Автор: Виленкин Н.Я.   Гельфанд И.М.  

Теги: линейные топологические пространства   ядерные пространства   оснащенные гильбертовые пространства  

Год: 1961

Похожие

Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве

Некоторые применения функционального анализа в математической физике

Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения

Методы гильбертова пространства

Текст 
                    ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ВЫПУСК 4
И. М. ГЕЛЬФАНД и Н. Я. ВИЛЕНКИН
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ГАРМОНИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ОСНАЩЕННЫЕ
ГИЛЬБЕРТОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
MQGlfSA 1961


АННОТАЦИЯ
Этот выпуск посвящен двум вопросам: изуче-
изучению наиболее важного класса линейных топологи-
топологических пространств — ядерных пространств и оснащен-
оснащенных гильбертовых пространств, и изучению гармони-
гармонического анализа в евклидовых и бесконечномерных
линейных пространствах. Рассматриваются приложения
к спектральному анализу линейных операторов, к теории
меры в линейных топологических пространствах 2, ком-
коммутационным соотношениям в квантовой теории поля,
обобщенным случайным процессам и т. д. Гармони-
Гармонический анализ на группе Лоренца и связанные с этим
вопросы интегральной геометрии будут изложены
в пятом выпуске.
От читателя предполагается знакомство с первыми
двумя главами вып. 1. Необходимые сведения из вто-
рогЪ выпуска кратко изложены в этой книге. Книга
рассчитана на студентов-математиков старших курсов,
аспирантов и научных работников.
Израиль Моисеевич Ггльфакд и Наум Яковлевич Вилетсин.
Обобщенные функция. Некоторые применении гармонического анализа.
Оснащенные гильбертовы пространства.
Техн. редактор Е. А. Ермакова
Редактор Ф. В. Широков
Корректор Т. С. Страхова
Сдано в набор 21/Ш 1960 г. Подписано к печати 10/Х i960 г. Бумага 84x108/32.
Фсз. неч. л. 14,75. Услозн. печ^. л. 24.19. Уч.-изд. л. 24,25. Тираж 10150 экз.
Т-12847. Цена 1р. 41 к. Заказ N» 1281.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза,
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава I
ТЕОРЕМА О ЯДРЕ. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ОСНАЩЕННОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Билинейные функционалы в счетно-нормированных
пространствах. Теорема о ядре 12
1. Выпуклые функционалы A3). 2. Билинейные функ-
функционалы A9). 3. Строение билггаейных функционалов
в конкретных пространствах (теорема о ядре) B3).
Добавление к § 1. Пространства К, S и Z 33
§ 2. Операторы типа Гильберта — Шмидта и ядерные опе-
операторы 40
1. Вполне непрерывные операторы D2). 2. Операторы
типа Гильберта— Шмидта D7). 3. Ядерные операторы E5).
4. Следовая норма F7). 5. Следовая норма и раололсе-
ния оператора в сумму операторов ранга 1 G3).
§ 3. Ядерные пространства. Абстрактная теорема о ядро 73
1. Счетно-гильбертовы пространства G8). 2. Ядерные про-
пространства (85). 3. Критерий ядерности пространства F9).
4. Свойства ядерных пространств (94). 5. Билинейные
функционалы в ядерных пространствах (98). 6. Примеры
ядерных пространств A05). 7. Метрический порядок мно-
множеств в ядерных пространствах A12). 8. Функциональна!
размерность линейных топологических пространств A27).
§ 4, Оснащенные гильбертовы пространства. Спектраль-
Спектральный анализ самосопряженных и унитарных операто-
операторов 33
1. Обобщенные собственные векторы A33). 2. Оснащенные
гильбертовы пространства A36). 3. Реализация гильбер-
гильбертова пространства в виде пространства функций и осна-
оснащенные гильбертовы пространства A41). 4. Непрерывные
прямые суммы гильбертовых пространств и оснащенные
гильбертовы пространства A47). 5. Спектральный анализ
операторов в оснащенных гильбертовых простран-
пространствах A53).


ОГЛАВЛЕНИЕ
Добавление к§ 4. Спектральный анализ самосопряженных и уни-
унитарных операторов в гильбертовом пространстве ....
1. Абстрактная теорема о спектральном разложении A62).
2. Циклические операторы A65). 3. Разложение гильбер-
гильбертова пространства в непрерывную прямую сумму, соот-
соответствующее данному самосопряженному оператору A66).
162
Г л а в а II
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Введение 171
1. Положительность и положительная определенность A73)
§ 2. Положительные обобщенные функции 179
1. Положительные обобщенные функции в пространстве
финитных бесконечно дифференцируемых функций A80).
2. Общий вид положительных обобщенных функций
в пространстве 5 A83). 3. Положительные обобщенные
функции для некоторых других пространств A86). 4. Муль-
Мультипликативно положительные обобщенные функции A88).
§ 3. Положительно определенные обобщенные функции.
Теорема Бохнера 190
1. Положительно определенные обобщенные функции
в пространстве S A91). 2. Непрерывные положительно
определенные функции A92). 3. Положительно опреде-
определенные обобщенные функции в пространстве К A98).
4. Положительно определенные Обобщенные функция
в пространстве Z B07). 5. Инвариантные относительно
сдвигов положительно определенные эрмитовы билиней-
билинейные функционалы B08). 6. Примеры положительных и по-
положительно определенных обобщенных функций B12).
§ 4. Условно положительно определенные обобщенные
функции 218
1. Основные определения B18). 2. Условно положитель-
положительные обобщенные функции (случай одного переменно-
переменного) B21). 3. Условно положительные обобщенные функ-
функции (случай многих переменных) B24). 4. Условно поло-
положительно определенные обобщенные функции в про-
пространстве К B36). 5. Билинейные функционалы, связанные
с условно положительно определенными обобщенными
функциями B38).
Добавление к§4 243
оглавление 5
§ 5. Четно-положительно определенные обобщенные
функции 245
1. Предварительные замечания B45). 2. Четно-положи-
Четно-положительно определенные обобщенные функции в простран-
пространстве S'/fc B48). 3. Четно-положительно определенные обоб-
обобщенные функции в пространстве S,, B65). 4. Положи-
Положительно определенные обобщенные функции и группы ли-
линейных преобразований B67).
§ 6. Четно-положительно определенные обобщенные
функции в пространстве финитных функций одного
переменного 270
1. Положительные и мультипликативно положительные
обобщенные функиди B70). 2. Теорема о распростране-
распространении положительных линейных функционалов B74). 3. Чет-
Четные положительные обобщенные функции в пространстве
Z B76). 4. Пример неединственности задания положи-
положительного функционала в пространстве Z+ при помощи
положительных мер B84).
§ 7. Мультипликативно положительные линейные функ-
функционалы в топологических алгебрах с инволюцией . 287
1. Топологические алгебры с инволюцией B87). 2. Ал-
Алгебра многочленов от двух переменных B90).
Глава III
ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Основные понятия, связанные с обобщенными случай-
случайными процессами 296
1. Случайные величины B96). 2. Обобщенные случайные
процессы C02). 3. Примеры обобщенных случайных про-
процессов C04). 4. Операции над обобщенными случайными
процессами C06).
§ 2. Моменты обобщенных случайных процессов. Гаус-
совские процессы. Характеристический функционал 307
1. Среднее значение обобщенного случайного процес-
процесса C07). 2. Гауссовские процессы C09). 3. Существова-
Существование гауссовских процессов с заданными корреляцион-
корреляционными функционалами и средними значениями C13).
4. Производные обобщенных гауссовских процессов C19).
5. Примеры гауссовских обобщенных случайных процес-
процессов C20). 6. Характеристический функционал обобщен-
обобщенного случайного процесса C23).


ОГЛАЗЛЕННН
§ 3. Стационарные обобщенные случайные процессы.
Обобщенные случайные процессы со стационарными
приращениями га-го порядка 326
1. Стационарные процессы C26). 2. Корреляционный функ-
функционал стационарного процесса C27). 3. Процессы со ста-
стационарными приращениями C29). 4. Преобразование Фу-
Фурье стационарных обобщенных случайных процессов C33).
§ 4. Обобщенные случайные процессы с независимыми
в каждой точке значениями 338
1. Процессы с независимыми значениями C38). 2. Усло-
Условия положительной определенности функционала
е^ f C41). 3. Процессы с независимыми значе-
значениями и условно положительно определенные функ-
функции C45). 4. Связь процессов с независимыми в каждой
точке значениями и безгранично делимых законов рас-
распределения C49). 5. Процессы, связанные с функциона-
функционалами га-го порядка C51). 6. Процессы обобщенного пуас-
соновского типа C53). 7. Корреляционные функционалы
и моменты для процессов с независимыми в каждой
точке значениями C53). 8. Гауссовские процессы с неза-
независимыми в каждой точке значениями C55).
§ 5. Обобщенные случайные поля 357
1. Основные определения C57). 2. Однородные случай-
случайные поля и' поля с однородными приращениями s-ro по-
порядка C58). 3. Изотропные однородные обобщенные слу-
случайные поля C60). 4. Обобщенные случайные поля
с однородными и изотропными приращениями s-ro по-
порядка C63). 5. Многомерные, обобщенные случайные
поля C67). 6. Изотропные и векторные многомерные слу-
случайные поля C71).
Глава IV
МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
1. Основные определения 373
1. Цилиндрические множества C73). 2. Простейшие свой-
свойства цилиндрических множеств C75) 3. Меры цилиндри-
цилиндрических множеств C79). 4. Условие непрерывности для
мер цилиндрических множеств C81). 5. Индуцированные
меры цилиндрических множеств C83).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 2 Счетная аддитивность мер цилиндрических множеств
в пространствах, сопряженных с ядерными про-
пространствами 384
1. Аддитивность мер цилиндрических множеств C84).
2. Условие счетной аддитивности меры цилиндрических
множеств в пространствах, сопряженных счетно-гильбер-
счетно-гильбертовым пространствам C90). 3. Меры цилиндрических
множеств в пространствах, сопряженных ядерным счет-
счетно-гильбертовым пространствам C95). 4. Счетная адди-
аддитивность мер цилиндрических множеств в пространствах,
сопряженных с точными объединениями ядерных про-
пространств D07). 5. Условие счетной аддитивности меры
цилиндрических множеств в гильбертовом простран-
пространстве D13).
§ 3. Гауссовские меры в линейных топологических про-
пространствах 415
1. Определение гауссозских мер D15). 2. Условие счет-
счетной аддитивности гауссовских мер в пространствах, со-
сопряженных счетно-гильбертовым D21).
§ 4. Преобразование Фурье мер в линейных топологиче-
топологических пространствах 428
1. Определение преобразования Фурье меры D28). 2. По-
Положительно определенные функционалы в линейных то-
топологических пространствах D30).
§ 5. Кзазиинвариантные меры в линейных топологических
пространствах 435
1. Инвариантные и квазиинвариантные меры в конечно-
конечномерных пространствах D35). 2. Квазиинвариантные меры
в линейных топологических пространствах D41). 3. Ква-
Квазиинвариантные меры в полных метрических простран-
пространствах D47). 4. Ядерные группы Ли и их унитарные пред-
представления. Коммутационные соотношения квантовой тео-
теории поля D51).
Примечания и литературные указания 461
Алфавитный указатель 469


ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является четвертым выпуском серии моногра-
монографий по функциональному анализу, выходящей под общим
названием «Обобщенные функции». Не следует, однако, рас-
рассматривать ее как непосредственное продолжение предыдущих
выпусков. При написании этого выпуска авторы стремились
к наибольшей независимости от предыдущих выпусков. Лишь
материал, изложенный в первых двух главах выпуска 1, надо
рассматривать как необходимый минимум, знание которого
требуется от читателя. В связи с этим некоторые вопросы,
изложенные в предыдущих выпусках, кратко повторяются
здесь.
Предлагаемая читателю книга посвящена двум основным
вопросам: дальнейшему развитию теории линейных топологи-
топологических, пространств и построению гармонического анализа
в га-мерных евклидовых и бесконечномерных пространствах.
После возникновения теории топологических пространств
встал вопрос о выделении класса топологических пространств,
определяемого достаточно простыми аксиомами и охватываю-
охватывающего все (или почти все) встречающиеся в приложениях про-
пространства. Точно так же после создания теории линейных
топологических пространств стало необходимым выяснить,
какой класс пространств является наиболее приемлемым для
использования в математическом анализе. Такой класс линей-
линейных топологических пространств — ядерные пространства —
был выделен французским математиком А. Гротендиком.
Класс ядерных пространств охватывает все или почти все
линейные топологические пространства, используемые сейчас
в анализе, и обладает рядом весьма важных свойств: для
ядерных пространств справедлива теорема о ядре Л. Шварца,
в них имеет место теорема о спектральном разложении само-
самосопряженного оператора; в пространствах, сопряженных
с ядерными, любая мера цилиндрических множеств счетно-
предисловие 9
аддитивна. Изложению этих вопросов посвящены первая и
четвертая главы книги. При этом, в связи со спектральным
анализом, введено понятие оснащенного гильбертова про-
пространства, которое, по-видимому, окажется весьма полезным
и во многих других вопросах математики.
Вторым вопросом, изучаемым в этом выпуске, является
гармонический анализ функций в различных пространствах.
Гармонический анализ в евклидовом пространстве (интеграл
Фурье) был уже частично изложен в предыдущих выпусках.
Мы отказались от идеи повторить здесь материал предыду-
предыдущих выпусков, посвященный интегралу Фурье (возможно, если
бы все выпуски писались одновременно, многие вопросы тео-
теории интеграла Фурье, например теорема Пэли — Винера для
обобщенных функций, нашли бы свое место в данном выпуске).
Здесь изложены лишь вопросы гармонического анализа в ев-
евклидовом пространстве, оставшиеся неосвещенными в преды-
дущих выпусках. Именно, здесь рассмотрено преобразование
Фурье положительных мер того или иного порядка роста
(теория обобщенных положительно определенных функций)
и его применения в теории обобщенных случайных процес-
процессов. Параллельно рассматривается преобразование Фурье мер
в линейных топологических пространствах.
В следующий, пятый, выпуск выделены вопросы гармониче-
гармонического анализа на однородных пространствах (в частности
гармонического анализа на группах) и тесно связанные
с нимм вопросы интегральной геометрии на некоторых про-
пространствах постоянной кривизны. Эта теория, весьма бо-
богатая разнообразными результатами (связанная, например,
с теорией специальных функций, аналитических функцгй мно-
многих комплексных переменных и т. д.), не могла быть, оазу-
меется, полностью изложена в рамках пятого выпуска. Мы
ограничились лишь изложением вопросов гармонического ана-
анализа на группе Лоренца. Следует отметить, что гармонический
анализ на группе Лоренца и связанных с ней однородных про-
пространствах значительно богаче материалом, чем гармониче-
гармонический анализ в «вырожденном» случае евклидова простран-
пространства. Например, в случае евклидова пространства то или
иное поведение функции на бесконечности влияет лишь
на гладкость ее преобразования Фурье. В случае же группы
Лоренца задание поведения функции на бесконечности, при-
приводит к некоторым алгебраическим . соотношениям между


10
ПРЕДИСЛОВИЕ
значениями ее преобразования Фурье в различных точках.
Однако эти вопросы в настоящее время находятся лишь
в начальной стадии изучения.
Материал четвертого выпуска представляет собой единоэ
целог, и, как мы говорили, изложение почти не зависит от
предыдущих выпусков. Несмотря на связанность отдельных
глав, начинать чтение книги можно как с первой главы, со-
содержащей общую теорию ядерных и оснащенных гильберто-
гильбертовых пространств, так и со второй главы, в которой излагается
более элементарная теория положительно определенных обоб-
обобщенных функций.
Заметим, что в некоторых главах, наряду с общими све-
сведениями, содержатся и более специальные; при первом чте-
чтении их можно пропустить.
Авторы приносят глубокую благодарность лицам, ока-
оказавшим им помощь в работе над книгой, — Ф. В. Широкову,
работа которого вышла далеко за рамки обычной редактор-
редакторской работы, А. С. Дынину, Б. С. Митягину и В. Б. Лид-
скому, ценными советами которых авторы пользовались при
написании отдельных вопросов первой главы. Особую благо-
благодарность выражают они С. А. Виленкиной, взявшей на себя
весь труд, связанный с подготовкой рукописи к печати.
И. М. Гель фанд
Н. Я- Виленкин
ГЛАВА I
ТЕОРЕМА О ЯДРЕ. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ОСНАЩЕННОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Эта глава посвящена изучению одного класса счетко-
нормированных пространств*) — так называемых ядерных
пространств. Впервые эти пространства возникли в связи
с «теоремой о ядре», которая неоднократно будет использо-
использована в этой книге. Позднее выяснилось, что ядерные про-
пространства играют существенную роль и во многих других
вопросах функционального анализа, а именно, ядерные про-
пространства оказались наиболее естественным классом про-
пространств для изучения спектральных разложений самосопря-
самосопряженных операторов. В связи с рассмотрением спектральных
разложений эти пространства были уже введены в выпуске 3
(гл. IV, § 3, п. 1). Однако данное там определение ядерности
было не вполне, приспособлено для других вопросов. Поэтому
в этом выпуске мы будем пользоваться иным определением
ядерности пространства, которая в существенных случаях экви-
эквивалентна ядерности в смысле, указанном в выпуске 3. Изло-
Изложение в этой главе не зависит от изложения в выпуске 3.
*) Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием счетно-
нормнрованного пространства в объеме 1 и II глав выпуска 2.
Впрочем, краткое изложение основных фактов, относящихся к част-
частному случаю таких пространств — счетно-гильбертовым простран-
пространствам, дано в начале § 3. Отметим, что на протяжении этого
выпуска мы будем считать, что все рассматриваемые счетно-нор-
мированные пространства полны, не оговаривая этого особо.
Кроме того, мы будем, как правило, считать, что согласованные
нормы || <f || „, 1 <; п <; оо, задающие топологию в счетно-нормирован-
ном пространстве Ф, монотонно возрастают, т. е. что для любого
элемента <р из Ф выполнены неравенства


10
ПРЕДИСЛОВИЕ
значениями ее преобразования Фурье в различных точках.
Однако эти вопросы в настоящее время находятся лишь
в начальной стадии изучения.
Материал четвертого выпуска представляет собой единое
целог, и, как мы говорили, изложение почти не зависит от
предыдущих выпусков. Несмотря на связанность отдельных
глав, начинать чтение книги можно как с первой главы, со-
содержащей общую теорию ядерных и оснащенных гильберто-
гильбертовых пространств, так и со второй главы, в которой излагается
более элементарная теория положительно определенных обоб-
обобщенных функций.
Заметим, что в некоторых главах, наряду с общими све-
сведениями, содержатся и более специальные; при первом чте-
чтении их можно пропустить.
Авторы приносят глубокую благодарность лицам, ока-
оказавшим им помощь в работе над книгой, — Ф. В. Широкову,
работа которого вышла далеко за рамки обычной редактор-
редакторской работы, А. С. Дынину, Б. С. Митягину и В. Б. Лид-
скому, ценными советами которых авторы пользовались при
написании отдельных вопросов первой главы. Особую благо-
благодарность выражают они С. А. Виленкиной, взявшей на себя
весь труд, связанный с подготовкой рукописи к печати.
И. М. Гельфанд
Н, Я- Виленкин
ГЛАВА I
ТЕОРЕМА О ЯДРЕ. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ОСНАЩЕННОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Эта глава посвящена изучению одного класса счетно-
нормированных пространств*) — так называемых ядерных
пространств. Впервые эти пространства возникли в связи
с «теоремой о ядре», которая неоднократно будет использо-
использована в этой книге. Позднее выяснилось, что ядерные про-
пространства играют существенную роль и во многих других
вопросах функционального анализа, а именно, ядерные про-
пространства оказались наиболее естественным классом про-
пространств для изучения спектральных разложений самосопря-
самосопряженных операторов. В связи с рассмотрением спегстральных
разложений эти пространства были уже введены в выпуске 3
(гл. IV, § 3, п. 1). Однако данное там определение ядерности
было не вполне, приспособлено для других вопросов. Поэтому
и этом выпуске мы будем пользоваться иным определением
ядерности пространства, которая в существенных случаях экви-
эквивалентна ядерности в смысле, указанном в выпуске 3. Изло-
Изложение в этой главе не зависит от изложения в выпуске 3.
*) Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием счетно-
нормнрованного пространства в объеме I и II глав выпуска 2.
Впрочем, краткое изложение основных фактов, относящихся к част-
частному случаю таких пространств — счетно-гильбертовым простран-
пространствам, дано в начале § 3. Отметим, что на протяжении этого
выпуска мы будем считать, что все рассматриваемые счетно-нор-
мированные пространства полны, не оговаривая этого особо.
Кроме того, мы будем, как правило, считать, что согласованные
нормы ||<р||я, .1 <! л<^оо, задающие топологию в счетно-нормирован-
ном пространстве Ф, монотонно возрастают, т. е. что для любого
элемента <р из Ф выполнены неравенства


12 ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯД.1'4
Чтобы достичь полной независимости изложения, в этой главе
приводятся некоторые результаты о спектральном разложении
самосопряженных операторов. При этом, однако, здесь основ-
основное внимание уделено общим аспектам теории, в отличие от
изложения в выпуске 3, где не меньшую роль играли при-
применения этих результатов к конкретным дифференциальным
операторам.
Важную роль играет понятие оснащенного гильбертова
пространства. Это понятие возникает при рассмотрении ядер-
ядерных пространств, в которых тем или иным способом введено
скалярное произведение. Теория оснащенных гильбертовых
пространств изложена в § 4. Там же указаны приложения
этой теории к спектральному анализу самосопряженных
операторов.
С теорией ядерных пространств связаны также вопросы
теории меры в линейных топологических пространствах,
излагаемые в главе IV. Мы покажем в этой главе, что ядер-
ность пространства Ф необходима и достаточна для того,
чтобы любая мера цилиндрических множеств, заданных в про-
пространстве Ф', сопряженном с пространством Ф, была счетно-
аддитивна.
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
В СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
В этом параграфе будет изучен общий вид билинейных
функционалов *) в счетно-нормированных пространствах.
Мы покажем, что любой билинейный функционал -S(cp, ф),
непрерывный по своим аргументам ср и ф, которые про-
пробегают счетно-нормированные пространства Ф и 47,
непрерывен по некоторым нормам \\<?\\т и | ф \п в этих
*) Билинейным функционалом называется функционал, линей-
линейный по обоим аргументам е и 4. В дальнейшем мы столкнемся
с функционалами В (ср, fy), линейными по аргументу <р и антилиней-
антилинейными по аргументу <\i, т. е. такими, что
В (а?1 + Pfa, ф) = «В (Т1, ф) + рВ (Тв, «Ю,
но
в (<р, «h + р<ы = *в (<р, <ы + № (ъ ф,).
Такие функционалы называются эрмитово-билинейными или
просто эрмитовыми функционалами.
1] ' § 1- БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
пространствах. Иными словами, мы покажем, что
13
для всех элементов ср и ф из пространств Ф и ч?, где
числа М, т, п не зависят от ср и ф.
Применяя этот результат к различным конкретным про-
пространствам, мы получим общий вид билинейных функциона-
функционалов в этих пространствах. Одним из наиболее важных резуль-
результатов, получаемых при этом, является описание билинейных
функционалов в пространстве К бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых финитных функций. Будет доказано, что эти функцио-
функционалы имеют вид
где F — линейный функционал в пространстве К2 беско-
бесконечно дифференцируемых финитных функций от переменных
* —C*i xk) и у — (уи .... уг). Эта теорема носит
название «теоремы о ядре» *) и будет часто использоваться
в этой книге.
1. Выпуклые функционалы. Установление общих свойств
билинейных функционалов опирается на некоторые теоремы
о выпуклых функционалах в счетно-нормированных простран-
пространствах. .
Вещественный функционал р (ср) ^ 0, заданный на линейном
пространстве Ф, называется выпуклым, если для любых двух
элементов ср и ф из Ф выполняется соотношение
а для любого элемента ср и комплексного числа а выполняется
равенство
р (аср) = \а\р (ср).
Примером выпуклого функционала может служить норма ||ср[]
в нормированном пространстве, поскольку в силу определе-
определения нормы || <р-Ь f К || <р ||-+- !i Ф || и || аср || =|а|||ср||.
Отметим, что в нашем определении не предполагается
конечность значений функционала р (ср) для всех элементов ср
из Ф, т. е. /7(ср) может принимать значение -|- со, причем мы
*) Точнее—«теоремы о ядре для пространства /<», общая тео-
теорема о ядре' будет доказана в § 3.


14
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
полагаем а • со = со, а Ф О и со-(-а = co-j-oo = оо. Оче-
Очевидно, что множество элементов ср, для которых функ-
функционал р (ср) принимает конечное значение, образует ли-
линейное подпространство*) в Ф. Можно было бы избежать
использовайия бесконечных значений для /?(ср), рассматривая
функционал р (ср) лишь на этом линейном подпространстве.
С понятием выпуклого функционала связано геометриче-
геометрическое понятие абсолютно выпуклого множества. Множество А
в линейном подпространстве Ф называется абсолютно выпук-
выпуклым, если оно содержит, вместе с любыми^двумя элемен-
элементами ср и <|>, все элементы вида acp-j-fty, где а и C — ком-
комплексные числа, такие, что \а | -|-| C | ^ 1 **).
Чтобы установить связь между понятиями выпуклого функ-
функционала и абсолютно выпуклого множества, сопоставим вы-
выпуклому функционалу /7(ср) множество А, состоящее из всех
элементов ср, для которых /?(ср)<1 1. Покажем, что это мно-
множество абсолютно выпукло. В самом деле, пусть ср и <|>—
элементы множества А, т. е. пусть />(ср)<^1 и /?(ф)<^1.
Тогда, если | a [ -j- | р | ^ 1, то
и, значит, а<р-|-?<|> ? Л. Этим абсолютная выпуклость множе-
множества А доказана.
Обратно, если А — любое абсолютно выпуклое множе-
множество, то существует такой выпуклый функционал /?(?)>
что А совпадает со множеством элементов ср, для кото-
которых р(ср)^1. Этот функционал определяется равенством
1
где q—точная верхняя грань значений X >> 0, для которых
Хср?Л, Легко видеть, что р(у)^.1 для всех элементов ср из
множества А и что /?(ср)> 1, если ср не принадлежит А.
Кроме того, из абсолютной выпуклости множества А выте-
вытекает, что р (ср) — выпуклый функционал.
*) Вообще говоря, незамкнутое.
**) Для вещественных линейных пространств абсолютная вы-
выпуклость множества эквивалентна тому, что множество выпукло и
центрально-симметрично.
и
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
15
Мы установили, таким образом, взаимно-однозначное
соответствие между выпуклыми функционалами />(ср) и абсо-
абсолютно выпуклыми множествами в пространстве Ф.
Отметим, что функционал р(у) конечен на наименьшем
линейном подпространстве W в Ф, содержащем множество А.
В частности, функционал /?(ср) конечен во всем простран-
пространстве Ф, если для любого элемента ср из Ф можно найти такой
элемент ф Ф 0 из А, что ср лежит на прямой, соединяющей ф
с нулевым элементом (т. е. имеет вид <p = Xt|)). Мы будем
называть множество А в этом случае поглощающим. Отме-
Отметим, что если А — поглощающее множество, то любой эле-
элемент ср пространства Ф принадлежит одному из множеств пА
(чзргз пА мы обозначаем множество элементов вида па, а ? А).
Назовем функционал /7(ср) полунепрерывным снизу, если
для любого элемента ф0 пространства Ф и любого числа
е >> 0 найдется такая окрестность U элемента ср0, что во всех
точках ]j из этой окрестности выполняется неравенство
Докажем, что если функционал р (©) полунепрерывен
снизу, то множество А, состоящее из элементов ср, для
которых jO (<?)<! 1, замкнуто. В самом деле, пусть ср0 —
.предельная точка для множества А. Тогда в любой окрест-
окрестности точки % есть точки ф, для которых /?(Ф)<^1. Сле-
Следовательно, в силу полунепрерывности снизу функцио-
функционала j0(cp), также и р(сроХ! 1. Таким образом, замкнутость
множества А доказана.
Докажем, теперь, что если абсолютно выпуклое множе-
множество А замкнуто, то соответствующей ему выпуклый функ-
функционал р(ср) полунепрерывен снизу. В самом деле, множе-
множество А точек ф, для которых jp((|»)^1, замкнуто, следова-
следовательно, множество точек ф, для которых р(ф) >¦ 1, открыто.
Но тогда открыто и любое множество, задаваемое неравен-
неравенством />(ф) > а, где а ¦— любое число. Положив а = /?(<р0) — е.
мы получим, что множество точек ф, для которых /?(ф)>
^>Р\9о) —s- открыто, и, следовательно, содержит окрест-
окрестность точки ср0. Тем самым доказана полунепрерывность
функционала р (ср) в любой точке ср0. ,
Таким образом, мы доказали, что между полунепре-
полунепрерывными снизу выпуклыми функционалами р (ср) и.


16
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
абсолютно выпуклыми замкнутыми множествами А
имеет место взаимно-однозначное соответствие.
Лемма 1. Пусть {ра(ч>)}— некоторое множество
полунепрерывных снизу выпуклых функционалов в линей-
линейном топологическом пространстве Ф. Тогда функцио-
функционал р (ср), определяемый равенством
также является полунепрерывным снизу и выпуклым.
Доказательство. Обозначим через Аа абсолютно
выпуклые замкнутые множества, соответствующие функцио-
функционалам pa(f)- Очевидно, что для выполнения неравенства
необходимо и достаточно, чтобы элемент ср принадлежал пересе-
пересечению всех множеств Аа. Но пересечение замкнутых абсолютно
выпуклых множеств замкнуто и абсолютно выпукло. Таким
образом, функционалу /?(ср) соответствует замкнутое абсо-
абсолютно выпуклое множество А — О Аа, а потому р (ср) является
a
полунепрерывным снизу выпуклым функционалом.
В основе изучения выпуклых полунепрерывных снизу
функционалов лежит следующая геометрическая теорема.
Теорема 1. Пусть А — замкнутое абсолютно выпук-
выпуклое множество в счетно-нормирозанном пространстве Ф.
Если А — поглощающее множество (т. е. если любой
элемент ср пространства Ф лежит на прямой, проходя-
проходящей через нулевой элемент и отличный от нуля элемент
множества А), то А содержит некоторую окрестность
нуля пространства Ф.
Доказательство. Обозначим через пА множество
элементов вида па, где а?Л. Из абсолютной выпуклости А
вытекает, что с ростом п множества пА не убывают
Acz2Acz ... сяЛс ...
При этом, поскольку множество А поглощающее, любой
элемент ср пространства Ф принадлежит множеству пА,
оо
начиная с некоторого п. Поэтому Ф = II пА, Но счетно-
нормированное пространство не может являться счетной
1]
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
17
суммой нигде не плотных множеств *). Следовательно, хотя бы
одно из множеств пА плотно в некоторой области про-
пространства Ф и, поскольку оно замкнуто, содержит некоторый
шар 5(ср0, г0), задаваемый неравенством ||ср — ToIIa^^o- Но
тогда множество А содержит шар 50, задаваемый неравен-
неравенством || ср — <PillftOi. где cpj^^cpo/n, rt = r0/n. Так как абсо-
абсолютно выпуклое множество содержит вместе с любыми двумя
элементами их полуразность, то все элементы вида у ~?1 ,
*) В самом деле, пусть AiCzA2cz ... czAncz ...—возрас-
...—возрастающая последовательность нигде не плотных множеств в счетно-
нормнрованном пространстве Ф. Поскольку множество А± нигде
не плотно, найдется шар 5 (<pi, r~i), задаваемый неравенством
II V — ?1 IL < Г1> Г1 < 1. который не содержит ни одной точки мно-
множества А\. Далее найдется шар 5 (ср2, г2), задаваемый неравенством
II? — ?2\\Pi<г%, r2 < Vs. Рг>Рь лежащий в шаре St (<pi, r{) и не
содержащий точек множества А%. Продолжая этот процесс, мы
получим вложенную систему шаров
Si(<Pi. П) 2Э S2(<p2, га)=э ... =>5A(cpfe, гй)=> ...,
задаваемых неравенствами | ср — yk ||^ < rk, rk < i/*, Pk + 1> Pk
и таких, что Sk (yk, rk) не содержит точек из множества А Легко
видеть, что центры <pv ..., <?k, ... этих шаров образуют фундамен-
фундаментальную последовательность в Ф (т. е. что Игл II а> —ф,|| =0
для любого га). Так как мы рассматриваем лишь полные счетно-
нормированные пространства, то последовательность <plt ..., ср ...
имеет предельную точку ср. Очевидно, что эта точка ср принадлежит
всем шарам Sfe (ср , гА) и поэтому не принадлежит ни одному из мно-
множеств Ak. Но это означает, что мы нашли точку пространства Ф, не
со оо
принадлежащую сумме II А^. Следовательно, Ф ф\\ Ak.
А=1 4=1
Отметим, что теорема 1 и все выводы, которые мы сделаем из
нее, справедливы для всех локально выпуклых линейных тополо-
топологических пространств, которые нельзя разложить в счетную сумму
нигде не плотных множеств (линейное топологическое пространство
называется локально выпуклым, если можно указать полную си-
систему окрестностей нуля, состоящую из абсолютно выпуклых мно-
множеств).
Линейные топологические пространства, в которых выполняется
теорема 1, называются бочечными пространствами. Таким образом,
эту теорему можно сформулировать, сказав, что всякое счетно-
нормированное пространство бочечно.
2 Зак. 1281. И. М. Гельфаид и Н. Я. Виленкпи


ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[1
rae<p?S0, <pl = <p0/n принадлежат множеству А. Но эти эле-
элементы образуют шар Slt задаваемый неравенством IjcpH^^
¦^ гг/2. Тем самым доказано, что множество А содержит
окрестность нуля. Теорема доказана.
Отметим, что мы уже встречались с теоремой 1 в вы-
выпуске 2 (см. гл. I, § 3, п. 4).
Теорема 1 эквивалентна следующей теореме о выпуклых
функционалах в счетно-нормированных пространствах.
Теорема 1'. Пусть р{<?)— выпуклый полунепрерыв-
полунепрерывный снизу функционал в счетно-нормированном простран-
пространстве Ф, принимающий конечное значение в каждой точке
этого пространства. Тогда функционал р (9) ограничен
в некоторой окрестности нуля пространства Ф.
Доказательство. Рассмотрим множество А, состоя-
состоящее из таких точгк <р, что р(ср)^.1. В силу выпуклости и
полунепрерывное™ снизу функционала р(ср) это множество
абсолютно выпукло и замкнуто. Из того, что функцио-
функционал /? (?) принимает конечные значения во всем пространстве Ф,
вытекает, что множество А поглощающее (т. е. что любой
элемент ср из Ф может быть представлен в виде Щ, где ф ? А).
Следовательно, по теореме 1 в Л найдется окрестность нуля U',
в которой, по определению А, имеем p(tp)<;i. Теорема
доказана.
Для описания билинейных фз'нкциоиалов нам понадобится.
Следующее обобщение теоремы 1'.
Теорема 2. Пусть ру (ср), .... рп (ср), ... — последо-
последовательность выпуклых: полунепрерывных снизу функцио-
функционалов в счетно-нормированном пространстве Ф. Пусть
аллее
А (?)> Рг (?) > ¦ ¦ • >Рп(<?)>
причем в каждой точке ср, начиная с некоторого номера
»(<р), рп(у) принимает конечное значение. Тогда найдутся
такие числа п0, т, М, не зависящие от ср, что при n^s>n0
функционалы рп(у>) конечны во всем пространстве и,
более того, so всех точках ср выполняется неравенство
Рп
<
Доказательство. Обозначим через Ап множество
точек из* пространства Ф, в которых выполняется неравенство
А-г (?)<>*• Каждое из множеств Ап абсолютно выпукло и
2]
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
19
замкнуто. При этом каждый из элементов ср пространства Ф
принадлежит хотя бы одному из множеств вида kAa. Именно,
если рп (ср) имеет конечное значение и ра (9) <C k, то 9 при-
принадлежит множеству kAn. Итак, имеет место равенство
ф =
кА„. Так как пространство Ф не может быть
разложено в счетную сумму нигде не плотных множеств, то
хотя бы одно из множеств кАПа плотно в некоторой области
пространства Ф. Тогда и множество АПо плотно в некоторой
области из Ф. Из замкнутости множества АПо вытекает, что
оно содержит некоторую сферу 5т(<р0, г) в Ф, задаваемую
неравенством ||ср — cPoll/n-^r- Поэтому, в силу абсолютной вы-
выпуклости Ап, оно содержит и сферу Sm(r/2): ||<p||m-O/2.
Иными словами, мы показали, что из неравенства [|?||т-<>/2
вытекает неравенство рп (ср) ^ 1. Поскольку при п^-п0 мы
имеем pn(f)-^.pn (9). то при всех значениях п^>>п0 и всех ср
выполняется неравенство
2
где положено М = — . Теорема доказана.
2. Билинейные функционалы. Перейдем теперь к опи-
описанию билинейных функционалов в счетно-нормированных
пространствах. Известно, что любой линейный функцио-
функционал F в счетно-нормированном пространстве Ф имеет
конечный порядок, т. е. непрерывен относительно одной
из норм ||?||„. В самом деле, в силу непрерывности функ-
функционала F найдется такая окрестность U', задаваемая не-
неравенством ||<р||„-<^8. в которой выполнено неравенство
\(F' ?)I<^1- Но тогда при ||ср[|д^е8 имеет место нера-
неравенство |(/\ 9)|-С г. т. е. функционал F непрерывен по
норме ||ср||л.
Мы докажем сейчас аналогичное утверждение для били-
билинейных функционалов. Назовем билинейный функционал В (9, <Ь),
где ср и ф пробегают счетно-нормированные пространства Ф
и W, непрерывным по каждому из аргументов, если при
фиксированном 9 функционал В (ср", С) непрерывен по (|\ а при
фиксированном t|» он непрерывен по ср. Имеет место следую-
следующая теорема.


20
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[2
Теорема 3. Пусть В(ср, ф) — билинейный функционал
в счетно-нор миро ванных пространствах Ф и ЧГ, непре-
непрерывный по каждому из переменных 9 и ф. Тогда в про-
пространствах Ф и W найдутся такие нормы ||ср||„ и |ф|т,
чдао функционал В (9, ф) непрерывен по совокупности пе-
переменных 9 и ф относительно этих норм. Иными сло-
словами, существуют нормы ||<р||л м |Ф|т> гпакие, что для
всех элементов ср и ф выполняется неравенство *)
?<?# Ж не зависит от ф и ф.
Доказательство. Введем для каждого п функционал
рп (ф) в пространстве W, определяемый равенством
= sup j
|1<р||„<1
B)
Эти функционалы могут принимать как конечные, так и бес-
бесконечные значения. Однако для каждой точки ф0 найдется
такое п (зависящее от t}'o). что рп (ф0) принимает конечное
значение. В самом деле, 5(ср, ф0) является при фиксирован-
фиксированном значении ф0 непрерывным линейным функционалом в про-
пространстве Ф. Но любой непрерывный функционал в счетно-
нормированном пространстве непрерывен относительно
некоторой нормы ||ср||„. и, значит, найдется такое га, что
•3(?> to) ограничено в сфере ||<р|1л<^ !¦ т- е- в СИЛУ B) зна-
значение /?„ D'о) конечно.
Покажем теперь, что функционалы рп (ф) монотонно убы-
убывают, выпуклы и полунепрерывны снизу. Монотонное убывание
функционалов р„ в каждой точке ф вытекает из того, что
для норм ||ср||л выполняются неравенства
Поэтому множество ||<р||л
и, следовательно,
р„(ф)= sup |8(<р, ф)
1
содержит множество
sup | 8 (<р, ф)| =
*) Через || <р || „ мы обозначаем нормы в пространстве Ф, а через
1 г !ш — нормы в пространстве W.
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
21
Далее, функционалы рп (§) выпуклы. Действительно, при
фиксированном ср функционал |5(ср, <]>)| является выпуклым,
и, значит, функционал
РпЩ)= sup |B(<p. ф)|
Н11
также является выпуклым как верхняя грань выпуклых функ-
функционалов. Точно так же доказывается, что функционалы рпЩ)
полунепрерывны снизу (функционал |5(ср, ф)|, ср фиксиро-
фиксировано, непрерывен и тем более полунепрерывен снизу).
Применим теперь к функционалам р„(§) теорему 2. Мы
получим, что рп OjO ¦< М | ф |т, где /и и М — некоторые числа,
не зависящие от <]\ и га больше или равно некоторого я0.
В силу определения функционалов рп (ф) это означает, что
sup
и потому
Тем самым наша теорема доказана.
Рассмотрим теперь операторы, отображающие счетно-
норкированное пространство Ф в пространство W', сопря-
сопряженное счетно-нормированному пространству W. Каждому
такому оператору А можно сопоставить билинейный функ-
функционал В (ср, ф), где ср ? Ф и ф?ЧЗ\ положив
5(?, ф) = (Л<р, ф)
(напомним, что Ар? 1"' и, значит, (Лср, ф) определено). Поэтому
из теоремы 3 можно получить теорему об операторах ука-
указанного типа. Предположим для этого, что оператор А не-
непрерывен относительно топологии пространства Ф и слабой
топологии пространства W. Иными словами, предположим,
что для любых элементов ф,, .... ф„ пространства ЧГ найдется
такая окрестность нуля U пространства Ф, что | (Лср, ф#) I <^ 1,
1 ^ k <; п, для всех элементов ср из t/ *). Тогда, как легко
*) Окрестности в пространстве W при слабой топологизации
задаются неравенствами ,
I (Л Ф*) К 1. 1 < * < п.
где ij, , фл — фиксированные элементы пространства W.


22
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ядре
видеть, билинейный функционал В (у, ф) будет непрерывен
по каждому из аргументов <р и ф. Применим к билинейному
функционалу В(ср, Ф) теорему 3. Мы получим, что для всех
элементов ip из Ф и всех элементов <|) из W выполняется не-
неравенство вида
где Ж, т, п — некоторые числа, не зависящие от ср и <1>.
Принимая во внимание определение норм в пространстве W,
сопряженно л счетно-нормированному пространству W, мы
получаем, что
(чзрез |/='|_т*) мы обозначили норму в пространстве W,
определяемую равенством \Е\_ = sup \(F, ф) J). Таким
1Ф1ОТ<1
образом, мы доказали, что
sup |л<р| <:лг.
Но это означает, что оператор А непрерывен не только от-
относительно топологии пространства Ф и слабой топологии
пространства W, но и относительно топологий в этих про-
пространствах, задаваемых нормами ||<р||„ и l^l-m- Итак, имеет
место
Теорема 3'. Пусть Ф и W — скетно-пормировапные
пространства и А — линейный оператор, стображающчй
пространство Ф в пространство lF', сопряженное с Ф".
Если оператор А непрерывен относительно топологии
пространства Ф и слабой топологии пространства W,
тэ он непрерывен и относительно некоторых норм ||<р||в
а \F\-m в этих пространствах.
Мы получили теорему 3' как следствие из теоремы 3.
Обратно, теорема' 3 является следствием теоремы 3'. Это
вытекает из следующего легко доказываемого утверждения.
Если В (9, ф) — билинейный функционал в пространствах Ф
*) По соображениям, которые выяснятся ниже, мы обозначаем
нормы в пространстве, сопряженном счетно-норыированному про-
пространству Ф, через " ""
3]
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
23
и W, непрерывный по каждому аргументу 9 и ф, то. ра-
равенство
определяет оператор А, отобраокающий пространство Ф
е W' а непрерывный относительно топологии простран-
пространства Ф и слабой топологии пространства W. Отметим,
что наряду с оператором А билинейный функционал В (9, ф)
определяет также сопряженный с ним оператор А', зада-
задаваемый равенством (Л'ф, ср) = В (9, ф).
8. Строение билинейных функционалов в конкретных
пространствах (теорема о ядре). Целью этого пункта яв-
является описание билинейных функционалов в конкретных ли-
линейных топологических пространствах, в первую очередь
в пространстве К бесконечно дифференцируемых финитных
функций и пространстве S бесконечно дифференцируемых
функций, быстро убывающих при | х \ —> со вместе с произ-
производными любого порядка *). Выяснение строения билинейных
функционалов в пространстве К и составляет содержание
так называемой «теоремы о ядре» Л. Шварца.
Начнем решение поставленной задачи с доказательства
леммы о билинейных функционалах в гильбертовом простран-
пространстве функций. Ради простоты изложения мы будем проводить
все рассуждения для функций одного переменного, указывая
иногда изменения в формулировках теорем, возникающие при
переходе к функциям многих переменных.
Обозначим через Н(а) гильбертово пространство всех
функций <р(,чг), заданных на отрезке | х | ^ а и имеющих ин-
интегрируемый квадрат модуля на этом отрезке. Скалярное
произведегие в пространстве Н(а) определим формулой
*) Пространства /С и 5 были введены в выпуске 1. В добавле-
добавлении к этому параграфу мы повторяем определение этих пространств
и указываем их основные свойства. Напомним лишь здесь, что
функция у (х) называется быстро убывающей, если
llm | **<р (х) | = О
при всех k.


24
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
Обозначим через ||<р|| норму в Н(а)', т. е. положим
х) |2 dx
_-а
Лемма 1. Пусть В(ср, ф) — непрерывный билинейный
функционал в пространстве Н(а), такой, что.
C)
если функции <?(х) и <\>(х), равно как и их производ-
производные 9/(JC) и V (х)> принадлежат пространству Н(а), Тогда
функционал В (ср, ф) имеет вид
(«Р. Ф)=
D)
где F(x, у) — функция с интегрируемым квадратом
модуля.
Доказательство. Выберем в пространстве Н(а) орто-
ортогональный нормированный базис, состоящий из функций
р
уп (jc) — — е а , —со < п < оо. Функции
^
к! (тх+пу)
образуют ортогональный нормированный базис в простран-
пространстве Н2(а) функций <р(х, у), \х |-<а, J .у | •< а, с интегри-
интегрируемым квадратом модуля.
Для построения ядра F(x, у) рассмотрим ряд
т = —оо я= - оо
E)
Покажем, что этот ряд сходится в среднем. Для этого
достаточно показать, что сходится ряд
s (х«.
-оо я=.-оо
F)
3] § 1 • БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Но по неравенствам C) мы имеем
Так как х'„
\в(хт' x/n)\<M\\xJ\\\xJ-
:)=-^Хл(*). а Нхя11=1. то
. Хл)К i^ii1, ¦ ' тфО, п
25
I /и I I л I
тфО,
где Мл~ — М. Поэтому ряд F) мажорируется рядом
С7)
л=1
Так как ряд G) сходится, то сходится и ряд F), а потому
ряд E) сходится в среднем.
Обозначим сумму ряда E) через F(x, у), т. е. положим
'•• у)= 2
(8)
т = —с» л ¦= —со
Поскольку эта функция является суммой сходящегося в сред-
среднем ряда Фурье, она имеет интегрируемый квадрат модуля,
т. е. интеграл
J f\F(x, y)\*dxdy .
— а —а
сходится. Следовательно, выражение
J J F(x, y)<?(x)<!?(y)dxdy
задает непрерывный билинейный функционал в пространстве
И (а). Покажем, что этот функционал совпадает с функциона-
функционалом 23(ср,ф). Поскольку эти функционалы непрерывны,


28
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
достаточно показать, что они совпадают для элементов орто-
ортогонального нормированного базиса Хп(.х) в пространстве Н(а),
т. е. что
а а
В (Хт. Хп) = / / F (*¦ У) Хт (*) 7.» (У) dx аУ- (9)
Но равенство (9) немедленно вытекает из того, что по фор-
формуле (8) числа В (im, х„) являются коэффициентами Фурье
функции F(x,y) относительно ортогонального нормирован-
нормированного базиса %т (лг) уп (у) в пространстве Н2 (а) функций <э (х, у),
\х\^.а, \у\^Са, имеющих интегрируемый квадрат модуля.
Лемма доказана.
Для функций п переменных имеет место аналогичное
утверждение, причем вместо неравенств C) надо потребовать
выполнения неравенств
О < I k К «•
Обобщим теперь полученный результат на билинейные
функционалы в гильбертовом пространстве Hjn) (а) функ-
функций <р (х) на отрезке j x \ ^ а с интегрируемыми в квадрате
производными до яг-го порядка включительно. Скалярное
произведение в НкР1^ (а) задается формулой
. Имеет место следую-
следуюОбозначим У (о, ср),н через ||
щая лемма.
Лемма Г'. Пусть 2? {ер, ф) — непрерывный по каждому
аргументу билинейный функционал в пространстве Нк'п' (а),
такой, что
в (<?,?) \<м\\<?\\т\
п
3]
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФЗ'НКЦИОНАЛЫ
если функции со' (х) и <у {х) принадлежат пространству
//(т)(с). Тогда функционал В (ср, <|>) может быть пред-
представлен в виде
т
2 Г Г dk + lF(x, у)
J J дх*ду1
к, 1 = 0 —а —а
где F (х, у) — такая функция, что ее производные
fik + l p /д. у\
. у , имеют при 0^/е, 1^т интегрируемый квад-
дхк ду1
рат модуля на квадрате — а -^ х <^ с, — а <С у ^ а.
Эта лемма доказывается так же, как и лемма 1. Надо лишь
выбрать ядро в виде
Аналогичная лемма справедлива и для функций многих пере-
переменных.
Перейдем теперь к основной цели этого пункта — к опи-
описанию всех билинейных функционалов в пространстве К (а)
бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся
в нуль вне отрезка |лт|^а. Это пространство счетно-норми-
ровано, причем нормы в нем задаются формулами
= sup max
Нам з'-добнее заменить эту систему норм системой норм
!cpjm, задаваемых скалярными произведениями
пг а
ах.
k-й -а
Эта система норы эквивалентна исходной. В самом деле, оче-
очевидно, что
т а
dx < 1а (т + 1) || <р || %
ft = 0 -a
(?. Ч)т = 2 / !


23
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
С другой стороны, при 1 х | ¦< а мы имеем
| <р<*) (х) | = | <р№) {х) — ?<*> (— а) | =
J ",»(*"> F)
F) | rfg.
Применяя неравенство Буняковского—Шварца, мы приходим к со-
соотношению
х а
I2 < 2а
j* | cp(ft+i) E)
Из этого соотношения, справедливого при всех х на отрезке | х | <1 a
и всех k, вытекает, что
sup max |
О < к < т. | х |< а
2а
2а (?,
т. е.
Итак,
II ? II ^
?1 <?)„,+,.
Эти неравенства и показывают, что топологии, задаваемые систе-
системами норм || 'f || т и | ср |от = У((р, cf)m, совпадают.
Обозначим через Н<т) (а) пополнение пространства /С (я)
относительно нормы |tpjm= У{<р, <р)т. Это пополнение является
гильбертовым пространством со скалярным произведением
При этом нетрудно виде-гь, что если не только ср(.г), но и
ср' (х) принадлежит пространству Н^т'(а), то имеет место
неравенство
3]
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
29
В самом деле,
т. а
m + 1 a
и потому
Рассмотрим теперь билинейный функционал В (<в, ф) в про-
пространстве К (а). По теореме 3 из п. 2 этот функционал
непрерывен относительно некоторых норм jcp|OT и |ф|л в /С (а).
Не теряя общности, мы можем считать, что т =г п.. Поэтому
функционал В (9, ^) удовлетворяет неравенству
Отсюда следует, что функционал В(ср, ф) можно распрсстра-
нить по непрерывности на гильбертово пространство Н <Ti) (a).
При этом, если функции ср (л:) и ф (л;) из этого пространства
таковы, что их производные 9'(-г) и Ф'С-^) также принадле-
принадлежат Н(т) (а), то по формуле A0) имеет место неравенство
m+l>
а также неравенства
Мы можем поэтому применить лемму 1'. Согласно этой
лемме функционал -В(ср, ф) имеет вид
?
ft,
—a —a
СИ)
¦
где Т7 (лг, _у) — такая функция, что ее производные , ¦
, дх'г dyL
имеют при O^ik, / ^ m —f- 1 интегрируемый квадрат модуля.
Итак, мы доказали следующее утверждение.


30
ГЛ, I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
rq
I
Л е м м а 2. Любой непрерывный по каждому аргу менту
билинейный функционал В(о,0.>) в пространстве К (а)
бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся
в нуль вне отрезка \х\^а, может быть записан форму-
формуд A1) д F()фнкция что все ее
() y
, dk+t F(x, у) _
пооиззооные , ,¦¦ имеют при 0
дх'гду1
лой вида A1), где F{x,y) — такая функция, что все ее
', I <! т-\- 1 ин-
интегрируемый квадрат модуля.
Заметим теперь, что если вс
при 0<;/е, I
то равенство
от + 1
k, I = 0 - а - я
dr+lF{x, у)
юоизводные —— :—¦
дхп oyL
OT_j_i имеют интегрируемый квадрат модуля,
а и
и
дхк ду1
F (х, у)
дхк ду'
(х, у) cix йу
A1')
определяет непрерывный линейный функционал F в про-
пространстве /С2(о) бесконечно дифференцируемых функций, обра-
обращающихся в нуль вне квадрата | х | ^ а, \у\^а. Поэтому
лемма 2 может быть сформулиро!зана следующим образом:
Теорема 4. Пусть В (ср, ф) — непрерывный по каж-
каждому аргументу билинейный функционал в простран-
пространстве К {а) бесконечно дифференцируемых функций, обра-
обращающихся в нуль вне отрезка \ х \ ^ а. Тогда функционал
В(ср, ф) мос'"зт быть записан в виде
где F — линейный функционал в пространстве К2(а) бес-
бесконечно дифференцируемых функций ср (х, у), обращаю-
w/ахся в нуль вне квадрата | х | ^ а, \у\^а.
Теперь уже легко найти общий вид билинейных функцио-
функционалов в пространстве К всех бесконечно дифференцируемых
финитных функций. В самом деле, пусть В(ш, ф) — билиней-
билинейный функционал в пространстве К. Тогда при любом значе-
значении а он определяет билинейный функционал -б,г(9. <¦;')
в подпространстве К (а) функций, равных нулю вне отрезка
|х|^с. По теореме 4 найдутся такие линейные функцио-
функционалы Fa в пространствах К2'('-) бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций у(х, у), раЕпь х нулю в-:е квадрата | л; j ^ а,
3]
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
31
\у\^.а, что при 9 С*0 ? К (а), ф (х) ? К (а) выполняется равен-
равенство
В (ср, ф) = Ва (ср, ф) = (Fa, ср (х) ф (у) ).
Функционалы Fa согласованы друг с другом в том смысле,
что
- ¦ ¦ A2)
если функция х(х> У) принадлежит пространству /С2(#), b ^> а,
с~^ а. В самом деле, пусть Ь~^>> а и <?(х), <]>(лг) — функции
из пространства К(а). Тогда имеет место равенство
(Fb, ср (х) ф (у) ) = Вь (ср, ф) = В (?, <]>).
Поскольку правая часть этого равенства не зависит от Ь, то
мы получаем, что (Fb, 9(х)ф(_у)) = (/^с, 9(•г)Ф(^)) ПРИ Ь"^>а,
с^-а. Тем самым равенство A2) доказано для функций
вида х (jc, _у) = ср (х) ф (у). Поскольку линейные комбинации
таких функций всюду плотны в подпространстве К% (а), то
равенство A2) имеет место для всех функций /(лг, у) из
зтого подпространства.
Но любой согласованной последовательности линейных
функционалов Fa в пространствах Кг (а) соответствует линей-
линейный функционал F в пространстве Кг. Он определяется ра-
равенством
где а выбрано так, что cp(jc, у) обращается в нуль вне таи-
рата |х|^«, |.у|^й- Из согласованности функционалов г'а
вытекает, что значение F не зависит от с. Тем самым функ-
функционал F однозначно определен для всех функций ср(^, j)
из пространства Кг.
Из непрерывности и линейности всех функционалов Fa
вытекает, что функционал F непрерывен и линеен. При этом
для любых функций ср (х) и ф(*) из пространства К имеет
место равенство
?(?. Ф) = (Л ?(*)<!» 00).
В самом деле, найдется такое значение а, что функции ср (л:)
и ф (у) обращаются в нуль вне отрезка | х | ^ а. Тогда мы
имеем


32
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
ДОБАВЛЕНИЕ К § 1
33
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 5 (теорема о ядре). Каждый билинейный
функционал В (ср, ф) в пространстве К всех финитных
бесконечно дифференцируемых функций, непрерывный по
каждому из аргументов ср и ф, имеет вид
где F— непрерывный линейный функционал в простран-
пространстве К% бесконечно дифференцируемых финитных функ-
функций двух переменных.
Разумеется, эта теорема без труда обобщается на слу-
случай, когда ср(лг) и ф(_у)— функции нескольких переменных.
Теорема, аналогичная теореме 5, справедлива и для про-
пространства 5 бесконечно дифференцируемых функций, быстро
стремящихся к нулю при | х ) —*¦ оо вместе со всеми произ-
производными. Эта теорема формулируется следующим образом.
Теорема 6. Непрерывный по каждому аргументу
билинейный функционал В (ср, ф) в пространстве S имеет
вид
где F— линейный функционал в пространстве S2 функций,
быстро стремящихся к нулю вместе со всеми производ-
производными при хг-\-у2—>-оо.
Эта теорема доказывается почти так же, как и теорема о,
с некоторыми видоизменениями при построении ядра F(x, у).
Мы опускаем доказательство теоремы 6, имея в виду, что
в § 3 будет доказана теорема, частными случаями которой
являются теоремы 5 и 6.
Укажем теперь общий вид билинейных функционалов
в пространстве S. В выпуске 2 (гл. II, § 4, п. 3) было дано
описание линейных функционалов в пространстве S. Применяя
это описание к функционалу F в S2, задающему билинейный
функционал В (ср, ф), мы приходим к следующей теореме.
Теорема 7. Любой непрерывный по каждому аргу-
аргументу билинейный функционал в пространстве S имеет
вид
В (ср, ф) = j F (х, у) <?("»> (x) $W OO dx dy,
где F(x, у)—непрерывная функция степенного ро-
роста *).
Для пространства К (а) можно получить аналогичную фор-
формулу для билинейных функционалов, более простую, чем
формула A1). Именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 8. Любой непрерывный по каждому аргу-
менту билинейный функционал В (ср, ф) в пространстве К {а)
имеет вид
а а
В (ср, ф) = J J F (х. у) срС») (je) ф(т) СУ) dx dy,
—а —а
где F(x,y) — непрерывная функция, заданная в квадрате
|х|<о, |_у1<а.
В заключение отметим, что теоремы, аналогичные теоремам
о ядре, справедливы и для полилинейных функционалов. На-
Например, для пространства К соответствующая теорема фор-
формулируется следующим образом.
Теорема 5'. Пусть 5(cpt, .... ср^) — непрерывный по
каждому аргументу полилинейный функционал в про-
пространстве К. Тогда найдется линейный функционал F
в пространстве Кт бесконечно дифференцируемых финиш.'
них функций от т переменных, такой, что
ДОБАВЛЕНИЕ К § 1
ПРОСТРАНСТВА К, S и 2
На протяжении этого выпуска мы будем, как правило,
иметь дело лишь с пространствами К, S и Z. Другие про-
пространства основных функций будут встречаться лишь эпизо-
эпизодически. Для того чтобы избавить читателя от необходи-
необходимости обращаться каждый раз по поводу определения этих
пространств к предыдущим выпускам книги, здесь дается
краткое изложение основных сведений, касающихся про-
пространств К, S и Z.
*) Мы говорим, что функция F{x, у) имеет степенной рост,
если найдется такое р, что
lim F {х, у) (л:2 + у*) -Р = 0.
3 Зак. 1281. И. М, Гельфаыд а Н, Я, Билеыкын


34
ГЛ. t. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
I
ДОБАВЛЕНИЕ К § 1
35
Пространством К называется пространство, состоящее
из бесконечно дифференцируемых финитных функций ср(лг) =
= <p(#i хп) от п переменных. Последовательность
функций {cpOTOr)j из пространства К называется сходящейся
к нулю, если существует такое а, что все функции <рт (лг)
обращаются в нуль при | л: | ]> а *) и если для любого q
последовательность функций {ф^С*)} равномерно сходится
к нулю.
Это определение можно сформулировать иначе. Обозна-
Обозначим через К (а) подпространство в К, состоящее из всех
функций ср(х), которые обращаются в нуль при \х\^а.
Последовательность {<рот(лг)} сходится к нулю в пространстве
К (а), если при любом q последовательность функций
{ф^Ч*)} равномерно сходится к нулю. Если а < Ь, то
К(сС)сК(Ь). Пространство К является объединением всех
пространств К (а). При этом последовательность {<?т(х)}
функций из К сходится к нулю тогда и только тогда, когда
все функции <?т(х) принадлежат одному и тому же под-
подпространству К (а) и сходятся к нулю относительно топо-
топологии этого подпространства.
Топологию в пространстве К можно задать также, ука-
указав систему окрестностей нуля в К. Заметим сначала, что
в подпространствах К (а) топология может быть задана при
помощи системы норм
= SUP |p()|
If? |< m 1 x 1 < a
Назовем абсолютно выпуклое множество U в К окрестностью
нуля, если для любого а множество Uf\K(a) является
окрестностью нуля в К (а). Это означает следующее: най-
найдутся такие числа т и е, зависящие от а, что фО0€^.
когда <?(х)?К (а) и
sup max |
I q 1 < m | x | < a
(x) | < e. •
Нетрудно показать, что топология, задаваемая этой (несчетной)
*) Мы сохраняем обозначения предыдущих выпусков: напри-
например через | х | обозначена величина (х\ -\? .., + х%) f\ а через
Itfl — сумма qx + q%-\- ... + #.
системой окрестностей нуля, приводит к тому же понятию схо-
сходимости, которое мы ввели выше.
Другим пространством, которое будет рассматриваться
ниже, является пространство S. Оно состоит из всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций cp(jc), быстро убывающих
при | л: | —> оо вместе с производными любого порядка. Это
означает, что для любых г и q выполняется соотношение
lim |(l + |x|2)'cp(*>(*)| = 0.
1 х\ + св
Последовательность функций {ч>т(х)\ из пространства 5
называется сходящейся к нулю, если для любых г и q
lim max I A + | x |2)' <P»> (*) I = 0.
m -» oo x
Топологию в пространстве S можно задать, указав следую-
следующую систему окрестностей нуля. Окрестность U(r, k, e)
определяется натуральными числами г и k и числом е > 0
и состоит из всех функций ср(лг) пространства S, для кото-
которых при | ЯI ^ k выполняется неравенство
max \A-\-\х\^У^Цх)\<в.
X
Каждая функция пространства К, очевидно, принадлежит
пространству S. При этом функции из пространства К об-
образуют всюду плотное множество в топологии простран-
пространства S. Действительно, пусть ср(дг) — любая функция из про-
пространства S; возьмем произвольную функцию а(х) из прост-
пространства К, такую, что а@) = 1. Тогда все функции
<х( —) <р(х) принадлежат пространству К, и, как легко видеть,
при т —> оо последовательность этих функций сходится
к функции <р (лг) в топологии пространства S.
Вложение пространства К в пространство 5 непрерывно,
поскольку неравенства
|<e, \q\<k.
задающие окрестность нуля в S, задают и окрестность нуля
в К. Действительно, в каждом из подпространств К(а) топо-
топологии, индуцируемые топологиями пространств К и S, совпа-
совпадают. Отсюда легко следует, что К (а) является замкнутым
подпространством не только в пространстве К, но и в про-
пространстве 5.
3*


36
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Введем теперь пространство Z. Оно состоит из целых анали-
аналитических функций cp(z) = cp(zi>
бого г выполняются неравенства *)
zn)> таких, что для лю-
лю= x-\-ly.
A3)
где постоянная а зависит от ср (z), а постоянная С зависит
от <p(z) и г. В дальнейшем мы будем называть целые ана-
аналитические функции, удовлетворяющие неравенству вида
функциями экспоненциального типа. Из неравенства A3)
вытекает, что функции из пространства Z являются функ-
функциями экспоненциального типа, быстро убывающими на ве-
вещественной оси. Можно показать, что если функция <p(z)
принадлежит пространству Z, то для любых г и q имеет
место соотношение
где Ct зависит от г и q.
Последовательность функций {срот (z)} из пространства Z
называется сходящейся к нулю, если все функции ym(z)
удовлетворяют неравенствам вида
где постоянная а не зависит от т, и при любых q и г вы-
выполняется равенство
lira max | A +1 х \*)г <р?> (*) | = 0.
Совокупность функций <?(z) из пространства Z, удовлет-
удовлетворяющих неравенствам вида A3) с фиксированным значе-
значением а, образует замкнутое линейное подпространство Z (а)
в Z. Таким образом, пространство Z является объединением
подпространств Z (а), причем последовательность {<?т (z))
сходится к нулю в Z, если все функции q>m(z) принадлежат
одному и тому же подпространству Z (а) и сходятся к нулю
в этом подпространстве.
Заметим теперь, что, рассматривая функции срС2) из про-
пространства Z при вещественных значениях аргумента, мы по-
*) Здесь под zr, как обычно, мы понимаем
а\у\ — сумму ^1^1+ ... -Ь-Яа\Уп\-
... z?, а под
ДОБАВЛЕНИЕ К § 1 37
лучаем бесконечно дифференцируемые функции, быстро убы-
убывающие при | х | -> со вместе с производными любого порядка
[см. неравенство A3)]. Этим определяется непрерывное вло-
вложение пространства Z в пространство S. На каждом из под-
подпространств Z (а) указанное вложение сохраняет топологию.
Иными словами, топологии в подпространствах Z{a), инду-
индуцируемые топологиями пространств Z и S, совпадают.
Пространство S переходит в себя при преобразовании
Фурье, переводящем функцию <?(х) в функцию <р(Х)
?(*) = /? (х)«' <*¦ *> dx, (х, X) = х, X, + . . . + хп\„.
При этом отображении пространство К отображается на
пространство Z, причем подпространство К(а) отобра-
отображается на подпространство Z (а). Поскольку функции из
пространства К всюду плотны в 5, то и функции из про-
пространства Z также всюду плотны в S. Впрочем, в этом легко
убедиться непосредственно. В самом деле, пусть a(z)—любая
функция из пространства Z, такая, что Г а (х) dx = 1.
Тогда для любой функции <p(z) из S имеет место равенство
ср (jc) = lim cpm (x), где положено
Но нетрудно убедиться в том, что функции <?т(х) принад-
принадлежат пространству Z *).
Рассмотрим теперь линейные функционалы в пространст-
пространствах К, S, Z (обобщенные функции в этих пространствах).
*) Через <р * а (х), где у (х) 6 S, а (х) € S, мы обозначаем свертку
функций- tp (x) и а (х), определяемую формулой
> * « (-0 = / <? (У) * (х — У) dy.
Так как функции из пространства Z могут рассматриваться и
как функции из S, то тем самым определена и свертка для функций
из пространства Z. Можно показать, что свертка двух функций из
пространства Z принадлежит тому же пространству. Утверждение
о принадлежности функций <?т (х) пространству Z означает, что
существуют функции <от (z) в Z, совпадающие с функциями <qm {x)
при вещественных значениях аргументов,


38
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Эти линейные функционалы образуют линейные пространства,
которые обозначаются соответственно через К', S', Z'. Про-
Пространства К', S', Z' мы будем рассматривать как линейные
топологические пространства. Последовательность линейных
функционалов {Fm} называется сходящейся к нулю, если
llm (Fm, ср) = О
т ->оо
для любой основной функции 9-
Так как пространство К непрерывно и взаимно-одно-
взаимно-однозначно отображается на всюду плотное подмножество про-
пространства S, то каждый линейный функционал в S задает
линейный функционал в К, причем различным функционалам
в 5 соответствуют различные функционалы в К. Этим опре-
определяется непрерывное вложение пространства 5' в прост-
пространство К'. Можно показать, что элементы пространства 5'
образуют всюду плотное множество в К'. Точно так же
элементы пространства S' образуют всюду плотное множе-
множество и в пространстве Z''.
Примером линейных функционалов в пространстве К
являются функционалы вида
(A <P) =
где f (х)— произвольная непрерывная функция. Такой функ-
функционал называют регулярным функционалом, соответст-
соответствующим функции /(х). В частности, каждой функции
из К соответствует функционал F^ в К, имеющий вид
Покажем, что функционалы вида F^,, ty(x)?K, всюду
плотны в К'. С этой целью выберем в пространстве К по-
положительные функции а (л:) и ф(х) такие, что Г а(х) dx— 1.
и р @) = 1. Положим
(J) Рт С*) = Р ("**)• Х *" С*!' • • • • Хп)-
Сопоставим каждому линейному функционалу F в К после-
последовательность линейных функционалов Fm, задаваемых ра-
равенствами
ДОБАВЛЕНИЕ К § 1
39
где положено
fm(x) = (F(y), am{x—y)), <!>„(*)=/ж(л:)ря(д;).
Очевидно, что функции /т(х) бесконечно дифференцируемы
и потому функции <!»„(¦*) =/ж (*)Рт(*) принадлежат прост-
пространству К. Нетрудно показать, что для любой функции ср (х)
из К выполняется равенство
lim (F
т ¦> оо
= (F. cp).
Тем самым доказано, что функционалы вида F&,
всюду плотны в К'.
Нам понадобятся в дальнейшем преобразования Фурье не
только для основных, но и для обобщенных функций. Пусть
F — обобщенная функция (линейный функционал) в любом
пространстве Ф основных функций и Ф — пространство,
состоящее из преобразований Фурье функций пространства Ф
(например, K = Z, Z ~K, S = S). Преобразованием Фурье
обобщенной функции F называется обобщенная функция F
в Ф, задаваемая равенством *)
(F, <р ) = Bтс)" (F, ср).
Для регулярных обобщенных функций F^, ф ? Ф, справедлива
формула Рф = F~, показывающая, что данное нами определе-
определение преобразования Фурье обобщенных функций согласуется
с определением преобразования Фурье для основных функций.
В заключение укажем общий вид линейных функционалов
в пространствах К, S и Z.
Всякий линейный функционал в пространстве S имеет вид
(F, ?) =
где f(x) — непрерывная функция, такая, что при некото-
некотором г интеграл
сходится (такие функции называются функциями степенного
роста).
*) п — число переменных.


40
гл. i. теорема о ядпг
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
41
В каждом из пространств К (а) линейные функционалы
задаются формулами вида
где f (x) — непрерывная функция. Так как пространство К
является объединением подпространств К (с), то каждый ли-
линейный функционал F в пространстве К задает последова-
последовательность линейных функционалов Fa в подпространствах
К (a): (F, <р) = (^а. <р), если ср (х) ? К (а). Эти функционалы
согласованы друг с другом в том смысле, что (Fa, <р) =
— (^V ?)• если я < * и ф (х) ? К (а). Обратно, любой набор
согласованных линейных функционалов Fa в пространствах
К (а) определяет линейный функционал F в К, такой, что
(/=", cp) = (Fa, ср) при <?(х)?К(а) (непрерывность функцио-
функционала F сразу вытекает из определения топологии в К).
Всякий линейный функционал в пространстве Z является
преобраговагием Фурье ликейного функционала в про-
пространстве К.
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА —ШМИДТА
И ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В предыдущем параграфе мы доказали важную теорему
о ядре для пространства К. Там было указано, что анало-
аналогичная теорема справедлива и для пространства 5. Можно
было бы без труда умножить число аналогичных теорем *).
В следующем параграфе мы укажем широкий класс про-
пространств, называемых ядерными пространствами, для которых
верны аналоги теоремы о ядре. Определение ядерных про-
пространств связано с некоторыми классами операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, которые мы рассмотрим в этом пара-
параграфе. Из этих классов два — вполне непрерывные операторы и
операторы типа Гильберта — Шмидта, несомненно, хорошо зна-
знакомы читателю. Однако, ради большей независимости изло-
изложения, мы напомним основные свойства этих операторов.
*) Аналогичная теорема справедлива, например, для простран-
пространства 3 целых аналитических функций, топология в котором задается
нормами
и()|| \()\
Третий класс операторов — класс ядерных операторов —
приобрел за последние годы значение в различных вопросах.
Мы даем его описание в п. 3. Наконец, в п. 4 указывается
аффинное определение понятия ядерного оператора, что дает,
в частности, возможность обобщить это определение на бана-
банаховы пространства. Отметим, что в банаховых пространствах
ядерные операторы утрачивают ряд важных свойств.
Все рассматриваемые ниже классы операторов возникают
при пополнении пространства вырожденных операторов *)
по той или иной норме. Именно, как будет показано (см.
теорему 1), каждый вырожденный оператор А можно записать
в виде A = UT, где U — изометрический оператор, а Т—-по-
Т—-положительно определенный оператор **). Пусть Xlf .... Хп —
собственные значения оператора Т. Пространство вполне непре-
непрерывных операторов получается из пространства вырожденных
операторов пополнением по норме || Л || = max Xft, простран-
пространство операторов типа Гильберта — Шмидта — пополнением
2 ^ь а пространство ядерных опера-
торов — пополнением по норме ||-<4||i = 2 ^*- '
k
Нормы ||Л||, || А || j, || А ||2 изометрически инвариантны:
для операторов A, UА и AU, где U — изометрический опе-
оператор, эти нормы совпадают.
Можно дать описание всех функций /(Xlt ..., Х„) от собствен-
собственных значений оператора Т, таких, что равенство
определяет изометрически инвариантную норму в пространстве
вырожденных операторов. Именно /(>ч, ..., кп) должна быть поло-
положительной однородной функцией первой степени, симметричной от-
относительно переменных Хх, ..., \п и притом такой, что после ее
четного продолжения на все значения переменных получается вы-
выпуклая функция в /г-мерном пространстве. Рассматриваемые нами
/л л ¦
2 ^* и 2 ^* удовлетворяют этим условиям.
*) Оператор А называется вырожденным, если он отображает
все пространство на конечномерное подпространство. >
**) Оператор А мы называем положительно определенным,
если (ДД/)^ 0, и строго положительно определенным, если
О


42
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[1
1. Вполне непрерывные операторы. Линейный опера-
оператор А, отображающий гильбертово пространство Ht в гиль-
гильбертово пространство Н2, называется вполне непрерывным,
если он переводит любое ограниченное множество в множе-
множество с компактным замыканием. Это определение равносильно
следующему: оператор А вполне непрерывен, если он пере-
переводит каждую слабо сходящуюся последовательность эле-
элементов в сильно сходящуюся последовательность *).
Отметим следующие свойства вполне непрерывных опе-
операторов:
1) Если А — вполне непрерывный оператор, отображаю-
отображающий пространство Ht в пространство Н2, то и сопряженный **)
с ним оператор А*, отображающий Н2 в Н1г также вполне
непрерывен.
2) Произведение АВ непрерывного линейного оператора А
и вполне непрерывного оператора В вполне непрерывно.
Аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда
вполне непрерывным является первый множитель.
3) Линейная комбинация вполне непрерывных операторов
является вполне непрерывным оператором.
Свойства 2) и 3) очевидны. Доказательство свойства 1) при-
приведено в книге Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана «Теория
линейных операторов» (М. — Л., 1950, гл. II, п. 27).
*) Последовательность элементов hb ..., hn, ... из гильбертова
пространства Н называется сильно сходящейся к элементу Л, если
lim || hn — h И = 0.
Последовательность hx, ..., hn, ... называется слабо сходящейся
к It, если
lim (hn, g) = (Л, g)
n >oo
для любого элемента g из //.
**) Пусть А — линейный оператор, отображающий гильбертово
пространство Нх в гильбертово пространство Н%. Сопряженным
с А называется оператор А*, отображающий //2 в Нх и такой, что
(Af, g) = (/, A*g)
для всех элементов /из //i и ^ из //2. Точнее было бы писать
(Af, gh и (/, A*g)lt где (^4/, g)? — скалярное произведение в Н2,
а (/, A*g)t — скалярное произведение в Н^. Однако мы надеемся,
что читатель в каждом случае легко установит, в каком из прост-
пространств берется скалярное произведение.
и
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА —ШМИДТА
43
Если рассматривать линейные операторы, действующие
в некотором гильбертовом пространстве Н, то свойства
1)—3) можно кратко сформулировать, сказИв, что вполне
непрерывные операторы образуют идеал в кольце с инво-
инволюцией, состоящем из всех непрерывных операторов.
Можно показать, что множество вполне непрерывных
операторов замкнуто в множестве всех непрерывных
операторов относительно (операторной) нормы
|И||=8иР||Л/||
11/11 = 1
и, следовательно, полно относительно этой нормы*).
Особенно простую структуру имеют самосопряженные
вполне непрерывные операторы т. е. такие вполне непре-
непрерывные операторы А, что {Af, g) — (/, Ag) для всех эле-
элементов / и g из Н. Если А — вполне непрерывный само-
самосопряженный оператор, то в пространстве Н можно
выбрать ортогональный нормированный базис ev .. .
..., еп, .... состоящий из собственных векторов этого опе-
оператора, Аеп = Хлеп. При этом собственные значения Xt, . . .
. . .Хп соответствующие векторам elt . . ., еп ве-
вещественны и стремятся к нулю при я-»со, lim Хп = 0. :
Обратно, всякий оператор А, задаваемый в некото-
некотором ортогональном нормированном базисе ev еп, . . .
формулами Аеп = Хпеп, где Хп — вещественные числа и
lim Х.„ = 0, самосопряжен и вполне непрерывен **).
л>оо
Если оператор А положительно определен (т. е. если
(Л/, /) ^ 0 для всех векторов / из Н), то все его собствен-
собственные значения положительны или равны нулю.
Мы покажем теперь, что любой (вообще говоря, не само-
самосопряженный) вполне непрерывный оператор отличается от
положительно определенного вполне непрерывного оператора
лишь изометрическим множителем, т. е. оператором U, таким,
что ||?//|| = ||/||. Иными словами, имеет место следующая
теорема:
*) Это утверждение доказано в главе II, п. 28 цитированной
книги Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана.
**) См. главу V, п. 55 цитированной книги Н. И. Ахиезера и
И. М. Глазмана.


44
. t. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Теорема 1. Пусть А—вполне непрерывный опера-
оператор отображающий Нг в Н2. Тогда он имеет вид А = UT,
где Т—положительно определенный вполне непрерывный
оператор, отображающий Нх в Нх, a U — изометриче-
изометрический оператор, отображающий область значений опера-
оператора Т в пространство Н2.
Доказательство. Рассмотрим оператор В = А* А.
Так как А отображает //, в Н2, а А* отображает Нг в Ни
то оператор В переводит Н1 в себя. Этот оператор вполне
непрерывен как произведение двух вполне непрерывных опе-
операторов А* и А и положительно определен. В самом деле,
для любого вектора / из Нх выполняется неравенство
(В/. f) = (A*Af, f) =
Следовательно, как указывалось выше, оператор В имеет
вид Веп — \еп, где ех еп, ... —ортогональный норми-
нормированный базис в пространстве Нх, Хл >> 0 и lim Хл = 0.
Л->-оо
Введем теперь новый оператор Т = В1г, определяемый равен-
равенствами Ten = yr'knen. Очевидно, что Т2 = В. Кроме того,
ясно, что оператор Т вполне непрерывен и положительно
определен.
Сравним ||/1/|| и \\Tf\\. Мы имеем
Но оператор Т положительно определен и, следовательно,
самосопряжен. Поэтому
= || Tf1| \
Таким образом, операторы А и Т метрически равны, т. е.
1И/Н = 117-/11
для любого элемента / из Нг. Теперь для каждого элемента g
вида g — Tf, f^Hv, определим оператор U равенством
Ug = А/.
§ 1. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА
45
Оператор f/изометричен, поскольку g = Tf, а ||Л/|| = ||Т/||.
При этом очевидно, что Л/ = Ug = U (Tf) и потому А = UT.
Тем самым наша теорема доказана *). \
Отметим, что оператор U задан на множестве элементов
вида Tf, т. е. на области значений оператора Т. В силу
изометричности мы можем распространить его на замыкание
этой области значений. Нетрудно убедиться, что это замы-
замыкание является подпространством в Ht, натянутым на век-
векторы еп, соответствующие ненулевым собственным значениям \п
оператора Т.
Теорема 1 позволяет дать геометрическое описание вполне
непрерывных операторов (вообще говоря, несамосопряжен-
несамосопряженных). Пусть A = UT — вполне непрерывный оператор, еи ...
.... еп,... — ортогональные собственные векторы положителы о
определенного оператора Т и Хп^-0 — соответствующие соб-
собственные значения. Рассмотрим в пространстве Ht сферу
|| л: || = 1. Оператор Т переводит эту сферу в эллипсоид,
главные оси которого направлены по векторам е1 еп, ...
Длины главных полуосей этого эллипсоида равны Xt, ...
. . ., Хл>.. . Оператор же U изометрически отображает этот эл-
эллипсоид в пространство Н2. В результате получается эллипсоид
в пространстве Н2, главные оси которого направлены по
векторам hn — Uen, а полуоси равны Хя. При этом длины
полуосей этого эллипсоида стремятся к нулю, поскольку
lim Хя = 0.
Обратно, любой оператор А, переводящий сферу |]л:|| = I
в эллипсоид, главные полуоси которого стремятся к нулю,
является вполне непрерывным.
Простейшим вполне непрерывным оператором является
оператор Р вида
= Х(/, e)h.
где е и h — фиксированные векторы единичной длины, X —
фиксированное число. Этот оператор переводит все про-
пространство Н в одномерное пространство. Покажем, что любой
вполне непрерывный оператор может быть аппроксимирован
*) Аналогичное утверждение имеет место не только для вполне
непрерывных, но и для любых ограниченных (и даже для широ-
широкого класса неограниченных) операторов. Однако- для наших це-
целей достаточно утверждения, сформулированного в тексте.


46
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
суммой таких операторов. Более точно: покажем, что любой
вполне непрерывный оператор А может быть представ-
представлен в виде суммы ряда
A)
где еп {соответственно hn) — векторы ортогонального
нормированного базиса в пространстве Нх {соответст-
{соответственно в Н2), а \, .... Хя, ...—положительные числа,
стремящиеся к нулю при п —>• со. Обратно, всякий ряд
вида A), в котором еп, hn, \n обладают указанными свой-
свойствами, задает вполне непрерывный оператор.
Разложение A) может быть получено следующим образом.
Представим оператор А в виде А = UT и обозначим через еп
собственные векторы оператора Т, Теп = У-пеп, а через hn —
векторы Uen. Разлагая любой вектор / по собственным век-
векторам еп оператора Т, мы получим, что
и, значит,
. ва)ея)=
- /
, en)hn.
Покажем, что ряд A) сходится по операторной норме-
Это значит, что операторы Ak, определяемые формулой
сходятся по норме операторов к оператору А. Пусть [|/|| = 1.
Тогда, так как векторы [hn] ортогональны и нормированы, то
2
/z=ft+l
2
где через Alt обозначено наибольшее, из чисел Xft+1,
Х, ... Из этого неравенства вытекает, что
2]
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
47
и, поскольку limAft = 0, что lim \\А — ЛЛЦ=О. Поэтому one-
ft > оо ft > оо
раторы Ац сходятся к оператору А по норме операторов.
Покажем теперь, что справедливо и обратное утвержде-
утверждение, а именно: любой оператор вида
где {еп} и \hn)—ортогональные нормированные системы
векторов в пространствах Нх и Н2, а Хл >- 0 и lim Хл = О,
П->-со
вполне непрерывен. Для доказательства достаточно заме-
заметить, что из соотношения lim Xn = 0 вытекает соотношение
lim || Л — Л6||=0, где положено
6
Так как все операторы Ак отображают пространство Нх на
конечномерные подпространства в Н2, то они вполне непре-
непрерывны. Следовательно, вполне непрерывен и оператор А,
являющийся пределом этих операторов по операторной норме.
Очевидно, что для оператора А вида A) числа Хл всегда
являются собственными значениями положительно опре-
определенного оператора Т, входящего в разложение А = UT,
векторы еп — собственными векторами оператора Т,
а векторы hn — векторами вида hn = Uea.
Отметим, что попутно мы доказали следующее утвер-
утверждение:
Любой вполне непрерывный оператор А является пре-
пределом сходящейся к нему последовательности вырожден-
вырожденных операторов Ak (т. е. операторов, отображающих про-
пространство Hv на конечномерные подпространства в Н2). Мы
показали, таким образом, что пространство вполне непре-
непрерывных операторов совпадает с пополнением множества
вырожденных операторов по норме \\A\\.
2. Операторы типа Гильберта — Шмидта. Для многих
вопросов анализа требование стремления к нулю собственных
значений Х„ оператора Т, входящего в разложение A = UT
вполне непрерывного оператора А, является слишком слабым,


48
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[2
Мы будем рассматривать в дальнейшем операторы, для кото-
которых на эти собственные значения налагаются более жесткие
требования быстроты убывания. Одним из наиболее часто
используемых классов операторов является класс операторов
типа Гильберта — Шмидта.
Оператором типа Гильберта — Шмидта называют
вполне непрерывный оператор А = UT, для которого схо-
сходится ряд
составленный из квадратов собственных значений оператора Т.
Геометрически это означает, что оператор А типа Гиль-
Гильберта— Шмидта переводит сферу \\f\\ = 1 в эллипсоид,
у которого ряд, составленный из квадратов длин глав-
главных полуосей, сходится.
Вспоминая, что в разложении
A)
выведенном нами на стр. 46, \п — это собственные значе-
значения оператора Т, мы можем утверждать, что оператор
типа Гильберта — Шмидта допускает разложение
вида A), где еп и /гп — ортогональные нормированные ба-
базисы в пространствах //, и Н2, а числа \п ^> 0 таковы,
со
что ряд 2
2
/2=1
сходится.
Обратно, если еп и hn — векторы ортогональных нор-
нормированных базисов в гильбертовых пространствах Нг
со
и Н2, a \n^>Q — такие кисла, что ряд 2^п сходится,
/i = i
то формула A) определяет оператор типа Гильберта —
оо
Шмидта. В самом деле, из сходимости ряда 2 ^я выте-
/i=i
кает, что lim Хя==0. Поэтому, как было показано в п. 1,
л>оо »
оператор /1 вполне непрерывен, причем Хп — собственные
значения оператора Т, входящего в разложение А — UT.
21
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
49
Следовательно, ряд
Х„ составлен из квадратов собствен-
ных значений оператора Т и, значит, А является оператором
типа Гильберта — Шмидта.
Мы дадим ниже более удобное определение оператора
типа Гильберта — Шмидта. Для этого нам понадобится сле-
следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть А — такой оператор, отображаю-
отображающий гильбертово пространство Нх в гильбертово прост-
оо
ранство Н2, что ряд 2 1И/Л2 сходится для некоторого
ортогонального нормированного базиса /х, .... /п, ...
в Нх. Тогда этот ряд сходится и для любого другого
ортогонального нормированного базиса gx, .... gn, ...
в Hl и имеет место равенство
оо
2
/1=1
B)
Доказательство. Чтобы доказать это предложениэ,
выберем какой-нибудь ортогональный нормированный базис
Aj hn, в пространстве Н2. По теореме Пифагора
имеем
Поэтому
я=1
Вторичное применение теоремы Пифагора показывает, что
2
2 \(/я.
Поскольку правая часть этого равенства не зависит от вы-
выбора базиса в пространстве Нх, то равенство B) доказано.
Кроме того, мы показали, что имеет место равенство
2
/2 = 1
/1=1
C)
4 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


50
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[2
где ht, ..., hn, ...—любой ортогональный нормирован-
нормированный базис в пространстве Н2.
Дадим теперь другое определение операторов типа Гиль-
Гильберта — Шмидта. По определению для операторов А типа Гиль-
оо
берта — Шмидта сходится ряд 2 *•/». где Хл — собственные
значения положительно определенного оператора Т в раз-
разложении A = UT. Пусть {еп\—ортогональный нормирован-
нормированный базис в Нх, составленный из собственных векторов
оператора Г. Поскольку ||Л/|| = \\Tf\\, то \=\\Теп\\ =
оо со
= \\Ае„\\; значит, ряд 2 IMen||2 = 2 X« сходится. Но тогда
п=1 п—1
из равенства B) вытекает, что для оператора типа
со
Гильберта — Шмидта сходится ряд 2 !М/Я112> где
л = 1
fx, .... /„, ...—любой ортогональный нормированный
базис в пространстве Нх.
со
Докажем, что сходимость ряда 2 1И/ЯП2 Для не-
некоторого ортогонального нормированного базиса fx /я, ...
в пространстве Нх не только необходима, но и достаточна для
того, чтобы оператор А был оператором типа Гильберта —
Шмидта. Иными словами, докажем следующую теорему:
Теорема 2. Для того чтобы оператор А был опера-
оператором типа Гильберта — Шмидта, необходимо и доста-
со
точно, чтобы ряд 2 1И/П112 сходился хотя бы для одного
ортогонального нормированного базиса Д /я, ...
в пространстве Нх.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится сле-
следующая лемма.
Лемма 2. Пусть оператор А таков, что для не-
некоторого ортогонального нормированного базиса fu ...
со
. ..,/„,... в Нх сходится ряд 2 ЦА/Л2- Тогда имеет место
неравенство \\A\\ ^ ||Л||2, где через \\А\\2 обозначено число
J 11^/л112 (по равенству B)* значение || Л ||2 зависит лишь
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
51
от оператора Л и не зависит от выбора ортогонального нор-
нормированного базиса /t /„, ... в Ht).
Доказательство. Выберем ортогональный нормиро-
нормированный базис ht hn, ... в пространстве Нг. Тогда
/1=1
Таким образом, показано, что
1И/Л2-11/1121И1Ц.
откуда следует
11/11=1
Лемма доказана.
Докажем теперь теорему 2. Нам надо доказать лишь, что
со
сходимость ряда 2 1И/Л2 достаточна для того, чтобы
оператор А был оператором типа Гильберта — Шмидта. Но
для этого достаточно показать, что из сходимости указан-
указанного ряда вытекает, что оператор Л вполне непрерывен.
В самом деле, если оператор вполне непрерывен, то имеет
место разложение A — UT и, в силу леммы 1, сходится ряд
со
2 ||-<4еЛ2, где ех еп, —нормированные собствен-
собственные векторы оператора Т. Так как Хя = ||Лея||, то тем самым
составленного из
со
будет доказана сходимость ряда 2 ^л
л = 1
собственных значений оператора Т.
Докажем полную непрерывность оператора А. Обозначим
через Ak вырожденный оператор, переводящий вектор /„
1 ^ ^ k >& Т
р k р
в вектор А/п при 1
п
р, р р „
k ив нуль при /г>&. Тогда
Из сходимости ряда 2 1ИЛИ2 вытекает, что lim ||Л—Лл||=0.


52
ГЛ. 1. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Поэтому А является пределом по операторной норме \\A\\
последовательности вырожденных операторов Ak. Поскольку
вырожденные операторы вполне непрерывны, то и опе-
оператор А вполне непрерывен. Как мы уже отметили, из
полной непрерывности оператора А и сходимости ряда
оо
2 1И/„||2 вытекает принадлежность этого оператора к типу
Гильберта — Шмидта. Теорема доказана.
В дальнейшем мы будем называть число ||Л||2 нормой
Гильберта — Шмидта для оператора А. Очевидно, что норма
Гильберта—Шмидта конечна для операторов типа Гиль-
Гильберта— Шмидта и только для таких операторов. При
этом она удовлетворяет легко доказываемым соотношениям
1И-г-?[!2<||л||2-Н|?|!2
Отсюда вытекает, что множество операторов типа Гиль-
Гильберта— Шмидта образует линейное нормированное про-
пространство ф относительно нормы ||Л||2. Покажем, что
это пространство гильбертово. В самом деле, оператор Гиль-
Гильберта— Шмидта А задается числами (Afn, hk), где {fn)—орто-
{fn)—ортогональный нормированный базис в пространстве Nlt a [hn\ —
ортогональный нормированный базис в пространстве Н2,
причем
1ИН
Но,
Г га V/i Г со оо
Отсюда следует, что пространство ф операторов типа Гиль-
Гильберта— Шмидта изоморфно пространству бесконечных ма-
оо оо
2
/1 = 1
lnh-
CO
триц ||я„й||, для которых сходится ряд 2
/1 = 1 . _
как известно, пространство таких матриц является гиль-
гильбертовым пространством. Следовательно, и пространство ф
операторов типа Гильберта — Шмидта гильбертово.
Так как пространство операторов типа Гильберта—Шмидта
с нормой ||Л||2 является гильбертовым пространством, то
оно полно. Мы докажем, что это пространство является по-
пополнением множества вырожденных операторов по норме || Л||2.
В самом деле, при доказательстве теоремы 2 было показано,
2] § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА 53
что если А — оператор типа Гильберта — Шмидта, a fx, ...
... ,/„,... — ортогональный нормированный базис в простран-
пространстве Ни то имеет место равенство lim ||Л — Лй||2 = 0, где
Ак — оператор, совпадающий с Л на элементах
/f
/{ и
к рр, Д{
переводящий в нуль элементы /ft+i fk+n- • •• Таким об-
образом, каждый оператор типа Гильберта — Шмидта является
пределом по корме ||Л||2 последовательности вырожденных
операторов Л1, .... Ak Отсюда вытекает, что множество
вырожденных операторов всюду плотно в пространстве опера-
операторов типа Гильберта — Шмидта с нормой ||Л||2. Поскольку
пространство таких операторов полно, оно является попол-
пополнением множества вырожденных операторов по норме ||Л||2.
Остановимся еще на одном свойстве операторов типа
Гильберта — Шмидта. Именно, докажем следующее утвер-
утверждение.
Теорема 3. Для того чтобы оператор А, отобра-
отображающий гильбертово пространство Нх в гильбертово
пространство Н2, был оператором типа Гильберта —¦
Шмидта, необходимо и достаточно, чтобы он допускал
представление вида
D)
где \еп) и [hn] — ортогональные нормированные базисы
в пространствах Н^ и Нг соответственно, а Х„>-0 —
такие числа, что ряд
сходится.
Доказательство. Пусть А — оператор типа Гиль-
Гильберта— Шмидта. Тогда этот оператор вполне непрерывен и,
следовательно, может быть представлен в виде ряда
где Хп — собственные значения положительно определенного
оператора Т, входящего в разложение A — UT. Так как
со
Л—оператор типа Гильберта—Шмидта, то ряд 2^« сходится.
ч = 1
Этим необходимость условия теоремы доказана.


54
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[2
Докажем его достаточность. Пусть оператор А допускает
оо
представление вида D), причем ряд 2 ^я сходится. Тогда
lim Хп = 0 и, следовательно, оператор А вполне непрерывен,
л-»оо
причем числа Хп являются собственными значениями для опера-
оператора Т, входящего в разложение А = UT. Так как по усло-
оо
вию ряд 2 ^-я сходится, то А является оператором типа Гиль-
я = 1
берта—Шмидта. Теорема доказана.
В заключение отметим следующие свойства операторов типа
Гильберта—Шмидта, которыми мы будем пользоваться в даль-
дальнейшем.
1) Оператор Л*, сопряженный с оператором типа
Гильберта — Шмидта, является оператором того же
типа.
В самом деле, если А — оператор типа Гильберта —
Шмидта, то для любого ортогонального нормированного
оо
базиса {/„} в пространстве Ht сходится ряд 2 IIA/JI2-
л = 1
оо
По лемме 1 отсюда вытекает сходимость ряда 2 1М*^лИ2
л = 1
для любого ортогонального нормированного базиса {hn}
в пространстве Н2. Но это означает, что А* также является
оператором типа Гильберта — Шмидта.
2) Произведение АВ непрерывного линейного опера-
оператора А на оператор В типа Гильберта — Шмидта
является оператором типа Гильберта — Шмидта.
В самом деле, для любого ортогонального нормирован-
нормированного базиса {/„} в Нх мы имеем
/2=1
\\В/Я\\».
E)
Но ряд 2 ИД/Л2 сходится, так как В — оператор типа
оо
Гильберта — Шмидта. Поэтому сходится и ряд 2 1ИД/лН2
и, следовательно, АВ также является оператором типа Гиль-
Гильберта— Шмидта. Отметим, что из этого неравенства вытекает
3] § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА 55
следующее полезное соотношение
3) Произведение В А, где А — непрерывный линейный
оператор, а В — оператор типа Гильберта — Шмидта,
также является оператором того оке типа.
В самом деле, В А = (А*В*)*. Но В*, по свойству 1),
является оператором типа Гильберта — Шмидта и, по свой-
свойству 2), А*В* является оператором того же типа. Вторично
применяя свойство 1), мы убеждаемся, что ВА является
оператором типа Гильберта — Шмидта. ,
3. Ядерные операторы. Еще более ограничительным
требованием, чем принадлежность оператора А к типу Гиль-
Гильберта— Шмидта, является требование ядерности этого опера-
оператора.
Вполне непрерывный оператор А называется ядерным,
оо
если сходится ряд 2 кп> составленный из собственных зна-
я=1
чений оператора Т, входящего в разложение A — UT. По-
оо
скольку из сходимости ряда 2 \ вытекает сходимость ряда
л=1
оо
2 ^-п. то всякий ядерный оператор является оператором
л = 1
типа Гильберта — Шмидта.
Геометрически требование ядерности означает, что опера-
оператор А отображает сферу ||jc|| = 1 на эллипсоид простран-
пространства Н2, для которого ряд, составленный из главных полу-
полуосей, сходится.
Мы доказали в п. 1, что всякий вполне непрерывный
оператор А, отображающий гильбертово пространство Ht
в гильбертово пространство Нг, может быть представлен
в виде ряда
=2
A)
где {еп} и \hn)—ортогональные нормированные базисы
в пространствах Ht и Н2, а Х„^0, lim >.„ = (). Отсюда
п > оо
следует, что всякий ядерный оператор может быть


56
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
со
2
представлен в виде ряда A), причем Х„>0 и ряд 2 *-л
сходится.
В п. 1 было показано, что всякий ряд вида A), где \еп)
и [hn]—ортогональные нормированные базисы в простран-
пространствах Н1 и Н2, а Хл>>0 и ИтХл = 0 задает вполне непре-
рывный оператор А, причем \п являются собственными зна-
значениями положительно определенного оператора Т, входящего
в разложение A = UT. Поэтому любой ряд вида A), для
оо
^-0 и 2 ^п < Н~°°. задает ядерный опера-
i
которого
n-i.
тор, отображающий пространство Нх в Н2.
Для положительно определенных операторов понятие ядер-
ядерного оператора совпадает с понятием оператора, имеющего
конечный след. Положительно определенный оператор А в
гильбертовом пространстве Н называется оператором с ко-
конечным следом *), если для любого ортогонального нормиро-
нормированного базиса Д, .... /я, ... в пространстве Н сходится
со
ряд 2
л = 1
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 3. Для того чтобы вполне непрерывный поло-
положительно определенный оператор Т был ядерным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы он имел конечный след**).
Доказательство. Пусть Т — положительно опре-
определенный ядерный оператор. Введем оператор Т1', положив
Тч'е„ — V^/Г ew где ^vi — собственные значения оператора Т,
а еп—соответствующие собственные векторы. Так как
2
1
F)
*) Если || атп || — матрица, соответствующая оператору А в ба-
оо оо
зисе {fny, то 2 (А/л> fn) = 2 ппп и> таким образом, является сле-
/2 = 1 П = 1
дом матрицы \\атп\\.
**) Без предположения о полной непрерывности оператора Г
аналог этого утверждения доказан ниже в теореме 7.
3] § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА 57
то Т 3 является оператором типа Гильберта — Шмидта. По-
Поэтому для любого ортогонального нормированного базиса
Д /„, ... выполняется равенство
2 HrVj2=
1
2
п = 1
п = 1
В силу самосопряженности оператора Г'а мы имеем
оо оо оо
Zi \\J /nil = 2Li V In' 1 fn)= Zi iTJn' /л)-
Поэтому для любого ортогонального нормированного базиса
Д /„, ... в Н выполняется равенство
/2=1
из которого следует, что оператор Т имеет конечный след.
Обратно, пусть Т — вполне непрерывный положительно
определенный оператор, имеющий конечный след. Вы-
Выберем в пространстве Н ортогональный нормированный
базис ех, .... еп, .... состоящий из собственных векторов
оператора Т, соответствующих собственным значениям
\, ¦-. .. \, ... Тогда имеет место равенство
^=2 (Теп, еп)
оо,
из которого следует, что Т — ядерный оператор. Лемма до-
доказана.
Отсюда следует, что любой ядерный оператор является
произведением А = UT изометрического оператора U на
положительно определенный оператор Т, имеющий конеч-
конечный след.
Остановимся на связи ядерных операторов с операторами
типа Гильберта — Шмидта.
Теорема 4. Произведение АВ любых двух опера-
операторов типа Гильберта — Шмидта является ядерным опе-
оператором. Обратно, каждый ядерный оператор является
произведением двух операторов типа Гильберта —
Шмидта.


