исследования с начала 19 в.
17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития математики
органически связан с созданием в 17 в. математического естествознания,
имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений дей-
ствием общих, математически формулированных законов природы. На про-
тяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математические иссле-
дования относятся лишь к двум областям естественных наук — к механи-
ке [итальянский ученый Г. Галилей открывает законы падения тел (1632,
1638), немецкий астроном И. Кеплер — законы движения планет (1609,
1619), английский ученый И. Ньютон устанавливает закон всемирного тя-
готения (1687)] и к оптике [Галилей (1609) и Кеплер (1611) сооружают
зрительные трубы, Ньютон развивает оптику на основе теории истечения,
голландский ученый X. Гюйгенс и английский ученый Р. Гук — на основе
волновой теории]. В других областях естествознания применение матема-
тики ограничивается пока установлением первых и простейших количе-
ственных закономерностей [например, закон Бойля для зависимости объе-
ма газа от давления (1662), закон Гука в теории упругости (1660) и т. п.].
Тем не менее рационалистическая философия 17 в. уже выдвигает идею
универсальности математического метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейб-
ниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу
философской, эпохи в развитии математики.
Хотя применение новых возникающих в 17 в. математических методов
к проблемам техники широко развилось лишь в течение следующих двух
веков, «очень важную роль сыграло спорадическое применение машин в
XVII столетии, так как оно дало великим математикам того времени прак-
тические опорные пункты и стимулы для создания современной механики»
(Маркс К., Капитал, т. 1, 1953, стр. 356).
Серьезные новые математические проблемы в 17 в. выдвигает усовер-
шенствование часового дела и необходимость создания точных хрономет-
ров для целей навигации. Одним из изобретателей маятниковых часов яв-
ляется Гюйгенс (1657). Через 16 лет после своего изобретения Гюйгенс
опубликовал книгу «Маятниковые часы» (1673), являющуюся образцом
органического слияния конструкторской технической мысли с наиболее
тонкими для того времени математическими методами исследования. Ак-
туальные задачи ставились перед математикой 17 в. также картографи-
ей, баллистикой, гидравликой. Авторы 17 в. понимают и любят подчерки-
вать большое практическое значение математики. В 17 в. рост буржуазного
общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько ве-
ков вперед с полным сознанием их практической ценности. Опираясь на
свою тесную связь с естествознанием, математика 17 в. смогла поднять-
32
I. Статья «Математика»
ся на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые
формально-логические категории математики, получали свое оправдание
в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, на-
пример, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия
скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли ло-
гически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.
Математические достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов
(см.). Шотландский математик Дж. Непер, опубликовавший свои табли-
цы в 1614, обосновывает их построение не ссылкой на давно известные
свойства арифметических и геометрических прогрессий, а рассматривает
непрерывное «течение» логарифма при изменении числа, т. е. впервые вво-
дит представление о непрерывной функции, не заданной никаким алгебра-
ическим выражением или геометрическим построением. В 1637 француз-
ский ученый Р. Декарт (см.) публикует свою «Геометрию», содержащую
основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с под-
разделением их на алгебраические и трансцендентные, а алгебраических —
по «родам» (к роду т он относит в современной терминологии кривые по-
рядков 2m — 1 и 2m). В тесной связи с возможностью представить корни
уравнения Р(х) = 0 точками пересечения кривой у = Р(х) с осью абсцисс
в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени
(Р. Декарт, И. Ньютон, французский математик М. Ролль). Исследования
французского математика П. Ферма о максимумах и минимумах и разыс-
кании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приемы
дифференциального исчисления, но самые эти приемы еще не выделены
и не развиты, и слова «производная» или «дифференциал» остаются еще
не произнесенными. Другим источником анализа бесконечно малых явля-
ется развитый немецким астрономом И. Кеплером (1615) и итальянским
математиком Б. Кавальери (1635) «метод неделимых», примененный ими
к определению объемов тел вращения и ряду других задач. В этом ме-
тоде действительная принципиальная новизна основных понятий анализа
бесконечно малых представляется в мистической форме неразрешенного
противоречия (например, между объемом тела и совокупностью не име-
ющих объема плоских сечений, при помощи которых этот объем должен
быть определен). Неудивительно поэтому, что приемы Кеплера и Кавалье-
ри подверглись критике (1635-41) со стороны швейцарского математика
П. Гюльдена, предпочитавшего пользоваться строгим классическим ме-
тодом исчерпывания. Однако свободное употребление бесконечно малых
одерживает окончательную победу в работах по определению площадей
(«квадратур») французских математиков П. Ферма, Б. Паскаля и англий-
ского математика Дж. Валлиса. Так, в геометрической форме были, по
I. Статья * Математика»
33
существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчис-
ления.
Параллельно развивается учение о бесконечных рядах (см. Ряды). Свой-
ства простейших рядов, начиная с геометрических прогрессий, возникаю-
щих из представления обыкновенных дробей в виде периодических деся-
тичных, изучил Валлис (1685). Немецкий ученый Н. Меркатор (1668), ин-
тегрируя по х разложение = 1 — х + х2 — • • •, получил разложение в
степенной ряд 1п(1 + х). И. Ньютон получил (1665-69) формулу бинома для
любого показателя, интегрируя разложение (1 — х2)-1/2, получил разложе-
ние arcsinx; и, наконец, нашел степенные ряды обратных к у = 1п(1 4- х) и
у = arcsinx функций:
х = еу — 1
2 Ч
= у + -к. . у_
1 + 2 6
и. соответственно,
У У3 .У5 ,
T = S,ny=i- б"+120 + ”‘
В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие по-
чти все математики 17 в. (Дж. Валлис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бер-
нулли и др.). Следует отметить, что авторы 17 в. имели достаточно ясные
представления о понятии предела последовательности и сходимости ря-
да и считали нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов.
С созданием координатного метода и распространением представлений о
направленных механических величинах (скорости, ускорения) понятие от-
рицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот,
комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебра-
ического аппарата, продолжают быть по преимуществу лишь предметом
бесплодных споров. С наибольшей определенностью их признавал голланд-
ский математик А. Жирар, впервые (1629) заявивший, что каждое урав-
нение n-й степени имеет п корней (что, как известно, справедливо лишь в
комплексной области и при надлежащем учете кратности корней).
К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и ин-
тегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публи-
кации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу (см.), давшему
развернутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опуб-
ликованных в 1682-86. Наоборот, в отношении времени фактического по-
лучения основных результатов имеются все основания считать приоритет
принадлежащим И. Ньютону (см.), который к основным идеям дифферен-
циального и интегрального исчисления пришел в течение 1665-66. «Анализ
с помощью уравнений» Ньютона в 1669 был передан им в рукописи англий-
34
I. Статья ^Математика»
ским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую извест-
ность среди английских математиков. «Метод флюксий» — сочинение, в
котором Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей
теории, — был написан в 1670-71 (издан в 1736). Лейбниц же начал свои ис-
следования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. Ньютон и Лейбниц
впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления опе-
рации дифференцирования и интегрирования функций, установили связь
между этими операциями (так называемая формула Ньютона-Лейбница)
и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у
Ньютона и Лейбница, однако, различен. Для Ньютона исходными понятия-
ми являются понятия «флюенты» (переменной величины) и ее «флюксии»
(скорости ее изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотно-
шений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование
и составление дифференциальных уравнений) Ньютон противопоставлял
обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между
флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных
уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как част-
ный случай интегрирования дифференциального уравнения = /(х). Та-
кая точка зрения была вполне естественна для Ньютона, как создателя
математического естествознания: его исчисление флюксий являлось про-
сто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражают-
ся дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых
этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий ис-
числение). Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе
от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимал-
ся прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых,
а основным понятием дифференциального исчисления являлись диффе-
ренциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наобо-
рот, Ньютон, вводя соответствующее понятие «момента», стремился в бо-
лее поздних работах от него освободиться). С публикации работ Лейбни-
ца в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной
работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегриро-
ванием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями
анализа, в которой принимали участие, кроме самого Лейбница, Я. Бер-
нулли, И. Бернулли (см.), французский математик Г. Лопиталь и др. Здесь
создается современный стиль математической работы, при котором полу-
ченные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже
очень скоро после опубликования используются в исследованиях других
ученых.
Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй
и анализом дифференциальная геометрия (см.) [в области последней еле-
I. Статья «Математика»
35
дует отметить, в частности, введение понятия радиуса кривизны у Кеплера
(1604), изучение эволют и эвольвент у Гюйгенса (1673) и т. п.], в 17 в. за-
кладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, главным
образом в направлении создания основных понятий проективной геомет-
рии. Французский математик Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы
(1636), развил целую систему представлений о бесконечно удаленных эле-
ментах, ввел понятие инволюции и т. д. Теория конических сечений раз-
рабатывается с проективной точки зрения французскими математиками
Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Дагиром (1685). Из других
открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел — формулировку прин-
ципа математической индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследо-
вания П. Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее разви-
тие этой науки; разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма,
Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Фер-
ма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального
значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бер-
нулли, опубликовано в 1713); теорию непрерывных дробей [итальянский
математик П. Катальди (1613), немецкий математик Д. Швентер (1617,
1618), Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод неопределенных ко-
эффициентов (Р. Декарт, 1637); формулировку так называемой теоремы
Эйлера о многогранниках (Р. Декарт, около 1620). Необходимо указать еще
на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673-74) первых счет-
ных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.
18 век. В начале 18 в. еще продолжает работать поколение создате-
лей анализа (И. Ньютон, Г. Лейбниц). Однако общий стиль математи-
ческих исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в
основном новизной метода, создавался главным образом смелостью и глу-
биной общих идей, что сближало математику с философией. К началу
18 в. развитие новых областей математики, созданных в 17 в., достигло
того уровня, при котором дальнейшее продвижение вперед стало требо-
вать в первую очередь искусства в овладении математическим аппаратом
и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений труд-
ных задач. Из двух величайших математиков 18 в. петербургский акаде-
мик Л. Эйлер (см.) является наиболее ярким представителем этой вир-
туозной тенденции, а французский математик Ж. Лагранж (см.), быть
может уступая Эйлеру в количестве и разнообразии решенных задач, со-
единил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, ти-
пичными для французской школы 2-й половины 18 в., тесно связанной
с большим философским движением французских просветителей и мате-
риалистов. Увлечение необычайной силой аппарата математического ана-
лиза приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматиче-
36
I. Статья «Математика»
ского развития, в безошибочность математических выкладок даже тогда,
когда в них входят символы, лишенные смысла. Если при создании анали-
за бесконечно малых сказывалось неумение логически справиться с идея-
ми, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто про-
поведуется право вычислять по обычным правилам с лишенными непо-
средственного смысла математическими выражениями, не опираясь ни на
наглядность, ни на какое-либо логическое оправдание законности таких
операций. Из старшего поколения в эту сторону все больше склоняется
Лейбниц, который в 1702 по поводу интегрирования рациональных дробей
при помощи их разложения на мнимые выражения говорит о «чудесном
вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реалистически настроен-
ный Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций
с мнимыми числами и с расходящимися рядами [например, по Эйлеру,
+ 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + • • • + (—1)пп! + • • • = 0, 5963475922...] как эмпи-
рический факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи
подобных преобразований следствий. Л. Эйлер и шотландский математик
К. Маклорен начинают все же работу по рациональному уяснению основ
анализа бесконечно малых. Наиболее последовательным в стремлении к
логической строгости и отчетливости из математиков 18 в. представите-
лем этой тенденции является французский энциклопедист Ж. Д’Аламбер
(см.). В частности, по вопросу о логических основах анализа Д’Аламбер
сформулировал в общих чертах вполне современные взгляды о перемен-
ных бесконечно больших и бесконечно малых величинах, о производной как
конечном пределе отношения двух бесконечно малых и т. д. Замечательно
по серьезной критике различных способов обоснования анализа сочине-
ние русского математика С. Е. Гурьева «Опыт об усовершении елементов
геометрии» (1798). Однако систематическое проведение логического обос-
нования анализа было осуществлено лишь в 19 в. Поэтому Лагранж, не
удовлетворенный незаконченными концепциями своих современников, сде-
лал попытку освободиться сразу от всех трудностей, связанных как с са-
мим понятием функции, так и с обоснованием анализа бесконечно малых,
став на чисто алгебраическую точку зрения: он заменил непосредственное
рассмотрение функций вычислениями с их рядами Тейлора и свел, таким
образом, дифференцирование и интегрирование и все дальнейшие опера-
ции анализа к алгебраическим действиям с коэффициентами рядов.
Если виднейшие математики 17 в. очень часто были в то же время фи-
лософами или физиками-экспериментаторами, то в 18 в. научная работа
математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 в. —
это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими матема-
тическими способностями, с быстро развивающейся академической карье-
рой (Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, 20-и лет был при-
I. Статья «Математика»
37
глашен адъюнктом в Петербургскую академию наук, 23-х лет становится
там же профессором, 37-и лет — председателем физико-математического
класса Берлинской академии наук; Лагранж — сын французского офи-
цера, 18-и лет — профессор в Турине, 30-и лет — председатель физико-
математического класса Берлинской академии наук; Лаплас — сын фран-
цузского крестьянина, 18-и лет — преподаватель математики в военной
школе в Бомоне. 20-и лет — профессор военной школы в Париже, 37-и
лет — член Парижской академии наук). При этом, однако, математическое
естествознание (механика, математическая физика) и технические приме-
нения математики остаются в сфере деятельности математиков. Эйлер за-
нимается вопросами кораблестроения и оптики, Лагранж создает основы
аналитической механики. Лаплас, считавший себя в основном математи-
ком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени
и т. д.
Переходя к обзору достижений математики 18 в. по отдельным обла-
стям, начнем с теории чисел. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа
и французского математика А. Лежандра, теория чисел впервые приобре-
тает характер систематической науки. Лагранж дал (1769, опубликовано
в 1771) общее решение неопределенных уравнений второй степени. Эйлер
установил (1772, опубликовано в 1783) закон взаимности для квадратич-
ных вычетов (см.). Он же привлек (1737, 1748, 1749) для изучения простых
чисел дзета-функцию (см.), чем положил начало аналитической теории
чисел.
При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737,
опубликовано в 1744) иррациональность е и е2, а немецкий ученый И. Лам-
берт (1766, опубликовано в 1768) — иррациональность тг. В алгебре швей-
царский математик Г. Крамер (1750) ввел для решения систем линейных
уравнений определители (известные ранее Лейбницу, не опубликовавше-
му своего открытия). Дальнейшей разработкой линейной алгебры зани-
мались П. Лаплас и французский математик А. Вандермонд. И. Ньютон,
Л. Эйлер и французский математик Э. Безу развивали теорию делимо-
сти многочленов и теорию исключения. Эйлер рассматривал как эмпи-
рически установленный факт существование у каждого алгебраического
уравнения корня вида А + Ву/^-1. Постепенно укореняется убеждение, что
вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда
приводимы к виду А + Ву/^Т. Д’Аламбер доказал (1748), что модуль мно-
гочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (так называемая
лемма Д’Аламбера), считая это за доказательство существования корня
у любого алгебраического уравнения. Формулы английского математика
А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометриче-
скую функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расшире-
38
I. Статья «Математика»
нию применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, шотландский
математик Дж. Стирлинг и Л. Эйлер заложили основы исчисления конеч-
ных разностей (см. Конечных разностей исчисление). Лагранж развивал
символическое исчисление, рассматривая положительные и отрицательные
степени операторов Д и d; Лаплас дал общие методы решения разностных
уравнений. Английский математик Б. Тейлор открыл (1715) свою форму-
лу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей
18 в., особенно Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гиб-
ких орудий анализа. С Д’Аламбера начинается серьезное изучение условий
сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и особенно Лежандр заложили осно-
вы исследования эллиптических интегралов — первого вида неэлементар-
ных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. И. Бер-
нулли, итальянский математик Дж. Риккати, Д. Бернулли (см.), Л. Эй-
лер и французский математик А. Клеро интегрируют новые типы обыкно-
венных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Эйлер
дал (1739, опубликовано в 1743) первый метод решения линейного диф-
ференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициен-
тами. Д’Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений.
Лагранж и Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциаль-
ных уравнений любого порядка. Эйлер, французский математик Г. Монж
и Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений
с частными производными первого порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас —
второго порядка. Специальный интерес представляет уравнение колебания
струны и связанное с ним введение в анализ разложения функций в три-
гонометрические ряды, так как в связи с этой задачей между Эйлером,
Д. Бернулли, Д’Аламбером, Монжем и Лагранжем развернулась полемика
по вопросу о понятии функции (подробнее см. Функция), подготовившая
фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитическим
выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом
анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное
Эйлером и Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас и английский
математик Т. Байес на основе отдельных достижений 17-18 вв. заложили
начала теории вероятностей (см.).
В области геометрии Эйлер привел к завершению систему элементарной
аналитической геометрии. Начиная с Ньютона, систематически изучаются
кривые третьего порядка. Английский математик Э. Варинг установил ряд
свойств алгебраических кривых любого порядка. В работах Эйлера, Кле-
ро, Монжа и французского математика Ж. Менье были заложены основы
дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей.
Проблемы дифференциальной геометрии явились одним из основных ис-
точников упомянутого выше развития теории дифференциальных урав-
I. Статья ^Математика»
39
нений с частными производными. Ламберт развил теорию перспективы,
а Монж придал окончательную форму начертательной геометрии (см.).
Из приведенного обзора видно, что математика 18 в., основываясь на
идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот
расцвет математики был связан по преимуществу с деятельностью акаде-
мий; университеты играли меньшую роль. Отдаленность крупнейших ма-
тематиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с
которой все они, начиная с Эйлера и Лагранжа, писали учебники и обшир-
ные, включающие отдельные исследования, трактаты. Новую струю в ор-
ганизацию науки внесла в конце 18 в. французская буржуазная революция.
Крупнейшие ученые (Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привлекаются к
созданию метрической системы мер, связанному с ней измерению мери-
диана, организованному на государственные средства вычислению новых
тригонометрических таблиц и т. д. Наиболее важным для дальнейшего раз-
вития математики оказалось учреждение в 1794 Политехнической школы
в Париже, возглавленной Монжем и сделавшейся для Франции в начале
19 в. основным рассадником математической культуры.
III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математического анализа продол-
жали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно
расширился за эти века и круг их применений к задачам, выдвигаемым
естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста,
с последних лет 18 в. и в начале 19 в. в развитии математики наблюдается
и ряд существенно новых черт.
1. Расширение предмета математики
Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактический материал привел к
необходимости углубленного логического анализа и объединения его с но-
вых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической
интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Бессель, 1799, и
французский математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство нераз-
решимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени
(итальянский математик П. Руффини, 1799, и более строго — норвежский
математик Н. Абель, 1824), создание французским математиком О. Коши
основ теории функций комплексного переменного, работы Коши по стро-
гому обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским математи-
ком Н.И. Лобачевским (см.) (1826, опубликовано в 1829-30) и венгерским
математиком Я. Больяй (1832) неэвклидовой геометрии, работы немецкого
математика К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — вот
типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций
в развитии математики.
40
I. Статья <Математика»
Связь математики с естествознанием, оставаясь по существу не менее
тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые тео-
рии возникают не только в результате непосредственных запросов есте-
ствознания или техники, а также из внутренних потребностей самой мате-
матики. Таково в основном было развитие теории функций комплексного
переменного, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение
во всем математическом анализе. Главная линия развития заключалась
здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными и
обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес
к непосредственному реальному применению функций комплексного пе-
ременного, например как функций, задающих конформное отображение,
развился позднее, хотя возможности таких применений были намечены
еще Эйлером.
Еще более замечательным примером теории, возникшей в результате
внутреннего развития самой математики, явилась «воображаемая геомет-
рия» Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Возможность этой но-
вой системы геометрии была усмотрена Лобачевским на основе выяснения
происхождения основных геометрических понятий из материальной дей-
ствительности и логического анализа строения обычной эвклидовой гео-
метрии. Самому Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к
вычислению некоторых интегралов. Позднее были обнаружены связи его
геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп преобразований, гео-
метрия эта нашла применения при исследовании важных классов аналити-
ческих функций и т. д. Только в 20 в. с созданием теории относительности
получило осуществление предположение Лобачевского о возможности при-
менения его геометрических идей к исследованию реального физического
пространства.
Можно привести еще один пример того, как начавшийся в конце 18 в.
и 1-й половине 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ра-
нее конкретных математических фактов нашел во 2-й половине 19 в. и в
20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп
(см. Группы) ведет свое начало с рассмотрения Лагранжем групп под-
становок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических
уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены уже
упоминавшиеся результаты Руффини и Абеля, завершившиеся несколько
позднее тем, что французский математик Э. Галуа (1830-32, опубликова-
но в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончатель-
ный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраиче-
ских уравнений любой степени. В середине 19 в. английский математик
А. Кэли дал общее «абстрактное» определение группы. Норвежский ма-
тематик С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию
I. Статья «Математика»
41
непрерывных групп (см.). И лишь после этого русский кристаллограф и
геометр Е. С. Федоров (1890) и немецкий математик А. Шёнфлис (1891)
установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строе-
ние кристаллов (см. Кристаллография)- еще позднее теория групп стано-
вится мощным средством исследования в квантовой физике.
В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов ме-
ханики и физики происходило формирование векторного и тензорного ана-
лиза. Постепенно все более обнаруживалось, что именно с точки зрения ме-
ханики и физики «скалярные» величины, послужившие исходным матери-
алом для формирования понятия действительного числа, являются лишь
частным случаем величин многомерных. Рассмотрение функциональных
зависимостей между такими величинами и составляет содержание вектор-
ного исчисления и тензорного исчисления (см.). Перенесение векторных
и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в
рамках функционального анализа (см.) и тесно связывается с потребностя-
ми квантовой физики.
Таким образом, как в результате внутренних потребностей математи-
ки, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений
и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расши-
ряется: в него входят отношения, существующие между элементами про-
извольной группы, векторами, операторами в функциональных простран-
ствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.
При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и
«пространственные формы» приведенное в начале статьи определение ма-
тематики применимо и на новом современном этапе ее развития.
Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития математики
состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих
изучению количественных отношений и пространственных форм становят-
ся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если пре-
жде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных
чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длитель-
ной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки прие-
мов сознательного и планомерного создания новых геометрических систем,
новых «алгебр» с «некоммутативным» или даже «неассоциативным» умно-
жением и т. д. по мере возникновения в них потребности. В настоящее вре-
мя вопрос о том, не следует ли, например, ради анализа и синтеза того или
иного типа релейно-контактных схем создать новую «алгебру» с новыми
правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом
повседневной научно-технической практики. Но трудно переоценить важ-
ность той перестройки всего склада математического мышления, которая
для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной сторо-
42
I. Статья «Математика»
ны наиболее значительным среди открытий начала 19 в. явилось открытие
неэвклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии
была преодолена вера в незыблемость освященных тысячелетним развити-
ем математики аксиом, была понята возможность создания существенно
новых математических теорий путем правильно выполненной абстракции
от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логической
необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная
теория может получить со временем все более широкие, вполне конкрет-
ные применения.
В дополнение к сказанному об определении предмета математики следует за-
метить, что пространственные формы можно рассматривать как частный вид
количественных отношений, если этому последнему термину придать достаточно
широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в определение мате-
матики особого упоминания «пространственных форм» является лишь указанием
на относительную самостоятельность геометрических отделов математики. Коли-
чественные отношения (в общем философском понимании этого термина) харак-
теризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к
конкретной природе тех предметов, которые они связывают. Поэтому они и могут
быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для
дела (ср. указание Энгельса, приведенное в начале статьи). Так, число остается
одним и тем же, независимо от того, численность какого рода предметов оно вы-
ражает; линейная зависимость у = ax + Ь остается одной и той же, независимо
от того, что обозначают х и у, и т. д. Можно сказать, что количественные отно-
шения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от
которой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих
общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенно-
сти математики как науки о такого рода отношениях. Ее по преимуществу дедук-
тивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны
содержаться в самом их определении. Широкая применимость каждой математи-
ческой теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания
и техники объясняется тем, что математика изучает только отношения, безраз-
личные к конкретной природе связываемых ими объектов. В создании методов,
достаточно гибких, чтобы изучать весьма общие и разнообразные количественные
отношения (в указанном выше широком понимании), и заключается принципи-
альная новизна современного периода развития математики. Сказанному лишь
кажущимся образом противоречит частое употребление в математике термина
качественные методы (см.). В указанном широком понимании изучаемые ма-
тематикой отношения всегда являются количественными. Но когда в какой-либо
области математики, наряду’ с количественными отношениями, уже получившими
стандартное выражение и подчиненными определенным вычислительным прави-
лам, требуется ввести в рассмотрение существенно новые стороны исследуемых
явлений, то говорят, что происходит переход от количественных рассмотрений к
качественным. Так, в теории дифференциальных уравнений к области качествен-
ных методов относят методы исследования поведения интегральных кривых «в
целом», не требующие фактического интегрирования самих дифференциальных
I. Статья «Математика
43
уравнений, а основанные на общих топологических соображениях. Однако при их
полном развитии сами эти топологические методы подчиняются определенному
алгоритму, сводящему вопрос к вычислению некоторых числовых характеристик
(степень отображения и т. п.), что уже явно указывает на количественный ха-
рактер вновь привлеченных отношений. Большой удельный вес в современной
математике качественных (в таком относительном смысле) методов объясняется
сложностью строения математики, когда постоянно на основе одних математиче-
ских теорий возникают новые теории, имеющие дело с новыми объектами (вопрос
о разрешимости уравнений в радикалах сводится к строению соответствующих
групп подстановок и т. п.).
Что касается термина «пространственные формы», то в литературе по фи-
лософии математики нет установившегося отношения к вопросу о границах, до
которых разумно расширять его понимание. Геометрия обычного трехмерного
эвклидова пространства является лишь частным случаем разнообразных геомет-
рических систем, созданных современной геометрией, а из числа этих геометри-
ческих систем далеко не все созданы с целью изучения именно пространственных
форм действительного мира в непосредственном смысле этого слова. Поэтому,
например, в статье Геометрия (см.) сказано, что геометрия является наукой о
пространственных отношениях и формах, «а также о других отношениях и формах
действительности, сходных с пространственными по своей структуре». Последова-
тельно проводя это различие между собственно пространственными формами и
формами, лишь «сходными» с пространственными, следовало бы и сам термин
«пространство» применять лишь к единственному реальному пространству, пол-
ное изучение всех свойств которого по современным представлениям относится
к физике и которое в математике изучается лишь в том или ином приближении
(например, в достаточном для практических целей — эвклидовском).
Однако в математической литературе более распространено широкое понима-
ние термина «пространство», объясненное подробно в разделах III и VII статьи
Геометрия. С таким пониманием термина «пространство» естественно связыва-
ется и широкое понимание термина «пространственные формы», охватывающее
все формы, названные в статье Геометрия лишь «пространственно-подобными».
На примере фазовых пространств (см.) любого числа измерений в механике и
физике видно, что пространственные формы в этом широком смысле слова яв-
ляются тоже реальными формами действительного мира (а не произвольными
построениями геометров), как и пространственные формы в узком смысле слова.
Только при этом широком понимании терминов в настоящее время остается вер-
ным утверждение, что геометрия является наукой о пространственных отношениях
и формах действительности.
2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств
и математической логики
Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в 19 в. уси-
ленное внимание к вопросам ее «обоснования», т. е. критического пересмот-
ра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определе-
ний и доказательств, а также критического рассмотрения логических при-
44
I. Статья «Математика»
емов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода ра-
боты становится особенно понятной, если учесть то, что было выше сказано
об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математи-
ческой теории и ее проверкой на практическом материале, доставляемом
естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма
абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, кото-
рые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкрет-
ные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредствен-
ных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистриро-
ванных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему
накопленному опыту работы человеческой мысли, который как раз и сум-
мируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «строгости»
доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех
или иных отделов математики справедливо занимают значительное место
в математике 19 и 20 вв. В применении к основам анализа (теория действи-
тельных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов диф-
ференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с
большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большин-
стве учебников (даже чисто практического характера). Однако до послед-
него времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей
из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в
течение долгого времени уже на рубеже 19 и 20 вв. было с операционным
исчислением (см.), получившим весьма широкие применения в механике и
электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически
безупречное изложение математической теории вероятностей (см.). И в
настоящее время еще отсутствует строгое обоснование многих математиче-
ских методов, широко применяемых в современной теоретической физике,
где много ценных результатов получается при помощи незаконных матема-
тических приемов, дающих, например, иногда правильный ответ лишь «с
точностью» до заведомо ошибочного множителя, поправляемого из посто-
ронних данному «математическому выводу» соображений, или при помощи
отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в бесконечность, и т. п.
Только к концу 19 в. сложился стандарт требований к логической строгости,
остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе
математиков над развитием отдельных математических теорий. Этот стандарт
основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической
теории (см. Множеств теория, Аксиома, раздел III статьи Алгебра, раздел VII
статьи Геометрия). С этой точки зрения любая математическая теория имеет
дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой
некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отноше-
ний, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затра-
гивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима
I. Статья «Математика»
45
к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее
основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически
строго построенной только в том случае, если при ее развитии не используется
никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых объектов и
отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере
развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через
эти последние.
Из указанных требований, в частности, вытекает, что математическая тео-
рия, применимая к какой-либо системе объектов, применима автоматически и
к любой «изоморфной» системе (см. Изоморфизм). Заметим по этому поводу,
что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является про-
сто математическим выражением идеи «моделирования» физических явлений из
какой-либо одной области (например, тепловых) физическими явлениями иной
природы (например, электрическими) (см. Моделирование и Моделирование ма-
тематическое).
Изложенная концепция строения математической теории является по суще-
ству лишь некоторой конкретизацией определения математики как науки о ко-
личественных отношениях в разъясненном выше широком понимании термина
«количественные отношения». «Безразличие» количественных отношений к кон-
кретной природе тех предметов, которые они связывают, находит здесь свое вы-
ражение в возможности свободно переходить от одной системы объектов к любой,
ей изоморфной.
Теоретико-множественная концепция не только доставила основной в настоя-
щее время стандарт математической «строгости», но и позволила в значительной
мере разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их систе-
матизировать. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов,
в которых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определен-
ному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект
системы [например, в случае алгебраического поля — две операции (сложение и
умножение) над двумя элементами каждая]. Этим чистая алгебра отделяется от
анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную
«непрерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введе-
ния «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов.
Естественно, что аксиоматическое изложение какой-либо специальной мате-
матической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом ме-
сте, а пользуются понятиями ранее построенных теорий (например, понятиями
натурального или действительного числа). В результате этого безукоризненное
проведение аксиоматического изложения математических теорий перестало быть
чем-либо особенно обременительным и все больше входит во всеобщее употреб-
ление. При изучении таких сложных и в то же время общих образований, как,
например, непрерывные группы (см.), различные виды линейных пространств
(см.), этот способ изложения и исследования необходим для достижения полной
ясности и избежания ошибок.
Во всех конкретных, хотя бы и весьма общих, математических теориях (от тео-
рии действительных чисел до общей теории топологических пространств и т. п.)
точка зрения теории множеств себя вполне оправдала в том смысле, что благо-
46
I. Статья «Математика»
даря ее проведению из конкретных математических исследований практически
исчезли случаи длительных неясностей и разногласий по вопросу о корректно-
сти определений и достаточной убедительности доказательств отдельных теорем.
Возникшие в самой теории множеств неясности и даже прямые противоречия
(см. Парадоксы математические) связаны главным образом с теми ее областями,
где понятию бесконечного множества придается общность, излишняя для каких-
либо приложений. С принципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что
теорети ко-множествен ное построение всех основных математических теорий, на-
чиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения к
теории именно бесконечных множеств, а их теория сама требует логического обос-
нования (см. Бесконечность в математике), так как абстракция, приводящая к
понятию бесконечного множества, законна и осмысленна лишь при определенных
условиях, которые еще далеко не выяснены.
Другую сторону строения любой математической теории освещает математи-
ческая логика. Система аксиом в изложенном выше (теоретико-множествен ном)
понимании лишь ограничивает извне область применений данной математической
теории, указывая свойства подлежащей изучению системы объектов с отношени-
ями, но не дает никаких указаний относительно логических средств, при помощи
которых эту математическую теорию придется развивать. Например, свойства
системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помо-
щи очень простой системы аксиом. Тем не менее, решение вопросов, ответ на
которые в принципе однозначно предопределен принятием этой системы аксиом,
оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно постав-
ленными и очень простыми по формулировке проблемами, не нашедшими и до
настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит
ли это только потому, что решение некоторых просто формулируемых проблем
теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из извест-
ных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что
для решения некоторых проблем теории чисел необходимы существенно новые,
не употреблявшиеся ранее приемы логического вывода.
Современная логика математическая (см.) дала на этот вопрос определен-
ный ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия
проблем теории чисел. Точнее: уже в пределах теории натуральных чисел мож-
но сформулировать последовательность проблем рьрг, • • • ,Рп, • • • такого рода, что
для любой дедуктивной теории среди этих проблем найдется неразрешимая в пре-
делах данной теории. При этом под <дедуктивной теорией» понимается теория,
которая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь
угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих
к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов
логического вывода.
Таким образом было обнаружено, что понятие математической теории в смыс-
ле теории, охватываемой единой системой аксиом теоретико-множественного ти-
па, существенно шире, чем логическое понятие дедуктивной теории: даже при
развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение
к существенно новым способам логического рассуждения, выходящим за пределы
любого конечного набора стандартизированных приемов.
I. Статья «Математика»
47
Все те результаты, которые могут быть получены в пределах одной дедук-
тивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по дан-
ным раз навсегда правилам. Если для решения некоторого класса проблем дается
строго определенный рецепт их вычислительного решения, то говорят о матема-
тическом алгоритме (см.). С самого создания достаточно разработанной систе-
мы знаков математических (см.) проблемы построения достаточно общих и в
то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории математи-
ки. Но только в последние десятилетия в результате развития математической
логики начала создаваться общая теория алгоритмов и «алгоритмической раз-
решимости» математических проблем. Практические перспективы этих теорий,
по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным развитием вычис-
лительной техники, позволяющей заменить сложные математические алгоритмы
работой машин.
Отмеченной выше ограниченности возможностей любой фиксированной де-
дуктивной теории в теории алгоритмов соответствуют теоремы о невозможно-
сти «универсальных» алгоритмов для достаточно общих классов математиче-
ских проблем. Эти теоремы дали философии математики наиболее интересную и
острую конкретизацию общего положения о том, что живое мышление принци-
пиально отличается от работы любого вида вычисляющих автоматов.
Теория множеств, успешное построение большинства математических теорий
на основе теоретико-множественной аксиоматики и успехи математической ло-
гики (с входящей в нее теорией алгоритмов) являются весьма важными пред-
посылками для разрешения многих философских проблем современной матема-
тики. Благодаря теоретико-множественной переработке всех отделов математи-
ки, решение проблем, связанных с понятием бесконечности в математике, сведе-
но к обоснованию и критическому выяснению содержания понятия бесконечного
множества. Теоретико-множественная аксиоматика, как уже было указано, дает
средства для достаточно общей трактовки вопроса о количественном характере
изучаемых математикой отношений. Она же позволяет с единой точки зрения
рассмотреть строение специальных математических теорий, предметное содер-
жание которых закрепляется при помощи соответствующей системы аксиом, и,
таким образом, до известной степени осветить как вопрос об отношении матема-
тической теории к действительности, так и вопрос о своеобразии математического
метода исследования. Мы видели, что возникающее таким образом понятие мате-
матической теории существенно шире, чем понятие дедуктивной теории в смысле
формальной логики. Относящиеся к этому вопросу результаты современной ма-
тематической логики позволяют с полной конкретностью проследить диалекти-
ческий процесс создания дедуктивных теорий и алгоритмов, которые доставляют
нам формально-логические и вычислительные средства для решения все более
широкого круга проблем математической теории.
В 20 в., когда перечисленные общие вопросы могли быть поставлены с до-
статочной широтой, в науке капиталистических стран уже сделались преоблада-
ющими реакционные идеалистические течения. Логисты (об этом течении бур-
жуазной философии математики см. в статье Логистика) использовали дости-
жения теоретико-множественной аксиоматики, которые на самом деле вскрыва-
ли большую, чем ранее предполагалось, широту связей математической теории
48
I. Статья «Математика»
с действительностью (возможность изучать в пределах одной теории много раз-
личных реальных кругов явлений), для провозглашения прямо противоположно-
го тезиса о полной независимости математики от задач изучения материально-
го мира. Позднее интуиционисты (см. Интуиционизм) воспользовались логиче-
скими трудностями обоснования теории бесконечных множеств для того, чтобы
объявить математику вообще не наукой, изучающей лежащие вне нас объекты,
а своеобразной творческой «деятельностью» по созданию не отвечающих ника-
кой внешней реальности мысленных конструкций. Наконец, достижения матема-
тической логики используются формалистами (см. Формализм) для того, чтобы
свести все содержание математики к построению символических «исчислений»,
символы которых вообще ничего не обозначают.
Исследование философских проблем математики на основе сознательной ма-
териалистической диалектики было начато К. Марксом (см. Матемагпические
рукописи Маркса), который дал глубокий анализ исторического развития мате-
матики в 17 и 18 вв. и осветил диалектический процесс возникновения на почве
алгебры конечных величин анализа бесконечно малых (см. об этом также в статье
Бесконечно малые). Особенно детально К. Маркс разработал вопрос о содержа-
ний понятия дифференциала. Выдвинутая им концепция дифференциала, как
«оперативного символа», предвосхитила идеи, возрожденные только в 20 в., а его
понимание дифференциала как главной части приращения вполне соответствует
тому, которое излагается в современных учебниках и отсутствовало в руковод-
ствах, изучавшихся К. Марксом (работы математиков по обоснованию анализа,
начиная с работ французского математика О. Коши, К. Марксу оставались неиз-
вестными).
3. История математики в 19 и 20 вв.
Начало и середина 19 в. В начале 19 в. происходит новое значи-
тельное расширение области приложений математического анализа. Если
до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого
математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним
присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика.
Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных
сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости
была создана еще в 18 в. Д. Бернулли, Эйлером, Д’Аламбером и Лагран-
жем. Быстро растут и математические запросы техники. В начале 19 в. —
это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, бал-
листики. В качестве основного аппарата новых областей механики и мате-
матической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных
уравнений с частными производными и особенно теория потенциала (см.
Потенциала теория). В этом направлении работает большинство крупных
аналитиков начала и середины века [немецкий математик К. Гаусс (см.),
французские математики Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши (см.), немецкий
I. Статья «Математика*
49
математик П. Дирихле, английский математик Дж. Грин, русский мате-
матик М.В. Остроградский (см.)]. Остроградский заложил основы вариа-
ционного исчисления для функций нескольких переменных, нашел (1828,
опубликовано в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных ин-
тегралов в двойные и ее n-мерное обобщение (1834, опубликовано в 1838),
усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах (1836,
опубликовано в 1838), получив по существу те результаты, которые были
для общего п-мерного случая компактно формулированы позднее (1841)
немецким математиком К. Якоби (см. Якобиан). В результате исследова-
ний по уравнениям математической физики в работах английских матема-
тиков Дж. Стокса и др. возникает векторный анализ (одной из основных
формул которого, впрочем, являлась по существу и упомянутая формула
Остроградского).
Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19 в. механи-
стическое убеждение в возможности описать все природные явления диф-
ференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получа-
ет значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. Лаплас и Пуас-
сон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. В России
применением теории вероятностей к приемочному контролю и статистике
занимаются М.В. Остроградский и В. Я. Буняковский; П.Л. Чебышев да-
ет строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою
знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке
известные ранее формы больших чисел закона (см.).
Как уже отмечалось, наряду' с развитием работ, возникших из новых
запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков
с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа.
Коши опубликовал в 1821 и 1823 читанные в Политехнической школе лек-
ции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, опре-
деление понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов
изложение дифференциального и интегрального исчисления (в частности,
теорему о существовании интеграла от непрерывной функции). Некото-
рые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании
и единственности решений дифференциальных уравнений были опублико-
ваны позднее. Лобачевский (1834) и, позднее, Дирихле (1837) отчетливо
сформулировали определение функции, как совершенно произвольного со-
ответствия. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с
конечным числом максимумов и минимумов рядом Фурье; перекрывающи-
еся (в смысле общности) условия сходимости рядов Фурье дал Лобачевский
(1834-35).
Выше уже отмечалась работа датского землемера Весселя, содержав-
шая геометрическую интерпретацию комплексных чисел, но она осталась
50
I. Статья •Математика»
незамеченной. В 1799 Гаусс опубликовал первое доказательство основной
теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто дей-
ствительных терминах (разложимость действительного многочлена на дей-
ствительные множители первой и второй степени). Лишь значительно поз-
же (1831) Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем
Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрической
интерпретацией и доказательством леммы Д’Аламбера, а в 1815 — дока-
зательство основной теоремы алгебры, близкое по идее к доказательству
Коши (1821).
На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает
теория функций комплексного переменного. Гаусс очень много знал в этой
области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были зало-
жены Коши, теория эллиптических функций была развита Абелем и Яко-
би. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического
подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия пове-
дения функций в комплексной области и основных господствующих здесь
геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимо-
сти ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой Коши). Этот
в известном смысле слова «качественный» и геометрический характер тео-
рии функций комплексного переменного еще усиливается в середине 19 в. у
немецкого математика Б. Римана (см.). Здесь оказывается, что естествен-
ным геометрическим носителем аналитической функции в случае ее мно-
гозначности является не плоскость комплексного переменного, а соответ-
ствующая «риманова поверхность» — образование, природа которого мо-
жет быть понята лишь в рамках нового понимания геометрии, о котором
говорилось выше. Хотя немецкий математик К. Вейерштрасс достигает той
же общности, что и Риман, оставаясь на почве чистого анализа, геометри-
ческие идеи Римана оказываются в дальнейшем все более определяющими
весь стиль мышления в области теории функций комплексного перемен-
ного.
В период увлечения теорией функций комплексного переменного круп-
нейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций
в действительной области является П. Л. Чебышев (см.). Наиболее ярким
выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) Чебы-
шевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших
приближений (см.).
В алгебре после уже упомянутого доказательства неразрешимости в ра-
дикалах общего уравнения пятой степени (Руффини и Абель) французский
математик Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в ради-
калах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа
теория}. Задача общего абстрактного изучения групп ставится Кэли. Сле-
I. Статья «Математика»
51
дует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории
групп произошло только после работ французского математика К. Жор-
дана в 70-х гг. От работ Галуа и Абеля берет свое начало также понятие
поля алгебраических чисел, приведшее к созданию новой науки — алгеб-
раической теории чисел.
На существенно новую ступень поднимается в 19 в. и разработка старых
задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых
чисел. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадра-
тичными формами, Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты
о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел, Дирихле
доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых
чисел в арифметических прогрессиях, и т. д.
Дифференциальная геометрия поверхностей создается К. Гауссом
(1827) и русским математиком К.М. Петерсоном (1853). Для выработки
новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было
указано, имело создание Лобачевским неэвклидовой геометрии. Постро-
ив неэвклидову тригонометрию и аналитическую геометрию, он дал по
существу все необходимое для установления совместности и полноты систе-
мы аксиом этой новой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время
независимо от неэвклидовой геометрии, проективная геометрия (француз-
ский математик Ж. Понселе, швейцарский математик Я. Штейнер, немец-
кий математик X. Штаудт и др.), также связанная с существенным измене-
нием старых взглядов на пространство. Немецкий математик Ю. Плюккер
строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые,
немецкий математик Г. Грасман создает аффинную и метрическую геомет-
рию n-мерного векторного пространства.
Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференци-
альная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи
с геометрией Эвклида: то, что поверхность лежит в трехмерном эвклидо-
вом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством.
Исходя из этого, Риман создает (1854, опубликовано 1866) концепцию п-
мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифферен-
циальной квадратичной формой ds2 = ''Tlanedxidxk- Этим было положено
начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий. Ри-
ману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных
многообразий.
Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР. Лишь в начале 70-х гг.
19 в. немецкий математик Ф. Клейн находит модель неэвклидовой геомет-
рии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в ее непро-
тиворечивости. Клейн подчиняет (1872) все разнообразие построенных к
этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее
52
I. Статья «Математика»
изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же вре-
мя (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фунда-
мент в виде строгой теории иррациональных чисел (немецкие математики
Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879-84 публикуются основ-
ные работы Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только по-
сле этого могли быть сформулированы современные общие представления о
предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики
и т. д. Широкое их распространение потребовало еще несколько десятиле-
тий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно
связывается с выходом в свет в 1899 «Оснований геометрии» немецкого
математика Д. Гильберта).
Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики со-
средоточивается на преодолении логических трудностей, возникших в об-
щей теории множеств, и на исследовании строения математических теорий
и приемов конструктивного решения математических задач средствами ма-
тематической логики. Эти исследования вырастают в большой самостоя-
тельный отдел математики (см. Логика математическая). Основы мате-
матической логики создаются в 19 в. английским логиком Дж. Булем, рус-
ским математиком П.С. Порецким, немецкими математиками Э. Шрёдером
и Г. Фреге, итальянским математиком Дж. Пеано и др. В 20 в. математики
Западной Европы и Америки также имеют в этой области большие дости-
жения (теория доказательств Гильберта; конструктивная логика, создан-
ная голландским математиком Л. Брауэром и его последователями (под
связанным с их ошибочными философскими взглядами названием «интуи-
ционистской логики»); установление австрийским математиком К. Гёделем
принципиальной неполноты формальных дедуктивных теорий; разработка
концепции алгоритмической «вычислимости» числовых функций и т. д.],
однако в буржуазном мире работы по основаниям математики все более
подпадают под влияние реакционной философии и часто служат для про-
паганды агностицизма и полного отрыва математической теории от прак-
тики. Ряд крупных фактических открытий в области принципиальных про-
блем теории множеств и математической логики принадлежит советским
исследователям [работы Н.Н. Лузина по проективным множествам; дан-
ное А. Н. Колмогоровым конструктивное истолкование «интуиционистской
логики»; работы П.С. Новикова о непротиворечивости некоторых пред-
ложений теории множеств; развитие А. А. Марковым (младшим) теории
алгоритмов и алгоритмической разрешимости математических проблем].
Исследования по основаниям математики в СССР и в странах народной де-
мократии сознательно исходят из положений философии диалектического
материализма.
I. Статья «Математика»
53
Во 2-й половине 19 в. начинается интенсивная разработка вопросов ис-
тории математики [М. Кантор (Германия), Г. Цейтен (Дания), В. В. Бо-
бынин (Россия)]. Большие успехи достигнуты в СССР группой ученых
(М. Я. Выгодский, А.П. Юшкевич, С. А. Яновская и др.), изучающей на
основе марксистско-ленинской методологии различные проблемы истории
математики.
Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не
только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов и
окончательности результатов, получают в конце 19 в. и в 20 в. все разде-
лы математики, начиная с самого старого из них — теории чисел. Немец-
кие математики Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, русский математик
Е.И. Золотарев и немецкий математик Д. Гильберт закладывают осно-
вы современной алгебраической теории чисел. Французский математик
Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, немецкий мате-
матик Ф. Линдеман в 1882 — числа тг, французский математик Ж. Адамар
(1896) и бельгийский математик Ш. Ла Валле-Пуссен (1896) завершают
исследования Чебышева о законе убывания плотности расположения про-
стых чисел в натуральном ряду. Немецкий математик Г. Минковский вво-
дит в теоретике-числовые исследования геометрические методы. В России
работы по теории чисел после Чебышева блестяще развивают, кроме уже
упомянутого Золотарева, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков (стар-
ший). Достигнутое благодаря их работам ведущее положение русской нау-
ки в области теории чисел еще более закрепляется в советский период бла-
годаря работам И.М. Виноградова, решившего (1937) знаменитую пробле-
му Гольдбаха для нечетных чисел (см. Гольдбаха проблема) и создавшего
наиболее сильный метод решения разнообразных других проблем аддитив-
ной теории чисел. Большое значение имеют также работы по теории чисел
советских математиков Л. Г. Шнирельмана, Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонда
и др. Продолжают развиваться классические отделы алгебры. В частности,
подробно исследуются различные возможности сведения решения уравне-
ний высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений
возможно более простого вида — так называемая проблема резольвент
(см.) (Ф. Клейн, Д. Гильберт, в СССР — Н.Г. Чеботарев). В связи с за-
просами теории колебаний (устойчивость, автоматическое регулирование)
широко исследуется вопрос о критериях того или иного расположения кор-
ней уравнения на плоскости (см., например, Гурвица критерий). Вопросы
линейной алгебры, получающей все более широкие применения в механике
и физике, освещаются с совершенно новой стороны благодаря привлече-
нию геометрических идей теории n-мерных векторных пространств (см.).
Однако центр тяжести теоретических алгебраических исследований пере-
носится в ее новые области: теорию групп, полей, колец, структур и т. д.
54
I. Статья «Математика»
Многие из этих отделов алгебры получают глубокие применения в есте-
ствознании: в частности, теория групп — в кристаллографии (в работах
Е. С. Федорова и А. Шёнфлиса), а позднее — в вопросах квантовой физики
(см. Представления групп). Над общими вопросами современной алгебры
(особенно теории групп) в СССР работает первоклассная научная школа
(О.Ю. Шмидт, А. Г. Курош, А. И. Мальцев и др.).
На границе между алгеброй и геометрией норвежский математик С. Ли
создает (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позд-
нее проникают во все новые области математики и естествознания. Весьма
значительные результаты по теории непрерывных групп в СССР получены
Л. С. Понтрягиным и др.
Элементарная и проективная геометрии привлекают внимание матема-
тиков конца 19 в. и 20 в. главным образом под углом зрения изучения их ло-
гических и аксиоматических основ (см. Геометрия, раздел V — Основания
геометрии). Большое развитие, кроме уже упоминавшейся начертательной
геометрии, получают некоторые новые прикладные геометрические дис-
циплины: номография (см.), методы графических вычислений, графическая
статика (см.) и т. п. Но основными отделами геометрии, привлекающими
наиболее значительные научные силы, делаются дифференциальная гео-
метрия и, в несколько меньшей степени, алгебраическая геометрия (см.).
Дифференциальная геометрия эвклидова трехмерного пространства полу-
чает полное систематическое развитие в работах итальянского математи-
ка Е. Бельтрами, французского математика Г. Дарбу и др. Позднее бур-
но развивается дифференциальная геометрия различных более широких
(чем группа эвклидовых движений) групп преобразований (см., напри-
мер, Конформно-дифференциальная геометрия, Проективно-дифференци-
альная геометрия) и особенно дифференциальная геометрия многомерных
пространств, как метрическая (см. Римановы геометрии), так и различ-
ных других «связностей» (аффинной, конформной, проективной). Это на-
правление геометрических исследований, получившее мощный импульс к
развитию с возникновением общей теории относительности (см. Относи-
тельности теория), создано прежде всего работами итальянского мате-
матика Т. Леви-Чивита, французского математика Э. Картана и немец-
кого математика Г. Вейля. Во всех основных направлениях дифференци-
альной геометрии важные работы принадлежат советским математикам
(Д. Ф. Егоров, С.П. Фиников, Н.Н. Лузин). Большую школу исследовате-
лей, работающих тензорными методами, создал в СССР В. Ф. Каган. Осо-
бенно большие достижения имеют советские исследователи в области изу-
чения дифференциально-геометрических образований «в целом» (работы
о существовании замкнутых геодезических Л. А. Люстерника и Л. Г. Шни-
I. Статья «Математика»
55
рельмана, работы об изгибании поверхностей «в целом» А. Д. Александро-
ва, и др.).
В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и тео-
рии функций действительного переменного (см. ниже) теория аналитиче-
ских функций в конце 19 в. лишается того исключительного положения
ядра всего математического анализа, которое намечалось для нее в начале
и середине 19 в. Однако она продолжает не менее интенсивно развивать-
ся как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за
обнаруживающихся новых связей ее с другими отделами анализа и непо-
средственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем
направлении было выяснение роли конформных отображений при реше-
нии краевых задач для уравнений с частными производными (например,
задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений
идеальной жидкости и в задачах теории упругости.
Немецкий математик Ф. Клейн и французский математик А. Пуанка-
ре создают теорию автоморфных функций (см.), в которой находит заме-
чательные применения геометрия Лобачевского. Французские математики
Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разрабатывают
теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоми-
навшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометри-
ческую теорию функций и теорию римановых поверхностей (см.) разви-
вают А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль, немецкий математик К. Кара-
теодори, теорию конформных отображений (см.) — советские математики
И. И. Привалов, М. А. Лаврентьев, Г. М. Голузин и др. Наиболее широкие
применения в аэромеханике и теории упругости конформные отображе-
ния (и их обобщение — квазиконформные отображения) находят в рабо-
тах Н.Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Н.И. Мусхелишвили, М.А. Лав-
рентьева и других советских исследователей.
В результате систематического построения математического анализа на
основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории
множеств возникла новая отрасль математики — теория функций действи-
тельного переменного (см. Функций теория). Под этим несколько услов-
ным названием понимают по преимуществу исследование основных по-
нятий анализа (например, понятий функции, производной, интеграла) и
основных операций анализа [например, разложения функций в тригоно-
метрические ряды (см.)] с достаточно общей точки зрения. Если ранее
систематически изучались лишь функции, возникающие «естественно» из
тех или иных специальных задач, то для теории функций действитель-
ного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного
объема общих определений (в самом начале ее развития чешским матема-
тиком Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнару-
56
I. Статья «Математика»
жено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной
точке) и к обобщению основных понятий анализа в тех случаях, когда в
первоначальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту зада-
чу, из решения которой они возникли [например, создание такого процесса
интегрирования, который позволил бы восстановить с точностью до по-
стоянной любую функцию F(x), имеющую в каждой точке х производную
/(т) = F'(x), по этой производной]. Основы современной теории функций
действительного переменного заложили математики французской школы
(К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр). Позднее руководящая роль пе-
реходит к русской и советской школе, созданной Д. Ф. Егоровым и осо-
бенно Н. Н. Лузиным. К виднейшим представителям этой школы принад-
лежат Д. Е. Меньшов, А. Я. Хинчин, П. С. Александров, М. Я. Суслин,
И. И. Привалов (работавший главным образом в областях, пограничных
между теорией функций действительного переменного и теорией аналити-
ческих функций), Н.К. Бари и др. Интенсивно разрабатывается теория
функций действительного переменного и теория множеств польской шко-
лой, возглавляемой В. Серпинским.
Исследование функций действительного переменного велось, однако, и
с другой, примыкающей к Чебышеву, классической точки зрения. Именно,
было обнаружено, что более узкие классы функций, имеющие основной
практический интерес (классы функций, данное число раз дифференци-
руемых, или аналитических функций), могут быть охарактеризованы тем,
насколько быстро убывают с возрастанием п отклонения от функции наи-
лучшим образом аппроксимирующих ее многочленов степени п. Наиболее
значительные результаты были получены в начале 20 в. С. Н. Бернштей-
ном, возглавившим затем большое направление конструктивной теории
функций (см.), в которой ведущее место принадлежит советским исследо-
вателям (см. Приближение и интерполирование функций). Теория прибли-
жений функций многочленами в комплексной области тоже с наибольшим
успехом разрабатывается советскими исследователями (М. А. Лаврентьев,
М.В. Келдыш и др.).
Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действи-
тельного переменного оказала большое влияние на развитие многих дру-
гих отделов математики. Выработанные в ее пределах методы оказались
особенно необходимыми при построении основ функционального анализа.
Если в отношении методов функциональный анализ развивался под вли-
янием теории функций действительного переменного и теории множеств,
то по своему содержанию и характеру решаемых в нем задач он примы-
кает непосредственно к классическому анализу и математической физике,
становясь особенно необходимым [главным образом в форме теории опе-
раторов (см. Операторное исчисление)] в квантовой физике. Впервые со-
I. Статья «Математика»
57
знательное выделение функционального анализа как особой ветви матема-
тики было произведено итальянским математиком В. Вольтерра в конце
19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь
возникшее много ранее вариационное исчисление (см.), задачей которого
является разыскание максимумов и минимумов функционалов, и теория
интегральных уравнений (см.), систематическое построение которой было
начато тем же Вольтерра и продолжено шведским математиком Э. Фред-
гольмом, закончившим в общих чертах теорию важного класса линейных
интегральных уравнений, названных его именем. С более общей точки зре-
ния центральное положение в функциональном анализе занимает теория
бесконечномерных линейных пространств (см.) (разработанная в наиболее
употребительной ныне форме польским математиком С. Банахом) и опера-
торов в них. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбер-
товом пространстве (см.), основная роль которого выяснилась из работ
Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интен-
сивно. Значительные работы по общим вопросам функционального анализа
принадлежат венгерскому математику Ф. Рису, американскому математи-
ку Дж. Нейману, советскому математику И.М. Гельфанду и др. Советским
математиком Н. И. Мусхелишвили и его школой разработана теория син-
гулярных интегральных уравнений (см.), имеющая большое значение в во-
просах теории упругости. Важные работы по вариационному исчислению
выполнены в СССР М.А. Лаврентьевым, Л. А. Люстерником, Н.Н. Бого-
любовым. Методы функционального анализа нашли широкое применение
к решению конкретных задач математической физики также в работах
С. Л. Соболева и других советских аналитиков.
Развитие общих идей функционального анализа не изменяет, однако,
того положения, что наибольшее число задач, выдвигаемых перед мате-
матикой естествознанием и техникой, сводится к решению дифференци-
альных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным
числом степеней свободы), так и с частными производными (при изуче-
нии непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления
исследования дифференциальных уравнений в рассматриваемый период
интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем со-
здаются методы операционного исчисления (см.), возникновение которого
не вполне правильно связывается с именем английского инженера О. Хе-
висайда [ряд основных фактов этого исчисления был, например, указан
ранее (1862) русским математиком М.Е. Ващенко-Захарченко]. При иссле-
довании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется
метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналити-
ческая теория обыкновенных дифференциальных уравнений (французские
математики А. Пуанкаре, П. Пенлеве, советский математик И. А. Лаппо-
58
I. Статья «Математика»
Данилевский и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обык-
новенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы ка-
чественного исследования их решений: классификация особых точек (Пу-
анкаре и др.), вопросы устойчивости (см.), особенно глубоко изученные
русским математиком А.М. Ляпуновым, отыскание предельных циклов и
другие вопросы топологического расположения интегральных кривых, во-
просы о поведении интегральных кривых «в среднем» [в форме так называ-
емой эргодической теории (см.)]. Все эти исследования получают широкое
развитие в СССР (Л. И. Мандельштам, А. А. Андронов, В. В. Степанов,
Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, И. Г. Петровский и др.).
Качественная теория дифференциальных уравнений (см.) послужила
для Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва
намеченных Риманом исследований по топологии (см.) многообразий, осо-
бенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отоб-
ражений на самих себя. Здесь получили свое начало «комбинаторные», «го-
мологические» и «гомотопические» методы современной топологии, раз-
работанные голландским математиком Л. Брауэром, американскими ма-
тематиками О. Вебленом, Дж. Александером и С. Лефшетцем и немец-
ким математиком Г. Гопфом. Другое направление в топологии возникло на
почве теории множеств и функционального анализа и привело к система-
тическому построению теории общих топологических пространств (фран-
цузский математик М. Фреше, немецкий математик Ф. Хаусдорф, совет-
ские математики П.С. Урысон, П.С. Александров, А. Н. Тихонов), в част-
ности теории их размерности (Урысон). Объединение этих направлений,
придавшее полную общность алгебраическим «комбинаторным методам»,
было осуществлено советской топологической школой (П. С. Александров,
Л. С. Понтрягин), работы которой лежат в основе современного этапа раз-
вития топологии. Применения топологических методов в анализе разраба-
тывались американскими математиками Г. Биркгофом, М. Морсом, поль-
ским математиком Ю. Шаудером, советским математиком Л. А. Люстер-
ником и др.
Теория дифференциальных уравнений с частными производными еще
в конце 19 в. получает существенно новый вид благодаря сосредоточению
основного внимания на краевых задачах (см.) и отказу от ограничения ана-
литическими краевыми условиями. Аналитическая теория, восходящая к
Коши, Вейерштрассу и русскому математику С. В. Ковалевской, не теря-
ет при этом своего значения, но отступает несколько на задний план, т. к.
обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует «кор-
ректности», т. е. возможности приближенно найти решение, зная гранич-
ные условия тоже лишь приближенно, в то время как без этой возмож-
ности теоретическое решение не имеет практической ценности. Картина
I. Статья «Математика»
59
более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитической теории:
краевые задачи, которые можно «корректно» ставить для разных типов
дифференциальных уравнений, оказываются различными. Наиболее на-
дежным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежа-
щих краевых задач становится непосредственное обращение к соответству-
ющим физическим представлениям (о распространении волн, течении теп-
ла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференци-
альных уравнений с частными производными главным образом в теорию
уравнений математической физики (см.), имея большое положительное
значение в смысле накопления огромного конкретного материала, в то же
время служит и признаком недостаточного развития общей теории крае-
вых задач, которая позволила бы систематически изучать все теоретически
возможные «корректные» краевые задачи. Существенный прогресс в этом
направлении намечается лишь в последнее время в работах И. Г. Петров-
ского, С. Л. Соболева и ряда других советских математиков.
Работы по отдельным типам уравнений математической физики спра-
ведливо составляют значительную часть всей современной математиче-
ской продукции. После немецких математиков П. Дирихле и Б. Римана
уравнениями математической физики занимались французские матема-
тики А. Пуанкаре, Э. Пикар, Э. Гурса, Ж. Адамар, английские физи-
ки Дж. Рэлей и У. Томсон, немецкие математики К. Нейман, Г. Шварц,
Д. Гильберт, Р. Курант и многие другие. Для эллиптических уравнений
фундаментальный вопрос об аналитичности их решений был решен в на-
чале 20 в. в России С. Н. Бернштейном. Основателями систематически ра-
ботающей отечественной школы в области уравнений математической фи-
зики являются А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Н. М. Гюнтер, А. Н. Крылов.
В настоящее время эта школа возглавляется В. И. Смирновым, И. Г. Пет-
ровским, С. Л. Соболевым, А.Н. Тихоновым и рядом других ученых, до-
ставивших советской науке во многих разделах этой области математики
ведущее положение.
Существенным дополнением к методам теории дифференциальных
уравнений при изучении природы и решении технических задач являются
методы теории вероятностей (см.). Если в начале 19 в. главными потре-
бителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы
и теория ошибок, то в конце 19 в. и в начале 20 в. теория вероятностей по-
лучает много новых применений благодаря развитию статистической фи-
зики и механики и разработке аппарата математической статистики
(см.). Наиболее глубокие теоретические исследования по общим вопросам
теории вероятностей в конце 19 в. и в начале 20 в. принадлежат русской
школе [П.Л. Чебышев, А. А. Марков (старший), А. М. Ляпунов]. Они со-
средоточиваются вокруг вопроса об условиях применимости центральной
60
I. Статья «Математика»
предельной теоремы (см.) теории вероятностей. В 20 в. происходит общий
подъем интереса к теории вероятностей во всех странах (Р. Мизес в Герма-
нии, Э. Борель, П. Леви во Франции, В. Феллер в США и многие другие).
В СССР фундаментальное значение имеют работы С. Н. Бернштейна, за-
вершившего работы чебышевской школы и начавшего целый ряд новых
теоретических и прикладных направлений. Советскими исследователями
(А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров и др.) создаются основы теории «случай-
ных», или вероятностных, процессов и дается окончательная форма аксио-
матического изложения теории вероятностей, исходящая из усмотренных
впервые Борелем аналогий между понятием вероятности и понятием меры
в теории функций действительного переменного.
Практическое использование результатов теоретического математиче-
ского исследования требует получения ответа на поставленную задачу в
числовой форме. Между тем, даже после исчерпывающего теоретического
разбора задачи это часто оказывается совсем не легким делом. В конце
19 в. и в 20 в. численные методы (см.) анализа вырастают в большую са-
мостоятельную ветвь математики. Особенно большое внимание уделяется
при этом методам численного интегрирования дифференциальных урав-
нений (см. Приближенное интегрирование). Для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений получает широкое распространение метод, откры-
тый английским астрономом Дж. Адамсом еще в 1855 и развитый далее
норвежским математиком К. Штёрмером. Другого типа метод предложил
немецкий математик К. Рунге. Кроме многочисленных найденных позд-
нее вариантов этих двух типов методов и давно известного метода после-
довательных приближений (см. Последовательных приближений метод),
теоретически обоснованного Пикаром, советским математиком С. А. Ча-
плыгиным предложен (1919) метод интегрирования обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, основанный на существенно иных принципах.
Для уравнений с частными производными разностные методы, разработка
которых была начата немецким математиком Г. Либманом, были усовер-
шенствованы в СССР С. А. Гершгориным и рядом других исследователей.
Другой метод, предложенный немецким математиком В. Ритцем (1908)
(см. Ритца метод), получил замечательное развитие в работах русского
ученого Б. Г. Галёркина (1915). Условия применимости метода Галёркина
были исследованы М. В. Келдышем и др. На развитие в СССР всех на-
правлений исследований в области численных методов анализа оказали
большое влияние труды А. Н. Крылова. Замечательные связи численных
методов анализа с функциональным анализом обнаружены исследования-
ми Л. В. Канторовича.
Широкое развитие работ, требующих численных расчетов, приводит к
необходимости вычисления и публикации все возрастающего количества
I. Статья «Математика»
61
таблиц математических (см.). Ряд вопросов, связанных с рациональным
составлением таблиц и интерполированием в них, особенно в случае таблиц
функций нескольких переменных, стимулирует и развитие соответствую-
щих теоретических исследований («теория табулирования»).
В последнее время все большее значение приобретает использование
при вычислениях больших скоростных вычислительных машин. С этим
связано возникновение нового отдела математики — теории программиро-
вания (см.), т. е. теории приведения математических задач к форме, позво-
ляющей их решать наиболее рациональным способом на математических
машинах. О технической стороне «машинной» математики см. Счетная
машинная техника, Математические машины, Математические прибо-
ры, Вычислительные машины, Счетные магиины, Универсальные вычис-
лительные машины, Электронные вычислительные машины.
Лит.\ История и философия математики — Сборник статей по философии
математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936; Александров А. Д., Ленинская
диалектика и математика, «Природа», 1951, №1; его же, Об идеализме в мате-
матике, там же, 1951, №7-8; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в
средние века, пер. с франц., 2 изд., М.-Л., 1938; его же, История математики в
XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.-Л., 1938; Выгодский М. Я., Арифметика и
алгебра в древнем мире, М.-Л., 1941; Беллюстин В., Как постепенно дошли люди
до настоящей арифметики, М., 1940; Шереметевский В. П., Очерки по истории
математики, М., 1940; Васильев А. В., Математика, вып. 1 (1725-1826-1863), П.,
1921; Гнеденко Б. В., Очерки по истории математики в России, М.-Л., 1946; Кэджо-
ри Ф.. История элементарной математики с указанием на методы преподавания,
пер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX
столетии, пер. с нем., ч. 1, М.-Л., 1937; Историко-математические исследования,
вып. 1-6, М.-Л., 1948-53; Вилейтнер Г, Хрестоматия по истории математики, со-
ставленная по первоисточникам. Арифметика и алгебра. Геометрия и тригономет-
рия. .., пер. с нем., 2 изд., М.-Л., 1935; Cantor М., Vorlesungen fiber Geschichte der
Mathematik, Bd 1-4, 3 Aufl., Lpz., 1907-13; Wieleitner H., Geschichte der Mathematik.
Neue Bearbeitung, Bd 1-2, B., 1922-23; Cajori F., A history of mathematics, 2 ed., N.
Y., 1931; Loria G., Storia delle matematiche dell’alba della civilta al secolo XIX, 2 ed.,
Milano, 1950; его же, Guida allo studio della storia delle matematiche, 2 ed., Milano,
1946; Tropfke J., Geschichte der Elementar-Mathematik. In systematischer Darstellung
mit besonderer Beriicksichtigung der Fachworter, Bd 1-4, 3 Aufl., B.-Lpz., 1930-40;
Bd 5-7, 2 Aufl., B.-Lpz., 1923-24.
Математические энциклопедии и обзоры — Математика. [Сб. статей], под ред.
И. С. Александрова [и др.], М.-Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917-1932); Ма-
тематика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. статей, под ред. А. Г. Куроша
[и др.], М.-Л., 1948; Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 ап-
реля - 4 мая 1927, М.-Л., 1928; Труды первого Всесоюзного съезда математиков
(Харьков, 1930), М.-Л., 1936; Труды второго Всесоюзного математического съез-
да. Ленинград 24-30 июня 1934, т. 1-2, Л.-М., 1935-36; «Успехи математических
наук», М.-Л., 1936-44, вып. 1-10, 1946-53, т. 1-8; Энциклопедия элементарной
математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 1-3, М.-Л., 1951-52; Be-
62 I. Статья «Математика»
бер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. с нем., т. 1-
3, 2 изд., Одесса, 1911-14; Enzyclopadie der mathematischen Wissenschaften, mit
Einschlufi ihrer Anwendungen, Bd 1-6, Lpz., 1898-1934, то же, Bd 1, 2 Aufl., Lpz.,
1952; Encyclopedic des sciences mathematiques pures et appliquees, t. 1-7, P.-Lpz.,
1904-14; Pascal E., Repertorium der hoheren Mathematik, 2 Aufl., Lpz.-B., 1910-
29; Berzolari L. [e. a.], Enciclopedia delle matematiche elementari e complement! con
estensione alle principal! teorie analitiche, geometriche e fisiche. Loro applicazioni e
notizie storico-bibliografice, v. 1-3, Milano, 1930-50.
II
Статьи о математике
в энциклопедических
изданиях

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1 действительного числа равна это-
му числу, если оно положительно, равна противоположному числу, если оно
отрицательно, и равна нулю, если число равно нулю. Таким образом, А. в.
положительного числа р и отрицательного числа — р совпадают. А. в. числа
а обозначается |п|. Например, | + 5| = | — 5| = 5; |0| = 0.
На чертеже изображен график функции у
У — = к|. Абсолютная величина (или /
модуль) комплексного числа (см.) а + Ы (где а /
и b действительны) равна +\/а2 + Ь2. Напри- __________________х
мер, |г| = | — г| = 1; |4 + Зг| = 5. *0
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ2 - геометрия, построенная неза-
висимо от постулата о параллельных и содержащая поэтому предложения,
общие для эвклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского (см.).
АДДИТИВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ3 (лат. additivus — прибавленный) —
величины, связанные с геометрическим объектами (телами, поверхностя-
ми, линиями) или физическими телами таким образом, что величина, соот-
ветствующая целому объекту, всегда равна сумме величин, соответствую-
щих его частям, каким бы образом мы этот объект ни разбивали на части.
Объем тела, площадь поверхности, длина линии, масса и вес физического
тела суть А. в. Аддитивные величины в общей, абстрактной форме изуча-
ются в математике как аддитивные функции множеств (см.). Например,
двойной интеграл
/(G) = JJ f(x,y)dxdy
является аддитивной функцией области G, по которой он берется: если
области Gi и Gz не пересекаются (G1G2 = 0) и в сумме дают область G
(G = Gi + G2), то
/(G) = 7(G1)4-Z(G2).
‘БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 32.
2БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 33.
3БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 394.
66
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
АКСИОМА4 (греч. а^юца) — отправное, исходное положение, лежа-
щее в основе доказательств других положений (теорем) научной теории,
которое в пределах этой научной теории не доказывается. Распространен-
ное в старых учебниках формальной логики определение, по которому А.
«не нуждаются в доказательстве в силу их очевидности», неудовлетвори-
тельно, так как требование «очевидности» имеет субъективный характер;
к тому же среди теорем, доказываемых на основе А., часто встречаются
предложения более очевидные, чем сами А. Аксиомы не являются непре-
ложными и неизменными: они в процессе исторического развития знания
подлежат проверке, уточнению на опыте и обоснованию. Поэтому харак-
терный для многих течений идеалистической философии взгляд на А. как
на вечные, «априорные» истины, не связанные с опытом, — ложен.
Полное выяснение роли и подлинного значения А. в науке сделалось
возможным только с позиций диалектического материализма. Диалекти-
ческий материализм доказал опытное происхождение всех А., как и все-
го человеческого знания вообще. По поводу происхождения аксиом Ленин
писал: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна бы-
ла приводить сознание человека к повторению разных логических фигур,
дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин, Философские
тетради, 1947, с. 164). Вместе с тем диалектический материализм дока-
зал также относительный характер А., на каждой ступени исторического
развития познания выражающих достигнутый предел приближения наших
знаний к объективной, абсолютной истине.
Практика, включающая в себя производственно-техническую деятель-
ность и эксперимент, служит критерием всякого истинного познания при-
роды и, в частности, вопроса об истинности А.
Четкое разграничение между А. и доказываемыми на их основе тео-
ремами свойственно наукам, в которых преобладает дедуктивная система
изложения, т. е. в первую очередь математике и в меньшей степени — ма-
тематическому естествознанию (механике, теоретической физике).
Аксиомы геометрии. Первое представление о роли А. в построении
дедуктивной научной теории проще всего получить из обычного школьного
курса геометрии. Это соответствует историческому порядку развития нау-
ки, так как именно на примере геометрии древнегреческими математиками
было впервые с известным приближением осуществлено строго логическое
дедуктивное построение обширной науки на основе небольшого числа четко
сформулированных в самом начале исходных предложений. Создание логи-
ческого курса геометрии, построенного на определенной системе А., было,
несомненно, делом нескольких поколений греческих математиков (извест-
ны упоминания о «Началах геометрии» Гиппократа Хиосского, жившего во
“БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 613-616.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
67
2-й половине 5 в. до н. э., Эвдокса и некоторых других авторов). Сохрани-
лось и оказало решающее влияние на развитие математики в дальнейшие
эпохи изложение геометрии, данное в «Началах» Эвклида (начало 3 в. до
н. э.). С современной точки зрения аксиомами следует считать как пред-
ложения, которые сам Эвклид называл «общими понятиями», так и пред-
ложения, называемые у Эвклида «постулатами». Среди А., положенных
Эвклидом в основу геометрии, некоторые относятся, по существу, к обще-
му учению о величинах. Таковы А.: 1) «равные порознь третьему равны
между собой»; 2) «и если к равным придадим равные, то получим равные»;
3) «и если от равных отнимем равные, то получим равные».
Под названием «постулатов» Эвклид вводит следующие собственно гео-
метрические А.: 1) нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой
другой точке можно было провести прямую линию; 2) и чтобы каждую
ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно; 3) и что-
бы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;
4) и чтобы все прямые углы были равны; 5) и чтобы всякий раз, как пря-
мая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутрен-
ние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые
пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Эвклидовы А. геометрии много раз пересматривались и дополнялись,
но все же они являются прообразом систем А., с которых начинается боль-
шинство современных курсов элементарной геометрии. Например, А., по-
мещающаяся обычно на первой месте: «Через любые две точки можно про-
вести прямую линию и притом только одну», соответствует частью первым
двум постулатам Эвклида, частью же А., добавленной в качестве девятой
еще древними комментаторами Эвклида: «И две прямые не могут заклю-
чать пространства».
Со строго научной точки зрения не только А. (и постулаты) Эвклида,
но и обычный для современных элементарных учебников набор А. геомет-
рии нельзя признать вполне удовлетворительным. Как у Эвклида, так и
в современных элементарных учебниках, дальнейшее изложение, помимо
А. и правил логики, использует некоторые не высказываемые явно и не
доказываемые дополнительные геометрические допущения. Свободное от
этого недостатка изложение всей системы теорем эвклидовой геометрии
было создано лишь на границе 19 и 20 вв. Оно обычно преподается в на-
ших университетах и педагогических институтах в виде особого курса под
названием «Основания геометрии». Наиболее известное изложение основа-
ний геометрии, созданное Гильбертом (см.*)а, опирается на двадцать А.
“Звездочка означает, что соответствующая статья воспроизводится в настоящем то-
ме. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
68
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Некоторые из них воспроизводят в измененной и иногда уточненной форме
аксиомы Эвклида, некоторые же другие отражают значительно возросшие
современные требования логической строгости и показались бы греческим
математикам не заслуживающими упоминания. Например Гильберт вво-
дит специальную А., утверждающую, что «среди трех точек прямой суще-
ствует только одна, лежащая между двумя другими» (т. е. если А лежит
между В и С, то В не может лежать между А и С, а С не может лежать
между А и В). Зато из системы аксиом Гильберта все здание эвклидо-
вой (элементарной) геометрии действительно может быть выведено чисто
логической дедукцией, без всякого добавления неявно подразумеваемых
предположений и наглядно-геометрических представлений.
При любой системе построения геометрические А. должны быть выбра-
ны так, чтобы из них чисто логическими средствами можно было вывести
всю совокупность геометрических теорем. Кроме того, обычно стремятся,
чтобы среди них не было излишних для достижения этой цели и чтобы ни
одна из А. не была следствием остальных (если это последнее требование
выполнено, то говорят, что А. «независимы» друг от друга).
Помимо указанных сейчас формально-логических требований, обычно
при изложении элементарной геометрии стремятся к возможно большей
наглядной «очевидности» А. Не менее существенным требованием являет-
ся такой выбор А., при котором все дальнейшее развитие теории делает-
ся наиболее последовательным и простым. Однако соблюдение всех этих
требований не определяет еще выбора системы А. единственным образом.
Особенно широко с давних пор изучались возможности замены пятого по-
стулата Эвклида различными другими предположениями. Например, из
этого постулата и из других обычных А. можно вывести, что: а) через точ-
ку А, лежащую вне прямой а, в соединяющей их плоскости можно провести
только одну прямую, которая не пересекает а; б) сумма углов треугольника
равна двум прямым; в) существует хотя бы один треугольник, сумма углов
которого равна двум прямым; г) существуют два подобных, но не равных
треугольника. Обратно, каждое из этих предположений (а-г) в соедине-
нии с другими обычными А. геометрии (не включая пятый постулат) дает
возможность вывести пятый постулат. Иначе говоря, если одно из предло-
жений принять за А., то пятый постулат и остальные предложения (а-г)
превратятся в доказуемые теоремы.
Решающее значение имеет лишь сама система геометрических истин,
вопрос же о том, какие из них следует принять за А. с тем, чтобы из
них вывести все другие в качестве теорем, — является второстепенным.
Замечательна, тем не менее, сама возможность построить все богатое со-
держанием здание эвклидовой геометрии на основе очень небольшого чис-
ла крайне элементарных исходных положений, действительно обладающих
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
69
очень большой наглядной убедительностью и даже представляющихся на-
шему геометрическому воображению совершенно неизбежными.
Это обстоятельство еще у древнегреческих математиков и философов
идеалистического направления, особенно в школе Платона (см.), исполь-
зовалось для подтверждения идеалистических представлений. По мнению
Платона, непреложное убеждение в абсолютной истинности основных по-
ложений геометрии присуще человеческому разуму совершенно независимо
от опыта. Более того, по Платону, мировой разум, вложивший в человека
убеждение в истинности геометрических законов, подчинил им же и ма-
териальные тела. Это идеалистическое измышление приняло у Лейбница
форму учения о предустановленной гармонии между свойствами человече-
ского разума и свойствами материальных тел. Новый вариант идеалистиче-
ской теории внеопытного происхождения геометрических А. был выдвинут
Кантом (см.). Для философии Канта убеждение во внеопытном происхо-
ждении и абсолютной достоверности А. эвклидовой геометрии является
одним из основных исходных пунктов.
Однако реальное развитие науки опровергло идеалистическое учение об
априорной истинности эвклидовой геометрии. В действительности А. эв-
клидовой геометрии, подобно основным положениям естествознания, уста-
новлены путем наблюдения и опыта. Их ббльшая принудительность для на-
шего воображения (нашей геометрической «интуиции») объясняется про-
сто тем, что они являются продуктом чрезвычайно длительного повседнев-
ного опыта, ставшего уже бессознательным. Утверждением этого нового
взгляда наука обязана прежде всего Н. И. Лобачевскому (см.). До Лобачев-
ского мнение об опытном происхождении А. геометрии, высказывавшееся
в философской литературе, например, еще Фр. Бэконом (см.), находилось
в кажущемся противоречии с существованием одной единственной разрабо-
танной системы геометрии (эвклидовой). Лобачевским была создана новая,
неэвклидова геометрия (см.), система А. которой противоречит эвклидо-
вой. Эта геометрия оказалась, тем не менее, логически состоятельной и
математически весьма содержательной. Создание Лобачевским неэвклидо-
вой геометрии нанесло сокрушительный удар по идеалистическим канти-
анским воззрениям на априорность геометрических А.
Следует ясно представлять себе, что опытным путем может быть уста-
новлена только приближенная, а не абсолютно точная применимость А.
той или иной геометрии (эвклидовой или неэвклидовой — безразлично)
к действительным пространственным отношениям. За пределами точности
доступных нам способов измерения те или иные утверждения о геометри-
ческих свойствах реальных тел могут быть только гипотезами. Это значит,
что их отрицание не является бессмысленным, т. е. с чисто логической точ-
ки зрения мыслима не одна единственная геометрия, а много различных.
70
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Выбор между ними может быть сделан только на основе опыта; в силу
же приближенности последнего этот выбор ни на каком этапе увеличения
наших знаний не может привести к окончательной, раз навсегда данной,
единственной абсолютно истинной системе геометрии. Таков окончатель-
ный взгляд на отношения, существующие между различными системами
геометрии, разрабатываемыми в чистой математике, и опытным изучением
реального физического пространства, который был введен в науку Лоба-
чевским и получил свое полное философское обоснование в философии
диалектического материализма.
В настоящее время установлено, что «геометрий», в смысле абстракт-
ных математических схем, имеется много. Каждая из них может быть осно-
вана на своей системе А. Вопрос о том, какая из них лучше соответствует
свойствам реального пространства, является вопросом не чистой математи-
ки, а физики (см. Пространство). В каждой из этих «геометрий» выводы
теорем из А. совершенно точны, но в применении к реальному простран-
ству теоремы должны оправдываться, естественно, лишь с той степенью
точности, которая соответствует точности осуществления в реальном про-
странстве А. Это положение не меняется тем обстоятельством, что в мас-
штабах нашего обычного геометрического опыта эвклидова геометрия, как
уже говорилось, осуществляется с очень большой точностью.
О дальнейшем развитии геометрии как науки о различных эвклидо-
вых и неэвклидовых «пространствах» различного числа измерений — см.
соответствующие разделы статьи Геометрия и других специальных гео-
метрических статей. Заметим только, что исследование этих абстрактных
математических «пространств» вовсе не имеет своей единственной целью
создание запаса гипотетических систем отражения свойств реального про-
странства. Практические применения современной геометрии чрезвычай-
но широки. Например состояние механической системы из п материаль-
ных точек изображается точкой фазового пространства системы, которое,
вообще говоря, бп-мерно (точка фазового пространства определяется Зп
декартовыми координатами п материальных точек и Зп компонентами их
скоростей), и т. п.
Аксиоматический метод в математике вообще. Возможность, ис-
ходя из различных систем А., построить различные «геометрии», многие
из которых оказываются не только логически свободными от внутренних
противоречий, но и допускают важные реальные применения, приводит нас
вплотную к современному аксиоматическому методу в математике. Имен-
но, с развитием математики все более выяснялось, что система А. явля-
ется по существу неявным определением свойств системы объектов, кото-
рые изучаются какой-либо математической дисциплиной. Особенно легко
в этом убедиться на примере теории групп (см.): так называемые аксио-
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
71
мы теории групп являются просто определением понятия группы. Подобно
этому система А. теории действительных чисел может рассматриваться как
определение системы действительных чисел (см. Число). Еще один простой
пример представляют А., определяющие понятие величины (см.*).
Правда, таким неявным образом, при помощи А., система объектов,
изучаемых математической теорией, может быть определена лишь с точ-
ностью до изоморфизма (см.*). Но такое рассмотрение, при котором изо-
морфные системы объектов совершенно равноправны, вообще свойственно
математике. Например, различные построения действительных чисел при-
водят, строго говоря, к различным системам объектов, лишь изоморфным
друг другу (по Дедекинду действительное число есть сечение в системе
рациональных чисел, по Кантору — класс последовательностей рациональ-
ных чисел, и т. д.); но после того как построение осуществлено, любая из
этих систем с одинаковым правом может быть положена в основу теории.
Система А., определяющая соответствующую систему объектов с точ-
ностью до изоморфизма, называется полной. Система А., которой вооб-
ще соответствует хотя бы одна система объектов, называется совместной.
Вместе с указанным ранее понятием независимости, понятия полноты и
совместности являются основными характеристиками системы А. Есте-
ственно, что положительный интерес могут иметь только совместные си-
стемы А. Требование независимости не столь безусловно: к ней естественно
стремиться, но в тех случаях, когда достижение независимости возможно
лишь за счет больших усложнений, от нее иногда отказываются, особен-
но в изложении, рассчитанном на начинающих. Впрочем, хотя фактически
построить для какой-либо теории систему из взаимно независимых А. мы
не всегда умеем, можно доказать, что такая система А. существует: любая
система А. эквивалентна некоторой системе А. взаимно независимых. Ина-
че дело обстоит с полнотой системы А.: система А., равносильная полной,
всегда полна, а система, равносильная неполной, — неполна. Одни мате-
матические теории допускают полную систему А., а другие не допускают.
Например, система А. теории групп принципиально неполна (потому что
существуют не изоморфные группы); наоборот, всякая система А., опре-
деляющая систему действительных чисел или пригодная служить основой
эвклидовой геометрии, — полна.
Можно говорить лишь о системах А. отдельных математических тео-
рий, а не о системе А. всей математики в целом. Математика в целом не
может быть до конца аксиоматизирована, т. е. выведена из раз навсегда
данной конечной системы А. Решающей причиной этого является все бо-
лее глубокое, никогда не останавливающееся изучение свойств объектов
реального мира.
72
П. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Изложенная выше общая концепция аксиоматического построения ма-
тематической теории не вызывает никаких сомнений в случае, когда рас-
сматриваемые системы объектов конечны, как это имеет место, например,
в теории конечных групп. Этот простой случай, однако, совсем не типичен
для математики в целом: уже система всех натуральных чисел бесконечна,
и, вообще, основное значение в математике имеет аксиоматическое изложе-
ние теорий, относящихся к бесконечным системам объектов. Хотя в свете
философии диалектического материализма несомненно, что сама возмож-
ность построения и изучения в математике бесконечных систем объектов
(бесконечной системы чисел, геометрий с бесконечным числом точек, пря-
мых и плоскостей) является лишь отражением в математике бесконечности
действительного материального мира, вопрос о характере и, так сказать,
механизме этого отражения недостаточно разработан (см.* Бесконечность
в математике, Множеств теория и Математика). Возникающие здесь
трудности привели к тому, что весьма авторитетное в буржуазной нау-
ке течение формалистов (Гильберт) пришло к отрицанию за математиче-
скими теориями, относящимися к бесконечным системам объектов (т. е.,
собственно говоря, за всей классической математикой), права на реальное
предметное содержание. Вместо этого формалисты предлагают рассмат-
ривать такие теории как чисто формальные «символические исчисления».
Ошибочные, ликвидаторские общие установки формалистов убедительно
опровергаются повседневной практикой математической работы, на кото-
рой их построения никак не отразились. На советских математиках лежит
несомненная обязанность дать развернутое положительное материалисти-
ческое разрешение тех трудностей в понимании математического бесконеч-
ного, которые испугали формалистов. Далеко еще не достаточные дости-
жения советских исследователей в этом направлении освещаются в статье
математика (см.*).
Что касается изучения строения математических теорий при помощи
аппарата математической логики, то ему советскими математиками при-
дается совершенно не связанный с формализмом положительный смысл.
Принятое в математической логике другое, алгоритмическое понимание А.,
совместности, полноты системы аксиом и т. д. будет рассмотрено в статье
логика математическая (см.).
Аксиоматический метод за пределами математики. Делались по-
пытки аксиоматического построения, по образцу геометрии, самых различ-
ных дисциплин, вплоть до этики включительно (Спиноза, см.). Положи-
тельное значение аксиоматический метод изложения приобрел в механике
и в теоретической физике. Аксиоматическое построение статики восходит
еще к Архимеду, всей классической механики — к Ньютону. Классическим
примером аксиоматического изложения раздела физики может служить
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
73
термодинамика. На примере термодинамики можно с особенной убедитель-
ностью обнаружить, что аксиоматическое построение физической теории
вовсе не является ее завершением: формальная термодинамика, отвлека-
ющаяся от молекулярного строения материи, при всей ее формальной за-
конченности, получает более глубокое обоснование в кинетической теории
материи.
Особенно велико значение аксиоматического метода в случае необходи-
мости сравнения двух или многих различных концепций какой-либо боль-
шой области математического естествознания. Например при сопоставле-
нии классической и релятивистской механики положение логически сходно
с сопоставлением эвклидовой геометрии и неэвклидовой геометрии Лоба-
чевского (см. Принцип относительности). И там, и здесь важно убедиться
во внутренней непротиворечивости каждой из сравниваемых систем, раз-
вить каждую из них строго логически из небольшого числа исходных пред-
ложений и исследовать, не упущены ли при этом еще какие-либо дальней-
шие мыслимые варианты теории.
В отношении к А. механики, подобно аксиомам геометрии, до возник-
новения теории относительности существовало метафизическое представ-
ление об их априорной абсолютной достоверности и общеобязательности.
Возникновение теории относительности с ее новой механикой положило ко-
нец идеалистической концепции априорной достоверности принципов клас-
сической механики — концепции, которая не выдвигалась в философской
литературе так настойчиво, как соответствующая априористическая кон-
цепция происхождения А. эвклидовой геометрии, но, по существу, руково-
дила многими учеными на более ранних этапах развития механики.
Литл Наиболее доступная литература по современной форме аксиоматики и
различных областей математики: Теория чисел — Арнольд И. В., Теоретическая
арифметика, 2 изд., М., 1939; Алгебра, векторы — Александров П. С., Введение
в теорию групп, М., 1938; Курош А. Г., Курс высшей алгебры. М.-Л., 1946; Гель-
фанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.-Л., 1948; Геометрия — Ефимов Н. В.,
Высшая геометрия, 2 изд., М.-Л., 1949; Теория вероятностей — Колмогоров А. Н.,
Основные понятия теории вероятностей, М.-Л., 1936.
Развитие аксиоматики геометрии — Начала Евклида, пер. с греч. и коммента-
рии Д. Д. Мордухай-Болтовского, М.-Л., 1948; Каган В. Ф., Основания геометрии,
т. 1-2, Одесса, 1905-07; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем. (с вводной
статьей Н.К. Рашевского), М.-Л., 1948.
Философское освещение роли аксиоматики в различных областях математики —
Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936;
Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Матема-
тика в СССР за тридцать лет, 1917-1947, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л.,
1948.
Об аксиоматике в смысле формальной математической логики — Гильберт Д.
и Аккерман Д., Основы теоретической логики (со вступительной статьей и ком-
ментариями С. А. Яновской), М., 1947.
74
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
АКСОНОМЕТРИЯ5
ных фигур на плоскости.
Z
— особый способ изображения пространствен-
Аксонометрия по существу представля-
ет собой обыкновенную параллельную про-
екцию, отличающуюся, однако, тем, что на
плоскость чертежа одновременно с изобра-
жаемой фигурой проектируется выбранная в
пространстве система координат (см. Анали-
тическая геометрия) вместе с проекцией фи-
гуры на одну из координатных плоскостей (на
чертеже — на плоскость XOY).
Аксонометрическое изображение пространственной фигуры позволяет
полностью восстановить ее форму и расположение относительно системы
координат (см. Начертательная геометрия).
АЛГЕБРА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ?
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ5 6 (в элементарной алгебре)-
выражение, составленное из букв и цифр, соединенных знаками алгебра-
ических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения
в целую степень и извлечения корня целой степени (показатели степени
должны быть фиксированными числами). А. в. рационально относительно
некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком
извлечения корня. А. в. называется целым относительно некоторых букв,
если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы. Если
некоторые из букв (или все) считать переменными, то рациональное А. в.
выражает рациональную алгебраическую функцию от этих переменных.
Обратно: рациональная алгебраическая функция всегда (по самому опре-
делению) может быть записана в виде рационального алгебраического вы-
ражения. Соотношение между А. в. общего вида и общими алгебраически-
ми функциями сложнее: всякое А. в. представляет алгебраическую функ-
цию от входящих в него букв, но не всякая алгебраическая функция (см.)
изображается при помощи А. в. в описанном выше элементарном смысле.
АЛГОРИТМ7, алгорифм, — всякая система вычислений, выполняе-
мых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа
шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи. Задача опреде-
ленного типа считается решенной, если для ее решения установлен опреде-
5БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 617.
ьСтатья (см. БСЭ-2, 1950, т. 2, — с. 61-62) является частью IV статьи Алгебра (первые
три части — Общие сведения. Исторический очерк и Современное состояние алгебры —
написаны О. Ю. Шмидтом и А. Г. Курошем). Включена в том 6 настоящего издания.
бБСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 64.
7БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 65.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
75
ленный А. Так, для разыскания общего наибольшего делителя двух чисел
служит так называемый алгоритм Эвклида (см.*), т. е. последовательное
деление; для определения числа действительных корней алгебраического
уравнения служит алгоритм Штурма (см. Штурма правило). В средние
века А. называли правило, по которому выполняется то или другое из че-
тырех арифметических действий по десятичной системе счисления. В 9 в.
такие правила были даны узбекским математиком Хорезми (по-арабски:
Аль-Хорезми); по его имени совокупность этих правил стали называть
в Европе словом «алгоризм»; затем (по-видимому, вследствие смешения
с греческим словом apiQpd^ — число) это название было переделано в А.
Понятие А. принадлежит к числу основных математических понятий.
Точное общее его определение дано лишь в последние годы. После этого
получила определенный смысл проблема об алгоритмической разрешимо-
сти какого-либо типа математических задач, т. е. проблема существования
определенной системы формальных правил, позволяющая автоматическим
вычислением решать все задачи данного тина. Во всех случаях, где это
возможно, нахождение таких А. является естественной целью математики.
Например, если алгебра учит, что каждое алгебраическое уравнение п-й
степени имеет не менее одного и не более п различных корней, то естествен-
но возникает проблема нахождения такого А., который по заданным коэф-
фициентам уравнения позволял бы совершенно автоматически определять,
сколько именно данное уравнение имеет различных корней (и какой крат-
ности), и вычислять эти корни с любой наперед заданной точностью. В слу-
чае алгебраических уравнений такой А. имеется. В более сложных случаях
(например, для тех или иных классов дифференциальных уравнений) ма-
тематика сегодняшнего дня часто может только сказать, что все задачи
данного типа имеют решение (иногда даже указать, сколько именно реше-
ний), но не в состоянии указать регулярный А. для получения этого реше-
ния. Наконец, существуют столь общие и широкие типы математических
задач, для которых доказано, что одного общего А. для решения всех задач
данного типа вообще не может существовать. В этих случаях целью мате-
матических исследований может быть лишь последовательное создание все
более и более широких А., позволяющих сводить к автоматическому вы-
числению все более и более обширные классы задач данного типа. Это одно
из проявлений невозможности до конца «формализировать» математику.
Подробнее об этом, а также указания на литературу, см. в статье Логика
математическая. Естественно, что с практической точки зрения особен-
ную ценность имеют А., приводящие к решению задачи возможно более ко-
ротким путем. А. для решения какой-либо практической задачи, который
требовал бы совершения, например, нескольких сотен тысяч элементарных
операций, до недавнего времени пришлось бы считать лишенным практи-
76
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ческой ценности. Нахождение наиболее коротких и простых А. и теперь
не утратило значения; однако с созданием скоростных вычислительных
машин (см.), которые могут производить много сотен операций в секун-
ду, мы значительно приблизились к такому положению, что почти любой
теоретически построенный А. может быть практически осуществлен. По-
этому принципиальные исследования об алгоритмической разрешимости
различных классов математических задач приобрели в новейшее время и
непосредственно практическое значение. Несмотря на большое значение А.
в математике, последняя отнюдь не «сводится» к построению алгоритмов,
хотя некоторые буржуазные ученые и пытаются рассматривать всю мате-
матику как совокупность А. (см. Формализм в философии математики).
АЛГОРИТМ ЭВКЛИДА8 — способ нахождения наибольшего обще-
го делителя. Был предложен сначала в геометрической форме для нахо-
ждения наибольшей общей меры двух отрезков, или, вообще, двух геомет-
рических величин. В этой форме он имеется в «Началах» Эвклида (см.).
Тот же, по существу, алгоритм применяется для нахождения наибольшего
общего делителя двух целых чисел или наибольшего общего делителя двух
многочленов.
Только в современной алгебре эти разновидности А. Э. были отчетливо
восприняты как частные случаи одной общей теории (см. Эвклидовы кольца
в статье Кольцо алгебраическое). Чтобы охватить А. Э. для геометрических
величин, общую теорию надо строить при еще более широких предпосыл-
ках, чем это делается в теории Эвклидовых колец; в статье «Кольцо ал-
гебраическое» поясняется самый принцип объединения различных случаев
А. Э. в одну общую теорию.
1. Пусть даны два отрезка а и Ь. Они называются соизмеримыми, если
существует такой отрезок с, который укладывается какое-либо целое чис-
ло п раз в отрезке а и какое-либо целое число т раз в отрезке Ь. Любой
такой отрезок с называется общей мерой отрезков а и Ь. Если у отрезков
а и b общей меры нет, то они называются несоизмеримыми. Среди общих
мер двух отрезков а и b всегда существует наибольшая общая мера со; лю-
бая другая общая мера тех же отрезков укладывается в наибольшей мере
некоторое целое число раз. Например, наибольшей общей мерой отрезков
длины 1000 м и 375 м является отрезок длины 125 м, укладывающийся
в первом восемь раз, а во втором — три раза. Отрезки в 5 м или 1 м тоже
будут общими мерами указанных отрезков, но уже не наибольшими.
А. Э. позволяет найти для любых двух соизмеримых отрезков именно
их наибольшую общую меру. Состоит он в следующем. Если отрезки а и b
равны, то любой из них может быть принят за отрезок со-
8БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 65-67.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
77
Если отрезки не равны, то пусть a
обозначает больший отрезок, а Ь —
меньший. В таком случае отклады-
вают вдоль по отрезку а, начиная,
скажем, от левого его конца (рис. 1),
отрезок Ь столько раз, сколько он
уложится. Если при этом не получа-
ется никакого остатка, то отрезок b
и является наибольшей общей мерой
(сам в себе он укладывается один раз). Если остается некоторый остаточ-
ный отрезок bi (который, очевидно, должен быть короче Ь), то он откла-
дывается вдоль отрезка Ь столько раз, сколько он уложится. Если при этом
не получается остатка, то bi и есть наибольшая общая мера со- В случае,
когда вновь получается остаточный отрезок Ьг, он откладывается вдоль от-
резка bi и т. д. Если отрезки а и b соизмеримы, то процесс этот непременно
кончится на каком-то шаге с номером к тем, что отрезок Ьк уложится целое
число раз в отрезке bk-i (на рис. 1 это случается при к = 2). Отрезок Ьк и
есть в этом случае общая наибольшая мера отрезков а и Ь.
А. Э. употребляется не только для нахождения общей меры двух от-
резков, но и для доказательства существования среди общих мер наиболь-
шей, а также для доказательства того, что любая другая их общая мера
содержится некоторое целое число раз в наибольшей. Это теоретическое
назначение А. Э. в геометрии является основным, так как в конкретной
измерительной практике указанный способ нахождения наибольшей общей
меры отрезков мог бы найти лишь очень ограниченное применение.
2. Пусть а и b — два положительных целых числа, причем а Ь. Деление
(см.*) с остатком числа а на число Ъ всегда приводит к результату a =
= nb+bi, где (неполное) частное п является положительным целым числом,
а остаток bi — либо 0, либо положительное целое число, меньшее Ь:
О С bi < b.
Будем производить последовательное деление:
a = nb + bi,
Ь = 711&1 4-
bl = 712^2 + Ьз,
(1)
(где все время rij — положительные целые числа и 0 b, < bi—i), до тех
пор, пока не получится остаток, равный нулю. Этот равный нулю остаток
78
IL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
bk+\ можно не писать, так что ряд равенств (1) закончится так:
Ьк-2 — Пк-lbk-l + Ьк,
Ьк—\ = Tlkbk-
В курсах арифметики доказывается, что последний положительный оста-
ток Ьк в этом процессе и является наибольшим общим делителем чисел a
и Ь. При этом А. Э. служит не только для нахождения общего наибольшего
делителя, но и для доказательства самого его существования.
3. Пусть теперь А(х) и В(х) — два многочлена. Если степень много-
члена А(х) не меньше степени многочлена В(х), то рассматриваемое во
всех элементарных учебниках алгебры действие «деления с остатком» за-
ключается в том, что находятся многочлен «частное» 7V(:r) и многочлен
«остаток» Bi(z), обладающие тем свойством, что
A(z) = N(x)B(x) + Bi(x),
причем степень остатка Bi(x) меньше степени В(х). Процесс последова-
тельного деления,
А(х) = ЛГ(х)В(х) + В1(х),
В(т) = М(т)В1(х) + В2(т),
Вк-2(х) = Nk-i(x)Bk-i(x) + Вк(х),
Bk-i(x) = Nk(x)Bk(x),
в случае многочленов всегда кончается получением остатка Вк+\(х) (не
написанного у нас), равного нулю. Последний отличный от нуля остаток
Вк(х) и есть наибольший общий делитель многочленов А(х) и В(х).
А. Э. для отрезков (см. раздел 1) может оказаться и бесконечным. Это
будет в том (и только в том) случае, если взятые отрезки а и b несоизме-
римы. Таков, например, случай диагонали и стороны квадрата. На рис. 2
изображен квадрат (ABCD) с диагональю АС = а и стороной DC = b. Мы
строим отрезок AD' = AD = Ь, а на отрезке D'C = b\ — квадрат {А' В'CD').
На диагонали меньшего квадрата откладываем A'D" = A'D' = bi. Легко
доказать, что углы, отмеченные на рисунке двумя дужками, равны | пря-
мого угла. Поэтому DA' = A'D' = b\. Первые шаги А. Э. в рассматривае-
мом случае будут таковы:
a = АС = AD' + D'C = 6 + ,
b = DC = DA' + A'D" + D"C=2bx+b2.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
79
В силу подобия фигур (ABCDD') и
(AzBfCDfD") при откладывании отрезка
D"C = 62 вдоль отрезка D'C = b\ повто-
рится точно та же картина, какая наблюда-
лась при откладывании отрезка D'C = bi
вдоль отрезка DC = b. Поэтому дальней-
шие шаги А.Э. будут таковы:
by = 2b2 + Ьз,
Ь‘2 — 26з + Ь4,
и т. д.: до бесконечности. Именно на этом
пути греческие математики впервые от-
крыли существование несоизмеримых от-
резков (см. Геометрия).
Так как отношение диагонали квадрата к стороне равно \/2, то приве-
денное геометрическое доказательство несоизмеримости диагонали и сто-
роны квадрата вместе с тем является и доказательством иррациональности
числа \/2- О применении А. Э. к вопросам, связанным с иррациональными
числами, см. Непрерывные дроби. Здесь мы ограничимся лишь указанием,
что, в силу сказанного выше, \/2 разлагается в бесконечную непрерывную
дробь следующего вида:
Г- 1
2=! + —----------
2+---------
1
2+-----
2+ •••
Лит.: А.Э. в геометрии — см.: Киселев А., Геометрия, 9 изд., М., 1948; А.Э.
в арифметике и алгебре — Маркушевич А. И., Деление с остатком в арифметике
и алгебре, М.-Л., 1949; А.Э. с точки зрения теории колец — Ван-дер-Варден Б. Л.,
Современная алгебра, пер. с нем., ч. 1-2, [2 изд.], М.-Л., 1947.
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ9 — совокупность разделов ма-
тематики, опирающихся существенно на понятие функции и на идеи ис-
числения бесконечно-малых. Трудно логически провести границу между
А. м. и другими разделами математики: по исторической традиции под на-
званием А. м. объединяются основы теории функций, дифференциального
исчисления и интегрального исчисления (см.), теории дифференциальных
9БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 325-326.
80
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
уравнений (см.*) и ряд других разделов математики, возникших — в си-
стематической форме — в результате работ Ньютона, Лейбница, Эйлера и
других математиков 17-18 вв. Естественным продолжением классического
А. м. является функциональный анализ (см.), в который входят в качестве
специальных глав возникшие раньше общего функционального анализа ва-
риационное исчисление (см.) и теория интегральных уравнений (с.м.).
АСИМПТОТА10 кривой с бесконечной ветвью — прямая, являющаяся
предельным положением касательной при удалении точки касания в бес-
конечность. Например, гипербола (см.), определенная в декартовых коор-
динатах уравнением ху = 1, имеет координатные оси х — 0 и у = 0 своими
А. Иногда понимают термин А. в более общем смысле, называя А. прямую,
к которой точка кривой неограниченно Второе определение (оно принадле-
жит Аполлонию Пергскому, см.) шире первого: А. в первом смысле всегда
является и А. во втором смысле. А. же по втором смысле может и не быть
А. в первом смысле. Например, гиперболическая спираль (рис. 1)
cos в sin в
Х = Т' У = ~Г
(9 — параметр) имеет асимптотой (в первом смысле) прямую у — 1 = 0;
кривая у = (рис. 2) имеет А. (также в первом смысле) у = 0; а кри-
вая у — sin^ (рис. 3) имеет прямую у = 0 асимптотой во втором смысле,
в первом же смысле А. не имеет. С точки зрения проективной и алгебраи-
ческой геометрии основным и естественным определением является первое
(на языке проективной геометрии оно означает: А. есть касательная к кри-
вой в бесконечно удаленной ее точке). Второе определение может быть
полезным в некоторых вопросах анализа.
10БСЭ-2. - 1950. - Т. 3. - С. 238-239.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
81
Литл Бюшгенс С. С.. Дифференциальная геометрия. М.-Л., 1940.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ11 функции - прибли-
женные ее выражения со сколь угодно малой относительной ошибкой. Точ-
нее, функция А(-г) является А. в. для функции /(т) при х —» а, если предел
отношения /(х) : А(т) при х —► а равен единице. Этот факт записывают
иногда в виде асимптотического равенства: f(x) ~ А(х) при х —> а (читает-
ся: /(т) асимптотически равна А(х) при х, стремящемся к а). Например:
sinT ~ х
х2 *
1 — cos х ~ —
2
при х —> 0.
Замечательный пример А. в. представляет формула Стирлинга (см. Стир-
линга формула):
1 • 2 • • • n = n! ~ n’l+1/2 е п при п —» оо.
А. в. иногда можно сделать более точными, добавляя к ним дополни-
тельные члены. Таким образом приходят к разложениям функций в конеч-
ные или бесконечные асимптотические ряды (см. Ряды). Точнее: говорят,
что функция f(x) при х —> а разлагается в асимптотический ряд
f(x) = А0(х) 4- Ai(x) + • • • 4- Ап(х) + ,
если для остаточных членов этого ряда, т. е. для
^i(x) = f(x) ~ А0(т),
Rn(x) = f(x) - А0(х) - А1(х)-------An_i(x),
иБСЭ-2. - 1950. - Т. 3. - С. 239.
82
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
справедливы соотношения:
lim 144 = lim
x-+a Ао(Х) х—а Л1 (х)
1- Дп(х)
= 0.
Очевидно, что из этих соотношений вытекают следующие:
г Л1(.т)
hm . . ч
х—*а Ао(х)
г Л2(т)
lim Л . .
х—а А1 \Х)
= Нт =
х-а Лп_1(х)
= 0,
т. е. каждый следующий член асимптотического ряда бесконечно мал по
сравнению с предыдущими.
Примером асимптотических рядов может служить любое разложение
функции в ряд Тейлора. Например:
^,3 А
sin х * 120 > при х —> 0. х* х I
COS X - “ ~2 + 24 J
Но, вообще говоря, асимптотические ряды не обязаны сходиться к функ-
ции. Например, указанная выше формула Стирлинга получается из следу-
ющего асимптотического ряда для 1п(п!) при п —► оо:
1п(п!) ~ (п-4) lnn-n+1 1п(27г)+—- f2 2 + f3 5----------. (*)
\ 2 / 2 i 2 П о • 4 • 1г О о ГТ
где В\, В%,... суть Бернуллиевы числа (см.):
_ 1 _ 1 _ 1 D 1 D 5
1 “ 6’ 2 “ 30’ 3 “ 42’ 4 ~ 30’ 5 ~ 66’ ’
Ряд (*) является асимптотическим для 1п(п!), так как, остановившись в нем
на члене Bfc/((2fc — l)2fcn2A;_1), мы получим при п —» оо остаточный член
порядка l/(n2fc). Однако при любом фиксированном п члены этого ряда
с возрастанием номера к неограниченно возрастают по абсолютной вели-
чине, чтб, естественно, влечет за собой расходимость ряда.
Тем не менее, из асимптотических рядов, обрывая их на надлежащем
месте, во многих случаях можно получить очень ценные приближенные
формулы (см.), служащие для фактического приближенного вычисления
функции f(x). Естественно, что для получения на этом пути надежных
результатов надо уметь оценивать соответствующие остаточные члены.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ12 (в математике) — переменные ве-
личины, которые в данном процессе их изменения, начиная с некоторого
12БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 66-67.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
83
момента, становятся больше любого наперед заданного числа. Точнее: ве-
личина у, рассматриваемая в некотором определенном процессе ее измене-
ния, называется Б. б., если для сколь угодно большого положительного Н
можно указать такой момент процесса, что в этот момент и во все сле-
дующие моменты процесса абсолютное значение величины |у| больше Н.
Например: если п пробегает последовательно целые значения 1, 2,3,..., то
функция
у(п) = log10n
является Б. б. величиной, так как
у(п) > 10 при п 10000000001,
у(п) > 100 при л Ю100 4- 1,
у(п) > 1000 при n 1О1000 + 1
и т. д.
Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно
малых (см.*) величин, так как для того, чтобы величина у была Б. б.,
необходимо и достаточно, чтобы обратная ей величина
1
z — -
У
была бесконечно малой.
В теории пределов (см.) тот факт, что величина у является Б. б., запи-
сывают в виде
limy — ос.
Символ оо (читаемый «бесконечность») в этом равенстве вовсе не является
обозначением Б. б. величины. Наиболее простая точна зрения на него заключа-
ется в том, что сам по себе он не имеет смысла, а в равенстве (1) является лишь
условным обозначением того, что величина у является Б. б. Такой подход к делу
вполне достаточен при изложении вопросов теории пределов, дифференциально-
го и интегрального исчислений, входящих, например, в обычный курс математи-
ки высших технических учебных заведений в СССР. Однако возможна и другая
точка зрения, в силу которой оо является «несобственным элементом», присо-
единяемым к обычной числовой системе и подчиненным определенным правилам
действий с ним типа — = 0, 5 = оо и т. п. (см.* Бесконечность в математике,
раздел 2, пункт а).
84
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Историческое развитие представлений о Б. б. величинах шло парал-
лельно развитию представлений о бесконечно малых величинах. В восхо-
дящих еще к Демокриту и культивировавшихся вплоть до 18 в. атомистиче-
ских представлениях о возможности статически разлагать конечные вели-
чины на Б. б. число бесконечно малых «неделимых» заключались в нераз-
деленном виде зародыши двух больших течений дальнейшего развития ма-
тематики: а) современного учения о Б. б. и бесконечно малых величинах,
как специального рода переменных величинах, и их употребления в диффе-
ренциальном и интегральном исчислении; б) современного представления
о возможности рассматривать геометрические фигуры (отрезки прямой,
кривые, поверхности, тела) как бесконечные множества точек (см.* Беско-
нечность в математике и Множеств теория).
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ13 (в математике) — переменные величи-
ны, стремящиеся к пределу, равному нулю. Из общего определения предела
(см.) в применении к рассматриваемому частному случаю вытекает такое
развернутое определение: переменная величина у называется Б. м.. если
для любого фиксированного положительного числа г в процессе измене-
ния величины у наступает такой момент, что, начиная с этого момента,
величина у остается по своему абсолютному значению меньше е. Напри-
мер, если п пробегает последовательно все натуральные числа 1,2,3,...,
то величина
1
У = ~г
\/П
является Б. м., так как
у < 0,1 при п > 100,
у < 0,01 при п > 10000,
и, вообще,

Если предел а переменной величины у конечен, то предельное соотно-
шение lim у = а равносильно соотношению lim(y — а) = 0, т. е. бесконечной
малости разности (у — а). Поэтому можно поступить и наоборот: положить
в основу общего определения предела (конечного) его частный случай —
определение Б. м., т. е. считать, по определению, постоянное а пределом
переменного у в том случае, когда разность у — а бесконечно мала.
13БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 67-71 (совм. с В. Ф. Каганом).
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
85
Для того, чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо ука-
зывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится
Б. м. Например, величина у = ± является Б. м. при аргументе х, стре-
мящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается
бесконечно большой (см.*). Часто рассматривается совместное изменение
нескольких величин в одном и том же процессе. Например, при х, стремя-
щемся к бесконечности, все величины
1 1 1
У1 - ~т=, У2 = Уз = ~з
х/Х X ХЛ
являются Б. м., но скорость их приближения к нулю при увеличении х су-
щественно различна: у2 убывает несравненно скорее, чем yi, а уз — несрав-
ненно скорее, чем уг, так как отношения
У 2 1 Уз 1
— - “7= и — = ~2
У 1 Vх У2 х
сами при х —► оо являются Б. м. Такого рода примеры приводят, естествен-
но, к следующему определению: переменная величина z называется Б. м.
по сравнению с переменной величиной у, если отношение | есть Б. м., т. е.
lim - = 0.
У
(*)
Если сама величина у является при этом Б. м., то говорят, что величина
z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. В современной математической
литературе соотношение (*) часто записывается в виде z = о(у) (читается
«о малое от у»).
Если среди нескольких совместно изменяющихся Б. м. величин какая-
либо Б. м. величина у может быть принята за «главную», с которой сравни-
ваются все остальные, тогда про Б. м. величину z говорят, что она является
Б. м. k-vo порядка, если предел lim существует и равен конечному чис-
лу, отличному от нуля. При изучении поведения какой-либо функции /(х)
вблизи точки х = хо за главную Б. м. принимают приращение независимого
переменного Дх = х — xq. Тогда в случае п раз дифференцируемой функ-
ции /(х) ее приращение представляется по формуле Тейлора (см. Тейлора
формула):
А9 = /(1)-/(1о) = /'Ы+^/"(ю)(Лх)2 + -'-+^/(”)Ы(Дх)" + о(Л1)".
£ • Тс •
Здесь /'(хо), /"(хо),... обозначают последовательные производные функ-
ции /(х) в точке хо- Формула Тейлора показывает, что приращение каждой
n-кратно дифференцируемой функции складывается из членов
dy =/'(*о)Дя; |d2y = |/"(х0)(Дх)2, ...,
86
II. Статьи о математике, в энциклопедических изданиях
которые (в случае, когда они не обращаются тождественно в нуль из-за ра-
венства нулю соответствующей производной) имеют первый, второй и т. д.
до n-го порядок малости, и из остатка о( Дх)п — Б. м. по сравнению с (Дх)п.
Это обстоятельство объясняет, почему в математическом анализе так часто
встречаются Б. м. величины последовательных целых порядков малости
(1,2,3,...). Однако в более сложных вопросах могут появиться как Б. м.
различных дробных порядков, так и Б. м., которым совсем нельзя припи-
сать никакого определенного порядка малости по сравнению с заданной
главной Б. м.
С Б. м. величинами связаны дифференциалы (см.*). На простейшем
примере обнаруживается как тесная связь между двумя понятиями, так и
их глубокое различие. Формула Тейлора при п — 1 дает
Ду = /'(х0)Дх + о(Дх), (1)
что является просто другой записью самого определения производной
ГЫ = Inn (2)
Дт—»0 Ах
В то же время формула (1) показывает, что приращение Ду, с точностью
до Б. м. более высокого порядка, чем Дх, совпадает с дифференциалом
dy = /'(х0)Дх. (3)
Это обстоятельство выражают словами, говоря, что дифференциал dy есть
главная часть приращения Ду.
Так как формула (3) служит определением дифференциала любой
функции у = /(х), то ее можно применить и к функции /(х) = х, что дает
dx = Дх. (4)
(5)
Из (3) и (4) вытекает
Сравнивая (5) и (2), мы видим, что равенство, верное для приращений Ду
и Дх лишь в пределе при Дх —> 0, — верно для дифференциалов в каче-
стве элементарного точного равенства, не требующего никакого перехода
к пределу. Таково же положение и в более сложных случаях; при соблюде-
нии известных условий, которые строго указываются в учебниках анализа,
вычисления с дифференциалами можно производить по простым алгебра-
ическим правилам и приходить таким путем непосредственно к результа-
там, которые, исходя из приращений, можно получить только предельным
переходом, делая эти приращения Б. м.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
87
Это — классический пример диалектического развития математических
понятий, разобранный в математических рукописях Маркса. Задача опре-
деления производной выходит за пределы элементарной алгебры: при лю-
бом значении Дх 0 отношение Ду/Дх еще не есть производная, а при
Дх = 0 получается бессмысленное выражение Такое положение пре-
одолевается обращением к переменным величинам и переходом к пределу.
С созданием понятия дифференциала на новом, более высоком этапе разви-
тия теории возникает возможность выразить производную в виде простого
отношения dy/dx и возвратиться, таким образом, к алгоритму, качественно
новому по содержанию, но по форме вновь элементарному — алгебраиче-
скому.
В математическом естествознании непосредственное обращение к Б. м.
является обычным способом составления дифференциальных уравнений
данной задачи. Допуская, например, что уменьшение температуры Т тела
за промежуток времени Д£ пропорционально Д£ и разности Т — То, где То
обозначает температуру окружающей среды, получают соотношение:
ДТ = —k(T - То) At + o(At).
Дополнительный член o(At) возникает потому, что пропорциональ-
ность между ДТ и (Т—То) At выполняется лишь приближенно и тем точнее,
чем меньше At. Поправка о(Д£) считается Б. м. по сравнению с At, что и
приводит к известному дифференциальному уравнению
dT = -к(Т - То) dt,
решение которого имеет вид:
т = Ce~kt + То.
Этот элементарный пример типичен: почти все основные закономерности
механики и классической физики выражаются простыми формулами, свя-
зывающими между собой Б. м. приращения. Это обстоятельство и привело
к тому, что метод Б. м. сделался основным методом классического мате-
матического естествознания.
Исторический обзор развития учения о Б. м. Изложенные выше
точные определения основных понятий теории Б. м. величии сложились
только в 19 веке. Для того, чтобы понять историю вопроса, следует ясно
представить себе, что практический интерес имеют не Б. м. сами по себе, а
те случаи, в которых рассмотрение Б. м. приводит к величинам конечным
(подобно тому, как из отношения двух Б. м. в пределе получается конечное
значение производной). В истории математики основное значение имели
три типа такого рода задач.
88
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
1) Простейшие задачи древнегреческих математиков на метод исчер-
пывания (см.* Исчерпывания метод), в которых Б. м. используются лишь
для доказательства равенства двух заранее заданных величии (или двух
отношений заранее заданных величин).
2) Более сложные задачи на метод исчерпывания, в которых искомая
конечная величина получается в виде предела суммы
Д^+Д^ + .-. + Д^
неограниченно возрастающего числа Б. м. величин. Эти задачи впослед-
ствии привели к созданию интегрального исчисления (см.).
3) Задачи, в которых конечная величина получается в виде предела
отношения Б. м. величин. Они послужили материалом для создания диф-
ференциального исчисления (см.).
Изобретение метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому
(см.). Во всяком случае, он проходит в качестве основного приема дока-
зательства через всю 12-ю книгу «Начал» Эвклида. В современной форме
логическая схема рассуждений Эвклида может быть записана так: если все
отношения
_ а2 _ _ >
равны между собой и имеют постоянное значение к и если при п —> оо обе
разности а — ап, b — Ьп Б. м., то
Например, для сравнения площадей двух кругов Эвклид вписывает в каж-
дый из них по квадрату и доказывает, что площадь этого квадрата превос-
ходит половину площади круга: остающиеся четыре сегмента (рис. 1)
□ составляют вместе меньше половины
площади круга; дополнив квадрат до
г правильного восьмиугольника, он об-
3^ наруживает, что остаток составля-
ет уже меньше четверти круга, за-
тем восьмиугольник дополняется до
рис J правильного шестнадцатиугольни-
ка, причем оставшиеся шестнадцать
сегментов составляют в сумме уже меньше одной восьмой доли площади
круга и т. д. Таким образом, площадь круга постепенно «исчерпывается»
при переходе к вписанным многоугольникам со все ббльшим числом сто-
рон. Так как в двух кругах площади соответствующих многоугольников
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
89
относятся, как квадраты радиусов, то Эвклид заключает отсюда, при по-
мощи доказательства от противного, что то же самое отношение имеют и
площади кругов.
Более широкое и свободное употребление Б. м. наблюдается у Архиме-
да (см.). В своих сочинениях «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях»
Архимед систематически пользуется при вычислении площадей и объемов
методом, который но своей идее вполне аналогичен современному опреде-
лению интеграла. Вот как, например, Архимед определяет площадь пер-
вого витка спирали (рис. 2), которая называется теперь «архимедовой» и
которая в полярных координатах имеет уравнение
г = а©.
В рассматриваемую фигуру S вписывается фигура, состоящая из п — 1
круговых секторов с углом при вершине 2тг/п (эти секторы а вокруг S
описывается фигура, состоящая из п аналогичных круговых секторов (на
рис. 3 изображены без штриховки). Легко видеть, что в обоих случаях
площадь fc-ro сектора
(n) _ 47T3a2fc2
П3
Из построения ясно, что площадь S заключена в пределах
S'n<S< S", (6)
s; = д'"’ + д'"’ + + д!,"1,,
S" = A(!n) + A^n) + • • • + Д^.
90
IL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Так как
, 4тг3а2 2 2 21 _ 2тг3а2(п- l)(2n-1)
Sn 11 + 2 + • • • + (п - 1) ] =-’
„ 4тг3а2 2 , 92 , , „21 2тг3а2(п + l)(2n + 1)
Sn = —|1 +2 + --- + п| =----------,
то при любом п
q! - 3 2^ с//
5Г1 < — 7г а < Sn.
Архимед выражает последнее соотношение в геометрической форме: при
любом п
Q' < _ < Q"
(7)
где К — площадь круга, изображенного на рис. 2. Из сопоставления (6) и
(7) и того обстоятельства, что разность S'^ — S'n = Ди”) при п —» оо является
Б. м., Архимед делает вывод, что
Конец изложенного рассуждения показывает, каким образом Архиме-
дом был развит и усовершенствован евдоксов метод исчерпывания. Начало
же этого рассуждения показывает, что Архимед владел и приемами, кото-
рые были отнесены выше ко второй группе и которые по своему идейному
замыслу соответствуют современному интегральному исчислению.
При помощи интегрального исчисления рассматриваемая площадь вы-
числяется как
s= f ‘ v.
Jo 2 Jo 2 3
Входящий в эту формулу интеграл по определению есть предел сумм вида
п 2
k=l 2
где
0 = ©о < ©1 < • • • < Qn = 2тг, rk = avk, Qk-i vk ©jt-
В частном случае, когда
е* = —
71
(8)
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
91
при Vk = 0jt-i получается архимедова сумма S'n, а при — ©jt — архи-
медова сумма S". Следует специально отметить, что при выборе (8) точек
деления Qk архимедовы суммы S'n и S" совпадают с так называемыми сум-
мами Дарбу (см.* Интеграл), для которых и в общем случае гарантирова-
но выполнение неравенств (6). Таким образом, Архимед для своей частной
задачи проделывает весь ряд рассуждений, свойственных интегральному
исчислению, и притом в его логически законченной форме (точные оценки
сверху и снизу при помощи сумм Дарбу), разработанной в качестве общей
теории лишь во второй половине 19 в. Аналогично Архимед поступает и
в ряде других задач на вычисление площадей и объемов.
Отсюда следует, что к концу своего развития древнегреческая матема-
тика вполне овладела и задачами второй из намеченных выше групп. Сле-
дует, однако, здесь же отметить и принципиальное отличие всего характера
мышления даже таких гениальных математиков древности, каким был Ар-
химед, от стиля мышления математиков нового времени. В рассмотренной
выше в виде примера задаче Архимед не вычисляет
„ К
S = lim Sn = —,
п—>ОО 3
а берет, не указывая откуда, величину у и доказывает равенство S = у от
противного, устанавливая, что, в силу (6), (7) и бесконечной малости раз-
ности S” — S'n, неравенство S 0 у привело бы к противоречию. Греческие
математики не только не разработали каких-либо общих правил вычисле-
ния пределов (с чего начинается всякий современный учебник высшей ма-
тематики), но и вообще не сформулировали лежащего по существу в основе
их приемов понятия предела (даже общее название «метод исчерпывания»
для их приемов возникло лишь в новое время). Тем более, древняя на-
ука не создала ничего подобного современному алгоритму интегрального
исчисления, благодаря которому теперь совсем не обращаются при вычис-
лении нового интеграла к определению интеграла в качестве предела сумм,
а пользуются значительно более простыми в практическом употреблении
правилами интегрирования функций различных специальных классов. Из
сочинений Архимеда (особенно из «Послания Эратосфену») можно усмот-
реть, что его логически отточенному методу оценки площадей и объемов
при помощи сумм возрастающего числа неограниченно убывающих (т. е.
Б. м. в современном смысле слова) слагаемых предшествовал более при-
митивный, но более наглядный метод, восходящий, по утверждению Архи-
меда, к знаменитому философу-материалисту Демокриту (см.). Архимед
указывает, в частности, что Демокрит раньше Евдокса определил (хотя и
без строгого обоснования своих результатов) объем пирамиды.
92
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Для Эвклида и Евдокса основную трудность при выводе объема пира-
миды представляло доказательство того факта, что объемы двух пирамид
с равными высотами и равновеликими (т. е. равными по площади) осно-
ваниями равны. Трудность эта преодолевалась в «Началах» Эвклида при-
менением метода исчерпывания. В современных учебниках элементарной
геометрии проводится доказательство того же утверждения, построенное
ближе к архимедовой форме употребления методов исчерпывания.
Судя по указаниям Архимеда, демокритов «атомистический» метод до-
казательства равенства объемов двух пирамид с равными высотами и рав-
новеликими основаниями можно представить себе так (рис. 4): из сообра-
жений подобия вытекает, что пло-
V. щади сечений, проведенных на
ygCJ равной высоте в наших пирамидах,
У\ \_________/Г I_________ равны; объемы пирамид восприни-
\ \ // I / маются просто как «суммы» этих
/ 'Л/ V—-----------------/ площадей, что и позволяет сра-
/_________________________/ зу, исходя из равенства соответ-
рис 4 ствующих членов двух сумм, за-
ключить о равенстве самих сумм.
В сочинениях Архимеда дается много примеров применения этого метода
к решению более сложных задач. Архимед считал такой метод нестрогим,
но очень ценным с эвристической стороны (т. е. для первоначального полу-
чения новых результатов, которые потом должны быть обоснованы более
строго) и был в этом с современной точки зрения, конечно, прав, так как
метод Демокрита является лишь не выдерживающей строгой критики по-
пыткой заменить процесс предельного перехода
S = Нгп^Д^ + А?1 + • • + дпп))
несостоятельной метафизической гипотезой о возможности получения объ-
емов суммированием площадей.
Послание Архимеда к Эратосфену, получившее краткое название «Эфо-
дикон» (руководство), много комментировалось и цитировалось авторами
эллинистической эпохи, но не дошло до европейских математиков эпохи
создания современной высшей математики, которые в отношении необы-
чайно простого атомистического метода рассуждений Демокрита в лучшем
случае должны были довольствоваться довольно смутными литературны-
ми указаниями других источников (текст «Эфодикона» был вновь открыт
лишь в 1906). Тем не менее этот метод получил блестящее развитие в ра-
ботах Кеплера и Кавальери (см.). Кеплер в своей «Стереометрии винных
бочек» (1615) определяет объем 92 тел вращения. Если бы он следовал пе-
дантично методу изложения Архимеда при каждом из этих определений,
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
93
то его труд разросся бы до необъятных размеров. Метод Кеплера можно
пояснить на простом примере. Определение площади круга Кеплер осно-
вывает на следующем рассуждении (фигурирующем и в настоящее время
в некоторых учебниках геометрии, требующих по своему назначению наи-
большего упрощения). Круг разбивается на секторы с общей вершиной
в центре (рис. 5); чем меньше каждый
сектор, тем ближе он подходит к тре-
угольнику, основанием которого мож-
но считать дугу сектора; его площадь,
следовательно, равна длине его дуги,
умноженной на половину радиуса; ес-
ли суммировать эти площади, то полу-
чится, что площадь круга равна длине
его окружности, умноженной на поло-
вину радиуса. С такой же простотой
Кеплер вычисляет объем шара и других
тел вращения; но эта простота порожда-
ет сомнения (которых он не скрывает) и
иногда приводит его к ошибкам. Чтобы
заглушить эти сомнения, Кеплер подтверждает свое рассуждение относи-
тельно площади круга такого рода соображениями: составляющие секторы
можно сделать настолько малыми, что их основаниями становятся точки,
и число секторов тогда становится бесконечным; каждый из этих Б. м.
секторов уже вовсе не отличается от такого же треугольника. Конечно, это
рассуждение ничего не спасает, потому что со сведением основания к точке
исчезает сектор, и треугольник превращается просто в радиус. Его суще-
ственная особенность заключается в том, что здесь Кеплер более или менее
сознательно склоняется к статическому разложению круга на бесконечно
большое число актуально Б. м. секторов — радиусов, а не к потенциальной
бесконечности непрерывно возрастающего числа непрерывно убывающих
слагаемых; в этом виде неограниченно продолжающийся процесс исчезает.
Было бы неправильно сказать, что Кеплер твердо стоял на точке зрения
актуальной бесконечности: он слишком находился еще под влиянием Ар-
химеда, основные сочинения которого ему были хорошо известны; но его
позиция не тверда, его воззрения в этой области эклектичны. Они пред-
ставляют собой переходную ступень к взглядам Кавальери. В 1635 Кава-
льери опубликовал трактат «Геометрия, изложенная новым способом при
помощи неделимых непрерывного».
Задача сочинения та же, которую ставил себе Архимед: вычисление
площадей и объемов геометрических фигур произвольной формы. С этой
целью Кавальери рассматривает плоскую фигуру как совокупность парал-
94
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
дельных прямолинейных отрезков от одной крайней касательной до другой
(рис. 6), тело — как совокупность его параллельных плоских сечений. Эти
отрезки и плоские сечения суть те «неделимые», по которым назван метод
Кавальери (см. «Неделимых» метод). Измерение площадей, объемов со-
вершается путем сравнения неделимых двух фигур. Например площадь эл-
липса Кавальери вычисляет с помощью следующего рассуждения (рис. 7).
На малой оси эллипса (Ь) описываем окружность и проводим хорды (неде-
лимые), параллельные большой оси (а). Из определения эллипса нетрудно
вывести, что каждый неделимый элемент эллипса относится к соответ-
ствующему неделимому круга, как а относится к Ь, т. е. АА1 : ВВ’ — a : Ь.
Следовательно, совокупность всех неделимых эллипса (т. е. площадь эл-
липса) относится к совокупности неделимых круга (к площади круга тгЬ2),
как a : Ь\ поэтому площадь эллипса равна тгаЬ. Те же приемы Кавалье-
ри применяет к сравнению объемов; доказательство равновеликости пи-
рамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, у Кавальери
заканчивается там, где у Архимеда оно только начинается. Общность и
простота применения приемов привели Кавальери к результатам, до кото-
рых не дошел Архимед. Но упрощенность его методов не давала гарантии
правильности всех полученных результатов; поэтому он старается каждое
вычисление провести несколькими различными путями.
Если в отношении строгости логического обоснования своих результа-
тов Кавальери стоит несравненно ниже Архимеда, то зато он превзошел
Архимеда, а с ним и всех математиков древнего мира не только в отно-
шении числа решенных им специальных задач на определение площадей
и объемов, но и в отношении понимания дальнейших перспектив развития
учения о Б. м. Не ограничиваясь решением отдельных задач, он в геометри-
ческой и нестрогой форме получает, по существу, ряд общих формул инте-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
95
трального исчисления. Например, его утверждение, что сумма квадратов
неделимых, на которые разбит параллелограмм на рис. 8, равна утроен-
ной сумме квадратов неделимых, из которых состоит на том же чертеже
каждый из двух составляющих параллелограмм треугольников, есть по
существу не что иное, как формула
/•а 1 га 3
I х2 dx — - a2 dx —
Jo з Jo 3
В аналогичной форме Кавальери выражает равенство
для степеней п до девятой включительно. Пе- f///////7%///////J
реход от метода неделимых Кавальери к на- i//////////)jV////
стоящему интегральному исчислению Лейб- /у////////////л™
ница и Ньютона освещен в статье Интегралъ- р g
ное исчисление (см.).
В том же 17 в. внимание математиков привлекает и третья из пере-
численных выше групп задач. После создания Декартом аналитической
геометрии естественно возникла задача определения углового коэффици-
ента касательной к кривой у = f(x), т. е. определения производной. При-
близительно одновременно развитие механики привело к необходимости
определять мгновенную скорость произвольного движения точки, т. е. к
той же задаче определения производной. Так как теории пределов и даже
отчетливого наглядного понимания предельного перехода еще не было, то
производную
пытались получить как отношение
статических актуально Б. м. приращений dy и dx. Подробнее о дальнейшей
истории развития дифференциального исчисления см. Дифференциальное
исчисление.
Современная концепция Б. м. как переменных величин, стремящихся
к нулю, а производной как предела отношения Б. м. приращений, бы-
ла намечена (правда, не вполне последовательно) Ньютоном, но укрепи-
лась только после Коши (см.). Современное понимание дифференциала
как главной части приращения по существу восходит к Лагранжу и было
96
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
окончательно закреплено Коши. Коши же принадлежит и точное опреде-
ление интеграла как предела суммы.
Для развитого дифференциального или интегрального исчисления ха-
рактерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при
помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообраз-
нейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто алгебраического ха-
рактера (в том смысле, что сам этот алгоритм уже не содержит в явном
виде предельных переходов). Например, пользуясь формулой интегриро-
вания по частям
ГХ1 ГУ1
/ ydx = - xdy + yixi - yQxo,
Jxq Jyo
не обязательно каждый раз писать соответствующую формулу для сумм:
71 П— 1
52 Ук(Хк ~ Хк~^ = ~ 52 Хк(Ук+1 ~ Ук) + Упхп - УОХО,
к=1 к=0
а затем осуществлять предельный переход от сумм к интегралам. Благо-
даря этому современные способы вычисления с дифференциалами и ин-
тегралами успешно соединяют в себе строгую логическую обоснованность
с простотой и наглядностью, к которой стремились сторонники «метода
неделимых».
Лит.: Привалов И. И. и Гальперн С. А., Основы анализа бесконечно малых,
2 изд., М.-Л., 1949; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрально-
го исчисления, т. 1, М.-Л., 1948; Цейтен Г. Г., История математики в древности и
в средние века, пер. с франц., М.-Л., 1932; Гейберг И., Новое сочинение Архимеда.
Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики, пер. с нем.,
Одесса, 1909; Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек, пер. с нем., М.-Л.,
1935; Кавальери Б., Геометрия, изложенная новым способом при помощи недели-
мых непрерывного, пер. с итал. т. 1, М.-Л., 1940; Archimedes, The works, ed. by
L. T. Heath, Cambridge, 1912.
БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ14 в геометрии -
элементы (точки, прямые, плоскости), которыми пополняется эвклидова
плоскость или пространство при изучении вопросов проективной геомет-
рии.
Происхождение Б. у. э. плоскости проще всего понять, рассмотрев опе-
рацию центрального проектирования одной плоскости на другую, ей не
параллельную. При таком проектировании плоскости а на плоскость 0 из
центра S (см. рис. 1), вообще говоря, каждой точке (А, А', А", А'",...) на
плоскости а соответствует определенная точка (В, В', В", В'",...) плоско-
сти 0. Это правило, однако, имеет исключения; например, на рис. 2 видно,
14БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 71-72 (совм. с Б. Н. Делоне).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
97
что точка С плоскости а не проектируется ни в какую точку плоскости /?.
Такие исключительные точки плоскости а, которым не находится соответ-
ствующих точек на плоскости (3, заполняют прямую Z, являющуюся пере-
сечением плоскости а с плоскостью 7, проходящей через S и параллельной
Рис. 2
98
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Пучок прямых на плоскости а, проходящих через точку С (рис. 2),
проектируется в пучок параллельных прямых на плоскости (3. Возникает
вполне естественная мысль о том, что следует считать этот пучок парал-
лельных прямых сходящимся в некоторой «несобственной» точке В плос-
кости /3, в которую и «проектируется» точка С. Так как все точки плоско-
сти а, которые проектируются в несобственные точки плоскости /?, лежат
на одной прямой I, то естественно считать, что эти несобственные точки
лежат на «несобственной» прямой плоскости /?, в которую и проектируется
прямая I. Эти идеи впервые были введены в математику создателем про-
ективной геометрии Дезаргом (см.). Впрочем, художникам и до Дезарга,
конечно, был известен тот факт, что при перспективном изображении плос-
кости изображения параллельных прямых сходятся в точках, лежащих на
прямой, называемой «горизонтом» (см. Перспектива).
В соответствии с изложенным считают, что на плоскости существует
одна единственная несобственная, или бесконечно удаленная, прямая, ко-
торая проходит через все несобственные, или бесконечно удаленные, точки
плоскости, точки же эти существуют в бесконечном числе — по одной на
каждый пучок параллельных прямых, лежащий в плоскости. В дополнен-
ной таким образом плоскости имеют место без всяких исключений такие
предложения:
1) каждые две прямые пересекаются в одной и только одной точке;
2) через каждые две точки проходит одна и только одна прямая.
Эти предложения и лежат в основе проективной геометрии плоскости.
Когда проективную геометрию развивают абстрактно, аксиоматически,
то предложения первое и второе обычно вводятся в число аксиом. Тогда
все точки плоскости делаются равноправными между собой, так же как и
все прямые. Поэтому в проективной геометрии никаких бесконечно удален-
ных точек и прямых нет. Понятия бесконечно удаленной точки и бесконеч-
но удаленной прямой возникают лишь тогда, когда проективная геометрия
«интерпретируется» на дополненной Б. у. э. обычной (эвклидовой) плоско-
сти.
В трехмерном пространство каждой совокупности всех параллельных
между собой прямых (связке параллельных прямых) соответствует по од-
ной бесконечно удаленной точке, каждой совокупности всех параллельных
плоскостей (пучку параллельных плоскостей) — по одной бесконечно удален-
ной прямой, все же бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные
прямые пространства считаются лежащими на одной единственной беско-
нечно удаленной плоскости (см. подробнее Проективная геометрия).
Лит.-. Делоне Б. Н. и Райков Д. А., Аналитическая геометрия, т. 2, М.-Л.,
1949; Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 3 изд., М.-Л., 1947;
Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.-Л., 1949.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
99
БЕСКОНЕЧНОСТЬ в математике.15 «Математическое бесконечное
заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и по-
этому оно может быть объяснено только из действительности, а не из са-
мого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг,
1950, стр. 354). Материальная основа математического бесконечного мо-
жет быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалек-
тическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана
обязательным для нее требованием внутренней формальной непротиворе-
чивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование
с существенно противоречивым характером действительной Б. «Уничто-
жение этого противоречия было бы концом бесконечности» (Энгельс Ф.,
Анти-Дюринг, 1950, стр. 49). Ответ на этот вопрос заключается в следу-
ющем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы
liman = оо, или в теории множеств — бесконечные мощности Ко, Kj,..., то
это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных
теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математиче-
ской Б. являются лишь крайне упрощенными, схематизированными обра-
зами различных сторон Б. действительного мира. Задачи настоящей ста-
тьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике,
освещаемые подробнее в других статьях.
1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных
величинах является одним из основных в математическом анализе. В ста-
тье Бесконечно малые (см.*) можно познакомиться с предшествовавшей
современному подходу к делу концепцией, по которой конечные величины
составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых «недели-
мых», трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие
любой конечной величины. Эта несовершенная концепция может служить
одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реаль-
ный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно
возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.
2) Совсем в другой логической обстановке Б. появляется в математи-
ке в виде «несобственных» бесконечно удаленных геометрических образов
(см.* Бесконечно удаленные элементы). Здесь, например, бесконечно уда-
ленная точка на прямой I рассматривается как особый постоянный объ-
ект, «присоединенный» к обычным конечным точкам. Однако неразрыв-
ная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при
проектировании из центра, лежащего вне прямой, при котором бесконечно
удаленной точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через
центр проектирования и параллельная основной прямой I.
15БСЭ-2. — 1950. — Т. 5. — С. 73-74. Другой вариант этой статьи А. Н. Колмогорова
см.: Математическая энциклопедия. — 1977. — Т. 1. — Стлб. 455-458.
100
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чи-
сел двумя «несобственными» числами +оо и —оо, соответствующее многим
запросам анализа и теории функций действительного переменного. Мож-
но подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных
чисел 1,2,3,... трансфинитными числами (см.) си, ш + 1,... , 2си,2си + 1,...
В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно
большими величинами, с одной стороны, и «несобственными» бесконечно
большими числами, рассматриваемыми как постоянные, — с другой, воз-
никли термины «потенциальная» Б. (для первых) и «актуальная» Б. (для
вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, современном пони-
мании см. ниже) спор между сторонниками актуальной и потенциальной
Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие,
лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно
малых) и интеграла (как суммы бесконечно большого числа бесконечно
малых) и примыкающих сюда концепций математического анализа, долж-
ны восприниматься как «потенциальные». Наряду с этим в надлежащей
логической обстановке в математику вполне закономерно входят и «акту-
альные» бесконечно большие «несобственные» числа (и даже во многих
различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные
числа в теории множеств, как несобственные элементы +оо и —оо системы
действительных чисел и т. д.).
При изучении элементов математического анализа, теории функций
действительного переменного, теории функций комплексного переменно-
го и проективной геометрии в том объеме, как это может встретиться
в программах втузов или педагогических институтов, приходится иметь
дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных
«несобственных» элементов. Поэтому целесообразно несколько подробнее
осветить здесь формальную сторону этих двух способов пополнения чис-
ловой системы.
а) Как указано в статье Бесконечно удаленные элементы (см.*), с про-
ективной точки зрения на прямой находится одна «бесконечно удаленная
точка». В обычной метрической системе координат этой точке естественно
приписать абсциссу оо. Такое же присоединение к числовой системе одной
бесконечности без знака употребляется в теории функций комплексного
переменного (см. Аналитические функции). В элементарном анализе при
изучении рациональных функций
у(х) =
л } Q(xY
где Р(х) и Q(x) многочлены, в тех точках, где Q(x) имеет нуль более вы-
сокого порядка, чем Р(х), естественно положить f(x) = сю.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
101
Для несобственного элемента оо устанавливаются такие правила дей-
ствий:
ос 4- a = оо, если а конечно;
оо -I- оо не имеет смысла;
оо • a — оо, если a / 0;
оо • 0
не имеет смысла.
Неравенства с участием оо не рассматриваются: бессмысленно спрашивать,
больше, или меньше оо, чем конечное а.
б) При изучении действительных функций действительного переменно-
го систему действительных чисел чаще дополняют двумя несобственными
элементами +оо и —оо. При рассмотрении вопросов, связанных с нера-
венствами, этот второй подход предпочтительнее, так как при нем можно
положить, что для любого конечного а
—оо < а < +оо,
и сохранить основные свойства неравенства в расширенной числовой си-
стеме. Для +оо и —оо устанавливаются такие правила действий:
(+оо) -I- а = +оо,
(-оо) + а = —оо,
(+оо) + (-оо)
(+оо) • а = 4-00,
(4-оо) а = —оо,
(—оо) а = —оо,
(—оо) • а = 4-оо,
(4-оо) • 0 и (—оо) • О
если а / —оо;
если а 0 4-оо;
лишено смысла;
если а > 0;
если а < 0;
если а > 0;
если а < 0;
лишены смысла.
В каждом математическом рассуждении следует отдавать себе отчет,
пользуемся мы в нем настоящей (не расширенной) числовой системой или
расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.
3) Основной интерес, но и основные трудности математического учения
о Б. сосредоточиваются сейчас на вопросе о природе бесконечных множеств
математических объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достиг-
нутая в настоящее время полная отчетливость и законченность теории бес-
конечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается
лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования уче-
ния о числе, в которое существенно входит представление о Б. системы
чисел. Утверждение о том, что у бесконечно мало, имеет смысл только
при указании характера изменения у в зависимости от какого-либо друго-
го переменного х: например, говорят, что у бесконечно мало при х —> а,
102
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
если при любом £ > О существует такое 8 > 0, что из |х — а| <8 вы-
текает |т/| < е. В самое это определение уже входит предположение, что
функция у = f(x) определена для бесконечного множества значений х (на-
пример, для всех действительных х, достаточно близких к а).
О бесконечных множествах в математике подробнее см. Множеств
теория. В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б.
придают обычно в настоящее время глубокий смысл, не имеющий ничего
общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально беско-
нечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических
объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не
задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем
объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «об-
разовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все»
одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучается,
исходя из процесса образования его элементов переходом от п к п+1. В слу-
чае континуума (см.*) действительных чисел уже рассмотрение одного
его элемента — действительного числа — приводит к изучению процесса
образования его последовательных приближенных значений, а рассмотре-
ние всего множества действительных чисел приводит к изучению общих
свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом имен-
но смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных
чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь «потенциаль-
ная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на беско-
нечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их
образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких усло-
виях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование
от процесса их образования, еще нельзя считать законченным. См. Мно-
жеств теория*, Парадоксы математические, Логика математическая,
Математика*.
БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ16 - функции и = и(хг, х2,...
..., хп), удовлетворяющие уравнению Ди = 0, где
а2 а2 д2
дх2 дх^ + + дт2
— оператор Лапласа (см. Лапласа оператор). Имеют большое значение
в теории упругости.
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА17 — однородный многочлен второй сте-
пени (форма) от двух групп переменных х\,х2,... ,хп и у\,у2, • ,уп вида
16БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 159.
17БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 167.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
103
52”=1 aij^iyj- Например, axy (Б. ф. от переменных х и у), ацХ1У1-|-
+о-12^1У2 + Я21^2У1 + «22^21/2 (Б. ф. от переменных Т1, Х2 и 7/1, У2). Б. ф.
является частным видом квадратичной формы (см.).
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН18 — общий принцип, в силу кото-
рого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит,
при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависяще-
му от случая. Точная формулировка и условия применимости Б.ч.з. да-
ются в теории вероятностей. Б.ч.з. является одним из выражений диа-
лектической связи между случайностью и необходимостью. Первая точно
доказанная теорема, представляющая собой частный случай Б.ч.з., при-
надлежит Я. Бернулли (опубликована после его смерти в 1713). Теорема
Бернулли была обобщена Пуассоном, в сочинении которого «Исследование
о вероятности суждений» (1837) впервые появился термин «закон больших
чисел». Значительно более общее понимание этого термина основано на ра-
боте П.Л. Чебышева «О средних величинах» (1867). В этом современном
понимании Б. ч. з. утверждает, что при некоторых, подлежащих точному
указанию, условиях среднее арифметическое
_ Х1 + Х2 Н-----F хп
X = ---------------
п
достаточно большого числа п случайных величин х>. с вероятностью, сколь
угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего мате-
матического ожидания а = М(х) (см. Ожидание математическое).
Точная формулировка теоремы, доказанной Чебышевым, такова: если
случайные величины последовательности zi, Х2, , хп,... попарно незави-
симы и имеют ограниченные дисперсии (см.*), т. е.
D(xn) = М{хп - М(хп)}2 С,
то при любом положительном £ > 0 вероятность неравенства |х — а| < £
стремится к единице при п —> оо.
Более точно характер отклонений среднего арифметического х или са-
мой суммы
X = Xi + Х2 + • • + хп = пх
от соответствующих математических ожиданий а и
А = М(Х) = па,
18БСЭ-2. — 1950. — Т. 5. — С. 538-540. Перепечатано в кн.: Вероятность и математи-
ческая статистика. Энциклопедия. — М.: Большая Российская Энциклопедия, 1999. —
С. 881-882.
104
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
указывается предельными теоремами теории вероятностей. Наиболее ти-
пичен случай, когда отклонения х — а имеют порядок 1/у/n, а отклонения
X — Л, в соответствии с этим, — порядок в то время как сами мате-
матические ожидания а и А имеют порядок 1 и п. В упрощенных попу-
лярных изложениях вопроса эти соотношения иногда называют «законом
квадратного корня из п»: при накоплении независимых случайных слагае-
мых их сумма растет пропорционально п, а случайные отклонения от этого
закономерного среднего роста возрастают лишь пропорционально у/n. Хо-
тя для более полного понимания вопроса необходимо обращаться к более
точным формулировкам, все же это грубое представление о характере дей-
ствия Б.ч.з. может помочь разобраться в том, насколько велико должно
быть число слагаемых, чтобы Б.ч.з. действовал с той или иной степенью
точности.
В частности, когда каждое слагаемое Хк принимает только два значения
1 и 0, причем Xk = 1 с вероятностью рк и Хк = 0 с вероятностью 1 -
легко подсчитать, что
_ Pl + Р2 + • • • + Рп
a — ,
п
а х превращается в частоту где m обозначает число тех г к с номерами
к п, которые равны 1. Б.ч.з. означает в этом случае, что при больших
п частота ~ близка к среднему арифметическому из вероятностей. Это
и есть Б.ч.з. Пуассона. Точная формулировка теоремы Пуассона такова:
если случайные события Ai, А2,..., Ап,... взаимно независимы, то для ча-
стот — где m обозначает число тех из событий Ак с номерами к п,
которые произойдут в действительности, — при любом г > 0 вероятность
неравенства
тп
----a
п
стремится к единице при п —► оо. Строгое доказательство теоремы Пуас-
сона было дано П. Л. Чебышевым в статье «Элементарное доказательство
одного общего предложения теории вероятностей» (1843). Теорема Бер-
нулли является частным случаем теоремы Пуассона, который получается,
если положить все рк равными одному и тому же числу р (0 < р < 1).
В этом случае a = р, Б.ч.з. утверждает, что при больших п, с вероятно-
стью, как угодно близкой к единице, частота ~ будет как угодно близка к
вероятности р.
Наглядное представление о смысле и значении Б.ч.з. дает следующий
пример. Пусть в замкнутом сосуде заключены N молекул газа. В соответ-
ствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
105
внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекула-
ми и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку а стенки в течение
выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообща-
ет этой площадке импульс Д. Импульс Д является типичной случайной
величиной, так как состояние рассматриваемого газа определяет лишь ма-
тематическое ожидание
a = M(fk)
этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за
данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от
нуля — в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не
ударялась о площадку ст). Сумма
N
fc=l
импульсов всех молекул, сообщаемых площадке ст за данный промежуток
времени, является также случайной величиной с математическим ожида-
нием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч.з. (который проявляется здесь с
исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F
в действительности оказывается почти независимым от случайных обсто-
ятельств движения отдельных молекул, а именно — почти точно равным
своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической
теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку ст является
практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.
Часто приходится применять Б.ч.з. и в такой обстановке, когда коли-
чество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми
молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от ее математи-
ческого ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важ-
но уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000
партий каких-либо изделий по 100 штук в каждой, взято для испытания
наудачу по 10 штук из каждой партии и среди испытанных 10 000 штук
обнаружено 125 дефектных. Если обозначить nk число дефектных изделий
в /с-й партии, то общее число дефектных изделий равно
юоо
71 — Tl/jJ
k=l
математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, ко-
торые взяты для испытания из fc-й партии, равно
Q -21
Sk ~ юо Пк'
106
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 про-
бах по 10 штук —
1000 1
S=J2Sfc = -n.
k=l
В силу Б.ч.з. естественно считать, что п/10 ~ 125, т. е. среди 100 000
изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более
точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому
результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно
случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фак-
тически 1000 < п < 1500, но уже оценка 1100 < п < 1400 не была бы
достаточно надежной, а для оценки 1200 < п < 1300 совсем не имеется
серьезных оснований. Получить более точную оценку для п можно, лишь
испытав большее число изделий.
Условие независимости слагаемых, в большинстве применений Б.ч.з.,
если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в
первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря,
считать независимыми. Поэтому имеет большое значение достаточно пол-
ное исследование условий применимости Б. ч.з. к случаю зависимых слага-
емых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат
А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результа-
ты их исследований сводятся к тому, что Б.ч.з. применим, если значи-
тельная зависимость имеется лишь между смежными или близкими (по их
номерам) слагаемыми, а между слагаемыми с далекими номерами зависи-
мость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеороло-
гических наблюдений над температурой или давлением воздуха. Поэтому
многолетние средние значения температур и давлений в данном пункте и в
данное время года оказываются близкими к своим математическим ожида-
ниям, которые являются объективными характеристиками климата данной
местности.
Математическая сторона вопросов, связанных с Б.ч.з., более подробно
освещена в статьях Предельные теоремы теории вероятностей и Теория
вероятностей (см.*). В применениях Б.ч.з. обычно достаточно бывает
пользоваться сравнительно простыми математическими формулировками
условий его применимости, имеющимися во многих учебниках по теории
вероятностей, но необходимо тщательно проверять их соответствие реаль-
ной обстановке.
Лит.: Чебышев П. Л., О средних величинах, Полное собр. соч., т. 2, М.-Л.,
1947; Бернштейн С. Н., О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей, в кн.:
Научное наследие П.Л. Чебышева. [Сб. статей], в. 1, М.-Л., 1945; его же, Тео-
рия вероятностей, 4-е изд., М.-Л., 1946; Колмогоров А. Н., Роль русской науки в
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
107
развитии теории вероятностей, «Ученые записки Московского гос. ун-та», 1947,
в. 91, с. 53-64; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.:
Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. Сб. статей под ред. А. Г. Куро-
ша [и др.], М.-Л., 1948; Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в
теорию вероятностей, М.-Л., 2-е изд., 1950.
ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД19 — совокупность каких-либо величин,
расположенных в порядке их возрастания. Пусть, например, размеры деся-
ти деталей, измеренных при выборочном контроле производства, оказались
следующими:
Деталь № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Разм. в мм 8,4 8,1 8,4 8,5 8,6 8,3 8,4 8,4 8,3 8,5
Соответствующий В. р. имеет вид:
8,1; 8,3; 8,3; 8,4; 8,4; 8,4; 8,4; 8,5; 8,5; 8,6.
В. р. полностью определяется указанием различных значений входящих
в него величин и числа членов ряда, имеющих каждое из этих значений.
В приведенном примере В. р. по этому способу записывается в виде таб-
лички:
Размер 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6
Число деталей 1 — 2 4 2 1
Вместо таблички можно нарисовать соответствующую гистограмму
(см.*) или полигон распределения. Для данного примера гистограмма изоб-
ражена на рис. 1, а полигон распределения — на рис. 2.
Простейшими характеристиками, которые дают общее представление
о данном В. р. из п величин
Xj Х2 Х3 Xj2,
19БСЭ-2. - 1951. - Т. 6. - С. 641.
108
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
являются: 1) минимальный член Tmin=a:i; 2) максимальный член тП1ах=т„;
3) размах (называемый иногда широтой) R=xmax— rrmin; 4) медиана т=х^+1
при п — 2Л:+1 (нечетном), т = ^(rfc+rfc+i) при n = 2k (четном); 5) среднее
значение x=^(xi+x2+‘ • -4-хп); 6) дисперсия D=± J2^=1(t—zjt)1 2; 7) среднее
квадратичное отклонение s = >/D.
В данном примере:
^-min — 8,1; ттах — 8,6; R — 0,5; тп — 8,4;
т = 8,39; D = 0,0169; з = 0,13.
Если число различных значений величин, образующих В. р., очень ве-
лико, то обычно ограничиваются указанием числа его членов, попадающих
в те или иные интервалы (см.* Математическая статистика).
Принципиальное значение В. р. заключается в том, что В. р., состав-
ленные на основании измерения достаточно большого числа правильно ото-
бранных объектов, позволяют определить характер изменчивости исследу-
емого признака.
Наиболее простым и хорошо изученным с математической стороны яв-
ляется тот случай, когда В. р. получается в результате расположения в по-
рядке возрастания независимых случайных величин
£1»^2, • • • > £п>
подчиненных одному и тому же распределению вероятностей: F(x) = ве-
роятности неравенства £ < х.
Теорема, наиболее наглядно и полно характеризующая с качественной
стороны связь, существующую в этом случае между теоретической функ-
цией распределения F(x) и В. р., была доказана советским математиком
В. И. Гливенко. По В. р. строится эмпирическая функция распределения
Fn(x) = где тх обозначает число членов ряда, меньших х. Теорема
В. И. Гливенко утверждает, что при любом £ > 0 вероятность неравенства
|Fn(x) — F(x)| < £ стремится к единице при возрастании п.
В последнее время эмпирическая функция распределения начинает вхо-
дить в употребление в качестве способа изображения В. р. и в практические
статистические работы. На рис. 3 эмпирическая функция распределения
для В. р. ста средних июльских температур в Стокгольме за 1841-1940
сопоставлена с теоретической нормальной кривой вида
1 Гх (и-а)2
F(x) = г—— / е ъ>2 du.
v2tt а J-оо
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
109
Много исследований посвящено предельному поведению членов вариа-
ционного ряда, полученного в результате п независимых испытаний с за-
данной функцией распределения F(i) при п —> оо. Особенно существен-
на в этом направлении работа советских математиков Н. В. Смирнова и
Б. В. Гнеденко.
О связи В. р. с теоретическим распределением см. также Распределения
и Теория вероятностей.
Лит.-. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М.-Л., 1950; Смирнов Н. В.,
Предельные законы распределения для членов вариационного ряда, Труды Мате-
матического ин-та им. В. А. Стеклова, 1949, вып. 25; Крамер Г., Математические
методы статистики, пер. с англ., М., 1948. О приемах обработки В. р. — Митро-
польский А. К., Техника статистического исчисления, М.-Л., 1931.
ВЕЛИЧИНА20 — одно из основных математических понятий, смысл
которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.
I. Еще в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчетливо сформу-
лированы свойства В., называемых теперь, для отличия от дальнейших
обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное
понятие В. является непосредственным обобщением более конкретных по-
нятий: длины, площади, объема, массы и т. п. Каждый конкретный род
В. связан с определенным способом сравнения физических тел или других
объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи на-
20Печатается по изданию: Математическая энциклопедия. — 1977. — Т. 1. — Стлб. 651
653. Другие издания: Большая Советская энциклопедия. — Изд. 2. — 1951. — Т. 7. —
С. 340-341; - Изд. 3. - 1971. - Т. 4. - С. 456-457.
110
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют
одну же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок
накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина пер-
вого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необ-
ходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных
тел по объему.
В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В.
(т. е. в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объемов) уста-
навливается отношение неравенства: две В. а и b одного и того же рода или
совпадают (а = Ь), или первая меньше второй (а < Ь), или вторая меньше
первой (Ь < а). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объемов и
то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции
сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В.
отношение a < Ь и операция a + b = с обладают следующими свойствами:
1) каковы бы ни были а и 6, имеет место одно и только одно из трех
соотношений: или a = b, или a < Ь или b < а;
2) если a < b и b < с, то a < с (транзитивность отношений «меньше»,
«больше»);
3) для любых двух В. а и Ь существует однозначно определенная В.
с = a + 6;
4) a + b = b + а (коммутативность сложения);
5) a + (Ь + с) = (а + 6) -I- с (ассоциативность сложения;
6) a + b > а (монотонность сложения);
7) если a > Ь, то существует одна и только одна В. с, для которой
Ь + с = а (возможность вычитания);
8) каковы бы ни были В. а и натуральное число п, существует такая В.
Ь, что nb = а (возможность деления);
9) каковы бы ни были В. а и Ь, существует такое натуральное число
п, что a < nb. Это свойство называется аксиомой Евдокса или аксиомой
Архимеда. На нем вместе с более элементарными свойствами 1)-8) основана
теория измерения В., развитая древнегреческими математиками.
Если взять какую-либо длину I за единичную, то система s' всех длин,
находящихся в рациональном отношении к I, удовлетворяет требованиям
1)-9). Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых припи-
сывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s' еще не охва-
тывает системы s всех вообще длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию В., к требованиям 1)-9)
надо присоединить еще ту или иную дополнительную аксиому непрерыв-
ности, например:
10) если последовательности величин ai < a.2 < • • < Ь2 < Ь\ обладают
тем свойством, что bn — an < с для любой В. с при достаточно большом но-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
111
мере п, то существует единственная В. х, которая больше всех an и меньше
всех Ьп.
Свойства 1)—10) и определяют полностью современное понятие системы
положительных скалярных В. Если в такой системе выбрать какую-либо
В. I за единицу измерения, то все остальные В. системы однозначно пред-
ставляются в виде a — al, где a — положительное действительное число.
II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могу-
щих иметь два противоположных направления, и тому подобных В. есте-
ственно приводит к тому обобщению понятия скалярной В., которое яв-
ляется основным в механике и физике. Система скалярных В. в этом по-
нимании включает в себя, кроме положительной В., нуль и отрицатель-
ную В. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину I
за единицу измерения, выражают все остальные В. системы в виде a — al,
где a — действительное число, положительное, отрицательное или равное
нулю. Конечно, систему скалярных В. в этом понимании можно охарак-
теризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого
пришлось бы несколько изменить требования 1)—10), которыми выше оха-
рактеризовано понятие положительной скалярной В.
III. В более общем смысле слова величинами называются векторы, тен-
зоры и другие «нескалярные величины». Такие В. можно складывать, но
отношение неравенства (а < Ь) для них теряет смысл.
IV. В некоторых более отвлеченных математических исследованиях иг-
рают известную роль «неархимедовы» В., которые имеют с обычными ска-
лярными В. то общее, что для них сохраняются обычные свойства нера-
венств, но аксиома 9) не выполняется (для скалярных В. в смысле пункта
II она сохраняется с оговоркой, что Ь > 0).
V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворя-
ет перечисленным выше свойствам 1)—10), а система всех действительных
чисел обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне законно сами
действительные числа называть величинами. Это особенно принято при
рассмотрении переменных В. Если какая-либо конкретная В., например,
длина I нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то
меняется и измеряющее ее число х = I/Iq (при постоянной единице из-
мерения /о)- Само это меняющееся во времени число х принято называть
переменной В. и говорить, что х принимает в какие-либо последовательные
моменты времени tj, <2,... «числовые значения» xi, Х2, В традиционной
математической терминологии говорить о «переменных числах» не приня-
то. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объемы и
т. п., являются частными случаями В. и, как всякие В., могут быть и пере-
менными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных
векторов, тензоров и т. п.
112
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ21 — 1) одна из мер рассеяния слу-
чайных величин (см.). Если а есть математическое ожидание случайной
величины £ и распределение вероятностей этой случайной величины непре-
рывно, то В. о. Е$ определяется требованием,чтобы вероятность отклоне-
ний £ от а, больших по абсолютной величине, чем Е$, равнялась вероятно-
сти отклонений, меньших по абсолютной величине, чем Е^. Если величина
£ имеет нормальное распределение (см.) с дисперсией а2, то Е^ — 0.6745<т
или, округляя этот результат, величина срединного (вероятного) отклоне-
ния (ошибки) равна 2/3 величины среднего квадратического отклонения
(ошибки).
2) Единица относительного измерения (Е), принятая в артиллерийской
и стрелковой практике, а также при бомбометании с самолетов, как ме-
ра рассеивания снарядов (пуль) при стрельбе и авиабомб при сбрасыва-
нии с самолетов, иначе называемая срединным отклонением или срединной
ошибкой.
Рис. 1. Эллипс рассеивания снарядов на местности
Благодаря влиянию на полет снаряда (пули) случайных причин при
стрельбе происходит рассеивание снарядов (пуль), которые, описывая раз-
личные траектории, имеют и различные точки падения. Теоретическое и
экспериментальное исследование влияния случайностей на полет группы
снарядов указывает на закономерность действия случайных причин, при-
чем эта закономерность тем более убедительна, чем большее количество
выстрелов произведено. При значительном их числе снаряды всегда рас-
полагаются на ограниченной площади (не беспредельно), неравномерно и
симметрично. Эту закономерность принято называть законом рассеивания.
21БСЭ-2. - 1951. - Т. 7. - С. 507-508.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
113
Рис. 2. Измерение вероятных отклонений: а — по дальности (Bd);
б — в боковом направлении (Вб); в — по высоте (Вв)
Площадь рассеивания, образующая эллипс, называется эллипсом рассе-
ивания. Точка, около которой с наибольшей вероятностью можно ожидать
падения снарядов, совпадает обычно с центром эллипса и носит название
средней точки падения, от которой и исходят все исчисления В. о.
При графическом способе определения В. о. проводят в эллипсе рассе-
ивания две оси — продольную и поперечную; каждая из них делится на 8
равных частей. Через точки деления проводятся перпендикуляры к осям,
и в результате получается 8 полос в каждом направлении. Ширина каж-
дой из 8 полос является В. о. по данному направлению. Измерение В. о.
ведется от центра попадания (средней точки падения) и обозначается при
ударной стрельбе (например, гранатой): по дальности — Вд, по высоте —
Вв и в боковом направлении — Вб. При дистанционной стрельбе (напри-
мер, шрапнелью) В. о. обозначается: по дальности — Врд, по высоте — Врв
и боковые — Врб, причем Врб по своей величине равно Вб, так как боковое
рассеивание воздушных разрывов зависит от того же рассеивания траек-
торий, как и при ударной стрельбе. Практика показывает, что в указанных
полосах процент попаданий остается неизменным и две полосы, ближай-
шие к средней точке падения, вмещающие каждая по 25%, составляют
полосу, вмещающую 50% всех попаданий. В этом случае принято считать,
114
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
что В. о. равно половине ширины полосы, вмещающей лучшую половину
попаданий.
При аналитическом способе принимают за начало координат нижний
левый угол мишени, за ось «х» нижний край мишени, за ось «у» — ее ле-
вый край, измеряют координаты всех попаданий в любых единицах; сред-
няя арифметическая величина всех попаданий по каждому направлению
в отдельности дает координаты средней точки падения. Для определения
какого-либо В. о., например, в боковом направлении, определяют разницу
между абсциссами всех точек попадания и абсциссой средней точки паде-
ния; полученные величины будут отклонениями всех попаданий от центра
падения. Полученные абсолютные величины боковых отклонений выписы-
ваются в один ряд по возрастающей величине, средняя по месту (в середине
ряда при нечетном числе величин) величина, или сумма двух средних вели-
чин, деленная пополам (при четном числе величин) и будет В. о. в боковом
направлении. Таким же способом определяются В. о. и в других направле-
ниях.
Бомбометание в авиации опирается на те же самые законы В. о. Веро-
ятное отклонение учитывается как показатель при характеристике балли-
стического качества орудия.
Литл Стрельба наземной артиллерии, ч. 1, М., 1946; Учебник по стрельбе
артиллерии, под ред. В. Г. Дьяконова, ч. 1-3, 3 изд., М., 1938-39; Курс артиллерии,
под ред. А. Д. Блинова, кн. 1, 3 изд., М., 1948.
ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД22 — метод статистического наблюдения,
при котором для определения сводных характеристик какой-либо совокуп-
ности изучаются не все единицы совокупности, а лишь часть их, взятая
на выборку. Например, для определения среднего срока службы большой
партии электрических лампочек отбирается сравнительно небольшая часть
их и испытывается; средний срок службы испытанных лампочек принима-
ется за приближенное значение среднего срока службы лампочек во всей
партии. Выбор п единиц из совокупности объема N должен быть «репре-
зентативным», т. е. должен производиться с таким расчетом, чтобы свой-
ства единиц, попавших в «выборку», правильно отражали соответствую-
щие свойства всей совокупности. По закону больших чисел (см.* Больших
чисел закон) достаточно обширная выборка будет репрезентативной, ес-
ли ее произвести случайно, т. е. так, чтобы любая из возможных выборок
заданного объема п из совокупности объема N (число таких выборок рав-
но Су — ) имела одинаковые шансы (одинаковую вероят-
ность) быть фактически выбранной. Если все единицы обследуемой сово-
купности занумерованы, то такую в строгом смысле случайную выборку
22БСЭ-2. — 1951. — Т. 9. — С. 417-418; совм. с Т. И. Козловым.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
115
можно осуществить при помощи жеребьевки, подобно тому как произво-
дятся тиражи выигрышных займов, или при помощи заранее составленных
таблиц «случайных чисел». Часто оказывается достаточным для получе-
ния правильных результатов применять несколько более простые приемы.
Например, при выборе для испытания электрических лампочек, уложен-
ных в ящики, берут их наудачу из разных мест ящика. Если обследуе-
мая совокупность, по имеющимся заранее данным, может быть разбита на
группы известного объема, обладающие (по отношению к интересующему
нас признаку) большей однородностью, чем вся совокупность, то выгод-
но установить, сколько единиц из каждой группы включается в выборку,
не случайным, а заранее обдуманным образом (проще всего — пропорци-
онально объему групп). Такая выборка называется типической. Однако и
в типической выборке следует стремиться к тому, чтобы внутри каждой
группы отбор назначенного на ее долю числа единиц производился случай-
но. Только при этом условии точность результата может быть оцениваема
по приведенным ниже формулам. Типическая выборка применяется, на-
пример, при бюджетных обследованиях, в статистике урожайности и т. п.
Впервые широкое применение выборочные обследования получили в
русской земской статистике в конце 19 в. Известны также случаи приме-
нения В. м. в России в 17 и 18 вв. Указания о применении примитивных
форм В. м. при учете урожая имеются в сохранившемся документе, от-
носящемся к 1648 («Акты хозяйства боярина Б. И. Морозова», ч. 1 изд.
в 1940). Описание В. м. содержит изданный в 1733 «Регламент или Устав
конюшенный». Большая заслуга в разработке вопросов проведения и ор-
ганизации выборочных обследований принадлежит известному русскому
статистику А. И. Чупрову. Общие теоретические обоснования В. м. даны
знаменитым русским математиком П.Л. Чебышевым. Доказанная им тео-
рема о предельном значении среднего дает прочную основу для решения
всех основных вопросов выборочных обследований.
В. м. широко применяется в практике советской статистики. Кроме кон-
трольных выборочных обходов, проводимых при переписях скота, В. м. так-
же применяется при измерении урожайности, регистрации цен на колхоз-
ных рынках, определении качества продукции и пр. Выборочно организова-
но изучение бюджетов рабочих, колхозников и служащих (см. Бюджетные
обследования). В широких масштабах применяется В. м. в практике произ-
водственного контроля. Выборочное наблюдение обходится дешевле, и его
можно провести быстрее сплошного, что имеет важное значение для успеш-
ного осуществления основной задачи советской статистики — действенно-
го повседневного контроля за ходом выполнения народнохозяйственных
планов. При выборочных обследованиях представляется возможным осу-
ществить более глубокое и всестороннее, по более обширной программе,
116
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
исследование, чем при сплошном наблюдении. Кроме того, к выборочным
обследованиям приходится прибегать во всех случаях, когда сплошное на-
блюдение практически не может быть осуществлено или не имеет смысла
его проводить. Нельзя, например, проводить сплошное обследование каче-
ства изделий, если это связано с их уничтожением (испытание ткани на
разрыв, электрических лампочек на продолжительность горения и т. д.).
Математическая теория выборочного метода. В математической
теории В. м. имеют дело с определением но выборке доли
М
С~ ~N
единиц совокупности, обладающих каким-либо признаком (М обозначает
число единиц, обладающих этим признаком, a N — общую численность -
объем совокупности), или среднего
_ 1 .
Х = —(Т1 + Х2 + ••• + XN )
из значений хг какого-либо количественного признака единиц совокупно-
сти. Оценкой для доли с служит доля
7 = -
п
единиц выборки, обладающих данным признаком, а оценкой среднего х —
среднее
С = ~(С1 + 4-----+ £п)
п
в выборке.
Однако возможности В. м. не ограничены изучением средних величин.
По выборке можно оценить также изменчивость и статистическое распре-
деление (см. Распределения) количественного признака в совокупности.
В математической теории В. м. оценка средних занимает центральное место
лишь потому, что к ней в известной степени сводится и изучение изменчи-
вости. Например, простейшая характеристика изменчивости — статистиче-
ская дисперсия
S2 = -Г7 Г(Я1 - х)2 + (Хэ ~ Х)2 Н-h (Хп ~ Я)2]
сама является средним из квадратов отклонений Xi — х.
Основной задачей классической теории В. м. (об одном из более новых
разделов теории В. м. см. Малые выборки) является определение дисперсий
и т. е. математических ожиданий
= М(7 — с)2 и = М(С ~ х)2.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
117
Так как 7 и при достаточно больших п (практически при п 20) хорошо
подчиняются нормальному закону распределения (см. Нормальнее распре-
деление}, то по дисперсиям может быть оценена и вероятность того или
иного размера отклонений: например, отклонения (7 — с) и (£ — т), превы-
шающие соответственно За7 и Зсг^, могут при п 20 появиться, примерно,
лишь с вероятностью в 0.27%.
а) Случайная бесповторная выборка. Любая группа из п единиц совокуп-
ности выбирается с вероятностью Название «бесповторная» возникло
в виде противоположения «повторной выборке» (термин, употребляемый
лишь в учебниках теории вероятностей), которая, однако, практически не
применяется. Для случайной бесповторной выборки
2 1 — n/N с(1 — с)
= 1 - 1/N п
2 _ 1-n/N S2
1 — 1/N п
(1)
(2)
Из (1) вытекает, что всегда для среднего квадратичного отклонения сг7
имеет место неравенство
1
Если N достаточно велико по сравнению с п, то формулы (1) и (2) прибли-
женно совпадают с
формулами
гт- - —
« " п ’
п2 С(1-С)
действующими в случае «повторной» выборки.
Дальнейшее изложение ведется только для задачи оценки среднего х.
Формулы в случае оценки доли с аналогичны.
б) Выборка по группам. Пусть совокупность объема
N = М + N2 + • • • + Nk
разбита на к групп, причем объем группы с номером j равен Nj. Тогда
статистическая дисперсия S2 может быть разбита на два слагаемых
52 = Sg 4- S2,
где
1
S® ~ Nj(xj ~ х)2
j = l
118
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
есть «дисперсия между группами», а
«ЧЁМ
7 = 1
— средняя из дисперсии «внутри групп»
1 Nj
Sj = “ xj)2
3 t=l
(xj обозначает среднее в j-й группе).
Произведя случайные выборки объема nj из каждой группы, вычисля-
ют выборочные средние по группам и из них составляют среднее (с ве-
сами Nj):
— 1 —
?=wEM-
J=1
Тогда
(3)
В частном случае, когда все группы имеют одинаковый объем (Nj = const)
и объем выборок из групп постоянен (nj = const), формула (3) приобретает
простой вид:
2 _ 1 - n/N Si
1-k/N ' n'
где n = ni + »2 H--Hb
Из сравнения (4) и (2) видно, что выборка по группам приводит при
том же суммарном объеме выборки п к значительно лучшему результа-
ту, чем простая случайная выборка, в том случае, если средняя дисперсия
«внутри групп» Si значительно меньше, чем суммарная дисперсия S2. Это
и соответствует положению при типической выборке, о которой говорилось
выше. Можно показать, что таково же будет положение и при неравных
группах, если взять nj пропорциональные Nj. Отметим еще случай, когда
все группы имеют одинаковый объем, а все nj равны единице, т. е. из каж-
дой группы выбирается для наблюдения по единице. В этом случае из (4)
вытекает, что
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
119
Выборка такого рода называется «механической выборкой» и особенно
удобна для практического осуществления.
Лит. см. при статьях Статистика и Математическая статистика.
ГАУССА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ23 — важный в теоретическом и прак-
тическом отношении закон распределения вероятностей; выражается фор-
мулой:
Ф(х) = -jL- Г е-(‘-“)2/(2<т2) dt
(см. Нормальное распределение).
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА24 — мера искривления кривой
на поверхности, подобно тому как обычная кривизна (см.) служит мерой
искривления кривой в ее плоскости; Г. к. равна кривизне проекции дан-
ной кривой на плоскость, касающуюся поверхности в данной точке. Линии
на поверхности с Г. к., равной нулю, называются геодезическими линиями.
При изгибании поверхности Г. к. всех линий на ней не меняется (теорема
Миндинга). В соответствии с этим Г. к. допускает и «внутреннее» опре-
деление. При этом втором подходе сначала вводят понятие геодезической
линии (см.), а потом Г. к. Именно — если с есть кривая на поверхности, a g
и д' — две геодезические линии на этой поверхности, касающиеся кривой с
в двух бесконечно близких точках Р и Р' (Р' —> Р), то Г. к. кривой с в точ-
ке Р есть частное где dr — бесконечно малый угол между линиями д и
д', a ds — длина дуги РР'.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ25 - географические широта
и долгота точки земной поверхности, определенные не из астрономических
наблюдений в данном месте, а путем геодезического измерения расстояния
(главным образом методом триангуляции, см.) и направления (азимута) от
некоторой другой точки, для которой географические координаты извест-
ны. Г. к. отличаются от широт и долгот, измеренных астрономическими
методами, на малые величины, зависящие от неточности элементов, при-
нятых при вычислении земного эллипсоида, и от отклонений отвеса.
ГИСТОГРАММА26 (столбчатая диаграмма) — один из видов графи-
ческого изображения статистических распределений (см.) каких-либо ве-
личин по количественному признаку. Г. представляет собой совокупность
смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии. Площадь
23БСЭ-2. - 1952.
24БСЭ-2. - 1952.
2,БСЭ-2. - 1952.
2бБСЭ-2. - 1952.
- Т. 10. - С. 275
- Т. 10. - С. 481
- Т. 10. - С. 486
- Т. 11. - С. 447.
120
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
каждого прямоугольника пропорциональна частоте нахождения данной ве-
личины в изучаемой совокупности. Пусть, например, измерение диаметров
стволов 624 сосен дало следующие результаты:
Диаметр в см 14-22 22-30 30-38 38-62
Число стволов 57 232 212 123
На горизонтальной оси откладываются границы групп,на которые ство-
лы разбиты по их диаметру, и на отрезке, соответствующем каждой группе,
строится как на основании прямоугольник с площадью, пропорциональной
числу стволов, попавших в данную группу. Полученная таким образом Г.
изображена на рис. 1. На рис. 2 изображена Г. распределения по диаметру
стволов тех же 624 сосен при более дробной группировке.
В виде Г. часто изображают результаты гранулометрии (см.) рыхлых
материалов или некоторых горных пород.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
121
В этом случае на вертикальной
оси откладывают процентное со-
держание полученных групп ча-
стиц (так называемых фракций), а
на горизонтальной оси — логариф-
мы их граничных размеров. Ис-
пользование логарифмов вызвано
тем, что при гранулометрическом
анализе частицы подразделяют-
ся на фракции, размеры которых
убывают в геометрической про-
грессии (см.). В этом случае раз-
ность между логарифмами гра-
ничных размеров фракций, а сле-
довательно, и размеров оснований
прямоугольников Г. будут равны
между собой (рис. 3).
Рис. 3. Гистограмма гранулометрического
состава образца песка
ГОМЕОМОРФИЗМ27 (от греч. оцоюо — подобный и цорфт) — образ,
форма) — одно из основных понятий топологии (см.). Две фигуры (точ-
нее — два множества точек) называются гомеоморфными, если их можно
взаимно-однозначно и непрерывно отобразить друг на друга.
ГОМОТОПИЯ28 (матем.) — важное понятие топологии (см.). Два
непрерывных отображения у = /(х) и у = д(х) фигуры А в пространство
R называются гомотопными, если их можно посредством непрерывного из-
менения (в этом пространстве) перевести одно в другое, т. е. если можно
построить непрерывную функцию у = <р(х, t), где х принадлежит A, t про-
бегает сегмент 0 t 1, у принадлежит R и <^(х,0) = /(х), <^(х, 1) = д(х).
Особенно большое значение имеет Г. «путей», т. е. непрерывных отображе-
ний в данное пространство R ориентированной окружности.
ГРАФИК29 — геометрическое изображение функциональной зависи-
мости при помощи линии на плоскости. Например, на рис. 1 изображен Г.
изменения атмосферного давления со временем. Г. применяются как для
наглядного изображения функциональных зависимостей и придания на-
глядности их исследованию, так и для быстрого фактического нахождения
значений функций по значениям аргументов. Виды Г. очень разнообразны
и зависят то того, какая система координат (см.*) на плоскости положе-
на в их основу. Если система координат выбрана, то Г. функции /(х) есть
27БСЭ-2. - 1952. - Т. 12. - С. 21.
28БСЭ-2. - 1952. - Т. 12. - С. 35.
29БСЭ-2. - 1952. - Т. 12. - С. 453-454.
122
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
не что иное, как множество (или, как иначе говорят, «геометрическое ме-
сто») тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
у = f(x). В большинстве случаев Г. строится в декартовых прямоуголь-
ных координатах. На рис. 2 изображен Г. функции у = х2 — парабола, а
на рис. 3 — Г. функции у = +\/1 — х2, представляющий полуокружность,
начинающуюся в точке с координатами (—1,0) и кончающуюся в точке
с координатами (+1,0).
В прямоугольной системе коор-
динат масштабы по осям одинако-
вы; от этого неудобного ограниче-
ния в большинстве практических Г.
отказываются, выбирая разные мас-
штабы по осям координат так, что-
бы наилучшим образом использовать
площадь листа бумаги, отводимую
для Г. Употребляются также Г., осно-
ванные на других системах коор-
динат, например полярной; послед-
няя особенно удобна для изображе-
ния функций углового аргумента. На
рис. 4 даны Г. распределения силы
света, испускаемого по различными
направлениям тремя типами дуго-
вых фонарей. Иногда для упрощения
вида Г. целесообразно принимать за
координаты точки те или иные функ-
ции от переменных х и у. Возни-
кающий отсюда способ графическо-
го изображения функций называется
способом функциональных шкал (см.
Номография). Например, если значе-
ниям аргумента и функции — значе-
ниям (х, у) — ставить в соответствие
точку с декартовыми координатами
(1gх, 1gу), то Г. функции у = хп
при любом показателе п оказывается
прямолинейными (рис. 5). Для быст-
рого вычерчивания подобных Г. слу-
жит логарифмическая бумага (см.), а
также полулогарифмическая бумага.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
123
180° 150° 120°
180° 150°
180° 150° 105°
0°
30° 0° 30° 0° 30°
Рис. 4
Если Г. является прямой линией или
дугой окружности, то его можно стро-
ить с помощью линейки или циркуля
по двум, соответственно трем, точкам.
В остальных случаях для вычерчива-
ния Г. приходится наносить на бумагу
достаточно большое число принадлежа-
щих ему точек, а затем проводить че-
рез эти точки линию Г. «на глаз». Эта
операция, всегда несколько произволь-
ная, во всяком случае имеет смысл лишь
в предположении непрерывности функ-
ции (см. Непрерывные функции).
Если функция не только непрерывная, но и достаточно «гладкая» (т. е.
ее производные первых двух-трех порядков меняются с изменением аргу-
мента не слишком быстро), то при некотором навыке проведение Г. по точ-
кам делается очень точно (см.* Интерполяция). Существует большое чис-
ло самопишущих приборов, автоматически наносящих на бумагу Г. наблю-
даемой функциональной зависимости, минуя ее аналитическое выражение
[например, барограф (см.), строящий Г. давления атмосферы в функции
времени].
Во многих вопросах целесообразно одновременно рассматривать Г. не-
скольких различных функций, изображая их на одном и том же чертеже.
124
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Типичным примером таких Г. являются железнодорожные графики дви-
жения поездов (см.). Если Г. функций у = /(х,а), зависящих от неко-
торого параметра а, образуют достаточно частую сетку для того, чтобы
определять по ней приближенно значения функций при промежуточных
значениях параметра, то получается так называемая сетчатая номограмма.
Нанеся на один чертеж Г. двух функций у = и у = #(х), по точкам их
пересечения можно определить корни уравнения /(х) = </(х).
В школьном преподавании ознакомление с графическим способом изображе-
ния функциональных зависимостей должно составлять неотъемлемую часть изу-
чения математики. Очень важно, чтобы «графики» не представляли изолирован-
ной главы курса алгебры, а систематически использовались при решении задач
и изложении теоретических вопросов школьной алгебры, геометрии и тригоно-
метрии.
ДВИЖЕНИЕ30 (в геометрии) — преобразование пространства само-
го в себя, при котором сохраняются расстояния между точками (длины
отрезков) и ориентация (см.*) пространственных фигур. Геометрическое
понятие Д. возникает в результате абстракции из механических представ-
лений о Д. как перемещении твердых тел в пространстве. Абстракция эта
заключается в следующем: а) отвлекаются от конкретной формы движу-
щегося тела, считая, что перемещению подвергаются все точки простран-
ства; б) отвлекаются от процесса перемещения, рассматривая только его
конечный результат. Это и приводит к представлению о том, что Д. есть
преобразование
г'= /(?), (1)
которое каждую точку Р пространства переводит в определенную точку
Р' того же пространства (см. Преобразования геометрические).
Изучение Д. как процесса непрерывного перемещения точек пространства по
определенным траекториям тоже может быть включено в геометрию. Такой под-
ход к делу свойственен кинематической геометрии (см.).
Среди преобразований вида (1) Д. выделяются, как было уже сказано,
требованиями: 1) сохранения расстояний (Р{Р^ = Р1Р2) и 2) сохранения
ориентации пространственных фигур. Ограничиваясь только первым из
этих двух требований, приходят к понятию общего ортогонального преоб-
разования (см.) пространства.
Примером ортогонального преобразования, изменяющего ориентацию (т. е. не
являющегося Д.), может служить преобразование симметрии (см.) относительно
плоскости, наглядное представление о котором дает отражение предметов в зер-
кале (правая рука человека в зеркале выглядит левой).
30БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 447-448.
IL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
125
Движение на плоскости. При изучении геометрии плоскости есте-
ственно рассматривать только Д., совмещающие данную плоскость с самой
собой. Такие Д. бывают двух родов: Д. первого рода, которые можно про-
извести непрерывно, не выходя из плоскости (эти Д. не меняют ориентации
плоских фигур); Д. второго рода, которые можно производить непрерыв-
но только посредством переворачивания плоскости в пространстве (эти Д.
меняют ориентацию плоских фигур). С точки зрения «внутренней» геомет-
рии плоскости следовало бы признать за настоящие Д. только Д. первого
рода; Д. второго рода в планиметрии играют ту же роль, как ортогональ-
ные преобразования, не являющиеся Д., в геометрии пространства.
Всякое Д. первого рода на плоскости есть или параллельный перенос,
или вращение (см.) вокруг некоторого центра. Всякое Д. второго рода есть
результат параллельного переноса и последующей симметрии относительно
прямой, в направлении которой производится перенос.
Если на плоскости ввести прямоугольную систему координат хОу, то
Д. первого рода можно выразить аналитически при помощи формул:
I . **
х = I cos <р — у sin <р + а,
> (2)
у = х sin <р + у cos <р + Ъ\
здесь а, b — координаты точки, в которую в результате Д. переходит нача-
ло координат; х, у — координаты произвольной точки (прообраза), х', у' —
координаты соответствующей ей точки (образа); <р — угол между положи-
тельным лучом оси Ох и его образом.
Аналогично Д. второго рода выразятся соотношениями:
х' = х cos <р + у sin <р + а,
у' = х sin <р — у cos <р + b.
При надлежащем выборе осей координат Д. первого рода можно пред-
ставить в виде:
х' = х + а,
У — У
(параллельный перенос вдоль оси Ох), или в виде
х' = х cos <р — у sin <р,
у' = х sin + у cos <р
(вращение вокруг начала координат), а всякое Д. второго рода в виде:
х — х + а,
у' = -у-
126
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Движение в пространстве. Всякое Д., имеющее хотя бы одну непо-
движную точку, имеет целую неподвижную ось и является вращением во-
круг этой оси. Любое Д. в пространстве есть или вращение вокруг оси,
или параллельный перенос, или винтовое Д., заключающееся во вращении
вокруг некоторой оси с последующим параллельным переносом вдоль
этой оси.
Ортогональные преобразования «второго рода» в пространстве, не являю-
щиеся Д., в общем случае могут быть получены как симметрия относительно
плоскости с последующим вращением вокруг оси, перпендикулярной плоскости
симметрии, или параллельным переносом вдоль этой плоскости.
В прямоугольной системе координат Д. в пространстве изображается
формулами:
х = ацх + <2122/ + а13^ +
у1 = а21х + О.22У + «232 + Ь,
z' = а31Х + а32у + a33z + с,
где коэффициенты удовлетворяют условиям ортогональности
1
+ <12iCl2j + <
при i = j,
при i /
а определитель из них равен единице:
Оц 0)2 013
021 022 О23
031 о32 а33
= +1.
Последнее условие отличает Д. от ортогональных преобразований, меняю-
щих ориентацию, для которых этот определитель равен —1.
Группа движений. Множество всех Д. пространства образует груп-
пу (см.), элементы которой определяются шестью параметрами [за эти па-
раметры можно принять, например, координаты а, Ь, с точки, в которую
переходит начало координат, и три эйлеровых угла (см.)]. Группа Д. пер-
вого рода на плоскости определяется тремя параметрами [а, b и в фор-
мулах (2)]. В статье геометрия (см.) объяснено, в каком смысле эвклидо-
ва геометрия пространства (или плоскости) «определяется» своей группой
Д. При аксиоматическом построении геометрии возможен двоякий подход
к Д.: или Д. принимается за одно из основных понятий и его свойства кос-
венным образом описываются аксиомами, или Д. определяется через дру-
гие понятия. В обычном школьном изложении геометрии придерживаются
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
127
по существу первой из этих точек зрения, так как употребляют понятие
«наложения» фигур без определения его смысла.
Изучение группы Д. играет очень большую роль и в других геометрических
системах, отличных от эвклидовой. С точки зрения теории метрических про-
странств (см.) Д. является частным случаем так называемых изометрических
(т. е. сохраняющих расстояния) преобразований пространства на самого себя. Д.
выделяются среди других изометрий тем, что они могут быть произведены в из-
вестном, подлежащем точному определению, смысле слова «непрерывно».
Литл Делоне Б. Н. и Райков Д. А., Аналитическая геометрия, т. 1, М.-Л.,
1948; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.-Л., 1949; Адамар Ж., Элемен-
тарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1950; Гильберт Д.,
Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948.
ДВУЧЛЕН31 (в элементарной алгебре) — алгебраическая сумма двух
одночленов (см.). Д. называют также биномом. Однако биномом часто на-
зывают и любую сумму или разность двух алгебраических выражений.
Например, (а + 6-Ьс)2 = [(а + Ь) + с]2 можно разложить по формуле бинома
Ньютона: (а + Ь)2 + 2(а + Ь)с + с2.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА32 — общее название для положи-
тельных, отрицательных чисел и нуля. Д. ч. делятся на рациональные (ко-
торые выражаются в виде дроби ±^, где п — натуральное число, ат fl-
целое) и иррациональные (которые могут быть выражены в виде дроби
лишь приближенно, но с любой степенью точности). Хотя существование
иррациональных Д. ч. было известно еще в древности, строго обоснованное
введение их на базе рациональных чисел было дано только во 2-й половине
19 в. (см., например, Дедекиндово сечение). Только с этого времени учение
о Д. ч. получило полную логическую определенность. Д. ч. часто назы-
вают вещественными числами; самое название Д. ч. противопоставляет их
мнимым числам (например, У—Т = г). Подробнее см. Число.
ДЕЛЕНИЕ33 - действие, обратное умножению; заключается в нахо-
ждении одного из двух сомножителей, если известны произведение их и
другой сомножитель. Таким образом, разделить а на b — это значит найти
такое х, что Ьх = а или xb = а. Результат Д. х называется частным или от-
ношением а и Ь. Заданное произведение а называется делимым, а заданный
множитель Ь — делителем. Для Д. употребляют знаки двоеточия (а : Ь) или
горизонтальной черты
В пределах системы целых чисел Д. не всегда возможно (6 делится на
2 и 3, но не делится на 5), но в тех случаях, когда оно возможно, резуль-
31БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 518.
32БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 570-571.
33БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 628.
128
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
тат его всегда определен однозначно. В системе всех рациональных чисел
(т. е. чисел целых и дробных) Д. не только однозначно, но и всегда осу-
ществимо, за единственным исключением — Д. на нуль. Если исходить из
данного выше определения Д., то легко видеть, что Д. числа, отличного от
нуля, на нуль невозможно. Результатом Д. нуля на нуль, по определению,
может быть любое число (так как всегда СО = 0). Обычно в алгебре пред-
почитают (чтобы не нарушать однозначности Д.) считать, что Д. на нуль
невозможно во всех случаях.
При Д. величины (например, площади) на однородную с ней величи-
ну получается отвлеченное число (Д. по содержанию). При Д. величины
на отвлеченное число получается величина, однородная с делимым (Д. на
равные части).
От точного Д., которое до сих пор рассматривалось, отличается Д.
с остатком. Это, по существу, совершенно особая операция, отличная от
Д. в определенном выше смысле. Если а и b — целые неотрицательные
числа, то операция Д. с остатком числа а на число b состоит в определении
целых неотрицательных числе х и у, удовлетворяющих требованиям:
1) a = xb + y, 2) у < Ь.
При этом а называется делимым, Ь — делителем, х — частным, у — остат-
ком. Эта операция всегда осуществима и всегда однозначна. Если у = 0,
то говорят, что а делится на Ь «без остатка». В этом случае частное полу-
чается то же самое, что и при точном Д.
Аналогично определяется операция Д. с остатком для многочленов
вида
Р(т) = aoxn + aixn-1 -I--1- an.
Она состоит в нахождении по двум многочленам Р(х) и Q(x) двух много-
членов S(x) и R(x), удовлетворяющих требованиям:
1) Р(х) = S(x)Q(x) + Я(х);
2) степень R(x) меньше степени Q(x).
В алгебре доказывается, что эта операция тоже всегда осуществима и
однозначна. Если R(x) = 0, то Р(х) делится на Q(x) без остатка.
В некоторых обобщенных числовых системах (см., например, Кватернионы)
и некоммутативных группах (см.) результат умножения зависит от порядка мно-
жителей. Тогда естественно возникает два Д.: левое (по а = xb и b найти х) и
правое (по а = by и Ь найти у).
Психологически самым простым представляется Д. конкретных вели-
чин на равные части. У первобытных народов и у детей оно появляется
не только раньше Д. по содержанию, но и раньше умножения (которое на
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
129
первых этапах развития мышления заменяется последовательным сложе-
нием). Однако с первыми же шагами развития техники выполнения ариф-
метических действий обнаруживается, что Д. конкретных величин сводит-
ся к Д. отвлеченных чисел, а для отвлеченных чисел существует только
одна операция Д., к которой сводится и деление по содержанию и Д. на
равные части. Большие психологические трудности для школьников пред-
ставляет Д. на дробное число; трудность эта, впрочем, общая с трудностью
понимания умножения на дробное число. Техника Д. многозначных чисел
долго оставалась несовершенной. Принятые сейчас в школе способы Д.
многозначных чисел и десятичных дробей сложились только в 16-17 вв.
Лит.\ Популярное изложение вопроса — Беллюстин Б., Как постепенно дошли
люди до настоящей арифметики, М., 1940. Исторические сведения — Арнольд И. В.,
Теория чисел, М., 1939. О делении многочленов — Курош А. Г, Курс высшей ал-
гебры, 3 изд., М.-Л., 1952.
ДИСКРЕТНОСТЬ34 (от лат. discretus — разделенный, прерывистый)
— прерывность. В физике и химии Д. означает прерывистость, зернистость
строения материи, ее атомистичность (см. Атомистика). См. также Пре-
рывность и непрерывность.
В математике Д. — термин, не имеющий вполне установленного общего значе-
ния. Множество точек на прямой можно назвать дискретным, если оно не имеет
предельных точек (например, любое конечное множество, или множество всех то-
чек с целочисленной абсциссой). В современной алгебре дискретными группами
называют группы, в которых не введено никаких предельных соотношений (в от-
личие от «непрерывных» топологических групп). Вообще Д. противополагается
непрерывности. См. Непрерывные функции, Непрерывности аксиома.
ДИСПЕРСИЯ35 (от лат. dispersio — рассеяние) в математической ста-
тистике и теории вероятностей — наиболее употребительная мера рассеива-
ния, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д.
а2 = -т)2
есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин хг от их
среднего арифметического
_ Т1 4- Х2 + • • • + хп
X = ---------------.
п
В теории вероятностей Д. случайной величины £ называется математи-
ческое ожидание (см. Ожидание математическое') Е(£ — т^)2 квадрата
3“БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 425.
35БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 438-439.
130
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
отклонения £ от ее математического ожидания ттц — Е(£). Д. случайной
величины £ обозначается через D(£) или через а£. Квадратный корень из
Д. (т. е. ст, если Д. есть ст2) называется средним квадратичным отклонением
(см. Квадратичное отклонение).
Для случайной величины £ с непрерывным распределением вероятно-
стей, характеризуемым плотностью вероятностей р(х), Д. вычисляется по
формуле
г+оа
ст^ = / (а: — т^)2р(х) dx,
J—оо
где
г+оо
- / хр(х) dx.
J—оо
Если п независимых случайных величин £1,£г, • • ,£п имеют одно и то
же математическое ожидание и одну и ту же Д. ст2, то оценкой ст^ по
наблюденным значениям £i,£2> • • • >£п считают выражение
г=1
т. е. статистическую Д. с множителем Указанный выбор множителя
при сумме квадратов отклонений £, от £ в оценке $2 необходим, если жела-
ют, чтобы эта оценка была «несмещенной», т. е. чтобы ее математическое
ожидание равнялось ст^.
В теории вероятностей большое значение имеет теорема: Д. суммы неза-
висимых слагаемых равна сумме их Д. Не менее существенна лемма Чебы-
шева, позволяющая оценивать вероятность больших отклонений случайной
величины £ от ее математического ожидания по формуле
Р{|< - ™<| » Л} «
Лит.-. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М.-Л., 1950.
ДИСТРИБУТИВНОСТЬ36 (от лат. distributio — распределение),
распределительность, — в первоначальном смысле свойство действий сло-
жения и умножения, выражаемое тождеством:
а(Ь + с) = ab + ас.
36БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 479.
IL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
131
В более общем смысле при рассмотрении двух операций Д и V, производящих
из двух элементов а и Ь новые элементы а Л Ь и a b той же природы, операция
Д называется дистрибутивной слева относительно операции V, если
aA(tVc) = (аД6) V(aAc),
и дистрибутивной справа, если
(6Vc) Да = (ЬДа) V(cAa).
Оба эти свойства выполняются, например, для умножения по отношению к сло-
жению в произвольных алгебраических кольцах и полях (см.). В случае коммута-
тивной (т. е. удовлетворяющей тождественно требованию а Д Ь = ЬД а) операции
Д из левой Д. автоматически следует правая и наоборот. Интересным примером
двух коммутативных операций, из которых каждая дистрибутивна по отношению
к другой, являются операции соединения двух множеств (обозначается A U В) и
пересечения множеств (обозначается АС\В) (см.* Множеств теория). Для этих
операций всегда:
А А (В U С) = (А А В) U (А А С)
(дистрибутивность А относительно U) и
A U (В А С) = (A U В) A (A U С)
(дистрибутивность U относительно А).
ДИСТРИБУТИВНЫЙ ОПЕРАТОР37 - оператор R, производя-
щий из элементов х, которые можно складывать между собой, элементы
у = Rx (вообще говоря, другой природы), которые также можно склады-
вать между собой, и обладающий тем свойством, что всегда
R(x' + х") = Rx' + Rx".
Такова, например, операция умножения чисел х на постоянное число R.
Тем же свойством обладают операция интегрирования
/ [/(я) + !?(а:)] dx = У f(x)dx + У g(x)dx
и операция взятия градиента (см.)
grad (а + b) = grad а + grad b
(в последнем примере оператор из скалярной функции производит вектор-
функцию). В функциональном анализе дистрибутивные непрерывные опе-
раторы называются линейными операторами (см.).
37БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 479.
132
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ДИФФЕРЕНЦИАЛ38 (от лат. differentia — разность) в математике —
главная линейная часть приращения функции. Если функция у = f(x)
одного переменного х имеет при х = xq производную, т. е. если существует
предел
Дх
ГЫ = lim /(1° + Д1) - /(1°>
Дт—*0
то приращение
Ду = f(x0 + Дх) - /(то)
функции /(х) можно представить в виде
Ду =/'(х0)Дх + R, (1)
где член R бесконечно мал по сравнению с Дх, т. е. R/ Дх —» 0 при Дх —> 0.
Первый член в разложении (1)
dy = /'(х0)Дх (2)
и называется дифференциалом функции /(х) в точке хо- Из формулы (2)
видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого
переменного Дх, а равенство
Ду = dy + R
показывает, в каком смысле Д. является «главной» частью приращения Ду:
дополнительный член R бесконечно мал по сравнению с Дх (и по сравне-
нию с dy, если /'(хо) / 0).
Так как для функции /(х) = х производная равна f'(x) = 1, то
dx = Дх,
(4)
(3)
т. е. Д. независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому,
в соответствии с (2), получают
гы=I-
dx
Формула (4) хотя и является непосредственным алгебраическим следстви-
ем равенств (2) и (3), но имеет глубокий смысл: отношение Д. точно равно
пределу отношения приращений, когда эти последние стремятся к нулю:
dy .. Ду
— = lim ——.
dx Дх->о Дх
Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Диффе-
ренциальное исчисление.
38БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 497.
IL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
133
Обобщение понятия дифференциала
Здесь дается изложение современной концепции Д., созданной в начале 20 в.
работами французских математиков М. Фреше и Р. Гато, для функций от вектор-
ного аргумента; она позволяет лучше выяснить смысл понятия <Д.» для функ-
ций нескольких переменных, а в применении к функционалам, т. е. функциям
от элемента бесконечномерного векторного пространства (см.), приводит непо-
средственно к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления
(см.).
Простейшими функциями /(х) векторного аргумента х являются линейные,
т. е. непрерывные, функции L(x), удовлетворяющие при любых х' и х" равенству
L(x' + x") = L(x') + L(x").
В случае n-мерного вектора х = {xi,... ,хп} линейная функция всегда имеет вид
L(x) = QiXi + • • • + anxn,
где ai,... ,ап — постоянные. Линейные функции бесконечномерного вектора на-
зывают обычно линейными функционалами (см. Функциональный анализ). Легко
видеть, что приращение
Д£ = L(x + Л) - L(x)
линейной функции имеет вид
ДА = ОД,
т. е. зависит только от векторного приращения h и притом линейно. Произвольная
функция /(х) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если
ее приращение Д/ = /(х + h) — /(х), рассматриваемое как функция /г, имеет
линейную главную часть L(/i), т. е. выражается в виде
Д/ = L(h) + ОД,
где остаток R(h) при h —► 0 бесконечно мал по сравнению с h. Линейная главная
часть L(h) приращения Д/ и называется дифференциалом df функции f в точке
х. Это определение Д. нуждается еще в некотором уточнении; в нем не сказано, в
каком смысле понимается бесконечная малость R(x) по сравнению с h. Последняя
обычно понимается одним из следующих двух способов:
1) Рассматривают h вида h — kho, где ho фиксировано, а к — положитель-
ный действительный множитель, и требуют, чтобы при любом hQ имело место
соотношение Игщ—о R(h)/k = 0. В этом случае приходят к понятию слабого диф-
ференциала.
2) Предполагают, что в пространстве значений х и в пространстве значений у
функции /(х) (которые тоже могут быть векторами) введены так называемые
нормы (см.) ||х|| и ||у||, и требуют, чтобы при любом способе изменения /г, при
котором норма ||/i|| 0 стремится к нулю, отношение ||^(/г)||/||Л|| стремилось к
134
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
нулю. Таким образом приходят к понятию сильного дифференциала. Легко дока-
зывается, что в случае существования сильного Д. существует и слабый, причем
он равен сильному. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не
существует.
Очевидно, что в случае f(x) = х из общего определения получается df = h,
т. е. приращение h можно считать Д. аргумента х и обозначать dx. Далее, однако,
будет сохранено обозначение h.
Если сделать теперь переменной точку т, в которой определяется дифферен-
циал df, то его придется считать функцией двух векторных переменных х и К.
Полное его обозначение будет поэтому df(x,h). Далее, считая h = hy постоян-
ным, можно найти Д. от дифференциала df(x; Л) как главную часть приращения
df(x4-Л2; hi) - df(x’, hi), где /12 — некоторое второе, не связанное с hi приращение
х. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f(x; явля-
ется функцией трех векторных аргументов х, hi, и /12, линейной по каждому из
двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от х, то он симметри-
чен относительно hi и /12: d2/(x; hi, Ьг) = d2f(x; h.2, hi). Аналогично определяется
дифференциал dn f — dnf(x\ hi,..., hn) любого порядка n.
Можно, однако, считать Д. высших порядков и функциями двух векторных
переменных, положив d^f^x, h) ~ dn f(x‘, h,..., h). Это приводит к формуле Тей-
лора:
Д/ = Ё^/ + А..
к=1
где остаток Rn случае существования сильного непрерывного (п 4- 1)-го Д. имеет
порядок малости ||h||n+1. Формула Тейлора является основой исследования дей-
ствительных функций /(т) векторного аргумента на максимум и минимум. Пред-
полагая достаточную дифференцируемость (в сильном смысле) функции /(х),
легко доказывают, что условие тождественного по h обращения в нуль df необ-
ходимо для наличия в точке х максимума или минимума. Если это условие вы-
полнено, то условие d2f > 0 при всех h 0 достаточно для минимума, а условие
d2f < 0 при всех h О достаточно для максимума. Если df — 0, но d2f прини-
мает при различных h как положительные, так и отрицательные значения, то в
рассматриваемой точке х нет ни максимума, ни минимума.
В вариационном исчислении сам векторный аргумент х является функцией
x(t), а дифференциалы df и d2f функционала /[т(£)] называются его первой и
второй вариациями и обозначаются 6f и 62f.
Лит. см. при статье Дифференциальное исчисление, а также: Люстерник Л. А.
и Соболев В. И., Элементы функционального анализа, М.-Л., 1951.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.39 Содержание:
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения 137
II. Способы решения и специальные вопросы теории обыкновен- 148
ных дифференциальных уравнений
III. Дифференциальные уравнения с частными производными 151
39БСЭ-2. — 1952.- Т. 14. — С. 520-526 (совм. с Б. П. Демидовичем и В. В. Немыцким).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
135
Дифференциальные уравнения — уравнения, содержащие искомые
функции, их производные различных порядков и независимые перемен-
ные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей меха-
ники и других естественно-научных дисциплин, по существу одновремен-
но с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением (см.).
Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница
(см.).
Сам термин «Д. у.» принадлежит Лейбницу. Что касается Ньютона, то
он ставил своему исчислению «флюксий» и «флюент» две основные зада-
чи: 1) по данному соотношению между флюентами определить соотноше-
ние между флюксиями, 2) по данному уравнению, содержащему флюксии,
найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения пер-
вая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится
к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание тео-
рии обыкновенных Д. у. Задача нахождения неопределенного интеграла
F(t) функции /(т) рассматривалась Ньютоном просто как частный слу-
чай его второй задачи. Такой подход к делу был для Ньютона как созда-
теля основ математического естествознания вполне оправданным: в очень
большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными
процессами, выражаются в форме Д. у., а расчет течения этих процессов
сводится к решению Д. у. Собственно говоря, именно к этому методу реше-
ния задач математического естествознания относится известное указание
Ф. Энгельса: «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию
возможность изображать математически не только состояния, но и процес-
сы: движение» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 218).
Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к ска-
занному:
1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, темпера-
тура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что
приращение ДТ (отрицательное в случае Т > 0) его температуры за малый
промежуток времени At с достаточной точностью выражается формулой
ДТ = -fcTAt,
где к — постоянный коэффициент. При математической обработке этой
физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее пре-
дельное соотношение между дифференциалами
dT = —кТ dt,
т. е. имеет место Д. у.
Т' = —кТ,
(1)
136
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
где Т' обозначает производную по t. Решить полученное Д. у. или, как
выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обра-
щающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все
его частные решения) имеют вид
т = Ce~kt, (2)
где С — постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С назы-
вается общим решением уравнения (1).
2) Пусть, например, груз Р массы тп подвешен к пружине и находится в
положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с
помощью растяжения пружины (см. рис. 1, б), приводят груз в движение.
Если x(t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия
в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x"(t).
Сила m/(f), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины,
по законам теории упругости, пропорциональна отклонению x(t). Таким
образом, получается Д. у.
m/(f) = -kx(t). (3)
Его решение имеет вид (см. рис. 1, в)
x(t) = A sin

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (см.).
Выделение теории Д. у. в самостоятельную детально разработанную
научную дисциплину относится к 18 в. и было осуществлено Д. Бернулли,
Ж. Д'Аламбером (см.) и, в особенности, Л. Эйлером (см.).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
137
Д. у. делятся на «обыкновенные», содержащие производные одной или
нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с
частными производными», содержащие частные производные функций не-
скольких независимых переменных. Порядком Д. у. называется наибольший
гр du(xtt) 2 d2u(x,t)
порядок входящих в него производных. 1ак, например, —gt = a —
есть Д. у. с частными производными 2 го порядка.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной
неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называ-
ется соотношение
F(x, у, у') = О (А)
между независимым переменным х, искомой функцией у(х) и ее произ-
водной у1 — Если уравнение (А) может быть разрешено относительно
производной, то получается уравнение вида
= (Б)
Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешен-
ных относительно производной уравнений, предполагая функцию f(x,y)
однозначной.
Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифферен-
циалами
/(т, у) dx — dy = О,
тогда оно становится частным случаем уравнений
P(x,y)dx 4- Q(x,yjdy = 0. (В)
В уравнениях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправ-
ными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.
Несколько обобщая первоначальное определение, уравнение (В) тоже на-
зывают обыкновенным Д. у. 1-го порядка. При Р(х, у) / 0 оно равносильно
уравнению
dx = Q(x,y)
dy Р(х, у) ’
которое теряет смысл при Р(х,у) = 0. При Q(x,y) 0 0 уравнение (В)
равносильно уравнению
dy = Р(х, у)
dx Q(x,yY
138
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
которое теряет смысл при Q(x, у) = 0. Часто, однако, считают обе эти за-
писи просто условным обозначением соотношения (В) независимо от огра-
ничений Р(х,у) = 0 и Q(x,y) = 0.
По поводу третьей из перечисленных форм обыкновенных Д. у. 1-го порядка
следует указать, что «решить» уравнение (В) — это значит найти все кривые на
плоскости (т,у), вдоль которых выполняется соотношение (В). Кривые при этом
естественно представлять себе заданными параметрически:
х = 99(f), у = V’(t),
где </?(£) и ^(t) — дифференцируемые функции. Так как вдоль кривой
dx = dt, dy = dt,
то уравнение (В) равносильно уравнению
P[y>(f), 4- Q[9?(f), V'G)] W) = 0.
Геометрическая интерпретация дифференциальных уравне-
ний. Пусть у = у(х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это зна-
чит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у(х)
имеет в каждой лежащей на ней точке М(х, у) угловой коэффициент к =
f(x,y). Таким образом, нахождение решений у = у(х) геометрически сво-
дится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости
задано «направление», требуется найти все кривые, которые в любой сво-
ей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если
функция /(ж, у) непрерывна, то это направление меняется при перемеще-
нии точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений,
проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по
всей рассматриваемой области точек короткие черточки с заданным для
этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у' = у2.
Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графи-
ки решений, т. е. так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление
показывает, что общее решение данного уравнения есть у = 1/(С - х).
На рис. 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям
параметра С = 0 и С = 1.
График любой однозначной функции у = у(х) пересекает каждую пря-
мую, параллельную оси Оу, только один раз. Таковы, следовательно, будут
интегральные кривые любого уравнения (Б) с однозначной непрерывной
функцией в правой части. Новые возможности для вида интегральных кри-
вых открываются при переходе к уравнениям (В). Считая, что в некоторой
области плоскости хОу функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны, проводят
через точку (то, Уо) этой области прямую с уравнением
Р(*о, yo)(-T-xo)+Q(xo, уо)(у-уо) = о. (4)
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
139
Геометрический смысл уравнения (В)
заключается в том, что интеграль-
ная кривая, проходящая через точку
Х/о), должна иметь в этой точке на-
правление, совпадающее с направлени-
ем прямой (4), т. е. касаться ее. При
помощи пары непрерывных функций
Р(х,у) и Q(x, у) можно задать любое
непрерывное «поле направлений». Та-
ким образом, задача интегрирования
Рис. 2
уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора
осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному
на плоскости полю направлений. Следует только заметить, что в тех точ-
ках (хо,уо)> в которых обе функции Р(х, у) и Q(x,y) обращаются в нуль,
уравнение (4) перестает определять прямую, т. е. задавать какое-либо опре-
деленное направление. Такие точки называются особыми точками урав-
нения (В).
Пусть, например, задано уравнение
ydx + xdy = О,
которое можно записать также в виде
dy _ _у
dx х'
хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл
при х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство инте-
гральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х2 + у2 = С,
изображены на рис. 3. Начало координат (х = 0, у = 0) является особой
точкой данного уравнения. Интегральными кривыми уравнения
ydx — xdy = 0,
изображенными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные лучи,
выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой
и этого уравнения.
Следует отметить еще, что два уравнения
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, Pi(x,y)dx 4- Qi(x,y)dy = 0
определяют одно и то же поле направлений, если существует такая функция
д(х, у), не обращающаяся в рассматриваемой области в нуль, что во всех точ-
ках этой области
Р1(х,у) = у(х,у)Р(х,у), Ql(x,y) = /i(x,y)Q(x,y).
140
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Очевидно, что два таких уравнения равносильны, т. е. имеют общие интеграль-
ные кривые, и таким образом задача интегрирования одного из них сводится к
интегрированию другого.
Начальные условия. Геометрическая интерпретация Д. у. 1-го по-
рядка приводит к мысли, что через каждую внутреннюю точку М обла-
сти G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну
вполне определенную интегральную кривую, которая при движении по ней
в какую-либо определенную сторону от точки М или продолжается неогра-
ниченно, или доходит на конечном расстоянии до границы области G (на
рис. 4 граница этой области состоит из единственной точки — начала коор-
динат), или, наконец, замыкается внутри области G в замкнутую кривую
(подобно окружностям на рис. 3).
В отношении существования интегральной кривой сформулированная
гипотеза оказывается правильной. Доказательство этого предложения при-
надлежит итальянскому математику Дж. Пеано. В отношении же един-
ственности интегральной кривой, проходящей через заданную точку, вы-
сказанная выше гипотеза оказывается, вообще говоря, ошибочной. Уже для
такого простого уравнения, как
у' = зУу2, (5)
у которого правая часть непрерывна во всей плоскости, интегральные кри-
вые имеют вид, изображенный на рис. 5. Единственность интегральной
кривой, проходящей через заданную точку, нарушается здесь во всех точ-
ках, лежащих на оси Ох (см. ниже).