58
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Доказательство. Пусть оператор В отображает про-
пространство Нх в Hz, а оператор А отображает пространство Н2
в Н3 и пусть АВ ==¦ UT — разложение оператора АВ в про-
произведение положительно определенного оператора Т, дей-
действующего в пространстве Ни и изометрического опера-
оператора U, отображающего область значений оператора Т в про-
пространство Н3. Обозначим через еи .... еп, ... ортогональный
нормированный базис в пространстве Нх, состоящий из соб-
собственных векторов оператора Т, Теп = Хпеп, и через пх, ...
.. . ,hn, ... — ортогональную нормированную систему в прост-
пространстве Н3, состоящую из векторов hn = Uen. Тогда при Хп Ф О
имеет место неравенство
Л„) =
(Л
Если А и В являются операторами типа Гильберта —
оо оо
Шмидта, то ряды 2л II5^II2 и 2 1И*Ал112 сходятся, и,
значит, в силу неравенства G) сходится и ряд
2л \-
л =1
самым доказано, что произведение АВ двух операторов типа
Гильберта — Шмидта является ядерным оператором.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть А — ядер-
ядерный оператор и A = UT — его разложение в произведение
положительно определенного и изометрического операторов.
Тогда, как было показано выше, оператор 711/* является опе-
оператором типа Гильберта — Шмидта. Оператором того же
типа является и UVI*, поскольку *)
Так как A = (UT1l*Oal*, то оператор А является произведе-
*) Оператор U определен на замыкании области значений
оператора Т. Легко видеть, что это замыкание совпадает с замы-
замыканием области значений оператора Т '2: в обоих случаях речь идет
о подпространстве, натянутом на векторы еп, которым соответ-
соответствуют ненулевые значения А.„. Поэтому оператор UT ^ имеет
смысл.
3]
§2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
59
нием двух операторов типа Гильберта — Шмидта, т. е. тео-
теорема доказана.
Из теоремы 4 вытекают следующие свойства ядерных
операторов.
1) Оператор А*, сопряженный с ядерным оператором А,
является ядерным оператором.
В самом деле, если А = UTll>T\ то А* = VI* (ЦТЦ*.
Оператор (ЦТ1!*)* является оператором типа Гильберта —
Шмидта, как сопряженный к оператору UVI* того же типа.
Следовательно, А* является ядерным оператором.
2) Произведение АВ любого ограниченного линейного
оператора А на ядерный оператор В является ядерным
оператором. Аналогичное утверждение имеет место для
произведения ВА.
В самом деле, если В — ядерный оператор, то В = UVI*T4»,
где UTll* и Т1!' — операторы типа Гильберта — Шмидта. Но
тогда и AUVI-- является оператором типа Гильберта — Шмидта.
Следовательно, АВ = (AUT'l*) ТЛ1* является произведением
двух операторов типа Гильберта — Шмидта, т. е. ядерным
оператором. Аналогичное утверждение справедливо и для
произведения ВА ядерного оператора В на непрерывный
оператор А, так как В А — (А*В*)*.
Доказанных свойств ядерных операторов достаточно для
построения теории ядерных пространств. Однако ввиду важно-
важности ядерных операторов, мы изложим их дальнейшие свойства.
Лемма 4. Пусть А и В — операторы в гильбертовом
пространстве Н, причем В — ограниченный оператор,
а А = UT — ядерный оператор. Тогда имеет место
равенство
2л(АВеп, еп)^=
л=1
п, еп\
(8)
где \еп] — ортогональный нормированный базис в Н, со-
состоящий из собственных функций оператора Т.
Доказательство. Очевидно, что
оо оо оо
2 (АВея. *„) = 2 2 (Вея. ет)(Ает, еп) (9)
П=1 П =1 /71 = 1
И
оо оо оо'
2 (ВАеп, en)=2Z 2 (Аея. ет)(Вет, ея). (9')
л=1 л=1 т=х


60
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
3]
Правые части равенств (9) и (9') отличаются лишь порядком
слагаемых, поэтому, чтобы доказать равенство (8), достаточно
показать, что ряд (9) абсолютно сходится. Но
(Аея. em) = (UTen, em) = Xn(Uen, em),
где через Хл обозначено собственное значение оператора Т,
соответствующее собственному вектору еп. Поэтому
оо оо
2 2
оо
^ 2
оо оо
<т2 Х" 2
я = 1 m -1
По теореме Пифагора
1
и потому
оо оо
S S
Л =1 /71 = 1
,- em)\\(Bem,
ОО
Поскольку ряд 2 ^-л сходится, то абсолютная сходимость
Л=1
ряда (9) доказана. Тем самым доказано и равенство (8).
Из леммы 4 вытекает, что для любого унитарного опе-
оператора V и любого ядерного оператора А = UT имеет
место равенство
A0)
где {еп} — ортогональный нормированный базис, состоящий
из собственных векторов оператора Т. Для доказательства
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА
61
А и
вид
достаточно заменить в формуле (8) В на V, А на V 1
заметить, что разложение оператора V1А имеет
V'1A = WT, где W = V~1U.
Равенство A0) можно записать в виде
S (А/п, /я)=%(Аеп. еп), A1)
Л=1 Л=1
где через {/я} обозначен ортогональный нормированный базис
в И, состоящий из векторов fn — Ven. Таким образом, если
оо
А — ядерный оператор, то ряд 2 (АЛ»> /я) сходится для
Л=1
любого ортогонального нормированного базиса {/„} и сумма
этого ряда не зависит от выбора базиса, т. е. оператор А
имеет конечный след (ранее это было доказано лишь для по-
положительно определенных ядерных операторов, см. лемму 3).
Равенство A1) можно обобщить, отказавшись от предпо-
предположения об ортогональности базиса {/„}. Назовем множество
векторов {/„} в пространстве Н безусловным базисом,
если f „ = Bh-. rne. ih \ — п~~~.-«
„,
ррве Н безусловным базисом,
/П Н„, где {hn} — Ортогональный нормированный
базис в И, а В — ограниченный оператор, имеющий ограни-
ограниченный обратный оператор В~^ *). Если {/„}, fn—Bhn —
безусловный базис, то {?•„}, где gn = (В~гУкп, также является
безусловным базисом, причем имеет место равенство
Базис {¦?*¦„} называется биортогональным к базису {/„}.
Докажем следующую теорему.
Теорема 5. Пусть {/„}—безусловный базис в про-
пространстве Н, а {gn}—биортогональный к нему базис.
*) Если {/„} — безусловный базис, то и все базисы {С/„}, где
С — ограниченный оператор, имеющий ограниченный обратный
оператор, являются безусловными. Поэтому понятие безусловного
базиса есть афинное понятие, зависящее лишь от линейных опера-
операций в Н и топологии этого пространства, но не зависящее от за-
задания скалярного произведения в Н. Для того, чтобы базис {/„}•
был 'безусловным, необходимо и достаточно, чтобы он оставался ба-
базисом при любой перестановке векторов.


62 ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Тогда для любого ядерного оператора А ряд
2 (АЛ,. Sn)
П = 1
13
A2)
абсолютно сходится, причем его сумма не зависит от
выбора базиса {/п}.
Доказательство. Пусть fn = Bhn, g"n = E~1) hn,
где [hn] — ортогональный нормированный базис в Н. Тогда
2 (А/„. Sn) = 2 U**.. (В'1)* Ая) =
Л — 1
= 2E-^5An, Ая).
Я=1
л 1
Оператор В~ АВ ядерный, поскольку А — ядерный опе-
оператор, а В а В~ ограниченные операторы. Поэтому, как
было доказано выше, ряд 2 \ВГ ABhn, hn) абсолютно схо-
л=1
со
2
дится, а потому абсолютно сходится и ряд 2 D/n, Sn)-
Докажем независимость суммы этого ряда от выбора без-
безусловного базиса {/п}. В силу равенства A1) сумма
со .
2 {B~1ABhn, Ап) не зависит от выбора ортогонального
п=1
нормированного базиса {hn}. Поэтому
2 {В-ЫВК, А.) = 2 {В-*АВеп, еп\
2
Я=1
где {#„}— ортогональный нормированный базис, состоящий из
собственных векторов положительно определенного опера-
оператора Q, входящего в разложение В~г A = WQ (см. теорему 1).
Применяя лемму 4 к операторам В'1 А и В, получаем, что
•^ оо
О = 2 {Аея. еп)-
Тем самым доказано, что
л=1
3] § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА 63
Поскольку правая часть этого равенства не зависит от вы-
оо
бора базиса {/„}, то значение 2 04/л. gn) не зависит от
Я=1
выбора безусловного базиса {/„}. Теорема доказана.
Значительно более тонкие рассуждения показывают, что
справедлива следующая теорема, доказанная В. Б. Лидским.
Теорема 6 (о следе). Если А — ядерный оператор,
{/л} —безусловный базис и {gn} —биортогональный к нему
базис, то °° с»
с»
Л=1
где \),п — собственные значения оператора А.
Заметим, что если А — ядерный оператор, то ряд
со
2 (A/n, gn) абсолютно сходится не только, когда ба-
л=1
зисы {/„} и {gn} биортогональны, но и в случае, когда
fn = Blen, gn = B2en, где В± и В2 — ограниченные
операторы, а \еп) — ортогональный нормированный ба-
базис в Н.
Доказательство этого утверждения аналогично доказатель-
доказательству теоремы 5.
Из этого утверждения вытекает, что для любых безу-
безусловных базисов {/„} и {gn} (или частей безусловных базисов)
и любого ядерного оператора А абсолютно сходится ряд
оо
2 (А/л, Sn)- Абсолютная сходимость таких рядов не
л = 1
только необходима, но и достаточна для ядерности опера-
оператора А. Иными словами, справедлива следующая теорема:
Теорема 7. Для того чтобы ограниченный линейный
оператор А в гильбертовом пространстве Н был ядерным,
оо
необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 0*/я. Sn) cxo~
л = 1
дился для всех систем векторов {/„} и {Sn)> являю-
являющихся частями безусловных базисов в Н.
Доказательство. Выше было показано, что если
А — ядерный оператор, а {/„} и {gn} — части безусловных
оо
базисов, то ряд 2 (А/я, Sn) сходится. Поэтому необходи-
мость условия теоремы доказана.


64
ГЛ. I.. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
3]
§ 2. операторы типа гильбёрта — шмидта
65
Докажем, что это условие достаточно, т. е. покажем что
со
из сходимости ряда 2(А/Я« Sn) для любых систем векторов
{/л} и {gn)' являющихся частями безусловных базисов в Н,
вытекает ядерность ограниченного оператора А.
Так как оператор А ограничен, то его можно записать
в виде A = UT, где U — изометрический, а Т — положительно
определенный ограниченный оператор (в п. 1 было указано,
что такое разложение справедливо для всех ограничен-
ограниченных операторов). Покажем, что оператор Т имеет дискрет-
дискретный спектр, т. е. что в пространстве Н можно выбрать ортого-
ортогональный нормированный базис, состоящий из собственных
векторов оператора Т.
В самом деле, предположим, что оператор Т имеет не-
непрерывный спектр. В этом случае можно указать по-
последовательность непересекающихся отрезков Alt .... Д„,
.... лежащих на полупрямой [а, со), а > О, и таких,
что Е(Ап)ф0, где Е(к)— разложение единицы, соответ-
соответствующее оператору Т (относительно разложения единицы,
см. добавление к § 4). Выберем в каждом из подпространств
?"(ДЛ)// нормированный вектор /л. Эти векторы попарно
ортогональны и, поскольку отрезки Д„ лежат на полупрямой
[а, со), а > 0, удовлетворяют неравенствам вида (Tfn, /„)>- а.
Изометрический оператор U определен на всех векторах /л.
Положим U/n=gn. Системы векторов {/„} и {gn} могут
быть дополнены до ортогональных нормированных базисов
оо
в Я. Поэтому, по предположению, ряд 2 (АЛ»« ?я) абсо-
абсолютно сходится. Но
и, следовательно,
Л-1
Итак, спектр оператора Т дискретен. Покажем, что Т
со
является ядерным оператором, т. е. что ряд 2 Хп сходится,
где Хп — собственные значения оператора Т. Для этого заме-
заметим, что
где через еп обозначен нормированный собственный вектор
оператора Т, соответствующий собственному значению \п,
а через gn—вектор Uen. Поэтому
Так как системы векторов {еп} и [gn) можно дополнить до
ортогональных нормированных базисов в пространстве И,
со
то ряд 2 (Аеп, gn) абсолютно сходится, а следовательно,
оо
сходится и ряд 2 ^л- Теорема доказана.
Полезно отметить, что при доказательстве достаточности
условия теоремы мы использовали лишь абсолютную сходи-
оо
мость ряда 2 (А/„, gn) для любых ортогональных норми-
Полученное противоречие и доказывает, что у оператора Т
нет непрерывного спекфа.
рованных систем {/п) и {gn}. Поэтому теорему 7 можно
усилить следующим образом.
Теорема Т. Для того чтобы ограниченный линей-
линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н был
со
ядерным, достаточно, чтобы ряд 2 (Afn> ё'п) сходился
для любых ортогональных нормированных систем векто-
Р°8 {/«} « {gn} в н-
Эта теорема сохраняет силу и для операторов, отобра-
отображающих одно гильбертово пространство в другое.
Отметим еще следующий необходимый и достаточный признак
ядерности оператора.
Теорема 8. Для того чтобы оператор А был ядерным,
со '
необходимо а достаточно, чтобы ряд ^ II А/л II сходился хотя
5 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкии


66
ГЛ. t: ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
бы для одного ортогонального нормированного базиса fx
/„, ... в пространстве Нх.
Доказательство. Пусть /lf ..., /„, ... — ортогональный
со
нормированный базис в пространстве Нх и пусть ряд 2 II А/л II
сходится. Тогда сходится и ряд 2 II -^/л II2- Поэтому оператор А
л = 1
является оператором типа Гильберта — Шмидта, а значит, и по-
подавно вполне непрерывным оператором. Следовательно, оператор А
можно представить в виде А = UT. Так как ||/л|| = 1, а оператор U
изометричен на области значений оператора Т, то имеет место
неравенство
(Э7я. /л) < II Tfn II = II UTU || = || Afn ||.
оо
Это неравенство показывает, в силу сходимости ряда 2
л = 1
оо
что ряд 2 (Tfn, /„) сходится. А тогда (по лемме 3) оператор
А — ядерный.
Обратно, пусть А = UT — ядерный оператор. Выберем ортого-
ортогональный нормированный базис в пространстве Н\, состоящий из
собственных векторов еь ..., еп, ... оператора Т. Тогда имеет
место равенство
оо оо со
^^ II лсп II — _^j II * &п II — j^j Лл>
л=1 л = 1 л=1
оо
показывающее, что ряд 2 И-^яИ сходится. Теорема доказана.
Отметим, что из ядерности оператора А ие следует сходимость
оо
ряда 2 II А/л II Для всех ортогональных нормированных базисов
л = 1
в пространстве Ну. Построим соответствующий пример.
Пример. Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н, состоя-
состоящем из последовательностей х = (хи ..., хп, ...) со сходящейся
суммой квадратов модулей, вектор
I 1 1
I, 2 , • • ., п , . •
Обозначим через Р оператор ортогонального проектирования на
подпространство, порожденное вектором /. Так как оператор Р
отображает пространство Н на одномерное подпространство, то он
является ядерным оператором (след его оавен единице).
4]
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
67
Оператор Р переводит векторы ортогонального нормированного
базиса {еп}, где
«я = @. 0 1, 0, ...),
11/11 ~~ «11/11 '
в векторы
Но ряд
Я=1 Я=1
расходится.
оо
Таким образом, если А — ядерный оператор, то ряд 2 II ^п II.
л = 1
где {еп} — ортогональный нормированный базис в Н, может рас-
расходиться.
4. Следовая норма. В этом пункте будгт доказано, что
ядерные операторы образуют линейное пространство и что
это пространство является пополнением пространства выро-
вырожденных операторов относительно некоторой нормы, назы-
называемой следовой нормой. Докажем сначала следующую тео-
теорему.
Теорема 9. Если А — ядерный оператор, отобра-
отображающий гильбертово пространство Нх в ги..ь1гртово
пространство Н2, тэ имеет место равенство
sup 2 104/,,. gn)\ =
A4)
где Хп — собственные значения положительно определен-
определенного оператора Т, входящего в разложение А = UT,
а верхняя грань берется по всем ортогональным и нор-
нормированным системам векторов {/„} и {gn} в простран-
пространствах Нх и Н2.
Доказательство. Обозначим через [еп) ортогональ-
ортогональную нормированную систему в Ht, состоящую из всех соб-
собственных векторов оператора Т, для которых Хл Ф 0,
а через hn обозначим векторы Uen. Тогда
Хд = (Тея, еп) = (UTen, Uen) = (Аеп,
5*


68
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
и потому
со
2
Л = 1
Я=1
Так как [еп] и {hn} — ортогональные нормированные системы
в Н1 и Н2, то
Л=1
A5)
Докажем теперь обратное неравенство. Возьмем в про-
пространствах //j и Нг любые ортогональные нормированные
оо
системы векторов {/„} и {gn} и оценим ряд 2|(А/Л. gn)\-
Так как оператор А переводит в нуль собственные векторы
оператора Г, соответствующие нулевому собственному зна-
значению, то
Шп- *«)=
со
k, gn)= 2
где {^ft} — ортогональная нормированная система, состоящая
из собственных векторов оператора Т, для которых Х/; ф О,
Поэтому
k = 1
ОО СО
п =1
Так как {/„} и {§•„} — ортогональные нормированные системы
векторов в пространствах Н1 и //2, то
4] , § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА б?
Из этих неравенств и соотношения A6) вытекает, что
Поэтому
оо
sup 2 I
л = 1
Сравнивая соотношения A5) и A7), мы убеждаемся, что
SUP 2 КАЛ,. f,)|=SV
л=1 ft=l
Теорема доказана.
В теореме 7' было доказано, что из сходимости ряда
со
2 \(Afn, gn)\ для всех ортогональных нормированных бази-
л=1
сов {/„} и {^"„} в Н1 и //2 вытекает ядерность оператора Л.
Поэтому ядерные операторы можно охарактеризовать как
операторы, для которых выражение
конечно. . . ......
Отсюда сразу вытекает, что ядерные операторы образуют
линейное пространство. В доказательстве нуждается лишь
утверждение; что сумма ядерных операторов есть ядерный
оператор. Но это утверждение сразу вытекает из того, что
sup 2 1@4 + В)/„, ?„)К
sup 2 I (Afn, gn) | + sup 2
4=1 Л=1
, gn)
В пространство ядерных операторов можно ввести норму,
положив
A8)
Л=1
где верхняя грань берется по всем ортогональным нормиро-
нормированным системам Викторов {/„} и {gn} в проггранствах Ну


70
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[4
и Н2- Нетрудно проверить, что для нормы [| А\\± выполняются
соотношения
Из теоремы 9 следует, что норму ||-<4||i можно также
оо
определить, как 2 ^п> т- е- как след положительно опре-
определенного оператора Г, входящего в разложение А = UT
ядерного оператора А (см. равенство A4)). Поэтому корму
||А|| t называют следовой нормой.
Напомним, что не только следовая норма, но и норма Гильберта—
Шмидта || А || 2, а также операторная норма Ц.ДЦ могут быть выра-
выражены через собственные значения Х„ оператора Т, входящего в раз-
разложение А = UT. Именно, имеют место равенства
A9)
[ос -|7,
B0)
B1)
Мы доказали уже равенства B0) и B1), доказательство же равен-
равенства A9) общеизвестно.
Нормы || А ||, \\А || 2, II А || ¦[ связаны между собой неравенствами
IIА ||<\\А || 2<\\А || j. ' B2)
В самом деле, неравенство IIА||<|| А |]2 было доказано выше (см.
лемму 2), а неравенство [\ А || 2 <: || А \\г вытекает из того, что > ~- п
и потому
оо
2И
2 х»
В начале этого пункта было показано, что любой ядер-
ядерный оператор А = UT можно записать в виде
где \ek)—ортогональный нормированный базис в//j состав-
составленный из собственных векторов операторе Т, >.А — соот-
4] § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА 71
ветствующие собственные значения и hn = Uek. При этом
оо
^>0 и ряд 2 \ сходится. Из теоремы 9 следует, что
Ь _ 1
где через
Ап обозначен оператор, задаваемый формулой
Поэтому
Таким образом, любой ядерный оператор является преде-
пределом по следовой норме последовательности вырожденных
операторов Аъ .... Ап, . . .
Мы докажем сейчас, что пространство ядерных опера-
операторов является пополнением пространства вырожденных
операторов по следовой норме. Для этого достаточно по-
показать, что простраьхтво ядерных операторов полно относи-
относительно следовой кормы. Докажем сначала следующую тео-
теорему.
Теорема 10. Пусть Аи ..., Ап, . . .—последова-
.—последовательность ядерных операторов, причем следовые нормы
||Л„||1 этих операторов ограничены в совокупности. Если
операторы слабо сходятся к оператору А, то опера-
оператор А также является ядерным.
Доказательство. Из ограниченкости норм ||-4|[i
в совокупности вытекает существование такого числа М, что
для всех ортогональных нормированных систем Д, ... ., fk,
h
k,
и всех операторов Ап. Пусть теперь s —
k п
любое натуральное число. Перейдем в неравенстве
2кд,/*.


72 ГЛ. t. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ [4
к пределу при п —> оо. Принимая во внимание, что в силу
слабой сходимости последовательности Лл lim (Лл/Й, hk) —
= (Л/А,, hk) мы получим неравенство
l (A/k,
Ж.
Но тогда имеет место неравенство
Так как {fk} и {А*}—произвольные ортогональные норми-
нормированные системы в Нх и //2, то
2
sup 2 IИЛ.
4 1
и, следовательно, оператор Л ядерный. Теорема доказана.
Замечание. Из этой теоремы, в частности, вытекает,
что || Л|| j ^ sup||ЛяИ!, если [Ап] слабо сходится к А.
п
Из доказанной теоремы легко вывести, что пространство
всех ядерных операторов полно относительно следовой
нормы. В самом деле, пусть последовательность ядерных
Операторов Аи .... Ап, ... фундаментальна относительно
нормы \\A\\t, т. е. пусть lim ||Ат — Ля||1= 0. Тогда она
т, п ->-со
фундаментальна и относительно кормы ||Л||. В силу полноты
пространства непрерывных операторов относительно нор-
нормы || Л || найдется такой оператор Л, что lim || Л — Лл||==0.
Отсюда следует, что последовательность операторов {Ап)
сходится к Л в слабом смысле и по теореме 10 оператор Л
является ядерным.
Покажем теперь, что последовательность {Л,г} сходится
к Л в смысле нормы \\А\\и т. е. что lim || А -*- Ап\\1 — 0.
Л->-оо
Для этого заметим что так как последовательность \Ап)
фундаментельна относительно кормы ЦЛЦ^ то для любого
е > 0 найдется такое N, что при т^>N, п~^>N и любых
5]
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
73
ортогональных нормированных базисах {/„} и {hn} в про-
пространствах //х и //2 выполняется неравенство
то при всех значениях s вы-
выНо тогда, если т^> N',
полняется неравенство
%\((т — ЛЛ)Д,
Из слабой сходимости операторов Ат к А вытекает, что
при n~^>N для всех s выполняется соотношение
и потому при
N
%
Таким образом, ||Л — Лл||!<;е при n^-N, и, следовательно,
операторы Лл сходятся к Л и по норме ЦЛЦ^ Поэтому про-
пространство ядерных операторов полно относительно сле-
следовой нормы.
Как мы уже отмечали, отсюда вытекает, что пространство
ядерных операторов является пополнением пространства вы-
вырожденных операторов по следовой норме.
5. Следовая норма и разложения оператора в сумму
операторов ранга 1. Мы укажем в этом пункте другое
определение следовой кормы, основанное на разложении опе-
операторов в сумму операторов ранга .1, т. е. операторов,
отображающих все пространство Нх в одномерные подпро-
подпространства пространства Н2.
Рассмотрим вырожденный оператор Л, отображающий
гильбертово пространство Н1 на конечномерное подпростран-
подпространство G гильбертова пространства Нг. Выберем в подпро-
подпространстве G базис, состоящий из линейно независимых векто-
векторов gt gm, и разложим векторы Л/ по этому базису


74
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[5
Очевидно, что при фиксированном k коэффициент ap(f)
является линейным непрерывным функционалом от / и, значит,
может быть представлен в виде ак (/) = (/, Д), где /fe—'
фиксированный элемент из Нх. Таким образом, вырожденный
оператор А всегда можно записать в виде
т
Af=^(f,fb)gb. B3)
Обратно, если gx, ..., gm — любые (может быть, и ли-
линейно зависимые) векторы в пространстве Нг, a fx fm —
любые векторы из пространства //,, то формула B3) опре-
определяет вырожденный оператор. Каждое слагаемое (/, fk)gk
этой формулы есть оператор, отображающий все простран-
пространство Нх в одномерное подпространство пространства Н2,
порожденное вектором gk. Такиг операторы называются опе-
операторами ранга 1. Таким образом, формула B3) дает разло-
разложение вырожденного оператора А в сумму операторов
ранга 1.
Введем оператор Pft/ = (/, fk)gk. Тогда равенство B3)
можно записать в виде
= y,PJ. B4)
Мы будем называть таког разложение разложением опе-
оператора А в сумму операторов ранга 1. Отметим, что
норма ||Pft|| оператора Рк равна ||Д|| Ц^Ц- В самом деле,
црЛц= sup
11/11=1
|= sup к/,
11/11=1
=11/*1111**11-
Разумеется, каждый вырожденный оператор А может быть
различными способами представлен в виде суммы операторов
ранга 1. Мы докажем сейчас, что следовая норма опера-
т
тора А равна нижней грани сумм ^\\Рк\\, взятой по
всем разлоэхениям этого оператора в сумму операто-
операторов ранга I,
= infi ||PA||. . B5)
ft-i
5] § 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА
Докажем сначала неравенство
75
2
Bб)
Так как оператор А вырожден, то лишь конечное число
собственных значений \ оператора Г, входящего в разло-
разложение А = UT, отлично от нуля. Поэтому оператор А можно
записать в виде
m
где ek — собственные векторы оператора Т, hk=^Ueli. Так
как ||Xft?ft|| =Xft, ||АЙ|| = 1, то для этого разложения сумма
равна
\> т- е- следу оператора Т. Значит,
взятая по всем
нижняя граница всех сумм вида 2 11^*
разложениям оператора А в сумму операторов ранга 1, не
превосходит *) Тг (Г)
ft = l
Тем самым неравенство B6) доказано.
Докажем теперь обратное неравенство. Пусть
одно из разложений оператора А в сумму операторов
ранга 1. Тогда по свойствам следовой нормы мы имеем
Mlli< 2II/MU- B7)
ft = l
Но для любого оператора ранга 1 следовая норма совпадает
с обычной, т. е. \\P\\i —~ ||Р||. В самом деле, пусть Pf =
= (/• Щ ё- Тогда для любых ортогональных нормированных
систем векторов [fп} и {gk} в пространствах//! и Н2 мы имеем
2кр/*- **)| = 2|СЛ.
. **) I-
*) Tr — след оператора.


76
ГЛ. t. ТЕОРЕМА 6 ЯДРЕ
В силу неравенства Бундовского—Шварца отсюда сле-
следует, что.
г °°
2 I (Д.
Поскольку обратное неравенство ||P||<^||P||i имеет место
всегда, то равенство ||Р|| = \\P\\t доказано. Поэтому соот-
соотношение B7) можно переписать в виде
т
<2ll^||. B8)
Так как неравенство B7) справедливо для любого разло-
разложения оператора А в сумму операторов ранга 1, то
^inf 2 IIP,li B9)
Из неравенств B6) и B9) вытекает, что
к\\.
и поскольку ||PJ| =
|, то
/я
где нижняя грань берется по всем разложениям Л/=2 (/¦ /*>) ?*
оператора Л в сумму операторов ранга 1. Эта нижняя грань
достигается, если fk — собственные векторы оператора Т,
входящего в разложениг A = UT, a gk = Ufk.
Мы можем теперь сказать, что ядерными операторами
являются операторы, получающиеся при пополнении
множества вырожденных операторов по норме
=mfi Ц/Л \\gk\\,
ft l
где нижняя грань берется по всем разложениям опера-
оператора А в сумму операторов ранга 1.
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ТИПА ГИЛЬБЕРТА
ШМИДТА
77
В этом видг определенна ядеркости оператора может быть
перенесено ка любые банаховы пространства. Вырожденные
операторы, отображающиз банахово пространство Е± в ба-
банахово пространство Е2, имеют вид
где Ft Fm — фиксированные линейные функционалы
в пространстве Е1г a gt, ...,gm — фиксированные элементы
из пространства Е2. Оператор В, отображающий Ег в Е2,
называется ядерным, если он принадлежит пополнению
множества вырожденных операторов по норме
где нижняя грань бгрется по всем разложениям оператора А
в сумму операторов ранга 1. Следует отметить, впрочем,
что понятие ядерности для операторов в банаховых прост-
пространствах не предствляется нам достаточно оправданным,
поскольку такие операторы не обладают некоторыми весьма
важными свойствами ядерных операторов в гильбертовых
пространствах. Например, для ядерных операторов в бана-
банаховых пространствах не выполняется теорема о следе (см.
теорему 6). Иными словами, если {/„} и [Fп]—биортого-
нальные безусловные базисы в пространствах Е и Е' (т. е.
такие базисы, что (Fk, /m) = 3ftm), a jxft — собственные зна-
значения ядерного оператора А, то, вообще говоря, равенство
со со
Ее7*. Af*) = 2 ft*
*=1 *=1
не имеет места.
Отметим, что если оператор А, отображающий банахово
пространство Е1 в банахово пространство Е2, имеет вид
где Fk?E[,
а ряд
f)gk.
Иг,
C0)


78
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
сходится, то А является ядерным оператором. Обратно,
если А—ядерный оператор, отображающий банахово про-
пространство Е1 в банахово пространство ?2> т0 ег0 можно
со
записать в виде ряда C0), причем ряд 2 11^*11 \\SkW сходится.
ft = l
Мы не будем останавливаться на доказательстве этих
утверждений, поскольку они доказаны в представляющем
для нас интерес случае гильбертова пространства, а, как мы
указали, понятие ядерности оператора в банаховом прост-
пространстве, по-видимому, недостаточно оправдано.
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
АБСТРАКТНАЯ ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Одной из основных задач, возникших после создания
общей теории линейных топологических пространств и,
в частности, теории счетно-нормированных пространств, яви-
явилась задача выделения класса пространств, определяемого
достаточно простыми требованиями и хорошо обслуживающего
анализ. Мы полагаем, что одним из таких классов прост-
пространств является класс ядерных пространств, который будет
изучен в этом параграфе.
Ядерные пространства были введены в выпуске 3 (глава 4,
§ 3, п. 1) в связи со спектральным анализом самосопря-
самосопряженных операторов. Мы дадим здесь другое, более естест-
естественное определение ядерного пространства, эквивалентное пре-
прежнему определению в широком классе линейных топологи-
топологических пространств. Кроме того, мы докажем абстрактный
вариант теоремы о ядре, т. е. теорему о билинейных функ-
функционалах в ядерных пространствах, из которой может быть
выведена теорема о ядре для пространств К и S.
1. Счетно-гильбертовы пространства. Назовем скаляр-
скалярным произведением в линейном пространстве Ф строго положи-
положительно определенный эрмитов функционал (ср, ф), т. е. такой
функционал, что
0 OPi + Ta. Ф) = (?1. ф) + (?г. Ф)>
2) (окр, ф) = а(ср, ф),
3) (<р, ф) = (ф. ср), •
4) (<?¦ <р)>>0, причем (ср, ср) = 0 тогда и только тогда,
ко.да ср = 0.
1]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
79
Каждому скалярному произведению (ср, ф) в простран-
пространстве Ф можно сопоставить корму ||ср||, положив ||со || = ~уг(<р,<р).
Пусть теперь в пространстве Ф задана счетная система ска-
скалярных произведений (ср, ф)я, причем эти произведения
согласованы друг с другом в следующем смысле: если
последовательность {cpft} элементов пространства Ф сходится
к нулю по корме ||?||m = V(<p. <?)m и является фундамен-
фундаментальной последовательностью по корме [|<р||л, то она схо-
сходится и по норме || ф || „ к нулю.
Введем в пространство Ф топологию, приняв за базис
полной системы окрестностей нуля в Ф множества ?/п>е,
задаваемые неравенствами ||9lln^e> Мы будем говорить,
что пространство Ф с заданным счетным набором скалярных
произведений является счетно-гильбертовым, если оно полно
относительно указанной топологии. Итак, счетно-гильберто-
счетно-гильбертовым пространством называется полное линейное топологическое
пространство, в котором топология задана счетным множеством
согласованных норм ||cpj|r,, имеющих вид ||ср||л = у (ср, ср),.
Мы могли бы задать счетное множество произвольных (бана:е>-
вых) согласованных норм ||<р||л. В этом случае пространство назы-
называется счетно-нормированным.
На первый взгляд может показаться, что класс счетно-гиль-
счетно-гильбертовых пространств существенно уже класса счетно-нормирован-
счетно-нормированных пространств, поскольку гильбертовы нормы || <р||л = V(y, f)n
являются лишь частным случаем произвольных банаховых норм.
Однако благодаря тому, что мы рассматриваем счетные наборы норм,
различие между отдельными банаховыми нормами часто сти-
стирается *). Например, класс функций, имеющих непрерывную про-
производную, отличен от класса функций, производные которых имеют
интегрируемый квадрат модуля. Однако очевидно, что класс функ-
функций, имеющих непрерывные производные любого порядка, совпа-
совпадает с классом функций, имеющих производные любого порядка
с интегрируемым квадратом модуля.
*) То обстоятельство, что различия между банаховыми про-
пространствами являются как бы фиктивными и слишком тонки для
многих задач функционального анализа, было обнаружено, напри-
например, в теории предстаилений групп Ли.
Представления, записываемые одними и теми же формулами,
но рассматриваемые в различных пространствах, оказывались из-за
этих различий неэквивалентными друг другу. Поэтому наиболее
естественно рассматривать представления групп не в банаховых
пространствах, а в линейных топологических пространствах. По-
Подробнее см. об этом в вып. 5,


78
ГЛ. 1. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
сходится, то А является ядерным оператором. Обратно,
есси А—ядерный оператор, отображающий банахово про-
пространство Ех в банахово пространство Ег, то его можно
оо
записать в виде ряда C0), причем ряд 2 И^%11 llS'si! сходится.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этих
утверждений, поскольку они доказаны в представляющем
для нас интерес случае гильбертова пространства, а, как мы
указали, понятие ядерности оператора в банаховом прост-
пространстве, по-видимому, недостаточно оправдано.
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
АБСТРАКТНАЯ ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Одной из основных задач, возникших после создания
общей теории линейных топологических пространств и,
в частности, теории счетно-нормированных пространств, яви-
явилась задача выделения класса пространств, определяемого
достаточно простыми требованиями и хорошо обслуживающего
анализ. Мы полагаем, что одним из таких классов прост-
пространств является класс ядерных пространств, который будет
изучен в этом параграфе.
Ядерные пространства были введены в выпуске 3 (глава 4,
§ 3, п. 1) в связи со спектральным анализом самосопря-
самосопряженных операторов. Мы дадим здесь другое, более естест-
естественное определение ядерного пространства, эквивалентное пре-
прежнему определению в широком классе линейных топологи-
топологических пространств. Кроме того, мы докажем абстрактный
вариант теоремы о ядре, т. е. теорему о билинейных функ-
функционалах в ядерных пространствах, из которой может быть
выведена теорема о ядре для пространств К и S.
1. Счетно-гильбертовы пространства. Назовем скаляр-
г.ым произведением в линейном пространстве Ф строго положи-
положительно определенный эрмитов функционал (ср, ф), т. е. такой
функционал, что
О (?! + %• Ф) = («р1. Ф) + (<р2> ф).
2) (окр, ф) = о(ср, ф),
3) (<р, ф) = (ф. <Р). ¦
4) (ср, ср)^О, причем (ср, ср) = 0 тогда и только тогда,
ко. да ср = 0.
1]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
79
Каждому скалярному произведению (ср, ф) в простран-
пространстве Ф можно сопоставить корму ||ср[|, положив || со [| = У(<р,<р)•
Пусть теперь в пространстве Ф задана счетная система ска-
скалярных произведений (ср, ф)л, причем эти произведения
согласованы друг с другом в следующем смысле: если
последовательность {срй} элементов пространства Ф сходится
к нулю по корме ||r-p||m = V(<p, cp)m и является фундамен-
фундаментальной последовательностью по корме ||<р||л, то она схо-
сходится и по норме ||<р||„ к нулю.
Введем в пространство Ф топологию, приняв за базис
полной системы окрестностей нуля в Ф множества ?/„>е,
задаваемые неравенствами ||?||п<Се- Мы будем говорить,
что пространство Ф с заданным счетным набором скалярных
произведений является счетно-гильбертовым, если оно полно
относительно указанной топологии. Итак, счетно-гильберто-
счетно-гильбертовым пространством называется полное линейное топологическое
пространство, в котором топология задана счетным множеством
согласованных норм ||ср||л, имеющих вид ||ср|| л = У (у, ср),.
Мы могли бы задать счетное множество произвольных (бана:е>-
вых) согласованных норм ||<р||л. В этом случае пространство назы-
называется счетно-нормированным.
На первый взгляд может показаться, что класс счетно-гиль-
счетно-гильбертовых пространств существенно уже класса счетно-нормирован-
счетно-нормированных пространств, поскольку гильбертовы нормы || <р|| п = V(y, <f)n
являются лишь частным случаем произвольных банаховых норм.
Однако благодаря тому, что мы рассматриваем счетные наборы норм,
различие между отдельными банаховыми нормами часто сти-
стирается*). Например, класс функций, имеющих непрерывную про-
производную, отличен от класса функций, производные которых имеют
интегрируемый квадрат модуля. Однако очевидно, что класс функ-
функций, имеющих непрерывные производные любого порядка, совпа-
совпадает с классом функций, имеющих производные любого порядка
с интегрируемым квадратом модуля.
*) То обстоятельство, что различия между банаховыми про-
пространствами являются как бы фиктивными и слишком тонки для
многих задач функционального анализа, было обнаружено, напри-
например, в теории представлений групп Ли.
Представления, записываемые одними и теми же формулами,
но рассматриваемые в различных пространствах, оказывались из-за
этих различий неэквивалентными друг другу. Поэтому наиболее
естественно рассматривать представления групп не в банаховых
пространствах, а в линейных топологических пространствах. По-
Подробнее см. об этом в вып. 5.


80
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Часто систему норм II ? II п в данном счетно-нормированном
пространстве Ф можно заменить системой норм, задаваемых ска-
скалярными произвздениями, не изменяя топологии этого про-
пространства.
Мы будем обычно рассматривать системы скалярных
произведений (ср, Ф)л, п=\, 2, ... в пространстве Ф, такие,
что для любого элемента ср из Ф выполняются неравенства
Это условие не ограничивает класса рассматриваемых
пространств. Если заданнгя система скалярных произведений
не обладает этим свойством, ее можно заменить новой систе-
системой скалярных произведений (ср, Ф)', положив
л
(ср, ф) = J^j (ср, Ф)ь-
При этом, как легко видеть, топология в пространстве Ф
не изменяется. В то же время система скалярных произве-
произведений (ср, Ф)л, такова, что
Обозначим через Фл пополнение пространства Ф отно-
относительно скалярного произведения (ср, ф)п *). Очевидно, что Фл
является гильбертовым пространством. Из полноты про-
пространства Ф вытекает, что Ф является пересечением про-
пространств Фя, п=\, 2
Обрггко, если топология в линейном топологическом про-
пространстве Ф задается при помощи счетного набора скалярных
произведений (ср, Ф)п и пространство Ф совпадает с пересе-
со
чгнием f*| Фп своих пополнений откосителыго этих скаляр-
скалярных произведений, то простраьхтво Ф полно и потому счетно-
гильбертово. Мы не останавливаемся на доказательстве этих
*) Т. е. относительно нормы || ср || п = У(<р, <р)л, порождаемой
этим скалярным произведением.
1]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
81
простых утверждений. При желании читатель может озна-
ознакомиться в главе I выпуска 2 с доказательством этих утвер-
утверждений для более общего случая счетно-нормированных
пространств.
В дальнейшем нам понадобится рассматривать некоторые
элементы пространства Ф как элементы соответствующих
гильбертовых простракств Фл. В тех случаях, когда это
может привести к недоразумениям, мы будем вместо ср писать
(п) A) (я)
ср. Таким образом, элементы ср ср , . . . —это один
и тот же элемент ср пространства Ф, рассматриваемый в раз-
различных пространствах Фп.
Выясним теперь строение пространства Ф', сопряженного
счетно-гильбертову пространству Ф. Мы покажем, что Ф'
является объединением гильбертовых пространств Ф'п,
сопряженных гильбертовым пространствам Фл, п==
= 1,2, .... В самом деле, пусть F — некоторый элемент про-
пространства Ф'л, т. е. линейный функционал в гильбертовом
пространстве Фл. Тогда очевидно, что функционал F непре-
непрерывен относительно топологии пространства Ф, т. е. является
со
элементом пространства Ф'. Отсюда следует, что IIФ^ с: Ф'.
С другой стороны, если F — линейный функционал в про-
пространстве Ф, то, как было отмечено в § 1, п. 2, этот функ-
функционал непрерывен относительно одной из корм ||ср[| =^(cp, ср)л,
т. е. принадлежит пространству Ф^. Тем самым доказано,
со
что Ф'=иФл. Отметим, что пространства Ф'п образуют
возрастающую цепочку
В самом деле, поскольку при т ^.п выполняется неравен-
неравенство (ср, ср)т^(ср, <р)п, то из ограниченности функционала F
в шаре (ср, ср)^ ^ 1 вытекает его ограниченность в шаре
(?> ?)я-^^« т- е- из принадлежности F пространству Ф'п
вытекает его принадлежность пространству Ф^.
Пространство Ф'п сопряжено гильбертову пространству Ф„.
Поэтому в нем определена норма, которую удобно обозна-
6 Зак. 1281. И. М. Гельфаид и Н. Я. Виленкиц


82
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[1
чать Ц/^Ц-д. Эта норма задается равенством
\\F\\_a= sup (Л ср).
11111
Как известно, пространство, сопряженное гильбертову про-
пространству, является гильбертовым и потому корма Ц/7]]^
задается при помощи скалярного произведения (F, G)_n
в Ф'п. Иными словами, имеет место равенство
Следует иметь в виду, что скалярные произведения
в различных пространствах Ф„ различны, и что при m^Ln
имеет место неравенство (F, F)_m^>(F, F)_ .
Иногда нам придется рассматривать один и тот же функ-
функционал F из пространства Ф' как элемент различных про-
пространств фл. Мы будем пользоваться в этом случае такими же
A) (л)
обозначениями F, . . ., F, . . ., как и для элементов про-
пространства Ф. Отметим, что если т ^ п и F ? Ф'п, то для лю-
любого элемента ср пространства Ф выполняется равенство
(т) (ш)
(F
(л) (л)
Л )
В самом деле, обе части этого равенства являются значениями
функционала F для элемента ср из Ф.
Топологию в пространство Ф' можно ввести разными
способами. Например, можно принять за полную систему
окрестностей нуля в пространстве Ф' множества U (cpt, . . .
.... cpm; e), состоящие из таких линейных функционалов F, что
\(F, ?л)|<е, 1<й<т.
Здесь cpt <от — элементы пространства Ф, s — произволь-
произвольное положительное число. Эта топология называется слабой
топологией в пространстве Ф'. Наряду с ней можно рас-
рассматривать сильную топологию. Чтобы определить сильную
топологию в пространстве Ф', введем понятие ограничен-
ограниченного M-ножества в Ф. Именно, множество А из Ф называется
ограниченным, если для любого k множество чисел (ср, cp)ft,
где <$^А, ограничено. В этом случае для любой окрестности
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
83
нуля U в пространстве Ф найдется такое п, что AcznU.
Полная система окрестностей, задающих сильную топологию
в пространстве Ф', состоит из множеств U (А, г), опреде-
определяемых неравенствами
sup | (F, ср) |< е,
А
где А — любое ограниченное множество в пространстве Ф,
а е >0.
Можно показать, что элементы каждого из подпро-
подпространств Ф„ образуют всюду плотное множество в простран-
пространстве Ф', рассматриваемом относительно слабой топологии.
В пространстве Ф' также можно ввести понятие ограни-
ограниченности множества. При этом различают слабо и сильно
ограниченные множества в Ф'. Множество А из Ф' называется
сильно ограниченным, если для любой сильной окрестности
нуля U в Ф' найдется такое га, что AcztiU. Точно так же
множество А называется слабо ограниченным, если для лю-
любой слабой о: р стности нуля V при некотором п имеет
место включение AcznV. Поскольку всякая слабая окрест-
окрестность нуля в Ф' является и сильной окрестностью нуля, то
всякое сильно ограниченное множество в Ф' слабо огра-
ограничено.
Рассмотрим, наконец, пространство Ф", сопряженное про-
пространству Ф'. В этом пространстве также можно рассматри-
рассматривать различные топологизации, исходя соответственно из
конечных, сильно ограниченных и слабо ограниченных мно-
множеств пространства Ф'. Мы будем строить топологию в Ф",
исходя из сильно ограниченных множеств в Ф'. Каждому
такому множеству А и каждому числу s сопоставим мно-
множество U {А, е) в Ф", состоящее из всех линейных функцио-
функционалов ср в Ф', таких, что sup |(cp, f)|<[e. Совокупность
F?A
всех множеств U (А, е) примем за полную систему окрест-
окрестностей нуля в Ф".
При такой топологизации второг сопряженное про-
пространство Ф" изоморфно исходному счетно-гильбертову
пространству Ф, т. е. Ф = Ф". Линсй;ша топологические
.пространства, для которых выполнено равенство Ф=Ф",
называются рефлексивными пространствами. Таким образом,
счетно-гильбертовы пространства рефлексивны.
6*


ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Доказательство проводится следующим образом. Каждому эле-
элементу <р из пространства Ф соответствует линейный функционал ?
в пространстве Ф', определяемый равенством (о, F) = (F, <р). Соот-
Соответствие <р -> <р является однозначным вложением пространства Ф
в пространство Ф'г. Покажем, что оно взаимно однозначно, т. е. что
каждый элемент <р пространства Ф" является образом некоторого
элемента <р пространства Ф. В самом деле, линейный функционал f
со /
в пространстве Ф' = (J Фк является в то же время линейным функ-
ционалом в каждом из гильбертовых пространств Фл. Но гильбер-
гильбертовы пространства, рефлексивны и потому <? можно рассматривать
как элемент каждого из гильбертовых пространств Ф^, возникающих
при пополнении пространства Ф относительно скалярных произ-
со
ведений (<р, 40й- Поскольку |") Ф* = Ф, то мы получаем, что <р ? Ф.
Тем самым доказано, что пространства Ф и Ф" совпадают по запасу
элементов.
Покажем теперь, что установленное нами взаимно-однозначное
соответствие между пространствами ФиФ" взаимно непрерывно.
Для этого воспользуемся данным в выпуске 2 (гл. I, § 5, п. 2 и 3)
описанием сильно ограниченных множеств в пространстве Ф', со-
оэ
пряженном счетно-нормированному пространству Ф = f) Ф4 Там
к = \
Сыло показано, что каждое такое множество А принадлежит одному
из пространств Фй и ограничено в нем по соответствующей
норме ||УН
Рассмотрим теперь некоторую окрестность нуля U (А, е) в про-
пространстве Ф". По сделанному сейчас замечанию ограниченное мно-
множество А ограничено в одном из гильбертовых пространств Ф^ и
потому лежит в одном из шаров [| F\\_k < а. Рассмотрим теперь в про-
пространстве Ф шар ||cplU<—• Если элемент ср принадлежит этому
шару, то для любого функционала F из шара \\F\\_/l<a, а тем
более для любого функционала F из множества А выполняется не-
рав.нство | (F, <р) | < е. Это означает, что образ шара H<p|U< — ле-
лежит в окрестности нуля U (А, в), т. е. что отображение ср -> ср не-
непрерывно.
Непрерывность обратного отображения доказывается точно так
же. Пусть ||<р||„<!е — шар в пространстве Ф. Обозначим через А
сильно ограниченное множество в пространстве Ф', состоящее из
таких функционалов F, что I (F, ср) | <; 1 при || ср \\k < _. Очевидно,
что образ окрестности нуля U (А, е) пространства Ф" содержится
в шаре |!?S<:e. Этим утверждение о непрерывности обратного
отображения доказано.
2]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
85
Итак, мы доказали, что пространства Ф и Ф" совпадают не
только по запасу элементов, но и по тополо ии. Рефлексивность
любого счетно-гильбертова пространства доказана.
2. Ядерные пространства. Введем теперь основное по-
понятие этого параграфа — понятна ядерного пространства.
Пусть Ф — счетно-гильбертово пространство. Рассмотрим
гильбертовы пространства Фл, получающиеся при пополнении
пространства Ф по нормам ||«р|„ = УС?» ?)»• В каждом из
этих пространств всюду плотно множество элементов из про-
пространства Ф. При этом, если т<./., то, по нашему условию,
имеет место неравенство (ср, <р)ш <_(<?, <?)„. Отсюда вытекает,
(л) («)
что отображение ср —>-ср является непрерывным отображением
всюду плотного подмножества в Ф„ на всюду плотное под-
(л) (да)
множество в Фп (напомним, что через ср и ср мы обозначаем
один и тот же элемент ср пространства Ф, рассматриваемый
в гильбертовых пространствах Фл и Фт). Мы можем про-
продолжить это отображение до непрерывного линейного опера-
оператора Тпт, отображающего пространство Фя на всюду плотное
подмножество пространства Фп. Отметим, что если т^га^/7,
то имеет место очевидное равенство Трт = Тпт Трп.
Введем теперь следующее определение: счетно-гильбертово
пространство Ф называется ядерным, если для любого m
найдется такое п, что отображение Тпт пространства Фл в про-
пространство Фп ядерно, т. е. имеет вид
гДе {?*} и (Ф*} — ортогональные нормированные системы
векторов в пространствах Фл и Фт соответственно, Xft^-0
и ряд
сходится.
А! 0
Геометрически это определение означает следующее:
счетно-гильбертово пространство Ф является ядерным,
если для любого т найдется такое п, что множество
(ср, ср)л <; 1 является относительно скалярного произ-
произведения (ср, ср)т эллипсоидом, для которого ряд, состав-
составленный из длин главных полуосей, сходится.


86
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Отметим еще, что вместо ядерности оператора Т%. можно
требовать его принадлежности к типу Гильберта — Шмидта.
В самом дгле, в § 2, п. 3 было показано, что произведение
любых двух операторов типа Гильберта — Шмидта является
ядерным оператором. Следовательно, если операторы Трп и Т%
принадлежат к типу Гильберта—Шмидта, то Трт — Тт Трп яв-
является ядерным оператором.
Понятие ядерности обобщается на любые счетно-нормированные
пространства. Именно, назовем счетно-нормированное пространство Ф
ядерным, если для любого тп найдется такое п, что оператор Т'^г>
вкладывающий пространство Ф„ в пространство Фт, является ядер-
ядерным, т. е. имеет вид
mf = 2
«Pft.
где {Fk} и {фй> — ограниченные последовательности элементов из
оо
пространств Ф'п и Фт, Xft > 0 и ряд 2 Xft сходится *).
k='i
Однако sto обобщение не приводит к расширению рассматрива-
рассматриваемого класса пространств — в любом ядерном счетно-нормирован-
ном пространстве можно ввести счетное множество скалярных
произведений таким образом, что оно превращается в изоморф-
изоморфное ядерное счетно-гильбертово пространство.
Эти скалярные произведения строятся следующим образом. Рас-
Рассмотрим любое значение т. Найдется такое п, что отображение Т1^
ядерно, т. е. задается формулой вида
где {F/f} — ограниченное множество в ф'п, {фй> — ограниченное мно-
жество в Фп, ^>0и ряд
сходится. Определим скалярное
*) Иначе это можно сформулировать так:
оо
Т%& — 2 (Fk< ?) ^k'
оо
где ряд У\ || Fk ||_я И ф* ||ш сходится.
2]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
87
любых двух элементов <р и ф из пространства Ф
произведение (<р,
формулой
Очевидно, что этот ряд сходится для любых элементов <р и ф из
пространства Ф, так как он мажорируется рядом
а по условию множество функционалов
странстве ф'п и ряд 2 Xft сходится.
Покажем, что скалярное произведение (<р,
неравенствам вида
ограничено в про-
удовлетворяет
где Cj > О, С2 > 0 и числа С] и С2 не зависят от <р и ф. В самом
деле, поскольку множество элементов {фА} в пространстве Фп ог-
ограничено, имеет место неравенство
С
| (Fk,
где положено С = sup || фй ||ш. Далее, в силу неравенства Буняков-
ского—Шварца имеем
Но
[2х*|(/?ь9)|]2<2
со
I3 2 х*-
и потому
где положено Ci = C У
С другой стороны, мы имеем неравенство
?. Ч)тп =
= 2
I5 < Й


88
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[2
где положено С2 = supll/^U-n 2 ^*- Тем самым наши соотношения
доказаны. Поскольку т произвольно, то из этих соотношений вы-
вытекает, что набор скалярных произведений (<р, ф)шл задает ту же
самую топологию в пространстве Ф, что и набор норм ||<р|1л- Та-
Таким образом, Ф является счетно-гильбертовым пространством.
Нам осталось показать, что это пространство ядерно. Для этого
рассмотрим любые индексы тип, такие, что Тпт является ядер-
ядерным отображением. Найдутся такие индексы р > п и г > р, что
отображения Трп и Тр ядерны. Обозначим через Фтп пополнение
пространства Ф относительно скалярного произведения (<р, ф)тга,
через Фрг — пополнение Ф относительно скалярного произведе-
произведения (<р. ty)Pr и через Т%п — отображение пространства Фрг в про-
пространство Фтп. Мы покажем, что это отображение ядерно. В самом
деле, отображение ТГ?1П является композицией отображений Q, Трп
и /?, где Q — отображение пространства ФрГ в Ф^, Трп— отображе-
отображение пространства Фр в Ф„, a R — отображение пространства Ф„ в Фтп.
Но отображения Q и R непрерывны в силу неравенств || <р fpt^
<Вг(<р, <f)pr и (<р, <p)mn<Sa||<pll^ Отображениз же Трп по условию
ядерно. Поэтому и отображение Т%п = RJpn Q ядерно *). Следова-
Следовательно, Ф — ядерное пространство.
*) Для отображений банаховых пространств, как и для отобра-
отображений гильбертовых пространств, справедливо утверждение о ядер-
ности произведения ядерного и непрерывного отображений. В са-
самом деле, если
. Т)
7> = 2 Ч
— ядерное отображение пространства Ф в Ф, а А — непрерывное
отображение пространства f в X, то отображение AT можно пред-
представить в виде
При этом множество {Лфь} в X ограничено в силу непрерывности
оператора А. Поэтому AT является ядерным отображением. Точно
так же доказывается ядерность отображения ТА, где А — непре-
непрерывное отображение X в Ф, а Т — ядерноз отображение Ф в W.
Именно,
оо со
а множество {A* F%} ограничено в силу непрерывности оператора Л*,
3]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Важным обобщением понятия ядерного счетно-нормирован-
ного пространства является понятие ядерного лангйчого топо-
топологического пространства. Это понятие вводится аналогичным
образом с той лишь разницей, что множество норм, задающих
топологию, несчетно, а сами нормы могут обращаться в нуль
на ненулевых элементах. Отметим, что пространство, сопряженное
к ядерному счетно-гильбертову пространству, ядерно в указанном
смысле.
3. Критерий ядерности пространства. В различных при-
применениях удобно пользоваться необходимым и достаточным
условием ядерности, которое мы сформулируем в этом пункте.
Предварительно введем следующие понятия.
Ряд функционалов ^
оо
S
определенных на линейном то-
пологическом пространстве Ф, называется безусловно схо-
сходящимся, если для любого элемента ср из пространства Ф
оо со
сходится ряд 2 I (I*k> ?) I* ^ЯД 2 ^k называется абсолютно
сходящимся, если можно найти такую окрестность нуля U
со
в пространстве Ф, что сходится ряд 2||^'*||г/» гДе положено
¦ = sup !(/%,?)[.
Очевидно, что всякий абсолютно сходящийся ряд безу-
безусловно сходится. В ядерных пространствах понятия абсолют-
абсолютной и безуслозной сходимости эквивалентны. Иными словами,
имеет место следующая теорема.
Теорема 1. В ядерном пространстве Ф любой безу-
со
словно сходящийся ряд 2 fk линейных функционалов
k=i
абсолютно сходится.
Мы докажем сначала следующую лемму.
оо
Лемма 1. Если 2 ^% — безусловно сходящийся ряд
k = l
линейных функционалов в счетно-гильбертовом простран-
пространстве Ф, то найдутся такие числа Мит, что
для всех элементов ср из пространства Ф выполняется


ГЛ. I. ТЕОРЕМА б ЯДРЕ
неравенство
Доказательство. Ввгдэм в пространстве Ф функцио-
функционал /7 (ср), ПОЛОЖИВ
оо
2
вытекает, что этот
Из безусловной сходимости ряда 2 k
функционал принимает конечное значение для любого эле-
элемента ср из пространства Ф. Покажем, что этот функционал
полунепрерывен снизу. В самом деле, мы имеем
р (ср) = sup pn (ср),
B)
1- Так как каждый из вы-
и
где положено рп(<?) = 2
пуклых функционалов />„(<р) непрерывен, то, как было показано
в § 1, п. 1, функционал /> (ср) является также выпуклым и по-
полунепрерывным снизу.
По теореме 2 из § 1 функционал р (ср) ограничен в не-
некоторой окрестности нуля О пространства Ф. Отсюда выте-
вытекает существование таких чисел т и ,М, что для всех эле-
элементов ср из Ф
/>(<p)<m||<pL-
Лемма доказана. Поскольку в силу доказанной леммы для
любого k имеет место неравенство
то \\Fk\\_n^. M. Таким образом, если
— безусловно
* i
сходящийся ряд в счетно-гильбертовом пространстве Ф,
то найдется такое т, что числа \\Fk\\_m ограничены
в совокупности. В частности, все функционалы Fk при-
принадлежат пространству Ф'т.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. 1. Пусть про-
пространство Ф ядерно, а 2
— безусловно сходящийся ряд
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
91
линейных функционалов в Ф. Тогда, как мы только что
доказали, найдется такое т, что все функционалы Fk ? Ф' и
ft|U
Так как пространство Ф по условию ядерно, то найдется
такое га, что оператор Т%,, переводящий пространство Фя
оо
в Фт, является ядерным. Покажем, что ряд 211ЛП1-Лсх0"
дится.
Так как отображение ФГ -> Ът ядерно, то в простран-
пространствах Фя и Фт можно выбрать такие ортогональные норми-
нормированные базисы {cpft} и {фА}, что для всех элементов ср из Фя
О") ^ (л)
выполняется равенство <р = xjXft(<p, <Рь)Ль, где Xft^.O и
* = i
• оэ
ряд 2 ^k сходится. Значит, для любого ср ? Ф и любого
k = 1
линейного функционала F в этом пространстве имеет место
равенство
Но, так как ||(рА||я=1. то 1 (ср, <pft)J< ||<р||я и потому
К/7. <р)|< JS*
Это значит, что
\\F\\ = sup \{F,
ll?lln = i * = i
Применяя это неравенство к функционалам Ft Fj, ... и
суммируя получаемые неравенства по j, мы получаем, что
оо со
оо
"У и/7 II ^ у ), "у
и, значит, по неравенству A) имеем
со
2
CO
Тем самым доказана сходимость ряда 2 \\FjW _«•


92
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Итак, теоргма 1 доказана. Покажем теперь, что справед-
справедлива и обратная теорема.
Теорема 2. Если в счетно-гильбертовом простран-
со
стве Ф еся/сий безусловно сходящийся ряд 2 Fk линейных
функционалов абсолютно сходится, то пространство Ф
ядерно.
Доказательство. Согласно определению ядерности
нам надо показать, что для любого т найдется такое п, что
отображение Тпт пространства Фп в пространство Фт при-
принадлежит к типу Гильбгрта — Шмидта. Поскольку оператор,
сопряженный к оператору типа Гильберта—Шмидта, также
принадлежит к тому же типу, то достаточно указать
такое п, что отображение (Т„) пространства Ф^, в простран-
пространство Ф„ является отображением типа Гильберта — Шмидта.
Выберем в гильбертовом пространстве Фш любой ортого-
ортогональный нормированный базис Ft, . . ., Fk, . . . Покажем, что
оо
существуетп >> т, при котором ряд 2 Ц^Ц'!,, сходится; это
k = 1
и будет означать, что оператор {I'm)', задаваемый равен-
W (я)
ством" \Тт) Fk = Fk, принадлежит к типу Гильберта —
Шмидта. В процессе доказательства мы воспользуемся
известным критерием сходимости числового ряда
Именно, если ряд
сходится при любом выборе чи-
со оо
.сел xk, удовлетворяющих условию ~2±\хк\г<оо, торяд2|^|2
1 1
сходится.
В силу ортонормированности базиса Fk в пространстве Фт
для любого элемента <р?Фш сходится ряд
оо
2 1С7*. ?I2- C)
Рассмотрим любую последовательность х = (х~х, . . .
, . . .) чисел, для которых сходится ряд 2 I х/г
я 4
2 I
3] § 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 93
сходимости ряда C) вытекает, что ряд функциона-
оо оо
лов 2 Xki^k' ?) сходится для любого ср, т. е. ряд 2 xk^k
безусловно сходится. По условию теоргмы это означает, что
оо
ряд 2 Xk^k абсолютно сходится. Иными слозами, найдется
такое г (зависящее от выбранной последозательности х =
= (х1 xk, . . .), что сходится ргд
2l*JI|/MI-r. D)
к = 1
Обозначим теперь чзрез Н гильбертово пространство,
состоящее из последовательностей х=^(х1 хк, ...) со
сходящейся суммой квадратов модулей
I2. Полагая
мы получим последовательность функционалов рх (х), . . .
.... рг(х), ... в этом пространстве. Так как для любого функ
ционала F над пространством Ф выполнены неравенства
то функционалы рг(х) удовлетворяют неравенствам
При этом, как было показано выше, для любого х найдется
такое г, что ряд D) сходится, т. е. функционал рг(х) имеет
конечное значение. Поскольку
где
1 = SUp
У
k\\-r
¦— полунепрерывные выпуклые функционалы в пространстве Н,
то функционалы рг{х) полунепрерывны снизу и выпуклы.


94
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Применим теперь к функционалам рг(х) теорему 3 из § 1
Мы получим, что существуют числа п и М, для которых
где
Это означает, что ряд
сходится для всех последовательностей х из Н. Согласно
оо
указанному выше критерию сходимости числового ряда 2 ak
со
получаем, что ряд 2 ll
fti
l
-" сходится.
Итак, мы видим, что для любого ортогонального нор-
нормированного базиса Fx Fk, ... в пространстве Ф^
со
сходится ряд 2 ll^ftllln- Иными словами, отображение (Т^У
пространства Фт в пространство Ф„ принадлежит к типу
.Гильберта — Шмидта. Тем самым доказана ядерность про-
пространства Ф.
Из теорем 1 и 2 вытекает следующее утверждение: для
того чтобы счетно-гильбертово пространство Ф было
ядерным, необходимо и достаточно, чтобы любой безу-
безусловно сходящийся ряд функционалов в этом простран-
пространстве абсолютно сходился.
Иными словами, ядерные пространства можно определить
как счетно-гильбертовы пространства, в которых всякий
безусловно сходящийся ряд функционалов абсолютно сходится.
Отметим, что абсолютная сходимость безусловно сходящихся
рядов линейных функционалов имеет место во всех ядерных
линейных топологических пространствах.
4. Свойства ядерных пространств. Перейдем теперь
к уста ювлению некоторых свойств ядерных пространств.
Понятие ядерности мы будем при этом понимать в смысле,
указанном в п. 2, т. е. рассматривать лишь счетно-гильбер-
ювы ядерные пространства.
41
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
95
Покажем сначала, что любое замкнутое подпростран-
подпространство W ядерного счетно-гильбертова пространства Ф
является ядерным счетно-гильбертовым пространством *).
В самом деле, очевидно, что любое скалярное произведе-
произведение (ср, ф)л в пространстве Ф задает скалярное произведениз
в пространстве W. Кроме того, из замкнутости подпростран-
подпространства W и полноты пространства Ф вытекает, что W является
полным пространством. Следовательно, пространство ЧГ
счетно-гильбертово. Покажем теперь, что пространство ЧГ
ядерно. Зададим любог значение т. Найдется такое п, что
отображение Тпт пространства Фл в Фт ядерно. Тогда инду-
индуцированное отображением Тпт отображение пространства Ф*„
(пополнения пространства W относительно скалярного про-
произведения (ср, '(>)л) в пространство Wm также ядерно. Это
вытекает из того, что для любых ортогональных нормиро-
нормированных систем элементов {<pftj и {yk) в пространствах Wn
и Wm сходится ряд
2
«= 1
. X*)» •
Тем самым наше утверждение доказано.
Покажем теперь, что если Ф — ядерное пространство,
a W — его замкнутое подпространство, фактор-про-
фактор-пространство Ф/ЧГ по которому полно, то Ф/ЧГ **) также
является ядерным пространством.
*) Это свойство справедливо н для любых линейных топологи-
топологических ядерных пространств.
**) Пусть W — замкнутое подпространство в Ф. Назовем смежным
классом по этому подпространству совокупность всех элементов <?,
представимых в виде <р=<ро + (К гДе То — фиксированный элемент
из Ф, а <Ь — элемент из подпространства ЧГ. Такой смежный класс
мы будем часто обозначать tpo 4~ ^- Пространство Ф/Ч/\ состоящее
из смежных классов па ЧГ, само является линейным пространством,
именно, полагаем
X («р, + W) = \Ч1 + V.
Если пространство Ф нормировано, то, полагая
Ичч + ^И =SUP Нчч + ФП.
мы превращаем Ф/гГ в нормированное пространство. Это простран-
пространство полно, если полно пространство Ф.


ГЛ. t. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
В самом деле, полагая
= inf
мы превращаем Ф/W в счетно-гильбертово пространство
(предоставляем читателю это проверить). Покажем, что оно
ядерно. Для этого рассмотрим безусловно сходящийся ряд
со
функционалов 2 Д в пространстве Ф/Ф. Каждому функцко-
k = x
налу fk соответствует функционал Fk в пространстве Ф,
такой, что
со
2
для всех элементов ср из Ф. Очевидно, что ряд 2 Fh
k=i
также безусловно сходится. В силу ядерности пространства Ф
отсюда вытекает существование такого значения т, что
со
РЯД 2 ll^fcll-m СХОДИТСЯ. НО
k = l
\\Fk\\-m= sup 1(^,9I= sup
Ы<1 " " -
Следовательно, сходится ряд 2 IIAII_m> a потому 2 /д —
абсолютно сходящийся ряд. Тем самым ядерность простран-
пространства Ф/ЧР доказана.
Покажем теперь, что все ядерные пространства Ф
совершенны. Иными словами, всякое ограниченное замкнутое
множество в ядерном пространстве Ф компактно. В самом
деле, пусть А — сильно ограниченное *) замкнутое множе-
множество в ядерном пространстве Ф. Обозначим через Ап мно-
множество А, рассматриваемое как множество элементов гиль-
гильбертова пространства Ф„. В силу ограниченности множества А
все множества Ап ограничены. При этом для любых т
и п (п^> т) имеет место равенство ТптАп = Ат, где Тпт —
оператор вложения пространства Фл в пространство Фт.
В силу ядерности пространства Ф для любого т найдется
такое п > т, что отображение Т% ядерно и тем более
*) Т. е. такое множество, что для любой окрестности нуля U
найдется значение X > О, при котором АЛ cz U.
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
97
вполне непрерывно. Но вполне непрерывное отображение
переводит ограниченное множество Ап во множество Ат
с компактным замыканием. Отсюда вытекает, что множе-
ство |"| Ат компактно как пересечение компактных мно-
от = 1
жеств (замыкание множества Ат берется в Фт).
Чтобы закончить доказательство теоремы, нам осталось
показать, что множество А совпадает с пересечением замы-
со
каний множеств Ат, т. е. что А = f"| Ak. Возьмем любой
элемент ср, не принадлежащий множеству А. Так как мно-
множество А замкнуто в Ф, то найдется окрестность н ля U
такая, что <p-f-L/ не пересекается с А. Если эта окрестность
нуля задается неравенством ||<plLz-^e' то очевидно, что ср
со
не принадлежит множеству Ат и потому ср ? |**| Ak. Тем
со А = 1
самым включение Azd Г\А1г доказано. Поскольку очевидно,
со
что Аа Г% Аь, то равенство А— Г\АЬ доказано.
?1
?=1 А=1
. Из доказанной теоремы вытекает, что бесконечномерные
банаховы пространства не являются ядерными, поскольку
шары в таких пространствах ограничены, но не компактны.
В то же время любое конечномерное пространство ядерно,
поскольку тождественное отображение этого пространства
ядерно.
Поскольку всякое ядерное пространство совершенно, для
ядерных пространств справедливы все теоремы, доказанные
в выпуске 2 о совершенных пространствах. Именно, справед-
справедливы следующие утверждения:
1) Как в ядерном пространстве Ф, так а в сопря-
сопряженном с ним пространстве Ф' сильная а слабая сходи-
сходимости совпадают *).
*) Последовательность элементов {«&} из счетио-нормировап-
ного пространства Ф называется слабо'сходящейся к нулю, если
lim (F, ерй) = 0 для любого линейного функционала F в Ф. Для
k -*- со
линейных функционалов понятие слабой топологии (и тем самым
слабой сходимости) определено на стр. 82.
7 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я., Биленкин


98
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
5]
. § 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
99
2) Если пространство Ф ядерно, то замкнутые огра-
ограниченные множества А в сопряженном с нам простран-
пространстве Ф' компактны относительно слабой и сильной
сходимости.
3) Ядерное пространство сепарабельно {содержит всюду
плотное счетное множество).
4) Ядерное пространство полно относительно слабой
сходимости.
Доказательства этих утверждений (для более широкого
класса совершенных пространств) читатель найдет в выпуске
2 (гл. I, § 6).
5. Билинейные функционалы в ядерных пространствах.
Мы уже указывали выше, что теорема о ядре справедлива
не только для пространства К, но и для многих других про-
пространств, например, для пространства S, пространства 3
целых аналитических функций и т. д. Мы докажем в этом
пункте теорему, охватывающую все эти частные случаи. Эта
теорема формулируется следующим образом:
Теорема 3. (абстрактная теорема о ядре). Пусть Ф
и W — счетно-гильбертовы пространства, одно из кото-
которых, например Ф, ядерно, а В(ср, ф), <р ^ Ф, ф ? W— били-
билинейный функционал, непрерывный по каждому из аргу-
аргументов ср и ф. Тогда найдутся такие значения р и т,
что'В (у, ф) можно представить в виде*)
где А — оператор типа Гильберта — Шмидта, отобра-
отображающий гильбертово пространство Фр в гильбертово
пространство Wm (Фр — пополнение пространства Ф по
норме ||<р||„ = V"(<p. ?)». о, Wm — пространство, сопряжен-
сопряженное с Wm).
Доказательство. Поскольку функционал В(ср, ф) не-
непрерывен по каждому из аргументов ср и ф, то по теореме 3
из § 1 найдутся такие'нормы ||<р||я и ||ф||от в пространствах Ф
и W, что
, E)
*) Символом (Лср, ф) обозначено значение функционала Лср для
элемента ф (в отличие от символа (<?, ф)л, означающего скалярное
произведение в пространстве Фя).
где значение М не зависит от п и т. Введем теперь линей-
линейный оператор Аи отображающий пространство Фя в W'm и
определяемый равенством
(А#, ф) = Я(<р, ф).
Из соотношения E) вытекает, что
Поэтому
= sup
||ср||я
и, следовательно, оператор Аг ограничен относительно норм
||ср|| и || F || в пространствах Ф и W.
Поскольку пространство Ф по предположению ядерно,
найдется такое значение р, что оператор Гя, отображающий
пространство Фр в Фя и оставляющий неизменными эле-
элементы пространства Ф, является оператором типа Гильберта —
Шмидта. Но тогда и оператор А = А1Т%, отображающий
пространство Фр в Wm, также является оператором того же
типа. Поскольку оператор Трп оставляет неизменными эле-
Лр) W
менты пространства Ф (точнее говоря, поскольку Гяср = ср),
то билинейный функционал В (ср, ф) можно записать в виде
В (ср, ф) =
ф) =
, ф) = (Лср, ф).
Тем самым наше утверждение доказано.
Заметим, что любой оператор А типа Гильберта — Шмидта,
отображающий пространство Фр в пространство Wm имеет,
согласно теореме 3 из § 2, вид
оо
а<? = 2 К (<р. ?*)/"*•
k = l
где {cpft} и {fk} —ортогональные нормированные базисы в про-
оо
странствах Фр и W^, ls>0 и ряд 2 ^1 сходится. Поэтому
мы получаем такое следствие из теоремы 3.
Следствие. Пусть Ф и W — счетно-гильбертовы про-
пространства, прЬчем пространство Ф ядерно. Тогда для
любого билинейного функционала В{$, ф), ср?Ф, фб1!"
7*


100
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[5
непрерывного по каждому аргументу, существуют такие т
и р, что В (ср, ф) имеет вид
со
{cps} a {FA} — ортогональные нормированные базисы
в пространствах Фр и W'm,
а ряд
сходится.
2
В некоторых случаях бывает полезно усиление теоремы 3,
заключающееся в том, что вместо принадлежности оператора А
к типу Гильберта—Шмидта утверждается ядерность этого
оператора. Соответственно с этим в следствии вместо схо-
димости ряда
2
*=1
можно добиться сходимости ряда
Никаких изменений в доказательстве это усиление не потре-
потребует, поскольку мы всегда можем добиться, чтобы опера-
оператор ТР был не только оператором типа Гильберта — Шмидта,
но и ядерным оператором.
Теореме о ядре можно дать иную формулировку. Введем
следуЕОщее обозначение. Пусть ср и ф— элементы, принадле-
принадлежащие соответственно гильбертовым пространствам Н1 и Н2.
Сопоставим элементу ф линейный функционал F^ в простран-
пространстве Нг, определяемый формулой (F^, ф1) = (ф1> фJ, где
Фх € Н%, а (фх, фJ— скалярное произведение в Н2. Обозна-
Обозначим через ср ® ф линейный оператор, отображающий про-
пространство Н1 в пространство H'v задаваемый формулой
где (у, cp)t — скалярное произведение в Ht. Через (ср (g. ф)*
мы будем обозначать оператор, отображающий пространство
Н'2 в Н1 и определяемый формулой
((<р ® Ф)'/7. X)i = (F> (9 ® Ф) Х)-2.
где F ?Н'О, ср^/^х, a (Ft, F2)_2 — скалярное произведение
в Н'о. Оператор (<р®ф)* можно также задать формулой
Очевидно, что операторы ср®ф и (9 ® Ф)* вырождены,
а потому принадлежат к типу Гильберта — Шмидта. Поэтому,
51
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
101
если А — любой оператор типа Гильберта — Шмидта, ото-
отображающий пространство Н1 в Н'9, то оператор (ср<%ф)*^4 —
ядерный, и, следовательно, существует след Тг [(ср <g) ф).*Л]
этого оператора. Полагая
мы получим билинейный функционал в пространствах Нх и Н2.
Оператор А типа Гильберта — Шмидта называется ядром
этого билинейного функционала *).
Мы докажем сейчас, что в ядерных пространствах любой
билинейный функционал задается ядром. Иными словами,
верна следующая теорема.
Теорема 4 (вторая формулировка абстрактной теоремы
о ядре). Пусть Ф a W — счетно-гильбертовы простран-
ства, причем пространство Ф ядерно. Для любого били-
билинейного функционала В(ср, ф), ср?Ф, ф?ЧЕ\ непрерывного
по каждому из аргументов, найдутся такие значения р
и т и такой оператор типа Гильберта — Шмидта А,
отображающий пространство Фр в W'm, что
Б(ср, ф) = Тг[(ср<2)ф)М].
Здесь через (ср <g ф)* обозначен оператор, отображающий
пространство W'm в Фр и определяемый формулой
«?®W*F, Х)р = (^. (X. Т)р^ф)-«.
где F ?W'm, х € Фр- (?> Х^р — скалярное произведение в Фр,
(F, F^-m — скалярное произведение в W'm и F^ — линейный
функционал в Wm, задаваемый формулой (F^, ф1) = (ф1, ф)от.
*) Если Щ и //2 — пространства функций с интегрируемым
квадратом модуля, то оператор <рЛ8> Ф задается формулой •
(ср (^) ф) у = ф (у) \ у
т. е. является вырожденным интегральным оператором с ядром
ср (х) ф (у)- Билинейный функционал В (ср, ф) имеет в этом случае
вид
В (ср, ф) — I А (х, у) 9 (х) ф (у) dx dy,
где А (х, у) — функция с интегрируемым квадратом модуля, ядро
функционала В (ср, ty).


102
ГЛ. t. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[5
Доказательство. По теореме 3 найдутся такие зна-
значения тир, что
Я((р,.ф) = (Л<р. ф).
где А — оператор типа Гильберта — Шмидта, отображающий
пространство Фр в W'm. Покажем, что
Б(ср, ф) = Тг[(<р®ф)'Л1.
Для этого выберем в пространстве Фр ортогональный нор-
нормированный базис {cpfe}, такой, что (?1==j^-. Оператор
<р®ф обозначим для краткости черзз Т. Очевидно, что
Тг (ГА) t= 2 (Т*АЪ, cpft) = 2 (ЛсрА, TVk)_m.
ft *i
*=i
Но при
и потому
Поскольку функционал /^ определяется равенством
(^"ф. ^i) = D*i, ф)от> то для любого элемента F из 47^ справед-
справедливо равенство (F, ^ф)_т = (^,ф). Следовательно,-
Б (ср, ф) = (Л?| ф) = (Ар, F^)_m = Тг (ГА) = Тг [(ср ® ф)*ЛЬ
Теорема доказана.
Применяя теоремы 3 и 4 к конкретным пространствам,
мы получаем для них теоремы о ядре. Например, в п. 6 будет
доказано, что пространство К (а) бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций, обращающихся в нуль при \х\~^ а, ядерно.
При этом скалярные произведения, задающие топологию
в этом пространстве, имеют вид
с?. Ф)«=
5]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
103
Применяя к пространству К (а) следствие теоремы 3, мы
убеждаемся, что любой билинейный функционал -В(<р, ф)
в К(а) имеет вид
со
(ср, ф) — х i \* (со( ср*,} (Ft,, ф)( F")
где {срА} — ортогональный нормированный базис в простран-
пространстве Кр(а)*), {Fk} — ортогональный нормированный базис
ОО
в пространстве К'т(а), 1{>0 и ряд^^ сходится.
Покажем теперь, что билинейный функционал -В(ср, ф)
можно записать в виде
где F — линейный функционал в пространстве К2(а) беско-
бесконечно дифференцируемых функций, обращающийся в нуль
вне квадрата | х | <; а, )у\^.а. Для этого сопоставим функ-
функции cpft (x) из Кр (а) и функционалу Fk из К'т (а) функционал
в пространстве К2(а), который мы обозначим Fk X <pft и опре-
определим формулой
Этот функционал определен для всех функций ср(х, у) из
пространства К2(а). В самом деле, функция фА(_у) =
= (? С*. У)> 9k)P имеет вид
Из бесконечной дифференцируемости функции со (х, у) и при-
принадлежности функции <pk (x) пространству Кр{а) вытекает,
что функция фА (у) определена для всех значений у. Кроме
того, очевидно, что эта функция бесконечно дифференцируема
и обращается в нуль при \у\~^а. Поэтому имеет смысл
и выражение
*) Через Кр(а) мы обозначаем пополнение пространства К (а)
по норме UtpHp -=У(<р, у)р, а через К'т(а)—пространство, сопря-
сопряженное с К,т,(а).


104
ГЛ.'I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Простая оценка показывает, чго
\(FkX?k. ?(x,y))\<\\Fk\\-JMP>\9(x-
где через \\<?(х, у)\\тр обозначено выражение
т р
<У+/(-*, у)
Так как по условию \\Fk\\ -т= ||ф*|[р = 1. То Для всех
имеет место неравенство
Отсюда вытекает, что для всех функций ср(лг, у) из К2(а)
сходится ряд
2
*=-1
*. ?(*¦ .у)).
причем легко видеть, что этот ряд определяет непрерывный
линейный функционал в пространстве Кг{а). Обозначим этот
функционал через F. Очевидно, что формулу F) можно за-
записать при помощи функционала F в виде
Но это и означает, что любой билинейный функционал в про-
пространстве К (а), непрерывный по каждому аргументу, может
быть записан в виде G), где F — непрерывный линейный
функционал в пространстве К2{а)- Тем самым получено новое
доказательство теоремы о ядре для пространства К (а).
Совершенно аналогично доказываются теоремы о ядре
для пространств S и 3-
В заключение мы отметим еще теорему, тесно связанную
с теоремой 3.
Теорема 5. Пусть А—линейный оператор, отобра-
отображающий ядерное пространство Ф в пространство Ч',
сопряженное со счетно-гильбертовым пространством W.
Если оператор А непрерывен относительно топологии
пространства Ф и слабой топологии пространства Ч',
то найдутся такие-р и т, что оператор А является
оператором типа Гильберта — Шмидта относительно
норм ||ф||р и \\F\\_m в пространствах Ф и Ч'.
6]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
105
Доказательство. По теореме 3' из § 1 найдутся
такие значения п и т, что оператор А непрерывен относи-
относительно норм |)ф||я и ||F||_ot. Иными словами, оператор Ая%
индуцированный оператором А в пространстве Фя, непре-
непрерывно отображает это пространство в Ч!г Но в силу ядер-
ности Ф найдется такое р, что отображение Т? простран-
пространства Фр в Фя принадлежит к типу Гильберта — Шмидта.'
Очевидно, что Ар = АпТР, где Ар — оператор, индуцирован-
индуцированный оператором А в пространстве Ф Так как А является
произведением оператора Тр типа Гильберта — Шмидта
и непрерывного оператора Ап, то Ар является оператором
того же типа. Теорема доказана.
Точно так же доказывается двойственная теорема.
Теорема 6. Пусть А — непрерывное линейное ото-
отображение счетно-гильбертова пространства Ф в простран-
пространство W, сопряженное с ядерным пространством W (про-
(пространство W' рассматривается .в слабой топологии).
Тогда найдутся такие числа р и т, что оператор А
является оператором типа Гильберта — Шмидта отно-
относительно норм ||фЦ,„ и ||^||_р в пространствах Ф и 1Р„
6. Примеры ядерных пространств *). Мы установили раз-
различные свойства ядерных пространств. Естественно возникает
вопрос, к каким же конкретным пространствам применимы
наши результаты, какие конкретные пространства обладают
свойством ядерности.
Рассмотрим сначала пространства типа К(М ), введенные
в выпуске 2 (глава II, § 1, п. 2). Эти пространства были
определены следующим образом **). Пусть
— возрастающая в каждой точке последовательность функ-
функций, принимающих как конечные, так и бесконечные значения
(бесконечные значения функции Мр(х) принимают в одних и
тех же точках). Функции М (х), определяющие простран-
пространство К(Мр), непрерывны в тех точках, где они принимают
*) Пункты 6, 7, 8 можно опустить при первом чтении.
**) Ради простоты мы проводим все рассуждения для функций
одного переменного. Переход к функциям нескольких переменных
приведет лишь к некоторому усложнению записи. Результаты же
сохраняют силу и для функций многих переменных.


106
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[6
конечные значения. По определению, пространство К (М )
состоит из бесконечно дифференцируемых функций, для ко-
которых ограничены все функции вида
Нормы в пространствах К(М ) задаются формулами
||<р||р = max sup | Л! (*)?(*) (*)|. (8)
Мы будем говорить, что пространство К(Мр) удовлетворяет
условию (N) (nucleaire — ядерный), если для любого п можно
найти такое р > п, что отношение
стремится к нулю при | х | —>• оо и является суммируемой
функцией от х (мы полагаем тпр (х) = 0 в тех точках, где
М() Л!() )
Условие (N) было введено в выпуске 2 (гл. II, § 4, п. 2). В вы-
выпуске \3 (гл. IV, § 3, »п. 2) было показано, что из условия (N)
вытекает ядерность пространства КЩР)- При этом ядерность по-
понималась в смысле, принятом в выпуске 3, т. е. как абсолютная
сходимость любого безусловно сходящегося ряда линейных функ-
функционалов в К(Мр). Поскольку для счетно-гильбертовых пространств
о а понятия ядерности эквивалентны, то для доказательства ядер-
ности пространства К, (Мр) в принятом здесь смысле было бы доста-
достаточно показать, что пространство К (Мр), удовлетворяющее усло-
условию (N), счетно-гильбертово. Однако мы проведем полное доказа-
доказательство, чтобы читатель мог не прибегать к выпуску 3.
Теорема 7. Если пространство К(Мр) удовлетво-
удовлетворяет условию (N), то оно ядерно,
Доказательство. Докажем сначала, что пространство
К(Мр) счетно-гильбертово. Для этого введем в К{М ) счет-
счетный набор скалярных произведений, положив
(9)
Покажем, что топология в К(Мр), задаваемая нормами [|<р||р
[см. формулу (8)], совпадает с топологией, задаваемой нор-
6] § 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
мами [|<р||р = У(<р, <р)р. В самом деле, при
107
имеем
< sup {[Afp(*)l* |<р(« (х) f} f [Mf^J dx.
Но по условию (N) число р можно выбрать так, что
интеграл
сходится. Так как lim тп (х) = 0, то сходится и интеграл
I m\p(x}dx- Обозначим его значение через Въп . Мы получим
тогда, что при q^п < р
f [Мп (д;)р | срW) (х) |2 dx < В
Отсюда следует, что
т. е. ||?||^2-^С2||ср||2, где С — постоянная, не зависящая
от ср(лг).
Оценим теперь ||ср|[я через ||ср|['. Пусть х0 и q0 — те зна-
значения х и q, для которых выражение \Мп (jc)cpW (x) \, q<Cn,
достигает точной верхней грани. Обозначим Мп (х0) через Ап.
Тогда мы имеем
Г *а
I ОО
| dx
= А„ | «pteJ (x0) \ < A
Но так как Мд1+1(х)^ 1, то
ОО
1М1Я<Л /м,0+1(х)|
— со
В силу неравенства Буняковского — Шварца, отсюда следует,
что
(х) | dx.


168
ГЛ. I. ТЕОРЕМА 6 ЯДРЕ
[6
Но найдется такое значение р, что интеграл / ^?+1 у' dx
V. ( \ dx.
Обозначим его значение через Е2. Мы получим, что
Из доказанных нами неравенств
вытекает, что система норм ||<р||' задает ту же топологию
в пространстве К (Мр), что и система норм ||ср||я. Итак,
если выполнено условие (Л/), то К (Мр) является счетно-
гильбертовым пространством.
Докажем теперь, что пространство К (Мр) ядерно. В силу
теоремы 2 для этого достаточно показать, что любой безу-
оо
оо
словно сходящийся ряд функционалов 2
B пространстве
К (М ) абсолютно сходится. При этом, разумеется, мы можем
воспользоваться любым выражением норм в пространстве
К {Мр), задающим топологию этого пространства. Мы выбе-
выберем выражение, даваемое формулой (8). Как было показано
в выпуске 2 (гл. II, § 4, п. 2), в этом случае каждый функ-
функционал Fk, ограниченный по норме |||| о запать
в виде
|<р|
можно записать
<Р)
A0)
где Pkq(x) при каждом q является измеримой и ограничен-
ограниченной функцией от х. При этом нормы функционалов Fk
в пространстве К (Мр) выражаются формулами
sup
X
где при вычислении верхней грани мы пренебрегаем множе-
множествами меры нуль.
б] § 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЮЗ
По лемме 1 из п. 3 для безусловно сходящегося ряда
оо
функционалов 2 F ь можно найти такие значения Ann, что
А = 1
неравенство
k=i
выполняется для всех элементов ср пространства К (Мр). От-
Отсюда следует, что все функционалы Fk непрерывны по
норме ||ср||я и могут быть записаны формулой вида A0).
Таким образом, для любого элемента ср из К (Мр) выполняется
неравенство
f Mn(x)Fkg(x)<?(^(x)dx
2
sup | Мп
(x)\ .
Используя теорему о распространении линейных функ-
функционалов, легко получить аналогичное неравенство
sup\Mn(x)9(,(x)\
X
для любых функций сро(дг), ...,wn(x), таких, что интегралы
J Мп (х) (г>д (х) dx сходятся. Ввиду произвольности функций
ср0 (х), . . ., сря (х) это может иметь место, только если суще-
существует такое число С, что неравенство
(И)
выполняется почти для всех значений х.
Выберем теперь число р I> n так, чтобы интеграл
*
J mnp(x)dx сходился, и покажем, что ряд
-р


ПО ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
сходится. В самом деле, очевидно, что
F
max
W I
и потому
Но в силу неравенства A1) и суммируемости функции тпр(х)
мы имеем
со
dx
Тем самым- абсолютная сходимость ряда 2 ^"л доказана.
Но это означает, что пространство К (Мр) ядерно.
Класс пространств типа К (Мр), удовлетворяющих усло-
условию (Л/), довольно обширен. К нему принадлежат, например,
пространства К (а). Для этих пространств Мр(х)= I, если
|х|<а, и МрО0 = оо, если \х\^>а. Очевидно, что усло-
условие (N) выполнено. Далее пространство S также является
пространством типа К(Мр), удовлетворяющим условию (Л/).
В данном случае Мр(х) = A -f-jc2/7- Относятся к рассматри-
рассматриваемому классу и пространства Sa, а, состоящие из беско-
бесконечно дифференцируемых функций, для которых сходятся
интегралы
Г еа A-1/р) .1 х 11/аср(<7) (jc) rfjc, 0 < q < р,
(X
р = 2, 3, . . .; а —
6]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
111
В этом случае Мр(х)~ еа U-Vp) I * l1/ot и, как легко прове-
проверить, условие (Л/) выполнено. Значит, и для таких пространств
справедлива теорема о ядре.
Укажем еще на класс пространств последовательностей,
аналогичных пространствам К (Мр). Пусть ||тр9||, 1 ^.р,
q < оо — матрица, состоящая из таких элементов трд, что
для любого q выполняются неравенства
Обозначим через k (mpq) пространство последовательностей
х=^(^х1 xq, ...), таких, что при любом р последова-
последовательности
Шр2Х2
mpqXq<
ограничены. Очевидно, что k(mpq) является линейным про-
пространством. Если положить
то пространство k{mpq) будет счетно-нормированным. Мы
скажем, что пространство k(mpq) удовлетворяет условию (N),
если для любого п найдется такое р, что ряд
т
пд
Ami mpg
СХОДИТСЯ.
Рассуждения, аналогичные проведенным выше, показы-
показывают, что пространства k (mpq), удовлетворяющие условию
(Л/), являются ядерными. В частности, ядерным является
пространство s быстро убывающих последовательностей *).
Для этого пространства mpq — qP и, как легко проверить,
выполняется условие (Л/).
Из ядерности пространства s вытекает ядерность про-
пространства 3 целых аналитических функций, в котором нормы
задаются формулами
= sup | ср (z) I.
I г 1-я
*) Последовательность х = (х\, ..., ха, ...) называется быстро
убывающей, если для любого р выполнено соотношение
,1=0,


112
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
В самом деле, без труда устанавливается, что коэффициенты
щ(") fO)
ряда Тейлора ——\-^- целой аналитической функции ср (z) об-
образуют быстро убывающую последовательность и, обратно,
если последовательность чисел а0, а1,
убывает, то
быстро
л=о
является целой аналитической функцией. Кроме того, при-
применяя известные неравенства Коши для коэффициентов ряда
Тейлора, мы убеждаемся, что соответствие
<P @)
'(О)
л!
является изоморфизмом между пространствами 3 и s. Поэтому
в силу ядерности пространства s пространство 3 также
является ядерным.
Отметим в заключение, что Б. С. Митягин доказал ядер-
ность пространств 5« (пространства S]a введены в выпуске
2 гл. IV).
7. Метрический порядок множеств в ядерных про-
пространствах *). Пусть А — множество в метрическом простран-
пространстве R. Множество В из R называется е-сетью для мно-
множества А, если для любой точки х из А найдется точка Ъ
из В, отстоящая от нее меньше чем на е, е > 0. Оче-
Очевидно, что шары радиуса е с центрами в точках е-сети
покрывают множество А.
Если множество А компактно, то при любом s > 0 суще-
существует конечная s-сеть для этого множества. Обозначим че-
через N (г, А) наименьшее число элементов в г-сети для мно-
жестза А. Очевидно, что Л/(е, А) является невозрастающей
функцией от г, причем если множество А бесконечно, то
lim N (г, А) = со.
а >-0
Многие свойства пространства R могут быть выражены
в терминах функций А/(е, А). Например, банахово простран-
*) Результаты пп. 7 и 8 имеют истоком идеи А. Н. Колмого-
Колмогорова о s-энтропии и г-емкости компактов в функциональных про-
пространствах. Сы. [51, 52, 53J.
7]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
113
ство конечномерно тогда и только тогда, когда для любого
компактного множества А функция N (е, А) имеет степенной
рост при е->0. Иными словами, необходимое и достаточное
условие конечномерности банахова пространства состоит в том,
что для любого компактного множества А из R имеем:
где С зависит от А. Здесь п является размерностью про-
пространства R.
Мы охарактеризуем в этом пункте при помощи е-сетей
ядерные счетно-гильбертовы пространства.
Введем сначала понятие е-сети для любого линейного
топологического пространства.
Пусть Ф — линейное топологическое пространство и U —
окрестность нуля в этом пространстве. Назовем множество В
г-сетыо мнооюества А относительно окрестности нуля U',
если для любого элемента ср из А найдется такой элемент ф
из В, что ср?ф-|-е?/ (через eU обозначена совокупность
элементов вида е^, х?^0- Наименьшее число элементов е-сети
относительно U для множества А обозначим через N (е, A, U).
Если множество А компактно (или имеет компактное замыка-
замыкание в Ф), то для любой окрестности нуля U величина N (е, A, U)
конечна при всех е > 0.
Рассмотрим совершенное счетно-гильбертово пространство
оо
Ф = |~| Фк и обозначим через Uт единичный шар в про-
пространстве Фт. Если k < m, то шар Um имеет компакт-
компактное замыкание относительно нормы ||cp||ft и потому величина
N (в, Um, U 1{) конечна при любом е>0. Для краткости
записи обозначим N(e,Um, Uk) через rkm(e).
Таким образом, каждому счетно-гильбертову совер-
совершенному пространству сопоставлены функции rkm{e),
1 <^ т < оо, k < т.
Мы дадим здесь необходимое и достаточное условие ядер-
ности пространства Ф, выраженное в терминах, связанных
с быстротой роста функций rkm(e). Поскольку одна и та же
топология может быть задана различными наборами скаляр-
скалярных произведений в Ф, на стр. 122 будет дано другое усло-
условие, выраженное в иных терминах.
8 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н, Я. Вилеякии


114
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[7
Напомним следующие определения. Пусть / (х) — моно-
монотонно возрастающая положительная функция от х. Порядком
роста р функции / (л;) называют точную нижнюю грань всех
чисел р., таких, что при некотором С (зависящем от \ь)
выполняется неравенство
Если р = 0, то функцию /(х) называют функцией мини-
минимального порядка роста. В этом случае для любого \>. > О
найдется такое С, что
Из определения порядка роста вытекает, что
р=
Если Ф — совершенное счетно-гильбертово простран-
пространство, то через pftm обозначим порядок роста функции
rkm(s) (рассматриваемой как функция от —) . Иными словами,
положим
A2)
е
В дальнейшем число
7т- 1п1п^(Е, A, U)
lim —b_L—:—L
мы будем называть метрическим порядком множества А
относительно окрестности нуля U. Таким образом, pkm
есть метрический порядок эллипсоида Um относительно
шара Uk, k<,m.
Основная теорема этого пункта гласит следующее: для
того чтобы совершенное счетно-гильбертово простран-
пространство Ф = j| Фк было ядерным, необходимо и достаточно,
чтобы при любом р > 0 имело место равенство
оо
2 177^7 ^°° A3)
(если р.- ,, , = 0, то мы полагаем -
7]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
115
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся неко-
некоторые новые понятия. Пусть ах, .... ап, ...—последова-
...—последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю. На-
Назовем показателем сходимости X последовательности \ — V
оо
точную нижнюю грань чисел jt, для которых сходится ряд 2 аХп •
я =1
оо
Таким образом, если ряд
я=1
ап сходится, то
. Если
1. то ряд 2 ап сходится.
Для вычисления показателя сходимости можно использо-
использовать формулу
]^ »""(¦)
A4)
где через п (е) обозначено число членов последовательности
а1г ..., ап больших чем е *).
Вернемся теперь к рассмотрению совершенных счетно-
гильбертовых пространств. Пусть Uт — единичный шар в про-
пространстве Фт — пополнении пространства Ф по норме V^Op. f)m'
Если рассматривать этот шар в пространстве Ф/г, где k •< т,
то он является эллипсоидом. Последовательность длин аг,
а2, .... ап, . . . полуосей этого эллипсоида стремится к нулю,
так как эллипсоид Uт компактен в Ф4в силу совершенства
пространства Ф. Обозначим через \km показатель сходимости
последовательности — , ..., — , .. . Этот показатель схо-
а1 ап
димости мы будем для краткости называть показателем
сходимости эллипсоида 0т в пространстве Фк.
В основе доказательства сформулированной выше тео-ремы
лежит следующая лемма:
*) Доказательство этого утверждения приведено, например,
в книге Б. Я. Левина «Распределение корней целых функций»,
М. —Л., 1956, стр. 20.
8*


116 ГЛ.1. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ [7
Лемма 2. Показатель сходимости \km эллипсоида Um
\km элли
в пространстве Фк удовлетворяет неравенству
In-
A5)
где рш — порядок роста функции rkm (е) == N (е, Um, Uk).
Если \т<С li тпо имеет место также неравенство
Доказательство. Докажем сначала, что
A6)
A7)
где через п(ег) обозначено число членов последовательности
Oj, ..., ап таких, что ап^-ег. Не теряя общности,
можно считать, что последовательность ах, ..., ап, ...
не возрастает, то есть, что а, ^>а2 ;> . . . ^>ап >> . . .
Пересечем эллипсоид Uт конечномерным подпростран-
подпространством, натянутым на полуоси ах а„, п=иг(ее). Объем
п
сечения равен Тп Дй7-, где Тп — объем единичного /г-мер-
ного шара.
Так как объем и-мерного шара радиуса е равен Тпеа,
то для покрытия эллипсоида Um сдвигами шара sUk надо
n(et)
ay
не менее чем
I"/
— шаров. Отсюда вытекает, что
rkm(z)>
A8)
7=1
Так как при l-^.j^
ства A8) следует, что
Поэтому
имеем — > е, то из неравен-
неравенA9)
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
117
Отсюда и
Pkm
вытекает,
- - 1 -j (-1-1
illll '
е->-0
>- Йт
In
In
ЧТО
ml
e
п(ев)
inl
@
>
lim
In n (e)
inl
Тем самым соотношение pkm^>\m доказано.
Перейдем к доказательству неравенства A6). Пусть Xkm < 1.
оо
Тогда ряд 2а/ сходится. Обозначим через а его сумму.
.7 = 1
Если п~^>п\-л—), то мы имеем:
B0)
/=л+1
Мы докажем сейчас, что
2 [fl* /p
где через р обозначено число га (-т— 1. Для этого рассмотрим
сечение Um>p эллипсоида Um подпространством Нр в Фй,
натянутым на полуоси alt ..., ар. Построим в подпростран-
подпространстве Н кубическую решетку с шагом st = —¦ , выбрав
и V Р
в качестве осей координат оси эллипсоида Umi p.
В силу выбора ej любая точка подпространства Нр нахо-
находится от ближайшей точки решетки на расстоянии, не пре-
превышающем 7j-. При этом любая точка эллипсоида Um<p на-
находится на расстоянии, не превышающем -к- от одного из
узлов решетки, принадлежащих параллелепипеду Тр:
11 „
2 "ft
7


118
ГЛ. 1. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[7
Очевидно, что число узлов решетки в этом параллелепипеде
не больше чем
и, поскольку ах ^> aft, не больше чем
Покажем, что шары в Фк радиуса е с центрами в узлах
решетки, принадлежащих параллелепипеду Тр, покрывают
эллипсоид Um. В самом деле, из неравенства B0) вытекает,
что каждая точка А эллипсоида Um находится на расстоя-
расстоянии, не превосходящем числа 4- от подпространства Н . Та-
Таким образом, АВ < -g-, где В— точка подпространства Н .
Но по доказанному выше найдется такая точка С решетки,
принадлежащая параллелепипеду Т , что ВС < -|-. Следова-
Следовательно, АС < е и точка А принадлежит шару радиуса е с цен-
центром в точке С.
Итак, мы построили рх = Г— (а± YV +' 0] точек хи . ..
.... xPi, таких, что
Поэтому
Принимая во внимание, что
неравенство
1п1п/-й/п(е)<
1п1п + 11
= п(-^~),
получаем отсюда
7]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
119
Так как lim
1пе
= 2, то имеем:
= lim
ml
inl
B2)
Тем самым неравенство A6) также доказано.
Нам понадобится еще следующая лемма, связывающая
числа pkm, pkl и р1т при k < / < т.
Лемма 3. Если k < / < т, то имеет место нера-
неравенство
— >— +-Г-- С23)
Р Р Р
km kl Itti
Доказательство. Очевидно, что при любых § >• О
и е > 0 имеем:
N(e, bUt, Ub) = ND-, Uи Uk). ' B4)
Кроме того,
г„ (e)E=N(e, U , Uk)<LN(b, Um, U,)N(e, Wt, Uk), B5)
кт v / ^ m it/ ^s- \ ' rn. i/ ^ in/ ^ '
так как можно сначала покрыть эллипсоид Uт сдвигами
шара bUP а потом покрыть эти сдвиги сдвигами шара eUk.
По определению чисел ры и р1т при любых f i > P*z
и Тг > Ргт имеем:
Поэтому, в силу неравенств B4) и B5),
Положим в этом неравенстве a = e"fi+T2. Мы получим, что
B6)


120
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[7
Так как числа fi — рн и т2 — р1т могут быть сколь угодно
малы, то из неравенства A5) вытекает соотношение
In In Г. (е)
In
1
vlm
4m
Следовательно,
>
*Ит
Лемма доказана.
Из леммы 3 вытекает, что при любых k и т выполняется
соотношение
т—1
Т-1-. . B7)
С.т—1, равно нулю,
' ftm
При этом если одно из р. , k^.j
то и pftm = 0.
Докажем теперь упомянутую выше теорему, дающую
необходимое и достаточное условие ядерности пространства.
Теорема 8. Для того чтобы счетно-гильбертово
совершенное пространство Ф было ядерным, необходимо
и достаточно, чтобы для любого р выполнялось равенство
: GO
B8)
[где
1
¦ = оо,
P,W+i = 0)'
Доказательство. Докажем сначала необходимость
оо
условия B8). Пусть Ф = |"*| Фп — ядерное пространство.
Тогда, не теряя общности, мы можем считать, что все отобра-
отображения TJ.+1 пространств Ф,-+1 в пространства Ф, ядерны.
Иными словами, можно считать, что каждый единичный
шар Uj+1 является относительно нормы ||<р[|,- эллипсоидом
со сходящейся суммой длин полуосей. Таким образом, если
пространство Ф ядерно, то для любого j показатель сходи-
сходимости Xjt f+i эллипсоида ?/-+1 в Ф;- не превосходит единицы,
^, ;a4i' В силу неравенства A6) отсюда следует, что
7]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
121
Р,- ,-+1 ^С 2 при всех J. Но тогда для любого р имеем:
¦ = оо.
Тем самым необходимость условия теоремы доказана.
Докажем теперь, что условие теоремы 8 достаточно для
ядерности пространства Ф. Выберем какой-нибудь индекс k.
По условию ряд
расходится. Поэтому найдется
такое т, что
> 1. По неравенству B7) отсюда
следует, что
1. Но, как было показано в лемме 2,
Km<?km И ПОТОМУ Х.^ < 1.
Таким образом, для любого k можно найти такое т,
со
что \km < 1, и следовательно, ряд 2 aj> составленный из полу-
полуосей эллипсоида Uт, в пространстве Фк сходится. Поэтому
отображение 7"™ пространства Фт в Фй ядерно. Так как
для любого k нашлось такое т, что отображение Тт ядерно,
то пространство Ф ядерно.
Теорема 8 доказана.
Как уже отмечалось, одна и та же топология в Ф может
задаваться различными наборами скалярных произведений.
Дадим теперь необходимое и достаточное условие ядерности
пространства Ф, в формулировку которого не входят ска-
скалярные произведения (ср, ф)„.
Будем рассматривать порядок роста функций вида
N(s, A, U),
где А — компактное множество *), a U — окрестность нуля
в пространстве Ф. В случае, когда пространство Ф конечно-
A \'г
— I , то есть можно
*) Как часто делается в анализе, мы называем компактными
множества с компактными замыканиями.