Советский математик М. А. Лаврентьев (см.) показал, что, несмотря на не-
прерывность правой части уравнения (Б), единственность интегральной кривой
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
141
может нарушаться не только в некоторых исключительных точках [например
вдоль какой-либо линии, как в случае уравнения (5)], но во всех точках плоскости
Единственность, т. е. однозначное
определение интегральной кривой усло-
вием ее прохождения через заданную
точку, имеет место для уравнений (Б)
с непрерывной правой частью при том
дополнительном условии, что функция
/(т, у) имеет в рассматриваемой обла-
сти ограниченную производную по у.
Это требование является частным слу-
чаем следующего, несколько более широко-
го «условия Липшица». Существует такая
постоянная L, что в рассматриваемой обла-
сти всегда
-/(*,У2)| < Ь|У1 -у2|-
Это условие чаще всего приводится в учеб-
никах как достаточное условие единствен-
ности.
С аналитической стороны теоремы существования и единственности
для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены надлежа-
щие условия [например, функция /(х, у) непрерывна и имеет ограниченную
производную по у], то задание для «начального» значения xq независимого
переменного х «начального» значения уо = у(хо) функции у(х) выделяет
из семейства всех решений у(х) одно определенное решение. Например, ес-
ли для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в началь-
ный момент времени to = 0 температура тела была равна «начальному»
значению То, то из бесконечного семейства решений (2) выделится одно
определенное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
T(t) = Toe~kt.
Этот пример типичен: в механике и физике Д. у. обычно определя-
ют общие законы течения какого-либо явления; однако, чтобы получить
из этих законов определенные количественные результаты, надо присоеди-
нить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физической систе-
мы в некоторый определенный выбранный в качестве «начального» момент
времени to-
Если условия единственности выполнены, то решение у(х), удовлетво-
ряющее условию т/(хо) = уо, можно записать в виде
у(х) = Ф(х;х0,т/0),
(6)
142
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
где хо и уо входят как параметры, функция же Ф(х; то,Уо) трех перемен-
ных х, xq и уо однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно
отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Д. у.)
функция Ф(т;то, уо) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке
изменения переменного х — имеется непрерывная зависимость решения от
правой части Д. у. Большое значение имеет также вопрос о непрерывности
зависимости решения от начальных данных то, уо‘ в реальных физиче-
ских и технических задачах они бывают известны лишь приближенно, и
в случае, если бы малые изменения xq и уо приводили к большим изме-
нениям вида функции у(т), решение Д. у. было бы лишено практического
интереса. Если правая часть f(x,y) Д. у. непрерывна и имеет ограничен-
ную производную по у (или удовлетворяет условию Липшица), то такая
непрерывность Ф(т;хо,уо) по и Уо имеет место.
Придавая в соотношении (6) всевозможные значения параметрам xq и
уо, получают каждое решение бесконечно много раз. Если в окрестности
Рис. 6
точки (то>Уо) для уравнения (Б) вы-
полнены условия единственности, то
все интегральные кривые, проходя-
щие через достаточно малую окрест-
ность точки (хо,уо), пересекают вер-
тикальную прямую х = то и опреде-
ляются ординатой у = С своей точ-
ки пересечения с этой прямой (см.
рис. 6). Таким образом, все эти реше-
ния содержатся в семействе с одним
параметром С:
у(х) = F(x,C),
которое является общим решением
д. у. (Б).
В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности,
картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении инте-
гральных кривых «в целом», а не в окрестности точки (то>Уо)-
Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обрат-
ную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требу-
ется найти Д. у., для которого кривые заданного семейства служили бы
интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заклю-
чается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным
при помощи соотношения
F(x,y,C)=0,
(7)
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
143
дифференцируют (7) при постоянном С и получают
dF dF , п
+ л-27 = 0
ох оу
или в симметричной записи
dF J dF ,
— dx + — dy = 0
dx dy
(9)
и из двух уравнений (7) и (8) или (7) и (9) исключают параметр С. Ес-
ли данное Д. у. получается таким образом из соотношения (7), то это со-
отношение называется общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же
Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения
для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще
говоря, еще исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не
содержащихся в семействе интегральных кривых (7).
Пусть, например, задано семейство кривых
(х - С)3 - у = 0.
(W)
Дифференцируя (10) при постоянном С, получают
3(х - С)2 - у' = 0,
после же исключения С приходят к Д. у.
27т/2 - (у7)3 = 0,
(И)
равносильному уравнению (5). Легко видеть, что, кроме решений (10),
уравнение (11) имеет решение
У = 0. (12)
Решение уравнения (11) самого общего вида таково:
f(z-Ci)2
у(х) = <
/х-С2)2
при х < Ci,
при Сд С х <
при X > С2,
0
где -оо Сд < С2 +00 (см. рис. 7). Оно зависит от двух параметров Сд и Сэ,
но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (10) и куска
особого решения (12).
144
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Решение (12) уравнения (11) может служить примером особого решения
Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых
4(у - Ст) + С2 = 0. (13)
Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.
4(у - ху') + (у')2 = 0.
Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола
х2 — у = 0,
огибающая прямые (13) (см. рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмот-
ренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются
огибающими (см.) семейства интегральных кривых, получаемых из общего
решения.
Дифференциальные уравнения высших порядков и системы
дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения п-го
порядка с одной неизвестной функцией у(х) независимого переменного х
записываются в виде
F(z,y,y/,y",...,y(n“1),y(n’) = 0. (14)
Если ввести дополнительные неизвестные функции
У1 =у', У2 = у", , Уп-i = У(п-1), (15)
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
145
то уравнение (14) можно заменить системой из п уравнений с п неизвест-
ными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к п — 1
уравнениям (15) присоединить уравнение
• • • Лп-1,Уп-1) = 0.
Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и
системы уравнений высших порядков. В механике сведёние систем урав-
нений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка
имеет простой механический смысл. Например, система трех уравнений
движения материальной точки
тх" = Р(х, у, z), ту" = Q(x, у, z), mz" = R(x, у, z),
где х, у, z являются координатами точки, зависящими от времени f, сво-
дится к системе шести уравнений
mu- Р(х, у, z), mv1- Q(x, у, z), mw'— R(x, у, z), u = x', v = y', w = z'
при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w
скорости.
Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений рав-
но числу неизвестных функций. Система из п уравнений 1-го порядка с п
неизвестными функциями, разрешенная относительно производных, име-
ет вид
dxi
dt
— Pi 2-1 > -^2> • • • > *n),
(a)
i = 1,2,..., n.
Решением системы Д. у. (а) называется система функций x\(t),X2(t),...
...,xn(t), которая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тож-
дества. Часто встречаются системы вида (а), в которых правые части не
зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к
изучению системы из (п — 1)-го уравнения, которую целесообразно запи-
сывать в симметричной форме
dx\ di2 dxn
~Р\=~Ё2='" = ~Р\'
(б)
не предрешая вопроса о том, от какого из переменных Xi, Т2> • • • , мыслят-
ся зависящими остающиеся п — 1 переменных. Считая X = (xi, #2, • • •, яп)
вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения
^ = F(t,X),
146
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с
теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывает-
ся, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно
существования и единственности решения задачи с начальными услови-
ями: если в окрестности точки (tojXpz!^ ... ,Хд) все функции Fi непре-
рывны по совокупности переменных t, zi, Z2,..., хп и имеют ограниченные
производные по переменным zi, Т2,..., хп, то задание начальных значений
Zi(t0) = х®, г = 1,2,... ,п, определяет одно, вполне определенное, решение
системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решения систем из
п уравнений 1-го порядка с п неизвестными функциями зависят от п па-
раметров (см., однако, те оговорки, которые по этому поводу сделаны для
случая одного уравнения).
Если вспомнить указанное выше сведёние одного уравнения n-го по-
рядка к системе из п уравнений 1-го порядка, то становится понятным,
что решение одного уравнения n-го порядка с одной неизвестной функци-
ей, вообще говоря, зависит от п параметров. Наиболее простым способом
эта зависимость от п параметров обнаруживается при решении «задачи с
начальными условиями» для уравнения, разрешенного относительно стар-
шей производной
3/(п) = F(z,3/, (16)
Если функция F непрерывна и имеет ограниченные производные, то на-
чальные условия
уЫ = уо, у'(х0) = Уо, • •, У(п-1Чгсо) =
определяют одно, вполне определенное, решение уравнения (16). Напри-
мер, чтобы однозначно определить решение уравнения (3), надо задать
для какого-либо начального момента времени to начальное положение
хо = x(to) груза Р и его начальную скорость vq = v(to) = x'(to).
При изложении теории систем обыкновенных Д. у. полезно употребление пред-
ставлений многомерной геометрии. Подобно тому, как решения одного уравнения
1-го порядка представляются интегральными кривыми на плоскости хОу, есте-
ственно интерпретировать решения системы (б) как «интегральные кривые» в
n-мерном пространстве, в котором координатами точки служат п чисел Zi,Z2,...
..., xn. С этой точки зрения можно изложить основы очень важной теории первых
интегралов системы (б).
Уравнение
Н(Х1,Х2, ... ,хп) = С
при каждом фиксированном С определяет в рассматриваемом n-мерном про-
странстве (п - 1)-мерную «гиперповерхность». Если считать С переменным, то
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
147
получают однопараметрическое семейство гиперповерхностей. Если задать п — 1
таких семейств
Т2,..., xn) — г = 1,2,..., п - 1, (17)
и взять по одной гиперповерхности из каждого семейства, то, вообще говоря, они
будут пересекаться по некоторой кривой. Таким образом, получится семейство
кривых, зависящих от п — 1 параметров (71,(72,... , (7n_i. Естественно поставить
вопрос о том, при каких условиях это семейство будет семейством интегральных
кривых системы (б). Ясно, что для этого необходимо, чтобы каждая интегральная
кривая полностью лежала на одной определенной гиперповерхности каждого из
семейств (17), т. е. чтобы вдоль интегральной кривой левые части соотношений
(17) оставались постоянными.
Функция 77(х1, д?2, •. •, хп), постоянная вдоль всех интегральных кривых си-
стемы (б), называется первым интегралом этой системы. В предположении, что
Н имеет полный дифференциал, необходимым и достаточным условием для того,
чтобы она была первым интегралом системы (б), является тождественное выпол-
нение соотношения
Этому условию и должны удовлетворять все функции Яг, i = 1,2,..., n-1. Таким
образом, знание п - 1 первых интегралов системы (б) позволяет, вообще говоря,
найти ее интегральные кривые. «Вообще говоря» здесь обозначает, что рассмат-
ривается общий случай, в котором п — 1 первых интегралов «независимы» и n - 1
уравнений (17) при любых фиксированных (71,(72,..., Сп-1 в самом деле опреде-
ляют гладкую (дифференцируемую) кривую.
Если известно не п -1 первых интегралов Я», а только k < п - 1, то, фиксируя
в соотношениях
Hj(xi,Х2,..., тп) = (7j, г = 1,2,..., fc,
постоянные С», получают, вообще говоря, многообразие п - к измерений. Задача
нахождения интегральных кривых, лежащих на этом многообразии, есть задача
интегрирования системы из п-к-1 Д. у. 1-го порядка. Поэтому говорят, что зна-
ние к первых интегралов позволяет свести интегрирование системы из m = п — 1
Д. у. 1-го порядка к интегрированию системы из m — к Д. у. 1-го порядка.
Этим обстоятельством широко пользуются в механике. Например, известная
задача трех тел (см.), т. е. определение законов движения трех точечных масс
под влиянием сил всемирного тяготения, приводится к восемнадцати уравнени-
ям 1-го порядка (независимое переменное — время, девять координат и девять
компонент скорости — зависимые переменные). При помощи двенадцати первых
интегралов эта задача сводится к интегрированию шести уравнений 1-го порядка.
148
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
II. Способы решения и специальные вопросы теории
обыкновенных дифференциальных уравнений
Для приведенных выше конкретных примеров Д. у. их общее решение
удается выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допус-
кающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются
более общей точки зрения, считая Д. у. «решенным», если искомая зави-
симость между переменными (и входящими в общее решение параметрами
Ci,C2,...) может быть выражена при помощи элементарных функций и
одной или нескольких операций взятия неопределенного интеграла («ре-
шение выражено в квадратурах») (см. Интегрируемость дифференциаль-
ного уравнения в квадратурах). Например, в уравнении
(у')2 = 9т4(1 - у2)(1 - fcy2)
можно «разделить переменные», переписав его в виде
dy
± . . = = 3z2 dx,
У(1 — j/2)(l - ky2)
и записать искомую зависимость между х и у в виде
± [ ,.........»..........= z3 + С.
J У(1 - й2)(1 - *!/2)
Слева здесь стоит эллиптический интеграл (см. Эллиптические функции),
не выражающийся в элементарных функциях, однако уравнение считается
решенным. В этом примере решение достаточно эффективно и с практи-
ческой точки зрения, так как для эллиптических интегралов существуют
таблицы. Однако в более сложных случаях подобное «решение» Д. у. ино-
гда бывает так мало пригодно для действительного определения искомой
зависимости (например, для вычисления значений зависимых переменных
при заданных начальных условиях и заданных значениях независимого пе-
ременного), что все равно приходится прибегать к приближенным методам.
Класс Д. у., не допускающих решения в смысле сведения к квадратурам,
еще шире.
Большой общностью обладают способы нахождения решений при помо-
щи разложения их в степенные ряды. Например, если правые части урав-
нений (а) в окрестности точки (t°,x^,X2, • • • , х°) голоморфны (см. Анали-
тические функции), то решение соответствующей начальной задачи выра-
жается функциями Xi(t), разлагающимися в степенные ряды
ОО
xiW - to)k, (18)
k=0
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
149
коэффициенты которых можно найти последовательным дифференциро-
ванием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при оди-
наковых степенях в левых и правых частях этих уравнений. Однако сте-
пенные ряды (18) обычно быстро сходятся только при малых разностях
t — /р, так что при численном решении Д. у. этот метод имеет обычно лишь
вспомогательное значение.
Реальную возможность фактически вычислить, например, решение лю-
бой могущей представить практический интерес системы вида (а) с задан-
ными начальными условиями доставляют прежде всего численные методы
интегрирования Д. у. (см. Приближенное интегрирование). Простейший
из — них метод «ломанных Эйлера», основанный на приближенном соот-
ношении
&У у(х + Дж) - у(х}
9 W ~ =--------AJ-------'
имеет лишь теоретический интерес (для доказательства теорем суще-
ствования и единственности). Но более точные соотношения между про-
изводными и разностями (см. Конечных разностей исчисление) такого
типа, как
// ч ^у~ 5д2з/ + зд32/_ |Д4у + ---
9 w ~--------------ai--------------
служат основой действительно эффективных методов. Современная ма-
шинная вычислительная техника делает эти методы весьма продуктивны-
ми; так, например, траектория артиллерийского снаряда может быть рас-
считана за время, равное длительности его полета (выражающееся секун-
дами или десятками секунд). В задачах, не требующих большой точности,
применяются графические методы интегрирования Д. у. (см. Графические
вычисления) и интеграторы (см.), основанные на механических или элек-
трических принципах «непрерывного действия».
Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разработана теория ли-
нейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см. Линейные дифференциальные
уравнения). Они имеют очень большое прикладное значение; так, напри-
мер, на них основана вся теория «малых» колебаний (см.), называемая
обычно «линейной», в противоположность развившейся значительно позд-
нее «нелинейной» теории колебаний.
Для линейных Д. у. сравнительно просто решаются также вопросы «ка-
чественного» поведения интегральных кривых, т. е. их поведение во всей
области задания Д. у. Для нелинейных Д. у., где нахождение общего реше-
ния особенно сложно, вопросы качественной теории Д. у. приобретают ино-
150
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
гда даже доминирующее значение. После классических работ А. М. Ляпу-
нова (см.) ведущую роль в качественной теории дифференциальных урав-
нений (см.) играют работы советских математиков, механиков и физиков.
В связи с этой теорией см. еще Динамическая система, Особые точки,
Устойчивость, Предельный цикл.
Большое значение имеет аналитическая теория Д. у., изучающая реше-
ния Д. у. с точки зрения теории аналитических функций, т. е. интересу-
ющаяся, например, расположением их особых точек в комплексной плос-
кости и т. п. Несмотря на, казалось бы, отвлеченный характер перехода
в комплексную область, выводы аналитической теории имеют значение в
механике. На ней, например, основаны классические работы по движению
твердого тела С. В. Ковалевской (см.) и ее продолжателей. Замечатель-
ное развитие получила аналитическая теория Д. у. в работах советского
математика И. А. Лаппо-Данилевского (см.).
Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в которой задаются
значения искомых функций (а в случае уравнений старших порядков и их
производных) в одной точке (при одном значении независимого переменно-
го), находят широкое применение различные другие краевые задачи (см.).
Здесь появляются качественно новые явления. Пусть, например, требуется
найти решение уравнения
у" + Ху = о, (19)
удовлетворяющее условиям
у(0) = y(ir) = 0. (20)
Так как решение
у(х) = С sin^v/A + 0)
уравнения (19) зависит от двух параметров С и 6, то можно было бы ду-
мать, что задание двух условий (20) позволит определить значение этих
параметров, т. е. что условия (20) выделяют из семейства всех решений
одно определенное решение. Это так и будет, если у/\ не является целым
числом. В этом случае единственное решение задачи есть j/(x) = 0. Но
в случае, когда х/~Х — целое, задача получает бесконечно много решений,
зависящих от параметра С:
у(т) = С sin(a;\/A).
Числа Al = 1, Аг = 4,..., Лп = п2,... называются собственными значени-
ями задачи. См. в связи с краевыми задачами Собственные значения и
собственные функции, Штурма-Лиувилля задача.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
151
III. Дифференциальные уравнения с частными производными
Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у.
с частными производными является то, что для однозначного определе-
ния частного решения здесь требуется задание не значений того или иного
конечного числа параметров, а некоторых функций. Например, общим ре-
шением уравнения
d2u d2u
di2 dx2
(21)
является выражение
u(t, х) — f(x +1) + g(x — £),
где f и g — произвольные функции. Таким образом, Д. у. (21) лишь в той
мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных и(х,у),
что ее удается выразить через две функции /(z) и д(у) от одного пере-
менного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (21) не дано
каких-либо «начальных» или «краевых» условий] произвольными.
Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с част-
ными производными 1-го порядка
Л (^> ^1 > • • • i Zn, , • • • , Ищ), 1» 2, . . . , 771,
(22)
где независимыми переменными являются t;xi,... ,хп, а щ,...,ит суть
функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши:
по заданным при каком-либо t = to значениям
Ui(t0,xi,...,xn) = 9?i(a:i,...,xn), i = 1,2,
найти функции Ui(t,xi,... ,xn).
Если правые части уравнений (22) и функции <д»(х1,..., хп) голоморф-
ны, то, как было окончательно установлено С. В. Ковалевской, система
имеет при достаточно малых t — to голоморфное решение, однозначно опре-
деленное начальными условиями.
Теорема Ковалевской обобщается и на уравнения высших порядков. Од-
нако аналогия с обыкновенными Д. у. в действительности здесь не так
глубока, как может казаться, так как, вообще говоря, в случае уравнений с
частными производными отсутствует непрерывность зависимости решения
задачи Коши от начальных условий. Указанного затруднения не возникает
в случае одного Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией. Решение
таких уравнений сводится к решению системы обыкновенных Д. у.
152
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Оставляя в стороне общий случай уравнения
где ищется функция . ,хп), рассмотрим линейное уравнение
+ = (23)
их оу
где Р = P(x,y,z), Q = Qix.y.z), R = R(x.y.z) — заданные (непрерывные) функ-
ции. Д. у. (23) относит каждой точке трехмерного пространства вектор (Р, Q, 7?).
Поле этих векторов непрерывно во всех точках, за исключением тех, где Р2 +
Q2 + /?2 = О (особые точки Д. у.). Решение уравнения z = z(x,y) — интегральная
поверхность — в каждой своей точке касается вектора (Р, Q, Я), отнесенного к этой
точке, и обратно: всякая поверхность, обладающая таким свойством, является ин-
тегральной. Кривые, которые в каждой своей точке касаются соответствующего
вектора (Р, называются характеристиками. Каждая интегральная поверх-
ность составляется из характеристик. Характеристики определяются системой
обыкновенных Д. у.
dx dy _ dz
~Р = ~Q = ~R'
Пусть <^(х,у, z) — а и ^(x.y.z) — b — два независимых первых интеграла этой
системы. Общее решение Д. у. (23) имеет вид
Ф[^(х, у. z), ^(х, у. z)] = О,
где Ф — произвольная функция.
Задача Коши для уравнения (23) может быть сформулирована так: найти
интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую. Искомая по-
верхность составляется из характеристик, проходящих через точки заданной кри-
вой. Если сама заданная кривая является характеристикой, то задача становится
неопределенной.
В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и си-
стем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа
Коши, к которым относится, например, теорема Ковалевской, так и ряд
краевых задач (см.).
При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными про-
изводными порядка выше первого существенное значение имеет тип урав-
нения. Здесь будет проведена классификация лишь для Д. у. с частными
производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z(x, у) от двух
переменных:
F(x, у, z,p, 9, г, s, t) = О,
(24)
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
153
„„„ „ _ dz n _ dz _ d2z _ d2z ± _____ d2z rj _ jdF dF fdF\^ r>
гДеР - 9 - r - s - * - dyt- Ьсли D - 4'3F > °>
to (24) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение
Лапласа:
d2u d2u
U= + “ °’
Если D < 0, то (24) есть гиперболическое уравнение. Примером может слу-
жить уравнение колебания струны
d2u
dt2 a dx2
Если D = 0, то (24) есть параболическое уравнение. Примером может слу-
жить уравнение распространения тепла
du 2
dt a dx2
О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения
математической физики.
В направлении уравнений математической физики весьма большое
место занимают работы русской школы, основанной А. М. Ляпуновым,
В. А. Стекловым, Н. М. Гюнтером (см.), продолженные в исследованиях
советской математической школы [В. И. Смирнов, С. Л. Соболев, А. Н. Ти-
хонов (см.) и др.]. Это направление исследований имеет особенно большое
практическое значение, так как теория краевых задач для Д. у. с частны-
ми производными является основным математическим аппаратом механи-
ки и физики непрерывных сред (гидро- и аэродинамики, теории упругости,
электродинамики и т. д.).
Для решения задач типа Коши в общей теории систем Д. у. с частными
производными основное значение имеют исследования И. Г. Петровского
(см.).
О другом направлении теории Д. у. с частными производными см.
Пфаффа уравнения.
Лит.: Обыкновенные Д. у. — Степанов В. В., Курс дифференциальных урав-
нений, 5 изд., М.-Л., 1950; Петровский И. Г, Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, 3 изд., М.-Л., 1949; Стеклов В. А., Основы тео-
рии интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, М.-Л., 1927;
Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений,
2 изд., М.-Л., 1950; Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория диф-
ференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; Андронов А. А. и Хайкин С. Э.,
Теория колебаний, ч. 1, М.-Л., 1937; Камке Э., Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., М., 1951.
154
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Д. у. с частными производными — Петровский И. Г, Лекции об уравнениях с
частными производными, М.-Л., 1950; Соболев С. Л., Уравнения математической
физики, 2 изд., М.-Л., 1950; Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения матема-
тической физики, М.-Л., 1951; Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого
порядка в частных производных, Л.-М., 1934; Смирнов В. И., Курс высшей мате-
матики, т. 4, 2 изд., М.-Л., 1951; Рашевский П. К., Геометрическая теория урав-
нений с частными производными, М.-Л., 1947; Канторович Л. В. и Крылов В. И.,
Приближенные методы высшего анализа, 4 изд., М.-Л., 1952; Курант Р. и Гиль-
берт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 1, 3 изд., т. 2, 2 изд.,
М.-Л., 1951; Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравне-
ния математической физики, пер. с нем., ч. 2, М.-Л., 1937.
ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ40 — понятие, при помощи
которого английский статистик Р. А. Фишер пытался освободить теорию
статистической проверки гипотез и оценки параметров от употребления
теоремы Байеса и входящих в формулировку этой теоремы «априорных»
распределений вероятностей.
Например, если результат измерения £ величины а имеет нормальное распре-
деление (см.) вероятностей
1 [х (х-а)2
Р^<х) = -^~ e~2^-dx, (1)
у2тг<7 J-0O
то, по Фишеру, после того как результат измерения становится известным, вели-
чина а получает «доверительное» (фидуциальное) распределение вероятностей
1 Г
Р(а < х) = .— / е 2а3 dx.
Концепция Фишера основана на принципиальной ошибке: на самом деле резуль-
тат отдельного измерения или вообще данной группы наблюдений никогда не мо-
жет быть полностью оторван от предшествующего запаса наших знаний; теорема
Байеса дает правильное математическое выражение влияния на оценку резуль-
тата наблюдений этих предварительных сведений (см. по этому поводу статью
С. Н. Бернштейна <0 “доверительных” вероятностях Фишера» в <Известиях Ака-
демии наук СССР. Серия математическая», 1941, т. 5, стр. 85-94). От понятия <Д.
в.» данного конкретного статистического вывода следует отличать понятие уров-
ня значимости (см.) статистического правила. Например, в предположении (1)
правило, в силу которого каждый раз, когда получают результат измерения, при-
нимают, что а лежит в пределах
£ - За < а < £ + За, (2)
имеет уровень значимости а = 0.0035, так как, каково бы ни было а, безусловная
(до измерения) вероятность того, что после измерения окажутся выполненными
неравенства (2), равна а. Дополнительную величину 1 — а к уровню значимости
4ОБСЭ-2, т. 14. - С. 616-617.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
155
называют иногда «коэффициентом надежности» или «коэффициентом доверия»
статистического правила.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ41 для величины в, соответству-
ющие данному уровню значимости а, — такие функции 0i(Ci,C2> • • • ,Сп) и
0г(С1> • • •, £п) от наблюдаемых величин СьСг» • • • > £п> что при любом «до-
пустимом» распределении вероятностей неравенства
#1 (СьСг, • • • ,£п) О 0г(С1,С2, • • • ,Сп)
нарушаются с вероятностью а (и, следовательно, выполняются с вероят-
ностью 1 — а). Подробнее см. Математическая статистика и Уровень
значимости.
ДОСТАТОЧНАЯ СТАТИСТИКА42 (в математической статисти-
ке) — такая функция от наблюденных величин, которая содержит в себе
всю информацию (см., т. 51) о подлежащих оценке параметрах, содержа-
щуюся в этих величинах. Пусть, например, для оценки величины а произ-
водится п наблюдений и г-е наблюдение дает результат
Xi = а + <5,,
где ошибки 6i независимы и нормально распределены (см. Нормальное рас-
пределение) с математическим ожиданием
М<5, = О
и дисперсией
D<5i = ст2,
причем ст предполагается известным. В этом случае достаточной статисти-
кой является среднее арифметическое
_ Х1 + Х2 Ч-----1- Хп
X — ,
п
т. е. вся информация относительно неизвестной величины а, содержащая-
ся в совокупности результатов наблюдений xi,X2,..., хп, содержится уже
в указании одного числа х. Если дисперсия ст2 не известна заранее, то
вся информация относительно двух параметров аист2, содержащаяся в
совокупности наблюдений х\,Х2,. . ,хп, содержится в совокупности двух
«статистик» х и
i=l
41БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 617.
42БСЭ-2. - 1958. - Т. 51. - С. 106.
156
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Понятие Д. с. было введено в науку в явной форме английским статистиком
Р. Фишером (1921).
Литл Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и мате-
матическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955 (гл. 5, §3); Колмого-
ров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному
числу наблюдений, «Известия Академии наук СССР. Серия математическая»,
1943, т. 6, стр. 3-32; Дынкин Е. Б., Необходимые и достаточные статистики для
семейства распределений вероятностей, «Успехи математических наук», 1951, т. 6,
вып. 1, стр. 68-90.
ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ43 служат для записи математиче-
ских понятий, предложений и выкладок. Например, понятие «квадратный
корень из числа, равного отношению длины окружности к ее диаметру»
обозначается кратко ^тг, а предложение «отношение длины окружности к
ее диаметру больше, чем три и десять семьдесят первых, и меньше, чем
три и одна седьмая» записывается в виде:
3|2 < 7г < 3|.
О роли 3. м. и важности точного определения их смысла русский матема-
тик Н. И. Лобачевский писал: «Подобно тому, как дар слова обогащает нас
мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще
более совершенным, более точным и ясным, чтобы один передавал друго-
му понятия, которые он приобрел, истину, которую он постигнул, и зави-
симость между всеми частями, которую он открыл. Но так же, как мнения
могут казаться ложно от того, что разумеют иначе слова, так всякое суж-
дение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под
знаком то, что оно собственно представляет» (Лобачевский Н. И., Настав-
ления учителям математики в гимназиях, см. Труды Института истории
естествознания, т. 2, 1948, с. 555-556).
Роль употребления 3. м. отнюдь не сводится к большей краткости сим-
волической записи математических предложений по сравнению с их сло-
весным выражением. Только на основе разработанной системы 3. м. стало
возможным создание математических «исчислений», в которых математи-
ческие умозаключения заменяются производимыми по определенным фор-
мальным правилам выкладками. Ф. Энгельс подчеркивал различие между
математическими исчислениями и обычными логическими умозаключени-
ями, говоря о «забавном смешении» «математических действий, допуска-
ющих материальное доказательство, проверку, — так как они основаны
на непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном, — с
такими чисто логическими действиями, которые допускают лишь доказа-
тельство путем умозаключения» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1951, с. 318).
43БСЭ-2. — 1952. — Т. 17. — С. 115-119 (совм. с И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевичем).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
157
Приобретая известную самостоятельность в качестве материальных объ-
ектов, доступных непосредственному созерцанию, 3. м. становятся неза-
менимым орудием также и творческого математического исследования.
Справедливо говорят о важности развития своеобразной интуиции, направ-
ляющей выкладки к скорейшему получению решения поставленной зада-
чи (в школьной практике — разложение на множители, решение систем
уравнений и т. п.). С другой стороны, в тех случаях, когда исчисление
предписывает для решения данной задачи строго определенную последо-
вательность выкладок, т. е. является математическим алгоритмом (см.*),
эти выкладки могут быть частично или полностью автоматизированы. Та-
ким образом, создание разработанной системы 3. м. является необходимой
предпосылкой для возникновения «машинной математики», начавшейся с
употребления приборов, подобных обыкновенным русским счетам, и полу-
чившей огромное развитие в последние годы.
Развитие математической символики было тесно связано с общим раз-
витием понятий и методов математики. Первыми 3. м. были знаки для
изображения чисел — цифры (см.), возникновение которых, по-видимому,
предшествовало введению письменности. Наиболее древние системы нуме-
рации — вавилонская и египетская — возникли еще за 3| тысячелетия до
н. э.
Первые 3. м. для произвольных величин появились много позднее (на-
чиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Произвольные величины (площади,
объемы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух про-
извольных однородных величин — в виде прямоугольника, построенного
на соответствующих отрезках. В «Началах» Эвклида величины обознача-
ются двумя буквами — начальной и конечной буквами соответствующего
отрезка АВ и АГ и т. п., а иногда и одной. У Архимеда последний способ
обозначения становится обычным. Подобное обозначение содержало в се-
бе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической
античной математике над буквами никакие операции не производились,
а буквенное исчисление создано не было.
Начатки буквенного обозначения и исчисления возникают в позднеэл-
линистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометриче-
ской формы. Александрийский математик Диофант (вероятно, 3 в.) обо-
значал неизвестную (я) и ее степени следующими знаками:
X X2 X3 X4 X3 X6
<5€
(5е — от греч. термина Suvapia, обозначавшего квадрат неизвестной, xv —
от греч. кброа. Справа от неизвестной или ее степеней Диофант писал
158
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
коэффициенты, например Зх5 обозначалось (где 7 = 3). Для обозна-
чения сложения Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для обо-
значения вычитания употреблял специальный знак А ; равенство Диофант
обозначал буквой ь (от греч. юоо — равный). Например, уравнение
(х3 + 8х) — (5х2 + 1) = х
в обозначениях Диофанта запишется так:
xva S' г/A <5иёд°сй. S' а
(здесь а = 1,т/ = 8, ё = 5, а д°а означает, что единица а не имеет множи-
теля в виде степени неизвестного).
Несколько веков спустя индийцы, разрабатывавшие числовую алгебру,
ввели различные 3. м. для обозначения нескольких неизвестных (сокраще-
ния наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадрат-
ного корня, вычитаемого числа. Так, запись Брамагупты (7 в.)
ya va 3 ya 10 ru 8
ya va 1 ya 0 ru 1
{ya — от yavattavat — неизвестное, va — от varga — квадратное число, ru —
от rupa — данное число, точка над числом означает вычитаемое число)
соответствует нашей
Зх2 4- 10х - 8 = х2 + 1.
Алгебраическая символика индийцев, впрочем, не оказала непосредствен-
ного влияния на наши 3. м.
Создание современной алгебраической символики относится к 14-17 вв.;
оно определялось успехами практической арифметики и учения об урав-
нениях. В различных странах стихийно появляются 3. м. для некоторых
действий и для степеней неизвестной величины. Иногда проходят многие
десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удоб-
ный для исчисления символ. В конце 15 в. француз Н. Шюке и итальянец
Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания р и m (от лат. plus и
minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение
лат. et) и —. Еще в 17 в. можно насчитать около десятка 3. м. для действия
умножения: х.
Поучительна история знака радикала. Вслед за итальянцем Леонардо
Пизанским (1220) многие обозначали (вплоть до 17 в.) квадратный корень
знаком R (от лат. radix — корень). Шюке обозначал квадратный, куби-
ческий и т. д. корни знаками R2, R3 и т. д. В немецкой рукописи ок.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
159
1480 квадратный корень обозначается точкой перед числом, кубический
корень — тремя точками, а корень четвертой степени — двумя точками. У
немецкого математика X. Рудольфа в 1525 корень уже обозначается у/.
Для обозначения корней высших степеней различные ученые то пишут
этот знак несколько раз подряд, то ставят после него букву — сокраще-
ние наименования показателя, то соответствующую цифру в кружке или
с круглой или квадратной скобкой, чтобы отделить ее от подрадикально-
го числа (горизонтальную черту над подрадикальным выражением ввел
в 1637 французский ученый Р. Декарт), и лишь в начале 18 в. входит в
обиход запись показателя корня вверху над отверстием знака радикала,
встречающаяся ранее у голландского математика А. Жирара (1629). Та-
ким образом, эволюция знака радикала растянулась почти на пятьсот лет.
Весьма различны были 3. м. неизвестной и ее степеней. В 16 и начале
17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата
неизвестной, например, се (от census — лат. термин, служивший переводом
греч. Svvapio), Q (от quadratum), Зг, у , А(2), 1&, A", aa, а2 и т. д. Наше
уравнение
х3 + 5т = 12
имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:
J. cubus р. у. position!bus zquantur и
(cubus — куб, positio — неизвестная, aequantur — равно); у немецкого мате-
матика М. Штифеля (1544):
(^ — куб неизвестной, 3^ — неизвестная; у итальянского математика
Р. Бомбелли (1572):
। р. 5 ^egualeat 2
(3- — куб неизвестной,^ — неизвестная; eguale й. — равно); у французского
математика Ф. Виета (1591):
N, zquatur л
(С — cubus — куб, N — numerus — число); у английского математика Т. Гар-
риота (1631):
АЛЛ 4- 5. А — 12
160
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки:
квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные
(Ф. Виет, 1593).
Крупнейшим шагом вперед в развитии математической символики яви-
лось введение Виетом (1591) 3. м. для произвольных постоянных величин
в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему
возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произволь-
ными коэффициентами и оперировать с ними. Неизвестные Виет обозначал
гласными прописными буквами А, Е,.. .Так, например, запись Виета
J- cubus р. у. position! bus zquantur тг
[cubus — куб, planus — плоский, т. e. В — двумерная величина; solidus — те-
лесный (трехмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены
были однородны] в наших символах выглядит так:
х3 4- ЗЬх — d.
Виет явился творцом алгебраических формул. Декарт в 1637 придал зна-
кам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами
латинского алфавита х, у, z, а произвольные данные величины — началь-
ными буквами а, Ь, с. Ему же принадлежит нынешнее обозначение степени.
Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со
всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.
Дальнейшее развитие 3. м. было тесно связано с созданием анализа
бесконечно малых, для разработки символики которого почва была уже в
большой мере подготовлена в алгебре.
Английский ученый И. Ньютон в своем методе флюксий и флюент (1666
и следующие годы) ввел знаки для последовательных флюксий (производ-
ных) величины х в виде х, х, х и для бесконечно малого приращения
о. Несколько ранее английский математик Дж. Валлис (1655) предложил
знак бесконечности оо.
Создателем современной символики дифференциального и интеграль-
ного исчислений является немецкий ученый Г. Лейбниц. Он первый ясно
понял огромное значение 3. м. и старался найти наиболее удобные симво-
лы для понятий математики: здесь мы видим переход от более или менее
стихийного введения 3. м. к их сознательному и планомерному созданию.
«Общее искусство знаков, или искусство обозначения, — писал Лейбниц, —
представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение...
Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для откры-
тий. Это большей частью бывает, когда обозначения коротко выражают и
как бы отображают интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
161
образом сокращается работа мысли...» (цит. по журналу «Успехи мате-
матических наук», т. 3, вып. 1, 1948, с. 155-156). Лейбницу, в частности,
принадлежат употребляемые ныне 3. м. дифференциалов
dxy d2x, d3x
и интеграла
У ydx.
Следует подчеркнуть принципиальное преимущество знака интеграла,
данного Лейбницем, перед предложенным Ньютоном знаком 'х. В зна-
ке Лейбница f ydx, отражающем самый процесс построения интеграль-
ной суммы (см. Интегральное исчисление), явно указана и интегрируемая
функция и переменная интегрирования. Благодаря этому знак f ydx го-
дится и для записи формул замены переменных и легко может быть ис-
пользован для записи кратных и криволинейных интегралов. Знак Ньюто-
на 'х таких возможностей непосредственно не предоставляет. Аналогично
обстоит дело с лейбницевыми знаками дифференциалов и ньютоновыми
знаками флюксий и бесконечно малого приращения.
Огромная заслуга в создании символики современной математики при-
надлежит русскому академику Л. Эйлеру. Он ввел в общее употребле-
ние первый знак переменной операции, именно знак функции /(х) (от
лат. functio — функция, 1734). Несколько ранее знак <рх был применен
И. Бернулли (1718). После работ Эйлера знаки для многих индивидуаль-
ных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный ха-
рактер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание на-
туральных логарифмов, 1736), тг (вероятно, от греч. Ttepupepeia — окруж-
ность, периферия, 1736), мнимой единицы i = >/—Т (от франц, imaginaire —
мнимый, 1777, опубликовано в 1794), которые стали общеупотребительны.
В 19 в. роль символики еще более возрастает и, наряду с созданием
новых 3. м., математики стремятся к стандартизации основных символов.
Некоторые широко употребительные ныне 3. м. появляются лишь в это
время: знак абсолютной величины |х (К. Вейерштрасс, 1841), вектора г
(О. Коши, 1853), определителя | (А. Кэли, 1841) и др. Многие тео-
рии, возникшие в 19 в., например, тензорное исчисление (см.), не могли
быть развиты без подходящей символики. Характерно при этом увеличение
удельного веса 3. м. для отношений, например, сравнимости = (К. Гаусс,
1801), принадлежности G, изоморфизма =, эквивалентности ~ и т. д. Знаки
переменных отношений появляются с развитием математической логики,
особенно широко применяющей 3. м.
162
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Наряду с указанным процессом стандартизации 3. м. в современной
литературе весьма часто можно встретить 3. м., используемые отдельными
авторами только в пределах данного исследования.
С точки зрения современной математической логики среди 3. м. можно
наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки опе-
раций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа,
т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения 4- сам по
себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержа-
ние лишь тогда, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3
изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числа-
ми. Знак отношения получает вполне определенное содержание, когда ука-
зано, между какими объектами отношение рассматривается. Такого рода
комбинация знаков называется формулой. Формулы выражают суждения
(утверждения), которые могут быть истинными или ложными. Например,
неравенство 1 + 1 < 3 истинно, а неравенство 1 + 3 < 4 ложно.
К указанным трем основным группам 3. м. примыкает еще четвертая:
Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных
знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указыва-
ющие порядок производства арифметических действий.
Знаки каждой из трех групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) инди-
видуальные знаки вполне определенных объектов, операций и отношений,
2) общие знаки «переменных», или «неизвестных», объектов, операций и
отношений. Примерами знаков первого рода могут служить (см. также
таблицу на с. 163):
Ах) Обозначения натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
трансцендентных чисел е и тт; мнимой единицы i = Т и т. п.
Б1) Знаки арифметических действий +,-,-, х, :, извлечения корня
дифференцирования gj, оператора Лапласа
92 92
дх2 ду2 + dz2
Сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т. п.
Bi) Знаки равенства и неравенства = ,>,<, /, знаки параллельности ||
и перпендикулярности 1 и т. п.
Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и от-
ношения определенного класса или объекты, операции и отношения, подчи-
ненные каким-либо заранее оговоренным условиям. Например, при записи
тождества
(а + 6)(а — 6) = а2 — 62
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
163
Таблица
Даты возникновения некоторых
математических знаков
Знак Значение Кто ввел Когда введен
3 наки индивидуг i л ь н ы х объек Т О в
оо бесконечность Дж. Валлис 1655
е основание Л. Эйлер 1736
натуральных
логарифмов
7Г отношение длины У. Джонс 1706
окружности к Л. Эйлер 1736
диаметру
i корень квадрат- Л. Эйлер 1777 (в пе-
ный из -1 чати 1794)
i, j, k единичные У. Гамильтон 1853
векторы, орты
П(а) угол параллельности Н. И. Лобачевский 1835
Знаки переменных объектов
т, 2/, z неизвестные или Р. Декарт 1637
переменные
величины
г вектор О. Коши 1853
3 наки индивидуальных опера ц и й
+ сложение немецкие конец 15 в.
— вычитание математики
X умножение У. Оутред 1631
• умножение Г. Лейбниц 1698
деление Г. Лейбниц 1684
а2, а3,... Р. Декарт 1637
ап степени И. Ньютон 1676
у/а, у/а корни X. Рудольф 1525
А. Жирар 1629
Log логарифм И. Кеплер 1624
log логарифм Б. Кавальери 1632
sin синус Л. Эйлер 1748
cos косинус Л. Эйлер 1748
tg тангенс Л. Эйлер 1753
arc.sin арксинус Ж. Лагранж 1772
Sh гиперболический синус В. Риккати 1757
Ch гиперболический В. Риккати 1757
косинус
164
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Таблица (продолжение)
Знак Значение Кто ввел Когда введен
dx,ddx d2x, d3x дифференциалы Г. Лейбниц 1675 (в пе- чати 1684)
f ydx интеграл Г. Лейбниц 1675 (в пе-
d чати 1686)
dx f'x производная Г. Лейбниц 1675
y' /'(*) производная Ж. Лагранж 1770,1779
Дх разность Л. Эйлер 1755
d dx частная производная А. Лежандр 1786
fa f U) dx определенный интеграл Ж. Фурье 1819-22
E сумма Л. Эйлер 1755
П произведение К. Гаусс 1812
! факториал X. Крамп 1808
kl модуль К. Вейерштрасс С. Люилье 1841 1786
lim limn=oo предел У. Гамильтон 1853
limn_,00 многие математики начало 20 в.
c дзета-функция Б. Риман 1857
г гамма-функция А. Лежандр 1808
в бета-функция Ж. Бине 1839
д дельта (оператор Лапласа) Р. Мёрфи 1833
V набла (оператор Гамильтона) У. Гамильтон 1853
Знаки переме иных операци й
<px функция И. Бернулли 1718
/(*) функция Л. Эйлер 1734
3 наки индивидуальных отношений
— равенство Р. Рекорд 1557
> больше Т. Гарриот 1631
< меньше Т. Гарриот 1631
= сравнимость К. Гаусс 1801
II параллельность У. Оутред 1677 (в посмерт- ном издании)
± перпендикулярность П. Эригон 1634
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
165
буквы а и Ь обозначают произвольные числа; при изучении функциональ-
ной зависимости
У = х1 2 * * * * * В
буквы хну изображают произвольные числа, связанные заданным отно-
шением; при решении уравнения
х2 - 1 = О
х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в резуль-
тате решения этого уравнения мы узнаем, что этому условию соответству-
ют лишь два возможных значения +1 и —1).
С логической точки зрения вполне законно все такого рода общие знаки
называть знаками переменных, как это принято в математической логике,
не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного мо-
жет оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пу-
стой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейши-
ми примерами такого рода знаков могут служить:
А2) Обозначение точек, прямых, плоскостей и более сложных геомет-
рических фигур буквами в геометрии.
Б2) Обозначения /, F, для функций и обозначения операторного ис-
числения (см.), когда одной буквой L обозначают, например, произвольный
оператор вида:
1 df d2f <Ff
L J/ — Go + 3---h Я2 3—7 + • • • + an -J—-
dx dx2 dxn
Что касается обозначений для «переменных отношений», то они менее
распространены, находя применение лишь в математической логике и в
сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических математи-
ческих исследованиях.
В математической логике для обозначения индивидуальных отношений упо-
требляют знаки, похожие на знаки функций от нескольких переменных. Напри-
мер, вместо х = у пишут Е(х,у)\ вместо х 4- у = z пишут S(x,y, z). Такие знаки
называют знаками «логических функций». Логические функции одного аргумен-
та обозначают свойство этого объекта. Например, чтобы сказать, что «т есть
натуральное число», пишут 7V(x).
Общие знаки для переменных отношений появляются поэтому в математиче-
ской логике в виде знаков «функциональных переменных». Например, рассматри-
вая F(x, у) как общий знак отношения между двумя объектами х и у («логической
функции двух переменных»), говорят, что отношение F(x,y) «транзитивно», если
для любых х, у, z, для которых F(z, у) и F(?/, z), имеет место и отношение F(z, z).
В символах это определение транзитивности отношения F можно записать так:
(*) (у) (г) {F(x,y)&F(y,z) -» F(x,z)};
здесь знак (т) обозначает «для всех х».
166
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Там, где речь идет об автоматическом применении для решения задачи
определенного типа точно установленного алгоритма, в современной вы-
числительной практике, как правило, совсем или почти совсем избегают
употребления слов обычного языка, так как они лишь напрасно загромо-
ждали бы вычисления. Принципиальная возможность путем введения над-
лежащих знаков логических операций записывать чисто символически со-
держание целых математических теорий имеет большое значение при логи-
ческом анализе строения этих теорий (см. по этому поводу Логика матема-
тическая). Однако при изложении математической теории для выражения
хода своих умозаключений математики широко пользуются обычным язы-
ком. Комбинирование хорошо построенных предложений обычного языка
с символическими обозначениями и формулами является основной пробле-
мой стиля изложения математических сочинений. Только при такой ком-
бинации краткость изложения удается соединить с отчетливым выделени-
ем существенных, руководящих идей математических доказательств. Ши-
роко пропагандировавшийся на границе 19 и 20 вв. представителями так
называемой логистики (см.) перевод всего изложения конкретных мате-
матических теорий на «язык» математических и логических символов без
употребления обычных слов успеха не имел.
Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chicago, 1928-29.
ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ44 в приближенных вычислениях — все цифры
числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правиль-
ность которой можно ручаться. Например, если измерение произведено с
точностью до 0.0001 и дало результат 0.0320, то 3. ц. будут 3, 2 и 0. По-
дробнее см. Приближенные вычисления.
ИЗМЕРЕНИЕ.45 В математической теории И. отвлекаются от ограни-
ченной точности физических И. Задача И. величины Q при помощи еди-
ницы меры U состоит в нахождении числового множителя q в равенстве
Q = qU-, (1)
при этом Q и U считаются положительными скалярными величинами од-
ного и того же рода (см.* Величина), а множитель q — положительное
действительное число, которое может быть как рациональным, так и ир-
рациональным. Для рационального q = т/n (тип — натуральные числа)
равенство (1) имеет весьма простой смысл: оно означает, что существует
такая величина V (n-я доля от U), которая, будучи взята слагаемым п раз,
дает U, будучи же взята слагаемым т раз, дает Q:
U = nV, Q = mV
44БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 135.
«А. Н. Колмогоровым написана часть статьи, касающаяся измерений в математиче-
ской теории: БСЭ-3. - 1972. - Т. 10. - Стлб. 221-222.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
167
В этом случае величины Q и U называются соизмеримыми. Для несоизме-
римых величин U и Q множитель q иррационален (например, равен чис-
лу 7г, если Q есть длина окружности, a U — ее диаметр). В этом случае
самое определение смысла равенства (1) несколько сложнее. Можно опре-
делить его так: равенство (1) обозначает, что для любого рационального
числа г
из q > г вытекает Q > rU, 1 (г>.
а из q < г вытекает Q < rU. J ' '
Достаточно потребовать, чтобы условие (2) выполнялось для всех десятич-
ных приближений к q по недостатку и по избытку. Следует отметить, что
исторически само понятие иррационального числа возникло из задачи И.,
так что первоначальная задача в случае несоизмеримых величин заключа-
лась собственно не в том, чтобы определить смысл равенства (1), исходя
из готовой теории действительных чисел, а в том, чтобы установить смысл
символа q, отображающего результат сравнения величины Q с единицей
меры U. Например, по определению немецкого математика Р. Дедекинда,
иррациональное число есть «сечение» в системе рациональных чисел. Та-
кое сечение и появляется естественно при сравнении двух несоизмеримых
величин Q и U. По отношению к этим величинам все рациональные числа
разделяются на два класса: класс Ri рациональных чисел г, для которых
Q > rU, и класс R.2 рациональных чисел г, для которых Q < rU.
Большое значение имеет приближенное И. величин при помощи ра-
циональных чисел. Ошибка приближенного равенства Q « rU равна
Д = (г — q)U. Естественно искать такие г = m/п, для которых ошибка
меньше, чем при любом числе г' = тп!/п' с знаменателем п' п. Такого ро-
да приближения доставляются подходящими дробями п, гг, Лз, • • • к числу
<7, которые находятся при помощи теории непрерывных дробей. Например,
для длины окружности S, измеряемой диаметром U, приближения таковы:
S « 3U, S « 3| U, S ~ 3^ U
I 1UO
и т. д.; для длины года Q, измеряемой сутками U, приближения таковы:
Q « 365С/, Q ~ 365| U, 365^ U.
ИЗОМОРФИЗМ46 [от изо... (см.) и греч. цорфё — форма] — одно из
основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах
алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы,
кольца, поля (см.) и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего
понимания строения и области возможных применений каждого раздела
математики.
4бБСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 478-479; совм. с В. И. Битюцковым.
168
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Понятие «И.» относится к системам объектов с заданными в них опера-
циями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных
систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с задан-
ной на ней операцией сложения х = zi 4- 12 и систему Р положительных
действительных чисел с заданной на ней операцией умножения у = у\У2-
Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел со-
вершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить на си-
стему Р, поставив в соответствие числу х из R число у = ax (а > 1) из Р.
Тогда сумме х = xi +Х2 будет соответствовать произведение у = ууу2 чисел
yi = аХ1 и у2 = аХ2, соответствующих Xi и Х2- Обратное отображение Р на
R имеет при этом вид х = loga у. Из любого предложения, относящегося к
сложению чисел системы R, можно извлечь соответствующее ему предло-
жение, относящееся к умножению чисел системы Р. Например, если в R
сумма
sn = £1 4- х2 4---1- хп
членов арифметической прогрессии выражается формулой
n(zi 4- хп}
sn - 2 ’
то в Р произведение
Рп = 3/12/2 • • • Уп
членов геометрической прогрессии выражается формулой
Рп = \ДУ1Уп}п
(умножению на п в системе R соответствует при переходе к системе Р
возведение в n-ю степень, а делению на два — извлечение квадратного
корня).
Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере
(а с абстрактно-математической точки зрения, как будет видно далее, —
полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов
S', изоморфную системе S, можно рассматривать как «модель» системы S
и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению
свойств «модели» S'. Полезно сравнить употребление в математике кажу-
щегося несколько отвлеченным понятия И. с методом «моделирования»
физических явлений, широко применяемым в физике, механике и технике.
В виде дополнительного примера И. рассмотрим группу (см.) G вращений
трехмерного пространства вокруг неподвижной точки О, понимая под произведе-
нием и» — йцсиг двух вращений a>i и ш2 результат их последовательного осуществ-
ления: сначала вращения a?2, а потом вращения u?i, и группу G' ортогональных
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
169
матриц (см.) третьего порядка
«и
«21
«31
«12 «13
«22 «23
«32 «33
с определителем |Л|, равным4-1, и обычным законом умножения матриц. «Устрой-
ство» этих групп одинаково, так как, введя в пространстве прямоугольную систе-
му координат с началом в точке О, любое вращение си можно записать в виде
х' = ацх -h ai2t/ -I- ахзг,
т/ = а21х + а22т/ 4- a23z,
z1 = а31Т 4- а32т/ 4- a33z
с ортогональной матрицей коэффициентов ||а^-|| и определителем |аи| = 4-1. Ес-
ли вращению си поставить в соответствие матрицу Ца^Ц, то для трех вращений,
связанных соотношением cu — cuicu2, соответствующие им матрицы связаны соот-
ношением А = Л1Л2. При этом соответствии каждому свойству элементов группы
G отвечает некоторое свойство элементов группы G', например, подгруппе груп-
пы G, содержащей вращения вокруг оси Oz, соответствует подгруппа матриц
третьего порядка, имеющих вид
«11 «12 О
«21 «22 О
О 0 1
Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном
числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом
объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и Sf, причем в первой
определены отношения
^2? • • •)> k 1, 2, . . . , 71,
а во второй — отношения
к = 1,2,... ,п.
Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфны-
ми, если их можно поставить в такое взаимно-однозначное соответствие
х' = X = il>(x')
(где х — произвольный элемент S, а х' — произвольный элемент S'), что из
наличия Fk(xi, х%, •) вытекает F^x^, х'2,...), и наоборот. Само указанное
соответствие называется при этом изоморфным отображением или изомор-
физмом. [В приведенном выше примере в системе R определено отношение
170
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
F(x, xi, ггг), где х = xi + Х2, в системе Р — отношение F'(y,yi,y2), где
у = yiy2, взаимно-однозначное соответствие устанавливается по формулам
у = ах, х = loga у.]
Понятие «И.» возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что
изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет
собой одну и ту же задачу. Это обстоятельство выражают, говоря, что теория
групп изучает группы «с точностью до изоморфизма». Это в такой мере пра-
вильно, что в «абстрактной» теории групп две изоморфные группы часто счита-
ют просто тождественными. Например, когда говорят, что для любого простого
р существует «только одна» группа порядка р, то это значит, что все группы
порядка р изоморфны.
Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов,
изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: построенная
аксиоматически математическая теория, применимая к какой-либо одной
системе объектов, всегда полностью применима и к другой (см. об этом в
статьях Аксиома*, Математика*}. Поэтому каждая аксиоматически из-
ложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпрета-
ций», или «моделей» [см. по этому поводу, например, в статье Геометрия
раздел VI (истолкования геометрии)].
Понятие «И.» включает в себя как частный случай понятие гомеомор-
физма (см.*), играющее основную роль в топологии (см.).
Частным случаем И. является автоморфизм — взаимно-однозначное отобра-
жение
х' = <р(х), X — ^(х')
системы объектов с заданными отношениями Fjt(xi,X2,...) на самое себя, при
котором из Ffc(xi, Z2, • • •) вытекает F^x^x^,...), и наоборот. Это понятие тоже
возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных
разделах математики.
Лит.\ Курош А. Г, Курс высшей алгебры, 3 изд., М.-Л., 1952; Энциклопедия
элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М.-Л., 1951.
ИЗОТРОПНЫЕ ПРЯМЫЕ47 [от изо... (см.) и греч. тролоо — по-
ворот, направление] (на плоскости) — прямые, уравнение которых имеет в
прямоугольной системе координат вид
х ± iy 4- С = 0,
где i = I. Очевидно, что рассмотрение таких прямых имеет смысл толь-
ко в геометрии комплексной плоскости, в которой координаты точки (х, у)
могут принимать комплексные значения. И. п. характеризуются тем, что
расстояние между двумя точками, принадлежащими одной и той же И. п.,
47БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 509.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
171
равно нулю. Через каждую точку (то,Уо) проходят две И. п., имеющие
уравнения
(х - т0) ± Ку - уо) = 0.
Эти две прямые являются асимптотами всех окружностей, имеющих точку
(то, Уо) своим центром. Если комплексную плоскость дополнить бесконечно
удаленными элементами, то среди ее бесконечно удаленных точек появ-
ляются две круговые точки (см.). И. п. можно определить как прямую,
проходящую через одну из круговых точек.
В трехмерном пространстве через каждую точку проходит бесконечно много
И. п.; их можно определить как прямые, проходящие через точки, лежащие на
сферической (или изотропной) окружности, определяемой в однородных коорди-
натах уравнениями
х2 + У2 + z2 = 0, t = 0.
ИМЕНОВАННОЕ ЧИСЛО48 — выражение величины (см.*) А в
виде
А = niAi 4- П2А2 + • • • + nmAm, (1)
где Ai, А2, • • •, Ат — величины (того же рода, что и А), выбранные в ка-
честве единиц измерения. Например, если длина А равна 3 м 67 см, то,
обозначая длину в один метр через Ai, а длину в один сантиметр через Аг,
имеем
А = ЗА) + 67А2.
И. ч. называется простым, если в него входит только одна единица измере-
ния, и составным, если в него входят несколько единиц измерения. Напри-
мер, И. ч. «3 м 67 см» является составным, но равное ему И. ч. «367 см» —
простым.
В школьном курсе арифметики занимают некоторое место упражнения
в преобразовании И. ч. в другие равные им И. ч. Обычно система единиц
измерения выбирается так, что отношения
— ь, "^2 — ь„ Ауд-1 _
. — М, ~7~ — *2, • • • , . — Кт—1
Аг Аз Ат
являются целыми числами. Преобразование составного И. ч. (1) в простое
И. ч. аАт называется раздроблением. Например, И. ч. «3 суток 17 часов
48БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 557.
172
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
37 минут» преобразуется раздроблением в простое И. ч. «5 377 минут».
Обратное преобразование называется превращением.
Множители Пь П2,..., nm в выражении (1) являются обычными отвлеченными
числами. Таким образом, по существу во всем вышеизложенном мы имели дело
только с двумя видами объектов: величинами какого-либо определенного рода
(с длинами в первом примере и с промежутками времени во втором примере) и
отвлеченными числами. Термин «И. ч.» является лишь удобным для школьной
практики наименованием определенного способа выражения величин в той или
иной системе мер.
ИНДУКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ49 - весьма общий способ ма-
тематических доказательств и определений.
Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе
И. м., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, на-
пример, требуется доказать для любого натурального (целого положитель-
ного) числа п формулу:
1 4-3 4-5 4-• • • 4-(2п — 1) = n2. (1)
При n = 1 эта формула дает: 1 = I2. Чтобы доказать правильность форму-
лы при любом п, допускают, что ее уже удалось доказать для некоторого
определенного числа АГ, т. е. предполагают, что
1 4-3 4-5 4-• • • 4-(2ЛГ - 1) = АГ2. (2)
Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность
формулы (1) для числа на единицу большего, т. е. для n = N +1. В данном
случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) еще
одно слагаемое: (2N + 1); тогда и правая часть равенства должна тоже
увеличиться на (2N 4- 1) и, следовательно,
1 4- 3 4- 5 4- • • • 4- (2АГ - 1) + (2ЛГ 4-1) = № 4- (2ЛГ 4-1) = (АГ 4- I)2.
Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить п на N 4-1.
Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы
ни было № ее правильность и при n = N 4-1. Но при n = 1 формула (1)
верна, следовательно, она верна также и при п = 2 = 14-1,3 = 24-1,
4 = 34-1, 5 = 4-Ь1и т. д. Так как последовательным прибавлением еди-
ницы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то
формула (1) действительно верна при любом натуральном числе п. Как ни
очевидна заключительная часть приведенного рассуждения, она опирается
на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но
49БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 146-147.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
173
выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая фор-
мулировка этой аксиомы такова.
Принцип И. м. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того,
что какое-либо натуральное число п обладает свойством А, вытекает, что
и число п +1 обладает свойством А. При этих условиях любое натуральное
число обладает свойством А.
В разобранном выше примере свойство А числа п выражается так: «для
числа п справедливо равенство (1)». Если принцип И. м. принят в каче-
стве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот
принцип, следует уже рассматривать как чисто дедуктивное. При доказа-
тельстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не про-
исходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам
принцип И. м.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.
Принцип И. м., сформулированный выше, служит, как было показано,
для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике
употребляются еще так называемые индуктивные определения. Таково, на-
пример, следующее определение членов un геометрической прогрессии с
первым членом а и знаменателем q:
1) Hi — а,
2) t4n+i = unq.
Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии un для всех на-
туральных чисел п. Доказательство того, что это действительно так, может
быть основано на принципе И. м.; в данном случае можно, однако, непо-
средственно получить выражение un через n: Un = aq71^1.
Принцип И. м. можно заменить равносильными ему предложениями, напри-
мер, таким: если подмножество ЯЛ множества всех натуральных чисел 91 содер-
жит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то ЯЛ = 91.
Обобщением принципа И. м. является принцип трансфинитной индукции (см.
Трансфинитные числа). Интересный аналог принципа И. м. для свойств А(х)
действительных чисел дан советским математиком А. Я. Хинчиным. Пусть про
свойство А(х) известно, что: 1) А(х) верно для всех достаточно малых х: 0^т<5;
2) если А(х) верно для всех х < А (х 0), то А(х) верно и для всех х < А 4- е
(х 0), где е — положительное число, зависящее от А.
В силу принципа, установленного Хинчиным, из 1) и 2) вытекает, что свой-
ством А(х) обладают все действительные числа х > 0.
Лит.: Соминский И. С., Метод математической индукции, М.-Л., 1950; Эн-
циклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 1,
М.-Л., 1951.
174
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ИНТЕГРАЛ50 (от лат. integer — целый), одно из важнейших понятий
математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыски-
вать функции по их производным (например, находить функцию, выра-
жающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки),
а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за опре-
деленный промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают
неопределенные и определенные И., вычисление которых является задачей
интегрального исчисления.
Неопределенный интеграл. Первообразная функции /(т) одно-
го действительного переменного — функция F(z), производная которой
при каждом значении х равна /(т). Прибавляя постоянную к первообраз-
ной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции.
Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции /(х), получают
общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x) 4- С. Это
общее выражение первообразных называют неопределенным интегралом:
У f(x)dx
функции /(х). Одна из основных теорем интегрального исчисления уста-
навливает, что каждая непрерывная функция /(х) действительного пере-
менного имеет неопределенный И.
Определенный интеграл. Определенный И. функции /(х) с нижним
пределом а и верхним пределом b можно определить как разность
Гь
F(b) - F(a) = / /(x)dx, (1)
J а
где F(x) есть первообразная функции /(х); определение не зависит от того,
какая из первообразных выбрана для вычисления определенного И. Если
функция /(х) непрерывна, то приведенное определение в случае а < b
равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассмат-
ривают произвольное разбиение отрезка [а, Ь] точками
а = xq < xi < • • • < хп = Ь; (2)
в каждом отрезке [xj_i,Xi] (г = 1,2, ...,п) берут произвольную точку &
(xj-i Xi) и образуют сумму
Sn = /«i)(^i - z0) + /(Сг)(хг - хх) + • • • + /(Cn)(xn - xn-i). (3)
50Печатается по изданию: БСЭ-3. — 1972. — Т. 10. — С. 300-302. — Стлб. 887-892. См.
также: БСЭ-2. — 1953. — Т. 18. — С. 250-253 (совм. с В. И. Гливенко).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
175
Сумма Sn зависит от выбора точек Xi и Однако в случае непрерывной
функции /(х) суммы 5П, получающиеся при различном выборе точек Xi
и стремятся к вполне определенному пределу, если максимальная из
разностей х^ — x^-i стремится к нулю при п —* оо. Этот предел и является
определенным интегралом
По определению,
rb га
/ /(х) dx = — / /(х) dx.
Ja Jb
Определенный И., как указано выше, выражается через любую перво-
образную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде
F(x) = F(a) + Г f(t)dt, (4)
Ja
где а — произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный
И. записывается в виде
[ f(x)dx= Г f(t)dt + C. (5)
J Ja
О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и
определенных И. см. Интегральное исчисление.
Обобщение понятия интеграла
Интеграл Римана. О. Коши применял свое определение И. только к
непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом
Гь
1= f(x)dx (6)
Ja
предел сумм Sn при max(ii — х,-1) —> 0 во всех тех случаях, когда этот
предел однозначно определен, предложил Б. Риман (1853). Он же исследо-
вал условия применимости такого определения. Более совершенную форму
этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введенным им понятием
меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана
функции f(x) на [а, 6] является необходимой и достаточной совокупность
двух условий: f(x) ограничена на [а, 5], множество помещающихся на [а, 5]
точек разрыва функции f(x) имеет меру, равную нулю. Таким образом,
непрерывность в каждой точке отрезка [а, 6] совсем не обязательна для
интегрируемости по Риману.
176
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Неопределенный И. и первообразную можно теперь определять фор-
мулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная
F(x) не обязана иметь подынтегральную функцию /(х) своей производной
в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f(x), т. е., в силу ре-
зультата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю,
будет
= /(х). (7)
ах
Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает осо-
бенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3)
Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)
S = М\(х\ - то) + М2(х2 - Z1) Ч----F Mn(xn - zn-i),
S = mi(xi - т0) + пг2(т2 - Ti) Ч---1- mn(xn - xn_i),
где Mk — верхняя грань функции /(т) отрезке [xfc_i,xjJ, а rrik — нижняя
грань /(т) на том же отрезке. Если I — нижняя грань сумм S, а 7 — верх-
няя грань сумм S, то для существования интеграла Римана необходимо и
достаточно условие I = I. Общее значение 1 = 1 = 1. величин I и I и явля-
ется интегралом Римана (6). Сами величины I и 1_ называются верхним и,
соответственно, нижним интегралами Дарбу.
Интеграл Лебега. Введенное Лебегом понятие меры множества поз-
волило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить
И. (6), Лебег делит точками
• • • < у—2 < у-1 < 7/о < У\ < • • < Vi < • •
область возможных значений переменного у = /(т) и обозначает Mi мно-
жество тех точек х из отрезка [а, Ь], для которых
Т/i-l Дх) < 7Д.
Сумма S определяется равенством
S = '£гЫ,(М,'),
i
где pi берется из отрезка т/i-i pi < т/,, a p(Mi) обозначает меру мно-
жества Mi. Функция f(x) называется интегрируемой в смысле Лебега на
отрезке [а, 6], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при
max(yi — т/i-i) —♦ 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6).
Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(x),
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
177
удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Ле-
бегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом вы-
полняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру,
равную нулю.
Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции /(х) необходи-
мо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций
в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анали-
зе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972)
не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции.
Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу
определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности ма-
тематического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется
сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегри-
руемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция
интегрируема и по Лебегу.
Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупря-
мой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида
/•4-ос га г4-оо
/ f(x)dx, / f(x)dx, / f(x)dx.
Ja J—oo J—оо
После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно
сходящихся несобственных интегралов.
Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во
многих вопросах математического анализа; например, только с введением
интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера-Риса в теории
тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд
00
О0 V--'/ 1 . \
— + > (an cos nx + on sin пх),
П=1
для которого
00
^(Qn + ^п) <
П —1
представляет функцию /(х), порождающую коэффициенты ап и Ьп по фор-
мулам
1 1
ап = — / f (х) cos nxdx, bn = — f (x) sin nxdx,
2тг Jq 2тг Jo
где И. понимаются в смысле Лебега.
178
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана
подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело вве-
дение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтпъесом
(1894). Пусть /(х) — непрерывная функция действительного переменного
х, определенная на отрезке [а, 6], и U(x) — определенная на том же отрезке
ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция.
Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2)
отрезка [а, 6] и составляют сумму
Ш[иы - t/(x0)] + ffa)[U(x2) - t/Ы] + • • • + fttn)[U(xn) - U(xn-i)],
где £1,^2, • • — произвольные точки, выбранные соответственно на от-
резках [хо, Xi], [xi, х2],..., [xn-i, хп]. Пусть <5 — наибольшее расстояние меж-
ду двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять
любую последовательность разбиений, для которой 6 стремится к нулю, то
сумма (8) будет иметь определенный, всегда один и тот же предел, как
бы ни выбирались точки £ь£2,... ,£п на соответствующих отрезках. Этот
предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции /(х) относительно
функции С7(х) и обозначают символом
1= I" f(x)dU(x). (9)
Ja
Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в
том случае, когда ограниченная функция С7(х), не будучи сама монотонной,
может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных
монотонных функций U\(х) и U2(x):
С/(х) = С/Дх) - С/2(х),
т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функ-
ции).
Если интегрирующая функция U(x) имеет ограниченную и интегри-
руемую по Риману производную С7'(х), то интеграл Стилтьеса сводится к
интегралу Римана по формуле
rb rb
I f(x)dU(x)= I f(x)U'(x)dx.
J a J a
В частности, когда U(x) = x + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в
обыкновенный интеграл Римана (6).
Дальнейшие обобщения. Концепции И., розданные Стилтьесом и
Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
179
по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа изме-
рений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим под-
ходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая
теория динамических систем, привели к еще более широкому понятию аб-
страктного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры мно-
жества и измеримости функций. Пусть X — пространство, в котором вы-
делена определенная система В его подмножеств, называемых «измеримы-
ми», причем эта система обладает свойствами замкнутости по отношению
к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конеч-
ном или счетном числе. Пусть ц — конечная мера, заданная на В. Для В-
измеримой функции у — /(ж), х G X, принимающей конечное или счетное
число значений тд, у2,..., уп, • •, соответственно на попарно непересекаю-
щихся множествах Ai,..., Ап,..., сумма которых есть X, интеграл функции
f(x) по мере д, обозначаемый
/ f(x)y(dx),
JX
определяется как сумма ряда
оо
52 Уз^(Аз)
3=1
в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегри-
руемость и И. определяются путем некоторого естественного предельного
перехода от указанных кусочно постоянных функций.
Пусть А — измеримое множество и </?д(я) = 1 для х, принадлежащих
А, и = 0 для х, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f(x) по
множеству А определяют, полагая
/ f(x)y(dx) = / /(х)у?д(а:)д((/х).
J A Jx
При фиксированных у и А И. в зависимости от f может рассматри-
ваться как линейный функционалу при фиксированном / И., как функция
множества А, есть счетно аддитивная функция.
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлеченность, это об-
щее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого
понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже
для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по
отношению к так называемой мере Винера и различным ее аналогам ис-
пользуют в статистической физике (здесь в качестве X фигурирует про-
странство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся
180
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |/| оказывались
интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.
Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении отно-
сятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в ис-
следовании интегрирования неограниченных функций. Еще Коши в случае
функции /(х), неограниченной в точке х = с, определил интеграл
/ f(x)dx,
Ja
когда a < с < Ь, как предел выражения
rc-ei rb
/ J(x)dx + / f(x)dx
J a Jc+t2
при —* 0, f2 —* 0- Аналогично И. с бесконечными пределами определя-
ется как предел И.
/ f(x)dx
Ja
при a —► — оо и b —> +оо. Если при этом не требуется интегрируемости
|/(х)|, т.е. /(х) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши
не поглощается лебеговским.
Еще более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было
предложено А.Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).
Лит.\ Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с
франц., М.-Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э.,
Интеграл Лебега-Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни X., Геометрическая тео-
рия интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического
анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы.
Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории
вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, Berlin-
Heidelberg-New York, 1969.
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ51 - интеграл
1 X2
Ф(£) = —= / е 2 dx,
v2tt J—<x>
дающий в случае нормального распределения (см.) вероятность неравен-
ства £ < а + ter, где а — среднее, а а2 — дисперсия случайной величины £.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ52 (в математике) — нахождение значений функ-
ции /(х) в точках х, лежащих между точками х^, если относительно этой
51БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 253.
иБСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 304-305.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
181
функции известны лишь ее значения ух = /(xj (г = 0,1,2,..., п) в точках
хо < xi < • • • < хп. В случае, если х лежит вне интервала, заключен-
ного между хо и хп, аналогичная задача называется задачей экстраполя-
ции (см.). При простейшей линейной И. значение /(х) в точке х, удовле-
творяющей неравенствам xq < х < xi, принимают равным значению
s = tn
Х1 — Xq
линейной функции, совпадающей с /(х) в точках х = xq тл х = х\. Зада-
ча И. со строго математической точки зрения является неопределенной:
если про функцию /(х) ничего не известно, кроме ее значений в точках
хо, xi,..., хп, то ее значение в точке х, отличной от всех этих точек, оста-
ется совершенно произвольным. Не помогают при этом и общего характера
качественные допущения, вроде непрерывности или аналитичности функ-
ции /(х). Задача И. приобретает определенный смысл, если функция /(х)
или ее производные подчинены некоторым неравенствам. Если, например,
заданы значения /(хо) и /(xi) и известно, что при хо < х < xi выполняет-
ся неравенство |/z,(x)| М, то ошибка формулы (1) может быть оценена
при помощи неравенства
/(*) “ 7—~ “ х^
Х1 — Хо 2
Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл применять
лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладкости» функ-
ции, т. е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро
возрастающих производных. Наиболее известна интерполяционная форму-
ла Лагранжа:
Рп(а.) = хр • • (x~xfc-i)(x-xfc.n) • • • (х-хп)
_q (£& 2'0)(^'А: %k— *£fc+l) * * * Zn)
Ошибка, совершаемая при замене функции /(х) выражением Рп(х), не
превышает
(x-xo)(z-xi) • • • (х-хп)
(п+1)!
где М — максимум абсолютной величины (п + 1)-й производной /(п+1\х)
функции /(х) на сегменте [хо,хп]. Выражение Рп(х) есть не что иное, как
единственный многочлен n-й степени, принимающий в п + 1 точках Xi за-
данные значения уг = f(xi). Чаще всего имеют дело с тем случаем, когда
182
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
точки Xi расположены на равных расстояниях (z, = zq 4- ih). В этом слу-
чае многочлен Pn(z) можно записать, положив х = Xq 4- th, так (формула
Ньютона):
„ , .ч ** f(i-l) А 2 *(*- l)(t —2) а3
Pn(xo 4- th) — уо 4- yj Дуо Н-2!— Д Уо 4-----------Д Уо 4- • •
п!
где Д* обозначает разность fc-ro порядка: &kyi = ^.k~xyi+\ — /^k~1yi. В тех
случаях, когда нет возможности оценить остаточный член, не следует увле-
каться употреблением интерполяционных многочленов очень высокой сте-
пени; если число точек Xi очень велико, то лучше разбить интервал (zo, %п)
на части и интерполировать в каждой части отдельно. Если значения
у, = f(xi) получены в результате наблюдений и включают в себя ошибки
наблюдений, то следует вместо точной И. определить по данным yi мно-
гочлен Pfc(z) не слишком высокой степени (к < п), мало уклоняющийся в
точках Xi от заданных значений, по способу наименьших квадратов (см.
Наименьших квадратов способ).
Если в таблице даны значения f(xi) в точках Xi = xq 4- ih и при определении
/(т) предполагается использовать п 4- 1 табличных значений, то целесообразно
выбрать для этой цели значения f(x) в точках Xk,Xk+i,. ,Zfc+n, расположенных
так, чтобы х лежало вблизи середины
Формула Ньютона
Pn(zk + <Л) = И + Дук + Д2Уь +
+ »(»-1)«-2) дзи + ... + + д„и
<3! и!
может быть при отнесении к началу отсчета а записана в более симметричном
виде. Это делается по-разному в зависимости от четности п. Если п = 2m, то
а = Xfc+m, и, полагая к 4- т = г, приходят к формуле Стирлинга:
,, . , х U Ду,-1 4- Ду, и2 2
f(xi + uh) = yi + ------------4- — ASyi-i 4-
u(u2 - l2) Д3у<-2 + Д3у<-1 , u2(u2-l2) 4
+-----Ji-----------2-------+------4!----д y-2 +
u(u2 - l2)(u2 - 22) A5y,3 4- Д3у,2
5! 2
u2(u2 - l2)(u2 - 22) • • • [u2 - (n - I)2]
• • 4------------7—^----------------A У,—n-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
183
Если п = 2т + 1, то а = Xk+m + и, полагая по-прежнему k + т = г, приходят
к формуле Бесселя:
/(xj + |/i + vh) = +2~~ + +
(у2 - |) Д2&-1 - Д2& v(v2 ~ j)
2! 2 3!
(v2- |)(v2-I)
4! 2
v(v2 - |)(v2 - I) . c
-------A5J/t-2 + • • +
o!
Vi-Ti'
Д3у.-1+
+
(2п + 1)!
Формулы Стирлинга и Бесселя записываются проще, если пользоваться при-
нятыми в астрономических вычислениях обозначениями центральных разностей
(см. Конечных разностей исчисление).
К практической задаче И. примыкает чисто математическая теория схо-
димости интерполяционных формул к заданной функции при неограничен-
ном увеличении числа точек х,. См. Приближение и интерполирование
функций.
Лит.: Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 4 изд., Л.-М.,
1950; Милн В. Э., Численный анализ, пер. с англ., М., 1951; Стеффенсен Д. Ф.,
Теория интерполяции, пер. с англ., М.-Л., 1935.
ИНТУИЦИОНИЗМ53 - реакционное субъективно-идеалистичес-
кое направление буржуазной философии математики, возглавляемое гол-
ландским математиком Л. Брауэром (см.*). И. полностью отрицает позна-
вательную ценность математики, объявляя, что математика будто бы вооб-
ще не является наукой, а своеобразной «деятельностью», в основе которой
лежит акт воли отдельного человека или «группы людей», направленный
на самосохранение и подавление воли других людей. Эта «деятельность»
якобы осуществляется при помощи чистой математической «интуиции», ни
в какой мере не опирающейся на опыт. Исходя из этих совершенно ложных
предпосылок, И. в своих конкретных выводах, относящихся к отдельным
разделам математики, приводит к отрицанию лучших достижений матема-
тического анализа или к замене простых и ясных классических результа-
тов значительно более сложными и запутанными построениями. Несостоя-
тельной, по Брауэру, оказывается даже обычная элементарная геометрия
(статья о противоречивости элементарной геометрии написана Брауэром
в 1949).
В 1908 Брауэр получил некоторые результаты, явившиеся одним из исходных
пунктов развития конструктивной логики (см. о ней Логика математическая).
53БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 319.
184
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Так как предложения конструктивной логики настойчиво, хотя и не закономер-
но, используется Брауэром и его последователями для обоснования философских
положений И., то в буржуазной литературе конструктивная логика часто непра-
вильно называется интуиционистской.
ИНФОРМАЦИЯ54 — основное понятие кибернетики (см.*). Можно
считать общепонятным представление о том, что наше мышление способ-
но перерабатывать И., содержащуюся в тех или иных «данных», в выво-
ды относительно интересующих нас величин или явлений (например, И.,
содержащуюся в уравнении х2 = 1, в вывод о том, что х = ±1, или ре-
зультаты наблюдений сети метеорологических станций за данный день в
прогноз погоды на следующий день). В кибернетике такого рода представ-
ления обобщаются и принимается, что при любом процессе управления или
регулирования, осуществляемом живым организмом (сознательно или бес-
сознательно) или автоматически действующей машиной, происходит пере-
работка содержащейся во «входных сигналах» И. в «выходные сигналы».
Теория И. (см. статью Информации теория, 51 т.), возникшая из нужд
техники связи, рассматривает электрические импульсы, тире и точки на
телеграфной ленте и т. п. объекты как носителей И. Во всех этих слу-
чаях можно говорить о количестве И., ее большей или меньшей полноте,
надежности и т. п. Вопрос о точном определении самого понятия и смысла
различных высказываний об И. возникал и благополучно решался в при-
менении к различным частным случаям с давних пор. Но во всей широте
такого рода логические проблемы возникают лишь в кибернетике и
теории И.
И. можно рассматривать с точки зрения ее 1) количества, 2) содержа-
ния, 3) способа задания.
Пример 1. При задании пятизначного числа в указании его тысяч и со-
тен содержится столько же И., как и в указании его десятков и единиц, и
вдвое больше, чем при указании одних единиц. И., содержащаяся в ука-
зании одних единиц, содержится в И., доставляемой указанием единиц и
десятков, и составляет по количеству ее половину.
Пример 2. И. относительно неизвестных х я у, доставляемая соотноше-
нием
х2-у2 = 0, (1)
содержится в И., доставляемой соотношением
z - у = О, (2)
54БСЭ-2. — 1958. — Т. 51. — С. 129-130. Перепеч.: Вероятность и математическая
статистика: энциклопедия. — 1999. — С. 882-883.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
185
[так как из (2) вытекает (1)], но не совпадает с ней [так как уравнения (1)
и (2) не равносильны]. И., содержащаяся в соотношениях (2) и
х + у = 0, (3)
совпадает с информацией, даваемой равенствами
х = 0, у = 0 (4)
[так как система уравнений (2)-(3) равносильна системе (4)]. И., содержа-
щиеся в системах (2)-(3) и (4), отличаются только по форме задания.
Более сложные вопросы относительно условий совпадения по содержа-
нию И., доставляемой различными данными, возникли в математической
статистике и были в основном решены английским статистиком Р. Фише-
ром (1921). Статистика имеет дело с большим числом результатов наблю-
дений и обычно заменяет их полное перечисление указанием некоторых
«свободных характеристик». Иногда при такой замене происходит «потеря
И.», но при некоторых условиях сводные характеристики содержат всю И.,
содержащуюся в полных данных. В этом случае сводные характеристики
образуют систему достаточных статистик (см.* т. 51) задачи.
Первые отчетливые предложения об общих способах измерения коли-
чества И. принадлежат, по-видимому, Р. Фишеру (в связи с вопросами ма-
тематической статистики) и Р. Хартли (в связи с вопросами хранения И. в
запоминающих устройствах и передачей И. по каналам связи). Свое окон-
чательное выражение эти предложения нашли в теории И., созданной аме-
риканским ученым К. Шенноном (1948).
Пусть заранее известно, что явление а может произойти в одном из
вариантов
> О 2 > • • • > О-т >
сообщение же b о нем может иметь один из видов
61, ^2) • • • ,6П.
В теории И. предполагается, что а и b имеют совместное распределение
вероятностей
Р(а = ai, b = bi) = p(a,i, bi)-,
оно определяет распределения а и b в отдельности:
P(«i) = Е^Л).
j
186
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
По Шеннону, количество И., содержащееся в Ь относительно а, равно
Ла> b) = bi) log2 (5)
p(<h)p(M
(в теории И. логарифмы берутся по основанию 2). Если каждому bj соот-
ветствует одно единственное а,, для которого вероятность p(ai,bj) положи-
тельна, т. е. если ai однозначно определяется заданием bj, то, как легко
вычислить:
= H(a) = 52p(ai)log2p(a»). (6)
Величина H(a) есть энтропия распределения р(а,); она равна полному ко-
личеству И., необходимому, чтобы точно указать, какой вариант а, явления
а осуществился. Во всех остальных случаях, когда задание bj еще не опре-
деляет однозначно а,,
7(а,6) < Я(а).
Всегда
ЛМ)>0;
равенство
I(a,b) = О
имеет место в том и только в том случае, когда а и b независимы, т. е.
р(а»Л) =p(ai)p(bj).
Количество И. при однозначном указании осуществившегося варианта яв-
ления a
I(a,a) = Я(а)
достигает максимума
Я(а) = log2 m
в случае
p(ai) = p(a2) = • • = p(am) = —.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
187
Этот результат соответствует другому возможному представлению о коли-
честве И., свободному от представления теории вероятностей. Если
2 ТП < 2 ,
то приближенно
H(a) = log2 тп п;
число же п есть число двоичных знаков (0 или 1), достаточное для записи
по двоичной системе счисления любого целого числа в пределах 1 i т,
т. е. номера любого из возможных значений а7.
ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ55 - операция нахождения по
системе уравнений с несколькими неизвестными системы уравнений (или
одного уравнения), содержащей только часть из неизвестных. Например,
из двух уравнений
х 4- у + z = О,
х — 2у — z = О
можно исключить z и получить уравнение
2х — у = О,
содержащее только х и у. Об общих методах И. н. см. Результант.
ИСПЫТАНИЕ56 — понятие теории вероятностей. И., рассматривае-
мые в [элементарной — Ред. 4-го тома Избр. трудов] теории вероятно-
стей (см.), могут иметь один (и только один) из исходов Ai,..., Ап. Каж-
дый исход И. рассматривается как «событие», имеющее определенную ве-
роятность P(Afc)- При этом всегда -Р(А*) = 1.
ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД57, метод доказательства, применяв-
шийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. На-
звание «метод исчерпывания» введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложе-
на в современных обозначениях так: для определения величины А строится
некоторая последовательность величин Ci, С2, • • •, Сп,... так, что
Cn < А; (1)
55БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 483.
56БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 604.
57БСЭ-3. - 1972. - Т. 10. - С. 586. Стлб. 1745-1746. См. также: БСЭ-2. - 1953. -
Т. 19. - С. 50-51.
188
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
предполагают также известным такое В, что
Сп < в (2)
и при любом целом К для достаточно больших тг удовлетворяются нера-
венства
К(А - Cn) < D, К(В - Cn) < D, (3)
где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от нера-
венств (3) к равенству
А = В (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Пт (Л — Сп) = 0, Пт (В — Сп) = 0, А = Пт Сп = В.
п—»ое п—+ОО п—►ОС
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались
к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из
неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи
аксиомы Евдокса-Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что
для R = В - А существует такое К, что KR > £), и в силу условия (1)
получали
К(В - Сп) > К(В -A)>D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось
другое предположение. После этого оставалось принять только равен-
ство (4).
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписыва-
ется Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с
особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для опреде-
ления площади сегмента А параболы Архимед строит площади Ci, С2,..
«исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь А сегмента,
по схеме, ясной из чертежа. При этом
С2 — Ci 4- - (71, ..., Сп = Ci + - (71 + • • + j (71.
4 4 4П-1
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,
А = lim Сп = Г1 + -7 + тт + -- -)(71 ~
п—оо \ 4 16 / 3
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
189
Архимед геометрически
А-Сп<^С1.
Вводя площадь
Архимед получает, что
в-с" = г^с'
Сх С2
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство то-
го, что
А = В= |Ci.
КВАДРАНТ58 (от лат. quadrans — 4-я часть) — 1) К. плоскости —
любая из четырех областей (углов), на которые плоскость делится двумя
взаимно перпендикулярными прямыми, принятыми в качестве осей коор-
динат. 2) К. круга — сектор с центральным углом в 90°, | часть круга.
КИБЕРНЕТИКА59 [от греч. KuPepvT|TiKaT] (тетрс) — искусство уп-
равления, от KUpepvaco — правлю рулем, управляю] — научное направ-
ление, задачи которого были сформулированы в работах американского
ученого Н. Винера, опубликованных в 1948: по Винеру и его последова-
телям, К. есть наука о «связи», «управлении» и «контроле» в машинах
и живых организмах. Не исключаются из рассмотрения и случаи, когда
указанные функции (связи, управления и контроля) осуществляются кол-
лективами людей или людьми при помощи машин. Для уточнения и огра-
ничения приведенного определения следует указать более отчетливо, чтб
именно К. понимает под связью, управлением и контролем. К. изучает ма-
шины, живые организмы и их объединения исключительно с точки зрения
их способности воспринимать определенную «информацию», сохранять эту
информацию в «памяти», передавать ее по «каналам связи» и перерабаты-
вать ее в «сигналы», направляющие их деятельность в соответствующую
сторону. Процессы восприятия информации, ее хранения и передачи на-
зываются в К. связью, переработка воспринятой информации в сигналы,
направляющие деятельность машин и организмов, — управлением. Если ма-
шина или организм способны воспринимать и использовать информацию
58БСЭ-2. - 1953. - Т. 20. - С. 434.
59БСЭ-2. - 1958. - Т. 51. - С. 149-151.
190
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
о результатах своей деятельности, то говорят, что они обладают органа-
ми обратной связи (см.); переработка такого рода информации в сигналы,
корректирующие деятельность машины или организма, называется в К.
контролем или регулированием. Поэтому К. определяют также как науку о
способах восприятия, хранения, переработки и использования информации
в машинах, живых организмах и их объединениях.
Второе определение более отчетливо подчеркивает своеобразие К. и
центральное значение для К. понятия информации (см.*, 51 т.). В литера-
туре по К. обычно подчеркивается, что осуществляющие связь, управление
или контроль искусственные устройства или естественные органы рассмат-
риваются в К. исключительно как носители или преобразователи инфор-
мации. Большое значение в К. имеет понятие «количества информации»,
введенное в явной форме американским ученым К. Шенноном (1948). Роль
этого понятия в К. сравнивают иногда с ролью понятия энергии в физике.
Наоборот, конкретная материальная природа хранящих, передающих или
перерабатывающих информацию устройств и органов, как и количество
затрачиваемой на их работу энергии, являются с точки зрения К. подчи-
ненными обстоятельствами. В процессе эволюции живых организмов воз-
никли тончайшие механизмы хранения огромного количества информации
в ничтожных объемах (например, механизм наследственности, сохраняю-
щий в одной клетке весь запас видовых признаков взрослого организма), а
также механизмы, способные воспринимать и перерабатывать огромное
количество новой информации с ничтожной затратой энергии (напри-
мер, механизмы памяти и мышления в коре головного мозга). В этом
же направлении идет и развитие техники при сооружении средств свя-
зи, управляющих и регулирующих автоматических устройств и вычис-
лительных машин.
Много дискутировавшийся вопрос о праве К. на существование в ка-
честве самостоятельной научной дисциплины сводится к вопросу о том,
насколько существенны общие черты всех процессов связи, управления и
контроля, т. е. могут ли общие свойства этих процессов в машинах, живых
организмах и их объединениях быть предметом достаточно содержатель-
ной единой теории. На этот вопрос следует ответить с полной определен-
ностью утвердительно, хотя в направлении систематического построения
К. сделаны лишь первые шаги.
Наиболее сложившимся разделом К. является теория информации (см.
статью Информации теория, 51 т.), посвященная способам вычисления
и оценки количества информации и исследованию на этой основе про-
цессов хранения и передачи информации. Преобразование информации
рассматривается здесь лишь в той мере, в какой оно необходимо для при-
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
191
способления информации к хранению в данном запоминающем устройстве
или для передачи по данному каналу связи (в терминологии теории ин-
формации — «кодирование» на входе канала связи и «декодирование» на
выходе). Вводимые в теории информации понятия «емкости» запоминаю-
щего устройства и «пропускной способности» канала связи и общие выводы
теории информации, относящиеся к способам осуществления надежного
хранения и передачи информации при наличии «помех» (или в акустиче-
ской терминологии — «шумов»), имеют весьма разнообразные применения
как в технике, так и для понимания устройства органов чувств, нервной
системы и аппарата фиксации наследственных свойств живых организмов.
Другие отделы К. посвящены различным видам более глубокого
преобразования информации. Контуры общей теории, охватывающей все
разнообразные применения, здесь пока менее ясны, но уже сейчас несо-
мненна плодотворность сравнительного изучения процессов преобразова-
ния информации в нервной системе (при рефлекторной, условно-рефлек-
торной ее деятельности и в процессах мышления), в процессе эволюции
видов (при накоплении полезных в борьбе за существование наследствен-
ных признаков), в приборах автоматического управления и регулирования,
в современных вычислительных машинах и т. п. Автоматические управля-
ющие, регулирующие и вычислительные устройства, впрочем, и возникли
из стремления переложить на них некоторые функции, выполнявшиеся ра-
нее человеком; поэтому вполне естественно, что процессы преобразования
информации в этих устройствах имитируют процессы преобразования ин-
формации в нервной системе человека, в простейших случаях процессы
рефлекторной деятельности, а в более сложных — работу мышления. Но-
вейшее развитие автоматов и вычислительных машин зашло так далеко,
что приобретенный при их проектировании и эксплуатации опыт часто те-
перь способен давать руководящие указания при попытках рационального
объяснения работы нервной системы.
Из имеющих общий интерес выводов К. отметим все более укрепляю-
щееся убеждение в существенных преимуществах: 1) фиксации больших
количеств информации в дискретной форме, т. е. в виде большого числа
отдельных знаков, каждый из которых способен принимать лишь малое
число значений — лучше всего только два, 2) разложения любых слож-
ных преобразований информации на отдельные шаги, каждый из которых
затрагивает только небольшое число знаков. Одним из преимуществ дис-
кретной записи информации является ее устойчивость по отношению к
«помехам» и возможность сохранять ее даже при значительных помехах
практически неограниченно долго. Простые и гибкие способы разложения
любого преобразования информации, записанной в форме большого числа
двоичных знаков, на простейшие операции разработаны логикой матпема-
192
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
тической (см.). На этих принципах построены все современные большие
универсальные вычислительные машины. В процессе естественной эволю-
ции живых организмов устройство наследственного аппарата животных и
растений и нервной системы животных и человека, по-видимому, тоже при-
шло если не к полному осуществлению этих принципов в наиболее чистом
виде, то к широкому их использованию.
Из других общих идей кибернетических исследований отметим раз-
работку представлений об «ультраустойчивости», или «мультиустойчиво-
сти». Дело идет здесь о регулирующих механизмах второго порядка, кото-
рые, накапливая информацию о результатах деятельности того или иного
управляющего или регулирующего механизма первого порядка, способны
использовать эту информацию для целесообразного изменения устройства
и способа действий этого механизма первого порядка. Классическим образ-
цом такого регулирования второго порядка является механизм выработки
условных рефлексов (см.). Над системой уже установившихся, выработан-
ных рефлексов, т. е. связей между внешними раздражителями и реакция-
ми организма, здесь господствует механизм выработки новых рефлексов.
Входными сигналами для этого механизма являются «подкрепления», по-
лучаемые в случае соответствия реакции нуждам организма, и «торможе-
ния» — в случае несоответствия. В недавнее время были построены экс-
периментальные «самообучающиеся» машины, работа которых имитирует
процессы выработки условных рефлексов, так что в подобном регулирова-
нии второго порядка нельзя усматривать какой-либо специфической осо-
бенности живых организмов.
К. использует большой и часто своеобразный математический аппа-
рат, который может быть назван «математической К.» (по аналогии с
«математической физикой»). Работа управляющих и регулирующих си-
стем поддается схематическому изучению, при котором конкретная приро-
да «множества возможных состояний системы», «множества возможных
воздействий» и «множества возможных реакций» оказывается несущест-
венной. Излагаемая таким абстрактным образом теория автоматов превра-
щается в теорию чисто математического характера. В случае автоматов
дискретного действия она очень близка к теории конечных алгоритмов
(см.*). В К. входит, однако, также сравнительное изучение конкретных
систем хранения, передачи и переработки информации и обсуждение осо-
бенностей и возможностей различных принципов осуществления (меха-
нических, электромагнитных, химических и т. п.), которые существенно
опираются на данные механики, физики, химии и биологии. Совокупность
этих вопросов можно объединить под названием «технической К.».
Материальной основой возникновения К. и возрастающего к ней инте-
реса является создание и распространение машин и всевозможных тех-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
193
нических устройств, специально предназначенных для переработки (или
хранения и передачи) информации. К. возникла, когда приборы автомати-
ческого управления и регулирования стали включать в себя специальные
счетно-решающие устройства и управляться кодированными сигналами,
когда при конструировании вычислительных машин остро встали вопросы
об объеме их «памяти» или о доступных им логических операциях и т. д. Не
следует, однако, считать всю теорию автоматического управления и регу-
лирования частью К.; например, изучение конкретного устройства испол-
нительных органов автоматов или их расчет с точки зрения минимальных
затрат энергии при воздействии на регулируемую систему не являются во-
просами К. Аналогично отношение К. к исследованию операций и теории
игр (см. статьи Операций исследование и Игр теория, 51 т.): экстремаль-
ные задачи выбора рациональной с той или иной точки зрения «стратегии»
не являются сами по себе задачами К., но К. находит применение при ис-
следовании операций и в теории игр в вопросах оценки, необходимой для
решения задач из этих областей информации и выбора рациональных спо-
собов преобразования информации.
Наиболее дискуссионным вопросом К. является вопрос о пределах воз-
можной замены функций человеческого мышления работой машин. Уже
созданные машины, играющие в шахматы (пока на уровне не сильного
игрока), или машины для автоматического перевода с одного языка на
другой, разработанные методы автоматического составления программ для
универсальных вычислительных машин, включающие выполнение слож-
ных рядов разнообразных логических операций, показывают, что возмож-
ности современной техники в этом отношении очень велики. В принципе
следует считать, что любая строго ограниченная и формально описан-
ная область мыслительной деятельности может быть передана машинам.
Принципиальное отличие работы машины от человеческого мышления
состоит не в существовании каких-либо особенно тонких и сложных от-
дельных операций, выполняемых человеческим мозгом и не могущих быть
автоматизированными и переданными машинами, а в том, что машины
выполняют лишь вспомогательные операции в соответствии с целями, по-
ставленными человеком.
Лит.: Wiener N., Cybernetics or control and communication in the animal and
the machine, [6 print], N. Y.-P., (1949]; его же, The human use of human beings.
Cybernetics and society, 2 ed., N. Y., 1956; Соболев С. Л., Китов А. И. и Ляпунов A. A.,
Основные черты кибернетики, «Вопросы философии», 1955, К*4; Цянь Сюэ-сэнь,
Техническая кибернетика, пер. с англ., М., 1956; La cybernetique. Th£orie du signal
et de 1’information. Reunions d’etudes et de mises au point tenues sous la pr6sidence de
Louis de Broglie, P., 1951; Bush R. R. and Mosteller F., Stochastic models for learning,
N. Y.-L., 1955; Ashby W. R., An introduction to cybernetics, L., 1956; его же, Design
for a brain, Reprint, N. Y., 1954.
194
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
КОМПАКТ60 — компактное метрическое пространство; в частности,
любое компактное в себе множество эвклидова пространства любого числа
измерений. См. компактность.
КОНСТАНТА61 (от лат. constans — постоянный, неизменный) — по-
стоянная величина в математических, физических и химических исследо-
ваниях. Постоянство величины х символически записывают х = const. Кон-
станты часто обозначают буквами С и К.
КОНТИНУУМ62 (от лат. continuum — непрерывное) в математике,
термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих извест-
ными свойствами непрерывности (полные формулировки см. в 1 и 2), и для
обозначения определенной мощности (см. Мощность множества), а имен-
но, мощности множества действительных чисел (см. 3).
1) Наиболее изученным непрерывным образованием в математике яв-
ляется система действительных чисел, или так называемый числовой К.
Свойства непрерывности системы действительных чисел могут быть оха-
рактеризованы различными способами (при помощи различных «аксиом
непрерывности»). Если основным понятием считать понятие неравенства
(а < Ь), то непрерывность числового К. можно, например, охарактеризо-
вать следующими двумя положениями: а) между любыми двумя числами
а < Ь лежит по крайней мере еще одно число с (для которого а < с < Ь)\
б) если все числа разбиты на два класса А и В так, что каждое число а
класса А меньше любого числа b класса В, то либо в классе А есть наиболь-
шее число, либо в классе В есть наименьшее число (аксиома непрерывности
Дедекинда).
2) В топологии, являющейся не чем иным, как геометрией непрерывно-
сти, свойства непрерывности пространства или любого множества форму-
лируются при помощи понятия предельной точки. Основное понятие связ-
ности множества, лежащего в топологическом пространстве (или всего про-
странства), определяется так: множество М называется связным, если при
любом разбиении его на два непересекающихся непустых подмножества А
и В найдется хотя бы одна точка, принадлежащая одному из них и предель-
ная для другого. К. в топологии называется любой связный компакт (см.
Компактность). Среди множеств, лежащих на прямой или в п-мерном
евклидовом пространстве, компактами являются замкнутые ограниченные
множества. Таким образом, в евклидовых пространствах К. можно опре-
делить как связные замкнутые ограниченные множества. Единственными
60БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 282.
61БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 416.
62Печатается по изданию: БСЭ-3. — 1973. — Т. 13. — С. 64. — Стлб. 179-180. См. также:
БСЭ. - 1937. - Т. 34. - С. 139-140; БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 454-455.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
195
К. в этом смысле, лежащими на числовой прямой, являются отрезки (т. е.
множества чисел, удовлетворяющих неравенствам а х Ь). По строгому
смыслу этого принятого в топологии определения множество всех действи-
тельных чисел не есть К.
3) Мощность множества действительных чисел называют мощностью
К. и обозначают готической буквой с или древнееврейской буквой R
(«алеф») (в отличие от других мощностей — без индекса). Каждый топо-
логический К. имеет ту же мощность с. Известно, что мощность с больше
мощности Ro счетных множеств. В решении вопроса, является ли мощность
К. ближайшей следующей за Ro мощностью, заключается так называемая
континуума проблема.
Лит. см. при статье Множеств теория.
КООРДИНАТЫ63 [от лат. со (cum) — приставка, означающая — сов-
местно, и ordinatus — упорядоченный, определенный] — числа, заданием ко-
торых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности
или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление
К. являются астрономические и географические К. — широта и долгота,
определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности
земного шара (см. Координаты небесные, Координаты географические).
В 14 в. французский математик Н. Оресм пользовался К. на плоскости для
построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называ-
ют абсциссой и ординатой. Более систематически К. стали применяться к
вопросам геометрии на плоскости в 17 в. Заслуга выяснения всего значения
метода К., позволяющего систематически переводить задачи геометрии на
язык математического анализа и, обратно, истолковывать геометрически
факты анализа, принадлежит французскому ученому Р. Декарту (см. об
этом в статье Аналитическая геометрия). Кроме К. точки, рассматривают
также К. прямой, плоскости и других геометрических объектов (см. ниже
раздел Координаты прямой, плоскости и т. п.). В теоретической механике
употребляют К. механических систем — числа, определяющие положение
механической системы (например, некоторого твердого тела) в каждый мо-
мент времени.
Координаты точки на плоскости. Аффинные, или общие декарто-
вы, К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (начало К.) и два
-------------------------------------► --->
не лежащие на одной прямой вектора О А и ОВ, исходящие из точки О.
Положение точки Р определяется (в выбранной системе К.) двумя К.: абс-
циссой
ОХ
х = -=у
ОА
63БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 524-525.
196
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
и ординатой
0Y
У = =г,
ОВ
где ХР параллельно О В и YP параллельно О А (см. рис. 1, где х — 2,
У=-1)- __>
В частном случае, когда векторы оА и ОВ перпендикулярны и имеют
одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные К.
Если угол между О А и О В произволен, но длины этих векторов одинаковы,
то получают те косоугольные К., рассмотрением которых ограничивался
сам Декарт (часто только их и называют декартовыми, сохраняя для общих
декартовых К. лишь название — аффинные К.).
Полярные К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс),
выходящий из нее луч ON (см. рис. 2) и единицу измерения длин. Коор-
динатами точки Р служат расстояние р = ОР и угол <р = Z.NOP. Чтобы
получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости
Р пару чисел (р, <р), достаточно рассматривать р и <р, подчиненные неравен-
ствам 0 р < оо, 0 <р < 2тг. За исключением точки О, для которой р = О,
а угол <р не определен, соответствие между точками Р, отличными от О, и
парами (р, <р), подчиненными указанным условиям, — взаимно-однозначно.
Из других специальных систем К. на плоскости следует отметить также
эллиптические координаты (см.).
В случае аффинных К. линии х = const образуют пучок прямых, парал-
лельных оси Оу, а линии у = const — другой пучок прямых, параллельных
оси Ох\ через каждую точку плоскости Р (хо,Уо) проходит одна прямая
первого пучка (х = жо) и одна прямая второго пучка (г/ = уо). В случае по-
лярных К., линии р = const являются окружностями, а линии <р — const —
лучами, выходящими из начальной точки О; через каждую точку Р, от-
личную от О, проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств;
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
197
отметки ро и у?о этих двух линий и являются К. точки Р. В более общем
случае можно рассмотреть в какой-либо области G плоскости две функции
точки и(Р) и v(P) такого рода, что каждая линия u(P) = const пересека-
ется с каждой линией семейства v(P) = const в пределах области G не
более чем в одной точке. Очевидно, что в этом случае числа и(Р) и v(P)
однозначно определяют положение точки Р в области G, т. е. являются К.
точки Р в этой области; линии, определяемые уравнениями u = const или
v = const, называют при этом координатными линиями.
Криволинейные координаты на поверхности. Изложенная идея
применима без всяких изменений и к введению криволинейных К. на про-
извольной поверхности. Например, для случая долготы <р и широты 0 на
сфере линиями <р = const являются меридианы, а линиями 0 = const —
широтные круги, расположение которых всем хорошо известно из элемен-
тов географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К.
на произвольной поверхности являются основным аппаратом дифферен-
циальной геометрии поверхностей.
Следует иметь в виду, что даже на «гладких» поверхностях криволинейные
К., подчиненные требованию непрерывного и взаимно-однозначного соответствия
между точками Р и парами чисел (u,v), могут, вообще говоря, быть введены
только «локально» в окрестности произвольно заданной точки Pq. При выходе из
области (7, где определена данная система К. (tz, v), приходится переходить к дру-
гой системе К. Уже обычные географические К. на сфере в окрестности полюсов
(так как долгота полюса неопределенна) должны быть заменены (при желании
сохранить взаимную однозначность и непрерывность соответствия) какой-либо
другой системой.
Однородные координаты на плоскости. Эвклидова плоскость, дополнен-
ная бесконечно удаленными элементами (см.*), может рассматриваться с проек-
тивной точки зрения как замкнутая поверхность (см. Проективная плоскость),
на которой бесконечно удаленные точки не играют какой-либо особой роли. Как
и на всякой поверхности, на проективной плоскости можно «локально» ввести
многими способами К., характеризующие положение точки парой чисел (u,v).
На проективной плоскости с исключенными бесконечно удаленными точками для
этого могут служить прямоугольные К. (х,у). Но на всей проективной плоскости
введение такого рода К. с сохранением взаимной однозначности и непрерывности
соответствия невозможно. Вместо этого пользуются однородными К. При этом
каждой точке ставятся в соответствие не пары, а тройки чисел (xi, Х2, хз), при-
чем двум тройкам (ti , Х2, хз) и (a?i, х'2, х'3) соответствует одна и та же точка тогда
и только тогда, когда входящие в них числа пропорциональны, т. е. существует
такой множитель А, что
Xj ~ Хх 1, х2 ~ Ах2, х3 — Ахз;
простейшая система однородных К. легко получается из прямоугольной: для ко-
нечных точек (х, у) полагают
Х1 = tx, Х2 — t.y, хз = t,
198
IL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
где t /0 - произвольно; тройки (xi, Х2,0) соответствуют при этом бесконечно
удаленным точкам, лежащим на прямых
Х2% — Х1У = 0.
Другие системы однородных К. (iq, 112,1/3) получаются преобразованиями
1/1 = -НП12^2 + <213^31 1/2 = ^21X1 4-022^2+<123^3, и3 ~ ^31^1 + а32%2 + а33^3
из системы (х1,Х2,хз). Однородные К. играют большую роль в геометрии, не
только ввиду их естественности с проективной точки зрения, но и потому, что
многие формулы приобретают в них особенно симметричный вид; например, урав-
нение произвольной линии второго порядка записывается в однородных К. так:
« j
т. е. является однородным (все его члены имеют одну и ту же степень, равную
двум).