122
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[7
найти такое С, что
e. А,
Для гильбертова пространства (и для банаховых пространств)
функция N (г, А, О) может расти сколь угодно быстро, Это
значит, что, какова бы ни была возрастающая функция f(x),
можно построить таког компактное множество А в гильбер-
гильбертовом пространстве, что
Л/(е, А, {/)>!
Мы увидим сейчас, что для ядерных пространств Ф
Л/(г, A, U) является функцией минимального порядка
роста. Иными словами, если А — компактное множество
в ядерном пространстве и U — любая окрестность нуля
в Ф, то для каждого а > 0 найдется такое С, что
N (е, A, U) < Сех*.
B9)
При этом минимальный порядок роста всех функций
N (в, A, U) не только необходим, но и достаточен для ядер-
ности пространства Ф. Это утверждение можно сформули-
сформулировать в виде следующей теоремы:
со
Теорема 9. Пусть Ф = Г\Фп— счетно-гильбертово
совершенное пространство. Для того чтобы простран-
стго Ф было ядерным, необходимо и достаточно, чтобы
для любого компактного множества А в Ф и любой
окрестности нуля U выполнялось равенство
¦> °
In —
е
C0)
Покажем необходимость условия C0). В самом деле,
предположим, что в ядерном пространстве Ф найдутся ком-
компактное множество А и шар Uk *), такие, что
lim
=с>о.
C1)
*) Без потери общности можно считать, что шар U^ единичный,
так как метрический порядок не меняется при замене множеств А
и U подобными множествами.
7]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
123
Так как множество А компактно, то для любого т > k
найдется такое Ът, что А лежит в шаре bmUm. Но тогда
из неравенства C1) вытекает, что для любого tn^>k выпол-
выполняется соотношение
- ШпМ(.,Ь Um,Uk)
е>0 ln_L
?
и потому pftm;>C>0.
Итак, если неравенство C1) выполняется для некоторого
компактного множества А и некоторого шара Uh, то для
всех т > k имеем: pftm^C>0. Но тогда, по неравенству
B7),
2d о, .„ <
для всех
потому ряд
сходится, что в силу
Ф. Тем
теоремы 8 противоречит ядерности пространстза
самым доказана необходимость условия C0).
Докажем теперь, что это условие достаточно. Для этого
достаточно показать следующее: если условие C0) выполнено
для всех компактных множеств А и всех окрестностей
нуля U, то при любом k найдется такое т, что ^km<C 1.
Проведем доказательство от противного. Предположим,
что существует k, при котором для всех т >• k выполняется
неравенство ^km^> 1. В силу соотношения A5) тогда и р/гт'^> 1.
Это неравенство в развернутом виде записывается следующим
образом:
C2)
Оно формально не противоречит равенству C0), поскольку
эллипсоиды U'т, компактные в пространстве Фк, не являются,
вообще говоря, компактными множествами в пространстве Ф.
Однако мы покажем сейчас, что из выполнения неравен-
неравенства C2) при всех т > h вытекает существование такого


124
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
компактного множества F в Ф, что
In —
S
C3)
А это уже противоречит равенству C0).
Множество F строится следующим образом. Рассмотрим
в пространстве Ф множества Ат, задаваемые неравенствами
(ср, ср)от<^—5". Замыкания этих множеств в пространствах Фк,
k < т, являются компактными множествами в Фк. Эти замы-
1 ,,
кания являются не чем иным, как эллипсоидами —ит в про-
пространствах Фй.
Мы предположили, что при т > k выполняется нера-
неравенство C2). Но тогда, очевидно, имеет место и неравенство
\п
lim
lnJv/?,
C4)
In A
г
(значение метрического порядка не меняется при замене
множеств подобными им множествами). Неравенство C4)
означает, что для любого т ^> k найдется последовательность
чисел е
т1
такая, что
Выберем последовательность целых чисел nk, nk+l, .
так, чтобы lim ел
Тогда мы имеем:
= 0 и обозначим числа s.
\пЫ
(Ът, ±
через от.
C5)
Выберем теперь в каждом из множеств Ат наибольшее
28
подмножество Fm = (x1, .... хп), такое, что ||лг,—лгуЦ^-—^
при I Ф j'. Это подмножество конечно в силу компактности
замыкания Ат в Фк. В силу максимальности множества Fm
7]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
125
шары xx
т
bmUk xn^r^mUk покрывают множество
то есть
Поэтому N {bm, J- Um. Uk) < п.
Так как для различных точек х, и х, множества F
имеем \\xt — xJ-\\k'^>—#-, то для покрытия этого множества
5„
нужно не менее чем п шаров радиуса —^-. Следовательно,
дует, что
Итак
полученных неравенств сле-
слеи>).
Вт
>^. C6)
Обозначим через F объединение всех построенных мно-
множеств Fт и точки ср = 0:
Докажем, что F является компактным множеством. Для этого
достаточно показать, что в любой окрестности нуля U со-
содержатся все точки множества F, за исключением конечного
числа точек. Пусть окрестность нуля U задается неравен-
неравенством ||?||т<^р. Выберем / так, что />ж и р > у. Тогда
очевидно, что yi/jcrt/. Поэтому при р > / имеем:
Таким образом, вне окрестности U может лежать лишь ко-
конечное число точек из F, а именно точки, принадлежащие


126 ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Из неравенства C3) вытекает, что
lnln n(^-, F, ?/Л
[7
lim
m->-oo
и потому
lim
е->0
г F,Uk)
^
Ш I
Таким образом, компактное множество F', для которого
выполняется неравенство C3), построено. Но существование
такого множества противоречит условию теоремы. Поэтому
предположение о том, что рПт~^> \ для всех т > k неверно.
Следовательно, найдется такое т > k, что pkm < 1. Но тогда
отображение Т™ ядерно. Иными словами, для любого k
найдется такое т, что отображение Т™ ядерно, а потому
Ф — ядерное пространство.
Отметим следствие из доказанных нами утверждений.
Следствие. Если для любого компактного мно-
множества А в счетно-гильбертовом пространстве Ф и
любого шара Uk выполняется неравенство
— lnln
lim ——
E->-0
inl
C7)
где С не зависит от А и k, то пространство Ф ядерно.
В самом деле, пользуясь соотношением C7), можно для
любого k построить такую последовательность k = k<i
k < 2C Т
р
k, < . .. < kn < ...,
n > 2C + 1 имеем:
что
Л-1
n, b
n+1
< 2C. Тогда при
¦>s
>1
и потому pPtk < 1. Но отсюда вытекает ядерность про-'
странства Ф.
8]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
127
8. Функциональная размерность линейных топологи-
топологических пространств. Пусть Ф — линейное топологическое
пространство. Назовем его функциональной размерностью
число df Ф, определяемое формулой
= sup infill """"(¦¦ У.
U V e-vO 1n1n_L
In In
C8)
где U та V пробегают окрестности нуля в Ф. Основанием
такого названия служит то, что для многих линейных топо-
топологических пространств, состоящих из целых аналитических
функций, df<& совпадает с числом переменных, от которых
зависят эти функции.
Мы рассмотрим в этом пункте счетно-гильбертовы про-
пространства, имеющие конечную функциональную размерность.
оо
Для счетно-гильбертова пространства Ф = Пф{ формулу C8)
можно переписать в следующем виде:
,,* . с Г. I". In
где
где
Г km
°й =
(в) =
- inf
т
= N
akm
\Л1
(в.
, а
"т.
акт =
k m
— lim
*>° in
Иными
In In rkm
In ln —
E
inl '
?
словами,
(e)
df
Ф =
sup
и
К
ос;
D0)
Из этой формулы и теоремы 8 п. 7 вытекает, что все
счетно-гильбертовы пространства конечной функциональ-
функциональной размерности ядерны.
Можно показать, что для счетно-гильбертовых про-
пространств справедлива формула
л N (г, A, U)
df Ф = sup lim
lnln
D1)
где U пробегает все окрестности нуля в Ф, а А —все
компактные множества, в Ф. Доказательство этого утвер-
утверждения аналогично доказательству теоремы 9 из п. 7 и мы
не будем на нем останавливаться.


128
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Мы выведем в этом пункте другую формулу для df Ф, выра-
выражающую df Ф через длины полуосей эллипсоидов Uт в про-
пространствах Фй. Нам понадобится при этом следующее опреде-
определение. Пусть а1, ..., ап, ... — последовательность положитель-
положительных чисел, стремящаяся к нулю. Назовем типом сходимости
этой последовательности показатель сходимости для последова-
последовательности In— ,. . . ,1п— , ... Иными словами, тип сходимости х
равен точной нижней грани чисел [а, для которых сходится ряд
со
—. Очевидно, что для конечности типа сходи-
Л =1
мости последовательности аь ..., ап, ... необходимо,
чтобы показатель сходимости последовательности —, . . .
щ
.... — , ... был равен нулю.
О-п
Если п (е) — число членов последовательности ах, ...
.. . , ап, . . ., больших чем е, то имеет место формула
а„
-— In П. (г)
: = hm Цр
*-»° In In —
D2)
В самом деле, применим к последовательности In — , ...
1 U]
. . . , In — , ... формулу A4) из п. 7. В силу этой формулы
ап
показатель сходимости X для In — In — ....
а-у ап
вид
имеет
, 1
где т(о) — число членов последовательности In— , ...
а\
1 I --\
..., 1п —, . . ., больших чем S. Но очевидно, что т (Ь) = п \е 6 /'
ап
Поэтому
т = Hm
о ->-0
In
п\е 6
In
8]
§ 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
129
Подставляя в это равенство вместо е 5 число е, мы и при-
придем к формуле D2).
Рассмотрим теперь счетно-гильбертово пространство Ф и
обозначим через xkm тип сходимости последовательности
at ап составленной из длин полуосей эллипсоида Um
в пространстве Фк. Таким образом,
— 1пл(е) ,.оч
•->° lnln —
е
где п(е) — число полуосей эллипсоида Vт в пространстве ФА,
длина которых больше чем е.
Мы докажем сейчас следующую теорему.
Теорема 10. Для счетно-гильбертовых пространств
имеет место формула
dfФ=xo-r-l, D4)
где положено xo = supTft, xA = infxftm.
k m
Доказательство. Покажем сначала, что sup zk -4- 1 ^
-^dfФ. Выберем любое значение k. Так как ak = infatlm,
т
то для любого а > 0 найдется такое т, что akm -<[ df Ф -f- a.
Обозначим через ах аа, ... длины полуосей эллип-
эллипсоида Uт в' пространстве Фл. Зададим е > 0. Сравнивая
объем эллипсоида, натянутого на оси ах ап ^-^ с объ-
объемом п (]/е)-мерного шара радиуса е, получаем, что
п(У1)
П
J-1
(см. вывод формулы A7) из п. 7).
Так как при 1 <; J <; п (Ys ) имеем ak > Y&, то из этого
неравенства следует, что
2
и потому
i- + lan(V7)-\-\n In 1< In lnrkm(p).
9 Зак. 1281. И. М. Гельфанд в Н. Я- Вилеикна


130 ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Отсюда вытекает неравенство
lnln —
s
*-»0
Поскольку
lnln
lim
lnln —
е
lnln —
с
—— 11
то мы получаем, что
. , .-г- In л (Т/Т)
,-f- I = lim
lnln —
с
Но тогда sup xft
Отсюда следует, что xft -f- 1 = inf xftm-f- 1 << df Ф 4~ а.
от
1 <; df Ф -\-а. В силу произвольности a > 0
мы получаем, что supxft-f-l^ df®.
k
Итак, неравенство sup xk -f- 1 <I df Ф доказано. Докажем те-
k
пер ь об р атное нер авенство. Пусть su p xft имеет конечное значение.
Тогда для любого k найдется такое т, что xftm конечно, и потому
показатель сходимости последовательности —,..., —....
ах ап
равен нулю (через ах ап, . . . мы, как и выше, обо-
обоФ
значаем длины полуосей эллипсоида Um в
Поэтому
ряд 2 ai сходится. Не теряя общности, мы можем считать,
оо
что ряд 2 а/ сходится при любых k и т. Обозначим через а
сумму этого ряда. В п. 7 было показано, что
ln ln
О)
1п КЗ + 1п 1п Т+ 1п 1п [2 (Л V? (?)+ 0]
8] § 3. ЯДЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 131
(см. неравенство B1)). Из этого неравенства вытекает, что
¦"йот'
lnlni-
е.
In ln-
D5)
Зададим любое значение k. Так как т0 = sup xft и xft =
k
= infxftm, то для любого a>0 найдется такое т, что
Но тогда и
«-»-0 lnln —
в
In,
lim
f^<xo + a.
lnln —
e
Поэтому из неравенства D5) следует, что <зкт<С 1 —f— х0 —f- a.
В силу произвольности а мы получаем, что aft = infoftOT<
т
<хо1|-1. Но тогда df Ф = sup aft.^ хо-|-1. Тем самым до-
доказано, что df®.^xo-)-l. Поскольку ранее мы доказали,
что df Ф ;> х0-|-1, то dfФ = xo-(-l. Теорема доказана.
Приведем некоторые примеры ядерных пространств,
имеющих конечную функциональную размерность.
Пусть 3 — пространство всех целых аналитических функ-
функций от s переменных. Введем в пространство 3 топологию
при помощи счетного набора скалярных произведений
я = / <Р
x...dxsdyi. .,dys,
где zk = xk-\-iyk, а Qn — область, задаваемая неравенствами
Пространство 3 является пространством конечной функ-
функциональной размерности. Чтобы доказать это утверждение,


132
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[8
рассмотрим пространства Зя» получаемые при пополнении
пространства 3 относительно норм ||ср||я = "|/"(<р, ср)я. Одно-
Одночлены
2?...3%'. 0</7ft<OO, 1<?<S,
принадлежат всем пространствам Зя- Очевидно, что если на-
наборы pt ps и qx qs не совпадают, то функции
zpx . .. zPs и z9t ... z4ss ортогональны относительно всех ска-
скалярных произведений (ср, ф)„. При этом норма одночлена
г?1 .. . zPs относительно скалярного произведения (ср, ф)„
равна
y
Отсюда вытекает, что при любых k и т, k < m,
длины а(р'и ™!, р полуосей эллипсоида Um в Фк даются фор-
формулами
Нетрудно видеть, что показатель сходимости множества
чисел а^; "*}., р при любых k и т равен нулю, а тип сходи-
сходимости Ть„ этого множества равен s. Поэтому xo=sup inf ^ftm=5.
кт km
Но тогда, по теореме 10, имеем df® = s-j-l.
Другим пространством конечной функциональной размер-
размерности является пространство Ш всех целых аналитических
функций ср (zx za), имеющих по каждому переменному
период 2тс. Скалярные произведения задаются в этом про-
пространстве равенствами
(ср, ф) = Г ср (z±. ..., z.)Ф (zlt... .. zs) dxx ... dxs dyx... dys,
pn
где через Рп обозначена область 0^ xk^ 2тс, — ti^.yk^n.
Функции
1]
§4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
133
где ри .... ps — любые целые числа, ортогональны относи-
относительно всех скалярных произведений (ср, ф)я. Рассуждая
так же, как и выше, убеждаемся, что для пространства 51
имеем df % ==. s -\- 1.
Было бы весьма интересно рассмотреть в общем случае
связь между функциональной размерностью пространства и
числом переменных, от которых зависят входящие в него
функции.
Отметим еще следующий результат. Пусть счетно-гиль-
счетно-гильбертово пространство Ф является топологизированным тен-
тензорным произведением *) счетно-гильбертовых пространств ФФ
и ФB), имеющих конечную функциональную размерность. Тогда
функциональная размерность пространства Ф конечна, причем
имеет место формула
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
И УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
1. Обобщенные собственные векторы. Одним из основ-
основных результатов линейной алгебры является теорема о суще-
существовании полной системы собственных векторов у любого
самосопряженного линейного оператора А в л-мерном евкли-
евклидовом пространстве Rn. Эта теорема гласит, что если А —
самосопряженный оператор в л-мерном евклидовом простран-
пространстве Rn, то в Rn найдется ортогональный нормированный
базис elt .... еп, каждый вектор которого является соб-
собственным вектором оператора А : Aek = \ek, где \k — ве-
вещественное число. Разлагая любой вектор / из простран-
пространства Rn по векторам ех еп: f = alex-\- ... -\-апеп,
ак = (/, ek), мы можем записать оператор А следующим
образом:
=2** с/.
й1
A)
*) Относительно вопросов, связанных с тензорными произве-
произведениями линейных топологических пространств, см. книгу Гротен-
дика [7].


132
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[8
рассмотрим пространства Зя> получаемые при пополнении
пространства 3 относительно норм ||ср|'|я = У~(<р, ср)я. Одно-
Одночлены
**...;#. 0</7ft<oo. l<?<s,
принадлежат всем пространствам Зя- Очевидно, что если на-
наборы pt ps и ди ..., gs не совпадают, то функции
zpl .., z?s и z4^ zj* ортогональны относительно всех ска-
скалярных произведений (ср, ф)я. При этом норма одночлена
.г?' . . . 2?s относительно скалярного произведения (ср, ф)я
1 S
равна
Отсюда вытекает, что при любых k и т, & < т,
длины Др|',.?!, р полуосей эллипсоида С/т в Фй даются фор-
формулами
Нетрудно видеть, что показатель сходимости множества
чисел а%\ ?}., р при любых k и т равен нулю, а тип сходи-
сходимости Ть„ этого множества равен s. Поэтому хо= sup inf ¦zkm=s.
нт k m
Но тогда, по теореме 10, имеем df<D = s-f-l.
Другим пространством конечной функциональной размер-
размерности является пространство ft всех целых аналитических
функций ср(гх zs), имеющих по каждому переменному
период 2тс. Скалярные произведения задаются в этом про-
пространстве равенствами
= f
где через Рп обозначена область 0
. 1 <:*<«•
Функции
JdXi. ...dxsdyx... dys.
! хк <! 2тс, — п -< ук <! л.
1]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
133
где ри .... ps — любые целые числа, ортогональны относи-
относительно всех скалярных произведений (ср, ф)я. Рассуждая
так же, как и выше, убеждаемся, что для пространства 21
имеем df % = s -f- 1.
Было бы весьма интересно рассмотреть в общем случае
связь между функциональной размерностью пространства и
числом переменных, от которых зависят входящие в него
функции.
Отметим еще следующий результат. Пусть счетно-гиль-
счетно-гильбертово пространство Ф является топологизированным тен-
тензорным произведением *) счетно-гильбертовых пространств ФФ
и ФB), имеющих конечную функциональную размерность. Тогда
функциональная размерность пространства Ф конечна, причем
имеет место формула
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
И УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
1. Обобщенные собственные векторы. Одним из основ-
основных результатов линейной алгебры является теорема о суще-
существовании полной системы собственных векторов у любого
самосопряженного линейного оператора А в я-мерном евкли-
евклидовом пространстве Rn. Эта теорема гласит, что если А —
самосопряженный оператор в я-мерном евклидовом простран-
пространстве Rn, то в Rn найдется ортогональный нормированный
базис еи .... еп, каждый вектор которого является соб-
собственным вектором оператора А : Aek = Xftgft, где Xft — ве-
вещественное число. Разлагая любой вектор / из простран-
пространства Rn по векторам е1 en: f = a1e1-\- ... -\-anen,
ak = (/, ek), мы можем записать оператор А следующим
образом:
(i)
*) Относительно вопросов, связанных с тензорными произве-
произведениями линейных топологических пространств, см. книгу Гротен-
дика [7].


134
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[1
Аналогичное утверждение справедливо и для унитарных
операторов с той лишь разницей, что Xk являются не веще-
вещественными числами, а комплексными, модуль которых равен
единице.
Положение дел осложняется при переходе от конечно-
конечномерного случая к бесконечномерному. Например, в гиль-
бгртовом пространстве существуют унитарные операторы
(т. е. такие операторы U, что \\Uf\\ = ||/[| = ЦС//!! для
любого вектора / из Н), не имеющие ни одного собствен-
собственного вектора, отличного от нуля.
Так называемая абстрактная теорема о спектральном раз-
разложении (см. добавление к этому параграфу) дает лишь
некоторый суррогат разложения по собственным векторам.
Она позволяет для любого е ]> 0 и любого X, | X | = 1, найти
такие векторы /е, ||/е|| = 1, что
Примером такого оператора может служить оператор сдвига U^
в гильбертовом пространстве L2 функций на прямой, имеющих
интегрируемый квадрат модуля. В самом деле, предположим, что
функция f{x) из пространства L2 такова, что
Uhf(x) =zf(x - h) = af(x). B)
Так как преобразованием Фурье функции f(x — А) является elXhF(\),
где F(l) — \f(x)eixxdx— преобразование Фурье для /(х), то
из равенства B) следует, что
е1>Л Р (X) = аР (X).
Но это может иметь место лишь в случае, когда функция F(k)
равна нулю во всех точках, для которых eilx Ф а, т. е. отлична от
нуля лишь в счетном множестве точек. Поскольку F(k) имеет
интегрируемый квадрат модуля, мы получаем, что /7(Х)=0. Таким
образом, оператор Uu не имеет собственных векторов в простран-
пространстве ZA Тем не менее легко найти функции, не принадлежащие
пространству Ьг и являющиеся собственными функциями оператора
сдвига. Например, Ub.e~AJC = eiKhe-lxx, т. е. е~1ХХ является соб-
собственной функцией оператора Uh, соответствующей собственному
значению ' eli-h. При этом, как известно,, любая функция f(x) из L2
может быть разложена по функциям е~ах
где
1] § 4. ОСНАЩЁННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
и действие оператора сдвига записывается равенством
135
Uhf(x) =
-L
b*F (X) *<w d\
аналогичным равенству A). Система собственных функций e~ixx
полна в том смысле, что для любой функции f(x) из L3 имеет
место равенство Планшереля
f
\f(x)\»dx=* -L
C)
Мы видим, таким образом, что хотя оператор Uh не имеет
собственных функций, лежащих в самом пространстве L2, он обла-
обладает полной системой собственных функций, лежащих вне этого
пространства. Аналогичное положение возникает и для других опе-
операторов [например для оператора умножения на функцию, «соб-
«собственными функциями» которого являются функции вида 5 (х—А)].
Истолковать эти собственные функции, привлекая лишь понятия,
связанные с самим гильбертовым пространством L2, оказывается
невозможным. Мы покажем, однако, что такое истолкование стано-
становится возможным, если наряду с самим гильбертовым простран-
пространством L2 рассматривать некоторое его расширение Ф'.
Как правило, гильбертовы пространства возникают в ана-
анализе при рассмотрении линейного пространства Ф, в котором
задан положительно определенный эрмитов билинейный функ-
функционал (ср, ф). Принимая (ср, ф) за скалярное произведение
в Ф и пополняя Ф по этому скалярному произведению,
и получают соответствующее гильбертово пространство Н.
После этого обычно забывают о пространстве Ф, пополнение
которого привело к гильбертову пространству Н, и изучают
лишь само пространство Н. Однако именно одновременное
рассмотрение пространства Ф и полученного его пополнением
пространства //позволяет истолковать «собственные функции»,
лежащие вне гильбертова пространства Н.
Например, функции е~1хх можно рассматривать как линейные
функционалы в линейном пространстве S бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций, быстро убывающих на вещественной оси вместе
с производными любого порядка. Пространство L2 получается из S
путрм пополнения относительно скалярного произведения
(*. Ф)
/
С*Ж*)


136
ГЛ. t. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Таким образом, собственные векторы оператора Un> не принад-
принадлежащие пространству L2, оказываются не чем иным, как линей-
линейными функционалами в линейном пространстве S, вложенном в про-
пространство Lz. Точно так же мы можем истолковать собственные
функции Ь (х — Л) оператора умножения на функцию как линейные
функционалы в пространстве S.
Введем теперь следующее определение.
Пусть А — линейный оператор в линейном топологиче-
топологическом пространстве Ф. Обобщенным собственным вектором
для оператора А, соответствующим собственному зна-
значению X, называется такой линейный функционал F в про-
пространстве Ф, что
= XF (ср) D)
для всех элементов ср из пространства Ф *).
Можно сказать теперь, что функции е~&х являются обобщен-
обобщенными собственными векторами для оператора сдвига, рассматривае-
рассматриваемого в пространстве S. Преобразование Фурье F(k) функции ср (х)
является не чем иным, как значением функционала (е~&х, ср (x))
для функции (р (х). Равенство Планшереля C) показывает, что мно-
множество обобщенных собственных функций е~^х полно, т. е. что из
равенства F (X) = 0 вытекает равенство ср (х) — 0.
В п. 5 мы докажем существование полной системы обоб-
обобщенных собственных векторов для любых унитарных и само-
самосопряженных операторов, заданных в ядерных пространствах.
Мы используем при этом понятие оснащенного гильбертова
пространства **), возникающее при рассмотрении ядерного
пространства Ф, в котором задано скалярное произведе-
произведение (ср, ф).
2. Оснащенные гильбертовы пространства. Пусть
. в счетно-гильбертовом ядерном пространстве Ф, определяе-
определяемом скалярными произведениями (ср, ф)„, задано еще одно
*) Мы обозначаем здесь значение функционала F для эле-
элемента <р через F (ср), а не через (F, ср), чтобы предотвратить воз-
возможное смешение со скалярным произведением.
**) Понятие оснащенного гильбертова пространства оказывается
полезным не только при изучении спектральной теории линейных
операторов, но и в ряде других вопросов функционального, анализа
(например, в теории квазиинвариантной меры; см. гл. IV). Мы по-
полагаем, что это понятие является не менее (если даже не более)
важным, нежели понятие гильбертова пространства.
2]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
137
скалярное произведение, т. е. непрерывный по каждому пере-
переменному ср и ф положительно определенный невырожденный
эрмитов функционал (ср, ф). Таким образом, каждым двум
элементам ср и ф из Ф сопоставлено комплексное число (ср, ф),
такое, что
1) (<Pl-|-<P2. t) = (cpl. Ф) + (СР2. Ф).
2) («p. ф)==оСу. ф),
3) (ср. ф) = (ф. ср).
4) (ср. ср)^> 0, причем (ср, ср) = О лишь в случае, когда ср = О,
5) если lim срл = ср, то lim (срл, ф) = (ср, ф).
л -> оо л ¦>¦ оо
Из условий 3) и 5) вытекает, что lim (ф, срл) = (ф, ср).
Л ->ОО
Поскольку пространство Ф счетно-гильбертово, то из усло-
условия 5) вытекает, что скалярное произведение (ср, ф) непре-
непрерывно относительно некоторой нормы ||ср||т= у (ср, ср)т в про-
пространстве Ф, т. е. найдутся такие числа Мит, что.
Построим теперь гильбертово пространство Н, пополнив
пространство Ф относительно нормы ||ср|| = \^(<?п, ср). Эле-
Элементы пространства Ф образуют всюду плотное множество
в гильбертовом пространстве Н, чем определяется непрерыв-
непрерывный *) линейный оператор Т, отображающий пространство Ф
в Н. Мы будем в дальнейшем часто отождествлять простран-
пространство Ф с соответствующим подмножеством гильбертова про-
пространства Н.
Наряду с пространствами Ф и Ямы будем рассматривать
пространство Ф', сопряженное с пространством Ф. Опера-
Оператору Т сопряжен оператор Т', отображающий прсс ран-
ство Н', сопряженное с Н, в пространство Ф' и определяе-
определяемый равенством
(T'h') (ср) = h' (Гер)
для любых элементов h' из Н' и ср из Ф. Поскольку каж-
каждый линейный функционал h' в гильбертовом пространстве Н
*) Непрерывность оператора Т вытекает из непрерывности ска-
скалярного произведения относительно топологии пространства Ф,


138
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[2
можно записать в виде
где hx — некоторый элемент пространства Н, то Т можно
рассматривать как отображение пространства Н в Ф'. Сле-
Следует иметь в виду, однако, что отображение h'-+hx анти-
линейно, так как если hx —> hu h" —>¦ h2, то
(ah' 4- рА") (А) = ah' (A) 4- p*w (h) = (h, ahx + pA8)
и потому ah' -\-§h" —*¦ ahx-\-$h2. Поэтому, если рассматри-
рассматривать T как отображение пространства Н в Ф', то Т' является
антилинейным оператором. Антилинейным является и опера-
оператор Т'Т, отображающий пространство Ф в Ф'. Если рас-
рассматривать лишь вещественные пространства, то оба отобра-
отображения Т' и Т'Т линейны.
Назовем оснащенным гильбертовым пространством
тройку пространств Ф, Н, Ф', обладающих указанными выше
свойствами (то есть ядерное счетно-гильбертово простран-
пространство Ф, в котором задано невырожденное скалярное произведе-
произведение (ср, ф), пополнение Н пространства Ф по этому скалярному
произведению и пространство Ф', сопряженное с Ф). Мы пока-
показали, что для оснащенного гильбертова пространства сущест-
существует непрерывный линейный оператор Т, взаимно-однозначно
отображающий пространство Ф на всюду плотное подмноже-
подмножество в Н и сопряженный с ним (антилинейный) оператор Т',
взаимно-однозначно отображающий пространство Н на всюду
плотное подмножество в Ф\ Поэтому мы будем обозначать
оснащенное гильбертово пространство ФаНаФ''.
Заметим теперь, что оператор Т непрерывен относительно
одной из норм ||ср||т, задающих топологию в пространстве Ф.
В самом деле, в силу неравенства E), мы имеем
Поэтому можно распространить оператор Т на все про-
пространства Фл, п~^ т, получаемые пополнением пространства Ф
по нормам ||<р||„ = У(«р, <р)„ • Обозначим соответствующие
операторы через Тп. Из теоремы 5 § 3 вытекает, что найдется
значение п, для которого оператор Тп, отображающий гиль-
гильбертово пространство Фп в Н, является ядерным. Ядерным
является и оператор Т. отображающий Н в Ф'.
§ 4. ОСНАЩЁННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
139
Отметим, что в ряде случаев вместо оснащенного гильбер-
гильбертова пространства Фс//сФ' достаточно рассматривать тройку
G cz ЯсС гильбертовых пространств, связанных ядерными ото-
отображениями Т и Т'. Однако лишь для оснащенных гильбертовых
пространств любое непрерывное скалярное произведение (?, <|<)
приводит к таким тройкам пространств.
Укажем теперь вид оператора Т. Для этого применим
к оператору Тп данное в п. 3. § 2 описание ядерных опе-
операторов. Мы получим при этом следующий результат. Суще-
Существуют такие ортогональные нормированные базисы [hk]
и {cpft} в пространствах Н и Фа, что для всех элементов ср
из Фи имеет место равенство
= 2
F)
где
>0 и ряд 2 Kk сходится.
Чтобы перейти от оператора Тп к оператору Г, заметим,
что Гпср = Гер, если элемент ср принадлежит пространству Ф,
и потому для элементов ср из Ф формула F) принимает вид
Гер =2
п — 1
. <Р*)ЯАА.
Выражение (ср, cpft)n при фиксированном k является линей-
линейным функционалом в пространстве Фл. Обозначим этот функ-
функционал через Fk: Fk (ср) = (ср, срй)л. Так как соответствие F<—>ф
между элементами пространства Ф„ и некоторыми линейными
функционалами в этом пространстве, устанавливаемое фор-
формулой /=¦(<{>) ~(ср, ф)я, изометрично, то функционалы Fk обра-
образуют ортогональный нормированный базис в пространстве Ф„.
Мы доказали, таким образом, следующий результат.
Пусть ФаНаФ'—оснащенное гильбертово простран-
пространство иТ— оператор естественного вложения Ф в Н. Тогда
найдутся такое п и такие ортогональные нормирован-
нормированные базисы {hk} и {Ff,} в пространствах Н и Ф'п, что
для всех элементов ср из Ф имеет место равенство
= 2
G)
где Xft ^. 0 и ряд
сходится.


140
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[U
Заметим, что с оснащенным гильбертовым пространством можно
связать бесконечную в обе стороны убывающую цепочку гильбер-
гильбертовых пространств
Ф-ft => ... =Э Фо
(8)
такую, что при любом k, —оо < k < оо, существует ядерное ото-
отображение Т%+1 пространства Ф^+х на всюду плотное подмножество
пространства Ф#.
Чтобы построить такую цепочку, примем во внимание, что
ядерное пространство Ф является пересечением убывающей цепочки
оо
гильбертовых пространств: Ф = ГЛ
(9)
причем для любого k естественное отображение Т^+х является
ядерным. Пространство же Ф' является объединением возрастающей
оо
цепочки гильбертовых пространств: Ф' = М Ф-?,
ft
Ф-i cz Ф_2 с:
с: Ф-д, cz
A0)
где через Ф_д обозначено пространство ФА, сопряженное с Ф#. Обо-
Обозначим через Т%+1 при k < — 1 оператор, сопряженный с операто-
оператором TZk-v Этот оператор также является ядерным. Для того чтобы
связать цепочки (9) и A0), заметим следующее. Мы видели выше,
что найдется значение п, для которого оператор Тп, отображающий
пространство Фл в Н, является ядерным. Тогда и отображение Г_л
пространства Н в Ф_л ядерно (это отображение, как указывалось
выше, антилинейно). Не теряя общности, можно считать, что п= 1.
Обозначим теперь Н через Фо, а отображения Тг и r_j — через Т*
и r2_j соответственно. Мы получим при этом искомую последова-
последовательность пространств (8).
Цепочки подобного вида возникают при рассмотрении симме-
симметрических положительно определенных дифференциальных операто-
операторов. Пусть А — такой оператор. Сопоставим этому оператору набор
скалярных произведений в пространстве К бесконечно дифферен-
дифференцируемых финитных функций
Ak
Очевидно, что для любого элемента ср из пространства АС выполняется
неравенство (<р, <?)n+i > (f, f)n- Поэтому, пополняя пространство К
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
141
относительно этих скалярных произведений, мы получим убываю-
убывающую цепочку гильбертовых пространств
Фо =>
Ф„ :э ...
Обозначим пересечение этих пространств через Ф. Очевидно,
что оператор А переводит пространство Ф в себя. В самом деле,
в силу симметричности оператора А мы имеем
^х) dx:
dx
Следовательно, оператор А непрерывно отображает гильбертово
пространство Фл+2 в *m a потому переводит пространство Ф в себя.
Рассмотрим теперь пространства Ф-л, сопряженные простран-
пространствам Фл. Эти пространства образуют возрастающую цепочку
Фо cz Ф_х cz ... cz Ф_„ cz ...
Мы отождествили пространство Фо с самим собой, сопоставив
функции ф (х) из Фо функционал F^, такой, что
Итак, нами получена цепочка пространств вида
Ф_„
... :э Фо
Для любых двух элементов <р и
... :э Фл :э ... =э Ф.
оо
\> из пространства Ф = f"^ Фл
определены, таким образом, наряду со скалярными произведениями
(<р, <\>)п, п^О, и скалярные произведения (у, +)_л, п%0, возникаю-
возникающие, если рассматривать <р н <\i как элементы пространства Ф-л.
Скалярные произведения вида (<?, +)-л оказываются полезными
в некоторых вопросах теории дифференциальных уравнений в част-
частных производных.
3. Реализация гильбертова пространства в виде про-
пространства функций и оснащенные гильбертовы простран-
пространства. Как известно, гильбертово пространство допускает
различные реализации в виде пространства функций. Эти
реализации строятся следующим образом. Выберем положи-
положительную меру а в некотором множестве X (например, на
вещественной прямой) и обозначим через Ц, пространство


142
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
всех функций ср (х), для которых сходится интеграл
/|?(*)|2 *»(*).
X
Введя в пространство ?, скалярное произведение по фор-
формуле *)
(ср. ф) = J ср (х) WOdo (х), A2)
мы получим гильбертово пространство. Точнее говоря, эле-
элементами пространства bl являются не отдельные функции ср (х),
а классы функций, отличающихся друг от друга лишь на
множестве нулевой а-меры.
Недостатком указанной реализации является то обстоя-
обстоятельство, что, сопоставляя функции cp(je) из пространства Z.»
ее значение в некоторой точке лг0, мы не получаем, вообще
говоря, непрерывного линейного функционала в этом про-
пространстве (исключение составляют точки, в которых сосре-
сосредоточена ненулевая а-мера). Более того, поскольку функ-
функции ср(х) из пространства L% определены лишь с точностью
до их значений на множестве нулевой о-меры, мы лишены
возможности говорить об их значениях в фиксированной
точке х0. Однако во многих вопросах, в частности в вопро-
вопросах, связанных со спектральным разложением самосопряжен-
самосопряженных операторов, представляется желательным рассматривать
значение функции в точке как линейный функционал. Как и
во многих аналогичных случаях, это оказывается возможным,
если перейти от рассмотрения гильбертова пространства
к рассмотрению оснащенного гильбертова пространства.
Пусть ФаНаФ'— оснащенное гильбертово пространство.
Рассмотрим реализацию h-+h (х) пространства Н в виде
пространства функций со скалярным произведением вида A2).
Тогда каждому элементу ср ядерного пространства Ф соот-
соответствует функция ср (х), сопоставляемая при этой реализации
элементу Гер пространства Н (через Г мы обозначаем опера-
оператор естественного вложения пространства Ф в его пополне-
пополнение Н). Таким образом, мы получаем реализацию ср —> ср (х)
пространства Ф, индуцированную реализацией п—>-п(х) про-
*) В дальнейшем при интегрировании по множеству X мы будем
опускать указание области интегрирования.
3]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
143
странства Н. В этом пункте будет доказана следующая тео-
теорема о такой реализации.
Теорема 1. Пусть ФаНаФ' — оснащенное гильбер-
гильбертово пространство и ср—>ср(:с)—реализация простран-
пространства Ф в виде пространства функций, индуцированная
реализацией гильбертова пространства Н в виде прост-
пространства L.I. Тогда каждому значению х можно сопоста-
сопоставить линейный функционал Fx в пространстве Ф так,
чтобы для любой функции ср (х) аз этого пространства
равенство
/=•*» A3)
выполнялось почта при всех значениях х0 (относительно
меры а).
Доказательству этой теоремы предпошлем следующую
лемму об ортогональных рядах.
Лемма 1. Пусть функции {hk(x)} образуют ортого-
ортогональную нормированную систему относительно положи-
положительной меры а. Тогда для любой последовательности
положительных чисел \ь, такой, что ряд
дится, ряд
\к схо-
A4)
почти всюду сходится.
Доказательство. Применим следующий известный
критерий сходимости почти всюду функциональных рядов
с неотрицательными членами.
оо
Если сходится ряд ^V Г gk (x) da (дг), где gk (x) ^> О и
оо
а(х) — положительная мера, то ряд У] gk(x) сходится
почти всюду относительно меры а.
В силу неравенства Коши — Буняковского имеем


144
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
со
Так как ряд 2 \& п0 условию сходится, то нам достаточно
показать сходимость почти всюду ряда
A5)
Рассмотрим интеграл
A6)
Так как функции hk(x) нормированы, то этот интеграл
со оо
равен 2 **• Поскольку ряд 2 ^* п0 условию сходится, то
интеграл A6) имеет конечное значение, а потому ряд A5)
сходится почти для всех значений х (относительно меры а).
Отсюда, как мы видели, и вытекает сходимость почти всюду
ряда A4). Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Итак, дано,
что ср—>ср(лг) — реализация ядерного пространства Ф, возни-
возникающая при реализации пространства Н в виде L,. Надо
построить функционалы Fx в Ф, такие, что ^(<p) = <р(-*0
для всех функций ср из Ф. Определим эти функционалы
следующим образом. Рассмотрим оператор Т, вкладывающий
естественным образом пространство Ф в пространство Н.
Мы видели в п. 2, что оператор Г можно записать в виде
— 2
A7)
где {Fk} — ортогональный нормированный базис в одном из
пространств Ф„, сопряженных пространству Ф„, {hk} — орто-
ортогональный нормированный базис в пространстве Н, Xft^>0,
и ряд 2 \ сходится. Так как по условию теоремы прост-
пространство Н реализовано в виде пространства функций, то
3]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 145
каждому элементу hk соответствует функция hk (x) *). Рас-
Рассмотрим ряд
оо
F = 2 X h (x) F A8^
и докажем, что он сходится почти для всех х (относительно
меры а) по норме пространства Фл. Применим для этого
ОО ОО
к ряду 2 W^k(x)\ лемму 1. Так как ряд 2 ^* сходится,
а функции hk(x) ортогональны и нормированы относительно
со
меры а**), то по этой лемме ряд 2 Xft | Aft (дг) j почти всюду
сходится (относительно меры а).
Примем теперь во внимание, что функционалы [Fk] обра-
образуют ортогональный нормированный базис в пространстве Ф'п
и потому ||/;ift|]_n=l (||;F||_e — норма функционала F в про-
просо
странстве Ф^). Следовательно, ряд 2^ft|^(Jf)| можно
переписать в виде
A9)
Таким образом ряд с положительными членами A9) схо-
сходится почти для всех значений х. Так как
то почти для всех значений х ряд функционалов A8) схо-
сходится по норме пространства Ф'п.
i Тем самым сходимость ряда функционалов A7) почти для
всех значений х относительно топологии пространства Ф'
доказана. Примем сумму ряда A8) (в тех точках, где он
сходится) за функционал Fх, положив в остальных точках,
например, /^ = 0.
*) Эти функции определены с точностью до множества меры
нуль. Мы предполагаем, что они доопределены любым образом на
этом множестве и потому hk(x) имеет смысл для всех значений х.
**) Эти функции соответствуют при реализации пространства Н
элементам hk ортогонального нормированного базиса в Н.
\0 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Вилеикдц


145
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
Нам осталось показать, что если ср(х)— любая функция
из пространства Ф, то почти для всех значений х (относи-
(относительно меры а) выполняется равенство Fx (ср) = ср (х). Но из
равенства A8) вытекает, что почти для всех значений х мы
им:ем
С другой стороны, из равенства A7) следует, что
B0)
7ftOp)M*). B1)
где ср (х) и hk (x) рассматриваются как функции из ZA Отсюда
вытекает, что ряд B1) является разложением функции cp(je)
по ортогональной нормированной системе функций {hk(x)}.
Так как функция cp(je) имеет интегрируемый квадрат модуля,
то этот ряд сходится к ней в среднем. Но если один и тот же
ряд сходится почти всюду к функции Fx(y) и сходится
в среднем к функции ср (х), то почти для всех значений х
должно выполняться равенство Fx (ср) = ср {х). Теорема до-
доказана.
Заметим теперь, что функции ср(лг) определены лишь
с точностью до их значений на множестве нулевой а-меры.
Поэтому мы можем изменить значение каждой из этих функций
на множестве нулевой а-меры (различном для разных функций),
оставляя неизменной реализацию пространства. В дальнейшем
мы всегда будем иметь в виду такую реализацию простран-
пространства Н, при которой для всех функций cp(jc), ср?Ф, и всех
значений х выполняется равенство ср(х) =/^(ср).
Полезно отметить, что все функционалы Fх в теореме 1
принадлежат одному и тому же пространству Ф'п. Отметим
также, что условие ядерности пространства Ф можно осла-
ослабить. Теорема остается справедливой для любой пары ФсН,
состоящей из локально выпуклого линейного топологиче-
топологического пространства Ф и гильбертова пространства Н, если
существует ядерное отображение Т пространства Ф в Н *).
*) Линейное топологическое пространство называется локально
выпуклым, если любая его окрестность содержит выпуклую окрест-
окрестность того же элемента. Ядерным отображением Ф в Н называется
произведение непрерывного линейного отображения Ф в некоторое
Гильбертово пространство Hi и ядерного отображения //, в И,
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
147
4. Непрерывные прямые суммы гильбертовых про-
пространств и оснащенные гильбертовы пространства. Дока-
Доказанная в предыдущем пункте теорема является частным случаем
более общей теоремы, связанной с изометрическим вложением
гильбертова пространства в непрерывную прямую сумму гиль-
гильбертовых пространств.
Понятие непрерывной прямой суммы гильбертовых про-
пространств является обобщением понятия ортогональной пря-
прямой суммы счетного набора гильбертовых пространств
//,, .... Нп, ...
Напомним, что ортогональной прямой суммой гильбер-
гильбертовых пространств Ни .... Нп, ... называется гильбертово
пространство
элементами которого являются такие последовательности
что ряд 2 ||ЛЛ||^, где Н^л11л — норма в На, сходится. Ли-
Линейные операции в пространстве ф определяются покоорди-
покоординатно: если % = {hx, .... hn, . . .), ti = (g1 gn, . ..),
то ? -j- т] = {hl -j— g-j, .... hn-\- ga, . . .) и о? = (аА1( ...
..., ahn% ...), а скалярное произведение (?, ij) задается
формулой
оо
где {hn, gn)n — скалярное произведение в Нп. Можно рас-
рассматривать несколько более общее понятий ортогональной
прямой суммы гильбертовых пространств Н1 Нп
взятых с положительными весами [i1 ]ха \ъп >¦ 0.
В этом случае скалярное произведение определяется фор-
формулой
Это равенство можно записать в виде
10*


148
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
где через X обозначено множество, состоящее из точек
х=1, 2, .... л а через рОО— мера на этом множе-
множестве, равная }Ал в точке х==п. В соответствии с этим орто-
ортогональную прямую сумму гильбертовых пространств Нх, . . .
.... Нп взятых с весами ji^, .... рп можно за-
записать в виде
Обобщим теперь понятие ортогональной прямой суммы
гильбертовых пространств, взятых с заданными весами, отка-
отказавшись от требования счетности числа слагаемых. Иными
словами, рассмотрим некоторое множество X, на котором
задана положительная мера [*. Пусть каждой точке х это о
множества сопоставлено сепарабельное гильбертово простран-
пространство Н(х) размерности п(х), где п(х) может принимать
значения 1, 2 я, ... или значение оо, причем функ-
функция п{х) измерима по мере р.. Рассмотрим сначала случай,
когда все пространства Н(х) имеют одну и ту же размер-
размерность п (п — целое число или оо). Отождествим в этом случае
каждое из пространств Н(х) с одним и тем же гильбертовым
пространством Н размерности п.
Построим пространство 4?, состоящее из таких вектор-
функций l = h(x) на множестве X, принимающих значения
в пространстве Н, что
1) для любого элемента h из //числовая функция (h(x), h)
измерима по мере ji,
2) числовая функция ||А(:е)|] имеет интегрируемый квад-
квадрат модуля по мере (i
Определим в пространстве ф линейные операции, положив
для вектор-функций % = h(x) и ~i\z=g(x)
a% — ah (x),
и введем скалярное произведение, положив
B2)
4]
4. ОСНАЩЁННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
149
Это скалярное произведение определено для всех эле-
элементов %=:h(x) и -q = g(x) пространства ?>. В самом деле,
в силу условия 1) для любого ортогонального базиса hu ...
.... А„, ... в пространстве Н все функции (h(x), hn) и {hn,
g(x)) измеримы, а потому измерима и функция.
(А (х), g (х) ) = 2 (А (х), ha) (А„, g (х) ).
Но
!«-ООН
к
и потому в силу условия 2) интеграл B2) сходится.
Легко проверить, что пространство 4? удовлетворяет всем
аксиомам гильбертова пространства. В частности, это про-
пространство полно. Доказательство полноты пространства ф
хорошо известно в случае, когда п(х)= 1, т. е. когда про-
пространство 4? является пространством L2 скалярных функ-
функций f(x), имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно
меры {j.. В общем случае оно проводится аналогично.
Мы будем называть гильбертово пространство 4? непре-
непрерывной прямой суммой гильбертовых пространств Н(х)
относительно меры {j. и обозначать его тем же символом
который был использован для ортогональной прямой суммы.
В случае, когда пространства Н(х) имеют различную
размерность, мы поступаем следующим образом. Разобьем
множество X, на котором задана мера ^, на измеримые под-
подмножества Хх, . . ., Хп, .... в каждом из которых имеет место
равенство «(х) = га. Мы уже знаем определение гильбертова
пространства


150
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
Обозначим теперь через ф ортогональную прямую сумму
пространств ф1§ .... ?„, ...
Это пространство ф мы и будем называть непрерывной
прямой суммой пространств Н{х) относительно мери р.
и обозначать
Частным случаем введенного понятия непрерывной прямой
суммы гильбертовых пространств является понятие ортого-
ортогональной прямой суммы гильбертовых пространств. Оно
соответствует случаю, когда мера ji. задана на счетном мно-
множестве. Гильбертово пространство L? функций с интегрируе-
интегрируемым квадратом модуля относительно меры (i является непре-
непрерывной прямой суммой одномерных пространств относительно
меры [I.
Перейдем теперь к рассмотрению результатов, аналогич-
аналогичных результатам п. 3, для непрерывных прямых сумм.
Отметим следующую лемму, аналогичную лемме 1 из-п. 3.
Лемма I'. Пусть ф — непрерывная прямая сумма
гильбертовых пространств Н{х) относительно меры ji
Если {!„} = {hn{x)}—любой ортогональный нормирован-
оо
ный базис в пространстве <§> и ряд 2^-л» г&е ^л^-0, схо-
Л=1
дится, то ряд
сходится почта для всех значений х {относительно меры ji)
по норме пространства ф.
Поскольку доказательство этой леммы протекает дословно
так же, как и доказательство леммы 1, мы опускаем его.
4]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
151
Рассмотрим теперь оснащенное гильбертово простран-
пространство Фсг//сФ'. Пусть пространство Н изометрично ото-
отображено в непрерывную прямую сумму
гильбертовых пространств Н{х) относительно меры р. Тогда
каждому элементу h из Н соответствует вектор-функция
? = й(:е), значение которой при каждом х есть вектор h{x)
из Н(х), причем
F. Ч)= /*(*(*).«•(*)) <*К*).
Так как каждому элементу ср пространства Ф соответствует
элемент Гер пространства Н (Г—естественное вложение Ф в Н),
то мы можем сопоставить элементу ср из Ф функцию ср(х)
из пространства <§>. Докажем сейчас следующую теорему
об этих функциях, обобщающую теорему 1 из п. 3.
Теорема 1'. Пусть ФсгТ/сФ' — оснащенное гильбер-
гильбертово пространство и h —> ? == h (x) ? Н (х) — изометри-
изометрическое отображение пространства Н в пространство
Тогда для любого х существует такой ядерный опера-
оператор Тх, отображающий пространство Ф в Н{х), что
для <р?Ф функции ср(х) и 7^(ср) отличаются лишь на мно-
множестве меры нуль.
Доказательство. Так как пространство Ф ядерно,
то найдется такое значение п, что естественное отображение Т
пространства Ф в Я можко записать в виде
= 2 V7* (?)**.
fti
B3)
где {Лй} — ортогональный нормированный базис в простран-
пространстве Н, {Fk}—ортогональный нормированный базис в про-
оо
странстве Ф', Xft^-0 и ряд 2^-6 сходится. Сопоставим каж-
каждому значению k и каждому х ^ X оператор XkF\hk {x) ранга 1,


152
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[4
переводящий элемент ср из пространства Ф„ в элемент
"kkFk (cp) hk (x) пространства Н(х). Мы докажем сейчас, что
ряд
оо
2 4Fkhk (*)• B4)
составленный из этих операторов, сходится по норме почти
для всех значений х [относительно меры р(х)], причем почти
для всех значений х сумма Тх этого ряда является ядерным
оператором. Заметим для этого, что из определения оператора
\kFkhk(x) вытекает равенство
где Ц^й!^ —норма линейного функционала Fk в простран-
пространстве Ф'п, а ||Ай(х)||—норма элемента hk(x) в простран-
пространстве Н(х). Поэтому согласно п. 5 § 2 как сходимость
почти всюду ряда B4), так и ядерность почти всюду опера-
оператора Тх будут доказаны, если мы докажем, что сходится
ряд
составленный из норм операторов ранга 1. Но эта сходи-
сходимость непосредственно вытекает из леммы 1', если при-
принять во внимание, что Ц/^!^ = 1, а вектор-функции hk{x)
соответствуют элементам ортогонального и нормированного
базиса hk в пространстве Н и потому образуют ортогональ-
ортогональную и нормированную систему функций в <§>.
Положим теперь
B5)
для всех точек х, в которых сумма ряда B4) является ядер-
ядерным оператором и Тх = 6 в остальных точках. Мы покажем
сейчас, что для всех элементов ср из пространства Ф равен-
равенство Тх (ср) = ср (х) выполняется почти для всех значений х.
В самом деле, из равенства B5) вытекает, что почти всюду
ш+
(<?)**(*)•
B6)
5]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
153
Но функция ср (х) соответствует элементу Гер пространства Н
и потому по формуле B3) мы имеем, что
B7)
причем ряд B7) сходится в среднем (относительно меры ji).
Сравнивая формулы B6) и B7), мы убеждаемся, что век-
вектор-функции Tx(f) и cp(jc) почти всюду равны. Теорема
доказана.
Как и для теоремы 1, отметим, что все операторы Тх
можно выбрать так, чтобы они были ядерны относительно
одного и того же скалярного произведения (ср, ф)л в Ф.
Кроме того, отметим, что вместо требования ядерности Ф
достаточно потребовать, чтобы Ф было локально выпуклым
линейным топологическим пространством, допускающим ядер-
ядерное вложение Т в пространство Н.
В дальнейшем, говоря о реализации h-+ h (x) простран-
пространства Н, мы будем иметь в виду реализацию, при которой
равенство Т^(ср) = ср(х) справедливо при всех х и всехср?Ф.
5. Спектральный анализ операторов в оснащенных
гильбертовых пространствах. Перейдем теперь к основному
вопросу этого параграфа — спектральному анализу операторов
в оснащенных гильбертовых пространствах. Напомним сна-
сначала введенное в п. 1 понятие обобщенного собственного
вектора. Пусть А — оператор, действующий в линейном топо-
топологическом пространстве Ф. Обобщенным собственным век-
вектором оператора А, соответствующим собственному
значению X, называется такой линейный функционал F из про-
пространства Ф', что для всех элементов ср из Ф имеет место
равенство
Это равенство можно записать в следующем виде
где А' — такой оператор в пространстве Ф', что
для всех элементов ср из Ф и функционалов F из Ф\


154
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[5
Каждому значению X соответствует собственное подпро-
подпространство Ф[ оператора А, состоящее из всех обобщенных
собственных векторов F, для которых собственное значение
равно X. Введем теперь понятие спектрального разложения
для элементов ср пространства Ф. Сопоставим каждому эле-
элементу ср из пространства Ф и каждому числу X линейный функ-
функционал срх в пространстве Ф'х, принимающий на элементе F
из Фх значение /\(ср). Мы получим вектор-функцию срх, зна-
значениями которой являются линейные функционалы, задан-
заданные в подпространствах Фх. Соответствие ср—*ср назовем
спектральным разложением элемента ср. соответствую-
соответствующим оператору А. Очевидно, что если ср —»-срх — спектраль-
спектральное разложение элемента ср, то спектральным разложением
элемента ф:= Лср является вектор-функция ipx = Xcpx. В самом
деле, для любого функционала Fx из Фх мы имеем
Значит, по определению срх и фх имеем
Если подпространства Ф[ одномерны (или, как мы будем
говорить, оператор А имеет простой спектр), то функции срх
скалярны.
Примером спектрального разложения с простым спектром
является соответствие, при котором функции <р (х) из пространства S
соответствует ее преобразование Фурье ? (X)
Это разложение соответствует оператору сдвига ?/д: <р (х)-><р (х—Л),
так как функции *Лдс являются обобщенными собственными векто-
векторами для этого оператора.
Если у оператора А «мало» обобщенных собственных
векторов, то может случиться, что срхз0, в то время
как ср Ф 0. В этом случае различным элементам простран-
пространства Ф будут соответствовать одни и те же вектор-функции.
Мы будем говорить, что оператор А обладает достаточ-
достаточным набором обобщенных собственных векторов или,
5]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
155
иначе, что множество обобщенных собственных векторов
оператора А полно, если из равенства срх = 0 вытекает ра-
равенство ср = О. Если множество обобщенных собственных век-
векторов оператора А полно, то различным элементам ср про-
пространства Ф отвечают различные вектор-функции срх.
Мы покажем, что если задано оснащенное гильбертово
пространство Ф<=.Н<=.Ф' и оператор А, действующий в про-
пространстве Ф, может быть продолжен до унитарного или
самосопряженного оператора в пространстве Н, то система
обобщенных собственных векторов оператора А полна.
При доказательстве этих результатов будут использо-
использованы некоторые теоремы из спектральной теории линей-
линейных операторов в гильбертовом пространстве. Для того чтобы
не прерывать изложения, мы приведем в тексте лишь фор-
формулировки этих теорем (некоторые из них будут доказаны
в дополнении к этому параграфу).
Напомним следующие определения. Оператор V в гиль-
гильбертовом пространстве Н называется унитарным, если для
любых векторов / и g из Н имеет место равенство
(f, g) = (Uf,Ug) = (U~1f, U'1 g). Унитарный оператор U
называется циклическим, если в пространстве Н существует
такой вектор /, что векторы ?/"/, — со << л << сю, где
п — целое число, порождают все пространство Н.
Приведем пример унитарного циклического оператора.
Пусть Ll — пространство функций ср (X), |Х| = 1, на единич-
единичной окружности, имеющих интегрируемый квадрат модуля
относительно положительной конечной меры а на этой окруж-
окружности. Тогда оператор U, переводящий функцию ср (X) в функ-
функцию Хср(Х), унитарен. В самом деле,
(С/ср, Щ) = J Х? (X) ЩТ)dc (X) = J ср(X)ф(Х)da (X) = (?, ф).
1X1=1
Нетрудно видеть, что U является циклическим оператором,
порождающим вектором для которого служит функция
сро(Х)=1. Оказывается, что любой унитарный циклический
оператор имеет такой вид. Иными словами, имеет место сле-
следующая теорема.
Теорема 2. Пусть V—унитарный циклический опе-
оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда простран-
пространство Н можно так реализовать в виде пространства L,


156
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[5
функций ср(Х), |Х|=1, на единичной окружности, имею-
имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно поло-
положительной меры а, чтобы оператору U соответствовал
оператор умножения на X: если h-^-h (X), то Uh —»¦ Хй (X).
Рассмотрим теперь оснащенное гильбертово пространство
ФсЯсФ'. Оператор U, отображающий пространство Ф на
себя, называется унитарным, если для любых двух элемен-
элементов (р и (|) из Ф выполняется равенство
<?Лр. 1*Ю = («р. ф).
где (ср, <|>)— скалярное произведение, пополнение по которому
пространства Ф дает Н.
В силу плотности Ф в Н унитарный оператор U в Ф
можно продолжить до унитарного оператора в пространстве Н.
Мы будем обозначать этот оператор также буквой U. Если
получающийся при продолжении оператор в пространстве Н
является циклическим, то и оператор U в пространстве Ф
мы будем называть циклическим.
Докажем теперь следующую теорему о полноте системы
обобщенных собственных векторов для унитарного цикличе-
циклического оператора U в оснащенном гильбертовом пространстве
ФсЯсФ'.
Теорема 3. Пусть U — циклический унитарный опе-
оператор а оснащенном гильбертовом пространстве. Тогда
множество обобщенных собственных векторов опера-
оператора U полно, т. е. из обращения в нуль всех компо-
компонент срх элемента ср при спектральном разложении,
соответствующем оператору U, вытекает обращение
в нуль элемента ср.
Доказательство. Так как пространство Ф всюду
плотно в Н, то оператор U можно распространить до уни-
унитарного оператора в пространстве Н. Применим к этому
оператору теорему 2. Мы получим реализацию А—>-й(Х) про-
пространства Н в виде функций на единичной окружности,
имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно поло-
положительной меры о. Оператору U при этой реализации отве-
отвечает оператор умножения на X, |Х|=1, т. е. если A —>h(l),
то Uh-^\h(k).
При реализации А—>-А(Х) каждому элементу ср из про-
пространства Ф соответствует функция ср (X). При этом по тео-
5]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА . 157
реме 1 из п. 3 функции ср(Х) можно выбрать так, чтобы для
любого X выполнялось равенство
где F\ — непрерывный линейный функционал в пространстве Ф.
Покажем, что функционалы Fx являются обобщенными соб-
собственными векторами оператора U. В самом деле, пусть
ср — любой элемент из пространства Ф и (Уср = ф. Тогда при
любом X мы имеем ф(Х) = Хср(Х). Но
и потому
Но это и означает, что Fx является обобщенным собственным
вектором оператора U, соответствующим собственному зна-
значению X.
Заметим теперь, что
ср (X) = Fx (ср) = срх.
Эго означает, что функция ср(Х) совпадает в пространстве Ф^
обобщенных собственных векторов Fx с срх. Отсюда следует,
что если срх5==0, то и ср(Х)^О.
Для того чтобы доказать полноту системы обобщенных
собственных векторов оператора U, нам осталось показать,
что из выполнения равенства ср (X) = 0 при всех X, J X | = 1,
вытекает равенство ср = 0. Но это утверждение нгпосредст-
венно вытекает из того, что отображение А -> Л (X) про-
пространства Н в L.I изометрично, и потому имеет место равенство
= (<Р. <р)=
B8)
Следовательно, если ср(Х)==О, |Х|=1, то и ср = О. Тем
самым теорема 3 доказана.
Заметим, что равенство B8) можно записать также в виде
||ср||2= I | Fx(cp) |2<fo (X).
Оно является обобщением равенства Планшереля для обыч-
обычного преобразования Фурье.


158
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[5
Рассмотрим теперь самосопряженные операторы. Линейный
оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н и
определенный на некотором всюду плотном линейном под-
подмножестве QA в Н, называется самосопряженным, если:
1) для любых двух векторов / и g из QA выполняется
равенство
(АЛ *) = (/. Ag\
2) ни для одного вектора g, не принадлежащего QA,
нельзя найти такого вектора gu что (A/, g) = (/, gx) при
всех / из QA.
Самосопряженный оператор А называется циклическим,
если найдется такой вектор /, что векторы Ап/, я = О, 1, ....
порождают все пространство Н.
Для самосопряженных циклических операторов А спра-
справедлива теорема, аналогичная теореме 2.
Теорема 2'. Пусть А — самосопряженный цикличе-
циклический оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда
существует такая реализация h —> h (X) пространства Н
в виде пространства L.I функций на вещественной оси,
имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно
положительной меры о, что
1) область определения оператора А переходит при
этой реализации в множество функций f (X), для которых
сходится интеграл
2) если элементу f соответствует функция /(X),
то элементу А/ соответствует функция X/ (X) *).
Назовем оператор А, действующий в ядерном простран-
пространстве Ф, самосопряженным относительно скалярного произ-
*) Теоремы 2 и 2' тесно связаны друг с другом. Если U—уни-
U—унитарный оператор, то оператор А, задаваемый формулой
А~ U + IE"
самосопряжен. Любой самосопряженный оператор А может быть
записан в указанном'виде, где U — унитарный оператор. Пользуясь
этим замечанием, можно получить теорему 2' из теоремы 2 и
обратно.
5]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
159
ведения (ср, f), если его замыкание в пополнении Н
пространства Ф относительно нормыУ^ср, ср) самосопряжено.
Мы будем говорить в этом случае, что оператор А самосо-
самосопряжен в оснащенном гильбертовом пространстве ФсЯсФ'.
Если получающийся при этом оператор в пространстве Н
оказывается циклическим, то и оператор А мы будем на-
называть циклическим оператором.
Пользуясь теоремой 2', можно доказать следующую
теорему.
Теорема 3'. Пусть А — самосопряженный цикли-
циклический оператор в оснащенном гильбертовом простран-
пространстве Фс://с:Ф'. Тогда множество обобщенных собствен-
собственных векторов оператора А, соответствующих вещест-
вещественным собственным значениям, полно.
Заметим, что можно ослабить условия теорем 3 и 3',
отказавшись от требования, чтобы оператор U (или А) пере-
переводил пространство Ф в себя (это условие не выполняется,
например, если Ф — пространство бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций, а А — линейный дифференциальный опера-
оператор, коэффициентами которого являются функции, обладаю-
обладающие лишь конечным числом непрерывных производных).
Теоремы 3 и 3' сохраняют силу и в случае, когда опера-
оператор U (или А) переводит в себя такое пополнение Фл про-
пространства Ф, что естественное вложение Тп пространства Фп
в Н ядерно. Это вытекает из справедливости теоремы 1
в случае, когда пространство Ф не является ядерным, но
вложение Т пространства Ф в Н ядерно.
Остановимся теперь на случае, когда оператор не является
циклическим. В этом случае теоремы 2 и 2' заменяются сле-
следующими, более общими теоремами.
Теорема 4. Пусть U—унитарный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве Н. Тогда существует такая
положительная мера а на единичной окружности и такое
изометрическое вложение пространства Н в непрерыв-
непрерывную прямую сумму
гильбертовых пространств Н(к) относительно меры о,
что оператору U соответствует при этом разложении


160
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
оператор умножения на X. Иными словами, если эле-
элементу h из Н соответствует вектор-функция h (X), то эле-
элементу Uh соответствует вектор-функция Хй (X).
Теорема 4'. Пусть А— самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Н. Тогда существует такая
положительная мера <з(Х) на вещественной оси а такое
изометрическое вложение пространства Н в непрерыв-
непрерывную прямую сумму ф гильбертовых пространств НХ
относительно меры <з(Х)
что оператору А соответствует при этом оператор
умножения на X.
Применим эти теоремы для доказательства полноты си-
системы обобщенных собственных векторов унитарных и само-
самосопряженных операторов в оснащенном гильбертовом про-
пространстве ФсЯсФ'. Мы рассмотрим подробно только слу-
случай унитарных операторов, поскольку для самосопряженных
операторов все доказывается совершенно аналогично.
Итак, пусть U — унитарный оператор в оснащенном гиль-
гильбертовом пространстве ФсЯсФ'. По теореме 4 существует
изометрическое вложение пространства Н в непрерывную
прямую сумму
= J
при котором оператору U соответствует оператор умножения
на X. Применим к этому вложению теорему 1Л Мы получим,
что для всех элементов tp из Ф и всех X выполняется ра-
равенство
где 7\—ядерный оператор, отображающий пространство Ф
в Я(Х).
Отсюда следует, что каждому элементу ? из простран-
пространства //(X) соответствует линейный функционал % в про-
пространстве Ф, определяемый равенством
5]
§ 4. ОСНАЩЕННЫЕ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
161
(скалярное произведение берется в пространстве НXX)). При-
Примем теперь во внимание,, что оператору U соответствует
в пространстве •?> оператор умножения на X. Мы полу-
получаем отсюда, что функционал ?, соответствующий элементу ?
из //(X), является обобщенным собственным вектором
оператора U, т. е. что U'%— X?. При этом, если % Ф 0,
то и X Ф0.
Мы построили, таким образом, вложение каждого про-
пространства //(X) в пространство Фх, состоящее из линейных
функционалов F в пространстве Ф, для которых A'F = XF.
Нетрудно видеть, что это вложение непрерывно: если
lim Чп — ?, то и lim %п = %.
п ->¦ оо п ->¦ ос
Пусть теперь ср — такой элемент из пространства Ф, что
срх = О. Тогда для любого X и любого элемента I из про-
пространства //(X), мы имеем
0 =^E) = ?(?) = (ср(Х),
Отсюда вытекает, что ср(Х)=зО. Так как
то мы получаем, что ср = О.
Итак, мы доказали, что если срх==О для всех значений X,
то ср = О. Иными словами, нами доказана полнота системы
обобщенных собственных функций оператора U.
Теорема 5. Унитарный оператор в оснащенном
гильбертовом пространстве обладает полной системой
обобщенных собственных векторов, соответствующих
собственным значениям X, модуль которых равен еди-
единице.
Точно так же доказывается следующая теорема.
Теорема 5'. Самосопряженный оператор в оснащен-
оснащенном гильбертовом пространстве обладает полной систе-
системой обобщенных собственных векторов, соответствую-
соответствующих вещестзенным собственным значениям.
В некоторых случаях полезны аналогичные теоремы,
касающиеся коммутирующих систем унитарных или самосо-
самосопряженных операторов.
И Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


162
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
¦П
Пусть {Ak}, k=l, ..., п — система коммутирующих
между собой самосопряженных операторов в оснащенном
гильбертовом пространстве. Это означает, что операторы
Ек (Д), k = 1 п, входящие в разложения единицы само-
самосопряженных замыканий операторов Ak в Н, коммутируют
друг с другом. Назовем линейный функционал F в про-
пространстве Ф обобщенным собственным вектором для системы
операторов {Ak}, если для любого k, l^k^n, имеет
место равенство
Совокупность чисел X = (кх Хп) назовем собственным
значением, соответствующим этому собственному вектору.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 6. Если {Ak}, \^k^.n — система ком-
коммутирующих самосопряженных операторов в оснащен-
оснащенном гильбертовом пространстве, то множество ах
обобщенных собственных векторов полно.
Аналогичная теорема справедлива и для коммутирующей
системы унитарных операторов в оснащенном гильбертовом
пространстве.
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
И УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
1. Абстрактная теорема о спектральном разложении.
В этом параграфе были использованы некоторые результаты
спектральной теории операторов. Поскольку не все эти резуль-
результаты можно считать общеизвестными, мы даем здесь их изло-
изложение, опирающееся на теорему об абстрактном спектраль-
спектральном разложении самосопряженного оператора (относительно
определения самосопряженного оператора см. п. 5 § 4).
Чтобы сформулировать эту теорему, введем понятие
о разложении единицы. Пусть каждому интервалу Д = [а, Ь)
на вещественной оси сопоставлен ограниченный самосопря-
самосопряженный оператор Е (Д) в гильбертовом пространстве Н,
причем выполняются следующие свойства:
1) для любых двух интервалов \ и А% имеет место ра-
равенство
Д8); A)
1]
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
163
2) имеют место равенства
lim Е(х) = Е, lim Е(х) = 0,
B)
где положено Е(х) = Е(Д,.) (Д^. — интервал (— оо, х)),
через Е обозначен единичный оператор, а через 0 — нулевой
оператор *);
3) если интервал Д является счетной суммой непересекаю-
щихся
оо оо
интервалов Ап, Д= М Дл, то ?(Д)=2
п=1 л-1
Такое семейство операторов Я(Д) и называется разложе-
разложением единицы.
Из равенства A) вытекает, что для любого интервала Д
выполняется равенство ZF2 (Д) = ? (Д). Это означает, что ?(Д)
является проекционным оператором, проектирующим про-
пространство Н на подпространство На — E(k)H. Опера-
Операторы ?(Д) положительно определены, т. е. таковы, что
(Л:(Д)/, /)^-О,для любого элемента / из Н. В самом деле,
любого интервала Д и любого элемента /
Положим для
из Я
Из изложенного выше вытекает, что ^/(Д) является счетно-
аддитивной положительной мерой, заданной на интервалах Д.
Эту меру можно распространить на все борелевские множе-
множества. Мы будем называть меру рДД) спектральной мерой,
соответствующей при разложении единицы Е (Д) элементу /.
Теорема о спектральном разложении самосопряженного
оператора формулируется следующим образом.
Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Н. Тогда существует та-
такое разложение единицы ?(Д), что оператор А определен
*) Здесь н ниже сходимость операторов понимается в слабом
смысле: равенство lim Е (х) = Е означает, что
*-> +оо
lim (E(x)f, g) = {f, g)
для любых двух элементов / и g из Н.


164
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[1
на множестве QA тех элементов / из Н, для которых
сходится интеграл
f
где ру(х) = (Е (L)f, /). Оператор А задается для таких
элементов / формулой *)
Af=fxd(E(x)f),
C)
где Е(х) — Е(—сю, х).
Из теоремы 1 вытекает, что если Д — любой интервал,
то имеют место равенства
?(Д)Л = Л?(Д) = JxdE(x). D)
А
В самом деле,
со оо
Е (Д) А = Е (Д) J х dE (х) = J хЕ (Д) dE (x).
—оо —оо
Но, по равенству A), Е (Д) dE (х) = 0, если х не принадле-
принадлежит Д, и Е (Д) dE (х) = dE (х), если х ? Д. Поэтому
Е (Д) А = J х dE (.r).
А
Аналогично доказывается, что
АЕ (Д) = J х dE (x).
*) Равенство C) также понимается в слабом смысле: для любых
двух элементов / и g из йД выполняется равенство
2]
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
165
Из равенства D) вытекает, что для любого вектора / из
подпространства ЯД:=Е(Д)Я, Д = [а, Ь), выполняется нера-
неравенство
\\Af- а/||<(* —а)||/||.
Поэтому, если Ь — а мало, то / является «почти собственным
вектором» оператора А. Если Да, . . ., Дл, . . . —непересекаю-
—непересекающиеся интервалы, покрывающие вещественную ось, то про-
пространство Н является ортогональной прямой суммой подпро-
подпространств //д„, в которых оператор А «почти совпадает
с оператором подобия».
Аналогичная теорема справедлива и для унитарных опе-
операторов с той лишь разницей, что интервалы Д лежат не на
вещественной прямой, а на единичной окружности.
2. Циклические операторы. Особенно простое строение
имеют циклические операторы. Самосопряженный оператор А
называется циклическим, если существует такой вектор /,
что линейные комбинации векторов Е(Д)/ всюду плотны
в гильбертовом пространстве Н. Вектор / называется цикли-
циклическим вектором.
Если А — циклический оператор, то гильбертово про-
пространство Н можно реализовать в виде пространства L}
функций ср(л;), имеющих интегрируемый квадрат модуля
относительно меры (Лу(Д), причем оператору А соответ-
соответствует оператор умноэюения функции <р(х) на х.
Таким образом, область определения оператора А при
такой реализации состоит из функций ср(лг), для которых схо-
сходится интеграл
J"
Указанная реализация осуществляется следующим образом.
Сопоставим каждому вектору вида ?(Д)/характеристическую
функцию Хд(х) интервала Д. В частности, самому вектору/
сопоставим функцию, тождественно равную единице на всей
прямой. Покажем, что это соответствие является изометриче-
изометрическим соответствием в том смысле, что


166 ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ [3
В самом деле, из соотношения A) вытекает, что
(x).
= Ну (д) =/ dp/ (*) = f | Хл (х)
Распространим теперь полученное изометри 1?ское соответ-
соответствие ^(Д)/—>-Хд(*)• используя линейные комбинации и пре-
предельный переход. Поскольку линейные комбинации векто-
векторов ?(Д)/ всюду плотны в Н, а линейные комбинации
характеристических функций Хд(х) всюду плотны в простран-
пространстве Z./, мы получим изометрическое соответствие между
пространствами Н и Z,/.
Очевидно, что для любого интервала Д имеет место равен-
равенство
(АЕ (Д) /.?) = / xd (Е (х) /, g).
А
Поэтому
(АЕ (Д) /, /) = f х d (Е (х) /, /) =
= J xd]xf (x) == J
. (лг).
Это означает, что оператору Л соответствует в простран-
пространстве L/ оператор, переводящий характеристическую функ-
функцию Ха (х) в функцию x~^L (x). Поскольку функции ^д (х)
образуют всюду плотное множество в L/, то мы получаем,
что при описанной реализации оператору А соответст-
соответствует оператор умножения на х функций ср(х) из про-
пространства Lf.
3. Разложение гильбертова пространства в непрерыв-
непрерывную прямую сумму, соответствующее данному самосопря-
самосопряженному оператору. Покажем, что если А — самосопряжен-
самосопряженный линейный оператор в гильбертовом пространстве Н, то су-
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
167
ществует изометрическое вложение пространства Н в прямую
сумму
гильбертовых пространств Н(х), при котором оператор А
задается в каждом из пространств Н(х) в виде оператора
умножения на х.
Пусть А — самосопряженный оператор в Н и/ — вектор
из Н. Циклическим подпространством в Н, порожденным
вектором /, называют наименьшее замкнутое подпростран-
подпространство Hf, содержащее все векторы E(b)f, гдеЕ(Д) — разло-
разложение единицы, соответствующее оператору А. Покажем, что
если вектор h ортогонален циклическому подпространству Н*,
то и все векторы E(A)h ортогональны Н*. В самом деле,
так как операторы ?(Д) самосопряжены,-то при g^Hf мы
имеем
(?(Д)А. g) = (h, E(A)g).
Поскольку подпространство Hf содержит вместе с вектором g
и все векторы E(&.)g, то (Е(Д)h, g) = Q при g?Hf, т. е.
векторы Е (Д) h ортогональны Н,. Отсюда следует, что если
setcmop h ортогонален циклическому подпространству Hf,
то циклическое подпространство Hk, порожденное век-
вектором h, ортогонально Н*.
Перейдем теперь к построению вложения пространства Н
в .§>, соответствующего оператору А. Выберем в простран-
пространстве Н счетное всюду плотное множество fx, ..., /„, ... и
обозначим через HL циклическое подпространство, порожден-
порожденное элементом fx. Пусть уже построены попарно ортогональ^
ные циклические подпространства Нг Нп в Н. Возьмем
первый из элементов fk, I -^ k ¦< оо, не принадлежащих
прямой сумме Н" = //1® ... ®Нп. Пусть это будет эле-
элемент fkn. Выберем в подпространстве G, натянутом на Нп
и fkn, элемент hn+1 (||Ал+1|| = 1), ортогональный Нп. Обо-
Обозначим через Нп+1 циклическое подпространство, порожден-
порожденное hn+i. Очевидно, что /*„€#!© ••• Ф-^п+i- Так как
множество элементов /1 /л, ... всюду плотно .в Н, то.


168 гл. i. теорема 6 ядре ' [3
продолжая описанный процесс, мы получим разложение
в ортогональную прямую сумму циклических подпространств
Ни .... //„, . . .
Выше было показано, что каждое из циклических под-
подпространств //„ можно реализовать в виде пространства
функций hn(x), причем скалярное произведение в //„ задается
формулой
/« (*). gn (х) ) = J /„ (х) Jj
n (х),
где {ап(Д) = (?'(Д)Лп, hn) — положительная мера. Отсюда вы-
вытекает, что каждый элемент / из // задается в виде после-
последовательности функций
причем скалярное произведение в Н имеет вид
оо
(/. g) = 2 / /„ (*) g
Оператор А переводит каждую из функций /„ (х) в функцию
xfn(x) и, следовательно,
А/ =
„ (х), . . .).
Мы реализовали пространство Н в виде прямой суммы
пространств функций, причем в каждом слагаемом скалярное
произведение задается при помощи своей положительной
меры. Покажем, что можно построить реализацию простран-
пространства Н в виде прямой суммы пространств функций так, чтобы
скалярное произведение задавалось в каждом из пространств На
одной и той же мерой (л. Определим эту меру равенством
(поскольку для любого п мы имеем
„, ЛЯ)<||ЛЯ|| =
3]
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
169
то ряд E) сходится). Мера ji обладает следующим свойством,
непосредственно вытекающим из равенства E): если для не-
некоторого множества Д выполняется равенство {а(Д) = 0, то
\>-„ (Д) = 0 при всех значениях п.
По теореме Радона—Никодима *) отсюда вытекает, что.
каждую из мер (хл можно записать в виде
Д'
где ср„(х) — положительная функция. Обозначим через /.^ гиль-
гильбертово пространство, состоящее из функций (р(х), для кото-
которых сходится интеграл
Очевидно, что если hn(x)'—функция из пространства Нп, то
функция фл (х) = |Ар„ (х) hn (x) принадлежит пространству L^.
причем имеет место равенство
Иными словами, отображение hn (х) —»¦ ф„ (х) является изо-
изометрическим отображением пространства Нп на Z.JL
Таким образом, каждому элементу / из пространства Н
соответствует последовательность элементов
из /^> причем скалярное произведение в Н задается формулой
где
*) Относительно теоремы Радона—Никодима см. сноску на
стр. 436. ¦


170
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
Поскольку для любого элемента / из Н интеграл
сх°дится> то рад 2 ' ^" (х^ I2 сходится
Л-1 П=1
почти для всех значений х (относительно меры р). Поэтому
почти для всех значений х мы можем считать числа <|>i(at), . . .
.... фл (х), ... координатами вектора п(х) из некоторого
гильбертова пространства Н(х). Таким образом, каждому
элементу Л из Я сопоставлен почти для всех значений х
вектор п(х) из гильбертова пространства Н(х), причем
имеет место равенство
л-l
Но это и означает, что пространство Н изометрически вло-
вложено в непрерывную прямую сумму
гильбертовых пространств Н(х) относительно меры р. Не-
Нетрудно видеть, что при этом вложении оператору А соот-
соответствует оператор в ф, переводящий вектор {h (x)} в вектор
{хп(х)\. Этот оператор определен на множестве таких век-
вектор-функций {h(x)}, что интеграл
сходится.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Пусть А — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Н. Тогда пространство Н
можно так изометрически вложить s непрерывную пря-
прямую сумму гильбертовых пространств
= J ®H{x)dV.{x)
относительно положительной меры \х, чтобы, оператору А
соответствовал в $> оператор умножения на х.
ГЛАВА II
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе будет изложен ряд результатов теории
обобщенных функций, так или иначе связанных с понятиями
положительности и положительной определенности. В центре
внимания стоит вопрос о задании таких обобщенных функций
положительными мерами на различных множествах. Для не-
непрерывных функций классический пример такого задания
дает теорема Бохнера о том, что всякая непрерывная поло-
положительно определенная функция является преобразованием
Фурье положительной меры. Здесь указываются различные
обобщения этой теоремы. В частности, рассматриваются
условно положительно определенные обобщенные функции,
имеющие полезные приложения в теории случайных про-
процессов (см. § 4).
Дальнейшая часть главы посвящена теории четно-положи-
четно-положительно определенных обобщенных функций. Эта теория дает
пример того, как в зависимости от априорных оценок, нало-
наложенных на изучаемые обобщенные функции, решается вопрос об
единственности или неединственности положительной меры,
задающей эту функцию. Типичной теоремой этого круга вопро-
вопросов является теорема о четных функциях / (х), для которых ядро
К(х, y) = f(x + y) + f(x — y)
положительно определено. Как показал М. Г. Крейн [57],
(см. также А. Я. Повзнер [67]), такие функции являются
преобразованиями Фурье положительных мер, сосредоточен-
сосредоточенных на вещественной и мнимой осях. При этом, в отличие
от теоремы Бохнера, мера {i0 задающая функцию / (х~), не


170
ГЛ. I. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
[3
Поскольку для любого элемента / из Н интеграл
со ' оо
С 2 | фл (х) |2 dfi (x) сходится, то ряд ^ | фп (лг) |2 сходится
Л-1 Л = 1
почти для всех значений х (относительно меры р). Поэтому
почти для всех значений х мы можем считать числа фх (дг), ...
.... фл(х), ... координатами вектора Л(л;) из некоторого
гильбертова пространства Н(х). Таким образом, каждому
элементу h из Н сопоставлен почти для всех значений х
вектор h(x) из гильбертова пространства Н(х), причем
имеет место равенство
Л-1
Но это и означает, что пространство Н изометрически вло-
вложено в непрерывную прямую сумму
гильбертовых пространств Н(х) относительно меры \i. Не-
Нетрудно видеть, что при этом вложении оператору А соот-
соответствует оператор в •?>, переводящий вектор \h (x)\ в вектор
\хп(х)\. Этот оператор определен на множестве таких век-
вектор-функций [h(x)}, что интеграл
СХОДИТСЯ.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Пусть А — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Н. Тогда пространство Н
можно так изометрически аложить s непрерывную пря-
прямую сумму гильбертовых пространств
относительно положительной меры \i, чтобы оператору А
соответствовал, в fy оператор умножения на х.
ГЛАВА II
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе будет изложен ряд результатов теории
обобщенных функций, так или иначе связанных с понятиями
положительности и положительной определенности. В центре
внимания стоит вопрос о задании таких обобщенных функций
положительными мерами на различных множествах. Для не-
непрерывных функций классический пример такого задания
дает теорема Бохнера о том, что всякая непрерывная поло-
положительно определенная функция является преобразованием
Фурье положительной меры. Здесь указываются различные
обобщения этой теоремы. В частности, рассматриваются
условно положительно определенные обобщенные функции,
имеющие полезные приложения в теории случайных про-
процессов (см. § 4).
Дальнейшая часть главы посвящена теории четно-положи-
четно-положительно определенных обобщенных функций. Эта теория дает
пример того, как в зависимости от априорных оценок, нало-
наложенных на изучаемые обобщенные функции, решается вопрос об
единственности или неединственности положительной меры,
задающей эту функцию. Типичной теоремой этого круга вопро-
вопросов является теорема о четных функциях / (х), для которых ядро
положительно определено. Как показал М. Г. Крейн [57],
(см. также А. Я. Повзнер [67]), такие функции являются
преобразованиями Фурье положительных мер, сосредоточен-
сосредоточенных на вещественной и мнимой осях. При этом, в отличие
от теоремы Бохнера, мера р., задающая функцию / (х), не


172 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
всегда однозначно определена, а лишь при некоторых пред-
предположениях о росте функции на бесконечности. Ми считаем,
что случаи единственности и неединственности мери \i
принципиально различии. Внутри класса единственности дока-
доказательство теоремы существования может быть проведено
общими методами. При этом возможно перенесение теоремы
с функций одного переменного на функции многих перемен-
переменных. В то же время известные нам примеры показывают, что
за пределами класса единственности теорема существования
справедлива лишь для функций одного переменного. Анало-
Аналогичное положение имеет место и для теории моментов.
Методы, использованные в этой главе, показывают, что
общий замысел, состоящий в том, чтобы для каждой задачи
конструировать соответствующие пространства основных
или обобщенных функций, и в данном случае дает ключ
к решению вопроса. Например, в теореме М. Г. Крейна
оказалось целесообразным рассматривать функции, растущие
медленнее, чем все функции еах", а >• 0 (функции, являющиеся
линейными функционалами в пространстве Si/], см. стр. 248).
Общие методы, которые могут быть применены для иссле-
исследования указанного круга вопросов, распадаются на спектраль-
спектральные и на методы, связанные с использованием нормированных
колец. При помощи спектральных методов А. Г. Костюченко
и Б. С. Митягин доказали недавно ряд теорем о положи-
положительно определенных обобщенных функциях. Этот метод при-
примыкает к методам М. Г. Крейна и является синтезом методов
М. Г. Крейна [57] и И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко [42].
Основной трудностью в использовании спектральных методов
является доказательство самосопряженности возникающих диф-
дифференциальных или разностных операторов. Однако, рассмат-
рассматривая связанную с этими операторами задачу Коши и используя
результаты выпуска 3, удается преодолеть эту трудность.
Другой общий метод — метод нормированных колец был
приложен к рассматриваемому кругу вопросов в работе
И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [43].
Рассматриваемые здесь задачи о положительно опреде-
определенных функциях интересны тем, что в них выявляется тес-
тесная связь между единственностью задачи Коши, квазианалити-
квазианалитическими функциями, самосопряженными операторами, пробле-
проблемой моментов и нормированными кольцами. При этом, как
уже говорилось, в классе единственности возможен общий ме-
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
173
тод. Таким методом должна была бы стать правильно построен-
построенная теория линейных топологических колец, позволяющая
объединить указанные выше подходы. Задачи, рассматривае-
рассматриваемые в этой главе, и должны послужить началом для создания
такой теории. Поскольку эта теория еще не построена, мы,
чтобы не вносить ненужной тенденции, рассматривали задачи
элементарными способами, не опирающимися на ту или иную
общую теорию.
1. Положительность и положительная определенность.
Обобщенную функцию F мы будем называть положительной
и писать F^O, если (F, ср) ^ 0 для всех положительных*)
основных функций. Например, Ь(х)^>0, а 8'(х) и Ь" (х) не
обладают этим свойством. Во многих случаях положитель-
положительные обобщенные функции могут быть заданы положитель-
положительными мерами [х, т. е. имеют вид
(F, ср) = I (p (л;) djx (x),
где положительная мера [х удовлетворяет тем или иным
условиям роста на бесконечности (эти условия роста зависят
от того, для какого пространства основных функций рас-
рассматриваются положительные обобщенные функции).
Рассмотрим пространство СА вещественных функций cp(jc),
непрерывных на ограниченном замкнутом множестве А «-мер-
«-мерного пространства (множество А может быть, например,
шаром | х | <; а **)).
Согласно теореме Ф. Рисса ***), любой положительный
линейный функционал F в пространстве СА задается одно-
однозначно определенной конечной положительной мерой {i, опре-
определенной на борелевских подмножествах А, т. е.
(F. ?) = /?
*) Основную функцию ср (х) назовем положительной, если для
всех значений х = {хь ..., хп) выполняется неравенство у(х)^>0.
Функции, удовлетворяющие неравенству ср (х) > 0, назовем строго
положительными.
**) Напомним обозначения:
х = {хх хп} н \x^Vx\-\- ... + х\.
***) См. Л. А. Люстерник и В. И. Соболев, Элементы
функционального анализа, гл. Ill, § 22.


174 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
Произвольный вещественный линейный функционал F
представляется таким же интегралом, но только с мерой [х,
принимающей значения обоих знаков. Наконец, если про-
пространство Сд образовано из комплексных функций ср (х),
а функционал F также комплексный, то справедливо то же
самое представление с комплексной мерой [х.
Теорема Рисса сохраняет силу и для некоторых других
пространств непрерывных функций. Так, любой линейный
положительный функционал в пространстве С (а) функ-
функций ср (х), непрерывных в шаре \ х | ^ а а обращающихся
в нуль вне этого шара, также задается положительной
конечной мерой.
Другим понятием, изучаемым в этой главе и связанным
с понятием положительности, является положительная опре-
определенность. Положительно определенные функции возникают
при рассмотрении преобразований Фурье положительных сум-
суммируемых функций. Положительно определенные функции
встречаются в самых различных вопросах теории вероят-
вероятностей (см. гл. III), теории представлений групп (см. вып. 5)
и многих других разделов математики. Для лучшей ориен-
ориентировки читателя мы сформулируем сейчас некоторые резуль-
результаты, касающиеся положительно определенных функции *).
Сначала рассмотрим функции одного переменного.
Пусть функция f (х) является преобразованием Фурье
положительной суммируемой функции F (X)
В этом случае функция / (х) обладает следующими свой-
свойствами: она непрерывна и, каковы бы ни были вещественные
числа х1г .
место неравенство
хт и комплексные
числа ?х ?от,
имеет
ft, /=1
f(xk —
A)
*) Формально мы не будем пользоваться этими результатами.
Более того, мы выведем их в § 3 из доказанных нами более общих
теорем.
1]
§ 1 . ВВЕДЕНИЕ
175
В самом деле, подставим в левую часть этого неравенства
вместо f(x) выражение этой функции через F (X). Мы полу-
получим, что
ft, /=-1
ft, у-1 -оо
F (X) й?Х.
Так как функция F (X) положительна, то выражение, стоящее
в правой части этого равенства, положительно или равно
нулю. Отсюда и вытекает неравенство A).
Функции f(x), удовлетворяющие при любых веществен-
вещественных значениях хх хт и комплексных значениях ?t %m
неравенству A), называются положительно определенными.
Мы доказали, таким образом, что преобразование Фурье лю-
любой положительной суммируемой функции положительно опре-
определено. Дословно также доказывается непрерывность и поло-
положительная определенность всех функций f(x), имеющих вид
/(*)=
B)
где jj. — положительная конечная мера на прямой*).
Рассмотрим теперь положительную конечную меру
в «-мерном пространстве. Равенство
= J
B0
(где, как обычно, положено х = {х1 хп), X = {X, Х„}
и (X, х) = \хх -{-...-{- Хпх„) задает непрерывную функ-
функцию f(x), положительно определенную в следующем смысле.
*) Это утверждение является обобщением ранее доказанного,
поскольку каждой положительной суммируемой функции F(K) соот-
соответствует положительная конечная мера [х, задаваемая равенством


176 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
Каковы бы ни были точки хх, ..., хт «-мерного про-
пространства Rm и комплексные числа $г, .... \т, имеет место
неравенство
2 {kj)^j>
(через xk — Xj обозначена точка с координатами хы — Хц, . ..
.... xkn—xjn где xk={xkl xkn], Xj={xn xjn)).
Как показал С. Бохнер, функциями вида B') и исчерпы-
исчерпывается класс непрерывных положительно определенных функ-
функций, а именно, каждая положительно определенная функция/(х)
является преобразованием Фурье *) некоторой положитель-
положительной конечной меры [х.
Мы рассматривали преобразование Фурье положительных
суммируемых функций (или в формулах B) и B') положитель-
положительных конечных мер). Существенное обобщение теоремы Бохнер а
получается, если рассматривать преобразование Фурье поло-
положительных функций, не суммируемых на всем пространстве.
Естественно ввести такое определение положительной опреде-
определенности, чтобы преобразование Фурье и таких функций
(равно как и преобразование Фурье бесконечных положитель-
положительных мер) было положительно определенным. Мы знаем, что
преобразования Фурье таких функций являются обобщен-
*) Преобразование Фурье fA меры fA (вообще говоря, комплекс-
комплексной) мы понимаем как преобразование Фурье соответствующей
обобщенной функции, определяемой для основной функции ср (к)
равенством
Иными словами, мы положим по определению
у(х)= С еЦК %(k)dl.
где
Нетрудно проверить,- что если мера ц, конечна, то обобщенная
функция (х задается непрерывной функцией f(x), где
И
§ 1, ВВЕДЕНИЕ
177
ными функциями. Очевидно, что определение положительной
определенности, выражаемое неравенством A), не переносится
на обобщенные функции, так как для обобщенных функций
понятие значения в точке отсутствует и потому выражение
f(xk — xj) не имеет смысла. Однако можно показать, что
данное нами определение положительной определенности для
непрерывных функций эквивалентно следующему; непрерыв-
непрерывная функция fix) называется положительно определенной,
если для любой бесконечно дифференцируемой финитной
функции ср (х) выполняется неравенство
f ff(t —
C)
(доказательство эквивалентности проведено в § 3, п 2).
Перепишем это определение так, чтобы его можно было
перенести на обобщенные функции. Для этого сделаем в ин-
интеграле C) подстановку t — у = х. При этом неравенство C)
примет вид
/7/ x^0. C0
Но интеграл J<p(t)y(t — x)dt представляет собой не что
иное, как свертку*) функций f>(jc) и ^*(лг) = ср(—х)
Таким образом, мы получаем, что непрерывная функ-
функция f(x) положительно определена, если соответствующий
ей функционал
принимает положительные значения для всех функций вида
ф (х) = у * ср* (л:), т. е. если (/, ср -Sf ср*) ^> 0 для всех финитных
бесконечно дифференцируемых функций. В таком виде опре-
определение положительной определенности может быть распро-
распространено на обобщенные функции. Именно, пусть F — обоб-
обобщенная функция в пространстве К финитных бесконечно
*) Напомним, что сверткой основных функций «(х) и
называется функция
12 Зак. 1281. И. М. Гельфанд н Н, Я. Внленкцц


178 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
дифференцируемых функций. Мы будем называть эту обоб-
обобщенную функцию положительно определенной, если для
всех основных функций ср (х) выполняется неравенство
(F, cp
), где ср*(х) = ср(—х). В дальнейшем мы рас-
распространим это определение на обобщенные функции в дру-
других пространствах основных функций.
Л. Шварц обобщил теорему С. Бохнера на положительно
определенные обобщенные функции в пространстве К. Чтобы
сформулировать полученную им теорему, введем понятие
меры степенного роста. Назовем положительную меру р
мерой степенного роста, если интеграл Г A -f-1 к \г)~р dp (к)
сходится при некотором р^>>0. Теорема Бохнера — Шварца
состоит в том, что класс положительно определенных
обобщенных функций, являющихся функционалами в про-
пространстве К, совпадает с классом преобразований Фурье
положительных мер степенного роста. Иными словами,
каждую такую обобщенную функцию F можно записать в виде
D)
где ср(Х) — преобразование Фурье основной функции <?(х),
а [х — положительная мера степенного роста. Обратно, все
обобщенные функции вида D) положительно определены.
Примерами положительно определенных обобщенных функ-
функций могут служить преобразования Фурье функций | х |\
•* + » X>L> где Х^>0, и т. д. (относительно определения этих
преобразований Фурье см. вып. 1, гл. II, § 2, 3). В частно-
частности, положительно определены обобщенные функции Ь(х) и
— Ь" (х), являющиеся, соответственно, преобразованиями
Фурье положительных функций 1 и х2. Впрочем, в положи-
положительной определенности этих обобщенных функций можно
убедиться непосредственно. В самом деле, для любой беско-
бесконечно дифференцируемой финитной функции ср (х) мы имеем
О
— - /<р@?"(О dt = /1?'@|2л > 0.
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
179
Теорема Бохнера — Шварца связана с преобразованиями
Фурье положительных функций (а также и мер) степенного
роста. Можно рассматривать и преобразования Фурье быстро
растущих функций, которые являются обычно линейными
функционалами в пространствах аналитических функций. Рас-
Рассмотрим, например, положительную функцию есх, где с —
вещественное число. Ее преобразованием Фурье является
обобщенная функция F = 2тс 8(Х — 1с) в пространстве Z це-
целых аналитических функций экспоненциального типа, быстро
убывающих на вещественной оси вместе со всеми производ-
производными (см. вып. 1, гл. II, § 2, п. 2). Эта обобщенная функция
положительно определена в следующем смысле. Пусть ср {г) —
функция из пространства Z. Обозначим через ср* (г) функцию
из этого пространства, определяемую формулой ср*(г) = ср(—z).
Если z вещественно, 2-х, то ср* (х) = ср (—х), так что это
обозначение согласуется с введенным ранее.
Обобщенная функция F в пространстве Z называется
положительно определенной, если (F, ср-х-ср*)^-0 для всех
функций ср (г) из Z *).
Мы изучим в этой главе и другие обобщения понятия
положительной определенности.
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Мы уже отметили во введении к этой главе связь между
положительными мерами и положительно определенными обоб-
обобщенными функциями. Эта связь состоит в следующем. Пре-
Преобразование Фурье переводит положительно определенные
функции F в обобщенные функции F, обладающие следую-
следующим свойством, которое мы будем называть свойством муль-
мультипликативной положительности: для любой основной
функции ср (к) из двойственного пространства выполняется не-
неравенство (F, срср)>>0.
Мультипликативная положительность является, вообще
говоря, более слабым требованием, чем положительность
*) Поскольку каждая функция ср (г) из Z, рассматриваемая при
вещественных значениях z, принадлежит пространству S, для этих
функций определено понятие свертки. При этом свертка двух функ-
функций из пространства Z принадлежит тому же пространству.
12*


180 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
обобщенной функции. Однако, как мы увидим ниже, для мно-
многих пространств основных функций класс мультипликативно
положительных линейных функционалов совпадает с классом
положительных функционалов. Положительные же функцио-
функционалы задаются, как правило, положительными мерами. В этом
параграфе мы и изучим положительные линейные функционалы
в некоторых пространствах основных функций и установим
связь между понятиями положительности и мультипликативной
положительности.
1. Положительные обобщенные функции в простран-
пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций.
Обобщенная функция F называется положительной, если
для любой положительной основной функции ср (jc) выполняется
неравенство
В этом пункте мы изучим положительные обобщенные
функции в пространстве К.
Теорема 1. Каждая обобщенная функция F, такая,
что (F, ср) ^ 0 для всех бесконечно дифференцируемых
финитных положительных функций ср (х), имеет вид
(Л ?)==
где [х — некоторая положительная мера {не обязательно
конечная).
Обратно, каждая положительная мера [х задает по-
положительный линейный функционал в пространстве К.
Для доказательства этой теоремы покажем сначала, что
любой положительный линейный функционал в пространстве К
может быть распространен с сохранением положительности
на пространство С всех непрерывных финитных функций.
При этом топология в пространстве С задается следующим
образом: последовательность {<?т(х)} функций из этого про-
пространства сходится к нулю, если все функции срга(л;) равны
нулю вне одного и того же шара | х | -^ а и последователь-
последовательность срга(л;) равномерно сходится к нулю.
Лемма 1. Каждый положительный линейный функ-
функционал в пространстве К непрерывен на нем относи-
относительно топологии пространства С.
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
181
Доказательство. Пусть {«РтС*)}—последователь-
{«РтС*)}—последовательность функций из пространства К, сходящаяся к нулю в смысле
топологии пространства С. Иными словами, пусть функ-
функции срга (х) обращаются в нуль . вне одного и того же шара
| х | ^ а и равномерно сходятся к нулю. Тогда для любого
е > 0, начиная с некоторого номера п, выполняется нера-
неравенство
— е <?„,(*)¦< в. A)
Умножим все члены этого неравенства на положительную
функцию а{х) из пространства К, равную единице при |х\ ^а.
Так как cpm(x) = O при |х|>я, то а(х)срга(х) = срт0;).
Поэтому мы получаем неравенство
— еа (х) < срт (х) < еа (х).
Применив к этому неравенству положительный линейный
функционал F, мы получаем, что
— e(F, a)<(F, cpj< 8 (F, a).
Ввиду произвольности s отсюда следует, что lim (F, cpm)=O *).
от->оо
Тем самым доказана непрерывность функционала F относи-
относительно топологии пространства С.
Аналогичные рассуждения показывают, что если последо-
последовательность функций {ц>т(х)} из пространства К фундамен-
фундаментальна в смысле топологии пространства С, а F — положи-
положительный линейный функционал, то последовательность чисел
{(F, срга)} также фундаментальна. Отсюда вытекает, что каждый
положительный линейный функционал в пространстве К можно
распространить по непрерывности на пространство С непре-
непрерывных финитных функций.
В самом деле, если ср(х) — функция из пространства С,
то существует последовательность функций {срт (х)} из про-
пространства К, сходящаяся к ср (л;) в топологии пространства С.
Можно положить, например, срга(х) = ср *ат(х), где {ат(х)} —
*) Функционал F нельзя применять непосредственно к членам
неравенства A), так как постоянные не являются финитными функ-
функциями. Прием, связанный с умножением на функцию a (x), мы
будем неоднократно применять в дальнейшем в аналогичных
случаях.


182 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
некоторая 8-последовательность *), состоящая из функций
пространства К. Но тогда функции {срга (х)} образуют фунда-
фундаментальную последовательность в смысле топологии простран-
пространства С. По сделанному замечанию числовая последователь-
последовательность {(F, cpm)} также будет фундаментальной. Полагая
(F, cp)= lim (F, cpm), мы распространяем функционал F на
т->-оо
функцию ср. Читатель без труда убедится, что таким путем
получается линейный функционал, непрерывный на всем про-
пространстве С. Получающийся линейный функционал в простран-
пространстве С положителен, так как если функция ср (х) из простран-
пространства С положительна, то аппроксимирующую последователь-
последовательность (срга(л:)} тоже можно выбрать положительной (взяв,
например, функции 8-последовательности положительными).
Но тогда мы получим, что
(F, cp)= lim (F, срга)>0.
т. -> со
Таким образом, мы доказали, что каждый положитель-
положительный линейный функционал в пространстве К однозначно
распространяется с сохранением положительности на
пространство С непрерывных финитных функций. Дадим
теперь описание положительных линейных функционалов в С.
Лемма 2. Каждый положительный линейный функ-
функционал в пространстве С задается формулой вида
(Р. ?) =
где ji — некоторая положительная мера (вообще говоря,
не являющаяся конечной).
Доказательство. Функционал F определен на всех
непрерывных финитных функциях. Тем самым он определен
*) Ь-последовательностью, или дельтообразной последова-
последовательностью мы называем такую последовательность функций
{срт (х)}, что для любой непрерывной ограниченной функции /(х)
выполняется равенство
lim
т-^оо
9т
= E, /) =/@).
Если {срга (х)} — 5-последовательность, то {«р^С*)} также является
6-последовательностью. Свертка {ерт * фт С*)} Двух 5-последова-
тельностей является 8-последовательностью.
2]
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
183
также на каждом пространстве С (а), состоящем из таких
непрерывных функций cp(jc), что ср(х) = О при \х\~^>а. По
теореме Ф. Рисса, в каждом из пространств С (а) функцио-
функционал F имеет вид (F, ср) = Г ср (х) dpa (х), где [ха— положи-
положительная мера, заданная в шаре | х | ^ а. Поскольку меры [ха
однозначно определяются значениями функционала F, то при
а<С b меры [ха и [хй совпадают в шаре | х \ <^ а. Поэтому
существует такая мера [х, что в каждом шаре | х | <^ а она
совпадает с мерой [ха. Но тогда для любой функции
из пространства С имеет место формула
(?.<?) =
Из лемм 1 и 2 непосредственно вытекает, что каждый
положительный линейный фУнки.ионал в пространстве К за-
задается положительной мерой \i. Тем самым первая часть
теоремы 1 доказана. Обратное утверждение (вторая часть
теоремы 1) — каждая положительная мера [х задает по-
положительный линейный функционал
(F, ср) =
на пространстве К—очевидно. Тем самым теорема 1 дока-
доказана полностью.
2. Общий вид положительных обобщенных функций
в пространстве S. Рассмотрим теперь пространство 5 бес-
бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих при
| х | —> оо вместе с производными любого порядка (напомним,
что функция ср (х) называется быстро убывающей, если
lim | xky (х) | = 0 при любом k).
I X I ->¦ ОО
Пусть задан положительный линейный функционал F
в пространстве 5. Тем самым задан и положительный функ-
функционал в пространстве К (поскольку К содержится в 5, и
из сходимости о К вытекает сходимость в S). В силу резуль-
результатов п. 1, существует такая положительная мера [х, что для
всех функций ср (х) из пространства К функционал F может
быть представлен в виде
(JF. 9)=.
B)


184 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
Для того чтобы формула B) имгла смысл для всех функ-
функций ср (х) на S, мера [х должна удовлетворять некоторым
условиям роста на бесконечности. Именно, мы покажем, что
из непрерывности функционала F относительно топологии
пространства 5 вытекает сходимость интеграла
при некотором р > 0 (или, как мы будем обычно говорить,
степенной рост меры fx).
Чтобы доказать необходимость этого условия, мы исполь-
используем следующую лемму Фату *).
Пусть [х — положительная мера, а {<°т(х)} — та-
такая последовательность положительных функций, что
Г <pm (x) dp (х) <^ А при всех т. Если в каждой точке х
tim <рт (*) = «р (*), то f cp (x) dp (x) < А.
т->-оо
В силу этой леммы для доказательства степенного роста
меры р достаточно сконструировать такую последователь-
последовательность {срга (-*:)} положительных финитных бесконечно диффе-
дифференцируемых функций, что Г <pm (x) dp (jc) < 1 и
т->-оо
при некоторых А >• 0 и /? >• 0. Эта последовательность
строится следующим образом.
Из непрерывности функционала F относительно топологии
пространства 5 вытекает существование такой окрестности
нуля U в пространстве 5, что | (F, ср) | ^ 1 для всех функ-
функций ср (х) из этой окрестности. В силу определения топологии
в пространстве 5 эта окрестность задается натуральными
числами р, k и числом тц и состоит из всех функций ср (х)
пространства 5, удовлетворяющих при | q | <^ k неравенству
*) См. И. П. Натансон, Теория функций вещественной пе-
переменной, М.— Л., 1950, стр. 125.
2] § 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Искомые функции <fm(x) определяются равенством
185
где а (х)—любая бесконечно дифференцируемая финитная функ-
функция, равная единице при | х | ^ 1. При достаточно малом значе-
значении А все функции срга (х) принадлежат окрестности нуля U *)
и потому для них выполняется неравенство (F, cpm)<^ 1. Но
так как функции <?т(х) финитны, то для них функционал F
задается формулой B). Следовательно, функции срт(л;) удо-
удовлетворяют неравенству
)<1. C)
Кроме того, по построению функций cpm (jc) мы имеем для
любого х равенство
т-^со
Воспользуемся теперь леммой Фату. Переходя в неравенстве C)
к пределу, мы получим, что
Но это и означает, что мера [х имеет степенной рост.
Итак, если функционал F, задаваемый формулой B), не-
непрерывен относительно топологии пространства 5, то соот-
соответствующая ему мера [х имеет степенной рост. Обратно,
если положительная мера [х имеет степенной рост, то инте-
интеграл I у (х) d\i (x) сходится для всех функций <р (х) из про-
пространства 5 и задает в этом пространстве линейный функ-
функционал. Из определения топологии в пространстве 5 легко
следует непрерывность этого функционала.
Теперь мы уже в состоянии доказать, что формула B)
справедлива для всех функций <р (х) из пространства 5.
В самом деле, мы видели, что линейные функционалы (F, ср)
и Г ср (х) dp (x) .совпадают на всюду плотном в пространстве 5
*) Это легко вытекает из неравенств вида


186 гл. и. положительные и положит, опред. функций C
множестве финитных функций. Кроме того, оба функционала
непрерывны относительно топологии пространства 5. Отсюда
следует совпадение этих функционалов на всем пространстве 5.
Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 2. Каждая положительная обобщенная
функция F в пространстве S задается положительной
мерой {а степенного роста
(/*, <p) = J<p(*)dji(*). B)
Обратно, если ^ — положительная мера степенного роста,
то формула B) задает положительную обобщенную функ-
функцию в пространстве S. Само определение меры степенного
роста дано на стр. 178.
3. Положительные обобщенные функции для некоторых
других пространств *). Метод, использованный нами для описания
положительных обобщенных функций в пространстве S, применим
к значительно более широкому классу линейных топологических
пространств, в частности, к пространствам типа К (Мр) и их
объединениям.
Относительно определения пространств типа К(Мр) см. главу I,
§ 3, п. 6. Мы ограничимся здесь рассмотрением пространств К (Мр),
для которых функции Мр (х) удовлетворяют следующим условиям:
а) функции Мр (х) бесконечно дифференцируемы вне некоторой
окрестности нуля (одной и той же для всех р) и не обращаются
в бесконечность;
б) для любого р найдутся такие числа q, а и С, что если
U|>a и 1 < | * |< р, то
Для таких пространств К (Мр) положительные обобщенные
функции описываются следующей теоремой.
Теорема 3. Если последовательность функций Мр (х) удо-
удовлетворяет условиям а) и б), то положительная обобщенная
функция F в пространстве К (Мр) задается положительной
мерой [а, такой, что интеграл j [Мр(х)]~х dp(x) сходится при
некотором р. Обратно, каждая положительная мера ц, такая,
что интеграл I [Мр (лг)]-1^(а (х) сходится для некоторого р, задает
положительную обобщенную функцию в пространстве К(Мр).
Доказательство этой теоремы протекает совершенно аналогично
доказательству соответствующей теоремы для пространства S,
которое является частным случаем пространств К (Мр), когда
*) Этот пункт может быть опущен при первом чтении.
3]
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
187
Мр (х) = A -(- | х [2 )". Мы предоставляем читателю провести детали
соответствующих доказательств.
Рассмотрим теперь объединения пространств типа К(Мр). Эти
объединения задаются двойной последовательностью функций
{Мгр (х)}. При фиксированном г функции Мгр (х) должны удовле-
удовлетворять условиям а) и б) и условию 1 .< Мп(х)^ ... < МГр(х)^.
Пространство, соответствующее последовательности функций Мгр(х),
1 < р < оо (при фиксированном г) мы будем обозначать через
КГ (Мгр)- Пусть теперь при каждом р выполняются неравенства
¦Mr+i,p-^.Mrp. Тогда из того, что функция у(х) принадлежит про-
пространству Кг (Мгр), следует, что оиа принадлежит и пространству
Кт+г (Мгр). Таким образом, мы получаем возрастающую цепочку
пространств
Ki(Mlp)c: ... с Kf (Mrp) c= ....
Объединение этой цепочки с соответствующей топологией мы и
будем называть пространством типа К (Мгр) (последовательность
функций {срга (х)} из пространства К (Мгр) сходится к нулю, если
все функции ср„, (х) принадлежат одному и тому же пространству
Кг (Мтр) и сходятся к нулю в этом пространстве).
Положительные обобщенные функции в пространствах типа
К(Мгр) описываются следующей теоремой.
Теорема 4. Пусть дана двойная последовательность функ-
функций {Мгр (х)}, удовлетворяющих при каждом фиксированном г
условиям а) и б) (см. стр. 186), а также неравенствам
М
п
М
гр
> М
г+1,
(х).
Каждая положительная обобщенная функция в простран-
пространстве К (МГр) задается положительной мерой fA, такой, что для
любого г интеграл I \МГр (х)] ~ ' d\x (x) сходится при некото-
некотором р. Обратно, если fA — такая положительная мера, что для
любого г интеграл I [Mrp(x)\~x d\).(x) сходится при некото-
некотором р, то равенство (F, <$)= I <p (x) dp (x) задает положитель-
положительную обобщенную функцию в пространстве К (Мгр).
Рассмотрим, например, пространство 5а, состоящее из беско-
бесконечно дифференцируемых функций ер (х), удовлетворяющих нера-
неравенствам
I xk^q) (х) I < СЧАЧЫ,
где постоянные Cq и А зависят от функции ср (х).
Как показано в выпуске 2 (гл. IV, § 3, п. 1), эти пространства
являются пространствами- типа К (Мгр), где
Мгр (х) —
— Рг \ р )


188 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[4
Из теоремы 4 вытекает следующее описание положительных
линейных функционалов в .пространстве Sa.
Теорема о. Все положительные линейные функционалы
в пространстве Sa задаются такими положительными мерами,
что для любого г > 0 интеграл
/
C)
сходится при некотором р>0. Обратно, если мера > такова,
что интеграл C) для любого г > 0 сходится при некотором
р > 0, то равенство (F, <р) = I cp (x) dp (x) задает положитель-
ный линейный функционал в пространстве Sa.
Заметим, что условие сходимости интеграла C) для любого
г > О при некотором р > О равносильно условию сходимости инте-
интеграла Г е~а ' * ' " ф. (х) при любом а > 0.
4. Мультипликативно положительные обобщенные
функции. Многие из рассматриваемых нами пространств
(в частности, пространства К и S) являются линейными алгеб-
алгебрами, т. е. произведение принадлежащих этим пространствам
функций принадлежит тем же пространствам. В таких про-
пространствах, наряду с разобранным выше понятием положи-
положительности, существует другое понятие — мультипликативной
положительности. Оно будет существенным образом исполь-
использовано ниже при изучении положительно определенных обоб-
обобщенных функций.
Обобщенная функция F называется мультипликативно
положительной, если для каждой основной функции ср(_>с)
выполняется неравенство (F, <р<р) ^ 0 *).
Всякая положительная обобщенная функция мульти-
мультипликативно положительна. В самом деле, так как
ср (х) ср (х) ^> 0, то из выполнения неравенства (F, ф)^0 для
всех положительных основных функций вытекает выпол-
выполнение неравенства (F, срср);>-0 для всех основных функций.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно — суще-
существуют линейные пространства (например, пространство всех
вещественных многочленов от двух переменных), в которых
*) Рассматриваемые пространства вместе с каждой функ-
функцией ср (х) содержат н функцию ср (х). Переход от функции ср (х)
к функции ср {х) обладает обычными свойствами инволюции.
4]
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 189
выполнение неравенства (г, срср) ^ 0 для всех входящих в них
функций не влечет за собой выполнения неравенства (F, Ф)^>0
для всех положительных функций из этих пространств (см. § 7).
Однако для пространств К и S всякая мультипликативно
положительная обобщенная функция положительна.
Доказательство этого утверждения мы проведем сначала для
пространства К. Пусть F — обобщенная мультипликативно
положительная функция в пространстве К. Так как функцио-
функционал F непрерывен, то для доказательства его положитель-
положительности достаточно показать, что функции вида
р
всюду плотны во множестве положительных функций про-
пространства К *).
Рассмотрим положительную функцию ty(x) из простран-
пространства К. Эта функция обращается в нуль при \х\^а, где
а — достаточно большое . положительное число. Обозначим
через а (х) положительную финитную бесконечно дифферен-
дифференцируемую функцию, равную единице при |л;Ка, и положим
<?т(х)=<х(х)~[/Г$(х)-\- \jm. Тогда очевидно, что функция срга (х)
принадлежит пространству К **) и что последовательность
функций у2т (х) == cpm (jc) cpm (х) сходится в топологии про-
пространства К к функции ф (х).
Итак, мы доказали, что множество всех функций вида
ср (х) ср (х) всюду плотно во множестве положительных функций
из пространства К. Поэтому из выполнения неравенства
(F, срср) ^ 0 для всех функций ср.(х) из пространства К сле-
следует выполнение неравенства (F, ф) ^ 0 для всех положи-
положительных функций ^ (х*) из этого пространства, т. е. положи-
положительность обобщенной функции F.
Докажем теперь совпадение положительности и мульти-
мультипликативной положительности для обобщенных функций
в пространстве 5.
Пусть ф (х) — положительная функция из пространства 5.
Существует последовательность положительных финитных
*) Заметим, что множество функций вида ср (х) ср (х), ср (х) € К
не совпадает со множеством всех положительных функций в про-
пространстве К- Это связано с тем, что функция У<Ь (х) может иметь
излом в тех точках, где ф (х) — 0. ,
**) Так как ф (х) -\- 1/т не обращается в нуль, то функция
У<Ь (х) + I/m бесконечно дифференцируема.


190 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
функций {<pm(jc)}, сходящаяся к ф(х) в топологии простран-
пространства 5 *). Поэтому множество положительных функций про-
пространства К всюду плотно во множестве положительных
функций пространства 5. Но, как мы показали выше, во
множестве положительных функций пространства К всюду
плотно множество функций вида ср (х) ср (jc), где ср (х) ? К.
Поскольку вложение пространства К в пространство S не-
непрерывно, то множество функций вида ср (х) ср (х) всюду плотно
и в множестве положительных функций из 5. Но тогда из
мультипликативной положительности обобщенной функции F
следует ее положительность. Таким образом, мы показали,
что и в пространстве S понятия положительности и
мультипликативной положительности совпадают **).
Так как мы знаем общий вид положительных обобщенных
функций для пространств К и 5, то из доказанного утвер-
утверждения вытекают следующие теоремы.
Теорема 6. Всякая мультипликативно положитель-
положительная обобщенная функция в пространстве К всех финит-
финитных бесконечно дифференцируемых функций задается
положительной мерой.
Теорема 7. Всякая мультипликативно положитель-
положительная обобщенная функция в пространстве S бесконечно
дифференцируемых функций, быстро убывающих при
| х | —> оо вместе с производными любого порядка, задается
положительной мерой степенного роста.
% 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ
ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА БОХНЕРА
В этом параграфе мы найдем общий вид положительно
определенных обобщенных функций в пространствах К и S.
*) Например, положим ер,л (х) = а (— J ф (х), где а (х) — финит-
финитная, бесконечно дифференцируемая функция, равная единице в не-
некоторой окрестности точки л:—0 и такая, что 0*Са(х)*С *• Тогда
последовательность функций {ут(х)} будет обладать требуемыми
свойствами.
**) Аналогично доказывается совпадение положительности и
мультипликативной положительности в любом пространстве Ф при
условии, что положительные функции из пространства К. всюду
плотны в множестве положительных функций из пространства Ф
и отображение К в Ф непрерывно. В частности, это совпадение
имеет место во всех пространствах К. (Мгр).
1}
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
191
Мы покажем, что для этих пространств положительно опре-
определенные обобщенные функции являются преобразованиями
Фурье положительных мер степенного роста. Начнем рас-
рассмотрение положительно определенных обобщенных функций
со случая пространства 5, так как этот случай проще. •
1. Положительно определенные обобщенные функции
в пространстве S. Обобщенная функция F в пространстве 5
называется положительно определенной, если для всех функ-
функций ср (jc) из этого пространства выполняется неравенство
(F, ср# <р*)>> 0, где через ср -%- ср* (х) обозначена свертка функ-
функций ср(х) и ср* (х) = ср (— х)
ср * ср* (X) = J ср @ ср (t — X) dt.
Покажем, что при преобразовании Фурье положительно
определенные обобщенные функции в пространстве S пе-
переходят в мультипликативно положительные обобщен'
ные функции в том же пространстве *), причем таким
путем могут быть получены все мультипликативно по-
положительные обобщенные функции в пространстве S.
В самом деле, преобразование Фурье переводит свертку
функций cpt(jc) и ср2(х) в произведение их преобразований
Фурье ^ (X) и ф2 (к), а функцию ср* (х) — в функцию ф Q-), где
ф (X) — преобразование Фурье для ср (х). Поэтому преобразо-
преобразование Фурье функции ср -к- ср* (л:) равно ф(Х) ф(Х), где ф (X) —
преобразование Фурье функции ср (х).
При этом, поскольку пространство 5 двойственно самому
себе относительно преобразования Фурье, любая функция
вида ф(Х)ф(Х), где ф(Х)?5, является преобразованием Фурье
функции вида ср * ср* {х), ср (л:) ? 5. Но, по определению, пре-
преобразованием Фурье обобщенной функции F в пространстве 5
называется такая обобщенная функция F в том же простран-
пространстве, что (F, ср) = Bтс)" (F, ср) для всех функций ср (х) из
пространства S. Следовательно, выполнение неравенства
(F, ср-? ср*) ;>-0 для всех функций ср (х) пространства 5 экви-
эквивалентно выполнению неравенства (F, фф)^-0 для всех функ-
функций ф(Х) того же пространства. Поэтому положительная
*) Напомним, что пространство S двойственно самому себе
относительно преобразования Фурье.


192 гл. и. положительные и положит, опрёд. функции [2
определенность обобщенной функции F в пространстве 5
эквивалентна мультипликативной положительности ее преобра-
преобразования Фурье F.
! Поскольку мультипликативно положительные обобщенные
функции в пространстве 5 задаются* положительными мерами
степенного роста (см. § 2, п. 2), то справедлива следую-
следующая теорема.
Теорема 1. Для того чтобы обобщенная функция F
в пространстве S была положительно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы она являлась преобра-
преобразованием Фурье положительной меры¦ \i степенного роста.
2. Непрерывные положительно определенные функции.
В этом пункте мы рассмотрим частный случай положительно
определенных обобщенных функций в пространстве 5 — не-
непрерывные положительно определенные функции. Непрерыв-
Непрерывная функция / (х) называется положительно определенной,
если для любых вещественных значений х1У ..., хт и ком-
комплексных чисел 5lf . . ., ?т выполняется неравенство
A)
Мы покажем • сейчас, что непрерывные положительно
определенные функции f (x) являются положительно
определенными обобщенными функциями в простран-
пространстве S. Прежде чем показать это, установим некоторые про-
простые свойства непрерывных положительно определенных
функций.
В первую очередь отметим, что если функция /(х) поло-
положительно определена, то и функция f (х) также положительно
определена,' так как
.2/(*,)МУ 2/(* ;^>
Далее заметим, что неравенство A) означает положительную
определенность матрицы с элементами f {xk — xj). Известно,
что условиями положительной определенности матрицы
являются ее эрмитовость и положительность диагональных
2]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
193
миноров. В силу эрмитовости матрицы f(xk — xj) мы полу-
получаем, что
Из_ положительности диагональных элементов этой, матрицы,
вытекает, что
Наконец, поскольку число хк — Xj произвольно, то положи-
положительность диагональных миноров второго порядка означает,
/@) fix)
/(-*)' /@) >U-
Из последнего неравенства вытекает
т.. е. ограниченность функции /(-?}.
Мы видим, таким образом, что положительно опреде-
определенные непрерывные функции ограничены. Поскольку ка-
каждая непрерывная ограниченная функция / (х) определяет
обобщенную функцию
в пространстве S, то мы получаем следующее утверждение:
каждая положительно определенная непрерывная функ-
функция f (х) определяет обобщенную функцию в простран-
пространстве S.
Покажем теперь, что эта обобщенная функция положи-
положительно определена, т. е. что (/, ср-к-ср*)-^-0 для всех функ-
функций ср(лг) из пространства 5. Заметим для этого, что выра-
выражение (/, ср-х-ср*) можно представить в виде интеграла
J / (х — у) со (у) ср О) dx dy.
Этот интеграл является пределом при Т —> со интегралов
т т
/
срТ^) dx dy
B)
-т -т
(так как функция ср(х) абсолютно интегрируема, а функ-
функция / (х) ограничена). Но каждый из интегралов B) является
13 Зак. 1281. И. М, Гельфанд и Н. Я. Виленкии


194 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
пределом интегральных сумм
т
2 / (х* — х,) ср (хк)ср (х,.) Ахк Дх,.,
}. *-i
которые в силу неравенства A) неотрицательны. Отсюда сле-
следует, что неравенство (/, ср * ср*) ~^ О имеет место для всех
функций ср (х) из пространства 5, т. е. что обобщенная функ-
функция (/, ср) положительно определена.
Тем самым наше утверждение доказано — из выполнения
неравенства A) для непрерывной функции /(х) вытекает вы-
выполнение неравенства (/, cp#-cp*)^-0 для всех функций. ср(х)
из пространства 5. В частности, это неравенство имеет
место и для всех функций ср(х) из пространства К.
Справедливо и обратное утверждение — если непрерыв-
непрерывная функция /(х) такова, что
(/, ср * ср*) = J fix —у) ср (*)ily) dx dy > 0 C)
для всех функций ср (х) из пространства S, то эта функ-
функция положительно определена, т. е. неравенство A) вы-
выполняется для всех вещественных значений хх хт
и всех комплексных чисел Slt .. ., Sm. Мы докажем сразу
более общее неравенство
— y)dp(x)dp(y)>0,
D)
где р— любая конечная финитная мера*) (неравенство A)
является частным случаем неравенства D), когда в точках хк
сосредоточены меры %к, I <^ k ^ п, а / (х) заменена на / (х)).
В самом деле, пусть р — конечная финитная мера. Рас-
Рассмотрим 8-образную последовательность функций {срот(х)},
принадлежащих пространству К. Тогда функции
рт (х) = I cpm (х — у) dp (у)
также принадлежат пространству К. В самом деле, найдется
такое значение А, что р и срт(х) обращаются в нуль при
\х\^>А. Но тогда [Ага(х) = 0 при | х | ^ 2Л и потому функ-
функ*) Мера называется финитной, если она сосредоточена на
каком-нибудь ограниченном множестве.
2]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
195
ции рт(х) финитны. Они бесконечно дифференцируемы,
поскольку бесконечно дифференцируемы функции срт(х).
Тем самым принадлежность функций рт (х) пространству К
доказана.
Функции рт(х) таковы, что для любой непрерывной огра-
ограниченной функции / (х) выполняется равенство
lim
т ->• со
(/, ц * f) = С f (х — у) dp (х) dp (у).
E)
В самом деле,
• ?т * Рт) = f f (« —
= //(« — «) 9т (« — х) <?т (Р — У) da dv d\>- (X) dp (у). F)
Поскольку функции {cpm(-?)} образуют 8-образную последо-
последовательность, то
lim Г / (и — v) cpm (и _ х) <?т (v — y) dudv = f(x — у).
т -> со ¦'
Поэтому, переходя в равенстве F) к пределу при т —> оо,
мы и приходим к соотношению E).
Пусть теперь функция f (х) такова, что (/, ср-х-ср*)^. О
для любой функции ср (х) из пространства К. Тогда имеет
место неравенство
Переходя в этом неравенстве к пределу при /га —> оо и при-
принимая во внимание соотношение E), мы получаем, что
/ / {х — у) dp (х) dp (у) > 0.
Тем самым доказано, что из выполнения неравенства C)
для любой функции ср (х) из пространства К вытекает
выполнение неравенства D) для любой конечной финитной
меры. В частности, отсюда вытекает и выполнение неравен-
неравенства A).
Итак, мы видим, что для непрерывных функций / (х)
неравенства A), C), D) приводят к эквивалентным между
собой определениям понятия положительной определен-
определенности.
13*


196 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[2
Мы проводили рассуждения для функций одного пере-
переменного, однако утверждение справедливо и в случае мно-
многих переменных. . .
Перейдем теперь к описанию всех непрерывных положи-
положительно определенных функций (многих переменных).
Теорема 2 (Бохнера). Каждая непрерывная положи-
положительно определенная функция f (х) является преобразо-
преобразованием Фурье конечной положительной меры р.
Доказательство. Мы уже видели, что непрерывная
положительно определенная функция f (х) задает положи-
положительно определенную обобщенную функцию в пространстве 5.
По теореме 1 из п. 1 § 3 существует такая положительная
мера р степенного роста, что обобщенная функция (/, ср)
является преобразованием Фурье этой меры. Это означает, что
G)
(/, ср) = Bтг)-л f у (k) dp (к)
для всех функций ср(х) из пространства 5 (ср (X) — преобразо-
преобразование Фурье функции ср(х)). Нам осталось показать, что
мера A конечна (т. е. что I dp(k) <; -f-oo). Для этого при-
применим равенство G) к функциям срт (дг) = ат -х- а*т (х), где
{ат (х)}—8-образная последовательность из пространства 5.
Мы получим, что
(/, cpj = B*Г" / fffl (X) d* (X). (8)
Перейдем в этом равенстве к пределу при т —> со. Так
как свертка двух 8-образных последовательностей 8-образна,
то последовательность {срт(лг)} также 8-образна. Отсюда сле-
следует, что левая часть равенства (8) стремится к / @) при
т —> со. Рассмотрим теперь правую часть этого равенства.
Из соотношения
Urn
т -> со
(X) = lim Г е1 (х> х\т (х) dx = (Ь, е1 (х- *>) = 1
т -> оо ¦*
вытекает, что при любом значении X функции срт (X) стре-
стремятся к единице, когда т —> сю. Кроме того, эти функции
положительны в силу соотношения ср(Х)= |а(Х)|2. Отсюда
следует, что
Ига Г фя (X) dp (k) >
т -» оо J
2] §3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ . 197
и потому
Тем самым конечность меры [х доказана.
Справедливо и обратное утверждение: если р. — любая ко~
нечная положительная мера, то ее преобразование Фурье
/ (лс) = J* е1 О- *) dp (X)
является непрерывной положительно определенной
функцией.
Докажем сначала, что функция f (х) непрерывна. По-
Поскольку мера A конечна, то для любого е >• 0 найдется такое
N > 0, что
/
Пусть I Xj — x2 I < 2MM ' где ^ — MePa шаРа 1 ^ I ^ ^- Тогда
легко видеть, что
—'/(Jf2> I < i
s.
Тем самым непрерывность функции / (х) доказана. Чтобы
доказать положительную определенность этой функции, за-
заметим, что
— х,) iklj =
j, h = l
j, k = l
dp (X) =
Гак как мера [j. положительна, то мы получаем, что
2 /(** —дгуMДу>0.
У, й-1
т. е. что функция / (х) положительно опргделена.
*) На самом деле здесь имеет место равенство.


198 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[3
3. Положительно определенные обобщенные функции
в пространстве АГ. В п. 1 мы описали запас положительно опре-
определенных обобщенных функций из пространства 5'. Простран-
Пространство К' значительно богаче обобщенными функциями, чем 5';
тем не менее оказывается, что при переходе от 5' к К' запас
положительно определенных обобщенных функций
не увеличивается; иными словами, хотя S'czK', запас поло-
положительно определенных функций в К' такой же, как
в 5'. Этот запас описывается следующей теоремой:
Теорема 3 (Бохнер — Шварц). Каждая положительно
определенная функция F в пространстве К бесконечно
дифференцируемых финитных функций является преоб-
преобразованием Фурье положительной меры \i степенного
роста, т. е. записывается формулой вида
(F, C?)=
(9)
Обратно, преобразование Фурье любой положительной
меры степенного роста задает положительно определен-
определенную обобщенную функцию в пространстве К.
Первым шагом в доказательстве этой теоремы будет рас-
рассмотрение некоторых непрерывных функций Fa(x), связан-
связанных с обобщенной функцией F. Мы докажем следующее
утверждение:
Лемма 1. Если F — положительно определенная обоб-
обобщенная функция в пространстве К и а(х) — любая функ-
функция из этого пространства, то функция
является непрерывной положительно определенной функ-
функцией.
Доказательство. Положительная определенность обоб-
обобщенной функции Fa доказывается следующим образом.- По
определению свертки обобщенной функции F с функцией
а * а* (см. вып. 2, гл. III, § 3, п. 2) для любой функции ср(х)
из пространства К имеет место равенство
(Fa, ср * ср*) = (F, а * а* * ср * ср*) = (F, (а * ср) * (а -х- ср)*).
В силу положительной определенности обобщенной функции F~
правая часть этого равенства неотрицательна. Но это пока-
показывает, что (Fa, ср * ср*) ^. 0 для любой функции ср(х) из про-
3]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
199
странства К, т. е. что Fa является положительно определен-
определенной обобщенной функцией.
В силу бесконечной дифференцируемости и финитности а(х)
обобщенная функция Fa задается бесконечно дифференци-
дифференцируемой функцией Fa(x), т. е. имеет вид
(см. вып. 2, гл. III, § 3, п. 4). При этом в силу доказан-
доказанного выше функция Fa(x) положительно определена, и тем
самым лемма доказана.
Из доказанной леммы в силу теоремы Бохнера вытекает
следующее утверждение.
Лемма 2. Если F—положительно определенная обоб-
обобщенная функция в пространстве К, а а{х) — любая функ-
функция из этого пространства, то обобщенная функция
Fa = я Кг а* * F имеет вид
(Fя» 9) == f tW^Wp (Ю)
где ср(Х) — преобразование Фурье функции ср(х), а [Аа —
положительная конечная мера.
Рассмотрим теперь, как связаны между собой меры у.а
и [Ар, соответствующие функциям а.(х) и ф(х) из простран-
пространства К. Для этого примем во внимание, что преобразованием
Фурье функции р * р* * ср (х) является функция fi(X)[3 (X) ср(Х).
В силу формулы A0) отсюда следует, что
(F, (a*a*)*(p^p*)*c?)=Jcp"(X)|p(X)|2rfaet(X) A0')
и
Поскольку левые части этих равенств совпадают, го для
всех функций ср(х) из пространства К мы имеем
/
?
! $ (Щ2
(X) = f у (X) | а (X) |2 db (X),
где ср (X) — преобразование Фурье функции ср (х), принадле-
принадлежащей пространству Z. Так как пространство Z достаточно


200 ГЛ IT. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
богато функциями*), то отсюда вытекает, что
| р (X) |* dpa(X) = | а (X) Рd .-р (X).
Мы можем теперь переписать равенство A0), исключив
и него функцию а(х). Для этого введем положительную
меру р., положив
для всех функций ср(лг) из пространства К. Из формулы A1)
следует, что n e[ a <j не зависит от выбора функции а (л:)
из пространства К. При помощи этой меры равенство A0)
может, быть записано в виде
(к) \
=/,:
Обозначим функцию а-*а*^ср(х) через
мула A2) примет следующий вид:
• A2)
. Тогда фор-
-A3)
Эта формула справедлива для всех функций <j>(x), пред-
ставимых в виде
(х) = а -? а* * ср (х),
A4)
а(х) и cpfx) — любые функции из пространства К.
Таким образом, равенство A3) уже доказано для функ-
функций ф(х), имеющих вид A4). Нам предстоит теперь доказать,
*) Из леммы доказанной в выпуске 2 (гл. IV, § 8, п. 4), сле-
следует, что выполнение равенства
f
f(x)<t(x)dx=*0
для всех функций ср (х) из пространства Z влечет за собой обра-
шецие в н^'ль негрерывной функции /(х). Это утверждение без
труда переносится на любые конечные положительные меры (на-
(например, при помощи свертки этих мер с 5-образными последова-
последовательностями).
3]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
201
что равенство A3) остается справедливым для всех функ-
функций ф(х) из пространства К и что мера р. имеет степенной
рост.
Первое из .этих двух утверждений легко выводится из вто-
второго. В самом деле, если мера fi имеет хтепенной рост, то
функционал I ф(X) dp (X) непрерывен, в топологии простран-
пространства 5, а тем более в топологии пространства К. Но этот
функционал совпадает с функционалом F на множестве всех
функций, представимых в виде A4). Поскольку множество
таких функций всюду плотно в пространстве К, то функцио-
функционалы (F, ф) и Г ф (X) й?[а (X) совпадают на всем пространстве К,
т. е. формула A3) справедлива для всех функций этого про-
пространства.
Итак, нам остается доказать следующею лемму.
Лемма 3. Пусть положительная мер! \i такова, что
для всех функций ty(x), имеющих вид <\>(х) = а*а* * ср(х),
а(х)?К и ср(х) ?/С, выполняется равенство
где F — обобщенная функция в пространстве К, а ^
преобразование Фурье функции Ф (х). Тогда мера ji имеет
степенной рост.
Доказательство. Так как функционал F непрерывен
на пространстве К, то он непрерывен и ка всех его подпро-
подпространствах К (а). Фиксируем любое значение а > 0. Найдется
такая окрестность нуля U в пространстве К (а), что для всех
функций ср (х) из этой окрестности выполняется неравенстьо
!
Для доказательства степенного роста меры (i достаточно
построить последовательность функций {4'т(х)Ь принадлежа-
принадлежащих наперед заданной окрестности нуля U в пространстве К (а)
и обладающих следующими свойствами:
1) эти функции имеют вид A4), для которого доказано
представление A3), т. е. функции tym(x) предегавимы в вида
*<Pm(*). A5)


202 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД ФУНКЦИИ
[3
2) фт(Х)>-0, где <}>га(Х) — преобразование Фурье функции
3) для каждого X существует предел Нт фт(Х) = ш(Х),
тп ->• со
причем выполнено неравенство
&(х)>„ , ,-, ,„„+*+-,. A6)
где Л > 0, р > 0 — некоторые числа, а я — число переменных.
Эту последовательность функций и соответствующую пре-
предельную функцию й (X) назовем барьерной, поскольку она
дает возможность оценить рост меры (i (такие барьерные
последовательности строились и при изучении положитель-
положительных обобщенных функций в пространстве S).
Предположим, что такая последовательность функций
{фт(х)} построена. Поскольку все функции tym(x) принад-
принадлежат окрестности нуля U, то для них выполняется нера-
неравенство | (F, фга) | <J 1. Но так как эти функции имеют вид A5),
то функционал F задается для них формулой
Поэтому при всех значениях m имеет место неравенство
I фт(Х)й?[л(Х) ^ 1 или, поскольку [а ;> О, фт(Х)>-0, нера-
венство 0<^ I фт (X) rffi (X) ^ 1. Переходя в этом неравенстве
к пределу при m —> оо и используя лемму Фату (см. стр. 184),
получаем, что интеграл Г ш (X) dp (к) сходится. В силу соот-
соотношения A6) отсюда вытекает сходимость интеграла
d?.(\) . 1
т. е. степенной рост меры [а.
Таким образом, лемма 3 будет доказана, если мы построим
барьерную последовательность. Перейдем к построению такой
последовательности, принадлежащей заданной окрестности
нуля U в пространстве К. Возьмем любое а>0, тогда U Л К (а)
является окрестностью нуля в К (а). По определению тополо-
топологии в пространстве К (а) (см. стр. 34) можно найти такие числа
р и т], что из неравенства | <р№ (х) | ^ т] для всех q, 0^| q
31
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
203
вытекает, что ср (х) ? U Л К (а). Это число р мы и положим
в основу построения барьерной последовательности $т(.х).
Построим сначала предельную функцию й (X). Для этого
обозначим через f (x) функцию, преобразование Фурье 7 (V)
которой равно
f (X) = A + |XP)-^-"-1.
Выберем теперь бесконечно дифференцируемую функцию х (х)>
равную нулю при |-*|>-т-, обозначим %0 (х) = % (х) * %* (х)
и положим
ш (х) = т (х) хо (х) = Т (х) [х (х) * х* (*)!•
Лемма 4. Функция ш(х) обладает следующими свой-
свойствами:
= 0 для |х|>а/2,
2)
) ((+|
3) все производные ш(х), вплоть до порядка 2р, огра-
ограничены *).
Доказательство. Так как х(х) = 0 для | х | > -^ ,
то х (х) *X* (х) = 0 Для | х | > -S-. Следовательно, и ш(х) =
= Т (х) IX (х) * X* (*)] — ° для Ix I > ¦§•• Далее, по опреде-
определению
Значит
/
,-i (.x, X)
rfx.
(x) I < B*ГЯ J I X I1 * > A + I X |2)—
Так как при |<7|^2р этот интеграл сходится, то ограничены
производные |?Й)(-О| для |^|^2р.
Оценим теперь ш (X). Поскольку при преобразовании Фурье
произведение переходит в свертку, а свертка — в произведе-
произведение, то из равенства
следует, что
¦¦•:) Производные же порядка 2р + 1 имеют разрыв при х = 0.


204 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
т. е.
Выбрав какое-либо число р > 0, имеем
и для |Х| > р имеем
Полагая
мы приходим к неравенству A6). Лемма доказана.
Построенная функция ш (х) имеет лишь 2р непрерывных
производных. Однако, если свернуть ее с финитной беско-
бесконечно дифференцируемой функцией, то мы получим беско-
бесконечно дифференцируемую функцию. Поэтому по функ-
функции ш(х) построим фт(х) следующим образом. Выберем функ-
функцию я(х), равную нулю, например, при \ х \ ~^>-^, так, чтобы
Г а (х^ dx = 1, и положим ат(х) = т"а(тх). Обозначим
(х) функцию ат (х) * а*т (х) и построим фга (-*) по фор-
форчегез
муле
фт (х) = С* (х) * ри (х) * fm (х).
5. Последовательность {i)m (x)}
Лемма 5. Последовательность {i)m (x)} является
барьерной, т. е. удовлетворяет следующим условиям:
1) имеет вид
где а>
2)
3) Mm фт (X) = т (X), где
т -> со
3]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
205
Кроме того, при достаточно малом С функции фт .._>
принадлежат заданной окрестности нуля U а К {а).
Доказательство. Положим
Так как фт (х) = Сш -*¦ fym-*fy*m (х), где рт (х) = ат ¦* а*л (х), то
фт (х) — а -х- а^ * срт (х). По самому способу построения срт (х)
ясно, что срт ?/С(а) и поэтому условие A) выполнено.
Далее имеем фт (X) = & (X) | рот (X) |2 ^ 0. Найдем теперь
lim фт(Х). Так как
т -> оо
то достаточно найти lim am(X)
m -> оо
lim am(X)= lim m~n f a (mx)
= lim f a
m -> oo J-
*> dx =
dx=
и, значит, lim фт(Х)=ш (X), т. е. выполнено также условие 3).
т -> оо
Нам осталось показать, что при достаточно малом значе-
значении С все функции фт (х) принадлежат окрестности нуля ?/.
Для этого заметим, что для любых функций <р(х) и ф(х)
имеет место равенство
и потому
¦ sup | [«р *
< sup | cpW (х) | Г | ф (х) | dx.
X J
Применим это неравенство к функциям фт(-?). При всех т.
имеет место равенство
— 1.
/4 I Г
a(mx)dx = I
Поскольку функция ш (х) имеет ограниченные производные


206 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
порядка д, 0^.\д\<^.2р, то найдется такое М, что
функции фга(х) удовлетворяют
0<j?|<2p
Следовательно, при С =
неравенствам
sup ^(х)
и потому принадлежат окрестности нуля U. Лемма доказана.
Итак, существование барьерных последовательностей дока-
доказано, а отсюда, как упоминалось, следует лемма 3.
Мы уже указывали, что из леммы 3 вытекает справед-
справедливость формулы A3) для всех функций пространства К.
Иными словами, мы доказали, что любая положительно
определенная обобщенная функция в пространстве К
задается формулой
(F, ф) = ]*ф (X) dp (X), A7)
где <{> (X)— преобразование Фурье функции ф(х), a ;i — поло-
положительная мера степенного роста. Но это утверждение есть
не что иное, как теорема Бохнера — Шварца.
Заметим, что теорему Бохнера — Шварца можно также
сформулировать следующим образом.
Теорема 3'. Любая мультипликативно положитель-
положительная обобщенная функция F в пространстве Z имеет вид
, с?) = J ср (X) rffx (X),
где [а — положительная мера степенного роста.
Из теоремы Бохнера — Шварца без труда вытекает сле-
следующее утверждение.
Теорема 4. Каждая положительно определенная
обобщенная функция F в пространстве К может быть
представлена в виде
F = (\-A)pf(x), A8)
где f (x) — непрерывная положительно определенная обоб-
обобщенная функция, а Д— оператор Лапласа
4]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
207
В самом деле, пусть F — преобразование Фурье обобщен-
обобщенной функции F. По теореме Бохнера — Шварца обобщенная
функция F задается формулой
где jj, — положительная мера степенного роста. Поэтому най-
найдется такое р, что интеграл Г A ~\- \\\2)~р d\x.(k) сходится.
Положим
Мера v положительна и конечна. Поэтому ее преобразование
Фурье является непрерывной положительно определенной
функцией /х(х):
J е1 »• *) rfv (X).
== J
Функция f(.x) = f1(x) также положительно определена. При
этом из равенства d\i (X) = A -\-1X \2)р rfv (X) вытекает, что для
любой функции ср (х) из пространства К имеет место равенство
(F, ср) = B*ГЯ (F, ?) = / ?(Х) dp (X) =
= Г ср (х) е1 (*¦ *) A +1 X jay» rfv {\)dx =
= Г [A _ Д)Р ср (х)] е1 (л- *) rfv (X) dx =
, (х) rfx =
/
/
= J [A — ДУ ср(х)] Us) dx = (/, A — Д)" ср).
Но это и означает, что ^^(l—Д)р/-
Справедливо и обратное утверждение: все обобщенные
функции вида A —ДУ/, где /(х) — непрерывная положи-
положительно определенная функция, положительно определены.
4. Положительно определенные обобщенные функции
в пространстве Z. Еще проще, чем в пространствах К и S, найти
положительно определенные обобщенные функции в пространстве Z.
Пусть ср (г) — некоторая функция из пространства Z. Мы будем
обозначать через ср* (г) функцию ср (—~г). Очевидно, что функция


208
ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[5
<Р* (г) также принадлежит пространству Z. Обозначение ср* (z) оправ-
оправдано тем, что при вещественных значениях z имеет место равен-
равенство у* (х) = ш (— х).
Назовем обобщенную функцию F. в пространстве Z положи-
положительно определенной, если для любой функции из этого простран-
пространства выполняется неравенство *) -
Но преобразование Фурье переводит функцию ср у. ср* (z) в функ-
функцию | 4* Щ 1а> где ф (Ц — функция из пространства К, являющаяся
преобразованием Фурье функции tp (z). При этом получаются все
функции вида | А (к) Г3, <Ь (К) ? К. Отсюда следует, что преобразо-
преобразованием Фурье положительно определенной обобщенной функции F
в пространстве Z является мультипликативно положительная обоб-
обобщенная функция F в пространстве К- Поскольку по теореме 6 из
§ 2 все мультипликативно положительные обобщенные функции
в пространстве К задаются положительными мерами, а любая поло-
положительная мера задает мультипликативно положительную обобщен-
обобщенную функцию в пространстве К, мы' приходим к следующей теореме:
Теорема 5. Положительно определенные обобщенные функ-
функции в пространстве Z являются преобразованиями Фурье положи-
положительных мер. Обратно, преобразование Фурье, любой положи-
положительной меры является положительно определенной обобщенной
функцией в пространстве Z.
5. Инвариантные относительно сдвигов положительно
определенные эрмитовы билинейные функционалы. Поло-
Положительно определенные обобщенные функции чаще всего
появляются в связи с рассмотрением инвариантных относи-
относительно сдвигов положительно определенных билинейных
функционалов. Сейчас мы остановимся подробнее на этой
связи. Для простоты мы будем рассматривать, билинейные
функционалы в пространстве К, хотя полученные результаты
без особого труда распространяются на другие пространства
основных функций.
Функционал В (ср, ф), где ср и ф пробегают пространство К,
называется эрмитовым билинейным функционалом, если:
*) Рассматривая функции из пространства Z при вещественных
значениях аргумента, мы получаем функции, принадлежащие про-
пространству S. Эти функции можно свертывать. При этом легко
видеть, что, свертывая функции у (х) и ф (х), соответствующие
функциям ср (z) и ф (z) из пространства Z, мы получаем функцию
<р •#- ф (х), также соответствующую, некоторой функции из простран-
пространства Z (в этом проще всего убедиться, сделав преобразование
Фурье). Эту функцию из пространства Z мы и обозначаем -f jf ф {z).
5]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ФУНКЦИИ
209
1) при фиксированной функции ф(;с) В(ср, ф) является
линейным, непрерывным в топологии пространства К функ-
функционалом от ш (х),
2) при фиксированной функции сс(х) В(®, ф) является
линейным, непрерывным в топологии пространства К функ-
функционалом от ф(х).
Билинейный функционал В (ср, ф) называется инвариант-
инвариантным относительно сдвигов, если его значение не меняется
при одновременном сдвиге функций ср(х) и ф(х) на один и
тот же вектор h . -
В[ср(х), ф (*)] = В [<р
A9)
Укажем общий вид таких функционалов. Для этого заме-
заметим, что значение свертки ср -х- ф* не изменяется при одновре-
одновременном сдвиге обеих функций ср (х) и ф (х) на один и тот
же вектор й. В самом деле, пусть ср1(х) = ср(.г-г-й), фг(х)=^
==ф(лг + Л). Тогда
ф! (х) = J* «pi Су) <1ч Су — х) йУ =
Положим
/ <Р Су) Ф (У — ¦
• = ср -х- ф® (х).
B0)
где F — любая обобщенная функция в пространстве К.
стая проверка показывает, что В(ср, ф) является эрмитовым
билинейным функционалом в пространстве К. При этом из
инвариантности выражения ср-х-ф* относительно одновремен-
одновременного сдвига функций ср (х) и ф (х) на один и тот же вектор h
вытекает, что функционал В (со, ф) инвариантен относительно
сдвигов.
Покажем, что любой инвариантный относительно сдвигов
эрмитов билинейный функционал в пространстве К может
быть записан в виде (F, ср-х-ф*), где F — обобщенная функ-
функция в пространстве К.
Это утверждение основано на теореме о ядре для про-
пространства К, изложенной в главе I. Из этой теоремы 'сле-
'следует, что каждый эрмитов билинейный функционал В (ср, ф)
14 Зак. 1281. И. М. Гельфанд н Н. Я. Виленкин


210 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [5
в пространстве К можно записать в виде
В(ф, ф) = (
где Fx—линейный функционал в пространстве К2 бесконечно
дифференцируемых финитных функций от х и у (т. е. от 2п
переменных хх х„; ylt .... у„).
Так как линейные комбинации функций вида
?(ty(y)
где ср(лг) и ф(.у) пробегают пространства К, всюду плотны
в пространстве К2, то из соотношения A9) вытекает соотно-
соотношение
(Flt cp(x, y» = (F1. ср(х + й, y + h)). B1)
Таким образом, обобщенная функция Ft инвариантна относи-
относительно одновременного сдвига аргументов х и у на один
и тот же вектор h.
Но все обобщенные функции Fx, удовлетворяющие соот-
соотношению B1), имеют вид
(/Vcp(x, .у) ) = (/=".
B2)
где F — некоторая обобщенная функция в К, а ^ (у) за-
задается равенством
= f <?(x> x — y)dx.
В самом деле, введем обобщенную функцию F2 в простран-
пространстве К2, положив
(F2,
, х — у)).
B3)
Из равенства B1) следует, что эта обобщенная функция
инвариантна относительно сдвигов х по h. В выпуске 1
(гл. I, § 4, п. 1) было показано, что такие обобщенные
функции задаются равенствами
(F2, Ф(х. y)) = (F(у), / ф(х, у)dx), B4)
где F — обобщегная функция в пространстве К. Полагая
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
211
мы получаем из равенств B3) и B4), что
(F,,
-('• М
-У + У
2
Тем самым соотношение B2) доказано (множитель 2 можно
ввести в обобщенную функцию F).
Из соотношения B2) вытекает, что для функций вида
ср(х, у) = ср (х) ф (у) обобщенная функция Ft задается фор-
формулой
(х) фОО ) =
но
= В (ср, ф).
B5)
Итак, мы получаем следующий результат: всякий инвариант-
инвариантный относительно сдвигов эрмитов билинейный функ-
функционал В(ср, ф) в пространстве К имеет вид В(ср, ф) —
— (F, ср-х-ф*), где F — некоторая обобщенная функция в про-
пространстве К.
Назовем билинейный функционал В(ср, ф) в пространстве К
положительно определенным, если В(ср, <р);>0 для всех функ-
функций ср(дг) из пространства К. Если этот функционал, кроме
того, инвариантен относительно сдвигов, то соответствующая
ему обобщенная функция F удовлетворяет неравенству
(F, ср*ср*)^>0, т. е. также положительно определена.
Воспользуемся теоремой Бохнера — Шварца (см. п. 3),
которая дает представление обобщенных положительно опре-
определенных функций из К через меры степенного роста. При-
Принимая во внимание, что ср ^-ср*= ср(Х)ср(л), получаем следую-
следующий результат.
Теорема 6. Всякий инвариантный относительно
сдвигов положительно определенный эрмитов билинейный
функционал В (а, ф) в пространстве К имеет вид
сР(А)ф(Х)а>(л)>
14*


212 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ "И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[6
где р. — некоторая положительная мера степенного роста,
а ср(Х) а ф (X)— соответственно преобразования Фурье
функций ср(лг) и ф()
6. Примеры положительных и положительно опре-
определенных обобщенных функций. В этом пункте мы при-
приведем различные примеры положительных и положительно
Определенных обобщенных функций в пространстве S и дру-
других пространствах.
Начнем с функций одного переменного. Самыми про-
простыми положительными функциями являются одночлены х2т.
Так как преобразование Фурье положительной обобщенной
функции положительно определено, а преобразованием Фурье
одночлена х2т является *) (—\)т 2кЪ'-2т> (х), то мы получаем
следующий результат: обобщенные функции (—1)т
положительно определены. Впрочем, этот результат легко
получить непосредственным вычислением интеграла
= 0—1 )т J <рB"!) (х) Щх) dx.
Интегрируя т раз по частям, получаем, что этот интеграл
равен
Этот результат связан со следующим общим фактом: если F
положительно определена, то (—1) " -—^-также положи-
положительно определена. Действительно,
*) На протяжении этого пункта нам будет удобно обозна-
обозначать одной и той Hie буквой аргумент функции и ее преобразо-
преобразования Фурье.
6]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
213
Вообще, если Х> — 1, то обобщенная функция
положительна. В самом деле, она задается формулой
| х |
и ясно, что при ср (х) ^ 0 имеет место неравенство
(|лг|\ ср(л:))^>0. Преобразование Фурье обобщенной функ-
функции | х \х равно
г-Х-1
(см. вып. 1, гл. I, § 2, п. 3). Таким образом, при условии
>. > — 1 обобщенная функция —2 sin -н-Г(Х-)- 1) | х]~Л~
положительно определена. Аналогично показывается положи-
положительная определенность при X > — 1 обобщенных функций
ie
— ie
(они являются преобразованиями Фурье положительных обоб-
обобщенных функций х\ и хх_у
Иначе обстоит дело при Х< — 1. Так, например, при
X >. — т — 1 обобщенная функция хх+ задается формулой
1 -1 оэ
] ^W*)@) \dx-\- f x\ (x) dx.
о J 1
B6)
Это выражение может принимать отрицательные значения и
для положительных основных функций ср (х). Однако, если
функция ср (х) такова, что ср @) = ср' @) = ... = cpt) @) = 0,
то формула B6) принимает вид
(х\, ?) = J* x
Поэтому при условии X > — т — 1 обобщенная функция лЛ
положительна не на всем пространстве основных функций,


214 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [6
а лишь на его подпространстве, состоящем из таких функ-
функций, для которых ср @) = ср' @) = ... = cp("i—1)@) = 0. Анало-
Аналогичное замечание относится и к обобщенной функции л:^_.
Отсюда следует, что при — 2т — 1 ¦< X неравенства
(х\, срср)^>0 и (х\, срср)^>0 выполняются, если
ср @) = ?' @) = ... = cp(«-D @) = 0. B7)
В самом деле, в этом случае все производные функции
ср (х) ср (х) до 2т—1-й включительно обращаются в нуль
при х = 0 и потому имеет место неравенство {х+, <рср) —
со
= | Xх | ср (х) |2 dx^>0 и аналогичное неравенство для лг^_. Рас-
о
сматривая преобразование Фурье обобщенных функций х\
и х]_, мы получаем, что обобщенные функции
-Х-1
— ie a Г(л+1)(лг — ЮУ1'1
при — 2m — 1 ¦< X положительно определены не на всем про-
пространстве 5, а лишь на некотором подпространстве этого
пространства. Можно показать, что это подпространство состоит
оо
из таких функций, для которых все моменты mk = С xky (x) dx
—оо
до т— 1-го включительно обращаются в нуль.
Иными словами,
для всех функций ср (лг) из пространства 5, таких, что
оо
Г лгйср (лг) dx = 0, 0
—1.
Рассмотрим теперь обобщенные функции вида
(ах2 -\-bx-\- с)х. Эти обобщенные функции были изучены
б]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
215
в выпуске 1 (гл. II, § 2, п. 6), где были приведены и их пре-
преобразования Фурье. Обобщенная функция (l-\-x2f положи-
положительна при любом вещественном значении X. Поэтому ее
преобразование Фурье
2У*
Г (- X)
положительно определено при любом вещественном значении X.
Обобщенные функции (х2—1)^ и (х2—1)^ положи-
положительны при X > — 1. Поэтому при X > — 1 их преобразо-
преобразования Фурье
-л-4
положительно определены.
При целых положительных значениях т положительно
определены обобщенные функции
являющиеся соответственно преобразованиями Фурье положи-
положительных обобщенных функций {х2-\-\)т и (х2—\)т.
Рассмотрим теперь функции многих переменных. При
условии X ;> — п обобщенная функция гх задается формулой
(r\ cp) = 2nJ
где через 2Л обозначена поверхность «-мерной сферы радиуса 1
^2Я= г ,п<2))' а чеРез S9(r) — среднее значение функ-
функции ср(лг) на сфере радиуса г. Из этой формулы видно, что


216 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [6
при X > — п обобщенная функция гх положительна. Следова-.
тельно, ее преобразование Фурье
..,.,
г I —
при условии X >¦— п положительно определено.
Если же — п — 2т < X <—п—-2т-\-2, то обобщенная
функция гх задается выражением
т-1
(г\ <р) = 2„
ft=o
-1
) rfr'
J
В этом случае она положительна на подпространстве, состоя-
состоящем из таких функций ср.(лг), что
Согласно формуле F) из выпуска 1 (гл. I, § 3, п. 9) это
условие B8) можно представить в виде
а,@) = Дер@)
щ
B9)
Итак, мы доказали, что обобщенная функция (гЛ, ср), где
V = D -+- ¦ • • + xlf'%> —п-~2т<\<—п~2т-\-2,
положительна на подпространстве, состоящем из основных
функций, удовлетворяющих условиям B9).
Более сложные примеры положительных и положительно
определенных обобщенных функций многих переменных возни-
возникают при рассмотрении обобщенных функций, связанных
с квадратичными формами (см. вып. 1. гл. IV, § 2).
п
Пусть, например, Р= 2 8jkxjxk—квадратичная форма
от п переменных. Тогда обобщенные функции Рх+ и Р^
положительны при X > — 1. Поэтому преобразования Фурье •
этих обобщенных функций положительно определены.
6]
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
217
Эти преобразования Фурье задаются (вып. 1, гл. IV, § 2,
п. 6) формулами
X
itqi
-х-~
izqi
¦e~iQ+tO)
¦я
C1)
где q — число отрицательных членов в канонической записи
п
= 2 S^
формы Р, Q= ^j gikXjXk — квадратичная форма, сопря-
сопряженная форме Р ( т. е. такая форма, что
п
Й-1
gjk8km —
Через D в формулах C0) и C1) обозначен дискриминант
формы Р, через (Q-{-iO)x — обобщенная функция Q+ -j-e'^Qi
и через (Q — /0)Л — обобщенная функция Q+ -{-e~KXlQ1..
Укажем еще, что при четном s обобщенная функция
где
Л ft-i
— k)\
dxj дх^ s
положительно определена, так как она является преобразо-
(с2 -4- f)s
ванием Фурье положительной обобщенной функции . . ,
1 (st') -
где s — четное положительное число. Мы не приводим здесь
более сложных примеров, связанных с рассмотрением положи-
положительных обобщенных функций (с2 ~\- Р)х+ и (с2:-4- Р)\, поскольку


218 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
выражения преобразований Фурье этих обобщенных функций
довольно сложны.
Мы рассматривали до сих пор примеры положительно
определенных обобщенных функций в пространстве К (или,
что то же самое, в пространстве S). Укажем еще примеры
положительно определенных обобщенных функций в про-
пространстве Z. Эти обобщенные функции являются преобразо-
преобразованиями Фурье положительных обобщенных функций в про-
пространстве К. Благодаря финитности основных функций
обобщенные функции в пространстве К могут иметь любое
поведение в бесконечности.
Рассмотрим, например, положительную функцию еах (а—
вещественное . число). Ее преобразованием Фурье является
положительно определенная обобщенная функция 2-гсЗ (z — la)
B-геЗ (г — la), ср (z) ) — 2тгср (la)
в пространстве Z.
Точно так же преобразованием Фурье положительной
обобщенной функции е*а/2 в пространстве К является положи-
положительно определенная обобщенная функция
loo
(F, ?) = — /
в пространстве Z.
(z) dz
§ 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ*)
1. Основные определения. Из положительно определен-
определенных обобщенных функций можно получать новые положи-
положительно определенные обобщенные функции, применяя к ним
—
дифференциальные операторы вида DD, где D
Ift 1=5
'dxk
линейный однородный дифференциальный оператор с постоян-
*) Этот параграф может быть опущен при первом чтении. Его
следует изучить перед чтением гл. III.
1] §4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 219
ными коэффициентами порядка s *), а через D обозначен
ч* V — dk
оператор (— l)s
ваемого равенства
ak —- . В самом деле, из легко доказы-
DD (ср * ср*) =
(D<?)*
A)
вытекает, что (DDF, ср ¦* ср*) = (Z7, D^*(D»)*). Поэтому для
любой положительно определенной обобщенной функции F
выполняется неравенство (DDF, ср ¦* ср*) ^ 0.
Обратное утверждение не имеет места — из того, что обоб-
обобщенная функция DDF положительно определена, не следует,
вообще говоря, положительная определенность самой функ-
функции F. Например, функция — х2 не является положительно
определенной. Однако, применяя к ней оператор DD, где
D = -г- , мы получаем положительно определенную функцию
DD(— x2) = 2.
Мы будем называть обобщенную функцию F условно
положительно определенной обобщенной функцией по-
порядка s, если неравенство (DDF, ср -х- ср*) ^ 0 выполняется
для всех основных функций ср (х) и всех линейных одно-
однородных дифференциальных операторов D порядка s с постоян-
постоянными коэффициентами. Такие обобщенные функции встретятся
нам, например, в приложениях к теории обобщенных случай-
случайных процессов в главе III.
Используя равенство A), мы можем иначе сформулиро-
сформулировать определение условной положительной определенности.
Именно, обобщенная функция F условно положительно опре-
определена, если неравенство (F, ср ¦# ср*) !!> 0 выполняется для
всех функций основного пространства, представимых в виде
ср (х) = Dty (х), где D — линейный однородный дифферен-
дифференциальный оператор порядка s с постоянными коэффициен-
коэффициентами, а Ф(лг) — основная функция.
*) Как обычно, через г- мы обозначаем оператор
dx"
¦, |*|=*!+ ... + *„.


218 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
выражения преобразований Фурье этих обобщенных функций
довольно сложны.
Мы рассматривали до сих пор примеры положительно
Определенных обобщенных функций в пространстве К (или,
что то же самое, в пространстве S). Укажем еще примеры
положительно определенных обобщенных функций в про-
пространстве Z. Эти обобщенные функции являются преобразо-
преобразованиями Фурье положительных обобщенных функций в про-
пространстве К. Благодаря финитности основных функций
обобщенные функции в пространстве К могут иметь любое
поведение в бесконечности.
Рассмотрим, например, положительную функцию еах(а —
вещественное . число). Ее преобразованием Фурье является
положительно определенная обобщенная функция 2-геЗ (z — id)
Bтс8Bг —/а), ср (г) ) = 2mp (id)
в пространстве Z.
Точно так же преобразованием Фурье положительной
обобщенной функции е*3/2 в пространстве К является положи-
положительно определенная обобщенная функция
lea
-IOO
(F, <р) = — / У 1т, j е*\ (г) dz
в пространстве Z.
§ 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ*)
1. Основные определения. Из положительно определен-
определенных обобщенных функций можно получать новые положи-
положительно определенные обобщенные функции, применяя к ним
дифференциальные операторы вида DD, где D— V ак—г —
•"¦ dxk
линейный однородный дифференциальный оператор с постоян-
*) Этот параграф может быть опущен при первом чтении. Его
следует изучить перед чтением гл. III.
1] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 219
ными коэффициентами порядка s *), а через D обозначен
^г^ ?к
оператор (— 1) У, аь —- . В самом деле, из легко доказы-
F r <« й dxk
\k\-s
ваемого равенства
DD (<p * ср*) = D?* (Dsp)'
A)
вытекает, что (DDF, ср ¦* ср*) = (F, D^^-(Dp)*). Поэтому для
любой положительно определенной обобщенной функции F
выполняется неравенство (DDF, ср-х-ср*) ;> 0.
Обратное утверждение не имеет места — из того, что обоб-
обобщенная функция DDF положительно определена, не следует,
вообще говоря, положительная определенность самой функ-
функции F. Например, функция — х2 не является положительно
определенной. Однако, применяя к ней оператор DD, где
D = —г- , мы получаем положительно определенную функцию
DD(— х2) = 2.
Мы будем называть обобщенную функцию F условно
положительно определенной обобщенной функцией по-
порядка s, если неравенство (DDF, ср * ср*) >. 0 выполняется
для всех основных функций ср (х) и всех линейных одно-
однородных дифференциальных операторов D порядка 5 с постоян-
постоянными коэффициентами. Такие обобщенные функции встретятся
нам, например, в приложениях к теории обобщенных случай-
случайных процессов в главе III.
Используя равенство A), мы можем иначе сформулиро-
сформулировать определение условной положительной определенности.
Именно, обобщенная функция F условно положительно опре-
определена, если неравенство (F, ср -х- ср*) ^> 0 выполняется для
всех функций основного пространства, представимых в виде
ср (х) = Di[> (лг), где D — линейный однородный дифферен-
дифференциальный оператор порядка s с постоянными коэффициен-
коэффициентами, а ф(лг) — основная функция.
*) Как обычно, через
dxk
мы обозначаем оператор
VХ.у


220 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
Изучение условно положительно определенных обобщен-
обобщенных функций удобнее провести, заменив эти функции их
преобразованиями Фурье.
Сопоставим каждому дифференциальному оператору
^ v^ dk
многочлен
Так как для любой обобщенной функции справедливо
равенство — =
dxK
то DF = P(X)F. Легко пока-
зать, что оператору D соответствует многочлен
Поэтому преобразованием Фурье обобщенной функции DDF
является обобщенная функция PPF. Так как преобразование
Фурье переводит функцию ср-х-ср*(лг) в функцию ср(Х)ср(Х),
то условная положительная определенность порядка s для
обобщенной функции F эквивалентна выполнению нера-
неравенства
для всех однородных многочленов Р степени 5 и всех функ-
функций <|> (X.) из двойственного пространства.
В соответствии с этим мы будем называть обобщенную
функцию F условно положительной порядка s, если не-
неравенство {PPF, фф) >• 0 выполняется для всех однородных
многочленов степени s и всех основных функций (точнее
было бы назвать такие обобщенные функции условно муль-
мультипликативно положительными, но мы для краткости
опускаем слово «мультипликативно»).
Поскольку нас будут интересовать условно положительно
определенные обобщенные функции в пространстве К, мы
будем условно положительные обобщенные функции рассмат-
рассматривать в двойственном к нему пространстве Z.
2] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 221
2. Условно положительные обобщенные функции (слу-
(случай одного переменного) *). В этом пункте мы найдем общий
вид условно положительных обобщенных функций порядка 5
для функций одного переменного. Поскольку для функций
одного переменного единственным однородным многочленов
степени s является Xs, то условная положительность обоб-
обобщенной функции F эквивалентна мультипликативной поло-
положительности обобщенной функции x2sF. Но по теореме
Бохкера — Шварца из § 3 всякая мультипликативно положи-
положительная обобщенная функция в пространстве Z задается
положительной мерой степенного роста. Таким образом, если
F — условно положительная обобщенная функция порядкам,
то существует такая положительная мера v степенного роста,
что для всех функций ср (z) из пространства Z выполняется
равенство
(F. z**
Но любая функция одного переменного ty(z) из прост-
пространства Z, имеющая при 2 = 0 нуль порядка 2s, может
быть представлена в виде ф (z) = 22scp (z), где ср (z) Также
принадлежит Z. Поэтому доказанное нами утверждение озна-
означает, что
B)
для любой функции ty(z) из пространства Z, имеющей при
2г = 0 нуль 2s-ro порядка.
Нам будет удобнее сформулировать это утверждение
иначе. Для этого выделим в интеграле B) точку х = 0.
Принимая во внимание соотношение
lim
ф (х) № @)
х* B5)! '
мы получаем, что
C)
*) Этот случай наиболее важен для теории случайных про-
процессов Читатель, интересующийся теорией случайных полей, дол-
должен ознакомиться также с п. 3, в котором будут рассмотрены
условно положительные обобщенные функции для многих пере-
переменных. ¦ .,..-...


222 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОЛРЕД. ФУНКЦИИ
[2
где ?20—область, дополнительная к точке х = 0, а коэф-
коэффициент а равен мере этой точки. Введя в области 20 новую
меру rfji (лг) = —~г^ . мы можем переписать равенство C)
в более простом виде
D)
Мы нашли, таким образом, общий вид функционала F
для функций ty(z), имеющих при 2 = 0 нуль 2s-ro порядка.
Найдем теперь общий вид этого функционала для любой
функции ty(z) из пространства Z. Выберем любую функ-
функцию а (г) из пространства Z, такую, что a (z)—1 имеет
при 2 = 0 нуль Bs-j- l)-ro порядка*), и сопоставим каждой
функции ф(г) из пространства Z функцию
Эта функция имеет при 2 = 0 нуль 2s-ro порядка, и потому
к ней применима формула D)**)
(F, 6) = J
Но
2s-1
(F, <|») =
@)
*) Такую функцию a (z) легко построить, рассматривая функ-
функции вида р (г) ji (г), где р (г) ? Z, а р (г) — многочлен степени
2s+1, и подбирая соответственным образом коэффициенты этого
многочлена.
**) Мы не могли положить попросту
так как тогда функция 8 (г) не стремилась бы к нулю на веще-
вещественной оси и не принадлежала бы пространству Z.
За'метим, что функция а (г) определена неоднозначно. Окон-
Окончательное выражение для (F, <Ь) зависит от выбора a (z) и потому
также неоднозначно.
2] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 223
a BBs) @) = tjjBs) @), и потому
где положено для краткости aft = (F, a B) 2й) при 0^А^
<2s— 1 и a2^a = v@).
Поскольку мера v конечна для всех ограниченных мно-
множеств, то I rfv(x) <C -Ь-оо, и потому Г x2sd\i(x) <-j-oo.
Кроме того, отметим, что a2s^>0, так как a2s является
v-мерой точки х = 0.
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема \. В пространстве Z всякая условно по-
положительная обобщенная функция F порядка s от од-
одного переменного имеет вид
1 -.
±-^Lxk
0 ' J
2s
@)
E)
Здесь ja — положительная мера степенного роста, такая,
что интеграл j x2sd\i(x) сходится, a.(z) — функция
о< |д:| <i
из пространства Z, такая, что a.{z)— 1 имеет при 2 = 0
нуль Bs-f-l)-20 порядка, a2s^>0, и ak, 0^А^25—1 —
некоторые числа.
Заметим, что справедливо и обратное утверждение —
любая обобщенная функция F вида E), где p., a B) и ak
удовлетворяют сформулированным условиям, является
условно положительной функцией порядка s. В самом
деле, если ср (z) — любая функция из пространства Z, то
функция 22scp (z) cp B) имеет при 2 = 0 нуль по меньшей мере
25-го порядка. Поэтому все ее производные до Bs—1)-го
порядка включительно обращаются в точке 2 = 0 в нуль.
Производная же порядка 2s при 2 = 0 равна Bs)! |cp@)|2.


224 СЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
Поэтому имеет место равенство
(F, z^ (z) ? (*)) = J х" | ср (*) |2 а> (х) 4- aZs | ср @) |2. F)
Интеграл в формуле F) сходится на бесконечности, так как
камера р. имеет степенной рост, а функция x2s | ср (лг) |2 быстро
убывает. Он сходится также и в нуле, так как по условию
сходится интеграл I x2sd\>.(x). Но так как мера (х поло-
жительна и aZs~^>0, то из формулы F) следует, что
(F, 22s ср (г) ср (z)) ^.0. Тем самым доказано, что если мера р.,
функция a (z) и числа ak удовлетворяют условиям теоремы 1,
то формула E) задает условно положительную обобщенную
функцию порядка s.
3. Условно положительные обобщенные функции (слу-
(случай многих переменных). В случае многих переменных имеет
место теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема \'. Любая условно положительная обоб-
обобщенная функция F порядка s в пространстве Z имеет вид
ш(й) @)
G)
|ft 1=0
Здесь [>. — положительная мера степенного роста, опре-
определенная в дополнении Qo к точке х = 0 и такая, что
интеграл
о<
С
х
2s rf[x (х) сходится, a (z) — функция аз
пространства Z, такая, что а (г)—1 имеет при
z = 0 нуль Bs-\- \)-го порядка*); a,,, \k\ = 2s,—такие
числа, что эрмитова форма 2 fli + /M; положительно
l j
*) Иными словами, а @) = 1 и a(l?)@) = 0 при 1 < | q \ < 2s.
3] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 225
определена, a ak, \k\ ^ 2s—1, — любые фиксированные
числа *).
Мы докажем сначала частный случай этой теоремы, а
именно укажем общий вид функционала (JF, ср) для функ-
функций ср (z) пространства Z, имеющих вид
= 2
[ftl = -2s
(8)
Лемма 1. Пусть F—условно положительная обоб-
обобщенная функция порядка s. Тогда для любой функции
cp(z) пространства Z, являющейся линейной комбина-
комбинацией функций zkyk(z), где | k | = 2s, cpft(z)?Z, обобщен-
обобщенная функция F задается формулой
а0 i k | = 2s
Здесь и, — такая положительная мера степенного роста,
что интеграл \ \х |2srf[A (jc) сходится, a ak, \ k | = 2s,—
o<ui<i _
такие числа, что эрмитова форма 2 ai'-fi^i поло-
\t\-\j\-s
жительно определена.
Сначала мы найдем общий вид функционала F для функ-
функций вида ср (г) = гйф (z), где <jj(z)—функция из простран-
пространства Z, а [ Л | = 2s. Поскольку при | k\ = 2s одночлен zft
можно записать в виде zk = zlzJ, где |г| = |у| —s, то функ-
функцию 2*^B) можно представить в следующем виде:
Но для любого однородного многочлена Р (z) степени s
найдется такая положительная мера vp степенного роста,
что для всех функций ф (z) из пространства Z выполняется
равенство
OF, />Рф) = J"<K*) dvp(jc). (Ю)
*) Мы полагаем здесь, как и во всей книге, \х\ =
... -J- Лд) V Через *! мы обозначаем
жение г*1 г^
йя!, через '
х\ + ...
— выра-
выраг^п, через | А | — сумму ky-\- ... -\-kn.
15 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкна


226 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
В самом деле, по определению условной положительности
обобщенной функции F обобщенная функция PPF мульти-
мультипликативно положительна. Согласно же теореме 3' из § 3
мультипликативно положительная обобщенная функция в про-
пространстве Z задается положительной мерой степенного роста -/р.
Поэтому
(F, РРф) = (PPF. ф) = J ф (х) dvp (x).
Применяя доказанное утверждение к многочленам Р, (z) =
= 2 и "г v2) == —2 ' МЫ Убеждаемся, что
(F,
= (F,
J ф
= J* ф (
где положено
На первый взгляд, мера vfe зависит не только от зна-
значения k, но и от способа разложения zk = zlzJ одночлена zk
в произведение одночленов zl = z1^ ... z'n и zJ = г^ . . . zAi
степени s. На
Действительно,
самом деле, мера vft зависит только от k.
предположим, что другому разложению
zk — zPzt, | р | = | q | = s, соответствует мера ak. Тогда для
любой функции ф(г) из пространства Z мы имеем
(F, гг*ф (г)) = J ф (х) rfvft (х) = J ф (х) rfaft (jc).
Но пространство Z всюду плотно в пространстве 5 и потому
для всех функций ф (л;) из 5 выполняется равенство
J ф (х) dvk (х) = J* ф (х) dak (х):
Это может иметь место, только если vft = aft.
Итак, мы доказали, что для любого k, | Л | ===== 2s, найдется
единственная мера vft (вообще говоря, не положительная),
такая, что обобщенная функция F задается для.всех функ-
функций вида zk ф (z), ф (z) ^ Z, равенством
(F,
(И)
3] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 227
Формула- A1) еще не позволяет найти общий вид функцио-
функционала (F, ср) для всех функций вида 2 zA9k (г)> поскольку
мера vft в этой формуле зависит от значения k (т. е. от
набора чисел kt, . . ., kn). Мы хотим поэтому переписать
эту формулу в виде, не зависящем от значения k. Для этого
разобьем все пространство независимых переменных на два
множества — многообразие Lk, где х* = 0*), и дополнитель-
дополнительную к нему область 2Й. В каждой области Qk вместо меры vfe
введем новую меру {xft, положив **) dpk (х) = —?^-.
Покажем, что эти меры обладают следующим свойством
согласованности: в области Qj П 2Й имеет место равенство
р,. = [ift. Пусть л;-' и хк — два одночлена степени 2s. Тогда
для любой функции ф (z) из пространства Z выполняются
равенства
OF.
и
OF. *'+*ф(*))=/
и, значит, для любой ф (z) ? Z
J
(x) = J
x),
т. e.
= xJ rfvft (лг).
A2)
Но тогда в области Qj(]Qk имеем p,y=={j,ft. Согласованность
мер [Ад доказана.
Из согласованности этих мер вытекает, что в объедине-
объединении 20 всех областей Qk существует мера у., совпадающая
в каждой из областей 2fe с соответствующей мерой \ik.
*) Напомним, что равенство xk =0 является сокращенным
обозначением равенства х*1 ... х\п = 0. Поэтому многообразие Lk
состоит из всех гиперплоскостей xi = 0, для которых kt отлично
от нуля. ' .
**) Это возможно, поскольку в области 2д. знаменатель xR
не обращается в нуль.
15*


228 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
Нетрудно видеть, что 20 является дополнением точки х — 0.
Мы можем теперь записать равенство A1) в виде
z) ) = J ф (х) rfvA (х) -+- J <j> (х) rfvft (л;) =
= J х*ф (х) d^ (x) 4- / 4» (¦*) d4 {x) =
Bft **
= J* х*ф (x) ф (л) + J ф (*) rfvft (x). A3)
Поскольку функция xkty(x) обращается в нуль вне мно-
множества S2ft, то первое слагаемое в формуле A3) не изменится,
если заменить область интегрирования Qk областью 20
f xkty (*) d{x (x) = J **ф (х) dp (x).
Рассмотрим теперь второе слагаемое. Из соотношения
A2) мы имеем vt(Z,?) = O, где через L'k обозначена совокуп-
совокупность точек х, в которых xk=0, но хотя бы один из одно-
одночленов х* не равен нулю. Поскольку многообразие Lk можно
разбить на точку х = 0 и .на конечное число множеств,
в которых хотя бы один из одночленов х-> отличен от
нуля, мера vft сосредоточена в точке лг = О. Поэтому ин-
интеграл J ф (лг) dvk (x) равен аАф@), где ак равно v^-мере
точки х =. 0.
Подставляя полученные выражения в формулу A3), мы
получаем, что
(И)
Полагая zkty (z) — tp (z) и принимая во внимание равенство
> MbI можем записать равенство A4) в виде
m(
= —
k\
A5)
'3] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 229
Равенство A5) можно представить в следующей форме,
уже не зависящей от значения k,
ац-^-п—• A6)
В самом деле, все производные порядка j, |./| = 2s, функ-
функции ср (z) = zkty (z) обращаются в нуль при 2 = 0, если j
отлично от k. Поэтому равенство A5) равносильно равен-
равенству A6).
Итак, мы нашли общий вид функционала (F, ср) для
функций вида ср — zkty{z), \k\ = 2s, ty(z)?Z. Но правая
часть равенства A6) не зависит от значения k, а потому
это равенство сохраняет силу для линейных комбинаций
функций zkty(z). Тем самым доказано, что для всех функ-
функций вида
?<) 2 А* () ?
\k\-2s
значение функционала (F, ср) выражается формулой A6).
Чтобы завершить доказательство леммы, нам осталось
показать, что мера ^ и числа ak обладают указанными в ней
свойствами. Иными словами, нам надо доказать, что мера \у
положительна, имеет степенной рост и что интеграл *)
Г | х \2S d\i (x) сходится. Числа же ak(\k\ —2s) 'таковы,
0<|*|<1 _
что эрмитова форма 2 ai+fifii положительно определена.
Для доказательства положительности меры (а восполь-
воспользуемся соотношением xk dy.(x) = rfvft (лг), послужившим для
введения меры [i. Выберем значение k, имеющее вид k = 2j
(т. е. такое, что xk = x\)s . . . x2nJn). Это возможно, так
как k может быть любым целочисленным вектором
с длиной \k\ = 2s. В силу условной положительности обоб-
обобщенной функции F обобщенная функция z2->F мультиплика-
мультипликативно положительна. По теореме 3' из § 3 отвечающая ей
мера v2y есть положительная мера степенного роста. Но
тогда и мера р., связанная с ней равенством x2i dp. (x) = rfv2;. (лг),
также положительна и имеет степенной рост. При этом из.


230 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПрЁД. ФУНКЦИИ [3
того, что j dv2j (лг)< -р-00. вытекает сходимость инте-
интеграла
/x2J d\x (jc). A7)
Поскольку интеграл j |jcprfa(jc) является линейной
О<|.«|<1
комбинацией интегралов вида A7), то и он тоже сходится.
Итак, наши утверждения, касавшиеся меры ц, доказаны.
Чтобы доказать утверждение, касающееся чисел ak,
напомним, что эти числа определялись нами как чк — меры
точки 0, aft = Vft@). Поэтому нам надо доказать, что для
любых комплексных чисел \х \п выполняется неравен-
неравенство
Для доказательства неравенства A8) образуем однородный
многочлен P(z)= 2 МУ степени s. Как было отмечено
в начале доказательства, этому многочлену соответствует
положительная мера rfvp, такая, что
(F, PP<?) =
A9)
для всех функций. ср (z) из пространства Z. Но, с другой
стороны,
, РР ср) =
I П = | у |
B0)
Поскольку формулы A9) и B0) имеют место для любой
функции cp(z) из пространства Z, то для любого множе-
множества А выполняется равенство.
3] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 231
Выберем в качестве множества А точку х = 0. Так как
v/+,-{0) == ai+l, то мы получим, что
ЧЩ- -
.@)= 2 fli
UI-I/I-5
Поскольку vp @)^-0, то из этого соотношения вытекает
неравенство A8). Таким образом, положительная определен-
определенность эрмитовой формы 2 ai+/M/ доказана.
Лемма 1 дает общий вид функционала (F, ср) для функ-
функций, записываемых формулой (8). Мы покажем теперь, что
равенство A6) справедливо для всех функций cp(z), имею-
имеющих в точке z = 0 нуль порядка 2s. Чтобы доказать это,
примем во внимание, что функции вида (8) всюду плотны
в множестве функций из Z, имеющих при z = 0 нуль по-
порядка 2s (доказательство этого утверждения приведено
в добавлении к этому параграфу, стр. 243). Поэтому для
доказательства нашего утверждения достаточно показать, что
функционал
т<*> @)
B1)
1*1-2*
рассматриваемый на функциях вида
?(*)= 2 2*срй(г),
B2)
непрерывен в топологии пространства^.
Пусть функция cp(z) из пространства Z имеет указанный
вид. Тогда функция
ограничена при 0< |лг| < 1 и из
сходимости интеграла Г | jc I2* dp (x) вытекает сходи-
0<|*|<1
мость интеграла Г ср (х) dp (x). Сходимость же инте-
о<М1'<1
грала Г ср (jc) d\x (л:) вытекает из быстрого убывания функ-
ции ср(х) и степенного роста меры р. Отсюда следует, что
функционал (Fj,, ср) определен для всех функций ср(г)
вида B2) из пространства Z.


232 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И. ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
Докажем непрерывность функционала Ft в топологии
пространства Z. Пусть последовательность функций срта(г) из
этого пространства, имеющих вид
29j
B3)
сходится к нулю (в топологии пространства Z). Из свойств
меры [а вытекает, что при некотором р >• 0 интеграл
* х |2s ф ()
I
J
СХОДИТСЯ.
Поскольку функции cpra(z) сходятся к нулю в топологии
пространства Z и имеют вид B3), то для любого е >¦ О
найдется такое N, что при m^-N выполняются неравенства
С е, \k\ = 2s. Но тогда при
е JC I
.25
и
имеет место неравенство
I х р* dy. (х)
-2
1*1=25
к
Ввиду произвольности г отсюда вытекает непрерывность
функционала Ft. Поскольку этот функционал совпадает
с функционалом F на функциях вида B2), а эти функции
всюду плотны в подпространстве функций <р(г) из Z, имею-
имеющих при г = 0 нуль 2s-ro порядка, то равенство
>@)
справедливо для всех функций ср (г) из этого подпространства.
Тем самым лемма 1 доказана.
Из наших рассуждений вытекает, что если мера \х имеет
степенной рост, а интеграл Г | х \2s d\i (x) сходится,
то интеграл Г ср (лг) d\x (лг) сходится для всех функций
из пространства Z, имеющих при z — 0 нуль порядка 2s,
и определяет непрерывный 'линейный функционал в под-
подпространстве таких функций.
3) § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 233
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1', т. е.
к установлению вида обобщенной функции F для любой
функции ср (г) из пространства Z. Как и для функций одного
переменного, введем новую функцию В (г), положив
2S-1
*<*)-«(*)
\k\ -О
где а (г) — какая-либо функция из пространства Z, такая,
что а(г)—1 имеет при 2 = 0 нуль Bs-f-l)-ro порядка.
Функция 6 (г) имеет при 2 = 0 нуль 2s-ro порядка.
Мы уже показали, что для таких функций обобщенная
функция F выражается формулой
6)=
Поскольку производные порядка 2s функций <p(z) и 6 (z)
совпадают, то эту формулу можно записать в виде
Но
, 0)=
(F, <?) = (F.
k\ '
|*|-25
25-1
1*1=0
Обозначая (F, a{z)zk) через ак, мы получаем, что
25-1
а(х)
1*1=0
•]
ft!
I ft 1=0
Тем самым найден общий вид обобщенной функции.F для
любой функции ср(г) из пространства Z. Теорема 1' доказана.
Справедлива и теорема, обратная теореме 1'.


234 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
Теорема 2. Пусть \х—положительная мера степен-
/I Юс J "V Ч
1 х [" dp {х)
сходится, flj, | k | = 2s, — такие числа, что эрмитова
форма
а
1+Г
положительно определена, ак,
М11Л
0<^|yfe|^2s—1, — произвольные числа, а а {г)—такая
функция из пространства Z, что a(z)— 1 имеет при
г = 0 нуль Bs -j- 1)-го порядка. Тогда обобщенная функ-
функция, задаваемая формулой
(F, <р) = / <р(х)—а
•»(*)
@)
|й1=0
¦»(*)
@)
B4)
условно положительна порядка s.
Доказательство. Сначала докажем, что равенство B4)
определяет функционал в пространстве Z. Пусть срB)—любая
функция из этого пространства. Тогда функция
2S-1
\k 1=0
й!
имеет при 2=0 нуль 2s-ro порядка.
Мы показали на стр. 232, что отсюда следует сходи-
сходимость интеграла Г 6 (х) dp (x) и непрерывная зависимость
этого интеграла от функции 6 (лг). Поэтому равенство B4)
определяет непрерывный линейный функционал в простран-
пространстве Z.
Покажем теперь, что обобщенная функция F условно
положительна порядка s, т. е. что (F.PPcpcp)^. 0 для любого
однородного многочлена P(z) степени s и любой функ-
функции ср(г) из пространства Z. В самом деле, функция фB) =
= РB)РB)срB)ср(г) имеет при 2 = 0 нуль 25-го порядка,
т. е. все ее производные до Bs — 1)-го порядка включи-
включительно обращаются в нуль при 2 = 0. Производные же
3] § 4. условно положительно определенные функции 235
ф(*) @), [ k | = 2s, no формуле Лейбница при 2 = 0 равны *)
\4-\J\-s
Поэтому обобщенная функция F задается для функции
ф (г) = Р (г) Р (z) ср (г) ср (г) равенством
= f\P(x
20
@) у @)
Л
Поскольку оба слагаемых в правой части этого равенства
положительны (в силу положительности меры \ъ и положи-
положительной определенности формы 2 ai
то мы
_ _
получаем, что (F, РР срср)^>0. Тем самым условная положи-
положительность обобщенной функции F доказана.
Отметим, что как мера [а, так и числа аь, \k\ = 2s, одно-
однозначно определяются условно положительной обобщенной
функцией F. В то же время функция a.(z) и числа ак,
| k | <^ 2s—1, определены неоднозначно. Для доказательства
однозначной определенности меры \з, и чисел аь, \k\ = 2s,
заметим следующее.
По теореме Бохнера — Шварца (теорема 3 из § 3) функ-
функционал F однозначно определяет для каждого многочлена P(z)
меру vp, такую, что (F, РР ср) = Г <?(x)dvp(x). Меры vp
однозначно определяют такие меры ук, \k\ = 2s, что
(F, 2ftcp {z)) = Г ср (л:) d-tk (лг). Наконец, меры vft однозначно
*) Через - Ту., мы обозначаем выражение
**) Остальные слагаемые в формуле Лейбница обращаются
в нуль, так как Р^ @) = 0, если |('|<s — 1. Если же ]iI >s + 1,
то |yj<s —1 и Ри)@)=0.


236 . ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [4
определяют меру [г и числа ак, |fe| = 2s, поскольку dp(x) =
= д и ak = vft @). Этим однозначная определенность
меры [а и чисел ак, \k\ = 2s, доказана.
4. Условно положительно определенные обобщенные
функции в пространстве К. Мы видели в § 3, что пре-
преобразование Фурье переводит условно положительно опре-
определенные обобщенные функции в условно мультипликативно
положительные обобщенные функции в двойственном про-
пространстве основных функций. Поэтому результаты предыду-
предыдущего пункта позволяют описать условно положительно опре-
определенные обобщенные функции в пространстве К. Напомним,
что обобщенная функция F в пространстве К назы-
называется условно положительно определенной порядка s, если
(DDF, ср^-ср*)^>0 для всех функций ср(лг) из пространства К
и всех линейных однородных дифференциальных операторов D
порядка s.
Из теоремы 1' предыдущего пункта непосредственно вы-
вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть F — условно положительно опре-
определенная обобщенная функция порядка s в простран-
пространстве К. Тогда эта обобщенная функция имеет вид
- f\~ Х-а
Г(*>1
|*|-о
k\
B5)
I ft I-о
Здесь ср(Х) — преобразование Фурье функции ср(х), и.—такая
положительная мера степенного роста, что интеграл
С |XI2*dji(X) сходится, ak, \k\ = 2s, — такие числа,
0<1М<1 ¦ _
что эрмитова форма 2 ai+fcfii положительно опре-
делена, аь при 0^|A:|<^2s— 1 — произвольные числа
{зависящие от F), а(\) — функция из пространства Z,
такая, что а(Х)—1 имеет при Х = 0 нуль Bs-\-\)-zo
порядка.
4] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 237
Формулу B5) можно записать иначе, введя моменты функ-
функции ср(лг). Для этого заметим следующее. Из равенства
вытекает, что
ш(*) (X) = /I *I Г xkel <х- -*>ср (лг) dx.
Положим в этом равенстве Х = 0. Мы получим, что
^(*) @) = /<*> J лг*ср (х) dx = /I * i bk,
где через bk обозначен k-R момент функции ср(лг).
Используя это равенство, мы можем записать фор-
формулу B5) в виде
B5')
1*1=0
В частности, если все моменты функции ср(лг) при \k\ •< 2s
обращаются в нуль, то формула B5') принимает следую-
следующий вид:
B5")
Отметим в заключение, что если условно положительно
определенная обобщенная функция F имеет вид
(F, <?) =
B6)
где F(x) — непрерывная функция, то соответствующая ей по-
положительная мера [а конечна в любой области вида |Х| ^ а > 0,
а интеграл J |X| d ja (X) сходится. Справедливо и обрат-
0< | X |<1
ное утверждение.


238 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ {5
5. Билинейные функционалы, связанные с условно
положительно определенными обобщенными функциями.
В этом пункте мы рассмотрим эрмитовы билинейные функ-
функционалы В (ср, ф) в пространстве К, обладающие следующим
свойством: для любого линейного однородного дифферен-
2
ak
\k
с постоянными коэф-
фициентами эрмитов билинейный функционал BD(y, ф), опре-
определяемый равенством
инвариантен относительно сдвигов и положительно определен.
Для описания таких функционалов воспользуемся тео-
теоремой § 3, согласно которой функционал BD(y, ф) можно
представить в виде
BD (?•>) = (FD. ср*ф*),
где FD— положительно определенная обобщенная функция.
Таким образом, для любых двух функций ср (л:) и ф (х) из
пространства К выполняется равенство
Введем новую обобщенную функцию F, положив
(F, DDQ) — (FD, 6) для любой функции 6 (jc) из простран-
пространства К. Это равенство определяет функционал F лишь для
функций вида DDQ (лг). На все пространство К функционал F
распространим произвольным образом *).
Билинейный функционал В (ср, ф) связан с обобщенной
функцией F равенством
— (F,
*) Функции вида D DQ (х), 9 (х) € К, образуют в пространстве К
подпространство KD, фактор-пространство K\KD по которому ко-
конечномерно. Выбирая в этом фактор-пространстве линейно незави-
независимый базис tp1 -j- KD, ...\ ?т + ^д и придавая любые значения
фЗ'нкционалу F для элементов (f>i, ..., «fm из К, мы распространим
его на все пространство /<.
5] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 239
Это равенство имеет место, для любых функций <f(x) и ф(лг)
из пространства К и любого однородного дифференциального
оператора D порядка s с постоянными коэффициентами.
Поскольку, по предположению, B(D<p, D<|»)^.0, то
(DDF, (р^-ф*)>-0, и потому обобщенная функция DDF
положительно, определена, каков бы ни был дифференциаль-
дифференциальный оператор D. рассматриваемого вида. Но это означает,
что F является условно положительно определенной обоб-
обобщенной функцией порядка s.
Мы можем теперь доказать следующую теорему, дающую
описание билинейных функционалов рассматриваемого вида.
Теорема 4. Пусть эрмитов функционал В(ср, ф)
таков, что для любого однородного линейного дифферен-
дифференциального оператора D порядка s с постоянными коэф-
коэффициентами функционал BD(<p, f) = B(D<?, Dty) инва-
инвариантен относительно сдвигов и положительно определен.
Тогда для любых бесконечно дифференцируемых финит-
финитных функций ср (лг) и ty(x), все моменты которых до
(s—\)-го порядка включительно равны нулю, справед-
справедливо равенство
Здесь [а — положительная мера степенного роста, такая,
что интеграл
f
сходится, а1г, ]&|=2s, — такие числа, что форма
2 ai+fifii полоэюительно определена.
Д о к а з а те л ь с т в о. Покажем сначала, что из равен-
равенства нулю моментов Ьч и ck функций cp(jc) и ф(л:) при
| k | ^ s — 1 следует равенство нулю всех моментов функции
ср^-ф*(х) до Bs—1)-го порядка включительно. В самом
деле, пусть | k \ ^ 2s — 1. Тогда
J
* f (x)\ dx =
— х) dx dy.