Координаты точки в пространстве. Аффинные, или общие декар-
товы, К. в трехмерном пространстве вводятся заданием точки О и трех
векторов ех = О А, еу = ОВ, е2 = ОС, не лежащих в одной плоскости. Для
получения К. х, у, z точки Р вектор ОР представляют в виде
---►
OP = хех + уеу + ze2.
В простейшем случае прямоугольных К. векторы ех, еу, е2 имеют единич-
ную длину. В пространстве возможны два существенно различных типа
систем прямоугольных К.: правая система (см. рис. 3, где еу и е2 лежат
в плоскости чертежа, а ех направлен вперед, к читателю) и левая систе-
ма (см. рис. 4, где ех и е2 лежат в плоскости чертежа, а еу направлен к
читателю).
В пространстве пользуются также системами криволинейных К., общая
схема которых такова: в какой-либо области G пространства рассматрива-
ются три функции точки u(P), и(Р), w(P), подчиненные условию, чтобы
через каждую точку Р области G проходила одна поверхность семейства
u = const, одна поверхность семейства v = const и одна поверхность се-
мейства w = const. Тем самым каждой точке ставятся в соответствие три
числа (и, и,ш) — ее К. Поверхности, определяемые уравнениями u = const
или V = const, или w = const, называют координатными.
В приложениях (к механике, математической физике и пр.) наиболее употре-
бительны следующие системы криволинейных К.:
а) Сферические К.; вводятся заданием плоскости П, лежащей на ней точки
О (полюса), луча Ох, лежащего в П, и луча Oz, перпендикулярного к П.
Если М — какая-нибудь точка пространства, N — ее проекция (ортогональная)
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
199
г = const есть сфера.
б) Цилиндрические К. (р, ср, z); вводятся так же, как и сферические К. Здесь
p = ON, <р = £xON, z = ±2VAf
(+ или - в зависимости от того, совпадают ли направления NM и Oz или про-
тивоположны). Границы изменения:
О < р < -hoc, 0 <р < 2тг, —ос < z < -Foo.
Координатная поверхность р = const является цилиндром. См. также Эллипсои-
дальные координаты.
Введение однородных координат в пространстве аналогично плоскому
случаю.
200
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Координаты прямой, плоскости и т. п. Принцип двойственности (см.
Двойственности принцип), устанавливающий равноправность точек и прямых
в геометрии двух измерений и равноправность точек и плоскостей в геометрии
трех измерений, подсказывает ту мысль, что с помощью особых К. могут быть
определены положения прямых и плоскостей. Действительно, если, например, в
прямоугольных К. уравнение прямой (не проходящей через начало К.) приведено
к виду их + vy -I- 1 = 0, то числами и и v (u = v — -j, где о и b суть
«отрезки», отсекаемые прямой на осях) вполне определяется положение прямой;
можно принять (и, и) за К. (тангенциальные координаты, см.) прямой линии.
Симметричность уравнения их+vy+l = 0 относительно пар (х, у) и (и, и) является
аналитическим выражением принципа двойственности. Если уравнение прямой
написано в однородных К. (х1,хг,хз) в форме 4- U2X2 -F U3X3 = 0, то три
числа, пропорциональные коэффициентам щ, U2, U3, принимают за однородные
тангенциальные К. этой прямой. В геометрии пространства, исходя из уравнения
их 4- vy 4- wz 4- 1 =0 или щх\ 4- U2X2 4- U3X3 4- U4X4 = 0 плоскости, аналогичным
образом определяют неоднородные (u,v,w) или однородные (ui : 112:^3: щ)
тангенциальные К. плоскости.
Дальнейшие обобщения. Вполне аналогично случаям п = 2 (плоскость,
поверхность) и п = 3 (трехмерное пространство) употребление К. для определе-
ния положения точки в n-мерном пространстве. Необходимое для определения
положения точки в n-мерном пространстве число К. равно числу измерений п, но
иногда употребляются «избыточные» К. в числе т > п, подобные рассмотренным
выше однородным К.
Например, в качестве К. прямых в четырехмерном многообразии прямых
обычного четырехмерного пространства можно употреблять шестерки (0^,02,03,
Ь1,Ь2,Ьз) коэффициентов параметрического представления прямой
x = oit^bi, y = O2t + b2, z = a2t + b3
и т. п. См. также Плюккеровы координаты, Тетрациклические координаты, Пен-
тасферические координаты.
Лит. см. при статье Аналитическая геометрия.
КОРРЕЛЯЦИЯ64 (мат.), связь между явлениями. Понятие К. более
обще, чем понятие функциональной зависимости (см. Функция). Напри-
мер, известно, что у родителей большого роста чаще родятся дети большо-
го роста, чем у родителей малого роста. Однако, зная рост отца и матери,
нельзя еще в каждом отдельном случае вычислить рост ребенка. К. между
двумя явлениями возникает: или если одно из них входит в число причин,
определяющих другое, или если имеются общие причины, воздействующие
на оба явления. Для того, чтобы суждение о К. между двумя явления-
ми имело определенный объективный смысл, необходимо (за исключением
частного случая функциональной зависимости), чтобы рассматриваемые
64БСЭ-2. — 1958. — Т. 51. — С. 129-130. Перепеч.: Вероятность и математическая
статистика. — 1999. — С. 883-884.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
201
явления могли повторяться неограниченное число раз и можно было гово-
рить о вероятностях (см.), могущих возникнуть при этом комбинаций.
К. между двумя событиями. Рассмотрим два события А и В. Бу-
дем обозначать через А событие, противоположное А (т. е. заключающееся
в том, что событие А не происходит), и через В — событие, противопо-
ложное В. Если каждый раз, как происходит событие А, происходит и В,
и, наоборот, каждый раз, как происходит В, происходит и А, то события
А и В связаны между собой прямой функциональной зависимостью. Ес-
ли же событие А происходит тогда и только тогда, когда событие В не
происходит, то А и В связаны обратной функциональной зависимостью.
За исключением этих двух крайних случаев, для оценки связи между со-
бытиями А и В неизбежно воспользоваться понятием вероятности. Пусть
ВДВ) есть вероятность события В при условии, что событие А произо-
шло, а ВДВ) — вероятность события В, при условии, что событие А не
произошло. Если ВДВ) = ВЛ(В), то событие В независимо от события А.
Разность рв = Рд(В) — РА(В) называется коэффициентом регрессии собы-
тия В относительно события А.
Рассмотрим такой пример: при лечении дифтерии применяется про-
тиводифтерийная сыворотка. Обозначим применение сыворотки через А,
выздоровление больного через В. Если бы при применении сыворотки все
больные выздоравливали, а без ее применения — умирали, то мы имели бы
прямую функциональную зависимость; если бы Вд(В) = ВЛ(В), т. е. если
бы количества случаев выздоровления были бы одинаковы как при приме-
нении сыворотки, так и без нее, то, очевидно, применение сыворотки было
бы бесцельно, так как, в соответствии с данным выше определением, со-
бытие В (выздоровление) было бы независимо от события А (применения
сыворотки). Если же, например, Рд(В) = 0,97, а ВДВ) = 0,85, то коэф-
фициент рв = 0,12 показывал бы наличие положительной связи между
применением сыворотки и выздоровлением.
Коэффициент регрессии рв равен +1 при положительной функцио-
нальной связи, нулю — при независимости В от А и —1 — при отрицатель-
ной функциональной связи; в остальных случаях он принимает значения
между —1 и 4-1, не равные нулю. Во многих вопросах нет никаких основа-
ний измерять связь между А и В непременно при помощи коэффициента
рв, а не при помощи аналогичного коэффициента регрессии рд = Рв(А) —
Рв(А) события А относительно В. В этом случае может быть удобен ко-
эффициент К. между событиями А и В: R = ±урд рв- Знак R должен
совпадать со знаком обоих коэффициентов регрессии (они имеют всегда
одинаковый знак). Коэффициент К. обращается в нуль тогда и только то-
гда, когда события А и В независимы (если событие В независимо от А,
202
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
то, как легко доказывается, и событие А независимо от В), и равняется ±1
в случае функциональной зависимости и только в этом случае.
К. между двумя величинами. Величина у зависит функционально
от величины х, если каждому значению х соответствует вполне определен-
ная величина у = f(x). Если такой зависимости нет, то в случае статисти-
ческих (неограниченно повторяющихся с определенными вероятностями)
явлений мы можем определить для каждого возможного значения х со-
ответствующее математическое ожидание (см.) Ех(у) = величины
у при условии заданного значения х (мы оставляем в стороне имеющие
чисто теоретический интерес случаи, в которых математическое ожидание
бесконечно или неопределенно). Уравнение у = f(x) называется уравнени-
ем регрессии величины у относительно х, а линия у = f(x) на плоскости
(х, у) — линией регрессии у относительно х. Обозначим ау — Е(у) матема-
тическое ожидание у (безусловное математическое ожидание). В случае,
если величины х и у независимы, уравнение регрессии имеет вид у = ау
[так как тогда Ez(y) = Е(у) = ау]. Заметим, что из того, что уравнение
регрессии есть у = ау, еще не следует независимости х и у\ например, с
изменением х математическое ожидание у может оставаться неизменным,
но средняя колеблемость у, измеряемая хотя бы при помощи ЕДу — ау)2,
может зависеть от х. Естественно желание определить, насколько хорошо
уравнение регрессии передает изменение у, иначе говоря, в какой мере за-
висимость между х и у близка к функциональной. На этот вопрос дает
ответ корреляционное отношение у к х [введено Пирсоном (см.)]:
Е[у - Ех(^)]2
Efiz-aj)2
Ру = 0 тогда и только тогда, когда уравнение регрессии имеет вид
у = ау, т. е. математическое ожидание у не зависит от х; Ру = +1 в случае
функциональной зависимости у от х. В остальных случаях Ру принимает
промежуточное значение между 0 и 4-1.
Практически приходится вычислять уравнение регрессии по ограничен-
ному числу наблюдений, имеющих ограниченную точность. Данные опыта
непосредственно выражаются корреляционной таблицей, в которой указы-
вается, в каком числе наблюдений получилась данная комбинация значе-
ний величин х и у (см. схематический пример на табл. 1).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
203
Таблица 1.
У X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 — 1 - - — — — 1 1
2 1 1 2 - - - 1 2 — 2
3 - 2 1 3 1 1 - 4 2 -
4 - — 1 4 3 4 1 - -
5 - - - - 2 3 - - - -
Если на каждое отдельное значение х приходится достаточно много от-
дельных наблюдений, то линия регрессии у = f(x) может быть прибли-
женно определена очень просто: для каждого значения х = х^ определя-
ется среднее значение уг величины у в наблюдениях с данным значением
= Xilk = f(xi) и представляет приближенно линию регрессии. Однако,
если число наблюдений, соответствующих каждому значению х = Xi, недо-
статочно велико, то такой метод может привести к совершенно случайным
результатам.
Таблица 2 дает yit соответствующие данным табл. 1. Уже простой здра-
вый смысл подсказывает, что линия регрессии у = f(x) должна, начинаясь
примерно с 1,5 при х = 1, подниматься примерно до 4 около х = 5 или б
и вновь спускаться при дальнейшем возрастании х. Однако такие обстоя-
тельства, как, например, дополнительный максимум у{ при х = 2 с после-
дующим уменьшением у, при х = 3, могут при данном числе наблюдений
считаться чисто случайными.
Таблица 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vi 1,5 2,7 2,0 3,2 4,1 4,4 3,4 2,8 2,2 1,7
Нормальная К. между двумя величинами. В силу ряда основа-
ний, которые с наибольшей полнотой были теоретически изучены акад.
С. Н. Бернштейном, корреляционная зависимость между двумя величина-
ми х и у в очень многих случаях с известным приближением является
нормальной, т. е. вероятность того, что точка с координатами х и у попа-
дает в какую-либо область g плоскости (х, у), приближенно изобразится
интегралом
dxdy,
1 /у ( -1 Г(х - ах)2 (у - ау)2 2R(x — ах)(у — ау)
дУЛеХР12(1-Я2) L а2 + <т2 ахау
где Д = 2тгахау\/1 — R2', ау = Е(у) и ау = + \/Е(у — а^)2 — математическое
ожидание и среднее квадратичное отклонение величины у, ах = E(z) и
204
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ох = = +у/Е(ж — От)2 — математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение величины х и, наконец, R — коэффициент К. величин х и у:
Е{(а-Л)(у-ау)}
гС — ----------------.
&Х °у
В случае нормальной К. уравнение регрессии у = /(х) имеет вид:
У ~ ау 4” ру(х 0-х),
где
л — Р °у
Ру — К 1
&х
т. е. линия регрессии в случае нормальной К. есть прямая. Корреляцион-
ное отношение Пирсона Ру равно в случае нормальной К. коэффициенту
корреляции R. Употребление коэффициента К. в качестве меры зависимо-
сти между х и у в случае связей, сильно отличающихся от нормальной,
приводит иногда к ошибочным выводам, так как коэффициент К. может
равняться нулю даже в случае, когда у функционально зависит от х. Таб-
лица 1 также представляет пример довольно сильной связи у с х, при ко-
торой, однако, коэффициент К. близок к нулю. Заметим еще, что в случае
нормальной К. уравнение регрессии х относительно у есть
Ях ”Ь Рх{,У ау),
где
ПОХ
рх = R-.
ау
Коэффициенты ру и рх называются коэффициентами регрессии у относи-
тельно х и х относительно у. Знак рх и ру всегда одинаков (и совпадает с
знаком R). Очевидно, R = +у/рх Ру Фактическое вычисление коэффици-
ента К. производится по формуле
= ~ ~ У)
-*)2Е(и - у)2’
где x=^^,Xi, y=j[^2yi, n — число наблюдений, а х, и у, — значения х
и у при г-м наблюдении. Эта формула дает непосредственно так называ-
емый эмпирический коэффициент К. R* данного ряда наблюдений. При
большом числе п отдельных наблюдений R* близок к истинному коэффи-
циенту К. R.
Таблица 3 дает пример корреляционной связи, хорошо согласующейся
с гипотезой нормальной К. Эмпирический коэффициент К. R* здесь ра-
вен 0,6279. Число наблюдений вполне достаточно, чтобы считать, что R
достаточно близко к R".
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
205
Таблица 3.
Корреляционная связь между ростом и весом призывников
Вес в кг Рост в см
До 154 154- 158 158- 162 162- 166 166- 170 170- 174 174- 178 178- 182 Более 182
До 45 32 42 29 9 1 2 - - -
45-49 63 304 421 233 60 9 3 - -
49-53 40 273 952 1050 433 91 13 2 -
53-57 13 174 874 1730 1288 482 60 12 1
57-61 7 43 317 1175 1543 947 219 29 -
61-65 - 7 87 381 903 866 360 61 7
65-69 - 1 4 61 245 377 231 80 8
69-73 - — 1 13 43 86 91 48 9
73-77 - - 2 2 6 27 31 14 13
Более 77 - - - - 5 10 9 11 3
Множественная К. Аналогичными способами изучается связь меж-
ду многими событиями и величинами. Большое значение имеет во мно-
гих приложениях (например, предсказание урожаев, разливов рек) состав-
ление уравнений регрессии, связывающих неизвестную величину с рядом
известных. В случае множественной К. особенно опасно делать выводы
из данных недостаточно большого числа наблюдений. Одной из основных
проблем теории К. и является выяснение числа наблюдений, достаточных,
при тех или иных обстоятельствах, для составления надежных уравнений
регрессии.
Лит.: Определения и основные понятия, см. — Бернштейн С. Н., Теория вероят-
ностей, 3 изд., М.-Л., 1934; Слуцкий Е. Е., Теория корреляции и элементы учения
о кривых распределения, Киев, 1912; Чупров А. А., Основные проблемы теории
корреляции. О статистическом исследовании связи между явлениями, [М.|, 1926;
Tschuprow A. A., Grundbegriffe und Grundprobleme der Korrelationstheorie, Lpz.,
1925.
ЛИНИЯ65 (лат. linea) — геометрическое понятие, точное и в то же
время достаточно общее, определение которого представляет значительные
трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.
1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки пря-
мых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каж-
дый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом [на-
пример, окружность определяется как геометрическое место (см.) точек,
имеющих заданное расстояние R от заданной точки О — центра окружно-
сти]. Иногда в учебниках дают общее определение Л. как границы куска
б5БСЭ-2. - 1954. - Т. 25. - С. 167-170.
206
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или
как геометрического места последовательных положений непрерывно пере-
мещающейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения
не получают отчетливой формулировки.
2) Представление о Л. как геометрическом месте последовательных по-
ложений движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помо-
щи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости
прямоугольные координаты (х, у), можно параметрически задать окруж-
ность радиуса R с центром в начале координат уравнениями
х — 7? cost, у = R sin t.
Когда параметр t пробегает отрезок 0 t 2тг, точка (х, у) описывает
окружность. Вообще Л. на плоскости задают параметрически уравнениями
вида
* = У = (*)
где 9?(t), V'(t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь ко-
нечном или бесконечном интервале Д числовой оси t. С каждым значением
параметра t (из интервала Д) уравнения (*) сопоставляют некоторую точ-
ку М, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная
параметрически уравнениями (*), есть множество точек, соответствующих
всевозможным значениям t из Д, при условии, что эти точки рассмат-
риваются в определенном порядке, именно: если точка М\ соответствует
значению параметра ti, а точка М2 — значению <2, то М\ считается пред-
шествующей М2, если ti < t2- При этом точки, отвечающие различным
значениям параметра, всегда считаются различными.
Аналогично, в трехмерном пространстве Л. задается параметрически
тремя уравнениями вида
х = 9?(t), у = z = x(t),
где <^(t), x(t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь
интервале. В произвольном топологическом пространстве (см.) Т (кото-
рое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трех-
мерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. пара-
метрически задают уравнением вида:
Р = </?(t),
где у? — функция от действительного переменного t, непрерывная на каком-
либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают,
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
207
что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они
определяют один и тот же порядок следования ее точек (в смысле, указан-
ном выше).
В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область измене-
ния параметра t есть отрезок a < t С Ь. В этом случае условие для того, чтобы
два параметрических представления
Р = <£>(£), a < t < 6, Р = </?i(£i), ti bi,
изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго
возрастающей функции
tl = f(t),
для которой
/(а) = аь f(b) = b1, <p(t) = <^i [/(<)]•
Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве
вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и ме-
ханики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором
пробегает ее точки переменная точка М при возрастании t, то при этом
естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л.
через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых
один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько
раз (отвечающие разным значениям параметра).
Например, при изменении t в пределах —оо < t < +оо точка с коорди-
натами
t2 - 1 t2 - 1
описывает строфоиду (см. табл., рис. 4), попадая в положение х = 0, у = 0
два раза при t = — 1 и t = +1.
3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на
плоскости уравнением
F(x,y) = 0,
в пространстве — двумя уравнениями
F(x, у, z) - Q, G(x,y,z) = 0.
В тех вопросах математики, где этот способ задания Л. является основ-
ным, само понятие Л. приспособляется к нему, несколько отклоняясь от
первоначального наглядного представления о Л.
208
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь (дополняя изложение,
данное в статье Алгебраическая геометрия), как строится понятие алгеб-
раической Л. (кривой), т. е. Л., определяемой уравнением
F(x, у) = 0,
где F(x,y) — целая алгебраическая функция (см.), т. е. многочлен какой-
либо степени n 1. В этом случае считают, что два многочлена Fi(x,y)
и F2(x,y) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в
том случае, когда существует такая постоянная С / 0, что выполняется
тождественно соотношение
Fi(x,y) = CF2{x,y).
Таким образом, все многочлены, определяют одну и ту же Л., имеют
одну и ту же степень и, называемую порядком соответствующей Л. Напри-
мер, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение
(ж - у)2 = О
определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х — у = 0.
В связи с последним примером необходимо отметить, однако, что часто
целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраиче-
ских Л., т. е. таких Л., для которых многочлен допускает представления
F = GH, где G и Н — отличные от постоянных многочлены. Далее, в п. 4
имеется в виду только этот случай.
Точка (хо.Уо) кривой F(x,y) = 0 имеет кратность т, если разложение F(x,y)
по степеням £ = х-хо, у = у-уо начинается с членов степени т (по совокупности
переменных £ и у). В случае т = 2, т. е. в случае двойной точки,
F(x, у) = ац(т - то)2 + 2aia(x - х0)(у - Уо) + а22(у - у0)2 + • • • ,
где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи
дискриминанта 6 = ац<122"^12 можно определить тип двойной точки. Если 6 > 0,
то точка — изолированная (см. рис. 1), если <5 < 0, то точка является узловой (см.
рис. 2), если 5 = 0, то, вообще говоря, получается точка возврата (см. рис. 3), но
вопрос требует дополнительного исследования по членам третьей степени.
4) Часто, особенно при изучении алгебраических Л., целесообраз-
но стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рас-
сматривать, наряду с точками эвклидовой действительной плоскости (или
пространства), точки бесконечно удаленные и мнимые. Только при таком
подходе (и надлежащем учете кратности пересечений) становится верным,
например, утверждение, что две Л. порядков пит пересекаются в тп
точках. В случае т = 1 это приводит к возможности определить порядок
Л. как число п точек ее пересечения с прямой.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
209
Рис. 1. Изо-
лированная
точка
Рис. 3. Точка возврата:
a — первого рода,
б — второго рода
С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однород-
ным уравнением
F(xi,x2,x3) = 0
между однородными координатами (т1,Х2,хз) ее точек. В силу принципа двой-
ственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением
Ф(СьС2)Сз) = 0,
связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом,
наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0), естественно возникает поня-
тие класса Л. — степени уравнения Ф = 0. Класс алгебраических Л. можно также
определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произволь-
ной точки. О параметрическом представлении Л. с точки зрения алгебраической
геометрии см. Уникурсольпые кривые.
5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения по-
нятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и ана-
литическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология (см.)
выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек,
независимо от алгебраических или аналитических способов задания этого
множества.
Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции
Р — </?(£), где t пробегает отрезок a < t < 6, но интересоваться только полученным
множеством точек без учета порядка их следования, то приходят к понятию Л.,
сформулированному французским математиком К. Жорданом (в 80-х гг. 19 в.).
Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой ло-
кально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см.
Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смыс-
ле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно-
однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой или жордано-
вой дугой. Взаимно-однозначный непрерывный образ окружности называют про-
стой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако,
точечных множеств, заслуживающих наименования Л.
210
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в
современной топологии пользуются понятием Л., введенным в 1921 совет-
ским математиком П. С. Урысоном, который определяет Л. (кривую) как
произвольный континуум (см.*) размерности единица.
Континуум имеет размерность единица, если при любом е > 0 он может быть
представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, мень-
шего е, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств
не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежа-
щий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он
не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг.
19 в.) Л., лежащие на плоскости, немецкий математик Г. Кантор. Хотя определе-
ние Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л.
в смысле Урысона называют «канторовыми кривыми».
б) Еще математиками древности были систематически изучены плос-
кие Л. второго порядка (эллипс, гипербола, парабола, см.). Ими же был
рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высо-
кого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л.
Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с со-
зданием аналитической геометрии (Р. Декарт). Четкое разграничение раз-
личных описанных выше подходов к точному логическому определению Л.
явилось лишь в результате накопления большого конкретного материала.
Из Л. третьего порядка наиболее известны: строфоида (выше было дано ее
параметрическое уравнение): у2(а — х) — х2(а + х) = 0 (рис. 4), циссоида
Диоклеса (х2 4- у2)х — ау2 = 0 (рис. 5), декартов лист х3 4- у3 — Заху = 0
(рис. 6), полукубическая парабола х3 — ау2 = 0 (рис. 7), локон Аньези
у(а2 4- х2) — а3 = 0 (рис. 8). Наиболее важными Л. четвертого порядка
являются: кардиоида (х2 4- у2 — 2ах)2 — 4а2(х2 4- у2) = 0 (рис. 9), кривая
«каппа» а2х2 — (х2 4- у2)у2 = 0 (рис. 10) (имеет в начале координат точку
«самосоприкосновения»), конхоида Никомеда (х — а)2(х2 4- у2) — 12х2 = 0
(рис. 11) [при I < а (рис. 11, а) начало координат принадлежит конхоиде,
являясь ее изолированной точкой, при I = а в начале координат — точка
возврата (рис. 11, б), а при I > а узловая точка (рис. 11, в)], овалы Кассини
(х2 4- у2)2 — 2а2(х2 — у2) 4- а4 — с4 = 0 [при различных отношениях а : с они
выглядят весьма различно (рис. 12), в частности при с = а овал Кассини
превращается в лемнискату Бернулли (рис. 12, в)].
Примеры трансцендентных кривых дают различные спирали, уравне-
ния которых удобно записываются в полярных координатах: спираль Ар-
химеда р = а<р (рис. 13), гиперболическая спираль р = ^(рис. 14) логариф-
мическая спираль р = аек<р (рис. 15). Начало координат у двух последних
спиралей является особой точкой. Типы особых точек трансцендентных
кривых весьма разнообразны. Кривая у = е~^х имеет в начале координат
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
211
«точку перерыва» (рис. 16), а кривая у = z(l 4-е) 1/Zx — «точку перелома»
(рис. 17).
Строфоида Циссоида
Диолклеса
лист
кубическая
парабола
Рис. 8. Рис. 9. Рис. 10.
Локон Аньези
Кардиоида
Кривая «каппа»
Если рассмотреть график функции
У = Sin i
для 0 < х £ и прибавить (для х — 0) к множеству точек этого графика
все точки оси ординат, удовлетворяющие условию — 1 у С 1, то получит-
212
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ся Л. в смысле Урысона, не обладающая локальной связностью (рис. 18).
Примером локально связной Л. в смысле Урысона (т. е. одномерного жор-
данова континуума) может служить кривая Серпинского. Она определяет-
ся как множество точек (т,у) с координатами, представимыми в виде

оо
Ад.
3*’

= “ h

где a,k и bk принимают лишь значения 0, 1, 2 и ни при одном к не появляется
одновременно dk = bk = 1. Геометрически кривая Серпинского получается
из квадрата 0^.г^1,0^?/^1 выбрасыванием (открытых) квадратиков
по схеме, показанной на рис. 19 (но продолженной до бесконечности).
Рис. 12. Овалы Кассини
Рис. 13. Спираль
Архимеда
Рис. 14. Гиперболи-
ческая спираль
ческая спираль
Рис. 16. Кривая
с «точкой перерыва»
Рис. 17. Кривая
с «точкой перелома»
Рис. 18. Кривая,
не обладающая
локальной связностью
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
213
Рис. 19. Построение кривой Серпинского
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
□ □ □ □| |а □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
□ □ □ □| !□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □| | □ □ □ □
к = 3
Лнт.\ Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М.-Л., 1952; Немыц-
кий В. [и др.], Курс математического анализа, т. 1, 2 изд., М.-Л., 1944; Рашев-
ский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М.-Л., 1950; Алексан-
дров А. Д., Об основах дифференциальной геометрии и их изложении, «Успехи
математических наук», 1949, т. 4, вып. 3; Урысон П. С., Труды по топологии и
другим областям математики, т. 1-2, М.-Л., 1951; Уокер Р., Алгебраические кри-
вые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene
Kurven. Theorie und Geschichte, Bd 1-2, 2 Aufl., Lpz.-B., 1910-11.
МАЛЫХ ЧИСЕЛ ЗАКОН66 (матем.) — устаревшее название пре-
дельной теоремы Пуассона, устанавливающей, что при N независимых ис-
пытаниях с малой вероятностью р положительного исхода в каждом от-
дельном испытании число положительных исходов п подчиняется прибли-
женно закону распределения Пуассона
где a = Np. См. Пуассона распределение.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА67. Содержание:
I. Предмет математической статистики 214
II. Связь математической статистики с теорией вероятностей 215
III. Простейшие приемы статистического описания 216
IV. Связь статистических распределений с вероятностными. 220
Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез
66БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 169.
67Печатается по изданию: БСЭ-2. — 1954. — Т. 26. — С. 485-490. Другие издания:
БСЭ-3. — 1974. — Т. 15. — С. 480-484 (совм. с Ю. В. Прохоровым); Математическая
энциклопедия. — 1982. — Т. 3. — С. 576-581.
214
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
V. Выборочный метод
VI. Дальнейшие задачи математической статистики
VII. Историческая справка
223
224
225
Математическая статистика — раздел математики, посвященный мате-
матическим методам систематизации, обработки и использования стати-
стических данных для научных и практических выводов. При этом стати-
стическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо
более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными
признаками (таковы, например, данные табл. 1а и 2а).
I. Предмет математической статистики
Статистическое описание совокупности объектов занимает промежу-
точное положение между индивидуальным описанием каждого из объек-
тов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по ее общим
свойствам, совсем не требующим ее расчленения на отдельные объекты, —
с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда
в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную
ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные
(например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предвари-
тельную ориентировку о положении дела из одной статистики числа вы-
ставленных его предшественником отличных, хороших, посредственных и
неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данны-
ми о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности, статистиче-
ские данные позволяют глубже проникнуть в существо дела.
Например, данные гранулометрического анализа породы (т. е. данные о рас-
пределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнитель-
ную информацию по сравнению с испытанием нерасчлененных образцов породы,
позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия ее образования
и пр. (см. Гранулометрия).
Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических
данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистиче-
ским. Статистический метод применяется в самых различных областях
знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам
различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объеди-
нять, например, социально-экономическую статистику [именуемую стати-
стикой (см.) в собственном смысле слова], физическую статистику (см.
Статистическая физика), звездную статистику (см. Звездная астроно-
мия) и т. п. в одну науку.
Общие черты статистического метода в различных областях знания сво-
дятся к подсчету числа объектов, входящих в те или иные группы, рас-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
215
смотрению распределения количественных признаков, применению выбо-
рочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов
обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероят-
ностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных
выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистических
методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых
объектов, и составляет предмет М. с.
II. Связь математической статистики с теорией вероятностей
Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный
характер. Теория вероятностей (см.)а изучает не любые массовые явле-
ния, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», т. е. такие,
для которых имеет смысл говорить о соответствующих им распределени-
ях вероятностей. Тем не менее, теория вероятностей играет определенную
роль и при статистическом изучении массовых явлений любой природы,
могущих не относиться к категории вероятностно случайных. Это осу-
ществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного
метода (см.*) и теорию ошибок измерений (см. Ошибок теория). В этих
случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые
явления, а приемы их исследования.
Более важную роль играет теория вероятностей при статистическом ис-
следовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят приме-
нение такие основанные на теории вероятностей разделы М. с., как теория
статистической проверки вероятностных гипотез, теория статистической
оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д.
Область же применения этих более глубоких статистических методов зна-
чительно уже, так как здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления
были подчинены достаточно определенным вероятностным закономерно-
стям. Например, статистическое изучение режима турбулентных водных
потоков или флюктуации в радиоприемных устройствах производится на
основе теории стационарных вероятностных процессов (см.). Однако при-
менение той же теории к анализу экономических временных рядов может
привести к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в определение ста-
ционарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течение дли-
тельного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае,
как правило, совершенно неприемлемо.
аСм. с. 397 наст. изд. — Прим. ред. /-го тома Избр. трудов.
216
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Вероятностные закономерности получают статистическое выражение
(вероятности осуществляются приближенно в виде частот, а математиче-
ские ожидания — в виде средних) в силу закона больших чисел (см.* Боль-
ших чисел закон).
III. Простейшие приемы статистического описания
Изучаемая совокупность из п объектов может по какому-либо каче-
ственному признаку А разбиваться на классы Ai, А2, , Аг. Соответству-
ющее этому разбиению статистическое распределение задается при помо-
щи указания численностей (частот) тц, П2,... ,пг ($2[=1 Щ = п) отдельных
классов. Вместо численностей щ часто указывают соответствующие от-
носительные частоты (частости) hi = щ/п (удовлетворяющие, очевидно,
соотношению /i< = 1). Если изучению подлежит некоторый количе-
ственный признак, то его распределение в совокупности из п объектов мож-
но задать, перечислив непосредственно наблюденные значения признака:
xi, Х2,... ,хп, например, в порядке их возрастания. Однако при больших п
такой способ громоздок и в то же время не выявляет отчетливо существен-
ных свойств распределения (подробнее о способах изображения и простей-
ших характеристиках распределения одного количественного признака см.
Вариационный ряд, Распределения). При сколько-либо больших п на прак-
тике обычно совсем не составляют полных таблиц наблюденных значений
Xi, а исходят во всей дальнейшей работе из таблиц, содержащих лишь чис-
ленности классов, получающихся при группировке наблюденных значений
по надлежаще выбранным интервалам.
Например, в первом столбце табл. 1а даны результаты измерения 200 диамет-
ров деталей, сгруппированные по интервалам длины 0,05 мм. Основная выборка
соответствует нормальному ходу технологического процесса, 1-я, 2-я и 3-я вы-
борки сделаны через некоторые промежутки времени для проверки устойчивости
этого нормального хода производства. В табл. 16 результаты измерения деталей
основной выборки даны при группировке по интервалам длины 0,25 мм.
Обычно группировка по 10-20 интервалам, в каждый из которых попа-
дает не более 15-20% значений ж,, оказывается достаточной для довольно
полного выявления всех существенных свойств распределения и надежного
вычисления по групповым численностям основных характеристик распре-
деления (см. о них ниже).
Составленная по таким группированным данным гистограмма (см.*)
наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на осно-
ве слишком мелкой группировки, обычно многовершинная, и не отражает
наглядно существенных свойств распределения.
В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров,
соответствующая данным первого столбца табл. 1а, а на рис. 3 — гистограмма того
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
217
же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду ее громоздко-
сти) при интервале 0,01 мм. С другой стороны, группировка по слишком крупным
интервалам может привести к потере ясного представления о характере распре-
деления и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик
распределения (см. табл. 16 и соответствующую гистограмму на рис. 2).
Таблица 1а.
Распределение диаметра детали в мм, обнаруженное при статистическом
исследовании массовой продукции
(объяснение обозначений т, S, s см. с. 219-221)
Диаметр Основная выборка 1-я выборка 2-я выборка 3-я выборка
13,05-13,09 — — 1 1
13,10-13,14 2 - 1 1
13,15-13,19 1 - 1 1
13,20-13,24 8 - - -
13,25-13,29 17 1 2 1
13,30-13,34 27 1 1 2
13,35-13,39 30 2 3 1
13,40-13,44 37 2 1 1
13,45-13,49 27 1 - -
13,50-13,54 25 2 1 -
13,55-13,59 17 - - -
13,60-13,64 7 1 - 2
13,65-13,69 2 - - 1
Всего 200 10 10 10
X 13,416 13,430 13,315 13,385
S2 2,3910 0,0990 0,1472 0,3602
S 0,110 0,105 0,128 0,200
Таблица 16.
Распределение диаметра детали основной выборки (из табл. 1а) при более
крупных интервалах группировки.
Диаметр 13,00-13,24 13,25-13,49 13,50-13,74 Всего
Число деталей 11 138 51 200
В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рас-
смотрен только с этой формальной стороны: полноты математического
описания распределения, точности вычисления средних по сгруппирован-
ным данным и т. д. О группировке, имеющей целью выделить качественно
218
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
различные группы в изучаемой совокупности, см. Группировка в стати-
стике.
При изучении совместного распределения двух признаков пользуются
таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух
качественных признаков может служить таблица 2а. В общем случае, ко-
гда по признаку А материал разбит на классы А\, Аг,... ,АГ, а по при-
знаку В — на классы By, В2, ., Ва, таблица состоит из численностей
объектов, принадлежащих одновременно классам Ai и Bj. Суммируя их
по формулам щ. = n.j — получают численности самих
классов Ai и Bj (очевидно, что nv = Za=i ni- = n-j ~ n,
где n — численность всей изучаемой совокупности). В зависимости от це-
лей дальнейшего исследования вычисляют те или иные из относительных
частот
hij —
Ttij
п
п
n.j nij
h.j - —, h^j) = —
h(i)j -
ng
П. j
Таблица 2a.
Распределение заболевших и не заболевших гриппом среди работников
Центрального универмага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших
противогриппозную сыворотку (1939)
Не заболевшие Заболевшие Всего
Не вдыхавшие 1675 150 1825
Вдыхавшие 497 4 501
Всего 2172 154 2 326
Рис. 1. Гистограмма распреде-
ления диаметров 200 деталей.
Длина интервала группировки
0,05 мм
Рис. 2. Гистограмма распреде-
ления диаметров 200 деталей.
Длина интервала группировки
0,25 мм
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
219
Диаметр в мм
Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей.
Длина интервала группировки 0,01 мм
Например, при изучении влияния вдыхания сыворотки на заболевание грип-
пом по табл. 2а естественно вычислить относительные частоты, данные в табл. 26.
Пример таблицы для совместного распределения двух количественных признаков
см. в статье Корреляция. Табл. 1а служит примером смешанного случая: мате-
риал группируется по одному качественному признаку (принадлежность к основ-
ной выборке, произведенной для определения среднего уровня производственного
процесса, и к трем выборкам, произведенным в различные моменты времени для
проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количе-
ственному признаку (диаметр деталей).
Таблица 26.
Относительные частоты (соответствующие данным табл. 2а)
Не заболевшие Заболевшие Всего
Не вдыхавшие 0,918 0,082 1,000
Вдыхавшие 0,992 0,008 1,000
Простейшими сводными характеристиками распределения одного ко
личественного признака являются среднее
и среднее квадратичное отклонение
220
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
где
и
52 = - т)2.
1=1
При вычислении z, S2 и D по группированным данным пользуются фор-
мулами
1 г г г г
х = - ^2 пкаь = 52hkak' s2 = 52 nk(ak ~J)2 = 52nkak ~ 52
fc=l /c=l k=l fc=l
ИЛИ
D2 = hkak - ^2>
fc=l
где r — число интервалов группировки, — их середины (в случае
табл. 1а — 13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован
по слишком крупным интервалам, то такой подсчет дает слишком грубые
результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным по-
правкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь
при условии выполнения определенных вероятностных предположений.
О различных типах распределений и других их характеристиках см.
Вариационный ряд, Распределения. О совместных распределениях двух и
большего числа признаков см. Корреляция, Регрессия.
IV. Связь статистических распределений с вероятностными.
Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез
Выше были изложены лишь некоторые избранные простейшие приемы
статистического описания, представляющего собой в настоящее время до-
вольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и
техникой вычислений. Приемы статистического описания интересны, одна-
ко, не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистического
материала выводов о закономерностях, которым подчиняются изучаемые
явления, и о причинах, приводящих в каждом отдельном случае к тем или
иным наблюденным статистическим распределениям.
Например, данные, приведенные в табл. 2а, естественно связать с такой теоре-
тической схемой. Заболевание гриппом каждого отдельного работника универма-
га следует считать случайным событием, так как общие условия работы и жизни
обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболева-
ния такого-то и такого-то работника, а лишь некоторую вероятность (см.) за-
болевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (pi) и для не
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
221
вдыхавших (ро), судя по статистическим данным, различны: эти данные дают
основания предполагать, что pi существенно меньше ро- Перед М. с. возникает
задача: по наблюденным частотам hj = ~ 0,008 и ho = ~ 0,082 оце-
нить вероятности pi и ро и проверить, достаточен ли статистический материал
для того, чтобы считать установленным, что pi < ро (т. е. что вдыхание сыворот-
ки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ
на поставленный вопрос в случае данных табл. 2 а достаточно убедителен и без
тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к
разработанным М. с. специальным критериям.
Данные первого столбца табл. 1а собраны с целью установления точ-
ности изготовления деталей, расчетный диаметр которых равен 13,40 мм,
при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, которое мо-
жет быть в этом случае обосновано некоторыми теоретическими соображе-
ниями, является предположение, что диаметры отдельных деталей можно
рассматривать как случайные величины, подчиненные нормальному рас-
пределению вероятностей
1 ГХ (t-g)2
Р{£ < т} = / е 2а2 dt.
V 2тГ(7 J-oo
Если это допущение верно, то параметры ana2 — среднее и дисперсию
вероятностного распределения — можно с достаточной точностью оценить
по соответствующим характеристикам статистического распределения (так
как число наблюдений тг = 200 достаточно велико). В качестве оценки для
теоретической дисперсии а2 предпочитают не статистическую дисперсию
D2 = S2/п, а несмещенную оценку (см.)
Для теоретического среднего квадратичного отклонения не существует
общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения
несмещенной оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещенной) для
а чаще всего употребляют s. Точность оценок ins для ana указывается
соответствующими дисперсиями, которые в случае нормального распреде-
ления (1) имеют вид
a2 s2 2 2сг4 2а4 2 0-2
°а n п ’ а®2 п—1 п ’ а® 2п тг ’
где знак ~ обозначает приближенное равенство при больших тг. Таким об-
разом, уславливаясь к оценкам прибавлять со знаком ± их среднее квад-
ратичное отклонение, имеем при больших тг в предположении нормального
222
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
распределения (1):
a = s ±
xf)m )
В случае данных первого столбца табл. 1а, формулы (2) дают
а = 13,416 ±0,008, а = 0,110 ±0,006.
Объем выборки п = 200 достаточен для законности пользования этими
формулами теории «больших выборок».
Дальнейшие сведения об оценке параметров теоретических распреде-
лений вероятностей см. в статьях Оценки статистические, Доверитель-
ные границы. О способах, при помощи которых по данным первого столб-
ца табл. 1а можно было бы проверить исходные гипотезы нормальности
распределения и независимости наблюдений, см. в статьях Распределения,
Непараметрические методы, Статистическая проверка гипотез.
При рассмотрении данных следующих столбцов табл. 1а, каждый из
которых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории
больших выборок, установленных лишь в качестве предельных формул при
п —> оо, может служить только для первой ориентировки. В качестве при-
ближенных оценок параметров а и а по-прежнему употребляются величи-
ны х и з, но для оценки точности и надежности таких оценок необходимо
применять теорию малых выборок (см.). При сравнении по правилам М. с.
выписанных в последних строках табл. 1а значений х и s для трех выборок
с нормальными значениями а и а, оцененными по первому столбцу табли-
цы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не дает оснований
предполагать существенного изменения хода производственного процесса,
вторая выборка дает основание к заключению об уменьшении среднего диа-
метра а (см. Стьюдента критерий), третья выборка — к заключению об
увеличении дисперсии (см. ^Хи-квадрат» критерий).
Все основанные на теории вероятностей правила статистической оценки
параметров и проверки гипотез действуют лишь с определенным уровнем
значимости (см.) ш < 1, т. е. могут приводить к ошибочным результатам
с вероятностью а = 1 — ш. Например, если в предположении нормального
распределения и известной теоретической дисперсии <т2 производить оцен-
ку а по х по правилу
_ а _ а
х — к—= < а < х + к—=,
х/п х/П
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
223
то вероятность ошибки будет равна а, связанному с к соотношением (см.
табл. 3):
9 Г°° о
a — -1___ I е~х dx.
Jk
Вопрос о рациональном выборе уровня значимости в данных конкрет-
ных условиях (например, при разработке правил статистического контроля
массовой продукции) является весьма существенным. При этом желанию
применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значи-
мости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе на-
блюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы
(не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при за-
метном неравенстве частот и т. д.).
Таблица 3.
Зависимость а и и = 1 - а от к
к 1,96 2,58 3,00 3,29
а 0,050 0,010 0,003 0,001
0,950 0,990 0,997 0,999
V. Выборочный метод
В разделе IV результаты п наблюдений, используемых для оценки рас-
пределения вероятностей или его параметров, подразумевались (хотя это
и не оговаривалось) независимыми (см. Теория вероятностей и, особенно,
Независимость). Хороша изученным примером использования зависимых
наблюдений может служить оценка статистического распределения или его
параметров в «генеральной совокупности» из N объектов по произведен-
ной из нее «выборке», содержащей n < N объектов.
Терминологическое замечание. Часто совокупность п наблюдений, сделанных
для оценки распределения вероятностей, также называют «выборкой». Этим объ-
ясняется, например, происхождение употребленного в разделе IV термина «тео-
рия малых выборок». Эта терминология связана с тем, что часто распределение
вероятностей представляют себе в виде статистического распределения в вообра-
жаемой бесконечной «генеральной совокупности» и условно считают, что наблю-
даемые п объектов «выбираются» из этой совокупности. Эти представления не
имеют отчетливого содержания. В собственном смысле слова, выборочный метод
всегда предполагает исходную конечную генеральную совокупность.
Примером применения выборочного метода может служить следую-
щий. Пусть в партии из N изделий имеется X дефектных. Из партии отби-
рается случайным образом выборка из n < N изделий (например, п = 100
224
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
при N = 10000). Вероятность того, что число х дефектных изделий в вы-
борке будет равно т, равна
= n!(W-n)!X!(jV-X)l
' 1 m!(n-m)!(X- X - n + m)!W!'
Таким образом, х и соответствующая относительная частота h = ока-
зываются случайными величинами, распределение которых зависит от па-
раметра X или, что то же самое, от параметра Н = Задача оценки
относительной частоты Н по выборочной относительной частоте h очень
похожа на задачу оценки вероятности р по относительной частоте h при п
независимых испытаниях. При больших п с вероятностью, близкой к еди-
нице, в задаче об оценке вероятности имеет место приближенное равенство
р ~ h
а в задаче об оценке относительной частоты — приближенное равенство
Н ~h.
Однако в задаче об оценке Н формулы сложнее, а отклонения h от Н в
среднем несколько меньше, чем отклонения h от р в задаче об оценке веро-
ятности (при том же п). Таким образом, оценка доли Н дефектных изделий
в партии по доле h дефектных изделий в выборке при данном объеме вы-
борки п производится всегда (при любом N) несколько точнее, чем оценка
вероятности р по относительной частоте h при п независимых испытаниях.
Когда —► оо, формулы задачи о выборке переходят асимптотически в
формулы задачи об оценке вероятности р. См.* также Выборочный метод.
VI. Дальнейшие задачи математической статистики
Теория оценок и вообще статистических выводов, построенных на ис-
пользовании результатов заданного числа п независимых наблюдений с
постоянным распределением вероятностей, и теория выборочного метода
для случая выборок фиксированного объема п остаются наиболее разра-
ботанными разделами М. с.
Классическая теория корреляции изучает зависимость между величинами на
основе совокупности независимых наблюдений. Например, зависимость между ве-
личинами £ и г? исследуется при помощи п независимых между собой наблюде-
ний, каждое из которых дает пару значений (т<,^), подчиненных исследуемо-
му совместному распределению величин £ и р. По аналогичной схеме изучается
зависимость между качественными признаками при помощи дисперсионного
анализа (см.).
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
225
Методы исследования зависимых наблюдений подверглись в М. с. глу-
бокой разработке лишь в теории временных рядов, главным образом при
сильно ограничивающем условии их стационарности (см. Стационарные
вероятностные процессы). Большое значение имеют также вопросы пла-
нирования статистического эксперимента. В простейшем случае — это вопрос
определения числа испытаний п, необходимого для получения с заданным
уровнем значимости выводов требуемой точности и полноты. Однако ча-
сто априорное определение числа наблюдений невозможно (или нецелесо-
образно, так как, не фиксируя число наблюдений заранее, а определяя его
в ходе эксперимента, можно уменьшить его математическое ожидание).
Методы статистического эксперимента, в которых число наблюдений не
фиксируется заранее, а устанавливается в ходе эксперимента, объединяют
в настоящее время под общим названием последовательного анализа (см.).
Впрочем, простейшие приемы такого рода были разработаны давно (см.,
например, о методе двойной выборки в статье Приемочный статистиче-
ский контроль*). Строго говоря, статистические методы контроля массовой
продукции являются областью применения еще несложившегося раздела
М. с., посвященного проблемам регулирования процессов по выборочным
статистическим данным, где выбор статистических правил диктуется не
задачей получения выводов с заданным уровнем значимости, азадачей до-
стижения определенного хода регулируемого процесса (например, установ-
ления режима производства, гарантирующего заданный уровень качества
продукции).
VII. Историческая справка
Первые начала М. с. можно найти уже в сочинениях создателей теории
вероятностей — швейцарского математика Я. Бернулли (конец 17 - начало
18 вв.), французских математиков П. Лапласа (2-я половина 18 - начало
19 вв.) и С. Пуассона (1-я половина 19 в.). В России методы М. с. в примене-
нии к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятно-
стей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего
развития М. с. имели работы русской классической школы теории веро-
ятностей 2-й половины 19 - начала 20 вв. (П.Л. Чебышев, А. А. Марков,
А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистических
оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и мето-
да наименьших квадратов [нем. математик К. Гаусс (1-я половина 19 в.)
и русский математик А. А. Марков (конец 19 - начало 20 вв.)]. Работы
А. Кетле(19 в., Бельгия), Ф. Гальтона(19 в., Англия) и К. Пирсона (ко-
нец 19 — начало 20 вв., Англия), которых в буржуазной литературе чаще
всего выдвигают как основателей М. с., имели большое значение, но по
226
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
уровню использования достижений теории вероятностей отставали от ра-
бот русской школы, а в части использования методов М. с. в социальных и
биологических науках имели реакционную направленность. К. Пирсоном
была широко развернута работа по составлению таблиц функций, необ-
ходимых для применения методов М. с. В создании теории малых выбо-
рок, общей теории статистических оценок и проверки гипотез, последова-
тельного анализа весьма значительна роль более молодых представителей
англо-американской школы [Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер,
Э. Пирсон — Англия, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятельность кото-
рых началась в 20-х гг. 20 в. В СССР значительные результаты в области
М. с. получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, которому принадлежат
важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смир-
новым, заложившим основы теории непараметрических методов М. с.; на
основе М. с. особенно интенсивно разрабатываются статистические методы
исследования и контроля массового производства, статистические методы в
области гидрологии (см. Гидрологические расчеты), климатологии, звезд-
ной астрономии и многие другие. Советские ученые подвергают критике
ошибочные методологические установки, формализм и упрощенчество бур-
жуазных научных школ в области М. с. Полному пересмотру подвергнуты
в советской науке вопросы применения М. с. в биологических и социаль-
ных науках, где формальные методы М. с. особенно часто используются
буржуазными учеными в антинаучных целях (см. Статистика, Биомет-
рия).
Лит.\ Романовский В. И., Элементарный курс математической статистики,
М.-Л., 1939; Митропольский А. К., Техника статистического исчисления, М.-Л.,
1931; его же, Статистическое исчисление, т. 1-2, Л., 1952; Длин А. М., Математи-
ческая статистика в технике, 2 изд., М., 1951; Бородачев Н. А. и Журавлев А. Н.,
Статистические методы анализа и контроля качества продукции, хода техноло-
гического процесса и состояния производственного оборудования, в кн.: Машино-
строение. Энциклопедический справочник, т. 15, М., 1950 (с. 597-647); Романов-
ский В. И., Математическая статистика, М.-Л., 1938; Крамер Г., Математические
методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Арлей Н. и Бух К. Р., Введение в тео-
рию вероятностей и математическую статистику, пер. с англ., М., 1951; Pearson К.,
Tables for statisticians and biometricians, p. 1-2, L., 1930-31; Kendall M. G., The
advanced theory of statistics, v. 1-2, L., 1948; Hald A., Statistical theory with enginee-
ring applications, N. Y.-L., 1952; его же, Statistical tables and formulas, N. Y., 1952.
Обзор работ советских ученых в области математической статистики — Смир-
нов Н. В., Математическая статистика, в кн.: Математика в СССР за тридцать
лет. 1917-1947. Сб. статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА68 — термин, не имеющий чет-
ко установленного значения; под этим названием объединяют главным об-
68БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 490.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
227
разом математические методы исследования и решения встречающихся в
физике дифференциальных уравнений. См. Уравнения математической
физики.
МЕРА69 (матем.), понятие, обобщающее на точечные множества (см.*
Множеств теория) понятия длины отрезка, площади (см.) плоской фигу-
ры и объема (см.) тел. Рассмотрим в виде примера плоскую М., т. е. М. то-
чечных множеств на плоскости. При определении обыкновенных площадей
мы исходим из площадей прямоугольников, определяющихся элементарно
(см. Площадь). Для определения площади фигуры F, ограниченной кри-
вой линией, мы подразделяем плоскость на равные квадраты со стороною
Е и рассматриваем предел суммы площадей тех квадратов, которые покры-
вают фигуру F, при е, стремящемся к нулю, как площадь этой фигуры F.
Если вместо элементарной фигуры F рассматривать произвольные точеч-
ные множества, то указанный метод оказывается пригодным лишь в случае
замкнутых множеств. В более общих случаях употребляется определение
меры Лебега: мерой множества Е называется нижний предел (см.)
n=l
площадей V(An) прямоугольников Дп, взятый по всем системам прямо-
угольников Д,1, покрывающим каждая целиком множество Е. Аналогично
определяется линейная М. точечных множеств на прямой, только вместо
прямоугольников рассматриваются интервалы, а вместо площадей прямо-
угольников — длины интервалов. Для фигур, встречающихся в элемен-
тарной геометрии, понятие плоской М. совпадает с понятием площади.
Аналогично линейная мера интервала совпадает с длиной. Своеобразное
понятие М. в более сложных случаях можно понять из следующего приме-
ра: М. интервала (0,1) на числовой прямой равна единице, М. множества
рациональных точек этого интервала равна нулю, хотя это множество всю-
ду плотно, М. же множества иррациональных точек того же интервала
равна единице. Понятие М. лежит в основе определения интеграла Лебега
(см.* Интеграл) и вообще принадлежит к числу основных понятий совре-
менной теории множеств и теории функций.
Лит.-. Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций
действительного переменного, 2 изд., М.-Л., 1933; Валле Пуссен де ла, Ш. Ж.,
Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. I—II, Л.-М., 1933. О дальнейших
обобщениях см. Caratheodory С., Vorlesungen uber reelle Funktionen, Lpz., 1918,
2 Aufl., Lpz., 1927.
69БСЭ. - 1938. - T. 38. - C. 831-832.
228
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО70 — пространство, имеющее
число измерений (размерность, см.) более трех. Обычное эвклидово про-
странство, изучаемое в элементарной геометрии, трехмерно.
Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные пря-
мые, но уже нельзя провести четырех. Если принять указанные три прямые за оси
координат (см.*), то положение каждой точки пространства определится зада-
нием трех действительных чисел — ее прямоугольных координат, которые могут
изменяться независимо друг от друга. Заданием же двух чисел (и тем более одно-
го) положение точки в пространстве определить нельзя, если желать, чтобы эти
числа непрерывно зависели от положения точки.
Когда математики говорят о М. п., они отнюдь не оспаривают трех-
мерность окружающего нас реального пространства (см.). Возникновение
понятия М. п. связано с процессом обобщения самого предмета геометрии.
В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с
пространственными, для многочисленных классов математических объек-
тов (зачастую не имеющих сами по себе геометрического характера). В ходе
этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного мате-
матического пространства как системы элементов любой природы, между
которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными
отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее в
настоящее время выражение эта идея нашла в таких понятиях, как то-
пологическое пространство (см.) и, в частности, метрическое простран-
ство (см.).
Простейшими М. п. являются n-мерные эвклидовы пространства, где
п может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение
точки обычного эвклидова пространства определяется заданием трех ее
прямоугольных координат, «точка» n-мерного эвклидова пространства за-
дается п «координатами» Х\,Х2, • ,хп (которые могут принимать любые
действительные значения). Подобно тому, как расстояние между точками
M'(z', у', г') и M"(z", у", z") обычного эвклидова пространства выражается
формулой
М'М" = +v'(x' - х")2 + (у' - у")2 + (z' - z")2,
за «расстояние» между «точками» М'(х'х, х2,..., х'п) и М"(х", х2,..., т")
n-мерного эвклидова пространства принимают выражение
М'М" = +v/(1'1 - х';у + (х'2 - xtff* + ... + «- <)2.
Так определенное «расстояние» обладает всеми основными свойствами
обычного расстояния; в частности, и в n-мерном эвклидовом пространстве
70Печатается по изданию: БСЭ-2. — 1954. — Т. 27. — С. 660-661. См. также: БСЭ. —
1938. - Т. 39. - С. 577-578; БСЭ-3. - 1974. - Т. 16. - С. 372.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
229
сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Понятие рас-
стояния дает возможность ввести понятие «прямолинейного отрезка» (как
совокупности всех «точек» М, для которых М'М + ММ" = М'М", где
М' и М" — «концы отрезка»), «прямой», «двумерной плоскости» и вообще
«fc-мерной плоскости» для любого натурального к < п. При этом, как и в
обычном эвклидовом пространстве, «плоскости» выражаются линейными
уравнениями (или системой таких уравнений).
Понятие n-мерного эвклидова пространства имеет важные применения
в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию п
переменных как функцию точки этого пространства и тем самым приме-
нять геометрические представления и методы к изучению функций любого
числа переменных (а не только одного, двух или трех). Это и было главным
стимулом к оформлению понятия n-мерного эвклидова пространства.
Важную роль играют и другие М. п. Так, при изложении физическо-
го принципа относительности пользуются четырехмерным пространством,
элементами которого являются так называемые мировые точки. При этом
в понятии «мировой точки» (в отличие от точки обычного пространства)
объединяется определенное положение в пространстве с определенным по-
ложением во времени (поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя ко-
ординатами вместо трех). Квадратом «расстояния» между «мировыми точ-
ками» М'(х', у', z', t') и М"(х",у", z",t") (где первые три «координаты» —
пространственные, а четвертая — временная) естественно считать здесь
выражение
(М'М")2 = (х' - х")2 + (у' - у")2 + (/ - z")2 - c2(t' - t")2,
где с — скорость света. Отрицательность последнего члена делает это про-
странство «псевдоэвклидовым».
Вообще n-мерным пространством называют топологическое пространство, ко-
торое в каждой своей точке имеет размерность п. В наиболее важных случаях это
означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому
шару n-мерного эвклидова пространства.
Подробнее о развитии понятия М. п., геометрии М. п., а также литера-
туру см. в статье Геометрия.
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ71 (матем.) — учение об общих свойствах
множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или сово-
купности, принадлежит к числу простейших математических понятий и
может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить
о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех
точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги
71БСЭ-2. — 1954. — Т. 28. — С. 14-17 (совм. с П. С. Александровым).
230
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения яв-
ляются элементами соответствующего множества. Чтобы определить мно-
жество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е.
такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только
они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один
предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество.
То, что данный предмет х есть элемент множества М, записывают так:
х е М.
Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же
время элементом множества В, то множество А называют подмножеством,
или частью, множества В. Это записывают так: А С В или В D А. Та-
ким образом, в число подмножеств данного множества В включают и само
это множество В. Пустое множество, по определению, считают подмноже-
ством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного мно-
жества В, отличное от всего множества В, называют правильной частью
последнего.
Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к
бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного
сравнения между собой. Является ли бесконечность множества чисто отри-
цательным свойством, не допускающим дальнейшего расчленения, или же
существуют различные ступени математической бесконечности, бесконеч-
ные множества различной количественной силы, различной «мощности»?
Эти и подобные вопросы волновали философскую мысль еще задолго до
создания М. т. [см., например, Больцано Б., «Парадоксы бесконечного»
(1851, рус. пер. 1911) и содержащиеся в этом сочинении ссылки на ра-
боты более ранних авторов]. Ответ на эти вопросы дал в конце 70-х гг.
19 в. немецкий математик Г. Кантор, основавший М. т. как математиче-
скую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств
опирается на понятие взаимно-однозначного соответствия между двумя
множествами. Пусть каждому элементу множества А соответствует в си-
лу какого бы то ни было правила, или закона, некоторый определенный
элемент множества В; если при этом каждый элемент множества В ока-
зывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу
множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено
взаимно-однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращенно: (1-
1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно
установить (1-1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества
состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого фак-
та определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух
бесконечных множеств, как возможность установить между ними (1-1)-
соответствие.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
231
Еще до создания М. т. чешский математик Б. Больцано владел, с одной
стороны, вполне точно формулированным понятием (Ы)-соответствия, а с
другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей раз-
личных ступеней; однако он не только не сделал (1-1 ^соответствие осно-
вой установления количественной равносильности множеств, но решитель-
но возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное
множество может находиться в (Несоответствии со своей правильной ча-
стью. Один из простейших примеров этого заключается в возможности
установить (1-1)-соответствие между множеством всех натуральных чисел
и множеством всех четных натуральных чисел; это соответствие можно
получить, если каждому натуральному числу п поставить в соответствие
натуральное число 2п. Вместо того, чтобы в применении к бесконечным
множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отка-
зался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, таким
образом, остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконеч-
ном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть,
равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой
правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, рав-
номощной целому, можно принять за определение бесконечного множества
(немецкий математик Р. Дедекинд).
Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь следующие три слу-
чая: либо в А есть правильная часть, равномощная В, но в В нет правильной ча-
сти, равномощной Л; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная А,
а в А нет правильной части, равномощной В; либо, наконец, в А есть правильная
часть, равномощная В, и в В есть правильная часть, равномощная А. Доказы-
вается, что в третьем случае множества А и В равномощны (теорема Кантора-
Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества А больше мощ-
ности множества В, во втором — что мощность множества В больше мощности
множества A. A priori возможный четвертый случай — в А нет правильной части,
равномощной В, а в В нет правильной части, равномощной А, в действительности
не может осуществиться (для бесконечных множеств), что доказывается, однако,
лишь при помощи так называемой аксиомы Цермело (см. ниже).
Ценность понятия мощности множества определяется существовани-
ем неравномощных бесконечных множеств. Основной относящийся сюда
результат доказан впервые Кантором, а именно: множество всех подмно-
жеств данного множества М имеет мощность большую, чем множество М.
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют
счетным множеством. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощ-
ность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное
множество содержит счетную правильную часть. Кантор доказал, что мно-
жество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счетно, тогда
как множество всех действительных чисел несчетно. Тем самым было да-
232
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
но новое доказательство существования так называемых трансцендентных
чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого ал-
гебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчетность
множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел
называют мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел
равномощны: множество всех подмножеств счетного множества, множе-
ство всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плос-
кости, а также множество всех точек трех- и вообще n-мерного простран-
ства при любом п. Кантор высказал гипотезу (так называемую континуум-
гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо ко-
нечно, либо счетно, либо равномощно множеству всех действительных чи-
сел; эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута. См.* Конти-
нуум.
Отображения множеств. В М. т. аналитическое понятие функции, геомет-
рическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются
в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множе-
ства X и У, пусть каждому элементу х € X поставлен в соответствие некоторый
определенный элемент у = f(x) множества У; тогда говорят, что имеется отобра-
жение множества X в множество У или что имеется функция, аргумент х которой
пробегает множество X, а значения у принадлежат множеству У; при этом для
каждого данного х е X элемент у = f(x) множества У называют образом элемен-
та х G X при данном отображении, или значением данной функции для данного
значения ее аргумента х. Примеры: 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней
прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)
и осуществлена проекция этого квадрата, например, на ось абсцисс; эта проекция
есть отображение множества X всех точек квадрата на множество У всех точек
его основания; точке с координатами (т,т/) соответствует точка (т; 0). 2) Пусть
X — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного
числа х 6 X положить у = f(x) — х3, то тем самым будет установлено отобра-
жение множества X в себя. 3) Пусть X — множество всех действительных чисел;
если для каждого х G X положить у = f(x) = arctgx, то этим будет установлено
отображение множества X на интервал (f, J)- (1-1 ^соответствие между двумя
множествами X и У есть такое отображение множества X в множество У, при
котором каждый элемент множества У является образом одного и только одного
элемента множества X. Отображения примеров 2) и 3) — взаимно-однозначны,
примера 1) — нет.
Операции над множествами. Суммой, или объединением, двух, трех, во-
обще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называют
множество всех тех предметов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из
данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трех, вообще любого конечного
или бесконечного множества множеств называют множество всех элементов, об-
щих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может
быть пустым. Разностью между множеством В и множеством А называют мно-
жество всех элементов из В, не являющихся элементами из А: разность между
множеством В и его частью А называют дополнением множества А в множестве В.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
233
Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям соче-
тательности и переместительности (см. Ассоциативность, Коммутативность).
Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению
и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их произво-
дить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множе-
ства М, то и результат будет подмножеством множества М. Указанным свойством
не обладает так называемое внешнее умножение множеств: внешним произведе-
нием множеств X и Y называют множество X х Y всевозможных пар (х,у), где
х € X, у Е Y. Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение
в степень»: степенью Y* называют множество всех отображений множества X
в множество Y. Можно определить внешнее умножение любого множества мно-
жеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдет в возведение в
степень. Если £ и г) суть мощности множеств X и У, то £ • т] и т/ определяют-
ся соответственно как мощности множеств X х Y и Yx, что в случае конечных
множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чи-
сел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно
непересекающихся множеств с заданными мощностями.
Упорядоченные множества. Установить в данном множестве X порядок —
значит установить для элементов этого множества некоторое правило предше-
ствования (следования) (утверждения: «элемент х' предшествует элементу х"»,
х' < х", и «х" следует за х'», х" > х', выражают одно и то же). При этом
предполагаются выполненными следующие требования: 1) никакой элемент не
предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х' Е X и
х" Е X один предшествует другому (т. е. или х' < х", или х" < х'); 3) условие
транзитивности: если х < х' и х' < х", то х < х". Множество, рассматриваемое
вместе с каким-нибудь установленным в нем порядком, называют упорядоченным
множеством. Пример: множество всех действительных чисел, в котором меньшее
из любых двух чисел считается предшествующим большему, есть упорядоченное
множество. Два упорядоченных множества называют подобными, если между ни-
ми можно установить (1-1)-соответствие, сохраняющее порядок. Про подобные
упорядоченные множества говорят также, что они имеют один и тот же поряд-
ковый тип. Таким образом, порядковый тип данного упорядоченного множества
есть то общее, что имеют между собой все подобные ему множества. Всякое под-
множество упорядоченного множества есть упорядоченное множество. Элемент
упорядоченного множества называют первым, если он предшествует в этом упо-
рядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и
последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных
чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех
неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в
упорядоченном множестве всех действительных чисел х, удовлетворяющих нера-
венствам а С х < 6, число а есть первый элемент, а число Ь — последний.
Упорядоченное множество называют вполне упорядоченным, если оно само и
всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы
вполне упорядоченных множеств называют порядковыми, или ординальными, чис-
лами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число
есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бес-
234
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
конечных вполне упорядоченных множеств называют трансфинитными числами
(см.). Немецкий математик Э. Цермело впервые доказал, что всякое множество
может быть вполне упорядочено. Его доказательство опирается на аксиому, из-
вестную под названием аксиомы Цермело, или принципа произвольного выбора.
Аксиома гласит: пусть дано некоторое множество множеств, попарно непересека-
ющихся и непустых; тогда можно из всех этих множеств сразу выбрать по эле-
менту. Эта аксиома вызвала большие возражения со стороны ряда математиков,
которые поэтому не считают установленной и теорему Цермело.
Общая теория мощностей, отображений множеств и операций над ними, а
также теория упорядоченных и вполне упорядоченных множеств составляют со-
держание так называемой абстрактной теории множеств. Основные составляющие
ее факты были установлены Кантором. В России вопросы теории трансфинитных
чисел разрабатывал И. И. Жегалкин (его книга «Трансфинитные числа» вышла
в 1907). Из понятий, обогативших этот отдел М. т. в более поздние годы, уместно
указать в первую очередь на понятие частично упорядоченного множества. См.
Упорядоченные и частично упорядоченные множества.
Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном
понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действи-
тельные числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трех- и вообще
n-мерного пространства, основана Кантором, установившим понятие предельной
точки (см.) множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества
(см.), и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств шло по нескольким
направлениям. Метрическая теория множеств (работы французских математиков
Э. Бореля и А. Лебега 1898-1902), основанная на понятии меры множества (см.),
развивалась как фундамент общей теории интегрирования и смежных отделов ма-
тематического анализа и теории функций действительного переменного (тригоно-
метрические ряды, интегральные уравнения и т. д.) и далее привела к возникнове-
нию общей теории длин, площадей и объемов разного числа измерений (А. Лебег,
К. Каратеодори, Ф. Хаусдорф). Топологическая теория множеств, отправляясь от
элементарных понятий замкнутых и открытых множеств, связности (см. Связное
множество) и др., установленных Кантором, развилась после работ француз-
ского математика М. Фреше (1906) и немецкого математика Ф. Хаусдорфа (1914)
в теорию множеств, лежащих в общих метрических пространствах и тополо-
гических пространствах (см.), и стала, таким образом, частью топологии (см.).
Наиболее самостоятельное существование ведет дескриптивная теория множеств.
Основанная французским математиком Р. Бэром и А. Лебегом в связи с класси-
фикацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и
классификации так называемых борелевских множеств (В-множеств). Борелевские
множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправ-
ляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения
в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счетному множеству
множеств. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть
получены как множества точек, в которых некоторая входящая в классифика-
цию Бэра (см.) действительная функция /(т) обращается в нуль или, более общо,
удовлетворяет условию вида а < f(x) < Ь. Дальнейшее развитие дескриптивной
М. т. было осуществлено по преимуществу русскими и польскими математика-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
235
ми, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров,
М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Алексан-
дров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчетное борелевское множество
имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применен Сус-
линым для построения теории A-множеств, охватывающих, как частный случай,
борелевские множества (считавшиеся до того единственными множествами, прин-
ципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показал, что множество,
дополнительное к A-множеству А/, является само A-множеством только в том
случае, когда множество М — борелевское (дополнение к борелевскому множе-
ству есть всегда борелевское множество). При этом A-множества оказались сов-
падающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел.
Теория A-множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной
М. т. до того, как Лузин пришел к общему определению проективных множеств,
которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных
чисел при помощи повторного применения операций вычитания и непрерывного
отображения. К теории A-множеств и проективных множеств относятся также
работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по
основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математиче-
ских объектов и разрешимости математических проблем).
Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико.
Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математических дис-
циплин (теории функций действительного переменного, современной об-
щей топологии, общей алгебры, включая теорию бесконечных и топологи-
ческих групп, функционального анализа и др.). Эти дисциплины, которые
без М. т. были бы невозможны, вместе с М. т. занимают все большее место в
математике не только по объему математической продукции, посвященной
этим дисциплинам, но и по возрастающему удельному весу совокупности
этих дисциплин в системе математического познания.
Постепенно теоретико-множественные методы находят все большее
применение и в классических частях математики. Например, в области ма-
тематического анализа они широко используются в качественной теории
дифференциальных уравнений и вариационном исчислении (см.). На основе
теоретико-множественных построений развивается современный функцио-
нальный анализ (см.). Теоретико-множественная аксиоматика теории ве-
роятностей (см.) оказалась наиболее гибкой и охватывающей все имеющие
практическое значение части этой науки (например, теорию «случайных
функций», т. е. учение о распределениях вероятностей в функциональных
пространствах).
Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета
математики (см.*) или таких ее больших отделов, как геометрия (см.).
Только М. т. позволила отчетливо сформулировать понятие изоморфизма
(см.*) систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношения-
ми, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математиче-
236
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ская теория в ее чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему
объектов лишь «с точностью до изоморфизма», т. е. может быть без вся-
ких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той,
для изучения которой теория была первоначально создана. См.* по этому
поводу также статью Аксиома.
К настоящему времени (середина 20 в.) математики вполне овладели
приемами построения любой математической теории на основе соответ-
ствующей теоретико-множественной аксиоматики. В ней точно указывают-
ся в форме аксиом свойства основных рассматриваемых в данной теории
объектов (например, точек, прямых и плоскостей в геометрии) и основных
отношений между ними, достаточные, чтобы все дальнейшее построение
теории могло осуществляться без обращения к каким-либо новым специ-
альным свойствам этих объектов и отношений. Однако было бы в корне
ошибочно считать (как это делали представители логистики, см.), что та-
ким образом достигается полное сведёние содержания всей математики к
М. т. и окончательное логическое обоснование математики.
Что касается роли М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. созда-
ния строгого, логически безупречного построения математических теорий,
то следует иметь в вид}', что сама М. т. нуждается в обосновании приме-
няемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности,
связанные с обоснованием математического учения о бесконечности (см.*
Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т.
приобретают лишь большую остроту (см. Парадоксы математические).
Таким образом, М. т. помогает лишь концентрировать внимание на основ-
ных трудностях обоснования математики бесконечного в их общей форме,
а не дает универсального их разрешения. Трудности, встретившиеся при
развитии самой М. т., привели даже к тому, что некоторые буржуазные
направления в философии математики (см. Формализм, Интуиционизм*)
пришли к отрицанию наличия содержательного смысла у всей теории бес-
конечных множеств или у ее значительных частей, уже сложившихся и с
успехом применяемых в конкретных исследованиях. Советской науке чуж-
ды эти ликвидаторские настроения; однако проблему вполне отчетливого
выяснения реального содержания, стоящего за всеми оправдавшими себя
в практической работе математиков теоретико-множественными построе-
ниями, нельзя считать окончательно решенной. Критическая обработка с
точки зрения диалектического материализма всего громадного фактиче-
ского материала, накопленного М. т., которая продолжает оставаться од-
ной из областей математики, осуществляющих наиболее глубокое взаимное
проникновение математических и философских проблем, является важной
задачей советской математики.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
237
Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М.,
1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л.,
1948; Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М.,
1936; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937.
ОРИЕНТАЦИЯ72, одно из основных понятий геометрии.
1) О. на прямой. Точка может двигаться по пря-
мой в двух противоположных направлениях. На-
пример, на горизонтальной прямой АВ (рис., 1) д в
возможно или движение справа налево или дви- 1 1
Рис 1
жение слева направо. Прямая вместе с указани-
ем определенного направления на ней называется
ориентированной прямой. Значит, каждой обыкно- s'"
венной (неориентированной) прямой соответствуют / \
две различные ориентированные прямые. I \
2) О. на кривой. То же самое, что было сказано I j
относительно прямой, относится и к кривым. На- \ /
пример, окружность можно ориентировать или по \__________
часовой стрелке (как указано на рис., 2), или про- рис 2
тив часовой стрелки.
3) О. на плоскости. Рассмотрим какой-либо кусок плоскости, ограничен-
ный простой замкнутой кривой (т. е. замкнутой кривой без кратных точек).
Эту кривую можно ориентировать двумя разными способами. Мы будем
считать, что, ориентируя кривую, мы тем самым ориентируем и ограни-
ченный ею кусок плоскости. Две простые замкнутые кривые на плоскости
считаются ориентированными одинаково, если при обходе этих кривых по
указанному направлению ограниченные ими куски плоскости остаются с
одной и той же стороны (в обоих случаях или справа, или слева). Напри-
мер, на рисунке кривые 3 и 4 ориентированы одинаково, а кривая 5 —
противоположно первым двум. Достаточно выбрать на плоскости О.
72Печатается по изданию: БСЭ. — 1939. — Т. 43. — Стлб. 342-344. См. также: БСЭ-2. —
1955. - Т. 31. - С. 188-189; БСЭ-3. - 1974. - Т. 18. - С. 509-510.
238
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
одной простой замкнутой кривой, чтобы тем самым определилась соответ-
ствующая О. всех остальных таких кривых, лежащих на той же плоскости.
Плоскость вместе с определенным выбором О. лежащих на ней простых
замкнутых кривых называется ориентированной плоскостью. Ясно, что
каждая плоскость может быть ориентирована двумя способами. [В отличие
от замкнутых кривых для задания О. плоскости нельзя воспользоваться О.
лежащих на ней прямых. Происходит это потому, что простым вращением
в пределах плоскости ориентированную прямую можно перевести в самое
себя с противоположной О. (рис., 6)]. О. плоскости может также быть зада-
на при помощи выбора системы Декартовых координат. Если на плоскости
выбраны оси координат X и Y с определенными
к ♦ /
\ , положительными направлениями на них, то это-
\ч \ ] / у му выбору соответствует О. плоскости, при ко-
\\ ; / /' торой окружность с центром в начале координат
_______12^________►. пробегается в направлении от положительного
\__________________направления оси X к положительному направ-
/ ! ! \ \ ' лению оси Y. Например, системы координат 7 и
Y ! ; \ '* 8 (рис.) определяют одну и ту же О. плоскости.
' ! \ Система же координат 9 ориентирована проти-
Рис. 6 воположным образом.
4) О. поверхности. Подобно тому, как была выше определена О. плоско-
сти, может быть определена О. любой поверхности, делящей пространство
на две части (например, сферы). Для этого рассматриваются куски по-
верхности, ограниченные простыми замкнутыми линиями. Ориентировать
такой кусок поверхности — это значит выбрать определенную О. ограничи-
вающей его кривой. Два куска поверхности называются ориентированными
одинаково, если при обходе ограничивающих эти куски поверхности кри-
вых в указанном направлении сами куски поверхности остаются с одной и
той же стороны. Например, поверхности 10 и 11 (рис.) двух кубов ориенти-
рованы одинаково, а поверхность третьего (12) — противоположным обра-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
239
зом. Поверхность вместе с определенной О. кусков, ограниченных просты-
ми замкнутыми кривыми, и называется ориентированной поверхностью.
Поверхности, не делящие пространство на две части (см. Односторонние
поверхности), могут быть неориентируемыми.
5) О. пространства. Будем рассматривать в пространстве замкнутые по-
верхности, ограничивающие определенный кусок пространства. Будем го-
ворить, что такая поверхность ориентирована правым образом, если куски
этой поверхности при рассматривании снаружи ориентированы против
часовой стрелки, подобно кубам 10 и 11 (рис.). Наоборот, будем считать О.
замкнутой поверхности, ограничивающей кусок пространства, левой, если
ее куски ориентированы при рассматривании снаружи по часовой стрелке
подобно кубу 12 (рис.). Выбор определенной ориентации замкнутых по-
верхностей без самопересечений называется ориентацией самого трехмер-
ного пространства. Таким образом, существуют две О. трехмерного про-
странства: правая и левая. О. пространства можно установить также при
помощи выбора системы Декартовых координат. Если выбраны оси коор-
динат OX, OY и OZ с определенными положительными направлениями на
240
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
них, то соответствующая О. пространства определяется следующим усло-
вием: рассматривается тетраэдр О АВС с вершиной О в начале и верши-
нами Л, В, С соответственно на положительных лучах осей OX, OY и
OZ (рис., 13); треугольник АВС, лежащий на поверхности этого тетраэд-
ра, ориентируется в порядке АВС (т. е. от оси X к оси Y и затем к оси Z)
этим определяется О. поверхности тетраэдра, а следовательно, и всего про-
странства. Мы видим, что выбор осей на рис., 13, соответствует правой О.
пространства, выбор же осей на рис., 14, — левой О. пространства. По ука-
занному принципу сами системы координат в пространстве разделяются на
правые и левые. Французские геометры и физики обычно пользуются левой
системой пространственных координат, а английские — правой. В СССР в
чисто математических сочинениях (в частности, в курсах аналитической
геометрии) распространено употребление левой системы, в сочинениях же
по механике и физике — правой. Понятие О. распространяется также и на
многомерные пространства (см.*).
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ73 — математическая дисциплина, ис-
следующая различные системы геометрии с точки зрения их дедуктивного
построения на основе той или иной системы аксиом, вопросы полноты си-
стем аксиом геометрии, взаимной независимости геометрических аксиом
и т. д. Подобные исследования имеют значение для всех ветвей математи-
ки, однако исторически они получили широкое развитие впервые именно
в применении к геометрии [после открытия Н. И. Лобачевским основан-
ной на отрицании V постулата Эвклида неэвклидовой геометрии (см.)].
Поэтому в университетском преподавании и при подготовке преподавате-
лей математики в педагогических институтах курс О. г., помимо своего
места в специально геометрическом преподавании, служит для ознакомле-
ния студентов с аксиоматическим методом в математике вообще. См. также
Геометрия, Аксиома*, Лобачевского геометрия и т. д.
ПОВЕРХНОСТЬ74 — одно из основных геометрических понятий.
При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему
придается различный смысл.
1) В элементарной геометрии рассматриваются плоскости, многогран-
ники, а также некоторые кривые П. Каждая из кривых П. определяется
специальным способом, чаще всего как геометрическое место точек или
линий. Например, П. шара определяется как геометрическое место точек,
отстоящих на заданном расстоянии от данной точки; цилиндрическая П. —
как геометрическое место параллельных прямых, проходящих через все
73БСЭ-2. - 1955. - Т. 31. - С. 296-297.
74Печатается по изданию: БСЭ-2. — 1955. — Т. 33. — С. 346-347 (совм. с Л. А. Скор-
няковым). См. также: БСЭ. — 1940. — Т. 45. — С. 746-748.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
241
точки данной кривой линии. Общее понятие «П.» в элементарной геомет-
рии лишь поясняется, а не определяется. Говорят, что П. есть граница тела
или след движущейся линии и т. п. Эти пояснения правильны в смысле
указания на материальное и наглядное происхождение понятия «П.», но
они не доводятся в элементарной геометрии до той отчетливости, которая
требуется в научных определениях.
2) П. в обычном, наглядном понимании этого слова, вблизи отдель-
ных своих точек, весьма похожа на кусок плоскости. Довольно обширный
класс П. можно получить при помощи непрерывного деформирования кус-
ка плоскости. Подвергая его различным непрерывным деформациям (рас-
тяжениям, сжатиям и изгибаниям), можно получить новые П. Все такие П.
называют простыми П. или двумерными элементами. Математически стро-
гое определение простой П. таково: простая П. есть непрерывный взаимно-
однозначный образ квадрата. Пользуясь средствами аналитической гео-
метрии, можно дать аналитическое выражение этому определению. Для
этого рассмотрим на плоскости с прямоугольной системой координат (и, и)
квадрат, состоящий из точек, координаты которых удовлетворяют нера-
венствам Непрерывный взаимно-однозначный об-
раз этого квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат
(z,j/,z) задается формулами х = <p(u,v), у = т/>(ц, v), z = x(u>v) (пара-
метрические уравнения П.). При этом от функций y?(u,v), V’(u,f) и x(u>v)
требуется, чтобы они были непрерывны и чтобы для двух различных точек
(u,v) и соответствующие точки (x,y,z) и (x',y',z') были различны.
Половина П. шара, ограниченная каким-либо из больших кругов (напри-
мер, П. Северного полушария, ограниченная экватором на глобусе), может
служить примером простой П. Однако уже полная П. шара не является
простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия
поверхности. П., которые устроены вблизи каждой своей точки подобно
простым П., называются правильными П. или двумерными многообрази-
ями (об обобщении этого понятия на любое число измерений см. статью
Многообразие). Многообразиями являются, например, П. шара (рис., 1)
или цилиндрическая П. (рис., 2); коническая П. (рис., 3) не является мно-
гообразием, так как вблизи своей вершины она устроена существенно ина-
че, чем простая П. Не является многообразием и самопересекающаяся П.,
изображенная на рис. 4. Такие П. с особенностями широко изучаются в
геометрии.
В дифференциальной геометрии обычно суживают понятия простой П.
и многообразия, вводя дополнительные требования «гладкости» П., т. е.
существования в каждой точке П. определенной касательной плоскости,
кривизны и т. п. Эти требования сводятся к тому, что функции ip(u, v),
•ф(и,и), x(u,v) предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некото-
242
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
рых вопросах — неограниченно дифференцируемыми или даже аналити-
ческими. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя бы один из
определителей
<Pu <Pv
<Pu 4>v
Xu Xv
Xu
был отличен от нуля.
3) П. часто задается уравнением вида
Ф(х, у, z) = О
как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют тако-
му уравнению. Если функция Ф(я, y,z) непрерывна и имеет непрерывные
производные из которых хотя бы одна не обращается в нуль в
некоторой точке П., то в окрестности этой точки П., заданная уравнением
(*), будет правильной в смысле приведенного выше определения.
Однако в аналитической и алгебраической геометрии, где задание П.
уравнениями вида (*) играет основную роль, самое определение П. приспо-
собляют к этому способу задания. Например, считают, что любая целая ал-
гебраическая функция (т. е. любой многочлен) от х, у, z определяет алгеб-
раическую П. и две алгебраические П. совпадают в том и только в том слу-
чае, когда соответствующие функции отличаются лишь постоянным мно-
жителем. Алгебраическая П. может не иметь наглядно-геометрического
смысла; например, уже в обычном курсе аналитической геометрии гово-
рят, что уравнение
х2 + у2 4- z2 + 1 = О
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
243
определяет мнимую сферу, хотя в вещественном пространстве нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяют такому уравнению.
4) Сказанное в предыдущих двух пунктах о П., лежащих в трехмерном евкли-
довом пространстве, с небольшими изменениями переносится и на П. в п-мерных
пространствах. Возможно также изучение П. с точки зрения их внутренней гео-
метрии (см.) без предположения о том, что они помещены в какое-либо объемлю-
щее пространство. В частности, в топологии (см.) подробно изучаются двумерные
многообразия. При этом двумерное топологическое многообразие определяется
как топологическое пространство, подчиненное некоторым топологическим усло-
виям (локальная бикомпактность, связность, счетный вес). Кроме того, требуется,
чтобы всякая точка имела окрестность, гомеоморфную простой П. или, что то же
самое, единичному квадрату. Существуют двумерные многообразия, которые не
могут быть топологически (т. е. при помощи непрерывного взаимно-однозначного
отображения) вмещены в евклидово трехмерное пространство. Одной из таких П.
является проективная плоскости (см.). Компактное двумерное топологическое
многообразие называется замкнутой П. Всякая замкнутая П. гомеоморфна по-
лиэдру (см.). Топологически различных замкнутых П. бесконечно много. Однако
все они легко обозримы; в частности, всякая замкнутая П., помещающаяся без
самопересечений в трехмерное пространство, гомеоморфна П. шара или П. шара
с определенным числом «ручек». Число ручек называется родом П. На рис. 5 и
6 изображены П. рода 1, на рис. 7 и 8 - рода 2.
Ли т.’. Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М.-Л.,
1950; Александров А. Д., Об основах дифференциальной геометрии и их изложе-
нии, Успехи матем. наук, 1949, т. 4, вып. 3; Александров П. С., Комбинаторная
топология, М.-Л., 1947.
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА75 (матем.). Натуральные числа
1,2,..., п,...
могут служить или для обозначения числа элементов в некотором множе-
стве (совокупности) объектов, или для обозначения места, которое зани-
мает в упорядоченной последовательности какой-либо объект. В первом
случае говорят о «количественных» числах, а во втором — о П. ч. Несмот-
ря на эту двоякую функцию натуральных чисел, существует только одна
арифметика натуральных чисел, так что в применении к натуральным чис-
лам различие между количественными и П. ч. является лишь указанием на
различные пути, по которым происходит образование одного абстрактного
математического понятия «натуральное число».
При рассмотрении бесконечных множеств (см.* Множеств теория) дело об-
стоит иначе, и эти два различных пути абстракции приводят к двум различ-
ным теориям: теории порядковых (ординальных) трансфинитных чисел (см.) и
теории количественных (кардинальных) трансфинитных чисел. Эти две системы
трансфинитных чисел обладают различными свойствами. Например, во второй
75БСЭ-2. - 1955. - Т. 34. - С. 227.
244
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
из них всегда a + 0 = 0 + а (как и в обычной арифметике), в первой же иногда
a + 0 0 + а.
ПРИЕМОЧНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ76, сово-
купность статистических методов контроля массовой продукции с целью
выявления ее соответствия заданным требованиям. П.с. к. — действенное
средство обеспечения доброкачественности массовой продукции.
П. с. к. проводится на основе системы (стандарта) правил контроля,
предписывающих использование определенного плана контроля в зависи-
мости от количества изделий в контролируемой партии, результатов кон-
троля предыдущих партий, трудоемкости контроля и т. д. Основным ме-
тодом отбора изделий для контроля является случайных выбор (без воз-
вращения), при котором изделия наудачу отбираются для контроля, при-
чем любой из возможных составов выборки имеет одинаковую вероятность.
Иногда используются другие методы выбора.
Если по результатам контроля изделия классифицируются на годные и
дефектные, то говорят, что контроль проводится по альтернативному при-
знаку. В практике П. с. к. широко используются одноступенчатые планы
контроля по альтернативному признаку, определяемые заданием числа п
отбираемых для контроля изделий (и — объем выборки) и так называе-
мого приемочного числа с, смысл которого в следующем: если d — чис-
ло обнаруженных в выборке дефектных изделий — больше с, то партия
бракуется, если же d с, то принимается. Иногда выгодно использовать
двухступенчатые планы П.с.к. по альтернативному признаку, определяе-
мые объемами щ и пг первой и второй выборок. Если di — число дефект-
ных изделий, обнаруженных в первой выборке, — не более cj, то партия
принимается, если же d\ Г[ (гi > С]), то бракуется. В тех случаях, когда
ci < di < ri, берется вторая выборка, включающая пг изделий. Если общее
число di + d2 дефектных объектов, обнаруженных в первой и второй вы-
борках, не более сг, то партия принимается, если же di +d2 > сг, то браку-
ется. В некоторых случаях рекомендуется использовать многоступенчатые
планы контроля, последовательные планы (см. Последовательный анализ)
и др.
Для одних условий производства браковка партии влечет за собой
сплошную проверку всех изделий партии с целью устранения из нее всех
дефектных изделий, для других означает уничтожение изделий или их ис-
пользование в качестве сырья для повторного производства (металличе-
ские изделия идут в переплавку) и т. д. При использовании П. с. к. решение
о приемке или браковке принимается на основе контроля лишь части слу-
76БСЭ-3. - 1975. - Т. 20. - С. 572-573, стлб. 1703-1706 (совм. с Ю. К. Беляевым).
Первое изд.: БСЭ-2. - 1955. - Т. 34. - С. 498-499.
И. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
245
чайно отбираемых изделий. Поэтому всегда имеется не равная нулю веро-
ятность приемки партий, содержащих дефектные изделия. Когда контроль
изделий носит разрушительный характер (испытания на разрыв и т. п.),
П.с. к. является единственно возможным способом приемочного контроля.
Если при контроле свойства изделий не меняются, то в принципе возмо-
жен сплошной контроль. Тщательная выборочная проверка изделий может
дать более объективные результаты, чем неизбежно менее тщательная (из-
за увеличения объема работы) сплошная проверка.
Если изделия отбираются для контроля на основе случайного выбора,
то можно вычислить оперативную характеристику плана контроля, рав-
ную вероятности P(D) приемки партии, содержащей D дефектных изде-
лий. На рисунке показаны оперативные характеристики одноступенчатого
плана контроля для п = 35, с = 2 (рис., а), двухступенчатого плана для
П1 = 23, П2 = 56, ci = 0, и = 4, С2 = 3 (рис., б) и некоторого последователь-
ного плана (рис., в), для которых среднее число контролируемых изделий
с учетом сплошной проверки при решении о браковке приблизительно оди-
наково, когда контролируется партия из N = 1000 изделий, среди которых
имеется п = 10 дефектных.
Оперативные характеристики для приемочного статистического контроля:
a — одноступенчатый план, б — двухступенчатый план,
в — последовательный план
246
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
В стандартах П. с. к. указывается, какие типы планов целесообразно ис-
пользовать для контроля массовой продукции. Переход от контроля с од-
ноступенчатыми планами к более сложным может уменьшить вероятность
ошибочного принятия партий, содержащих большое число дефектных объ-
ектов (рис.). Однако планы, отличные от одноступечатых, сложнее как с
точки зрения их реализации, так и по методам получения на их основе
статистических оценок для уровня качества массовой продукции.
Пусть D — число дефектных изделия в партии, ad — число дефектных
изделий, обнаруженных при выборочном контроле. Максимальное значе-
ние q математического ожидания — доли принимаемых дефектных изде-
лий — называется предельным средним уровнем выходного качества. Для
одноступенчатого плана с объемом выборки п и приемочным числом с при
случайном выборе изделий на контроль
1 _с
? = шах — -
d=0
где = Q) (pZ2)/(d) — веРоятность обнаружить d дефектных изделий
в выборке объема п из партии, содержащей N изделий, (Y) = •
Если п и D много меньше а с много меньше п, то приближенно
q ~ Pein, где, например, ро = 0,37, р\ = 0,85, рг = 1,40.
Для отбора планов контроля серии партий можно исходить из стои-
мостных показателей контроля. Расходы, связанные с проведением П.с.к.,
представляют в виде суммы расходов на контроль изделий, составляющих
выборку, и ущерба от напрасной забраковки годных изделий. В сумму рас-
ходов можно включать и ущерб от принятых дефектных изделий.
В стандартах П.с.к. приводятся правила корректировки, определяю-
щие переход от нормального хода контроля к более жесткому и обратно.
Например, при браковке двух из десяти последних проконтролированных
партий в некоторых стандартах рекомендуется переход к планам с меньши-
ми значениями оперативной характеристики. Такой переход может быть
осуществлен уменьшением значений приемочных чисел или увеличением
объемов выборок.
На основе результатов контроля можно получить так называемые по-
следующие оценки для числа предъявленных и принятых дефектных из-
делий, а также для других показателей эффективности П.с.к. Методы
построения последующих оценок были даны А. Н. Колмогоровым.
Если в результате контроля изделий измеряемая величина (размер, вес
и т. п.) принимает числовые значения, то говорят, что контроль ведется
по количественному признаку. Измеренные значения количественного при-
знака содержат больше информации, чем данные только о количестве де-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
247
фектных изделий, выявляемых при П. с. к. по альтернативному признаку.
Можно ожидать, что методы П. с. к. по количественному признаку будут
эффективнее П. с. к. по альтернативному признаку.
В 70-е годы 20 в. разработаны основы теории П. с. к. по количественно-
му признаку в предположении, что измеряемые значения — взаимно неза-
висимые одинаково распределенные случайные величины, законы распре-
деления которых принадлежат некоторому семейству, например семейству
нормальных распределений. Выполнение этих предположений в конкрет-
ных условиях требует тщательной проверки. Поэтому к выводам теории
П. с. к. по количественному признаку надо относиться с осторожностью.
Контроль по количественному признаку можно проиллюстрировать
следующим примером. Допустим, что годность изделия определяется тем,
что некоторый размер z не превышает значения а. Из партии случайно
выбираются 4 изделия, для которых значения размеров z равны zi, Z2, 23,
24. Партия принимается, если а — z 2,5s, где z = (21 + 22 + 23 + 24)/4,
s2 = I 5Zi=i(2i — z)2, в противном случае — бракуется.
Правила приемки по выборочным данным используются давно. Вопро-
сами теоретического обоснования П.с.к. занимался еще М.В. Остроград-
ский. Однако систематическое развитие теория П.с.к. получила лишь во
2-й половине 20 в.
Лит.: Остроградский М. В., Поли. собр. тр., т. 3, К., 1961, с. 215-238; Колмо-
горов А. Н., Несмещенные оценки, «Изв. АН СССР. Сер. математическая», 1950,
т. 14, №4; Коуден Д., Статистические методы контроля качества, пер. с англ., М.,
1961; Беляев Ю. К., Приемочный контроль по альтернативному признаку, в. 1-2,
М., 1973; Dodge Н. F., Romig Н. G., Sampling inspection tables, 2 ed., N. Y. - L., 1959;
Hald A., The compound hypergeometric distribution and a system of single sampling
inspection plans based on prior distributions and costs, «Technometrics», 1960,
v. 2, 3.
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СССР.77 Развитие математики в
советский период органически опирается на лучшие достижения дорево-
люционного периода, но вместе с тем характеризуется и многими новы-
ми чертами. Первой отличительной чертой советского периода является
значительно более широкая и плановая организация научных исследова-
ний и подготовки научных кадров. В этом направлении крупные заслу-
ги принадлежат В.А. Стеклову; в частности, он создал (1920) при Ака-
демии наук научно-исследовательский Физико-математический институт.
В первые годы после Великой Октябрьской социалистической революции
наиболее бурный рост математической науки наблюдается в Москве. Па-
77БСЭ. — 1947. — Т. «СССР». Стлб. 1318-1323. Текст является второй частью разде-
ла «Математика» в статье Наука-, первая часть — Русская математика до 1918 г. —
написана П. С. Александровым.
248
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
раллельно с работами Лузина и его учеников по теории функций дей-
ствительного переменного и теории множеств развиваются исследования
по теории функций комплексного переменного (В. В. Голубев, И. И. При-
валов, 1891-1941). В то время как часть учеников Лузина продолжает
работать над проблемами теории функций действительного переменного
(Д. Е. Меньшов, Н.К. Бари), другие берутся за новые области математи-
ки: П. С. Урысон (1898-1924) и П. С. Александров делаются основателями
и руководителями московской топологической школы, Л. Г. Шнирельман
(1905-38) и Л. А. Люстерник разрабатывают топологические методы ана-
лиза, А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров создают новое направление в теории
вероятностей. В основанном в 1922 Математическом институте Московско-
го университета находится место и для ряда других научных направлений;
например, рядом с московским направлением работ по дифференциаль-
ной геометрии (Д. Ф. Егоров, С. П. Фиников, С. С. Бюшгенс) чрезвычай-
но широко и планомерно развивается в школе В. Ф. Кагана многомерная
тензорная дифференциальная геометрия, столь важная для современной
физики. Под руководством О. Ю. Шмидта создается школа алгебраистов,
в которой в дальнейшем особенно выделяется деятельность А. Г. Куроша
и многочисленных его учеников. В области теории чисел значительные ре-
зультаты получены А. О. Гельфондом (р. 1906) — о трансцендентных чис-
лах — и Л. Г. Шнирельманом.
Математический институт Московского университета, руководимый (с
1939) В. В. Степановым (собственные работы которого относятся к теории
функций действительного переменного и к качественной теории диффе-
ренциальных уравнений), остается и в настоящее время самым значитель-
ным в СССР центром подготовки математических научных кадров. Вы-
работанные в нем распорядок и традиции подготовки аспирантов оказали
некоторое влияние и на постановку этого дела за пределами математики.
Из аспирантуры этого института вышла значительная часть советских ма-
тематиков младшего поколения, работающих в Москве и в других городах
СССР.
В Ленинграде в советский период развивались получившие мировую
известность работы И. М. Виноградова по аналитической теории чисел.
Б. Н. Делоне и Р. О. Кузьмин блестяще продолжали традиции дореволю-
ционной петербургской школы в других разделах теории чисел. Еще более
широко в смысле вовлечения большого количества одаренных молодых ис-
следователей развернулась в Ленинграде работа по уравнениям матема-
тической физики. Организаторами этой работы явились Н.М. Гюнтер и
В. И. Смирнов. Заслуги последнего особенно велики в деле создания совет-
П. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
249
ской школы в этой основной для всего естествознания области математи-
ки. Ученики Смирнова и ученики его учеников [академики С. Л. Соболев,
Н.Е. Кочин (1895-1945) и С. А. Христианович, член-корреспондент Акаде-
мии наук СССР И. А. Кибель и многие другие] составляют значительную
часть кадров советских исследователей не только в самой теории уравнений
математической физики, но и непосредственно в гидродинамике, сейсмоло-
гии и метеорологии. Примыкая к ленинградской школе, под руководством
Н. И. Мусхелишвили в Тбилиси выросла сильная грузинская школа уравне-
ний математической физики и специально теории упругости (значительные
результаты по вариационному исчислению были получены Размадзе). Под
некоторым влиянием Москвы развивались в Ленинграде области матема-
тики, опирающиеся на теорию множеств и теорию функций действитель-
ного переменного. Это в первую очередь заслуга Г. М. Фихтенгольца (тео-
рия функций действительного переменного), А. А. Маркова (топология)
и Л. В. Канторовича (функциональный анализ). С организационной сто-
роны деятельность ленинградских математиков сосредоточивалась в двух
математических институтах: Академии наук СССР (после 1935 — в Ленин-
градском филиале Математического института Академии наук СССР) и
Ленинградского университета.
Следующим по размаху работы научным математическим центром
явился Украинский математический институт, учрежденный в Харькове в
1928. В нем получили большое развитие работы Бернштейна и его учени-
ков (В. Л. Гончаров, Н. Д. Ахиезер и др.) по теории аппроксимаций и тео-
рии вероятностей. Специальные научные математические институты были
учреждены также в Киеве, Тбилиси, Казани, Томске. Эти институты яви-
лись организационной основой для планового развития научных матема-
тических школ на периферии Советского Союза. Кроме уже упомянутой
грузинской школы, среди них необходимо отметить деятельность казан-
ской школы алгебраистов (вопросы классической алгебры и непрерывные
группы), возглавлявшейся Чеботаревым, работы казанских геометров —
П.А. Широкова (1895-1944) и др., продолжавших традиции Лобачевско-
го, и киевскую школу в области анализа с применениями к нелинейной
механике (Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов). Долголетняя деятельность
В. И. Романовского (по преимуществу в области математической статисти-
ки) и других ташкентских математиков получила прочную организацион-
ную базу с учреждением Академии наук Узбекской ССР. Энергично ве-
дется научная работа по математике также в Одессе (М. Г. Крейном и его
учениками — в области функционального анализа), в Саратове (где эта ра-
бота возглавляется представителем московской тензорной школы В. В. Ва-
250
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
гнером, р. 1908) и в ряде других городов Советского Союза. С переездом в
1935 Академии наук СССР в Москву, крупнейшим центром научных иссле-
дований в СССР сделался Математический институт имени В. А. Стеклова,
возглавляемый И. М. Виноградовым.
В настоящее время советские математики с успехом разрабатывают на
высоком теоретическом уровне почти все актуальные разделы математи-
ки, в некоторых же из них занимают ведущее положение в мировой науке.
Несмотря на такую широту охвата, второй отличительной чертой совет-
ской математики является ее единство, преимущественный интерес к уз-
ловым проблемам, связывающим различные ветви математического иссле-
дования, и стремление к ясному пониманию роли каждого отдельного на-
правления для самой математики, математического естествознания и тех-
ники. Благодаря этим устремлениям замкнутость традиционных научных
школ все более уступает место их продуктивному взаимодействию. Многие
представители «теоретико-множественной» школы учеников Н. Н. Лузи-
на сделались первоклассными исследователями в «классических» областях
математики. Например, самым значительным продолжением исследова-
ний С. Н. Бернштейна об аналитическом характере решений эллиптических
уравнений следует считать глубокие работы И. Г. Петровского по системам
уравнений с частными производными. М.А. Лаврентьев и М.В. Келдыш
стали одними из замечательных представителей советской механики. То-
полог, ученик П. С. Александрова, А. Н. Тихонов приобрел не меньшую
известность работами по математической геофизике. В то же время новые
работы ленинградской школы в области уравнений математической физи-
ки часто проникнуты широкими общими идеями современного функцио-
нального анализа (например, многие исследования Соболева). Естественно,
что это не означает полного обезличивания отдельных научных школ. На-
пример, в теории вероятностей произошло тесное переплетение тематики
исследований Бернштейна, продолжающего традиции Чебышева, Маркова
и Ляпунова, и московской школы: представители московской школы дали
результаты, относящиеся к уточнению и обобщению классических предель-
ных теорем, а Бернштейн в своеобразной и глубокой форме продолжил мос-
ковские исследования по стохастическим дифференциальным уравнениям.
Тем не менее обе школы остаются во многом различными и, по-видимому,
с пользой для науки дополняют друг друга.
С отвлеченной, логической стороны все развитие математики идет из
двух основных источников: алгебры и топологии. Их скрещение в простей-
шей и наиболее общей форме приводит к теории коммутативных групп.
В этой области математики, значение которой в математическом естество-
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
251
знании становится тоже все более определяющим, основные продвижения
принадлежат ученику П.С. Александрова Л. С. Понтрягину, известному
также и в качестве одного из самых сильных представителей чистой топо-
логии. Трудные проблемы теории непрерывных групп решены в казанской
школе Чеботарева, а также А. И. Мальцевым в Москве. В порядке даль-
нейшего усложнения объединяющих общих идей современной математики,
мы приходим к уже неоднократно упоминавшемуся в этой статье функ-
циональному анализу, который подчиняет решение проблем классического
анализа общим алгебраическим и топологическим методам. Идеями функ-
ционального анализа глубоко проникнуты очень многие работы советских
ученых разных направлений. В области специфических собственных про-
блем функционального анализа наиболее замечательные результаты при-
надлежат молодому московскому математику И. М. Гельфанду (р. 1912).
Этот путь конкретизации самых общих отвлеченных идей современной
абстрактной математики находит свое естественное продолжение в даль-
нейшем пути от проблем самой математики — к ее применениям. Третьей
особенностью советского периода развития русской математики является
организованная и широкая работа советских математиков над наиболее ак-
туальными задачами, выдвигаемыми не только потребностями механики и
физики, но и непосредственно техникой и, в частности, нуждами обороны
страны. Эта последняя черта проявилась особенно ярко во время Великой
Отечественной войны с Германией и Японией.
Доведение математических прикладных исследований до конкретных
числовых результатов в настоящее время часто требует огромных уси-
лий. Благодаря этому во всех странах энергично ведутся работы по со-
зданию новых методов математических расчетов. Вычисление математи-
ческих таблиц делается серьезной государственной задачей, требующей
специальной организации. Особенно растет внимание к механизации мате-
матических вычислений, для чего создаются сложные математические ма-
шины (для решения дифференциальных уравнений, гармонического ана-
лиза и т. п.). Первые шаги советской математики в этом направлении
возглавлялись А. Н. Крыловым, о деятельности которого уже говорилось в
первой части статьи78. Новый метод решения дифференциальных уравне-
ний был предложен С. А. Чаплыгиным. Важные исследования о численных
решениях уравнений математической физики были проведены Л. В. Кан-
торовичем. Незаменимая при более грубых быстрых расчетах номогра-
фия разрабатывалась в СССР Н. А. Глаголевым. В последние годы ра-
78См. сноску на с. 247.
252
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
боты по вычислительной математике сосредоточиваются в специальном
отделе Математического института Академии наук СССР, возглавляемом
Л. А. Люстерником. Сложные машины для решения дифференциальных
уравнений сконструированы в Энергетическом институте Академии наук
СССР И. С. Бруком и Л. И. Гутенмахером.
Наиболее замечательные работы советских математиков отмечены при-
суждением за них Сталинских премий: И. М. Виноградову — за решение
проблемы Гольбаха в теории чисел, проблемы, которая дожидалась своего
решения почти двести лет; Н. И. Мусхелишвили — за исследование диффе-
ренциальных уравнений теории упругости; С. Н. Бернштейну — за работы
по теории вероятностей; П. С. Александрову — за работы по топологии;
М. А. Лаврентьеву — за применение общих методов теории функций к за-
дачам механики; И. Г. Петровскому — за исследования систем дифференци-
альных уравнений в частных производных; С. Л. Соболеву — за работы по
дифференциальным уравнениям, имеющие применения к сейсмологии и к
другим задачам распространения колебаний; Л. С. Понтрягину — за рабо-
ты по теории топологических групп; А.Н. Колмогорову и А. Я. Хинчину —
за работы по теории вероятностей; А. Д. Александрову — за исследования
о геометрических свойствах выпуклых тел; Л. А. Люстернику — за работы
по топологическим методам анализа; А. И. Мальцеву — за исследования по
теории непрерывных групп, Ю. В. Линнику — за работы по теории чисел.
Ряд Сталинских премий был присужден математикам за исследования
в области физики (Н.Н. Боголюбову), технических наук (А.Н. Крылову,
С. А. Христиановичу и М. В. Келдышу) и за участие их в изобретательской
технической работе (М.А. Крейнес).
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ79, средние. Для п чисел xi,X2, ,тп
арифметическая средняя (см.) равна числу s = д1+а:з+'—hJn, геометриче-
ская средняя (см.)
т = tyxi Х2 •. . хп,
гармоническая средняя
/11 1 \
g = п:------1--1----1--.
371 372 /
Среднее арифметическое и среднее гармоническое являются частными
случаями степенного среднего
79БСЭ. - 1947. - Т. 52. - С. 508-509.
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
253
_ /т? + х% + • • + V/ct
— I I ,
\ n J
определяемого для положительных Xi при любом действительном показа-
теле а^О. Если а = 1, то SQ = з, если а = —1, то SQ = g. При а —► О
степенное среднее Sa стремится к геометрическому среднему т. Поэтому
можно считать, что So = т. Важную роль играет неравенство Sa Sg,
если а [3. В частности, g С т s.