240 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [5
Сделаем в этом интеграле подстановку х = у -\-t. Мы по-
получим тогда, что *)
«+./=*
f У ср (у) dy f tl Ф (О dt =
B7)
Но эта сумма равна нулю, так как из неравенства | / -}- у | =
= | k | ^ 2s — 1 следует, что в каждом слагаемом либо
| i | <; s — 1, либо | j | ^ s — 1 и потому каждое слагаемое
в равенстве B7) равно нулю.
Перейдем теперь к описанию билинейного функционала
??(ср, ф). Мы видели выше, что для функций вида cp = D-f1,
4 = D^j он задается формулой
, Ф) = (/=", <р*<10.
B8)
где F — условно положительно определенная обобщенная
функция порядка s. Поскольку функции вида Dcpu всюду
плотны в множестве функций, имеющих нулевые моменты
до (s— 1)-го порядка включительно (см. дополнение к этому
параграфу), то равенство B8) сохраняет силу для всех функ-
функций этого множества. При этом для вычисления выражения
(F, ср-х-Ф*) мы можем применить формулу B5"), так как выше
было показано, что все моменты функции ср*ф*(лг) до
Bs — 1)-го включительно равны нулю. Тем самым доказано,
что
" ПШ'°-Ь B9)
20 |*| =2*
гдеб(Х)—преобразование Фурье функции б (х) = ср ¦& ф* (х),
a fi. и ak, Jft| = 2s, имеют тот же смысл, что и в фор-
формуле B5").
Примем теперь во внимание, что 9 (X) = ср (X) ф (X), где
ср (X) и ф(Х) — преобразования Фурье функций ср(лг) и ф (л:).
*) Через С{+; мы обозначили выражение
5] § 4. УСЛОВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 241
Отсюда следует, что *)
в(*>@)= 2 «
i+j-k
Подставим эти значения 9 (X) и В @) в формулу B9).
Мы получим, что
п у(/)@) ?a)(Q)
B9')
Тем самым теорема доказана.
Так как при | /1 = | j \ мы имеем срО @)
формулу B9') можно переписать в виде
@) =
то
В(Т, Ф) =
а»
Выясним теперь, какой вид имеет эрмитовый билинейный
функционал В (ср, ф) для любых функций ср (л:) и ф (л:) из
пространства К. Для этого введем такие функции 8,(л:),
j j | ^ s—1, из этого пространства, что
J
_l( C0)
где
у — многомерный символ Кронекера: Ъц = bi^ . . . 8; j
Существование таких функций 6, (х) доказывается без
труда. Пусть 6 (лг)—такая функция, что Г 9 (х) dx = 1.
Рассмотрим функции 6(/) (х). Очевидно, что
J хЧи) (л:) dx == 0, если | k | < ] j |; или | k \ = \ j |, но k Ф j,
а также, что
J х?л (х) dx = j!.
Из этих равенств и вытекает, что можно составить ли-
линейные комбинации бДлг) функций 8(;) (х), |/|-^s—1, так,
чтобы они удовлетворяли соотношениям C0).
*) Напомним, что ^(')@) = 0, если |/|<s— 1.
16 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Внленкнн


242 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [5
Сопоставим каждой функции cp(je) из пространства К
функцию
\]\<s-l }
где bj, \J\^.s—1, — моменты функции ср (х). Очевидно,
что все моменты функции сро(лг) до s— 1-го порядка вклю-
включительно равны нулю, а ее моменты s-ro порядка совпадают
с соответствующими моментами функции ср(лг). Поэтому если
ср(лг) и ф(лс) —любые две функции из пространства К, то
по формуле B9") мы получаем, что
.. Фо)=
Здесь [a, ak (|A| = 2s), b-, Cj имеют тот же смысл, что и
выше, а- сро(Х) и 4'оМ — преобразования Фурье функций сро(х)
и «pto(jf).
Из эрмитовости функционала В (ср, ф) вытекает, что
В (<р. ф) = Я(ср0, ^-f- 2 *,-Я(8„ фо) -Ь
2
\j\<s-l
у)+ 2 ьъвф» в,).
Но В (ср0, 6у) при фиксированном значении j является
линейным функционалом в пространстве К, В (<р0, 6у.) = Lj (ср)..
При этом B(Bt, ф0) = /.,(<{.).
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 5. Пусть В (у, ф) — эрмитов функционал и
для любого однородного линейного дифференциального
оператора D порядка s с постоянными коэффициентами
функционал BD(y, ^) = ??(Dcp, Щ) инвариантен относи-
относительно сдвигов и положительно определен. Тогда для
любых функций ср (лг) и ф (х) из пространства К этот
билинейный функционал задается формулой
В (ср, ф) =
7Т7Г
AybiCj.
Ul.
51
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
243
Здесь (i — положительная мера степенного роста, такая, что
интеграл Г | X J2* dp (X) сходится; аь, | k | ^= 2s, — такие
0<|А|<1 _
числа, что эрмитова форма 2 ai+fifif положительно
|/|-1/1=5
определена, Lt — линейные функционалы в пространстве К,
Ay^Aji—некоторые числа, bt и с{—моменты функций ср (л:)
и ф(лг), сро(Х) и фо(Х) — преобразования Фурье функций
I = ср (jc) — 2
I i К s
i = ф (x) — 2
-l
ДОБАВЛЕНИЕ К § 4
При доказательстве теоремы 1' мы воспользовались сле-
следующим утверждением.
Теорема 6. Всякая функция ср (z) из пространства Z,
имеющая при z = 0 нуль т-го порядка, является пре-
пределом (в смысле топологии этого пространства) после-
последовательности функций срА. (z), имеющих вид
?s(z)= 2 ^kr(z),
где <?kr(z)—функции из Z.
Дадим доказательство этой теоремы. Покажем сначала,
что функцию ср {z) можно представить в виде
<Р(*)= 2 *'<!>,(*),
где <tyr (z) — целые аналитические функции экспоненциального
типа, имеющие при вещественных значениях z степенной
рост. Это утверждение очевидно, если число переменных
равно единице, так как в этом случае ср (z) = zmty (г), где
фBг)—функция из пространства Z. Предположим теперь, что
наше утверждение уже доказано для случая, когда число
переменных меньше чем п. Разложим функцию cp(z) в ряд
Тейлора по степеням переменной zn. Это разложение можно
16*


244 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
записать в виде
т-\
C2)
где через z* обозначена совокупность переменных {zt, . . .
.... zn_1), через <p(*)(z*) — значения частных производных
при zn = 0, а через cp(z) функция
s!
Каждая из функций <pW(z*), 0<s</ra—-1, принадлежит
пространству Z* функций от л—1 переменных zu .... гя-1
и имеет при z* = 0 нуль порядка /га — s. Поэтому по пред-
предположению индукции эти функции можно записать в виде
[ /1 =
где ' <|M/(z*) — целые функции экспоненциального типа, имею-
имеющие степенной рост при вещественных значениях перемен-
переменной z*. Подставляя эти значения в равенство C2), мы полу-
получаем, что
Функция <p(z) также является целой функцией. При этом,
поскольку все остальные слагаемые в правой части равен-
равенства C3) имеют экспоненциальный тип и степенной рост при
вещественных значениях z, а функция <p(z) также обладает
этими свойствами, то ими обладает и функция z%y(z). Но
тогда и <p(z) является функцией экспоненциального типа,
имеющей степенной рост при вещественных значениях z.
Поскольку в равенстве C3) мы имеем s-\-\l\ = т, то
это равенство можно переписать в виде
ср (z) = 2 zrtyr (г),
где tyr(z) — tyst(z*), если zr = z% (z*I, />0 и фг (z) = ср (г),
если zr = z%. Как мы доказали, все функции ф,.(.г) имеют экс-
экспоненциальный тип и степенной рост при вещественных зна-
значениях z. Этим наше вспомогательное утверждение доказано.
1] § 5- ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 245
Возьмем теперь любую функцию a(z) из пространства Z,
равную единице при z = 0. Последовательность функций
(.г) сходится к функции »(z) в топологии простран-
пространства Z. Но
\г\ =т
а функции <Pft,(z) = a.(-^Atyr(z), как легко видеть, принад-
принадлежат пространству Z. Тем самым теорема доказана.
При помощи преобразования Фурье мы получаем такое
следствие из теоремы 6.
Следствие. Всякая функция <р(jc) из простран-
пространства К, все моменты которой до т-го порядка включи-
включительно равны нулю, является пределом (в смысле топо-
топологии этого пространства) последовательности функ-
функций срй (лг), имеющих вид
где ri>kr(x) — функции из пространства К.
§ 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Мы рассмотрим здесь один из наиболее типичных при-
примеров теорем, аналогичных теореме Бохнера — Шварца, в ко-
которых, в отличие от рассмотренных в § 3 случаев, положитель-
положительная мера не является однозначно определенной. Такие теоремы
встречаются довольно часто (например, в проблеме моментов).
1. Предварительные замечания. Обобщенная функция F
называется четной по каждому аргументу, если для любых
комбинаций знаков
F(±xt, .... ±xn) =
хп).
В дальнейшем для краткости слова «по каждому аргументу»
будут опускаться.
Если F — четная обобщенная функция, а основная функ-
функция <?(х) нечетна хотя бы по одному аргументу, то (F, ср) = О.


246 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ ]1
Многие вопросы приводят к рассмотрению четных обоб-
обобщенных функций F, таких, что (/\ ср^-ср*)^-0 лишь для
четных основных функций ср(лг). Мы будем называть такие
обобщенные функции четно-положительно определенными.
Разумеется, класс четно-положительно определенных обоб-
обобщенных функций шире класса четных положительно опре-
определенных обобщенных функций, так как, если F — четная
положительно определенная обобщенная функция, то нера-
неравенство (F, ср >t< ср*) ^ 0 выполняется не только для четных,
но и для произвольных основных функций.
Определению четно-положительно определенной обобщенной
функции можно придать иную форму. Предположим, что простран-
пространство основных функций Ф таково, что вместе с любыми двумя
функциями <р (х) и ?>(х), х = (jcj, .... хп), оно содержит и функцию
9 (¦*)
± уь .... xn±yn)dyl... dyn,
где суммирование распространено на все комбинации знаков. Легко
показать, что если F— четно-положительно определенная обоб-
обобщенная функция, то билинейный функционал в Ф, определяемый
равенством В (<р, ^) = (F, 9), положительно определен, т. е.
удовлетворяет неравенству В (<р, <р) > 0. Обратно, если билиней-
билинейный функционал, определяемый равенством В (ср, <!*) = (F, 6),
положительно определен, то обобщенная функция F четно-
положительно определена. Мы не будем останавливаться на дока-
доказательстве этих простых утверждений.
М. Г. Крейн получил описание всех непрерывных четно-
положительно определенных функций f (х) одного пере-
переменного, т. е. таких четных функций / (х), что
?(у—х)dxdy>о ; со
для" всех четных функций ср(лг) из пространства К. Он дока-
доказал, что все такие функции имеют вид
B)
где
о о
и р.2 — положительные меры, причем мера
оо
конечна, а мера р2 такова, что интеграл I ch \xdp2 (X)
о
сходится при всех значениях х^-0.
Аналогичный результат при ограничениях на рост /(х)
получил А. Я. Повзнер [67].
1] § 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 247
Если мера [х3 равна нулю, то функция f_(x) принимает вид
j
= j cos
ij (X),
C)
и, следовательно, является четной положительно определен-
определенной функцией.
Очевидно, что теорема М. Г.-Крейна является аналогом
теоремы Бохнера. При этом в случае теоремы М. Г. Крейна
меры [Xj и (а2 не определяются однозначно заданием функ-
функции /(х). Соответствующий пример будет приведен в § 6.
Однако, если функция f(x) удовлетворяет некоторым огра-
ограничениям роста при | jc | —> оо, то интегральное представ-
представление B) функции /(х) является единственным. Достаточно,
например, чтобы интеграл Г e~cx'f(x)dx сходился при всех
о .
значениях с >• 0.
Эти результаты будут получены нами ниже как следствие
более общих результатов, связанных с четно-положительно
определенными обобщенными функциями. Чтобы установить
связь рассматриваемого круга вопросов с теорией обобщенных
функций, заметим следующее. Если интеграл Г е~су? f (x)dx
о
сходится при всех с > 0, то равенство
dx D)
задает обобщенную функцию не только в пространстве К
финитных бесконечно дифференцируемых функций, но и в более
широких пространствах основных функций. Например, это
равенство задает обобщенную функцию в пространстве *) Si/",
состоящем из целых аналитических функций ср (z), удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам вида
| ср (х 4- iy) | < Се-ах*+ьУ\ 0 < а < Ъ.
Оказывается, что возможность распространить функционал
(/, ср) на пространство S./' достаточна для единственности
*) Относительно определения пространства Sjft см. вып. 2, гл. IV,
§ 2, п. 3. Вкратце это определение приведено на стр. 248—249.


248 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
мер (j-i и [а2. Иными словами, для того чтобы меры ^ и ^
в равенстве B) однозначно определялись четно-положи*
тельно определенной непрерывной функцией f(x), доста,'
точно, чтобы формула D) задавала непрерывный линей-
линейный функционал в пространстве Si/*.
Мы увидим ниже, что в этом виде соответствующее утвер-
утверждение переносится на четно-положительно определенные
обобщенные функции многих переменных. Более того, для
четно-положительно определенных обобщенных функций
в пространстве S\^ будет доказана теорема существования
интегрального представления не только для функций одного
переменного, но и для функций многих переменных.
Мы видим, таким образом, что, подобрав соответствую-
соответствующим образом пространство основных функций, можно до-
добиться, чтобы все четно-положительно определенные обоб-
обобщенные функции в этом пространстве однозначным образом
задавались при помощи положительных мер.
Отметим, что для некоторых пространств (например для
пространства К) можно доказать теорему существования
соответствующих мер, причем эти меры не являются одно-
однозначно определенными. Однако в этих случаях теорема
существования доказана лишь для функций одного перемен-
переменного. В то же время в классе единственности полученные
результаты верны и для функций многих переменных.
По-видимому, это не случайно и за пределами класса
единственности теорема существования для функций многих
переменных, как правило, не имеет места. Именно, не удается
из мультипликативной положительности обобщенной функции
вывести ее положительность. Было бы интересно построить
соответствующие примеры (они известны пока в многомерной
проблеме моментов, см. § 7, п. 2).
2. Четно-положительно определенные обобщенные
функции в пространстве S'J* *). Мы изучим в этом пункте
четно-положительно определенные обобщенные функции
в пространстве SlJ*. Иными словами, мы будем рассматривать
*) 'В случае функций многих переменных пространст-
пространством S1,1,1 называется пространство целых аналитических функций
2]
§ 5 ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 249
четные обобщенные функции в этом пространстве, такие,
что (F, ср * ср*) ~^> 0 для всех четных функций ср (z) из Sj'j.
Обозначим через Ш множество точек z — (zt za)
л-мерного комплексного пространства, каждая координата
которых либо вещественная, либо чисто мнимая. Имеет место
следующая теорема, обобщающая сформулированные выше
утверждения о функциях одного переменного.
Теорема 1. Пусть F — четно-положительно опре-
определенная обобщенная функция в пространстве S'J^. Тогда
F является преобразованием Фурье однозначно опре-
определенной четной положительной меры \х, сосредоточен-
сосредоточенной на множестве Ш точек X = ().j Хл), каждая
из координат ~kk которых либо вещественная, либо чисто
мнимая, и такой, что интеграл*) J e-cV>dp(k) сходится
т
для всех с > 0.
tp (z) = <p (zb ..., zn), удовлетворяющих неравенствам вида
I T (x + iy) I < Ke~ax*hbvJ, 0 < a < 6. E)
Здесь через ал:'3 обозначено выражение 2 ^-^I» через 6у2 выра-
п
жение 2 6йу|, а неравенство 0 < а < Ь означает, что 0 < а^ < bk
при всех k. Топология в пространстве Slfc задается следующим
образом: последовательность {<рот (г)} функций из пространства Sl^
называется сходящейся к нулю, если функции <рт (г) равномерно
сходятся к нулю в каждой конечной области изменения г и при
этом выполняются неравенства
с постоянными К, а, Ь, не зависящими от т.
п
*) Через сХ2 мы обозначаем 2' c*^'i- Неравенство с > 0 озиа-
й = 1
чает, что ск > 0, 1 < k < п.


250 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
• Иными словами, для любой четной функции*) <f(z)
из пространства S'J^ имеет место равенство
(F, <р)'= J*?(X)d,*(X),
ш
где A — мера с указанными выше свойствами, а ср — пре-
преобразование Фурье функции ср (z).
Если F—обобщенная функция одного переменного, то условие
сходимости интеграла j е~сХ" dp (к) означает, что
f
сх=
при любом с > О (здесь ^ — значение четной меры и. на веще-
вещественной оси, a fx2 — значение этой меры на мнимой оси). Обоб-
Обобщенная функция F задается при п == 1 формулой
оо оо
(F, ср) = J ф (к) dH (К) + / ? (Л) dp2 (к).
—оо —оо
Это равенство можно записать в виде
Г со оо "I
F == 2 Г cos Хх dpi (А) + Г ch \х ф2 (X) .
L О 0 J
Таким образом, при п = 1 мы получаем обобщение указанных выше
результатов о четно-положительно определенных обобщенных функ-
функциях одного переменного.
Мы будем, как обычно, доказывать теорему, двойственную
теореме 1 относительно преобразования Фурье. Поскольку
это преобразование отображает пространство S'J* на себя,
S'l* = S'J*, то двойственная теорема читается следующим
/¦2 1-2
образом.
*) Нам достаточно указать вид обобщенной функции F лишь
для четных основных функций — каждая основная функция ср (г)
является суммой четной основной функции и функций нечетных
хотя бы по одному аргументу. Для функций же' нечетных хотя бы
по одному аргументу, в силу четности F, выполняется равенство
(F ) 0 " '
2] § 5. четно-положительно определенные функции 251
Теорема 1'. Пусть F — такая четная обобщенная
функция в пространстве SlJ?, что (F, срср) ^. 0 для всех
четных функций ср (z) из S'Jf. Тогда ^обобщенная функ-
функция *) F задается четной положительной мерой р, со-
сосредоточенной на множестве ffi точек, все координаты
которых вещественные или чисто мнимые, и такой, что
интеграл Г e~cz* d\>-(z) сходится при всех с > 0 **). Иными
ш
словами, имеет место формула
(F, ?) =
Для доказательства теоремы 1' нам будет удобнее перейти
от функций пространства -S'J' к функциям экспоненциального
типа, сопоставив каждой четной функции ср (zt, . . ., zn)
из пространства 51'» функцию ф (zx, .... zn), определяемую
равенством . . . .
В силу четности функции ср (z) функция <|> (z) однозначно
определена. Пространство всех функций ф(г), получаемых
при этом отображении, мы обозначим через Q. Очевидно,
что все функции <|> (z) пространства Q являются целыми ана-
аналитическими функциями.
Из неравенств
Ke-**+W, 0<e<*. E)
которым удовлетворяют функции пространства 5^», вытекает,
что функции ф (z) пространства Q удовлетворяют неравен-
неравенствам
ствам
0
-с.
F)
*) Ради удобства записи мы обозначаем двойственную обоб-
обобщенную функцию через F, а не через F; кроме того, мы обозна-
обозначаем аргумент через г, а не через X, как это сделано в теореме 1.
Надеемся, что эти изменения не затруднят читателя.
л
**) Т. е,. с\ >.О, .,-.,.с„ > 0. Под. сг2 мы понимаем 2 сйг11 ::"


252 гл. и. положительные и положит, опред. функции [2
где положено
Обратно, если функция ф(г) — целая аналитическая функ-
функция, удовлетворяющая неравенству F), то функция ср(г) = <]>B2)
удовлетворяет неравенству вида E), т. е. принадлежит про-
пространству SlJ?. Таким образом, пространство Q может быть
определено как пространство целых аналитических
функций, удовлетворяющих неравенствам вида
F)
где 0 -^ d < с. Неравенство F) в развернутом виде озна-
означает, что
где 0<??й<сй, 1<?<га.
Топология в пространстве Q индуцируется топологией
в пространстве Sty. Из определения топологии в простран-
пространстве Sty вытекает, что последовательность функций {фт(г)}
в пространстве Q сходится к нулю тогда и только тогда,
когда функции tym {z) равномерно сходятся к нулю в каждой
конечной области изменения z и все функции tym(z) удовле-
удовлетворяют неравенству
где К, с и d не зависят от от.
С*
*) В самом деле, из неравенства E) следует, что
I <Р (V*i + *Уг V*« + 'У») I =
хп + \гп\\
2 /
,~cx+d\\z\\
где положено с = ~Х , d = —=-^, а выражения сх и d || г [| имеют
указанный выше смысл. Очевидно при этом, что 0 <. d < с (т. е,
что 0 < dk < сь, 1 < k <; п).
21
§ 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 253
Сопоставим каждой обобщенной функции F в простран-
пространстве 5Уз обобщенную функцию Ф в пространстве Q, опре?
деляемую равенством
(Ф, ф (*))==(/?. ф(^)).
При этом, очевидно, из выполнения неравенства (F, срср) ^. О
для всех четных функций ср (z) из пространства S1/* вытекает
выполнение неравенства (Ф, <]><jO^-0 для всех функций ф(гг)
из пространства Q и обратно.
Поскольку при преобразовании г—*¦ z2 множество 9К точек
с вещественными и чисто мнимыми координатами переходит
в множество (Я точек с вещественными координатами, то
теорема 1' эквивалентна следующему утверждению.
Теорема I". Каждая мультипликативно положи-
положительная обобщенная функция Ф в пространстве Q
имеет вид
(Ф, ф)=/ф (*)*•(*).
m
где v — однозначно определенная положительная мера на
множестве Ш точек с вещественными координатами,
такая, что интеграл Гe~cxdv(x) сходится для всех
с>0 *)•
Очевидна аналогия между теоремой 1" и теоремой 3'
из § 3. Мы и сведем теорему \" к теореме 3' из § 3.
План доказательства заключается в следующем. Сначала
при помощи равенства
(Фс, 0B)) = (Ф, e-«fl(z))
мы введем мультипликативно положительную обобщенную
функцию Фс в пространстве Z. По теореме 3' из § 3 эта
обобщенная функция задается положительной мерой степен-
степенного роста ас, т. е.
(Ф, 6) = fQ(x)dac(x).
*) Как и выше, через сх, с > 0, мы обозначаем
0 с„ > 0.
-j-r ... -j- Спх„,


254 гл. и. положительные и положит, опред. функции [2
. . Полагая dvc(x)=z ecxdac(x), мы получаем, для каждого
с >0 положительную меру vc, такую, что. . -
(Ф, ф) =
для всех функций ф (z) из пространства Q, имеющих вид
= e-c*Q(z), где 6(z)?Z.
Используя непрерывность функционала Ф относительно
топологии пространства Q, удается показать, что меры vc
не зависят от выбора с > 0. После этого доказывается, что
равенство
(Ф, ф)=/ф(х)Л(х) (v(x)==vc(x))
выполняется не только для функций ф вида ty(z) — e~czQ (z),
где 6(z)?Z, но и для всех функций ф(г) из S'J*.
Перейдем к выполнению этого плана. Сначала докажем
следующую лемму.
Лемма 1. Для любого с >• 0 все функции вида
ф(.г) = e~czb (z), где б (z) — функции из пространства Z,
принадлежат пространству Q, причем отображение
б (z) —*¦ e~cz0 (z) пространства Z в пространство Q непре-
непрерывно при любом фиксированном с.
Так как d(z)?Z, то, по определению пространства Z,
выполняется неравенство ! б (х-\-1у)\ <^ Сеа^^ *) и потому
|e-«8B)|<Ce-aW. G)
При
и —
Так
любых
0, что
как
а и с найдутся
-Л V-i+zi
такие числа г
Yr\, 1<Л<
;) и c' = (Cl +
= (/-!.
С п.
.... гп),
Положим
*) Через а || у || мы обозначаем
Ук
2] § 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 255
то
и потому
е-сх+а\\у\\ __ е-с'х+гх+а\\у\\ ^ е-с'х+аЧ\г\\
(z) |
(8)
Поскольку в силу выбора г имеет место неравенство с' > о',
то функция e~czft (z) принадлежит пространству Q.
Итак, функции вида e~czQ(z), Q(z)?Z, принадлежат
пространству Q при любом с. Непрерывность отображения
0 (z) —> e~czQ (z) пространства Z в Q легко установить, исходя
из определения сходимости в этих пространствах.
Из леммы 1 вытекает, что равенство
(Фс, в(г)) = (Ф. е-«6(*)) (9)
задает непрерывный линейный функционал Фс в простран-
пространстве Z. По условию теоремы \" неравенство (Ф, фф)^.О
выполняется для всех функций ty(z) из Q. Поэтому (Фс, 00)^.0
для всех функций 0 (z) из Z. В самом деле, имеем
(
Ф, e
Так как (Фс, 00) ;>. 0 для всех функций 6 (z) из про-
пространства Z, то по теореме 3 иа § 3 обобщенная функция Фс
задается однозначно определенной положительной мерой ас
на множестве ffi точек с вещественными координатами, имею-
имеющей степенной рост. Поэтому, если обобщенная функция Ф
удовлетворяет условию теоремы 1", то для любого с > 0
найдется такая положительная мера степенного роста ос, что
(Фе, Q) =
для всех функций 0 (х) из пространства Z.
Равенство A0) можно также записать в виде
(Ф, <ю =
A0)
A0')
если положить ф (z) = e~cz0 (z), dvc (x) == ecx dsc (x).
Итак, мы доказали, что для всех функций ф (z) из про-
пространства Q, представамых в виде e~czO(z), где b{z)^Z,


256 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
имеет место равенство A0'). Множества функций ty(z)
в Q, имеющих вид e~'b{z), Q(z)?Z, мы будем обозначать
через Qc. Таким образом, обобщенная функция Ф задается
положительной мерой ve на подпространстве Q,,. Перейдем
теперь к центральному пункту доказательства, а именно,
покажем, что мера ve не зависит от выбора с >> 0, т. е. что
vc = vu = v при любых b > 0, с > 0. Этим будет показано,
что обобщенная функция Ф задается одной и той же поло-
положительной мерой на всех подпространствах Qc, т. е. что
равенство
имеет место для всех функций ty(x), принадлежащих хотя бы
одному из подпространств Qc. Теорема \" легко получится
отсюда путем предельного перехода.
В основе дальнейшего рассуждения лежат следующие две
леммы, доказательство которых несложно, но требует неко-
некоторых выкладок. Поэтому, чтобы не прерывать изложения,
мы приведем их доказательство по окончании доказательства
теоремы.
Лемма 2. Если 0<^Ь<С2с, т. е. 0 < Ьь < 2с k при
всех k, I -^ k ^. п, то существует последовательность
функций Qm(z) из пространства Z, таких, что
1) последовательность e~czQm(z) сходится к е~Ьг в то-
топологии пространства Q,
2) функции Qm(z) принимают положительные значе-
значения при вещественных значениях z (т. е. 0m (x) .>. 0),
3) при вещественных значениях х выполняются нера-
неравенства
с постоянной Ки не зависящей от т *).
Лемма 3. Каждая функция ф(г) из пространства Q
принадлежит замыканию в Q хотя бы одного из мно-
множеств Qc.
*) Через || (Ь — с) х \\ мы обозначаем сумму
2]
§ 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 257
Лемма 2 позволяет установить независимость меры ve от
значения с > 0. Для этого покажем сначала, что при 0 < b < 2с
интеграл
fe-bxdvc(x) A2)
сходится. В самом деле, поскольку функции Sm (z) в лемме 2
принадлежат Z, функции e-cz6m(z) входят в Qc и, значит,
обобщенная функция Ф задается для них равенством
(Ф, е-°*%т (г)) =
(x) rfvc (х).
A20
Так как e-czQm(z)-+e~bz в топологии пространства Q,
то из непрерывности функционала Ф следует, что левая часть
равенства A2') ограничена. Иными словами, при всех т
выполняется неравенство
\fe-**dm(x)dyc(x)
Далее из того, что дт(х)е-сх^>0 и Ът(х) е~сх-*е
равномерно в каждой конечной области, вытекает, что
fe~bxdvc(x) < A.
Поэтому интеграл A2) сходится. Покажем теперь, что
—ьх
(Ф, e-b*Q (z) ) = Je~bxQ (x) йчс (х)
A3)
2с.
для любой функции 6 (z) ? Z, если только 0 < b
В самом деле,
lim e~czQm(z) S (z) = e~bzQ (z)
m ¦> со
в топологии пространства Q. Значит,
(Ф, e-bzQ(z))= lim (Ф, e-czQm(z)Q(z)),
m ->¦ со
т. е. по определению меры ус
(Ф, в-*«в(г))= lim fe-cxem(x)Q(x)d4c(x). A3')
т > со-'
Для доказательства равенства A3) достаточно доказать, что
можно перейти к пределу под знаком интеграла A3')- Для
17 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Внленкин


558 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
этого заметим, что в силу неравенства A1) и ограниченности
функции б (х) ' .' ' " "
\e-cxQ(x)Qm(x)
A4)
где постоянная К не зависит от т. Выражение — сх-\-
-\- || (b— c)Jf|| в развернутом виде записывается так:
— ск) xk U =
— \Ьк — ск\ sign хй].
Но в силу неравенств 0 ¦< Ьп < 2сй, 1 ^ й ^ я, мы имеем
О < ск — \bk — cb\ sign xk < 2сл. Обозначим выражение
ck — \Ьк — ск\ sign xk через /zfe. Мы видели, что 0 < hk < 2сй.
Поэтому из неравенства A4) следует, что
| е-«е (х) 6га (х) | < АГв-**. А = (At, .... hn),
где 0<Л<2с. Но, как было показано выше, интег-
интеграл fe~Hxd4c(x) сходится при 0 < h < 2с. Таким образом,
все функции е~схЪ (х) ®т{х) ограничены функцией е~Нх, сумми-
суммируемой по мере vc. Как известно, отсюда вытекает возмож-
возможность предельного перехода под знаком интеграла. Тем самым
равенство A3) доказано.
Теперь мы уже можем доказать независимость меры vc
от выбора с >• 0. В самом деле, по определению меры vb
для всех функций б (г) из пространства Z выполняется
равенство
(Ф, е~ЬгЬ (г)) == fe~bxQ (x) dvb (x).
Сравнивая это равенство с равенством A0'), мы убеждаемся,
что
je-bxB (x) dvc(jc) = fe~bxQ (x) dvb (x)
для всех функций б из пространства Z. Но это может быть
лишь, если vc = vft.
Таким образом, равенство vc = v6 доказано, если 0 < b < 2с.
Но тогда это равенство имеет место и при любых положи-
2] § 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 259
тельных значениях b и с. Обозначим через у общее значение
этих мер. Из свойств мер ve вытекает, что интеграл
A5)-
сходится при всех с > 0.
Как уже отмечалось выше (см. стр. 256), отсюда следует,
что равенство
(Ф, «Ю =
справедливо для всех функций <|> (х), принадлежащих хотя бы
одному из множеств Qc. Чтобы доказать его справедливость
для всех функций ф (х) из пространства Q, воспользуемся
леммой 3. По этой лемме для любой функции ф(г) из про-
пространства Q найдется сходящаяся к ней в топологии простран-
пространства Q последовательность функций tym(z), принадлежащих
одному и тому же пространству Qc. Для каждой из этих
функций обобщенная функция Ф задается равенством
и потому в силу непрерывности функционала Ф имеем
(Ф; ф)= lim Г<1»т (х) dv (*). A6)
В силу доказанной ранее сходимости интеграла A5) и
оценки
которой удовлетворяют все функции tym(x) (по определению
сходимости в пространстве Q), мы можем перейти в правой
части равенства A6) к пределу под знаком интеграла. Отсюда
и вытекает, что
(Ф, ф) =
Тем самым теорема 1" доказана. Но, как мы видели выше,
теоремы 1, Г и \" эквивалентны друг другу. Поэтому
зательство теоремы 1 завершено.
Имеет место и теорема, обратная теореме 1.
17*


260 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
Теорема 2. Пусть положительная четная мера [а,
заданная на множестве Ш точек, гее координаты кото-
которых вещественны или ч'лсто мнимы, такова, что интеграл
J e
ж
сходится при всех с >¦ 0. Тогда равенство
ш
задает четную обобщенную функцию F в пространстве S\,
такую, что для всех четных функций cp(z) из этого
пространства выполняется неравенство (F, ср^ср*) ^. 0.
Доказательство этого утверждения тривиально.
В ходе доказательства теоремы 1 мы опустили доказа-
доказательства лемм 2 и 3. Восполним этот пробел.
Мы докажем сначала лемму 2, т. е. покажем, что
при 0 < Ъ < 2с функцию е~Ьг можно аппроксимировать в про-
пространстве Q последовательностью функций вида e~czQm(z),
где Qm(z) — функции из пространства Z, такие, что Ьт (х) >0
и | 6m(-*0| ^C^ie" <*"*)¦* И с постоянной Ki, не зависящей от да.
Для построения функций Qm(x) возьмем любую функцию а (г)
из пространства Z, такую, что <х@)— 1 и
| а С*
cer
где г удовлетворяет неравенству *) О <[ г < ^ (так
как по условию О •< b < 2с, то такое г существует).
Положим
т . . 12
в« <*> = «(?
т
(c—b)kzb
•A7)
-I ft|=о
и покажем, что последовательность функций Qm(z) удовлет-
удовлетворяет всем условиям леммы. Заметим, что все функции ®m(z)
*) Это неравенство означает, что при всех k, I < k <; п, имеет
место соотношение
2] § 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 261
принадлежат пространству Z как произведение функ-
функции а("^")а(^") из этого пространства на многочлен. Далее
выражения, стоящие в квадратных скобках, являются частич-
(с-Ь) z
ными суммами ряда Тейлора для е 2 и потому они
при да —> со в каждой конечной области равномерно схо-
дятся к е 2 . Функции же а( — )а( — 1 при т —*¦ ооравно-
ооравномерно в каждой конечной области сходятся к а @) = 1.
Поэтому функции e-czQm(z) равномерно в каждой конечной
области сходятся к е~Ъг.
Кроме того, эти функции удовлетворяют неравенствам
| е-°гЬт (г) 1 < Le~cx+S » г И, 0 < s < с
с постоянными L, с, s, не зависящими от да. В самом деле,
.-b)kzk
ft 1=0
2kk\
(с-Ь) г |
A8)
и потому
A9)
Но поскольку [|_у | .^ ||zjj, то из неравенства A9) следует, что
\e-czQm(_z)\^.Le-cx+^\zK B0)
где положено L — C2, s=^j|c — b\-\-2r. При этом 0<s<c
в силу выбора г. Из равномерной сходимости e-czQm(z) к e-fe
в каждой конечной области и из неравенств B0) и вытекает,
что последовательность e~czOm(z) сходится к е~сг в топологии
пространства Q. Далее функции Qm(z) принимают на мно-
множестве 9t точек с вещественными координатами положитель-
положительные значения и удовлетворяют на нем неравенству
\ e-cxQm(x) \ -<C Le-cx+sйхН, 0 < s < с.
Наконец, из равенства A7) и-того, что функции а(—)
при вещественных значениях z ограничены в совокуаности,
вытекает неравенство
;
с постоянной Ки не зависящей от т.


262 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
Тем самым лемма 2 доказана.
Докажем теперь лемму 3, т. е. покажем, что каждая
функция <р (z) из пространства Q принадлежит замыканию в Q
одного из пространств Qc. Для этого нам надо для каждой
функции <|>(z) из пространства Q найти такое с>0 и после-
последовательность функций tym(z) из Q, имеющих вид фт(г) =
="*""?«(*)• <Р« (*) € z- что lira «j»mB) = «1»(г) (предел по-
т -> оо
нимается в смысле топологии пространства Q).
Итак, пусть ф (г) —любая функция из пространства Q.
По определению этого пространства, функция ф(г) удовлет-
удовлетворяет неравенству вида
I <!> (л:-г-ОО |-< Ce-ax+bl*K 0<а<?. B1)
Возьмем любое с >¦ а и разложим целую функцию eczty (z)
в ряд Тейлора. Обозначим через рт(г) т-ю частичную сумму
этого ряда. Выберем любую функцию a. (z) из пространства Z,
такую, что а@) = 1 и | а(х+ if) | < Lef И>", где 0 < г < ^—^-.
Положим теперь :
Так как функция ем— 1 принадлежит пространству Z,
а функции pm(z) являются многочленами, то функции ф„,(г)
принадлежат множеству Qc. Покажем, что Нт фт(.г) = фB),
т->- оо
где предел понимается в смысле топологии пространства Q.
Очевидно, во-первых, что в каждой конечной области
изменения z последовательность рт (z) равномерно сходится
к целой функции ecZty(z). Далее последовательность а(—)
равномерно в каждой конечной области сходится к 1.
Поэтому {фт (z)} равномерно в каждой конечной области
сходится к ф(г).
Теперь покажем, что функции tym(z) удовлетворяют нера-
неравенствам
|фт(^-(-^)|< А/е-«+*Иг11, 0<s< с, B2)
с постоянными N, с, s, не зависящими от т. Для этого
заметим, что в силу, B1) имеет место неравенство
2К B3)
2J § 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 263
где положено Ьг = Ь-\-с — а. Но тогда для любого
выполняются неравенства вида *)
где постоянная Kt не зависит от т. Мы выберем Z>2 = '
При таком выборе Ь2 имеет место оценка
а — Ь
¦ cx+-!^L±+~{2c-a-b]\\z\\
-cx+s\\ z\
где положено s = c — -^—т—.. Очевидно, что 0 < s < с.
Тем самым доказано выполнение неравенства B2) с посто-
постоянными Л/, с, s, не зависящими от тп, следовательно, и схо-
сходимость последовательности функций фтB) к ty(z) в топо-
топологии пространства Q.
Таким образом, доказательство леммы 3, а с ней и тео-
теоремы \" (а значит, Г и 1) полностью завершено.
При помощи теоремы \" легко получить описание четно-
положительно определенных непрерывных функций / (х) —
= f(xlt .... хп), таких, что интеграл Г e~cx*f (x) dx. схо-
сходится для всех с >¦ 0. Такая функция задает четно-положи-
четно-положительно определенную обобщенную функцию
. ?) = J
dx
*) В самом делг, ecz<\> (z) является целой аналитической функ-
функцией, удовлетворяющей неравенству B3). Поэтому коэффициенты
ее ряда Тейлора удовлетворяют неравенствам | d^ | < М I ' | . Но
тогда k\ | dk I < Мi Yk b\. Если b2 > b±, то найдется такое Къ
что | ft! dk I < К\Ь%, причем К\ не зависит от k. Очевидно, имеет
место неравенство
. й |=о


264 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
в пространстве S^]. По теореме 1 эта функция имеет вид
¦/(¦*) = JV (*• г> dp (г), B4)
Ш1
где р:—однозначно определенная положительно четная мера
на множестве Ш, такая, что интеграл Ге~с^dp(z) сходится
т
при всех с > 0. Однако условие непрерывности функции f (х)
накладывает дополнительные условия на меру р. Можно
показать, что мера р должна быть такой, чтобы для всех с > 0
сходились не только интегралы вида С e~cz* dp (z), но и
аи
интегралы вида Г есУ* dp (z), z = х -j- ty. Обратно, если
an
такова, что интеграл
B5)
сходится при всех с > 0, то функция / (х), определяемая
формулой B4), непрерывна.
Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Пусть /(х) — непрерывная четно-поло-
четно-положительно определенная функция, такая, что интег-
интеграл \ е~сх*f (x) dx сходится при всех с > 0. Тогда эта
функция является преобразованием Фурье четной поло-
положительной мери р на множестве 3D? точек, все коорди-
координаты которых вещественные или чисто мнимые. При
этом мера р такова, что интеграл B5) сходится при
всех с > 0. Обратно, если положительная четная мера р
такова, что интеграл B5) сходится при всех с > 0, то
равенство B4) задает непрерывную четно-положительно
определенную функцию f (x), такую, что интеграл
I e~c^ /(x)dx сходится при всех с > 0. Мы опускаем
доказательство теоремы 3.
Теорема 1 позволяет также выяснить, в каких случаях
из совпадения преобразований Фурье» двух положительных
четных мер pt и р2 вытекает совпадение этих мер. Именно,
справедливо следующее утверждение.
3]
§ 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 265
Теорема.4. Пусть pt и р2 положительные четные
меры на множестве 2К точек, все координаты которых
вещественные или чисто мнимые, причем эти меры задают
обобщенные функции в пространстве Z. Если преобразо-
преобразования Фурье рг а [а2 этих мер совпадают и если интег-
интегралы j e~C2"dp1(z) и С e~cz!1dp2(z) сходятся при всех с >0,
зд ал
то меры 1>ч и [а2 совпадают.
В самом деле, при выполнении условий теоремы меры ^
и [х2 задают обобщенные функции в пространстве si/*. Но
тогда и их преобразования Фурье также являются обобщен-
обобщенными функциями в iS'/^, т. е. ^ = р.2 := F, где F четно-поло-
четно-положительно определенная обобщенная функция в простран-
пространстве Si1/].
Поскольку для четно-положительно определенных обоб-
обобщенных функций в пространстве 5'{з соответствующие поло-
положительные меры однозначно определены, мы получаем,
что и-1 = t*a-
3. Четно-положительно определенные обобщенные
функции в пространстве Sila. Результаты, аналогичные дока-
доказанным в п. 2, справедливы и для обобщенных функций
в пространстве *) Sy3.
Теорема, касающаяся четно-положительно определенных
обобщенных функций в пространстве Si/,, формулируется
следующим образом.
Теорема 5. Пусть F — четная обобщенная функция
в пространстве Si/2, такая, что (F, ср * ср*) ^ 0 для всех
*) Пространство S'/a состоит из бесконечно дифференцируемых
функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам вида
где постоянные Cq и b зависят от функции ср (х) (см. вып. 2, гл. IV,
п
§ 2, п. 2), а через Ьх' обозначена сумма 2 ььх\- Топология
в пространстве 51/., вводится следующим образом. Последователь-,
ность {срт (х) } функций из этого пространства называется сходя-
сходящейся к нулю, если при любом q последовательность l<f>W (х) ! рав*


266 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
четных функций ср из этого пространства. Тогда функ-
функция F представила в виде
(F, ср) = J <p~(z) rffx (z),
я»
B6)
где cp(z) — преобразование Фурье функции ср(х), а (х одно-
однозначно определенная положительная четная мера на мно-
множестве Ш точек, все координаты которых либо вещест-
вещественные, либо чисто мнимые. При этом мера jx обладает
следующим свойством: для любого с > 0 интеграл
J* A
B7)
сходится при некотором р. Обратно, если \i — четная
положительная мера на множестве Ш, обладающая ука-
указанным свойством, то равенство B6) задает такую чет-
четную обобщенную функцию F в пространстве S'i/,, что
(F,cp-)fcp*)^> 0 для всех четных функций ср(х) из этого
пространства.
Мы не будем проводить подробное доказательство этой
теоремы, укажем лишь его идею. Как обычно, от теоремы 5
можно перейти к двойственной ей относительно преобразо-
преобразования Фурье теореме, касающейся мультипликативно положи-
положительных обобщенных функций в пространстве S*1* (читатель
без труда сформулирует эту теорему). Так как пространство S'Jf3
является подпространством пространства S1*, то такая муль-
мультипликативно положительная обобщенная функция индуцирует
номерно сходится к нулю в каждой конечной области, причем вы-
выполняются неравенства
с постоянными Сд и Ь, не зависящими от т.
Отметим, что свертка двух функций из пространства 51/, при-
принадлежит тому же пространству. Кроме того, вместе с любой
функцией <р (х) ему принадлежит и функция <р* (х) — <р (— х)-
Пространство S1/, двойственно относительно преобразования
Фурье пространству S'1" целых аналитических функций <р (z), удо-
удовлетворяющих неравенствам вида
| xk<? (л + iy) | < Ckeby"
(см, вып. 2, гл. IV, § 6, п. 2).
4]
§ 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 267
обобщенную функцию с аналогичными свойствами в простран-
пространстве S'J/l. По теореме V эта обобщенная функция задается
(для функций из Slfy четной положительной мерой [а на мно-
множестве 2Я, такой, что интеграл
ж
сходится при всех с >¦ 0. После этого нао,о лишь доказать,
что эта мера [л, задает обобщенную фупкцию F для всех
функций ср (г) из пространства S'^2 и обладает свойствами,
указанными в формулировке теоремы. Доказательство этого
утверждения можно провести, приближая функции <р(,г) из про-
пространства S'/a функциями вида ym(z) = e m cp(z) из простран-
пространства Si/* и используя лемму Фату. Мы опускаем детали дока-
доказательства.
4. Положительно определенные обобщенные функции
и группы линейных преобразований. Изученное нами поня-
понятие четно-положительно определенной обобщенной функции
является частным случаем более общего понятия, связанного
с рассмотрением групп линейных преобразований.
Пусть О — некоторая группа линейных преобразований
й-мерного пространства.
Функция / (х) = / (xt, . . ., хл) называется симметричной
(или инвариантной) относительно группы преобразований О,
если для всех элементов g группы О выполняется равенство
/ (gx) = / (х). Например, если группа О состоит из всех
преобразований, при которых у некоторых переменных
меняются знаки, то симметричными относительно этой группы
функциями являются четные функции.
Если непрерывная функция / (х) симметрична относительно
некоторой группы G, то для всех функций ср(х) из простран-
пространства К выполняется равенство
B8)
В самом деле,
С/. ? (ё - lx)) = ffjx) ? (g~lx) dx = (det g) f f (gx) <p (*) dx =
= (det g) J J(J) cp (x) dx = (det g) (/, cp (x) ).


268 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[4
В соответствии с этим назовем обобщенную функцию F
симметричной относительно группы G, если для всех
основных функций cp(jc) и всех элементов g группы G выпол-
выполняется равенство
(F, cp fe-i*) ) = (det g) (F, <p (x)).
Назовем, наконец, основную функцию ср (х) симметричной
функцией второго рода относительно группы G, если для
всех элементов g группы G имеет место равенство
«Pter1*^ (det ?)?(*). B9)
Очевидно, что если cpi(jc) и cp2(jc)— симметричные функции
второго рода, то и их свертка ср (х) = cpj ¦* <р2 (х) является сим-
симметричной функцией второго рода. В самом деле,
<Р (g~xx) == J ?1 (.у) ср2 (g~l х — у) dy =
= (det ^Г1 J ?1 йг-ijf) ср2 (gr-i (х — j,)) dy =
= (de* g) f <pi СУ) <?2 (¦* — y)dy = (det g-) <p (*).
Введем теперь понятие обобщенной функции F, положи-
положительно определенной относительно группы G. Так мы будем
называть обобщенную функцию F, симметричную относительно
группы О и такую, что для всякой симметричной относи-
относительно группы G основной функции ср (х) второго рода выпол-
выполняется неравенство
(F,cp*cp*)>0. C0)
Например, если G — группа перемен знаков у аргументов,
то положительно определенными относительно этой группы
являются четно-положительно определенные обобщенные
функции.
• Легко указать способ, позволяющий построить целый
класс обобщенных функций, симметричных относительно дан-
данной группы G. Для этого рассмотрим наряду с группой О
группу G*, состоящую из преобразований g*, сопряженных
с преобразованиями g группы О, т. е. таких, что
для всех векторов х=--{хх, . . ., хп) и Х = (Х1, . . ., Хп). Обо-
Обозначим через 3R подмножество я-мерного комплексного про-
4]
§ 5. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ 269
странства, состоящее из всех точек X = (Xt, ..., Хл), таких,
что g*\ = \ для всех элементов g* из G*. Тогда каждая
положительная мера (г, заданная на множестве Ш и
симметричная *) относительно группы G*, задает поло-
положительно определенную относительно группы Q обобщен-
обобщенную функцию
f C1)
[через ср (X), как обычно, мы обозначаем преобразование Фурье
функции ср(х)].
Чтобы доказать это утверждение, покажем сначала, что
преобразованием Фурье основной функции w(g~lx) является
функция (detg-)^(g-*X). Мы имеем
C2)
Отсюда вытекает, что если мера [а симметрична относительно
группы G*, то обобщенная функция F симметрична относи-
относительно группы G. В самом деле, для любой основной функ-
функции ср(х) выполняется равенство
= (det g)
Г Т (g~lx)е'(Х' х) dx = (det ё) J T (*)ei (X> gx)'dx
= (i -t g) f 9 (x) el (^> *4x = (det g) 7
as
= (det g) f y(k) dp (k) = (det g) (F, f (x)).
as
Нам осталось показать, что если cp(jc) — симметричная
основная функция второго рода относительно группы G, то
имеет место неравенство
(F, ср*<р*)>0. C3)
*) Мера fi называется симметричной относительно группы G*,
если для любой функции ср (К) выполняется равенство
Г
/
3»
Отметим, что само множество Щ. инвариантно относительно всех
преобразований из группы G*.


270 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
Для этого примем во внимание, что в силу равенства C2)
= (det g) ~J j ср (g- iX) е1 <*• *) Ac.
Так как cp(jc) — симметричная функция второго рода, то
'¦fig'1*) = (detg)cp(x) и потому
X) = Г cp
= y (X).
Из равенства ср (g*X) = ср (X) и определения множества 5№
вытекает, что для всех точек X из Ш выполняется равенство
ср (X) = ср (X). В самом деле,
Но преобразованием Фурье функции ср * ср* (х) является функ-
функция ср(Х)ср(Х). Поэтому мы имеем
(Л <р * ?•) = J ?(X) ф (X) d? (X) = / | ?(X) I2 <*ц (X).
В силу положительности меры (л этот интеграл положителен.
Тем самым неравенство C3) доказано.
Мы указали способ, позволяющий строить целый класс
положительно определенных относительно группы G обобщен-
обобщенных функций. Было бы интересно знать, для каких групп G
и пространств Ф этим способом можно получить все поло-
положительно определенные относительно G обобщенные функции,
а также выяснить вопрос об условиях однозначной определен-
определенности меры [х. В этом параграфе мы решили указанную задачу
группы G перемен знаков аргументов и пространства основ-
основных функций S'i/*.
§ 6. ЧЕТНО-ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Положительные и мультипликативно положитель-
положительные обобщенные функции. Мы рассмотрим в этом пара-
параграфе, четно-положительно определенные обобщенные функции
в пространстве К, ограничившись при этом случаем функций
одного переменного. Иными словами, мы рассмотрим четные
1] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 271
обобщенные функции F в пространстве К, такие, что
(F, ср -* ср*) >- 0 для любой четной бесконечно дифференци-<
руемой финитной функции одного переменного. Мы покажем,
что такие обобщенные функции являются преобразованиями
Фурье положительных мер, сосредоточенных на вещественной
и мнимой осях, причем, однако, эти меры определяются не-
неоднозначно. _
Рассмотрим преобразование Фурье F четно-положи-
четно-положительно определенной обобщенной функции F в пространстве К.
В силу двойственности относительно преобразования Фурье
свертки и умножения функций обобщенная функция F обла-
обладает следующим свойством: для любой четной функции cp(z)
из пространства^ имеет место неравенство (F, срср)^-О.
Итак, наша задача свелась к описанию четных обобщен-
обобщенных функций F *) в пространстве Z, таких, что (F, срср) ^ 0
для всех четных функций из этого пространства. В рассма-
рассматриваемом нами случае функций одного переменного удается
свести эту задачу к более простой задаче описания таких
обобщенных функций F, что (F, ср) ^ 0 для всех функций ср (z),
принимающих положительные значения на вещественной и
мнимой осях. Нам понадобится для этого следующая вспомо-
вспомогательная теорема.
Теорема 1. Пусть целая аналитическая функция ф (z)
от одного переменного имеет порядок роста lj2 и конеч-
конечный тип (т. е. удовлетворяет неравенству | ф (z) \ < Сеа 12|1/-)
и принимает положительные значения на вещественной
оси. Тогда функция ^{z) имеет вид <j>(z) = cp(z)cp(z)**),
где ср (z) — целая аналитическая функция порядка роста 11г
и конечного типа.
Доказательство. Так как функция ф(гг) имеет поря-
порядок роста 1/г, то ее можно разложить в бесконечное произ-
произведение вида ***)
*) В дальнейшем мы обозначаем обобщенные функции в про-
пространстве Z буквой F, а не F. _
'-') Как и выше, мы обозначаем через <р (г) функцию <р (г).
***) См. Т и т ч м а р ш, Теория функций, М. — Л., 1951, стр. 284.


272 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
где ak — корни функции ф(г), т — кратность корня z = 0
этой функции. В силу вещественности ее значений на вещест-
вещественной оси коэффициенты разложения функции ф (z) в сте-
степенной ряд вещественны и потому комплексные корни этой
функции попарно сопряжены. Так как, кроме того, значения
функции ф (z) на вещественной оси положительны, то вещест-
вещественные корни этой функции имеют четную кратность (в част-
частности, т — четно), а коэффициент А положителен. Перену-
Перенумеруем корни функции ф(г) так, чтобы для любого k выпол-
выполнялось равенство агк = агк+^, и введем новую функцию
Тогда очевидно, что ф (z) = cp (z) cp (z). Нам осталось лишь
показать, что порядок роста функции cp(z) также равен 1/2
и что она имеет конечный тип. Иными словами, надо дока-
доказать, что функция cp (z) удовлетворяет неравенству
Для этого воспользуемся следующей связью между ростом
целой функции и плотностью ее нулей (см. Б. Я. Левин
«Распределение корней целых функций», Физматгиз, 1956,
стр. 41).
Если целая аналитическая функция cp (z) имеет поря-
порядок роста р и тип а, причем р не является целым числом,
то
,т— In n (г)
Urn v '
In г
• = Р
где п (г) — число корней функции cp (z) в круге \z\ <С г.
Обратно, из выполнения этих соотношений вытекает, что
функция cp (z) имеет порядок роста р и тип а.
Для функции cp (z) число корней пх (г) в круге | z | < г
равно половине числа корней п (г) функции ф (z) в том же
круге. Поскольку порядок роста функции ф (г) нецелый, то
в силу цитированной теоремы функция cp (z) имеет порядок
роста, равный г/г> и конечный тип,
1] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 273
. Теорема доказана.
Мы можем теперь доказать следующее утверждение, по-
позволяющее свести изучение четных обобщенных функций
в пространстве Z, удовлетворяющих неравенству (F, срср) ^> О
для любой четной функции ср(г) из Z, к изучению функций,
для которых (F, ср)>-0, если функция, cp(z) положительна
на вещественной и мнимой осях.
Теорема 2. Любая четная функция б (z) из про-
пространства Z, принимающая положительные значения
на множестве Ш, состоящем из вещественной и мнимой
осей, представима в виде Q(z) = x(z)x(z)' г&е ХС2) — не-
некоторая четная функция из пространства Z.
Доказательство. Сопоставим функции 0 (г) функцию
ф (.г) = 0 (^ г) [эта функция однозначно определена в силу
четности функции 9 (г)]. Очевидно, что ф(г) является целой
аналитической функцией, принимающей положительные значе-
значения на вещественной оси и имеющей порядок роста 1/2.
По теореме 1 мы можем записать функцию ф (г) в виде
ф (z) = <р(.г) ср(.г), где cp (z) — целая аналитическая функция
порядка роста1/2 и конечного типа. Положим тогда х(.г)=ср(.г2).
Поскольку
9 B) = ф B2) = cp (*2) ^ (Z2) = ^ (г) у (-г)>
то для доказательства нашего утверждения достаточно пока-
показать, что функция x(z) принадлежит пространству Z (чет-
(четность функции х С2) вытекает из ее определения).
Иными словами, нам надо доказать, что при любом k
функция х (z) удовлетворяет неравенствам вида
\z2kx(z)\ < Cftee 1» '.
Для этого заметим, что по построению функция <f(z) имеет
порядок роста 1/2 и конечный тип, а потому функция
? (z) = cp (z2) имеет первый порядок роста и конечный тип,
т. е. |x(z) | < Сеа I г|. Такова же и функция z2kx(z)- Но при
вещественных значениях z эта функция ограничена, так как
я функция z4ft9 (z) ограничена на вещественной оси в силу
принадлежности б (z) пространству Z. Но если
sup | xftx (*) I == М,
18 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


274 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
то из известного неравенства С. Н. Бернштейна вытекает *)
Тем самым принадлежность функции % (г) пространству Z,
а с ней и теорема 2 доказаны.
Итак, мы доказали, что любую четную функцию б (г) од-
одного переменного из пространства Z, принимающую положи-
положительные значения на вещественной и мнимой осях, можно
представить в виде б(z) =х(г)х(А). гДе X(z) — четная функ-
функция из пространства Z (для функций нескольких переменных
эта теорема, по-видимому, не имеет места). Следовательно,
если неравенство (F, ХХ)^® справедливо для всех четных
функций из пространства Z, то для всех функций 6 (z) из
этого пространства, принимающих положительные значения
на вещественной и мнимой осях, выполняется неравенство
(F, 6)>0.
Таким образом, задача описания четных обобщенных функ-
функций F одного переменного, для которых (F, х X) ^ О ПРИ
всех четных функциях х С2) из пространства Z эквивалентна
задаче описания четных обобщенных функций F, таких, что
(F, 6) ^ 0 для всех четных функций из этого пространства,
принимающих положительные значения на вещественной и
мнимой осях.
Эта задача будет решена в .п. 3 при помощи теоремы
о распространении положительных линейных функционалов.
2. Теорема о распространении положительных линей-
линейных функционалов **). Мы будем рассматривать линейные
пространства L, элементами которых являются функции ср(х),
заданные на некотором множестве 2JJ. Функция ср (х) назы-
называется положительной, если для всех элементов х мно-
множества Ш выполняется неравенство <р(х)^-0. Линейный
*) См. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации,
1947, стр. 152—153.
**) По сути дела, теория распространения положительных линей-
линейных функционалов может быть построена для любых линейных
пространств, в которых определена частичная упорядоченность эле-
элементов, обладающая обычными свойствами:
а) если х ¦< у, у <! г, то х •< г,
б) если х <^ у, у <; х, то х = у,
в) х <; х.
2] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 275
функционал F, заданный в пространстве L, называется поло-
положительным, если для всех положительных функций из про-
пространства L выполняется неравенство (F, ср) ^> 0. Мы будем
говорить, что функция ср(х), заданная на множестве Ш, под-
подчинена пространству L, если в пространстве L существует
такая функция ф(х), что—ф(х)^ ср(;с)^ ф(х). Имеет место
следующая теорема.
Теорема 3. Пусть L — линейное пространство, эле-
элементами которого являются функции, заданные на мно-
множестве Ш, a F — положительный линейный функционал
в пространстве L. Функционал F можно распространить
с сохранением положительности на любое линейное про-
пространство М, состоящее из функций, подчиненных про-
пространству L.
Доказательство. Возьмем любую функцию сра (х) из
пространства М, не принадлежащую пространству L, и обозна-^
чим через Lx линейное пространство, порождаемое функ-
функцией cpt (x) и пространством L. Чтобы распространить функ-
функционал F с сохранением положительности на пространство Lx,
рассмотрим всевозможные функции <1>(jc) и х.(х) из про-
пространства L, такие, что ^ (х) -< срг (х) ^ х (х) (существование
хотя бы одной пары таких функций вытекает из того, что
функция срх (х) подчинена пространству L). В силу положи-
положительности функционала F имеет место неравенство (F, <ЬL^..
<-(F,x)- Но тогда и sup (F, ф)-< inf (F, х), где sup (F, ф)
берется по всем функциям &(х), таким, что <\>(х) ^ ср (jc),
a inf(F,y) берется по всем функциям х(х), таким, что
Ц>(х) -^ х (ХУ- Выберем число с, лежащее между sup (F, ср) и
inf (F,x), и положим (F, ср) = (F, 6) —f— Xc для всех функций
вида <р(х) = в(х)-{-'к'-в1(х), где б (х) — функции из про-
пространства L. Очевидно, что тем самым определяется линейный
функционал в пространстве Lx. Покажем, что этот функцио-
функционал положителен. Пусть функция ср (х) = 6 (х) -\- Xcpt (x) поло-
положительна. Если X > 0, то — у б (х) < срх (х) и, следовательно,
в силу неравенства sup t|i (х) ^ с имеем — -j- (F, 6) <^ с. Но
тогда (F, со) = (/% Q)-\-\c~^Q. Аналогично доказывается, что
(F, ср)^-0 при X < с. В случае Х = 0 неравенство (F, ср) ;> 0
имеет место в силу предположения о положительности функ-
функционала F на пространстве L.
18*


276 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[3
Итак, мы распространили с сохранением положительности
функционал F на пространство Lx. Выбирая после этого
другую функцию ср2(х), не принадлежащую пространству Lx,
мы распространим функционал F с сохранением положитель-
положительности на пространство, получаемое присоединением к Lt
функции rf2(x) и т. д. Продолжая этот процесс дальше и
используя трансфинитную индукцию, мы можем распростра-
распространить функционал F с сохранением положительности на все
пространство М.
Отметим, что проведенное нами распространение функ-
функционала F, вообще говоря, не единственно. В этом заклю-
заключается -существенное различие с построениями, проведенными
в предыдущих параграфах, где функционалы распространя-
распространялись по непрерывности, и потому это распространение было
единственным. Мы увидим ниже, что и положительные меры,
д жазательство существования которых основывается на тео-
теореме 3, определяются в некоторых случаях неединственным
образом.
3. Четные положительные обобщенные функции в про-
пространстве Z. В этом пункте мы опишем четные обобщен-
обобщенные функции F в пространстве Z, такие, что (F, 6)^.0 для
всех четных функций 9 (z) этого пространства, принимаю-
принимающих положительные значения на вещественной и мнимой осях.
Теорема 4. Пусть F — четная обобщенная функция
одного переменного в пространстве Z, такая, что
(F, 6) ^ 0 для всех четных функций 9 (г) этого про-
пространства, принимающих положительные значения на ве-
вещественной и мнимой осях. Тогда существуют такие
положительные четные меры \ъх а ;а2, что для всех четных
функций cp(z) из пространства Z выполняется равенство
(F, ср) = Г ср (х) dl»1 (х) Ч- [
(у).
C)
При этом интеграл
A+**)-/> d^
D)
3] § б. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 277
сходится при некотором р > 0, а интеграл
E)
сходится при всех а > 0.
Обратно, если положительные четные меры ^ и \i2
удовлетворяют условиям D) и E), то равенство C) оп-
определяет обобщенную функцию F в пространстве Z, та-
такую, что (F, 6)^0 для всех четных функций этого
пространства, принимающих положительные значения па
вещественной и мнимой осях.
Доказательство. Докажем сначала справедливость
обратного утверждения. Нам надо лишь показать, что при
выполнении условий на меры у.х и [а2 функционал F непре-
непрерывен в топологии пространства Z. Так как это пространство
является объединением своих подпространств Z (а), то для
этого достаточно показать непрерывность функционала F
в топологии пространства Z (а) при всех а > 0. Из определе-
определения топологии в пространстве Z (см. добавление к § 1 гл. I,
стр. 36—37) вытекает, что окрестности нуля в пространстве
Z (а) задаются неравенствами вида
sup (I-j-I^IVIvWKtj. F)
х -
Кроме того, из принадлежности функции cp(z) пространству
Z(a) вытекает, что
зир\ч(х-+-1у)\*САеа\У\, G)
X
где
Отсюда и из условий D) и E) на меры
интегралы
со
вытекает, что
оо
J
О)
сходятся для всех функций ср(.г) из окрестности нуля U, за-?
даваемой неравенством вида F), если положить в нем г=р.
•При этом значения указанных интегралов ограничены,- когда
функция cp(z) пробегает окрестность нуля U. Мы доказали,
таким образом, что функционал F ограничен на окрестности


278 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[3
нуля U. Следовательно, он непрерывен на подпространстве Z (а).
Отсюда вытекает непрерывность этого функционала и на всем
пространстве Z.
Перейдем теперь к доказательству прямого утверждения
теоремы. Мы будем обозначать пространство четных функ-
функций из Z через Z+. Функции пространства Z+ будут рас-
рассматриваться лишь на множестве ffi, состоящем из веще-
вещественной и мнимой осей. В соответствии с этим они будут
называться положительными, если они принимают положи-
положительные значения на вещественной и мнимой осях. Из условия
теоремы вытекает, что рассматриваемый функционал F поло-
положителен. Поэтому по теореме 3 этот функционал можно
распространить с сохранением положительности на все функ-
функции ф (z), заданные на множестве ffi и подчиненные про-
пространству Z+ (т. е. такие, что на множестве Ж выполняется
неравенство —6 (z) ^ <|>(z) ^ б (z), где б (z) — положительная
функция из пространства Z+.
Пользуясь этим замечанием, распространим функционал F
с сохранением положительности на все функции вида cp(z)/(,z),
где ср(г) — положительная функция из Z+, a f(z) — функ-
функция из пространства Со непрерывных функций на мно-
множестве Ш, стремящихся к нулю при | z | —> оо (пространство Со
берется с обычной топологией); легко видеть, что все функ-
функции этого вида подчинены пространству Z+. He теряя общ-
общности, мы можем считать, что (F, cp(z) /(г)) — 0, если функ-
функция /(z) нечетная.
Сспэставим теперь каждой положительной функции ср(г)
из Z+ функционал Fv на пространстве Со, определяемый ра-
равенством
(/у/ =(/=•, ср/)
(правая часть этого равенства имеет смысл для любой функ-
функции /(г) из пространства Со).
Мы распространили функционал F с сохранением поло-
положительности. Поэтому неравенство (/у/) ^ О выполняется
для всех положительных функций из пространства Со (т. е.
функций, принимающих положительные значения на множе-
множестве Ш). Кроме того, функционал F^ непрерывен относительно
топологии пространства Со, поскольку ,
— sup \f{z)\
(/%,/)< sup |/(г) | (F,9).
3] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 279
По теореме Ф. Рисса на множестве 5DJ существует такая по-
положительная мера v?, что для всех функций f iz) из про-
пространства Со выполняется равенство
*M*). (8)
При этом, поскольку (Fy, /) = 0 для нечетных функций f (г),
мера v9 является четной.
Равенство (8) можно переписать в виде
Si
Если положить 'cp(z)/(z) = б (z) и V<f/f
мы получим, что
f/f
), то
(9)
аи
Рассматривая выражение (F,^^/), мы убеждаемся, что
мера (*„ не зависит от выбора функции ср (z). Поэтому мы
будем обозначать ее просто через \l. Значения меры р, на
вещественной оси мы обозначим через pv а ее значения на
мнимой оси — через [х2. Тогда равенство (9) примет вид
Мы получили это равенство для функций вида б (z) = ср (z) / (z),
где cp(z) — положительная функция из пространства Z+,
a f (z) — функция из пространства Со. Но любую положи-
положительную функцию 6 (г) из пространства Z+ можно предста-
представить в этом виде, положив, например,
(очевидно, что функция 6(z)(l-j-z4) также принадлежит
пространству Z+ и положительна на Tt, а функция 1 _^
принадлежит пространству Со). Поэтому равенство A0) уже
доказано для положительных функций из пространства Z+.


280
ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[3
Пользуясь справедливостью равенства A0) для положи-
положительных функций из пространства Z+, докажем, что меры
jit и [а2 удовлетворяют условиям теоремы. В самом деле,
функционал F непрерывен относительно топологии прост-
пространства Z. Поэтому для любого а >¦ 0 найдется такая окрест-
окрестность нуля U в пространстве Z Bа), что J (F, <р) | ^ 1 для
всех функций ср (z) из этой окрестности. Окрестность нуля U
задается неравенством вида
sup |(l+Jfar<p(Jf)|<Tj. '
X
Выберем теперь в этой окрестности нуля последователь-
последовательность положительных четных функций срл (z) *), таких, что для
любого z ? 9К существует lim сря (z) = р0 (г), причем функ-
ция ро(г) удовлетворяет неравенствам
>
Из неравенств
<РЯ) =
(И)
A2)
со
(X) -+ J ср„ (/у) rf[x2
*) Такую последовательность можно построить в виде
где я
а@)
я (г) — четная функция из пространства Z (а/2), такая, что
=1, а р (г) — функция вида
где у (г) — четная функция из пространства Z (л), такая, что
j тС-^т^О и преобразование Фурье функции ч(х) положительно.
— ОО
Мы опускаем детали соответствующих оценок, поскольку аналогич-
аналогичная инструкция встречалась в лемме 3 из § 3.
3] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 281
и оценок A1) и A2) в силу леммы Фату вытекает сходимость
интегралов
оо
С*)
f ea I у ' rffx2 (у).
Поскольку значение а было произвольным, выполнение ус-
условий теоремы для мер р,, и [а2 доказано.
Мы видели уже, что из выполнения этих условий выте-
вытекает непрерывность функционала
оо оо
J ср (х) d^ (х) 4- / <р
(У)
относительно топологии пространства Z. Но этот функцио-
функционал совпадает с функционалом (F, ср) на функциях простран-
пространства Z+> представимых в виде 9(z)/(z), где б (.г) положи-
положительная функция из Z+ и f(z)?C0. Поэтому для доказатель-
доказательства справедливости формулы A0) для всех функций
пространства Z+ нам осталось показать, что множество функций
вида б (z) f (z) всюду плотно в Z+.
Пусть ср (z) — некоторая функция из пространства Z^.
Найдется такое вещественное значение с, что на вещественной
и мнимой оси выполняются неравенства
— А B -f- cos cz) < ср {z)< A B 4- cos cz).
Возьмем теперь любую функцию a. (z) из пространства Z+ и
положим
Тогда последовательность функций срл (z) сходится к функ-
функции <рB) в топологии пространства Z, причем все функции
сря (z) могут быть представлены в виде
(z) = АB 4-coscz)A 4-
Hz)
B -f- cos cz) A 4 z*)


282 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [3
Но
является, очевидно, положительной функцией из простран-
пространства Z+> а функция /(*) = B + cos ?) A + г*) стРемитС5Г
к нулю при \z\ —>co. Тем самым доказано, что функции
вида в (г) f (z) образуют всюду плотное множество в про-
пространстве Z+, и потому равенство A0) справедливо для всех
функций этого пространства.
Теорема 4 доказана.
Отметим, что эта теорема справедлива и для функций
многих переменных. Именно, имеет место следующее утверж-
утверждение.
Теорема А'. Пусть F— четная обобщенная функ-
функция в пространстве Z функций нескольких переменных,
такая, что (F, 6) ^ 0 для всех четных функций б (z)
этого пространства, принимающих положительные зна-
значения на множестве Ш, состоящем из точек, все коор-
координаты которых вещественные или чисто мнимые. Тогда
обобщенная функция F имеет вид
(Л «р) = f ср О) tffx (Z),
ш
где и- — четная положительная мера на множестве
такая, что при любом а > 0 интеграл
С
сходится при некотором /?>>0.
Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет
доказательство теоремы 4. Мы не стали доказывать теорему А'
для функций нескольких переменных, так как для таких
функций нам неизвестно, имеет ли место эквивалентность
понятий положительности и мультипликативной положитель-
положительности.
Для функций же одного переменного, как было показано
в п. 1, эта эквивалентность имеет место. Таким образом,
формула C) описывает не только положительные, но и муль-
3] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 283
типликативно положительные обобщенные функции в про-
пространстве Z+ (т. е. такие четные обобщенные функции в про-
пространстве Z, что (F, ср ср) ^- 0 для всех четных функций из
этого пространства). При помощи преобразования Фурье мы
получаем следующую теорему, описывающую четно-положи-
четно-положительно определенные обобщенные функции *) в простран-
пространстве К бесконечно дифференцируемых финитных функций
одного переменного.
Теорема 5. Пусть F — четно-положительно опреде-
определенная обобщенная функция в пространстве К бесконечно
дифференцируемых финитных функций одного перемен-
переменного. Тогда существуют такие четные положительные
меры {Xj и [х2, что для всех функций ср (jc) из простран-
пространства К имеет место равенство
(F,
(х
A3)
где ср (z) — преобразование Фурье функции ср(х). При этом
меры fJ4 и (а2 таковы, что интеграл Г еа^У ' dp2 (у) схо-
сходится при всех а > 0, а интеграл Г A -\-х2)-р dp^x) схо-
сходится для некоторого р > 0.
Если четно-положительно определенная обобщенная функ-
функция F имеет вид
(F, cp) =
где f (х) — непрерывная функция, то мера [а: в равенстве A3)
конечна. Обратно, если мера p.t конечна, а Г еа ' у' dp.2 (у)
сходится при всех а >> 0, то обобщенная функция F задается
непрерывной функцией. Отсюда мы получаем следующее опи-
описание непрерывных четно-положительно определенных функ-
функций одного переменного.
Теорема 6. Пусть непрерывная функция / (х) четно-
положительно определена. Тогда функция f (х) имеет вид
*) Т. е. такие четные обобщенные функции в пространстве К,
что (F, ср -* (?*) > 0 для всех четных функций из этого пространства.


284 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [4
где [ij и [а2 — четные положительные меры, такие, что
мера (ij конечна, а интеграл Г еаХ d\iz(k) сходится при
всех положительных значениях а.
4. Пример неединственности задания положительного
функционала в пространстве Z+ при помощи положи-
положительных мер. Мы уже указывали в п. 2, что распростране-
распространение положительного функционала может быть выполнено не-
неединственным образом. Поэтому меры [J^ и [а2. задающие
согласно теореме 4 положительные функционалы в про-
пространстве Z+) определяются этим функционалом, вообще
говоря, не единственным образом. Мы укажем сейчас пример
такой неединственности.
Возьмем любое число а, лежащее между 1 и 2. Обозна-
Обозначим b = -J- и рассмотрим функцию ехр (—zae~ib). Раз-
Разделим у этой функции вещественную и мнимую части,
ехр (— гае~1Ъ) = <К (г) -f- /<|>2 (г).
Обозначим теперь через ty? (х) функцию, совпадающую
с ^г(х) в точках, где фг 00^-0. и равную нулю в точках,
где фг (х) <1 0. Аналогично, через фГ 00 обозначим функцию,
совпадающую с —фа (дг) в точках, где ф1(х)-^0, и равную
нулю в точках, где tyiOO^O- Точно так же определим
функции $2 и tyz . Примем функции tyi , (j)f, фг", $2 за
плотности мер j*+, ja~, ja+, fi~. Легко видеть, что эти меры
задаются формулами:
X
ji+ (jc) = Г max [0, ехр (— ta cos й) cos (ta sin 6)] Л,
0
X
p,- (x) = — Г min [0, exp (— ta cos Й) cos (ta sin Й)] rf^,
0
X
p,+ (д;) ^= Г max [0, exp (— ta cos b) sin (Ya sin b)\ dt,
0
p.- (x) = — Г min [0, exp (— ta cos 6) sin (^a sin b)\ dt.
4] § 6. ПРОСТРАНСТВО ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 1 ПЕРЕМЕННОГО 285
Очевидно, что (i+ 00> fV 00. Р+ (х). ^ 00 являются воз-
возрастающими функциями от х, причем
Мы докажем сейчас, что для любой четной функции ср(лг)
из пространства Z выполняется равенство
СО
СО
Су) =
ОО
A4)
Тем самым будет показано, что различные меры fj,+, \х.~
и (j.-, ja+ определяют один и тот же положительный функ-
функционал на пространстве Z+.
Для доказательства равенства A4) заметим, что для
любой функции ср (г) из пространства Z выпслляется ра-
равенство
оо У П
Г ехр [—xae~ib](f(x) dx =
со
= t f ехр [—
где положено b =
A5)
4
В самом деле, рассмотрим
функцию
ехр [—zae-lb\y{z).
Рис. 1.
Эта функция является аналитической функцией в области,
ограниченной отрезками вещественной и мнимой осей и
окружностями |z| = p и \z\ = R (рис. 1). Поэтому ее инте-
интеграл по контуру этой области равен нулю. Но
j ехр [ — zae-lb\ | =
cos а
(я — ^


286 ГЛ. П. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
[4
В
и 0< а < -J
где a = arg.z. ь силу неравенств 1<а<2
интегралы по дугам окружностей | z | = р и \z\ = R стр е-
мятся „к нулю, когда р —> 0 и R—>oo (напомним, что функ-
функция cs(z) принадлежит пространству Z и потому удовлетво-
удовлетворяет неравенству вида |ср(г)| <1 Сеь 1у| ^ Сеь1г'). Отсюда
следует, что интегралы от функции ехр [ — гае~1ь]ц> (z) по
вещественной и мнимой осям равны друг другу. Тем самым
формула A5) доказана.
Пусть теперь ср (г)— четная функция, принимающая веще-
вещественные значения на вещественной оси. Тогда и на мнимой
оси она принимает вещественные ] значения. Приравнивая
друг другу вещественные части в равенстве A5), мы по-
получаем
со
Г ехр [—xacosb]cos(xasinb)y(x)dx=:
о
со
— Г ехр [ — уа со? b] sin (ya sin b) ср (iy) dy. A6)
Но это равенство есть лишь иная запись равенства A4),
в чем легко убедиться, разлагая интеграл в левой части на
интегралы по областям, где cos(jca sin?) >0и cos(xasin?) < О,
а интеграл в правой части на интегралы по областям, где
sin (ха sin b) > 0 и sin (л:а sin #)< 0.
Таким образом, равенство A4) доказано для четных
функций <f i.z)' принимающих вещественные значения на веще-
вещественной оси.
Возьмем теперь любую четную функцию ср (z) из про-
пространства Z и представим ее в виде
где
Функции срх (z) и ср2 (z) являются четными функциями из про-
1J § 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 287
странства Z, принимающими вещественные значения на веще-
вещественной оси. Формула A4) справедлива для этих функ-
функций, а поэтому она справедлива и для функции cp(z).
Таким образом, искомый пример построен.
§ 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЫ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
АЛГЕБРАХ С ИНВОЛЮЦИЕЙ
1. Топологические алгебры с инволюцией. Как мы уже
говорили, основные понятия, введенные и изученные в §§ 2 — 6
(положительность, мультипликативная положительность, по-
положительная определенность), относятся по существу к теории
топологических алгебр с инволюцией. Дадим основные опре-
определения, относящиеся к этим алгебрам.
Линейное пространство L называется алгеброй с инволю-
инволюцией, если для его элементов определены операции умноже-
умножения и перехода к сопряженному элементу х* (инволюция),
удовлетворяющие следующим аксиомам:
2) x(y-\-z) = xy-\-xz; (y-\-z) x = yx-\~zx;
3)
4)
5)
6) (xyf = у*х*.
Алгебра L называется коммутативной, если умножение
элементов коммутативно ху = ух. Если в алгебре L суще-
существует такой элемент е (единица алгебры), что хе =•- ех — 1.
то L называется алгеброй с единицей.
Как правило, рассматриваются алгебры, являющиеся ли-
линейными топологическими пространствами. В этом случае от
алгебраических операций (в том числе и от инволюции)
требуется непрерывность в топологии пространства.
Если пространство L является нормированным, то и
алгебра L называется нормированной. При этом от нормы,
введенной в алгебру L, требуется выполнение следующих
условий:
2)


288 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [1
3) алгебра L полна относительно нормы \х\у т. е. из
того, что lim ||лг„-—хт\\ = О, вытекает существование эле-
т, п -х»
мента х этой алгебры, для которого
lim I
п -> со
= 0.
Пространства К я S, рассмотренные нами выше, стано-
становятся топологическими алгебрами с инволюцией, если в ка-
качестве умножения элементов взять, например, обычное умно-
умножение функций, а в качестве инволюции — переход от функ-
функции ср (х) к функции ср (х). Топологической алгеброй
с инволюцией является и пространство Z. Умножение в этой
алгебре определяется как обычное умножение функций,
а инволюция — как переход от функции <?(z) к функции
cp(z) = cp(z) (легко видеть, что функция f(z) также при-
принадлежит этой алгебре).
Для алгебр с инволюцией понятие мультипликативно по-
положительного линейного функционала определяется следую-
следующим образом.
Линейный функционал F. в топологической алгебре
с инволюцией L называется мультипликативно положи-
положительным, если для всех элементов х этой алгебры выпол-
выполняется неравенство (F, хх*)~^-0.
Легко видеть, что мультипликативно положительные
обобщенные функции в пространствах К и S представляют
собой не что иное, как мультипликативно положительные
линейные функционалы для соответствующих алгебр.
Понятие положительной определенности может также
рассматриваться как частный случай мультипликативной по-
положительности линейного функционала при соответствующем
определении умножения элементов в алгебре.
Именно, если определить в пространстве 5 новое умно-
умножение элементов как свертку функций, а инволюцию как
переход от функции ср (х) к функции ср* (х) — ср ( — х), то
мультипликативно положительными линейными функционалами
для этой алгебры будут положительно определенные обобщен-
обобщенные функции.
В эту схему укладывается и понятие четно-положитель-
четно-положительной определенности. Именно, назовем произведением функ-
1] § 7. мультипликативно положительные функционалы 289
ций ср (х) и ф (х) функцию
х(*) =
1 ± Ух хп ± yjdy» ¦••dyn,
A)
а инволюцию определим как переход от функции ср (х)
к функции cp*(jt)=:cp(—х). Тогда мультипликативно поло-
положительными функционалами будут четно-положительно опре-
определенные обобщенные функции.
Полное описание мультипликативно положительных функ-
функционалов получено для нормированных алгебр с инволюцией.
Для того чтобы описать мультипликативно положительные
линейные функционалы в нормированных алгебрах с инво-
инволюцией, введем понятие симметрического гомоморфизма
алгебры с инволюцией в поле комплексных чисел.
Симметрическим гомоморфизмом алгебры с инволю-
инволюцией L в поле комплексных чисел называется линейный функ-
функционал М в этой алгебре, такой, что
(М, ху) = (М. х) (Ж, у) и (М, х*) = (М, х).
Для алгебр, состоящих из функций вещественного пере-
переменного, в которых умножение элементов определено как
умножение функций, а инволюция — как переход от функ-
функции ср (х) к функции ср(х), примером симметрического гомо-
гомоморфизма может служить соответствие ср (х) —*¦ ср (х0), где jc0—
некоторое вещественное число. Однако у некоторых алгебр
есть и другие симметрические гомоморфизмы. Например, если
ввести в пространства четных функций из Z или Si'* умножение
при помощи формулы A), а инволюцию понимать как переход
от функции cp(z) к функции ср (— г), то симметрическими го-
гомоморфизмами будут все соответствия
где z° гРп — вещественные или чисто мнимые числа.
Мы будем обозначать множество всех симметрических
гомоморфизмов алгебры L в поле комплексных чисел через Ш.
Очевидно, что каждому элементу х алгебры L соответствует
функция х (М) = (М, х), заданная на множестве Ж- Если
алгебра L коммутативна и нормирована, то в множество ЗГО
19 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


290 ГЛ. И. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
можно ввести такую топологию, что все функции х (М)
будут непрерывны относительно этой топологии, а множе-
множество ffi компактно в этой топологии.
При этом каждой положительной конечной мере о (Ж),
заданной на множестве Ш, соответствует линейный функцио-
функционал в алгебре L, определяемый равенством
(F1( х) = J х (Ж) ds (Ж).
Для любого элемента х алгебры L имеем
(Fu хх*) = J хх* (ц) da <» = J | x ((I) p dz (,0 > 0.
Поэтому функционал Fx мультипликативно положителен.
Можно показать, что этим и исчерпывается множество муль-
мультипликативно положительных линейных функционалов для
коммутативных нормированных алгебр с инволюцией. Точнее
говоря, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Всякий мультипликативно положи-
положительный линейный функционал. F на коммутативной
нормированной алгебре с инволюцией L может быть
единственным образом представлен в виде
(F, х) = j x(M)da(M),
ш
где а (М) — положительная мера на множестве Ш сим-
симметричных гомоморфизмов алгебры L в поле комплексных
чисел.
С доказательством этой теоремы читатель может позна-
познакомиться, например, по книгам М. А Наймарка «Нормирован-
«Нормированные кольца», стр. 245 или И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова,
Г. Е. Шилова «Коммутативные нормированные кольца»,
стр. 299.
2. Алгебра многочленов от двух переменных. Пользуясь
теоремой 1, можно получить описание четно-положительно
определенных непрерывных функций, растущих не быстрее,
чем eaixK a > 0. Методы, использованные в § 5, позволяют
получить соответствующее описание для функций, растущих
медленнее всех функций ее '-^ 1а, г ^> 0, и, в частности, для всех
функций, растущих не быстрее, чем ea^xl. По-видимому,
результаты § 5 могли бы быть получены, если бы удалось
2] § 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 291
построить достаточно развитую теорию топологических колец
с инволюцией.
Однако для произвольных коммутативных алгебр с инволю-
инволюцией, не являющихся нормированными, теорема, аналогичная
теореме 1, вообще говоря, не имеет места. Существуют то-
топологические алгебры с инволюцией, для которых некоторые
мультипликативно положительные линейные функционалы не
являются положительными. Примером такой алгебры является
алгебра Р многочленов от двух переменных. Эта алгебра со-
состоит из всех многочленов вида
Умножение в алгебре Р определяется как обычное умноже-
умножение многочленов, а инволюция — как переход от много-
многочлена ср(х, у) к многочлену
k, i
Последовательность
2
k, I
многочленов алгебры Р называется сходящейся к многочлену
, у) = 2 akixkyl> если все многочлены ср„(х, у) имеют ту
kt i
же степень, что и ср (х, у), причем для всех k и I выпол-
выполняется соотношение
lim а$ — аы.
Для задания гомоморфизма алгебры Р в поле комплекс-
комплексных чисел достаточно указать значения xQ и у0, которые
принимают при этом одночлены хну (х0 и у0 могут быть
и комплексными числами). При этом гомоморфизм задается
формулой
fix, .у)-» 2 ak[xkyl0.
k, Z = 0
Очевидно, что такой гомоморфизм симметричен, если xQ
и у0 — вещественные числа. Поэтому положительными эле-
элементами в алгебре Р являются такие многочлены ср(х, у),
что ф {х, у) ^> 0 для всех вещественных значений хну.
19*


292. ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ [2
Д. Гильберт построил пример положительного многочлена от
двух переменных, не являющегося линейной комбинацией
многочленов вида ф(лг, y)ty(x, у).
Этот пример строится следующим образом. Рассмотрим любые
восемь точек М\, , Ms на плоскости, такие, что никакие три из
них не лежат на одной прямой и никакие шесть из них не лежат
на одной кривой второго порядка. Как доказывается в алгебраиче-
алгебраической геометрии, через эти точки можно провести бесконечное
множество кривых третьего порядка, причем все эти кривые пере-
пересекаются в некоторой, девятой точке М9 (см. Уокер «Алгебраиче-
«Алгебраические кривые>, теорема 6.2, на стр. 84). Покажем, что любой много-
многочлен f(x, у) шестой степени, являющийся суммой квадратов
многочленов <?ь(х< у) и обращающийся в нуль в точках Mi, , М$,
равен нулю и в точке Мд. В самом деле, пусть
/ (х. У) = S 9% (х. У) и f(Mj) = ... = f(Ms) = 0.
Тогда каждый из многочленов <?к (х, у) обращается в нуль в точках
Мп 1 <; г •< 8. Но так как эти точки не лежат на одной кривой
второго порядка, то все многочлены ук (-*. У) являются многочленами
третьей степени. Кривые <р? (х, у) = 0 проходят через точки
Ml, ..., М$. Тогда, как отмечалось выше, они проходят и через
точку JW9, т. е. <рА (Мд) = 0. Следовательно, и f(M9) = 6.
Из доказанного утверждения'следует, что любой многочлен
шестой степени f(x, у), равный нулю в точках Мп 1<;г<;8, н
отличный от нуля в точке Мд, не может быть представлен в виде
суммы квадратов. Покажем теперь, что существует многочлен
шестой степени /(х, у), принимающий положительные значения
при всех х и у, равный нулю в точках Мк, 1 <!А^8, и отличный
от нуля в точке Мд. Этим и будет доказано существование поло-
положительного многочлена, не представимого в виде суммы квадратов
многочленов.
Многочлен / (х, у) строится следующим образом. Зафиксируем
две кривые третьего порядка <р (х, у) = 0 и <Ь (х, у) — 0, проходя-
проходящие через точки Мк, 1 «С ? •< 9. Проведем через точки Мь М2,
Ms, Mit Мь кривую второго порядка а (х, у) = 0, а через точки Мк,
1 •< k <: 8, — кривую четвертого порядка р (х, у) = 0, для которой
точки Мв, М7, Ms являются двойными. Покажем, что' эти кривые
не проходят через точку М9. В самом деле, пусть a (My) = 0.
Возьмем тогда на кривой а (х, у) = 0 любую точку N, отличную
ф (N)
от точек Mk, и положим А = 1 ' 7 .
Кривая третьего порядка в (х, у) — <р (х, у) + Ы (х, у) = 0 про-
проходит тогда через точки Мк, 1 <; ? <J 9 и N и имеет, таким обра-
образом, семь общих точек с кривой второго порядка а. (х, у) = 0.
Но - если кривые порядка тип имеют более тп общих точек, то
они имеют общую компоненту (Уокер «Алгебраические кривые»,
теорема 3.1, стр. 72). Этой компонентой может быть только кривая
2] § 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 293
а. (х, у) = 0. Таким образом, кривая в (х, у) = 0 распадается на кри-
кривую второго порядка и прямую линию. Так как кривая а (х, у) — О
не проходит через точки М6, М7, Мй (иначе шесть точек из точек Mk,
1 <J k < 8, лежали бы на кривой второго порядка), то точки Мв,
М7, Мй должны лежать на второй компоненте кривой 9 (х, у) = 0—
на некоторой прямой. Но это противоречит выбору точек. Mk.
Итак, мы доказали, что кривая а (х, у)=0 не проходит через
точку Мд. Точно так же доказывается, что через точку М9 не про-
проходит и кривая р (х, у) = 0. Не теряя общности, мы можем считать,
что а (Мд) р (Мд) > 0.
Рассмотрим теперь кривую
г (х, У) = 9* (х, у) + 4-3 (х, У) + ро- (х, у) р (х, у) = 0.
Многочлен Х'(х, у) является многочленом шестой степени, рав-
равным нулю в точках Mk, 1 <!-&<; 8, и положительным в точке Мд.
Поэтому он не может быть представлен в виде суммы квадратов
нескольких многочленов. Нам осталось показать, что при некотором
выборе постоянной р^О этот многочлен положителен. Для этого
заметим, что при р = 0 многочлен х (х> У) превращается в много-
многочлен <р2 (х, у) -f 4<2 (х, у), для которого точки Мк, 1 .< k <; 9, являются
точками минимума, причем <р2 (х, у) -\- ф2 (х, у) обращается в этих
точках в нуль. Для многочлена а (х, у) р (х, у) точки Мк, 1 <; k <; 8,
являются также стационарными точками, так как его частные про-
производные обращаются в этих точках в нуль (в точках Мг, М%, Мя,
Mit Мъ обращаются в нуль оба многочлена а. (х, у) и р (х, у),
а точки Мв, М7, М3 являются двойными точками для кривой
р (х, у) = 0). Поэтому найдется такое число р0 > 0, что при 0-</?<;/?0
многочлен <р2 (х, у) -f- 4<2 (х, у) -\-ра (х, у) р (х, у) имеет в точках Мк,
1 •<! k <; 8 минимум, равный нулю, а в точке Мд положителен.
Мы можем найти такие круги Q^ с центрами в точках Мк,
' ^9, что в области, составленной из этих кругов, много-
многочлен х (х, у) положителен прн О<р*Сро, причем он обращается
в нуль лишь в точках Мк, 1 <; k < 8. Вне этих кругов функция
имеет отличный от нуля минимум А. Поэтому прн р^А вне ука-
указанных кругов выполняется неравенство <р2 (х, у) + <р (х, у) >>
>- А | а (х, у) р (х, у)\. Но тогда при 0 <; р ¦< min (р0, М) много-
многочлен х (х< У) положителен.
Существование положительного многочлена от двух переменных,
не представимого в виде суммы квадратов многочленов, доказано.
Можно доказать, что многочлен Гильберта f(x, у) не
только не является суммой квадратов многочленов, но и не
может быть приближен в пространстве многочленов шестой
степени суммами квадратов многочленов.
Обозначим теперь через Тв конус в линейном простран-
пространстве Рв многочленов шестой степени, состоящий из много-
многочленов вида - . -.


294 ГЛ. II. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ПОЛОЖИТ. ОПРЕД. ФУНКЦИИ
где fk(x, у)— многочлены с вещественными коэффициентами.
Многочлен Гильберта f(x, у) не принадлежит замыканию
этого конуса. Поэтому можно построить линейный функцио-
функционал F в Р6, положительный на конусе Т6 и принимающий
отрицательное значение на многочлене Гильберта f (х, у).
Этот функционал можно распространить на всю алгебру
многочленов так, чтобы он принимал положительные значе-
значения для всех многочленов, представимых в виде суммы квад-
квадратов многочленов. В результате получается мультиплика-
мультипликативно положительный, но не положительный линейный функ-
функционал в алгебре всех многочленов от двух переменных.
Рассмотренный пример показывает, что для топологи-
топологических колец с инволюцией понятия положительного и
мультипликативно положительного линейного функцио-
функционала, вообще говоря, не совпадают. Было бы весьма важно
выделить класс топологических колец, в которых эти поня-
понятия совпадают. Как мы видели, к таким кольцам относятся
кольца К, S, Z, кольцо s!/' и другие кольца.
Пример Гильберта тесно связан с проблемой моментов
для функций двух переменных. Эта проблема состоит в сле-
следующем. Даны числа |х-й, О ^ J, k < со. Требуется найти
положительную меру а, такую, что
Если проблема моментов имеет решение, то для любого мно-
многочлена
я
принимающего положительные значения при всех веществен-
вещественных х и у, выполняется неравенство
(x, y)da(x. y)>0.
Иными словами, линейный функционал F в пространстве Р
многочленов от двух переменных, задаваемый формулой
" \ "
2 ajkxJ'yk = ^ ajkV-jk' i2)
2] § 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 295
должен быть положительным. Можно показать, пользуясь
теоремой о распространении положительных линейных функ-
функционалов (см. теорему 3 из § 6), что это условие является
также и достаточным.
В случае функций одного переменного для разрешимости
проблемы моментов оказывается достаточным более слабое
требование мультипликативной положительности функцио-
функционала F. Как показывает пример Гильберта, для функций
двух переменных существуют мультипликативно положитель-
положительные, но не положительные линейные функционалы. Поэтому
выполнение условия
для всех многочленов ц>(х, у), где F — линейный функцио-
функционал, задаваемый формулой B), уже не является достаточным
для разрешимости проблемы моментов. Следует отметить,
однако, что если наложить на рост моментов jjuft известные
ограничения, обеспечивающие возможность распространения
функционала B) с пространства многочленов на те или иные
пространства целых функций, условие мультипликативной
положительности становится не только необходимым, но и
достаточным для разрешимости проблемы моментов. При этом
решение проблемы моментов становится однозначным.


ГЛАВА III
ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ОБОБЩЕННЫМИ
СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
1. Случайные величины. Мы предполагаем, что читатель
знаком с основными понятиями теории вероятностей. Однако,
поскольку понятие случайной величины является основным
для этой главы и поскольку определение этого понятия,
которое будет использовано в этой книге, внешне отличается
от общепринятого, мы начнем с определения случайной ве-
величины.
Будем говорить, что задана одна случайная величина ?,
если для любого вещественного числа х задано число Р {х),
называемое вероятностью события ? < х, со следующими
свойствами:
1) P(JCiL<P(J?2), если х1^.
2) lim P<X) = 0, lim P(jc)
3) Пт Р (х) = Р (а).
х->- а —о
=l,
Задание функции Р (х) однозначно определяет вероят-
вероятность Р (X) принадлежности случайной величины ? борелев-
скому множеству X.
Еслирассматривается несколько случайных величин ?t ?„,
то задание распределения вероятностей для каждой из этих
величин уже не является достаточным. Необходимо задать
и вероятности Р^, ..., хп) одновременного выполнения
неравенств ^ < х1г .... ?л < хп. Этими вероятностями'
однозначно определяется вероятность Р (X) принадлежности
точки %^(?и ..., ?п) борелевскому множеству X я-мерного
1]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
297
..., $„)
пространства Rn. Мы будем называть совокупность ? = i
«-мерной случайной величиной.
Разумеется, задание вероятностей Р^, .... хп) одно-
однозначно определяет распределение вероятностей каждой'слу-
каждой'случайной величины \к. Оно дается формулой
Р (xk) = Р (со хк, . . ., оо).
Аналогично можно найти распределение вероятностей и для
любого подмножества S^, . . ., \к наших случайных величин.
Для этого надо в функции PC*lt .... хп) заменить симво-
символом оо те значения xk, для" которых k отлично от kt kr.
Рассмотрим теперь бесконечное множество случайных
величин {|а}. В этом случае мы для любого конечного
набора $х, . . ., ?„ будем задавать вероятность Р (xt, . .., хп)
выполнения неравенств lt < xt ln < хп *). Эти вероят-
вероятности должны быть согласованы друг с другом в том смысле,
что для любых случайных величин Ех ?„, т\ вероят-
вероятность Р (хг хп) выполнения неравенств
S < JC •• 1<СА^Си A)
должна совпадать с вероятностью Р (хх хп, оо) выпол-
выполнения неравенств
7] < -f- ОО.
Иными словами, наложение условия вида ч] < -\- оо не
меняет вероятности выполнения неравенств A).
Итак, множество случайных величин {?„} считается
заданным, если для любого конечного набора величин
?х \п указано совместное распределение вероятно-
вероятностей Р (хи .... хп), причем эти распределения вероятно-
вероятностей согласованы друг с другом.
Введем теперь понятие равенства двух случайных вели-
величин % и 7j. Мы будем говорить, что % = т\, если для любых
вещественных чисел а < Ъ вероятность одновргменного выпол-
выполнения неравенств
*) Разумеется, вероятность Р (хъ ..., хп) зависит от того, какие
случайные величины ^ ?„ из числа {?„} мы рассматриваем.


298
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[1
совпадает как с вероятностью выполнения неравенства
а^?<&, так и с вероятностью выполнения неравенства
а ^ ¦/]<&. Таким образом, если обозначить через Р (X, Y)
вероятность того, что l?X, t)?Y, а через РХ{Х)— вероят-
вероятность того, что I ? X, то равенство % = ч\ означает, что
Р(Х, Х)==Р1(Х). Далее, если Х(}У = 0 и ? = т), то
р (X, Y) = 0. В самом деле, по условию согласованности
где RL — вещественная ось. Но
Р (X, Rt) = Р (X, X) -+- Р (X /?г — *).
а по определению равенства случайных величин Pt (X) =
= Р (X, X). Из этих соотношений следует, что Р (X, Rt —Х)=0.
Поскольку Кс/?,—X, то тем более Р (X, К) —0.
Чтобы доказать естественность данного нами определения
равенства случайных величин, докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть % = т\. Тогда, каковы бы ни была
случайные величины %х, ..., ?„, вероятность Р (х, хп, х)
выполнения неравенств
хх
B)
совпадает с вероятностью Pi(xl хп, х) выполнения
неравенств
^<xlt .... Zn<xn, т\<х. C)
Доказательство. Мы докажем, что как вероятность
Р (Xj хп, х), так и вероятность Р1(^1, .... хп, х)
совпадают с вероятностью Р (х1 хи, х, х) одновремен-
одновременного выполнения неравенств ?х ¦< х1 Sn < хп, S < х,
1] <^ х. В самом деле, мы показали, что из равенства \ = т]
вытекает равенство нулю вероятности одновременного выпол-
выполнения неравенств I •< х и т) ">- лг. Тем более разна нулю
вероятность P(xlt ..., хя, х, х) одновременного выполнения
неравенств
Но из условия согласованности следует, что
Р (хх, хя, х) = Р (хг> . . ., ха, х, со),
1]
где через Р(х,
выполнения неравенств
Так как
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
299
хп, х, со) обозначена вероятность
оо.
то
i хп, х, оо) =
= Р (д:х, . ... хп, х, х) -f- Р (хи . . ., хя, х, х)
Р (xlt .... хп, х, х) = О,
i \.ЛХ, . . . , Ад, X) " \Xi* • • • 1 Хп, Xs X),
Точно так же доказывается, что и вероятность Рх (xlt .... хп, х)
выполнения неравенств C) совпадает с Р(х1г ..., хп, х, х),
и, значит, соотношение
х„
= Р1(х1, .... х„, х)
доказано'.
Аналогично доказывается, что если $1 = т]1, ..., ?л = т]я,
то вероятность Р (А") выполнения условия (?х %п)(^Х
совпадает с вероятностью Рх (X) того, что G]х, ..., т]л) ? X.
В дальнейшем мы не будем различать равные случайные
величины.
Пусть теперь y = f(xx, ..., хп) — некоторая измеримая
функция от аргументов хи . . ., хп, а ?х, . . ., %п — случайные
величины. Мы определим случайную величину -ц = /(Sx, ..., %п),
т. е. укажем для любых случайных величин Сх, . . ., Ст вероят-
вероятность того, что точка (Сх Ст, т\) принадлежит заданному
множеству Z (п-\- 1)-мерного пространства Rn+i. Разумеется,
достаточно указать эту вероятность лишь для множеств
вида Z = Z ~X Y, где Z — некоторое множество в /га-мерном
пространстве, К — множество на вещественной прямой, а через
Z X Y обозначено множество таких точек (гг zm; у),
что (zx zm)?Z, y?Y.
Рассмотрим (и -\- /га)-мерное пространство Rn+m и обо-
обозначим через W множество всех точек (ггх, .... zm\ xx, ..., ха)
0 Rn+m> таких, что (zu .-.., zm)?Z и /(хх, .... xn)?Y.


300 ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Положим теперь
[1
где через Р (W) обозначена вероятность того, что
{Z\ zm; хи ха) ? W.
Мы примем Рх (Z) за распределение вероятностей случайной
величины (ClF .... ?m, тг)). Тем самым определены совместные
распределения вероятностей случайной величины tj =/ (Jzx, ..., ?„)
с любыми случайными величинами ?х Сот, т. е. определена
случайная величина 7j=/(l1, .... ?п).
Если
Ух =/i Oi> •••• хп),
— функции от переменных хх, .... хп, то при помощи дан-
данного нами определения легко найти распределение вероятно-
вероятностей случайной величины (т\х у\т), где положено
Оно задается формулой
где через X обозначено множество всех значений хх, . . ., хп,
таких, что {ух Ут)€.У' а чере3 Р (X) — вероятность
выполнения условия ($х, .... ?л) ? X.
Укажем формулу для среднего значения случайной вели-
величины -ц—/Aх ln). Если обозначить через Рх(у) вероят-
вероятность неравенства -ц < у, то по определению среднего зна-
значения случайной величины имеет место равенство *)
У)- D)
Но по данному нами определению функции от случайных
аргументов вероятность Рх(у) совпадает с вероятностью
*) Через Ei] мы обозначаем среднее значение случайной вели-
величины К].
1] § 1. основные понятия 301
выполнения неравенства / (хх хп) < у. Поэтому
Eri=Jf(xx xn)dP(xx хп),
где Р (X) — распределение вероятностей случайной вели-
величины ($] $„). Например, среднее значение произведения
случайных величин Sj и ?2 задается интегралом
где Р (хг, х2) — вероятность выполнения неравенств ^ < хх,
%2 < Х2- Среднее же значение случайной величины е'х? задается
интегралом
Е (еа?) = С eiXx dP (x).
Выражение Е (егх?) называют характеристической функ-
функцией случайной величины ?.
Перейдем теперь к определению предела последователь-
последовательности случайных величин. Пусть дана последовательность
{?fel %kn) га-мерных случайных величин. Мы будем гово-
говорить, что эта последовательность сходится к л-мерной слу-
случайной величине (?х ?п), если для любых случайных
величин 1\г, . . ., т\т и любой ограниченной непрерывной
функции f (х\ хп; ух _ут) выполняется равенство
lim Г / (хх, .... х„; ух ут) dPk (x; у) =
(jc1, .... хп; ух ym)dP(x, у),
где через Pk(x, у) обозначена мера в Rn+m, соответствую-
соответствующая случайной величине (lkX, .... ?fen; -цх -г\т), а через
Р(х, у) — мера в Rn+m, соответствующая случайной величине
(*1 К' -Пг 1т)*)-
Введем далее понятие случайной функции, или, иначе,
случайного процесса. Пусть каждому вещественному числу t
сопоставлена случайная величина !(?) (т. е. иными словами,
пусть для любых п вещественных чисел tx, .... tn задано
совместное распределение вероятностей случайных величин
*) Мерой множества X, соответствующей случайной величине
х ?„, мы называем вероятность включения (S^ ..., ?„) € X.