Наряду с этими средними рассматриваются взвешенные средние
s = /+ Р2^2 + • • • + Рп^п \ 1/а
\ Pl + Р2 + • ' • + Рп )
в частности,
P1Z1 +Р2Х2 + ••• +РпХП
S — ----------------------,
Pl + Р2 Н----h Рп
которые переходят в простые средние при р\ = р2 = • • • = рп = 1- О С. в. в
статистике см. Математическая статистика.
Лит.-. Hardy G. Н., Littlewood J. Е., Pdlya G., Inequalities, London, 1934, chapter 2.
УРАВНЕНИЕ80, равенство между двумя функциями того или иного
числа «неизвестных» величин; например в случае трех неизвестных х, у,
z общий вид У.: <р(х, у, z) = ip(x,y,z). У. справедливо лишь при некото-
рых значениях неизвестных. Например, У. х2 + у2 = z2 справедливо, если
х = 3, у = 4 и z = 5, и не верно, если х = 3, у = 4 и z = 7. У., справедли-
вое при любых значениях неизвестных, называется тождеством; например,
(х + у)2 = х2+2ху+у2 есть тождество. Каждая комбинация значений неиз-
вестных, для которой У. справедливо, называется решением У. Например,
тройки чисел (х = 3, у = 4, z = 5), (х = 0, у = 0, z = 0) или {х = 1, у = 1,
z = \/2) суть решения уравнения х2 4- у2 = z2. Решить У. значит найти все
его решения. Например, У. х2 — Зх + 2 = 0 имеет два решения — х = 2 и
х = 1 — и не имеет больше никаких других решений. Задача решения У.
приобретает различный смысл в зависимости от того, среди какого запаса
чисел ищется решение. Например, У. ху = 2 допускает ровно четыре ре-
шения в целых числах (х = 1, у = 2), (т = 2, у = 1), (х = —1, у = —2),
(х = -2, у = —1); если же допускать и дробные числа, то появляется бес-
конечное множество новых решений, как например (т = 3, у — 2/3) и т. д.
Точно так же У. х2 — — 1 не имеет действительных решений, но имеет два
мнимых решения х = i и х = —г.
80БСЭ. - 1936. - Т. 56. - Стлб. 163-165.
254
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Решением системы У. называется любая комбинация значений неиз-
вестных, для которой все У. системы справедливы. Например, система
х2 + у2 = 8, х 4- у = 0 имеет два решения (х = 2, у = —2) и (гг = —2,
у = 2). Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если
каждое решение одной системы (уравнения) является решением другой
системы (уравнения) и наоборот. Например, система х2 4- у2 = 8, х -I- у = О
равносильна системе х 4- у = 0, ху 4- 4 = 0; точно так же У. 2х 4-1 — Зх 4- 5
равносильно У. х 4- 4 = 0. В случае одного У. известны следующие эле-
ментарные правила: 1) если прибавить к обеим сторонам У. одно и то же
выражение, то получится У., равносильное первоначальному, 2) если умно-
жить обе стороны У. на одно и то же выражение, которое ни при каких
значениях неизвестных не теряет смысла (иногда говорят — не обращается
в бесконечность) и не обращается в нуль, то получится У., равносильное
первоначальному. При умножении обеих сторон У. на выражение, которое
может обращаться в нуль, у нового У. могут получиться лишние решения,
отсутствовавшие у первоначального. Например, У. х — 2 = 0 имеет един-
ственное решение х = 2; умножая У. на (х — 1), получаем другое уравнение
х2 — Зх 4- 2 = 0, которое имеет уже два решения: х = 2 и х = 1.
У. называется алгебраическим, если обе его стороны выражаются через
неизвестные при помощи четырех арифметических действий или извлече-
ние корня целой степени. Решение алгебраического У. с одним неизвестным
может быть сведено к решению У. вида
аохп 4- aixn-1 + агх”-2 4---1- an-ix 4- an = 0. (1)
Здесь число п называется степенью У. (предполагая ао / 0). У. первой
степени аох 4- = 0 имеет единственное решение х = — ai/ao- Решение У.
второй степени (см. Квадратное уравнение) по новейшим исследованиям
Нейгебауэра было известно в Вавилонии ранее 1800 лет до хр. э., древне-
греческие геометры владели им в геометрической форме; алгебраическое
решение квадратных У. стало известным в Европе от арабов. Решение У.
третьей степени было получено в Италии в 16 в. (см. Кардано формула).
Тогда же ученик Кардано Феррари решил общее У. четвертой степени.
У. вида (1) любой степени n 1 всегда имеет хотя бы одно решение, или,
как обычно говорят, один корень, действительный или комплексный (см.
Комплексные числа)', это составляет так называемую основную теорему ал-
гебры, доказанную Гауссом (1799). Число различных корней У. n-й степени
не превосходит п, а если каждый корень считать с его «кратностью», —
всегда точно равно п. Если оц, «2, • • •, с*п корни У. (1) (при этом каждый
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
255
кратный корень берется число раз, равное его кратности), то
aoin + aixn-1 + a2Xn~2 -I--1- an = ao(x — ai)(x — аг) • • • (x - an).
Долго безуспешно пытались выразить корни общего У. пятой степени
o.qx5 4- aix4 + • • • + 05 = О через коэффициенты оо, ai, аг, аз, 04, а5 при
помощи арифметических действий и извлечения квадратного корня, по-
ка Абель в 1826 не доказал, что это невозможно. Вопрос о разрешимости
алгебраических У. в радикалах привел в 1830 Галуа к общей теории (см.
Теория Галуа), охватывающей важнейшие свойства алгебраических У. и
так называемых полей алгебраических чисел.
Среди систем У. простейшими являются системы линейных У. Система
из п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
ailXi -f- 012X2 4” * 4” GlnXn ^1,
021X1 + 022X2 + ’ • ' + O.2nXn = fyz,
Onl^-l "Ь Оп2Х2 + • • • + OnnXn = Ьц.
Такая система имеет одно единственное решение, если определитель (см.),
образованный из коэффициентов Оу, отличен от нуля. Решение это дает-
ся формулами Xi = Ai/A, i = 1,2,3, где Д есть определитель из
коэффициентов Оу, а Д, тот же определитель, но с заменой г-го столбца
столбцом правых частей У., т.е. столбцом из bi. Вообще говоря, решение
системы У. (не обязательно линейных) сводится к решению одного У. при
помощи так называемого исключения неизвестных (см.*).
Кроме алгебраических У. часто приходится иметь дело с трансцендент-
ными У., как например sinx — Лх = 0. При практическом числовом ре-
шении трансцендентных У., так же как и при числовом решении алгебра-
ических У. высших степеней, чаще всего приходится применять прибли-
женные методы решения. Среди них наиболее просты метод Ньютона и
метод ложного положения (Regula falsi). Метод Ньютона заключается в
следующем: ищется корень У. /(х) = 0. Пусть известно приближенное
значение (практически первое приближение часто удобно находить графи-
чески) Xi корня то- Дальнейшие приближения определяются формулами
х2 = Xi - /(xi)//'(xi), вообще xn+i = хп - /(хп)///(хп), где /'(х) обозна-
чает производную от функции /(х). Если первое приближение xi близко к
хо, то [если только производная f'(x) непрерывна] последовательные при-
ближения хп сходятся к xq. В случае алгебраических У. одним из самых
совершенных является метод Греффе.
256
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
В аналитической геометрии (см.) одно У. с двумя неизвестными
интерпретируется при помощи кривой на плоскости, а одно У. с тре-
мя неизвестными — при помощи поверхности в трехмерном пространстве.
Решения системы двух У. с двумя неизвестными интерпретируются точ-
ками пересечения соответствующих двух кривых, а решения системы трех
У. с тремя неизвестными — точками пересечения трех соответствующих
поверхностей.
Лит.: Шапиро Г. М., Высшая алгебра, М., 1935; Граве Д., Элементы высшей
алгебры, Киев, 1914; Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 2 изд., М.-Л., 1932;
Чеботарев Н., Основы теории Галуа, ч. 1, М.-Л., 1934.
Ill
Статьи о математике
в других изданиях

СОВРЕМЕННЫЕ СПОРЫ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИКИ
I
Никогда еще претензия математики на незыблемость и общезначимость
ее выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее
время. Недаром французский математик Адамар по поводу некоторых ма-
тематических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий
кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга, или еще
каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посред-
ством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шу-
точный характер, то самая безнадежность придти к соглашению по неко-
торым вопросам очень остро ощущается многими. Так, еще в 1905 г. в
«пяти письмах о теории множеств» несколько французских математиков,
в том числе Адамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения
по поводу, незадолго до этого предложенного Цермело, так называемого
«принципа произвольного выбора». То, что казалось Адамару совершенно
очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представля-
лось отнюдь не очевидным и даже лишенным всякого смысла. Лебег и Бэр
в своих письмах высказали еще новые оттенки взглядов на тот же вопрос.
Все эти различные мнения остаются непримиренными до настоящего вре-
мени.
Правда, исчисление бесконечно малых в первый период своего разви-
тия вызывало также много споров и несогласий. Но там дело шло только
об отсутствии достаточно точных определений; недостаток этот сознавался
и самими сторонниками новых методов и в течение XIX века был устра-
нен. В настоящее время исчисление бесконечно малых обосновано столь же
прочно, как и более старые отрасли математики, и по поводу смысла его
основных понятий не возникает никаких недоразумений1. Для этого было
Научное слово. — 1929. — К* 6. — С. 41-54.
‘Правильнее было бы сказать так: когда исчисление бесконечно малых удалось как
будто обосновать столь же прочно, как и самое элементарную математику, в строгости и
точности которой до тех пор никто не сомневался, обнаружилось, что эта элементарная
математика сама нуждается в таком обосновании, и была сделана следующая попытка
обосновать самое элементарную математику (в первую очередь арифметику в связи с
канторовским учением о множествах) на специально для этого расширенной формаль-
ной логике (Фреге, Рессель [имеется в виду Бертран Рассел. — Прим. ред. 4-го тома
Избранных трудов.}), для чего уже тут пришлось выйти, собственно говоря, за пределы
специально математической области. Как известно, попытка эта окончилась неудачей,
приведя к целому ряду характерных для формальной логики антиномий, на которых
подробнее автор останавливается в дальнейшем. Ред. изд. 1929 г.
260
III. Статьи о математике в других изданиях
достаточно проделать чисто математическую работу: дать хорошие опреде-
ления и формулировать исчерпывающую систему допущений, на которые
опираются последующие логические построения. Разрешения же современ-
ных разногласий приходится искать вне математики. Когда часть матема-
тиков формулирует достаточно простой принцип теории множеств, кажу-
щийся им очевидным, другая же часть находит этот принцип лишенным
какой бы то ни было убедительности, неизбежным становится теоретико-
познавательный анализ смысла основных терминов, ими употребляемых.
Дело идет собственно о понятиях множества, его элемента и, особенно, о
понятии существования. Довольно ясно, что формальное математическое
определение этих понятий было бы пустой тавтологией.
Эта и многие другие трудности, возникшие на окраинах современной
математики, по поводу недавно возникших крайне абстрактных теорий, не
мешают, конечно, продолжать текущую работу в классических областях
математики. При этом имеется довольно обоснованная уверенность, что
наиболее ценные конкретные достижения современной математики устоят
против ведущейся разрушительной критики. Однако с чисто логической
точки зрения дело обстоит так, что при исследовании весьма конкретных
вопросов классического анализа применяются те же самые методы, кото-
рые в более общих теориях приводят к затруднениям и даже противоре-
чиям. На этом обстоятельстве особенно настаивает Вейль. Например, он
убедительно показывает, что доказательство существования верхнего пре-
дела числовой последовательности обосновывается рассуждениями совер-
шенно такого же рода, как те, которые в общей теории множеств приводят
к противоречиям (антиномиям), открытым Ресселем и другими.
Естественен поэтому повышенный интерес, который проявляют сейчас
математики к углубленному исследованию оснований своей науки. При
этом им неизбежно приходится выходить за пределы собственно математи-
ческих рассуждений и опираться на ту или иную теорию математического
познания. К сожалению, часто теория познания математиков, занимаю-
щихся исследованием оснований, имеет несколько кустарный, доморощен-
ный характер.
Две теории в настоящее время обещают разрешить все затруднения,
волнующие математиков, обе, правда, довольно дорогой ценой.
Возглавляемый Гильбертом формализм предполагает сделать это по-
средством превращения математики в чистую игру символами, в которой
все позволено под единственным условием уметь доказать отсутствие в
этой игре противоречий. Интуиционизм Брауэра, напротив, предлагает из-
гнать из математики все, что не имеет твердого основания в общей всем ин-
Современные споры о природе математики
261
туиции2. Большинство математиков, внимательно присматриваясь к обоим
течениям, занимает выжидательную позицию.
Основной трудностью при изложении содержания этих двух теорий для
неспециалистов является то обстоятельство, что обе они возникли в виде
реакции против теоретико-множественной концепции математики, которая
сама имеет не столь древнее происхождение и еще недостаточно хорошо из-
вестна нематематикам. Поэтому нам придется сначала напомнить ее разви-
тие, в основном закончившееся к началу нашего столетия, затем рассмот-
реть те затруднения, к которым она привела, и лишь после этого наметить
попытки их преодоления, предлагаемые Гильбертом и Брауэром.
II
Наибольшей известностью пользуется изложение нового взгляда на
структуру математической теории, данное на границе нашего и прошлого
века в «Основаниях геометрии» Гильберта. Здесь объявляется, что геомет-
рия имеет дело с системой вещей, условно называемых «точками», «прямы-
ми», «плоскостями», связанных отношениями тоже совершенно неизвест-
ной природы, отношениями, условно описываемыми терминами «прямая
проходит через точку» и т. д. Отнюдь не природа этих вещей и отношений
определяет содержание геометрии. Для развития геометрии важно толь-
ко то, что эти отношения удовлетворяют известным аксиомам, например
такой: «существует одна и только одна прямая, проходящая через две дан-
ных точки». Гильбертом дана система из двадцати двух аксиом геометрии;
всякая система вещей и отношений, которая удовлетворяет этим двадцати
двум аксиомам, по мнению Гильберта с одинаковым правом может быть
названа «пространством». В ряде приложений к «Основаниям геометрии»
2Интуиция или созерцание, которое здесь, однако, нужно понимать не как чувствен-
ное или эмпирическое созерцание, но лишь «как род непосредственной достоверности»,
в которой нам даны (именно «даны», т. е. установлены, а не обоснованы, или, что бы-
ло бы еще больше, доказаны) основные логические и математические предметы и по-
ложения. Эти основные математические «факты» интуиционисты рассматривают как
действительные логически-математические основоположения, а не как целесообразные
или совсем произвольные допущения, с которых начинается рассуждение. Именно в
этом смысле они и говорят о предметной математике в противоположность беспредмет-
ной «шахматной игре» формалистов. Однако поскольку они хотят иметь этот предмет
математики исключительно внутри ее самой, из внутренней логической интуиции, а не
из материальной человеческой деятельности и опыта, — эта их, хотя и соблазнитель-
ная своей видимой «предметностью», установка свидетельствует с самого же начала об
их идеализме, переносящем нас из мира реальных материальных вещей и отношений в
царство идей старика Платона, где сам «предмет» оказывается лишь бесплотной тенью.
Оставаясь на почве идеализма, нельзя в действительности преодолеть беспредметности
формализма. Ред. изд. 1929 г.
262
III. Статьи о математике в других изданиях
показывается, что и другие математические теории могут быть изложены
подобным образом. Рессель формулировал этот взгляд на истинный смысл
математической теории в виде широко известного парадокса: «математи-
ка — это наука, которая не знает, о чем она говорит и что она говорит».
Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е.
изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, об-
разующих изучаемую систему, была теория групп.
Именно, Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую
систему элементов, для каждых двух из которых определен третий эле-
мент, называемый их «произведением», если только это произведение удо-
влетворяет известным перечисленным им условиям, например условию
(АВ)С = А(ВС). Приведем два примера групп. Группой будет совокуп-
ность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с са-
мим собой3. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет
совокупность всевозможных перестановок четырех символов. Число таких
перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух
групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совер-
шенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же
группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых
различных случаях, придавая основным ее терминам то или иное конкрет-
ное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки
зрения.
Отчетливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем
впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трех разра-
ботанных к тому времени систем геометрии допускает много различных
применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к од-
ной данной сфере в эвклидовом пространстве, обладают всеми свойствами
плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы
геометрии Лобачевского мы может одним изменением терминов получать
теорему о сферах и окружностях эвклидова пространства.
Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему
понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в совре-
менной математике особое положение. В самом деле, математика изучает
системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама систе-
ма, если она конечна, состоит из определенного числа предметов. Так, аб-
страктные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов.
Здесь число фигурирует не как нечто, удовлетворяющее аксиомам Пеано,
а как понятие с вполне определенным содержанием.
Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре
безусловно высказывал мнение большинства математиков.
3При этом произведением двух вращений А и В называют тот поворот куба, который
получается, если к кубу, повернутому при помощи вращения Д, применить вращение В.
Современные споры о природе математики
263
Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) со-
временная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию,
так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно4. Система
аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений
к «Основаниям» Гильберта.
Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо суще-
ствование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворя-
ющей выставленным аксиомам. Когда дело идет о системах из конечного
числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система
может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступа-
ют в теории конечных групп: группу задают таблицей ее элементов и их
произведений.
Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первона-
чальной моделью математического пространства было физическое про-
странство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализиру-
ет данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи
между элементами математического пространства и наблюдаемыми эле-
ментами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не
одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причем
неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью простран-
ства физической действительности. Поэтому приходится конструировать
образцы различных пространств аналитическим путем. Так, для доказа-
тельства реальности5 данной им системы аксиом эвклидова пространства
Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто
тройками действительных чисел — их координат. Точно так же и другие
виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действи-
тельные числа нуждаются в конструкции.
Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже
данными целые числа, как определенные их реальным значением. Правда,
логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим даль-
ше, что действительные тенденции логистики оказались очень далеким от
рассматриваемой сейчас концепции.
4Раньше всего они появились как мера, т. е. как отношение двух величин; но с чи-
сто арифметической точки зрения дробные числа получаются как результат деления, не
осуществимого в пределах целых чисел, иррациональные же — в виде пределов после-
довательностей рациональных чисел; можно также называть действительным числом
просто всякую бесконечную десятичную дробь.
5Для Гильберта «реальностью» является здесь фактически именно непротиворечи-
вость, ибо критерием реальности служит не человеческая практика (включая в нее и
естествознание, пользующееся математикой), а возможность отображения (интерпрета-
ции) на некоторую непротиворечивую систему (причем молча постулируется, что ничто
существующее в природе не может быть противоречивым). Ред. изд. 1929 г.
264
III. Статьи о математике в других изданиях
Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел,
изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось
ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа.
Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональ-
ных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа
разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это при-
водит нас к одному из основных конструктивных принципов теории мно-
жеств — переходу от данного множества к множеству его частей.
Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправ-
ляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действитель-
ным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рас-
сматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной
дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номе-
ру места в последовательности соответствует определенное число, есть не
что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Ана-
логично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих
в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент
второго множества.
Если к этим принципам присоединить еще сложение множеств, то мы
получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, постро-
ить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них систе-
мы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.
III
Предыдущие краткие указания были направлены, главным образом,
к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точ-
ка зрения глубоко проникла всю современную математику. Общая теория
множеств с ее специальными проблемами, правда, остается несколько изо-
лированной, но ее методы получают все большее преобладание в изложении
классических отраслей математики и постепенно проникают в элементар-
ные учебники.
Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с од-
ной стороны имеются теории, постулирующие существование бесконечных
систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально из-
влекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны
признается необходимой еще конструкция соответствующих объектов, ис-
ходя из натурального ряда или еще какого-либо запаса элементарных объ-
ектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими
двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно
формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт
Современные споры о природе математики
265
предлагает сохранить только первую формальную часть математики, осво-
бодив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непро-
тиворечивости; Брауэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную
часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное
существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свобод-
ного применения ставших обычными в математике способов рассуждений,
и поэтому требует коренного пересмотра приемов математического дока-
зательства.
Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение
обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим за-
труднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений
является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функ-
циями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во
всем подобные материальным.
Уже самое предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет»
(Gegenstand) достаточно характерно в этом отношении; а именно о систе-
ме «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и
большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории мно-
жеств приводит к противоречиям.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя.
Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие
столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей.
Если сам класс является элементом самого себя, то столб наш должен вы-
ступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображаю-
щего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться
к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим
теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только
одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве
элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделен-
ные столбы образуют вполне определенный класс вещей. Следовательно,
должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех
выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний
столб к числу выделенных, мы и получаем без труда противоречие. Если
он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, воз-
вращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их
числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая
проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит
к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к
противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикрепленной к
нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных
нами столбов.
266
1П. Статьи о математике в других изданиях
Существует много объяснений этого парадокса, но все они сводятся к
тому, что запрещается рассматривать совокупность всех классов в виде
законченной совокупности, иначе говоря — к отрицанию законности нашей
аналогии с действительными вещами6.
Вне общей теории множеств «совокупность всех классов» не нужна
математикам. Если более осторожно ограничиваться множествами «ве-
щей», действительно необходимых, то прямых противоречий не получа-
ется. Еще до сих пор наиболее популярным среди избегающих философии
математиков выходом из создавшегося затруднительного положения и яв-
ляется ограничение области «существующего». Так, почти общим мнением
является, что трансфинитные числа третьего класса «не существуют»;
относительно трансфинитных чисел второго класса, не изобразимых ана-
литически функций и некоторых других пограничных предметов мнения
расходятся; наконец целые и действительные числа, непрерывные и дру-
гие «приличные» функции большинством признаются за существующие.
Само собой разумеется, что принимаются за существующие и конечные
комбинации существующих предметов, например комплексные числа, рас-
сматриваемые как пара действительных.
Такая позиция, хотя и является наиболее спокойной, страдает бесприн-
ципностью, которая особенно наглядно выражается в том, что границы
области «признаваемого» тем или иным математиком стоят в явной за-
висимости от его личных интересов: не заинтересованные в сохранении
каких-нибудь трансфинитных чисел с легким сердцем выбрасывают их за
борт, занимающиеся их исследованием противятся этому.
Так как не было выработано никакого разумного критерия для разгра-
ничения «математически существующего» и «несуществующего», то мате-
матики, ставшие на описанную точку зрения, оказываются беззащитными
против угроз лишить их на тех же основаниях, на которых они добровольно
отказались от роскоши общей теории множеств, и многих предметов пер-
вой необходимости. Так, Вейлем было запрещено говорить о верхнем пре-
деле числовой последовательности, были объявлены неимеющими смысла
вопросы о существовании целого числа, обладающего тем или иным свой-
ством, наконец был совсем изгнан непрерывный континуум, вместо кото-
рого было предложено счетное множество точек, включающее все алгебра-
63десь, по-видимому, речь идет не о «действительных вещах», а о конечных сово-
купностях некоторых неизменных вещей, каковых в действительности вовсе не бывает,
ибо в ней встречаются лишь изменяющиеся совокупности изменяющихся вещей. Автор,
таким образом, имеет в виду не подлинную действительность, а «действительность» с
точки зрения наивного реализма, приписывающего всем нашим абстракциям реальное
существование. Ред. изд. 1929 г.
Современные споры о природе математики
267
ические и элементарно-трансцендентные точки и будто бы вполне доста-
точное для всех практических нужд математиков.
Но и по поводу вопросов, выдвинутых математической практикой, а
не спекуляциями общей теории множеств, возникли если не противоречия,
то затруднения, имеющие тот же источник: чрезмерно реалистическое от-
ношение к тем «вещам», с которыми имеет дело математическая теория.
Здесь следует указать прежде всего на вопрос о так называемой аксиоме
Цермело или «принципе произвольного выбора», который уже упоминался
в начале статьи. Тщательный анализ выяснил, что этот принцип, не будучи
точно формулирован, неоднократно применялся в элементарных учебни-
ках. Общая формулировка его такова: если имеется множество множеств,
содержащих каждое хотя бы по одному элементу, то существует множе-
ство, имеющее по одному и только одному общему элементу с каждым
данным множеством. Было предложено следующее популярное изъяснение
этого принципа: имеется большое количество пар сапог, требуется образо-
вать множество, содержащее по одному элементу каждой пары; очевидно
достаточно для этого из каждой пары взять правый сапог.
Именно такого рода грубо реалистические аналогии заставляют многих
считать аксиому Цермело совершенно очевидной. Но она пришла в без-
надежное столкновение с тем представлением, что математическое суще-
ствование должно быть поддержано соответствующей конструкцией. Об-
наружилось, что действительное определение множества, существование
которого постулируется в аксиоме Цермело, часто является делом совер-
шенно безнадежным. К тому же те объекты, существование которых дока-
зывается при помощи этой аксиомы, оказались не только ненужными, но
иногда и разрушающими простоту и стройность важных математических
теорий. Так, например, без аксиомы Цермело мы умеем строить только
«измеримые» точечные множества, т. е. такие, которым можно припи-
сать определенное число — их меру, вполне аналогическое длине отрезка;
есть все основания думать, что другого рода множества вообще нельзя
построить; между тем из аксиомы Цермело следует «существование» неиз-
меримых множеств.
IV
Таким образом мы видим, что постулируемое при аксиоматическом из-
ложении той или иной математической теории «существование» соответ-
ствующих предметов не находит достаточной опоры в тех конструкциях,
которые нам известны. Наиболее естественными выходом из положения
является, отбросив аксиоматический путь, изучить своеобразную природу
тех объектов, которые мы можем конструировать, и вывести отсюда, ка-
268
III. Статьи о математике в других изданиях
кие свойства можно им приписывать и по каким законам рассуждать о
них. Это и делает Брауэр.
В основу своих построений Брауэр кладет последовательность, зако-
номерность определенных предметов, например, натуральных чисел. Они
заданы законом образования каждого следующего из предыдущего. Каж-
дое из них обозначается определенной комбинацией известных символов
в конечном числе, например по обычной десятичной системе. После этого
Брауэр считает натуральные числа вполне хорошо определенными.
Но известно, в силу известной теоремы Кантора, что для действитель-
ных чисел нельзя дать регулярного метода обозначения каждого из них
при помощи конечных комбинаций заранее определенного запаса символов.
Это вызывается тем, что континуум действительных чисел неперечислим,
т. е. не может быть занумерован натуральными числами так, чтобы каж-
дому его элементу соответствовал свой номер. Брауэр и делает основным
предметом своего изучения способы задания элементов континуума. При
этом он рассматривает континуум в форме совокупности последователь-
ностей натуральных чисел; другие представления континуума могут быть
сведены к этому, и их рассмотрение привело бы к тем же результатам.
Итак, элементом континуума является бесконечная последовательность
натуральных чисел
ai, ®2> аз, <*4, ..., Од, ...
Такая последовательность не может быть написана вся полностью. Ес-
ли мы хотим дать какую-либо одну определенную последовательность, то
мы можем определить ее только посредством некоторого закона ее образо-
вания, например такого:
Gj 1, G^ Gn—J 4“ 2п 1,
который позволил бы последовательно находить ее элементы. Но закон
образования не есть сама последовательность; двум различным законам
может соответствовать одна и та же последовательность. Например, опре-
деленная выше последовательность может быть получена еще по формуле:
ап = п2.
Сама же последовательность, независимо от того или иного способа ее
задания, по Брауэру, может мыслиться только как незаконченная, стано-
вящаяся. Но тогда это не есть последовательность, определенная до кон-
ца, так как еще неизвестно, каковы будут ее элементы, следующие за уже
определенными. Такую последовательность Брауэр называет «свободной
Современные споры о природе математики
269
последовательностью», характер которой может быть ограничен только
указанием конечного числа ее первых элементов. Но раз последователь-
ность мыслима только как становящаяся, то исчезает сам континуум в
качестве совокупности множества элементов. Континуум остается, как го-
ворит Брауэр, только той средой, в которой развертывается становящаяся
последовательность. Задание конечного числа элементов последовательно-
сти лишь выделяет из континуума известную часть, в которой после этого
она обязана оставаться. Геометрически становящаяся последовательность
соответствует точке, положение которой на прямой определяется со все
большим приближением, но никогда не дается вполне точно.
Правда, при помощи того или иного закона развертывания последо-
вательности можно в этом текучем и подлинно непрерывном континууме
выделить одну или несколько вполне определенных точек, но по Брауэру
это уже вторичное явление. К тому же в силу неперечислимости контину-
ума мы никогда не исчерпаем его полностью.
Таким образом, Брауэр считает, что никакой совокупности предметов,
удовлетворяющей обычным аксиомам, определяющим действительное чис-
ло, нет. Естественно, что вместе с этим отпадает и возможность излагать
геометрию в духе гильбертовых «Оснований», как теорию «системы ве-
щей», удовлетворяющих геометрическим аксиомам. Понятие множества
как собрания предметов вообще почти исчезает в концепции Брау-
эра. Вместо этого дается определение множества как закона построения
его элементов. С этого определения начинается положительная работа ин-
туиционистов над построением математики на новых основаниях. При
этом, особенно Вейлем, подчеркивается, что вместо теоретического описа-
ния объективно данного на первый план выдвигается известная деятель-
ность — конструктивное творчество.
Особенно много споров и недоразумений вызывает то, что Брауэр с этой
перестройкой математики связывает и реформу логики, именно отрицание
неограниченной применимости принципа исключенного третьего. Вопрос
этот заслуживал бы более подробного освещения, но это заняло бы слиш-
ком много места. Здесь мы заметим только, что необходимость отказаться
от принципа исключенного третьего тесно связывается интуиционистами
с утратой математикой чисто теоретического характера. Принцип исклю-
ченного третьего по Брауэру неприменим лишь к суждениям особого рода,
в которых теоретическое высказывание неразрывно связано с построением
объекта высказывания. Поэтому можно предполагать, что идеи Брауэра
вовсе не находятся на самом деле в противоречии с традиционной логикой,
которая собственно никогда не имела дела с подобными суждениями.
270
III. Статьи о математике в других изданиях
V
Гильберт, давший в «Основаниях геометрии» известнейшее изложение
теоретико-множественного взгляда на математику, выступает теперь в ря-
де статей с совершенно противоположными взглядами. Правда, их зароды-
ши можно проследить и в некоторых местах «Оснований», и первое время
вся глубина различия двух точек зрения не была замечена. Новый взгляд
Гильберта заключается в том, что для оправдания построения геометрии,
или иной математической дисциплины, нет никакой надобности доказы-
вать существование соответствующей системы предметов конструктивным
путем, достаточно доказать непротиворечивость аксиом.
Изгоняя из математики то, что считалось предметом ее исследования,
Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто
системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как
самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздня-
ются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть боль-
ше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над
формулами, производимых по определенным вычислительными правилам,
приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость»
математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном
смысле слова, — это просто свойство принятых аксиом и вычислительных
правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объ-
явленным ложными, например 0=1.
Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, доста-
точно, чтобы оправдать законность практических применений математики.
Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла
формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное
истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолко-
вание тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же
Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в
их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело.
Наиболее уязвимым пунктом гильбертовской теории является то, что
для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему при-
ходится построить новую дисциплину «метаматематику», и есть опасения,
что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из матема-
тики.
Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением
логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами
теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над
полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до
последнего времени нехватало именно методов доказательства непротиво-
Современные споры о природе математики
271
речивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального
толкования формул.
Работы Гильберта по формализации математики и доказательству не-
противоречивости еще не закончены, что естественно затрудняет оценку
действительной силы его методов.
VI
С теоретико-познавательной стороны точка зрения Гильберта сводится
к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в ко-
торые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишенными вся-
кого смысла. Правда, с блестящим искусством, Гильберт восстанавливает
забракованные математические теории в виде формальной непротиворечи-
вой игры символами. Все же этот выход, не дающий никакого объяснения,
чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказы-
вая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики
понимали друг друга, — продиктован только неумением найти выход более
удовлетворительный.
Это заставляет отнестись с особым вниманием к Брауэру, который, не
пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.
Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых об-
разов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надежными руко-
водителями. В частности, Брауэр изучает континуум в форме бесконечных
последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его
естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея
континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдае-
мых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь
опору для развития математической теории, но только это было бы пря-
мым путем к пониманию природы математического континуума.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
На развитие теории функций действительного переменного в XX в.
в значительной мере определяющее влияние оказало создание понятия ме-
ры множества (Lebesgue).
Изучение функций действительных переменных при помощи этого
понятия составляет содержание метрической теории функций. Большая
часть основных элементарных предложений этой теории была уже установ-
лена к началу десятых годов. Однако начало работы над теорией функ-
ций действительного переменного в Москве, относящееся к этому времени,
ознаменовано открытием двух предложений, по справедливости причис-
ляемых к классическому периоду развития метрической теории функций.
Это — теорема Д. Ф. Егорова (1911), утверждающая, что последователь-
ность измеримых функций, сходящаяся на множестве положительной меры
т, сходится равномерно на множестве меры т — е, где е — сколь угодно ма-
ло, и теорема Н. Н. Лузина, в силу которой измеримая на множестве меры
т функция непрерывна на множестве меры m—s, где £ точно так же произ-
вольно мало. Дальнейшие исследования Н. Н. Лузина были посвящены во-
просам отыскания примитивных и теории интегрирования. В качестве при-
ложений рассматривались вопросы сходимости тригонометрических рядов
и поведения гармонических и аналитических функций, регулярных внут-
ри круга, на границе этого круга. Диссертация Н. Н. Лузина «Интеграл и
тригонометрический ряд» надолго стала основным сочинением, из которо-
го черпались темы для работ математиков следующего поколения.
В последние годы перед революцией 1917 г. в этих же направлениях
был получен ряд важных результатов И. И. Приваловым, А. Я. Хинчиным
и Д. Е. Меньшовым.
Стоит отметить некоторые специальные черты исследований этой эпо-
хи, сохранившиеся отчасти и в течение следующего десятилетия.
Это, во-первых, необычайное искусство в построении примеров — об-
ласть, в которой московским математикам принадлежит, бесспорно, первое
место [расходящийся степенной ряд (Лузин, 1911), опровержение гипоте-
зы единственности тригонометрического ряда, сходящегося почти всюду к
данной функции (Меньшов, 1916), расходящийся тригонометрический ряд
Математика в СССР за пятнадцать лет (1917-1932) / Под ред. П. С. Александрова,
М. Я. Выгодского и В. И. Гливенко. — М.-Л.: ГТТИ, 1932. — С. 37-48.
Теория функций действительного переменного
273
Fourier-Lebesgue’a (Колмогоров, 1923), расходящийся ряд по ортогональ-
ным функциям (Меньшов, 1923)]. Во-вторых, — это отношение к прило-
жениям теории функций действительного переменного к анализу по пре-
имуществу как к пробным камням для проверки силы общих методов, или
как к полю для проявления остроумия при решении труднейших проблем.
Этим объясняется чрезвычайная консервативность в выборе тем (особое
внимание к тригонометрическим рядам) и пренебрежение рядом вопросов
более общего значения, но не «классических».
Вспомнив первый круг дореволюционных работ, послуживших исход-
ным пунктом для работ революционного пятнадцатилетия, переходим к
так называемой дескриптивной теории функций. Классификация разрыв-
ных функций с точки зрения их изобразимости при помощи переходов
к пределу, исходя от непрерывных функций, была, как известно, дана
Baire’oM, соответствующая же классификация точечных множеств — Во-
геГем и Lebesgue’oM.
Созданные этими математиками теории оставались в почти неиз-
менном состоянии, пока в результате их изучения, организованного в
Москве Н. Н. Лузиным, они не получили неожиданного нового разви-
тия: П. С. Александровым была доказана важная теорема о существовании
совершенного ядра в каждом В-множестве (1916), а М. Я. Суслиным упо-
требленный в этом доказательстве аппарат был использован для открытия
нового класса множеств фундаментальной важности — так называемых
А-множеств (1917). С этого момента руководящая роль в исследованиях по
дескриптивной теории множеств и функций переходит к московской школе
(см. далее).
Еще несколько ранее начала работ московской школы широко развер-
нулись исследования С. Н. Бернштейна (Харьков) по приближенному изоб-
ражению непрерывных функций многочленами.
Обозначая через Рп многочлен, наименее уклоняющийся от функции f
на сегменте (0; 1), и Еп — максимум разности |РП — /| на том же сегменте,
можно формулировать основной вопрос, исследованный С. Н. Бернштей-
ном, так: как связан порядок убывания Еп при п —> оо с характером функ-
ции f (ее дифференцируемостью, аналитичностью и т. д.). Итоги первого
периода исследований С. Н. Бернштейна в этой области подведены в его
диссертации «О наилучшем приближении непрерывных функций посред-
ством полиномов данной степени».
Возникшее отсюда большое направление математических исследований
(ведущихся по преимуществу в Харькове) не укладывается полностью в
рамки теории функций действительного переменного; ему посвящена пе-
чатаемая в этом же сборнике статья В. Л. Гончарова.а
“Гончаров В. Л. Теория аналитических функций (УССР) // Математика в СССР
за пятнадцать лет (1917-1932) / Под ред. П. С. Александрова, М. Я. Выгодского и
274
III. Статьи о математике в других изданиях
Все три очерченные выше направления в теории функций действитель-
ного переменного получили в течение последних пятнадцати лет, которым
посвящена настоящая статья, широкое дальнейшее развитие. Большое ко-
личество новых молодых математиков приняло участие в этой работе.
В области метрической теории функций главное внимание было обра-
щено на решение трудных, но весьма специальных проблем оставшихся от
предыдущей эпохи и ставших уже классическими французских исследова-
ний. Теперь можно уже утверждать, что технический уровень этих специ-
альных исследований был в среднем у нас выше, чем в какой-либо другой
стране, хотя по многочисленности своих публикаций мы не превосходим
некоторых европейских школ.
В дескриптивной теории, начиная с упомянутой работы Суслина, со-
ветскими математиками был осуществлен прогресс, вполне сравнимый по
общематематической значительности с основными работами французской
школы.
Исследования С. Н. Бернштейна по приближенному изображению не-
прерывных функций и свойствам аналитических функций действительного
переменного привели также к новым общим концепциям большой важ-
ности.
Наряду с развитием направлений, возникших еще до революции, новой
эпохе свойственны и существенно новые черты. Это, во-первых, большая
работа в области приложений теории функций действительного перемен-
ного к другим отраслям математики, по преимуществу к анализу (работы
М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника по вариационному исчислению,
Д. Ф. Егорова по интегральным уравнениям и т. д.). Помимо приложений
теории функций действительного переменного, в собственном смысле сло-
ва, большое значение имело (особенно для развития математики в Москве)
перенесение методов и приемов, разработанных в области теории функций
действительного переменного, в другие области математики. Такое влия-
ние теории функций действительного переменного значительно в тополо-
гии, теории вероятностей и теории аналитических функций; даже в области
теории чисел перенесение отдельных понятий из теории функций действи-
тельного переменного сыграло известную роль (Л. Г. Шнирельман).
В. И. Гливенко. — М.-Л.: ГТТИ, 1932. — С. 84-98. В сборник, помимо статей А. Н. Кол-
могорова и В. А. Гончарова, вошли также: Н. Г. Чеботарев, Алгебра; М. А. Лав-
рентьев, Теория аналитических функций; В. В. Степанов, Анализ; М. А. Лаврентьев,
Л. А. Люстерник, Вариационное исчисление; Л. Г. Шнирельман, Топологические мето-
ды в анализе; В. И. Гливенко, Приближенные методы в анализе; А. Я. Хинчин, Теория
вероятностей; Н. А. Глаголев, С. П. Фиников, Геометрия; Ю. А. Рожанская, В. В. Сте-
панов, Топология; Р. О. Кузьмин, Теория чисел. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
Теория функций действительного переменного
275
Естественно, что все эти связи и влияния не могут быть с полнотою
освещены в короткой статье.
В качестве второй новой черты можно отметить появление нескольких
работ по функциональным пространствам и общей теории функций1. Эта
область исследований, по своим методам непосредственно примыкающая
к классической теории функций действительного переменного и тесно свя-
занная с целым рядом актуальных проблем анализа, остается, впрочем,
представленной у нас лишь единичными работами.
После этих вводных замечаний переходим к характеристике отдельных
работ, проделанных за отчетное пятнадцатилетие. Ввиду их многочислен-
ности достигнуть полноты было невозможно при небольшом объеме ста-
тьи. Сделанный выбор, конечно, в известной степени субъективен. Из работ
харьковской школы, которым, как было указано, посвящена особая статья,
упомянуты лишь немногие. Московские и примыкающие к ним работы до
1928 г. очень обстоятельно описаны в обзорной статье М. А. Лаврентьева
и Д. Е. Меньшова, появившейся в Математическом сборнике [23].
1. В области изучения общих метрических свойств функций одного дей-
ствительного переменного следует прежде всего отметить большую работу
А. Я. Хинчина «Исследования о строении измеримых функций» [37]. Исхо-
дя из ранее данного им определения обобщенной асимптотической произ-
водной, А. Я. Хинчин исследует теперь случай, в котором асимптотическая
производная отсутствует на множестве положительной меры, и получает
ряд интересных результатов касательно поведения функции в почти всех
точках этого множества. Кроме того, им был изучен ряд других определе-
ний обобщенной производной [38].
Вопросы дифференцируемости функций двух и многих переменных
изучались В. В. Степановым [33]. Им было определено понятие асимптоти-
ческого полного дифференциала и была доказана замечательная теорема:
из существования на некотором множестве асимптотических частных про-
изводных следует существование почти всюду на этом множестве асимп-
тотического полного дифференциала (аналогичная теорема для обычных
производных и дифференциалов не верна). Из этой теоремы непосредствен-
но следует результат, независимо найденный погибшим в 1927 г. молодым
’Как известно, многие свойства функции действительного переменного переносятся
на функции, аргументами которых являются элементы произвольного множества, или
топологического пространства, или же, наконец, множества элементов; в последнем слу-
чае пока всеобщее признание получили лишь аддитивные функции множеств. Изучение
таких свойств составляет содержание общей теории функций. Дальнейшим развити-
ем общей теории функций является общий анализ. Если аргументом функции является
функция того или иного класса, то имеем дело с функционалом. Поэтому теория функци-
оналов и функциональный анализ являются частными случаями общей теории функций
и общего анализа.
276
III. Статьи о математике в других изданиях
ленинградским математиком М. А. Зарецким: если поверхность z = f(x,y)
квадратируема по Lebesgue’y, то для почти всякой точки (х, у) поверх-
ность имеет в точке [х, у, f(x, у)] асимптотическую касательную плоскость.
М. А. Зарецкий пытался также, введя определение меры множеств на са-
мой поверхности, доказать существование асимптотической касательной
плоскости почти всюду на поверхности. Намеченное им доказательство не
удалось привести в порядок; однако, некоторые другие полученные им ре-
зультаты из той же области вскоре будут опубликованы. Именно М. А. За-
рецким показано, что в общем случае (поверхности, заданной параметри-
чески) поверхность данной площади может включать в себя множество,
лежащее на плоскости и плоской меры, превышающей площадь поверх-
ности. Поэтому теория площадей поверхностей должна развиваться неза-
висимо от теории плоской меры пространственных множеств. Последняя
является частным случаем теории меры порядка тп в пространствах боль-
шего числа измерений. Этой теории посвящена работа А. Н. Колмогорова,
печатающаяся в Mathematische Annalenb.
2. Г. М. Фихтенгольцем было замечено, что, вопреки существовавшему
мнению, абсолютно непрерывная функция от абсолютно непрерывной мо-
жет уже не быть абсолютно непрерывной. После исследований Д. Е. Мень-
шова и Н. К. Бари оказалось, однако, что тройная суперпозиция абсолютно
непрерывных функций уже не приводит ни к чему новому. Дальнейшие ис-
следования, принадлежащие Н. К. Бари [3], привели к следующему неожи-
данному результату: произвольная непрерывная функция F(x) может быть
изображена в виде:
F(x) = /1[Ы*)] + /2[<М*)] + /з[<^з(я)],
где функции f и абсолютно непрерывны. Были получены также необ-
ходимые и достаточные условия для представимости функции F(x) более
простыми комбинациями абсолютно непрерывных функций. Изучая так-
же суперпозиции функций с ограниченным изменением, Н. К. Бари в еще
не опубликованной работе установила, что суперпозиции функций с огра-
ниченным изменением в числе п приводят для каждого п к существенно
новому классу функций.
3. С. Н. Бернштейном была поставлена задача чрезвычайной важно-
сти: определить средствами теории функций действительного переменного
класс аналитических функций. Ответ получился следующий [5]: функция
называется абсолютно монотонной, если ее разности любого порядка со-
храняют постоянно один и тот же знак; для того чтобы функция была
ьСтатья А. Н. Колмогорова <Beitrage zur Mafltheorie» была опубликована в т. 107 за
1933 г., с. 351-366; перевод на русский язык воспроизведен в т. 1 настоящего издания,
с. 171-187. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
Теория функций действительного переменного
277
аналитической, необходима и достаточна ее представимость в виде разно-
сти двух абсолютно монотонных. Вокруг этого результата группируется
целый ряд других результатов С. Н. Бернштейна, связывающих различ-
ные свойства функции с поведением ее последовательных разностей или
производных.
Еще в более ранних работах С. Н. Бернштейна (см. введение к этой
статье) аналитические функции были охарактеризованы с точки зрения
скорости сходимости к ним наименее уклоняющихся многочленов степе-
ни п: для того чтобы функция была аналитической, Еп должно убывать со
скоростью геометрической прогрессии. Тогда же на основе изучения укло-
нений En С. Н. Бернштейном были введены первые классы квазианалити-
ческих функций. С появлением же квазианалитическш функций Denjoy
и Carleman’a С. Н. Бернштейну удалось и эти классы определить с точки
зрения скорости убывания Еп. Большое количество примыкающих сюда и
к прежним его исследованиям результатов С. Н. Бернштейна собрано в его
книге, вышедшей в 1926 г. в серии ВогеГяс [6].
4. Важным специальным классам функций посвящены также исследо-
вания В. В. Степанова о почти периодических функциях. После введения
непрерывных почти периодических функций (Bohr), естественно, возник
вопрос о перенесении понятия почти-периодичности на разрывные функ-
ции с интегрируемым квадратом, суммируемые или просто измеримые.
Первое решение этой задачи и принадлежит В. В. Степанову [34]. После
были даны Weyl’eM и Besikovitch’eM два других решения. Класс почти пе-
риодических функций УУеуГя шире, чем определенный В. В. Степановым,
определение Besikovitch’a еще шире. Важно, однако, отметить, что только
в классе, определенном В. В. Степановым, сохраняется ряд свойств насто-
ящих периодических функций, исчезающих при дальнейших обобщениях.
Так, две почти периодические функции в смысле В. В. Степанова, име-
ющие одинаковые коэффициенты ряда Фурье, совпадают почти всюду, —
свойство, отсутствующее уже в случае Weyl’a.
5. Проблеме интегрирования посвящена работа П. С. Александрова, в
которой доказана эквивалентность определений интеграла, принадлежа-
щих Denjoy и Реггоп’у [1], [2].
Далее, следует отметить работу А. Н. Колмогорова, устанавливающую,
что функции, сопряженные к суммируемым, всегда интегрируемы, в смыс-
ле Denjoy, — [16].
Обе эти работы принадлежат вполне к периоду, когда проблема ин-
тегрирования рассматривалась только для функций одного переменного
и считалась эквивалентной задаче нахождения «истинной» примитивной
сИмеется в виду основанная Борелем серия «Collection de monographies sur la th£orie
des fonctions». — Прим. ped. 4-го тома Избр. трудов.
278
III. Статьи о математике в других изданиях
функции. Хотя в этом направлении и остался ряд нерешенных трудных
вопросов, в последнее время заметен поворот в сторону большего инте-
реса к проблемам более широкого значения, возникающим лишь при вы-
ходе из этой сравнительно узкой области; поворот этот во Франции про-
возглашен Lebesgue’oM (статья в «Revue de m£taphysique et de morale»
за 1928 г.), у нас же — в докладе Н. Н. Лузина на Московском мате-
матическом съезде. Некоторые пункты выдвинутой при этом программы
осуществлены в большой работе А. Н. Колмогорова «Untersuchungen fiber
den Integralbegriff» [17]d. При этом широко использовано понятие «обще-
го предела», принадлежащее Е. Н. Мооге’у и найденное независимо также
С. О. Шатуновским [39]. Общее определение интеграла по А. Н. Колмого-
рову таково: пусть F(£) есть функция множества; разбивая множество £
на множества £\,£2, • • • , образуем сумму:
F^J + F^ + .-. + F^).
Если эта сумма «при измельчении разбиения» (понятие, определя-
емое по Е. Н. Мооге’у) стремится к определенному пределу, то этот предел
и называется интегралом:
L F(d£'>'
Специализируя значение F(£), получают различные частные случаи.
Работа А. Н. Колмогорова переносит теорию интегрирования в область
общей теории функций любого аргумента (что впервые было сделано еще
Frechet в 1915 г.). Она содержит также ряд результатов, касающихся ад-
дитивных и «полуаддитивных» функций любых множеств. В частности,
устанавливается возможность дифференцировать одну аддитивную функ-
цию множества относительно другой аддитивной же функции независимо
от каких бы то ни было геометрических свойств пространства* 2.
6. Свойствам функционального пространства Hilbert’a посвящена за-
мечательная работа преждевременно погибшего С. С. Левина [24]; даль-
нейшие исследования С. С. Левина вскоре будут опубликованы в «Мате-
матическом сборнике»®.
Работа, осуществленная с привлечением алгебраического аппарата,
содержит условия биортогонализируемости последовательности функций,
аРусский перевод статьи — Исследование понятия интеграла — воспроизведен в т. 1
настоящего издания, с. 113-153. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
2Факт, могущий служить основой определения условной вероятности и условного
математического ожидания в теории вероятностей.
'Работа «Integralgleichungen und Funktionalraume» была опубликована в номере 4 за
1932 г., с. 3-70. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
Теория функций действительного переменного
279
условия для разложимости произвольной функции в ряд:
а1ф1 + 02^2 + азфз + • • • >
где </71, <^2, • • •, • • • — данная последовательность функций и т. д. Инте-
ресны также результаты о «плотных» системах функций, открытых впер-
вые Мюнцем.
А. Н. Колмогоров и А. Н. Тулайков изучали условия компактности
множеств в функциональных пространствах.
Для пространства (равномерной сходимости) необходимое и до-
статочное условие компактности, заключающееся в равномерной непре-
рывности и ограниченности, составляет содержание классической теоремы
Arzela. Для пространства Lp (сходимости в среднем в степени р) А. Н. Кол-
могоров нашел вполне аналогичное необходимое и достаточное условие при
р > 1 [20]. А. Н. Тулайков обобщил в еще не опубликованной работе тот
же результат на случай р = 1. Случай р = 0 (пространство сходимости по
мере) был ранее изучен Fr£chet. Случай 0 < р < 1 остается неразобранным.
7. Переходя к исследованиям о тригонометрических рядах, особенно за-
нимавших московских математиков в первую половину рассматриваемого
периода, отметим исследования Н. К. Бари по вопросу об единственности
тригонометрических рядов [4], непосредственно примыкающие к результа-
ту Д. Е. Меньшова, полученному еще в 1916 г. (см. выше).
Вопрос об условиях сходимости тригонометрических рядов почти всюду
был продвинут исследованиями А. Н. Колмогорова и Г. А. Селиверстова
[21]. В окончательной форме их результат (полученный также Plessner’oM)
звучит так: для сходимости ряда
достаточна сходимость ряда
521gn- (a2 + Ь2). (**)
Вопрос о возможности дальнейшего понижения множителя lg п (так
называемого множителя УУеуГя) остается открытым/.
А. Н. Колмогоровым был построен ряд Fourier-Lebesgue’a от суммируе-
мой функции, расходящийся всюду [18]. В случае функции с суммируемым
fB 1966 г. Л. Карлесон (L. Carleson) показал, что в (**) lg п может быть убран. Тем
самым, тригонометрические ряды Фурье (*) от функций из L2[0,2тг] сходятся почти
всюду. (См. также комментарий П. Л. Ульянова к работам А. Н. Колмогорова по триго-
нометрическим и ортогональным рядам в 1-ом томе Избр. трудов, с. 407-415.) — Прим,
ред. J-го тома Избр. трудов.
280
III. Статьи о математике в других изданиях
квадратом или, тем более, ограниченной вопрос о существовании таких ря-
дов остается, как известно, открытым.
Из ряда работ по суммированию тригонометрических рядов отметим
только изящный новый метод суммирования, предложенный С. Н. Берн-
штейном [8].
Ряд результатов, касающихся свойств сопряженных тригонометри-
ческих рядов, получен И. И. Приваловым; эти результаты примыкают
непосредственно к работам И. И. Привалова по комплексному переменно-
му, выходящим за рамки настоящей статьи. Из результатов, полученных
И. И. Приваловым при помощи методов комплексного переменного, имеет
общее значение для теории функций действительного переменного замеча-
тельная теорема о существовании особого интеграла:
J X — Z
для почти всех значений z и любой суммируемой функции /(ж) [31].
Тесно связаны с тригонометрическими рядами также исследования
Г. М. Фихтенгольца об интеграле Poisson’а [36].
8. Что касается общих рядов по ортогональным функциям
22ап</?п(т),
то Д. Е. Меньшов показал, что для их сходимости почти всюду достаточна
сходимость ряда
te2 п °2
(результат, полученный также Rademacher’oM), и что множитель 1g2 п не
может быть понижен.
Д. Е. Меньшов изучил также исчерпывающим образом и суммируе-
мость рядов по ортогональным функциям. Кроме того, Д. Е. Меньшовым
были найдены условия сходимости и суммируемости рядов по ортогональ-
ным функциям нового типа, которые не зависят от порядка расположения
членов ряда. Все эти результаты изложены в трех мемуарах в «Fundainenta
Matheinaticae» [29]. Случай ограниченных функций </?п(;с) специально изу-
чался А. Н. Колмогоровым и Д. Е. Меньшовым [15].
Примыкающие к теории разложений по ортогональным функциям во-
просы полноты системы функций изучались Г. М. Фихтенгольцем [35].
Важные исследования об ортогональных полиномах, принадле-
жащие С. Н. Бернштейну [7], освещены подробнее в статье В. Л. Гончаро-
ва6. Много специальных интересных вопросов об ортогональных функциях
решено Б. М. Гагаевым [9], [10].
вСм. сноску на стр. 273. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
Теория функций действительного переменного
281
9. Большая часть результатов, полученных за изучаемый нами пери-
од в дескриптивной теории множеств, систематически изложена в книге
Н. Н. Лузина, появившейся в 1928 г. [25] в серии ВогеГя и в двух его же
сводных мемуарах [26], [27].
В-множества изучались М. А. Лаврентьевым, подразделившим каждый
класс В-множеств на подклассы в бесконечном числе, и Л. В. Келдыш, изу-
чавшей специально множества первых классов. Теория A-множеств в от-
ношении ее фактического содержания была быстро закончена методами,
указанными М. Я. Суслиным (см., например, мемуар Лузина и берлин-
ского [28]). Лишь немногие результаты были прибавлены впоследствии; к
ним относится разбиение A-множества на К, В-множеств (вначале было из-
вестно только подобное разбиение дополнения к A-множествам), найденное
Н. Н. Лузиным.
Однако изучение дополнений к A-множествам столкнулось с неожидан-
ными трудностями — в частности, вопрос об их мощности остается до сих
пор открытым. Дальнейшие исследования, связанные по преимуществу с
проективными множествами (о них далее), привели Н. Н. Лузина к мысли,
что существует целая категория дескриптивных проблем, невозможность
разрешения которых зависит не от несовершенства техники доказательств,
а от принципиальной неполноты известных нам аксиом теории множеств.
Собранный, исходя из этой мысли, материал является, во всяком случае,
чрезвычайно интересным. По мнению Н. Н. Лузина все подобные «нераз-
решимые» проблемы возникают в результате отрицательных определений,
быть может, вообще незаконных в области бесконечного.
Повторное применение A-операции (операции, с помощью которой были
получены М. Я. Суслиным A-множества) в соединении с операцией вычи-
тания приводит к С-множествам. Как A-множества, так и С-множества
могут быть получены также с помощью геометрической операции решета.
В этой форме С-множества подробно изучены Е. А. Селивановским [32].
10. В дальнейших работах Н. Н. Лузина A-множества получили два
новых, чрезвычайно простых определения:
I. A-множества являются проекциями множеств типа Gg.
II. A-множества суть непрерывные образы множества иррациональных
чисел0.
Таким образом была выяснена фундаментальная роль при образовании
новых множеств операции непрерывного отображения, или даже ее част-
ной формы — проектирования.
3Следует заметить, что множество иррациональных чисел может быть заменено
просто множеством всех бесконечных последовательностей целых чисел (пространство
Baire’a) образованием логически более простым, чем полная числовая прямая.
282
III. Статьи о математике в других изданиях
Класс множеств, получающийся из интервалов повторным применени-
ем операций проектирования и взятия дополнений, был назван Н. Н. Лу-
зиным классом проективных множеств. Если допустить еще операцию
взятия суммы счетного числа множеств, то получается класс множеств
проективных в широком смысле. Этот класс инвариантен по отношению
к операциям сложения и умножения (в конечном или счетном числе), вы-
читания, проектирования и непрерывного отображения. В него входят все
появившиеся пока естественным путем множества (т. е. не построенные
специально ради выхода из данного класса). К сожалению, изучение этого
класса оказалось чрезвычайно трудным, и о свойствах проективных мно-
жеств почти ничего неизвестно.
11. Если операция непрерывного отображения оказалась сильным сред-
ством для образования новых классов множеств, то операция непрерывного
в обе стороны, взаимно однозначного (т. е. гомеоморфного) отображения
в противоположность этому обычно оставляет множество принадлежащим
к тому же классу. Большая часть выражающих это обстоятельство пред-
ложений об инвариантности того или иного класса при гомеоморфных
отображениях вытекает из замечательной теоремы М. А. Лаврентьева [22]:
гомеоморфия двух множеств может быть всегда распространена на охва-
тывающие их множества типа G$.
12. Рядом с геометрическими методами (проекции, непрерывные отоб-
ражения) операторные методы М. Я. Суслина в новейшее время привели к
интересным результатам. Была создана общая теория операций над множе-
ствами (F. Hausdorff, А. Н. Колмогоров), детально разработанная в боль-
шом мемуаре Л. В. Канторовича и Е. М. Ливенсона [14]. А. Н. Колмогоро-
вым было показано [19], что теоремы о непустоте Ni классов В-множеств,
С-множеств и т. д. являются частными случаями одной общей теоремы.
Л. В. Канторович и Е. М. Ливенсон построили операторную теорию
проективных множеств и решили вопрос о соотношении С-множеств и про-
ективных, что не удавалось при помощи других методов.
13. Переходя от дескриптивной теории множеств к дескриптивной тео-
рии функций, следует прежде всего указать на принадлежащее Н. Н. Лузи-
ну определение В-функции как изобразимой параметрически при помощи
непрерывных (на Вапе’овском пространстве). Это первое положительное
определение В-функций без трансфинитных процессов позволило пере-
строить всю теорию В-функций.
Исследования по неявному определению функций вели В. И. Гли-
венко и П. С. Новиков. В. И. Гливенко изучил класс функций, определяе-
мых неявно при помощи непрерывных [11), [121, П. С. Новиков — функ-
Теория функций действительного переменного
283
ции, определяемые неявно при помощи В-функций [30]4. Н. Н. Лузину
и П. С. Новикову принадлежит также ряд исследований о многозначных
функциях и их униформизации.
БИБЛИОГРАФИЯ
Указаны лишь работы, упомянутые в тексте. Более полную библиографию
московских работ до 1928 г. см. у М. А. Лаврентьева и Д. Е. Меньшова [23].
Харьковские работы перечислены в этом сборнике в статье В. Л. Гончарова.
1. 77. С. Александров, Uber die Aquivalenz des Perronschen und des Denjoyschen
Integralbegriffes (Math. Zeitschr. 20, 1924, 213).
2. 77. С. Александров, L’int£gration au sens de M. Denjoy, consid£r£e comme
recherche des fonctions primitives (Матем. сборник, 31, 1924, 465-476).
3. H. К. Бари, M6moire sur la repr£sentation finie des fonctions continues (Math.
Ann., 103, 1930, 185-248 и 598-653).
4. H. К. Бари, Sur l’unicit6 du d£veloppement trigonom£trique (Fundamenta
Math. 9, 1926, 1-52).
5. С. H. Бернштейн, Sur les fonctions absolument monotones (Acta Math. 52,
1928, 1-66).
6. С. H. Бернштейн, Lemons sur les propri£t£s ext^males et la meilleure appro-
ximation des fonctions analytiques d’une variable гёе11е (Paris 1926).
7. С. H. Бернштейн, Sur les polyndmes orthogonaux (Journ. d. Math. 9, 1930,
127-177; 10, 1931, 219-286).
8. С. H. Бернштейн, Sur un procede de sommation des s£ries trigonom£triques
(Comptes Rendus 191, 1930, 976-978).
9. Б. И. Гагаев, Исследования по теории ортогональных функций (Труды Все-
росс. съезда матем. в Москве, 1928, 185-186).
10. Б. И. Гагаев, Sur l’unicit£ du systfeme de fonctions orthogonales (Comptes
Rendus 188, 1929, 222-225).
11. В. И. Гливенко, Sur les fonctions repr£sentables implicitement par fonctions
continues (Fundamenta Math., 14, 1929, 252-265).
12. В. И. Гливенко, Sur les fonctions implicitement continues (Матем. сборник
36, 1929, 143-149).
13. В. И. Гливенко, Sur les fonctions implicites (Матем. сборник 36, 1929, 138—
142).
14. Л. В. Канторович и Е. М. Ливенсон, Memoir on the analytical operations
(Fundamenta Math. 18, 1932, 214-279).
15. A. H. Колмогоров и Д. E. Меньшов, Sur la convergence des s6ries des fonc-
tions orthogonales (Math. Zeitschr. 26, 1927, 431-441).
16. A. H. Колмогоров, Sur un proc£d£ d’int£gration de M. Denjoy (Fundamenta
Math. 11, 1928, 27-28).
17. A. H. Колмогоров, Untersuchungen liber den Integralbegriff (Math. Ann. 103,
1930, 654-696).
4По поводу неявного определения функции при помощи В-функций см. также работу
В. И. Гливенко [13].
284
III. Статьи о математике в других изданиях
18. А. Н. Колмогоров, Une s£rie de Fourier-Lebesgue divergente partout (Comp-
tes Rendus 183, 1926, 1327-1328).
19. A. H. Колмогоров, Об операциях над множествами (Матем. сборник 35,
1928, 415-422).
20. А. Н. Колмогоров, Uber Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konver-
genz im Mittel (Gottinger Nachricht., 1931, 60-63).
21. A. H. Колмогоров u Г. А. Селиверстов, Sur la convergence des series de
Fourier (Rendiconti della R. A. N. dei Lincei 3, 1926, 307-310).
22. M. А. Лаврентьев, Contributions & la th£orie des ensembles homeomorphes
(Fundamenta Math. 6, 1924, 144).
23. M. А. Лаврентьев и Д. E. Меньшов, Успехи теории функций действитель-
ного переменного в СССР (Матем. сборник 35, дополнит, выпуск, 21-42).
24. С. С. Левин, Uber einige mit der Konvergenz im Mittel verbundenen Eigen-
schaften von Funktionenfolgen (Math. Zeitschr. 32, 1930, 491-511).
25. H. H. Лузин, Lemons sur les ensembles analytiques, Paris, 1928.
26. H. H. Лузин, Memoire sur les ensembles analytiques et projectifs (Матем.
сборник 33, 1926, 237-290).
27. H. H. Лузин, Sur les ensembles analytiques (Fundamenta Math. 10, 1927,
1-92).
28. H. H. Лузин и IV. Sierpinski, Sur quelques propriet£s des ensembles mesurab-
les (A) (Bulletins de Г Acad, des Sc. de Cracovie 1918, 35-48).
29. Д. E. Меньшов, Sur les series de fonctions orthogonales (Fundamenta Math.
4, 1923, 82-105; 8, 1926, 56-108; 10, 1927, 375-396).
30. П. С. Новиков, Sur les fonctions implicites mesurables В (Fundamenta Math.
17, 1931, 8-25).
31. И. И. Привалов, Интеграл Cauchy, Саратов, 1919.
32. E. А. Селивановский, Об одном классе эффективных множеств (Матем.
сборник, 35, 1928, 379-412).
33. В. В. Степанов, Sur des conditions d’existence de la diff£rentielle totale (Ма-
тем. сборник 32, 1925, 511-526).
34. В. В. Степанов, Uber einige Verallgemeinerungen der fast periodischen Funk-
tionen (Math. Ann. 95, 1926, 474-498).
35. Г. M. Фихтенгольц, Sur la notion de fermeture des systemes de fonctions
(Rendiconti del Circ. Math, di Palermo 50, 1926, 1, 385-398).
36. Г. M. Фихтенгольц, Sur l’int6grale de Poisson (Fundamenta Math. 13, 1929,
1-33).
37. А. Я. Хинчин, Исследования о строении измеримых функций (Матем.
сборник 31, 1924, 377-430).
38. А. Я. Хинчин, Recherches sur la structure des fonctions mesurables (Fundam.
Math. 9, 1926, 212-279).
39. С. О. Шатуновский, Введение в анализ, Одесса, 1923.
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Что такое современная математика — есть ли это математика послед-
него десятилетия или математика всего двадцатого века, или же наконец
под этим именем естественно объединять математику последних ста лет?
Только на первый взгляд кажется, что вопрос этот чисто терминологиче-
ский и что на него по произволу можно дать тот или иной ответ. В дей-
ствительности, выбрав слишком короткий промежуток времени (например
последнее десятилетие), мы будем в состоянии лишь перечислить ряд раз-
розненных, случайно попавших в него достижений и не сможем уловить в
этих достижениях общих черт, характеризующих современную математи-
ку и отличающих ее от математики предшествующего периода. Наоборот,
объединив под названием современной математики, например, всю матема-
тику нового времени, мы потеряем возможность выделить наиболее харак-
терные особенности математики настоящего времени и противопоставить
современные тенденции развития математики тем представлениям недав-
него прошлого, с которыми они еще находятся в борьбе.
Возникновение в семнадцатом столетии анализа бесконечно малых и
аналитической геометрии положило начало математике нового времени.
В конце девятнадцатого века (а иногда и в начале двадцатого) многие бы-
ли склонны представлять в качестве основной заслуги девятнадцатого века
переработку наследия семнадцатого и восемнадцатого веков в направлении
логической строгости изложения. Действительно, в течение девятнадцато-
го века, начиная с Гаусса и Коши и кончая Вейерштрассом, была завер-
Фронт науки и техники: ежемесячный общественно-политический журнал Всесоюз-
ной ассоциации работников науки и техники — активных участников социалистического
строительства СССС и секции научных работников. — 1934. — Вып. 5/6. — С. 25-28.
В вып. 5/6 журнала за 1934 г. в разделе «Проблемы математики» был опубликованы
две статьи А. Н. Колмогорова; вторая, под названием «Институт математики и механи-
ки Московского государственного университета», воспроизводится в настоящем томе на
с. 293-300. В этом же разделе были опубликованы статьи:
Проф. В. Степанов — Всесоюзный математический съезд;
Проф. П. Александров — О новых течениях математической мысли, возникших в связи
с теорией множеств;
Проф. А. Куроъи — Современные алгебраические воззрения;
Проф. В. Голубев — Математика и техника;
Проф. С. Яновская — Идеализм и математика;
Проф. В. Гливенко — Кризис основ математики на современном этапе его развития;
Проф. А. Хинчин — Основные задачи современной теории вероятностей;
Проф. Л. Шнирельман — Теория чисел и ее связь с другими отделами математики;
Проф. С. Соболев — Роль математики в современной сейсмологии;
Проф. Н. Глаголев — Научные проблемы в области номографии.
286
III. Статьи о математике в других изданиях
шена работа по строго логическому обоснованию классического анализа.
Геометрия к концу века также получила строгое обоснование. Однако те-
перь мы склонны думать, что девятнадцатый век принес с собою гораздо
более глубокое изменение самого предмета математических исследований,
а не только метода изложения. Факты, приведшие к созданию совершен-
но новой общей концепции математики, стали накапливаться еще в начале
девятнадцатого века; во второй половине того же века с созданием общей
теории множеств появилась возможность понять их и положить в основу
новых представлений о предмете математики; двадцатый век характери-
зуется широким развитием больших новых теорий, уже целиком стоящих
на почве этих новых представлений. Вот примерные хронологические рам-
ки возникновения тех новых явлений, которые мы считаем характерными
для современной математики. Попытаемся охарактеризовать их по суще-
ству, разобрав несколько примеров.
Математика, как ее представляли себе в середине девятнадцатого сто-
летия, состояла в основном из теории целых чисел, действительных и ком-
плексных величин и соотношений и зависимостей между ними (теория
чисел, алгебра, анализ), с одной стороны, и геометрии трехмерного евкли-
довского пространства — с другой стороны. Если некоторые теории и не
укладывались в эту схему, то они были немногочисленны и не нарушали
общей картины. Такой состав математики отвечал тому запасу реальных
соотношений, с изучением которых математика была связана еще задолго
до семнадцатого и восемнадцатого веков — периода создания новой мате-
матики.
Вряд ли есть необходимость объяснять читателю реальные основы
интереса к геометрии трехмерного евклидовского пространства или к на-
туральным числам. Но присмотримся ближе к исключительной роли дей-
ствительного числа в математике: она естественна с точки зрения измере-
ния расстояний, площадей земельных участков, количества товаров и т. п.
Но при внимательном изучении явлений природы или технических про-
блем мы сразу наталкиваемся на более общие виды величин, которые лишь
искусственным образом заменяются действительными числами. Скорость
по существу есть вектор, лишь искусственно разлагаемый на компонен-
ты по координатам. Состояние упругого напряжения в какой-либо точ-
ке изогнутого твердого тела при введении координатной системы может
быть охарактеризовано шестью числами (три растяжения по направлениям
осей и три кручения), но по существу есть новая неразложимая величи-
на (симметричный тензор). Новейшая же квантовая механика характери-
зует состояние системы всегда бесконечномерными величинами, которые
лишь искусственно приводятся к выражению через действительные или
комплексные числа (при помощи бесконечных матриц), или функции с
Современная математика
287
числовыми значениями и аргументом (при помощи волновых функций).
Первая попытка дать общую теорию величин была сделана Грассманом
(1834 г.). Дальнейшее развитие пошло по двум путям. Одно направле-
ние (Гамильтон, Фробениус) стремилось сохранить за новыми величинами
возможно большее сходство с обычными числами. Отсюда возникла совре-
менная теория линейных алгебр, интерес к которой в самые последние годы
вновь оживился, так как оказалось, что она имеет глубокие применения к
вопросам алгебры и теории чисел. Другое направление смело следовало
за соотношениями, подсказываемыми геометрическими, механическими и
физическими задачами. Созданное по преимуществу физиками (Томсон,
Максвелл, Гиббс, Хэвисайд), векторное исчисление было в самом конце
девятнадцатого века трудами Леви-Чивита и Риччи освобождено от всех
случайных ограничений, лишь усложняющих изложение, и в форме со-
временного тензорного исчисления сделалось как неизбежным аппаратом
современных физических исследований, так и естественной большой гла-
вой самой математики. Что касается бесконечномерных величин, то они
составляют предмет еще более молодой ветви математики — теории ли-
нейных пространств. В важнейшем частном случае геометрия подобных
пространств была развита Гильбертом (1904-1910 гг.). Теория линейных
пространств, и в частности Гильбертова пространства, все в большей мере
делается теоретической основой всего функционального анализа (теории
интегральных уравнений, вариационного исчисления и т. д.) и квантовой
физики.
Не случайно в предыдущем изложении уже появился термин «про-
странство» и притом в необычном смысле бесконечномерного пространст-
ва. Дело в том, что системы величин, рассматривавшиеся выше, образуют
частный случай «пространств» в современном абстрактном понимании это-
го слова. Неизбежность расширения понятия пространства можно было бы
предвидеть в самый момент создания аналитической геометрии. Если точ-
ки обычного трехмерного пространства могут быть заменены во всех ма-
тематических рассмотрениях тройками действительных чисел (координат
точки), то естественно ожидать, что и четверки действительных чисел, рас-
сматриваемые как образующие «четырехмерное пространство», должны
обладать многими свойствами, аналогичными точкам обычного простран-
ства, и что возможно теорию функций трех переменных излагать в геомет-
рических терминах, подобно тому, как теория функций двух переменных
может быть рассматриваема как теория поверхностей в пространстве трех
измерений. Исходя из внутренних потребностей самой геометрии, обычное
евклидовское пространство дополнили бесконечно-удаленными элемента-
ми, получив таким образом проективное пространство. Далее оказалось
целесообразным в некоторых вопросах геометрии рассматривать прямые
288
III. Статьи о математике в других изданиях
трехмерного пространства, как первоначальные элементы; таким образом
возникло четырехмерное пространство прямых (Плюккер, 1846 г.). Все
эти частные случаи подходят под общее понятие n-мерного многообразия,
с полной отчетливостью сформулированное Риманом (1854 г.). Понятие
многообразия имеет необычайно широкую область применений. Состояния
механической системы с п степенями свободы, возможные при заданном
уровне энергии, образуют многообразие 2п — 1 измерения, и вся со-
временная теория динамических систем строится на геометрических рас-
смотрениях в этом (2п — 1)-мерном «фазовом пространстве» (Пуанкаре,
Биркхоф). Однако в качестве первого по времени примера разработанной
геометрическими методами теории, с первого взгляда ничего не имеющей
общего с геометрией, можно указать на грассмановскую теорию многооб-
разия цветовых ощущений. Предложенный им метод, при котором каждое
цветовое ощущение рассматривается как точка «пространства цветов» (в
этом пространстве проводятся «прямые», «плоскости» и т. д.), стал вполне
общепринятым в цветоведении.
Еще работами Гаусса была подготовлена римановская теория метри-
ческих свойств многообразий, то, что в собственном смысле этого слова
называют теперь «Римановой геометрией». Дальнейшее развитие заложен-
ных здесь идей привело к построению современной дифференциальной
геометрии различных связностей (Леви-Чивита, Картан и др.), так тесно
связанной с физической теорией относительности. Однако из внутренних
потребностей самой математики оказалось необходимым обобщить понятие
пространства далеко за пределы понятия n-мерного многообразия. Тако-
вы, например, функциональные бесконечномерные пространства, геомет-
рия которых столь существенна для современного анализа. В качестве
логически вполне естественного, объединяющего все отдельные типы про-
странств, понятия появились наконец общие топологические пространства
(Фреше, 1905 г.).
Каков же общий итог очерченного развития понятия пространства для
понимания того, что такое геометрия? Оказалось, что с точки зрения ма-
тематики евклидовское трехмерное пространство является лишь частным
случаем многообразия с определенной специальной метрикой (способом из-
мерять углы и расстояния). Одни и те же методы пригодны при изучении
пространств различного числа измерений и с различной метрикой. Очень
большая часть теорем евклидовой трехмерной геометрии является лишь
частным случаем теорем, с той же простотой доказываемых для весьма
общих типов пространств. При этих условиях ограничивать геометрию изу-
чением трехмерного евклидова пространства было бы невозможно. Но, с
другой стороны, распространение геометрических методов на новые про-
странства приводит к тому, что стирается грань между геометрией и не гео-
Современная математика
289
метрией. Вся та часть математики, в которой играет роль непрерывность,
грозит сделаться геометрией, так как множество любых математических
объектов (например функций), в котором могут быть установлены тополо-
гические соотношения, может быть объявлено пространством. Таким об-
разом вместе с геометризацией всей непрерывной математики намечается
исчезновение геометрии как самостоятельной и до известной степени про-
тивоположной всей остальной математике науки.
Заметим здесь, что развитие общих геометрических идей в значитель-
ной мере задерживалось философскими спорами о природе пространства.
В случае, положим, действительных чисел все давно привыкли к тому, что
одни и те же действительные числа применяются к измерению площадей,
объемов, скоростей, скажем прямо, в различных применениях обозначают
совершенно различные вещи (площади, объемы и т. д.) Усвоить аналогич-
ную точку зрения по отношению к геометрии, привыкнуть к тому, что
геометрия есть абстрактная наука и что обычная ее интерпретация есть
только одна из возможных, в других же применениях геометрии «точки»
пространства могут оказаться состояниями динамической системы, цвето-
выми ощущениями или наконец прямыми обычной геометрии, оказалось
значительно труднее. Зато только после окончательного установления по-
нятия абстрактного математического пространства приобрел ясный смысл
и вопрос об устройстве физического пространства. Теперь вопрос этот ста-
вится в такой форме: какие из многочисленных, могущих быть построен-
ными, абстрактных математических пространств отражают с точностью,
соответствующей нашим экспериментальным возможностям, строение фи-
зического пространства? Ответ на этот вопрос естественно может эволю-
ционировать с ростом наших знаний.
Новому развитию алгебры посвящена в этом номере журнала особая
статья, поэтому мы можем ограничиться здесь общими выводами. В цен-
тре этого развития стоит понятие группы — опять абстрактное понятие,
построенное по принципу сохранения ряда чисто формальных свойств и
применимое к самым разнообразным системам объектов. При всей кажу-
щейся полной разнородности отдельных примеров групп возможна бога-
тая содержанием общая теория групп, применимая во всех этих отдельных
случаях. Таковы же дальнейшие понятия современной алгебры (понятия
кольца, тела, идеала и т. п.).
* * *
Что математика изучает чистые формы конкретного бытия и что уни-
версальная применимость математических формул основана на том, что
одни и те же формы свойственны самому различному конкретному бы-
тию, — все это не является, конечно, какой-либо новостью, вытекающей
290
III. Статьи о математике в других изданиях
из новейшего развития математики. Натуральное число может выражать
число предметов любой природы, действительное число может быть ме-
рой величин тоже самого различного характера. Новостью, вполне понятой
лишь к концу девятнадцатого века, было то, что и геометрия, как мате-
матическая наука, находится в таком же положении и ни в какой мере не
связана с тем, что мы обычно привыкли называть точками, прямыми и т. д.
Новостью девятнадцатого века было также открытие целого ряда новых
математических форм, не укладывающихся в старые рамки и применимых
так же, как понятие натурального числа, к чрезвычайно разнообразным
объектам. Таково, например, понятие группы. Наиболее же существенным
является то, что к двадцатому веку математика вполне овладела секретом
построения новых математических форм в соответствии с поставленны-
ми ей извне или возникшими в ее собственных пределах задачами. Если
в девятнадцатом веке введение бесконечно-удаленных элементов в проек-
тивной геометрии, идеалов в теории чисел или римановских поверхностей
в теории аналитических функций было связано с большими трудностями,
не сразу совершалось в логически законченной форме и, наконец, нередко
встречало известное непонимание и сопротивление, то сейчас аналогичные
построения могут уже производиться сразу с полной уверенностью и логи-
ческой безупречностью. При этом новые математические теории строятся
сразу в полной общности, без чего каждое новое применение теории (новая
интерпретация ее основных понятий) требовало бы полной ее переделки.
Укажу в виде примера на общую теорию меры Каратеодори и на общую
теорию интегрирования Фреше и ту легкость, с которой обе эти теории
применяются к построению основных понятий такой, казалось бы, своеоб-
разной науки, как теория вероятностей.
Все это возможно благодаря аксиоматическому методу, который поз-
воляет выделить чисто формальные свойства изучаемой системы объектов
и отношений между ними, необходимые для развития данной теории. При-
рода элементов двух систем, удовлетворяющих одной и той же системе ак-
сиом, может быть совершенно различной: на этом и основана множествен-
ность интерпретаций одной и той же теории. Система аксиом называется
полной, если две удовлетворяющие ей системы неизбежно изоморфны, т. е.
могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с сохране-
нием всех изучаемых в данной системе аксиом соотношений. Это понятие
изоморфизма, возникшее первоначально на почве алгебры, играет чрезвы-
чайно большую роль во всей современной математике. Мы говорим, на-
пример, что трехмерное евклидово пространство изоморфно системе троек
действительных чисел, если в этой последней системе надлежащим обра-
зом (в соответствии с общеизвестными формулами аналитической геомет-
рии) определены расстояния и другие основные геометрические понятия.
Современная математика
291
Две изоморфные системы, рассматриваемые с точки зрения их внутрен-
них формальных свойств, ничем не отличаются друг от друга — матема-
тика всегда изучает системы тех или иных элементов, связанных теми или
иными соотношениями, лишь с точностью до изоморфизма. Так например,
когда в теории групп ставят задачу нахождения всех групп данного поряд-
ка, то дело идет лишь о нахождении всех типов не изоморфных друг другу
групп.
Не случайно абстрактная точка зрения на предмет математической тео-
рии возникла раньше всего в применении к теории конечных групп. При
изучении конечной группы легко отвлечься от конкретной природы ее эле-
ментов и конкретного значения групповой операции (умножения), так как
элементов конечное число, их можно обозначить теми или иными символа-
ми и записать при помощи этих символов таблицу попарных произведений
элементов (квадрат Кэли). Иными словами, все формальные свойства изу-
чаемой системы (конечной группы) могут быть записаны в виде конечной
символической схемы. Две группы изоморфны, если их устройство может
быть изображено при помощи одной и той же схемы (если при надлежа-
щем обозначении элементов их квадраты Кэли тождественны). Но если,
как это бывает в большинстве математических теорий, множество элемен-
тов изучаемой системы бесконечно, то все предшествующие рассуждения
о системах аксиом, о различных возможных интерпретациях одной и той
же системы аксиом, об изоморфизме и т. д. оказываются по существу опи-
рающимися на ряд понятий общей теории бесконечных множеств. Об-
щая теория множеств оказывается той наукой, которая в состоянии создать
основу для изучения всех возможных математических форм — всевозмож-
ных множеств элементов, связанных теми или иными соотношениями. На
первом месте, в порядке логической систематики, оказываются естествен-
но те свойства множеств, которые не связаны с установлением каких бы то
ни было отношений между их элементами. Два множества, в которых не
дано никаких отношений между элементами, изоморфны, если их можно
поставить во взаимно однозначное соответствие, т. е. если они эквивалент-
ны. Два конечных эквивалентных множества имеют одно и то же число
элементов, наоборот два множества с одним и тем же числом элементов
эквивалентны. Таким образом число элементов оказывается единственной
формальной характеристикой конечного множества, рассматриваемого в
чистом виде без каких-либо отношений между элементами. Мы естественно
приходим к арифметике натуральных чисел, как первой главе математики.
В случае бесконечных множеств ту же роль, что понятие натурального чис-
ла для конечных множеств, играет понятие мощности, введенное создате-
лем современной теории множеств Кантором (1879 г.). Понятие мощности
292
Ш. Статьи о математике в других изданиях
или кардинального числа охватывает как частный случай и натуральные
числа (рассматриваемые как количественные числа).
По-видимому самым простым типом отношений между элементами
множества, которые могут повести к построению уже достаточно богатой
содержанием теории, являются отношения порядка. Теория упорядочен-
ных множеств приводит, в частности, к понятию порядкового или орди-
нального числа. Порядковые числа могут быть конечными или бесконеч-
ными, в последнем случае они называются порядковыми трансфинитными
числами. Порядковые трансфинитные числа, также введенные Кантором,
являются естественным аппаратом многих исследований в современной ал-
гебре, топологии и теории функций, в порядке же логической систематики
принадлежат к числу простейших и основных объектов математического
исследования. Почти так же естественно в порядке логического развития
теоретико-множественных идей появляются все основные понятия совре-
менной алгебры. Важность этих понятий, понятая сначала индуктивно,
исходя из многочисленности и разнообразия их применений, находит здесь
и логическое оправдание.
Иначе дело обстоит со всеми математическими понятиями, опирающи-
мися на идею непрерывности. Несмотря на то, что мы умеем аксиоматиче-
ски определить понятие непрерывности в чисто теоретико-множественных
терминах, оно остается генетически чуждым теоретико-множественной
точке зрения: развивая теорию множеств самое по себе, мы, возможно,
никогда бы не пришли к геометрическим идеям, в то время как алгебра
была бы при этом построена примерно в том же виде, как она существует
сейчас. Непрерывность в ее чистом виде, отделенную от всех отношений
другого типа, изучает топология. С логической точки зрения мы склонны
видеть в алгебре и топологии после теории множеств, лежащей в осно-
ве всего дальнейшего развития, два главных источника, порождающих в
их соединении все более сложные математические образования, служащие
предметом изучения других математических дисциплин.
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
I
Роль теоретической науки во вторую пятилетку чрезвычайно возраста-
ет. Новая невиданная еще в мире техника потребует и мощного роста тео-
ретической науки. В соответствии с этим университеты из заброшенного
и отсталого участка работы Наркомпроса превращены последними поста-
новлениями правительства в центры научной жизни, на которых должно
быть сосредоточено внимание всей страны, ибо именно университеты и
университетские научно-исследовательские институты объединяют задачу
разработки теоретической науки с задачей подготовки новых научных кад-
ров.
Математика стоит на крайнем фланге теоретических наук в качестве
наиболее абстрактной науки. Миллионы людей изучают в нашем Союзе
элементарную математику и сотни тысяч — высшую математику. Любой
студент, техник и школьник из второй ступени скажет вам, что математика
это один из самых важных (а то и самый важный) из изучаемых им предме-
тов. В продукции государственного технико-теоретического издательства
книги по математике составляют добрую половину. И все же математика
остается самой непопулярной наукой. Многие ли знают хотя бы в самых об-
щих чертах, над чем в настоящее время работают математики, какие перед
ними стоят еще не решенные задачи? Чрезвычайно распространено мнение,
что все существенное в математике уже сделано, а на математика смотрят,
как на человека, изучившего большое число формул и производящего при
их помощи вычисления. Кому из математиков не случалось, рассказывая
о том, что он сейчас работает над какой-либо математической проблемой,
наталкиваться на известное недоумение и на вопрос: разве есть в матема-
тике что-нибудь, что еще не доказано. В соответствии с этим и самые имена
лучших математиков Союза не пользуются даже и той известностью, как
имена крупных физиков или химиков. Между тем математика является
живой наукой, в которой за последние десятилетия возникли новые обла-
сти и постоянно появляются значительные новые открытия.
И эти новейшие математические открытия не относятся непременно,
вопреки тоже существующему мнению, к изощренным тонкостям, ненуж-
ным за пределами математики. Напротив того, многие большие современ-
Фронт науки и техники. — 1934. — Вып. 5/6. — С. 75-78.
294
III. Статьи о математике в других изданиях
ные течения математической мысли развиваются в органической связи с
проблемами физики или механики, а иногда и непосредственно техники.
Глубоко неправы те, которые думают, что в технических применениях ма-
тематики дело идет всегда о расчетах, не выходящих за пределы классиче-
ских методов. Эффектным примером является хотя бы столь, казалось бы,
житейский и не математический вопрос о том, насколько часто (в каком
проценте случаев) автоматическая телефонная станция не сможет осуще-
ствить соединение из-за перегрузки. При проектировании автоматической
станции необходимо знать ответ на этот вопрос заранее, еще до опыта.
Этот и близкие ему вопросы породили большую литературу в Америке и
Германии. В Московском институте математики и механики работа в этом
направлении ведется по заказу Наркомсвязи под руководством А. Я. Хин-
чина. Во многих случаях А. Я. Хинчину удалось получить вполне точные
и очень простые формулы, решающие вопрос (1932-1933 г.), в то время как
выведенные немецкими и американскими учеными формулы давали лишь
приближенное решение, будучи в то же время чрезвычайно громоздкими.
И вот интересно отметить, что для решения возникающих здесь проблем
пришлось привлечь наиболее современные, только что возникшие и ча-
стью в Москве же за последние годы разработанные, общие методы теории
вероятностей.
II
Математика, по крайней мере в основных своих теоретических разде-
лах, почти не требует вспомогательной технической или лабораторной ра-
боты, в таком большом количестве необходимой в экспериментальных на-
уках. Кроме того, действительно крупный успех в математике неизбежно
имеет значение для всей мировой математики: трудно себе представить
большую математическую теорию «местного значения», как это возможно
в геологии или почвоведении. Это не значит, конечно, что советская мате-
матика не имеет или не должна иметь своего лица, или что социалистиче-
ское хозяйство не выдвигает уже сейчас и не будет выдвигать во все воз-
растающем числе проблем, не возникающих при капиталистическом строе.
Но математик хорошей школы обычно бывает только несколько удивлен
и смущен вопросами о том, превзошел ли он в своих работах результа-
ты, уже достигнутые за границей. Какой смысл, в самом деле, имело бы
вновь доказывать теоремы, уже доказанные иностранными учеными? Все
это и ограничивает группу действительно продуктивно работающих мате-
матиков очень небольшим числом. Единственный в Москве центр научной
математической работы — Институт математики и механики МГУ — насчи-
тывает в своем составе около тридцати научных работников-математиков.
Институт математики и механики МГУ
295
Если же сосчитать всех активно работающих математиков Москвы, то вряд
ли их наберется много более пятидесяти; большая часть тех из них, которые
не входят в штат института, принимают участие в его работе в сверхштат-
ном порядке.
Тем не менее этот небольшой коллектив московских математиков обес-
печил Москве место одного из мировых математических центров, в неко-
торых же областях математики даже и ведущую роль.
Такая малочисленность научных математических кадров, связанная с
отмеченными выше особенностями самой математической науки, заставля-
ет предъявлять особенно высокие требования к их качеству. При этом дело
идет не только об основательной подготовке этих кадров, но и о широкой
организации отбора наиболее одаренных людей. Эта последняя проблема
отбора людей с большими творческими способностями стоит в математи-
ке, пожалуй, более остро, чем в любой другой науке. И именно в этом
направлении пролетарская революция создала предпосылки, для невидан-
ного расцвета наук и, в частности, математики. Дело в том, что до револю-
ции работники теоретических наук вербовались, по преимуществу, из детей
очень узкого круга квалифицированной интеллигенции. Не говоря уже о
пролетариате, сыну зажиточного крестьянина, попавшему в реальное учи-
лище, или даже сыну богатого купца, надо было преодолеть очень боль-
шое сопротивление, чтобы добраться до теоретической науки — доступнее
и понятнее даже для этих более широких буржуазных кругов была на-
пример техническая карьера. Отдельные единицы, конечно, прорывались
через эти препятствия, и недаром среди наиболее крупных ученых мы ви-
дим больший процент выходцев из самых разнообразных кругов общества,
чем среди ученых среднего уровня, для которых в значительной их части
принадлежность к академическим кругам была наследственной. Надо, од-
нако, сказать, что мы еще почти совсем не умеем пользоваться необъятны-
ми возможностями, имеющимися в смысле отбора лучших сил для научной
работы в стране социализма. Правда, за последние годы удалось достиг-
нуть решительного сдвига в отношении социального состава аспирантуры.
А в январе 1934 г. институт получил из оканчивающих Московский уни-
верситет пополнение исключительно высокого качества: из семи студентов,
принятых в аспиранты института, шесть представили дипломные работы,
признанные имеющими научную ценность и подлежащими печатанию в на-
учных журналах. Однако до сих пор этот отбор в институт производился
лишь с очень малым учетом одаренности.
Лишь в последний год организация кружков любителей математики в
школах, пионерские бои юных математиков, увеличение внимания к изда-
нию юношеской литературы по математике и другие мероприятия того же
рода дают надежду на то, что на математическое отделение университета
296
III. Статьи о математике в других изданиях
будут попадать не просто хотя бы и хорошо подготовленные молодые люди,
желающие вообще почему-нибудь учиться, а лучшие математики, которых
может выдвинуть данное поколение. Сейчас даже трудно себе представить,
какие грандиозные результаты получатся, если нам действительно удаст-
ся, начиная с этих первых шагов, организовать дело так, чтобы извлекать
для математики или для любой другой науки все те лучшие, наиболее ода-
ренные именно в этом направлении и социально ценные силы, которые
скрываются в полуторастомиллионном населении нашей страны.
После сказанного ясно, почему Институт математики и механики на-
меревается с этого года развернуть работу с учащимися средней школы,
почему один из лучших математиков Москвы, член-корреспондент Акаде-
мии Наук СССР Л. Г. Шнирельман, обещал взяться, в качестве основной
своей общественной работы, за работу с пионерами.
Ш
От пионеров, за которыми будущее, обратимся к уже существующим
математическим кадрам Москвы. В момент учреждения института (1922 г.)
в Москве существовала, собственно говоря, только одна вполне современ-
ная, энергично и сплоченно работавшая и достигшая мирового признания,
математическая научная школа — школа теории функций действительного
переменного, созданная проф. (ныне академиком) Н. Н. Лузиным. Влияние
этой школы далеко выходит за рамки самой теории функций действитель-
ного переменного: значительная часть руководящих московских матема-
тиков, направляющих широко развернувшуюся за последнее десятилетие
работу института по самым различным разделам математики и возглавля-
ющих собственные школы, пользующиеся уже мировым признанием, яв-
ляются учениками Н. Н. Лузина и начали свою работу в области теории
функций действительного переменного.
За двенадцать лет своего существования институт выпустил около ста
квалифицированных математиков, закончивших его аспирантуру, — лю-
дей, которым, как правило, вполне возможно поручить руководство ка-
федрой в высшем учебном заведении. Следует при этом заметить, что ма-
тематики, обладающие вполне современной европейской математической
культурой, исчислялись в дореволюционной России единицами. Рост выс-
шей школы за последние годы часто заставляет привлекать даже в число
профессоров высших учебных заведений людей, не только не являющих-
ся самостоятельными исследователями, но и не обладающих элементарной
математической культурой, сбивающихся постоянно в свои собственные до-
морощенные и не выдерживающие никакой критики теории и этим чрез-
вычайно затрудняющих проникновение математических знаний в техни-
Институт математики и механики МГУ
297
ческие круги. Поэтому сто человек, вооруженных отчетливо воспринятой
безукоризненной математической культурой, не говоря уже о двух десят-
ках из них развившихся в самостоятельных, иногда очень крупных ученых,
являются фактором большого государственного значения.
Очень важной задачей, к решению которой институт приступил лишь
за последние несколько лет, является развитие работы механического от-
дела института. К моменту основания института в Москве существовала
блестящая школа механиков, по преимуществу занимавшаяся аэродинами-
кой, основанная проф. Н. Е. Жуковским и возглавляемая в настоящее вре-
мя академиком С. А. Чаплыгиным. Но представители ее были отвлечены
от работы в университете огромными задачами, стоявшими перед хорошо
известным теперь всей стране Центральным аэрогидродинамическим ин-
ститутом (ЦАГИ). Аспирантура института по механике тоже приобрела
сколько-либо заметные размеры только начиная с 1930 г. В настоящее вре-
мя институт имеет 35 аспирантов механиков, из которых четверо заканчи-
вают аспирантуру в 1934 г., а только что закончивший аспирантский стаж
комсомолец Слезкин уже является заместителем руководителя отдела ме-
ханики института. Но институт испытывает большие затруднения с обеспе-
чением этого количества аспирантов руководством, так как механический
отдел института насчитывает в своем составе всего семь научных работни-
ков. Между тем запоздание с развертыванием аспирантуры уже привело к
необычайно напряженному положению с замещением профессорских и до-
центских мест по механике в высшей технической школе. Положение здесь,
как это хорошо известно всем знакомым с делами технической школы, еще
более тяжелое, чем в области математики.
Институт добивается сейчас расширения отдела механики посредством
привлечения новых научных работников со стороны. Но, несомненно, ра-
дикальное изменение в положении этого отдела наступит только тогда,
когда подрастет новое поколение механиков из числа наиболее способных
аспирантов института, которое уже начинает намечаться.
IV
Попытаемся теперь охарактеризовать наиболее значительные направ-
ления научной работы института, остановившись только на тех из них,
которые привели за последние несколько лет (1930-1933 гг.) к результатам
большого мирового значения или большой практической важности. Нач-
нем с области, далекой от приложений, но в самой математике занимаю-
щей одно из центральных мест, — теории чисел. Область эта до последнего
времени не культивировалась в Москве сколько-нибудь серьезно. Однако в
1931 г. Л. Г. Шнирельман решил одну из классических и давно поставлен-
ных проблем теории чисел. Именно, он показал, что каждое натуральное
298
III. Статьи о математике в других изданиях
число может быть представлено в виде суммы ограниченного числа (на-
пример 15 000) простых чисел. Эта замечательная теорема была доказана
при помощи чрезвычайно простых средств. Метод, употребленный им при
ее доказательстве, привел в ряде дальнейших работ московских математи-
ков и к другим интересным результатам. Не менее значительно и откры-
тие, сделанное А. О. Гельфондом. Еще в 1931 г. им была частично решена
одна из знаменательных 23 задач Гильберта, предложенных последним на
Парижском конгрессе математиков в 1900 г., именно, была доказана транс-
цендентность целого ряда чисел, об арифметической природе которых до
этого времени ничего не было известно. В начале 1934 г. А. О. Гельфонду
удалось решить задачу Гильберта до конца. По признанию крупнейших
европейских авторитетов эти два открытия могут считаться наиболее зна-
чительными во всей мировой теории чисел за последнее десятилетие.
Одной из самых интенсивно работающих школ, возникшей уже в пер-
вые годы существования института, является топологическая школа, осно-
ванная погибшим в 1924 г. П. С. Урысоном и П. С. ым. Топология, являясь
самой абстрактной частью геометрии, имеет в то же время очень важ-
ное значение в математическом анализе и во многих вопросах механики и
физики. В этой области в 1930-1931 г. П. С. Александровым была построе-
на новая теория размерности, послужившая уже основой многочисленных
дальнейших работ советских и иностранных ученых. Одним из наиболее
значительных достижений всего института за 1933 г. можно считать но-
вейшие работы Л. С. Понтрягина по теории непрерывных групп, которые
обещают привести к полному преобразованию этой теории, имеющей фун-
даментальное значение для геометрии, анализа и физики. В краткой статье
трудно было бы остановиться на всех остальных многочисленных исследо-
ваниях московских топологов, часто тесно связанных с работами отдела
анализа и института физики.
Еще ближе к физическим и техническим проблемам лежат исследова-
ния, ведущиеся в Москве по теории вероятностей. Самостоятельная мос-
ковская школа теории вероятностей была создана за последнее десятилетие
А. Я. Хинчиным и А. Н. Колмогоровым. Первые ее работы велись мето-
дами, перенесенными в теорию вероятностей из теории функций действи-
тельного переменного, которые играют большую роль и в исследованиях
последних лет. В 1930 г. А. Н. Колмогоровым были развиты общие анали-
тические методы теории вероятностей, основанные на применении диффе-
ренциальных уравнений, которые применялись ранее лишь при решении
отдельных проблем статистической физики. В 1932 г. важные результаты
в этом направлении были получены И. Г. Петровским.
В 1932-1933 г. А. Я. Хинчиным была развита теория стационарных слу-
чайных процессов, приведшая его, в частности, к глубоким результатам в
Институт математики и механики МГУ
299
области основ статистической механики. Кроме этих основных исследова-
ний и в тесной связи с ними отдел математической статистики ведет целый
ряд уже чисто прикладных исследований по целому ряду вопросов физики,
биологии и техники (выше уже приводился пример работ по автоматиче-
ской телефонии).
Ряд замечательных исследований по вопросам теории функций ком-
плексного переменного, связанным с аэродинамикой, и по вопросам са-
мой аэродинамики был произведен за последние годы В. В. Голубевым и
М. А. Лаврентьевым, теоретические исследования которых тесно связаны
с практической работой ЦАГИ.
Большое количество чрезвычайно важных для техники работ по раз-
личным вопросам механики принадлежит Л. С. Лейбензону. Отметим
здесь, в частности, его работы по механике движения газов и жидкостей в
пористой среде. Эти работы, возникшие из практических запросов нефтя-
ной промышленности, начали собою целую новую главу механики непре-
рывных сред.
Большая часть перечисленных достижений не является результатом
одинокой работы отдельных лиц, а появилась в результате сплоченных
усилий небольших коллективов, работающих над отдельными областями
математики и механики. В заключение нам хочется указать на некото-
рые из этих коллективов, не упоминавшихся раньше. Под руководством
В. Ф. Кагана работает энергичная группа дифференциальных геометров.
В. Ф. Кагану принадлежит инициатива созыва первой в мире специали-
зированной международной конференции по векторному и тензорному
анализу (17-23 мая 1934 г.), организованной отделом дифференциальной
геометрии института. Конференция заслушала ряд докладов советских и
иностранных ученых. В ее работах приняли деятельное участие лучшие
геометры мира, профессора: Картан, Бляшке, Скоутен и др. Конферен-
ция сделала первую в истории математики попытку планирования мате-
матики в международном масштабе. Вокруг В. В. Степанова группируется
несколько сотрудников института, работающих над качественной теорией
дифференциальных уравнений. Наконец, большую и чрезвычайно успеш-
ную работу ведет отдел алгебры, возглавляемый О. Ю. Шмидтом, который
и во время полярной зимовки находил время для математических занятий.
Полученная институтом в декабре радиограмма гласит, что им написаны
три работы по классической алгебре.
На примере ряда работ Московского института мы видели, что совет-
ская математика уже сейчас стоит на уровне не более низком, чем наука
передовых капиталистических стран. Естественным следствием этого яв-
ляется то внимание, которое ее успехи возбуждают за границей. Лучшие
иностранные издательства публикуют книги советских математиков. Огра-
300
Ш. Статьи о математике в других изданиях
ничиваясь работниками Московского института математики и механики,
укажем на недавно вышедшие книги П. С. Александрова, А. Я. Хинчи-
на и А. Н. Колмогорова и фундаментальный труд по топологии, подго-
товляемый П. С. Александровым совместно с швейцарским математиком
НорГ’ом. П. С. Александров и А. Я. Хинчин входят в редакции автори-
тетнейших международных математических журналов. П. С. Александров
неоднократно приглашался для чтения лекций в Америку, Швейцарию и
Германию. На 1934 г. приглашены Л. С. Понтрягин в Америку и А. Н. Кол-
могоров во Францию.
В самой работе института за последние несколько лет произошли глу-
бокие изменения, приводящие к тому, что советская математика действи-
тельно перерастает организационные формы и методологические навыки
буржуазной математики. На первом месте здесь надо поставить проникно-
вение в научную математическую работу планового начала. План 1934 г.
еще имеет много недостатков, но все же является серьезным документом,
суммирующим большую работу по выяснению наиболее актуальных науч-
ных проблем, стоящих перед институтом, и той расстановки сил, которая
может обеспечить их разрешение. Тесно связано с усилением плановости
работы института и постепенное преодоление противоположности между
«теоретической» и «прикладной» математикой. Усилия ряда отдельных ра-
бочих коллективов института направлены к тому, чтобы не только выяс-
нить глубокое теоретическое содержание, имеющееся часто в прикладных
проблемах, но и, с другой стороны, привлечь к решению прикладных про-
блем последние достижения теоретических исследований. Не менее суще-
ственно развитие в институте работы по истории и философии математики,
возглавляемой М. Я. Выгодским и С. А. Яновской.
Все эти новые черты в работе института, как и вообще быстрый рост
института, были бы невозможны без энергичной работы институтской пар-
тийной организации.
О НЕКОТОРЫХ СОВРЕМЕННЫХ ТЕЧЕНИЯХ
В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Первый, классический, период развития теории вероятностей заканчи-
вается в существенном исследованиями Laplace’a и Poisson’a. В этот пери-
од теория вероятностей занята по преимуществу подсчетом вероятностей
различных комбинаций конечного числа случайных событий. В качестве
математического аппарата теории вероятностей в этом периоде, в полном
соответствии со ставящимися здесь задачами, преобладают комбинатори-
ка, разностные уравнения и метод производящих функций при решении
последних.
Новое направление было создано фундаментальными исследованиями
Чебышева, Маркова и Ляпунова. В этот период в центре внимания нахо-
дится понятие случайной величины. Для исследования случайных величин
создается новый аналитический аппарат, существенно основанный на поня-
тии математического ожидания, теории моментов и функций распределе-
ния. Основным предметом исследования являются суммы возрастающего
(но всегда конечного) числа случайных величин, сначала независимых, а
потом и зависимых. Полная теория n-мерных функций распределения для
п зависимых между собою случайных величин и соответствующий аппарат
n-мерных интегралов Stieltjes's, были развиты Mises’ou (1919), внесшим
также существенные дополнения к предельным теоремам.
К настоящему времени очерченное сейчас направление Чебышева, Мар-
кова и Ляпунова достигло своей высшей точки в исследованиях С. Н. Берн-
штейна, в которых была впервые доказана многомерная основная предель-
ная теорема и было осуществлено наиболее полное и глубокое изучение
последовательностей зависимых величин (1925-1926).
Однако, точно так же как механика не ограничивается рассмотрением
систем конечного числа материальных точек, было бы уже a priori про-
тивоестественно предполагать, что теория вероятностей не выйдет за пре-
делы схем, рассматривающих одновременно всегда лишь конечное число
случайных величин. За исключением непонятого Bachelier (1900), более
широкие исследования были начаты не чистыми математиками, а физи-
ками (Smolouchowsky, Fokker, Planck), биологами (Fisher), специалистами
по страховому делу (Lundberg) и по техническим приложениям статисти-
ки (Frey). Все эти исследования могут быть рассматриваемы, как частные
Труды Второго Всесоюзного математического съезда (Ленинград, 24-30 июня
1934 г.). Т. I: Пленарные заседания и обзорные доклады. — Л.; М.: Изд-во АН СССР,
1935. - С. 349-358.
302
III. Статьи о математике в других изданиях
случаи общей теории стохастических процессов, т. е. общей теории слу-
чайных изменений во времени состояний некоторой системы.
Уже в том случае, когда состояние изучаемой системы в каждый дан-
ный момент времени t определяется заданием соответствующего значения
одного параметра х, этот параметр, рассматриваемый как функция x(t)
от времени, доставляет нам пример случайной функции. Другие примене-
ния случайных функций еще очень мало разработаны, но представляется
весьма вероятным, что они должны быть очень многочисленны и важны,
в частности в теории случайных колебаний, при построении статистиче-
ской теории турбулентности и в квантовой физике. Во всех этих вопросах
состояние системы в каждый данный момент характеризуется заданием
некоторой функции того или иного числа аргументов; поскольку же само
состояние системы является случайным, мы имеем дело уже при каждом
фиксированном t с некоторой случайной функцией.
Изучение случайных функций и, следовательно, функций распределе-
ния в функциональных пространствах неизбежно приводит к известному
пересмотру аксиоматических основ теории вероятностей. Достаточно об-
щее аксиоматическое изложение основ теории вероятностей, удовлетворя-
ющее все потребности современной физики и других прикладных областей,
было создано в последнее десятилетие. В значительной части относящихся
сюда исследований руководящим принципом было, однако, не стремление
охватить широкий круг новых, не укладывающихся в старые рамки, при-
ложений, а желание проследить, во всей их общности, открывшиеся неза-
долго перед этим глубокие аналогии между рядом понятий теории веро-
ятностей и метрической теории функций действительного переменного.
Постановка новых проблем привела и к созданию нового аналитическо-
го аппарата. Таким новым аппаратом являются, во-первых, интегральные,
дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения стохастиче-
ских процессов, возникшие как обобщение интегрального уравнения Смо-
луховского (Smolouchowsky) и дифференциального уравнения Fokker'a-
Planck’a. Второй стороной нового аналитического аппарата должна явить-
ся еще очень мало разработанная теория характеристических функций и
моментов для распределений в бесконечномерных (в частности — функци-
ональных) пространствах.
Заметим в заключение, что дифференциальные и интегро-дифферен-
циальные уравнения стохастических процессов привели к созданию очень
сильного метода для доказательства предельных теорем, непосредственно
примыкающих к исследованиям чебышевского направления.
Мы можем теперь систематизировать те новые течения в теории веро-
ятностей, которые являются предметом этого доклада:
О некоторых современных течениях в теории вероятностей
303
1) Исследования, возникшие на почве аналогий с метрической теорией
функций действительного переменного.
а) Общая аксиоматика теории вероятностей (Borel, Frechet, Колмо-
горов, Hopf).
b) Исследования, связанные с законом больших чисел (Borel, Can-
telli, Слуцкий, Frechet, Хинчин, Колмогоров, Гливенко, Levy).
2) Новые схемы, возникшие на почве физических и других прикладных
проблем.
а) Теория стохастических процессов (Finetti, Hostinsky, Hadamard,
Mises, Колмогоров, Frechet, Хинчин, Levy).
b) Теория случайных функций (Wiener, Слуцкий, Levy).
3) Новый аналитический аппарат.
а) Уравнения стохастических процессов (Колмогоров, Hostinsky,
Frechet, Бернштейн, Понтрягин).
Ь) Характеристические функции и моменты в бесконечномерных и
функциональных пространствах (Хинчин).
с) Новые методы доказательства предельных теорем (Колмогоров,
Петровский, Бернштейн, Хинчин, Бавли).
1а
Вводная литература:
1. Kolmogoroff, А. — Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Ergeb. d. Math., Berlin, 1933.
2. Hopf, E. — On causality, statistics and probability. Journ. Math.
Physics Massachusetts Inst. Technol., 13 (1934), pp. 51-102.
3. Lomnicki, Z. et Ulam, S. — Sur la th^orie de la mesure. Fund. Math.,
23 (1934), pp. 237-278.
Как уже указывалось, все рассматривавшиеся до последних десятиле-
тий проблемы теории вероятностей могут быть сведены к изучению ко-
нечного числа случайных величин. Все входящие в подобную проблему
вероятности будут определены, коль скоро задана n-мерная функция рас-
пределения рассматриваемых п случайных величин. В частности, Mises в
своем вышедшем в 1931 г. курсе теории вероятностей систематически при-
держивается указанного ограничения, что в его терминологии выражается
304
III. Статьи о математике в других изданиях
в том, что за «множество признаков» (Merkmalmenge) произвольного кол-
лектива всегда принимается множество точек n-мерного пространства.
Функцию распределения в n-мерном пространстве естественнее всего
воспринимать как аддитивную функцию области n-мерного простран-
ства. Математическая трактовка проблемы теории вероятностей указанно-
го классического типа зависит исключительно от задания соответствующей
функции распределения. Поэтому если ставить перед аксиоматикой тео-
рии вероятностей исключительно задачу возможно более компактного и
обозримого перечисления логических предпосылок дальнейших математи-
ческих построений, то в случае проблем классического типа проще всего
принять в качестве аксиом непосредственно характеристические свойства
функции распределения: 1) ее неотрицательность, 2) аддитивность, 3) ра-
венство единице для полного пространства. По моему глубокому убежде-
нию, никаких других задач аксиоматика теории вероятностей не может
иметь, так как вопрос о применимости данной математической схемы к
тем или иным конкретным физическим явлениям по существу не подда-
ется решению на почве аксиоматического метода. Попытка, предприня-
тая Afises’oM, очень хорошо иллюстрирует эту мысль. Для того чтобы за-
ключить свое построение в рамки неподвижных аксиом, Mises принужден
постулировать лишь приближение частот к определенному пределу при
неограниченном продолжении испытаний, ничего не говоря о том, начиная
с какого конечного числа повторений мы можем практически считать ча-
стоты совпадающими с их пределами. Ответ же на этот последний вопрос
может быть дан лишь выйдя за пределы строго-формального математиче-
ского мышления.
Таким образом, аксиомы Mises’a, независимо от внутренних трудно-
стей, с ними связанных, излишни для обоснования математической тео-
рии, с одной стороны, и недостаточны для обоснования ее применимости —
с другой стороны.
Система аксиом теории вероятностей, данная в указанной в начале па-
раграфа моей книжке, является непосредственным обобщением перечис-
ленных выше свойств функций распределения. Это обобщение позволяет
охватить все те новые неклассические проблемы, о которых уже говорилось
во введении.
Я отмечу здесь лишь тот пункт в аксиоматическом построении основ-
ных понятий теории вероятностей, который, как мне кажется, еще нужда-
ется в усовершенствовании. В приложениях часто рассматриваются услов-
ные вероятности, определяемые при том условии, что некоторая случайная
величина х приняла определенное частное значение х — а.
Если х имеет непрерывный закон распределения, то элементарный спо-
соб определения условной вероятности Рх=а(А) события А при х — а в силу
которого
О некоторых современных течениях в теории вероятностей
305
РХ=а(А) =
Р{А Г) (т = а)}
Р(х = а)
неприменим, так как справа в определяющем равенстве стоит неопреде-
ленность. Тем не менее, мне удалось определить Рх=а(А) в самом общем
случае. Однако данное мною определение представляется слишком слож-
ным. Кроме того, существует не мало физических проблем, в которых,
собственно говоря, изучаются только условные вероятности и сведение всех
употребляемых условных вероятностей к какой-либо определенной системе
безусловных вероятностей вообще невозможно. Таков, например, случай
броуновского движения по бесконечной прямой. В этой проблеме извест-
ны условные распределения положения частицы т(4г) в момент времени
^2 > ti, если известно положение ее z(ti) в момент времени t\. Для того
чтобы подвести эту проблему под развитую в моей книжке схему, необхо-
димо избрать какое-то начальное to и задать для любых
tn > tn—1 > tn—2 > * ’ • > t2 > tl > to
соответствующий безусловный (n 4- 1)-мерный закон распределения вели-
чин x(tn), z(tn-i),..., x(ti), i(to). Зная эти безусловные (п + 1)-мерные рас-
пределения, можно уже будет для любых t2 > ti > to вычислить условный
закон распределения x(t2) при фиксированном x(ti). Однако в действи-
тельности именно условные законы распределения этого последнего типа
и являются первоначально заданными, причем известны они для всех пар
t2 > ti, а не только для случая ti > to. Поэтому возникает важная зада-
ча построить прямую аксиоматику условных вероятностей, вместо того,
чтобы определять условные вероятности через безусловные.
16
Литературные указания можно найти в последней главе моей книжки,
цитированной под 1а.
Полная аналогия между понятием вероятности и понятием меры, опре-
делением математического ожидания и определением интеграла Lebesgue's.
и частичная аналогия между независимостью случайных величин и орто-
гональностью функций привела к возможности перенесения методов мет-
рической теории функций действительного переменного [в теорию вероят-
ностей — ред. ^-го тома Избр. трудов] и обратно. Для теории вероятно-
стей, в качестве основных результатов, получилось полное решение вопроса
об условиях применимости закона больших чисел к последовательностям
независимых случайных величин и создание концепции усиленного закона
306
1П. Статьи о математике в других изданиях
больших чисел. Для применимости усиленного закона больших чисел, да-
же в случае независимых случайных величин, до настоящего времени не
удалось найти сколько-либо обозримых и удобных необходимых и доста-
точных условий.
Полученное Хинчиным и Колмогоровым необходимое и достаточное
условие сходимости ряда независимых случайных величин долго рассмат-
ривалось как интересное в большей степени для приложений в области тео-
рии функций действительного переменного. Но в последнее время выясни-
лось, что это условие имеет основное значение при гармоническом анализе
случайных функций (Слуцкий, Колмогоров} и при изучении случайных
функций с независимыми приращениями (Levy}.
2а
Вводная литература:
1. Hostinsky, В. — Methodes g6ndrales du calcul des probability. Мёгп.
de Math., Peiris, 1931.
2. Kolmogoroff, A. — Uber die analytischen Methoden in der Wahrschein-
lichkeitsrechnung. Math. Ann., 104 (1931), pp. 415-458.
Дальнейшая библиография в книге A. Khintchine — «Asymptotische
Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung» (Ergebn. d. Math., Berlin,
1933).
Первой общей схемой случайного процесса, подвергнутой систематиче-
скому изучению, является схема цепей Маркова. Математическая сторона
теории цепей Маркова была с довольно большой полнотой разработана уже
самим Марковым. Однако только после работ Hostinsky'ого, Hadamard'a и
Mises'а (1931) стало ясным, что в цепях Маркова мы имеем простейший
и во многих отношениях типичный образец произвольных случайных про-
цессов без последствия, т. е. таких случайных процессов, в которых знание
состояния системы x(to} в момент времени to определяет закон распреде-
ления вероятностей возможных состояний x(t} нашей системы в момент
времени t > to независимо от того, каковы были состояния системы в мо-
менты времени, предшествующие to-
Цепи Маркова соответствуют тому случаю, в котором рассматривают-
ся лишь состояния системы при целочисленных значениях t и в котором
число возможных состояний системы конечно. В этом случае все сводится
к вероятностям Pik(t} перехода из г-того состояния в fc-тое состояния за
промежуток времени между моментом t и моментом t + 1. Через вероятно-
сти Pik(t} выражаются более общие вероятности Pik(s, t) перехода из г-того
О некоторых современных течениях в теории вероятностей
307
состояния в fc-тое состояние за промежуток между моментом з и момен-
том t > з. В настоящее время изучен целый ряд обобщений цепей Маркова.
О некоторых из них еще будет говориться в § За. Все они укладываются в
следующую общую схему:
Пусть Е — множество возможных состояний системы, F — функция
распределения вероятностей в Е. Тогда для каждого промежутка времени
от момента s до момента t > з существует оператор
Hst{F) = F1,
при помощи которого, зная функцию распределения F в момент времени $,
можно определить функцию распределения F\ для момента t. Оператор
Hst является неизбежно линейным и унитарным; кроме того, Hst удовле-
творяет при любых s < t < и уравнению
Hsu = HtuHst. (1)
Уравнение (1) и является основным уравнением случайных процессов
без последствия. В случае цепей Маркова уравнение (1) переходит в хорошо
известное уравнение
Pik{s, u) = Pjk(t, u)Pij(s, t).
3
Задача общего решения уравнения (1), даже в отдельных частных слу-
чаях, кажется очень трудной. Наиболее важен случай однородный по вре-
мени, т. е. случай, в котором
Hst = Ht_s.
В этом случае уравнение (1) переходит в уравнение
Hs+t = HaHt. (1')
Уравнение (1') показывает нам, что дело идет не о чем ином, как об разыс-
кании общего вида однопараметрической группы унитарных операторов Ht
в пространстве функций распределения F. Естественное предположение
Ht = etU
приводит во всех случаях к обширным и важным случаям решений уравне-
ния (1'). Можно ли при достаточно широком понимании символа U полу-
чить таким образом удобный метод образования общего решения, — оста-
ется неизвестным.
308
III. Статьи о математике в других изданиях
Кроме случайных процессов без последствия подвергся глубокому изу-
чению еще класс случайных процессов с последствием, но зато стацио-
нарных, т. е. таких, в которых все распределения вероятностей остаются
неизменными при замене t' = t+a. Для стационарных процессов А. Я. Хин-
чиным доказана глубокая теорема, являющаяся обобщением эргодической
теоремы Birkhoff'a. О процессах с последствием и нестационарных почти
ничего не известно.
26
Систематическое изучение случайных функций еще только начинает-
ся. Несомненно, однако, что более глубокая теория случайных процессов
будет существенно основана на понятиях, связанных со случайными функ-
циями. Вследствие неполноты аксиоматики теории вероятностей в ряде
исследований (Wiener, Слуцкий) ограничивались рассмотрением значений
функций в конечном числе точек. При таком рассмотрении, естественно,
даже невозможно поставить вопрос об условиях непрерывности, интегри-
руемости, дифференцируемости функции и т. п. Вместо этого Е. Е. Слуц-
ким введены новые понятия стохастической непрерывности, стохастиче-
ской интегрируемости и стохастической дифференцируемости. Однако при
достаточно развитой аксиоматике можно поставить и решить так же и за-
дачу определения вероятности тех или иных дифференциальных или ин-
тегральных свойств функции в обычном смысле слова. Соответствующие
исследования должны иметь значение при решении задач с граничными
условиями для случайных процессов.
За
Особенно много изучались случайные процессы без последствия в том
частном случае, в котором состояние системы определяется для каждого
момента времени одним действительным параметром. Ограничимся, для
простоты записи, случаем однородности по времени. Тогда
Ht(F) = I Kt(x,y)dF(x),
и уравнение (1') перепишется для ядер Kt(x,y) в виде
Ks+t(x, у) = I Kt(z, у) dzKs(x, z). (2)
Уравнение (2) есть не что иное, как известное в физике уравнение Смо-
луховского (Smolouchowsky). Известны два основных типа решений урав-
нения (2). Первый тип соответствует случаю непрерывных изменений со-
стояния x(t) со временем. При некоторых дополнительных допущениях,
О некоторых современных течениях в теории вероятностей
309
в этом случае доказывается, что ядро Kt(z,y) удовлетворяет уравнению в
частных производных Fokker'a-Planck'а:
^ = ~lv(AK} + l^BK}' (3)
от оу oyz
где А и В — некоторые функции у. Решения этого типа имеют наиболее
широкие применения (см. далее, Зс). Другой тип решений уравнения (2)
был изучен впервые В. de Finetti (1929) — он соответствует разрывному
изменению x(i) со временем.
Можно построить также решения, соответствующие смешанному типу
изменения. Такие решения можно получить, например, исходя из интегро-
дифференциального уравнения
= -Щу)К(х,у) - ^~{А(у)К(х,у)}
+ [ z)K(x, z)dz + А?{В(у)К(х, j)}, (4)
указанного мною в 1931 г. Решения того же типа найдены другими ме-
тодами В. Hostinsky’M. Возможно, что, обобщая уравнение (4) введением
интегралов Stieltjes’а. специального типа, удастся получить и общее реше-
ние уравнения (2). Это удалось пока осуществить благодаря работам В. de
Finetti, моим и Р. Levy лишь в частном случае ограничения ядрами вида
К(т,у) = К (у - х).
Ряд работ посвящен многомерным обобщениям рассмотренных схем.
ЗЬ
От предполагающейся здесь теории развита пока лишь теория вторых
моментов случайных функций (Хинчин, Слуцкий). Общее определение ха-
рактеристической функции закона распределения в любом линейном про-
странстве (следовательно, в частности, в любом функциональном) таково.
Пусть Е есть некоторое линейное пространство с элементами х и Р(А) —
вероятность элементу х принадлежать множеству А. Будем обозначать че-
рез f линейные функционалы от х. Тогда характеристической функцией
распределения Р(А) называется функция от функционала
Ф(/) = f eif^P(dx).
JE
310
III. Статьи о математике в других изданиях
Если Ф(/) разложимо в ряд Тейлора
ф(Л = 1 + МЛ + W, f) + м/. /,/) + •••,
то полилинейные формы /2, • • •,/п) дают нам моменты распределе-
ния Р(Д).
Из указанных определений выведено еще очень мало следствий. Но они
обещают быть интересными, в частности, для ряда физических проблем.
Зс
Вводная литература:
Khintchine, А. — Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Ergebn. d. Math., Berlin, 1933.
Дифференциальное уравнение Fokker'a-Planck'а и сопряженное к нему
уравнение лежат в основе вывода ряда новых предельных теорем, относя-
щихся к суммам большого числа случайных величин. Предложено несколь-
ко методов перехода от интегральных уравнений, определяющих законы
распределения конечных сумм, к соответствующим дифференциальным
уравнениям. Из них мне представляется наиболее изящным метод Пет-
ровского, являющийся видоизменением метода верхних и нижних функ-
ций Реггоп'а. Однако наиболее полные результаты в некоторых направле-
ниях получены, с употреблением другого метода перехода к уравнениям
Fokker'a-Planck'а, С. Н. Бернштейном.
Другой ряд предельных теорем может быть связан с упоминавшими-
ся в § За уравнениями скачкообразных случайных процессов. Если первый
ряд предельных теорем обобщает теорему Лапласа-Ляпунова, то второй
находится в аналогичном отношении к предельной формуле Пуассона. Пре-
дельные теоремы второго типа получены А. Я. Хинчиным и Г. М. Бавли.
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА В МАТЕМАТИКЕ
I
Математика занимает крайнее место в ряду точных наук как самая
абстрактная из них. Ее результаты обладают наиболее универсальной при-
менимостью, но зато и путь до них от конкретных данных опыта длинен.
Поэтому абсолютно правильная общая истина, заключающаяся в том, что
познание действительности неотделимо от практического воздействия на
нее, что теория развивается под давлением практики и ею направляется,
осуществляется в случае математики наиболее сложным и многостепенным
путем. Основным, внешним для самой математики, источником больших
новых математических идей является не непосредственно техника, а смеж-
ные с математикой теоретические науки: физика, механика, астрономия.
Техническая задача чаще всего или решается в пределах существующих
методов, или оказывается вовсе недоступной математическому решению.
Создание же существенно новых методов в математике чаще стимулиру-
ется проблемами, выдвинутыми смежными теоретическими науками, так
как в самой постановке таких проблем уже устранено множество случай-
ных усложняющих моментов и выделены те моменты, которые, будучи су-
щественными, дают повод для создания новой математической концепции.
Однако по преимуществу под влиянием непосредственных запросов техни-
ки развились такие математические дисциплины, как приближенное реше-
ние дифференциальных уравнений. Если и в этой области исследования
Штермера были вызваны нуждами изучения полярных сияний, то это сле-
дует рассматривать скорее как случайность. Правда, не так легко предста-
вить себе техническую задачу, решение которой предъявляло бы к метод}'
приближенного интегрирования дифференциальных уравнений столь же
высокие требования, как вычисление орбит электронов, образующих се-
верные сияния, так как уже качественная сторона поведения орбит очень
сложна и необычайно прихотливо зависит от изменения входящих в задачу
параметров1. В СССР новый замечательный метод приближенного инте-
грирования дифференциальных уравнений был дан С. А. Чаплыгиным по
поводу решения ряда технических проблем2 *. Вообще, следует отметить,
что именно в последние годы наиболее эффективные методы приближен-
ного интегрирования предлагались по преимуществу математиками, хоро-
шо знакомыми с обстановкой применения этих методов в той или иной
Фронт науки и техники. — 1936. — Вып. 5. — С. 75-78.
!См. К. Штермер, «Проблема полярных сияний», Москва, ГТТИ, 1933 г.
2См. С. А. Чаплыгин, «Новый метод приближенного интегрирования дифференци-
альных уравнений», Труды ЦАГИ, X9 130 (1932).
312
III. Статьи о математике в других изданиях
специальной области, так сказать, изобретавшими новый метод для сво-
его собственного употребления. На долю математиков-теоретиков в этой
области доставалось по преимуществу последующее исследование свойств
(сходимости, остаточных членов) уже готовых методов интегрирования.
Помимо приближенного интегрирования дифференциальных и инте-
гральных уравнений под преимущественным непосредственным воздейс-
твием техники развивается номография. Электротехника непосредствен-
но стимулирует развитие некоторых теоретических исследований по диф-
ференциальным уравнениям (особенно символические методы решения).
В большинстве других случаев математик-теоретик находит между техни-
кой и собою представителя той или иной теоретической науки: механики,
физики, реже химии, биологии и т. д. Широкое образование и правильное
понимание перспектив в области математического естествознания поэто-
му в первую очередь необходимо математику-теоретику. Математик, ис-
ходя из тех или иных частных проблем смежных наук, должен, оттолк-
нувшись от них, иногда очень далеко уйти в направлении обобщения и
абстракции, но результат оказывается плодотворным лишь в том случае,
если он руководился правильным чувством общего направления запросов
математического естествознания. В этом отношении поучительна история
классической русской школы в теории вероятностей. Общее направление
ей было дано П. Л. Чебышевым; он, несмотря на то, что в его эпоху об-
ласть применения теории вероятностей еще была много более ограничен-
ной, чем теперь, нашел те пути, которые сделали работы русской школы
основой всего новейшего расцвета теории вероятностей. Его последователь
А. А. Марков наряд}' с многими другими результатами построил теорию,
всеми теперь называемую теорией «цепей Маркова», но не заметил того
фундаментального значения, которая эта теория может иметь в математи-
ческом естествознании. Лишь в 1929-1931 гг. эта теория была переоткрыта
Гостинским, Адамаром и Мизесом. Теперь теория цепей Маркова воспри-
нимается всеми просто как общая теория эволюции физической системы
в условиях случайности ее изменения, конечности возможных состояний и
отсутствия последействия. Отправляясь от этой теории и ряда примеров, в
нее не вмещавшихся, я поставил перед собой задачу найти все возможные
формы уравнений случайных процессов без последействия3. Несмотря на
абстрактность этой задачи, уже в 1931 г. в результате подобных исследо-
ваний я мог, помимо мемуара, посвященного общей теории, опубликовать
работу, решающую некоторые проблемы, важные при проектировании те-
леграфных и телефонных сетей. Дальнейшие применения не замедлили
появиться. В ту же общую схему вместились вполне естественным образом
и многие частные случаи, уже ранее разобранные физиками, биологами и
3См. мой доклад в «Трудах 2 всес[оюзного| математического] съезда», изд.
Акад[емии] наук СССР, 1935 г.
Теория и практика в математике
313
статистиками, остававшиеся мне неизвестными в момент построения общей
теории. Пример этот приведен с целью подчеркнуть на хорошо знакомом
мне материале то общее положение, что при построении новой математиче-
ской теории специальные физические или технические задачи служат лишь
для того, чтобы в них уловить то общее и типичное, что послужит уже соб-
ственным предметом математической теории. Возвращаясь к классическим
примерам, напомню хотя бы то радикальное изменение в постановке задач
в области теории уравнений с частными производными, которое произошло
в конце девятнадцатого века, тогда они стали по преимуществу воспри-
ниматься как «уравнения математической физики». Здесь оказалось, что
для различных типов уравнений с частными производными естественно и
плодотворно искать решения при различных, свойственных каждому ти-
пу условиях; хотя, например, в случае рассмотрения одних аналитических
функций так называемая задача Коши разрешима для любого типа урав-
нений второго порядка, в действительности ее решение полно физического
смысла в случае гиперболических уравнений и бессодержательно в случае
эллиптических уравнений. При этом замечательно, что несмотря на то, что
осознание этого факта опиралось на рассмотрение отдельных физических
задач, самый факт относится к типам дифференциальных уравнений, а не
к самим физическим задачам; одни и те же проблемы естественно возни-
кают при рассмотрении эллиптического уравнения Ди = 0, независимо от
того, относится оно к стационарному течению тепла или электричества, и
одинаково для него не интересно решать проблему Коши, которая казалась
самой естественной с отвлеченной точки зрения, в то время как никто не
догадался бы, не имея приводящих к ней физических проблем, поставить
для этого уравнения задачу Дирихле4.
II
До сих пор мы сосредоточили все внимание на формах зависимости
теории от практики. Перейдем к обратному процессу применения уже раз-
работанной теории к практическим задачам. Наиболее серьезные органи-
зационные задачи стоят именно здесь. Если будет хорошо организована
работа математиков и математических научных учреждений над пробле-
мами, выдвинутыми техникой и смежными теоретическими науками, то
4 В случае двух независимых переменных наше уравнение имеет вид Ди=|^т + ^т=0.
Задача Коши заключается в определении функции и(х, у) по значениям функции и и ее
производной , заданным при х = 0. Задача Дирихле состоит в определении функции
и внутри области, ограниченной замкнутой кривой, по значениям самой функции и
вдоль этой кривой. В случае, если и(х, у) обозначает температуру в точке (х, у), решение
задачи Дирихле позволяет найти распределение температур при стационарном течении
тепла в однородной среде по заданным температурам на поверхности.
314
III. Статьи о математике в других изданиях
охарактеризованное выше воздействие запросов практики на развитие ма-
тематической теории тем самым будет обеспечено5. Достаточно же быстрое
использование в технике, физике и т. д. всех возможностей математическо-
го метода нуждается в специальной организации. Опасность, которая здесь
имеется, такова: всякий математик, имеющий те или иные свои замыслы
в разрешении теоретических проблем, точно так же как и любой теоре-
тический математический институт, естественным образом заинтересуется
только такими прикладными вопросами, которые или позволяют им про-
демонстрировать силу и эффективность только что разработанных ими
новых методов, или явным образом обещают дать почву для новых инте-
ресных теоретических построений. В то же время представители многих
отраслей техники часто не в состоянии воспользоваться даже и готовым
математическим аппаратом. Благодаря этому возникает такое положение,
что существуют некоторые модные в смысле математической обработки
области техники; в других же областях очень важные и в то же время
доступные задачи остаются нерешенными. Обращает, например, на себя
внимание чрезвычайно отсталое, по сравнению с проблемами механики,
состояние всех математических задач техники, связанных с теплопровод-
ностью6.
Несмотря на наличие в Советском союзе таких авторитетов, как
акад. А. Н. Крылов, С. А. Чаплыгин или проф. Л. С. Лейбензон, число
хороших математиков, работающих над математическими вопросами тех-
ники, исходя из серьезного понимания нужд самой техники, у нас очень
невелико. Особенно слабо дело обстоит с созданием новых кадров моло-
дых математиков, работающих вплотную над техническими проблемами;
здесь можно назвать едва одного-двух действительно талантливых людей.
Было бы логически неправильно делить математику на прикладную
и теоретическую. Теперь, когда операторы в бесконечномерных простран-
ствах являются основным аппаратом квантовой физики, когда теоретико-
числовые исследования оказываются важными для кристаллографии, а то-
пология применяется при исследовании химических равновесий, было бы
весьма затруднительно выделить «чисто теоретические» разделы матема-
тики. Однако логично различать установки, руководящие математическим
5Имею в виду, что будет обеспечено в организационном отношении. По существу же
здесь важно избежать двух опасностей: ограничения своей задачи решением отдельных
проблем без достаточно смелого обобщения, с одной стороны, и столь стремительного
«отталкивания» от частных задач в сторону абстракций, которое делает эти абстракции
бессодержательными, с другой стороны. В правильном конкретном понимании этого
общего замечания в значительной степени заключается вопрос о хорошей «школе» в
области математики.
6Например, до последнего времени чрезвычайно примитивно изучались все вопросы,
связанные с нестационарным режимом в отапливаемых зданиях (теплоустойчивость).
См. первую попытку серьезного математического подхода у А. Г. Селиверстова: «Теп-
лоустойчивость зданий», Госстройиздат, 1934.
Теория и практика в математике
315
исследованием. В силу темы настоящей статьи мы не касались первой из
таких установок — чисто математической: выяснение основных матема-
тических понятий и их соотношений, решение основных проблем каждой
математической дисциплины в их естественном логическом порядке, вы-
яснение основных трудностей, подлежащих преодолению, и их разрешение
на типичных примерах. Эти черты одинаково характеризуют, например,
московскую школу, возникшую на почве теории функций действительного
переменного, и ленинградскую школу в области теории чисел7. Эта уста-
новка имеет положительное значение для всей математики, сколь бы ни
было опасно ее изолированное исключительное культивирование. Со вто-
рой установкой — установкой «математического естествознания» мы имели
дело в начале этой статьи. Для нее типично обобщение, отправляющееся от
проблем естественных наук. Типичными представителями этой установки
являются Ляпунов и продолжающая его традиции ленинградская школа.
За границей можно привести в качестве яркого примера школу Куран-
та. Все математическое исследование здесь на каждом шагу направляется
механическими и физическими представителями. Во многих отделах мате-
матики такой подход оказывается наиболее плодотворным. Например, как
это уже указывалось, до последнего времени удавалось поставить разум-
ным образом краевые задачи для того или иного типа уравнений в частных
производных только тогда, когда данный тип уравнений связывался с той
или иной физической проблемой. В последние годы и некоторые матема-
тики, вышедшие из рядов так называемой московской школы, с успехом
освоили этот стиль работы (Степанов, Тихонов в анализе, Хинчин в тео-
рии вероятностей и др.). Не следует, однако, смешивать эту установку с
последовательно прикладной установкой, определяющейся, впрочем, через
кажущееся требование найти возможно более простыми средствами реше-
ние данной конкретной задачи с требующейся степенью точности (точное
решение с этой точки зрения интересно, только если оно столь же про-
сто, как приближенное) и притом так, чтобы фактическое вычисление ре-
зультата отнимало возможно меньше времени. При всей простоте этого
требования для математика, привыкшего к развитию общих теорий и по-
искам точных решений, последовательное его осуществление оказывается
нелегким делом. Многим математикам-теоретикам, например, неизвестно,
сколь широки возможности замены тех или иных функций очень просты-
ми приближенными выражениями. Кажется совершенно фантастической
возможность вычислять в уме логарифмы. Между тем, как было показано
Мелентьевым, функция у = logz в пределах 2 х 5 может быть замене-
на с точностью до четвертого десятичного знака трехчленом а + (Зх + 7т2,
при помощи же деления или умножения на 2 любое число 1 х 10 при-
7После переезда Акад[емии| наук СССР в Москву название] «ленинградская школа»
имеет условный характер как здесь, так и в дальнейшем.
316
III. Статьи о математике в других изданиях
водится в указанные пределы. Естественно, что такого рода обстоятельства
бывают существенны и в более серьезных проблемах, чем устное вычисле-
ние логарифмов. Можно привести неограниченное количество примеров
больших математических исследований на чисто прикладные темы, где
видоизменение исходных допущений, не выходящее за пределы точности,
соответствующей характеру задачи, во много раз упрощает исследование.
III
Я уже указывал, что было бы и нелогичным и невозможным противопо-
ставлять теоретическую и прикладную математику в качестве двух отдель-
ных наук. Существуют, однако, в составе математики несколько специаль-
ных дисциплин, назначение которых заключается специально в быстром
получении приближенных решений или в обработке недостаточно полных
данных опыта. Это приближенный анализ, номография, теория интерполи-
рования, уравнительные вычисления (метод наименьших квадратов), мате-
матическая статистика. Все эти дисциплины не составляют единого целого,
которое можно было бы назвать прикладной математикой. В решение боль-
шинства проблем прикладного характера эти дисциплины входят лишь в
виде одной из составных частей. Это, так сказать, специальный аппарат,
используемый при приложениях математики. В большинстве этих дисци-
плин советская математика пока еще отстает от заграничной.
Соберем теперь выводы. Во-первых, необходимо создание организаци-
онных центров, объединяющих работу по приближенному анализу номо-
графии, математической статистике, изданию математических таблиц, по-
строению математических приборов (например, интеграторов дифферен-
циальных уравнений). Во-вторых, необходимо, чтобы, помимо существую-
щей практики решения интересующих их прикладных проблем, теоретиче-
скими математическими институтами было организовано систематическое
обслуживание математической помощью тех отраслей техники, которые не
в силах создать для этого собственный аппарат. В-третьих, необходимо сти-
мулирование роста новых кадров математиков, работающих в прикладном
направлении (специальные стипендии, заграничные командировки, пре-
мии). На основе роста прикладного направления работы, в-четвертых,
нужно стремиться к еще более сознательному и глубокому объединению
теоретических исследований с прикладным направлением. Для этого по-
следнего следует при воспитании молодых математиков во всех случаях
добиваться широкой культуры в области математического естествознания,
а для значительной их части — непосредственного участия в прикладных
работах.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и ее применения
Истекшее двадцатилетие было в мировой науке периодом бурного роста
и переустройства теории вероятностей и дальнейшего роста ее влияния на
физические, биологические и технические исследования. Возросшее вни-
мание к теории вероятностей привело к тому, что в этой области впервые
наладилось систематическое международное сотрудничество, при котором
новые идеи, возникшие в одной стране, в ближайшие же годы, а иногда и
месяцы, находят отклик в другой. В этой оживленной и интенсивной ра-
боте советские математики принимали весьма значительное участие, а во
многих направлениях им принадлежали руководящие основные идеи.
Правда, при этом в теории вероятностей для советской науки дело шло
не о завоевании впервые почетного места в международной научной работе,
а скорее о сохранении в обстановке резко возросшей активности иностран-
ных научных школ того первого места, которое в предшествующий период
прочно было завоевано русской наукой благодаря трудам Чебышева, Мар-
кова и Ляпунова. В этот предшествующий период, бывший в Западной
Европе периодом известного упадка общетеоретических исследований по
теории вероятностей, классическое наследство Лапласа, Пуассона и Гаусса
подверглось в трудах указанных русских ученых глубокой переработке.
Их исследованиями, собственно, и была создана та законченная систе-
ма классической теории вероятностей, которая сейчас составляет основное
содержание учебников. Однако о ведущем положении русской школы по
отношению к мировой науке для дореволюционного периода, можно гово-
рить лишь с большой оговоркой. Если исследования Чебышева были уже
давно оценены за границей, то фундаментальные мемуары Ляпунова, со-
державшие доказательство основной предельной теоремы теории вероят-
ностей (1900-1903 гг.), оставались долгое время почти незамеченными и их
содержание переоткрывалось R. Mises’oM (1909 г.) и Lindeberg’oM (1923 г.).
Еще печальнее судьба исследований Маркова, посвященных схеме те-
чения случайных явлений, называемой теперь всюду схемой «цепей Мар-
кова» . В исследованиях самого Маркова эта схема трактуется чисто теоре-
тически, в качестве же ее иллюстрации разбирается проблема чередования
гласных и согласных в тексте «Евгения Онегина». Лишь около 1930 г. ре-
зультаты Маркова получили широкую известность (частью же были пе-
Математика и естествознание в СССР. — М.-Л.: ГОНТИ, 1938. — С. 51-61.
318
III. Статьи о математике в других изданиях
реоткрыты заново) и сделались теоретической основой весьма общих и
важных концепций статистической физики.
Последний пример с «цепями Маркова» связан и с другой особенностью
дореволюционной русской школы: направленностью исключительно на ре-
шение классических проблем, при оторванности от возникающих вновь за-
просов к теории вероятностей со стороны других наук.
Эти новые требования к теории вероятностей в первую очередь воз-
никли во второй половине девятнадцатого века на почве развития ста-
тистических методов в социальных и биологических науках. Именно на
этой почве сложился тот комплекс теорий, который понимается обычно
и преподается под именем математической статистики. Теория вероятно-
стей входит в этот круг проблем главным образом при определении до-
статочности ограниченного числа наблюдений для тех или иных выводов.
Именно в этом можно видеть известную (конечно, относительную) специ-
фичность вероятностных проблем математической статистики. В двадца-
том веке в математической статистике определенно наметилось господство
английской (Пирсон, Фишер) и, отчасти, американской школ. Возрастаю-
щее число критериев совместимости данного конечного ряда наблюдений
с той или иной статистической гипотезой, предложенных по различным
специальным поводам, привело в последние годы к напряженным поискам
общих объединяющих принципов математической статистики, рассматри-
ваемой именно с точки зрения проверки статистических гипотез (например
в работах Неймана и Пирсона младш.). В этой области советским матема-
тикам принадлежит ряд замечательных специальных исследований (см.
далее §3), однако переработка и переоценка общих концепций математи-
ческой статистики, развивающихся сейчас за рубежом под большим влия-
нием идеалистической философии, является для нас еще делом будущего.
В статистической физике вопросы достаточности ограниченного числа на-
блюдений отходят на задний план. Непосредственно наблюдаемыми здесь
чаще всего являются результаты наложения огромного числа случайных
явлений (например, молекулярного масштаба), т. е. материал для проверки
гипотез о течении отдельных случайных явлений оказывается собранным
независимо от нас во вполне достаточном количестве. Зато статистическая
физика предъявляет особенно большие требования к разработке новых,
более широких, чем классические, схем течения случайных явлений. Осо-
бенно первые десятилетия двадцатого столетия характерны тем, что фи-
зики, не удовлетворенные возможностями, предоставлявшимися классиче-
ской теорией вероятностей, стали на путь самостоятельного создания, по
отдельным частным поводам, новых теоретико-вероятностных схем. К той
же необходимости пришел и ряд биологов и техников. Например, исследо-
вания по теории диффузии заставили Фоккера и Планка создать аппарат
Теория вероятностей и ее применения
319
дифференциальных уравнений, которые позднее были найдены уже в ка-
честве общих дифференциальных уравнений произвольных непрерывных
случайных процессов без последействия (см. далее §2). Те же самые диф-
ференциальные уравнения были совершенно независимо введены Фишером
при изучении некоторых вопросов биологии. К таким работам, предвосхи-
щающим позднейшее развитие общих концепций теории вероятностей, от-
носятся также работы Эйнштейна и Смолуховского по теории Броуновско-
го движения, ряд исследований американских техников (Т. Фрай и др.) по
проблемам скученности, связанных, в частности, с вопросами эксплуатации
телефонных сетей, и т. д. Наконец, серьезнейшие задачи были поставле-
ны перед теорией вероятностей в направлении вероятностного обоснования
так называемой эргодической гипотезы, лежащей в основе термодинамики.
Лишь около 1930 г. математики всерьез взялись за систематизацию всего
этого материала. Возникшие на этой почве исследования целесообразнее
всего объединить под именем общей теории случайных процессов.
Выяснив обстановку, в которой развивалась теория вероятностей, за
последнее двадцатилетие, мы переходим к обзору достижений в этой обла-
сти советских ученых, разделив их на три основные направления: 1) про-
должение классических исследований о предельных теоремах для сумм
независимых и слабо зависимых случайных величин, 2) общая теория слу-
чайных процессов, 3) вопросы математической статистики. Независимо от
этого систематического деления заметим, что началом значительной рабо-
ты по теории вероятностей в СССР следует считать примерно 1924-1925 гг.
В 1925 и 1926 гг. появились фундаментальные исследования С. Н. Берн-
штейна (о них см. ниже), которых уже одних было бы достаточно, чтобы
считать достойно продолженными традиции Чебышева, Маркова и Ляпу-
нова. Вскоре за этим появилась ставшая уже классической «Теория веро-
ятностей» С. Н. Бернштейна. Параллельно, начиная с 1923-1926 гг., раз-
вивались работы московской школы (А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров),
ограничивавшейся вначале довольно узким кругом вопросов, доступных
методам, перенесенным из теории функций действительного переменного.1
§ 1. Центральной проблемой исследований Чебышева, Ляпунова и Мар-
кова было выяснение условий применимости к суммам sn = ----hzn
большого числа независимых, или слабо зависимых, случайных слагае-
мых Xi нормального, или гауссовского, закона распределения вероятно-
стей. Классические методы исследования этой проблемы получили свое
завершение в фундаментальном мемуаре С. Н. Бернштейна (1926 г.). Здесь
очень сильно расширены условия применимости гауссовского закона к сум-
'Вне этого специального круга вопросов методы эти оказались впоследствии суще-
ственными для строгого формального обоснования теории вероятностей, включающей
те ее расширения, которые потребовались ее дальнейшим развитием.
320
III. Статьи о математике в других изданиях
мам зависимых величин и впервые дано строгое обоснование применимо-
сти многомерного гауссовского закона распределения к суммам векторов
в пространстве любого числа измерений. Этот последний результат дает
также теоретическое обоснование применимости формул нормальной кор-
реляции для того случая, когда коррелятивно связанные величины могут
рассматриваться как суммы большого числа слагаемых, а связь между ни-
ми исчерпывается связью между соответствующими (или близкими к соот-
ветствующим) слагаемыми этих сумм. Таково, в частности, положение при
наследовании количественных признаков, вызываемых аддитивным дей-
ствием большого числа генов. Это дало возможность С. Н. Бернштейну
показать, что закон наследования количественных признаков, найденный
Гальтоном, является следствием законов Менделя (в предположении адди-
тивного действия многих несцепленных генов), а отнюдь не противоречит
им, как это часто высказывалось.
Возвращаясь к одномерному случаю, можно формулировать условия
применимости нормального закона распределения к суммам независимых
слагаемых следующим образом: с вероятностью, близкой к единице, все
слагаемые много меньше их суммы sn.2 Возникает естественный вопрос:
какие предельные распределения можно получить, если требовать лишь,
чтобы для каждого отдельного слагаемого я, вероятность его малости по
сравнению с суммой sn была близка к единице (принцип «индивидуаль-
ной пренебрегаемости» слагаемых)? Ответ получен недавно Г. М. Бавли и
А. Я. Хинчиным (в несколько неотчетливой формулировке также Р. Ьёуу
во Франции): в пределе получаются так называемые «неограниченно дели-
мые» законы распределения, включающие как частный случай закон Гаус-
са, закон Пуассона, закон Коши и т. д. Этот класс законов распределения
несомненно заслуживает более систематического введения и в статистиче-
скую практику.
Помимо только что указанного существенного расширения классиче-
ского подхода к предельным теоремам о суммах случайных слагаемых
следует отметить еще следующее: в применениях мы употребляем предель-
ные теоремы к распределениям конечных сумм. Между тем, существующие
оценки остаточных членов таковы, что во многих из практически наиболее
важных случаев гарантированная оценка остаточного члена во много раз
превышает основной член.3 Лишь для простейшего случая — для теоремы
2Точная формулировка необходимых и достаточных условий, соответствующих этой
несколько не ясно выраженной в тексте идее, дана недавно W. Feller’oM.
3Мы обычно интересуемся малыми вероятностями порядка или Чтобы
надежно оценивать их, считаясь с существующими выражениями для остаточных чле-
нов, число наблюдений должно быть существенно больше 1 000000 или, соответственно,
100000000.
Теория вероятностей и ее применения
321
Лапласа — С. Н. Бернштейном дана практически вполне удовлетворитель-
ная оценка остаточного члена.
Еще более старая тема классических исследований по теории вероятно-
стей — вопрос об условиях применимости закона больших чисел к суммам
независимых слагаемых — также получила дальнейшее развитие в ряде
исследований А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова и др. Помимо получения
необходимых и достаточных условий здесь были созданы новые концепции
«усиленной» и «относительной» устойчивости сумм и были получены усло-
вия их применимости. Наконец, для последовательности независимых сла-
гаемых xi, тг, хз, • • •, хп,... А. Я. Хинчиным была открыта совершенно но-
вая замечательная асимптотическая формула для порядка максимальных
уклонений от среднего последовательных сумм sn = Xi+X2-1-Ьхп, так на-
зываемый «закон повторного логарифма». Условия применимости закона
больших чисел к суммам зависимых слагаемых изучались С. Н. Бернштей-
ном и А. Я. Хинчиным.
Сложение независимых случайных слагаемых дает также повод к по-
становке ряда проблем о «разложимости» случайных величин в суммы
таких слагаемых. Возникающими отсюда проблемами «арифметики зако-
нов распределения» занимались А. Я. Хинчин и несколько его учеников.
Упомянутым далеко не исчерпывается круг исследований, примыкающих
к классическим предельным теоремам теории вероятностей. Сказанного,
однако, достаточно, чтобы оценить значительность достижений в этой об-
ласти, близкой благодаря последним работам советских и иностранных ав-
торов (среди последних, помимо упоминавшихся Р. L£vy, Н. Сгатёг’а и
W. Feller’a фундаментальные результаты принадлежат R. V. Mises’y) к
завершению. Из оставшихся здесь не решенными проблем, пожалуй, на
первое место следует поставить отмеченную выше задачу эффективной с
точки зрения приложений оценки остаточных членов.
§ 2. Изучая с общей точки зрения процесс случайного изменения про-
извольной физической системы, естественно выделить в первую очередь
процессы без последействия, т. е. процессы, в которых распределение веро-
ятностей для будущих состояний изучаемой системы всецело определяется
ее состоянием в настоящий момент, независимо от ее предыдущей истории.
Если при этом число возможных состояний системы конечно и состояния
системы регистрируются лишь по дискретной последовательности момен-
тов времени, то мы имеем перед собой схему, изучавшуюся Марковым еще
тридцать лет назад. В этом случае все определяется условными Вероят-
ностями pik , находясь в n-й момент времени в г-м состоянии, попасть в
(п + 1)-й момент в к-е состояние. Однородный случай — вероятностей
не зависящих от п, - в последние годы был предметом чрезвычайно мно-
гочисленных исследований, среди которых в Советском Союзе на первом
322
III. Статьи о математике в других изданиях
месте по полноте стоят исследования В. И. Романовского. С точки зрения
статистической физики основным вопросом здесь является вопрос о пре-
дельном распределении вероятностей для частот попадания в различные
состояния в течение больших промежутков времени. При очень широких
(и теперь уже до конца выясненных) условиях предельные значения этих
частот не зависят от начального состояния системы, а уклонения частот
от этих предельных значений подчиняются многомерному гауссовскому за-
кону. Значительно меньше известно о неоднородных цепях Маркова (т. е.
(п)\
о случае переменных pik )
Переход к бесконечному дискретному (счетному) множеству состояний
связан с довольно значительными математическими трудностями, но не
изменяет еще существенно метод исследования. Общие результаты, отно-
сящиеся к такого рода цепям Маркова с бесконечным числом состояний,
удалось недавно получить А. Н. Колмогорову. Случай произвольного (не
счетного) множества состояний, изучается в недавней заметке Н. М. Кры-
лова и Н. Н. Боголюбова, продолжающей и обобщающей исследования
М. Frechet и его учеников.
Только что очерченные исследования об обыкновенных и обобщенных
цепях Маркова, в соответствии с установившимися приемами классической
теории вероятностей, сводят изучение случайного процесса к рассмотрению
дискретной последовательности «испытаний». Переход к изучению случай-
ных процессов с учетом возможности случайных изменений состояния в
любой, сколь угодно малый промежуток времени, а особенно к изучению
непрерывных случайных процессов, требовал значительной перестройки
аналитического аппарата теории вероятностей. Отдельные случаи такого
рода схем «с непрерывным временем» были изучены ранее, как упоми-
налось выше, физиками и техниками; с чисто математической точки зре-
ния некоторые случаи были рассмотрены Bachelier (1900 г.) и В. de Finetti
(1929 г.).
Первой попыткой систематизировать с достаточно общей точки зрения
все возникающие здесь возможности (ограничиваясь процессами без после-
действия) явилась работа А. Н. Колмогорова (1931 г.). Здесь, обобщая ре-
зультаты Смолуховского, Фоккера и Планка, были установлены основные
интегральные и дифференциальные уравнения, управляющие случайными
процессами без последействия, при различных предположениях о множе-
стве возможных состояний системы и о непрерывности или скачкообразно-
сти изменений системы.
Особенно много дальнейших исследований было посвящено случаю
непрерывного конечномерного многообразия возможных состояний и не-
прерывности самого процесса случайных изменений. В этом случае (при
некоторых естественных допущениях) процесс управляется дифференци-
Теория вероятностей и ее применения
323
альными уравнениями в частных производных параболического типа. Ко-
эффициенты при первых производных этих уравнений связаны со средним
направлением изменения состояния в данный момент времени, а коэф-
фициенты при вторых производных выражают интенсивность случайных
уклонений от этого среднего направления. Для физической теории ко-
лебаний при наличии слабых случайных возмущений существенно изу-
чить предельные соотношения при стремлении коэффициентов при вторых
производных к нулю. Ряд результатов в этом направлении получен Ан-
дроновым, Понтрягиным и др. Некоторые выводы этой работы были с
физической стороны неожиданны и крайне интересны.
В случае непрерывных случайных движений с инерцией основные
дифференциальные уравнения параболического типа вырождаются. Этот
случай был рассмотрен в одной заметке А. Н. Колмогорова. Вопрос о
существовании и единственности решений соответствующих дифференци-
альных уравнений был изучен Н. С. Пискуновым.
Из других применений дифференциальных уравнений непрерывных
случайных процессов отметим работу А. Н. Колмогорова и М. А. Леонто-
вича о броуновском движении и работу А. Н. Колмогорова, продолжаю-
щую исследования Р. Фишера по теории естественного отбора в обширных
популяциях.
Помимо непосредственного изучения непрерывных случайных процес-
сов, управляющие ими дифференциальные уравнения имеют и другое не
менее существенное значение для теории вероятностей. Именно, решения
этих дифференциальных уравнений дают асимптотические формулы для
распределений вероятностей и в случае дискретных процессов, состоящих
из очень большого числа очень малых изменений. На этой почве возник
целый ряд исследований, начатых А. Н. Колмогоровым и широко разви-
тых С. Н. Бернштейном, И. Г. Петровским и А. Я. Хинчиным, благодаря
которому классическая предельная теорема Ляпунова воспринимается те-
перь как частный случай некоторой единой общей теории. Можно также
рассматривать полученные здесь предельные теоремы как независимый от
теории непрерывных случайных процессов способ обоснования употребле-
ния соответствующих дифференциальных уравнений. Однако представле-
ния, созданные этой теорией, в действительном ходе исследования слишком
часто являются направляющими, чтобы полный отрыв предельных теорем
от непрерывной теории мог быть целесообразным.
Хуже изучены процессы без последействия, допускающие как не-
прерывные, так и скачкообразные изменения. Основной теоретической
проблемой здесь является разыскание общего решения, так называемо-
го интегрального уравнения Смолуховского, управляющего всеми такими
процессами. Благодаря исследованиям В. de Finetti, А. Н. Колмогорова и
324
III. Статьи о математике в других изданиях
Р. L£vy до конца разобран одномерный, однородный случай. Из этих иссле-
дований возникли, в частности, упоминавшиеся выше неограниченно дели-
мые законы распределения. В некоторых частных предположениях пробле-
ма недавно решена посредством сведения к интегро-дифференциальным
уравнениям. Этот последний путь обещает быть пригодным и в общем
случае.
За пределами случайных процессов без последействия хорошо изучены
лишь стационарные случайные процессы. Основные работы в этой области
принадлежат А. Я. Хинчину и Е. Е. Слуцкому. Первый из них доказал
основную эргодическую теорему о существовании средних по времени для
любых величин, зависящих от состояния стационарной системы и имею-
щих конечное математическое ожидание,4 и построил спектральную тео-
рию стационарных процессов,5 6 второй же специально изучил стационарные
процессы с дискретным спектром.
Область применений теории стационарных случайных процессов еще
не достаточно определилась, но должна быть чрезвычайно широкой. По-
видимому, именно в рамках этой теории возможно наиболее полное пони-
мание природы непрерывных спектров в акустике и оптике. По-видимому,
так называемое разыскание скрытых периодичностей, столь интересую-
щее, например, метеорологов, должно в значительной степени смениться
изучением спектров соответствующих стационарных процессов, без пред-
решения вопроса о том, окажутся эти спектры дискретными или непрерыв-
ными. Из этого круга проблем метеорологии возникли, в частности, работы
по стационарным случайным процессам Е. Е. Слуцкого. Наконец, укажем
на ряд исследований Л. Б. Келлера по теории турбулентного движения,
которые широко пользуются представлениями общей теории стационар-
ных случайных процессов и содержат некоторые ценные и с общей точки
зрения результаты.7
Заканчивая обзор различных направлений изучения случайных про-
цессов, отметим две специальные области, возникшие из специальных при-
кладных нужд и не нашедшие своего места в предыдущем обзоре.
Это, во-первых, изучение явлений «скученности», связанное с вопроса-
ми эксплуатации телефонных и телеграфных сетей, обслуживания автома-
тически работающих станков и т. п. Здесь речь идет о случайных процессах,
в которых случай входит в форме случайности распределения числа вызо-
4Эта общая эргодическая теорема А. Я. Хинчина является обобщением эргодической
теоремы Birkhoff’a, доказанной Birkhoff’oM для динамических систем.
5Спектральный анализ стационарных случайных процессов по своему замыслу при-
мыкает к обобщенному гармоническому анализу N. Wiener’a в теории функций.
6См. также далее в § 3.
Исследования Л. Б. Келлера велись независимо как от работ А. Хинчина и Е. Слуц-
кого, так и от цитировавшихся ранее работ N. Wiener’a.
Теория вероятностей и ее применения
325
вов в телефонной сети, или случайного распределения остановок станков
из-за того или иного рода аварий, а также в форме распределения вероят-
ностей для той или иной продолжительности телефонного разговора или
той или иной продолжительности исправления аварий. Лишь при грубых
упрощающих допущениях процессы такого рода умещаются в схему про-
цессов без последействия с дискретным множеством возможных состояний
и без затруднений включаются в общую теорию. Без этих упрощений под-
чинение процессов без последействия общей теории возможно, но слишком
сложно для непосредственного использования. Специальные методы для
изучения явлений скученности были разработаны в СССР в ряде работ
А. Я. Хинчина. Сам А. Я. Хинчин и Н. В. Смирнов применили эти методы
к решению проблем, выдвинутых Центральным институтом связи (из об-
ласти автоматической телефонии). Б. В. Гнеденко применил те же методы
к проблемам текстильного производства.
Своеобразные проблемы пространственной скученности возникают при
изучении кристаллизации металлов и металлических сплавов. Ответ на
некоторые вопросы этого рода, поставленные Институтом стали, был дан
А. Н. Колмогоровым.
М. А. Леонтовичем была развита статистическая теория бимолекуляр-
ных реакций, являющаяся некоторой специализацией и осложнением тео-
рии случайных процессов без последействия с конечным числом состояний.
При этом М. А. Леонтович исходил из дифференциальных уравнений, со-
ответствующих непрерывной по времени схеме. Н. В. Смирнов и В. И. Гли-
венко показали, что аналогичная специализация и осложнение схемы клас-
сических цепей Маркова (с дискретной последовательностью испытаний)
должны являться существенным аппаратом теории наследственности.
Заметим, наконец, что очерченное выше чрезвычайное расширение об-
ласти теоретике-вероятностных исследований было бы исключительно за-
труднено без переустройства логической базы теории вероятностей — ее
аксиоматики и системы основных понятий. Из различных направлений в
обосновании теории вероятностей до настоящего времени только одно раз-
работано настолько, чтобы дать формально безупречную систему основ-
ных понятий, охватывающую все вызванные различными потребностями
физики и техники разветвления теории вероятностей; это — направление,
развивающее аксиоматику теории вероятностей, исходя из определения ве-
роятности как аддитивной функции множеств, заданной на надлежащей
системе множеств «элементарных событий».8 В частности, современная
теория вероятностей не может удовлетвориться рассмотрением только ко-
нечномерных распределений вероятностей. Изучение непрерывных случай-
8См. А. Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей.
326
III. Статьи о математике в других изданиях
ных процессов и ряда других физических проблем неизбежно приводит к
рассмотрению «случайных функций», или, иначе говоря, распределений
вероятностей в функциональных пространствах. Систематическим постро-
ением теории случайных функций занимались Е. Е. Слуцкий и А. Н. Кол-
могоров.
§ 3. Из общих проблем математической статистики советскими матема-
тиками с наибольшим успехом разрабатывались, во-первых, вопросы ста-
тистического обнаружения скрытых периодичностей и установления фор-
мул прогноза и, во-вторых, вопросы статистического определения функций
распределен ия.
Классическая теория периодограмм дает возможность проанализиро-
вать ряд случайных величин, если предположить, что он образован на-
ложением нескольких периодических колебаний и независимых от одного
испытания к другому дополнительных возмущений. Однако последняя ги-
потеза независимости дополнительных возмущений является обычно про-
извольной. Все обстоятельства, возникающие при допущении зависимостей
между случайными возмущениями, были глубоко изучены Е. Е. Слуцким
и В. И. Романовским. В конкретных работах Е. Е. Слуцкого, выполненных
в Геофизическом институте, было предложено много простых и изящных
способов анализа рядов с предполагаемой скрытой периодичностью.
Установление статистическим путем формул прогноза очень занима-
ло метеорологов (упомянем особенно работы В. Ю. Визе), и специально
гидрометеорологическую службу (по ее заданиям работал, между прочим,
Е. Е. Слуцкий). Ряд исследований был посвящен составлению формул
для определения видов на урожай по метеорологическим данным (Обу-
хов). Соответствующие общие математические проблемы разрабатывались
Е. Слуцким, Обуховым и др. Основной задачей здесь является избежание
нереальных зависимостей, специально подогнанных к обычно очень огра-
ниченному (30-100 наблюдений) материалу. При надлежащей осторожно-
сти метод может, несомненно, приносить пользу, однако даже с чисто ма-
тематической стороны далеко не все обстоятельства, возникающие при его
употреблении, достаточно выяснены.
Вопрос статистического определения функций распределения заключа-
ется в следующем: имеется не известный нам закон распределения F(rr);
производится п независимых наблюдений с этим законом распределения,
и по этим наблюдениям составляется «эмпирический» ступенчатый закон
распределения Fn(x); требуется выяснить, в какой мере по этой ступен-
чатой функции возможно судить о виде функции F(x). Самый вопрос о
приближении Fn(rr) к F(x) был подчинен в работах В. И. Гливенко об-
щему установленному им закону больших чисел в функциональных про-
Теория вероятностей и ее применения
327
странствах. Статистике, однако, важно было иметь возможно более точные
оценки уклонений Fn(x) от F(x).
Первая асимптотическая формула для распределения вероятностей
этих уклонений была дана А. Н. Колмогоровым (ранее Mises’oM была дана
лишь оценка средней величины и дисперсии этих уклонений). В ра-
ботах же Н. В. Смирнова все соотношения между F(x) и Fn(x) были под-
вергнуты глубокому и всестороннему изучению, далеко превзошедшему по
результатам все, что было сделано до него. Работы эти имеют чрезвычайно
разнообразные применения в прикладных статистических исследованиях.
Мы отметили два направления исследований по математической ста-
тистике, в которых результаты советских математиков представляют зна-
чительный вклад в общее развитие математической статистики. Помимо
этого, в связи с постоянно возникающими практическими задачами, было
произведено очень много более специальных исследований. Укажем в их
числе, например, на работы А. М. Журавского по статистическому опре-
делению состава минералов, исследования Б. В. Ястремского по вопросам
применения выборочного метода и т. д. Следует, однако, сказать, что об-
служивание математиками прикладных нужд в области математической
статистики и теории вероятностей имело до сих пор несколько случай-
ный, любительский характер, направляясь по большей части или личными
связями, или специальными интересами отдельных исследователей к при-
кладным вопросам, связанным с направлением их теоретической работы.
Дальнейшее развитие прикладных исследований потребует, несомненно,
создания надлежащего вычислительного аппарата, издания и составления
таблиц, конструирования приборов.9 Создание научной организации, могу-
щей взять на себя все эти функции и способной наладить систематическое
обслуживание запросов прикладного характера, является задачей ближай-
шего будущего.
93аметим, например, что в некоторых наших учреждениях затрачивались годы для
составления таблицы коэффициентов корреляции между большим числом изучавшихся
величин. Работа эта может быть произведена при наличии соответствующих приборов
почти без затраты времени.
ОБ ОТДЕЛЕ ИНФОРМАЦИИ
В ПЕРВОМ ВЫПУСКЕ
«УСПЕХОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК»
Одной из важных задач «Успехов математических наук» является ши-
рокая информация о всех явлениях математической жизни СССР. Без та-
кой информации невозможна серьезная общественная оценка и критика
работы как научных учреждений, так и отдельных ученых. Так как до на-
чала издания «Успехов математических наук» освещение этих вопросов в
печати носило совершенно случайный характер и происходило крайне ред-
ко, то самое появление соответствующих отделов «Успехов» является очень
важным продвижением вперед. Тем более существенно отметить некоторые
допущенные в первом выпуске ошибки.
Главное, что можно поставить в вину отделу хроники, — это недостаточ-
ная полнота, вызванная непредставлением материалов со стороны очень
многих организаций. Зато в некоторых случаях информация опередила
события. Хотя выпуск сдан в печать 23 февраля 1936 г., из Саратова уже
успели сообщить о прочтении П. С. Александровым курса лекций в весен-
нем семестре (1936 г.). В действительности лекции так и не состоялись.
Оказалось слишком поспешным и сообщение о приглашении проф. Поля-
чека в Тбилиси.
Более ответственным является отдел информационных статей больше-
го объема, чем заметки хроники. Весьма неудачной является в этом отделе
статья И. С. Куклеса «Математика и механика в Дальневосточном государ-
ственном университете». В этой статье выдается за новый научный резуль-
тат следующая теорема: «Геометрическим местом точек, равноудаленных
от двух заданных окружностей, является всегда кривая второго порядка.
Подбирая соответствующим образом радиусы задаваемых окружностей и
расстояние между их центрами, можно получить любую кривую второго
порядка на плоскости». Это «научное открытие» печатается в «Ученых
записках ДВГУ». Лишь немного менее наивная работа доцента М. Щегло-
ва «Об одном свойстве связки лучей в n-мерном пространстве» считается
столь замечательной, что не только напечатана в «Бюллетене физматфа-
ка ДВГУ», но перепечатывается еще в «Ученых записках». При наличии
на физико-математическом факультете одного доцента с большим стажем
(Бекеев) и двух лиц, защитивших в Москве в 1934-35 гг. кандидатские дис-
сертации (Куклес и Лотоцкий), автор считает возможным считать Дальне-
восточный университет очень хорошо обеспеченным научными силами по
Успехи математических наук. — 1938. — Вып. 4. — С. 326-327.
Об отделе информации в первом выпуске «УМН»
329
математике. Самое же, пожалуй, интересное — это то, что вскоре по напи-
сании статьи и Куклес, и Лотоцкий предпочли скрыться в Москву, оставив
во Владивостоке из приехавшей из Москвы молодежи лишь Ефимочкину
(кстати, не работавшую в Москве у проф. Колмогорова) и Ковалева.
Математическая общественность справедливо желает иметь возмож-
ность составить ясное представление о научной физиономии лиц, полу-
чающих ученую степень доктора математических наук. Поэтому следу-
ет поблагодарить С. Л. Соболева, давшего в первом выпуске «Успехов»
обзор докторских диссертаций, защищавшихся в Академии наук СССР.
Вместе с тем следует отметить, что самая идея поручить писать о самых
разнородных диссертациях одному лицу — неудачна. Среди четырех дис-
сертаций С. Л. Соболев признает «исключительной по изяществу и силе»
диссертацию П. С. Новикова. Но именно об этой диссертации высказыва-
ния С. Л. Соболева не отличаются особой ясностью. Особенно своеобразно
сформулирована им проблема отделимости множеств. Необходимо о каж-
дой докторской диссертации печатать отзыв, написанный специалистом в
соответствующей области.
ОДНО ЗАМЕЧАНИЕ
ПО ПОВОДУ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
(к вопросу о необходимости нового перевода
«Оснований геометрии» Д. Гильберта)
Аксиоматическое изложение геометрии (как и всякой математической
теории) должно начинаться с перечисления: 1) категорий основных объек-
тов (в «Основаниях геометрии» Гильберта это — точки, прямые и плос-
кости), 2) основных отношений между этими объектами, 3) аксиом. Все
дальнейшие рассматриваемые в геометрии объекты и отношения между
объектами должны определяться через основные, а все теоремы — доказы-
ваться на основании аксиом. Очень часто не обращается должного внима-
ния на второй из указанных выше моментов. Для формулировки аксиом
геометрии Гильберта нужны три основных отношения:
«лежать на», «лежать между», «быть конгруэнтным».
При этом первое из этих отношений может связывать точку и прямую, или
точку и плоскость, или прямую и плоскость. Отношение «лежать между»
связывает точку с парой точек, лежащих с ней на одной прямой. Наконец,
отношение «быть конгруэнтным» связывает или два отрезка, или два уг-
ла. Употребленные здесь понятия «отрезка» и «угла» определяются через
основные. Если обратить внимание на перечисленные только что различ-
ные способы употребления основных отношений, то можно стать и на ту
точку зрения, что основных отношений в гильбертовой геометрии шесть.
Ничто не мешает нам для одного и того же отношения ввести несколько
разных названий. Можно, например, с самого начала сказать, что «а про-
ходит через А» эквивалентно «А лежит на а». Однако сам перечень основ-
ных отношений должен быть твердо установлен. К сожалению, «Основания
геометрии» Гильберта вплоть до седьмого издания (1930) явно не удовле-
творяли этому требованию. Основная неясность относилась к употребле-
нию слова «определять» (bestimmen) в аксиомах соединения. В русском
переводе проф. А. В. Васильева (1923), сделанном с пятого немецкого из-
дания (1922), эта неясность сохранена и усугублена тем, что во введении
(стр. XXV-XXVI) приведен, на основании старых лекций Гильберта, при-
мер на независимость аксиомы 1г от аксиомы П, окончательно запутыва-
ющий читателя.
Успехи математических наук. — 1938. — Вып. 4. — С. 347-348 (в разделе «Библио-
графия»).
Одно замечание по поводу оснований геометрии
331
В седьмом издании формулировка аксиом соединения изменена. Они
звучат теперь так:
1.1. Zu zwei Punkten А, В gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der
beiden Punkte A, В zusammengehort.
1.2. Zu zwei Punkten A, В gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem
der beiden Punkte A, В zusammengehort.
1.3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte. Es gibt wenigs-
tens drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.
1.4 Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten
А, В, C gibt es stets eine Ebene a, die mit jedem der drei Punkte А, В, C
zusammengehort. Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehorigen
Punkt.
1.5. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten
А, В, C gibt es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A,
В, C zusammengehort.
1.6. Wenn zwei Punkte A, В einer Geraden a in einer Ebene a liegen, so
liegt jeder Punkt von a in der Ebene a.
1.7. Wenn zwei Ebenen a, /3 einer Punkt A gemein haben, so haben sie
wenigstens noch einen weiteren Punkt В gemein.
1.8. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.
Все различные употребленные здесь термины, выражающие отношения
между точками, прямыми и плоскостями, являются лишь различными на-
званиями для одного и того же отношения сопринадлежности («zusammen-
gehoren»).
Однако и в седьмом издании остались следы пренебрежения к уста-
новлению точного перечня основных отношений. С этим связано и то об-
стоятельство, что в «Основаниях геометрии» совсем не упоминается такое
фундаментальное для аксиоматического мышления понятие, как полнота
системы аксиом. В само определение полноты существенно входит систе-
ма основных отношений данной математической теории. В самом деле, в
аксиоматической теории основные категории объектов и основные отноше-
ния остаются произвольными (лишь подчиняются аксиомам). Интерпре-
тацией данной системы аксиом называется такая система определенных
категорий объектов и определенных отношений между этими объектами,
для которой выполнены все аксиомы заданной системы аксиом. Система
аксиом полна, если объекты соответствующих категорий любых ее двух ин-
терпретаций могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие
так, что любым объектам, связанным каким-либо из основных отношений
в первой интерпретации, соответствуют объекты, связанные соответствую-
щим отношением во второй интерпретации (короче: система аксиом полна,
если все ее интерпретации изоморфны). Лежащее в основе понятия полноты
332 IIL Статьи о математике в других изданиях
понятие изоморфизма, как видим, относится к системам объектов вместе с
определенными системами основных отношений.
Повторяя на страницах «Успехов математических наук» все эти, ка-
залось бы, общеизвестные положения, я хочу обратить внимание на то,
что на русском языке не существует их изложения, доступного широкому
читателю. Вместе с тем я надеюсь, что эта заметка будет содействовать
скорейшему появлению нового русского издания «Оснований геометрии»
Гильберта, учитывающего изменения, внесенные в седьмое немецкое из-
дание.
ОТ РЕДАКЦИИ
[Вступительная статья к циклу статей
по теории случайных процессов]
Теория вероятностей переживает в настоящее время период бурного
развития и переустройства. Работы Эйнштейна и Смолуховского по тео-
рии броуновского движения1, ряда американских авторов по «проблемам
скученности» в технической статистике2, Фишера по математической тео-
рии естественного отбора3 и многие другие исследования, возникшие на
почве специальных наук, лишь с трудом укладываются в рамки класси-
ческих схем теории вероятностей. Из желания привести в систему разрос-
шийся материал, подлежащий изучению теорией вероятностей, возникло
то направление, к которому принадлежат статьи предлагаемого сейчас чи-
тателю цикла. В них делается попытка для произвольной «системы», со-
стояние которой в каждый момент может принадлежать к тому или иному
очерченному заранее множеству «возможных» состояний, наметить общие
приемы изучения «случайного» процесса изменения системы.
Навыкам классической теории вероятностей больше соответствует рас-
смотрение состояний изучаемой системы только в моменты времени, обра-
зующие некоторую дискретную последовательность, т. е. сведение случай-
ного процесса изменения системы к дискретной последовательности пере-
ходов из одного состояния в другое, или, на языке классической теории ве-
роятностей, последовательности отдельных «испытаний». Дискретные слу-
чайные переходы из одного состояния в другое, происходящие, однако, в
любой момент времени с непрерывным во времени распределением вероят-
ностей, образуют уже естественно первый простейший тип новых, непре-
рывных по времени, схем случайных процессов4. Такова, например, веро-
Успехи математических наук. — 1938. — Вып. V. — С. 3-4. В цикл, опубликован-
ный в разделе «Обзоры и переводы», вошли статьи: А. Н. Колмогоров. Об аналитиче-
ских методах в теории вероятностей; А. Я. Хинчин. Теория корреляции стационарных
стохастических процессов; А. Н. Колмогоров. Упрощенное доказательство эргодической
теоремы Биркгофа-Хинчина; В. Феллер. К теории стохастических процессов (теоремы
существования и единственности). — Прим. ред. 1,-го тома Избр. трудов.
*А. Эйнштейн, М. Смолуховский, Брауновское (броуновское) движение: Сборник ста-
тей, ОНТИ, Л., 1936.
2Т. Фрай, Теория вероятностей для инженеров, ОНТИ, 1934.
3К. A. Fisher, The genetical theory of natural selection, Oxford University Press, London,
1930.
4Cm. §§ 6-7 печатаемой в настоящем выпуске статьи А. Н. Колмогорова «Об анали-
тических методах в теории вероятностей».
334
III. Статьи о математике в других изданиях
ятностная схема радиоактивного распада атомов; в пределах этого рода
схем умещается ряд исследований по загрузке телеграфных и телефонных
сетей и т. п.
Еще более существенные изменения претерпевает классическая теория
в случае, когда множество возможных состояний является непрерывным
многообразием и самый процесс случайного изменения принимается непре-
рывным (без внезапных скачков). Этого рода схемы появились в физике
впервые в уже упоминавшихся работах Эйнштейна и Смолуховского. В ма-
тематической литературе некоторые из них были в очень неясной форме
изучены еще Башелье (1900), однако построение соответствующей общей
теории является делом последних лет.
Вообще при изучении явлений природы как чисто непрерывные, так
и чисто дискретные схемы являются некоторой идеализацией реальных
процессов, идеализацией в конечном счете односторонней. В теории веро-
ятностей после создания и подробного изучения непрерывных схем стало
ясно, что обширная классическая область предельных теорем теории веро-
ятностей может рассматриваться как связующее звено между дискретной
и непрерывной теориями. С этой точки зрения содержание предельных
теорем теории вероятностей (теоремы Ляпунова и различных ее обобще-
ний и т. д.) состоит в основном в выяснении того, как закономерности
дискретных, скачкообразных случайных процессов при увеличении числа
отдельных скачков и уменьшении размеров каждого из них переходят в за-
кономерности непрерывных случайных процессов. Изложение предельных
теорем в этом освещении читатель может найти в книжке А. Я. Хинчина
«Асимптотические законы теории вероятностей» (ОНТИ, 1936), могущей
послужить существенным дополнением к статьям нашего цикла.
Выделив для этого цикла статьи, объединенные единством устремле-
ний, охарактеризованных выше, редакция рассчитывает в одном из следу-
ющих выпусков поместить еще ряд статей по теории вероятностей и мате-
матической статистике.
ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(тезисы доклада на заседании
Московского математического общества
11 декабря 1944 года)
Доклад будет содержать характеристику современного состояния тео-
рии вероятностей и попытку наметить перспективы ее развития в бли-
жайшие годы. Кроме общей характеристики больших направлений работы,
представляющихся докладчику особенно актуальными (обозначены далее
римскими цифрами), будут в виде примера указаны отдельные отчетли-
во формулированные проблемы, заслуживающие внимания исследователей
(обозначены далее арабскими цифрами).
L Аксиоматика и проблемы применимости.
1. Логическое обоснование математической статистики, т. е. методов
проверки гипотез, оценки параметров, контроля и регулирования массовой
продукции по выборочным наблюдениям.
2. Построение общей теории наблюдения, соединенного с воздействи-
ем наблюдателя на наблюдаемую систему, с целью выяснения логических
основ квантовой физики.
3. Выяснение логической природы теоретико-вероятностных аналогий
в теории чисел.
II. Предельные теоремы.
4. Уточнение основной классической предельной теоремы.
5. Предельные теоремы для распределений в функциональных про-
странствах как универсальный источник специальных предельных теорем
классического типа.
III. Бесконечномерные распределения вероятностей.
6. Распределения для скалярных, векторных и тензорных функций, ин-
вариантные по отношению к различным группам преобразований. Пробле-
ма интересна с точки зрения статистической механики непрерывных сред,
в частности — статистической теории турбулентности.
7. Распределения для размещений частиц в пространстве, инвариант-
ные по отношению к различным группам движений. Проблема интересна
с точки зрения статистической теории кристаллов и кристаллизации.
IV. Классические случайные процессы.
8. Общее решение уравнения Смолуховского.
Впервые опубликовано в журнале «Теория вероятностей и ее применения», 1993,
т. 38, К» 2, с. 211-212.
336
III. Статьи о математике в других изданиях
9. Оценка стационарных процессов по их ограниченному отрезку (оцен-
ка параметров и вопросы прогноза).
10. Нелинейный спектральный анализ случайных процессов с непре-
рывным спектром.
11. Статистические свойства динамических систем «в общем случае».
12. Взаимоотношения между обратимыми и необратимыми процессами.
Докладчик не ставит перед собой задачи перечисления всех существен-
ных проблем смежных наук, требующих для своего решения применения
теории вероятностей. Из прикладных вопросов выше упомянуты только
такие, которые неразрывно связаны с основными линиями развития самой
теории вероятностей, при том, естественно, только те, для которых фор-
мулировка соответствующих теоретико-вероятностных проблем ясна для
докладчика. В частности, широко представлена общая теория «классиче-
ских случайных процессов», так как здесь, подобно общей теории «дина-
мических систем», уже достаточно выкристаллизовалась самостоятельная
чисто математическая линия исследования. Наоборот, вопросы квантовой
физики фигурируют лишь в проблеме 2, так как в этой области представля-
ется затруднительным наметить длительную самостоятельную линию чи-
сто математических исследований.
РОЛЬ русской науки
В РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1
Теория вероятностей занимает в ряду других наук своеобразное поло-
жение. Случайные явления, допускающие оценку их вероятности, встреча-
ются как в области явлений механических, физических или химических,
так и в области явлений биологических, а также и в области явлений соци-
альных. В соответствии с этим у теории вероятностей нет какой-либо специ-
альной области явлений, подлежащей исключительному ее изучению: она
применима к любой области явлений реального мира. В то же время теория
вероятностей не является частью чистой математики, так как понятия при-
чинности, случайности, вероятности не могут считаться понятиями, при-
надлежащими чистой математике. Это соединение большей конкретности и
большего богатства понятиями, взятыми из конкретной действительности,
по сравнению с чистой математикой, с полной общностью и применимо-
стью к самым разнообразным областям реальных явлений придает теории
вероятностей особую привлекательность, но и порождает особые трудности
для широкого и творческого овладения ею.
В известном смысле слова теорию вероятностей можно превратить в
чистую математику. Это достигается при помощи аксиоматизации теории
вероятностей. Если, например, исходить из системы, развитой в моей книж-
ке об основных понятиях теории вероятностей, то в таком аксиоматическом
изложении «события» заменяются множествами, элементами которых слу-
жат «элементарные события», а «вероятность» оказывается просто адди-
тивной, неотрицательной функцией этих множеств. Формально теория ве-
роятностей превращается в чисто математическую дисциплину, а именно
в специальную часть абстрактной теории меры множеств и «метрической»
теории функций. Однако, с точки зрения такого формального сведения
теории вероятностей к теории меры, основные специфические проблемы
теории вероятностей превращаются в чрезвычайно искусственные и специ-
альные задачи из теории меры, идейная направленность всего развития,
теории вероятностей становится малопонятной, наконец, теряется возмож-
ность специфически вероятностного интуитивного предвидения резуль-
татов.
Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры. — Т. 1, кн. 1. — М.:
Изд-во МГУ, 1947. — С. 53-64. (Ученые записки МГУ. — Вып. 91.)
338
III. Статьи о математике в других изданиях
Аналогично, с формальной стороны можно рассматривать механику
как часть чистой математики (в основном теории дифференциальных урав-
нений). Механики, однако, горячо восстают против этого. Подобно механи-
кам и мы, специалисты по теории вероятностей, считаем, что мы являемся
представителями особой науки со своим специфическим стилем мышления.
Культивируя полную математическую формальную строгость, что вполне
возможно и во многих отделах механики, мы направляем все свои, даже и
самые общие и абстрактные, исследования в сторону, определяемую жела-
нием понять законы реальных случайных явлений, возникновения строгой
причинной зависимости на почве наложения большого числа независимых
или слабо связанных случайных факторов и, обратно, возникновения тех
или иных распределений, вероятностей в результате наложения на строгую
причинную зависимость малых случайных возмущений и т. д. Подобно то-
му как механики особо ценят исследователей, владеющих вместе с анали-
тическим математическим аппаратом механическим «здравым смыслом» и
механической интуицией, так и мы делаем определенное различие между
чистыми аналитиками, занимающимися отдельными задачами, выдвину-
тыми теорией вероятностей, и собственно специалистами по теории вероят-
ностей, для которых часто решение проблемы заранее видно из наглядных
«вероятностных» соображений еще до того, как найден соответствующий
аналитический аппарат.
2
Можно условно разделить историю теории вероятностей на четыре пе-
риода.
Первый период, создания начал нашей науки, связан с именами Пас-
каля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и особенно Я. Бернулли (1654-1701).
Второй период — это XVIII и начало XIX века: Муавр (1667-1754), Лаплас
(1749-1827), Гаусс (1777-1855) и Пуассон (1781-1840). Третий период —вто-
рая половина XIX века, по преимуществу связан с именами русских уче-
ных: Чебышева (1821-1894), Маркова (1856-1922) и Ляпунова (1857-1918).
В течение этого периода общие теоретические исследования по теории ве-
роятностей в Западной Европе находились в известном загоне, начинавшая
развиваться математическая статистика (Кегле, Курно, Гальтон, К. Пир-
сон, Брунс, Борткевич) в части теоретико-вероятностного аппарата обходи-
лась в основном результатами предыдущего периода, а новые потребности
статистической физики еще не нашли достаточного отражения в общих
работах по теории вероятностей. Тем временем в России, почти исклю-
чительно силами упомянутых трех знаменитых русских математиков, вся
система теории вероятностей была перестроена, расширена и существенно
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
339
углублена. Их работы образовали прочный фундамент, на котором раз-
вивалась теория вероятностей в следующий, четвертый, период — начало
XX века. Это — период общего подъема интереса к теории вероятностей
во всех странах и чрезвычайного расширения круга применений теории
вероятностей в различных специальных областях естествознания, техники
и общественных наук. В этой напряженной международной научной рабо-
те советская теория вероятностей занимает, нам кажется, хотя и не столь
исключительное место, какое пришлось на долю классических русских ра-
бот предыдущего периода, но тоже место очень значительное, а в общих
проблемах самой теории вероятностей — нам кажется, даже первое.
3
Первый из намеченных периодов проходил без участия русских уче-
ных. Это период установления основных элементарных понятий нашей на-
уки, элементарных теорем, типа теоремы сложения и теоремы умножения
вероятностей, и элементарно-арифметических и комбинаторных методов.
В качестве конкретного материала здесь фигурируют по преимуществу за-
дачи из области азартных игр: о костях, картах и т. п. Парадоксальным
образом, несмотря на это, этот период можно назвать по преимуществу
«философским» периодом развития теории вероятностей.
Это было время создания математического естествознания. Задачей
эпохи было постигнуть необычайную широту и гибкость (а тогда казалось и
всемогущество) математического метода изучения причинных связей. Идея
дифференциального уравнения как закона, определяющего однозначно по
состоянию системы в настоящее время ее будущую эволюцию, занимала
в математическом естествознании еще более исключительное положение,
чем в наше время. Теория вероятностей нужна в математическом естество-
знании там, где эта детерминистская схема дифференциальных уравнений
перестает действовать. В это же время конкретного естественно-научного
материала для расчетного, так сказать делового, применения теории веро-
ятностей еще не было.
Тем не менее неизбежность грубой схематизации реальных явлений при
подведении их под детерминистические схемы типа систем дифференци-
альных уравнений уже достаточно ясна. Было ясно и то, что на почве
хаоса огромного количества не поддающихся индивидуальному учету не
связанных между собой явлений «в среднем» могут возникать вполне чет-
кие закономерности. Здесь и предвиделась фундаментальная роль теории
вероятностей. Конечно, именно эта сторона дела, а не обслуживание имев-
ших «прикладное» значение запросов кавалера де Мере так привлекала к
теории вероятностей Паскаля и (уже в явном виде) руководила Я. Бер-
нулли в двадцатилетних поисках доказательства его предельной теоремы,
340
III. Статьи о математике в других изданиях
лежащей и в наше время в основе всех применений теории вероятностей.
Эта теорема с достаточной полнотой решала основную натурфилософскую
задачу теории вероятностей рассматриваемого первого периода и осталась
до работ Муавра единственной предельной теоремой теории вероятностей.
4
В следующем, втором по нашему счету, периоде уже появляются от-
дельные области, в которых требовались теоретико-вероятностные количе-
ственные расчеты. Области эти еще были немногочисленны. Это, главным
образом, теория ошибок наблюдений и задачи теории стрельбы. Основные
результаты в первой области связывают с именем Гаусса, а во второй —
с именем Пуассона. Обе эти области были, однако, не чужды и Лапла-
су, являющемуся основной фигурой рассматриваемого периода. Основные
теоретические результаты периода:
1. Предельная теорема Муавра-Лапласа, оценивающая асимптотически
вероятность
Pn(t) = Р{ д пр + t\/пр(1 -р) }
того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых «положи-
тельный исход» имеет вероятность р, число положительных исходов р не
превзойдет np+t\/np(l — р). Теорема эта утверждает, что Рп(1) при п —> оо
стремится к
P(i) = -!=/' e-^dx.
V J — QO
Появившееся здесь впервые распределение вероятностей P(t) играет боль-
шую роль во всей дальнейшей теории вероятностей и называется нормаль-
ным распределением вероятностей.
2. Обобщение этой теоремы Пуассоном на случай переменных вероят-
ностей
Р1,Р2, • • •, Рп-
S. Обоснование Гауссом метода арифметической середины.
4. Разработка Лапласом метода характеристических функций.
Таким образом, не только с идейно-философской стороны, но и в си-
стематической повседневной научной работе центр внимания переносится с
элементарных теорем о конечном числе событий на предельные теоремы. В
соответствии с этим доминируют неэлементарные аналитические методы.
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
341
Заметим, что зрелость русской науки в этот период сказалась в том, что
работы по теории вероятностей Лобачевского, для которого теория веро-
ятностей находилась совсем на периферии его научных интересов, стояли
вполне на уровне мировой науки и сочувственно цитировались Гауссом.
Несколько работ по теории вероятностей оставил после себя и Остроград-
ский. Но определяющее влияние русской науки на все развитие теории
вероятностей начинается позднее.
5
Третий период развития теории вероятностей — вторая половина
XIX века — для нас особенно интересен. В Западной Европе в это время
происходит бурное развитие математической статистики и статистической
физики, происходит оно, однако, на довольно примитивном и устарелом
теоретическом фундаменте. Центром же исследований по основным общим
проблемам теории вероятностей становится Петербург. Расцвет работ пе-
тербургской школы теории вероятностей был подготовлен деятельностью
акад. Буняковского, опубликовавшего в 1846 г. прекрасное для его време-
ни руководство «Основы математической теории вероятностей» и широко
культивировавшего в России работы по применениям теории вероятностей
к страховому делу, статистике и специально к демографии.
Вывел русскую теорию вероятностей на первое место в мире Пафну-
тий Львович Чебышев. С методологической стороны основной переворот,
совершенный Чебышевым, заключался не только в том, что он впервые с
полной настойчивостью выдвинул требование абсолютной строгости дока-
зательства предельных теорем (выводы Муавра, Лапласа и Пуассона были
с формально-логической стороны совсем не безупречны в отличие, впро-
чем, от Бернулли, который свою предельную теорему доказал с исчерпыва-
ющей арифметической строгостью), но, главным образом, в том, что Чебы-
шев всюду стремился получать точные оценки отклонений от предельных
закономерностей, возможных хотя бы и при большом, но конечном чис-
ле испытаний, в виде безусловно правильных при любом числе испытаний
неравенств.
Далее, Чебышев впервые ясно оценил и использовал всю силу понятий
«случайной величины» и «математического ожидания» (среднего значе-
ния) случайной величины. Понятия эти были известны и ранее и явля-
ются производными от основных понятий «события» и «вероятности». Но
случайные величины и их математические ожидания подчинены гораздо
более удобному и гибкому алгоритму. Это в такой мере верно, что сейчас
мы постоянно рассмотрение события А заменяем рассмотрением его «ха-
рактеристической случайной величины» которая равна единице при
342
III. Статьи о математике в других изданиях
осуществлении события А и равна нулю в случае, если оно не наступает.
Вероятность Р(А) события А есть тогда не что иное, как математическое
ожидание М(£д) величины Соответствующий метод характеристиче-
ских функций множеств стал систематически применяться в теории функ-
ций действительного переменного лишь значительно позднее.
Также вполне в духе позднейшей теории функций действительного пе-
ременного и знаменитое неравенство Чебышева:
p(iei > ч «
Сейчас такой способ оценки представляется нам вполне естественным и
само собой разумеющимся, но во времена Чебышева, когда аналогичный
способ мышления был чужд анализу и теории функций (не было понятия
меры!), этот простой прием был совершенно нов.
Поставив в центре внимания понятие случайной величины, Чебышев
был естественно приведен к тому, чтобы рассматривать предельные теоре-
мы о числе положительных исходов в ряде испытаний, как подчиненные
более общим теоремам о суммах случайных величин1. Как естественное
обобщение теоремы Бернулли появилась знаменитая теорема Чебышева:
если случайные величины
•Е1 > > • • • >
независимы друг от друга и ограничены одной и той же константой
knl N,
то для средних арифметических
“Н *£2 * * * *4“ *^71
п п
при любом е > 0 имеет место предельное соотношение:
—> 0 при п —* ос.
Условия, при которых имеет место это предельное соотношение, были чрез-
вычайно расширены Марковым.
1Если Ai, Дг> * • •»Лп — случайные события, то сумма
М = Ch 4- £а2 + • ” + £ап
их характеристических случайных величин есть случайная величина, равная числу
тех из событий Л,, которые действительно происходят.
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
343
Значительно труднее оказался вопрос об установлении для сумм слу-
чайных величин теоремы, аналогичной теореме Лапласа. Между тем этот
вопрос не мог не привлекать исследователя, так как без этого особая роль
нормального распределения вероятностей в теории ошибок, артиллерий-
ских и других технических и естественно-научных вопросах не могла счи-
таться достаточно выясненной. Дело шло о том, чтобы при достаточно
широких условиях установить предельное соотношение
I ft 2
P{sn A/(sn) + <\/^(^)}—* “7= / e~z/2dz при п —► оо,
v2tT J-00
где
D(sn) = М[s„ - M(sn)]2
так называемая дисперсия суммы sn, равная, как известно, сумме диспер-
сий слагаемых х,:
D(sn) = D(xi) + D(xn) Н---1- D(xn).
Здесь уже нельзя обойтись без того или иного достаточно сложного
аналитического аппарата. Чебышев пошел по пути метода моментов, т. е.
рассмотрения числовых характеристик случайной величины х вида
mk = М(хк).
Доказательство предельной теоремы этим методом ему не удалось дове-
сти до конца. Окончательный успех достался на долю Маркова. Требова-
ние существования у рассматриваемых случайных величин конечных мо-
ментов любого порядка в рассмотрениях Маркова было вызвано выбором
аналитического аппарата, а не существом проблемы. Свободную от это-
го ограничения формулировку предельной теоремы дал Ляпунов. Методы
и общность результата Ляпунова произвели столь большое впечатление,
что и до нашего времени предельная теорема в его формулировке часто
называется «основной», или «центральной», предельной теоремой теории
вероятностей.
Из других направлений исследования петербургской школы теории ве-
роятностей особо следует упомянуть так называемые «цепи Маркова». Под
этим своеобразным названием скрывается одна из самых общих и плодо-
творных схем природных процессов. Для всего современного естествозна-
ния одним из основных понятий является понятие «фазового» простран-
ства возможных «состояний» изучаемой системы. В случае изолированной
344
III. Статьи о математике в других изданиях
системы ее изменение считается детерминированным и свободным от так
называемого «последействия», если за промежуток времени длины т из
состояния а система непременно переходит в состояние
a1 = F(a, т),
где F(a, т) — некоторая определенная однозначная функция начального
состояния а и промежутка времени t. Для случайных процессов «без по-
следействия» вместо функции F(a,r) мы имеем при заданных акт лишь
определенное, зависящее от а и т, распределение вероятностей для состо-
яния а', наступающего через промежуток времени т после состояния а.
Марков рассмотрел простейший случай подобных процессов, в котором фа-
зовое пространство состоит лишь из конечного числа состояний
«1,012, • • - ,ап-
Кроме того, он ограничивается рассмотрением процессов, как мы говорим,
«с дискретным временем», т. е. наблюдает систему только через промежу-
ток времени
т=1,2,3,...
При этих условиях подлежащие изучению распределения вероятностей за-
даются вероятностями перехода
за промежуток времени длины т из состояния а, в состояние otj, а рекур-
рентные формулы
k
(т)
позволяют вычислять при любом т = 1,2,3,... по матрице
1Ы1
вероятностей перехода
за элементарный «единичный» промежуток времени.
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
345
На этой простой схеме возможно, тем не менее, изучать все основные
общие свойства процессов «без последействия». В частности, Марковым
была установлена первая строго доказанная «эргодическая теорема»: если
все pij положительны, то
(т)
при т —> оо,
где pj не зависят от г.
Я далеко не исчерпал даже основных достижений петербургской шко-
лы, остановившись по преимуществу на принципиально новых внесенных
ею идеях и изложив эти идеи иногда в несколько модернизированной фор-
ме, чтобы сделать яснее их влияние на дальнейшее развитие теории вероят-
ностей и их значение для математического естествознания. Труднее было
бы в общедоступной статье дать представление о техническом мастерстве,
изяществе и остроумии аналитических методов петербургской школы, сто-
явших на исключительной высоте.
Значение работ Чебышева, Маркова и Ляпунова было вполне оценено
в Западной Европе лишь с большим запозданием — в 20-х и даже 30-х го-
дах нашего века. Теперь они всюду воспринимаются как исходный пункт
всего дальнейшего современного развития теории вероятностей. В част-
ности, основная предельная теорема Ляпунова2 и теория цепей Маркова
были именно тем, что было наиболее необходимо для солидного обосно-
вания развивавшейся статистической физики. Медленность усвоения идей
петербургской школы на Западе, может быть, отчасти объясняется имен-
но тем, что школа эта стояла очень далеко от статистической физики и
Марков демонстрировал применение своей теории «испытаний, связанных
в цепь» (цепей Маркова) лишь на распределении гласных и согласных в
тексте «Евгения Онегина».
Мне не хотелось бы, однако, чтобы из последнего замечания получилось
впечатление, будто бы работы петербургской школы были лишены живо-
го чувства связи с запросами математического естествознания. Особенно
Чебышеву было в высокой степени присуще чувство реальности в поста-
новке математических задач. Отправляясь от сравнительно специальных,
элементарных и иногда несколько старомодных прикладных задач, он с
исключительной проницательностью извлекал из них такие математиче-
ские общие концепции, которые потенциально охватывали неизмеримо бо-
лее широкий круг технических и естественно-научных проблем.
2 Марков распространил эту предельную теорему на многие случаи зависимых вели-
чин, а также сформулировал ее двумерный аналог, не дав, однако, его доказательства.
346
III. Статьи о математике в других изданиях
6
Четвертый период развития теории вероятностей в России открывается
работами Сергея Натановича Бернштейна. С широким размахом его работ
можно сравнить лишь развернувшиеся приблизительно одновременно ра-
боты немецкого математика, теперь работающего в США, Рихарда Мизеса.
Оба они поставили задачи:
1. Строгого логического обоснования теории вероятностей.
2. Завершения исследований по предельным теоремам типа теорем Ла-
пласа и Ляпунова, приводящим к нормальному закону распределения.
3. По возможности полного охвата новых областей применения теории
вероятностей полноценными с логической и математической стороны со-
временными методами исследования.
В третьем из этих направлений деятельность Р. Мизеса, возглавлявше-
го хорошо организованный Институт прикладной математики, была, быть
может, поставлена еще шире, чем исследования С. Н. Бернштейна, дав-
шего, впрочем, много образцов применения вероятностных методов к са-
мым разнообразным задачам физики, биологии и статистики. Но во вто-
ром, собственно математическом, направлении исследования С. Н. Берн-
штейна стоят на значительно более высоком методологическом и техниче-
ском уровне. Для независимых случайных величин условия применимости
основной предельной теоремы были им доведены до той степени общности,
которая оказалась уже по существу окончательной. Ему же принадлежат
непревзойденные по общности условия применимости основной предельной
теоремы к зависимым величинам и первая строго доказанная двумерная
предельная теорема (случай любого числа измерений уже не составляет
новых принципиальных трудностей).
Наконец, что касается логического обоснования теории вероятностей,
то С. Н. Бернштейну принадлежит первая систематически развитая акси-
оматика теории вероятностей, построенная на понятии качественного срав-
нения событий по их большей или меньшей вероятности. Само численное
выражение вероятности появляется в этой концепции уже в виде производ-
ного понятия. Строго формализированное развитие подобной концепции
дано сравнительно недавно американским математиком Купманом.
С 1924 г. начались работы московской школы теории вероятностей
(А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий, к которым позднее при-
соединились В. И. Гливенко, Н. В. Смирнов, Б. В. Гнеденко и др.). Су-
щественные исследования в кругу идей этой школы были сделаны также
И. Г. Петровским, оставшимся, однако, по стилю работы чистым анали-
тиком.
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
347
В своей основной части (независимо начались исследования Е. Е. Слуц-
кого) московская школа в теории вероятностей была основана учениками
Н. Н. Лузина (А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров), начавшими с перенесе-
ния в новую область методов метрической теории функций действительно-
го переменного. Именно эти методы определили их успехи в двух первых
направлениях московских работ:
1. Установление необходимых и достаточных условий для применимо-
сти к суммам независимых слагаемых закона больших чисел. Нахождение
чрезвычайно общих условий применимости к таким же суммам так назы-
ваемого «усиленного закона больших чисел» (первые результаты в этом
направлении принадлежали французскому математику Борелю). Необхо-
димые и достаточные условия сходимости ряда независимых слагаемых.
Так называемый «закон повторного логарифма» А. Я. Хинчина.
2. Создание очень простой по своей формальной структуре аксиоматики
теории вероятностей, охватывающей все как классические, так и самые
современные ее применения.
3. Как уже отмечалось, предельные теоремы типа теоремы Ляпунова
требуют более специального аналитического аппарата. В этом направлении
московская школа работала методом так называемых «характеристических
функций»
^(t) = М(е^).
В этом, третьем, направлении в результате исследований А. Я. Хинчина и
Б. В. Гнеденко было полностью выяснено, к каким законам распределения
могут сходиться суммы независимых слагаемых, если размеры каждого из
слагаемых с вероятностью, приближающейся к единице, становятся сколь
угодно малы по сравнению с суммой, и были установлены необходимые и
достаточные условия, при которых такая сходимость имеет место. Обна-
ружилось, что кроме нормального закона классических предельных тео-
рем здесь могут появляться все другие «устойчивые законы», найденные
французским математиком П. Леви, общий же класс «допустимых» зако-
нов совпадает с так называемыми «неограниченно-делимыми законами»,
рассмотрение которых было начато итальянцем Б. де Финетти.
Большая часть дальнейших работ московской школы связана с поня-
тием «случайного процесса» (пока в его классическом не квантовом пони-
мании). Здесь разработаны две большие области:
4. Теория процессов без последействия, являющихся прямым обобще-
нием цепей Маркова и называемых поэтому «марковскими процессами»,
для которых вероятности перехода F(x, Е, s, t) из состояния х в момент
348
III. Статьи о математике в других изданиях
времени $ в одно из состояний множества Е к моменту времени t связаны
с так называемым уравнением Смолуховского или Чапмана3.
5. Теория стационарных случайных процессов с их спектральной тео-
рией.
Первое из этих направлений было начато А. Н. Колмогоровым. Им бы-
ло обнаружено, что при некоторых широких условиях нелинейное инте-
гральное уравнение Смолуховского автоматически влечет за собой выпол-
нение для рассматриваемых вероятностей перехода некоторых линейных
дифференциальных уравнений в частных производных, называемых урав-
нениями Фоккера-Планка4. Еще более широки условия, при которых пе-
ременный марковский процесс, зависящий от параметра, асимптотически
приближается к идеальному марковскому процессу, подчиненному уравне-
ниям Фоккера-Планка. В такого рода соотношениях мы видим теперь об-
щий корень всех предельных теорем лапласовского и ляпуновского типа.
Только с этой точки зрения перестало быть случайностью то обстоятель-
ство, что классическая функция нормальной плотности вероятностей
1 f 1
<р(х, D} — , ехр < — —— >
является решением теплового уравнения
dp _ 1 д2р
0D~ 2 дз?'
Открывшаяся здесь новая обширная область исследований разрабаты-
вается параллельно с математиками московской школы (сюда относятся;
в частности, работы И. Г. Петровского) и С. Н. Бернштейном под назва-
нием теории «стохастических дифференциальных уравнений». В то время
как в работах московской школы предполагается в большинстве случаев,
что рассматриваемые состояния системы изображаются точками некото-
рой компактной части пространства, С. Н. Бернштейн с особенным вни-
манием изучил те новые обстоятельства, которые возникают при снятии
этого ограничения. Это обобщение тем более естественно, что специаль-
ный случай классических предельных теорем, приводящих к нормальному
распределению вероятностей, требует как раз рассмотрений на полной чис-
ловой прямой, т. е. на некомпактном множестве (этот частный случай был,
впрочем, рассмотрен новыми методами уже в первой работе А. Н. Колмо-
горова)5.
3По именам физиков, рассмотревших важные частные случаи общей проблемы.
4См. предыдущее примечание.
5Менее существенным мне представляется другое различие, очень подчеркиваемое
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
349
Я не имею возможности с той же подробностью остановиться на создан-
ной (в качестве общей математической теории) А. Я. Хинчиным спектраль-
ной и эргодической теории стационарных случайных процессов. Это на-
правление исследований занимает большое место и в работах других пред-
ставителей московской школы, а также широко культивируется многими
иностранными математиками. В него влились и начатые независимо заме-
c. Н. Бернштейном. Для московской школы как дискретная схема постепенно нарас-
тающих сумм отдельных слагаемых, так и предельная схема непрерывного изменения
случайной величины с изменением непрерывно меняющегося параметра («времени»)
являются полноценными вероятностными схемами. В концепции С. Н. Бернштейна ве-
роятностная терминология употребляется только в применении к допредельным дис-
кретным схемам; доказывается, что при уменьшении размеров отдельных слагаемых
законы распределения сумм стремятся к законам распределения, подчиненным уравне-
ниям Фоккера-Планка, но с этими предельными законами распределения не связыва-
ется представления о непрерывном ряде зависящих от параметра случайных величин
(о «случайной функции»).
Верно, что вводимые московской школой предельные схемы обладают некоторыми па-
радоксальными свойствами (бесконечные скорости и недифференцируемость рассмат-
риваемых случайных функций), однако следует иметь в виду, что:
1) эти парадоксальные в своем предельном выражении свойства отражают, хотя и схе-
матически, вполне реальные свойства многих физических процессов. Например, коорди-
наты частицы, подверженной брауновскому движению (как функции времени) вплоть
до тех, иногда чрезвычайно малых масштабов, в которых сказывается инерция частицы,
вполне реально ведут себя так, как недифференцируемые функции, удовлетворяющие
условию Липшица степени а < но не удовлетворяющие ни в одной точке условию
Липшица степени а =
Можно еще заметить по этому специальному поводу, что брауновское движение с
учетом сил инерции может быть исследовано при помощи давно указанных А. Н. Кол-
могоровым более сложных схем с вырожденными уравнениями Фоккера-Планка. Более
существенно, однако, чем это последнее замечание, то, что:
2) свойство непрерывных схем случайных процессов, введенных московской школой,
находиться в соответствии с физической реальностью лишь при ограничении надлежа-
щими масштабами есть общее свойство всех математических непрерывных схем при-
родных явлений. Отрицая их право на существование, было бы естественно объявить
борьбу и всем методам механики континуума, допускающим, что плотность или компо-
ненты скорости являются непрерывными дифференцируемыми функциями координат
на том основании, что в атомных масштабах эти допущения теряют смысл. Наконец,
3) с точки зрения обоснования предельных теорем классического типа о дискретных
суммах случайных величин связывание их с новыми схемами непрерывно зависящих от
параметра случайных величин не вносит в доказательство теорем каких-либо произволь-
ных допущений неясной природы, так как после успешного аксиоматического постро-
ения математической теории вероятностей все вероятностные рассмотрения в отноше-
нии строгости ничем не отличаются от рассмотрений чистой математики: все входящие
в них вероятностные термины с логической стороны суть не что иное, как названия
вполне определенных чисто математических объектов. Обращаться при доказательстве
классических предельных теорем к теории непрерывных случайных процессов поэтому
нисколько не зловреднее, чем, например, к теории характеристических функций или
параболических уравнений с частными производными.
350
III. Статьи о математике в других изданиях
нательные исследования по статистической периодографии Е. Е. Слуцкого.
В области статистики значение этих работ широко признано за границей.
Одна из основных работ Е. Е. Слуцкого была по инициативе английских
статистиков специально переиздана в Англии: вышедшая в Швеции книга
Г. Вольда о стационарных временных рядах целиком опирается на работы
А. Я. Хинчина и т. д. Своеобразным образом понимание значения веро-
ятностной, статистической концепции колебаний с непрерывным спектром
для физики и механики, на котором в несколько другой форме настаи-
вал еще до московских работ Н. Винер, менее установилось. Работы мос-
ковской школы здесь становятся иногда известными лишь с запозданием.
Например, Тейлор, знаменитый специалист по статистической теории тур-
булентности, опубликовал в 1938 г. работу о связи между распределением
энергии по спектру и коэффициентом корреляции на различных расстоя-
ниях, которая не содержит в себе ничего, кроме частного случая формул
А. Я. Хинчина, опубликованных в 1934 г.; советские же механики узнали
о существовании таких соотношений только из работы Тейлора.
Этот случай становится, однако, уже нетипичным. Что же касается соб-
ственно математических кругов, занимающихся теорией вероятностей, то в
последние пятнадцать лет перед войной было достигнуто такое положение,
что советские работы находили большой отклик за границей почти немед-
ленно после опубликования. Мы со своей стороны тоже тщательно следим
за всем, что происходит в других странах. При большой интенсивности ра-
боты в теории вероятностей во всех странах часто бывает трудно разделить
достижения ученых отдельных стран. Например, теория так называемых
неограниченно-делимых законов распределения была начата итальянцем
Б. де Финетти, сильно расширена мною, а затем разрабатывалась в непре-
рывной конкуренции А. Я. Хинчиным и французом П. Леви. Целый цикл
исследований, связанных с применением неограниченно-делимых законов
к предельным теоремам классического типа, вели с переменным успехом в
смысле большей широты и окончательности результатов Б. В. Гнеденко и
молодой австрийский математик, эмигрировавший во Францию, В. Дёблин
И т. д.
В военные годы интенсивная работа в теории вероятностей за грани-
цей ведется почти исключительно в США6, где сосредоточились не только
собственно американские, но и едва ли не лучшие европейские научные
научные силы, эмигрировавшие из Германии, Италии, Франции. По прихо-
дящим в военное время американским научным журналам можно видеть,
насколько интенсивно и успешно разрабатываются в США, в частности, и
направления, возникшие у нас. Например, важность изучения «случайных
вИнтересные работы ведутся еще в Швеции, откуда недавно удалось получить
несколько последних публикаций упоминавшегося Г. Вольда.
Роль русской науки в развитии теории вероятностей
351
функций» была впервые понята у нас, и первые шаги в этом были сделаны
Е. Е. Слуцким и А. Н. Колмогоровым, но сейчас наиболее исчерпывающие
работы по этому вопросу принадлежат американцам. Несомненно, что для
сохранения своего места в этой конкуренции после войны советским спе-
циалистам но теории вероятностей придется очень интенсивно работать.
7
Современный этап развития математической статистики начался с фун-
даментальных работ английских статистиков (К. Пирсон, Стюдент, Фи-
шер), появившихся в 10-, 20- и 30-х годах нашего века. Только в работах
английской школы применения теории вероятностей к статистическим про-
блемам перестали быть собранием отдельных разрозненных задач и пре-
вратились в общую теорию статистической проверки вероятностных гипо-
тез (т. е. гипотез о законах распределения) и статистической оценки пара-
метров, входящих в законы распределения.
Первым пропагандистом этого большого течения в СССР явился
В. И. Романовский (Ташкент), которому принадлежат и в чистой теории
вероятностей важные исследования по цепям Маркова и другим вопросам.
Помимо интересных собственных результатов в направлении английской
школы В. И. Романовский опубликовал обширный Курс математической
статистики, в котором с исключительной полнотой собраны наиболее суще-
ственные для применений новые достижения математической статистики.
Московская школа внесла в математическую статистику лишь одну но-
вую главу, естественно вытекавшую из ее теоретических изысканий. За ис-
ключением одной изолированной работы Р. Мизеса статистики при опреде-
лении по эмпирическим данным неизвестного закона распределения веро-
ятностей допускали, что этот закон принадлежит к некоторому семейству,
зависящему от конечного числа параметров, и сводили задачу к оценке
этих параметров. В. И. Гливенко, А. Н. Колмогоров и особенно Н. В. Смир-
нов систематически разработали «прямые методы» определения закона
распределения по эмпирическим данным и проверки применимости задан-
ного закона к данному ряду наблюдений. Эти методы очень просты и по-
степенно начинают входить в практику.
Косвенно московские работы сыграли существенную роль в развитии
математической статистики в другом отношении. Исследования основопо-
ложника английской современной математической статистики Фишера бы-
ли не безупречны в логическом отношении. Логические неясности в концеп-
циях Фишера столь велики, что их справедливая критика привела многих
ученых (у нас С. Н. Бернштейна) к полному отрицанию самого направле-
ния исследований. Задачу безукоризненного обоснования теории статисти-
352
III. Статьи о математике в других изданиях
ческой проверки гипотез и оценки параметров с наибольшей широтой вы-
полнил работающий в США польский математик Нейман. Его построения,
принятые в большинстве новых американских работ, опираются на данную
А. Н. Колмогоровым систему изложения теории вероятностей. Отмечу по
этому поводу, что в США постепенно изживается страх перед введени-
ем в прикладные учебные руководства простейших понятий современной
математики. В лекциях по статистике для американских агрономов можно
уже теперь начинать изложение теории вероятностей с понятий «поля мно-
жеств» и определенной на таком поле «аддитивной функции множества».
Понятия эти по существу чрезвычайно просты и их введение в элементар-
ный курс, если не иметь какой-то идиосинкразии к слову «множества»,
делает изложение значительно более прозрачным.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИИ
С НЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ
Повседневная форма связи между естествознанием и математикой та-
кова: естествознание выдвигает перед математикой ту или иную задачу;
во многих случаях обнаруживается, что в арсенале математической науки
уже имеется готовый, вполне разработанный аппарат для решения этой
задачи. Тогда роль математики сводится к указанию на этот аппарат или
к фактическому осуществлению соответствующих выкладок. Иногда при-
способление готового математического аппарата к специфическим особен-
ностям данной задачи требует большей или меньшей изобретательности;
такие случаи открывают широкое поле для творческой работы математика-
прикладника. Наконец, к сожалению, зачастую оказывается, что в рамках
существующих на данный день математических концепций и методов по-
ставленная задача принципиально не находит адекватного решения.
Я сказал сейчас — к сожалению, так как в таких случаях решение за-
дачи заставляет себя довольно долго ждать. Однако с точки зрения раз-
вития математики, такие случаи — самые интересные. Они служат обычно
отправными точками для существенного прогресса самой математики, для
создания существенно новых и важных общематематических концепций,
которые, будучи раз созданы, потом находят применение не только к зада-
чам, послужившим поводом к их возникновению, но и ко многим другим.