302
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
?(/Л ?(^л)> удовлетворяющее условию согласованности).
Мы будем говорить в этом случае, что нам задана случай-
случайная функция %{t). Для случайных функций можно ввести
понятия непрерывности, интеграла, производной аналогично
тому, как это делается для обычных функций. Например,
случайная функция $@ называется непрерывной, если из
того, что \im.tkj-=tj, 1 <!./<;«, вытекает равенство
k > оо
) 5 (**„)) = F &) *(/„)).
Если 5@ — непрерывная случайная функция, а <р(?) — непре-
непрерывная финитная скалярная функция, то существует интеграл
понимаемый как предел интегральных сумм
л
Мы не останавливаемся подробнее на теории случайных
функций, поскольку основные результаты этой теории будут
получены ниже как частные случаи более общей теории.
В заключение укажем, что наряду с вещественными слу-
случайными величинами можно рассматривать случайные величины,
принимающие комплексные значения. В этом случае задаются
вероятности того, что точка (?lt .... Sn) принадлежит задан-
заданной области д-мерного комплексного пространства, причем эти
вероятности должны удовлетворять условию согласованности.
2. Обобщенные случайные процессы. Перейдем теперь
к определению основного понятия этой главы — понятия
обобщенного случайного процесса. Рассмотрим пространство К
бесконечно дифференцируемых финитных функций ср(О- Мы
будем говорить, что задан случайный функционал Ф в этом
пространстве, если каждому элементу tp(O пространства К
сопоставлена случайная величина Ф (ср). В соответствии со
сказанным в п. 1, это означает, что для каждых п элементов
eft (О. ¦••> ?л (О пространства К указана вероятность одно-
одновременного выполнения неравенств
2]
§ 1 . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
303
причем распределения вероятностей согласованы друг с дру-
другом в указанном смысле.
Случайный функционал Ф Ор) называется линейным, если
для любых элементов ^ и ф из пространства К и любых
чисел аир выполняется равенство
Ф (окр + Щ = аФ (<р) + р Ф (ф)
(относительно определения равенства случайных величин
см. п. 1). Наконец, случайный функционал Ф(<р) называется
непрерывным, если из того, что функции <pft. (t) сходятся
к fy@ в пространстве К A-^У-^л). вытекает равенство
Нт (Ф (<рм) Ф (<pfce)) = (Ф 0рх) Ф (<рд)).
Поскольку мы не рассматриваем иных случайных величин,
кроме величин вида Ф (ц>), то непрерывность Ф означает
следующее.
Если Нт 5рЛ, @ = <р» @. 1-^./<^л. то для любой непре-
ft->-oo
рывной ограниченной функции /(xt, .... хп) имеет место
равенство
Нт
t xn)dP(x),
где через Р (х) обозначена мера, соответствующая случайной
величине (Ф(ср1), ..., Ф(срп)), а через Pk(x) — мера, соот-
соответствующая случайной величине (Ф (<рй1), . . ., Ф 0pftn)).
Подобно тому как непрерывный линейный функционал
в пространстве К называют обобщенной функцией, непре-
непрерывный линейный случайный функционал в пространстве К
мы будем называть обобщенной случайной функцией.
В случае, когда пространство К состоит из функций одного
переменного, соответствующую случайную функцию называют
обобщенным случайным процессом. В случае же, когда
пространство К есть пространство функций многих пере-
переменных, Ф называют обобщенным случайным полем.
Остановимся теперь на физических истоках понятия обоб-
обобщенной случайной функции. Обычное понятие случайной
функции, приведенное нами в конце п. 1, основано на пред-
предположении о возможности( измерять значения случайной
функции в каждый момент времени / без учета значений этой
функции в другие моменты времени. Однако каждое реальное


304
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
измерение производится при помощи прибора, имеющего
некоторую инерцию. Поэтому показания прибора дают не
значения самой случайной величины ? (t) в момент времени t,
а некоторое усредненное значение Ф (ср) = Г y(t)%(t)dt,
где ср(г') — функция, характеризующая прибор. Эти величины
согласованы друг с другом и линейно зависят от ср. Кроме
того, при малом изменении функции cp(f) случайная вели-
величина Ф (ср) мало меняется (мало отличающиеся друг от друга
приборы дают близкие показания). Таким образом, в резуль-
результате измерения значений случайной функции при помощи при-
приборов мы получаем непрерывный линейный случайный функ-
функционал Ф (ср), т. е. обобщенный случайный процесс.
В результате сглаживающего действия приборов можно,
таким образом, получить распределение вероятностей не только
когда оно существует в каждый момент времени t, но
и для «обобщенных» процессов, у которых распределения
вероятностей в отдельные моменты времени не существует.
Типичный пример таких процессов (скорость броуновской
частицы, не имеющей инерции) будет рассмотрен нами в п. 3.
Это аналогично тому, что значения обобщенных функций F
в отдельных точках могут не существовать, однако интегралы
вида (F, =р)= Г F{t)y(t)dt существуют.
3. Примеры обобщенных случайных процессов. При-
Приведем примеры обобщенных случайных процессов. Более по-
подробно эти примеры изложены в § 2, п. 5. Сопоставим ли-
линейно независимым функциям срх (х), ..., ср„ (х) из про-
пространства К случайную величину (Ф (cpt), .... Ф(срл)) с рас-
распределением вероятностей
2 AfX'X)dx, E)
где \—матрица, обратная матрице ||fyft||, состоящей из
чисел
Можно показать, что эти случайные величины согласованы
друг с другом и линейно и непрерывно зависят от <р(/).
Обобщенный случайный процесс, задаваемый распределением
3]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
305
вероятностей E), называется единичным процессом. Этот
процесс можно истолковать как результат измерения некото-
некоторым прибором скорости частицы, совершающей одномерное
броуновское движение и не имеющей инерции. Единичный
случайный процесс не является обычным случайным процес-
процессом, поскольку скорость броуновской частицы в каждый
данный момент времени не имеет распределения вероят-
вероятностей. Поэтому не существует такой непрерывной случай-
случайной функции l(t), что Ф(<р) = Jcp(t)t(t)dt.
Отметим, что путь, пройденный броуновской частицей,
также является случайной функцией времени. Однако на этот
раз для любых п моментов времени 0 -^ tt < . . . < tn
можно указать распределение вероятностей для «-мерной случай-
случайной величины (S(fx) ?(Хп))> где ?@ — координата частицы-
в момент времени t. Именно, если ?@) = 0, то при соот-
соответствующем выборе единиц измерения вероятность того, что
(S(*i), .... %(tn)) ? X выражается интегралом
Р(*) = - 1
f
x
<„• F)
Можно показать, что обобщенный случайный процесс, соот-
соответствующий случайной функции ?(?), с распределением
вероятностей F), сопоставляет функциям <рх (t), .... cpn (t)
случайную величину (Ф (срх) Ф (срп)) с распределением
вероятностей
Здесь Л9 — матрица, обратная матрице В = ||6yft||, состоящей
из чисел bjk = В (еру, tpft), где
В (ср, 1») = / [ср(О — ^р (оо)] [ф @ — <j> (oo)l dt.
о о
Этот случайный процесс называется винеровским.
20 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


306
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[4
Точно так же можно построить примеры обобщенных
случайных полей. Например, аналогом единичного обобщен-
обобщенного случайного процесса является единичное случайное
поле Ф. Если cpfe(x) = cpft(xx, ..., хт), 1-^А^га — функ-
функции из пространства К, то единичное случайное поле сопо-
сопоставляет им случайную величину (Ф (срг), . . ., Ф (срл)) с рас-
распределением вероятностей, задаваемым той же формулой E),
что и для единичного случайного процесса. Единственное
различие состоит в том, что числа Ь^ определяются
формулой
хп) dxi
...dx.
4. Операции над обобщенными случайными процессами.
Операции над обобщенными случайными процессами опре-
определяются аналогично тому, как это делается для обобщенных
функций. Например, под линейной комбинацией <хФ5 -\-
¦-{-$Ф2 обобщенных случайных процессов Ф1 и Ф2 понимают
обобщенный случайный процесс Ф, сопоставляющий каждой
функции ср (t) из пространства К случайную величину
(хФ1 (ср) -\- рФ2 (ср). Таким образом, множество всех обобщен-
обобщенных случайных процессов образует линейное пространство.
Обычно операции над обобщенными случайными процессами
определяются при помощи соответствующих операций над
основными функциями ср(?). Так, под произведением f (t) Ф
бесконечно дифференцируемой функции / (t) на обобщенный
случайный процесс Ф мы понимаем процесс, при котором функ-
функции ср (/) из пространства К соответствует случайная вели-
величина Ф (/ср). Точно так же под производной Ф' обобщенного
случайного процесса Ф мы понимаем процесс, при котором
функции ср (t) соответствует случайная величина — Ф(ср').
Заметим, что, в то время как производная обычного
случайного процесса может уже не являться случайным про-
процессом того же типа, производная обобщенного случайного
процесса всегда существует и является обобщенным случай-
случайным процессом. В частности, хотя производная винеровского
случайного процесса не является обычным случайным процес-
процессом, она является обобщенным случайным процессом.
Рассмотрим, наконец, понятие сдвига обобщенного слу-
случайного процесса. Если Ф — обобщенный случайный процесс,
то под его сдвигом на число h мы понимаем случайный
1] § 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 307
процесс Фй, сопоставляющий каждой функции ср (t) случайную
величину Фй (ср) = Ф [ср (t — h)\. Нетрудно показать, что имеет
место равенство
оанако мы не будем на этом останавливаться.
§ 2. МСШЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ
ФУНКЦИОНАЛ
1. Среднее значение обобщенного случайного процесса.
Если Ф — обобщенный случайный процесс, то каждой функ-
функции ср(^) из пространства К соответствует случайная вели-
величина Ф (ср). Предположим, что все случайные величины Ф(ср)
имеют средние значения /га(ср), непрерывно зависящие от ср.
Тогда яг(ср) является непрерывным функционалом в про-
пространстве К. Мы будем называть этот функционал средним
значением обобщенного случайного процесса Ф. Таким
образом, среднее значение обобщенного случайного процесса Ф
задается формулой*)
т\
= Е [Ф (ср)] = f xdP(x)
(через Р (х) мы обозначили вероятность неравенства р^
Очевидно, что функционал /и(ф) линеен, ибо по опреде-
определению случайная величина Ф (аср1 —j—&ср2) равна случай-
случайной величине аФ (ср])-|-&Ф (ср2), а потому
т (о?1 -f- Z>cp2) = Е [Ф (асрх -+- ?%)] = Е [аФ (срх) -+- &Ф (ср2)] =
= аЕ [Ф (с?!)] + ЬЕ [Ф Ы] = am (?1) -+- Ът (ср2).
Итак, функционал т (ср) является линейным функционалом
в пространстве К, т. е. обобщенной функцией.
Среднее значение обобщенного случайного процесса
Ф (ср) — /и(ср) равно нулю. Каждый обобщенный случайный
процесс является суммой линейного функционала /и(ср) и про-
процесса с нулевым средним значением.
¦'*) Среднее значение случайной величины с мы будем обозна-
обозначать через Es.
20*


308
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[1
Корреляционным функционалом случайного процесса
называют среднее значение случайной величины Ф (ср) Ф D0.
если оно существует для любых ср и ф и непрерывно зависит
от каждого из аргументов ср и ф. Итак, корреляционный
функционал В(<р, 40 процесса Ф задается равенством
Это равенство можно иначе переписать в виде
В(ср, <j>) = f Xlx2
(Xl, х2),
где через Р (xv х2) обозначено совместное распределение
вероятностей случайных величин Ф (ср) Ф (<|>).
Из линейности случайного функционала Ф (ср) вытекает,
что В (ср, ф) является билинейным функционалом.
Функционал В (ср, 40 задает связь между показаниями при-
приборов, характеризующихся функциями ср (f) и ф (t).
Поскольку случайная величина [Ф(ср)]2 положительна, то
и ее среднее значение В (ср, ср) = Е [Ф (ср) Ф (ср)] также поло-
положительно, В(ср, ср)^>0. Поэтому корреляционный фукционал
.В(ср, ф) положительно определен*). Более того, положи-
положительно определен и функционал . С (ср, ф), задаваемый ра-
равенством
С (ср, 40 = В (ср, 40 — т (ср) т D0.
где /га(ср) — среднее значение процесса Ф.
В самом деле,
С(ср, ?) = #(?, ср) — /7t(cp)w(cp) = Е [Ф (ср) Ф (ср)]—
— 2Е [Ф (ср)] т (ср)Н-ти2 (ср) = Е [ | Ф (с?) — т (ср) |2] > 0.
Моментом п-го порядка обобщенного случайного про-
процесса Ф называют полилинейный функционал, равный сред-
*) Для комплексных обобщенных случайных процессов корре-
корреляционный функционал определяется равенством
в (<р, 40 = Е [Ф (<р)Ф (Ф)]
и является положительно определенным эрмитовым функционалом.
2]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 309
нему значению случайной величины Ф (срх) • ... • Ф (срп), т. е.
т [Ф (срх) . . . Ф(ср„)]. Он задается интегралом
т
[Ф (срх) . . . Ф(ср„)] = fXl...Xn
, Ха),
где Р — мера, соответствующая «-мерной случайной вели-
величине
(ФЫ, .... Ф(срл)}*).
По теореме 5' из гл. I, § 1, п. 3 каждый полилинейный
функционал F в пространстве К может быть записан в виде
где FQ — линейный функционал (обобщенная функция) в про-
пространстве Кп бесконечно дифференцируемых финитных функ-
функций от п переменных. Таким образом, га-й момент обобщен-
обобщенного случайного процесса Ф задается обобщенной функцией FQ
от п переменных. В частности, корреляционный функцио-
функционал В (ср, ф) задается обобщенной функцией B(tlt t2) от двух
переменных.
2. Гауссовские процессы. Одним из важных классов
обобщенных случайных процессов являются гауссовские слу-
случайные процессы. Мы рассмотрим сначала вещественные гаус-
гауссовские процессы. Обобщенный случайный процесс называют
собственным гауссовским процессом, если для любых ли-
линейно независимых функций срг, .... срл из пространства К
случайная величина {Ф (срх), .... Ф (ср„)} распределена по
гауссовскому закону. Это означает, что вероятность того,
что {Ф^), ..., Ф(срл)}?Л", выражается формулой
о)
где Л= ||Ху||—положительно определенная невырожденная
матрица, а через (Ах, х) обозначена квадратичная форма
я л
(Ах, Х)=2 2 \fXiXf
i /
*) Среднее значение процесса Ф является моментом первого
порядка. Корреляционный функционал В (<р, 40 совпадает с момен-
моментом второго порядка.


310
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[2
Простой подсчет показывает, что Р (Rn) = 1. В самом деле,
так как матрица Л положительно определена, ее можно записать
в виде А = СС, где С—квадратная матрица, а С — транспониро-
транспонированная матрица. Поэтому (Ах, х) — (Сх, Сх). Сделаем в интеграле
-т (А*,
-
dx
_
подстановку Сх = у. Так как det С = lAiet Л, мы получим, что
= -&F fl
... dyn
е ~ йуь = у 2ж, мы и приходим к равенству
— со
Р (Ля) = 1.
Мы докажем сейчас, что распределение вероятностей Р (X)
однозначно определяется корреляционным функционалом B(f, <|>)
процесса Ф. Именно, если Ф — собственный гауссовский
процесс, то для любых линейно независимых функ-
функций cpj, . . ., срл из К имеет место равенство
А = \\B{<st, <pj)\\~^. Для доказательства этого утверждения
вычислим двумя способами значение Е [Ф (срг) Ф (ср;-)].
По определению корреляционного функционала мы имеем
Е [Ф(<Р,)Ф (?,)] = В (?,. <р;). B)
Но случайную величину Ф (ср() Ф (ср;.) можно рассматривать
и как функцию «-мерной случайной величины, распределение
вероятностей которой задается формулой A). Поэтому
E [Ф (<p,) ¦
C)
Для вычисления интеграла C) мы воспользуемся формулой
Г (Ах, х) е - ' dx = Тт(АС~1)*),
\л/2
D)
*) Под Тг В мы понимаем след матрицы В, г. е. сумму ее диа-
диагональных элементов.
2]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 311
справедливой для любой строго положительно определенной
матрицы С и любой матрицы А (доказательство формулы D)
см. ниже). Так как xtXj — (А^х, х), где Лу — матрица, все
элементы которой равны нулю, за исключением элемента аг,
равного единице, то интеграл C) равен Тг (л^А~ ).
Но Ai}A~l является матрицей, все строки которой равны
нулю, за исключением /-й строки, совпадающей с у-й строкой
матрицы А. Поэтому Тг уАцА~1) — \х,^, где ^ — элементы
матрицы А.
Итак, мы доказали, что
Е [Ф (ср,) Ф (сру)] = Тг (Л^А-1) = jitf.
Сравнивая это равенство с равенством B), мы убеждаемся,
что
Тем самым наше утверждение доказано.
Нам осталось доказать формулу D). С этой целью за-
заметим, что если С— положительно определенная матрица
порядка п, а А — любая вещественная матрица того же по-
порядка, то при достаточно малом вещественном е мы имеем
B
*У12 J
-- ( (С+еА) х, х)
(доказательство этого равенства совпадает с проведенным
выше доказательством равенства Р(/?л)^1). Так как
det [(С + еА)]~7з = (det С)'4' [det (E-^еАС'1)]"''2,
то это равенство можно записать также в виде
. i
dx _ [te (E + г АС- >)Г"\ E)
Разложим обе части равенства E) в ряд по степеням s
и сравним коэффициенты при е. Так как .


312
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
то мы получаем, что
(detCO'
I (Ах, x)
e 2
dx = Tr (АС1).
Тем самым формула D) доказана.
Заметим, что аналогичным путем можно вычислить и такие
интегралы, как
(Ах, х)*е
dx
и т. д.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 1. Пусть Ф — собственный гауссовский обоб-
обобщенный процесс. Тогда для любых линейно независимых
функций <Pi. •¦•.?„ из пространства К распределение
вероятностей случайной величины {Ф (fi), ..., Ф (<рл)}
имеет вид
-¦5 (Д* *>
dx.
где А = \Wj\\ —матрица, обратная матрице ||?(<Рг> <Ру)||.
а через (Ах, х) обозначена квадратичная форма
п п
(Ах, х) = 2 2 V*/*/-
Если функции <pi. • ¦ ¦. 9п линейно зависимы, то распре-
распределение вероятностей случайной величины {Ф(<Рх) Ф (Тп)!
сосредоточено на подпространстве R'm в ^л, размерность
которого равна размерности линейного пространства, натя-
натянутого на функции cplf ..., 9п- Оно состоит из точек
(хи ..., л:л), координаты которых удовлетворяют тем же
линейным соотношениям, что и функции срх, . . ., <рл- На под-
подпространстве R'm распределение вероятностей задается фор-
формулой, аналогичной формуле A).
Мы получили распределение вероятностей для собственных
гауссовских процессов. Иногда рассматриваются несобствен-
несобственные гауссовские процессы, для которых корреляционный
функционал В (ср, ср) может обращаться в нуль не только
для функции cp(Y)=O. Для таких процессов случайные ве-
величины {Ф (срх) Ф (срд)} могут быть распределены по
3]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 313
несобственным гауссовским законам, т. е. по гауссовским
законам, сосредоточенным на некоторых подпространствах
и-мерного пространства. Мы не будем останавливаться далее
на этих вопросах.
Отметим еще, что если среднее значение тп(ср) гауссов-
ского процесса Ф отлично от нуля, то формула A) заме-
заменяется несколько более сложной формулой
рш =
J
(Ю
где х° — вектор с координатами /я(<рх), •.., т(<рп).
Наряду с вещественными гауссовскими процессами можно
ввести комплексные гауссовские процессы. Для таких про-
процессов вероятность включения
(X—множество в га-мерном комплексном пространстве) вы-
выражается формулой
--?? /
--(А*, г)
е 2 dz,
О")
где А = || Х4/. ||—матрица, обратная матрице \\B(^t, <fy)||,
п а
(A z, z)= 2и 2а \]zizj
— эрмитова форма, соответствующая 1матрице А, а через dz
обозначена мера dxxdy1 ... dxndyn, zk = xk-Ariyk.
3. Существование гауссовских процессов с задан-
заданными корреляционными функционалами и средними зна-
значениями. В предыдущем пункте мы показали, что распре-
распределение вероятностей случайных величин (Ф(ср1), . . ., Ф(срл)},
где Ф — обобщенный гауссовский процесс, однозначно опре-
определяется корреляционным функционалом 5(ср, ф) этого про-
процесса и его средним значением m(w). При этом, как было
доказано в п. 1, корреляционный функционал В(<о, ф)


314
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
и среднее значение /и(ср) должны быть такими, чтобы били-
билинейный функционал
С (ср, ф) = ? (<р, <!>)' — т (ср) т (<]>)
был положительно определен.
Покажем, что если непрерывный билинейный функцио-
функционал В (ср, <]>) в пространстве К и непрерывный линейный
функционал /ге(ср) в том оке пространстве таковы, что
функционал В (у, <Jj) — т (ср) да (ф) положительно определен,
то существует обобщенный гауссовский процесс Ф, для
которого В (ср, <]>) является корреляционным функциона-
функционалом, а /га(ср) — средним значением.
Очевидно, что достаточно доказать теорему для случая,
когда от(ср) = О, а функционал В(ср, ф) положительно опре-
определен.
Мы рассмотрим сначала случай, когда функционал В (ср, ф)
строго положительно определен, т. е. когда ?(ср, ср) > 0 для
всех функций ср (t) из пространства К, не равных тожде-
тождественно нулю. В этом случае для любых линейно независи-
независимых функций ср1? . . ., срл из пространства К матрица
||В(срг, ср=)|| невырождена, В самом деле, если функции срь . . ., срл
линейно независимы, а числа alt .... ап не равны одно-
одновременно нулю, то функция
Ф @ =
не равна тождественно нулю, и потому
2 2
Wf = В (Ф-
0-
Отсюда вытекает невырожденность матрицы ||/?(ср,-, <ру-)!|.
Так как матрица В= ||В(срг, ср;-)|| невырождена, то суще-
существует обратная ей матрица Л. Сопоставим теперь функциям
cpt срЛ случайную величину {Ф (<pj), ..., Ф (сря)} с рас-
распределением вероятностей
(Д0== №0^/" *
F)
где
(Ах, *) =
G)
3]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 315
Этим случайная величина [Ф (cpj Ф (срл)} задается для
линейно независимых функций <ylt ..., wn.
Пусть теперь функции срх (t) <ря (t) линейно зависимы.
Выберем в линейном пространстве, натянутом на эти функ-
функции, линейно независимый базис <ll>1(t), ..., tym(t). Так как
функции фх <]>т линейно независимы, то для случайной
величины {Ф (^j) Ф (<]>от)} определено распределение веро-
вероятностей Рх (А"), имеющее вид F). Поскольку функции
cpj, . . ., срл являются линейными комбинациями функций
4>1 I'm
мы определим
величины
?*( 2 М/(>
распределение вероятностей для случайной
, .... Ф(«рл)} формулой
Здесь через X обозначено множество точек х = (jc1, . . ., хт)
в m-мерном пространстве Rm, таких, что (у1г .... у„)?Х,
где yk=
Таким образом, для любых функций срх, . . ., ср„ из К мы
определили распределение вероятностей Р (X) для я-мерной
случайной величины {Ф(срх) Ф(срл")}. Можно показать,
что эти распределения вероятностей задают непрерывный ли-
линейный случайный функционал в пространстве К, т. е. что
выполняются следующие условия:
1) для любых функций срх сря, ср и чисел xt, .. ., хп
вероятность выполнения неравенств
ФОР*) О*. 1<*О
совпадает с вероятностью выполнения неравенств
ф0р*)О*. 1<&О, Ф(ср)<с;о
(условие согласованности);
2) имеет место соотношение
Ф (окр -f- §f) = аФ (ср) -(- РФ 0|>),
где равенство случайных величин понимается в смысле,
установленном в § 1;


316
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
3) случайная величина {Ф (cpt) Ф (срл)} непрерывно
зависит от функций <рх, ..., срл.
Доказательство утверждений 1) и 2) основано на следую-
следующей лемме.
Лемма. 1. Пусть {yk(t)}, 1<;&О, — система линейно
независимых функций из пространства К, a {tyk(t)},
1 ^ k ^ т,—линейно независимые функции, принадле-
принадлежащие пространству, натянутому на функции cpt, .... срл,
(8)
Обозначим через Р (X) распределение вероятностей слу-
случайной величины {Ф^), .... Ф(срл)}, через Pt(F)—рас-
Pt(F)—распределение вероятностей случайной величины {Ф(ф,), ...
.... Ф($т)). Тогда имеет место равенство
где Y — любое множество в пространстве Rm, a Y —
множество таких точек х = (хх хп) в Rn, что точка
п
у = (ух ут) с координатами у^= ^EiakJ-Xj принадле-
принадлежит Y.
.Доказательство. Равенство Р(У:)==Р1(К) можно
записать в виде
У
2ъ)п
-1
dy. (9)
а через
где через А^ обозначена матрица ||5(фг;
А, —матрица ||?(<р,, Фу-)|Га.
Чтобы доказать соотношение (9), отметим, что в силу
равенства (8) мы имеем
«=.1 /-1
и потому
где через А обозначена матрица
понированная матрица.
'. A0)
|, а через Ау — транс-
транс3]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 317
Рассмотрим сначала случай, когда т = п. В этом случае
матрица А невырождена, поскольку наборы функций {<]>А}
и {<ру} линейно независимы. Следовательно, из равенства A0)
вытекает, что
т. е. что
Поэтому
(А9х, х) = (А'А^Ах, х) — (А^Ах, Ах).
Кроме того, из равенства A1) следует, что
(И)
A2)
A3)
Подставим выражения A2) и A3) для (А?лг, х) и
в левую часть равенства (9). Мы получим, что
\П/2
/'
det A
Г
J
х, Ах)
dx.
Сделаем в правой части этого равенства замену перемен-
переменной Ах = у. Принимая во внимание, что dx = \ det A \~xdy, a
множеств Y является прообразом множества Y при преобра-
преобразовании Ах=у, мы придем к равенству (9).
Рассмотрим теперь общий случай. Любое линейное пре-
преобразование А, переводящее функции cpi Тл в функ-
функции <]>г <]>т, можно представить в виде
Ф,
1
«Ря)
где Л! и А3—невырожденные линейные преобразования,
а фх, . . ., срл — такие функции, что В (срг, еру) = 8^ C^ — символ
Кронекера). Для преобразований Ах и А3 соотношение согла-
согласованности доказано. Поэтому нам достаточно доказать равен-
равенство Pi(JO = P(JO лишь для отображений вида (<pi, .... Ф„)—>
-^(ср1 срт), где cpls . - .. Ф„ — такие функции, что
В (9t> yfi — ^ij- Ддя таких функций матрицы ||


318
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
и ЦВ(фг, фу)||, а с ними и матрицы А? и Аф являются еди-
единичными. Следовательно, подлежащее доказательству соотно-
соотношение (9) принимает в рассматриваемом случае вид
B*)
л/2
/
с, ... dxn. A4)
Поскольку множество Y состоит из всех точек х = (лгг, ..., хп),
таких, что (jq, ..., xm)?Y, то равенство A4) непосред-
непосредственно вытекает из соотношения
1 Г
лРы J
dx=\.
Таким образом, лемма 1 доказана и в случае, когда т Ф п.
Применяя лемму 1 к отображению вида
мы убеждаемся в согласованности распределений вероятно-
вероятностей для случайных величин (Ф (св^, . . ., Ф (ср„), Ф (ср)) и
(Ф (срг), .... Ф(срл)), если функции <pi Уп> Т линейно
независимы. Если же они линейно зависимы, то согласован-
согласованность легко следует из определения вероятностей для линейно
зависимых функций.
Далее, применяя лемму 1 к отображению
(«Pi. ?г) -* яср! + РТг.
мы убеждаемся, что случайный функционал Ф (ср) линеен.
Наконец, непрерывная зависимость случайной вели-
величины {Ф (cpj), . . ., Ф (срл) } от ср1> . . ., срл вытекает из того, что
билинейный функционал В(ср, ф) непрерывно зависит от ср и ф.
Из результатов п. 2 вытекает, что корреляционный функ-
функционал построенного нами процесса равен В (ср, ф).
Этим рассмотрение случая, когда функционал В(ср, ф)
строго положителен, закончено. Если же этот функционал
вырождается на некотором подпространстве в К, то доказа-
4] § 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 319
тельство проводится аналогичным образом. При этом.распре-
этом.распределение вероятностей случайной величины {ФОр^ Ф (ср„) }
может оказаться сосредоточенным на некотором подпростран-
подпространстве в К и в случае, когда функции cpt, .... срл линейно
независимы.
Мы доказали, таким образом, следующую теорему.
Теорема 2. Для того чтобы непрерывный линейный
функционал /га(ср) в пространстве К и непрерывный били-
билинейный функционал В (ср, ф) в том оке пространстве были
соответственно средним значением и корреляционным
функционалом обобщенного случайного процесса Ф, необ-
необходимо и достаточно, чтобы билинейный функционал
С(ср, ф) = 5(ср, ф) — Т«(ср)/И(ф)
был положительно определенным, Прэц°сс Ф при этом
можно выбрать гауссовским.
Из этой теоремы вытекает следствие.
Следствие. Пусть Ф — любой обобщенный случай-
случайный процесс, имеющий среднее значение т (ср) и корреля-
корреляционный функционал В (ср, ф). Тогда существует гаус-
совский обобщенный случайный процесс, имеющий то же
среднее значение и тот же корреляционный функционал,
что и процесс Ф.
В самом деле, если т (ср) — среднее значение, а 5(ср, ф) —
корреляционный функционал процесса Ф, то билинейный функ-
функционал -в(ср, ф) — /те (ср)/га (ф) положительно определен. Тогда
в силу теоремы 2 существует гауссовский обобщенный слу-
случайный процесс, для которого т (ср) является средним значе-
значением, а В (у, ф) — корреляционным функционалом.
4. Производные обобщенных гауссовских процессов.
докажем сейчас, что производная обобщенного гауссов-
ского случайного процесса сама является гауссовским слу-
случайным процессом. В самом деле, пусть распределение вероят-
вероятностей для случайной величины {Ф (срг), . . ., Ф (<рл)} задается
формулой


320
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
где А — матрица, обратная матрице В = || В (<рг, <fy) || - По опре-
определению производной случайного процесса, случайная вели-
величина {Ф'(ср1). ..., Ф'(срл)} имеет распределение вероятностей
j—Ф (ф'Л, •••. —^(^л)}' Иными словами, вероятность Рл (X)
выполнения включения {Ф'^), .... Ф' (срп)} ? X выражается
формулой
r.W-Uffif'-i™**. .A4
v '-' -х
где А'— матрица, обратная матрице В'=\\В (у'г <р')||,
а — X— множество, симметричное множеству X относительно
начала координат.
Поскольку {А'х, х) = (—А'х, —х), мы можем заменить
в формуле A5) множество —X множеством X. Мы получим,
что случайная величина {Ф'^), ..., Ф'(срл)} является гаус-
совской случайной величиной, для которой матрица вторых
моментов равна [|-?(<р^ Т/))!-
Итак, мы доказали, что производная гауссовского слу-
случайного процесса с корреляционным функционалом В (ср, ф)
является гауссовским случайным процессом с корреля-
корреляционным функционалом В (у', <]/).
5. Примеры гауссовских обобщенных случайных про-
процессов. Гауссовский случайный процесс, для которого кор-,
реляционный функционал В (ср, ф) задается формулой
В(?, «[>)==/?(*. s)rf(t)^(s)dtds, A6)
где В (t, s) — положительно определенное непрерывное ядро *),
называется непрерывным (или классическим) гауссовским слу-
случайным процессом. Для таких процессов существует распре-
распределение вероятностей Р„(Х) для любых моментов времени
tx tn. Это распределение задается формулой
VdetA Г -kv>-x.x)
= - — / е г dx,
A7)
*) Т. е. такое ядро, что
j В (t, s) <p (t) <f (s) dtds^O
для любой функции <p (t) из К.
5]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 321'
где А — матрица, обратная матрице В= \\B(tit tj)\\. Обратно,
если Ф — непрерывный случайный процесс и если для любых п
моментов времени tlt ..., tn распределение вероятностей за-
задается формулой A7), где А— \\В (tt, /y)||~\ то корреля-
корреляционный функционал для процесса Ф задается формулой A6).
Мы опускаем доказательство этих утверждений.
В качестве примера непрерывного гауссовского процесса
рассмотрим вийеровский процесс. Так называют процесс Ф(/),
для которого при 0 < t1 << t2 < ... << tn вероятность выпол-
выполнения условия (Ф {tx), .... Ф(^п)) ? X выражается интегра-
интегралом *)
'X
tn-tn_x
dxx ... dxn.
Можно показать, что винеровский случайный процесс описы-
описывает координату не имеющей инерции частицы, которая со-
совершает одномерное броуновское движение и в момент вре-
времени t ='0 находится в точке х = 0.
Вычислим корреляционную матрицу для винеровского про-
процесса. Пусть t ¦< s. Тогда мы имеем
и потому матрица А имеет вид
s 1
— t)t
1
s — t
Но это означает, что
s — t
1
s — t
s — t
t t
t s
— 1
1
*) Моментам времени t < 0 соответствует распределение вероят-
вероятностей, сосредоточенное в точке х =0.
21 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Вилеикии


322
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Так как матрица В имеет вид
\B(t, t) Bit, s)
\ В {s, t) B(s, s)
то мы получаем, что при t •< s выполняются равенства
В if, t) = t; B(t, s) = t; B(s,t) = t; B(s, s) = s.
Эти равенства можно записать одной формулой, а именно:
B(t, s) = min(f, s),
где t > 0 и s > 0. Если же t < 0 или s < 0, то В (t, s) = 0.
Найдем вид корреляционного функционала для винеров-
винеровского процесса. По формуле A6) мы имеем
со оо
В (<?, ф) = f f cp (t) ф (s) min (t, s) dt ds =
о о
oo t со s
= j* cp @ J s(]>(s)dsdt + f ty(s)J *p(О Лrf5. A8)
0 0 0 0
Положим
о о
Интегрируя по частям правую часть равенства A8), имеем
со оо
В (ср. «10 = / [Т (оо) - ? @] ^ @ <# -+- J [ф (оо) - ф (s)] scp (s) ds.
о о
Повторно интегрируя по частям первое слагаемое и прини-
принимая во внимание формулу
оо оо
J scp (s) ds = f [у (оо) — 7 (s)] rfs,
о о
получаем после простых преобразований, что
A9)
Таким образом, мы нашли корреляционный функционал
для винеровского случайного процесса.
6]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 323
Рассмотрим теперь производную винеровского процесса,
т. е. распределение вероятностей для скоростей броуновской
частицы. Можно показать, что эта производная уже не
является непрерывным случайным процессом. Однако как
обобщенный случайный процесс производная винеровского
случайного процесса существует. Корреляционный функционал
для производной винеровского процесса задается формулой
В'(<р, ф) = В(ср/, у), где В(ср, ф) определяется равенством A9).
Так как
W @1' =
= 9 (s) — ср @).
а, в силу финитности функций <p(s) и
= ф(сю) = 0, то
ф @),
cp(oo) =
Эту формулу можно записать в виде
о о
Таким образом, корреляционная функция для производ-
производной винеровского процесса является обобщенной функцией
В (f, s) = 8 (t — s). Производная винеровского процесса является
простейшим из обобщенных процессов гауссовского типа.
Она играет роль, аналогичную роли 8-функции в теории обоб-
обобщенных функций, и называется единичным обобщенным слу-
случайным, процессом.
Случай комплексного винеровского процесса рассматри-
рассматривается аналогично, причем формула для корреляционного
функционала производного процесса имеет вид В' (ср, ф) =
¦ f
dt.
6. Характеристический функционал обобщенного слу-
случайного процесса. Введем теперь понятие характеристи-
характеристического функционала обобщенного случайного процесса, обоб-
обобщающее понятие характеристической функции для распределе-
распределения вероятностей. Пусть Ф — обобщенный случайный процесс.
21*


324
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[6
Его характеристическим функционалом называют сред-
среднее значение случайной величины е1ф W. Иными словами,
характеристический функционал L (ср) задается равенством
B0)
L (ср) == Е [е1Ф W] = f eixdP (jc).
где через Р (х) обозначена вероятность неравенства Ф (ср) ^ х.
В качестве примера вычислим характеристические функ-
функционалы для гауссовских случайных процессов. Пусть корре-
корреляционный функционал гауссовского случайного процесса
равен В (ср, <]>). Тогда случайная величина Ф (ср) согласно п. 2
имеет распределение вероятностей
Поэтому
J-"
Л
dx =
~Т в
Таким образом, для гауссовского обобщенного случайного
процесса с корреляционным функционалом В (ср, ф) характе-
характеристический функционал задается формулой
г < ч
B1)
В частности, для единичного гауссовского процесса мы имеем
j5(cp, ср)— Г <p2(t)dt и потому
1 г
L(<p) = e™J (t)d\ B2)
Свойства характеристических функционалов аналогичны
свойствам характеристических функций. Именно, справедливо
следующее утверждение.
Характеристический функционал L (ср) обобщенного
случайного процесса Ф положительно определен, т. е. для
любых функций срх (t), . . ., срЛ (t) из пространства К и любых
комплексных чисел ах, . . ., ап выполняется неравенство
п п
2 S
(«Ру — Та) «у«*
6]
§ 2. МОМЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 325
В самом деле, мы имеем
±
Далее, характеристический функционал Z, (ср) непре-
непрерывен. В самом деле, если lim срй (t) = ср(/), то для любой непре-
рывной ограниченной функции / (л:) имеет место равенство
lim Cf(x)dPk(x)=ff(x)dP(x).
где Pft (л:) — распределение вероятностей случайной вели-
величины Ф (cpft), a P (jc) — распределение вероятностей случай-
случайной величины Ф(ср). Полагая f(x) = elx, мы получаем, что
lim L (cpft) = L Op).
А >схз
Тем самым непрерывность функционала Z. (ср) доказана. На-
Наконец, имеет место равенство
= J*
Указанные свойства являются не только необходимыми,
но и достаточными для того, чтобы функционал L (ср) был
характеристическим функционалом некоторого обобщенного
случайного процесса Ф. Иными словами, справедлива сле-
следующая теорема.
Теорема 3. Пусть L($) — положительно определен-
определенный непрерывный функционал в пространстве К, такой,
что L@)=l. Тогда существует обобщенный случайный
процесс Ф, такой, что А (ср) является характеристи-
характеристическим функционалом для этого процесса.
Подробное доказательство этой теоремы будет приведено
в главе IV, § 4 в связи с рассмотрением преобразования
Фурье мер в линейных топологических пространствах. Здесь
мы укажем лишь идею доказательства.


326
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пусть cpiCf) <?*(?) — функции из пространства /С.
Сопоставим им функцию ф (уи .... уп) от га переменных,
положив
п
Уп) = 2л Уи9* (О-
Простая проверка показывает, что эта функция непрерывна
и положительно определена. Следовательно, по теореме Бох-
нера функция Ц>C_Vx» •••» Уп) является преобразованием
Фурье некоторой положительной меры Р(хх хп) в га-
мерном пространстве Rn. Эту меру Р(хх, .... хп) мы и
примем за распределение вероятностей для случайной вели-
величины (Ф (срг) Ф (срл)). Можно доказать, что эти случай-
случайные величины согласованы друг с другом и что Ф (ср) ли-
линейно и непрерывно зависит от ср. Тем самым построен
обобщенный случайный процесс Ф, характеристическим
функционалом для которого является L (ср).
§ 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ
ПРОЦЕССЫ.
ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ га-го ПОРЯДКА
1. Стационарные процессы. Обобщенный случайный
процесс Ф называется стационарным, если для любых
функций срх (/)> • • •. <ря (О из пространства К и любого
числа h случайные величины {Ф [cpt (t-\-h)] Ф [срл (t-\-h)\\
и (Ф[ср1(/)], .... Ф[срл(/)]} имеют одинаковое распределение
вероятностей. Иными словами, процесс Ф стационарен, если
результат его измерения приборами, характеризующимися
функциями срх (t), . . ., срл (t), не изменится при одновремен-
одновременном сдвиге всех измерений на один и тот же отрезок вре-
времени h.
Если процесс Ф стационарен, то его среднее значе-
значение инвариантно относительно сдвигов. Таким образом,
для любой функции ср (t) из пространства К и любого
числа h справедливо равенство
да [<р (/)] = «[?# +А)].
Но единственными линейными функционалами в простран-
2] § 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 327
стве К, инвариантными относительно сдвигов, являются
функционалы вида
т (ср) = а Г ср (t) dt,
A)
где а — некоторое число *). Поэтому среднее значение ста-
стационарного обобщенного случайного процесса имеет вид A).
Так как число а однозначно задает для стационарных слу-
случайных процессов среднее значение /га(ср), мы будем это
число также называть средним значением стационарного
процесса Ф.
2. Корреляционный функционал стационарного про-
процесса. Найдем теперь общий вид корреляционного функцио-
функционала (комплексного) стационарного обобщенного случайного
процесса. Из стационарности процесса Ф вытекает, что для
любых двух функций ср(/) и ty(t) из пространства К вы-
выполняется равенство
B)
Таким образом, корреляционный функционал стационар-
стационарного обобщенного случайного процесса является положи-
положительно определенным билинейным эрмитовым функционалом,
инвариантным относительно сдвигов. Общий вид таких
*) В самом деле, по результатам из выпуска 2 (гл. II, § 4,
п. 3) функционал т имеет вид
«
оо со
м-2 /¦
@
где fk (t) — непрерывные функции. При этом на любом конечном
отрезке лишь конечное число функций /ft (t) отлично от нуля. Но
из условия стационарности следует, что функции fk (t) постоянны.
При k^>l мы имеем
dt =
(t) = О
и потому функционал nt (ср) имеет вид
т (ср) = a j cp (t) dt.


328
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[2
функционалов был найден в главе II, § 3, п. 5. В силу дока-
доказанных там результатов такие функционалы имеют вид
В (ср, ф) = (Во, ср * ф*), C)
где Во — обобщенная функция одного переменного, являю-
являющаяся преобразованием Фурье некоторой положительной
меры степенного роста.
Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Корреляционный функционал В(ср, ф)
стационарного обобщенного случайного процесса Ф имеет
вид В(ср, ф) = (Во, ср-х-ф*), где Во — преобразование Фурье
некоторой положительной меры а степенного роста.
Поскольку преобразованием Фурье функции ср ¦# ф* (л:)
является функция ср (X) ф (X), где ср (X) и ф (X) — преобразова-
преобразования Фурье функций ср(л:)и ф(л:)*), то теорему 1 можно
также сформулировать следующим образом.
Теорема 1'. Корреляционный функционал В(ср, ф)
стационарного обобщенного случайного процесса Ф
имеет вид
где о — некоторая положительная мера степенного
роста.
Мера о называется спектральной мерой процесса Ф.
Отметим, что как спектральная мера о, так и среднее значе-
значение а стационарного обобщенного случайного процесса Ф
однозначно определяются этим процессом.
Рассмотрим в качестве примера единичный случайный
процесс, т. е. производную винеровского случайного процесса.
Как было показано в п. 5 § 2, корреляционный функцио-
функционал этого процесса выражается формулой
со
я («р. 40= f?(t)W)dt =
— со
оо р оо
= /8@
— t)ds Л = (8. ср*ф*). E)
*) Напомним, что <р (X) = <р (А).
3] § 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 329
Поэтому Во @ = о (О. Но функция 8 (О является преобразо-
преобразованием Фурье лебеговой меры. Следовательно, спектраль-
спектральная мера для единичного обобщенного случайного про-
процесса {производной винеровского процесса) является ле-
лебеговой мерой, da(k) = dk.
3. Процессы со стационарными приращениями. Перей-
Перейдем теперь к изучению обобщенных случайных процессов
со стационарными приращениями я-го порядка.
Обобщенный случайный процесс Ф называется про-
процессом со стационарными приращениями п-го порядка,
если его п-я производная является стационарным обоб-
обобщенным случайным процессом. Таким образом, для обоб-
обобщенного случайного процесса со стационарными прираще-
приращениями я-го порядка случайные величины
имеют одинаковые распределения вероятностей *). В силу
определения производной обобщенного случайного процесса,
это означает, что случайные величины
{Ф [?(«> (t + h)], ..., Ф [<р(»> (t -f- h)]}
имеют одинаковое распределение вероятностей.
Найдем теперь общий вид среднего значения /и(ср) для
обобщенного случайного процесса Ф со стационарными при-
приращениями п-го порядка. Обозначим через /геЛ(ср) среднее
значение процесса Ф'л)(ср) —(—1)" Ф (ср(га>). Из равенства
т„(<р)=
=-(— 1)" ЕФ[?(">] = (—
") Можно показать, что это определение эквивалентно следую-
следующему: процесс Д"гФ является при любом h стационарным случай-
случайным процессом. Через ДдФ мы обозначаем процесс, определяемый
равенством
ДФ() Ф[(* + Л) @]
а через Д^Ф — процесс А^ [Д"-1ф]. Это определение' и оправдывает
название «процесс со стационарными приращениями п-го порядка».


330
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
вытекает, что обобщенная функция тп (ср) является произ-
производной га-го порядка от обобщенной функции от(ср).
Поскольку процесс Ф(") стационарен, то его среднее
значение тп (ср) имеет, согласно п. 1, вид
тп
dt,
где с — некоторое число. Таким образом, среднее значе
ние от(ср) обобщенного случайного процесса Ф со стацио-
стационарными приращениями л-го порядка удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
/«(«)<= а,
где с—некоторая постоянная. Отсюда следует, что обоб-
обобщенная функция т (ср) имеет вид
т(<р)=
F)
Рассмотрим теперь корреляционный функционал #(ср, ф)
обобщенного случайного процесса Ф со стационарными
приращениями п-го порядка.
Этот корреляционный функционал связан с корреляцион-
корреляционным функционалом Ва (ср, ф) процесса Ф(") соотношением
В самом деле,
В (ср(л>, ф(")) = Е [Ф (cpW) Ф (ф(л))] =
= Е [Ф<»> (ср) Ф(»)(ф)] = Вп (ср, ф),
чем равенство G) и доказано.
Так как процесс ф(") является по определению стацио-
стационарным обобщенным случайным процессом, то его корреля-
корреляционный функционал Бя(ср, ф) инвариантен относительно
сдвигов. В главе II (§ 4, п. 5) мы выяснили структуру эрми-
эрмитовых функционалов ?(ср, ф), для которых В (<р(я), фС)) яв-
является положительно определенным инвариантным относи-
относительно сдвигов эрмитовым функционалом. Применяя полу-
полученные там результаты, мы убеждаемся в справедливости
следующей теоремы.
3] § 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Теорема 2. Корреляционный функционал В(ср, ф)
обобщенного случайного процесса со стационарными
приращениями п-го порядка имеет вид
Я0р, <!>)= /?'
"'1
—а (X)
X
X
L а /Го Jl J
л- 1 я-1
/=0
=>0 Й=0
Здесь ср(Х) и ф(Х)-—преобразования Фурье функций ср(х)
и ф(х), о — положительная мера степенного роста, для
которой
С |X|2"da(X)<4-°°>
0<Х<1
а(Х) — такая целая аналитическая функция из пространства Z,
что а(Х)— 1 имеет при \ = 0 нуль я-го порядка, af и ^ —
моменты функций ср (t) и ф (t), т. е.
<х, = &,9); ру. = (^, Ф),
игл — положительное число, c/ft, Q-*CJ, k^.n—1—неко-
k^.n—1—некоторые числа, L, — линейные функционалы в пространстве К
и Qo — дополнение точки X = 0.
Моменты а.] и р;- в формуле (8) можно заменить выраже-
выражениями i~-f<fU)(Q) и i-i$U) @). В самом деле, дифференцируя/
раз по X равенство
? J eiXx dx
= J
@). Точно
и полагая Х=^0, мы убеждаемся, что ay- = i~
так же доказывается равенство Py = i~^^(O).
Особенно простой вид принимает корреляционный функ-
функционал В (ср, ф), если все моменты функций ср (х) и ф (х) до
м—1-го порядка включительно равны нулю. Именно, спра-
справедлива следующая теорема.


33-2
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
Теорема 2'. Если Б(ср, ф)— корреляционный функ-
функционал обобщенного случайного процесса со стационар-
стационарными приращениями п-го порядка и моменты функ-
функций ср(х) и ф (л;) до п—1-го порядка включительно
равны нулю, то
В (ср, ф) = I ср (X) ф (X) da (X) + а2па^п,
где ср(Х), ф(Х), о и а2п имеют тот же смысл, что и
в теореме 2.
Пусть Ф — обобщенный случайный процесс со стацио-
стационарными приращениями л-ro порядка, а с0, . . ., сп_1 — произ-
произвольные случайные величины, такие, что Е (cck) существует
при всех j и k. Тогда процесс Ф', задаваемый формулой
Л-1
Ф1 (ср) = Ф
ckak,
«* = /<р@'л
dt,
также является процессом со стационарными приращениями
/г-ro порядка, поскольку ФA/г) = ф(«) является стационарным
процессом. Корреляционный функционал Bt(<p, ф) процесса Ф
выражается через корреляционный функционал Б(ср, ф) про-
процесса Ф формулой
Л-1
Я-1
л-1
где ал = J <р@** dt, $k = f ty(t)tk dt, через Z.y (ср) обозначен
линейный функционал Е [су-Ф(ср)], а через ajk — числа Е(с^сг).
Таким образом, наличие в формуле (8) слагаемых вида
ajLjty), fyjLj (ф), ajka.^k связано с тем, что при добавлении
к процессу Ф со стационарными приращениями /г-ro порядка
многочлена степени п — 1 со случайными коэффициентами
мы получаем процесс со стационарными приращениями
/г-ro порядка.
Отметим, что при построении развитой в этом параграфе
теории мы использовали лишь то обстоятельство, что ни
4] § 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 333
средние значения, ни корреляционный функционал процесса Ф
(соответственно процесса ф(")) не меняется при сдвиге
функций ср (х) и ф (х). Поэтому все доказанные нами резуль-
результаты применимы к процессам, стационарным (соответственно,
обладающим стационарными приращениями /г-го порядка)
в широком смысле. Обобщенный случайный процесс Ф
называется стационарным в широком смысле слова, если
среднее значение т (ср) и корреляционный функционал В (ср, ф)
этого процесса не меняются при параллельном переносе.
Аналогично определяются процессы, имеющие в широком
смысле стационарные приращения /г-го порядка.
Поскольку гауссовские процессы однозначно опреде-
определяются заданием среднего значения /га(ср) и корреляционного
функционала В(ср, ф), для таких процессов стационарность
в широком смысле совпадает со стационарностью в обычном
смысле, а наличие стационарных приращений /г-го порядка
в широком смысле совпадает с обычной стационарностью
приращений /г-го порядка.
4. Преобразование Фурье стационарных обобщенных
случайных процессов. Формула D) из п. 2 дает выраже-
выражение корреляционного функционала стационарного обобщенного
случайного процесса в виде преобразования Фурье некото-
некоторой положительной меры. Это представление корреляцион-
корреляционного функционала наводит на мысль построить преобразова-
преобразование Фурье самогб стационарного обобщенного процесса Ф.
Чтобы уточнить эту идею, введем понятие случайной меры.
Пусть каждому борелевскому множеству Д вещественной
оси сопоставлена случайная величина Z(A). Мы будем гово-
говорить, что Z (Д) является случайной мерой, если:
1) Z (Д) является вполне аддитивной случайной функ-
функцией множества, т. е. если для любого разложения
оо
Д = || Дя множества Д в счетную сумму непересекающихся
множеств Дл выполняется, в смысле сходимости в среднем *),
со
равенство Z (Д) = 2 ^ (^л)»
*) Случайные величины ?„ сходятся в среднем к ?, если
[ (S/i — SJ ] ->0 при п ->оо.


334
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[4
2) существует положительная мера а(Д), такая, что для
любых множеств At и Д2
Е (Z (Д,)^(Д5|) = о (Дх П Да): (9)
3) среднее значение случайной величины Z (Д) для любого
множества Д равно нулю.
Заметим, что в силу равенства (9) для любых двух
непересекающихся множеств At и Д2 мы имеем
Иными словами, случайные величины Z(At) и Z(A2), соот-
соответствующие непересекающимся множествам Дх и Д2,
некоррелированы.
Более естественным было бы рассмотрение мер, для которых
случайные величины Z(At) и Z (Д2), соответствующие непересекаю-
непересекающимся множествам Дх и Д2, не только некоррелированы, но и не-
независимы. Если все величины Z (Д) являются гауссовскими слу-
случайными величинами, то из некоррелированности случайных
величин Z (&г) и Z (Д2) вытекает их независимость *). Поэтому
*) В самом деле, пусть ? и -п — вещественные гауссовские вели-
величины, такие, что ?¦(?) = ? (¦»]) = 0. Тогда распределение вероятностей
двурой й йй величины С F )
, такие, что ?(?) = ? (»]) = 0. Тогда распределение вероятност
двумерной гауссовской случайной величины С = F, ¦»]) имеет вид
t _ (detA)'^
где через Р (а,
6 <; a, 7) <; b, a A =
моментов, т. е. матрице
//¦
— со —oo
A0)
обозначена вероятность выполнения неравенств
Л12
Л22
— матрица, обратная матрице вторых
Если Е (?-ij) = I
принимает вид
Т° *12 =
РаспРе*еление вероятностей A0)
*)
где Р$ (д) — распределение вероятностей случайной величины g,
а P-i) (^) — распределение вероятностей случайной величины tj.
Поэтому из равенства Е (?т|) = 0 вытекает равенство Р^ (а, Ь) ==
= Р^ {а) Р^ (Ь), т. е. независимость случайных величин 6 и •»}.
Случаи комплексных гауссовских случайных величин рассма-
рассматривается аналогичным образом.
4] § 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 335
на наш взгляд, естественно рассматривать случайные меры лишь
в случае, когда все случайные величины Z(A) распределены по
гауссовскому закону. Однако, в теории вероятностей принято рас-
рассматривать случайные меры, не налагая на них требования, что
Z (Д) — гауссовские случайные величины.
Введем теперь понятие преобразования Фурье случайной
меры. Так называют обобщенный случайный процесс, зада-
задаваемый равенством *)
Ф =
из пространства К
Это равенство означает, что функции
сопоставляется случайная величина
(?) = / <Р @
= J ? (X) dZ(X). (И)
Нетрудно показать, что если мера а (Д) = Е [ | Z (Д) |2] имеет
степенной рост, то равенство A1) задает непрерывный линей-
линейный случайный функционал в пространстве К, т. е. обоб-
обобщенный случайный процесс.
Покажем, что этот процесс стационарен в широком
смысле. В самом деле, так как среднее значение всех слу-
случайных величин Z (Д) равно нулю, то и для любой функ-
функции ср(^) из К мы имеем Е[Ф(<р)] = О. Следовательно,
Далее,
В(ср, ф) = Е[Ф(?)Ф(Ф)] =
J
= Е
= J J ?
В силу равенства (9) мы можем переписать эту формулу
в виде
?(?. 40 = / i (X) f(X) da (X).
*) Интеграл от функции ?(Х) по мере Z(X) понимается как
предел соответствующих интегральных сумм


336
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[4
При сдвиге функций ср (t) и §(t) на А их преобразования
Фурье умножаются на e~lxh и потому
В [ср (t + h), ф (/ + h)\ = J e-т-'^ (X),
= /?,
*ф (X) rfa (X) =
) = в
Тем самым доказано, что процесс Ф, определяемый равен-
равенством A1), стационарен в широком смысле.
Мы докажем сейчас справедливость обратного утверждения.
Теорема 3. Пусть Ф — стационарный в широком
смысле обобщенный случайный процесс, такой, что все
величины Е [ | Ф (<р) |2] конечны, и а(Д)— соответствующая
ему спектральная мера. Тогда существует такая слу-
случайная мера Z (Д), что
1 = J* e'A dZ (X),
причем
Да).
A2)
A3)
Доказательство. Введем в пространство К скаляр-
скалярное произведение при помощи положительно определенного
функционала В (ср, ф) — корреляционного функционала про-
процесса Ф, т: е. положим
(ср, ф) = В (ср, ф).
A4)
Далее рассмотрим линейног пространство St, состоящее
из всех случайных величин Ф (со) (это пространство линейно
в силу линейности случайного функционала Ф). В простран-
пространстве $? также введем скалярное произведение, положив
(Ф (ср), Ф (ф)) = В (ср, ф) =н Е [Ф (?) Ф(ф)]. A5)
Так как (Ф(ср), Ф(ф)) = 5(ср, ф) = (ср/ф), то отображение
ср—> Ф (ср) является изометрическим отображением простран-
пространства К на пространство St. Это отображение можно продол-
продолжить на гильбертовы пространства Н и ф, возникающие
при пополнении пространств К и $ относительно скалярных
произведений A4) и A5) [если билинейный функционал В (ср, ф)
вырождается, то предварительно надо взять фактор-простран-
фактор-пространство по подпространствам в К и $, на которых вырождается
4] § 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 337
Мы получили, таким образом, изометрическое соответ-
соответствие между пространствами Н и ф.
Так как процесс Ф стационарен в широком смысле, то
для любых двух функций ср (t) и ф (t) из К выполняется
равенство
(ср, ф) = В (ср, ф) == J ^ (X) ф (X) da (к),
где а(Д) — спектральная мера процесса Ф. Поэтому соответ-
соответствие ср(?)->ср(Х), ср?/С можно продолжить до изометри-
изометрического соответствия между пространством Н и простран-
пространством La функций ср (X), имеющих интегрируемый квадрат
модуля относительно меры а.
Пространству L.I принадлежат, в частности, все характе-
характеристические функции уА (к) ограниченных борелевских мно-
множеств Д. Обозначим через Z(Д) элемент пространства ф,
со
соответствующий функции уд (X). Если Д = (J А„ — разложе-
П = Х
ние множества Д в счетную сумму непересекающихся мно-
оо
жеств, то, очевидно, Хд(Х) —.2 Хд (}•)• Поскольку отображе-
/2 = 1
ние пространства L.I на пространство ф линейно, отсюда сле-
со
дует, что 2(Д) = 2 Z (Дя), в смысле сходимости в среднем.
Иными словами, мы доказали, что Z (Д) является случайной
мерой. В силу изометричности отображения i, на |) и равен-
равен(х) = ХдПд(х) мы имеем
ства
Е (Z (Дх) г(Д7)) = (Z (Д,). Z (Да) ) -
д, л дэ
=«(Д» п Д2).
Тем самым равенство A3) доказано.
Докажем теперь равенство A2), т. е. покажем, что для
любой функции ср (t) из пространства К мы имеем
22 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


338
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[1
В самом деле, случайная величина Ф (ср) из St соответствует
функции ср (X) из Z-o. Но функцию ср (X) можно приблизить
суммами вида
где \k — точка из множества t\k, а значит, случайная вели-
величина Ф (ср) является пределом сумм вида
Но это и означает, что
Теорема 3 доказана.
Мы получили, таким образом, изображение стационарного
в широком смысле процесса Ф в виде преобразования Фурье
случайной меры Z(A). По изложенным выше соображениям
это изображение может считаться полноценным лишь для
гауссовских случайных процессов — для этих процессов слу-
случайные величины, соответствующие непересекающимся мно-
множествам \ и Д2, независимы между собой.
Аналогичное разложение можно получить и для процес-
процессов со стационарными приращениями и-го порядка, но мы
не будем останавливаться на этом вопросе.
§ 4. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕЗАВИСИМЫМИ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ
1. Процессы с независимыми значениями. В рамках
обычной теории случайных процессов невозможно ввести
процессы с непрерывно изменяющимся временем так, чтобы
значения этих процессов в различных точках были незави-
независимыми случайными величинами. Применение теории обобщен-
обобщенных случайных процессов позволяет рассматривать и такие
процессы. При этом устанавливаются связи между процессами
с независимыми в каждой точке значениями и безгранично
делимыми случайными величинами.
Мы будем говорить, что обобщенный случайный про-
процесс имеет независимые в каждой точке значения, если
1] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЁЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 339
случайные величины Ф (cpt) и Ф (<р2) *) независимы между
собой при условии, что cpt (t) cp2 (t) — 0. Физически это озна-
означает, что результаты измерения случайной величины Ф в не-
непересекающиеся промежутки времени не зависят друг от
друга. Примером процесса с независимыми в каждой точке
значениями является, например, скорость частицы в броу-
броуновском движении.
Удобнее всего вести исследование процессов с незави-
независимыми в каждой точке значениями при помощи характе-
характеристических функционалов. Мы дадим условия того, чтобы
некоторый функционал был характеристическим функционалом
процесса с независимыми в каждой точке значениями.
Теорема 1. Для того чтобы непрерывный функцио-
функционал L (ср) ф 0 был характеристическим функционалом
обобщенного случайного процесса с независимыми в каждой
точке значениями, необходимо и достаточно, чтобы он
был положительно определенным функционалом и чтобы
для любых функций cpt (t) и ср2 (t), произведение которых
равно нулю, выполнялось равенство
?(<Pl+<P8) = ?(<Pl)?(<p2)- (О
Доказательство. Пусть функционал L(ср) является
характеристическим функционалом обобщенного случайного
процесса Ф с независимыми в каждой точке значениями.
Как было показано в п. 6 § 2, он непрерывен и положи-
положительно определен.
Возьмем две функции cpt (t) и ср2 (t) из пространства К.
Очевидно, что
L (cpt -f- «Ы = Е [е1Ф (<Pl +<Ы1 = Е [е1Ф W* (**>].
Если функции срх (t) и ср2(?) таковы, что <Pi(t)y2(t) = O, то
случайные величины Ф (cpt) и Ф (ср2) независимы по определе-
определению процесса с независимыми значениями. Независимы тогда
и случайные величины е'фЫ и е1ф(*>). Поскольку среднее
значение независимых случайных величин равно произведению
их средних значений, то при cpt (t) cp2 (t) = 0 выполняется
равенство
L (?! + ср2) = Е (еш Щ Е [е1Ф Щ = L (?1) L (ср2). .
*) Мы рассматриваем в этом параграфе лишь вещественные
функции <f (t).
22*


338
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[1
В самом деле, случайная величина Ф (ср). из St соответствует
функции ср(Х) из L.I. Но функцию ср(Х) можно приблизить
суммами вида
где Xk — точка из множества ДА> а значит, случайная вели-
величина Ф (ср) является пределом сумм вида
Но это и означает, что
Теорема 3 доказана.
Мы получили, таким образом, изображение стационарного
в широком смысле процесса Ф в виде преобразования Фурье
случайной меры 2(Д). По изложенным выше соображениям
это изображение может считаться полноценным лишь для
гауссовских случайных процессов — для этих процессов слу-
случайные величины, соответствующие непересекающимся мно-
множествам At и Д2, независимы между собой.
Аналогичное разложение можно получить и для процес-
процессов со стационарными приращениями тг-го порядка, но мы
не будем останавливаться на этом вопросе.
§ 4. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕЗАВИСИМЫМИ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ
1. Процессы с независимыми значениями. В рамках
обычной теории случайных процессов невозможно ввести
процессы с непрерывно изменяющимся временем так, чтобы
значения этих процессов в различных точках были незави-
независимыми случайными величинами. Применение теории обобщен-
обобщенных случайных процессов позволяет рассматривать и такие
процессы. При этом устанавливаются связи между процессами
с независимыми в каждой точке значениями и безгранично
делимыми случайными величинами.
Мы будем говорить, что обобщенный случайный про-
процесс имеет независимые в каждой точке значения, если
1] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЁЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 339
случайные величины Ф (cpt) и Ф (ср2) *) независимы между
собой при условии, что cpt (t) cp2 (t) = 0. Физически это озна-
означает, что результаты измерения случайной величины Ф в не-
непересекающиеся промежутки времени не зависят друг от
друга. Примером процесса с независимыми в каждой точке
значениями является, например, скорость частицы в броу-
броуновском движении.
Удобнее всего вести исследование процессов с незави-
независимыми в каждой точке значениями при помощи характе-
характеристических функционалов. Мы дадим условия того, чтобы
некоторый функционал был характеристическим функционалом
процесса с независимыми в каждой точке значениями.
Теорема 1. Для того чтобы непрерывный функцио-
функционал L (ср) ф 0 был характеристическим функционалом
обобщенного случайного процесса с независимыми в каждой
точке значениями, необходимо и достаточно, чтобы он
был положительно определенным функционалом и чтобы
для любых функций cpt (/) и ср2 (t), произведение которых
равно нулю, выполнялось равенство
?(<pi-b<p2) = ?(<PiK(<p2)- (О
Доказательство. Пусть функционал L (ср) является
характеристическим функционалом обобщенного случайного
процесса Ф с независимыми в каждой точке значениями.
Как было показано в п. 6 § 2, он непрерывен и положи-
положительно определен.
Возьмем две функции cpt (t) и ср2 (t) из пространства К.
Очевидно, что
р2) = Е [е1Фto +Щ = Е [е1]
Если функции cpt (t) и ср2(?) таковы, что <?t (t) cp2 (t) = 0, то
случайные величины Ф (cpt) и Ф (ср2) независимы по определе-
определению процесса с независимыми значениями. Независимы тогда
и случайные величины е1Ф^ и е'фЫ. Поскольку среднее
значение независимых случайных величин равно произведению
их средних значений, то при срх (t) cp2 (t) ~ 0 выполняется
равенство
L (<Pi + <Рг) = Е (е1ф ^)] Е \е1Ф Щ = L (?,) L (ср2). .
*) Мы рассматриваем в этом параграфе лишь вещественные
функции <f (t).
22*


340
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ •
[1
Необходимость условий теоремы доказана. Перейдем к до-
доказательству достаточности этих условий. Полагая в равен-
равенстве A) ср2(?) —0 и выбирая cpj так, чтобы L (cpt) Ф О, мы
получим, что L@) = 1. Далее, поскольку функционал L (ср)
непрерывен и положительно определен, то по теореме 3 из § 2
он является характеристическим функционалом некоторого
обобщенного случайного процесса Ф. Нам надо лишь пока-
показать, что значения процесса Ф в каждой точке независимы
друг от друга, т. е. что случайные величины Ф (срг) и Ф (ср2)
независимы, если cpt (t) cp2 (t) = 0.
Заметим для этого, что из равенства срх (t) cp2 (t) = 0 выте-
вытекает по условию теоремы выполнение равенства
L (stp, + scp2) = L (scpj L (scp2)
B)
для всех значений s. Характеристическая функция случайной
величины Ф (ср) равна Z.(scp). Поэтому
B')
где через fx (s), /2 (s), / (s) обозначены соответственно характе-
характеристические функции случайных величин Ф (срх), Ф (ср2) и
Ф (<Pi + <Ра) = ф Ы + ф Ы-
Но из выполнения равенства B') вытекает независимость
случайных величин Ф (cpt) и Ф (ср2). Таким образом, случайные
величины Ф (cpt) и Ф (ср2) независимы, если ср4 (t) cp2 (t) = 0.
Примером функционала L (ср), удовлетворяющего равен-
равенству A), является любой функционал вида
М (<?)=¦¦ f fl<? (t), ср' (t),
C)
(t), t] dt,
где f(x0, ..., xn, t) непрерывная функция от п-\-2 пере-
переменных, такая, что /@, ..., О, f) —0. В самом деле, если
?i@?2@ = 0> то интеграл, выражающий М (cpt -j-cp2), является
суммой двух интегралов, распространенных на множества ffl.t
и Ш2, на которых функции сри (t) и ср2 (t) соответственно
отличны от нуля (интеграл по остальной части оси равен
нулю. в силу условия /@, ..., О, t) = 0). Но на множе-
2] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 341
стве Ttt сумма <Pi (О+ТгОО совпадает с (pl(t), а на множе-
множестве Ш2 эта сумма совпадает с ср2(^); поэтому
м (с?, -+- ср2) = f/ [cPl (о, ср; (о, .... (#) (о, t] dt -\-
(О. <Р2@ ^'@. /]Л.
2R,
Поскольку по определению множеств Ш1 и 9№2 правая
часть равенства не изменится, если заменить интегралы по
этим множествам интегралами по всей вещественной оси, то
получаем, что *)
и, следовательно,
) == L
Тем самым наше утверждение доказано. Число п в фор-
формуле C) называется порядком функционала L (ср).
2. Условия положительной определенности функцио-
{fl«?(t)\dt _
нала е^ . Выясним теперь, какие условия на функ-
функцию f (хх, . . ., хл, t) накладывает требование положительной
определенности функционала /.(ер), заданного, формулой C).
Рассмотрим сначала случай, когда функционал L задается
формулой
Необходимые и достаточные условия положительной опреде-
определенности такого функционала даются следующей теоремой.
Теорема 2. Для того чтобы функционал ?(ср),
задаваемый формулой D), был положительно определен,
необходимо а достаточно, чтобы функция е^Я*) была
положительно определена при любых положительных
значениях параметра s.
Доказательство. Докажем сначала необходимость
условия теоремы. Если функционал Z. (ср) задается формулой D),
то его можно распространить на все кусочно-непрерывные
*) Функционал Af(cp), такой, что М (ух -\- <р2) = -M('-Pi) + М (ср2),
если tfi (t) Чг (t) = 0, называется локальным. Было бы интересно
найти общий вид локальных функционалов.


342
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
финитные функции, причем и после этого распространения
будет выполняться условие
/S/(^-?*)SyTA>0 E)
положительной определенности. Обозначим через <fy (?) функ-
функцию, равную х} при 0^?<^s и равную нулю вне этого
отрезка. Тогда для функций сру(?), 1 ^ j^.m, неравен-
неравенство E) примет вид
Этим и доказана положительная определенность функции
Докажем теперь, что условие теоремы достаточно, т. е.
что из положительной определенности функции е*/(*) при
всех s > 0 вытекает положительная определенность функ-
функционала
Иными словами, докажем, что если функция в*/(-*) поло-
положительно определена при всех s >• 0, то для любых функ-
функций <Pi(O> •••> Ч»п (О из пространства К матрица Л==||су||
с элементами
оо
J* f{fi(t)-?j{t)]dt
ач = е~°°
положительно определена. Обозначим через [—Ь, Ъ\ отрезок,
вне которого все функции срД^), 1^г<^/и, обращаются
в нуль. Тогда элементы матрицы А можно представить в сле-
следующем виде:
6
с,-,- = е' '
,-ь
Поскольку f (х) — непрерывная функция, то
и
где
2] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 343
Поэтому нам достаточно доказать положительную определен-
определенность матрицы Ak с элементами
atJ=e
я—* =
Но матрица, элементы которой равны произведениям соот-
соответствующих элементов положительно определенных матриц
положительно определена (теорема Шура, доказательство см'
ниже). Поэтому положительная определенность матрицы А
(а тем самым и матрицы А) вытекает из положительной
определенности матриц Akq с элементами
Положительная же определенность матрицы Akq вытекает из того,
что по условию функция ek положительно определена
Тем самым наша теорема доказана.
^ Приведем для полноты доказательство упомянутой теоремы
Теорема Если эрмитовы матрицы. \\а„\\ и \\bti\\ поло-
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая
via.
Лемма 1. Каждая положительно определенная матрица
" может быть представлена в виде суммы матриц вида
Wa.ja.jW, т. е.
т
ay=S«^f. F)
Доказательство. Любая положительно определенная эрми-
л
това форма 2 aijxixj может быть приведена к сумме квадратов,
т. е. записана в виде
где Jf^ — линейные комбинации переменных
(8)


344 ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [2
Подставляя в равенство G) вместо х'р выражения (8) и сравнивая
коэффициенты при xiXj, мы и получаем, что at * = 2 aif^a<<p-
p = i
Справедливо и обратное утверждение: любая матрица, элементы
которой имеют вид F), положительно определена. В самом деле,
для любых ii ?„ выполняется неравенство
л
2
а потому матрица || a/aj 1] положительно определена. Но тогда поло-
положительно определена и сумма матриц такого вида.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Пусть матрицы
||яу|| и ||6^|| положительно определены. Тогда по лемме их эле-
элементы можно представить в следующем виде;
Отсюда вытекает, что матрица
с элементами вида
является суммой матриц
и потому положительно определена.
Из теорем 1 и 2 вытекает следующее утверждение.
Теорема 3. Для того чтобы функционал
определяемый формулой
f
L (ср),
где f (x)— непрерывная функция, такая, что /@) = 0,
был характеристическим функционалом некоторого
обобщенного случайного процесса с независимыми в каждой
точке значениями, необходимо а достаточно, чтобы
функция es?(x) была положительно определена при всех
положительных значениях s,
3] § 4.. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 345
Из свойств положительно определенных функций вытекает,
что в этом случае для любого х выполняется неравенство
3. Процессы с независимыми значениями и условно
положительно определенные функции. Для окончательного
описания характеристических функционалов обобщенных слу-
случайных процессов с независимыми в каждой точке значе-
значениями, задаваемых формулой вида D), нам осталось описать
функции f (х), такие, что функция ?*/(*) положительно опре-
определена при всех положительных значениях s. Отметим сна-
сначала, что если функция e^/W положительно определена,
рд,
a s > 0, то **/(-¦*) = esfW = ^/W и потому / (— х) = f (x).
Отсюда вытекает, что для любых вещественных чисел хх, . ..
..., хп и комплексных чисел i^, ..., \п выражение
принимает вещественные значения.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 4. Для того чтобы функция esf№ была
положительно определена при всех положительных зна-
значениях s, необходимо и достаточно, чтобы неравенство
2 21 /
xk) щ > о
(9)
х
выполнялось при всех вещественных значениях хх, .. х„
и любых комплексных значениях ?lf ..., %п, таких, что
1
Доказательство. Докажем сначала, что выполнение
п
неравенства (9) при условии 2 ?& —0 необходимо для поло-
жительной определенности функции gJ/W при всех s^>0.
Если функция е*/(-*) положительно определена при всех s^-0,
то для любых чисел \{, . . ., \п и любых вещественных чисел


346
ГЛ. HI. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
1( .... хп выполняется неравенство
2 2
J
о.
Разлагая
2 2
по формуле Тейлора, получаем, что
2 5* V * 2 2 / (*i - х,)
fe=i /=i/=i
2
где Qit — некоторые числа, лежащие между 0 и 1.
Предположим теперь, что 2^ = 0» н0 неравенство (9)
не выполнено, т. е. 22/(х/ — xj)t,fij<iQ. Тогда, выбирая
достаточно малое 5, мы получим из формулы A0), что
п п _
2 2/^Цо
вопреки предположению о положительной определенности
Покажем теперь достаточность условия (9). Мы докажем
сначала, что если условие (9) выполнено, то для любых
фиксированных значений х1 хп можно найти такое
число s0, что при 0 ^ s < s0 матрица с элементами
положительно определена. Пусть
когда 2 %i== ^- Обозначим через А наименьшее значение,
t=i
принимаемое эрмитовой формой
2 2
i-ly-l
3] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 347
на гиперплоскости 2 ^ = 1 • Такое значение существует, так
как форма (И) имеет в силу неравенства (9) минимум на
п
гиперплоскости 2 ^ = °. а тогда она достигает минимума
и на любой параллельной ей гиперплоскости.
Легко видеть, что для любых значений ?lf . ... %п в этом
случае выполняется неравенство
Нам нужно вывести положительную определенность ма-
матрицы с элементами 1 -f- sf (xt — xj) при достаточно малых 5,
т. е. проверить положительную определенность формы
п
Но в силу неравенства A2) мы имеем.
.2и f (xt хЛcfi. =
Поэтому, если А > О, то неравенство
п
2*!
п
г
+4
п
+ 5(Л
+ D
2
+ .
п
2е*
п
2аг
- I,
выполняется при всех 5 > 0. Если же Л < 0, то это неравен-
неравенство выполняется при s < j . По теореме Шура отсюда
[s У1 •
1 Н / (хг — хЛ также
положительно определена при любом s и достаточно


348
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
большом п. Значит, положительно определен и предел этой
матрицы, т. е. матрица с элементами
= lim
л->-оо
Таким образом, матрица с элементами esf(xi~xj) положи-
положительно определена. Но это и означает положительную опре-
определенность функции ?*/(¦*). Теорема 4 доказана.
Перейдем теперь к разысканию всех непрерывных функ-
функций / (х), таких, что
A3)
при условии 2^; = 0. Легко показать, переходя к интеграль-
i = i
ным суммам, что все такие функции удовлетворяют нера-
неравенству (/, ср-х-ср*)^О, если Г ср {х) dx = 0.
Но I ф' (х) dx = 0 для всех функций ф (¦*) из простран-
ства К. Поэтому для всех функций / (х), удовлетворяющих
я
неравенству A3), при 2^ = 0, выполняется неравенство
i
Справедливо и обратное утверждение.
Мы назвали в главе I, § 4, п. 1 такие функции условно
положительно определенными функциями первого порядка.
Мы видим, таким образом, что функция f (x), для кото-
которой удовлетворяется неравенство A3) при условии
п
2^( —0. является условно положительно определенной
функцией первого порядка.
Вид таких функций был установлен нами в главе II, § 4,
п. 4. Используя этот результат, мы получаем следующую
теорему.
4] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 349
Теорема 5. Для того чтобы функционал L(y), зада-
задаваемый формулой
являлся характеристическим функционалом обобщен-
обобщенного случайного процесса Ф с независимыми значениями
в каждой точке, необходимо и достаточно, чтобы не-
непрерывная функция f (x) имела вид
f (х) = f le**-a (I) A -+- Ox)] do (X) + a^ia.x-^ . A4)
Здесь о (k) — положительная мера, такая, что Г
I.
о<
I* l>i
Г X2 da (k) < оо, а2 — положительное число, а (к)
< i хкл
функция из пространства Z, такая, что а (к)— 1 имеет
прик = 0 нуль третьего порядка, и ао, аг — любые числа.
При этом должно выполняться соотношение
f [
I—
f
j X 1 >0
так как необходимо, чтобы имело место равенство /@) = 0.
Отметим, что среди функций, представимых формулой A4),
имеются функции вида
f{x) = c(eihx— 1).
Они возникают, когда мера о(Х) сосредоточена в точке k — h
при соответствующем подборе функции а (к) и постоянных
а0, аг, а2. В этом случае характеристический функционал L (ср)
определяется следующей формулой:
L (ср) = ехр [с j [ехр г/гср (t) — 1 ] dtj . A5)
Обобщенные случайные процессы с такими характеристи-
характеристическими функционалами называются пуассоновскими случай-
случайными процессами.
4. Связь процессов с независимыми в каждой точке
значениями и безгранично делимых законой распределе-
распределения. Из теоремы 2 вытекает связь между процессами с
независимыми значениями и безгранично делимыми случайными


350
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
14
величинами. Случайная величина ? называется безгранично
делимой, если при любом значении п ее можно представить
в виде
5 = ^ + ... +5„.
где ^ %п — независимые случайные величины с одинако-
одинаковыми законами распределения. Пусть jr(x) — характеристи-
характеристическая функция безгранично делимой случайной величины.
Поскольку при сложении независимых случайных величин
их характеристические функции перемножаются, функцию у_(х)
при любом натуральном значении п можно представить в виде
/ \ г / м/Х /1 ^?\
*/ (JCI ^^^ I"/ 1_Л7)| I 1О)
/\, \ s L А.Я v /J ' v /
где уп {х) — характеристическая функция случайной вели-
величины %,„.
Имеет место следующая теорема, устанавливающая упо-
упомянутую выше связь между процессами с независимыми зна-
значениями и безгранично делимыми случайными величинами.
Теорема 6. Для того чтобы функционал, опреде-
определенный формулой
//[? @1
dt
где f (x)— непрерывная функция, такая, что /@) = 0,
был характеристическим функционалом некоторого
обобщенного случайного процесса с независимыми в каждой
точке значениями, необходимо и достаточно, чтобы
функция efW была характеристической функцией неко-
некоторой безгранично делимой случайной величины.
Доказательство. Пусть функционал L (<р) является
характеристическим функционалом процесса с независимыми
—¦¦ / (•*)
значениями. Тогда в силу теоремы 2 функция е" положи-
положительно определена при любом я и потому по теореме Бохнера
является характеристической функцией некоторой случайной
величины т) (т. е. преобразованием Фурье некоторой поло-
положительной нормированной меры). Так как
то
является характеристической функцией случайной
5] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 351
величины
5 = ^+ ... +5Я,
где все случайные величины %и . . ., %п независимы и рас-
распределены по тому же закону, что и величина т). Отсюда
следует, что 5 является безгранично делимой случайной ве-
величиной.
Обратно, пусть «/(¦*) является характеристической функцией
безгранично делимой случайной величины. Тогда при любом
п функция еп является характеристической функцией не-
некоторой случайной величины и потому положительно опре-
делена. Но тогда при любых т и п функция е " * также
положительно определена как произведение т положительно
определенных функций. Наконец, функция esfW положительно
определена при любом положительном значении s как предел
положительно определенных функций. Но тогда в силу тео-
теоремы 2 функционал L (<р) = eJ /l<f {t)] dt является характери-
характеристическим функционалом некоторого процесса с независимыми
в каждой точке значениями.
Из доказанной теоремы следует, что если характери-
характеристическая функция безгранично делимой случайной вели-
величины не обращается в нуль, то она имеет вид «/(¦*>, где / (х)
задается формулой вида A4).
Примером процесса с независимыми в каждой точке зна-
значениями может служить производная винеровского процесса
(единичный процесс). Мы видели в § 2, п. 6, что характе-
характеристический функционал этого процесса имеет вид
A7)
Но этот функционал является частным случаем функционала
вида D) при f(x) = — -^-х2.
б» Процессы, связанные с функционалами ячго по-
порядка. Мы рассматривали до сих пор процессы с независи-
независимыми в каждой точке значениями, характеристические функ-
функционалы которых имеют вид L (ср) = еж(«р), где .М(<р) —
.*= J f [<? (t)] dt. Рассмотрим теперь процессы, у которых


352
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[5
7] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 353
характеристические функционалы имеют более общий вид-
L() = eMW, где
Почти не меняя проведенные выше рассуждения, мы
можем указать достаточные условия для того, чтобы функ-
функционал ем te) = L (ср) был положительно определен, иными
словами, для того, чтобы функционал L(cp) являлся характе-
характеристическим для обобщенного случайного процесса с неза-
независимыми в каждой точке значениями. Эти условия даются
следующей теоремой.
Теорема 7. Для того чтобы функционал L (ср) = ем W,
где
М (<р) = //[<р. ? уЩМ, A8)
был положительно определенным, достаточно, чтобы
функция esf (х° хп) была при любом s >• 0 положи-
положительно определенной функцией переменных х0, .... хп.
Доказательство этой теоремы протекает совершенно так же,
как и доказательство соответствующей части теоремы 2, и
мы его опускаем. Неизвестно, является ли сформулированное
выше условие также и необходимым для положительной
определенности функционала /.(ср).
Описание функций / (х0, . . ., хп), таких, что esf(x'"> ¦ • ••хп) —
положительно определенная функция при s > О, протекает
буквально так же, как и для случая одного переменного.
Не проводя детального доказательства, сформулируем соот-
соответствующую теорему.
Теорема 8. Для того чтобы функция «¦*/(•*)==
^esHx<" ••¦• хп) была положительно определена при всех
значениях s > О, необходимо и достаточно, чтобы нера-
неравенство (/, ср-х-ср*)^О выполнялось для всех функций
ср (лг) = ср (jc0, ..., хп), таких, что I ср (л:) dx — 0.
Функции / (х), обладающие этим свойством, имеют со-
согласно теореме 3 из главы II (§ 4, п. 4) следующий вид:
/ (х) = f [el ft. х> — а (X) A + i (К х) K da (X) +
Ut>0
. («9)
здесь а(X) — положительная мера, такая, что интегралы
J |Х[2ао(Х) и J da(K)
О < U |<1 \\\ >1
сходятся, а(Х) — функция из пространства Z, такая, что.
а(Х)— 1 имеет при Х = 0 нуль 3-го порядка, ak, \ k \ < 2,—
произвольные числа и ak, \k\ = 2,—такие числа, что
форма 2 ff,^^ положительно определена. Разумеется,
|Г|=|5|-1
и здесь должно выполняться равенство
[ 1 — а (X)] da (X) -(- а0 = 0.
f
|A|>0
6. Процессы обобщенного пуассоновского типа. Пусть
в формуле A9) мера а сосредоточена в точке X —А. Под-
Подбирая функцию а(Х) и числа ak, j Де ] = 0. 1, 2, мы можем
добиться, чтобы функция / (х) приняла вид
(х) = С (е1
— 1) == С (е1 (^
V«) — 1).
Характеристический функционал определяется в таком
случае следующей формулой:
L (ср) = ехр [С J exp [ih, ? (
ih
n <pW (t)]]d(.
Процессы такого типа могут рассматриваться как обобщение
рассмотренных выше пуассоновских случайных процессов.
При этих процессах имеют место случайные скачки, распре-
распределенные по закону Пуассона, случайные изменения скорости,
также распределенные по закону Пуассона, и т. д. вплоть
до случайных изменений производных я-го порядка, распре-
распределенных по пуассоновскому закону.
7. Корреляционные функционалы и моменты для про-
цгссов с независимыми в каждой точке значениями.
Найдем теперь общий вид корреляционного функционала для
процесса Ф с независимыми, в каждой точке значениями.
Не ограничивая общности, мы можем считать, что среднее
значение этого процесса равно нулю.
23 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


354-
гл. ш. обобщенные случайные процессы
Согласно теореме о ядре (гл. I, §" 1, п. 3, теорема 5)
корреляционный функционал любого вещественного обобщен-
обобщенного случайного процесса имеет вид
где В — обобщенная функция двух переменных. Покажем,
что если процесс Ф имеет независимые значения в каждой
точке, то обобщенная функция В сосредоточена на диаго-
диагонали х — у (т. е. что (В, 6 (х, у)) — 0, если функция 6 (х, у)
равна нулю в некоторой окрестности этой диагонали).
В самом деле, пусть ср (jc) и ф(х)— такие функции из
пространства К, что ср (х) ф (х) = 0. Тогда по определению
процесса Ф случайные величины Ф (ср) и Ф (ф) независимы
(см. п. 1). Поскольку среднее значение произведения неза-
независимых случайных величин равно произведению их средних
значений, то
В (ср, ф, = Е [Ф (?) Ф (ф)] = Е [Ф (ср)] Е [Ф (ф)] = т (ср) т (ф) = 0
(напомним, что мы рассматриваем процесс с нулевым сред-
средним значением).
Мы доказали, таким образом, что В(ср, ф) = 0 для любых
двух функций ср (х) и ф (х), таких, что произведение ср (х) ф (у)
равно нулю в некоторой окрестности .диагонали х — у.
Но линейными комбинациями функций вида ср(дг)ф(_у), рав-
равных нулю в некоторой окрестности диагонали х = у, можно
аппроксимировать любую функцию 0(х, у) из пространства К,
равную нулю в некоторой окрестности этой диагонали.
Таким образом, мы доказали, что
(В, 6 (х, у)) = 0,
если функция б (х, у) обращается в нуль в некоторой ок-
окрестности диагонали х = у. Но это и значит, что обобщен-
обобщенная функция В сосредоточена на диагонали х^=у.
В выпуске 2 (гл. II, § 4, п. 3) был указан общий вид
обобщенных функций для пространства К (а). Из этого ре-
результата вытекает, что обобщенная функция В имеет вид
J,
8] § 4. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИС. В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ 355
где Qjn (x, у) — непрерывные функции, такие, что на каждом
ограниченном множестве лишь конечное число функций
Qjb(x, у) отлично от нуля. Поскольку обобщенная функ-
функция В сосредоточена на диагонали х= у, то мы получаем,
что
/» «-. лГ 1 k а г.. ..\ I
dx,
j. ft
где положено Rjk(x) = Qjk(x, x).
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 9. Корреляционный функционал 5(ср, ф)
для процессов с независимыми в каждой точке значе-
значениями задается следующей формулой:
В (ср, ф) == / ^ Я/а (х) ?СЛ (х) ф<*> (х) dx,
1, ft
B0)
где лишь конечное число функций Rjh (x) отлично от
нуля на каждом конечном отрезке.
Поскольку функционал 5(ср, ф) положительно определен,
то для любой функции ср (л:) должно выполняться неравенство
/ 2 Я/* О) <Р(Л (х) ср<*> (х) dx > 0.
B1)
j. ft
Совершенно аналогично доказывается следующая общая
теорема.
Теорема 9'. Момент п-го порядка обобщенного
случайного процесса с независимыми в каждой точке
значениями задается формулой
2
h, ¦¦¦< in
?У (х) dx,
B2)
где Rjx / (х) — непрерывные функции, причем на каждом
конечном отрезке лишь конечное число этих функций
отлично от нуля.
8. Гауссовские процессы с независимыми в каждой
точке значениями. Результаты, полученные нами в преды-
предыдущем пункте, позволяют указать общий вид гауссовских
процессов с независимыми в каждой точке значениями. Мы
23*


356
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[8
знаем, что гауссовский процесс Ф полностью определяется
своим корреляционным функционалом В (ср, ф) (мы считаем
здесь, что среднее значение т (ср) процесса Ф равно нулю).
Распределение вероятностей для гауссовского процесса с кор-
корреляционным функционалом В (ср, ф) имеет вид
Bk)"'2
J
B3)
где Л — матрица, обратная матрице ||Z?(cpft, срг)]|. Но мы
знаем уже общий вид корреляционных функционалов для
процессов с независимыми в каждой точке значениями. Отсюда
следует, что гауссовский процесс Ф с независимыми в каждой
точке значениями задается следующим образом. Рассмотрим
билинейный функционал
В
(?, ф) = / 2 Rik (*) <Р(Л (х) ф(*> (х) dx,
B4)
J. ft-i
такой, что на каждом конечном отрезке лишь конечное
число функций Rjk (x) отлично от нуля, причем для любой
функции ср (х) из пространства К выполняется неравенство
В (у, ср)^>0. Сопоставим любым функциям cpj (t) ?n@
из пространства К случайную величину Ф(ср:, .... срл),
для которой распределение вероятностей задается формулой
B3), где Л — матрица, обратная матрице \\B(yk, cpr)[|. Тогда
эта совокупность распределений вероятностей задает гаус-
гауссовский процесс с независимыми в каждой точке значениями.
Обратно, любой такой процесс может быть получен указан-
указанным способом.
Таким образом, каждому гауссовскому процессу с не-
независимыми в каждой точке значениями можно сопо-
сопоставить однозначно определенный билинейный функцио-
функционал B4) с указанными выше свойствами, причем каждый
такой функционал определяет гауссовский процесс с не-
независимыми в каждой точке значениями.
Примеры. Пусть Фо — единичный процесс (см. п. 5 § 2),
а Т — любой дифференциальный оператор конечного порядка.
Тогда процесс Ф = ГФ0 будет гауссовским процессом с не-
независимыми в каждой точке значениями. Действительно,
в вещественном случае корреляционный функционал б(ср, ф).
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
357
Для процесса Ф имеет вид
В (ср, ф) = Е [Ф (Т) Ф (ф)] = Е [Г Фо (ср) Г Фо (ф)] =
= Е [Фо (Т ср) Фо (Г фI = Во (Т ср, Г ф),
где Во — корреляционный функционал процесса Фо. Но кор-
корреляционный функционал Во (ср, ф) для единичного процесса
имеет вид
Поэтому
В (ср, ф) =
B5)
Так как функционал вида B5) является частным случаем
функционала вида B4), то процесс 7Ф0 является гауссовским
процессом с независимыми в каждой точке значениями.
Разумеется, не все гауссовские процессы с независимыми
в каждой точке значениями имеют вид ТФ0, так как не все
положительно определенные функционалы вида B4) предста-
вимы формулой вида B5).
§ 5. Обобщенные случайные поля
1. Основные определения. Мы рассматривали до сих
пор обобщенные случайные процессы, т. е. обобщенные слу-
случайные функции одного переменного. В этом параграфе мы
рассмотрим обобщенные случайные функции нескольких пе-
переменных. Чтобы отличать их от функций одного перемен-
переменного, будем называть такие функции обобщенными случай-
случайными полями.
Итак, мы будем говорить, что задано обобщенное слу-
случайное поле Ф, зависящее от п переменных, если каждому
набору
{<PiO0 LW). * = (-*i. •••• хп)
бесконечно дифференцируемых финитных функций от п пе-
переменных соответствует /га-мерная случайная величина
{ф (срх) Ф(срет)}, причем распределения вероятностей


358
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[2
этих случайных величин удовлетворяют условиям согла-
согласованности и непрерывности (поскольку эти условия фор-
формулируются так же, как и для функций одного перемен-
переменного, мы отсылаем читателя за точными формулировками
к § 1).
Значительная часть теории обобщенных случайных полей
аналогична соответствующей части теории обобщенных слу-
случайных процессов. Мы ограничимся в этих случаях лишь
формулировкой соответствующих результатов (например,
в теории однородных полей, аналогичной теории стационар-
стационарных процессов). Существенно новые результаты, возникаю-
возникающие лишь в теории случайных полей, касаются поведения
полей при вращениях и отражениях пространства Rn, на ко-
котором заданы функции ср (х). При этом мы не ограничимся
рассмотрением скалярных полей, сопоставляющих каждой
функции ср(лг) из К одну случайную величину Ф (ср). Мы рас-
рассмотрим и многомерные поля, т. е. будем сопоставлять
каждой функции ср (х) из К случайный вектор
{Фх(<?). ••-. ФлК?)}.
Разумеется, при этом набору функций ср, (х) срт (х)
сопоставляется случайная матрица с элементами Фг(срЛ. Для
многомерных полей мы также рассмотрим вопрос об их пре-
преобразованиях при вращениях и отражениях пространства Rn.
2. Однородные случайные поля и поля с однородными
приращениями s-ro порядка. В этом пункте мы сформулит
руем определения и теоремы, аналогичные результатам, пот
лученным в § 3. Аналогом понятия стационарного обобщен-
обобщенного случайного процесса является понятие однородного
обобщенного случайного поля.
Обобщенное случайное поле Ф называется однородным,
если для любых функций срх (х), .,., ср,л (х) из простран-
пространства К и любого вектора к — (hx, .... hn) распределения
вероятностей случайных величин
{Ф(?,(*)), ¦••- Ф(?„;(¦*))}
совпадают.
2]
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
359
. Точно так же, как для стационарных процессов, можно
показать, что корреляционный функционал #(ср, 40 одно-
однородного обобщенного случайного поля имеет вид
A)
где ср(Х) и ф(Х)—преобразования Фурье функций ср (л:) и
ф(лг), о — положительная мера степенного роста.
Эта мера называется спектральной мерой обобщенного
случайного поля Ф.
Назовем, далее, обобщенным случайным полем с одно-
однородными приращениями s-го порядка такое поле Ф, что
все его частные производные *) Ф порядка s. (т. е. такие,
что | J | = 5) являются однородными обобщенными случайными
полями.
Очевидно, что линейные комбинации однородных обоб-
обобщенных случайных полей также однородны. Поэтому, если
поле Ф имеет однородные приращения 5-го порядка, a D—ли-
D—линейный однородный дифференциальный оператор порядка 5
с постоянными коэффициентами, то поле ИФ однородно.
Формула для корреляционного функционала поля с одно-
однородными приращениями s-ro порядка имеет почти тот же
вид, что и для обобщенных процессов со стационарными прит
ращениями s-ro порядка. Она выводится аналогичным образом
с использованием результатов из § 4 главы II.
Мы приведем формулу корреляционного функционала
5(ср, <]>) однородного обобщенного случайного процесса при
условии, что все моменты функций ср (дг) и ф(лг) до E—1)-го
включительно равны нулю (иными словами, что выполняются
равенства
ak = С дг*ср (х) dx = 0; $k = J xkty (x) dx — 0
при jfej^s— 1). В этом случае имеет место формула
В (т, 40 =.
*) Дифференцирование,, обобщенных полей определяется точно
так же, как и для обобщен ых случайных функций.


360
ГЛ. III-; ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3-
где ср (X) и ф (X) — преобразования Фурье функций ср (х) и ф (х),
а — положительная мера степенного роста, такая, что интеграл
Г \X\2sdo(X) сходится, Qo — область, получаемая из
всего пространства удалением точки X = 0, а, и pft — моменты
функций ср(дг) и ф(лг) соответственно, аг, [ / | = s, —такие
числа-, что форма
.2 «v+лР» - О)
положительно определена.
Справедливы и обратные утверждения. Именно, если
билинейный функционал 5(ср, ф) имеет вид, указанный
в формуле (I), то можно построить однородное обоб-
обобщенное случайное поле, для которого этот функционал
является корреляционным. Аналогично, для функционалов
вида B) можно построить обобщенное случайное поле
с однородными приращениями s-го порядка, для которого
этот функционал является корреляционным (точнее:
говоря, совпадает с корреляционным функционалом на под-
подпространстве функций, имеющих нулевые моменты до (s— 1)-го
порядка включительно). Более того, указанные обобщенные
поля можно выбрать так, чтобы они были гауссовскими, т. е.
чтобы для любой функции ср из К случайная величина Ф (ср)
имела гауссовский закон распределения.
3. Изотропные однородные обобщенные случайные
поля. Как мы уже говорили в п. 1, наибольший интергс при
изучении обобщенных случайных полей представляет рассмо-
рассмотрение поведения этих полей при вращениях и отражениях
пространства Rn, в котором заданы функции ср (л:). Начнем
с рассмотрения полей, инвариантных относительно этих пре-
преобразований. Такие поля называются изотропными. Итак,
обобщенное случайное поле Ф называется изотропным, если
для любых функций <fi(x), ..., <?т(х) из пространства К и
любого вращения или отражения g пространства /?„, в кото-
котором заданы эти функции, случайные величины
{Ф (?!(*)), •••- ® (?«(*))}
3]
§5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
361
-имеют одинаковые законы распределения. Через g~fx обо-
обозначена точка, в которую переходит точка х при преобразо-
преобразовании g~x. Функция cpCg™1*) для краткости будет обозначаться
.через _<?g(x). ¦ .
Обычно мы будем рассматривать поля, одновременно
удовлетворяющие условиям однородности и изотропности.
Условие однородности позволяет применить к этим полям
формулу A), а условие изотропности накладывает определен-
определенные ограничения на входящую в- формулу A) спектральную
меру о.
Именно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Если обобщенное случайное поле Ф одно?
родно и изотропно, то его спектральная мера о инва-
инвариантна относительно вращений и отражений.
Доказательство. Из изотропности поля Ф следует, что
Я («Р. <!>) = ?(?,, Ф,)
для всех элементов g группы G вращений и отражений про-
пространства Rn. Легко показать, что преобразование Фурье
функции срг(л;) = ср (g~ 1х) равно cp(g-!X), где ср (к) — пре-
преобразование Фурье для ср (х). Отсюда следует, что корреля-
корреляционный функционал В (ср^., tyg) задается формулой
В (<р
Ъ) da (к)
и потому
J ; (X) ф (X) do (A) = J
do (X).
Сделаем в правой части этого равенств-а подстановку
g~ik=zk1. Мы получим, что
Г ^ (X) ф (X) do (X) = Г ^ (X) ф (X) do (g\).
J J
Так как спектральная мера о однозначно определяется полем Ф,
то из этого равенства вытекает, что для любого множества А
из Rn справедливо равенство o(A) = a(gA), т. е. что мера о
инвариантна относительно вращений и отражений простран-
пространства /?„. . . • • • .