Я попытаюсь, насколько это возможно за предоставленное мне крат-
кое время и в аудитории, часть которой далека от математики, рассказать
об одном случае такого возникновения интересной и глубокой математи-
ческой теории из надлежащим образом обобщенных запросов различных
областей естествознания. Решающая роль в создании этой теории принад-
лежит советским ученым, в первую очередь Е. Е. Слуцкому и члену-корр.
АН СССР А. Я. Хинчину.
Некоторое представление о спектральном, или, как мы будем далее го-
ворить, гармоническом, анализе колебательных процессов, вероятно, име-
ется у большинства собравшихся. Общая идея этого анализа состоит в том,
что при некоторых, подлежащих далее выяснению условиях колебательные
процессы можно разлагать на компоненты, соответствующие различным
периодам характера так называемых гармонических колебаний, подобных
тем, которые мы наблюдаем, следя за маятником часов.
Общее собрание АН СССР, посвященное тридцатилетию Великой Октябрьской со-
циалистической революции. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. — С. 465-472.
354
III. Статьи о математике в других изданиях
Для случая строго периодических колебаний такое разложение осу-
ществляется при помощи рядов Фурье, давно уже вошедших в число клас-
сических средств математического естествознания. Периодические коле-
бания, однако, далеко не охватывают всех тех случаев, в которых грубо
описанная нами концепция гармонического анализа с успехом применяет-
ся практически, несмотря на отсутствие точной математической теории.
Некоторым расширением гармонического анализа периодических фун-
кций явился гармонический анализ так называемых почти-периодических
функций, которых нам еще придется коснуться далее. Однако строгая ма-
тематическая теория смогла охватить все практически интересные случаи
лишь после того, как Е. Е. Слуцкий разработал теорию стационарных слу-
чайных функций, а А. Я. Хинчин построил для них аппарат гармониче-
ского анализа.
1. Гармонический анализ периодических функций. Для просто-
ты будем рассматривать процесс изменения со временем t одной действи-
тельной величины /(f), т. е. действительную функцию действительного пе-
ременного t. Число I > 0 называется периодом функции /(f), если для
всех t
Функция /(f) называется периодической, если она имеет хотя бы один пе-
риод. Если /(f) периодична и не равна тождественно константе, то среди ее
периодов существует наименьший период /о- Все остальные периоды функ-
ции /(f) являются целыми кратными этого наименьшего. Отсюда вытекает,
что наименьший период функции периода I равен одному из чисел
О 71
Одним из классических результатов математики девятнадцатого века яв-
ляется возможность представить произвольную функцию /(f) периода I в
виде суммы «гармонических колебаний» с периодами из последовательно-
сти (1). Это представление функции /(f) в виде «ряда Фурье» имеет вид
Cn cos ( —— + 0П). (2)
П=1
Строго говоря, для возможности разложения (2), а особенно для сходи-
мости стоящего в нем ряда, требуются некоторые ограничения на характер
функции f(t), но они практически не существенны.
Свободный член Со есть не что иное, как «среднее значение» функ-
ции /(f)
1 ft+l
Со = - f(t)dt. (3)
‘ Jt
Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром
355
Если вместо самой функции /(f) рассматривать ее отклонение от сред-
него
/(О - Со,
то для этого отклонения среднее уже будет равно нулю. Поэтому без огра-
ничения общности можно с самого начала считать
Со = 0, (4)
что и будет принято в дальнейшем.
Член с номером п в разложении (2)
/2тгп<
Cn cos^—-—
\ „ rZTrt „
+ = Сп cos ------h en
/ \ In
(5)
имеет период
из ряда (1). Разложение (2) настолько привычно математикам и физикам,
что мало кто задумывается над тем, почему при изучении периодических
функций такую особую роль играют функции вида
Ci(t) = lcos(^ + e),
\ t /
изображающие гармонические колебания периода I. Такого рода вопросы
о логических истоках привычных классических формул вообще стали ин-
тересовать математиков лишь в последние десятилетия. Не претендуя на
новизну, мне хотелось бы дать сейчас некоторое объяснение смысла разло-
жения Фурье (2), которое, кажется, не появлялось в научной литературе.
Естественно измерять средний размах колебаний, изображаемых функ-
цией /(f), средним значением ее квадрата
1 rt+l
= WO]2*
(6)
(среднее значение самой функции f принято нами равным нулю). Поста-
вим перед собой вопрос о том, в каких случаях из функции /(f) периода I
возможно выделить компоненту меньшего периода таким образом, чтобы
остаток имел меньшее среднее значение квадрата (меньший «размах»), чем
сама функция /(f). Более точно: можно ли представить /(f) в виде суммы
/(*) = $(0 + h(f),
356
III. Статьи о математике в других изданиях
где g(t) имеет период I' < I, a h(t) имеет Од меньше crj? Если этого нельзя
сделать, то будем говорить, что функция /(t) не содержит компонент
периода меньше I.
Без большого труда доказывается, что функция периода I не содержит
компонент меньшего периода в том и только в том случае, если она имеет
вид
f(t) = Ccos^——I- Oj.
Иными словами, среди всех колебаний периода I чистые гармонические
колебания, и только они характеризуются тем, что они свободны от ком-
понент меньшего периода.
В случае произвольной функции /(£) периода I член ее разложения (2)
с номером п = 1 есть не что иное, как та ее компонента, которая не может
быть сведена к сумме колебаний периодов меньше /, член с номером п — 2
есть та компонента остатка (от вычитания из /(t) первого члена), которая
не может быть сведена к сумме колебаний периодов меньше и т. д. Та-
ким образом, оказывается, что разложение в ряд Фурье вовсе не связано с
произвольным желанием изображать периодические функции при помощи
сумм тригонометрических функций. Наоборот, сами тригонометрические
функции и изображаемые ими гармонические колебания с неизбежностью
возникают из задачи выделения из функции периода I всех содержащихся
в ней компонент меньших периодов.
2. Почти-периодические функции. Сумма двух периодических
функций с различными периодами может уже не быть периодической фун-
кцией (так будет, если периоды слагаемых несоизмеримы). Естественно,
однако, что такая сумма может быть разложена подобно своим периодиче-
ским слагаемым на гармонические компоненты. Аналогично дело обстоит
вообще для функций, которые можно с любой точностью аппроксимиро-
вать суммами периодических функций (причем число слагаемых может
возрастать с увеличением требующейся точности аппроксимации). Тако-
го рода функции называются почти-периодическими. Их изучение, основы
которого были заложены датским математиком Г. Бором, привело к со-
зданию довольно разветвленной и богатой содержанием математической
теории. Существенные части этой теории были созданы членом-корр. АН
СССР В. В. Степановым.
Почти-периодические функции допускают представление в виде суммы
бесконечного числа гармонических компонент вида
.. \ v—' « ( 2тг£
/(*) ~ 2_,Cncost — + 0П
п=1 ' 1п
(7)
Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром
357
являющееся естественным обобщением ряда Фурье (2). Периоды 1П здесь
уже не обязаны образовывать последовательность вида (1), а могут быть
совершенно произвольными.
Среднее значение квадрата n-ого члена ряда (7) равно С^/2. Для самой
почти-периодической функции можно тоже определить среднее значение
2 1
(Ту ее квадрата.
3. Непрерывный спектр. Мы только что видели, что энергия почти-
периодического колебания полностью распределена между дискретным ря-
дом периодов
Z1,^2, • • 1 Ini • • • >
каждому из которых отвечает вполне определенная положительная энер-
гия соответствующей гармонической компоненты колебания. Существует,
однако, обширный класс колебательных процессов, в которых ни одной
строго определенной длине волны не соответствует положительная энер-
гия.
Хороший пример такого рода колебаний доставляют хотя бы извест-
ные записи качки корабля, произведенные академиком А. Н. Крыловым.
Сравнительно короткие отрезки этих кривых имеют характер, близкий
к периодическим колебаниям, для более длинных отрезков даже грубое,
приближенное представление их в виде суммы периодических колебаний
различных периодов требует с увеличением длины отрезка все большего
числа слагаемых, а энергия, падающая на каждую периодическую ком-
поненту, становится все меньше. Это приводит к заключению, что схема
почти-периодического процесса к нашему колебанию в целом не приме-
нима.
Аналогично обстоит дело для колебаний, воспринимаемых нами аку-
стически, как шумы, и во множестве других случаев в самых различных
областях естествознания. Во всех этих случаях механики, физики и техни-
ки пользуются концепцией «непрерывного спектра»: условно представляют
1 Оно определяется как
’? = *. /"'/«I2"'
При этом оказывается, что
п = 1
В механических и физических применениях это обозначает, что энергия почти-периоди-
ческого колебания равна сумме энергий составляющих его гармонических колебаний.
358
1П. Статьи о математике в других изданиях
себе, что колебание составлено из «бесконечно большого» числа «бесконеч-
но малых» гармонических колебаний, причем энергия колебания распреде-
лена непрерывно между различными периодами I с некоторой «спектраль-
ной плотностью» V’(O) так что на периоды между I и I + dl приходится
энергия ipfj.) dl.
Такая концепция в огромном числе случаев при надлежащем ее упо-
треблении оказывается очень плодотворной и систематически приводит
к правильным результатам. Входящая в расчеты спектральная плотность
вполне уверенно определяется с надлежащим приближением эксперимен-
тально.
Тем не менее вся эта концепция непрерывного спектра до недавнего
времени оставалась лишенной какого-либо корректного математического
обоснования.
4. Стационарность. Прежде чем двигаться дальше, я должен под-
черкнуть, что нас занимает сейчас простейший случай так называемых
«незатухающих» колебаний, интенсивность и характер которых остаются
в среднем во времени неизменными. Именно этого рода допущения и долж-
ны привести нас к возможности определить не изменяющийся во времени
спектральный состав колебаний.
Употребленные сейчас несколько расплывчатые выражения находят
свое точное математическое выражение в определении «статистической
стационарности». Точное определение этого понятия приняло окончатель-
ный вид в работах Е. Е. Слуцкого. Как и во всем докладе, мы ограничимся
случаем одной действительной функции /(f) времени t.
В соответствии с типичными примерами колебательных процессов с
непрерывным спектром (шумы в акустике и т. п.) Е. Е. Слуцкий счита-
ет значение функции /(f) при каждом фиксированном t «случайной ве-
личиной» в смысле теории вероятностей, т. е. считает, что общие законы,
управляющие процессом изменения /(f) во времени, определяют не точные
значения /(f) при различных t = fi,t2, • • • ,tn, а только соответствующие
законы распределения вероятностей.
Система случайных величин /(f), зависящих от параметра f, называ-
ется «случайной функцией». Именно переход к рассмотрению случайных
функций и обусловил простоту и законченность излагаемых далее резуль-
татов Е. Е. Слуцкого и А. Я. Хинчина.
Теперь дадим определение статистической стационарности. Случайная
функция /(f) называется стационарной, если при любых заданных n, fi,
f 2,.. •, tn совместный закон распределения величин
/(h+т), /(f2 + T), ..., /(fn + r)
не зависит от «сдвига» т.
Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром
359
В работах А. Я. Хинчина было обнаружено, что ряд основных результа-
тов гармонического анализа периодических и почти-периодических процес-
сов переносится на совершенно произвольные стационарные процессы при
вполне естественных допущениях конечности математического ожидания
м[М° =
и так называемой «стохастической непрерывности» f(t).
Таким образом, все применения гармонического анализа становятся
свободными от постулирования возникновения данного колебания из сло-
жения чистых гармонических колебаний (с чем, например в случае шумов,
трудно связать какой-либо реальный смысл). Единственной предпосылкой,
нужной для их обоснования, оказывается стационарность.
Стационарность процесса, распространенная на бесконечное время, все-
гда является, конечно, лишь грубой идеализацией реальности. Но есте-
ственно, что из приближенной стационарности колебаний на протяжении
какого-либо конечного промежутка времени вытекает приближенная же
применимость к ним гармонического анализа стационарных колебаний.
5. Гармонический анализ стационарных процессов. Сформули-
руем теперь основной результат работ А. Я. Хинчина, дополнив его в со-
ответствии с некоторыми дальнейшими исследованиями.
Оказалось, что каждой стационарной случайной функции и каждому
интервалу
периодов I соответствует вполне определенная компонента f(t, Д) функции
/(£), отвечающая периодам, относящимся к интервалу Д. При этом:
1) При сложении интервалов Д соответствующие компоненты склады-
ваются; если же сложить компоненты, соответствующие всем интервалам
какого-либо разбиения на части всей полуоси I > 0, то в сумме получится
вся функция /(£).
2) Для достаточно коротких интервалов Д соответствующие компонен-
ты /(£, Д) в некотором, вполне определенном смысле ведут себя сколь угод-
но близко к чистым гармоническим колебаниям с периодом из интервала Д.
3) При сложении интервалов Д соответствующие средние значения
квадратов складываются. Таким образом, любому разложению на
интервалы полуоси возможных периодов соответствует разложение полной
энергии колебания на энергии компонент, отвечающих отдельным интер-
валам.
В отличие от почти-периодического случая в случае «непрерывного
спектра», стягивая интервал Д в точку, мы получим в виде предела компо-
ненты всегда нуль-, ни одной определенной длине волны I здесь не
360
III. Статьи о математике в других изданиях
соответствует никакой строго гармонической компоненты колебания. Тем
не менее, описанное разложение на компоненты f(t, Д) позволяет строго
обосновать применимость к любым стационарным колебаниям всех прие-
мов расчета, основанных на спектральных представлениях.
Для наиболее типичных примеров колебаний с непрерывным спектром
изложенный подход со стороны случайных функций является естествен-
ным и неизбежным по физическому существу дела. В случае колебаний,
содержащих строго-периодические компоненты, он вполне логичен и воз-
можен, обозначая по существу переход от рассмотрения колебательного
процесса с фиксированным началом отсчета времени к рассмотрению со-
храняющегося во времени «колебательного режима»; но наряду с ним воз-
можен и классический подход, избегающий употребления теории вероят-
ностей.
Заметим, впрочем, по этому поводу, что в действительности колебания
с дискретным спектром (со строго периодическими компонентами) следу-
ет рассматривать лишь как идеализированный предельный случай колеба-
ний с непрерывным спектром, сильно уплотненным вблизи отдельных длин
волн. Например, такое существенное понятие, как понятие когерентных и
«некогерентных» колебаний, находит полное объяснение в статистической
теории в предположении непрерывного спектра и не применимо к строго
дискретному спектру.
Я лишен, однако, возможности развивать здесь подобные детали, инте-
ресные лишь механикам, физикам и техникам. Некоторые из них освещены
в статье, помещенной в Сборнике, выпущенном Академией Наук в ознаме-
нование 30-летия Великой Октябрьской социалистической революции?
*Имеется в виду издание: Юбилейный сборник, посвященный тридцатилетию Вели-
кой Октябрьской социалистической революции. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. —
С. 242-252.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. Математическую статистику принято делить на описательную и тео-
ретическую. Наблюдая построение курсов математической статистики, мы,
однако, заметим в них, как правило, не две, а три части:
1) описательную;
2) изложение необходимых сведений из теории вероятностей;
3) теоретическую статистику.
Такое построение вполне закономерно. Если считать, как это обоснован-
ным образом принято, математическую статистику наукой о математиче-
ских методах изучения массовых явлений, то теория вероятностей должна
считаться ее органической частью.
Поскольку теория вероятностей сложилась в виде самостоятельной нау-
ки значительно раньше двух других разделов математической статистики,
а многие применения теории вероятностей не требуют сколько-нибудь раз-
витого аппарата этих двух разделов, то я совсем не предполагаю делать из
отмеченного положения вещей каких-либо «организационных» выводов в
смысле поглощения теории вероятностей математической статистикой.
Все это замечание необходимо мне лишь для того, чтобы выяснить во-
прос о положении теоретической статистики среди других наук.
2. Описательная статистика является дисциплиной по преимуществу
вспомогательной, исследуя технические вопросы систематизации массовых
данных, рациональные способы вычисления различных их характеристик
(средних, моментов и т. п.) и соотношения, существующие между этими
характеристиками. Несколько интереснее вопросы рационального выбора
сводных характеристик статистических совокупностей, но они лишь редко
могут быть решены в пределах самой описательной статистики1. Как бы
то ни было, содержание этой небольшой дисциплины можно считать более
или менее сложившимся. Дальнейшее ее развитие будет, вероятно, состоять
в пополнении арсенала ее средств новыми деталями по мере появления в
Резюме доклада. Труды Второго Всесоюзного совещания по математической ста-
тистике (27 сент. - 2 окт. 1948 г.). — Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1949. — С. 216-220.
(Заседание 2 окт. 1948 г.) В настоящей публикации учтена авторская правка на сохра-
нившемся в архиве А. Н. Колмогорова оттиске этой работы. — Прим. ред. 4-го тома
Избр. трудов.
’Интересный случай, когда вопрос о рациональном выборе сводной «характеристи-
ки допускает простое и вполне общее решение, отмечен А. Я. Боярским в его теории
средних.
362
III. Статьи о математике в других изданиях
них необходимости в обслуживаемых описательной статистикой разделах
науки, в первую очередь в теоретической статистике.
3. Объяснение массовых закономерностей и рациональное управление
массовыми явлениями являются, конечно, теми целями, ради которых
только и предпринимается собирание и обработка статистических данных
по правилам описательной статистики.
Разрешение этих обеих задач в каждой специальной области массовых
явлений (физических, биологических или социальных) опирается на кон-
кретное исследование специфических свойств данной области явлений и
подлежит в полном объеме ведению соответствующей специальной науки.
Однако в тех случаях, когда к подлежащим изучению массовым явлением
применимо понятие вероятности (что совсем еще не является автоматиче-
ским следствием массовости2), математический аппарат для решения этих
задач доставляется теорией вероятностей. То, что оба высшие раздела ма-
тематической статистики, выходящие за рамки статистики описательной,
имеют своим исходным пунктом понятие вероятности, отнюдь не случай-
но: за пределами элементарных чисто арифметических свойств больших
совокупностей, изучаемых в описательной статистике, содержательные об-
щие закономерности, относящиеся к массовым явлениям любой природы
(от физических до социальных), пока нам известны только в форме зако-
номерностей теоретико-вероятностного характера.
4. Теория вероятностей в своих основных разделах учит тому, как, ис-
ходя из тех или иных допущений о характере распределений вероятностей,
вычислять вероятности тех или иных сложных событий, вероятности ко-
торых не даны непосредственно в принятых исходных допущениях. На-
пример, в современной теории марковских случайных процессов исходные
допущения относятся к вероятностям переходов из состояния в состояние
за малые элементарные промежутки времени, а разыскиваются вероятно-
сти, относящиеся к интегральным характеристикам поведения изучаемой
системы за большие промежутки времени.
5. Проверка вероятностных допущений (гипотез), как и проверка на-
учных гипотез вообще, достигается наблюдением соответствия выводов из
них действительности. В случае очень больших совокупностей, где закон
больших чисел действует иногда с точностью, даже превосходящей воз-
можности наблюдения, эта проверка не требует развития какой-либо спе-
циальной «теории проверки гипотез». Таково положение, например, в ки-
нетической теории газов и, вообще, в большинстве физических применений
теории вероятностей (отчего так называемая «физическая статистика» ма-
2См. по этому повод}', например, мою статью «Определение центра рассеивания и
меры точности по ограниченному числу наблюдений», «Изв. АН СССР. Серия матема-
тическая, т. 6, 1942, стр. 3-32.
Основные задачи теоретической статистики
363
ло связана с «теоретической статистикой» в интересующем нас на этом
совещании смысле).
6. В случае ограниченного запаса наблюдательных и опытных данных
с особенной остротой встает вопрос об их достаточности для теоретиче-
ских выводов или рационального направления практической деятельно-
сти. Здесь и находится сфера третьего раздела математической статисти-
ки: теоретической статистики. Теоретическая статистика в этом понимании
выросла из раздела теории вероятностей, посвященного «обратным зада-
чам», решавшимся на основе теоремы Байеса. Но вскоре она уже по объему
развилась в большую самостоятельную науку. Еще большую самостоятель-
ность она приобрела, когда выяснилось, что одной из ее основных задач
является отыскание «инвариантных» решений своих задач, которые оди-
наково пригодны при любых «априорных распределениях» оцениваемых
параметров3. Это не отрывает ее от общих разделов теории вероятностей,
но сразу создает для нее очень своеобразную область исследований.
Система основных понятий теоретической статистики, впрочем, нахо-
дится еще в стадии формирования. Лишь постепенно она перестает быть
«прикладной теорией вероятностей» в смысле набора несвязанных между
собой общими идеями отдельных прикладных задач теории вероятностей.
7. Для формирования теоретической статистики как самостоятельной
науки особенное значение имели:
а) классическая теория оценки гипотез на основе теоремы Байеса;
б) введенное Фишером понятие «информации», содержащейся в стати-
стических данных, и связанные с ним понятия «исчерпывающей» системы
статистических характеристик и т. п.;
в) современная теория статистических оценок, основанная на понятии
«коэффициента доверия» статистического правила.
8. Из новейших направлений исследований по математической стати-
стике имеют принципиальное значение для понимания общей логической
природы ее задач: расширение понятия доверительных границ на оценку
случайных величин, а не только параметров распределений вероятностей
(американская школа пользуется в этом случае новым термином tolerance
limits вместо fiducial limits в случае параметров распределения), работы по
«последовательному анализу» (sequential analysis) и особенно многие ра-
боты по статистическим методам контроля и регулирования производства
(браковки, в частности).
9. Эти новые направления не укладываются естественным образом в
господствующее в современной англо-американской школе представление о
теоретической статистике как теории чисто познавательных оценок (гипо-
тез, параметров, или в случае «непараметрических» задач непосредственно
3См. мою уже цитированную статью.
364
III. Статьи о математике в других изданиях
— распределений) по данному запасу статистических данных. Оказывает-
ся, что задача рационального направления практической деятельности на
основе данного запаса статистических данных не должна расщепляться на
две: получение из статистических данных теоретических сведений и по-
следующее практическое использование этих сведений. Часто оказывает-
ся более выгодным непосредственный расчет по статистическим данным
наиболее рационального направления практической деятельности, так как
при раздельном выполнении указанных выше двух этапов происходит свое-
образная потеря некоторой доли информации, содержащейся в статисти-
ческих данных. Кроме того, самое собирание статистических данных во
многих случаях должно планироваться гибким образом в зависимости от
получаемых результатов. Оба эти замечания не могут претендовать на пол-
ную новизну: они вполне соответствуют давним традициям практической
работы. Но лишь теперь намечаются пути их органического включения в
систематическое построение математической теории статистических мето-
дов исследования и регулирования производственных процессов.
10. Изложенная в предшествующем пункте «оперативная» точка зре-
ния, быть может, будет содействовать и окончанию спора о законности
употребления в статистике «доверительных вероятностей» или обобщаю-
щих их «коэффициентов доверия».
11. В результате очерченного выше ее исторического развития положе-
ние теоретической статистики среди других наук рисуется автору доклада
следующим образом.
Как исследование любых реальных явлений, так и практическое воздей-
ствие на их течение всегда опирается на построение гипотез относительно
управляющих ими закономерностей. Эти закономерности могут быть или
закономерностями строго причинного характера, или закономерностями
вероятностными («стохастическими»). Накопление большого статистиче-
ского материала существенно именно в случае закономерностей, имеющих,
хотя бы отчасти, вероятностный характер (иногда, впрочем, вероятност-
ные закономерности накладываются на строго причинные только в форме
«ошибок наблюдений»).
Прямые задачи подсчета вероятностей того или иного течения интере-
сующих нас явлений на основе гипотетически допущенных закономерно-
стей составляют предмет теории вероятностей.
Задачей же теоретической статистики является разработка методов
(А) использования ограниченного запаса данных наблюдения для:
(1) проверки сделанных гипотез,
(2) определения входящих в гипотезы параметров,
(3) рационального управления изучаемыми процессами,
(4) последующей оценки достигнутых при этом результатов;
Основные задачи теоретической статистики
365
(В) рационального планирования сбора наблюдательных данных для
успешного и наиболее экономного достижения перечисленных в п. (А)
целей.
12. Автору доклада представляется, что с указанной в предшествую-
щем пункте точки зрения возможно построение стройной системы теоре-
тической статистики, охватывающей все основные разработанные и возни-
кающие вновь в настоящее время ее разделы.
Решающее значение русской науки на первых этапах ее развития (Че-
бышев, Марков), фундаментальные работы по применениям теории веро-
ятностей С. Н. Бернштейна, огромная работа по математической статисти-
ке В. И. Романовского и его школы, создание Е. Е. Слуцким статистиче-
ских методов изучения стационарных рядов связанных величин и создание
В. И. Гливенко, Н. В. Смирновым и автором этого доклада основ теории
непараметрических оценок являются залогом того, что эта работа вполне
посильна советским ученым.
НАУЧНАЯ СЕССИЯ
ОТДЕЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА АН СССР
И КАФЕДРЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
В конце января 1949 года был организован ряд заседаний отдела тео-
рии вероятностей Математического института АН СССР и кафедры тео-
рии вероятностей Московского государственного университета, в которых
приняли участие некоторые работники в области теории вероятностей и
ее применений, приехавшие из Ленинграда и из Львова. Далее публику-
ется перечень прочитанных на этих заседаниях докладов и резюме тех из
них, содержание которых еще не опубликовано или не появится в печати в
самом ближайшем будущем?
Хотя эти заседания не носили характера организованной общесоюзной
научной конференции, прочитанные на них доклады могут дать некоторое
представление о направлении работы и состоянии научных кадров по тео-
рии вероятностей в трех из четырех советских научных центров, в которых
ведется большая работа по теории вероятностей. Не представленными оста-
лись работы, ведущиеся в Ташкенте. С ними можно будет познакомиться
по подготовляющимся к печати трудам Всесоюзного совещания по мате-
матической статистике, происходившего в Ташкенте в октябре 1948 г.ь (где
были, естественно, представлены и исследования, производимые в Москве,
Ленинграде и других местах).
Значительная часть докладов была посвящена основным классическим
задачам теории вероятностей. В докладе Е. Л. Рвачёвой (13)1 была дана
окончательная форма локальной предельной теоремы для одинаково рас-
пределенных целочисленных независимых случайных векторов. Этот ре-
зультат, очень общий и в то же время чрезвычайно простой по формулиров-
ке, будет, по-видимому, часто применяться. Он использован, в частности, в
работе о предельных теоремах для цепей Маркова, доложенной А. Н. Кол-
могоровым (5), где для классического случая конечного числа состояний и
постоянных вероятностей перехода дано исчерпывающее исследование всех
Успехи математических наук. — 1949. — Т. 4, вып. 4. — С. 189-190 (в разделе «Ма-
тематическая жизнь в СССР»).
аМы воспроизводим лишь перечень докладов. — Прим. ред. 4-г° тома Избр. трудов.
ьТашкент: Изд-во АН УзССР, 1949; см. также с. 361 настоящего издания. — Прим,
ред. 4-го тома Избр. трудов.
*В круглых скобках указываются номера докладов.
Научная сессия отдела теории вероятностей МИАН
367
вырожденных случаев. Менее законченное исследование значительно более
трудного случая переменных вероятностей перехода были дано в докладах
Н. А. Сапогова и Ю. В. Линника (3 и 4). Особенно следует отметить, что в
докладе Ю. В. Линника были изложены первые достаточно общие резуль-
таты в направлении локальных предельных теорем в случае переменных
вероятностей перехода, для чего потребовалось применение существенно
новых методов. Студент второго курса Московского государственного уни-
верситета Р. II. Карпелевич доложил полное решение связанной с теорией
цепей Маркова задачи Фробениуса об области возможных значений корней
матриц с неотрицательными коэффициентами (6).
Заметным продвижением в направлении решения одной из трудней-
ших задач теории вероятностей — нахождения необходимых и достаточ-
ных условий для применимости к последовательности независимых вели-
чин усиленного закона больших чисел — являются результаты Ю. В. Про-
хорова (14). Большой новый круг исследований, связанный со многими
прикладными задачами, начат Н. В. Смирновым под названием теории
«циклирующих систем». Новые результаты в других, ставших уже тра-
диционными в московской школе теории вероятностей направлениях со-
держат и доклады (7) (распределение максимума независимых величин),
(11) (интерполирование стационарных последовательностей), (15) (усилен-
ный закон больших чисел), (16) (закон повторного логарифма).
Последнее заседание было посвящено специально задачам математиче-
ской статистики. Кроме обзорного доклада А. Н. Колмогорова (19), на нем
были доложены очень тонкие результаты Н. В. Смирнова о законе распре-
деления критерия ш2 (17) ис принципиальной стороны вполне окончатель-
ное решение задачи о выборе между конечным числом гипотез, которая в
иностранной литературе трактовалась многими авторами при совершенно
искусственных и излишних ограничениях.
Доклады (1), (2), (10) и (12) посвящены решению очень специальных
с общей теоретической точки зрения задач, имеющих, однако, прикладное
значение в кристаллографии, геологии и других областях. С методологи-
ческой стороны они, кроме того, могут представлять и некоторый более
общий интерес в части методов решения рассматриваемых задач. Пря-
мые вероятностные рассуждения (подразделение на случаи, использова-
ние условных вероятностей и т. п.) переплетаются в этих исследованиях
с привлечением иногда неожиданного аналитического аппарата. Наиболее
интересная из этих специальных работ, выполненная Е. Б. Дынкиным, бу-
дет опубликована в очередном номере нашего журнала0.
сСтатья была опубликована в выпуске 5 за 1949 год, с. 183-197. — Прим. ред. Ь-го
тома Избр. трудов.
368
III. Статьи о математике в других изданиях
1. А. Н. Колмогоров (Москва). «К вопросу о “геометрическом отборе” кристал-
лов». Опубликовано в ДАН, 65 (1949), стр. 681-684. Более подробное изложение
появится в 6-м выпуске «Успехов».
2. А. Н. Колмогоров (Москва). «Об одной геологической задаче». Опублико-
вано в ДАН, 65 (1949), 793-796.
3. Н. А. Сапогов (Ленинград). «Интегральная предельная теорема для мно-
гомерной цепи Маркова». [Приводится резюме.]
4. Ю. В. Линник (Ленинград). «Локальные законы для неоднородных цепей
Маркова». [Приводится резюме.]
5. А. Н. Колмогоров (Москва). «Локальная предельная теорема для класси-
ческих цепей Маркова».
6. Р. И. Карпелевич (Москва). «О корнях стохастических матриц». [Приво-
дится резюме.]
7. Д. Г. Мейзлер (Львов). «Распределение максимума независимых величин».
8. Н. В. Смирнов (Москва). «О распределение числа циклов в циклирующих
системах». [Приводится резюме.]
9. А. Н. Колмогоров (Москва). «Марковские моменты с бесконечным числом
состояний». Критическое изложение имеющихся результатов и обзор нерешенных
задач.
10. Б. А. Севастьянов (Москва). «О некоторых типах марковских процессов».
Исследование специальных типов марковских случайных процессов со счетным
множеством состояний.
11. А. М. Яглом (Москва). «К вопросу о линейном интерполировании стаци-
онарных случайных последовательностей и процессов».
12. Е. Б. Дынкин (Москва). «Об одной задаче из теории вероятностей».
13. Е. Л. Рвачёва (Львов), «n-мерная предельная теорема». Опубликовано в
ДАН, т. 60 (1948), 1127-1128.
14. Ю. В. Прохоров (Москва). «Усиленный закон больших чисел».
15. Н. А. Сапогов (Ленинград). «Об усиленном законе больших чисел». [При-
водится резюме.]
16. Н. А. Сапогов (Ленинград). «О законе повторного логарифма для цепей
Маркова». [Приводится резюме.]
17. Н. В. Смирнов (Москва). «О критерии Крамера-Мизеса». [Приводится
резюме.]
18. А. А. Ляпунов (Москва). «Выбор между конечным числом гипотез».
19. А. Н. Колмогоров (Москва). «Проблемы последовательного анализа». Об-
зорный доклад.
О ПРОФЕССИИ МАТЕМАТИКА
1. За многочисленное и талантливое
пополнение кадров советских математиков
Значение математических методов в таких науках, как механика, физи-
ка или астрономия, хорошо известно. Также всем известно и то, что мате-
матика необходима в практической работе инженеров и техников. Элемен-
тарные знания но геометрии или умение пользоваться буквенными форму-
лами необходимы почти каждому мастеру или квалифицированному ра-
бочему. Но менее ясным для многих является вопрос о том, что значит
иметь специальность математика и заниматься самой математикой в каче-
стве основной профессии.
Очень многие представляют себе дело так, что в учебниках и матема-
тических справочниках собрано уже вполне достаточно формул и правил
для решения всевозможных, встречающихся на практике математических
задач. Даже очень образованные люди часто спрашивают с недоумением:
разве в математике можно сделать что-либо новое?
Поэтому и математика иногда представляют себе как скучного челове-
ка, выучившего большое число формул и теорем, и считают, что его задача
состоит в том, чтобы заученные готовые знания передать другим.
Во всем этом верно только то, что математические сведения, сообщае-
мые в средней школе и на первых ступенях изучения математики в высшей
школе, добыты человечеством давно. Но даже и эти простейшие математи-
ческие сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае,
если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было
бы прийти к ним самостоятельно. От преподавателя математики и в выс-
шей и в средней школе требуется не только твердое знание преподаваемой
им науки. Хорошо преподавать математику может только человек, кото-
рый сам ею увлечен и воспринимает ее как живую, развивающуюся науку.
Вероятно, многие учащиеся средней школы знают, насколько увлекатель-
ной, а благодаря этому легкой и доступной становится математика у таких
преподавателей.
Печатается по изданию: А. Н. Колмогоров. О профессии математика. — Изд. 3,
доп. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1959. (Первые два издания вышли в 1952 г. и 1958 г.) Мно-
гое изменилось с того времени, когда писалась эта статья. Мы приводим ее полностью
и без комментария, с тем чтобы дать читателю возможность ознакомиться с состоянием
математического образования тех лет, предоставляя ему самостоятельно сравнить его с
состоянием настоящего времени. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
370
1П. Статьи о математике в других изданиях
Еще в большей степени самостоятельность и способность по-новому по-
дойти к математической формулировке задачи необходимы тому, кто при-
меняет математику в решении технических проблем. Это относится к рабо-
те каждого инженера. Но так как требующиеся при этом математические
знания и способности имеются не у всех, то большинство наших научно-
исследовательских технических институтов и даже некоторые крупные за-
воды стали усиленно привлекать специалистов-математиков для работы
вместе с инженерами над техническими проблемами.
Математики, способные руководить большими вычислительными ра-
ботами, особенно дефицитны. В настоящее время имеется много задач, в
которых для получения числового результата требуются вычисления, пре-
восходящие возможности одного человека. Расчет упругих напряжений в
плотинах, фильтрации воды под плотинами, сопротивлений, испытывае-
мых самолетами при полете, или траекторий снарядов — вот типичные
примеры таких задач.
Уже давно при научных институтах, проектных организациях и заво-
дах, нуждающихся в решении подобных задач, стали возникать вычисли-
тельные бюро со многими десятками вычислителей, оборудованные ариф-
мометрами и вычислительными автоматами, требующими для выполнения
арифметических действий над многозначными числами лишь набора их
при помощи клавиш и нажатия соответствующей кнопки (+, —, х, :). Од-
нако современные наука и техника сталкиваются с такими задачами, кото-
рые при этом уровне организации вычислительных работ требуют многих
месяцев, а иногда и лет работы десятков вычислителей. Такое положение
вызвало бурное развитие современной «машинной математики», о которой
рассказывается в этой брошюре.
Конструирование и обслуживание современных вычислительных ма-
шин превратились в большие инженерные специальности, для которых
специалисты готовятся на соответствующих отделениях технических ву-
зов. Для работы же вычислителя в вычислительном бюро старого типа или
для введения задачи в современную электронную вычислительную машину
достаточно среднего общего образования и полугодичного производствен-
ного обучения. Для того чтобы довести решение математических задач
до передачи для получения численных результатов вычислительному бю-
ро или вычислительной машине, необходимо большое количество людей с
глубокими математическими знаниями.
Теория «вычислительных методов» математики развилась сейчас в
большую науку и потребность в специалистах, владеющих этими метода-
ми, с развитием «машинной математики» возрастает. Перед нами возни-
кают своеобразные задачи «программирования», т. е. приведения процесса
О профессии математика
371
вычислений к виду, допускающему полную автоматизацию решения на ма-
шинах задач определенного типа.
Ошибочным является представление о математике как о науке закон-
ченной, раз навсегда построенной в своих теоретических основах. В дей-
ствительности математика обогащается совершенно новыми теориями и
перестраивается в ответ на новые запросы механики (нелинейные коле-
бания, механика сверхзвуковых скоростей), физики (математические ме-
тоды квантовой физики) и других смежных наук. Кроме того, и в недрах
самой математики после накопления большого числа разрозненных специ-
альных задач, решенных частными приемами, создаются новые общие тео-
рии, освещающие эти задачи с иных точек зрения и позволяющие решать
их однообразными методами. Например, методы возникающего на наших
глазах «функционального анализа» относятся к математическому анализу
(который был создан еще в XVII-XVIII вв. и преподается во всех высших
технических заведениях) примерно так, как относится алгебра к арифме-
тике. Так называемые «операторные методы» функционального анализа
уже нашли широкое применение в современной физике и технике.
Советскому Союзу сейчас требуется большое количество самостоятель-
ных исследователей по теоретическим вопросам математики. При срав-
нении изданных обзоров успехов советской математики за 1917-1947 гг.а
обнаруживается, что в первом пятнадцатилетии было около двухсот ма-
тематиков, внесших в математическую науку что-либо существенно новое,
во втором же пятнадцатилетии — 600-800.
Количество математиков с университетской подготовкой, требующих-
ся для работы над задачами, выдвигаемыми естествознанием и техникой,
значительно больше, особенно если учесть, что, кроме теоретической раз-
работки вопроса, здесь, как правило, необходимо проведение больших рас-
четных работ. Постоянно возрастает ежегодная потребность научных и
научно-технических институтов и «вычислительных центров» в молодых
сотрудниках-математиках, выпущенных университетами.
Если учесть еще потребность нашей страны в преподавателях мате-
матики в педагогических и учительских институтах, то станет понятным,
почему Советскому государству требуется так много математиков самой
высокой квалификации, подготовляемых на механико-математических и
физико-математических факультетах университетов.
За последние годы в нашей стране проведены важные мероприятия,
направленные на повышение квалификации преподавателей математики
высших учебных заведений, на привлечение в университеты большого чис-
ла молодежи, имеющей склонность к математике.
“Имеются в виду издания: Математика в СССР за 15 лет. — М.-Л.: ГТТИ, 1932 и
Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
372
III. Статьи о математике в других изданиях
Интересно в связи с этим вспомнить, что в первые годы после Великой
Октябрьской социалистической революции молодежь стремилась почти ис-
ключительно в высшие технические учебные заведения. Многим молодым
людям представлялось тогда, что только таким путем они примут непо-
средственное участие в социалистическом строительстве. В первые рево-
люционные годы такие настроения имели некоторое разумное основание.
Но потом, когда развитие науки стало насущнейшей с хозяйственной точ-
ки зрения потребностью нашей страны, необходимы были усилия, чтобы
преодолеть недоверие части молодежи к перспективам, ожидающим ее при
поступлении в университеты. Эти настроения теперь изжиты. Но в приме-
нении к математике, которая издали, даже среди других наук, представ-
ляется слишком сухой и отвлеченной, с ними приходится бороться еще и
сейчас.
С 1952 г. прием на математические специальности университетов СССР
значительно увеличен по сравнению с предыдущими годами. Очень важ-
но, чтобы при этом расширенном приеме на математические специально-
сти попала не только хорошо подготовленная, но и любящая математику
молодежь1. Для этого необходимо, чтобы всюду на местах была создана
возможность этим любителям математики определить свои склонности и
оценить свои силы и возможности.
Чтобы сделать выбор вполне сознательно, полезно принять участие в
работе математического кружка и в местной математической олимпиаде.
Быть может, еще более полезно почитать соответствующую литературу2 и
попробовать свои силы в решении более трудных задач.
2. Несколько замечаний о характере работы
математика-исследователя
Как и всякая наука, математика требует прежде всего твердого знания
того, что по исследуемому вопросу уже сделано. Но не следует думать, что
в математике труднее, чем в других науках, добраться до возможности
делать что-либо новое. Опыт говорит скорее о другом: способные мате-
матики, как правило, начинают самостоятельные научные исследования
очень рано. Если математические открытия, сделанные в 16- или 17-лет-
нем возрасте, являются все же исключениями, собираемыми с особенной
тщательностью в популярных книжках по истории математики, то начало
*В Московском, Ленинградском, Киевском, Саратовском и Томском государствен-
ных университетах имеются механико-математические (или математико-механические)
факультеты с основными специальностям: математика, механика. В остальных универ-
ситетах имеются физико-математические факультеты со специальностями: математика,
физика, механика и астрономия.
2См. список литературы в приложении.
О профессии математика
373
серьезной научной работы в 19-20 лет на средних курсах университетов
достаточно типично для биографий многих наших ученых3.
Конечно, широта постановки задач приходит обычно несколько позд-
нее, но при решении отчетливо поставленных трудных конкретных задач
совсем молодые люди часто с успехом соревнуются со сложившимися из-
вестными учеными. Ежегодно около десятка научных работ, выполнен-
ных студентами математических специальностей Московского универси-
тета, публикуется в таком издании, как Доклады Академии наук СССР.
В основе большинства математических открытий лежит какая-либо
простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное
неравенство и т. п. Нужно только применить надлежащим образом эту
простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недо-
ступной. Много примеров этого можно найти и в популярной литературе,
указанной в конце нашей брошюры. Поэтому вовсе не существует непро-
ходимой стены между самыми новыми и трудными оригинальными ма-
тематическими исследованиями и решением задач, доступных способному
и достаточно упорному начинающему математику. Интересно с этой точ-
ки зрения прочесть некоторые главы из «Математической автобиографии»
знаменитого советского алгебраиста Н. Г. Чеботарева4, где автор излагает
историю своих научных поисков, начиная с первых опытов гимназиста до
крупнейших открытий в алгебре.
Другое замечание относится к работе математиков над вопросами есте-
ствознания (механики, физики и техники). Сейчас, когда сотрудничество
между математиками и представителями смежных специальностей разви-
вается особенно широко, можно определенно сказать, что наиболее успеш-
ным оно оказывается при условии, если математик не ограничивается ро-
лью исполнителя сделанного ему «заказа», а старается проникнуть в суще-
ство естественнонаучных и технических проблем. По существу здесь речь
идет о том, что специалисты по математической и теоретической физи-
ке, теоретической механике или теоретической геофизике могут подготав-
ливаться двумя путями: начинать свое образование с изучения физики,
механики или геофизики, или же сначала изучать математику на матема-
тических отделениях университетов и потом основательно входить в ту или
иную область применения математики.
Существует даже такая точка зрения, что второй путь дает лучшие
результаты, т. е. что изучить на солидной математической основе аэроме-
ханику, газовую динамику, сейсмологию или динамическую метеорологию
3Академик С. Л. Соболев в 1933 г. в возрасте 25 лет был уже избран в члены-
корреспонденты АН СССР. В 1953 г. членом-корреспондентом АН СССР избран 25-
летний математик комсомолец С. Н. Мергелян.
4Опубликована в журнале < Успехи математических наук», т. III, вып. 3, 1948.
374
III. Статьи о математике в других изданиях
легче, чем специалисту в какой-либо из этих областей восполнить недо-
статок математической подготовки. Такое мнение можно считать слишком
крайним и заметить, например, что хорошее владение экспериментальной
техникой встречается у математиков, перешедших на работу в какой-либо
смежной области, лишь как редкое исключение. Но нельзя не признать,
что из математиков по образованию произошел ряд крупнейших наших
специалистов в смежных науках.
Трудно отделить математику от механики и сейсмологии в работах ака-
демиков М. А. Лаврентьева и С. Л. Соболева. В первую очередь как меха-
ники известны академики М. В. Келдыш, Л. И. Седов и чл.-кор. АН СССР
Л. Н. Сретенский; как геофизики — члены-корреспонденты АН СССР
А. Н. Тихонов и А. М. Обухов; как специалист по теоретической физи-
ке — акад. Н. Н. Боголюбов. Между тем все они окончили университеты в
качестве математиков.
Можно было бы указать много связанных с именами математиков кон-
кретных достижений в естествознании и технике, которые оказались весь-
ма существенными с непосредственно практической стороны.
3. О математических способностях
Необходимость специальных способностей для изучения и понимания
математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудно-
сти математики иногда создается ее плохим, чрезмерно формальным из-
ложением на уроке. Обычные средние человеческие способности вполне
достаточны, чтобы при хорошем руководстве или по хорошим книгам не
только усвоить математику, преподающуюся в средней школе, но и разо-
браться, например, в началах дифференциального и интегрального исчис-
лений. Тем не менее, когда дело идет о выборе математики в качестве
основной специальности, вполне естественно желание проверить матема-
тические способности, или, как говорят иногда, математическую «одарен-
ность» . Ведь несомненно, что разные люди воспринимают математические
рассуждения, решают математические задачи или — на более высокой сту-
пени — приходят к новым математическим открытиях! с различной скоро-
стью, легкостью и успехом. И, конечно, следует стремиться к тому, чтобы
из миллионов нашей молодежи специалистами-математиками становились
именно те, кто в этой области будет работать наиболее успешно.
Поэтому содействие выдвижению математически одаренной молодежи
является одной из важных задач школьных математических кружков, ма-
тематических олимпиад и других мероприятий по пропаганде математи-
ческих знаний и распространению интереса к самостоятельным занятиям
математикой. Не следует спешить с чрезмерно ранним созданием для от-
О профессии математика
375
дельных молодых людей репутации математических «талантов». Но во-
время подтолкнуть советом или премированием на олимпиаде способных
математиков в сторону выбора математики в качестве своей дальнейшей
работы необходимо.
В чем же заключаются эти способности? Следует прежде всего под-
черкнуть, что успех в математике меньше всего основан на механическом
запоминании большого числа фактов, отдельных формул и т. п. Хорошая
память в математике, как и во всяком другом деле, является полезной, но
никакой особенной, выдающейся памятью большинство крупных ученых-
математиков не обладало.
В частности, фокусники, запоминающие длинные ряды многозначных
чисел и складывающие или перемножающие их в уме, совсем не могут
служить примером людей с хорошими математическими способностями в
серьезном смысле слова.
Умение производить алгебраические вычисления, в смысле умелого
преобразования сложных буквенных выражений, нахождения удачных пу-
тей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила, и
т. п., уже ближе соприкасается с теми способностями, которые часто тре-
буются от математика в серьезной научной работе.
Принято даже думать, что исключительно большое развитие таких вы-
числительных, или иногда говорят «алгоритмических», способностей яв-
ляется характерным для одного из нескольких основных типов математи-
ческой одаренности.
В школьной алгебре с трудностями, требующими для своего преодоле-
ния такого рода способностей, школьники прежде всего сталкиваются при
разложении алгебраических выражений на множители. Среди задач, дан-
ных в приложении 3 к этой брошюре, задачи 1 и 2 дают представление
о том, что иногда разложение очень простых выражений на множители
требует большого остроумия.
Далее, основной областью применения этого рода способностей стано-
вится решение уравнений. Однако везде, где это возможно, математики
стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными.
В средней школе достаточно ясно видно, насколько полезны графики для
изучения свойств функций. Поэтому читатель не удивится утверждению,
что геометрическое воображение, или, как говорят, «геометрическая инту-
иция», играет большую роль при исследовательской работе почти во всех
разделах математики, даже самых отвлеченных.
В школе обычно с большим трудом дается наглядное представление
пространственных фигур. Надо, например, быть уже очень хорошим ма-
тематиком (по сравнению с обычным школьным уровнем), чтобы, закрыв
глаза, без чертежа ясно представить себе, какой вид имеет пересечение
376
III. Статьи о математике в других изданиях
поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпенди-
кулярной одной из его диагоналей.
В задаче 4 (приложение 3) вся трудность заключается в том, чтобы на-
глядно понять, что за фигура получается при пересечении тетраэдров. При
решении задач 5-7 тоже очень существенна геометрическая интуиция, хотя
здесь уже больше остается и на долю твердого знания тех теорем, которые
придется применить при доказательстве, и на долю умения логически рас-
суждать.
Искусство последовательного, правильно расчлененного логическо-
го рассуждения является также существенной стороной математических
способностей.
В школе для развития этого искусства служит систематический курс
геометрии с ее определениями, теоремами и доказательствами. Но часто
наибольшую трудность для школьников в отношении понимания точного
смысла сложной логической конструкции представляет принцип матема-
тической индукции, изучаемой в конце курса алгебры. Многие не в состоя-
нии ясно увидеть реальное содержание этого принципа за нагромождением
слов «если» и «то».
Понимание и умение правильно применять принцип математической
индукции является хорошим критерием логической зрелости, которая со-
вершенно необходима математику.
Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обста-
новке приобретается с трудом. На математических школьных олимпиадах
самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в
которых не предполагается никаких предварительных знаний из школь-
ного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать
последовательно. Уже такой шуточный вопрос затрудняет многих десяти-
классников: в хвойном лесу 800 000 елей и ни на одной из них не более
500 000 игл; доказать, что по крайней мере у двух елей число игл точно
одинаково (сравните в приложении 3 задачу 8; в задачах 10-12 тоже глав-
ная трудность не в сложности, а в необычности тех способов рассуждения,
которые требуется применить).
Различные стороны математических способностей встречаются в раз-
ных комбинациях. Уже исключительное развитие одной из них иногда
позволяет приходить к неожиданным и замечательным открытиям, хотя
чрезмерная односторонность, конечно, опасна. Само собой разумеется, что
никакие способности не помогут без увлечения своим делом, без система-
тической повседневной работы.
Математические способности проявляются обычно довольно рано и тре-
буют непрерывного упражнения. Полный отрыв от математики в течение
нескольких лет после средней школы часто оказывается трудно поправи-
О профессии математика
377
мым. Работа чертежника, лаборанта, обращение с машиностроительными
деталями, сборка радиоаппаратуры и т. п., по-видимому, содержат в себе
много элементов, родственных с работой математика, например, в смысле
развития пространственного воображения и функционального мышления.
Соприкосновение на работе с современной техникой может пробудить бо-
лее сознательный интерес к приложениям математики. Но мы очень со-
ветуем молодым людям, намеревающимся поступить на математическое
отделение университета, проработав после школы несколько лет на произ-
водстве, заранее заниматься математикой и не только путем подготовки к
вступительным экзаменам (для чего при всех университетах существуют
специальные подготовительные курсы), но и путем участия в математи-
ческих кружках и олимпиадах и самостоятельного чтения. Иначе никакие
льготы для «производственников» при поступлении в вузы не помогут им
во время работы в университете не отстать от своих товарищей, пришед-
ших со свежими знаниями и увлечениями прямо из школы.
4. Математические кружки, олимпиады,
самостоятельное чтение. Подготовка к вступительным
экзаменам в университеты
Преподавание в школе во время обязательных классных занятий рас-
считано в основном на твердое усвоение математики всеми учащимися. По-
пробовать свои силы в решении более трудных задач, ближе познакомиться
с тем, как наука справляется с решением более сложных математических
проблем, и с тем, как математика применяется в естествознании и в техни-
ке, можно в математическом кружке. Такие кружки ведут преподаватели
математики во многих школах. Силами университетов и педагогических
институтов во многих городах организованы межшкольные математиче-
ские кружки и систематическое чтение лекций для школьников по отдель-
ным вопросам математики или ее истории.
Естественно, что все эти начинания, как и математические олимпиады,
широко открыты и для работающей молодежи, интересующейся матема-
тикой.
Математические олимпиады, на которых предлагаются трудные задачи
и «победителям» выдаются премии и похвальные отзывы, удаются там, где
хорошо поставлена работа в кружках. Олимпиады должны проводиться
для завершения работы, ведущейся в течение года, а не как изолированное
праздничное мероприятие.
Задачи, предлагаемые в кружках и на олимпиадах, иногда носят ис-
кусственный и даже шуточный характер. В этом нет беды, если задачи
подобраны так, что для их решения требуется серьезная работа мысли, по-
378
III. Статьи о математике в других изданиях
хожая на ту, которая требуется от взрослого, самостоятельно работающего
математика.
В докладах, читаемых в кружках их участниками, и в лекциях, чита-
емых учителями и преподавателями высшей школы, широко освещаются
основные пути развития математической науки, значение математики для
естествознания и техники. Конечно, очень хорошо, если удается в задачах,
предлагаемых в кружках, дать принципиально важный или убедительный
своей полезностью материал, но было бы напрасно требовать, чтобы таким
условиям была подчинена вся та большая «тренировочная» работа моло-
дого математика, которая достигается решением задач.
Независимо от участия в кружках можно заняться самостоятельным
решением более трудных задач. Имеется несколько интересных сборников
задач для любителей математики. Некоторые из них написаны так, что
читатель, решая последовательно связанные друг с другом задачи, может
живо представить себе пути развития довольно сложных математических
теорий. Кроме таких задачников повышенного уровня, в приложении 4
к этой брошюре указано много вполне доступных книжек по отдельным
вопросам математики. Некоторые из книжек, минуя, по возможности, тех-
нические трудности, вводят читателя в круг вопросов, служащих и в на-
стоящее время предметом еще не законченного научного исследования.
Занятия в кружках, слушание лекций и чтение дополнительной лите-
ратуры не должны, конечно, отвлекать учащихся школ или подготовитель-
ных курсов от более элементарной обязательной учебной работы. Следует
помнить, что для того, чтобы быть принятым в университет, прежде всего
требуется твердое знание школьного курса и умение на основе этих знаний
четко и уверенно решать более обычные, так сказать, стандартные задачи.
В приложении 2 приводятся примеры типичных задач, предлагавших-
ся на экзаменах при поступлении на механико-математический факультет
Московского государственного университета. Если сравнить эти задачи с
предлагавшимися па олимпиадах, то можно заметить их существенное от-
личие. Для решения экзаменационных задач не требуется какой-либо осо-
бой изобретательности. В большинстве случаев задачи решаются последо-
вательным применением изучаемых в школе правил и приемов. Если же их
решение и требует некоторой самостоятельности мысли, то дело ограничи-
вается необходимостью систематически исследовать поставленный вопрос
в самом естественном направлении. Например, приступая к решению за-
дачи V (приложение 2), следует ясно представить себе, как должен быть
расположен в шестиугольнике искомый квадрат для того, чтобы его нельзя
было увеличить, не выходя за пределы шестиугольника. Ясно, что для это-
го он должен упираться в периметр шестиугольника по меньшей мере дву-
мя вершинами. Такие квадраты (у которых по меньшей мере две вершины
О профессии математика
379
лежат на периметре шестиугольника) надо подвергнуть более детальному
исследованию. К сожалению, некоторые экзаменующиеся не могли преодо-
леть уже этого первого этапа и даже предлагали в качестве решения за-
дачи чертежи, в которых квадрат свободно висел внутри шестиугольника,
не прикасаясь к его периметру.
Иногда экзаменующимся с целью проверить на решении одной задачи
их знание целого ряда формул, правил и теорем школьного курса экзамена-
торы предлагают задачи со сложными формулировками условий, придавая
им весьма искусственный и запутанный вид. Независимо от вопроса о пра-
вильности такой тенденции не следует чрезмерно бояться задач этого рода.
По своей идее они обычно бывают даже значительно элементарнее задач
с более короткими и красивыми формулировками. Все дело при решении
таких комбинированных задач со сложно и запутанно формулируемыми
условиями сводится обычно к тому, чтобы правильно прочесть условия за-
дачи и не запутаться в длинном ряде выкладок и рассуждений, каждое
звено которых вполне элементарно, хотя и требует применения ряда фор-
мул и теорем из школьного курса.
Очень важно правильно распределить свои силы между твердым усвое-
нием школьного курса, серьезным продумыванием наиболее существенных
и трудных с идейной стороны узловых вопросов этого курса, тренировкой
в решении задач конкурсного типа и (при наличии для этого свободного
времени) развитием своих более самостоятельных интересов путем допол-
нительного чтения, участия в кружках и олимпиадах.
Мне хочется в заключение заметить, что по наблюдениям многих препо-
давателей Московского университета сборники конкурсных задач и мате-
риалы школьных кружков и олимпиад поселили в некоторой части нашей
молодежи чрезмерный страх перед поступлением в университет (и, в част-
ности, в Московский). Для каждого поступающего естественно желание
достигнуть того, чтобы уверенно решать любую задачу конкурсного типа,
но не следует думать, что в университеты принимают только решивших
все предложенные на экзаменах задачи.
В приложении 2 к этой брошюре приведены билеты, предлагавшие-
ся на письменных экзаменах по математике поступающим на механико-
математический факультет МГУ5. Билеты содержат по четыре задачи.
Грубо говоря, оценки 5, 4, 3 соответствовали четырем, трем и двум решен-
5 В настоящее время на мехмате производится два экзамена по математике — пись-
менный и устный. До 1955 г. система была несколько сложнее: один устный экзамен и
два письменных — по геометрии и по алгебре. В первых двух изданиях этой брошюры
приведены образцы экзаменационных билетов, соответствовавших этой более сложной
системе, которая теперь отменена.
380
III. Статьи о математике в других изданиях
ным задачам. Решавшие менее двух задач, как правило, получали «двой-
ку» и к дальнейшим экзаменам не допускались.
На устных экзаменах задача экзаменатора в советском вузе, вопреки
распространенному воззрению школьников, состоит не в том, чтобы по-
скорее «срезать» незадачливого поступающего, а в том, чтобы тщательно
взвесить, учитывая все обстоятельства экзаменационной обстановки, пер-
спективы его дальнейшей работы по избранной им специальности. Нормы
приема на первый курс наших вузов сейчас столь велики, что даже в Мос-
ковском университете приемные и экзаменационные комиссии более всего
озабочены тем, чтобы не потерять ни одного поступающего, достаточно
подготовленного и способного серьезно работать на данном факультете.
Между тем часто случается, что более боязливые молодые люди, подготов-
ленные не хуже других, предпочитают подавать заявления не туда, куда
им хочется попасть, а туда, где, по их сведениям, конкурс поменьше.
5. Элементарная и высшая математика
Поворотным пунктом в математике была декар-
това переменная величина. Благодаря этому в ма-
тематику вошли движение и диалектика и бла-
годаря этому же стало немедленно необходимым
дифференциальное и интегральное исчисление.
Лишь дифференциальное исчисление дает есте-
ствознанию возможность изображать математи-
чески не только состояния, но и процессы-, дви-
жение.
Ф. Энгельс. Диалектика природы,
1950, стр. 206 и 218.
Отмечаемый в этих словах Энгельса поворот в математике произошел в
XVII в. одновременно с созданием основ математического естествознания.
Значение этого поворота настолько велико, что до настоящего времени об-
разовавшиеся в результате этого поворота разделы математики объединя-
ют под названием «высшей математики», в отличие от сложившейся ранее
«элементарной математики».
Некоторые основные понятия высшей математики вошли в настоящее
время в программы средней школы, где основательно изучаются функ-
циональные зависимости между переменными величинами и сообщаются
некоторые сведения из теории пределов. Однако дифференциальное и ин-
тегральное исчисления, на которые опирается большинство наиболее се-
рьезных и важных применений математики к естествознанию и технике,
остаются за рамками программы средней школы.
О профессии математика
381
Редко выбирают начала дифференциального и интегрального исчисле-
ния и в качестве предмета занятий в школьных математических кружках,
так как в них обычно стремятся предлагать такой материал, который по-
сле сравнительно коротких вводных объяснений позволяет сразу взяться за
самостоятельное решение задач; изучение же начал дифференциального и
интегрального исчислений требует довольно длительной систематической
работы. С другой стороны, сила и общность метода дифференциального в
интегрального исчислений таковы, что, не ознакомившись с ними, нельзя
как следует понять все значение математики для естествознания и техники
и даже полностью оценить всю красоту и увлекательность самой математи-
ческой науки. Например, в рамках элементарной математики нахождение
и доказательство формул для объемов сколько-либо сложных фигур или
площадей поверхностей представляется чрезвычайно трудным. Уже объем
пирамиды, как известно, доставляет школьникам много мучений. Вывод
формул объема конуса
V = ^7Г/?2Я,
объема шара
v = гд3
или поверхности шара
S = 4irR2
не менее сложен. Особенно неприятно то, что вывод каждой из этих формул
требует своеобразных приемов и не дает представления о том, как спра-
виться с задачами на нахождение площадей или объемов, не разобранных в
учебнике геометрии. Но стоит познакомиться с началами интегрального ис-
числения, как обнаруживается, что, например, объемы всех тел вращения
находятся при помощи интегрирования однообразным, простым и вполне
естественным способом. При владении интегральным исчислением в прин-
ципе не представляют затруднений и любые другие задачи на определение
площадей или объемов: все они делаются именно задачами, доступными
решению определенным методом, в то время как в пределах элементарной
математики каждая из приведенных выше формул являлась теоремой со
своим собственным приемом доказательства.
Элементарные приемы решения задач на «максимум или минимум»
являются сложной и весьма хитроумной наукой. Все это нагромождение
своеобразных и тонких приемов оказывается в большинстве случаев со-
вершенно излишним, если пользоваться дифференциальным исчислением.
382
III. Статьи о математике в других изданиях
В этого рода применениях высшей математики разобраться еще проще,
так как здесь требуется только ознакомиться с понятием производной, из-
лагаемым в самом начале дифференциального исчисления, научиться вы-
числять производные простейших функций и ознакомиться с правилами
применения производных к нахождению максимумов и минимумов. Поня-
тие производной6
/'W =
ах
от функции
У = f(x)
по своему наглядному содержанию очень просто; если считать независи-
мое переменное х временем, то производная / окажется просто скоростью
изменения зависимого переменного у. Этим и объясняется основная роль
понятия производной при изучении процессов изменения величин во вре-
мени.
Если обратиться к механике, то уже такая простая задача, как вывод
найденного Галилеем закона падения тел, находит вполне удовлетворитель-
ное решение только при использовании средств высшей математики. Вывод
хорошо известной формулы
1 2
для пути, пройденного телом за время t при свободном падении в пустоте
(д ~ ускорение силы тяжести), который дается в элементарных учебни-
ках физики, страдает некоторой сложностью и искусственностью. Но до-
статочно усвоить, что скорость есть производная от пройденного пути по
времени
ds
V=dt'
а ускорение — производная по времени от скорости
dv
9~dt'
и ознакомиться с простейшими правилами интегрирования, как все сведет-
ся к очень простому вычислению:
v = / gdt = gt,
Jo
Г* , Л . 1 2
s= / vat — / gtdt=-gt .
Jo Jo 2
6См., например, статью «Дифференциальное исчисление». БСЭ, изд. 2, т. 14.
О профессии математика
383
В большом числе более сложных задач механики и физики основные
законы течения изучаемых явлений тоже могут быть очень просто вы-
ражены при помощи уравнений, связывающих изучаемые величины с их
производными по времени. Уравнения, связывающие искомые функции с
их производными, называются дифференциальными.
При помощи дифференциальных уравнений сравнительно просто запи-
сываются законы движения небесных тел под действием всемирного тяго-
тения, закономерности работы самых различных радиотехнических схем,
закономерности распределения напряжений в различных механических
конструкциях и т. д. Разработка методов решения таких уравнений и яв-
ляется одной из основных задач, которые естествознание и техника ставят
математике.
Основательно изучить дифференциальное и интегральное исчисления
до высшей школы довольно трудно. Еще труднее сколько-нибудь заметно
продвинуться в теории решения дифференциальных уравнений. Однако
тем, кого математика может увлечь и заинтересовать именно с этой сто-
роны, можно все же попробовать ознакомиться с простейшими понятиями
дифференциального и интегрального исчислений параллельно с окончани-
ем средней школы. Во всяком случае таков был путь к математике многих
наших ученых, причем для некоторых из них именно знакомство с высшей
математикой и было решающим аргументом для того, чтобы окончатель-
но остановиться на математике в качестве своей специальности. Можно с
этой целью обратиться к указанной в приложении 4 к этой брошюре лите-
ратуре (6, 7, 9) или сразу читать какой-либо из сравнительно доступных
учебников для вузов.
Тому, кто не решится на такой труд, приведенные здесь краткие заме-
чания помогут понять, насколько шире и интереснее, чем можно заранее
себе представить, перспективы, которые откроются ему при дальнейшем
изучении математики.
6. Современная машинная математика и кибернетика
Современная математическая теория дает средства, в принципе доста-
точные, для решения самых разнообразных задач. Уже на первом курсе
университета студенты знакомятся с методами нахождения с любой задан-
ной точностью корней алгебраических уравнений какой угодно высокой
степени. При изучении теории дифференциальных уравнений обнаружи-
вается, что существуют общие методы нахождения их решений, хотя и
приближенных, но тоже обладающих любой наперед заданной точностью.
Однако при практическом решении таких задач с целью получить опре-
деленный числовой результат обнаруживается, что обладать принципиаль-
384
III. Статьи о математике в других изданиях
ной схемой решения еще не достаточно. Например, при расчете траектории
артиллерийского снаряда эта траектория разбивается на много десятков
коротких отрезков, которые рассчитываются последовательно. Для расче-
та каждого следующего участка приходится проделать несколько десятков
арифметических действий. Расчет одной траектории даже у вычислителя,
пользующегося вспомогательными таблицами и арифмометром, занимает
много часов и даже несколько дней.
Кораблестроительные расчеты или расчеты, связанные с постройкой
плотин больших электростанций, занимают месяцы и даже годы работы
специальных вычислительных бюро. Такое положение, естественно, приве-
ло к необходимости усовершенствовать машинную вычислительную техни-
ку. Прежде всего, наряду с обычными арифмометрами получили широкое
распространение «малые вычислительные машины», выполняющие авто-
матически четыре арифметических действия над многозначными числами.
Перемножение двух восьмизначных чисел занимает на такой машине 40 се-
кунд.
При использовании этих машин вычислитель принужден еще записы-
вать результаты каждого действия, потом вновь вводить их в машину. За
последние двадцать лет широко развернулась работа по созданию «боль-
ших вычислительных машин», которые без вмешательства человека вы-
полняют длинные ряды арифметических действий.
Программа работы такой машины задается пробитием дырочек на бу-
мажной ленте. Машина сама выполняет в указанном порядке арифмети-
ческие действия, фиксирует промежуточные результаты, использует их
в дальнейших вычислениях и, наконец, выдает окончательный результат
пробитым на ленте или карточках или даже отпечатанным.
Сначала в подобных сложных вычислительных машинах использова-
лись механические элементы типа колесиков обычного, арифмометра и
электромагнитные реле, замыкающие и размыкающие ток, приводящий в
движение элементы машины. Полный переворот в вычислительной техни-
ке произошел около десяти лет назад, когда было показано, что возможно
обойтись совсем без механического перемещения элементов машины, заме-
нив их электронными лампами (диодами, триодами и т. д.) и их комбинаци-
ями (триггерами и т. п.). Благодаря этому стало возможным производить
в одну секунду, например, по несколько тысяч умножений многозначных
чисел. Еще несколько позднее электронные лампы стали заменяться полу-
проводниковыми элементами, имеющими значительно меньшие размеры,
для «запоминания» большого числа промежуточных данных (до несколь-
ких сотен тысяч) были введены магнитные барабаны и т. д. (см., напри-
О профессии математика
385
мер, книгу А. И. Китова, указанную в приложении 4). Стало возможным
делать вычисления, требующие, например, 20 миллионов операций для
предсказания по данным метеорологических станций погоды на следую-
щий день, вычислять траекторию снаряда за время, меньшее времени его
полета, и т. д. Большие вычислительные машины иногда специально стро-
ятся для какой-либо одной цели (например, для предсказания погоды), но
чаще имеют универсальный характер, т. е. предназначаются для решения
самых разнообразных задач. В этом случае они размещаются в «вычис-
лительных центрах», обслуживающих различные научные и технические
учреждения, не имеющие собственных больших вычислительных машин.
Часто вычислительные машины подключаются к приборам, управляющим
автоматически тем или иным процессом. Если управление быстро проте-
кающим процессом требует сложных вычислений, основанных на данных,
получаемых в ходе этого процесса, то без скоростных вычислительных ма-
шин подобная задача была бы вообще неосуществима. Сфера применения
таких управляющих машин быстро растет (см. указанную в приложении 4
книгу И. А. Полетаева).
Управляющие машины во многом походят на управляющие механизмы,
возникшие естественным образом в ходе эволюции живых существ (нерв-
ная система, механизм сохранения и передачи по наследству признаков
каждого вида животных и растений). Общие закономерности устройства
управляющих систем изучаются недавно возникшими науками: теорией ин-
формации и кибернетикой, которые в значительной своей части являются
математическими и предъявляют к чистой математике много новых за-
просов.
Приложение 1.
Математическое отделение Московского государственного
университета имени М. В. Ломоносова
Среди математических отделений советских университетов математи-
ческое отделение механико-математического факультета Московского уни-
верситета является самым большим по нормам приема студентов и по со-
ставу профессоров. Все иногородние студенты, принятые в Московский
университет, получают место в университетском общежитии. Ввиду обще-
союзного значения Московского университета мы приводим здесь некото-
рые подробности о его математическом отделении.
Математическое отделение готовит научных работников в области ма-
тематики и ее применений, а также преподавателей математики в высших
386
III. Статьи о математике в других изданиях
учебных заведениях, техникумах и средних школах. Кроме того, в послед-
ние годы перед математическим отделением поставлена задача подготовки
специалистов по эксплуатации современных сложных вычислительных
машин.
Московский университет в подготовке основных научных квалифициро-
ванных кадров математиков занимает в СССР ведущее место. Его питом-
цами являются академики П. С. Александров, М. В. Келдыш, А. Н. Кол-
могоров, М. А. Лаврентьев, И. Г. Петровский, члены-корреспонденты АН
СССР И. М. Гельфанд, Л. А. Люстерник, А. И. Люстерник, А. И. Мальцев,
Д. Е. Меньшов, А. М. Обухов, Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, А. Я. Хин-
чин и многие другие известные математики. Можно сказать, что почти
половина научной работы в области математики осуществляется в СССР
математиками, получившими образование в Московском университете. В
соответствии с этим значительная часть наиболее способных студентов,
оканчивающих математическое отделение, направляется для продолжения
научной работы по математике в аспирантуру университета или зачисля-
ется аспирантами и младшими научными сотрудниками Математического
института АН СССР и других подобных учреждений.
Еще больше в настоящее время потребность в математиках для работы
в научных и научно-технических институтах, разрабатывающих вопросы
смежных наук (физики, геофизики и т. п.) и различных областей современ-
ной техники. Работа математиков в таких институтах не ограничивается
организацией вычислений (в вычислительных бюро и на машинных вы-
числительных станциях), или решением поставленных перед ними механи-
ками, физиками или техниками математических проблем. Многие ученые,
получившие первоначально математическое образование, становятся впо-
следствии первоклассными исследователями в области той или иной кон-
кретной науки, требующей большой математической культуры (например,
М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев и Л. П. Сретенский — специалисты в
области механики, А. Н. Тихонов и А. М. Обухов — в области геофизи-
ки). Математическое отделение является одним из существенных каналов
подготовки специалистов во всех областях науки и техники, которые для
своего развития требуют наиболее современного математического аппа-
рата.
В последние годы основная масса оканчивающих математическое отде-
ление распределяется на работу именно в различные научные и научно-
технические институты, имеющие потребность в специалистах-математи-
ках, и в создаваемые сейчас по всей стране вычислительные центры. Ес-
ли обратиться к выпускам прошлых лет, то другая значительная часть
окончивших математическое отделение факультета работает преподавате-
О профессии математика
387
лями высшей школы (профессорами, доцентами и ассистентами). Некото-
рая часть оканчивающих и сейчас направляется в вузы ассистентами.
Меньшая часть оканчивающих отделение направляется для работы в
средней школе. Следует, однако, отметить, что отделение тесно связано с
работой в средней школе, имея в составе своих профессоров вице-президен-
та Академии педагогических наук А. И. Маркушевича и действительных
членов той же академия П. С. Александрова и А. Я. Хинчина. На факуль-
тете проводится большая работа со школьниками (кружки, олимпиады).
При переходе на третий курс студенты-математики выбирают одну из
двух специальностей: «математика» или «вычислительная математика».
Студенты специальности «математика» начиная с четвертого курса специ-
ализируются по предметам одной из следующих кафедр:
1. Анализ.
2. Высшая алгебра.
3. Высшая геометрия и топология.
4. Дифференциальная геометрия.
5. Теория вероятностей.
6. Теория чисел.
7. Дифференциальные уравнения.
8. Теория функций и функциональный анализ.
9. Математическая логика и история математических наук.
При кафедре высшей геометрии и топологии имеется кабинет номо-
графии.
Студенты специальности «вычислительная математика» работают в ла-
бораториях вычислительного центра МГУ, располагающих большой совре-
менной вычислительной машиной. Студенты этой специальности и специ-
ализации «теория вероятностей и математическая статистика» проходят
производственную практику в различных научных и научно-технических
учреждениях.
В учебных планах для математиков предусматривается на старших кур-
сах, кроме чисто математических предметов, изучение теоретической фи-
зики и других естественнонаучных и технических дисциплин по выбору.
Математическое отделение предоставляет своим студентам самые ши-
рокие возможности для специализации во всех областях математики и ее
применений. Кроме обязательных, ежегодно читается несколько десятков
специальных курсов, в которых излагаются последние достижения науки.
Десятки научных семинаров и кружков объединяют математиков всех по-
колений, занятых решением стоящих перед математикой актуальных про-
блем. В эту исследовательскую работу самым широким образом втягива-
ются студенты старших, средних, а иногда и младших курсов.
388
III. Статьи о математике в других изданиях
Приложение 2.
Задачи, предлагавшиеся
на письменных вступительных экзаменах
на механико-математическом факультете
Московского государственного университета7
I. а) В бассейн проведены 4 трубы. Когда открыты 1-я, 2-я, 3-я трубы,
бассейн наполняется за 12 минут; когда открыты 2-я, 3-я и 4-я трубы — за
15 минут; когда открыты только 1-я и 4-я трубы — за 20 минут. За какое
время наполнится бассейн, если открыть все 4 трубы?
б) Доказать, что при любом целом п > 0 число 4П + 15п — 1 делится на
3 и на 9.
в) Внутри угла А дана точка М. Провести через М прямую I так, чтобы
она отсекала от заданного угла треугольник наименьшей площади. Указать
способ построения прямой I.
г) В правильную треугольную усеченную пирамиду вписан шар радиуса
г, касающийся всех 5 граней пирамиды; боковое ее ребро равно стороне
меньшего основания. Найти объем этой усеченной пирамиды.
II. а) Пять человек выполняют некоторую работу. 1-й, 2-й и 3-й, работая
вместе, могут выполнить эту работу за 7,5 часов; 1-й, 3-й и 5-й — за 5 часов;
1-й, 3-й и 4-й — за 6 часов; 2-й, 4-й, 5-й — за 4 часа. За какое время выполнят
эту работу все 5 человек, работая вместе?
б) Дано, что £ + £ + с = а+~б+с • Доказать, что тогда сумма некоторых
двух чисел из а, 6, с обязательно равна нулю.
в) Точки Д, В, С, D лежат на некоторой окружности (в порядке об-
хода против часовой стрелки). Найти геометрическое место точек касания
окружностей, проходящих через А, В и соответственно С и D.
г) Найти сторону куба, вписанного в правильную треугольную пира-
миду, сторона основания которой равна а, а боковое ребро — Ь. Четыре
вершины куба лежат на основании пирамиды, четыре другие — на боко-
вых гранях.
III. а) Сосуд снабжен 4 кранами. Если открыты все 4 крана, сосуд за-
полняется жидкостью за 4 часа, 1-й, 2-й и 4-й — за 5 часов, 2-й, 3-й в 4-й —
за б часов. За какое время заполнят сосуд 1-й и 3-й краны?
б) Найти такое трехзначное число abc, чтобы четырехзначные числа
abcl и 2abc удовлетворяли равенству abcl = 3 • 2abc.
в) Дана прямоугольная трапеция с высотой Н. На наклонной боковой
стороне, как на диаметре, строится полуокружность и оказывается, что
7Все задачи, кроме последней, предлагались в 1958 г.
О профессии математика
389
она касается вертикальной боковой стороны. Вычислить площадь прямо-
угольного треугольника с катетами, равными основаниям трапеции.
г) От правильной треугольной призмы АВСА^В^С1 плоскостью А1 ВС
отрезана пирамида. В оставшееся тело вписан шар, касающийся всех его
пяти граней. Радиус шара равен г. Найти объем призмы.
IV. а) Первый раствор содержит 6% (по весу) вещества А, 16% веще-
ства В и 4% вещества С, второй раствор — соответственно 15, 9 и 10%,
третий — 3, 5 и 2%. В каком отношении надо смешать эти растворы, что-
бы получить раствор, содержащий 12% вещества А, 10% вещества В и 8%
вещества С?
б) Решить уравнение:
sin2 х + sin2 х sin 4х + • • • + sin nx sin2 nx = 1.
в) Стороны a, b и с треугольника лежат соответственно против углов
А, В и С. Доказать, что биссектриса угла А
2dccos(A/2)
— 7“ •
О + С
Пользуясь этой формулой, доказать, что треугольник с двумя равными
биссектрисами равнобедренный.
г) В треугольной пирамиде боковые ребра равны a, Ь и с, а все плоские
углы при вершине прямые. Найти сторону куба, вписанного в пирамиду
так, что одна из его вершин совпадает с вершиной пирамиды, противопо-
ложная вершина лежит на основании.
V. а) Поместить внутри правильного шестиугольника со стороной а
квадрат возможно больших размеров. Найти сторону этого квадрата.
Приложение 3.
Из задач, предлагавшихся на математических олимпиадах
1. Разложить на множители: х5 * + 2:+ 1. (Ленинград, 1951, для 8-х клас-
сов.)
2. Разложить на множители: а10 + а5-Ь1. (Львов, 1946, для 9-10-х клас-
сов.)
3. Решить систему уравнений:
ху(х + у) = 30;
х3 * + у3 = 35.
{Ленинград, 1951, для 9-х классов.)
390
III. Статьи о математике в других изданиях
4. В куб вложены два правильных тетраэдра так, что четыре верши-
ны куба служат вершинами одного из них, а остальные четыре вершины
куба — вершинами другого. Какую долю объема куба составляет объем
общей части этих тетраэдров? (Иваново, 1951, для 9-10-х классов.)
5. Около сферы описан пространственный четырехугольник. Доказать,
что точки касания лежат в одной плоскости. (Москва, 1950, для 9-10-х
классов.)
6. Доказать, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки
правильного тетраэдра до его граней есть величина постоянная. (Сталин-
град, 1950, для 10-х классов.)
7. Доказать, что прямые, соединяющие середину высоты правильно-
го тетраэдра с вершинами основания, взаимо-перпендикулярны. (Казань,
1947, для 9-10-х классов.)
8. В 500 ящиках лежат яблоки. Известно, что ящик не может вместить
более 240 яблок. Доказать, что по крайней мере 3 ящика содержат по оди-
наковому числу яблок. (Киев, 1950, для 7-8-х классов.)
9. Сколько нулей имеет число 50! = 1 • 2 • 3 • 4 • • • 49 • 50? (Львов, 1950,
для 7-8-х классов.)
10. Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг другу?
(Киев, 1950, для 7-8-х классов.)
11. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый мно-
гоугольник, имеющий п сторон? (Киев, 1950, для 7-8-х классов.)
12. Доказать, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на паралле-
лограммы. (Москва, 1947, для 7-8-х классов.)
13. Доказать, что при любом целом а число а7 — а делится на 42.
14. Показать, что комплексное число а + Ы (i = I, а и b — действи-
тельны), модуль которого равен единице, причем 5/0, можно представить
в виде:
, c + i
а + Ьг =----,
с — г
где с — вещественное число. (Казань, 1947, для 10-х классов.)
15. Числа 1,2,3,..., 101 (всего 101 число) расположены в ряд в каком-
то неизвестном порядке. Показать, что из них можно вычеркнуть 90 чисел
так, что оставшиеся 11 окажутся расположенными либо в порядке возрас-
тания, либо в порядке убывания. (Москва, 1950, для 9-10-х классов.)
16. Доказать что не существует многогранника, имеющего семь ребер.
(Киев, 1952, для 9-10-х классов.)
17. Доказать, что + + является целым числом при любом чет-
ном п. (Республиканская олимпиада Литовской ССР, 1952, для 8-9-х клас-
сов.)
О профессии математика
391
18. Решить систему пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвест-
ными:
1 - Х1Х2 = О,
1 - х2х3 = О,
1 - X14Z15 = О,
1 - ^15X1 = О.
(Москва, 1952, для 7-х классов.)
19. Доказать, что при n > 1 имеют место неравенства
/ 1 \п
2 < (1 + —) <3.
\ 71/
(Орджоникидзе, 1953, для 10-х классов.)
20. Известно, что две смежные стороны параллелограмма равны а и Ь.
Найти отношение объемов фигур, получаемых при вращении параллело-
грамма вокруг этих сторон. (Москва, 1958, для 10-х классов.)
21. Решить в целых положительных числах уравнение:
i24(i + l)2y = (i + 2)4
(Москва, 1958, для 10-х классов.)
22. Доказать, что при целом п > 2 имеет место неравенство
(1 - 2-3---п)2 > пп.
(Москва, 1958, для 8-х классов.)
23. Из точки О на плоскости проведено п лучей. Попарно они образуют
п(п —1)/2 углов (каждый раз берется угол, не превышающий 180°). Каково
наибольшее возможное значение суммы этих углов? (Москва, 1958, для 9-х
классов.)
24. Решить систему уравнений:
2х2 2у2 2z2
Т+^~у’ T+^~Z' ТТ^~Х'
(Москва, 1957, для 8-х классов.)
25. Найти все действительные решения системы:
1 - xf - Х2,
1 — Х% = Хз,
1 З'п—1 Хп.
392
III. Статьи о математике в других изданиях
1 - = Z1.
(Москва, 1957, для 10-х классов.)
Приложение 4.
Список литературы по математике
Доступная людям со средним образованием и учащимся старших клас-
сов средней школы литература по математике в настоящее время доста-
точно обширна. Трудность скорее состоит в том, чтобы выбрать себе из
нее книги по вкусу и по силам.
Для интересующихся тренировкой в решении задач того типа, которые
предлагаются на вступительных экзаменах в вузы, полезны сборники:
1. Моденов П. С. Сборник задач по математике, изд. 5. Изд-во «Совет-
ская наука», М., 1954. (В сборнике собраны задачи, предлагавшиеся на кон-
курсных экзаменах в Московском государственном университете. Особое
внимание уделено разбору типичных ошибок, делаемых многими экзаме-
нующимися. Сборник страдает некоторым уклоном в сторону искусственно
запутанных задач.)
2. Антонов Н. П., Выгодский М. Я., Никитин В. В., Санкин А. И. Сборник
задач по элементарной математике, изд. 4. Гостехиздат, М., 1958.
Следующие два сборника содержат по преимуществу трудные задачи,
но они интереснее в смысле возможности на ряде задач познакомиться с
дополнительным теоретическим материалом и общими методами решения
задач.
3. Делоне Б. Н. и Житомирский О. К. Задачник по геометрии, изд. 6.
Гостехиздат, М.-Л., 1952. (Сборник содержит 506 геометрических задач,
выясняющих те или иные существенные свойства геометрических фигур.
Наборы задач по геометрии кругов, теории выпуклых многогранников, тео-
рии параллелоэдров и теории перспективы представляют собой введения в
интересные специальные разделы геометрии).
4. Кречмар В. А. Задачник по алгебре, изд. 2. Гостехиздат, М.-Л., 1950.
(Большой сборник сравнительно трудных алгебраических задач, включая
задачи на обратные тригонометрические функции. Многие задачи приво-
дят читателя к установлению интересных и находящих большое примене-
ние в математике соотношений, неравенств и т. п.)
5. Библиотека школьного математического кружка, издается Гостехиз-
датом начиная с 1950 г. (Содержит задачи, предлагавшиеся на олимпиа-
дах и в школьном математическом кружке при Московском государствен-
ном университете. Много очень трудных задач. Некоторые циклы задач
представляют собой введение в сложные разделы современной математи-
О профессии математика
393
ки. В частности, в последнем разделе выпуска 6 можно получить некоторые
сведения о предмете и практическим применениях теории вероятностей.)
Выпуск 1. Шклярский Д. О. и др. Избранные задачи и теоремы элемен-
тарной математики, ч. 1. Арифметика и алгебра. 1950.
Выпуск 2. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи
и теоремы элементарной математики, ч. 2. Планиметрия, 1952.
Выпуск 3. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи
и теоремы элементарной математики, ч. 3. Стереометрия. 1954.
Выпуск 4- Яглом И. М, Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. 1951.
Выпуск 5. Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элемен-
тарном изложении. 1954.
Выпуск 6. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. Задачи
о многоцветной раскраске. Задачи из теории чисел. Случайные блуждания.
1952.
Выпуск 1. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Движения и
преобразования подобия. [Т.] 1, 1955.
Выпуск 8. Яглом И. М. Геометрические преобразования, линейные и
круговые преобразования. [Т.] 2, 1956.
Книжки библиотеки школьного математического кружка довольно
трудны. Кроме того, они возникли в обстановке работы кружков и подго-
товки к олимпиаде, где центр тяжести лежит в развитии изобретательности
в решении задач. По материалам этой библиотеки лишь с трудом можно
получить представление об основных отделах математики и ее роли в есте-
ствознании и технике. Книжки библиотеки сознательно не касаются основ
математического анализа (ср. раздел 5 этой брошюры).
Желающие получить широкое понимание строения математики и ее
места в естествознании и технике могут обратиться к первым главам мо-
нографий:
6. Математика, ее содержание, методы и значение. Изд-во АН СССР,
М., 1956.
7. Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика. Элементарный очерк
идей и методов. Пер. с англ. Гостехиздат, М.-Л., 1947.
8. Со многими принципиально важными вопросами математики в до-
ступной форме знакомят небольшие книжки серии Гостехиздата — попу-
лярные лекции по математике.
Выпуск 1. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности, 1951.
Выпуск 2. Натансон И. П. Простейшие задачи на максимум и минимум,
1951.
Выпуск 3. Соминский И. С. Метод математической индукции, 1951.
Выпуск 4- Маркушевич А. И. Замечательные кривые, 1951.
Выпуск 5. Коровкин П. П. Неравенства, 1951.
394
III. Статьи о математике в других изданиях
Выпуск 6. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи, 1951.
Выпуск 7. Курош А. Г. Алгебраические уравнения произвольных степе-
ней, 1951.
Выпуск 8. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах, 1956.
Выпуск 9. Маркушевич А. И. Площади и логарифмы, 1952.
Выпуск 10. Смогоржевский А. С. Метод координат, 1952.
Выпуск 11. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах,
1953.
Выпуск 12. Натансон И. П. Суммирование бесконечно малых величин,
1953.
Выпуск 13. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отоб-
ражения, 1954.
Выпуск Ц. Фетисов А. И. О доказательствах в геометрии, 1954.
Выпуск 15. Шафаревич И. Р. О решении уравнений высших степеней,
1954.
Выпуск 16. Шерватов В. Г. Гиперболистические функции, 1954.
Выпуск 17. Болтянский В. Г. Что такое дифференцирование? 1955.
Выпуск 18. Миракьян Г. М. Прямой круговой цилиндр, 1955.
Выпуск 19. Люстерник Л. А. Кратчайшие линии, 1955.
Выпуск 20. Лопшиц А. М. Вычисление площадей ориентированных фи-
гур, 1956.
Выпуск 21. Головина Л. И. и Яглом И. М. Индукция в геометрии, 1956.
Выпуск 22. Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигу-
ры, 1956.
Выпуск 23. Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского, 1957.
Выпуск 2^- Аргунов Б. И. и Скораняков Л. А. Конфигурационные теоре-
мы, 1957.
Выпуск 25. Смогоржевский А. С. Линейка в геометрических построени-
ях, 1957.
Выпуск 26. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение задач,
1957.
Выпуск 27. Успенский В. А. Некоторые приложения механики к мате-
матике, 1958.
В частности, книга В. Г. Болтянского ((Выпуск 17)) может служить
первым введением в основные понятия дифференциального и интеграль-
ного исчисления. Более подробное изложение можно найти в книге:
9. Привалов И. И. и Гальперин С. А. Основы анализа бесконечно малых
(пособие для самообразования), изд. 2. Гостехиздат, М.-Л., 1949. (Доступ-
ное, но вполне строгое изложение начал дифференциального и интеграль-
ного исчислений. Следует, впрочем, заметить, что познакомиться с нача-
лами высшей математики можно самостоятельно и по многим учебникам
О профессии математика
395
для вузов и техникумов.) По стилю примыкают к «Популярным лекциям
по математике», но несколько больше их по объему книжки, указанные
под номерами 10-15.
10. Александров П. С. Введение в теорию групп, изд. 2. Учпедгиз, М.,
1951.
11. Люстерник Л. А. Выпуклые тела, изд. 2. Гостехиздат, М.-Л., 1941.
12. Шнирельман Л. Г. Простые числа. Гостехиздат, М.-Л., 1940.
13. Маркушевич А. И. Ряды, изд. 3, испр. и дополн. Гостехиздат, М.,
1957.
14. Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел, изд. 2. Гостехиздат,
М.-Л., 1948.
15. Больберг О. А. Основные идеи проективной геометрии, изд. 3. Уч-
педгиз, М.-Л., 1949.
16. Радемахер Г. и Теплиц О. Числа и фигуры, изд. 2. Гл. ред. научно-
попул. и юношеской литературы, М.-Л., 1938 (ОНТИ). (Очерки, показы-
вающие на примерах из различных разделов математики пути, которыми
были найдены некоторые замечательные математические предложения.)
17. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Гостехиздат, М.-Л.,
1949. (Ряд математических фактов сообщается в наглядной форме без
всяких доказательств. Книжка может служить по преимуществу лишь
для возбуждения интереса к более основательным занятиям математи-
кой. Очень хорошо выполнены иллюстрации.)
18. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. 1, изд. 4. Учпедгиз, М.,
1957. (Систематическое изложение элементарной геометрии, выходящее за
рамки школьных программ. Много интересных задач.)
19. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. Изд-во Акад,
пед. наук РСФСР, М., 1950.
20. Делоне Б. Н. Краткое изложение доказательства непротиворечиво-
сти планиметрии Лобачевского. Изд-во АН СССР, М., 1953.
21. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. Гостехиз-
дат, М.-Л., 1946. (Книга содержит много интересных исторических све-
дений. Изложение конкретных математических фактов иногда слишком
бегло, чтобы в нем можно было разобраться.)
22. Китов А. И. Электронные цифровые машины. Изд-во «Советское ра-
дио», М., 1956. (Книга по замыслу издательства рассчитана на инженеров
и научных работников, но в большей своей части доступна школьникам
старших классов.)
23. Полетаев И. А. Сигнал. Изд-во «Советское радио», М., 1958, (Увле-
кательно написанная книга о кибернетике. Содержит, кроме того, элемен-
тарные сведения по теории вероятностей, теории информации и теории
игр.)
396
III. Статьи о математике в других изданиях
24. Много интересного материала можно найти в журнале «Математика
в школе», издание Учпедгиза, шесть номеров в год, и в журнале «Матема-
тические просвещения».
Материалы математических школьных олимпиад печатаются также в
журнале «Успехи математических наук» (Гостехиздат), остальное содер-
жание которого, впрочем, мало доступно начинающим математикам.
В Большой Советской Энциклопедии (второе изд.) интересный и вполне
доступный материал имеется во многих статьях (обычно в начале статей,
конец которых предназначен для более подготовленного читателя). Тако-
вы, например, статьи Алгебра, Алгоритм Евклида, Аналитическая геомет-
рия, Арифметика, Бесконечно малые, Бесконечно удаленные элементы,
Геометрия, Геометрия окружностей и сфер, Дифференциальное исчисле-
ние. Интегральное исчисление (первые параграфы двух последних статей
рассчитаны именно на то, чтобы дать общее представление о предмете диф-
ференциального и интегрального исчислений читателю, владеющему лишь
курсом математики средней школы).
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Вероятностные закономерности
Простейшие закономерности, устанавливаемые естествознанием, за-
ключаются в указании условий, при которых какое-либо интересующее нас
событие заведомо происходит или заведомо не происходит, т. е. эти условия
могут быть выражены по одной из следующих двух схем:
1) если осуществляется комплекс (т. е. совокупность) условий S, то с
достоверностью происходит событие А;
2) если осуществляется комплекс условий 5, то событие А произойти
не может.
В первом случае событие А по отношению к комплексу условий S на-
зывается «достоверным» или «необходимым» событием, а во втором —
«невозможным» событием. Например, при атмосферном давлении и тем-
пературе £, лежащей в пределах 0° < t < 100° (комплекс условий S), вода с
достоверностью находится в жидком состоянии (достоверное событие Ai),
а в газообразном или в твердом состоянии находиться не может (невозмож-
ные события Аг и Аз).
Событие А, которое при осуществлении комплекса условий S иногда
происходит, а иногда не происходит, называется по отношению к этому
комплексу условий случайным. Возникает вопрос: означает ли случайность
события А отсутствие всякой закономерной связи между комплексом усло-
вий S и событием А? Пусть, например, установлено, что лампы определен-
ного типа, производимые определенным заводом (условия S), иногда горят
более 2000 час. (событие А), а иногда до истечения этого срока перегорают
и приходят в негодность. Могут ли тем не менее опыты с проверкой спо-
Математика, ее содержание, методы и значение. — Т. 2. — М.: Изд-во АН СССР,
1956. — С. 252-284. Перепеч.: Вероятность и математическая статистика: энциклопе-
дия. — 1999. — С. 871-881; Теория вероятностей и ее применения. — 2003. — Т. 48. —
Вып. 2. С. 211-248; предварение к этому последнему изданию и некоторые материа-
лы, опубликованные там же, помещены на с. 433-436. Перев. на англ, яз.: Transl. Math.
Monogr. — V. 1, part 4. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963. См. также статьи:
Вероятность II Большая Советская Энциклопедия. — Изд. 2. — 1951. — Т. 7. — С. 508-
510, Математическая энциклопедия. — 1977. — Т. 1. — С. 667-669, Вероятность и мате-
матическая статистика: энциклопедия. — 1999. — С. 96-97;
Теория вероятностей // Математика в СССР за 30 лет (1917-1947). — М.; Л.: Госте-
хиздат, 1948. — С. 701-727 (совм. с Б. В. Гнеденко);
Теория вероятностей // Математика в СССР за 40 лет (1917-1957). — Т. I. — М.:
Физматгиз, 1959. — С. 781-795.
398
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
собности ламп гореть 2 000 час. служить для характеристики качества про-
дукции завода? Или следует ограничиться указанием того срока (скажем,
500 час.), в течение которого практически все лампы безотказно работают,
и того срока, после которого практически все лампы перегорают (скажем,
срока в 10000 час.)? Ясно, что характеристика срока работы ламп только
неравенствами 500 Т 10000 мало удовлетворит потребителя. Потре-
битель получит значительно более полную информацию, если ему будет
сказано, что приблизительно в 80% случаев лампы служат не менее 2000
час. Еще более полная характеристика качества ламп будет содержаться в
указании для любого Т процента ламп, которые служат не менее Т
часов, хотя бы в виде графика, изображенного на рис. 1.
ц%
100
80
60
40
20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Рис. 1
Кривая и(Т) практически находится при помощи испытаний с пробной
партией из достаточно большого числа (100-200) ламп. Естественно, что
найденная таким образом кривая имеет действительную ценность лишь в
том случае, если она правильно отражает реальную закономерность, дей-
ствующую не только для данной пробной партии, но и вообще для ламп,
производимых при заданном качестве материалов и при установленной на
заводе технологии производства, т. е. если испытания, произведенные с
другими пробными партиями, состоящими из ламп, изготовленных в тех
же общих условиях, приводят к близким результатам (т. е. к кривым и(Т),
мало отличающимся от кривой, полученной в результате испытаний пер-
вой пробной партии). Это значит, что статистическая закономерность,
выражаемая кривыми и(Т") в пробных партиях, является лишь отраже-
нием вероятностной закономерности, связывающей срок службы лампы
с качеством материалов, из которых она изготовлена, и с технологией ее
изготовления.
Теория вероятностей
399
Эта вероятностная закономерность задается при помощи функции
Р(Т’), где Р(Т) есть вероятность того, что отдельная лампа (произведенная
при заданных условиях) будет гореть не менее Т часов.
Утверждение о существовании у события А определенной вероятности
Р(Л/5)=р
при условиях S заключается в том, что в различных достаточно длинных
сериях испытаний (т. е. осуществлений комплекса условий S) получаемые
частоты появления события А
vr = —
пг
(где пг — число испытаний r-й серии, цг — число тех испытаний этой серии,
при которых произошло событие Л) будут приблизительно одинаковы и
близки к р.
Гипотеза о существовании такой константы р = Р(Л/5) (объектив-
но обусловленной характером связи между комплексом условий S и со-
бытием Л), к которой частоты и оказываются, вообще говоря, тем бли-
же, чем больше число испытаний п, хорошо оправдывается для широкого
класса явлений. Такого рода явления естественно называть вероятностно-
случайными^ .
Рассмотренный выше пример относится к области вероятностных за-
кономерностей массового производства. Реальность такого рода зако-
номерностей не подлежит никакому сомнению. На них основаны весьма
важные практические приемы статистического выборочного контроля мас-
совой продукции. Близкой по способу образования вероятностных законо-
мерностей является область вероятностных законов рассеивания снарядов,
имеющих основное значение для теории стрельбы. Так как исторически это
один из первых примеров реального применения методов теории вероятно-
стей к техническим задачам, то к некоторым простейшим задачам теории
стрельбы мы еще вернемся далее.
Сказанное выше о «близости» вероятности р и частоты v при большом
числе испытаний п несколько расплывчато; мы ничего не сказали о том,
насколько мала разность и — р при том или ином п. Степень близости и
к р получит количественную оценку в § 3. Интересно отметить, что полно-
стью исключить некоторую неопределенность в этом вопросе нельзя. Само
утверждение о близости и и р, как это обнаруживается при уточнении во-
проса, имеет лишь вероятностный характер.
1 Иногда их называют стохастическими.
400
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
§ 2. Аксиомы и основные формулы элементарной
теории вероятностей
Поскольку большая роль статистических закономерностей несомненна,
возникает вопрос о методах их изучения. Прежде всего возникает мысль о
возможности чисто эмпирического, экспериментального их исследования.
Так как вероятностная закономерность проявляется в массовых процес-
сах, то представляется естественным, что для ее обнаружения необходимо
произвести массовый эксперимент.
Такое представление, однако, истинно лишь отчасти. Установив неко-
торые вероятностные закономерности экспериментально, можно выводить
из них новые вероятностные закономерности логическим или вычислитель-
ным путем при помощи некоторых общих допущений. Прежде чем пока-
зать, как это делается, мы должны перечислить некоторые основные опре-
деления и формулы теории вероятностей. Из представления о вероятности
как о нормальном значении частоты р = m/n, где 0 m п, и, следо-
вательно, 0 v 1, вытекает, что вероятность Р(А) любого события А
естественно считать лежащей между нулем и единицей2
0 Р(А) 1. (1)
Два события называются несовместимыми, если они не могут (при осу-
ществлении комплекса условий S) произойти оба. Например, при бросании
игральной кости выпадение четного числа очков и выпадение тройки яв-
ляются событиями несовместимыми. Событие А называется соединением
событий Ai и Аг, если оно состоит в том, что происходит хотя бы одно из
событий Ai или Аг- Например, при бросании игральной кости событие А,
состоящее в выпадении 1, 2 или 3, является соединением событий Ai и Аг,
где Ai состоит в выпадении 1 или 2, а Аг — в выпадении 2 или 3. Легко
видеть, что для чисел появлений mi, тг и т двух несовместимых событий
Ai и Аг и их соединения А = Ai иАг имеет место равенство т = mi +тг,
что дает для соответствующих частот и = ьц 4- i/г-
Это приводит к естественности следующей аксиомы сложения вероят-
ностей:
P(Ai U А2) = P(Ai) + Р(А2), (2)
если события Ai и Аг несовместимы и А = Ai U Аг обозначает их соедине-
ние. Далее, для достоверного события U естественно принять
Р(С/) = 1. (3)
23апись P(A/S) мы для краткости изменим теперь на Р(Л).
Теория вероятностей
401
Вся математическая теория вероятностей строится на простых аксио-
мах такого тина, как (1), (2) и (3). С точки зрения чистой математики ве-
роятность является числовой функцией от «события», обладающей рядом
аксиоматически фиксированных свойств. Свойства вероятностей, выража-
емые формулами (1), (2) и (3), служат достаточной основой для построения
так называемой элементарной теории вероятностей, если не настаивать на
том, что в аксиоматизации нуждаются и сами понятия события, соедине-
ния событий и определяемого ниже совмещения событий. Начинающему
полезнее держаться наглядного понимания терминов «событие» и «веро-
ятность», но полезно знать, что не поддающийся полной формализации
реальный смысл этих понятий не влияет на полную формальную отчет-
ливость аксиоматизированного чисто математического изложения теории
вероятностей.
Будем называть соединением событий Л1, Aq, ,AS, данных в любом
числе, событие А, заключающееся в том, что происходит хотя бы одно
из этих событий. Тогда из аксиомы сложения легко получаем для любого
числа попарно несовместимых событий А},А2, ., As и их соединения А
Р(Л) = Р(Д1) + Р(Л2) + --. + Р(А5)
(так называемая теорема сложения вероятностей).
Если соединение этих событий есть достоверное событие (т. е. при каж-
дом осуществлении комплекса условий S происходит какое-либо из со-
бытий Аь), то
Р(Л1) + Р(Л2) + --- + Р(Лв) = 1.
В этом случае систему событий Л1, Л2,..., Аа называют полной систе-
мой событий.
Рассмотрим теперь два, вообще говоря, совместимых события А и В.
Событие С назовем совмещением событий А и В (С = АВ), если событие
С состоит в том, что происходят оба события А и В.3
Например, если событие А состоит в том, что число очков, выпадающее
при бросании игральной кости, четно, а В — в том, что оно кратно трем,
то событие С состоит в том, что число очков равно шести.
Пусть при большом числе п повторных испытаний событие А появилось
т раз, а событие В появилось I раз, причем к раз вместе с событием А.
Отношение к/т естественно назвать условной частотой события В при
условии А. Связывающей частоты к/т, т/п и к/п формуле
к кт
т п п
естественно сопоставить следующее определение:
’Аналогично совмещение С любого числа событий Ai, Аг, ..., А, состоит в наступле-
нии всех указанных событий.
402
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Условной вероятностью Р(В | Л) события В при условии А называется
отношение
Р(В|Л) =
Р(АВ)
“РИГ’
Здесь предполагается, конечно, что Р(А) > 0.
Если события А и В по существу никак не связаны друг с другом,
то естественно предполагать, что событие В не должно появляться при
условии наступления события А ни существенно чаще, ни существенно ре-
же, чем при рассмотрении всех вообще испытаний, т. е. что приближенно
к/т ~ 1/п или
к кт 1т
n т n n п
В последнем приближенном равенстве т/п = рд есть частота события А, а
1/п = ив — частота события В, наконец, к/п = идв — частота совмещения
событий А и В.
Мы видим, что эти частоты связаны соотношением
у АВ ~ VAVB-
Для вероятностей событий Л, В и АВ естественно поэтому принять соот-
ветствующее точное равенство
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (4)
Равенство (4) служит определением независимости двух событий А
и В.
Аналогично можно определить независимость любого числа событий.
Кроме того, можно дать определение независимости любого числа испы-
таний (последнее, грубо говоря, сводится к тому, что тот или иной исход
части этих испытаний никак не влияет на исход остальных4).
Вычислим теперь вероятность Pk ровно к появлений некоторого собы-
тия А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р
4Точнее, независимость испытаний означает следующее. Разобьем п испытаний
каким-либо образом на две группы; пусть событие А заключается в том, что все ис-
пытания первой группы заканчиваются какими-либо наперед заданными исходами, а
событие В — в том, что все испытания второй группы заканчиваются какими-либо исхо-
дами, также наперед заданными. Испытания называются независимыми (в совокупно-
сти), если при любом разбиении и любом задании исходов определенные выше события
А и В независимы в смысле (4).
К обсуждению реального смысла понятия независимости мы еще вернемся в § 4.
Теория вероятностей
403
появления этого события одна и та же. Обозначим через А событие, за-
ключающееся в непоявлении события А. Очевидно, что
Р(А) = 1-Р(4) = 1-р.
Из определения независимости испытаний нетрудно усмотреть, что ве-
роятность какой-либо определенной последовательности, составленной из
к появлений А и п — к непоявлений А, равна
(5)
Так, например, при п = 5 и к = 2 вероятность получить последователь-
ность исходов ААААА будет р(1 — р)р(1 — р)(1 — р) = р2(1 — р)3.
По теореме сложения вероятность Рь равна сумме вероятностей всех
последовательностей с к появлениями и п — к непоявлениями события А,
т. е. в силу (5) равна произведению числа таких последовательностей на
pfc(l — р)п~к. Число таких последовательностей, очевидно, равно числу со-
четаний из п по к, поскольку к положительных исходов могут занимать в
ряду из п испытаний любые к мест.
Окончательно получаем
Pk = Скрк(1 - р)п~к (А: = 0,1,... ,п) (6)
(так называемое биномиальное распределение).
Чтобы увидеть, как применяются приведенные выше определения и
формулы, рассмотрим пример, относящийся к теории стрельбы.
Пусть для поражения цели достаточно пяти попаданий. Нас интересует
вопрос, имеем ли мы право рассчитывать на то, что необходимые пять по-
паданий получатся в результате 40 выстрелов. Чисто эмпирический метод
решения этой задачи заключался бы в следующем. При заданных разме-
рах цели и заданной дистанции стрельбы производится много (скажем, 200)
стрельб по 40 выстрелов в каждой и определяется, в каком числе стрельб
получилось не менее пяти попаданий в цель. Если этот результат был до-
стигнут, например, в 195 стрельбах из 200, то вероятность Р равна при-
близительно
По рассмотренному чисто эмпирическому рецепту исследования мы по-
тратили бы 8000 снарядов для решения крайне специальной задачи. Так на
практике, конечно, не поступают. Вместо этого начинают с исследования
рассеивания снарядов при данной дистанции стрельбы независимо от раз-
меров цели. Оказывается, что отклонения по дальности и боковые откло-
нения от средней точки падения подчиняются в смысле частоты, с которой
404
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
встречаются отклонения различных размеров, закону, изображенному на
рис. 2.
2% 7% 16% 25% 25% 16% 7% 2%
-4В -ЗВ —2В -В 0 В 2В ЗВ 4В
Рис. 2
Буквой В здесь обозначено так называемое вероятное отклонение. Ве-
роятное отклонение, вообще говоря, различно для отклонений по дальности
и боковых отклонений и, кроме того, увеличивается с увеличением дистан-
ции стрельбы. Вероятные отклонения для различных дистанций для каж-
дого типа орудия и снаряда находятся эмпирически при помощи опытных
стрельб на артиллерийском полигоне. После же этого решение всевозмож-
ных специальных задач такого типа, как поставленная выше, производится
расчетным путем.
Предположим для простоты, что интересующая нас цель имеет вид пря-
моугольника, одна сторона которого направлена вдоль линии стрельбы и
имеет размеры в два вероятных отклонения по дальности, а другая сто-
рона, перпендикулярная линии стрельбы, равна двум вероятным боковым
отклонениям. Предположим, далее, что цель хорошо пристреляна и сред-
няя траектория полета снарядов проходит через ее центр (рис. 3).