362
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Лемма 1 позволяет упростить выражение для корре-
корреляционного функционала в случае, когда поле Ф одно-
однородно и изотропно, заменив интеграл по re-мерному про-
пространству двойным интегралом. Обозначим через G0(r) среднее
значение функции 6 (X) = ср (Х)ф(Х) на сфере S(r) радиуса г *),
а через о (г) обозначим о-меру шара радиуса г. Тогда имеет
место формула
В (ср, ф) =
D)
легко получаемая из формулы A) переходом к сферическим
координатам.
Но функция 6 (к) является преобразованием Фурье функ-
функции ср-к-ф*(лг) = 8 (х). Чтобы упростить формулу D), дадим
выражение функции 00(г) через среднее значение функции 0 (х)
на сфере радиуса R. Для этого используем следующую лемму.
Лемма 2. Пусть функция /(X) является преобразо-
преобразованием Фурье функции f (х). Тогда среднее значение /0(г)
функции f (X) на сфере радиуса г выражается через сред-
средние значения /0 (/?) функции / (х) на сферах радиусов R
по формуле
/о (г) = {^Р~ f RP+1f0 (Л) •/„ (гЛ) d/?.
E)
где Jp(R) — бесселева функция порядка p =
n — 2
— (R\P V
— \j) Zl
(-1)"
(R\2n
\2)
Эта лемма также весьма просто доказывается путем пере-
перехода к сферическим координатам в интеграле Фурье. При
*) Иными словами, положим
(I),
S (r)
где х (К) — инвариантная относительно вращений мера на сфере 5 (г),
нормированная условием х [S (г)] = 1„
.4] § 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
этом следует лишь иметь в вид}'", что
363
(см. И. M. Рыжик и И. С. Градштейн «Таблицы сумм,
произведений и интегралов», М. — Л., 1951,6.412 F), стр. 345).
Применим эту теорему к интегралу D). Принимая во вни-
внимание, что функция 6 (к) = ср (X) ф (X) является преобразова-
преобразованием Фурье функции б (х) — ср-к- ф*(дг), мы приходим к сле-
следующему результату.
Теорема 1. Корреляционный функционал однород-
однородного и изотропного поля Ф выражается формулой
В (ср, О,) = Bn)p+1 f f 60 (Я) (?)* Jp (Rr) R dR da (f),
F)
где о — положительная мера на прямой, имеющая сте-
степенной рост, б0 (R) — среднее значение функции Ь (х) =
= ср-кф*(лг) на сфере радиуса R, р — —^— " -^р(^) — ^ес'
селева функция порядка р.
4. Обобщенные случайные поля с однородными и изо-
изотропными приращениями *-го порядка. Введем поля с одно-
однородными и изотропными приращениями s-ro порядка.. Говорят,
что поле Ф имеет однородные и изотропные приращения
s-го порядка, если все частные производные Ф(;), для кото-
которых |_/| = s, являются однородными и изотропными полями.
Укажем вид корреляционного функционала В (ср, ф) для
таких полей в случае, когда все моменты функций ср (х) и ф (х)
до E — 1)-го порядка включительно равны нулю. В этом
случае
Bef> <!>) = S(V %). G)
где, напомним, положено <?g(x) = ср(^г-1л:), tyg(x) ty
Поэтому спектральная мера о, входящая в формулу
(«р. ф)=


364
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[4
для 5(ср, ф) *) инвариантна относительно вращений и
отражений пространства Rn, а билинейная форма
~~ Ра (9)
удовлетворяет соотношению
-V - - к
A0)
где через а№ и pte) обозначены моменты функций f(g~1x)
и tyig-Kx).
Пользуясь инвариантностью меры о относительно враще-
вращений и отражений, мы, как и для изотропных процессов,
доказываем, что первое слагаемое в формуле G) может быть
записано в виде, аналогичном формуле F), с той лишь раз-
разницей, что мера о (г) должна не только иметь степенной рост,
но и быть такой, что интеграл j r2sda(r) сходится (по-
0<Г<1
следнее утверждение вытекает из того, что сходится интеграл
J* \\\asda(k); ем. п. 2).
Выясним теперь, какие ограничения на эрмитову форму (9)
налагает соотношение A0). Для этого воспользуемся. тем,
что a,j и (ВА — моменты функций ср (х) и (Ь (у). Поэтому форму (9)
можно записать в виде
1/1 = 1 ft I-s
где через Р(х, у) обозначен многочлен
dy.
ai+kxJyk-
|
равенства A0) следует, что многочлен Р(х, у) должен быть
инвариантен относительно всех вращений и отражений п-мер-
ного пространства
Р(х, y)^P(gx, gy).
*) Так как приращения s-ro порядка поля Ф однородны, то
согласно п. 2 корреляционный функционал этого поля имеет вид (8).
4]
. § 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
365
Но любой многочлен, инвариантный относительно враще-
вращений и отражений пространства Rn, можно представить в
виде многочлена от выражений
(х, дг)=
k = 1
я
(х. у) =¦
(доказательство этого факта приведено, например, в книге
Г. Вейля «Классические группы», ИЛ, 1947, стр. 57), а именно
У)=
2
U h
, xf(x, уУ(у,
Так как каждый член многочлена Р (х, у) имеет степень 25,
то должно выполняться равенство i-\-J-\-k = s. Поскольку,
кроме того, каждый член многочлена Р(х, у) имеет одина-
одинаковую степень s как по х, так и по у, то должны иметь
место равенства^/ = k. Это означает, что многочлен Р(х, у)
имеет следующий вид:
[¦S/2]
Р (х. у)^Ъьк (х, х)к (х, у)*-** (у, у)\
Тем самым доказано, что эрмитова форма (9) задается сле-
следующей формулой:
UI2]
=2
Покажем теперь, что в формуле A1) все коэффициенты
Ьк>0.
В самом деле, эрмитова форма (9) положительно опре-
определена. Поэтому для любой функции ср (х) из пространства К


366 ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [4
должно выполняться неравенство
№1
2 bk J (х, xf (х, y)s~2k {у, yf ср (х) fO0 dx dy > 0. A2)
ft = 0
Раскрывая скобки в выражении
(х, yf~2k = (y «¦-i- ' - •• ^-2ft
мы без труда убеждаемся, что все интегралы, входящие
в правую часть неравенства A2), являются произведениями
интегралов от комплексно сопряженных функций и потому
положительны. Путем подбора функции ср (х) этим интегралам
можно придать любые положительные значения. А отсюда
вытекает, что неравенство A2) может выполняться тогда
и только тогда, когда все коэффициенты Ьк ^ 0.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Если Ф — обобщенное случайное поле
с однородными изотропными приращениями s-го порядка
и если моменты функций ср(лг) и ф(х) до (s—\)-го по-
порядка включительно равны нулю, то корреляционный
функционал 5(ср, ф) поля Ф имеет вид
Я (<р, ф) = (
СО СО
f f
6
0 (Я) Ш
Jp {Rr) R dR do (r) -f-
A3)
Здесь 80 (R) — среднее значение функции 0 (jc) = ср -х- ф* (х)
на сфере радиуса R, а (г) — положительная мера сте-
степенного роста на полупрямой 0 < г < оо, для которой
сходится интеграл I \r\2sda(r), Jp(R)—бесселевафунк-
ция порядка р, р =
0<Г<1
л —2
и ok — неотрицательные числа.
Из этой теоремы легко получить вид функционала В (ср, ф)
для любых функций ср(дг) и ф(лг) из пространства К, заменяя
5]
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
367
функцию ср(лг) из этого пространства функцией вида
S—1
2
|ft|-0
Здесь через ак обозначены моменты функции ср (л:), а через
0А (х) — функции из пространства К, такие, что
(bjk — символ Кронекера). Мы опускаем точную формулировку
получающегося при этом результата ввиду его громоздкости.
5. Многомерные обобщенные случайные поля. В не-
некоторых приложениях теории случайных полей рассмотрение
скалярных полей оказывается недостаточным. Например,
скорости частиц турбулентного потока можно рассматривать
как случайные величины. Однако, поскольку скорость является
векторной величиной, мы получаем не скалярное, а вектор-
векторное случайное поле. В этом пункте будут даны основные
определения, относящиеся к многомерным обобщенным слу-
случайным полям.
Обозначим через RNm линейное пространство, состоящее
из матриц с N строками и т столбцами.
Мы будем говорить, что задано N-мерное обобщенное
случайное поле Ф, если каждым т функциям сру-, l^j^.m,
из пространства К сопоставлено распределение вероятностей
в пространстве RN , причем эти распределения вероятностей
удовлетворяют требованиям согласованности и непрерывной
зависимости от функций ср^. Иными словами, jV-мерное
обобщенное случайное поле сопоставляет вектор-функции
ф = (ср1з ..,, срт} случайную матрицу ||Ф(ср)|| с элементами
|Ф(«р)|| =
В частности, каждой функции ср из пространства К соответ-
соответствует случайный вектор-столбец Ф (ср) с координатами
Ф,(«р) ФдгОр).
Введем теперь для многомерных обобщенных случайных
полей понятия средней величины и корреляционной матрицы.


368
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пусть ср—некоторая функция из пространства К, а Ф (ср) —
соответствующий ей случайный вектор. Предположим, что
все случайные величины Фй (ср) имеют средние значения, не-
непрерывно зависящие от функции ср. Тогда, полагая
;(Т)
nt (ср) =
где тр (<р) = Е [Ф/г (^р)]»- мы получим вектор, координатами
которого являются обобщенные функции. тк (ср) в простран-
пространстве К. Этот вектор мы и назовем вектором средних зна-
значений для поля ||Ф||.
Вместо корреляционного функционала В (ср, ф) мы введем
для многомерных случайных полей корреляционную матрицу
23 (ср, ф). Именно, пусть для любых функций ср и ф из про-
пространства. К и любых i и j, 0 ^ / <1 N, 0-^.J^.N, суще-
существуют средние значения
В,
'и
от с
, ф),
Эту
и ф. Матрицу, составленную
мы и назовем корреляционной
матрицу мы будем
обозначать
непрерывно зависящие
из функционалов S,y(
матрицей для поля Ф.
через 53 (ср, ф).
Корреляционная матрица 23(ср, ф) = ||5..(<р, ф)|| много-
многомерного обобщенного случайного поля Ф обладает сле-
следующим свойством сильной положительной определен-
определенности: для любых комплексных чисел alT, \ ^,1 ^.N,
1 ^ г ^ от, и любых функций <Pi. • . . • <рт из пространства К
выполняется неравенство
N
S
О,
A4)
г, s-1
Для доказательства этого неравенства достаточно заметить,
что его левая часть может быть записана в виде
л/
т
Z
1-1 r-l
и потому неотрицательна как среднее значение неотрицатель-
неотрицательной случайной величины. . . . _ . .
¦5}
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
369
Из сильной положительной определенности матрицы 23 (ср, ф)
вытекает, что при любых числах av . . ,, aN билинейный
функционал
М
-положительно определен. В самом деле, если <pi
любые функции из пространства Л', a \lt ....
комплексные числа, то
—любые
N
Но. правая часть этого равенства неотрицательна, в чем
можно убедиться, полагая в неравенстве A4) ос/г=аД.. Поэтому
Г, 5 =
чем положительная определенность 5а(ср, ф) доказана.
Заметим, что обратное утвержд&ние, вообще говоря,
не имеет места: из того, что функционал Ва (ср, ф) положи-
положительно определен при всех av . . ., aN, еще не вытекает, что
матрица 23 (ср, ф) сильно положительно определена.
Перейдем теперь к рассмотрению однородных многомер-
многомерных полей. Многомерное обобщенное случайное поле Ф
называется однородным, если распределение вероятностей
случайной матрицы ||Фг(сру)|| не изменяется при одновре-
одновременном сдвиге всех функций <рх (х), .... срто (х) на один и
тот же вектор А = (А1, .... А„). Для однородных полей
вектор средних значений имеет вид
m
(ср) = a J ср (дг) dx,
где а = (av .... аЛ — некоторый TV-мерный вектор.
Корреляционная же матрица для таких полей описывается
следующим образом: корреляционная матрица 23 (ср, ф)
однородного М-мерного обобщенного случайного поля
имеет вид
»(?. Ф) =
24 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин
A5)


370
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[5
Здесь ср(Х) и
и ty(x), а
— преобразования Фурье функций ср (х)
— матрица, составленная из комплексных мер в про-
пространстве Rn, имеющих степенной рост, и таких, что
матрица % (X) положительно определена для всех мно-
множеств X (мы будем называть матрицу Щ(Х) спектральной
матрицей поля Ф).
Доказательство этого утверждения проводится при помощи
рассмотрения одномерного случайного поля
линейно зависящего от комплексных параметров %х, . . ., ?л.
Перейдем теперь к рассмотрению многомерных случай^
ных полей, имеющих однородные приращения s-го порядка,
т. е. таких, что все поля Ф , где |/| = s, однородны.
Описание корреляционной матрицы в этом случае также
по. учается при помощи перехода к одномерному полю
Корреляционная матрица 35 (<р, <|>) имеет особенно простой
вид, если все моменты до s—1-го порядка включительно
функций f(x) и ty(x) равны нулю. В этом случае матрица
23 (<р, ф) состоит из элементов By (cp, ф) вида
где 20 — множество, получаемое из всего пространства
удалением точки Х = 0, F\} — комплексные мери степен-
степенного роста, такие, что интегралы
сходятся, а матрица %(Х) =\\F^ (X)\\ положительно
определена для всех множеств X. Через ар в формуле A7)
обозначены моменты
Г xp<f(x)dx
6]
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
371
функции <р(х), а через р? — моменты функции ^(х).~ На-
Наконец, числа а1^, \k\ = 2s, таковы, что неравенство
выполняется для любых комплексных чисел а, , \ ^t^N
\p\ s
6. Изотропные и векторные многомерные случайные
поля. Многомерное поле Ф называется изотропным, если
для любого вращения или отражения g пространства Rn
случайная матрица Ф^Ср). задаваемая формулой
имеет то же распределение вероятностей, что и случайная
матрица Ф (р).
Можно доказать следующее утверждение: корреляционная
матраца 23 (ср, ф) однородного изотропного N-мерного
обобщенного случайного поля Ф имеет вид
оо оо
33 (9, \) - B«р +1 / /
6
JP (Rr) R dR da (r).
где Q0(R) — среднее значение функции 6 (x) = cp * ф* (х) на
сфере радиуса R, а <з(Х)—матрица, состоящая из комп-
комплексных мер аи(Х) степенного роста, заданных на полу-
полупрямой 0 <[ г < со, причем для любого множества X
матраца а (X) положительно определена.
Введем теперь понятие векторного поля. Обобщенное
«-мерное случайное поле Ф называется векторным, если для
любого вращения или отражения g пространства Rn случай-
случайные матрицы \]<bt[<pf(g-lx)]\\ и ||?|| • ||Ф,[<?,(*)]|| имеют
одинаковые законы распределения (через ||^|| обозначена
матрица преобразования g).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть Ф — однородное обобщенное слу-
случайное векторное поле. Тогда его среднее значение равно
нулю. Корреляционная матрица 35 (ср, ф) поля Ф состоит
24*


372
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[б
из элементов By (у, ф), 1-^/, j^.n, выражаемых фор-
формулами
ву Op. ф) = / еу (R) JP (Rr) (т) ^P~R dR> l ф J
и
В этих формулах p =
^ 2
через 60 (R) обозначено сред-
среднее значение функции 6 (х) = ср * ф* (х) -на сфере |лс| —
через 0?у. (/?) — среднее значение функций -^—|^- на той же
сфере, а а = с^ — а2, где ах и о2 — положительные меры сте-
степенного роста на полупрямой 0 <; г < со, такие, что
ei@) = e2@).
Мы опускаем доказательство этого утверждения, связанное
с теорией представлений группы вращений и отражений
евклидова пространства.
ГЛАВА IV :
МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Цилиндрические множества. В этой главе мы изучим
меры в линейных топологических пространствах. Мы ограни-
ограничимся при этом рассмотрением мер в пространствах Ф', со-
сопряженных с некоторым линейным топологическим простран-
пространством Ф. Сначала будут изучены меры на самых простых
множествах вФ' — цилиндрических множествах. Потом будут
рассмотрены меры множеств более общего вида. Определим
понятие цилиндрического множества в пространстве Ф'. Вы-
Выберем в пространстве Ф какие-либо фиксироначные элементы
ср! срп. Каждому элементу F из пространства Ф' соот-
соответствует точка {(/^.cpj), . . ., (f, ср„)} я-мерного простран-
пространства Rn. Таким образом, элементы cpi> ¦ ¦ ¦. <?п пространства Ф
задают отображение
, срл)}
A)
пространства Ф' в Rn.
Зададим теперь в Rn некоторое множество А и рас-
рассмотрим множество Z всех линейных функционалов F, та-
таких, что
{(F, ср,), .... (F, ср„)}?Л.
Это множество мы и назовем цилиндрическим множеством,
задаваемым элементами срх,
со из Ф, и множеством А
из Rn.
- Примерами цилиндрических множеств могут служить полу~
пространства в Ф', задаваемые неравенствами вида (F, ср)^а,
и также множества более общего вида — полосы,, задаваемые


372
ГЛ. III. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[б
из элементов
мулами
, ф), 1<[/, j'^n, выражаемых фор-
фори
В
н<
.$ = f'M
су
у
В этих формулах р = —^—, через 90 (R) обозначено сред-
среднее значение функции 9 (х) = ср * ф* (х) -на сфере \'х [ — R,
через 9у (R) — среднее значение функций -г—4-^- на той же
сфере, а а = at — а2, где ах и а2 — положительные меры сте-
степенного роста на полупрямой 0 <^ г << оо, такие, что
ei@) = a2@).
Мы опускаем доказательство этого утверждения, связанное
с теорией представлений группы вращений и отражений
евклидова пространства.
ГЛАВА IV :
МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Цилиндрические множества. В этой главе мы изучим
меры в линейных топологических пространствах. Мы ограни-
ограничимся при этом рассмотрением мер в пространствах Ф\ со-
сопряженных с некоторым линейным топологическим простран-
пространством Ф. Сначала будут изучены меры на самых простых
множествах в Ф' — цилиндрических множествах. Потом будут
рассмотрены меры множеств более общего вида. Определим
понятие цилиндрического множества в пространстве Ф'. Вы-
Выберем в пространстве Ф какие-либо фиксированные элементы
cpi, ...,срл. Каждому элементу F из пространства Ф' соот-
соответствует точка {(F, (Bj), . . ., (F, ср„)} л-мерного простран-
пространства Rn. Таким образом, элементы cpi. ¦ • •. <рл пространства Ф
задают отображение
. ср„)}
A)
пространства Ф' в Rn.
Зададим теперь в Rn некоторое множество А и рас-
рассмотрим множество Z всех линейных функционалов F, та-
таких, что
9l), .... (F. ¦<?„)}? А.
Это множество мы и назовем цилиндрическим множеством,
задаваемым элементами а>1, . . ., срл из Ф, и множеством А
из Я„.
.. Примерами цилиндрических множеств могут служить полу'
пространства в Ф', задаваемые неравенствами вида (F, cp)^a,
и также множества более общего вида — полосы,, задаваемые


374 ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
системами неравенств
[1
Можно дать другое определение цилиндрического множе-
множества. Пусть cpi. ••¦> 9п — элементы из Ф. Произведем раз-
разбиение пространства Ф' на смежные классы, отнеся к одному
смежному классу все линейные функционалы, переходящие
при отображении
F-+i(F. Ъ). .--. (F. <?*)}. (О
в одну и ту же точку пространства Rn. Иными словами, функ-
функционалы F1 и F2 относятся к одному смежному классу то-
тогда и только тогда, когда
Очевидно, что цилиндрическое множество Z является объ-
объединением смежных классов, соответствующих точкам множе-
множества А. Обратно, любое объединение смежных классов яв-
является цилиндрическим множеством в Ф'.
Разбиение пространства Ф' на смежные классы однозначно
определяется указанием линейного подпространства W0 в Ф',
состоящего из функционалов, которые переходят в нуль при
отображении A). В самом деле, условие
(Flt cpft) = (F2, <pft). 1<?<«.
рав!:осильно условию
(F,— F2, <pft) = 0, 1<&<л.
Поэтому два функционала относятся к одному и тому же
смежному классу тогда и только тогда, когда их разность
принадлежит подпространству W0.
Заметим теперь, что из равенств (F, cpft) = 0, 1 <^ k 4^п,
вытекает, что для любого элемента ф вида
выполняется равенство (F, ф) = 0. Поэтому подпростран-
подпространство W0 в Ф' можно определить как подпространство линей-
линейных функционалов F, таких, что (F, W) = 0 для любого эле-
элемента ф из подпространства Ч7с:Ф, порожденного элемен-
элементами ?! срл.
2]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ-
375
Мы приходим, таким образом, к следующему определе-
определению цилиндрического множества в Ф'. Пусть W — конечно-
конечномерное подпространство в пространстве Ф. Обозначим через W°
линейное подпространство в Ф', состоящее из элементов F,
таких, что
(F, ф) = 0 при ф^ЧГ.
Это подпространство W0 ? Ф' называется аннулятором под-
подпространства W. Разобьем пространство Ф' на смежные классы,
отнеся к одному и тому же классу функционалы F, прини-
принимающие одинаковые значения на подпространстве W (или,
что то же самое, функционалы, разность между которыми
принадлежит подпространству W°). Мы получаем, таким обра-
образом, фактор-пространство Ф'/W0, элементами которого являются
смежные классы. Сопоставляя каждому функционалу F из Ф'
содержащий его смежный класс, мы получаем линейное ото-
отображение пространства Ф' на Ф'/W0. Выберем теперь в ф'/W0
любое подмножество А. Цилиндрическим множеством Z
с основанием А и образующим подпространством W0 на-
называется совокупность всех элементов F из Ф', переходящих
при отображении Ф'-^Ф'/ЧГ0 в элементы множества А*).
Это определение удобнее для использования, чем данное
выше, поскольку оно не требует задания базиса срр .... срд
в подпространстве W.
2. Простейшие свойства цилиндрических множеств.
Прежде чем изучать свойства цилиндрических множестз,
остановимся на некоторых простых утверждениях о линей-
линейных топологических пространствах. Мы будем рассматривать
лишь локально выпуклые линейные топологические простран-
пространства Ф, т. е. такие пространства, в каждой окрестности
нуля которых содержится абсолютно выпуклая окрестность
нуля. Класс локально выпуклых пространств достаточно
широк — к нему принадлежат, в частности, все счетно-нср-
*) Понятие цилиндрического множества можно ввести для лю-
любого линейного топологического пространства Ф. Именно, пусть
W — некоторое замкнутое линейное подпространство в Ф, а А — мно-
множество в фактор-пространстве W/Ф. Тогда совокупность элементов ср
в Ф, таких, что содержащий <р смежный класс принадлежит А, есте-
естественно назвать цилиндрическим множеством." Нам, однако, понадо-
понадобятся лишь цилиндрические множества в Ф', соответствующие анну-
льторам конечномерных подпространств..


376
ГЛ. IV; МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
мированные пространства. Для этих пространств справедлива
следующая теорема о продолжении линейных" функционалов.
Любой непрерывный линейный функционал F, заданный
на подпространстве W~ локально выпуклого линейного
топологического пространства Ф, можно распростра-
распространить с сохранением линейности и непрерывности на
все пространство Ф.
В самом деле, из непрерывности функционала F вытекает,
что в Ф существует окрестность нуля U, для всех элемен-
элементов ср которой выполняется неравенство [(F, <р)|<^1. Выбе-
Выберем в U выпуклую окрестность нуля V и примем V за еди-
единичную сферу нормы ||<р| (т. е. положим ||<р||= 1/sup |Х|, где
Пополняя пространство Ф по норме ||<р||, мы получим ба-
банахово пространство Ф. По теореме Хана — Банаха функ-
функционал F можно распространить с W на все пространство Ф,
причем на единичной сфере V выполняется неравенство
"| (F, ср) | ^ 1. Но это означает, что распространенный функ-
функционал F непрерывен относительно топологии простран-
пространства Ф.
Мы покажем сейчас, что если пространство Ф локально
выпукло, a W — подпространство в Ф, то пространство
Ф'/Ч? сопряжено пространству W.
В самом деле, любой элемент F пространства Ф' является
линейным функционалом в Ф и, следовательно, в ч7. При
этом функционалы /?1 и F2 совпадают на подпространстве W
тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и
тому же смежному классу по W0, т. е. соответствуют одному
и тому же элементу фактор-пространства Ф'/ЧГ0. Таким обра-
образом, каждому элементу F фактор-пространства Ф'/ч7° соот-
соответствует линейный функционал в пространстве ч7, причем
различным элементам из Ф'/W0 соответствуют различные ли-
линейные функционалы. Покажем, что при этом получаются все
функционалы в W. Пусть Fo — линейный непрерывный функ-
функционал в пространстве W. Так как пространство Ф локально
выпукло, Fo можно распространить на все пространство Ф
с сохранением линейности и непрерывности. Различные про-
продолжения являются функционалами в Ф, совпадающими на W,
и потому принадлежат одному и тому же смежному классу
по подпространству W0. Таким образом, каждый линейный
21-
- § 1."ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
377
функционал в W соответствует некоторому элементу из фак-
фактор-пространства Ф'/W0; Тем самым доказано, что простран-
пространство W/W0 сопряжено пространству W.
. Из доказанного утверждения вытекает, что если подпро-
подпространство Ч^сФ п-мерно, то и фактор-пространство
ф'/ч?0 тоже п-мерно.
Перейдем к цилиндрическим множествам. Одно и то же
цилиндрическое множество может быть задано различными
образующими подпространствами и различными основаниями.
Например, если
то неравенства (F,
задают одно и то же полупространство в Ф'.
Выясним теперь, при каком" условии цилиндрическое мно-
множество Zx, имеющее образующее подпространство 47° и осно-
основание Л^, совпадает с цилиндрическим множеством Z2, имею-
имеющим образующее подпространство 4% и основание А2. Заме-
Заметим сначала, что цилиндрические множества Zx и Z2 можно
задать одним и тем же образующим подпространством Ч™. Эго
подпространство является аннулятором подпространства W3
в Ф, порожденного подпространствами Wv и W2, и совпадает
с пересечением 47J f] Ч™. Поскольку чТ°с:4*°, то любой смеж-
смежный класс по подпространству W° принадлежит некоторому
смежному классу по подпространству 47°. Сопоставляя смеж-
смежному классу по подпространству Ф"° содержащий его смеж-
смежный класс по подпространству W®, мы получаем линейное Отобра-
Отображение 7\ фактор-пространства Ф'/^'з на фактор-простран-
фактор-пространство Ф'/^"?. Обозначим через Т^1 (Аг) полный прообраз мно-
множества А1 при этом отображении. Очевидно, что цилиндри-
цилиндрическое множество Zt может быть задано образующим под-
подпространством 47° и основагием r^^^i)-
Точно так же доказывается, что цилиндрическое множе-
множество Z2 может быть задано образующим подпространством_ч?^
и основанием Тг*(А2) (через Т2 мы обозначили линейное ото-
отображение фактор-пространства Ф'/Ф* на фактор-пространство


378
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
Ф'/ч7°, при котором каждый смежный класс по Ч™ переходит
в содержащий его смежный класс по ч7°).
Поскольку два цилиндрических множества с одним и
тем же образующим подпространством совпадают тогда и
только тогда, когда совпадают их основания, мы получаем
следующий, результат.
Пусть цилиндрическое множество Zx задано образующим
подпространством 47° и основанием А1г а цилиндрическое
множество Z2 задано образующим подпространством Wl
и основанием А2. Положим W% = ч7? П 4*2.
Для того чтобы множестза Zx и Z2 совпадала, необхо"
димо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
где через 7\ обозначено естественное линейное отобра-
отображение фактор-пространства Ф'/^з на Ф'/ч7?, а через Тг—•
естественное линейное отображение фактор-пррстран-
ства Ф'/Wl на Ф'/Ч$ *)•
Отметим еще следующие свойства цилиндрических мно-
множеств.
1) Дополнение к любому цилиндрическому множеству Z
является цилиндрическим множеством. В самом деле,
если цилиндрическог множество Z задается образующим под-
подпространством ч7° и основанием А, то множество Ф' — Z
имеет то же образующее подпространство, а его основанием
является дополнение к множеству А в фактор-пространстве
Ф'/W0.
2) Пергсечение любых двух цилиндрических множеста
является цилиндрическим множеством. В самом деле, мы
видели, что множества Zy и Z2 можно задать общим
образующим подпространством ч7° в Ф'. Пусть при этом их
основания равны Ах и- А2 соответственно. Тогда Zx f| %г
является цилиндрическим множеством с образующим подпро-
подпространством 47° и основанием Ах Л А>.
Совершенно так же доказывается следующее свойство.
*) Очевидно, что если фактор-пространства Ф'/Ф"? и
конечномерны, то и Ф'/^П^г конечномерно. -..
31
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
379
3) Сумма любых двух цилиндрических множеста
является цилиндрическим множеством.
Мы видим, таким образом что цилиндрические множества
образуют тело множеств *) в пространстве Ф'.
3. Меры цилиндрических множеств. Мы будем в даль-
дальнейшем рассматривать лишь цилиндрические множества Z,
основания которых являются борелевскими множествами
в Ф'/W0. Если Zj, ..., Zn, ...—цилиндрические множества
с борелевскими основаниями, имеющие одно и то же образую-
оо
щее подпространство 47°, то их сумма \J Za и пересечение
п-\
Zn также являются цилиндрическими множествами с боре-
п
П = 1
левскими основаниями.
Назовем мерой цилиндрических множеств в простран-
пространстве Ф' числовую функцию p(Z), заданную на множестве
всех цилиндрических множеств с борелевскими основаниями
и обладающую следующими свойствами:
1) для любого множества Z имеет место неравенство
o<n(z)<:i.
2) |д.(Ф')=1,
3) если множество Z является объединением непересекаю-
непересекающихся цилиндрических множеств Zu . . . Zn, . . . с борелев-
борелевскими основаниями и общим образующим подпространством ч7°,
то имеет место равенство
4) для любого цилиндрического множества Z выполняется
равенство
где U пробегает все открытые цилиндрические множества,
содержащие множество Z.
Мера цилиндрических множеств ^(Z) определяет меру
борелевских множеств в каждом фактор-пространстве Ф'/W0.
'¦*) Система множеств называется телом, если она содержит
вместе с любыми двумя множествами их сумму, пересечение и раз-
разность.


380
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
13
Именно, если А — некоторое борелевское множество в ф'/W0
и Z — цилиндрическое множество с основанием А и образую-
образующим подпространством 47°,. то мы полагаем
C)
Очевидно, что v^ является нормированной положительной
мерой в Ф'/Ч?, регулярной в смысле Каратеодори *).
Меры, индуцированные мерой ji в различных фактор-про-
фактор-пространствах Ф'/Ч™, не являются независимыми. Если одно и
то же цилиндрическое множество Z может быть задано как
образующим подпространством 4?t и. основанием Аи так и
образующим подпространством W2 и основанием Л2, то должно
выполняться равенство
поскольку обе части этого равенства совпадают с (i(Z).
Принимая во внимание указанное в п. 2 условие совпа-
совпадения цилиндрических множеств, задаваемых различными
образующими подпространствами и основаниями, мы можем
сформулировать это утверждение следующим образом. Если
Ч?> то для любого множества А из фактор-пространства,
выполняется равенство
[1} D)
где через Т 1 (А) обозначен полный прообраз множества А
при естественном отображении Г фактор-пространства Ф /Ф2
на фактор-пространство ф'/ЧГ? (это отображение сопоставляет
каждому смежному классу по 4?"° содержащий его смежный
класс по 4?"°).
Мы нашли, таким образом, необходимое условие для
того, чтобы система мер \w в фактор-пространствах Ф'/Ч?0
индуцировалась мерой цилиндрических множеств в Z. Это
условие является также и достаточным. Иными словами,
справедливо следующее утверждение.
*) Мера ч называется регулярной в смысле Каратеодори, если
для любого борелевского множества А имеет место равенство
v (Л) = inb (?/),
где U пробегает все открытые множества, содержащие А.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
381
Пусть {v^ (A) J—система нормированных положит
тельных регулярных в смысле Каратеодори мер в фактор-
пространствах Ф'/Ч™. Если при Ф,с:ЧГ2 для любого мно-
множества А из Ф /Ф? выполняется равенство D), то меры v^
индуцируются мерой цилиндрических множеств (i (Z)
в пространстве Ф'.
В самом деле, положим для любого цилиндрического мно-
множества Z с образующим подпространством 4го и основанием А
Из условия D) вытекает, что значение ji (Z) не зависит от
способа задания множества Z. Очевидно, что |л (Z) является
мерой цилиндрических множеств в Ф' и что все меры v^.
индуцируются мерой (i.
Условие D) мы будем называть в дальнейшем условием
согласованности мер v^. Можно показать, что его доста-
достаточно проверять лишь для полупространств в Ф'. Это утвер-
утверждение легко следует из следующей леммы:
Если значения положительных нормированным мер vx
и v2 в конечномерном пространстве R совпадают для
всех полупространств этого пространства, то меры vx
и v2 равны между собой.
Относительно доказательства этой леммы см. [74].
4. Условие непрерывности для мер цилиндрических
множеств. Мы будем рассматривать в дальнейшем лишь
меры, удовлетворяющие некоторому условию непрерывности.
Это условие формулируется следующим образом:
Мера цилиндрических множеств ji называется непрерыв-
непрерывной, если при любом т задаваемое этой мерой соответствие
{срг срт) —> чт между наборами элементов пространства Ф
и мерами в от-мерных пространствах непрерывно относительно
топологии пространства Ф и слабой сходимости мер. Точнее
говоря, условие непрерывности означает следующее. Пусть
li cpy, 1-^у^от, где сруй, сру. — элементы из простран-
p
k -> со
ства Ф, а сходимость понимается в смысле топологии этого
пространства. Тогда для любой непрерывной ограниченной
функции /{х)^=/{хг хт) выполняется равенство


382
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
D
б]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
383
где vOTft — меры, соответствующие наборам элементов {ср1А, . . .
.... <ртк}, а \т— мера, соответствующая набору элементов
В условии непрерывности элементы ср1й cpOTft, равно
как и элементы срх, .... срот, могут быть линейно зависимыми.
Отметим следующее утверждение. Если мера |а обладает
свойством непрерывности, то для любых s > 0 и А > О
найдется такая окрестность нуля U в Ф, что при
ср ? U мера цилиндрического множества Z, задаваемого
неравенством |(F, ср) | ^ А, меньше. е.
В самом деле, любому элементу пространства Ф соответ-
соответствует мера на прямой. Обозначим через [х0 меру на прямой,
соответствующую элементу ср0 = 0. Поскольку отображе-
отображение F —> (F, ср0) переводит все элементы пространства Ф'
в нуль, эта мера сосредоточена в точке jc = O и равна в этой
точке единице. Зададим значения s>0 и Л>0и рассмотрим
любую положительную непрерывную ограниченную функ-
функцию / (х), равную единице при | х | ^ А и равную нулю при
4
^4
-н-. Очевидно, что
| х
Из условия непрерывности вытекает, что в пространстве Ф
найдется такая окрестность нуля U, что для всех элемен-
элементов ср из U выполняется неравенство
—оо —оо | —оо
где через (х? обозначена мера, соответствующая элементу ср. Но
—А оо оо
— 00 А —оо
и тем самым наше утверждение доказано.
Справедливо и обратное утверждение: если для любых
е > О и Л > 0 найдется такая окрестность нуля U в Ф,
что при ср??/ имеет место неравенство jj.(Z)<;e>
г<?е через Z обозначено . цилиндрическое множество
J (F, ср) | ~^> А, то мера |л удовлетворяет условию непре-
непрерывности. Мы не будем останавливаться на доказательстве
этого утверждения.
б. Индуцированные меры цилиндрических множеств.
Пусть Т—непрерывное линейное отображение линейного
топологического пространства Ф2 в линейное топологическое
пространство Фх. Обозначим через Т' сопряженное с Т ото-
отображение пространства Ф^ в пространство Ф^, т. е. такое
отображение, что (T'F, <р) = (/?, Тер) для любого элемента <р
из пространства Ф2 и любого функционала F из простран-
пространства Ф^. Очевидно, что если отображение Г переводит конеч-
конечномерное подпространство ч72сгФ2 в конечномерное подпро-
подпространство )?1аФ1, то отображение Т' переводит подпро-
с.ранство *F° в подпространство 47°. В самом деле, пусть
функционал F принадлежит W°x. Каков бы ни был элемент ф
из W2, элемент Tty^W^ и потому (F, Т"ф) = 0. Но это озна-
означает, что {T'F, ([) = 0 для всех элементов ф из ч72> т. е. что
T'F ? Wt
Итак, мы доказали, что Г'Ч^счТ^. Из этого соотношения
вытекает, что отображение Т' индуцирует отображение Ti
фактор-пространства Ф1/Ф1 в фактор-пространство Фг/^г-
При этом отображении смежный класс F-f-ЧГ? переходит
в смежный класс T'F-{-VP% (в силу включения Т WiczWl
соответствие F -\- Ф"? —> т'F -\- ч7з не зависит от выбора пред-
представителя F в смежном классе F-\-W°).
Итак, мы доказали, что если Т — непрерывное линейное
отображение пространства Ф2 в Фх, то для каждого
конечномерного подпространства ?1сФ1 существует ли-
линейное отображение Т[ фактор-пространства Ф[/^ в фак-
фактор-пространство Фо/^г, где через ЧР"° обозначен аннуля-
тор подпространства Wt = TW2 пространства Фх. При
этом отображении смежный класс F-\-^Ч. переходит
в смежный класс Т F-\-W^.
Пусть теперь в пространстве Ф\ задана мера цилиндри-
цилиндрических множеств (ij. Введем в пространство Ф'2 меру цилин-
цилиндрических множеств следующим образом. Пусть цилиндрическое


384
ГЛ. IV. МЕРЫ В "ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[1
§2. счетная аддитивность мер
385
множество Z2 из Фг2 задается образующим подпростран-
подпространством Ф2 (в Ф2) и основанием Аг. Обозначим через Аг
пересечение множества А2 с образом фактор-пространства
®i/4P"iJipH отображении Т\ и через Ах-—прообраз множестваА-г
в фактор-пространстве Ф[/Ч>'1. Положим
где через Z1 обозначено цилиндрическое множество в Ф'
с образующим подпространством W1 = TW2 и основанием Аг.
Легко видеть, что (i2 является мерой цилиндрических мно-
множеств в Ф2, причем в силу непрерывности отображения Т
эта мера удовлетворяет условию непрерывности. Мы будем
называть меру \хг мерой, индуцированной мерой ^ при
отображении Т.
Например, если Фт— пополнение счетно-гильбертова про-
пространства Ф по норме ||<р|„, то каждой мере ^ в простран-
пространстве Ф^ соответствует мера j* в пространстве Ф' (и мера AЛ
в любом пространстве Ф'п, где п ~^>т). Мы будем называть
меру A в Ф' m-непрерывной, если она индуцирована непре-
непрерывной мерой в пространстве Ф' .
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ,
СОПРЯЖЕННЫХ С ЯДЕРНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
1. Аддитивность мер цилиндрических множеств. Меры .
цилиндрических множеств обладают следующим свойством
конечной аддитивности.
Если Zx Zn — конечная система непересекающихся
цилиндрических множеств в Ф', то имеет место ра-
равенство
Действительно, поскольку, как это показано в § 1, п. I,
для любой конечной системы цилиндрических множеств мы
можем выбрать общее образующее подпространство 1го, то
наше утверждение вытекает из аддитивности меры v^ в фак-
фактор-пространстве Ф/jW0..
1
Однако далеко не всегда мера ji обладает счетной адди-
аддитивностью', из того, что объединение счетной .системы непе-
непересекающихся цилиндрических множеств ZjT . . ., Zk, ...
является цилиндрическим множеством, не вытекает, вообще
говоря, равенство ;
(разумеется, это равенство выполняется, если все множества Zk,
1 ^ k < оо, задаются одним и тем же образующим подпра?
странством). . ~ • — .:-
Для нас, однако, существенно, чтобы мера ja обладала
свойством счетной аддитивности. Дело в том, что класс цилин-
цилиндрических множеств в Ф' довольно узок *)'. Поэтому есте-
естественно желание распространить меру и. на более широкий
класс множеств. Этим классом "является класс всех борелев-
ских множеств в Ф', порожденных (борелевскими) ци-
цилиндрическими множествами. При. этом, как обычно, боре-
борелевскими множествами,:: порожденными цилиндрическими
множествами, называют множества из наименьшего класса,
содержащего все цилиндрические множества, и замкнутого
относительно операций счетного суммирования, и перехода
^"дополнению..,.. .-_ ,.-_¦.... ....
Класс борелевских множеств достаточно широк; если, напри-
например, в пространстве Ф есть счетное всюду плотное множество, то
к классу борелевских множеств в Ф' принадлежат, в частности,
поляры всех множеств А из Ф. >
В случае, когда мера р., заданная на цилиндрических мно-
множествах, счетно-аддитивна, мы можем распространить ее на
все борелевские множества.
Это распространение выполняется следующим образом. Назовем
цилиндрические множества борелевскими множествами нулевого
класса. Пусть ..уже определены борелевские множества классов р,
где C — трансфинитные числа, меньшие а. Назовем борелевскимн
множествами класса а все счетные суммы непересекающихся мно-
*) Например, поляры множеств А из Ф, вообще говоря, "не
являются цилиндрияескими множествами в . Ф' (полярой множе-
множества А называется совокупность всех функционалов F, таких, что
}(•/% ip)|<l, когда <р пробегает Л).-а
25 Зак- 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


386
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
жеств меньших классов н дополнения к таким- суммам. Тем самым
борелевские множества определяются для всех трансфинитных чи-
чисел первого и второго классов. Если
— разложение борелевского множества класса а на непересекаю-
непересекающиеся борелевские множества меиьших классов, то положим
V- (В) = 2 * Фи)
Покажем теперь, пользуясь счетной аддитивностью меры ц для
цилиндрических множеств, что, исходя из любых двух разложений
одного и того же борелевского множества В на непересекающиеся
борелевские множества меньших классов, мы всегда получим одно
и то же значение меры ц (В). Это легко доказать для множеств
первого класса: если
и
А=1
— два разложения такого множества иа цилиндрические множе-
множества, то
В самом деле,
оо
2
a=i
Если же
;) = 2
2>
У — X
2
X я— X
1]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
387
Д
то I [J Z'k \ U
ft=i
Ф' является разложением простран-
ства Ф' на непересекающиеся цилиндрические множества и потому
т. е.
А-1
оо
Тем самым доказана непротиворечивость определения меры н- для
борелевских множеств класса 1. Можно показать, что после этого
распространения сохраняется счетная аддитивность меры ц. Для
множеств высших классов доказательство проводится при помощи
трансфинитной индукции.
Отметим, что мера борелевских множеств в Ф', получаю-
получающаяся при таком распространении, обладает следующим
свойством регулярности в смысле Каратеодори.
Для любого борелевского множества В из Ф' имеет
место равенство
где Z пробегает все счетные суммы открытых цилиндри-
цилиндрических множеств, содержащие множество В.
Доказательство этого утверждения легко проводится при
помощи трансфинитной индукции.
Мы увидим дальше, что существуют пространства, в ко-
которых каждая нормированная положительная мера цилиндри-
цилиндрических множеств, удовлетворяющая условию непрерывности,
счетно-аддитивна и тем самым может быть продолжена
на все борелевские множества. В то же время существуют
пространства, в которых не все меры продолжаются на бо-
борелевские множества, а лишь меры, удовлетворяющие неко-
некоторым дополнительным условиям.
Классом пространств, для которых любая нормиро-
нормированная положительная мера цилиндрических множеств,
удовлетворяющая условию непрерывности, может быть
продолжена до меры борелевских множеств, является
класс пространств, сопряженных с ядерными простиран-
ствами. Это утверждение будет доказано в п. 4. Для дока-
доказательства этого основного утверждения нам понадобятся-
25*


388
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
некоторые результаты из теории меры. Укажем в первую
очередь следующий простой критерий счетной аддитивности
меры.
Теорема 1. Для того чтобы мера ^ цилиндрических
множеств в пространстве Ф' была счетно-аддитивной,
необходимо и достаточно, чтобы для любого разбиения
пространства Фе на непересекающиеся цилиндрические
множества выполнялось равенство
Доказательство. Необходимость этого условия оче-
очевидна — она вытекает из определения счетной аддитивности
и нормироранности меры jx. Докажем теперь достаточность
этого условия. Пусть
— разбиение любого цилиндрического множества Z на непе-
непересекающиеся цилиндрические множества Zk, I <^ k < оо.
Тогда пространство Ф разбивается на непересекающиеся ци-
цилиндрические множества Ф' — Z, Zt Zk, ... и потому
по условию теоремы имеет место равенство
(О
B)
Из конечной аддитивности меры ;х следует, что
Сравнивая равенства A) и B), мы получаем, что
Тем самым счетная аддитивность меры р, доказана.
Доказанной теореме можно дать другие эквивалентные
формулировки.
Теорема Г. Для того чтобы Мера цилиндрических
множеств ja была счетн'о?аддитивной, - необходимо й
1]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
389
достаточно, чтобы для любой убывающей последователь-
последовательности цилиндрических множеств
¦ ¦ ¦¦¦ г; =>-z;b-.:.-=>zj; =,-...
имеющей пустое пересечение, выполнялось равенство
lim v.(Z'n) = 0. C)
В доказательстве нуждается лишь достаточность этого
условия. Пусть
*=>¦!
— любое покрытие пространства Ф' непересекающимися ци-
цилиндрическими множествами. Тогда цилиндрические множества
образуют убывающую цепочку с пустым пересечением и по-
потому по условию
lim {А (¦?'„) = 0. .
- В силу конечной аддитивности меры jj. это означает, что
lim
lim | 1 — 2n(ZA) =0
->оо1 *-1 J
или, иначе, что
= I. Следовательно, по теореме 1
мера |л хчетно-аддитивна.
Теорема \". Для того чтобы мера [i, была счетно-
аддитизна, необходимо и достаточно, чтобы для любого
покрытия пространства Ф цилиндрическими множе-
множествами (возможно и пересекающимися) Zk, 1^&<оо,
выполнялось неравенство


390
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Для доказательства достаточности этого условия заметим,
что если множества Zk, покрывающие пространство Ф', не
пересекаются, то в силу конечной аддитивности меры р имеет
место неравенство ' •
со
S^c^xi. E)
Но, поскольку они покрывают пространство Ф', для них выпол-
выполнено и неравенство D). Из неравенств D) и E) следует, что
и потому по теореме 1 мера jx счетно-аддитивна. Необходи-
Необходимость условия очевидна.
Наконец, заметим, что достаточно требовать выпол~
нения неравенства
не для всех покрытий пространства Ф' цилиндрическими
множествами, а лишь для его покрытий открытыми
цилиндрическими множествами. Это сразу вытекает из
того, что в силу регулярности меры р любое цилиндриче-
цилиндрическое множество Z можно погрузить в открытое цилиндри-
цилиндрическое множество, мера которого сколь угодно мало от-
отличается от меры множества Z.
2. Условие счетной аддитивности меры цилиндриче-
цилиндрических множеств в пространствах, сопряженных счетно-
гильбертовым пространствам. Данное в предыдущем пункте
условие счетной аддитивности цилиндрических множеств
неудобно для применений. В этом пункте мы выведем более
удобное для использования условие счетной аддитивности
мер цилиндрических множеств в пространствах, сопряженных
со счетно-гильбертовыми пространствами.
Пусть мера цилиндрических множеств \i (Z) в простран-
пространстве Ф', сопряженном со счетно-гильбертовым простран-
пространством Ф, счетно-аддитивна. Тогда, как мы видели выше, ее
можно распространить на все борелевские множества в про-
пространстве Ф'. Поэтому меру [а можно распространить на все
2]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
391
шары Sn(R), задаваемые неравенствами ||/?j[_л-^[/?*). В самом
деле, шар Sn (/?) состоит из линейных функционалов F, та-
таких, что \(F, <p) | ¦<[/?, если ||<р||я-^1. Выберем в шаре
||<р!|„-<[1 гильбертова пространства Фп счетное всюду плот-
плотное множество, состоящее из элементов {tyk}, и обозначим
через Ak полосу в Ф'п, задаваемую неравенством | (F, фА) | ^ R.
Очевидно, что
т. е. что Sn (R) является борелевским множеством в Ф' (бо-
(более того, шары являются борелевскими множествами первого
класса). Поэтому мера р. и может быть распространена на
все шары.
Покажем теперь, что для любого е>0 найдется такой
шар Sn(R), задаваемый неравенством вида ||jP|| _„<!/?, что
мера дополнения к этому шару меньше е. В самом деле, ка-
каждый элемент F пространства Ф' принадлежит одному из
подпространств Ф'п и потому удовлетворяет хотя бы одному
из неравенств вида ||F|| _л^/?. Поэтому пространство Ф'
является счетной суммой шаров
й
ф/=й
Поскольку для любого элемента F при т^. п выполнено
неравенство ||f|| _m>\\F\\_n, то 5я(л)с5я+1(я+1). Следо-
Следовательно, пространство Ф' является объединением возрастаю-
возрастающей цепочки шаров 5я(/г), т. е.
причем
*) Через Фп мы, как обычно, обозначаем пополнение счетно-
гильбертова пространства Ф относительно нормы || <р [| п, а через
ф'п — гильбертово пространство, сопряженное с Ф„. Через ||/"||-в
обозначена норма в фл.


392 ГЛ. IV. МЕРЫ" В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Но так как р.(Ф')=1, то мы имеем
lim jx [Sn (л)] = 1.
Г2
Это. и означает, что для любого е>0 найдется таког п,
что мера дополнения к шару Sn (n) меньше е.
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2. Если ^ — полооюительная счетно-адди-
счетно-аддитивная нормированная мерг цилиндрических множеств
в пространстве Ф', сопряженном со счетно-гильбертовым
пространством Ф, то для любого " е > 0 найдется такой
шар Sn(R), что мера любого цилиндрического множе-
множества Z, лежащего вне этого) шарй, меньше е.
Докажем теперь, что справедливо и обратное утверж-
утверждение.
Теорема 2'. Пусть})- — положительная нормирован-
нормированная мера цилиндрических множеств в пространстве Ф',
сопряженном со счетно-гильбертовым пространством Ф.
Если для любого е >0 найдется шар Sn(R) в Ф', такой,
что мера любого цилиндрического множества, лежащего
вне этого шара, меньше е, то мера \>- счетно-аддитивна.
Для доказательства теоремы 2' нам сначала понадобится
следующая лемма.
Лемма 1. Из любого покрытия шара, S (R) : ||ср|| ^[ R
в гильбертовом пространстве Н открытыми цилиндри-
цилиндрическими множествами Z можно иззлечь конечное под-
подпокрытие.
При этом цилиндрические множества в гильбертовом про-
пространстве Н задаются условиями
{(?> <Рг) О?. ?„)} ?Л.
где cpj, ..., ср^ — фиксирозанные элементы в Н, а А—г-.неког
торое множество в л-мерном пространстве Rn. Так как (ср, срй)
является линейным функционалом в Н, то это определение
согласуется с данным в §, 1.
Поскольку открытые цилиндрические множества в гиль-
гильбертовом пространстве образуют окрестности в слабой
топологий пространства ~Н, то лемму 1 можно кратко
сформулировать, сказав, что шары в гильбертовом про-
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
393
<:транстве слабо компактны*), (т. е. компактны в слабой
топологии).
Лекма Г доказывается следующим образом. Сопоставим
-каждому элементу <р, 11<р||-<1, отрезок —R^Cx^R веще-
вещественной оси и обозначим этот отрезок через /<р. Пусть /—
.тихоновское произведение всех этих отрезков, отвечающих раз-
разным <р (см. например С. Лефшёц, «Алгебраическая топология»,
"ИЛ, 1949, стр. 23). Так как тихоновское произведение компактных
^множеств компактно (С. Лефщец, стр. 34), то /— компактное мно-
множество. Пусть теперь <р0 — элемент из шара S (/?). Отметим на
каждом отрезке /^ точку (<j>0, <j>). Мы получим, таким образом, что
каждому элементу <ро отвечает точка из 'прямого произведения всех
этих отрезков Iv т. е. точка из /. Простая проверка показывает,
что отображение <ро -*¦ (<ро. ?) является гомеоморфным вложением
шара S (R) (рассматриваемого относительно слабой топологии)
в пространство /, причем, образ этого шара замкнут в /. Так как
замкнутое подмножество компактного множества компактно, то
образ а E) шара S (/?) компактен, а поскольку отображение а
является гомеоморфизмом, то и сам шар S (R) компактен. Иными
словами, из любого покрытия шара S (R) открытыми цилиндри-
цилиндрическими множествами можно извлечь конечнее подпокрытие. Лемма
доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 2'. Чтобы убедиться
ъ счетной аддитивности меры [а, нам достаточно по замеча-
замечанию к теореме 1" доказать, что если
— любое покрытие пространства Ф' открытыми цилиндри-
цилиндрическими множествами, то имеет место неравенство
*) Множество А, лежащее в топологическом пространстве X,
называется компактным, если из любого его покрытия открытыми
множествами можно извлечь конечное подпокрытие. Мы рас-
рассматриваем сейчас слабую топологию в гильбертовом простран-
пространстве Н, в которой окрестностями нуля являются множества, зада-
задаваемые неравенствами вида
т. е. открытые цилиндрические множества гильбертова простран-
пространства Н. Компактность множества А относительно такой -топологии
и означает, что из любого покрытия множества А открытыми
цилиндрическими множествами можно извлечь конечное под-
подпокрытие. , -


394
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
Зададим любое число е > 0. По условию теоремы в про-
пространстве Ф' существует такой шар Sn(R): \\F\\_n •<!/?, что
мера любого цилиндрического множества, лежащего вне
этого шара, меньше е. Обозначим через Znb пересечения
множеств Zk с гильбертовым пространством Ф^ в Ф'. Оче-
Очевидно, что множества Znk являются открытыми цилиндри-
цилиндрическими множествами в гильбертовом пространстве Ф^, по-
покрывающими это пространство и, следовательно, покрываю-
покрывающими шар Sn (R). По лемме 1 можно выбрать конечное
число множеств Znl,
Поэтому мы имеем
.. Zn,, покрывающих шар Sn (/?).
i i
F)
Обозначим через Z цилиндрическое множество
U
k=l
Из включения (б) вытекает, что это множество лежит вне
шара Sn{R) и потому его мера меньше е. Тогда
(напомним, что множества Zu могут пересекаться) и потому
2tA2 f(ft>
Ввиду произвольности е отсюда вытекает, что
Тем самым доказано, что мера р. счетно-аддитивна. Тео-
Теорема 2' доказана.
Теоремы 2 и 2' дают необходимое и достаточное условие
для того, чтобы мера цилиндрических множеств в простран-
пространстве Ф', сопряженном со счетно-гильбертовым простран-
пространством Ф, была счетно-аддитивной. Это условие состоит
31
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
395
в возможности найти для
в Ф', что мера любого
лежащего вне этого шара,
любого е > 0 такой шар Sn
цилиндрического множества Z,
меньше чем е.
3. Меры цилиндрических множеств в пространствах,
сопряженных ядерным счетно-гильбертовым простран-
пространствам. В этом пункте мы докажем основной результат
о мерах в пространствах, сопряженных с ядерными счетно-
гильбертовыми пространствами. Этот результат формули-
формулируется следующим образом.
Теорема 3. Пусть Ф' — пространство, сопряжен-
сопряженное со счетно-гильбертовым ядерным пространством Ф.
Тогда любая положительная нормированная мера ци-
цилиндрических множеств jx в пространстве Ф', удовле-
удовлетворяющая условию непрерывности, счетно-аддитивна.
Доказательству этой теоремы мы предпошлем некоторые
леммы о связи между мерами полупространств и шаров
в re-мерном пространстве. Пусть ;х — положительная норми-
нормированная мера в re-мерном евклидовом пространстве. Обо-
Обозначим через jx(r, со) меру полупространства (х, ш)^г,
которое ограничено плоскостью, перпендикулярной единич-
единичному вектору ш и отстоящей на расстояние г от начала
координат (через (х, ш) обозначено скалярное произведение
в рассматриваемом евклидовом пространстве). Далее обо-
обозначим через p(R) меру шара радиуса R с центром в начале
координат.
Для того чтобы установить связь между значениями
[а (г, ш) и jx (R), будем рассматривать не сами меры р (г, ш),
а их средние значения по ш. Эти средние значения опре-
определяются следующим образом. Единичные векторы ш можно
рассматривать как радиусы-векторы точек единичной сферы.
Введем в множество Q этих единичных векторов меру т,
задаваемую естественной нормированной мерой на единич-
единичной сфере.
В сферических координатах
0<р<со,
х2 = р sincp! coscp2,
хп = Р sin <pt .. . sin <pe_lf
— 2,


396 ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
эта мера задается формулой
lin"^ . . . sin срл_2 <^9i . . • d>
га
2.x
G)
Если / (ш) — любая функция на сфере 2 (или, что то же
самое, функция от единичного вектора ш), то ее средним
значением мы назовем интеграл Г / (ш) dx (id) и будем обо-
g
значать его через (/(ш)). Таким образом,
(8)
Выразим теперь через меру ц(/?) среднее значение
(|j. (r, ш)) мер полупространств (х, ш) ~^> г. По определению мы
имеем
(9)
Но
, u))=
, г,
где через f(x, г, со) обозначена характеристическая функция
полупространства (х, ш)^>г, т. е. функция, равная единице
при (х, ш);>г и нулю при (х, ш) < г. Подставляя это зна-
значение в формулу (9), мы получим, что
г, ш# =
. r,
Отсюда следует равенство
где через <р(лг, г) обозначено значение интеграла
cp(jc, г)=
, г, ш)й?т(со).
3]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
397
Из этой формулы видно, что ср (jc, r) равно х-мере .мно-
.множества тех векторов ш, для которых (х, ш)>г. Так как концы
таких векторов образуют сегмент ~на единичной сфере, отре-
отрезаемый от сферы плоскостью (х, ш) = -.—- отстоящей от
I х \
начала координат на расстояние
, то
> если г<\х\.
<p(jc, г) = 0, если
Отсюда вытекает, что
Г D
г,
Х:Щ : С d: (х) Г A _
r<ix\
л-З
dy.z:
т
¦1*1.
л-3
Поскольку выражение ГA—у2) 2 dy зависит только
г
I х\
от |д:|, то, переходя к сферическим координатам р, ср1(...
...", <?п-1* мы получаем формулу " -
Ыг. »» =
¦(I
"
j (|~л
, <40-)
р
где, как-указывалось выше, через jx(p) обозначена >-мера
шара с радиусом р.
Мы установили, таким образом, связь между средним
значением (|а(/\ ш)) мер полупространств (х, ш).]> г и
мерами jx(p) шаров.


398 ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Поскольку функция
[3
= J A — у2) 2 dy
1
монотонно возрастает при увеличении р, мы получаем из
соотношения A0), что при любых значениях г и #>г имеет
место неравенство
л-3
Из этого неравенства вытекает, что
где ч рез С (я, -^-J обозначено отношение
rDr
2 / A—
A1)
д-3
2
-3
Мы покажем сейчас, что если в С{п, r/R) положить
~W — 'ynr' Т° величины Ся = С(п,У"п) будут ограничены
в совокупности. Для этого примем во внимание, что
п_3
С. =
/,.-л ¦ -г, / (,_4)~
1
3]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
399
Поэтому
у»
dy
Поскольку все величины Сп, п=1, 2 больше нуля,
a lim Сп < + оо, то эти величины ограничены в совокуп-
ности. Положим C = supC,,. Тогда из неравенства A1) вы-
п
текает неравенство
Итак, мы доказали следующую лемму, позволяющую
оценивать меры ja(/?) шаров радиуса R по мерам jx(r, со)
полупространств (х, ш)^г.
Лемма 2. Пусть ja — положительная нормированная
мера в п-мерном евклидовом пространстве. Тогда между
мерами ^.{R) шаров радиуса R и мерами р( , ш\
V У л /
полупространств (х, со) ^ имеет место неравенство
У я
У я
A2)
С — постоянная, не зависящая ни от п ни от R.
Полупространства, о которых идет речь в лемме 2,
/?
ограничены плоскостями (х, ш) = —т=-, касательными к шару
У «
/?'
с центром в начале координат. Нам по-
радиуса
V п
V
надобится для доказательства теоремы 3 аналогичная лемма,
в которой шар радиуса —==¦ заменен эллипсоидом. Пред-
У п
пошлем этой лемме следующее утверждение о среднем зна-
значении квадратов расстояний от начала координат до каса-
касательных плоскостей к эллипсоиду.


400
ГЛ. IV. •¦
В-ЛИНЕЙНЫХ..;ПРОСТРАНСТВАХ
[3
Лемма 3. Пусть г (со)—расстояние от начала
динат до плоскости, касательной к эллипсоиду
и перпендикулярной единичному вектору со. Тогда имеет
место равенство
_ Док а з а т е л ь с т в о. Простой подсчет показывает, что
Г2(<0) — \1щ-\- ... -f-ХяСОя,
где шх сод—г координаты вектора со*).
Отсюда следует, что .
. (г* (со)) = Xl (co*).-f- , . . +Х2Я <ш*>. .
Но так как ш*-{--. • • +Ш1?= 1. а" все координаты <alt...
..., соя равноправны, то
(ш2.) = — (со? + . • • + со2) == —
и потому
Лемма доказана.
.(о)
*) В самом деле, если координаты точки касания ^tUJ, ..., х^'.
то уравнение касательной плоскости к эллипсоиду имеет вид
-f- ... [
Приводя это уравнение к нормальному виду, мы получим, что о>А =
¦ '(*>L0) AЛ «А
= , и потому А0' = -44" 1 Но
)? J * Г (со)
X
@J
¦+ ... +-тГ5- = 1
и,' следовательно,
33
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
401
_. Перейдем теперь к доказательству следующей. .леммы,
являющейся (наряду с леммой 2) центральным пунктом
в доказательстве теоремы, 3. . ...
Лемма 4. Пусть в п-мерном пространстве Rn задана
положительная нормированная мера jx. Пусть далее
задан эллипсоид Q, такой, что для любой его касатель-
касательной плоскости мера внешнего полупространства меньше г.
Тогда для любого шара S (/?) радиуса: R, содержащего
эллипсоид Q, мерк внешней к нему области не превос-
¦ I -' № \ ...
ходит значения С"I е —f—" "са") • г^е ^2 — сумма квадратов
полуосей эллипсоида Q, а С—г постоянная, не зависящая
ни от п, ни от выбранных нами шара а эллипсоида.
Доказательство. Проведем перпендикулярно каждо-
/?
му единичному вектору со касательную плоскость (х, со) = —~
¦-¦¦_, ",-.'.. У п
к шару радиуса R/^n. Параллельно каждой пло:кости
(jc, да) = R/Yп проходит, касательная плоскость (х, ш) =
==г(со) к эллипсоиду Q (г (ш)—расстояние этой плоскости
от начала координат). Для некоторых из векторов со вы-
полнено неравенство
г (to). Множество соответствую-
щих векторов обозначим через 2Х. Множество остальных
единичных векторов, для которых, следовательно, имеет
место неравенство /?/]/г«" ]> г (to), мы обозначим через S2-
Покажем, что Мера ^B^) множества Qt единичных век-
векторов не превосходит значения H2/R2 (напомним, что х—-
это мера в множестве единичных векторов, соответствующая
обычной нормированной мере на единичной сфере). В самом
деле, из леммы 3 вытекает, что
= J
Но при со ^ Qj мы имеем
—
п
Но это и значит, что
и потому
A3)
26 Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


402 ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [3
(D \
, , со) меру полупростран-
У га /
ства (х, со) ;> и оценим среднее значение / ;а ( г— , ш\ \
у п \ \у п } I
этой меры. Очевидно, что
-/= # "M^l и неравенства A3)
<15>
вытекает, что
С другой стороны, при со ? 22, плоскость (х, со) =
дальше от начала координат, чем параллельная ей касатель-
касательная плоскость к эллипсоиду Q. Поэтому при со ? 22 полу-
полупространство (х, со) ~^> R/У п лежит в полупространстве
(х, ш)^г(со). Но по условию теоремы мера внешнего полу-
полупространства для касательной плоскости к эллипсоиду не
превосходит е. Тем более при со ? 22 выполняется неравен-
неравенство [A (R/y^n, со) ¦< е. Принимая во внимание тривиальную
оценку тB2)^[ 1, мы получаем, что
JV(/?/lAt. co)tfx<e. A6)
а»
Из неравенств A5) и A6) и равенства A4) следует оценка
A8)
где С — постоянная, не зависящая ни от га, ни от значэний И
и R, а 1 — [J. (/?) — мера внешней области для шара ра-
радиуса R. Лемма доказана.
По лемме 3 отсюда вытекает, что
3]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
403
Мы докажем теперь, что для пространств, сопряженных
со счетно-гильбертовыми пространствами, справедлива лемма,
аналогичная лемме 4. Предпошлем этой лемме следующее
GO
замечание. Пусть пространство Ф' = {] Ф'п, сопряженно
Я=1
со
со счетно-гильбертовым пространством Ф = Г\ Фп, и пусть
W — конечномерное подпространство в Ф, a W° — его анну-
лятор. Зафиксируем любое значение п. Отображение Т
пространства Ф' на фактор-пространство Ф'/Ч™ индуцирует
отображение Тя подпространства Ф'п в Ф'/Ч™. Но каждое
подпространство Ф'п всюду плотно в Ф' (см. гл. I, § 3, п. 1)
и потому образ Ф'п в Ф'/ЧГ0 всюду плотен в Ф'/Ч1. Поскольку
фактор-пространство Ф'/W0 конечномерно, а образ Ф'п яв-
является линейным подпространством в Ф'/W°, то отсюда следует,
что при отображении Т'п подпространство Ф'п отображается
на все фактор-пространство Ф'/W0. Поэтому справедливо
равенство
Ф'/W0 — <Э
Обозначим теперь через W* ортогональное дополнение к под-
подпространству W0 П Фд в гильбертовом пространстве Ф' (т. е.
совокупность всех элементов F из Ф^, таких, что (F, F^)_n=0,
если F1?W0(\Ф'пy Очевидно, .что при отображении Ф'п
на Ф'/Ч™ подпространство 47* взаимно-однозначно отобра-
отображается на Ф'/ЧГ0. Поэтому любой элемент F простран-
пространства Ф' может быть единственным образом записан в виде
F = F° +/=¦*, где F°?W°, F*?W*. Мы будем называть
множество W* ортогональным дополнением к W0 в подпро-
подпространстве Ф'п.
Перейдем теперь к формулировке и доказательству ана-
аналога леммы 4.
Лемма 4'. Пусть ja — нормированная положительная
мера цилиндрических множеств в пространстве
U
-
сопряженном со счетно-гильбертовым пространством
26*


404
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[3
ф=
фл, Пусть Q *) — эллипсоид в гильбертовом
пространстве Ф'п, такой,, что сумма квадратов его глав-
главных полуосей равна Н2, а мера любого полупространства
в Ф', лежащего вне эллипсоида Q, меньше е. Если
Sn(R)'- \\F\\-if^-H — любой шар в гильбертовом про-
пространстве Ф'п, содержащий эллипсоид Q, то мера любого
цилиндрического множества Z, лежащего вне этого шара,
меньше, чем С(г-\-H2jR2), где С—та же постоянная,
что и в лемме 4. •
Доказательство. Выберем любое цилиндрическое
множество Z, лежащее вне шара Sn (R). Пусть его образующим
подпространством является 47°, а основанием — множество Л
в Ф'/ЧГ0. Обозначим через ЧГ* ортогональное дополнение
подпространства РПФ'„ в пространстве Ф^.
Если F — любой элемент пространства Ф', то, как мы
видели, он может быть единственным образом записан в виде
/?=:F0+./7*, где F°?W°, F*?W*. Обозначим через Р ото-
отображение, переводящее элемент F = F0-4- F* в F*, P (F) = F*.:
Так как подпространство ЧГ* по построению ортогонально
подпространству ЧГ° П Ф^,. то для элементов F из подпро-
подпространства Ф' отображение Р является ортогональной про-
проекцией Ф' на Ф*. При этой ортогональной проекции шар Sn (R)
переходит в шар S*n(R) подпространства ЧГ\ а эллипсоид
Q — в эллипсоид Q*. лежащий в подпространстве Ф*. Так как
цилиндрическое множество Z лежит вне шара Sn (R), то его
образ Z* в Ф* лежит вне шара 5* (R).
Введем теперь в пространство ЧГ* меру jx*. определяемую
равенством
,Х* (X) = JJl [P (X)] = JJL (ЛГ+ Ч/О).
Применим к шару 5* (/?}, эллипсоиду R* и мере ji* в конечно-
конечномерном пространстве W* лемму 4, Для этого заметим, что
*) Эллипсоидом в гильбертовом пространстве Фп мы называем
образ единичного шара ||/г||._в= 1 при некотором линейном отобра-
отображении Т. Условие сходимости ряда, составленного из квадратов
главных полуосей этого эллипсоида, означает, что оператор Т яв-
ляечся оператором типа Гильберта—- Шмидта.
3]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЁР
405
сумма квадратов главных полуосей эллипсоида Q* не прево-
превосходит Я2. В самом деле, эллипсоид Q можно рассматри-
рассматривать как образ единичного шара в пространстве Ф' при ото-
отображении Т, у которого норма Гильберта — Шмидта равна Н.
Эллипсоид же Q* является образом единичного шара при
отображении РТ. Но норма Гильберта — Шмидта этого ото-
отображения не превосходит Н*). Следовательно, сумма ква-
квадратов главных полуосей эллипсоида Q* не превосходит Н2.
Покажем, что мера любого полупространства в W*, не пере-
пересекающегося с эллипсоидом Q*, меньше е. В самом деле,
если полупространство С* в W* не пересекается с эллипсо-
эллипсоидом Q*, . то С ==С-\-Ф° является полупространством в Ф',
не пересекающимся с эллипсоидом Q, и потому
Наконец, так как QczSn(R), то Q*czS*n(R). Поэтому,
в силу леммы 4, р.*-мера дополнения к шару S*n(R) — не
превосходит С (е -j- H2/R2). Но основание А* множества Z
лежит в дополнении к 5* (R). Поэтому
;
Перейдем теперь, к нашей главной цели — доказательству
теоремы 3. Иными словами, мы хотим доказать, что поло-
положительная нормированная мера цилиндрических мно-
множеств в пространствах, сопряженных с ядерными про-
пространствами, счетно-аддитивна.
Доказательство теоремы 3. Как было показано
в теореме 2', для доказательства счетной аддитивности
меры [а достаточно при любом е > 0 найти такие числа п
и R, что мера любого цилиндрического множества Z, лежа-
лежащего вне шара Sn(R): \\F\\_n^.R, меньше е. Сначала мы
воспользуемся условием непрерывности меры [а. Из этого
*) В самом деле, если /„ ..., fk, ..
рованный базис в. пространстве Ф^, то
— ортогональный норми-
норми-y^WPTfbW j
=-\\Р\\\\Т\\г=Н\\Р\\,
Так как Р — проекционный оператор, то \\P\\ =1 и потому


406
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
13
условия вытекает существование такого шара Sm (р): [| F \\ _тр
что мера любого полупространства в Ф', не пересекающегося
с этим шаром, меньше е/2С, где С — постоянная из леммы
4' (см. "п. 2).
Так как пространство Ф ядерно, то найдется такое п,
что шар 5т(р), рассматриваемый в гильбертовом простран-
пространстве Ф'п, является эллипсоидом, сумма квадратов главных
полуосей которого конечна (для этого надо взять такое п,
что отображение пространства Ф^ в Ф^ является отображе-
отображением типа Гильберта — Шмидта).
Обозначим сумму квадратов главных полуосей эллипсо-
эллипсоида 5^(р) в Ф^ через Н2 и выберем настолько большое
значение R, что шар Sn (R) в Ф^ содержит эллипсоид Sm (p),
причем имеет место неравенство
- 2С •
A9)
По лемме 4' для любого цилиндрического множества Z
в пространстве Ф', лежащего вне шара Sn (R), справедлива
оценка
Из неравенства A9) следует тогда, что [
Итак, мы нашли такой шар Sn (/?), что мера любого
цилиндрического множества Z, лежащего вне этого шара,
меньше, чем заданное число е > 0. Отсюда в силу теоремы 2'
вытекает счетная аддитивность меры р,.
Таким образом, доказательство теоремы 3 закончено.
Можно доказать, что ядерность пространства Ф является
не только достаточным, но и необходимым условием для
того, чтобы любая мера цилиндрических множеств в сопря-
сопряженном к нему пространстве Ф' была счетно-аддитивной.
Это утверждение доказывается путем построения для любого
неядерного счетно-гильбертова пространства Ф положительной
нормированной меры [а цилиндрических множеств в Ф', не
обладающей свойством счетной аддитивности. Более того,
эту меру р. можно выбрать так, чтобы она была так назы-
называемой гауссовой мерой (см. теорему 2 § 3).
Мы уже отмечали, что в некоторых вопросах можно
вместо ядерных пространств рассматривать два гильберто-
4]
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
407
вых пространства, связанные ядерным отображением. Укажем
сейчас аналог теоремы 3, получающийся при такой замене.
Теорема 4. Пусть Н^ и Нг — гильбертовы про-
пространства и Т — ядерное отображение пространства Нг
в пространство Нх. Пусть в пространстве' Н[, сопря-
сопряженном с Ни задана мера цилиндрических множеств р..
Тогда индуцированная *) этой мерой при отображении Т
мера v в пространстве Н'2 счетно-аддитивна.
Доказательство этой теоремы является дословным повто-
повторением доказательства теоремы 3. Ведь в теореме 3 мы ис-
использовали лишь, что мера р. непрерывна в одном из гильбер-
гильбертовых пространств Ф^ и что существует ядерное отобра-
отображение этого пространства Ф^ в одно из пространств Ф^.
Отметим, что, в то время как теорема 3 говорит о всех
мерах в пространстве Ф\ теорема 4 касается лишь мер
в пространстве Н'г, индуцированных какой-либо мерой в про-
пространстве Н'х.
4. Счетная аддитивность мер цилиндрических мно-
множеств в пространствах, сопряженных с точными объ-
объединениями ядерных пространств. Доказанная в предыду-
предыдущем пункте теорема не является достаточной для некоторых
приложений. Например, эта теорема не применима к мерам
цилиндрических множеств в пространстве К', сопряженном
к пространству К всех бесконечно дифференцируемых фи-
финитных функций. Дело в том, что пространство К не является
счетно-гильбертовым. Оно является лишь объединением своих
ядерных подпространств К (а), состоящих из функций, кото-
которые обращаются в нуль вне шара |х|^а. При этом каждое
подпространство К (а) замкнуто в пространстве К, а после-
последовательность функций (срт(х)} из пространства К сходится
к нулю тогда и только тогда, когда все функции срт (х)
принадлежат одному и тому же подпространству К (а) и
сходятся к нулю в этом подпространстве. Кроме того, из
общего вида линейных функционалов в пространстве К (а)
следует, что каждый линейный функционал в пространстве
К (а) может быть распространен на все пространства К.
*) Относительно мер, индуцлрованных при заданном отображе-
отображении, см. § I, п.' 4.


408
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Чтобы получить теорему о счетной аддитивности мер
цилиндрических множеств, пригодную и для пространства К'-,
введем понятие точного объединения линейных топологи-
топологических пространств.
" Линейное топологическое пространство Ф называется
точным объединением своих замкнутых подпространств
ФA), . ... Ф(т) если
1) пространство Ф является объединением подпространств
т. е. ф =
2) последовательность элементов срх, .... cpft, ... из про-
пространства Ф сходится к нулю тогда и только тогда, когда
все элементы cpft принадлежат одному и тому же подпро-
подпространству Ф(т) и сходятся к нулю в этом подпро-
подпространстве; -
3) любой линейный функционал F в подпространстве Ф(лг)
может быть распространен на все пространство Ф.
Не теряя общности, мы можем считать, что подпро-
подпространства Ф^ . . Ф(т) точным объединением которых
является пространство Ф, образуют возрастающую цепочку
ФA)с: ... сФ(л"с ... ' ;
Рассмотрим линейный функционал F в этом пространстве.
Очевидно, что, рассматривая функционал F на подпро-
подпространстве ФA), .... Ф(т) мы получим линейные функцио-
функционалы FA) /=l(m), ... в этих пространствах, —образы
функционала F. При этом в силу условия 3) каждый линей-
линейный функционал в пространстве Ф(т) можно рассматривать
как образ некоторого функционала в пространстве Ф.
Функционалы F^\ .... F^m\ .... соответствующие данному
функционалу F в пространстве Ф, согласованы друг с дру-
другом в следующем смысле: если т <^ /г, то для любого эле-
элемента ср из Ф(т) выполняется равенство
(/*¦>. ,) = (/*•>.*)
(обе части этого равенств^ совпадают с (F, ср)).
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
409
Таким образом, мы видим, что элементы F простран-.
ства Ф', сопряженного с Ф, могут быть записаны в виде
F = {FA) F(m\ ...},
где F(m)?®(m)' и функционалы FA) F(m\ ... согла-
согласованы друг с другом.
Рассмотрим теперь цилиндрические множества в про-
пространстве Ф'. Легко показать, что любое такое множество
задается цилиндрическим множеством Z(m) в одном из про-
пространств Ф(яг) и состоит из всех элементов F={FA), . . .
;.,., F(m\ ...} пространства Ф', для которых F(m)?Z(OT).
Мы будем обозначать цилиндрическое множество в про-
пространстве Ф', заданное цилиндрическим множеством Z(m)
в пространстве Ф(т)', через Z(Z(m)).
Легко проверить, что слабые окрестности в простран-
пространстве Ф' совпадают с цилиндрическими множествами, зада-
задаваемыми слабыми окрестностями в пространствах Ф(т) .
Мы будем в дальнейшем пользоваться отображениями Тт
пространства Ф' в пространства Ф(т)', т=1, 2, ... При
этих отображениях элементу
F = [F , • • ., Fm , . . .}
из пространства Ф' сопоставляется его т-я координата F(m)-
Из согласованности функционалов F(m) вытекает, что, при
m < п, Tm (TnY'F(n) =-- F(m). Поэтому, полагая Тпщ= Тм {Тп)~\
мы. получаем отображение пространства Ф(л) на простран-
пространство Фт' , при котором каждый функционал F("' переходит
в согласованный с ним функционал F(m\ ¦
Рассмотрим теперь меру [а цилиндрических множеств
в пространстве Ф'. Эта мера задает меры цилиндрических
множеств в каждом из пространств ф(т)'. В самом деле,
положим для любого цилиндрического множества Z(m) из про-
пространства Ф
{т)'
где Z (Z(r7?)) — цилиндрическое множество в Ф', заданное
цилиндрическим множеством Z(OT\ Очевидно, что jxm является


410
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
мерой цилиндрических множеств в пространстве Ф(т\ Полу-
Получаемые при этом меры щ, ... [Ад,, ... согласованы друг
с другом в том смысле, что при т ^.п для любого мно-
множества Z^m) из Ф(т) имеет место равенство
ь(^)=Рл[(г:)>>]. B0)
В самом деле, как легко видеть, множества Z^ и \Т'т) zSm^
задают одно и то же цилиндрическое множество Z в Ф', а
потому обе части равенства B0) совпадают с p. (Z).
Справедливо и обратное утверждение: если jaj, ... fxm, ... —
любая последовательность согласованных друг с другом мер
цилиндрических множеств в пространствах Ф^', ..., Ф(т) то
существует мера ц в пространстве Ф', такая, что
для всех т и всех множеств Z{m) из Ф<т)'.
Разумеется, поскольку меры \хт конечно-аддитивны, то
мера р. также конечно-аддитивна. Несколько сложнее пока-
показать, что из счетной аддитивности всех мер р.т, соответ-
соответствующих данной мере jib Ф', вытекает при некоторых пред-
предположениях о Ф' счетная аддитивность меры р.. Именно,
справедлива следующая теорема.
Теорема5.,Пусть пространство Ф является точным
объединением счгтно-нормированных пространств Ф ^
Ф^т\ . . . Пусть далее в пространстве Ф', сопряженном
с Ф, задана положительная нормированная мера р,.
Если для любого т мера рт, индуцированная мерой р
в пространстве Ф(т) , регулярна в смысле Каратеодори
и счетно-аддитивна, то мера р, также счетно-адди-
счетно-аддитивна.
Доказательство. Согласно теореме 1' нам надо
показать, что любая убывающая последовательность цилин-
цилиндрических множеств из Ф' .
такая, что lim [a(Za) = s >• 0, имеет непустое пересечение.
k
k ->-оо
>
Каждое из 'цилиндрических множеств Zk в Ф' задается цилин-
цилиндрическим множеством Z("!ft) из пространства ф(тк) . Если
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
411
множество чисел тк ограничено в совокупности, то, не теряя
общности, мы можем считать, что все эти числа равны друг
другу: т т = т. В этом случае
другу:
непустота пересечения
=т/1 ==
Zk вытекает из счетной аддитив-
ности меры ]хт.
Предположим теперь, что множество чисел mk неогра-
ничено. В этом случае, не теряя общности, мы можем счи-
считать, что
Щ<т2< ... <та< ...
По условию теоремы все меры p,mfe регулярны в смысле
Каратеодори. Поэтому в каждом пространстве ф(тк)' найдется
такое слабо замкнутое множество Bk, что Bkcz Z(mk) и
Далее, по теореме 2, в силу счетной аддитивности меры рт
в пространстве ф(ткУ найдется такое слабо компактное мно-
множество (шар) Ck, что pmk (Cft)> I —_JL_. Очевидно, что
множество Dh = Bk[\Ck также слабо компактно, причем
Положим теперь
Легко видеть, что Ek<=.Z(mk), причем
k
Поэтому
Далее очевидно, что множества Ек слабо компактны.


412
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[4
: Выберем теперь в каждом из множеств Ek по элементу F(mk)
(эти множества не пусты, поскольку ^.т (Е^^—Л. Положим
при 7<mft .
.
-Так,как 7 ™* (??ft) с: ЕA), то элементы
принадлежат слабо компактному множеству Е \ Следова-
Следовательно, из них можно выбрать последовательность
слабо сходящуюся к некоторому элементу Fmi из Ф(т'\ Рас-
Рассмотрим далее элементы
в множестве Е , соответствующие этой подпоследователь-
лости, и выберем, из них подпоследовательность, слабо сходя-
сходящуюся к элементу Fm^ из множества фAЯа). Из слабой непрерыв-
непрерывности отображения 7™' вытекает, что 7^ (Fm3) = fm,. Далее
мы строим аналогичным образом элементы Fmi ^ть'
такие, что Fm.^Tr^Fmrt при 7<й. и положим Fm = T™k (Fm^
при /и
Тогда элемент
принадлежит пространству Ф', и, более, того, всем множе-
множествам Zk, поскольку Fmft ? Z(mfc). Тем самым доказано, что
последовательность цилиндрических множеств Zt Zft, . ..
имеет непустое пересечение, а потому . мера [х счетно-ад-
счетно-аддитивна. Теорема доказана.
Поскольку согласно теореме 3 в пространствах, сопря-
сопряженных к ядерным, любая положительная нормированная
мера цилиндрических множеств, удовлетворяющая условию
непрерывности, счетно-аддитивна, мы получаем из теоремы 5
следующий вывод. ¦•..-¦
§ 2. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ МЕР
¦413
. Теорема 6. Пусть пространство Ф является точ-
цым объединением возрастающей цепочка
ядерных пространств. Тогда любая положительная нор-
нормированная мера цилиндрических множеств в сопряжен-
сопряженном с Ф пространстве Ф', удовлетворяющая условию
непрерывности, счетно-аддитивна.
' Поскольку пространство К является точным объединением
своих ядерных подпространств К {а), любая мера цилиндри-
цилиндрических множеств в К', обладающая указанными свойствами,
счетно-аддитивна. ¦ . ¦ ¦-
5. Условие счетной аддитивности меры цилиндри-
цилиндрических множеств в гильбертовом пространстве. Тео-
Теорема 3 дает условие счетной аддитивности всех мер цилин-
цилиндрических множеств в счетно-гильбертовом пространстве Ф.
В этом пункте мы укажем условие счетной аддитивности
конкретной меры р., заданной в гильбертовом пространстве Н.
Рассмотрим в пространстве Н последовательность Ви . . \
. . . Вп, . . . положительно определенных операторов. При по-
помощи этой системы операторов введем в Н новую топологию,
приняв за базу окрестностей нуля систему множеств U„ (R)
в Н, определяемую неравенствами вида
Мы будем, называть эту топологию топологией, заданной
операторами Вх Вп, . . . Имеет место следующая
теорема.
Теорема 7. Для того чтобы положительная нор-
нормированная мера [а цилиндрических множеств *) в гиль-
гильбертовом пространстве Н была счетно-аддитивной, не-
необходимо и достаточно, чтобы эта мера удовлетворяла
*) Под цилиндрическим множеством в гильбертовом простран-
стве Н мы понимаем совокупность элементов <р, задаваемую вклю-
чением вида
{О
(т.
где <fv -..., <рА — элементы пространства Н. Поскольку (<р, Т)
является функционалом в //, это определение согласуется с дан-
НЫМ В \ 1, ... _ .. -


414
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
¦условию непрерывности относительно топологии в Н,
задаваемой некоторой последовательностью Bt
Вп, . . . положительно определенных ядерных операторов.
Выполнение условия непрерывности меры р, означает сле-
следующее. Для любого е>0 найдутся такие значения п и 8>0.
что из неравенства (-8лср, <р)-^8 вытекает неравенство
ji (Г?) <^ ?, где через Г? обозначена полоса, задаваемая не-
неравенством | (ср, <|>) | ^> 1.
Доказательство. Докажем сначала, что условие тео-
теоремы необходимо. Пусть мера р, счетно-аддитивна. Построим
тогда для любого п положительно определенный ядерный
оператор ВП, такой, что из неравенства Eлср, ф)-^-^— вы-
вытекает неравенство [х (Г?) < — . Этот оператор строится сле-
следующим образом. Так как мера р. счетно-аддитивна, то ее
можно распространить на все шары в Н. Но пространство Н
является объединением шаров, и потому найдется такой шар
S(R): \\x\\ ^_R, что мера дополнения к нему меньше, чем -^—.
Определим оператор Вп, положив
(Вп9, «р)=
S(R)
Очевидно, что оператор Вп положительно определен. Чтобы
доказать его ядерность, заметим, что для любого орто-
ортогонального нормированного базиса cpt cpft> ... выпол-
выполняется неравенство
SIR)
Иными словами, ряд
S(R)
. 9k) сходится для любого
ортогонального нормированного базиса cplf .... срй, . . . Как
было показано в п. 3 § 2 главы I, отсюда вытекает, что
Вп — ядерный оператор.
§ 3. гауссовские меры 415
Рассмотрим теперь любой элемент ср, такой, что (Вп<р, ср) ^[
-=—, и оценим меру полосы Г?, задаваемой неравенством
14' ~> 1. Очевидно, что
где Г9 — часть полосы Г9, содержащаяся в шаре S(R)>
а Г9—часть этой полосы, лежащая вне этого шара. В силу
выбора шара S (R) мы имеем, что ^(Г^')^-^—. С другой
стороны, из неравенства [(ср, ф)|>>1, имеющего место в по-
полосе Г?, а тем самым и в ГДр, вытекает, что
= (В„ср, <р)<~.
Отсюда следует, что р (Tf) ^ —.
Итак, мы построили такую последовательность положи-
положительно определенных ядерных операторов Вх, .... Вп
что неравенство (Вп<р, ср) <^ -^— влечет за собой неравенство
р. (ТДр) <^[ —, где Г? — полоса, задаваемая соотношением
!(?>' Ф) I ^ 1- Это означает, что мера |а удовлетворяет усло-
условию непрерывности относительно последовательности опера-
операторов Вх, ..., Вп, ... Тем самым необходимость условия
теоремы доказана.
Достаточность условия этой теоремы можно доказать,
пользуясь леммой 4. Мы опускаем детали этого доказательства.
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Определение гауссовских мер. Мы рассмотрим в этом
параграфе гауссовские меры в линейных топологических
пространствах. Сначала опишем гауссовские меры в конечно-
конечномерном случае. Пусть Rn — «-мерное линейное пространство,


414
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1]
условию непрерывности относительно топологии в Н,
задаваемой некоторой последовательностью Ви ...,
ВП, .. . положительно определенных ядерных операторов.
Выполнение условия непрерывности меры р. означает сле-
следующее. Для любого е>0 найдутся такие значения п и 8>0,
что из неравенства (-Влср, <р) ^ 8 вытекает неравенство
[х (Г?) ^ е, где через Г? обозначена полоса, задаваемая не-
неравенством |(ср, <|>)|^1.
Доказательство. Докажем сначала, что условие тео-
теоремы необходимо. Пусть мера р, счетно-аддитивна. Построим
тогда для любого п положительно определенный ядерный
оператор Вп, такой, что из неравенства Eл<р, фХ^-yj— вы-
вытекает неравенство ц (Г?) < — . Этот оператор строится сле-
следующим образом. Так как мера р, счетно-аддитивна, то ее
можно распространить на все шары в Н. Но пространство Н
является объединением шаров, и потому найдется такой шар
S(R) : \\x\\ ^.R, что мера дополнения к нему меньше, чем ^-.
Определим оператор Вп, положив
Очевидно, что оператор Вп положительно определен. Чтобы
доказать его ядерность, заметим, что для любого орто-
ортогонального нормированного базиса <plt .... cpft, ... выпол-
выполняется неравенство
?*>
S(R)
J
/?».
Иными словами, ряд
*» Та) сходится для любого
ортогонального нормированного базиса срх, .... cpft, ... Как
было показано в п. 3 § 2 главы I, отсюда вытекает, что
Вя — ядерный оператор.
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
415
Рассмотрим теперь любой элемент <р, такой, что (Вп<р, у.,.^
-н—, и оценим меру полосы Г?, задаваемой неравенством
ф)|^-1. Очевидно, что
!(?.
где Г<р — часть полосы Г<р, содержащаяся в шаре S(R)>
а Г„ — часть этой полосы, лежащая вне этого шара. В силу
выбора шара S (R) мы имеем, что р, (Г?) ^-н—. С другой
стороны, из неравенства |(ср, ф)|]>-1, имеющего место в по-
полосе Г<р, а тем самым и в Г<р, вытекает, что
—.
Отсюда следует, что ?
Итак, мы построили такую последовательность положи-
положительно определенных ядерных операторов В1 Вп, ....
что неравенство (-Влср, <р) <^ -~— влечет за собой неравенство
^(ТДр)^—, где Г^ — полоса, задаваемая соотношением
I (<Р>' Ф) I ^- 1- Это означает, что мера р, удовлетворяет усло-
условию непрерывности относительно последовательности опера-
операторов Blt ..., Вп, ... Тем самым необходимость условия
теоремы доказана.
Достаточность условия этой теоремы можно доказать,
пользуясь леммой 4. Мы опускаем детали этого доказательства.
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Определение гауссовеких мер. Мы рассмотрим в этом
параграфе гауссовские меры в линейных топологических
пространствах. Сначала опишем гауссовские меры в конечно-
конечномерном случае. Пусть Rn — «-мерное линейное пространство,


416
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
"И
§ 3. ГАУССОВСКИЁ МЕРЫ
417
в котором Задано скалярное произведение* (Ус, у).' Это ска-
скалярное произведение определяет метрику:в пространстве Rn
и, в частности, задает лебегову меру множеств в Rn, Введем
гауссовскую меру в Rn, соответствующую скалярному про»
изведению (х, у), положив -'-'¦¦. . .. - .
Таким образом, каждая гауссовская мера в п-мериом
пространстве определяется при помощи скалярного про-
произведения. г ¦'¦'¦.
Если А— линейное преобразование в Rn, а (х,у)— ска*
лярное произведение в Rn, то (х, -уI = (Ах, -Ау) также
является скалярным произведением. Этому произведению со-
соответствует гауссовская мера -
—— (Ах, Ах)
где через dxx обозначена лебегова мера, соответствующая
скалярному произведению (х~^у)\. Легко видеть, что ё1х =
= \det A\dx. Поэтому мера \i1 может быть записана в виде
—5-(А»г. Ах)
л.
Отметим следующую лемму о гауссовских мерах в конечно-
конечномерных пространствах, которой мы воспользуемся в даль-
дальнейшем.
Лемма 1. Пусть Rn — п-мерное евклидово- простран*
ство со скалярным произведением (х, у), a Rm—т-мерное
подпространство в Rn. Обозначим через р.п гауссовскую
меру в Rn, соответствующую скалярному произведе-
произведению (х, у), а через \\т — гауссовскую меру в Rm, соот-
соответствующую тому ot&e скалярному произведению. Тогда
для любого подмножества X из Rm имеет место усло-
условие согласованности мер \з.т и \хн
где через Q обозначена ортогональная проекция про-
пространства Rn на подпрюстринст&о R^. . с :
Доказательство. Обозначим через 7?я_га полный
прообраз нуля при отображении Q. Очевидно, что простран-
пространство Rn является ортогональной суммой подпространств R
и &п-т и потому любой элемент х из Rn может быть пред^
ставлен единственным образом в виде суммы х = х'-)-х",
где x'?Rm и x"?Rn_m. При этом, очевидно, имеет место
равенство
а лебегова мера dx в Rn является произведением лебеговых
мер dx' в Rm и dx" в Rn_m, задаваемых скалярным про-
произведением (х,у). Так как множество Q (X) является
ортогональной суммой множеств X и Rn_m, то имеет место
равенство
f
J
Так как
то для доказательства равенства B) достаточно убедиться,
что
1
Г -~ (Х\ X")
е dx" =\.
Но интеграл C) в координатной форме имеет вид
п-т I е Ш ^х" ,.. dx"n
C)
Поскольку
-4- х?
f e *x'dx=V2*.
то интеграл C') равен 1. Тем самым доказано равенство B).
27 Зак, 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкии


418
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Наряду с описанными выше гауссовскими мерами ;х рассма-
рассматривают так называемые несобственные гауссовские меры. Они
определяются формулой вида
(X) =
/
dx,
D)
где У?т — от-мерное линейное подпространство в Rn, (х, у) — ска-
скалярное произведение в Rm, a dx — лебегова мера в Rm, определяе-
определяемая этим скалярным произведением.
Перейдем теперь к построению гауссовских мер в бес-
бесконечномерном случае. Эти меры мы будем строить в про-
пространстве Ф', сопряженном локально выпуклому линейному
топологическому пространству Ф. Как мы отмечали в § 1, п. 1,
локальная выпуклость пространства Ф обеспечивает возмож-
возможность распространения непрерывных линейных функционалов
с любого подпространства ч? в Ф на все пространство Ф
с сохранением непрерывности и линейности. При этом про-
пространство W, сопряженное с любым конечномерным под-
подпространством f в Ф, изоморфно фактор-пространству Ф'/ЧГ°,
где через Ф° обозначен аннулятор подпространства ч? в про-
пространстве Ф' (т. е. совокупность всех линейных функцио-
функционалов F, таких, что {F, ф) = 0 при ф?ч?).
Гауссовские меры в бесконечномерных пространствах
задаются при помощи скалярных произведений В (ср, ф),
заданных в пространстве Ф, которому сопряжено Ф'.
Итак, пусть в вещественном локально выпуклом линейном
пространстве Ф задано невырожденное скалярное произведе-
произведение В(ср, ф), непрерывное относительно топологии простран-
пространства Ф. Мы определим сначала при помощи В (ср, <|>) гаус-
гауссовские меры в каждом из конечномерных подпространств ЧГ
пространства Ф, а потом перенесем их в фактор-простран-
фактор-пространства Ф'/Чго.
В /г-мерном подпространстве ЧГ из Ф мы определяем
меру т^ равенством
i
где йф — лебегова мера в ч?, соответствующая скалярному
произведению -б(ср, ф). В силу леммы 1 эти меры согласованы
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
419
друг с другом в следующем смысле: если Wt cr W2, то для
любого Y из 47j имеет место равенство
*i (К) = та [Qf1 (К)]. F)
где через Qt обозначена ортогональная проекция Ч?2 на Ч^
[относительно скалярного произведения В (ср, ф)], а через xv
и х2 — меры т^ и^.
Заметим, что конечномерные евклидовы пространства W
(со скалярным произведением В (ср, ф)) изоморфны сопря-
сопряженным им пространствам W *). Но, как было указано выше,
пространства W изоморфны фактор-пространствам Ф'/W0. Тем
самым устанавливается естественное изоморфное отображе-
отображение Аж пространства ч? на фактор-пространство Ф'/W0.
В силу изоморфизма Aw мере xw в W соответствует мера v^.
в Ф'/ч7°, определяемая равенством
v, (*) = xv [A'1 (X)], Х^Ф'/W0. G)
Покажем, что меры vllP определяют меру цилиндрических
множеств в Ф', т. е. согласованы друг с другом. Для этого
согласно п. 3 § 1 достаточно показать, что при Ч^сзЧ^ для
любого множества X из Ф'/ч7° имеет место равенство **)
(8)
где через Q обозначено естественное отображение простран-
пространства ф:/^ в ф'/w?.
Принимая во внимание равенство G), мы можем записать
подлежащее доказательству равенство (8) в следующем виде:
[1 )
Если положить АГ1(Х) = У, то это равенство примет вид
(9)
*) Каждому элементу ф из \F сопоставляется линейный функ-
функционал Fy, задаваемый равенством F^ (9) = В (ср, ф). Из невыро-
невырожденности В (ср, ф) вытекает, что образом W является при этом все
пространство W'.
**) Мы обозначаем здесь через Vj меру v^ , через v2 — меру у^з>
а далее через %± — меру tVj и через ta — меру t^.
27*


420
ГЛ IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В силу соотношения F) нам осталось показать, что ото-
отображение Q1 = AZ1QA2 является ортогональной проекцией
подпространства W2 на Ч?^ Но это непосредственно вытекает
из того, что оператор A^iQA2 действует на элементы ф
из W1 согласно схеме
а на элементы ср из ортогонального дополнения к ч?х со-
согласно схеме *)
9
Тем самым согласованность мер vv доказана.
Обозначим через р. меру цилиндрических множеств в Ф',
задаваемую мерами v^..
Из того, что скалярное произведение В (ср, ф) непрерывно
в топологии пространства Ф, легко вытекает, что мера р,
удовлетворяет условию непрерывности. Мы опускаем простое
доказательство этого утверждения, связанное с переходом
к координатной записи меры.
Можно снять условие невырожденности, которое было наложено
на скалярное произведение В (ср, <Ь). Предположим, что в простран-
пространстве Ф есть отличные от нуля элементы ср, такие, что В (ср, у) — 0.
В этом случае оператор А вырожден и прообраз нуля А~1 @) = X
при отображении А отличен от нуля. Обозначим через Х<> подпро-
подпространство в Ф', состоящее из линейных функционалов F, обращаю-
обращающихся в нуль на подпространстве X. Это подпространство Х<> со-
сопряжено с фактор-пространством Ф/Х, на котором В (9, 40 индуци-
индуцирует невырождающееся скалярное произведение Вх (ср, ф). Мы можем
поэтому построить гауссовскую меру р.] в подпространстве Х°,
задаваемую Вг (ср, ф). Мы будем называть гауссоеской мерой в Ф'
меру р., определяемую для любого цилиндрического множества У
из Ф' формулой
Такие гауссовские меры, сосредоточенные на подпространствах
пространства Ф', называются вырожденными или несобственными
*) Так как В (ср, <!>) = 0 при ф б Wlt то Ау б Ф"", л потому
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
421
Остановимся теперь на частном случае, когда простран-
пространство Ф является гильбертовым, а гауссовская мера \х за-
задается скалярным произведением (ср, ф) в пространстве Ф.
В этом случае можно отождествить пространства Ф и Ф' и
считать, что мера р, задана в самом пространстве Ф. Цилин-
Цилиндрические множества Z в пространстве Ф являются ортого-
ортогональными суммами подпространств А0 из Ф, имеющих конеч-
конечномерные ортогональные дополнения А и множеств X,
лежащих в этих дополнениях. Мера такого цилиндрического
множества определяется равенством
где (ср, ср) — скалярное произведение в конечномерном под-
подпространстве А, индуцированное скалярным произведением
в пространстве Ф, rfcp — соответствующая лебегова мера в А.
2. Условие счетной аддитивности гауссовских мер
в пространствах, сопряженных счетно-гильбертовым.
В теореме 4 из § 2 было показано, что если мера ^ в гиль-
гильбертовом пространстве Нх удовлетворяет условию непрерыв-
непрерывности и если Т — отображение типа Гильберта — Шмидта
пространства Нг в гильбертово пространство Н2, то мера jj,2,
индуцированная при этом отображении мерой ^ в Нг, счетно-
аддитивна. При помощи этой теоремы легко указать доста-
достаточное услови: для того, чтобы гауссовская мера ;л в про-
пространстве Ф , сопряженном со счетно-гильбертовым про-
пространством Ф, определяемая скалярным произведением 5(ср, ф)
в Ф, была счетно-аддитивной.
Рассмотрлм скалярное прэлзвгдеше 5(ср, ф) в счетно-
гильбертовом пространстве Ф. Пополняя пространство Ф
относительно этого скалярного произведения, мы получим
гильбертово пространство Фв. Из непрерывности скалярного
произведения 23 (ср, ф) относительно топологии пространства Ф
вытекает, что естественное вложение пространства Ф в Фв
непрерывно. Поэтому найдется такое гп, что при п^тп вло-
вложение Тп гильбертовых пространств Фя в Фв непрерывны
(Фл — пополнение Ф относительно скалярного произведения
(ср, ф)л). Достаточное условие счетной аддитивности гауссов-
ской меры ч ч <Т>' дается следующей теоремой.
д a H, Я.