Рис. 3
Предположим еще, что боковое отклонение и отклонение по дальности
независимы5. Тогда для попадания в цель данным снарядом необходимо и
достаточно, чтобы его отклонения по дальности и боковое не превосходи-
ли соответствующих вероятных отклонений. В соответствии с рис. 2 каж-
дое из этих событий будет наблюдаться примерно для 50% выпущенных
снарядов, т. е. с вероятностью Совмещение обоих этих событий будет
происходить примерно для 25% выпущенных снарядов, т. е. вероятность
попадания отдельного снаряда в цель будет равна
1 1 1
Р~ 2 ' 2 “ 4’
5Эти предположения независимости подтверждаются опытом.
Теория вероятностей
405
а вероятность промаха при отдельном выстреле будет равна
Предполагая, что попадания при отдельных выстрелах представляют
собой независимые события, и применяя биномиальную формулу (6), мы
находим, что вероятность получить при 40 выстрелах ровно к попаданий
будет равна
Pt = C^pkqm~k
40-39•••(39 — fc) /1\*=/3\40-к
1-2---Л \4/ \4/
Интересующая нас вероятность получить не менее пяти попаданий выра-
зится теперь формулой Р = Но ее проще вычислить по формуле
Р = 1 — Q, исходя из вероятности Q = Ylk=o получить менее пяти попа-
даний.
Можно подсчитать, что
Р2 =
Рз =
/Зх40
(-) ~ 0,00001, Л=4(
\4/
40-39 /3x38 /1x2
2 (4) \4/ ~0’00087’
40 - 39 - 38 / 3 x 37/1x3
2-3 (4) (4) ~ ’
40 • 39 • 38 • 37 /3x36/1x4
2-3-4 (4) G) ~°’00113’
3\391
-) 0,00013,
4/ 4
Л =
откуда Q = 0,016, Р = 0,984.
Полученная вероятность Р даже несколько ближе к единице, чем это
обычно признается достаточным в теории стрельбы при назначении числа
снарядов, способного обеспечить выполнение поставленной задачи. Чаще
всего считают возможным указывать число снарядов, которое гарантирует
выполнение поставленной задачи с вероятностью 0,95.
Рассмотренный пример несколько схематичен, но он достаточно убеди-
тельно показывает важность вероятностных расчетов. Установив из опыта
зависимость вероятных отклонений от дистанции стрельбы, для чего до-
статочно совсем небольшого числа стрельб на полигоне, мы можем потом
при помощи несложных расчетов получать ответы на самые разнообразные
вопросы. Так же дело обстоит и во всех других областях, где совместное
действие большого числа случайных факторов приводит к статистическим
закономерностям. При непосредственной обработке массовых наблюдений
выясняются лишь самые простые из этих статистических закономерностей,
т. е. находятся лишь некоторые исходные вероятности. Затем, при помощи
406
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
законов теории вероятностей, отправляясь от этих исходных вероятностей,
вычисляют вероятности более сложных явлений и на основе этих вычис-
лений делают выводы о статистических закономерностях, управляющих
интересующими нас сложными явлениями.
Иногда удается и совсем обойтись без собирания массового статисти-
ческого материала, так как исходные вероятности могут быть определены
из достаточно убедительных соображений симметрии. Например, традици-
онный вывод о том, что игральная кость, т. е. куб, вырезанный из одно-
родного материала, при бросании с достаточной высоты падает на каж-
дую из своих граней с одинаковой вероятностью |, был сделан несомненно
раньше, чем вполне систематически был собран достаточный для оправ-
дания этого вывода наблюдательный материал. Систематические опыты
такого рода производились в XVIII-XX вв. преимущественно составителя-
ми учебников по теории вероятностей, когда теория вероятностей уже бы-
ла разработанной наукой. Результат этой проверки был удовлетворителен,
но распространение подобной деятельности на новые аналогичные случаи
вряд ли представляет интерес. Например, насколько нам известно, никто
не производил достаточно обширных опытов с бросанием вырезанного из
однородного материала правильного двенадцатигранника. Но нет никаких
сомнений, что если бы было произведено, скажем, 12 000 таких бросаний,
то двенадцатигранник упал бы на каждую из своих граней приблизительно
в тысяче случаев.
Получение исходных вероятностей из соображений симметрии или од-
нородности играет также большую роль во многих серьезных научных
задачах, например во всех задачах на столкновения или сближения бес-
порядочно двигающихся молекул газа или — с таким же успехом — звезд
галактики. Конечно, в таких более деликатных случаях предпочитают хотя
бы косвенно проверять сделанные допущения путем сравнения вытекаю-
щих из них выводов с опытом.
§ 3. Закон больших чисел и предельные теоремы
Вполне естественна потребность количественно уточнить утверждение
о том, что в «больших» сериях испытаний частоты появления события
«близки» к его вероятности. Следует ясно представить себе известную де-
ликатность этой задачи. В наиболее типичных для теории вероятностей
случаях дело обстоит так, что в сколь угодно длинных сериях испытаний
остаются теоретически возможными оба крайних значения частоты
^ = 2 = 1 „ ^ = о=о.
п п п п
Теория вероятностей
407
Поэтому, каково бы ни было число испытаний п, нельзя утверждать с пол-
ной достоверностью, что будет выполнено, скажем, неравенство
М , 1
п-р <15-
Например, если событие А заключается в выпадении при бросании иг-
ральной кости шестерки, то при п бросаниях с вероятностью (|)п > 0
мы все время будем получать одни шестерки, т. е. с вероятностью (|)п
получим частоту появления шестерок, равную единице, а с вероятностью
(1 — |)п>0 шестерка не выпадает ни одного раза, т. е. частота появления
шестерок окажется равной нулю.
Во всех подобных задачах любая нетривиальная оценка близости меж-
ду частотой и вероятностью действует не с полной достоверностью, а лишь
с некоторой меньшей единицы вероятностью. Можно, например, доказать,
что в случае независимых испытании с постоянной вероятностью р появ-
ления события неравенство
Д
п
< 0,02
(7)
для частоты р/п будет выполняться при п = 10 000 (и любом р) с вероят-
ностью
Р > 0,9999.
(8)
Здесь мы прежде всего хотим подчеркнуть, что в приведенной фор-
мулировке количественная оценка близости частоты р/п к вероятности р
связана с введением новой вероятности Р.
Реальный смысл оценки (8) таков: если произвести N серий по п испы-
таний и сосчитать число М серий, в которых выполняется неравенство (7),
то при достаточно большом N приближенно будет
— « Р > 0,9999.
О)
Но если мы захотим уточнить соотношение (9) как в отношении степе-
ни близости М/N к Р, так и в отношении надежности, с которой можно
утверждать, что такая близость будет иметь место, то придется обратиться
к рассмотрениям, аналогичным тем, которые мы уже провели в примене-
нии к близости р/п ар. При желании такое рассуждение можно повторять
неограниченное число раз, но вполне понятно, что это не позволит нам
6См. сноску на с. 404. Доказательство оценки (8) пояснено на с. 411.
408
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
совсем освободиться от необходимости на последнем этапе обратиться к
вероятностям в примитивном грубом понимании этого термина.
Не следует думать, что подобного рода затруднения являются какой-то
особенностью теории вероятностей. При математическом изучении реаль-
ных явлений мы всегда их схематизируем. Отклонения хода действитель-
ных явлений от теоретической схемы можно, в свою очередь, подвергнуть
математическому изучению. Но для этого сами эти отклонения надо уло-
жить в некоторую схему и этой последней пользоваться уже без формаль-
ного математического анализа отклонений от нее.
Заметим, впрочем, что при реальном применении оценки7
- р < 0,02 } > 0,9999
(Ю)
к единичной серии из п испытаний мы опираемся и на некоторые сооб-
ражения симметрии: неравенство (10) указывает, что при очень большом
числе N серий соотношение (7) будет выполняться не менее чем в 99,99%
случаев; естественно с большой уверенностью ожидать, что, в частности,
неравенство (7) осуществится в интересующей нас определенной серии из п
испытаний, если мы имеем основания считать, что эта серия в ряду других
серий занимает рядовое, ничем особенным не отмеченное положение.
Вероятности, которыми принято пренебрегать в различных практиче-
ских положениях, различны. Выше уже отмечалось, что при ориентиро-
вочных расчетах расхода снарядов, гарантирующего выполнение постав-
ленной задачи, удовлетворяются нормой расхода снарядов, при которой
поставленная задача решается с вероятностью 0,95, т. е. пренебрегают ве-
роятностями, не превышающими 0,05. Это объясняется тем, что переход
на расчеты, исходящие из пренебрежения, скажем, лишь вероятностями,
меньшими 0,01, приводил бы к большому увеличению норм расхода сна-
рядов, т. е. практически во многих случаях к выводу о невозможности вы-
полнить поставленную задачу за тот короткий промежуток времени, кото-
рый для этого имеется, или с фактически могущим быть использованным
запасом снарядов.
Иногда и в научных исследованиях ограничиваются статистическими
приемами, рассчитанными исходя из пренебрежения вероятностями в 0,05.
Но это следует делать лишь в случаях, когда собирание более обширного
материала очень затруднительно. Рассмотрим в виде примера таких при-
емов следующую задачу. Допустим, что в определенных условиях употре-
бительный препарат для лечения какого-либо заболевания дает положи-
тельный результат в 50%, т. е. с вероятностью 0, 5. Предлагается новый
7Так записывают оценку (8) для вероятности неравенства (7).
Теория вероятностей
409
препарат и для проверки его преимуществ над старым планируется при-
менить его в десяти случаях, выбранных беспристрастно из числа боль-
ных, находящихся в том же положении, что и те, для которых установлена
эффективность старого препарата в 50%. При этом устанавливается, что
преимущество нового препарата будет считаться доказанным, если он даст
положительный результат не менее чем в восьми случаях из десяти. Легко
подсчитать, что такое решение связано с пренебрежением вероятностью по-
лучить ошибочный вывод (т. е. вывод о доказанности преимущества нового
препарата, в то время как он равноценен или даже хуже старого) как раз
порядка 0,05. В самом деле, если в каждом из десяти испытаний вероят-
ность положительного исхода равна р, то вероятности получить при десяти
испытаниях 10, 9 или 8 положительных исходов, равны соответственно
Ао=Р10, Р9 = Юр9(1-р), Р8 = 45р8(1 — р)2.
В сумме для случая р — | получаем
56
Р = Р10 + Р9 + Р8 = -—-0,05.
1024
Таким образом, в предположении, что на самом деле новый препарат точ-
но равноценен старому, мы рискуем сделать ошибочный вывод о том, что
новый препарат превосходит старый, с вероятностью порядка 0,05. Что-
бы свести эту вероятность приблизительно к 0,01, не увеличивая числа
испытаний п = 10, пришлось бы установить, что преимущество нового
препарата будет считаться доказанным лишь тогда, когда его применение
даст положительный результат не менее чем в девяти случаях из десяти.
Если это требование покажется сторонникам нового препарата слишком су-
ровым, то придется назначить число испытаний п значительно большим,
чем 10. Если, например, при п = 100 установить, что преимущества но-
вого препарата будут считаться доказанными при р > 65, то вероятность
ошибки будет лишь Р « 0,0015.
Если норма в 0,05 для серьезных научных исследований явно недо-
статочна, то вероятностью ошибки в 0,001 или в 0,003 по большей части
принято пренебрегать даже в столь академических и обстоятельных иссле-
дованиях, как обработка астрономических наблюдений. Впрочем, иногда
научные выводы, основанные на применении вероятностных закономерно-
стей, обладают и значительно большей достоверностью (т. е. построены на
пренебрежении значительно меньшими вероятностями). Об этом еще будет
сказано далее.
В рассмотренных примерах мы уже неоднократно применяли частные
случаи биномиальной формулы (6)
Pm = C™pm(l-p)n~m
410
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
для вероятности Рт получить ровно т положительных исходов при п неза-
висимых испытаниях, в каждом из которых положительный исход имеет
вероятность р. Рассмотрим при помощи этой формулы вопрос, поставлен-
ный в начале этого параграфа, о вероятности
Д
п
(И)
где /л — фактическое число положительных исходов8. Очевидно, эта ве-
роятность может быть записана в виде суммы тех Рт, для которых т
удовлетворяет неравенству
т
---Р
п
(12)
т. е. в виде
ГП2
р = 52 ^>тп)
7П=ТП1
где mi ~ наименьшее из значений тп, удовлетворяющих неравенству (12),
а 7712 — наибольшее из таких т.
Формула (13) при сколько-нибудь больших п мало пригодна для непо-
средственных вычислений. Поэтому имело очень большое значение откры-
тие Муавром для случая р = | и Лапласом при любом р асимптотической
формулы, которая позволяет очень просто находить и изучать поведение
вероятностей Рт при больших ti. Формула эта имеет вид
> 1 ( (т ~ nP)2 1
т \/2imp(l -р) Р| 2тгр(1-р)/
Если р не слишком близко к нулю или единице, то она достаточно точна
уже при тг порядка 100. Если положить
_ т — пр
у/пр(1 -рУ
то формула (14) приобретет вид
Р 1 J <21
у/27гтгр(1 — р) I 2 J
(15)
(16)
8у. принимает с вероятностями Рш значения т = 0,1,... , п, т. е. Р{д = т} = Рт
Теория вероятностей
411
Из (13) и (16) можно вывести приближенное представление вероятно-
сти (11)
1 Гт
Р~-= e~t2/2dt = F(T),
У2тг J-т
(17)
где
р(1 -рУ
(18)
Разность между левой и правой частями в (17) при постоянном и отличном
от нуля и единицы р стремится при п —> оо равномерно относительно е к
нулю. Для функции F(T) составлены подробные таблицы. Вот краткая
выдержка из них:
F 0,68269 0,95450 0,99730 0,99993
При Т —> оо значение функции F(T) стремится к единице.
Произведем при помощи формулы (17) оценку вероятности
Р= pj И -р < 0,02
при п = 10000. Так как Т = 2/\/р(1 — р), то
/ 2
\ х/р(1 -р)
Так как функция F(T) монотонно возрастает с возрастанием Т, то для
не зависящей от р оценки Р снизу надо взять наименьшее возможное (при
различных р) значение Т. Такое наименьшее значение получится при р =
и оно будет равно 4. Поэтому приближенно
Р > F(4) = 0,99993.
(19)
В неравенстве (19) не учтена ошибка, происходящая из-за приближен-
ного характера формулы (17). Производя оценку связанной с этим обсто-
ятельством погрешности, можно во всяком случае установить, что Р >
0,9999.
В связи с рассмотренным примером применения формулы (17) следу-
ет отметить, что оценки остаточного члена формулы (17), дававшиеся в
теоретических сочинениях по теории вероятностей, долго оставались мало
412
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
удовлетворительными. Поэтому применения формулы (17) и ей подобных
к расчетам при не очень больших п или при вероятностях р, очень близких
к 0 или к 1 (а такие вероятности во многих случаях и имеют особенно боль-
шое значение) часто основывались лишь на опыте проверок такого рода ре-
зультатов для ограниченного числа примеров, а не на достоверно установ-
ленных оценках возможной ошибки. Более подробное исследование, кроме
того, показало, что во многих практически важных случаях приведенные
выше асимптотические формулы нуждаются не только в оценке остаточ-
ного члена, но и в уточнении (так как без такого уточнения остаточный
член слишком велик). В обоих направлениях наиболее полные результаты
принадлежат С. Н. Бернштейну.
Соотношения (И), (17) и (18) можно переписать в виде
(20)
Для достаточно больших t правая часть формулы (20), не содержащая п,
сколь угодно близка к единице, т. е. к значению вероятности, которое соот-
ветствует полной достоверности. Мы видим, таким образом, что, как пра-
вило, отклонения частоты р/n от вероятности р имеют порядок 1/у/п.
Такая пропорциональность точности действия вероятностных закономер-
ностей квадратному корню из числа наблюдений типична и для многих
других вопросов. Иногда говорят даже в порядке несколько упрощенной
популяризации о «законе квадратного корня из п» как основном законе
теории вероятностей. Полную отчетливость эта мысль получила благода-
ря введению великим русским математиком П. Л. Чебышевым в система-
тическое употребление метода сведения различных вероятностных задач к
подсчетам «математических ожиданий» и «дисперсий» для сумм и средних
арифметических «случайных величин».
Случайной величиной называется величина, которая в данных усло-
виях S может принимать различные значения с определенными вероят-
ностями. Для нас достаточно рассмотреть случайные величины, могущие
принимать лишь конечное число различных значений. Чтобы указать, как
говорят, распределение вероятностей такого рода случайной величины £,
достаточно указать возможные ее значения Х\,Х2, . ,х3 и вероятности
рг = р{< = тг}.
В сумме эти вероятности по всем различным возможным значениям вели-
чины £ всегда равны единице:
Теория вероятностей
413
Примером случайной величины может служить изучавшееся выше чис-
ло р положительных исходов при п испытаниях.
Математическим ожиданием величины £ называется выражение
S
м(с) = Ер^’
Г=1
а дисперсией величины £ называют математическое ожидание квадрата
отклонения £ — М(£), т. е. выражение
S
ою = £рг(тг-м(«))2.
Г—1
Корень квадратный из дисперсии
<7( = УОЙ
называется средним квадратическим отклонением (величины от ее мате-
матического ожидания М(£)).
В основе простейших применений дисперсий и средних квадратических
отклонений лежит знаменитое неравенство Чебышева
Р{1« - M(f)| « ta{) » 1 - i (21)
Оно показывает, что отклонения £ от М(£), значительно превышающие сг^,
встречаются редко.
При образовании сумм случайных величин
е = е<1>+е<2> + . •+?<">
для их математических ожиданий всегда имеет место равенство
М(£) = М«(1)) 4- М(£(2)) + • • • + М«(п)). (22)
Аналогичное равенство для дисперсий
D«) = d^1)) + d«(2)) + • • • + d^)) (гз)
верно только при некоторых ограничениях. Для справедливости равенства
(23) достаточно, например, чтобы величины и с различными номе-
рами не были, как говорят, «коррелированы» между собой, т. е. чтобы при
i / j выполнялось равенство9
М|(£(i) - M«(i)))(£(j) - М(С0)))} = 0. (24)
9 Коэффициентом корреляции между величинами и называется выражение
М{(<«> - М(^>))(<<» - М(С'»))}
/1 = ------------------------.
^(*)
414
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
В частности, равенство (24) соблюдается, если величины и неза-
висимы между собой10. Таким образом, для взаимно независимых слагае-
мых всегда действует равенство (23). Для средних арифметических
с = 1(?(ч+5т + ...+ е(">)
из (23) вытекает
D(C) = i(D(f(1)) + D(f<2>) + + □«<">)). (25)
Предположим теперь, что для всех слагаемых дисперсии не превосходят
некоторой постоянной:
D(e(i)) с2.
Тогда по (25)
D(0 -S
и в силу неравенства Чебышева при любом t
( tf 'I 1
Р{К-Л/(С)|<^=р1-£. (26)
Неравенство (26) содержит в себе так называемый закон больших чисел
в форме, установленной Чебышевым: если величины взаимно незави-
симы и имеют ограниченные дисперсии, то при возрастании п их средние
арифметические £ все реже заметно отклоняются от своих математических
ожиданий М(£).
Более точно говорят, что последовательность величин
Если > 0 и сг^о) > 0, то условие (24) равносильно тому, что R = 0.
Коэффициент корреляции R характеризует степень зависимости между случайными
величинами. Всегда |Я| 1, причем R = ±1 только при наличии линейной связи
г] = af + b (а/0).
Для независимых величин R = 0.
^Независимость двух случайных величин и £ и г/, способных принимать, соответствен-
но, значения Ti, Т2,...,хт и jn,3/2,..., Уп, по определению обозначает, что при любых i
и j события At = {£ = Ti} и Bj = {rj = yj} независимы в смысле определения, данного
в §2.
Теория вероятностей
415
подчиняется закону больших чисел, если для соответствующих средних
арифметических £ и при любом постоянном е > О
р{1с-мю|«4-1
(27)
при П —+ ОО.
Чтобы получить из неравенства (26) предельное соотношение (27), до-
статочно положить
х/П
t = £~c'
Большой ряд исследований А. А. Маркова, С. Н. Бернштейна,
А. Я. Хинчина и других посвящен вопросу возможно большего расшире-
ния условий применимости предельного соотношения (27), т. е. условий
применимости закона больших чисел. Эти исследования имеют принципи-
альное значение. Однако еще более важным является точное исследование
распределения вероятностей отклонений £ — М(£).
Великой заслугой русской классической школы в теории вероятностей
является установление того факта, что при очень широких условиях асимп-
тотически (т. е. со все большей точностью при неограниченно растущих п)
справедливо равенство
1 Г*1 2
P{t^ < С - М(С) < t2aQ} ~ -= / е-‘2/2 dt. (28)
5/27Г Jtl
Чебышев дал почти полное доказательство этой формулы для случая неза-
висимых и ограниченных слагаемых. Марков восполнил недостающее зве-
но в рассуждениях Чебышева и расширил условия применимости формулы
(28). Еще более общие условия были даны Ляпуновым. Вопрос о распро-
странении формулы (28) на суммы зависимых слагаемых с особенной пол-
нотой был изучен С. Н. Бернштейном.
Формула (28) охватила столь большое число частных задач, что долгое
время ее называли центральной предельной теоремой теории вероятностей.
Хотя при новейшем развитии теории вероятностей она оказалась включен-
ной в ряд более общих закономерностей, ее значение трудно переоценить и
в настоящее время.
Если слагаемые независимы и их дисперсии одинаковы и равны:
D(«w) = ст2,
то формуле (28) удобно, учитывая соотношение (25), придать вид
IVп VnJ
(29)
416
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Покажем, что соотношение (29) содержит в себе решение задачи об откло-
нениях частоты р/n от вероятности р, которой мы занимались ранее. Для
этого введем случайные величины определяя их следующим условием:
О, если г-е испытание имело отрицательный исход,
1, если г-е испытание имело положительный исход.
Легко проверить, что тогда
Д = ^(1) +С(2) +...+£("), =
п
м«(1,)=р, D(«<1>)=p(l-p),
М(С)=Р,
и формула (29) дает
Р(1 ~Р) М . /р(1 -р)
------- <---P<t2\ --------
что при ti = — t, t2 = t снова приводит к формуле (20).
§ 4. Дополнительные замечания об основных понятиях
теории вероятностей
Говоря о случайных явлениях, которым свойственна устойчивость ча-
стот, т. е. тенденция при большом числе повторений известных условий про-
исходить с частотами, группирующимися вокруг некоторого нормального
уровня — вероятности Р(Л/5), мы допустили в §1 некоторую неточность
и расплывчатость формулировок в двух отношениях. Первая из допущен-
ных неточностей заключается в том, что мы не указали, насколько велики
должны быть по своей численности серии испытаний пг для того, чтобы
устойчивость частот уже обязана была проявиться, и каковы именно допу-
стимые отклонения частот рг/пт друг от друга и от нормального их уров-
ня р при тех или иных численностях отдельных серий П1,Пг,... ,ns. Эта
неточность на первом этапе формирования понятий новой науки неизбеж-
на. Она нисколько не больше, чем известная расплывчатость, свойственная
простейшим геометрическим понятиям точки или прямой в их физическом
понимании. Эта сторона дела была затем уточнена в § 3.
Существеннее другая скрытая в наших формулировках неясность, от-
носящаяся к способу формирования тех серий, в которых должна наблю-
даться устойчивость частот появления события А.
Мы уже видели, что к статистическим и вероятностным методам ис-
следования обращаются тогда, когда точное индивидуальное предсказание
Теория вероятностей
417
хода событий оказывается неосуществимым. Желая же искусственно со-
здать по возможности чисто случайные явления, специально заботятся о
том, чтобы никакими доступными средствами нельзя было заранее выде-
лить те случаи, в которых явление А будет иметь тенденцию появляться
чаще, чем с некоторой нормальной для него частотой.
Так организуются, например, тиражи государственных займов. Если в
данном тираже из общего числа N облигаций на М из них выпадает выиг-
рыш, то вероятность выигрыша для отдельной облигации равна р = M/N.
Это значит, что каким бы образом мы ни выделили заранее до тиража со-
вокупность облигаций достаточно большой численности п, мы можем быть
практически уверены, что отношение р/п числа р выигравших облигаций
в выделенной совокупности к общей численности п этой совокупности ока-
жется близким к р. Например, лица, предпочитающие приобретать четные
номера облигаций, не получат никакого систематического преимущества
перед теми, которые предпочитают приобретать нечетные номера; точно
так же не получат никакого преимущества лица, которые исходили бы из
убеждения, что лучше всего приобретать облигации с номерами, разлагаю-
щимися ровно на три простых множителя, или облигации, номера которых
являются соседними с теми, на которые упали выигрыши в предшествую-
щем тираже, и т. п.
Точно так же при стрельбе из исправного орудия данного образца, с
хорошо обученным обслуживающим персоналом и при нормальном спо-
собе получения снарядов, прошедших обычный для выпускаемой продук-
ции контроль, мы будем получать отклонения от средней точки падения
меньше определенного заранее вероятного отклонения В приблизительно
в половине случаев. Эта пропорция сохранится в ряде последовательных
стрельб, сохранится она и в том случае, если мы отдельно подсчитаем чис-
ло отклонений, меньших В, для четных или нечетных (по порядку их во
времени) выстрелов и т. п. Но вполне возможно, что, произведя отбор осо-
бенно однородных (в отношении их веса и т. п.) снарядов, мы могли бы
рассеивание несколько уменьшить, т. е. получить серию снарядов, для ко-
торой доля отклонений, больших стандартного В, окажется существенно
меньше половины.
Итак, говорить о том, что событие А является «вероятностно-случай-
ным» и приписывать ему определенную вероятность
Р = Р(Л/5)
можно только тогда, когда указан класс допустимых способов формирова-
ния серий испытаний. Указание этого класса мы будем считать включен-
ным в условия S.
418
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
При заданных условиях S свойство события А быть вероятностно-слу-
чайным и иметь вероятность р = Р(Л/5) выражает объективный характер
связи между условиями S и событием А. Иначе говоря, не существует
событий абсолютно случайных, события являются случайными или необ-
ходимыми в зависимости от того, в какой связи они рассматриваются, но в
определенных условиях событие может быть случайным совершенно объ-
ективно, и это его свойство не зависит от состояния знаний какого бы
то ни было наблюдателя. Если вообразить наблюдателя, который мог бы
улавливать во всех деталях отличительные свойства и особые обстоятель-
ства полета снарядов и, следовательно, предсказывать индивидуальные
для каждого из них отклонения от средней траектории, то его присутствие
не помешало бы снарядам рассеиваться по законам теории вероятностей
(если, конечно, стрельба будет производиться обычным способом, а не по
указаниям нашего воображаемого наблюдателя).
Заметим по этому поводу, что обсуждавшееся выше формирование се-
рий, в которых проявляется тенденция к постоянству частот в смысле их
группирования вокруг нормального значения — вероятности, тоже про-
исходит в реальном обстановке совершенно независимо от нашего вме-
шательства. Например, именно в силу вероятностно-случайного характе-
ра движений молекул в газе число молекул, ударяющихся даже за очень
малые промежутки времени о какую-либо площадку стенки сосуда или
поверхности помещенных в газе тел, оказывается с большой точностью
пропорциональным площади этой площадки и длине промежутка време-
ни. Отклонений от этой пропорциональности в тех случаях, когда число
ударов невелико, тоже следуют законам теории вероятностей и вызывают
явления типа броуновского движения, о чем будет идти речь далее.
Обратимся к выяснению реального смысла понятия независимости. На-
помним, что условная вероятность события А при условии В определялась
формулой
= W <30>
Напомним также, что события А и В назывались независимыми, если, со-
гласно (4),
Р(ДВ) = Р(А)Р(В).
Из независимости событий А и В и Р(В) >0 следует
Р(Л|В) = Р(Л).
Все теоремы математической теории вероятностей, говорящие о незави-
симых событиях, применимы к любым событиям, удовлетворяющим усло-
вию (4), или его обобщениям на случай взаимной независимости многих
Теория вероятностей
419
событий. Эти теоремы имели бы, однако, мало интереса, если бы это опре-
деление не находилось в связи со свойствами реально независимых (в при-
чинном смысле) явлений.
Известно, например, что вероятность новорожденному оказаться маль-
чиком имеет довольно устойчивое значение Р(Д) = ||. Если В обозначает
условие, что рождение происходит в день соединения Юпитера с Марсом,
то в предположении, что расположение планет не определяет индивидуаль-
ных судеб людей, условная вероятность Р(Л | В) имеет то же самое значе-
ние: Р(Л | В) = ||, т. е. фактический подсчет частоты рождения мальчиков
при таких специальных астрологических условиях привел бы именно к ча-
стоте ||. Хотя такой подсчет в достаточно обширных размерах, возможно,
никем не производился, нет оснований сомневаться в его результате.
Мы привели этот несколько устарелый по содержанию пример для то-
го, чтобы показать, что развитие человеческого познания состоит не только
в установлении истинных связей между явлениями, но и в опровержении
связей воображаемых, т. е. установлении в надлежащих случаях тезиса о
независимости каких-либо двух кругов явлений. Разоблачение бессмыслен-
ности попыток астрологов связать между собою два круга явлений, друг с
другом не связанных, является одним из классических тому примеров.
Естественно, что такого рода независимость не следует абсолютизиро-
вать. Например, в силу закона всемирного тяготения несомненно, что пе-
ремещение спутников Юпитера оказывает некоторое влияние, скажем, на
полет артиллерийского снаряда. Но очевидно, что на практике с этими
влияниями мы можем не считаться. С философской стороны, быть может,
было бы правильнее вместо независимости говорить о несущественности
в данной конкретной обстановке тех или иных зависимостей. Но как бы
то ни было, независимость событий в объявленном сейчас конкретном и
относительном понимании этого термина ни в какой мере не противоречит
принципу всеобщей связи всех явлений, она лишь его необходимое допол-
нение.
Подсчеты вероятностей по формулам, вводимым из допущений о неза-
висимости тех или иных событий, имеют реальный интерес в том случае,
когда события, бывшие сначала независимыми, ходом самих явлений при-
водятся затем в связь. Например, можно рассчитывать вероятности столк-
новения частиц космического излучения с частицами пронизываемой ими
среды, исходя из допущения, что движение частиц среды до появления
вблизи них быстро двигающейся частицы космического излучения проис-
ходит независимо от перемещения этой частицы. Можно рассчитывать ве-
роятность попадания вражеской пули в лопасть вращающегося пропелле-
ра, исходя из допущения, что его положение относительно оси не зависит
от траектории пули (конечно, это допущение было бы ошибочно по от-
420
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ношению к собственной пуле, выпускаемой при стрельбе через пропеллер
согласованно с его вращением) и т. п.; число таких примеров может быть
неограниченно продолжено.
Можно даже сказать, что всюду, где достаточно ясно проявляются ве-
роятностные закономерности, мы имеем дело с влиянием большого числа
если не совсем независимых между собой, то в том или ином смысле слабо
связанных друг с другом факторов.
Это совсем не означает, что следует всюду некритически вводить до-
пущения о тех или иных независимостях. Наоборот, это заставляет, во-
первых, особенно тщательно разрабатывать критерии для проверки гипо-
тез о независимости, а во-вторых, особенно тщательно исследовать погра-
ничные случаи, когда зависимости между факторами уже необходимо учи-
тывать, но эти зависимости таковы, что вероятностные закономерности в
измененном и осложненном виде еще могут проявиться. Выше отмечалось,
что уже классическая русская школа теории вероятностей широко развер-
нула исследования во втором из этих направлений.
Заканчивая рассмотрение вопроса о независимости, отметим, что как
определение независимости двух событий формулой (4), так и формальное
определение независимости нескольких случайных величин значительно
шире понятия реальной независимости в смысле принадлежности к при-
чинно не связанным кругам явлений»
Предположим, например, что точка £ падает на отрезок [0,1] так, что
при
0 a < b 1
вероятность ее попадания на отрезок [а, 6] равна длине этого отрезка b - а.
Легко доказать, что тогда в разложении
? = £l + ^_ + _5L + ...
4 10 100 1000
абсциссы точки £ в десятичную дробь знаки ак будут взаимно независимы,
хотя они и связаны по своему происхождению11. (Из этого обстоятельства
вытекает много теоретически, а частью и практически интересных след-
ствий.)
Такая гибкость формального определения независимости не должна
рассматриваться как его недостаток. Наоборот, она лишь расширяет об-
ласть применимости теорем, установленных при тех или иных допущени-
ях о независимости. Эти теоремы применимы одинаково и в случаях, где
11 То же имеет место при любом п для знаков а* разложения числа £ в дробь
п п* ПЛ
Теория вероятностей
421
независимость постулируется в силу реальных соображений, и в случаях,
где независимость доказывается расчетом, исходя из ранее принятых допу-
щений о распределениях вероятностей исследуемых событий и случайных
величин.
Вообще исследование формальной структуры математического аппа-
рата теории вероятностей привело к интересным результатам. Оказалось,
что этот аппарат занимает вполне определенное и очень простое место в
намечающейся постепенно классификации основных объектов изучения со-
временной математики.
Мы уже говорили о понятии совмещения АВ двух событий и о понятии
соединения a U В событий А и В. Напомним, что события называются
несовместимыми, если их совмещение невозможно, т. е. если АВ = N, где
N — знак невозможного события.
Основной аксиомой элементарной теории вероятностей является требо-
вание (см. §2), чтобы при условии АВ = N соблюдалось равенство
P(AUB) = Р(А) + Р(В).
Свойства основных понятий теории вероятностей — случайных собы-
тий и их вероятностей — вполне аналогичны, например, свойствам плоских
фигур и их площадей. Достаточно понимать под АВ пересечение (общую
часть) двух фигур, под A U В — их соединение, под N — условно вводимую
«пустую» фигуру, а под Р(А) — площадь фигуры А и аналогия в намечен-
ных пределах будет полной.
Такими же свойствами обладают объемы трехмерных фигур.
Наиболее общей теорией образований подобного типа, охватывающей
как частные случаи теории объемов и площадей, является сейчас общая
теория меры, некоторые сведения о которой можно найти в гл. XV (т. 3)а,
посвященной теории функций действительного переменного.
Следует только отметить, что в теории вероятностей имеются по срав-
нению с общей теорией меры или специально с теорией площадей и объемов
некоторые специфические черты: вероятность никогда не бывает больше
единицы. Эту максимальную вероятность имеет необходимое событие U
Р(С/) = 1.
Аналогия не является поверхностной. Оказалось, что вся математиче-
ская теория вероятностей с формальной стороны может быть построена
‘Математика. Ее содержание, методы и значение, т. 3. — М.: Изд-во АН СССР, 1956. —
С. 3-36. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
422
1П. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
как теория меры, специализированная допущением, что мера «всего про-
странства» U равна единице12.
Такой подход к делу не только внес полную ясность в формальное стро-
ение математической теории вероятностей, но и способствовал вполне кон-
кретному прогрессу как самой теории вероятностей, так и смежных с ней
по формальному строению математических теорий. В теории вероятностей
с успехом были использованы тонкие методы, разработанные в метриче-
ской теории функций действительного переменного. Одновременно веро-
ятностные методы оказались применимыми в вопросах смежных областей
математики не «по аналогии», а путем формально строгого их перенесения
в новые области. Всюду, где оказываются выполненными аксиомы теории
вероятностей, применимы и следствия из этих аксиом, хотя бы данная об-
ласть не имела ничего общего с реальной случайностью.
Наличие аксиоматизированной теории вероятностей избавляет нас от
соблазна «определять» вероятность способами, претендующими на соеди-
нение их непосредственной естественно-научной убедительности с приспо-
собленностью к построению на их основе формально строгой математи-
ческой теории. Также определения приблизительно соответствовали бы в
геометрии «определению» точки как того, что получится, если бесконечное
число раз обрезать со всех сторон физическое тело, уменьшая каждый раз,
скажем, вдвое его диаметр.
К такого рода определениям относится определение вероятности как
предела частот при неограниченном увеличении числа испытаний. Допу-
щение о вероятностном характере испытаний, т. е. о тенденции частот груп-
пироваться вокруг постоянного значения, само по себе бывает верно (как
и допущение о «случайности» какого-либо явления) лишь при сохранении
некоторых условий, которые не могут сохраняться неограниченно долго и
с неограниченном точностью. Поэтому точный переход к пределу
не может иметь реального значения. Формулировка принципа устойчиво-
сти частот при обращении к такому предельному переходу требует опреде-
ления допустимых способов отыскания бесконечных последовательностей
испытаний, которое тоже может быть лишь математической фикцией. Все
это нагромождение понятий могло бы еще подлежать серьезному рассмот-
рению, если бы в результате получилось построение теории столь свое-
12 Тем не менее по существу решаемых задач теория вероятностей остается самосто-
ятельной математической дисциплиной; основные для теории вероятностей результаты
(подобные изложенным в § 3) кажутся искусственными и ненужными с точки зрения
чистой теории меры.
Теория вероятностей
423
образной, что иными путями до ее строгого обоснования нельзя было бы
дойти. Но, как указано выше, обоснование математической теории веро-
ятностей при современном состоянии теории меры производится просто
добавлением условия
P(t/) = 1.
Вообще, при реальном анализе понятия вероятности вовсе не обяза-
тельно стремиться к его формальному определению. По-видимому, с чисто
формальной стороны о вероятности нельзя сказать ничего больше следу-
ющего: вероятность Р(Д/5) есть число, вокруг которого, при условиях S
и при предусмотренных этими условиями способах формирования серий,
имеют тенденцию группироваться частоты, причем при возрастании чис-
ленности этих серий в разумных пределах, не нарушающих однородности
условий, эта тенденция проявляется со все большей отчетливостью и точно-
стью, достигая достаточных в данной конкретной обстановке надежности
и точности при достижимых численностях серий.
Действительно, важной задачей является не формальное уточнение это-
го определения, а возможно более широкое выяснение условий, при кото-
рых такого типа вероятностная случайность должна проявляться. Надо
ясно понимать то, что в действительности гипотеза о вероятностном ха-
рактере какого-либо явления лишь очень редко обосновывается непосред-
ственной статистической проверкой. Только при первом проникновении
вероятностных методов в какую-либо новую область дело часто начина-
лось с того, что чисто эмпирически отмечалось постоянство частот. В силу
сказанного в § 3, для того чтобы статистически обнаружить постоянство
частот с точностью до е, необходимо пользоваться сериями примерно по
п = 1/е2 испытаний. Например, для того чтобы установить, что в данном
конкретном вопросе имеет смысл считать вероятность определенной с точ-
ностью до 0,0001, необходимо произвести ряд серий испытаний примерно
по 100000000 испытаний в каждой.
Гораздо чаще гипотеза вероятностной случайности вводится на основа-
нии соображений симметрии или на основании соображений о практиче-
ской независимости отдельных, приходящих в соприкосновение рядов яв-
лений и т. д. Затем эта гипотеза проверяется косвенным путем. Например,
благодаря тому, что число молекул в конечных объемах газа выражается
числами порядка 1020 и более, число у/п, соответствующее вероятным вы-
водам кинетической теории газов, бывает очень велико и, действительно,
многие из этих выводов оправдываются с большой точностью. Например,
давление на противоположные стороны подвешенной в спокойном воздухе
424
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
пластинки даже микроскопических для нашего глаза размеров оказывает-
ся строго одинаковым, хотя уже превышение давления на одну из сторон
над давлением на другую в тысячные доли процента при надлежащей по-
становке опыта могло бы быть замечено.
§ 5. Детерминированные и случайные процессы
Принцип причинной обусловленности всех явлений находит наиболее
простое математическое выражение в методе изучения реальных процессов
при помощи дифференциальных уравнений; этот метод продемонстриро-
ван на ряде примеров в § 1 главы V.
Пусть состояние изучаемой системы в момент времени t определяется
при помощи п параметров
•£] i 1 • • * 1 *
Скорости изменения этих параметров, как известно, выражаются их про-
изводными по времени
dx*.
Xk = ir-
Если допустить, что эти скорости являются функциями от значений
параметров, то мы получим систему дифференциальных уравнений
il f\ (tj, Х2, • . . , Тд),
^2 У2(^1 > 2-21 • • • > ^п),
in — 2-2> • • • > Xn)-
Ббльшая часть законов природы, открытых в эпоху зарождения мате-
матического естествознания, начиная с галилеевского закона падения тем,
выражается именно таким образом. Галилей не мог облечь свое открытие
в указанную стандартную форму из-за того, что в его время соответствую-
щие математические понятия еще не были разработаны. Это было сделано
Ньютоном.
Обычное в механике и многих других областях физики обращение к
дифференциальным уравнениям второго порядка с принципиальной сто-
роны не вносит ничего нового, так как, обозначая скорости Хк новыми
знаками
= xk,
Теория вероятностей
425
мы получаем для вторых производных величин выражение
d2xk
~М=Ук
и уравнения второго порядка для п величин Х\,Х2,... ,хп сводятся к урав-
нениям первого порядка для 2п величин Zi,..., хп, vi,..., vn.
В виде примера рассмотрим задачу падения тяжелого тела в земной ат-
мосфере. Предполагая, что в рассмотрение входят лишь небольшие высоты
над земной поверхностью, будем считать сопротивление среды зависящим
только от скорости, а не от высоты. Состояние изучаемой системы харак-
теризуется двумя параметрами: расстоянием тела от земной поверхности z
и его скоростью и. Изменение этих двух величин во времени определяется
двумя дифференциальными уравнениями
Z = —V,
v = g- /(и),
(31)
где д — ускорение силы тяжести, /(и) — некоторый «закон сопротивления»
для рассматриваемого тела.
Если скорости невелики и тело достаточно массивно, например в случае
падения камня средних размеров с высоты в несколько метров, то сопро-
тивлением воздуха можно пренебречь, и уравнения (31) превращаются в
уравнения
Z = -V , „
(32)
v = д-
Если предположить, что в начальный момент времени to величины z и
v имеют значения zq и vq, то легко решить уравнения (32) и получить
формулу
z = zq - v(t - t0) - д
описывающую весь процесс падения. Например, в предположении to = О,
vo = 0 получаем формулу
2
z = z°~~2~'
открытую Галилеем.
В общем случае интегрирование уравнений (31) несколько сложнее, но
принципиальный результат (при весьма общих ограничениях, наложенных
426
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
на функцию /(и)) остается тем же: по значениям zq и vq в начальный
момент времени to однозначно вычисляются значения z и v для всех даль-
нейших моментов времени t вплоть до падения тела на поверхность земли.
Можно мысленно снять и это последнее ограничение, предполагая, что па-
дение продолжается и при отрицательных значениях z. Для схематизиро-
ванной таким образом задачи можно установить следующее: если функция
f(v) при возрастании v монотонно возрастает и стремится к бесконечности
при v —► оо, то при неограниченном продолжении падения, т. е. при неогра-
ниченном возрастании переменного t, скорость v стремится к постоянному
предельному значению с, которое является корнем уравнения
9 = /(c)-
С наглядной стороны этот результат математического анализа постав-
ленной задачи понятен: скорость падения возрастает до тех пор, пока уско-
рение силы тяжести не уравновесится сопротивлением воздуха. При прыж-
ке с открытым парашютом стационарная скорость v около пяти метров в
секунду устанавливается13 довольно скоро. При затяжном прыжке с нерас-
крытым парашютом сопротивление воздуха меньше, и в соответствии с
этим стационарная скорость оказывается больше и устанавливается лишь
после того, как парашютист пролетит очень большое расстояние.
При падении легких тел, подобных брошенному в воздух перу или пу-
шинке, начальный период заметным образом ускоренного движения очень
мал и иногда совсем незаметен. Стационарная скорость падения устанавли-
вается очень быстро, и с известным приближением можно принять, что все
время v = с. В этом случае остается одно дифференциальное уравнение
Z = —с,
которое интегрируется очень просто:
Z = Z0 - c(t - to).
Так будет падать пушинка в совершенно спокойном воздухе.
В совершенно общем виде подчеркнутая нами выше детерминистиче-
ская концепция трактуется в современной теории динамических систем,
которой посвящен ряд важных работ советских математиков — Н. Н. Бо-
голюбова, В. В. Степанова и многих других. Эта общая теория охватывает
как частные случаи и такие математические схемы реальных явлений, в
которых состояние системы определяется уже не конечным числом пара-
метров, а заданием одной или нескольких функций, как это типично, на-
пример, для механики непрерывных сред. В таких случаях элементарные
13Имеется в виду, что v становится практически достаточно близким к с.
Теория вероятностей
427
закономерности изменения состояния за «бесконечно малый» промежуток
времени задаются уже не обыкновенными дифференциальными уравнени-
ями, а уравнениями в частных производных или иными средствами. Но
общим во всех детерминированных математических схемах реальных про-
цессов является то, что, во-первых, состояние изучаемой системы считается
исчерпывающим образом определенным посредством задания некоторого
математического объекта а> (системы п действительных чисел, одной или
нескольких функций и т. п.); во-вторых, последующие значения для мо-
ментов времени t > to однозначно определяются по значению cuq, соответ-
ствующему начальному моменту времени to:
о/ = F(t0,LL>0,t).
Как мы уже видели, в случае процессов, описываемых дифференциаль-
ными уравнениями, нахождение функции F' требует интегрирования этих
дифференциальных уравнений с начальными условиями ш = о-'о при t = to-
Представители механистического материализма считали, что описан-
ная схема является точным и прямым выражением детерминированности
реальных явлений — физического принципа причинности. По идее Лапла-
са, состояние мира в данный момент времени определяется бесконечным
числом параметров, подчиненных бесконечному числу дифференциальных
уравнений. Если бы некий «всеобъемлющий ум» мог записать все эти урав-
нения и их проинтегрировать, то, по Лапласу, он мог бы с полной точно-
стью предвидеть всю эволюцию мира на протяжении бесконечного вре-
мени.
Однако на самом деле количественная математическая бесконечность
крайне груба по сравнению с качественной неисчерпаемостью действитель-
ного мира. Ни введение бесконечного числа параметров, ни описание со-
стояния непрерывных сред при помощи функций от точки пространства
не являются адекватным отображением бесконечной сложности реальных
явлений.
Как подчеркивалось в § 3 главы V, исследование реальных явлений не
всегда идет в направлении увеличения числа вводимых в задачу парамет-
ров; вообще далеко не всегда целесообразно усложнять ту характеристику
uj, которая определяет отдельное «состояние системы» в математической
схеме, служащей для расчета данного явления. Искусство исследователя
скорее состоит в том, чтобы найти очень простое фазовое пространство Q
(т.е. множество значений ш, или, иначе говоря, множество различных воз-
можных состояний системы)14, которое позволяло бы тем не менее, заме-
няя реальный процесс процессом детерминированного перемещения точки
14В приведенном выше примере с падением тел фазовое пространство Q есть система
пар чисел (z, г>), т. е. плоскость. Вообще о фазовом пространстве см. главу XVII и главу
428
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ш в этом пространстве, ухватить все существенные стороны реального
процесса.
Но, выделив из реального процесса его существенные черты, мы полу-
чаем некоторый остаток, который приходится считать случайным. Неуч-
тенные случайные факторы всегда оказывают некоторое влияние на тече-
ние процесса. Существует очень мало явлений, подвергающихся математи-
ческому изучению, для которых при сопоставлении теории с наблюдениями
нельзя было бы заметить влияния неучтенных случайных факторов. Тако-
во или почти таково положение с теорией движения планет под действием
силы тяготения: расстояния между планетами так велики по сравнению
с их размерами, что идеализированное представление их материальными
точками действует почти безотказно; пространство, в котором они двига-
ются, заполнено столь разреженной материей, что ее сопротивление исчеза-
юще мало; массы планет так велики, что световое давление при их движе-
нии почти не играет роли. Эти исключительные обстоятельства и приводят
к тому, что математическое решение задачи о движении системы из п ма-
териальных точек, «состояние» которой описывается 6п параметрами15, а
изменение состояния рассчитывается с учетом только силы тяготения, так
поразительно хорошо совпадает с наблюдениями над движением планет.
Несколько приближается к случаю движения планет случай полета ар-
тиллерийского снаряда в предположении, что сопротивление воздуха вве-
дено в уравнения движения. Это тоже одна из классических областей, в
которых математический метод исследования сравнительно легко и быстро
одержал большие победы. Но здесь роль возмущающих случайных факто-
ров уже значительно больше и рассеивание снарядов, т. е. их отклонения
от теоретической траектории, соответствующей нормальным, назначенным
для данного выстрела начальным условиям и среднему состоянию атмо-
сферы во время стрельбы, достигают десятков, а на больших дистанциях и
сотен метров. Отклонения эти частично вызываются случайными отклоне-
ниями начального направления и начальной скорости от нормы, частично
случайными отклонениями от нормы массы и коэффициента сопротивле-
ния снаряда, частично же неравномерностью и порывами ветра и прочими
случайными обстоятельствами, связанными с чрезвычайно сложным и по-
движным режимом, господствующим в реальной земной атмосфере.
Рассеивание снарядов подробно изучается методами теории вероятно-
стей, и результаты этого исследования весьма существенны для практики
стрельбы.
XVIII (том 3), §3 [в сб.: «Математика. Ее содержание, методы и значение», т. 3. — М.:
Изд-во АН СССР, 1956. - С. 93-212].
15Тремя координатами и тремя составляющими скорости каждой точки.
Теория вероятностей
429
Но что означает, собственно говоря, исследование случайных явлений?
Казалось бы, когда случайный «остаток» при данной схематизации явле-
ния оказался настолько велик, что им нельзя пренебречь, то единственная
возможность состоит в том, чтобы осложнить описание явления введени-
ем новых параметров и в усложненной схеме исследовать явление более
подробно по той же математической схеме детерминированных явлений.
Такой путь во многих случаях практически неосуществим. Например,
при исследовании падения материального тела в атмосфере с учетом нерав-
номерной, порывистой (или, как обычно говорят, турбулентной) структу-
ры ветрового потока вместо двух параметров z и v пришлось бы ввести
совершенно необозримый математический аппарат полного описания этой
структуры.
Но этот сложный путь на самом деле необходим только в тех случа-
ях, когда нам во что бы то ни стало нужно проследить влияние остаточ-
ных «случайных» факторов на течение нашего процесса во всех деталях
и отдельно для каждого индивидуального случая. К счастью, в действи-
тельности очень часто наши реальные потребности заключаются совсем в
другом: требуется лишь оценить суммарный эффект действия случайных
факторов за большой промежуток времени или в большом числе повторе-
ний изучаемого процесса.
В качестве примера рассмотрим перенос песка водным потоком в реке
или в том или ином искусственном гидротехническом сооружении. Обычно
этот перенос происходит таким образом, что большинство песчинок спо-
койно лежит на дне и лишь изредка особенно сильные завихрения вблизи
дна выхватывают отдельные песчинки и переносят их сразу на довольно
значительные расстояния вплоть до внезапной остановки в каком-либо но-
вом месте. Чисто теоретически движение каждой такой песчинки могло бы
быть рассчитано индивидуально по законам гидромеханики. Но для этого
нам было бы необходимо знать начальное состояние дна и потока во всех
деталях и рассчитывать его шаг за шагом, отмечая те моменты времени,
когда давление на какую-либо покоящуюся песчинку окажется достаточ-
ным, чтобы привести ее в движение, и прослеживая перемещение сдви-
нутых с места песчинок вплоть до их остановки. Абсурдность постановки
такой задачи для реального научного исследования очевидна. И несмотря
на это, средние или, как принято говорить, статистические закономерно-
сти передвижения донных наносов водными потоками вполне поддаются
изучению.
Примеры, в которых действие большого числа случайных факторов
приводит к вполне отчетливым статистическим закономерностям, было бы
легко умножить. Один из самых увлекательных по широте перспектив и в
то же время самых известных такого рода примеров доставляет кинетиче-
430
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ская теория газов, которая показывает, как из совместного действия мно-
жества случайных столкновений молекул возникают точные закономерно-
сти, которым подчинены давление газа, как целого, на стенки, диффузное
распространение одного газа в другом и т. д.
§ 6. Случайные процессы марковского типа
А. А. Маркову принадлежит заслуга построения вероятностной схемы
непосредственно обобщающей детерминистическую схему, записанную в § 5
при помощи уравнения
м = F(to,cvo,i).
Правда, Марков рассмотрел только случай, когда фазовое пространство
изучаемой системы состоит лишь из конечного числа состояний Q={cji,U2-
... ,u/’n}, и изучал изменение состояния системы лишь при разделении вре-
мени t на дискретные шаги. Но в этой крайне схематизированной модели
он сумел уловить ряд фундаментальных закономерностей.
Вместо функции F, однозначно определяющей состояние ш в момент
времени t > to по состоянию и.'о в момент времени to, Марков вводит веро-
ятности
P(to,UJ-,t,Uj)
получения состояния в момент времени t при условии, что в момент
времени to имело место состояние Эти вероятности Марков связывает
для любых трех моментов времени
to < t\ < t.2
соотношением, которое можно назвать основным уравнением марковских
процессов
и
•Р(^0» ^i'i ^2, = ^1 > , ^k'i ^2) (33)
fc=l
Когда фазовое пространство является непрерывным многообрази-
ем, наиболее типичен случай существования плотностей вероятности
p(to,a>o',t,<jj) перехода из состояния wq в состояние ш за промежуток вре-
мени (to,t). В этом случае вероятность перехода за промежуток времени
между моментами to и t из состояния шо в какое-либо из состояний о/, при-
надлежащих области G фазового пространства Q, записывается в виде
P(to,wo',t,G') — I p(to,aJo',t,a)}da), (34)
Jg
Теория вероятностей
431
где dw — элемент объема в фазовом пространстве16. Для плотностей веро-
ятности р(£о,а>о; t,cu) основное уравнение (33) приобретает вид
р(<о,^о;<2,^2) = / (35)
Jn
Уравнение (35) решить довольно трудно, но при известных ограничениях
из него можно вывести дифференциальные уравнения в частных производ-
ных, которые легче поддаются изучению. Некоторые из этих уравнений бы-
ли получены из нестрогих физических соображений физиками Фоккером
и Планком. В полном виде теория так называемых стохастических диффе-
ренциальных уравнений была построена советскими авторами (С. Н. Берн-
штейн, А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, А. Я. Хинчин и др.).
Выписывать здесь эти уравнения мы не будем.
Метод стохастических дифференциальных уравнений позволяет, напри-
мер, легко решить задачу о движении в спокойной атмосфере очень малого
тела, для которого средняя скорость его падения с значительно меньше ско-
рости его «броуновского движения», вызываемого тем, что из-за малости
его размеров толчки молекул воздуха на противоположные его стороны не
вполне уравновешиваются.
Пусть с — средняя скорость падения, D — так называемый коэффи-
циент диффузии. Если предположить, что на земной поверхности (г = 0)
частица не задерживается, а «отражается», т. е. под действием броунов-
ских сил вновь отправляется в путешествие по атмосфере, и допустить,
что в момент времени to частица находится на высоте го, то плотность
вероятности p(to, zo\t, z) ее нахождения в момент времени t на высоте z
выразится формулой
p(to,ZQ-,t,z) = - 1 Ге-(г-го)2/4/>(«-ео) + e-(z+zo)2/4D(t-to)l х
2i/7rZ)(t — to) I
х e-c(z-zo)/2D-c2(t-to)/4D +
| C с-cz/D f°° e-z2dz
+ D>/5 J z+z0-c(t-t0)
2y/D(t-t0)
На рис. 4 изображено, как могут меняться кривые р(/о, ^о;4,г) в после-
довательные моменты времени t.
Мы видим, что в среднем высота частицы убывает, а положение ее ста-
новится все более неопределенным (все более «случайным»). Самое инте-
16Собственно говоря, равенство (34) служит определением плотности вероятности.
Величина р dw равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) вероятности
перейти за время от to до t из состояния о>о в элемент объема dw.
432
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
ресное заключается в том, что при любых to и zq и при t оо
р(«о, zo; t, z) -> e~czlD, (36)
т. е. существует предельное распределение для высот частицы, и матема-
тическое ожидание высоты расположения частицы с возрастанием t стре-
мится к положительному пределу
ze~cz/Dd.z = —. (37)
с
Таким образом, несмотря на то, что наша частица, находясь над по-
верхностью земли, все время имеет тенденцию падать под действием силы
тяжести, она при неограниченном продолжении этого процесса (блуждания
в атмосфере) будет в среднем находиться на определенной положительной
высоте. Если бы мы взяли начальное zq меньшим, чем z*, то оказалось бы,
что по истечении достаточно большого промежутка времени среднее поло-
жение частицы будет выше начального, как это изображено на рис. 5, где
z = 0.
Для отдельной частицы средние значения z*, о которых идет речь, явля-
ются лишь математическими ожиданиями, но в силу закона больших чисел
для большого числа частиц они будут осуществляться реально: плотность
расположения такого рода частиц по высоте будет следовать указанным
закономерностям и, в частности, по истечении достаточно большого про-
межутка времени стабилизируется в соответствии с формулой (36).
Все сказанное непосредственно применимо лишь к примешанным к воз-
духу в малой концентрации газам, дымам и т. п., так как величины с и D
предполагались определенными заранее заданным состоянием атмосферы.
Однако с некоторыми усложнениями теория применима к взаимной диф-
фузии газов, составляющих атмосферу, и к возникающим на основе этой
диффузии распределениям их плотностей по высоте.
Теория вероятностей
433
С увеличением размеров частиц отношение с/D возрастает, и благодаря
этому процесс их перемещения вместо диффузионного характера приобре-
тает характер закономерного падения по законам, рассмотренным в §5.
Теория позволяет проследить все переходы между чисто диффузным дви-
жением и таким закономерным падением.
Задача движения взвешенных в атмосфере частиц под действием тур-
булентного перемешивания более сложна, но в принципе тоже может быть
подчинена аналогичным вероятностным методам.
ЛИТЕРАТУРА
Популярная литература
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. Изд.
3-е, Гостехиздат, 1952.
Современные университетские курсы
Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. Изд. 4-е, Гостехиздат, 1946.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд. 2-е, Гостехиздат, 1954.
Специальные монографии
Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М., 1953.
Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение. Сборник статей, 1936.
Отзыв о статье «Теория вероятностей»15
Статью «Теория вероятностей» следует признать вполне удачной во всех от-
ношениях. Написанная на очень высоком научном уровне, без всяких скидок на
неподготовленность читателя, она в то же время доступна пониманию широкого
круга лиц, интересующихся математикой. Самое ценное в этой статье, однако,
представляет собой никогда еще в такой мере не достигнутая в принципиальных
освещениях теории вероятностей связь общей теории с практическими примене-
ниями; автор умеет показать, как наиболее абстрактные разделы теоретического
построения неразрывно связаны с конкретными запросами практики. Поэтому в
его изложении теория вероятностей предстает перед читателем одновременно как
стройная и законченная логическая конструкция и как мощный аппарат естество-
знания и техники, причем эти две картины так тесно проникают друг в друга,
что образуют собою органическое, неразрывное единство.
10.Х.1951 г. Член-корр. АН СССР А. Я. Хинчин
ьПомещаемые ниже материалы впервые опубликованы в журнале «Теория вероятно-
стей и ее применения» (вып. 2 за 2003 г.).
434
IIL Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Из письма А. Д. Александрова
Глубокоуважаемый Андрей Николаевич!
Так как на меня возложена ответственность за завершение работы над моно-
графией «Математика, ее содержание, методы и значение», обращаюсь к Вам по
поводу Вашей статьи.
В настоящем виде статья трудна, и с ее появлением может даже создаться
представление, будто основы теории вероятностей и нельзя понять «простому
смертному».
Я прочел Вашу статью «Вероятность» в БСЭ. Она произвела на меня очень
большое впечатление. Я, конечно, не специалист и занимался вероятностью лишь
в связи с физикой, но решаюсь высказать свое мнение. Ничего подобного по про-
стоте и вместе с тем глубине изложения я не видел. В своих занятиях основами
квантовой механики я подошел к тем же взглядам, но не смог сформулировать
их с такой глубиной и четкостью. Ваша формулировка о связи явления с усло-
виями имеет очень большое значение для квантовой механики, для преодоления
чисто статистического ее толкования, отвечающего мизесовскому подходу к веро-
ятности (кстати, В. А. Фок специально сказал мне. что считает Ваше толкование
вероятности крайне важным).
Для того чтобы Ваши глубокие и важные, а вместе с тем простые идеи стали
достоянием возможно более широких кругов читателей, я просил бы Вас пере-
строить Вашу статью, с тем чтобы, начав с указания на объективный характер
статистических закономерностей, дав краткую критику субъективизма, сразу пе-
рейти к указанию на связь явления с условиями и развернуть Ваше понимание
вероятности, чтобы оно не затерялось за детерминистической схемой или какими-
либо выкладками. В соединении глубины с простотой изложения, Ваша статья
станет лучшим украшением нашей монографии. Очень прошу Вас именно упро-
стить изложение, чтобы сделать Ваши идеи максимально доступными. Я позво-
лил бы себе посоветовать Вам испытать потом понятность изложения на каком-
нибудь среднем читателе, имеющем смутное представление о предмете.
Еще одно замечание. Когда Вы говорите о связи теории вероятностей с теори-
ей меры, естественно оговорить, что различие не сводится к тому, что Р(С7) = 1,
а включают своеобразие вероятностных постановок задач, что выражается, ска-
жем, в понятии независимых событий, по-видимому, чуждом учению о площадях
и объемах в обычном понимании.
15.11.1952 С глубоким уважением
А. Д. Александров
Из письма А. Н. Колмогорова
Глубокоуважаемый Александр Данилович!
Благодарю Вас за Ваше письмо по поводу моей статьи для монографии о
математике. Из Ваших пожеланий я заведомо могу
1) пояснить на примерах в момент их введения понятия случайной величины,
математического ожидания, дисперсии и на возможно более простом примере —
марковскую схему;
Теория вероятностей
435
2) более полно осветить специфичность проблем, когда говорится о возмож-
ности формального включения теории вероятностей в теорию меры (я говорил об
этом в моих «Основных понятиях теории вероятностей» — в популярной статье,
тем более, следовало сказать нечто аналогичное, и я просто позабыл это сделать).
Основная трудность при освещении философских вопросов теории вероятно-
стей начинается с ясного изложения и диалектического объединения двух поло-
жений:
1) существует объективная случайность,
2) не существует ничего абсолютно случайного.
Я понимаю, что с точки зрения отстаивания права на существование теории
вероятностей (а, как Вы знаете, эта тема не совсем беспредметна) наиболее су-
щественно первое. Но мне представляется, что в сколь угодно популярной статье
необходимо говорить об обеих сторонах дела.
Во всяком случае, я учту то обстоятельство, что, по Вашему мнению, статья
не освещает достаточно выпукло именно объективный характер вероятностных
высказываний.
Раз уже Вы поинтересовались моей статьей «Вероятность» в БСЭ, мне инте-
ресно знать еще Ваше суждение о статье «Больших чисел закон», где мне при-
надлежит только общая (не соц[иально]-экономическая) часть. Вопрос этот имеет
некоторую актуальность, так как со стороны многих наших экономистов посту-
пили резкие возражения и против моей общей части. Я же пока единственно в
чем готов признать некоторую неудачу, это в том, что Б.ч.з. назван «принципом»,
чего, м[ожет] б[ыть], и не следовало делать.
26.11.1952 г. Искренне Вас уважающий
А. Колмогоров
Предварение к переизданию 2003 г.
В 1956 г. издательством Академии наук СССР были изданы подготовленные
Математическим институтом им. В. А. Стеклова три книги монографии «Мате-
матика. Ее содержание, методы и значение». Редакционная коллегия состояла из
А. Д. Александрова, А.Н. Колмогорова и М. А. Лаврентьева. На правах рукопи-
си монография была напечатана в 1953 г. тиражом 350 экземпляров с целью ее
обсуждения математической общественностью.
Точка зрения А. Н. Колмогорова относительно замысла этого издания состо-
яла в том, что хорошо было бы иметь, на самом деле, две книги: первая, «которая
неофициально мыслилась в качестве ‘Антикуранта’ » (см. предисловие к 3-му рус-
скому изданию книги: Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? Элементар-
ный очерк идей и методов. 3-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО, 2001), т. е. книга
для всех желающих познакомиться в живой и доступной форме с элементами
высшей математики, проверить уровень своих математических способностей, а в
случае молодых читателей подумать о целесообразности выбора математики в ка-
честве своей профессии, и вторая книга, «рассчитанная на более подготовленных
читателей, включая и нас самих математиков, часто очень беспомощных в оценке
перспектив развития своей науки в целом».
436
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
В конечном итоге, вышедшие три тома, содержащие 20 глав, более соответ-
ствовали первому из указанных вариантов, что следует и из предисловия, в ко-
тором сказано, что <коллектив авторов при составлении этой книги исходил из
намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с со-
держанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальны-
ми основами и путями развития».
Во втором томе этой монографии (глава XI) была опубликована статья
А. Н. Колмогорова, которая воспроизводится в настоящем юбилейном выпуске
вместе с отзывом А. Я. Хинчина и избранными местами из переписки А. Д. Алек-
сандрова (как фактически главного редактора издания) и А. Н. Колмогорова,
интересной как их взглядами на содержание представленного Колмогоровым ва-
рианта его статьи, так и философско-методологическими аспектами теории веро-
ятностей.
А. Н. Ширяев
НУЖНЫ ЛИ НАУЧНЫЕ ШКОЛЫ?
Наука — общее достояние человечества, и задача подлинного ученого —
обогащать этот запас знаний, доступных всем. Было бы смешно отрицать,
что для начинающих, впервые входящих в науку молодых людей очень
важно поскорее убедиться в том, что они способны сделать хоть что-нибудь
свое, оригинальное. Предлагая тему исследования дипломнику или аспи-
ранту, руководитель обязан думать не только об объективной значимости,
актуальности темы, но и о том, чтобы работа над темой стимулировала рост
начинающего ученого, — была ему посильной и в то же время требовала
максимального доступного ему напряжения сил. Надо, естественно, позабо-
титься и о том, чтобы у молодого ученого своевременно была возможность
написать и защитить кандидатскую диссертацию. (Аналогичный подход к
докторским диссертациям кажется мне более сомнительным делом. Неда-
ром «докторантура» была признана ненужной.) Но очень печально, когда
за этими побочными целями в сознании молодого ученого или его руково-
дителя затуманивается основное: чувство личной ответственности и заин-
тересованности в выборе направления работы, содействующего реальному
прогрессу науки.
В еще большей мере такой объективный подход к своим задачам обя-
зателен для научного коллектива. Никто не мешает научному коллективу
гордиться своими успехами, даже радоваться, если удалось обогнать дру-
гие коллективы, занятые теми же проблемами. Но обязанностью научного
коллектива является стремление к тому, чтобы возможно скорее делать
свои достижения общедоступными. Если коллектив обладает какими-либо
«секретами» в методах творческих поисков, то истинно научный дух иссле-
дования заключается в том, чтобы приложить все усилия к превращению
этих секретов в последовательно изложенную методологию научного по-
иска, доступную передаче другим.
После этого введения можно правильно поставить вопрос о том, зачем
же нужны научные «научные школы» со своими особыми в каждой школе
традициями и приемами исследования, своими оригинальными взглядами
на пути развития науки.
Если бы все, что человек знает или предчувствует, все, что человек
умеет делать или на что надеется, можно было изложить с полной ясно-
стью, напечатать в книгах или в журнальных статьях, то ответ был бы
Известия Советов депутатов трудящихся СССР. — 12 сент. 1962 г. — К* 257(14111).
438
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
очень прост: никакие научные школы со своими особыми традициями и
взглядами не нужны.
Но такой упрощенный ответ не соответствует реальным путям развития
наука. Все дело в том, что способы общения людей значительно тоньше и
разнообразнее. Художник, подходя к незаконченной работе ученика, берет
кисть, кладет нужный мазок и говорит: «Здесь надо сделать так», не умея
объяснить, почему надо сделать так, а не иначе. Хороший лектор передает
в лекции личное волнение и увлечение, которое лишь в потускневшем и
не всегда убедительном виде передается в книге. Друзья, занимающиеся
общей работой, очень быстро создают условный «язык», понятный им од-
ним и для них коротко и точно выражающий идеи, еще не созревшие для
вполне объективного изложения, обращенного к непосвященным.
Такая по преимуществу «точная» наука, как математика, не является
исключением. При надлежащем «резонансе», который создается при сов-
местной работе, можно в нескольких словах сообщить идею доказательства
нового факта, полное же изложение этого доказательства для компетент-
ных, но не участвовавших в совместной работе специалистов занимает ино-
гда несколько часов. Бывает и так, что идеи, совершенно ясные непосред-
ственным участникам работы, так трудно поддаются объективному изло-
жению, что способы этого изложения приходится вырабатывать неделями
и месяцами.
Еще в большей мере это относится к оценке перспектив избранного на-
правления исследований.
Итак, необходимость научных школ — следствие недостаточности из-
вестных нам вполне объективных форм научного общения, обмена идеями
и замыслами. Научная школа жива и сильна только тогда, когда она яв-
ляется живым коллективом людей, связанных гибкими и совершенными
формами общения.
Формирование научных школ происходит по-разному. Иногда научная
школа обязана своим возникновением одному большому ученому, вокруг
которого объединяется группа учеников, а позднее и последователей, при-
шедших со стороны.
Иногда дело начинается с совместной работы двух сильных ученых —
учителя и ученика или двух друзей. Это довольно типичный способ: в
интенсивном и глубоком контакте двух сильных индивидуальностей как
раз и вырабатывается тот специальный «язык» интимного научного обще-
ния, который потом служит для передачи научных идей более широкому
кругу учеников и последователей, отшлифовывается научное мировоззре-
ние, направляющее впоследствии работу более обширной школы. Близким
мне примером этого пути является совместная работа П. С. Урысона и
П. С. Александрова.
Нужны ли научные школы?
439
Мыслим и случай более обширной начальной группы исследователей.
До последнего времени он, кажется, встречался реже, если не придавать
словам «научная школа» другого, более широкого смысла (как говорят,
например, о «советской математической школе»). В области математики
можно, правда, назвать очень тесное объединение группы французских ма-
тематиков, выступающих от имени мифического Николая Бурбаки. Школа
создана группой математиков одного поколения, сознательно поставивших
перед собой задачу построить обновленную систему изложения всей совре-
менной математической науки.
Достаточно обычно рождение новой научной школы в недрах уже су-
ществующей научной школы. Типичный пример: выделение из основанной
Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным московской школы, занимавшейся тео-
рией множеств и теорией функций действительного переменного, несколь-
ких самостоятельных научных школ. Они охватывают в своей совокупно-
сти значительную часть всей современной советской математики, включая
и уже упоминавшуюся школу топологов, основанную П. С. Урысоном и
П. С. Александровым.
Научная школа в изложенном понимании, если она не отрывается от
общего развития науки, сама создает предпосылки к окончанию своего
существования как обособленной части более широкого коллектива. Ведь
свойственные школе особые приемы работы, невоплощенные замыслы и
надежды или изживают себя, или становятся общим достоянием. Научные
теории, когда они достигают полной законченности и получают всеобщее
признание, нет никакой необходимости оберегать как особое «учение» учи-
теля, подлежащее преимущественному истолкованию его верными учени-
ками. Сосредоточенность на определенном круге идей, необходимая, когда
они лишь пробивают себе дорогу, рано или поздно становится тормозом
дальнейшего прогресса.
Это, впрочем, следствие сходства научной школы с живым организмом.
Как люди, научные школы смертны. Конечно, сработавшийся коллектив
ученых может сообща искать новые пути применения своих научных сил.
Но за известными пределами нет оснований стремиться к сохранению во
что бы то ни стало именно данного объединения людей. Часто, разойдясь
в разные стороны и найдя новых сотрудников, они сделают больше.
Как это ни грустно основателям школ, в последние десятилетия темпы
развития науки таковы, что научные школы развиваются быстрее людей.
Они достигают расцвета за какое-нибудь десятилетие, процветают до два-
дцати, редко — тридцати лет. До своего сорокалетия или пятидесятилетия
школы доживают лишь с трудом, в качестве течения, если и сохра-
440
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
нившего жизнеспособность, то скорее побочного по сравнению с возникши-
ми позднее.
Мне посчастливилось начать свою работу в науке в упоминавшейся мос-
ковской школе теории множеств и теории функций, созданной Д. Ф. Его-
ровым и Н. Н. Лузиным около 1910 года. В двадцатых годах эта школа
достигла самого широкого развития. Вложенный в нее начальный импульс
оказался очень сильным. Занимавшая ее проблематика не исчерпана и по-
сейчас (Н. К. Бари, Д. Е. Меньшов и их ученики). Но уже в двадцатых
годах основные силы учеников Н. Н. Лузина направляются в новые сто-
роны. Сохранив многое, чему они научились у своего учителя, они осно-
вывают новые школы с новой проблематикой, новыми навыками работы.
Как младшему товарищу А. Я. Хинчина мне довелось вместе с ним (оба
мы ученики Н. Н. Лузина) сформировать достаточно четко очерченное но-
вое направление работ в теории вероятностей. Во многом мы примыкали
к классической традиции Чебышева и Маркова, блестяще представленной
в советское время С. Н. Бернштейном, но навыки, приобретенные в школе
Н. Н. Лузина, и внимание к проблематике, выдвинутой развитием физики
и техники, обусловили своеобразие наших устремлений.
Начав работу в середине двадцатых годов, мы продолжали включать в
сферу внимания своего и своих учеников все новые области теории вероят-
ностей. В кругу намеченных нами идей в тридцатых годах начал работать
Б. В. Гнеденко (позднее член Академии наук Украинской ССР), в сороко-
вых годах — Е. Б. Дынкин (на международном съезде математиков 1962
года в Стокгольме он был основным докладчиком по теории вероятностей),
в пятидесятых — Ю. В. Прохоров. Немало других математиков естественно
считать выросшими в созданной нами «научной щколе». Но сейчас, в нача-
ле шестидесятых годов, кажется, уже правильнее говорить о независимых
школах, основанных на Украине Б. В. Гнеденко, в Москве Е. Б. Дынки-
ным. Что же касается идей, приемов работы, даже системы определений
и обозначений, объединявших нас всех в тридцатых или сороковых годах,
то я нахожу сейчас не меньше их отражений в книгах и работах, публи-
куемых учеными Ленинграда, Ташкента, Вильнюса или зарубежных стран
(США, Швеции или Венгрии), чем в работах специалистов, занимающихся
теорией вероятностей в Москве.
Сейчас, вернувшись к занимавшей меня в двадцатых и тридцатых го-
дах математической логике и занявшись теорией автоматов и кибернети-
кой, я делаю попытки создать в этих областях некоторое свое направле-
ние. Оно использует большие достижения наших логиков (П. С. Новиков,
А. А. Марков и другие) и специалистов по дискретным автоматам, но, как
Нужны ли научные школы?
441
мне кажется, руководится и некоторыми существенно новыми тенденция-
ми. Вырастет ли из нескольких студентов, с которыми я занимаюсь, нечто
заслуживающее названия новой научной школы, я еще не знаю...
Я ограничусь этими немногими примерами, связанными с моим лич-
ным опытом научной работы. Подводя итог, скажу, что, по моему мнению,
понятие научной школы не устарело. Сейчас, как и прежде, такие тесные
объединения ученых, связанных общими приемами работы, общими на-
деждами, общим языком более быстрого и совершенного общения, нужны.
Но ускорение темпов развития науки, увеличение роли совместной разра-
ботки комплексных проблем представителями не только отдельных школ,
но и разных наук, требуют большей гибкости и подвижности в группировке
научных сил.
ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
(На Общем собрании Отделения математики)
Обзор современного состояния и основных направлений развития ис-
следований по теории вероятностей и математической статистике мне хо-
чется начать с упоминания о выходе четвертого тома собрания сочинений
С. Н. Бернштейна (том содержит все его работы по теории вероятностей
и ее применениям). Если кое-что в этой публикации имеет сейчас интерес
уже по преимуществу для истории науки, так как в более доступной фор-
ме вошло в учебники, то очень велик здесь и запас идей, еще далеко не
исчерпанных и иногда недостаточно известных молодым исследователям.
Проблематика из области предельных теорем теории вероятностей, вос-
ходящая к П. Л. Чебышеву и А. М. Ляпунову и получившая существенное
развитие в работах А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна в направлении изу-
чения зависимых величин, казалась одно время исчерпанной, но сейчас
переживает период нового расцвета. Некоторым относящимся сюда про-
блемам был посвящен доклад В. А. Статулявичуса «Предельные теоремы
в граничных задачах и некоторые их применения», прочитанный на состо-
явшемся 29 октября 1964 г. Общем собрании Отделения математики Ака-
демии наук СССР, посвященном теории вероятностей и математической
статистике.
На том же собрании А. А. Боровков докладывал о цикле работ, восхо-
дящем к другому течению в области предельных теорем, начатому, види-
мо, шведским математиком Г. Крамером, — к так называемым «теоремам о
больших отклонениях». Стоит несколько подробнее сказать о намечающем-
ся у А. А. Боровкова прикладном значении этих работ в математической
статистике. В простейших, типичных задачах математической статистики
имеются два параметра — «уровень значимости» а (допустимая вероят-
ность ошибочного суждения) и число наблюдений п. Подход, опирающий-
ся на предельные теоремы чебышевского типа, соответствует предельному
переходу при постоянном а и п, стремящемся к бесконечности. Однако на
практике п бывает часто лишь порядка нескольких сотен и даже десят-
ков, а уровни значимости обычно выбираются от 0.05 до 0.001. Вероятно,
все больше будет задач, требующих обеспечения очень высокой «надежно-
сти», т. е. очень малых а. Поэтому часто практически более применимы-
Вестник АН СССР. — 1965. № 5. — С. 94-96 (в разделе «Сессии, конференции, сове-
щания»).
Проблемы теории вероятностей
443
ми оказываются формулы «теории больших отклонений», относящиеся к
асимптотике при а, стремящемся к нулю.
А. А. Марков положил начало изучению обширного класса случай-
ных процессов, называемых теперь повсеместно «марковскими». В разви-
тии этого направления наша страна и в дальнейшем играла очень боль-
шую роль, в последние годы главным образом благодаря работам школы
Е. Б. Дынкина. Мне представляется, что в теории марковских процессов,
хотя там еще и остались проблемы типа получения возможно более общих
условий применимости основных теорем, освобождения теории от излиш-
них предпосылок, сейчас наиболее существенны поиски новой проблема-
тики, охватывающей, хотя бы и без излишней рафинированности матема-
тического аппарата, более широкий круг применений. В частности, акту-
ально изучение марковских процессов, лишь частично наблюдаемых, т. е.
процессов вида
x(t) = {zi (t), x2(t)},
где лишь компонента xi(t) наблюдаема. Чрезвычайно интересные идеи о
путях решения возникающих здесь задач сформулированы Р. Л. Страто-
новичем в его теории «условных марковских процессов». К сожалению,
работы Р. Л. Стратоновича иногда уже не только не обладают особой ма-
тематической рафинированностью, но часто ведутся на уровне, не обеспе-
чивающем той «разумной строгости, которая, не будучи абсолютной, га-
рантирует от ошибок» (выражение А. Н. Крылова). В докладе А. Д. Вент-
целя было рассказано, как некоторая часть теории «условных марковских
процессов» может быть построена с должной строгостью.
Интенсивно разрабатывается спектральная теория стационарных слу-
чайных процессов, строгие основы которой были заложены в нашей стране
А. Я. Хинчиным. Сейчас особое внимание, быть может, под влиянием идей
Н. Винера, здесь уделяется попыткам построения спектральной «нелиней-
ной» теории. Это очень существенно, так как мышление специалистов в
области радиотехники, передачи информации и т. п. настроено на поль-
зование спектральными представлениями, но в типичных для случайных
процессов непрерывных спектрах по существу математически остается раз-
работанной лишь линейная теория, во многих практически важных при-
менениях совершенно недостаточная.
В области теории информации нашим ученым пришлось догонять за-
рубежную науку. Можно считать, что сейчас это опоздание наверстано, а
работы покойного А. Я. Хинчина и представителя нашего младшего поко-
ления — Р. Л. Добрушина заняли уже видное положение в международной
науке.
444
III. Статьи о математике в энциклопедических изданиях
Информация по своей природе — не специально вероятностное поня-
тие. Исходное представление об информации как числе двоичных знаков,
необходимых для того, чтобы выделить определенный объект из конечного
множества объектов, ничего общего с теорией вероятностей не содержит.
Лишь в более высоких разделах теории информации сейчас доминируют
вероятностные методы. Возможно, однако, что соотношения между теори-
ей информации к теорией вероятностей радикально изменятся. Я не хочу
сейчас развивать здесь концепцию (меня лично она все более привлекает),
по которой отношения эти могут быть обратными современным, и не тео-
рия вероятностей будет основой высших разделов теории информации, а в
основе теории вероятностей будут лежать понятия теории информации.
Отмечу здесь лишь возникновение новой ветви «теории динамических
систем», т. е. общей теории неслучайных, строго детерминированных про-
цессов, в которой представления теории информации (начиная с информа-
ционного понятия «энтропии») играют основную роль. Большие аналогии
между динамическими системами со свойством «перемешивания» и слу-
чайными процессами были понятны давно. Но сейчас в работал, начатых
мною и продолженных В. А. Рохлиным и, в особенности, Я. Г. Синаем,
эти аналогии были значительно углублены. В частности, Я. Г. Синай в
широких предположениях и для некоторых вполне классических модель-
ных систем (упругие шарики в ящике) доказал давнюю гипотезу об асимп-
тотически нормальном распределении «времен пребывания» в различных
областях фазового пространства. По-видимому, для классических динами-
ческих систем, определяемых векторными полями на компактных много-
образиях, два крайних случая — изучаемый мною и В. И. Арнольдом
случай «почти периодичности» и случай «К-систем» с перемешиванием —
являются в каком-то смысле основными.
В области математической статистики, несмотря на то, что в школах
Н. В. Смирнова и Ю. В. Линника выполнено много блестящих исследо-
ваний, деятельность советских математиков еще далеко не достаточна.
По-видимому, такое положение обуславливается тем, что развитие мате-
матической статистики тесно связано с опытом непосредственной работы
с фактическим статистическим материалом. Для квалифицированных же
советских математиков контакт с такого рода работой на реальном ма-
териале все еще остается если не редким, то эпизодическим и несколько
случайным. О замечательных своих достижениях в решении трудных ана-
литических задач, возникающих в математической статистике, докладывал
Ю. В. Линник. В Математическом институте им. В. А. Стеклова Академии
наук СССР под руководством Н. В. Смирнова и Л. Н. Большева широко
поставлена работа по изданию нужных в статистической практике мате-
матических таблиц и вычислению ряда новых таблиц.
Проблемы теории вероятностей
445
Некоторые группы математиков в Москве, Ленинграде и других горо-
дах с энтузиазмом помогают ученым других специальностей решать прак-
тические задачи (в области биологии, геологии и т. п.) статистическими
методами. Но выше уже говорилось о несколько случайном, разрозненном,
а иногда и дилетантском характере этих работ. Вопросу о более рацио-
нальной и широкой организации такого рода работ в будущем Отделение
должно уделить внимание на одном из следующих своих собраний.
Именной
указатель
Абель (Abel N. Н.), 39, 254
Абу-ль-Вефа, 25
Адамар (Hadamard J.), 53, 55, 59,
259, 303, 306, 312
Адамс (Adams J. С.), 60
Александер (Alexander J. W.), 58
Александров А. Д., 55, 252
Александров П. С., 56, 58, 235,
248, 250, 252,273,277, 285,
298, 300, 328, 438, 439
аль-Батани, 25
Андронов А. А., 58, 323
Аполлоний Пергский, 19, 80
Арган (Argand 39, 50
Ариабхата, 23
Аристарх Самосский, 19
Аристотель, 18
Арнольд В. И., 444
Архимед, 16, 19, 20, 89, 157
Архит Тарентский, 18
Ахиезер Н. Д., 249
Бавли Г. М., 303, 310, 320
Байес (Bayes Т.), 38
Банах (Banach S.), 57
Бари Н. К., 56, 248, 276, 279, 440
Барроу (Barrow I.), 34
Башелье (Bachelier L.), 301, 322,
334
Безикович (Besikovitch A. S.), 277
Безу (Bezout Ё.), 37
Бернулли Д. (Bernoulli D.), 30, 38,
48, 136
Бернулли И. (Bernoulli Johann),
34, 38, 161, 164
Бернулли Я. (Bernoulli Jacob), 33-
35, 38, 225, 338, 339
Бернштейн С. Н., 56, 59, 60, 106,
225, 249, 250, 252, 273,
274, 276, 277, 280, 301,
303, 310, 319, 321, 323,
346, 349, 351, 365, 412,
440, 442
Бине (Binet J. Р. М.), 164
Биркгоф (Birkhoff G. D.), 58, 288,
324
Бируни, 24
Бляшке (Blaschke W.), 299
Бобынин В. В., 53
Боголюбов Н. Н., 57, 58, 249, 252,
322
Больцано (Bolzano В. Р. J. N.), 55,
230, 231
Большее Л. Н., 444
Больяй (Bolyai J.), 39
Бомбелли (Bombelli R.), 27, 159,
160
Бор (Bohr Н. А.), 277, 356
Борель (Borel Ё.), 55, 56, 60, 234,
259, 273, 303, 347
Боровков А. А., 442
Борткевич В. И., 338
Боярский А. Я., 361
Брадвардин (Bradwardine Т.), 16,
26
Брам агу пта, 23, 158
Именной указатель
447
Брауэр (Brouwer L. Е. J.), 52, 58,
183,260,261,265,268, 269,
271
Брук И. С., 251
Брунс (Bruns Н.), 338
Буль (Boole G.), 52
Буняковский В. Я., 49, 225, 341
Бхаскара, 23
Бэкон (Bacon F.), 69
Бэр (Baire R.), 56, 234, 259, 273
Бюшгенс С. С., 248
Вагнер В. В., 249
Валле-Пуссен (Уа11ёе Poussin С.-
J., de la), 53
Валлис (Wallis J.), 32, 33, 35, 160,
163
Вальд (Wald А.), 226
Ван Сяо-тун, 22
Вандермонд (Vandermonde А.), 37
Варинг (Waring Е.), 38
Ващенко-Захарченко М. Е., 57
Веблен (Veblen О.), 58
Вейерштрасс (Weierstrass К.), 50,
52, 55, 161, 164
Вейль (Weyl Н.), 54, 55, 260, 277
Вентцель А. Д., 443
Вессель (Wessel С.), 39, 49
Виет (Vifete F.), 15, 16, 27, 159,160
Визе В. Ю., 326
Винер (Wiener N.), 189, 303, 308,
324, 350, 443
Виноградов И. М., 53, 248, 249,
251
Вольд (Wold Н.), 350
Вороной Г. Ф., 53
Выгодский М. Я., 53, 300
Гагаев Б. М., 280
Галёркин Б. Г., 60
Галилей (Galilei G.), 27, 31
Галуа (Galois Ё.), 40, 50, 254
Гальтон (Galton F.), 225, 320, 338
Гамильтон (Hamilton W.), 163,
164, 287
Гарриот (Garriot Т.), 159, 164
Гаусс (Gauss С. F.), 39, 48, 50, 51,
161, 164, 225,254,317,338,
340
Гельфанд И. М., 57, 251
Гельфонд А. О., 53, 248, 298
Герои, 20
Гершгорин С. А., 60
Гёдель (Godel К.), 52
Гиббс (Gibbs J. W.), 287
Гильберт (Hilbert D.), 52, 53, 55,
57, 59, 67, 260, 261, 287,
330
Гиппарх, 20
Гиппий Элитский, 17
Гиппократ Хиосский, 17, 66
Глаголев Н. А., 251, 285
Гливенко В. И., 108, 282, 285, 303,
325, 326, 346, 351, 365
Гнеденко Б. В., 109, 325, 346, 347,
350, 440
Голубев В. В., 248, 285, 299
Голузин Г. М., 55
Гончаров В. Л., 249, 273, 280
Горнер (Horner W. G.), 22
Госсет (Gosset W. S., Student), 226
Гостинский (Hostinsky В.), 303,
306, 309, 312
Грассман (Grassmann Н. G.), 51,
287
Грин (Green G.), 49
Гук (Hooke R.), 31
Гурса (Goursat Е.), 59
Гурьев С. В., 36
Гутенмахер Л. И., 251
Гюйгенс (Huygens С.), 31, 33, 35
Гюльден (Guldin Р.), 32
Гюнтер Н. М., 59, 153, 248
448
Именной указатель
Д’Аламбер (D’Alembert J., Jean le
Rond dit d’Alembert), 30,
36-38, 48, 136
Данжуа (Denjoy A.), 180, 277
Дарбу (Darboux G.), 54, 176
де Финетти (de Finetti B.), 303,
309, 322, 323, 347, 350
Дедекинд (Dedekind R.), 52, 53,
167, 231, 264
Дезарг (Desargues G.), 35, 98
Декарт (Descartes R.), 12, 31, 32,
35, 159, 160, 163, 195, 210
Делоне Б. H., 53, 248
Демокрит, 18, 91
Дёблин (Doblin W.), 350
Джемшид ибн-Масуд аль-Каши
Гиясэддин, 25
Джонс (Jones W.), 163
Динострат, 17
Диофант, 15, 20, 157
Дирихле (Dirichlet Р. G. L.), 49,
51, 59
Добрушин Р. Л., 443
Дынкин Е. Б., 367, 440
Дюрер (Durer А.), 27
Евдокс Книдский, 18
Егоров Д. Ф., 54, 56, 248, 272, 274,
439, 440
Жегалкин И. И., 234
Жирар (Girard А.), 33, 159, 163
Жордан (Jordan С.), 51, 56, 209
Жуковский Н. Е., 55, 297
Журавский А. М., 327
Зарецкий М. А., 276
Золотарев Е. И., 53
Ибн-аль-Хайтам, 24
Кавальери (Cavalieri В.), 32, 92,
163
Каган В. Ф., 54, 248, 299
Кантелли (Cantelli F. Р.), 303
Кантор (Cantor G.), 52, 53, 210,
230, 231, 291
Канторович Л. В., 60, 249, 251, 282
Каратеодори (Carath6odory С.),
55, 234
Кардано (Cardano G.), 27,159, 254
Карпелевич Р. И., 367
Картан (Cartan Е.), 54, 288, 299
Катальди (Cataldi Р. А.), 35
Келдыш Л. В., 281
Келдыш М. В., 56, 60, 250, 252
Келлер Л. Б., 324
Кеплер (Kepler J.), 31, 32, 35, 92,
163
Кетле (Qu£telet L. A. J.), 225, 338
Кибель И. А., 249
Кирик, 28
Клавдий Птолемей, 20
Клейн (Klein С. F.), 51, 53, 55
Клеро (Clairaut А. С.), 38
Ковалевская С. В., 58, 150, 151
Коллинз (Collins J.), 34
Коперник (Kopernik М., Coperni-
cus N.), 27
Коркин А. Н., 53
Кочин Н. Е., 249
Коши (Cauchy О. L.), 39, 48-50,
95, 161, 163, 174
Крамер Гаральд (Cramer Gabriel),
37
Крамер Габриель (Сгатёг Ha-
rald), 321, 442
Крамп (Kramp Ch.), 164
Крейн М. Г., 249
Крейнес М. А., 252
Кронекер (Kronecker L.), 53
Крылов А. Н., 59, 60, 251, 252, 314,
357, 443
Крылов Н. М., 58, 249, 322
Кузьмин Р. О., 248
Именной указатель
449
Куклес И. С., 328
Куммер (Kummer Е. Е.), 53
Купман (Koopman В. О.), 346
Курант (Courant R.), 59, 315
Курно (Cournot А. А.), 338
Курош А. Г., 54, 248, 285
Кэли (Cayley А.), 40, 161, 262
Лаврентьев М. А., 55-57, 140, 235,
250,252,274, 275,281,282,
299
Лагир (La Hire Р., de), 35
Лагранж (Lagrange J.), 35, 37-39,
48, 163, 164
Ламберт (Lambert J. H.), 37, 39
Лаплас (Laplace Р.-S.), 37-39, 225,
301, 317, 338, 340
Л anno-Данилевский И. А., 57, 150
Лебег (Lebesgue Н.), 56, 175, 234,
259, 272, 273, 278
Леви (L6vy Р.), 60, 303, 306, 309,
320, 321, 324, 347, 350
Леви-Чивита (Levi-Civita Т.), 54,
287, 288
Левин С. С., 278
Лежандр (Legendre А.-М.), 37-39,
164
Лейбензон Л. С., 299, 314
Лейбниц (Leibniz G. W., von), 31,
33, 35, 135, 160, 163, 164
Леонардо Пизанский (Leonardo
Pisano, Fibonacci), 23, 26,
27, 158
Леонтович М. А., 323, 325
Лефшетц (Lefschetz S.), 58
Ли (Lie S.), 40, 54
Ли Е, 22
Либман (Liebmann Н.), 60
Ливенсон Е. М., 282
Линдеберг (Lindeberg J. W.), 317
Линдеман (Lindemann С. L. F.), 53
Линник Ю. В., 252, 367, 444
Лобачевский Н. И., 13, 39, 49, 69,
163
Лопиталь (de L’Hopital G. F. A.),
34
Лузин H. H., 52, 54, 56, 235, 250,
272, 273, 278, 281-283, 296,
347, 439, 440
Лундберг (Lundberg F.), 301
Люилье (Lhuilier S. A. J.), 164
Люстерник Л. A., 54, 57, 58, 248,
251, 252, 274
Ляпунов A. M., 58, 59, 150, 153,
225,301,317,319, 338,343,
442
Магницкий Л. Ф., 28
Маклорен (Maclaurin C.), 36
Максвелл (Maxwell J.), 287
Мальцев А. И., 54, 250, 252
Мандельштам Л. И., 58
Марков А. А. (мл.), 52 249,
Марков А. А. (ст.), 53, 59,106, 225,
301,306,312,317,319,338,
343, 365, 440, 442
Мелентьев П. В., 315
Мендель (Mendel G.), 320
Менелай, 20
Меньшов Д. Е., 56, 248, 272, 275,
276, 279, 280, 440
Меркатор (Mercator N.), 33
Мёнье (Meusnier J. В. М. С.), 38
Мёрфи (Murphy R.), 164
Мизес (Mises R., von), 60, 301,
303, 306, 312, 317, 321,
327, 346
Минковский Г. (Minkowski Н.), 53
Монж (Monge G.), 38, 39
Морс (Morse Н. С. М.), 58
Муавр (Moivre A., de), 37, 38, 338
Мур (Moore Е. Н.), 278
450
Именной указатель
Мусхелишвили Н. И., 55, 57, 249,
251
Мюллер (Muller J., Regiomonta-
nus), 26
Мюнц (Muntz Н.), 279
Насирэддин Туси, 24, 25
Нейгебауэр (Neugebauer О.), 254
Нейман Е.(Neyman J.), 226, 318,
352
Нейман Дж. фон (Neumann J.,
von), 57
Непер (Napier J.), 32
Николай Кузанский, 16, 26
Новиков П. С., 52, 235, 283, 440
Новиков С. П., 282
Ньютон (Newton I.), 31-33, 37, 38,
135, 160, 163
Обухов А. М., 326
Омар Хайям, 24
Оресм (Oresme Nicole d’), 26, 195
Остроградский М. В., 49, 247, 341
Оутред (Oughtred W.), 163, 164
Папп, 21
Паскаль (Pascal В.), 32, 35, 338
Пачоли Л. (Pacioli L.), 26, 158
Пеано (Peano G.), 52, 140, 262
Пенлеве (Painlev£ Р.), 57
Перрон (Perron О.), 277, 310
Петерсон К. М., 51
Петровский И. Г., 58, 59, 153, 250,
252, 298, 303, 310, 323, 346
Пикар (Picard J. Е.), 55, 59, 60
Пирсон (Pearson К.), 202, 318, 338,
351
Пирсон (Pirson Е. S.), 226, 318
Пирсон (Pirson К.), 225
Пискунов Н. С., 323
Пифагор Самосский, 17
Планк (Planck М.), 301, 318
Платон, 69
Плеснер (Plessner А.), 279
Плюккер (Pliicker J.), 51, 288
Полячек (Pollaczek F.), 328
Понселе Ж. (Ропсе1ё J. V.), 51
Понтрягин Л. С., 54, 58, 250, 252,
298, 300, 303, 323
Порецкий П. С., 52
Привалов И. И., 55, 56, 248, 272,
280
Прокл, 21
Прохоров Ю. В., 367, 440
Пуанкаре (Ротсагё Н.), 55, 57-59,
262, 288
Пуассон (Poisson S. D.), 48, 225,
301, 317, 338, 340
Пфафф (Pfaff J. F.), 153
Радемахер (Rademacher Н.), 280
Размадзе А. М., 249
Рвачёва Е. Л., 366
Региомонтан (Regiomontanus, см.
Мюллер), 26
Рекорд (Recorde R.), 164
Рессель (Russell В. A. W.), 259,
260, 262, 265
Риккати (Riccati J. F.), 38, 163
Риман (Riemann В.), 50, 51, 59,
164, 175, 288
Рисе (Riesz F.), 57
Ритц (Ritz W.), 60
Риччи (Ricci G.), 287
Ролль (Rolle М.), 32
Романовский В. И., 226, 249, 322,
326, 351, 365
Рохлин В. А., 444
Рудольф (Rudolff Ch.), 159, 163
Рунге (Runge К. D. Т.), 60
Руффини (Ruffini Р.), 39
Рэлей (Strutt J. W., lord Rayleigh),
59
Сапогов Н. А., 367
Именной указатель
451
Селивановский Е. А., 281
Селиверстов Г. А., 279, 314
Серпинский (Sierpiriski W.), 56,
281
Синай Я. Г., 444
Слезкин Н. А., 297
Слуцкий Е. Е., 226, 303, 306, 308,
309, 324,326,346,350,351,
353, 354, 358, 365
Смирнов В. И., 59, 153, 248
Смирнов Н. В., 109, 226, 325, 327,
346, 351, 365, 367, 444
Смолуховский (Smolouchows-
ki М.), 301, 308, 319, 333,
334
Соболев С. Л., 57, 59,153, 248, 252,
285
Спиноза (Spinoza В.), 31, 72
Статулявичус В. А., 442
Стевин (Stevin S.), 16, 25, 27
Стеклов В. А., 59, 153, 247
Степанов В. В., 58, 248, 275, 277,
285, 299, 315, 356
Стилтьес (Stieltjes Т. J.), 178, 301,
309
Стирлинг (Stirling J.), 38
Стокс (Stokes G. G.), 49
Стратонович Р. Л., 443
Стьюдент (Student, Gosset W. S.),
226, 351
Сунь-цзы, 22
Суслин М. Я., 56, 235, 273, 274,
281, 282
Схоутен (Schouten J. А.), 299
Тарталья (Tartaglia N.), 27, 160
Тейлор (Taylor G. I.), 350
Тейлор (Taylor В.), 38
Тихонов А. Н., 58, 59, 153, 250, 315
Томсон (Thomson W., lord Kelvin),
59, 287
Тулайков А. Н., 279
Улуг-бек, 24
Урысон П. С., 58, 210, 248, 298,
438, 439
Фалес Милетский, 17
Федоров Е. С., 41, 54
Феллер (Feller W.), 60, 320, 321
Ферма (Fermat Р.), 32, 35, 338
Феррари (Ferrari L.), 27, 254
Ферро (del Ferro S.), 27
Фиников С. П., 54, 248
Фихтенгольц Г. М., 249, 276, 280
Фишер (Fisher R. А.), 154, 156,
185,226, 301,318,319,323,
333, 351
Фоккер (Fokker A. D.), 301, 318
Фрай (Frey Т.), 301, 319, 333
Фреге (Frege G.), 52, 259
Фредгольм (Fredholm Е. L), 57
Фреше (Fr£chet М.), 58, 133, 234,
278, 279, 288, 303, 322
Фробениус (Frobenius F. G.), 287
Фурье (Fourier J.), 48, 164
Хартли (Hartley R. V. L.), 185
Хаусдорф (Hausdorff F.), 58, 234,
282
Хевисайд (Heaviside О.), 57, 287
Хинчин А. Я., 56, 60,106, 173, 180,
248, 252, 272, 275,285,294,
298,300,303,306,308-310,
315,319-321, 323-325, 334,
346,347,349,350,353,354,
358, 359, 440, 443
Хопф (Hopf Н.), 58, 303, 300
Хорезми Мухаммед бен-Муса, 24
Христианович С. А., 249, 252
Цейтен (Zeuthen H.-G.), 53
Цермело (Zermelo Е. F. F.), 234,
259
452
Именной указатель
Цзин Чоу-чан, 21
Цзу Чун-чжи, 22
Цинь Цзю-шао, 22
Чаплыгин С. А., 55, 60, 251, 297,
311, 314
Чеботарев Н. Г., 53, 249
Чебышев П. Л., 49, 50, 59, 103,
104,115, 225, 301,312,317,
319, 338, 341, 365, 442
Чжан Цан, 21
Чжу Ши-цзе, 22
Чупров А. И., 115
Шатуновский С. О., 278
Шаудер (Schauder J. Р.), 58
Шварц (Schwarz К. Н. А.), 59
Швентер (Schwenter D.) 35
Шеннон (Shannon С. Е.), 185
Шёнфлис (Schoenflies А. М.), 41,
54
Широков П. А., 249
Шмидт О. Ю., 54, 248, 299
Шнирельман Л. Г., 53, 54, 248,
274, 285, 296, 297
Шрёдер Э. (Schroder Е.), 52
Штёрмер (Stprmer F. С. М.), 60
Штаудт (Staudt К. G. С., von), 51
Штейнер (Steiner J.), 51
Штермер К., 311
Штифель (Stifel М.), 27, 159
Шюке (Chuquet N.), 26, 158
Эвдокс, 67
Эвклид, 19, 67, 76
Эйлер (Euler L.), 30, 35-40, 48, 80,
136, 161, 163, 164
Эйнштейн (Einstein А.), 319, 333,
334
Энгельс (Engels F.), 135
Эратосфен, 19
Эригон (H£rigone Р.), 164
Эрмит (Hermite С.), 53
Юшкевич А. П., 53
Якоби (Jacobi С. G. J.), 49
Ян Хуэй, 22
Яновская С. А., 53, 285, 300
Ястремский Б. В., 327
Содержание
От редакции....................................................... 3
I. Статья «Математика» (БСЭ-2) ................................... 5
II. Статьи о математике в энциклопедических изданиях............. 63
Абсолютная величина .......................................... 65
Абсолютная геометрия ......................................... 65
Аддитивные величины........................................... 65
Аксиома ...................................................... 66
Аксонометрия ................................................. 74
Алгебра в средней школе ...................................... 74
Алгебраическое выражение...................................... 74
Алгоритм ..................................................... 74
Алгоритм Эвклида ............................................. 76
Анализ математический ........................................ 79
Асимптота .................................................... 80
Асимптотические выражения..................................... 81
Бесконечно большие ........................................... 82
Бесконечно малые |совл<. с В. Ф. Каганом] .................... 84
Бесконечно удаленные элементы [совлс с Б. Н. Делоне] ......... 96
Бесконечность в математике ................................... 99
Бигармонические функции ..................................... 102
Билинейная форма ............................................ 102
Больших чисел закон ......................................... 103
Вариационный ряд ............................................ 107
Величина .................................................... 109
Вероятное отклонение ........................................ 112
Выборочный метод [совл*. с Т. И. Козловым] .................. 114
Гаусса распределение ........................................ 119
Геодезическая кривизна ...................................... 119
Геодезические координаты .................................... 119
Гистограмма.................................................. 119
Гомеоморфизм ................................................ 121
Гомотопия ................................................... 121
График ...................................................... 121
454
Содержание
Движение (в геометрии) ...................................... 124
Двучлен ..................................................... 127
Действительные числа......................................... 127
Деление...................................................... 127
Дискретность ................................................ 129
Дисперсия ................................................... 129
Дистрибутивность ............................................ 130
Дистрибутивный оператор ..................................... 131
Дифференциал ................................................ 132
Дифференциальные уравнения [совл<. с Б. П. Демидовичем и В. В. Не-
лсыцкилс] ................................................. 134
Доверительная вероятность ................................... 154
Доверительные границы ....................................... 155
Достаточная статистика ...................................... 155
Знаки математические [совлс. с И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевичем] 156
Значащие цифры .............................................. 166
Измерение ................................................... 166
Изоморфизм [совл<. с В. И. Бигпюцковым] ..................... 167
Изотропные прямые ........................................... 170
Именованное число ........................................... 171
Индукция математическая ..................................... 172
Интеграл .................................................... 174
Интеграл вероятности ........................................ 180
Интерполяция ................................................ 180
Интуиционизм ................................................ 183
Информация................................................... 184
Исключение неизвестных ...................................... 187
Испытание ................................................... 187
Исчерпывания метод .......................................... 187
Квадрант .................................................... 189
Кибернетика ................................................. 189
Компакт ..................................................... 194
Константа ................................................... 194
Континуум ................................................... 194
Координаты .................................................. 195
Корреляция .................................................. 200
Линия........................................................ 205
Малых чисел закон ........................................... 213
Математическая статистика ................................... 213
Математическая физика........................................ 226
Мера ........................................................ 227
Многомерное пространство .................................... 228
Содержание 455
Множеств теория [совлс. с П. С. Александровым] ................ 229
Ориентация .................................................... 237
Основания геометрии ........................................... 240
Поверхность [совм. с Л. А. Скорняковым] ....................... 240
Порядковые числа .............................................. 243
Приемочный статистический контроль ............................ 244
Развитие математики в СССР .................................... 247
Средние величины .............................................. 252
Уравнение ..................................................... 253
III. Статьи о математике в других изданиях ........................ 257
Современные споры о природе математики [1929 г.] .............. 259
Теория функций действительного переменного [1932 г.] .......... 272
Современная математика [1934 г.] .............................. 285
Институт математики и механики МГУ [1934 г.] .................. 293
О некоторых современных течениях в теории вероятностей [1934 г.] .... 301
Теория и практика в математике [1936 г.] ...................... 311
Теория вероятностей и ее применения [1938 г.] ................. 317
Об отделе информации в первом выпуске «Успехов математических
наук» [1938 г.] ............................................... 328
Одно замечание по поводу оснований геометрии (к вопросу о необ-
ходимости нового перевода «Оснований геометрии» Д. Гильберта)
[1938 г.] ..................................................... 330
От редакции. [Вступительная статья к циклу статей по теории случайных
процессов. 1938 г.] ........................................... 333
Проблемы теории вероятностей (тезисы доклада на заседании Москов-
ского математического общества 11 декабря 1944 года) .......... 335
Роль русской науки в развитии теории вероятностей [1947 г.] ... 337
Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром [1947 г.] ... 353
Основные задачи теоретической статистики [1948 г.] ............ 361
Научная сессия отдела теории вероятностей Математического института
АН СССР и кафедры теории вероятностей Московского государствен-
ного университета [1949 г.] ................................. 366
О профессии математика [1959 г.] .............................. 369
Теория вероятностей [1956 г.] ................................. 397
Нужны ли научные школы? [1962 г.] ............................. 437
Проблемы теории вероятностей и математической статистики. (На Об-
щем собрании Отделения математики.) (1965 г.] ................. 442
Именной указатель.................................................. 446
Научное издание
Колмогоров Андрей Николаевич
Избранные труды
в шести томах
Т о м 4
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ
Книга I
О МАТЕМАТИКЕ
Утверждено к печати
Ученым советом
Математического института
им. В. А Стеклова
Российской академии наук
Зав. редакцией НА. Степанова
Редактор И.И. Цитович
Художник Ю.И. Духовская
Художественный редактор В.Ю Яковлев
Компьютерная верстка И.И. Цитович
Подписано к печати 16.04.2007
Формат 70 х 100 ’/|6. Гарнитура Таймс
Печать офсетная
Усл.псч.л. 37,2- Усл.кр.-отт. 37,2. Уч.-изд.л. 31,4
Тираж I ИХ) экз. Тип. зак. 4508
Издательство “Наука"
117997, Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: sccrci@naukaran.ru
www.naukaran.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП “Типография “Наука"
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12