422
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ. ПРОСТРАНСТВАХ
[2
Теорема 1. Для того чтобы мера \х, заданная
в пространстве Ф', сопряженном к счетно-гильбертову
пространству Ф, при помощи скалярного произведения
В(ср, Ф) была счетно-аддитивной, достаточно, чтобы
нашлось такое значение п, что отображение Тп про-
пространства Фп в Фв является отображением типа Гиль-
Гильберта — Шмидта.
Доказательство. Скалярное произведение В (ср, ф)
в гильбертовом пространстве Фв задает гауссовскую меру \х.х
в сопряженном к нему пространстве Фв- Эта мера удовле-
удовлетворяет условию непрерывности. Отображению Тл простран-
пространства Фп в Фв сопряжено отображение Т'п пространства Ф'в
в Ф^, которое также является отображением типа Гиль-
Гильберта— Шмидта. Применим теперь к гильбертовым про-
пространствам Ф'в и Ф'п и мере jjlj в пространстве Ф'в теорему 4
из § 2. Мы получим, что мера [i1 индуцирует счетно-адди-
счетно-аддитивную меру р.„ в пространстве Ф'п. Мера же \з.п индуцирует
счетно-аддитивную меру в пространстве Ф'. Очевидно, что
эта последняя мера совпадает с мерой, задаваемой в Ф' ска-
скалярным произведением В(ср, <|>). Поэтому мера \х счетно-
аддитивна. Теорема 1 доказана.
Мы доказали теорему 1, опираясь на теорему 4 из § 2. Цент-
Центральным и наиболее сложным пунктом в доказательстве теоремы 4
из § 2 явился вывод неравенства
^ Л2 /
(см. § 2, лемма 4). Для гауссовских мер можно обойтись без этого
неравенства, воспользовавшись более просто доказываемым нера-
неравенством вида
/•
dx
A0)
Здесь через С (х. х) обозначена строго положительно определен-
определенная квадратичная форма в пространстве Rn, через Тг (С) —
след матрицы С, а через И—дополнение к шару радиуса г в Rn.
Чтобы доказать неравенство A0), заметим, что
--т(СХ, X)
\е dx.
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
423
где через ¦/_ (х) обозначена характеристическая функция области У.
Поскольку функция х (х) равна единице в тех точках, где
(х, х) >- /¦-, и равна нулю в тех точках, где (х, х) < г2, то нера-
неравенство
(х, х)
p
имеет место во всех точках пространства Rn. Отсюда следует, что
B
!*)*/2 г* J (X'
х)е
-т?{Сх, х)
dx.
Применим к правой части этого неравенства формулу D) (гл. III,
§ 2, п. 2). Мы получим, что
Тем самым неравенство A0) доказано.
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма 2. Если ц — гауссовская мера в гильбертовом про-
пространстве Н, заданная скалярным произведением (ср, <\/) в этом
пространстве, а Т—отображение типа Гильберта — Шмидта
пространства Н в гильбертово пространство Hi, то мера \±\
в пространстве Нъ индуцированная при этом отображении
Мерой ,и, счетно-аддитивна.
По теореме 2 из § 2 для доказательства счетной аддитивности
меры ;j-i достаточно при любом г > 0 найти такой шар Sj (r) ради-
радиуса г в Hi, что мера любого цилиндрического множества Z, лежа-
лежащего вне этого шара, меньше е. Этот шар строится следующим
образом. Обозначим через Т' отображение пространства Hi в Н,
сопряженное с отображением Т, и рассмотрим оператор Q = T'T.
Так как Т является отображением типа Гильберта — Шмидта, то
по теореме 4 (гл. I, § 2, п. 3) Q является ядерным оператором.
Обозначим теперь через г такое число, что Tr Q/r- < г, где Tr Q —
след оператора Q. Шар 5i (r) и будет искомым.
Для доказательства этого утверждения достаточно записать
явное выражение меры (j-j и применить неравенство A0). Мы опу-
опускаем детали этого рассуждения.
Теорема 1 непосредственно вытекает из леммы 2. В самом
деле, скалярное произведение В (ср, <Ь) задает гауссову меру \хв
в пространстве Фв, сопряженном с Фв. Но отображение Тп про-
пространства Ф в Ф является, по условию, отображением типа Гиль-
Гильберта— Шмидта. Поэтому и сопряженное с ним отображение Тп
пространства Фв в Фп является отображением того же типа. Но
тогда мера fx , индуцированная в Фп мерой \>-в, является по лемме 2
счетно-аддитивной. Счетно-аддитивной будет и мера р., индуциро-
индуцированная мерой ,"¦„ в Ф'. Но эта мера является не чем иным, как
мерой, заданной в Ф' скалярным произведением В (ср, 6). Тем самым
теорема 1 доказана.
28*


424
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
В силу теоремы 3 из § 2 любая гауссовская мера у.
в пространстве Ф', сопряженном с ядерным простран-
пространством Ф, счетно-аддитивна (заметим, что и это утвержде-
утверждение можно для гауссовских мер доказать проще, чем в об-
общем случае, воспользовавшись неравенством A0)).
Покажем теперь, что требование ядерности простран-
пространства Ф является не только достаточным, но и необхо-
необходимым условием того, чтобы всякая гауссова мера в про-
пространстве Ф', сопряженном со счетно-гильбертовым
пространством Ф, была счетно-аддитивна. Для этого нам
понадобится следующая оценка для гауссовской меры в евкли-
евклидовом пространстве Rn.
Лемма 3. Пусть ja — гауссовския мера в п-мерном
евклидовом пространстве Rn, задаваемая скалярным
произведением (х, у) в этом пространстве. Обозначим
через 2 область, задаваемую неравенством
ТгС — 2|/*ТгС<С(;с, *)< Тг С -f- 2 VfrC,
где С(х, х) — положительно определенная квадратичная
форма в Rn, а ТгС— след матрицы, составленной из
коэффициентов этой формы. Тогда имеет место нера-
неравенство
, (И)
1 2ТгС ,
где \х, ..., Хл — собственные значения матрицы С*).
Доказательство. Обозначим через х(х) характери-
характеристическую функцию области 2. Очевидно, что во всех точ-
точках х пространства Rn выполняется неравенство
Поэтому
}iB)= /
4 ТгС
С \ Л [С (х, х) — Тг СГ-
/ { 1— 4ТгС —
-2т;?с* *>
с
*). Читатель без труда установит связь этой леммы с извест-
известным неравенством Чебышева в теории вероятностей.
2] § 3. гауссовские меры 425
Из формулы D) п. 2 § 2 главы III следует, что
fc (х, х) dp. (x) = -^щ f С (х, х) в"(Х'Х) dx = Тг С,
Рп
поэтому
jxB)> 1 — -^L-. f[(C(x.x)y— (ТгСJ1 ^М-
Чтобы оценить интеграл Г (С (л:, х) J rfji (л;), выберем в R
декартову систему координат, в которой форма С(х, х)
приводится к сумме квадратов
С(х, х) = \х\-\- ...
Тогда этот интеграл примет вид
J, к = 1
*aJdx.
Но при j Ф k
Br.fi*
и потому интеграл j(C(x, x)Jd[i(x) равен
/-1 J, *-l


426 ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следовательно, в силу неравенства A1)
л л
[2
1
4ТгС
1
2ТгС
Лемма 3 доказана.
Рассмотрим гауссовскую меру [а в (вещественном) гиль-
гильбертовом пространстве Н, заданную скалярным произведе-
произведением (ср, ф) в этом пространстве. Пусть Т — оператор, ото-
отображающий Н в другое гильбертово пространство Н±. Обо-
Обозначим через [it меру в Hlt индуцированную мерой р. при
отображении Т. Докажем следующую лемму.
Лемма 4. Если Т не является оператором типа
Гильберта — Шмидта, то для любого г >• О найдется
цилиндрическое множество Z в Ни лежащее вне шара
S±(r) радиуса г, мера которого больше, чем 1/2.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
положительно определенный оператор Q = T'T в простран-
пространстве Н имеет дискретный спектр. Обозначим через лг, ...
.... \п, . . . собственные значения этого оператора, а через
Aj, .... hn, ...—соответствующие собственные векторы.
Очевидно, что прообразом шара S± (г) является множество Q
в Н, задаваемое неравенством (Гер, 7ср)<^г2 или, что то же
самое, неравенством (Qcp, cp)<[ г2. В координатной форме
множество 2 задается неравенством
. а*J о2-
A3)
Заметим, что ряд
расходится, так как по условию
оператор Т не является оператором типа Гильберта — Шмидта,
а значит, Q не является ядерным оператором. Следовательно,
со
Xk ряда 2 ^*> такой, что
найдется отрезок
1)
2) все \к, т <Ck ^.п, меньше, чем 1.
К >г2,
A4)
2]
§ 3. ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
427
Укажем теперь в пространстве Н цилиндрическое мно-
множество Z, лежащее вне области 2 и имеющее меру, боль-
большую 7г- Это множество в координатной форме задается
неравенством
2
A5)
Сравнивая это неравенство с неравенством A3), мы убеж-
убеждаемся, что Z действительно лежит вне области 2. Оценим
теперь меру множества Z.
. В силу неравенства A4) множество Z содержит множе-
множество Zj, задаваемое неравенствами
А — 2 У А ,
2 /А.
где положено Л = 2 \- Поэтому ^ (Z) ^> у. (ZJ. Но для
ft = m +1
множества Zx согласно лемме 3 справедлива оценка
'vn+i
2 (Кт+1 + ... + Хя) '
Так как по условию 2) все Хк < 1, m < k^n, то мы по-
получаем, что
Итак, мы доказали, что [a (Z) > 1/2. Отображая множе-
множество Z в Ну, мы получим цилиндрическое множество в Нх,
лежащее вне шара 5Х (г) радиуса г и имеющее меру, боль-
большую 1/г- Тем самым лемма 4 доказана для случая, когда
.оператор Т'Т имеет дискретный спектр.
В случае, когда спектр оператора Т'Т не является дис-
дискретным, доказательство проводится аналогичным образом
с заменой векторов /г1, . . ., hk, ... ортогональными норми-
нормированными векторами cpt, . . ., <sk, . . ., такими, что (Т'Тук, ук) .>.
;>С > 0 (существование этих векторов сразу следует из того,
что спектр оператора Т'Т не является дискретным). Мы
опускаем детали рассуждения. ,
Теперь можно доказать, что если счетно-гильбертово
пространство Ф не является ядерным, то существует


428
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[1
гауссовская мера \i в сопряженном к нему простран-
пространстве Ф', не обладающая свойством счетной аддитивности.
В самом деле, поскольку Ф не ядерно, то найдется такое т,
что при всех п^>> т отображения Тпт пространства Ф„ в Ф т
не принадлежат к типу Гильберта — Шмидта. Тогда и со-
сопряженные к ним отображения (Тт) не принадлежат к типу
Гильберта — Шмидта.
Рассмотрим теперь в пространстве Ф,„ гауссовскую меру;лт,
задаваемую скалярным произведением (F, O)_m. Эта мера инду-
индуцирует меры 1хл в каждом из пространств Ф„ и меру jj.
в пространстве Ф'. Покажем, что мера [х не является счетно-
аддитивной. В самом деле, поскольку (Г^)' для любого n>- m
не является отображением типа Гильберта — Шмидта, то по
лемме 4 для любых лиг найдется цилиндрическое множе-
множество Z в Ф„, лежащее вне шара (F, F)_n^r2, мера которого
больше 1/2. Но тогда по теореме 2 из § 2 мера <л не является
счетно-аддитивной.
Итак, мы доказали следующею теорему.
Теорема 2. Для того чтобы любая гауссовская
мера в пространстве Ф', сопряженном со счетно-гиль-
счетно-гильбертовым пространством Ф, была счетно-аддитивной,
необходимо и достаточно, чтобы пространство Ф было
ядерным.
Очевидно, что условие ядерности пространства Ф тем
более необходимо для счетной аддитивной любой (не только
гауссовской) меры в Ф'.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ МЕР В ЛИНЕЙНЫХ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Определение преобразования Фурье меры. Преобразо-
Преобразование Фурье неотрицательной меры р в л-мерном евклидовом
пространстве Rn определяется как функция f (х), задаваемая
формулой
f A)
Перенесем это определение с Rn на линейные топологические
пространства.
Пусть Ф — линейное топологическое пространство и ^—-
мера цилиндрических множеств, заданная в пространстве Ф',
1]
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ МЕР
429
сопряженном с пространством Ф. Назовем преобразованием
Фурье меры ;х (нелинейный) функционал L (ср) в простран-
пространстве Ф, определяемый равенством
L (ср) = J* el С. *) dp (F).
B)
Заметим, что для вычисления функционала L (ср) нам
достаточно знать меры полупространств в пространстве Ф'.
В самом деле, если ср — элемент пространства Ф, то нера-
неравенства (F, <p)-«C* определяют полупространства в Ф'. Обо-
Обозначим меру полупространства (F, ®) <<^х через |л? (х). Тогда
функционал L (ср) может быть записан в виде
IX A.. (у\ (О\
Отметим, что при положительном X полупространство
(F, Хер) ^ х совпадает с полупространством (F, ср) ^ ^ .
Поэтому при всех положительных значениях X мы имеем
D)
Если же X < 0, то полупространство (F, Хер) ^ х совпадает
с полупространством (F, Хср)^.-г-, и потому в точках непре-
непрерывности меры [хх,в (х) выполняется равенство
L (Х?) = f el* dyX9 (х) == fe'*dfy (f) =
Поэтому и при X < 0 мы имеем
L (Ь) =¦ I eix d^ (x) = — f eix dpa (¦?) = f
Легко показать, что если Ч?" — конечномерное подпро-
подпространство в Ф и [лЧ'—мера в фактор-пространстве Ф'/Т0,
соответствующая мере ;х, то для любого элемента ср из W
выполняется равенство
E)


430
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
В самом деле, если ср?Ч?, то полупространство (F, ср) ^ х
состоит из смежных классов по подпространству ч7° в Ф'.
в Ф'
со-
соПоэтому [л-мера полупространства (F, о)
впадает с [хч-мерой полупространства (F, ср)^лг в Ф'/Ч?.
Так как преобразование Фурье меры однозначно определяется
мерами полупространств, то равенство E) доказано.
Вычислим в качестве примера преобразование Фурье гаус-
совской меры ji, определяемой функционалом В(ср, ф) в Ф.
Поскольку гауссовская мера полупространства (F, ср) <^ а
равна
J
то функционал L (ср) задается формулой
оо
, , ч 1
/ •"
(ф, ф)
-ТВ(<Р,<Р) ^л
Но этот интеграл равен е *¦ . Отсюда следует, что пре-
преобразование Фурье гауссовской меры имеет вид
2. Положительно определенные функционалы в ли-
линейных топологических пространствах. Пусть L (ср) — функ-
функционал в линейном топологическом пространстве Ф. Этот
функционал называется положительно определенным, если
для любых элементов срх срт пространства Ф и любых
комплексных чисел ?lt .... \т выполняется неравенство
G)
Примером положительно определенного функционала может
служить любой функционал L(cp), являющийся преобразова-
преобразованием Фурье меры цилиндрических множеств в сопряженном
к Ф пространстве Ф' (напомним, что мы рассматриваем лишь
положительные и нормирозанные меры). В самом деле, пусть
функционал L (ср) является преобразованием Фурье меры ;j..
Обозначим через W конечномерное подпространство,- натя-
2]
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ МЕР
431
нутое на элементы cpt, .... cpm, а через ji,r — меру в фак-
фактор-пространстве Ф'/Ф0, соответствующую мере а. Функцио-
Функционал /,(ср) задается на подпространстве 47 формулой
= J е1
9)
Но тогда мы имеем соотношение
-9кП,ТЛ= 2 *& f eW
J, *-1
/- 1
> о.
откуда и видно, что Z. (ср) — положительно определенный
функционал.
Отметим, что из выполнения условия непрерывности для
меры [j. вытекает непрерывность ее преобразования Фурье.
В самом деле, пусть cpi. <?„, - • . —сходящаяся к эле-
элементу ср последовательность элементов пространства Ф. Обо-
Обозначим через |хл меру на прямой, соответствующую элементу
ср„, а через ?х0 — меру, соответствующую элементу ср. Тогда
имеют место равенства
l*dpn(x). л=0. 1. ...
Но из условия непрерывности меры jj, вытекает, что для
любой непрерывной ограниченной функции f (х) выполняется
равенство
lira Г / (х) dpn (x)= ff (х) rfjx0 (x).
Применяя это равенство к функции / (х) = eix, мы получаем,
что
Ига L (ср„) = L (ср0).
л ->¦ с»
Тем самым непрерывность функционала L (ср) доказана. От-
Отметим, наконец, что /,@)==1, так как элементу ср = 0 соот-
соответствует единичная мера jju, сосредоточенная в точке х = 0,
а для такой меры мы имеем


432
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
Итак, мы видим, что функционал /.(ср), являющийся
преобразованием Фурье меры цилиндрических множеств в про-
пространстве Ф', положительно определен, непрерывен и при-
принимает на элементе ср = 0 значение 1. Мы покажем сейчас,
что эти условия не только необходимы, но и достаточны
для того, чтобы функционал L (ср) был преобразованием Фурье
меры цилиндрических множеств.
Теорема 1. Для того чтобы функционал Z- (ср)
в линейном топологическом пространстве Ф был пре-
преобразованием Фурье меры цилиндрических множеств
в сопряженном к Ф пространстве Ф', необходимо и до-
достаточно, чтобы он был непрерывен, положительно опре-
определен и чтобы выполнялось равенство L @) = 1.
Доказательство. Необходимость указанных условий
доказана выше. Покажем их достаточность. Пусть ?(ср) — по-
положительно определенный непрерывный функционал, прини-
принимающий на элементе ср = 0 значение 1. Рассмотрим функцио-
функционал L(cp) на конечномерном подпространстве ЧГ пространства Ф.
Мы получим положительно определенную непрерывную функ-
функцию L\y (ср) в ЧГ. По теореме Бохнера (см. гл. II, § 3, п. 2)
эта функция является преобразованием Фурье положительной
меры ji»{-, заданной на пространстве ЧГ', сопряженном с ЧГ.
Но мы видели в п. 1 § 3, что пространство ЧГ' естест-
естественным образом отождествляется с фактор-пространством
Ф'/ЧГ0, где ЧГ° состоит из всех функционалов F, для ко-
которых (F, ф) = 0 при ф ? ЧГ. Отсюда следует, что функцио-
функционалу L (ср) соответствуют меры [*»• в каждом из фактор-про-
фактор-пространств Ф'/ЧГ0. Нам осталось показать, что эти меры
согласованы друг с другом и что выполнено условие непре-
непрерывности.
Чтобы доказать согласованность мер [Хц-, рассмотрим два
конечномерных подпространства ЧГХ и ЧГ2, xtl<z.4^2, в про-
пространстве Ф и обозначим соответствующие им меры через jaj
и ^,2. Нам надо доказать, что мера {л,1 совпадает с мерой v,
индуцированной в фактор-пространстве Ф'/ЧГг мерой jj,2.
Иными словами, надо доказать, что для любого множества А
ч Ф'/ЧГ1} имеет место равенство
(8)
где через Q обозначено отображение фактор-пространства
2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ МЕР
433
Ф'/ЧГ" на фактор-пространство Ф'/Ч™, при котором смежный
класс F-f-4r° переходит в смежный класс F + 4TJ. Мы до-
докажем равенство (8), показав, что преобразования Фурье
этих мер совпадают.
По построению преобразованием Фурье меры jj-j является
функция Lt (ср), заданная на подпространстве 4Tt и совпадаю-
совпадающая на этом подпространстве с функционалом ?(ср). Преобразо-
Преобразование же Фурье меры v также определено на ЧГ: и задается
интегралом
ф'/чг!
dy
(9)
Если ср ? ЧГ^ то значения (F, ср) совпадают для всех функ-
функционалов F, принадлежащих одному и тому же смежному
классу ,РО + ЧГГ Так как, кроме того, меры v и ц2 свя-
связаны равенством (8), то мы можем переписать интеграл (9)
в виде
Г
Таким образом, для элементов ср из подпространства ЧГ:
интеграл (9) равен преобразованию Фурье меры jj-2. По по-
построению меры fx2 это преобразование Фурье является функ-
функцией Z-2(cp). заданной на подпространстве W2 и совпадающей
на этом подпространстве с функционалом L (ср). Но функции
Z,j (ср) и Z.2 (ср) совпадают на подпространстве Ч^, так как на
этом подпространстве Lx (ср) = L (ср) = L2 (ср). Таким образом,
преобразования Фурье мер ^ и v совпадают. Но . тогда
и эти меры равны друг другу. Тем самым согласованность
мер jjuj- доказана.
Итак, мы можем сопоставить функционалу L (ср) меру ;а
цилиндрических множеств в Ф'. Нам осталось показать, что
эта мера удовлетворяет условию непрерывности. Для этого
воспользуемся следующей теоремой из теории интеграла
Фурье. .
Если последовательность положительных нормиро-
нормированных мер {|хл} такова, что для любого значения к


434
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
имеет место равенство
lim Г eikx dpn (x) = Г eilx dp0 (х),
п ->¦ оо J J
то меры (хл слабо сходятся к мере |л*).
Чтобы доказать выполнение условия непрерывности для
меры и, рассмотрим любую последовательность {срл} элементов
пространства Ф, сходящуюся к элементу ср0> и обозначим
через [хл меру, соответствз^ощую элементу срл. а через у.о —
меру, соответствующую элементу ср. Тогда при любом веще-
вещественном значении >. имеют место равенства
р„) = f
(х), п = 0,
[см. формулу D)]. Поскольку в силу непрерывности функ-
функционала L (ср) мы имеем lim L (Хсрл) = L (Хср0), то при любом X
П ->- со
мы имеем
lim Г eiXx d<xn (x) = С ei
П ->. оо J J
Xx
pQ (x).
А отсюда, как говорилось, вытекает слабая сходимость мер ;хл
к мере [х0. Таким образом, мера цилиндрических множеств [л,
которую мы построили, удовлетворяет условию непрерыв-
непрерывности. Тем самым доказательство теоремы закончено.
Если пространство Ф ядерно, то по теореме 3 из § 2
любая мера цилиндрических множеств счетно-аддитивна.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Теорема 2. Любой, непрерывный положительно опре-
определенный функционал L (ср) в ядерном пространстве Ф,
такой, что ?@)=1, является преобразованием Фурье
*) Мы говорим, что последовательность положительных мер ;*.„
слабо сходится к мере jx, если для любой ограниченной непрерыв-
непрерывной функции f (х)
п ->-со
J
С/{х) d^ (x).
J
1]
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
435
счетно-аддитивной положительной нормированной меры
в пространстве Ф'.
Эта теорема является не чем иным, как теоремой Бохнера
для ядерных пространств.
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Инвариантные и квазиинвариантные меры в конеч-
конечномерных пространствах. Мы рассмотрим в этом пара-
параграфе вопросы, связанные с преобразованием мер в линейных
топологических пространствах при параллельных переносах.
Под термином «мера» мы понимаем здесь положительную
счетно-аддитивную регулярную в смысле Каратеодори функ-
функцию а (X), определенную на борелевских множествах, и та-
такую, что все пространство является счетной суммой множеств
конечной меры (последнее свойство называется а-конечностью
меры fi).
Начнем с рассмотрения мер в конечномерных линейных
пространствах. В конечномерном линейном пространстве Rn
существует лебегова мера ;х0 (X), остающаяся инвариантной
при всех параллельных переносах в пространстве Rn. Иными
словами, мера jj-qPO такова, что а0(X) = jj-0(у-j-X) для всех
векторов у из Rn и всех измеримых множеств X. Свойство
инвариантности относительно параллельных переносов
является характеристическим для лебеговой меры — все
меры, инвариантные относительно любых параллельных пере-
переносов, отличаются друг от друга лишь постоянным множи-
множителем .
Рассмотрим теперь меры, эквивалентные лебеговой мере.
Мы называем две меры ц и » эквивалентными, если они
обладают общим набором множеств нулевой меры (т. е. если
из равенства [х (X) = 0 вытекает равенство v (X) — 0 и об-
обратно). Описание всех множеств, эквивалентных лебеговой
мере, дается следующей теоремой:
Теорема 1. Любая мера \х в Rn, эквивалентная ле-
лебеговой мере, имеет вид
= ff(x)dx,


436
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[1
1]
§ 5. КВАЗЙИПВАРЙАНТНЫЕ МЕРЬ!
437
где f (x) — строго положительная функция, суммируемая
на всех ограниченных множествах в Rn.
Доказательство. Так как из равенства \>.0(X) = Q
вытекает, что \i(X) = 0, то по теореме Радона — Никодима *)
существует такая конечная измеримая неотрицательная функ-
функция /О), что
ц(Х)= ff(x)dx
X
для всех измеримых множеств ,Х в Rn. Обозначим чергз Хо
множество точек, в которых / (х) = 0. Очевидно, что
так как меры ;х и jj.o эквивалентны, то \>.0(Х) = 0. Следова-
Следовательно, функция f (х) почти всюду строго положительна.
Так как функцию / (х) можно изменить на множестве меры
нуль, не нарушая равенства A), то можно считать, что она
строго положительна при всех значениях х.
Покажем, наконец, что функция / (х) суммируема на каж-
каждом ограниченном множестве. Так как меры [х и ;л0 эквива-
эквивалентны, а лебегова мера любой точки х из Rn равна н\глю,
то [х(лг) = О для всех х из Rn. Но в силу того, что мера [л
регулярна по Каратеодори, из равенства (* (х) — 0 вытекает
существование у точки х окрестности V (х), имеющей конеч-
конечную меру. Поскольку любое замкнутое ограниченное мно-
множество X в Rn можно покрыть конечным числом окрестно-
окрестностей V (х), то fi-мера множества ^конечна. Теорема доказана.
*) Теорема Радона — Никодима формулируется следующим об-
образом.
Пусть [J. и -v—-такие меры, что \>.{Х) = 0 для всех множеств
X нулевой ч-меры. Тогда существует такая конечная измеримая
неотрицательная функция f(x), что для любого ч-измеримого
множества X выполняется равенство
V. (X) = j f{x) йч (x).
x
Функция f(x) определена с точностью do значений на мно-
множестве нулевой ч-меры.
I
Заметим, что лебегова мера ;j.o (X) выражается через меру
формулой
х
Вообще, если jj. и ч — меры, эквивалентные лебеговой мере, то они
эквивалентны друг другу, и, как показывают рассуждения, анало-
аналогичные проведенным выше, мы имеем
j.4 (x) dy. (x),
где /у.ч (х) — суммируемая (по мере jj.) в каждой ограниченной об-
области функция, строго положительная для всех значений х.
Меры |i, эквивалентные лебеговой мере, обладают сле-
следующим ослабленным свойством инвариантности относительно
параллельных переносов.
Если множество X имеет нулевую \ь-меру, то все
сдвиги множества X имеют нулевую ii-меру. В самом
деле, пусть р.(Х) = 0. По теореме 1 это означает, что
Г / (x)dx — 0, где f (х) — строго положительная функция.
х
Обозначим через Хп подмножество X, на котором выпол-
выполняется неравенство — ^/(лг). Очевидно, что
„)= ff(x)dx = 0,
и поскольку f (х)~^> — при х?Хп, то !АО(.ХЛ) = О. В силу
инвариантности лебеговой меры для любого у ?Rn имеет
место равенство [х0 (у -f- Хп) = 0, из которого вытекает, что
Поскольку функция f (х) строго положительна, то Х =
гл, и потому
р. (у + X) = Ига [о. {у + Хп) = 0.
/2 = 1


438
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Тем самым доказано, что все сдвиги множества X нулевой
fi-меры имеют нулевую |л-меру.
Мы будем называть меры |х, обладающие тем свойством,
что р(у-\-Х) = 0 для всех у, если |i(X) = O, квазиинвари-
антными (относительно параллельных переносов). Мы дока-
доказали, таким образом, что все меры, эквивалентные лебего-
лебеговой мере, квазиинвариантны.
Имеет место и обратное утверждение.
Теорема 2. Если мера ;х квазиинвариантная, то она
эквивалентна лебеговой мере.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 1. Если мера fx квазиинвариантна, то мера
любого ограниченного множества конечна.
Доказательство. Из квазиинвариантности меры \i
вытекает, что [i-мера любой точки х в Rn равна нулю.
В самом деле, если бы имело место неравенство {х(лго)>-0,
то и для всех остальных точек х мы имели бы [л (х) > 0 и
пространство Rn нельзя было бы разбить на счетную сумму
множеств конечной |х-меры.
Так как р(х) — О для всех x?Rn, то в силу регуляр-
регулярности меры [г у любой точки х из Rn найдется окрест-
окрестность V(х), имеющая конечную меру. Поскольку любое
ограниченное замкнутое множество X в Rn можно покрыть
конечным числом окрестностей V (х), то все такие множества
имеют конечную fx-меру, ц (X) < -f- oo.
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть fx— квазиин-
квазиинвариантная мера. Сопоставим любому элементу у из Rn
меру 14 • положив
Из квазиинвариантности меры fx вытекает, что [лу (X) = О,
если \ь(Х) = 0. Следовательно, по теореме Радона — Нико-
дима найдется такая неотрицательная конечная функция / (х, у),
что для любого у и любого множества X в Rn выполняется
равенство
V- (У + X) = j f {x, у) rffx (x). B)
Заметим, что функция f(x,y) при всех значениях у
строго положительна почти при всех значениях х (относи-
(относительно меры [*). В противном случае нашлось бы множество X,
§ б. КВАЗИЙНВАРЙАНТНЫЁ MEPbl
439
такое, что |а(Лг)>0, но {х {у -\-X) = 0, вопреки предполо-
предположению о квазиинвариантности меры [х.
Изменив при каждом у значения f(x, у) на множестве
нулевой jx-меры, мы можем добиться выполнения неравен-
неравенства f(x, y)^>0 при всех х и у.
Покажем теперь, что из равенства \>.0(X)=Q, где X—
ограниченное множество, вытекает равенство р(Х) = 0. С этой
целью запишем равенство B) в виде
= / X (х) f (х, у) rffx (х),
C)
где х (х) — характеристическая функция множества X. Возь-
Возьмем далее любое ограниченное множество Y, такое, что
Ро С) > О» И проинтегрируем равенство C) по множеству Y
относительно лебеговой меры. Мы получим, что
= f
D)
где через уЛ (у) обозначена характеристическая функция мно-
множества Y. Интеграл, стоящий в левой части этого равенства,
сходится. В самом деле, точки вида у-\-х, где _у? Y, х?Х,
образуют ограниченное множество Z в пространстве Rn и
потому для всех значений у мы имеем р(у -\-Х)^_ jx(Z).
Следовательно,
Заметим теперь, что
V.(y-\-X)= f dv.(x)=
у+х
и потому равенство D) можно переписать в виде
/ / Xi СУ) X (х — У)
Заменим в левой части этого равенства у на х —у и при-
применим теорему Фубини. Мы получим, что
/ [/ Xi (х — у) d? (х)] dy=f[j f(x.y) dy] dp (x).


440
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Отсюда вытекает, что если ио(А') = 0, то
X Y
E)
Но из неравенств f(x, у)>0 и fi.o (К) > 0 вытекает, что
, у) dy > 0 при всех значениях х. Поэтому из равен-
ства E) следует, что ц, {X) = 0.
Итак, доказано, что для ограниченных множеств ра- ен-
ство |io(A) = 0 влечет за собой равенство |i(A) = 0. По-
Поскольку любое множество X нулевой лебеговой меры разла-
разлагается в счетную сумму ограниченных множеств нулевой
меры, а мера ц счетно-аддитивна, то равенство \i(X) = 0
имеет место для всех множеств нулевой лебеговой меры. По
теореме Радона—Никодима отсюда следует, что
где f (х) — положительная функция, суммируемая на любом
ограниченном множестве.
Нам осталось показать, что функция / (х) строго поло-
положительна. Обозначим через XQ множество, на котором функ-
функция f (х) равна нулю. Предположим, что его лебегова мера
отлична от нуля. Выберем в пространстве Ra счетное всюду
плотное множество точек хг xk, ... и обозначим через
Z объединение всех множеств
Нетрудно показать, что дополнение Zt к множеству Z имеет
нулевую лебегову меру. Но Rn = Z (J Zt и потому
оо
f*(#„) = !х(Z) + fx(Zx)< fx(?i) +2^ (** + *о)- F)
Так как на множестве Хо выполняется равенство / (х) — 0,
то ja (Л'о) = 0. Поскольку мера ;х квазиинвариантна, то для
всех k мы имеем [>.(хк-\-Хо) = 0. Кроме того, |i(Zj)==0, так
как jio(Z1) = 0. Поэтому, в силу соотношения F), y-(.Rn) = О.
§ 5. КВАЗИИИВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
441
Итак, функция / (х) может обращаться в нуль на множестве
положительной лебеговой меры лишь в случае, когда и, —
нулевая мера. Теорема 2 доказана.
Итак, мы д-оказали, что класс квазиинвариантных мер
в пространстве Rn совпадает с классом мер, эквива-
эквивалентных лебеговой мере. Поэтому в пространстве Rn
все квазиинвариантные меры эквивалентны друг другу.
2. Квазиинвариантные меры в линейных топологиче-
топологических пространствах. Перейдем теперь к рассмотрению мер
в бесконечномерных линейных топологических пространствах.
Определение квазиинвариантности можно формально перене-
перенести и на этот случай, назвав меру в линейном топологическом
пространстве квазиинвариантной, если параллельные сдвиги
переводят множества нулевой меры во множества нулевой
меры. Однако такое формальное перенесение оказывается
неудачным. Дело в том, что для наиболее важных классов
бесконечномерных пространств отсутствуют ненулевые меры,
квазииивариантные в указанном смысле.
Рассмотрим меры \i в пространстве Ф', сопряженном со
счетно-нормированным пространством Ф. Покажем, что если
со
Ф—Р|Ф„, причем Ф„гэФл+1, и для любого п простран-
пространства Фп и Фя+1 различны, то в Ф' нет квазиинвариант-
ной меры. В самом деле, пространство Ф' является объеди-
объединением подпространств Ф„ сопряженных с пространствами Фп,
Ф' =
где
Поэтому
(подпространства Ф„ являются борелевскими множествами
в Ф' и потому мера [а для них определена). Поскольку
[х(ф')^=0, то найдется такое п, что [л (ФЛ) ф 0. Но по ус-
условию пространства Ф„ и Ф„+1 отличны друг от друга,
а потому Ф'п отлично от Ф'. Разобьем пространство Ф' на
смежные классы по подпространству Ф„. Каждый из этих
смежных классов получается при параллельном переносе
29 Зак. 1281, И. М. Гельфанд и Н, Я. Виленкин


442
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
2]
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
443
подпространства Ф„,имеющего ненулевую меру, и в силу квази-
квазиинвариантности меры |л имеет ненулевую меру. Поскольку
множество таких смежных классов имеет континуальную
мощность, мы приходим к противоречию с а-конечностью
меры ji. Тем самым наше утверждение доказано.
Это утверждение остается справедливым и для про-
пространств Ф', сопряженных с нормированными пространствами,
имеющими счетное всюду плотное подмножество. В частно-
частности, нет ненулевых квазиинвариантных мер в гильбертовом
пространстве (см. п. 3).
Как и во многих аналогичных случаях, возникшее затруд-
затруднение удается разрешить путем рассмотрения оснащенных гиль-
гильбертовых пространств. Итак, пусть ФсЯсФ'—оснащенное
гильбертово пространство, т. е. ядерное пространство Ф,
в котором задано скалярное произведение (ср, ф) (через Н мы,
как и в § 4 гл. I, обозначаем пополнение пространства Ф
по норме ||cp|j —j/"(cp, ср). Сопоставим каждому элементу ф из
Ф функционал .Рф в Ф, задаваемый формулой
пространства Ф
^, ф?Ф, всюду
Мы получим (антилинейное) вложение ф —>
в Ф'. Очевидно, что элементы вида
плотны в Ф'.
Назовем меру ja в пространстве Ф' квазиинвариантной,
если для любого множества X из Ф', такого, что ji(A") = O,
и любого элемента ф из Ф выполняется равенство \l(F^-\-
-\-Х) = 0. Таким образом, мы отказываемся от требования,
чтобы все сдвиги в Ф' переводили множества нулевой меры
во множества нулевой меры, а требуем этого лишь для
сдвигов на элементы вида F^ ?Ф
Отметим, что, поскольку элементы вида F^ всюду плотны в Ф',
сдвигов на элементы F^ «достаточно много». Это означает, что
если Ф'/что = R—конечномерное фактор-пространство, то любой
сдвиг в R может быть индуцирован сдвигом в Ф', соответствующим
элементу F.^, где ф ? Ф- Это утверждение вытекает из того, что об-
образ пространства Ф в R всюду плотен и в силу конечномерности R
совпадает с R.
Докажем теперь, что е пространства^ Ф', сопряжен-
сопряженных ядерным пространствам, существуют квазиинвари-
¦ антные меры (при этом, разумеется, квазиинвариантность
понимается в указанном сейчас смысле). Именно, мы пока-
покажем, что если вложение пространства Ф в пространство Ф'
определяется непрерывным эрмитовым функционалом В(ср, ф),
то гауссовская мера ja, определяемая этим функционалом, ква-
зиинвариантна.
Иными словами, будет доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть В(ср, ф)— непрерывный по каж-
каждому аргументу невырожденный положительно опреде-
определенный эрмитов функционал в ядерном пространстве Ф
и [х — гауссовская мера в пространстве Ф\ задаваемая
этим функционалом. Если X—такое множество в Ф',
что [а(Л") = 0, и ф— любой элемент в пространстве Ф,
то \x.(Fq,-\-X) — 0, где через F^ обозначен функционал
в Ф, определяемый формулой
(/>, ср) = В (ср, if).
Доказательство этой теоремы опирается на следующую
лемму.
Лемма 2. Пусть jj- — гауссовская мера в простран-
пространстве Ф', сопряженном ядерному (комплексному) счетно-
гильбертову пространству Ф, а -8(ср, ф) — эрмитов функ-
функционал, задающий эту меру. Если основание А цилин-
цилиндрического множества Z в Ф' принадлежат проекции
шара \\F\\ _ ^R в фактор-пространстве ф'/Ч/о г$е
W0 — образующее подпространство для Z, то для любого
элемента ф из 47 выполняется неравенство
G)
Доказательство. По определению гауссовской меры
мы имеем *)
*) Ради краткости записи через F обозначается смежный
) д р р
класс по W0, содержащий элемент F из Ф', а через
ция в Ф'/\Р° цилиндрического множества F^ -\- Z.
29«
A — проек-


проек444
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и
V
= —V /expf—lflv(^-
4 ' A
rue By (Flt F2) — функционал в Ф'/ЧГ0, определяемый функ-
функционалом В (ср, ф), а ^цг/7 — лебегова мера в Ф'/W0, соответ-
соответствующая скалярному произведению B\p(Flt F2). Поэтому
sup
<sup
y7
Из определения функционала B\jr(Flt F2) (см. § 3, п. 2)
вытекает, что для любого элемента F из Ф'/Ч? выполняется
равенство
BV(F, FJ = (F. ф),
где через (F, ф) обозначено значение функционала F для
элемента <р. Если F ?А, то по условию леммы можно вы-
выбрать F в F так, чтобы выполнялось неравенство |[/:'||_п^^.
Тогда
Поэтому
и тем самым лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 3. Пусть X—-
множество нулевой [v-меры и ф — любой элемент из про-
странствя Ф. Нам надо показать, что множество F^-\-X—
сдвиг л. н эжества X на элемент F& — также имеет нулевую
2]
5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
445
|1-меру» Для этого достаточно установить, что при любом
s>0 выполняется неравенство \>.(F^-{-X) <С е.
Итак, пусть задано е > 0. Так как мера \ь счетно-адди-
счетно-аддитивна, а пространство Ф' является объединением шаров
ii^i!_B^^> то найдутся такие числа п и R, что [А-мера
дополнения к шару S: ||^1!_п<^ меньше, чем-^-. Обозна-
Обозначим через Хх множество XuSlt где через Sj обозначен
11
р j
шар ||/?||_п <!^-h 11^ф11_я. а через Х2 — дополнение к мно-
множеству Хг в X. Очевидно, что множество F^-\-X2 лежит
в дополнении к шару S, и потому в силу выбора этого
шара имеет место неравенство
< -j -
Покажем, что и jj, (F^-j-Хг) <^ i-. В самом деле, так как
множество Хх имеет нулевую [А-меру, то его можно так по-
крыть счетной суммой IJ Zk цилиндрических множеств, что
й
При этом, поскольку множество Х1 лежит в шаре S,
цилиндрические множества Zk, I <^ k < оо, можно выбрать
так, чтобы основание Ак множества Zp лежало в проекции
шара 5j в Ф'/Ф? Гчерез Ф^ обозначено образующее подпро-
подпространство множества Zk). He теряя общности, можно счи-
считать, что при всех k выполняется соотношение ф^Ч?^. Так
как Ак принадлежит проекции шара S1 : \\F\\_
то по лемме 2
и потому
R~jr\\F
^\\ _a,
г (^ф н- хо < 2
Й1


446
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[2
Таким образом, [i(F^-j-Xx) < 4-. Но это означает, что
-+- А") = р (/^ +, Ai) + j* (/% + *2) < в.
Теорема доказана.
Итак, гауссовские меры в пространстве Ф', сопряженном
с ядерным пространством Ф, квазиинвариантны. Можно ска-
сказать, что каждому непрерывному положительно определен-
определенному эрмитову функционалу В (ср, ф) в Ф соответствует ква-
квазиинвариантная мера. При этом, если пространство Ф беско-
бесконечномерно, то в Ф' существует бесконечно много попарно
неэквивалентных квазиинвариантных мер (напомним, что в ко-
конечномерных пространствах все квазиинвариантные меры
эквивалентны друг другу).
В самом деле, рассмотрим в ядерном пространстве Ф
положительно определенные эрмитовы функционалы В1{^, ф)
и В2 (ср, ф) и обозначим через ^ и [л2 гауссовы меры в про-
пространстве Ф', задаваемые этими функционалами. Предполо-
Предположим, что функционал В2(у, ф) ограничен относительно ска-
скалярного произведения, задаваемого функционалом 5х(ср, ф),
т. е. что существует М > О, при котором неравенство
выполняется для всех элементов ср пространства Ф. Тогда
функционал В2 (ср, ф) определяет положительно определен-
определенный линейный оператор А в пространстве Н (пополнении Ф
по норме ||<р|| = "K-SiOp, ср)), задаваемый формулой
Имеет место следующее утверждение: если оператор А,
определяемый формулой (8), имеет дискретный спектр.,
причем ряд
> составленный из собственных значе-
значеи ji2 неэкви-
неэквиний оператора А, сходится, то меры
валентны.
Доказательство этого утверждения основано на леммах 2
и 3 из § 3. Именно, рассмотрим в пространстве Ф шар. 5,
задаваемый неравенством Bl(f, ср) ^ R2, и обозначим через S'
образ _этого. шара в пространстве Ф'. Легко показать,
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
447
пользуясь леммой 3 из § 3, что [А1-мера этого шара равна
со
нулю. В то же время, если ряд 2 ^л сходится, то, поль-
й = 1
зуясь оценками из леммы 2 § 3, можно показать, что [л2 —
мера этого шара при достаточно большом значении R от-
отлична от нуля. Тем самым доказано, что меры ^ и [л2
неэквивалентны *).
Пользуясь этим утверждением, нетрудно построить беско-
бесконечное множество попарно неэквивалентных квазиинвариант-
квазиинвариантных мер в Ф. Для этого достаточно рассмотреть после-
последовательность B1(cf, <J>), ..., Вп (ср, <J>), ... положительно
определенных эрмитовых функционалов в Ф, таких, что
оператор Ап, задаваемый формулой
я« (А,?. Ф) = ая+1(<р. <!>).¦
имеет дискретный спектр, причем ряды, составленные из соб-
собственных значений операторов Ап, сходятся.
Было бы весьма интересно дать полное описание всех
квазиинвариантных мер в ядерных пространствах.
3. Квазиинвариантные меры в полных метрических
пространствах. В п. 2 было доказано, что в пространст-
пространствах Ф', сопряженных со счетно-нормированными простран-
пространствами, нет квазиинвариантных мер. Сейчас аналогичное
утверждение будет доказано для полных метрических линей-
линейных пространств.
Теорема 4. Пусть Л — полное метрическое линей'
ное пространство, содержащее счетное всюду плотное
множество, и такое, что абсолютно выпуклая оболочка
любого компактного множества**) X из А нигде не
плотна в Л. Тогда еданственной квазиинвариантной ме~
рой в Л является нулевая мера.
*) Можно показать, что если произведение ]|~[ Хй сходится,
то меры fj-i и fj-2 эквивалентны. В этом случае оператор А является
суммой единичного и ядерного операторов. .
**) Абсолютно выпуклой оболочкой множества X называется
множество X, состоящее из линейных комбинаций вида агх^ -(-,..
.. . + а„Хп, где Xk е X, 1 < k < П, И | ai | + .. . + | ап |< 1.


448
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
13
Доказательство. Покажем сначала, что если в про-
пространстве А нет нормированных квазиинвариантных мер (т. е.
таких квазиинвариантных, мер, .что ji(A)—1), то единствен-
единственной квазиинвариантной мерой в А является нулевая мера.
В самом деле, пусть [i — квазиинвариантная мера в А. Так
как мера ;а а-конечна, то пространство А можно разбить на
счетную сумму множеств At, .... Ak, ..., имеющих конеч-
конечную меру jJ.(Afe). Обозначим через f (х) функцию в про-
пространстве А, такую, что /00 =-г——, если x?Ah, и по-
(Ай)
ложим
Так как
v [л ) =
(9)
й=1
Й=1
то v является нормированной мерой в пространстве А. При
этом из квазиинвариантности меры ;а легко следует, что мера v
также квазиинвариантна. Но мы предположили, что в про-
пространстве А нет нормированных квазиинвариантных мер.
Следовательно, р.(А) = 0.
Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы
доказать, что в пространстве А нет нормированных квазиин-
вариантных мер. Пусть |а— счетно-аддитивная мера в А,
такая, что [а(А)=1. Покажем, что для любого п найдется
такое компактное множество Хп в А, что u.(AV)^-l .
В самом деле, выберем в пространстве А счетное всюду
плотное множество, состоящее из точек xls .... xk
и рассмотрим замкнутые шары Skp с центрами в точках xk
и радиусами —. Так как при любом фиксированном р
шары Sj , S2p Skp, ... покрывают пространство А
(множество точек хи хг, ..., xk, ... всюду плотно в А),
то в силу счетной аддитивности меры [а найдется такое k(j>),
что мера .множества
3]
не меньше, чем 1
§ 5. КВАЗЙИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
1
449
. Обозначим через Хп множество
Хпр и покажем, что Хп является искомым компактным
р=Х
множеством. В самом деле, очевидно, что
A0)
откуда вытекает, что мера множества Хп не меньше, чем
1 — —. Далее, при любом р множество Хп покрывается ко-
корадиуса —. Наконец,
нечным числом шаров Slp
множество Хп замкнуто, поскольку замкнуты шары Sk и,
следовательно, множества Хпр как объединения конечного
числа этих шаров. Но в полном метрическом пространстве А
всякое замкнутое множество Z, которое можно покрыть ко-
конечным числом шаров сколь угодно малого радиуса, ком-
компактно *). Следовательно, компактно и множество Хп.
оо
Обозначим теперь через X множество !! Хп. Из соот-
ношения р(Хп) ;> 1 — — вытекает, что X является множе-
множеством полной меры, т. е. что [а(Л")—1. Но тогда и (незамк-
(незамкнутая) линейная оболочка X множества А" имеет полную меру**).
Покажем, что множество X не совпадает со всем простран-
пространством А. Для этого рассмотрим в пространстве А компакт-
компактные множества Y'а вида Yn =
Xk. Обозначим через Yп
й1
абсолютно выпуклую, оболочку множества Yп.
*) Доказательство этого утверждения протекает так же, как
и доказательство компактности ограниченного замкнутого множе-
множества в конечномерном пространстве, с той лишь разницей, что
роль разбиений играют покрытия множества Z шарами сколь угод-
угодно малого радиуса.
**) Линейной оболочкой множества X мы называем множество X,
состоящее из конечных линейных комбинаций
элементов множества X.


450
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
По условию теоремы множества Yп нигде не плотны в Л.
Поэтому и множества kYn, состоящие из элементов вида ky,
y?Yn, нигде не плотны в.Л. Так как полное метрическое
пространство нельзя разбить в счетную сумму нигде не плот-
плотных множеств (см. гл. I, § 1, п. 1), то объединение
оо оо
Y = М М kYa множеств kYn не совпадает с Л. Но XczY,
ft l1
так как если х ? X, то х = Х1х1 -f- ... -f- \хр, где х} ? Xn{j),
п
и потому x(z YB, где «= max л (у) и k ^- 2 |Х,|. Тем са-
мым доказано, что множество X, имеющее меру 1, не со-
совпадает с Л.
Пусть теперь у — любой элемент пространства Л, не при-
принадлежащий X. Так как множество X линейно, то пересече-
пересечение множеств X н у-\~Х пусто. Так как у-\-А"лежит в до-
дополнении к A", a \l(X) = 0, то [а (у-\- X) = 0. Поскольку
множество у-\-Х получается из X параллельным переносом,
то мера [1 не является квазииивариантной. Теорема доказана.
Покажем теперь, что из этой теоремы вытекает отсут-
отсутствие ненулевых квазиинвариантных мер в бесконечномерных
нормированных пространствах Л, содержащих, счетное всюду
плотное множество. В самом деле, нам надо лишь показать,
что в таких пространствах абсолютно выпуклая оболочка
любого компактного множества нигде не плотна. Пусть X—
компактное множество в Л, а 5 (х0, г) — шар в простран-
пространстве Л с центром в точке х0 и радиусом г. Так как мно-
множество X компактно, его можно покрыть конечным числом
шаров S(xk, г 12), 1 <]?<;«, радиуса г/2. Поэтому абсо-
абсолютно выпуклая оболочка X множества X лежит в абсолютно
л
выпуклой оболочке 5 множества S— SJ S(xk, г/2). Любой
k=i
элемент у из множества S может быть представлен в виде
где
... -|-|XJ=1 и ||Л||= ... =||д,я|1 =
4]
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
451
Но все элементы Х1л;1-|- ... -\-~кпх„ принадлежат под-
подпространству L, натянутому на элементы хг, .... хп, а
Поэтому все элементы из S могут быть записаны в виде
, где l?L, а ||2||<;-^-.
Чтобы показать, что замыкание S не совпадает с шаром
S(x0, r), достаточно найти в шаре S@, r) элемент уи кото-
который нельзя представить в виде yt = l — хо-\-г, где /?/.,
|| z || <^Tf. Но существование такого элемента сразу вытекает
из конечномерности подпространства L и бесконечномерности
пространства Л. По теореме 4 из доказанного утверждения
вытекает отсутствие в Л ненулевой квазиинвариантной меры.
Точно так же доказывается отсутствие ненулевых квазиин-
квазиинвариантных мер в счетно-нормированных пространствах,
содержащих всюду плотное счетное множество.
4. Ядерные группы Ли и их унитарные представления.
Коммутационные соотношения в квантовой теории поля.
Построенные нами в п. 2 квазиинвариантные меры находят
приложения в теории бесконечномерных групп Ли. Пусть О —
некоторая группа. Мы будем называть ее ядерной группой
Ли, если существует окрестность единичного элемента в G,
гомеоморфная окрестности нуля счетно-гильбертова ядерного
пространства Ф. Обычно будут рассматриваться ядерные группы
Ли, для которых Ф является оснащенным гильбертовым про-
пространством, т. е. такие, что в Ф задано скалярное произве-
произведение (ср, ф). Каждое ядерное пространство Ф можно рассмат-
рассматривать как коммутативную ядерную группу Ли.
Приведем несколько более сложный пример ядерной
группы Ли. Пусть ФсЯсФ' — оснащенное гильбертово про-
пространство. Назовем элементами группы Go всевозможные тройки
g = (ср, ф; а), где ср и ф — элементы из Ф, а а — комплекс-
комплексное число, равное по модулю единице. Введем в группу Go
умножение, положив
= (?i + «Ра-
(H)
[(?> Ф) ~^*- скалярное произведение в Ф].


452
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Эта группа связана с коммутационными соотношениями
в квантовой теории поля. В квантовой механике систем с одной
степенью свободы изучаются операторы р и q, связанные
коммутационным соотношением
pq — qp=\.
Это коммутационное соотношение является коммутационным
соотношением для операторов Ли группы G, элементами ко-
которой являются тройки чисел (х, у, а), а Ф 0, а умножение
задается формулой
(*i. Уи*1)(х2. у2, аз) = (*! -f х2, у1-\-у2. е^о^ва). A2)
Точно так же рассмотрение систем с п степенями свободы
приводит к системе коммутационных соотношений
1' 1 < У < «¦ A3)
Они являются коммутационными соотношениями для опера-
операторов Ли группы G, элементы которой имеют вид (х, у, а),
где х и у — векторы «-мерного пространства, а умножение
задается формулой, аналогичной формуле A2), с той лишь
разницей, что вместо хгу^ надо взять скалярное произведе-
произведение (х2, У)). Наконец, рассмотрение квантовых полей (систем
с бесконечным числом степеней свободы) приводит к беско-
бесконечным системам коммутационных соотношений вида A3).
Естественно рассматривать эти соотношения как коммутацион-
коммутационные соотношения ядерной группы Ли Go.
Мы рассмотрим в этом пункте унитарные представления
групп Ф и О0. Унитарным представлением любой группы G
называют заданную на ней непрерывную операторную функ-
функцию U (g), значениями которой являются унитарные опера-
операторы в гильбертовом пространстве ф, такую, что
для любых двух элементов gt и g2 из О. Унитарное пред-
представление U (g) называют циклическим, если в простран-
пространстве 4) существует такой вектор h, что наименьшее замкну-
замкнутое подпространство в ф, содержащее все векторы U (g) h,
g?G, совпадает с ф. Не теряя общности, можно считать,
что || А|| = 1. Вектор h называют циклическим вектором пред-
представления U (g).
4]
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
453
Начнем с рассмотрения циклическихпредставлений группы Ф.
Иными словами, рассматриваем непрерывную операторную
функцию ?/(ср), где ?/(ср) — унитарные операторы в гильбер-
гильбертовом пространстве ф, причем ?/Opi-+-ср2) = ?^0Pi) U (<?%)• Из
того, что группа G коммутативна, вытекает выполнение равен-
равенства U (cpx) U (ср2) = U (cp2) U (cpj) для любых элементов <рх и ср2
из Ф. Из унитарности же операторов U следует, что U (— <р)=
= ?/-1(<р) = ?/•(?).
Сопоставим каждому циклическому унитарному представ-
представлению U (ср) группы G функционал L (ср) в Ф, положив
где h —¦ циклический вектор представления U (ср), а через
(h, h)l обозначено скалярное произведение в ф. Этот функ-
функционал положительно определен. В самом деле, для любых
элементов cpt, . . ., срп из Ф и любых комплексных чисел
п
V
ап выполняется равенство
I (cp; — cpft) a.fa.k = 2
Но
(Ц (?/ - cpft) h, h\ = (У* (ср*) U Op,) h, h\ = (U (Ь) h, U (Tft) h\
и потому
л
7i L (ср, — i
n
s
= 1 fe = l
(T
(Ту)
>o
(||h||j — норма в пространстве ф).
Тем самым положительная определенность функционала
L (ср) доказана. Очевидно далее, что L@) = (A, hI=\ и что
в силу непрерывности операторной функции U (ср) функцио-
функционал L (ср) непрерывен. Применим к функционалу /.(ср) тео-
теорему Бохнера для бесконечномерных пространств (см. тео-
теорему 1 из § 4). В силу этой теоремы найдется такая нор-
мированная мера [а в пространстве
преобразованием Фурье этой меры
Ф', что Z.(cp) является
L (ср) = J е1 (р- ч) dp (F).
A4)


454
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Точно так же, как в спектральном анализе операторов
(см. добавление к § 4 главы I), доказывается, что простран-
пространство ф можно реализовать в виде пространства Z.^ функ-
функций f (F), заданных на пространстве Ф' и имеющих интегри-
интегрируемый квадрат модуля относительно меры р,, причем опе-
операторам ?/(ср) соответствуют при этой реализации операторы
умножения на el (F> ?>.
Указанная реализация состоит в том, что вектору
A5)
из !q сопоставляется функция
с- **)
A6)
на Ф'. Из формулы A4) следует, что это соответствие изометрично.
Так как h — циклический вектор, то векторы вида A5) всюду плотны
в ф, а потому построенное соответствие можно распространить на
все векторы из ф. Оператор ?/(ср) переводит вектор вида A5)
в вектор
которому соответствует функция
(F,
= е
i (F,
Следовательно, на функциях вида A6) оператору ?/(ср) соот-
соответствует оператор умножения на el ^F' v\ Но легко доказать, что
эти функции всюду плотны в L\. Поэтому оператору ?/(<р) соот-
соответствует в
оператор умножения на
el
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 5. Пусть U(ср) — унитарное циклическое
представление группы Ф и h ^ <р — циклический вектор
этого представления. Тогда в пространстве Ф' сущест-
существует такая нормированная мера [л, что
= (?/(ср)/г, К) = J
A7)
4]
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
455
При этом пространство ф молено так реализовать в виде
пространства Lp. функций f(F), Г?Ф', имеющих инте-
интегрируемый квадрат модуля относительно меры ja, что
операторам U (ср) соответствуют при этой реализации
операторы умножения на е1 (/?> f\
Если выбрать в пространстве ф вектор Alt отличный от h
(вообще говоря, не циклический), то ему также соответствует
положительно определенный непрерывный функционал Lx (ср),
определяемый равенством
Функционал 4-j (ср) является преобразованием Фурье положи-
положительной меры [а1 в Ф' . . .
JV^ A8)
Эта мера связана с мерой [а соотношением
rfMOH/W^tf7). A9)
где /(Z7) — функция, соответствующая в силу теоремы 4
вектору hx. В самом деле, поскольку оператору ?/(ср) соот-
соответствует в Ф' оператор умножения на ei(-F>f\ а соответ-
соответствие между пространствами ф и 'Z.J1 изометрично, то
L, (ср) = (U (ср) hu h,\ = §el № 9) | / (F) |2 dv. (F).
Сравнивая это равенство с равенством A8), мы убеждаемся
в справедливости соотношения A9).
Из формулы A9) следует, что если ^(^^О, то и
[^(X) —0. Если вектор пх также является циклическим век-
вектором, то справедливо и обратное утверждение. Таким обра-
образом, меры, соответствующие различным циклическим
векторам в ф, эквивалентны друг другу.
Заметим, наконец, что если в пространстве Ф' задана
любая нормированная мера ;а, то существует такое унитар-
унитарное представление U (ср) группы Ф и такой вектор h в про-
пространстве представления, что
(U (ср) п, К) = f el (Л fl dp (F).
В самом деле, обозначим через Ljl пространство всех функ-
функций / (F) на Ф', имеющих интегрируемый квадрат модуля


456
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[4
по мере р, и сопоставим элементу ср из Ф оператор U (ср)
в Z.JJ., переводящий функцию / (F) в функцию el (F-1) f (F).
Очевидно, что ?/(ср) и будет искомым представлением.
Рассмотрим унитарные представления группы Ф, не являющиеся
циклическими. В этом случае можно указать счетный набор щ, ...
.... f*yz. ... мер в пространстве Ф', такой, что пространство ф явля-
является прямой ортогональной суммой пространств L2 , причем опера-
торам U (<?) соответствуют в каждом из пространств L\ операторы
умножения на el (F'?). Отсюда вытекает, что пространство Sq можно
реализовать в виде непрерывной прямой суммы гильбертовых про-
пространств
так, чтобы Операторам U (<р) соответствовали операторы умножения
на е1 <-F> f\ Мы не будем подробно проводить соответствующие рас-
рассуждения.
Перейдем теперь к унитарным представлениям группы Go.
Напомним, что эта группа состоит из элементов вида (ср, ф; a),
где ср и ф —векторы ядерного пространства Ф, в котором
задано скалярное произведение (ср, ф), а а — комплексное
число, равное по модулю единице. Умножение в группе Go
задается формулой
(ср,, ф1; а1)(ср2, ф2; а2) = (<р1 + <р2. 4I + ф2; «ifc'*V2)- B0)
Рассмотрим в группе Go. множество Ф1 элементов вида
(ср, 0; 1). Так как
(«Pi. 0; 1)(Та. 0; l) = (Ti + ?2. О; 1),
то это множество элементов образует подгруппу в Go> изо-
изоморфную группе Ф. Точно так же и элементы вида @, ф.; 1)
образуют подгруппу Wt в Go, которая также изоморфна
группе Ф. Наконец, элементы вида @, 0; а) образуют под-
подгруппу А в Go, изоморфную мультипликативной группе Т
комплексных чисел, равных по модулю единице.
Пусть U (g)— унитарное представление группы Go. Рас-
Рассматривая это представление на подгруппе Ф, мы получим
унитарное представление U (ср) группы Ф. Точно так же, рас-
рассматривая это представление на Ф1; мы получим другое уни-
унитарное представление V (ф) для Ф (через V (ф) обозначен опе-
4] § 5. квазиинвариантные меры 457
ратор U {g)> соответствующий элементу @, <Ь; 1) из О0).
Наконец, операторы О (g), соответствующие элементам
g —@, 0; а) подгруппы А, образуют унитарное представле-
представление W (а) группы Т. Поскольку любой элемент •§• = (<$>, ф; а)
группы О0 можно записать в виде произведения
(ср, ф; а) = (<р. 0; 1)@, ф; 1)@. 0; а) B1)
элементов подгрупп Фи W1 и А, то оператор U (g), соот-
соответствующий элементу g, можно записать в виде
W)
Поэтому для задания представления U (g) достаточно указать
представления ?/(ср), V (ф) и W (a).
Ради простоты мы ограничимся случаем, когда представ-
представление W (а) группы Т имеет вид W (а) = а, а представление
ti(cp) — циклическое (общий случай легко сводится к этому).
Покажем, что в этом случае полное описание всех представ-
представлений группы Go сводится к описанию всех пар (?/(ср), У(ф))
представлений группы Ф, удовлетворяющих коммутационному
соотношению
V (<]>) U (ср) = в' (т, -V) U (ср) V (ф). B2)
В самом деле, пусть U {g)—унитарное представление группы О0.
Из равенства B0) вытекает, что
@, ф; 1)(<р, 0; 1) = (<р. 0; 1)@, ф; 1)@, 0; «'(»,«). B3)
Поскольку по условию W (a) = а, то из равенства B3) не-
непосредственно вытекает доказываемое соотношение B2).
Обратно, если унитарные представления U (ср) и V (ф)
удовлетворяют коммутационному соотношению B2), то, пола-
полагая при g-^=(cp, ф; а)
мы получаем унитарное представление группы Go. В самом
деле, если g-1 = (<p1, фг; aj, g-2 = (cp2> ф2; a2), то
1) V (фх) U (ср2) V (ф2) =
O U Ok) V (ф0 V (ф2) =
V (фх + ф2) = U
30
(g2) — a
Зак. 1281. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин


458
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[4
Перейдем к описанию всех пар (U (ср), V (ф)) представле-
представлений группы Ф, удовлетворяющих коммутационному соотно-
соотношению B2). Так как мы рассматриваем лишь случай, когда
?/(ср) является циклическим представлением, то по теореме 4
в пространстве Ф' существует такая нормированная мера ja, что
(U (ср) h, h) = JV С. ?) rfjj, (F)
для всех элементов ср из Ф (Л — циклический вектор пред-
представления ?/(ср)). Пространство «§>, в котором действуют опе-
операторы U (g), можно реализовать в виде пространства L2
функций / (F), .Р^Ф', имеющих интегрируемый квадрат мо-
модуля относительно меры р,, причем операторам U (ср) соответ-
соответствуют в L2 операторы умножения на е1 (**> ?).
Мы докажем сейчас, что при указанной реализации опе-
операторы V (ф) задаются формулами
V(^)f(F) = ^(F)f(F-\-F^. B4)
где через a(F) обозначен образ функции fo(F) ^sl при пре-
преобразовании V (<\i), а через F^ — линейный функционал в Ф,
задаваемый формулой
(TV <р) = (<р. ф)-
В самом деле, рассмотрим функцию / (F) вида
B5)
Так как операторам ?/(ср) соответствуют в L2 операторы ум-
умножения на el (^ f\ эту функцию можно записать в виде
Следовательно, в силу коммутационных соотношений имеем
2 \е1
(ф) /о (Z7) =
*=1
4]
§ 5. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
459
Поскольку
в виде
. Ф) ==
?й), это равенство можно записать
п.
2
Так как функции вида B5) всюду плотны в L^, то равенство
B6)
справедливо для всех функций f (F) из L\.
Функции аф (F) удовлетворяют функциональному уравнению
B7)
В самом деле, в силу равенства B6)
2) /0 (F) = V (фО У (ф2) /0 (F) =
Мы нашли реализацию операторов U (ср) и К (ф) в Z.^.
Покажем теперь, что мера jj., соответствующая представ-
представлению U (у) в Ф', квазиинвараантна. Для этого примем во
внимание унитарность операторов У(ф). Так как К(ф) — уни-
унитарные операторы, то для любой функции / (F) из Z.^ должно
• выполняться равенство
Это равенство можно записать в следующем виде
J*
Заменим в левой части этого равенства переменную F на
ty. Мы получим, что
B8)
Так как равенство B8) выполняется для всех функций / (F)
ZA
р
из ZA то
B9)
30*


460
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Таким образом, при сдвиге на вектор F^, соответствую-
соответствующий элементу ф из Ф, мера \i переходит в меру [Аф, .задавае-
.задаваемую формулой
Очевидно, что \ь^(Х) = 0, если р(Х) = 0. Но это и означает,
что мера ja квазиинвариантна.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 6. Пусть U(g)—унитарное представление
группы Go в пространстве Н, индуцирующее циклическое
унитарное представление подгруппы Фи состоящей из эле-
элементов вида (ср, 0; 1) и представление W(a) = a под-
подгруппы, состоящей из элементов вида @, 0; а). Тогда
в пространстве Ф' существует такая квазиинвариантная
нормированная мера [а, что
(?/(<?) Л, Л) =
где ср — элемент подгруппы Фи ah — циклический вектор
представления. Гильбертово пространство И можно реа-
реализовать в виде пространства U функций на Ф', имею-
имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно меры ;а,
таким образом, чтобы операторы U (ср) стали операто-
операторами умножения на ei(-F<^, а операторы V (ф) — операто-
операторами вида
где a^(F) — функция на Ф', удовлетворяющая функцио-
функциональному уравнению
а Гц — элемент пространства Ф', такой, 4mo(Fq, ср) = (ср, ф).
Мера р преобразуется при сдвиге на вектор F^ в Ф'
по формуле
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К главе I
§ 1. Теорема 1 принадлежит И. М. Гельфанду [41]. Он доказал
также теорему 2, публикуемую здесь впервые. Теорема о ядре для
пространств К и S доказана Л. Шварцем [27], указавшим на важ-
важность этой теоремы для анализа; относительно других доказательств
см. А. Гротендик [7], Л. Эренпрейс [4].
§ 2. Общий вид норм в пространстве матриц рассматривал
Дж. фон Нейман [16]. Следовая норма операторов в банаховых про-
пространствах изучалась Р. Шэттеном [21], [22], а также Шэттеном и
фон Нейманом [23], [24]. См. также работу А. Растона [20]. Определе-
Определение ядерного отображения дано Л. Шварцем [28] и А. Гротенди-
ком [71. Теорема 6 о следе принадлежит В. Б. Лидскому [62].
§ 3. Общее определение ядерных пространств дано Гротенди-
ком [7]. Определение ядерности, совпадающее с определением Гро-
тендика в случае счетно-нормированных пространств, дано в связи
с теорией собственных элементов самосопряженных операторов
И. М. Гельфандом и А. Г. Костюченко [42]. Большинство результа-
результатов этого параграфа принадлежит Гротендику. Теорема 1 доказана
Д. А. Райковым [69]. А. С. Дынин [46], воспользовавшись одним
результатом Гротендика, доказал теорему 2. Приводимое в тексте
доказательство, не опирающееся на результаты Рротендика, принад-
принадлежит Н. Я. Виленкину. Ядерность пространств s\ доказана Б. С. Ми-
гигиным [64]. Результаты п. 7 принадлежат Б. С. Митягину [65].
Оценки, близкие к использованным в этом пункте, получены
В. И. Арнольдом (см. [53] § 6). Примыкающий к результатам
Б. С. Митягина материал п. 8 принадлежит Н. Я. Виленкину. Основ-
Основные идеи, связанные с изучением бесконечномерных пространств
путем оценки наименьшего числа элементов в е-сетях компактов,
даны А. Н. Колмогоровым [51], [52]. В статье А. Н. Колмогорова
и В. М. Тихомирова [53] вычислены эти оценки для многих кон-
конкретных пространств. Некоторые важные результаты о ядерных
пространствах принадлежат Ч. Бессага и А. Пилчинскому. Они
доказали, в частности, что любое ядерное пространство может быть
вложено в пространство всех бесконечно дифференцируемых функ-
функций [36].
§ 4. Понятие оснащенного гильбертова пространства по суще-
существу введено И. М. Гельфандом и А. Г. Костюченко в работе [42]
в связи со спектральной теорией самосопряженных операторов. Ими


460
ГЛ. IV. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Таким образом, при сдвиге на вектор F^, соответствую-
соответствующий элементу ф из Ф, мера |а переходит в меру ^, .задавае-
.задаваемую формулой
Очевидно, что \к^(Х) = 0, если [i(A) = 0. Но это и означает,
что мера ja квазиинвариантна.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 6. Пусть U(g) — унитарное представление
группы Go в пространстве Н, индуцирующее циклическое
унитарное представление подгруппы Фг, состоящей из эле-
элементов вида (ср, 0; 1) и представление W(a) = a под-
подгруппы, состоящей из элементов вида @, 0; ос). Тогда
в пространстве Ф' существует такая квазиинвариантная
нормированная мера (л., что
где ср— элемент подгруппы Ф1, a h—циклический вектор
представления. Гильбертово пространство Н можно реа-
реализовать в виде пространства L2^ функций на Ф', имею-
имеющих интегрируемый квадрат модуля относительно меры [а,
таким образом, чтобы операторы U (ср) стали операто-
операторами умножения на el^F'f\ а операторы К(<|>)— операто-
операторами вида
где a^(F) — функция на Ф', удовлетворяющая функцио-
функциональному уравнению
вФ, + Ф3 (И = вф, (П «Ф, С7).
a Fty — элемент пространства Ф', такой, что(Г^, ср) = (ср, ф).
Мера {* преобразуется при сдвиге на вектор F^ в Ф'
по формуле
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К главе I
§ 1. Теорема 1 принадлежит И. М. Гельфанду [41]. Он доказал
также теорему 2, публикуемую здесь впервые. Теорема о ядре для
пространств К и S доказана Л. Шварцем [27], указавшим на важ-
важность этой теоремы для анализа; относительно других доказательств
см. А. Гротендик [7], Л. Эренпрейс [4].
§ 2. Общий вид норм в пространстве матриц рассматривал
Дж. фон Нейман [16]. Следовая норма операторов в банаховых про-
пространствах изучалась Р. Шэттеном [21], [22], а также Шэттеном и
фон Нейманом [23], [24]. См. также работу А. Растона [20]. Определе-
Определение ядерного отображения дано Л. Шварцем [28] и А. Гротенди-
ком [7]. Теорема 6 о следе принадлежит В. Б. Лидскому [62].
§ 3. Общее определение ядерных пространств дано Гротенди-
ком [7]. Определение ядерности, совпадающее с определением Гро-
тендика в случае счетно-нормированных пространств, дано в связи
с теорией собственных элементов самосопряженных операторов
И. М. Гельфандом и А. Г. Костюченко [42]. Большинство результа-
результатов этого параграфа принадлежит Гротендику. Теорема 1 доказана
Д. А. Райковым [69]. А. С. Дынин [46], воспользовавшись одним
результатом Гротендика, доказал теорему 2. Приводимое в тексте
доказательство, не опирающееся на результаты Рротендика, принад-
принадлежит Н. Я. Виленкину. Ядерность пространств S\ доказана Б. С. Ми-
гягиным [64]. Результаты п. 7 принадлежат Б. С. Митягину [65].
Оценки, близкие к использованным в этом пункте, получены
В. И. Арнольдом (см. [53] § 6). Примыкающий к результатам
Б. С. Митягина материал п. 8 принадлежит Н. Я. Виленкину. Основ-
Основные идеи, связанные с изучением бесконечномерных пространств
путем оценки наименьшего числа элементов в е-сетях компактов,
даны А. Н. Колмогоровым [51], [52]. В статье А. Н. Колмогорова
и В. М. Тихомирова [53] вычислены эти оценки для многих кон-
конкретных пространств. Некоторые важные результаты о ядерных
пространствах принадлежат Ч. Бессага и А. Пилчинскому. Они
доказали, в частности, что любое ядерное пространство может быть
вложено в пространство всех бесконечно дифференцируемых функ-
функций [36].
§ 4. Понятие оснащенного гильбертова пространства по суще-
существу введено И. М. Гельфандом и А. Г. Костюченко в работе [42]
в связи со спектральной теорией самосопряженных операторов. Ими


462
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
доказана теорема о существовании полной системы обобщенных соб-
собственных векторов у самосопряженного оператора. Ю. М. Березан-
скии ([31], [32], [33], [34], [35]) несколько упростил доказательство
этой теоремы и указал ее дальнейшие приложения к теории урав-
уравнений в частных производных и теории положительно определен-
определенных функций. См. также работы Г. И. Каца [48], [49], Л. Гординга [5],
К. Морена [12], [13], [14]. Дальнейшие библиографические указа-
указания читатель найдет в вып. 3. При написании п. 3 и 4 использо-
использована остроумная идея доказательства теоремы И. М. Гельфанда и
А. Г. Костюченко, принадлежащая Морену и Гордингу [14]. Непре-
Непрерывные прямые суммы гильбертовых пространств впервые изучал
Дж. фон Нейман [17].
К главе II
§ 2. Теорема об общем виде линейного функционала в простран-
пространстве непрерывных функций принадлежит Ф. Риссу [18]. Теорема
об общем виде положительных обобщенных функций в простран-
пространстве К указана Л. Шварцем [26].
§ 3. Основная теорема теории непрерывных положительно
определенных функций (теорема 2) доказана С. Бохнером [3]. Поло-
Положительна определенные обобщенные функции введены Л. Шварцем,
доказавшим в [26] теорему 3. Здесь дается новый вариант доказа-
доказательства этой теоремы, полученный в результате упрощения и си-
систематизации доказательства Шварца.
§ 4. Условно положительно определенные функции одного пе-
переменного рассматривались в связи с безгранично делимыми зако-
законами распределения и теорией случайных процессов со стационар-
стационарными приращениями (см. Б. В. Гнеденко [45], А. М. Яглом и
М. С. Пикскер [77]). Ряд интересных результатов, относящихся
к этому кругу вопросов, приведен в заметке М. Г. Крейна [58].
Условно положительно определенные функции первого порядка мно-
многих переменных рассмотрены А. М. Ягломом [76]. Общая теорема
доказана Н. Я. Виленкиным (см. теорему 2). Результат публикуется
впервые.
§ 5. Непрерывные четно-положительно определенные функции
одного переменного были изучены М. Г. Крейном [57]. Условия един-
единственности в теореме Крейна получены Б. М. Левитаном и Н. Н. Мей-
маном [60], [61]. См также работы Е. Б. Вул [38] и Ю. М. Бере-
занского [33], [34].
Для обобщенных функций четно-положительная определенность
изучалась в работах И. М. Гельфанда и Ся-до-шина [44] для слу-
случая одного переменного и Н. Я. Виленкиным [37] для случая мно-
многих переменных. Значительное обобщение этих результатов дано
А. Г. Костюченко и Б. С. Митягиным [54].
§ 6. Теорема о распространении положительных функционалов
в частично упорядоченных линейных пространствах принадлежит
М. Г. Крейну [55], развившему идею М. Рисса [19]. Описание четно-
положительно определенных обобщенных функций одного перемен-
переменного дано Ся-до-шином в [44]. Ему же принадлежит пример неедин-
неединственности меры.
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
463
§ 7. Теорема о положительно определенных функционалах в ком-
коммутативных нормированных кольцах доказана И. М. Гельфандом и
М. А. Наймарком [43]. Положительно определенные линейные функ-
функционалы в кольце многочленов от двух переменных рассмотрены
Р. Б. Зархиной [47]. Пример положительного многочлена, не являю-
являющегося суммой квадратов многочленов, см. Д. Гильберт [8].
Теорема о разложении целой функции экспоненциального типа,
положительной на вещественной оси, доказана М. Г. Крейном [56],
см. также Б. Я. Левин [59].
К главе 111
Понятие обобщенного случайного процесса, равно как и основ-
основные результаты этой главы (в частности, теория процессов с неза-
независимыми в каждой точке значениями) принадлежат И. М. Гель-
фанду [39]. Корреляционная теория обобщенных случайных процес-
процессов построена К. Ито [9]. См. также интересную книгу С. Бохнера [2].
Другое определение обобщенного случайного процесса принадлежит
А. Урбанику [73]. См. также Л. Шварц [29J. Характеристические
функционалы введены А. Н. Колмогоровым [il], изучались С. Бох-
Бохнером [1].
Распределение вероятностей в нормированных пространствах
рассматривали А. Н. Колмогоров [11], Ю. В. Прохоров [68], Е. Му-
Мурье [15].
Относительно рассмотренных в § 4 безгранично делимых случай-
случайных величин см. А. Я. Хинчин [75]. Теорема 4 доказана Шенбергом
в [25] в связи с вопросом о погружении метрических пространств
в гильбертово пространство.
Теория обобщенных случайных полей, изложенная в § 5, по-
построена А. М. Ягломом [76]. Результаты о полях с однородными
приращениями л-го порядка принадлежат Н. Я. Виленкину. См. также
Ито [10].
К главе IV
§ 1. Определение меры через меру цилиндрических множеств
введено А. Н. Колмогоровым [50].
§ 2. Основной результат этого параграфа, теорема 3, получен
Р. А. Минлосом [63], доказавшим справедливость ранее сделан-
сделанного предположения И. М. Гельфанда [40]. Близкими вопросами
занимались Ю. В. Прохоров [68] и В. Сазонов [71], изучавшие
распределения вероятностей в линейных нормированных простран-
пространствах. Как показал А. Н. Колмогоров, из некоторых оценок, полу-
полученных Ю. В. Прохоровым, вытекают занимающие центральное
место в доказательстве Р. А. Минлоса леммы 4 и 4'. Изложенное
в тексте доказательство является упрощением доказательства, дан-
данного Р. А. Минлосом. Теоремы 2 и 2' принадлежат В. Д. Ерохину
(не опубликованы). Теоремы 5 и 6 доказаны Н. Я- Виленкиным. Тео-
Теорема 7 принадлежит В. Сазонову [71].
§ 3. Вопрос об условиях счётной аддитивности гауссовских мер
цилиндрических множеств рассмотрен В. А. Голубевой (не опубли-
опубликовано) до общей теоремы Р. А. Минлоса. Необходимость условия


464
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
ядериости пространства для счетной аддитивности любой меры ци-
цилиндрических множеств в сопряженном пространстве доказана
Р. А. Минлосом [63].
§ 4. Результаты этого параграфа непосредственно вытекают из
результатов § 2. Обобщениями теоремы Бохнера на банаховы про-
пространства занимались Ю. В. Прохоров [68] и В. Сазонов [71].
§ 5. Исследование коммутационных соотношений в квантовой
теории поля проведено Гордингом и Уайтменом [6]. В другой
форме аналогичные результаты получены Сигалом [30]. В форме,
изложенной в тексте, эти результаты принадлежат И. М. Гельфанду
и публикуются впервые.
Впервые ряд нетривиальных представлений коммутационных
соотношений получен Фридрихом [78], Ва Ховом [80] и Хаагом [79].
Интересная форма представления коммутационных соотношений
имеется в обстоятельной принстонской диссертации Дж. Лью [81].
Некоторые результаты о квазиинвариантных мерах см. в рабо-
работах В. Н. Судакова [72] и Б. С. Митягина [66].
БИБЛИОГРАФИЯ
[I] В ос h ner S., Stochastic processes, Ann. of Math., 48 A947)
1014—1061.
[2] В о с h n e r S., Harmonic analysis and the theory of proba-
probability, 1955.
[3] В о с h n e r S., Vorlesungen fiber Fouriersche lntegrale, Leip-
Leipzig, 1932.
[4] E h r e n p r e i s L., On the theory of kernels of Schwartz.,
Proc. Amer. Math. Soc. 7 A956), 713—718. Русский перевод в жур-
журнале' «Математика» 3, № 3 A959), 81—85.
[5] Garding L., Eigenfunction expansions. Seminar in Appl.
Math., Boulder, Colorado, June 29 —July 19, 1957, 1—30.
[6] Garding L. и Wightman, Representations of the
commutation relations., Proc. Nat. Acad. Sci. 40, № 7 A954), 622—626.
[7] Grothendieck A., Produits tensoriels topologiques et
espaces nucleaires, Memoirs of the American mathematical Society,
№ 16 A955).
[8] Hilbert D., Ober die Darstellung definiter Formen als
Summen von Formenquadraten, Math. Ann. 32 A888), 342—350.
[9] 116 K., Stationary random distributions, Mem. Coll. Sci.
Univ. Kyoto 28 A954), 209.
[10] I t б К-, Isotropic random current, Proc. 3-d Berkeley
Siraposium on Math. Stat. and Probab., Berkeley and Los Angeles
A956), т. II, 125—132.
[II] Kolmogoroff A., La transformation de Laplace dans
les espaces lineaires. C. R. Acad. Sci. 200 A935), 1717.
[12] Maurin K., Entwicklung positiv definiter Kerne nach
Eigendistributionen. Differenzierbarkeit der Spektralfunktion 'eines hy-
perraaximalen Operators. Bull. Acad. Polonaise Sci., Ser. Math., astr.
et phys.- 6, № 3 A958), 149—155,
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
465
[13] Maurin К., Spektraldarstellung der Kerne. Eine Verall-
geneinerung der Satze von Kallen — Lehman und Herglotz — Boch-
ner., Bull. Acad. Polonaise Sci., Ser. Math., astr. et phys. 7, № 8
A959), 461—470.
[14] Maurin K., Allgemeine Eigenfunktionentwicklungen.
Spektraldarstellung abstrakter Kerne. Eine Verallgemeinerung der Dis-
tributionen auf Lie'schen Gruppen., Bull. Acad. Polonaise Sci. 7, N° 8
A959), 471—479.
[15] Mourier E., Les elements aleatoires dans un espace de
Banach, Ann. Inst. Henri Poincare 13 A953), 161.
[16] Neumann J. von, Some Matrix Inequalities and Metri-
zation of Matrix-Space., Известия НИИ мат. и мех. при Томском
университете им. В. В. Куйбышева 1, № 3 A937), 286—300.
[17] Neumann J. von, On rings of operators, IV, Reduction
theory, Ann. of Math. 50, № 2 A949), 401—485.
[18] Riesz F., Sur les operations fonctionelles lineaires, C. R.
de l'Acad. des Sc. Paris 149 A909), 974—977.
[19] Riesz M., Sur le probleme des moments I, II, III, Arkiv
for mathematik, astron. och fys.: 16—17, A922—1923).
[20] R u s t о n A. F., On the Fredholm theory of integral equa-
equations for operators belonging to the trace class of a general Banach
space, Proc. of the London Math. Soc. 53 (сер. 2), № 2 A951)
109—124.
[21] Schatten R., On the Direct Product of Banach Spaces.,
Trans. Amer. Math. Soc. 53, 1 A943), 195—217.
[22] Schatten R., The Cross-Space of Linear Transformations,
Ann. of Math. 47, № 1 A946), 73—84.
[23] Schatten R. и Neumann J. von, The Cross-Space of
Linear Transformations II, Ann. of math. 47, № 3 A946), 608—630.
[24] Schatten R. и Neumann J. von, The Cross-Space
of Linear Transformations III, Ann. of math. 49, № 3 A948),
557—582.
[25] Schoenberg I. J., Metric spaces and positive definite
functions, Trans. Amer. Soc. 44, A938), 522—536.
[26] Schwartz L., Theorie des distributions, т. 1 и 2, Paris,
1950.
[27] Schwartz L., Theorie des noyaux, Proceedings of the
international congress of mathematicians 1 A952), 220—230. Русский
перевод в журнале «Математика.» 3, № 3 A959), 69—79.
[28] Schwartz L., Produits tensoriels topologiques et espaces
nucleaires, Seminaire Institut H. Poincare, 1953—1954.
[29] Schwartz L., La fonction aleatoire du mouvement brow-
nien, Seminaire Bourbaki (февраль 1958) 161—01—161—23.
[30] Segal, Distributions in Hilbert space and canonical systems
of operators, Trans. Amer. Math. Soc. 88, № 1, 12—42.
[31] Березанский ЮМ., О разложении по собственным
функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов,
ДАН СССР 108, М 3 A956), 379—382.
[32] Березанский Ю. М., Разложение по собственным
функциям самосопряженных операторов, Матем. сб. 43, № 1 A957),
75—126. ¦


466
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
[33] Березанский Ю. М., Обобщение теоремы Бохнера
на разложения по собственным функциям уравнений в частных
производных, ДАН СССР НО, № 6 A956), 893—896.
[34] Березанский Ю. М., Представление положительно
определенных ядер через собственные функции дифференциальных
уравнений, Матем. сб. 47, № 2 A959), 145—176.
[35] Березанский Ю. М., О разложении по собственным
функциям самосопряженных операторов, Укр. матем. журнал 11,
№ 1 A959), 16—24.
[36] Бессага Ч. и Пилчинский А., О вложении ядерных
пространств в пространство всех бесконечно дифференцируемых
функций, печатается в ДАН СССР.
[37] В и л е н к и н Н. Я., К теории положительно определен-
определенных обобщенных ядер, УМН, т. XV, вып. 3 (93), 139—146.
[38] В у л Е. Б., О единственности представления положитель-
положительных обобщенных функций. Печатается.
[39] Гельфанд И. М., Обобщенные случайные процессы,
ДАН СССР 100, № 5 A955), 853—856.
[40] Гельфанд И. М., О некоторых проблемах функцио-
функционального анализа, УМН, т. XI, вып. 6 G2) A956), 3—12.
[41] Гельфанд И. М. Sur un lemme de la theorie des espa-
ces lineaires, Зап. Наук. доел. шст. матем. и мех. Хрк. матем.
тов. D) 13 A937), 35—48.
[42] Гельфанд И. М. и Костюченко А. Г., О разло-
разложении по собственным функциям дифференциальных и других
операторов, ДАН СССР 103, № 3 A955), 349—352.
[43] Гельфанд И. М. и Наймарк М. А., Нормирован-
Нормированные кольца с инволюцией и их представления, Известия АН СССР
12, № 5 A948), 445—480. См. также приложение к книге И. М. Гель-
фанда, Д. А. Райкова и Г. Е. Шилова «Коммутативные нормиро-
нормированные кольца», М., 1960.
[44] Гельфанд И. М. и Ся-до-шин, О положительно
определенных обобщенных функциях, УМН, т. XV, вып. 1 (91).
[45] Гнеденко Б. В., Об одном характеристическом свойстве
безгранично делимых законов распределения, Бюлл. МГУ, сер. А,
1937.
[46] Д ы н и н А. С, О пространствах, ядерных в различных
смыслах, ДАН СССР 121, № 5 A958), 790—792.
[47] 3 а р х и н а Р. Б., О двумерной проблеме моментов, ДАН
СССР 124, № 4 A959), 743—746.
[48] К а ц Г. И., О разложении по собственным функциям
самосопряженных операторов, ДАН СССР 119, № 11 A958),
19—22.
[49] К а ц Г. И., Обобщенные элементы гильбертовых про-
пространств и спектральное разложение самосопряженных операторов,
Труды сем. по функц. анализу при Воронежском ун-те A958).
[50] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероят-
вероятностей, М. —Л., 1936.
[51] Колмогоров А. Н., Асимптотические характеристики
некоторых вполне ограниченных метрических пространств,
СССР 108, № 3 A956), 585—589.
ДАН
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
467
[52] Колмогоров. А. Н., О линейной размерности тополо-
топологических векторных пространств, ДАН СССР 120, № 2 A958),
239—241.
[53] Колмогоров А. Н. и Тихомиров В. М., г-энтропия
и е-емкость множеств в функциональных пространствах, УМН,
XIV, № 2 (86) A959), 3—86.
[54] Костюченко А. Г. и Митягин Б. С, Положительно
определенные функционалы на ядерных пространствах, Труды Моск.
матем. об-ва, т. 9.
[55] Крейи М. Г., Общие теоремы о позитивных функцио-
функционалах. В книге Н. Ахиезера и М. Г. Крейна «О некоторых вопро-
вопросах теории моментов», Харьков. 1938.
[56] К р е й н М. "Г., О представлении функций интегралами
Фурье — Стильтьеса, Уч. зап. Куйбышевского пед. ин-та, 7 A943).
[57] К р е й н М. Г., Об одном общем методе разложения поло-
положительно определенных ядер на элементарные произведения, ДАН
СССР 53, № 1 A946), 3—6.
[58] К рейн М. Г., Об интегральном представлении эрмитово-
индефиьитной функции с конечным числом отрицательных квад-
квадратов, ДАН СССР, 125:1 A959), 31—34.
[59] Левин Б. Я., Распределение корней целых функций,
М.—Л., 1956.
[60] Левитан Б. М., Об одной теореме единственности,
ДАН СССР 76, № 4 A951), 485—488.
[61] Левитан Б. М. и Мейман Н. Н., О теореме един-
единственности, ДАН СССР 81, № 5 A951), 729—731.
[62] Л и д с к и й В. Б., Несамосопряженные операторы, имею-
имеющие след, ДАН СССР 125, № 3 A959), 485—487.
[63] М и н л о с Р. А., Обобщенные случайные процессы и их
продолжение до меры, Труды Моск. матем. об-ва 8 A959),
497—518.
[64] Митягин Б. С, Ядерность и другие свойства пространств
типа S, Труды Моск. матем. об-ва, 9 A960).
[65] Митягин Б. С., Связь между ядерностью, скоростью
аппроксимации и е-энтропией компакта в банаховом пространстве,
ДАН СССР 133 A960).
[66] Митягин Б. С, Замечание о квазиинвариантной мере,
печатается в УМН.
[67] Повзнер А. Я., Об уравнениях типа Штурма — Лиу-
вилля и позитивных функциях, ДАН СССР 43 A944), 387—391.
[68] Прохоров Ю. В., Сходимость случайных процессов и
предельные теоремы теории вероятностей, Теория вероятностей и
ее применения 1, № 2 A956), 177—237.
[69] Райков Д. А., Об одном свойстве ядерных пространств,
УМН, т. ХП, № 5 G7), A957), 231—236.
[70] Розанов Ю. А., К экстраполяции обобщенных случай-
случайных стационарных процессов, Теория вероятностей и ее примене-
применения 4, № 4 A959), 465—471.
[71] Сазонов В., Замечание о характеристических функ-
функционалах, Теория вероятностей и ее применения 3. № 2 A958),
201—205.


468
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
[72] Судаков В. Н., Линейные множества с квазиинвариант-
квазиинвариантной мерой, ДАН СССР, 127, № 3 A959), 524—525.
[73] Урбаник К., Случайные процессы, реализации которых
являются обобщенными функциями, Теория вероятностей и ее при-
применения 1, № 1 A956), 146—149.
[74] Хачатуров А. .А., Определение значения меры для
области я-мерного евклидова пространства по ее значениям для
всех полупространств, УМН 9, № 3 F1) A954), 205—212.
[75] Хин чин А. Я., Zur Theorie der unbeschranktteilbaren
Verteilungsgesetzen, Матем. сб. 2, 44 .A937), 79—120.
[76] И г л о м А. М., Некоторые классы случайных полей
в n-мерном пространстве, родственные стационарным случайн.ым
процессам, Теория вероятностей и ее применения 2, № 3 A957),
292—338.
[77] Я г л о м А. М. и П и н с к е р М. С, Случайные процессы
со стационарными приращениями n-го порядка, ДАН СССР, 90, № 5
A953), 731—734.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
[78] Friedrichs К., Mathematical aspects of the quantum
theory of fields, New York, Jnterscience Publishers A953).
[79] Haag R., Dan. Mat. Fys. Medd., 29, № 12 A955).
[80] Van Hove L., Physica, 18, 195 A952).
[81] Lew John S., The structure of representations of the ca-
canonical commutation relations, Принстон, диссертация, март 1960.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно выпуклое множество 14 Коммутационные соотношения 452
Абстрактная теорема о спектраль- Компактность 393
иом разложении 163 — слабая в гильбертовом простран-
о ядре 98 стве 393
, вторая формулировка 101 Корреляционная матрица многомер-
. Алгебра многочленов от двух пере- ного случайного поля 368
меиных 291 векторного 372
— с инволюцией 287 изотропного 371
нормированная 287 однородного 369
топологическая 287 с однородными прнра-
Аииулятор 375 щениями 5-го порядка 370
—, ортогональное дополнение 403 Корреляционный функционал слу-
случайного поля 359
однородного 360
Базис безусловный 61 — н изотропного 363
— биортогональный 61 с однородными и изотроп-
Барьерная последовательность 202 ными приращениями s-ro поряд-
Бочечное пространство 17 ка 366
— процесса 308
. вииеровского 322
Вектор собственный обобщенный 136, гауссовского 310
153 единичного 323
— циклический 165 с независимыми зиачения-
для представления 452 мн 355
Вннеровский процесс 305, 321 — со стацнонарнымн прн-
, корреляционный функционал ращениями n-го порядка 331
322 стационарного 328
> , производная 323 Критерий ядерностн счетно-гильбер-
счетно-гильбертова пространства 94
¦. совершенного 120, 122
Гауссовская мера 416
вырожденная (несобственная)
420 Лемма Фату 184
Гауссовский процесс несобственный Линейное топологическое простран-
312 ство локально выпуклое 17, 146,
, примеры 320 375
с независимыми значениями 356 . Функциональная размер-
и ел. ¦ ность 127
собственный 309 . е-сеть 133
, корреляционный функционал Локальный функционал 341
310
—, производная 319
Матрица корреляционная см. корре-
корреляционная матрица
Единичное случайное поле 306 Мера гауссовская 416
Единичный случайный процесс 305, вырожденная (несобственная)
323 420
i , корреляционный функционал — квазииивариантная 438, 442, 447
323 ' —, преобразование Фурье 429
, спектральная мера 329 — регулярная 380, 38/
— симметричная относительно груп-
группы 269
Интеграл от случайной функции 302 —, слабая сходимость 434


470
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
471
Мера случайная 333 Обобщенная функция положительная
— спектральная 163 173, 180
единичного случайного про- — —, — в пространстве К 180 н ел.,
цесса 329 К (М , 186. К (М г ) 187, S 183 и
¦ обобщенного случайного поля у „ , . „ и
35д ~ след., оа la/—loo
однородного н изотроп- положительно определенная 178
ного 361 — —¦ в пространстве К 198, S
с однородными и изо- 191—192, Z 207—208
тройными приращениями s-ro по- — —, относительно группы 268
рядка 363 , симметричная относительно
= процесса 328 группы 268
— степенного роста 178 условно положительная 220
о-конечная 435 , — — в пространстве Z 223—
— финитная 194 224
— цилиндрических множеств 379 положительно определенная
индуцированная 384 219
конечно-аддитивная 384 , в пространстве К 236
непрерывная 381 ¦ четная 245
счетно-аддитивная 385 , положительная в простран-
, условия 388 и след. стве Z с одним переменным 276
, — в гильбертовом про- , с несколькими пе-
страистве 413 ременными 282
—• , — в пространстве, сопря- четно-положительно определен-
женном счетно-гильбертову 392 ная 246
, условие согласованности 380 , — в пространстве К 270
—, эквивалентность 435 „„„„ с окк. с1^ «ш ойп
Минимальный порядок роста функ- и CJIe«- S 7» 265> SlA 249> 26°
ции 114 Обобщенное случайное поле 303, 357
Множество абсолютно выпуклое 14 изотропное 360
—, метрический порядок относи- — многомерное 367
тельио окрестности нуля 114 , вектор средних значений
—, ограниченное (сильно или слабо) 368
в пространстве, сопряженном векторное 371
счетно-гильбертову 83 — —, корреляционная матри-
—, — в счетно-гильбертовом про- ца 372
странстве 82 изотропное 371
— поглощающее 15 , корреляционная матрн-
— случайных величин 297 ца 371
— собственных векторов, полное 155 , корреляционная матрица
— цилиндрическое 373 и след. 368
, образующее подпространство однородное 369
375 , корреляционная матри-
, основание 375 ца 369
Момент п-го порядка обобщенного с однородными прираще-
случайного процесса 308 ииями s-ro порядка 370
с независимыми зна- — • — —, корреляцион-
чениями 355 иая матрица 370
Мультипликативная положительность однородное 358
179 . , корреляционный функцно-
Мультипликативно положительные нал 360
обобщенные функции 188 и изотропное 361
— — в пространстве К 190, Q 253, —, корреляционный
S 190 функционал 363
— положительный функционал 288 . , спектральная мера 361
с однородными и изотроп*
нымн приращениями s-ro порядка
Непрерывная прямая сумма гнль- дбз ^ «¦ —> »- .
бертовых пространств 147 и след. корреля-
Неравенство С. Н. Бернштейна 274 ционный функционал 366
Норма вырожденного оператора 41 обобщенный случайный процесс 303
— Гильберта - Шмидта 52 "L винеровский 305. 321
— операторная 41, 43 корреляционный функцио-
— следовая 67, 70, 74 нал 322 vv ^J
, производная 323
Обобщенная случайная функция 303 гауссовский несобственный 312
— функция мультипликативно поло- — , примеры 320
жительная 188, 190 - — — собственный 309
Обобщенный случайный процесс
гауссовский собственный
— — —, корреляционный функ-
функционал 310
, производная 319
единичный 305, 323
— , корреляционный функцио-
функционал 323
, спектральная мера 329
, линейные операции 306
, момент п-го порядка 308
, производная 306
, пуассоновскнй 349
обобщенного типа 353
с независимыми значениями
339
, момент п-го поряд-
порядка 355
, характеристический
функционал 339, 349
со стационарными прираще-
приращениями п-го порядка 329
, корреляцион-
корреляционный функционал 331
, среднее значе-
значение 330
, сдвиг 306
стационарный 326
—в широком смысле 333
, корреляционный функцио-
функционал 328
, спектральная мера 328
, среднее значение 327
Оператор вполне непрерывный 42
самосопряженный 43
— вырожденный 41
— самосопряженный 42
в гильбертовом пространстве
158
: циклический 158
в ядерном пространстве 158
циклический 159
циклический 165
— с конечным следом 56
— строго положительно определен-
определенный 41
— типа Гильберта — Шмидта 40, 47 и
след.
— ядерный 41 и след., 55
в банаховом пространстве 77
Операторы метрически равные 44
Оснащенное гильбертово простран-
пространство 138
Показатель сходимости 115
эллипсоида 115
Полупространство 373
Поляра 385
Порядок роста функции !!4
Преобразование Фурье меры 176
Пример Гильберта 292
Пространство бочечное 17
— линейное топологическое локально
выпуклое 17, 146, 375
— рефлексивное 83
— совершенное 96
—, сопряженное счетно-гнльбертову 81
Пространство счетно-гильбертово 78—79
— ядерное 78
линейное топологическое 89
, примеры 105 и след.
счетио-гильбертово 85
счетно-нормированное 86
- К 23, 33—34, А" 38, К 39, К (а)
34, КШр) 105, К(т ) in,
Q 251-252, 5 23, 34, S' 38, К 39,
S4, 265-2С6, S'.fc 248, SaA ПО, л Ш,
Z 35, Z' 38, Z 39, Z(a) 36, Я 132, 3
40, 98, 111, 131. 132
Равенство случайных величии 297
Разложение единицы 163
Реализация гильбертова простран-
пространства 141 и след.
Ряд функционалов абсолютно сходя-
сходящийся 89
безусловно сходящийся 89
Свертка 37, 177
— функций нз Z 208
Симметрический гомоморфизм ал-
алгебры с инволюцией в поле ком-
плексных чисел 289
Случайная величина 296
, безгранично делимая 350
, среднее значение 300
, характеристическая функция
301
— мера 333
— функция 301
Случайное поле обобщенное см.
обобщенное случайное поле
Случайный процесс 301
обобщенный см. обобщенный
случайный процесс
— функционал 302
Собственное подпространство 154
Собственный вектор обобщенный
136, 153
Спектральное разложение элемента,
соответствующее оператору 154
Сходимость в гильбертовом простран-
пространстве (сильная и слабая) 42
— ол&Ьъъ в счетно-нормнрованном
пространстве 97
Теорема Бохнера 196
— Бохнера — Шварца 198
— Крейна 246
— о представлении мультиплика-
мультипликативно положительного функцио-
функционала в нормированной алгебре с
инволюцией 290
— о распространении положительных
функционалов 274
— о следе 63
— о спектральном разложении аб-
абстрактная 163 '
— о ядре 23, 32
абстрактная 98
—.-= — —, вторая формулировка 101


472
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема о ядре для полилинейных
функционалов 33
— для пространства К 13
— Радона — Никоднма 436
— Рисса 173
— Шура 343
Тип сходимости последовательности
128
Топология в пространстве, сопряжен-
сопряженном счетно-гильбертову 83
, слабая 82
— во втором, сопряженном счетно-
гильбертову, пространстве 83
—, задаваемая положительно опреде-
определенными операторами 413
Точное объединение линейных топо-
топологических пространств 408
Унитарное представление 452
циклическое 452
Унитарный оператор в гильбертовом
пространстве 155
циклический 155
— — в оснащенном гильбертовом
пространстве 156
циклический 156
Условие (Ж) 106, Ш
Функционал полунепрерывный снизу
1о
— регулярный 38
— характеристический 324
обобщенного случайного про-
процесса с независимыми значения-
значениями 339 и след.
— эрмитово-билинейный 12, 208
инвариантный относительно
сдвигов 209, 211
Функциональная размерность линей-
линейного топологического пространства
127
пространства 31 132, 3 131—132
Функция быстро убывающая 23
— обобщенная см. обобщенная
функция
— от случайной величины 299
— положительная основная 173
— положительно определенная не-
непрерывная 175, 177, 192 и след.
—, порядок роста 114
— симметрическая относительно
группы 267
—, второго рода 268
— четно-положнтельно определенная
непрерывная 264, 283
в пространстве К 283
Фактор-пространство 95
Функционал билинейный 12
непрерывный по каждому аргу-
аргументу 19
в пространстве К 30—31, К (а)
29—30, 5 32
в ядерном пространстве 98
— выпуклый 13
— корреляционный см. корреляцион-
корреляционный функционал
— локальный 34
— мультипликативно положительный
в топологической алгебре 288
— положительно определенный в ли-
линейном топологическом простран-
пространстве 430
Циклический вектор 165
— — для представления 165
— оператор см. оператор
Циклическое подпространство 167
Эллипсоид в гильбертовом простран-
пространстве 403
е-сеть 112
— в линейном топологическом прост-
пространстве 113
Ядерная группа Лн 451
Ядерное пространство см. простран-
пространство